Левый контекст	Термин	Правый контекст
Действительно , существует большая ветвь алгебры под названием «	Алгебра	многочленов » .
	Алгебра	первоначально развивалась из - за необходимости решения практических задач , в которых по известным величинам нужно было найти неизвестную .
	Алгебра	многочленов в учебнике « Арифметика » Л. Ф. Магницкого .
1	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическая сумма	— это запись , состоящая из нескольких алгебраических выражений , соединённых знаками « + » или « – » .
Глава I	Алгебраические выражения	.
Глава 1	Алгебраические выражения	.
2	Алгебраические выражения	.
	Вес	всех воробьёв больше веса всех ласточек .
	Возвести	одночлен в степень .
	Возвести	в степень произведение .
	Возвести	в степень дробь .
	Вынести за скобки	общий множитель .
	Выражение	является произведением многочленов .
	Выражение	алгебраическое .
	Выражение	, стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
	Выражение	— разность двух одночленов аb и с2 или сумма одночленов .
	Выражение	— сумма двух одночленов и b2 .
	Выражение	числовое 7 .
	Выражение	аn читается так : « Степень числа а с показателем я » — или коротко : « а в степени я » .
	Выражение	называют алгебраической дробью .
	Выражение	называют алгебраической суммой .
	Выражение	является произведением трёх одночленов .
	Выражение	является произведением четырёх множителей , из которых первый — число , а три следующих — буквы а , b , с .
	Выражения	, содержащие деление одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
	Вычитаем	из него сумму его цифр .
	Вычитание	можно заменить сложением с противоположным числом .
	Вычитание	многочленов .
2	Вычитание	.
	Вычитание	.
	Вычитание	алгебраических дробей .
	Вычитая	из первого уравнения системы ( 2 ) второе уравнение , получаем . 3 ) Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , запишем ответ .
2	Граф	- дерево .
	Граф	имеет 6 рёбер , значит , и партий было сыграно 6 .
	График	проходит через точки , так как при х. Поэтому график функции у можно также построить по трём точкам .
	График	этой функции показан .
	График	этой функции изображён .
	График	функции изображён .
	График	функции у получается сдвигом графика функции y на b единиц вдоль оси ординат .
Построить график функции у , если известно , что ему принадлежит точка В.	График	какой из этих функций проходит через точку .
	График	функции у(х ) — ломаная ABODE , где .
	График	функции .
	График	функции y проходит через точки и .
	График	функции — ломаная EFKLM , где .
	График	функции y проходит через точку .
	График	функции у проходит через точку .
	Графиками	функций являются параллельные прямые .
	Графики	функций у .
	Графики	функций широко применяются в практике .
	Графиком	функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
	Графиком	какой из следующих функций является эта прямая : у ? .
	Группу	из 12 детей детского сада ежедневно выводят на прогулку парами .
	Двучлен	является суммой двух одночленов : 300 nm и 500 nm .
	Двучлен	.
	Деление	.
	Деление	многочлена на одночлен .
1	Деление	одночлена на одночлен .
	Деление	алгебраических дробей .
18	Деление	одночлена и многочлена на одночлен .
3	Деление	.
	Деление	многочлена на одночлен вы сами легко запишете с помощью уголка .
	Деление	можно заменить умножением на число , обратное делителю .
	Деление	одночлена на одночлен .
2	Деление	многочлена на одночлен .
	Деление	многочлена на многочлен .
	Деление	степеней .
	Делителем	натурального числа а называют натуральное число , на которое а делится без остатка .
	Делители	и кратное .
	Делится	ли на 3 ; на 5 сумма .
	Дерево	вариантов даёт наглядное представление о том , как применяется правило произведения для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 , числа элементов .
4	Десятичные	дроби .
	Длина	участка прямоугольной формы на 10 м больше , а ширина на 25 м меньше стороны участка , имеющего форму квадрата .
	Длина	прямоугольника на 5 см больше его ширины .
	Длина	окружности радиуса R выражается формулой площадь круга радиуса R выражается формулой .
	Длина	листа 80 см , по 7 см он оставляет слева и справа от заголовка .
	Доказательство	делимости .
	Дробная	часть числа .
	Дробные	выражения в формулах естественных наук .
	Дробь	, у которой числитель меньше знаменателя , называют правильной дробью .
	Дробь	, у которой числитель больше знаменателя или равен ему , называют неправильной дробью .
	Зависимая переменная	.
	Знак	числа х .
	Знак	вычитания « А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
	Знаменатель	показывает , на сколько равных долей делят целое , а числитель — сколько таких долей взято .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как	Значение	алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
	Квадрат	двузначного числа содержит нечётное число десятков .
	Квадрат	суммы .
	Квадрат	разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	разности .
	Квадрат	со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а стороны параллельны осям координат .
	Квадрат	со стороной 5 единиц содержит единичных квадратиков .
	Квадратные	числа .
Халамайзер А. Я.	Комбинаторика	и бином Ньютона : пособие для учащихся 9–10 кл .
	Комбинаторика	как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта вариантов стала нуждаться новая математическая теория — теория вероятностей .
	Комбинаторика	и анаграммы .
	Комбинаторные	задачи постоянно возникают во время настольных и компьютерных игр .
	Координаты	точки пересечения прямых можно было найти с помощью графика .
	Координаты	точки .
	Корень	уравнения .
	Корень	этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
	Корнем	уравнения называется то значение неизвестного , при котором это уравнение обращается в верное равенство .
	Коэффициент	, равный 1 , обычно не записывают , так как от умножения на единицу число не меняется .
	Коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	пропорциональности .
	Коэффициент	этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
	Куб	со стороной 5 единиц содержит единичных кубиков .
2	Латинские квадраты	.
	Линейная	функция задана формулой .
Глава VI	Линейная	функция и её график .
32	Линейная	функция и её график .
	Линейной	функцией называется функция вида , где k и b — заданные числа .
	Линейную	функцию можно назвать важнейшей , так как очень много законов природы и практических взаимосвязей выражаются с помощью этой функции .
	Линейные	уравнения он , конечно , умел решать .
	Магические квадраты	.
	Магического квадрата	размером 2×2 не существует .
	Многочлен	также записан в стандартном виде .
Например , членами многочлена являются одночлены	Многочлен	, состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
	Многочлен	.
	Многочленом	называется алгебраическая сумма нескольких одночленов .
	Множители	, записанные с помощью цифр , называются числовыми множителями , а множители , обозначенные буквами , — буквенными множителями .
	Модулем	числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
	Мощность	электрического прибора Р находится по формуле , где I — сила проходящего через прибор тока , U — напряжение на приборе .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем (	НОД	) этих чисел .
Например ,	НОД	чисел 12 и 18 является число 6 .
Записывают :	НОД	( 12 , 18 ) равно 6 .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения НОК и	НОД	, неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления площади прямоугольника и другие .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения	НОК	и НОД , неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления площади прямоугольника и другие .
Наименьшим общим кратным (	НОК	) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
	Найдите	двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
	Найдите	идеальный вес человека при росте 150 см ; 160 см ; 171 см .
	Найдём	стороны этого прямоугольника .
	Найдём	площадь прямоугольника , основание которого равно 3 , а высота равна х.
	Найдём	а .
	Найдём	координаты точки пересечения построенных прямых , не используя графики .
	Найдём	.
	Найти	точки пересечения графика функции у с осями координат и построить график .
	Найти	скорость течения реки .
1	Найти	: 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
	Найти	координаты точки пересечения прямых .
2	Найти	число секунд в часе ; в сутках .
	Найти	исходное число .
	Найти	значение алгебраического выражения при а равно 10 , b равно 5 .
Вычислить :	Найти	сумму и разность многочленов .
Площадь прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см.	Найти	другую сторону прямоугольника .
	Найти	числовое значение выражения при .
	Найти	объём V этой детали , если объём шара находится по формуле , где R — радиус шара .
	Найти	значение выражения при .
	Найти	значение выражения а2 , если а равно .
	Найти	цифру единиц этого двузначного числа .
2	Найти	значение А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
	Найти	координаты точки пересечения графиков функций .
	Найти	значение k , если известно , что график функции у проходит через точку .
	Найти	расстояние между Тверью и Санкт - Петербургом .
	Найти	значение b , если известно , что график функции проходит через точку .
	Найти	площадь закрашенной фигуры .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , если значение х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
	Найти	.
	Найти	значение х , при котором функция принимает значение , равное 0 ; – 2 .
	Найти	значение числового выражения .
	Найти	скорости пешехода и велосипедиста , если известно , что расстояние АВ равно 27 км .
	Найти	общий знаменатель дробей .
	Найти	расстояние между двумя пунктами , если пассажирский поезд проходит это расстояние на 2 ч быстрее , чем товарный .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
	Найти	количество людей и стоимость курицы .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
	Найти	средний рост мальчиков класса , если результаты измерения их роста ( в сантиметрах ) оказались следующими .
	Найти	среднее значение температуры ( измеряемую в полдень ) за первую декаду июля , если ежедневные замеры были следующими .
	Найти	среднюю скорость движения велосипедиста за время всей поездки , если расстояние от дома до дачи равно 6 км .
	Найти	расстояние между пристанями А и С .
	Найти	это число .
	Найти	скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки .
	Найти	: Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
	Найти	х .
	Найти	рациональным способом значение выражения .
	Найти	неизвестное число х из пропорции .
60 к.	Найти	цену тетради и карандаша .
	Найти	два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
	Найти	расстояние s ( в км ) между посёлком и городом , если автобус двигался со скоростью v ( в км / ч ) .
5	Найти	время , за которое велосипедист преодолевает расстояние в 20 км , если движется со скоростью 8 км / ч .
4	Найти	расстояние , которое проходит путник за 3 ч , двигаясь со скоростью 4 км / ч .
	Найти	числовое значение алгебраического выражения .
1	Найти	значение выражения , если .
	Найти	значение х , при котором значение у равно .
	Найти	значение х , если .
25	Найти	в ряду натуральных чисел : 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
	Найти	значение каждой из функций Р(х ) и при .
	Найти	значение m при .
	Найти	тормозной путь этих автомобилей при скорости 60 км / ч .
	Найти	число способов расставить 8 ладей на шахматной доске так , чтобы они не могли бить друг друга .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы длиной 350 м за 26 с.	Найти	длину электрички и её скорость .
	Найти	периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
	Найти	площадь каждого участка .
	Найти	координаты вершин квадрата .
	Найти	: 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
	Найти	координаты точки D и построить квадрат .
	Найти	координаты точек .
	Найти	значение X , при котором значение у равно – 1 .
3	Найти	число граммов в центнере ; в тонне .
	Найти	собственную скорость движения катера и скорость реки .
	Найти	по графику путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены графики движения автомобиля и автобуса .
	Найти	допустимые значения букв , входящих в дробь .
	Найти	все значения х , при которых верно равенство .
	Найти	значение алгебраической дроби .
	Найти	последнюю цифру числа .
16	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
14	Найти	значение выражения .
12	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	длину и ширину участка прямоугольной формы .
	Найти	сторону первого квадрата .
	Найти	все пары целых чисел х и у , при которых справедливо равенство .
	Найти	все целые числа n , при которых дробь является целым числом .
	Найти	длину и ширину данного прямоугольника .
5	Найти	число , 35 % которого равны 140 .
4	Найти	48 % от числа 200 .
	Найти	координаты точки пересечения графика функции с графиком функции у равно 5 .
	Найти	числовые значения выражений при х равно 1 ; х равно 0 ; х равно – 8 .
	Найти	: 1 ) толщину льда через 2 суток ; 2 ) число суток , по прошествии которых толщина льда была 55 мм .
	Найти	координаты точек пересечения с осями координат прямой .
	Найти	произведение дробей .
	Найти	t .
	Найти	стоимость открытки .
	Найти	произведение одночленов .
	Найти	по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Найти по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 )	Найти	по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
	Найти	разность дробей .
	Найти	частное дробей .
	Найти	координаты точек пересечения прямой с осями координат .
	Найти	исходную дробь .
	Найти	скорость течения реки и собственную скорость теплохода .
	Найти	значение k , если известно , что график функции проходит через точку .
	Найти	частное .
	Найти	наименьшее общее кратное чисел .
	Найти	числовое значение выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить дробь .
	Найти	координаты точки их пересечения .
	Найти	число a .
	Найти	значения k и b , если известно , что график функции проходит через точки .
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3	Найти	периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
	Найти	стороны треугольника , если его периметр равен 36 см .
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см.	Найти	стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
	Найти	число .
	Найти	объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами .
	Найти	координаты точек пересечения графика с осями координат .
При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6 ° С. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 ° С.	Найти	формулу , выражающую изменение температуры Т воды в зависимости от времени t ( в минутах ) её нагревания .
32	Найти	значение числового выражения , используя законы и свойства арифметических действий .
	Найти	значение k , если график функции y проходит через точку .
2	Найти	: 1 ) 20 % от числа 250 ; 2 ) число , если 15 % его равны 60 .
	Найти	числовое значение многочлена .
	Найти	коэффициент k и заполнить таблицу : 1 ) Велосипедист движется со скоростью 10 км / ч .
	Найти	а и b .
	Найти	скорость лодки в стоячей воде , если она прошла всего 52,2 км , а скорость течения реки равна 3 км / ч . 2 ) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч .
	Найти	значения выражений .
	Найти	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями уравнения : ( Устно . )
	Найти	значение алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
	Найти	скорость лодки , если скорость течения реки равна 3,5 км / ч . 1 ) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить собственную скорость пловца , считая её постоянной от начала и до конца заплыва , если скорость течения реки равна 0,25 м / с . 2 ) Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению за 3 ч 30 мин , а против течения за 6 ч 18 мин .
	Найти	скорости поездов , если известно , что через 2 ч после начала движения расстояние между ними было 30 км . 2 ) Из городов А и В , расстояние между которыми 230 км , одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста .
	Найти	скорости мотоциклистов , если скорость одного на 10 км / ч меньше скорости другого .
	Найти	координаты точки пересечения стороны СЕ с осью Ох .
	Найти	площадь поверхности стены , занятой шкафами , размеры которых указаны .
	Найти	в словаре ( или в Интернете ) трактовку понятия коэффициент .
	Найти	значение многочлена .
	Найти	массу каждого из трёх первых искусственных спутников Земли .
	Найти	координаты точки пересечения стороны АВ с осью Оу .
	Найти	сумму и разность многочленов .
	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	произведение многочлена и одночлена .
	Найти	« столбиком » разность многочленов .
	Найти	: 1 ) 30 % от числа 60 ; 2 ) число , 30 % которого равны 60 .
6	Найти	значение числового выражения .
	Найти	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями уравнения .
	Найти	площадь прямоугольника со сторонами .
	Найти	числовое значение одночлена .
	Найти	: 1 ) значение у при ; 2 ) значение х , если у. Построить график зависимости у от х .
	Найти	: 1 ) значение у при ; 2 ) значение х при .
	Найти	у и значение х , при котором значение функции равно 89 .
	Найти	n , если .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В.	Найти	площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
2	Найти	время движения лодки между пристанями А и В по течению и против течения реки , если расстояние АВ равно 45 км , скорость лодки — 7 км / ч , а скорость течения реки — 2 км / ч .
	Найти	k и b .
	Найти	эти числа .
	Найти	значение х , при котором разность выражений равна выражению .
	Найти	число , если 40 % его равны 96 .
	Найти	15 % от 300 кг .
	Найти	значение выражения .
	Найти	значение одночлена .
	Найти	количество витков пружины , если зазор между витками пружины должен составлять 8 мм .
	Найти	длину участка .
	Найти	три последовательных нечётных числа , сумма которых равна 81 .
	Найти	длину и ширину участка .
	Найти	значение одночлена при .
	Найти	площадь данного прямоугольника .
	Найти	с1 , и с2 .
	Найти	шестую степень числа , если : 1 ) его квадрат равен ;
	Натуральное	число , которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
	Натуральное	число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число .
	Натуральное	число N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
	Натуральное	число называют составным , если оно имеет более двух делителей .
	Натуральное число	N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
	Натуральное число	, которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
	Натуральное число	называют составным , если оно имеет более двух делителей .
	Натуральное число	называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число .
	Натуральные	числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 .
1	Натуральные	числа .
	Натуральные	числа и дроби , большие нуля , называют положительными числами .
	Натуральные	числа , числа им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
1	Натуральные числа	.
