Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Алгебра	— для вас новый школьный предмет .
	Алгебраические выражения	.
	Аликвотные дроби	.
	Аргумент	.
	Вес	настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать , чтобы найти кучку из фальшивых монет ? .
	Возведите	в квадрат одночлен .
	Возведите	в куб одночлен .
	Вынесите за скобки	общий множитель .
	Вынесите за скобки	общий множитель в выражении .
	Вынесите за скобки	общий множитель ( n — натуральное число ) .
	Выражение	алгебраическое .
	Выражение	являющееся произведением чисел , переменных и их степеней .
	Выражение	, не содержащее деления на выражение с переменными , называют целым выражением .
	Выражение	числовое .
	Выражение	, которое является суммой нескольких одночленов , называют многочленом .
	Выражение	, являющееся суммой нескольких одночленов .
	Выражение	целое .
	Выражение	называют степенью , число 4 — основанием степени , а число 3 — показателем степени .
	Выражение	с переменной .
	Выражение	при любом значении a принимает неположительное значение .
	Выражение	, представляющее собой произведение чисел , переменных и их степеней , называют одночленом .
	Выражение	отношения между величинами , записанное с помощью математических знаков .
	Выражение	с переменными .
	Выражения	каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень , деление .
	Выражения	, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных , называют тождественно равными .
	Выражения	.
	Выражения	с переменными ( буквенные выражения ) .
	Выражения	второй группы целыми не являются .
	Выражения	с переменными .
	Вычитание	.
	Вычитание	рациональных чисел .
	Вычитание	многочленов .
	Геометрическая фигура	, являющаяся графиком уравнения .
	Геометрическая фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
	Геометрическая фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
	Геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
— М. :	Глобус	, 2007 .
	График	функции пересекает оси координат в точках .
	График	линейной функции .
	График	какой функции изображён ? .
	График	уравнения проходит через точку .
	График	функции .
	График	функции параллелен оси абсцисс и проходит через точку .
	График	: Невертикальная прямая ; Вертикальная прямая ;
	График	функции — характерный тому пример .
	График	уравнения с двумя переменны ми .
	График	линейного уравнения с двумя переменными .
	График	линейной функции проходит через точки .
	График	данной функции пересекает ось ординат в точке ( 0 ; 4 ) .
	График	уравнения с двумя переменными .
	График	этой функции состоит из трёх частей : точки О ( 0 ; 0 ) и двух лучей , у каждого из которых « выколото » начало .
«	График	функции » .
22	График	функции .
	График	этого уравнения изображён .
	График	прямой пропорциональности .
	Графики	функций пересекаются в одной точке .
	Графики	функций пересекаются в точке с абсциссой 2 .
	Графики	прямых пропорциональностей , которые приводились выше в качестве примеров .
	Графики	уравнений очень разнообразны .
	Графики	функций пересекаются в точке , абсцисса которой равна – 3 .
	Графиком	каких уравнений является та же прямая , что и график уравнения ? .
	Графиком	уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
	Графиком	уравнения является вся координатная плоскость .
	Графиком	уравнения является кривая , которую называют эллипсом .
	Графиком	какой из данных функций является прямая , проходящая через начало координат ? .
	Графиком	функции не обязательно является линия , изображён график функции , заданной таблицей .
	Графиком	какой из данных функций является горизонтальная прямая ? .
	Графиком	этого уравнения является прямая .
	Графиком	некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках .
	Графиком	некоторой функции является ломаная МКЕ , где .
	Графиком	линейной функции является прямая .
	Графиком	функции у равно b , где b ≠ 0 , является прямая , параллельная оси абсцисс .
	Графиком	уравнения является кривая , которую называют кардиоидой .
	Графиком	какой функции является ось абсцисс ? .
	Графиком	функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
	Графиком	линейной функции является невертикальная прямая .
	Группа	из 46 туристов отправилась в поход на 10 лодках , часть из которых была четырёхместными , а остальные — шестиместными .
	Двучлен	.
	Деление	числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
	Деление	с остатком .
	Деление	.
	Деление	рациональных чисел .
Егоров А.	Деление	с остатком и сравнения по модулю .
	Деление	обыкновенных дробей .
	Деление с остатком	.
Егоров А.	Деление с остатком	и сравнения по модулю .
	Делится	ли значение выражения нацело на 200 ?
	Делится	ли значение выражения нацело на 60 ?
	Десятичная	запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3 , а другого пятизначного числа — только из цифр 3 и 4 .
Стоимость проезда ;	Длина	пути , который проезжает пассажир .
	Длина	прямоугольника в 3 раза больше его ширины .
	Длина	прямоугольника на 2 см больше его ширины .
	Длина	отрезка АС равна х , длина отрезка ВС — у.
	Доказательство	.
	Дробные	числа .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа , называют несократимой .
	Знак	степени .
	Значение	функции .
	Значение	функции f , которое соответствует значению х аргумента х , обозначают f(x0 ) .
	Значение	зависимой переменной ещё называют значением функции .
	Значение	выражения 9k2 кратно 3 , то есть остаток при делении n2 на 3 равен 0 .
	Значение	функции равно 0 при значениях aргумента , равных – 5 и 4 .
	Значение	выражения .
	Значение	с переменной .
	Значение	числового .
	Значение	аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше значения аргумента в предыдущем столбце .
	Значение	переменной a таково , что значение выражения равно 2 .
	Значения	переменных х1 и х2 таковы , что выполняются равенства .
	Значения	переменных а и b таковы , что .
	Значения	переменных х и у таковы , что выполняются равенства .
	Значения	зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
	Значения	переменных m и n таковы , что m – n равно 5 , k равно – 2 .
	Значения	переменных а , b и с таковы , что .
	Значения	переменных a и b таковы , что .
	Значения	а и b. Корни уравнения : любое число ; корней нет .
	Значения	переменных а , b и m таковы , что .
	Значения	а и b.
	Значения	а , b , с .
	Значения	переменных х и у таковы , что .
	Значения	переменных m , n и р таковы , что Найдите значение выражения .
Шень А.	Игры	и стратегии с точки зрения математики .
	Игры	и стратегии .
	Квадрат	суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
16	Квадрат	суммы и квадрат разности двух выражений .
	Квадрат	суммы двух выражений .
«	Квадрат	суммы и квадрат разности двух выражений » .
	Квадрат	числа .
	Квадрат	разности двух выражений .
	Квадрат	неполный разности двух выражений .
	Квадрат	разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
	Квадратом	какого из данных одночленов является выражение ? .
	Корень	уравнения .
	Корнем	уравнения называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
	Корни	уравнения ах равно b , х — любое число ; корней нет .
Значения а и b.	Корни	уравнения : любое число ; корней нет .
	Коэффициент	одночлена .
	Кривая	спроса — это график , показывающий , как зависит спрос на товар от его цены .
	Куб	числа .
	Линейная	функция .
	Линейная	функция задана формулой .
«	Линейная	функция , её график и свойства » .
23	Линейная	Функция , её график и свойства .
«	Линейное	уравнение с двумя переменными и его график » .
2	Линейное	уравнение с одной переменной .
	Линейное	уравнение с двумя переменными .
«	Линейное	уравнение с одной переменной » .
Глава 1	Линейное	уравнение с одной переменной .
25	Линейное	уравнение с двумя переменными и его график .
	Линейное	уравнение с одной переменной .
	Линейную	функцию , которую задают формулой где k ≠ 0 , называют прямой пропорциональностью .
	Линейные	функции .
	Линейным	уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа .
	Многочлен	называют неполным квадратом суммы .
	Многочлен	.
	Многочлен	стандартного вида .
	Многочлен	не удастся разложить на множители методом вынесения за скобки общего множителя , так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
	Многочлен	, состоящий из одночленов стандартного вида , среди которых нет подобных , называют многочленом стандартного вида .
	Многочлен	, состоящий из двух членов , называют двучленом , а из трёх членов — трёхчленом .
	Многочлен	, стоящий в правой части , называют неполным квадратом разности .
	Многочлены	являются примерами многочленов стандартного вида .
	Модулем	числа a называют расстояние от начала отсчёта до точки , изображающей это число на координатной прямой .
	Модули	противоположных чисел равны .
	Модуль	числа .
	Модуль	числа принимает только неотрицательные значения .
	Модуль	положительного числа равен этому числу , модуль отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
	Модуль	числа a обозначают так : читают : « модуль а » .
	Найдите	эти числа , если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему .
	Найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
	Найдите	стороны данного прямоугольника .
	Найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
	Найдите	значения функции соответствующие аргументам .
	Найдите	при этом значении a значение выражения .
	Найдите	: 1 ) значение y , если ; 2 ) значение х , при котором .
	Найдите	сумму и разность многочленов .
	Найдите	данные числа .
	Найдите	значения функции f , соответствующие аргументам : 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно 12 .
	Найдите	корень уравнения Какое из уравнений является линейным ? .
	Найдите	при этом значении y значение выражения .
	Найдите	все двузначные числа , равные произведению своих цифр , увеличенных на 1 .
	Найдите	число а .
	Найдите	эти числа , если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому .
	Найдите	процентное содержание соли в полученном растворе .
	Найдите	значение y , если : функция задана формулой .
	Найдите	значение y , если : функция задана формулой у.
	Найдите	все целые значения n , при которых корень уравнения является натуральным числом .
	Найдите	: 1 ) значения функции для значений аргумента , равных ;
	Найдите	числа a и b .
	Найдите	первоначальную цену одной банки краски и одной банки олифы .
	Найдите	первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров .
	Найдите	значение одночлена .
	Найдите	многочлен М , если .
	Найдите	корень уравнения .
	Найдите	координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
	Найдите	все целые значения m , при которых корень уравнения является целым числом .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение многочлена .
	Найдите	ординату точки их пересечения .
	Найдите	данное число .
	Найдите	такое наименьшее натуральное значение a , при котором выражение принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
	Найдите	: 1 ) область определения и область значений функции ; 2 ) g(7 ) ; g(3 ) ; g(l ) ; g(9 ) ; g(4 ) .
	Найдите	f(7 ) ; f(15 ) ; f(101 ) .
	Найдите	все возможные решения .
	Найдите	исходные длину и ширину прямоугольника .
	Найдите	её область определения и область значений .
	Найдите	три последовательных натуральных числа таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
	Найдите	такие значения х , при которых выражение можно представить в виде квадрата суммы .
	Найдите	сторону квадрата , если его площадь на 45 см2 больше площади данного прямоугольника .
	Найдите	расстояние s от лагеря , на котором будет находиться турист через t ч после начала движения .
	Найдите	и исправьте ошибки в равенствах .
	Найдите	объём каждого бака .
Известно , что .	Найдите	зависимость между а , b и с .
	Найдите	скорости автобусов и велосипедиста , если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км .
	Найдите	эти числа , если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел .
	Найдите	скорости автобуса и маршрутного такси .
	Найдите	значение функции , если значение аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Значения переменных m , n и р таковы , что	Найдите	значение выражения .
	Найдите	f(3,7 ) ; f(0,64 ) ; f(2 ) ; f(–0,35 ) ; f(–2,8 ) .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Назовите одночлены , суммой которых является данный многочлен :	Найдите	значение многочлена .
	Найдите	какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта B на 4 км меньше , чем другому до пункта А.	Найдите	скорость каждого туриста .
	Найдите	скорость велосипедиста .
	Найдите	в данных примерах ошибки .
	Найдите	значение х , при котором Функция задана формулой .
	Найдите	значение функции , если значение аргумента равно .
	Найдите	массу перевезённого груза .
Вычислите значение y по формуле у , если .	Найдите	координаты точек А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
	Найдите	скорость каждого поезда и расстояние между станциями .
	Найдите	значение а .
	Найдите	длину каждой части каната .
	Найдите	общий путь , пройденный Петей , если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы , а время , потраченное на весь путь , составляет 4 ч .
	Найдите	значение выражения , если .
	Найдите	значение выражения , используя распределительное свойство умножения .
	Найдите	исходную ширину прямоугольника .
	Найдите	, пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена , значение суммы Решение .
	Найдите	скорости автобуса и теплохода , если скорость теплохода на 30 км / ч меньше скорости автобуса .
	Найдите	значение выражения , представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
	Найдите	значение х , при котором .
	Найдите	при тех же самых значениях m , n и k значение выражения .
	Найдите	расстояние между городами , если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового .
	Найдите	такие задачи .
	Найдите	координаты её точек пересечения с осями координат .
	Найдите	стороны прямоугольника , имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников , периметр каждого из которых равен 20 см .
	Найдите	все возможные ответы .
	Найдите	длину пути .
	Найдите	площадь каждого участка , если с первого участка собрали на 2200 т больше , чем со второго .
	Найдите	периметр данного прямоугольника .
	Найдите	значение выражения при .
Масса другого слитка составляла 75 г.	Найдите	процентное содержание меди во втором слитке , если полученный сплав содержал 50 % меди .
	Найдите	эти числа , если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего .
	Найдите	скорость теплохода в стоячей воде , если скорость течения равна 2,5 км / ч .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	скорость течения , если против течения турист проплыл на 23 км больше , чем по течению .
	Найдите	ординату этой точки .
	Найдите	собственную скорость лодки , если скорость течения составляет 2,5 км / ч .
	Найдите	удвоенное произведение одночленов .
	Найдите	решение уравнения , состоящее из двух противоположных чисел .
	Найдите	стороны прямоугольника , если его периметр равен 144 см .
	Найдите	значения а и b .
	Найдите	координаты точки графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
	Найдите	решение уравнения , состоящее из двух равных чисел .
	Найдите	координаты точек пересечения прямой с осями координат .
	Найдите	сторону квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится квадрат , площадь которого на 95 см2 больше площади данного .
	Найдите	скорость каждого из них .
	Найдите	сторону данного квадрата .
	Найдите	три последовательных натуральных числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
	Найдите	стороны прямоугольника .
	Найдите	какие - нибудь три решения уравнения .
	Найдите	средства для этого в графическом редакторе , которым вы будете пользоваться .
	Найдите	значение х .
	Найдите	значение y .
	Найдите	массу меди в этом сплаве .
	Найдите	четыре последовательных нечётных натуральных числа , сумма квадратов которых равна 164 .
	Найдите	решение системы уравнений .
	Найдите	.
	Найдите	, сколько гектаров земли обрабатывал ежедневно один гусеничный трактор и сколько — один колёсный .
