Левый контекст	Термин	Правый контекст
Действительно , существует большая ветвь алгебры под названием «	Алгебра	многочленов » .
	Алгебра	первоначально развивалась из - за необходимости решения практических задач , в которых по известным величинам нужно было найти неизвестную .
	Алгебра	многочленов в учебнике « Арифметика » Л. Ф. Магницкого .
1	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическая сумма	— это запись , состоящая из нескольких алгебраических выражений , соединённых знаками « + » или « – » .
Глава I	Алгебраические выражения	.
Глава 1	Алгебраические выражения	.
2	Алгебраические выражения	.
	Вес	всех воробьёв больше веса всех ласточек .
	Возвести	одночлен в степень .
	Возвести	в степень произведение .
	Возвести	в степень дробь .
	Вынести за скобки	общий множитель .
	Выражение	является произведением многочленов .
	Выражение	алгебраическое .
	Выражение	, стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
	Выражение	— разность двух одночленов аb и с2 или сумма одночленов .
	Выражение	— сумма двух одночленов и b2 .
	Выражение	числовое 7 .
	Выражение	аn читается так : « Степень числа а с показателем я » — или коротко : « а в степени я » .
	Выражение	называют алгебраической дробью .
	Выражение	называют алгебраической суммой .
	Выражение	является произведением трёх одночленов .
	Выражение	является произведением четырёх множителей , из которых первый — число , а три следующих — буквы а , b , с .
	Выражения	, содержащие деление одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
	Вычитаем	из него сумму его цифр .
	Вычитание	можно заменить сложением с противоположным числом .
	Вычитание	многочленов .
2	Вычитание	.
	Вычитание	.
	Вычитание	алгебраических дробей .
	Вычитая	из первого уравнения системы ( 2 ) второе уравнение , получаем . 3 ) Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , запишем ответ .
2	Граф	- дерево .
	Граф	имеет 6 рёбер , значит , и партий было сыграно 6 .
	График	проходит через точки , так как при х. Поэтому график функции у можно также построить по трём точкам .
	График	этой функции показан .
	График	этой функции изображён .
	График	функции изображён .
	График	функции у получается сдвигом графика функции y на b единиц вдоль оси ординат .
Построить график функции у , если известно , что ему принадлежит точка В.	График	какой из этих функций проходит через точку .
	График	функции у(х ) — ломаная ABODE , где .
	График	функции .
	График	функции y проходит через точки и .
	График	функции — ломаная EFKLM , где .
	График	функции y проходит через точку .
	График	функции у проходит через точку .
	Графиками	функций являются параллельные прямые .
	Графики	функций у .
	Графики	функций широко применяются в практике .
	Графиком	функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
	Графиком	какой из следующих функций является эта прямая : у ? .
	Группу	из 12 детей детского сада ежедневно выводят на прогулку парами .
	Двучлен	является суммой двух одночленов : 300 nm и 500 nm .
	Двучлен	.
	Деление	.
	Деление	многочлена на одночлен .
1	Деление	одночлена на одночлен .
	Деление	алгебраических дробей .
18	Деление	одночлена и многочлена на одночлен .
3	Деление	.
	Деление	многочлена на одночлен вы сами легко запишете с помощью уголка .
	Деление	можно заменить умножением на число , обратное делителю .
	Деление	одночлена на одночлен .
2	Деление	многочлена на одночлен .
	Деление	многочлена на многочлен .
	Деление	степеней .
	Делителем	натурального числа а называют натуральное число , на которое а делится без остатка .
	Делители	и кратное .
	Делится	ли на 3 ; на 5 сумма .
	Дерево	вариантов даёт наглядное представление о том , как применяется правило произведения для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 , числа элементов .
4	Десятичные	дроби .
	Длина	участка прямоугольной формы на 10 м больше , а ширина на 25 м меньше стороны участка , имеющего форму квадрата .
	Длина	прямоугольника на 5 см больше его ширины .
	Длина	окружности радиуса R выражается формулой площадь круга радиуса R выражается формулой .
	Длина	листа 80 см , по 7 см он оставляет слева и справа от заголовка .
	Доказательство	делимости .
	Дробная	часть числа .
	Дробные	выражения в формулах естественных наук .
	Дробь	, у которой числитель меньше знаменателя , называют правильной дробью .
	Дробь	, у которой числитель больше знаменателя или равен ему , называют неправильной дробью .
	Зависимая переменная	.
	Знак	числа х .
	Знак	вычитания « А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
	Знаменатель	показывает , на сколько равных долей делят целое , а числитель — сколько таких долей взято .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как	Значение	алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
	Квадрат	двузначного числа содержит нечётное число десятков .
	Квадрат	суммы .
	Квадрат	разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	разности .
	Квадрат	со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а стороны параллельны осям координат .
	Квадрат	со стороной 5 единиц содержит единичных квадратиков .
	Квадратные	числа .
Халамайзер А. Я.	Комбинаторика	и бином Ньютона : пособие для учащихся 9–10 кл .
	Комбинаторика	как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта вариантов стала нуждаться новая математическая теория — теория вероятностей .
	Комбинаторика	и анаграммы .
	Комбинаторные	задачи постоянно возникают во время настольных и компьютерных игр .
	Координаты	точки пересечения прямых можно было найти с помощью графика .
	Координаты	точки .
	Корень	уравнения .
	Корень	этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
	Корнем	уравнения называется то значение неизвестного , при котором это уравнение обращается в верное равенство .
	Коэффициент	, равный 1 , обычно не записывают , так как от умножения на единицу число не меняется .
	Коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	пропорциональности .
	Коэффициент	этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
	Куб	со стороной 5 единиц содержит единичных кубиков .
2	Латинские квадраты	.
	Линейная	функция задана формулой .
Глава VI	Линейная	функция и её график .
32	Линейная	функция и её график .
	Линейной	функцией называется функция вида , где k и b — заданные числа .
	Линейную	функцию можно назвать важнейшей , так как очень много законов природы и практических взаимосвязей выражаются с помощью этой функции .
	Линейные	уравнения он , конечно , умел решать .
	Магические квадраты	.
	Магического квадрата	размером 2×2 не существует .
	Многочлен	также записан в стандартном виде .
Например , членами многочлена являются одночлены	Многочлен	, состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
	Многочлен	.
	Многочленом	называется алгебраическая сумма нескольких одночленов .
	Множители	, записанные с помощью цифр , называются числовыми множителями , а множители , обозначенные буквами , — буквенными множителями .
	Модулем	числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
	Мощность	электрического прибора Р находится по формуле , где I — сила проходящего через прибор тока , U — напряжение на приборе .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем (	НОД	) этих чисел .
Например ,	НОД	чисел 12 и 18 является число 6 .
Записывают :	НОД	( 12 , 18 ) равно 6 .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения НОК и	НОД	, неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления площади прямоугольника и другие .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения	НОК	и НОД , неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления площади прямоугольника и другие .
Наименьшим общим кратным (	НОК	) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
	Найдите	двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
	Найдите	идеальный вес человека при росте 150 см ; 160 см ; 171 см .
	Найдём	стороны этого прямоугольника .
	Найдём	площадь прямоугольника , основание которого равно 3 , а высота равна х.
	Найдём	а .
	Найдём	координаты точки пересечения построенных прямых , не используя графики .
	Найдём	.
	Найти	точки пересечения графика функции у с осями координат и построить график .
	Найти	скорость течения реки .
1	Найти	: 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
	Найти	координаты точки пересечения прямых .
2	Найти	число секунд в часе ; в сутках .
	Найти	исходное число .
	Найти	значение алгебраического выражения при а равно 10 , b равно 5 .
Вычислить :	Найти	сумму и разность многочленов .
Площадь прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см.	Найти	другую сторону прямоугольника .
	Найти	числовое значение выражения при .
	Найти	объём V этой детали , если объём шара находится по формуле , где R — радиус шара .
	Найти	значение выражения при .
	Найти	значение выражения а2 , если а равно .
	Найти	цифру единиц этого двузначного числа .
2	Найти	значение А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
	Найти	координаты точки пересечения графиков функций .
	Найти	значение k , если известно , что график функции у проходит через точку .
	Найти	расстояние между Тверью и Санкт - Петербургом .
	Найти	значение b , если известно , что график функции проходит через точку .
	Найти	площадь закрашенной фигуры .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , если значение х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
	Найти	.
	Найти	значение х , при котором функция принимает значение , равное 0 ; – 2 .
	Найти	значение числового выражения .
	Найти	скорости пешехода и велосипедиста , если известно , что расстояние АВ равно 27 км .
	Найти	общий знаменатель дробей .
	Найти	расстояние между двумя пунктами , если пассажирский поезд проходит это расстояние на 2 ч быстрее , чем товарный .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
	Найти	количество людей и стоимость курицы .
	Найти	по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
	Найти	средний рост мальчиков класса , если результаты измерения их роста ( в сантиметрах ) оказались следующими .
	Найти	среднее значение температуры ( измеряемую в полдень ) за первую декаду июля , если ежедневные замеры были следующими .
	Найти	среднюю скорость движения велосипедиста за время всей поездки , если расстояние от дома до дачи равно 6 км .
	Найти	расстояние между пристанями А и С .
	Найти	это число .
	Найти	скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки .
	Найти	: Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
	Найти	х .
	Найти	рациональным способом значение выражения .
	Найти	неизвестное число х из пропорции .
60 к.	Найти	цену тетради и карандаша .
	Найти	два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
	Найти	расстояние s ( в км ) между посёлком и городом , если автобус двигался со скоростью v ( в км / ч ) .
5	Найти	время , за которое велосипедист преодолевает расстояние в 20 км , если движется со скоростью 8 км / ч .
4	Найти	расстояние , которое проходит путник за 3 ч , двигаясь со скоростью 4 км / ч .
	Найти	числовое значение алгебраического выражения .
1	Найти	значение выражения , если .
	Найти	значение х , при котором значение у равно .
	Найти	значение х , если .
25	Найти	в ряду натуральных чисел : 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
	Найти	значение каждой из функций Р(х ) и при .
	Найти	значение m при .
	Найти	тормозной путь этих автомобилей при скорости 60 км / ч .
	Найти	число способов расставить 8 ладей на шахматной доске так , чтобы они не могли бить друг друга .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы длиной 350 м за 26 с.	Найти	длину электрички и её скорость .
	Найти	периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
	Найти	площадь каждого участка .
	Найти	координаты вершин квадрата .
	Найти	: 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
	Найти	координаты точки D и построить квадрат .
	Найти	координаты точек .
	Найти	значение X , при котором значение у равно – 1 .
3	Найти	число граммов в центнере ; в тонне .
	Найти	собственную скорость движения катера и скорость реки .
	Найти	по графику путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены графики движения автомобиля и автобуса .
	Найти	допустимые значения букв , входящих в дробь .
	Найти	все значения х , при которых верно равенство .
	Найти	значение алгебраической дроби .
	Найти	последнюю цифру числа .
16	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
14	Найти	значение выражения .
12	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	длину и ширину участка прямоугольной формы .
	Найти	сторону первого квадрата .
	Найти	все пары целых чисел х и у , при которых справедливо равенство .
	Найти	все целые числа n , при которых дробь является целым числом .
	Найти	длину и ширину данного прямоугольника .
5	Найти	число , 35 % которого равны 140 .
4	Найти	48 % от числа 200 .
	Найти	координаты точки пересечения графика функции с графиком функции у равно 5 .
	Найти	числовые значения выражений при х равно 1 ; х равно 0 ; х равно – 8 .
	Найти	: 1 ) толщину льда через 2 суток ; 2 ) число суток , по прошествии которых толщина льда была 55 мм .
	Найти	координаты точек пересечения с осями координат прямой .
	Найти	произведение дробей .
	Найти	t .
	Найти	стоимость открытки .
	Найти	произведение одночленов .
	Найти	по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Найти по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 )	Найти	по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
	Найти	разность дробей .
	Найти	частное дробей .
	Найти	координаты точек пересечения прямой с осями координат .
	Найти	исходную дробь .
	Найти	скорость течения реки и собственную скорость теплохода .
	Найти	значение k , если известно , что график функции проходит через точку .
	Найти	частное .
	Найти	наименьшее общее кратное чисел .
	Найти	числовое значение выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить дробь .
	Найти	координаты точки их пересечения .
	Найти	число a .
	Найти	значения k и b , если известно , что график функции проходит через точки .
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3	Найти	периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
	Найти	стороны треугольника , если его периметр равен 36 см .
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см.	Найти	стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
	Найти	число .
	Найти	объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами .
	Найти	координаты точек пересечения графика с осями координат .
При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6 ° С. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 ° С.	Найти	формулу , выражающую изменение температуры Т воды в зависимости от времени t ( в минутах ) её нагревания .
32	Найти	значение числового выражения , используя законы и свойства арифметических действий .
	Найти	значение k , если график функции y проходит через точку .
2	Найти	: 1 ) 20 % от числа 250 ; 2 ) число , если 15 % его равны 60 .
	Найти	числовое значение многочлена .
	Найти	коэффициент k и заполнить таблицу : 1 ) Велосипедист движется со скоростью 10 км / ч .
	Найти	а и b .
	Найти	скорость лодки в стоячей воде , если она прошла всего 52,2 км , а скорость течения реки равна 3 км / ч . 2 ) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч .
	Найти	значения выражений .
	Найти	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями уравнения : ( Устно . )
	Найти	значение алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
	Найти	скорость лодки , если скорость течения реки равна 3,5 км / ч . 1 ) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить собственную скорость пловца , считая её постоянной от начала и до конца заплыва , если скорость течения реки равна 0,25 м / с . 2 ) Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению за 3 ч 30 мин , а против течения за 6 ч 18 мин .
	Найти	скорости поездов , если известно , что через 2 ч после начала движения расстояние между ними было 30 км . 2 ) Из городов А и В , расстояние между которыми 230 км , одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста .
	Найти	скорости мотоциклистов , если скорость одного на 10 км / ч меньше скорости другого .
	Найти	координаты точки пересечения стороны СЕ с осью Ох .
	Найти	площадь поверхности стены , занятой шкафами , размеры которых указаны .
	Найти	в словаре ( или в Интернете ) трактовку понятия коэффициент .
	Найти	значение многочлена .
	Найти	массу каждого из трёх первых искусственных спутников Земли .
	Найти	координаты точки пересечения стороны АВ с осью Оу .
	Найти	сумму и разность многочленов .
	Найти	значение алгебраического выражения .
	Найти	произведение многочлена и одночлена .
	Найти	« столбиком » разность многочленов .
	Найти	: 1 ) 30 % от числа 60 ; 2 ) число , 30 % которого равны 60 .
6	Найти	значение числового выражения .
	Найти	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями уравнения .
	Найти	площадь прямоугольника со сторонами .
	Найти	числовое значение одночлена .
	Найти	: 1 ) значение у при ; 2 ) значение х , если у. Построить график зависимости у от х .
	Найти	: 1 ) значение у при ; 2 ) значение х при .
	Найти	у и значение х , при котором значение функции равно 89 .
	Найти	n , если .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В.	Найти	площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
2	Найти	время движения лодки между пристанями А и В по течению и против течения реки , если расстояние АВ равно 45 км , скорость лодки — 7 км / ч , а скорость течения реки — 2 км / ч .
	Найти	k и b .
	Найти	эти числа .
	Найти	значение х , при котором разность выражений равна выражению .
	Найти	число , если 40 % его равны 96 .
	Найти	15 % от 300 кг .
	Найти	значение выражения .
	Найти	значение одночлена .
	Найти	количество витков пружины , если зазор между витками пружины должен составлять 8 мм .
	Найти	длину участка .
	Найти	три последовательных нечётных числа , сумма которых равна 81 .
	Найти	длину и ширину участка .
	Найти	значение одночлена при .
	Найти	площадь данного прямоугольника .
	Найти	с1 , и с2 .
	Найти	шестую степень числа , если : 1 ) его квадрат равен ;
	Натуральное	число , которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
	Натуральное	число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число .
	Натуральное	число N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
	Натуральное	число называют составным , если оно имеет более двух делителей .
	Натуральное число	N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
	Натуральное число	, которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
	Натуральное число	называют составным , если оно имеет более двух делителей .
	Натуральное число	называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число .
	Натуральные	числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 .
1	Натуральные	числа .
	Натуральные	числа и дроби , большие нуля , называют положительными числами .
	Натуральные	числа , числа им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
1	Натуральные числа	.
	Натуральные числа	, числа им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
	Натуральные числа	и дроби , большие нуля , называют положительными числами .
	Натуральные числа	называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 .
	Необходимое	число часов сна для человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле , где х — возраст в годах , у — число часов сна .
	Неправильную дробь	, у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
	Нуль	не относят к натуральным числам .
	Обратная	пропорциональность у равно — представлена таблицей .
2	Обыкновенные дроби	.
	Одночлен	.
11	Одночлен	.
	Одночлен	считают многочленом , состоящим из одного члена .
Сократить дробь : 1 )	Одночлены	имеют общий множитель 4ab .
	Оператор	на компьютере за восьмичасовой рабочий день может набрать р страниц текста .
	Описать	связь взаимного расположения прямых и числа решений системы соответствующих уравнений .
	Определители	второго порядка и правило Крамера .
	Ордината	точки пересечения и даст соответствующее значение функции .
	Ордината	этой точки равна 0 .
	Основание	степени .
	Остаток	всегда меньше делителя .
	Отнимем	от обеих частей последнего равенства число а2 .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго .
3	Отношения	и пропорции .
	Периметр	прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
	Периметр	равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
	Плоскость	, на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью .
	Площадь	S треугольника находят по формуле , где а — основание треугольника , h — его высота .
	Площадь	земельного участка , имеющего форму квадрата , на 700 м2 больше площади другого участка , имеющего прямоугольную форму .
	Площадь	прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см. Найти другую сторону прямоугольника .
	Площадь	этого прямоугольника равна .
	Поверхность	земного шара составляет более 510 млн км2 , объём Земли свыше 1000 млрд км3 .
	Поверхность	стены , занятая шкафами , является прямоугольником .
	Подобные	одночлены подчеркнём двумя чертами .
	Подобных	одночлену нет , его подчёркивать не будем .
	Показатель	степени .
	Поле	имело форму прямоугольника , длина которого равна а километрам , ширина — b километрам .
1	Полный граф	.
	Порядок	действий 8 Правила раскрытия скобок .
	Правая	часть равенства оказалась равной левой части , равенство доказано .
	Приведя	подобные члены , получим .
	Приведя	дроби к общему знаменателю , найдём .
	Приведём	подобные члены в обеих частях этого равенства , получим .
	Приведём	ещё примеры алгебраических сумм .
	Привести	пример выражения , содержащего слагаемое , подобное 12а .
	Привести	пример применения правила произведения для подсчёта комбинаций из трёх ; четырёх элементов .
	Привести	к стандартному виду многочлен .
	Привести	дроби к общему знаменателю .
	Привести	к стандартному виду одночлен .
	Привести	к общему знаменателю дроби .
	Привести	пример упрощения вычислений с помощью формулы разности квадратов .
	Привести	к общему знаменателю дроби Разложим на множители знаменатели дробей .
	Привести	к общему знаменателю .
	Привести	алгебраические дроби общему знаменателю .
	Привести	подобные слагаемые .
	Привести	пример системы двух линейных уравнений : 1 ) имеющей единственное решение ; 2 )
	Привести	подобные члены .
	Привести	пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
	Привести	многочлен к стандартному виду .
	Привести	примеры линейных уравнений .
	Привести	многочлен к стандартному виду и выяснить , при каких значениях х его значение равно 1 : 1 ) Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди , 2 части цинка и одна часть олова .
3	Привести	формулы чётного и нечётного чисел .
	Привести	к многочлену стандартного вида произведение .
2	Привести	пример верного ; неверного числового равенства .
3	Привести	примеры числовых и алгебраических выражений .
3	Привести	числовые примеры применения каждого из свойств действий со степенями .
	Привести	пример : 1 ) одночлена , который не делится на одночлен ;
	Привести	примеры применения правила произведения для подсчёта пар элементов .
	Произведение	первого и второго чисел на 34 меньше квадрата третьего .
Рассмотрим утверждение : «	Произведение	любых двух натуральных чисел есть число чётное » .
	Произведение	двух чисел , одно из которых чётное , само будет чётным .
	Произведение	первых n натуральных чисел в математике обозначают n ! ( читается « эн факториал » ) .
	Произведение	числовых и буквенных множителей называют одночленом .
	Пропорциональная	зависимость прямая .
	Пропорциональная	зависимость обратная .
	Пропорцию	записывают в виде .
	Противоположные числа	— это два числа , сумма которых равна нулю .
	Процентом	называется одна сотая часть .
5	Проценты	.
	Прямая	ОА проходит через начало координат и точку .
	Прямая	, проходящая через точки , является графиком функции .
	Прямая	пропорциональная зависимость — частный случай функции , где х — любое число .
	Прямая	пропорциональная зависимость площади S прямоугольника от его ширины х представлена таблицей .
29	Прямоугольная	система координат на плоскости .
	Прямые	углы , образуемые осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
2 )	Прямые	параллельны , не имеют общих точек .
	Прямые углы	, образуемые осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
	Путь	, пройденный лодкой по течению , оказался на 13,2 км длиннее пути , пройденного против течения .
	Путь	от фермы до города идёт сначала горизонтально , а затем в гору .
	Равенства	называют формулами суммы и разности кубов .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Равенство	, содержащее неизвестное число , обозначенное буквой , называется уравнением .
	Разделив	на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
	Разделив	массу камня на его объём , получим искомую плотность .
	Разделив	числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
	Разделив	обе части последнего равенства на 4 , найдем а равно 3 .
	Разделить	разность многочленов .
Глава IV	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители многочлена .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложить	многочлен на множители удалось потому , что все члены этого многочлена имеют общий множитель а .
	Разложить	на множители многочлен и найти его числовое значение при .
	Разложить	на множители многочлен .
	Разложить	на множители числитель и знаменатель дроби и сократить её .
	Разложить	на множители каждое из выражений .
	Разложить	многочлен на множители .
	Разложить	данное выражение на множители .
	Разложить	на множители трёхчлен .
	Разложить	многочлен на множители и результат проверить умножением .
	Разложить	на множители .
	Разносторонняя	научная деятельность Исаака Ньютона .
	Разность	квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
	Разность	кубов каких двух последовательных натуральных чисел равна 331 ? .
	Разность	квадратов .
6	Рациональные	числа .
6	Рациональные числа	.
	Ребро	куба равно k сантиметров .
	Решение	задач с помощью систем уравнений .
	Решение	системы .
	Решение	задачи 1 можно записать иначе .
	Решение	уравнений в Древней Индии .
	Решение	систем линейных уравнений в Древнем Китае .
8	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	систем линейных уравнений с тремя неизвестными .
	Решение	уравнений в Древней Греции .
	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	этой задачи выглядит следующим образом .
	Решение	систем линейных уравнений в Древней Индии .
	Решение	очевидно : а равно 9 ; b равно 8 .
	Решение	многих практических задач сводится к решению уравнений , которые можно преобразовать в уравнение вида , где а и b — заданные числа , х — неизвестное .
	Решение	системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат точки пересечения .
7	Решение	уравнений с одним неизвестным , сводящихся к линейным .
	Решением	системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство .
	Решением	уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство .
	Решений	нет .
	Решения	уравнений с одним неизвестным , которые сводятся к линейным , основаны на свойствах верных равенств .
	Система	уравнений — пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
	Система	координат прямоугольная .
	Система	имеет единственное решение .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : «	Система	( от греческого слова σύστημα — целое , составленное из частей ) — это множество элементов , находящихся в отношениях и связях друг с другом , образующих целостность , единство » .
	Система	двух уравнений с двумя неизвестными .
	Система координат	прямоугольная .
	Системы	уравнений в древнекитайском трактате .
Глава VII	Системы	двух уравнений с двумя неизвестными .
	Системы	уравнений .
	Складывая	затем число при каждой вершине с числом на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
	Складывая	эти уравнения , находим .
	Скобки	в числовом выражении указывают на порядок выполнения действий .
	Сложение	алгебраических дробей .
1	Сложение	и умножение .
	Сложение	многочленов .
	Сложение	столбиком начинается с разряда единиц .
	Сложение	и вычитание алгебраических дробей .
	Сложение	и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
	Сложение	.
15	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложить	дроби .
	Смешанное число	можно представить в виде неправильной дроби .
	Собственная	скорость моторной лодки и километров в час , а скорость течения реки километров в час .
	Собственная	скорость движения катера 25 км / ч , скорость течения реки 5 км / ч .
28	Совместные	действия над алгебраическими дробями .
	Сократить	дробь и найти её значение при .
	Сократить	дробь .
Найти числовое значение выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 )	Сократить	дробь .
	Сократить	дробь : 1 ) Одночлены имеют общий множитель 4ab .
	Сократить	дробь ;
известный в	Средней	Азии учёный Мухаммед бен Мусса ал - Хорезми .
Цейтен И. Г. История математики в древности и в	Средние	века : пер. с франц .
Помните , я рассказывал вам о методе ложного положения , которым пользовались в	Средние	века для решения одного линейного уравнения ?
В	Средние	века мусульманские и христианские народы были разобщены .
В	Средние	века алгоритмом называли любой научный труд , в котором решались вопросы арифметики , вычислений .
	Степени	бинома .
	Степень	многочлена .
	Степень	числа .
Выражение аn читается так : «	Степень	числа а с показателем я » — или коротко : « а в степени я » .
	Степень	одночлена .
9	Степень	с натуральным показателем .
	Степенью	числа а с натуральным показателем я , большим 1 , называется произведение я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
	Степенью	числа а с показателем 1 называется само число а .
	Сторона	первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
	Сторона	квадрата равна а единиц .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 10 .
	Сумма	вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на р% .
	Сумма	трёх этих чисел равна , где p равно .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 12 .
	Сумма	цифр задуманного числа равна .
	Сумма	двух чисел равна 30 .
	Сумма	цифр двузначного числа меньше 10 .
	Тело	движется равномерно со скоростью 4 км / ч . 1 )
	Тело	, двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном пути ? .
	Точка	пересечения этих перпендикуляров — искомая точка М .
	Точка	графика с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
	Третью	цифру к уже двум имеющимся можно было , согласно правилу произведения , приписать способами , существует всевозможных трёхзначных чисел , записанных с помощью цифр 0 , 1 и 2 .
	Третья	часть от 3 равна 1 , да ещё само число , получается 4 .
«	Треугольник	» коэффициентов похож на равнобедренный .
	Треугольные	числа .
	Умножая	обе части этого уравнения на 105 ( наименьшее общее кратное чисел 21 и 15 ) , получаем откуда x равно 17,5 .
	Умножая	числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	нескольких многочленов нужно делать поочерёдно , например .
16	Умножение	многочлена на одночлен .
12	Умножение	одночленов .
27	Умножение	и деление .
	Умножение	и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
	Умножение	.
	Умножение	алгебраических дробей .
	Умножение	одночлена на многочлен производится по тому же правилу , так как при перестановке множителей произведение не меняется , например .
	Умножение	многочлена на одночлен .
	Умножение	одночлена на одночлен .
	Умножение	степеней с одинаковыми основаниями .
	Умножение	многочленов столбиком .
	Умножив	обе части уравнения на общий знаменатель дробей , т .
	Умножив	обе части этого равенства на b , получим верное равенство .
	Умножим	первое уравнение системы на 2 .
	Умножим	сумму двух чисел на их разность .
	Умножить	число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
	Умножить	и разделить данное выражение на , затем 5 раз применить формулу , получится .
	Умножить	дроби .
	Уравнение	.
	Уравнение	первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнение	линейное .
	Уравнение	называют линейным уравнением .
	Уравнение	имеет три корня : 3 , – 4 и 5 .
	Уравнение	может иметь бесконечно много корней .
	Уравнение	может и не иметь корней .
	Уравнение	является примером уравнения первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнение	можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому графиком уравнения является прямая .
3	Уравнение	и его корни .
	Уравнение	может иметь два корня , три корня и т .
	Уравнение	вы могли решить ещё в 6 классе .
	Уравнением	первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю .
Глава II	Уравнения	с одним неизвестным .
	Уравнения	такого вида решались ещё в древности при астрономических и календарных расчётах .
	Уравнения	первой степени с двумя неизвестными .
	Уравнения	вида с часто называют линейными уравнениями с двумя неизвестными .
	Фокус	с угадыванием задуманного числа .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): «	Функцией	переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
	Функция	задана формулой .
	Функция	.
2	Функция	может быть задана таблицей , например .
1	Функция	может быть задана формулой .
3	Функция	может быть задана графиком .
	Функция	линейная .
	Функция	y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
	Функция	и её график .
	Функция	может быть задана различными способами .
1	Функция	задана формулой у.
2	Функция	задана формулой у.
	Функция	у(х ) задана графиком .
	Функция	y задана таблицей .
	Функция	задана формулой , где s — путь ( в км ) и t — время ( в ч ) .
	Функция	у задана графиком .
30	Функция	.
Очевидно , например , что . 2 )	Целая	часть числа — наибольшее целое число , не превосходящее .
	Числа	, оканчивающиеся на 0 , 1 , 5 или 6 , после возведения в любую степень дают число , оканчивающееся той же цифрой .
Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m.	Числа	, которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
	Числа	, которые складывают , называют слагаемыми ; число , получающееся при сложении этих чисел , называют их суммой .
	Числа	они изображали в виде точек ( иногда выкладывали их камешками ) , группируя их в разные фигуры .
	Числа	от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами , числа от 10 до 90 ( через десяток ) — следующими девятью буквами , а числа от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
	Числа	, противоположные положительным числам , называют отрицательными числами .
	Числитель	— это сравнительно с другими — достоинства человека ; знаменатель — это оценка самого себя .
	Числитель	этой дроби , а её знаменатель .
	Число	сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц .
Век ;	Число	городов .
	Число	очков на I кости .
	Число	очков на II кости .
	Число	в 2 раза больше , чем число рёбер , так как при таком подсчёте каждое ребро учитывается дважды .
	Число	aba представим в виде суммы разрядных слагаемых .
	Число	страниц в двух книгах равно .
	Число	букв на каждой странице равно nm .
	Число	способов будет таким же , как и в задаче 2 .
	Число	делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
	Число	, из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , — вычитаемым .
	Число	.
	Число	же , записанное перед алгебраической дробью , означает их произведение , например .
	Число	, которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное число , называют рациональным числом .
	Число	3 здесь 8 называют числителем , а число 8 — знаменателем дроби .
	Число	12 имеет много делителей : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , что в практике важно .
	Число	50 называют корнем данного уравнения .
	Число	1 имеет один делитель — само это число .
Читается : «	Число	перестановок из эн элементов » , или « пэ из эн » .
	Число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 36 больше данного числа .
	Число	городов в России с веками увеличивалось .
	Число	а , если р% его равны числу b , находится по формуле .
	Число	, написанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 54 больше данного числа .
	Число	, которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
	Число	b , которое составляет р% от числа а , находится по формуле .
	Число	4350 содержит 4 тысячи , 3 сотни , 5 десятков и 0 единиц .
	Число	всевозможных перестановок из n элементов находят ( применив n минус один раз правило произведения ) так .
18	Число	содержит 4 сотни , b десятков и с единиц .
	Число	12 , в народе называемое дюжиной , у многих людей в разные времена пользовалось особой любовью и было положено в основу двенадцатеричной системы счисления .
	Член	многочлена .
	Член	уравнения . 1 )
	Членами	многочлена служат одночлены второй степени , четвёртой и третьей степеней .
	Ширина	участка 150 м , а длина всего забора 1 км .
	Ширина	прямоугольника на 15 м меньше его длины .
	Ширина	прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
	Ширина	каждой буквы и каждого просвета между словами в 2 раза больше просвета между буквами .
Если точка лежит на оси	абсцисс	, то её ордината равна нулю .
Ось	абсцисс	.
Определить , какая пара точек симметрична относительно : 1 ) оси	абсцисс	; 2 ) оси ординат ; 3 ) начала координат .
На оси	абсцисс	отмечены номера месяцев .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси	абсцисс	от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Какие особенности при записи координат имеют точки , лежащие : на оси	абсцисс	; на оси ординат ? .
На оси	абсцисс	отметим точку с координатой – 3 и проведём через неё перпендикуляр к этой оси .
Поэтому графиком этой функции является прямая , совпадающая с осью	абсцисс	.
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси	абсцисс	с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Итак , точка пересечения графика с осью	абсцисс	имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Найдём точку пересечения графика с осью	абсцисс	.
Так как	абсцисса	этой точки равна 0 , то у равно 4 .
В этой главе вы узнали , что такое : —	абсцисса	и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Что такое	абсцисса	точки М ; ордината точки М ? .
Если точка лежит на оси ординат , то её	абсцисса	равна нулю .
Например , в записи М(3 ; 5 ) число 3 —	абсцисса	, число 5 — ордината точки М .
Доказать , что отношение ординаты любой точки полученного графика к её	абсциссе	равно 4 .
Точка графика с	абсциссой	имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же	абсциссой	.
Назвать	абсциссу	и ординату точки .
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. Запись М(х ; у ) означает , что точка М имеет	абсциссу	х и ординату у.
Начало координат имеет	абсциссу	и ординату , равные нулю .
Сравнить с нулём	абсциссу	х и ординату у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Декарт при описании метода координат рассматривал изменение ординаты у точки , описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений	абсциссы	х этой точки .
После 2 ч работы	автомат	выполнил шестичасовую норму рабочего .
В цехе поставили	автомат	, производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего .
Какова производительность	автомата	? .
В своём трактате « Китаб ал - джабр ва - л - мукабала » ( от второго слова из названия трактата произошло слово	алгебра	) ал - Хорезми написал , что алгебра — это искусство решать уравнения .
В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков , причём обязательно один сдвоенный урок —	алгебра	.
Яглом И. М. Брошюры серии « Популярные лекции по математике » : Необыкновенная	алгебра	И. М. Яглом .
Помнишь , я рассказывал о том , что	алгебра	очень долго не отделялась от геометрии , пользовалась её терминами и наглядными образами ? .
Вы говорили нам , что	алгебра	выросла из практических задач геометрии .
В своём трактате « Китаб ал - джабр ва - л - мукабала » ( от второго слова из названия трактата произошло слово алгебра ) ал - Хорезми написал , что	алгебра	— это искусство решать уравнения .
Арифметика и	алгебра	Н. Н. Ченцов , Д. О. Шклярский , И. М. Яглом .
Профессор , во введении к главе сказано , что	алгебра	— это искусство решать уравнение , а также , что название алгебры связано со вторым словом в заголовке книги ал - Хорезми « Китаб ал - джабр ал - мукабала » .
Как говорилось во введении ,	алгебра	выросла из арифметики и обобщила с помощью букв свойства чисел и правила действий с ними .
А ты не забыла , что	алгебра	и геометрия помогали друг другу развиваться ?
Первоначально	алгебра	многие свои обоснования проводила с помощью геометрии .
Оба приёма основаны на одинаковых принципах и ведут к одной цели , причём арифметика — частным путём ,	алгебра	же — всеобщим » .
Перельман Я. И. Занимательная	алгебра	Я. И. Перельман .
Так как	алгебра	выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и равенств .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; —	алгебраическая сумма	; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Если к алгебраическому выражению прибавляется	алгебраическая сумма	, заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Если из алгебраического выражения вычитается	алгебраическая сумма	, заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Многочленом называется	алгебраическая сумма	нескольких одночленов .
Такое упрощение многочлена , при котором	алгебраическая сумма	подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
Ему вы и научитесь в этом параграфе , предварительно узнав , что такое	алгебраическая сумма	.
В равенствах а , b — любые числа или	алгебраические выражения	, например .
Ньютон называл буквы , знаки действий ,	алгебраические выражения	и уравнения языком алгебры .
Так записывали	алгебраические выражения	в наших школах во второй половине XX в .
Именно поэтому важно уметь упрощать	алгебраические выражения	.
При решении различных задач часто встречаются	алгебраические выражения	вида .
В равенствах а и b — любые числа или	алгебраические выражения	, например .
В алгебре часто рассматриваются	алгебраические выражения	, представляющие собой сумму или разность одночленов .
В алгебраической дроби числитель и знаменатель —	алгебраические выражения	.
Обычно	алгебраические суммы	вида записывают короче так .
С простейшими	алгебраическими выражениями	вы уже встречались .
Впервые действия с	алгебраическими выражениями	( в том числе с алгебраическими дробями ) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Свойства действий применяются также для преобразования	алгебраических выражений	с целью их упрощения .
Алгебраическая сумма — это запись , состоящая из нескольких	алгебраических выражений	, соединённых знаками « + » или « – » .
В этом параграфе продолжается изучение формул сокращённого умножения , упрощающих преобразования	алгебраических выражений	.
В этом параграфе будут разобраны примеры использования	алгебраических выражений	для записи алгебраических равенств , уравнений и формул .
3 Привести примеры числовых и	алгебраических выражений	.
Приведём ещё примеры	алгебраических выражений	.
Вы уже поняли , что с помощью	алгебраических выражений	можно описывать в общем виде реальные процессы , закономерности геометрии и физики .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений	алгебраических выражений	.
Изучаемый в этой главе материал ( запись формул , преобразование	алгебраических выражений	, раскрытие скобок ) позволяет ставить и решать непростые и интересные задачи .
Когда в I главе вы занимались с преобразованиями	алгебраических выражений	, уже тогда выполняли действия с одночленами и многочленами .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений	алгебраических выражений	при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Упрощение записей	алгебраических выражений	— одно из самых важных алгебраических умений .
Два	алгебраических выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют алгебраическое равенство .
24 Указать , какие числовые значения могут принимать буквы а и b в	алгебраических выражениях	.
В	алгебраических выражениях	встречаются и буквы .
Вы поймёте , почему буквы в	алгебраических выражениях	не всегда могут принимать любые значения .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в	алгебраических выражениях	с помощью скобок объединяют слагаемые в группы .
Приведём ещё примеры	алгебраических сумм	.
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	, предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
Это пример	алгебраического выражения	.
Найти числовое значение	алгебраического выражения	.
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение	алгебраического выражения	равно 2 при любом значении а .
Записать в виде	алгебраического выражения	: 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
16 Найти значение	алгебраического выражения	.
Записать в виде	алгебраического выражения	: 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Если из	алгебраического выражения	вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия	алгебраического выражения	и значения алгебраического выражения .
12 Найти значение	алгебраического выражения	.
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	при а равно 10 , b равно 5 .
4 Что называют значением	алгебраического выражения	? .
Иногда при разложении	алгебраического выражения	на множители за скобки выносят многочлен .
Числовое значение	алгебраического выражения	.
Например , значение	алгебраического выражения	равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным нулю значение	алгебраического выражения	? .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения	алгебраического выражения	.
Найти значение	алгебраического выражения	.
Условимся в дальнейшем при делении на	алгебраическое выражение	считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Если вместо каждой буквы , входящей в	алгебраическое выражение	, подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения .
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же	алгебраическое выражение	получается равная ей дробь , например .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить	алгебраическое выражение	, а затем вычислить его значение более рациональным способом .
Что такое допустимые значения букв , входящих в	алгебраическое выражение	? .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и	алгебраическое выражения	; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в	алгебраической сумме	слагаемыми являются .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в	алгебраической сумме	слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
В	алгебраической сумме	слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
Выражение называют	алгебраической суммой	.
1 Что называют	алгебраической суммой	? .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой	алгебраической суммы	.
Нужно вспомнить : понятие	алгебраической суммы	; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
3 Сформулировать правила заключения в скобки	алгебраической суммы	, если перед скобками ставится знак « + » ; знак « – » .
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие	алгебраической суммы	; решение линейных уравнений с одним неизвестным .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой	алгебраической суммы	на противоположный .
Если к	алгебраическому выражению	прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Заменяя вычитание сложением ,	алгебраическую сумму	можно записать по - другому .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать	алгебраическую сумму	в скобки .
Точно так же любую	алгебраическую сумму	многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Чтобы записать	алгебраическую сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены .
Что нужно сделать , чтобы записать	алгебраическую сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида ?
Записать	алгебраическую сумму	чисел .
Упростить	алгебраическую сумму	многочленов .
1 Что в	алгебре	подразумевают под буквами ? .
Следует сказать , что в	алгебре	двучлен часто называют биномом ( от лат .
В своей книге « Всеобщая арифметика » , изданной в 1707 г. , знаменитый английский учёный Исаак Ньютон ( 1642–1727 ) писал : « Вычисления производятся либо при помощи чисел , как в обыкновенной арифметике , либо при помощи букв , как в	алгебре	.
Геометрия помогает	алгебре	.
Математические софизмы в	алгебре	.
Поэтому материал этой главы , посвящённый использованию букв в	алгебре	, будет понятен всем — представляйте лишь , что за буквами спрятаны числа .
Какие скобки использовались в арифметике и	алгебре	? .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в	алгебре	, например , при сложении и вычитании многочленов столбиком .
В	алгебре	одна и та же буква может принимать различные числовые значения .
Наверное , многочленам в	алгебре	уделяется много внимания ? .
В	алгебре	часто рассматриваются алгебраические выражения , представляющие собой сумму или разность одночленов .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в	алгебре	подразумеваются числа , при этом в одном выражении одной буквой обозначают одно и то же число .
Буквенную символику , похожую на ту , которой сегодня пользуются в	алгебре	, ввёл известный французский математик Франсуа Виет ( 1540–1603 ) .
Действия с обыкновенными и алгебраическими дробями не имеют существенных различий , так как в	алгебре	под буквами подразумеваются числа .
А так как в	алгебре	не всегда получалось деление нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические дроби .
Профессор , а почему на занятиях	алгеброй	Вы так много говорите о геометрии ? .
Он решил написать трактат по астрономии , а для этого ему пришлось всерьёз заняться	алгеброй	и другими разделами математики .
Введение в	алгебру	в учебнике Л. Ф. Магницкого « Арифметика » .
Похожей на эту риторическую	алгебру	была наука и в Европе .
Составляя расписание уроков на понедельник для 7А класса , завуч хочет первым уроком поставить либо физику , либо	алгебру	, а вторым — либо русский язык , либо литературу , либо историю .
Чтобы успешно изучать	алгебру	, нужно знать свойства арифметических действий ( сложения , вычитания , умножения , деления ) .
В это же время были введены в	алгебру	термины « коммутативный » ( от латинского commutare — менять , перемещать ) и « дистрибутивный » ( от латинского distributus — разделённый , распределительный ) .
Как геометрией доказывали	алгебру	.
А от функций и уравнений можно через	алгебру	переходить в геометрию и возвращаться обратно .
Профессор , во введении к главе сказано , что алгебра — это искусство решать уравнение , а также , что название	алгебры	связано со вторым словом в заголовке книги ал - Хорезми « Китаб ал - джабр ал - мукабала » .
Ньютон называл буквы , знаки действий , алгебраические выражения и уравнения языком	алгебры	.
Вклад Диофанта в развитие	алгебры	.
говорил : « Основная задача	алгебры	— решение уравнений » .
Исследование многочленов составляет основу теории решения различных уравнений — важнейшей содержательной линии курса	алгебры	.
Действительно , существует большая ветвь	алгебры	под названием « Алгебра многочленов » .
Кто ввёл это понятие в курс	алгебры	? .
Алгоритм — это латинизированный перевод имени ал - Хорезми , одного из основоположников	алгебры	.
Тем не менее учебником Магницкого , в котором были изложены и основы	алгебры	, пользовались в российских школах более полувека .
Такие задачи исторически развивали язык	алгебры	и совершенствовали методы решения уравнений .
Вклад Рене Декарта в освобождение	алгебры	от влияния геометрии .
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных понятий	алгебры	— многочленом .
Рекомендуемая литература к курсу	алгебры	7–9 классов .
Труды таких известных учёных , как ал - Хорезми ( VIII – IX вв . ) , Омар Хайям ( ок . 1048 — после 1122 ) , ал - Каши ( XIV – XV вв . ) и др. , способствовали развитию	алгебры	.
Астрономический трактат Виет так и не дописал , зато его алгебраические труды , которыми он занимался ради астрономии , оказали существенное влияние на развитие	алгебры	.
Та формула , с которой я хочу вас познакомить , требует предварительного рассказа о тесной связи	алгебры	, арифметики и геометрии .
Да , но это была геометрия , изложенная языком	алгебры	.
Упражнения для повторения курса	алгебры	VII класса .
Поговорим о связях отдельных тем и понятий внутри	алгебры	.
О внутрипредметных связях в курсе	алгебры	.
За это его часто называют отцом	алгебры	.
Эта книга вышла в свет в 1707 г. и явилась продолжением и завершением трудов Виета , Декарта и других учёных в становлении современной	алгебры	.
История становления	алгебры	.
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника	алгебры	: кн .
Отец	алгебры	Ф. Виет .
Он отождествлял функцию с её	аналитическим	выражением , с формулой .
Заполнить таблицу значений функции при заданных значениях	аргумента	.
вплотную подошёл к представлению о функциях любого	аргумента	.
Полученное уравнение имеет	бесконечное множество	решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Я вспомнил , что мой старший брат в сочетании со словом	бином	произносит фамилию Ньютона .
Халамайзер А. Я. Комбинаторика и	бином	Ньютона : пособие для учащихся 9–10 кл .
Степени	бинома	.
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для разложения	бинома	, где а — любое , не только натуральное число .
Формула разложения	бинома	действительно носит имя Ньютона , и вполне заслуженно .
А если ты понял , как ведут себя показатели степеней а и b в слагаемых многочлена , то сможешь записать результат возведения	бинома	в 6-ю степень .
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения	бинома	в степень называют биномиальными коэффициентами .
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения бинома в степень называют	биномиальными	коэффициентами .
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом треугольнике » описал теорию составления треугольника	биномиальных	коэффициентов .
Ат - Туси составил таблицу для вычисления	биномиальных	коэффициентов в форме треугольника .
История создания треугольной таблицы	биномиальных	коэффициентов .
Следует сказать , что в алгебре двучлен часто называют	биномом	( от лат .
3	варианта	.
С помощью таблицы	вариантов	перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей вариантов , перечислить все двузначные числа , в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих чисел .
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m	вариантов	выбора второго элемента , то всего существует n×m различных пар с выбранными первым и вторым элементами .
С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей	вариантов	, перечислить все двузначные числа , в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих чисел .
Таблица	вариантов	.
Пользуясь таблицей	вариантов	, перечислить все двузначные числа , записанные с помощью цифр : 1 ) 3 , 4 , 5 ; 2 ) 7 , 8 , 9 .
Если существует n	вариантов	выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента , то всего существует n×m различных пар с выбранными первым и вторым элементами .
Комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта	вариантов	стала нуждаться новая математическая теория — теория вероятностей .
Для подсчёта числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица	вариантов	.
Таблица	вариантов	и правило произведения .
Сколько существует различных	вариантов	покупок для этих девочек ?
Перебор	вариантов	можно организовать следующим образом .
В задаче 2 пары АБ и БА были различными парами , так как нас интересовал и порядок рассаживания мальчиков ( поэтому в задаче 2	вариантов	было в 2 раза больше , чем в задаче 1 ) .
6	вариантов	.
Для удобства перечисления всех возможных	вариантов	рассаживания друзей будем записывать лишь первые буквы их имён .
Сколько у друзей есть	вариантов	( способов ) занять эти два места на стадионе ?
Учёные выделили основные типы комбинаторных задач , к которым сводятся многие проблемы перечисления и подсчёта комбинаций ,	вариантов	.
Удобство использования таблицы	вариантов	для подсчёта различных комбинаций из двух элементов рассмотрим при решении задач .
Сколько существует	вариантов	составления расписания на первые два урока ? .
Нужно вспомнить : сравнение натуральных чисел ; практические ситуации перебора	вариантов	.
60	вариантов	обедов .
Сколько различных	вариантов	расписания уроков может составить завуч на пятницу , если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы , истории и физики ? .
Сколько существует	вариантов	заполненных клеток после : 1 ) двух ходов ; 2 ) трёх ходов ; 3 ) четырёх ходов ? .
Сколько различных ( по сочетанию видов овощей )	вариантов	салатов можно приготовить ? .
Сколько существует	вариантов	такой покупки ?
Сколько различных	вариантов	обедов , состоящих из одного первого , одного второго и одного третьего блюда , можно составить из предложенного меню ? .
Дерево	вариантов	даёт наглядное представление о том , как применяется правило произведения для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 , числа элементов .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом	вариантов	.
Какое наибольшее число различных	вариантов	распределения медалей могли выдвинуть болельщики ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери	вариантов	перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Нередко подсчёт	вариантов	облегчают графы .
Подсчёт	вариантов	с помощью графов .
Сколько существует различных	вариантов	посещения футбольного матча для троих друзей ?
Сколько существует различных	вариантов	такого выбора двух мелков ? .
Сколько разных ( по сочетанию видов фруктов )	вариантов	компотов может сварить мама , если у неё имеется 7 видов фруктов ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора	вариантов	; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Записать все эти	варианты	.
Перечислить все возможные	варианты	установки в каждую вазу каждого букета .
Внешне отличные от него	варианты	квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Действительно , если к каждой паре мальчиков из записи , сидящих на 1-м и 2-м местах , добавить на 3-е место их друга , то будут составлены всевозможные	варианты	рассаживания мальчиков по трём местам .
Перечислить все	варианты	выбора лесником пары собак .
Перечислить все	варианты	, которыми это можно сделать .
Перечислить все возможные	варианты	обедов из трёх блюд ( одного первого , одного второго и одного третьего блюда ) , если в меню столовой имеются два первых блюда : щи ( щ ) и борщ ( б ) ; три вторых блюда : рыба ( р ) , гуляш ( г ) и плов ( n ) ; два третьих : компот ( к ) и чай ( ч ) .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных	величин	: пути от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества единиц товара ( при установленной цене за единицу ) , массы тела от объёма вещества и т .
В практике приходится находить среднее арифметическое любого количества однородных	величин	.
Исследование общих зависимостей двух	величин	связывают с именем французского учёного XIV в .
Их находят для того , чтобы легче было сравнивать числовые характеристики больших наборов схожих	величин	.
И было оно связано в основном с изменениями геометрических , физических и астрономических	величин	, с земельными расчётами , с ценами на товары и т .
Этот вид имеет важное значение для оценки и сравнения различных	величин	в естествознании и на практике .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих	величин	( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Учёные с древних времён наблюдали за взаимосвязями различных	величин	и пытались описывать эти связи формулами .
Если значения двух	величин	выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Буквенные обозначения	величин	используются в науке и , соответственно , в школьных предметах : в геометрии , физике , химии , информатике .
У всех изменений есть свои причины , а каждая изменяющаяся	величина	меняется потому , что что - то тоже становится другим .
Первые представления о зависимых переменных были связаны с геометрическими и физическими	величинами	.
Как я уже говорил , зависимости между	величинами	в древности не называли функциями , но их уже рассматривали .
е . приходится иметь дело с переменными	величинами	.
А для простейших практических задач в действиях со многими реальными физическими и геометрическими	величинами	им вполне хватало первого координатного угла .
А можно попробовать оценить	величину	этой суммы , сравнив её с каким - нибудь числом .
Напомню , что Декарт первым ввёл понятие переменной	величины	.
Всегда ли неизвестными обозначают	величины	, которые требуется найти в задаче ?
Учёные Древней Греции представляли	величины	не числами или буквами , а отрезками , которые обозначали буквами .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной	величины	и постоянных » .
Исторически понятие функции возникло одновременно с понятием переменной	величины	.
Профессор , а зачем нужно находить средние	величины	? .
Понятие функции , с которым вам предстоит познакомиться в этой главе , появилось одновременно с понятием переменной	величины	.
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной	величины	называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
Букву как обозначение неизвестной	величины	ввёл Диофант .
Комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта вариантов стала нуждаться новая математическая теория — теория	вероятностей	.
Сколько различных пар очков может появиться на	верхних гранях	костей ? .
Построить прямоугольник по координатам его	вершин	.
Найти : Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его	вершин	n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
При этом с помощью	вершин	изображают элементы некоторого множества ( предметов , людей , чисел ) , а с помощью рёбер — определенные связи между этими элементами .
Сколько рёбер имеет полный граф , у которого 25	вершин	? .
Решим задачу с помощью полного графа , имеющего n	вершин	.
Построить треугольник по координатам его	вершин	.
Найти координаты	вершин	квадрата .
Упражнения к главе VI . 1 ) Построить треугольник АВС по координатам его	вершин	.
Предлагают около	вершин	треугольника записать произвольные числа , например числа 2 , 6 и 7 .
Построить треугольник DCE по координатам его	вершин	.
Найти : Сколько рёбер имеет полный граф ( каждая	вершина	соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
Складывая затем число при каждой	вершине	с числом на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
Сказанное изобразим с помощью дерева , помещая в	вершины	графа первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Из каждой	вершины	выходят рёбер .
Даны три	вершины	квадрата ABCD .
Затем сложить эти числа попарно и результаты поставить на сторонах , соединяющих	вершины	, около которых стоят эти числа .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его	вершины	- точки могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Найдите идеальный	вес	человека при росте 150 см ; 160 см ; 171 см .
Старинные задачи . ( Из VII книги древнекитайского трактата « Математика в девяти книгах » . ) Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра , их взвесили ,	вес	совпал .
Если переместить 1 ласточку и 1 воробья , то	вес	как раз будет одинаковым .
Общий	вес	ласточек и воробьёв 1 цзинь .
Каков	вес	слитка золота и слитка серебра , каждого в отдельности ? .
Вес всех воробьёв больше	веса	всех ласточек .
Одна из формул для вычисления идеального	веса	человека m ( в килограммах ) при данном росте l ( в сантиметрах ) выглядит следующим образом .
Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек , их взвесили на	весах	.
После снятия с	весов	сосуда опустим в него камень ( часть воды при этом выльется ) .
Как с помощью чашечных	весов	, набора гирь и сосуда , наполненного водой , определить плотность камня рк , умещающегося в этом сосуде , если объём камня невозможно измерить непосредственно ? .
Определим с помощью	весов	отдельно массу камня mк и массу наполненного до краёв сосуда с водой m1 .
Попроси кого - нибудь задумать двузначное число ,	возвести	его в третью степень и написать на бумажке результат вычислений .
Тем более что вы легко сможете	возвести	и в четвёртую степень , а при необходимости — и в пятую степень .
Как	возвести	алгебраическую дробь в степень ? .
Что нужно сделать , чтобы	возвести	одночлен в степень ? .
При этом кубы чисел 1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и	возводимое	в степень число .
Ну а если тебе хочется прямо сразу от умения	возводить	число в степень получить пользу , могу предложить тебе математический фокус , которым ты сможешь развлечь и удивить своих родных и друзей .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; —	возводить	дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально	возводить	в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; —	возводить	двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : —	возводить	число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Хотя в квадрат	возводить	проще , чем в куб .
Первый приём назывался ал - джабр (	восстановление	) и заключался в перенесении вычитаемых ( отрицательных чисел ) из одной части уравнения в другую .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него окружность , то окружность будет функцией равностороннего треугольника ,	вписанного	в неё .
Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно	вынести за скобки	.
Применяя распределительное свойство умножения , этот множитель можно	вынести за скобки	.
Раскрыть скобки и упростить	выражение	.
При решении задачи получилось	выражение	.
Представить в виде многочлена стандартного вида	выражение	.
Упростить	выражение	.
Записать в виде степени произведения	выражение	.
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое	выражение	получается равная ей дробь , например .
Записать	выражение	в виде степени с показателем 2 .
Например ,	выражение	, которое мы бы записали так , бабушка в своё время записала бы иначе .
Представить	выражение	в виде степени .
Записать данное	выражение	в виде многочлена стандартного вида .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при х равно 11 .
Разложить данное	выражение	на множители .
Дано	выражение	.
Числовое	выражение	может состоять из одного числа .
Записать	выражение	для нахождения : 1 ) расстояния ( в километрах ) , пройденного пешеходом за 5 ч , если его скорость х км / ч ; 2 ) стоимости ( в рублях ) у тетрадей , если цена одной тетради 20 р . ;
А как Диофант записал бы	выражение	? .
Умножить и разделить данное	выражение	на , затем 5 раз применить формулу , получится .
Например ,	выражение	, которое твоя бабушка записывала с квадратными скобками , Ньютон записал бы так .
Данное	выражение	можно преобразовать так .
2 Какое	выражение	называют алгебраическим ? .
Составить	выражение	для решения задачи и провести вычисления при m равно 30 , n равно 25 , k равно 60 .
Составить	выражение	, показывающее , сколько единиц содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое	выражение	, подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения .
При решении задачи было получено	выражение	которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число , чисел 3 и 6 , знаков действий и скобок .
Используя известные свойства арифметических действий , упростим это	выражение	.
Что такое допустимые значения букв , входящих в алгебраическое	выражение	? .
Так как вы познакомились со всеми действиями , которые можно выполнять с алгебраическими дробями , попробуйте преобразовать такое необычное	выражение	.
Если было задумано число 5 , то получилось бы числовое	выражение	, значение которого также равно 2 .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при m . II уровень .
Написать	выражение	стоимости всей покупки .
Вычислить : Упростить	выражение	и найти его числовое значение при .
Записать	выражение	в виде степени , n — натуральное число .
Какие значения могут принимать буквы , входящие в	выражение	.
Упростить	выражение	и найти его числовое значение при .
Упростить	выражение	и выяснить , при каком значении х значение выражения равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
Составить	выражение	для нахождения периметра треугольника и найти значение полученного выражения , если .
Но расставлять дополнительные множители , умножать на них числители и потом преобразовывать длинное	выражение	в числителе полученной дроби займёт очень много времени .
Конечно , мы уже знаем общий знаменатель дробей , входящих в данное	выражение	, — это .
Записать	выражение	в виде многочлена .
Поэтому можно было записать вместо этого выражения	выражение	, привести подобные слагаемые .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а	выражение	, стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
Это	выражение	является произведением многочлена с и одночлена Sab .
Упростить	выражение	, если n — натуральное число .
Условимся в дальнейшем при делении на алгебраическое	выражение	считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Это	выражение	является суммой трёх многочленов .
В равенство вместо b подставим его	выражение	, а это число делится на 7 .
4 ) Если	выражение	содержит скобки , заключённые внутри других скобок , то сначала выполняют действия во внутренних скобках .
2 ) Если	выражение	содержит скобки , то сначала выполняют все действия над числами , заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над числами в скобках и вне их производится в порядке .
При нахождении значения числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если	выражение	не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Составить	выражение	для решения этой задачи .
Знание свойств арифметических действий существенно упростило исходное	выражение	, после преобразований получилось .
Следовательно ,	выражение	является общим знаменателем трёх дробей .
Например ,	выражение	, где n — натуральное число , позволяет определить все предстоящие годы Тигра по китайскому календарю .
Преобразовывая , например ,	выражение	после раскрытия скобок , вы находили , по сути , разность многочленов .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное	выражение	подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в	выражение	для у , найти значение у .
Однако для упрощения вычислений часто пользуются приёмами , позволяющими записать заданное	выражение	, содержащее скобки , без скобок .
Упростить	выражение	, используя запись произведения в виде степени .
Упростить	выражение	и найти его числовое значение .
Например , выражения — одночлены , а	выражение	— многочлен .
Такое название объясняется тем , что это	выражение	можно записать в виде суммы .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить алгебраическое	выражение	, а затем вычислить его значение более рациональным способом .
Сначала упростим данное	выражение	.
Очевидно , что	выражение	– b проще , чем выражение l. Значит , умение раскрывать скобки — полезное действие .
Очевидно , что выражение – b проще , чем	выражение	l. Значит , умение раскрывать скобки — полезное действие .
Действительно , после упрощения это	выражение	принимает вид и его числовое значение можно найти устно .
Знание способов раскрытия скобок часто позволяет упрощать	выражение	( и облегчает тем самым при необходимости нахождение его числового значения ) .
Как вы думаете , ребята , сложным ли	выражением	будет общий знаменатель таких дробей .
Ответ записать	выражением	.
Он отождествлял функцию с её аналитическим	выражением	, с формулой .
Используя основное свойство дроби , заменить букву а алгебраическим или числовым	выражением	так , чтобы равенство было верным .
Скобки в числовом	выражении	указывают на порядок выполнения действий .
В	выражении	аn число а называют основанием степени , число n называют показателем степени .
Например , в	выражении	содержатся скобки .
Если в	выражении	присутствовало числовое слагаемое , то он ставил перед ним значок « М » — фактически первые две буквы слова Μονας ( монос — единица ) .
Иногда в числовом	выражении	, кроме чисел и знаков действий , используются скобки .
Если в числовом	выражении	выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового выражения или , короче , значением выражения .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в алгебре подразумеваются числа , при этом в одном	выражении	одной буквой обозначают одно и то же число .
В этом	выражении	слагаемые 6a и 35a подобны , так как они отличаются друг от друга только коэффициентами .
Упрощение записей алгебраических	выражений	— одно из самых важных алгебраических умений .
Найти значения	выражений	.
Когда в I главе вы занимались с преобразованиями алгебраических	выражений	, уже тогда выполняли действия с одночленами и многочленами .
Алгебраическая сумма — это запись , состоящая из нескольких алгебраических	выражений	, соединённых знаками « + » или « – » .
Приведём ещё примеры числовых	выражений	.
При каком значении х значения	выражений	равны .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических	выражений	.
При каком значении х равны значения	выражений	.
Преобразование	выражений	, содержащих скобки , перед которыми стоит знак « + » , основывается на следующих свойствах сложения .
Разложить на множители каждое из	выражений	.
В этом параграфе будут разобраны примеры использования алгебраических	выражений	для записи алгебраических равенств , уравнений и формул .
Найти числовые значения	выражений	при х равно 1 ; х равно 0 ; х равно – 8 .
При каком из данных значений х числовые значения	выражений	равны ? .
Существует ли значение y , при котором числовые значения	выражений	равны ?
Существует ли значение х , при котором числовые значения	выражений	различны ?
Вы уже поняли , что с помощью алгебраических	выражений	можно описывать в общем виде реальные процессы , закономерности геометрии и физики .
Делимость на 2 и на 3 числовых	выражений	, содержащих квадраты и кубы различных натуральных чисел .
3 Привести примеры числовых и алгебраических	выражений	.
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых	выражений	, составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Приведём ещё примеры алгебраических	выражений	.
В этом параграфе продолжается изучение формул сокращённого умножения , упрощающих преобразования алгебраических	выражений	.
Само название этих формул говорит об их важности для упрощения	выражений	и нахождения их числовых значений .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных	выражений	; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного	выражений	; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Изучаемый в этой главе материал ( запись формул , преобразование алгебраических	выражений	, раскрытие скобок ) позволяет ставить и решать непростые и интересные задачи .
В этом параграфе будут обобщены ранее изученные свойства действий с числами и показаны способы их применения для рациональных вычислений и упрощения	выражений	.
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических	выражений	при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Найти значение х , при котором разность	выражений	равна выражению .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей	выражений	, а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих степени .
Преобразование	выражений	, содержащих скобки , перед которыми стоит знак « – » , основывается на следующих свойствах вычитания .
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых	выражений	и равенств .
Свойства действий применяются также для преобразования алгебраических	выражений	с целью их упрощения .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений	выражений	, содержащих степени .
Если к алгебраическому	выражению	прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Найти значение х , при котором разность выражений равна	выражению	.
Какие преобразования	выражения	следует выполнить , чтобы доказать , что .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического	выражения	.
Иногда при разложении алгебраического	выражения	на множители за скобки выносят многочлен .
В алгебре часто рассматриваются алгебраические	выражения	, представляющие собой сумму или разность одночленов .
2 Не производя вычислений , показать , что значение	выражения	делится на 7 .
Найти числовое значение	выражения	при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить дробь .
понятия числового	выражения	и его значения ; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
В равенствах а , b — любые числа или алгебраические	выражения	, например .
Записать в виде алгебраического	выражения	: 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Такие	выражения	называют многочленами .
Найти числовое значение	выражения	при .
Эти	выражения	являются алгебраическими суммами одночленов .
1 Числовые	выражения	.
Два числовых	выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют числовое равенство .
Выполнить умножение одночленов и найти значение полученного	выражения	.
Найти значение алгебраического	выражения	.
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же	выражения	при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Например , значение алгебраического	выражения	равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического	выражения	.
Например , значением выражения является число 4 ; значением	выражения	является число .
Записать в виде алгебраического	выражения	: 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Это пример алгебраического	выражения	.
Это решение можно записать в виде числового	выражения	, значение которого равно 2 .
Два алгебраических	выражения	, соединённые знаком « равно » , образуют алгебраическое равенство .
Напомним , что при вычислении значения	выражения	, не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
Найти значение	выражения	а2 , если а равно .
Формула применяется также для приближённых вычислений значений	выражения	.
В равенствах а и b — любые числа или алгебраические	выражения	, например .
Вычислив значение этого	выражения	, получим число 12,6 .
4 Каким по порядку выполняется действие возведения в степень при вычислении значения	выражения	, не содержащего скобок ? .
Найти числовое значение алгебраического	выражения	.
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения	выражения	нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления значения	выражения	нужно сделать три действия , а для вычисления значения выражения 800 nm нужно сделать всего одно действие .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического	выражения	равно 2 при любом значении а .
Изучая эту главу , вы узнаете , что нерационально , например , находить значение	выражения	не упростив его предварительно .
Вычислить значение	выражения	.
Показать , что при значение	выражения	равно – 29 .
Дробные	выражения	в формулах естественных наук .
Найти значение алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение	выражения	равно 49 .
Найти значение алгебраического	выражения	, предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
Упростить выражение и выяснить , при каком значении х значение	выражения	равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
6 Найти значение числового	выражения	.
1 Что называют значением числового	выражения	? .
4 Какой порядок выполнения действий применяют при нахождении значения числового	выражения	? .
2 Записать в виде числового	выражения	: 1 ) произведение суммы и разности чисел ;
2 Назвать законы , с помощью которых упростится нахождение значения	выражения	.
Привести пример	выражения	, содержащего слагаемое , подобное 12а .
Поэтому можно было записать вместо этого	выражения	выражение , привести подобные слагаемые .
При каком х значение выражения на 2 больше значения	выражения	? .
Составить выражение для нахождения периметра треугольника и найти значение полученного	выражения	, если .
Доказать , что значение	выражения	.
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического	выражения	и значения алгебраического выражения .
2 Алгебраические	выражения	.
Доказать , что если . Доказать , что если , то значение	выражения	отрицательно .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления значения выражения нужно сделать три действия , а для вычисления значения	выражения	800 nm нужно сделать всего одно действие .
Найти рациональным способом значение	выражения	.
1 Найти значение	выражения	, если .
Упражнения . ( Устно . ) Прочитать следующие	выражения	, назвать независимую и зависимую переменные .
Чтобы найти , на каком этаже находится лифт , нужно вычислить значение числового	выражения	.
Именно поэтому важно уметь упрощать алгебраические	выражения	.
Например ,	выражения	— одночлены , а выражение — многочлен .
Вычислить с помощью микрокалькулятора значение	выражения	.
32 Найти значение числового	выражения	, используя законы и свойства арифметических действий .
Можно сказать , что мы в этом параграфе повторили алгоритм нахождения значения числового	выражения	? .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического	выражения	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое	выражения	; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	.
При нахождении значения числового	выражения	принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Доказать , что при любом целом n значение	выражения	делится на 5 ; делится на 9 .
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях дробей , то эти	выражения	не могут принимать значения , равные нулю .
Слева и справа от знака равно стоят числовые	выражения	.
Доказать , что значение	выражения	также делится на 13 .
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого числа на единицу , то	выражения	вида а , 2 также считают одночленами .
Например , одночленами являются	выражения	.
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение	выражения	отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти значение числового	выражения	.
16 Найти значение алгебраического	выражения	.
В алгебраической дроби числитель и знаменатель — алгебраические	выражения	.
При решении различных задач часто встречаются алгебраические	выражения	вида .
4 Что называют значением алгебраического	выражения	? .
В этом параграфе вы узнаете , какие	выражения	называются одночленами .
Глава I Алгебраические	выражения	.
Доказать , что значение	выражения	делится на 6 при любом натуральном n .
С помощью микрокалькулятора найти значение	выражения	.
14 Найти значение	выражения	.
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение	выражения	делится на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
Вычислить значение числового	выражения	.
12 Найти значение алгебраического	выражения	.
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 ) значение	выражения	делится на 6 .
Доказать , что значение	выражения	делится на 26 .
Чтобы узнать , сколько карандашей получил каждый ученик , нужно найти значение	выражения	.
Доказать , что при любых натуральных m и n значение	выражения	делится на 16 .
Пусть m и n такие натуральные числа , что значение	выражения	делится на 13 .
Вы знаете , что числовые	выражения	состоят из чисел , скобок и знаков арифметических действий .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового	выражения	или , короче , значением выражения .
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным нулю значение алгебраического	выражения	? .
Доказать , что при любых значениях х и у , не равных 0 , значение	выражения	положительно .
2 ) При каких значениях x значение каждого	выражения	равно нулю ? .
Глава 1 Алгебраические	выражения	.
Записать	выражения	в виде дробей с одинаковыми знаменателями .
Найти значение	выражения	, предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Ньютон называл буквы , знаки действий , алгебраические	выражения	и уравнения языком алгебры .
Найти значение	выражения	при .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять группы слагаемых следующими скобками : в начале	выражения	ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
Найти значение	выражения	.
Так как	выражения	не имеют общих делителей , то в общий знаменатель войдёт их произведение .
Например , значением	выражения	является число 4 ; значением выражения является число .
Если из алгебраического	выражения	вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового выражения или , короче , значением	выражения	.
Так записывали алгебраические	выражения	в наших школах во второй половине XX в .
Профессор , а можно на конкретной задаче рассмотреть делимость	выражения	из каких - либо чисел на 3 ? .
Найти значение алгебраического	выражения	при а равно 10 , b равно 5 .
Числовое значение алгебраического	выражения	.
С помощью букв записывают обобщённые	выражения	числовых характеристик и в гуманитарных знаниях .
В знаменитой книге « Арифметика » Диофанта встречаются	выражения	, которые мы сегодня называем алгебраическими дробями .
При каком х значение	выражения	на 2 больше значения выражения ? .
2 ) При каких значениях x значение	выражения	равно нулю ? .
Напомним , что такие записи называют числовыми	выражениями	.
Впервые действия с алгебраическими	выражениями	( в том числе с алгебраическими дробями ) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
С простейшими алгебраическими	выражениями	вы уже встречались .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических	выражениях	с помощью скобок объединяют слагаемые в группы .
В алгебраических	выражениях	встречаются и буквы .
Вы поймёте , почему буквы в алгебраических	выражениях	не всегда могут принимать любые значения .
24 Указать , какие числовые значения могут принимать буквы а и b в алгебраических	выражениях	.
Измерения нового параллелепипеда : длина 5а , ширина 2nb ,	высота	3nc .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его	высота	равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
Найдём площадь прямоугольника , основание которого равно 3 , а	высота	равна х.
Площадь S треугольника находят по формуле , где а — основание треугольника , h — его	высота	.
Какова будет	высота	такой « башни » ?
На какой	высоте	над уровнем моря давление равно 760,0 мм рт .
Назвать давление на	высоте	.
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой пирамиды с	высотой	h , в основаниях которой лежат квадраты со сторонами а и b соответственно .
Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и	высотой	122 мм .
Если основание прямоугольника равно k , то зависимость между	высотой	х и площадью у выразится формулой , где k и х — положительные числа .
Каким будет объём V1 нового параллелепипеда , если длину данного увеличить в 5 раз , ширину — в 2n раз ,	высоту	— в 3n раз ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда , имеющего длину а , ширину b и	высоту	с , вычисляется по формуле .
Найти : 1 )	высоту	треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
С помощью микрокалькулятора найти	высоту	h цистерны с бензином ( выраженную в м ) , если .
Его объём равен произведению	высоты	и площади основания .
Таблица выражает зависимость атмосферного давления р от	высоты	h над уровнем моря .
Затем показать , что если из степени числа 10 с натуральным показателем	вычесть	единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства	вычесть	одно и то же число , то получится верное равенство .
Если из числа	вычесть	нуль , оно не изменится .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых	вычесть	меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Чтобы сложить (	вычесть	) десятичные дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Если из числа	вычесть	это же число , получится нуль .
сравнить ( сложить ,	вычесть	) полученные дроби .
Чтобы сравнить ( сложить ,	вычесть	) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему знаменателю ;
В последних двух упражнениях из этого параграфа трудно подобрать одночлен , который нужно добавить , а затем	вычесть	, чтобы получить четырёхчлен , удобный для применения способа группировки .
сложить ( или	вычесть	) полученные дроби ; 4 ) упростить результат , если возможно .
После	вычета	13 % подоходного налога служащий получил K р .
После	вычета	13 % подоходного налога менеджер заплатил 20 % от оставшихся денег в счёт погашения кредита .
Число , из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , —	вычитаемым	.
Первый приём назывался ал - джабр ( восстановление ) и заключался в перенесении	вычитаемых	( отрицательных чисел ) из одной части уравнения в другую .
Известно , что : сложение и	вычитание	называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Мы это поняли , когда увидели , как Магницкий в своём учебнике обозначал	вычитание	знаком « ÷ » .
15 Сложение и	вычитание	многочленов .
Выполнить сложение и	вычитание	многочленов .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение ,	вычитание	, умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Заменяя	вычитание	сложением , алгебраическую сумму можно записать по - другому .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить	вычитание	целых частей и отдельно дробных частей .
выполнить сложение (	вычитание	) , не обращая внимания на запятую ;
Чтобы выполнить	вычитание	смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и	вычитание	обыкновенных дробей .
Выполним	вычитание	в скобках .
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или	вычитание	левых и правых частей уравнений системы .
Сложение и	вычитание	алгебраических дробей .
Сложение и	вычитание	алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и	вычитание	) .
Иногда сумму или разность многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и	вычитанием	чисел ) .
Действие , с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое , называют	вычитанием	.
При сложении (	вычитании	) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Профессор , Вы нам показывали , как удобно использовать запись столбиком при сложении ,	вычитании	и умножении многочленов .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и	вычитании	дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и	вычитании	алгебраических дробей , его также называют приведением дробей к общему знаменателю .
Число делится на 9 , значит , при	вычитании	из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в алгебре , например , при сложении и	вычитании	многочленов столбиком .
В результате сложения и	вычитания	нескольких многочленов снова получается многочлен .
Поэтому свойства	вычитания	можно обосновать свойствами сложения .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и	вычитания	; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического выражения .
Таким образом можно , например , записать свойство	вычитания	суммы из числа .
Из равенства число x находится с помощью действия	вычитания	, которое называют обратным к действию сложения .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения ,	вычитания	, умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения ,	вычитания	и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Результат	вычитания	называют разностью .
Таким образом , для сложения ( или	вычитания	) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и	вычитания	дробей .
Сейчас мы изучили действия сложения и	вычитания	многочленов .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения ,	вычитания	, умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Для сложения и	вычитания	алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Сформулировать правило : 1 ) сложения (	вычитания	) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий ( сложения ,	вычитания	, умножения , деления ) .
Знак	вычитания	« А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения ,	вычитания	, умножения и возведения в натуральную степень одночленов и многочленов снова получается многочлен .
Сформулировать алгоритм сложения (	вычитания	) алгебраических дробей с разными знаменателями .
Буквой R ( первая буква латинского слова Radix — корень ) обозначалось неизвестное число ( вместо нашего х ) , буквой q — квадрат этого же неизвестного , знаком « + » тогда обозначалось действие	вычитания	.
Преобразование выражений , содержащих скобки , перед которыми стоит знак « – » , основывается на следующих свойствах	вычитания	.
Число , из которого	вычитают	, называют уменьшаемым , а число , которое вычитают , — вычитаемым .
При сложении ( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают (	вычитают	) , а знаменатель оставляют тем же .
Число , из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое	вычитают	, — вычитаемым .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или	вычитая	полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Обе части первого уравнения системы умножим на 3 , а второго — на 2 и	вычтем	из второго уравнения полученной системы первое .
Разделим обе части второго уравнения на 2 и	вычтем	полученное уравнение из первого .
Теперь	вычтем	из первого равенства второе .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму разделите на 3 и	вычтите	задуманное число .
Так называют	геометрические фигуры	, состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами графа ) .
э . ) не только занимались геометрией , но и развивали учение о числе с помощью	геометрических фигур	.
Температура , измеренная по шкале Фаренгейта , может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле , где х — температура в градусах шкалы Фаренгейта , у — температура в	градусах	шкалы Цельсия .
Температура , измеренная по шкале Фаренгейта , может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле , где х — температура в	градусах	шкалы Фаренгейта , у — температура в градусах шкалы Цельсия .
Показана развёртка прямоугольного параллелепипеда без одной	грани	, перенесённая на картон .
Сколько различных пар чисел может появиться на	гранях	этих тетраэдров , соприкасающихся с поверхностью стола ? .
На стол бросают 2 игральных тетраэдра ( серый и белый ) , на	гранях	каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4 .
Изображена игральная кость — кубик с отмеченными на его	гранях	очками , а также развёртка этого кубика ) .
Сколько различных пар очков может появиться на верхних	гранях	костей ? .
Сколько рёбер имеет полный	граф	, у которого 25 вершин ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ;	граф	- дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Найти : Сколько рёбер имеет полный	граф	( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
1 Полный	граф	.
Профессор , а как узнать , какую фигуру -	граф	можно нарисовать одним росчерком , а какую нельзя ? .
Что такое	граф	? .
Если бы можно было совершить описанную в условии задачи прогулку , то этот	граф	можно было бы нарисовать одним росчерком — не отрывая карандаш от бумаги и проводя по каждому ребру только один раз .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный	граф	; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Из условия задачи следует , что не имеет значения , как пролегает маршрут по частям суши А , В , С и D , поэтому их можно изобразить точками , а мосты — линиями , фактически вершинами и рёбрами	графа	.
С помощью	графа	изобразить процесс разрезания листа бумаги сперва на три части , затем разрезания одной части пополам , второй части на 3 части и третьей — на 4 части .
Следовательно , число искомых пар ( рёбер	графа	) .
Генеалогическое древо , также является примером	графа	.
Так называют геометрические фигуры , состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами	графа	) .
Рёбра	графа	, являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом вариантов .
Решим задачу с помощью так называемого полного	графа	с четырьмя вершинами А , Б , В , Г , обозначенными по первым буквам имён мальчиков .
С помощью стрелок на рёбрах полного	графа	с вершинами А , Б , В и Г показан процесс обмена фотографиями .
Сказанное изобразим с помощью дерева , помещая в вершины	графа	первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью	графа	, называемого деревом ( за внешнее сходство с деревом ) .
Решим задачу с помощью полного	графа	, имеющего n вершин .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью	графа	его вершины - точки могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Каждое ребро этого	графа	определяет искомую пару элементов .
В том случае , когда нужно образовывать и подсчитывать комбинации из трёх и более элементов , часто пользуются наглядными схемами —	графами	.
В той же координатной плоскости , на которой построен график уравнения , построим	график	уравнения .
Построить	график	функции , заданной формулой .
График проходит через точки , так как при х. Поэтому	график	функции у можно также построить по трём точкам .
Построить	график	функции и указать , внутри каких координатных углов расположен этот график .
Построить график функции и указать , внутри каких координатных углов расположен этот	график	.
Построить	график	функции у , если известно , что ему принадлежит точка В. График какой из этих функций проходит через точку .
Построить	график	зависимости у от х при .
Построив	график	зависимости пути плота от времени движения , найти по графику время , за которое плот пройдёт 6 км .
Построить	график	пути в зависимости от времени .
Интересный	график	.
Построить	график	этой зависимости .
Теперь давайте покажем , что	график	функции можно получить сдвигом графика функции у вправо на 3 единицы .
В каких четвертях расположен	график	функции у , если ? .
Поэтому	график	функции можно получить сдвигом графика функции вниз на 2 единицы .
Как можно построить	график	функции При каких значениях х и k формула y выражает прямую пропорциональную зависимость ? .
Построить	график	этой зависимости на первых пяти километрах пути .
Проходит ли	график	этой функции через точку ? .
Построить	график	функции y при .
Записать формулой линейную функцию ,	график	которой проходит через точку и параллелен графику данной функции .
В той же координатной плоскости , на которой построен	график	уравнения , построим график уравнения .
прямая , поэтому для того чтобы построить	график	функции у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Построим	график	этой функции при .
Функция и её	график	.
Построить	график	линейной функции .
Построить	график	функции .
Построим , например ,	график	функции .
Раз уж я вас научил строить	график	функции , давайте подвигаем и его .
Я хочу , чтобы вы посмотрели , как выглядит	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; —	график	функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Найти значение k , если известно , что	график	функции у проходит через точку .
Найти значение k , если известно , что	график	функции проходит через точку .
1 ) При каких значениях k и b	график	функции y проходит через точки .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её	график	; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
При каких значениях k и b	график	функции проходит через точки ? .
Проходит ли	график	функции у равно через точку ? .
Построить	график	функции у равно .
Найти значение b , если известно , что	график	функции проходит через точку .
Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его	график	на координатной плоскости .
Найти : 1 ) значение у при ; 2 ) значение х , если у. Построить	график	зависимости у от х .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать	график	функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Построить	график	функции и по нему найти : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
Определить значение b , если через точку с координатами ( 3 ; 10 ) проходит	график	функции , заданной формулой .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить график функции , если уже построен	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её	график	; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить	график	функции , если уже построен график функции .
32 Линейная функция и её	график	.
1 Построить	график	функции .
Построить	график	уравнения .
изображён график движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта В в пункт Е. Используя этот	график	, ответить на вопросы : 1 ) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт Б ?
Построить	график	изменения пути данного тела в зависимости от изменения времени движения .
Записать формулой функцию ,	график	которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 ) точку с координатами .
и поняли , как строится	график	функции .
Проводили новую , параллельную первой , прямую и получали	график	функции .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; —	график	линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Найти точки пересечения графика функции у с осями координат и построить	график	.
При каком значении а график уравнения не пересечёт данный	график	? .
Изображён	график	изменения температуры воздуха в течение суток . 1 )
Как получить график функции у , если имеется	график	функции ? .
Построить	график	движения пешехода из пункта А в пункт В , если первые 2 ч он шёл со скоростью 3 км / ч , затем 2 ч отдыхал , после чего ещё 2 ч до пункта В шёл со скоростью 4 км / ч .
Глава VI Линейная функция и её	график	.
Построить	график	функции , заданной формулой у.
Как получить	график	функции у , если имеется график функции ? .
Построить график функции если известно , что этот	график	проходит через точку .
Построить	график	функции если известно , что этот график проходит через точку .
Найти значение k , если	график	функции y проходит через точку .
При каком значении а	график	уравнения не пересечёт данный график ? .
Дан	график	уравнения первой степени с двумя неизвестными , который проходит через точки .
изображён	график	зависимости долготы дня от времени года .
Построить	график	функции , найдя точки пересечения его с осями координат .
Построить	график	функции если известно , что ему принадлежит точка .
Записать формулой функцию ,	график	которой — прямая , изображённая .
Построить этот	график	.
Как выглядит	график	функции у при k равно 0 и b ≠ 0 ? .
Используя	график	, найти .
Найти значения k и b , если известно , что	график	функции проходит через точки .
Допустим , что на координатной плоскости изображён	график	некоторой функции .
изображён	график	движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта В в пункт Е. Используя этот график , ответить на вопросы : 1 ) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт Б ?
Построить	график	функции и указать по графику несколько значений х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Нужно вспомнить : построение	графика	функции ; понятие параллельных прямых .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения	графика	уравнения с осью Ох .
Не выполняя построения	графика	функции у равно 2х выяснить , проходит ли он через точку .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ;	графика	; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
координаты точек пересечения	графика	с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А	графика	.
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения графика функции у достаточно построить две точки этого	графика	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования	графика	) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения	графика	функции у достаточно построить две точки этого графика .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки	графика	у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Итак , точка пересечения	графика	с осью абсцисс имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Поэтому график функции можно получить сдвигом	графика	функции вниз на 2 единицы .
Хотя с графиками , иллюстрирующими разные явления , вы уже встречались , но только теперь познакомитесь с определением понятия	графика	функции .
Найти координаты точки пересечения	графика	функции с графиком функции у равно 5 .
Доказать , что отношение ординаты любой точки полученного	графика	к её абсциссе равно 4 .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения	графика	линейной функции с осями координат .
Найти координаты точек пересечения	графика	с осями координат .
Заметим , что каждая точка	графика	функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
Это означает , что ординаты всех точек	графика	равны нулю .
Теперь давайте покажем , что график функции можно получить сдвигом	графика	функции у вправо на 3 единицы .
Точно так же точка ( 4 ; 1 )	графика	у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Найти точки пересечения	графика	функции у с осями координат и построить график .
В этом параграфе вы познакомились с одним очень интересным действием — сдвигом	графика	функции вдоль координатных осей .
Точка	графика	с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
Ординаты всех точек	графика	равны 2 , и поэтому графиком функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Отметим , что для построения графика линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого	графика	с осями координат .
Как из	графика	функции у равно можно получить графики функций у равно ? .
В самом деле , так как при , то точка графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки	графика	функции .
Отметим , что для построения	графика	линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями координат .
Определить координаты точек пересечения с осями координат	графика	функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
График функции у получается сдвигом	графика	функции y на b единиц вдоль оси ординат .
Записать формулой функцию s(t ) на участках	графика	ВС , DE , CD .
Найдём точку пересечения	графика	с осью ординат .
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки	графика	функции .
Координаты точки пересечения прямых можно было найти с помощью	графика	.
прямая , поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две точки	графика	, а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Найдём точку пересечения	графика	с осью абсцисс .
С этим , а также с другими способами задания функции ( с помощью формулы ,	графика	, описания ) вы познакомитесь при изучении этой главы .
даны три	графика	, отражающие демографическую ситуацию в нашей стране в разные годы ( n ) .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка	графика	функции у с той же абсциссой .
В самом деле , так как при , то точка	графика	функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика функции .
Это означает , что каждая точка	графика	функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции .
Итак , точка пересечения	графика	с осью ординат имеет координаты ( 0 ; 4 ) .
Как из	графика	функции у равно можно получить графики функций : 1 ) На складе было 400 т угля .
Для построения	графика	функции у равно х проведём прямую , проходящую через точки .
Так как начало координат принадлежит графику функции y , то для построения этого	графика	достаточно найти ещё одну точку .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение	графика	линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
С помощью	графика	часто изображают , например , зависимость температуры от времени ; железнодорожники пользуются графиками движения ; экономисты графически изображают рост производительности труда .
По заданным	графикам	движения автомобилей найти : 1 ) время от начала движения автомобилей до их встречи ; 2 ) путь , пройденный каждым из автомобилей до их встречи ; 3 ) скорость движения каждого автомобиля .
Хотя с	графиками	, иллюстрирующими разные явления , вы уже встречались , но только теперь познакомитесь с определением понятия графика функции .
Так как уравнение получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно ,	графиками	этих уравнений является одна и та же прямая .
Для того чтобы наглядно представить функциональную зависимость , используют специальные рисунки ( чертежи ) , которые называют	графиками	.
Хотя бы потому , что с	графиками	, формулами и таблицами , которыми задают функции , мы встречаемся на всех уроках и даже в повседневной жизни .
С помощью графика часто изображают , например , зависимость температуры от времени ; железнодорожники пользуются	графиками	движения ; экономисты графически изображают рост производительности труда .
А то у некоторых школьников складывается впечатление , что , например , уравнения лежат на одной полке математики , а функции с	графиками	— на другой .