	Натуральные числа	, числа им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
	Натуральные числа	и дроби , большие нуля , называют положительными числами .
	Натуральные числа	называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 .
	Необходимое	число часов сна для человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле , где х — возраст в годах , у — число часов сна .
	Неправильную дробь	, у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
	Нуль	не относят к натуральным числам .
	Обратная	пропорциональность у равно — представлена таблицей .
2	Обыкновенные дроби	.
	Одночлен	.
11	Одночлен	.
	Одночлен	считают многочленом , состоящим из одного члена .
Сократить дробь : 1 )	Одночлены	имеют общий множитель 4ab .
	Оператор	на компьютере за восьмичасовой рабочий день может набрать р страниц текста .
	Описать	связь взаимного расположения прямых и числа решений системы соответствующих уравнений .
	Определители	второго порядка и правило Крамера .
	Ордината	точки пересечения и даст соответствующее значение функции .
	Ордината	этой точки равна 0 .
	Основание	степени .
	Остаток	всегда меньше делителя .
	Отнимем	от обеих частей последнего равенства число а2 .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго .
3	Отношения	и пропорции .
	Периметр	прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
	Периметр	равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
	Плоскость	, на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью .
	Площадь	S треугольника находят по формуле , где а — основание треугольника , h — его высота .
	Площадь	земельного участка , имеющего форму квадрата , на 700 м2 больше площади другого участка , имеющего прямоугольную форму .
	Площадь	прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см. Найти другую сторону прямоугольника .
	Площадь	этого прямоугольника равна .
	Поверхность	земного шара составляет более 510 млн км2 , объём Земли свыше 1000 млрд км3 .
	Поверхность	стены , занятая шкафами , является прямоугольником .
	Подобные	одночлены подчеркнём двумя чертами .
	Подобных	одночлену нет , его подчёркивать не будем .
	Показатель	степени .
	Поле	имело форму прямоугольника , длина которого равна а километрам , ширина — b километрам .
1	Полный граф	.
	Порядок	действий 8 Правила раскрытия скобок .
	Правая	часть равенства оказалась равной левой части , равенство доказано .
	Приведя	подобные члены , получим .
	Приведя	дроби к общему знаменателю , найдём .
	Приведём	подобные члены в обеих частях этого равенства , получим .
	Приведём	ещё примеры алгебраических сумм .
	Привести	пример выражения , содержащего слагаемое , подобное 12а .
	Привести	пример применения правила произведения для подсчёта комбинаций из трёх ; четырёх элементов .
	Привести	к стандартному виду многочлен .
	Привести	дроби к общему знаменателю .
	Привести	к стандартному виду одночлен .
	Привести	к общему знаменателю дроби .
	Привести	пример упрощения вычислений с помощью формулы разности квадратов .
	Привести	к общему знаменателю дроби Разложим на множители знаменатели дробей .
	Привести	к общему знаменателю .
	Привести	алгебраические дроби общему знаменателю .
	Привести	подобные слагаемые .
	Привести	пример системы двух линейных уравнений : 1 ) имеющей единственное решение ; 2 )
	Привести	подобные члены .
	Привести	пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
	Привести	многочлен к стандартному виду .
	Привести	примеры линейных уравнений .
	Привести	многочлен к стандартному виду и выяснить , при каких значениях х его значение равно 1 : 1 ) Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди , 2 части цинка и одна часть олова .
3	Привести	формулы чётного и нечётного чисел .
	Привести	к многочлену стандартного вида произведение .
2	Привести	пример верного ; неверного числового равенства .
3	Привести	примеры числовых и алгебраических выражений .
3	Привести	числовые примеры применения каждого из свойств действий со степенями .
	Привести	пример : 1 ) одночлена , который не делится на одночлен ;
	Привести	примеры применения правила произведения для подсчёта пар элементов .
	Произведение	первого и второго чисел на 34 меньше квадрата третьего .
Рассмотрим утверждение : «	Произведение	любых двух натуральных чисел есть число чётное » .
	Произведение	двух чисел , одно из которых чётное , само будет чётным .
	Произведение	первых n натуральных чисел в математике обозначают n ! ( читается « эн факториал » ) .
	Произведение	числовых и буквенных множителей называют одночленом .
	Пропорциональная	зависимость прямая .
	Пропорциональная	зависимость обратная .
	Пропорцию	записывают в виде .
	Противоположные числа	— это два числа , сумма которых равна нулю .
	Процентом	называется одна сотая часть .
5	Проценты	.
	Прямая	ОА проходит через начало координат и точку .
	Прямая	, проходящая через точки , является графиком функции .
	Прямая	пропорциональная зависимость — частный случай функции , где х — любое число .
	Прямая	пропорциональная зависимость площади S прямоугольника от его ширины х представлена таблицей .
29	Прямоугольная	система координат на плоскости .
	Прямые	углы , образуемые осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
2 )	Прямые	параллельны , не имеют общих точек .
	Прямые углы	, образуемые осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
	Путь	, пройденный лодкой по течению , оказался на 13,2 км длиннее пути , пройденного против течения .
	Путь	от фермы до города идёт сначала горизонтально , а затем в гору .
	Равенства	называют формулами суммы и разности кубов .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Равенство	, содержащее неизвестное число , обозначенное буквой , называется уравнением .
	Разделив	на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
	Разделив	массу камня на его объём , получим искомую плотность .
	Разделив	числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
	Разделив	обе части последнего равенства на 4 , найдем а равно 3 .
	Разделить	разность многочленов .
Глава IV	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители многочлена .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложить	многочлен на множители удалось потому , что все члены этого многочлена имеют общий множитель а .
	Разложить	на множители многочлен и найти его числовое значение при .
	Разложить	на множители многочлен .
	Разложить	на множители числитель и знаменатель дроби и сократить её .
	Разложить	на множители каждое из выражений .
	Разложить	многочлен на множители .
	Разложить	данное выражение на множители .
	Разложить	на множители трёхчлен .
	Разложить	многочлен на множители и результат проверить умножением .
	Разложить	на множители .
	Разносторонняя	научная деятельность Исаака Ньютона .
	Разность	квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
	Разность	кубов каких двух последовательных натуральных чисел равна 331 ? .
	Разность	квадратов .
6	Рациональные	числа .
6	Рациональные числа	.
	Ребро	куба равно k сантиметров .
	Решение	задач с помощью систем уравнений .
	Решение	системы .
	Решение	задачи 1 можно записать иначе .
	Решение	уравнений в Древней Индии .
	Решение	систем линейных уравнений в Древнем Китае .
8	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	систем линейных уравнений с тремя неизвестными .
	Решение	уравнений в Древней Греции .
	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	этой задачи выглядит следующим образом .
	Решение	систем линейных уравнений в Древней Индии .
	Решение	очевидно : а равно 9 ; b равно 8 .
	Решение	многих практических задач сводится к решению уравнений , которые можно преобразовать в уравнение вида , где а и b — заданные числа , х — неизвестное .
	Решение	системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат точки пересечения .
7	Решение	уравнений с одним неизвестным , сводящихся к линейным .
	Решением	системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство .
	Решением	уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство .
	Решений	нет .
	Решения	уравнений с одним неизвестным , которые сводятся к линейным , основаны на свойствах верных равенств .
	Система	уравнений — пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
	Система	координат прямоугольная .
	Система	имеет единственное решение .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : «	Система	( от греческого слова σύστημα — целое , составленное из частей ) — это множество элементов , находящихся в отношениях и связях друг с другом , образующих целостность , единство » .
	Система	двух уравнений с двумя неизвестными .
	Система координат	прямоугольная .
	Системы	уравнений в древнекитайском трактате .
Глава VII	Системы	двух уравнений с двумя неизвестными .
	Системы	уравнений .
	Складывая	затем число при каждой вершине с числом на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
	Складывая	эти уравнения , находим .
	Скобки	в числовом выражении указывают на порядок выполнения действий .
	Сложение	алгебраических дробей .
1	Сложение	и умножение .
	Сложение	многочленов .
	Сложение	столбиком начинается с разряда единиц .
	Сложение	и вычитание алгебраических дробей .
	Сложение	и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
	Сложение	.
15	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложить	дроби .
	Смешанное число	можно представить в виде неправильной дроби .
	Собственная	скорость моторной лодки и километров в час , а скорость течения реки километров в час .
	Собственная	скорость движения катера 25 км / ч , скорость течения реки 5 км / ч .
28	Совместные	действия над алгебраическими дробями .
	Сократить	дробь и найти её значение при .
	Сократить	дробь .
Найти числовое значение выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 )	Сократить	дробь .
	Сократить	дробь : 1 ) Одночлены имеют общий множитель 4ab .
	Сократить	дробь ;
известный в	Средней	Азии учёный Мухаммед бен Мусса ал - Хорезми .
Цейтен И. Г. История математики в древности и в	Средние	века : пер. с франц .
Помните , я рассказывал вам о методе ложного положения , которым пользовались в	Средние	века для решения одного линейного уравнения ?
В	Средние	века мусульманские и христианские народы были разобщены .
В	Средние	века алгоритмом называли любой научный труд , в котором решались вопросы арифметики , вычислений .
	Степени	бинома .
	Степень	многочлена .
	Степень	числа .
Выражение аn читается так : «	Степень	числа а с показателем я » — или коротко : « а в степени я » .
	Степень	одночлена .
9	Степень	с натуральным показателем .
	Степенью	числа а с натуральным показателем я , большим 1 , называется произведение я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
	Степенью	числа а с показателем 1 называется само число а .
	Сторона	первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
	Сторона	квадрата равна а единиц .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 10 .
	Сумма	вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на р% .
	Сумма	трёх этих чисел равна , где p равно .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 12 .
	Сумма	цифр задуманного числа равна .
	Сумма	двух чисел равна 30 .
	Сумма	цифр двузначного числа меньше 10 .
	Тело	движется равномерно со скоростью 4 км / ч . 1 )
	Тело	, двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном пути ? .
	Точка	пересечения этих перпендикуляров — искомая точка М .
	Точка	графика с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
	Третью	цифру к уже двум имеющимся можно было , согласно правилу произведения , приписать способами , существует всевозможных трёхзначных чисел , записанных с помощью цифр 0 , 1 и 2 .
	Третья	часть от 3 равна 1 , да ещё само число , получается 4 .
«	Треугольник	» коэффициентов похож на равнобедренный .
	Треугольные	числа .
	Умножая	обе части этого уравнения на 105 ( наименьшее общее кратное чисел 21 и 15 ) , получаем откуда x равно 17,5 .
	Умножая	числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	нескольких многочленов нужно делать поочерёдно , например .
16	Умножение	многочлена на одночлен .
12	Умножение	одночленов .
27	Умножение	и деление .
	Умножение	и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
	Умножение	.
	Умножение	алгебраических дробей .
	Умножение	одночлена на многочлен производится по тому же правилу , так как при перестановке множителей произведение не меняется , например .
	Умножение	многочлена на одночлен .
	Умножение	одночлена на одночлен .
	Умножение	степеней с одинаковыми основаниями .
	Умножение	многочленов столбиком .
	Умножив	обе части уравнения на общий знаменатель дробей , т .
	Умножив	обе части этого равенства на b , получим верное равенство .
	Умножим	первое уравнение системы на 2 .
	Умножим	сумму двух чисел на их разность .
	Умножить	число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
	Умножить	и разделить данное выражение на , затем 5 раз применить формулу , получится .
	Умножить	дроби .
	Уравнение	.
	Уравнение	первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнение	линейное .
	Уравнение	называют линейным уравнением .
	Уравнение	имеет три корня : 3 , – 4 и 5 .
	Уравнение	может иметь бесконечно много корней .
	Уравнение	может и не иметь корней .
	Уравнение	является примером уравнения первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнение	можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому графиком уравнения является прямая .
3	Уравнение	и его корни .
	Уравнение	может иметь два корня , три корня и т .
	Уравнение	вы могли решить ещё в 6 классе .
	Уравнением	первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю .
Глава II	Уравнения	с одним неизвестным .
	Уравнения	такого вида решались ещё в древности при астрономических и календарных расчётах .
	Уравнения	первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнения	вида с часто называют линейными уравнениями с двумя неизвестными .
	Фокус	с угадыванием задуманного числа .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): «	Функцией	переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
	Функция	задана формулой .
	Функция	.
2	Функция	может быть задана таблицей , например .
1	Функция	может быть задана формулой .
3	Функция	может быть задана графиком .
	Функция	линейная .
	Функция	y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
	Функция	и её график .
	Функция	может быть задана различными способами .
1	Функция	задана формулой у.
2	Функция	задана формулой у.
	Функция	у(х ) задана графиком .
	Функция	y задана таблицей .
	Функция	задана формулой , где s — путь ( в км ) и t — время ( в ч ) .
	Функция	у задана графиком .
30	Функция	.
Очевидно , например , что . 2 )	Целая	часть числа — наибольшее целое число , не превосходящее .
	Числа	, оканчивающиеся на 0 , 1 , 5 или 6 , после возведения в любую степень дают число , оканчивающееся той же цифрой .
Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m.	Числа	, которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
	Числа	, которые складывают , называют слагаемыми ; число , получающееся при сложении этих чисел , называют их суммой .
	Числа	они изображали в виде точек ( иногда выкладывали их камешками ) , группируя их в разные фигуры .
	Числа	от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами , числа от 10 до 90 ( через десяток ) — следующими девятью буквами , а числа от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
	Числа	, противоположные положительным числам , называют отрицательными числами .
	Числитель	— это сравнительно с другими — достоинства человека ; знаменатель — это оценка самого себя .
	Числитель	этой дроби , а её знаменатель .
	Число	сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц .
Век ;	Число	городов .
	Число	очков на I кости .
	Число	очков на II кости .
	Число	в 2 раза больше , чем число рёбер , так как при таком подсчёте каждое ребро учитывается дважды .
	Число	aba представим в виде суммы разрядных слагаемых .
	Число	страниц в двух книгах равно .
	Число	букв на каждой странице равно nm .
	Число	способов будет таким же , как и в задаче 2 .
	Число	делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
	Число	, из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , — вычитаемым .
	Число	.
	Число	же , записанное перед алгебраической дробью , означает их произведение , например .
	Число	, которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное число , называют рациональным числом .
	Число	3 здесь 8 называют числителем , а число 8 — знаменателем дроби .
	Число	12 имеет много делителей : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , что в практике важно .
	Число	50 называют корнем данного уравнения .
	Число	1 имеет один делитель — само это число .
Читается : «	Число	перестановок из эн элементов » , или « пэ из эн » .
	Число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 36 больше данного числа .
	Число	городов в России с веками увеличивалось .
	Число	а , если р% его равны числу b , находится по формуле .
	Число	, написанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 54 больше данного числа .
	Число	, которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
	Число	b , которое составляет р% от числа а , находится по формуле .
	Число	4350 содержит 4 тысячи , 3 сотни , 5 десятков и 0 единиц .
	Число	всевозможных перестановок из n элементов находят ( применив n минус один раз правило произведения ) так .
18	Число	содержит 4 сотни , b десятков и с единиц .
	Число	12 , в народе называемое дюжиной , у многих людей в разные времена пользовалось особой любовью и было положено в основу двенадцатеричной системы счисления .
	Член	многочлена .
	Член	уравнения . 1 )
	Членами	многочлена служат одночлены второй степени , четвёртой и третьей степеней .
	Ширина	участка 150 м , а длина всего забора 1 км .
	Ширина	прямоугольника на 15 м меньше его длины .
	Ширина	прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
	Ширина	каждой буквы и каждого просвета между словами в 2 раза больше просвета между буквами .
Если точка лежит на оси	абсцисс	, то её ордината равна нулю .
Ось	абсцисс	.
Определить , какая пара точек симметрична относительно : 1 ) оси	абсцисс	; 2 ) оси ординат ; 3 ) начала координат .
На оси	абсцисс	отмечены номера месяцев .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси	абсцисс	от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Какие особенности при записи координат имеют точки , лежащие : на оси	абсцисс	; на оси ординат ? .
На оси	абсцисс	отметим точку с координатой – 3 и проведём через неё перпендикуляр к этой оси .
Поэтому графиком этой функции является прямая , совпадающая с осью	абсцисс	.
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси	абсцисс	с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Итак , точка пересечения графика с осью	абсцисс	имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Найдём точку пересечения графика с осью	абсцисс	.