	Найдите	разность многочленов .
	Найдите	значение выражения Докажите , что если .
	Найдите	сумму многочленов .
	Найдите	значение каждого из следующих выражений при .
	Найдите	при этих же значениях x и y значение выражения .
	Найдите	три последние цифры значения выражения Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
	Найдите	скорость каждого из них , если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше , чем автомобиль за 1 ч .
	Найдите	значения k и b .
	Найдите	значение выражения , разложив его предварительно на множители .
	Найдите	скорость каждого поезда .
	Найдите	значения k и h .
	Найдите	все натуральные значения n , при которых значение каждого из выражений является простым числом .
	Найдите	значение k.
	Найдите	ещё три таких одночлена .
	Найдите	скорость каждого из них , если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше , чем велосипедист проезжает за полчаса .
	Найдите	скорость каждого автомобиля , если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше , чем второй за 3 ч .
	Найдите	два числа , если их разность равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
	Найдите	дневную норму сена для лошади и для коровы .
	Найдите	первоначальную цену стола и первоначальную цену стула .
	Найдите	площадь каждого поля .
	Найдите	все пары ( х ; у ) целых чисел , являющиеся решениями уравнения .
	Найдите	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , являющиеся решениями уравнения .
Упражнения .	Найдите	значение числового выражения .
	Найдите	значение b , при котором график функции проходит через точку .
	Найдите	два числа , если их сумма равна 63 , а разность равна 19 .
	Найдите	все целые числа x и y , при которых выполняется равенство .
	Найдите	данное двузначное число .
	Найдите	эти выражения и разложите их на множители .
	Найдите	скорость катера в стоячей воде и скорость течения , если за 9 ч движения по озеру он проходит столько , сколько за 10 ч движения против течения реки .
	Найдите	значение выражения если .
	Найдите	скорость каждого автомобиля , если скорость одного из них на 10 км / ч больше скорости другого .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
	Найдите	скорость каждого из них , если за 2 ч мотоциклист проезжает на 40 км больше , чем велосипедист за 5 ч .
	Найдите	, не выполняя построения , координаты точки пересечения прямых .
	Найдите	собственную скорость лодки и скорость течения , если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше , чем за 4 ч против течения реки .
	Натуральное	число , имеющее более двух делителей , называют составным .
	Натуральное	число называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это число .
	Натуральное число	, имеющее более двух делителей , называют составным .
	Натуральное число	называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это число .
	Натуральные	числа называют целыми положительными числами .
	Натуральные	числа .
	Натуральные	числа x и y таковы .
	Натуральные числа	x и y таковы .
	Натуральные числа	называют целыми положительными числами .
	Натуральные числа	.
	Одночлен	.
	Одночлен	является их произведением .
	Одночлен	стандартного вида .
	Одночлен	, содержащий только один числовой множитель , отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные множители — это степени с различными основаниями .
	Одночлены	содержат такие общие множители .
	Описанный	здесь способ решения системы называют методом : подстановки .
	Основание	степени .
Докажите , что если	Остаток	при делении числа a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5 числа b равен 3 .
Найдите три последние цифры значения выражения	Остаток	при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
	Остаток	при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
	Остаток	от деления на 7 одного натурального числа равен 4 , а другого числа равен 3 .
	Остаток	при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
	Остаток	при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
	Остаток	при делении на 3 числа n равен 1 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
	Остаток	при делении на 3 числа n равен 2 .
	Остаток	при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6 .
	Остаток	всегда меньше делителя .
	Остаток	при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5 .
	Отношение	не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
	Отношение	положительных чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть число а составляет от числа b .
	Отношения	.
	Отношения	и пропорции .
	Отрицательные	значения переменных a и b таковы , что ab равно 16 .
	Переменная	.
	Переменная	зависимая .
	Переменная	независимая .
	Периметр	прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см , а другую увеличить на 3 см , то его площадь уменьшится на 21 см2 .
	Периметр	прямоугольника равен 7,8 см , а одна из его сторон на 1,3 см больше другой .
	Периметр	прямоугольника ABCD равен .
	Периметр	прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см , а две другие уменьшить на 2 см , то его площадь увеличится на 24 см2 .
	Плоскость	, на которой задана прямоугольная система координат , называют координатной плоскостью .
	Площадь	второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а площадь третьего поля составляет 72 % площади первого .
	Площадь	острова Сахалин — самого большого острова России — составляет км2 .
	Площадь	квадрата со стороной 10 см равна сумме площадей двух других квадратов .
	Площадь	квадрата со стороной 10 см равна 100 см2 .
	Площадь	материков и островов Земли составляет км2 , а площадь океанов — км2 .
	Подобные	члены .
	Показатель	степени .
	Положительные	значения переменных a и b таковы , что ab равно 15 .
	Приведено	количество депутатских мест , полученных партией Знайки в течение 8 последних выборов .
	Приведены	данные об уровне воды в реке по отношению к ординару ( среднему уровню воды ) с 1 по 15 мая .
	Приведены	измерения температуры воздуха в течение суток через каждый час .
	Приведите	подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если .	Приведите	подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
	Приведите	подобные члены многочлена .
	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	одночлен к стандартному виду , укажите его коэффициент и степень .
	Приведите	пример уравнения с переменными х и у : 1 ) имеющего одно решение ; 2 ) не имеющего решений ;
	Приведите	пример фигуры , которая не может являться графиком функции .
	Приведём	ещё примеры линейных уравнений .
	Приведём	ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
	Произведение	равных множителей .
	Произведение	степеней .
14	Произведение	разности и суммы двух выражений .
	Произведение	разности и суммы двух выражений .
	Произведение	разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
	Произведение	крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Считают , что .	Произведением	двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
	Произведением	числа a на натуральное число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
	Пропорции	.
На координатной плоскости обозначим точку М.	Прямая	, проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	пропорциональная зависимость .
	Прямоугольная	система координат .
	Прямые	пропорциональности .
	Путь	, пройденный вторым автомобилем до встречи , равен 3у км .
	Путь	, пройденный теплоходом по течению , на 48 км больше пути против течения .
	Равенства	вида называют формулами .
	Равенство	, где s — пройденный путь , v — скорость движения , a t — время , за которое пройден путь s , называют формулой пути .
	Равенство	верно , если верно равенство .
	Равенство	означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Равенство	, верное при любых значениях входящих в него переменных , называют тождеством .
	Равенство	, правильное при любых значениях переменных .
	Разделить	число а на число b — значит найти такое число , произведение которого с числом b равно а .
	Разложение	на множители суммы кубов .
	Разложение	на множители разности кубов .
13	Разложение	многочленов на множители .
«	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители разности квадратов .
	Разложение	на множители многочлена .
	Разложение	многочлена на множители методом .
12	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	многочлена на множители является ключом к решению многих задач .
	Разложив	левую часть уравнения на множители и применив условие , согласно которому произведение равно нулю , получаем .
	Разложите	на множители .
	Разложите	полученный многочлен на множители по этим формулам .
	Разложите	на множители трёхчлен , выделив предварительно квадрат двучлена .
	Разложите	выражение на множители двумя способами .
	Разложите	на множители многочлен , предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений .
	Разложите	на множители , используя формулу разности квадратов .
	Разложите	на множители трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых .
	Разложите	на множители трёхчлен .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители многочлен представьте выражение в виде произведения многочленов .
	Разложите	на множители выражение ( n — натуральное число ) .
	Разложите	на множители выражение .
	Разложите	на множители ( n — натуральное число ) .
	Разложите	выражение на множители .
	Разложите	придуманный многочлен на множители по этим формулам .
Пример 1	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители , где n — натуральное число .
	Разложите	на множители , пользуясь формулой разности квадратов .
	Разность	квадратов .
	Разность	их ты найди , затем трижды её сложи , на кумай этих пчёл посади .
«	Разность	квадратов двух выражений » .
	Разность	кубов .
	Разность	многочленов .
	Разность	показывает , на сколько число а больше числа b или на сколько число b меньше числа a .
Докажите тождество :	Разность	квадратов двух двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , равна 693 .
	Разность	кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
	Разность	кубов двух выражений .
	Разность	цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц .
15	Разность	квадратов двух выражений .
	Разность	квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы .
	Разность	квадратов двух выражений .
	Рациональные	числа .
	Рациональные числа	.
«	Решение	задач с помощью уравнений » .
	Решение	линейного уравнения с одной переменной .
	Решение	системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Представьте в виде произведения выражение	Решение	.
	Решение	системы уравнений .
	Решение	системы уравнений с двумя переменными .
	Решение	уравнения .
Пример 1 Докажите тождество :	Решение	.
	Решение	уравнения с двумя переменными .
3	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	системы с двумя переменными .
«	Решение	задач с помощью систем линейных уравнений » .
Решите уравнение	Решение	.
	Решение	1 ) По формуле квадрата разности двух выражений получаем .
27	Решение	систем линейных уравнений методом подстановки .
	Решение	. 3 ) Применив дважды формулу произведения суммы и разности двух выражений , получим .
	Решение	1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель , получим .
29	Решение	задач с помощью систем линейных уравнений .
	Решение	.
28	Решение	систем линейных уравнений методом сложения .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена , значение суммы	Решение	.
Постройте график функции	Решение	.
	Решение	системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
	Решением	этой системы является пара .
	Решением	этой системы является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только натуральным числом .
	Решением	каких из уравнений является пара чисел ? .
	Решением	системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
	Решением	каких систем является пара чисел ( – 5 ; 2 ) ? .
	Система	— это математическая модель задачи о поиске координат общих точек двух прямых .
	Систему	уравнений записывают с помощью фигурной скобки .
Яглом И.	Системы	счисления .
26	Системы	уравнений с двумя переменными .
«	Системы	уравнений с двумя переменными .
	Системы	счисления .
	Системы	линейных уравнений с двумя переменными .
	Сложение	.
	Сложение	рациональных чисел .
	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	многочленов .
9	Сложение	и вычитание многочленов .
	Степени	с показателями 2 и 3 можно прочитать иначе : запись а2 читают « а в квадрате » , запись — « а в кубе » .
	Степень	.
	Степень	с основанием а и показателем n обозначают аn и читают : « а в n - й степени » .
	Степень	многочлена .
	Степень	одночлена , который является числом , отличным от нуля , считают равной нулю .
«	Степень	с натуральным показателем » .
	Степень	числа .
	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	одночлена .
	Степенью	числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
	Степенью	числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
	Сторона	квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц .
	Сумма	денег на счёте .
	Сумма	кубов двух выражений .
18	Сумма	и разность кубов двух выражений .
«	Сумма	и разность кубов двух выражений » .
	Сумма	двух чисел равна 28 , а разность их квадратов составляет 112 .
	Сумма	100 разных натуральных чисел равна 5051 .
	Сумма	кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 15 .
	Сумма	двух противоположных чисел равна нулю .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 11 .
	Сумму	какого одночлена и трёхчлена можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена ?
	Теорема	.
	Теорема	6.2 .
	Тождества	» .
	Тождества	.
	Тождество	.
Упростим левую часть равенства :	Тождество	доказано .
	Тождество	выражает основное свойство степени .
Рассмотрим разность левой и правой частей :	Тождество	доказано .
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . (	Тождество	Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
	Точка	С принадлежит отрезку АВ , длина которого равна 8 .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В.	Точка	А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
	Точка	принадлежит оси ординат тогда , и только тогда , когда её абсцисса равна нулю .
	Точка	принадлежит оси абсцисс тогда , и только тогда , когда её ордината равна нулю .
	Точки	принадлежат искомому графику .
	Точки	А ( 2 ; 3 ) и В ( 5 ; а ) принадлежат прямой .
	Третье	уравнение корней не имеет .
	Третью	степень называют кубом числа , а запись а3 читают : « а в кубе » .
	Третья	степень числа .
	Трёхчлен	.
	Трёхчлен	, который можно представить в виде квадрата двучлена , называют полным квадратом .
	Умножение	многочленов .
	Умножение	одночлена на многочлен .
	Умножение	рациональных чисел .
	Умножение	обыкновенных дробей .
11	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	.
«	Умножение	многочлена на многочлен » .
10	Умножение	одночлена на многочлен .
	Умножив	обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
	Умножим	обе части первого уравнения на – 3 .
	Умножим	двучлен на трёхчлен .
	Уравнение	с двумя переменными не обязательно имеет бесконечно много решений .
	Уравнение	не обязательно имеет один корень .
	Уравнение	линейное с двумя переменными .
	Уравнение	линейное с одной переменной .
	Уравнение	с двумя переменными .
	Уравнение	вообще решений не имеет .
	Уравнение	вида , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
	Уравнение	вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
	Уравнение	не имеет решений .
	Уравнение	.
	Уравнение	вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа , называют линейным уравнением с двумя переменными .
24	Уравнения	с двумя переменными .
	Уравнения	, знакомые вам по предыдущему параграфу , являются линейными .
	Уравнения	.
	Фигура	может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
	Функции	заданы формулами .
	Функции	у равно 2х ; у равно х ; у равно – х ; примеры прямых пропорциональностей .
Глава 3	Функции	.
	Функциональная	зависимость переменной y от переменной х является прямой пропорциональностью .
	Функцию	, которую можно задать формулой вида где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют линейной .
	Функцию	, которую можно задать формулой вида , где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют линейной .
23 Линейная	Функция	, её график и свойства .
Найдите значение х , при котором	Функция	задана формулой .
	Функция	.
	Функция	f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
	Функция	задана формулой .
	Функция	считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной .
	Функция	задана формулой f(x ) .
	Функция	» .
	Функция	прямая пропорциональность .
	Функция	задана описательно : значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента .
	Функция	линейная .
	Функция	f задана таким образом , если , если х больше – 1 .
	Функция	f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
По горизонтали : 6 )	Функция	« прямая » .
	Функция	задана таблично .
	Целое	выражение .
	Целые	отрицательные .
	Целые	числа .
	Целые числа	.
	Числа	, которые складывают , называют слагаемыми , а результат сложения — суммой .
	Числа	– 1 ; – 2 ; – 3 называют целыми отрицательными числами .
	Числа	и таковы , что .
	Число	0 , а также многочлены , тождественно равные нулю ( например ) , называют нуль - многочленами .
	Число	14 называют значением числового выражения .
	Число	0 , а также одночлены , тождественно равные нулю , например , называют нуль - одночленами .