Найдём координаты точки пересечения построенных прямых , не используя	графики	.
Построить	графики	этих функций .
Пожалуйста , постройте	графики	следующих функций .
Используя	графики	зависимостей массы m воды и массы m2 льда от объёма V , ответить на вопросы : 1 ) Является ли функция m1(V ) линейной ?
Геометрически это означает , что	графики	уравнений системы — параллельные прямые .
Как из графика функции у равно можно получить	графики	функций : 1 ) На складе было 400 т угля .
Найти по графику путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены	графики	движения автомобиля и автобуса .
Как из графика функции у равно можно получить	графики	функций у равно ? .
А потом самостоятельно постройте	графики	функций .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить	графики	каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
После открытий Декарта математики начали строить разные	графики	, изобрели новые функции ? .
Через какую точку проходят все	графики	функций вида .
В одной системе координат построить	графики	уравнений .
В одной системе координат построить	графики	функций .
Изображены	графики	функций .
Представление собранных данных в виде таблиц и	графиков	.
Как вы думаете , какой из	графиков	характеризует изменение численности населения ( АО в каждый из следующих промежутков времени : 1935–1950 гг. ; 1980–1995 гг. ; 2001–2010 гг. ?
Проверить , обращают ли координаты точки пересечения	графиков	каждое из уравнений в верное равенство .
Какой из трёх	графиков	отражает процесс охлаждения с последующим замерзанием воды ?
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых —	графиков	уравнений системы .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью	графиков	; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Найти координаты точки пересечения	графиков	функций .
Научитесь с помощью	графиков	уравнений быстро определять : какая система имеет единственное решение , какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много решений .
При построении	графиков	.
Так как уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у , то	графиком	уравнения является эта же прямая .
Эта прямая и является	графиком	функции .
С этой функцией , её свойствами и	графиком	вы познакомитесь в данном параграфе .
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому	графиком	функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Прямая , проходящая через точки , является	графиком	функции .
Можно показать , что	графиком	функции y при любом значении k является прямая , проходящая через начало координат .
Уравнение можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому	графиком	уравнения является прямая .
Что является	графиком	уравнения , если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю ? .
Поэтому	графиком	этой функции является прямая , совпадающая с осью абсцисс .
3 Функция может быть задана	графиком	.
Даны две прямые на координатной плоскости , причём каждая из них является	графиком	некоторого уравнения .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с	графиком	данной функции .
Задать формулой функцию ,	графиком	которой является прямая , проходящая через точки А и В .
Можно показать , что	графиком	любого уравнения вида является прямая , если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю .
Можно показать , что	графиком	линейной функции у является прямая .
Функция у(х ) задана	графиком	.
Профессор , есть ещё какие - то способы задания функций , кроме уже знакомых нам четырёх ( формулой , таблицей ,	графиком	и описанием ) ? .
Таким образом ,	графиком	уравнения является прямая , проходящая через точки .
Найти координаты точки пересечения графика функции с	графиком	функции у равно 5 .
Функция у задана	графиком	.
Следовательно ,	графиком	уравнения является прямая , проходящая через точки .
Пользуясь этим	графиком	, найти : значение х , при котором функция принимает значение , равное .
Что является	графиком	функции у ? .
Что является	графиком	функции .
Что называется	графиком	функции ? .
Точка графика с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит	графику	данной функции .
Так как , то точка принадлежит	графику	функции .
точка принадлежит	графику	.
По	графику	найти натуральные значения х , при которых значение функции равно – 2 .
Найти по	графику	путь , пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены графики движения автомобиля и автобуса .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
Построив график зависимости пути плота от времени движения , найти по	графику	время , за которое плот пройдёт 6 км .
По	графику	функции y определить знак коэффициента k .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , если значение х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
Принадлежат ли точки	графику	этой функции ? .
Какие из точек принадлежат	графику	функции , заданной формулой .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Построить график функции и указать по	графику	несколько значений х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Найти по	графику	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Да , мы прикладывали линейку к	графику	функции и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от знака числа b в формуле функции .
О точках с координатами говорят , что они « выколоты » , так как не принадлежат	графику	.
Поэтому точка принадлежит	графику	.
точка также принадлежит	графику	.
Принадлежит ли точка	графику	этой функции ?
Так как начало координат принадлежит	графику	функции y , то для построения этого графика достаточно найти ещё одну точку .
По	графику	найти целые значения х , при которых значение функции больше – 2 .
Выяснить , принадлежит ли	графику	этой функции точка с координатами .
Записать формулой линейную функцию , график которой проходит через точку и параллелен	графику	данной функции .
По	графику	найти температуру воздуха в 2 ч , 6 ч , 12 ч , 18 ч .
Выяснить , принадлежит m	графику	этой функции точка с координатами .
Найти по	графику	путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Для того чтобы по заданному	графику	найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Найти по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по	графику	, за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Советую вам почитать популярные книги по теории	графов	и по топологии .
Идеи Эйлера , реализованные при решении задачи , послужили основой теории , названной двести лет спустя теорией	графов	.
Основоположником теории	графов	считается Л. Эйлер , который в 1736 г. решил знаменитую задачу о кёнигсбергских мостах .
Упражнения выполнить с помощью	графов	.
Подсчёт вариантов с помощью	графов	.
Примеры различных	графов	приведены .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и	графов	) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
С помощью	графов	решаются сложнейшие практические задачи в теории управления , социологии , математической лингвистике , экономике , биологии и во многих - многих сферах деятельности людей .
Назвать известные вам виды	графов	.
Существует теория	графов	.
Нередко подсчёт вариантов облегчают	графы	.
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы ,	графы	) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Иногда удаётся разложить на множители многочлен , все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных	групп	которого общие множители имеются .
10 Чтобы успеть к отходу поезда ,	группа	туристов должна пройти 22 км до станции за 6,5 ч .
Первая	группа	посадила а деревьев , вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5 деревьев больше второй .
Первая	группа	собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая	группа	, а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья	группа	собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Какая	группа	собрала больше фруктов ? .
Формула разности квадратов относится к	группе	так называемых формул сокращённого умножения .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а третья группа собрала 50 % того , что собрали первые две	группы	.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие	группы	, которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Три	группы	учащихся собирали фрукты .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять	группы	слагаемых следующими скобками : в начале выражения ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических выражениях с помощью скобок объединяют слагаемые в	группы	.
Следовательно ,	данные	дроби можно записать так .
Показать , что	данные	две дроби равны .
При решении задачи	данный	одночлен был записан в более простом виде .
При каком значении а график уравнения не пересечёт	данный	график ? .
Используя распределительное свойство умножения ,	данный	многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена .
Вычисления можно провести короче , если сначала упростить	данный	одночлен , используя переместительный и сочетательный законы умножения .
Число 12 , в народе называемое дюжиной , у многих людей в разные времена пользовалось особой любовью и было положено в основу	двенадцатеричной	системы счисления .
Следует сказать , что в алгебре	двучлен	часто называют биномом ( от лат .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить	двучлен	в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Таким образом произведение шести множителей превращается в красивый	двучлен	.
Да , нам понадобится возведение в квадрат	двучлена	.
Я же говорил , что есть симметрия в записях многочленов после возведения	двучлена	в степень .
Давайте понаблюдаем за коэффициентами многочленов , получаемых возведением	двучлена	в разные степени .
Представить квадрат	двучлена	в виде многочлена .
Заменить х одночленом так , чтобы получился квадрат	двучлена	.
Что мне даёт разложение	двучлена	на множители ? .
Примеры	двучленов	.
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют	двучленом	; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и	деление	) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал	деление	, к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо знака деления круглую скобку .
А нельзя ли записывать	деление	многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы делили многозначные числа ? .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и	деление	— действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Из - за того что в арифметике не всегда получалось	деление	нацело одного числа на другое , придумали обыкновенные дроби .
Условимся в дальнейшем при делении на алгебраическое выражение считать , что его значение не равно 0 , так как	деление	на 0 невозможно .
А так как в алгебре не всегда получалось	деление	нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические дроби .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить	деление	на натуральное число .
Однако	деление	многочлена на одночлен не всегда возможно .
Нужно вспомнить : свойства степени с натуральным показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ;	деление	числа на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
Выполнить	деление	дробей .
27 Умножение и	деление	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен .
Выполнить	деление	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ;	деление	одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Выражения , содержащие	деление	одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
Заменяя	деление	умножением , получаем .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и	деление	алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя	деление	наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и	деление	обыкновенных дробей .
Нужно вспомнить : умножение и	деление	обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ;	деление	многочлена и одночлена на одночлен .
Умножение и	деление	алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
Выполним	деление	.
Заменяя умножение	делением	, получаем Устные вопросы и задания .
Здесь получаются	делением	членов данного многочлена на их общий множитель .
Действие , с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель , называют	делением	.
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся	делением	общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Например , при	делении	на 6 в остатке может быть одно из чисел : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Доказать , что если при	делении	натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
При	делении	многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых делитель не равен нулю .
Докажем , что квадрат любого натурального числа , не делящегося на 3 , при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Ты фактически доказал , что разность кубов данных в задаче чисел при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Условимся в дальнейшем при	делении	на алгебраическое выражение считать , что его значение не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Действительно , квадраты рассмотренных чисел при	делении	на 3 дают в остатке 1 .
Чтобы найти неизвестное делимое при	делении	с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
при	делении	на 3 число либо разделится на 3 , либо даст в остатке одно из чисел 1 или 2 .
При	делении	целого числа на равные части получаются доли .
Это свойство означает , что при умножении или	делении	числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
При	делении	степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
Чтобы найти неизвестное делимое при	делении с остатком	, нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Действительно , любое натуральное число по отношению к	делению	на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
По первому свойству степени по определению	деления	.
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай	деления	многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
После	деления	обеих частей последнего равенства на а получаем .
Известно , что в Бахшалийской рукописи ( относящейся примерно к VII в . ) знак	деления	« ↔ » ставился после делителя .
По свойствам умножения и	деления	получаем .
Доказать , что произведение многочленов и равно частному от	деления	многочлена на одночлен .
Поэтому свойства	деления	можно вывести из свойств умножения .
А вот запись	деления	многочлена на многочлен , когда в результате получается тоже многочлен , я вам сейчас продемонстрирую .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и	деления	дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Сформулировать правила умножения и	деления	алгебраических дробей .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и	деления	алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
По свойству	деления	суммы на число получаем .
Покажем , как можно доказать распределительное свойство	деления	( относительно сложения ) .
Теория	деления	многочлена на многочлен .
Рассмотрим случай	деления	одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай деления многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от	деления	, можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
В рассмотренных примерах	деления	многочлена на одночлен в результате получался многочлен .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и	деления	целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от	деления	суммы чисел n и m на их разность ;
Выражения , содержащие деление одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого	деления	также получается многочлен .
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и	деления	; запись числа в стандартном виде .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и	деления	дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от	деления	N на натуральное число .
Я знаю , что компьютер вместо знака	деления	обычно рисует наклонную черту .
При решении задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет знак	деления	) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Такие случаи	деления	и будут рассмотрены в данном параграфе .
произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от	деления	числа 6 на число 5 ; 3 )
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и	деления	обыкновенных дробей , а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Нужно вспомнить : свойства степеней ; свойства действия	деления	.
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат	деления	называют частным .
Расскажите , пожалуйста , о различных обозначениях знака	деления	.
Из равенства число b находится с помощью действия	деления	, которое называют обратным к действию умножения .
частное от	деления	суммы чисел n и m на число 17 .
В скобках остаётся многочлен , полученный от	деления	данного многочлена на этот общий множитель .
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий ( сложения , вычитания , умножения ,	деления	) .
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения степеней с одинаковыми основаниями ; 2 )	деления	степеней с одинаковыми основаниями ;
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал деление , к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо знака	деления	круглую скобку .
Двоеточие для обозначения	деления	стал первым применять знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц ( 1646–1716 ) .
А нельзя ли записывать деление многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы	делили	многозначные числа ? .
Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался целым неотрицательным числом , нужно , чтобы	делилось	на 7 .
Чтобы общий знаменатель	делился	на знаменатель первой дроби , он должен содержать множитель .
Для того чтобы общий знаменатель	делился	на знаменатель третьей дроби , нужно к полученному произведению дописать множитель .
Например , в записи число р —	делимое	, n — делитель , m — частное .
Чтобы найти неизвестное	делимое	при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно	делимое	умножить на число , обратное делителю .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в	делимом	и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Число , которое делят , называют	делимым	; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
Эта прямая	делит	первый и третий координатные углы пополам .
Эта прямая	делит	второй и четвёртый координатные углы пополам .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в	делителе	.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и	делителе	перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в	делителе	; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух	делителей	.
Число 12 имеет много	делителей	: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , что в практике важно .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим	делителем	( НОД ) этих чисел .
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое делят , называют	делителем	, результат деления называют частным .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий	делитель	модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Число 1 имеет один	делитель	— само это число .
В многочлене число 7 — наибольший общий	делитель	чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий	делитель	равен 1 .
Чтобы найти наибольший общий	делитель	нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на	делитель	и к полученному произведению прибавить остаток .
Например , в записи число р — делимое , n —	делитель	, m — частное .
При делении многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых	делитель	не равен нулю .
Деление можно заменить умножением на число , обратное	делителю	.
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на число , обратное	делителю	.
Известно , что в Бахшалийской рукописи ( относящейся примерно к VII в . ) знак деления « ↔ » ставился после	делителя	.
Остаток всегда меньше	делителя	.
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два	делителя	: единицу и само это число .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью	делителя	, неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Так как	делителями	числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Например ,	делителями	числа 12 являются числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
Так как	делителями	числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Докажем , что число вида abcabc	делится	на 11 .
Привести пример : 1 ) одночлена , который не	делится	на одночлен ;
На 3 делится число , сумма цифр которого	делится	на 3 .
Поэтому данное число	делится	на 11 .
2 Не производя вычислений , показать , что значение выражения	делится	на 7 .
На 3	делится	число , сумма цифр которого делится на 3 .
Доказать , что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это число	делится	нацело на 75 .
Делителем натурального числа а называют натуральное число , на которое а	делится	без остатка .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно	делится	на 2 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел	делится	на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Если произведение	делится	и на 3 , и на 2 , то оно делится и на 6 ( так как числа 2 и 3 взаимно простые ) .
Если произведение делится и на 3 , и на 2 , то оно	делится	и на 6 ( так как числа 2 и 3 взаимно простые ) .
1 Докажите , что число при любом натуральном n	делится	на 6 .
Докажем , что число , где n — натуральное число ,	делится	на 6 .
2 Докажите , что при любом натуральном n число	делится	на 120 .
В этих случаях говорят , что многочлен	делится	на одночлен .
Доказать , что число	делится	на 15 при любом натуральном n .
Точно так же	делится	многочлен на одночлен и в других случаях , например .
В Кёнигсберге река Преголь , омывающая два острова ,	делится	на два рукава , через которые перекинуты 7 мостов .
Если а — чётное число , то оно	делится	на 2 и его записывают , где n — натуральное число .
Например , многочлен не	делится	на одночлен аb .
Докажем , что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение	делится	на 143 .
Докажем , что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000	делится	на 143 , а это произведение делится на 143 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу ,	делится	на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
На число 10 без остатка	делится	всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно	делится	на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
Доказать , что полученная разность	делится	на 9 и на 11 .
На 5 без остатка	делится	всякое натуральное число , оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных чисел	делится	на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Следовательно , последняя цифра данного числа равна 5 и поэтому это число	делится	на 5 .
Доказать , что при любом целом n значение выражения	делится	на 5 ; делится на 9 .
многочлена , который не	делится	на одночлен ас3 .
Доказать , что сумма этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 4 .
Доказать , что значение выражения	делится	на 26 .
Например , число N равно 72 делится на k равно 3 , так как 72 равно ; число 60	делится	на 12 , так как .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения	делится	на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое нечётное , то чётное число , и поэтому число	делится	на и на 16 .
Докажем , что сумма любых трёх последовательных натуральных чисел	делится	на 3 .
В равенство вместо b подставим его выражение , а это число	делится	на 7 .
Если оба числа m и n чётные или оба нечётные , то — чётное число , и поэтому число	делится	на .
Так как по условию задачи	делится	на 7 , то где n — натуральное число , откуда .
Так как сумма трёх последовательных натуральных чисел представима в виде 3р , значит , она	делится	на 3 , что и требовалось доказать .
Попробуем вместе доказать , что если делится на 7 , то число aba также	делится	на 7 .
Доказать , что значение выражения	делится	на 6 при любом натуральном n .
Попробуем вместе доказать , что если	делится	на 7 , то число aba также делится на 7 .
3 ) Если вычисляется значение дроби , то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе , а затем первый результат	делится	на второй .
Показать , что и произведение трёх последовательных натуральных чисел	делится	на 6 .
Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое	делится	без остатка на а .
Доказать , что разность	делится	на 31 .
Далее записать данное число в виде , поэтому оно	делится	на 9 .
Доказать , что число	делится	на 18 .
Доказать , что число	делится	на 12 .
Доказать , что сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Сначала показать , что данное число	делится	на 2 .
Доказать , что число	делится	на 5 .
Показать , что каждое из чисел 132 и 576	делится	на 12 .
Доказать , что сумма	делится	на 37 .
Например , число N равно 72	делится	на k равно 3 , так как 72 равно ; число 60 делится на 12 , так как .
Доказать , что квадрат нечётного числа , уменьшенный на 1 ,	делится	на 8 .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 ) значение выражения	делится	на 6 .
Доказать , что при любых натуральных m и n значение выражения	делится	на 16 .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел	делится	на 6 ? .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990	делится	на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не	делится	на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Доказать , что число	делится	на 13 .
На 9	делится	число , сумма цифр которого делится на 9 .
Доказать , что при любом целом n значение выражения делится на 5 ;	делится	на 9 .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не	делится	на 3 .
А в упражнении требовалось доказать , что число не	делится	на 3 .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел	делится	на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6 ? .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не	делится	на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у	делится	на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Натуральное число , которое не	делится	на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
Натуральное число N	делится	нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Доказать , что сумма пяти последовательных чётных чисел	делится	на 10 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не	делится	на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение	делится	на 24 .
Пусть m и n такие натуральные числа , что значение выражения	делится	на 13 .
Доказать , что значение выражения также	делится	на 13 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число	делится	на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Число	делится	на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел	делится	на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
На 9 делится число , сумма цифр которого	делится	на 9 .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел	делится	на 8 .
Ни одно число нельзя	делить	на нуль .
Три дома нельзя было	делить	, их взяли старшие три брата .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; —	делить	многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Профессор , мы решали уже немало задач на доказательство того , что некоторое число , записанное с помощью букв , будет	делиться	на другое число .
Далее , общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель второй дроби .
Общий знаменатель данных дробей должен	делиться	на знаменатель каждой из дробей .
Далее , общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель второй дроби , и поэтому он должен содержать множитель .
Таким образом , общий знаменатель должен	делиться	на 3 и 6 , т .
Общий знаменатель должен	делиться	на знаменатель каждой из данных дробей .
Так как он должен	делиться	на знаменатель первой дроби , то он должен содержать произведение .
Число , которое	делят	, называют делимым ; число , на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
Знаменатель показывает , на сколько равных долей	делят	целое , а числитель — сколько таких долей взято .
Число , которое делят , называют делимым ; число , на которое	делят	, называют делителем , результат деления называют частным .
2 ) приводят подобные члены ; 3 )	делят	обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не	делятся	на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа	делятся	на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Точно так же	делятся	одночлены и в других случаях , например .
Наибольшее натуральное число , на которое	делятся	без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у	делятся	на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не	делятся	на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
До ближайшего числа , не меньшего чем 12 и	делящегося	на 9 , не хватает шести .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число ,	делящееся	нацело на 9 .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно сложить с полученной суммой , чтобы получить ближайшее	делящееся	на 9 число ( не меньшее полученной суммы ) .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел ,	делящихся	или не делящихся на 3 .
Изобразим сказанное с помощью	дерева	.
Сказанное изобразим с помощью	дерева	, помещая в вершины графа первые буквы имён друзей А , Б и В : I место II место III место Упорядоченные тройки друзей .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями	дерева	, а само дерево — деревом вариантов .
Вычерчивать	дерево	полезно , когда требуется записать все существующие комбинации элементов .
2 Граф -	дерево	.
	Дерево	.
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф -	дерево	; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само	дерево	— деревом вариантов .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа , называемого	деревом	( за внешнее сходство с деревом ) .
Рёбра графа , являющегося	деревом	, иногда называют ветвями дерева , а само дерево — деревом вариантов .
Рёбра графа , являющегося деревом , иногда называют ветвями дерева , а само дерево —	деревом	вариантов .
Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа , называемого деревом ( за внешнее сходство с	деревом	) .
Первая группа посадила а	деревьев	, вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5 деревьев больше второй .
Первая группа посадила а деревьев , вторая — 80 % того , что посадила первая , а третья — на 5	деревьев	больше второй .
Сколько	деревьев	посадили школьники ? .
30 Школьники сажали	деревья	.
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная система ,	десятичная	система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Если в конце	десятичной	дроби приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится дробь , равная данной .
Позже так стали называть систему правил счёта в	десятичной	позиционной системе счисления .
Любое число , знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде	десятичной	дроби .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Чтобы разделить десятичную дробь на	десятичную	дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Например , так как , так как . Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Чтобы перемножить две	десятичные	дроби , нужно : 1 ) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые ;
Чтобы сложить ( вычесть )	десятичные	дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Заглядывайте в него чаще , там вы найдёте и определение процента , и разобранные задачи на проценты , правила действий с обыкновенными и	десятичными	дробями и многое другое .
Действия с	десятичными	дробями .
Правило округления	десятичных	дробей : 1 ) Если первая из отброшенных цифр равна 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1 .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел ,	десятичных	и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Сколько	десятичных	знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Аналогично составляем уравнение для разряда	десятков	.
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа	десятков	в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
В трёхзначном числе а сотен , b	десятков	, с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Корень этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде	десятков	нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
В двузначном числе	десятков	втрое больше , чем единиц .
Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа	десятков	и в 3 раза меньше числа единиц .
Квадрат двузначного числа содержит нечётное число	десятков	.
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b	десятков	и с единиц .
Число 4350 содержит 4 тысячи , 3 сотни , 5	десятков	и 0 единиц .
Так , в записи числа 15 цифра 5 обозначает пять единиц , а в записи числа 51 — пять	десятков	.
18 Число содержит 4 сотни , b	десятков	и с единиц .
В трёхзначном числе в 3 раза больше	десятков	, чем сотен , а число единиц равно квадрату числа сотен .
Числа от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами , числа от 10 до 90 ( через	десяток	) — следующими девятью буквами , а числа от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
Принадлежит ли точка	диагонали	этого прямоугольника ? .
Дома Иван Петрович линейкой измерил длину карандаша и	диаметр	монеты .
Из стальной проволоки	диаметром	5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым числом витков и высотой 122 мм .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью	длин	сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Его периметр Р равен сумме	длин	сторон .
Имеются три мерных отрезка известных	длин	а , b и с. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением	длин	, отношением масс , отношением площадей ) .
Какова	длина	дивана ? .
Ввести обозначения : х м —	длина	электрички , у м / с — скорость электрички .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба ,	длина	ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
Ширина участка 150 м , а	длина	всего забора 1 км .
Поле имело форму прямоугольника ,	длина	которого равна а километрам , ширина — b километрам .
Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а	длина	этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
Вдоль границы участка прямоугольной формы ,	длина	которого в 3 раза больше ширины , вырыли канаву длиной 240 м .
Измерения нового параллелепипеда :	длина	5а , ширина 2nb , высота 3nc .
Каковы	длина	поезда и его скорость ? .
По наблюдению машиниста , встречный поезд ,	длина	которого 75 м , проходит мимо него за 3 с. Какова скорость движения встречного поезда ? .
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а	длина	больше на 8 единиц .
Во время стирки ткань садится на по	длине	и на по ширине .
Так как электричка со скоростью у проехала мимо столба за 12 с , то пройденный за это время путь и будет равен её	длине	.
По	длине	дивана карандаш уместился 11 раз , а в оставшейся части 5 раз уместилась монетка .
За 26 с электричка прошла путь , равный	длине	платформы , сложенный с её собственной длиной .
2 куска длиной 13 см и 3 куска	длиной	5 см .
За 26 с электричка прошла путь , равный длине платформы , сложенный с её собственной	длиной	.
Проволока	длиной	1 м 12 см разрезана на куски по 18 см и 24 см. Сколько кусков каждого вида получилось ? .
Дорога из пункта А в пункт В	длиной	11,5 км идёт сначала в гору , затем по равнине и , наконец , под гору .
Товарный поезд проехал мимо заводского корпуса длиной 100 м за 20 с , а мимо забора	длиной	900 м — за 1 мин .
2 куска	длиной	13 см и 3 куска длиной 5 см .
Товарный поезд проехал мимо заводского корпуса	длиной	100 м за 20 с , а мимо забора длиной 900 м — за 1 мин .
Проволока длиной 41 см разрезана на куски	длиной	по 13 см и 5 см. Сколько получилось кусков каждого вида ?
Земельная полоса шириной а м и	длиной	b км нарезана на k одинаковых участков прямоугольной формы со стороной а м .
Вдоль границы участка прямоугольной формы , длина которого в 3 раза больше ширины , вырыли канаву	длиной	240 м .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок	длиной	; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Проволока	длиной	41 см разрезана на куски длиной по 13 см и 5 см. Сколько получилось кусков каждого вида ?
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок	длиной	; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы	длиной	350 м за 26 с. Найти длину электрички и её скорость .
Дома Иван Петрович линейкой измерил	длину	карандаша и диаметр монеты .
Вычислить	длину	маршрута при а равно 3,3 км / ч , b равно 5,7 км / ч , с равно 10,5 км / ч .
Написать формулу пути , обозначив	длину	маршрута ( в км ) буквой s.
Если же	длину	сада уменьшить на 6 м , а ширину увеличить на 8 м , то площадь сада увеличится на 164 м2 .
Если увеличить	длину	сада на 8 м , а ширину на 6 м , то площадь сада увеличится на 632 м2 .
Если	длину	прямоугольника увеличить на 4 см , а ширину — на 2 см , то площадь увеличится на 42 см2 .
Объём прямоугольного параллелепипеда , имеющего	длину	а , ширину b и высоту с , вычисляется по формуле .
Каким будет объём V1 нового параллелепипеда , если	длину	данного увеличить в 5 раз , ширину — в 2n раз , высоту — в 3n раз ? .
В мебельном магазине Ивану Петровичу захотелось измерить	длину	понравившегося дивана .
Найти	длину	и ширину участка .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если	длину	каждой стороны увеличить в 2 раза ; 3 раза ; 10 раз ? .
Найти	длину	и ширину участка прямоугольной формы .
Найти	длину	и ширину данного прямоугольника .
Определить	длину	и ширину сада .
Электричка проехала мимо столба за 12 с , а мимо платформы длиной 350 м за 26 с. Найти	длину	электрички и её скорость .
Найти	длину	участка .
Периметр прямоугольника 60 см. Если	длину	этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Если ширину увеличить на 8 м , а	длину	уменьшить на 6 м , то площадь нового прямоугольника будет на 80 м2 больше площади данного .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей	длины	образуют прямоугольную систему координат на плоскости .
ст. , равное 27 000 000 000 000 000 000 ; 2 ) число километров , составляющих один парсек ( единица	длины	, принятая в астрономии ) , если один парсек равен 30 800 000 000 000 км ; 3 ) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций .
Записать формулу , выражающую зависимость	длины	пути s ( в км ) от времени движения t ( в ч ) .
Например , если а и b —	длины	сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени ,	длины	, площади , массы .
Например , если а и b — длины сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей	длины	( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если	длины	сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Ширина прямоугольника на 15 м меньше его	длины	.
А о красоте математических	доказательств	и о математиках очень хорошо написал английский учёный Г. X. Харди ( 1877–1947 ): « Математик так же , как и художник или поэт , создаёт узоры .
Узоры	доказательств	.
Именно в этом и есть наглядная суть	доказательства	распределительного закона .
Геометрические	доказательства	формул сокращённого умножения .
Мне нравятся красивые и простые	доказательства	.
Мне и алгебраические , и геометрические	доказательства	напоминают бабушкино вязание — петелька за петельку , и получился мне свитер .
При	доказательстве	понадобится умение приводить подобные члены в многочлене .
Так было сделано только что при	доказательстве	делимости суммы чисел на 3 .
Профессор , мы решали уже немало задач на	доказательство	того , что некоторое число , записанное с помощью букв , будет делиться на другое число .
А строгое	доказательство	законов арифметических действий было сделано лишь во второй половине XIX в .
А мне понравилось	доказательство	формулы разности квадратов с помощью рисунка .
Это	доказательство	придумали Вы , Профессор ? .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных	дробей	; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Сокращение	дробей	.
Как вы думаете , ребята , сложным ли выражением будет общий знаменатель таких	дробей	.
Общий знаменатель данных	дробей	должен делиться на знаменатель каждой из дробей .
Разложим многочлены , стоящие в знаменателях	дробей	, на множители .
Общий знаменатель данных дробей должен делиться на знаменатель каждой из	дробей	.
Придётся перемножить знаменатели всех шести	дробей	— получим их общий знаменатель .
Сложение и вычитание алгебраических	дробей	.
Более того , в его книге описывается , например , сложение	дробей	.
Найти общий знаменатель	дробей	.
25 Приведение	дробей	к общему знаменателю .
Деление алгебраических	дробей	.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных	дробей	.
И ты , рассмотрев знаменатели двух последних	дробей	, увидела бы , что , затем .
По аналогии с нахождением общего знаменателя обыкновенных	дробей	вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических дробей .
Ещё я хотел рассказать вам , что в своей книге Ньютон перечислял не только сходство обыкновенных и алгебраических	дробей	, но и их различия .
По аналогии с нахождением общего знаменателя обыкновенных дробей вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических	дробей	.
Приведём примеры	дробей	, для упрощения которых нужно сначала выделить общий множитель числителя и знаменателя .
Найти разность	дробей	.
Сложение и вычитание алгебраических	дробей	с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание обыкновенных дробей .
По определению степени с натуральным показателем , по правилу умножения	дробей	, по определению степени с натуральным показателем .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических	дробей	справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
Для сложения и вычитания алгебраических	дробей	с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Вычитание алгебраических	дробей	.
В книге Ньютона , например , приводится сокращение следующих	дробей	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных	дробей	к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Напомним , что при сложении обыкновенных	дробей	сначала приводят дроби к общему знаменателю .
Общим знаменателем	дробей	является наименьшее общее кратное их знаменателей .
Так , для	дробей	общим знаменателем является число 100 — наименьшее общее кратное чисел 4 , 25 , 10 .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение	дробей	; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Я пробежал глазами строчку с данными дробями не только слева направо , но и справа налево , рассматривая при этом знаменатели	дробей	.
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических	дробей	, его также называют приведением дробей к общему знаменателю .
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей , его также называют приведением	дробей	к общему знаменателю .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение	дробей	к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Общим знаменателем данных	дробей	является произведение .
Это действие даёт возможность находить сумму и разность	дробей	с разными знаменателями .
Приведём ещё несколько примеров алгебраических	дробей	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих	дробей	; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Посмотрите повнимательнее на знаменатели	дробей	.
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления	дробей	; 3 ) возведения дроби в степень .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания )	дробей	с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных	дробей	; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных	дробей	;
Изображение и описание	дробей	в произведениях искусства .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических	дробей	; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение	дробей	; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Умножение и деление алгебраических	дробей	выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных дробей .
Привести к общему знаменателю дроби Разложим на множители знаменатели	дробей	.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных	дробей	, оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных	дробей	.
Профессор , с этим преобразованием мы справимся , невзирая на 4 этажа	дробей	.
Умножение алгебраических	дробей	.
Доказать , что сумма	дробей	равна 1 .
При сложении ( вычитании )	дробей	с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление обыкновенных	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми числителями больше та , у которой меньше знаменатель , и меньше та , у которой больше знаменатель .
Найти произведение	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та , у которой больше числитель , и меньше та , у которой меньше числитель .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических	дробей	; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель	дробей	, т .
Сравнение	дробей	.
Сформулировать правила умножения и деления алгебраических	дробей	.
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления	дробей	— выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Выполнить деление	дробей	.
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых	дробей	.
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных	дробей	, а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании	дробей	— приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения	дробей	.
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических	дробей	с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель	дробей	; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Записать выражения в виде	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных	дробей	; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных	дробей	они соответственно равны .
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных	дробей	, а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических	дробей	; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из	дробей	; для данных дробей они соответственно равны .
Сформулировать алгоритм сложения ( вычитания ) алгебраических	дробей	с разными знаменателями .
Правило округления десятичных	дробей	: 1 ) Если первая из отброшенных цифр равна 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1 .
Сформулировать алгоритм приведения алгебраических	дробей	к общему знаменателю .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и вычитания	дробей	.
Конечно , мы уже знаем общий знаменатель	дробей	, входящих в данное выражение , — это .
С их учётом предлагаю вам найти сумму следующих	дробей	.
Таким образом , для приведения алгебраических	дробей	к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Для приведения	дробей	к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Посмотри , что получится , если мы перепишем сумму от конца к началу и будем последовательно выполнять сложение	дробей	.
Если уж ты такой умный , то попробуй найти сумму	дробей	.
Сложение алгебраических	дробей	.
Следовательно , выражение является общим знаменателем трёх	дробей	.
Хотя понимаю , что бессмысленно выполнять суммирование в порядке следования	дробей	и в обратном порядке .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных	дробей	, а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях	дробей	, то эти выражения не могут принимать значения , равные нулю .
Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей	дроби	, нужно к полученному произведению дописать множитель .
Далее , общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй	дроби	, и поэтому он должен содержать множитель .
Следовательно , к знаменателю первой	дроби	нужно дописать множитель , т .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя	дроби	и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Вычисляя значения данной	дроби	при , показать , что целые значения получаются при .
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические	дроби	к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и вычитания дробей .
При возведении в степень	дроби	в эту степень возводятся числитель и знаменатель .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной	дроби	; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой	дроби	найти дополнительный множитель ;
возведения степени в степень ; 4 ) возведения произведения в степень ; 5 ) возведения	дроби	в степень .
Свойства	дроби	.
Далее , общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй	дроби	.
Привести	дроби	к общему знаменателю .
Чтобы общий знаменатель делился на знаменатель первой	дроби	, он должен содержать множитель .
На основании какого свойства алгебраические	дроби	приводят к общему знаменателю ? .
Дополнительный множитель второй	дроби	равен .
Так как он должен делиться на знаменатель первой	дроби	, то он должен содержать произведение .
Привести алгебраические	дроби	общему знаменателю .
Не буду вас мучить и сделаю подсказку : если временно обозначить новыми буквами ( кроме х и у ) встречающиеся в обоих уравнениях	дроби	, то эти уравнения упростятся .
Напомним , что при сложении обыкновенных дробей сначала приводят	дроби	к общему знаменателю .
Если в задании не указано , к какому общему знаменателю нужно привести	дроби	, то их приводят к простейшему общему знаменателю .
Умножая числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
умножить числитель каждой	дроби	на её дополнительный множитель ;
Привести к общему знаменателю	дроби	Разложим на множители знаменатели дробей .
Вычислить значение этой	дроби	при .
При каких значениях x значение этой	дроби	равно нулю ? .
Разделив на знаменатель первой	дроби	, получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
2 Обыкновенные	дроби	.
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель	дроби	меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть целым числом .
Цепные	дроби	.
умножить числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель .
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть )	дроби	с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему знаменателю ;
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть ) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные	дроби	к общему знаменателю ;
сравнить ( сложить , вычесть ) полученные	дроби	.
если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой	дроби	и прибавить её к полученной целой части .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных дробей , а также возведение	дроби	в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Чтобы найти число по данному значению его	дроби	, нужно это значение разделить на дробь .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой	дроби	дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
4 Десятичные	дроби	.
Но расставлять дополнительные множители , умножать на них числители и потом преобразовывать длинное выражение в числителе полученной	дроби	займёт очень много времени .
Если в конце десятичной	дроби	приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится дробь , равная данной .
Привести к общему знаменателю	дроби	.
Как складываются алгебраические	дроби	с одинаковыми знаменателями ? .
сложить ( или вычесть ) полученные	дроби	; 4 ) упростить результат , если возможно .
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести	дроби	к общему знаменателю ;
Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные	дроби	, нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
Приведя	дроби	к общему знаменателю , найдём .
Любое число , знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной	дроби	.
Алгебраические	дроби	в книге Диофанта « Арифметика » .
Чтобы привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Понятия дроби и алгебраической	дроби	в книге И. Ньютона « Всеобщая арифметика » .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство	дроби	для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Число 3 здесь 8 называют числителем , а число 8 — знаменателем	дроби	.
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической	дроби	; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Что нужно сделать , чтобы найти числовое значение алгебраической	дроби	при заданных значениях входящих в неё букв ? .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения	дроби	в степень .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать	дроби	; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической	дроби	в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Любое натуральное число можно записать в виде	дроби	со знаменателем 1 .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить	дроби	к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Преобразовывая	дроби	, вы будете выполнять действия с одночленами и многочленами .
Например ,	дроби	неправильные .
Неправильную дробь , у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной	дроби	) .
Для этого из неправильной	дроби	нужно выделить целую часть .
Смешанное число можно представить в виде неправильной	дроби	.
Основное свойство	дроби	: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
При возведении алгебраической	дроби	в степень используется формула .
Умножить	дроби	.
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
Понятия	дроби	и алгебраической дроби в книге И. Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Глава V Алгебраические	дроби	.
С понятием обыкновенной	дроби	вы знакомы с 5 класса .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой	дроби	перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь , приводить	дроби	к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство	дроби	и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
Основное свойство	дроби	.
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя	дроби	на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель	дроби	, например .
Сложить	дроби	.
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной	дроби	на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Итак , для сокращения	дроби	нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель , считая , что он не равен нулю .
Чем являются числитель и знаменатель алгебраической	дроби	?
Что называют значением алгебраической	дроби	? .
Сформулировать основное свойство	дроби	.
Найти значение алгебраической	дроби	.
Используя основное свойство	дроби	, заменить букву а алгебраическим или числовым выражением так , чтобы равенство было верным .
Если к числителю некоторой	дроби	прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Показать , что данные две	дроби	равны .
Нужно вспомнить : основное свойство	дроби	; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Разложить на множители числитель и знаменатель	дроби	и сократить её .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной	дроби	прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Алгебраические	дроби	в древности .
Интересно , древние учёные знали алгебраические	дроби	? .
Так как в алгебраической	дроби	буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя	дроби	меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Например , для	дроби	— допустимыми являются все значения а , кроме .
Например , значение алгебраической	дроби	при равно .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь , приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства	дроби	.
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель	дроби	( на сколько частей разделено целое ) и числитель дроби ( сколько частей взято ) .
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель дроби ( на сколько частей разделено целое ) и числитель	дроби	( сколько частей взято ) .
А молодому человеку приближаться к совершенству всегда можно и нужно через увеличение числителя	дроби	, совершенствуя и развивая хорошие качества .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической	дроби	и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой	дроби	на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической	дроби	являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Чтобы перемножить две десятичные	дроби	, нужно : 1 ) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые ;
Из - за того что в арифметике не всегда получалось деление нацело одного числа на другое , придумали обыкновенные	дроби	.
А так как в алгебре не всегда получалось деление нацело многочлена на многочлен , ввели алгебраические	дроби	.
В этом вы убедитесь при обобщении основного свойства	дроби	, которое будет рассмотрено в этом параграфе .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной	дроби	; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной	дроби	; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Числитель этой	дроби	, а её знаменатель .
Доли и	дроби	.
В алгебраической	дроби	числитель и знаменатель — алгебраические выражения .
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти	дроби	к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Если вместо букв , входящих в алгебраическую дробь , подставить числа , то после вычислений получится значение этой алгебраической	дроби	.
Натуральные числа и	дроби	, большие нуля , называют положительными числами .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых знаменатель этой	дроби	не равен нулю .
Следовательно , данные	дроби	можно записать так .
Используя основное свойство	дроби	, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
3 ) Если вычисляется значение дроби , то сначала выполняются действия в числителе	дроби	и в знаменателе , а затем первый результат делится на второй .
3 ) Если вычисляется значение	дроби	, то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе , а затем первый результат делится на второй .
При решении задачи использовалась запись ( черта	дроби	заменяет знак деления ) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если	дробная	часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Любое число , знаменатель	дробной	части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной дроби .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше	дробной	части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести	дробные	части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы сложить смешанные числа , нужно : 1 ) привести	дробные	части этих чисел к общему знаменателю ;
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и	дробными	числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и	дробными	числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно	дробных	частей ;
если при сложении	дробных	частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно	дробных	частей .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную	дробь	, нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Упростить	дробь	.
записать каждую	дробь	с найденным числителем и общим знаменателем .
если при сложении дробных частей получилась неправильная	дробь	, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Сократить	дробь	и найти её значение при .
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту	дробь	, получим .
Что такое допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта	дробь	не может быть целым числом .
Найти исходную	дробь	.
то получится	дробь	, равная .
Каковы допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта	дробь	при не может быть целым числом .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать	дробь	, приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Он говорил , что человек есть	дробь	.
Неправильную	дробь	, у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
24 Алгебраическая	дробь	.
Смотри , как красиво получается , если каждую	дробь	вида заменить разностью .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится	дробь	, равная данной .
Как возвести алгебраическую	дробь	в степень ? .
Начни выписывать аккуратно все множители после действий в скобках и посмотри , как упрощается получаемая после умножения	дробь	.
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить последний нуль , то получится	дробь	, равная данной .
Возвести в степень	дробь	.
Если вместо букв , входящих в алгебраическую	дробь	, подставить числа , то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую	дробь	, могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых знаменатель этой дроби не равен нулю .
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей	дробь	, например .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую	дробь	на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
Сократить	дробь	: 1 ) Одночлены имеют общий множитель 4ab .
Как найти допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	? .
Например ,	дробь	правильная .
Найти все целые числа n , при которых	дробь	является целым числом .
Как сократить алгебраическую	дробь	? .
Алгебраическая	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить	дробь	в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Осталось выяснить , при каких целых значениях n	дробь	является целым числом .
Сократить	дробь	;
Найти числовое значение выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить	дробь	.
Найти допустимые значения букв , входящих в	дробь	.
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную	дробь	, уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту	дробь	.
Чтобы найти	дробь	от числа , нужно умножить число на эту дробь .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно делимое умножить на число , обратное делителю .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая	дробь	; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Записать алгебраическую	дробь	, числитель которой равен сумме кубов чисел с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел .
Чтобы найти число по данному значению его дроби , нужно это значение разделить на	дробь	.
Сократить	дробь	.
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую	дробь	; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Записать алгебраическую	дробь	, числитель которой равен разности квадратов чисел а и b , а знаменатель — квадрату разности этих чисел .
Число же , записанное перед алгебраической	дробью	, означает их произведение , например .
В частности , он обращал внимание читателей на то , что целое число , записанное перед обыкновенной	дробью	, означает их сумму , например .
Выражение называют алгебраической	дробью	.
В связи с этим предлагаем обсудить интересное высказывание Л. Н. Толстого ( 1828–1910 ) о сравнении человека с	дробью	.
Дробь , у которой числитель больше знаменателя или равен ему , называют неправильной	дробью	.
Запись вида — называют обыкновенной	дробью	.
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называют правильной	дробью	.
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими	дробями	.
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных дробей , а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими	дробями	.
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными	дробями	вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими	дробями	( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Я пробежал глазами строчку с данными	дробями	не только слева направо , но и справа налево , рассматривая при этом знаменатели дробей .
Как можно упростить результат действий с алгебраическими	дробями	? .
Действия с десятичными	дробями	.
Так как вы познакомились со всеми действиями , которые можно выполнять с алгебраическими	дробями	, попробуйте преобразовать такое необычное выражение .
Арифметические действия с обыкновенными	дробями	.
Действия над алгебраическими	дробями	.
Действия с обыкновенными и алгебраическими	дробями	не имеют существенных различий , так как в алгебре под буквами подразумеваются числа .
Умеете выполнять арифметические действия с	дробями	, сокращать дробь , приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Думаю , что в действиях с	дробями	ошибаться не будем .
28 Совместные действия над алгебраическими	дробями	.
Задачи на действия с алгебраическими	дробями	из сборников задач для математических кружков и математических олимпиад .
Действия с	дробями	в книге Л. Ф. Магницкого « Арифметика » .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с	дробями	; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Так что алгебраическими	дробями	математики занимаются давно .
Впервые действия с алгебраическими выражениями ( в том числе с алгебраическими	дробями	) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
В знаменитой книге « Арифметика » Диофанта встречаются выражения , которые мы сегодня называем алгебраическими	дробями	.
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными	дробями	.
При совместных действиях над алгебраическими	дробями	вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Заглядывайте в него чаще , там вы найдёте и определение процента , и разобранные задачи на проценты , правила действий с обыкновенными и десятичными	дробями	и многое другое .
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с	единиц	и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Сторона квадрата равна а	единиц	.
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5	единиц	вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции .
( единица в левой части уравнения перенесена из разряда	единиц	после суммирования ) .
Найти цифру	единиц	этого двузначного числа .
18 Число содержит 4 сотни , b десятков и с	единиц	.
Составить выражение , показывающее , сколько	единиц	содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
График функции у получается сдвигом графика функции y на b	единиц	вдоль оси ординат .
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8	единиц	.
Сложение столбиком начинается с разряда	единиц	.
Число 4350 содержит 4 тысячи , 3 сотни , 5 десятков и 0	единиц	.
Так , в записи числа 15 цифра 5 обозначает пять	единиц	, а в записи числа 51 — пять десятков .
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в натуральном числе , состоящем из а сотен , b десятков и с	единиц	.
Сколько	единиц	в числе , написанном теми же цифрами , но в обратном порядке ? .
Куб со стороной 5	единиц	содержит единичных кубиков .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных величин : пути от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества	единиц	товара ( при установленной цене за единицу ) , массы тела от объёма вещества и т .
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа	единиц	и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков , чем сотен , а число	единиц	равно квадрату числа сотен .
Квадрат со стороной 5	единиц	содержит единичных квадратиков .
В двузначном числе десятков втрое больше , чем	единиц	.
Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа	единиц	.
Да , мы прикладывали линейку к графику функции и двигали её вверх или вниз на b	единиц	в зависимости от знака числа b в формуле функции .
Если её записать с помощью других букв , вы вспомните , что пользовались ею неоднократно : — формула пройденного пути s за время t при движении со скоростью v ; — формула стоимости Р покупки n	единиц	товара по цене с ; — формула площади S прямоугольника со сторонами a и b .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5	единиц	большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
Если в выражении присутствовало числовое слагаемое , то он ставил перед ним значок « М » — фактически первые две буквы слова Μονας ( монос —	единица	) .
ст. , равное 27 000 000 000 000 000 000 ; 2 ) число километров , составляющих один парсек (	единица	длины , принятая в астрономии ) , если один парсек равен 30 800 000 000 000 км ; 3 ) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций .
(	единица	в левой части уравнения перенесена из разряда единиц после суммирования ) .
Например , коэффициент одночлена равен	единице	.
Любое число , знаменатель дробной части которого выражается	единицей	с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной дроби .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и	единицей	длины образуют прямоугольную систему координат на плоскости .
Если значения двух величин выражены одной и той же	единицей	измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Например , если а и b — длины сторон прямоугольника , измеренные одной и той же	единицей	длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого числа на	единицу	, то выражения вида а , 2 также считают одночленами .
Коэффициент , равный 1 , обычно не записывают , так как от умножения на	единицу	число не меняется .
Затем показать , что если из степени числа 10 с натуральным показателем вычесть	единицу	, то получится число , все цифры которого равны 9 .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на	единицу	целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных величин : пути от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества единиц товара ( при установленной цене за	единицу	) , массы тела от объёма вещества и т .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя :	единицу	и само это число .
Если коэффициент равен ( – 1 ) , то и в этом случае	единицу	и скобки можно не писать , а оставить только знак « – » .
При каждом значении х значение функции на 2	единицы	меньше значения функции .
Теперь давайте покажем , что график функции можно получить сдвигом графика функции у вправо на 3	единицы	.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после	единицы	в делителе .
В самом деле , так как при , то точка графика функции получается сдвигом вправо на 3	единицы	точки графика функции .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3	единицы	точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3	единицы	соответствующей точки А графика .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и дробными числами ;	единицы	измерения времени , длины , площади , массы .
Поэтому график функции можно получить сдвигом графика функции вниз на 2	единицы	.
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4	единицы	, а длина больше на 8 единиц .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после	единицы	.
Куб со стороной 5 единиц содержит	единичных	кубиков .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в	единичных	отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
Квадрат со стороной 5 единиц содержит	единичных	квадратиков .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в	единичных отрезках	) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
записать их друг под другом так , чтобы	запятая	была записана под запятой ;
Если же порядок расположения элементов в комбинации важен , то отделять элементы друг от друга	запятой	не будем : АБ и БА — разные пары .
отделить	запятой	столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе .
Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после	запятой	;
Если в произведении получается меньше цифр , чем нужно отделить	запятой	, то перед произведением предварительно записывают нуль или несколько нулей .
записать их друг под другом так , чтобы запятая была записана под	запятой	;
отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после	запятой	в обоих множителях вместе .
Сколько десятичных знаков после	запятой	содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
поставить в ответе запятую под	запятой	в данных дробях .
поставить в ответе	запятую	под запятой в данных дробях .
Договоримся , что , если нужно представить комбинацию элементов , в которой порядок расположения элементов не важен , будем записывать эти элементы через	запятую	: А , Б и Б , А — одна и та же пара элементов .
выполнить сложение ( вычитание ) , не обращая внимания на	запятую	;
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести	запятую	на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести	запятую	в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Так , расстояние от Земли до Солнца , примерно равное 150 млн км , записывают в виде 1,5 · 108 км ; радиус земного шара , приближённо равный 6,37 млн м , — в виде 6,37 · 106 м , а расстояние от Земли до ближайшей	звезды	( альфа Центавра ) — в виде 4 · 1013 км .
Вычислить приближённо , сколько лет луч света идёт от Земли до Сириуса , если расстояние от Земли до	звезды	Сириус равно 83 000 000 000 000 км .
Очевидно , вместо	звёздочки	может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных натуральных чисел ( а корнем уравнения является число 3 ) .
Написать формулу массы m	зерна	на машине .
Для перевозки некоторого количества	зерна	автомашина , имеющая грузоподъёмность 4 т , сделала 15 рейсов .
В одном элеваторе было	зерна	в 2 раза больше , чем в другом .
Какую грузоподъёмность должна иметь автомашина , чтобы такое же количество	зерна	перевезти за 12 рейсов ? .
Из первого элеватора вывезли 750 т зерна , на второй элеватор привезли 350 т , после чего в обоих элеваторах	зерна	стало поровну .
Из первого элеватора вывезли 750 т	зерна	, на второй элеватор привезли 350 т , после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну .
2	зерна	, на третью ещё в 2 раза больше , т .
Сколько	зерна	было первоначально в каждом элеваторе ? .
Ведь	зерно	очень маленькое по размеру .
Сета попросил в награду за своё изобретение столько пшеничных зёрен , сколько получится , если на первую клетку шахматной доски положить одно	зерно	, на вторую в 2 раза больше , т .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив	знак	каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
3 Сформулировать правила заключения в скобки алгебраической суммы , если перед скобками ставится знак « + » ;	знак	« – » .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед скобками	знак	« + » .
Известно , что в Бахшалийской рукописи ( относящейся примерно к VII в . )	знак	деления « ↔ » ставился после делителя .
Если перед скобками ставится	знак	« + » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в скобки , сохраняются .
Свойство 1 Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую , изменив его	знак	на противоположный .
Для сокращения записи	знак	умножения ( точка ) часто опускается .
Если перед скобками ставится	знак	« – » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в скобки , меняются на противоположные .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то	знак	« + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то	знак	перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
А чтобы цифры и числа отличать , в Древней Греции , например , над « цифрами » ставили горизонтальную черту , в славянских странах —	знак	титло .
По графику функции y определить	знак	коэффициента k .
поставить перед полученным числом	знак	минус .
В математике для обозначения систем используют специальный	знак	— фигурную скобку , которая показывает , что должны выполняться требования каждой строчки , охваченной этим знаком .
Если коэффициент равен ( – 1 ) , то и в этом случае единицу и скобки можно не писать , а оставить только	знак	« – » .
Он же первым заменил	знак	умножения « x » на точку , чтобы его не путали с неизвестным числом х .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед скобками	знак	« – » .
Из первого свойства следует , что слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую , изменив	знак	этого слагаемого на противоположный .
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом	знак	минус .
При решении задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет	знак	деления ) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Преобразование выражений , содержащих скобки , перед которыми стоит	знак	« + » , основывается на следующих свойствах сложения .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив	знак	каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Преобразование выражений , содержащих скобки , перед которыми стоит	знак	« – » , основывается на следующих свойствах вычитания .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить	знак	слагаемого с большим модулем .
3 Сформулировать правила заключения в скобки алгебраической суммы , если перед скобками ставится	знак	« + » ; знак « – » .
Расскажите , пожалуйста , о различных обозначениях	знака	деления .
Я знаю , что компьютер вместо	знака	деления обычно рисует наклонную черту .
Вместо	знака	записать такое число , чтобы полученное равенство было верным .
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал деление , к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо	знака	деления круглую скобку .
Выражение , стоящее слева от	знака	равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
Знак вычитания « А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без	знака	сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
Да , мы прикладывали линейку к графику функции и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от	знака	числа b в формуле функции .
В азбуке Морзе , которой пользуются для телеграфных сообщений , два	знака	— точка и тире .
Слева и справа от	знака	равно стоят числовые выражения .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от	знака	равенства , — правой частью уравнения .
Каждая буква или цифра кодируется определённой комбинацией ( последовательностью ) точек и тире , но не более чем пятью	знаками	подряд .
Алгебраическая сумма — это запись , состоящая из нескольких алгебраических выражений , соединённых	знаками	« + » или « – » .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с разными	знаками	, нужно : 1 ) найти произведение ( частное ) модулей этих чисел ;
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми	знаками	, нужно найти произведение ( частное ) модулей этих чисел .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными	знаками	; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными	знаками	, нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Действия с числами с одинаковыми и разными	знаками	.
При решении задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет знак деления ) , состоящая из чисел , соединённых	знаками	арифметических действий .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными	знаками	; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического выражения .
Если перед скобками ставится знак « + » , то	знаки	всех слагаемых , заключаемых в скобки , сохраняются .
Знаете ли вы , что	знаки	арифметических действий в разные времена не всеми учёными обозначались одинаково ? .
Ньютон называл буквы ,	знаки	действий , алгебраические выражения и уравнения языком алгебры .
Он придумал специальные	знаки	, заменяющие слова « равно » , « отнять » и др.
Как раньше записывали числа и	знаки	действий ? .
Если перед скобками ставится знак « – » , то	знаки	всех слагаемых , заключаемых в скобки , меняются на противоположные .
Первому из них Виет помог расшифровать переписку его врагов ( шифр был сложным , состоял из 500	знаков	) .
Вы знаете , что числовые выражения состоят из чисел , скобок и	знаков	арифметических действий .
Сколько десятичных	знаков	после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Какое максимальное число букв , цифр или других	знаков	можно закодировать с помощью азбуки Морзе ? .
Профессор , откуда известно , с помощью каких букв и	знаков	учёные записывали свои труды много веков назад ?
Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество	знаков	после запятой ;
Иногда в числовом выражении , кроме чисел и	знаков	действий , используются скобки .
При решении задачи было получено выражение которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число , чисел 3 и 6 ,	знаков	действий и скобок .
Два числовых выражения , соединённые	знаком	« равно » , образуют числовое равенство .
Перенесём член 5а с противоположным	знаком	в левую часть , а член – 23 в правую часть равенства с противоположным знаком .
Мы это поняли , когда увидели , как Магницкий в своём учебнике обозначал вычитание	знаком	« ÷ » .
Перенесём член 5а с противоположным знаком в левую часть , а член – 23 в правую часть равенства с противоположным	знаком	.
В математике для обозначения систем используют специальный знак — фигурную скобку , которая показывает , что должны выполняться требования каждой строчки , охваченной этим	знаком	.
Два алгебраических выражения , соединённые	знаком	« равно » , образуют алгебраическое равенство .
Вспомните о том , что	знаку	Диофанта обозначал « минус » , Р — число 2 , у — число 3 .
3 ) Если вычисляется значение дроби , то сначала выполняются действия в числителе дроби и в	знаменателе	, а затем первый результат делится на второй .
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов	знаменателей	данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение	знаменателей	этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Общим знаменателем дробей является наименьшее общее кратное их	знаменателей	.
Любое натуральное число можно записать в виде дроби со	знаменателем	1 .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе —	знаменателем	.
Наиболее простым в данном случае общим	знаменателем	является одночлен .
Так , для дробей общим	знаменателем	является число 100 — наименьшее общее кратное чисел 4 , 25 , 10 .
Общим	знаменателем	дробей является наименьшее общее кратное их знаменателей .
записать каждую дробь с найденным числителем и общим	знаменателем	.
Общим	знаменателем	данных дробей является произведение .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим	знаменателем	; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а числителем и	знаменателем	алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Следовательно , выражение является общим	знаменателем	трёх дробей .
Число 3 здесь 8 называют числителем , а число 8 —	знаменателем	дроби .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на	знаменатели	данных дробей ;
Придётся перемножить	знаменатели	всех шести дробей — получим их общий знаменатель .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и	знаменатели	умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Посмотрите повнимательнее на	знаменатели	дробей .
Привести к общему знаменателю дроби Разложим на множители	знаменатели	дробей .
Конечно , мы уже знаем общий	знаменатель	дробей , входящих в данное выражение , — это .
Найти общий	знаменатель	дробей .
Как вы думаете , ребята , сложным ли выражением будет общий	знаменатель	таких дробей .
Так как выражения не имеют общих делителей , то в общий	знаменатель	войдёт их произведение .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий	знаменатель	данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Придётся перемножить знаменатели всех шести дробей — получим их общий	знаменатель	.
Умножая числитель и	знаменатель	каждой дроби на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на	знаменатель	каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Для того чтобы общий знаменатель делился на	знаменатель	третьей дроби , нужно к полученному произведению дописать множитель .
Разделив на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и	знаменатель	.
Для того чтобы общий	знаменатель	делился на знаменатель третьей дроби , нужно к полученному произведению дописать множитель .
Общий	знаменатель	должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей .
Общий знаменатель должен делиться на	знаменатель	каждой из данных дробей .
Так как он должен делиться на	знаменатель	первой дроби , то он должен содержать произведение .
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий	знаменатель	дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Далее , общий	знаменатель	должен делиться на знаменатель второй дроби , и поэтому он должен содержать множитель .
Далее , общий знаменатель должен делиться на	знаменатель	второй дроби , и поэтому он должен содержать множитель .
общий	знаменатель	должен содержать произведение .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий	знаменатель	алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а	знаменатель	оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
умножить числитель и	знаменатель	каждой дроби на её дополнительный множитель .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен сумме кубов чисел с и d , а	знаменатель	— удвоенному произведению этих чисел .
Увеличить свой числитель — свои достоинства — не во власти человека , но всякий может уменьшить свой	знаменатель	— своё мнение о себе , и этим уменьшением приблизиться к совершенству .
Числитель — это сравнительно с другими — достоинства человека ;	знаменатель	— это оценка самого себя .
Чем являются числитель и	знаменатель	алгебраической дроби ?
Разложить на множители числитель и	знаменатель	дроби и сократить её .
Разделив на	знаменатель	первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
Хорошо понимаете , что показывают	знаменатель	дроби ( на сколько частей разделено целое ) и числитель дроби ( сколько частей взято ) .
В алгебраической дроби числитель и	знаменатель	— алгебраические выражения .
Итак , для сокращения дроби нужно числитель и	знаменатель	разделить на их общий множитель , считая , что он не равен нулю .
По аналогии с нахождением общего знаменателя обыкновенных дробей вы научитесь находить общий	знаменатель	алгебраических дробей .
Умножив обе части уравнения на общий	знаменатель	дробей , т .
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и	знаменатель	данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Любое число ,	знаменатель	дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной дроби .
Числитель этой дроби , а её	знаменатель	.
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых	знаменатель	этой дроби не равен нулю .
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та , у которой меньше	знаменатель	, и меньше та , у которой больше знаменатель .
Общий	знаменатель	данных дробей должен делиться на знаменатель каждой из дробей .
Общий знаменатель данных дробей должен делиться на	знаменатель	каждой из дробей .
Чтобы общий	знаменатель	делился на знаменатель первой дроби , он должен содержать множитель .
Чтобы общий знаменатель делился на	знаменатель	первой дроби , он должен содержать множитель .
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та , у которой меньше знаменатель , и меньше та , у которой больше	знаменатель	.
При сложении ( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а	знаменатель	оставляют тем же .
Разделив числитель и	знаменатель	на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Далее , общий	знаменатель	должен делиться на знаменатель второй дроби .
Далее , общий знаменатель должен делиться на	знаменатель	второй дроби .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и	знаменатель	дроби , например .
Таким образом , общий	знаменатель	должен делиться на 3 и 6 , т .
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и	знаменатель	.
Основное свойство дроби : если числитель и	знаменатель	дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности квадратов чисел а и b , а	знаменатель	— квадрату разности этих чисел .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему	знаменателю	; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Приведя дроби к общему	знаменателю	, найдём .
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему	знаменателю	и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь , приводить дроби к общему	знаменателю	с помощью основного свойства дроби .
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть ) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему	знаменателю	;
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему	знаменателю	;
Чтобы сложить смешанные числа , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к общему	знаменателю	;
Привести к общему	знаменателю	дроби .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	, нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему	знаменателю	; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему	знаменателю	; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Приведение к общему	знаменателю	.
Привести к общему	знаменателю	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему	знаменателю	; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей , его также называют приведением дробей к общему	знаменателю	.
Привести алгебраические дроби общему	знаменателю	.
Напомним , что при сложении обыкновенных дробей сначала приводят дроби к общему	знаменателю	.
Следовательно , к	знаменателю	первой дроби нужно дописать множитель , т .
Привести дроби к общему	знаменателю	.
Привести к общему	знаменателю	дроби Разложим на множители знаменатели дробей .
25 Приведение дробей к общему	знаменателю	.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель , приводим их к общему	знаменателю	.
Для приведения дробей к общему	знаменателю	нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему	знаменателю	; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему	знаменателю	нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к	знаменателю	исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Сформулировать алгоритм приведения алгебраических дробей к общему	знаменателю	.
Если в задании не указано , к какому общему	знаменателю	нужно привести дроби , то их приводят к простейшему общему знаменателю .
На основании какого свойства алгебраические дроби приводят к общему	знаменателю	? .
Если в задании не указано , к какому общему знаменателю нужно привести дроби , то их приводят к простейшему общему	знаменателю	.
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего	знаменателя	на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Приведём примеры дробей , для упрощения которых нужно сначала выделить общий множитель числителя и	знаменателя	.
Дробь , у которой числитель больше	знаменателя	или равен ему , называют неправильной дробью .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного	знаменателя	дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Это свойство означает , что при умножении или делении числителя и	знаменателя	дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
Дробь , у которой числитель меньше	знаменателя	, называют правильной дробью .
Неправильную дробь , у которой числитель больше	знаменателя	, можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше	знаменателя	, и поэтому эта дробь при не может быть целым числом .
По аналогии с нахождением общего	знаменателя	обыкновенных дробей вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических дробей .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего	знаменателя	на знаменатели данных дробей ;
Замечаю , что фигурируют два	знаменателя	.
Уменьшением	знаменателя	— снижением самомнения тоже полезно заниматься .
Могу лишь добавить , что раз стоят в	знаменателях	дробей , то эти выражения не могут принимать значения , равные нулю .
Разложим многочлены , стоящие в	знаменателях	дробей , на множители .
Последнее равенство является верным при любом значении х. Следовательно , любое	значение	х является корнем уравнения .
Найти числовое	значение	многочлена .
Доказать , что если . Доказать , что если , то	значение	выражения отрицательно .
Упростить выражение и найти его числовое	значение	при .
Доказать , что при любом целом n	значение	выражения делится на 5 ; делится на 9 .
Чтобы найти число по данному значению его дроби , нужно это	значение	разделить на дробь .
Вычислить : Упростить выражение и найти его числовое	значение	при .
2 Не производя вычислений , показать , что	значение	выражения делится на 7 .
Упростить многочлен и найти его	значение	.
Выразить из этой формулы v0 и найти его	значение	, если Сила притяжения F между двумя телами с массами m и М , находящимися на расстоянии R , вычисляется по формуле , где у — гравитационная постоянная .
Применяя формулу , найти приближённое	значение	числа .
Если было задумано число 5 , то получилось бы числовое выражение ,	значение	которого также равно 2 .
Однако может оказаться , что уравнение с одним неизвестным не имеет корней или любое	значение	неизвестного является корнем уравнения .
При каком значении х	значение	многочлена .
Может ли при а > 0 и b > 0	значение	многочлена : 1 ) быть числом отрицательным ;
Найти	значение	выражения а2 , если а равно .
Это решение можно записать в виде числового выражения ,	значение	которого равно 2 .
Найти рациональным способом	значение	выражения .
Упростить выражение и найти его числовое	значение	при х равно 11 .
Находим	значение	одночлена .
Что нужно сделать , чтобы найти числовое	значение	алгебраической дроби при заданных значениях входящих в неё букв ? .
Существует ли	значение	y , при котором числовые значения выражений равны ?
Существует ли	значение	х , при котором числовые значения выражений различны ?
Христианская религия числу 12 придаёт особое	значение	: в Библии говорится о 12 избранных племенах , 12 апостолах и др .
Найти числовое	значение	одночлена .
Записать одночлен в стандартном виде и найти его числовое	значение	.
Указать такое	значение	а , при котором данное уравнение имеет корни .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти	значение	х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
Найти	значение	алгебраической дроби .
В простейших случаях легко подобрать	значение	х , которое является корнем уравнения .
Например ,	значение	алгебраической дроби при равно .
Если вместо букв , входящих в алгебраическую дробь , подставить числа , то после вычислений получится	значение	этой алгебраической дроби .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней : любое	значение	х является корнем этого уравнения , так как при любом х левая часть уравнения равна правой части .
Корнем уравнения называется то	значение	неизвестного , при котором это уравнение обращается в верное равенство .
Доказать , что	значение	выражения делится на 26 .
Выполнить умножение одночленов и найти	значение	полученного выражения .
Разложить на множители многочлен и найти его числовое	значение	при .
Найти	значение	одночлена при .
Следовательно , искомое	значение	равно .
Чтобы узнать , сколько карандашей получил каждый ученик , нужно найти	значение	выражения .
Умение раскладывать многочлены на множители имеет важное	значение	при решении уравнений .
Числовое	значение	расстояния h ( выраженного в метрах ) , которое пролетает свободно падающее тело за время t ( выраженное в секундах ) от начала падения , на практике часто вычисляют по формуле .
Значит , в Египте в давние времена умели находить , в частности , числовое	значение	многочлена .
С помощью микрокалькулятора найти	значение	выражения .
Найти числовое	значение	выражения при .
Например , нельзя найти	значение	х , удовлетворяющее уравнению , так как нельзя получить отрицательное число при перемножении двух одинаковых чисел .
6 Найти	значение	числового выражения .
Сократить дробь и найти её	значение	при .
Показать , что любое	значение	х является корнем уравнения .
Определить	значение	b , если через точку с координатами ( 3 ; 10 ) проходит график функции , заданной формулой .
14 Найти	значение	выражения .
Действительно , после упрощения это выражение принимает вид и его числовое	значение	можно найти устно .
Доказать , что	значение	выражения делится на 6 при любом натуральном n .
16 Найти	значение	алгебраического выражения .
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным нулю	значение	алгебраического выражения ? .
Найти : 1 ) значение у при ; 2 )	значение	х , если у. Построить график зависимости у от х .
Найти числовое	значение	алгебраического выражения .
Найти : 1 )	значение	у при ; 2 ) значение х , если у. Построить график зависимости у от х .
Найти : 1 ) значение у при ; 2 )	значение	х при .
Если у прямо пропорционален х , то при увеличении значения х в несколько раз	значение	у увеличивается во столько же раз .
Найти : 1 )	значение	у при ; 2 ) значение х при .
Часто встречается такая зависимость у от х , что при увеличении значения х в несколько раз	значение	у уменьшается во столько же раз .
Найти	значение	k , если график функции y проходит через точку .
Вычислить	значение	этого произведения при а равно – 2 .
Найти	значение	одночлена .
Если рассмотреть формулу , где k и х — произвольные числа , то каждое заданное	значение	k определяет некоторую функцию .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 )	значение	выражения делится на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
12 Найти	значение	алгебраического выражения .
Упростить выражение и выяснить , при каком значении х	значение	выражения равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
При каком х	значение	выражения на 2 больше значения выражения ? .
Изучая эту главу , вы узнаете , что нерационально , например , находить	значение	выражения не упростив его предварительно .
Например , система ( натуральное число ) имеет единственное	значение	х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию системы .
32 Найти	значение	числового выражения , используя законы и свойства арифметических действий .
Упростить выражение и найти его числовое	значение	.
Найти	значение	выражения .
Найти у и значение х , при котором	значение	функции равно 89 .
Вычислить	значение	числового выражения .
По графику найти натуральные значения х , при которых	значение	функции равно – 2 .
По графику найти целые значения х , при которых	значение	функции больше – 2 .
Найти по графику : 1 )	значение	у , если значение х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
3 ) Если вычисляется	значение	дроби , то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе , а затем первый результат делится на второй .
Доказать , что	значение	выражения также делится на 13 .
Пусть m и n такие натуральные числа , что	значение	выражения делится на 13 .
Доказать , что при любых натуральных m и n	значение	выражения делится на 16 .
Доказать , что при любом натуральном n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 )	значение	выражения делится на 6 .
Найти у и	значение	х , при котором значение функции равно 89 .
При каком значении х	значение	функции у(х ) равно 3 ; – 1 ; 0 ? .
Найти по графику : 1 )	значение	у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 )	значение	х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Найдём	значение	у при .
2 ) При каких значениях x	значение	выражения равно нулю ? .
Доказать , что	значение	выражения .
Найти	значение	алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при значение выражения равно 49 .
Построить график функции и по нему найти : 1 )	значение	у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
При 0	значение	функции у равно 5 , т .
Найти	значение	k , если известно , что график функции проходит через точку .
Найти	значение	выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти	значение	числового выражения .
при каком значении x	значение	у равно – 8 ; – 2 ; 0 ; 0,5 ; 1,5 ;
Найти	значение	х , при котором функция принимает значение , равное 0 ; – 2 .
Найти значение х , при котором функция принимает	значение	, равное 0 ; – 2 .
Найти по графику : 1 )	значение	у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
при каком значении х	значение	у равно – 5 ; 2 ; 6 .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х	значение	у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а	значение	выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти	значение	b , если известно , что график функции проходит через точку .
Найти	значение	k , если известно , что график функции у проходит через точку .
Найти числовое	значение	выражения при x равно – 3 , x равно 3 . 5 ) Сократить дробь .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если	значение	у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Пользуясь этим графиком , найти :	значение	х , при котором функция принимает значение , равное .
Найти по графику : 1 )	значение	у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Какой цифрой оканчивается	значение	выражения .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 )	значение	х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Найти	значение	х , при котором разность выражений равна выражению .
Найти	значение	алгебраического выражения .
Пользуясь этим графиком , найти : значение х , при котором функция принимает	значение	, равное .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если	значение	функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
2 Найти	значение	А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
Это	значение	равно 4 .
При каком значении x	значение	функции у равно нулю ? .
При каких значениях x	значение	этой дроби равно нулю ? .
При каждом значении х	значение	функции на 2 единицы меньше значения функции .
Вычислить	значение	этой дроби при .
2 ) При каких значениях x	значение	каждого выражения равно нулю ? .
Чтобы найти , на каком этаже находится лифт , нужно вычислить	значение	числового выражения .
Найти	значение	m при .
Доказать , что при любых значениях х и у , не равных 0 ,	значение	выражения положительно .
Например , формула показывает , как по данному значению х вычислить соответствующее	значение	функции у .
Подставив найденное	значение	х равно – 6 в первое уравнение данной системы , получим .
Этот вид имеет важное	значение	для оценки и сравнения различных величин в естествознании и на практике .
Найти	значение	выражения при .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти	значение	у .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить алгебраическое выражение , а затем вычислить его	значение	более рациональным способом .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное	значение	х в выражение для у , найти значение у .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти	значение	х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Найти	значение	X , при котором значение у равно – 1 .
Найти значение X , при котором	значение	у равно – 1 .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое	значение	и выполнить действия , то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения .
Заменим в этом равенстве число у равным ему числом подставим вместо у его	значение	.
Как записать комбинации из нескольких элементов , если порядок расположения элементов в комбинации : 1 ) имеет	значение	;
Пары чисел х , где х может принимать любое	значение	, являются решениями уравнения .
Например ,	значение	алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ;	значение	этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом значении а .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное	значение	неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Важен порядок расположения чисел в скобках : на первом месте указывается значение х , а на втором —	значение	у.
Вычислить	значение	выражения .
Вычислив	значение	этого выражения , получим число 12,6 .
Найти	значение	многочлена .
Упростить выражение и найти его числовое	значение	при m . II уровень .
Привести многочлен к стандартному виду и выяснить , при каких значениях х его	значение	равно 1 : 1 ) Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди , 2 части цинка и одна часть олова .
Составить выражение для нахождения периметра треугольника и найти	значение	полученного выражения , если .
Найдём	значение	263 , применяя изученные свойства степеней .
Найти среднее	значение	температуры ( измеряемую в полдень ) за первую декаду июля , если ежедневные замеры были следующими .
Климатическая норма в июле — это и есть среднее	значение	температуры за многолетние температурные наблюдения в этом месяце года .
1 Найти	значение	выражения , если .
Можно найти точное	значение	этой суммы .
Например , здесь 3 — основание степени , 4 — показатель степени , 81 —	значение	степени 34 .
Найти значение алгебраического выражения , предварительно упростив его : 1 ) Показать , что при	значение	выражения равно 49 .
Числовое	значение	алгебраического выражения .
Условимся в дальнейшем при делении на алгебраическое выражение считать , что его	значение	не равно 0 , так как деление на 0 невозможно .
Показать , что при	значение	выражения равно – 29 .
В записи координат точек порядок чисел имеет существенное	значение	.
Вычислить с помощью микрокалькулятора	значение	выражения .
Найти	значение	алгебраического выражения при а равно 10 , b равно 5 .
Найти по графику : 1 ) значение у , если	значение	х равно 2 ; – 2 ; – 1,5
Назвать несколько значений x , при которых	значение	функции положительно .
При каком х	значение	равно 1 ? .
Назвать несколько значений х , при которых	значение	функции положительно .
Вычислить	значение	у при х , равном .
Для того чтобы по заданному графику найти	значение	функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Вычисляя по этой формуле значения у при x равно 0 , 1 , 2 , 3 , замечаем , что только при х равно 2 соответствующее	значение	у будет целым числом ( равным 3 ) .
Найти значение х , при котором	значение	у равно .
Найти	значение	х , при котором значение у равно .
Найти	значение	каждой из функций Р(х ) и при .
Важен порядок расположения чисел в скобках : на первом месте указывается	значение	х , а на втором — значение у.
Найти	значение	х , если .
При каком значении х	значение	функции равно 2 , 0 , – 1 , 1 ? .
Ордината точки пересечения и даст соответствующее	значение	функции .
Назвать несколько значений х , при которых	значение	функции отрицательно .
При каком значении х	значение	функции равно 1 , 2 , 0 ? .
1 Что называют	значением	числового выражения ? .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют значением этого числового выражения или , короче ,	значением	выражения .
Что называют	значением	алгебраической дроби ? .
Например , значением выражения является число 4 ;	значением	выражения является число .
Например ,	значением	выражения является число 4 ; значением выражения является число .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится число , которое называют	значением	этого числового выражения или , короче , значением выражения .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате число называют	значением	алгебраического выражения .
4 Что называют	значением	алгебраического выражения ? .
При каком	значении	х значение функции равно 1 , 2 , 0 ? .
при каком	значении	x значение у равно – 8 ; – 2 ; 0 ; 0,5 ; 1,5 ;
При каком	значении	х значение многочлена .
При каждом	значении	х значение функции на 2 единицы меньше значения функции .
При каком	значении	х значение функции равно 2 , 0 , – 1 , 1 ? .
При каком	значении	x значение функции у равно нулю ? .
Выяснить , имеет ли корни уравнение при заданном	значении	а .
При каком	значении	х равны значения выражений .
При каком	значении	а уравнение а ) имеет один корень ; б ) не имеет корней ? .
Например , значение алгебраического выражения равно 5 , так как равно 5 ; значение этого же выражения при а равно 1 , b равно 0 равно – 4 , так как Значение алгебраического выражения равно 2 при любом	значении	а .
При каком	значении	х значение функции у(х ) равно 3 ; – 1 ; 0 ? .
17 Может ли при каком - либо	значении	а быть равным нулю значение алгебраического выражения ? .
при каком	значении	х значение у равно – 5 ; 2 ; 6 .
Можно показать , что графиком функции y при любом	значении	k является прямая , проходящая через начало координат .
Упростить выражение и выяснить , при каком	значении	х значение выражения равно а : 1 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ;
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом	значении	х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
При каком	значении	х периметр этого прямоугольника будет равен 38 см , 46 см ? .
При каком	значении	а график уравнения не пересечёт данный график ? .
При каком	значении	n верно равенство .
При каком	значении	х значения выражений равны .
Например , уравнение не имеет корней , так как при любом	значении	х левая часть этого уравнения больше правой .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком	значении	х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
Последнее равенство является верным при любом	значении	х. Следовательно , любое значение х является корнем уравнения .
Нахождение средних	значений	совокупностей результатов наблюдений .
Построить график функции и указать по графику несколько	значений	х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Назвать несколько	значений	х , при которых значение функции положительно .
При каком из данных	значений	х числовые значения выражений равны ? .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении	значений	выражений , содержащих степени .
Само название этих формул говорит об их важности для упрощения выражений и нахождения их числовых	значений	.
Это действие облегчает также нахождение числовых	значений	многочлена при различных значениях входящих в него букв .
По формуле вычислим значения у для нескольких	значений	х.
Помимо найденных целочисленных	значений	х и у в задаче 1 уравнению удовлетворяет не одна пара чисел .
Заполнить таблицу	значений	функции при заданных значениях аргумента .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых	значений	х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько	значений	х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Назвать несколько	значений	х , при которых значение функции отрицательно .
Так как значения s зависят от	значений	£ , то £ называют независимой переменной , a s — зависимой переменной или функцией .
Указать несколько целых	значений	x , при которых значения функции у равно положительны ( отрицательны ) .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение	значений	алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Следовательно , нет таких	значений	х и у , которые обращают оба уравнения системы в верные равенства .
Формула применяется также для приближённых вычислений	значений	выражения .
Назвать несколько	значений	x , при которых значение функции положительно .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых	значений	алгебраических выражений .
Составить таблицу	значений	s при t , равном 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . 3 )
А для системы не существует	значений	х , обращающих в верные равенства оба её уравнения .
Построить график функции и по нему найти : 1 ) значение у , соответствующее	значению	х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
Формула устанавливает правило вычисления времени по заданному	значению	пути s.
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее	значению	х , равному – 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 2 ) при каком значении х значение у равно 1 ; 4 ; 0 ; – 1 .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее	значению	х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Например , формула показывает , как по данному	значению	х вычислить соответствующее значение функции у .
Таким образом , формула устанавливает правило вычисления пути s по заданному	значению	времени t.
Согласно этой таблице	значению	соответствует , а значению соответствует .
Согласно этой таблице значению соответствует , а	значению	соответствует .
Рассматриваются три способа задания функции ; демонстрируется процесс нахождения значения функции по заданному	значению	независимой переменной .
Чтобы найти число по данному	значению	его дроби , нужно это значение разделить на дробь .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее	значению	х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Из условия задачи следует , что не имеет	значения	, как пролегает маршрут по частям суши А , В , С и D , поэтому их можно изобразить точками , а мосты — линиями , фактически вершинами и рёбрами графа .
Подставим найденные	значения	х и у в оба уравнения системы и выполним вычисления : Оба равенства верные .
Указать три	значения	х , при которых функция принимает положительные значения , и три значения х , при которых функция принимает отрицательные значения .
понятия числового выражения и его	значения	; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления	значения	выражения нужно сделать три действия , а для вычисления значения выражения 800 nm нужно сделать всего одно действие .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении	значения	выражения нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Тогда я покажу вам решение задачи , в которой ограничения на	значения	неизвестных накладываются из - за того , что цифр всего десять .
Например , если n равно 40 , m равно 50 , то nm равно 2000 , и для вычисления значения выражения нужно сделать три действия , а для вычисления	значения	выражения 800 nm нужно сделать всего одно действие .
2 Назвать законы , с помощью которых упростится нахождение	значения	выражения .
Соответствующие	значения	у будут равны 12 и 4 .
Если подставить данные	значения	букв в одночлен , то придётся вычислить произведение .
Если	значения	двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Что такое допустимые	значения	букв , входящих в алгебраическое выражение ? .
Их бесконечно много : задавая различные значения х , получаем соответствующие им	значения	у.
Их бесконечно много : задавая различные	значения	х , получаем соответствующие им значения у.
Вычисляя по этой формуле	значения	у при x равно 0 , 1 , 2 , 3 , замечаем , что только при х равно 2 соответствующее значение у будет целым числом ( равным 3 ) .
2 ) не имеет	значения	? .
Каковы допустимые	значения	букв , входящих в алгебраическую дробь ? .
Вычисляя	значения	данной дроби при , показать , что целые значения получаются при .
24 Указать , какие числовые	значения	могут принимать буквы а и b в алгебраических выражениях .
Напомним , что при вычислении	значения	выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить	значения	числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые	значения	букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Например , верное равенство , так как	значения	его левой и правой частей совпадают и равны 8 .
Подобрать такие	значения	а и с , чтобы система уравнений имела : 1 ) единственное решение ;
4 Какой порядок выполнения действий применяют при нахождении	значения	числового выражения ? .
Рассматриваются три способа задания функции ; демонстрируется процесс нахождения	значения	функции по заданному значению независимой переменной .
4 Каким по порядку выполняется действие возведения в степень при вычислении	значения	выражения , не содержащего скобок ? .
Если	значения	левой и правой частей равенства не совпадают , то равенство называют неверным .
Решение системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные	значения	координат точки пересечения .
Этот способ либо даёт приближённые	значения	решений системы , либо помогает определить , сколько решений имеет система .
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях дробей , то эти выражения не могут принимать	значения	, равные нулю .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового	значения	алгебраического выражения .
Так как	значения	s зависят от значений £ , то £ называют независимой переменной , a s — зависимой переменной или функцией .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все	значения	параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Здесь s может принимать положительные	значения	, не большие чем расстояние от Москвы до Санкт - Петербурга .
При каком значении х	значения	выражений равны .
5 Какие	значения	может принимать m в равенстве .
Указать три значения х , при которых функция принимает положительные значения , и три	значения	х , при которых функция принимает отрицательные значения .
Указать три значения х , при которых функция принимает положительные	значения	, и три значения х , при которых функция принимает отрицательные значения .
При каком х значение выражения на 2 больше	значения	выражения ? .
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и	значения	алгебраического выражения .
Указать три значения х , при которых функция принимает положительные значения , и три значения х , при которых функция принимает отрицательные	значения	.
Указать несколько целых значений x , при которых	значения	функции у равно положительны ( отрицательны ) .
Очевидно , что последняя цифра	значения	степени будет такой же , как у 92019 .
По нему , кстати , сразу видно , что функция принимает отрицательные значения при х , находящихся между числами – 2 и 2 , а при принимает положительные	значения	.
По нему , кстати , сразу видно , что функция принимает отрицательные	значения	при х , находящихся между числами – 2 и 2 , а при принимает положительные значения .
При каждом значении х значение функции на 2 единицы меньше	значения	функции .
Подумайте , как записать функцию ,	значения	которой равны числу х , если оно неотрицательно , и числу , ему противоположному , если оно отрицательно .
При каком значении х равны	значения	выражений .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых	значения	у положительны ( отрицательны ) .
Найти	значения	k и b , если известно , что график функции проходит через точки .
Найти все	значения	х , при которых верно равенство .
Вы поймёте , почему буквы в алгебраических выражениях не всегда могут принимать любые	значения	.
Как найти допустимые	значения	букв , входящих в алгебраическую дробь ? .
Построить график функции и указать по графику несколько значений х , при которых	значения	функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые	значения	, такие значения , при которых знаменатель этой дроби не равен нулю .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые значения , такие	значения	, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю .
Что такое допустимые	значения	букв , входящих в алгебраическую дробь ? .
Например , для дроби — допустимыми являются все	значения	а , кроме .
Вычисляя значения данной дроби при , показать , что целые	значения	получаются при .
Найти допустимые	значения	букв , входящих в дробь .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые	значения	х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых	значения	у отрицательны ( положительны ) .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые	значения	х , при которых функция отрицательна .
По графику найти натуральные	значения	х , при которых значение функции равно – 2 .
По графику найти целые	значения	х , при которых значение функции больше – 2 .
д. Эти зависимости — прямо пропорциональные и в них независимая переменная принимает только неотрицательные	значения	.
По формуле вычислим	значения	у для нескольких значений х.
При нахождении	значения	числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Если	значения	левой и правой частей числового равенства совпадают , то равенство называют верным .
Можно сказать , что мы в этом параграфе повторили алгоритм нахождения	значения	числового выражения ? .
Найти	значения	выражений .
При делении многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие	значения	, при которых делитель не равен нулю .
Найти числовые	значения	выражений при х равно 1 ; х равно 0 ; х равно – 8 .
Вычисление	значения	степени называют действием возведения в степень .
При каком из данных значений х числовые	значения	выражений равны ? .
Знание способов раскрытия скобок часто позволяет упрощать выражение ( и облегчает тем самым при необходимости нахождение его числового	значения	) .
Если	значения	х положительны и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Если у прямо пропорционален х , то при увеличении	значения	х в несколько раз значение у увеличивается во столько же раз .
Существует ли значение х , при котором числовые	значения	выражений различны ?
Существует ли значение y , при котором числовые	значения	выражений равны ?
В алгебре одна и та же буква может принимать различные числовые	значения	.
Часто встречается такая зависимость у от х , что при увеличении	значения	х в несколько раз значение у уменьшается во столько же раз .
Какие	значения	могут принимать буквы , входящие в выражение .
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим	значениям	функции .
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны	значениям	независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Решить уравнение , принимая за неизвестное х , и выяснить , при каких	значениях	а это уравнение имеет корни .
Осталось выяснить , при каких целых	значениях	n дробь является целым числом .
При каких	значениях	а уравнение : 1 ) не имеет корней ;
Привести многочлен к стандартному виду и выяснить , при каких	значениях	х его значение равно 1 : 1 ) Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди , 2 части цинка и одна часть олова .
Заполнить таблицу значений функции при заданных	значениях	аргумента .
При каких	значениях	а и b приближённое равенство используют для вычислений ? .