Так как	абсцисса	этой точки равна 0 , то у равно 4 .
В этой главе вы узнали , что такое : —	абсцисса	и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Что такое	абсцисса	точки М ; ордината точки М ? .
Если точка лежит на оси ординат , то её	абсцисса	равна нулю .
Например , в записи М(3 ; 5 ) число 3 —	абсцисса	, число 5 — ордината точки М .
Доказать , что отношение ординаты любой точки полученного графика к её	абсциссе	равно 4 .
Точка графика с	абсциссой	имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же	абсциссой	.
Назвать	абсциссу	и ординату точки .
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. Запись М(х ; у ) означает , что точка М имеет	абсциссу	х и ординату у.
Начало координат имеет	абсциссу	и ординату , равные нулю .
Сравнить с нулём	абсциссу	х и ординату у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Декарт при описании метода координат рассматривал изменение ординаты у точки , описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений	абсциссы	х этой точки .
После 2 ч работы	автомат	выполнил шестичасовую норму рабочего .
В цехе поставили	автомат	, производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего .
Какова производительность	автомата	? .
В своём трактате « Китаб ал - джабр ва - л - мукабала » ( от второго слова из названия трактата произошло слово	алгебра	) ал - Хорезми написал , что алгебра — это искусство решать уравнения .
В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков , причём обязательно один сдвоенный урок —	алгебра	.
Яглом И. М. Брошюры серии « Популярные лекции по математике » : Необыкновенная	алгебра	И. М. Яглом .
Помнишь , я рассказывал о том , что	алгебра	очень долго не отделялась от геометрии , пользовалась её терминами и наглядными образами ? .
Вы говорили нам , что	алгебра	выросла из практических задач геометрии .
В своём трактате « Китаб ал - джабр ва - л - мукабала » ( от второго слова из названия трактата произошло слово алгебра ) ал - Хорезми написал , что	алгебра	— это искусство решать уравнения .
Арифметика и	алгебра	Н. Н. Ченцов , Д. О. Шклярский , И. М. Яглом .
Профессор , во введении к главе сказано , что	алгебра	— это искусство решать уравнение , а также , что название алгебры связано со вторым словом в заголовке книги ал - Хорезми « Китаб ал - джабр ал - мукабала » .
Как говорилось во введении ,	алгебра	выросла из арифметики и обобщила с помощью букв свойства чисел и правила действий с ними .
А ты не забыла , что	алгебра	и геометрия помогали друг другу развиваться ?
Первоначально	алгебра	многие свои обоснования проводила с помощью геометрии .
Оба приёма основаны на одинаковых принципах и ведут к одной цели , причём арифметика — частным путём ,	алгебра	же — всеобщим » .
Перельман Я. И. Занимательная	алгебра	Я. И. Перельман .
Так как	алгебра	выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и равенств .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; —	алгебраическая сумма	; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Если к алгебраическому выражению прибавляется	алгебраическая сумма	, заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Если из алгебраического выражения вычитается	алгебраическая сумма	, заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Многочленом называется	алгебраическая сумма	нескольких одночленов .
Такое упрощение многочлена , при котором	алгебраическая сумма	подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
Ему вы и научитесь в этом параграфе , предварительно узнав , что такое	алгебраическая сумма	.
В равенствах а , b — любые числа или	алгебраические выражения	, например .
Ньютон называл буквы , знаки действий ,	алгебраические выражения	и уравнения языком алгебры .
Так записывали	алгебраические выражения	в наших школах во второй половине XX в .
Именно поэтому важно уметь упрощать	алгебраические выражения	.
При решении различных задач часто встречаются	алгебраические выражения	вида .
В равенствах а и b — любые числа или	алгебраические выражения	, например .
В алгебре часто рассматриваются	алгебраические выражения	, представляющие собой сумму или разность одночленов .
В алгебраической дроби числитель и знаменатель —	алгебраические выражения	.
Обычно	алгебраические суммы	вида записывают короче так .
С простейшими	алгебраическими выражениями	вы уже встречались .
Впервые действия с	алгебраическими выражениями	( в том числе с алгебраическими дробями ) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Свойства действий применяются также для преобразования	алгебраических выражений	с целью их упрощения .
Алгебраическая сумма — это запись , состоящая из нескольких	алгебраических выражений	, соединённых знаками « + » или « – » .
В этом параграфе продолжается изучение формул сокращённого умножения , упрощающих преобразования	алгебраических выражений	.
В этом параграфе будут разобраны примеры использования	алгебраических выражений	для записи алгебраических равенств , уравнений и формул .
3 Привести примеры числовых и	алгебраических выражений	.
Приведём ещё примеры	алгебраических выражений	.
Вы уже поняли , что с помощью	алгебраических выражений	можно описывать в общем виде реальные процессы , закономерности геометрии и физики .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений	алгебраических выражений	.
Изучаемый в этой главе материал ( запись формул , преобразование	алгебраических выражений	, раскрытие скобок ) позволяет ставить и решать непростые и интересные задачи .
Когда в I главе вы занимались с преобразованиями	алгебраических выражений	, уже тогда выполняли действия с одночленами и многочленами .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений	алгебраических выражений	при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Упрощение записей	алгебраических выражений	— одно из самых важных алгебраических умений .
Два	алгебраических выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют алгебраическое равенство .
24 Указать , какие числовые значения могут принимать буквы а и b в	алгебраических выражениях	.
В	алгебраических выражениях	встречаются и буквы .
Вы поймёте , почему буквы в	алгебраических выражениях	не всегда могут принимать любые значения .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в	алгебраических выражениях	с помощью скобок объединяют слагаемые в группы .
Приведём ещё примеры	алгебраических сумм	.
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	, предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
Это пример	алгебраического выражения	.
Найти числовое значение	алгебраического выражения	.
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение	алгебраического выражения	равно 2 при любом значении а .
Записать в виде	алгебраического выражения	: 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
16 Найти значение	алгебраического выражения	.
Записать в виде	алгебраического выражения	: 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Если из	алгебраического выражения	вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия	алгебраического выражения	и значения алгебраического выражения .
12 Найти значение	алгебраического выражения	.
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	при а равно 10 , b равно 5 .
4 Что называют значением	алгебраического выражения	? .
Иногда при разложении	алгебраического выражения	на множители за скобки выносят многочлен .
Числовое значение	алгебраического выражения	.
Например , значение	алгебраического выражения	равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным нулю значение	алгебраического выражения	? .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	.
Условимся в дальнейшем при делении на	алгебраическое выражение	считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Если вместо каждой буквы , входящей в	алгебраическое выражение	, подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения .
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же	алгебраическое выражение	получается равная ей дробь , например .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить	алгебраическое выражение	, а затем вычислить его значение более рациональным способом .
Что такое допустимые значения букв , входящих в	алгебраическое выражение	? .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и	алгебраическое выражения	; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в	алгебраической сумме	слагаемыми являются .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в	алгебраической сумме	слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
В	алгебраической сумме	слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
Выражение называют	алгебраической суммой	.
1 Что называют	алгебраической суммой	? .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой	алгебраической суммы	.
Нужно вспомнить : понятие	алгебраической суммы	; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
3 Сформулировать правила заключения в скобки	алгебраической суммы	, если перед скобками ставится знак « + » ; знак « – » .
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие	алгебраической суммы	; решение линейных уравнений с одним неизвестным .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой	алгебраической суммы	на противоположный .
Если к	алгебраическому выражению	прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Заменяя вычитание сложением ,	алгебраическую сумму	можно записать по - другому .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать	алгебраическую сумму	в скобки .
Точно так же любую	алгебраическую сумму	многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Чтобы записать	алгебраическую сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены .
Что нужно сделать , чтобы записать	алгебраическую сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида ?
Записать	алгебраическую сумму	чисел .
Упростить	алгебраическую сумму	многочленов .
1 Что в	алгебре	подразумевают под буквами ? .
Следует сказать , что в	алгебре	двучлен часто называют биномом ( от лат .
В своей книге « Всеобщая арифметика » , изданной в 1707 г. , знаменитый английский учёный Исаак Ньютон ( 1642–1727 ) писал : « Вычисления производятся либо при помощи чисел , как в обыкновенной арифметике , либо при помощи букв , как в	алгебре	.
Геометрия помогает	алгебре	.
Математические софизмы в	алгебре	.
Поэтому материал этой главы , посвящённый использованию букв в	алгебре	, будет понятен всем — представляйте лишь , что за буквами спрятаны числа .
Какие скобки использовались в арифметике и	алгебре	? .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в	алгебре	, например , при сложении и вычитании многочленов столбиком .
В	алгебре	одна и та же буква может принимать различные числовые значения .
Наверное , многочленам в	алгебре	уделяется много внимания ? .
В	алгебре	часто рассматриваются алгебраические выражения , представляющие собой сумму или разность одночленов .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в	алгебре	подразумеваются числа , при этом в одном выражении одной буквой обозначают одно и то же число .
Буквенную символику , похожую на ту , которой сегодня пользуются в	алгебре	, ввёл известный французский математик Франсуа Виет ( 1540–1603 ) .
Действия с обыкновенными и алгебраическими дробями не имеют существенных различий , так как в	алгебре	под буквами подразумеваются числа .
А так как в	алгебре	не всегда получалось деление нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические дроби .
Профессор , а почему на занятиях	алгеброй	Вы так много говорите о геометрии ? .
Он решил написать трактат по астрономии , а для этого ему пришлось всерьёз заняться	алгеброй	и другими разделами математики .
Введение в	алгебру	в учебнике Л. Ф. Магницкого « Арифметика » .
Похожей на эту риторическую	алгебру	была наука и в Европе .
Составляя расписание уроков на понедельник для 7А класса , завуч хочет первым уроком поставить либо физику , либо	алгебру	, а вторым — либо русский язык , либо литературу , либо историю .
Чтобы успешно изучать	алгебру	, нужно знать свойства арифметических действий ( сложения , вычитания , умножения , деления ) .
В это же время были введены в	алгебру	термины « коммутативный » ( от латинского commutare — менять , перемещать ) и « дистрибутивный » ( от латинского distributus — разделённый , распределительный ) .
Как геометрией доказывали	алгебру	.
А от функций и уравнений можно через	алгебру	переходить в геометрию и возвращаться обратно .
Профессор , во введении к главе сказано , что алгебра — это искусство решать уравнение , а также , что название	алгебры	связано со вторым словом в заголовке книги ал - Хорезми « Китаб ал - джабр ал - мукабала » .
Ньютон называл буквы , знаки действий , алгебраические выражения и уравнения языком	алгебры	.
Вклад Диофанта в развитие	алгебры	.
говорил : « Основная задача	алгебры	— решение уравнений » .
Исследование многочленов составляет основу теории решения различных уравнений — важнейшей содержательной линии курса	алгебры	.
Действительно , существует большая ветвь	алгебры	под названием « Алгебра многочленов » .
Кто ввёл это понятие в курс	алгебры	? .
Алгоритм — это латинизированный перевод имени ал - Хорезми , одного из основоположников	алгебры	.
Тем не менее учебником Магницкого , в котором были изложены и основы	алгебры	, пользовались в российских школах более полувека .
Такие задачи исторически развивали язык	алгебры	и совершенствовали методы решения уравнений .
Вклад Рене Декарта в освобождение	алгебры	от влияния геометрии .
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных понятий	алгебры	— многочленом .
Рекомендуемая литература к курсу	алгебры	7–9 классов .
Труды таких известных учёных , как ал - Хорезми ( VIII – IX вв . ) , Омар Хайям ( ок . 1048 — после 1122 ) , ал - Каши ( XIV – XV вв . ) и др. , способствовали развитию	алгебры	.
Астрономический трактат Виет так и не дописал , зато его алгебраические труды , которыми он занимался ради астрономии , оказали существенное влияние на развитие	алгебры	.
Та формула , с которой я хочу вас познакомить , требует предварительного рассказа о тесной связи	алгебры	, арифметики и геометрии .
Да , но это была геометрия , изложенная языком	алгебры	.
Упражнения для повторения курса	алгебры	VII класса .
Поговорим о связях отдельных тем и понятий внутри	алгебры	.
О внутрипредметных связях в курсе	алгебры	.
За это его часто называют отцом	алгебры	.
Эта книга вышла в свет в 1707 г. и явилась продолжением и завершением трудов Виета , Декарта и других учёных в становлении современной	алгебры	.
История становления	алгебры	.
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника	алгебры	: кн .
Отец	алгебры	Ф. Виет .
Он отождествлял функцию с её	аналитическим	выражением , с формулой .
Заполнить таблицу значений функции при заданных значениях	аргумента	.
вплотную подошёл к представлению о функциях любого	аргумента	.
Полученное уравнение имеет	бесконечное множество	решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Я вспомнил , что мой старший брат в сочетании со словом	бином	произносит фамилию Ньютона .
Халамайзер А. Я. Комбинаторика и	бином	Ньютона : пособие для учащихся 9–10 кл .
Степени	бинома	.
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для разложения	бинома	, где а — любое , не только натуральное число .
Формула разложения	бинома	действительно носит имя Ньютона , и вполне заслуженно .
А если ты понял , как ведут себя показатели степеней а и b в слагаемых многочлена , то сможешь записать результат возведения	бинома	в 6-ю степень .
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения	бинома	в степень называют биномиальными коэффициентами .
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения бинома в степень называют	биномиальными	коэффициентами .
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом треугольнике » описал теорию составления треугольника	биномиальных	коэффициентов .
Ат - Туси составил таблицу для вычисления	биномиальных	коэффициентов в форме треугольника .
История создания треугольной таблицы	биномиальных	коэффициентов .
Следует сказать , что в алгебре двучлен часто называют	биномом	( от лат .
3	варианта	.
С помощью таблицы	вариантов	перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей вариантов , перечислить все двузначные числа , в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих чисел .
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m	вариантов	выбора второго элемента , то всего существует n×m различных пар с выбранными первым и вторым элементами .
С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей	вариантов	, перечислить все двузначные числа , в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих чисел .
Таблица	вариантов	.
Пользуясь таблицей	вариантов	, перечислить все двузначные числа , записанные с помощью цифр : 1 ) 3 , 4 , 5 ; 2 ) 7 , 8 , 9 .
Если существует n	вариантов	выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента , то всего существует n×m различных пар с выбранными первым и вторым элементами .
Комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта	вариантов	стала нуждаться новая математическая теория — теория вероятностей .
Для подсчёта числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица	вариантов	.
Таблица	вариантов	и правило произведения .
Сколько существует различных	вариантов	покупок для этих девочек ?
Перебор	вариантов	можно организовать следующим образом .
В задаче 2 пары АБ и БА были различными парами , так как нас интересовал и порядок рассаживания мальчиков ( поэтому в задаче 2	вариантов	было в 2 раза больше , чем в задаче 1 ) .
6	вариантов	.
Для удобства перечисления всех возможных	вариантов	рассаживания друзей будем записывать лишь первые буквы их имён .
Сколько у друзей есть	вариантов	( способов ) занять эти два места на стадионе ?
Учёные выделили основные типы комбинаторных задач , к которым сводятся многие проблемы перечисления и подсчёта комбинаций ,	вариантов	.
Удобство использования таблицы	вариантов	для подсчёта различных комбинаций из двух элементов рассмотрим при решении задач .
Сколько существует	вариантов	составления расписания на первые два урока ? .
Нужно вспомнить : сравнение натуральных чисел ; практические ситуации перебора	вариантов	.
60	вариантов	обедов .
Сколько различных	вариантов	расписания уроков может составить завуч на пятницу , если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы , истории и физики ? .
Сколько существует	вариантов	заполненных клеток после : 1 ) двух ходов ; 2 ) трёх ходов ; 3 ) четырёх ходов ? .
Сколько различных ( по сочетанию видов овощей )	вариантов	салатов можно приготовить ? .
Сколько существует	вариантов	такой покупки ?
Сколько различных	вариантов	обедов , состоящих из одного первого , одного второго и одного третьего блюда , можно составить из предложенного меню ? .
Дерево	вариантов	даёт наглядное представление о том , как применяется правило произведения для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 , числа элементов .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом	вариантов	.
Какое наибольшее число различных	вариантов	распределения медалей могли выдвинуть болельщики ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери	вариантов	перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Нередко подсчёт	вариантов	облегчают графы .