	Число	11 называют значением буквенного выражения при .
	Число	а при этом называют основанием степени .
Рассмотрим три уравнения :	Число	– 1,5 является единственным корнем первого уравнения .
	Число	, записанное теми же цифрами в обратном порядке , равно .
	Число	3 называют абсциссой точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
	Число	n кратно 3 .
	Член	многочлена .
	Ширина	прямоугольника на 8 см меньше его длины .
При каком значении a точка пересечения прямых принадлежит оси	абсцисс	? .
Фигура может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси	абсцисс	, имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
График функции параллелен оси	абсцисс	и проходит через точку .
Точка принадлежит оси	абсцисс	тогда , и только тогда , когда её ордината равна нулю .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью	абсцисс	надо решить уравнение .
Каковы координаты точки пересечения графика уравнения с осью	абсцисс	? .
Следовательно , график данной функции имеет с осью	абсцисс	две общие точки .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью	абсцисс	две общие точки .
Если точка лежит на оси	абсцисс	, то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
Горизонтальную ось называют осью	абсцисс	и обозначают буквой х , вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой у .
Ось	абсцисс	называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют прямоугольную систему координат .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси	абсцисс	, пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Графиком какой функции является ось	абсцисс	? .
Все точки , координаты которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное число , образуют ось	абсцисс	.
Графиком функции у равно b , где b ≠ 0 , является прямая , параллельная оси	абсцисс	.
Заметим , что графиком функции у равно 0 является ось	абсцисс	.
Эта прямая параллельна оси	абсцисс	.
Заметим , что эта прямая не может быть вертикальной , то есть прямой , перпендикулярной оси	абсцисс	.
Все эти точки принадлежат прямой , перпендикулярной оси	абсцисс	и проходящей через точку .
Сколько общих точек может иметь с графиком функции любая прямая , перпендикулярная оси	абсцисс	? .
Графики функций пересекаются в точке ,	абсцисса	которой равна – 3 .
Следовательно , искомый график содержит все точки , у которых	абсцисса	равна 2 , а ордината — любое число .
Найдите координаты точки графика функции	абсцисса	и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой	абсцисса	и ордината — противоположные числа .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её	абсцисса	.
Задаётся	абсцисса	некоторой точки С и сказано , что точка С лежит на этой же прямой .
Точка принадлежит оси ординат тогда , и только тогда , когда её	абсцисса	равна нулю .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 )	абсцисса	равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Число 3 называют	абсциссой	точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
Графики функций пересекаются в точке с	абсциссой	2 .
При этом значение аргумента является	абсциссой	точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
При каком значении m график функции пересекает ось х в точке с	абсциссой	– 1 ? .
Записывая координаты точки ,	абсциссу	всегда ставят на первое место , а ординату — на второе .
Проходит ли график уравнения через точки , имеющие положительную	абсциссу	? .
Определите	абсциссу	точки пересечения графиков функций .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше	абсциссы	.
Есть два печатных	автомата	.
Можно ли с помощью этих	автоматов	из карточки получить карточку ? .
Выгодский М.Я. Арифметика и	алгебра	в Древнем мире .
Мухаммед аль - Хорезми ( IX в . ) — узбекский математик , астроном и географ , в научных работах которого впервые	алгебра	рассматривалась как самостоятельный раздел математики .
Примечательно , что с одним из этих свойств связано происхождение слова «	алгебра	» .
Слово « аль - джабр » со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «	алгебра	» .
Какие	алгебраические выражения	называют целыми ? .
Вы научитесь классифицировать	алгебраические выражения	.
Используя термины « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте	алгебраические выражения	и укажите , какие из них являются целыми .
Числовые выражения и выражения с переменными называют	алгебраическими выражениями	.
Среди данных	алгебраических выражений	укажите целое .
Рассмотрим две группы	алгебраических выражений	.
Заметим , что	алгебраическое выражение	может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по	алгебре	и по геометрии .
Для этого в	алгебре	разработаны различные методы и приёмы .
Сколько было предложено задач отдельно по	алгебре	и по геометрии , если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача ?
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к	алгебре	.
За каждую правильно решённую задачу по	алгебре	насчитывалось 2 балла , а за задачу по геометрии — 3 балла .
Как строили мост между геометрией и	алгеброй	.
1 Введение в	алгебру	.
Со многими из них вы познакомитесь в курсе	алгебры	.
Поможет компьютер и при изучении	алгебры	.
Все эти умения вы будете совершенствовать и при изучении	алгебры	.
Упражнения . Прочитайте следующую запись , укажите	аргумент	функции и зависимую переменную : функция задана формулой .
Все значения , которые принимает	аргумент	, образуют область определения функции .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если	аргумент	равен нулю , то значение функции равно нулю .
В случае утвердительного ответа назовите	аргумент	соответствующей функции .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения	аргумента	, при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между значением	аргумента	и целой частью аргумента .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного	аргумента	значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Для каждого положительного	аргумента	значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Если х0 — некоторое значение	аргумента	, а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	, а ординаты — соответствующим значениям функции f .
При этом значение	аргумента	является абсциссой точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью	аргумента	.
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения	аргумента	.
При каких значениях х значение функции равно удвоенному значению	аргумента	? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
При каком значении х значение функции равно значению	аргумента	? .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений	аргумента	.
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям	аргумента	; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям	аргумента	; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений	аргумента	.
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	, а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно .
Найдите : 1 ) значения функции для значений	аргумента	, равных ;
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Чтобы найти искомое значение	аргумента	, решим уравнение .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно 12 .
Таблица позволяет по указанному значению	аргумента	найти соответствующее значение функции .
Значение аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше значения	аргумента	в предыдущем столбце .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих значений	аргумента	; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения	аргумента	, при которых значение функции равно нулю ; ;
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения	аргумента	, при которых значения функции отрицательные .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения	аргумента	, при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Ясно , что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений	аргумента	.
Отсюда для всех не равных нулю значений	аргумента	можно записать , что .
Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений	аргумента	.
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения	аргумента	и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений	аргумента	.
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение	аргумента	.
При всех положительных значениях	аргумента	значение функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Найдите значение функции , если значение	аргумента	равно .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Найдите значение функции , если значение	аргумента	равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Значение	аргумента	в каждом следующем столбце на 1 больше значения аргумента в предыдущем столбце .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения	аргумента	, при которых значения функции положительные ; .
Пользуясь графиком , найдите значения	аргумента	, при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
значения	аргумента	, при которых значения функции отрицательные .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения .
Для функции f каждому значению	аргумента	х соответствует некоторое значение зависимой переменной у.
Значение функции f , которое соответствует значению х	аргумента	х , обозначают f(x0 ) .
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что значению а	аргумента	соответствует значение b функции .
Найдите значения функции соответствующие	аргументам	.
Найдите значения функции f , соответствующие	аргументам	: 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих	аргументов	.
Что называют	аргументом	функции ? .
Если хотят подчеркнуть , что , например , формула задаёт функцию с	аргументом	t и зависимой переменной s , то пишут .
Независимую переменную ещё называют	аргументом	функции .
В случае утвердительного ответа укажите , что является	аргументом	соответствующей функции .
В случае утвердительного ответа укажите , что является	аргументом	соответствующей функции , её область определения и область значений .
Очевидно , что , придавая	аргументу	другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
Сколько существует	вариантов	приобретения конверта с маркой ? .
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих	величин	равно одному и тому же для этих величин числу .
Понятно , что некоторые из этих	величин	связаны между собой , то есть изменение одной величины влечёт за собой изменение другой .
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих	величин	числу .
В таблице приведены соответствующие значения	величин	х и у. Установите , являются ли эти величины прямо пропорциональными .
Если величины у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных	величин	.
Обозначение всех неизвестных	величин	одной буквой ς также сильно затрудняло запись решения задач , в которых фигурировали несколько переменных .
Таким образом ,	величина	t является независимой переменной , а величина Т — зависимой .
Заполните таблицу , если	величина	у прямо пропорциональна величине х .
Тогда через год	величина	М — сумма денег на счёте — станет равной .
Таким образом , величина t является независимой переменной , а	величина	Т — зависимой .
В упражнениях этого параграфа описаны разнообразные функциональные зависимости между	величинами	.
« Связи между	величинами	.
20 Связи между	величинами	.
Многие науки , такие как физика , химия , биология и другие , исследуют зависимости между	величинами	.
Выражение отношения между	величинами	, записанное с помощью математических знаков .
В этой главе вы будете изучать связи между	величинами	.
Напомним , что в курсе математики 6 класса вы уже познакомились с подобными зависимостями между	величинами	.
Заполните таблицу , если величина у прямо пропорциональна	величине	х .
греческий математик Герои Александрийский начал обозначать неизвестную	величину	буквой ς ( сигма ) .
Запишите эту	величину	, используя степень числа 10 .
Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости величины Т ( температуры ) от	величины	t ( времени ) .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению	величины	Т однозначно найти значение величины t.
Ясно , что переменные	величины	« стоимость проезда » и « длина пути , который проезжает пассажир » связаны между собой .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной	величины	, но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Какие	величины	будут для этого алгоритма входными данными , а какие — выходными ? .
Это математическая модель зависимости величины М от	величины	n.
Это математическая модель зависимости	величины	М от величины n.
Виет предложил : « Искомые	величины	будем обозначать буквой A или другой гласной , Е , I , О , U , а данные — буквами В , D , G и другими согласными » .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти значение	величины	t.
В таблице приведены соответствующие значения величин х и у. Установите , являются ли эти	величины	прямо пропорциональными .
Вообще , в происходящих вокруг нас процессах многие	величины	меняют свои значения .
Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости	величины	Т ( температуры ) от величины t ( времени ) .
Понятно , что некоторые из этих величин связаны между собой , то есть изменение одной	величины	влечёт за собой изменение другой .
Он первый обозначил буквами не только неизвестные , но и данные	величины	.
Если две	величины	прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин числу .
Две	величины	называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Если	величины	у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных величин .
Для какой коробки больше	вероятность	наугад вынуть из неё белый шарик ? .
Какова	вероятность	того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Какова	вероятность	того , что наугад вынутый карандаш будет : 1 ) красным ; 2 ) зелёным ;
Какое наименьшее количество яблок надо вынуть , не заглядывая в мешок , чтобы с	вероятностью	, равной 1 , среди вынутых яблок хотя бы одно было зелёным ? .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из	вершин	— положительное число .
В	вершинах	каждого написали цифры 1 , 2 , 3 .
Найдите координаты	вершины	квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Вес настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных	весах	со стрелкой надо сделать , чтобы найти кучку из фальшивых монет ? .
Равенство означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3	возвели	в куб и получили – 27 .
Равенство означает , что число – 3	возвели	в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
В таких случаях говорят , что число 2	возвели	в пятую степень и получили 32 .
Как	возвести	произведение в степень ? .
Как	возвести	степень в степень ? .
Можно ли , например , число 5	возвести	в степень 0 или в степень – 2 ?
С помощью полученных формул можно проще	возводить	в квадрат сумму либо разность любых двух выражений , не используя правило умножения двух многочленов .
Итак , при возведении произведения в степень каждый множитель	возводят	в степень и полученные результаты перемножают .
Такое преобразование Мухаммед аль - Хорезми назвал	восстановлением	( по - арабски — « аль - джабр » ) .
Книга о	восстановлении	и противопоставлении .
Сам трактат носит название « Краткая книга об исчислении	восстановления	и противопоставления » ( по - арабски — « Китаб аль - мухтасар фи хисаб аль - джабр ва - аль - мукабала » ) .
Представим выражения в виде степеней с основанием 2 и	вынесем за скобки	общий множитель .
Такие соображения подсказывают	вынести за скобки	общий множитель .
Любой из этих множителей можно	вынести за скобки	.
На какое	выражение	надо умножить двучлен , чтобы произведение было равно двучлену .
Упростите	выражение	.
Преобразуйте	выражение	в многочлен стандартного вида .
Упростите	выражение	Выполните возведение в степень .
Упрощая	выражение	, мы фактически заменяем его на более простое , тождественно равное ему .
Покажем , как можно преобразовать степень произведения , например	выражение	.
Квадратом какого из данных одночленов является	выражение	? .
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать	выражение	? .
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать	выражение	? .
Какому из одночленов равно	выражение	.
Представьте в виде многочлена	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	, где n — натуральное число .
Отсюда наименьшее значение , равное 1 , данное	выражение	принимает при х меньше 2 .
Так как при любых значениях х , то	выражение	принимает только положительные значения .
Вместо звёздочки запишите такое	выражение	, чтобы выполнялось равенство , где n — натуральное число .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы	выражение	можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Заметим , что алгебраическое	выражение	может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Представьте	выражение	в виде степени и вычислите его значение ( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
Представьте в виде степени с основанием n	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием m	выражение	.
Преобразуем данное	выражение	.
Найдите такое наименьшее натуральное значение a , при котором	выражение	принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Представьте	выражение	а12 в виде произведения двух степеней с основаниями а , одна из которых равна .
Какое наименьшее значение принимает	выражение	и при каком значении х ? .
Докажите , что	выражение	принимает положительные значения при любых значениях х.
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы	выражение	можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же	выражение	; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Если в числовое	выражение	входит степень , то сначала выполняют возведение в степень , а потом другие действия .
Целое	выражение	.
На какое	выражение	надо умножить многочлен , чтобы произведение было равно многочлену ? .
Данное	выражение	равно произведению двух натуральных чисел , одним из которых является 14 .
Упростите	выражение	и найдите его значение , если .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что	выражение	принимает неположительные значения при всех значениях х .
Данное	выражение	представлено в виде произведения трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других — натуральные числа .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что	выражение	принимает неотрицательные значения при всех значениях a .
Представьте в виде степени	выражение	и вычислите его значение .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Какому из данных выражений тождественно равно	выражение	.
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной	выражение	, полученное на первом шаге ;
Представьте в виде произведения трёх множителей	выражение	, где n — натуральное число .
Упростите	выражение	, где n — натуральное число .
Представьте в виде произведения	выражение	.
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Прочитайте	выражение	, назовите основание и показатель степени .
Можно ли , применяя формулу разности квадратов , разложить на множители	выражение	.
Упростите	выражение	, заменив произведение одинаковых множителей степенью : 10 множителей ; k множителей ;
Упростите	выражение	и найдите его значение .