Это действие облегчает также нахождение числовых значений многочлена при различных	значениях	входящих в него букв .
При каких	значениях	а данная система имеет единственное решение ? .
не может быть равно 0 ни при каких допустимых	значениях	х .
Что нужно сделать , чтобы найти числовое значение алгебраической дроби при заданных	значениях	входящих в неё букв ? .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных	значениях	входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Доказать , что при всех допустимых	значениях	а , b , х и у ( n — натуральное число ) верно равенство .
д. Например , уравнение имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное равенство , а при других	значениях	х левая часть уравнения не равна нулю .
Доказать , что при любых	значениях	х и у , не равных 0 , значение выражения положительно .
Как можно построить график функции При каких	значениях	х и k формула y выражает прямую пропорциональную зависимость ? .
При каких	значениях	b и с данное число кратно тридцати ? .
1 ) При каких	значениях	k и b график функции y проходит через точки .
При каких	значениях	x значение этой дроби равно нулю ? .
2 ) При каких	значениях	x значение каждого выражения равно нулю ? .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых	значениях	а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
2 ) При каких	значениях	x значение выражения равно нулю ? .
При каких	значениях	х уравнение обращается в верное равенство .
При каких	значениях	k и b график функции проходит через точки ? .
Указать , при каких	значениях	а имеет единственный корень уравнение .
При каких	значениях	а система уравнений : 1 ) не имеет решений ;
Установить , при каких	значениях	а уравнение имеет : 1 ) один корень ; 2 ) бесконечно много корней .
Установить , при каких	значениях	а уравнение : 1 ) имеет один корень ; 2 ) не имеет корней .
Левые части уравнений этой системы равны при любых	значениях	х и у , а правые части не равны .
При каких	значениях	параметра а система уравнений не имеет решений ?
Доказать , что при любых	значениях	x и у верно равенство .
Известно , что куб , ребро которого равно 1 м , ( так называемый кубический метр ) , вмещает около 15 млн	зёрен	пшеницы .
Может быть , такое количество	зёрен	действительно уместится в мешке ?
Давайте подсчитаем , сколько всего	зёрен	должны были выдать Сете в награду за изобретение шахмат .
Сета попросил в награду за своё изобретение столько пшеничных	зёрен	, сколько получится , если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно , на вторую в 2 раза больше , т .
А теперь подсчитайте , сколько таких кубических метров , заполненных зёрнами , нужно поставить друг на друга , чтобы в них поместилось требуемое количество	зёрен	.
Перед началом	игр	болельщики пытались предугадать , как распределятся медали .
Комбинаторные задачи постоянно возникают во время настольных и компьютерных	игр	.
Профессор , в начале главы было сказано , что в различных настольных	играх	возникают комбинаторные задачи .
При	игре	в крестики - нолики на поле размером 3×3 клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход : ставит крестик в любую из клеток ; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток , затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик .
Когда индийский царь Шерам узнал об удивительной	игре	в шахматы , он приказал позвать к себе её изобретателя , учёного Сету .
Действительно , даже планирование каждого следующего хода в шашках , шахматах или карточной	игре	есть комбинаторная задача .
Доморяд А. П. Математические	игры	и развлечения А. П. Доморяд .
В древние времена рассматривались интересные задачи -	игры	.
Развитие торговли и мореплавания в XVII в . , новые географические и астрономические открытия способствовали появлению математических идей и методов , решающих проблемы создания новых	карт	для определения местоположения новых земель и небесных светил .
Заслуга Оресма состоит в том , что он первым ввёл понятие координат на плоскости по аналогии с географическими координатами на	карте	, изобретёнными Гиппархом ( ок . 190 до н .
Каково расстояние между двумя населёнными пунктами , если на	карте	это расстояние 2 см ? .
Масштаб	карты	.
Ну что ты , простейшие географические	карты	создавались с древних времён , как только люди начали путешествовать по свету и объяснять другим , как пройти или проехать в определённое место .
А я думала , что Декарт первым изобрёл координаты , и географические	карты	стали составляться благодаря изобретённой им координатной плоскости .
Прямые углы , образуемые осями координат , называют координатными углами (	квадрантами	) и нумеруют так .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 )	квадрат	суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Доказать , что	квадрат	нечётного числа , уменьшенный на 1 , делится на 8 .
Доказать , что если число , будучи разделено на 9 , даёт в остатке 1 или 8 , то	квадрат	этого числа , делённый на 9 , даёт в остатке 1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Представить	квадрат	двучлена в виде многочлена .
Заменить х одночленом так , чтобы получился	квадрат	двучлена .
Записать : 1 )	квадрат	числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Докажем , что	квадрат	любого натурального числа , не делящегося на 3 , при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Найти шестую степень числа , если : 1 ) его	квадрат	равен ;
Докажите , что если из квадрата большего из них отнять	квадрат	меньшего , то получится число , кратное числу 3 .
Вместо «	квадрат	на отрезке а » , вместо « куб на ребре а » .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга —	квадрат	) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
Найти координаты точки D и построить	квадрат	.
Да , нам понадобится возведение в	квадрат	двучлена .
Хотя в	квадрат	возводить проще , чем в куб .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 )	квадрат	суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в	квадрат	и куб — действиями третьей ступени .
Буквой R ( первая буква латинского слова Radix — корень ) обозначалось неизвестное число ( вместо нашего х ) , буквой q —	квадрат	этого же неизвестного , знаком « + » тогда обозначалось действие вычитания .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
Полученный	квадрат	, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
Изображены два латинских квадрата 4×4 , которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй	квадрат	сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) , то все пары образовавшихся двузначных чисел будут различными .
Существует единственный магический	квадрат	3×3 .
Рассмотрим	квадрат	разности двух чисел .
Рассмотрим	квадрат	суммы двух чисел .
Показано получение нового магического	квадрата	после зеркального отражения относительно горизонтальной оси ( числа в клетках записаны в привычном для прочтения виде ) .
Пример магического	квадрата	размером 4×4 приведён .
Изображены два латинских	квадрата	4×4 , которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй квадрат сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) , то все пары образовавшихся двузначных чисел будут различными .
Найти координаты вершин	квадрата	.
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках	квадрата	размером 3×3 так , чтобы все суммы чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
Например , в каждой классной комнате висит таблица зависимости	квадрата	числа от самого числа .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия	квадрата	и куба числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение	квадрата	числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Записать одночлен в виде	квадрата	другого одночлена .
Даны три вершины	квадрата	ABCD .
В параграфе показано применение формул	квадрата	суммы и квадрата разности для приближённых вычислений , демонстрируется геометрическое обоснование этих формул .
Во сколько раз увеличится площадь	квадрата	, если длину каждой стороны увеличить в 2 раза ; 3 раза ; 10 раз ? .
Показано получение нового магического	квадрата	поворотом клеток вокруг центра на 90 ° .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра	квадрата	.
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны	квадрата	на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
Сторона	квадрата	равна а единиц .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у	квадрата	4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии	квадрата	( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Внешне отличные от него варианты	квадрата	3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Завершить составление латинского	квадрата	.
Завершить составление магического	квадрата	.
1 По каким формулам вычисляют : 1 ) площадь прямоугольника ; квадрата ; 2 ) периметр прямоугольника ;	квадрата	? .
Магического	квадрата	размером 2×2 не существует .
Вычислить площадь	квадрата	со стороной , равной : Вычислить объём куба , длина ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
При этом число N всех камешков n - го по порядку квадратного числа находится по формуле , где n — число камешков на одной стороне	квадрата	.
1 По каким формулам вычисляют : 1 ) площадь прямоугольника ;	квадрата	; 2 ) периметр прямоугольника ; квадрата ? .
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все суммы чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для	квадрата	3×3 они равны 15 ) .
Произведение первого и второго чисел на 34 меньше	квадрата	третьего .
В параграфе показано применение формул квадрата суммы и	квадрата	разности для приближённых вычислений , демонстрируется геометрическое обоснование этих формул .
Длина участка прямоугольной формы на 10 м больше , а ширина на 25 м меньше стороны участка , имеющего форму	квадрата	.
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и	квадрата	.
Обосновать справедливость формулы	квадрата	суммы .
Записать в виде	квадрата	одночлена .
2 )	квадрата	разности двух чисел ; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 ) куба разности двух чисел .
Здесь сначала использовалась формула разности квадратов , затем были применены формулы	квадрата	суммы и разности .
Прочитать формулу : 1 )	квадрата	суммы двух чисел ;
Отсюда , в частности , следует , что любое натуральное число вида нельзя представить в виде	квадрата	натурального числа .
Докажите , что если из	квадрата	большего из них отнять квадрат меньшего , то получится число , кратное числу 3 .
Формулы квадрата суммы и	квадрата	разности иногда применяются к разложению многочленов на множители , например .
Ширина прямоугольника меньше стороны	квадрата	на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
Нужно вспомнить : понятие	квадрата	числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Сравнить площади прямоугольника и	квадрата	.
Сторона первого	квадрата	на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же	квадрата	на 12 м .
Сторона первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого	квадрата	на 351 см2 больше площади второго квадрата .
Нужно вспомнить : понятия	квадрата	и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Площадь земельного участка , имеющего форму	квадрата	, на 700 м2 больше площади другого участка , имеющего прямоугольную форму .
Заметим , что формулу можно получить , рассматривая площадь	квадрата	.
Сторона первого квадрата на 13 см больше стороны второго	квадрата	, а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
Формулы	квадрата	суммы и квадрата разности называют также формулами сокращённого умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений , например .
Найти сторону первого	квадрата	.
Представить в виде	квадрата	одночлена .
Сторона первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго	квадрата	.
Формулы квадрата суммы и	квадрата	разности называют также формулами сокращённого умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений , например .
Формулы	квадрата	суммы и квадрата разности иногда применяются к разложению многочленов на множители , например .
Записать в виде	квадрата	числа .
4 Создать геометрическое обоснование формулы	квадрата	разности .
Я расскажу о магических и латинских	квадратах	таким образом , чтобы ваши алгебраические и геометрические знания помогли нам в обосновании математических развлечений .
Вы знаете , что произведение обозначают , читается : « Пять в	квадрате	» ; произведение обозначают 53 , читается : « Пять в кубе » .
С увеличением количества клеток в	квадрате	растёт число возможных магических квадратов .
Со временем стали говорить : « а в	квадрате	» и « а в кубе » .
Профессор , почему а2 читают как « а в	квадрате	» , a3 — как « а в кубе » ?
Может быть , мы сможем вывести какую - нибудь формулу посложнее , чем формула	квадратного	числа ? .
При этом число N всех камешков n - го по порядку	квадратного	числа находится по формуле , где n — число камешков на одной стороне квадрата .
Справедливость формулы Диофанта , где k — некоторое	квадратное	число , проверьте самостоятельно на первых 10 треугольных числах .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и	квадратные	числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Так появились	квадратные	числа : 1 , 4 , 9 , 16 , 25 .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к линейным и квадратным уравнениям (	квадратные	уравнения вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые уравнения .
А я слышал от бабушки , что они на уроках использовали и круглые , и	квадратные	скобки .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к линейным и квадратным уравнениям (	квадратные уравнения	вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые уравнения .
Теплоснабжение за каждый	квадратный	метр — a р . ;
Например , умножая четвёртое треугольное число на 8 и прибавляя 1 , получим 81 , что является девятым	квадратным	числом .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым	квадратным	числом .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к линейным и	квадратным	уравнениям ( квадратные уравнения вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые уравнения .
Например , выражение , которое твоя бабушка записывала с	квадратными	скобками , Ньютон записал бы так .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S — число	квадратных	сантиметров , а Р — число сантиметров .
Эйлер не смог решить эту задачу , а позднее , в 1901 г. , математики доказали , что ортогональных латинских	квадратов	6×6 не существует .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности	квадратов	двух чисел .
Доказать , что разность	квадратов	любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы	квадратов	суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Только что изученная формула разности	квадратов	поможет нам решить ещё одну полезную задачу на делимость чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов ,	квадратов	суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
21 Формула разности	квадратов	.
Думаю , ты сам придумаешь , где и как можно использовать теорию , например , латинских	квадратов	после моего следующего рассказа .
Впервые задачу построения латинских	квадратов	сформулировал Л. Эйлер , причём в такой форме : « Среди 36 офицеров 6 улан , 6 драгун , 6 гусар , 6 кирасир , 6 кавалергардов и 6 гренадёров .
Например , число всевозможных магических	квадратов	размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число магических квадратов 5×5 более 200 000 .
Например , число всевозможных магических квадратов размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число магических	квадратов	5×5 более 200 000 .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности	квадратов	, квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Профессор , а задачи составления магических и латинских	квадратов	имеют хотя бы какое - то реальное применение ? .
А мне понравилось доказательство формулы разности	квадратов	с помощью рисунка .
Так вот , найденные при археологических раскопках древневавилонские тексты свидетельствуют о том , что с формулой разности	квадратов	учёные были знакомы 4000 лет назад .
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности квадратов двух чисел ,	квадратов	суммы и разности двух чисел и др.
С увеличением количества клеток в квадрате растёт число возможных магических	квадратов	.
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности	квадратов	чисел а и b , а знаменатель — квадрату разности этих чисел .
Привести пример упрощения вычислений с помощью формулы разности	квадратов	.
Формулы	квадратов	и кубов суммы ( разности ) чисел часто используются в приближённых вычислениях .
Разность	квадратов	двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности	квадратов	двух чисел , квадратов суммы и разности двух чисел и др.
Нужно вспомнить : формулу разности	квадратов	и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Здесь было использовано два способа : вынесение общего множителя за скобки и применение формулы разности	квадратов	.
Они изображены камешками , выложенными в форме	квадратов	.
Формулу называют формулой разности	квадратов	.
В Древнем Китае увлекались составлением магических	квадратов	и латинских квадратов .
В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов и латинских	квадратов	.
Здесь сначала использовалась формула разности	квадратов	, затем были применены формулы квадрата суммы и разности .
Прочитать формулу разности	квадратов	двух чисел .
В этом примере используется способ группировки , формула разности	квадратов	и вынесение общего множителя за скобки .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму	квадратов	чисел 5 и 3 .
Формула разности	квадратов	относится к группе так называемых формул сокращённого умножения .
обосновать формулу разности	квадратов	двух чисел .
Примеры табличного способа задания функции : таблица	квадратов	натуральных чисел , таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Зная же формулу разности	квадратов	вычисления можно провести даже устно .
Таблицы	квадратов	и кубов чисел , используемые вавилонскими учёными , представляли собой фактически табличный способ задания функций .
Такие пары латинских	квадратов	называют ортогональными .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму	квадратов	чисел с и 3 .
Разность	квадратов	.
Квадрат суммы двух чисел равен	квадрату	первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат разности двух чисел равен	квадрату	первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Доказать , что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна	квадрату	большего числа .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности квадратов чисел а и b , а знаменатель —	квадрату	разности этих чисел .
В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков , чем сотен , а число единиц равно	квадрату	числа сотен .
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой пирамиды с высотой h , в основаниях которой лежат	квадраты	со сторонами а и b соответственно .
Действительно ,	квадраты	рассмотренных чисел при делении на 3 дают в остатке 1 .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально возводить в	квадраты	числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Делимость на 2 и на 3 числовых выражений , содержащих	квадраты	и кубы различных натуральных чисел .
Магические	квадраты	.
Полученный квадрат , а также другие	квадраты	с теми же свойствами называют магическими квадратами .
И лишь в 1959 г. с помощью ЭВМ было обосновано , что для любого n , кроме 6 , существуют ортогональные	квадраты	размером n×n .
2 Латинские	квадраты	.
А через 50 лет голландский учёный Христиан Гюйгенс ( 1629–1695 ) с помощью мощного телескопа обнаружил	кольцо	Сатурна .
Чем занимается	комбинаторика	? .
В этой работе впервые появился и сам термин	комбинаторика	.
В этой главе вы узнали , что такое : —	комбинаторика	; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Глава VIII Элементы	комбинаторики	.
Профессор , а Вы обещали использовать наши знания для обоснования теории игровых задач	комбинаторики	.
Первым стал рассматривать комбинаторику как самостоятельную ветвь математики немецкий учёный Г. Лейбниц , опубликовавший в 1666 г. работу « Об искусстве	комбинаторики	» .
Такие задачи называются комбинаторными , а раздел математики , занимающийся решением этих задач , —	комбинаторикой	.
Математики , владеющие	комбинаторикой	, зачастую помогали политикам .
Первым стал рассматривать	комбинаторику	как самостоятельную ветвь математики немецкий учёный Г. Лейбниц , опубликовавший в 1666 г. работу « Об искусстве комбинаторики » .
Действительно , даже планирование каждого следующего хода в шашках , шахматах или карточной игре есть	комбинаторная	задача .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; —	комбинаторное	правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Например , в сельском хозяйстве каждый год решают	комбинаторную	задачу : подбирают оптимальную последовательность подготовки к посевным работам с учётом погодных условий , трудовых ресурсов и т .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные	комбинаторные	задачи .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ;	комбинаторные	задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
А в древности решались интересные	комбинаторные	задачи ?
В шахматах есть и сложные	комбинаторные	задачи , ставшие классическими .
Профессор , в начале главы было сказано , что в различных настольных играх возникают	комбинаторные	задачи .
Исторические	комбинаторные	задачи .
Информация : чисто	комбинаторные	попытки разгадать тайну генетического кода оказались для учёных безуспешными .
Мы с вами решали	комбинаторные	задачи с помощью несложных схем .
Такие задачи называются	комбинаторными	, а раздел математики , занимающийся решением этих задач , — комбинаторикой .
Какие задачи называют	комбинаторными	? .
С основными типами	комбинаторных	задач , а также со способами их решения вы и познакомитесь в этой главе .
Для решения	комбинаторных	задач существуют разные средства , исключающие возможность потери какой - либо комбинации элементов .
Учёные выделили основные типы	комбинаторных	задач , к которым сводятся многие проблемы перечисления и подсчёта комбинаций , вариантов .
Несмотря на внешние различия	комбинаторных	задач , многие из них имеют одно и то же математическое содержание .
Она зародилась более 200 лет назад в ходе решения занимательных головоломок и	комбинаторных	задач .
В это же время были введены в алгебру термины «	коммутативный	» ( от латинского commutare — менять , перемещать ) и « дистрибутивный » ( от латинского distributus — разделённый , распределительный ) .
Фактически это	компактная	запись действий с уравнениями системы .
Познакомитесь с самой	компактной	и удобной для приведения подобных одночленов формой их записи .
В этой главе вы оцените красоту и	компактность	записи произведения любого количества одинаковых множителей в виде степени .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения НОК и НОД , неизвестных	компонентов	арифметических действий , вычисления площади прямоугольника и другие .
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным показателем ; нахождение неизвестных	компонентов	действий умножения и деления ; запись числа в стандартном виде .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного чисел ; понятие многоугольника ; формулы площади и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных	компонентов	арифметических действий .
Найти координаты точек пересечения прямой с осями	координат	.
Приложив линейку , можно убедиться , что все построенные точки лежат на одной прямой , проходящей через начало	координат	.
В одной системе	координат	построить графики функций .
Плоскость , на которой выбрана система	координат	, называют координатной плоскостью .
Отметим , что для построения графика линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями	координат	.
О функции и о том , почему прямоугольная система	координат	носит имя Декарта .
координаты точек пересечения графика с осями	координат	; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Заслуга Оресма состоит в том , что он первым ввёл понятие	координат	на плоскости по аналогии с географическими координатами на карте , изобретёнными Гиппархом ( ок . 190 до н .
Начало	координат	.
А почему всё же именем Декарта назвали систему	координат	?
Система	координат	прямоугольная .
Потому что именно Декарту принадлежит идея метода	координат	.
Определить координаты точек пересечения с осями	координат	графика функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями	координат	.
Нужно вспомнить : названия осей	координат	и координат точки на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
Найти точки пересечения графика функции у с осями	координат	и построить график .
Записать формулой функцию , график которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало	координат	; 2 ) точку с координатами .
Найти координаты точек пересечения графика с осями	координат	.
Функция y пересекает оси	координат	в точках А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
Гениальный французский учёный Рене Декарт с помощью созданного им метода	координат	помог естествоиспытателям в решении проблем изображения в любом месте плоскости различных объектов с учётом их местоположения .
История создания прямоугольной системы	координат	.
То есть благодаря методу	координат	мы можем переходить от чисел к точкам координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам уравнений ? .
Декарт при описании метода	координат	рассматривал изменение ординаты у точки , описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений абсциссы х этой точки .
Давайте вспомним Декарта и попробуем разобраться , где используется изобретённый им метод	координат	.
В одной системе	координат	построить графики уравнений .
Найти координаты точек пересечения с осями	координат	прямой .
Решение системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения	координат	точки пересечения .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала	координат	до точки с координатой а .
Прямая ОА проходит через начало	координат	и точку .
29 Прямоугольная система	координат	на плоскости .
Нужно вспомнить : нахождение	координат	точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Построить график функции , найдя точки пересечения его с осями	координат	.
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную систему	координат	на плоскости .
Прямые углы , образуемые осями	координат	, называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
Можно показать , что графиком функции y при любом значении k является прямая , проходящая через начало	координат	.
В записи	координат	точек порядок чисел имеет существенное значение .
Начало	координат	имеет абсциссу и ординату , равные нулю .
Так как начало	координат	принадлежит графику функции y , то для построения этого графика достаточно найти ещё одну точку .
Что такое прямоугольная система	координат	? .
Какие особенности при записи	координат	имеют точки , лежащие : на оси абсцисс ; на оси ординат ? .
Построить точки , симметричные им относительно : а ) оси Ох ; б ) оси Оу ; в ) начала	координат	.
Определить , какая пара точек симметрична относительно : 1 ) оси абсцисс ; 2 ) оси ординат ; 3 ) начала	координат	.
Квадрат со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале	координат	, а стороны параллельны осям координат .
Квадрат со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а стороны параллельны осям	координат	.
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение	координат	точек , расположенных на координатной плоскости .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система	координат	, Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало	координат	.
Нужно вспомнить : названия осей координат и	координат	точки на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
Заслуга Оресма состоит в том , что он первым ввёл понятие координат на плоскости по аналогии с географическими	координатами	на карте , изобретёнными Гиппархом ( ок . 190 до н .
О точках с	координатами	говорят , что они « выколоты » , так как не принадлежат графику .
Построим точки с найденными	координатами	.
Определить значение b , если через точку с	координатами	( 3 ; 10 ) проходит график функции , заданной формулой .
Записать формулой функцию , график которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 ) точку с	координатами	.
Значит , они фактически работали с	координатами	только в первом координатном угле ? .
Выяснить , принадлежит ли графику этой функции точка с	координатами	.
Выяснить , принадлежит m графику этой функции точка с	координатами	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными	координатами	графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Абсциссу и ординату точки М называют	координатами	точки М. Запись М(х ; у ) означает , что точка М имеет абсциссу х и ординату у.
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на плоскости ; построение точек с заданными	координатами	на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с	координатой	х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с	координатой	а .
На оси ординат отметим точку с	координатой	2 и проведём через неё перпендикуляр к оси ординат .
На оси абсцисс отметим точку с	координатой	– 3 и проведём через неё перпендикуляр к этой оси .
её	координаты	на плоскости .
Найти	координаты	точки пересечения прямых .
Определить	координаты	полученных точек .
Назвать	координаты	точек О , А , В и С , отмеченных на числовой прямой .
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много решений :	координаты	любой точки прямой являются решением данной системы .
Найти	координаты	вершин квадрата .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить	координаты	точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти	координаты	точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
В этом параграфе вы узнаете , как называются	координаты	точки на координатной плоскости , как строится точка по заданным координатам и как находится « адрес » точки , т .
Найти	координаты	точек пересечения с осями координат прямой .
Найти	координаты	точек пересечения графика с осями координат .
Так как	координаты	( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые равенства , то пара чисел ( х ; у ) должна быть решением системы .
	Координаты	точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Найти	координаты	точки D и построить квадрат .
Но у древних естествоиспытателей , так же как и у Оресма , использовались только неотрицательные	координаты	точек .
А я думала , что Декарт первым изобрёл	координаты	, и географические карты стали составляться благодаря изобретённой им координатной плоскости .
Найти	координаты	точки пересечения стороны АВ с осью Оу .
Найдём	координаты	точки пересечения построенных прямых , не используя графики .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются	координаты	точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
Проверить , обращают ли	координаты	точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство .
Например , точка А имеет	координаты	.
Найти	координаты	точки пересечения стороны СЕ с осью Ох .
Найти	координаты	точки их пересечения .
Найти	координаты	точки пересечения графика функции с графиком функции у равно 5 .
Итак , точка пересечения графика с осью ординат имеет	координаты	( 0 ; 4 ) .
Найти	координаты	точек пересечения прямой с осями координат .
Определить	координаты	точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
Найти	координаты	точки пересечения графиков функций .
Например , точка В имеет	координаты	.
Найти	координаты	точек .
Есть ли среди чисел	корень	уравнения .
Подобрать число а так , чтобы уравнение имело	корень	.
В этой главе вы узнали , что такое : —	корень	уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий уравнение и	корень	уравнения , будут показаны примеры уравнений , не имеющих корней , и уравнений , имеющих бесконечно много корней .
Например , легко увидеть , что	корень	уравнения — число 1 .
Указать , при каких значениях а имеет единственный	корень	уравнение .
Предположим , что а —	корень	данного уравнения , т .
Итак , предположив , что уравнение имеет	корень	а , мы получили а равно 3 .
При уравнение обратилось в верное равенство , следовательно , х равно 3 — единственный	корень	уравнения .
В рассмотренных примерах каждое уравнение имело один	корень	.
2 ) имеет только один	корень	? .
О близости уравнений и многочленов говорит хотя бы то обстоятельство , что	корень	многочлена по сути — корень уравнения .
О близости уравнений и многочленов говорит хотя бы то обстоятельство , что корень многочлена по сути —	корень	уравнения .
Затем он применял ал - мукабалу ( отнимал от обеих частей уравнения 5х и 1 ) и получал уравнение , после чего легко находил его	корень	.
Однако после изучения темы вы увидите , что второе уравнение сводится к первому и имеет тот же	корень	х равно 3 .
Таким образом , если данное уравнение имеет	корень	, то он может быть равен только числу 3 .
Буквой R ( первая буква латинского слова Radix —	корень	) обозначалось неизвестное число ( вместо нашего х ) , буквой q — квадрат этого же неизвестного , знаком « + » тогда обозначалось действие вычитания .
Установить , при каких значениях а уравнение имеет : 1 ) один	корень	; 2 ) бесконечно много корней .
Установить , при каких значениях а уравнение : 1 ) имеет один	корень	; 2 ) не имеет корней .
Является ли положительным числом	корень	уравнения .
Проверить , есть ли среди чисел 1 ; 0 ; – 4	корень	уравнения .
При каком значении а уравнение а ) имеет один	корень	; б ) не имеет корней ? .
Установить , при каких значениях а уравнение имеет : 1 ) один корень ; 2 ) бесконечно много	корней	.
При каких значениях а уравнение : 1 ) не имеет	корней	;
Сколько	корней	может иметь уравнение ? .
Это уравнение не имеет	корней	, так как левая часть 0 · х равна нулю при любом х , а значит , не равна 1 .
Установить , при каких значениях а уравнение : 1 ) имеет один корень ; 2 ) не имеет	корней	.
Например , уравнение не имеет	корней	, так как при любом значении х левая часть этого уравнения больше правой .
Например , уравнение имеет бесконечно много	корней	: любое значение х является корнем этого уравнения , так как при любом х левая часть уравнения равна правой части .
Уравнение может иметь бесконечно много	корней	.
Показать , что уравнение не имеет	корней	.
Вы уже знаете , что линейное уравнение вида , где b ≠ 0 , не имеет	корней	, так как при умножении на 0 произведение всегда равно нулю .
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий уравнение и корень уравнения , будут показаны примеры уравнений , не имеющих корней , и уравнений , имеющих бесконечно много	корней	.
При каком значении а уравнение а ) имеет один корень ; б ) не имеет	корней	? .
В этой главе вы узнаете , что бывают уравнения , имеющие несколько	корней	.
Бывают такие уравнения , которые вообще не имеют	корней	.
Как доказать , что данное число является ( не является )	корнем	уравнения ? .
Что называют	корнем	уравнения ? .
Число 50 называют	корнем	данного уравнения .
Однако может оказаться , что уравнение с одним неизвестным не имеет корней или любое значение неизвестного является	корнем	уравнения .
Доказать , что	корнем	уравнения является любое число .
Показать , что любое значение х является	корнем	уравнения .
Последнее равенство является верным при любом значении х. Следовательно , любое значение х является	корнем	уравнения .
Например , число 1 является	корнем	уравнения , так как — верное равенство .
Проверим , является ли число 3 на самом деле	корнем	данного уравнения .
Какое из чисел 3 ; – 2 является	корнем	уравнения .
Убедиться в том , что число – 1 является	корнем	уравнения .
Убедиться в том , что число – 2 является	корнем	уравнения .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней : любое значение х является	корнем	этого уравнения , так как при любом х левая часть уравнения равна правой части .
Составить уравнение ,	корнем	которого является число .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных натуральных чисел ( а	корнем	уравнения является число 3 ) .
В простейших случаях легко подобрать значение х , которое является	корнем	уравнения .
Среди уравнений выбрать те , которые имеют одинаковые	корни	.
Подобрать число а такое , чтобы уравнение имело	корни	.
Решить уравнение , принимая за неизвестное х , и выяснить , при каких значениях а это уравнение имеет	корни	.
При решении уравнения с одним неизвестным ( как , например , в задачах 2 и 3 ) переходят от данного уравнения к более простому , имеющему те же	корни	.
Выяснить , имеет ли	корни	уравнение при заданном значении а .
Решить уравнение — это значит найти все его	корни	или установить , что их нет .
3 Уравнение и его	корни	.
Указать такое значение а , при котором данное уравнение имеет	корни	.
Например , уравнение ( его можно записать в виде ) имеет два	корня	, потому что число 25 можно получить как результат умножения двух одинаковых чисел двумя способами .
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; понятие	корня	уравнения с одним неизвестным ; что значит решить уравнение с одним неизвестным .
Уравнение имеет три	корня	: 3 , – 4 и 5 .
д. Например , уравнение имеет два	корня	: 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное равенство , а при других значениях х левая часть уравнения не равна нулю .
Уравнение может иметь два корня , три	корня	и т .
Уравнение может иметь два	корня	, три корня и т .
Поэтому	корнями	рассматриваемого уравнения будут числа 0 .
2 ) приводят подобные члены ; 3 ) делят обе части уравнения на	коэффициент	при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Найти в словаре ( или в Интернете ) трактовку понятия	коэффициент	.
Найти	коэффициент	k и заполнить таблицу : 1 ) Велосипедист движется со скоростью 10 км / ч .
Устно найти	коэффициент	пропорциональности р из таблицы и заполнить таблицу .
Устно найти по таблице	коэффициент	пропорциональности k и заполнить таблицу .
На практике способ подстановки применяется чаще всего в тех случаях , когда в одном из уравнений системы	коэффициент	при каком - либо неизвестном равен 1 , в связи с чем это неизвестное легко выражается через другое неизвестное .
Например ,	коэффициент	одночлена 2а равен 2 , коэффициент одночлена равен , коэффициент одночлена равен ( – 7 ) .
Например , коэффициент одночлена 2а равен 2 ,	коэффициент	одночлена равен , коэффициент одночлена равен ( – 7 ) .
Например ,	коэффициент	одночлена равен единице .
Если	коэффициент	равен ( – 1 ) , то и в этом случае единицу и скобки можно не писать , а оставить только знак « – » .
	Коэффициент	одночлена равен – 1 .
фактически размер налога Р рассчитывался по формуле , где k —	коэффициент	пропорциональности , единый для всех землевладельцев , a S — площадь земельного участка .
Назвать	коэффициент	одночлена .
Например , коэффициент одночлена 2а равен 2 , коэффициент одночлена равен ,	коэффициент	одночлена равен ( – 7 ) .
По графику функции y определить знак	коэффициента	k .
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях системы при каком - либо из неизвестных	коэффициентами	являются противоположные числа , удобно применять способ почленного сложения уравнений .
В этом выражении слагаемые 6a и 35a подобны , так как они отличаются друг от друга только	коэффициентами	.
В уравнении числа а и b называют	коэффициентами	при неизвестных х и у , а число с — свободным членом .
Давайте понаблюдаем за	коэффициентами	многочленов , получаемых возведением двучлена в разные степени .
Среди одночленов указать : 1 ) одночлены стандартного вида ; 2 ) одночлены , отличающиеся только	коэффициентами	.
Эти одночлены отличаются друг от друга только	коэффициентами	.
Подчеркнуть одночлены , отличающиеся только	коэффициентами	.
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения бинома в степень называют биномиальными	коэффициентами	.
А вы не подметили никаких закономерностей в	коэффициентах	многочленов , получаемых после возведения суммы во вторую , в третью степени ? .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули	коэффициентов	при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Если это не так , то можно уравнять модули	коэффициентов	при каком - нибудь одном из неизвестных , умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящие числа .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей	коэффициентов	членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом треугольнике » описал теорию составления треугольника биномиальных	коэффициентов	.
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному	коэффициентов	знаменателей данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
История создания треугольной таблицы биномиальных	коэффициентов	.
Ат - Туси составил таблицу для вычисления биномиальных	коэффициентов	в форме треугольника .
« Треугольник »	коэффициентов	похож на равнобедренный .
Если значения х положительны и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью , а число k —	коэффициентом	пропорциональности .
При этом число а называют	коэффициентом	при неизвестном .
Что называют	коэффициентом	одночлена ? .
Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют	коэффициентом	этого одночлена .
Если	коэффициенты	членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае , когда у обоих линейных уравнений	коэффициенты	при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Я заметил , что первые и последние	коэффициенты	равны 1 и что многочлен выглядит как - то симметрично .
Диофант записывал числовые множители (	коэффициенты	) не перед буквой , а после неё .
nomen — имя ) , поэтому	коэффициенты	многочлена после возведения бинома в степень называют биномиальными коэффициентами .
Узнаёте в строках треугольника Паскаля	коэффициенты	рассмотренных многочленов ? .
При каких значениях b и с данное число	кратно	тридцати ? .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое	кратно	и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего	кратного	нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Умножая обе части этого уравнения на 105 ( наименьшее общее	кратное	чисел 21 и 15 ) , получаем откуда x равно 17,5 .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее	кратное	знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Докажите , что если из квадрата большего из них отнять квадрат меньшего , то получится число ,	кратное	числу 3 .
Так , для дробей общим знаменателем является число 100 — наименьшее общее	кратное	чисел 4 , 25 , 10 .
Общим знаменателем дробей является наименьшее общее	кратное	их знаменателей .
Чтобы найти наименьшее общее	кратное	нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Делители и	кратное	.
Найти наименьшее общее	кратное	чисел .
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему	кратному	коэффициентов знаменателей данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим	кратным	чисел 12 и 18 .
Наименьшим общим	кратным	( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Например , числа 12 , 24 , 36 , 48 являются	кратными	числа 12 .
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что площадь	круга	является функцией его радиуса ( площадь круга они приближённо вычисляли по формуле ) .
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что площадь круга является функцией его радиуса ( площадь	круга	они приближённо вычисляли по формуле ) .
Длина окружности радиуса R выражается формулой площадь	круга	радиуса R выражается формулой .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины - точки могут быть заменены , например ,	кругами	или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
2 ) его	куб	равен .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и	куб	— действиями третьей ступени .
Какую часть объёма куба составляет	куб	, ребро которого составляет часть ребра первого куба ? .
Известно , что	куб	, ребро которого равно 1 м , ( так называемый кубический метр ) , вмещает около 15 млн зёрен пшеницы .
У кубов чисел 2 , 3 , 7 , 8 последняя цифра равна разности десяти и числа , которое возводилось в	куб	.
Хотя в квадрат возводить проще , чем в	куб	.
Вместо « квадрат на отрезке а » , вместо «	куб	на ребре а » .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 )	куб	числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело ,	куб	) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 )	куба	разности двух чисел .
Записать одночлен в виде	куба	другого одночлена .
Записать в виде	куба	одночлена .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и	куба	числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение	куба	числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём	куба	, длина ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
Какую часть объёма	куба	составляет куб , ребро которого составляет часть ребра первого куба ? .
Формулы называют формулами куба суммы и	куба	разности .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и	куба	числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
В нём использовалось замечательное свойство последней цифры	куба	числа .
Какую часть объёма куба составляет куб , ребро которого составляет часть ребра первого	куба	? .
Ребро	куба	равно k сантиметров .
Используя формулы	куба	суммы или куба разности двух чисел , выполнить действие .
Используя формулы куба суммы или	куба	разности двух чисел , выполнить действие .
Формулы называют формулами	куба	суммы и куба разности .
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 )	куба	суммы двух чисел ; 4 ) куба разности двух чисел .
Прочитать формулы суммы и разности	кубов	чисел m и n .
Равенства называют формулами суммы и разности	кубов	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы	кубов	; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Разность	кубов	каких двух последовательных натуральных чисел равна 331 ? .
Таблицы квадратов и	кубов	чисел , используемые вавилонскими учёными , представляли собой фактически табличный способ задания функций .
Ты фактически доказал , что разность	кубов	данных в задаче чисел при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных чисел , таблица	кубов	натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
У	кубов	чисел 2 , 3 , 7 , 8 последняя цифра равна разности десяти и числа , которое возводилось в куб .
Доказать , что разность	кубов	любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
В параграфе обосновываются формулы разложения на множители суммы кубов и разности	кубов	.
Используя формулы суммы или разности	кубов	, упростить .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен сумме	кубов	чисел с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел .
В параграфе обосновываются формулы разложения на множители суммы	кубов	и разности кубов .
Формулы квадратов и	кубов	суммы ( разности ) чисел часто используются в приближённых вычислениях .
При этом	кубы	чисел 1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и возводимое в степень число .
Замечаем , что все	кубы	этих чисел оканчиваются разными цифрами .
Прежде всего нужно выписать и запомнить	кубы	чисел от 1 до 10 .
Делимость на 2 и на 3 числовых выражений , содержащих квадраты и	кубы	различных натуральных чисел .
Изображены два	латинских квадрата	4×4 , которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй квадрат сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) , то все пары образовавшихся двузначных чисел будут различными .
Я расскажу о магических и	латинских квадратах	таким образом , чтобы ваши алгебраические и геометрические знания помогли нам в обосновании математических развлечений .
Профессор , а задачи составления магических и	латинских квадратов	имеют хотя бы какое - то реальное применение ? .
Впервые задачу построения	латинских квадратов	сформулировал Л. Эйлер , причём в такой форме : « Среди 36 офицеров 6 улан , 6 драгун , 6 гусар , 6 кирасир , 6 кавалергардов и 6 гренадёров .
Думаю , ты сам придумаешь , где и как можно использовать теорию , например ,	латинских квадратов	после моего следующего рассказа .
Эйлер не смог решить эту задачу , а позднее , в 1901 г. , математики доказали , что ортогональных	латинских квадратов	6×6 не существует .
Такие пары	латинских квадратов	называют ортогональными .
В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов и	латинских квадратов	.
Завершить составление	латинского квадрата	.
Функция	линейная	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; —	линейная	функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Дана	линейная	функция .
В этом параграфе вы узнаете алгоритм решения уравнения , которое после преобразований принимает вид	линейного	.
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений	линейного	уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Помните , я рассказывал вам о методе ложного положения , которым пользовались в Средние века для решения одного	линейного	уравнения ?
Рассмотрим задачу , приводящую к решению	линейного	уравнения с двумя неизвестными .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график	линейного	уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Что называют решением	линейного	уравнения с двумя неизвестными ? .
Дано	линейное	уравнение с двумя неизвестными х и у. Выразить сначала х через г/ , а затем у через х .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени (	линейное	уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Вы уже знаете , что	линейное	уравнение вида , где b ≠ 0 , не имеет корней , так как при умножении на 0 произведение всегда равно нулю .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; —	линейное	уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Составить такое	линейное	уравнение с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с уравнением образовало систему : 1 ) имеющую единственное решение ;
Уравнение	линейное	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика	линейной	функции с осями координат .
Например , при равноускоренном движении скорость является	линейной	функцией времени .
Используя графики зависимостей массы m воды и массы m2 льда от объёма V , ответить на вопросы : 1 ) Является ли функция m1(V )	линейной	?
Будет ли функция T(t )	линейной	?
Можно показать , что графиком	линейной	функции у является прямая .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика	линейной	функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Отметим , что для построения графика	линейной	функции иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями координат .
Построить график	линейной	функции .
С помощью	линейной	функции описываются многие физические процессы .
Физические процессы , моделируемые	линейной	функцией .
Какая функция называется	линейной	? .
Упражнения . ( Устно . ) Является ли	линейной	функция , заданная формулой .
Эта задача решается с помощью уравнения , сводящегося к	линейному	.
понимать его как	линейную	функцию .
Записать формулой	линейную	функцию , график которой проходит через точку и параллелен графику данной функции .
Сегодня вы легко решаете	линейные	уравнения .
А	линейные	уравнения , с которыми вы познакомились в этом параграфе , умели , судя по всему , решать в Вавилоне , Египте , Китае и Индии ещё более 4000 лет назад .
Среди них —	линейные	уравнения с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в целых неотрицательных числах , впоследствии получившие название диофантовых уравнений .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к	линейным	и квадратным уравнениям ( квадратные уравнения вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые уравнения .
7 Решение уравнений с одним неизвестным , сводящихся к	линейным	.
Уравнение называют	линейным	уравнением .
Применяя эти свойства , уравнения , сводящиеся к	линейным	, обычно решают так : 1 ) переносят члены , содержащие неизвестное , в левую часть , а члены , не содержащие неизвестного , в правую ( свойство 1 ) ;
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к	линейным	; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Решения уравнений с одним неизвестным , которые сводятся к	линейным	, основаны на свойствах верных равенств .
Какое уравнение называется	линейным	?
Но после разложения на множители левой части , например , уравнения не являющегося	линейным	, вы сможете решить и его .
3 Сформулировать алгоритм решения уравнений , сводящихся к	линейным	.
Что называют уравнением первой степени (	линейным	уравнением ) с двумя неизвестными ? .
Во II главе учебника в одном из Диалогов об истории вы познакомились с	линейными	уравнениями с двумя неизвестными .
Уравнения вида с часто называют	линейными	уравнениями с двумя неизвестными .
Например , уравнения являются	линейными	.
Мне кажется , что они случайно попали в эту главу , так как среди них нет ни одной системы с	линейными	уравнениями .
Из какого уравнения системы двух	линейных	уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое , чтобы решить систему способом подстановки ? .
Теперь относительно а и b наша система примет вид системы	линейных	уравнений !
Привести пример системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
В общем виде систему двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 — заданные числа , а х и у — неизвестные .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение	линейных	уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; приведение подобных членов ; решение	линейных	уравнений с одним неизвестным ; действия с многочленами .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае , когда у обоих	линейных	уравнений коэффициенты при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем	линейных	уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Итак , для решения системы	линейных	уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Сформулировать алгоритм решения системы	линейных	уравнений способом алгебраического сложения .
Решить систему	линейных	уравнений .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение	линейных	уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Привести пример системы двух	линейных	уравнений : 1 ) имеющей единственное решение ; 2 )
В данной главе вы научитесь решать разными способами системы	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
В тех случаях , когда в обоих	линейных	уравнениях системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа , удобно применять способ почленного сложения уравнений .
Система уравнений — пример системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
Что называют решением системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными ? .
« Исчисление кучи » , применённое в папирусе , примерно соответствует нашему решению текстовых задач с помощью	линейных	уравнений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы	линейных	уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение	линейных	уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Решение систем	линейных	уравнений в Древнем Китае .
Хочу ещё посоветовать вам поискать описание решения систем	линейных	уравнений методом двух ложных положений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему	линейных	уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Решение систем	линейных	уравнений с тремя неизвестными .
Привести примеры	линейных	уравнений .
Решение систем	линейных	уравнений в Древней Индии .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем	линейных	уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие алгебраической суммы ; решение	линейных	уравнений с одним неизвестным .
График функции у(х ) —	ломаная	ABODE , где .
График функции —	ломаная	EFKLM , где .
За какое время	луч	света доходит от Луны до Земли ? .
За какое время	луч	света пройдёт расстояние от Солнца до Земли ? .
Вычислить приближённо , сколько лет	луч	света идёт от Земли до Сириуса , если расстояние от Земли до звезды Сириус равно 83 000 000 000 000 км .
Существует единственный	магический квадрат	3×3 .
С увеличением количества клеток в квадрате растёт число возможных	магических квадратов	.
Например , число всевозможных	магических квадратов	размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число магических квадратов 5×5 более 200 000 .
В Древнем Китае увлекались составлением	магических квадратов	и латинских квадратов .
Например , число всевозможных магических квадратов размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число	магических квадратов	5×5 более 200 000 .
Завершить составление	магического квадрата	.
Показано получение нового	магического квадрата	поворотом клеток вокруг центра на 90 ° .
Показано получение нового	магического квадрата	после зеркального отражения относительно горизонтальной оси ( числа в клетках записаны в привычном для прочтения виде ) .
Пример	магического квадрата	размером 4×4 приведён .
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак	минус	.
Число всевозможных перестановок из n элементов находят ( применив n	минус	один раз правило произведения ) так .
Вспомните о том , что знаку Диофанта обозначал «	минус	» , Р — число 2 , у — число 3 .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа	минус	удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
поставить перед полученным числом знак	минус	.
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках , отрезках , многоугольниках и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) ,	многогранниках	и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
А нельзя ли записывать деление многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы делили	многозначные	числа ? .
Математики договорились над буквенной записью	многозначных	чисел ставить чёрточку .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного чисел ; понятие	многоугольника	; формулы площади и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках , отрезках ,	многоугольниках	и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
Используя навыки умножения одночлена на многочлен , вы без труда сможете выполнять умножение многочлена на	многочлен	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на	многочлен	; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Привести	многочлен	к стандартному виду и выяснить , при каких значениях х его значение равно 1 : 1 ) Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди , 2 части цинка и одна часть олова .
Составить	многочлен	из одночленов .
Разложить	многочлен	на множители удалось потому , что все члены этого многочлена имеют общий множитель а .
Например ,	многочлен	не делится на одночлен аb .
Нужно вспомнить : приведение одночлена к стандартному виду ; умножение одночлена на	многочлен	; приведение многочлена к стандартному виду ; распределительный закон умножения .
Упростить	многочлен	, записав каждый его член в стандартном виде , и определить степень многочлена .
Что нужно сделать , чтобы разделить	многочлен	на одночлен ? .
Используя распределительное свойство умножения , данный	многочлен	можно представить в виде произведения одночлена и многочлена .
Привести	многочлен	к стандартному виду .
Записать в стандартном виде	многочлен	.
Если такой множитель имеется , то на основании распределительного закона умножения его выносят за скобки , преобразуя тем самым	многочлен	в произведение .
А вот запись деления многочлена на	многочлен	, когда в результате получается тоже многочлен , я вам сейчас продемонстрирую .
Точно так же любую алгебраическую сумму многочленов можно преобразовать в	многочлен	стандартного вида .
Например , многочлен — многочлен восьмой степени , многочлен —	многочлен	первой степени .
Привести к стандартному виду	многочлен	.
Например , многочлен —	многочлен	восьмой степени , многочлен — многочлен первой степени .
Например ,	многочлен	— многочлен восьмой степени , многочлен — многочлен первой степени .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; —	многочлен	; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять	многочлен	в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить	многочлен	на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается	многочлен	; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
попробовать разложить	многочлен	на множители по формулам сокращённого умножения ;
Одночлены , из которых составлен	многочлен	, называют членами этого многочлена .
Как называют	многочлен	, состоящий из двух членов ; трёх членов ? .
В результате сложения и вычитания нескольких многочленов снова получается	многочлен	.
Как называют	многочлен	, состоящий из одного члена ?
Теория деления многочлена на	многочлен	.
Пользуясь правилом умножения многочлена на	многочлен	, получаем .
А вот запись деления многочлена на многочлен , когда в результате получается тоже	многочлен	, я вам сейчас продемонстрирую .
В этих случаях говорят , что	многочлен	делится на одночлен .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на	многочлен	; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Умножение многочлена на	многочлен	.
Деление многочлена на	многочлен	.
Например , выражения — одночлены , а выражение —	многочлен	.
Используя навыки умножения одночлена на	многочлен	, вы без труда сможете выполнять умножение многочлена на многочлен .
В предыдущей главе было показано , что в результате умножения многочленов получается	многочлен	.
Например , многочлен — многочлен восьмой степени ,	многочлен	— многочлен первой степени .
Умножение одночлена на	многочлен	производится по тому же правилу , так как при перестановке множителей произведение не меняется , например .
В рассмотренных примерах деления многочлена на одночлен в результате получался	многочлен	.
Упростить	многочлен	.
Иногда удаётся разложить на множители	многочлен	, все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных групп которого общие множители имеются .
Иногда при разложении алгебраического выражения на множители за скобки выносят	многочлен	.
Как найти	многочлен	, остающийся в скобках , после вынесения за скобки общего множителя ? .
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай деления многочлена на одночлен , когда частным оказывается	многочлен	.
Чтобы умножить	многочлен	на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Разложить на множители	многочлен	и найти его числовое значение при .
После выполнения упражнения 338 я понял , что умение раскладывать	многочлен	на множители помогает в решении задач на делимость .
Применение знакомого вам распределительного закона позволит выполнить действие умножения одночлена на	многочлен	( или умножения многочлена на одночлен ) .
Выражения , содержащие деление одночленов и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается	многочлен	.
Любой	многочлен	можно записать в стандартном виде .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания , умножения и возведения в натуральную степень одночленов и многочленов снова получается	многочлен	.
Я заметил , что первые и последние коэффициенты равны 1 и что	многочлен	выглядит как - то симметрично .
Если все члены многочлена имеют общий множитель , то вынесением этого множителя за скобки	многочлен	преобразуется в произведение .
Однако этот	многочлен	можно разложить на множители , если сгруппировать попарно члены многочлена так .
Если некоторые члены многочлена записаны не в стандартном виде , то этот	многочлен	можно упростить , записав все его члены в стандартном виде .
Упростить	многочлен	и найти его значение .
Как привести	многочлен	к стандартному виду ? .
Чтобы умножить многочлен на	многочлен	, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы разложить	многочлен	на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие группы , которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Итак , чтобы разложить	многочлен	на множители вынесением общего множителя за скобки , нужно : 1 ) найти этот общий множитель ;
Чтобы умножить	многочлен	на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы разделить	многочлен	на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители	многочлен	: способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В результате умножения многочлена на одночлен снова получится	многочлен	.
А так как в алгебре не всегда получалось деление нацело многочлена на	многочлен	, ввели алгебраические дроби .
Точно так же делится	многочлен	на одночлен и в других случаях , например .
Разложите на множители	многочлен	.
В скобках остаётся	многочлен	, полученный от деления данного многочлена на этот общий множитель .
В результате умножения многочлена на	многочлен	снова получается многочлен , который можно записать в стандартном виде .
Разложить	многочлен	на множители .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на	многочлен	; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Разложить	многочлен	на множители и результат проверить умножением .
Разделим	многочлен	на одночлен .
Получившийся	многочлен	можно упростить , записав его в стандартном виде .
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ;	многочлен	, состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
В результате умножения многочлена на многочлен снова получается	многочлен	, который можно записать в стандартном виде .
Сформулировать правило умножения многочлена на	многочлен	.
Разложить на множители	многочлен	.
Однако этот многочлен можно разложить на множители , если сгруппировать попарно члены	многочлена	так .
Умножение	многочлена	на одночлен .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения	многочлена	на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Перечислить этапы разложения	многочлена	на множители способом группировки .
Теория деления	многочлена	на многочлен .
Если некоторые члены	многочлена	записаны не в стандартном виде , то этот многочлен можно упростить , записав все его члены в стандартном виде .
Пользуясь правилом умножения	многочлена	на многочлен , получаем .
В предыдущей главе вы научились выполнять различные действия с многочленами и записывать результат в виде	многочлена	стандартного вида .
В действиях с многочленами большое внимание уделяется представлению	многочлена	в виде произведения .
Для этого нужно записать каждый член	многочлена	в стандартном виде и привести подобные члены .
Все члены	многочлена	не имеют общего множителя .
Например , членами	многочлена	являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Иногда группировку членов	многочлена	можно проводить различными способами .
На основании каких свойств действий сложения и умножения выполняется разложение	многочлена	на множители способом группировки ? .
Такой вид	многочлена	называют стандартным .
Что называют членами	многочлена	? .
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие группы , которые имеют общий множитель в виде	многочлена	;
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены	многочлена	в такие группы , которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Итак , способ группировки обычно применяют к многочленам , которые не имеют общего множителя для всех членов	многочлена	.
Деление	многочлена	на одночлен .
Перечислить все члены	многочлена	Что называют степенью многочлена ? .
Доказать , что произведение многочленов и равно частному от деления	многочлена	на одночлен .
Рассмотрим пример разложения на множители	многочлена	, состоящего из шести членов .
16 Умножение	многочлена	на одночлен .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами этого	многочлена	.
Это действие облегчает также нахождение числовых значений	многочлена	при различных значениях входящих в него букв .
Например , разложение	многочлена	на множители можно выполнить так : 1-й способ ; 2-й способ .
О корне	многочлена	и объёме египетской пирамиды .
Записать в виде	многочлена	объём коробки , склеенной из этого картона .
Здесь члены	многочлена	сгруппированы по два , но можно было их сгруппировать по три .
О близости уравнений и многочленов говорит хотя бы то обстоятельство , что корень	многочлена	по сути — корень уравнения .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и	многочлена	на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Правильность разложения	многочлена	на множители можно проверить умножением полученных множителей .
Последующие преобразования полученного	многочлена	будут выполняться также с помощью знакомой операции приведения подобных членов .
А если ты понял , как ведут себя показатели степеней а и b в слагаемых	многочлена	, то сможешь записать результат возведения бинома в 6-ю степень .
Применение нескольких способов разложения	многочлена	на множители .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и	многочлена	на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Здесь получаются делением членов данного	многочлена	на их общий множитель .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и	многочлена	на одночлен .
Поэтому общим множителем членов	многочлена	является одночлен .
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде	многочлена	стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов	многочлена	, а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Сформулировать алгоритм умножения	многочлена	на одночлен .
Записать данное выражение в виде	многочлена	стандартного вида .
Упростить многочлен , записав каждый его член в стандартном виде , и определить степень	многочлена	.
Членами	многочлена	служат одночлены второй степени , четвёртой и третьей степеней .
Запишем все члены данного	многочлена	в стандартном виде : Следовательно .
Если коэффициенты членов	многочлена	— целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Используя распределительное свойство умножения , данный многочлен можно представить в виде произведения одночлена и	многочлена	.
В скобках остаётся многочлен , полученный от деления данного	многочлена	на этот общий множитель .
Разложить многочлен на множители удалось потому , что все члены этого	многочлена	имеют общий множитель а .
Представить квадрат двучлена в виде	многочлена	.
Если все члены	многочлена	содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .
Применение знакомого вам распределительного закона позволит выполнить действие умножения одночлена на многочлен ( или умножения	многочлена	на одночлен ) .
В результате умножения	многочлена	на одночлен снова получится многочлен .
При решении этой задачи пытаются найти общий множитель , содержащийся во всех членах	многочлена	.
Сформулировать алгоритм разложения	многочлена	на множители способом вынесения общего множителя за скобки .
С разложением	многочлена	на множители способом группировки вы и познакомитесь в этом параграфе .
Это действие называется разложением	многочлена	на множители .
Может ли при а > 0 и b > 0 значение	многочлена	: 1 ) быть числом отрицательным ;
При каком значении х значение	многочлена	.
Записать в виде	многочлена	стандартного вида результат умножения .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение	многочлена	на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Степень	многочлена	.
У	многочлена	каждый член записан в стандартном виде , и среди них нет подобных .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения	многочлена	на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Степенью	многочлена	называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов .
Если все члены	многочлена	имеют общий множитель , то вынесением этого множителя за скобки многочлен преобразуется в произведение .
Значит , в Египте в давние времена умели находить , в частности , числовое значение	многочлена	.
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты	многочлена	после возведения бинома в степень называют биномиальными коэффициентами .
Найти числовое значение	многочлена	.
Что нужно сделать , чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде	многочлена	стандартного вида ?
Как проверить правильность выполнения разложения	многочлена	на множители ? .
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член	многочлена	умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Перечислить все члены многочлена Что называют степенью	многочлена	? .
Часто приходится решать обратную задачу о представлении	многочлена	в виде произведения одночленов и многочленов , т . е .
Наибольшую из этих степеней , четвёртую , называют степенью данного	многочлена	.
Нужно вспомнить : распределительный и переместительный законы умножения ; приведение одночлена к стандартному виду ; запись	многочлена	в стандартном виде .
Разложение на множители	многочлена	.
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение	многочлена	на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
решать задачу о разложении	многочлена	на множители .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление	многочлена	и одночлена на одночлен .
18 Деление одночлена и	многочлена	на одночлен .
Используя навыки умножения одночлена на многочлен , вы без труда сможете выполнять умножение	многочлена	на многочлен .
	Многочлена	, который не делится на одночлен ас3 .
Представить в виде	многочлена	стандартного вида выражение .
Нужно вспомнить : приведение одночлена к стандартному виду ; умножение одночлена на многочлен ; приведение	многочлена	к стандартному виду ; распределительный закон умножения .
Деление	многочлена	на многочлен .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения	многочлена	на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Найти значение	многочлена	.
Член	многочлена	.
Переставим члены	многочлена	так , чтобы подобные члены стояли рядом , и заключим подобные члены в скобки .
Точно так же выполняется умножение любого	многочлена	на одночлен , например .
Это выражение является произведением	многочлена	с и одночлена Sab .
Сформулировать правило умножения	многочлена	на многочлен .
Деление	многочлена	на одночлен вы сами легко запишете с помощью уголка .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена на каждый член	многочлена	и результаты сложить .
Точно так же перемножаются любые два	многочлена	, например .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение	многочлена	на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
А вот запись деления	многочлена	на многочлен , когда в результате получается тоже многочлен , я вам сейчас продемонстрирую .
В результате умножения	многочлена	на многочлен снова получается многочлен , который можно записать в стандартном виде .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого	многочлена	и полученные произведения сложить .
Выполнить умножение	многочлена	на одночлен .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение	многочлена	на одночлен .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член	многочлена	на каждый член многочлена и результаты сложить .
Умножение	многочлена	на многочлен .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного	многочлена	на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Однако деление	многочлена	на одночлен не всегда возможно .
Так записывали умножение	многочлена	на одночлен в прошлые века .
Назвать последовательность попыток разложения	многочлена	на множители .
Такое упрощение	многочлена	, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения	многочлена	на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Этот закон и лежит в основе правила умножения	многочлена	на одночлен .
В рассмотренных примерах деления	многочлена	на одночлен в результате получался многочлен .
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай деления	многочлена	на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член	многочлена	разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить .
Записать выражение в виде	многочлена	.
При делении	многочлена	на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых делитель не равен нулю .
Найти произведение	многочлена	и одночлена .
2 Деление	многочлена	на одночлен .
Итак , способ группировки обычно применяют к	многочленам	, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена .
Наверное ,	многочленам	в алгебре уделяется много внимания ? .
Если в	многочлене	много членов , то при умножении его на одночлен я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать степени одночленов .
В	многочлене	число 7 — наибольший общий делитель чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
А нельзя ли записывать деление	многочленов	уголком , по аналогии с тем , как мы делили многозначные числа ? .
Упростить алгебраическую сумму	многочленов	.
О близости уравнений и	многочленов	говорит хотя бы то обстоятельство , что корень многочлена по сути — корень уравнения .
Выполнить сложение и вычитание	многочленов	.
Выполнить умножение	многочленов	.
Узнаёте в строках треугольника Паскаля коэффициенты рассмотренных	многочленов	? .
Я же говорил , что есть симметрия в записях	многочленов	после возведения двучлена в степень .
Мы уже давно и много занимаемся преобразованиями многочленов : записываем формулы с помощью	многочленов	, приводим подобные слагаемые после раскрытия скобок .
Мы уже давно и много занимаемся преобразованиями	многочленов	: записываем формулы с помощью многочленов , приводим подобные слагаемые после раскрытия скобок .
Что нужно сделать , чтобы записать алгебраическую сумму нескольких	многочленов	в виде многочлена стандартного вида ?
Глава IV Разложение	многочленов	на множители .
Умножение нескольких	многочленов	нужно делать поочерёдно , например .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания , умножения и возведения в натуральную степень одночленов и	многочленов	снова получается многочлен .
Вычитание	многочленов	.
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких	многочленов	в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены .
Найти « столбиком » разность	многочленов	.
Давайте понаблюдаем за коэффициентами	многочленов	, получаемых возведением двучлена в разные степени .
Так в российских школах в те времена записывали умножение столбиком двух	многочленов	.
Найти сумму и разность	многочленов	.
Выражения , содержащие деление одночленов и	многочленов	, будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
В результате сложения и вычитания нескольких	многочленов	снова получается многочлен .
Часто приходится решать обратную задачу о представлении многочлена в виде произведения одночленов и	многочленов	, т . е .
При разложении	многочленов	на множители иногда используется не один , а несколько способов .
В предыдущей главе было показано , что в результате умножения	многочленов	получается многочлен .
Точно так же любую алгебраическую сумму	многочленов	можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение	многочленов	на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Показано применение комбинации приёмов разложения	многочленов	на множители .
А вы не подметили никаких закономерностей в коэффициентах	многочленов	, получаемых после возведения суммы во вторую , в третью степени ? .
Разделить разность	многочленов	.
Преобразовывая , например , выражение после раскрытия скобок , вы находили , по сути , разность	многочленов	.
Сложение	многочленов	.
Это выражение является суммой трёх	многочленов	.
Иногда сумму или разность	многочленов	удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и вычитанием чисел ) .
Иногда эти формулы применяются при разложении	многочленов	на множители .
15 Сложение и вычитание	многочленов	.
Профессор , Вы нам показывали , как удобно использовать запись столбиком при сложении , вычитании и умножении	многочленов	.
Она применяется при разложении	многочленов	на множители , например .
Выражение является произведением	многочленов	.
Исследование	многочленов	составляет основу теории решения различных уравнений — важнейшей содержательной линии курса алгебры .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в алгебре , например , при сложении и вычитании	многочленов	столбиком .
Эти примеры показывают , что при разложении	многочленов	на множители полезно соблюдать следующий порядок : 1 ) вынести общий множитель за скобку ( если он есть ) ;
Доказать , что произведение	многочленов	и равно частному от деления многочлена на одночлен .
Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда применяются к разложению	многочленов	на множители , например .
Вычислить : Найти сумму и разность	многочленов	.
Умножение	многочленов	столбиком .
Сейчас мы изучили действия сложения и вычитания	многочленов	.
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение	многочленов	на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Записать в виде	многочленов	периметр и площадь закрашенной фигуры .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения	многочленов	; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и	многочленов	в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Правило умножения	многочленов	будет обосновано в этом параграфе с помощью распределительного закона умножения .
Таким образом , для нахождения произведения данных	многочленов	пришлось перемножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и результаты сложить .
Что называют	многочленом	? .
Одночлен считают	многочленом	, состоящим из одного члена .
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных понятий алгебры —	многочленом	.
Привести к	многочлену	стандартного вида произведение .
Умение раскладывать	многочлены	на множители имеет важное значение при решении уравнений .
При рассмотрении этой темы вы научитесь складывать	многочлены	и находить их разность .
При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого	множества	( предметов , людей , чисел ) , а с помощью рёбер — определенные связи между этими элементами .
Практически во всех областях человеческой деятельности приходится заниматься выбором определённых объектов из некоторого	множества	и расположением этих объектов в том или ином порядке .
Однако уже в XIX в . стало ясно , что существует	множество	функций , которые нельзя задать формулой .
Натуральные числа , числа им противоположные и нуль образуют	множество	целых чисел .
В связи с тем что существует	множество	функций , не задающихся формулой , гениальный русский математик Н. И. Лобачевский ( 1792–1856 ) в 1834 г. развил определение функции , данное Эйлером .
Графиком функции называют	множество	всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Полученное уравнение имеет бесконечное	множество	решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : « Система ( от греческого слова σύστημα — целое , составленное из частей ) — это	множество	элементов , находящихся в отношениях и связях друг с другом , образующих целостность , единство » .
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в	множителе	после единицы .
Правильность разложения многочлена на множители можно проверить умножением полученных	множителей	.
Умножение одночлена на многочлен производится по тому же правилу , так как при перестановке	множителей	произведение не меняется , например .
В этой главе вы оцените красоту и компактность записи произведения любого количества одинаковых	множителей	в виде степени .
Произведение числовых и буквенных	множителей	называют одночленом .
Так как произведение равных	множителей	можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень числа и произведение степеней также называют одночленами .
Действие , с помощью которого по произведению и одному из	множителей	находят другой множитель , называют делением .
добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел ; 14 ) найти произведение получившихся	множителей	.
Так как одночлен является произведением	множителей	, то по свойству возведения произведения в степень имеем .
Аналогичные обозначения вводятся для произведения любого числа одинаковых	множителей	, например : 9 раз , 5 раз .
Если одночлен не содержит буквенных	множителей	( является числом ) , то его степень считают равной нулю .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся	множителей	.
Таким образом произведение шести	множителей	превращается в красивый двучлен .
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него буквенных	множителей	.
Записать в виде произведения одинаковых	множителей	.
В этом параграфе вы узнаете , как кратко записывается произведение любого количества одинаковых	множителей	.
Выражение является произведением четырёх	множителей	, из которых первый — число , а три следующих — буквы а , b , с .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из	множителей	, входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
В общем виде , n	множителей	.
Например , произведение , в котором число 7 взято	множителем	10 раз , будете записывать как 710 .
Поэтому общим	множителем	членов многочлена является одночлен .
С разложением многочлена на	множители	способом группировки вы и познакомитесь в этом параграфе .
Иногда удаётся разложить на множители многочлен , все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных групп которого общие	множители	имеются .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на	множители	; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Для этого нужно : перемножить все числовые	множители	и поставить их произведение на первое место ; затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени .
добавить к ним недостающие	множители	из разложений остальных чисел ; 14 ) найти произведение получившихся множителей .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на	множители	; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Однако этот многочлен можно разложить на	множители	, если сгруппировать попарно члены многочлена так .
Как проверить правильность выполнения разложения многочлена на	множители	? .
Итак , чтобы разложить многочлен на	множители	вынесением общего множителя за скобки , нужно : 1 ) найти этот общий множитель ;
Разложить на	множители	.
Сформулировать алгоритм разложения многочлена на	множители	способом вынесения общего множителя за скобки .
Разложить данное выражение на	множители	.
Иногда эти формулы применяются при разложении многочленов на	множители	.
После выполнения упражнения 338 я понял , что умение раскладывать многочлен на	множители	помогает в решении задач на делимость .
Диофант записывал числовые	множители	( коэффициенты ) не перед буквой , а после неё .
Применение нескольких способов разложения многочлена на	множители	.
Иногда удаётся разложить на	множители	многочлен , все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных групп которого общие множители имеются .
Правильность разложения многочлена на	множители	можно проверить умножением полученных множителей .
Разложить многочлен на	множители	удалось потому , что все члены этого многочлена имеют общий множитель а .
Разложим многочлены , стоящие в знаменателях дробей , на	множители	.
Но расставлять дополнительные	множители	, умножать на них числители и потом преобразовывать длинное выражение в числителе полученной дроби займёт очень много времени .
Разложить на	множители	многочлен .
Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда применяются к разложению многочленов на	множители	, например .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на	множители	способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Назвать последовательность попыток разложения многочлена на	множители	.
Что мне даёт разложение двучлена на	множители	? .
Иногда при разложении алгебраического выражения на	множители	за скобки выносят многочлен .
Чтобы разложить многочлен на	множители	способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие группы , которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Например , разложение многочлена на	множители	можно выполнить так : 1-й способ ; 2-й способ .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые	множители	; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Эти примеры показывают , что при разложении многочленов на	множители	полезно соблюдать следующий порядок : 1 ) вынести общий множитель за скобку ( если он есть ) ;
Разложить многочлен на	множители	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на	множители	; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Разложение на	множители	многочлена .
Эти формулы позволяют раскладывать многочлены определённого вида на	множители	и упрощать отдельные вычисления .
Буквенные	множители	чаще всего располагают в алфавитном порядке , хотя это не обязательно .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на	множители	: 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на	множители	многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Разложить многочлен на	множители	и результат проверить умножением .
Но после разложения на	множители	левой части , например , уравнения не являющегося линейным , вы сможете решить и его .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на	множители	; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Разложить на	множители	трёхчлен .
Например , в записи числа m и n —	множители	, р — произведение .
Умение раскладывать многочлены на	множители	имеет важное значение при решении уравнений .
Это действие называется разложением многочлена на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен .
Разложим левую и правую части этого равенства на	множители	.
Глава IV Разложение многочленов на	множители	.
Она применяется при разложении многочленов на	множители	, например .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные	множители	, которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Разложить на	множители	числитель и знаменатель дроби и сократить её .
А в 8 классе вы узнаете формулы , с помощью которых сможете такие трёхчлены быстро раскладывать на	множители	.
Множители , записанные с помощью цифр , называются числовыми множителями , а	множители	, обозначенные буквами , — буквенными множителями .
Разложить на	множители	многочлен и найти его числовое значение при .
Рассмотрим пример разложения на	множители	многочлена , состоящего из шести членов .
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на	множители	, получим : Сокращая эту дробь , получим .
попробовать разложить многочлен на	множители	по формулам сокращённого умножения ;
При разложении многочленов на	множители	иногда используется не один , а несколько способов .
Привести к общему знаменателю дроби Разложим на	множители	знаменатели дробей .
решать задачу о разложении многочлена на	множители	.
Показано применение комбинации приёмов разложения многочленов на	множители	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на	множители	при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В параграфе обосновываются формулы разложения на	множители	суммы кубов и разности кубов .
Разложить на	множители	каждое из выражений .
Перечислить этапы разложения многочлена на	множители	способом группировки .
Начни выписывать аккуратно все	множители	после действий в скобках и посмотри , как упрощается получаемая после умножения дробь .
На основании каких свойств действий сложения и умножения выполняется разложение многочлена на	множители	способом группировки ? .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать	множители	, входящие в разложение одного из данных чисел ;
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые	множители	; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Числовой	множитель	одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом этого одночлена .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный	множитель	, выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Вынося этот	множитель	за скобки , получаем .
В этом одночлене содержится только один числовой	множитель	, стоящий на первом месте , и степени с различными буквенными основаниями .
Здесь получаются делением членов данного многочлена на их общий	множитель	.
Если все члены многочлена имеют общий	множитель	, то вынесением этого множителя за скобки многочлен преобразуется в произведение .
Итак , чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки , нужно : 1 ) найти этот общий	множитель	;
Дополнительный	множитель	второй дроби равен .
Вынести за скобки общий	множитель	.
Далее , общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй дроби , и поэтому он должен содержать	множитель	.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие группы , которые имеют общий	множитель	в виде многочлена ;
вынести этот общий	множитель	за скобки .
Разделив на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный	множитель	, на который нужно умножить её числитель и знаменатель .
Следовательно , к знаменателю первой дроби нужно дописать	множитель	, т .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный	множитель	;
умножить числитель каждой дроби на её дополнительный	множитель	;
Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей дроби , нужно к полученному произведению дописать	множитель	.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный	множитель	, приводим их к общему знаменателю .
Действие , с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой	множитель	, называют делением .
Чтобы общий знаменатель делился на знаменатель первой дроби , он должен содержать	множитель	.
Разложить многочлен на множители удалось потому , что все члены этого многочлена имеют общий	множитель	а .
Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот	множитель	можно вынести за скобки .
Применяя распределительное свойство умножения , этот	множитель	можно вынести за скобки .
В скобках остаётся многочлен , полученный от деления данного многочлена на этот общий	множитель	.
Сократить дробь : 1 ) Одночлены имеют общий	множитель	4ab .
Если все члены многочлена содержат общий	множитель	, то этот множитель можно вынести за скобки .
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный	множитель	.
Приведём примеры дробей , для упрощения которых нужно сначала выделить общий	множитель	числителя и знаменателя .
Итак , для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий	множитель	, считая , что он не равен нулю .
При решении этой задачи пытаются найти общий	множитель	, содержащийся во всех членах многочлена .
Эти примеры показывают , что при разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок : 1 ) вынести общий	множитель	за скобку ( если он есть ) ;
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую дробь на общий	множитель	, входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
Если такой	множитель	имеется , то на основании распределительного закона умножения его выносят за скобки , преобразуя тем самым многочлен в произведение .
А можно сказать , что в уравнениях фигурируют два	множителя	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего	множителя	; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Иногда удаётся разложить на множители многочлен , все члены которого не имеют общего	множителя	, но у отдельных групп которого общие множители имеются .
Профессор , а у Вас есть в запасе интересные задачи на делимость , где нужно применить вынесение за скобки общего	множителя	? .
Здесь было использовано два способа : вынесение общего	множителя	за скобки и применение формулы разности квадратов .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего	множителя	за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Как найти многочлен , остающийся в скобках , после вынесения за скобки общего	множителя	? .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего	множителя	за скобки и группировки .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего	множителя	; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Итак , способ группировки обычно применяют к многочленам , которые не имеют общего	множителя	для всех членов многочлена .
В этом примере используется способ группировки , формула разности квадратов и вынесение общего	множителя	за скобки .
Сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего	множителя	за скобки .
Итак , чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего	множителя	за скобки , нужно : 1 ) найти этот общий множитель ;
Как решить ещё одну интересную задачу с помощью вынесения общего	множителя	за скобки , я покажу сам .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего	множителя	следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
19 Вынесение общего	множителя	за скобки .
Все члены многочлена не имеют общего	множителя	.
Если все члены многочлена имеют общий множитель , то вынесением этого	множителя	за скобки многочлен преобразуется в произведение .
Приведём другие примеры вынесения общего	множителя	за скобки .
На основании какого закона осуществляется действие вынесения общего	множителя	за скобки ? .
отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих	множителях	вместе .
Вы говорите о	модуле	числа , т .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) найти произведение ( частное )	модулей	этих чисел ;
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно найти произведение ( частное )	модулей	этих чисел .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель	модулей	коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим	модулем	.
С	модулем	числа математики работают часто , поэтому изобрели ему особое обозначение .
Если это не так , то можно уравнять	модули	коэффициентов при каком - нибудь одном из неизвестных , умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящие числа .
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их	модули	; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять	модули	коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший	модуль	; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
При выполняется неравенство , откуда	модуль	числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Если	модуль	числа а мал по сравнению с 1 ( например , число а2 тем более мало , и поэтому равенство можно заменить приближённым равенством .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; понятие процента ; понятие	модуля	числа .
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего	модуля	слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие	модуля	числа .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение	модуля	числа .
сть утюга через 5 лет после его покупки ; 2 ) число лет , прошедшее с	момента	покупки , когда стоимость утюга составила 840 р .
Какое расстояние пролетит свободно падающее тело с	момента	времени Т ( от начала движения ) за 5 с ? .
Продолжая плыть против течения еще t секунд после	момента	встречи , он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи .
Выразить	мощность	прибора через .
Скобки в числовом выражении указывают	на порядок	выполнения действий .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти	наибольший общий делитель	модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
В многочлене число 7 —	наибольший общий делитель	чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
Натуральные числа называют взаимно простыми , если их	наибольший общий делитель	равен 1 .
Чтобы найти	наибольший общий делитель	нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют	наибольшим общим делителем	( НОД ) этих чисел .
Разделив обе части последнего равенства на 4 ,	найдем	а равно 3 .
При решении задачи 1 была	найдена	пара чисел х равно 2 , у равно 3 , при которых уравнение равно 41 обращается в верное числовое равенство .
Подставив	найденное	значение х равно – 6 в первое уравнение данной системы , получим .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя	найденное	значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив	найденное	значение х в выражение для у , найти значение у .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 ,	найденную	сумму разделите на 3 и вычтите задуманное число .
Подставим	найденные	значения х и у в оба уравнения системы и выполним вычисления : Оба равенства верные .
Так вот ,	найденные	при археологических раскопках древневавилонские тексты свидетельствуют о том , что с формулой разности квадратов учёные были знакомы 4000 лет назад .
Чтобы проверить , правильно ли решена задача , следует , пользуясь условиями данной задачи , составить другую , в которой	найденный	результат становится известным , а какое - нибудь ранее известное данное нужно найти , например такую задачу .
записать каждую дробь с	найденным	числителем и общим знаменателем .
Построим точки с	найденными	координатами .
Помимо	найденных	целочисленных значений х и у в задаче 1 уравнению удовлетворяет не одна пара чисел .
В задаче 7 с помощью правила произведения было	найдено	число всевозможных перестановок из 4 элементов .
При решении уравнения в задаче 2	найдены	все решения — это пары чисел х , где х — любое число .
В 1403 г. в Венеции Региомонтаном ( 1436–1476 ) были	найдены	труды Диофанта .
Построить график функции ,	найдя	точки пересечения его с осями координат .
Например ,	найдём	число а , если 12 % его равны 72 .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и	найдём	точку М пересечения его с графиком данной функции .
Подставив его в первое уравнение ,	найдём	.
Например ,	найдём	процентное отношение р чисел 15 и 40 .
Тогда число способов выбора пары шоколадок для Кати и для Оли	найдём	с помощью правила произведения .
Например ,	найдём	число b , которое составляет .
Приведя дроби к общему знаменателю ,	найдём	.
Пусть он	найдёт	сумму цифр этого числа и отнимет её от задуманного числа .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения ,	найти	одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Затем попробуйте	найти	следующую сумму .
С помощью микрокалькулятора	найти	значение выражения .
Фигурная скобка , стоящая слева , показывает , что нужно	найти	такую пару чисел ( х ; у ) , которая обращает каждое уравнение в верное равенство .
Задача заключается в том , чтобы	найти	ошибки в рассуждениях .
Общие методы решения уравнений мы пока , наверное , не сможем	найти	, но интересные задачи порешаем с удовольствием .
Пользуясь этим графиком ,	найти	: значение х , при котором функция принимает значение , равное .
Решить уравнение — это значит	найти	все его корни или установить , что их нет .
Построить график функции и по нему	найти	: 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
Алгебра первоначально развивалась из - за необходимости решения практических задач , в которых по известным величинам нужно было	найти	неизвестную .
Упростить выражение и	найти	его числовое значение при m . II уровень .
Для того чтобы по заданному графику	найти	значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
По заданным графикам движения автомобилей	найти	: 1 ) время от начала движения автомобилей до их встречи ; 2 ) путь , пройденный каждым из автомобилей до их встречи ; 3 ) скорость движения каждого автомобиля .
Чтобы	найти	, на каком этаже находится лифт , нужно вычислить значение числового выражения .
Если уж ты такой умный , то попробуй	найти	сумму дробей .
Светлана , попробуй и ты	найти	её .
Думаю , что ты почти устно сможешь	найти	предложенную сумму .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно	найти	произведение ( частное ) модулей этих чисел .
Например , нельзя	найти	значение х , удовлетворяющее уравнению , так как нельзя получить отрицательное число при перемножении двух одинаковых чисел .
По этой формуле можно	найти	, например , шестое ( по порядку следования в ряду натуральных чисел ) чётное число : при n равно 6 число .
Чтобы	найти	наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
С их учётом предлагаю вам	найти	сумму следующих дробей .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые ,	найти	искомые пары чисел .
В знаменитом древнекитайском трактате « Математика в девяти книгах » можно	найти	даже правила решения некоторых систем .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 )	найти	произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
При решении этой задачи пытаются	найти	общий множитель , содержащийся во всех членах многочлена .
Чтобы узнать , сколько карандашей получил каждый ученик , нужно	найти	значение выражения .
Чтобы	найти	сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 )	найти	общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
По графику	найти	температуру воздуха в 2 ч , 6 ч , 12 ч , 18 ч .
Записать данное утверждение в виде равенства и	найти	значение х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
Из формулы найти а . 2 ) Из формулы	найти	v .
Нужно	найти	произведение .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 )	найти	произведение оставшихся множителей .
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем уравнений , решая которые	найти	искомые пары чисел .
Нужно	найти	сумму 64 слагаемых .
Можно	найти	точное значение этой суммы .
Применяя формулу ,	найти	приближённое значение числа .
Чтобы	найти	число по данному значению его дроби , нужно это значение разделить на дробь .
Умножить число m на натуральное число n — значит	найти	сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
Упростить выражение и	найти	его числовое значение .
Как	найти	число перестановок из n элементов ? .
Составить выражение для нахождения периметра треугольника и	найти	значение полученного выражения , если .
Сократить дробь и	найти	её значение при .
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 )	найти	общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби найти дополнительный множитель ;
Таким образом , для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно : 1 ) найти общий знаменатель данных дробей ; 2 ) для каждой дроби	найти	дополнительный множитель ;
Упростить выражение и	найти	его числовое значение при .
Упростить многочлен и	найти	его значение .
Чтобы	найти	сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Выразить из этой формулы v0 и	найти	его значение , если Сила притяжения F между двумя телами с массами m и М , находящимися на расстоянии R , вычисляется по формуле , где у — гравитационная постоянная .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение ,	найти	значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
по формуле	найти	х при .
А для того чтобы опровергнуть некоторое утверждение , достаточно	найти	хотя бы один пример ( его называют контрпримером ) , не удовлетворяющий этому утверждению .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у ,	найти	значение у .
Из формулы	найти	а . 2 ) Из формулы найти v .
Что нужно сделать , чтобы	найти	числовое значение алгебраической дроби при заданных значениях входящих в неё букв ? .
При этом известно , что силу тока можно	найти	по формуле , где R — сопротивление прибора .
Чтобы	найти	неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Как	найти	допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ? .
Чтобы	найти	произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно найти произведение ( частное ) модулей этих чисел .
Можно	найти	много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
С помощью микрокалькулятора	найти	высоту h цистерны с бензином ( выраженную в м ) , если .
Чтобы	найти	дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь .
Действительно , после упрощения это выражение принимает вид и его числовое значение можно	найти	устно .
Вычислить : Упростить выражение и	найти	его числовое значение при .
Например , если вы знаете заработную плату каждого работника , то сможете	найти	среднюю зарплату на этом предприятии .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы ,	найти	второе неизвестное .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 )	найти	координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Решить систему уравнений — это значит	найти	все её решения или установить , что их нет .
Всегда ли неизвестными обозначают величины , которые требуется	найти	в задаче ?
По графику	найти	целые значения х , при которых значение функции больше – 2 .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует	найти	наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
И если нам удастся	найти	х и у , обязательно проверим выполнение условий .
Записать одночлен в стандартном виде и	найти	его числовое значение .
Итак , нам удалось	найти	, что .
Упростить выражение и	найти	его числовое значение при х равно 11 .
Но так как и в исходном уравнении , и в новых обозначениях речь шла об одних и тех же х и у , то , чтобы их	найти	, нужно решить систему .
Чтобы проверить , правильно ли решена задача , следует , пользуясь условиями данной задачи , составить другую , в которой найденный результат становится известным , а какое - нибудь ранее известное данное нужно	найти	, например такую задачу .
добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел ; 14 )	найти	произведение получившихся множителей .
Используя основное свойство пропорции , можно	найти	её неизвестный член , если остальные члены известны .
6 Как	найти	n% от числа А ? .
Конечно ,	найти	отдельные неизвестные цифры в ребусах вы сможете и не решая даже простейших уравнений .
Итак , чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки , нужно : 1 )	найти	этот общий множитель ;
Так как начало координат принадлежит графику функции y , то для построения этого графика достаточно	найти	ещё одну точку .
Координаты точки пересечения прямых можно было	найти	с помощью графика .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 )	найти	наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Построив график зависимости пути плота от времени движения ,	найти	по графику время , за которое плот пройдёт 6 км .
7 Как	найти	число , если n% его равны В ? .
Как	найти	многочлен , остающийся в скобках , после вынесения за скобки общего множителя ? .
Устно	найти	по таблице коэффициент пропорциональности k и заполнить таблицу .
Устно	найти	коэффициент пропорциональности р из таблицы и заполнить таблицу .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 )	найти	произведение ( частное ) модулей этих чисел ;
Для построения прямой достаточно	найти	какие - нибудь две точки .
Устно	найти	k .
Чтобы	найти	произведение ( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) найти произведение ( частное ) модулей этих чисел ;
По графику	найти	натуральные значения х , при которых значение функции равно – 2 .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 )	найти	для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Значит , я легко могу	найти	, например , сотое по порядку треугольное число .
Разложить на множители многочлен и	найти	его числовое значение при .
Используя график ,	найти	.
Выполнить умножение одночленов и	найти	значение полученного выражения .
Чтобы	найти	наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Докажем , что квадрат любого	натурального	числа , не делящегося на 3 , при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Доказать , что если при делении	натурального	числа на 225 остаток равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
Доказать , что разность квадратов любого	натурального	числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
Кратным	натурального	числа а называют натуральное число , которое делится без остатка на а .
Доказать , что разность кубов любого	натурального	числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
Отсюда , в частности , следует , что любое натуральное число вида нельзя представить в виде квадрата	натурального	числа .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление	натурального	числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись	натурального	числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Формулу нечётного	натурального	числа можно записать и так , где k — натуральное число или нуль .
Делителем	натурального	числа а называют натуральное число , на которое а делится без остатка .
Отсюда , в частности , следует , что любое натуральное число вида нельзя представить в виде квадрата	натурального числа	.
Доказать , что разность квадратов любого	натурального числа	( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
Формулу нечётного	натурального числа	можно записать и так , где k — натуральное число или нуль .
Делителем	натурального числа	а называют натуральное число , на которое а делится без остатка .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись	натурального числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
Доказать , что разность кубов любого	натурального числа	( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
Доказать , что если при делении	натурального числа	на 225 остаток равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
Кратным	натурального числа	а называют натуральное число , которое делится без остатка на а .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление	натурального числа	N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Докажем , что квадрат любого	натурального числа	, не делящегося на 3 , при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Умножить число m на	натуральное	число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n —	натуральное	число , называют рациональным числом .
Докажем , что число , где n —	натуральное	число , делится на 6 .
Я показал , что его нельзя представить в виде 3k , где k —	натуральное	число .
Так как по условию задачи делится на 7 , то где n —	натуральное	число , откуда .
Любому чётному числу предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n —	натуральное	число .
Записать выражение в виде степени , n —	натуральное	число .
знали формулу разложения , где n — любое	натуральное	число .
Например , система (	натуральное	число ) имеет единственное значение х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию системы .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же	натуральное	число , то получится дробь , равная данной .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее	натуральное	число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
На 5 без остатка делится всякое	натуральное	число , оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
Натуральное число N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р —	натуральное	число ) .
Кратным натурального числа а называют	натуральное	число , которое делится без остатка на а .
Делителем натурального числа а называют	натуральное	число , на которое а делится без остатка .
Зная , как записывается любое	натуральное	число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Любое	натуральное	число можно записать с помощью десяти цифр : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Действительно , любое	натуральное	число по отношению к делению на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
Например , выражение , где n —	натуральное	число , позволяет определить все предстоящие годы Тигра по китайскому календарю .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на	натуральное	число n .