Подсчёт	вариантов	с помощью графов .
Сколько существует различных	вариантов	посещения футбольного матча для троих друзей ?
Сколько существует различных	вариантов	такого выбора двух мелков ? .
Сколько разных ( по сочетанию видов фруктов )	вариантов	компотов может сварить мама , если у неё имеется 7 видов фруктов ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора	вариантов	; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Записать все эти	варианты	.
Перечислить все возможные	варианты	установки в каждую вазу каждого букета .
Внешне отличные от него	варианты	квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Действительно , если к каждой паре мальчиков из записи , сидящих на 1-м и 2-м местах , добавить на 3-е место их друга , то будут составлены всевозможные	варианты	рассаживания мальчиков по трём местам .
Перечислить все	варианты	выбора лесником пары собак .
Перечислить все	варианты	, которыми это можно сделать .
Перечислить все возможные	варианты	обедов из трёх блюд ( одного первого , одного второго и одного третьего блюда ) , если в меню столовой имеются два первых блюда : щи ( щ ) и борщ ( б ) ; три вторых блюда : рыба ( р ) , гуляш ( г ) и плов ( n ) ; два третьих : компот ( к ) и чай ( ч ) .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных	величин	: пути от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества единиц товара ( при установленной цене за единицу ) , массы тела от объёма вещества и т .
В практике приходится находить среднее арифметическое любого количества однородных	величин	.
Исследование общих зависимостей двух	величин	связывают с именем французского учёного XIV в .
Их находят для того , чтобы легче было сравнивать числовые характеристики больших наборов схожих	величин	.
И было оно связано в основном с изменениями геометрических , физических и астрономических	величин	, с земельными расчётами , с ценами на товары и т .
Этот вид имеет важное значение для оценки и сравнения различных	величин	в естествознании и на практике .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих	величин	( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Учёные с древних времён наблюдали за взаимосвязями различных	величин	и пытались описывать эти связи формулами .
Если значения двух	величин	выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Буквенные обозначения	величин	используются в науке и , соответственно , в школьных предметах : в геометрии , физике , химии , информатике .
У всех изменений есть свои причины , а каждая изменяющаяся	величина	меняется потому , что что - то тоже становится другим .
Первые представления о зависимых переменных были связаны с геометрическими и физическими	величинами	.
Как я уже говорил , зависимости между	величинами	в древности не называли функциями , но их уже рассматривали .
е . приходится иметь дело с переменными	величинами	.
А для простейших практических задач в действиях со многими реальными физическими и геометрическими	величинами	им вполне хватало первого координатного угла .
А можно попробовать оценить	величину	этой суммы , сравнив её с каким - нибудь числом .
Напомню , что Декарт первым ввёл понятие переменной	величины	.
Всегда ли неизвестными обозначают	величины	, которые требуется найти в задаче ?
Учёные Древней Греции представляли	величины	не числами или буквами , а отрезками , которые обозначали буквами .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной	величины	и постоянных » .
Исторически понятие функции возникло одновременно с понятием переменной	величины	.
Профессор , а зачем нужно находить средние	величины	? .
Понятие функции , с которым вам предстоит познакомиться в этой главе , появилось одновременно с понятием переменной	величины	.
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной	величины	называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
Букву как обозначение неизвестной	величины	ввёл Диофант .
Комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта вариантов стала нуждаться новая математическая теория — теория	вероятностей	.
Сколько различных пар очков может появиться на	верхних гранях	костей ? .
Построить прямоугольник по координатам его	вершин	.
Найти : Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его	вершин	n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
При этом с помощью	вершин	изображают элементы некоторого множества ( предметов , людей , чисел ) , а с помощью рёбер — определенные связи между этими элементами .
Сколько рёбер имеет полный граф , у которого 25	вершин	? .
Решим задачу с помощью полного графа , имеющего n	вершин	.
Построить треугольник по координатам его	вершин	.
Найти координаты	вершин	квадрата .
Упражнения к главе VI . 1 ) Построить треугольник АВС по координатам его	вершин	.
Предлагают около	вершин	треугольника записать произвольные числа , например числа 2 , 6 и 7 .
Построить треугольник DCE по координатам его	вершин	.
Найти : Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая	вершина	соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
Складывая затем число при каждой	вершине	с числом на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
Сказанное изобразим с помощью дерева , помещая в	вершины	графа первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Из каждой	вершины	выходят рёбер .
Даны три	вершины	квадрата ABCD .
Затем сложить эти числа попарно и результаты поставить на сторонах , соединяющих	вершины	, около которых стоят эти числа .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его	вершины	- точки могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Найдите идеальный	вес	человека при росте 150 см ; 160 см ; 171 см .
Старинные задачи . ( Из VII книги древнекитайского трактата « Математика в девяти книгах » . ) Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра , их взвесили ,	вес	совпал .
Если переместить 1 ласточку и 1 воробья , то	вес	как раз будет одинаковым .
Общий	вес	ласточек и воробьёв 1 цзинь .
Каков	вес	слитка золота и слитка серебра , каждого в отдельности ? .
Вес всех воробьёв больше	веса	всех ласточек .
Одна из формул для вычисления идеального	веса	человека m ( в килограммах ) при данном росте l ( в сантиметрах ) выглядит следующим образом .
Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек , их взвесили на	весах	.
После снятия с	весов	сосуда опустим в него камень ( часть воды при этом выльется ) .
Как с помощью чашечных	весов	, набора гирь и сосуда , наполненного водой , определить плотность камня рк , умещающегося в этом сосуде , если объём камня невозможно измерить непосредственно ? .
Определим с помощью	весов	отдельно массу камня mк и массу наполненного до краёв сосуда с водой m1 .
Попроси кого - нибудь задумать двузначное число ,	возвести	его в третью степень и написать на бумажке результат вычислений .
Тем более что вы легко сможете	возвести	и в четвёртую степень , а при необходимости — и в пятую степень .
Как	возвести	алгебраическую дробь в степень ? .
Что нужно сделать , чтобы	возвести	одночлен в степень ? .
При этом кубы чисел 1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и	возводимое	в степень число .
Ну а если тебе хочется прямо сразу от умения	возводить	число в степень получить пользу , могу предложить тебе математический фокус , которым ты сможешь развлечь и удивить своих родных и друзей .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; —	возводить	дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально	возводить	в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; —	возводить	двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : —	возводить	число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Хотя в квадрат	возводить	проще , чем в куб .
Первый приём назывался ал - джабр (	восстановление	) и заключался в перенесении вычитаемых ( отрицательных чисел ) из одной части уравнения в другую .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него окружность , то окружность будет функцией равностороннего треугольника ,	вписанного	в неё .
Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно	вынести за скобки	.
Применяя распределительное свойство умножения , этот множитель можно	вынести за скобки	.
Раскрыть скобки и упростить	выражение	.
При решении задачи получилось	выражение	.
Представить в виде многочлена стандартного вида	выражение	.
Упростить	выражение	.
Записать в виде степени произведения	выражение	.
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое	выражение	получается равная ей дробь , например .
Записать	выражение	в виде степени с показателем 2 .
Например ,	выражение	, которое мы бы записали так , бабушка в своё время записала бы иначе .
Представить	выражение	в виде степени .
Записать данное	выражение	в виде многочлена стандартного вида .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при х равно 11 .
Разложить данное	выражение	на множители .
Дано	выражение	.
Числовое	выражение	может состоять из одного числа .
Записать	выражение	для нахождения : 1 ) расстояния ( в километрах ) , пройденного пешеходом за 5 ч , если его скорость х км / ч ; 2 ) стоимости ( в рублях ) у тетрадей , если цена одной тетради 20 р . ;
А как Диофант записал бы	выражение	? .
Умножить и разделить данное	выражение	на , затем 5 раз применить формулу , получится .
Например ,	выражение	, которое твоя бабушка записывала с квадратными скобками , Ньютон записал бы так .
Данное	выражение	можно преобразовать так .
2 Какое	выражение	называют алгебраическим ? .
Составить	выражение	для решения задачи и провести вычисления при m равно 30 , n равно 25 , k равно 60 .
Составить	выражение	, показывающее , сколько единиц содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое	выражение	, подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения .
При решении задачи было получено	выражение	которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число , чисел 3 и 6 , знаков действий и скобок .
Используя известные свойства арифметических действий , упростим это	выражение	.
Что такое допустимые значения букв , входящих в алгебраическое	выражение	? .
Так как вы познакомились со всеми действиями , которые можно выполнять с алгебраическими дробями , попробуйте преобразовать такое необычное	выражение	.
Если было задумано число 5 , то получилось бы числовое	выражение	, значение которого также равно 2 .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при m . II уровень .
Написать	выражение	стоимости всей покупки .
Вычислить : Упростить	выражение	и найти его числовое значение при .
Записать	выражение	в виде степени , n — натуральное число .
Какие значения могут принимать буквы , входящие в	выражение	.
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при .
Упростить	выражение	и выяснить , при каком значении х значение выражения равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
Составить	выражение	для нахождения периметра треугольника и найти значение полученного выражения , если .
Но расставлять дополнительные множители , умножать на них числители и потом преобразовывать длинное	выражение	в числителе полученной дроби займёт очень много времени .
Конечно , мы уже знаем общий знаменатель дробей , входящих в данное	выражение	, — это .
Записать	выражение	в виде многочлена .
Поэтому можно было записать вместо этого выражения	выражение	, привести подобные слагаемые .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а	выражение	, стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
Это	выражение	является произведением многочлена с и одночлена Sab .
Упростить	выражение	, если n — натуральное число .
Условимся в дальнейшем при делении на алгебраическое	выражение	считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Это	выражение	является суммой трёх многочленов .
В равенство вместо b подставим его	выражение	, а это число делится на 7 .
4 ) Если	выражение	содержит скобки , заключённые внутри других скобок , то сначала выполняют действия во внутренних скобках .
2 ) Если	выражение	содержит скобки , то сначала выполняют все действия над числами , заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над числами в скобках и вне их производится в порядке .
При нахождении значения числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если	выражение	не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Составить	выражение	для решения этой задачи .
Знание свойств арифметических действий существенно упростило исходное	выражение	, после преобразований получилось .
Следовательно ,	выражение	является общим знаменателем трёх дробей .
Например ,	выражение	, где n — натуральное число , позволяет определить все предстоящие годы Тигра по китайскому календарю .
Преобразовывая , например ,	выражение	после раскрытия скобок , вы находили , по сути , разность многочленов .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное	выражение	подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в	выражение	для у , найти значение у .
Однако для упрощения вычислений часто пользуются приёмами , позволяющими записать заданное	выражение	, содержащее скобки , без скобок .
Упростить	выражение	, используя запись произведения в виде степени .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение .
Например , выражения — одночлены , а	выражение	— многочлен .
Такое название объясняется тем , что это	выражение	можно записать в виде суммы .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить алгебраическое	выражение	, а затем вычислить его значение более рациональным способом .
Сначала упростим данное	выражение	.
Очевидно , что	выражение	– b проще , чем выражение l. Значит , умение раскрывать скобки — полезное действие .
Очевидно , что выражение – b проще , чем	выражение	l. Значит , умение раскрывать скобки — полезное действие .
Действительно , после упрощения это	выражение	принимает вид и его числовое значение можно найти устно .
Знание способов раскрытия скобок часто позволяет упрощать	выражение	( и облегчает тем самым при необходимости нахождение его числового значения ) .
Как вы думаете , ребята , сложным ли	выражением	будет общий знаменатель таких дробей .
Ответ записать	выражением	.
Он отождествлял функцию с её аналитическим	выражением	, с формулой .
Используя основное свойство дроби , заменить букву а алгебраическим или числовым	выражением	так , чтобы равенство было верным .
Скобки в числовом	выражении	указывают на порядок выполнения действий .
В	выражении	аn число а называют основанием степени , число n называют показателем степени .
Например , в	выражении	содержатся скобки .
Если в	выражении	присутствовало числовое слагаемое , то он ставил перед ним значок « М » — фактически первые две буквы слова Μονας ( монос — единица ) .
Иногда в числовом	выражении	, кроме чисел и знаков действий , используются скобки .
Если в числовом	выражении	выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового выражения или , короче , значением выражения .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в алгебре подразумеваются числа , при этом в одном	выражении	одной буквой обозначают одно и то же число .
В этом	выражении	слагаемые 6a и 35a подобны , так как они отличаются друг от друга только коэффициентами .
Упрощение записей алгебраических	выражений	— одно из самых важных алгебраических умений .
Найти значения	выражений	.
Когда в I главе вы занимались с преобразованиями алгебраических	выражений	, уже тогда выполняли действия с одночленами и многочленами .
Алгебраическая сумма — это запись , состоящая из нескольких алгебраических	выражений	, соединённых знаками « + » или « – » .
Приведём ещё примеры числовых	выражений	.
При каком значении х значения	выражений	равны .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических	выражений	.
При каком значении х равны значения	выражений	.
Преобразование	выражений	, содержащих скобки , перед которыми стоит знак « + » , основывается на следующих свойствах сложения .
Разложить на множители каждое из	выражений	.
В этом параграфе будут разобраны примеры использования алгебраических	выражений	для записи алгебраических равенств , уравнений и формул .
Найти числовые значения	выражений	при х равно 1 ; х равно 0 ; х равно – 8 .
При каком из данных значений х числовые значения	выражений	равны ? .
Существует ли значение y , при котором числовые значения	выражений	равны ?
Существует ли значение х , при котором числовые значения	выражений	различны ?
Вы уже поняли , что с помощью алгебраических	выражений	можно описывать в общем виде реальные процессы , закономерности геометрии и физики .
Делимость на 2 и на 3 числовых	выражений	, содержащих квадраты и кубы различных натуральных чисел .
3 Привести примеры числовых и алгебраических	выражений	.
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых	выражений	, составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Приведём ещё примеры алгебраических	выражений	.
В этом параграфе продолжается изучение формул сокращённого умножения , упрощающих преобразования алгебраических	выражений	.
Само название этих формул говорит об их важности для упрощения	выражений	и нахождения их числовых значений .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных	выражений	; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного	выражений	; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Изучаемый в этой главе материал ( запись формул , преобразование алгебраических	выражений	, раскрытие скобок ) позволяет ставить и решать непростые и интересные задачи .
В этом параграфе будут обобщены ранее изученные свойства действий с числами и показаны способы их применения для рациональных вычислений и упрощения	выражений	.
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических	выражений	при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Найти значение х , при котором разность	выражений	равна выражению .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей	выражений	, а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих степени .
Преобразование	выражений	, содержащих скобки , перед которыми стоит знак « – » , основывается на следующих свойствах вычитания .
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых	выражений	и равенств .
Свойства действий применяются также для преобразования алгебраических	выражений	с целью их упрощения .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений	выражений	, содержащих степени .
Если к алгебраическому	выражению	прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Найти значение х , при котором разность выражений равна	выражению	.
Какие преобразования	выражения	следует выполнить , чтобы доказать , что .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического	выражения	.
Иногда при разложении алгебраического	выражения	на множители за скобки выносят многочлен .
В алгебре часто рассматриваются алгебраические	выражения	, представляющие собой сумму или разность одночленов .
2 Не производя вычислений , показать , что значение	выражения	делится на 7 .
Найти числовое значение	выражения	при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить дробь .
понятия числового	выражения	и его значения ; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
В равенствах а , b — любые числа или алгебраические	выражения	, например .
Записать в виде алгебраического	выражения	: 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Такие	выражения	называют многочленами .
Найти числовое значение	выражения	при .
Эти	выражения	являются алгебраическими суммами одночленов .
1 Числовые	выражения	.
Два числовых	выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют числовое равенство .
Выполнить умножение одночленов и найти значение полученного	выражения	.
Найти значение алгебраического	выражения	.
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же	выражения	при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Например , значение алгебраического	выражения	равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического	выражения	.
Например , значением выражения является число 4 ; значением	выражения	является число .
Записать в виде алгебраического	выражения	: 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Это пример алгебраического	выражения	.
Это решение можно записать в виде числового	выражения	, значение которого равно 2 .
Два алгебраических	выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют алгебраическое равенство .
Напомним , что при вычислении значения	выражения	, не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
Найти значение	выражения	а2 , если а равно .
Формула применяется также для приближённых вычислений значений	выражения	.
В равенствах а и b — любые числа или алгебраические	выражения	, например .