Какое наименьшее значение может принимать	выражение	.
Разложите	выражение	на множители двумя способами .
Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов	выражение	? .
Используя формулы сокращённого умножения , представьте в виде многочлена	выражение	.
Однако гораздо удобнее вначале привести подобные слагаемые , заменив данное	выражение	на тождественно равное .
Выражение , не содержащее деления на	выражение	с переменными , называют целым выражением .
Если функция задана формулой , правая часть которой — целое	выражение	, и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все числа .
Рассмотрим	выражение	, где а ≠ 0 .
Пользуясь этой формулой , преобразуйте в многочлен	выражение	.
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же	выражение	; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Если к сумме прибавить число 16 , то полученное	выражение	можно « свернуть » по формуле квадрата суммы .
Какому из данных многочленов тождественно равно	выражение	.
Представьте в виде куба двучлена	выражение	.
Подставив вместо х в	выражение	число 2 , получим .
Это	выражение	можно представить в виде степени с основанием а .
Если n — чётное число , то	выражение	9n можно представить в виде произведения , содержащего чётное число девяток .
При каком значении переменной данное	выражение	принимает наибольшее значение .
При каком значении переменной данное	выражение	принимает наименьшее значение .
Представьте данное	выражение	в виде квадрата одночлена .
Докажите , что	выражение	принимает только положительные значения .
Преобразуем в многочлен	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	, где k — натуральное число .
Понятно , что вместо букв а и b можно подставлять и другие числа , получая каждый раз новое числовое	выражение	.
Разложите на множители	выражение	( n — натуральное число ) .
Представьте в виде произведения	выражение	Решение .
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает	выражение	.
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает	выражение	.
Представьте в виде произведения многочленов	выражение	.
Докажите , что	выражение	принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных .
Упростите	выражение	и найдите его значение при .
Рассмотрим	выражение	.
Упростите	выражение	, приведённое в этом упражнении .
Рассмотрим буквенное	выражение	.
Представьте в виде куба одночлена	выражение	.
Разложите на множители многочлен представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Докажите , что если . Известно , что . Докажите , что	выражение	принимает только неотрицательные значения .
Представьте в виде произведения четырёх множителей	выражение	, где n — натуральное число .
Какое наименьшее значение принимает это	выражение	и при каком значении у ? .
Какое значение принимает	выражение	при этом же значении х ? .
Докажите , что	выражение	принимает положительное значение при любом значении у.
Найдите такие значения х , при которых	выражение	можно представить в виде квадрата суммы .
По условию задачи составьте	выражение	с переменными .
Мы получили	выражение	, в котором оба слагаемых имеют множитель .
Докажите , что	выражение	принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Представьте в виде куба одночлена стандартного вида	выражение	.
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в	выражение	, полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Данное	выражение	представлено в виде произведения двух множителей , первый из которых равен 7 , а второй принимает только целые значения .
Преобразуйте в многочлен	выражение	.
То есть после упрощения выражение « превратилось » в	выражение	.
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х ? .
То есть после упрощения	выражение	« превратилось » в выражение .
Представьте в виде квадрата одночлена стандартного вида	выражение	.
Данное	выражение	представлено в виде произведения , один из множителей которого равен 24 , а другой — натуральное число .
Подставим во второе уравнение системы вместо переменной у	выражение	.
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной	выражение	, полученное на первом шаге ;
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х .
Может ли принимать положительные значения	выражение	.
Может ли принимать отрицательные значения	выражение	.
Представьте	выражение	в виде разности квадратов двух многочленов .
Преобразуйте в квадрат двучлена	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием 2	выражение	.
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют переменными , а само буквенное	выражение	— выражением с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Представьте в виде степени с основанием – 5	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием 5	выражение	.
Какому многочлену равно	выражение	.
Представьте в виде квадрата двучлена	выражение	.
Разложите на множители	выражение	.
Запишите в виде степени с показателем 3	выражение	.
Запишите в виде степени с показателем 2	выражение	.
Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Разложите	выражение	на множители .
Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки , чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена	выражение	.
Конечно , можно сразу в это	выражение	подставить вместо а число — и найти значение числового выражения .
Если переменную х заменить , например , числом , то получим числовое	выражение	.
Докажите , что данное	выражение	принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Упростите	выражение	, используя вынесение общего множителя за скобки .
Разложим на множители	выражение	.
Понятно , что не существует такой пары значений х и у , при которых	выражение	одновременно принимает значения и 6 , и 7 .
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х .
Докажите , что данное	выражение	принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Среди выражений найдите	выражение	, тождественно равное выражению .
Запишите	выражение	248 в виде степени с основанием .
Упростим левую и правую части равенства : Получили одно и то же	выражение	.
Упражнения . Является ли одночленом	выражение	.
Представьте данное	выражение	в виде произведения двух одночленов , один из которых равен ? .
Вы знаете , что с его помощью можно найти периметр прямоугольника со сторонами а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое	выражение	.
Какое число надо прибавить к многочлену , чтобы полученное	выражение	было тождественно равно квадрату двучлена ?
Запишите	выражение	в виде степени с основанием .
Преобразуйте в одночлен стандартного вида	выражение	.
Вместе с тем	выражение	, составленное из одной буквы , считают буквенным выражением .
В равенстве замените звёздочку таким	выражением	, чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
Вместе с тем выражение , составленное из одной буквы , считают буквенным	выражением	.
Каким	выражением	можно заменить звёздочку в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
В равенстве замените звёздочку таким	выражением	, чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело корней ;
Выражение , не содержащее деления на выражение с переменными , называют целым	выражением	.
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , является буквенным	выражением	.
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют переменными , а само буквенное выражение —	выражением	с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Запись , составленную из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным	выражением	.
Запись , состоящую из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным	выражением	.
Запись , составленную из чисел , знаков арифметических действий и скобок , называют числовым	выражением	.
22 ) В	выражении	а число n — степени .
Вынесите за скобки общий множитель в	выражении	.
11 ) В	выражении	74 число 7 — степени .
Теперь в	выражении	подставим вместо с многочлен Запишем .
Найдите значение каждого из следующих	выражений	при .
Сравните значения	выражений	.
Представив данный многочлен в виде разности кубов двух	выражений	, получим .
17 Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух	выражений	.
Сформулируйте правило возведения суммы двух	выражений	в квадрат .
Для каждой пары	выражений	найдите все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Какое из данных	выражений	является одночленом ? .
Это тождество называют формулой суммы кубов двух	выражений	.
Запишите формулу разности квадратов двух	выражений	.
Сумма кубов двух	выражений	равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих	выражений	и неполного квадрата их разности .
Квадрат суммы двух	выражений	.
Расположите в порядке возрастания значения	выражений	.
16 Квадрат суммы и квадрат разности двух	выражений	.
Представив данный многочлен в виде суммы кубов двух	выражений	, получим .
Сравните с нулём значения	выражений	.
Квадрат разности двух	выражений	.
Какому из данных	выражений	тождественно равен многочлен .
Это тождество называют формулой разности кубов двух	выражений	.
Разность кубов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
Сравните значения	выражений	, где n — натуральное число .
Пользуясь преобразованием	выражений	в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите значение данного выражения .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	и неполного квадрата их суммы .
Сформулируйте правило разложения на множители разности квадратов двух	выражений	.
Квадрат неполный разности двух	выражений	.
18 Сумма и разность кубов двух	выражений	.
Произведение разности и суммы двух	выражений	.
Какое тождество называют формулой квадрата суммы двух	выражений	? .
Какое тождество называют формулой квадрата разности двух	выражений	? .
Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух	выражений	.
Сумма кубов двух	выражений	.
Разность квадратов двух	выражений	.
Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух	выражений	.
Решение 1 ) По формуле квадрата разности двух	выражений	получаем .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух	выражений	, не используя правило умножения двух многочленов .
Разность кубов двух	выражений	.
Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух	выражений	.
« Сумма и разность кубов двух	выражений	» .
Заметим , что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух	выражений	.
При одних и тех же натуральных значениях n значения	выражений	являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Заметим , что формулу квадрата разности двух	выражений	можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго	выражений	плюс квадрат второго выражения .
« Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух	выражений	» .
« Квадрат суммы и квадрат разности двух	выражений	» .
Квадрат разности двух	выражений	равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух	выражений	.
Мы получили формулу квадрата разности двух	выражений	.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго	выражений	плюс квадрат второго выражения .
Разложите на множители многочлен , предварительно представив его в виде разности квадратов двух	выражений	.
Квадрат суммы двух	выражений	равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Какие из данных	выражений	являются целыми .
Это тождество называют формулой квадрата суммы двух	выражений	.
Какое из данных	выражений	принимает только отрицательные значения ? .
« Разность квадратов двух	выражений	» .
Представьте в виде суммы квадратов двух	выражений	многочлен .
Сформулируйте правило возведения разности двух	выражений	в квадрат .
Какому из данных	выражений	тождественно равно выражение .
Рассмотрим две пары	выражений	: приведены значения этих выражений при некоторых значениях переменной х .
Сравните значения	выражений	а2 и ǀаǀ при а равно – 1 ; 0 ; 1 .
Чему равно произведение разности двух	выражений	и их суммы ?
Рассмотрим две пары выражений : приведены значения этих	выражений	при некоторых значениях переменной х .
Запишите формулу произведения разности и суммы двух	выражений	.
Среди	выражений	найдите выражение , тождественно равное выражению .
Сравните значения	выражений	, не вычисляя их .
Мы видим , что эти значения совпадают для каждой отдельно взятой пары	выражений	.
Для	выражений	, записанных в первой таблице , ответ на этот вопрос отрицательный : если , например , .
А вот значения	выражений	, записанных во второй таблице , совпадают при любых значениях х.
Вот ещё примеры пар тождественно равных	выражений	.
15 Разность квадратов двух	выражений	.
Из пары тождественно равных	выражений	легко получить тождество .
Это тождество называют формулой разности квадратов двух	выражений	.
Приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок — примеры тождественных преобразований	выражений	.
Рассмотрим две группы алгебраических	выражений	.
Произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Разность квадратов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений и их суммы .
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	и их суммы .
Решение . 3 ) Применив дважды формулу произведения суммы и разности двух	выражений	, получим .
Какое из данных	выражений	является записью разности произведения чисел а и b и числа с ? .
Среди данных алгебраических	выражений	укажите целое .
Какие тождественные преобразования	выражений	вы знаете ?
Какое из	выражений	принимает только отрицательные значения при любом значении х .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
Найдите все натуральные значения n , при которых значение каждого из	выражений	является простым числом .
Теперь при умножении разности	выражений	на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
14 Произведение разности и суммы двух	выражений	.
Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих	выражений	.
Из следующих четырёх	выражений	только три можно разложить на множители .
В этой главе вы научитесь упрощать выражения , познакомитесь с формулами и приёмами , помогающими облегчить работу по преобразованию	выражений	.
Рассмотрим частный случай , когда в произведении двух многочленов один из них представляет собой разность двух	выражений	, а другой — их сумму .
Среди выражений найдите выражение , тождественно равное	выражению	.
Найдите значение	выражения	при .
Запись значения	выражения	состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись значения выражения — из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
Алгебраические	выражения	.
Числовые	выражения	.
Найдите при этом значении a значение	выражения	.
Являются ли тождественно равными	выражения	.
Какие	выражения	называют тождественно равными ? .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной х .
Вычислите значение полученного	выражения	при а равно 4 , b равно 12 , s равно 12 .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 3 .
Докажите , что при любом значении переменной значение	выражения	равно – 11 .
Запишите в виде	выражения	куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
При некотором значении х значение	выражения	равно 10 .
Следовательно , значение	выражения	является отрицательным числом при любом значении a .
Значение	выражения	9k2 кратно 3 , то есть остаток при делении n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной .
Запишите в виде	выражения	: число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Докажите , что значение	выражения	кратно 8 при любом натуральном значении n .
Известно , что при некотором значении a значение	выражения	равно – 4 .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором значение	выражения	делится нацело на 8 .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что при любом значении переменной а значение	выражения	является отрицательным числом .
При этом говорят , что — значение переменной х , а число 4 — значение	выражения	2х плюс 3 при х .
Найдите эти	выражения	и разложите их на множители .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	при делении на 7 даёт остаток , равный 4 .
Известно , что при некотором значении y значение	выражения	равно 6 .
Какие свойства действий дают возможность утверждать , что данные	выражения	являются тождественно равными .
Докажите , что значение	выражения	кратно 3 при любом натуральном значении m .
Запись значения выражения состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись значения	выражения	— из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
Найдите при тех же самых значениях m , n и k значение	выражения	.
Чему равен остаток при делении на 9 значения	выражения	, где n — произвольное натуральное число ?
Что называют тождественным преобразованием	выражения	? .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 12 .
Числовые	выражения	и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями .
Какие	выражения	называют одночленами ? .
Найдите при этом значении y значение	выражения	.
Следовательно , сумма цифр числа , являющегося значением данного	выражения	, равна 3 .
Числовые выражения и	выражения	с переменными называют алгебраическими выражениями .
Запишите в виде	выражения	: утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Найдите три последние цифры значения	выражения	Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
Докажите , что при любом значении переменной значение	выражения	равно 16 .
Так как по условию значение	выражения	6х на 22 больше значения выражения , то получаем уравнение .
Докажите , что не являются тождественно равными	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 42 .
При каком значении переменной : значение	выражения	равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Чему равно значение	выражения	? .
Значение переменной a таково , что значение	выражения	равно 2 .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного	выражения	.
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ;	выражения	принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что значение	выражения	делится нацело на 11 .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения	выражения	? .
Как иначе называют буквенные	выражения	? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение	выражения	0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Представление	выражения	в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 121 .
Найдите значение	выражения	, представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения	выражения	; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Найдите значение	выражения	, используя распределительное свойство умножения .
Какие алгебраические	выражения	называют целыми ? .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного	выражения	, затем — значение yпрощённого выражения .
Докажите , что при любом нечётном значении п значение	выражения	кратно 120 .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного выражения , затем — значение yпрощённого	выражения	.
Полученные	выражения	разложите на множители .
Найдите значение	выражения	.
При каком значении переменной	выражения	принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение	выражения	в 5 раз меньше значения выражения ? .
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	?