Формулу нечётного натурального числа можно записать и так , где k —	натуральное	число или нуль .
Отсюда , в частности , следует , что любое	натуральное	число вида нельзя представить в виде квадрата натурального числа .
Каждое число , большее 10 , можно записать в виде а·10n , где и n —	натуральное	число .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное	натуральное	число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Упростить n —	натуральное	число .
Если а — чётное число , то оно делится на 2 и его записывают , где n —	натуральное	число .
Пусть n —	натуральное	число .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на	натуральное	число .
Например , тридцатое нечётное	натуральное	число равно .
Для решения этого уравнения брали наименьшее	натуральное	число , от которого третья часть — целое число .
Любое	натуральное	число можно записать в виде дроби со знаменателем 1 .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на	натуральное	число .
Упростить выражение , если n —	натуральное	число .
Натуральное число N делится нацело на	натуральное	число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Наибольшее	натуральное	число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для разложения бинома , где а — любое , не только	натуральное	число .
Доказать , что при всех допустимых значениях а , b , х и у ( n —	натуральное	число ) верно равенство .
На число 10 без остатка делится всякое	натуральное	число , запись которого оканчивается цифрой 0 .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное	натуральное	число , то их сумма также число нечётное ? .
Так как по условию задачи делится на 7 , то где n —	натуральное число	, откуда .
Доказать , что при всех допустимых значениях а , b , х и у ( n —	натуральное число	) верно равенство .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее	натуральное число	, которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
На число 10 без остатка делится всякое	натуральное число	, запись которого оканчивается цифрой 0 .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное	натуральное число	, то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Для решения этого уравнения брали наименьшее	натуральное число	, от которого третья часть — целое число .
Докажем , что число , где n —	натуральное число	, делится на 6 .
Упростить n —	натуральное число	.
Пусть n —	натуральное число	.
Натуральное число N делится нацело на	натуральное число	k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Например , система (	натуральное число	) имеет единственное значение х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию системы .
Действительно , любое	натуральное число	по отношению к делению на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
Зная , как записывается любое	натуральное число	с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Записать выражение в виде степени , n —	натуральное число	.
Наибольшее	натуральное число	, на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Натуральное число N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р —	натуральное число	) .
Кратным натурального числа а называют	натуральное число	, которое делится без остатка на а .
Любое	натуральное число	можно записать в виде дроби со знаменателем 1 .
На 5 без остатка делится всякое	натуральное число	, оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
Умножить число m на	натуральное число	n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
Упростить выражение , если n —	натуральное число	.
Любому чётному числу предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n —	натуральное число	.
Каждое число , большее 10 , можно записать в виде а·10n , где и n —	натуральное число	.
Например , тридцатое нечётное	натуральное число	равно .
Формулу нечётного натурального числа можно записать и так , где k —	натуральное число	или нуль .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на	натуральное число	.
Любое	натуральное число	можно записать с помощью десяти цифр : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное	натуральное число	, то их сумма также число нечётное ? .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на	натуральное число	.
Например , выражение , где n —	натуральное число	, позволяет определить все предстоящие годы Тигра по китайскому календарю .
Если а — чётное число , то оно делится на 2 и его записывают , где n —	натуральное число	.
Делителем натурального числа а называют	натуральное число	, на которое а делится без остатка .
знали формулу разложения , где n — любое	натуральное число	.
Я показал , что его нельзя представить в виде 3k , где k —	натуральное число	.
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n —	натуральное число	, называют рациональным числом .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на	натуральное число	n .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же	натуральное число	, то получится дробь , равная данной .
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для разложения бинома , где а — любое , не только	натуральное число	.
Отсюда , в частности , следует , что любое	натуральное число	вида нельзя представить в виде квадрата натурального числа .
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в	натуральном	числе , состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
2 Докажите , что при любом	натуральном	n число делится на 120 .
Доказать , что при любом	натуральном	n : 1 ) значение выражения делится на 3 ; 2 ) значение выражения делится на 6 .
1 Докажите , что число при любом	натуральном	n делится на 6 .
Доказать , что значение выражения делится на 6 при любом	натуральном	n .
Доказать , что число делится на 15 при любом	натуральном	n .
1 Доказать , что при любом	натуральном	n число чётное .
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в	натуральном числе	, состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных дробей , а также возведение дроби в	натуральную	степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
В результате возведения одночлена в	натуральную	степень снова получается одночлен .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания , умножения и возведения в	натуральную	степень одночленов и многочленов снова получается многочлен .
В параграфе рассматриваются два действия с одночленами : умножение и возведение в	натуральную	степень .
Пусть n , m , k —	натуральные	числа .
Латинскими квадратами называют таблицы размером n×n клеток , в которых записаны	натуральные	числа от 1 до n , причём таким образом , что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу .
привезли в магазин ( n и m —	натуральные	числа ) , если n больше 45 , m больше 40 ? .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n —	натуральные	числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Для счёта предметов применяют	натуральные	числа : 1 , 2 , 3 , 4 .
Пусть m и n такие	натуральные	числа , что значение выражения делится на 13 .
По графику найти	натуральные	значения х , при которых значение функции равно – 2 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n —	натуральные	числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Поместим	натуральные	числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все суммы чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
привезли в магазин ( n и m —	натуральные числа	) , если n больше 45 , m больше 40 ? .
Поместим	натуральные числа	от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все суммы чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n —	натуральные числа	; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Латинскими квадратами называют таблицы размером n×n клеток , в которых записаны	натуральные числа	от 1 до n , причём таким образом , что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу .
Пусть n , m , k —	натуральные числа	.
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n —	натуральные числа	; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Для счёта предметов применяют	натуральные числа	: 1 , 2 , 3 , 4 .
Пусть m и n такие	натуральные числа	, что значение выражения делится на 13 .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с	натуральным	показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с	натуральным	показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
По определению степени с натуральным показателем , по правилу умножения дробей , по определению степени с	натуральным	показателем .
Затем показать , что если из степени числа 10 с	натуральным	показателем вычесть единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
По определению степени с	натуральным	показателем .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с	натуральным	показателем , то степень числа и произведение степеней также называют одночленами .
Нуль не относят к	натуральным	числам .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с	натуральным	показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Нужно вспомнить : определение степени с	натуральным	показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и деления ; запись числа в стандартном виде .
1 Что называется степенью числа а с	натуральным	показателем n , где n больше 1 ; n равно 1 ? .
По определению степени с	натуральным	показателем , по правилу умножения дробей , по определению степени с натуральным показателем .
По определению степени с	натуральным	показателем по первому свойству степени по определению умножения .
10 Свойства степени с	натуральным	показателем .
По определению степени с натуральным показателем , по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению степени с	натуральным	показателем .
Степенью числа а с	натуральным	показателем я , большим 1 , называется произведение я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
9 Степень с	натуральным	показателем .
По определению степени с	натуральным	показателем , по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению степени с натуральным показателем .
Нужно вспомнить : свойства степени с	натуральным	показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ; деление числа на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
Нуль не относят к	натуральным числам	.
Индусы очень давно пользовались степенями с	натуральными	показателями до 9-й включительно .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с	натуральными	показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих степени .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных	натуральных	чисел есть число нечётное , то их произведение делится на 24 .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких	натуральных	чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Найти все пары ( х ; у )	натуральных	чисел , которые являются решениями уравнения : ( Устно . )
С помощью букв можно записать формулы чётного и нечётного	натуральных	чисел .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких	натуральных	чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Найти все пары ( х ; у )	натуральных	чисел , которые являются решениями уравнения .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду	натуральных	чисел ) чётное число : при n равно 6 число .
Нужно вспомнить : сравнение	натуральных	чисел ; практические ситуации перебора вариантов .
25 Найти в ряду	натуральных	чисел : 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
Здесь я обозначил большее из двух	натуральных	чисел буквой n , а разность буквой k .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных	натуральных	чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду	натуральных	чисел , не делится на 3 .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных	натуральных	чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов	натуральных	чисел , таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных чисел , таблица кубов	натуральных	чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Докажем , что сумма всех	натуральных	чисел от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение делится на 143 .
Как обозначают произведение первых n	натуральных	чисел ? .
Так как сумма трёх последовательных	натуральных	чисел представима в виде 3р , значит , она делится на 3 , что и требовалось доказать .
Показать , что и произведение трёх последовательных	натуральных	чисел делится на 6 .
Пусть первое из трёх последовательных	натуральных	чисел равно n , тогда следующее за ним число равно , а третье число равно .
Делимость на 2 и на 3 числовых выражений , содержащих квадраты и кубы различных	натуральных	чисел .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух	натуральных	чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух	натуральных	чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Докажем , что сумма любых трёх последовательных	натуральных	чисел делится на 3 .
Запись чисел с помощью степени используется во многих случаях , например для записи	натуральных	чисел в виде суммы разрядных слагаемых .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных	натуральных	чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что если сумма четырёх	натуральных	чисел есть число нечётное , то их произведение — число чётное .
Доказать , что сумма пяти последовательных	натуральных	чисел делится на 5 .
Рассмотрим утверждение : « Произведение любых двух	натуральных	чисел есть число чётное » .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных	натуральных	чисел , из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду	натуральных	чисел , есть нечётное число .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных	натуральных	чисел ( а корнем уравнения является число 3 ) .
Даны три последовательных	натуральных	числа .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких	натуральных	чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Доказать , что сумма произведения двух последовательных	натуральных	чисел и большего из них равна квадрату большего числа .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных	натуральных	чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что при любых	натуральных	m и n значение выражения делится на 16 .
Произведение первых n	натуральных	чисел в математике обозначают n ! ( читается « эн факториал » ) .
Скажи , а как расположены числа n в ряду	натуральных	чисел ? .
Наименьшим общим кратным ( НОК )	натуральных	чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных	натуральных	чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Разность кубов каких двух последовательных	натуральных	чисел равна 331 ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного	натуральных	чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных	натуральных чисел	есть число нечётное , то их произведение делится на 24 .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких	натуральных чисел	, нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Здесь я обозначил большее из двух	натуральных чисел	буквой n , а разность буквой k .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких	натуральных чисел	; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду	натуральных чисел	, не делится на 3 .
Делимость на 2 и на 3 числовых выражений , содержащих квадраты и кубы различных	натуральных чисел	.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких	натуральных чисел	, нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Разность кубов каких двух последовательных	натуральных чисел	равна 331 ? .
Доказать , что сумма произведения двух последовательных	натуральных чисел	и большего из них равна квадрату большего числа .
Наименьшим общим кратным ( НОК )	натуральных чисел	а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных	натуральных чисел	, большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что если сумма четырёх	натуральных чисел	есть число нечётное , то их произведение — число чётное .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного	натуральных чисел	; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Рассмотрим утверждение : « Произведение любых двух	натуральных чисел	есть число чётное » .
Нужно вспомнить : сравнение	натуральных чисел	; практические ситуации перебора вариантов .
Как обозначают произведение первых n	натуральных чисел	? .
Найти все пары ( х ; у )	натуральных чисел	, которые являются решениями уравнения .
Найти все пары ( х ; у )	натуральных чисел	, которые являются решениями уравнения : ( Устно . )
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду	натуральных чисел	, есть нечётное число .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду	натуральных чисел	) чётное число : при n равно 6 число .
С помощью букв можно записать формулы чётного и нечётного	натуральных чисел	.
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов	натуральных чисел	, таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных чисел , таблица кубов	натуральных чисел	, таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
25 Найти в ряду	натуральных чисел	: 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
Доказать , что сумма пяти последовательных	натуральных чисел	делится на 5 .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух	натуральных чисел	— нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Так как сумма трёх последовательных	натуральных чисел	представима в виде 3р , значит , она делится на 3 , что и требовалось доказать .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух	натуральных чисел	— чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных	натуральных чисел	, меньшее из которых равно .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных	натуральных чисел	, меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных	натуральных чисел	делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
Показать , что и произведение трёх последовательных	натуральных чисел	делится на 6 .
Пусть первое из трёх последовательных	натуральных чисел	равно n , тогда следующее за ним число равно , а третье число равно .
Скажи , а как расположены числа n в ряду	натуральных чисел	? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных	натуральных чисел	, меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Докажем , что сумма любых трёх последовательных	натуральных чисел	делится на 3 .
Запись чисел с помощью степени используется во многих случаях , например для записи	натуральных чисел	в виде суммы разрядных слагаемых .
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных	натуральных чисел	, из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных	натуральных чисел	( а корнем уравнения является число 3 ) .
Докажем , что сумма всех	натуральных чисел	от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение делится на 143 .
Произведение первых n	натуральных чисел	в математике обозначают n ! ( читается « эн факториал » ) .
Даны три последовательных	натуральных числа	.
Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся	нацело	на 9 ) .
Из - за того что в арифметике не всегда получалось деление	нацело	одного числа на другое , придумали обыкновенные дроби .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится число , делящееся	нацело	на 9 .
Доказать , что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это число делится	нацело	на 75 .
Натуральное число N делится	нацело	на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
А так как в алгебре не всегда получалось деление	нацело	многочлена на многочлен , ввели алгебраические дроби .
А по приезде домой	нашёл	в кошельке остальных денег 1 р .
Например , Диофант	нашёл	формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Сколько метров ткани	необходимо	для пошива одного мужского и одного детского пальто , если из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто ? .
при составлении уравнения )	необходимо	было знать , что скорости теплохода и реки при движении по течению складываются , а при движении против течения вычитаются , и что путь , делённый на скорость , есть время движения .
Так как алгебра выросла из арифметики ,	необходимо	повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и равенств .
Записать формулу для нахождения времени ,	необходимого	на преодоление оставшейся части пути .
Промежуточный результат можно не писать , производя	необходимые	вычисления устно .
А с помощью формулы объёма египтяне рассчитывали количество материалов ,	необходимых	для строительства пирамиды .
Подумайте , как записать функцию , значения которой равны числу х , если оно	неотрицательно	, и числу , ему противоположному , если оно отрицательно .
Натуральное число , которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое	неотрицательное	число .
Так как из числа 3 вычитается	неотрицательное	число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое неотрицательное число , то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
Так как из числа 3 вычитается неотрицательное число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое	неотрицательное	число , то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
д. Эти зависимости — прямо пропорциональные и в них независимая переменная принимает только	неотрицательные	значения .
Но у древних естествоиспытателей , так же как и у Оресма , использовались только	неотрицательные	координаты точек .
По условию задачи выполняется равенство в котором х и у — неизвестные целые	неотрицательные	числа .
Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался целым	неотрицательным	числом , нужно , чтобы делилось на 7 .
Среди них — линейные уравнения с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в целых	неотрицательных	числах , впоследствии получившие название диофантовых уравнений .
если при сложении дробных частей получилась	неправильная дробь	, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Смешанное число можно представить в виде	неправильной дроби	.
Для этого из	неправильной дроби	нужно выделить целую часть .
Дробь , у которой числитель больше знаменателя или равен ему , называют	неправильной дробью	.
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в	неправильную дробь	, уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде	неправильных дробей	, а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
Заметим , что при выполняется	неравенство	, откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть целым числом .
При выполняется	неравенство	, откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Так , а ) точка О чётная , а точка D	нечётная	.
Доказать , что квадрат	нечётного	числа , уменьшенный на 1 , делится на 8 .
Формулу	нечётного	натурального числа можно записать и так , где k — натуральное число или нуль .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и	нечётного	натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Любому чётному числу предшествует число нечётное , поэтому формула	нечётного	числа имеет вид , где n — натуральное число .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного ,	нечётного	чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
3 Привести формулы чётного и	нечётного	чисел .
С помощью букв можно записать формулы чётного и	нечётного	натуральных чисел .
Нужно вспомнить : понятия чётного и	нечётного	чисел ; понятие многоугольника ; формулы площади и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое	нечётное	, то чётное число , и поэтому число делится на и на 16 .
Любому чётному числу предшествует число	нечётное	, поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n — натуральное число .
25 Найти в ряду натуральных чисел : 1 ) чётное число ; 2 )	нечётное	число .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных чисел есть число	нечётное	, то их произведение — число чётное .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число	нечётное	, то их произведение делится на 24 .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий , чётными , а точки , в которых сходится	нечётное	число линий , — нечётными .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число	нечётное	? .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел —	нечётное	натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Так как число 2019	нечётное	, то 92019 будет оканчиваться на 9 , значит и 20192019 оканчивается на 9 .
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть	нечётное	число .
Например , тридцатое	нечётное	натуральное число равно .
Квадрат двузначного числа содержит	нечётное	число десятков .
При возведении 9 в чётную степень последней будет цифра 1 , а при возведении в	нечётную	— 9 .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую	нечётную	точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну	нечётную	точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
2 Если в фигуре две	нечётные	точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
Если оба числа m и n чётные или оба	нечётные	, то — чётное число , и поэтому число делится на .
3 Если в фигуре более двух нечётных точек , то её нельзя вычертить одним росчерком ( например , фигура имеет 4	нечётные	точки ) .
2 Какое число называется чётным ;	нечётным	? .
4 Установить , какие из чисел 379 , 548 , 2646 , 967 являются чётными , а какие	нечётными	.
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное число линий , —	нечётными	.
3 Если в фигуре более двух	нечётных	точек , то её нельзя вычертить одним росчерком ( например , фигура имеет 4 нечётные точки ) .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из	нечётных	точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две	нечётных	точки ) .
Найти три последовательных	нечётных	числа , сумма которых равна 81 .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных	нечётных	натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных	нечётных	чисел делится на 8 .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух	нечётных	чисел является чётным числом .
1 Если	нечётных	точек в фигуре нет , то её можно начертить одним росчерком , начиная вычерчивать с любого места ( такой является , например ) .
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно n , тогда следующее за	ним	число равно , а третье число равно .
Но если у слова « сон » вместе с	ним	существует всего 6 анаграмм ( я считаю и слова , которые не имеют смысла в русском языке , например , слово « онс » ) , то у слова из 5 разных букв их уже 120 .
Слово стандарт произошло от английского слова standard — норма , образец , принимаемый за исходный для сопоставления с	ним	других подобных объектов .
Вслед за	ним	в 1837 г. немецкий математик 77 .
Если в выражении присутствовало числовое слагаемое , то он ставил перед	ним	значок « М » — фактически первые две буквы слова Μονας ( монос — единица ) .
Наверняка нередко использовали в разговорах само это слово и однокоренные с	ним	слова « систематический » и « системный » .
добавить к	ним	недостающие множители из разложений остальных чисел ; 14 ) найти произведение получившихся множителей .
Следующее же за	ним	простое число 13 ( не имеющее делителей , кроме 1 и себя ) считалось нехорошим , неудобным .
Вы знаете , что если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из них	ноль	.
Благодаря этому мы сегодня имеем изданные типографским способом и на электронных	носителях	труды Евклида , Архимеда , Герона , Диофанта , Пифагора и других замечательных учёных античности равна , а площадь фигуры равна .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько	нулей	стоит после единицы в делителе .
При этом иногда приходится написать перед целой частью нуль или несколько	нулей	.
Например , так как , так как . Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько	нулей	стоит в множителе после единицы .
Если в произведении получается меньше цифр , чем нужно отделить запятой , то перед произведением предварительно записывают нуль или несколько	нулей	.
Ни одно число нельзя делить на	нуль	.
Формулу нечётного натурального числа можно записать и так , где k — натуральное число или	нуль	.
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить последний	нуль	, то получится дробь , равная данной .
Если в конце десятичной дроби приписать	нуль	или отбросить последний нуль , то получится дробь , равная данной .
Если в произведении получается меньше цифр , чем нужно отделить запятой , то перед произведением предварительно записывают	нуль	или несколько нулей .
При умножении любого числа на нуль получается	нуль	.
При этом иногда приходится написать перед целой частью	нуль	или несколько нулей .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на плоскости не только положительные числа и	нуль	, но и отрицательные числа .
Натуральные числа , числа им противоположные и	нуль	образуют множество целых чисел .
Если из числа вычесть это же число , получится	нуль	.
Если из числа вычесть	нуль	, оно не изменится .
При умножении любого числа на	нуль	получается нуль .
2 ) При каких значениях x значение выражения равно	нулю	? .
Вы уже знаете , что линейное уравнение вида , где b ≠ 0 , не имеет корней , так как при умножении на 0 произведение всегда равно	нулю	.
2 Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное	нулю	число , то получится верное равенство .
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из чисел а и b не равно	нулю	.
Свойство 2 Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , не равное	нулю	.
Могу лишь добавить , что раз стоят в знаменателях дробей , то эти выражения не могут принимать значения , равные	нулю	.
Можно показать , что графиком любого уравнения вида является прямая , если хотя бы одно из чисел а или b не равно	нулю	.
Итак , для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель , считая , что он не равен	нулю	.
При делении многочлена на одночлен предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых делитель не равен	нулю	.
Вы знаете , что если произведение двух чисел равно	нулю	, то хотя бы одно из них ноль .
Что является графиком уравнения , если хотя бы одно из чисел а или b не равно	нулю	? .
Условимся в дальнейшем всегда считать , что буквы , входящие в алгебраическую дробь , могут принимать лишь допустимые значения , такие значения , при которых знаменатель этой дроби не равен	нулю	.
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства	нулю	произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
2 ) При каких значениях x значение каждого выражения равно	нулю	? .
Если одночлен не содержит буквенных множителей ( является числом ) , то его степень считают равной	нулю	.
17 Может ли при каком - либо значении а быть равным	нулю	значение алгебраического выражения ? .
Начало координат имеет абсциссу и ординату , равные	нулю	.
Если точка лежит на оси ординат , то её абсцисса равна	нулю	.
2 ) приводят подобные члены ; 3 ) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен	нулю	( свойство 2 ) .
Это означает , что ординаты всех точек графика равны	нулю	.
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства	нулю	произведения двух и более чисел .
Противоположные числа — это два числа , сумма которых равна	нулю	.
При каком значении x значение функции у равно	нулю	? .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна	нулю	.
д. Например , уравнение имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное равенство , а при других значениях х левая часть уравнения не равна	нулю	.
При каких значениях x значение этой дроби равно	нулю	? .
Это уравнение не имеет корней , так как левая часть 0 · х равна	нулю	при любом х , а значит , не равна 1 .
Рассмотрим равенство , где а и b отличны от	нуля	.
Его стоимость равномерно уменьшается до	нуля	за счёт износа в течение 20 лет .
Так , в равенстве a , b , с — любые числа ; в равенстве а и b — любые числа , x — любое число , кроме	нуля	.
От прибавления	нуля	число не изменяется .
Решить уравнение относительно х , если а и b — заданные числа , отличные от	нуля	.
При делении степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от	нуля	) основание остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
Знак вычитания « А » Диофант	образовал	от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с уравнением	образовало	систему : 1 ) имеющую единственное решение ;
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной величины называется количество ,	образованное	каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
В математике существует немало задач , в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы или подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов ,	образованных	по определённому правилу .
Сколько различных пар элементов ( N ) , отличающихся лишь составом , можно	образовать	из n имеющихся различных элементов ? .
Прямые углы ,	образуемые	осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
Натуральные числа , числа им противоположные и нуль	образуют	множество целых чисел .
Прямые	образуют	прямоугольник .
Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же , то эти уравнения рассматривают совместно и говорят , что они	образуют	систему двух уравнений , которую записывают так .
Два алгебраических выражения , соединённые знаком « равно » ,	образуют	алгебраическое равенство .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины	образуют	прямоугольную систему координат на плоскости .
Два числовых выражения , соединённые знаком « равно » ,	образуют	числовое равенство .
Так как в полученных уравнениях х и у обозначают одни и те же числа , то эти уравнения	образуют	систему .
Какое наибольшее количество таких слов выложит Оля , прежде чем буквы	образуют	её имя ? .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : « Система ( от греческого слова σύστημα — целое , составленное из частей ) — это множество элементов , находящихся в отношениях и связях друг с другом ,	образующих	целостность , единство » .
Какой формулой выражается	обратная	пропорциональная зависимость ? .
Пропорциональная зависимость	обратная	.
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа ,	обратного	данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Деление можно заменить умножением на число ,	обратное	делителю .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на число ,	обратное	делителю .
Эта зависимость . называется	обратной	пропорциональностью и выражается формулой .
Если от этого числа отнять число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получится 36 .
Хотя понимаю , что бессмысленно выполнять суммирование в порядке следования дробей и в	обратном	порядке .
Найдите двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Из пункта А в пункт В катер двигался со скоростью 20 км / ч , а на	обратном	пути из В в А — со скоростью 30 км / ч .
Если к этому числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получится 132 .
Доказать , что сумма этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке , делится на 4 .
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в	обратном	порядке .
Сколько единиц в числе , написанном теми же цифрами , но в	обратном	порядке ? .
Составить разность данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Тело , двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на	обратном	пути ? .
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке , разделить на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Число , написанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , на 54 больше данного числа .
Число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , на 36 больше данного числа .
Часто приходится решать	обратную	задачу о представлении многочлена в виде произведения одночленов и многочленов , т . е .
Так как ; числа взаимно	обратные	, так как .
На	обратный	путь она затратила 5 ч 15 мин .
Из равенства число x находится с помощью действия вычитания , которое называют	обратным	к действию сложения .
Из равенства число b находится с помощью действия деления , которое называют	обратным	к действию умножения .
Нужно вспомнить : какие числа называют противоположными ; какие числа называют взаимно	обратными	.
Два числа , произведение которых равно 1 , называют взаимно	обратными	.
Например , взаимно	обратными	являются числа .
Нужно вспомнить : понятие	обыкновенной дроби	; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
С понятием	обыкновенной дроби	вы знакомы с 5 класса .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство	обыкновенной дроби	; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : основное свойство	обыкновенной дроби	; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Запись вида — называют	обыкновенной дробью	.
В частности , он обращал внимание читателей на то , что целое число , записанное перед	обыкновенной дробью	, означает их сумму , например .
Из - за того что в арифметике не всегда получалось деление нацело одного числа на другое , придумали	обыкновенные дроби	.
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с	обыкновенными дробями	вы знакомы хорошо , а числителем и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа , то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с	обыкновенными дробями	.
Арифметические действия с	обыкновенными дробями	.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и сложение и вычитание	обыкновенных дробей	.
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение	обыкновенных дробей	к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Напомним , что при сложении	обыкновенных дробей	сначала приводят дроби к общему знаменателю .
По аналогии с нахождением общего знаменателя	обыкновенных дробей	вы научитесь находить общий знаменатель алгебраических дробей .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и	обыкновенных дробей	; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Нужно вспомнить : умножение и деление	обыкновенных дробей	; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления	обыкновенных дробей	, а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и умножение и деление	обыкновенных дробей	.
Но если я с помощью букв а , b и с попробую записать трёхзначное число ( предполагая , что каждая буква обозначает	однозначное	число ) , то получу abc , а эта запись будет обозначать произведение а на b и на с , верно ? .
Например , запись abc обозначает трёхзначное число ( записанное в виде суммы разрядных слагаемых , где а , b и с —	однозначные	числа ) .
Однако предложенная задача имеет единственное решение , так как по условию задачи числа а и b	однозначные	( они являются цифрами в двузначном числе ) .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди	однозначных	натуральных чисел ( а корнем уравнения является число 3 ) .
18 Деление одночлена и многочлена на	одночлен	.
Чтобы разделить многочлен на	одночлен	, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить .
Точно так же делится многочлен на	одночлен	и в других случаях , например .
Привести к стандартному виду	одночлен	.
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является одночлен , а также случай деления многочлена на	одночлен	, когда частным оказывается многочлен .
Рассмотрим случай деления одночлена на одночлен , когда частным является	одночлен	, а также случай деления многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
Возвести	одночлен	в степень .
Этот закон и лежит в основе правила умножения многочлена на	одночлен	.
Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот	одночлен	и полученные результаты сложить .
Если в многочлене много членов , то при умножении его на	одночлен	я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать степени одночленов .
2 Деление многочлена на	одночлен	.
Что нужно сделать , чтобы возвести	одночлен	в степень ? .
Так записывали умножение многочлена на	одночлен	в прошлые века .
Разделим одночлен на	одночлен	4а2 .
Чтобы умножить многочлен на	одночлен	, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Записать	одночлен	в виде куба другого одночлена .
Рассмотрим случай деления одночлена на	одночлен	, когда частным является одночлен , а также случай деления многочлена на одночлен , когда частным оказывается многочлен .
Разделим	одночлен	на одночлен 4а2 .
Точно так же выполняется умножение любого многочлена на	одночлен	, например .
Записать	одночлен	в виде квадрата другого одночлена .
Записать в стандартном виде	одночлен	.
Разделим многочлен на	одночлен	.
1 Деление одночлена на	одночлен	.
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на	одночлен	.
В этих случаях говорят , что многочлен делится на	одночлен	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на	одночлен	; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на	одночлен	; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Сформулировать алгоритм умножения многочлена на	одночлен	.
Поэтому общим множителем членов многочлена является	одночлен	.
Записать	одночлен	в стандартном виде и найти его числовое значение .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на	одночлен	.
Записать	одночлен	в стандартном виде и определить его степень .
В рассмотренных примерах деления многочлена на	одночлен	в результате получался многочлен .
Применение знакомого вам распределительного закона позволит выполнить действие умножения одночлена на многочлен ( или умножения многочлена на	одночлен	) .
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот	одночлен	и полученные произведения сложить .
Наиболее простым в данном случае общим знаменателем является	одночлен	.
16 Умножение многочлена на	одночлен	.
Если	одночлен	не содержит буквенных множителей ( является числом ) , то его степень считают равной нулю .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на	одночлен	; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
В результате умножения многочлена на	одночлен	снова получится многочлен .
В последних двух упражнениях из этого параграфа трудно подобрать	одночлен	, который нужно добавить , а затем вычесть , чтобы получить четырёхчлен , удобный для применения способа группировки .
В последнем случае	одночлен	можно записать без скобок .
Деление одночлена на	одночлен	.
Любой	одночлен	можно записать в стандартном виде .
Деление многочлена на	одночлен	.
Если подставить данные значения букв в	одночлен	, то придётся вычислить произведение .
Вычисления можно провести короче , если сначала упростить данный	одночлен	, используя переместительный и сочетательный законы умножения .
При решении задачи данный	одночлен	был записан в более простом виде .
Доказать , что произведение многочленов и равно частному от деления многочлена на	одночлен	.
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на	одночлен	, если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Умножение многочлена на	одночлен	.
Так как	одночлен	является произведением множителей , то по свойству возведения произведения в степень имеем .
многочлена , который не делится на	одночлен	ас3 .
Привести пример : 1 ) одночлена , который не делится на	одночлен	;
В результате умножения одночленов получается	одночлен	.
Что нужно сделать , чтобы разделить многочлен на	одночлен	? .
Умножение одночлена на	одночлен	.
В результате возведения одночлена в натуральную степень снова получается	одночлен	.
Деление многочлена на	одночлен	вы сами легко запишете с помощью уголка .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на	одночлен	.
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять	одночлен	в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Выполнить умножение многочлена на	одночлен	.
При делении многочлена на	одночлен	предполагается , что буквы могут принимать такие значения , при которых делитель не равен нулю .
Например , многочлен не делится на	одночлен	аb .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; —	одночлен	; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Однако деление многочлена на	одночлен	не всегда возможно .
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал деление , к примеру , многочлена на	одночлен	а3 , используя вместо знака деления круглую скобку .
коэффициент	одночлена	равен – 1 .
Например , коэффициент	одночлена	равен единице .
Например , коэффициент	одночлена	2а равен 2 , коэффициент одночлена равен , коэффициент одночлена равен ( – 7 ) .
Найти значение	одночлена	.
Например , коэффициент одночлена 2а равен 2 , коэффициент	одночлена	равен , коэффициент одночлена равен ( – 7 ) .
Записать одночлен в виде квадрата другого	одночлена	.
Назвать коэффициент	одночлена	.
Степенью	одночлена	называют сумму показателей степеней всех входящих в него буквенных множителей .
Записать в виде	одночлена	стандартного вида .
Например , коэффициент одночлена 2а равен 2 , коэффициент одночлена равен , коэффициент	одночлена	равен ( – 7 ) .
Находим значение	одночлена	.
Нужно вспомнить : понятие	одночлена	; запись одночлена в стандартном виде ; понятие алгебраической суммы ; решение линейных уравнений с одним неизвестным .
Таким образом , начальные навыки в действиях с	одночленами	и многочленами у вас уже имеются .
В параграфе рассматриваются два действия с	одночленами	: умножение и возведение в натуральную степень .
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого числа на единицу , то выражения вида а , 2 также считают	одночленами	.
Например ,	одночленами	являются выражения .
Когда в I главе вы занимались с преобразованиями алгебраических выражений , уже тогда выполняли действия с	одночленами	и многочленами .
В этом параграфе вы узнаете , какие выражения называются	одночленами	.
Такие одночлены называют	одночленами	стандартного вида .
Преобразовывая дроби , вы будете выполнять действия с	одночленами	и многочленами .
Какие одночлены называют	одночленами	стандартного вида ?
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень числа и произведение степеней также называют	одночленами	.
В этом	одночлене	содержится только один числовой множитель , стоящий на первом месте , и степени с различными буквенными основаниями .
В алгебре часто рассматриваются алгебраические выражения , представляющие собой сумму или разность	одночленов	.
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая сумма подобных	одночленов	заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
Если в многочлене много членов , то при умножении его на одночлен я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать степени	одночленов	.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него	одночленов	.
Промежуточный результат можно не записывать , а сразу писать ответ , выполняя умножение	одночленов	устно , например .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись	одночленов	и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Составить многочлен из	одночленов	.
Познакомитесь с самой компактной и удобной для приведения подобных	одночленов	формой их записи .
Выражение является произведением трёх	одночленов	.
Среди	одночленов	указать : 1 ) одночлены стандартного вида ; 2 ) одночлены , отличающиеся только коэффициентами .
Найти произведение	одночленов	.
Выражения , содержащие деление	одночленов	и многочленов , будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен .
12 Умножение	одночленов	.
Выражение — разность двух одночленов аb и с2 или сумма	одночленов	.
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания , умножения и возведения в натуральную степень	одночленов	и многочленов снова получается многочлен .
Часто приходится решать обратную задачу о представлении многочлена в виде произведения	одночленов	и многочленов , т . е .
В результате умножения	одночленов	получается одночлен .
Сформулировать алгоритм приведения к одночлену стандартного вида произведения двух	одночленов	.
Выражение — разность двух	одночленов	аb и с2 или сумма одночленов .
Рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых	одночленов	, степень одночлена , например .
Выражение — сумма двух	одночленов	и b2 .
Двучлен является суммой двух	одночленов	: 300 nm и 500 nm .
Выполнить умножение	одночленов	.
Например , степени	одночленов	равны 3 , а степень одночлена 23 равна 0 .
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких	одночленов	.
При этом промежуточные результаты можно не писать , выполняя умножение	одночленов	устно , например .
Эти выражения являются алгебраическими суммами	одночленов	.
Выполнить умножение	одночленов	и найти значение полученного выражения .
Заполнить пропуск	одночленом	стандартного вида .
Что называется	одночленом	? .
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним	одночленом	, называют приведением подобных членов .
Сформулировать алгоритм приведения к	одночлену	стандартного вида произведения двух одночленов .
Подобных	одночлену	нет , его подчёркивать не будем .
Результаты этих действий с помощью переместительного и сочетательного законов умножения , а также с помощью свойств степеней приводятся к	одночлену	стандартного вида .
Поймёте , что уже встречались с простейшими одночленами и даже складывали подобные	одночлены	.
Какие	одночлены	называют одночленами стандартного вида ?
Такие	одночлены	называют одночленами стандартного вида .
Какие	одночлены	называют подобными ? .
Подчеркнуть	одночлены	, отличающиеся только коэффициентами .
Выделим подобные	одночлены	.
Такие	одночлены	называют подобными .
Одинаковые	одночлены	также считают подобными .
Эти	одночлены	отличаются друг от друга только коэффициентами .
Подобные	одночлены	подчеркнём двумя чертами .
Например , членами многочлена являются	одночлены	Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Правило	округления	десятичных дробей : 1 ) Если первая из отброшенных цифр равна 5 , 6 , 7 , 8 или 9 , то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1 .
Результат	округлить	до сотых .
Длина	окружности	радиуса R выражается формулой площадь круга радиуса R выражается формулой .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него окружность , то	окружность	будет функцией равностороннего треугольника , вписанного в неё .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него	окружность	, то окружность будет функцией равностороннего треугольника , вписанного в неё .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках , отрезках , многоугольниках и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) ,	окружностях	; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
За какое время мог бы набрать рукопись другой	оператор	? .
За сколько часов могут набрать этот текст 2	оператора	, работая с той же производительностью ?
Четыре	оператора	, работающие с одинаковой производительностью , могут набрать текст за 8 ч .
Два	оператора	, работая вместе , набирают рукопись за а часов .
6	операторов	? .
Последующие преобразования полученного многочлена будут выполняться также с помощью знакомой	операции	приведения подобных членов .
ст. , равное 27 000 000 000 000 000 000 ; 2 ) число километров , составляющих один парсек ( единица длины , принятая в астрономии ) , если один парсек равен 30 800 000 000 000 км ; 3 ) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000	операций	.
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом треугольнике »	описал	теорию составления треугольника биномиальных коэффициентов .
Да , я хотел рассказать о совсем старом способе решения некоторых уравнений ,	описанном	ещё в древних папирусах .
Если бы можно было совершить	описанную	в условии задачи прогулку , то этот граф можно было бы нарисовать одним росчерком — не отрывая карандаш от бумаги и проводя по каждому ребру только один раз .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие	описанную	около него окружность , то окружность будет функцией равностороннего треугольника , вписанного в неё .
Впервые действия с алгебраическими выражениями ( в том числе с алгебраическими дробями )	описаны	не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси	ординат	от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси	ординат	соответствующей точки графика функции .
По оси	ординат	отложена долгота дня , начиная с первого числа первого месяца .
График функции у получается сдвигом графика функции y на b единиц вдоль оси	ординат	.
Найдём точку пересечения графика с осью	ординат	.
Итак , точка пересечения графика с осью	ординат	имеет координаты ( 0 ; 4 ) .
Ось	ординат	.
Если точка лежит на оси	ординат	, то её абсцисса равна нулю .
Определить , какая пара точек симметрична относительно : 1 ) оси абсцисс ; 2 ) оси	ординат	; 3 ) начала координат .
На оси	ординат	отметим точку с координатой 2 и проведём через неё перпендикуляр к оси ординат .
Какие особенности при записи координат имеют точки , лежащие : на оси абсцисс ; на оси	ординат	? .
На оси ординат отметим точку с координатой 2 и проведём через неё перпендикуляр к оси	ординат	.
Например , в записи М(3 ; 5 ) число 3 — абсцисса , число 5 —	ордината	точки М .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и	ордината	точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Что такое абсцисса точки М ;	ордината	точки М ? .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её	ордината	равна нулю .
Сравнить с нулём абсциссу х и	ординату	у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет	ординату	, на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
Точка графика с абсциссой имеет	ординату	, поэтому точка не принадлежит графику данной функции .
Назвать абсциссу и	ординату	точки .
Декарт при описании метода координат рассматривал изменение	ординаты	у точки , описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений абсциссы х этой точки .
Доказать , что отношение	ординаты	любой точки полученного графика к её абсциссе равно 4 .
Найдём площадь прямоугольника ,	основание	которого равно 3 , а высота равна х.
При делении степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля )	основание	остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
В равнобедренном треугольнике	основание	составляет 0,4 боковой стороны .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а	основание	— 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 )	основание	треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
При умножении степеней с одинаковыми основаниями	основание	остается прежним , а показатели степеней складываются .
Например , здесь 3 —	основание	степени , 4 — показатель степени , 81 — значение степени 34 .
Отметим , что	основание	может быть любым числом , например .
Площадь S треугольника находят по формуле , где а —	основание	треугольника , h — его высота .
Если	основание	прямоугольника равно k , то зависимость между высотой х и площадью у выразится формулой , где k и х — положительные числа .
При возведении степени в степень	основание	остаётся прежним , а показатели степеней перемножаются .
Записать в виде степени с	основанием	2 .
Записать в виде степени с	основанием	3 .
Записать в виде степени с	основанием	а .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым	основанием	— степень с наименьшим показателем .
Представить 220 в виде степени с	основанием	.
В выражении аn число а называют	основанием	степени , число n называют показателем степени .
На	основании	какого свойства алгебраические дроби приводят к общему знаменателю ? .
На	основании	какого закона осуществляется действие вынесения общего множителя за скобки ? .
На	основании	каких свойств действий сложения и умножения выполняется разложение многочлена на множители способом группировки ? .
Если такой множитель имеется , то на	основании	распределительного закона умножения его выносят за скобки , преобразуя тем самым многочлен в произведение .
Его объём равен произведению высоты и площади	основания	.
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше	основания	.
При делении степеней с одинаковыми	основаниями	( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
Для этого нужно : перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место ; затем произведения степеней с одинаковыми	основаниями	записать в виде степени .
При умножении степеней с одинаковыми	основаниями	основание остается прежним , а показатели степеней складываются .
Умножение степеней с одинаковыми	основаниями	.
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения степеней с одинаковыми	основаниями	; 2 ) деления степеней с одинаковыми основаниями ;
В этом одночлене содержится только один числовой множитель , стоящий на первом месте , и степени с различными буквенными	основаниями	.
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения степеней с одинаковыми основаниями ; 2 ) деления степеней с одинаковыми	основаниями	;
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой пирамиды с высотой h , в	основаниях	которой лежат квадраты со сторонами а и b соответственно .
Некто пришёл в ряд , купил игрушек для малых ребят : за первую игрушку заплатил часть всех своих денег , за другую —	остатка	от первой покупки , за третью игрушку заплатил остатка от второй покупки .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без	остатка	числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое делится без	остатка	на а .
Делителем натурального числа а называют натуральное число , на которое а делится без	остатка	.
На 5 без	остатка	делится всякое натуральное число , оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
На число 10 без	остатка	делится всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и	остатка	от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Некто пришёл в ряд , купил игрушек для малых ребят : за первую игрушку заплатил часть всех своих денег , за другую — остатка от первой покупки , за третью игрушку заплатил	остатка	от второй покупки .
Например , если в	остатке	, то .
при делении на 3 число либо разделится на 3 , либо даст в	остатке	одно из чисел 1 или 2 .
Доказать , что если число , будучи разделено на 9 , даёт в остатке 1 или 8 , то квадрат этого числа , делённый на 9 , даёт в	остатке	1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Действительно , квадраты рассмотренных чисел при делении на 3 дают в	остатке	1 .
Докажем , что квадрат любого натурального числа , не делящегося на 3 , при делении на 3 даёт в	остатке	1 .
Ты фактически доказал , что разность кубов данных в задаче чисел при делении на 3 даёт в	остатке	1 .
Доказать , что если число , будучи разделено на 9 , даёт в	остатке	1 или 8 , то квадрат этого числа , делённый на 9 , даёт в остатке 1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Например , при делении на 6 в	остатке	может быть одно из чисел : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
При передаче	остатков	ткани в магазин по продаже мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25 % , на шёлк — на 15 % , и в этом магазине за 6 м шерсти и 5 м шёлка нужно заплатить 7025 р .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с	остатком	, нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить	остаток	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k —	остаток	от деления N на натуральное число .
Доказать , что если при делении натурального числа на 225	остаток	равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
По оси ординат	отложена	долгота дня , начиная с первого числа первого месяца .
Из коробки , содержащей 100 карандашей ,	отложили	32 карандаша , а остальные поделили поровну между семнадцатью учениками .
Затем он применял ал - мукабалу (	отнимал	от обеих частей уравнения 5х и 1 ) и получал уравнение , после чего легко находил его корень .
Пусть он найдёт сумму цифр этого числа и	отнимет	её от задуманного числа .
В сплаве А массы золота и серебра	относились	как 1:2 , а в сплаве В — как 2:3 .
Формула разности квадратов	относится	к группе так называемых формул сокращённого умножения .
По нашему мнению , высказывание Л. И. Толстого	относится	к взрослым людям , которые считают , что достигли предела возможностей в развитии своих достоинств .
Современным учёным - филологам и математикам удалось восстановить и перевести рукописи ,	относящиеся	ещё к IV в .
Доказать , что	отношение	ординаты любой точки полученного графика к её абсциссе равно 4 .
Чему было равно	отношение	масс сплавов А и В ? .
Например , отношение ( или 6:3 ) показывает , что первое число 6 в 2 раза больше второго числа 3 ;	отношение	( или 3:15 ) показывает , что первое число 3 составляет часть от второго .
Действительно , и Оресм , и древние учёные ( в силу ещё и того , что у них было особенное , негативное	отношение	к отрицательным числам ) выполняли все расчёты , как бы мы сейчас сказали , в первом координатном угле .
Процентное	отношение	р чисел а и b находится по формуле .
Например , найдём процентное	отношение	р чисел 15 и 40 .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их	отношение	также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Например ,	отношение	( или 6:3 ) показывает , что первое число 6 в 2 раза больше второго числа 3 ; отношение ( или 3:15 ) показывает , что первое число 3 составляет часть от второго .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс ,	отношением	площадей ) .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например ,	отношением	длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин ,	отношением	масс , отношением площадей ) .
Когда их сплавили вместе , получили новый сплав с	отношением	масс золота и серебра 7:12 .
Частное двух чисел часто называют	отношением	этих чисел .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют	отношением	этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением площадей ) .
Нужно вспомнить : свойства степени с натуральным показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ; деление числа на части в заданном	отношении	; понятие масштаба .
Равенство двух	отношений	называют пропорцией .
Действительно , любое натуральное число по	отношению	к делению на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
Как расположены по	отношению	друг к другу прямые а и b , а и с ? .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : « Система ( от греческого слова σύστημα — целое , составленное из частей ) — это множество элементов , находящихся в	отношениях	и связях друг с другом , образующих целостность , единство » .
Количества их акций находятся в	отношениях	.
Докажите , что если из квадрата большего из них	отнять	квадрат меньшего , то получится число , кратное числу 3 .
Если от этого числа	отнять	число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 36 .
Он придумал специальные знаки , заменяющие слова « равно » , «	отнять	» и др.
Имеются три мерных	отрезка	известных длин а , b и с. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими отрезками , равен сумме прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого	отрезка	m » .
Вместо произведения аb назывался и рассматривался « прямоугольник , содержащий между	отрезками	а и b » .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими	отрезками	, равен сумме прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого отрезка m » .
Учёные Древней Греции представляли величины не числами или буквами , а	отрезками	, которые обозначали буквами .
Да , Вы рассказывали о том , как доказывал распределительный закон умножения Евклид , называя буквы	отрезками	, а произведения двух букв — прямоугольниками .
Он изображал интенсивность процессов	отрезками	, расположенными перпендикулярно к горизонтальной прямой .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных	отрезках	) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках ,	отрезках	, многоугольниках и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
Вместо « квадрат на	отрезке	а » , вместо « куб на ребре а » .
В данном случае	отрезки	- рёбра обозначают шахматные партии , сыгранные каждой парой мальчиков .
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины - точки могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра -	отрезки	— любыми линиями .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные	отрезки	следующим образом .
Так называют геометрические фигуры , состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их	отрезков	( называемых рёбрами графа ) .
Концы этих	отрезков	образовывали линию , называемую им линией активности или линией верхнего края .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух	отрезков	а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими отрезками , равен сумме прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого отрезка m » .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими отрезками , равен сумме прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым	отрезком	а и каждой из частей другого отрезка m » .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала	отрезок	длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала	отрезок	длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Построить	отрезок	по координатам его концов .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция	отрицательна	.
Например , нельзя найти значение х , удовлетворяющее уравнению , так как нельзя получить	отрицательное	число при перемножении двух одинаковых чисел .
Корень этого уравнения —	отрицательное	число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у	отрицательны	( положительны ) .
Построить график функции и указать по графику несколько значений х , при которых значения функции положительны ;	отрицательны	: 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у положительны (	отрицательны	) .
Указать несколько целых значений x , при которых значения функции у равно положительны (	отрицательны	) .
По нему , кстати , сразу видно , что функция принимает	отрицательные	значения при х , находящихся между числами – 2 и 2 , а при принимает положительные значения .
В те времена	отрицательные	числа считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть уравнения числа превращались в « настоящие » ( положительные ) числа .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на плоскости не только положительные числа и нуль , но и	отрицательные	числа .
Указать три значения х , при которых функция принимает положительные значения , и три значения х , при которых функция принимает	отрицательные	значения .
Может ли при а > 0 и b > 0 значение многочлена : 1 ) быть числом	отрицательным	;
Действительно , и Оресм , и древние учёные ( в силу ещё и того , что у них было особенное , негативное отношение к	отрицательным	числам ) выполняли все расчёты , как бы мы сейчас сказали , в первом координатном угле .
Числа , противоположные положительным числам , называют	отрицательными	числами .
Чтобы найти сумму двух	отрицательных	чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
Первый приём назывался ал - джабр ( восстановление ) и заключался в перенесении вычитаемых (	отрицательных	чисел ) из одной части уравнения в другую .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у	отсекает	на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у	отсекает	на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Показана развёртка прямоугольного	параллелепипеда	без одной грани , перенесённая на картон .
Объём прямоугольного	параллелепипеда	, имеющего длину а , ширину b и высоту с , вычисляется по формуле .
Найти объём прямоугольного	параллелепипеда	с рёбрами .
Указаны размеры дома , имеющего форму прямоугольного	параллелепипеда	.
Каким будет объём V1 нового	параллелепипеда	, если длину данного увеличить в 5 раз , ширину — в 2n раз , высоту — в 3n раз ? .
Измерения нового	параллелепипеда	: длина 5а , ширина 2nb , высота 3nc .
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому графиком функции является прямая ,	параллельная	оси Ох и проходящая через точку .
Сопротивление R участка цепи , состоящего из трёх	параллельно	соединённых проводников с сопротивлениями R1 , R2 и R3 , находится из формулы .
Сопротивление R участка цепи , состоящего из двух	параллельно	соединённых проводников с сопротивлениями R1 и R2 , находится из формулы Выразить из этой формулы .
Проводили новую ,	параллельную	первой , прямую и получали график функции .
Квадрат со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а стороны	параллельны	осям координат .
2 ) Прямые	параллельны	, не имеют общих точек .
Графиками функций являются	параллельные	прямые .
Геометрически это означает , что графики уравнений системы —	параллельные	прямые .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых	параллельными	являются .
Нужно вспомнить : построение графика функции ; понятие	параллельных	прямых .
Изображены пары	параллельных	прямых .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие	параллельных	прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
При каких значениях	параметра	а система уравнений не имеет решений ?
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения	параметра	или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Думаю , что вы теперь захотите попробовать решать и более сложные задачи с	параметрами	.
А мой брат часто решает похожие задачи с	параметрами	.
Нужно только знать : если в задаче с	параметрами	не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Задачи с	параметрами	.
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или	параметров	, при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая	переменная	; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Обычно в математике независимая переменная обозначается буквой х , а зависимая	переменная	— буквой у.
Зависимая	переменная	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая	переменная	) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Таким образом , в этой задаче s является независимой	переменной	, а t — зависимой Переменной , т .
Зависимость переменной s от	переменной	t называют функциональной зависимостью .
Зависимость	переменной	s от переменной t называют функциональной зависимостью .
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой	переменной	, а ординаты — соответствующим значениям функции .
Как называется зависимость	переменной	у от переменной х ?
Как называется зависимость переменной у от	переменной	х ?
Напомню , что Декарт первым ввёл понятие	переменной	величины .
Так как значения s зависят от значений £ , то £ называют независимой	переменной	, a s — зависимой переменной или функцией .
Так как значения s зависят от значений £ , то £ называют независимой переменной , a s — зависимой	переменной	или функцией .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой	переменной	величины и постоянных » .
Определение функции впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией	переменной	величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
В этом параграфе вводится одно из основных понятий математики — понятие функции ( зависимой	переменной	) .
Рассматриваются три способа задания функции ; демонстрируется процесс нахождения значения функции по заданному значению независимой	переменной	.
Исторически понятие функции возникло одновременно с понятием	переменной	величины .
Понятие функции , с которым вам предстоит познакомиться в этой главе , появилось одновременно с понятием	переменной	величины .
Как называют	переменную	х ; переменную у ? .
Как называют переменную х ;	переменную	у ? .
Задачу 4 можно решить , выразив из формулы	переменную	х через у , т .
После публикации Декарта многие математики в уравнении с двумя неизвестными стали неизвестные х и у рассматривать как	переменные	.
Упражнения . ( Устно . ) Прочитать следующие выражения , назвать независимую и зависимую	переменные	.
Зависимость между	переменными	х и у выражена формулой y.
Поэтому их называют	переменными	.
е . приходится иметь дело с	переменными	величинами .
Если значения х положительны и k , то зависимость между	переменными	х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Первые представления о зависимых	переменных	были связаны с геометрическими и физическими величинами .
Для этого нужно :	перемножить	все числовые множители и поставить их произведение на первое место ; затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось	перемножить	каждый член многочлена на каждый член многочлена и результаты сложить .
Придётся	перемножить	знаменатели всех шести дробей — получим их общий знаменатель .
Чтобы	перемножить	две десятичные дроби , нужно : 1 ) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые ;
Итак , прямые	пересекаются	в точке ( 1 ; 2 ) .
Прямые	пересекаются	, имеют одну общую точку .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они	пересекаются	) .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М	пересечения	его с графиком данной функции .
Построить график функции , найдя точки	пересечения	его с осями координат .
Координаты точки	пересечения	прямых можно было найти с помощью графика .
Найти координаты точки	пересечения	прямых .
Найдём точку	пересечения	графика с осью ординат .
Найдём координаты точки	пересечения	построенных прямых , не используя графики .
Определить координаты точек	пересечения	с осями координат графика функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
Итак , точка	пересечения	графика с осью абсцисс имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Найдём точку	пересечения	графика с осью абсцисс .
Точка	пересечения	этих перпендикуляров — искомая точка М .
Найти координаты точки	пересечения	графиков функций .
Отметим , что для построения графика линейной функции иногда удобно находить точки	пересечения	этого графика с осями координат .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки	пересечения	построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Найти координаты точки	пересечения	графика функции с графиком функции у равно 5 .
Найти координаты точки	пересечения	стороны АВ с осью Оу .
Найти координаты точки	пересечения	стороны СЕ с осью Ох .
Найти координаты точек	пересечения	графика с осями координат .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек	пересечения	графика линейной функции с осями координат .
Ордината точки	пересечения	и даст соответствующее значение функции .
Найти точки	пересечения	графика функции у с осями координат и построить график .
Найти координаты точек	пересечения	прямой с осями координат .
Итак , точка	пересечения	графика с осью ординат имеет координаты ( 0 ; 4 ) .
координаты точек	пересечения	графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Решение системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат точки	пересечения	.
Найти координаты точек	пересечения	с осями координат прямой .
Найти координаты точки их	пересечения	.
Проверить , обращают ли координаты точки	пересечения	графиков каждое из уравнений в верное равенство .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки	пересечения	графика уравнения с осью Ох .
В комбинаторике число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn ( по первой букве французского слова Permutation —	перестановка	) .
Из Интернета я узнала , что анаграмма — это	перестановка	букв , посредством которой из одного слова составляется другое .
Умножение одночлена на многочлен производится по тому же правилу , так как при	перестановке	множителей произведение не меняется , например .
В задаче 3 были составлены всевозможные	перестановки	из трёх элементов : комбинации из трёх элементов , отличающиеся друг от друга порядком расположения в них элементов .
После записи каждой пары имён мальчиков , идущих на матч ( по результатам решения задачи 1 таких пар 3 ) , будем записывать новую пару , полученную	перестановкой	в ней букв ( обозначающую результат пересаживания мальчиков со своего места на другое ) .
Читается : « Число	перестановок	из эн элементов » , или « пэ из эн » .
Число всевозможных	перестановок	из n элементов находят ( применив n минус один раз правило произведения ) так .
Как найти число	перестановок	из n элементов ? .
В комбинаторике число всевозможных	перестановок	из n элементов обозначают Рn ( по первой букве французского слова Permutation — перестановка ) .
В задаче 7 с помощью правила произведения было найдено число всевозможных	перестановок	из 4 элементов .
При каком значении х	периметр	этого прямоугольника будет равен 38 см , 46 см ? .
Найти стороны треугольника , если его	периметр	равен 36 см .
Записать в виде многочленов	периметр	и площадь закрашенной фигуры .
Его	периметр	Р равен сумме длин сторон .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а	периметр	— буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Например , если а и b — длины сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его	периметр	.
Найти	периметр	и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
План земельного участка имеет форму треугольника со сторонами 5 см , 4 см и 3 см. Какой выбран масштаб на этом плане , если	периметр	участка равен 60 м ? .
1 По каким формулам вычисляют : 1 ) площадь прямоугольника ; квадрата ; 2 )	периметр	прямоугольника ; квадрата ? .
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3 Найти	периметр	и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного чисел ; понятие многоугольника ; формулы площади и	периметра	прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Составить выражение для нахождения	периметра	треугольника и найти значение полученного выражения , если .
Записать формулы	периметра	Р и площади S этого прямоугольника .
Нужно вспомнить : формулы движения ,	периметра	и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Возможные причины отсутствия научных открытий и достижений в	период	с III в .
На оси ординат отметим точку с координатой 2 и проведём через неё	перпендикуляр	к оси ординат .
На оси абсцисс отметим точку с координатой – 3 и проведём через неё	перпендикуляр	к этой оси .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х	перпендикуляр	к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Он изображал интенсивность процессов отрезками , расположенными	перпендикулярно	к горизонтальной прямой .
Две взаимно	перпендикулярные	прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную систему координат на плоскости .
Нужно вспомнить : построение взаимно	перпендикулярных	прямых ; понятие числовой прямой ( оси ) .
Точка пересечения этих	перпендикуляров	— искомая точка М .
А с помощью формулы объёма египтяне рассчитывали количество материалов , необходимых для строительства	пирамиды	.
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой	пирамиды	с высотой h , в основаниях которой лежат квадраты со сторонами а и b соответственно .
О корне многочлена и объёме египетской	пирамиды	.
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к точкам координатной	плоскости	, а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам уравнений ? .
её координаты на	плоскости	.
На	плоскости	расположены точки .
Допустим , что на координатной	плоскости	изображён график некоторой функции .
Даны две прямые на координатной	плоскости	, причём каждая из них является графиком некоторого уравнения .
Какие существуют случаи взаимного расположения двух прямых на	плоскости	? .
Графиком функции называют множество всех точек координатной	плоскости	, абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
В этом параграфе вы узнаете , как называются координаты точки на координатной	плоскости	, как строится точка по заданным координатам и как находится « адрес » точки , т .
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на	плоскости	; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на	плоскости	не только положительные числа и нуль , но и отрицательные числа .
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной	плоскости	; представление о прямой и её построение по двум точкам .
На	плоскости	возможны три случая взаимного расположения двух прямых — графиков уравнений системы .
На координатной	плоскости	отметить точки .
А я думала , что Декарт первым изобрёл координаты , и географические карты стали составляться благодаря изобретённой им координатной	плоскости	.
29 Прямоугольная система координат на	плоскости	.
3 На координатной	плоскости	построить точки .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной	плоскости	.
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной	плоскости	; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его график на координатной	плоскости	.
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную систему координат на	плоскости	.
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на	плоскости	; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Например , различные точки	плоскости	.
Заслуга Оресма состоит в том , что он первым ввёл понятие координат на	плоскости	по аналогии с географическими координатами на карте , изобретёнными Гиппархом ( ок . 190 до н .
В той же координатной	плоскости	, на которой построен график уравнения , построим график уравнения .
Гениальный французский учёный Рене Декарт с помощью созданного им метода координат помог естествоиспытателям в решении проблем изображения в любом месте	плоскости	различных объектов с учётом их местоположения .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной	плоскости	; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Координатная	плоскость	.
Что такое координатная	плоскость	? .
Плоскость , на которой выбрана система координат , называют координатной	плоскостью	.
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы	площадей	прямоугольника и квадрата .
Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения , то их отношение также называют отношением этих величин ( например , отношением длин , отношением масс , отношением	площадей	) .
Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше	площади	данного .
Сравнить	площади	прямоугольника и квадрата .
Если её записать с помощью других букв , вы вспомните , что пользовались ею неоднократно : — формула пройденного пути s за время t при движении со скоростью v ; — формула стоимости Р покупки n единиц товара по цене с ; — формула	площади	S прямоугольника со сторонами a и b .
Записать формулы периметра Р и	площади	S этого прямоугольника .
Если ширину увеличить на 8 м , а длину уменьшить на 6 м , то площадь нового прямоугольника будет на 80 м2 больше	площади	данного .
э . ) известно , что египетские цари после раздела земель между египтянами брали с них налоги , пропорциональные	площади	земельного участка , т .
Записать формулы	площади	его поверхности S и объёма V .
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения НОК и НОД , неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления	площади	прямоугольника и другие .
д. называл	площади	соответствующих прямоугольников ! .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного чисел ; понятие многоугольника ; формулы	площади	и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и	площади	прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Современные математики про такой налог могли бы сказать : « Налог Р есть функция от	площади	участка S » .
Сторона первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше	площади	второго квадрата .
Площадь земельного участка , имеющего форму квадрата , на 700 м2 больше	площади	другого участка , имеющего прямоугольную форму .
Его объём равен произведению высоты и	площади	основания .
понятия числового выражения и его значения ; действия с целыми и дробными числами ; единицы измерения времени , длины ,	площади	, массы .
Прямая пропорциональная зависимость	площади	S прямоугольника от его ширины х представлена таблицей .
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и	площадь	прямоугольника со сторонами а и b , если .
Какой стала	площадь	поля ?
Если искомую	площадь	обозначить буквой у , то ответ можно записать формулой .
1 По каким формулам вычисляют : 1 )	площадь	прямоугольника ; квадрата ; 2 ) периметр прямоугольника ; квадрата ? .
Сторона первого квадрата на 13 см больше стороны второго квадрата , а	площадь	первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
Если же длину сада уменьшить на 6 м , а ширину увеличить на 8 м , то	площадь	сада увеличится на 164 м2 .
До осушения болота	площадь	поля была равна аb км2 , после осушения она стала равна .
Записать в виде многочленов периметр и	площадь	закрашенной фигуры .
Вычислить	площадь	квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба , длина ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
фактически размер налога Р рассчитывался по формуле , где k — коэффициент пропорциональности , единый для всех землевладельцев , a S —	площадь	земельного участка .
Упростить выражение и выяснить , при каком значении х значение выражения равно а : 1 ) Рассматривая	площадь	прямоугольника показать , что ;
Например , если а и b — длины сторон прямоугольника , измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его	площадь	, его периметр .
Рассматривая	площадь	прямоугольника показать , что ; 3 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что .
Во сколько раз увеличится	площадь	квадрата , если длину каждой стороны увеличить в 2 раза ; 3 раза ; 10 раз ? .
Найти периметр и	площадь	прямоугольника , у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а	площадь	— 60 см2 .
Найти	площадь	каждого участка .
Найти	площадь	закрашенной фигуры .
Найти	площадь	прямоугольника со сторонами .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его	площадь	равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
Если ширину увеличить на 8 м , а длину уменьшить на 6 м , то	площадь	нового прямоугольника будет на 80 м2 больше площади данного .
После осушения болота	площадь	поля увеличилась на 0,88 км2 .
Найти	площадь	поверхности стены , занятой шкафами , размеры которых указаны .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В. Найти	площадь	прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
Найдём	площадь	прямоугольника , основание которого равно 3 , а высота равна х.
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить	площадь	прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то	площадь	нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Если длину прямоугольника увеличить на 4 см , а ширину — на 2 см , то	площадь	увеличится на 42 см2 .
Заметим , что формулу можно получить , рассматривая	площадь	квадрата .
Благодаря этому мы сегодня имеем изданные типографским способом и на электронных носителях труды Евклида , Архимеда , Герона , Диофанта , Пифагора и других замечательных учёных античности равна , а	площадь	фигуры равна .
Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ; 3 ) Рассматривая	площадь	прямоугольника показать , что .
Длина окружности радиуса R выражается формулой	площадь	круга радиуса R выражается формулой .
Найти	площадь	данного прямоугольника .
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что	площадь	круга является функцией его радиуса ( площадь круга они приближённо вычисляли по формуле ) .
Дан прямоугольник со сторонами а и b. Какой будет	площадь	нового прямоугольника , если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что площадь круга является функцией его радиуса (	площадь	круга они приближённо вычисляли по формуле ) .
Например ,	площадь	закрашенной части фигуры , .
Обозначим	площадь	прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Если увеличить длину сада на 8 м , а ширину на 6 м , то	площадь	сада увеличится на 632 м2 .
Какова оплата коммунальных услуг за содержание квартиры	площадью	S м2 , в которой проживают n человек ?
Если основание прямоугольника равно k , то зависимость между высотой х и	площадью	у выразится формулой , где k и х — положительные числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа	плюс	удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе	плюс	квадрат второго числа .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе	плюс	квадрат второго числа .
Записать формулы площади его	поверхности	S и объёма V .
Найти площадь	поверхности	стены , занятой шкафами , размеры которых указаны .
Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров , соприкасающихся с	поверхностью	стола ? .
Привести пример выражения , содержащего слагаемое ,	подобное	12а .
Например , одночлены	подобны	.
В этом выражении слагаемые 6a и 35a	подобны	, так как они отличаются друг от друга только коэффициентами .
Слагаемые 125 и 55 также	подобны	.
Например , одночлены	подобны	, одночлены подобны , а одночлены не являются подобными .
Одночлены	подобны	, подчеркнём их одной чертой .
Например , одночлены подобны , одночлены	подобны	, а одночлены не являются подобными .
Переставим члены многочлена так , чтобы	подобные	члены стояли рядом , и заключим подобные члены в скобки .
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести	подобные	члены .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить	подобные	слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Поэтому можно было записать вместо этого выражения выражение , привести	подобные	слагаемые .
Приведём	подобные	члены в обеих частях этого равенства , получим .
При доказательстве понадобится умение приводить	подобные	члены в многочлене .
Для этого нужно записать каждый член многочлена в стандартном виде и привести	подобные	члены .
Выделим	подобные	одночлены .
Приведя	подобные	члены , получим .
При этом	подобные	члены располагаются друг под другом , например .
2 ) приводят	подобные	члены ; 3 ) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Упростим левую и правую части уравнения : выполним умножение и приведём	подобные	члены .
Мы уже давно и много занимаемся преобразованиями многочленов : записываем формулы с помощью многочленов , приводим	подобные	слагаемые после раскрытия скобок .
Поймёте , что уже встречались с простейшими одночленами и даже складывали	подобные	одночлены .
Привести	подобные	слагаемые .
Привести	подобные	члены .
Переставим члены многочлена так , чтобы подобные члены стояли рядом , и заключим	подобные	члены в скобки .
Например , одночлены подобны , одночлены подобны , а одночлены не являются	подобными	.
Одинаковые одночлены также считают	подобными	.
3 Какие слагаемые называются	подобными	?
Такие одночлены называют	подобными	.
Какие одночлены называют	подобными	? .
Познакомитесь с самой компактной и удобной для приведения	подобных	одночленов формой их записи .
У многочлена каждый член записан в стандартном виде , и среди них нет	подобных	.
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения	подобных	слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение	подобных	членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение	подобных	членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Приведение	подобных	членов .
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая сумма	подобных	одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
Какой смысл в решении	подобных	задач ? .
Что называют приведением	подобных	членов ? .
Если вам будет интересно , посмотрите в Интернете или в справочнике более подробную информацию о	подобных	таблицах — матрицах , определителях .
Составной частью этого умения является приведение	подобных	членов в многочлене , чему вы и научитесь в этом параграфе .
Второй приём , ал - мукабала ( противопоставление ) — отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых членов — был похож на современное приведение	подобных	слагаемых .
Последующие преобразования полученного многочлена будут выполняться также с помощью знакомой операции приведения	подобных	членов .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение	подобных	членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Слово стандарт произошло от английского слова standard — норма , образец , принимаемый за исходный для сопоставления с ним других	подобных	объектов .
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; приведение	подобных	членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; действия с многочленами .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение	подобных	членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; правила раскрытия скобок ; правило приведения	подобных	слагаемых ; понятие процента ; понятие модуля числа .
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением	подобных	членов .
Степенью одночлена называют сумму	показателей	степеней всех входящих в него буквенных множителей .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение	показателей	) .
Если два или три слова писались последовательно , это означало умножение	показателей	.
В одночлене сумма	показателей	степеней всех букв равна 7 .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным	показателем	; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
По определению степени с натуральным	показателем	, по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению степени с натуральным показателем .
По определению степени с натуральным показателем , по правилу умножения дробей , по определению степени с натуральным	показателем	.
9 Степень с натуральным	показателем	.
Записать выражение в виде степени с	показателем	2 .
По определению степени с натуральным показателем , по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению степени с натуральным	показателем	.
10 Свойства степени с натуральным	показателем	.
Выражение аn читается так : « Степень числа а с	показателем	я » — или коротко : « а в степени я » .
Записать в виде степени с	показателем	3 .
Записать в виде степени с	показателем	.
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим	показателем	.
По определению степени с натуральным	показателем	, по правилу умножения дробей , по определению степени с натуральным показателем .
Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных дробей , а каждая буква взята с наибольшим	показателем	из тех , с которыми она встречается в знаменателях .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным	показателем	, то степень числа и произведение степеней также называют одночленами .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным	показателем	; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Степенью числа а с натуральным	показателем	я , большим 1 , называется произведение я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным	показателем	; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и деления ; запись числа в стандартном виде .
По определению степени с натуральным	показателем	.
Нужно вспомнить : свойства степени с натуральным	показателем	; приведение одночлена к стандартному виду ; деление числа на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным	показателем	для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
По определению степени с натуральным	показателем	по первому свойству степени по определению умножения .
1 Что называется степенью числа а с натуральным	показателем	n , где n больше 1 ; n равно 1 ? .
Затем показать , что если из степени числа 10 с натуральным	показателем	вычесть единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
Степенью числа а с	показателем	1 называется само число а .
В выражении аn число а называют основанием степени , число n называют	показателем	степени .
При возведении степени в степень основание остаётся прежним , а	показатели	степеней перемножаются .
Действительно , похоже , что индусы знали , зачем и когда складываются и умножаются	показатели	.
При делении степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а	показатели	степеней вычитаются .
А если ты понял , как ведут себя	показатели	степеней а и b в слагаемых многочлена , то сможешь записать результат возведения бинома в 6-ю степень .
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним , а	показатели	степеней складываются .
Например , здесь 3 — основание степени , 4 —	показатель	степени , 81 — значение степени 34 .
В многочлене число 7 — наибольший общий делитель чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими	показателями	.
Индусы очень давно пользовались степенями с натуральными	показателями	до 9-й включительно .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными	показателями	, показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих степени .
При игре в крестики - нолики на	поле	размером 3×3 клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход : ставит крестик в любую из клеток ; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток , затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик .
С помощью стрелок на рёбрах	полного графа	с вершинами А , Б , В и Г показан процесс обмена фотографиями .
Решим задачу с помощью так называемого	полного графа	с четырьмя вершинами А , Б , В , Г , обозначенными по первым буквам имён мальчиков .
Решим задачу с помощью	полного графа	, имеющего n вершин .
Найти : Сколько рёбер имеет	полный граф	( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; —	полный граф	; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Сколько рёбер имеет	полный граф	, у которого 25 вершин ? .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция	положительна	; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше	положительного	знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
Доказать , что если x , y , r	положительны	, то равенство является верным только тогда , когда .
Указать несколько целых значений x , при которых значения функции у равно	положительны	( отрицательны ) .
Построить график функции и указать по графику несколько значений х , при которых значения функции	положительны	; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Если значения х	положительны	и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение функции равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны (	положительны	) .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько целых значений х , при которых значения у	положительны	( отрицательны ) .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на плоскости не только	положительные	числа и нуль , но и отрицательные числа .
Здесь s может принимать	положительные	значения , не большие чем расстояние от Москвы до Санкт - Петербурга .
По нему , кстати , сразу видно , что функция принимает отрицательные значения при х , находящихся между числами – 2 и 2 , а при принимает	положительные	значения .
Указать три значения х , при которых функция принимает	положительные	значения , и три значения х , при которых функция принимает отрицательные значения .
В те времена отрицательные числа считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть уравнения числа превращались в « настоящие » (	положительные	) числа .
Если основание прямоугольника равно k , то зависимость между высотой х и площадью у выразится формулой , где k и х —	положительные	числа .
Является ли	положительным	числом корень уравнения .
2 ) быть числом	положительным	? .
Числа , противоположные	положительным	числам , называют отрицательными числами .
Натуральные числа и дроби , большие нуля , называют	положительными	числами .
1 Дано верное равенство c	положительными	левой и правой частями .
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 )	полусумма	чисел х и 5 равна их произведению .
После осушения болота площадь	поля	увеличилась на 0,88 км2 .
Какой стала площадь	поля	?
До осушения болота площадь	поля	была равна аb км2 , после осушения она стала равна .
Определители второго	порядка	и правило Крамера .
Число , написанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, на 54 больше данного числа .
Не производя вычислений , расположить числа : в порядке убывания ; в	порядке	возрастания .
Сколько единиц в числе , написанном теми же цифрами , но в обратном	порядке	? .
Хотя понимаю , что бессмысленно выполнять суммирование в	порядке	следования дробей и в обратном порядке .
Составить разность данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Если от этого числа отнять число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получится 36 .
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном	порядке	.
Сегодня понятие алгоритма используется ещё шире — им обозначают правило , следуя которому можно решить задачу определённого типа ( выполняя при этом действия в строго установленном	порядке	) .
Хотя понимаю , что бессмысленно выполнять суммирование в порядке следования дробей и в обратном	порядке	.
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о	порядке	выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и равенств .
Не производя вычислений , расположить числа : в	порядке	убывания ; в порядке возрастания .
Выполним вычисления , используя правила о	порядке	действий .
Выпишем все числа , начинающиеся с цифры 1 , в	порядке	их возрастания ; затем — начинающиеся с цифры 2 ; после чего — начинающиеся с цифры 3 .
Выполним все действия в том	порядке	, как это указано в условии .
Обозначим задуманное число буквой а и запишем действия в том	порядке	, как указано в условии .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом	порядке	) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Доказать , что сумма этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	, делится на 4 .
Найдите двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
2 ) Если выражение содержит скобки , то сначала выполняют все действия над числами , заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над числами в скобках и вне их производится в	порядке	.
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	, разделить на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Практически во всех областях человеческой деятельности приходится заниматься выбором определённых объектов из некоторого множества и расположением этих объектов в том или ином	порядке	.
Если к этому числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получится 132 .
Нужно лишь не ошибиться в	порядке	действий .
При нахождении значения числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том	порядке	, в котором они записаны .
Число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, на 36 больше данного числа .
Буквенные множители чаще всего располагают в алфавитном	порядке	, хотя это не обязательно .
В задаче 3 были составлены всевозможные перестановки из трёх элементов : комбинации из трёх элементов , отличающиеся друг от друга	порядком	расположения в них элементов .
4 Каким по	порядку	выполняется действие возведения в степень при вычислении значения выражения , не содержащего скобок ? .
Несложно обосновать , почему n - е по	порядку	треугольное число находится по формуле .
Изображены приложенные друг к другу два одинаковых n - х по	порядку	треугольных числа ( одно выложено из чёрных камней , другое , « перевёрнутое » , — из белых ) .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по	порядку	следования в ряду натуральных чисел ) чётное число : при n равно 6 число .
Вычисления можно провести , следуя указанному	порядку	действий : сложить 75 и 37 , к результату прибавить 25 и к последнему результату прибавить 13 .
Хорошо , сделаю подсказку , а вы с её помощью обоснуете формулу n - го по	порядку	треугольного числа .
При этом число N всех камешков n - го по	порядку	квадратного числа находится по формуле , где n — число камешков на одной стороне квадрата .
Значит , я легко могу найти , например , сотое по	порядку	треугольное число .
Формула числа камешков N в n - м по	порядку	треугольном числе имеет вид .
Например , следуя	порядку	выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Нужно вспомнить :	порядок	выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Используя известный	порядок	действий , получаем такие результаты .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать	порядок	выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических выражениях с помощью скобок объединяют слагаемые в группы .
4 Какой	порядок	выполнения действий применяют при нахождении значения числового выражения ? .
Эти примеры показывают , что при разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий	порядок	: 1 ) вынести общий множитель за скобку ( если он есть ) ;
Назвать	порядок	выполнения арифметических действий .
При нахождении значения числового выражения принят следующий	порядок	выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
Скобки в числовом выражении указывают на	порядок	выполнения действий .
В записи координат точек	порядок	чисел имеет существенное значение .
Важен	порядок	расположения чисел в скобках : на первом месте указывается значение х , а на втором — значение у.
Как записать комбинации из нескольких элементов , если	порядок	расположения элементов в комбинации : 1 ) имеет значение ;
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять	порядок	выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
В задаче 1 нас не интересовал	порядок	рассаживания двух из трёх мальчиков по местам , т .
В задаче 2 пары АБ и БА были различными парами , так как нас интересовал и	порядок	рассаживания мальчиков ( поэтому в задаче 2 вариантов было в 2 раза больше , чем в задаче 1 ) .
5 Указать	порядок	выполнения действий и вычислить .
Профессор , когда я слышу слова «	порядок	выполнения действий » , мне хочется заменить их одним словом — алгоритм .
Договоримся , что , если нужно представить комбинацию элементов , в которой	порядок	расположения элементов не важен , будем записывать эти элементы через запятую : А , Б и Б , А — одна и та же пара элементов .
В задаче из тех же трёх элементов выбирались пары и фиксировался	порядок	расположения элементов в паре , т .
Если же	порядок	расположения элементов в комбинации важен , то отделять элементы друг от друга запятой не будем : АБ и БА — разные пары .
Пары отличались составом элементов , а	порядок	расположения элементов в паре не учитывался .
Подсчитать количество таких	последовательностей	.
Сколько существует различных	последовательностей	выхода на старт , если в соревнованиях принимают участие : 1 ) 6 лыжников ; 2 ) 8 лыжников ? .
Перечислить все возможные последовательности из имён мальчиков , где порядковый номер в	последовательности	соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях .
Сколькими способами можно расставить в ряд эти книги так , чтобы книги одного автора ( в любой	последовательности	) стояли рядом ? .
Сколькими способами можно расставить эти книги на книжной полке при условии , что одинаковые книги в любой	последовательности	должны стоять рядом ? .
Перечислить все возможные	последовательности	из имён мальчиков , где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях .
Например , в сельском хозяйстве каждый год решают комбинаторную задачу : подбирают оптимальную	последовательность	подготовки к посевным работам с учётом погодных условий , трудовых ресурсов и т .
Софизмом называют	последовательность	высказываний , содержащих скрытую ошибку , за счёт чего удаётся сделать неправдоподобный вывод .
Назвать	последовательность	попыток разложения многочлена на множители .
Каждая буква или цифра кодируется определённой комбинацией (	последовательностью	) точек и тире , но не более чем пятью знаками подряд .
Ты абсолютно	прав	, Тёма .
Ты абсолютно	прав	.
В уравнении левая часть ,	правая	часть 65 .
При левая часть этого уравнения равна 65 , так как ;	правая	часть также равна 65 .
Например , дробь	правильная	.
Цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 называются арабскими , хотя	правильнее	было бы их назвать индийскими .
В греческом алфавите было 28 букв ( кстати , посмотрите в энциклопедическом словаре или в Интернете	правильное	написание всех этих букв ) .
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называют	правильной	дробью .
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называют	правильной дробью	.
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , —	правой	частью уравнения .
Например , верное равенство , так как значения его левой и	правой	частей совпадают и равны 8 .
1 Дано верное равенство c положительными левой и	правой	частями .
Каждое слагаемое левой или	правой	части уравнения называется членом уравнения .
Например , уравнение не имеет корней , так как при любом значении х левая часть этого уравнения больше	правой	.
Если значения левой и	правой	частей числового равенства совпадают , то равенство называют верным .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней : любое значение х является корнем этого уравнения , так как при любом х левая часть уравнения равна	правой	части .
Если значения левой и	правой	частей равенства не совпадают , то равенство называют неверным .
Об учебнике Л. Ф. Магницкого . Хочу вам показать интересную запись , которая была сделана в	правом	нижнем углу титульного листа первого русского учебника арифметики Л. Ф. Магницкого ( 1669–1739 ) , изданного в 1703 г .
Далее в трактате даётся правило по составлению таблицы : « В	правом	столбце установи 2 для первого человека , 1 — для второго и 96 монет .
Упростим левую и	правую	части уравнения : выполним умножение и приведём подобные члены .
Перенесём член 5а с противоположным знаком в левую часть , а член – 23 в	правую	часть равенства с противоположным знаком .
Подставим х равно 3 в левую и	правую	части исходного уравнения и проведём вычисления .
Если это не так , то можно уравнять модули коэффициентов при каком - нибудь одном из неизвестных , умножая левую и	правую	части каждого уравнения на подходящие числа .
Разложим левую и	правую	части этого равенства на множители .
Преобразуем	правую	часть равенства .
Перенесём 2х из левой части верного равенства в	правую	часть ; получим также верное равенство .
Применяя эти свойства , уравнения , сводящиеся к линейным , обычно решают так : 1 ) переносят члены , содержащие неизвестное , в левую часть , а члены , не содержащие неизвестного , в	правую	( свойство 1 ) ;
сложить левые и	правые	части равенств ) .
Левые части уравнений этой системы равны при любых значениях х и у , а	правые	части не равны .
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и	правых	частей уравнений системы .
По нашему мнению , высказывание Л. И. Толстого относится к взрослым людям , которые считают , что достигли	предела	возможностей в развитии своих достоинств .
Тогда ,	прибавив	к обеим частям этого равенства , получим , откуда .
Если к числителю некоторой дроби	прибавить	3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби	прибавить	2 , не меняя её числитель , .
Отец ответил , что если к произведению чисел , означающих их года ,	прибавить	сумму этих чисел , то будет 14 .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению	прибавить	остаток .
если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и	прибавить	её к полученной целой части .
1 Если к обеим частям верного равенства	прибавить	одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число , то получится верное равенство .
Если его умножить на 4 , к произведению	прибавить	8 и полученную сумму разделить на 2 , то получится 10 .
Вычисления можно провести , следуя указанному порядку действий : сложить 75 и 37 , к результату прибавить 25 и к последнему результату	прибавить	13 .
Если к этому числу	прибавить	число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 132 .
Вычисления можно провести , следуя указанному порядку действий : сложить 75 и 37 , к результату	прибавить	25 и к последнему результату прибавить 13 .
Например , умножая четвёртое треугольное число на 8 и	прибавляя	1 , получим 81 , что является девятым квадратным числом .
Применяя формулу , найти	приближённое	значение числа .
Однако при графическом способе решения системы уравнений обычно получается	приближённое	решение .
При каких значениях а и b	приближённое	равенство используют для вычислений ? .
Этот способ либо даёт	приближённые	значения решений системы , либо помогает определить , сколько решений имеет система .
Если модуль числа а мал по сравнению с 1 ( например , число а2 тем более мало , и поэтому равенство можно заменить	приближённым	равенством .
Примеры различных графов	приведены	.
Профессор ,	приведите	пример диофантова уравнения .
Упростим левую и правую части уравнения : выполним умножение и	приведём	подобные члены .
Пример магического квадрата размером 4×4	приведён	.
Не выполняя вычислений , выяснить , какие из	приведённых	ниже равенств являются верными .
попытаться применить способ группировки ( если предыдущие способы не	привели	к цели ) .
Таким образом , для сложения ( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 )	привести	дроби к общему знаменателю ;
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 )	привести	дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Чтобы сравнить ( сложить , вычесть ) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 )	привести	данные дроби к общему знаменателю ;
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и	привести	подобные члены .
Для этого нужно записать каждый член многочлена в стандартном виде и	привести	подобные члены .
Чтобы	привести	дроби к наименьшему общему знаменателю , нужно : 1 ) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем ; 2 ) найти для каждой дроби дополнительный множитель , выполняя деление наименьшего общего знаменателя на знаменатели данных дробей ;
Если в задании не указано , к какому общему знаменателю нужно	привести	дроби , то их приводят к простейшему общему знаменателю .
Профессор , а Вы можете	привести	пример практического применения способа группировки ? .
Как	привести	многочлен к стандартному виду ? .
Чтобы сложить смешанные числа , нужно : 1 )	привести	дробные части этих чисел к общему знаменателю ;
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно	привести	эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Поэтому можно было записать вместо этого выражения выражение ,	привести	подобные слагаемые .
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель ,	приводим	их к общему знаменателю .
Мы уже давно и много занимаемся преобразованиями многочленов : записываем формулы с помощью многочленов ,	приводим	подобные слагаемые после раскрытия скобок .
При доказательстве понадобится умение	приводить	подобные члены в многочлене .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; —	приводить	подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
При изучении этого параграфа умение	приводить	алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям сложения и вычитания дробей .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; —	приводить	дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями , сокращать дробь ,	приводить	дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей —	приводить	их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
На основании какого свойства алгебраические дроби	приводят	к общему знаменателю ? .
Если в задании не указано , к какому общему знаменателю нужно привести дроби , то их	приводят	к простейшему общему знаменателю .
Напомним , что при сложении обыкновенных дробей сначала	приводят	дроби к общему знаменателю .
2 )	приводят	подобные члены ; 3 ) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Рассмотрим задачу ,	приводящую	к решению линейного уравнения с двумя неизвестными .
В 13 книгах , которые Евклид назвал « Начала » , он обобщил и	привёл	в систему накопленные до него геометрические знания .
Вы знаете , что	произведение	обозначают , читается : « Пять в квадрате » ; произведение обозначают 53 , читается : « Пять в кубе » .
	Произведение	чисел 40 и 0,03 равно частному от деления числа 6 на число 5 ; 3 )
2 Записать в виде числового выражения : 1 )	произведение	суммы и разности чисел ;
Найти	произведение	многочлена и одночлена .
	Произведение	чисел 34 и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и x ; 4 ) сумма чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Степенью числа а с натуральным показателем я , большим 1 , называется	произведение	я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
Но если я с помощью букв а , b и с попробую записать трёхзначное число ( предполагая , что каждая буква обозначает однозначное число ) , то получу abc , а эта запись будет обозначать	произведение	а на b и на с , верно ? .
Умножение одночлена на многочлен производится по тому же правилу , так как при перестановке множителей	произведение	не меняется , например .
Нужно найти	произведение	.
Чтобы найти	произведение	( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) найти произведение ( частное ) модулей этих чисел ;
4 )	произведение	суммы чисел а и b и их разности .
Не вычисляя , объяснить , почему : 1 ) произведение чисел 2,004 и 1,745 больше 3 ; 2 )	произведение	чисел 1,2438 и 0,8 меньше 2 .
Например ,	произведение	, в котором число 7 взято множителем 10 раз , будете записывать как 710 .
Не вычисляя , объяснить , почему : 1 )	произведение	чисел 2,004 и 1,745 больше 3 ; 2 ) произведение чисел 1,2438 и 0,8 меньше 2 .
Так как	произведение	равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень числа и произведение степеней также называют одночленами .
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное	произведение	чисел m и n ; 3 ) частное от деления суммы чисел n и m на их разность ;
Найдём	произведение	.
Число же , записанное перед алгебраической дробью , означает их	произведение	, например .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных чисел есть число нечётное , то их	произведение	— число чётное .