Вычислив значение этого	выражения	, получим число 12,6 .
4 Каким по порядку выполняется действие возведения в степень при вычислении значения	выражения	, не содержащего скобок ? .
Найти числовое значение алгебраического	выражения	.
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения	выражения	нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления значения	выражения	нужно сделать три действия , а для вычисления значения выражения 800 nm нужно сделать всего одно действие .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического	выражения	равно 2 при любом значении а .
Изучая эту главу , вы узнаете , что нерационально , например , находить значение	выражения	не упростив его предварительно .
Вычислить значение	выражения	.
Показать , что при значение	выражения	равно – 29 .
Дробные	выражения	в формулах естественных наук .
Найти значение алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение	выражения	равно 49 .
Найти значение алгебраического	выражения	, предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
Упростить выражение и выяснить , при каком значении х значение	выражения	равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
6 Найти значение числового	выражения	.
1 Что называют значением числового	выражения	? .
4 Какой порядок выполнения действий применяют при нахождении значения числового	выражения	? .
2 Записать в виде числового	выражения	: 1 ) произведение суммы и разности чисел ;
2 Назвать законы , с помощью которых упростится нахождение значения	выражения	.
Привести пример	выражения	, содержащего слагаемое , подобное 12а .
Поэтому можно было записать вместо этого	выражения	выражение , привести подобные слагаемые .
При каком х значение выражения на 2 больше значения	выражения	? .
Составить выражение для нахождения периметра треугольника и найти значение полученного	выражения	, если .
Доказать , что значение	выражения	.
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического	выражения	и значения алгебраического выражения .
2 Алгебраические	выражения	.
Доказать , что если . Доказать , что если , то значение	выражения	отрицательно .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления значения выражения нужно сделать три действия , а для вычисления значения	выражения	800 nm нужно сделать всего одно действие .
Найти рациональным способом значение	выражения	.
1 Найти значение	выражения	, если .
Упражнения . ( Устно . ) Прочитать следующие	выражения	, назвать независимую и зависимую переменные .
Чтобы найти , на каком этаже находится лифт , нужно вычислить значение числового	выражения	.
Именно поэтому важно уметь упрощать алгебраические	выражения	.
Например ,	выражения	— одночлены , а выражение — многочлен .
Вычислить с помощью микрокалькулятора значение	выражения	.
32 Найти значение числового	выражения	, используя законы и свойства арифметических действий .
Можно сказать , что мы в этом параграфе повторили алгоритм нахождения значения числового	выражения	? .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического	выражения	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое	выражения	; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	.
При нахождении значения числового	выражения	принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Доказать , что при любом целом n значение	выражения	делится на 5 ; делится на 9 .
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях дробей , то эти	выражения	не могут принимать значения , равные нулю .
Слева и справа от знака равно стоят числовые	выражения	.
Доказать , что значение	выражения	также делится на 13 .
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого числа на единицу , то	выражения	вида а , 2 также считают одночленами .
Например , одночленами являются	выражения	.
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение	выражения	отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти значение числового	выражения	.
16 Найти значение алгебраического	выражения	.
В алгебраической дроби числитель и знаменатель — алгебраические	выражения	.
При решении различных задач часто встречаются алгебраические	выражения	вида .
4 Что называют значением алгебраического	выражения	? .
В этом параграфе вы узнаете , какие	выражения	называются одночленами .
Глава I Алгебраические	выражения	.
Доказать , что значение	выражения	делится на 6 при любом натуральном n .
С помощью микрокалькулятора найти значение	выражения	.
14 Найти значение	выражения	.
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение	выражения	делится на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
Вычислить значение числового	выражения	.
12 Найти значение алгебраического	выражения	.
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 ) значение	выражения	делится на 6 .
Доказать , что значение	выражения	делится на 26 .
Чтобы узнать , сколько карандашей получил каждый ученик , нужно найти значение	выражения	.
Доказать , что при любых натуральных m и n значение	выражения	делится на 16 .
Пусть m и n такие натуральные числа , что значение	выражения	делится на 13 .
Вы знаете , что числовые	выражения	состоят из чисел , скобок и знаков арифметических действий .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового	выражения	или , короче , значением выражения .
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным нулю значение алгебраического	выражения	? .
Доказать , что при любых значениях х и у , не равных 0 , значение	выражения	положительно .
2 ) При каких значениях x значение каждого	выражения	равно нулю ? .
Глава 1 Алгебраические	выражения	.
Записать	выражения	в виде дробей с одинаковыми знаменателями .
Найти значение	выражения	, предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Ньютон называл буквы , знаки действий , алгебраические	выражения	и уравнения языком алгебры .
Найти значение	выражения	при .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять группы слагаемых следующими скобками : в начале	выражения	ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
Найти значение	выражения	.
Так как	выражения	не имеют общих делителей , то в общий знаменатель войдёт их произведение .
Например , значением	выражения	является число 4 ; значением выражения является число .
Если из алгебраического	выражения	вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового выражения или , короче , значением	выражения	.
Так записывали алгебраические	выражения	в наших школах во второй половине XX в .
Профессор , а можно на конкретной задаче рассмотреть делимость	выражения	из каких - либо чисел на 3 ? .
Найти значение алгебраического	выражения	при а равно 10 , b равно 5 .
Числовое значение алгебраического	выражения	.
С помощью букв записывают обобщённые	выражения	числовых характеристик и в гуманитарных знаниях .
В знаменитой книге « Арифметика » Диофанта встречаются	выражения	, которые мы сегодня называем алгебраическими дробями .
При каком х значение	выражения	на 2 больше значения выражения ? .
2 ) При каких значениях x значение	выражения	равно нулю ? .
Напомним , что такие записи называют числовыми	выражениями	.
Впервые действия с алгебраическими	выражениями	( в том числе с алгебраическими дробями ) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
С простейшими алгебраическими	выражениями	вы уже встречались .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических	выражениях	с помощью скобок объединяют слагаемые в группы .
В алгебраических	выражениях	встречаются и буквы .
Вы поймёте , почему буквы в алгебраических	выражениях	не всегда могут принимать любые значения .
24 Указать , какие числовые значения могут принимать буквы а и b в алгебраических	выражениях	.
Измерения нового параллелепипеда : длина 5а , ширина 2nb ,	высота	3nc .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его	высота	равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
Найдём площадь прямоугольника , основание которого равно 3 , а	высота	равна х.
Площадь S треугольника находят по формуле , где а — основание треугольника , h — его	высота	.
Какова будет	высота	такой « башни » ?
На какой	высоте	над уровнем моря давление равно 760,0 мм рт .
Назвать давление на	высоте	.
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой пирамиды с	высотой	h , в основаниях которой лежат квадраты со сторонами а и b соответственно .
Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и	высотой	122 мм .
Если основание прямоугольника равно k , то зависимость между	высотой	х и площадью у выразится формулой , где k и х — положительные числа .
Каким будет объём V1 нового параллелепипеда , если длину данного увеличить в 5 раз , ширину — в 2n раз ,	высоту	— в 3n раз ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда , имеющего длину а , ширину b и	высоту	с , вычисляется по формуле .
Найти : 1 )	высоту	треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
С помощью микрокалькулятора найти	высоту	h цистерны с бензином ( выраженную в м ) , если .
Его объём равен произведению	высоты	и площади основания .
Таблица выражает зависимость атмосферного давления р от	высоты	h над уровнем моря .
Затем показать , что если из степени числа 10 с натуральным показателем	вычесть	единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства	вычесть	одно и то же число , то получится верное равенство .
Если из числа	вычесть	нуль , оно не изменится .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых	вычесть	меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Чтобы сложить (	вычесть	) десятичные дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Если из числа	вычесть	это же число , получится нуль .
сравнить ( сложить ,	вычесть	) полученные дроби .
Чтобы сравнить ( сложить ,	вычесть	) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему знаменателю ;
В последних двух упражнениях из этого параграфа трудно подобрать одночлен , который нужно добавить , а затем	вычесть	, чтобы получить четырёхчлен , удобный для применения способа группировки .
сложить ( или	вычесть	) полученные дроби ; 4 ) упростить результат , если возможно .
После	вычета	13 % подоходного налога служащий получил K р .
После	вычета	13 % подоходного налога менеджер заплатил 20 % от оставшихся денег в счёт погашения кредита .
Число , из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , —	вычитаемым	.
Первый приём назывался ал - джабр ( восстановление ) и заключался в перенесении	вычитаемых	( отрицательных чисел ) из одной части уравнения в другую .
Известно , что : сложение и	вычитание	называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Мы это поняли , когда увидели , как Магницкий в своём учебнике обозначал	вычитание	знаком « ÷ » .
15 Сложение и	вычитание	многочленов .
Выполнить сложение и	вычитание	многочленов .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение ,	вычитание	, умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Заменяя	вычитание	сложением , алгебраическую сумму можно записать по - другому .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить	вычитание	целых частей и отдельно дробных частей .
выполнить сложение (	вычитание	) , не обращая внимания на запятую ;
Чтобы выполнить	вычитание	смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и	вычитание	обыкновенных дробей .
Выполним	вычитание	в скобках .
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или	вычитание	левых и правых частей уравнений системы .
Сложение и	вычитание	алгебраических дробей .
Сложение и	вычитание	алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и	вычитание	) .
Иногда сумму или разность многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и	вычитанием	чисел ) .
Действие , с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое , называют	вычитанием	.
При сложении (	вычитании	) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Профессор , Вы нам показывали , как удобно использовать запись столбиком при сложении ,	вычитании	и умножении многочленов .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и	вычитании	дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и	вычитании	алгебраических дробей , его также называют приведением дробей к общему знаменателю .
Число делится на 9 , значит , при	вычитании	из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в алгебре , например , при сложении и	вычитании	многочленов столбиком .
В результате сложения и	вычитания	нескольких многочленов снова получается многочлен .
Поэтому свойства	вычитания	можно обосновать свойствами сложения .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и	вычитания	; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического выражения .
Таким образом можно , например , записать свойство	вычитания	суммы из числа .
Из равенства число x находится с помощью действия	вычитания	, которое называют обратным к действию сложения .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения ,	вычитания	, умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения ,	вычитания	и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Результат	вычитания	называют разностью .
Таким образом , для сложения ( или	вычитания	) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и	вычитания	дробей .
Сейчас мы изучили действия сложения и	вычитания	многочленов .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения ,	вычитания	, умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Для сложения и	вычитания	алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Сформулировать правило : 1 ) сложения (	вычитания	) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий ( сложения ,	вычитания	, умножения , деления ) .
Знак	вычитания	« А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения ,	вычитания	, умножения и возведения в натуральную степень одночленов и многочленов снова получается многочлен .
Сформулировать алгоритм сложения (	вычитания	) алгебраических дробей с разными знаменателями .
Буквой R ( первая буква латинского слова Radix — корень ) обозначалось неизвестное число ( вместо нашего х ) , буквой q — квадрат этого же неизвестного , знаком « + » тогда обозначалось действие	вычитания	.
Преобразование выражений , содержащих скобки , перед которыми стоит знак « – » , основывается на следующих свойствах	вычитания	.
Число , из которого	вычитают	, называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , — вычитаемым .
При сложении ( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают (	вычитают	) , а знаменатель оставляют тем же .
Число , из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое	вычитают	, — вычитаемым .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или	вычитая	полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Обе части первого уравнения системы умножим на 3 , а второго — на 2 и	вычтем	из второго уравнения полученной системы первое .
Разделим обе части второго уравнения на 2 и	вычтем	полученное уравнение из первого .
Теперь	вычтем	из первого равенства второе .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму разделите на 3 и	вычтите	задуманное число .
Так называют	геометрические фигуры	, состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами графа ) .
э . ) не только занимались геометрией , но и развивали учение о числе с помощью	геометрических фигур	.
Температура , измеренная по шкале Фаренгейта , может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле , где х — температура в градусах шкалы Фаренгейта , у — температура в	градусах	шкалы Цельсия .
Температура , измеренная по шкале Фаренгейта , может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле , где х — температура в	градусах	шкалы Фаренгейта , у — температура в градусах шкалы Цельсия .
Показана развёртка прямоугольного параллелепипеда без одной	грани	, перенесённая на картон .
Сколько различных пар чисел может появиться на	гранях	этих тетраэдров , соприкасающихся с поверхностью стола ? .
На стол бросают 2 игральных тетраэдра ( серый и белый ) , на	гранях	каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4 .
Изображена игральная кость — кубик с отмеченными на его	гранях	очками , а также развёртка этого кубика ) .
Сколько различных пар очков может появиться на верхних	гранях	костей ? .
Сколько рёбер имеет полный	граф	, у которого 25 вершин ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ;	граф	- дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Найти : Сколько рёбер имеет полный	граф	( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
1 Полный	граф	.
Профессор , а как узнать , какую фигуру -	граф	можно нарисовать одним росчерком , а какую нельзя ? .
Что такое	граф	? .
Если бы можно было совершить описанную в условии задачи прогулку , то этот	граф	можно было бы нарисовать одним росчерком — не отрывая карандаш от бумаги и проводя по каждому ребру только один раз .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный	граф	; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Из условия задачи следует , что не имеет значения , как пролегает маршрут по частям суши А , В , С и D , поэтому их можно изобразить точками , а мосты — линиями , фактически вершинами и рёбрами	графа	.
С помощью	графа	изобразить процесс разрезания листа бумаги сперва на три части , затем разрезания одной части пополам , второй части на 3 части и третьей — на 4 части .
Следовательно , число искомых пар ( рёбер	графа	) .
Генеалогическое древо , также является примером	графа	.
Так называют геометрические фигуры , состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами	графа	) .
Рёбра	графа	, являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом вариантов .
Решим задачу с помощью так называемого полного	графа	с четырьмя вершинами А , Б , В , Г , обозначенными по первым буквам имён мальчиков .
С помощью стрелок на рёбрах полного	графа	с вершинами А , Б , В и Г показан процесс обмена фотографиями .
Сказанное изобразим с помощью дерева , помещая в вершины	графа	первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью	графа	, называемого деревом ( за внешнее сходство с деревом ) .
Решим задачу с помощью полного	графа	, имеющего n вершин .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью	графа	его вершины - точки могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Каждое ребро этого	графа	определяет искомую пару элементов .
В том случае , когда нужно образовывать и подсчитывать комбинации из трёх и более элементов , часто пользуются наглядными схемами —	графами	.
В той же координатной плоскости , на которой построен график уравнения , построим	график	уравнения .
Построить	график	функции , заданной формулой .
График проходит через точки , так как при х. Поэтому	график	функции у можно также построить по трём точкам .
Построить	график	функции и указать , внутри каких координатных углов расположен этот график .
Построить график функции и указать , внутри каких координатных углов расположен этот	график	.
Построить	график	функции у , если известно , что ему принадлежит точка В. График какой из этих функций проходит через точку .
Построить	график	зависимости у от х при .
Построив	график	зависимости пути плота от времени движения , найти по графику время , за которое плот пройдёт 6 км .
Построить	график	пути в зависимости от времени .
Интересный	график	.
Построить	график	этой зависимости .
Теперь давайте покажем , что	график	функции можно получить сдвигом графика функции у вправо на 3 единицы .
В каких четвертях расположен	график	функции у , если ? .
Поэтому	график	функции можно получить сдвигом графика функции вниз на 2 единицы .
Как можно построить	график	функции При каких значениях х и k формула y выражает прямую пропорциональную зависимость ? .
Построить	график	этой зависимости на первых пяти километрах пути .
Проходит ли	график	этой функции через точку ? .
Построить	график	функции y при .
Записать формулой линейную функцию ,	график	которой проходит через точку и параллелен графику данной функции .
В той же координатной плоскости , на которой построен	график	уравнения , построим график уравнения .
прямая , поэтому для того чтобы построить	график	функции у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Построим	график	этой функции при .
Функция и её	график	.
Построить	график	линейной функции .
Построить	график	функции .
Построим , например ,	график	функции .
Раз уж я вас научил строить	график	функции , давайте подвигаем и его .
Я хочу , чтобы вы посмотрели , как выглядит	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; —	график	функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Найти значение k , если известно , что	график	функции у проходит через точку .
Найти значение k , если известно , что	график	функции проходит через точку .
1 ) При каких значениях k и b	график	функции y проходит через точки .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её	график	; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
При каких значениях k и b	график	функции проходит через точки ? .