Какие	выражения	называют алгебраическими ? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения	выражения	? .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ; значение	выражения	на 2,4 меньше значения выражения ? .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Насколько упрощение	выражения	облегчило работу по вычислению его значения ? .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде	выражения	, противоположного квадрату двучлена , трёхчлен .
По условию задачи составьте	выражения	с переменными .
Отметим , что , например ,	выражения	не являются одночленами стандартного вида .
« Тождественно равные	выражения	.
Найдите значение	выражения	, разложив его предварительно на множители .
Заметим , что , например ,	выражения	одночленами не являются , так как они , кроме умножения и возведения в степень , содержат и другие действия .
Однако	выражения	первой группы не содержат деления на выражения с переменными .
Такие	выражения	называют одночленами .
Докажите , что значение	выражения	кратно 5 .
Рассмотрим	выражения	.
Следовательно , при любом натуральном n значение данного	выражения	нацело делится на 7 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что значение	выражения	кратно числу .
Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше значения	выражения	, то получаем уравнение .
Докажите , что при всех натуральных значениях n значение	выражения	делится нацело на 6 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 , значение	выражения	делится нацело на 5 .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что значение	выражения	кратно 7 при всех натуральных значениях n.
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	( n — натуральное число ) ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 , значение	выражения	делится нацело на 10 .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите значение данного	выражения	.
Однако выражения первой группы не содержат деления на	выражения	с переменными .
Найдите при этих же значениях x и y значение	выражения	.
Можно ли утверждать , что значение	выражения	делится нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Запишите в виде	выражения	: 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
В 7 классе мы будем изучать целые	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 5 .
Делится ли значение	выражения	нацело на 60 ?
Делится ли значение	выражения	нацело на 200 ?
Используя термины « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте алгебраические	выражения	и укажите , какие из них являются целыми .
Докажите , что значение	выражения	является чётным числом .
Значение	выражения	.
Например , в 6 классе значение	выражения	находили так .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
При всех ли натуральных значениях n значение	выражения	кратно 8 ? .
Докажите , что при любом целом значении a значение	выражения	делится нацело на 3 .
Каким числом , чётным или нечётным , является значение	выражения	? .
Докажите , что при любых значениях х значение	выражения	является положительным числом .
При всех ли натуральных значениях n значение	выражения	кратно 12 ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n , отличном от 1 , значение	выражения	является составным числом .
Тождественно равные	выражения	.
Например , выражения — тождественно равные , а	выражения	тождественно равными не являются .
Докажите , что значение	выражения	: 1 ) делится нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение	выражения	; не зависит от значения переменной .
Найдём значение	выражения	.
Представим	выражения	в виде степеней с основанием 2 и вынесем за скобки общий множитель .
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых значение второго	выражения	в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Запишите в виде	выражения	: 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Докажите , что при любом значении х значение выражения больше соответствующего значения	выражения	.
Докажите , что при любом значении х значение	выражения	больше соответствующего значения выражения .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 8 .
Чему равно значение	выражения	0n при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 16 .
Например ,	выражения	— тождественно равные , а выражения тождественно равными не являются .
д. Из них составляют « слова » математического языка , например	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 10 независимо от значений а и b .
Число 11 называют значением буквенного	выражения	при .
Так , когда вы записывали формулы и составляли уравнения , вам приходилось обозначать числа буквами , конструируя буквенные	выражения	.
Глава 2 Целые	выражения	.
В этой главе вы научитесь упрощать	выражения	, познакомитесь с формулами и приёмами , помогающими облегчить работу по преобразованию выражений .
Поскольку , то число 4 называют значением	выражения	.
Вычислите значение числового	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: кратно 61 .
Вы научитесь классифицировать алгебраические	выражения	.
Найдите значение	выражения	, если .
Вычислите значение полученного	выражения	при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности , радиусы которых равны R и r , имеют общий центр .
Докажите , что значение	выражения	тождественно равно нулю .
Вычислите значение полученного	выражения	при R меньше 5,1 см , r — 4,9 см .
Найдите значение	выражения	если .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	: делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Есть ли среди них	выражения	, принимающие равные значения ?
Выражения с переменными ( буквенные	выражения	) .
Числовые и буквенные	выражения	.
Сравните с нулём значение	выражения	.
Тогда значение	выражения	делится нацело на 8 при любом натуральном n .
При каком значении переменной значение выражения на 15 больше значения	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
При каком значении переменной значение	выражения	на 15 больше значения выражения .
4 Тождественно равные	выражения	.
Вычислите значение	выражения	.
Докажите , что если . Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Найдите , пользуясь преобразованием	выражения	в квадрат двучлена , значение суммы Решение .
Следовательно , значение	выражения	делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Поэтому последней цифрой значения	выражения	является нуль .
Вычислите значение	выражения	, предварительно разложив его на множители .
Значения переменных m , n и р таковы , что Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде	выражения	: произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Докажите , что значение	выражения	не делится нацело на 15 .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной , входящей в него .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого	выражения	минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго	выражения	.
Например ,	выражения	не являются одночленами .
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором значение	выражения	делилось бы нацело на 5 .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п значение	выражения	делится нацело на 84 ?
Упражнения . Найдите значение числового	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором значение	выражения	не делилось бы нацело на 3 ?
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение	выражения	равно 2 , а значение выражения равно 3 .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 7 .
Может ли быть целым числом значение	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	, кратно .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение выражения равно 2 , а значение	выражения	равно 3 .
Поскольку , то последней цифрой значения	выражения	является единица .
Составьте	выражения	для вычисления длины синей линии и площади фигуры , которую она ограничивает .
Чему равно значение	выражения	.
Следовательно , значение данного	выражения	делится нацело на 121 .
На сколько значение	выражения	больше числа 2 ? .
Отсюда следует , что значение	выражения	делится нацело на 14
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого	выражения	плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Найдите значение	выражения	Докажите , что если .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 4 .
Число 14 называют значением числового	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 6 .
Следовательно , значение этого	выражения	делится нацело на 24 .
Так как , то есть	выражения	тождественно равны , то .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго	выражения	.
Замену одного	выражения	другим , тождественно равным ему , называют тождественным преобразованием выражения .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а число — и найти значение числового	выражения	.
При каком значении х равно нулю значение	выражения	? .
На сколько значение	выражения	меньше числа 10 ? .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 24 .
Замену одного выражения другим , тождественно равным ему , называют тождественным преобразованием	выражения	.
Какая последняя цифра значения	выражения	? .
Заполните таблицу , вычислив значение	выражениям	для данных значений х .
Их называют целыми	выражениями	.
Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими	выражениями	.
Например , записи а2 , abc , — являются буквенными	выражениями	.
Леонард Эйлер ввёл знаки ( не равно ) , ( сумма ) , скобки ( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе	высшей математики	.
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого	вычесть	числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы	вычесть	известное слагаемое .
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого	вычесть	разность .
Какой многочлен надо	вычесть	из двучлена , чтобы разность была равна .
Пусть теперь требуется из первого из данных многочленов	вычесть	второй .
За один шаг разрешается , выбрав два числа , к каждому из них прибавить 5 или из каждого	вычесть	1 .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля	вычесть	меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Какой многочлен надо	вычесть	из многочлена плюс с , чтобы их разность была тождественно равна многочлену ? .
Чтобы сложить (	вычесть	) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Из числа a	вычесть	число b — значит найти такое число , которое в сумме с числом b даёт число а .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей	вычесть	) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей	вычесть	) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Виленкин Н.Я. Сравнения и классы	вычетов	.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к разности прибавить	вычитаемое	.
Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед	вычитаемым	знак « минус » .
В равенстве число а называют уменьшаемым , b —	вычитаемым	, с — разностью .
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение ,	вычитание	, умножение , возведение в степень , деление .
9 Сложение и	вычитание	многочленов .
Сложение и	вычитание	дробей .
Вообще , при сложении и	вычитании	многочленов всегда получается многочлен .
При	вычитании	дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения ,	вычитания	, умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения (	вычитания	) дробей с равными знаменателями .
Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и	вычитания	.
Свойства	вычитания	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого	вычитают	показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Так как , то , прибавляя к данному многочлену ( удвоенное произведение одночленов х2 и 2у2 ) и	вычитая	из него такой же одночлен , получим .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения	вычтем	1 .
Поэтому , прибавив к данному трёхчлену число 16 и	вычтя	из него 16 , получим .
Также важно научиться пользоваться графическим редактором , с помощью которого можно работать с	геометрическими фигурами	и строить чертежи .
Графиком уравнения с двумя переменными называют	геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Графиком функции f называют	геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Её называют	гиперболой	.
Используя этот график , можно , выбрав произвольный момент времени t , найти соответствующую температуру воздуха Т ( в	градусах	Цельсия ) .
Построим	график	функции .
Постройте	график	изменения температуры воды в зависимости от изменения времени нагревания в течение первых 10 мин .
Постройте	график	изменения уровня воды в реке за указанный период .
Постройте	график	движения велосипедиста .
Изображён	график	некоторой функции .
Постройте	график	уравнения , если он проходит через точку .
Постройте по этим данным	график	изменения температуры .
Так как данный	график	пересекает O в точке ( 3 ; 0 ) , то , подставив её координаты , получим .
Постройте	график	зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда С — середина отрезка АВ .
Постройте	график	зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является квадратом .
Так , на экране монитора изображён	график	функции .
Пользуясь заполненной таблицей , постройте	график	зависимости расстояния до лагеря от времени движения .
Изображён	график	движения туриста .
Изображён график изменения расстояния от мотоциклиста до дома в зависимости от времени (	график	движения мотоциклиста ) .
Изображён	график	изменения расстояния от мотоциклиста до дома в зависимости от времени ( график движения мотоциклиста ) .
Изображён	график	изменения температуры воздуха в течение суток .
Изображён	график	изменения температуры раствора во время химического опыта .
Так как	график	искомого уравнения проходит через точки , имеющие разные абсциссы , то он является невертикальной прямой .
Постройте	график	данной функции .
Постройте	график	функции .
Постройте	график	функции : если .
Из того , что	график	проходит через начало координат , следует , что b меньше 0 .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	график	которого проходит через точки М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Так как	график	проходит через точку А ( 3 ; – 12 ) , то , откуда k меньше – 4 .
Постройте	график	этого уравнения .
Кривая спроса — это	график	, показывающий , как зависит спрос на товар от его цены .
Начертите	график	изменения у , придавая х значения от 0 до 10 .
Может ли	график	функции состоять из одной точки ? .
Графиком функции не обязательно является линия , изображён	график	функции , заданной таблицей .
Постройте	график	прямой пропорциональности .
Все точки координатной плоскости , которые можно отметить , действуя таким способом , образуют	график	функции .
Постройте	график	функции у меньше 2 – 4х .
При каких значениях a и b	график	уравнения проходит через точки ? .
При каких значениях m и n	график	уравнения проходит через точки ? .
Ту же роль играет для функции её	график	.
Так , изучая	график	, можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Следовательно , искомый	график	содержит все точки , у которых абсцисса равна 2 , а ордината — любое число .
25 Линейное уравнение с двумя переменными и его	график	.
Какие элементы оформления позволяют сделать	график	наглядным ? .
Знаете ли вы какие - то компьютерные программы , которые позволяют построить	график	произвольной функции ? .
Постройте	график	функции у меньше – 4х .
« Линейная функция , её	график	и свойства » .
Не выполняя построения графика функции , определите , через какие из данных точек проходит этот	график	.
С помощью средств этого редактора постройте	график	этой функции .
Задайте формулой функцию , являющуюся прямой пропорциональностью , если её	график	проходит через точку .
Следовательно ,	график	данной функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
« Линейное уравнение с двумя переменными и его	график	» .
Найдите значение b , при котором	график	функции проходит через точку .
Значит , в этом случае	график	уравнения — вся координатная плоскость .
При каком значении k	график	функции проходит через точку ? .
Следовательно ,	график	функции пересекает ось ординат в точке .
Начертите	график	этой зависимости .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	график	которого пересекает оси координат в точках .
Через какую из данных точек проходит	график	функции ? .
Изображён	график	функции .
Изображён	график	зависимости расстояния между учеником и его домом от времени движения .
Какое из следующих утверждений верно : 1 )	график	функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 )	график	функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Используя этот	график	, можно , выбрав произвольный момент времени t , найти соответствующую температуру воздуха Т ( в градусах Цельсия ) .
Изображён	график	зависимости температуры воздуха от времени суток .
Постройте	график	этой функции .
Проходит ли	график	уравнения через точку ? .
Постройте	график	функции , областью определения которой являются целые числа , удовлетворяющие неравенству .
При каком значении a	график	уравнения проходит через точку ? .
23 Линейная Функция , её	график	и свойства .
Поскольку формула , задающая линейную функцию , является уравнением с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён	график	уравнения .
В случае утвердительного ответа постройте её	график	.
При каком значении a через точку М ( 3 ; – 2 ) проходит	график	функции .
Докажите , что	график	уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало координат график уравнения ? .
Может ли	график	уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки ? .
Постройте	график	функции Решение .
Графиком каких уравнений является та же прямая , что и	график	уравнения ? .
При каком значении a	график	уравнения проходит через начало координат ? .
При каком значении b	график	уравнения проходит через точку ? .
Постройте	график	функции f .
Если изобразить все решения уравнения , то получим	график	уравнения .
Постройте	график	уравнения .
Докажите , что график уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало координат	график	уравнения ? .
Этот	график	можно рассматривать как математическую модель зависимости величины Т ( температуры ) от величины t ( времени ) .
Постройте	график	функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
При каком значении a через точку A ( 5 ; – 3 ) проходит	график	уравнения ? .
Проходит ли	график	уравнения через точки , имеющие положительную абсциссу ? .
Изображён	график	уравнения .
Постройте	график	функции , пользуясь составленной таблицей .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя переменными ,	график	которого проходит через точку .
Что представляет собой	график	уравнения .
Подчеркнём , что этот	график	задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной .
На каком из рисунков изображён	график	функции ? .
Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции ( это выражает схема ) , то её	график	— прямая .
В какой точке	график	функции пересекает ось ординат ?
При каком значении m	график	функции пересекает ось х в точке с абсциссой – 1 ? .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения	графика	данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения	графика	функции с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
Все точки	графика	функции имеют одинаковую ординату , равную – 6 .