Вы знаете , что произведение обозначают , читается : « Пять в квадрате » ;	произведение	обозначают 53 , читается : « Пять в кубе » .
Привести к многочлену стандартного вида	произведение	.
Оно неверно , так как , например ,	произведение	чисел 3 и δ не является чётным числом .
Возвести в степень	произведение	.
Вы уже знаете , что линейное уравнение вида , где b ≠ 0 , не имеет корней , так как при умножении на 0	произведение	всегда равно нулю .
Например , в записи числа m и n — множители , р —	произведение	.
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно найти	произведение	( частное ) модулей этих чисел .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба , длина ребра которого равна : Записать	произведение	в виде степени .
удвоенное	произведение	чисел ; 3 .
Чему равно	произведение	разности чисел m и n на их сумму ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное	произведение	квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 )	произведение	трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 )	произведение	куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
общий знаменатель должен содержать	произведение	.
Показать , что и	произведение	трёх последовательных натуральных чисел делится на 6 .
Рассмотрим	произведение	двух или нескольких одинаковых одночленов , степень одночлена , например .
Доказать , что	произведение	многочленов и равно частному от деления многочлена на одночлен .
Записать	произведение	в виде степени .
В пропорции	произведение	крайних членов равно произведению средних : ad равно bc .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 )	произведение	двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Два числа ,	произведение	которых равно 1 , называют взаимно обратными .
Как обозначают	произведение	первых n натуральных чисел ? .
Чтобы найти	произведение	( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно найти произведение ( частное ) модулей этих чисел .
Так как он должен делиться на знаменатель первой дроби , то он должен содержать	произведение	.
Вы знаете , что если	произведение	двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из них ноль .
Докажем , что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143 , а это	произведение	делится на 143 .
Если	произведение	делится и на 3 , и на 2 , то оно делится и на 6 ( так как числа 2 и 3 взаимно простые ) .
Если все члены многочлена имеют общий множитель , то вынесением этого множителя за скобки многочлен преобразуется в	произведение	.
В этом параграфе вы узнаете , как кратко записывается	произведение	любого количества одинаковых множителей .
Общим знаменателем данных дробей является	произведение	.
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных чисел делится на 4 ; 2 )	произведение	любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Если такой множитель имеется , то на основании распределительного закона умножения его выносят за скобки , преобразуя тем самым многочлен в	произведение	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и	произведение	знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти	произведение	числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное , то их	произведение	делится на 24 .
Найти	произведение	одночленов .
Найти	произведение	дробей .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое	произведение	записать числителем , а второе — знаменателем .
Для этого нужно : перемножить все числовые множители и поставить их	произведение	на первое место ; затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) найти	произведение	( частное ) модулей этих чисел ;
Записать : 1 )	произведение	числа с и разности чисел a и b ; 2 ) сумму числа а и произведения чисел c и d .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное	произведение	первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное	произведение	первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
28 Верно ли утверждение : 1 )	произведение	двух любых чётных чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6 ? .
добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел ; 14 ) найти	произведение	получившихся множителей .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 )	произведение	чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Если подставить данные значения букв в одночлен , то придётся вычислить	произведение	.
Таким образом	произведение	шести множителей превращается в красивый двучлен .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти	произведение	оставшихся множителей .
Так как выражения не имеют общих делителей , то в общий знаменатель войдёт их	произведение	.
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень числа и	произведение	степеней также называют одночленами .
Записать удвоенное	произведение	этих чисел .
Так как одночлен является	произведением	множителей , то по свойству возведения произведения в степень имеем .
Выражение является	произведением	многочленов .
Если в произведении получается меньше цифр , чем нужно отделить запятой , то перед	произведением	предварительно записывают нуль или несколько нулей .
Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения —	произведением	.
Выражение является	произведением	четырёх множителей , из которых первый — число , а три следующих — буквы а , b , с .
Это выражение является	произведением	многочлена с и одночлена Sab .
Выражение является	произведением	трёх одночленов .
Если в	произведении	получается меньше цифр , чем нужно отделить запятой , то перед произведением предварительно записывают нуль или несколько нулей .
Отец ответил , что если к	произведению	чисел , означающих их года , прибавить сумму этих чисел , то будет 14 .
Его объём равен	произведению	высоты и площади основания .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному	произведению	прибавить остаток .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен сумме кубов чисел с и d , а знаменатель — удвоенному	произведению	этих чисел .
Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей дроби , нужно к полученному	произведению	дописать множитель .
В пропорции произведение крайних членов равно	произведению	средних : ad равно bc .
Действие , с помощью которого по	произведению	и одному из множителей находят другой множитель , называют делением .
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их	произведению	.
Если его умножить на 4 , к	произведению	прибавить 8 и полученную сумму разделить на 2 , то получится 10 .
Разность квадратов двух чисел равна	произведению	разности этих чисел и их суммы .
Сформулировать алгоритм приведения к одночлену стандартного вида	произведения	двух одночленов .
Действительно , например , в задаче 5 , согласно правилу	произведения	, первые две цифры числа можно было записать шестью способами .
Согласно правилу	произведения	число всевозможных пар букв ( с возможным их повторением в паре ) равно .
Согласно правилу	произведения	, число двузначных кодов с различными буквами будет равно .
Таким образом , для нахождения	произведения	данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и результаты сложить .
Так как одночлен является произведением множителей , то по свойству возведения	произведения	в степень имеем .
Например , понятно , что в задании 2 ) последней цифрой	произведения	будет 4 . ( Задача о жизни Диофанта . )
утроенная сумма чисел 2 и 6 в два раза больше	произведения	этих же чисел .
Сформулировать правило	произведения	.
Привести примеры применения правила	произведения	для подсчёта пар элементов .
Записать : 1 ) произведение числа с и разности чисел a и b ; 2 ) сумму числа а и	произведения	чисел c и d .
Вычислить значение этого	произведения	при а равно – 2 .
Согласно правилу	произведения	, таких обедов можно составить .
В задаче 7 с помощью правила	произведения	было найдено число всевозможных перестановок из 4 элементов .
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 ) сумму числа 12 и	произведения	чисел а и b ; 4 )
Согласно правилу	произведения	, число таких способов равно .
Аналогичные обозначения вводятся для	произведения	любого числа одинаковых множителей , например : 9 раз , 5 раз .
В действиях с многочленами большое внимание уделяется представлению многочлена в виде	произведения	.
Итак , заданное число можно представить в виде	произведения	трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
Вместо	произведения	аb назывался и рассматривался « прямоугольник , содержащий между отрезками а и b » .
Часто приходится решать обратную задачу о представлении многочлена в виде	произведения	одночленов и многочленов , т . е .
Тогда число способов выбора пары шоколадок для Кати и для Оли найдём с помощью правила	произведения	.
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные	произведения	сложить .
Таблица вариантов и правило	произведения	.
С её помощью будет обосновано одно из важных правил подсчёта числа комбинаций из двух элементов — правило	произведения	.
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю	произведения	двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках , отрезках , многоугольниках и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило	произведения	.
Для этого нужно : перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место ; затем	произведения	степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени .
Доказать , что сумма	произведения	двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа .
Обозначения суммы и	произведения	.
Используя распределительное свойство умножения , данный многочлен можно представить в виде	произведения	одночлена и многочлена .
Третью цифру к уже двум имеющимся можно было , согласно правилу	произведения	, приписать способами , существует всевозможных трёхзначных чисел , записанных с помощью цифр 0 , 1 и 2 .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю	произведения	двух и более чисел .
Так как каждое число можно записать в виде	произведения	этого числа на единицу , то выражения вида а , 2 также считают одночленами .
возведения степени в степень ; 4 ) возведения	произведения	в степень ; 5 ) возведения дроби в степень .
Записать в виде степени	произведения	выражение .
Число всевозможных перестановок из n элементов находят ( применив n минус один раз правило	произведения	) так .
Привести пример применения правила	произведения	для подсчёта комбинаций из трёх ; четырёх элементов .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные	произведения	сложить .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило	произведения	; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Правило	произведения	.
Да , Вы рассказывали о том , как доказывал распределительный закон умножения Евклид , называя буквы отрезками , а	произведения	двух букв — прямоугольниками .
Упростить выражение , используя запись	произведения	в виде степени .
Дерево вариантов даёт наглядное представление о том , как применяется правило	произведения	для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 , числа элементов .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило	произведения	для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
В этой главе вы оцените красоту и компактность записи	произведения	любого количества одинаковых множителей в виде степени .
Для решения задач , аналогичных задачам 1 и 2 , можно пользоваться следующим правилом , которое получило в комбинаторике название « Правило	произведения	» .
Записать в виде	произведения	одинаковых множителей .
Изображение и описание дробей в	произведениях	искусства .
Равенство двух отношений называют	пропорцией	.
Решить уравнение , используя свойства	пропорции	.
В	пропорции	произведение крайних членов равно произведению средних : ad равно bc .
Это свойство называют основным свойством	пропорции	.
В пропорции числа a и d называют крайними членами , а числа b и с — средними членами	пропорции	.
В	пропорции	числа a и d называют крайними членами , а числа b и с — средними членами пропорции .
Используя основное свойство	пропорции	, можно найти её неизвестный член , если остальные члены известны .
Например , в	пропорции	имеем .
Найти неизвестное число х из	пропорции	.
3 Отношения и	пропорции	.
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов	пропорции	; нахождение модуля числа .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство	пропорции	.
Если у прямо	пропорционален	х , то при увеличении значения х в несколько раз значение у увеличивается во столько же раз .
Например , путь , пройденный телом при движении с постоянной скоростью , прямо	пропорционален	времени движения .
Масса m тела прямо	пропорциональна	его объёму V.
Например , при равномерном движении скорость прохождения одного и того же участка пути обратно	пропорциональна	времени .
Масса газа постоянной плотности прямо	пропорциональна	его объему .
Плотность вещества при постоянной массе обратно	пропорциональна	его объёму .
Прямая	пропорциональная	зависимость — частный случай функции , где х — любое число .
Прямая	пропорциональная	зависимость площади S прямоугольника от его ширины х представлена таблицей .
Какой формулой выражается обратная	пропорциональная	зависимость ? .
Если значения х положительны и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой	пропорциональной	зависимостью , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Как можно построить график функции При каких значениях х и k формула y выражает прямую	пропорциональную	зависимость ? .
э . ) известно , что египетские цари после раздела земель между египтянами брали с них налоги ,	пропорциональные	площади земельного участка , т .
д. Эти зависимости — прямо	пропорциональные	и в них независимая переменная принимает только неотрицательные значения .
Следующее же за ним	простое число	13 ( не имеющее делителей , кроме 1 и себя ) считалось нехорошим , неудобным .
Например , числа 2 , 3 , 7 , 11 , 31 —	простые числа	.
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие	противоположного числа	; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие	противоположного числа	; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа ,	противоположного числу	, делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются	противоположные числа	, удобно применять способ почленного сложения уравнений .
Вычитание можно заменить сложением с	противоположным числом	.
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие	процента	, нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Заглядывайте в него чаще , там вы найдёте и определение	процента	, и разобранные задачи на проценты , правила действий с обыкновенными и десятичными дробями и многое другое .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; понятие	процента	; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его	процентам	; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его	процентам	.
Даже почитать о	процентах	негде .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение	процентов	от числа и числа по его процентам .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения	процентов	от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Сколько	процентов	от числа 500 составляет четвёртая степень числа 5 ? .
Помним лишь , что задачи на	проценты	— самые трудные .
Заглядывайте в него чаще , там вы найдёте и определение процента , и разобранные задачи на	проценты	, правила действий с обыкновенными и десятичными дробями и многое другое .
Но	проценты	.
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; формулы законов движения и работы ; формулу расчёта стоимости покупки ; формулы , выражающие скорости движения по течению и против течения реки через собственную скорость и скорость течения ; основные задачи на	проценты	.
Действительно ,	проценты	мы изучали давно и совсем недолго .
Три задачи на	проценты	. 1 )
Согласен , что задачи на	проценты	не всегда легко решаются .
Поэтому графиком этой функции является	прямая	, совпадающая с осью абсцисс .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; —	прямая	пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Задать формулой функцию , графиком которой является	прямая	, проходящая через точки А и В .
Эта	прямая	делит первый и третий координатные углы пополам .
Записать формулой функцию , график которой —	прямая	, изображённая .
Можно показать , что графиком линейной функции у является	прямая	.
Таким образом , графиком уравнения является	прямая	, проходящая через точки .
Следовательно , графиком уравнения является	прямая	, проходящая через точки .
Эта	прямая	делит второй и четвёртый координатные углы пополам .
Можно показать , что графиком любого уравнения вида является	прямая	, если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю .
Так как уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у , то графиком уравнения является эта же	прямая	.
Так как уравнение получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих уравнений является одна и та же	прямая	.
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 )	прямая	у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Эта	прямая	и является графиком функции .
Заполнить пропуски в тексте : 1 )	прямая	у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 )	прямая	у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
	Прямая	, поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Уравнение можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому графиком уравнения является	прямая	.
Можно показать , что графиком функции y при любом значении k является	прямая	, проходящая через начало координат .
Так как	прямая	определяется двумя её точками , то для построения графика функции у достаточно построить две точки этого графика .
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому графиком функции является	прямая	, параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Записать формулой функцию , график которой —	прямая	, проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 ) точку с координатами .
Графиком какой из следующих функций является эта	прямая	: у ? .
Пропорциональная зависимость	прямая	.
Если значения х положительны и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют	прямой	пропорциональной зависимостью , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной	прямой	от начала координат до точки с координатой а .
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного	прямой	и координатными осями .
Для построения	прямой	достаточно найти какие - нибудь две точки .
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много решений : координаты любой точки	прямой	являются решением данной системы .
Чему равны ординаты точек , лежащих на	прямой	АВ ? .
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о	прямой	и её построение по двум точкам .
Найти координаты точек пересечения с осями координат	прямой	.
Нужно вспомнить : построение взаимно перпендикулярных прямых ; понятие числовой	прямой	( оси ) .
Чему равны абсциссы точек , лежащих на	прямой	АВ ? .
Найти координаты точек пересечения	прямой	с осями координат .
Приложив линейку , можно убедиться , что все построенные точки лежат на одной	прямой	, проходящей через начало координат .
Что такое	прямоугольная	система координат ? .
Вы знаете , например , что такое	прямоугольная	система координат , Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Система координат	прямоугольная	.
О функции и о том , почему	прямоугольная	система координат носит имя Декарта .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то	прямоугольник	am , заключённый между этими отрезками , равен сумме прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого отрезка m » .
Вместо произведения аb назывался и рассматривался «	прямоугольник	, содержащий между отрезками а и b » .
Построить	прямоугольник	по координатам его вершин .
Прямые образуют	прямоугольник	.
Дан	прямоугольник	со сторонами а и b. Какой будет площадь нового прямоугольника , если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
Найти площадь	прямоугольника	со сторонами .
Длина	прямоугольника	на 5 см больше его ширины .
Ширина	прямоугольника	на 15 м меньше его длины .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного чисел ; понятие многоугольника ; формулы площади и периметра	прямоугольника	; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей	прямоугольника	и квадрата .
Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового	прямоугольника	будет на 32 см2 меньше площади данного .
Одна сторона	прямоугольника	равна х см , другая сторона на 3 см больше .
Найдём стороны этого	прямоугольника	.
Дан прямоугольник со сторонами а и b. Какой будет площадь нового	прямоугольника	, если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
Рассматривая площадь прямоугольника показать , что ; 3 ) Рассматривая площадь	прямоугольника	показать , что .
Если ширину увеличить на 8 м , а длину уменьшить на 6 м , то площадь нового	прямоугольника	будет на 80 м2 больше площади данного .
Сравнить площади	прямоугольника	и квадрата .
1 По каким формулам вычисляют : 1 ) площадь	прямоугольника	; квадрата ; 2 ) периметр прямоугольника ; квадрата ? .
Площадь	прямоугольника	равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см. Найти другую сторону прямоугольника .
Прямая пропорциональная зависимость площади S	прямоугольника	от его ширины х представлена таблицей .
Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого	прямоугольника	больше стороны того же квадрата на 12 м .
Сад имеет форму	прямоугольника	.
Найти длину и ширину данного	прямоугольника	.
Вам , например , знакомы алгоритмы нахождения НОК и НОД , неизвестных компонентов арифметических действий , вычисления площади	прямоугольника	и другие .
Площадь этого	прямоугольника	равна .
Найти периметр и площадь	прямоугольника	, у которого ширина меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
Обозначим площадь	прямоугольника	буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади	прямоугольника	, плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Найти площадь данного	прямоугольника	.
1 По каким формулам вычисляют : 1 ) площадь прямоугольника ; квадрата ; 2 ) периметр	прямоугольника	; квадрата ? .
Если длину	прямоугольника	увеличить на 4 см , а ширину — на 2 см , то площадь увеличится на 42 см2 .
Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого	прямоугольника	увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Упростить выражение и выяснить , при каком значении х значение выражения равно а : 1 ) Рассматривая площадь	прямоугольника	показать , что ;
Записать формулы периметра Р и площади S этого	прямоугольника	.
Ширина	прямоугольника	меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
Если основание	прямоугольника	равно k , то зависимость между высотой х и площадью у выразится формулой , где k и х — положительные числа .
Например , если а и b — длины сторон	прямоугольника	, измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
Поле имело форму	прямоугольника	, длина которого равна а километрам , ширина — b километрам .
Если её записать с помощью других букв , вы вспомните , что пользовались ею неоднократно : — формула пройденного пути s за время t при движении со скоростью v ; — формула стоимости Р покупки n единиц товара по цене с ; — формула площади S	прямоугольника	со сторонами a и b .
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и площадь	прямоугольника	со сторонами а и b , если .
Найдём площадь	прямоугольника	, основание которого равно 3 , а высота равна х.
При каком значении х периметр этого	прямоугольника	будет равен 38 см , 46 см ? .
Принадлежит ли точка диагонали этого	прямоугольника	? .
Рассматривая площадь	прямоугольника	показать , что ; 3 ) Рассматривая площадь прямоугольника показать , что .
Площадь прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см. Найти другую сторону	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а ширину уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Я поняла : Евклид	прямоугольниками	am , ab и т .
Да , Вы рассказывали о том , как доказывал распределительный закон умножения Евклид , называя буквы отрезками , а произведения двух букв —	прямоугольниками	.
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины - точки могут быть заменены , например , кругами или	прямоугольниками	, а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими отрезками , равен сумме	прямоугольников	ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого отрезка m » .
д. называл площади соответствующих	прямоугольников	! .
Поверхность стены , занятая шкафами , является	прямоугольником	.
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь	прямоугольного	треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь	прямоугольного	треугольника АОВ , где О — начало координат .
Указаны размеры дома , имеющего форму	прямоугольного	параллелепипеда .
Найти объём	прямоугольного	параллелепипеда с рёбрами .
Показана развёртка	прямоугольного	параллелепипеда без одной грани , перенесённая на картон .
Объём	прямоугольного	параллелепипеда , имеющего длину а , ширину b и высоту с , вычисляется по формуле .
Найти объём	прямоугольного параллелепипеда	с рёбрами .
Указаны размеры дома , имеющего форму	прямоугольного параллелепипеда	.
Объём	прямоугольного параллелепипеда	, имеющего длину а , ширину b и высоту с , вычисляется по формуле .
Показана развёртка	прямоугольного параллелепипеда	без одной грани , перенесённая на картон .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь	прямоугольного треугольника	АОВ , где О — начало координат .
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь	прямоугольного треугольника	, ограниченного прямой и координатными осями .
Найти длину и ширину участка	прямоугольной	формы .
По всей границе земельного участка	прямоугольной	формы поставили забор .
История создания	прямоугольной	системы координат .
Длина участка	прямоугольной	формы на 10 м больше , а ширина на 25 м меньше стороны участка , имеющего форму квадрата .
Вдоль границы участка	прямоугольной	формы , длина которого в 3 раза больше ширины , вырыли канаву длиной 240 м .
Земельная полоса шириной а м и длиной b км нарезана на k одинаковых участков	прямоугольной	формы со стороной а м .
Площадь земельного участка , имеющего форму квадрата , на 700 м2 больше площади другого участка , имеющего	прямоугольную	форму .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют	прямоугольную	систему координат на плоскости .
Построить	прямую	, проходящую через точки .
Построим точки и проведём через них	прямую	.
Как можно построить график функции При каких значениях х и k формула y выражает	прямую	пропорциональную зависимость ? .
Построить	прямую	.
Проводили новую , параллельную первой ,	прямую	и получали график функции .
прямая , поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки	прямую	.
Для построения графика функции у равно х проведём	прямую	, проходящую через точки .
Геометрически это означает , что графики уравнений системы — параллельные	прямые	.
Как расположены по отношению друг к другу	прямые	а и b , а и с ? .
Даны две	прямые	на координатной плоскости , причём каждая из них является графиком некоторого уравнения .
Показать , что	прямые	совпадают .
Графиками функций являются параллельные	прямые	.
Две взаимно перпендикулярные	прямые	с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную систему координат на плоскости .
Итак ,	прямые	пересекаются в точке ( 1 ; 2 ) .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных	прямых	( если они пересекаются ) .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных	прямых	; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Координаты точки пересечения	прямых	можно было найти с помощью графика .
Найти координаты точки пересечения	прямых	.
Нужно вспомнить : построение взаимно перпендикулярных	прямых	; понятие числовой прямой ( оси ) .
Найдём координаты точки пересечения построенных	прямых	, не используя графики .
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух	прямых	— графиков уравнений системы .
Нужно вспомнить : построение графика функции ; понятие параллельных	прямых	.
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух	прямых	на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Изображены пары параллельных	прямых	.
Какие существуют случаи взаимного расположения двух	прямых	на плоскости ? .
Описать связь взаимного расположения	прямых	и числа решений системы соответствующих уравнений .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через точку ; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди	прямых	параллельными являются .
Преодолев 3 км	пути	, он сделал остановку .
Часть пути он шёл под уклон со скоростью 42 км / ч , а остальную горизонтальную часть	пути	поезд шёл со скоростью 56 км / ч .
Часть	пути	он шёл под уклон со скоростью 42 км / ч , а остальную горизонтальную часть пути поезд шёл со скоростью 56 км / ч .
Построить график изменения	пути	данного тела в зависимости от изменения времени движения .
При движении по шоссе 1 л бензина расходуется на 15 км	пути	.
Записать формулу зависимости его	пути	s ( в километрах ) от времени движения t ( в часах ) .
Построить график этой зависимости на первых пяти километрах	пути	.
изображён график движения пешехода на прямолинейном участке	пути	из пункта В в пункт Е. Используя этот график , ответить на вопросы : 1 ) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт Б ?
На каком расстоянии от посёлка автомобиль догнал автобус , если скорость автомобиля на 40 км / ч больше скорости автобуса ( автобус в	пути	не делал остановок ) ? .
Если её записать с помощью других букв , вы вспомните , что пользовались ею неоднократно : — формула пройденного	пути	s за время t при движении со скоростью v ; — формула стоимости Р покупки n единиц товара по цене с ; — формула площади S прямоугольника со сторонами a и b .
На	пути	из Москвы в Санкт - Петербург расположен город Тверь .
Написать формулу	пути	s этого тела за t часов .
Записать формулу зависимости скорости велосипедиста v от времени t ( в часах ) нахождения его в	пути	.
Построить график	пути	в зависимости от времени .
Построив график зависимости	пути	плота от времени движения , найти по графику время , за которое плот пройдёт 6 км .
Какой путь проехал автомобилист и сколько времени он находился в	пути	? .
Первый половину всего пути шёл со скоростью 5 км / ч , а оставшуюся часть	пути	— со скоростью 3 км / ч .
Первый половину всего	пути	шёл со скоростью 5 км / ч , а оставшуюся часть пути — со скоростью 3 км / ч .
Второй половину всего пути двигался со скоростью 50 км / ч , а остальную часть	пути	— со скоростью 70 км / ч .
Второй половину всего	пути	двигался со скоростью 50 км / ч , а остальную часть пути — со скоростью 70 км / ч .
Написать формулу	пути	s , который преодолели туристы .
Второй четверть всего	пути	делал остановки через каждые 3 км , а оставшуюся часть — через каждые 6 км .
Первый половину всего	пути	делал остановки через каждые 4 км , а другую половину — через каждые 5 км .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных величин :	пути	от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества единиц товара ( при установленной цене за единицу ) , массы тела от объёма вещества и т .
Написать формулу	пути	s , проделанного туристом .
Формула устанавливает правило вычисления времени по заданному значению	пути	s.
Турист 3 км	пути	прошёл пешком и проехал на автобусе t ч со скоростью 40 км / ч .
Таким образом , формула устанавливает правило вычисления	пути	s по заданному значению времени t.
По формуле	пути	при равномерном движении получаем t , откуда .
Сколько литров горючего расходуется на 3000 ; 8000 ; 500 ; s километров	пути	? .
Самолёт расходует а литров горючего на 1000 км	пути	.
Например , при равномерном движении скорость прохождения одного и того же участка	пути	обратно пропорциональна времени .
Обратно он проехал путь под гору со скоростью 15 км / ч , а горизонтальную часть	пути	со скоростью 12 км / ч и прибыл на ферму через 58 мин после выезда из города .
Фермер проехал на велосипеде горизонтальную часть	пути	со скоростью 10 км / ч , в гору шёл пешком со скоростью 3 км / ч и прибыл в город через 1 ч 40 мин после выезда с фермы .
Записать формулу , выражающую зависимость длины	пути	s ( в км ) от времени движения t ( в ч ) .
Путь , пройденный лодкой по течению , оказался на 13,2 км длиннее	пути	, пройденного против течения .
Тело , двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном	пути	? .
Написать формулу	пути	, обозначив длину маршрута ( в км ) буквой s.
Записать формулу для нахождения времени , необходимого на преодоление оставшейся части	пути	.
Сколько километров	пути	уложено под уклон ? .
В задаче 2 время t является функцией	пути	s , и поэтому пишут .
Какова средняя скорость катера на	пути	из А в В и обратно ? .
Из пункта А в пункт В катер двигался со скоростью 20 км / ч , а на обратном	пути	из В в А — со скоростью 30 км / ч .
Так как электричка со скоростью у проехала мимо столба за 12 с , то пройденный за это время	путь	и будет равен её длине .
Выразить	путь	s , пройденный пешеходом за t часов .
Пешеход	путь	от А до В и обратно от В до А прошёл за 6 ч .
Какой	путь	проехал автомобилист и сколько времени он находился в пути ? .
Выразить	путь	s , пройденный плотом за х часов .
Какой	путь	пройдёт поезд за t часов ? .
Если обозначить искомый	путь	буквой s ( в км ) , то ответ можно записать формулой .
При движении поезда	путь	s и время £ изменяются .
Тело , двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло	путь	ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном пути ? .
Тело , двигаясь равномерно , прошло	путь	АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном пути ? .
2 ) Какой	путь	пролетел самолёт , если он израсходовал горючего 5а ; 0,1а литров ? .
Найти по графику	путь	, пройденный пешеходом за 0,5 ч , 1 ч , 1 ч 30 мин . изображены графики движения автомобиля и автобуса .
Найти по графику	путь	, пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
При увеличении скорости движения автомобиля вдвое его тормозной	путь	увеличивается в 4 раза .
Например ,	путь	, пройденный телом при движении с постоянной скоростью , прямо пропорционален времени движения .
За какое время он пройдёт	путь	, равный s километрам ? .
27 Автобус преодолевает	путь	s километров за t часов .
Тогда км / ч — скорость катера при движении по течению реки ; —	путь	, который прошёл катер по течению реки за 2 ч .
Далее , км / ч — скорость катера при движении против течения реки и км —	путь	, который прошёл катер против течения реки за 3 ч .
Например ,	путь	s является функцией времени t ; при этом пишут s(t ) равно 120 t.
Определить расстояние между городами А и В и время , затраченное туристом на	путь	из города А в город В , если он прибыл в назначенный срок .
Два пешехода прошли одинаковый	путь	.
Функция задана формулой , где s —	путь	( в км ) и t — время ( в ч ) .
Найти тормозной	путь	этих автомобилей при скорости 60 км / ч .
Обратно он проехал	путь	под гору со скоростью 15 км / ч , а горизонтальную часть пути со скоростью 12 км / ч и прибыл на ферму через 58 мин после выезда из города .
Искусственный спутник Земли движется со скоростью 8000 м / с. За какое время он пройдёт	путь	, равный 48 000 км ; 1 440 000 км ? .
При скорости 30 км / ч тормозной	путь	легкового автомобиля равен 7,2 м , а грузового — 9,5 м .
Вычислить	путь	, пройденный плотом за 1 ч , 2,5 ч , 4 ч .
Ответить на вопросы : 1 ) Какой	путь	прошёл за первые 3 ч автобус ; автомобиль ?
Во второй день турист прошёл	путь	, равный 90 % того , что он прошёл в первый день , и после небольшого отдыха прошёл ещё 2 км .
С какой скоростью должен ехать автомобиль , чтобы тот же	путь	преодолеть на 1 ч быстрее автобуса ? .
В третий день он прошёл	путь	, равный 40 % того , что было пройдено за первые два дня .
Какой	путь	пройдёт за то же время мотоцикл , если его скорость равна и километрам в час ? .
На обратный	путь	она затратила 5 ч 15 мин .
Какой	путь	прошли туристы ? .
Кто из них быстрее прошёл весь	путь	? .
Какой	путь	прошла каждая из автомашин до остановки ?
По заданным графикам движения автомобилей найти : 1 ) время от начала движения автомобилей до их встречи ; 2 )	путь	, пройденный каждым из автомобилей до их встречи ; 3 ) скорость движения каждого автомобиля .
Двигаясь равномерно , автомобиль прошёл	путь	в 120 км .
при составлении уравнения ) необходимо было знать , что скорости теплохода и реки при движении по течению складываются , а при движении против течения вычитаются , и что	путь	, делённый на скорость , есть время движения .
За 26 с электричка прошла	путь	, равный длине платформы , сложенный с её собственной длиной .
Оба приёма основаны на одинаковых принципах и ведут к одной цели , причём арифметика — частным	путём	, алгебра же — всеобщим » .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых	равенств	; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных	равенств	; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
Воспользуемся свойствами верных	равенств	.
Решения уравнений с одним неизвестным , которые сводятся к линейным , основаны на свойствах верных	равенств	.
сложить левые и правые части	равенств	) .
Из этих	равенств	следует второе правило раскрытия скобок .
При этом покажем , как применяются свойства	равенств	к решению уравнений .
В этом параграфе будут разобраны примеры использования алгебраических выражений для записи алгебраических	равенств	, уравнений и формул .
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и	равенств	.
Не выполняя вычислений , выяснить , какие из приведённых ниже	равенств	являются верными .
1 Если к обеим частям верного	равенства	прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число , то получится верное равенство .
Нужно вспомнить : понятие верного числового	равенства	; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; понятие процента ; понятие модуля числа .
Например : неверные	равенства	.
Из первого свойства следует , что слагаемое можно переносить из одной части	равенства	в другую , изменив знак этого слагаемого на противоположный .
Записать данное утверждение в виде	равенства	и найти значение х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
Теперь вычтем из первого	равенства	второе .
Сложим эти	равенства	.
Записать в виде числового	равенства	и проверить , верно ли оно : 1 ) сумма чисел равна разности чисел ;
Записать в виде	равенства	: 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их произведению .
Подставим найденные значения х и у в оба уравнения системы и выполним вычисления : Оба	равенства	верные .
Если оба	равенства	верные , то их можно сложить ( т .
А вот пара чисел х равно 2 и у равно 1 обращает в верные	равенства	оба уравнения и поэтому является решением системы .
Если равенство является верным , то верными являются	равенства	, а поэтому верно равенство .
А для системы не существует значений х , обращающих в верные	равенства	оба её уравнения .
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба	равенства	системы верны — решение системы .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного	равенства	вычесть одно и то же число , то получится верное равенство .
Оба	равенства	верные .
Разделив обе части последнего	равенства	на 4 , найдем а равно 3 .
Из	равенства	число x находится с помощью действия вычитания , которое называют обратным к действию сложения .
Перенесём 2х из левой части верного	равенства	в правую часть ; получим также верное равенство .
Приведём подобные члены в обеих частях этого	равенства	, получим .
Так как координаты ( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые	равенства	, то пара чисел ( х ; у ) должна быть решением системы .
Выражение , стоящее слева от знака	равенства	, называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
8 Записать в виде	равенства	и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Используя	равенства	.
Следовательно , нет таких значений х и у , которые обращают оба уравнения системы в верные	равенства	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое	равенства	; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Нужно вспомнить : понятие верного числового	равенства	; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
Используя	равенства	, показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Перенесём член 5а с противоположным знаком в левую часть , а член – 23 в правую часть	равенства	с противоположным знаком .
Из	равенства	число b находится с помощью действия деления , которое называют обратным к действию умножения .
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба	равенства	системы являются верными , т .
Из этого	равенства	находим .
Преобразуем правую часть	равенства	.
Разделим обе части	равенства	на , получим .
2 Если обе части верного	равенства	умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число , то получится верное равенство .
Если значения левой и правой частей	равенства	не совпадают , то равенство называют неверным .
Правая часть	равенства	оказалась равной левой части , равенство доказано .
Эти	равенства	позволяют сформулировать первое правило раскрытия скобок .
Верны ли	равенства	( Устно . )
Алгебраические	равенства	.
После деления обеих частей последнего	равенства	на а получаем .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака	равенства	, — правой частью уравнения .
Если значения левой и правой частей числового	равенства	совпадают , то равенство называют верным .
Умножив обе части этого	равенства	на b , получим верное равенство .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие	равенства	нулю произведения двух и более чисел .
2 Привести пример верного ; неверного числового	равенства	.
Отнимем от обеих частей последнего	равенства	число а2 .
Разложим левую и правую части этого	равенства	на множители .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие	равенства	нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Тогда , прибавив к обеим частям этого	равенства	, получим , откуда .
В этих	равенствах	a , b , c — любые числа .
Заменим в этом	равенстве	число у равным ему числом подставим вместо у его значение .
В	равенстве	буква х обозначает неизвестное число , или , короче , неизвестное .
Так , в	равенстве	a , b , с — любые числа ; в равенстве а и b — любые числа , x — любое число , кроме нуля .
Так , в равенстве a , b , с — любые числа ; в	равенстве	а и b — любые числа , x — любое число , кроме нуля .
5 Какие значения может принимать m в	равенстве	.
Верно ли	равенство	.
Доказать , что	равенство	является верным только при .
Доказать , что	равенство	х является верным только тогда , когда .
Доказать , что если x , y , r положительны , то	равенство	является верным только тогда , когда .
Найти все значения х , при которых верно	равенство	.
Показать , что данное	равенство	можно записать в виде .
Перенесём 2х из левой части верного равенства в правую часть ; получим также верное	равенство	.
Используя основное свойство дроби , заменить букву а алгебраическим или числовым выражением так , чтобы	равенство	было верным .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х , при котором	равенство	верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
Правая часть равенства оказалась равной левой части ,	равенство	доказано .
Напомним , что по предположению х и у — такие числа , что это	равенство	является верным .
Последнее	равенство	является верным при любом значении х. Следовательно , любое значение х является корнем уравнения .
Доказать	равенство	.
Проверить , обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное	равенство	.
Тогда снова получим верное	равенство	, так как к равным числам прибавляются равные числа , откуда х равно 5 .
Проверить , верно ли	равенство	.
При уравнение обратилось в верное	равенство	, следовательно , х равно 3 — единственный корень уравнения .
Иногда полезно применить	равенство	.
По свойствам умножения чисел можно записать следующее	равенство	.
Решаем это уравнение : Подставляя у равно 6 в	равенство	, находим .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число , то получится верное	равенство	.
Подставляя х равно 1 в	равенство	, получаем .
Доказать , что при всех допустимых значениях а , b , х и у ( n — натуральное число ) верно	равенство	.
При каком значении n верно	равенство	.
При каких значениях х уравнение обращается в верное	равенство	.
Если	равенство	является верным , то верными являются равенства , а поэтому верно равенство .
Корнем уравнения называется то значение неизвестного , при котором это уравнение обращается в верное	равенство	.
Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое	равенство	.
При решении задачи 1 была найдена пара чисел х равно 2 , у равно 3 , при которых уравнение равно 41 обращается в верное числовое	равенство	.
Например , пары также обращают уравнение в верное	равенство	.
а — такое число , при котором уравнение обращается в верное	равенство	.
Например , число 1 является корнем уравнения , так как — верное	равенство	.
По условию задачи выполняется	равенство	в котором х и у — неизвестные целые неотрицательные числа .
Какое	равенство	называют уравнением ? .
Найти все пары целых чисел х и у , при которых справедливо	равенство	.
Имеем верное числовое	равенство	.
Если значения левой и правой частей равенства не совпадают , то	равенство	называют неверным .
Доказать , что при любых значениях x и у верно	равенство	.
Умножив обе части этого равенства на b , получим верное	равенство	.
д. Например , уравнение имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное	равенство	, а при других значениях х левая часть уравнения не равна нулю .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное	равенство	второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают , то	равенство	называют верным .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное	равенство	первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
Если модуль числа а мал по сравнению с 1 ( например , число а2 тем более мало , и поэтому	равенство	можно заменить приближённым равенством .
Два алгебраических выражения , соединённые знаком « равно » , образуют алгебраическое	равенство	.
Рассмотрим	равенство	, где а и b отличны от нуля .
Вместо знака записать такое число , чтобы полученное	равенство	было верным .
2 Является ли верным равенство , если известно , что верно	равенство	? .
Два числовых выражения , соединённые знаком « равно » , образуют числовое	равенство	.
Если равенство является верным , то верными являются равенства , а поэтому верно	равенство	.
1 Дано верное	равенство	c положительными левой и правой частями .
2 Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число , то получится верное	равенство	.
Аналогично доказывается	равенство	.
В	равенство	вместо b подставим его выражение , а это число делится на 7 .
Получим также верное	равенство	, откуда .
В результате также получится верное	равенство	.
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное	равенство	.
Показать , что данное	равенство	можно записать так .
Можно проверить , что два числа х и у обращают каждое из уравнений системы в верное	равенство	.
2 Является ли верным	равенство	, если известно , что верно равенство ? .
Доказать , что ни при каких целых х и у	равенство	не является верным .
Например , верное	равенство	, так как значения его левой и правой частей совпадают и равны 8 .
Например , трудно догадаться , что уравнение обращается в верное	равенство	при х равно 7 .
9 Не выполняя действий , объяснить , почему является неверным	равенство	.
Итак , при это уравнение обращается в верное числовое	равенство	.
При каких значениях а и b приближённое	равенство	используют для вычислений ? .
Фигурная скобка , стоящая слева , показывает , что нужно найти такую пару чисел ( х ; у ) , которая обращает каждое уравнение в верное	равенство	.
Если модуль числа а мал по сравнению с 1 ( например , число а2 тем более мало , и поэтому равенство можно заменить приближённым	равенством	.
Периметр	равнобедренного	треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
Периметр	равнобедренного треугольника	равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
В	равнобедренном	треугольнике основание составляет 0,4 боковой стороны .
В	равнобедренном треугольнике	основание составляет 0,4 боковой стороны .
« Треугольник » коэффициентов похож на	равнобедренный	.
Записать в стандартном виде : 1 ) число километров , выражающее расстояние от Земли до Солнца и равное 150 млн км;2 ) число метров , выражающее	радиус	Земли и равное 6 370 000 м .
Найти объём V этой детали , если объём шара находится по формуле , где R —	радиус	шара .
Так , расстояние от Земли до Солнца , примерно равное 150 млн км , записывают в виде 1,5 · 108 км ;	радиус	земного шара , приближённо равный 6,37 млн м , — в виде 6,37 · 106 м , а расстояние от Земли до ближайшей звезды ( альфа Центавра ) — в виде 4 · 1013 км .
Длина окружности радиуса R выражается формулой площадь круга	радиуса	R выражается формулой .
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что площадь круга является функцией его	радиуса	( площадь круга они приближённо вычисляли по формуле ) .
Длина окружности	радиуса	R выражается формулой площадь круга радиуса R выражается формулой .
Стальная деталь имеет форму шара	радиуса	а с полостью в форме шара радиуса .
Стальная деталь имеет форму шара радиуса а с полостью в форме шара	радиуса	.
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель дроби ( на сколько частей	разделено	целое ) и числитель дроби ( сколько частей взято ) .
Доказать , что если число , будучи	разделено	на 9 , даёт в остатке 1 или 8 , то квадрат этого числа , делённый на 9 , даёт в остатке 1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Пять братьев	разделили	после отца наследство поровну .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму	разделите	на 3 и вычтите задуманное число .
Для этого сложите зарплаты всех работников и	разделите	полученную сумму на число работающих на предприятии .
при делении на 3 число либо	разделится	на 3 , либо даст в остатке одно из чисел 1 или 2 .
Что нужно сделать , чтобы	разделить	многочлен на одночлен ? .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , нужно делимое умножить на число , обратное делителю .
Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена	разделить	на этот одночлен и полученные результаты сложить .
Умножить и	разделить	данное выражение на , затем 5 раз применить формулу , получится .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или	разделить	на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
Если его умножить на 4 , к произведению прибавить 8 и полученную сумму	разделить	на 2 , то получится 10 .
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	разделить	на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Итак , для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель	разделить	на их общий множитель , считая , что он не равен нулю .
Чтобы найти число по данному значению его дроби , нужно это значение	разделить	на дробь .
Чтобы	разделить	многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить .
Свойство 2 Обе части уравнения можно умножить или	разделить	на одно и то же число , не равное нулю .
Чтобы	разделить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе .
Чтобы	разделить	десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное число .
2 Если обе части верного равенства умножить или	разделить	на одно и то же не равное нулю число , то получится верное равенство .
В этой главе вы узнали , что такое : —	разложение	многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
На основании каких свойств действий сложения и умножения выполняется	разложение	многочлена на множители способом группировки ? .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в	разложение	одного из данных чисел ;
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в	разложение	других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Что мне даёт	разложение	двучлена на множители ? .
Например ,	разложение	многочлена на множители можно выполнить так : 1-й способ ; 2-й способ .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ;	разложение	многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в	разложение	одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять	разложение	многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Это действие называется	разложением	многочлена на множители .
Представление числа 7501 в виде суммы называют	разложением	этого числа по разрядам .
С	разложением	многочлена на множители способом группировки вы и познакомитесь в этом параграфе .
При	разложении	многочленов на множители иногда используется не один , а несколько способов .
Эти примеры показывают , что при	разложении	многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок : 1 ) вынести общий множитель за скобку ( если он есть ) ;
решать задачу о	разложении	многочлена на множители .
Иногда эти формулы применяются при	разложении	многочленов на множители .
Она применяется при	разложении	многочленов на множители , например .
Иногда при	разложении	алгебраического выражения на множители за скобки выносят многочлен .
добавить к ним недостающие множители из	разложений	остальных чисел ; 14 ) найти произведение получившихся множителей .
Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда применяются к	разложению	многочленов на множители , например .
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для	разложения	бинома , где а — любое , не только натуральное число .
Правильность	разложения	многочлена на множители можно проверить умножением полученных множителей .
Рассмотрим пример	разложения	на множители многочлена , состоящего из шести членов .
В параграфе обосновываются формулы	разложения	на множители суммы кубов и разности кубов .
Как проверить правильность выполнения	разложения	многочлена на множители ? .
Применение нескольких способов	разложения	многочлена на множители .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы	разложения	многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Формула	разложения	бинома действительно носит имя Ньютона , и вполне заслуженно .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы	разложения	многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства степеней ; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы	разложения	многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Но после	разложения	на множители левой части , например , уравнения не являющегося линейным , вы сможете решить и его .
Сформулировать алгоритм	разложения	многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки .
Показано применение комбинации приёмов	разложения	многочленов на множители .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы	разложения	многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Назвать последовательность попыток	разложения	многочлена на множители .
знали формулу	разложения	, где n — любое натуральное число .
Перечислить этапы	разложения	многочлена на множители способом группировки .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 )	разложить	каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Однако этот многочлен можно	разложить	на множители , если сгруппировать попарно члены многочлена так .
Чтобы	разложить	многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить члены многочлена в такие группы , которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
попробовать	разложить	многочлен на множители по формулам сокращённого умножения ;
Итак , чтобы	разложить	многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки , нужно : 1 ) найти этот общий множитель ;
Иногда удаётся	разложить	на множители многочлен , все члены которого не имеют общего множителя , но у отдельных групп которого общие множители имеются .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 )	разложить	каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Равенства называют формулами суммы и	разности	кубов .
Прочитать формулы суммы и	разности	кубов чисел m и n .
2 Записать в виде числового выражения : 1 ) произведение суммы и	разности	чисел ;
После этого попросите в полученной	разности	зачеркнуть любую одну цифру и сообщить вам две оставшиеся .
Здесь сначала использовалась формула разности квадратов , затем были применены формулы квадрата суммы и	разности	.
Зная же формулу	разности	квадратов вычисления можно провести даже устно .
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 ) куба	разности	двух чисел .
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности квадратов двух чисел , квадратов суммы и	разности	двух чисел и др.
4 Создать геометрическое обоснование формулы квадрата	разности	.
Используя формулы куба суммы или куба	разности	двух чисел , выполнить действие .
2 ) квадрата	разности	двух чисел ; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 ) куба разности двух чисел .
Вы познакомитесь в этой главе с формулами	разности	квадратов двух чисел , квадратов суммы и разности двух чисел и др.
Формулы квадратов и кубов суммы (	разности	) чисел часто используются в приближённых вычислениях .
	Разности	чисел 1048 и 945 ? .
Формулы называют формулами куба суммы и куба	разности	.
Формулы квадрата суммы и квадрата	разности	иногда применяются к разложению многочленов на множители , например .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой	разности	чисел 3x и 2y .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное	разности	чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
Формулы квадрата суммы и квадрата	разности	называют также формулами сокращённого умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений , например .
У кубов чисел 2 , 3 , 7 , 8 последняя цифра равна	разности	десяти и числа , которое возводилось в куб .
Квадрат	разности	двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Рассмотрим квадрат	разности	двух чисел .
Найдите двузначное число , первая цифра которого равна	разности	между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
В параграфе показано применение формул квадрата суммы и квадрата	разности	для приближённых вычислений , демонстрируется геометрическое обоснование этих формул .
В параграфе обосновываются формулы разложения на множители суммы кубов и	разности	кубов .
Квадрат	разности	.
Нужно вспомнить : формулу	разности	квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Так вот , найденные при археологических раскопках древневавилонские тексты свидетельствуют о том , что с формулой	разности	квадратов учёные были знакомы 4000 лет назад .
4 ) произведение суммы чисел а и b и их	разности	.
А мне понравилось доказательство формулы	разности	квадратов с помощью рисунка .
Здесь было использовано два способа : вынесение общего множителя за скобки и применение формулы	разности	квадратов .
Здесь сначала использовалась формула	разности	квадратов , затем были применены формулы квадрата суммы и разности .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности квадратов чисел а и b , а знаменатель — квадрату	разности	этих чисел .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен	разности	квадратов чисел а и b , а знаменатель — квадрату разности этих чисел .
В этом примере используется способ группировки , формула	разности	квадратов и вынесение общего множителя за скобки .
Только что изученная формула	разности	квадратов поможет нам решить ещё одну полезную задачу на делимость чисел .
Записать : 1 ) произведение числа с и	разности	чисел a и b ; 2 ) сумму числа а и произведения чисел c и d .
Формула	разности	квадратов относится к группе так называемых формул сокращённого умножения .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и	разности	квадратов двух чисел .
Чему равно произведение	разности	чисел m и n на их сумму ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы (	разности	) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее	разности	чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Записать в виде числового равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) сумма чисел равна	разности	чисел ;
Прочитать формулу	разности	квадратов двух чисел .
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину	разности	чисел c и d ; 3 ) сумму числа 12 и произведения чисел а и b ; 4 )
Используя формулы суммы или	разности	кубов , упростить .
Найти два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их	разности	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы	разности	и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Найти два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их	разности	, а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
Формулу называют формулой	разности	квадратов .
Привести пример упрощения вычислений с помощью формулы	разности	квадратов .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и	разности	чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы	разности	квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
обосновать формулу	разности	квадратов двух чисел .
Разность квадратов двух чисел равна произведению	разности	этих чисел и их суммы .
21 Формула	разности	квадратов .
Верно ли утверждение : 1 ) если	разность	двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Здесь я обозначил большее из двух натуральных чисел буквой n , а	разность	буквой k .
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от деления суммы чисел n и m на их	разность	;
Доказать , что	разность	делится на 31 .
Записать : 1 ) удвоенную	разность	чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от деления суммы чисел n и m на их разность ;
удвоенная	разность	чисел 10 и – 2 в три раза больше суммы этих же чисел ; 4 )
Например , в записи число а — уменьшаемое , b — вычитаемое , с —	разность	.
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 )	разность	чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Доказать , что полученная	разность	делится на 9 и на 11 .
Доказать , что	разность	квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
Ученик задумал два числа и сказал , что сумма этих чисел равна 10 , а их	разность	равна 4 .
Выражение —	разность	двух одночленов аb и с2 или сумма одночленов .
Найти	разность	дробей .
Вычислить : Найти сумму и	разность	многочленов .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 )	разность	чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Разделить	разность	многочленов .
При рассмотрении этой темы вы научитесь складывать многочлены и находить их	разность	.
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную	разность	чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Это действие даёт возможность находить сумму и	разность	дробей с разными знаменателями .
Иногда сумму или	разность	многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и вычитанием чисел ) .
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а	разность	числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если	разность	двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Если	разность	этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Составить	разность	данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Ты фактически доказал , что	разность	кубов данных в задаче чисел при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Найти значение х , при котором	разность	выражений равна выражению .
Найти сумму и	разность	многочленов .
В алгебре часто рассматриваются алгебраические выражения , представляющие собой сумму или	разность	одночленов .
Доказать , что	разность	кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
Умножим сумму двух чисел на их	разность	.
Найти « столбиком »	разность	многочленов .
Преобразовывая , например , выражение после раскрытия скобок , вы находили , по сути ,	разность	многочленов .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить	разность	полученных пятизначных чисел .
Результат вычитания называют	разностью	.
Смотри , как красиво получается , если каждую дробь вида заменить	разностью	.
Сложение столбиком начинается с	разряда	единиц .
( единица в левой части уравнения перенесена из	разряда	единиц после суммирования ) .
Аналогично составляем уравнение для	разряда	десятков .
Представление числа 7501 в виде суммы называют разложением этого числа по	разрядам	.
Корень этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в	разряде	десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
Аналогичными рассуждениями приходим к выводу , что в	разряде	сотен должна стоять цифра 2 .
При этом каждый род войск представлен офицерами всех шести	рангов	.
Можно ли этих офицеров выстроить в каре 6×6 так , чтобы в любой колонне и в любой шеренге были офицеры всех	рангов	? » .
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно	раскрыть скобки	и привести подобные члены .
Какое наибольшее число различных вариантов	распределения	медалей могли выдвинуть болельщики ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . —	рационально	и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного числа элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Найти	рациональным	способом значение выражения .
Таким образом , использование свойств действий позволяет предварительно упростить алгебраическое выражение , а затем вычислить его значение более	рациональным	способом .
Этот пример показывает , что с помощью свойств действий можно проводить вычисления наиболее простым (	рациональным	) способом .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное число , называют	рациональным	числом .
Любое целое число а является	рациональным	, так как .
Вычислить	рациональным	способом .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное число , называют	рациональным числом	.
В этом параграфе будут обобщены ранее изученные свойства действий с числами и показаны способы их применения для	рациональных	вычислений и упрощения выражений .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба , длина	ребра	которого равна : Записать произведение в виде степени .
Какую часть объёма куба составляет куб , ребро которого составляет часть	ребра	первого куба ? .
Какую часть объёма куба составляет куб ,	ребро	которого составляет часть ребра первого куба ? .
Каждое	ребро	этого графа определяет искомую пару элементов .
Известно , что куб ,	ребро	которого равно 1 м , ( так называемый кубический метр ) , вмещает около 15 млн зёрен пшеницы .
Число в 2 раза больше , чем число рёбер , так как при таком подсчёте каждое	ребро	учитывается дважды .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ;	решение	линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
е . ( х ; у ) —	решение	системы .
Однако предложенная задача имеет единственное	решение	, так как по условию задачи числа а и b однозначные ( они являются цифрами в двузначном числе ) .
Научитесь с помощью графиков уравнений быстро определять : какая система имеет единственное	решение	, какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много решений .
Значит , при любом а ≠ 3 система имеет	решение	.
Предположив , что система имеет	решение	, мы получили , что х равно 1 , у равно 2 и других решений нет .
Часто	решение	уравнения с двумя неизвестными записывается в виде пары чисел в круглых скобках .
При этом	решение	задачи обычно состоит из трёх этапов : 1 ) составление уравнения по условиям задачи ; 2 ) решение уравнения ;
При этом решение задачи обычно состоит из трёх этапов : 1 ) составление уравнения по условиям задачи ; 2 )	решение	уравнения ;
Хотя я и подсмотрела в задачнике	решение	, но поняла всё сразу .
Однако при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближённое	решение	.
Итак ,	решение	системы , т .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ;	решение	линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ;	решение	линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ;	решение	систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Подобрать такие значения а и с , чтобы система уравнений имела : 1 ) единственное	решение	;
Применение уравнений позволяет упростить	решение	многих задач .
Это	решение	можно записать в виде числового выражения , значение которого равно 2 .
Итак , если система имеет	решение	, то этим решением может быть только пара чисел : х равно b , у равно 4 .
2 ) имеет единственное	решение	?
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; приведение подобных членов ;	решение	линейных уравнений с одним неизвестным ; действия с многочленами .
Система имеет единственное	решение	.
Тогда система уравнений имеет единственное	решение	.
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба равенства системы верны —	решение	системы .
Тогда я покажу вам	решение	задачи , в которой ограничения на значения неизвестных накладываются из - за того , что цифр всего десять .
Привести пример системы двух линейных уравнений : 1 ) имеющей единственное	решение	; 2 )
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие алгебраической суммы ;	решение	линейных уравнений с одним неизвестным .
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы уравнения чаще всего имеют бесконечно много решений , но ряд практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное число решений , либо единственное	решение	.
Показать графически , что система уравнений имеет единственное	решение	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; —	решение	уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с уравнением образовало систему : 1 ) имеющую единственное	решение	;
При каких значениях а данная система имеет единственное	решение	? .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; —	решение	системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
говорил : « Основная задача алгебры —	решение	уравнений » .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ;	решение	систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное	решение	, несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Но	решение	и исследование уравнений ( записанных в общем виде ) невозможно без навыков работы с многочленами .
Что называют	решением	системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ? .
Что называют	решением	линейного уравнения с двумя неизвестными ? .
Проверить , что числа являются	решением	системы .
Такие задачи называются комбинаторными , а раздел математики , занимающийся	решением	этих задач , — комбинаторикой .
Известно , что пара чисел х равно 1 , у равно 2 является её	решением	.
Осталось убедиться , что эта пара чисел на самом деле является	решением	системы , осталось показать , что при х равно 1 , у равно 2 оба уравнения системы становятся верными равенствами .
Теперь нужно убедиться в том , что х равно 5 , y равно 4 в самом деле являются	решением	системы .
Известно , что пара чисел х равно 5 , у равно 2 является её	решением	.
Узнаете , что называют	решением	системы уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений .
Из следующих пар чисел выбрать ту , которая является	решением	данной системы .
Итак , если система имеет решение , то этим	решением	может быть только пара чисел : х равно b , у равно 4 .
Какая из пар чисел является	решением	системы ? .
Какая из пар чисел является	решением	уравнения ? .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ,	решением	которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
Так как координаты ( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые равенства , то пара чисел ( х ; у ) должна быть	решением	системы .
Предложу вам отдохнуть за	решением	чуть более сложных ребусов .
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много решений : координаты любой точки прямой являются	решением	данной системы .
А вот пара чисел х равно 2 и у равно 1 обращает в верные равенства оба уравнения и поэтому является	решением	системы .
Проверить , является ли пара чисел х равно 2 и у равно 1	решением	системы уравнений .
Эта пара чисел называется	решением	данного уравнения .
Пару чисел называют	решением	системы .
При	решении	этой задачи были использованы следующие основные свойства уравнений .
При	решении	уравнения в задаче 2 найдены все решения — это пары чисел х , где х — любое число .
Метод ложного положения в	решении	уравнений .
При	решении	задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет знак деления ) , состоящая из чисел , соединённых знаками арифметических действий .
Удобство использования таблицы вариантов для подсчёта различных комбинаций из двух элементов рассмотрим при	решении	задач .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при	решении	уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Гениальный французский учёный Рене Декарт с помощью созданного им метода координат помог естествоиспытателям в	решении	проблем изображения в любом месте плоскости различных объектов с учётом их местоположения .
В	решении	этой задачи никаких особо оригинальных приёмов применять не нужно .
При	решении	многих практических задач часто для обозначения чисел используются буквы .
После выполнения упражнения 338 я понял , что умение раскладывать многочлен на множители помогает в	решении	задач на делимость .
В этом параграфе рассказывается о создании математических моделей реальных явлений , а также о главном предназначении уравнений —	решении	практических задач .
Помните , во II главе я начал вам рассказывать о	решении	неопределённых уравнений с двумя неизвестными вида , которые Диофант в III в . решал в целых числах .
Какой смысл в	решении	подобных задач ? .
При	решении	этой задачи пытаются найти общий множитель , содержащийся во всех членах многочлена .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при	решении	уравнений и прикладных задач .
при	решении	задачи 4 из таких комбинаций оказалось 27 , и при переборе можно было упустить какую - нибудь из них .
При	решении	задачи данный одночлен был записан в более простом виде .
При	решении	задачи 1 была найдена пара чисел х равно 2 , у равно 3 , при которых уравнение равно 41 обращается в верное числовое равенство .
при	решении	полученного уравнения ) потребовалось применить изученные в предыдущем параграфе свойства уравнений .
При	решении	уравнения с одним неизвестным ( как , например , в задачах 2 и 3 ) переходят от данного уравнения к более простому , имеющему те же корни .
При	решении	задачи было получено выражение которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число , чисел 3 и 6 , знаков действий и скобок .
Идеи Эйлера , реализованные при	решении	задачи , послужили основой теории , названной двести лет спустя теорией графов .
При	решении	задачи получилось выражение .
А какие уравнения нужно составлять при	решении	, например , такого ребуса .
При	решении	различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида .
Умение раскладывать многочлены на множители имеет важное значение при	решении	уравнений .
Этот способ либо даёт приближённые значения	решений	системы , либо помогает определить , сколько решений имеет система .
Этот способ либо даёт приближённые значения решений системы , либо помогает определить , сколько	решений	имеет система .
Про такую систему говорят , что она не имеет	решений	.
При а равно 3 второе уравнение системы не имеет	решений	.
Тогда система уравнений не имеет	решений	.
Полученное уравнение имеет бесконечное множество	решений	среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Показать , что система уравнений не имеет	решений	.
При каких значениях параметра а система уравнений не имеет	решений	?
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет	решений	.
И если хотя бы одно из уравнений системы будет иметь такой вид , очевидно , что и вся система не будет иметь	решений	.
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых	решений	шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Тогда система уравнений имеет бесконечно много	решений	.
Хочу обратить ваше внимание на те случаи , когда система уравнений не имеет	решений	.
Это происходит , когда уравнения системы не имеют общих решений или когда хотя бы одно из её уравнений не имеет	решений	.
2 ) бесконечно много решений ; 3 ) не имела	решений	.
То есть система не имеет	решений	при а равно 3 .
Научитесь с помощью графиков уравнений быстро определять : какая система имеет единственное решение , какая не имеет	решений	, а какая имеет бесконечно много решений .
2 ) бесконечно много	решений	; 3 ) не имела решений .
имеющую бесконечно много	решений	;
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы уравнения чаще всего имеют бесконечно много решений , но ряд практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное число	решений	, либо единственное решение .
Научитесь с помощью графиков уравнений быстро определять : какая система имеет единственное решение , какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много	решений	.
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много	решений	: координаты любой точки прямой являются решением данной системы .
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы уравнения чаще всего имеют бесконечно много	решений	, но ряд практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное число решений , либо единственное решение .
3 ) не имеющую	решений	.
При каких значениях а система уравнений : 1 ) не имеет	решений	;
имеющей бесконечно много	решений	.
не имеющей	решений	;
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько	решений	, бесконечно много решений или не имеет решений .
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых	решений	четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много	решений	или не имеет решений .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех	решений	линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Описать связь взаимного расположения прямых и числа	решений	системы соответствующих уравнений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число	решений	системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Показать , что система уравнений имеет бесконечно много	решений	.
Это происходит , когда уравнения системы не имеют общих	решений	или когда хотя бы одно из её уравнений не имеет решений .
Нередко в жизни и практике возникают ситуации , когда задача имеет не одно , а несколько	решений	, которые нужно сравнить , а затем выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации .
Предположив , что система имеет решение , мы получили , что х равно 1 , у равно 2 и других	решений	нет .
Рассмотрим задачу , приводящую к	решению	линейного уравнения с двумя неизвестными .
При этом покажем , как применяются свойства равенств к	решению	уравнений .
« Исчисление кучи » , применённое в папирусе , примерно соответствует нашему	решению	текстовых задач с помощью линейных уравнений .
Преобразование таблицы к « треугольному виду » — в левом верхнем углу записан 0 — давало возможность переходить к	решению	одного уравнения с одним неизвестным , а затем подстановкой находить другое неизвестное .
Вы и не догадывались , что готовитесь к	решению	уравнений .
Перейдём теперь к	решению	уравнения .
Подходы к	решению	задач о делимости суммы степеней на некоторое число .
Решение многих практических задач сводится к	решению	уравнений , которые можно преобразовать в уравнение вида , где а и b — заданные числа , х — неизвестное .
Рассмотренный способ	решения	системы называется способом подстановки .
Но Вы хотели рассказать нам ещё об одном методе	решения	уравнений .
Составить выражение для	решения	задачи и провести вычисления при m равно 30 , n равно 25 , k равно 60 .
Иногда после	решения	системы приходится провести ещё некоторые рассуждения или вычисления .
Вы научитесь выделять этапы	решения	задачи .
Общие методы	решения	уравнений мы пока , наверное , не сможем найти , но интересные задачи порешаем с удовольствием .
Объяснить необходимость выполнения третьего этапа	решения	задач с помощью уравнений .
Однако в этих трудах отсутствовали символы :	решения	всех задач с вычислениями записывались полностью словами .
Составить выражение для	решения	этой задачи .
Старинные задачи и способы их	решения	.
Алгебра первоначально развивалась из - за необходимости	решения	практических задач , в которых по известным величинам нужно было найти неизвестную .
Сформулировать алгоритм	решения	системы уравнений способом подстановки .
1 Назвать основные этапы	решения	текстовой задачи .
Хочу ещё посоветовать вам поискать описание	решения	систем линейных уравнений методом двух ложных положений .
Постепенно развивалась и теория	решения	уравнений , которая в наше время является чёткой и стройной .
Составлялись уравнения для	решения	задач , связанных с земледелием , строительством , торговлей и пр.
В знаменитом древнекитайском трактате « Математика в девяти книгах » можно найти даже правила	решения	некоторых систем .
Такие задачи исторически развивали язык алгебры и совершенствовали методы	решения	уравнений .
Перечислить этапы	решения	текстовой задачи с помощью системы уравнений .
Нужно вспомнить : понятие	решения	системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных способов	решения	систем уравнений — способом подстановки .
О важности навыков	решения	уравнений писал ещё в IX в .
Хочу , во - первых , чтобы вы знали , что и по сей день ещё нет общих методов	решения	таких уравнений ( может быть , когда - нибудь их найдёте вы ) .
Итак , для	решения	системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы	решения	текстовой задачи с помощью уравнения .
После записи каждой пары имён мальчиков , идущих на матч ( по результатам	решения	задачи 1 таких пар 3 ) , будем записывать новую пару , полученную перестановкой в ней букв ( обозначающую результат пересаживания мальчиков со своего места на другое ) .
Сформулировать алгоритм	решения	системы линейных уравнений способом алгебраического сложения .
Изучив эту главу , вы сможете составить уравнение ( математическую модель ) для	решения	этих , а также многих других задач , научитесь преобразовывать уравнения и легко их решать .
В этом параграфе вы узнаете алгоритм	решения	уравнения , которое после преобразований принимает вид линейного .
Решить систему уравнений — это значит найти все её	решения	или установить , что их нет .
глубокой древности люди начали решать задачи с неизвестными количествами и описывать словами способы их	решения	.
Таким образом , наша задача имеет два	решения	( как и составленное по её условию уравнение ) .
Профессор , использовались ли в древности многочлены для	решения	практических задач ? .
Для	решения	задач , аналогичных задачам 1 и 2 , можно пользоваться следующим правилом , которое получило в комбинаторике название « Правило произведения » .
Графический способ	решения	систем уравнений .
Графический способ	решения	систем уравнений является иллюстративным , вспомогательным к ранее освоенным вами способам подстановки и сложения .
Попробуйте теперь творчески применить результат	решения	предыдущей задачи для следующей задачи .
Для	решения	комбинаторных задач существуют разные средства , исключающие возможность потери какой - либо комбинации элементов .
Для того чтобы обосновать известный из курса математики 5–6 классов способ	решения	уравнений , проведём рассуждения на конкретном примере .
3 Сформулировать алгоритм	решения	уравнений , сводящихся к линейным .
Однако при графическом способе	решения	системы уравнений обычно получается приближённое решение .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность	решения	задачи .
Исследование многочленов составляет основу теории	решения	различных уравнений — важнейшей содержательной линии курса алгебры .
На первом этапе	решения	задачи ( т . е .
Записать все	решения	уравнения .
Использование букв позволяет записать ход	решения	многих задач одного и того же типа .
Тогда же был изобретён аналогичный метод для	решения	систем .
Она зародилась более 200 лет назад в ходе	решения	занимательных головоломок и комбинаторных задач .
Суть его вы поймёте из	решения	уравнения .
С основными типами комбинаторных задач , а также со способами их	решения	вы и познакомитесь в этой главе .
Рассмотренный способ	решения	системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы .
Помните , я рассказывал вам о методе ложного положения , которым пользовались в Средние века для	решения	одного линейного уравнения ?
Для	решения	этого уравнения брали наименьшее натуральное число , от которого третья часть — целое число .
При решении уравнения в задаче 2 найдены все	решения	— это пары чисел х , где х — любое число .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического сложения оказывается удобным для	решения	системы в том случае , когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Да , я хотел рассказать о совсем старом способе	решения	некоторых уравнений , описанном ещё в древних папирусах .
Попробуйте - ка обосновать справедливость такого метода	решения	данного уравнения .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются	решениями	всей системы .
Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными	решениями	В. Д. Чистяков .
Пары чисел х , где х может принимать любое значение , являются	решениями	уравнения .
Найти все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются	решениями	уравнения .
Найти все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются	решениями	уравнения : ( Устно . )
— М. : Наука , 2001 или на сайте http:// ilib.mirrorl.mccme.ru/. Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными	решениями	В. Д. Чистяков .
Например ,	решениями	уравнения могут быть как числа 12 и 13 , так и числа 10 и 15 .
В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с	решениями	.
В каждую из трёх ваз : хрустальную ( х ) , керамическую ( к ) и стеклянную ( с ) пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов : из	роз	( р ) и гвоздик ( г ) .
Маше на день рождения подарили три букета цветов : из	роз	( р ) , астр ( а ) и гвоздик ( г ) .
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы уравнения чаще всего имеют бесконечно много решений , но	ряд	практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное число решений , либо единственное решение .
Некто пришёл в	ряд	, купил игрушек для малых ребят : за первую игрушку заплатил часть всех своих денег , за другую — остатка от первой покупки , за третью игрушку заплатил остатка от второй покупки .
Маленькая девочка Оля из этих карточек составляет трёхбуквенные слова , выкладывая 3 карточки в	ряд	случайным образом .
Сколькими способами можно расставить в	ряд	эти книги так , чтобы книги одного автора ( в любой последовательности ) стояли рядом ? .
Занимаясь научной работой в Голландии , где он прожил 20 лет , Декарт сделал	ряд	открытий не только в математике .
Антон , Борис , Виктор и Пётр купили 4 билета в театр на 1 , 2 , 3 и 4-е места первого	ряда	.
Антону , Борису и Виктору повезло , и они купили 3 билета на футбол на 1 , 2 и 3-е места первого	ряда	стадиона .
В некоторых англоязычных странах на улицах	ряда	городов отсутствуют дома с этим номером , а в домах — квартиры 13 .
Антон , Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1 , 2 и 3-е места первого	ряда	.
Анна ( А ) , Белла ( Б ) и Вера ( В ) купили билеты в кинотеатр на 1 , 2 и 3-е места первого	ряда	.
Три друга — Антон , Борис и Виктор — приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого	ряда	стадиона .
22 В кинотеатре m	рядов	по n мест в каждом и ещё k откидных мест .
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в	ряду	натуральных чисел , есть нечётное число .
25 Найти в	ряду	натуральных чисел : 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в	ряду	натуральных чисел ) чётное число : при n равно 6 число .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в	ряду	натуральных чисел , не делится на 3 .
Скажи , а как расположены числа n в	ряду	натуральных чисел ? .
Найти : Сколько	рёбер	имеет полный граф ( каждая вершина соединена с каждой ) , если количество его вершин n , где : 1 ) n равно 12 ; 2 ) n равно 37 ? .
Следовательно , число искомых пар (	рёбер	графа ) .
Очевидно , стрелок в 2 раза больше , чем	рёбер	, 12 .
Число в 2 раза больше , чем число	рёбер	, так как при таком подсчёте каждое ребро учитывается дважды .
Граф имеет 6	рёбер	, значит , и партий было сыграно 6 .
Сколько	рёбер	имеет полный граф , у которого 25 вершин ? .
Из каждой вершины выходят	рёбер	.
2 Найти число	секунд	в часе ; в сутках .
Продолжая плыть против течения еще t	секунд	после момента встречи , он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи .
Думаю , что	секунд	через 5 точно скажешь , если к проведению фокуса подготовишься заранее .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число	секунд	в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
13 Сколько минут : 1 ) в 7 ч 30 с ; 2 ) в m часах ; 3 ) в р	секундах	; 4 ) в m часах , минутах и р секундах ? .
Числовое значение расстояния h ( выраженного в метрах ) , которое пролетает свободно падающее тело за время t ( выраженное в	секундах	) от начала падения , на практике часто вычисляют по формуле .
Через	секунду	я точно не скажу , какое число было задумано .
Через	секунду	ты можешь сказать , что было задумано число 47 .
Помним , что эта греческая буква называется «	сигма	концевая » и что Диофант жил в III в . , но не знаем , почему он использовал именно эту букву ? .
То , что мы обозначили бы буквой х , он обозначал ς ( греческая буква «	сигма	концевая » ) .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей	симметрии	квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Я же говорил , что есть	симметрия	в записях многочленов после возведения двучлена в степень .
Подумайте , в чём заключается целостность и единство элементов	систем	, которые мы перечислили .
Решение задач с помощью	систем	уравнений .
В математике для обозначения	систем	используют специальный знак — фигурную скобку , которая показывает , что должны выполняться требования каждой строчки , охваченной этим знаком .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение	систем	линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Хочу ещё посоветовать вам поискать описание решения	систем	линейных уравнений методом двух ложных положений .
Графический способ решения	систем	уравнений .
Графический способ решения	систем	уравнений является иллюстративным , вспомогательным к ранее освоенным вами способам подстановки и сложения .
Тогда же был изобретён аналогичный метод для решения	систем	.
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных способов решения	систем	уравнений — способом подстановки .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести	систем	уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Решение	систем	линейных уравнений в Древнем Китае .
Древнегреческие , китайские и индийские учёные также умели решать некоторые задачи с помощью	систем	.
Профессор , раз в древности умели решать задачи с помощью одного уравнения , может быть , тогда и с помощью	систем	уравнений решались какие - нибудь задачи ? .
Действительно , задачи , решённые с помощью	систем	уравнений с несколькими неизвестными , встречаются в вавилонских и египетских текстах , датированных вторым тысячелетием до н .
Какую из данных	систем	удобно решать способом сложения ?
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх	систем	уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Решение	систем	линейных уравнений с тремя неизвестными .
Решение	систем	линейных уравнений в Древней Индии .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение	систем	линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
В знаменитом древнекитайском трактате « Математика в девяти книгах » можно найти даже правила решения некоторых	систем	.
Подобрать такие значения а и с , чтобы	система	уравнений имела : 1 ) единственное решение ;
Итак , если	система	имеет решение , то этим решением может быть только пара чисел : х равно b , у равно 4 .
Это означает , что	система	уравнений имеет бесконечно много решений : координаты любой точки прямой являются решением данной системы .
Дана	система	уравнений .
Тогда	система	уравнений не имеет решений .
29 Прямоугольная	система	координат на плоскости .
Плоскость , на которой выбрана	система	координат , называют координатной плоскостью .
Тогда	система	уравнений имеет единственное решение .
Эта	система	решается устно способом сложения .
Что такое прямоугольная	система	координат ? .
Теперь относительно а и b наша	система	примет вид системы линейных уравнений !
Этот способ либо даёт приближённые значения решений системы , либо помогает определить , сколько решений имеет	система	.
О функции и о том , почему прямоугольная	система	координат носит имя Декарта .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; —	система	уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Показать графически , что	система	уравнений имеет единственное решение .
Показать , что	система	уравнений имеет бесконечно много решений .
Возможность облегчённого письменного счёта ( сложения и умножения столбиком и др. ) даёт позиционная	система	счисления — в зависимости от позиции в записи числа цифра берёт на себя разные функции .
Показать , что	система	уравнений не имеет решений .
В таком случае говорят , что эта	система	решена графически .
При каких значениях а	система	уравнений : 1 ) не имеет решений ;
Тогда	система	уравнений имеет бесконечно много решений .
Предположив , что	система	имеет решение , мы получили , что х равно 1 , у равно 2 и других решений нет .
Дана	система	уравнении .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая	система	химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Например ,	система	( натуральное число ) имеет единственное значение х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию системы .
То есть	система	не имеет решений при а равно 3 .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная система , десятичная	система	счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная	система	, десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
И если хотя бы одно из уравнений системы будет иметь такой вид , очевидно , что и вся	система	не будет иметь решений .
Хочу обратить ваше внимание на те случаи , когда	система	уравнений не имеет решений .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или	система	уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная система координат , Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная	система	, систематические занятия спортом и многое другое .
Научитесь с помощью графиков уравнений быстро определять : какая	система	имеет единственное решение , какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много решений .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная	система	координат , Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
При каких значениях а данная	система	имеет единственное решение ? .
При каких значениях параметра а	система	уравнений не имеет решений ?
С термином «	система	» вы встречались неоднократно в учебной и художественной литературе , на уроках и в повседневной жизни .
Значит , при любом а ≠ 3	система	имеет решение .
29 Прямоугольная	система координат	на плоскости .
Что такое прямоугольная	система координат	? .
О функции и о том , почему прямоугольная	система координат	носит имя Декарта .
Вы знаете , например , что такое прямоугольная	система координат	, Солнечная система , десятичная система счисления , периодическая система химических элементов Менделеева , правоохранительная система , систематические занятия спортом и многое другое .
Плоскость , на которой выбрана	система координат	, называют координатной плоскостью .
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к точкам координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям ,	системам	уравнений ? .
В этом параграфе вы встретитесь с уравнениями первой степени с двумя неизвестными и познакомитесь с	системами	таких уравнений .
Что вы можете сказать об этих	системах	? .
В одной	системе	координат построить графики уравнений .
В одной	системе	координат построить графики функций .
Например , в	системе	.
Позже так стали называть систему правил счёта в десятичной позиционной	системе	счисления .
В одной	системе координат	построить графики уравнений .
В одной	системе координат	построить графики функций .
Решить	систему	уравнений — это значит найти все её решения или установить , что их нет .
Из какого уравнения системы двух линейных уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое , чтобы решить	систему	способом подстановки ? .
Решить графически	систему	уравнений .
Узнаете , что называют решением системы уравнений с двумя неизвестными и что значит решить	систему	уравнений .
Для того чтобы решить графически	систему	уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же , то эти уравнения рассматривают совместно и говорят , что они образуют	систему	двух уравнений , которую записывают так .
Получаем из условия	систему	.
Что значит решить графически	систему	уравнений ? .
Решить	систему	уравнений .
Про такую	систему	говорят , что она не имеет решений .
Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с уравнением образовало	систему	: 1 ) имеющую единственное решение ;
Решить	систему	линейных уравнений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать	систему	линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Решить	систему	уравнений 1 ) Из первого уравнения находим .
Решая эту	систему	, находим х равно 1 , у равно 2 .
А почему всё же именем Декарта назвали	систему	координат ?
В общем виде	систему	двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 — заданные числа , а х и у — неизвестные .
2 ) решают	систему	уравнений ; 3 ) возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , записывают ответ .
Обычно задачу с помощью системы уравнений решают по следующей схеме : 1 ) вводят обозначения неизвестных и составляют	систему	уравнений ;
Способом алгебраического сложения решить	систему	уравнений .
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту	систему	обращают каждое её уравнение в верное равенство .
Решить	систему	уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое уравнение , находим .
Способом подстановки решить	систему	уравнений .
Решим	систему	.
Что значит решить	систему	уравнений ? .
Так как в полученных уравнениях х и у обозначают одни и те же числа , то эти уравнения образуют	систему	.
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную	систему	координат на плоскости .
Позже так стали называть	систему	правил счёта в десятичной позиционной системе счисления .
Но это не поможет мне решить	систему	.
В 13 книгах , которые Евклид назвал « Начала » , он обобщил и привёл в	систему	накопленные до него геометрические знания .
Такую	систему	я могу быстро решить способом подстановки ( выразив а из второго уравнения ) .
Но так как и в исходном уравнении , и в новых обозначениях речь шла об одних и тех же х и у , то , чтобы их найти , нужно решить	систему	.
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или	систему	, то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную	систему координат	на плоскости .
А почему всё же именем Декарта назвали	систему координат	?
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей	системы	.
А вот пара чисел х равно 2 и у равно 1 обращает в верные равенства оба уравнения и поэтому является решением	системы	.
Чем же предстоит заниматься в этой главе , в заголовке которой фигурирует словосочетание «	системы	уравнений » ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений	системы	линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью	системы	уравнений .
А для	системы	не существует значений х , обращающих в верные равенства оба её уравнения .
Например , система ( натуральное число ) имеет единственное значение х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию	системы	.
В данной главе вы научитесь решать разными способами	системы	линейных уравнений с двумя неизвестными .
Узнаете , что называют решением	системы	уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений .
История создания прямоугольной	системы	координат .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение	системы	, но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
Проверить , является ли пара чисел х равно 2 и у равно 1 решением	системы	уравнений .
Описать связь взаимного расположения прямых и числа решений	системы	соответствующих уравнений .
Осталось убедиться , что эта пара чисел на самом деле является решением	системы	, осталось показать , что при х равно 1 , у равно 2 оба уравнения системы становятся верными равенствами .
При а равно 3 второе уравнение	системы	не имеет решений .
И если хотя бы одно из уравнений	системы	будет иметь такой вид , очевидно , что и вся система не будет иметь решений .
Теперь относительно а и b наша система примет вид	системы	линейных уравнений !
Это происходит , когда уравнения	системы	не имеют общих решений или когда хотя бы одно из её уравнений не имеет решений .
Какая из пар чисел является решением	системы	? .
Обычно задачу с помощью	системы	уравнений решают по следующей схеме : 1 ) вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений ;
Этот способ либо даёт приближённые значения решений	системы	, либо помогает определить , сколько решений имеет система .
Иногда после решения	системы	приходится провести ещё некоторые рассуждения или вычисления .
Подставляя у равно 5 в первое уравнение	системы	, находим .
Из какого уравнения	системы	двух линейных уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое , чтобы решить систему способом подстановки ? .
Сформулировать алгоритм решения	системы	уравнений способом подстановки .
Упростим уравнения системы : 1 ) Из первого уравнения системы находим ; 2 ) Подставляем во второе уравнение	системы	.
Упростим уравнения системы : 1 ) Из первого уравнения	системы	находим ; 2 ) Подставляем во второе уравнение системы .
Упростим уравнения	системы	: 1 ) Из первого уравнения системы находим ; 2 ) Подставляем во второе уравнение системы .
Подставляя у во второе уравнение исходной	системы	, находим , откуда х равно 2 .
Итак , решение	системы	, т .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение	системы	, получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Он заключается в следующем : из одного уравнения	системы	( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Рассмотренный способ решения	системы	называется способом подстановки .
Подставляя у равно 1 в первое уравнение	системы	, находим .
Привести пример	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
Упростим уравнения	системы	.
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях	системы	при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа , удобно применять способ почленного сложения уравнений .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной	системы	, найти второе неизвестное .
Сформулировать алгоритм решения	системы	линейных уравнений способом алгебраического сложения .
Итак , для решения	системы	линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Подставив найденное значение х равно – 6 в первое уравнение данной	системы	, получим .
Обе части первого уравнения системы умножим на 3 , а второго — на 2 и вычтем из второго уравнения полученной	системы	первое .
Обе части первого уравнения	системы	умножим на 3 , а второго — на 2 и вычтем из второго уравнения полученной системы первое .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения	системы	в том случае , когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Упростим каждое из уравнений	системы	, поделив первое уравнение на 2 , а второе — на 3 .
Подставим у равно 3 в первое уравнение	системы	.
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей уравнений	системы	.
Вычитая из первого уравнения	системы	( 2 ) второе уравнение , получаем . 3 ) Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , запишем ответ .
Рассмотренный способ решения	системы	уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы .
В этом параграфе вы убедитесь , что отдельные текстовые задачи намного проще решаются не с помощью одного уравнения с одним неизвестным , а с помощью	системы	двух уравнений с двумя неизвестными .
Теперь нужно убедиться в том , что х равно 5 , y равно 4 в самом деле являются решением	системы	.
Теперь подставим х равно 5 в одно из уравнений	системы	, например в первое : 27 .
Мне кажется , что они случайно попали в эту главу , так как среди них нет ни одной	системы	с линейными уравнениями .
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба равенства системы верны — решение	системы	.
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба равенства	системы	верны — решение системы .
Составление	системы	уравнений .
Решение	системы	.
Перечислить этапы решения текстовой задачи с помощью	системы	уравнений .
Подставляем у во второе уравнение	системы	.
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной	системы	первое уравнение , находим .
Решением	системы	двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство .
Следовательно , нет таких значений х и у , которые обращают оба уравнения	системы	в верные равенства .
Подставим найденные значения х и у в оба уравнения	системы	и выполним вычисления : Оба равенства верные .
Геометрически это означает , что графики уравнений	системы	— параллельные прямые .
Можно проверить , что два числа х и у обращают каждое из уравнений	системы	в верное равенство .
Левые части уравнений этой	системы	равны при любых значениях х и у , а правые части не равны .
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много решений : координаты любой точки прямой являются решением данной	системы	.
Рассмотрим ещё один пример	системы	уравнений с двумя неизвестными .
Система уравнений — пример	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
Умножим первое уравнение	системы	на 2 .
Что называют решением	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными ? .
Проверить , что числа являются решением	системы	.
Из следующих пар чисел выбрать ту , которая является решением данной	системы	.
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых — графиков уравнений	системы	.
На практике способ подстановки применяется чаще всего в тех случаях , когда в одном из уравнений	системы	коэффициент при каком - либо неизвестном равен 1 , в связи с чем это неизвестное легко выражается через другое неизвестное .
Пару чисел называют решением	системы	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение	системы	двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Осталось убедиться , что эта пара чисел на самом деле является решением системы , осталось показать , что при х равно 1 , у равно 2 оба уравнения	системы	становятся верными равенствами .
Привести пример	системы	двух линейных уравнений : 1 ) имеющей единственное решение ; 2 )
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений	системы	; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Теперь рассмотрим первое уравнение	системы	.
Решение	системы	уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат точки пересечения .
Число 12 , в народе называемое дюжиной , у многих людей в разные времена пользовалось особой любовью и было положено в основу двенадцатеричной	системы	счисления .
е . ( х ; у ) — решение	системы	.
Так как координаты ( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые равенства , то пара чисел ( х ; у ) должна быть решением	системы	.
Нужно вспомнить : понятие решения	системы	уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Однако при графическом способе решения	системы	уравнений обычно получается приближённое решение .
Фактически это компактная запись действий с уравнениями	системы	.
Предположим , что х и у — это такие числа , при которых оба равенства	системы	являются верными , т .
История создания прямоугольной	системы координат	.
Поймёте , что уже встречались с простейшими одночленами и даже	складывали	подобные одночлены .
При рассмотрении этой темы вы научитесь	складывать	многочлены и находить их разность .
Числа , которые	складывают	, называют слагаемыми ; число , получающееся при сложении этих чисел , называют их суммой .
При сложении ( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями числители	складывают	( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ;	складывая	или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Фигурная	скобка	, стоящая слева , показывает , что нужно найти такую пару чисел ( х ; у ) , которая обращает каждое уравнение в верное равенство .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед	скобками	и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
3 Сформулировать правила заключения в скобки алгебраической суммы , если перед	скобками	ставится знак « + » ; знак « – » .
Например , выражение , которое твоя бабушка записывала с квадратными	скобками	, Ньютон записал бы так .
Если перед	скобками	ставится знак « – » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в скобки , меняются на противоположные .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед	скобками	и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед	скобками	знак « + » .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять группы слагаемых следующими	скобками	: в начале выражения ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед	скобками	знак « – » .
Если перед	скобками	ставится знак « + » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в скобки , сохраняются .
Выполним действие во второй	скобке	.
Выполним действие в первой	скобке	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в	скобки	.
Если все члены многочлена имеют общий множитель , то вынесением этого множителя за	скобки	многочлен преобразуется в произведение .
В этом примере используется способ группировки , формула разности квадратов и вынесение общего множителя за	скобки	.
Профессор , а у Вас есть в запасе интересные задачи на делимость , где нужно применить вынесение за	скобки	общего множителя ? .
Раскрыть	скобки	.
Однако для упрощения вычислений часто пользуются приёмами , позволяющими записать заданное выражение , содержащее	скобки	, без скобок .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за	скобки	; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за	скобки	общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Очевидно , что выражение – b проще , чем выражение l. Значит , умение раскрывать	скобки	— полезное действие .
Преобразование выражений , содержащих	скобки	, перед которыми стоит знак « + » , основывается на следующих свойствах сложения .
Если коэффициент равен ( – 1 ) , то и в этом случае единицу и	скобки	можно не писать , а оставить только знак « – » .
Как решить ещё одну интересную задачу с помощью вынесения общего множителя за	скобки	, я покажу сам .
Вынести за	скобки	общий множитель .
2 ) Если выражение содержит	скобки	, то сначала выполняют все действия над числами , заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над числами в скобках и вне их производится в порядке .
Иногда в числовом выражении , кроме чисел и знаков действий , используются	скобки	.
2 Раскрытие скобок и заключение в	скобки	.
Раскроем	скобки	.
Здесь было использовано два способа : вынесение общего множителя за	скобки	и применение формулы разности квадратов .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за	скобки	общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
А я слышал от бабушки , что они на уроках использовали и круглые , и квадратные	скобки	.