Проходит ли	график	функции у равно через точку ? .
Построить	график	функции у равно .
Найти значение b , если известно , что	график	функции проходит через точку .
Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его	график	на координатной плоскости .
Найти : 1 ) значение у при ; 2 ) значение х , если у. Построить	график	зависимости у от х .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать	график	функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Построить	график	функции и по нему найти : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
Определить значение b , если через точку с координатами ( 3 ; 10 ) проходит	график	функции , заданной формулой .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить график функции , если уже построен	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её	график	; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить	график	функции , если уже построен график функции .
32 Линейная функция и её	график	.
1 Построить	график	функции .
Построить	график	уравнения .
изображён график движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта В в пункт Е. Используя этот	график	, ответить на вопросы : 1 ) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт Б ?
Построить	график	изменения пути данного тела в зависимости от изменения времени движения .
Записать формулой функцию ,	график	которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 ) точку с координатами .
и поняли , как строится	график	функции .
Проводили новую , параллельную первой , прямую и получали	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; —	график	линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Найти точки пересечения графика функции у с осями координат и построить	график	.
При каком значении а график уравнения не пересечёт данный	график	? .
Изображён	график	изменения температуры воздуха в течение суток . 1 )
Как получить график функции у , если имеется	график	функции ? .
Построить	график	движения пешехода из пункта А в пункт В , если первые 2 ч он шёл со скоростью 3 км / ч , затем 2 ч отдыхал , после чего ещё 2 ч до пункта В шёл со скоростью 4 км / ч .
Глава VI Линейная функция и её	график	.
Построить	график	функции , заданной формулой у.
Как получить	график	функции у , если имеется график функции ? .
Построить график функции если известно , что этот	график	проходит через точку .
Построить	график	функции если известно , что этот график проходит через точку .
Найти значение k , если	график	функции y проходит через точку .
При каком значении а	график	уравнения не пересечёт данный график ? .
Дан	график	уравнения первой степени с двумя неизвестными , который проходит через точки .
изображён	график	зависимости долготы дня от времени года .
Построить	график	функции , найдя точки пересечения его с осями координат .
Построить	график	функции если известно , что ему принадлежит точка .
Записать формулой функцию ,	график	которой — прямая , изображённая .
Построить этот	график	.
Как выглядит	график	функции у при k равно 0 и b ≠ 0 ? .
Используя	график	, найти .
Найти значения k и b , если известно , что	график	функции проходит через точки .
Допустим , что на координатной плоскости изображён	график	некоторой функции .
изображён	график	движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта В в пункт Е. Используя этот график , ответить на вопросы : 1 ) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт Б ?
Построить	график	функции и указать по графику несколько значений х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Нужно вспомнить : построение	графика	функции ; понятие параллельных прямых .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения	графика	уравнения с осью Ох .
Не выполняя построения	графика	функции у равно 2х выяснить , проходит ли он через точку .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ;	графика	; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
координаты точек пересечения	графика	с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А	графика	.
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения графика функции у достаточно построить две точки этого	графика	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования	графика	) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения	графика	функции у достаточно построить две точки этого графика .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки	графика	у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Итак , точка пересечения	графика	с осью абсцисс имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Поэтому график функции можно получить сдвигом	графика	функции вниз на 2 единицы .
Хотя с графиками , иллюстрирующими разные явления , вы уже встречались , но только теперь познакомитесь с определением понятия	графика	функции .
Найти координаты точки пересечения	графика	функции с графиком функции у равно 5 .
Доказать , что отношение ординаты любой точки полученного	графика	к её абсциссе равно 4 .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения	графика	линейной функции с осями координат .
Найти координаты точек пересечения	графика	с осями координат .
Заметим , что каждая точка	графика	функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
Это означает , что ординаты всех точек	графика	равны нулю .
Теперь давайте покажем , что график функции можно получить сдвигом	графика	функции у вправо на 3 единицы .
Точно так же точка ( 4 ; 1 )	графика	у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Найти точки пересечения	графика	функции у с осями координат и построить график .
В этом параграфе вы познакомились с одним очень интересным действием — сдвигом	графика	функции вдоль координатных осей .
Точка	графика	с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
Ординаты всех точек	графика	равны 2 , и поэтому графиком функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Отметим , что для построения графика линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого	графика	с осями координат .
Как из	графика	функции у равно можно получить графики функций у равно ? .
В самом деле , так как при , то точка графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки	графика	функции .
Отметим , что для построения	графика	линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями координат .
Определить координаты точек пересечения с осями координат	графика	функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
График функции у получается сдвигом	графика	функции y на b единиц вдоль оси ординат .
Записать формулой функцию s(t ) на участках	графика	ВС , DE , CD .
Найдём точку пересечения	графика	с осью ординат .
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки	графика	функции .
Координаты точки пересечения прямых можно было найти с помощью	графика	.
прямая , поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две точки	графика	, а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Найдём точку пересечения	графика	с осью абсцисс .
С этим , а также с другими способами задания функции ( с помощью формулы ,	графика	, описания ) вы познакомитесь при изучении этой главы .
даны три	графика	, отражающие демографическую ситуацию в нашей стране в разные годы ( n ) .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка	графика	функции у с той же абсциссой .
В самом деле , так как при , то точка	графика	функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика функции .
Это означает , что каждая точка	графика	функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции .
Итак , точка пересечения	графика	с осью ординат имеет координаты ( 0 ; 4 ) .
Как из	графика	функции у равно можно получить графики функций : 1 ) На складе было 400 т угля .
Для построения	графика	функции у равно х проведём прямую , проходящую через точки .
Так как начало координат принадлежит графику функции y , то для построения этого	графика	достаточно найти ещё одну точку .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение	графика	линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
С помощью	графика	часто изображают , например , зависимость температуры от времени ; железнодорожники пользуются графиками движения ; экономисты графически изображают рост производительности труда .
По заданным	графикам	движения автомобилей найти : 1 ) время от начала движения автомобилей до их встречи ; 2 ) путь , пройденный каждым из автомобилей до их встречи ; 3 ) скорость движения каждого автомобиля .
Хотя с	графиками	, иллюстрирующими разные явления , вы уже встречались , но только теперь познакомитесь с определением понятия графика функции .
Так как уравнение получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно ,	графиками	этих уравнений является одна и та же прямая .
Для того чтобы наглядно представить функциональную зависимость , используют специальные рисунки ( чертежи ) , которые называют	графиками	.
Хотя бы потому , что с	графиками	, формулами и таблицами , которыми задают функции , мы встречаемся на всех уроках и даже в повседневной жизни .
С помощью графика часто изображают , например , зависимость температуры от времени ; железнодорожники пользуются	графиками	движения ; экономисты графически изображают рост производительности труда .
А то у некоторых школьников складывается впечатление , что , например , уравнения лежат на одной полке математики , а функции с	графиками	— на другой .
Найдём координаты точки пересечения построенных прямых , не используя	графики	.
Построить	графики	этих функций .
Пожалуйста , постройте	графики	следующих функций .
Используя	графики	зависимостей массы m воды и массы m2 льда от объёма V , ответить на вопросы : 1 ) Является ли функция m1(V ) линейной ?
Геометрически это означает , что	графики	уравнений системы — параллельные прямые .
Как из графика функции у равно можно получить	графики	функций : 1 ) На складе было 400 т угля .
Найти по графику путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены	графики	движения автомобиля и автобуса .
Как из графика функции у равно можно получить	графики	функций у равно ? .
А потом самостоятельно постройте	графики	функций .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить	графики	каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
После открытий Декарта математики начали строить разные	графики	, изобрели новые функции ? .
Через какую точку проходят все	графики	функций вида .
В одной системе координат построить	графики	уравнений .
В одной системе координат построить	графики	функций .
Изображены	графики	функций .
Представление собранных данных в виде таблиц и	графиков	.
Как вы думаете , какой из	графиков	характеризует изменение численности населения ( АО в каждый из следующих промежутков времени : 1935–1950 гг. ; 1980–1995 гг. ; 2001–2010 гг. ?
Проверить , обращают ли координаты точки пересечения	графиков	каждое из уравнений в верное равенство .
Какой из трёх	графиков	отражает процесс охлаждения с последующим замерзанием воды ?
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых —	графиков	уравнений системы .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью	графиков	; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Найти координаты точки пересечения	графиков	функций .
Научитесь с помощью	графиков	уравнений быстро определять : какая система имеет единственное решение , какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много решений .
При построении	графиков	.
Так как уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у , то	графиком	уравнения является эта же прямая .
Эта прямая и является	графиком	функции .
С этой функцией , её свойствами и	графиком	вы познакомитесь в данном параграфе .
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому	графиком	функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Прямая , проходящая через точки , является	графиком	функции .
Можно показать , что	графиком	функции y при любом значении k является прямая , проходящая через начало координат .
Уравнение можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому	графиком	уравнения является прямая .
Что является	графиком	уравнения , если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю ? .
Поэтому	графиком	этой функции является прямая , совпадающая с осью абсцисс .
3 Функция может быть задана	графиком	.
Даны две прямые на координатной плоскости , причём каждая из них является	графиком	некоторого уравнения .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с	графиком	данной функции .
Задать формулой функцию ,	графиком	которой является прямая , проходящая через точки А и В .
Можно показать , что	графиком	любого уравнения вида является прямая , если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю .
Можно показать , что	графиком	линейной функции у является прямая .
Функция у(х ) задана	графиком	.
Профессор , есть ещё какие - то способы задания функций , кроме уже знакомых нам четырёх ( формулой , таблицей ,	графиком	и описанием ) ? .
Таким образом ,	графиком	уравнения является прямая , проходящая через точки .
Найти координаты точки пересечения графика функции с	графиком	функции у равно 5 .
Функция у задана	графиком	.
Следовательно ,	графиком	уравнения является прямая , проходящая через точки .
Пользуясь этим	графиком	, найти : значение х , при котором функция принимает значение , равное .
Что является	графиком	функции у ? .
Что является	графиком	функции .
Что называется	графиком	функции ? .
Точка графика с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит	графику	данной функции .
Так как , то точка принадлежит	графику	функции .
точка принадлежит	графику	.
По	графику	найти натуральные значения х , при которых значение функции равно – 2 .
Найти по	графику	путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены графики движения автомобиля и автобуса .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
Построив график зависимости пути плота от времени движения , найти по	графику	время , за которое плот пройдёт 6 км .
По	графику	функции y определить знак коэффициента k .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , если значение х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
Принадлежат ли точки	графику	этой функции ? .
Какие из точек принадлежат	графику	функции , заданной формулой .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Построить график функции и указать по	графику	несколько значений х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Да , мы прикладывали линейку к	графику	функции и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от знака числа b в формуле функции .
О точках с координатами говорят , что они « выколоты » , так как не принадлежат	графику	.
Поэтому точка принадлежит	графику	.
точка также принадлежит	графику	.
Принадлежит ли точка	графику	этой функции ?
Так как начало координат принадлежит	графику	функции y , то для построения этого графика достаточно найти ещё одну точку .
По	графику	найти целые значения х , при которых значение функции больше – 2 .
Выяснить , принадлежит ли	графику	этой функции точка с координатами .
Записать формулой линейную функцию , график которой проходит через точку и параллелен	графику	данной функции .
По	графику	найти температуру воздуха в 2 ч , 6 ч , 12 ч , 18 ч .
Выяснить , принадлежит m	графику	этой функции точка с координатами .
Найти по	графику	путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Для того чтобы по заданному	графику	найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Найти по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по	графику	, за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Советую вам почитать популярные книги по теории	графов	и по топологии .
Идеи Эйлера , реализованные при решении задачи , послужили основой теории , названной двести лет спустя теорией	графов	.
Основоположником теории	графов	считается Л. Эйлер , который в 1736 г. решил знаменитую задачу о кёнигсбергских мостах .
Упражнения выполнить с помощью	графов	.
Подсчёт вариантов с помощью	графов	.
Примеры различных	графов	приведены .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и	графов	) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
С помощью	графов	решаются сложнейшие практические задачи в теории управления , социологии , математической лингвистике , экономике , биологии и во многих - многих сферах деятельности людей .
Назвать известные вам виды	графов	.
Существует теория	графов	.
Нередко подсчёт вариантов облегчают	графы	.
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы ,	графы	) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Иногда удаётся разложить на множители многочлен , все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных	групп	которого общие множители имеются .
10 Чтобы успеть к отходу поезда ,	группа	туристов должна пройти 22 км до станции за 6,5 ч .
Первая	группа	посадила а деревьев , вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5 деревьев больше второй .
Первая	группа	собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая	группа	, а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья	группа	собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Какая	группа	собрала больше фруктов ? .
Формула разности квадратов относится к	группе	так называемых формул сокращённого умножения .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две	группы	.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие	группы	, которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Три	группы	учащихся собирали фрукты .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять	группы	слагаемых следующими скобками : в начале выражения ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических выражениях с помощью скобок объединяют слагаемые в	группы	.
Следовательно ,	данные	дроби можно записать так .
Показать , что	данные	две дроби равны .
При решении задачи	данный	одночлен был записан в более простом виде .
При каком значении а график уравнения не пересечёт	данный	график ? .
Используя распределительное свойство умножения ,	данный	многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена .
Вычисления можно провести короче , если сначала упростить	данный	одночлен , используя переместительный и сочетательный законы умножения .
Число 12 , в народе называемое дюжиной , у многих людей в разные времена пользовалось особой любовью и было положено в основу	двенадцатеричной	системы счисления .
Следует сказать , что в алгебре	двучлен	часто называют биномом ( от лат .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить	двучлен	в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Таким образом произведение шести множителей превращается в красивый	двучлен	.
Да , нам понадобится возведение в квадрат	двучлена	.
Я же говорил , что есть симметрия в записях многочленов после возведения	двучлена	в степень .
Давайте понаблюдаем за коэффициентами многочленов , получаемых возведением	двучлена	в разные степени .
Представить квадрат	двучлена	в виде многочлена .
Заменить х одночленом так , чтобы получился квадрат	двучлена	.
Что мне даёт разложение	двучлена	на множители ? .
Примеры	двучленов	.
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют	двучленом	; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и	деление	) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал	деление	, к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо знака деления круглую скобку .
А нельзя ли записывать	деление	многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы делили многозначные числа ? .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и	деление	— действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Из - за того что в арифметике не всегда получалось	деление	нацело одного числа на другое , придумали обыкновенные дроби .
Условимся в дальнейшем при делении на алгебраическое выражение считать , что его значение не равно 0 , так как	деление	на 0 невозможно .
А так как в алгебре не всегда получалось	деление	нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические дроби .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить	деление	на натуральное число .
Однако	деление	многочлена на одночлен не всегда возможно .
Нужно вспомнить : свойства степени с натуральным показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ;	деление	числа на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
Выполнить	деление	дробей .
27 Умножение и	деление	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен .
Выполнить	деление	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Выражения , содержащие	деление	одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
Заменяя	деление	умножением , получаем .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и	деление	алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя	деление	наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и	деление	обыкновенных дробей .
Нужно вспомнить : умножение и	деление	обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ;	деление	многочлена и одночлена на одночлен .
Умножение и	деление	алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
Выполним	деление	.
Заменяя умножение	делением	, получаем Устные вопросы и задания .
Здесь получаются	делением	членов данного многочлена на их общий множитель .
Действие , с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель , называют	делением	.
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся	делением	общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Например , при	делении	на 6 в остатке может быть одно из чисел : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Доказать , что если при	делении	натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
При	делении	многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых делитель не равен нулю .
Докажем , что квадрат любого натурального числа , не делящегося на 3 , при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Ты фактически доказал , что разность кубов данных в задаче чисел при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Условимся в дальнейшем при	делении	на алгебраическое выражение считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Действительно , квадраты рассмотренных чисел при	делении	на 3 дают в остатке 1 .
Чтобы найти неизвестное делимое при	делении	с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
при	делении	на 3 число либо разделится на 3 , либо даст в остатке одно из чисел 1 или 2 .
При	делении	целого числа на равные части получаются доли .
Это свойство означает , что при умножении или	делении	числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
При	делении	степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
Чтобы найти неизвестное делимое при	делении с остатком	, нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Действительно , любое натуральное число по отношению к	делению	на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
По первому свойству степени по определению	деления	.