Поэтому для построения	графика	прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Однако если отметить достаточно много точек , а затем соединить их плавной линией , то полученная кривая будет тем меньше отличаться от искомого	графика	, чем больше точек мы отметим .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого	графика	, у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку	графика	, отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения	графика	функции с осями координат .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите точку этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого	графика	, у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Поскольку описанный метод построения	графика	функции требует значительной технической работы , то существенную её часть может взять на себя компьютер .
Поэтому для построения	графика	достаточно определить координаты двух любых её точек .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения	графика	с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Построение	графика	уравнения такого вида рассмотрим в примере 2 .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат	графика	уравнения .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения	графика	данной функции с графиком функции .
Как и для построения	графика	любой линейной функции , нужно знать две принадлежащие ему точки .
Если — координаты произвольно выбранной точки	графика	, то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции f , то есть .
Каковы координаты точки пересечения	графика	уравнения с осью абсцисс ? .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат	графика	функции .
Рассмотрим пример построения	графика	функции , заданной описательно .
Найдите координаты точки	графика	функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Не выполняя построения	графика	функции , определите , через какие из данных точек проходит этот график .
Освойте инструменты текстового и / или табличного редактора для построения	графика	функции , заданной таблично .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения	графика	линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Очевидно , что описанный метод построения	графика	функции на практике реализовать невозможно .
Если	графиками	уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Каково взаимное расположение прямых , являющихся	графиками	двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом	графике	точку , соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является квадратом .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом	графике	точку , соответствующую случаю , когда С — середина отрезка АВ .
Действительно ,	графики	уравнений системы пересекаются в точке .
Каким процессам соответствуют	графики	? .
Задайте формулой какие - нибудь две линейные функции ,	графики	которых проходят через точку .
Изображены	графики	уравнений найдите все пары чисел , являющиеся решениями каждого из данных уравнений .
Например , изображены	графики	некоторых функций .
Придумайте три уравнения ,	графики	которых проходят через точку .
При каком значении b	графики	функций пересекаются в одной точке ? .
Изображены	графики	уравнений .
Составьте уравнения ,	графики	которых изображены .
Эти	графики	имеют три общие точки .
После изучения материала этого параграфа становится понятно , почему в технике , медицине , экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы , которые позволяют строить	графики	различных функциональных зависимостей .
Определите абсциссу точки пересечения	графиков	функций .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных	графиков	; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Один из	графиков	отображает процесс наполнения одного бака водой , а другой — вытекания воды из другого бака .
Сегодня существует много программ , предназначенных для построения	графиков	.
Какой из данных	графиков	иллюстрирует зависимость переменной у от переменной х , приведённую ниже : 1 ) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения	графиков	функций .
Эта точка принадлежит каждому из	графиков	.
Поэтому его	графиком	является единственная точка .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является	графиком	уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
В каждом из двух случаев :	графиком	уравнения является прямая .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Какая из прямых является	графиком	функции .
А в 9 классе вы сможете доказать , что	графиком	уравнения является окружность .
Геометрическая фигура , являющаяся	графиком	уравнения .
Задайте формулой линейную функцию ,	графиком	которой является изображённая : 1 ) прямая m 2 ) прямая n .
Задайте формулой линейную функцию ,	графиком	которой является изображённая : 1 ) прямая a ; 2 ) прямая b .
Пользуясь	графиком	зависимости температуры воздуха от времени в течение суток , определите : какой была температура воздуха в 4 ч ?
Пользуясь этим	графиком	, определите : 1 ) какой была температура воздуха в 2 ч ?
Пользуясь	графиком	, определите : 1 ) какое расстояние проехал мотоциклист за первый час движения ? .
Пользуясь	графиком	, найдите , в течение какого времени температура повышалась и в течение какого времени снижалась .
Запишите алгоритм , который по входным данным а , b и с определит , какая фигура является	графиком	уравнения .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется	графиком	функции f .
Пользуясь	графиком	, определите : а ) сколько литров топлива будет в баке через 3 мин , через 5 мин ; б ) через сколько минут в баке будет 40 л топлива .
6 Какая фигура является	графиком	уравнения .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют	графиком	уравнения с двумя переменными .
Запишите алгоритм , который по входным данным k и b определит , какая прямая является	графиком	функции : горизонтальная или не горизонтальная , проходящая через начало координат или нет .
Что называют	графиком	уравнения с двумя переменными ? .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Следовательно ,	графиком	данного уравнения является пара прямых .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Выясним , какая фигура является	графиком	линейного уравнения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является	графиком	функции f , то выполняются два условия .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с	графиком	функции .
Что является	графиком	функции ? .
Далеко не всякая фигура , изображённая на координатной плоскости , может служить	графиком	функции .
Эта прямая и является искомым	графиком	.
Например , окружность не может являться	графиком	функции .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	графиком	которого является прямая , проходящая через начало координат и точку .
Пользуясь	графиком	, найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
Фигура может являться	графиком	некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
Если	графиком	одного из уравнений системы является вся плоскость , то очевидно , что система имеет бесконечно много решений .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Пользуясь	графиком	функции у равно f(x ) , заполните таблицу .
Что является	графиком	линейной функции ? .
Сколько общих точек может иметь с	графиком	функции любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс ? .
Приведите пример фигуры , которая не может являться	графиком	функции .
Что является	графиком	прямой пропорциональности ? .
Значит ,	графиком	уравнения , является невертикальная прямая .
Пользуясь	графиком	, найдите значения аргумента , при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Всякая ли фигура может служить	графиком	функции ? .
Какие два условия должны выполняться , чтобы фигура была	графиком	функции р .
Что называют	графиком	функции ? .
Существует ли функция ,	графиком	которой является ось ординат ? .
Если , то это уравнение не имеет решений , а следовательно , на координатной плоскости не существует точек , которые могли бы служить	графиком	уравнения .
В каждом из двух случаев	графиком	уравнения является прямая .
Рассуждая аналогично , можно показать , что	графиком	уравнения , где , является вертикальная прямая .
Например , в 8 классе вы узнаете , что	графиком	рассмотренного в начале параграфа уравнения является фигура .
Заметим , что	графиком	функции у равно 0 является ось абсцисс .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	графиком	которого является прямая , проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Все эти точки лежат на одной прямой , которая и является	графиком	функции .
В курсе геометрии 9 класса вы докажете , что	графиком	линейной функции является прямая .
Действительно , вертикальная прямая не может служить	графиком	функции .
Какие из фигур могут быть	графиком	функции ? .
Эта прямая является	графиком	линейной функции .
Что является	графиком	уравнения ? .
Что является	графиком	уравнения ах плюс by меньше с , если b ф 0 или если .
Пользуясь	графиком	функции , укажите область значений функции .
А значит , указанная прямая и является искомым	графиком	.
Пользуясь	графиком	, найдите , при каких значениях aргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля .
Какая из прямых является	графиком	уравнения ? .
Может ли ломаная АВС быть	графиком	некоторой функции , если ? .
Если значение функции будет равно ординате данной точки , то точка принадлежит	графику	, в противном случае — не принадлежит .
Не выполняя построения , определите , принадлежит ли	графику	функции точка .
Следовательно , точка А принадлежит	графику	данной функции .
Значит , точка В не принадлежит	графику	функции .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей	графику	, — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих	графику	; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Составьте по	графику	таблицу изменения температуры раствора через каждые 10 мин в течение первых двух часов после начала опыта .
Принадлежат ли	графику	уравнения точки , имеющие отрицательную ординату ? .
Составьте по	графику	таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч .
Принадлежит ли	графику	уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — целые числа ? .
Принадлежит ли	графику	уравнения точка ? .
Принадлежит ли	графику	уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — положительные числа ? .
Точки принадлежат искомому	графику	.
Принадлежит ли	графику	функции точка .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих	графику	функции .
Чтобы установить , принадлежит ли точка	графику	функции , найдём значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит	графику	; .
Принадлежит ли	графику	функции , заданной формулой , точка .
I	группа	, II группа .
От пристани по течению реки отправилась на лодке	группа	туристов , рассчитывая вернуться через 4 ч .
I группа , II	группа	.
Решение 1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой	группе	имели общий множитель , получим .
Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме , которое может выполняться как индивидуально , так и	группой	учащихся .
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три	группы	так , чтобы произведения чисел каждой группы были равны ? .
Однако члены этого многочлена можно объединить в группы так , что слагаемые каждой	группы	будут иметь общий множитель .
Однако выражения первой	группы	не содержат деления на выражения с переменными .
Однако члены этого многочлена можно объединить в	группы	так , что слагаемые каждой группы будут иметь общий множитель .
Рассмотрим две	группы	алгебраических выражений .
Выражения каждой	группы	содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень , деление .
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения чисел каждой	группы	были равны ? .
Выражения второй	группы	целыми не являются .
Так как	данный	график пересекает O в точке ( 3 ; 0 ) , то , подставив её координаты , получим .
Мы представили	данный	многочлен в виде суммы двух слагаемых , которые могут принимать только неотрицательные значения .
Назовите одночлены , суммой которых является	данный	многочлен : Найдите значение многочлена .
Представив	данный	многочлен в виде разности кубов двух выражений , получим .
Представив	данный	многочлен в виде суммы кубов двух выражений , получим .
Их сумма , а следовательно , и	данный	многочлен будут принимать нулевое значение тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Представьте	данный	одночлен А в виде В , где В — некоторый одночлен , если .
Какой	двучлен	надо прибавить к данному двучлену , чтобы их сумма была тождественно равна нулю .
Умножим	двучлен	на трёхчлен .
На какое выражение надо умножить	двучлен	, чтобы произведение было равно двучлену .
Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
Представьте многочлен в виде разности	двучлена	и трёхчлена .
Какой многочлен надо вычесть из	двучлена	, чтобы разность была равна .
В таком виде эти формулы в ряде случаев позволяют « свернуть » трёхчлен в квадрат	двучлена	.
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат	двучлена	, значение суммы Решение .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде выражения , противоположного квадрату	двучлена	, трёхчлен .
Представьте , если это можно , в виде квадрата	двучлена	или в виде выражения , противоположного квадрату двучлена , трёхчлен .
Найдите значение выражения , представив его предварительно в виде квадрата	двучлена	.
Разложите на множители трёхчлен , выделив предварительно квадрат	двучлена	.
Трёхчлен , который можно представить в виде квадрата	двучлена	, называют полным квадратом .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат	двучлена	( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата	двучлена	из данного выражения .
Докажите , что значение суммы	двучленов	, где а и b — произвольные натуральные числа , делится нацело на 7 .
Какой из данных	двучленов	можно разложить на множители , применяя формулу разности квадратов ? .
Представьте многочлен в виде разности : 1 ) двух	двучленов	; 2 ) трёхчлена и двучлена .
Представьте многочлен в виде произведения квадратов двух	двучленов	.
Выполните умножение	двучленов	( n — натуральное число ) .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности	двучленов	, где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Многочлен , состоящий из двух членов , называют	двучленом	, а из трёх членов — трёхчленом .
Какой многочлен называют	двучленом	?
На какое выражение надо умножить двучлен , чтобы произведение было равно	двучлену	.
Какой двучлен надо прибавить к данному	двучлену	, чтобы их сумма была тождественно равна нулю .
Выполните	деление	.
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень ,	деление	.
В таком случае можно выполнить	деление	с остатком .
В таком случае можно выполнить	деление с остатком	.
Найдите три последние цифры значения выражения Остаток при	делении	на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
Чему равен остаток при	делении	квадрата нечётного натурального числа на 8 ? .
Очевидно , что и в этом случае остаток при	делении	на 3 равен 1 .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при	делении	натурального числа n на 11 равен 5 .
Чему равен остаток при	делении	на 11 квадрата этого числа ?
Выясните , какой остаток может давать квадрат натурального числа при	делении	на 4 .
Чему равен остаток при	делении	на 9 квадрата этого числа ? .
Докажите , что остаток при	делении	произведения чисел m и n на 11 равен 1 .
Рассмотрим правило , по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при	делении	его на 7 .
Остаток при	делении	некоторого натурального числа на 11 равен 6 .
При	делении	данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2 .
Остаток при	делении	на 3 числа n равен 2 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Из этой теоремы следует такое правило : при	делении	степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Докажите , что если остаток при	делении	натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при	делении	натурального числа n на 4 равен 2 .
Значение выражения 9k2 кратно 3 , то есть остаток при	делении	n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что если остаток при	делении	натурального числа на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Докажите , что если Остаток при	делении	числа a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5 числа b равен 3 .
Остаток при	делении	натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Остаток при	делении	на 3 числа n равен 1 .
Пусть неполное частное при	делении	m на 6 равно а , а при делении n на 4 равно b.
Чему равен остаток при	делении	на 9 значения выражения , где n — произвольное натуральное число ?
Пусть неполное частное при делении m на 6 равно а , а при	делении	n на 4 равно b.
Остаток при	делении	некоторого натурального числа на 9 равен 5 .
Имеем неполное частное при	делении	n2 на 3 , а остаток при этом равен 1 .
Каждому натуральному числу , которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при	делении	этого числа на 6 .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при	делении	натурального числа b на 9 равен 7 .
Докажите , что остаток при	делении	квадрата натурального числа на число 3 равен 0 или 1 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа b на 8 равен 7 .
Например , при	делении	числа 43 на 8 получим неполное частное 5 и остаток 3 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Докажите , что остаток при	делении	произведения чисел а и b на 8 равен 5 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения при	делении	на 7 даёт остаток , равный 4 .
Докажите , что если Остаток при делении числа a на 5 равен 4 , а остаток при	делении	на 5 числа b равен 3 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа y на 6 равен 2 .
Остаток при	делении	натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
Остаток при	делении	натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от	деления	числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Свойства	деления	.
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и	деления	, но и с помощью действия возведения в степень .
Выражение , не содержащее	деления	на выражение с переменными , называют целым выражением .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от	деления	суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от	деления	на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Однако выражения первой группы не содержат	деления	на выражения с переменными .
Остаток от	деления	на 7 одного натурального числа равен 4 , а другого числа равен 3 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором значение выражения не	делилось	бы нацело на 3 ?
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором значение выражения	делилось	бы нацело на 5 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число	делилось	нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37 , чтобы полученное число	делилось	нацело на 6 ? .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число	делилось	нацело на 2 и на 3 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число	делилось	нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
В буквенном виде это записывают так , где а —	делимое	, b — делитель , q — неполное частное , r — остаток .