Переставим члены многочлена так , чтобы подобные члены стояли рядом , и заключим подобные члены в	скобки	.
Приведём другие примеры вынесения общего множителя за	скобки	.
Раскрыть	скобки	и упростить выражение .
Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за	скобки	.
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и	скобки	можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за	скобки	и группировки .
вынести этот общий множитель за	скобки	.
Заключить в	скобки	все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед скобками знак « – » .
19 Вынесение общего множителя за	скобки	.
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего	скобки	, сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
Если такой множитель имеется , то на основании распределительного закона умножения его выносят за	скобки	, преобразуя тем самым многочлен в произведение .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в	скобки	, то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
4 ) Если выражение содержит	скобки	, заключённые внутри других скобок , то сначала выполняют действия во внутренних скобках .
Если перед скобками ставится знак « + » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в	скобки	, сохраняются .
Вынося этот множитель за	скобки	, получаем .
Заключить в	скобки	все слагаемые , начиная с числа m или ( – m ) , поставив перед скобками знак « + » .
Итак , чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за	скобки	, нужно : 1 ) найти этот общий множитель ;
вынести его за	скобки	.
3 Сформулировать правила заключения в	скобки	алгебраической суммы , если перед скобками ставится знак « + » ; знак « – » .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в	скобки	; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в	скобки	, то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за	скобки	.
Как найти многочлен , остающийся в скобках , после вынесения за	скобки	общего множителя ? .
Иногда полезно заключить несколько слагаемых в	скобки	.
учёные в своих записях предпочитали ставить не	скобки	, а горизонтальные линии над группируемыми слагаемыми .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и	скобки	можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Если перед скобками ставится знак « – » , то знаки всех слагаемых , заключаемых в	скобки	, меняются на противоположные .
На основании какого закона осуществляется действие вынесения общего множителя за	скобки	? .
Иногда при разложении алгебраического выражения на множители за	скобки	выносят многочлен .
Преобразование выражений , содержащих	скобки	, перед которыми стоит знак « – » , основывается на следующих свойствах вычитания .
Раскрыть	скобки	и упростить .
Использовали ещё и фигурные	скобки	.
Применяя распределительное свойство умножения , этот множитель можно вынести за	скобки	.
Вынесение за	скобку	.
Эти примеры показывают , что при разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок : 1 ) вынести общий множитель за	скобку	( если он есть ) ;
В математике для обозначения систем используют специальный знак — фигурную	скобку	, которая показывает , что должны выполняться требования каждой строчки , охваченной этим знаком .
А великий английский учёный Исаак Ньютон записывал деление , к примеру , многочлена на одночлен а3 , используя вместо знака деления круглую	скобку	.
Знание способов раскрытия	скобок	часто позволяет упрощать выражение ( и облегчает тем самым при необходимости нахождение его числового значения ) .
4 Каким по порядку выполняется действие возведения в степень при вычислении значения выражения , не содержащего	скобок	? .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия	скобок	; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
В последнем случае одночлен можно записать без	скобок	.
При нахождении значения числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит	скобок	, то сначала выполняют действия третьей ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
5 Правила раскрытия	скобок	.
Вы знаете , что числовые выражения состоят из чисел ,	скобок	и знаков арифметических действий .
Преобразовывая , например , выражение после раскрытия	скобок	, вы находили , по сути , разность многочленов .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия	скобок	; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Однако для упрощения вычислений часто пользуются приёмами , позволяющими записать заданное выражение , содержащее скобки , без	скобок	.
Изучаемый в этой главе материал ( запись формул , преобразование алгебраических выражений , раскрытие	скобок	) позволяет ставить и решать непростые и интересные задачи .
4 ) Если выражение содержит скобки , заключённые внутри других	скобок	, то сначала выполняют действия во внутренних скобках .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия	скобок	и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических выражениях с помощью	скобок	объединяют слагаемые в группы .
Мы уже давно и много занимаемся преобразованиями многочленов : записываем формулы с помощью многочленов , приводим подобные слагаемые после раскрытия	скобок	.
При решении задачи было получено выражение которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число , чисел 3 и 6 , знаков действий и	скобок	.
Порядок действий 8 Правила раскрытия	скобок	.
После раскрытия	скобок	все члены , кроме первого и последнего , взаимно уничтожаются и останется .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; правила раскрытия	скобок	; правило приведения подобных слагаемых ; понятие процента ; понятие модуля числа .
Из этих равенств следует второе правило раскрытия	скобок	.
2 Сформулировать первое и второе правила раскрытия	скобок	.
2 Раскрытие	скобок	и заключение в скобки .
Эти равенства позволяют сформулировать первое правило раскрытия	скобок	.
Каждое	слагаемое	левой или правой части уравнения называется членом уравнения .
Знак вычитания « А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака сложения он обходился просто , записывая	слагаемые	рядом .
Вы знаете , что скобки помогают в арифметике устанавливать порядок выполнения действий , недавно узнали , как в алгебраических выражениях с помощью скобок объединяют	слагаемые	в группы .
Если перед скобками ставится знак « + » , то знаки всех	слагаемых	, заключаемых в скобки , сохраняются .
А если ты понял , как ведут себя показатели степеней а и b в	слагаемых	многочлена , то сможешь записать результат возведения бинома в 6-ю степень .
Иногда полезно заключить несколько	слагаемых	в скобки .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Например , запись abc обозначает трёхзначное число ( записанное в виде суммы разрядных	слагаемых	, где а , b и с — однозначные числа ) .
Записать число , представленное суммой разрядных	слагаемых	.
Записать в виде суммы разрядных	слагаемых	число .
Если перед скобками ставится знак « – » , то знаки всех	слагаемых	, заключаемых в скобки , меняются на противоположные .
итальянский математик Раффаэле Бомбелли ( ок . 1530–1572 ) предложил выделять группы	слагаемых	следующими скобками : в начале выражения ставить букву L , а в конце — её же , но перевёрнутую .
выполнить	сложение	( вычитание ) , не обращая внимания на запятую ;
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное	сложение	или вычитание левых и правых частей уравнений системы .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой (	сложение	и вычитание ) .
Посмотри , что получится , если мы перепишем сумму от конца к началу и будем последовательно выполнять	сложение	дробей .
Более того , в его книге описывается , например ,	сложение	дробей .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ;	сложение	, вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на	сложение	показателей ) .
Выполнить	сложение	и вычитание многочленов .
Известно , что :	сложение	и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам , что и	сложение	и вычитание обыкновенных дробей .
отдельно выполнить	сложение	целых частей и отдельно дробных частей ;
Иногда сумму или разность многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со	сложением	и вычитанием чисел ) .
Заменяя вычитание	сложением	, алгебраическую сумму можно записать по - другому .
Вычитание можно заменить	сложением	с противоположным числом .
если при	сложении	дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Похожее преобразование приходится выполнять при	сложении	и вычитании алгебраических дробей , его также называют приведением дробей к общему знаменателю .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при	сложении	и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Убедитесь в том , что арифметические знания часто используются в алгебре , например , при	сложении	и вычитании многочленов столбиком .
Напомним , что при	сложении	обыкновенных дробей сначала приводят дроби к общему знаменателю .
При	сложении	( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Профессор , Вы нам показывали , как удобно использовать запись столбиком при	сложении	, вычитании и умножении многочленов .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ; число , получающееся при	сложении	этих чисел , называют их суммой .
Способом алгебраического	сложения	решить систему уравнений .
Возможность облегчённого письменного счёта (	сложения	и умножения столбиком и др. ) даёт позиционная система счисления — в зависимости от позиции в записи числа цифра берёт на себя разные функции .
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа , удобно применять способ почленного	сложения	уравнений .
Сформулировать правило : 1 )	сложения	( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Из равенства число x находится с помощью действия вычитания , которое называют обратным к действию	сложения	.
Эта система решается устно способом	сложения	.
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий (	сложения	, вычитания , умножения , деления ) .
Сформулировать алгоритм	сложения	( вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями .
Графический способ решения систем уравнений является иллюстративным , вспомогательным к ранее освоенным вами способам подстановки и	сложения	.
Преобразование выражений , содержащих скобки , перед которыми стоит знак « + » , основывается на следующих свойствах	сложения	.
При изучении этого параграфа умение приводить алгебраические дроби к общему знаменателю будет применено к действиям	сложения	и вычитания дробей .
Таким образом , предложенный пример	сложения	выглядит так .
Покажем , как можно доказать распределительное свойство деления ( относительно	сложения	) .
Для	сложения	и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического	сложения	.
Сейчас мы изучили действия	сложения	и вычитания многочленов .
Однако вычисления можно упростить , если воспользоваться свойствами	сложения	.
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и	сложения	; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
В результате	сложения	и вычитания нескольких многочленов снова получается многочлен .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия	сложения	, вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Способ	сложения	.
Нужно вспомнить : действия с числами с одинаковыми и с разными знаками ; свойства	сложения	и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического выражения .
На основании каких свойств действий	сложения	и умножения выполняется разложение многочлена на множители способом группировки ? .
Решение системы уравнений способом подстановки или способом	сложения	даёт точные значения координат точки пересечения .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического	сложения	; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Способ алгебраического	сложения	.
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического	сложения	, так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы .
Напомним законы	сложения	и умножения : Переместительный ; Сочетательный ; Распределительный .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы	сложения	и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Выполненные преобразования основаны на применении переместительного , сочетательного и распределительного законов	сложения	и умножения .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического	сложения	оказывается удобным для решения системы в том случае , когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Таким образом , для	сложения	( или вычитания ) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно : 1 ) найти общий знаменатель дробей ; 2 ) привести дроби к общему знаменателю ;
Какую из данных систем удобно решать способом	сложения	?
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом	сложения	или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия	сложения	, вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Поэтому свойства вычитания можно обосновать свойствами	сложения	.
Знак вычитания « А » Диофант образовал от перевёрнутой буквы ψ ; без знака	сложения	он обходился просто , записывая слагаемые рядом .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате	сложения	, вычитания , умножения и возведения в натуральную степень одночленов и многочленов снова получается многочлен .
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического	сложения	нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Нетрудно показать , что речь идёт не о « таинственном » свойстве треугольника , а о сочетательном и переместительном законах	сложения	.
Этот способ , называемый способом алгебраического	сложения	, и будет рассмотрен в данном параграфе .
Сформулировать алгоритм решения системы линейных уравнений способом алгебраического	сложения	.
1 Сформулировать три основных закона	сложения	и умножения .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия	сложения	, вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
За 26 с электричка прошла путь , равный длине платформы ,	сложенный	с её собственной длиной .
Для этого	сложите	зарплаты всех работников и разделите полученную сумму на число работающих на предприятии .
Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты	сложить	.
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 )	сложить	их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и результаты	сложить	.
Вычисления можно провести , следуя указанному порядку действий :	сложить	75 и 37 , к результату прибавить 25 и к последнему результату прибавить 13 .
	Сложить	( или вычесть ) полученные дроби ; 4 ) упростить результат , если возможно .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения	сложить	.
Чтобы	сложить	смешанные числа , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к общему знаменателю ;
	Сложить	левые и правые части равенств ) .
сравнить (	сложить	, вычесть ) полученные дроби .
Если оба равенства верные , то их можно	сложить	( т .
Чтобы сравнить (	сложить	, вычесть ) дроби с разными знаменателями , нужно : 1 ) привести данные дроби к общему знаменателю ;
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения	сложить	.
Чтобы	сложить	( вычесть ) десятичные дроби , нужно : 1 ) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой ;
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно	сложить	с полученной суммой , чтобы получить ближайшее делящееся на 9 число ( не меньшее полученной суммы ) .
Затем	сложить	эти числа попарно и результаты поставить на сторонах , соединяющих вершины , около которых стоят эти числа .
Неправильную дробь , у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде	смешанного числа	( смешанной дроби ) .
Чтобы сложить	смешанные числа	, нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к общему знаменателю ;
Чтобы выполнить умножение	смешанных чисел	, нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
Чтобы выполнить вычитание	смешанных чисел	, нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
3 ) времени ( в часах ) , за которое лодка по течению реки преодолела расстояние х ( в километрах ) , если	собственная	скорость лодки 7 км / ч , а скорость течения реки у км / ч ; 4 ) цены ( в рублях ) товара после уценки его на 5 % , если прежняя цена составляла х р . ; 5 ) производительности труда рабочего ( в деталях за час ) , который 200 деталей изготовил за х ч ; 6 ) производительности труда ( в деталях за час ) двух рабочих при совместной работе , если на изготовление 30 деталей первому рабочему требуется х ч , а второму — у ч .
За 26 с электричка прошла путь , равный длине платформы , сложенный с её	собственной	длиной .
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; формулы законов движения и работы ; формулу расчёта стоимости покупки ; формулы , выражающие скорости движения по течению и против течения реки через	собственную	скорость и скорость течения ; основные задачи на проценты .
Найти	собственную	скорость движения катера и скорость реки .
Найти скорость течения реки и	собственную	скорость теплохода .
Найти скорость лодки , если скорость течения реки равна 3,5 км / ч . 1 ) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить	собственную	скорость пловца , считая её постоянной от начала и до конца заплыва , если скорость течения реки равна 0,25 м / с . 2 ) Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению за 3 ч 30 мин , а против течения за 6 ч 18 мин .
3 ) времени ( в часах ) , за которое лодка по течению реки преодолела расстояние х ( в километрах ) , если собственная скорость лодки 7 км / ч , а скорость течения реки у км / ч ; 4 ) цены ( в рублях ) товара после уценки его на 5 % , если прежняя цена составляла х р . ; 5 ) производительности труда рабочего ( в деталях за час ) , который 200 деталей изготовил за х ч ; 6 ) производительности труда ( в деталях за час ) двух рабочих при	совместной	работе , если на изготовление 30 деталей первому рабочему требуется х ч , а второму — у ч .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять	совместные	действия над алгебраическими дробями .
При	совместных	действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после умножения и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Прямые	совпадают	.
Если значения левой и правой частей равенства не	совпадают	, то равенство называют неверным .
Если значения левой и правой частей числового равенства	совпадают	, то равенство называют верным .
Например , верное равенство , так как значения его левой и правой частей	совпадают	и равны 8 .
Показать , что прямые	совпадают	.
Поэтому графиком этой функции является прямая ,	совпадающая	с осью абсцисс .
Старинные задачи . ( Из VII книги древнекитайского трактата « Математика в девяти книгах » . ) Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра , их взвесили , вес	совпал	.
Как	сократить	алгебраическую дробь ? .
Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и	сократить	её .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; —	сокращать	дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Умеете выполнять арифметические действия с дробями ,	сокращать	дробь , приводить дроби к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби .
Используя основное свойство дроби , можно	сокращать	алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби , например .
Я вспомнил , что мой старший брат в	сочетании	со словом бином произносит фамилию Ньютона .
Сколько разных ( по	сочетанию	видов фруктов ) вариантов компотов может сварить мама , если у неё имеется 7 видов фруктов ? .
Сколько различных ( по	сочетанию	видов овощей ) вариантов салатов можно приготовить ? .
Перечислить все полученные	сочетания	букета с вазой .
Записать все	сочетания	овощей в составляемых салатах .
Перечислить все возможные цветовые	сочетания	брюк , свитера и ботинок , если в гардеробе имеются брюки трёх цветов : серые ( с ) , бежевые ( б ) и зеленые ( з ) ; свитера двух расцветок : песочный ( n ) и малиновый ( м ) ; ботинки двух цветов : чёрные ( ч ) и коричневые ( к ) .
Говоря математическим языком , в задаче составлены всевозможные	сочетания	из трёх элементов по два .
Найти	среднее	значение температуры ( измеряемую в полдень ) за первую декаду июля , если ежедневные замеры были следующими .
В практике приходится находить	среднее	арифметическое любого количества однородных величин .
Климатическая норма в июле — это и есть	среднее	значение температуры за многолетние температурные наблюдения в этом месяце года .
Вы помните , что	среднее	арифметическое двух чисел а и b равно .
В практике приходится находить	среднее арифметическое	любого количества однородных величин .
Вы помните , что	среднее арифметическое	двух чисел а и b равно .
2 ) С какой	средней	скоростью двигался пешеход ?
Профессор , а зачем нужно находить	средние	величины ? .
Найти	средний	рост мальчиков класса , если результаты измерения их роста ( в сантиметрах ) оказались следующими .
В пропорции числа a и d называют крайними членами , а числа b и с —	средними	членами пропорции .
Нахождение	средних	значений совокупностей результатов наблюдений .
В пропорции произведение крайних членов равно произведению	средних	: ad равно bc .
Например , если вы знаете заработную плату каждого работника , то сможете найти	среднюю	зарплату на этом предприятии .
Аналогично находят , например ,	среднюю	дневную температуру за месяц в конкретном регионе .
Найти	среднюю	скорость движения велосипедиста за время всей поездки , если расстояние от дома до дачи равно 6 км .
Какова	средняя	скорость катера на пути из А в В и обратно ? .
Какова их	средняя	зарплата ? .
Наверное , вы слышали , как по радио говорили : « В этом году	средняя	температура июля на 10 ° выше климатической нормы » .
Изучите свойства	степеней	, упрощающие громоздкие записи , познакомитесь с использованием этих свойств для облегчения практических расчётов .
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел ; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства	степеней	; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Понаблюдаю за последними цифрами	степеней	девятки .
В этом параграфе будут обоснованы свойства	степеней	с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих степени .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень числа и произведение	степеней	также называют одночленами .
Для этого нужно : перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место ; затем произведения	степеней	с одинаковыми основаниями записать в виде степени .
У известного вам Диофанта имелись специальные обозначения для первых шести	степеней	неизвестного .
При возведении степени в степень основание остаётся прежним , а показатели	степеней	перемножаются .
Деление	степеней	.
Членами многочлена служат одночлены второй степени , четвёртой и третьей	степеней	.
При делении степеней с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а показатели	степеней	вычитаются .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди	степеней	с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Наибольшую из этих	степеней	, четвёртую , называют степенью данного многочлена .
При умножении	степеней	с одинаковыми основаниями основание остается прежним , а показатели степеней складываются .
Умножение	степеней	с одинаковыми основаниями .
При делении	степеней	с одинаковыми основаниями ( отличными от нуля ) основание остаётся прежним , а показатели степеней вычитаются .
Нужно вспомнить : основное свойство дроби ; свойства	степеней	; приведение дробей к общему знаменателю ; сокращение дробей ; способы разложения многочлена на множители ; деление многочлена и одночлена на одночлен .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства	степеней	; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства	степеней	; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним , а показатели	степеней	складываются .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства	степеней	; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Результаты этих действий с помощью переместительного и сочетательного законов умножения , а также с помощью свойств	степеней	приводятся к одночлену стандартного вида .
Степенью одночлена называют сумму показателей	степеней	всех входящих в него буквенных множителей .
А для названий этих	степеней	им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения степеней с одинаковыми основаниями ; 2 ) деления	степеней	с одинаковыми основаниями ;
1 Сформулировать свойство : 1 ) умножения	степеней	с одинаковыми основаниями ; 2 ) деления степеней с одинаковыми основаниями ;
В одночлене сумма показателей	степеней	всех букв равна 7 .
А если ты понял , как ведут себя показатели	степеней	а и b в слагаемых многочлена , то сможешь записать результат возведения бинома в 6-ю степень .
Нужно вспомнить : свойства	степеней	; свойства действия деления .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства	степеней	; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Попробуйте теперь со Светой подметить закономерности в последних цифрах	степеней	чисел 2 , 3 , 7 и 8 .
После этого вы легко определите последние цифры	степеней	.
Нужно вспомнить : свойства	степеней	; переместительный и сочетательный законы умножения .
Первые признаки понимания и использования свойств степеней обнаруживаются , например , у древних индийских учёных в самих названиях	степеней	.
Найдём значение 263 , применяя изученные свойства	степеней	.
Подходы к решению задач о делимости суммы	степеней	на некоторое число .
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства	степеней	; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Степенью многочлена называют наибольшую из	степеней	входящих в него одночленов .
Первые признаки понимания и использования свойств	степеней	обнаруживаются , например , у древних индийских учёных в самих названиях степеней .
В этом параграфе будут обоснованы свойства степеней с натуральными показателями , показано применение этих свойств для упрощения записей выражений , а также для облегчения вычислений при нахождении значений выражений , содержащих	степени	.
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие	степени	с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Уравнения первой	степени	с двумя неизвестными .
возведения	степени	в степень ; 4 ) возведения произведения в степень ; 5 ) возведения дроби в степень .
Для записи больших чисел часто применяются	степени	числа 10 .
Нужно вспомнить : определение	степени	с натуральным показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и деления ; запись числа в стандартном виде .
Записать в виде	степени	произведения выражение .
По определению	степени	с натуральным показателем , по правилу умножения дробей , по определению степени с натуральным показателем .
Записать выражение в виде	степени	с показателем 2 .
Записать в виде	степени	с показателем 3 .
В этом параграфе вы встретитесь с уравнениями первой	степени	с двумя неизвестными и познакомитесь с системами таких уравнений .
Записать в виде	степени	.
Например ,	степени	одночленов равны 3 , а степень одночлена 23 равна 0 .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие	степени	числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Например , многочлен — многочлен восьмой степени , многочлен — многочлен первой	степени	.
Например , многочлен — многочлен восьмой	степени	, многочлен — многочлен первой степени .
Вычислить площадь квадрата со стороной , равной : Вычислить объём куба , длина ребра которого равна : Записать произведение в виде	степени	.
Основание	степени	.
Записать в виде	степени	с показателем .
При возведении	степени	в степень основание остаётся прежним , а показатели степеней перемножаются .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства	степени	с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Записать в виде	степени	: Вычислить .
10 Свойства	степени	с натуральным показателем .
Уравнением первой	степени	с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю .
Уравнение является примером уравнения первой	степени	с двумя неизвестными .
По определению степени с натуральным показателем , по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению	степени	с натуральным показателем .
Записать в виде	степени	с основанием 2 .
Упростить выражение , используя запись произведения в виде	степени	.
В этой главе вы оцените красоту и компактность записи произведения любого количества одинаковых множителей в виде	степени	.
По определению степени с натуральным показателем , по правилу умножения дробей , по определению	степени	с натуральным показателем .
Записать выражение в виде	степени	, n — натуральное число .
По определению	степени	с натуральным показателем , по сочетательному и переместительному законам умножения , по определению степени с натуральным показателем .
По определению степени с натуральным показателем по первому свойству	степени	по определению умножения .
Записать частное в виде	степени	.
Записать в виде	степени	с основанием а .
Представить 220 в виде	степени	с основанием .
В многочлене число 7 — наибольший общий делитель чисел 28 и 21 ; х2 и у2 —	степени	с наименьшими показателями .
Записать произведение в виде	степени	.
Показатель	степени	.
По определению	степени	с натуральным показателем по первому свойству степени по определению умножения .
Что называют уравнением первой	степени	( линейным уравнением ) с двумя неизвестными ? .
Записать в виде	степени	с основанием 3 .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде	степени	с натуральным показателем , то степень числа и произведение степеней также называют одночленами .
По первому свойству	степени	по определению деления .
Уравнение первой	степени	с двумя неизвестными .
По определению	степени	с натуральным показателем .
А вы не подметили никаких закономерностей в коэффициентах многочленов , получаемых после возведения суммы во вторую , в третью	степени	? .
В этом одночлене содержится только один числовой множитель , стоящий на первом месте , и	степени	с различными буквенными основаниями .
Если в многочлене много членов , то при умножении его на одночлен я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать	степени	одночленов .
Затем показать , что если из	степени	числа 10 с натуральным показателем вычесть единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
Выражение аn читается так : « Степень числа а с показателем я » — или коротко : « а в	степени	я » .
Давайте понаблюдаем за коэффициентами многочленов , получаемых возведением двучлена в разные	степени	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой	степени	( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Например , здесь 3 — основание степени , 4 — показатель	степени	, 81 — значение степени 34 .
Представить выражение в виде	степени	.
Очевидно , что последняя цифра значения	степени	будет такой же , как у 92019 .
Последняя цифра	степени	числа .
Дан график уравнения первой	степени	с двумя неизвестными , который проходит через точки .
В выражении аn число а называют основанием	степени	, число n называют показателем степени .
Нужно вспомнить : свойства	степени	с натуральным показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ; деление числа на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
Членами многочлена служат одночлены второй	степени	, четвёртой и третьей степеней .
Для этого нужно : перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место ; затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде	степени	.
Например , здесь 3 — основание степени , 4 — показатель степени , 81 — значение	степени	34 .
Например , здесь 3 — основание	степени	, 4 — показатель степени , 81 — значение степени 34 .
Запись чисел с помощью	степени	используется во многих случаях , например для записи натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых .
В выражении аn число а называют основанием степени , число n называют показателем	степени	.
Свойства	степени	.
Вычисление значения	степени	называют действием возведения в степень .
При возведении 9 в чётную	степень	последней будет цифра 1 , а при возведении в нечётную — 9 .
Сколько процентов от числа 500 составляет четвёртая	степень	числа 5 ? .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания , умножения и возведения в натуральную	степень	одночленов и многочленов снова получается многочлен .
возведения степени в	степень	; 4 ) возведения произведения в степень ; 5 ) возведения дроби в степень .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в	степень	; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
При возведении степени в	степень	основание остаётся прежним , а показатели степеней перемножаются .
Если число оканчивается на 4 , то последней цифрой после возведения в	степень	будет 4 или 6 .
При этом кубы чисел 1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и возводимое в	степень	число .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я	степень	, от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
Как возвести алгебраическую дробь в	степень	? .
Например , запись ва - гха означала 6-ю	степень	, запись же ва - гха - гхата означала 5-ю степень ( 2 + 3 ) , а запись гха - гха — 9-ю степень .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью	степень	; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то	степень	числа и произведение степеней также называют одночленами .
Возвести одночлен в	степень	.
Четвёртая	степень	числа 0,2 составляет 64 % числа a.
В результате возведения одночлена в натуральную	степень	снова получается одночлен .
возведения степени в степень ; 4 ) возведения произведения в степень ; 5 ) возведения дроби в	степень	.
Упростить многочлен , записав каждый его член в стандартном виде , и определить	степень	многочлена .
В параграфе рассматриваются два действия с одночленами : умножение и возведение в натуральную	степень	.
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в	степень	; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Вычисление значения степени называют действием возведения в	степень	.
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 ) умножения и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в	степень	.
При возведении в степень дроби в эту	степень	возводятся числитель и знаменатель .
Например , запись ва - гха означала 6-ю степень , запись же ва - гха - гхата означала 5-ю степень ( 2 + 3 ) , а запись гха - гха — 9-ю	степень	.
возведения степени в степень ; 4 ) возведения произведения в	степень	; 5 ) возведения дроби в степень .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание , умножение и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в	степень	; нахождение числового значения алгебраического выражения .
При возведении в	степень	дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель .
В этой главе вы узнали , что такое : —	степень	с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Возведение в	степень	.
При возведении алгебраической дроби в	степень	используется формула .
Рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов ,	степень	одночлена , например .
Записать одночлен в стандартном виде и определить его	степень	.
Я же говорил , что есть симметрия в записях многочленов после возведения двучлена в	степень	.
А если ты понял , как ведут себя показатели степеней а и b в слагаемых многочлена , то сможешь записать результат возведения бинома в 6-ю	степень	.
Например , запись ва - гха означала 6-ю степень , запись же ва - гха - гхата означала 5-ю	степень	( 2 + 3 ) , а запись гха - гха — 9-ю степень .
Так как одночлен является произведением множителей , то по свойству возведения произведения в	степень	имеем .
Думаю , тебе не составит труда определить , например , последнюю цифру результата возведения числа 2019 в	степень	2019 .
Числа , оканчивающиеся на 0 , 1 , 5 или 6 , после возведения в любую	степень	дают число , оканчивающееся той же цифрой .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я	степень	, от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана — тело , куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
Если одночлен не содержит буквенных множителей ( является числом ) , то его	степень	считают равной нулю .
Возвести в	степень	произведение .
Найти шестую	степень	числа , если : 1 ) его квадрат равен ;
4 Каким по порядку выполняется действие возведения в	степень	при вычислении значения выражения , не содержащего скобок ? .
Ну а если тебе хочется прямо сразу от умения возводить число в	степень	получить пользу , могу предложить тебе математический фокус , которым ты сможешь развлечь и удивить своих родных и друзей .
Тем более что вы легко сможете возвести и в четвёртую степень , а при необходимости — и в пятую	степень	.
nomen — имя ) , поэтому коэффициенты многочлена после возведения бинома в	степень	называют биномиальными коэффициентами .
Например , степени одночленов равны 3 , а	степень	одночлена 23 равна 0 .
Что нужно сделать , чтобы возвести одночлен в	степень	? .
Попроси кого - нибудь задумать двузначное число , возвести его в третью	степень	и написать на бумажке результат вычислений .
Возвести в	степень	дробь .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием —	степень	с наименьшим показателем .
В этом параграфе знакомые вам действия умножения и деления обыкновенных дробей , а также возведение дроби в натуральную	степень	будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
Тем более что вы легко сможете возвести и в четвёртую	степень	, а при необходимости — и в пятую степень .
Возведение в	степень	обладает несколькими важными свойствами .
Что называют	степенью	одночлена ? .
1 Что называется	степенью	числа а с натуральным показателем n , где n больше 1 ; n равно 1 ? .
Наибольшую из этих степеней , четвёртую , называют	степенью	данного многочлена .
Эту сумму называют	степенью	одночлена .
Перечислить все члены многочлена Что называют	степенью	многочлена ? .
Индусы очень давно пользовались	степенями	с натуральными показателями до 9-й включительно .
3 Привести числовые примеры применения каждого из свойств действий со	степенями	.
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы умножения ; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со	степенями	; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Например , если а и b — длины	сторон	прямоугольника , измеренные одной и той же единицей длины ( например , в сантиметрах ) , то ab — его площадь , его периметр .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины	сторон	измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью длин	сторон	треугольника оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Его периметр Р равен сумме длин	сторон	.
Площадь прямоугольника равна 380 см2 , одна из его	сторон	равна 95 см. Найти другую сторону прямоугольника .
Одна сторона прямоугольника равна х см , другая	сторона	на 3 см больше .
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая	сторона	на 5 см больше основания .
Одна	сторона	прямоугольника равна х см , другая сторона на 3 см больше .
План земельного участка имеет форму треугольника со	сторонами	5 см , 4 см и 3 см. Какой выбран масштаб на этом плане , если периметр участка равен 60 м ? .
Найти площадь прямоугольника со	сторонами	.
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V усечённой пирамиды с высотой h , в основаниях которой лежат квадраты со	сторонами	а и b соответственно .
Если её записать с помощью других букв , вы вспомните , что пользовались ею неоднократно : — формула пройденного пути s за время t при движении со скоростью v ; — формула стоимости Р покупки n единиц товара по цене с ; — формула площади S прямоугольника со	сторонами	a и b .
Дан прямоугольник со	сторонами	а и b. Какой будет площадь нового прямоугольника , если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
2 Найти значение А по формуле А равно , если . 3 Найти периметр и площадь прямоугольника со	сторонами	а и b , если .
Затем сложить эти числа попарно и результаты поставить на	сторонах	, соединяющих вершины , около которых стоят эти числа .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах : точках , отрезках , многоугольниках и их элементах ( вершинах ,	сторонах	, диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
При этом число N всех камешков n - го по порядку квадратного числа находится по формуле , где n — число камешков на одной	стороне	квадрата .
Складывая затем число при каждой вершине с числом на противолежащей	стороне	, получают один и тот же результат .
Квадрат со	стороной	5 единиц содержит единичных квадратиков .
Земельная полоса шириной а м и длиной b км нарезана на k одинаковых участков прямоугольной формы со	стороной	а м .
Вычислить площадь квадрата со	стороной	, равной : Вычислить объём куба , длина ребра которого равна : Записать произведение в виде степени .
Квадрат со	стороной	4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а стороны параллельны осям координат .
Куб со	стороной	5 единиц содержит единичных кубиков .
Дан прямоугольник со сторонами а и b. Какой будет площадь нового прямоугольника , если : 1 )	сторону	а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
Найти	сторону	первого квадрата .
Площадь прямоугольника равна 380 см2 , одна из его сторон равна 95 см. Найти другую	сторону	прямоугольника .
Дан прямоугольник со сторонами а и b. Какой будет площадь нового прямоугольника , если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 )	сторону	а увеличить в k раз , а сторону b — в m раз ?
Дан прямоугольник со сторонами а и b. Какой будет площадь нового прямоугольника , если : 1 ) сторону а увеличить в k раз ; 2 ) сторону а увеличить в k раз , а	сторону	b — в m раз ?
В равнобедренном треугольнике основание составляет 0,4 боковой	стороны	.
Найдём	стороны	этого прямоугольника .
Очевидно , масса вылившейся воды с одной стороны равна , где ρв — плотность воды , Vк — объём камня , а с другой	стороны	равна , откуда .
Найти координаты точки пересечения	стороны	АВ с осью Оу .
Очевидно , масса вылившейся воды с одной	стороны	равна , где ρв — плотность воды , Vк — объём камня , а с другой стороны равна , откуда .
Квадрат со стороной 4 расположен так , что центр его находится в начале координат , а	стороны	параллельны осям координат .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если длину каждой	стороны	увеличить в 2 раза ; 3 раза ; 10 раз ? .
Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше	стороны	того же квадрата на 12 м .
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти	стороны	треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
Найти	стороны	треугольника , если его периметр равен 36 см .
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого ширина меньше	стороны	квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
Длина участка прямоугольной формы на 10 м больше , а ширина на 25 м меньше	стороны	участка , имеющего форму квадрата .
Ширина прямоугольника меньше	стороны	квадрата на 12 м , а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью длин сторон треугольника оказалось , что	стороны	выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Найти координаты точки пересечения	стороны	СЕ с осью Ох .
Сторона первого квадрата на 13 см больше	стороны	второго квадрата , а площадь первого квадрата на 351 см2 больше площади второго квадрата .
Раз уж я вас научил	строить	график функции , давайте подвигаем и его .
После открытий Декарта математики начали	строить	разные графики , изобрели новые функции ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; —	строить	и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как	строить	график функции , если уже построен график функции .
Приведём ещё примеры алгебраических	сумм	.
1 Алгебраическая	сумма	.
Доказать , что	сумма	произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа .
Многочленом называется алгебраическая	сумма	нескольких одночленов .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая	сумма	, заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный .
Ему вы и научитесь в этом параграфе , предварительно узнав , что такое алгебраическая	сумма	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая	сумма	; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Найти три последовательных нечётных числа ,	сумма	которых равна 81 .
Докажем , что	сумма	всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение делится на 143 .
Докажем , что	сумма	любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 3 .
Так как	сумма	трёх последовательных натуральных чисел представима в виде 3р , значит , она делится на 3 , что и требовалось доказать .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их	сумма	также число нечётное ? .
утроенная	сумма	чисел 2 и 6 в два раза больше произведения этих же чисел .
Найти два числа , если удвоенная	сумма	этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
Выяснить , верно ли утверждение : 1 )	сумма	любых двух чётных чисел делится на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Алгебраическая	сумма	— это запись , состоящая из нескольких алгебраических выражений , соединённых знаками « + » или « – » .
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая	сумма	, заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы .
Доказать , что если	сумма	четырёх натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение — число чётное .
Доказать , что	сумма	делится на 37 .
Доказать , что	сумма	этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 4 .
Например , в записи числа а и b — слагаемые , число с —	сумма	.
Их	сумма	равна 12 .
Выражение — разность двух одночленов аb и с2 или	сумма	одночленов .
Противоположные числа — это два числа ,	сумма	которых равна нулю .
Так как по условию	сумма	должна быть равна 20 , а не 4 , следовательно , х должен быть во столько же раз больше , во сколько 20 больше , чем 4 ( т . е .
Доказать , что	сумма	пяти последовательных чётных чисел делится на 10 .
Делится ли на 3 ; на 5	сумма	.
Очевидно , что	сумма	S больше , чем каждое из слагаемых , её составляющих .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их	сумма	также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Доказать , что	сумма	пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Доказать , что : 1 ) удвоенная	сумма	чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая	сумма	подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных членов .
На 3 делится число ,	сумма	цифр которого делится на 3 .
произведение чисел 34 и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и x ; 4 )	сумма	чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Алгебраическая	сумма	.
Найти два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная	сумма	этих чисел на 8 больше их разности .
На 9 делится число ,	сумма	цифр которого делится на 9 .
Доказать , что	сумма	дробей равна 1 .
Записать в виде числового равенства и проверить , верно ли оно : 1 )	сумма	чисел равна разности чисел ;
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 )	сумма	числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 )	сумма	любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Ученик задумал два числа и сказал , что	сумма	этих чисел равна 10 , а их разность равна 4 .
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 )	сумма	чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
В одночлене	сумма	показателей степеней всех букв равна 7 .
Выражение —	сумма	двух одночленов и b2 .
Доказать , что	сумма	: 1 ) семи последовательных натуральных чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если	сумма	трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение делится на 24 .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической	сумме	слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
Его периметр Р равен	сумме	длин сторон .
Если рассмотреть два любых соседних числа в одной строке , то в следующей строке под этими числами вы увидите число , равное их	сумме	.
В алгебраической	сумме	слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен	сумме	кубов чисел с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел .
В алгебраической сумме слагаемыми являются числа 3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической	сумме	слагаемыми являются .
Распределительный закон у Евклида формулируется на « геометрическом языке » примерно так : « Если из двух отрезков а и m один ( m ) рассечён на сколь угодно частей ( b , с , d ) , то прямоугольник am , заключённый между этими отрезками , равен	сумме	прямоугольников ab , ас , ad , заключённых между непересечённым отрезком а и каждой из частей другого отрезка m » .
Действие , с помощью которого по	сумме	и одному из слагаемых находят другое слагаемое , называют вычитанием .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно сложить с полученной	суммой	, чтобы получить ближайшее делящееся на 9 число ( не меньшее полученной суммы ) .
Выразить формулой зависимость между купленным числом n экземпляров этой книги и уплаченной	суммой	у , выраженной в рублях .
Выражение называют алгебраической	суммой	.
Двучлен является	суммой	двух одночленов : 300 nm и 500 nm .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ; число , получающееся при сложении этих чисел , называют их	суммой	.
Записать число , представленное	суммой	разрядных слагаемых .
Это выражение является	суммой	трёх многочленов .
1 Что называют алгебраической	суммой	? .
Записать : 1 ) произведение числа с и разности чисел a и b ; 2 )	сумму	числа а и произведения чисел c и d .
Какую	сумму	денег выдаёт сотрудникам бухгалтер фирмы ?
Упростить алгебраическую	сумму	многочленов .
Записать алгебраическую	сумму	чисел .
Думаю , что теперь легко выразить	сумму	.
Умножим	сумму	двух чисел на их разность .
Вычитаем из него	сумму	его цифр .
Что нужно сделать , чтобы записать алгебраическую	сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида ?
Точно так же любую алгебраическую	сумму	многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Если уж ты такой умный , то попробуй найти	сумму	дробей .
Отец ответил , что если к произведению чисел , означающих их года , прибавить	сумму	этих чисел , то будет 14 .
В алгебре часто рассматриваются алгебраические выражения , представляющие собой	сумму	или разность одночленов .
Думаю , что ты почти устно сможешь найти предложенную	сумму	.
Посмотри , что получится , если мы перепишем	сумму	от конца к началу и будем последовательно выполнять сложение дробей .
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить	сумму	данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную	сумму	разделите на 3 и вычтите задуманное число .
В частности , он обращал внимание читателей на то , что целое число , записанное перед обыкновенной дробью , означает их	сумму	, например .
Заменяя вычитание сложением , алгебраическую	сумму	можно записать по - другому .
Затем попробуйте найти следующую	сумму	.
Это действие даёт возможность находить	сумму	и разность дробей с разными знаменателями .
Для этого сложите зарплаты всех работников и разделите полученную	сумму	на число работающих на предприятии .
Какую	сумму	заплатил менеджер , если ему была начислена зарплата P р . ? .
Двое учащихся на одинаковую	сумму	денег купили тетради : тонкие по а рублей за тетрадь и толстые по b рублей за тетрадь .
Для детской музыкальной школы решили приобрести 4 баяна и 3 аккордеона на	сумму	132 600 р .
Вычислить : Найти	сумму	и разность многочленов .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 )	сумму	двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Пусть он найдёт	сумму	цифр этого числа и отнимет её от задуманного числа .
Чтобы найти	сумму	двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 )	сумму	трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 )	сумму	квадратов чисел с и 3 .
Выразить через а и b	сумму	.
11 Записать : 1 ) удвоенную	сумму	чисел 5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 ) сумму числа 12 и произведения чисел а и b ; 4 )
Степенью одночлена называют	сумму	показателей степеней всех входящих в него буквенных множителей .
Антикварный магазин , купив две старинные вазы на общую	сумму	36 000 р . , продал их , получив 25 % прибыли .
Если удвоенную	сумму	крайних чисел уменьшить на 2 , то получится 34 .
Какую	сумму	получил рабочий после этого ?
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 )	сумму	числа 12 и произведения чисел а и b ; 4 )
Доказать , что результат умножения такого числа на 11 получится , если между цифрами этого числа вставить их	сумму	.
Вычислить	сумму	Вычислить сумму .
Чтобы найти	сумму	двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Чему равно произведение разности чисел m и n на их	сумму	? .
Чтобы записать алгебраическую	сумму	нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены .
Трое выиграли некоторую	сумму	денег .
С их учётом предлагаю вам найти	сумму	следующих дробей .
Умножить число m на натуральное число n — значит найти	сумму	n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
Какую	сумму	должен будет заплатить владелец квартиры , забывший оплатить коммунальные услуги за один месяц в размере m рублей , если захочет погасить долг по прошествии 5 месяцев ? .
Иногда	сумму	или разность многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и вычитанием чисел ) .
Нужно найти	сумму	64 слагаемых .
Отнимем от задуманного числа	сумму	его цифр .
за метр — всего на	сумму	5100 р .
Эту	сумму	называют степенью одночлена .
Вычислить сумму Вычислить	сумму	.
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 )	сумму	квадратов чисел 5 и 3 .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую	сумму	в скобки .
Найти	сумму	и разность многочленов .
Если его умножить на 4 , к произведению прибавить 8 и полученную	сумму	разделить на 2 , то получится 10 .
На долю первого пришлась четверть этой	суммы	, на долю второго — седьмая часть , а на долю третьего — 17 флоринов .
Представление числа 7501 в виде	суммы	называют разложением этого числа по разрядам .
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все	суммы	чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
Квадрат	суммы	.
Рассмотрим квадрат	суммы	двух чисел .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их	суммы	.
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных чисел , таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от	суммы	вклада .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно сложить с полученной суммой , чтобы получить ближайшее делящееся на 9 число ( не меньшее полученной	суммы	) .
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие алгебраической	суммы	; решение линейных уравнений с одним неизвестным .
Квадрат	суммы	двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической	суммы	; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
А можно попробовать оценить величину этой	суммы	, сравнив её с каким - нибудь числом .
Такое название объясняется тем , что это выражение можно записать в виде	суммы	.
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак « + » перед скобками и скобки можно опустить , сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической	суммы	.
Формулы квадрата	суммы	и квадрата разности называют также формулами сокращённого умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений , например .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее	суммы	чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа	суммы	его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Например , запись abc обозначает трёхзначное число ( записанное в виде	суммы	разрядных слагаемых , где а , b и с — однозначные числа ) .
Формулы квадрата	суммы	и квадрата разности иногда применяются к разложению многочленов на множители , например .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат	суммы	чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Подходы к решению задач о делимости	суммы	степеней на некоторое число .
В параграфе показано применение формул квадрата	суммы	и квадрата разности для приближённых вычислений , демонстрируется геометрическое обоснование этих формул .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального числа в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Записать в виде	суммы	разрядных слагаемых число .
Можно найти точное значение этой	суммы	.
произведение чисел 34 и х в 2 раза больше	суммы	чисел 1 и x ; 4 ) сумма чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети	суммы	чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
За каждый просроченный месяц в оплате коммунальных услуг начисляется пеня в размере 0,5 % от	суммы	требуемого платежа .
Запись чисел с помощью степени используется во многих случаях , например для записи натуральных чисел в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Чтобы лучше усвоить такую красивую идею , предлагаю использовать её при нахождении аналогичной	суммы	, справедливой для любого числа n слагаемых .
В параграфе обосновываются формулы разложения на множители	суммы	кубов и разности кубов .
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма , заключённая в скобки , то знак перед скобками и скобки можно опустить , изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической	суммы	на противоположный .
Используя формулы	суммы	или разности кубов , упростить .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде	суммы	разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат	суммы	чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Прочитать формулу : 1 ) квадрата	суммы	двух чисел ;
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 ) куба	суммы	двух чисел ; 4 ) куба разности двух чисел .
Обычно алгебраические	суммы	вида записывают короче так .
частное от деления	суммы	чисел n и m на число 17 .
3 Сформулировать правила заключения в скобки алгебраической	суммы	, если перед скобками ставится знак « + » ; знак « – » .
Прочитать формулы	суммы	и разности кубов чисел m и n .
Таким образом можно , например , записать свойство вычитания	суммы	из числа .
Они условились , что первый даст половину	суммы	, второй — одну треть , а третий — оставшуюся часть .
По свойству деления	суммы	на число получаем .
Обозначения	суммы	и произведения .
Равенства называют формулами	суммы	и разности кубов .
Здесь сначала использовалась формула разности квадратов , затем были применены формулы квадрата	суммы	и разности .
Используя формулы куба	суммы	или куба разности двух чисел , выполнить действие .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов	суммы	и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Формулы квадратов и кубов	суммы	( разности ) чисел часто используются в приближённых вычислениях .
2 Записать в виде числового выражения : 1 ) произведение	суммы	и разности чисел ;
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и	суммы	кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Через год банк начисляет вкладчику 15 % от	суммы	вклада .
15 Записать : 1 ) 66 % от	суммы	чисел а и 4,02 ; 2 ) 33 % от частного чисел х и 0,27 .
А вы не подметили никаких закономерностей в коэффициентах многочленов , получаемых после возведения	суммы	во вторую , в третью степени ? .
Так было сделано только что при доказательстве делимости	суммы	чисел на 3 .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов	суммы	( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Число aba представим в виде	суммы	разрядных слагаемых .
удвоенная разность чисел 10 и – 2 в три раза больше	суммы	этих же чисел ; 4 )
4 ) произведение	суммы	чисел а и b и их разности .
Формулы называют формулами куба	суммы	и куба разности .
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от деления	суммы	чисел n и m на их разность ;
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности квадратов двух чисел , квадратов	суммы	и разности двух чисел и др.
Как число вещей , так и	суммы	денег у каждого различны .
Обосновать справедливость формулы квадрата	суммы	.
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 )	суммы	чисел 44,95 и 0,045 ;
С помощью графов решаются сложнейшие практические задачи в теории управления , социологии , математической лингвистике , экономике , биологии и во многих - многих	сферах	деятельности людей .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий , чётными , а точки , в которых	сходится	нечётное число линий , — нечётными .
Договоримся называть точки , в которых	сходится	чётное число линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
Нужно вспомнить :	таблицу умножения	действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Профессор ,	таблицу умножения	мы помним ещё из начальной школы .
Хотя составлением различных таблиц , в частности , тех , в которых определялись зависимости движения небесных	тел	, занимались математики и астрономы .
Написать формулу пути s этого	тела	за t часов .
С помощью формулы выражаются многие из уже знакомых вам зависимостей реальных величин : пути от времени ( при постоянной скорости ) , стоимости покупки от количества единиц товара ( при установленной цене за единицу ) , массы	тела	от объёма вещества и т .
Тело , двигаясь равномерно , прошло путь АВ за 5 с. Двигаясь обратно , оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения	тела	на обратном пути ? .
Масса m	тела	прямо пропорциональна его объёму V.
Построить график изменения пути данного	тела	в зависимости от изменения времени движения .
Выразить из этой формулы v0 и найти его значение , если Сила притяжения F между двумя	телами	с массами m и М , находящимися на расстоянии R , вычисляется по формуле , где у — гравитационная постоянная .
А для названий этих степеней им хватало комбинаций трёх слов : ва ( 2-я степень , от слова варга — квадрат ) , гха ( 3-я степень , от слова гхана —	тело	, куб ) , а также слова гхата ( указывающего на сложение показателей ) .
Какое расстояние пролетит свободно падающее	тело	с момента времени Т ( от начала движения ) за 5 с ? .
Расстояние s , которое проходит	тело	при равноускоренном движении с ускорением а за время t , имея начальную скорость v0 , находится по формуле .
Числовое значение расстояния h ( выраженного в метрах ) , которое пролетает свободно падающее	тело	за время t ( выраженное в секундах ) от начала падения , на практике часто вычисляют по формуле .
Найти по графику путь , пройденный телом за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время	тело	пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Найти по графику путь , пройденный	телом	за 1 ч 30 мин ; за 3,5 ч . 5 ) Найти по графику , за какое время тело пройдёт 10 км ; 6 км . 6 )
Например , путь , пройденный	телом	при движении с постоянной скоростью , прямо пропорционален времени движения .
Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещённые действия или нарушаются условия применения правил и	теорем	.
Ченцов Н. Н. Избранные задачи и	теоремы	элементарной математики .
Комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в XVIII в . , когда в задачах подсчёта вариантов стала нуждаться новая математическая теория —	теория вероятностей	.
На стол бросают 2 игральных	тетраэдра	( серый и белый ) , на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4 .
Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих	тетраэдров	, соприкасающихся с поверхностью стола ? .
Советую вам почитать популярные книги по теории графов и по	топологии	.
Но у древних естествоиспытателей , так же как и у Оресма , использовались только неотрицательные координаты	точек	.
Числа они изображали в виде	точек	( иногда выкладывали их камешками ) , группируя их в разные фигуры .
Чему равны абсциссы	точек	, лежащих на прямой АВ ? .
Это означает , что ординаты всех	точек	графика равны нулю .
2 ) Прямые параллельны , не имеют общих	точек	.
Найти координаты	точек	.
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к точкам координатной плоскости , а от	точек	— к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам уравнений ? .
В записи координат	точек	порядок чисел имеет существенное значение .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение	точек	по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Чему равны ординаты	точек	, лежащих на прямой АВ ? .
Назвать координаты	точек	О , А , В и С , отмеченных на числовой прямой .
Так называют геометрические фигуры , состоящие из	точек	( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами графа ) .
Какие из	точек	принадлежат графику функции , заданной формулой .
Определить координаты полученных	точек	.
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение	точек	на координатной плоскости ; нахождение координат точек , расположенных на координатной плоскости .
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на плоскости ; построение	точек	с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
Нужно вспомнить : формулы движения , периметра и площади прямоугольника , плотности вещества ; нахождение значений алгебраических выражений при заданных значениях входящих в него букв ; построение точек на координатной плоскости ; нахождение координат	точек	, расположенных на координатной плоскости .
Графиком функции называют множество всех	точек	координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Нужно вспомнить : нахождение координат	точек	на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Найти координаты	точек	пересечения с осями координат прямой .
Определить , какая пара	точек	симметрична относительно : 1 ) оси абсцисс ; 2 ) оси ординат ; 3 ) начала координат .
Каждая буква или цифра кодируется определённой комбинацией ( последовательностью )	точек	и тире , но не более чем пятью знаками подряд .
координаты	точек	пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
3 Если в фигуре более двух нечётных	точек	, то её нельзя вычертить одним росчерком ( например , фигура имеет 4 нечётные точки ) .
Найти координаты	точек	пересечения графика с осями координат .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты	точек	пересечения графика линейной функции с осями координат .
В его основе — комбинации из 6	точек	.
Ординаты всех	точек	графика равны 2 , и поэтому графиком функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных	точек	и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
Определить координаты	точек	пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
1 Если нечётных	точек	в фигуре нет , то её можно начертить одним росчерком , начиная вычерчивать с любого места ( такой является , например ) .
Найти координаты	точек	пересечения прямой с осями координат .
Точка пересечения этих перпендикуляров — искомая	точка	М .
Например ,	точка	В имеет координаты .
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем	точка	графика функции у с той же абсциссой .
Построить график функции если известно , что ему принадлежит	точка	.
Так , а ) точка О чётная , а	точка	D нечётная .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая	точка	В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Принадлежит ли	точка	диагонали этого прямоугольника ? .
Заметим , что каждая	точка	графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
Это означает , что каждая	точка	графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции .
Принадлежит ли	точка	графику этой функции ?
Поэтому	точка	принадлежит графику .
	Точка	также принадлежит графику .
В самом деле , так как при , то	точка	графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика функции .
Так как , то	точка	принадлежит графику функции .
Итак ,	точка	пересечения графика с осью абсцисс имеет кординаты ( 2 ; 0 ) .
Итак ,	точка	пересечения графика с осью ординат имеет координаты ( 0 ; 4 ) .
В азбуке Морзе , которой пользуются для телеграфных сообщений , два знака —	точка	и тире .
Построить график функции у , если известно , что ему принадлежит	точка	В. График какой из этих функций проходит через точку .
Выяснить , принадлежит ли графику этой функции	точка	с координатами .
Точка графика с абсциссой имеет ординату , поэтому	точка	не принадлежит графику данной функции .
В этом параграфе вы узнаете , как называются координаты точки на координатной плоскости , как строится	точка	по заданным координатам и как находится « адрес » точки , т .
Если	точка	лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю .
Выяснить , принадлежит m графику этой функции	точка	с координатами .
	Точка	принадлежит графику .
Например ,	точка	А имеет координаты .
Для сокращения записи знак умножения (	точка	) часто опускается .
Точно так же	точка	( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Если	точка	лежит на оси ординат , то её абсцисса равна нулю .
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. Запись М(х ; у ) означает , что	точка	М имеет абсциссу х и ординату у.
Так , а )	точка	О чётная , а точка D нечётная .
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к	точкам	координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам уравнений ? .
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат точки на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум	точкам	.
График проходит через точки , так как при х. Поэтому график функции у можно также построить по трём	точкам	.
Этими	точками	кодируются буквы , цифры , ноты .
На стол бросают 2 игральных тетраэдра ( серый и белый ) , на гранях каждого из которых	точками	обозначены числа от 1 до 4 .
Так как прямая определяется двумя её	точками	, то для построения графика функции у достаточно построить две точки этого графика .
Из условия задачи следует , что не имеет значения , как пролегает маршрут по частям суши А , В , С и D , поэтому их можно изобразить	точками	, а мосты — линиями , фактически вершинами и рёбрами графа .
О	точках	с координатами говорят , что они « выколоты » , так как не принадлежат графику .
Нужно вспомнить : представления о геометрических фигурах :	точках	, отрезках , многоугольниках и их элементах ( вершинах , сторонах , диагоналях ) , многогранниках и их элементах ( вершинах , рёбрах ) , окружностях ; представление об упорядоченных и неупорядоченных комбинациях элементов ; правило произведения .
Функция y пересекает оси координат в	точках	А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ , где О — начало координат .
Итак , прямые пересекаются в	точке	( 1 ; 2 ) .
Сравнить с нулём абсциссу х и ординату у	точки	, расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Что такое абсцисса	точки	М ; ордината точки М ? .
Что такое абсцисса точки М ; ордината	точки	М ? .
Дан график уравнения первой степени с двумя неизвестными , который проходит через	точки	.
Абсциссу и ординату точки М называют координатами	точки	М. Запись М(х ; у ) означает , что точка М имеет абсциссу х и ординату у.
Построим	точки	и проведём через них прямую .
Построить	точки	и указать , каким координатным углам они принадлежат .
В этом параграфе вы узнаете , как называются координаты точки на координатной плоскости , как строится точка по заданным координатам и как находится « адрес »	точки	, т .
Задать формулой функцию , графиком которой является прямая , проходящая через	точки	А и В .
Это означает , что система уравнений имеет бесконечно много решений : координаты любой	точки	прямой являются решением данной системы .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината	точки	; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Принадлежат ли	точки	графику этой функции ? .
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения графика функции у достаточно построить две	точки	этого графика .
3 На координатной плоскости построить	точки	.
Построить график функции , найдя	точки	пересечения его с осями координат .
График проходит через	точки	, так как при х. Поэтому график функции у можно также построить по трём точкам .
Назвать абсциссу и ординату	точки	.
Какие особенности при записи координат имеют	точки	, лежащие : на оси абсцисс ; на оси ординат ? .
Так как абсцисса этой	точки	равна 0 , то у равно 4 .
Абсциссу и ординату	точки	М называют координатами точки М. Запись М(х ; у ) означает , что точка М имеет абсциссу х и ординату у.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность	точки	с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Для построения прямой достаточно найти какие - нибудь две	точки	.
Ордината	точки	пересечения и даст соответствующее значение функции .
Приложив линейку , можно убедиться , что все построенные	точки	лежат на одной прямой , проходящей через начало координат .
Построим	точки	с найденными координатами .
Таким образом , графиком уравнения является прямая , проходящая через	точки	.
Найти координаты	точки	пересечения графиков функций .
3 Если в фигуре более двух нечётных точек , то её нельзя вычертить одним росчерком ( например , фигура имеет 4 нечётные	точки	) .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных	точки	) .
Следовательно , графиком уравнения является прямая , проходящая через	точки	.
Координаты	точки	пересечения прямых можно было найти с помощью графика .
Найдём координаты	точки	пересечения построенных прямых , не используя графики .
Например , различные	точки	плоскости .
Так как координаты ( х ; у ) этой	точки	удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые равенства , то пара чисел ( х ; у ) должна быть решением системы .
Отметим , что для построения графика линейной функции иногда удобно находить	точки	пересечения этого графика с осями координат .
Например , в записи М(3 ; 5 ) число 3 — абсцисса , число 5 — ордината	точки	М .
Найти координаты	точки	пересечения прямых .
График функции y проходит через	точки	и .
Найти значения k и b , если известно , что график функции проходит через	точки	.
Прямая , проходящая через	точки	, является графиком функции .
Решение системы уравнений способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат	точки	пересечения .
Ордината этой	точки	равна 0 .
Для построения графика функции у равно х проведём прямую , проходящую через	точки	.
Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины -	точки	могут быть заменены , например , кругами или прямоугольниками , а рёбра - отрезки — любыми линиями .
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей	точки	графика функции .
Координаты	точки	.
При каких значениях k и b график функции проходит через	точки	? .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты	точки	пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
прямая , поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две	точки	графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Доказать , что отношение ординаты любой	точки	полученного графика к её абсциссе равно 4 .
Из курса геометрии известно , что через две	точки	проходит единственная .
На координатной плоскости отметить	точки	.
Нужно вспомнить : названия осей координат и координат	точки	на плоскости ; построение точек с заданными координатами на координатной плоскости ; представление о прямой и её построение по двум точкам .
прямая , поэтому для того чтобы построить график функции у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти	точки	прямую .
В этом параграфе вы узнаете , как называются координаты	точки	на координатной плоскости , как строится точка по заданным координатам и как находится « адрес » точки , т .
Найти	точки	пересечения графика функции у с осями координат и построить график .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты	точки	пересечения графика уравнения с осью Ох .
Построить прямую , проходящую через	точки	.
Построить	точки	, симметричные им относительно : а ) оси Ох ; б ) оси Оу ; в ) начала координат .
Найти координаты	точки	их пересечения .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до	точки	с координатой а .
1 ) При каких значениях k и b график функции y проходит через	точки	.
Найти координаты	точки	пересечения стороны АВ с осью Оу .
Даны	точки	.
Найти координаты	точки	D и построить квадрат .
Найти координаты	точки	пересечения стороны СЕ с осью Ох .
Договоримся называть	точки	, в которых сходится чётное число линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий , чётными , а	точки	, в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы	точки	графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
И он первым стал использовать для обозначения положения	точки	на плоскости не только положительные числа и нуль , но и отрицательные числа .
Найти координаты	точки	пересечения графика функции с графиком функции у равно 5 .
Декарт при описании метода координат рассматривал изменение ординаты у	точки	, описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений абсциссы х этой точки .
Проверить , обращают ли координаты	точки	пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство .
2 Если в фигуре две нечётные	точки	( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
В самом деле , так как при , то точка графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы	точки	графика функции .
На плоскости расположены	точки	.
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей	точки	А графика .
Декарт при описании метода координат рассматривал изменение ординаты у точки , описывающей некоторую линию , в зависимости от изменений абсциссы х этой	точки	.
Найти значение b , если известно , что график функции проходит через	точку	.
На самом деле невозможно побывать на каждом из этих мостов по одному разу , даже если не возвращаться в исходную	точку	.
Проходит ли график этой функции через	точку	? .
Проходит ли график функции у равно через	точку	? .
Я попробовала « погулять » карандашом по мостам Кёнигсберга , но не смогла вернуться в ту же	точку	.
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную	точку	) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
Он же первым заменил знак умножения « x » на	точку	, чтобы его не путали с неизвестным числом х .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём	точку	М пересечения его с графиком данной функции .
Найти значение k , если известно , что график функции проходит через	точку	.
Построить график функции у , если известно , что ему принадлежит точка В. График какой из этих функций проходит через	точку	.
График функции у проходит через	точку	.
Найти значение k , если график функции y проходит через	точку	.
Через какую	точку	проходят все графики функций вида .
Прямые пересекаются , имеют одну общую	точку	.
Найдём	точку	пересечения графика с осью ординат .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную	точку	, она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
График функции y проходит через	точку	.
Построить	точку	.
Найдём	точку	пересечения графика с осью абсцисс .
Записать формулой функцию , график которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 )	точку	с координатами .
На оси абсцисс отметим	точку	с координатой – 3 и проведём через неё перпендикуляр к этой оси .
Заполнить пропуски в тексте : 1 ) прямая у проходит через	точку	; 2 ) прямая у отсекает на оси ординат от её начала отрезок длиной ; 3 ) прямая у отсекает на оси абсцисс от её начала отрезок длиной ; 4 ) среди прямых параллельными являются .
На оси ординат отметим	точку	с координатой 2 и проведём через неё перпендикуляр к оси ординат .
Определить значение b , если через	точку	с координатами ( 3 ; 10 ) проходит график функции , заданной формулой .
Так как начало координат принадлежит графику функции y , то для построения этого графика достаточно найти ещё одну	точку	.
Построить график функции если известно , что этот график проходит через	точку	.
Не выполняя построения графика функции у равно 2х выяснить , проходит ли он через	точку	.
Записать формулой линейную функцию , график которой проходит через	точку	и параллелен графику данной функции .
Прямая ОА проходит через начало координат и	точку	.
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому графиком функции является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через	точку	.
Найти значение k , если известно , что график функции у проходит через	точку	.
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через	точку	оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Они условились , что первый даст половину суммы , второй — одну треть , а	третий	— оставшуюся часть .
Эта прямая делит первый и	третий	координатные углы пополам .
Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше , чем первый , а	третий	— на 139 меньше , чем второй .
Сколько даст	третий	? .
Первый внёс а р . , второй — на 10 % больше , чем первый , а	третий	— на 40 % меньше , чем оба его друга внесли вместе .
Если половину воды из первого сосуда перелить во второй , затем А часть воды , оказавшейся во втором сосуде , перелить в	третий	и , наконец , часть воды , оказавшейся в третьем сосуде , перелить в первый , то в каждом сосуде станет по 6 л .
В	третий	день он прошёл путь , равный 40 % того , что было пройдено за первые два дня .
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно n , тогда следующее за ним число равно , а	третье	число равно .
Сколькими способами могут быть заняты первое , второе и	третье	призовые места ( по одному человеку на место ) на соревнованиях , в которых участвуют : 1 ) 5 человек ; 2 ) 6 человек .
Сколько различных вариантов обедов , состоящих из одного первого , одного второго и одного	третьего	блюда , можно составить из предложенного меню ? .
На долю первого пришлась четверть этой суммы , на долю второго — седьмая часть , а на долю	третьего	— 17 флоринов .
Перечислить все возможные варианты обедов из трёх блюд ( одного первого , одного второго и одного	третьего	блюда ) , если в меню столовой имеются два первых блюда : щи ( щ ) и борщ ( б ) ; три вторых блюда : рыба ( р ) , гуляш ( г ) и плов ( n ) ; два третьих : компот ( к ) и чай ( ч ) .
Первый спутник был легче	третьего	на 1243,4 кг , второй — на 818,2 кг .
Объяснить необходимость выполнения	третьего	этапа решения задач с помощью уравнений .
Произведение первого и второго чисел на 34 меньше квадрата	третьего	.
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия	третьей	ступени , затем второй ( умножение и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель	третьей	дроби , нужно к полученному произведению дописать множитель .
Сколько человек вошло в автобус на	третьей	остановке ? .
3 Какие действия относят к действиям первой ступени ; второй ступени ;	третьей	ступени ? .
Это — действие	третьей	ступени .
Второй цифрой может быть любая из трёх данных цифр ;	третьей	— также любая из цифр 0 , 1 , 2 .
Членами многочлена служат одночлены второй степени , четвёртой и	третьей	степеней .
На первых двух остановках вышло по m человек на каждой остановке , а на	третьей	никто не вышел , но вошло несколько человек , после чего в автобусе стало k пассажиров .
При нахождении значения числового выражения принят следующий порядок выполнения действий : 1 ) Если выражение не содержит скобок , то сначала выполняют действия	третьей	ступени , затем действия второй ступени и , наконец , действия первой ступени ; действия одной и той же ступени выполняют в том порядке , в котором они записаны .
С помощью графа изобразить процесс разрезания листа бумаги сперва на три части , затем разрезания одной части пополам , второй части на 3 части и	третьей	— на 4 части .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ; умножение и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями	третьей	ступени .
В первой коробке на 4 карандаша больше , чём во второй , и на 3 карандаша меньше , чем в	третьей	.
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и	третьей	ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Если половину воды из первого сосуда перелить во второй , затем А часть воды , оказавшейся во втором сосуде , перелить в третий и , наконец , часть воды , оказавшейся в	третьем	сосуде , перелить в первый , то в каждом сосуде станет по 6 л .
В меню столовой предложены на выбор 3 первых , 5 вторых и 4	третьих	блюда .
Перечислить все возможные варианты обедов из трёх блюд ( одного первого , одного второго и одного третьего блюда ) , если в меню столовой имеются два первых блюда : щи ( щ ) и борщ ( б ) ; три вторых блюда : рыба ( р ) , гуляш ( г ) и плов ( n ) ; два	третьих	: компот ( к ) и чай ( ч ) .
Рассматривая меню обедов в кафе , человек мысленно составляет комбинации из различных первых , вторых и	третьих	блюд , после чего делает выбор .
2 зерна , на	третью	ещё в 2 раза больше , т .
Попроси кого - нибудь задумать двузначное число , возвести его в	третью	степень и написать на бумажке результат вычислений .
А вы не подметили никаких закономерностей в коэффициентах многочленов , получаемых после возведения суммы во вторую , в	третью	степени ? .
Долю называют половиной ;	третью	; четвертью .
Некто пришёл в ряд , купил игрушек для малых ребят : за первую игрушку заплатил часть всех своих денег , за другую — остатка от первой покупки , за	третью	игрушку заплатил остатка от второй покупки .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в	третью	степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Вова	третью	часть суток спит , 1,5 ч тратит на приём пищи , n ч — на учёбу , m мин — на дорогу .
Каждая курица снесла яйца —	третью	часть от числа всех куриц .
Первая группа собрала 80 % того , что собрала вторая группа , а	третья	группа собрала 50 % того , что собрали первые две группы .
Вторая фирма продала на 10 % больше компьютеров , чем первая , а	третья	— на 100 компьютеров меньше , чем первые две вместе .
Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное число , от которого	третья	часть — целое число .
Первая группа посадила а деревьев , вторая — 80 % того , что посадила первая , а	третья	— на 5 деревьев больше второй .
Упражнения к главе VI . 1 ) Построить	треугольник	АВС по координатам его вершин .
Построить	треугольник	по координатам его вершин .
Рассмотрим	треугольник	, размеры которого указаны .
Построить	треугольник	DCE по координатам его вершин .
Найти : 1 ) высоту треугольника , если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание	треугольника	, если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
План земельного участка имеет форму	треугольника	со сторонами 5 см , 4 см и 3 см. Какой выбран масштаб на этом плане , если периметр участка равен 60 м ? .
Найти стороны	треугольника	, если его периметр равен 36 см .
Составить выражение для нахождения периметра	треугольника	и найти значение полученного выражения , если .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него окружность , то окружность будет функцией равностороннего	треугольника	, вписанного в неё .
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом треугольнике » описал теорию составления	треугольника	биномиальных коэффициентов .
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции и вычислить площадь прямоугольного	треугольника	, ограниченного прямой и координатными осями .
Площадь S треугольника находят по формуле , где а — основание	треугольника	, h — его высота .
Найти : 1 ) высоту	треугольника	, если его площадь равна 25 см2 , а основание — 10 см ; 2 ) основание треугольника , если его высота равна 80 мм , а площадь — 60 см2 .
Имеются три мерных отрезка известных длин а , b и с. При замере с их помощью длин сторон	треугольника	оказалось , что стороны выражаются через мерные отрезки следующим образом .
Теперь я могу легко написать следующие строчки	треугольника	.
Узнаёте в строках	треугольника	Паскаля коэффициенты рассмотренных многочленов ? .
Функция y пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь прямоугольного	треугольника	АОВ , где О — начало координат .
Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найти стороны	треугольника	, если боковая сторона на 5 см больше основания .
Предлагают около вершин	треугольника	записать произвольные числа , например числа 2 , 6 и 7 .
В одной из старинных книг по геометрии описывается « чудесное » свойство	треугольника	.
Периметр равнобедренного	треугольника	равен 46 см. Найти стороны треугольника , если боковая сторона на 5 см больше основания .
Нетрудно показать , что речь идёт не о « таинственном » свойстве	треугольника	, а о сочетательном и переместительном законах сложения .
Площадь S	треугольника	находят по формуле , где а — основание треугольника , h — его высота .
Ат - Туси составил таблицу для вычисления биномиальных коэффициентов в форме	треугольника	.
В равнобедренном	треугольнике	основание составляет 0,4 боковой стороны .
А Блез Паскаль ( 1623–1662 ) в « Трактате об арифметическом	треугольнике	» описал теорию составления треугольника биномиальных коэффициентов .
Они изображены камешками , выложенными в форме	треугольников	.
В наши дни эту таблицу называют	треугольником	Паскаля .
К примеру , если каждому равностороннему	треугольнику	поставить в соответствие описанную около него окружность , то окружность будет функцией равностороннего треугольника , вписанного в неё .
Хорошо , сделаю подсказку , а вы с её помощью обоснуете формулу n - го по порядку	треугольного	числа .
Например , умножая четвёртое	треугольное	число на 8 и прибавляя 1 , получим 81 , что является девятым квадратным числом .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое	треугольное	число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Несложно обосновать , почему n - е по порядку	треугольное	число находится по формуле .
Значит , я легко могу найти , например , сотое по порядку	треугольное	число .
История создания	треугольной	таблицы биномиальных коэффициентов .
Формула числа камешков N в n - м по порядку	треугольном	числе имеет вид .
Преобразование таблицы к «	треугольному	виду » — в левом верхнем углу записан 0 — давало возможность переходить к решению одного уравнения с одним неизвестным , а затем подстановкой находить другое неизвестное .
Были , например ,	треугольные	числа : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую	треугольные	и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Изображены приложенные друг к другу два одинаковых n - х по порядку	треугольных	числа ( одно выложено из чёрных камней , другое , « перевёрнутое » , — из белых ) .
Справедливость формулы Диофанта , где k — некоторое квадратное число , проверьте самостоятельно на первых 10	треугольных	числах .
Разложить на множители	трёхчлен	.
Примеры	трёхчленов	.
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют	трёхчленом	.
А в 8 классе вы узнаете формулы , с помощью которых сможете такие	трёхчлены	быстро раскладывать на множители .
А для простейших практических задач в действиях со многими реальными физическими и геометрическими величинами им вполне хватало первого координатного	угла	.
Построить точки и указать , каким координатным	углам	они принадлежат .
Прямые углы , образуемые осями координат , называют координатными	углами	( квадрантами ) и нумеруют так .
Сравнить с нулём абсциссу х и ординату у точки , расположенной : в I координатном	угле	; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Значит , они фактически работали с координатами только в первом координатном	угле	? .
Сравнить с нулём абсциссу х и ординату у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном угле ; в IV координатном	угле	.
Действительно , и Оресм , и древние учёные ( в силу ещё и того , что у них было особенное , негативное отношение к отрицательным числам ) выполняли все расчёты , как бы мы сейчас сказали , в первом координатном	угле	.
Сравнить с нулём абсциссу х и ординату у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном	угле	; в III координатном угле ; в IV координатном угле .
Сравнить с нулём абсциссу х и ординату у точки , расположенной : в I координатном угле ; во II координатном угле ; в III координатном	угле	; в IV координатном угле .
Построить график функции и указать , внутри каких координатных	углов	расположен этот график .
Об учебнике Л. Ф. Магницкого . Хочу вам показать интересную запись , которая была сделана в правом нижнем	углу	титульного листа первого русского учебника арифметики Л. Ф. Магницкого ( 1669–1739 ) , изданного в 1703 г .
Преобразование таблицы к « треугольному виду » — в левом верхнем	углу	записан 0 — давало возможность переходить к решению одного уравнения с одним неизвестным , а затем подстановкой находить другое неизвестное .
Прямые	углы	, образуемые осями координат , называют координатными углами ( квадрантами ) и нумеруют так .
Что такое координатные	углы	?
Эта прямая делит второй и четвёртый координатные	углы	пополам .
Эта прямая делит первый и третий координатные	углы	пополам .
Например , в записи число а —	уменьшаемое	, b — вычитаемое , с — разность .
Число , из которого вычитают , называют	уменьшаемым	, а число , которое вычитают , — вычитаемым .
Но расставлять дополнительные множители ,	умножать	на них числители и потом преобразовывать длинное выражение в числителе полученной дроби займёт очень много времени .
Например ,	умножая	четвёртое треугольное число на 8 и прибавляя 1 , получим 81 , что является девятым квадратным числом .
Если это не так , то можно уравнять модули коэффициентов при каком - нибудь одном из неизвестных ,	умножая	левую и правую части каждого уравнения на подходящие числа .
Выполнить	умножение	многочлена на одночлен .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ;	умножение	многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ;	умножение	многочлена на одночлен .
Нужно вспомнить :	умножение	и деление обыкновенных дробей ; понятие степени числа ; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ;	умножение	многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ;	умножение	одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Так в российских школах в те времена записывали	умножение	столбиком двух многочленов .
Нужно вспомнить :	умножение	чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Выполнить	умножение	одночленов .
Известно , что : сложение и вычитание называют действиями первой ступени ;	умножение	и деление — действиями второй ступени ; возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени .
Точно так же выполняется	умножение	любого многочлена на одночлен , например .
Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем же правилам , что и	умножение	и деление обыкновенных дробей .
Упростим левую и правую части уравнения : выполним	умножение	и приведём подобные члены .
Чтобы выполнить	умножение	смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
Промежуточный результат можно не записывать , а сразу писать ответ , выполняя	умножение	одночленов устно , например .
Если два или три слова писались последовательно , это означало	умножение	показателей .
Используя навыки умножения одночлена на многочлен , вы без труда сможете выполнять	умножение	многочлена на многочлен .
Чтобы перемножить две десятичные дроби , нужно : 1 ) выполнить	умножение	, не обращая внимания на запятые ;
Заменяя	умножение	делением , получаем Устные вопросы и задания .
В параграфе рассматриваются два действия с одночленами :	умножение	и возведение в натуральную степень .
Нужно вспомнить : приведение одночлена к стандартному виду ;	умножение	одночлена на многочлен ; приведение многочлена к стандартному виду ; распределительный закон умножения .
При этом промежуточные результаты можно не писать , выполняя	умножение	одночленов устно , например .
Напомним , что при вычислении значения выражения , не содержащего скобки , сначала выполняют действия третьей ступени , затем второй (	умножение	и деление ) и , наконец , первой ( сложение и вычитание ) .
Нужно вспомнить : порядок выполнения арифметических действий ; сложение , вычитание ,	умножение	и деление алгебраических дробей ; возведение алгебраической дроби в степень ; нахождение числового значения алгебраического выражения .
Так записывали	умножение	многочлена на одночлен в прошлые века .
Выполнить	умножение	.
1 Сложение и	умножение	.
Выполнить	умножение	одночленов и найти значение полученного выражения .
Выполнить	умножение	многочленов .
Разложить многочлен на множители и результат проверить	умножением	.
Деление можно заменить	умножением	на число , обратное делителю .
Так как уравнение получается из уравнения	умножением	его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих уравнений является одна и та же прямая .
Заменяя деление	умножением	, получаем .
Правильность разложения многочлена на множители можно проверить	умножением	полученных множителей .
В таком случае можно пользоваться	умножением	« в столбик » .
При	умножении	степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним , а показатели степеней складываются .
Последняя цифра числа равна 6 , так как при	умножении	чисел с последней цифрой 6 получается число также с последней цифрой 6 .
Если в многочлене много членов , то при	умножении	его на одночлен я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать степени одночленов .
Это свойство означает , что при	умножении	или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
Профессор , Вы нам показывали , как удобно использовать запись столбиком при сложении , вычитании и	умножении	многочленов .
Вы уже знаете , что линейное уравнение вида , где b ≠ 0 , не имеет корней , так как при	умножении	на 0 произведение всегда равно нулю .
При	умножении	любого числа на нуль получается нуль .
Для сокращения записи знак	умножения	( точка ) часто опускается .
Начни выписывать аккуратно все множители после действий в скобках и посмотри , как упрощается получаемая после	умножения	дробь .
Возможность облегчённого письменного счёта ( сложения и	умножения	столбиком и др. ) даёт позиционная система счисления — в зависимости от позиции в записи числа цифра берёт на себя разные функции .
Думаю , нетрудно сообразить , как Евклид доказывал , например , переместительный закон	умножения	.
Попробую « перевести » запись из учебника Магницкого на современные обозначения и сравнить свой результат	умножения	с записанным в старинной книге .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и	умножения	многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Применение знакомого вам распределительного закона позволит выполнить действие умножения одночлена на многочлен ( или	умножения	многочлена на одночлен ) .
После применения переместительного закона	умножения	эту формулу можно записать в виде .
Коэффициент , равный 1 , обычно не записывают , так как от	умножения	на единицу число не меняется .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы	умножения	; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
По определению степени с натуральным показателем , по сочетательному и переместительному законам	умножения	, по определению степени с натуральным показателем .
Формулы сокращённого	умножения	.
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий	умножения	и деления ; запись числа в стандартном виде .
В этой главе вы узнали , что такое : — алгебраическая дробь ; — допустимые значения букв , входящих в алгебраическую дробь ; — основное свойство алгебраической дроби ; — общий знаменатель алгебраических дробей ; как : — применять основное свойство дроби для упрощения результата действий с дробями ; — сокращать дроби ; — приводить дроби к общему знаменателю ; — выполнять действия сложения , вычитания ,	умножения	и деления алгебраических дробей ; — возводить дробь в степень ; — выполнять совместные действия над алгебраическими дробями .
Сформулировать правила	умножения	и деления алгебраических дробей .
Используя навыки	умножения	одночлена на многочлен , вы без труда сможете выполнять умножение многочлена на многочлен .
Нужно вспомнить : распределительный и переместительный законы	умножения	; приведение одночлена к стандартному виду ; запись многочлена в стандартном виде .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания ,	умножения	и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Например , в VII книге « Начал » Евклида с помощью геометрических понятий доказаны небезызвестные вам переместительный закон	умножения	ab равно ba и распределительный закон в общем виде .
попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого	умножения	;
Он же первым заменил знак	умножения	« x » на точку , чтобы его не путали с неизвестным числом х .
Применяя распределительное свойство	умножения	чисел , можно записать .
Сформулировать переместительный и распределительный законы	умножения	.
Поэтому свойства деления можно вывести из свойств	умножения	.
Нужно вспомнить : приведение одночлена к стандартному виду ; умножение одночлена на многочлен ; приведение многочлена к стандартному виду ; распределительный закон	умножения	.
Выполнить действия , используя формулы сокращённого	умножения	.
Пользуясь правилом	умножения	многочлена на многочлен , получаем .
Чтобы успешно изучать алгебру , нужно знать свойства арифметических действий ( сложения , вычитания ,	умножения	, деления ) .
В этом параграфе знакомые вам действия	умножения	и деления обыкновенных дробей , а также возведение дроби в натуральную степень будут перенесены на действия с алгебраическими дробями .
1 Сформулировать три основных закона сложения и	умножения	.
Применение знакомого вам распределительного закона позволит выполнить действие	умножения	одночлена на многочлен ( или умножения многочлена на одночлен ) .
Правило умножения многочленов будет обосновано в этом параграфе с помощью распределительного закона	умножения	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого	умножения	; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Применим распределительное свойство	умножения	.
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого	умножения	; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
В этом параграфе продолжается изучение формул сокращённого	умножения	, упрощающих преобразования алгебраических выражений .
Правило	умножения	многочленов будет обосновано в этом параграфе с помощью распределительного закона умножения .
По свойствам	умножения	и деления получаем .
По определению степени с натуральным показателем по первому свойству степени по определению	умножения	.
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и	умножения	; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
При совместных действиях над алгебраическими дробями вам придётся применять все ранее полученные знания и умения : правильно определять порядок выполнения действий ; при сложении и вычитании дробей — приводить их к общему знаменателю ; после	умножения	и деления дробей — выполнять при необходимости сокращение получаемых дробей .
Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия	умножения	— произведением .
Вычисления можно провести короче , если сначала упростить данный одночлен , используя переместительный и сочетательный законы	умножения	.
Например , уравнение ( его можно записать в виде ) имеет два корня , потому что число 25 можно получить как результат	умножения	двух одинаковых чисел двумя способами .
Выполненные преобразования основаны на применении переместительного , сочетательного и распределительного законов сложения и	умножения	.
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого	умножения	; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого умножения .
Доказать , что результат	умножения	такого числа на 11 получится , если между цифрами этого числа вставить их сумму .
Профессор , таблицу	умножения	мы помним ещё из начальной школы .
На основании каких свойств действий сложения и	умножения	выполняется разложение многочлена на множители способом группировки ? .
Этот закон и лежит в основе правила	умножения	многочлена на одночлен .
Сформулировать правило : 1 ) сложения ( вычитания ) дробей с разными знаменателями ; 2 )	умножения	и деления дробей ; 3 ) возведения дроби в степень .
Во II книге « Начал » Евклида распределительный закон	умножения	доказывается геометрическим способом .
Применяя распределительное свойство	умножения	, этот множитель можно вынести за скобки .
Если такой множитель имеется , то на основании распределительного закона	умножения	его выносят за скобки , преобразуя тем самым многочлен в произведение .
По сочетательному закону	умножения	.
Можете проверить верность результата с помощью	умножения	.
Результаты этих действий с помощью переместительного и сочетательного законов	умножения	, а также с помощью свойств степеней приводятся к одночлену стандартного вида .
В предыдущих параграфах было показано , что в результате сложения , вычитания ,	умножения	и возведения в натуральную степень одночленов и многочленов снова получается многочлен .
Используя распределительное свойство	умножения	, данный многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена .
В предыдущей главе было показано , что в результате	умножения	многочленов получается многочлен .
В результате	умножения	многочлена на одночлен снова получится многочлен .
По определению степени с натуральным показателем , по правилу	умножения	дробей , по определению степени с натуральным показателем .
Из равенства число b находится с помощью действия деления , которое называют обратным к действию	умножения	.
Нужно вспомнить : свойства степеней ; переместительный и сочетательный законы	умножения	.
Чтобы выполнить умножение смешанных чисел , нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом	умножения	дробей .
1 Сформулировать свойство : 1 )	умножения	степеней с одинаковыми основаниями ; 2 ) деления степеней с одинаковыми основаниями ;
По свойствам	умножения	чисел можно записать следующее равенство .
Формулу называют формулой сокращённого	умножения	.
Геометрические доказательства формул сокращённого	умножения	.
В результате	умножения	одночленов получается одночлен .
Записать в виде многочлена стандартного вида результат	умножения	.
Сформулировать правило	умножения	многочлена на многочлен .
Нужно вспомнить : таблицу	умножения	действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Напомним законы сложения и	умножения	: Переместительный ; Сочетательный ; Распределительный .
Применить распределительный закон	умножения	и вычислить .
В результате	умножения	многочлена на многочлен снова получается многочлен , который можно записать в стандартном виде .
Нужно вспомнить : формулу разности квадратов и формулы сокращённого умножения ; способы разложения многочлена на множители : 1 ) вынесением за скобки общего множителя ; 2 ) способом группировки ; 3 ) с помощью формул сокращённого	умножения	.
Нужно вспомнить : переместительный и сочетательный законы	умножения	; понятие степени с натуральным показателем ; свойства степеней ; действия со степенями ; нахождение числовых значений алгебраических выражений .
Формулы квадрата суммы и квадрата разности называют также формулами сокращённого	умножения	и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений , например .
Да , Вы рассказывали о том , как доказывал распределительный закон	умножения	Евклид , называя буквы отрезками , а произведения двух букв — прямоугольниками .
Формула разности квадратов относится к группе так называемых формул сокращённого	умножения	.
Сформулировать алгоритм	умножения	многочлена на одночлен .
Вычтем из первого уравнения ,	умноженного	на 3 , второе , умноженное на 2 , откуда у равно 5 .
Вычтем из первого уравнения , умноженного на 3 , второе ,	умноженное	на 2 , откуда у равно 5 .
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений ,	умножим	второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое уравнение , находим .
Обе части первого уравнения системы	умножим	на 3 , а второго — на 2 и вычтем из второго уравнения полученной системы первое .
Чтобы	умножить	многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Разделив на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно	умножить	её числитель и знаменатель .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно	умножить	каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Если его	умножить	на 4 , к произведению прибавить 8 и полученную сумму разделить на 2 , то получится 10 .
Свойство 2 Обе части уравнения можно	умножить	или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
	Умножить	числитель каждой дроби на её дополнительный множитель ;
Чтобы	умножить	многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби	умножить	или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
	Умножить	числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое	умножить	на число , обратное делителю .
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена	умножить	на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком , нужно	умножить	неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток .
Например , так как , так как . Чтобы	умножить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы .
2 Если обе части верного равенства	умножить	или разделить на одно и то же не равное нулю число , то получится верное равенство .
Чтобы	умножить	дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели	умножить	на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
Чтобы найти дробь от числа , нужно	умножить	число на эту дробь .
Задумайте какое - нибудь число ,	умножьте	его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму разделите на 3 и вычтите задуманное число .
Таким образом , наша задача имеет два решения ( как и составленное по её условию	уравнение	) .
Упражнения . ( Устно . ) Решить	уравнение	.
Мне кажется , что одно	уравнение	с двумя неизвестными однозначно решить нельзя .
Составить такое линейное	уравнение	с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с уравнением образовало систему : 1 ) имеющую единственное решение ;
Например , пары также обращают	уравнение	в верное равенство .
Решить с помощью микрокалькулятора	уравнение	.
А само	уравнение	вида . стали записывать в виде и понимать его как закон изменения у в зависимости от х , т .
Решить	уравнение	: 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение делится на 24 .
Например , трудно догадаться , что	уравнение	обращается в верное равенство при х равно 7 .
Например ,	уравнение	имеет бесконечно много корней : любое значение х является корнем этого уравнения , так как при любом х левая часть уравнения равна правой части .
а — такое число , при котором	уравнение	обращается в верное равенство .
Решить	уравнение	— это значит найти все его корни или установить , что их нет .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе	уравнение	( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
Сколько корней может иметь	уравнение	? .
Можно найти много пар чисел х и у , обращающих в верное равенство первое	уравнение	системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
Какое	уравнение	называется линейным ?
Действительно , поэтому исходное	уравнение	можно заменить на такое .
Что значит решить	уравнение	? .
Решая это	уравнение	, находим Ответ .
При	уравнение	обратилось в верное равенство , следовательно , х равно 3 — единственный корень уравнения .
Например ,	уравнение	не имеет корней , так как при любом значении х левая часть этого уравнения больше правой .
Указать , при каких значениях а имеет единственный корень	уравнение	.
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как	уравнение	не имеет корней среди однозначных натуральных чисел ( а корнем уравнения является число 3 ) .
По тексту высказывания составить	уравнение	и решить его : 1 ) если число х уменьшить на 26 % , то получится число 7,4 ;
В этой главе вы узнали , что такое : —	уравнение	первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Показать , что	уравнение	не имеет корней .
д. Например , уравнение имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это	уравнение	обращается в верное равенство , а при других значениях х левая часть уравнения не равна нулю .
Корень этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать	уравнение	, откуда x равно 9 .
Подставляя у равно 5 в первое	уравнение	системы , находим .
Аналогично составляем	уравнение	для разряда десятков .
Итак , предположив , что	уравнение	имеет корень а , мы получили а равно 3 .
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений , которые можно преобразовать в	уравнение	вида , где а и b — заданные числа , х — неизвестное .
Однако может оказаться , что	уравнение	с одним неизвестным не имеет корней или любое значение неизвестного является корнем уравнения .
Значит , нужно решить	уравнение	, где х — число рубашек с 8 пуговицами , а у — число рубашек с 7 пуговицами ?
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; понятие корня уравнения с одним неизвестным ; что значит решить	уравнение	с одним неизвестным .
Затем он применял ал - мукабалу ( отнимал от обеих частей уравнения 5х и 1 ) и получал	уравнение	, после чего легко находил его корень .
Упростим каждое из уравнений системы , поделив первое	уравнение	на 2 , а второе — на 3 .
В рассмотренных примерах каждое	уравнение	имело один корень .
Вычитая из первого уравнения системы ( 2 ) второе	уравнение	, получаем . 3 ) Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , запишем ответ .
Таким образом , если данное	уравнение	имеет корень , то он может быть равен только числу 3 .
Решить	уравнение	.
д. Например ,	уравнение	имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное равенство , а при других значениях х левая часть уравнения не равна нулю .
Разделим обе части второго уравнения на 2 и вычтем полученное	уравнение	из первого .
Подставляя у равно 1 в первое	уравнение	системы , находим .
Решить уравнение , принимая за неизвестное х , и выяснить , при каких значениях а это	уравнение	имеет корни .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное	уравнение	) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Подобрать число а такое , чтобы	уравнение	имело корни .
Умножим первое	уравнение	системы на 2 .
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий	уравнение	и корень уравнения , будут показаны примеры уравнений , не имеющих корней , и уравнений , имеющих бесконечно много корней .
Указать такое значение а , при котором данное	уравнение	имеет корни .
Решить	уравнение	, используя свойства пропорции .
Упростим	уравнение	.
Решая это	уравнение	, находим .
Это	уравнение	не имеет корней , так как левая часть 0 · х равна нулю при любом х , а значит , не равна 1 .
Подставив его в первое	уравнение	, найдём .
Профессор , во введении к главе сказано , что алгебра — это искусство решать	уравнение	, а также , что название алгебры связано со вторым словом в заголовке книги ал - Хорезми « Китаб ал - джабр ал - мукабала » .
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её	уравнение	в верное равенство .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить	уравнение	или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Итак , при это	уравнение	обращается в верное числовое равенство .
4 Решить	уравнение	.
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое	уравнение	системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
При каком значении а	уравнение	а ) имеет один корень ; б ) не имеет корней ? .
Выяснить , имеет ли корни	уравнение	при заданном значении а .
Например ,	уравнение	( его можно записать в виде ) имеет два корня , потому что число 25 можно получить как результат умножения двух одинаковых чисел двумя способами .
Однако после изучения темы вы увидите , что второе	уравнение	сводится к первому и имеет тот же корень х равно 3 .
Решить	уравнение	относительно х , если .
Например , решая	уравнение	ал - Хорезми сперва применял ал - джабр и получал .
Установить , при каких значениях а	уравнение	имеет : 1 ) один корень ; 2 ) бесконечно много корней .
Корнем уравнения называется то значение неизвестного , при котором это	уравнение	обращается в верное равенство .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых	уравнение	или система уравнений имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
А решать	уравнение	вряд ли кто - то из вас возьмётся до изучения этого параграфа .
Подставив найденное значение х равно – 6 в первое	уравнение	данной системы , получим .
Дано линейное	уравнение	с двумя неизвестными х и у. Выразить сначала х через г/ , а затем у через х .
Рассмотрим	уравнение	.
Вы уже знаете , что линейное	уравнение	вида , где b ≠ 0 , не имеет корней , так как при умножении на 0 произведение всегда равно нулю .
Решаем это	уравнение	: Подставляя у равно 6 в равенство , находим .
Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в это	уравнение	получается верное числовое равенство .
Теперь рассмотрим первое	уравнение	системы .
Таким образом , мы получили для определения расстояния х	уравнение	.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется	уравнение	вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю .
При каких значениях а	уравнение	: 1 ) не имеет корней ;
Изучив эту главу , вы сможете составить	уравнение	( математическую модель ) для решения этих , а также многих других задач , научитесь преобразовывать уравнения и легко их решать .
Составить	уравнение	, корнем которого является число .
Решить	уравнение	относительно х , если а и b — заданные числа , отличные от нуля .
Подобрать число а так , чтобы	уравнение	имело корень .
Подставляя у во второе	уравнение	исходной системы , находим , откуда х равно 2 .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это	уравнение	, найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Так как	уравнение	получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих уравнений является одна и та же прямая .
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое	уравнение	, находим .
Подставим у равно 3 в первое	уравнение	системы .
Полученное	уравнение	имеет бесконечное множество решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
При решении задачи 1 была найдена пара чисел х равно 2 , у равно 3 , при которых	уравнение	равно 41 обращается в верное числовое равенство .
Установить , при каких значениях а	уравнение	: 1 ) имеет один корень ; 2 ) не имеет корней .
Он заключается в следующем : из одного уравнения системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно	уравнение	с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
При а равно 3 второе	уравнение	системы не имеет решений .
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе	уравнение	на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое уравнение , находим .
Фигурная скобка , стоящая слева , показывает , что нужно найти такую пару чисел ( х ; у ) , которая обращает каждое	уравнение	в верное равенство .
Упростим уравнения системы : 1 ) Из первого уравнения системы находим ; 2 ) Подставляем во второе	уравнение	системы .
Решить	уравнение	, принимая за неизвестное х , и выяснить , при каких значениях а это уравнение имеет корни .
Подставляем у во второе	уравнение	системы .
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое	уравнение	без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое уравнение , находим .
При каких значениях х	уравнение	обращается в верное равенство .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное	уравнение	с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Решаем это	уравнение	.
Какое равенство называют	уравнением	? .
Что называют	уравнением	первой степени ( линейным уравнением ) с двумя неизвестными ? .
Равенство , содержащее неизвестное число , обозначенное буквой , называется	уравнением	.
Что называют уравнением первой степени ( линейным	уравнением	) с двумя неизвестными ? .
Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными , чтобы оно вместе с	уравнением	образовало систему : 1 ) имеющую единственное решение ;
Уравнение называют линейным	уравнением	.
В	уравнении	левая часть , правая часть 65 .
В	уравнении	числа а и b называют коэффициентами при неизвестных х и у , а число с — свободным членом .
Например , в	уравнении	равно 95,1 неизвестное число обозначено буквой х , а в уравнении равно 7 — буквой у.
После публикации Декарта многие математики в	уравнении	с двумя неизвестными стали неизвестные х и у рассматривать как переменные .
Но так как и в исходном	уравнении	, и в новых обозначениях речь шла об одних и тех же х и у , то , чтобы их найти , нужно решить систему .
Например , в уравнении равно 95,1 неизвестное число обозначено буквой х , а в	уравнении	равно 7 — буквой у.
В этом параграфе будут разобраны примеры использования алгебраических выражений для записи алгебраических равенств ,	уравнений	и формул .
Решение многих практических задач сводится к решению	уравнений	, которые можно преобразовать в уравнение вида , где а и b — заданные числа , х — неизвестное .
Решением системы двух	уравнений	с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство .
при решении полученного уравнения ) потребовалось применить изученные в предыдущем параграфе свойства	уравнений	.
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; приведение подобных членов ; решение линейных	уравнений	с одним неизвестным ; действия с многочленами .
Системы	уравнений	в древнекитайском трактате .
Хочу ещё посоветовать вам поискать описание решения систем линейных	уравнений	методом двух ложных положений .
Решение	уравнений	в Древней Индии .
Чем же предстоит заниматься в этой главе , в заголовке которой фигурирует словосочетание « системы	уравнений	» ? .
Профессор , раз в древности умели решать задачи с помощью одного уравнения , может быть , тогда и с помощью систем	уравнений	решались какие - нибудь задачи ? .
3 Сформулировать алгоритм решения	уравнений	, сводящихся к линейным .
Для того чтобы решить графически систему уравнений , нужно : 1 ) построить графики каждого из	уравнений	системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Действительно , задачи , решённые с помощью систем	уравнений	с несколькими неизвестными , встречаются в вавилонских и египетских текстах , датированных вторым тысячелетием до н .
Решить систему линейных	уравнений	.
Для того чтобы решить графически систему	уравнений	, нужно : 1 ) построить графики каждого из уравнений системы ; 2 ) найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются ) .
Теперь подставим х равно 5 в одно из	уравнений	системы , например в первое : 27 .
В этом параграфе вы познакомитесь с одним из основных способов решения систем	уравнений	— способом подстановки .
На практике способ подстановки применяется чаще всего в тех случаях , когда в одном из	уравнений	системы коэффициент при каком - либо неизвестном равен 1 , в связи с чем это неизвестное легко выражается через другое неизвестное .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства	уравнений	и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Нужно вспомнить : понятие решения системы	уравнений	с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного уравнения с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
В общем виде систему двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными записывают так : где а1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 — заданные числа , а х и у — неизвестные .
Решить систему	уравнений	— это значит найти все её решения или установить , что их нет .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных	уравнений	; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Глава VII Системы двух	уравнений	с двумя неизвестными .
Метод ложного положения в решении	уравнений	.
Решение задач с помощью	уравнений	.
Дана система	уравнений	.
Графический способ решения систем	уравнений	является иллюстративным , вспомогательным к ранее освоенным вами способам подстановки и сложения .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух	уравнений	с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Для того чтобы обосновать известный из курса математики 5–6 классов способ решения	уравнений	, проведём рассуждения на конкретном примере .
Решение систем линейных	уравнений	с тремя неизвестными .
Графический способ решения систем	уравнений	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных	уравнений	с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем	уравнений	, решая которые найти искомые пары чисел .
Решить систему	уравнений	: 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго уравнения полученной системы первое уравнение , находим .
Теперь относительно а и b наша система примет вид системы линейных	уравнений	!
Привести примеры линейных	уравнений	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных	уравнений	с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы	уравнений	.
Решение систем линейных	уравнений	в Древнем Китае .
Проверить , является ли пара чисел х равно 2 и у равно 1 решением системы	уравнений	.
При каких значениях а система	уравнений	: 1 ) не имеет решений ;
Решение систем линейных	уравнений	в Древней Индии .
Способом алгебраического сложения решить систему	уравнений	.
Помните , во II главе я начал вам рассказывать о решении неопределённых	уравнений	с двумя неизвестными вида , которые Диофант в III в . решал в целых числах .
Умение раскладывать многочлены на множители имеет важное значение при решении	уравнений	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система	уравнений	; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Но решение и исследование	уравнений	( записанных в общем виде ) невозможно без навыков работы с многочленами .
Хочу , во - первых , чтобы вы знали , что и по сей день ещё нет общих методов решения таких	уравнений	( может быть , когда - нибудь их найдёте вы ) .
Но Вы хотели рассказать нам ещё об одном методе решения	уравнений	.
говорил : « Основная задача алгебры — решение	уравнений	» .
Рассмотренный способ решения системы	уравнений	называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы .
Подобрать такие значения а и с , чтобы система	уравнений	имела : 1 ) единственное решение ;
Свойства	уравнений	.
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения , так как для исключения одного из неизвестных выполняется почленное сложение или вычитание левых и правых частей	уравнений	системы .
При этом покажем , как применяются свойства равенств к решению	уравнений	.
8 Решение задач с помощью	уравнений	.
Применение	уравнений	позволяет упростить решение многих задач .
Из рассмотренных примеров видно , что способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае , когда у обоих линейных	уравнений	коэффициенты при каком - нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком .
Что называют решением системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными ? .
В этом параграфе рассказывается о создании математических моделей реальных явлений , а также о главном предназначении	уравнений	— решении практических задач .
Решения	уравнений	с одним неизвестным , которые сводятся к линейным , основаны на свойствах верных равенств .
Да , я хотел рассказать о совсем старом способе решения некоторых	уравнений	, описанном ещё в древних папирусах .
Что значит решить систему	уравнений	? .
Среди	уравнений	выбрать те , которые имеют одинаковые корни .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем	уравнений	, решая которые , найти искомые пары чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении	уравнений	; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной функции ; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных	уравнений	с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Привести пример системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика уравнения с осью Ох .
Итак , для решения системы линейных	уравнений	способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Среди них — линейные уравнения с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в целых неотрицательных числах , впоследствии получившие название диофантовых	уравнений	.
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные уравнения , найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из	уравнений	исходной системы , найти второе неизвестное .
Однако при графическом способе решения системы	уравнений	обычно получается приближённое решение .
Общие методы решения	уравнений	мы пока , наверное , не сможем найти , но интересные задачи порешаем с удовольствием .
Можно проверить , что два числа х и у обращают каждое из	уравнений	системы в верное равенство .
Сформулировать алгоритм решения системы линейных	уравнений	способом алгебраического сложения .
Нужно вспомнить : свойства	уравнений	; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; действия с многочленами .
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий уравнение и корень уравнения , будут показаны примеры уравнений , не имеющих корней , и	уравнений	, имеющих бесконечно много корней .
Нужно вспомнить : свойства	уравнений	; формулы законов движения и работы ; формулу расчёта стоимости покупки ; формулы , выражающие скорости движения по течению и против течения реки через собственную скорость и скорость течения ; основные задачи на проценты .
И если хотя бы одно из	уравнений	системы будет иметь такой вид , очевидно , что и вся система не будет иметь решений .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных	уравнений	; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Что значит решить графически систему	уравнений	? .
Упростим каждое из	уравнений	системы , поделив первое уравнение на 2 , а второе — на 3 .
Система двух	уравнений	с двумя неизвестными .
Способом подстановки решить систему	уравнений	.
В одной системе координат построить графики	уравнений	.
Решить систему	уравнений	1 ) Из первого уравнения находим .
Исследование многочленов составляет основу теории решения различных	уравнений	— важнейшей содержательной линии курса алгебры .
При каких значениях параметра а система	уравнений	не имеет решений ?
Узнаете , что называют решением системы	уравнений	с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений .
Проверить , обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из	уравнений	в верное равенство .
Нужно вспомнить : понятие одночлена ; запись одночлена в стандартном виде ; понятие алгебраической суммы ; решение линейных	уравнений	с одним неизвестным .
В этом параграфе вы встретитесь с уравнениями первой степени с двумя неизвестными и познакомитесь с системами таких	уравнений	.
Решить графически систему	уравнений	.
Постепенно развивалась и теория решения	уравнений	, которая в наше время является чёткой и стройной .
Системы	уравнений	.
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении	уравнений	и прикладных задач .
Сформулировать алгоритм решения системы	уравнений	способом подстановки .
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий уравнение и корень уравнения , будут показаны примеры	уравнений	, не имеющих корней , и уравнений , имеющих бесконечно много корней .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных	уравнений	с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Привести пример системы двух линейных	уравнений	: 1 ) имеющей единственное решение ; 2 )
А от функций и	уравнений	можно через алгебру переходить в геометрию и возвращаться обратно .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства	уравнений	; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
В этом параграфе вы убедитесь , что отдельные текстовые задачи намного проще решаются не с помощью одного уравнения с одним неизвестным , а с помощью системы двух	уравнений	с двумя неизвестными .
Описать связь взаимного расположения прямых и числа решений системы соответствующих	уравнений	.
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к точкам координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам	уравнений	? .
Узнаете , что называют решением системы уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему	уравнений	.
В каждом из	уравнений	выразить одно неизвестное через другое .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства	уравнений	; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Конечно , найти отдельные неизвестные цифры в ребусах вы сможете и не решая даже простейших	уравнений	.
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных	уравнений	с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Хочу обратить ваше внимание на те случаи , когда система	уравнений	не имеет решений .
Это происходит , когда уравнения системы не имеют общих решений или когда хотя бы одно из её	уравнений	не имеет решений .
О близости	уравнений	и многочленов говорит хотя бы то обстоятельство , что корень многочлена по сути — корень уравнения .
7 Решение	уравнений	с одним неизвестным , сводящихся к линейным .
Нужно вспомнить : свойства	уравнений	; понятие корня уравнения с одним неизвестным ; что значит решить уравнение с одним неизвестным .
Из какого уравнения системы двух линейных	уравнений	предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое , чтобы решить систему способом подстановки ? .
При решении этой задачи были использованы следующие основные свойства	уравнений	.
Решение задач с помощью систем	уравнений	.
Приведём примеры таких	уравнений	.
Решение	уравнений	в Древней Греции .
Это означает , что система	уравнений	имеет бесконечно много решений : координаты любой точки прямой являются решением данной системы .
Левые части	уравнений	этой системы равны при любых значениях х и у , а правые части не равны .
О важности навыков решения	уравнений	писал ещё в IX в .
Перечислить этапы решения текстовой задачи с помощью системы	уравнений	.
Тогда система	уравнений	имеет бесконечно много решений .
Объяснить необходимость выполнения третьего этапа решения задач с помощью	уравнений	.
Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же , то эти уравнения рассматривают совместно и говорят , что они образуют систему двух	уравнений	, которую записывают так .
Тогда система	уравнений	не имеет решений .
Вы и не догадывались , что готовитесь к решению	уравнений	.
Тогда система	уравнений	имеет единственное решение .
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых — графиков	уравнений	системы .
Показать графически , что система	уравнений	имеет единственное решение .
Система	уравнений	— пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
Решить систему	уравнений	.
Система уравнений — пример системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа , удобно применять способ почленного сложения	уравнений	.
Рассмотрим ещё один пример системы	уравнений	с двумя неизвестными .
Решение системы	уравнений	способом подстановки или способом сложения даёт точные значения координат точки пересечения .
Такие задачи исторически развивали язык алгебры и совершенствовали методы решения	уравнений	.
2 ) решают систему	уравнений	; 3 ) возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , записывают ответ .
Нужно только знать : если в задаче с параметрами не ставится частный вопрос , а просят просто решить уравнение или систему , то нужно рассматривать все возможные случаи , искать все значения параметра или параметров , при которых уравнение или система	уравнений	имеет единственное решение , несколько решений , бесконечно много решений или не имеет решений .
Геометрически это означает , что графики	уравнений	системы — параллельные прямые .
Обычно задачу с помощью системы уравнений решают по следующей схеме : 1 ) вводят обозначения неизвестных и составляют систему	уравнений	;
Показать , что система	уравнений	имеет бесконечно много решений .
Составление системы	уравнений	.
Обычно задачу с помощью системы	уравнений	решают по следующей схеме : 1 ) вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений ;
Показать , что система	уравнений	не имеет решений .
« Исчисление кучи » , применённое в папирусе , примерно соответствует нашему решению текстовых задач с помощью линейных	уравнений	.
В данной главе вы научитесь решать разными способами системы линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
Научитесь с помощью графиков	уравнений	быстро определять : какая система имеет единственное решение , какая не имеет решений , а какая имеет бесконечно много решений .
Так как уравнение получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих	уравнений	является одна и та же прямая .
Помимо найденных целочисленных значений х и у в задаче 1	уравнению	удовлетворяет не одна пара чисел .
Например , нельзя найти значение х , удовлетворяющее	уравнению	, так как нельзя получить отрицательное число при перемножении двух одинаковых чисел .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к линейным и квадратным уравнениям ( квадратные уравнения вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые	уравнения	.
Например , легко увидеть , что корень	уравнения	— число 1 .
Но после разложения на множители левой части , например ,	уравнения	не являющегося линейным , вы сможете решить и его .
Если в первой из сохранившихся книг рассмотрены задачи , приводящиеся к линейным и квадратным уравнениям ( квадратные	уравнения	вы будете решать в 8 классе ) , то в остальных пяти книгах рассматривались неопределённые уравнения .
И в его честь эти	уравнения	получили название диофантовых .
В простейших случаях легко подобрать значение х , которое является корнем	уравнения	.
Решить систему уравнений 1 ) Из первого	уравнения	находим .
Решить систему уравнений : 1 ) Оставляя первое уравнение без изменений , умножим второе уравнение на 4 ; 2 ) Вычитая из второго	уравнения	полученной системы первое уравнение , находим .
Например , уравнение не имеет корней , так как при любом значении х левая часть этого	уравнения	больше правой .
Изучив эту главу , вы сможете составить уравнение ( математическую модель ) для решения этих , а также многих других задач , научитесь преобразовывать	уравнения	и легко их решать .
Он заключается в следующем : из одного	уравнения	системы ( все равно из какого ) выразить одно неизвестное через другое , например у через х ; полученное выражение подставить в другое уравнение системы , получится одно уравнение с одним неизвестным х ; решив это уравнение , найти значение х ; подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у .
Ал - Хорезми решал	уравнения	с помощью двух приёмов .
Из какого	уравнения	системы двух линейных уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое , чтобы решить систему способом подстановки ? .
Упростим	уравнения	системы : 1 ) Из первого уравнения системы находим ; 2 ) Подставляем во второе уравнение системы .
При каком значении а график	уравнения	не пересечёт данный график ? .
Упростим уравнения системы : 1 ) Из первого	уравнения	системы находим ; 2 ) Подставляем во второе уравнение системы .
В этой главе вы узнаете , что бывают	уравнения	, имеющие несколько корней .
Упростим обе части	уравнения	.
Профессор , дайте , пожалуйста , ещё задачу на диофантовы	уравнения	.
Поэтому корнями рассматриваемого	уравнения	будут числа 0 .
Осталось убедиться , что эта пара чисел на самом деле является решением системы , осталось показать , что при х равно 1 , у равно 2 оба	уравнения	системы становятся верными равенствами .
Вычтем из первого	уравнения	второе : откуда у равно 3 .
Показать , что любое значение х является корнем	уравнения	.
Неизвестные здесь обозначены буквами х и у. При а ≠ 3 из второго	уравнения	находим .
Например ,	уравнения	являются линейными .
Составлялись	уравнения	для решения задач , связанных с земледелием , строительством , торговлей и пр.
Член	уравнения	. 1 )
В современном мире люди всех профессий либо используют уже созданные кем - то математические модели ( в частности ,	уравнения	) , либо создают самостоятельно новые , помогающие глубже понять малоизученные явления окружающего нас мира .
Является ли положительным числом корень	уравнения	.
Задачи Диофанта и диофантовы	уравнения	.
Рассмотрим задачу , приводящую к решению линейного	уравнения	с двумя неизвестными .
Ньютон называл буквы , знаки действий , алгебраические выражения и	уравнения	языком алгебры .
Есть ли среди чисел корень	уравнения	.
В своём трактате « Китаб ал - джабр ва - л - мукабала » ( от второго слова из названия трактата произошло слово алгебра ) ал - Хорезми написал , что алгебра — это искусство решать	уравнения	.
В те времена отрицательные числа считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть	уравнения	числа превращались в « настоящие » ( положительные ) числа .
Нужно вспомнить : понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными ; свойства уравнений и верных числовых равенств ; запись всех решений линейного	уравнения	с двумя неизвестными ; умножение многочлена на одночлен .
Предположим , что а — корень данного	уравнения	, т .
Первый приём назывался ал - джабр ( восстановление ) и заключался в перенесении вычитаемых ( отрицательных чисел ) из одной части	уравнения	в другую .
Составленные по условиям задач	уравнения	потребуют от вас применения ранее полученных знаний и умений .
Подставим найденные значения х и у в оба	уравнения	системы и выполним вычисления : Оба равенства верные .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных натуральных чисел ( а корнем	уравнения	является число 3 ) .
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы	уравнения	чаще всего имеют бесконечно много решений , но ряд практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное число решений , либо единственное решение .
При этом решение задачи обычно состоит из трёх этапов : 1 ) составление уравнения по условиям задачи ; 2 ) решение	уравнения	;
Итак , для решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно : уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных ; складывая или вычитая полученные	уравнения	, найти одно неизвестное ; подставляя найденное значение неизвестного в одно из уравнений исходной системы , найти второе неизвестное .
Какая из пар чисел является решением	уравнения	? .
Попробуйте - ка обосновать справедливость такого метода решения данного	уравнения	.
В этом параграфе будут даны строгие определения понятий уравнение и корень	уравнения	, будут показаны примеры уравнений , не имеющих корней , и уравнений , имеющих бесконечно много корней .
Это происходит , когда	уравнения	системы не имеют общих решений или когда хотя бы одно из её уравнений не имеет решений .
Бывают такие	уравнения	, которые вообще не имеют корней .
( единица в левой части	уравнения	перенесена из разряда единиц после суммирования ) .
При этом решение задачи обычно состоит из трёх этапов : 1 ) составление	уравнения	по условиям задачи ; 2 ) решение уравнения ;
А какие	уравнения	нужно составлять при решении , например , такого ребуса .
При решении	уравнения	с одним неизвестным ( как , например , в задачах 2 и 3 ) переходят от данного уравнения к более простому , имеющему те же корни .
Что называют корнем	уравнения	? .
При решении уравнения с одним неизвестным ( как , например , в задачах 2 и 3 ) переходят от данного	уравнения	к более простому , имеющему те же корни .
Обе части первого	уравнения	системы умножим на 3 , а второго — на 2 и вычтем из второго уравнения полученной системы первое .
Если это не так , то можно уравнять модули коэффициентов при каком - нибудь одном из неизвестных , умножая левую и правую части каждого	уравнения	на подходящие числа .
Поэтому важно научиться решать	уравнения	.
Профессор , приведите пример диофантова	уравнения	.
Обе части первого уравнения системы умножим на 3 , а второго — на 2 и вычтем из второго	уравнения	полученной системы первое .
Как доказать , что данное число является ( не является ) корнем	уравнения	? .
Дан график	уравнения	первой степени с двумя неизвестными , который проходит через точки .
Так как уравнение получается из уравнения умножением его обеих частей на 3 , то эти	уравнения	выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих уравнений является одна и та же прямая .
Упростим	уравнения	системы .
Так как уравнение получается из	уравнения	умножением его обеих частей на 3 , то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно , графиками этих уравнений является одна и та же прямая .
Разделим обе части второго	уравнения	на 2 и вычтем полученное уравнение из первого .
Число 50 называют корнем данного	уравнения	.
Эта задача решается с помощью	уравнения	, сводящегося к линейному .
Доказать , что корнем	уравнения	является любое число .
Для решения этого	уравнения	брали наименьшее натуральное число , от которого третья часть — целое число .
Например , решениями	уравнения	могут быть как числа 12 и 13 , так и числа 10 и 15 .
Проверить , есть ли среди чисел 1 ; 0 ; – 4 корень	уравнения	.
Вычтем из первого	уравнения	, умноженного на 3 , второе , умноженное на 2 , откуда у равно 5 .
Следовательно , нет таких значений х и у , которые обращают оба	уравнения	системы в верные равенства .
А вот пара чисел х равно 2 и у равно 1 обращает в верные равенства оба	уравнения	и поэтому является решением системы .
Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же , то эти	уравнения	рассматривают совместно и говорят , что они образуют систему двух уравнений , которую записывают так .
Решениями	уравнения	с двумя неизвестными х и у , где а ≠ 0 , являются пары чисел ; у , где у — любое число .
А линейные	уравнения	, с которыми вы познакомились в этом параграфе , умели , судя по всему , решать в Вавилоне , Египте , Китае и Индии ещё более 4000 лет назад .
Упростим левую и правую части	уравнения	: выполним умножение и приведём подобные члены .
А для системы не существует значений х , обращающих в верные равенства оба её	уравнения	.
При левая часть этого	уравнения	равна 65 , так как ; правая часть также равна 65 .
Однако может оказаться , что уравнение с одним неизвестным не имеет корней или любое значение неизвестного является корнем	уравнения	.
Сегодня вы легко решаете линейные	уравнения	.
Подставим х равно 3 в левую и правую части исходного	уравнения	и проведём вычисления .
д. Например , уравнение имеет два корня : 1 и 2 , так как при х равно 1 и при х равно 2 это уравнение обращается в верное равенство , а при других значениях х левая часть	уравнения	не равна нулю .
Профессор , раз в древности умели решать задачи с помощью одного	уравнения	, может быть , тогда и с помощью систем уравнений решались какие - нибудь задачи ? .
Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом	уравнения	.
Интересно , какие	уравнения	умел решать Диофант ? .
Каждое слагаемое левой или правой части	уравнения	называется членом уравнения .
Выразим из этого	уравнения	у .
Преобразование таблицы к « треугольному виду » — в левом верхнем углу записан 0 — давало возможность переходить к решению одного	уравнения	с одним неизвестным , а затем подстановкой находить другое неизвестное .
Так как координаты ( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти	уравнения	в верные числовые равенства , то пара чисел ( х ; у ) должна быть решением системы .
При уравнение обратилось в верное равенство , следовательно , х равно 3 — единственный корень	уравнения	.
Какое из чисел 3 ; – 2 является корнем	уравнения	.
Решениями	уравнения	, в случае когда являются пары , где х — любое число .
Применяя эти свойства ,	уравнения	, сводящиеся к линейным , обычно решают так : 1 ) переносят члены , содержащие неизвестное , в левую часть , а члены , не содержащие неизвестного , в правую ( свойство 1 ) ;
Уравнение является примером	уравнения	первой степени с двумя неизвестными .
Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , решением которой являются координаты точки пересечения графика	уравнения	с осью Ох .
А то у некоторых школьников складывается впечатление , что , например ,	уравнения	лежат на одной полке математики , а функции с графиками — на другой .
Например , число 1 является корнем	уравнения	, так как — верное равенство .
В этом параграфе вы узнаете алгоритм решения	уравнения	, которое после преобразований принимает вид линейного .
Эта пара чисел называется решением данного	уравнения	.
Часто решение	уравнения	с двумя неизвестными записывается в виде пары чисел в круглых скобках .
Свойство 2 Обе части	уравнения	можно умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
Построить график	уравнения	.
Теперь из	уравнения	выразим у через х , получим .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать	уравнения	, сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Свойство 1 Любой член	уравнения	можно перенести из одной части в другую , изменив его знак на противоположный .
Решением	уравнения	с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство .
Упростим обе части	уравнения	: откуда .
Корнем	уравнения	называется то значение неизвестного , при котором это уравнение обращается в верное равенство .
2 Выразить у из	уравнения	.
Из этого	уравнения	выразим х через у , получим .
В этом параграфе вы убедитесь , что отдельные текстовые задачи намного проще решаются не с помощью одного	уравнения	с одним неизвестным , а с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными .
Но нас не учили решать такие	уравнения	.
Записать все решения	уравнения	.
Даны две прямые на координатной плоскости , причём каждая из них является графиком некоторого	уравнения	.
Затем он применял ал - мукабалу ( отнимал от обеих частей	уравнения	5х и 1 ) и получал уравнение , после чего легко находил его корень .
Пары чисел х , где х может принимать любое значение , являются решениями	уравнения	.
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью	уравнения	.
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; понятие корня	уравнения	с одним неизвестным ; что значит решить уравнение с одним неизвестным .
Так как в полученных уравнениях х и у обозначают одни и те же числа , то эти	уравнения	образуют систему .
При решении	уравнения	в задаче 2 найдены все решения — это пары чисел х , где х — любое число .
Что является графиком	уравнения	, если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю ? .
Складывая эти	уравнения	, находим .
Вычитая из первого	уравнения	системы ( 2 ) второе уравнение , получаем . 3 ) Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям , запишем ответ .
В этой главе вы узнали , что такое : — корень уравнения ; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять	уравнения	по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Помните , я рассказывал вам о методе ложного положения , которым пользовались в Средние века для решения одного линейного	уравнения	?
Линейные	уравнения	он , конечно , умел решать .
Корень	уравнения	.
2 Назвать свойство , которое использовалось для преобразования	уравнения	.
Умножив обе части	уравнения	на общий знаменатель дробей , т .
О близости уравнений и многочленов говорит хотя бы то обстоятельство , что корень многочлена по сути — корень	уравнения	.
Таким образом , графиком	уравнения	является прямая , проходящая через точки .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного	уравнения	с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Например , из	уравнения	находим : если х равно 0 , то у равно 1 ; если х равно – 1 , то у равно 0 .
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение	уравнения	с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять число решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
при составлении	уравнения	) необходимо было знать , что скорости теплохода и реки при движении по течению складываются , а при движении против течения вычитаются , и что путь , делённый на скорость , есть время движения .
Убедиться в том , что число – 2 является корнем	уравнения	.
Так как уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у , то графиком	уравнения	является эта же прямая .
Последнее равенство является верным при любом значении х. Следовательно , любое значение х является корнем	уравнения	.
Убедиться в том , что число – 1 является корнем	уравнения	.
Например , уравнение имеет бесконечно много корней : любое значение х является корнем этого	уравнения	, так как при любом х левая часть уравнения равна правой части .
Так как	уравнения	выражают одну и ту же зависимость между х и у , то графиком уравнения является эта же прямая .
1 Сформулировать свойства	уравнения	.
Найти все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями	уравнения	: ( Устно . )
В этой главе вы узнали , что такое : — корень	уравнения	; — линейное уравнение с одним неизвестным ; как ; — применять свойства уравнений ; — решать уравнения , сводимые к линейным ; — составлять уравнения по условию задачи ; — проверять правильность решения задачи .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней : любое значение х является корнем этого уравнения , так как при любом х левая часть	уравнения	равна правой части .
2 ) приводят подобные члены ; 3 ) делят обе части	уравнения	на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Уравнение можно рассматривать как формулу , задающую функцию у от х. Поэтому графиком	уравнения	является прямая .
при решении полученного	уравнения	) потребовалось применить изученные в предыдущем параграфе свойства уравнений .
Выразим из этого	уравнения	у через х .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью	уравнения	, а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью уравнения .
Такую систему я могу быстро решить способом подстановки ( выразив а из второго	уравнения	) .
Можно показать , что графиком любого	уравнения	вида является прямая , если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю .
Геометрической иллюстрацией	уравнения	с двумя неизвестными служит его график на координатной плоскости .
Проверим , является ли число 3 на самом деле корнем данного	уравнения	.
Фактически уже тогда они составляли и решали простые	уравнения	.
Не буду вас мучить и сделаю подсказку : если временно обозначить новыми буквами ( кроме х и у ) встречающиеся в обоих уравнениях дроби , то эти	уравнения	упростятся .
Найти все пары ( х ; у ) натуральных чисел , которые являются решениями	уравнения	.
Второй приём , ал - мукабала ( противопоставление ) — отбрасывание из обеих частей	уравнения	одинаковых членов — был похож на современное приведение подобных слагаемых .
Перейдём теперь к решению	уравнения	.
Суть его вы поймёте из решения	уравнения	.
Из этого	уравнения	находим : если x равно 0 , то у равно 4 ; если у равно 0 , то х равно 2 .
Корень этого	уравнения	— отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
Выражение , стоящее слева от знака равенства , называется левой частью уравнения , а выражение , стоящее справа от знака равенства , — правой частью	уравнения	.
Что называют решением линейного	уравнения	с двумя неизвестными ? .
Умножая обе части этого	уравнения	на 105 ( наименьшее общее кратное чисел 21 и 15 ) , получаем откуда x равно 17,5 .
В той же координатной плоскости , на которой построен график	уравнения	, построим график уравнения .
Среди них — линейные	уравнения	с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в целых неотрицательных числах , впоследствии получившие название диофантовых уравнений .
Следовательно , графиком	уравнения	является прямая , проходящая через точки .
В той же координатной плоскости , на которой построен график уравнения , построим график	уравнения	.
Фактически это компактная запись действий с	уравнениями	системы .
В этом параграфе вы встретитесь с	уравнениями	первой степени с двумя неизвестными и познакомитесь с системами таких уравнений .
Уравнения вида с часто называют линейными	уравнениями	с двумя неизвестными .
Мне кажется , что они случайно попали в эту главу , так как среди них нет ни одной системы с линейными	уравнениями	.
Во II главе учебника в одном из Диалогов об истории вы познакомились с линейными	уравнениями	с двумя неизвестными .
Ещё раз о диофантовых	уравнениях	.
Буквами обозначают также неизвестные числа в	уравнениях	.
А можно сказать , что в	уравнениях	фигурируют два множителя .
Так как в полученных	уравнениях	х и у обозначают одни и те же числа , то эти уравнения образуют систему .
Я обязательно расскажу вам попозже и об	уравнениях	, которые носят название диофантовых .
Так как в этих	уравнениях	неизвестные числа одни и те же , то эти уравнения рассматривают совместно и говорят , что они образуют систему двух уравнений , которую записывают так .
Не буду вас мучить и сделаю подсказку : если временно обозначить новыми буквами ( кроме х и у ) встречающиеся в обоих	уравнениях	дроби , то эти уравнения упростятся .
Расскажу подробнее об	уравнениях	, которые умел решать Диофант .
В тех случаях , когда в обоих линейных	уравнениях	системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа , удобно применять способ почленного сложения уравнений .
Например , в Древнем Египте использовали формулу для вычисления объёма V	усечённой пирамиды	с высотой h , в основаниях которой лежат квадраты со сторонами а и b соответственно .
Произведение первых n натуральных чисел в математике обозначают n ! ( читается « эн	факториал	» ) .
Теперь перечислю признаки возможности вычерчивания	фигур	одним росчерком .
э . ) не только занимались геометрией , но и развивали учение о числе с помощью геометрических	фигур	.
Теперь попробуйте самостоятельно определить , какие из	фигур	, можно начертить , не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды .
3 Если в фигуре более двух нечётных точек , то её нельзя вычертить одним росчерком ( например ,	фигура	имеет 4 нечётные точки ) .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда	фигура	имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
1 Если нечётных точек в	фигуре	нет , то её можно начертить одним росчерком , начиная вычерчивать с любого места ( такой является , например ) .
2 Если в	фигуре	две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например , фигуры a и b имеют по две нечётных точки ) .
3 Если в	фигуре	более двух нечётных точек , то её нельзя вычертить одним росчерком ( например , фигура имеет 4 нечётные точки ) .
Профессор , а как узнать , какую	фигуру	- граф можно нарисовать одним росчерком , а какую нельзя ? .
Записать в виде многочленов периметр и площадь закрашенной	фигуры	.
Найти площадь закрашенной	фигуры	.
Например , площадь закрашенной части	фигуры	, .
2 Если в фигуре две нечётные точки ( оказывается , всегда , когда фигура имеет одну нечётную точку , она имеет и вторую нечётную точку ) , то её можно начертить одним росчерком , начав вычерчивание в одной из нечётных точек и закончив в другой ( например ,	фигуры	a и b имеют по две нечётных точки ) .
Числа они изображали в виде точек ( иногда выкладывали их камешками ) , группируя их в разные	фигуры	.
Благодаря этому мы сегодня имеем изданные типографским способом и на электронных носителях труды Евклида , Архимеда , Герона , Диофанта , Пифагора и других замечательных учёных античности равна , а площадь	фигуры	равна .
Так называют геометрические	фигуры	, состоящие из точек ( их называют вершинами ) и соединяющих их отрезков ( называемых рёбрами графа ) .
Ну а если тебе хочется прямо сразу от умения возводить число в степень получить пользу , могу предложить тебе математический	фокус	, которым ты сможешь развлечь и удивить своих родных и друзей .
Послушайте , как проводить	фокус	.
Профессор , я показывала друзьям	фокус	, которому Вы меня научили .
Покажете какой - нибудь	фокус	, в котором используются наши новые знания .
Думаю , что секунд через 5 точно скажешь , если к проведению	фокуса	подготовишься заранее .
Раскрою секрет	фокуса	.
Линейной	функцией	называется функция вида , где k и b — заданные числа .
С этой	функцией	, её свойствами и графиком вы познакомитесь в данном параграфе .
Так как значения s зависят от значений £ , то £ называют независимой переменной , a s — зависимой переменной или	функцией	.
Например , в Древнем Вавилоне 4–5 тысяч лет назад установили , что площадь круга является	функцией	его радиуса ( площадь круга они приближённо вычисляли по формуле ) .
Например , при равноускоренном движении скорость является линейной	функцией	времени .
К примеру , если каждому равностороннему треугольнику поставить в соответствие описанную около него окружность , то окружность будет	функцией	равностороннего треугольника , вписанного в неё .
	Функцией	t(s ) .
Физические процессы , моделируемые линейной	функцией	.
Количество бензина у ( в литрах ) , остающегося в баке , является	функцией	расстояния х ( в километрах ) , пройденного автомобилем .
В задаче 2 время t является	функцией	пути s , и поэтому пишут .
Например , путь s является	функцией	времени t ; при этом пишут s(t ) равно 120 t.
Возможность облегчённого письменного счёта ( сложения и умножения столбиком и др. ) даёт позиционная система счисления — в зависимости от позиции в записи числа цифра берёт на себя разные	функции	.
Определить значение b , если через точку с координатами ( 3 ; 10 ) проходит график	функции	, заданной формулой .
1 ) При каких значениях k и b график	функции	y проходит через точки .
Найти координаты точки пересечения графика	функции	с графиком функции у равно 5 .
Найти значение k , если известно , что график	функции	проходит через точку .
Заполнить таблицу значений	функции	при заданных значениях аргумента .
Построить график	функции	у равно .
Так как , то точка принадлежит графику	функции	.
Проходит ли график	функции	у равно через точку ? .
Найти координаты точки пересечения графика функции с графиком	функции	у равно 5 .
Построить график	функции	и по нему найти : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 1 ; 0 ; 1 ; 2,5
Указать несколько целых значений x , при которых значения	функции	у равно положительны ( отрицательны ) .
При каких значениях k и b график	функции	проходит через точки ? .
При каком значении x значение	функции	у равно нулю ? .
Точка графика с абсциссой имеет ординату , поэтому точка не принадлежит графику данной	функции	.
Теперь давайте покажем , что график функции можно получить сдвигом графика	функции	у вправо на 3 единицы .
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить график	функции	, если уже построен график функции .
Линейную функцию можно назвать важнейшей , так как очень много законов природы и практических взаимосвязей выражаются с помощью этой	функции	.
График этой	функции	изображён .
График этой	функции	показан .
и поняли , как строится график	функции	.
Я хочу , чтобы вы посмотрели , как выглядит график	функции	.
На ближайших уроках вы изучите эту функцию и поймёте , как строить график функции , если уже построен график	функции	.
Кусочно заданные	функции	.
При каком значении х значение	функции	равно 1 , 2 , 0 ? .
Назвать несколько значений x , при которых значение	функции	положительно .
Назвать несколько значений х , при которых значение	функции	отрицательно .
По графику	функции	y определить знак коэффициента k .
При каком значении х значение	функции	равно 2 , 0 , – 1 , 1 ? .
Назвать несколько значений х , при которых значение	функции	положительно .
Построить график	функции	у , если известно , что ему принадлежит точка В. График какой из этих функций проходит через точку .
Какие из точек принадлежат графику	функции	, заданной формулой .
Нужно вспомнить : построение графика	функции	; понятие параллельных прямых .
Что называется графиком	функции	? .
История возникновения понятия	функции	.
Ордината точки пересечения и даст соответствующее значение	функции	.
1 Построить график	функции	.
Графиком	функции	называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям функции .
График	функции	у получается сдвигом графика функции y на b единиц вдоль оси ординат .
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям независимой переменной , а ординаты — соответствующим значениям	функции	.
Можно показать , что графиком линейной	функции	у является прямая .
Это означает , что каждая точка графика функции у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика	функции	.
Выяснить , принадлежит m графику этой	функции	точка с координатами .
Назвать и охарактеризовать каждый из трёх основных способов задания	функции	.
Заметим , что каждая точка графика функции у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика	функции	у с той же абсциссой .
Заметим , что каждая точка графика	функции	у имеет ординату , на 5 единиц большую , чем точка графика функции у с той же абсциссой .
При 0 значение	функции	у равно 5 , т .
Так как прямая определяется двумя её точками , то для построения графика	функции	у достаточно построить две точки этого графика .
Это означает , что каждая точка графика	функции	у получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции .
Записать формулой линейную функцию , график которой проходит через точку и параллелен графику данной	функции	.
Выяснить , принадлежит ли графику этой	функции	точка с координатами .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному – 5 ; 0 ; 5 ; 2 ) значение х , если значение	функции	равно – 2 ; 0 ; 2 ; 3 ) несколько значений х , при которых значения у отрицательны ( положительны ) .
Построить график	функции	y при .
Так как начало координат принадлежит графику	функции	y , то для построения этого графика достаточно найти ещё одну точку .
В Древней Греции , несмотря на высокое развитие математической науки , общего понятия	функции	не имели .
прямая , поэтому для того чтобы построить график	функции	у , достаточно построить две точки графика , а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую .
Можно показать , что графиком	функции	y при любом значении k является прямая , проходящая через начало координат .
Эта прямая и является графиком	функции	.
Для построения графика	функции	у равно х проведём прямую , проходящую через точки .
График	функции	.
Нужно вспомнить : нахождение координат точек на координатной плоскости ; построение точек по заданным координатам ; построение графика линейной	функции	; понятие параллельных прямых ; взаимное расположение двух прямых на плоскости ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и алгебраического сложения .
Прямая пропорциональная зависимость — частный случай	функции	, где х — любое число .
Г. Лежен Дирихле ( 1805–1859 ) дал общее определение	функции	, близкое к тому , которым и мы будем пользоваться .
В связи с тем что существует множество функций , не задающихся формулой , гениальный русский математик Н. И. Лобачевский ( 1792–1856 ) в 1834 г. развил определение	функции	, данное Эйлером .
Определение	функции	впервые было дано в 1718 г. швейцарским математиком И. Бернулли ( 1667–1748 ): « Функцией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных » .
А то у некоторых школьников складывается впечатление , что , например , уравнения лежат на одной полке математики , а	функции	с графиками — на другой .
Построим график этой	функции	при .
Построить график	функции	и указать , внутри каких координатных углов расположен этот график .
В самом деле , так как при , то точка графика	функции	получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика функции .
Хотя бы потому , что с графиками , формулами и таблицами , которыми задают	функции	, мы встречаемся на всех уроках и даже в повседневной жизни .
Построить график	функции	, заданной формулой .
Построить график	функции	.
График	функции	у(х ) — ломаная ABODE , где .
При каком значении х значение	функции	у(х ) равно 3 ; – 1 ; 0 ? .
В каких четвертях расположен график	функции	у , если ? .
Исторически понятие	функции	возникло одновременно с понятием переменной величины .
Как можно построить график	функции	При каких значениях х и k формула y выражает прямую пропорциональную зависимость ? .
По графику найти натуральные значения х , при которых значение	функции	равно – 2 .
Что является графиком	функции	.
По графику найти целые значения х , при которых значение	функции	больше – 2 .
О	функции	и о том , почему прямоугольная система координат носит имя Декарта .
Поэтому графиком этой	функции	является прямая , совпадающая с осью абсцисс .
Прямая , проходящая через точки , является графиком	функции	.
График	функции	— ломаная EFKLM , где .
Для того чтобы по заданному графику найти значение функции у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной	функции	.
После открытий Декарта математики начали строить разные графики , изобрели новые	функции	? .
График	функции	у проходит через точку .
Построить график	функции	, заданной формулой у.
Принадлежат ли точки графику этой	функции	? .
График функции у получается сдвигом графика	функции	y на b единиц вдоль оси ординат .
Построить график	функции	и указать по графику несколько значений х , при которых значения функции положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Термин функция ( от лат . function — исполнение , совершение ) впервые был введён Г. Лейбницем в конце XVII в . , однако представление о	функции	было ещё у древних учёных .
Построить график функции и указать по графику несколько значений х , при которых значения	функции	положительны ; отрицательны : 1 ) y равно ; 2 ) у равно .
Построить график	функции	, найдя точки пересечения его с осями координат .
Понятие	функции	, с которым вам предстоит познакомиться в этой главе , появилось одновременно с понятием переменной величины .
Как из графика	функции	у равно можно получить графики функций у равно ? .
Как из графика	функции	у равно можно получить графики функций : 1 ) На складе было 400 т угля .
Найти значение b , если известно , что график	функции	проходит через точку .
Найти значение k , если известно , что график	функции	у проходит через точку .
Определить координаты точек пересечения с осями координат графика	функции	и вычислить площадь прямоугольного треугольника , ограниченного прямой и координатными осями .
Найти значения k и b , если известно , что график	функции	проходит через точки .
В этом параграфе вы познакомились с одним очень интересным действием — сдвигом графика	функции	вдоль координатных осей .
Да , мы прикладывали линейку к графику	функции	и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от знака числа b в формуле функции .
Да , мы прикладывали линейку к графику функции и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от знака числа b в формуле	функции	.
В самом деле , так как при , то точка графика функции получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика	функции	.
Точно так же точка ( 4 ; 1 ) графика у получается сдвигом вправо на 3 единицы точки графика у. И вообще любая точка В графика	функции	получается сдвигом вправо на 3 единицы соответствующей точки А графика .
Теперь давайте покажем , что график	функции	можно получить сдвигом графика функции у вправо на 3 единицы .
График проходит через точки , так как при х. Поэтому график	функции	у можно также построить по трём точкам .
Поэтому график функции можно получить сдвигом графика	функции	вниз на 2 единицы .
Поэтому график	функции	можно получить сдвигом графика функции вниз на 2 единицы .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график	функции	; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
При каждом значении х значение функции на 2 единицы меньше значения	функции	.
Построим , например , график	функции	.
Раз уж я вас научил строить график	функции	, давайте подвигаем и его .
Найти значение k , если график	функции	y проходит через точку .
Проводили новую , параллельную первой , прямую и получали график	функции	.
Построить график	функции	если известно , что ему принадлежит точка .
Построить график	функции	если известно , что этот график проходит через точку .
При каждом значении х значение	функции	на 2 единицы меньше значения функции .
Таблица — это один из способов задания	функции	.
Не выполняя построения графика	функции	у равно 2х выяснить , проходит ли он через точку .
Отметим , что для построения графика линейной	функции	иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями координат .
Примеры табличного способа задания	функции	: таблица квадратов натуральных чисел , таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Что является графиком	функции	у ? .
Например , формула показывает , как по данному значению х вычислить соответствующее значение	функции	у .
Проходит ли график этой	функции	через точку ? .
График	функции	y проходит через точку .
Хотя с графиками , иллюстрирующими разные явления , вы уже встречались , но только теперь познакомитесь с определением понятия графика	функции	.
Как получить график	функции	у , если имеется график функции ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания	функции	; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Рассматриваются три способа задания функции ; демонстрируется процесс нахождения значения	функции	по заданному значению независимой переменной .
Построить график линейной	функции	.
Рассматриваются три способа задания	функции	; демонстрируется процесс нахождения значения функции по заданному значению независимой переменной .
График	функции	изображён .
Найти точки пересечения графика	функции	у с осями координат и построить график .
В этом параграфе вводится одно из основных понятий математики — понятие	функции	( зависимой переменной ) .
Ординаты всех точек графика равны 2 , и поэтому графиком	функции	является прямая , параллельная оси Ох и проходящая через точку .
Принадлежит ли точка графику этой	функции	?
График	функции	y проходит через точки и .
Найти у и значение х , при котором значение	функции	равно 89 .
Допустим , что на координатной плоскости изображён график некоторой	функции	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной	функции	с осями координат .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной	функции	, заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Для того чтобы по заданному графику найти значение	функции	у(х ) при каком - то определённом значении х , проведём через точку оси абсцисс с координатой х перпендикуляр к этой оси и найдём точку М пересечения его с графиком данной функции .
Как получить график функции у , если имеется график	функции	? .
Как выглядит график	функции	у при k равно 0 и b ≠ 0 ? .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график	функции	; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
С этим , а также с другими способами задания	функции	( с помощью формулы , графика , описания ) вы познакомитесь при изучении этой главы .
С помощью линейной	функции	описываются многие физические процессы .
В связи с тем что существует множество	функций	, не задающихся формулой , гениальный русский математик Н. И. Лобачевский ( 1792–1856 ) в 1834 г. развил определение функции , данное Эйлером .
Однако уже в XIX в . стало ясно , что существует множество	функций	, которые нельзя задать формулой .
Графиками	функций	являются параллельные прямые .
Графиком какой из следующих	функций	является эта прямая : у ? .
Графики	функций	у .
Найти координаты точки пересечения графиков	функций	.
Изображены графики	функций	.
В одной системе координат построить графики	функций	.
Через какую точку проходят все графики	функций	вида .
Как из графика функции у равно можно получить графики	функций	: 1 ) На складе было 400 т угля .
Как из графика функции у равно можно получить графики	функций	у равно ? .
Приведу примеры ещё трёх	функций	, имеющих свои особые обозначения .
А потом самостоятельно постройте графики	функций	.
Профессор , есть ещё какие - то способы задания	функций	, кроме уже знакомых нам четырёх ( формулой , таблицей , графиком и описанием ) ? .
Построить график функции у , если известно , что ему принадлежит точка В. График какой из этих	функций	проходит через точку .
Построить графики этих	функций	.
Леонард Эйлер и его вклад в развитие теории	функций	.
Пожалуйста , постройте графики следующих	функций	.
Графики	функций	широко применяются в практике .
Найти значение каждой из	функций	Р(х ) и при .
А от	функций	и уравнений можно через алгебру переходить в геометрию и возвращаться обратно .
Таблицы квадратов и кубов чисел , используемые вавилонскими учёными , представляли собой фактически табличный способ задания	функций	.
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; —	функциональная	зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
в области	функционального	анализа .
Зависимость переменной s от переменной t называют	функциональной	зависимостью .
Для того чтобы наглядно представить	функциональную	зависимость , используют специальные рисунки ( чертежи ) , которые называют графиками .
Эту	функцию	называют ещё « антье х » .
На ближайших уроках вы изучите эту	функцию	и поймёте , как строить график функции , если уже построен график функции .
Записать формулой	функцию	, график которой — прямая , изображённая .
А вы подумайте , почему их и	функцию	иногда называют кусочно заданными .
Если рассмотреть формулу , где k и х — произвольные числа , то каждое заданное значение k определяет некоторую	функцию	.
Уравнение можно рассматривать как формулу , задающую	функцию	у от х. Поэтому графиком уравнения является прямая .
имеете в виду	функцию	, так как .
понимать его как линейную	функцию	.
Линейную	функцию	можно назвать важнейшей , так как очень много законов природы и практических взаимосвязей выражаются с помощью этой функции .
Подумайте , как записать	функцию	, значения которой равны числу х , если оно неотрицательно , и числу , ему противоположному , если оно отрицательно .
В частности ,	функцию	можно задать описанием .
Выразить массу m как	функцию	от его объёма V . 1 )
Записать формулой	функцию	s(t ) на участках графика ВС , DE , CD .
Записать формулой линейную	функцию	, график которой проходит через точку и параллелен графику данной функции .
Записать формулой	функцию	, график которой — прямая , проходящая через : 1 ) начало координат ; 2 ) точку с координатами .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать	функцию	с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Он отождествлял	функцию	с её аналитическим выражением , с формулой .
Задать формулой	функцию	, графиком которой является прямая , проходящая через точки А и В .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; —	функция	( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Линейная	функция	задана формулой .
Будет ли	функция	T(t ) линейной ?
Современные математики про такой налог могли бы сказать : « Налог Р есть	функция	от площади участка S » .
Термин	функция	( от лат . function — исполнение , совершение ) впервые был введён Г. Лейбницем в конце XVII в . , однако представление о функции было ещё у древних учёных .
Вы , наверное , уже поняли , что понятие	функция	является одним из основных понятий в математике .
Используя графики зависимостей массы m воды и массы m2 льда от объёма V , ответить на вопросы : 1 ) Является ли	функция	m1(V ) линейной ?
Глава VI Линейная	функция	и её график .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых	функция	отрицательна .
32 Линейная	функция	и её график .
Какая	функция	называется линейной ? .
Дана	функция	у.
Дана	функция	.
По нему , кстати , сразу видно , что	функция	принимает отрицательные значения при х , находящихся между числами – 2 и 2 , а при принимает положительные значения .
Задана	функция	у.
Пользуясь этим графиком , найти : значение х , при котором	функция	принимает значение , равное .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; — функция и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная	функция	и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Найти значение х , при котором	функция	принимает значение , равное 0 ; – 2 .
Дана линейная	функция	.
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых	функция	положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Линейной функцией называется	функция	вида , где k и b — заданные числа .
В этой главе вы узнали , что такое : — абсцисса и ордината точки ; — независимая переменная ; — функция ( зависимая переменная ) ; — функциональная зависимость ; — график функции ; —	функция	и её график ; — прямая пропорциональность ; — линейная функция и её график ; — способы задания функции ; как : — задавать функцию с помощью формулы ; таблицы ; графика ; — строить и читать график функции ; — выяснять ( без использования графика ) принадлежность точки с известными координатами графику конкретной функции , заданной формулой ; — находить координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат .
Указать три значения х , при которых	функция	принимает положительные значения , и три значения х , при которых функция принимает отрицательные значения .
Упражнения . ( Устно . ) Является ли линейной	функция	, заданная формулой .
Указать три значения х , при которых функция принимает положительные значения , и три значения х , при которых	функция	принимает отрицательные значения .
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от чисел к точкам координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к	функциям	, уравнениям , системам уравнений ? .
Как я уже говорил , зависимости между величинами в древности не называли	функциями	, но их уже рассматривали .
В неявном виде с	функциями	знакомы и вы .
вплотную подошёл к представлению о	функциях	любого аргумента .
С помощью букв записывают обобщённые выражения числовых	характеристик	и в гуманитарных знаниях .
Их находят для того , чтобы легче было сравнивать числовые	характеристики	больших наборов схожих величин .
При делении	целого	числа на равные части получаются доли .
При делении	целого числа	на равные части получаются доли .
В частности , он обращал внимание читателей на то , что	целое	число , записанное перед обыкновенной дробью , означает их сумму , например .
Натуральное число , которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k —	целое	неотрицательное число .
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель дроби ( на сколько частей разделено	целое	) и числитель дроби ( сколько частей взято ) .
Знаменатель показывает , на сколько равных долей делят	целое	, а числитель — сколько таких долей взято .
В энциклопедическом словаре можно прочитать : « Система ( от греческого слова σύστημα —	целое	, составленное из частей ) — это множество элементов , находящихся в отношениях и связях друг с другом , образующих целостность , единство » .
Так как из числа 3 вычитается неотрицательное число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х —	целое	неотрицательное число , то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
Очевидно , например , что . 2 ) Целая часть числа — наибольшее	целое	число , не превосходящее .
Любое	целое	число а является рациональным , так как .
Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное число , от которого третья часть —	целое	число .
Число , которое можно записать в виде , где m —	целое	число , n — натуральное число , называют рациональным числом .
Любое	целое число	а является рациональным , так как .
В частности , он обращал внимание читателей на то , что	целое число	, записанное перед обыкновенной дробью , означает их сумму , например .
Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное число , от которого третья часть —	целое число	.
Число , которое можно записать в виде , где m —	целое число	, n — натуральное число , называют рациональным числом .
Очевидно , например , что . 2 ) Целая часть числа — наибольшее	целое число	, не превосходящее .
если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной	целой	части .
При этом иногда приходится написать перед	целой	частью нуль или несколько нулей .
Помимо найденных	целочисленных	значений х и у в задаче 1 уравнению удовлетворяет не одна пара чисел .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу	целую	часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить	целую	часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части .
Для этого из неправильной дроби нужно выделить	целую	часть .
По условию задачи выполняется равенство в котором х и у — неизвестные	целые	неотрицательные числа .
Вычисляя значения данной дроби при , показать , что	целые	значения получаются при .
По графику найти	целые	значения х , при которых значение функции больше – 2 .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 )	целые	значения х , при которых функция положительна ; 5 ) целые значения х , при которых функция отрицательна .
Если коэффициенты членов многочлена —	целые	числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
координаты точек пересечения графика с осями координат ; 4 ) целые значения х , при которых функция положительна ; 5 )	целые	значения х , при которых функция отрицательна .
Найти все	целые	числа n , при которых дробь является целым числом .
Найти все	целые числа	n , при которых дробь является целым числом .
Если коэффициенты членов многочлена —	целые числа	, то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с	целым	числом витков и высотой 122 мм .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть	целым	числом .
Вычисляя по этой формуле значения у при x равно 0 , 1 , 2 , 3 , замечаем , что только при х равно 2 соответствующее значение у будет	целым	числом ( равным 3 ) .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть	целым	числом .
Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался	целым	неотрицательным числом , нужно , чтобы делилось на 7 .
Найти все целые числа n , при которых дробь является	целым	числом .
Осталось выяснить , при каких целых значениях n дробь является	целым	числом .
Осталось выяснить , при каких целых значениях n дробь является	целым числом	.
Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с	целым числом	витков и высотой 122 мм .
Найти все целые числа n , при которых дробь является	целым числом	.
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть	целым числом	.
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть	целым числом	.
Вычисляя по этой формуле значения у при x равно 0 , 1 , 2 , 3 , замечаем , что только при х равно 2 соответствующее значение у будет	целым числом	( равным 3 ) .
понятия числового выражения и его значения ; действия с	целыми	и дробными числами ; единицы измерения времени , длины , площади , массы .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с	целыми	и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля числа .
Например , числа – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 являются	целыми	.
Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений среди	целых	чисел ( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению	целых	решений четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Помните , во II главе я начал вам рассказывать о решении неопределённых уравнений с двумя неизвестными вида , которые Диофант в III в . решал в	целых	числах .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению	целых	решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Найти по графику : 1 ) значение у , соответствующее значению х , равному 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 2 ) значение х , если значение у равно – 3 ; 4,5 ; 6 ; 3 ) несколько	целых	значений х , при которых значения у положительны ( отрицательны ) .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления	целых	чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Найти все пары	целых	чисел х и у , при которых справедливо равенство .
Осталось выяснить , при каких	целых	значениях n дробь является целым числом .
Среди них — линейные уравнения с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в	целых	неотрицательных числах , впоследствии получившие название диофантовых уравнений .
Натуральные числа , числа им противоположные и нуль образуют множество	целых	чисел .
отдельно выполнить сложение	целых	частей и отдельно дробных частей ;
Указать несколько	целых	значений x , при которых значения функции у равно положительны ( отрицательны ) .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание	целых	частей и отдельно дробных частей .
Доказать , что ни при каких	целых	х и у равенство не является верным .
Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений среди	целых чисел	( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Найти все пары	целых чисел	х и у , при которых справедливо равенство .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления	целых чисел	, десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Натуральные числа , числа им противоположные и нуль образуют множество	целых чисел	.
Квадрат со стороной 4 расположен так , что	центр	его находится в начале координат , а стороны параллельны осям координат .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг	центра	квадрата .
Показано получение нового магического квадрата поворотом клеток вокруг	центра	на 90 ° .
Сопротивление R участка	цепи	, состоящего из двух параллельно соединённых проводников с сопротивлениями R1 и R2 , находится из формулы Выразить из этой формулы .
Сопротивление R участка	цепи	, состоящего из трёх параллельно соединённых проводников с сопротивлениями R1 , R2 и R3 , находится из формулы .
Например , уравнение ( его можно записать в виде ) имеет два корня , потому что число 25 можно получить как результат умножения двух одинаковых	чисел	двумя способами .
При таком обозначении	чисел	действия с ними выполнять не очень удобно .
Только что изученная формула разности квадратов поможет нам решить ещё одну полезную задачу на делимость	чисел	.
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности квадратов	чисел	а и b , а знаменатель — квадрату разности этих чисел .
Например , при делении на 6 в остатке может быть одно из	чисел	: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных	чисел	, нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Есть ли среди	чисел	корень уравнения .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более	чисел	; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Изображены два латинских квадрата 4×4 , которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй квадрат сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) , то все пары образовавшихся двузначных	чисел	будут различными .
добавить к ним недостающие множители из разложений остальных	чисел	; 14 ) найти произведение получившихся множителей .
При решении многих практических задач часто для обозначения	чисел	используются буквы .
Вы помните , что среднее арифметическое двух	чисел	а и b равно .
Например , нельзя найти значение х , удовлетворяющее уравнению , так как нельзя получить отрицательное число при перемножении двух одинаковых	чисел	.
В записи координат точек порядок	чисел	имеет существенное значение .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы чётного и нечётного натуральных	чисел	; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
Так , для дробей общим знаменателем является число 100 — наименьшее общее кратное	чисел	4 , 25 , 10 .
Найти наименьшее общее кратное	чисел	.
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным	чисел	12 и 18 .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих	чисел	.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных чисел , отбросить те , которые не входят в разложение других	чисел	; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Хотя суеверия очень вредят человеку , мешают правильно понимать законы природы , подавляют веру в свои силы , всё же некоторые люди верят в магическую силу отдельных	чисел	.
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма	чисел	х и 5 равна их произведению .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , нужно : 1 ) разложить каждое из них на простые множители ; 2 ) из множителей , входящих в разложение одного из данных	чисел	, отбросить те , которые не входят в разложение других чисел ; 13 ) найти произведение оставшихся множителей .
Какое из	чисел	3 ; – 2 является корнем уравнения .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен сумме кубов чисел с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих	чисел	.
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен сумме кубов	чисел	с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел .
Записать алгебраическую дробь , числитель которой равен разности квадратов чисел а и b , а знаменатель — квадрату разности этих	чисел	.
При решении задачи было получено выражение которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое число ,	чисел	3 и 6 , знаков действий и скобок .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных	чисел	а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных	чисел	, нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных чисел ;
Нужно вспомнить : основное свойство обыкновенной дроби ; нахождение наименьшего общего кратного нескольких натуральных	чисел	; приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю ; свойства степеней ; деление одночлена и многочлена на одночлен .
Например , НОД	чисел	12 и 18 является число 6 .
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , нужно : 11 ) разложить каждое из них на простые множители ; 12 ) выписать множители , входящие в разложение одного из данных	чисел	;
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение	чисел	15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных чисел , таблица кубов натуральных	чисел	, таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Отец ответил , что если к произведению чисел , означающих их года , прибавить сумму этих	чисел	, то будет 14 .
Не вычисляя , объяснить , почему : 1 ) произведение	чисел	2,004 и 1,745 больше 3 ; 2 ) произведение чисел 1,2438 и 0,8 меньше 2 .
Отец ответил , что если к произведению	чисел	, означающих их года , прибавить сумму этих чисел , то будет 14 .
Действительно , квадраты рассмотренных	чисел	при делении на 3 дают в остатке 1 .
Прочитать формулы суммы и разности кубов	чисел	m и n .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов	чисел	5 и 3 .
утроенная сумма	чисел	2 и 6 в два раза больше произведения этих же чисел .
4 ) произведение суммы	чисел	а и b и их разности .
Чтобы сложить смешанные числа , нужно : 1 ) привести дробные части этих	чисел	к общему знаменателю ;
Но заметили ли вы любопытное свойство	чисел	в его строчках ?
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от деления суммы	чисел	n и m на их разность ;
Записать : 1 ) удвоенную разность чисел а и b ; 2 ) удвоенное произведение	чисел	m и n ; 3 ) частное от деления суммы чисел n и m на их разность ;
Записать : 1 ) удвоенную разность	чисел	а и b ; 2 ) удвоенное произведение чисел m и n ; 3 ) частное от деления суммы чисел n и m на их разность ;
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных	чисел	— чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных	чисел	, меньшее из которых равно .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных	чисел	, меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Таблицы квадратов и кубов	чисел	, используемые вавилонскими учёными , представляли собой фактически табличный способ задания функций .
утроенная сумма чисел 2 и 6 в два раза больше произведения этих же	чисел	.
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину разности	чисел	c и d ; 3 ) сумму числа 12 и произведения чисел а и b ; 4 )
Профессор , а можно на конкретной задаче рассмотреть делимость выражения из каких - либо	чисел	на 3 ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных	чисел	, большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Зная , как записывается любое натуральное число с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из	чисел	, делящихся или не делящихся на 3 .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных	чисел	, меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных чётных натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 ) сумму числа 12 и произведения	чисел	а и b ; 4 )
Найти все пары целых	чисел	х и у , при которых справедливо равенство .
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму	чисел	5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 ) сумму числа 12 и произведения чисел а и b ; 4 )
частное от деления суммы	чисел	n и m на число 17 .
Ты фактически доказал , что разность кубов данных в задаче	чисел	при делении на 3 даёт в остатке 1 .
при делении на 3 число либо разделится на 3 , либо даст в остатке одно из	чисел	1 или 2 .
15 Записать : 1 ) 66 % от суммы	чисел	а и 4,02 ; 2 ) 33 % от частного чисел х и 0,27 .
Здесь я обозначил большее из двух натуральных	чисел	буквой n , а разность буквой k .
15 Записать : 1 ) 66 % от суммы чисел а и 4,02 ; 2 ) 33 % от частного	чисел	х и 0,27 .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных	чисел	, не делится на 3 .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных	чисел	есть число нечётное , то их произведение делится на 24 .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы	чисел	3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности	чисел	32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных	чисел	есть число нечётное , то их произведение — число чётное .
Доказать , что сумма произведения двух последовательных натуральных	чисел	и большего из них равна квадрату большего числа .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность	чисел	40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Квадрат суммы двух	чисел	равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Рассмотрим квадрат суммы двух	чисел	.
Чтобы выполнить умножение смешанных	чисел	, нужно их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей .
Разность кубов каких двух последовательных натуральных	чисел	равна 331 ? .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность	чисел	делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Нужно вспомнить : понятия чётного и нечётного	чисел	; понятие многоугольника ; формулы площади и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности	чисел	; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух чисел .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ; число , получающееся при сложении этих	чисел	, называют их суммой .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух	чисел	и разности квадратов двух чисел .
В этой главе вы узнали , что такое : — разложение многочлена на множители ; — формулы сокращённого умножения ; как : — раскладывать на множители многочлен : способом вынесения за скобки общего множителя ; способом группировки ; с помощью формул сокращённого умножения ; — применять различные способы разложения многочлена на множители ; — обосновывать алгебраически и геометрически формулы разности квадратов , квадратов суммы и разности чисел ; — возводить двучлен в третью степень ; — доказывать формулы разности и суммы кубов ; — применять разложение многочленов на множители при решении уравнений ; — применять для приближённых вычислений формулы квадратов суммы ( разности ) двух чисел и разности квадратов двух	чисел	.
Доказать , что сумма пяти последовательных натуральных	чисел	делится на 5 .
Делимость на 2 и на 3 числовых выражений , содержащих квадраты и кубы различных натуральных	чисел	.
Итак , заданное число можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных	чисел	, из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
удвоенная разность	чисел	10 и – 2 в три раза больше суммы этих же чисел ; 4 )
Примеры табличного способа задания функции : таблица квадратов натуральных	чисел	, таблица кубов натуральных чисел , таблица прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от суммы вклада .
Произведение первого и второго	чисел	на 34 меньше квадрата третьего .
После создания письменности в разных странах для обозначения цифр и	чисел	стали использовать буквы .
удвоенная разность чисел 10 и – 2 в три раза больше суммы этих же	чисел	; 4 )
Чтобы выполнить вычитание смешанных	чисел	, нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
Используя формулы куба суммы или куба разности двух	чисел	, выполнить действие .
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , нужно : 1 ) привести дробные части этих	чисел	к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть ; 2 ) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей .
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 ) куба разности двух	чисел	.
2 ) квадрата разности двух чисел ; 3 ) куба суммы двух	чисел	; 4 ) куба разности двух чисел .
2 ) квадрата разности двух	чисел	; 3 ) куба суммы двух чисел ; 4 ) куба разности двух чисел .
Прочитать формулу : 1 ) квадрата суммы двух	чисел	;
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных чисел делится на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных	чисел	есть трёхзначное число .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы	чисел	1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных	чисел	делится на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Так , например , римские цифры ( I , II , III , IV , V , VI ) хранят память обозначения	чисел	чёрточками , засечками .
Квадрат разности двух	чисел	равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Рассмотрим квадрат разности двух	чисел	.
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных	чисел	является чётным числом .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных	чисел	— нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Не вычисляя , объяснить , почему : 1 ) произведение чисел 2,004 и 1,745 больше 3 ; 2 ) произведение	чисел	1,2438 и 0,8 меньше 2 .
Нужно вспомнить : умножение	чисел	с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух	чисел	с разными знаками , нужно : 1 ) найти произведение ( частное ) модулей этих чисел ;
Натуральные числа , числа им противоположные и нуль образуют множество целых	чисел	.
Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений среди целых	чисел	( достаточно в качестве а взять числа , делящиеся нацело на 9 ) .
Прежде всего нужно выписать и запомнить кубы	чисел	от 1 до 10 .
Произведение первых n натуральных	чисел	в математике обозначают n ! ( читается « эн факториал » ) .
Записать : 1 ) произведение числа с и разности	чисел	a и b ; 2 ) сумму числа а и произведения чисел c и d .
Осталось убедиться , что эта пара	чисел	на самом деле является решением системы , осталось показать , что при х равно 1 , у равно 2 оба уравнения системы становятся верными равенствами .
Какая из пар	чисел	является решением уравнения ? .
Какая из пар	чисел	является решением системы ? .
Замечаем , что все кубы этих	чисел	оканчиваются разными цифрами .
Получили 6	чисел	.
Записать : 1 ) произведение числа с и разности чисел a и b ; 2 ) сумму числа а и произведения	чисел	c и d .
При этом кубы	чисел	1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и возводимое в степень число .
Чтобы найти сумму двух отрицательных	чисел	, нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным числом знак минус .
У кубов	чисел	2 , 3 , 7 , 8 последняя цифра равна разности десяти и числа , которое возводилось в куб .
Рассмотрим утверждение : « Произведение любых двух натуральных	чисел	есть число чётное » .
Итак , если система имеет решение , то этим решением может быть только пара	чисел	: х равно b , у равно 4 .
Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать с помощью цифр 1 , 2 и 3 при условии , что цифры в числе : 1 ) должны быть различными ;
3 Привести формулы чётного и нечётного	чисел	.
Чтобы найти сумму двух	чисел	с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Можно показать , что графиком любого уравнения вида является прямая , если хотя бы одно из	чисел	а или b не равно нулю .
Третью цифру к уже двум имеющимся можно было , согласно правилу произведения , приписать способами , существует всевозможных трёхзначных	чисел	, записанных с помощью цифр 0 , 1 и 2 .
Так как координаты ( х ; у ) этой точки удовлетворяют уравнениям , обращают эти уравнения в верные числовые равенства , то пара	чисел	( х ; у ) должна быть решением системы .
Способ составления трёхзначных	чисел	из 3 различных цифр аналогичен способу образования троек букв в задаче .
Попробуйте теперь со Светой подметить закономерности в последних цифрах степеней	чисел	2 , 3 , 7 и 8 .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых	чисел	, десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и числа по его процентам .
Как обозначают произведение первых n натуральных	чисел	? .
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару	чисел	х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство .
Сколько различных шестизначных	чисел	, цифры в которых различны , можно записать с помощью цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и 6 ? .
Умножая обе части этого уравнения на 105 ( наименьшее общее кратное	чисел	21 и 15 ) , получаем откуда x равно 17,5 .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду натуральных	чисел	) чётное число : при n равно 6 число .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов	чисел	с и 3 .
Процентное отношение р	чисел	а и b находится по формуле .
Установить , какое из	чисел	больше .
Найти все пары ( х ; у ) натуральных	чисел	, которые являются решениями уравнения : ( Устно . )
Например , найдём процентное отношение р	чисел	15 и 40 .
Для подсчёта образующихся	чисел	составим таблицы .
Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать с помощью цифр 6 , 7 , 8 , 9 , 0 при условии , что цифры в числе : 1 ) могут повторяться ;
Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать с помощью цифр 5 , 6 , 7 , 8 , 9 при условии , что цифры в числе : 1 ) могут повторяться ;
Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать с помощью цифр : 1 ) 1 и 2 ; 2 ) 0 и 1 ? .
Из следующих пар	чисел	выбрать ту , которая является решением данной системы .
Найти все пары ( х ; у ) натуральных	чисел	, которые являются решениями уравнения .
Известно , что пара	чисел	х равно 5 , у равно 2 является её решением .
Если удвоенную сумму крайних	чисел	уменьшить на 2 , то получится 34 .
Известно , что пара	чисел	х равно 1 , у равно 2 является её решением .
Оно неверно , так как , например , произведение	чисел	3 и δ не является чётным числом .
Получили 27	чисел	.
Применяя распределительное свойство умножения	чисел	, можно записать .
Сколько существует различных двузначных	чисел	, записанных с помощью цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в числе должны быть разными ; 2 ) цифры в числе могут повторяться ? .
Сколько существует различных двузначных	чисел	, записанных с помощью цифр 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в числе должны быть разными ; 2 ) цифры в числе могут повторяться ? .
4 Установить , какие из	чисел	379 , 548 , 2646 , 967 являются чётными , а какие нечётными .
Пару	чисел	называют решением системы .
Нужно вспомнить : сравнение натуральных	чисел	; практические ситуации перебора вариантов .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных чисел делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных	чисел	делится на 8 .
Найти два числа , если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих	чисел	на 8 больше их разности .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного	чисел	; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных	чисел	делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6 ? .
Сумма трёх этих	чисел	равна , где p равно .
Сколько существует различных двузначных	чисел	, в записи которых можно использовать цифры если цифры в числе : 1 ) могут повторяться ;
Показать , что и произведение трёх последовательных натуральных	чисел	делится на 6 .
Математики договорились над буквенной записью многозначных	чисел	ставить чёрточку .
Какое из	чисел	больше .
Если одно из	чисел	m , n чётное , а другое нечётное , то чётное число , и поэтому число делится на и на 16 .
Профессор , мне не всё понятно в обозначениях	чисел	буквами .
Проверить , есть ли среди	чисел	1 ; 0 ; – 4 корень уравнения .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из	чисел	х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных натуральных	чисел	( а корнем уравнения является число 3 ) .
При решении задачи использовалась запись ( черта дроби заменяет знак деления ) , состоящая из	чисел	, соединённых знаками арифметических действий .
Так как делителями числа 7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары	чисел	.
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары	чисел	( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Записать алгебраическую сумму	чисел	.
При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества ( предметов , людей ,	чисел	) , а с помощью рёбер — определенные связи между этими элементами .
Так как делителями числа ( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары	чисел	.
Докажем , что сумма любых трёх последовательных натуральных	чисел	делится на 3 .
Пусть первое из трёх последовательных натуральных	чисел	равно n , тогда следующее за ним число равно , а третье число равно .
Иногда в числовом выражении , кроме	чисел	и знаков действий , используются скобки .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных	чисел	делится на 6 ? .
Найти два числа , если удвоенная сумма этих	чисел	на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
Показать , что каждое из	чисел	132 и 576 делится на 12 .
Проверить , является ли пара	чисел	х равно 2 и у равно 1 решением системы уравнений .
Доказать , что сумма : 1 ) семи последовательных натуральных	чисел	делится на 7 ; 2 ) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8 .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с одинаковыми знаками , нужно найти произведение ( частное ) модулей этих	чисел	.
18	чисел	.
Итого : 18	чисел	.
Что является графиком уравнения , если хотя бы одно из	чисел	а или b не равно нулю ? .
Иногда сумму или разность многочленов удобно находить « столбиком » ( по аналогии со сложением и вычитанием	чисел	) .
Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать с помощью цифр 0 , 1 , 2 , если цифры в числе могут повторяться ? .
Чтобы найти произведение ( частное ) двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) найти произведение ( частное ) модулей этих	чисел	;
Последняя цифра числа равна 6 , так как при умножении	чисел	с последней цифрой 6 получается число также с последней цифрой 6 .
25 Найти в ряду натуральных	чисел	: 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное число .
Так было сделано только что при доказательстве делимости суммы	чисел	на 3 .
С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей вариантов , перечислить все двузначные числа , в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих	чисел	.
Показать , что данное число равно , последняя цифра	чисел	равна 1 , числа — цифра 9 , числа — цифра 7 .
То есть благодаря методу координат мы можем переходить от	чисел	к точкам координатной плоскости , а от точек — к линиям , от линий — к функциям , уравнениям , системам уравнений ? .
Далее определяют , между кубами каких	чисел	оно находится .
Для того чтобы доказать верность некоторого утверждения для всех	чисел	, нужно строго ( ссылаясь на известные правила , свойства и определения ) обосновать его истинность .
Между кубами	чисел	4 и 5 .
, изучать свойства	чисел	.
Так как сумма трёх последовательных натуральных	чисел	представима в виде 3р , значит , она делится на 3 , что и требовалось доказать .
Меньшее из этих двух	чисел	даст первую цифру задуманного двузначного числа .
Геометрическое представление	чисел	помогало греческим учёным , таким , как Эратосфен ( ок .
Сколько различных пар	чисел	может появиться на гранях этих тетраэдров , соприкасающихся с поверхностью стола ? .
Рассмотрим задачи , связанные с делимостью	чисел	.
Чтобы найти произведение ( частное ) двух	чисел	с одинаковыми знаками , нужно найти произведение ( частное ) модулей этих чисел .
Фигурная скобка , стоящая слева , показывает , что нужно найти такую пару	чисел	( х ; у ) , которая обращает каждое уравнение в верное равенство .
Сколько различных трёхзначных	чисел	, в записи которых цифры могут повторяться , можно записать с помощью цифр : 1 ) 1 , 2 , 3 , 4 ; 2 ) 0 , 1 , 2 , 3 ? .
По свойствам умножения	чисел	можно записать следующее равенство .
Частное двух чисел часто называют отношением этих	чисел	.
Можно найти много пар	чисел	х и у , обращающих в верное равенство первое уравнение системы , но не обращающих в верное равенство второе уравнение ( например , x равно 8 и у равно10 ) ; такие пары не являются решениями всей системы .
А вот пара	чисел	х равно 2 и у равно 1 обращает в верные равенства оба уравнения и поэтому является решением системы .
В многочлене число 7 — наибольший общий делитель	чисел	28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
Частное двух	чисел	часто называют отношением этих чисел .
Вы знаете , что числовые выражения состоят из	чисел	, скобок и знаков арифметических действий .
Умножим сумму двух	чисел	на их разность .
Записать в виде числового равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) сумма чисел равна разности	чисел	;
Первый приём назывался ал - джабр ( восстановление ) и заключался в перенесении вычитаемых ( отрицательных	чисел	) из одной части уравнения в другую .
Например , в Древней Греции занимались теорией фигурных	чисел	( о чём я вам уже рассказывал ) .
Разность квадратов двух	чисел	равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих	чисел	и их суммы .
Помимо найденных целочисленных значений х и у в задаче 1 уравнению удовлетворяет не одна пара	чисел	.
Формулы квадратов и кубов суммы ( разности )	чисел	часто используются в приближённых вычислениях .
Запись	чисел	с помощью степени используется во многих случаях , например для записи натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых .
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 ) сумма	чисел	0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные числа , причём хотя бы одно из	чисел	а и b не равно нулю .
Прочитать формулу разности квадратов двух	чисел	.
Так как из числа 3 вычитается неотрицательное число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое неотрицательное число , то оно может быть только одним из	чисел	0 , 1 , 2 , 3 .
Запись чисел с помощью степени используется во многих случаях , например для записи натуральных	чисел	в виде суммы разрядных слагаемых .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма	чисел	3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
Отношение двух	чисел	показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго .
произведение чисел 34 и х в 2 раза больше суммы	чисел	1 и x ; 4 ) сумма чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность чисел 2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы	чисел	44,95 и 0,045 ;
Как говорилось во введении , алгебра выросла из арифметики и обобщила с помощью букв свойства	чисел	и правила действий с ними .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности	чисел	3x и 2y .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности	чисел	0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более	чисел	.
разности	чисел	1048 и 945 ? .
В своей книге « Всеобщая арифметика » , изданной в 1707 г. , знаменитый английский учёный Исаак Ньютон ( 1642–1727 ) писал : « Вычисления производятся либо при помощи	чисел	, как в обыкновенной арифметике , либо при помощи букв , как в алгебре .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы	чисел	18a и 42b ; 2 ) число , противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
удвоенное произведение	чисел	; 3 .
произведение	чисел	34 и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и x ; 4 ) сумма чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Записать в виде числового равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) сумма	чисел	равна разности чисел ;
Произведение двух	чисел	, одно из которых чётное , само будет чётным .
2 Записать в виде числового выражения : 1 ) произведение суммы и разности	чисел	;
Скажи , а как расположены числа n в ряду натуральных	чисел	? .
Внешне отличные от него варианты квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением	чисел	относительно осей симметрии квадрата ( их у квадрата 4 ) , либо поворотом на 90 ° вокруг центра квадрата .
Докажем , что сумма всех натуральных	чисел	от 1 до 1000 делится на 143 , а это произведение делится на 143 .
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все суммы	чисел	по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
произведение чисел 34 и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и x ; 4 ) сумма	чисел	и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой числа 25x .
Чему равно произведение разности	чисел	m и n на их сумму ? .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально возводить в квадраты числа 259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных	чисел	.
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности квадратов двух чисел , квадратов суммы и разности двух	чисел	и др.
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных	чисел	, есть нечётное число .
Ученик задумал два числа и сказал , что сумма этих	чисел	равна 10 , а их разность равна 4 .
Решениями уравнения с двумя неизвестными х и у , где а ≠ 0 , являются пары	чисел	; у , где у — любое число .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы	чисел	с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Например , число всевозможных магических квадратов размером 4×4 ( с записью в его клетках	чисел	от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число магических квадратов 5×5 более 200 000 .
При решении уравнения в задаче 2 найдены все решения — это пары	чисел	х , где х — любое число .
Записать удвоенное произведение этих	чисел	.
Одно из	чисел	а .
Сумма двух	чисел	равна 30 .
С записью	чисел	в стандартном виде вы будете часто встречаться при изучении физики , химии , при вычислениях на микрокалькуляторе и т .
Пары	чисел	х , где х может принимать любое значение , являются решениями уравнения .
обосновать формулу разности квадратов двух	чисел	.
произведение	чисел	40 и 0,03 равно частному от деления числа 6 на число 5 ; 3 )
Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара	чисел	, при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство .
С помощью букв можно записать формулы чётного и нечётного натуральных	чисел	.
Эта пара	чисел	называется решением данного уравнения .
Вы познакомитесь в этой главе с формулами разности квадратов двух	чисел	, квадратов суммы и разности двух чисел и др.
Для записи больших	чисел	часто применяются степени числа 10 .
Вы знаете , что если произведение двух	чисел	равно нулю , то хотя бы одно из них ноль .
Доказать , что сумма пяти последовательных чётных	чисел	делится на 10 .
Сколько различных четырёхзначных	чисел	можно записать , используя цифры 0 , 1 и 5 ? .
При решении задачи 1 была найдена пара	чисел	х равно 2 , у равно 3 , при которых уравнение равно 41 обращается в верное числовое равенство .
Поэтому записанные таким образом пары	чисел	называют упорядоченными .
Часто решение уравнения с двумя неизвестными записывается в виде пары	чисел	в круглых скобках .
Сколько десятичных знаков после запятой содержит : 1 ) сумма чисел 0,048 и 3,17 ; 2 ) разность	чисел	2,0017 и 5,01 ; 3 ) суммы чисел 44,95 и 0,045 ;
Важен порядок расположения	чисел	в скобках : на первом месте указывается значение х , а на втором — значение у.
Сколько различных пятизначных	чисел	можно записать , используя цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба	числа	m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба	числа	; запись натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и	числа	b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого	числа	на единицу , то выражения вида а , 2 также считают одночленами .
Пусть n , m , k — натуральные	числа	.
Даны три последовательных натуральных	числа	.
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата	числа	а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Например ,	числа	2 , 3 , 7 , 11 , 31 — простые числа .
Нужно вспомнить : умножение чисел с одинаковыми и разными знаками ; понятия квадрата и куба числа ; запись натурального	числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
Например , числа 2 , 3 , 7 , 11 , 31 — простые	числа	.
Найти шестую степень	числа	, если : 1 ) его квадрат равен ;
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и	числа	р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Меньшее из этих двух чисел даст первую цифру задуманного двузначного	числа	.
Например , делителями числа 12 являются	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
Например , делителями	числа	12 являются числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
Доказать , что квадрат нечётного	числа	, уменьшенный на 1 , делится на 8 .
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше	числа	х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их произведению .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в алгебре подразумеваются	числа	, при этом в одном выражении одной буквой обозначают одно и то же число .
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше	числа	14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их произведению .
Например ,	числа	8 , 15 , 102 , 1000 — составные .
Нужно вспомнить : определение степени с натуральным показателем ; нахождение неизвестных компонентов действий умножения и деления ; запись	числа	в стандартном виде .
Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем , то степень	числа	и произведение степеней также называют одночленами .
Доказать , что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего	числа	.
Например , числа 12 , 24 , 36 , 48 являются кратными	числа	12 .
Из - за того что в арифметике не всегда получалось деление нацело одного	числа	на другое , придумали обыкновенные дроби .
Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые	числа	, то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями .
Думаю , тебе не составит труда определить , например , последнюю цифру результата возведения	числа	2019 в степень 2019 .
Оставшуюся 28-ю букву ς Диофант и решил использовать для обозначения неизвестного	числа	.
Заметим , что для практических расчётов в те времена	числа	, большие 1000 , почти не использовались .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 %	числа	х .
Последняя цифра степени	числа	.
Для записи больших чисел часто применяются степени	числа	10 .
Такая запись называется стандартным видом	числа	.
А чтобы цифры и	числа	отличать , в Древней Греции , например , над « цифрами » ставили горизонтальную черту , в славянских странах — знак титло .
Не производя вычислений , расположить	числа	: в порядке убывания ; в порядке возрастания .
Если вместо букв , входящих в алгебраическую дробь , подставить	числа	, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби .
Записать данные	числа	в стандартном виде .
Степень	числа	.
5 Что такое запись	числа	в стандартном виде ? .
Записать : 1 ) квадрат	числа	m ; 2 ) куб числа а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Записать : 1 ) квадрат числа m ; 2 ) куб	числа	а ; 3 ) квадрат суммы чисел с и 3 ; 4 ) сумму квадратов чисел с и 3 .
Стандартный вид	числа	.
Кратным натурального	числа	а называют натуральное число , которое делится без остатка на а .
Числа от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами , числа от 10 до 90 ( через десяток ) — следующими девятью буквами , а	числа	от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
Возможность облегчённого письменного счёта ( сложения и умножения столбиком и др. ) даёт позиционная система счисления — в зависимости от позиции в записи	числа	цифра берёт на себя разные функции .
Диофант стал обозначать	числа	буквами греческого алфавита с чёрточками наверху .
Числа от 1 до 9 он обозначил первыми девятью буквами ,	числа	от 10 до 90 ( через десяток ) — следующими девятью буквами , а числа от 100 до 900 ( через сотню ) — девятью следующими буквами , включая предпоследнюю .
1 Что называется степенью	числа	а с натуральным показателем n , где n больше 1 ; n равно 1 ? .
Например , в римской нумерации цифра пять ( V ) и в записи	числа	четыре ( IV ) , и в записи числа шесть ( VI ) обозначает себя .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 %	числа	75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля	числа	.
Отбрасывают последние три цифры у сообщённого тебе	числа	и рассматривают оставшееся число , в нашем случае это число 103 .
При делении целого	числа	на равные части получаются доли .
Для того чтобы определить первую цифру задуманного	числа	, поступают следующим образом .
Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка	числа	а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
Таким образом , когда тебе сообщили число 103 823 , ты сразу можешь определить последнюю цифру задуманного двузначного	числа	.
Например , в римской нумерации цифра пять ( V ) и в записи числа четыре ( IV ) , и в записи	числа	шесть ( VI ) обозначает себя .
Познакомитесь с представлением любого	числа	в стандартном виде .
Аналогичные обозначения вводятся для произведения любого	числа	одинаковых множителей , например : 9 раз , 5 раз .
Например ,	числа	12 , 24 , 36 , 48 являются кратными числа 12 .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных членов пропорции ; нахождение модуля	числа	.
Поэтому материал этой главы , посвящённый использованию букв в алгебре , будет понятен всем — представляйте лишь , что за буквами спрятаны	числа	.
У кубов чисел 2 , 3 , 7 , 8 последняя цифра равна разности десяти и	числа	, которое возводилось в куб .
Действия с обыкновенными и алгебраическими дробями не имеют существенных различий , так как в алгебре под буквами подразумеваются	числа	.
Так , в записи числа 15 цифра 5 обозначает пять единиц , а в записи	числа	51 — пять десятков .
Степенью	числа	а с показателем 1 называется само число а .
Натуральные	числа	называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие	числа	, обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от числа и	числа	по его процентам .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие	числа	, противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Так , в записи	числа	15 цифра 5 обозначает пять единиц , а в записи числа 51 — пять десятков .
Например , взаимно простыми являются	числа	10 и 3 ; 91 и 92 .
Нужно вспомнить : таблицу умножения действия сложения , вычитания , умножения и деления целых чисел , десятичных и обыкновенных дробей ; понятие процента , нахождение процентов от	числа	и числа по его процентам .
Степенью	числа	а с натуральным показателем я , большим 1 , называется произведение я множителей , каждый из которых равен а : n раз .
Выражение аn читается так : « Степень	числа	а с показателем я » — или коротко : « а в степени я » .
Делителем натурального	числа	а называют натуральное число , на которое а делится без остатка .
Числовое выражение может состоять из одного	числа	.
Поэтому корнями рассматриваемого уравнения будут	числа	0 .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого	числа	минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого	числа	на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго	числа	.
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на число сотен исходного	числа	, то получится число – 198 .
В равенствах а и b — любые	числа	или алгебраические выражения , например .
Если разность этого числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Если разность этого	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на число сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Если модуль	числа	а мал по сравнению с 1 ( например , число а2 тем более мало , и поэтому равенство можно заменить приближённым равенством .
В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков , чем сотен , а число единиц равно квадрату	числа	сотен .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид	числа	; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить число в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Четвёртая степень числа 0,2 составляет 64 %	числа	a.
Четвёртая степень	числа	0,2 составляет 64 % числа a.
Сколько процентов от числа 500 составляет четвёртая степень	числа	5 ? .
Сколько процентов от	числа	500 составляет четвёртая степень числа 5 ? .
А нельзя ли записывать деление многочленов уголком , по аналогии с тем , как мы делили многозначные	числа	? .
Применяя формулу , найти приближённое значение	числа	.
Число b , которое составляет р% от	числа	а , находится по формуле .
6 Как найти n% от	числа	А ? .
Квадрат двузначного	числа	содержит нечётное число десятков .
6 Рациональные	числа	.
Найти три последовательных нечётных	числа	, сумма которых равна 81 .
Натуральные	числа	и дроби , большие нуля , называют положительными числами .
Имеются четыре последовательных чётных	числа	.
Найти цифру единиц этого двузначного	числа	.
Найти эти	числа	.
Противоположные	числа	— это два числа , сумма которых равна нулю .
Например , следуя порядку выполнения действий при нахождении значения выражения нужно первоначально возводить в квадраты	числа	259 и 258 , затем находить разность полученных пятизначных чисел .
Противоположные числа — это два	числа	, сумма которых равна нулю .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго	числа	.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого	числа	плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Так как ;	числа	взаимно обратные , так как .
Два	числа	, произведение которых равно 1 , называют взаимно обратными .
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и	числа	, ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от деления	числа	6 на число 5 ; 3 )
Доказать , что разность квадратов любого натурального	числа	( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное число .
Записать в виде квадрата	числа	.
Например , от	числа	150 равны 100 , так как .
В равенствах а , b — любые	числа	или алгебраические выражения , например .
Например , если некоторого	числа	составляют 84 , то само число равно .
Нужно вспомнить : понятие квадрата	числа	; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Например , отношение ( или 6:3 ) показывает , что первое число 6 в 2 раза больше второго	числа	3 ; отношение ( или 3:15 ) показывает , что первое число 3 составляет часть от второго .
В пропорции	числа	a и d называют крайними членами , а числа b и с — средними членами пропорции .
Чтобы найти дробь от	числа	, нужно умножить число на эту дробь .
В пропорции числа a и d называют крайними членами , а	числа	b и с — средними членами пропорции .
произведение чисел 34 и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и x ; 4 ) сумма чисел и 2x в 3 раза меньше одной четвёртой	числа	25x .
Если произведение делится и на 3 , и на 2 , то оно делится и на 6 ( так как	числа	2 и 3 взаимно простые ) .
Скажи , а как расположены	числа	n в ряду натуральных чисел ? .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба	числа	; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Решить уравнение относительно х , если а и b — заданные	числа	, отличные от нуля .
Доказать , что если при делении натурального	числа	на 225 остаток равен 150 , то это число делится нацело на 75 .
В те времена отрицательные	числа	считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть уравнения числа превращались в « настоящие » ( положительные ) числа .
Если коэффициенты членов многочлена — целые	числа	, то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных членов ; понятие противоположного	числа	; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
В те времена отрицательные числа считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть уравнения	числа	превращались в « настоящие » ( положительные ) числа .
В те времена отрицательные числа считали « искусственными » , а после перенесения их в другую часть уравнения числа превращались в « настоящие » ( положительные )	числа	.
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального	числа	N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного	числа	; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное число .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого	числа	на второе плюс квадрат второго числа .
Например , противоположными являются	числа	.
Если рассмотреть два любых соседних	числа	в одной строке , то в следующей строке под этими числами вы увидите число , равное их сумме .
Натуральные	числа	, числа им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
Показать , что данное число равно , последняя цифра чисел равна 1 ,	числа	— цифра 9 , числа — цифра 7 .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть	числа	18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Показать , что данное число равно , последняя цифра чисел равна 1 , числа — цифра 9 ,	числа	— цифра 7 .
Поэтому последняя цифра данного	числа	равна 6 .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от	числа	90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Так как последняя цифра	числа	равна 6 , то последняя цифра первого слагаемого равна 2 , а так как последняя цифра числа равна 1 , то последняя цифра второго слагаемого равна 3 .
Так как последняя цифра числа равна 6 , то последняя цифра первого слагаемого равна 2 , а так как последняя цифра	числа	равна 1 , то последняя цифра второго слагаемого равна 3 .
Следовательно , последняя цифра данного	числа	равна 5 и поэтому это число делится на 5 .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости	числа	на натуральное число n .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись	числа	в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Отсюда , в частности , следует , что любое натуральное число вида нельзя представить в виде квадрата натурального	числа	.
Даны два	числа	, не делящиеся на 3 .
Затем показать , что если из степени	числа	10 с натуральным показателем вычесть единицу , то получится число , все цифры которого равны 9 .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от	числа	370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Например , запись abc обозначает трёхзначное число ( записанное в виде суммы разрядных слагаемых , где а , b и с — однозначные	числа	) .
Если оба	числа	m и n чётные или оба нечётные , то — чётное число , и поэтому число делится на .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от	числа	12 равны 77 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба	числа	х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то	числа	делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба	числа	не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Так как делителями	числа	7 являются пары , то задача сводится к нахождению целых решений четырёх систем уравнений , решая которые найти искомые пары чисел .
Нужно вспомнить : свойства степени с натуральным показателем ; приведение одночлена к стандартному виду ; деление	числа	на части в заданном отношении ; понятие масштаба .
Так как делителями	числа	( – 4 ) являются пары чисел ( в любом порядке ) , то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений , решая которые , найти искомые пары чисел .
Корень этого уравнения — отрицательное число , поэтому для нахождения неизвестного	числа	в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
Как раньше записывали	числа	и знаки действий ? .
Цифры , которыми мы сегодня записываем	числа	, создавались на протяжении многих веков .
До возникновения письменности	числа	изображались рисунками , отмечались зарубками на палках , узлами на верёвках .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от	числа	700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Так как последняя цифра числа равна 1 , то последняя цифра данного	числа	равна 9 .
Так как последняя цифра	числа	равна 1 , то последняя цифра данного числа равна 9 .
Так как последняя цифра числа равна 1 , то последняя цифра данного	числа	равна 7 .
Натуральные числа ,	числа	им противоположные и нуль образуют множество целых чисел .
Чтобы сложить смешанные	числа	, нужно : 1 ) привести дробные части этих чисел к общему знаменателю ;
Найти : 1 ) 30 % от	числа	60 ; 2 ) число , 30 % которого равны 60 .
Например ,	числа	– 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 являются целыми .
Записать : 1 ) произведение числа с и разности чисел a и b ; 2 ) сумму	числа	а и произведения чисел c и d .
Записать : 1 ) произведение	числа	с и разности чисел a и b ; 2 ) сумму числа а и произведения чисел c и d .
Модулем	числа	а ( записывают |а| ) называют число , равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
До ближайшего	числа	, не меньшего чем 12 и делящегося на 9 , не хватает шести .
Доказать , что разность кубов любого натурального	числа	( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
Доказать , что разность кубов любого натурального числа ( большего 1 ) и	числа	, ему предшествующего в ряду натуральных чисел , не делится на 3 .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного	числа	суммы его цифр всегда получится число , делящееся нацело на 9 .
Например , решениями уравнения могут быть как	числа	12 и 13 , так и числа 10 и 15 .
Например , решениями уравнения могут быть как числа 12 и 13 , так и	числа	10 и 15 .
Неправильную дробь , у которой числитель больше знаменателя , можно записать в виде смешанного	числа	( смешанной дроби ) .
Отнимем от задуманного	числа	сумму его цифр .
Пусть он найдёт сумму цифр этого числа и отнимет её от задуманного	числа	.
Пусть он найдёт сумму цифр этого	числа	и отнимет её от задуманного числа .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от	числа	240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
В нём использовалось замечательное свойство последней цифры куба	числа	.
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 ) число 18 составляет 3 % от	числа	600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
Фокус с угадыванием задуманного	числа	.
Если от этого	числа	отнять число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 36 .
Так как	числа	4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался целым неотрицательным числом , нужно , чтобы делилось на 7 .
Например , взаимно обратными являются	числа	.
Последняя цифра	числа	равна 6 , так как при умножении чисел с последней цифрой 6 получается число также с последней цифрой 6 .
Докажем , что квадрат любого натурального	числа	, не делящегося на 3 , при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Поэтому последняя цифра данного	числа	равна 8 .
Так как последняя цифра	числа	равна 1 , то последняя цифра данного числа равна 7 .
Сумма цифр задуманного	числа	равна .
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений , которые можно преобразовать в уравнение вида , где а и b — заданные	числа	, х — неизвестное .
Латинскими квадратами называют таблицы размером n×n клеток , в которых записаны натуральные числа от 1 до n , причём таким образом , что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти	числа	по одному разу .
Таким образом можно , например , записать свойство вычитания суммы из	числа	.
привезли в магазин ( n и m — натуральные	числа	) , если n больше 45 , m больше 40 ? .
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Составить разность данного	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Составить разность данного числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
И другие фигурные	числа	составляли учёные .
Представление числа 7501 в виде суммы называют разложением этого	числа	по разрядам .
Представление	числа	7501 в виде суммы называют разложением этого числа по разрядам .
Действительно , например , в задаче 5 , согласно правилу произведения , первые две цифры	числа	можно было записать шестью способами .
С помощью цифр 7 , 8 и 9 записать все возможные двузначные	числа	, в которых цифры : 1 ) должны быть разными ;
Так появились квадратные	числа	: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 .
Например , в записи	числа	а и b — слагаемые , число с — сумма .
С помощью цифр 7 , 8 и 9 записать все возможные трёхзначные	числа	при условии , что цифры в числе должны быть различными .
1 Найти : 1 ) половину	числа	2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Перечислить все двузначные	числа	, в записи которых используются только цифры 8 , 9 и 0 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Так , в равенстве a , b , с — любые числа ; в равенстве а и b — любые	числа	, x — любое число , кроме нуля .
Найти два	числа	, если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности , а утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности .
В этих равенствах a , b , c — любые	числа	.
В трёхзначном числе а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Буквами обозначают также неизвестные	числа	в уравнениях .
Сумма цифр двузначного	числа	меньше 10 .
Доказать , что результат умножения такого	числа	на 11 получится , если между цифрами этого числа вставить их сумму .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от числа и	числа	по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Предлагают около вершин треугольника записать произвольные	числа	, например числа 2 , 6 и 7 .
Например , в записи	числа	m и n — множители , р — произведение .
С модулем	числа	математики работают часто , поэтому изобрели ему особое обозначение .
Составлению различных комбинаций из небольшого	числа	элементов вы научитесь в этом параграфе .
Пользуясь таблицей вариантов , перечислить все двузначные	числа	, записанные с помощью цифр : 1 ) 3 , 4 , 5 ; 2 ) 7 , 8 , 9 .
С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды ( буквы в коде могут повторяться ) , в которых используются буквы . Пользуясь таблицей вариантов , перечислить все двузначные	числа	, в записи которых используются цифры и подсчитать количество этих чисел .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 12 .
Число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 36 больше данного	числа	.
2 Найти : 1 ) 20 % от	числа	250 ; 2 ) число , если 15 % его равны 60 .
Если из	числа	вычесть это же число , получится нуль .
На стол бросают 2 игральных тетраэдра ( серый и белый ) , на гранях каждого из которых точками обозначены	числа	от 1 до 4 .
Если из	числа	вычесть нуль , оно не изменится .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 10 .
Вы говорите о модуле	числа	, т .
Доказать , что результат умножения такого числа на 11 получится , если между цифрами этого	числа	вставить их сумму .
Так как в полученных уравнениях х и у обозначают одни и те же	числа	, то эти уравнения образуют систему .
Так , в равенстве a , b , с — любые	числа	; в равенстве а и b — любые числа , x — любое число , кроме нуля .
Например , в каждой классной комнате висит таблица зависимости квадрата числа от самого	числа	.
Два лица имеют равные капиталы , причём каждый капитал состоит из известного	числа	вещей одинаковой ценности и известного числа монет .
Полученное уравнение имеет бесконечное множество решений среди целых чисел ( достаточно в качестве а взять	числа	, делящиеся нацело на 9 ) .
Каждая курица снесла яйца — третью часть от	числа	всех куриц .
Найти последнюю цифру	числа	.
Треугольные	числа	.
4 Найти 48 % от	числа	200 .
В тех случаях , когда в обоих линейных уравнениях системы при каком - либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные	числа	, удобно применять способ почленного сложения уравнений .
Найти все целые	числа	n , при которых дробь является целым числом .
Предположим , что х и у — это такие	числа	, при которых оба равенства системы верны — решение системы .
Записать формулой зависимость толщины льда у ( в миллиметрах ) от	числа	прошедших суток х , если к началу наблюдений она составляла 30 мм .
Ученик задумал два	числа	и сказал , что сумма этих чисел равна 10 , а их разность равна 4 .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на плоскости не только положительные	числа	и нуль , но и отрицательные числа .
Были , например , треугольные	числа	: 1 , 3 , 6 , 10 , 15 .
Если рассмотреть формулу , где k и х — произвольные	числа	, то каждое заданное значение k определяет некоторую функцию .
И он первым стал использовать для обозначения положения точки на плоскости не только положительные числа и нуль , но и отрицательные	числа	.
11 Записать : 1 ) удвоенную сумму чисел 5 и m ; 2 ) половину разности чисел c и d ; 3 ) сумму	числа	12 и произведения чисел а и b ; 4 )
Пусть m и n такие натуральные	числа	, что значение выражения делится на 13 .
Если основание прямоугольника равно k , то зависимость между высотой х и площадью у выразится формулой , где k и х — положительные	числа	.
Число , написанное теми же цифрами , но в обратном порядке , на 54 больше данного	числа	.
Искомые	числа	2 и 1 .
Два лица имеют равные капиталы , причём каждый капитал состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного	числа	монет .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 12 , а разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
Напомним , что по предположению х и у — такие	числа	, что это равенство является верным .
Любому чётному числу предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного	числа	имеет вид , где n — натуральное число .
Для счёта предметов применяют натуральные	числа	: 1 , 2 , 3 , 4 .
Однако предложенная задача имеет единственное решение , так как по условию задачи	числа	а и b однозначные ( они являются цифрами в двузначном числе ) .
Пусть х , у — искомые	числа	.
1 Натуральные	числа	.
По оси ординат отложена долгота дня , начиная с первого	числа	первого месяца .
Так как х и у обозначают искомые	числа	, то можем записать ответ .
Если это не так , то можно уравнять модули коэффициентов при каком - нибудь одном из неизвестных , умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящие	числа	.
В каком месяце долгота дня первого	числа	равна 600 мин , 750 мин , 850 мин ? .
При этом число N всех камешков n - го по порядку квадратного	числа	находится по формуле , где n — число камешков на одной стороне квадрата .
Доказать , что если число , будучи разделено на 9 , даёт в остатке 1 или 8 , то квадрат этого	числа	, делённый на 9 , даёт в остатке 1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Тогда снова получим верное равенство , так как к равным числам прибавляются равные	числа	, откуда х равно 5 .
Предположим , что х и у — это такие	числа	, при которых оба равенства системы являются верными , т .
Квадратные	числа	.
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого	числа	.
Значит , у древних греков были и другие « многоугольные »	числа	? .
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и	числа	десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность	числа	единиц и числа десятков в этом числе в 12 раз меньше самого числа .
Знак	числа	х .
Формула	числа	камешков N в n - м по порядку треугольном числе имеет вид .
При умножении любого	числа	на нуль получается нуль .
В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 — заданные	числа	, а х и у — неизвестные .
Доказать , что сумма этого числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 4 .
Записать все возможные двузначные	числа	, используя при этом цифры .
Проверить , что	числа	являются решением системы .
Записать все двузначные	числа	, в записи которых встречаются только цифры 2 , 3 и 4 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Нужно вспомнить : умножение и деление обыкновенных дробей ; понятие степени	числа	; свойства степеней ; сокращение дробей ; запись одночленов и многочленов в стандартном виде ; основное свойство пропорции .
С её помощью будет обосновано одно из важных правил подсчёта	числа	комбинаций из двух элементов — правило произведения .
Чтобы лучше усвоить такую красивую идею , предлагаю использовать её при нахождении аналогичной суммы , справедливой для любого	числа	n слагаемых .
Для подсчёта	числа	комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; понятие процента ; понятие модуля	числа	.
Можно проверить , что два	числа	х и у обращают каждое из уравнений системы в верное равенство .
Перечислить все двузначные	числа	, в записи которых встречаются только цифры 0 , 1 и 2 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Первой цифрой составляемого трёхзначного	числа	может быть либо 1 , либо 2 .
Так как в этих уравнениях неизвестные	числа	одни и те же , то эти уравнения рассматривают совместно и говорят , что они образуют систему двух уравнений , которую записывают так .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с	числа	m или ( – m ) , поставив перед скобками знак « + » .
Перечислить все трёхзначные	числа	, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2 .
С помощью цифр 0 , 1 , 5 записать все возможные двузначные	числа	, в которых цифры : а ) должны быть разными ; б ) могут повторяться .
Латинскими квадратами называют таблицы размером n×n клеток , в которых записаны натуральные	числа	от 1 до n , причём таким образом , что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу .
Дерево вариантов даёт наглядное представление о том , как применяется правило произведения для подсчёта комбинаций из большего , чем 2 ,	числа	элементов .
Нужно вспомнить : какие	числа	называют противоположными ; какие числа называют взаимно обратными .
Показано получение нового магического квадрата после зеркального отражения относительно горизонтальной оси (	числа	в клетках записаны в привычном для прочтения виде ) .
Может быть , мы сможем вывести какую - нибудь формулу посложнее , чем формула квадратного	числа	? .
Поместим натуральные	числа	от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3×3 так , чтобы все суммы чисел по горизонталям и по вертикалям , а также по диагоналям были одинаковы ( для квадрата 3×3 они равны 15 ) .
Доказать , что сумма этого	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 4 .
Нужно вспомнить : какие числа называют противоположными ; какие	числа	называют взаимно обратными .
В алгебраической сумме слагаемыми являются	числа	3 , 7 и – 2 , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются а , – b , с , так как ; в алгебраической сумме слагаемыми являются .
Да , мы прикладывали линейку к графику функции и двигали её вверх или вниз на b единиц в зависимости от знака	числа	b в формуле функции .
Изображены приложенные друг к другу два одинаковых n - х по порядку треугольных	числа	( одно выложено из чёрных камней , другое , « перевёрнутое » , — из белых ) .
Перечислить все трёхзначные	числа	, в записи которых используются цифры 0 , 1 и 2 , при условии , что : 1 ) цифры в числе различны ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Можно ли по этим данным узнать , какие	числа	задумал ученик ? .
Описать связь взаимного расположения прямых и	числа	решений системы соответствующих уравнений .
Хорошо , сделаю подсказку , а вы с её помощью обоснуете формулу n - го по порядку треугольного	числа	.
Формулу нечётного натурального	числа	можно записать и так , где k — натуральное число или нуль .
С помощью цифр 2 и 3 записать все возможные двузначные	числа	, в которых цифры : 1 ) разные ;
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные	числа	; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Затем сложить эти числа попарно и результаты поставить на сторонах , соединяющих вершины , около которых стоят эти	числа	.
Дробная часть	числа	.
В этой главе вы узнали , что такое : — комбинаторика ; комбинаторные задачи ; — способы организованного перебора вариантов ; — средства подсчёта комбинаций из двух и более элементов ( таблицы , графы ) ; — полный граф ; граф - дерево ; — комбинаторное правило произведения ; как . — рационально и без потери вариантов перебирать и подсчитывать комбинации из двух и более элементов ( с помощью таблиц и графов ) ; — применять правило произведения для подсчёта комбинаций из различного	числа	элементов ; — решать прикладные комбинаторные задачи .
Предлагают около вершин треугольника записать произвольные числа , например	числа	2 , 6 и 7 .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные	числа	: если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Выпишем все	числа	, начинающиеся с цифры 1 , в порядке их возрастания ; затем — начинающиеся с цифры 2 ; после чего — начинающиеся с цифры 3 .
Заключить в скобки все слагаемые , начиная с	числа	m или ( – m ) , поставив перед скобками знак « – » .
Линейной функцией называется функция вида , где k и b — заданные	числа	.
С помощью цифр 8 и 9 записать все возможные двузначные	числа	, в которых цифры : а ) должны быть разными ; б ) могут повторяться .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и	числа	, противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Очевидно , например , что . 2 ) Целая часть	числа	— наибольшее целое число , не превосходящее .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма	числа	и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные	числа	; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Перечислить все трёхзначные	числа	, в записи которых встречаются только цифры 8 и 9 .
Число сотен трёхзначного	числа	в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц .
Затем сложить эти	числа	попарно и результаты поставить на сторонах , соединяющих вершины , около которых стоят эти числа .
Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше	числа	десятков и в 3 раза меньше числа единиц .
В уравнении	числа	а и b называют коэффициентами при неизвестных х и у , а число с — свободным членом .
Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше	числа	единиц .
По условию задачи выполняется равенство в котором х и у — неизвестные целые неотрицательные	числа	.
Например , в каждой классной комнате висит таблица зависимости квадрата	числа	от самого числа .
Так как из	числа	3 вычитается неотрицательное число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое неотрицательное число , то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
Нужно вспомнить : формулы законов движения и работы ; формулы нахождения процентов от	числа	и числа по его процентам ; формулу стоимости покупки ; свойства уравнений ; решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными способами подстановки и сложения ; этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения .
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида в котором а , b , с — заданные	числа	, причём хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю .
Нуль не относят к натуральным	числам	.
Действительно , и Оресм , и древние учёные ( в силу ещё и того , что у них было особенное , негативное отношение к отрицательным	числам	) выполняли все расчёты , как бы мы сейчас сказали , в первом координатном угле .
Тогда снова получим верное равенство , так как к равным	числам	прибавляются равные числа , откуда х равно 5 .
Поэтому его не относят ни к простым , ни к составным	числам	.
Числа , противоположные положительным	числам	, называют отрицательными числами .
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о числах , о порядке выполнения действий с	числами	, о составлении числовых выражений и равенств .
2 ) Если выражение содержит скобки , то сначала выполняют все действия над числами , заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над	числами	в скобках и вне их производится в порядке .
2 ) Если выражение содержит скобки , то сначала выполняют все действия над	числами	, заключёнными в скобках , а затем все остальные действия ; выполнение действий над числами в скобках и вне их производится в порядке .
В этом параграфе будут обобщены ранее изученные свойства действий с	числами	и показаны способы их применения для рациональных вычислений и упрощения выражений .
Действия с	числами	.
Действия с	числами	с одинаковыми и разными знаками .
Нужно вспомнить : действия с	числами	с одинаковыми и с разными знаками ; свойства сложения и вычитания ; понятия алгебраического выражения и значения алгебраического выражения .
Натуральные числа и дроби , большие нуля , называют положительными	числами	.
Так как алгебра выросла из арифметики , необходимо повторить всё , что вам известно о	числах	, о порядке выполнения действий с числами , о составлении числовых выражений и равенств .
Среди них — линейные уравнения с двумя неизвестными ( х и у ) вида , решаемые в целых неотрицательных	числах	, впоследствии получившие название диофантовых уравнений .
Формула числа камешков N в n - м по порядку треугольном	числе	имеет вид .
Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1 , 2 и 3 при условии , что цифры в	числе	: 1 ) должны быть различными ;
В трёхзначном	числе	а сотен , b десятков , с единиц и а больше с . 1 ) Составить и упростить сумму данного числа и числа , записанного теми же цифрами , но взятыми в обратном порядке .
Перечислить все трёхзначные числа , в записи которых используются цифры 0 , 1 и 2 , при условии , что : 1 ) цифры в числе различны ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться .
В двузначном	числе	десятков втрое больше , чем единиц .
Сколько единиц в	числе	, написанном теми же цифрами , но в обратном порядке ? .
В трёхзначном	числе	в 3 раза больше десятков , чем сотен , а число единиц равно квадрату числа сотен .
Составить выражение , показывающее , сколько единиц содержится в натуральном	числе	, состоящем из а сотен , b десятков и с единиц .
С помощью цифр 0 , 2 , 4 записать наибольшее ; наименьшее двузначное число так , чтобы цифры в	числе	: 1 ) были разными ;
Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 5 , 6 , 7 , 8 , 9 при условии , что цифры в	числе	: 1 ) могут повторяться ;
Впервые действия с алгебраическими выражениями ( в том	числе	с алгебраическими дробями ) описаны не риторически и не геометрически , а привычными нам буквенными символами в книге Исаака Ньютона « Всеобщая арифметика » .
Сколько существует различных двузначных чисел , записанных с помощью цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в	числе	должны быть разными ; 2 ) цифры в числе могут повторяться ? .
э . ) не только занимались геометрией , но и развивали учение о	числе	с помощью геометрических фигур .
Сколько существует различных двузначных чисел , записанных с помощью цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в числе должны быть разными ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться ? .
Сколько существует различных двузначных чисел , записанных с помощью цифр 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в числе должны быть разными ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться ? .
В таблице представлена информация о	числе	городов к концу конкретного века .
Попробуйте арифметическим способом решить задачу о	числе	учеников Пифагора .
Сколько существует различных двузначных чисел , записанных с помощью цифр 2 , 4 , 6 , 8 , если : 1 ) цифры в	числе	должны быть разными ; 2 ) цифры в числе могут повторяться ? .
С помощью цифр 7 , 8 и 9 записать все возможные трёхзначные числа при условии , что цифры в	числе	должны быть различными .
Сколько существует различных двузначных чисел , в записи которых можно использовать цифры если цифры в	числе	: 1 ) могут повторяться ;
Записать все двузначные числа , в записи которых встречаются только цифры 2 , 3 и 4 , если : 1 ) одинаковых цифр в	числе	не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Перечислить все двузначные числа , в записи которых используются только цифры 8 , 9 и 0 , если : 1 ) одинаковых цифр в	числе	не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Перечислить все двузначные числа , в записи которых используются только цифры 8 , 9 и 0 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться .
Записать все двузначные числа , в записи которых встречаются только цифры 2 , 3 и 4 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться .
Однако предложенная задача имеет единственное решение , так как по условию задачи числа а и b однозначные ( они являются цифрами в двузначном	числе	) .
Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0 , 1 , 2 , если цифры в	числе	могут повторяться ? .
Перечислить все двузначные числа , в записи которых встречаются только цифры 0 , 1 и 2 , если : 1 ) одинаковых цифр в	числе	не должно быть ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Перечислить все двузначные числа , в записи которых встречаются только цифры 0 , 1 и 2 , если : 1 ) одинаковых цифр в числе не должно быть ; 2 ) цифры в	числе	могут повторяться .
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а разность числа единиц и числа десятков в этом	числе	в 12 раз меньше самого числа .
Перечислить все трёхзначные числа , в записи которых используются цифры 0 , 1 и 2 , при условии , что : 1 ) цифры в	числе	различны ; 2 ) цифры в числе могут повторяться .
Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 6 , 7 , 8 , 9 , 0 при условии , что цифры в	числе	: 1 ) могут повторяться ;
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение	числителей	и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно : 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей ; 2 ) первое произведение записать	числителем	, а второе — знаменателем .
записать каждую дробь с найденным	числителем	и общим знаменателем .
Число 3 здесь 8 называют	числителем	, а число 8 — знаменателем дроби .
Возвращаясь к математике , скажем , что понятие алгебраической дроби и действия с алгебраическими дробями ( чем вам предстоит заниматься в этой главе учебника ) не будут вызывать у вас проблем , так как с обыкновенными дробями вы знакомы хорошо , а	числителем	и знаменателем алгебраической дроби являются многочлены , с которыми вы недавно научились работать .
Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их	числители	и знаменатели умножить на дополнительные множители , которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей ; для данных дробей они соответственно равны .
При сложении ( вычитании ) дробей с одинаковыми знаменателями	числители	складывают ( вычитают ) , а знаменатель оставляют тем же .
Но расставлять дополнительные множители , умножать на них	числители	и потом преобразовывать длинное выражение в числителе полученной дроби займёт очень много времени .
Разложить на множители	числитель	и знаменатель дроби и сократить её .
Дробь , у которой	числитель	больше знаменателя или равен ему , называют неправильной дробью .
Хорошо понимаете , что показывают знаменатель дроби ( на сколько частей разделено целое ) и	числитель	дроби ( сколько частей взято ) .
Увеличить свой	числитель	— свои достоинства — не во власти человека , но всякий может уменьшить свой знаменатель — своё мнение о себе , и этим уменьшением приблизиться к совершенству .
Неправильную дробь , у которой	числитель	больше знаменателя , можно записать в виде смешанного числа ( смешанной дроби ) .
Записать алгебраическую дробь ,	числитель	которой равен сумме кубов чисел с и d , а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её	числитель	, .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда	числитель	дроби меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть целым числом .
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся	числитель	и знаменатель .
Основное свойство дроби : если	числитель	и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится дробь , равная данной .
Дробь , у которой	числитель	меньше знаменателя , называют правильной дробью .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой больше	числитель	, и меньше та , у которой меньше числитель .
В алгебраической дроби	числитель	и знаменатель — алгебраические выражения .
умножить	числитель	каждой дроби на её дополнительный множитель ;
Разделив на знаменатель первой дроби , получим 2b — дополнительный множитель , на который нужно умножить её	числитель	и знаменатель .
Используя основное свойство дроби , можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель , входящий одновременно в	числитель	и знаменатель дроби , например .
Умножая	числитель	и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель , приводим их к общему знаменателю .
Разделив	числитель	и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Разделив числитель и знаменатель на 4ab , получим ; 2 ) Разложив	числитель	и знаменатель данной дроби на множители , получим : Сокращая эту дробь , получим .
Итак , для сокращения дроби нужно	числитель	и знаменатель разделить на их общий множитель , считая , что он не равен нулю .
Записать алгебраическую дробь ,	числитель	которой равен разности квадратов чисел а и b , а знаменатель — квадрату разности этих чисел .
умножить	числитель	и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель .
Чем являются	числитель	и знаменатель алгебраической дроби ?
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой больше числитель , и меньше та , у которой меньше	числитель	.
Знаменатель показывает , на сколько равных долей делят целое , а	числитель	— сколько таких долей взято .
Если к	числителю	некоторой дроби прибавить 3 , а знаменатель оставить без изменения , то получится 1 ; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2 , не меняя её числитель , .
Приведём примеры дробей , для упрощения которых нужно сначала выделить общий множитель	числителя	и знаменателя .
А молодому человеку приближаться к совершенству всегда можно и нужно через увеличение	числителя	дроби , совершенствуя и развивая хорошие качества .
Это свойство означает , что при умножении или делении	числителя	и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь , например .
При выполняется неравенство , откуда модуль	числителя	дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым числом .
По свойству деления суммы на	число	получаем .
Если а — чётное число , то оно делится на 2 и его записывают , где n — натуральное	число	.
Например , найдём	число	а , если 12 % его равны 72 .
Третья часть от 3 равна 1 , да ещё само	число	, получается 4 .
Записать в стандартном виде : 1 ) число километров , выражающее расстояние от Земли до Солнца и равное 150 млн км;2 )	число	метров , выражающее радиус Земли и равное 6 370 000 м .
Найти	число	, если 40 % его равны 96 .
Записать в стандартном виде : 1 )	число	километров , выражающее расстояние от Земли до Солнца и равное 150 млн км;2 ) число метров , выражающее радиус Земли и равное 6 370 000 м .
Упростить n — натуральное	число	.
Записать выражение в виде степени , n — натуральное	число	.
Найти	число	a .
7 Как найти	число	, если n% его равны В ? .
Например , найдём	число	b , которое составляет .
Обозначим первое искомое	число	буквой х , второе — буквой у.
Если от этого числа отнять	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 36 .
Деление можно заменить умножением на	число	, обратное делителю .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду натуральных чисел ) чётное	число	: при n равно 6 число .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : 1 ) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе ; 2 ) после этого выполнить деление на натуральное	число	.
Ученик задумал	число	.
Найти	число	.
Убедиться в том , что	число	– 2 является корнем уравнения .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое число , которое нужно сложить с полученной суммой , чтобы получить ближайшее делящееся на 9	число	( не меньшее полученной суммы ) .
Сколько в составе поезда отдельно цистерн , платформ и товарных вагонов , если их общее	число	равно 68 ? .
Пусть задумано	число	589 .
Как видим , это	число	и определяет зачёркнутую цифру .
После того как названы две оставшиеся после зачёркивания цифры , вы их суммируете и подыскиваете такое	число	, которое нужно сложить с полученной суммой , чтобы получить ближайшее делящееся на 9 число ( не меньшее полученной суммы ) .
В том случае , когда после суммирования двух оставшихся цифр получается	число	, делящееся на 9 , была зачёркнута либо цифра 0 , либо цифра 9 .
Модулем числа а ( записывают |а| ) называют	число	, равное расстоянию ( выраженному в единичных отрезках ) на координатной прямой от начала координат до точки с координатой а .
Число делится на 9 , значит , при вычитании из задуманного числа суммы его цифр всегда получится	число	, делящееся нацело на 9 .
В комбинаторике	число	всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn ( по первой букве французского слова Permutation — перестановка ) .
Любое целое	число	а является рациональным , так как .
Любому чётному числу предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n — натуральное	число	.
Заменим в этом равенстве	число	у равным ему числом подставим вместо у его значение .
В задаче 7 с помощью правила произведения было найдено	число	всевозможных перестановок из 4 элементов .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное	число	, называют рациональным числом .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое	число	, n — натуральное число , называют рациональным числом .
Какое	число	задумал ученик ? .
Согласно правилу произведения ,	число	таких способов равно .
Попросите своего товарища задумать какое - нибудь трёхзначное	число	.
Из равенства	число	x находится с помощью действия вычитания , которое называют обратным к действию сложения .
Искомое	число	98 .
Как найти	число	перестановок из n элементов ? .
Во - вторых , хочу , чтобы вы не забывали , что хотя диофантовы уравнения чаще всего имеют бесконечно много решений , но ряд практических задач , сводимых к диофантовым уравнениям , по разным причинам имеет либо ограниченное	число	решений , либо единственное решение .
Найти : 1 ) 30 % от числа 60 ; 2 )	число	, 30 % которого равны 60 .
Любому чётному числу предшествует	число	нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n — натуральное число .
Из равенства	число	b находится с помощью действия деления , которое называют обратным к действию умножения .
Какое наибольшее	число	звонков предстоит сделать Васе , если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр , чтобы в результате дозвониться до приятеля ? .
Это	число	и определит зачёркнутую цифру .
Буквой R ( первая буква латинского слова Radix — корень ) обозначалось неизвестное	число	( вместо нашего х ) , буквой q — квадрат этого же неизвестного , знаком « + » тогда обозначалось действие вычитания .
Если к этому числу прибавить	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 132 .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду натуральных чисел ) чётное число : при n равно 6	число	.
Пусть задумано	число	.
Найдите двузначное	число	, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое нечётное , то чётное	число	, и поэтому число делится на и на 16 .
Значит , нужно решить уравнение , где х — число рубашек с 8 пуговицами , а у —	число	рубашек с 7 пуговицами ?
Например , тебе показывают	число	103 823 .
Через секунду ты можешь сказать , что было задумано	число	47 .
Через секунду я точно не скажу , какое	число	было задумано .
Тогда	число	способов выбора пары шоколадок для Кати и для Оли найдём с помощью правила произведения .
Согласно правилу произведения	число	всевозможных пар букв ( с возможным их повторением в паре ) равно .
При этом кубы чисел 1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 оканчиваются той же цифрой , что и возводимое в степень	число	.
Согласно правилу произведения ,	число	двузначных кодов с различными буквами будет равно .
Таким образом , когда тебе сообщили	число	103 823 , ты сразу можешь определить последнюю цифру задуманного двузначного числа .
Отбрасывают последние три цифры у сообщённого тебе числа и рассматривают оставшееся	число	, в нашем случае это число 103 .
Отбрасывают последние три цифры у сообщённого тебе числа и рассматривают оставшееся число , в нашем случае это	число	103 .
25 Найти в ряду натуральных чисел : 1 ) чётное	число	; 2 ) нечётное число .
Взглянув на результат , ты сможешь сразу сообщить , какое	число	было задумано .
Значит , в нашем случае было задумано	число	47 .
25 Найти в ряду натуральных чисел : 1 ) чётное число ; 2 ) нечётное	число	.
В этой главе вы узнали , что такое : — уравнение первой степени ( линейное уравнение ) с двумя неизвестными ; — решение уравнения с двумя неизвестными ; — система уравнений ; — решение системы двух уравнений с двумя неизвестными ; — график линейного уравнения с двумя неизвестными ; как : — решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки ; способом алгебраического сложения ; графически ; — определять	число	решений системы линейных уравнений с помощью графиков ; — решать текстовые задачи с помощью системы уравнений .
Выражение является произведением четырёх множителей , из которых первый —	число	, а три следующих — буквы а , b , с .
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно n , тогда следующее за ним число равно , а третье	число	равно .
Так как каждое	число	можно записать в виде произведения этого числа на единицу , то выражения вида а , 2 также считают одночленами .
Коэффициент , равный 1 , обычно не записывают , так как от умножения на единицу	число	не меняется .
Определить число строк и	число	букв в строке на этой странице книги .
Если в числовом выражении выполнить указанные действия , то получится	число	, которое называют значением этого числового выражения или , короче , значением выражения .
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно n , тогда следующее за ним	число	равно , а третье число равно .
Определить	число	строк и число букв в строке на этой странице книги .
Если же на странице увеличить число строк на 3 , а	число	букв в строке на 2 , то на странице поместится на 228 букв больше , чем было .
Доказать , что корнем уравнения является любое	число	.
Если же на странице увеличить	число	строк на 3 , а число букв в строке на 2 , то на странице поместится на 228 букв больше , чем было .
Попроси кого - нибудь задумать двузначное	число	, возвести его в третью степень и написать на бумажке результат вычислений .
Рассмотрим утверждение : « Произведение любых двух натуральных чисел есть	число	чётное » .
Например , число всевозможных магических квадратов размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а	число	магических квадратов 5×5 более 200 000 .
Например ,	число	всевозможных магических квадратов размером 4×4 ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговорённым правилам ) уже 880 , а число магических квадратов 5×5 более 200 000 .
С увеличением количества клеток в квадрате растёт	число	возможных магических квадратов .
2 Какое	число	называется чётным ; нечётным ? .
Степенью числа а с показателем 1 называется само	число	а .
В выражении аn	число	а называют основанием степени , число n называют показателем степени .
В выражении аn число а называют основанием степени ,	число	n называют показателем степени .
Например , произведение , в котором	число	7 взято множителем 10 раз , будете записывать как 710 .
Несложно обосновать , почему n - е по порядку треугольное	число	находится по формуле .
Каждое	число	, большее 10 , можно записать в виде а·10n , где и n — натуральное число .
Каждое число , большее 10 , можно записать в виде а·10n , где и n — натуральное	число	.
Ну а если тебе хочется прямо сразу от умения возводить	число	в степень получить пользу , могу предложить тебе математический фокус , которым ты сможешь развлечь и удивить своих родных и друзей .
Как в этой записи называется	число	а ; число n ? .
Записать в виде суммы разрядных слагаемых	число	.
Записать	число	, представленное суммой разрядных слагаемых .
Записать в стандартном виде	число	.
Записать в стандартном виде : 1 )	число	молекул газа в 1 см3 при 0 ° С и давлении 760 мм рт .
ст. , равное 27 000 000 000 000 000 000 ; 2 )	число	километров , составляющих один парсек ( единица длины , принятая в астрономии ) , если один парсек равен 30 800 000 000 000 км ; 3 ) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций .
Числа , оканчивающиеся на 0 , 1 , 5 или 6 , после возведения в любую степень дают	число	, оканчивающееся той же цифрой .
Если	число	оканчивается на 4 , то последней цифрой после возведения в степень будет 4 или 6 .
С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать , что	число	всевозможных пар равно .
С помощью цифр 0 , 2 , 4 записать наибольшее ; наименьшее двузначное	число	так , чтобы цифры в числе : 1 ) были разными ;
Используя каждую из цифр 0 , 1 , 2 по одному разу , записать наибольшее ; наименьшее трёхзначное	число	.
Так как	число	2019 нечётное , то 92019 будет оканчиваться на 9 , значит и 20192019 оканчивается на 9 .
Как в этой записи называется число а ;	число	n ? .
Значит , нужно решить уравнение , где х —	число	рубашек с 8 пуговицами , а у — число рубашек с 7 пуговицами ?
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 )	число	секунд в t часах ; 4 ) число сантиметров в n метрах .
Например , значением выражения является	число	4 ; значением выражения является число .
Например , запись abc обозначает трёхзначное	число	( записанное в виде суммы разрядных слагаемых , где а , b и с — однозначные числа ) .
Попробуем вместе доказать , что если делится на 7 , то	число	aba также делится на 7 .
Далее записать данное	число	в виде , поэтому оно делится на 9 .
Затем показать , что если из степени числа 10 с натуральным показателем вычесть единицу , то получится	число	, все цифры которого равны 9 .
Так как по условию задачи делится на 7 , то где n — натуральное	число	, откуда .
В равенство вместо b подставим его выражение , а это	число	делится на 7 .
Подобрать	число	а такое , чтобы уравнение имело корни .
Сначала показать , что данное	число	делится на 2 .
Значит , я легко могу найти , например , сотое по порядку треугольное	число	.
Натуральное	число	N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Следовательно , последняя цифра данного числа равна 5 и поэтому это	число	делится на 5 .
Натуральное число N делится нацело на натуральное	число	k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Число в 2 раза больше , чем	число	рёбер , так как при таком подсчёте каждое ребро учитывается дважды .
Показать , что данное	число	равно , последняя цифра чисел равна 1 , числа — цифра 9 , числа — цифра 7 .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное	число	буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным числом .
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то	число	обязательно будет некоторым квадратным числом .
Например , умножая четвёртое треугольное	число	на 8 и прибавляя 1 , получим 81 , что является девятым квадратным числом .
Последняя цифра числа равна 6 , так как при умножении чисел с последней цифрой 6 получается	число	также с последней цифрой 6 .
Формулу нечётного натурального числа можно записать и так , где k — натуральное	число	или нуль .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное	число	n .
Показать , что данное	число	равно .
Справедливость формулы Диофанта , где k — некоторое квадратное	число	, проверьте самостоятельно на первых 10 треугольных числах .
Убедиться в том , что	число	– 1 является корнем уравнения .
Например , тридцатое нечётное натуральное	число	равно .
Следовательно ,	число	искомых пар ( рёбер графа ) .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) произведение куба числа m и числа р ; 2 ) утроенное произведение квадрата числа а и числа b ; 3 ) число секунд в t часах ; 4 )	число	сантиметров в n метрах .
Но если я с помощью букв а , b и с попробую записать трёхзначное число ( предполагая , что каждая буква обозначает однозначное	число	) , то получу abc , а эта запись будет обозначать произведение а на b и на с , верно ? .
Если оба числа m и n чётные или оба нечётные , то — чётное число , и поэтому	число	делится на .
Если на этой странице уменьшить число строк на 4 , а число букв в строке на 5 , то	число	букв на всей странице уменьшится на 360 .
Например , значением выражения является число 4 ; значением выражения является	число	.
Если на этой странице уменьшить число строк на 4 , а	число	букв в строке на 5 , то число букв на всей странице уменьшится на 360 .
Если на этой странице уменьшить	число	строк на 4 , а число букв в строке на 5 , то число букв на всей странице уменьшится на 360 .
Во всех строках некоторой страницы книги одинаковое	число	букв .
При этом	число	N всех камешков n - го по порядку квадратного числа находится по формуле , где n — число камешков на одной стороне квадрата .
При этом число N всех камешков n - го по порядку квадратного числа находится по формуле , где n —	число	камешков на одной стороне квадрата .
Два человека получили некоторое	число	монет .
Корень этого уравнения — отрицательное	число	, поэтому для нахождения неизвестного числа в разряде десятков нужно решать уравнение , откуда x равно 9 .
Например , число N равно 72 делится на k равно 3 , так как 72 равно ;	число	60 делится на 12 , так как .
Найти это	число	.
Если оба числа m и n чётные или оба нечётные , то — чётное	число	, и поэтому число делится на .
Очевидно , вместо звёздочки может быть поставлена только цифра 3 , так как уравнение не имеет корней среди однозначных натуральных чисел ( а корнем уравнения является	число	3 ) .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но	число	1990 делится на 2 .
Поэтому	число	букв в них равно 800 nm .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому	число	также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Например ,	число	N равно 72 делится на k равно 3 , так как 72 равно ; число 60 делится на 12 , так как .
Натуральное число N делится нацело на натуральное число k , если число N можно представить в виде N равно , где р — натуральное	число	) .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому число делится на 4 , но	число	1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Используя равенства , показать , что S. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2 , то числа делятся на 2 и поэтому	число	делится на 4 , но число 1990 не делится на 4 ; если же одно из чисел х , у делится на 2 , а другое не делится на 2 , то оба числа не делятся на 2 и поэтому число также не делится на 2 , но число 1990 делится на 2 .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое нечётное , то чётное число , и поэтому	число	делится на и на 16 .
Например , я с помощью цифр 1 , 9 и 8 записала	число	198 , и все понимают , что между цифрами в нём « ничего не стоит » .
Натуральное число N делится нацело на натуральное число k , если	число	N можно представить в виде N равно , где р — натуральное число ) .
Но если я с помощью букв а , b и с попробую записать трёхзначное	число	( предполагая , что каждая буква обозначает однозначное число ) , то получу abc , а эта запись будет обозначать произведение а на b и на с , верно ? .
Вычислив значение этого выражения , получим	число	12,6 .
В данном случае это	число	3 .
Например , легко увидеть , что корень уравнения —	число	1 .
Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное число , от которого третья часть — целое	число	.
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух чётных чисел делится на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное	число	.
Кратным натурального числа а называют натуральное	число	, которое делится без остатка на а .
Квадрат двузначного числа содержит нечётное	число	десятков .
При каких значениях b и с данное	число	кратно тридцати ? .
Например , в записи	число	р — делимое , n — делитель , m — частное .
знали формулу разложения , где n — любое натуральное	число	.
Если рассмотреть два любых соседних числа в одной строке , то в следующей строке под этими числами вы увидите	число	, равное их сумме .
Возникает догадка о том , что , какое бы	число	мы ни задумали , в результате получится число 2 .
Как	число	вещей , так и суммы денег у каждого различны .
Возникает догадка о том , что , какое бы число мы ни задумали , в результате получится	число	2 .
Если модуль числа а мал по сравнению с 1 ( например ,	число	а2 тем более мало , и поэтому равенство можно заменить приближённым равенством .
Число , которое делят , называют делимым ;	число	, на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным .
Доказать , что если	число	, будучи разделено на 9 , даёт в остатке 1 или 8 , то квадрат этого числа , делённый на 9 , даёт в остатке 1 . ( Задача из « Азбуки » Л. Н. Толстого . )
Обозначим задуманное	число	буквой а и запишем действия в том порядке , как указано в условии .
При решении задачи было получено выражение которое записано с помощью буквы а , обозначающей любое	число	, чисел 3 и 6 , знаков действий и скобок .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное	число	, которое кратно и а , и b. Например , число 36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Если значения х положительны и k , то зависимость между переменными х и y , выражаемую формулой y равно kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью , а	число	k — коэффициентом пропорциональности .
Доказать , что	число	делится на 13 .
Свойство 2 Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же	число	, не равное нулю .
Наименьшим общим кратным ( НОК ) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , которое кратно и а , и b. Например ,	число	36 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 .
Доказать , что	число	делится на 5 .
Доказать , что	число	делится на 12 .
Так , Ньютон использовал в своих трудах формулу для разложения бинома , где а — любое , не только натуральное	число	.
Помните , в I главе я рассказывал вам , что Диофант в своих записях неизвестное	число	обозначал буквой ς ? .
Вспомните о том , что знаку Диофанта обозначал « минус » , Р —	число	2 , у — число 3 .
Очевидно , например , что . 2 ) Целая часть числа — наибольшее целое	число	, не превосходящее .
Складывая затем	число	при каждой вершине с числом на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
Чтобы найти	число	по данному значению его дроби , нужно это значение разделить на дробь .
Например , в уравнении равно 95,1 неизвестное	число	обозначено буквой х , а в уравнении равно 7 — буквой у.
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на	число	, обратное делителю .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S — число квадратных сантиметров , а Р —	число	сантиметров .
Доказать , что разность квадратов любого натурального числа ( большего 1 ) и числа , ему предшествующего в ряду натуральных чисел , есть нечётное	число	.
Доказать , что	число	делится на 15 при любом натуральном n .
Обозначим площадь прямоугольника буквой S , а периметр — буквой Р , тогда получим формулы Если длины сторон измерены в сантиметрах , то S —	число	квадратных сантиметров , а Р — число сантиметров .
Докажем , что	число	, где n — натуральное число , делится на 6 .
Докажем , что число , где n — натуральное	число	, делится на 6 .
Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить	число	на эту дробь .
Итак , заданное	число	можно представить в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел , из которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2 .
произведение чисел 40 и 0,03 равно частному от деления числа 6 на	число	5 ; 3 )
Какое	число	получилось ? .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х , при котором равенство верно : 1 ) число х составляет 18 % числа 75 ; 2 )	число	15 составляет 25 % числа х .
2 Докажите , что при любом натуральном n	число	делится на 120 .
Пусть задумано	число	8 .
Получилось	число	2 .
Найти неизвестное	число	х из пропорции .
Например , выражение , где n — натуральное	число	, позволяет определить все предстоящие годы Тигра по китайскому календарю .
Ни одно	число	нельзя делить на нуль .
Если было задумано	число	5 , то получилось бы числовое выражение , значение которого также равно 2 .
Вспомните о том , что знаку Диофанта обозначал « минус » , Р — число 2 , у —	число	3 .
Профессор , мы решали уже немало задач на доказательство того , что некоторое	число	, записанное с помощью букв , будет делиться на другое число .
Например , если некоторого числа составляют 84 , то само	число	равно .
Для этого сложите зарплаты всех работников и разделите полученную сумму на	число	работающих на предприятии .
А в упражнении требовалось доказать , что	число	не делится на 3 .
Отнимем от обеих частей последнего равенства	число	а2 .
Если вместо каждой буквы , входящей в алгебраическое выражение , подставить некоторое числовое значение и выполнить действия , то полученное в результате	число	называют значением алгебраического выражения .
Число , из которого вычитают , называют уменьшаемым , а	число	, которое вычитают , — вычитаемым .
Решить уравнение : 1 ) Доказать , что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть	число	нечётное , то их произведение делится на 24 .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 ) число , в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 )	число	, в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же	число	, то получится верное равенство .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных чисел есть	число	нечётное , то их произведение — число чётное .
Число 3 здесь 8 называют числителем , а	число	8 — знаменателем дроби .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное	число	, то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение —	число	чётное .
Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное	число	, то получится дробь , равная данной .
2 Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю	число	, то получится верное равенство .
Любое натуральное	число	можно записать в виде дроби со знаменателем 1 .
От прибавления нуля	число	не изменяется .
Например , в записи числа а и b — слагаемые ,	число	с — сумма .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ;	число	, получающееся при сложении этих чисел , называют их суммой .
Смешанное	число	можно представить в виде неправильной дроби .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также	число	чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Любое натуральное	число	можно записать с помощью десяти цифр : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также	число	нечётное ? .
а — такое	число	, при котором уравнение обращается в верное равенство .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное	число	, то их сумма также число нечётное ? .
Если а равно b и l — любое	число	то .
Подставляя в формулу вместо у	число	– 1 , получаем .
1 Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же	число	или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число , то получится верное равенство .
Кто из них купил большее	число	тетрадей ? .
Я показал , что его нельзя представить в виде 3k , где k — натуральное	число	.
Например , в записи М(3 ; 5 )	число	3 — абсцисса , число 5 — ордината точки М .
Доказать , что	число	делится на 18 .
Например , в записи М(3 ; 5 ) число 3 — абсцисса ,	число	5 — ордината точки М .
Действительно , любое натуральное	число	по отношению к делению на 3 можно записать в виде 3k , или , т .
при делении на 3	число	либо разделится на 3 , либо даст в остатке одно из чисел 1 или 2 .
8 Записать в виде равенства и проверить , верно ли оно : 1 ) 20 % от числа 240 равны 62 ; 2 )	число	18 составляет 3 % от числа 600 ; 3 ) произведение чисел 15 и 5 составляет 11 % от числа 700 ; 4 ) четвёртая часть числа 18 равна 5 % от числа 90 ; 5 ) равно 10 % от числа 370 ; 6 ) 650 % от числа 12 равны 77 .
В этой главе вы узнали , что такое : — степень с натуральным показателем ; — стандартный вид числа ; — одночлен ; — многочлен ; как : — возводить	число	в степень ; — применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения числовых и буквенных выражений ; — представлять одночлен в стандартном виде ; — представлять многочлен в стандартном виде ; — выполнять действия сложения , вычитания и умножения многочленов ; — делить многочлен на одночлен , если в результате получается многочлен ; — применять действия с многочленами при решении уравнений и прикладных задач .
Прямая пропорциональная зависимость — частный случай функции , где х — любое	число	.
Умножить число m на натуральное	число	n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
частное от деления суммы чисел n и m на	число	17 .
Зная , как записывается любое натуральное	число	с помощью делителя , неполного частного и остатка от деления , можно , например , изучать вопрос о делимости на 3 любых выражений , составленных из чисел , делящихся или не делящихся на 3 .
Умножить	число	m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых , каждое из которых равно m. Числа , которые перемножаются , называют множителями , а результат действия умножения — произведением .
Проверим , является ли	число	3 на самом деле корнем данного уравнения .
Натуральное	число	, которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное число .
Если из числа вычесть это же	число	, получится нуль .
Например , в записи	число	а — уменьшаемое , b — вычитаемое , с — разность .
Натуральное число , которое не делится на 3 , можно представить в виде , где k — целое неотрицательное	число	.
5 Найти	число	, 35 % которого равны 140 .
Отсюда , в частности , следует , что любое натуральное	число	вида нельзя представить в виде квадрата натурального числа .
3 Найти	число	граммов в центнере ; в тонне .
Докажите , что если из квадрата большего из них отнять квадрат меньшего , то получится	число	, кратное числу 3 .
2 Найти	число	секунд в часе ; в сутках .
Профессор , мы решали уже немало задач на доказательство того , что некоторое число , записанное с помощью букв , будет делиться на другое	число	.
Необходимое	число	часов сна для человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле , где х — возраст в годах , у — число часов сна .
1 Докажите , что	число	при любом натуральном n делится на 6 .
1 Найти : 1 ) половину числа 2 ) удвоенную разность чисел 40 и 15 ; 3 )	число	, в 3 раза большее суммы чисел 1 и 2 ; 4 ) число , в 5 раз меньшее разности чисел 32 и 12 ; 5 ) квадрат суммы чисел 3 и 4 ; 6 ) сумму квадратов чисел 5 и 3 .
Например ,	число	1 является корнем уравнения , так как — верное равенство .
Доказать , что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150 , то это	число	делится нацело на 75 .
1 Доказать , что при любом натуральном n	число	чётное .
Число 1 имеет один делитель — само это	число	.
На 5 без остатка делится всякое натуральное	число	, оканчивающееся цифрой 0 или 5 .
Любое	число	, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями , можно представить в виде десятичной дроби .
Наибольшее натуральное	число	, на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем ( НОД ) этих чисел .
В уравнении числа а и b называют коэффициентами при неизвестных х и у , а	число	с — свободным членом .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное	число	линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
Поэтому	число	12 всегда считалось хорошим , удобным .
Равенство , содержащее неизвестное	число	, обозначенное буквой , называется уравнением .
В равенстве буква х обозначает неизвестное	число	, или , короче , неизвестное .
Докажем , что	число	вида abcabc делится на 11 .
Так , для дробей общим знаменателем является	число	100 — наименьшее общее кратное чисел 4 , 25 , 10 .
Доказать , что : 1 ) удвоенная сумма чисел 3а и 1b равна одной трети суммы чисел 18a и 42b ; 2 )	число	, противоположное разности чисел 0,2y и 0,3x , равно одной десятой разности чисел 3x и 2y .
Поэтому данное	число	делится на 11 .
На 9 делится	число	, сумма цифр которого делится на 9 .
Пусть n — натуральное	число	.
Подходы к решению задач о делимости суммы степеней на некоторое	число	.
На число 10 без остатка делится всякое натуральное	число	, запись которого оканчивается цифрой 0 .
2 Найти : 1 ) 20 % от числа 250 ; 2 )	число	, если 15 % его равны 60 .
Когда зарождался счёт ,	число	7 ассоциировалось с большим количеством .
Вместо знака записать такое	число	, чтобы полученное равенство было верным .
Нужно вспомнить : переместительный и распределительный законы умножения ; умножение одночлена на одночлен ; на многочлен ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; свойства степеней ; понятие противоположного числа ; правила раскрытия скобок и заключения в скобки ; представление натурального числа N в виде , где k — остаток от деления N на натуральное	число	.
Так как из числа 3 вычитается неотрицательное число то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое неотрицательное	число	, то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
Так как из числа 3 вычитается неотрицательное	число	то х не может быть больше , чем 3 , а так как х — целое неотрицательное число , то оно может быть только одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 .
Упростить выражение , если n — натуральное	число	.
Следующее же за ним простое	число	13 ( не имеющее делителей , кроме 1 и себя ) считалось нехорошим , неудобным .
Введём обозначения : х — число кусков по 13 см , у —	число	кусков по 5 см .
Записать в виде равенства : 1 )	число	34 на 18 больше числа х ; 2 ) число 56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их произведению .
Например , система ( натуральное	число	) имеет единственное значение х равно 4 , которое удовлетворяет как первому , так и второму требованию системы .
Натуральное	число	называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число .
В многочлене	число	7 — наибольший общий делитель чисел 28 и 21 ; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями .
На 3 делится	число	, сумма цифр которого делится на 3 .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное	число	линий , — нечётными .
Введём обозначения : х —	число	кусков по 13 см , у — число кусков по 5 см .
Задумайте какое - нибудь	число	, умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму разделите на 3 и вычтите задуманное число .
Записать в виде равенства : 1 ) число 34 на 18 больше числа х ; 2 )	число	56 в х раз больше числа 14 ; 3 ) полусумма чисел х и 5 равна их произведению .
На Руси пользовалось особым вниманием	число	7 .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз первое	число	больше второго или какую часть первое число составляет от второго .
Натуральное	число	называют составным , если оно имеет более двух делителей .
Например , НОД чисел 12 и 18 является	число	6 .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это	число	.
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на число сотен исходного числа , то получится	число	– 198 .
Найти исходное	число	.
В частности , он обращал внимание читателей на то , что целое	число	, записанное перед обыкновенной дробью , означает их сумму , например .
Подобрать	число	а так , чтобы уравнение имело корень .
Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х , при котором равенство верно : 1 )	число	х составляет 18 % числа 75 ; 2 ) число 15 составляет 25 % числа х .
если число х увеличить на 20 % , то получится	число	9,6 ;
если	число	х увеличить на 20 % , то получится число 9,6 ;
сть утюга через 5 лет после его покупки ; 2 )	число	лет , прошедшее с момента покупки , когда стоимость утюга составила 840 р .
По тексту высказывания составить уравнение и решить его : 1 ) если число х уменьшить на 26 % , то получится	число	7,4 ;
Например , уравнение ( его можно записать в виде ) имеет два корня , потому что	число	25 можно получить как результат умножения двух одинаковых чисел двумя способами .
Например , отношение ( или 6:3 ) показывает , что первое число 6 в 2 раза больше второго числа 3 ; отношение ( или 3:15 ) показывает , что первое	число	3 составляет часть от второго .
Так , в равенстве a , b , с — любые числа ; в равенстве а и b — любые числа , x — любое	число	, кроме нуля .
Делителем натурального числа а называют натуральное	число	, на которое а делится без остатка .
Например , отношение ( или 6:3 ) показывает , что первое	число	6 в 2 раза больше второго числа 3 ; отношение ( или 3:15 ) показывает , что первое число 3 составляет часть от второго .
При этом	число	а называют коэффициентом при неизвестном .
По тексту высказывания составить уравнение и решить его : 1 ) если	число	х уменьшить на 26 % , то получится число 7,4 ;
Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное	число	, от которого третья часть — целое число .
Решениями уравнения с двумя неизвестными х и у , где а ≠ 0 , являются пары чисел ; у , где у — любое	число	.
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое	число	составляет от второго .
Необходимое число часов сна для человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле , где х — возраст в годах , у —	число	часов сна .
Как доказать , что данное	число	является ( не является ) корнем уравнения ? .
В этом параграфе разъясняется , что под буквами в алгебре подразумеваются числа , при этом в одном выражении одной буквой обозначают одно и то же	число	.
Например , нельзя найти значение х , удовлетворяющее уравнению , так как нельзя получить отрицательное	число	при перемножении двух одинаковых чисел .
Задумайте какое - нибудь число , умножьте его на 3 , к полученному результату прибавьте 6 , найденную сумму разделите на 3 и вычтите задуманное	число	.
Составить уравнение , корнем которого является	число	.
Если разность этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , разделить на	число	сотен исходного числа , то получится число – 198 .
Ответ , где х — любое	число	.
Какое максимальное	число	букв , цифр или других знаков можно закодировать с помощью азбуки Морзе ? .
Какое наибольшее	число	различных вариантов распределения медалей могли выдвинуть болельщики ? .
Найти : 1 ) толщину льда через 2 суток ; 2 )	число	суток , по прошествии которых толщина льда была 55 мм .
В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков , чем сотен , а	число	единиц равно квадрату числа сотен .
Доказать , что при всех допустимых значениях а , b , х и у ( n — натуральное	число	) верно равенство .
Найти	число	способов расставить 8 ладей на шахматной доске так , чтобы они не могли бить друг друга .
При решении уравнения в задаче 2 найдены все решения — это пары чисел х , где х — любое	число	.
На	число	10 без остатка делится всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 .
Решениями уравнения , в случае когда являются пары , где х — любое	число	.
Если а — чётное	число	, то оно делится на 2 и его записывают , где n — натуральное число .
Нужно вспомнить : построение взаимно перпендикулярных прямых ; понятие	числовой прямой	( оси ) .
Заметим , что при выполняется неравенство , откуда числитель дроби меньше знаменателя , и поэтому эта дробь при не может быть целым	числом	.
Имеются две книги с одинаковым	числом	букв на каждой странице ; на одной странице помещается n строк и в каждой строке m букв .
2 ) быть	числом	положительным ? .
Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует изготовить винтовую цилиндрическую пружину с целым	числом	витков и высотой 122 мм .
Может ли при а > 0 и b > 0 значение многочлена : 1 ) быть	числом	отрицательным ;
Вычисляя по этой формуле значения у при x равно 0 , 1 , 2 , 3 , замечаем , что только при х равно 2 соответствующее значение у будет целым	числом	( равным 3 ) .
Если одночлен не содержит буквенных множителей ( является	числом	) , то его степень считают равной нулю .
При выполняется неравенство , откуда модуль числителя дроби меньше положительного знаменателя дроби и поэтому эта дробь не может быть целым	числом	.
Найти все целые числа n , при которых дробь является целым	числом	.
Осталось выяснить , при каких целых значениях n дробь является целым	числом	.
Он же первым заменил знак умножения « x » на точку , чтобы его не путали с неизвестным	числом	х .
А можно попробовать оценить величину этой суммы , сравнив её с каким - нибудь	числом	.
Оно неверно , так как , например , произведение чисел 3 и δ не является чётным	числом	.
Например , они связывают неудачу с	числом	13 и называют его чёртовой дюжиной .
Число , которое можно записать в виде , где m — целое число , n — натуральное число , называют рациональным	числом	.
Заменим в этом равенстве число у равным ему	числом	подставим вместо у его значение .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным	числом	.
Например , Диофант нашёл формулу , связывающую треугольные и квадратные числа : если обозначить некоторое треугольное число буквой Т , то число обязательно будет некоторым квадратным	числом	.
Выразить формулой зависимость между купленным	числом	n экземпляров этой книги и уплаченной суммой у , выраженной в рублях .
Например , умножая четвёртое треугольное число на 8 и прибавляя 1 , получим 81 , что является девятым квадратным	числом	.
Найдите двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим	числом	и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то , чтобы у оказался целым неотрицательным	числом	, нужно , чтобы делилось на 7 .
Является ли положительным	числом	корень уравнения .
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел , нужно : 1 ) сложить их модули ; 2 ) поставить перед полученным	числом	знак минус .
Складывая затем число при каждой вершине с	числом	на противолежащей стороне , получают один и тот же результат .
Вычитание можно заменить сложением с противоположным	числом	.
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками , нужно : 1 ) из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль ; 2 ) перед полученным	числом	поставить знак слагаемого с большим модулем .
Найдите двузначное число , первая цифра которого равна разности между этим числом и	числом	, записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
поставить перед полученным	числом	знак минус .
Отметим , что основание может быть любым	числом	, например .
Таким образом , если данное уравнение имеет корень , то он может быть равен только	числу	3 .
Подумайте , как записать функцию , значения которой равны числу х , если оно неотрицательно , и	числу	, ему противоположному , если оно отрицательно .
Если к этому	числу	прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 132 .
Подумайте , как записать функцию , значения которой равны	числу	х , если оно неотрицательно , и числу , ему противоположному , если оно отрицательно .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного	числу	, делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом .
Христианская религия	числу	12 придаёт особое значение : в Библии говорится о 12 избранных племенах , 12 апостолах и др .
Число а , если р% его равны	числу	b , находится по формуле .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному	числу	; понятие числа , противоположного данному числу ; понятие модуля числа .
Нужно вспомнить : понятие обыкновенной дроби ; основное свойство обыкновенной дроби ; решение линейных уравнений ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел ; способы разложения многочлена на множители ; понятие числа , обратного данному числу ; понятие числа , противоположного данному	числу	; понятие модуля числа .
Любому чётному	числу	предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n — натуральное число .
Если к	числу	монет первого добавить половину монет второго или к монетам второго добавить монет первого , то в обоих случаях получится 48 .
Докажите , что если из квадрата большего из них отнять квадрат меньшего , то получится число , кратное	числу	3 .
У многочлена каждый	член	записан в стандартном виде , и среди них нет подобных .
Перенесём	член	5а с противоположным знаком в левую часть , а член – 23 в правую часть равенства с противоположным знаком .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый	член	другого многочлена и полученные произведения сложить .
Для этого нужно записать каждый	член	многочлена в стандартном виде и привести подобные члены .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умножить каждый	член	одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый	член	многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена на каждый	член	многочлена и результаты сложить .
Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый	член	многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить .
Перенесём член 5а с противоположным знаком в левую часть , а	член	– 23 в правую часть равенства с противоположным знаком .
Упростить многочлен , записав каждый его	член	в стандартном виде , и определить степень многочлена .
Таким образом , для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый	член	многочлена на каждый член многочлена и результаты сложить .
Используя основное свойство пропорции , можно найти её неизвестный	член	, если остальные члены известны .
Свойство 1 Любой	член	уравнения можно перенести из одной части в другую , изменив его знак на противоположный .
Как называют многочлен , состоящий из одного	члена	?
Одночлен считают многочленом , состоящим из одного	члена	.
В пропорции числа a и d называют крайними членами , а числа b и с — средними	членами	пропорции .
Например ,	членами	многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Что называют	членами	многочлена ? .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют	членами	этого многочлена .
В пропорции числа a и d называют крайними	членами	, а числа b и с — средними членами пропорции .
При решении этой задачи пытаются найти общий множитель , содержащийся во всех	членах	многочлена .
Нужно вспомнить : понятие верного числового равенства ; свойства верных равенств ; действия с целыми и дробными числами ; свойства арифметических действий ; правила раскрытия скобок ; правило приведения подобных слагаемых ; нахождение неизвестных	членов	пропорции ; нахождение модуля числа .
Что называют приведением подобных	членов	? .
Составной частью этого умения является приведение подобных	членов	в многочлене , чему вы и научитесь в этом параграфе .
Последующие преобразования полученного многочлена будут выполняться также с помощью знакомой операции приведения подобных	членов	.
Как называют многочлен , состоящий из двух	членов	; трёх членов ? .
Как называют многочлен , состоящий из двух членов ; трёх	членов	? .
Приведение подобных	членов	.
Нужно вспомнить : свойства уравнений ; приведение подобных	членов	; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; действия с многочленами .
Иногда группировку	членов	многочлена можно проводить различными способами .
Нужно вспомнить : переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ; деление одночлена и многочлена на одночлен ; вынесение общего множителя за скобки ; приведение подобных	членов	; решение линейных уравнений с одним неизвестным ; условие равенства нулю произведения двух и более чисел .
Такое упрощение многочлена , при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом , называют приведением подобных	членов	.
Итак , способ группировки обычно применяют к многочленам , которые не имеют общего множителя для всех	членов	многочлена .
Нужно вспомнить : понятие квадрата числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных	членов	; формулы площадей прямоугольника и квадрата .
Если коэффициенты	членов	многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов членов многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Поэтому общим множителем	членов	многочлена является одночлен .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных	членов	; решение линейных уравнений ; понятие чётного , нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
Если коэффициенты членов многочлена — целые числа , то для нахождения общего множителя следует найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов	членов	многочлена , а среди степеней с одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем .
Рассмотрим пример разложения на множители многочлена , состоящего из шести	членов	.
Второй приём , ал - мукабала ( противопоставление ) — отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых	членов	— был похож на современное приведение подобных слагаемых .
Нужно вспомнить : понятия квадрата и куба числа ; свойства степеней ; умножение многочлена на многочлен ; приведение подобных	членов	; понятие противоположного числа ; разложение многочленов на множители способами вынесения общего множителя за скобки и группировки .
Здесь получаются делением	членов	данного многочлена на их общий множитель .
В пропорции произведение крайних	членов	равно произведению средних : ad равно bc .
Если в многочлене много	членов	, то при умножении его на одночлен я могу потерять какое - нибудь слагаемое или перепутать степени одночленов .
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух	членов	, называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх членов , называют трёхчленом .
Например , членами многочлена являются одночлены Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом ; многочлен , состоящий из трёх	членов	, называют трёхчленом .
В уравнении числа а и b называют коэффициентами при неизвестных х и у , а число с — свободным	членом	.
Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется	членом	уравнения .
Если некоторые	члены	многочлена записаны не в стандартном виде , то этот многочлен можно упростить , записав все его члены в стандартном виде .
Здесь	члены	многочлена сгруппированы по два , но можно было их сгруппировать по три .
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки , нужно : 1 ) объединить	члены	многочлена в такие группы , которые имеют общий множитель в виде многочлена ;
Применяя эти свойства , уравнения , сводящиеся к линейным , обычно решают так : 1 ) переносят	члены	, содержащие неизвестное , в левую часть , а члены , не содержащие неизвестного , в правую ( свойство 1 ) ;
Если некоторые члены многочлена записаны не в стандартном виде , то этот многочлен можно упростить , записав все его	члены	в стандартном виде .
Применяя эти свойства , уравнения , сводящиеся к линейным , обычно решают так : 1 ) переносят члены , содержащие неизвестное , в левую часть , а	члены	, не содержащие неизвестного , в правую ( свойство 1 ) ;
2 ) приводят подобные	члены	; 3 ) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном , если он не равен нулю ( свойство 2 ) .
Упростим левую и правую части уравнения : выполним умножение и приведём подобные	члены	.
При этом подобные	члены	располагаются друг под другом , например .
Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные	члены	.
Приведя подобные	члены	, получим .
Используя основное свойство пропорции , можно найти её неизвестный член , если остальные	члены	известны .
Для этого нужно записать каждый член многочлена в стандартном виде и привести подобные	члены	.
Привести подобные	члены	.
Иногда удаётся разложить на множители многочлен , все	члены	которого не имеют общего множителя , но у отдельных групп которого общие множители имеются .
Запишем все	члены	данного многочлена в стандартном виде : Следовательно .
Разложить многочлен на множители удалось потому , что все	члены	этого многочлена имеют общий множитель а .
Если все	члены	многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .
После раскрытия скобок все	члены	, кроме первого и последнего , взаимно уничтожаются и останется .
Перечислить все	члены	многочлена Что называют степенью многочлена ? .
Если все	члены	многочлена имеют общий множитель , то вынесением этого множителя за скобки многочлен преобразуется в произведение .
Однако этот многочлен можно разложить на множители , если сгруппировать попарно	члены	многочлена так .
Все	члены	многочлена не имеют общего множителя .
Приведём подобные	члены	в обеих частях этого равенства , получим .
Переставим	члены	многочлена так , чтобы подобные члены стояли рядом , и заключим подобные члены в скобки .
Переставим члены многочлена так , чтобы подобные	члены	стояли рядом , и заключим подобные члены в скобки .
Переставим члены многочлена так , чтобы подобные члены стояли рядом , и заключим подобные	члены	в скобки .
При доказательстве понадобится умение приводить подобные	члены	в многочлене .
Так , а ) точка О	чётная	, а точка D нечётная .
3 Привести формулы	чётного	и нечётного чисел .
Нужно вспомнить : понятия	чётного	и нечётного чисел ; понятие многоугольника ; формулы площади и периметра прямоугольника ; алгоритмы нахождения неизвестных компонентов арифметических действий .
Нужно вспомнить : понятие алгебраической суммы ; правила раскрытия скобок ; приведение подобных членов ; решение линейных уравнений ; понятие	чётного	, нечётного чисел ; запись числа в виде суммы разрядных слагаемых ; понятие делимости числа на натуральное число n .
В этой главе вы узнали , что такое : — числовое и алгебраическое выражения ; — числовое и алгебраическое равенства ; — действия первой , второй и третьей ступеней ; — формула ; — формулы	чётного	и нечётного натуральных чисел ; — алгебраическая сумма ; как ; — находить значения числового и буквенного выражений ; — составлять формулу по условию задачи ; — приводить подобные слагаемые ; — раскрывать скобки ; — заключать алгебраическую сумму в скобки .
С помощью букв можно записать формулы	чётного	и нечётного натуральных чисел .
Произведение двух чисел , одно из которых	чётное	, само будет чётным .
1 Доказать , что при любом натуральном n число	чётное	.
Если а —	чётное	число , то оно делится на 2 и его записывают , где n — натуральное число .
Доказать , что если сумма четырёх натуральных чисел есть число нечётное , то их произведение — число	чётное	.
Рассмотрим утверждение : « Произведение любых двух натуральных чисел есть число	чётное	» .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел — чётное натуральное число , то их сумма также число	чётное	; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
Договоримся называть точки , в которых сходится	чётное	число линий , чётными , а точки , в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
Если оба числа m и n чётные или оба нечётные , то —	чётное	число , и поэтому число делится на .
Если одно из чисел m , n	чётное	, а другое нечётное , то чётное число , и поэтому число делится на и на 16 .
Если одно из чисел m , n чётное , а другое нечётное , то	чётное	число , и поэтому число делится на и на 16 .
25 Найти в ряду натуральных чисел : 1 )	чётное	число ; 2 ) нечётное число .
Верно ли утверждение : 1 ) если разность двух натуральных чисел —	чётное	натуральное число , то их сумма также число чётное ; 2 ) если разность двух натуральных чисел — нечётное натуральное число , то их сумма также число нечётное ? .
По этой формуле можно найти , например , шестое ( по порядку следования в ряду натуральных чисел )	чётное	число : при n равно 6 число .
Любому	чётному	числу предшествует число нечётное , поэтому формула нечётного числа имеет вид , где n — натуральное число .
При возведении 9 в	чётную	степень последней будет цифра 1 , а при возведении в нечётную — 9 .
Если оба числа m и n	чётные	или оба нечётные , то — чётное число , и поэтому число делится на .
Они стоят рядом , значит одно из них будет	чётным	.
Произведение двух чисел , одно из которых чётное , само будет	чётным	.
2 Какое число называется	чётным	; нечётным ? .
Найти значение выражения , предварительно упростив его : Доказать , что : 1 ) разность чисел делится на 3 , если m и n — натуральные числа ; 2 ) сумма числа и числа , противоположного числу , делится на 4 , если m и n — натуральные числа ; 3 ) при любых значениях а значение выражения отрицательно ; 4 ) сумма любых двух нечётных чисел является	чётным	числом .
Оно неверно , так как , например , произведение чисел 3 и δ не является	чётным	числом .
Договоримся называть точки , в которых сходится чётное число линий ,	чётными	, а точки , в которых сходится нечётное число линий , — нечётными .
4 Установить , какие из чисел 379 , 548 , 2646 , 967 являются	чётными	, а какие нечётными .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых	чётных	чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных чётных чисел делится на 6 ? .
Записать в виде алгебраического выражения : 1 ) сумму двух последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; 2 ) произведение двух последовательных натуральных чисел , большее из которых равно m ; 3 ) сумму трёх последовательных	чётных	натуральных чисел , меньшее из которых равно 2k ; 4 ) произведение трёх последовательных нечётных натуральных чисел , меньшее из которых равно .
Доказать , что сумма пяти последовательных	чётных	чисел делится на 10 .
Выяснить , верно ли утверждение : 1 ) сумма любых двух	чётных	чисел делится на 4 ; 2 ) произведение любых двух двузначных чисел есть трёхзначное число .
Имеются четыре последовательных	чётных	числа .
28 Верно ли утверждение : 1 ) произведение двух любых чётных чисел делится на 4 ; 2 ) одно из двух последовательных	чётных	чисел делится на 6 ? .
Поверхность земного	шара	составляет более 510 млн км2 , объём Земли свыше 1000 млрд км3 .
Стальная деталь имеет форму	шара	радиуса а с полостью в форме шара радиуса .
Стальная деталь имеет форму шара радиуса а с полостью в форме	шара	радиуса .
Найти объём V этой детали , если объём	шара	находится по формуле , где R — радиус шара .
Найти объём V этой детали , если объём шара находится по формуле , где R — радиус	шара	.
Так , расстояние от Земли до Солнца , примерно равное 150 млн км , записывают в виде 1,5 · 108 км ; радиус земного	шара	, приближённо равный 6,37 млн м , — в виде 6,37 · 106 м , а расстояние от Земли до ближайшей звезды ( альфа Центавра ) — в виде 4 · 1013 км .
Поле имело форму прямоугольника , длина которого равна а километрам ,	ширина	— b километрам .
Измерения нового параллелепипеда : длина 5а ,	ширина	2nb , высота 3nc .
Найти периметр и площадь прямоугольника , у которого	ширина	меньше стороны квадрата на 4 единицы , а длина больше на 8 единиц .
Длина участка прямоугольной формы на 10 м больше , а	ширина	на 25 м меньше стороны участка , имеющего форму квадрата .
Во время стирки ткань садится на по длине и на по	ширине	.
Земельная полоса	шириной	а м и длиной b км нарезана на k одинаковых участков прямоугольной формы со стороной а м .
Сколько метров ткани	шириной	90 см нужно приобрести , чтобы после стирки иметь 51 м2 материала ? .
Если	ширину	увеличить на 8 м , а длину уменьшить на 6 м , то площадь нового прямоугольника будет на 80 м2 больше площади данного .
Найти длину и	ширину	данного прямоугольника .
Найти длину и	ширину	участка прямоугольной формы .
Если длину прямоугольника увеличить на 4 см , а	ширину	— на 2 см , то площадь увеличится на 42 см2 .
Определить длину и	ширину	сада .
Если же длину сада уменьшить на 6 м , а	ширину	увеличить на 8 м , то площадь сада увеличится на 164 м2 .
Найти длину и	ширину	участка .
Если увеличить длину сада на 8 м , а	ширину	на 6 м , то площадь сада увеличится на 632 м2 .
Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см , а	ширину	уменьшить на 6 см , то площадь нового прямоугольника будет на 32 см2 меньше площади данного .
Каким будет объём V1 нового параллелепипеда , если длину данного увеличить в 5 раз ,	ширину	— в 2n раз , высоту — в 3n раз ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда , имеющего длину а ,	ширину	b и высоту с , вычисляется по формуле .
Вдоль границы участка прямоугольной формы , длина которого в 3 раза больше	ширины	, вырыли канаву длиной 240 м .
Длина прямоугольника на 5 см больше его	ширины	.
Какой	ширины	получилась каждая буква в заголовке ? .
Прямая пропорциональная зависимость площади S прямоугольника от его	ширины	х представлена таблицей .