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай	деления	многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
После	деления	обеих частей последнего равенства на а получаем .
Известно , что в Бахшалийской рукописи ( относящейся примерно к VII в . ) знак	деления	« ↔ » ставился после делителя .
По свойствам умножения и	деления	получаем .
Доказать , что произведение многочленов и равно частному от	деления	многочлена на одночлен .
Поэтому свойства	деления	можно вывести из свойств умножения .
А вот запись	деления	многочлена на многочлен , когда в результате получается тоже многочлен , я вам сейчас продемонстрирую .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и	деления	дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Сформулировать правила умножения и	деления	алгебраических дробей .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и	деления	алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
По свойству	деления	суммы на число получаем .
Покажем , как можно доказать распределительное свойство	деления	( относительно сложения ) .
Теория	деления	многочлена на многочлен .
Рассмотрим случай	деления	одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай деления многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от	деления	, можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
В рассмотренных примерах	деления	многочлена на одночлен в результате получался многочлен .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и	деления	целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от	деления	суммы чисел n и m на их разность ;
Выражения , содержащие деление одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого	деления	также получается многочлен .
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и	деления	; запись числа в стандартном виде .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и	деления	дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от	деления	N на натуральное число .
Я знаю , что компьютер вместо знака	деления	обычно рисует наклонную черту .
При решении задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет знак	деления	) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Такие случаи	деления	и будут рассмотрены в данном параграфе .
произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от	деления	числа 6 на число 5 ; 3 )
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и	деления	обыкновенных дробей , а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Нужно вспомнить : свойства степеней ; свойства действия	деления	.
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат	деления	называют частным .
Расскажите , пожалуйста , о различных обозначениях знака	деления	.
Из равенства число b находится с помощью действия	деления	, которое называют обратным к действию умножения .
частное от	деления	суммы чисел n и m на число 17 .
В скобках остаётся многочлен , полученный от	деления	данного многочлена на этот общий множитель .
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий ( сложения , вычитания , умножения ,	деления	) .
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения степеней с одинаковыми основаниями ; 2 )	деления	степеней с одинаковыми основаниями ;
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал деление , к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо знака	деления	круглую скобку .
Двоеточие для обозначения	деления	стал первым применять знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц ( 1646–1716 ) .
А нельзя ли записывать деление многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы	делили	многозначные числа ? .
Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался целым неотрицательным числом , нужно , чтобы	делилось	на 7 .
Чтобы общий знаменатель	делился	на знаменатель первой дроби , он должен содержать множитель .
Для того чтобы общий знаменатель	делился	на знаменатель третьей дроби , нужно к полученному произведению дописать множитель .
Например , в записи число р —	делимое	, n — делитель , m — частное .
Чтобы найти неизвестное	делимое	при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно	делимое	умножить на число , обратное делителю .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в	делимом	и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Число , которое делят , называют	делимым	; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
Эта прямая	делит	первый и третий координатные углы пополам .
Эта прямая	делит	второй и четвёртый координатные углы пополам .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в	делителе	.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и	делителе	перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в	делителе	; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух	делителей	.
Число 12 имеет много	делителей	: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , что в практике важно .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим	делителем	( НОД ) этих чисел .
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют	делителем	, результат деления называют частным .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий	делитель	модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Число 1 имеет один	делитель	— само это число .
В многочлене число 7 — наибольший общий	делитель	чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий	делитель	равен 1 .
Чтобы найти наибольший общий	делитель	нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на	делитель	и к полученному произведению прибавить остаток .
Например , в записи число р — делимое , n —	делитель	, m — частное .
При делении многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых	делитель	не равен нулю .
Деление можно заменить умножением на число , обратное	делителю	.
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на число , обратное	делителю	.
Известно , что в Бахшалийской рукописи ( относящейся примерно к VII в . ) знак деления « ↔ » ставился после	делителя	.
Остаток всегда меньше	делителя	.
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два	делителя	: единицу и само это число .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью	делителя	, неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Так как	делителями	числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Например ,	делителями	числа 12 являются числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
Так как	делителями	числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Докажем , что число вида abcabc	делится	на 11 .
Привести пример : 1 ) одночлена , который не	делится	на одночлен ;
На 3 делится число , сумма цифр которого	делится	на 3 .
Поэтому данное число	делится	на 11 .
2 Не производя вычислений , показать , что значение выражения	делится	на 7 .
На 3	делится	число , сумма цифр которого делится на 3 .
Доказать , что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это число	делится	нацело на 75 .
Делителем натурального числа а называют натуральное число , на которое а	делится	без остатка .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно	делится	на 2 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел	делится	на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Если произведение	делится	и на 3 , и на 2 , то оно делится и на 6 ( так как числа 2 и 3 взаимно простые ) .
Если произведение делится и на 3 , и на 2 , то оно	делится	и на 6 ( так как числа 2 и 3 взаимно простые ) .
1 Докажите , что число при любом натуральном n	делится	на 6 .
Докажем , что число , где n — натуральное число ,	делится	на 6 .
2 Докажите , что при любом натуральном n число	делится	на 120 .
В этих случаях говорят , что многочлен	делится	на одночлен .
Доказать , что число	делится	на 15 при любом натуральном n .
Точно так же	делится	многочлен на одночлен и в других случаях , например .
В Кёнигсберге река Преголь , омывающая два острова ,	делится	на два рукава , через которые перекинуты 7 мостов .
Если а — чётное число , то оно	делится	на 2 и его записывают , где n — натуральное число .
Например , многочлен не	делится	на одночлен аb .
Докажем , что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение	делится	на 143 .
Докажем , что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000	делится	на 143 , а это произведение делится на 143 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу ,	делится	на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
На число 10 без остатка	делится	всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно	делится	на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
Доказать , что полученная разность	делится	на 9 и на 11 .
На 5 без остатка	делится	всякое натуральное число , оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных чисел	делится	на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Следовательно , последняя цифра данного числа равна 5 и поэтому это число	делится	на 5 .
Доказать , что при любом целом n значение выражения	делится	на 5 ; делится на 9 .
многочлена , который не	делится	на одночлен ас3 .
Доказать , что сумма этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 4 .
Доказать , что значение выражения	делится	на 26 .
Например , число N равно 72 делится на k равно 3 , так как 72 равно ; число 60	делится	на 12 , так как .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения	делится	на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое нечётное , то чётное число , и поэтому число	делится	на и на 16 .
Докажем , что сумма любых трёх последовательных натуральных чисел	делится	на 3 .
В равенство вместо b подставим его выражение , а это число	делится	на 7 .
Если оба числа m и n чётные или оба нечётные , то — чётное число , и поэтому число	делится	на .
Так как по условию задачи	делится	на 7 , то где n — натуральное число , откуда .
Так как сумма трёх последовательных натуральных чисел представима в виде 3р , значит , она	делится	на 3 , что и требовалось доказать .
Попробуем вместе доказать , что если делится на 7 , то число aba также	делится	на 7 .
Доказать , что значение выражения	делится	на 6 при любом натуральном n .
Попробуем вместе доказать , что если	делится	на 7 , то число aba также делится на 7 .
3 ) Если вычисляется значение дроби , то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе , а затем первый результат	делится	на второй .
Показать , что и произведение трёх последовательных натуральных чисел	делится	на 6 .
Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое	делится	без остатка на а .
Доказать , что разность	делится	на 31 .
Далее записать данное число в виде , поэтому оно	делится	на 9 .
Доказать , что число	делится	на 18 .
Доказать , что число	делится	на 12 .
Доказать , что сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Сначала показать , что данное число	делится	на 2 .
Доказать , что число	делится	на 5 .
Показать , что каждое из чисел 132 и 576	делится	на 12 .
Доказать , что сумма	делится	на 37 .
Например , число N равно 72	делится	на k равно 3 , так как 72 равно ; число 60 делится на 12 , так как .
Доказать , что квадрат нечётного числа , уменьшенный на 1 ,	делится	на 8 .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 ) значение выражения	делится	на 6 .
Доказать , что при любых натуральных m и n значение выражения	делится	на 16 .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел	делится	на 6 ? .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990	делится	на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не	делится	на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Доказать , что число	делится	на 13 .
На 9	делится	число , сумма цифр которого делится на 9 .
Доказать , что при любом целом n значение выражения делится на 5 ;	делится	на 9 .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не	делится	на 3 .
А в упражнении требовалось доказать , что число не	делится	на 3 .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел	делится	на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6 ? .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не	делится	на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у	делится	на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Натуральное число , которое не	делится	на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
Натуральное число N	делится	нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Доказать , что сумма пяти последовательных чётных чисел	делится	на 10 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не	делится	на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение	делится	на 24 .
Пусть m и n такие натуральные числа , что значение выражения	делится	на 13 .
Доказать , что значение выражения также	делится	на 13 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число	делится	на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Число	делится	на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел	делится	на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
На 9 делится число , сумма цифр которого	делится	на 9 .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел	делится	на 8 .
Ни одно число нельзя	делить	на нуль .
Три дома нельзя было	делить	, их взяли старшие три брата .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; —	делить	многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Профессор , мы решали уже немало задач на доказательство того , что некоторое число , записанное с помощью букв , будет	делиться	на другое число .
Далее , общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель второй дроби .
Общий знаменатель данных дробей должен	делиться	на знаменатель каждой из дробей .
Далее , общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель второй дроби , и поэтому он должен содержать множитель .
Таким образом , общий знаменатель должен	делиться	на 3 и 6 , т .
Общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель каждой из данных дробей .
Так как он должен	делиться	на знаменатель первой дроби , то он должен содержать произведение .
Число , которое	делят	, называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
Знаменатель показывает , на сколько равных долей	делят	целое , а числитель — сколько таких долей взято .
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое	делят	, называют делителем , результат деления называют частным .
2 ) приводят подобные члены ; 3 )	делят	обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не	делятся	на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа	делятся	на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Точно так же	делятся	одночлены и в других случаях , например .
Наибольшее натуральное число , на которое	делятся	без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у	делятся	на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не	делятся	на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
До ближайшего числа , не меньшего чем 12 и	делящегося	на 9 , не хватает шести .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число ,	делящееся	нацело на 9 .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно сложить с полученной суммой , чтобы получить ближайшее	делящееся	на 9 число ( не меньшее полученной суммы ) .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел ,	делящихся	или не делящихся на 3 .
Изобразим сказанное с помощью	дерева	.
Сказанное изобразим с помощью	дерева	, помещая в вершины графа первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями	дерева	, а само дерево — деревом вариантов .
Вычерчивать	дерево	полезно , когда требуется записать все существующие комбинации элементов .
2 Граф -	дерево	.
	Дерево	.
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф -	дерево	; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само	дерево	— деревом вариантов .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа , называемого	деревом	( за внешнее сходство с деревом ) .
Рёбра графа , являющегося	деревом	, иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом вариантов .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево —	деревом	вариантов .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа , называемого деревом ( за внешнее сходство с	деревом	) .
Первая группа посадила а	деревьев	, вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5 деревьев больше второй .
Первая группа посадила а деревьев , вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5	деревьев	больше второй .
Сколько	деревьев	посадили школьники ? .
30 Школьники сажали	деревья	.
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная система ,	десятичная	система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Если в конце	десятичной	дроби приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится дробь , равная данной .
Позже так стали называть систему правил счёта в	десятичной	позиционной системе счисления .
Любое число , знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде	десятичной	дроби .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Чтобы разделить десятичную дробь на	десятичную	дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Например , так как , так как . Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Чтобы перемножить две	десятичные	дроби , нужно : 1 ) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые ;
Чтобы сложить ( вычесть )	десятичные	дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Заглядывайте в него чаще , там вы найдёте и определение процента , и разобранные задачи на проценты , правила действий с обыкновенными и	десятичными	дробями и многое другое .
Действия с	десятичными	дробями .
Правило округления	десятичных	дробей : 1 ) Если первая из отброшенных цифр равна 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1 .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел ,	десятичных	и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Сколько	десятичных	знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Аналогично составляем уравнение для разряда	десятков	.
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа	десятков	в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
В трёхзначном числе а сотен , b	десятков	, с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Корень этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде	десятков	нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
В двузначном числе	десятков	втрое больше , чем единиц .
Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа	десятков	и в 3 раза меньше числа единиц .
Квадрат двузначного числа содержит нечётное число	десятков	.
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b	десятков	и с единиц .
Число 4350 содержит 4 тысячи , 3 сотни , 5	десятков	и 0 единиц .
Так , в записи числа 15 цифра 5 обозначает пять единиц , а в записи числа 51 — пять	десятков	.
18 Число содержит 4 сотни , b	десятков	и с единиц .
В трёхзначном числе в 3 раза больше	десятков	, чем сотен , а число единиц равно квадрату числа сотен .
Числа от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами , числа от 10 до 90 ( через	десяток	) — следующими девятью буквами , а числа от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
Принадлежит ли точка	диагонали	этого прямоугольника ? .
Дома Иван Петрович линейкой измерил длину карандаша и	диаметр	монеты .
Из стальной проволоки	диаметром	5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и высотой 122 мм .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью	длин	сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Его периметр Р равен сумме	длин	сторон .
Имеются три мерных отрезка известных	длин	а , b и с. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением	длин	, отношением масс , отношением площадей ) .
Какова	длина	дивана ? .
Ввести обозначения : х м —	длина	электрички , у м / с — скорость электрички .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба ,	длина	ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
Ширина участка 150 м , а	длина	всего забора 1 км .
Поле имело форму прямоугольника ,	длина	которого равна а километрам , ширина — b километрам .
Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а	длина	этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
Вдоль границы участка прямоугольной формы ,	длина	которого в 3 раза больше ширины , вырыли канаву длиной 240 м .
Измерения нового параллелепипеда :	длина	5а , ширина 2nb , высота 3nc .
Каковы	длина	поезда и его скорость ? .
По наблюдению машиниста , встречный поезд ,	длина	которого 75 м , проходит мимо него за 3 с. Какова скорость движения встречного поезда ? .
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а	длина	больше на 8 единиц .
Во время стирки ткань садится на по	длине	и на по ширине .
Так как электричка со скоростью у проехала мимо столба за 12 с , то пройденный за это время путь и будет равен её	длине	.
По	длине	дивана карандаш уместился 11 раз , а в оставшейся части 5 раз уместилась монетка .
За 26 с электричка прошла путь , равный	длине	платформы , сложенный с её собственной длиной .
2 куска длиной 13 см и 3 куска	длиной	5 см .
За 26 с электричка прошла путь , равный длине платформы , сложенный с её собственной	длиной	.
Проволока	длиной	1 м 12 см разрезана на куски по 18 см и 24 см. Сколько кусков каждого вида получилось ? .
Дорога из пункта А в пункт В	длиной	11,5 км идёт сначала в гору , затем по равнине и , наконец , под гору .
Товарный поезд проехал мимо заводского корпуса длиной 100 м за 20 с , а мимо забора	длиной	900 м — за 1 мин .
2 куска	длиной	13 см и 3 куска длиной 5 см .
Товарный поезд проехал мимо заводского корпуса	длиной	100 м за 20 с , а мимо забора длиной 900 м — за 1 мин .
Проволока длиной 41 см разрезана на куски	длиной	по 13 см и 5 см. Сколько получилось кусков каждого вида ?
Земельная полоса шириной а м и	длиной	b км нарезана на k одинаковых участков прямоугольной формы со стороной а м .
Вдоль границы участка прямоугольной формы , длина которого в 3 раза больше ширины , вырыли канаву	длиной	240 м .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок	длиной	; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Проволока	длиной	41 см разрезана на куски длиной по 13 см и 5 см. Сколько получилось кусков каждого вида ?
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок	длиной	; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы	длиной	350 м за 26 с. Найти длину электрички и её скорость .
Дома Иван Петрович линейкой измерил	длину	карандаша и диаметр монеты .
Вычислить	длину	маршрута при а равно 3,3 км / ч , b равно 5,7 км / ч , с равно 10,5 км / ч .
Написать формулу пути , обозначив	длину	маршрута ( в км ) буквой s.
Если же	длину	сада уменьшить на 6 м , а ширину увеличить на 8 м , то площадь сада увеличится на 164 м2 .
Если увеличить	длину	сада на 8 м , а ширину на 6 м , то площадь сада увеличится на 632 м2 .