Чтобы найти неизвестное	делимое	, надо делитель умножить на частное .
Чтобы найти неизвестный делитель , надо	делимое	разделить на частное .
Чтобы найти	делимое	, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток .
В равенстве число а называют	делимым	, b — делителем , с — частным .
Докажите , что квадрат натурального числа имеет нечётное количество	делителей	.
Натуральное число , имеющее более двух	делителей	, называют составным .
В равенстве число а называют делимым , b —	делителем	, с — частным .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b —	делителем	числа a .
Наименьшим	делителем	любого натурального числа a является число 1 , а наибольшим — само число а .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий	делитель	модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Чтобы найти неизвестное делимое , надо	делитель	умножить на частное .
Если сократить дробь на наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий	делитель	, то получим дробь , равную данной .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий	делитель	, отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Чтобы найти неизвестный	делитель	, надо делимое разделить на частное .
Если наибольший общий	делитель	двух натуральных чисел равен 1 , то их называют взаимно простыми .
В буквенном виде это записывают так , где а — делимое , b —	делитель	, q — неполное частное , r — остаток .
Чтобы найти делимое , надо	делитель	умножить на неполное частное и прибавить остаток .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное	делителю	.
Чтобы разделить два отрицательных числа , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
Остаток всегда меньше	делителя	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени	делителя	, а основание оставляют прежним .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два разных	делителя	: единицу и само это число .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	и перед полученным числом поставить знак « – » .
Докажите , что разность	делится	нацело на 18 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 4 и не	делится	нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ;	делится	нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 121 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения :	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 90 ;	делится	нацело на 35 .
Каждое слагаемое полученной суммы	делится	нацело на 4 , поэтому и сумма делится нацело на 4 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ;	делится	нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел	делится	нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Тогда значение выражения	делится	нацело на 8 при любом натуральном n .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ;	делится	нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 7 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое	делится	нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором значение выражения	делится	нацело на 8 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ;	делится	нацело на 7 .
Следовательно , при любом натуральном n значение данного выражения нацело	делится	на 7 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba	делится	нацело на 99 .
Докажите , что произведение чисел х и у	делится	нацело на 6 .
Докажите , что из них всегда можно выбрать два , разность которых	делится	нацело на 11 .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа	делится	нацело на 16 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 24 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Следовательно , значение этого выражения	делится	нацело на 24 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и суммы его цифр	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ;	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ;	делится	нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ;	делится	нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что разность двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	нацело на 9 .
Следовательно , значение данного выражения	делится	нацело на 121 .
Докажите , что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр	делится	нацело на 3 .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа ,	делится	нацело на 6 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 , значение выражения	делится	нацело на 10 .
Отсюда следует , что значение выражения	делится	нацело на 14
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел не	делится	нацело на 8 .
Докажите , что значение выражения не	делится	нацело на 15 .
Докажите , что значение выражения : 1 ) делится нацело на 14 ; 2 )	делится	нацело на 121 .
Очевидно , что число	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения : 1 )	делится	нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 16 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 8 .
Первое слагаемое 8n суммы	делится	нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не делится .
Докажите , что при всех натуральных значениях n значение выражения	делится	нацело на 6 .
Первое слагаемое 8n суммы делится нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не	делится	.
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел	делится	нацело на 8 .
Очевидно , что число	делится	нацело на 18 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число	делится	нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел	делится	нацело на 4 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ;	делится	нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел	делится	нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4 , поэтому и сумма	делится	нацело на 4 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не	делится	нацело на 3 ? .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что значение выражения	делится	нацело на 11 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са	делится	нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не кратно 3 ,	делится	нацело на 9 .
Следовательно , сумма не	делится	нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не	делится	нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел	делится	нацело на 4 .
Первые два слагаемых делятся нацело на 12 , а третье — не	делится	.
Поэтому и сумма не	делится	нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 10 .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа ,	делится	нацело на 7 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Если сумма цифр числа делится нацело на 9 , то и само число	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Если сумма цифр числа не	делится	нацело на 9 , то и само число не делится нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9 , то и само число не	делится	нацело на 9 .
Значит , само это число	делится	нацело на 3 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Если сумма цифр числа	делится	нацело на 3 , то и само число делится нацело на 3 .
Следовательно , значение выражения	делится	нацело на 10 при любом чётном значении n .
Если сумма цифр числа делится нацело на 3 , то и само число	делится	нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не	делится	нацело на 3 , то и само число не делится нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3 , то и само число не	делится	нацело на 3 .
Не всегда одно натуральное число	делится	нацело на другое .
При каких целых значениях b корень уравнения является целым числом , которое	делится	нацело на 3 ? .
При каких целых значениях a корень уравнения является целым числом , которое	делится	нацело на 2 ? .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п значение выражения	делится	нацело на 84 ?
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 16 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число ,	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 5 .
Если натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Если каждое из чисел а и b	делится	нацело на число k , то и сумма также делится нацело на число k .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k , то и сумма также	делится	нацело на число k .
Если число а	делится	нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если число а делится нацело на число k , а число b не	делится	нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 , значение выражения	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Если сумма цифр числа	делится	нацело на 9 , то и само число делится нацело на 9 .
Можно ли утверждать , что значение выражения	делится	нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не	делится	нацело на число k .
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то оно	делится	нацело на 10 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не	делится	нацело на 10 .
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то оно	делится	нацело на 2 .
Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой , то оно не	делится	нацело на 2 .
Докажите , что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел , каждое из которых не	делится	нацело на 3 , кратна 3 .
Если запись натурального числа оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
Докажите , что разность куба натурального числа и самого этого числа	делится	нацело на 6 .
Докажите , что число :	делится	нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ;	делится	нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 9 ;	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ;	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 3 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ;	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 10 независимо от значений а и b .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ;	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что при любом целом значении a значение выражения	делится	нацело на 3 .
На нуль	делить	нельзя ! .
Докажите , что в любом 60-значном числе , десятичная запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет	делиться	нацело на 1001 .
Первые два слагаемых	делятся	нацело на 12 , а третье — не делится .
С двух деревьев собрали 65,4 кг вишен , причём с одного	дерева	собрали на 12,6 кг меньше , чем со второго .
Сколько килограммов вишен собрали с каждого	дерева	? .
В саду	деревьев	больше , чем 90 , но меньше , чем 100 .
Сколько	деревьев	в саду ? .
С двух	деревьев	собрали 65,4 кг вишен , причём с одного дерева собрали на 12,6 кг меньше , чем со второго .
Треть всех деревьев — яблони , а четверть всех	деревьев	— сливы .
Треть всех	деревьев	— яблони , а четверть всех деревьев — сливы .
Сколько всего	деревьев	в парке , если их больше , чем 100 , но меньше , чем 200 ? .
Известно , что в парке —	деревьев	составляют каштаны , а берёзы .
Докажите , что в любом 60-значном числе ,	десятичная	запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001 .
Например , если надо умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде	десятков	больше цифры в разряде единиц .
В двузначном числе количество	десятков	в 3 раза больше количества единиц .
Запись является обозначением двузначного числа , содержащего а	десятков	и b единиц , то есть .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде	десятков	этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Аналогично запись abc является обозначением трёхзначного числа , содержащего а сотен , b	десятков	и с единиц , то есть .
Пусть данное число содержит а	десятков	и b единиц .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5	десятков	и с единиц .
В двузначном числе количество	десятков	на 2 меньше количества единиц .
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде	десятков	меньше цифры в разряде единиц .
Существует ли двузначное число , в котором цифра	десятков	на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х	десятков	и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
э . ) для вычисления целочисленных значений	длин	сторон прямоугольного треугольника .
Точка С принадлежит отрезку АВ ,	длина	которого равна 8 .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 )	длина	прямоугольника равна х м , ширина — у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Эта формула является математической моделью связи между такими величинами , как	длина	стороны квадрата и его периметр .
Какой путь они проехали в первый день , если	длина	всего маршрута составляет 270 км ? .
При этом меняются	длина	мелового следа , масса , объём и даже температура кусочка мела .
По окружности ,	длина	которой равна 100 м , движутся два тела .
Например , пусть	длина	маршрута автобуса равна 15 км .
Длина отрезка АС равна х ,	длина	отрезка ВС — у.
— стоимость проезда ) ; металлическую пружину растянули и отпустили ( х с — время , у см —	длина	пружины ) ; 3 ) цена клубники на рынке в течение мая — июня ( х дней — время , у р .
Ясно , что переменные величины « стоимость проезда » и «	длина	пути , который проезжает пассажир » связаны между собой .
Как зависит	длина	пройденного им пути s от времени движения t ?
Пусть а —	длина	ребра куба , V — его объём .
через каждые 10 км пути ( х км —	длина	пути , у р .
Канат	длиной	30 м разрезали на три части .
Если	длину	увеличить на 2 см , а ширину уменьшить на 4 см , то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см2 .
Найдите	длину	пути .
Если	длину	прямоугольника увеличить на 6 см , то его площадь увеличится на 72 см2 .
Действительно , если пассажир заплатил 30 р . , то нельзя однозначно установить	длину	пути , который он проехал .
Найдите	длину	каждой части каната .
Найдите исходные	длину	и ширину прямоугольника .
Если	длину	стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную	длину	стороны , найти соответствующее значение периметра квадрата .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см —	длины	соседних сторон прямоугольника .
В этом случае периметр прямоугольника будет равен 14 единицам	длины	.
Если	длины	сторон двух других квадратов обозначить х см и у см , то получим равенство .
Аршин — старинная мера	длины	, равная 71,12 см .
Ширина прямоугольника на 8 см меньше его	длины	.
Обозначим	длины	его сторон х см и у см. Тогда .
Составьте выражения для вычисления	длины	синей линии и площади фигуры , которую она ограничивает .
Приёмы	доказательства	тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается с помощью	доказательства	, называют теоремой .
Истинность его можно установить только путём	доказательства	.
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без	доказательства	) .
Какие приёмы используют для	доказательства	тождеств ? .
э . ) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически , восстановите его	доказательство	.
Вы можете рассмотреть	доказательство	этого факта на занятиях математического кружка .
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных	дробей	, а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
найти дополнительные множители для каждой из	дробей	, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей ;
При вычитании	дробей	с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Деление обыкновенных	дробей	.
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на знаменатели данных	дробей	;
Сложение и вычитание	дробей	.
Приведение	дробей	к наименьшему общему знаменателю .
Сокращение	дробей	.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных	дробей	;
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом умножения	дробей	.
Умножение обыкновенных	дробей	.
Умножив обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем	дробей	, содержащихся в этом уравнении , получаем .
Считают , что . Произведением двух	дробей	является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания )	дробей	с равными знаменателями .
Сведения из курса математики 5–6 классов Числа и действия над ними Основное свойство	дроби	.
Если числитель и знаменатель данной	дроби	разделить на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
Чтобы сложить две	дроби	с равными знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы найти число по значению его	дроби	, можно это значение разделить на эту дробь .
умножить числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением	дроби	.
Нахождение числа по его	дроби	.
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде	дроби	и разделить значение процентов на эту дробь .
— египетские	дроби	.
Аликвотные	дроби	.
Чтобы привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Нахождение	дроби	от числа .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде	дроби	и умножить число на эту дробь .
Если числитель и знаменатель данной	дроби	умножить на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Деление числителя и знаменателя	дроби	на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Чтобы сложить ( вычесть ) две	дроби	с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Данную функцию называют «	дробная	часть числа » , и для неё существует специальное обозначение : у меньше { х } .
Объединив целые числа с	дробными	, получим рациональные числа .
Считают , что . Произведением двух дробей является	дробь	, числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Чтобы найти	дробь	от числа , можно число умножить на эту дробь .
Если сократить	дробь	на наибольший общий делитель числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя , то получим несократимую	дробь	.
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю .
Чтобы найти число по значению его дроби , можно это значение разделить на эту	дробь	.
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту	дробь	.
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получим	дробь	, равную данной .
Чтобы найти дробь от числа , можно число умножить на эту	дробь	.
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель , то получим	дробь	, равную данной .
Например , если надо умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту	дробь	.
Известно , что а и b — натуральные числа , а число a / b — правильная	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у	единиц	; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде	единиц	.
Пусть данное число содержит а десятков и b	единиц	.
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с	единиц	.
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его	единиц	, а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде	единиц	.
Запись является обозначением двузначного числа , содержащего а десятков и b	единиц	, то есть .
Аналогично запись abc является обозначением трёхзначного числа , содержащего а сотен , b десятков и с	единиц	, то есть .
В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества	единиц	.
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с	единиц	; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры	единиц	, а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
В двузначном числе количество десятков в 3 раза больше количества	единиц	.
Поскольку , то последней цифрой значения выражения является	единица	.
В этом случае периметр прямоугольника будет равен 14	единицам	длины .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два разных делителя :	единицу	и само это число .
Например , если надо умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса	запятой	.
Вокруг	звезды	вращается несколько планет , расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными .
Подставьте вместо	звёздочек	такие одночлены , чтобы выполнялось тождество .
Поставьте вместо	звёздочек	такие одночлены , чтобы выполнялось тождество .
Какие одночлены надо подставить вместо	звёздочек	, чтобы выполнялось тождество .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы выполнялось тождество .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной а .
Какой одночлен следует подставить вместо	звёздочки	, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражение .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы образовалось тождество .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы выполнялось равенство .
Вместо	звёздочки	запишите такое выражение , чтобы выполнялось равенство , где n — натуральное число .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы образовалось тождество .
Замените	звёздочки	такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Самые сложные задания , требующие много времени , отмечены	звёздочкой	.
Замените	звёздочку	такой степенью , чтобы выполнялось равенство .
Замените	звёздочку	такой степенью с основанием а , чтобы выполнялось равенство .
Каким одночленом надо заменить	звёздочку	, чтобы выполнялось равенство .
В равенстве замените	звёздочку	таким выражением , чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
В равенстве замените	звёздочку	таким выражением , чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело корней ;
Каким выражением можно заменить	звёздочку	в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
Сколько это составляет тонн	зерна	?
Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей	зерна	ежегодно спасают благодаря кошкам ?
Каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков , а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного	зерна	.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел , надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать	знак	процента .
Если перед скобками стоит	знак	« – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Если перед скобками стоит	знак	« плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Если перед скобками стоит знак « плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот	знак	, а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Для этого возьмём их в скобки и поставим между ними	знак	« плюс » .
Если перед скобками стоит знак « – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот	знак	, а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Для равенства Диофант применял	знак	ισ — первые две буквы слова ισος — « исос » , то есть « равный » .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить	знак	« – » .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же самые корни , что и данное .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед вычитаемым	знак	« минус » .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить	знак	слагаемого с большим модулем .
сложить модули слагаемых ; 3 ) перед полученным числом поставить	знак	« – » .
Чтобы умножить два числа с разными знаками , надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить	знак	« — » .
Чтобы разделить два числа с разными	знаками	, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы умножить два числа с разными	знаками	, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Чтобы сложить два числа с разными	знаками	, надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Если перед скобками стоит знак « – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все	знаки	, стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные	знаки	.
Это цифры , буквы ,	знаки	математических действий и т .
Леонард Эйлер ввёл	знаки	( не равно ) , ( сумма ) , скобки ( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики .
Если перед скобками стоит знак « плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все	знаки	, стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые	знаки	; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Запись , составленную из чисел ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют числовым выражением .
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , является буквенным выражением .
Запись , состоящую из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
Запись , составленную из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
Выражение отношения между величинами , записанное с помощью математических	знаков	.
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению	знаменателей	.
Умножив обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим	знаменателем	дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на	знаменатели	данных дробей ;
Чтобы сложить две дроби с равными знаменателями , надо сложить их числители , а	знаменатель	оставить тот же .
Если числитель и	знаменатель	данной дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий	знаменатель	данных дробей ;
Если числитель и	знаменатель	данной дроби разделить на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а	знаменатель	оставить без изменения .
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий	знаменатель	на знаменатели данных дробей ;
Дробь , числитель и	знаменатель	которой — взаимно простые числа , называют несократимой .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а	знаменатель	— произведению знаменателей .
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а	знаменатель	оставить тот же самый .
умножить числитель и	знаменатель	каждой дроби на её дополнительный множитель .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	, надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Приведение дробей к наименьшему общему	знаменателю	.
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему	знаменателю	, а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	, то получим несократимую дробь .
Деление числителя и	знаменателя	дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
При всех ли натуральных значениях n	значение	выражения кратно 8 ? .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной , называют функцией .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а число — и найти	значение	числового выражения .
Отсюда следует , что	значение	выражения делится нацело на 14
Найдите при этих же значениях x и y	значение	выражения .
Сравните с нулём	значение	выражения .
Докажите , что при любом целом значении a	значение	выражения делится нацело на 3 .
Можно ли утверждать , что	значение	выражения делится нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Найдём	значение	выражения .
При всех ли натуральных значениях n	значение	выражения кратно 12 ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 6 .
При каком значении переменной	значение	выражения на 15 больше значения выражения .
Докажите , что	значение	выражения : 1 ) делится нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Найдите	значение	а .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	: 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите при этом значении a	значение	выражения .
Например , в 6 классе	значение	выражения находили так .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Найдите	значение	выражения , разложив его предварительно на множители .
Следовательно , при любом натуральном n	значение	данного выражения нацело делится на 7 .
При каком значении переменной данное выражение принимает наибольшее	значение	.
При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 10 независимо от значений а и b .
Докажите , что при всех натуральных значениях n	значение	выражения делится нацело на 6 .
Найдите	значение	k.
Представьте в виде степени выражение и вычислите его	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 ,	значение	выражения делится нацело на 5 .
При каком значении х равно нулю	значение	выражения ? .
Вычислите , используя вынесение общего множителя за скобки ,	значение	многочлена .
Докажите , что	значение	выражения : кратно 61 .
Докажите , что при любых значениях х	значение	выражения является положительным числом .
Функция задана описательно :	значение	функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное	значение	переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите	значение	выражения .
Упростите выражение и найдите его	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 ,	значение	выражения делится нацело на 10 .
Докажите , что при любом значении х	значение	выражения больше соответствующего значения выражения .
Упростите выражение и найдите его	значение	, если .
Докажите , что если . Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Вычислите	значение	произведения , используя формулу .
При каком значении aргумента	значение	функции равно – 2 ? .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что	значение	выражения ; не зависит от значения переменной .
Докажите , что	значение	выражения кратно 7 при всех натуральных значениях n.
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых	значение	второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	: 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что	значение	выражения тождественно равно нулю .
Подставим найденное	значение	переменной х в уравнение .
Следовательно ,	значение	данного выражения делится нацело на 121 .
На сколько	значение	выражения больше числа 2 ? .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
При всех положительных значениях аргумента	значение	функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Делится ли	значение	выражения нацело на 60 ?
Найдите при тех же самых значениях m , n и k	значение	выражения .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 7 .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге	значение	переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Подставив найденное	значение	х в первое уравнение данной системы , получим .
Подставим найденное	значение	y в первое уравнение исходной системы .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение выражения равно 2 , а	значение	выражения равно 3 .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k	значение	выражения равно 2 , а значение выражения равно 3 .
Подставим найденное	значение	переменной х в любое из уравнений системы , например в первое .
На сколько	значение	выражения меньше числа 10 ? .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
Значение переменной a таково , что	значение	выражения равно 2 .
Докажите , что	значение	выражения кратно числу .
Чему равно	значение	выражения ? .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором	значение	выражения делится нацело на 8 .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п	значение	выражения делится нацело на 84 ?
Найдите	значение	х .
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое	значение	переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Известно , что при некотором значении a	значение	выражения равно – 4 .
Найдите при этом значении y	значение	выражения .
Известно , что при некотором значении y	значение	выражения равно 6 .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее	значение	переменной х , можем найти бесконечно много решений данного уравнения .
Так как по условию	значение	выражения 6х на 22 больше значения выражения , то получаем уравнение .
Пользуясь графиком , найдите значения аргумента , при которых	значение	функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Найдите	значение	y .
При этом говорят , что — значение переменной х , а число 4 —	значение	выражения 2х плюс 3 при х .
При этом говорят , что —	значение	переменной х , а число 4 — значение выражения 2х плюс 3 при х .
Заполните таблицу , вычислив	значение	выражениям для данных значений х .
Упражнения . Найдите	значение	числового выражения .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 3 .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной .
Делится ли	значение	выражения нацело на 200 ?
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 12 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Чему равно	значение	выражения .
Следовательно ,	значение	выражения делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором	значение	выражения не делилось бы нацело на 3 ?
Существует ли такое натуральное	значение	n , при котором значение выражения не делилось бы нацело на 3 ?
Докажите , что при любом значении переменной	значение	выражения равно 16 .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Если переменные в уравнении обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая решение в виде пары , надо договориться ,	значение	какой переменной ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором	значение	выражения делилось бы нацело на 5 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Найдите	значение	выражения , если .
В скобках на первом месте пишут значение переменной х , а на втором —	значение	переменной у .
Вычислите	значение	полученного выражения при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности , радиусы которых равны R и r , имеют общий центр .
В скобках на первом месте пишут	значение	переменной х , а на втором — значение переменной у .
Вычислите	значение	полученного выражения при R меньше 5,1 см , r — 4,9 см .
Вычислите	значение	выражения , предварительно разложив его на множители .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите	значение	выражения если .
Найдите все натуральные значения n , при которых	значение	каждого из выражений является простым числом .
Докажите , что	значение	произведения ab кратно 6 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что	значение	выражения , кратно .
При каком значении a сумма принимает наименьшее	значение	, если .
Докажите , что	значение	выражения не делится нацело на 15 .
Вычислите	значение	выражения .
При каком значении a разность принимает наименьшее	значение	, если .
Докажите , что при любом значении переменной	значение	выражения равно – 11 .
Может ли быть целым числом	значение	выражения .
Чему равно	значение	выражения 0n при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 4 .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 8 .
Каким числом , чётным или нечётным , является	значение	выражения ? .
Тогда	значение	выражения делится нацело на 8 при любом натуральном n .
Каким числом , положительным или отрицательным , является	значение	степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Чему равно	значение	a ? .
Чему равно	значение	b ? .
Правило , с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 42 .
Вычислите	значение	числового выражения .
Докажите , что	значение	выражения кратно 5 .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
При каком значении переменной :	значение	выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно 12 .
Их сумма , а следовательно , и данный многочлен будут принимать нулевое	значение	тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Найдите значение функции , если	значение	аргумента равно .
Найдите	значение	функции , если значение аргумента равно .
1 ) Так как – 2 меньше – 1 , то	значение	функции вычисляется по формуле .
Вычислите с помощью калькулятора сначала	значение	исходного выражения , затем — значение yпрощённого выражения .
Найдите	значение	выражения , представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
Найдите	значение	х , при котором Функция задана формулой .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Найдите значение функции , если	значение	аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Следовательно ,	значение	этого выражения делится нацело на 24 .
Найдите	значение	функции , если значение аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите	значение	данного выражения .
Чтобы найти искомое	значение	аргумента , решим уравнение .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых	значение	функции равно нулю ; ;
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Какой цифрой оканчивается	значение	выражения ( n — натуральное число ) ? .
При каких значениях х и у	значение	многочлена равно нулю ? .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ;	значение	выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Так как	значение	квадрата равно нулю тогда и только тогда , когда его основание равно нулю , то получаем : Ответ : 1,5 .
Докажите , что при любом нечётном значении п	значение	выражения кратно 120 .
Какое наименьшее	значение	принимает выражение и при каком значении х ? .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной , входящей в него .
Функция считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти	значение	зависимой переменной .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее	значение	аргумента .
Функция f задана описательно :	значение	функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно 12 .
Укажите наименьшее натуральное	значение	n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и	значение	– 1 при нечётных значениях aргумента .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает	значение	1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Представьте выражение в виде степени и вычислите его	значение	( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ;	значение	выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Очевидно , что таким способом	значение	зависимой переменной находится однозначно .
Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее	значение	функции .
Отсюда наименьшее	значение	, равное 1 , данное выражение принимает при х меньше 2 .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое	значение	независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 24 .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения при делении на 7 даёт остаток , равный 4 .
Здесь по заданному значению переменной х не всегда однозначно находится	значение	переменной у .
Найдите	значение	х , при котором .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то	значение	функции равно нулю .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента	значение	функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Вычислите	значение	полученного выражения при а равно 4 , b равно 12 , s равно 12 .
Для каждого положительного аргумента	значение	функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее	значение	функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Докажите , что выражение принимает отрицательное	значение	при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Если х0 — некоторое	значение	аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Найдите	значение	выражения при .
При каких значениях х	значение	функции равно удвоенному значению аргумента ? .
При некотором значении х	значение	выражения равно 10 .
При этом значение аргумента является абсциссой точки , а соответствующее	значение	функции — её ординатой .
Какое	значение	принимает выражение при этом же значении х ? .
Чему равно	значение	а ? .
Докажите , что	значение	суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа , делится нацело на 7 .
При этом	значение	аргумента является абсциссой точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
При каком значении х	значение	функции равно значению аргумента ? .
2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно .
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х ? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых	значение	функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти	значение	данной функции при х равно 0 .
Какое наибольшее	значение	и при каком значении переменной принимает выражение .
Найдите	значение	y , если : функция задана формулой .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 5 .
Какое наименьшее	значение	и при каком значении переменной принимает выражение .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге	значение	переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Упростите выражение и найдите его	значение	при .
Если	значение	функции будет равно ординате данной точки , то точка принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Найдите	значение	y , если : функция задана формулой у.
Докажите , что	значение	выражения кратно 8 при любом натуральном значении n .
Найдите	значение	одночлена .
Найдите	значение	b , при котором график функции проходит через точку .
При каких значениях х и у равно нулю	значение	многочлена .
Какое наименьшее	значение	принимает это выражение и при каком значении у ? .
Докажите , что	значение	выражения кратно 3 при любом натуральном значении m .
Докажите , что выражение принимает положительное	значение	при любом значении у.
Существуют ли такие значения х и у , при которых равно нулю	значение	многочлена .
2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции , найдём	значение	функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена ,	значение	суммы Решение .
Значения переменных m , n и р таковы , что Найдите	значение	выражения .
Функция f задана описательно :	значение	функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной х .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Докажите , что	значение	выражения является чётным числом .
При каком значении переменной	значение	квадрата двучлена на 225 больше значения квадрата двучлена ? .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм , для которого входными данными будет значение независимой переменной , а выходными —	значение	зависимой переменной .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм , для которого входными данными будет	значение	независимой переменной , а выходными — значение зависимой переменной .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного выражения , затем —	значение	yпрощённого выражения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Найдите : 1 ) значение y , если ; 2 )	значение	х , при котором .
Вычислите	значение	y по формуле у , если . Найдите координаты точек А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти	значение	величины t.
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной .
Для функции f каждому значению аргумента х соответствует некоторое	значение	зависимой переменной у.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Подчеркнём , что этот график задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите	значение	многочлена при указанных значениях переменных .
Корнем уравнения называют	значение	переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
Приведите подобные члены и найдите	значение	многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Найдите	значение	многочлена .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Назовите одночлены , суммой которых является данный многочлен : Найдите	значение	многочлена .
Следовательно ,	значение	выражения является отрицательным числом при любом значении a .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину стороны , найти соответствующее	значение	периметра квадрата .
Выражение при любом значении a принимает неположительное	значение	.
Подчеркнём , что эта формула задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить	значение	процентов на эту дробь .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Докажите , что при любом значении переменной а	значение	выражения является отрицательным числом .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Найдите : 1 )	значение	y , если ; 2 ) значение х , при котором .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что	значение	разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Какое наименьшее	значение	может принимать выражение .
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что значению а аргумента соответствует	значение	b функции .
Например , f(7 ) — это	значение	функции при х равно 7 .
Является ли правило , с помощью которого по значению переменной t находят	значение	переменной V , функцией ?
Какое наибольшее	значение	и при каком значении переменной может принимать выражение ? .
Найдите	значение	каждого из следующих выражений при .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что	значение	выражения делится нацело на 11 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , отличном от 1 ,	значение	выражения является составным числом .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 121 .
Найдите	значение	выражения Докажите , что если .
Какое наименьшее	значение	и при каком значении переменной может принимать выражение ? .
В случае утвердительного ответа укажите	значение	коэффициента k.