Если	длину	прямоугольника увеличить на 4 см , а ширину — на 2 см , то площадь увеличится на 42 см2 .
Объём прямоугольного параллелепипеда , имеющего	длину	а , ширину b и высоту с , вычисляется по формуле .
Каким будет объём V1 нового параллелепипеда , если	длину	данного увеличить в 5 раз , ширину — в 2n раз , высоту — в 3n раз ? .
В мебельном магазине Ивану Петровичу захотелось измерить	длину	понравившегося дивана .
Найти	длину	и ширину участка .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если	длину	каждой стороны увеличить в 2 раза ; 3 раза ; 10 раз ? .
Найти	длину	и ширину участка прямоугольной формы .
Найти	длину	и ширину данного прямоугольника .
Определить	длину	и ширину сада .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы длиной 350 м за 26 с. Найти	длину	электрички и её скорость .
Найти	длину	участка .
Периметр прямоугольника 60 см. Если	длину	этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Если ширину увеличить на 8 м , а	длину	уменьшить на 6 м , то площадь нового прямоугольника будет на 80 м2 больше площади данного .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей	длины	образуют прямоугольную систему координат на плоскости .
ст. , равное 27 000 000 000 000 000 000 ; 2 ) число километров , составляющих один парсек ( единица	длины	, принятая в астрономии ) , если один парсек равен 30 800 000 000 000 км ; 3 ) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций .
Записать формулу , выражающую зависимость	длины	пути s ( в км ) от времени движения t ( в ч ) .
Например , если а и b —	длины	сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени ,	длины	, площади , массы .
Например , если а и b — длины сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей	длины	( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если	длины	сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Ширина прямоугольника на 15 м меньше его	длины	.
А о красоте математических	доказательств	и о математиках очень хорошо написал английский учёный Г. X. Харди ( 1877–1947 ): « Математик так же , как и художник или поэт , создаёт узоры .
Узоры	доказательств	.
Именно в этом и есть наглядная суть	доказательства	распределительного закона .
Геометрические	доказательства	формул сокращённого умножения .
Мне нравятся красивые и простые	доказательства	.
Мне и алгебраические , и геометрические	доказательства	напоминают бабушкино вязание — петелька за петельку , и получился мне свитер .
При	доказательстве	понадобится умение приводить подобные члены в многочлене .
Так было сделано только что при	доказательстве	делимости суммы чисел на 3 .
Профессор , мы решали уже немало задач на	доказательство	того , что некоторое число , записанное с помощью букв , будет делиться на другое число .
А строгое	доказательство	законов арифметических действий было сделано лишь во второй половине XIX в .
А мне понравилось	доказательство	формулы разности квадратов с помощью рисунка .
Это	доказательство	придумали Вы , Профессор ? .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных	дробей	; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Сокращение	дробей	.
Как вы думаете , ребята , сложным ли выражением будет общий знаменатель таких	дробей	.
Общий знаменатель данных	дробей	должен делиться на знаменатель каждой из дробей .
Разложим многочлены , стоящие в знаменателях	дробей	, на множители .
Общий знаменатель данных дробей должен делиться на знаменатель каждой из	дробей	.
Придётся перемножить знаменатели всех шести	дробей	— получим их общий знаменатель .
Сложение и вычитание алгебраических	дробей	.
Более того , в его книге описывается , например , сложение	дробей	.
Найти общий знаменатель	дробей	.
25 Приведение	дробей	к общему знаменателю .
Деление алгебраических	дробей	.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных	дробей	.
И ты , рассмотрев знаменатели двух последних	дробей	, увидела бы , что , затем .
По аналогии с нахождением общего знаменателя обыкновенных	дробей	вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических дробей .
Ещё я хотел рассказать вам , что в своей книге Ньютон перечислял не только сходство обыкновенных и алгебраических	дробей	, но и их различия .
По аналогии с нахождением общего знаменателя обыкновенных дробей вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических	дробей	.
Приведём примеры	дробей	, для упрощения которых нужно сначала выделить общий множитель числителя и знаменателя .
Найти разность	дробей	.
Сложение и вычитание алгебраических	дробей	с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
По определению степени с натуральным показателем , по правилу умножения	дробей	, по определению степени с натуральным показателем .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических	дробей	справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
Для сложения и вычитания алгебраических	дробей	с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Вычитание алгебраических	дробей	.
В книге Ньютона , например , приводится сокращение следующих	дробей	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных	дробей	к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Напомним , что при сложении обыкновенных	дробей	сначала приводят дроби к общему знаменателю .
Общим знаменателем	дробей	является наименьшее общее кратное их знаменателей .
Так , для	дробей	общим знаменателем является число 100 — наименьшее общее кратное чисел 4 , 25 , 10 .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение	дробей	; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Я пробежал глазами строчку с данными дробями не только слева направо , но и справа налево , рассматривая при этом знаменатели	дробей	.
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических	дробей	, его также называют приведением дробей к общему знаменателю .
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей , его также называют приведением	дробей	к общему знаменателю .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение	дробей	к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Общим знаменателем данных	дробей	является произведение .
Это действие даёт возможность находить сумму и разность	дробей	с разными знаменателями .
Приведём ещё несколько примеров алгебраических	дробей	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих	дробей	; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Посмотрите повнимательнее на знаменатели	дробей	.
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления	дробей	; 3 ) возведения дроби в степень .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания )	дробей	с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных	дробей	; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных	дробей	;
Изображение и описание	дробей	в произведениях искусства .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических	дробей	; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение	дробей	; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Умножение и деление алгебраических	дробей	выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
Привести к общему знаменателю дроби Разложим на множители знаменатели	дробей	.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных	дробей	, оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных	дробей	.
Профессор , с этим преобразованием мы справимся , невзирая на 4 этажа	дробей	.
Умножение алгебраических	дробей	.
Доказать , что сумма	дробей	равна 1 .
При сложении ( вычитании )	дробей	с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми числителями больше та , у которой меньше знаменатель , и меньше та , у которой больше знаменатель .
Найти произведение	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та , у которой больше числитель , и меньше та , у которой меньше числитель .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических	дробей	; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель	дробей	, т .
Сравнение	дробей	.
Сформулировать правила умножения и деления алгебраических	дробей	.
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления	дробей	— выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Выполнить деление	дробей	.
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых	дробей	.
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных	дробей	, а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании	дробей	— приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения	дробей	.
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических	дробей	с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель	дробей	; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Записать выражения в виде	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных	дробей	; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных	дробей	они соответственно равны .
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных	дробей	, а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических	дробей	; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из	дробей	; для данных дробей они соответственно равны .
Сформулировать алгоритм сложения ( вычитания ) алгебраических	дробей	с разными знаменателями .
Правило округления десятичных	дробей	: 1 ) Если первая из отброшенных цифр равна 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1 .
Сформулировать алгоритм приведения алгебраических	дробей	к общему знаменателю .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и вычитания	дробей	.
Конечно , мы уже знаем общий знаменатель	дробей	, входящих в данное выражение , — это .
С их учётом предлагаю вам найти сумму следующих	дробей	.
Таким образом , для приведения алгебраических	дробей	к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Для приведения	дробей	к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Посмотри , что получится , если мы перепишем сумму от конца к началу и будем последовательно выполнять сложение	дробей	.
Если уж ты такой умный , то попробуй найти сумму	дробей	.
Сложение алгебраических	дробей	.
Следовательно , выражение является общим знаменателем трёх	дробей	.
Хотя понимаю , что бессмысленно выполнять суммирование в порядке следования	дробей	и в обратном порядке .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных	дробей	, а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях	дробей	, то эти выражения не могут принимать значения , равные нулю .
Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей	дроби	, нужно к полученному произведению дописать множитель .
Далее , общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй	дроби	, и поэтому он должен содержать множитель .
Следовательно , к знаменателю первой	дроби	нужно дописать множитель , т .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя	дроби	и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Вычисляя значения данной	дроби	при , показать , что целые значения получаются при .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические	дроби	к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и вычитания дробей .
При возведении в степень	дроби	в эту степень возводятся числитель и знаменатель .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной	дроби	; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой	дроби	найти дополнительный множитель ;
возведения степени в степень ; 4 ) возведения произведения в степень ; 5 ) возведения	дроби	в степень .
Свойства	дроби	.
Далее , общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй	дроби	.
Привести	дроби	к общему знаменателю .
Чтобы общий знаменатель делился на знаменатель первой	дроби	, он должен содержать множитель .
На основании какого свойства алгебраические	дроби	приводят к общему знаменателю ? .
Дополнительный множитель второй	дроби	равен .
Так как он должен делиться на знаменатель первой	дроби	, то он должен содержать произведение .
Привести алгебраические	дроби	общему знаменателю .
Не буду вас мучить и сделаю подсказку : если временно обозначить новыми буквами ( кроме х и у ) встречающиеся в обоих уравнениях	дроби	, то эти уравнения упростятся .
Напомним , что при сложении обыкновенных дробей сначала приводят	дроби	к общему знаменателю .
Если в задании не указано , к какому общему знаменателю нужно привести	дроби	, то их приводят к простейшему общему знаменателю .
Умножая числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
умножить числитель каждой	дроби	на её дополнительный множитель ;
Привести к общему знаменателю	дроби	Разложим на множители знаменатели дробей .
Вычислить значение этой	дроби	при .
При каких значениях x значение этой	дроби	равно нулю ? .
Разделив на знаменатель первой	дроби	, получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
2 Обыкновенные	дроби	.
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель	дроби	меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть целым числом .
Цепные	дроби	.
умножить числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель .
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть )	дроби	с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему знаменателю ;
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть ) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные	дроби	к общему знаменателю ;
сравнить ( сложить , вычесть ) полученные	дроби	.
если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой	дроби	и прибавить её к полученной целой части .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных дробей , а также возведение	дроби	в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Чтобы найти число по данному значению его	дроби	, нужно это значение разделить на дробь .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой	дроби	дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
4 Десятичные	дроби	.
Но расставлять дополнительные множители , умножать на них числители и потом преобразовывать длинное выражение в числителе полученной	дроби	займёт очень много времени .
Если в конце десятичной	дроби	приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится дробь , равная данной .
Привести к общему знаменателю	дроби	.
Как складываются алгебраические	дроби	с одинаковыми знаменателями ? .
сложить ( или вычесть ) полученные	дроби	; 4 ) упростить результат , если возможно .
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести	дроби	к общему знаменателю ;
Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные	дроби	, нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Приведя	дроби	к общему знаменателю , найдём .
Любое число , знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной	дроби	.
Алгебраические	дроби	в книге Диофанта « Арифметика » .
Чтобы привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Понятия дроби и алгебраической	дроби	в книге И. Ньютона « Всеобщая арифметика » .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство	дроби	для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Число 3 здесь 8 называют числителем , а число 8 — знаменателем	дроби	.
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической	дроби	; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Что нужно сделать , чтобы найти числовое значение алгебраической	дроби	при заданных значениях входящих в неё букв ? .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения	дроби	в степень .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать	дроби	; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической	дроби	в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Любое натуральное число можно записать в виде	дроби	со знаменателем 1 .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить	дроби	к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Преобразовывая	дроби	, вы будете выполнять действия с одночленами и многочленами .
Например ,	дроби	неправильные .
Неправильную дробь , у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной	дроби	) .
Для этого из неправильной	дроби	нужно выделить целую часть .
Смешанное число можно представить в виде неправильной	дроби	.
Основное свойство	дроби	: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
При возведении алгебраической	дроби	в степень используется формула .
Умножить	дроби	.
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
Понятия	дроби	и алгебраической дроби в книге И. Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Глава V Алгебраические	дроби	.
С понятием обыкновенной	дроби	вы знакомы с 5 класса .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой	дроби	перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь , приводить	дроби	к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство	дроби	и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
Основное свойство	дроби	.
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя	дроби	на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель	дроби	, например .
Сложить	дроби	.
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной	дроби	на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Итак , для сокращения	дроби	нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель , считая , что он не равен нулю .
Чем являются числитель и знаменатель алгебраической	дроби	?
Что называют значением алгебраической	дроби	? .
Сформулировать основное свойство	дроби	.
Найти значение алгебраической	дроби	.
Используя основное свойство	дроби	, заменить букву а алгебраическим или числовым выражением так , чтобы равенство было верным .
Если к числителю некоторой	дроби	прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Показать , что данные две	дроби	равны .
Нужно вспомнить : основное свойство	дроби	; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Разложить на множители числитель и знаменатель	дроби	и сократить её .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной	дроби	прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Алгебраические	дроби	в древности .
Интересно , древние учёные знали алгебраические	дроби	? .
Так как в алгебраической	дроби	буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя	дроби	меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Например , для	дроби	— допустимыми являются все значения а , кроме .
Например , значение алгебраической	дроби	при равно .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь , приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства	дроби	.
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель	дроби	( на сколько частей разделено целое ) и числитель дроби ( сколько частей взято ) .
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель дроби ( на сколько частей разделено целое ) и числитель	дроби	( сколько частей взято ) .
А молодому человеку приближаться к совершенству всегда можно и нужно через увеличение числителя	дроби	, совершенствуя и развивая хорошие качества .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической	дроби	и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой	дроби	на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической	дроби	являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Чтобы перемножить две десятичные	дроби	, нужно : 1 ) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые ;
Из - за того что в арифметике не всегда получалось деление нацело одного числа на другое , придумали обыкновенные	дроби	.
А так как в алгебре не всегда получалось деление нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические	дроби	.
В этом вы убедитесь при обобщении основного свойства	дроби	, которое будет рассмотрено в этом параграфе .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной	дроби	; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной	дроби	; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Числитель этой	дроби	, а её знаменатель .
Доли и	дроби	.
В алгебраической	дроби	числитель и знаменатель — алгебраические выражения .
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти	дроби	к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Если вместо букв , входящих в алгебраическую дробь , подставить числа , то после вычислений получится значение этой алгебраической	дроби	.
Натуральные числа и	дроби	, большие нуля , называют положительными числами .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых знаменатель этой	дроби	не равен нулю .
Следовательно , данные	дроби	можно записать так .
Используя основное свойство	дроби	, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
3 ) Если вычисляется значение дроби , то сначала выполняются действия в числителе	дроби	и в знаменателе , а затем первый результат делится на второй .
3 ) Если вычисляется значение	дроби	, то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе , а затем первый результат делится на второй .
При решении задачи использовалась запись ( черта	дроби	заменяет знак деления ) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если	дробная	часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Любое число , знаменатель	дробной	части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной дроби .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше	дробной	части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести	дробные	части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы сложить смешанные числа , нужно : 1 ) привести	дробные	части этих чисел к общему знаменателю ;
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и	дробными	числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и	дробными	числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно	дробных	частей ;
если при сложении	дробных	частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно	дробных	частей .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную	дробь	, нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Упростить	дробь	.
записать каждую	дробь	с найденным числителем и общим знаменателем .
если при сложении дробных частей получилась неправильная	дробь	, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Сократить	дробь	и найти её значение при .
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту	дробь	, получим .
Что такое допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта	дробь	не может быть целым числом .
Найти исходную	дробь	.
то получится	дробь	, равная .
Каковы допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта	дробь	при не может быть целым числом .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать	дробь	, приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Он говорил , что человек есть	дробь	.
Неправильную	дробь	, у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
24 Алгебраическая	дробь	.
Смотри , как красиво получается , если каждую	дробь	вида заменить разностью .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится	дробь	, равная данной .
Как возвести алгебраическую	дробь	в степень ? .
Начни выписывать аккуратно все множители после действий в скобках и посмотри , как упрощается получаемая после умножения	дробь	.
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится	дробь	, равная данной .
Возвести в степень	дробь	.
Если вместо букв , входящих в алгебраическую	дробь	, подставить числа , то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую	дробь	, могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых знаменатель этой дроби не равен нулю .
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей	дробь	, например .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую	дробь	на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
Сократить	дробь	: 1 ) Одночлены имеют общий множитель 4ab .
Как найти допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
Например ,	дробь	правильная .
Найти все целые числа n , при которых	дробь	является целым числом .
Как сократить алгебраическую	дробь	? .
Алгебраическая	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .