Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Алгебра	— для вас новый школьный предмет .
	Алгебраические выражения	.
	Аликвотные дроби	.
	Аргумент	.
	Вес	настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать , чтобы найти кучку из фальшивых монет ? .
	Возведите	в квадрат одночлен .
	Возведите	в куб одночлен .
	Вынесите за скобки	общий множитель .
	Вынесите за скобки	общий множитель в выражении .
	Вынесите за скобки	общий множитель ( n — натуральное число ) .
	Выражение	алгебраическое .
	Выражение	являющееся произведением чисел , переменных и их степеней .
	Выражение	, не содержащее деления на выражение с переменными , называют целым выражением .
	Выражение	числовое .
	Выражение	, которое является суммой нескольких одночленов , называют многочленом .
	Выражение	, являющееся суммой нескольких одночленов .
	Выражение	целое .
	Выражение	называют степенью , число 4 — основанием степени , а число 3 — показателем степени .
	Выражение	с переменной .
	Выражение	при любом значении a принимает неположительное значение .
	Выражение	, представляющее собой произведение чисел , переменных и их степеней , называют одночленом .
	Выражение	отношения между величинами , записанное с помощью математических знаков .
	Выражение	с переменными .
	Выражения	каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень , деление .
	Выражения	, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных , называют тождественно равными .
	Выражения	.
	Выражения	с переменными ( буквенные выражения ) .
	Выражения	второй группы целыми не являются .
	Выражения	с переменными .
	Вычитание	.
	Вычитание	рациональных чисел .
	Вычитание	многочленов .
	Геометрическая фигура	, являющаяся графиком уравнения .
	Геометрическая фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
	Геометрическая фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
	Геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
— М. :	Глобус	, 2007 .
	График	функции пересекает оси координат в точках .
	График	линейной функции .
	График	какой функции изображён ? .
	График	уравнения проходит через точку .
	График	функции .
	График	функции параллелен оси абсцисс и проходит через точку .
	График	: Невертикальная прямая ; Вертикальная прямая ;
	График	функции — характерный тому пример .
	График	уравнения с двумя переменны ми .
	График	линейного уравнения с двумя переменными .
	График	линейной функции проходит через точки .
	График	данной функции пересекает ось ординат в точке ( 0 ; 4 ) .
	График	уравнения с двумя переменными .
	График	этой функции состоит из трёх частей : точки О ( 0 ; 0 ) и двух лучей , у каждого из которых « выколото » начало .
«	График	функции » .
22	График	функции .
	График	этого уравнения изображён .
	График	прямой пропорциональности .
	Графики	функций пересекаются в одной точке .
	Графики	функций пересекаются в точке с абсциссой 2 .
	Графики	прямых пропорциональностей , которые приводились выше в качестве примеров .
	Графики	уравнений очень разнообразны .
	Графики	функций пересекаются в точке , абсцисса которой равна – 3 .
	Графиком	каких уравнений является та же прямая , что и график уравнения ? .
	Графиком	уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
	Графиком	уравнения является вся координатная плоскость .
	Графиком	уравнения является кривая , которую называют эллипсом .
	Графиком	какой из данных функций является прямая , проходящая через начало координат ? .
	Графиком	функции не обязательно является линия , изображён график функции , заданной таблицей .
	Графиком	какой из данных функций является горизонтальная прямая ? .
	Графиком	этого уравнения является прямая .
	Графиком	некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках .
	Графиком	некоторой функции является ломаная МКЕ , где .
	Графиком	линейной функции является прямая .
	Графиком	функции у равно b , где b ≠ 0 , является прямая , параллельная оси абсцисс .
	Графиком	уравнения является кривая , которую называют кардиоидой .
	Графиком	какой функции является ось абсцисс ? .
	Графиком	функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
	Графиком	линейной функции является невертикальная прямая .
	Группа	из 46 туристов отправилась в поход на 10 лодках , часть из которых была четырёхместными , а остальные — шестиместными .
	Двучлен	.
	Деление	числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
	Деление	с остатком .
	Деление	.
	Деление	рациональных чисел .
Егоров А.	Деление	с остатком и сравнения по модулю .
	Деление	обыкновенных дробей .
	Деление с остатком	.
Егоров А.	Деление с остатком	и сравнения по модулю .
	Делится	ли значение выражения нацело на 200 ?
	Делится	ли значение выражения нацело на 60 ?
	Десятичная	запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3 , а другого пятизначного числа — только из цифр 3 и 4 .
Стоимость проезда ;	Длина	пути , который проезжает пассажир .
	Длина	прямоугольника в 3 раза больше его ширины .
	Длина	прямоугольника на 2 см больше его ширины .
	Длина	отрезка АС равна х , длина отрезка ВС — у.
	Доказательство	.
	Дробные	числа .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа , называют несократимой .
	Знак	степени .
	Значение	функции .
	Значение	функции f , которое соответствует значению х аргумента х , обозначают f(x0 ) .
	Значение	зависимой переменной ещё называют значением функции .
	Значение	выражения 9k2 кратно 3 , то есть остаток при делении n2 на 3 равен 0 .
	Значение	функции равно 0 при значениях aргумента , равных – 5 и 4 .
	Значение	выражения .
	Значение	с переменной .
	Значение	числового .
	Значение	аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше значения аргумента в предыдущем столбце .
	Значение	переменной a таково , что значение выражения равно 2 .
	Значения	переменных х1 и х2 таковы , что выполняются равенства .
	Значения	переменных а и b таковы , что .
	Значения	переменных х и у таковы , что выполняются равенства .
	Значения	зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
	Значения	переменных m и n таковы , что m – n равно 5 , k равно – 2 .
	Значения	переменных а , b и с таковы , что .
	Значения	переменных a и b таковы , что .
	Значения	а и b. Корни уравнения : любое число ; корней нет .
	Значения	переменных а , b и m таковы , что .
	Значения	а и b.
	Значения	а , b , с .
	Значения	переменных х и у таковы , что .
	Значения	переменных m , n и р таковы , что Найдите значение выражения .
Шень А.	Игры	и стратегии с точки зрения математики .
	Игры	и стратегии .
	Квадрат	суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
16	Квадрат	суммы и квадрат разности двух выражений .
	Квадрат	суммы двух выражений .
«	Квадрат	суммы и квадрат разности двух выражений » .
	Квадрат	числа .
	Квадрат	разности двух выражений .
	Квадрат	неполный разности двух выражений .
	Квадрат	разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
	Квадратом	какого из данных одночленов является выражение ? .
	Корень	уравнения .
	Корнем	уравнения называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
	Корни	уравнения ах равно b , х — любое число ; корней нет .
Значения а и b.	Корни	уравнения : любое число ; корней нет .
	Коэффициент	одночлена .
	Кривая	спроса — это график , показывающий , как зависит спрос на товар от его цены .
	Куб	числа .
	Линейная	функция .
	Линейная	функция задана формулой .
«	Линейная	функция , её график и свойства » .
23	Линейная	Функция , её график и свойства .
«	Линейное	уравнение с двумя переменными и его график » .
2	Линейное	уравнение с одной переменной .
	Линейное	уравнение с двумя переменными .
«	Линейное	уравнение с одной переменной » .
Глава 1	Линейное	уравнение с одной переменной .
25	Линейное	уравнение с двумя переменными и его график .
	Линейное	уравнение с одной переменной .
	Линейную	функцию , которую задают формулой где k ≠ 0 , называют прямой пропорциональностью .
	Линейные	функции .
	Линейным	уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа .
	Многочлен	называют неполным квадратом суммы .
	Многочлен	.
	Многочлен	стандартного вида .
	Многочлен	не удастся разложить на множители методом вынесения за скобки общего множителя , так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
	Многочлен	, состоящий из одночленов стандартного вида , среди которых нет подобных , называют многочленом стандартного вида .
	Многочлен	, состоящий из двух членов , называют двучленом , а из трёх членов — трёхчленом .
	Многочлен	, стоящий в правой части , называют неполным квадратом разности .
	Многочлены	являются примерами многочленов стандартного вида .
	Модулем	числа a называют расстояние от начала отсчёта до точки , изображающей это число на координатной прямой .
	Модули	противоположных чисел равны .
	Модуль	числа .
	Модуль	числа принимает только неотрицательные значения .
	Модуль	положительного числа равен этому числу , модуль отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
	Модуль	числа a обозначают так : читают : « модуль а » .
	Найдите	эти числа , если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему .
	Найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
	Найдите	стороны данного прямоугольника .
	Найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
	Найдите	значения функции соответствующие аргументам .
	Найдите	при этом значении a значение выражения .
	Найдите	: 1 ) значение y , если ; 2 ) значение х , при котором .
	Найдите	сумму и разность многочленов .
	Найдите	данные числа .
	Найдите	значения функции f , соответствующие аргументам : 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно 12 .
	Найдите	корень уравнения Какое из уравнений является линейным ? .
	Найдите	при этом значении y значение выражения .
	Найдите	все двузначные числа , равные произведению своих цифр , увеличенных на 1 .
	Найдите	число а .
	Найдите	эти числа , если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому .
	Найдите	процентное содержание соли в полученном растворе .
	Найдите	значение y , если : функция задана формулой .
	Найдите	значение y , если : функция задана формулой у.
	Найдите	все целые значения n , при которых корень уравнения является натуральным числом .
	Найдите	: 1 ) значения функции для значений аргумента , равных ;
	Найдите	числа a и b .
	Найдите	первоначальную цену одной банки краски и одной банки олифы .
	Найдите	первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров .
	Найдите	значение одночлена .
	Найдите	многочлен М , если .
	Найдите	корень уравнения .
	Найдите	координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
	Найдите	все целые значения m , при которых корень уравнения является целым числом .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение многочлена .
	Найдите	ординату точки их пересечения .
	Найдите	данное число .
	Найдите	такое наименьшее натуральное значение a , при котором выражение принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
	Найдите	: 1 ) область определения и область значений функции ; 2 ) g(7 ) ; g(3 ) ; g(l ) ; g(9 ) ; g(4 ) .
	Найдите	f(7 ) ; f(15 ) ; f(101 ) .
	Найдите	все возможные решения .
	Найдите	исходные длину и ширину прямоугольника .
	Найдите	её область определения и область значений .
	Найдите	три последовательных натуральных числа таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
	Найдите	такие значения х , при которых выражение можно представить в виде квадрата суммы .
	Найдите	сторону квадрата , если его площадь на 45 см2 больше площади данного прямоугольника .
	Найдите	расстояние s от лагеря , на котором будет находиться турист через t ч после начала движения .
	Найдите	и исправьте ошибки в равенствах .
	Найдите	объём каждого бака .
Известно , что .	Найдите	зависимость между а , b и с .
	Найдите	скорости автобусов и велосипедиста , если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км .
	Найдите	эти числа , если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел .
	Найдите	скорости автобуса и маршрутного такси .
	Найдите	значение функции , если значение аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Значения переменных m , n и р таковы , что	Найдите	значение выражения .
	Найдите	f(3,7 ) ; f(0,64 ) ; f(2 ) ; f(–0,35 ) ; f(–2,8 ) .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Назовите одночлены , суммой которых является данный многочлен :	Найдите	значение многочлена .
	Найдите	какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта B на 4 км меньше , чем другому до пункта А.	Найдите	скорость каждого туриста .
	Найдите	скорость велосипедиста .
	Найдите	в данных примерах ошибки .
	Найдите	значение х , при котором Функция задана формулой .
	Найдите	значение функции , если значение аргумента равно .
	Найдите	массу перевезённого груза .
Вычислите значение y по формуле у , если .	Найдите	координаты точек А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
	Найдите	скорость каждого поезда и расстояние между станциями .
	Найдите	значение а .
	Найдите	длину каждой части каната .
	Найдите	общий путь , пройденный Петей , если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы , а время , потраченное на весь путь , составляет 4 ч .
	Найдите	значение выражения , если .
	Найдите	значение выражения , используя распределительное свойство умножения .
	Найдите	исходную ширину прямоугольника .
	Найдите	, пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена , значение суммы Решение .
	Найдите	скорости автобуса и теплохода , если скорость теплохода на 30 км / ч меньше скорости автобуса .
	Найдите	значение выражения , представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
	Найдите	значение х , при котором .
	Найдите	при тех же самых значениях m , n и k значение выражения .
	Найдите	расстояние между городами , если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового .
	Найдите	такие задачи .
	Найдите	координаты её точек пересечения с осями координат .
	Найдите	стороны прямоугольника , имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников , периметр каждого из которых равен 20 см .
	Найдите	все возможные ответы .
	Найдите	длину пути .
	Найдите	площадь каждого участка , если с первого участка собрали на 2200 т больше , чем со второго .
	Найдите	периметр данного прямоугольника .
	Найдите	значение выражения при .
Масса другого слитка составляла 75 г.	Найдите	процентное содержание меди во втором слитке , если полученный сплав содержал 50 % меди .
	Найдите	эти числа , если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего .
	Найдите	скорость теплохода в стоячей воде , если скорость течения равна 2,5 км / ч .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	скорость течения , если против течения турист проплыл на 23 км больше , чем по течению .
	Найдите	ординату этой точки .
	Найдите	собственную скорость лодки , если скорость течения составляет 2,5 км / ч .
	Найдите	удвоенное произведение одночленов .
	Найдите	решение уравнения , состоящее из двух противоположных чисел .
	Найдите	стороны прямоугольника , если его периметр равен 144 см .
	Найдите	значения а и b .
	Найдите	координаты точки графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
	Найдите	решение уравнения , состоящее из двух равных чисел .
	Найдите	координаты точек пересечения прямой с осями координат .
	Найдите	сторону квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится квадрат , площадь которого на 95 см2 больше площади данного .
	Найдите	скорость каждого из них .
	Найдите	сторону данного квадрата .
	Найдите	три последовательных натуральных числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
	Найдите	стороны прямоугольника .
	Найдите	какие - нибудь три решения уравнения .
	Найдите	средства для этого в графическом редакторе , которым вы будете пользоваться .
	Найдите	значение х .
	Найдите	значение y .
	Найдите	массу меди в этом сплаве .
	Найдите	четыре последовательных нечётных натуральных числа , сумма квадратов которых равна 164 .
	Найдите	решение системы уравнений .
	Найдите	.
	Найдите	, сколько гектаров земли обрабатывал ежедневно один гусеничный трактор и сколько — один колёсный .
	Найдите	разность многочленов .
	Найдите	значение выражения Докажите , что если .
	Найдите	сумму многочленов .
	Найдите	значение каждого из следующих выражений при .
	Найдите	при этих же значениях x и y значение выражения .
	Найдите	три последние цифры значения выражения Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
	Найдите	скорость каждого из них , если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше , чем автомобиль за 1 ч .
	Найдите	значения k и b .
	Найдите	значение выражения , разложив его предварительно на множители .
	Найдите	скорость каждого поезда .
	Найдите	значения k и h .
	Найдите	все натуральные значения n , при которых значение каждого из выражений является простым числом .
	Найдите	значение k.
	Найдите	ещё три таких одночлена .
	Найдите	скорость каждого из них , если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше , чем велосипедист проезжает за полчаса .
	Найдите	скорость каждого автомобиля , если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше , чем второй за 3 ч .
	Найдите	два числа , если их разность равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
	Найдите	дневную норму сена для лошади и для коровы .
	Найдите	первоначальную цену стола и первоначальную цену стула .
	Найдите	площадь каждого поля .
	Найдите	все пары ( х ; у ) целых чисел , являющиеся решениями уравнения .
	Найдите	все пары ( х ; у ) натуральных чисел , являющиеся решениями уравнения .
Упражнения .	Найдите	значение числового выражения .
	Найдите	значение b , при котором график функции проходит через точку .
	Найдите	два числа , если их сумма равна 63 , а разность равна 19 .
	Найдите	все целые числа x и y , при которых выполняется равенство .
	Найдите	данное двузначное число .
	Найдите	эти выражения и разложите их на множители .
	Найдите	скорость катера в стоячей воде и скорость течения , если за 9 ч движения по озеру он проходит столько , сколько за 10 ч движения против течения реки .
	Найдите	значение выражения если .
	Найдите	скорость каждого автомобиля , если скорость одного из них на 10 км / ч больше скорости другого .
	Найдите	четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
	Найдите	скорость каждого из них , если за 2 ч мотоциклист проезжает на 40 км больше , чем велосипедист за 5 ч .
	Найдите	, не выполняя построения , координаты точки пересечения прямых .
	Найдите	собственную скорость лодки и скорость течения , если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше , чем за 4 ч против течения реки .
	Натуральное	число , имеющее более двух делителей , называют составным .
	Натуральное	число называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это число .
	Натуральное число	, имеющее более двух делителей , называют составным .
	Натуральное число	называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это число .
	Натуральные	числа называют целыми положительными числами .
	Натуральные	числа .
	Натуральные	числа x и y таковы .
	Натуральные числа	x и y таковы .
	Натуральные числа	называют целыми положительными числами .
	Натуральные числа	.
	Одночлен	.
	Одночлен	является их произведением .
	Одночлен	стандартного вида .
	Одночлен	, содержащий только один числовой множитель , отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные множители — это степени с различными основаниями .
	Одночлены	содержат такие общие множители .
	Описанный	здесь способ решения системы называют методом : подстановки .
	Основание	степени .
Докажите , что если	Остаток	при делении числа a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5 числа b равен 3 .
Найдите три последние цифры значения выражения	Остаток	при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
	Остаток	при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
	Остаток	от деления на 7 одного натурального числа равен 4 , а другого числа равен 3 .
	Остаток	при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
	Остаток	при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
	Остаток	при делении на 3 числа n равен 1 .
	Остаток	при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
	Остаток	при делении на 3 числа n равен 2 .
	Остаток	при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6 .
	Остаток	всегда меньше делителя .
	Остаток	при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5 .
	Отношение	не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
	Отношение	положительных чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть число а составляет от числа b .
	Отношения	.
	Отношения	и пропорции .
	Отрицательные	значения переменных a и b таковы , что ab равно 16 .
	Переменная	.
	Переменная	зависимая .
	Переменная	независимая .
	Периметр	прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см , а другую увеличить на 3 см , то его площадь уменьшится на 21 см2 .
	Периметр	прямоугольника равен 7,8 см , а одна из его сторон на 1,3 см больше другой .
	Периметр	прямоугольника ABCD равен .
	Периметр	прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см , а две другие уменьшить на 2 см , то его площадь увеличится на 24 см2 .
	Плоскость	, на которой задана прямоугольная система координат , называют координатной плоскостью .
	Площадь	второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а площадь третьего поля составляет 72 % площади первого .
	Площадь	острова Сахалин — самого большого острова России — составляет км2 .
	Площадь	квадрата со стороной 10 см равна сумме площадей двух других квадратов .
	Площадь	квадрата со стороной 10 см равна 100 см2 .
	Площадь	материков и островов Земли составляет км2 , а площадь океанов — км2 .
	Подобные	члены .
	Показатель	степени .
	Положительные	значения переменных a и b таковы , что ab равно 15 .
	Приведено	количество депутатских мест , полученных партией Знайки в течение 8 последних выборов .
	Приведены	данные об уровне воды в реке по отношению к ординару ( среднему уровню воды ) с 1 по 15 мая .
	Приведены	измерения температуры воздуха в течение суток через каждый час .
	Приведите	подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если .	Приведите	подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
	Приведите	подобные члены многочлена .
	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	одночлен к стандартному виду , укажите его коэффициент и степень .
	Приведите	пример уравнения с переменными х и у : 1 ) имеющего одно решение ; 2 ) не имеющего решений ;
	Приведите	пример фигуры , которая не может являться графиком функции .
	Приведём	ещё примеры линейных уравнений .
	Приведём	ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
	Произведение	равных множителей .
	Произведение	степеней .
14	Произведение	разности и суммы двух выражений .
	Произведение	разности и суммы двух выражений .
	Произведение	разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
	Произведение	крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Считают , что .	Произведением	двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
	Произведением	числа a на натуральное число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
	Пропорции	.
На координатной плоскости обозначим точку М.	Прямая	, проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	пропорциональная зависимость .
	Прямоугольная	система координат .
	Прямые	пропорциональности .
	Путь	, пройденный вторым автомобилем до встречи , равен 3у км .
	Путь	, пройденный теплоходом по течению , на 48 км больше пути против течения .
	Равенства	вида называют формулами .
	Равенство	, где s — пройденный путь , v — скорость движения , a t — время , за которое пройден путь s , называют формулой пути .
	Равенство	верно , если верно равенство .
	Равенство	означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Равенство	, верное при любых значениях входящих в него переменных , называют тождеством .
	Равенство	, правильное при любых значениях переменных .
	Разделить	число а на число b — значит найти такое число , произведение которого с числом b равно а .
	Разложение	на множители суммы кубов .
	Разложение	на множители разности кубов .
13	Разложение	многочленов на множители .
«	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители разности квадратов .
	Разложение	на множители многочлена .
	Разложение	многочлена на множители методом .
12	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	многочлена на множители является ключом к решению многих задач .
	Разложив	левую часть уравнения на множители и применив условие , согласно которому произведение равно нулю , получаем .
	Разложите	на множители .
	Разложите	полученный многочлен на множители по этим формулам .
	Разложите	на множители трёхчлен , выделив предварительно квадрат двучлена .
	Разложите	выражение на множители двумя способами .
	Разложите	на множители многочлен , предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений .
	Разложите	на множители , используя формулу разности квадратов .
	Разложите	на множители трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых .
	Разложите	на множители трёхчлен .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители многочлен представьте выражение в виде произведения многочленов .
	Разложите	на множители выражение ( n — натуральное число ) .
	Разложите	на множители выражение .
	Разложите	на множители ( n — натуральное число ) .
	Разложите	выражение на множители .
	Разложите	придуманный многочлен на множители по этим формулам .
Пример 1	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители , где n — натуральное число .
	Разложите	на множители , пользуясь формулой разности квадратов .
	Разность	квадратов .
	Разность	их ты найди , затем трижды её сложи , на кумай этих пчёл посади .
«	Разность	квадратов двух выражений » .
	Разность	кубов .
	Разность	многочленов .
	Разность	показывает , на сколько число а больше числа b или на сколько число b меньше числа a .
Докажите тождество :	Разность	квадратов двух двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , равна 693 .
	Разность	кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
	Разность	кубов двух выражений .
	Разность	цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц .
15	Разность	квадратов двух выражений .
	Разность	квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы .
	Разность	квадратов двух выражений .
	Рациональные	числа .
	Рациональные числа	.
«	Решение	задач с помощью уравнений » .
	Решение	линейного уравнения с одной переменной .
	Решение	системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Представьте в виде произведения выражение	Решение	.
	Решение	системы уравнений .
	Решение	системы уравнений с двумя переменными .
	Решение	уравнения .
Пример 1 Докажите тождество :	Решение	.
	Решение	уравнения с двумя переменными .
3	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	системы с двумя переменными .
«	Решение	задач с помощью систем линейных уравнений » .
Решите уравнение	Решение	.
	Решение	1 ) По формуле квадрата разности двух выражений получаем .
27	Решение	систем линейных уравнений методом подстановки .
	Решение	. 3 ) Применив дважды формулу произведения суммы и разности двух выражений , получим .
	Решение	1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель , получим .
29	Решение	задач с помощью систем линейных уравнений .
	Решение	.
28	Решение	систем линейных уравнений методом сложения .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена , значение суммы	Решение	.
Постройте график функции	Решение	.
	Решение	системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
	Решением	этой системы является пара .
	Решением	этой системы является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только натуральным числом .
	Решением	каких из уравнений является пара чисел ? .
	Решением	системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
	Решением	каких систем является пара чисел ( – 5 ; 2 ) ? .
	Система	— это математическая модель задачи о поиске координат общих точек двух прямых .
	Систему	уравнений записывают с помощью фигурной скобки .
Яглом И.	Системы	счисления .
26	Системы	уравнений с двумя переменными .
«	Системы	уравнений с двумя переменными .
	Системы	счисления .
	Системы	линейных уравнений с двумя переменными .
	Сложение	.
	Сложение	рациональных чисел .
	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	многочленов .
9	Сложение	и вычитание многочленов .
	Степени	с показателями 2 и 3 можно прочитать иначе : запись а2 читают « а в квадрате » , запись — « а в кубе » .
	Степень	.
	Степень	с основанием а и показателем n обозначают аn и читают : « а в n - й степени » .
	Степень	многочлена .
	Степень	одночлена , который является числом , отличным от нуля , считают равной нулю .
«	Степень	с натуральным показателем » .
	Степень	числа .
	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	одночлена .
	Степенью	числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
	Степенью	числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
	Сторона	квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц .
	Сумма	денег на счёте .
	Сумма	кубов двух выражений .
18	Сумма	и разность кубов двух выражений .
«	Сумма	и разность кубов двух выражений » .
	Сумма	двух чисел равна 28 , а разность их квадратов составляет 112 .
	Сумма	100 разных натуральных чисел равна 5051 .
	Сумма	кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 15 .
	Сумма	двух противоположных чисел равна нулю .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 11 .
	Сумму	какого одночлена и трёхчлена можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена ?
	Теорема	.
	Теорема	6.2 .
	Тождества	» .
	Тождества	.
	Тождество	.
Упростим левую часть равенства :	Тождество	доказано .
	Тождество	выражает основное свойство степени .
Рассмотрим разность левой и правой частей :	Тождество	доказано .
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . (	Тождество	Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
	Точка	С принадлежит отрезку АВ , длина которого равна 8 .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В.	Точка	А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
	Точка	принадлежит оси ординат тогда , и только тогда , когда её абсцисса равна нулю .
	Точка	принадлежит оси абсцисс тогда , и только тогда , когда её ордината равна нулю .
	Точки	принадлежат искомому графику .
	Точки	А ( 2 ; 3 ) и В ( 5 ; а ) принадлежат прямой .
	Третье	уравнение корней не имеет .
	Третью	степень называют кубом числа , а запись а3 читают : « а в кубе » .
	Третья	степень числа .
	Трёхчлен	.
	Трёхчлен	, который можно представить в виде квадрата двучлена , называют полным квадратом .
	Умножение	многочленов .
	Умножение	одночлена на многочлен .
	Умножение	рациональных чисел .
	Умножение	обыкновенных дробей .
11	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножение	.
«	Умножение	многочлена на многочлен » .
10	Умножение	одночлена на многочлен .
	Умножив	обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
	Умножим	обе части первого уравнения на – 3 .
	Умножим	двучлен на трёхчлен .
	Уравнение	с двумя переменными не обязательно имеет бесконечно много решений .
	Уравнение	не обязательно имеет один корень .
	Уравнение	линейное с двумя переменными .
	Уравнение	линейное с одной переменной .
	Уравнение	с двумя переменными .
	Уравнение	вообще решений не имеет .
	Уравнение	вида , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
	Уравнение	вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
	Уравнение	не имеет решений .
	Уравнение	.
	Уравнение	вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа , называют линейным уравнением с двумя переменными .
24	Уравнения	с двумя переменными .
	Уравнения	, знакомые вам по предыдущему параграфу , являются линейными .
	Уравнения	.
	Фигура	может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
	Функции	заданы формулами .
	Функции	у равно 2х ; у равно х ; у равно – х ; примеры прямых пропорциональностей .
Глава 3	Функции	.
	Функциональная	зависимость переменной y от переменной х является прямой пропорциональностью .
	Функцию	, которую можно задать формулой вида где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют линейной .
	Функцию	, которую можно задать формулой вида , где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют линейной .
23 Линейная	Функция	, её график и свойства .
Найдите значение х , при котором	Функция	задана формулой .
	Функция	.
	Функция	f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
	Функция	задана формулой .
	Функция	считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной .
	Функция	задана формулой f(x ) .
	Функция	» .
	Функция	прямая пропорциональность .
	Функция	задана описательно : значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента .
	Функция	линейная .
	Функция	f задана таким образом , если , если х больше – 1 .
	Функция	f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
По горизонтали : 6 )	Функция	« прямая » .
	Функция	задана таблично .
	Целое	выражение .
	Целые	отрицательные .
	Целые	числа .
	Целые числа	.
	Числа	, которые складывают , называют слагаемыми , а результат сложения — суммой .
	Числа	– 1 ; – 2 ; – 3 называют целыми отрицательными числами .
	Числа	и таковы , что .
	Число	0 , а также многочлены , тождественно равные нулю ( например ) , называют нуль - многочленами .
	Число	14 называют значением числового выражения .
	Число	0 , а также одночлены , тождественно равные нулю , например , называют нуль - одночленами .
	Число	11 называют значением буквенного выражения при .
	Число	а при этом называют основанием степени .
Рассмотрим три уравнения :	Число	– 1,5 является единственным корнем первого уравнения .
	Число	, записанное теми же цифрами в обратном порядке , равно .
	Число	3 называют абсциссой точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
	Число	n кратно 3 .
	Член	многочлена .
	Ширина	прямоугольника на 8 см меньше его длины .
При каком значении a точка пересечения прямых принадлежит оси	абсцисс	? .
Фигура может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси	абсцисс	, имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
График функции параллелен оси	абсцисс	и проходит через точку .
Точка принадлежит оси	абсцисс	тогда , и только тогда , когда её ордината равна нулю .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью	абсцисс	надо решить уравнение .
Каковы координаты точки пересечения графика уравнения с осью	абсцисс	? .
Следовательно , график данной функции имеет с осью	абсцисс	две общие точки .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью	абсцисс	две общие точки .
Если точка лежит на оси	абсцисс	, то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
Горизонтальную ось называют осью	абсцисс	и обозначают буквой х , вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой у .
Ось	абсцисс	называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют прямоугольную систему координат .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси	абсцисс	, пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Графиком какой функции является ось	абсцисс	? .
Все точки , координаты которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное число , образуют ось	абсцисс	.
Графиком функции у равно b , где b ≠ 0 , является прямая , параллельная оси	абсцисс	.
Заметим , что графиком функции у равно 0 является ось	абсцисс	.
Эта прямая параллельна оси	абсцисс	.
Заметим , что эта прямая не может быть вертикальной , то есть прямой , перпендикулярной оси	абсцисс	.
Все эти точки принадлежат прямой , перпендикулярной оси	абсцисс	и проходящей через точку .
Сколько общих точек может иметь с графиком функции любая прямая , перпендикулярная оси	абсцисс	? .
Графики функций пересекаются в точке ,	абсцисса	которой равна – 3 .
Следовательно , искомый график содержит все точки , у которых	абсцисса	равна 2 , а ордината — любое число .
Найдите координаты точки графика функции	абсцисса	и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой	абсцисса	и ордината — противоположные числа .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её	абсцисса	.
Задаётся	абсцисса	некоторой точки С и сказано , что точка С лежит на этой же прямой .
Точка принадлежит оси ординат тогда , и только тогда , когда её	абсцисса	равна нулю .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 )	абсцисса	равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Число 3 называют	абсциссой	точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
Графики функций пересекаются в точке с	абсциссой	2 .
При этом значение аргумента является	абсциссой	точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
При каком значении m график функции пересекает ось х в точке с	абсциссой	– 1 ? .
Записывая координаты точки ,	абсциссу	всегда ставят на первое место , а ординату — на второе .
Проходит ли график уравнения через точки , имеющие положительную	абсциссу	? .
Определите	абсциссу	точки пересечения графиков функций .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше	абсциссы	.
Есть два печатных	автомата	.
Можно ли с помощью этих	автоматов	из карточки получить карточку ? .
Выгодский М.Я. Арифметика и	алгебра	в Древнем мире .
Мухаммед аль - Хорезми ( IX в . ) — узбекский математик , астроном и географ , в научных работах которого впервые	алгебра	рассматривалась как самостоятельный раздел математики .
Примечательно , что с одним из этих свойств связано происхождение слова «	алгебра	» .
Слово « аль - джабр » со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «	алгебра	» .
Какие	алгебраические выражения	называют целыми ? .
Вы научитесь классифицировать	алгебраические выражения	.
Используя термины « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте	алгебраические выражения	и укажите , какие из них являются целыми .
Числовые выражения и выражения с переменными называют	алгебраическими выражениями	.
Среди данных	алгебраических выражений	укажите целое .
Рассмотрим две группы	алгебраических выражений	.
Заметим , что	алгебраическое выражение	может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по	алгебре	и по геометрии .
Для этого в	алгебре	разработаны различные методы и приёмы .
Сколько было предложено задач отдельно по	алгебре	и по геометрии , если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача ?
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к	алгебре	.
За каждую правильно решённую задачу по	алгебре	насчитывалось 2 балла , а за задачу по геометрии — 3 балла .
Как строили мост между геометрией и	алгеброй	.
1 Введение в	алгебру	.
Со многими из них вы познакомитесь в курсе	алгебры	.
Поможет компьютер и при изучении	алгебры	.
Все эти умения вы будете совершенствовать и при изучении	алгебры	.
Упражнения . Прочитайте следующую запись , укажите	аргумент	функции и зависимую переменную : функция задана формулой .
Все значения , которые принимает	аргумент	, образуют область определения функции .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если	аргумент	равен нулю , то значение функции равно нулю .
В случае утвердительного ответа назовите	аргумент	соответствующей функции .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения	аргумента	, при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между значением	аргумента	и целой частью аргумента .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного	аргумента	значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Для каждого положительного	аргумента	значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Если х0 — некоторое значение	аргумента	, а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	, а ординаты — соответствующим значениям функции f .
При этом значение	аргумента	является абсциссой точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью	аргумента	.
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения	аргумента	.
При каких значениях х значение функции равно удвоенному значению	аргумента	? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
При каком значении х значение функции равно значению	аргумента	? .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений	аргумента	.
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям	аргумента	; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям	аргумента	; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений	аргумента	.
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	, а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно .
Найдите : 1 ) значения функции для значений	аргумента	, равных ;
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям	аргумента	функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Чтобы найти искомое значение	аргумента	, решим уравнение .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно 12 .
Таблица позволяет по указанному значению	аргумента	найти соответствующее значение функции .
Значение аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше значения	аргумента	в предыдущем столбце .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих значений	аргумента	; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения	аргумента	, при которых значение функции равно нулю ; ;
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения	аргумента	, при которых значения функции отрицательные .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения	аргумента	, при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение	аргумента	равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Ясно , что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений	аргумента	.
Отсюда для всех не равных нулю значений	аргумента	можно записать , что .
Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений	аргумента	.
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения	аргумента	и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений	аргумента	.
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение	аргумента	.
При всех положительных значениях	аргумента	значение функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Найдите значение функции , если значение	аргумента	равно .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Найдите значение функции , если значение	аргумента	равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Значение	аргумента	в каждом следующем столбце на 1 больше значения аргумента в предыдущем столбце .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения	аргумента	, при которых значения функции положительные ; .
Пользуясь графиком , найдите значения	аргумента	, при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
значения	аргумента	, при которых значения функции отрицательные .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения	аргумента	, при которых функция принимает положительные значения .
Для функции f каждому значению	аргумента	х соответствует некоторое значение зависимой переменной у.
Значение функции f , которое соответствует значению х	аргумента	х , обозначают f(x0 ) .
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что значению а	аргумента	соответствует значение b функции .
Найдите значения функции соответствующие	аргументам	.
Найдите значения функции f , соответствующие	аргументам	: 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих	аргументов	.
Что называют	аргументом	функции ? .
Если хотят подчеркнуть , что , например , формула задаёт функцию с	аргументом	t и зависимой переменной s , то пишут .
Независимую переменную ещё называют	аргументом	функции .
В случае утвердительного ответа укажите , что является	аргументом	соответствующей функции .
В случае утвердительного ответа укажите , что является	аргументом	соответствующей функции , её область определения и область значений .
Очевидно , что , придавая	аргументу	другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
Сколько существует	вариантов	приобретения конверта с маркой ? .
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих	величин	равно одному и тому же для этих величин числу .
Понятно , что некоторые из этих	величин	связаны между собой , то есть изменение одной величины влечёт за собой изменение другой .
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих	величин	числу .
В таблице приведены соответствующие значения	величин	х и у. Установите , являются ли эти величины прямо пропорциональными .
Если величины у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных	величин	.
Обозначение всех неизвестных	величин	одной буквой ς также сильно затрудняло запись решения задач , в которых фигурировали несколько переменных .
Таким образом ,	величина	t является независимой переменной , а величина Т — зависимой .
Заполните таблицу , если	величина	у прямо пропорциональна величине х .
Тогда через год	величина	М — сумма денег на счёте — станет равной .
Таким образом , величина t является независимой переменной , а	величина	Т — зависимой .
В упражнениях этого параграфа описаны разнообразные функциональные зависимости между	величинами	.
« Связи между	величинами	.
20 Связи между	величинами	.
Многие науки , такие как физика , химия , биология и другие , исследуют зависимости между	величинами	.
Выражение отношения между	величинами	, записанное с помощью математических знаков .
В этой главе вы будете изучать связи между	величинами	.
Напомним , что в курсе математики 6 класса вы уже познакомились с подобными зависимостями между	величинами	.
Заполните таблицу , если величина у прямо пропорциональна	величине	х .
греческий математик Герои Александрийский начал обозначать неизвестную	величину	буквой ς ( сигма ) .
Запишите эту	величину	, используя степень числа 10 .
Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости величины Т ( температуры ) от	величины	t ( времени ) .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению	величины	Т однозначно найти значение величины t.
Ясно , что переменные	величины	« стоимость проезда » и « длина пути , который проезжает пассажир » связаны между собой .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной	величины	, но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Какие	величины	будут для этого алгоритма входными данными , а какие — выходными ? .
Это математическая модель зависимости величины М от	величины	n.
Это математическая модель зависимости	величины	М от величины n.
Виет предложил : « Искомые	величины	будем обозначать буквой A или другой гласной , Е , I , О , U , а данные — буквами В , D , G и другими согласными » .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти значение	величины	t.
В таблице приведены соответствующие значения величин х и у. Установите , являются ли эти	величины	прямо пропорциональными .
Вообще , в происходящих вокруг нас процессах многие	величины	меняют свои значения .
Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости	величины	Т ( температуры ) от величины t ( времени ) .
Понятно , что некоторые из этих величин связаны между собой , то есть изменение одной	величины	влечёт за собой изменение другой .
Он первый обозначил буквами не только неизвестные , но и данные	величины	.
Если две	величины	прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин числу .
Две	величины	называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Если	величины	у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных величин .
Для какой коробки больше	вероятность	наугад вынуть из неё белый шарик ? .
Какова	вероятность	того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Какова	вероятность	того , что наугад вынутый карандаш будет : 1 ) красным ; 2 ) зелёным ;
Какое наименьшее количество яблок надо вынуть , не заглядывая в мешок , чтобы с	вероятностью	, равной 1 , среди вынутых яблок хотя бы одно было зелёным ? .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из	вершин	— положительное число .
В	вершинах	каждого написали цифры 1 , 2 , 3 .
Найдите координаты	вершины	квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Вес настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных	весах	со стрелкой надо сделать , чтобы найти кучку из фальшивых монет ? .
Равенство означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3	возвели	в куб и получили – 27 .
Равенство означает , что число – 3	возвели	в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
В таких случаях говорят , что число 2	возвели	в пятую степень и получили 32 .
Как	возвести	произведение в степень ? .
Как	возвести	степень в степень ? .
Можно ли , например , число 5	возвести	в степень 0 или в степень – 2 ?
С помощью полученных формул можно проще	возводить	в квадрат сумму либо разность любых двух выражений , не используя правило умножения двух многочленов .
Итак , при возведении произведения в степень каждый множитель	возводят	в степень и полученные результаты перемножают .
Такое преобразование Мухаммед аль - Хорезми назвал	восстановлением	( по - арабски — « аль - джабр » ) .
Книга о	восстановлении	и противопоставлении .
Сам трактат носит название « Краткая книга об исчислении	восстановления	и противопоставления » ( по - арабски — « Китаб аль - мухтасар фи хисаб аль - джабр ва - аль - мукабала » ) .
Представим выражения в виде степеней с основанием 2 и	вынесем за скобки	общий множитель .
Такие соображения подсказывают	вынести за скобки	общий множитель .
Любой из этих множителей можно	вынести за скобки	.
На какое	выражение	надо умножить двучлен , чтобы произведение было равно двучлену .
Упростите	выражение	.
Преобразуйте	выражение	в многочлен стандартного вида .
Упростите	выражение	Выполните возведение в степень .
Упрощая	выражение	, мы фактически заменяем его на более простое , тождественно равное ему .
Покажем , как можно преобразовать степень произведения , например	выражение	.
Квадратом какого из данных одночленов является	выражение	? .
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать	выражение	? .
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать	выражение	? .
Какому из одночленов равно	выражение	.
Представьте в виде многочлена	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	, где n — натуральное число .
Отсюда наименьшее значение , равное 1 , данное	выражение	принимает при х меньше 2 .
Так как при любых значениях х , то	выражение	принимает только положительные значения .
Вместо звёздочки запишите такое	выражение	, чтобы выполнялось равенство , где n — натуральное число .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы	выражение	можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Заметим , что алгебраическое	выражение	может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Представьте	выражение	в виде степени и вычислите его значение ( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
Представьте в виде степени с основанием n	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием m	выражение	.
Преобразуем данное	выражение	.
Найдите такое наименьшее натуральное значение a , при котором	выражение	принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Представьте	выражение	а12 в виде произведения двух степеней с основаниями а , одна из которых равна .
Какое наименьшее значение принимает	выражение	и при каком значении х ? .
Докажите , что	выражение	принимает положительные значения при любых значениях х.
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы	выражение	можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же	выражение	; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Если в числовое	выражение	входит степень , то сначала выполняют возведение в степень , а потом другие действия .
Целое	выражение	.
На какое	выражение	надо умножить многочлен , чтобы произведение было равно многочлену ? .
Данное	выражение	равно произведению двух натуральных чисел , одним из которых является 14 .
Упростите	выражение	и найдите его значение , если .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что	выражение	принимает неположительные значения при всех значениях х .
Данное	выражение	представлено в виде произведения трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других — натуральные числа .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что	выражение	принимает неотрицательные значения при всех значениях a .
Представьте в виде степени	выражение	и вычислите его значение .
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Какому из данных выражений тождественно равно	выражение	.
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной	выражение	, полученное на первом шаге ;
Представьте в виде произведения трёх множителей	выражение	, где n — натуральное число .
Упростите	выражение	, где n — натуральное число .
Представьте в виде произведения	выражение	.
Составьте числовое	выражение	и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Прочитайте	выражение	, назовите основание и показатель степени .
Можно ли , применяя формулу разности квадратов , разложить на множители	выражение	.
Упростите	выражение	, заменив произведение одинаковых множителей степенью : 10 множителей ; k множителей ;
Упростите	выражение	и найдите его значение .
Какое наименьшее значение может принимать	выражение	.
Разложите	выражение	на множители двумя способами .
Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов	выражение	? .
Используя формулы сокращённого умножения , представьте в виде многочлена	выражение	.
Однако гораздо удобнее вначале привести подобные слагаемые , заменив данное	выражение	на тождественно равное .
Выражение , не содержащее деления на	выражение	с переменными , называют целым выражением .
Если функция задана формулой , правая часть которой — целое	выражение	, и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все числа .
Рассмотрим	выражение	, где а ≠ 0 .
Пользуясь этой формулой , преобразуйте в многочлен	выражение	.
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же	выражение	; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Если к сумме прибавить число 16 , то полученное	выражение	можно « свернуть » по формуле квадрата суммы .
Какому из данных многочленов тождественно равно	выражение	.
Представьте в виде куба двучлена	выражение	.
Подставив вместо х в	выражение	число 2 , получим .
Это	выражение	можно представить в виде степени с основанием а .
Если n — чётное число , то	выражение	9n можно представить в виде произведения , содержащего чётное число девяток .
При каком значении переменной данное	выражение	принимает наибольшее значение .
При каком значении переменной данное	выражение	принимает наименьшее значение .
Представьте данное	выражение	в виде квадрата одночлена .
Докажите , что	выражение	принимает только положительные значения .
Преобразуем в многочлен	выражение	.
Представьте в виде степени	выражение	, где k — натуральное число .
Понятно , что вместо букв а и b можно подставлять и другие числа , получая каждый раз новое числовое	выражение	.
Разложите на множители	выражение	( n — натуральное число ) .
Представьте в виде произведения	выражение	Решение .
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает	выражение	.
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает	выражение	.
Представьте в виде произведения многочленов	выражение	.
Докажите , что	выражение	принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных .
Упростите	выражение	и найдите его значение при .
Рассмотрим	выражение	.
Упростите	выражение	, приведённое в этом упражнении .
Рассмотрим буквенное	выражение	.
Представьте в виде куба одночлена	выражение	.
Разложите на множители многочлен представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Докажите , что если . Известно , что . Докажите , что	выражение	принимает только неотрицательные значения .
Представьте в виде произведения четырёх множителей	выражение	, где n — натуральное число .
Какое наименьшее значение принимает это	выражение	и при каком значении у ? .
Какое значение принимает	выражение	при этом же значении х ? .
Докажите , что	выражение	принимает положительное значение при любом значении у.
Найдите такие значения х , при которых	выражение	можно представить в виде квадрата суммы .
По условию задачи составьте	выражение	с переменными .
Мы получили	выражение	, в котором оба слагаемых имеют множитель .
Докажите , что	выражение	принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Представьте в виде куба одночлена стандартного вида	выражение	.
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в	выражение	, полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Данное	выражение	представлено в виде произведения двух множителей , первый из которых равен 7 , а второй принимает только целые значения .
Преобразуйте в многочлен	выражение	.
То есть после упрощения выражение « превратилось » в	выражение	.
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х ? .
То есть после упрощения	выражение	« превратилось » в выражение .
Представьте в виде квадрата одночлена стандартного вида	выражение	.
Данное	выражение	представлено в виде произведения , один из множителей которого равен 24 , а другой — натуральное число .
Подставим во второе уравнение системы вместо переменной у	выражение	.
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной	выражение	, полученное на первом шаге ;
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х .
Может ли принимать положительные значения	выражение	.
Может ли принимать отрицательные значения	выражение	.
Представьте	выражение	в виде разности квадратов двух многочленов .
Преобразуйте в квадрат двучлена	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием 2	выражение	.
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют переменными , а само буквенное	выражение	— выражением с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Представьте в виде степени с основанием – 5	выражение	.
Представьте в виде степени с основанием 5	выражение	.
Какому многочлену равно	выражение	.
Представьте в виде квадрата двучлена	выражение	.
Разложите на множители	выражение	.
Запишите в виде степени с показателем 3	выражение	.
Запишите в виде степени с показателем 2	выражение	.
Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Разложите	выражение	на множители .
Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки , чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена	выражение	.
Конечно , можно сразу в это	выражение	подставить вместо а число — и найти значение числового выражения .
Если переменную х заменить , например , числом , то получим числовое	выражение	.
Докажите , что данное	выражение	принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Упростите	выражение	, используя вынесение общего множителя за скобки .
Разложим на множители	выражение	.
Понятно , что не существует такой пары значений х и у , при которых	выражение	одновременно принимает значения и 6 , и 7 .
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это	выражение	и при каком значении х .
Докажите , что данное	выражение	принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Среди выражений найдите	выражение	, тождественно равное выражению .
Запишите	выражение	248 в виде степени с основанием .
Упростим левую и правую части равенства : Получили одно и то же	выражение	.
Упражнения . Является ли одночленом	выражение	.
Представьте данное	выражение	в виде произведения двух одночленов , один из которых равен ? .
Вы знаете , что с его помощью можно найти периметр прямоугольника со сторонами а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое	выражение	.
Какое число надо прибавить к многочлену , чтобы полученное	выражение	было тождественно равно квадрату двучлена ?
Запишите	выражение	в виде степени с основанием .
Преобразуйте в одночлен стандартного вида	выражение	.
Вместе с тем	выражение	, составленное из одной буквы , считают буквенным выражением .
В равенстве замените звёздочку таким	выражением	, чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
Вместе с тем выражение , составленное из одной буквы , считают буквенным	выражением	.
Каким	выражением	можно заменить звёздочку в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
В равенстве замените звёздочку таким	выражением	, чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело корней ;
Выражение , не содержащее деления на выражение с переменными , называют целым	выражением	.
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , является буквенным	выражением	.
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют переменными , а само буквенное выражение —	выражением	с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Запись , составленную из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным	выражением	.
Запись , состоящую из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным	выражением	.
Запись , составленную из чисел , знаков арифметических действий и скобок , называют числовым	выражением	.
22 ) В	выражении	а число n — степени .
Вынесите за скобки общий множитель в	выражении	.
11 ) В	выражении	74 число 7 — степени .
Теперь в	выражении	подставим вместо с многочлен Запишем .
Найдите значение каждого из следующих	выражений	при .
Сравните значения	выражений	.
Представив данный многочлен в виде разности кубов двух	выражений	, получим .
17 Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух	выражений	.
Сформулируйте правило возведения суммы двух	выражений	в квадрат .
Для каждой пары	выражений	найдите все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Какое из данных	выражений	является одночленом ? .
Это тождество называют формулой суммы кубов двух	выражений	.
Запишите формулу разности квадратов двух	выражений	.
Сумма кубов двух	выражений	равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих	выражений	и неполного квадрата их разности .
Квадрат суммы двух	выражений	.
Расположите в порядке возрастания значения	выражений	.
16 Квадрат суммы и квадрат разности двух	выражений	.
Представив данный многочлен в виде суммы кубов двух	выражений	, получим .
Сравните с нулём значения	выражений	.
Квадрат разности двух	выражений	.
Какому из данных	выражений	тождественно равен многочлен .
Это тождество называют формулой разности кубов двух	выражений	.
Разность кубов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
Сравните значения	выражений	, где n — натуральное число .
Пользуясь преобразованием	выражений	в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите значение данного выражения .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	и неполного квадрата их суммы .
Сформулируйте правило разложения на множители разности квадратов двух	выражений	.
Квадрат неполный разности двух	выражений	.
18 Сумма и разность кубов двух	выражений	.
Произведение разности и суммы двух	выражений	.
Какое тождество называют формулой квадрата суммы двух	выражений	? .
Какое тождество называют формулой квадрата разности двух	выражений	? .
Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух	выражений	.
Сумма кубов двух	выражений	.
Разность квадратов двух	выражений	.
Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух	выражений	.
Решение 1 ) По формуле квадрата разности двух	выражений	получаем .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух	выражений	, не используя правило умножения двух многочленов .
Разность кубов двух	выражений	.
Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух	выражений	.
« Сумма и разность кубов двух	выражений	» .
Заметим , что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух	выражений	.
При одних и тех же натуральных значениях n значения	выражений	являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Заметим , что формулу квадрата разности двух	выражений	можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго	выражений	плюс квадрат второго выражения .
« Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух	выражений	» .
« Квадрат суммы и квадрат разности двух	выражений	» .
Квадрат разности двух	выражений	равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух	выражений	.
Мы получили формулу квадрата разности двух	выражений	.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго	выражений	плюс квадрат второго выражения .
Разложите на множители многочлен , предварительно представив его в виде разности квадратов двух	выражений	.
Квадрат суммы двух	выражений	равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Какие из данных	выражений	являются целыми .
Это тождество называют формулой квадрата суммы двух	выражений	.
Какое из данных	выражений	принимает только отрицательные значения ? .
« Разность квадратов двух	выражений	» .
Представьте в виде суммы квадратов двух	выражений	многочлен .
Сформулируйте правило возведения разности двух	выражений	в квадрат .
Какому из данных	выражений	тождественно равно выражение .
Рассмотрим две пары	выражений	: приведены значения этих выражений при некоторых значениях переменной х .
Сравните значения	выражений	а2 и ǀаǀ при а равно – 1 ; 0 ; 1 .
Чему равно произведение разности двух	выражений	и их суммы ?
Рассмотрим две пары выражений : приведены значения этих	выражений	при некоторых значениях переменной х .
Запишите формулу произведения разности и суммы двух	выражений	.
Среди	выражений	найдите выражение , тождественно равное выражению .
Сравните значения	выражений	, не вычисляя их .
Мы видим , что эти значения совпадают для каждой отдельно взятой пары	выражений	.
Для	выражений	, записанных в первой таблице , ответ на этот вопрос отрицательный : если , например , .
А вот значения	выражений	, записанных во второй таблице , совпадают при любых значениях х.
Вот ещё примеры пар тождественно равных	выражений	.
15 Разность квадратов двух	выражений	.
Из пары тождественно равных	выражений	легко получить тождество .
Это тождество называют формулой разности квадратов двух	выражений	.
Приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок — примеры тождественных преобразований	выражений	.
Рассмотрим две группы алгебраических	выражений	.
Произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Разность квадратов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений и их суммы .
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	и их суммы .
Решение . 3 ) Применив дважды формулу произведения суммы и разности двух	выражений	, получим .
Какое из данных	выражений	является записью разности произведения чисел а и b и числа с ? .
Среди данных алгебраических	выражений	укажите целое .
Какие тождественные преобразования	выражений	вы знаете ?
Какое из	выражений	принимает только отрицательные значения при любом значении х .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
Найдите все натуральные значения n , при которых значение каждого из	выражений	является простым числом .
Теперь при умножении разности	выражений	на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
14 Произведение разности и суммы двух	выражений	.
Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих	выражений	.
Из следующих четырёх	выражений	только три можно разложить на множители .
В этой главе вы научитесь упрощать выражения , познакомитесь с формулами и приёмами , помогающими облегчить работу по преобразованию	выражений	.
Рассмотрим частный случай , когда в произведении двух многочленов один из них представляет собой разность двух	выражений	, а другой — их сумму .
Среди выражений найдите выражение , тождественно равное	выражению	.
Найдите значение	выражения	при .
Запись значения	выражения	состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись значения выражения — из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
Алгебраические	выражения	.
Числовые	выражения	.
Найдите при этом значении a значение	выражения	.
Являются ли тождественно равными	выражения	.
Какие	выражения	называют тождественно равными ? .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной х .
Вычислите значение полученного	выражения	при а равно 4 , b равно 12 , s равно 12 .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 3 .
Докажите , что при любом значении переменной значение	выражения	равно – 11 .
Запишите в виде	выражения	куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
При некотором значении х значение	выражения	равно 10 .
Следовательно , значение	выражения	является отрицательным числом при любом значении a .
Значение	выражения	9k2 кратно 3 , то есть остаток при делении n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной .
Запишите в виде	выражения	: число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Докажите , что значение	выражения	кратно 8 при любом натуральном значении n .
Известно , что при некотором значении a значение	выражения	равно – 4 .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором значение	выражения	делится нацело на 8 .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что при любом значении переменной а значение	выражения	является отрицательным числом .
При этом говорят , что — значение переменной х , а число 4 — значение	выражения	2х плюс 3 при х .
Найдите эти	выражения	и разложите их на множители .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	при делении на 7 даёт остаток , равный 4 .
Известно , что при некотором значении y значение	выражения	равно 6 .
Какие свойства действий дают возможность утверждать , что данные	выражения	являются тождественно равными .
Докажите , что значение	выражения	кратно 3 при любом натуральном значении m .
Запись значения выражения состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись значения	выражения	— из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
Найдите при тех же самых значениях m , n и k значение	выражения	.
Чему равен остаток при делении на 9 значения	выражения	, где n — произвольное натуральное число ?
Что называют тождественным преобразованием	выражения	? .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 12 .
Числовые	выражения	и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями .
Какие	выражения	называют одночленами ? .
Найдите при этом значении y значение	выражения	.
Следовательно , сумма цифр числа , являющегося значением данного	выражения	, равна 3 .
Числовые выражения и	выражения	с переменными называют алгебраическими выражениями .
Запишите в виде	выражения	: утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Найдите три последние цифры значения	выражения	Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
Докажите , что при любом значении переменной значение	выражения	равно 16 .
Так как по условию значение	выражения	6х на 22 больше значения выражения , то получаем уравнение .
Докажите , что не являются тождественно равными	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 42 .
При каком значении переменной : значение	выражения	равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Чему равно значение	выражения	? .
Значение переменной a таково , что значение	выражения	равно 2 .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного	выражения	.
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ;	выражения	принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что значение	выражения	делится нацело на 11 .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения	выражения	? .
Как иначе называют буквенные	выражения	? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение	выражения	0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Представление	выражения	в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 121 .
Найдите значение	выражения	, представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения	выражения	; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Найдите значение	выражения	, используя распределительное свойство умножения .
Какие алгебраические	выражения	называют целыми ? .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного	выражения	, затем — значение yпрощённого выражения .
Докажите , что при любом нечётном значении п значение	выражения	кратно 120 .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного выражения , затем — значение yпрощённого	выражения	.
Полученные	выражения	разложите на множители .
Найдите значение	выражения	.
При каком значении переменной	выражения	принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение	выражения	в 5 раз меньше значения выражения ? .
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	?
Какие	выражения	называют алгебраическими ? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения	выражения	? .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ; значение	выражения	на 2,4 меньше значения выражения ? .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Насколько упрощение	выражения	облегчило работу по вычислению его значения ? .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде	выражения	, противоположного квадрату двучлена , трёхчлен .
По условию задачи составьте	выражения	с переменными .
Отметим , что , например ,	выражения	не являются одночленами стандартного вида .
« Тождественно равные	выражения	.
Найдите значение	выражения	, разложив его предварительно на множители .
Заметим , что , например ,	выражения	одночленами не являются , так как они , кроме умножения и возведения в степень , содержат и другие действия .
Однако	выражения	первой группы не содержат деления на выражения с переменными .
Такие	выражения	называют одночленами .
Докажите , что значение	выражения	кратно 5 .
Рассмотрим	выражения	.
Следовательно , при любом натуральном n значение данного	выражения	нацело делится на 7 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что значение	выражения	кратно числу .
Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше значения	выражения	, то получаем уравнение .
Докажите , что при всех натуральных значениях n значение	выражения	делится нацело на 6 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 , значение	выражения	делится нацело на 5 .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что значение	выражения	кратно 7 при всех натуральных значениях n.
Какой цифрой оканчивается значение	выражения	( n — натуральное число ) ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 , значение	выражения	делится нацело на 10 .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите значение данного	выражения	.
Однако выражения первой группы не содержат деления на	выражения	с переменными .
Найдите при этих же значениях x и y значение	выражения	.
Можно ли утверждать , что значение	выражения	делится нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Запишите в виде	выражения	: 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
В 7 классе мы будем изучать целые	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 5 .
Делится ли значение	выражения	нацело на 60 ?
Делится ли значение	выражения	нацело на 200 ?
Используя термины « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте алгебраические	выражения	и укажите , какие из них являются целыми .
Докажите , что значение	выражения	является чётным числом .
Значение	выражения	.
Например , в 6 классе значение	выражения	находили так .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
При всех ли натуральных значениях n значение	выражения	кратно 8 ? .
Докажите , что при любом целом значении a значение	выражения	делится нацело на 3 .
Каким числом , чётным или нечётным , является значение	выражения	? .
Докажите , что при любых значениях х значение	выражения	является положительным числом .
При всех ли натуральных значениях n значение	выражения	кратно 12 ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n , отличном от 1 , значение	выражения	является составным числом .
Тождественно равные	выражения	.
Например , выражения — тождественно равные , а	выражения	тождественно равными не являются .
Докажите , что значение	выражения	: 1 ) делится нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение	выражения	; не зависит от значения переменной .
Найдём значение	выражения	.
Представим	выражения	в виде степеней с основанием 2 и вынесем за скобки общий множитель .
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых значение второго	выражения	в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Запишите в виде	выражения	: 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Докажите , что при любом значении х значение выражения больше соответствующего значения	выражения	.
Докажите , что при любом значении х значение	выражения	больше соответствующего значения выражения .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 8 .
Чему равно значение	выражения	0n при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 16 .
Например ,	выражения	— тождественно равные , а выражения тождественно равными не являются .
д. Из них составляют « слова » математического языка , например	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 10 независимо от значений а и b .
Число 11 называют значением буквенного	выражения	при .
Так , когда вы записывали формулы и составляли уравнения , вам приходилось обозначать числа буквами , конструируя буквенные	выражения	.
Глава 2 Целые	выражения	.
В этой главе вы научитесь упрощать	выражения	, познакомитесь с формулами и приёмами , помогающими облегчить работу по преобразованию выражений .
Поскольку , то число 4 называют значением	выражения	.
Вычислите значение числового	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: кратно 61 .
Вы научитесь классифицировать алгебраические	выражения	.
Найдите значение	выражения	, если .
Вычислите значение полученного	выражения	при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности , радиусы которых равны R и r , имеют общий центр .
Докажите , что значение	выражения	тождественно равно нулю .
Вычислите значение полученного	выражения	при R меньше 5,1 см , r — 4,9 см .
Найдите значение	выражения	если .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	: делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Есть ли среди них	выражения	, принимающие равные значения ?
Выражения с переменными ( буквенные	выражения	) .
Числовые и буквенные	выражения	.
Сравните с нулём значение	выражения	.
Тогда значение	выражения	делится нацело на 8 при любом натуральном n .
При каком значении переменной значение выражения на 15 больше значения	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
При каком значении переменной значение	выражения	на 15 больше значения выражения .
4 Тождественно равные	выражения	.
Вычислите значение	выражения	.
Докажите , что если . Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Найдите , пользуясь преобразованием	выражения	в квадрат двучлена , значение суммы Решение .
Следовательно , значение	выражения	делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Поэтому последней цифрой значения	выражения	является нуль .
Вычислите значение	выражения	, предварительно разложив его на множители .
Значения переменных m , n и р таковы , что Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде	выражения	: произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Докажите , что значение	выражения	не делится нацело на 15 .
Докажите , что значение	выражения	не зависит от значения переменной , входящей в него .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого	выражения	минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго	выражения	.
Например ,	выражения	не являются одночленами .
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором значение	выражения	делилось бы нацело на 5 .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п значение	выражения	делится нацело на 84 ?
Упражнения . Найдите значение числового	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором значение	выражения	не делилось бы нацело на 3 ?
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Докажите , что значение	выражения	: делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение	выражения	равно 2 , а значение выражения равно 3 .
Докажите , что при любом натуральном n значение	выражения	делится нацело на 7 .
Может ли быть целым числом значение	выражения	.
Докажите , что значение	выражения	, кратно .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение выражения равно 2 , а значение	выражения	равно 3 .
Поскольку , то последней цифрой значения	выражения	является единица .
Составьте	выражения	для вычисления длины синей линии и площади фигуры , которую она ограничивает .
Чему равно значение	выражения	.
Следовательно , значение данного	выражения	делится нацело на 121 .
На сколько значение	выражения	больше числа 2 ? .
Отсюда следует , что значение	выражения	делится нацело на 14
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого	выражения	плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Найдите значение	выражения	Докажите , что если .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 4 .
Число 14 называют значением числового	выражения	.
Докажите , что при любом натуральном значении n значение	выражения	кратно 6 .
Следовательно , значение этого	выражения	делится нацело на 24 .
Так как , то есть	выражения	тождественно равны , то .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго	выражения	.
Замену одного	выражения	другим , тождественно равным ему , называют тождественным преобразованием выражения .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а число — и найти значение числового	выражения	.
При каком значении х равно нулю значение	выражения	? .
На сколько значение	выражения	меньше числа 10 ? .
Докажите , что значение	выражения	делится нацело на 24 .
Замену одного выражения другим , тождественно равным ему , называют тождественным преобразованием	выражения	.
Какая последняя цифра значения	выражения	? .
Заполните таблицу , вычислив значение	выражениям	для данных значений х .
Их называют целыми	выражениями	.
Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими	выражениями	.
Например , записи а2 , abc , — являются буквенными	выражениями	.
Леонард Эйлер ввёл знаки ( не равно ) , ( сумма ) , скобки ( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе	высшей математики	.
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого	вычесть	числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы	вычесть	известное слагаемое .
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого	вычесть	разность .
Какой многочлен надо	вычесть	из двучлена , чтобы разность была равна .
Пусть теперь требуется из первого из данных многочленов	вычесть	второй .
За один шаг разрешается , выбрав два числа , к каждому из них прибавить 5 или из каждого	вычесть	1 .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля	вычесть	меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Какой многочлен надо	вычесть	из многочлена плюс с , чтобы их разность была тождественно равна многочлену ? .
Чтобы сложить (	вычесть	) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Из числа a	вычесть	число b — значит найти такое число , которое в сумме с числом b даёт число а .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей	вычесть	) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей	вычесть	) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Виленкин Н.Я. Сравнения и классы	вычетов	.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к разности прибавить	вычитаемое	.
Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед	вычитаемым	знак « минус » .
В равенстве число а называют уменьшаемым , b —	вычитаемым	, с — разностью .
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение ,	вычитание	, умножение , возведение в степень , деление .
9 Сложение и	вычитание	многочленов .
Сложение и	вычитание	дробей .
Вообще , при сложении и	вычитании	многочленов всегда получается многочлен .
При	вычитании	дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения ,	вычитания	, умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения (	вычитания	) дробей с равными знаменателями .
Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и	вычитания	.
Свойства	вычитания	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого	вычитают	показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Так как , то , прибавляя к данному многочлену ( удвоенное произведение одночленов х2 и 2у2 ) и	вычитая	из него такой же одночлен , получим .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения	вычтем	1 .
Поэтому , прибавив к данному трёхчлену число 16 и	вычтя	из него 16 , получим .
Также важно научиться пользоваться графическим редактором , с помощью которого можно работать с	геометрическими фигурами	и строить чертежи .
Графиком уравнения с двумя переменными называют	геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Графиком функции f называют	геометрическую фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Её называют	гиперболой	.
Используя этот график , можно , выбрав произвольный момент времени t , найти соответствующую температуру воздуха Т ( в	градусах	Цельсия ) .
Построим	график	функции .
Постройте	график	изменения температуры воды в зависимости от изменения времени нагревания в течение первых 10 мин .
Постройте	график	изменения уровня воды в реке за указанный период .
Постройте	график	движения велосипедиста .
Изображён	график	некоторой функции .
Постройте	график	уравнения , если он проходит через точку .
Постройте по этим данным	график	изменения температуры .
Так как данный	график	пересекает O в точке ( 3 ; 0 ) , то , подставив её координаты , получим .
Постройте	график	зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда С — середина отрезка АВ .
Постройте	график	зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является квадратом .
Так , на экране монитора изображён	график	функции .
Пользуясь заполненной таблицей , постройте	график	зависимости расстояния до лагеря от времени движения .
Изображён	график	движения туриста .
Изображён график изменения расстояния от мотоциклиста до дома в зависимости от времени (	график	движения мотоциклиста ) .
Изображён	график	изменения расстояния от мотоциклиста до дома в зависимости от времени ( график движения мотоциклиста ) .
Изображён	график	изменения температуры воздуха в течение суток .
Изображён	график	изменения температуры раствора во время химического опыта .
Так как	график	искомого уравнения проходит через точки , имеющие разные абсциссы , то он является невертикальной прямой .
Постройте	график	данной функции .
Постройте	график	функции .
Постройте	график	функции : если .
Из того , что	график	проходит через начало координат , следует , что b меньше 0 .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	график	которого проходит через точки М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Так как	график	проходит через точку А ( 3 ; – 12 ) , то , откуда k меньше – 4 .
Постройте	график	этого уравнения .
Кривая спроса — это	график	, показывающий , как зависит спрос на товар от его цены .
Начертите	график	изменения у , придавая х значения от 0 до 10 .
Может ли	график	функции состоять из одной точки ? .
Графиком функции не обязательно является линия , изображён	график	функции , заданной таблицей .
Постройте	график	прямой пропорциональности .
Все точки координатной плоскости , которые можно отметить , действуя таким способом , образуют	график	функции .
Постройте	график	функции у меньше 2 – 4х .
При каких значениях a и b	график	уравнения проходит через точки ? .
При каких значениях m и n	график	уравнения проходит через точки ? .
Ту же роль играет для функции её	график	.
Так , изучая	график	, можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Следовательно , искомый	график	содержит все точки , у которых абсцисса равна 2 , а ордината — любое число .
25 Линейное уравнение с двумя переменными и его	график	.
Какие элементы оформления позволяют сделать	график	наглядным ? .
Знаете ли вы какие - то компьютерные программы , которые позволяют построить	график	произвольной функции ? .
Постройте	график	функции у меньше – 4х .
« Линейная функция , её	график	и свойства » .
Не выполняя построения графика функции , определите , через какие из данных точек проходит этот	график	.
С помощью средств этого редактора постройте	график	этой функции .
Задайте формулой функцию , являющуюся прямой пропорциональностью , если её	график	проходит через точку .
Следовательно ,	график	данной функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
« Линейное уравнение с двумя переменными и его	график	» .
Найдите значение b , при котором	график	функции проходит через точку .
Значит , в этом случае	график	уравнения — вся координатная плоскость .
При каком значении k	график	функции проходит через точку ? .
Следовательно ,	график	функции пересекает ось ординат в точке .
Начертите	график	этой зависимости .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	график	которого пересекает оси координат в точках .
Через какую из данных точек проходит	график	функции ? .
Изображён	график	функции .
Изображён	график	зависимости расстояния между учеником и его домом от времени движения .
Какое из следующих утверждений верно : 1 )	график	функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 )	график	функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Используя этот	график	, можно , выбрав произвольный момент времени t , найти соответствующую температуру воздуха Т ( в градусах Цельсия ) .
Изображён	график	зависимости температуры воздуха от времени суток .
Постройте	график	этой функции .
Проходит ли	график	уравнения через точку ? .
Постройте	график	функции , областью определения которой являются целые числа , удовлетворяющие неравенству .
При каком значении a	график	уравнения проходит через точку ? .
23 Линейная Функция , её	график	и свойства .
Поскольку формула , задающая линейную функцию , является уравнением с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён	график	уравнения .
В случае утвердительного ответа постройте её	график	.
При каком значении a через точку М ( 3 ; – 2 ) проходит	график	функции .
Докажите , что	график	уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало координат график уравнения ? .
Может ли	график	уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки ? .
Постройте	график	функции Решение .
Графиком каких уравнений является та же прямая , что и	график	уравнения ? .
При каком значении a	график	уравнения проходит через начало координат ? .
При каком значении b	график	уравнения проходит через точку ? .
Постройте	график	функции f .
Если изобразить все решения уравнения , то получим	график	уравнения .
Постройте	график	уравнения .
Докажите , что график уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало координат	график	уравнения ? .
Этот	график	можно рассматривать как математическую модель зависимости величины Т ( температуры ) от величины t ( времени ) .
Постройте	график	функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
При каком значении a через точку A ( 5 ; – 3 ) проходит	график	уравнения ? .
Проходит ли	график	уравнения через точки , имеющие положительную абсциссу ? .
Изображён	график	уравнения .
Постройте	график	функции , пользуясь составленной таблицей .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя переменными ,	график	которого проходит через точку .
Что представляет собой	график	уравнения .
Подчеркнём , что этот	график	задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной .
На каком из рисунков изображён	график	функции ? .
Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции ( это выражает схема ) , то её	график	— прямая .
В какой точке	график	функции пересекает ось ординат ?
При каком значении m	график	функции пересекает ось х в точке с абсциссой – 1 ? .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения	графика	данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения	графика	функции с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
Все точки	графика	функции имеют одинаковую ординату , равную – 6 .
Поэтому для построения	графика	прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Однако если отметить достаточно много точек , а затем соединить их плавной линией , то полученная кривая будет тем меньше отличаться от искомого	графика	, чем больше точек мы отметим .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого	графика	, у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку	графика	, отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения	графика	функции с осями координат .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите точку этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого	графика	, у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Не выполняя построения	графика	функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Поскольку описанный метод построения	графика	функции требует значительной технической работы , то существенную её часть может взять на себя компьютер .
Поэтому для построения	графика	достаточно определить координаты двух любых её точек .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения	графика	с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Построение	графика	уравнения такого вида рассмотрим в примере 2 .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат	графика	уравнения .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения	графика	данной функции с графиком функции .
Как и для построения	графика	любой линейной функции , нужно знать две принадлежащие ему точки .
Если — координаты произвольно выбранной точки	графика	, то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции f , то есть .
Каковы координаты точки пересечения	графика	уравнения с осью абсцисс ? .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат	графика	функции .
Рассмотрим пример построения	графика	функции , заданной описательно .
Найдите координаты точки	графика	функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Не выполняя построения	графика	функции , определите , через какие из данных точек проходит этот график .
Освойте инструменты текстового и / или табличного редактора для построения	графика	функции , заданной таблично .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения	графика	линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Очевидно , что описанный метод построения	графика	функции на практике реализовать невозможно .
Если	графиками	уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Каково взаимное расположение прямых , являющихся	графиками	двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом	графике	точку , соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является квадратом .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом	графике	точку , соответствующую случаю , когда С — середина отрезка АВ .
Действительно ,	графики	уравнений системы пересекаются в точке .
Каким процессам соответствуют	графики	? .
Задайте формулой какие - нибудь две линейные функции ,	графики	которых проходят через точку .
Изображены	графики	уравнений найдите все пары чисел , являющиеся решениями каждого из данных уравнений .
Например , изображены	графики	некоторых функций .
Придумайте три уравнения ,	графики	которых проходят через точку .
При каком значении b	графики	функций пересекаются в одной точке ? .
Изображены	графики	уравнений .
Составьте уравнения ,	графики	которых изображены .
Эти	графики	имеют три общие точки .
После изучения материала этого параграфа становится понятно , почему в технике , медицине , экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы , которые позволяют строить	графики	различных функциональных зависимостей .
Определите абсциссу точки пересечения	графиков	функций .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных	графиков	; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Один из	графиков	отображает процесс наполнения одного бака водой , а другой — вытекания воды из другого бака .
Сегодня существует много программ , предназначенных для построения	графиков	.
Какой из данных	графиков	иллюстрирует зависимость переменной у от переменной х , приведённую ниже : 1 ) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения	графиков	функций .
Эта точка принадлежит каждому из	графиков	.
Поэтому его	графиком	является единственная точка .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является	графиком	уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
В каждом из двух случаев :	графиком	уравнения является прямая .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Какая из прямых является	графиком	функции .
А в 9 классе вы сможете доказать , что	графиком	уравнения является окружность .
Геометрическая фигура , являющаяся	графиком	уравнения .
Задайте формулой линейную функцию ,	графиком	которой является изображённая : 1 ) прямая m 2 ) прямая n .
Задайте формулой линейную функцию ,	графиком	которой является изображённая : 1 ) прямая a ; 2 ) прямая b .
Пользуясь	графиком	зависимости температуры воздуха от времени в течение суток , определите : какой была температура воздуха в 4 ч ?
Пользуясь этим	графиком	, определите : 1 ) какой была температура воздуха в 2 ч ?
Пользуясь	графиком	, определите : 1 ) какое расстояние проехал мотоциклист за первый час движения ? .
Пользуясь	графиком	, найдите , в течение какого времени температура повышалась и в течение какого времени снижалась .
Запишите алгоритм , который по входным данным а , b и с определит , какая фигура является	графиком	уравнения .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется	графиком	функции f .
Пользуясь	графиком	, определите : а ) сколько литров топлива будет в баке через 3 мин , через 5 мин ; б ) через сколько минут в баке будет 40 л топлива .
6 Какая фигура является	графиком	уравнения .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют	графиком	уравнения с двумя переменными .
Запишите алгоритм , который по входным данным k и b определит , какая прямая является	графиком	функции : горизонтальная или не горизонтальная , проходящая через начало координат или нет .
Что называют	графиком	уравнения с двумя переменными ? .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Следовательно ,	графиком	данного уравнения является пара прямых .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Выясним , какая фигура является	графиком	линейного уравнения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является	графиком	функции f , то выполняются два условия .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с	графиком	функции .
Что является	графиком	функции ? .
Далеко не всякая фигура , изображённая на координатной плоскости , может служить	графиком	функции .
Эта прямая и является искомым	графиком	.
Например , окружность не может являться	графиком	функции .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	графиком	которого является прямая , проходящая через начало координат и точку .
Пользуясь	графиком	, найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
Фигура может являться	графиком	некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
Если	графиком	одного из уравнений системы является вся плоскость , то очевидно , что система имеет бесконечно много решений .
Пользуясь	графиком	, найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Пользуясь	графиком	функции у равно f(x ) , заполните таблицу .
Что является	графиком	линейной функции ? .
Сколько общих точек может иметь с	графиком	функции любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс ? .
Приведите пример фигуры , которая не может являться	графиком	функции .
Что является	графиком	прямой пропорциональности ? .
Значит ,	графиком	уравнения , является невертикальная прямая .
Пользуясь	графиком	, найдите значения аргумента , при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Всякая ли фигура может служить	графиком	функции ? .
Какие два условия должны выполняться , чтобы фигура была	графиком	функции р .
Что называют	графиком	функции ? .
Существует ли функция ,	графиком	которой является ось ординат ? .
Если , то это уравнение не имеет решений , а следовательно , на координатной плоскости не существует точек , которые могли бы служить	графиком	уравнения .
В каждом из двух случаев	графиком	уравнения является прямая .
Рассуждая аналогично , можно показать , что	графиком	уравнения , где , является вертикальная прямая .
Например , в 8 классе вы узнаете , что	графиком	рассмотренного в начале параграфа уравнения является фигура .
Заметим , что	графиком	функции у равно 0 является ось абсцисс .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными ,	графиком	которого является прямая , проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Все эти точки лежат на одной прямой , которая и является	графиком	функции .
В курсе геометрии 9 класса вы докажете , что	графиком	линейной функции является прямая .
Действительно , вертикальная прямая не может служить	графиком	функции .
Какие из фигур могут быть	графиком	функции ? .
Эта прямая является	графиком	линейной функции .
Что является	графиком	уравнения ? .
Что является	графиком	уравнения ах плюс by меньше с , если b ф 0 или если .
Пользуясь	графиком	функции , укажите область значений функции .
А значит , указанная прямая и является искомым	графиком	.
Пользуясь	графиком	, найдите , при каких значениях aргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля .
Какая из прямых является	графиком	уравнения ? .
Может ли ломаная АВС быть	графиком	некоторой функции , если ? .
Если значение функции будет равно ординате данной точки , то точка принадлежит	графику	, в противном случае — не принадлежит .
Не выполняя построения , определите , принадлежит ли	графику	функции точка .
Следовательно , точка А принадлежит	графику	данной функции .
Значит , точка В не принадлежит	графику	функции .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей	графику	, — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих	графику	; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Составьте по	графику	таблицу изменения температуры раствора через каждые 10 мин в течение первых двух часов после начала опыта .
Принадлежат ли	графику	уравнения точки , имеющие отрицательную ординату ? .
Составьте по	графику	таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч .
Принадлежит ли	графику	уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — целые числа ? .
Принадлежит ли	графику	уравнения точка ? .
Принадлежит ли	графику	уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — положительные числа ? .
Точки принадлежат искомому	графику	.
Принадлежит ли	графику	функции точка .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих	графику	функции .
Чтобы установить , принадлежит ли точка	графику	функции , найдём значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит	графику	; .
Принадлежит ли	графику	функции , заданной формулой , точка .
I	группа	, II группа .
От пристани по течению реки отправилась на лодке	группа	туристов , рассчитывая вернуться через 4 ч .
I группа , II	группа	.
Решение 1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой	группе	имели общий множитель , получим .
Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме , которое может выполняться как индивидуально , так и	группой	учащихся .
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три	группы	так , чтобы произведения чисел каждой группы были равны ? .
Однако члены этого многочлена можно объединить в группы так , что слагаемые каждой	группы	будут иметь общий множитель .
Однако выражения первой	группы	не содержат деления на выражения с переменными .
Однако члены этого многочлена можно объединить в	группы	так , что слагаемые каждой группы будут иметь общий множитель .
Рассмотрим две	группы	алгебраических выражений .
Выражения каждой	группы	содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень , деление .
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения чисел каждой	группы	были равны ? .
Выражения второй	группы	целыми не являются .
Так как	данный	график пересекает O в точке ( 3 ; 0 ) , то , подставив её координаты , получим .
Мы представили	данный	многочлен в виде суммы двух слагаемых , которые могут принимать только неотрицательные значения .
Назовите одночлены , суммой которых является	данный	многочлен : Найдите значение многочлена .
Представив	данный	многочлен в виде разности кубов двух выражений , получим .
Представив	данный	многочлен в виде суммы кубов двух выражений , получим .
Их сумма , а следовательно , и	данный	многочлен будут принимать нулевое значение тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Представьте	данный	одночлен А в виде В , где В — некоторый одночлен , если .
Какой	двучлен	надо прибавить к данному двучлену , чтобы их сумма была тождественно равна нулю .
Умножим	двучлен	на трёхчлен .
На какое выражение надо умножить	двучлен	, чтобы произведение было равно двучлену .
Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
Представьте многочлен в виде разности	двучлена	и трёхчлена .
Какой многочлен надо вычесть из	двучлена	, чтобы разность была равна .
В таком виде эти формулы в ряде случаев позволяют « свернуть » трёхчлен в квадрат	двучлена	.
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат	двучлена	, значение суммы Решение .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде выражения , противоположного квадрату	двучлена	, трёхчлен .
Представьте , если это можно , в виде квадрата	двучлена	или в виде выражения , противоположного квадрату двучлена , трёхчлен .
Найдите значение выражения , представив его предварительно в виде квадрата	двучлена	.
Разложите на множители трёхчлен , выделив предварительно квадрат	двучлена	.
Трёхчлен , который можно представить в виде квадрата	двучлена	, называют полным квадратом .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат	двучлена	( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата	двучлена	из данного выражения .
Докажите , что значение суммы	двучленов	, где а и b — произвольные натуральные числа , делится нацело на 7 .
Какой из данных	двучленов	можно разложить на множители , применяя формулу разности квадратов ? .
Представьте многочлен в виде разности : 1 ) двух	двучленов	; 2 ) трёхчлена и двучлена .
Представьте многочлен в виде произведения квадратов двух	двучленов	.
Выполните умножение	двучленов	( n — натуральное число ) .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности	двучленов	, где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Многочлен , состоящий из двух членов , называют	двучленом	, а из трёх членов — трёхчленом .
Какой многочлен называют	двучленом	?
На какое выражение надо умножить двучлен , чтобы произведение было равно	двучлену	.
Какой двучлен надо прибавить к данному	двучлену	, чтобы их сумма была тождественно равна нулю .
Выполните	деление	.
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в степень ,	деление	.
В таком случае можно выполнить	деление	с остатком .
В таком случае можно выполнить	деление с остатком	.
Найдите три последние цифры значения выражения Остаток при	делении	на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
Чему равен остаток при	делении	квадрата нечётного натурального числа на 8 ? .
Очевидно , что и в этом случае остаток при	делении	на 3 равен 1 .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при	делении	натурального числа n на 11 равен 5 .
Чему равен остаток при	делении	на 11 квадрата этого числа ?
Выясните , какой остаток может давать квадрат натурального числа при	делении	на 4 .
Чему равен остаток при	делении	на 9 квадрата этого числа ? .
Докажите , что остаток при	делении	произведения чисел m и n на 11 равен 1 .
Рассмотрим правило , по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при	делении	его на 7 .
Остаток при	делении	некоторого натурального числа на 11 равен 6 .
При	делении	данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2 .
Остаток при	делении	на 3 числа n равен 2 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Из этой теоремы следует такое правило : при	делении	степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Докажите , что если остаток при	делении	натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при	делении	натурального числа n на 4 равен 2 .
Значение выражения 9k2 кратно 3 , то есть остаток при	делении	n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что если остаток при	делении	натурального числа на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Докажите , что если Остаток при	делении	числа a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5 числа b равен 3 .
Остаток при	делении	натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Остаток при	делении	на 3 числа n равен 1 .
Пусть неполное частное при	делении	m на 6 равно а , а при делении n на 4 равно b.
Чему равен остаток при	делении	на 9 значения выражения , где n — произвольное натуральное число ?
Пусть неполное частное при делении m на 6 равно а , а при	делении	n на 4 равно b.
Остаток при	делении	некоторого натурального числа на 9 равен 5 .
Имеем неполное частное при	делении	n2 на 3 , а остаток при этом равен 1 .
Каждому натуральному числу , которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при	делении	этого числа на 6 .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при	делении	натурального числа b на 9 равен 7 .
Докажите , что остаток при	делении	квадрата натурального числа на число 3 равен 0 или 1 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа b на 8 равен 7 .
Например , при	делении	числа 43 на 8 получим неполное частное 5 и остаток 3 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Докажите , что остаток при	делении	произведения чисел а и b на 8 равен 5 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения при	делении	на 7 даёт остаток , равный 4 .
Докажите , что если Остаток при делении числа a на 5 равен 4 , а остаток при	делении	на 5 числа b равен 3 .
Остаток при	делении	натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при	делении	натурального числа y на 6 равен 2 .
Остаток при	делении	натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
Остаток при	делении	натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от	деления	числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Свойства	деления	.
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и	деления	, но и с помощью действия возведения в степень .
Выражение , не содержащее	деления	на выражение с переменными , называют целым выражением .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от	деления	суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от	деления	на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Однако выражения первой группы не содержат	деления	на выражения с переменными .
Остаток от	деления	на 7 одного натурального числа равен 4 , а другого числа равен 3 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором значение выражения не	делилось	бы нацело на 3 ?
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором значение выражения	делилось	бы нацело на 5 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число	делилось	нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37 , чтобы полученное число	делилось	нацело на 6 ? .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число	делилось	нацело на 2 и на 3 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число	делилось	нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
В буквенном виде это записывают так , где а —	делимое	, b — делитель , q — неполное частное , r — остаток .
Чтобы найти неизвестное	делимое	, надо делитель умножить на частное .
Чтобы найти неизвестный делитель , надо	делимое	разделить на частное .
Чтобы найти	делимое	, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток .
В равенстве число а называют	делимым	, b — делителем , с — частным .
Докажите , что квадрат натурального числа имеет нечётное количество	делителей	.
Натуральное число , имеющее более двух	делителей	, называют составным .
В равенстве число а называют делимым , b —	делителем	, с — частным .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b —	делителем	числа a .
Наименьшим	делителем	любого натурального числа a является число 1 , а наибольшим — само число а .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий	делитель	модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Чтобы найти неизвестное делимое , надо	делитель	умножить на частное .
Если сократить дробь на наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий	делитель	, то получим дробь , равную данной .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий	делитель	, отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Чтобы найти неизвестный	делитель	, надо делимое разделить на частное .
Если наибольший общий	делитель	двух натуральных чисел равен 1 , то их называют взаимно простыми .
В буквенном виде это записывают так , где а — делимое , b —	делитель	, q — неполное частное , r — остаток .
Чтобы найти делимое , надо	делитель	умножить на неполное частное и прибавить остаток .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное	делителю	.
Чтобы разделить два отрицательных числа , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
Остаток всегда меньше	делителя	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени	делителя	, а основание оставляют прежним .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два разных	делителя	: единицу и само это число .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	и перед полученным числом поставить знак « – » .
Докажите , что разность	делится	нацело на 18 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 4 и не	делится	нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ;	делится	нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 121 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения :	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 90 ;	делится	нацело на 35 .
Каждое слагаемое полученной суммы	делится	нацело на 4 , поэтому и сумма делится нацело на 4 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ;	делится	нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел	делится	нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Тогда значение выражения	делится	нацело на 8 при любом натуральном n .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ;	делится	нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 7 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое	делится	нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором значение выражения	делится	нацело на 8 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ;	делится	нацело на 7 .
Следовательно , при любом натуральном n значение данного выражения нацело	делится	на 7 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba	делится	нацело на 99 .
Докажите , что произведение чисел х и у	делится	нацело на 6 .
Докажите , что из них всегда можно выбрать два , разность которых	делится	нацело на 11 .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа	делится	нацело на 16 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 24 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Следовательно , значение этого выражения	делится	нацело на 24 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и суммы его цифр	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ;	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ;	делится	нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ;	делится	нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что разность двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	нацело на 9 .
Следовательно , значение данного выражения	делится	нацело на 121 .
Докажите , что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр	делится	нацело на 3 .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа ,	делится	нацело на 6 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 , значение выражения	делится	нацело на 10 .
Отсюда следует , что значение выражения	делится	нацело на 14
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел не	делится	нацело на 8 .
Докажите , что значение выражения не	делится	нацело на 15 .
Докажите , что значение выражения : 1 ) делится нацело на 14 ; 2 )	делится	нацело на 121 .
Очевидно , что число	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения : 1 )	делится	нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 16 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения	делится	нацело на 8 .
Первое слагаемое 8n суммы	делится	нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не делится .
Докажите , что при всех натуральных значениях n значение выражения	делится	нацело на 6 .
Первое слагаемое 8n суммы делится нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не	делится	.
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел	делится	нацело на 8 .
Очевидно , что число	делится	нацело на 18 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число	делится	нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел	делится	нацело на 4 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ;	делится	нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел	делится	нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4 , поэтому и сумма	делится	нацело на 4 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не	делится	нацело на 3 ? .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что значение выражения	делится	нацело на 11 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са	делится	нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не кратно 3 ,	делится	нацело на 9 .
Следовательно , сумма не	делится	нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не	делится	нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел	делится	нацело на 4 .
Первые два слагаемых делятся нацело на 12 , а третье — не	делится	.
Поэтому и сумма не	делится	нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел	делится	нацело на 10 .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа ,	делится	нацело на 7 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Если сумма цифр числа делится нацело на 9 , то и само число	делится	нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Если сумма цифр числа не	делится	нацело на 9 , то и само число не делится нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9 , то и само число не	делится	нацело на 9 .
Значит , само это число	делится	нацело на 3 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Если сумма цифр числа	делится	нацело на 3 , то и само число делится нацело на 3 .
Следовательно , значение выражения	делится	нацело на 10 при любом чётном значении n .
Если сумма цифр числа делится нацело на 3 , то и само число	делится	нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не	делится	нацело на 3 , то и само число не делится нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3 , то и само число не	делится	нацело на 3 .
Не всегда одно натуральное число	делится	нацело на другое .
При каких целых значениях b корень уравнения является целым числом , которое	делится	нацело на 3 ? .
При каких целых значениях a корень уравнения является целым числом , которое	делится	нацело на 2 ? .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п значение выражения	делится	нацело на 84 ?
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 16 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число ,	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 5 .
Если натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Если каждое из чисел а и b	делится	нацело на число k , то и сумма также делится нацело на число k .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k , то и сумма также	делится	нацело на число k .
Если число а	делится	нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если число а делится нацело на число k , а число b не	делится	нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 , значение выражения	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Если сумма цифр числа	делится	нацело на 9 , то и само число делится нацело на 9 .
Можно ли утверждать , что значение выражения	делится	нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не	делится	нацело на число k .
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то оно	делится	нацело на 10 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не	делится	нацело на 10 .
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то оно	делится	нацело на 2 .
Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой , то оно не	делится	нацело на 2 .
Докажите , что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел , каждое из которых не	делится	нацело на 3 , кратна 3 .
Если запись натурального числа оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно	делится	нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения	делится	нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
Докажите , что разность куба натурального числа и самого этого числа	делится	нацело на 6 .
Докажите , что число :	делится	нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ;	делится	нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 9 ;	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ;	делится	нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что значение выражения :	делится	нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ;	делится	нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел	делится	нацело на 3 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ;	делится	нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ;	делится	нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения	делится	нацело на 10 независимо от значений а и b .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ;	делится	нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что при любом целом значении a значение выражения	делится	нацело на 3 .
На нуль	делить	нельзя ! .
Докажите , что в любом 60-значном числе , десятичная запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет	делиться	нацело на 1001 .
Первые два слагаемых	делятся	нацело на 12 , а третье — не делится .
С двух деревьев собрали 65,4 кг вишен , причём с одного	дерева	собрали на 12,6 кг меньше , чем со второго .
Сколько килограммов вишен собрали с каждого	дерева	? .
В саду	деревьев	больше , чем 90 , но меньше , чем 100 .
Сколько	деревьев	в саду ? .
С двух	деревьев	собрали 65,4 кг вишен , причём с одного дерева собрали на 12,6 кг меньше , чем со второго .
Треть всех деревьев — яблони , а четверть всех	деревьев	— сливы .
Треть всех	деревьев	— яблони , а четверть всех деревьев — сливы .
Сколько всего	деревьев	в парке , если их больше , чем 100 , но меньше , чем 200 ? .
Известно , что в парке —	деревьев	составляют каштаны , а берёзы .
Докажите , что в любом 60-значном числе ,	десятичная	запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001 .
Например , если надо умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде	десятков	больше цифры в разряде единиц .
В двузначном числе количество	десятков	в 3 раза больше количества единиц .
Запись является обозначением двузначного числа , содержащего а	десятков	и b единиц , то есть .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде	десятков	этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Аналогично запись abc является обозначением трёхзначного числа , содержащего а сотен , b	десятков	и с единиц , то есть .
Пусть данное число содержит а	десятков	и b единиц .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5	десятков	и с единиц .
В двузначном числе количество	десятков	на 2 меньше количества единиц .
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде	десятков	меньше цифры в разряде единиц .
Существует ли двузначное число , в котором цифра	десятков	на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х	десятков	и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
э . ) для вычисления целочисленных значений	длин	сторон прямоугольного треугольника .
Точка С принадлежит отрезку АВ ,	длина	которого равна 8 .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 )	длина	прямоугольника равна х м , ширина — у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Эта формула является математической моделью связи между такими величинами , как	длина	стороны квадрата и его периметр .
Какой путь они проехали в первый день , если	длина	всего маршрута составляет 270 км ? .
При этом меняются	длина	мелового следа , масса , объём и даже температура кусочка мела .
По окружности ,	длина	которой равна 100 м , движутся два тела .
Например , пусть	длина	маршрута автобуса равна 15 км .
Длина отрезка АС равна х ,	длина	отрезка ВС — у.
— стоимость проезда ) ; металлическую пружину растянули и отпустили ( х с — время , у см —	длина	пружины ) ; 3 ) цена клубники на рынке в течение мая — июня ( х дней — время , у р .
Ясно , что переменные величины « стоимость проезда » и «	длина	пути , который проезжает пассажир » связаны между собой .
Как зависит	длина	пройденного им пути s от времени движения t ?
Пусть а —	длина	ребра куба , V — его объём .
через каждые 10 км пути ( х км —	длина	пути , у р .
Канат	длиной	30 м разрезали на три части .
Если	длину	увеличить на 2 см , а ширину уменьшить на 4 см , то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см2 .
Найдите	длину	пути .
Если	длину	прямоугольника увеличить на 6 см , то его площадь увеличится на 72 см2 .
Действительно , если пассажир заплатил 30 р . , то нельзя однозначно установить	длину	пути , который он проехал .
Найдите	длину	каждой части каната .
Найдите исходные	длину	и ширину прямоугольника .
Если	длину	стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную	длину	стороны , найти соответствующее значение периметра квадрата .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см —	длины	соседних сторон прямоугольника .
В этом случае периметр прямоугольника будет равен 14 единицам	длины	.
Если	длины	сторон двух других квадратов обозначить х см и у см , то получим равенство .
Аршин — старинная мера	длины	, равная 71,12 см .
Ширина прямоугольника на 8 см меньше его	длины	.
Обозначим	длины	его сторон х см и у см. Тогда .
Составьте выражения для вычисления	длины	синей линии и площади фигуры , которую она ограничивает .
Приёмы	доказательства	тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается с помощью	доказательства	, называют теоремой .
Истинность его можно установить только путём	доказательства	.
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без	доказательства	) .
Какие приёмы используют для	доказательства	тождеств ? .
э . ) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически , восстановите его	доказательство	.
Вы можете рассмотреть	доказательство	этого факта на занятиях математического кружка .
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных	дробей	, а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
найти дополнительные множители для каждой из	дробей	, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей ;
При вычитании	дробей	с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Деление обыкновенных	дробей	.
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на знаменатели данных	дробей	;
Сложение и вычитание	дробей	.
Приведение	дробей	к наименьшему общему знаменателю .
Сокращение	дробей	.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных	дробей	;
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом умножения	дробей	.
Умножение обыкновенных	дробей	.
Умножив обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем	дробей	, содержащихся в этом уравнении , получаем .
Считают , что . Произведением двух	дробей	является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания )	дробей	с равными знаменателями .
Сведения из курса математики 5–6 классов Числа и действия над ними Основное свойство	дроби	.
Если числитель и знаменатель данной	дроби	разделить на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
Чтобы сложить две	дроби	с равными знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы найти число по значению его	дроби	, можно это значение разделить на эту дробь .
умножить числитель и знаменатель каждой	дроби	на её дополнительный множитель .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением	дроби	.
Нахождение числа по его	дроби	.
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде	дроби	и разделить значение процентов на эту дробь .
— египетские	дроби	.
Аликвотные	дроби	.
Чтобы привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Нахождение	дроби	от числа .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде	дроби	и умножить число на эту дробь .
Если числитель и знаменатель данной	дроби	умножить на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Деление числителя и знаменателя	дроби	на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Чтобы сложить ( вычесть ) две	дроби	с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Данную функцию называют «	дробная	часть числа » , и для неё существует специальное обозначение : у меньше { х } .
Объединив целые числа с	дробными	, получим рациональные числа .
Считают , что . Произведением двух дробей является	дробь	, числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Чтобы найти	дробь	от числа , можно число умножить на эту дробь .
Если сократить	дробь	на наибольший общий делитель числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя , то получим несократимую	дробь	.
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю .
Чтобы найти число по значению его дроби , можно это значение разделить на эту	дробь	.
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту	дробь	.
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получим	дробь	, равную данной .
Чтобы найти дробь от числа , можно число умножить на эту	дробь	.
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель , то получим	дробь	, равную данной .
Например , если надо умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту	дробь	.
Известно , что а и b — натуральные числа , а число a / b — правильная	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у	единиц	; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде	единиц	.
Пусть данное число содержит а десятков и b	единиц	.
Представьте в виде многочлена число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с	единиц	.
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его	единиц	, а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде	единиц	.
Запись является обозначением двузначного числа , содержащего а десятков и b	единиц	, то есть .
Аналогично запись abc является обозначением трёхзначного числа , содержащего а сотен , b десятков и с	единиц	, то есть .
В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества	единиц	.
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с	единиц	; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры	единиц	, а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
В двузначном числе количество десятков в 3 раза больше количества	единиц	.
Поскольку , то последней цифрой значения выражения является	единица	.
В этом случае периметр прямоугольника будет равен 14	единицам	длины .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два разных делителя :	единицу	и само это число .
Например , если надо умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса	запятой	.
Вокруг	звезды	вращается несколько планет , расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными .
Подставьте вместо	звёздочек	такие одночлены , чтобы выполнялось тождество .
Поставьте вместо	звёздочек	такие одночлены , чтобы выполнялось тождество .
Какие одночлены надо подставить вместо	звёздочек	, чтобы выполнялось тождество .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы выполнялось тождество .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной а .
Какой одночлен следует подставить вместо	звёздочки	, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражение .
Вместо	звёздочки	запишите такой многочлен , чтобы образовалось тождество .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы выполнялось равенство .
Вместо	звёздочки	запишите такое выражение , чтобы выполнялось равенство , где n — натуральное число .
Замените	звёздочки	такими одночленами , чтобы образовалось тождество .
Замените	звёздочки	такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Самые сложные задания , требующие много времени , отмечены	звёздочкой	.
Замените	звёздочку	такой степенью , чтобы выполнялось равенство .
Замените	звёздочку	такой степенью с основанием а , чтобы выполнялось равенство .
Каким одночленом надо заменить	звёздочку	, чтобы выполнялось равенство .
В равенстве замените	звёздочку	таким выражением , чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
В равенстве замените	звёздочку	таким выражением , чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело корней ;
Каким выражением можно заменить	звёздочку	в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
Сколько это составляет тонн	зерна	?
Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей	зерна	ежегодно спасают благодаря кошкам ?
Каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков , а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного	зерна	.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел , надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать	знак	процента .
Если перед скобками стоит	знак	« – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Если перед скобками стоит	знак	« плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Если перед скобками стоит знак « плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот	знак	, а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Для этого возьмём их в скобки и поставим между ними	знак	« плюс » .
Если перед скобками стоит знак « – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот	знак	, а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Для равенства Диофант применял	знак	ισ — первые две буквы слова ισος — « исос » , то есть « равный » .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить	знак	« – » .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же самые корни , что и данное .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед вычитаемым	знак	« минус » .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить	знак	слагаемого с большим модулем .
сложить модули слагаемых ; 3 ) перед полученным числом поставить	знак	« – » .
Чтобы умножить два числа с разными знаками , надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить	знак	« — » .
Чтобы разделить два числа с разными	знаками	, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы умножить два числа с разными	знаками	, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Чтобы сложить два числа с разными	знаками	, надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Если перед скобками стоит знак « – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все	знаки	, стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные	знаки	.
Это цифры , буквы ,	знаки	математических действий и т .
Леонард Эйлер ввёл	знаки	( не равно ) , ( сумма ) , скобки ( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики .
Если перед скобками стоит знак « плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все	знаки	, стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые	знаки	; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Запись , составленную из чисел ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют числовым выражением .
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , является буквенным выражением .
Запись , состоящую из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
Запись , составленную из чисел , букв ,	знаков	арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
Выражение отношения между величинами , записанное с помощью математических	знаков	.
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению	знаменателей	.
Умножив обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим	знаменателем	дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на	знаменатели	данных дробей ;
Чтобы сложить две дроби с равными знаменателями , надо сложить их числители , а	знаменатель	оставить тот же .
Если числитель и	знаменатель	данной дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий	знаменатель	данных дробей ;
Если числитель и	знаменатель	данной дроби разделить на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а	знаменатель	оставить без изменения .
найти дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий	знаменатель	на знаменатели данных дробей ;
Дробь , числитель и	знаменатель	которой — взаимно простые числа , называют несократимой .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а	знаменатель	— произведению знаменателей .
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а	знаменатель	оставить тот же самый .
умножить числитель и	знаменатель	каждой дроби на её дополнительный множитель .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	, надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Приведение дробей к наименьшему общему	знаменателю	.
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему	знаменателю	, а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	, то получим несократимую дробь .
Деление числителя и	знаменателя	дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
При всех ли натуральных значениях n	значение	выражения кратно 8 ? .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 4 и не делится нацело на 12 .
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной , называют функцией .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а число — и найти	значение	числового выражения .
Отсюда следует , что	значение	выражения делится нацело на 14
Найдите при этих же значениях x и y	значение	выражения .
Сравните с нулём	значение	выражения .
Докажите , что при любом целом значении a	значение	выражения делится нацело на 3 .
Можно ли утверждать , что	значение	выражения делится нацело на 3 при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Найдём	значение	выражения .
При всех ли натуральных значениях n	значение	выражения кратно 12 ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 6 .
При каком значении переменной	значение	выражения на 15 больше значения выражения .
Докажите , что	значение	выражения : 1 ) делится нацело на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Найдите	значение	а .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	: 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите при этом значении a	значение	выражения .
Например , в 6 классе	значение	выражения находили так .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Найдите	значение	выражения , разложив его предварительно на множители .
Следовательно , при любом натуральном n	значение	данного выражения нацело делится на 7 .
При каком значении переменной данное выражение принимает наибольшее	значение	.
При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 10 независимо от значений а и b .
Докажите , что при всех натуральных значениях n	значение	выражения делится нацело на 6 .
Найдите	значение	k.
Представьте в виде степени выражение и вычислите его	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 ,	значение	выражения делится нацело на 5 .
При каком значении х равно нулю	значение	выражения ? .
Вычислите , используя вынесение общего множителя за скобки ,	значение	многочлена .
Докажите , что	значение	выражения : кратно 61 .
Докажите , что при любых значениях х	значение	выражения является положительным числом .
Функция задана описательно :	значение	функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное	значение	переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите	значение	выражения .
Упростите выражение и найдите его	значение	.
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 ,	значение	выражения делится нацело на 10 .
Докажите , что при любом значении х	значение	выражения больше соответствующего значения выражения .
Упростите выражение и найдите его	значение	, если .
Докажите , что если . Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Вычислите	значение	произведения , используя формулу .
При каком значении aргумента	значение	функции равно – 2 ? .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что	значение	выражения ; не зависит от значения переменной .
Докажите , что	значение	выражения кратно 7 при всех натуральных значениях n.
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых	значение	второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	: 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что	значение	выражения тождественно равно нулю .
Подставим найденное	значение	переменной х в уравнение .
Следовательно ,	значение	данного выражения делится нацело на 121 .
На сколько	значение	выражения больше числа 2 ? .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
При всех положительных значениях аргумента	значение	функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Делится ли	значение	выражения нацело на 60 ?
Найдите при тех же самых значениях m , n и k	значение	выражения .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 7 .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге	значение	переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Подставив найденное	значение	х в первое уравнение данной системы , получим .
Подставим найденное	значение	y в первое уравнение исходной системы .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k значение выражения равно 2 , а	значение	выражения равно 3 .
Известно , что при некоторых значениях m , n и k	значение	выражения равно 2 , а значение выражения равно 3 .
Подставим найденное	значение	переменной х в любое из уравнений системы , например в первое .
На сколько	значение	выражения меньше числа 10 ? .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело : 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
Значение переменной a таково , что	значение	выражения равно 2 .
Докажите , что	значение	выражения кратно числу .
Чему равно	значение	выражения ? .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором	значение	выражения делится нацело на 8 .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п	значение	выражения делится нацело на 84 ?
Найдите	значение	х .
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое	значение	переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Известно , что при некотором значении a	значение	выражения равно – 4 .
Найдите при этом значении y	значение	выражения .
Известно , что при некотором значении y	значение	выражения равно 6 .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее	значение	переменной х , можем найти бесконечно много решений данного уравнения .
Так как по условию	значение	выражения 6х на 22 больше значения выражения , то получаем уравнение .
Пользуясь графиком , найдите значения аргумента , при которых	значение	функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Найдите	значение	y .
При этом говорят , что — значение переменной х , а число 4 —	значение	выражения 2х плюс 3 при х .
При этом говорят , что —	значение	переменной х , а число 4 — значение выражения 2х плюс 3 при х .
Заполните таблицу , вычислив	значение	выражениям для данных значений х .
Упражнения . Найдите	значение	числового выражения .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 3 .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной .
Делится ли	значение	выражения нацело на 200 ?
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 12 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Чему равно	значение	выражения .
Следовательно ,	значение	выражения делится нацело на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором	значение	выражения не делилось бы нацело на 3 ?
Существует ли такое натуральное	значение	n , при котором значение выражения не делилось бы нацело на 3 ?
Докажите , что при любом значении переменной	значение	выражения равно 16 .
Составьте числовое выражение и найдите его	значение	произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Если переменные в уравнении обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая решение в виде пары , надо договориться ,	значение	какой переменной ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором	значение	выражения делилось бы нацело на 5 .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Найдите	значение	выражения , если .
В скобках на первом месте пишут значение переменной х , а на втором —	значение	переменной у .
Вычислите	значение	полученного выражения при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности , радиусы которых равны R и r , имеют общий центр .
В скобках на первом месте пишут	значение	переменной х , а на втором — значение переменной у .
Вычислите	значение	полученного выражения при R меньше 5,1 см , r — 4,9 см .
Вычислите	значение	выражения , предварительно разложив его на множители .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Найдите	значение	выражения если .
Найдите все натуральные значения n , при которых	значение	каждого из выражений является простым числом .
Докажите , что	значение	произведения ab кратно 6 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что	значение	выражения , кратно .
При каком значении a сумма принимает наименьшее	значение	, если .
Докажите , что	значение	выражения не делится нацело на 15 .
Вычислите	значение	выражения .
При каком значении a разность принимает наименьшее	значение	, если .
Докажите , что при любом значении переменной	значение	выражения равно – 11 .
Может ли быть целым числом	значение	выражения .
Чему равно	значение	выражения 0n при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 4 .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 8 .
Каким числом , чётным или нечётным , является	значение	выражения ? .
Тогда	значение	выражения делится нацело на 8 при любом натуральном n .
Каким числом , положительным или отрицательным , является	значение	степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Чему равно	значение	a ? .
Чему равно	значение	b ? .
Правило , с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной .
Докажите , что при любом натуральном значении n	значение	выражения кратно 42 .
Вычислите	значение	числового выражения .
Докажите , что	значение	выражения кратно 5 .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить	значение	другой переменной ; 6 ) записать ответ .
При каком значении переменной :	значение	выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно 12 .
Их сумма , а следовательно , и данный многочлен будут принимать нулевое	значение	тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Найдите значение функции , если	значение	аргумента равно .
Найдите	значение	функции , если значение аргумента равно .
1 ) Так как – 2 меньше – 1 , то	значение	функции вычисляется по формуле .
Вычислите с помощью калькулятора сначала	значение	исходного выражения , затем — значение yпрощённого выражения .
Найдите	значение	выражения , представив его предварительно в виде квадрата двучлена .
Найдите	значение	х , при котором Функция задана формулой .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Найдите значение функции , если	значение	аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Следовательно ,	значение	этого выражения делится нацело на 24 .
Найдите	значение	функции , если значение аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел , найдите	значение	данного выражения .
Чтобы найти искомое	значение	аргумента , решим уравнение .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых	значение	функции равно нулю ; ;
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Какой цифрой оканчивается	значение	выражения ( n — натуральное число ) ? .
При каких значениях х и у	значение	многочлена равно нулю ? .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ;	значение	выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Так как	значение	квадрата равно нулю тогда и только тогда , когда его основание равно нулю , то получаем : Ответ : 1,5 .
Докажите , что при любом нечётном значении п	значение	выражения кратно 120 .
Какое наименьшее	значение	принимает выражение и при каком значении х ? .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной , входящей в него .
Функция считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти	значение	зависимой переменной .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее	значение	аргумента .
Функция f задана описательно :	значение	функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно 12 .
Укажите наименьшее натуральное	значение	n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и	значение	– 1 при нечётных значениях aргумента .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает	значение	1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Представьте выражение в виде степени и вычислите его	значение	( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ;	значение	выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 90 ; делится нацело на 35 .
Очевидно , что таким способом	значение	зависимой переменной находится однозначно .
Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее	значение	функции .
Отсюда наименьшее	значение	, равное 1 , данное выражение принимает при х меньше 2 .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое	значение	независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 24 .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения при делении на 7 даёт остаток , равный 4 .
Здесь по заданному значению переменной х не всегда однозначно находится	значение	переменной у .
Найдите	значение	х , при котором .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то	значение	функции равно нулю .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента	значение	функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Вычислите	значение	полученного выражения при а равно 4 , b равно 12 , s равно 12 .
Для каждого положительного аргумента	значение	функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее	значение	функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Докажите , что выражение принимает отрицательное	значение	при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Если х0 — некоторое	значение	аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Найдите	значение	выражения при .
При каких значениях х	значение	функции равно удвоенному значению аргумента ? .
При некотором значении х	значение	выражения равно 10 .
При этом значение аргумента является абсциссой точки , а соответствующее	значение	функции — её ординатой .
Какое	значение	принимает выражение при этом же значении х ? .
Чему равно	значение	а ? .
Докажите , что	значение	суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа , делится нацело на 7 .
При этом	значение	аргумента является абсциссой точки , а соответствующее значение функции — её ординатой .
При каком значении х	значение	функции равно значению аргумента ? .
2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно .
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее	значение	принимает это выражение и при каком значении х ? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых	значение	функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти	значение	данной функции при х равно 0 .
Какое наибольшее	значение	и при каком значении переменной принимает выражение .
Найдите	значение	y , если : функция задана формулой .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 5 .
Какое наименьшее	значение	и при каком значении переменной принимает выражение .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге	значение	переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Упростите выражение и найдите его	значение	при .
Если	значение	функции будет равно ординате данной точки , то точка принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Найдите	значение	y , если : функция задана формулой у.
Докажите , что	значение	выражения кратно 8 при любом натуральном значении n .
Найдите	значение	одночлена .
Найдите	значение	b , при котором график функции проходит через точку .
При каких значениях х и у равно нулю	значение	многочлена .
Какое наименьшее	значение	принимает это выражение и при каком значении у ? .
Докажите , что	значение	выражения кратно 3 при любом натуральном значении m .
Докажите , что выражение принимает положительное	значение	при любом значении у.
Существуют ли такие значения х и у , при которых равно нулю	значение	многочлена .
2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции , найдём	значение	функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена ,	значение	суммы Решение .
Значения переменных m , n и р таковы , что Найдите	значение	выражения .
Функция f задана описательно :	значение	функции равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
Докажите , что	значение	выражения не зависит от значения переменной х .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Докажите , что	значение	выражения является чётным числом .
При каком значении переменной	значение	квадрата двучлена на 225 больше значения квадрата двучлена ? .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм , для которого входными данными будет значение независимой переменной , а выходными —	значение	зависимой переменной .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм , для которого входными данными будет	значение	независимой переменной , а выходными — значение зависимой переменной .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного выражения , затем —	значение	yпрощённого выражения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Найдите : 1 ) значение y , если ; 2 )	значение	х , при котором .
Вычислите	значение	y по формуле у , если . Найдите координаты точек А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти	значение	величины t.
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное	значение	зависимой переменной .
Для функции f каждому значению аргумента х соответствует некоторое	значение	зависимой переменной у.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Подчеркнём , что этот график задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите	значение	многочлена при указанных значениях переменных .
Корнем уравнения называют	значение	переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
Приведите подобные члены и найдите	значение	многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Найдите	значение	многочлена .
Докажите , что	значение	выражения : делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Назовите одночлены , суммой которых является данный многочлен : Найдите	значение	многочлена .
Следовательно ,	значение	выражения является отрицательным числом при любом значении a .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину стороны , найти соответствующее	значение	периметра квадрата .
Выражение при любом значении a принимает неположительное	значение	.
Подчеркнём , что эта формула задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти	значение	зависимой переменной .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить	значение	процентов на эту дробь .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Докажите , что при любом значении переменной а	значение	выражения является отрицательным числом .
Пользуясь графиком , найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Найдите : 1 )	значение	y , если ; 2 ) значение х , при котором .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что	значение	разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Какое наименьшее	значение	может принимать выражение .
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что значению а аргумента соответствует	значение	b функции .
Например , f(7 ) — это	значение	функции при х равно 7 .
Является ли правило , с помощью которого по значению переменной t находят	значение	переменной V , функцией ?
Какое наибольшее	значение	и при каком значении переменной может принимать выражение ? .
Найдите	значение	каждого из следующих выражений при .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что	значение	выражения делится нацело на 11 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , отличном от 1 ,	значение	выражения является составным числом .
Докажите , что	значение	выражения делится нацело на 121 .
Найдите	значение	выражения Докажите , что если .
Какое наименьшее	значение	и при каком значении переменной может принимать выражение ? .
В случае утвердительного ответа укажите	значение	коэффициента k.
Найдите	значение	выражения , используя распределительное свойство умножения .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Докажите , что при любом натуральном n	значение	выражения делится нацело на 16 .
Найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите : 1 ) значение функции , если	значение	аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Найдите такое наименьшее натуральное	значение	a , при котором выражение принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Чтобы найти число по значению его дроби , можно это	значение	разделить на эту дробь .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ;	значение	выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
Какой цифрой оканчивается	значение	выражения ?
Укажите какое - либо	значение	b , при котором будет целым числом корень уравнения .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором	значение	функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 )	значение	аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Найдите : 1 )	значение	функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Число 14 называют	значением	числового выражения .
Число 11 называют	значением	буквенного выражения при .
Поскольку , то число 4 называют	значением	выражения .
Что называют	значением	функции ? .
Следовательно , сумма цифр числа , являющегося	значением	данного выражения , равна 3 .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между	значением	аргумента и целой частью аргумента .
Значение зависимой переменной ещё называют	значением	функции .
Во втором случае , когда b ≠ 0 , при любом	значении	х получим неверное равенство Ох равно b. Отсюда : если а равно 0 и b ≠ 0 , то уравнение ах равно b корней не имеет .
При каком	значении	х верно равенство .
При каком	значении	aргумента эти функции принимают равные значения ? .
Известно , что при некотором	значении	y значение выражения равно 6 .
Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом	значении	х .
Докажите , что при любом целом	значении	a значение выражения делится нацело на 3 .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
При каком	значении	b система уравнений имеет бесконечно много решений ? .
Найдите при этом	значении	y значение выражения .
При каком	значении	a система уравнений не имеет решений ? .
Докажите , что при любом	значении	переменной значение выражения равно 16 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 5 при любом натуральном	значении	n .
При каком	значении	a уравнение 1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет корней ;
При каком	значении	х значение функции равно значению аргумента ? .
При каком	значении	a уравнение имеет бесконечно много корней ? .
Известно , что при некотором	значении	a значение выражения равно – 4 .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения кратно 4 .
Докажите , что при любом	значении	переменной значение выражения равно – 11 .
При каком	значении	a уравнение не имеет корней ?
Докажите , что значение выражения кратно 8 при любом натуральном	значении	n .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n , отличном от 1 , значение выражения является составным числом .
При каком	значении	a имеет решение система уравнений .
При каком	значении	k прямая проходит через точку пересечения прямых ? .
Докажите , что значение выражения кратно 3 при любом натуральном	значении	m .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения кратно 6 .
При каком	значении	a имеет бесконечно много корней уравнение .
Найдите при этом	значении	a значение выражения .
При каком	значении	a не имеет корней уравнение .
Найдите такое наименьшее натуральное значение a , при котором выражение принимает положительные значения при любом	значении	х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
При каком	значении	с уравнения имеют один и тот же корень ? .
Докажите , что при любом нечётном	значении	п значение выражения кратно 120 .
При каком	значении	переменной значение выражения на 15 больше значения выражения .
Какое наименьшее значение и при каком	значении	переменной может принимать выражение ? .
При каком	значении	a уравнение имеет корень , равный числу – 9 ; имеет корень , равный числу 2 ? .
Какое наибольшее значение и при каком	значении	переменной может принимать выражение ? .
Особенностью является то , что эта прямая при любом	значении	k проходит через точку О ( 0 ; 0 ) .
При каком	значении	a уравнение имеет корень , равный числу 3 ; имеет корень , равный числу – 6 ? .
При каком	значении	переменной выполняется равенство ? .
При каком	значении	переменной выражения принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
Какое значение принимает выражение при этом же	значении	х ? .
Какое наименьшее значение принимает выражение и при каком	значении	х ? .
Верно ли , что при любом	значении	a. Учимся делать нестандартные шаги .
Чему равно значение выражения 0n при любом натуральном	значении	n ? .
При каком	значении	a разность принимает наименьшее значение , если .
При каком	значении	a сумма принимает наименьшее значение , если .
Следовательно , значение выражения делится нацело на 10 при любом чётном	значении	n .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном	значении	п значение выражения делится нацело на 84 ?
При каком	значении	переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
При каком	значении	m график функции пересекает ось х в точке с абсциссой – 1 ? .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 10 при любом чётном	значении	n .
При каком	значении	b уравнение 1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет корней ;
При каком	значении	aргумента значение функции равно – 2 ? .
При каком	значении	независимой переменной функции принимают равные значения ?
При каком	значении	переменной данное выражение принимает наибольшее значение .
При каком	значении	переменной х функции принимают равные значения ?
При каком	значении	k график функции проходит через точку ? .
При каком	значении	переменной данное выражение принимает наименьшее значение .
При каком	значении	a уравнение не имеет корней ? .
При каком	значении	a любое число является корнем уравнения .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном	значении	n.
Следовательно , значение выражения является отрицательным числом при любом	значении	a .
При каком	значении	b уравнения имеют один и тот же корень ? .
При каком	значении	b графики функций пересекаются в одной точке ? .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном	значении	n .
Выражение при любом	значении	a принимает неположительное значение .
При каком	значении	х равно нулю значение выражения ? .
Докажите , что при любом	значении	переменной а значение выражения является отрицательным числом .
Докажите , что при любом	значении	х значение выражения больше соответствующего значения выражения .
При каком	значении	переменной значение квадрата двучлена на 225 больше значения квадрата двучлена ? .
При каком	значении	a уравнение : 1 ) имеет бесконечно много корней ; 3 ) имеет один корень ?
При каком	значении	a пара является решением уравнения .
При каком	значении	b график уравнения проходит через точку ? .
При каком	значении	b точка пересечения прямых принадлежит оси ординат ? .
Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком	значении	у ? .
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом	значении	х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Можно ли утверждать , что значение выражения делится нацело на 3 при любом натуральном	значении	n ? .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции , найдём значение функции при	значении	aргумента , равном абсциссе данной точки .
Докажите , что выражение принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком	значении	х ? .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения кратно 42 .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n , большем 1 , значение выражения делится нацело на 10 .
Докажите , что выражение принимает положительное значение при любом	значении	у.
Докажите , что при любом натуральном	значении	n , не кратном 5 , значение выражения делится нацело на 5 .
При каком	значении	a имеет бесконечно много решений система уравнений .
При каком	значении	a через точку A ( 5 ; – 3 ) проходит график уравнения ? .
При каком	значении	a график уравнения проходит через точку ? .
При некотором	значении	х значение выражения равно 10 .
При каком	значении	a пара чисел ( – 4 ; 2 ) является решением уравнения ? .
При каком	значении	a точка пересечения прямых принадлежит оси абсцисс ? .
При каком	значении	a пара чисел является решением уравнения ? .
Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном	значении	n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
При каком	значении	a через точку М ( 3 ; – 2 ) проходит график функции .
Какое наименьшее значение и при каком	значении	переменной принимает выражение .
Какое наибольшее значение и при каком	значении	переменной принимает выражение .
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком	значении	х .
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком	значении	х .
При каком	значении	a график уравнения проходит через начало координат ? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область	значений	функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
э . ) для вычисления целочисленных	значений	длин сторон прямоугольного треугольника .
Область	значений	функции .
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару	значений	переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
область определения и область	значений	функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих	значений	аргумента .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих	значений	аргумента .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих	значений	аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
Задайте формулой функцию , если значения функции на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных	значений	соответствующих аргументов .
Составьте таблицу	значений	функции , заданной формулой , где – 1 меньше х меньше 3 , с шагом 0,5 .
Составьте таблицу	значений	функции , заданной формулой , где – 3 меньше х меньше 2 , с шагом 1 .
Заполните таблицу соответствующих	значений	х и у .
Понятно , что не существует такой пары	значений	х и у , при которых выражение одновременно принимает значения и 6 , и 7 .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара	значений	переменных .
Пару	значений	переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют решением системы уравнений с двумя переменными .
Какова область	значений	этой функции ? .
Какие случаи надо предусмотреть , чтобы этот алгоритм выдавал правильный ответ для любых	значений	а и b ? .
Что такое область	значений	функции ? .
Все значения , которые принимает зависимая переменная , образуют область	значений	функции .
Составьте таблицу	значений	функции с шагом 1 .
Пользуясь графиком функции , укажите область	значений	функции .
Найдите : 1 ) значения функции для	значений	аргумента , равных ;
Составим таблицу	значений	этой функции для некоторых значений аргумента .
Составим таблицу значений этой функции для некоторых	значений	аргумента .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу	значений	функции , имеющую лишь два столбца .
Составим таблицу	значений	данной функции для двух произвольных значений аргумента .
Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных	значений	аргумента .
Составьте таблицу	значений	температуры Т за время нагревания от 0 мин до 10 мин с шагом 1 мин .
Ясно , что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях	значений	аргумента .
Пару	значений	переменных , обращающую уравнение в верное равенство , называют решением уравнения с двумя переменными .
В случае утвердительного ответа найдите область определения и область	значений	этой функции .
Придумайте функцию f , областью определения которой являются все натуральные числа , а областью	значений	— три числа : 0 ; 1 ; 2 .
Эта формула показывает , что для функции у равно kx при х ≠ 0 отношение соответствующих	значений	зависимой и независимой переменных остаётся постоянным и равно k .
Найдите : 1 ) область определения и область	значений	функции ; 2 ) g(7 ) ; g(3 ) ; g(l ) ; g(9 ) ; g(4 ) .
Найдите её область определения и область	значений	.
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих	значений	этих величин равно одному и тому же для этих величин числу .
В случае утвердительного ответа укажите , что является аргументом соответствующей функции , её область определения и область	значений	.
В случае утвердительного ответа укажите область определения и область	значений	этой функции .
В этом случае говорят , что пара	значений	переменных удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является решением этого уравнения .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область	значений	функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
В примере 1 область	значений	функции — это все положительные числа , в примере 2 — числа , записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все числа , не меньшие – 5 и не большие 7 .
Отсюда для всех не равных нулю	значений	аргумента можно записать , что .
Составим таблицу	значений	этой функции при целых значениях aргумента .
Заполните таблицу	значений	s .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 10 независимо от	значений	а и b .
Заполните таблицу , вычислив значение выражениям для данных	значений	х .
Докажите , что не существует таких	значений	х и у , при которых многочлены одновременно принимают отрицательные значения .
Чтобы найти число по	значению	его дроби , можно это значение разделить на эту дробь .
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому	значению	независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной .
Подчеркнём , что этот график задаёт правило , с помощью которого по	значению	независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной .
При каком значении х значение функции равно	значению	аргумента ? .
При каких значениях х значение функции равно удвоенному	значению	аргумента ? .
Правило , с помощью которого по	значению	независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной .
Подчеркнём , что эта формула задаёт правило , с помощью которого по	значению	независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной .
Правило , с помощью которого по каждому	значению	независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной , называют функцией .
Является ли правило , с помощью которого по	значению	переменной t находят значение переменной V , функцией ?
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что	значению	а аргумента соответствует значение b функции .
Таблица позволяет по указанному	значению	аргумента найти соответствующее значение функции .
Здесь по заданному	значению	переменной х не всегда однозначно находится значение переменной у .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по	значению	величины Т однозначно найти значение величины t.
Значение функции f , которое соответствует	значению	х аргумента х , обозначают f(x0 ) .
Для функции f каждому	значению	аргумента х соответствует некоторое значение зависимой переменной у.
Функция считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому	значению	независимой переменной найти значение зависимой переменной .
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные	значения	при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Найдите	значения	k и h .
Вообще , в происходящих вокруг нас процессах многие величины меняют свои	значения	.
Найдите такие	значения	х , при которых выражение можно представить в виде квадрата суммы .
При каком значении переменной выражения принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше	значения	выражения ? .
Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше	значения	выражения , то получаем уравнение .
При каком значении переменной выражения принимают равные	значения	; значение выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше	значения	выражения ? .
Запись значения выражения состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись	значения	выражения — из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
Мы представили данный многочлен в виде суммы двух слагаемых , которые могут принимать только неотрицательные	значения	.
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от	значения	переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Пользуясь графиком , найдите , при каких значениях aргумента	значения	функции меньше нуля и при каких — больше нуля .
Все	значения	, которые принимает аргумент , образуют область определения функции .
В таблице приведены соответствующие	значения	величин х и у. Установите , являются ли эти величины прямо пропорциональными .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные	значения	; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Найдите какие - нибудь три натуральных	значения	переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Пользуясь графиком , найдите	значения	аргумента , при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Поэтому последней цифрой	значения	выражения является нуль .
Сравните	значения	выражений .
Сравните	значения	выражений , не вычисляя их .
Поскольку , то последней цифрой	значения	выражения является единица .
Докажите , что значение выражения не зависит от	значения	переменной х .
Докажите , что выражение принимает только положительные	значения	.
Расположите в порядке возрастания	значения	выражений .
Такого	значения	не существует .
Сравните	значения	выражений а2 и ǀаǀ при а равно – 1 ; 0 ; 1 .
Какое из выражений принимает только отрицательные	значения	при любом значении х .
При каком значении переменной : значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше	значения	выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Докажите , что выражение принимает неотрицательные	значения	при всех значениях a .
значения аргумента , при которых	значения	функции отрицательные .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные	значения	.
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие	значения	переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 )	значения	аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её	значения	, то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные	значения	.
Сравните с нулём	значения	выражений .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 )	значения	аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Правило , с помощью которого для каждого	значения	независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные	значения	.
При каком значении независимой переменной функции принимают равные	значения	?
Докажите , что выражение принимает неотрицательные	значения	при любых значениях переменных .
Есть ли среди них выражения , принимающие равные	значения	?
При каком значении переменной х функции принимают равные	значения	?
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 )	значения	аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Действительно , поскольку , то при х ≠ 0 или у ≠ 0 левая часть уравнения принимает только положительные	значения	.
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных	значения	аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 )	значения	аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Рассмотрим две пары выражений : приведены	значения	этих выражений при некоторых значениях переменной х .
Докажите , что значение выражения не зависит от	значения	переменной .
Найдите все целые	значения	m , при которых корень уравнения является целым числом .
Ясно , что в этом случае	значения	функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента .
Существуют ли такие значения х и у , при которых многочлены одновременно принимают отрицательные	значения	? .
Выражения , соответственные	значения	которых равны при любых значениях входящих в них переменных , называют тождественно равными .
Модуль числа принимает только неотрицательные	значения	.
Найдите все целые	значения	n , при которых корень уравнения является натуральным числом .
Найдите	значения	k и b .
А вот	значения	выражений , записанных во второй таблице , совпадают при любых значениях х.
Докажите , что выражение принимает неположительные	значения	при всех значениях х .
Существуют ли такие	значения	х и у , при которых многочлены одновременно принимают отрицательные значения ? .
Мы видим , что эти	значения	совпадают для каждой отдельно взятой пары выражений .
Может ли принимать положительные	значения	выражение .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от	значения	переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
В случае утвердительного ответа укажите	значения	коэффициентов k и b .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость	значения	переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Так как при любых значениях х , то выражение принимает только положительные	значения	.
Значение аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше	значения	аргумента в предыдущем столбце .
Запись	значения	выражения состоит из цифры 1 и двухсот цифр 0 , а запись значения выражения — из цифры 1 , цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0 .
При каком значении aргумента эти функции принимают равные	значения	? .
Найдите : 1 )	значения	функции для значений аргумента , равных ;
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа , а	значения	функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Задайте формулой функцию , если	значения	функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Докажите , что не существует таких значений х и у , при которых многочлены одновременно принимают отрицательные	значения	.
Найдите все натуральные	значения	n , при которых значение каждого из выражений является простым числом .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от	значения	переменной .
Подберите такие	значения	а и b , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
Задайте формулой функцию , если	значения	функции на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
Подберите такие	значения	m и n , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
Найдите	значения	функции соответствующие аргументам .
Насколько упрощение выражения облегчило работу по вычислению его	значения	? .
Отрицательные	значения	переменных a и b таковы , что ab равно 16 .
Для каждой пары выражений найдите все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего	значения	первого выражения .
Для каждой пары выражений найдите все	значения	а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Найдите	значения	функции f , соответствующие аргументам : 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
Найдите	значения	а и b .
Докажите , что значение выражения не зависит от	значения	переменной , входящей в него .
Начертите график изменения у , придавая х	значения	от 0 до 10 .
Докажите , что не существует натурального	значения	n , при котором значение выражения делилось бы нацело на 5 .
Найдите такое наименьшее натуральное значение a , при котором выражение принимает положительные	значения	при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Пусть независимая переменная принимает любые	значения	.
При одних и тех же натуральных значениях n	значения	выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Докажите , что не существует такого	значения	а , при котором прямая проходит через начало координат .
Какое из данных выражений принимает только отрицательные	значения	? .
Пусть независимая переменная принимает любые	значения	, кроме 0 .
Соответствующие	значения	зависимой и независимой переменных — взаимно обратные числа .
Понятно , что не существует такой пары значений х и у , при которых выражение одновременно принимает	значения	и 6 , и 7 .
Чему равен остаток при делении на 9	значения	выражения , где n — произвольное натуральное число ?
Какая последняя цифра	значения	выражения ? .
При каком значении переменной значение выражения на 15 больше	значения	выражения .
Данное выражение представлено в виде произведения двух множителей , первый из которых равен 7 , а второй принимает только целые	значения	.
Выберите какие - нибудь	значения	переменных .
Положительные	значения	переменных a и b таковы , что ab равно 15 .
Докажите , что выражение принимает положительные	значения	при любых значениях х.
Для какого	значения	показателя надо рассмотреть отдельный случай ? .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные	значения	; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 )	значения	аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные	значения	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 )	значения	х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют	значения	; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 )	значения	аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Докажите , что при любом значении х значение выражения больше соответствующего	значения	выражения .
область определения и область значений функции ; 5 )	значения	аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых	значения	функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 )	значения	аргумента , при которых значения функции отрицательные .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых	значения	функции отрицательные .
Сравните	значения	выражений , где n — натуральное число .
Пользуясь графиком , найдите : 2 )	значения	х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 )	значения	аргумента , при которых значения функции положительные ; .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых	значения	функции положительные ; .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 )	значения	аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
	Значения	аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 )	значения	аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Если — координаты произвольно выбранной точки графика , то х0 и y0 — соответствующие	значения	независимой и зависимой переменных функции f , то есть .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных	значения	левой и правой частей тождества ? .
Найдите три последние цифры	значения	выражения Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а числа b равен 3 .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные	значения	входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных значения левой и правой частей тождества ? .
При каких значениях aргумента эти функции принимают равные	значения	?
Запишите алгоритм , для которого входными данными являются	значения	чисел а и b , а выходными — решение линейного уравнения .
Существуют ли такие	значения	х и у , при которых равно нулю значение многочлена .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего	значения	аргумента .
Докажите , что если . Известно , что . Докажите , что выражение принимает только неотрицательные	значения	.
Придавая переменной у произвольные	значения	и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение переменной х , можем найти бесконечно много решений данного уравнения .
Очевидно , что , придавая аргументу другие	значения	( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
Очевидно , что , придавая аргументу другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие	значения	функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
При каком значении переменной значение квадрата двучлена на 225 больше	значения	квадрата двучлена ? .
Если величины у их прямо пропорциональны , то их соответствующие	значения	удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных величин .
Докажите , что данное выражение принимает положительные	значения	при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Может ли принимать отрицательные	значения	выражение .
Все	значения	, которые принимает зависимая переменная , образуют область значений функции .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные	значения	.
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим	значениям	функции f называется графиком функции f .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны	значениям	аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим	значениям	функции .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим	значениям	аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим	значениям	аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны	значениям	аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим	значениям	функции f .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны	значениям	аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
При каких	значениях	a и b прямая пересекает оси координат в точках А ( – 6 ; 0 ) и В ( 0 ; 12 ) ? .
При каких	значениях	a и b пара чисел ( – 2 ; 3 ) является решением системы уравнений .
При каких	значениях	a , b и с уравнение не имеет решений ? .
При каких	значениях	a не имеет решений система уравнений .
При каких	значениях	a система уравнений не имеет решений ; имеет бесконечно много решений ? .
Докажите , что данное выражение принимает положительные значения при всех	значениях	х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Докажите , что при всех натуральных	значениях	n значение выражения делится нацело на 6 .
Докажите , что значение выражения кратно 7 при всех натуральных	значениях	n.
При каких	значениях	a и b график уравнения проходит через точки ? .
При каких	значениях	m и n график уравнения проходит через точки ? .
При каких	значениях	х и у равно нулю значение многочлена .
Известно , что при некоторых	значениях	m , n и k значение выражения равно 2 , а значение выражения равно 3 .
При каких	значениях	a , b , с и d выполняется равенство ? .
Известно , что при некоторых	значениях	x и y выполняется равенство .
Докажите , что данное выражение принимает отрицательные значения при всех	значениях	х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
Равенство , верное при любых	значениях	входящих в него переменных , называют тождеством .
В силу распределительного свойства умножения относительно сложения оно верно при любых	значениях	переменных а и b .
Выражения , соответственные значения которых равны при любых	значениях	входящих в них переменных , называют тождественно равными .
Найдите при этих же	значениях	x и y значение выражения .
А вот значения выражений , записанных во второй таблице , совпадают при любых	значениях	х.
Сохранится ли подмеченная закономерность при любых других	значениях	х ? .
Рассмотрим две пары выражений : приведены значения этих выражений при некоторых	значениях	переменной х .
Докажите , что выражение принимает неотрицательные значения при любых	значениях	переменных .
Найдите при тех же самых	значениях	m , n и k значение выражения .
При каких целых	значениях	b корень уравнения является целым числом , которое делится нацело на 3 ? .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных	значениях	переменных .
При каких	значениях	a уравнение имеет единственный корень ? .
Докажите , что выражение принимает неположительные значения при всех	значениях	х .
При всех ли натуральных	значениях	n значение выражения кратно 12 ? .
При каких	значениях	a и b верно равенство .
Докажите , что выражение принимает неотрицательные значения при всех	значениях	a .
При всех ли натуральных	значениях	n значение выражения кратно 8 ? .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных	значениях	aргумента .
Значение функции равно 0 при	значениях	aргумента , равных – 5 и 4 .
При любых	значениях	a верно равенство .
Пользуясь графиком , найдите , при каких	значениях	aргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля .
При каких	значениях	х и у значение многочлена равно нулю ? .
Так как при любых	значениях	х , то выражение принимает только положительные значения .
Докажите , что выражение принимает положительные значения при любых	значениях	х.
Составим таблицу значений этой функции при целых	значениях	aргумента .
При каких	значениях	х значение функции равно удвоенному значению аргумента ? .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих	значениях	переменных значения левой и правой частей тождества ? .
При каких	значениях	aргумента эти функции принимают равные значения ?
При каких	значениях	переменных х и у выполняется равенство .
При одних и тех же натуральных	значениях	n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
При каких целых	значениях	a корень уравнения является целым числом , которое делится нацело на 2 ? .
При каких	значениях	b корень уравнения меньше , чем b .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных	значениях	aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
При всех положительных	значениях	аргумента значение функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
При каких натуральных	значениях	m верно неравенство ? .
При каких натуральных	значениях	n верно неравенство .
Докажите , что при любых	значениях	х значение выражения является положительным числом .
При каких	значениях	х и у верно равенство .
Построив на одной координатной плоскости графики данных функций , установите , при каких	значениях	х .
Определите , при каких	значениях	х .
При каких	значениях	d корень уравнения больше , чем d .
Равенство , правильное при любых	значениях	переменных .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных	значениях	переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков , а из	зёрен	одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна .
Обычно независимую переменную обозначают буквой х , зависимую — буквой у , функцию ( правило ) — буквой f. Если переменная у функционально зависит от переменной х , то этот факт обозначают так : читают : «	игрек	равен эф от икс » .
В волейбольном турнире , проходившем в один круг ( то есть каждая команда сыграла с каждой один раз ) , 20 % всех команд не выиграли ни одной	игры	.
Обычно независимую переменную обозначают буквой х , зависимую — буквой у , функцию ( правило ) — буквой f. Если переменная у функционально зависит от переменной х , то этот факт обозначают так : читают : « игрек равен эф от	икс	» .
Графиком уравнения является кривая , которую называют	кардиоидой	.
Ведь уже в древности люди изучали Землю , наблюдали звёзды , а по результатам своих исследований составляли	карты	, схемы .
Запишите в виде выражения : 1 )	квадрат	суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 )	квадрат	суммы чисел 7,8 и 8,2 .
С помощью полученных формул можно проще возводить в	квадрат	сумму либо разность любых двух выражений , не используя правило умножения двух многочленов .
Равенство означает , что число – 3 возвели в	квадрат	и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
Выполните возведение в	квадрат	.
Сформулируйте правило возведения разности двух выражений в	квадрат	.
17 Преобразование многочлена в	квадрат	суммы или разности двух выражений .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс	квадрат	второго выражения .
Разложите на множители трёхчлен , выделив предварительно	квадрат	двучлена .
Сформулируйте правило возведения суммы двух выражений в	квадрат	.
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является	квадрат	двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
« Преобразование многочлена в	квадрат	суммы или разности двух выражений » .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в	квадрат	двучлена , значение суммы Решение .
Выясните , какой остаток может давать	квадрат	натурального числа при делении на 4 .
В таком виде эти формулы в ряде случаев позволяют « свернуть » трёхчлен в	квадрат	двучлена .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ;	квадрат	суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс	квадрат	второго выражения .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4 , то	квадрат	этого числа делится нацело на 16 .
« Квадрат суммы и	квадрат	разности двух выражений » .
Если сторону квадрата уменьшить на 8 см , то получится	квадрат	, площадь которого на 352 см2 меньше площади данного .
Из квадратного листа бумаги в клетку , содержащего целое количество клеток , вырезали по линиям	квадрат	, содержащий целое количество клеток , так , что осталась 71 клетка .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 )	квадрат	разности одночленов 3 m и 4n .
Вы узнаете , что возведение числа в	квадрат	и куб — частные случаи нового арифметического действия .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 )	квадрат	разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Каким числом , чётным или нечётным , является	квадрат	нечётного натурального числа ? .
Пользуясь преобразованием выражений в	квадрат	суммы или разности двух чисел , найдите значение данного выражения .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5 , то	квадрат	этого числа кратен 25 .
Найдите три последовательных натуральных числа , если удвоенный	квадрат	большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
Найдите сторону квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится	квадрат	, площадь которого на 95 см2 больше площади данного .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 )	квадрат	разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Возведите в	квадрат	одночлен .
16 Квадрат суммы и	квадрат	разности двух выражений .
Докажите , что	квадрат	натурального числа имеет нечётное количество делителей .
Преобразуйте в	квадрат	двучлена выражение .
Эта формула является математической моделью связи между такими величинами , как длина стороны	квадрата	и его периметр .
Заметим , что формулу	квадрата	разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений .
Докажите , что если сторону	квадрата	увеличить в n раз , то его площадь увеличится в n2 раз .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и	квадрата	числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Заметим , что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы	квадрата	суммы двух выражений .
Площадь	квадрата	со стороной 10 см равна 100 см2 .
Рассмотрим функцию g , заданную следующим правилом : каждому однозначному натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его	квадрата	.
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 )	квадрата	одночлена стандартного вида ; 3 ) четвёртой степени одночлена стандартного вида .
Мы получили формулу	квадрата	разности двух выражений .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину стороны , найти соответствующее значение периметра	квадрата	.
Представьте в виде	квадрата	одночлена стандартного вида выражение .
Это тождество называют формулой	квадрата	суммы двух выражений .
Найдите координаты вершины	квадрата	со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Если длину стороны	квадрата	обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу	квадрата	разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Площадь	квадрата	со стороной 10 см равна сумме площадей двух других квадратов .
Если сторона	квадрата	равна а , а площадь — S , то какой формулой задаётся зависимость переменной S от переменной а ?
Пример 1 Изменяется сторона	квадрата	.
Представьте данное выражение в виде	квадрата	одночлена .
Если к сумме прибавить число 16 , то полученное выражение можно « свернуть » по формуле	квадрата	суммы .
Связаны ли между собой площадь	квадрата	и его сторона ?
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 )	квадрата	одночлена стандартного вида ; 3 ) куба одночлена стандартного вида .
По формуле	квадрата	суммы получаем .
Решение 1 ) По формуле	квадрата	разности двух выражений получаем .
Выведите формулу	квадрата	трёхчлена .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его	квадрата	; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Так как значение	квадрата	равно нулю тогда и только тогда , когда его основание равно нулю , то получаем : Ответ : 1,5 .
Чему равен остаток при делении	квадрата	нечётного натурального числа на 8 ? .
Найдите такие значения х , при которых выражение можно представить в виде	квадрата	суммы .
Найдите сторону	квадрата	, если его площадь на 45 см2 больше площади данного прямоугольника .
Докажите , что остаток при делении	квадрата	натурального числа на число 3 равен 0 или 1 .
Найдите сторону	квадрата	, если при увеличении ее на 5 см получится квадрат , площадь которого на 95 см2 больше площади данного .
Представление выражения в виде суммы , одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением	квадрата	двучлена из данного выражения .
При каком значении переменной значение квадрата двучлена на 225 больше значения	квадрата	двучлена ? .
э . ) доказывал формулы квадрата суммы и	квадрата	разности геометрически , восстановите его доказательство .
э . ) доказывал формулы	квадрата	суммы и квадрата разности геометрически , восстановите его доказательство .
Представьте в виде	квадрата	двучлена выражение .
Представьте , если это можно , в виде	квадрата	двучлена или в виде выражения , противоположного квадрату двучлена , трёхчлен .
Какое тождество называют формулой	квадрата	разности двух выражений ? .
При каком значении переменной значение	квадрата	двучлена на 225 больше значения квадрата двучлена ? .
Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки , чтобы можно было представить в виде	квадрата	двучлена выражение .
Найдите значение выражения , представив его предварительно в виде	квадрата	двучлена .
Представьте многочлен в виде	квадрата	суммы или квадрата разности двух выражений .
Какое тождество называют формулой	квадрата	суммы двух выражений ? .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного	квадрата	их разности .
Представьте многочлен в виде квадрата суммы или	квадрата	разности двух выражений .
Сторона	квадрата	на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны .
Формула	квадрата	разности .
Найдите сторону данного	квадрата	.
Докажите , что сумма любого натурального числа и его	квадрата	является чётным числом .
Зависит ли разность	квадрата	второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел ? .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного	квадрата	их суммы .
Перепишем формулы	квадрата	суммы и квадрата разности , поменяв местами их левые и правые части .
Представим левую часть уравнения в виде	квадрата	разности .
Формула	квадрата	суммы .
Если сторону	квадрата	уменьшить на 8 см , то получится квадрат , площадь которого на 352 см2 меньше площади данного .
Используя формулу квадрата суммы или формулу	квадрата	разности , вычислите .
Перепишем формулы квадрата суммы и	квадрата	разности , поменяв местами их левые и правые части .
Чему равен остаток при делении на 11	квадрата	этого числа ?
Чему равен остаток при делении на 9	квадрата	этого числа ? .
Трёхчлен , который можно представить в виде	квадрата	двучлена , называют полным квадратом .
Найдите три последовательных натуральных числа таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше	квадрата	первого .
Представьте трёхчлен в виде	квадрата	двучлена .
Сумму какого одночлена и трёхчлена можно разложить на множители по формуле	квадрата	двучлена ?
Используя формулу	квадрата	суммы или формулу квадрата разности , вычислите .
Степени с показателями 2 и 3 можно прочитать иначе : запись а2 читают « а в	квадрате	» , запись — « а в кубе » .
Например , запись а2 читают : « а в	квадрате	» .
Из	квадратного	листа бумаги в клетку , содержащего целое количество клеток , вырезали по линиям квадрат , содержащий целое количество клеток , так , что осталась 71 клетка .
Выразите эту площадь натуральным числом в	квадратных	километрах .
Сколько в 1 м2 содержится : 1 ) квадратных дециметров ; 2 )	квадратных	сантиметров ; 3 ) квадратных миллиметров ? .
Сколько в 1 м2 содержится : 1 ) квадратных дециметров ; 2 ) квадратных сантиметров ; 3 )	квадратных	миллиметров ? .
Сколько в 1 м2 содержится : 1 )	квадратных	дециметров ; 2 ) квадратных сантиметров ; 3 ) квадратных миллиметров ? .
Выразите эти площади натуральными числами в	квадратных	километрах .
Представьте в виде суммы	квадратов	двух выражений многочлен .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма	квадратов	чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Можно ли , применяя формулу разности	квадратов	, разложить на множители выражение .
Разность	квадратов	двух выражений .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность	квадратов	чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Задайте формулой функцию , если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше	квадратов	соответствующих значений аргумента .
Разложите на множители , пользуясь формулой разности	квадратов	.
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма	квадратов	чисел – 10 и 6 .
« Разность	квадратов	двух выражений » .
Докажите , что разность суммы	квадратов	двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
Разность	квадратов	.
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму	квадратов	чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Найдите три последовательных натуральных числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы	квадратов	двух других чисел .
Представьте многочлен в виде произведения	квадратов	двух двучленов .
Докажите , что сумма	квадратов	пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа .
Формула разности	квадратов	.
Если длины сторон двух других	квадратов	обозначить х см и у см , то получим равенство .
Разложение на множители разности	квадратов	.
Можно ли представить в виде разности	квадратов	двух одночленов выражение ? .
Сформулируйте правило разложения на множители разности	квадратов	двух выражений .
Запишите формулу разности	квадратов	двух выражений .
Докажите , что : 1 ) разность	квадратов	двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности	квадратов	.
В случае утвердительного ответа запишите эту разность	квадратов	.
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность	квадратов	двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) разность	квадратов	двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность	квадратов	двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
15 Разность	квадратов	двух выражений .
Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность	квадратов	этих выражений .
Это тождество называют формулой разности	квадратов	двух выражений .
Разность	квадратов	двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы .
Разложите на множители , используя формулу разности	квадратов	.
Применив формулу разности	квадратов	и условие равенства произведения нулю , получим .
Докажите , что разность	квадратов	этих чисел кратна 7 .
Найдите четыре последовательных натуральных числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма	квадратов	первого и третьего .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности	квадратов	этих выражений .
Найдите четыре последовательных натуральных числа , если сумма	квадратов	второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
Докажите тождество : Разность	квадратов	двух двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , равна 693 .
Сумма двух чисел равна 28 , а разность их	квадратов	составляет 112 .
Площадь квадрата со стороной 10 см равна сумме площадей двух других	квадратов	.
Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа , сумма	квадратов	которых равна 164 .
Представьте выражение в виде разности	квадратов	двух многочленов .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их	квадратов	; 3 ) сумма их кубов ? .
Докажите , что разность	квадратов	двух произвольных натуральных чисел , каждое из которых не делится нацело на 3 , кратна 3 .
Представьте многочлен в виде суммы или разности	квадратов	двух выражений .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их	квадратов	; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Разложите на множители многочлен , предварительно представив его в виде разности	квадратов	двух выражений .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность	квадратов	чисел х и у .
Какой из данных двучленов можно разложить на множители , применяя формулу разности	квадратов	? .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности	квадратов	, так и по формуле разности кубов .
Придумайте многочлен , который можно разложить на множители как по формуле разности	квадратов	, так и по формуле разности кубов .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу разности	квадратов	, получим ; 2 )
а ) примените формулу разности	квадратов	; б ) раскройте скобки и примените метод группировки .
Вторую степень также называют	квадратом	числа .
Трёхчлен , который можно представить в виде квадрата двучлена , называют полным	квадратом	.
Какой многочлен называют неполным	квадратом	суммы ?
Многочлен , стоящий в правой части , называют неполным	квадратом	разности .
Докажите , что разность между	квадратом	натурального числа , не кратного 3 , и числом 1 кратна 3 .
Многочлен называют неполным	квадратом	суммы .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является	квадратом	.
Какой многочлен называют неполным	квадратом	разности ?
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться	квадратом	натурального числа .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде выражения , противоположного	квадрату	двучлена , трёхчлен .
Какое число надо прибавить к многочлену , чтобы полученное выражение было тождественно равно	квадрату	двучлена ?
Квадрат разности двух выражений равен	квадрату	первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно	квадрату	некоторого натурального числа .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно	квадрату	некоторого натурального числа .
Такое название объясняется его внешним сходством с многочленом , который равен	квадрату	разности а и b.
Квадрат суммы двух выражений равен	квадрату	первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Разложение многочлена на множители является	ключом	к решению многих задач .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало	координат	и точку .
Поэтому для нахождения	координат	точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало	координат	и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют прямоугольную систему	координат	.
График функции пересекает оси	координат	в точках .
Постройте в одной системе	координат	графики линейных функций .
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря системе	координат	можно переходить от точек к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к алгебре .
Французский математик , в честь которого названа современная система	координат	.
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения графика функции с осями	координат	.
Найдите координаты её точек пересечения с осями	координат	.
Одна из	координат	точки на плоскости .
древнегреческий учёный Гиппарх впервые использовал идею	координат	для определения местоположения объектов на поверхности Земли .
Прямоугольная система	координат	.
Эти прямые называют осями	координат	, точку О их пересечения — началом координат .
Постройте в одной системе	координат	графики функций и найдите координаты точки их пересечения .
Несмотря на то что П. Ферма опубликовал своё сочинение годом раньше , чем Р. Декарт , ту систему	координат	, которой мы сегодня пользуемся , называют декартовой .
Эти прямые называют осями координат , точку О их пересечения — началом	координат	.
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями	координат	; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
При каком значении a график уравнения проходит через начало	координат	? .
Система — это математическая модель задачи о поиске	координат	общих точек двух прямых .
Из того , что график проходит через начало	координат	, следует , что b меньше 0 .
При каких значениях a и b прямая пересекает оси	координат	в точках А ( – 6 ; 0 ) и В ( 0 ; 12 ) ? .
Графиком какой из данных функций является прямая , проходящая через начало	координат	? .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях	координат	, а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Найдите координаты точек пересечения прямой с осями	координат	.
Докажите , что график уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало	координат	график уравнения ? .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями	координат	графика функции .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , график которого пересекает оси	координат	в точках .
Найдите координаты точки графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма	координат	которой равна 30 .
Идея	координат	зародилась очень давно .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала	координат	, и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями	координат	графика уравнения .
Поэтому для нахождения	координат	точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
В одной системе	координат	представьте данные графически .
Докажите , что не существует такого значения а , при котором прямая проходит через начало	координат	.
Постройте в одной системе	координат	графики этих функций .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение	координат	одной из вершин — положительное число .
Запишите алгоритм , который по входным данным k и b определит , какая прямая является графиком функции : горизонтальная или не горизонтальная , проходящая через начало	координат	или нет .
Плоскость , на которой задана прямоугольная система	координат	, называют координатной плоскостью .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то точка с	координатами	обязательно принадлежит графику ; .
Поэтому их называют	координатами	точки М и записывают .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются	координатами	точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Освойте средства графического редактора , позволяющие изобразить точку с заданными	координатами	.
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у —	координату	– 2 .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет	координату	3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Предположим , что заданы	координаты	некоторых двух точек А и В на координатной плоскости и через эти точки проведена прямая .
Найдите	координаты	вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Найдите	координаты	точек пересечения прямой с осями координат .
Все точки ,	координаты	которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют прямую , проходящую через точку параллельно оси ординат .
Все точки ,	координаты	которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное число , образуют ось абсцисс .
Постройте отрезки АВ и CD и найдите	координаты	точки пересечения этих отрезков , если .
Назовите	координаты	нескольких точек , принадлежащих графику функции .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 )	координаты	любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Найдите , не выполняя построения ,	координаты	точки пересечения прямых .
Её	координаты	являются решением каждого уравнения системы , а значит , и самой системы .
При этом	координаты	любой точки этой прямой — пара чисел , являющаяся решением данного уравнения .
Поэтому для построения графика достаточно определить	координаты	двух любых её точек .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе	координаты	— положительные числа ? .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости ,	координаты	которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе	координаты	— целые числа ? .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти	координаты	всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Рассмотрим пары чисел как	координаты	( х ; у ) точек координатной плоскости .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив	координаты	точки пересечения прямых в уравнения системы .
Подставив	координаты	этой точки в формулу , получаем откуда b равно 4 .
Постройте в одной системе координат графики функций и найдите	координаты	точки их пересечения .
Не выполняя построения , найдите	координаты	точек пересечения графиков функций .
Каковы	координаты	точки пересечения графика уравнения с осью абсцисс ? .
Если —	координаты	произвольно выбранной точки графика , то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции f , то есть .
Определите	координаты	точки пересечения прямых .
Вычислите значение y по формуле у , если . Найдите	координаты	точек А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
Так как данный график пересекает O в точке ( 3 ; 0 ) , то , подставив её	координаты	, получим .
Не выполняя построения , найдите	координаты	точек пересечения с осями координат графика функции .
Записывая	координаты	точки , абсциссу всегда ставят на первое место , а ординату — на второе .
Не выполняя построения графика функции , найдите	координаты	: 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Найдите	координаты	её точек пересечения с осями координат .
Найдите	координаты	точки графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости ,	координаты	которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Не выполняя построения , найдите	координаты	точек пересечения с осями координат графика уравнения .
Не выполняя построения , найдите	координаты	точек пересечения графика функции с осями координат .
Поэтому	корень	часто называют решением уравнения .
Какое из следующих уравнений : а ) имеет один	корень	; б ) имеет два корня ; в ) имеет бесконечно много корней ; г ) не имеет ни одного корня .
Отсюда следует : если , то уравнение ах равно b имеет единственный	корень	, равный/. 2 ) Если а равно 0 , то линейное уравнение приобретает такой вид : Ох равно b.
Найдите	корень	уравнения .
Уравнение не обязательно имеет один	корень	.
Выяснить , соответствует ли найденный	корень	смыслу задачи , и записать ответ .
Найдите все целые значения n , при которых	корень	уравнения является натуральным числом .
Найдите все целые значения m , при которых	корень	уравнения является целым числом .
При каких значениях d	корень	уравнения больше , чем d .
При каком значении b уравнения имеют один и тот же	корень	? .
При каком значении a уравнение : 1 ) имеет бесконечно много корней ; 3 ) имеет один	корень	?
При каком значении с уравнения имеют один и тот же	корень	? .
При каких значениях a уравнение имеет единственный	корень	? .
3 ) имеет один	корень	? .
Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один	корень	? .
Заметим , что если а ≠ – 1 , то уравнение имеет единственный	корень	, равный 1 .
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли найденный	корень	смыслу задачи , и записать ответ .
В равенстве замените звёздочку таким выражением , чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один	корень	.
2 ) имело бесконечно много корней ; 3 ) имело один	корень	.
При каких целых значениях a	корень	уравнения является целым числом , которое делится нацело на 2 ? .
Найденный	корень	уравнения — это ещё не ответ задачи .
При каких целых значениях b	корень	уравнения является целым числом , которое делится нацело на 3 ? .
Составьте уравнение , которое имеет единственный	корень	, равный числу – 4 ; имеет бесконечно много корней ; не имеет корней .
Укажите какое - либо значение b , при котором будет целым числом	корень	уравнения .
При каких значениях b	корень	уравнения меньше , чем b .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный числу – 9 ; имеет	корень	, равный числу 2 ? .
Чему равен	корень	уравнения .
При каком значении a уравнение имеет	корень	, равный числу 3 ; имеет корень , равный числу – 6 ? .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный числу 3 ; имеет	корень	, равный числу – 6 ? .
При каком значении a уравнение имеет	корень	, равный числу – 9 ; имеет корень , равный числу 2 ? .
Найдите	корень	уравнения Какое из уравнений является линейным ? .
Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве , чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много	корней	; 3 ) имеющее один корень ? .
Докажите , что не имеет отрицательных	корней	уравнение .
При каком значении a уравнение 1 ) имеет бесконечно много	корней	; 2 ) не имеет корней ;
При последнее уравнение принимает вид и имеет бесконечно много	корней	.
Отсюда : если а равно 0 и b равно равно 0 , то уравнение ах равно b имеет бесконечно много	корней	: любое число является его корнем .
Решите уравнение , если один из его	корней	равен – 1,6 .
Сколько	корней	имеет линейное уравнение если .
В равенстве замените звёздочку таким выражением , чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело	корней	;
Решите уравнение Решите уравнение ; А ) 0 В ) х — любое число ; Б )	корней	нет ; Г ) 10 .
2 ) имело бесконечно много	корней	; 3 ) имело один корень .
При каком значении a уравнение не имеет	корней	?
Корни уравнения ах равно b , х — любое число ;	корней	нет .
Значения а и b. Корни уравнения : любое число ;	корней	нет .
Какое из следующих уравнений : а ) имеет один корень ; б ) имеет два корня ; в ) имеет бесконечно много	корней	; г ) не имеет ни одного корня .
При каком значении a уравнение имеет бесконечно много	корней	? .
При каком значении b уравнение 1 ) имеет бесконечно много	корней	; 2 ) не имеет корней ;
Если данное уравнение не имеет	корней	, то , прибавив к обеим частям одно и то же число , получим уравнение , тоже не имеющее корней .
При каком значении a имеет бесконечно много	корней	уравнение .
Третье уравнение	корней	не имеет .
Докажите , что не имеет	корней	уравнение .
Докажите , что уравнение не имеет	корней	.
При каком значении a не имеет	корней	уравнение .
2 ) не имеет	корней	; .
Составьте уравнение , которое имеет единственный корень , равный числу – 4 ; имеет бесконечно много	корней	; не имеет корней .
При каком значении b уравнение 1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет	корней	;
Например , уравнение имеет бесконечно много	корней	, а уравнение вообще не имеет корней .
В равенстве замените звёздочку таким выражением , чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много	корней	; 3 ) имеющее один корень .
Решите уравнение , если один из его	корней	равен 0,3 .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней , а уравнение вообще не имеет	корней	.
При каком значении a уравнение не имеет	корней	? .
При каком значении a уравнение : 1 ) имеет бесконечно много	корней	; 3 ) имеет один корень ?
При каком значении a уравнение 1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет	корней	;
Составьте уравнение , которое имеет единственный корень , равный числу – 4 ; имеет бесконечно много корней ; не имеет	корней	.
Докажите , что корнем уравнения является любое число ; уравнение не имеет	корней	.
По условию этих задач можно составить одно и то же уравнение ,	корнем	которого является число 1,5 .
В связи с этим распространена ошибка : называть каждое число пары или саму пару , являющуюся решением ,	корнем	уравнения с двумя переменными .
В этом случае	корнем	уравнения является любое число .
Докажите , что число 5 является	корнем	уравнения ; число – 2 не является корнем уравнения .
Докажите , что число 5 является корнем уравнения ; число – 2 не является	корнем	уравнения .
Отсюда : если а равно 0 и b равно равно 0 , то уравнение ах равно b имеет бесконечно много корней : любое число является его	корнем	.
Докажите , что	корнем	уравнения является любое число ; уравнение не имеет корней .
Рассмотрим три уравнения : Число – 1,5 является единственным	корнем	первого уравнения .
Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю , то	корнем	второго уравнения является любое число .
При каком значении a любое число является	корнем	уравнения .
Имеет ли	корни	уравнение : В случае утвердительного ответа укажите их .
Найдите	корни	уравнения .
Искомые	корни	— числа 0,5 и – 1 .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же	корни	, что и данное .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же самые	корни	, что и данное .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же	корни	, что и данное .
Решить уравнение — значит найти все его	корни	или убедиться , что их вообще нет .
Какое из следующих уравнений : а ) имеет один корень ; б ) имеет два корня ; в ) имеет бесконечно много корней ; г ) не имеет ни одного	корня	.
Какое из следующих уравнений : а ) имеет один корень ; б ) имеет два	корня	; в ) имеет бесконечно много корней ; г ) не имеет ни одного корня .
Однако даже великий аль - Хорезми записывал это предложение громоздко : « Два	корня	равны 4 дирхемам » .
Обратим внимание на то , что данное определение похоже на определение	корня	уравнения с одной переменной .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной ,	корнями	которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Какие из чисел – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 являются	корнями	уравнения ? .
Приведите одночлен к стандартному виду , укажите его	коэффициент	и степень .
Запишите одночлен , подобный данному ,	коэффициент	которого в 4 раза больше коэффициента данного одночлена .
Вообще , любой одночлен стандартного вида имеет	коэффициент	.
Представьте одночлен в стандартном виде , подчеркните его	коэффициент	.
Запишите одночлен , подобный данному , коэффициент которого в 4 раза больше	коэффициента	данного одночлена .
В случае утвердительного ответа укажите значение	коэффициента	k.
И даже , например , у одночленов при записи которых числовой множитель не используется ,	коэффициентами	являются числа 1 и – 1 соответственно .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов с положительными	коэффициентами	.
В случае утвердительного ответа укажите значения	коэффициентов	k и b .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих	коэффициентов	( в нашем примере это число 4 ) .
Что называют	коэффициентом	одночлена ? .
Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют	коэффициентом	одночлена .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы	коэффициенты	при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если	коэффициенты	многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы	коэффициенты	при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Чтобы привести подобные слагаемые , надо сложить их	коэффициенты	и полученный результат умножить на общую буквенную часть .
Поскольку в этой системе	коэффициенты	при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
Вслед за ним мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита х , у , z , а	коэффициенты	— первыми : а , b , с.
Например ,	коэффициенты	одночленов соответственно равны – 3 и 0,07 .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5 , то квадрат этого числа	кратен	25 .
Значение выражения 9k2	кратно	3 , то есть остаток при делении n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что значение выражения	кратно	5 .
Докажите , что значение произведения ab	кратно	6 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения	кратно	42 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не	кратно	3 , делится нацело на 9 .
Докажите , что значение выражения	кратно	числу .
Докажите , что значение выражения	кратно	8 при любом натуральном значении n .
При всех ли натуральных значениях n значение выражения	кратно	12 ? .
Докажите , что это число	кратно	числам 7 , 11 и 13 .
Докажите , что значение выражения	кратно	3 при любом натуральном значении m .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения	кратно	4 .
Докажите , что значение выражения :	кратно	61 .
При всех ли натуральных значениях n значение выражения	кратно	8 ? .
Докажите , что при любом нечётном значении п значение выражения	кратно	120 .
Докажите , что значение выражения ,	кратно	.
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения	кратно	6 .
Число n	кратно	3 .
Докажите , что значение выражения	кратно	7 при всех натуральных значениях n.
д. Вася хочет получить число ,	кратное	9 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не	кратном	5 , значение выражения делится нацело на 5 .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют	кратным	числа b , число b — делителем числа a .
Для любого натурального числа a каждое из чисел является	кратным	числа a .
Среди чисел ,	кратных	а , наибольшего нет , а наименьшее есть — это само число а .
Графиком уравнения является	кривая	, которую называют кардиоидой .
Однако если отметить достаточно много точек , а затем соединить их плавной линией , то полученная	кривая	будет тем меньше отличаться от искомого графика , чем больше точек мы отметим .
Графиком уравнения является	кривая	, которую называют эллипсом .
В экономических исследованиях часто используют	кривую	спроса .
Соединив полученные точки отрезками , постройте	кривую	спроса на картофель .
Соединив полученные точки отрезками , постройте «	кривые	популярности » каждой партии .
В волейбольном турнире , проходившем в один	круг	( то есть каждая команда сыграла с каждой один раз ) , 20 % всех команд не выиграли ни одной игры .
Запишите в виде выражения	куб	суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть	куб	) .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 )	куб	суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ;	куб	разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Возведите в	куб	одночлен .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ;	куб	разности чисел c и d .
Равенство означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в	куб	и получили – 27 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ;	куб	разности чисел 6 и 8 .
Вы узнаете , что возведение числа в квадрат и	куб	— частные случаи нового арифметического действия .
Выведите формулу	куба	разности .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма	куба	числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что разность	куба	натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6 .
Выведите формулу	куба	суммы .
Пусть а — длина ребра	куба	, V — его объём .
Представьте в виде	куба	двучлена выражение .
Во сколько раз увеличится объём	куба	, если его ребро увеличить в m раз ? .
Представьте в виде	куба	одночлена выражение .
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 )	куба	одночлена стандартного вида .
Представьте в виде	куба	одночлена стандартного вида выражение .
Разность	кубов	двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
Какое тождество называют формулой разности	кубов	? .
Сформулируйте правило разложения на множители суммы	кубов	двух выражений .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма	кубов	чисел 4 и 3 .
Сумма	кубов	двух выражений .
Разность	кубов	двух выражений .
Это тождество называют формулой разности	кубов	двух выражений .
Применив формулу разности	кубов	, получим .
Сумма	кубов	двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
Применив формулу суммы	кубов	, получим .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности	кубов	.
Представив данный многочлен в виде суммы	кубов	двух выражений , получим .
Представив данный многочлен в виде разности	кубов	двух выражений , получим .
Мы получили три множителя , один из которых является разностью кубов , а два других — суммой	кубов	.
Мы получили три множителя , один из которых является разностью	кубов	, а два других — суммой кубов .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы	кубов	; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Придумайте многочлен , который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности	кубов	.
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их	кубов	? .
Докажите , что сумма	кубов	двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4 .
Сформулируйте правило разложения на множители разности	кубов	двух выражений .
Докажите , что сумма	кубов	двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не кратно 3 , делится нацело на 9 .
Какое тождество называют формулой суммы	кубов	? .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно разложить на множители сумму или разность	кубов	двух одночленов .
Это тождество называют формулой суммы	кубов	двух выражений .
Докажите , что сумма	кубов	трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3 .
Разложение на множители разности	кубов	.
18 Сумма и разность	кубов	двух выражений .
Разложение на множители суммы	кубов	.
Формула разности	кубов	.
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность	кубов	чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Разность	кубов	.
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму	кубов	чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
« Сумма и разность	кубов	двух выражений » .
Формула суммы	кубов	.
Третью степень называют	кубом	числа , а запись а3 читают : « а в кубе » .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна	кубу	среднего числа .
Функция	линейная	.
Итак , мы сформулировали ( или , говорят , « дали » ) определение	линейного	уравнения с одной переменной .
Покажем , как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению	линейного	уравнения с одной переменной .
Запишите алгоритм , для которого входными данными являются значения чисел а и b , а выходными — решение	линейного	уравнения .
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные уравнения не являются линейными , однако решение каждого из них сводится к решению	линейного	уравнения .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению	линейного	уравнения с одной переменной .
График	линейного	уравнения с двумя переменными .
Решение	линейного	уравнения с одной переменной .
Выясним , какая фигура является графиком	линейного	уравнения .
Казалось бы , чего проще — использовать математическую фразу для записи	линейного	уравнения .
Пусть задано	линейное	уравнение , в котором .
Составьте какое - нибудь	линейное	уравнение с двумя переменными , решением которого является пара чисел ( 3 ; 5 ) .
Составьте	линейное	уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку .
Составьте какое - нибудь	линейное	уравнение с двумя переменными , решением которого является пара чисел ( – 2 ; 1 ) .
К уравнению подберите второе	линейное	уравнение так , чтобы получилась система уравнений , которая : 1 ) имеет единственное решение ;
Составьте	линейное	уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Сколько корней имеет	линейное	уравнение если .
Составьте	линейное	уравнение с двумя переменными , график которого пересекает оси координат в точках .
Составьте	линейное	уравнение с двумя переменными , график которого проходит через точки М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Уравнение	линейное	с двумя переменными .
Уравнение	линейное	с одной переменной .
Текст , выделенный жирным шрифтом , разъясняет смысл термина «	линейное	уравнение с одной переменной » .
Отсюда следует : если , то уравнение ах равно b имеет единственный корень , равный/. 2 ) Если а равно 0 , то	линейное	уравнение приобретает такой вид : Ох равно b.
В курсе геометрии 9 класса вы докажете , что графиком	линейной	функции является прямая .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика	линейной	функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Функцию , которую можно задать формулой вида , где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют	линейной	.
График	линейной	функции .
Эта прямая является графиком	линейной	функции .
График	линейной	функции проходит через точки .
Заметим , что областью определения	линейной	функции являются все числа .
Среди данных функций укажите прямую пропорциональность : Какая из данных функций не является	линейной	? .
Графиком	линейной	функции является прямая .
Функцию , которую можно задать формулой вида где k и b — некоторые числа , х — независимая переменная , называют	линейной	.
Поскольку прямая пропорциональность — частный случай	линейной	функции ( это выражает схема ) , то её график — прямая .
Рассмотрим ещё один частный случай	линейной	функции .
Является ли	линейной	функция , заданная формулой .
Графиком	линейной	функции является невертикальная прямая .
Является ли	линейной	функция .
Что является графиком	линейной	функции ? .
Какую функцию называют	линейной	? .
Как и для построения графика любой	линейной	функции , нужно знать две принадлежащие ему точки .
Задайте формулой	линейную	функцию , графиком которой является изображённая : 1 ) прямая m 2 ) прямая n .
Задайте формулой	линейную	функцию , графиком которой является изображённая : 1 ) прямая a ; 2 ) прямая b .
Задайте формулой	линейную	функцию .
Мы получили формулу , задающую	линейную	функцию .
Поскольку формула , задающая	линейную	функцию , является уравнением с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён график уравнения .
Поэтому	линейную	функцию , которую задают формулой у равно kx , где k ≠ 0 , называют прямой пропорциональностью .
В формуле , задающей	линейную	функцию , не исключены случаи , когда k равно 0 или b равно 0 .
Создайте в текстовом и / или табличном редакторе таблицу , которая задаёт какую - либо	линейную	функцию .
Задайте формулой какие - нибудь две	линейные	функции , графики которых проходят через точку .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать	линейные	уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Например , благодаря символике Виета все	линейные	уравнения можно записать в виде ах равно b , а следовательно , построить процесс решения уравнения в общем виде так , как мы это сделали в 2 .
Упражнения . Является ли	линейным	уравнение с двумя переменными .
Какое уравнение называют	линейным	уравнением с одной переменной ? .
Найдите корень уравнения Какое из уравнений является	линейным	? .
Какое уравнение называют	линейным	уравнением с двумя переменными ? .
Уравнение вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют	линейным	уравнением с одной переменной .
Уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа , называют	линейным	уравнением с двумя переменными .
Уравнение вида , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют	линейным	уравнением с одной переменной .
Оба уравнения этой системы являются	линейными	.
Уравнения , знакомые вам по предыдущему параграфу , являются	линейными	.
Какие из данных уравнений являются	линейными	.
Заметим , что , например , уравнения	линейными	не являются .
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные уравнения не являются	линейными	, однако решение каждого из них сводится к решению линейного уравнения .
28 Решение систем	линейных	уравнений методом сложения .
В завершение подчеркнём , что именно графический метод нам подсказал , что не существует системы	линейных	уравнений , имеющей , например , ровно 2 , или ровно 3 , или ровно 100 решений .
Итак , чтобы решить систему	линейных	уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Поэтому эту систему называют системой двух	линейных	уравнений с двумя переменными .
Запишите систему	линейных	уравнений с двумя переменными .
29 Решение задач с помощью систем	линейных	уравнений .
27 Решение систем	линейных	уравнений методом подстановки .
Если графиками уравнений , входящих в систему	линейных	уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Составьте какую - нибудь систему двух	линейных	уравнений с двумя переменными , решением которой является пара значений переменных .
Выясним , сколько решений может иметь система двух	линейных	уравнений с двумя переменными .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух	линейных	уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом решения системы двух	линейных	уравнений с двумя переменными методом подстановки .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух	линейных	уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной .
Составьте какую - нибудь систему двух	линейных	уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Сколько решений может иметь система двух	линейных	уравнений с двумя переменными ? .
Покажем , как решение системы	линейных	уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной .
Графический метод решения системы двух	линейных	уравнений с двумя переменными .
Вот ещё примеры	линейных	функций .
« Решение задач с помощью систем	линейных	уравнений » .
Графический метод решения системы двух	линейных	уравнений с двумя переменными » .
Постройте в одной системе координат графики	линейных	функций .
Рассмотрим задачи , в которых системы двух	линейных	уравнений с двумя переменными используют как математические модели реальных ситуаций .
Системы	линейных	уравнений с двумя переменными .
Составьте систему двух	линейных	уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел .
Вот ещё примеры	линейных	уравнений .
Приведём ещё примеры	линейных	уравнений .
Графиком некоторой функции является	ломаная	ABCD с вершинами в точках .
Может ли	ломаная	АВС быть графиком некоторой функции , если ? .
Графиком некоторой функции является	ломаная	МКЕ , где .
График этой функции состоит из трёх частей : точки О ( 0 ; 0 ) и двух	лучей	, у каждого из которых « выколото » начало .
Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед вычитаемым знак «	минус	» .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения	минус	удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Какой	многочлен	надо прибавить к многочлену чтобы их сумма была тождественно равна 5 ? .
Полученный	многочлен	является произведением одночлена 2х и многочлена .
Умножим одночлен 2х на	многочлен	.
10 Умножение одночлена на	многочлен	.
Умножение одночлена на	многочлен	.
Умножение многочлена на	многочлен	.
Представьте	многочлен	в виде разности : 1 ) двух двучленов ; 2 ) трёхчлена и двучлена .
Представьте	многочлен	в виде разности двучлена и трёхчлена .
Представьте	многочлен	в виде суммы или разности квадратов двух выражений .
Разложите на множители	многочлен	, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений .
Представьте в виде суммы квадратов двух выражений	многочлен	.
О такой записи говорят , что	многочлен	разложили на множители .
Чтобы умножить одночлен на	многочлен	, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Какой	многочлен	надо прибавить к многочлену чтобы их сумма была тождественно равна многочлену .
Какой	многочлен	надо вычесть из многочлена плюс с , чтобы их разность была тождественно равна многочлену ? .
Пользуясь этой формулой , преобразуйте в	многочлен	выражение .
Мы представили данный	многочлен	в виде суммы двух слагаемых , которые могут принимать только неотрицательные значения .
Представьте	многочлен	в виде произведения квадратов двух двучленов .
Их сумма , а следовательно , и данный	многочлен	будут принимать нулевое значение тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Какому из данных выражений тождественно равен	многочлен	.
Представьте	многочлен	в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений .
Чтобы проверить , правильно ли разложили	многочлен	на множители , надо полученные множители перемножить .
1 ) В данном случае общим множителем является	многочлен	.
« Умножение многочлена на	многочлен	» .
Одночлены , из которых составлен	многочлен	, называют членами многочлена .
Замените степень произведением , а затем произведение преобразуйте в	многочлен	.
Представьте	многочлен	в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Чтобы умножить	многочлен	на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить многочлен на	многочлен	, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Преобразуйте выражение в	многочлен	стандартного вида .
Из одночленов выберите несколько и составьте из них : 1 )	многочлен	стандартного вида ; 2 ) многочлен , содержащий подобные члены ; 3 ) два многочлена стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Из одночленов выберите несколько и составьте из них : 1 ) многочлен стандартного вида ; 2 )	многочлен	, содержащий подобные члены ; 3 ) два многочлена стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Поэтому приведённое правило позволяет умножать	многочлен	на одночлен .
Сформулируем правило умножения многочлена на	многочлен	.
Полученный	многочлен	является суммой двух данных многочленов .
Представьте	многочлен	в виде произведения одночлена и многочлена .
Полученный	многочлен	является разностью двух данных многочленов .
Таким образом , при умножении многочлена на многочлен всегда получаем	многочлен	.
Найдите	многочлен	М , если .
Вообще , при сложении и вычитании многочленов всегда получается	многочлен	.
Представьте в виде произведения	многочлен	.
Назовите одночлены , суммой которых является данный	многочлен	: Найдите значение многочлена .
Полученный	многочлен	и является искомым произведением .
Теперь в выражении подставим вместо с	многочлен	Запишем .
Считают , что такой	многочлен	состоит из одного члена .
Если среди одночленов , составляющих	многочлен	, есть подобные , то их называют подобными членами многочлена .
Используя правило приведения подобных слагаемых , упростим этот	многочлен	.
Это преобразование позволяет заменить	многочлен	на тождественно равный ему , но более простой — с меньшим количеством членов .
Рассмотрим	многочлен	.
Этот	многочлен	составлен из одночленов стандартного вида , среди которых нет подобных .
Каким из данных произведений многочленов тождественно равен	многочлен	? .
Заметим , что	многочлен	не является многочленом стандартного вида .
Однако , записав в стандартном виде одночлены , из которых он составлен , а затем приведя подобные члены , его можно преобразовать в	многочлен	стандартного вида .
Рассмотрим	многочлен	стандартного вида .
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов , из которых этот	многочлен	составлен .
Считают , что нуль -	многочлен	степени не имеет .
Какой	многочлен	называют двучленом ?
Какой	многочлен	называют многочленом стандартного вида ? .
11 Умножение многочлена на	многочлен	.
Преобразуем в	многочлен	выражение .
Преобразуйте в	многочлен	произведение .
Таким образом , при умножении многочлена на	многочлен	всегда получаем многочлен .
На какое выражение надо умножить	многочлен	, чтобы произведение было равно многочлену ? .
Вместо звёздочки запишите такой	многочлен	, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной а .
Пример 1 Разложите на множители	многочлен	.
Исходный	многочлен	удалось разложить на множители благодаря тому , что мы выгодным способом объединили в группы его члены .
Вместо звёздочки запишите такой	многочлен	, чтобы образовалось тождество .
Какой	многочлен	надо вычесть из двучлена , чтобы разность была равна .
Какой	многочлен	надо прибавить к трёхчлену , чтобы сумма была равна .
Вместо звёздочки запишите такой	многочлен	, чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Представив данный	многочлен	в виде суммы кубов двух выражений , получим .
Разложите полученный	многочлен	на множители по этим формулам .
Представив данный	многочлен	в виде разности кубов двух выражений , получим .
Как умножить одночлен на	многочлен	? .
Придумайте	многочлен	, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Представьте	многочлен	в виде суммы двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной b.
Преобразуйте в	многочлен	выражение .
Разложите придуманный	многочлен	на множители по этим формулам .
Какой	многочлен	называют неполным квадратом суммы ?
Представьте	многочлен	в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами .
Какой	многочлен	называют неполным квадратом разности ?
Разложите на множители	многочлен	.
Как умножить многочлен на	многочлен	? .
Как умножить	многочлен	на многочлен ? .
Разложите на множители	многочлен	представьте выражение в виде произведения многочленов .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов	многочлен	не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов полученный	многочлен	не содержал переменной а .
17 Преобразование	многочлена	в квадрат суммы или разности двух выражений .
Представьте в виде	многочлена	число , состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
При каких значениях х и у равно нулю значение	многочлена	.
Разложение на множители	многочлена	.
Умножение	многочлена	на многочлен .
Приведите подобные члены	многочлена	.
Существуют ли такие значения х и у , при которых равно нулю значение	многочлена	.
Такое упрощение называют приведением подобных членов	многочлена	.
Если среди одночленов , составляющих многочлен , есть подобные , то их называют подобными членами	многочлена	.
Представьте в виде	многочлена	выражение .
Используя формулы сокращённого умножения , представьте в виде	многочлена	выражение .
Договорились рассматривать одночлен как частный случай	многочлена	.
Так , членами	многочлена	являются одночлены .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами	многочлена	.
Полученный многочлен является произведением одночлена 2х и	многочлена	.
В таком случае говорят , что степень	многочлена	равна 4 .
Универсальных рекомендаций не существует , всё зависит от конкретного	многочлена	.
Приведём ещё примеры : степень	многочлена	равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
Возникает естественный вопрос : какие способы и в какой последовательности надо применять при разложении	многочлена	на множители ?
Разложение	многочлена	на множители методом .
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения	многочлена	на множители : вынесение общего множителя за скобки ; метод группировки ; применение формул сокращённого умножения .
19 Применение различных способов разложения	многочлена	на множители .
Пусть надо сложить два	многочлена	.
Вычислите , используя вынесение общего множителя за скобки , значение	многочлена	.
Из одночленов выберите несколько и составьте из них : 1 ) многочлен стандартного вида ; 2 ) многочлен , содержащий подобные члены ; 3 ) два	многочлена	стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Степень	многочлена	.
Какой многочлен надо вычесть из	многочлена	плюс с , чтобы их разность была тождественно равна многочлену ? .
Степенью	многочлена	стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов , из которых этот многочлен составлен .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение	многочлена	при указанных значениях переменных .
При каких значениях х и у значение	многочлена	равно нулю ? .
Найдите значение	многочлена	.
Назовите одночлены , суммой которых является данный многочлен : Найдите значение	многочлена	.
Что называют степенью	многочлена	стандартного вида ? .
Что называют подобными членами	многочлена	? .
« Преобразование	многочлена	в квадрат суммы или разности двух выражений » .
Приведём ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень	многочлена	3 равна нулю .
« Применение различных способов разложения	многочлена	на множители » .
Приведём ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень	многочлена	равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
Приведите подобные члены и найдите значение	многочлена	при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
« Умножение	многочлена	на многочлен » .
Член	многочлена	.
11 Умножение	многочлена	на многочлен .
Если коэффициенты	многочлена	— целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Вообще , произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде	многочлена	.
Но обычно общий множитель выбирают так , чтобы члены	многочлена	, остающегося в скобках , не имели общего буквенного множителя .
Сформулируем правило умножения	многочлена	на многочлен .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного	многочлена	умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Существует немало приёмов разложения	многочлена	на множители .
Таким образом , при умножении	многочлена	на многочлен всегда получаем многочлен .
Представьте многочлен в виде произведения одночлена и	многочлена	.
Таким образом , разложение	многочлена	на множители позволило свести решение сложного уравнения к решению двух более простых .
Однако если воспользоваться разложением	многочлена	на множители , то уравнение можно переписать так .
Разложение	многочлена	на множители является ключом к решению многих задач .
Однако члены этого	многочлена	можно объединить в группы так , что слагаемые каждой группы будут иметь общий множитель .
Вообще , представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов называют разложением	многочлена	на множители .
Вообще , представление	многочлена	в виде произведения нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители .
Решение 1 ) Сгруппировав члены данного	многочлена	так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель , получим .
Для произведения одночлена и	многочлена	справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и вычитания .
Умножим два	многочлена	.
Вообще , произведение одночлена и	многочлена	всегда можно представить в виде многочлена .
Поясните , что называют разложением	многочлена	на множители .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый член	многочлена	и полученные произведения сложить .
Покажем , как умножить два	многочлена	на примере произведения .
Их не относят к	многочленам	стандартного вида .
Выполните умножение	многочленов	.
Для этого каждый из	многочленов	возьмём в скобки и поставим перед вычитаемым знак « минус » .
12 Разложение	многочленов	на множители .
Вычитание	многочленов	.
Вообще , представление многочлена в виде произведения нескольких	многочленов	называют разложением многочлена на множители .
Представьте многочлен в виде суммы двух	многочленов	так , чтобы один из них не содержал переменной b.
Вы уже знаете два способа разложения	многочленов	на множители вынесение общего множителя за скобки и метод группировки .
Разложите на множители многочлен представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Найдите разность	многочленов	.
Найдите сумму	многочленов	.
Представьте в виде произведения	многочленов	.
Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Каким из данных произведений	многочленов	тождественно равен многочлен ? .
Какому из данных	многочленов	тождественно равно произведение .
Какому из данных	многочленов	тождественно равно выражение .
Многочлены являются примерами	многочленов	стандартного вида .
Найдите сумму и разность	многочленов	.
Рассмотрим частный случай , когда в произведении двух	многочленов	один из них представляет собой разность двух выражений , а другой — их сумму .
9 Сложение и вычитание	многочленов	.
Полученный многочлен является суммой двух данных	многочленов	.
Вот ещё примеры	многочленов	.
Пусть теперь требуется из первого из данных	многочленов	вычесть второй .
Умножение	многочленов	.
Представьте в виде произведения	многочленов	выражение .
Сложение	многочленов	.
Представьте многочлен в виде разности двух	многочленов	так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух выражений , не используя правило умножения двух	многочленов	.
В частности , есть много	многочленов	, для разложения которых на множители надо применить несколько способов .
Разность	многочленов	.
Полученный многочлен является разностью двух данных	многочленов	.
Представьте многочлен в виде разности двух	многочленов	с положительными коэффициентами .
Вообще , при сложении и вычитании	многочленов	всегда получается многочлен .
Приведём примеры применения этой формулы для разложения	многочленов	на множители .
« Разложение	многочленов	на множители .
13 Разложение	многочленов	на множители .
Особые ситуации встречаются и при умножении	многочленов	.
Представьте выражение в виде разности квадратов двух	многочленов	.
Что называют	многочленом	? .
Такое название объясняется его внешним сходством с	многочленом	, который равен квадрату разности а и b.
Заметим , что многочлен не является	многочленом	стандартного вида .
Выражение , которое является суммой нескольких одночленов , называют	многочленом	.
Многочлен , состоящий из одночленов стандартного вида , среди которых нет подобных , называют	многочленом	стандартного вида .
Какой многочлен называют	многочленом	стандартного вида ? .
Какой многочлен надо прибавить к многочлену чтобы их сумма была тождественно равна	многочлену	.
Какой многочлен надо вычесть из многочлена плюс с , чтобы их разность была тождественно равна	многочлену	? .
Какой многочлен надо прибавить к	многочлену	чтобы их сумма была тождественно равна 5 ? .
Так как , то , прибавляя к данному	многочлену	( удвоенное произведение одночленов х2 и 2у2 ) и вычитая из него такой же одночлен , получим .
Какое число надо прибавить к	многочлену	, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена ?
На какое выражение надо умножить многочлен , чтобы произведение было равно	многочлену	? .
Какому	многочлену	равно выражение .
Какой многочлен надо прибавить к	многочлену	чтобы их сумма была тождественно равна многочлену .
Заметим , что эту формулу также можно доказать , перемножив	многочлены	, стоящие в правой части .
Вы знаете , что произведение нескольких	множителей	равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно нулю .
Упростите выражение , заменив произведение одинаковых множителей степенью : 10	множителей	; k множителей ;
Упростите выражение , заменив произведение одинаковых множителей степенью : 10 множителей ; k	множителей	;
m	множителей	.
Произведение равных	множителей	.
Представьте в виде произведения трёх	множителей	выражение , где n — натуральное число .
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n множителей ; m плюс n множителей ; n множителей ; плюс 1	множителей	.
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n множителей ; m плюс n множителей ; n	множителей	; плюс 1 множителей .
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n	множителей	, каждый из которых равен а .
Упростите выражение , заменив произведение одинаковых	множителей	степенью : 10 множителей ; k множителей ;
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n множителей ; m плюс n	множителей	; n множителей ; плюс 1 множителей .
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n	множителей	; m плюс n множителей ; n множителей ; плюс 1 множителей .
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m	множителей	; n множителей ; m плюс n множителей ; n множителей ; плюс 1 множителей .
Данное выражение представлено в виде произведения двух	множителей	, первый из которых равен 7 , а второй принимает только целые значения .
Для n больше 1 имеем : n	множителей	;
Если один из двух	множителей	равен 1 , то произведение равно второму множителю .
Если один из	множителей	равен нулю , то произведение равно нулю .
Если произведение равно нулю , то хотя бы один из	множителей	равен нулю .
От перестановки	множителей	произведение не изменяется — переместительное свойство .
Представьте в виде произведения четырёх	множителей	выражение , где n — натуральное число .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно нулю .
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n	множителей	, каждый из которых равен а , n множителей .
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n	множителей	.
n	множителей	; n множителей .
n множителей ; n	множителей	.
Аналогичное свойство имеет место и для произведения трёх или более	множителей	.
Любой из этих	множителей	можно вынести за скобки .
Итак , из приведённых определений следует , что n	множителей	.
Данное выражение представлено в виде произведения , один из	множителей	которого равен 24 , а другой — натуральное число .
Данное выражение представлено в виде произведения трёх	множителей	, один из которых равен 8 , а два других — натуральные числа .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из	множителей	равен нулю , то и произведение равно нулю .
1 ) В данном случае общим	множителем	является многочлен .
Разложение многочлена на	множители	является ключом к решению многих задач .
Сформулируйте правило разложения на	множители	разности квадратов двух выражений .
Как вы знаете , в математике придумали способ коротко записывать произведение , все	множители	которого равны .
Многочлен не удастся разложить на	множители	методом вынесения за скобки общего множителя , так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
13 Разложение многочленов на	множители	.
Разложение многочлена на	множители	методом .
Исходный многочлен удалось разложить на	множители	благодаря тому , что мы выгодным способом объединили в группы его члены .
Вообще , представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов называют разложением многочлена на	множители	.
12 Разложение многочленов на	множители	.
Приведём примеры применения этой формулы для разложения многочленов на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен , предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений .
Разложите на	множители	трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых .
Разложите на	множители	, используя формулу разности квадратов .
Одночлен , содержащий только один числовой множитель , отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные	множители	— это степени с различными основаниями .
Разложите на	множители	выражение ( n — натуральное число ) .
Если показатель степени — чётное число , то при возведении в степень	множители	можно разбить на пары .
Все остальные	множители	— это степени с различными основаниями .
Разложите на	множители	многочлен представьте выражение в виде произведения многочленов .
Найдите значение выражения , разложив его предварительно на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен .
Разложите на	множители	трёхчлен .
Пример 1 Разложите на	множители	многочлен .
О такой записи говорят , что многочлен разложили на	множители	.
Можно ли , применяя формулу разности квадратов , разложить на	множители	выражение .
Вы уже знаете два способа разложения многочленов на	множители	вынесение общего множителя за скобки и метод группировки .
Какой из данных двучленов можно разложить на	множители	, применяя формулу разности квадратов ? .
Разложим на	множители	выражение .
Существует немало приёмов разложения многочлена на	множители	.
В частности , есть много многочленов , для разложения которых на	множители	надо применить несколько способов .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные »	множители	, преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
19 Применение различных способов разложения многочлена на	множители	.
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения многочлена на	множители	: вынесение общего множителя за скобки ; метод группировки ; применение формул сокращённого умножения .
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел , то есть разложить на простые	множители	.
Чтобы проверить , правильно ли разложили многочлен на	множители	, надо полученные множители перемножить .
Разложите на	множители	, где n — натуральное число .
Если можно , то выполните разложение на	множители	.
Возникает естественный вопрос : какие способы и в какой последовательности надо применять при разложении многочлена на	множители	?
Разложите на	множители	.
Разложение на	множители	разности кубов .
Разложите на	множители	трёхчлен , выделив предварительно квадрат двучлена .
Найдите эти выражения и разложите их на	множители	.
Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на	множители	.
Одночлены содержат такие общие	множители	.
Решите уравнение , используя разложение на	множители	.
Разложите выражение на	множители	двумя способами .
Сумму какого одночлена и трёхчлена можно разложить на	множители	по формуле квадрата двучлена ?
Разложение на	множители	многочлена .
Разложение на	множители	разности квадратов .
Придумайте многочлен , который можно разложить на	множители	как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Разложите придуманный многочлен на	множители	по этим формулам .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на	множители	как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Однако если воспользоваться разложением многочлена на	множители	, то уравнение можно переписать так .
« Разложение многочленов на	множители	.
Разложите на	множители	выражение .
Разложите на	множители	, пользуясь формулой разности квадратов .
найти дополнительные	множители	для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей ;
Разложите выражение на	множители	.
Поясните , что называют разложением многочлена на	множители	.
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные »	множители	, преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Таким образом , разложение многочлена на	множители	позволило свести решение сложного уравнения к решению двух более простых .
Разложите полученный многочлен на	множители	по этим формулам .
Сформулируйте правило разложения на	множители	суммы кубов двух выражений .
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на	множители	по формуле разности квадратов .
Сформулируйте правило разложения на	множители	разности кубов двух выражений .
Полученные выражения разложите на	множители	.
Чтобы проверить , правильно ли разложили многочлен на множители , надо полученные	множители	перемножить .
Разложите на	множители	( n — натуральное число ) .
Разложив левую часть уравнения на	множители	и применив условие , согласно которому произведение равно нулю , получаем .
« Применение различных способов разложения многочлена на	множители	» .
Разложение на	множители	суммы кубов .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно разложить на	множители	сумму или разность кубов двух одночленов .
Вычислите значение выражения , предварительно разложив его на	множители	.
Вынесите за скобки общий	множитель	.
Вынесите за скобки общий	множитель	в выражении .
Если же показатель степени — число нечётное , то один	множитель	останется без пары .
Такие соображения подсказывают вынести за скобки общий	множитель	.
Числовой	множитель	одночлена , записанного в стандартном виде .
Но обычно общий	множитель	выбирают так , чтобы члены многочлена , остающегося в скобках , не имели общего буквенного множителя .
Действительно , хотя первое из них и имеет единственный числовой	множитель	, но он не стоит на первом месте .
Решение 1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий	множитель	, получим .
Одночлен , содержащий только один числовой	множитель	, отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные множители — это степени с различными основаниями .
Числовой	множитель	одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом одночлена .
И даже , например , у одночленов при записи которых числовой	множитель	не используется , коэффициентами являются числа 1 и – 1 соответственно .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий	множитель	за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Мы получили выражение , в котором оба слагаемых имеют	множитель	.
Однако члены этого многочлена можно объединить в группы так , что слагаемые каждой группы будут иметь общий	множитель	.
Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на известный	множитель	.
Чтобы найти неизвестный	множитель	, надо произведение разделить на известный множитель .
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный	множитель	.
Полученный одночлен содержит только один числовой	множитель	, отличный от нуля , стоящий на первом месте .
Вынесите за скобки общий	множитель	( n — натуральное число ) .
Представим выражения в виде степеней с основанием 2 и вынесем за скобки общий	множитель	.
Вынесите общий	множитель	за скобки .
Обозначим второй	множитель	буквой с. Тогда получаем .
Итак , при возведении произведения в степень каждый	множитель	возводят в степень и полученные результаты перемножают .
Если один из двух множителей равен 1 , то произведение равно второму	множителю	.
Вычислите , используя вынесение общего	множителя	за скобки , значение многочлена .
И это понятно : ведь не принято рассматривать произведение , состоящее из одного	множителя	.
Вынесение общего	множителя	за скобки .
Вы уже знаете два способа разложения многочленов на множители вынесение общего	множителя	за скобки и метод группировки .
Самый простой из них — вынесение общего	множителя	за скобки .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего	множителя	за скобки и метод группировки , получим .
Вынесение общего	множителя	за скобки » .
Но обычно общий множитель выбирают так , чтобы члены многочлена , остающегося в скобках , не имели общего буквенного	множителя	.
Упростите выражение , используя вынесение общего	множителя	за скобки .
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения многочлена на множители : вынесение общего	множителя	за скобки ; метод группировки ; применение формул сокращённого умножения .
Применив последовательно вынесение общего	множителя	за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
И всё же дадим несколько общих советов : 1 ) если это возможно , то разложение надо начинать с вынесения общего	множителя	за скобки ; 2 ) проверить , можно ли применить формулы сокращённого умножения ;
Поскольку каждые два отрицательных	множителя	в произведении дают положительное число , то верно следующее утверждение .
Применив последовательно вынесение общего	множителя	за скобки и формулу разности квадратов , получим ; 2 )
Вынесение общего	множителя	.
Мы получили три	множителя	, один из которых является разностью кубов , а два других — суммой кубов .
Вычислите , используя вынесение общего	множителя	за скобки .
Многочлен не удастся разложить на множители методом вынесения за скобки общего	множителя	, так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
Какое свойство умножения используют при вынесении общего	множителя	за скобки ? .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель	модулей	этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим	модулем	.
Чтобы умножить два отрицательных числа , надо умножить их	модули	.
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти	модули	слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
4 )	модули	противоположных чисел равны ;
Чтобы умножить два числа с разными знаками , надо умножить их	модули	и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Чтобы сложить два отрицательных числа , надо : 1 ) найти	модули	слагаемых ;
сложить	модули	слагаемых ; 3 ) перед полученным числом поставить знак « – » .
Учитывая , что существуют только два числа , – 4 и 4 ,	модули	которых равны 4 , получаем .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший	модуль	; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо	модуль	делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы разделить два отрицательных числа , надо модуль делимого разделить на	модуль	делителя .
Чтобы разделить два отрицательных числа , надо	модуль	делимого разделить на модуль делителя .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на	модуль	делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Модуль числа a обозначают так : читают : «	модуль	а » .
Модуль положительного числа равен этому числу ,	модуль	отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
Сравнения по	модулю	.
Егоров А. Деление с остатком и сравнения по	модулю	.
Представьте число в виде степени с показателем , большим 1 , и наименьшим по	модулю	основанием .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего	модуля	вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
С помощью фигурной скобки свойство	модуля	числа a можно записать так .
В некоторый	момент	все жуки переползают на соседние ( по горизонтали или вертикали ) клетки .
Используя этот график , можно , выбрав произвольный	момент	времени t , найти соответствующую температуру воздуха Т ( в градусах Цельсия ) .
Если сократить дробь на	наибольший общий делитель	числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят	наибольший общий делитель	модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Если	наибольший общий делитель	двух натуральных чисел равен 1 , то их называют взаимно простыми .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте	найденное	решение системы , подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы .
Подставим	найденное	значение переменной х в уравнение .
Подставим	найденное	значение y в первое уравнение исходной системы .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить	найденное	на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Подставив	найденное	значение х в первое уравнение данной системы , получим .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить	найденное	на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить	найденное	значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Подставим	найденное	значение переменной х в любое из уравнений системы , например в первое .
Выяснить , соответствует ли	найденный	корень смыслу задачи , и записать ответ .
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли	найденный	корень смыслу задачи , и записать ответ .
Разность их ты	найди	, затем трижды её сложи , на кумай этих пчёл посади .
Обозначив эту функцию буквой f ,	найдите	f(2 ) , f(–5 ) , f(0 ) .
Упростите выражение и	найдите	его значение .
Пользуясь графиком ,	найдите	, при каких значениях aргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
В случае утвердительного ответа	найдите	область определения и область значений этой функции .
Изображены графики уравнений	найдите	все пары чисел , являющиеся решениями каждого из данных уравнений .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком ,	найдите	значения аргумента , при которых значение функции : 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Не выполняя построения ,	найдите	координаты точек пересечения графиков функций .
Не выполняя построения ,	найдите	координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Составьте числовое выражение и	найдите	его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Пользуясь графиком ,	найдите	, в течение какого времени температура повышалась и в течение какого времени снижалась .
Составьте числовое выражение и	найдите	его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Не выполняя построения графика функции ,	найдите	координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Постройте отрезки АВ и CD и	найдите	координаты точки пересечения этих отрезков , если .
Среди выражений	найдите	выражение , тождественно равное выражению .
Упростите выражение и	найдите	его значение , если .
Не выполняя построения графика функции ,	найдите	точку этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Не выполняя построения графика функции ,	найдите	точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Для каждой пары выражений	найдите	все значения а , при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и	найдите	значение многочлена при указанных значениях переменных .
Составьте числовое выражение и	найдите	его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Приведите подобные члены и	найдите	значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Не выполняя построения ,	найдите	координаты точек пересечения с осями координат графика функции .
Упростите выражение и	найдите	его значение при .
Если такое число существует ,	найдите	его .
Выразите из уравнения переменную х через переменную у и	найдите	какие - нибудь два решения этого уравнения .
Не выполняя построения ,	найдите	координаты точек пересечения графика функции с осями координат .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел ,	найдите	значение данного выражения .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю ; ;
Выразите из данного уравнения переменную х через переменную у и	найдите	какие - нибудь три решения этого уравнения .
Составьте числовое выражение и	найдите	его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Пользуясь графиком ,	найдите	: 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Постройте в одной системе координат графики функций и	найдите	координаты точки их пересечения .
Выразите из данного уравнения переменную у через переменную х и	найдите	какие - нибудь два решения этого уравнения .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции ,	найдём	значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Ищите , интересуйтесь , общайтесь со своими сверстниками , и вы	найдёте	много интересного .
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно	найти	единственное значение зависимой переменной , называют функцией .
Чтобы	найти	разность двух чисел , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Чтобы	найти	неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность .
Чтобы	найти	неизвестный множитель , надо произведение разделить на известный множитель .
Чтобы	найти	делимое , надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток .
Чтобы сложить два отрицательных числа , надо : 1 )	найти	модули слагаемых ;
Таблица позволяет по указанному значению аргумента	найти	соответствующее значение функции .
Чтобы	найти	дробь от числа , можно число умножить на эту дробь .
Чтобы	найти	неизвестное уменьшаемое , надо к разности прибавить вычитаемое .
Чтобы	найти	проценты от числа , можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь .
Чтобы	найти	число по значению его дроби , можно это значение разделить на эту дробь .
Чтобы	найти	неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое .
Чтобы	найти	число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь .
Чтобы	найти	искомое значение аргумента , решим уравнение .
Решить уравнение — значит	найти	все его корни или убедиться , что их вообще нет .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной , то не всегда возможно по значению величины Т однозначно	найти	значение величины t.
Функция считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной	найти	значение зависимой переменной .
Решить уравнение с двумя переменными — это значит	найти	все его решения или показать , что оно не имеет решений .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а число — и	найти	значение числового выражения .
Решить систему уравнений — это значит	найти	все её решения или доказать , что решений нет .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо	найти	общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину стороны ,	найти	соответствующее значение периметра квадрата .
Разделить число а на число b — значит	найти	такое число , произведение которого с числом b равно а .
Правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно	найти	значение зависимой переменной .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо	найти	значение данной функции при х равно 0 .
Вес настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать , чтобы	найти	кучку из фальшивых монет ? .
Чтобы	найти	процентное отношение двух чисел , надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение переменной х , можем	найти	бесконечно много решений данного уравнения .
Вы знаете , что с его помощью можно	найти	периметр прямоугольника со сторонами а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое выражение .
Используя этот график , можно , выбрав произвольный момент времени t ,	найти	соответствующую температуру воздуха Т ( в градусах Цельсия ) .
Легко	найти	несколько решений этого уравнения .
Если поставлена задача	найти	стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
Подчеркнём , что эта формула задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно	найти	значение зависимой переменной .
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 )	найти	наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Правило , с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно	найти	единственное значение зависимой переменной .
Если требуется	найти	все общие решения нескольких уравнений , то говорят , что нужно решить систему уравнений .
Так , изучая график , можно , например ,	найти	: 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Чтобы	найти	неизвестный делитель , надо делимое разделить на частное .
Подчеркнём , что этот график задаёт правило , с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно	найти	значение зависимой переменной .
Из числа a вычесть число b — значит	найти	такое число , которое в сумме с числом b даёт число а .
Чтобы	найти	неизвестное делимое , надо делитель умножить на частное .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ;	найти	координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
	Найти	дополнительные множители для каждой из дробей , разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей ;
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно	найти	единственное значение зависимой переменной .
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 )	найти	модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
А потому графический метод обычно применяют в тех случаях , когда решение достаточно	найти	приближённо .
Наименьшим делителем любого	натурального	числа a является число 1 , а наибольшим — само число а .
Докажите , что не существует	натурального	значения n , при котором значение выражения делилось бы нацело на 5 .
Если запись	натурального	числа оканчивается чётной цифрой , то оно делится нацело на 2 .
Докажите , что разность куба	натурального	числа и самого этого числа делится нацело на 6 .
Для любого	натурального	числа a каждое из чисел является кратным числа a .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении	натурального	числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении некоторого	натурального	числа на 11 равен 6 .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении	натурального	числа y на 6 равен 2 .
Докажите , что не существует такого	натурального	числа n , при котором значение выражения делится нацело на 8 .
Докажите , что сумма любого	натурального	числа и его квадрата является чётным числом .
Докажите , что если остаток при делении	натурального	числа на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого	натурального	числа .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого	натурального	числа .
Остаток от деления на 7 одного	натурального	числа равен 4 , а другого числа равен 3 .
Докажите , что остаток при делении квадрата	натурального	числа на число 3 равен 0 или 1 .
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом	натурального	числа .
Остаток при делении	натурального	числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении	натурального	числа b на 8 равен 7 .
Каким числом , чётным или нечётным , является квадрат нечётного	натурального	числа ? .
Если запись	натурального	числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не делится нацело на 5 .
Остаток при делении	натурального	числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Выясните , какой остаток может давать квадрат	натурального	числа при делении на 4 .
Остаток при делении	натурального	числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении	натурального	числа b на 9 равен 7 .
Остаток при делении некоторого	натурального	числа на 9 равен 5 .
Чему равен остаток при делении квадрата нечётного	натурального	числа на 8 ? .
Если запись	натурального	числа оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится нацело на 5 .
Если запись	натурального	числа оканчивается цифрой 0 , то оно делится нацело на 10 .
Если запись	натурального	числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не делится нацело на 10 .
Докажите , что квадрат	натурального	числа имеет нечётное количество делителей .
Для любых чисел а и b и любого	натурального	числа n справедливо равенство .
Остаток при делении	натурального	числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении	натурального	числа n на 4 равен 2 .
Докажите , что если остаток при делении	натурального	числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Если запись	натурального	числа оканчивается нечётной цифрой , то оно не делится нацело на 2 .
Докажите , что разность между квадратом	натурального	числа , не кратного 3 , и числом 1 кратна 3 .
Остаток при делении	натурального	числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
Остаток при делении	натурального	числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении	натурального	числа n на 11 равен 5 .
Докажите , что не существует такого	натурального числа	n , при котором значение выражения делится нацело на 8 .
Докажите , что сумма любого	натурального числа	и его квадрата является чётным числом .
Если запись	натурального числа	оканчивается цифрой 0 , то оно делится нацело на 10 .
Остаток при делении	натурального числа	a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
Докажите , что остаток при делении квадрата	натурального числа	на число 3 равен 0 или 1 .
Если запись	натурального числа	оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не делится нацело на 10 .
Остаток при делении	натурального числа	m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Остаток при делении	натурального числа	m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении	натурального числа	b на 8 равен 7 .
Если запись	натурального числа	оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не делится нацело на 5 .
Если запись	натурального числа	оканчивается чётной цифрой , то оно делится нацело на 2 .
Выясните , какой остаток может давать квадрат	натурального числа	при делении на 4 .
Если запись	натурального числа	оканчивается нечётной цифрой , то оно не делится нацело на 2 .
Докажите , что квадрат	натурального числа	имеет нечётное количество делителей .
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом	натурального числа	.
Чему равен остаток при делении квадрата нечётного	натурального числа	на 8 ? .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении	натурального числа	n на 4 равен 2 .
Если запись	натурального числа	оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится нацело на 5 .
Докажите , что разность куба	натурального числа	и самого этого числа делится нацело на 6 .
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого	натурального числа	.
Для любого	натурального числа	a каждое из чисел является кратным числа a .
Для любых чисел а и b и любого	натурального числа	n справедливо равенство .
Каким числом , чётным или нечётным , является квадрат нечётного	натурального числа	? .
Докажите , что если остаток при делении	натурального числа	на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Остаток при делении	натурального числа	a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Докажите , что разность между квадратом	натурального числа	, не кратного 3 , и числом 1 кратна 3 .
Докажите , что если остаток при делении	натурального числа	на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении	натурального числа	b на 9 равен 7 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого	натурального числа	.
Остаток при делении некоторого	натурального числа	на 9 равен 5 .
Остаток от деления на 7 одного	натурального числа	равен 4 , а другого числа равен 3 .
Остаток при делении	натурального числа	х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Остаток при делении некоторого	натурального числа	на 11 равен 6 .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении	натурального числа	n на 3 равен 2 .
Наименьшим делителем любого	натурального числа	a является число 1 , а наибольшим — само число а .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении	натурального числа	y на 6 равен 2 .
Остаток при делении	натурального числа	m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении	натурального числа	n на 11 равен 5 .
Разложите на множители , где n —	натуральное	число .
Укажите наименьшее	натуральное	значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n —	натуральное	число , делится нацело на 5 .
Если	натуральное	число разделить на 10 , то остаток равен числу , записанному последней цифрой этого числа .
Существует ли такое	натуральное	значение n , при котором значение выражения не делилось бы нацело на 3 ?
Докажите тождество , где n — произвольное	натуральное	число .
Разложите на множители выражение ( n —	натуральное	число ) .
Известно , что n —	натуральное	число .
Представьте в виде степени выражение , где n —	натуральное	число .
Докажите тождество , где n —	натуральное	число .
Выполните умножение двучленов ( n —	натуральное	число ) .
Чтобы умножить дробь на	натуральное	число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Тогда зависимость переменной у от переменной х выражается формулой , где х —	натуральное	число .
Тогда n равно , где k —	натуральное	число .
Сравните значения выражений , где n —	натуральное	число .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое	натуральное	число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Вынесите за скобки общий множитель ( n —	натуральное	число ) .
Представьте в виде степени выражение , где k —	натуральное	число .
Какой цифрой оканчивается значение выражения ( n —	натуральное	число ) ? .
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же	натуральное	число , то получим дробь , равную данной .
Тогда n можно представить в виде , где k —	натуральное	число .
Упростите выражение , где n —	натуральное	число .
Если	натуральное	число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Если натуральное число а делится нацело на	натуральное	число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Найдите такое наименьшее	натуральное	значение a , при котором выражение принимает положительные значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Тогда n равно 3k , где k —	натуральное	число .
Произведением числа a на	натуральное	число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
Данное выражение представлено в виде произведения , один из множителей которого равен 24 , а другой —	натуральное	число .
Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение , где n —	натуральное	число .
Пусть первое из этих чисел равно , где n — произвольное	натуральное	число .
Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения , где n — произвольное	натуральное	число ?
Пусть n — некоторое	натуральное	число .
Представьте в виде произведения трёх множителей выражение , где n —	натуральное	число .
Разложите на множители ( n —	натуральное	число ) .
Не всегда одно	натуральное	число делится нацело на другое .
Вместо звёздочки запишите такое выражение , чтобы выполнялось равенство , где n —	натуральное	число .
Разложите на множители выражение ( n —	натуральное число	) .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое	натуральное число	, то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Сравните значения выражений , где n —	натуральное число	.
Докажите тождество , где n — произвольное	натуральное число	.
Упростите выражение , где n —	натуральное число	.
Данное выражение представлено в виде произведения , один из множителей которого равен 24 , а другой —	натуральное число	.
Произведением числа a на	натуральное число	b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же	натуральное число	, то получим дробь , равную данной .
Пусть первое из этих чисел равно , где n — произвольное	натуральное число	.
Тогда зависимость переменной у от переменной х выражается формулой , где х —	натуральное число	.
Если	натуральное число	разделить на 10 , то остаток равен числу , записанному последней цифрой этого числа .
Выполните умножение двучленов ( n —	натуральное число	) .
Тогда n равно 3k , где k —	натуральное число	.
Чтобы умножить дробь на	натуральное число	, надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Вынесите за скобки общий множитель ( n —	натуральное число	) .
Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение , где n —	натуральное число	.
Известно , что n —	натуральное число	.
Тогда n можно представить в виде , где k —	натуральное число	.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n —	натуральное число	, делится нацело на 5 .
Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения , где n — произвольное	натуральное число	?
Какой цифрой оканчивается значение выражения ( n —	натуральное число	) ? .
Тогда n равно , где k —	натуральное число	.
Представьте в виде произведения трёх множителей выражение , где n —	натуральное число	.
Представьте в виде степени выражение , где n —	натуральное число	.
Пусть n — некоторое	натуральное число	.
Если	натуральное число	а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Докажите тождество , где n —	натуральное число	.
Разложите на множители , где n —	натуральное число	.
Представьте в виде степени выражение , где k —	натуральное число	.
Вместо звёздочки запишите такое выражение , чтобы выполнялось равенство , где n —	натуральное число	.
Если натуральное число а делится нацело на	натуральное число	b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Не всегда одно	натуральное число	делится нацело на другое .
Разложите на множители ( n —	натуральное число	) .
Можно ли утверждать , что при любом	натуральном	чётном значении п значение выражения делится нацело на 84 ?
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом	натуральном	значении n.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 9 ; делится нацело на 5 при любом	натуральном	значении n .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения кратно 4 .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n , большем 1 , значение выражения делится нацело на 10 .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения кратно 6 .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Чему равно значение выражения 0n при любом	натуральном	значении n ? .
Докажите , что . Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 5 при любом	натуральном	значении n .
Докажите , что значение выражения кратно 8 при любом	натуральном	значении n .
Докажите , что значение выражения кратно 3 при любом	натуральном	значении m .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n , не кратном 5 , значение выражения делится нацело на 5 .
Можно ли утверждать , что значение выражения делится нацело на 3 при любом	натуральном	значении n ? .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения кратно 42 .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения делится нацело на 7 .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Тогда значение выражения делится нацело на 8 при любом	натуральном	n .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения делится нацело на 12 .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n , отличном от 1 , значение выражения является составным числом .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения делится нацело на 16 .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения делится нацело на 8 .
Следовательно , при любом	натуральном	n значение данного выражения нацело делится на 7 .
Докажите , что при любом	натуральном	значении n значение выражения делится нацело на 7 ; делится нацело на 16 .
Докажите , что при любом	натуральном	n значение выражения при делении на 7 даёт остаток , равный 4 .
Рассмотрим правило , по которому каждому	натуральному	числу поставили в соответствие остаток при делении его на 7 .
Рассмотрим функцию g , заданную следующим правилом : каждому однозначному	натуральному	числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата .
Каждому	натуральному	числу , которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при делении этого числа на 6 .
Рассмотрим правило , согласно которому каждому	натуральному	числу соответствует противоположное ему число .
Каждому	натуральному числу	, которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при делении этого числа на 6 .
Рассмотрим функцию g , заданную следующим правилом : каждому однозначному	натуральному числу	поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата .
Рассмотрим правило , по которому каждому	натуральному числу	поставили в соответствие остаток при делении его на 7 .
Рассмотрим правило , согласно которому каждому	натуральному числу	соответствует противоположное ему число .
Область определения некоторой функции — однозначные	натуральные	числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Все	натуральные	числа , противоположные им числа и число 0 называют целыми числами .
Объединив	натуральные	числа с целыми отрицательными и нулём , получим целые числа .
Известно , что а и b —	натуральные	числа , а число a / b — правильная дробь .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные	натуральные	числа , делится нацело на 7 .
Данное выражение представлено в виде произведения трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других —	натуральные	числа .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные	натуральные	числа , делится нацело на 6 .
Можно ли	натуральные	числа от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения чисел каждой группы были равны ? .
Задана функция , областью определения которой являются все однозначные	натуральные	числа .
Постройте график функции , областью определения которой являются все	натуральные	числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа ; в примере 2 —	натуральные	числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
Придумайте функцию f , областью определения которой являются все	натуральные	числа , а областью значений — три числа : 0 ; 1 ; 2 .
Прослеживается закономерность : , где m и n — произвольные	натуральные	числа .
Найдите все	натуральные	значения n , при которых значение каждого из выражений является простым числом .
Известно , что	натуральные	числа m и n таковы , что значение выражения делится нацело на 11 .
Выполните умножение одночленов , где m и n —	натуральные	числа .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа ; в примере 2 —	натуральные числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
Прослеживается закономерность : , где m и n — произвольные	натуральные числа	.
Объединив	натуральные числа	с целыми отрицательными и нулём , получим целые числа .
Все	натуральные числа	, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами .
Известно , что	натуральные числа	m и n таковы , что значение выражения делится нацело на 11 .
Придумайте функцию f , областью определения которой являются все	натуральные числа	, а областью значений — три числа : 0 ; 1 ; 2 .
Задана функция , областью определения которой являются все однозначные	натуральные числа	.
Выполните умножение одночленов , где m и n —	натуральные числа	.
Область определения некоторой функции — однозначные	натуральные числа	, а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Можно ли	натуральные числа	от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения чисел каждой группы были равны ? .
Известно , что а и b —	натуральные числа	, а число a / b — правильная дробь .
Постройте график функции , областью определения которой являются все	натуральные числа	и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные	натуральные числа	, делится нацело на 6 .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные	натуральные числа	, делится нацело на 7 .
Данное выражение представлено в виде произведения трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других —	натуральные числа	.
Выразите эту площадь	натуральным	числом в квадратных километрах .
Степенью числа a с	натуральным	показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
Что называют степенью числа a с	натуральным	показателем n , большим 1 ? .
Степень с	натуральным	показателем .
Свойства степени с	натуральным	показателем ( основное свойство степени ) .
« Степень с	натуральным	показателем » .
Степенью числа a с	натуральным	показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Решением этой системы является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только	натуральным	числом .
Выразите это расстояние	натуральным	числом в метрах .
6 Свойства степени с	натуральным	показателем .
Найдите все целые значения n , при которых корень уравнения является	натуральным	числом .
Выразите это расстояние	натуральным числом	в метрах .
Выразите эту площадь	натуральным числом	в квадратных километрах .
Решением этой системы является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только	натуральным числом	.
Найдите все целые значения n , при которых корень уравнения является	натуральным числом	.
Выразите эти площади	натуральными	числами в квадратных километрах .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных	натуральных	чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных	натуральных	чисел равен 3 .
Докажите , что разность квадратов двух произвольных	натуральных	чисел , каждое из которых не делится нацело на 3 , кратна 3 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных	натуральных	чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Задумали три	натуральных	числа .
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных	натуральных	чисел не может являться квадратом натурального числа .
Найдите четыре последовательных	натуральных	числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Найдите какие - нибудь три	натуральных	значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных	натуральных	чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа .
Однако никакое количество конкретных примеров не может гарантировать , что приведённое равенство верно для любых	натуральных	m и n.
Найдите четыре последовательных	натуральных	числа таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
Сумма 100 разных	натуральных	чисел равна 5051 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных	натуральных	чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
При всех ли	натуральных	значениях n значение выражения кратно 8 ? .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных	натуральных	чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
При одних и тех же	натуральных	значениях n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Для любого числа a и любых	натуральных	чисел m и n справедливо равенство .
При всех ли	натуральных	значениях n значение выражения кратно 12 ? .
Задумали четыре	натуральных	числа .
Дано 12	натуральных	чисел .
Пусть — некоторый набор	натуральных	чисел , а набор yх , получен из него в результате перестановки некоторых чисел .
Найдите все пары ( х ; у )	натуральных	чисел , являющиеся решениями уравнения .
Найдите четыре последовательных нечётных	натуральных	числа , сумма квадратов которых равна 164 .
Докажите , что при всех	натуральных	значениях n значение выражения делится нацело на 6 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных	натуральных	чисел делится нацело на 10 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных	натуральных	чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Найдите четыре последовательных	натуральных	числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных	натуральных	чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных	натуральных	чисел , ни одно из которых не кратно 3 , делится нацело на 9 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных	натуральных	чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Найдите три последовательных	натуральных	числа таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
Если наибольший общий делитель двух	натуральных	чисел равен 1 , то их называют взаимно простыми .
Признаки делимости	натуральных	чисел .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных	натуральных	чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Можно ли утверждать , что если сумма двух	натуральных	чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Данное выражение равно произведению двух	натуральных	чисел , одним из которых является 14 .
Выбрали некоторые три последовательных	натуральных	числа .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных	натуральных	чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных	натуральных	чисел не делится нацело на 8 .
Делимость	натуральных	чисел .
При каких	натуральных	значениях m верно неравенство ? .
При каких	натуральных	значениях n верно неравенство .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных	натуральных	чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных	натуральных	чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что значение выражения кратно 7 при всех	натуральных	значениях n.
Для любого числа a , отличного от нуля , и любых	натуральных	чисел m и n таких , что m больше n , справедливо равенство .
Выбрали некоторые четыре последовательных	натуральных	числа .
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных	натуральных	чисел делится нацело на 3 .
Найдите три последовательных	натуральных	числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных	натуральных	чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных	натуральных чисел	делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных	натуральных чисел	делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных	натуральных чисел	делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Признаки делимости	натуральных чисел	.
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных	натуральных чисел	делится нацело на 3 .
Для любого числа a и любых	натуральных чисел	m и n справедливо равенство .
Делимость	натуральных чисел	.
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных	натуральных чисел	кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Пусть — некоторый набор	натуральных чисел	, а набор yх , получен из него в результате перестановки некоторых чисел .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных	натуральных чисел	, меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Можно ли утверждать , что если сумма двух	натуральных чисел	делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных	натуральных чисел	, большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Дано 12	натуральных чисел	.
Сумма 100 разных	натуральных чисел	равна 5051 .
Если наибольший общий делитель двух	натуральных чисел	равен 1 , то их называют взаимно простыми .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных	натуральных чисел	делится нацело на 10 .
Данное выражение равно произведению двух	натуральных чисел	, одним из которых является 14 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных	натуральных чисел	делится нацело на 4 .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных	натуральных чисел	и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных	натуральных чисел	делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных	натуральных чисел	равен 3 .
Для любого числа a , отличного от нуля , и любых	натуральных чисел	m и n таких , что m больше n , справедливо равенство .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных	натуральных чисел	не делится нацело на 8 .
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных	натуральных чисел	не может являться квадратом натурального числа .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных	натуральных чисел	не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных	натуральных чисел	равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных	натуральных чисел	делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Найдите все пары ( х ; у )	натуральных чисел	, являющиеся решениями уравнения .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных	натуральных чисел	, ни одно из которых не кратно 3 , делится нацело на 9 .
Докажите , что разность квадратов двух произвольных	натуральных чисел	, каждое из которых не делится нацело на 3 , кратна 3 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных	натуральных чисел	, большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Найдите четыре последовательных	натуральных числа	, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
Найдите три последовательных	натуральных числа	таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
Выбрали некоторые три последовательных	натуральных числа	.
Найдите четыре последовательных нечётных	натуральных числа	, сумма квадратов которых равна 164 .
Найдите четыре последовательных	натуральных числа	таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Найдите три последовательных	натуральных числа	, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
Задумали четыре	натуральных числа	.
Найдите четыре последовательных	натуральных числа	таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
Задумали три	натуральных числа	.
Выбрали некоторые четыре последовательных	натуральных числа	.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится	нацело	на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится	нацело	на 5 .
Отсюда следует , что значение выражения делится	нацело	на 14
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится	нацело	на 8 .
Докажите , что при всех натуральных значениях n значение выражения делится	нацело	на 6 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 10 при любом чётном значении n .
Следовательно , при любом натуральном n значение данного выражения	нацело	делится на 7 .
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 5 .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном чётном значении п значение выражения делится	нацело	на 84 ?
Следовательно , значение выражения делится	нацело	на 10 при любом чётном значении n .
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное число , делится нацело на 5 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 3 .
Значит , само это число делится	нацело	на 3 .
Следовательно , значение данного выражения делится	нацело	на 121 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 9 ; делится	нацело	на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что значение выражения не делится	нацело	на 15 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится	нацело	на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ; делится нацело на 36 ; делится	нацело	на 12 .
Докажите , что не существует натурального значения n , при котором значение выражения делилось бы	нацело	на 5 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится	нацело	на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится	нацело	на 10 ; делится нацело на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится	нацело	на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения делится нацело на 7 ; делится	нацело	на 16 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения делится	нацело	на 7 ; делится нацело на 16 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится	нацело	на 12 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится	нацело	на 3 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится	нацело	на 15 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 2 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 3 ; делится	нацело	на 5 при любом натуральном значении n.
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 9 ; делится нацело на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится	нацело	на 80 ; делится нацело на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится нацело на 7 .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится	нацело	на 9 и на 101 .
Докажите , что число : делится	нацело	на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится	нацело	на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 80 ; делится	нацело	на 36 ; делится нацело на 12 .
Докажите , что число : делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится	нацело	на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 12 ; делится нацело на 10 ; делится нацело на 42 ; делится	нацело	на 7 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится	нацело	на 8 .
Существует ли такое натуральное значение n , при котором значение выражения не делилось бы	нацело	на 3 ?
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится	нацело	на 3 ? .
Докажите , что в любом 60-значном числе , десятичная запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет делиться	нацело	на 1001 .
Тогда значение выражения делится	нацело	на 8 при любом натуральном n .
Можно ли утверждать , что значение выражения делится	нацело	на 3 при любом натуральном значении n ? .
Докажите , что при любом натуральном значении n , не кратном 5 , значение выражения делится	нацело	на 5 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится	нацело	на 4 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 5 при любом натуральном значении n .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится	нацело	на 7 .
Докажите , что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел , каждое из которых не делится	нацело	на 3 , кратна 3 .
Докажите , что разность куба натурального числа и самого этого числа делится	нацело	на 6 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	: 1 ) на 18 ; 2 ) на 36 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось	нацело	на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Докажите , что при любом целом значении a значение выражения делится	нацело	на 3 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось	нацело	на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось	нацело	на 2 и на 3 .
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится	нацело	на 3 .
Докажите , что не существует такого натурального числа n , при котором значение выражения делится	нацело	на 8 .
Делится ли значение выражения	нацело	на 200 ?
Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37 , чтобы полученное число делилось	нацело	на 6 ? .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится	нацело	на 7 ; делится нацело на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Делится ли значение выражения	нацело	на 60 ?
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится	нацело	на 11 ; делится нацело на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения : делится нацело на 7 ; делится нацело на 11 ; делится	нацело	на 24 ; делится нацело на 15 .
Докажите , что при любом натуральном значении n , большем 1 , значение выражения делится	нацело	на 10 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 10 независимо от значений а и b .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится	нацело	на 6 .
Первые два слагаемых делятся	нацело	на 12 , а третье — не делится .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится	нацело	на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4 , поэтому и сумма делится	нацело	на 4 .
Первое слагаемое 8n суммы делится	нацело	на 8 , а второе слагаемое 12 — не делится .
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то оно делится	нацело	на 10 .
Следовательно , сумма не делится	нацело	на 8 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не кратно 3 , делится	нацело	на 9 .
Каждое слагаемое полученной суммы делится	нацело	на 4 , поэтому и сумма делится нацело на 4 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не делится	нацело	на 10 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится	нацело	на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится	нацело	на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится	нацело	: 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится	нацело	на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой , то оно не делится	нацело	на 2 .
Докажите , что произведение чисел х и у делится	нацело	на 6 .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится	нацело	на число k .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится	нацело	на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если число а делится	нацело	на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k , то и сумма также делится	нацело	на число k .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и суммы его цифр делится	нацело	на 9 .
Докажите , что разность двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится	нацело	на 9 .
Докажите , что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится	нацело	на 3 .
Очевидно , что число делится	нацело	на 9 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится	нацело	на 99 .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения делится	нацело	на 16 .
Докажите , что разность делится	нацело	на 18 .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 4 и не делится	нацело	на 12 .
Очевидно , что число делится	нацело	на 18 .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел не делится	нацело	на 8 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 121 .
Поэтому и сумма не делится	нацело	на 12 .
Известно , что натуральные числа m и n таковы , что значение выражения делится	нацело	на 11 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится	нацело	на 10 .
Если натуральное число а делится	нацело	на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Если каждое из чисел а и b делится	нацело	на число k , то и сумма также делится нацело на число k .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится	нацело	на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Если запись натурального числа оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится	нацело	на 5 .
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то оно делится	нацело	на 2 .
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не делится	нацело	на 5 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ; делится нацело на 123 ; делится	нацело	на 36 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3 , то и само число не делится	нацело	на 3 .
Докажите , что значение выражения : 1 ) делится	нацело	на 14 ; 2 ) делится нацело на 121 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 300 ; делится	нацело	на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения : 1 ) делится нацело на 14 ; 2 ) делится	нацело	на 121 .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 4 и не делится нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится	нацело	на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Не всегда одно натуральное число делится	нацело	на другое .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится	нацело	на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
При каких целых значениях a корень уравнения является целым числом , которое делится	нацело	на 2 ? .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится	нацело	на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Следовательно , значение этого выражения делится	нацело	на 24 .
При каких целых значениях b корень уравнения является целым числом , которое делится	нацело	на 3 ? .
Докажите , что значение выражения делится	нацело	на 24 .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа , делится	нацело	на 7 .
Докажите , что из них всегда можно выбрать два , разность которых делится	нацело	на 11 .
Если сумма цифр числа не делится	нацело	на 3 , то и само число не делится нацело на 3 .
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 300 ; делится нацело на 123 ; делится нацело на 36 .
Докажите , что значение выражения : делится	нацело	на 90 ; делится нацело на 35 .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится	нацело	на 16 .
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 90 ; делится	нацело	на 35 .
Если сумма цифр числа делится нацело на 3 , то и само число делится	нацело	на 3 .
Если сумма цифр числа делится	нацело	на 3 , то и само число делится нацело на 3 .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9 , то и само число не делится	нацело	на 9 .
Если сумма цифр числа не делится	нацело	на 9 , то и само число не делится нацело на 9 .
Если сумма цифр числа делится нацело на 9 , то и само число делится	нацело	на 9 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится	нацело	на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Если сумма цифр числа делится	нацело	на 9 , то и само число делится нацело на 9 .
Только пчёлка одна не	нашла	себе места нигде , всё летала туда и сюда , запахом цветов наслаждалась .
При выборе темы	необходимо	учитывать её актуальность , наличие источников информации в литературе и интернет ресурсов .
Очевидно , что если . Итак , при возведении	неотрицательного	числа в степень получаем неотрицательное число .
Очевидно , что если . Итак , при возведении неотрицательного числа в степень получаем	неотрицательное	число .
Каждому	неотрицательному	числу поставили в соответствие само это число , а каждому отрицательному числу — число , ему противоположное .
Докажите , что если . Известно , что . Докажите , что выражение принимает только	неотрицательные	значения .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа ; в примере 2 — натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все	неотрицательные	числа , не превосходящие 24 .
Докажите , что выражение принимает	неотрицательные	значения при любых значениях переменных .
Модуль числа принимает только	неотрицательные	значения .
Докажите , что выражение принимает	неотрицательные	значения при всех значениях a .
Мы представили данный многочлен в виде суммы двух слагаемых , которые могут принимать только	неотрицательные	значения .
Выражение при любом значении a принимает	неположительное	значение .
Докажите , что выражение принимает	неположительные	значения при всех значениях х .
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде	неправильных дробей	, а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
При каких натуральных значениях n верно	неравенство	.
При каких натуральных значениях m верно	неравенство	? .
Постройте график функции , областью определения которой являются целые числа , удовлетворяющие	неравенству	.
Чему равен остаток при делении квадрата	нечётного	натурального числа на 8 ? .
Докажите , что количество способов выбора обеда из	нечётного	количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии , что заказать все блюда из меню нельзя .
Каким числом , чётным или нечётным , является квадрат	нечётного	натурального числа ? .
Если же показатель степени — число	нечётное	, то один множитель останется без пары .
Докажите , что квадрат натурального числа имеет	нечётное	количество делителей .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 )	нечётное	число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Если запись натурального числа оканчивается	нечётной	цифрой , то оно не делится нацело на 2 .
Докажите , что при любом	нечётном	значении п значение выражения кратно 120 .
Рассмотрим правило , по которому числу 0 ставятся в соответствие все чётные числа , а числу 1 — все	нечётные	числа .
	Нечётным	числом ? .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с	нечётным	показателем получаем отрицательное число .
Каким числом , чётным или	нечётным	, является квадрат нечётного натурального числа ? .
Каким числом , чётным или	нечётным	, является значение выражения ? .
Цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 называют чётными , а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 —	нечётными	.
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при	нечётных	значениях aргумента .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных	нечётных	чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных	нечётных	чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных	нечётных	натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных	нечётных	натуральных чисел делится нацело на 4 .
Найдите четыре последовательных	нечётных	натуральных числа , сумма квадратов которых равна 164 .
Вслед за	ним	мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита х , у , z , а коэффициенты — первыми : а , b , с.
Пусть меньшее из этих чисел равно х , тогда три следующих за	ним	числа будут равны .
Докажите , что в любом 60-значном числе , десятичная запись которого не содержит	нулей	, можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001 .
На	нуль	делить нельзя ! .
Поскольку произведение любого числа на	нуль	равно нулю , то корнем второго уравнения является любое число .
Считают , что	нуль	- многочлен степени не имеет .
Поскольку , то левая часть уравнения обращается в	нуль	только при одновременном выполнении условий .
Считают , что	нуль	- одночлен степени не имеет .
Число 0 , а также многочлены , тождественно равные нулю ( например ) , называют	нуль	- многочленами .
Поэтому последней цифрой значения выражения является	нуль	.
Число 0 , а также одночлены , тождественно равные нулю , например , называют	нуль	- одночленами .
Отношение не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же число , не равное	нулю	.
Поскольку произведение любого числа на нуль равно	нулю	, то корнем второго уравнения является любое число .
Число 0 , а также одночлены , тождественно равные	нулю	, например , называют нуль - одночленами .
Докажите , что значение выражения тождественно равно	нулю	.
Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда , когда его основание равно	нулю	, то получаем : Ответ : 1,5 .
Если произведение равно	нулю	, то хотя бы один из множителей равен нулю .
В котором часу температура воздуха была равной	нулю	?
Если произведение равно нулю , то хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Частное двух чисел а и b , не равных	нулю	, ещё называют отношением чисел а и b или отношением числа a к числу b .
При каких значениях х и у значение многочлена равно	нулю	? .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно	нулю	тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно нулю .
Разложив левую часть уравнения на множители и применив условие , согласно которому произведение равно	нулю	, получаем .
Отсюда для всех не равных	нулю	значений аргумента можно записать , что .
Установите , какое из чисел является положительным , какое отрицательным и какое равно	нулю	.
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен	нулю	, то значение функции равно нулю .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен	нулю	, то и произведение равно нулю .
5 ) разность противоположных чисел равна	нулю	.
Их сумма , а следовательно , и данный многочлен будут принимать нулевое значение тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно	нулю	, то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Если один из множителей равен	нулю	, то произведение равно нулю .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно	нулю	.
Известно , что одно из чисел а , b и с положительное , второе — отрицательное , а третье равно	нулю	, причём .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно	нулю	.
Применив формулу разности квадратов и условие равенства произведения	нулю	, получим .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	, и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно нулю .
Число 0 , а также многочлены , тождественно равные	нулю	( например ) , называют нуль - многочленами .
Точка принадлежит оси ординат тогда , и только тогда , когда её абсцисса равна	нулю	.
Точка принадлежит оси абсцисс тогда , и только тогда , когда её ордината равна	нулю	.
При каком значении х равно	нулю	значение выражения ? .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна	нулю	.
При каких значениях х и у равно	нулю	значение многочлена .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна	нулю	, а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно	нулю	: х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Существуют ли такие значения х и у , при которых равно	нулю	значение многочлена .
Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы их сумма была тождественно равна	нулю	.
Если а , b , с и d — числа , не равные	нулю	, то отношения равны и могут образовать пропорцию .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то	нулю	равна её абсцисса .
Сумма двух противоположных чисел равна	нулю	.
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна	нулю	.
Степень одночлена , который является числом , отличным от нуля , считают равной	нулю	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно	нулю	; ;
Если один из множителей равен нулю , то произведение равно	нулю	.
Запишите в виде равенства утверждение : 1 ) сумма противоположных чисел равна	нулю	;
Приведём ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна	нулю	.
Так как значение квадрата равно	нулю	тогда и только тогда , когда его основание равно нулю , то получаем : Ответ : 1,5 .
Степень одночлена , который является числом , отличным от	нуля	, считают равной нулю .
К одночленам стандартного вида также относят числа , отличные от	нуля	, переменные и их степени .
Для любого числа a , отличного от	нуля	, и любых натуральных чисел m и n таких , что m больше n , справедливо равенство .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от	нуля	число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Пользуясь графиком , найдите , при каких значениях aргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше	нуля	.
Пользуясь графиком , найдите , при каких значениях aргумента значения функции меньше	нуля	и при каких — больше нуля .
Полученный одночлен содержит только один числовой множитель , отличный от	нуля	, стоящий на первом месте .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от	нуля	число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Каждому рациональному числу , отличному от	нуля	, соответствует обратное ему число .
Одночлен , содержащий только один числовой множитель , отличный от	нуля	, который стоит на первом месте ; все остальные множители — это степени с различными основаниями .
Если а , b , с и d — числа , не равные нулю , то отношения равны и могут	образовать	пропорцию .
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное число ,	образуют	прямую , проходящую через точку параллельно оси ординат .
Все значения , которые принимает аргумент ,	образуют	область определения функции .
Все точки , координаты которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное число ,	образуют	ось абсцисс .
Все значения , которые принимает зависимая переменная ,	образуют	область значений функции .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе	образуют	прямоугольную систему координат .
Все точки координатной плоскости , которые можно отметить , действуя таким способом ,	образуют	график функции .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа ,	обратного	числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа ,	обратного числу	с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число ,	обратное	делителю .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число ,	обратное	числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число ,	обратное	сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Каждому рациональному числу , отличному от нуля , соответствует	обратное	ему число .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число ,	обратное числу	а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Если к этому числу прибавить 63 , то получим число , записанное теми же самыми цифрами в	обратном	порядке .
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в	обратном	порядке , равна 27 ? .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в	обратном	порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Докажите , что разность двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке , делится нацело на 9 .
Число , записанное теми же цифрами в	обратном	порядке , равно .
Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно	обратные	числа .
Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно	обратные числа	.
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел ,	обратных	числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел ,	обратных числам	х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Деление	обыкновенных дробей	.
Умножение	обыкновенных дробей	.
Рассмотрим функцию g , заданную следующим правилом : каждому	однозначному	натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата .
Область определения некоторой функции —	однозначные	натуральные числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Задана функция , областью определения которой являются все	однозначные	натуральные числа .
Представьте данный	одночлен	А в виде В , где В — некоторый одночлен , если .
Представьте данный одночлен А в виде В , где В — некоторый	одночлен	, если .
Итак , произведение двух одночленов — это	одночлен	.
Чтобы умножить	одночлен	на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Возведите в куб	одночлен	.
Поэтому приведённое правило позволяет умножать многочлен на	одночлен	.
Возведём , например , в четвёртую степень	одночлен	.
Представьте	одночлен	в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) четвёртой степени одночлена стандартного вида .
Какой	одночлен	следует подставить вместо звёздочки , чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражение .
При возведении одночлена в степень также получают	одночлен	.
Приведите	одночлен	к стандартному виду , укажите его коэффициент и степень .
Возведите в квадрат	одночлен	.
Договорились рассматривать	одночлен	как частный случай многочлена .
Запишите	одночлен	, подобный данному , коэффициент которого в 4 раза больше коэффициента данного одночлена .
При взгляде на	одночлен	возникает естественное желание его упростить .
Умножим	одночлен	2х на многочлен .
Представьте	одночлен	в стандартном виде , подчеркните его коэффициент .
Полученный	одночлен	содержит только один числовой множитель , отличный от нуля , стоящий на первом месте .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно умножить этот	одночлен	на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Преобразуйте в	одночлен	стандартного вида выражение .
Как умножить	одночлен	на многочлен ? .
Вообще , любой	одночлен	стандартного вида имеет коэффициент .
Считают , что нуль -	одночлен	степени не имеет .
Представьте	одночлен	в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) куба одночлена стандартного вида .
Так как , то , прибавляя к данному многочлену ( удвоенное произведение одночленов х2 и 2у2 ) и вычитая из него такой же	одночлен	, получим .
Сумму какого	одночлена	и трёхчлена можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена ?
Степенью	одночлена	называют сумму показателей степеней всех переменных , входящих в него .
Найдите значение	одночлена	.
Запишите одночлен , подобный данному , коэффициент которого в 4 раза больше коэффициента данного	одночлена	.
Вообще , произведение	одночлена	и многочлена всегда можно представить в виде многочлена .
Рассмотрим два	одночлена	.
К	одночленам	стандартного вида также относят числа , отличные от нуля , переменные и их степени .
Их не относят к	одночленам	стандартного вида .
К подобным	одночленам	также относят и числа .
Заметим , что , например , выражения	одночленами	не являются , так как они , кроме умножения и возведения в степень , содержат и другие действия .
Договорились также считать	одночленами	все числа , любые переменные и их степени .
Какие выражения называют	одночленами	? .
Замените звёздочки такими	одночленами	, чтобы образовалось тождество .
Замените звёздочки такими	одночленами	, чтобы выполнялось равенство .
Такие выражения называют	одночленами	.
Связи между многочленами ,	одночленами	и их частным видом — числами иллюстрирует схема .
Например ,	одночленами	являются .
Отметим , что , например , выражения не являются	одночленами	стандартного вида .
Например , выражения не являются	одночленами	.
Замените звёздочки такими	одночленами	, чтобы выполнялось тождество .
Так как , то , прибавляя к данному многочлену ( удвоенное произведение	одночленов	х2 и 2у2 ) и вычитая из него такой же одночлен , получим .
Например , степень одночлена равна 10 , а степени	одночленов	х3 и 9 равны соответственно 3 и 0 .
Какие входные данные надо предусмотреть , чтобы этот алгоритм работал для как можно более разнообразных	одночленов	? .
Из	одночленов	выберите несколько и составьте из них : 1 ) многочлен стандартного вида ; 2 ) многочлен , содержащий подобные члены ; 3 ) два многочлена стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно разложить на множители сумму или разность кубов двух	одночленов	.
Выполните умножение	одночленов	, где m и n — натуральные числа .
Многочлен , состоящий из	одночленов	стандартного вида , среди которых нет подобных , называют многочленом стандартного вида .
В предыдущем параграфе вы узнали , что произведение	одночленов	является одночленом .
И даже , например , у	одночленов	при записи которых числовой множитель не используется , коэффициентами являются числа 1 и – 1 соответственно .
Если среди	одночленов	, составляющих многочлен , есть подобные , то их называют подобными членами многочлена .
Найдите удвоенное произведение	одночленов	.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней	одночленов	, из которых этот многочлен составлен .
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух	одночленов	, один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) четвёртой степени одночлена стандартного вида .
Первое из них представляет собой сумму	одночленов	, а второе — сумму одночленов .
Укажите , какие из	одночленов	записаны в стандартном виде .
Первое из них представляет собой сумму одночленов , а второе — сумму	одночленов	.
Итак , произведение двух	одночленов	— это одночлен .
Выражение , которое является суммой нескольких	одночленов	, называют многочленом .
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух	одночленов	, один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) куба одночлена стандартного вида .
Представьте данное выражение в виде произведения двух	одночленов	, один из которых равен ? .
Он составлен из	одночленов	, степени которых соответственно равны числам .
Квадратом какого из данных	одночленов	является выражение ? .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности	одночленов	3 m и 4n .
Какому из	одночленов	равно выражение .
Например , коэффициенты	одночленов	соответственно равны – 3 и 0,07 .
Обратим внимание на то , что , например , у	одночленов	и буквенные части неодинаковы , хотя и состоят из одних и тех же переменных .
Выражение , являющееся суммой нескольких	одночленов	.
Вот ещё примеры	одночленов	стандартного вида .
Иначе обстоит дело с суммой	одночленов	.
Выполните умножение	одночленов	.
Можно ли представить в виде разности квадратов двух	одночленов	выражение ? .
Этот многочлен составлен из	одночленов	стандартного вида , среди которых нет подобных .
Какое из данных выражений является	одночленом	? .
Каким	одночленом	надо заменить звёздочку , чтобы выполнялось равенство .
В предыдущем параграфе вы узнали , что произведение одночленов является	одночленом	.
Такие	одночлены	называют подобными .
Назовите	одночлены	, суммой которых является данный многочлен : Найдите значение многочлена .
Какие	одночлены	называют подобными ? .
Какие	одночлены	надо подставить вместо звёздочек , чтобы выполнялось тождество .
Ответ	округлите	до сотых .
Ответ	округлите	до десятых процента .
Вычислите значение полученного выражения при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две	окружности	, радиусы которых равны R и r , имеют общий центр .
По	окружности	, длина которой равна 100 м , движутся два тела .
А в 9 классе вы сможете доказать , что графиком уравнения является	окружность	.
Например ,	окружность	не может являться графиком функции .
Можно ли с помощью этих	операций	добиться того , чтобы все числа , записанные на доске , оказались равными ? .
Однако если считать стоимость проезда независимой переменной , то	описанная	зависимость не является функциональной .
Поясните , почему	описанное	правило является функцией .
Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации ,	описанной	в условии ? .
Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации ,	описанной	в условии задачи ? .
Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации ,	описанной	в условии задачи ? .
Следует выяснить , не противоречит ли полученный результат реальной ситуации ,	описанной	в условии .
Итак , правила ,	описанные	в примерах 1 , 2 и 8 , являются функциями .
Очевидно , что	описанный	метод построения графика функции на практике реализовать невозможно .
Поскольку	описанный	метод построения графика функции требует значительной технической работы , то существенную её часть может взять на себя компьютер .
Поэтому	описанный	приём называют методом группировки .
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей ,	описанных	в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной .
Так , если каждое из правил ,	описанных	в примерах 1 , 2 и 3 , обозначить буквой f , то в первом примере f(2 ) равно 8 , во втором f(2 ) равно 121 000 , в третьем f(2 ) равно 0 .
В упражнениях этого параграфа	описаны	разнообразные функциональные зависимости между величинами .
Они могут быть записанными в такой форме : изучить ,	описать	, проанализировать , доказать , сравнить .
Изучая какой - то объект , мы стремимся не только	описать	его свойства , но и составить о нём наглядное представление .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось	ординат	— осью у , они вместе образуют прямоугольную систему координат .
График данной функции пересекает ось	ординат	в точке ( 0 ; 4 ) .
Точка принадлежит оси	ординат	тогда , и только тогда , когда её абсцисса равна нулю .
Следовательно , график функции пересекает ось	ординат	в точке .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси	ординат	, то нулю равна её абсцисса .
Существует ли функция , графиком которой является ось	ординат	? .
Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой х , вертикальную ось называют осью	ординат	и обозначают буквой у .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси	ординат	, пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
В какой точке график функции пересекает ось	ординат	?
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют прямую , проходящую через точку параллельно оси	ординат	.
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью	ординат	две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью	ординат	надо найти значение данной функции при х равно 0 .
При каком значении b точка пересечения прямых принадлежит оси	ординат	? .
Найдите координаты точки графика функции абсцисса и	ордината	которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой абсцисса и	ордината	— противоположные числа .
Если точка лежит на оси абсцисс , то её	ордината	равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
Точка принадлежит оси абсцисс тогда , и только тогда , когда её	ордината	равна нулю .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 )	ордината	на 6 больше абсциссы .
Следовательно , искомый график содержит все точки , у которых абсцисса равна 2 , а	ордината	— любое число .
Если значение функции будет равно	ординате	данной точки , то точка принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна	ординате	; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
При этом значение аргумента является абсциссой точки , а соответствующее значение функции — её	ординатой	.
Найдите	ординату	этой точки .
Записывая координаты точки , абсциссу всегда ставят на первое место , а	ординату	— на второе .
Принадлежат ли графику уравнения точки , имеющие отрицательную	ординату	? .
Все точки графика функции имеют одинаковую	ординату	, равную – 6 .
Напишите алгоритм , который находит	ординату	точки С. Всегда ли этот алгоритм « сработает » ?
Итак , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают , а	основание	оставляют прежним .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона равнобедренного треугольника равна а см ,	основание	— b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Из этой теоремы следует такое правило : при возведении степени в степень показатели перемножают , а	основание	оставляют прежним .
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а	основание	оставляют прежним .
Прочитайте выражение , назовите	основание	и показатель степени .
Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда , когда его	основание	равно нулю , то получаем : Ответ : 1,5 .
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются	основание	степени а и показатель степени n , а выходными — степень числа a с показателем n.
Представьте в виде степени с	основанием	5 выражение .
Запишите выражение 248 в виде степени с	основанием	.
Представьте в виде степени с	основанием	m выражение .
Запишите выражение в виде степени с	основанием	.
Представьте в виде степени с	основанием	2 выражение .
Представим выражения в виде степеней с	основанием	2 и вынесем за скобки общий множитель .
Представьте в виде степени с	основанием	– 5 выражение .
Это выражение можно представить в виде степени с	основанием	а .
Степень с	основанием	а и показателем n обозначают аn и читают : « а в n - й степени » .
Число а при этом называют	основанием	степени .
Представьте степень а в виде произведения двух степеней с	основанием	а всеми возможными способами .
Представьте в виде степени с	основанием	n выражение .
Запишите : 1 ) числа 16 ; 64 ; 256 в виде степени с	основанием	4 ; 2 ) числа 0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3 .
Во втором — степень с	основанием	х встречается дважды .
Запишите : 1 ) числа 16 ; 64 ; 256 в виде степени с основанием 4 ; 2 ) числа 0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде степени с	основанием	0,3 .
Применив последовательно правило возведения степени в степень и правило умножения степеней с одинаковым	основанием	, получим .
Замените звёздочку такой степенью с	основанием	а , чтобы выполнялось равенство .
Оно является степенью с	основанием	а3 и показателем 4 .
Представьте число в виде степени с показателем , большим 1 , и наименьшим по модулю	основанием	.
Выражение называют степенью , число 4 —	основанием	степени , а число 3 — показателем степени .
Все остальные множители — это степени с различными	основаниями	.
Одночлен , содержащий только один числовой множитель , отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные множители — это степени с различными	основаниями	.
Рассмотрим произведение двух степеней с одинаковыми	основаниями	, например .
Оно является частным двух степеней с одинаковыми	основаниями	.
Представьте выражение а12 в виде произведения двух степеней с	основаниями	а , одна из которых равна .
Как умножить степени с одинаковыми	основаниями	? .
Итак , при умножении степеней с одинаковыми	основаниями	показатели складывают , а основание оставляют прежним .
Как разделить степени с одинаковыми	основаниями	? .
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми	основаниями	из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Деление с	остатком	.
В таком случае можно выполнить деление с	остатком	.
Егоров А. Деление с	остатком	и сравнения по модулю .
Докажите , что при любом натуральном n значение выражения при делении на 7 даёт	остаток	, равный 4 .
Очевидно , что и в этом случае	остаток	при делении на 3 равен 1 .
Если натуральное число разделить на 10 , то	остаток	равен числу , записанному последней цифрой этого числа .
Если же разделить данное число на сумму его цифр , то получим неполное частное 3 и	остаток	3 .
Рассмотрим правило , по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие	остаток	при делении его на 7 .
Докажите , что если	остаток	при делении натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Чему равен	остаток	при делении на 9 значения выражения , где n — произвольное натуральное число ?
Докажите , что	остаток	при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1 .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а	остаток	при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Докажите , что если	остаток	при делении натурального числа на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Чему равен	остаток	при делении квадрата нечётного натурального числа на 8 ? .
Значение выражения 9k2 кратно 3 , то есть	остаток	при делении n2 на 3 равен 0 .
Докажите , что	остаток	при делении произведения чисел а и b на 8 равен 5 .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а	остаток	при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Имеем неполное частное при делении n2 на 3 , а	остаток	при этом равен 1 .
Выясните , какой	остаток	может давать квадрат натурального числа при делении на 4 .
Докажите , что если Остаток при делении числа a на 5 равен 4 , а	остаток	при делении на 5 числа b равен 3 .
Каждому натуральному числу , которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие	остаток	при делении этого числа на 6 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а	остаток	при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
В буквенном виде это записывают так , где а — делимое , b — делитель , q — неполное частное , r —	остаток	.
Докажите , что	остаток	при делении квадрата натурального числа на число 3 равен 0 или 1 .
Чтобы найти делимое , надо делитель умножить на неполное частное и прибавить	остаток	.
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 )	остаток	от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
При делении данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и	остаток	2 .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а	остаток	при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Например , при делении числа 43 на 8 получим неполное частное 5 и	остаток	3 .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а	остаток	при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а	остаток	при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Чему равен	остаток	при делении на 11 квадрата этого числа ?
Чему равен	остаток	при делении на 9 квадрата этого числа ? .
Если градусные меры его	острых	углов обозначить х и у , то можно записать .
Если градусные меры его	острых углов	обозначить х и у , то можно записать .
Если две величины прямо пропорциональны , то	отношение	соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин числу .
Чтобы найти процентное отношение двух чисел , надо их	отношение	умножить на 100 и к результату дописать знак процента .
Чтобы найти процентное	отношение	двух чисел , надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента .
Процентное	отношение	двух чисел — это их отношение , выраженное в процентах .
Процентное отношение двух чисел — это их	отношение	, выраженное в процентах .
Процентное	отношение	двух чисел .
Найдите эти числа , если	отношение	первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому .
Найдите эти числа , если	отношение	первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему .
Эта формула показывает , что для функции у равно kx при х ≠ 0	отношение	соответствующих значений зависимой и независимой переменных остаётся постоянным и равно k .
Частное двух чисел а и b , не равных нулю , ещё называют отношением чисел а и b или	отношением	числа a к числу b .
Частное двух чисел а и b , не равных нулю , ещё называют	отношением	чисел а и b или отношением числа a к числу b .
Равенство двух	отношений	называют пропорцией .
Найдите эти числа , если отношение первого числа ко второму равно	отношению	второго числа к третьему .
Приведены данные об уровне воды в реке по	отношению	к ординару ( среднему уровню воды ) с 1 по 15 мая .
Найдите эти числа , если отношение первого числа к третьему равно	отношению	второго числа к четвёртому .
Если а , b , с и d — числа , не равные нулю , то	отношения	равны и могут образовать пропорцию .
Выражение	отношения	между величинами , записанное с помощью математических знаков .
Числа a и b называют членами	отношения	, число а — предыдущим членом отношения , а число b — последующим .
Числа a и b называют членами отношения , число а — предыдущим членом	отношения	, а число b — последующим .
Один из графиков	отображает	процесс наполнения одного бака водой , а другой — вытекания воды из другого бака .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда С — середина	отрезка	АВ .
Длина	отрезка	АС равна х , длина отрезка ВС — у.
Длина отрезка АС равна х , длина	отрезка	ВС — у.
Соединив полученные точки	отрезками	, постройте кривую спроса на картофель .
Соединив полученные точки	отрезками	, постройте « кривые популярности » каждой партии .
Постройте	отрезки	АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих отрезков , если .
Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих	отрезков	, если .
Точка С принадлежит	отрезку	АВ , длина которого равна 8 .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении	отрицательного	числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени	отрицательного	числа , если показатель степени является чётным числом ?
Модуль положительного числа равен этому числу , модуль	отрицательного	числа равен числу , противоположному данному .
При возведении	отрицательного	числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
При возведении	отрицательного	числа в степень возможны два случая .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого	отрицательного	аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb —	отрицательное	, то числа a и b имеют разные знаки .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем	отрицательное	число .
Известно , что одно из чисел а , b и с положительное , второе —	отрицательное	, а третье равно нулю , причём .
Докажите , что выражение принимает	отрицательное	значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х ? .
Какое число , положительное или	отрицательное	, получают при возведении в степень положительного числа ? .
Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число , а каждому	отрицательному	числу — число , ему противоположное .
Принадлежат ли графику уравнения точки , имеющие	отрицательную	ординату ? .
Какое из выражений принимает только	отрицательные	значения при любом значении х .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает	отрицательные	значения .
Докажите , что не существует таких значений х и у , при которых многочлены одновременно принимают	отрицательные	значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает	отрицательные	значения .
В те времена	отрицательные	числа не признавали и называли невозможными , ложными , абсурдными .
Существуют ли такие значения х и у , при которых многочлены одновременно принимают	отрицательные	значения ? .
Какое из данных выражений принимает только	отрицательные	значения ? .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает	отрицательные	значения .
Целые	отрицательные	.
Так как а сравниваемые числа	отрицательные	.
Может ли принимать	отрицательные	значения выражение .
Докажите , что данное выражение принимает	отрицательные	значения при всех значениях х ; укажите , какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
значения аргумента , при которых значения функции	отрицательные	.
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции	отрицательные	.
Для выражений , записанных в первой таблице , ответ на этот вопрос	отрицательный	: если , например , .
Установите , какое из чисел является положительным , какое	отрицательным	и какое равно нулю .
Докажите , что при любом значении переменной а значение выражения является	отрицательным	числом .
Клетки таблицы размером 101×101 заполнены числами так , что произведение чисел в каждом столбце является	отрицательным	.
Каким числом , положительным или	отрицательным	, является значение степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Следовательно , значение выражения является	отрицательным	числом при любом значении a .
Числа – 1 ; – 2 ; – 3 называют целыми	отрицательными	числами .
Объединив натуральные числа с целыми	отрицательными	и нулём , получим целые числа .
Докажите , что не имеет	отрицательных	корней уравнение .
Чтобы сложить два	отрицательных	числа , надо : 1 ) найти модули слагаемых ;
Чтобы разделить два	отрицательных	числа , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Поскольку каждые два	отрицательных	множителя в произведении дают положительное число , то верно следующее утверждение .
При всех положительных значениях аргумента значение функции f равно – 1 , при всех	отрицательных	— равно 1 .
Чтобы умножить два	отрицательных	числа , надо умножить их модули .
Эта прямая	параллельна	оси абсцисс .
Графиком функции у равно b , где b ≠ 0 , является прямая ,	параллельная	оси абсцисс .
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют прямую , проходящую через точку	параллельно	оси ординат .
3 ) если прямые	параллельны	, то система решений не имеет .
Уравнение вида ах равно b , где х —	переменная	, а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
Функцию , которую можно задать формулой вида где k и b — некоторые числа , х — независимая	переменная	, называют линейной .
Функцию , которую можно задать формулой вида , где k и b — некоторые числа , х — независимая	переменная	, называют линейной .
Несмотря на существенное различие полученных ответов , приведённые уравнения внешне похожи : все они имеют вид ах равно b , где х —	переменная	, а и b — некоторые числа .
Уравнение вида , где х —	переменная	, а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной переменной .
Обычно независимую переменную обозначают буквой х , зависимую — буквой у , функцию ( правило ) — буквой f. Если	переменная	у функционально зависит от переменной х , то этот факт обозначают так : читают : « игрек равен эф от икс » .
По вертикали : 1 ) Независимая	переменная	.
Докажите , что значение выражения не зависит от значения	переменной	.
Эта формула задаёт функциональную зависимость	переменной	V от переменной t .
Эта формула задаёт функциональную зависимость переменной V от	переменной	t .
Тогда зависимость	переменной	у от переменной х выражается формулой , где х — натуральное число .
Уравнение линейное с одной	переменной	.
Тогда зависимость переменной у от	переменной	х выражается формулой , где х — натуральное число .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм , для которого входными данными будет значение независимой	переменной	, а выходными — значение зависимой переменной .
Функциональная зависимость	переменной	y от переменной х является прямой пропорциональностью .
При каком значении	переменной	данное выражение принимает наименьшее значение .
При каком значении	переменной	данное выражение принимает наибольшее значение .
При каком значении независимой	переменной	функции принимают равные значения ?
При каком значении	переменной	х функции принимают равные значения ?
Функциональная зависимость переменной y от	переменной	х является прямой пропорциональностью .
Значение с	переменной	.
При каком значении	переменной	выполняется равенство ? .
Какое наибольшее значение и при каком значении	переменной	может принимать выражение ? .
Какое наименьшее значение и при каком значении	переменной	может принимать выражение ? .
При этом говорят , что — значение	переменной	х , а число 4 — значение выражения 2х плюс 3 при х .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал	переменной	у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Докажите , что при любом значении	переменной	значение выражения равно – 11 .
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой	переменной	, называют функцией .
Здесь по заданному значению	переменной	х не всегда однозначно находится значение переменной у .
Здесь по заданному значению переменной х не всегда однозначно находится значение	переменной	у .
При каком значении	переменной	значение квадрата двучлена на 225 больше значения квадрата двучлена ? .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение	переменной	х , можем найти бесконечно много решений данного уравнения .
Придавая	переменной	у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение переменной х , можем найти бесконечно много решений данного уравнения .
Какое наименьшее значение и при каком значении	переменной	принимает выражение .
Какое наибольшее значение и при каком значении	переменной	принимает выражение .
Докажите , что значение выражения не зависит от значения	переменной	х .
Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов так , чтобы один из них не содержал	переменной	b.
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой	переменной	можно найти единственное значение зависимой переменной , называют функцией .
« Линейное уравнение с одной	переменной	» .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной	переменной	, корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Если вместо	переменной	у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Если переменные в уравнении обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая решение в виде пары , надо договориться , значение какой	переменной	ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
В скобках на первом месте пишут значение переменной х , а на втором — значение	переменной	у .
В скобках на первом месте пишут значение	переменной	х , а на втором — значение переменной у .
Обратим внимание на то , что данное определение похоже на определение корня уравнения с одной	переменной	.
Докажите , что при любом значении	переменной	значение выражения равно 16 .
Значение	переменной	a таково , что значение выражения равно 2 .
Найдите какие - нибудь три натуральных значения	переменной	х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле разности квадратов .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения	переменной	х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Корнем уравнения называют значение	переменной	, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
Если сторона треугольника равна а , а периметр — Р , то какой формулой задаётся зависимость	переменной	Р от переменной а ?
Какое уравнение называют линейным уравнением с одной	переменной	? .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал	переменной	а .
2 Линейное уравнение с одной	переменной	.
Таким образом , величина t является независимой	переменной	, а величина Т — зависимой .
Подставим во второе уравнение системы вместо	переменной	у выражение .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой	переменной	выражение , полученное на первом шаге ;
Подчеркнём , что этот график задаёт правило , с помощью которого по значению независимой	переменной	можно однозначно найти значение зависимой переменной .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной	переменной	, полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой	переменной	можно найти единственное значение зависимой переменной .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение	переменной	в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Покажем , как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной	переменной	.
Несмотря на существенные различия моделей зависимостей , описанных в этих трёх примерах , им всем присуще следующее : указано правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой	переменной	.
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой	переменной	; 6 ) записать ответ .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой	переменной	умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
Рассмотрим две пары выражений : приведены значения этих выражений при некоторых значениях	переменной	х .
Глава 1 Линейное уравнение с одной	переменной	.
Уравнение вида , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной	переменной	.
Докажите , что при любом значении	переменной	а значение выражения является отрицательным числом .
Функция считается заданной , если указаны её область определения и правило , с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой	переменной	.
Задайте формулой зависимость переменной V от	переменной	а .
Итак , мы сформулировали ( или , говорят , « дали » ) определение линейного уравнения с одной	переменной	.
Подставим найденное значение	переменной	х в любое из уравнений системы , например в первое .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой	переменной	; 6 ) записать ответ .
решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение	переменной	в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Здесь n выступает в роли независимой	переменной	, а М — зависимой .
Подчеркнём , что эта формула задаёт правило , с помощью которого по значению независимой	переменной	можно однозначно найти значение зависимой переменной .
Правило , с помощью которого по значению независимой	переменной	можно однозначно найти значение зависимой переменной .
Поэтому в этой модели переменную а называют независимой переменной , а переменную Р — зависимой	переменной	.
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной	переменной	.
решить уравнение с одной	переменной	, полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Поскольку в этой системе коэффициенты при	переменной	у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
Решение линейного уравнения с одной	переменной	.
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой	переменной	выражение , полученное на первом шаге ;
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной	переменной	можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
Подставим найденное значение	переменной	х в уравнение .
Второе уравнение последней системы является уравнением с одной	переменной	.
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с	переменной	у .
Какой из данных графиков иллюстрирует зависимость	переменной	у от переменной х , приведённую ниже : 1 ) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р .
Поэтому в этой модели переменную а называют независимой	переменной	, а переменную Р — зависимой переменной .
Какой из данных графиков иллюстрирует зависимость переменной у от	переменной	х , приведённую ниже : 1 ) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р .
Задайте формулой зависимость	переменной	V от переменной а .
Такое правило называют функцией , а соответствующую зависимость одной	переменной	от другой — функциональной .
Не всякая зависимость одной	переменной	от другой является функциональной .
Линейное уравнение с одной	переменной	.
Если сторона треугольника равна а , а периметр — Р , то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от	переменной	а ?
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной	переменной	, полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Выражение с	переменной	.
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость	переменной	Р от переменной а ) задаётся формулой .
Обычно независимую переменную обозначают буквой х , зависимую — буквой у , функцию ( правило ) — буквой f. Если переменная у функционально зависит от	переменной	х , то этот факт обозначают так : читают : « игрек равен эф от икс » .
Какую зависимость одной	переменной	от другой называют функциональной ? .
Если в примере 3 температуру Т считать независимой	переменной	, то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти значение величины t.
Для функции f каждому значению аргумента х соответствует некоторое значение зависимой	переменной	у.
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой	переменной	; 6 ) записать ответ .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения	переменной	а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения	переменной	Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Уравнение вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным уравнением с одной	переменной	.
Значение зависимой	переменной	ещё называют значением функции .
Правило , с помощью которого для каждого значения независимой	переменной	можно найти единственное значение зависимой переменной .
Правило , с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное значение зависимой	переменной	.
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение	переменной	в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если сторона квадрата равна а , а площадь — S , то какой формулой задаётся зависимость	переменной	S от переменной а ?
Текст , выделенный жирным шрифтом , разъясняет смысл термина « линейное уравнение с одной	переменной	» .
Однако если считать стоимость проезда независимой	переменной	, то описанная зависимость не является функциональной .
При каком значении	переменной	выражения принимают равные значения ; значение выражения на 2,4 меньше значения выражения ? .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с	переменной	х ; 3 ) членов с переменной у .
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения переменной ; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения	переменной	.
Является ли правило , с помощью которого по значению переменной t находят значение	переменной	V , функцией ?
При каком значении	переменной	значение выражения на 15 больше значения выражения .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от	переменной	а ) задаётся формулой .
При каком значении	переменной	: значение выражения равно – 22,6 ; выражения принимают равные значения ; значение выражения 0,6у на 1,5 больше значения выражения ; значение выражения в 5 раз меньше значения выражения ? .
Является ли правило , с помощью которого по значению	переменной	t находят значение переменной V , функцией ?
Докажите , что если . Докажите , что значение выражения не зависит от значения	переменной	; Докажите , что значение выражения ; не зависит от значения переменной .
Докажите , что значение выражения не зависит от значения	переменной	, входящей в него .
Если сторона квадрата равна а , а площадь — S , то какой формулой задаётся зависимость переменной S от	переменной	а ?
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое значение	переменной	( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Из первого уравнения выразим переменную у через	переменную	х. Имеем .
Для каждой из этих зависимостей определите независимую	переменную	и запишите алгоритм , для которого входными данными будет значение независимой переменной , а выходными — значение зависимой переменной .
Чтобы исключить	переменную	у , умножим обе части первого уравнения на число 5 , а второго — на число – 8 и применим метод сложения .
Упражнения . Прочитайте следующую запись , укажите аргумент функции и зависимую	переменную	: функция задана формулой .
Если в примере 1 независимую	переменную	обозначить буквой х , а зависимую — буквой у , указать область определения , х — любое число , то формула задаёт вышеописанную функцию .
Выразите из уравнения	переменную	х через переменную у и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
Если	переменную	х заменить , например , числом , то получим числовое выражение .
Выразите из данного уравнения переменную у через	переменную	х и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
Поэтому в этой модели переменную а называют независимой переменной , а	переменную	Р — зависимой переменной .
Выразите из данного уравнения	переменную	х через переменную у и найдите какие - нибудь три решения этого уравнения .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну	переменную	через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Независимую	переменную	ещё называют аргументом функции .
Выразите из данного уравнения переменную х через	переменную	у и найдите какие - нибудь три решения этого уравнения .
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну	переменную	через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Из первого уравнения выразим	переменную	у через переменную х. Имеем .
Поэтому в этой модели	переменную	а называют независимой переменной , а переменную Р — зависимой переменной .
Выразите из данного уравнения	переменную	у через переменную х и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
Обычно независимую	переменную	обозначают буквой х , зависимую — буквой у , функцию ( правило ) — буквой f. Если переменная у функционально зависит от переменной х , то этот факт обозначают так : читают : « игрек равен эф от икс » .
Выразите из уравнения переменную х через	переменную	у и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где х и у —	переменные	, а , b , с — некоторые числа .
Договорились также считать одночленами все числа , любые	переменные	и их степени .
К одночленам стандартного вида также относят числа , отличные от нуля ,	переменные	и их степени .
Вслед за ним мы обозначаем	переменные	последними буквами латинского алфавита х , у , z , а коэффициенты — первыми : а , b , с.
Уравнение вида , где х и у —	переменные	, а , b , с — некоторые числа , называют линейным уравнением с двумя переменными .
Как видим , каждое полученное в примерах 1–5 равенство содержат по две	переменные	х и у. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными .
Ясно , что	переменные	величины « стоимость проезда » и « длина пути , который проезжает пассажир » связаны между собой .
Если	переменные	в уравнении обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая решение в виде пары , надо договориться , значение какой переменной ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
Выражение с	переменными	.
Поскольку формула , задающая линейную функцию , является уравнением с двумя	переменными	, то также можно сказать , что изображён график уравнения .
Составьте линейное уравнение с двумя	переменными	, графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку .
Графиком уравнения с двумя	переменными	называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Однако выражения первой группы не содержат деления на выражения с	переменными	.
Какое уравнение называют линейным уравнением с двумя	переменными	? .
Поскольку решением уравнения с двумя	переменными	является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М на координатной плоскости .
Упражнения . Является ли линейным уравнение с двумя	переменными	.
Свойства уравнений с двумя	переменными	запомнить легко : они аналогичны свойствам уравнений с одной переменной , которые вы изучали в 6 классе .
Решить уравнение с двумя	переменными	— это значит найти все его решения или показать , что оно не имеет решений .
Уравнение с двумя	переменными	не обязательно имеет бесконечно много решений .
Выражения с	переменными	( буквенные выражения ) .
Что называют решением уравнения с двумя	переменными	? .
В связи с этим распространена ошибка : называть каждое число пары или саму пару , являющуюся решением , корнем уравнения с двумя	переменными	.
Пару значений переменных , обращающую уравнение в верное равенство , называют решением уравнения с двумя	переменными	.
Как видим , каждое полученное в примерах 1–5 равенство содержат по две переменные х и у. Такие равенства называют уравнениями с двумя	переменными	.
Рассмотрим ещё несколько примеров ситуаций , математическими моделями которых служат равенства с двумя	переменными	.
Это равенство с двумя	переменными	является математической моделью вышеописанной реальной ситуации .
24 Уравнения с двумя	переменными	.
Вы узнаете , что уравнение с двумя	переменными	может служить математической моделью реальной ситуации .
В этой главе вы познакомитесь с уравнениями с двумя	переменными	и их системами .
Рассмотрим задачи , в которых системы двух линейных уравнений с двумя	переменными	используют как математические модели реальных ситуаций .
Системы линейных уравнений с двумя	переменными	.
Выражение , не содержащее деления на выражение с	переменными	, называют целым выражением .
Что означает решить уравнение с двумя	переменными	?
Сформулируйте свойства уравнений с двумя	переменными	.
Что называют графиком уравнения с двумя	переменными	? .
График уравнения с двумя	переменными	.
Свойства уравнений с двумя	переменными	.
Решить уравнение с двумя	переменными	.
Решение уравнения с двумя	переменными	.
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя	переменными	.
Линейное уравнение с двумя	переменными	.
График линейного уравнения с двумя	переменными	.
Составьте систему двух линейных уравнений с двумя	переменными	, решением которой является пара чисел .
Уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа , называют линейным уравнением с двумя	переменными	.
По условию задачи составьте выражение с	переменными	.
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя	переменными	, график которого проходит через точку .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя	переменными	, решением которого является пара чисел .
По условию задачи составьте выражения с	переменными	.
25 Линейное уравнение с двумя	переменными	и его график .
Линейным уравнением с двумя	переменными	называют уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа .
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя	переменными	, решением которого является пара чисел ( – 2 ; 1 ) .
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя	переменными	» .
Решение системы уравнений с двумя	переменными	.
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя	переменными	, составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
« Системы уравнений с двумя	переменными	.
Пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют решением системы уравнений с двумя	переменными	.
Какие из данных уравнений являются уравнениями с двумя	переменными	.
« Линейное уравнение с двумя	переменными	и его график » .
Может ли график уравнения с двумя	переменными	состоять только из одной точки ? .
Приведите пример уравнения с	переменными	х и у : 1 ) имеющего одно решение ; 2 ) не имеющего решений ;
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя	переменными	, решением которого является пара чисел ( 3 ; 5 ) .
Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя	переменными	? .
Уравнение линейное с двумя	переменными	.
Выясним , сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя	переменными	.
Решением системы уравнений с двумя	переменными	называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
Поэтому эту систему называют системой двух линейных уравнений с двумя	переменными	.
Уравнение с двумя	переменными	.
Покажем , как решение системы линейных уравнений с двумя	переменными	можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной .
Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы , то вновь получим уравнение с двумя	переменными	.
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют переменными , а само буквенное выражение — выражением с	переменными	( или с переменной , если она одна ) .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя	переменными	, решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Решение системы с двумя	переменными	.
26 Системы уравнений с двумя	переменными	.
Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя	переменными	методом подстановки .
Составьте линейное уравнение с двумя	переменными	, график которого проходит через точки М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Составьте линейное уравнение с двумя	переменными	, график которого пересекает оси координат в точках .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя	переменными	к решению линейного уравнения с одной переменной .
Составьте линейное уравнение с двумя	переменными	, графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя	переменными	.
Составьте уравнение с двумя	переменными	по такому условию : 1 ) боковая сторона равнобедренного треугольника равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Поскольку буквы можно заменять произвольными числами , то эти буквы называют	переменными	, а само буквенное выражение — выражением с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Числовые выражения и выражения с	переменными	называют алгебраическими выражениями .
Составьте уравнение с двумя	переменными	по такому условию : 1 ) длина прямоугольника равна х м , ширина — у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Выражения с	переменными	.
Запишите систему линейных уравнений с двумя	переменными	.
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя	переменными	, решением которой является пара значений переменных .
В чём суть графического метода решения систем уравнений с двумя	переменными	? .
Что является решением системы уравнений с двумя	переменными	?
Эта формула показывает , что для функции у равно kx при х ≠ 0 отношение соответствующих значений зависимой и независимой	переменных	остаётся постоянным и равно k .
Значения	переменных	х и у таковы , что .
В этом случае говорят , что пара значений	переменных	удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является решением этого уравнения .
Значения	переменных	m и n таковы , что m – n равно 5 , k равно – 2 .
Значения	переменных	а , b и с таковы , что .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях	переменных	, если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
При каких значениях	переменных	х и у выполняется равенство .
Пару значений	переменных	, обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют решением системы уравнений с двумя переменными .
Значения	переменных	m , n и р таковы , что Найдите значение выражения .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из	переменных	стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Обозначение всех неизвестных величин одной буквой ς также сильно затрудняло запись решения задач , в которых фигурировали несколько	переменных	.
Значения	переменных	а , b и m таковы , что .
Значения	переменных	a и b таковы , что .
Положительные значения	переменных	a и b таковы , что ab равно 15 .
Равенство , верное при любых значениях входящих в него	переменных	, называют тождеством .
В силу распределительного свойства умножения относительно сложения оно верно при любых значениях	переменных	а и b .
Значения	переменных	х и у таковы , что выполняются равенства .
Выражения , соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них	переменных	, называют тождественно равными .
Отрицательные значения	переменных	a и b таковы , что ab равно 16 .
Значения	переменных	х1 и х2 таковы , что выполняются равенства .
Докажите , что выражение принимает неотрицательные значения при любых значениях	переменных	.
Обратим внимание на то , что , например , у одночленов и буквенные части неодинаковы , хотя и состоят из одних и тех же	переменных	.
Равенство , правильное при любых значениях	переменных	.
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях	переменных	.
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое значение переменной (	переменных	, если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из	переменных	стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Пару значений	переменных	, обращающую уравнение в верное равенство , называют решением уравнения с двумя переменными .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара значений	переменных	.
Значения	переменных	а и b таковы , что .
Выражение являющееся произведением чисел ,	переменных	и их степеней .
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех	переменных	, входящих в него .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях	переменных	значения левой и правой частей тождества ? .
Соответствующие значения зависимой и независимой	переменных	— взаимно обратные числа .
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений	переменных	, обращающую каждое уравнение в верное равенство .
Каждое из них представляет собой произведение чисел ,	переменных	и их степеней .
Выберите какие - нибудь значения	переменных	.
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него	переменных	и вычислив при этих значениях переменных значения левой и правой частей тождества ? .
Выражение , представляющее собой произведение чисел ,	переменных	и их степеней , называют одночленом .
Если — координаты произвольно выбранной точки графика , то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой	переменных	функции f , то есть .
Из этой теоремы следует такое правило : при возведении степени в степень показатели	перемножают	, а основание оставляют прежним .
Итак , при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты	перемножают	.
Заметим , что эту формулу также можно доказать ,	перемножив	многочлены , стоящие в правой части .
Чтобы проверить , правильно ли разложили многочлен на множители , надо полученные множители	перемножить	.
Они	пересекаются	в точке .
Графики функций	пересекаются	в одной точке .
Графики функций	пересекаются	в точке с абсциссой 2 .
Докажите , что прямые	пересекаются	в точке В ( – 6;–12 ) .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые	пересекаются	, то система имеет единственное решение ;
Графики функций	пересекаются	в точке , абсцисса которой равна – 3 .
Докажите , что прямые	пересекаются	в точке А ( 9 ; 3 ) .
При каком значении b графики функций	пересекаются	в одной точке ? .
Действительно , графики уравнений системы	пересекаются	в точке .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек	пересечения	графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Каковы координаты точки	пересечения	графика уравнения с осью абсцисс ? .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки	пересечения	графика данной функции с графиком функции .
Не выполняя построения , найдите координаты точек	пересечения	графиков функций .
Не выполняя построения , найдите координаты точек	пересечения	с осями координат графика функции .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек	пересечения	построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Найдите ординату точки их	пересечения	.
Определите абсциссу точки	пересечения	графиков функций .
Не выполняя построения , найдите координаты точек	пересечения	с осями координат графика уравнения .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки	пересечения	прямых в уравнения системы .
Определите координаты точки	пересечения	прямых .
Найдите координаты её точек	пересечения	с осями координат .
Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки	пересечения	этих отрезков , если .
Не выполняя построения , найдите координаты точек	пересечения	графика функции с осями координат .
Найдите , не выполняя построения , координаты точки	пересечения	прямых .
При каком значении k прямая проходит через точку	пересечения	прямых ? .
Найдите координаты точек	пересечения	прямой с осями координат .
Поэтому для нахождения координат точки	пересечения	графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение .
Эти прямые называют осями координат , точку О их	пересечения	— началом координат .
Поэтому для нахождения координат точки	пересечения	графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
При каком значении b точка	пересечения	прямых принадлежит оси ординат ? .
При каком значении a точка	пересечения	прямых принадлежит оси абсцисс ? .
Постройте в одной системе координат графики функций и найдите координаты точки их	пересечения	.
Пусть — некоторый набор натуральных чисел , а набор yх , получен из него в результате	перестановки	некоторых чисел .
От	перестановки	слагаемых сумма не изменяется — переместительное свойство .
От	перестановки	множителей произведение не изменяется — переместительное свойство .
Так , запись является математической моделью задачи о поиске сторон прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а	периметр	14 см .
Вы знаете , что с его помощью можно найти	периметр	прямоугольника со сторонами а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое выражение .
Упражнения . Связаны ли между собой	периметр	равностороннего треугольника и его сторона ?
Эта формула является математической моделью связи между такими величинами , как длина стороны квадрата и его	периметр	.
Найдите стороны прямоугольника , если его	периметр	равен 144 см .
Найдите	периметр	данного прямоугольника .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а	периметр	14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона равнобедренного треугольника равна а см , основание — b см ,	периметр	— 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Понятно , что при этом будет меняться и его	периметр	.
В этом случае	периметр	прямоугольника будет равен 14 единицам длины .
Если длину стороны квадрата обозначить а , а	периметр	— Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Найдите стороны прямоугольника , имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников ,	периметр	каждого из которых равен 20 см .
Если сторона треугольника равна а , а	периметр	— Р , то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от переменной а ?
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) длина прямоугольника равна х м , ширина — у м ,	периметр	— 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину стороны , найти соответствующее значение	периметра	квадрата .
Постройте график изменения уровня воды в реке за указанный	период	.
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М	перпендикулярно	оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Все эти точки принадлежат прямой ,	перпендикулярной	оси абсцисс и проходящей через точку .
Заметим , что эта прямая не может быть вертикальной , то есть прямой ,	перпендикулярной	оси абсцисс .
Проведём на плоскости две	перпендикулярные	координатные прямые так , чтобы их начала отсчёта совпадали .
Очевидно , что , придавая аргументу другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной	плоскости	.
Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М на координатной	плоскости	.
На координатной	плоскости	отметьте точки .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на	плоскости	: 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной	плоскости	, абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Изобразите на координатной	плоскости	все точки ( х ; у ) такие , что х — произвольное число ; у — произвольное число ; х — произвольное число .
Далеко не всякая фигура , изображённая на координатной	плоскости	, может служить графиком функции .
Если , то это уравнение не имеет решений , а следовательно , на координатной	плоскости	не существует точек , которые могли бы служить графиком уравнения .
Проведём на	плоскости	две перпендикулярные координатные прямые так , чтобы их начала отсчёта совпадали .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной	плоскости	, координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Все точки координатной	плоскости	, которые можно отметить , действуя таким способом , образуют график функции .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной	плоскости	, абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Одна из координат точки на	плоскости	.
Отметим на координатной	плоскости	точки и проведём через них прямую .
Рассмотрим пары чисел как координаты ( х ; у ) точек координатной	плоскости	.
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной	плоскости	графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
На координатной	плоскости	обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной	плоскости	, координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Постройте на одной координатной	плоскости	графики функций f и g.
Предположим , что заданы координаты некоторых двух точек А и В на координатной	плоскости	и через эти точки проведена прямая .
Построив на одной координатной	плоскости	графики данных функций , установите , при каких значениях х .
Число 3 называют абсциссой точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной	плоскости	.
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной	плоскости	, абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
Как расположена на координатной	плоскости	относительно оси х точка А , если .
Действительно ,	плоскость	и нарисованная на ней прямая имеют бесконечно много общих точек .
Если графиком одного из уравнений системы является вся	плоскость	, то очевидно , что система имеет бесконечно много решений .
Координатные оси разбивают	плоскость	на четыре части , которые называют координатными четвертями и нумеруют так .
Каким образом можно изобразить координатную	плоскость	на экране компьютера ?
Координатная	плоскость	.
Значит , в этом случае график уравнения — вся координатная	плоскость	.
Графиком уравнения является вся координатная	плоскость	.
французский учёный Никола Орем ( ок . 1323–1392 ) впервые применил в математике идею Гиппарха : он разбил	плоскость	на клетки ( как разбит ваш тетрадный листок ) и стал задавать положение точек широтой и долготой .
Вся координатная	плоскость	.
Плоскость , на которой задана прямоугольная система координат , называют координатной	плоскостью	.
Площадь квадрата со стороной 10 см равна сумме	площадей	двух других квадратов .
Найдите сторону квадрата , если его площадь на 45 см2 больше	площади	данного прямоугольника .
Выразите эти	площади	натуральными числами в квадратных километрах .
Площадь второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а площадь третьего поля составляет 72 %	площади	первого .
Если сторону квадрата уменьшить на 8 см , то получится квадрат , площадь которого на 352 см2 меньше	площади	данного .
Составьте выражения для вычисления длины синей линии и	площади	фигуры , которую она ограничивает .
Найдите сторону квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится квадрат , площадь которого на 95 см2 больше	площади	данного .
Площадь второго поля в 1 — раза меньше	площади	первого , а площадь третьего поля составляет 72 % площади первого .
Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см , то его	площадь	увеличится на 45 см2 .
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см , а две другие уменьшить на 2 см , то его	площадь	увеличится на 24 см2 .
Площадь материков и островов Земли составляет км2 , а	площадь	океанов — км2 .
Если сторона квадрата равна а , а	площадь	— S , то какой формулой задаётся зависимость переменной S от переменной а ?
Найдите сторону квадрата , если его	площадь	на 45 см2 больше площади данного прямоугольника .
Выразите через π , R и r	площадь	фигуры , ограниченной этими окружностями .
Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см , а другую увеличить на 3 см , то его	площадь	уменьшится на 21 см2 .
Связаны ли между собой	площадь	квадрата и его сторона ?
Докажите , что если сторону квадрата увеличить в n раз , то его	площадь	увеличится в n2 раз .
Выразите эту	площадь	натуральным числом в квадратных километрах .
Площадь второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а	площадь	третьего поля составляет 72 % площади первого .
Если ширину прямоугольника уменьшить на 6 см , то его	площадь	уменьшится на 144 см2 .
Общая	площадь	двух участков , засеянных кукурузой , равна 100 га .
Найдите	площадь	каждого участка , если с первого участка собрали на 2200 т больше , чем со второго .
Так , запись является математической моделью задачи о поиске сторон прямоугольника ,	площадь	которого равна 12 см2 , а периметр 14 см .
Дан прямоугольник ,	площадь	которого равна 12 см2 .
Если длину прямоугольника увеличить на 6 см , то его	площадь	увеличится на 72 см2 .
Общая	площадь	трёх полей равна 46,4 га .
Найдите стороны прямоугольника , имеющего наибольшую	площадь	из всех прямоугольников , периметр каждого из которых равен 20 см .
Если длину увеличить на 2 см , а ширину уменьшить на 4 см , то	площадь	прямоугольника уменьшится на 40 см2 .
Найдите сторону квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится квадрат ,	площадь	которого на 95 см2 больше площади данного .
Чему равна	площадь	закрашенной фигуры ?
Если две противоположные стороны увеличить на 4 см , а две другие уменьшить на 5 см , то его	площадь	уменьшится на 17 см2 .
Если сторону квадрата уменьшить на 8 см , то получится квадрат ,	площадь	которого на 352 см2 меньше площади данного .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника ,	площадь	которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
Найдите	площадь	каждого поля .
Фермер выращивал гречиху на двух участках общей	площадью	24 га .
Для этого возьмём их в скобки и поставим между ними знак «	плюс	» .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений	плюс	квадрат второго выражения .
Если перед скобками стоит знак «	плюс	» , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения	плюс	удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
При этом говорят , что — значение переменной х , а число 4 — значение выражения 2х	плюс	3 при х .
Что является графиком уравнения ах	плюс	by меньше с , если b ф 0 или если .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k	плюс	1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n множителей ; m	плюс	n множителей ; n множителей ; плюс 1 множителей .
Для m больше 1 и n больше 1 имеем : m множителей ; n множителей ; m плюс n множителей ; n множителей ;	плюс	1 множителей .
Ответ : 4х	плюс	у меньше и .
Значит , искомое уравнение имеет вид у — – 4х или 4х	плюс	у меньше 0 .
Известно , что а больше 0 , а	плюс	b больше 0 .
Какой многочлен надо вычесть из многочлена	плюс	с , чтобы их разность была тождественно равна многочлену ? .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений	плюс	квадрат второго выражения .
древнегреческий учёный Гиппарх впервые использовал идею координат для определения местоположения объектов на	поверхности	Земли .
Затем раскроем скобки и приведём	подобные	слагаемые ( если таковые имеются ) .
Однако гораздо удобнее вначале привести	подобные	слагаемые , заменив данное выражение на тождественно равное .
Если среди одночленов , составляющих многочлен , есть	подобные	, то их называют подобными членами многочлена .
Затем раскроем скобки и приведём	подобные	слагаемые .
Например , 7 и – 5 —	подобные	одночлены .
Например , в многочлене	подобные	члены подчёркнуты одинаковым количеством чёрточек .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите	подобные	члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Однако , записав в стандартном виде одночлены , из которых он составлен , а затем приведя	подобные	члены , его можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Раскройте скобки и приведите	подобные	слагаемые .
Из одночленов выберите несколько и составьте из них : 1 ) многочлен стандартного вида ; 2 ) многочлен , содержащий	подобные	члены ; 3 ) два многочлена стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Приведите	подобные	члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Чтобы привести	подобные	слагаемые , надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть .
Приведите	подобные	члены многочлена .
Приведите	подобные	слагаемые .
Запишите одночлен ,	подобный	данному , коэффициент которого в 4 раза больше коэффициента данного одночлена .
К	подобным	одночленам также относят и числа .
Какие одночлены называют	подобными	? .
Такие слагаемые называют	подобными	.
Поэтому они не являются	подобными	.
Что называют	подобными	членами многочлена ? .
Такие одночлены называют	подобными	.
Напомним , что в курсе математики 6 класса вы уже познакомились с	подобными	зависимостями между величинами .
Являются ли	подобными	одночлены .
Если среди одночленов , составляющих многочлен , есть подобные , то их называют	подобными	членами многочлена .
Разложите на множители трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде суммы	подобных	слагаемых .
Многочлен , состоящий из одночленов стандартного вида , среди которых нет	подобных	, называют многочленом стандартного вида .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения	подобных	членов полученный многочлен не содержал переменной а .
Приведение	подобных	членов .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения	подобных	членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Приведение	подобных	слагаемых и раскрытие скобок — примеры тождественных преобразований выражений .
Приведение	подобных	слагаемых .
Этот многочлен составлен из одночленов стандартного вида , среди которых нет	подобных	.
Используя правило приведения	подобных	слагаемых , упростим этот многочлен .
Такое упрощение называют приведением	подобных	членов многочлена .
Степенью одночлена называют сумму	показателей	степеней всех переменных , входящих в него .
Оно является степенью с основанием а3 и	показателем	4 .
Степень с натуральным	показателем	.
« Степень с натуральным	показателем	» .
Что называют степенью числа a с натуральным	показателем	n , большим 1 ? .
Что называют степенью числа a с	показателем	1 ? .
Степенью числа a с натуральным	показателем	n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Так как при возведении в степень с чётным	показателем	любого числа , кроме 0 , получаем положительное число , то данное уравнение не имеет коней .
Выражение называют степенью , число 4 — основанием степени , а число 3 —	показателем	степени .
Степень с основанием а и	показателем	n обозначают аn и читают : « а в n - й степени » .
Это определение позволяет любое число считать степенью с	показателем	1 .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным	показателем	получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Степенью числа a с натуральным	показателем	n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
6 Свойства степени с натуральным	показателем	.
Запишите в виде степени с	показателем	2 выражение .
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание степени а и показатель степени n , а выходными — степень числа a с	показателем	n.
Запишите в виде степени с	показателем	3 выражение .
Степенью числа a с	показателем	1 называют само это число .
Степенью числа a с	показателем	1 называют само число а .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным	показателем	получаем отрицательное число .
Представьте число в виде степени с	показателем	, большим 1 , и наименьшим по модулю основанием .
Свойства степени с натуральным	показателем	( основное свойство степени ) .
Из этой теоремы следует такое правило : при возведении степени в степень	показатели	перемножают , а основание оставляют прежним .
Итак , при умножении степеней с одинаковыми основаниями	показатели	складывают , а основание оставляют прежним .
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают	показатель	степени делителя , а основание оставляют прежним .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если	показатель	степени является чётным числом ?
А может ли	показатель	степени быть равным 1 ?
Если	показатель	степени — чётное число , то при возведении в степень множители можно разбить на пары .
Прочитайте выражение , назовите основание и	показатель	степени .
Обратите внимание , что в определении степени на	показатель	n наложено ограничение n больше 1 .
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание степени а и	показатель	степени n , а выходными — степень числа a с показателем n.
Если же	показатель	степени — число нечётное , то один множитель останется без пары .
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из	показателя	степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Для какого значения	показателя	надо рассмотреть отдельный случай ? .
Степени с	показателями	2 и 3 можно прочитать иначе : запись а2 читают « а в квадрате » , запись — « а в кубе » .
Вышла в	поле	артель косарей .
Общая площадь трёх	полей	равна 46,4 га .
На следующий год в связи с засухой урожайность первого поля уменьшилась на 20 % , второго — на 15 % , а в результате всего с двух	полей	собрали меньше на 330 ц .
Модуль	положительного	числа равен этому числу , модуль отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
Для каждого	положительного	аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Какое число , положительное или отрицательное , получают при возведении в степень	положительного	числа ? .
Если произведение ab —	положительное	, то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Известно , что одно из чисел а , b и с	положительное	, второе — отрицательное , а третье равно нулю , причём .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем	положительное	число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Какое число ,	положительное	или отрицательное , получают при возведении в степень положительного числа ? .
Докажите , что выражение принимает	положительное	значение при любом значении у.
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин —	положительное	число .
Поскольку каждые два отрицательных множителя в произведении дают	положительное	число , то верно следующее утверждение .
Так как при возведении в степень с чётным показателем любого числа , кроме 0 , получаем	положительное	число , то данное уравнение не имеет коней .
Проходит ли график уравнения через точки , имеющие	положительную	абсциссу ? .
Может ли принимать	положительные	значения выражение .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции	положительные	; .
Докажите , что выражение принимает только	положительные	значения .
Действительно , поскольку , то при х ≠ 0 или у ≠ 0 левая часть уравнения принимает только	положительные	значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает	положительные	значения .
Так как при любых значениях х , то выражение принимает только	положительные	значения .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты —	положительные	числа ? .
В примере 1 область значений функции — это все	положительные	числа , в примере 2 — числа , записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все числа , не меньшие – 5 и не большие 7 .
Найдите такое наименьшее натуральное значение a , при котором выражение принимает	положительные	значения при любом значении х . ( Задача из « Теоретического и практического курса чистой математики » Е. Войтяховского . )
Докажите , что данное выражение принимает	положительные	значения при всех значениях х ; укажите , какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции	положительные	; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает	положительные	значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Докажите , что выражение принимает	положительные	значения при любых значениях х.
Так , в примере 1 областью определения функции являются все	положительные	числа ; в примере 2 — натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает	положительные	значения .
Докажите , что при любых значениях х значение выражения является	положительным	числом .
Каким числом ,	положительным	или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Установите , какое из чисел является	положительным	, какое отрицательным и какое равно нулю .
Натуральные числа называют целыми	положительными	числами .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов с	положительными	коэффициентами .
При всех	положительных	значениях аргумента значение функции f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Отношение	положительных	чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть число а составляет от числа b .
Докажите , что не имеет	положительных	корней уравнение .
С одного	поля	собрали по 40 ц ячменя с гектара , а с другого — по 35 ц с гектара .
На следующий год урожайность первого	поля	увеличилась на 10 % , второго — на 20 % , а в результате вместе собрали на 400 ц больше .
Площадь второго	поля	в 1 — раза меньше площади первого , а площадь третьего поля составляет 72 % площади первого .
Один автомобиль может перевезти собранный с	поля	урожай за 10 ч , другой — за 12 ч , а третий — за 15 ч .
Площадь второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а площадь третьего	поля	составляет 72 % площади первого .
С одного	поля	собрали по 45 ц пшеницы с гектара , а с другого — по 40 ц с гектара .
На следующий год в связи с засухой урожайность первого	поля	уменьшилась на 20 % , второго — на 15 % , а в результате всего с двух полей собрали меньше на 330 ц .
Найдите площадь каждого	поля	.
Докажите , что разность двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	, делится нацело на 9 .
Если к этому числу прибавить 63 , то получим число , записанное теми же самыми цифрами в обратном	порядке	.
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном	порядке	, равна 27 ? .
Расположите в	порядке	возрастания значения выражений .
Число , записанное теми же цифрами в обратном	порядке	, равно .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном	порядке	, равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Как правило , принимается во внимание	порядок	букв латинского алфавита .
В	последовательности	a , b , с , d , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 каждое число равно сумме двух предыдущих .
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой	последовательности	действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли найденный корень смыслу задачи , и записать ответ .
Однако в математике при решении многих задач часто приходится использовать несколько приёмов , применяя их в некоторой	последовательности	.
Возникает естественный вопрос : какие способы и в какой	последовательности	надо применять при разложении многочлена на множители ?
Эту	последовательность	действий , состоящую из трёх шагов , можно назвать алгоритмом решения текстовых задач .
Эту	последовательность	действий можно назвать алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки .
Главное в программировании — это придумать алгоритм , то есть	последовательность	шагов , с помощью которой из входных данных можно получить выходные данные .
Ответ :	прав	Василий .
Кто	прав	?
Если функция задана формулой ,	правая	часть которой — целое выражение , и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все числа .
Известно , что а и b — натуральные числа , а число a / b —	правильная	дробь .
Известно , что а и b — натуральные числа , а число a / b —	правильная дробь	.
Равенство ,	правильное	при любых значениях переменных .
Какие случаи надо предусмотреть , чтобы этот алгоритм выдавал	правильный	ответ для любых значений а и b ? .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных значения левой и	правой	частей тождества ? .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и	правой	частей данного равенства тождественно равна нулю .
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и	правой	частей данного равенства тождественно равна нулю .
Рассмотрим разность левой и	правой	частей : Тождество доказано .
Многочлен , стоящий в	правой	части , называют неполным квадратом разности .
Заметим , что эту формулу также можно доказать , перемножив многочлены , стоящие в	правой	части .
Упростим левую и	правую	части равенства : Получили одно и то же выражение .
Если мы сложим почленно левые и	правые	части уравнений системы , то вновь получим уравнение с двумя переменными .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и	правые	части уравнений системы .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и	правые	части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Перепишем формулы квадрата суммы и квадрата разности , поменяв местами их левые и	правые	части .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и	правые	части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и	правых	частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Если данное уравнение не имеет корней , то ,	прибавив	к обеим частям одно и то же число , получим уравнение , тоже не имеющее корней .
Поэтому ,	прибавив	к данному трёхчлену число 16 и вычтя из него 16 , получим .
Какой двучлен надо	прибавить	к данному двучлену , чтобы их сумма была тождественно равна нулю .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу	прибавить	сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Если к обеим частям данного уравнения	прибавить	( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Чтобы к сумме двух чисел	прибавить	третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Если к обеим частям данного уравнения	прибавить	( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Чтобы найти разность двух чисел , можно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
Если к сумме	прибавить	число 16 , то полученное выражение можно « свернуть » по формуле квадрата суммы .
Какой многочлен надо	прибавить	к многочлену чтобы их сумма была тождественно равна многочлену .
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к разности	прибавить	вычитаемое .
Если к этому числу	прибавить	63 , то получим число , записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке .
Какое число надо	прибавить	к многочлену , чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена ?
Чтобы найти делимое , надо делитель умножить на неполное частное и	прибавить	остаток .
Какой многочлен надо	прибавить	к трёхчлену , чтобы сумма была равна .
За один шаг разрешается , выбрав два числа , к каждому из них	прибавить	5 или из каждого вычесть 1 .
Какой многочлен надо	прибавить	к многочлену чтобы их сумма была тождественно равна 5 ? .
Так как , то ,	прибавляя	к данному многочлену ( удвоенное произведение одночленов х2 и 2у2 ) и вычитая из него такой же одночлен , получим .
В таблице	приведена	зависимость спроса на картофель в некотором регионе ( в тысячах тонн ) от цены 1 кг картофеля .
В этом разделе	приведены	задания , которые встретятся вам на уроках информатики .
Рассмотрим две пары выражений :	приведены	значения этих выражений при некоторых значениях переменной х .
В таблице	приведены	соответствующие значения величин х и у. Установите , являются ли эти величины прямо пропорциональными .
Раскройте скобки и	приведите	подобные слагаемые .
Однако , записав в стандартном виде одночлены , из которых он составлен , а затем	приведя	подобные члены , его можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Затем раскроем скобки и	приведём	подобные слагаемые .
Затем раскроем скобки и	приведём	подобные слагаемые ( если таковые имеются ) .
Поэтому	приведённая	зависимость времени t от температуры T не является функциональной .
Из примера ,	приведённого	в начале параграфа , следует , что пара чисел является решением системы .
Упростите выражение ,	приведённое	в этом упражнении .
Однако никакое количество конкретных примеров не может гарантировать , что	приведённое	равенство верно для любых натуральных m и n.
Поэтому	приведённое	правило позволяет умножать многочлен на одночлен .
Несмотря на существенное различие полученных ответов ,	приведённые	уравнения внешне похожи : все они имеют вид ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа .
Итак , из	приведённых	определений следует , что n множителей .
Подведём итог	приведённых	рассуждений .
Какая из	приведённых	пар чисел является решением уравнения .
Однако эти одночлены легко	привести	( преобразовать ) к стандартному виду .
Чтобы	привести	подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть .
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо	привести	их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно	привести	контрпример , указать такое значение переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Чтобы	привести	дроби к наименьшему общему знаменателю , надо : 1 ) найти наименьший общий знаменатель данных дробей ;
Однако гораздо удобнее вначале	привести	подобные слагаемые , заменив данное выражение на тождественно равное .
Правдоподобные рассуждения ,	приводящие	к ошибочным утверждениям .
Рассмотрим	произведение	степеней .
Замените степень произведением , а затем	произведение	преобразуйте в многочлен .
И это понятно : ведь не принято рассматривать	произведение	, состоящее из одного множителя .
На какое выражение надо умножить многочлен , чтобы	произведение	было равно многочлену ? .
Чтобы найти неизвестный множитель , надо	произведение	разделить на известный множитель .
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют	произведение	n множителей , каждый из которых равен а .
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1 , называют	произведение	n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
Как вы знаете , в математике придумали способ коротко записывать	произведение	, все множители которого равны .
Поскольку	произведение	любого числа на нуль равно нулю , то корнем второго уравнения является любое число .
Если	произведение	ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Докажите , что	произведение	чисел х и у делится нацело на 6 .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если	произведение	аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на	произведение	второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Чтобы	произведение	двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
От перестановки множителей	произведение	не изменяется — переместительное свойство .
Если	произведение	равно нулю , то хотя бы один из множителей равен нулю .
Если один из множителей равен нулю , то	произведение	равно нулю .
Разделить число а на число b — значит найти такое число ,	произведение	которого с числом b равно а .
Найдите три последовательных натуральных числа таких , что	произведение	второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
Если один из двух множителей равен 1 , то	произведение	равно второму множителю .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ;	произведение	суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что	произведение	третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
Вы знаете , что произведение нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и	произведение	равно нулю .
Упростите выражение , заменив	произведение	одинаковых множителей степенью : 10 множителей ; k множителей ;
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 )	произведение	суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Используя термины « сумма » , « разность » , «	произведение	» , « частное » , прочитайте алгебраические выражения и укажите , какие из них являются целыми .
Вы знаете , что	произведение	нескольких множителей равно нулю тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю , и наоборот , если хотя бы один из множителей равен нулю , то и произведение равно нулю .
Этот же результат можно получить , если	произведение	находить по схеме .
	Произведение	данного числа и числа 1 равно 1 ; 3 ) произведением данного числа и числа – 1 является число , противоположное данному ;
Клетки таблицы размером 101×101 заполнены числами так , что	произведение	чисел в каждом столбце является отрицательным .
Может ли оказаться , что количество строк ,	произведение	чисел в которых положительно , равно 51 ? .
Рассмотрим	произведение	двух степеней с одинаковыми основаниями , например .
Какому из данных многочленов тождественно равно	произведение	.
Разложив левую часть уравнения на множители и применив условие , согласно которому	произведение	равно нулю , получаем .
На какое выражение надо умножить двучлен , чтобы	произведение	было равно двучлену .
Составьте числовое выражение и найдите его значение	произведение	суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Так как по условию	произведение	на 38 больше , чем произведение , то .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ;	произведение	суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ;	произведение	трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Чему равно	произведение	разности двух выражений и их суммы ?
Запишите в виде выражения : утроенное	произведение	разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что	произведение	четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Так как по условию произведение на 38 больше , чем	произведение	, то .
Запишите в виде выражения :	произведение	четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Вообще ,	произведение	одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена .
Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел , чтобы их	произведение	было наибольшим .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное	произведение	чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Выражение , представляющее собой	произведение	чисел , переменных и их степеней , называют одночленом .
Представьте в виде степени	произведение	.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное	произведение	первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Для этого запишем	произведение	.
Найдите эти числа , если	произведение	меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего .
Как возвести	произведение	в степень ? .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а	произведение	координат одной из вершин — положительное число .
Каждое из них представляет собой	произведение	чисел , переменных и их степеней .
Найдите эти числа , если	произведение	наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Найдите удвоенное	произведение	одночленов .
Поскольку , то	произведение	любых чисел , оканчивающихся на 6 , является числом , последняя цифра которого равна 6 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное	произведение	первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
В предыдущем параграфе вы узнали , что	произведение	одночленов является одночленом .
Итак ,	произведение	двух одночленов — это одночлен .
Так как , то , прибавляя к данному многочлену ( удвоенное	произведение	одночленов х2 и 2у2 ) и вычитая из него такой же одночлен , получим .
Преобразуйте в многочлен	произведение	.
Выражение являющееся	произведением	чисел , переменных и их степеней .
Замените степень	произведением	, а затем произведение преобразуйте в многочлен .
Полученный многочлен является	произведением	одночлена 2х и многочлена .
Одночлен является их	произведением	.
Чтобы умножить два числа с разными знаками , надо умножить их модули и перед полученным	произведением	поставить знак « — » .
Полученный многочлен и является искомым	произведением	.
произведение данного числа и числа 1 равно 1 ; 3 )	произведением	данного числа и числа – 1 является число , противоположное данному ;
Рассмотрим частный случай , когда в	произведении	двух многочленов один из них представляет собой разность двух выражений , а другой — их сумму .
Поскольку каждые два отрицательных множителя в	произведении	дают положительное число , то верно следующее утверждение .
Каким из данных	произведений	многочленов тождественно равен многочлен ? .
Найдите все двузначные числа , равные	произведению	своих цифр , увеличенных на 1 .
Произведение крайних членов пропорции равно	произведению	её средних членов .
Разность кубов двух выражений равна	произведению	разности этих выражений и неполного квадрата их суммы .
Сумма кубов двух выражений равна	произведению	суммы этих выражений и неполного квадрата их разности .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен	произведению	числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Данное выражение равно	произведению	двух натуральных чисел , одним из которых является 14 .
Разность квадратов двух выражений равна	произведению	разности этих выражений и их суммы .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель —	произведению	знаменателей .
Представьте в виде	произведения	трёх множителей выражение , где n — натуральное число .
Представьте степень а в виде	произведения	двух степеней с основанием а всеми возможными способами .
Запишите формулу	произведения	разности и суммы двух выражений .
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше	произведения	третьего и первого .
Представьте в виде	произведения	выражение .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма	произведения	чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Представьте данное выражение в виде	произведения	двух одночленов , один из которых равен ? .
Зависит ли разность	произведения	второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора чисел ? .
Покажем , как умножить два многочлена на примере	произведения	.
Докажите , что значение	произведения	ab кратно 6 .
Докажите , что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного	произведения	не зависит от выбора чисел .
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного	произведения	вычтем 1 .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные	произведения	сложить .
Аналогичное свойство имеет место для	произведения	трёх и более степеней .
Представьте выражение а12 в виде	произведения	двух степеней с основаниями а , одна из которых равна .
Вообще , представление многочлена в виде	произведения	нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители .
Итак , при возведении	произведения	в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают .
Представьте степень в виде	произведения	степеней .
Представьте в виде	произведения	многочлен .
Представьте одночлен в виде : 1 )	произведения	двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) куба одночлена стандартного вида .
Аналогичное свойство имеет место и для	произведения	трёх или более множителей .
Представьте одночлен в виде : 1 )	произведения	двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) четвёртой степени одночлена стандартного вида .
Возведение	произведения	.
Представьте многочлен в виде	произведения	одночлена и многочлена .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность	произведения	чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Любое составное число можно представить в виде	произведения	простых чисел , то есть разложить на простые множители .
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы	произведения	чисел каждой группы были равны ? .
Для	произведения	одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и вычитания .
Представьте в виде	произведения	многочленов .
Докажите , что остаток при делении	произведения	чисел а и b на 8 равен 5 .
Может ли запись	произведения	этих чисел состоять только из цифр 2 и 4 ? .
Представьте в виде	произведения	выражение Решение .
Данное выражение представлено в виде	произведения	трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других — натуральные числа .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность	произведения	чисел m и n и частного чисел р и q .
Применив формулу разности квадратов и условие равенства	произведения	нулю , получим .
Разложите на множители многочлен представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Представьте в виде	произведения	многочленов выражение .
Найдите эти числа , если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше	произведения	наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Какое из данных выражений является записью разности	произведения	чисел а и b и числа с ? .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные	произведения	сложить — распределительное свойство .
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше	произведения	второго и первого .
Докажите , что остаток при делении	произведения	чисел m и n на 11 равен 1 .
Так как , то , применив правило возведения	произведения	в степень , получим .
Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и	произведения	первого и четвёртого от выбора чисел ? .
Найдите эти числа , если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше	произведения	большего и среднего .
Данное выражение представлено в виде	произведения	, один из множителей которого равен 24 , а другой — натуральное число .
Если n — чётное число , то выражение 9n можно представить в виде	произведения	, содержащего чётное число девяток .
Вычислите значение	произведения	, используя формулу .
Представьте в виде	произведения	четырёх множителей выражение , где n — натуральное число .
Докажите , что сумма	произведения	трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа .
Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и	произведения	первого и третьего от выбора чисел ? .
Решение . 3 ) Применив дважды формулу	произведения	суммы и разности двух выражений , получим .
Пользуясь определением степени , представьте в виде	произведения	степень .
Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Представьте многочлен в виде	произведения	квадратов двух двучленов .
Покажем , как можно преобразовать степень	произведения	, например выражение .
Данное выражение представлено в виде	произведения	двух множителей , первый из которых равен 7 , а второй принимает только целые значения .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность	произведения	двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные	произведения	сложить .
Равенство двух отношений называют	пропорцией	.
Отношения и	пропорции	.
Числа a и d называют крайними членами	пропорции	, а числа b и с — средними членами пропорции .
Основное свойство	пропорции	.
Числа a и d называют крайними членами пропорции , а числа b и с — средними членами	пропорции	.
Произведение крайних членов	пропорции	равно произведению её средних членов .
Заполните таблицу , если величина у прямо	пропорциональна	величине х .
Прямая	пропорциональная	зависимость .
Если величины у их прямо	пропорциональны	, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k — число , постоянное для данных величин .
Если две величины прямо	пропорциональны	, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин числу .
В таблице приведены соответствующие значения величин х и у. Установите , являются ли эти величины прямо	пропорциональными	.
Две величины называют прямо	пропорциональными	, если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Если а , b , с и d — числа , не равные нулю , то отношения равны и могут образовать	пропорцию	.
В буквенном виде	пропорцию	можно записать так .
Дробь , числитель и знаменатель которой — взаимно	простые числа	, называют несократимой .
Найдите все натуральные значения n , при которых значение каждого из выражений является	простым числом	.
Сколько существует пар	простых чисел	( х ; у ) , являющихся решениями уравнения ? .
Тайны	простых чисел	.
Любое составное число можно представить в виде произведения	простых чисел	, то есть разложить на простые множители .
Гальперин Г.А. Просто о	простых числах	.
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число ,	противоположное числу	b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Запишите в виде выражения : число ,	противоположное числу	а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у —	противоположные числа	, то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой абсцисса и ордината —	противоположные числа	.
Найдите решение уравнения , состоящее из двух	противоположных чисел	.
Модули	противоположных чисел	равны .
Запишите в виде равенства утверждение : 1 ) сумма	противоположных чисел	равна нулю ;
5 ) разность	противоположных чисел	равна нулю .
4 ) модули	противоположных чисел	равны ;
Сумма двух	противоположных чисел	равна нулю .
Чтобы найти процентное отношение двух чисел , надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак	процента	.
Ответ округлите до десятых	процента	.
Чтобы найти число по его	процентам	, можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь .
Через год вкладчик получил по	процентам	1020 р .
Процентное отношение двух чисел — это их отношение , выраженное в	процентах	.
Увеличилась или уменьшилась и на сколько	процентов	начальная цена товара ? .
На сколько	процентов	увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2008 год , если в 1995 году таких театров было 138 , а в 2008 году — 161 ?
Сколько	процентов	учащихся школы одновременно занимаются спортом и поют в хоре .
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить значение	процентов	на эту дробь .
Оно показывает , сколько	процентов	одно число составляет от другого .
Установите , больше или меньше исходного полученное число и на сколько	процентов	.
Чтобы найти	проценты	от числа , можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить	проценты	в виде дроби и умножить число на эту дробь .
Чтобы найти число по его процентам , можно представить	проценты	в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь .
В каждом из двух случаев : графиком уравнения является	прямая	.
Задайте формулой линейную функцию , графиком которой является изображённая : 1 )	прямая	a ; 2 ) прямая b .
Задайте формулой линейную функцию , графиком которой является изображённая : 1 ) прямая m 2 )	прямая	n .
Задайте формулой линейную функцию , графиком которой является изображённая : 1 ) прямая a ; 2 )	прямая	b .
Задайте формулой линейную функцию , графиком которой является изображённая : 1 )	прямая	m 2 ) прямая n .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является	прямая	, проходящая через начало координат и точку .
Графиком какой из данных функций является горизонтальная	прямая	? .
Графиком этого уравнения является	прямая	.
Эта	прямая	и является искомым графиком .
А значит , указанная	прямая	и является искомым графиком .
Рассуждая аналогично , можно показать , что графиком уравнения , где , является вертикальная	прямая	.
В каждом из двух случаев графиком уравнения является	прямая	.
Часто , например , вместо предложения « дано уравнение у равно 2х » говорят « дана	прямая	» .
График : Невертикальная	прямая	; Вертикальная прямая ;
График : Невертикальная прямая ; Вертикальная	прямая	;
Сколько общих точек может иметь с графиком функции любая	прямая	, перпендикулярная оси абсцисс ? .
В какой точке	прямая	пересекает : 1 ) ось х ; 2 ) ось у ?
Фигура может являться графиком некоторой функции , если любая	прямая	, перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
Графиком какой из данных функций является	прямая	, проходящая через начало координат ? .
Графиком каких уравнений является та же	прямая	, что и график уравнения ? .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является	прямая	, проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Докажите , что не существует такого значения а , при котором	прямая	проходит через начало координат .
При каких значениях a и b	прямая	пересекает оси координат в точках А ( – 6 ; 0 ) и В ( 0 ; 12 ) ? .
Запишите алгоритм , который по входным данным k и b определит , какая	прямая	является графиком функции : горизонтальная или не горизонтальная , проходящая через начало координат или нет .
Действительно , плоскость и нарисованная на ней	прямая	имеют бесконечно много общих точек .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а	прямая	, перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Предположим , что заданы координаты некоторых двух точек А и В на координатной плоскости и через эти точки проведена	прямая	.
В курсе геометрии 9 класса вы докажете , что графиком линейной функции является	прямая	.
При каком значении k	прямая	проходит через точку пересечения прямых ? .
Значит , графиком уравнения , является невертикальная	прямая	.
Графиком линейной функции является	прямая	.
Заметим , что эта	прямая	не может быть вертикальной , то есть прямой , перпендикулярной оси абсцисс .
Графиком линейной функции является невертикальная	прямая	.
Эта	прямая	является графиком линейной функции .
Поскольку	прямая	пропорциональность — частный случай линейной функции ( это выражает схема ) , то её график — прямая .
Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции ( это выражает схема ) , то её график —	прямая	.
Графиком функции у равно b , где b ≠ 0 , является	прямая	, параллельная оси абсцисс .
Особенностью является то , что эта	прямая	при любом значении k проходит через точку О ( 0 ; 0 ) .
По горизонтали : 6 ) Функция «	прямая	» .
Функция	прямая	пропорциональность .
Действительно , вертикальная	прямая	не может служить графиком функции .
Эта	прямая	параллельна оси абсцисс .
Поскольку	прямая	однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Задаётся абсцисса некоторой точки С и сказано , что точка С лежит на этой же	прямой	.
Функциональная зависимость переменной y от переменной х является	прямой	пропорциональностью .
Что является графиком	прямой	пропорциональности ? .
При этом координаты любой точки этой	прямой	— пара чисел , являющаяся решением данного уравнения .
Все эти точки принадлежат	прямой	, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку .
Тогда уравнение этой	прямой	можно записать в виде , где k и b — некоторые числа .
Является ли	прямой	пропорциональностью функция , заданная формулой .
Поэтому для построения графика	прямой	пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Заметим , что эта прямая не может быть вертикальной , то есть	прямой	, перпендикулярной оси абсцисс .
Запишите уравнение	прямой	, проходящей через точки : Запишите уравнение прямой , проходящей через точки .
Постройте график	прямой	пропорциональности .
Так как график искомого уравнения проходит через точки , имеющие разные абсциссы , то он является невертикальной	прямой	.
Запишите уравнение прямой , проходящей через точки : Запишите уравнение	прямой	, проходящей через точки .
Какую функцию называют	прямой	пропорциональностью ? .
Найдите координаты точек пересечения	прямой	с осями координат .
Точки А ( 2 ; 3 ) и В ( 5 ; а ) принадлежат	прямой	.
Задайте формулой функцию , являющуюся	прямой	пропорциональностью , если её график проходит через точку .
Такую зависимость называли	прямой	пропорциональностью .
График	прямой	пропорциональности .
Поэтому линейную функцию , которую задают формулой у равно kx , где k ≠ 0 , называют	прямой	пропорциональностью .
Линейную функцию , которую задают формулой где k ≠ 0 , называют	прямой	пропорциональностью .
Плоскость , на которой задана	прямоугольная	система координат , называют координатной плоскостью .
Дан	прямоугольник	, площадь которого равна 12 см2 .
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике точку , соответствующую случаю , когда	прямоугольник	ABCD является квадратом .
Периметр	прямоугольника	равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см , а две другие уменьшить на 2 см , то его площадь увеличится на 24 см2 .
Найдите стороны	прямоугольника	, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников , периметр каждого из которых равен 20 см .
Периметр	прямоугольника	ABCD равен .
Если каждую сторону	прямоугольника	увеличить на 3 см , то его площадь увеличится на 45 см2 .
Длина	прямоугольника	на 2 см больше его ширины .
Длина	прямоугольника	в 3 раза больше его ширины .
Найдите стороны данного	прямоугольника	.
Найдите сторону квадрата , если его площадь на 45 см2 больше площади данного	прямоугольника	.
Если длину увеличить на 2 см , а ширину уменьшить на 4 см , то площадь	прямоугольника	уменьшится на 40 см2 .
Если длину	прямоугольника	увеличить на 6 см , то его площадь увеличится на 72 см2 .
Если ширину	прямоугольника	уменьшить на 6 см , то его площадь уменьшится на 144 см2 .
В этом случае периметр	прямоугольника	будет равен 14 единицам длины .
Вы знаете , что с его помощью можно найти периметр	прямоугольника	со сторонами а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое выражение .
Так , запись является математической моделью задачи о поиске сторон	прямоугольника	, площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см .
Если поставлена задача найти стороны	прямоугольника	, площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
Ширина	прямоугольника	на 8 см меньше его длины .
Периметр	прямоугольника	равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см , а другую увеличить на 3 см , то его площадь уменьшится на 21 см2 .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон	прямоугольника	.
Найдите исходную ширину	прямоугольника	.
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) длина	прямоугольника	равна х м , ширина — у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Найдите периметр данного	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	равен 7,8 см , а одна из его сторон на 1,3 см больше другой .
Найдите стороны	прямоугольника	.
Одна из сторон	прямоугольника	в 11 раз меньше другой .
Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон	прямоугольника	и на 5 см больше его другой стороны .
Найдите исходные длину и ширину	прямоугольника	.
Найдите стороны	прямоугольника	, если его периметр равен 144 см .
Эту систему , как и систему , полученную в задаче о	прямоугольнике	, вы научитесь решать в 9 классе .
Найдите стороны прямоугольника , имеющего наибольшую площадь из всех	прямоугольников	, периметр каждого из которых равен 20 см .
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон	прямоугольного	треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
э . ) для вычисления целочисленных значений длин сторон	прямоугольного	треугольника .
э . ) для вычисления целочисленных значений длин сторон	прямоугольного треугольника	.
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон	прямоугольного треугольника	. ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют	прямоугольную	систему координат .
Дан	прямоугольный	треугольник .
Дан	прямоугольный треугольник	.
Научитесь проводить	прямую	через две точки .
Среди данных функций укажите	прямую	пропорциональность : Какая из данных функций не является линейной ? .
Постройте	прямую	, проходящую через точки С ( 3 ; 0 ) и D ( 3 ; – 4 ) .
Теперь через точки проведём	прямую	.
Остаётся провести	прямую	через точки .
Постройте	прямую	, проходящую через точки А ( – 2 ; 3 ) и В ( 4 ; 3 ) .
Отметим на координатной плоскости точки и проведём через них	прямую	.
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести	прямую	через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют	прямую	, проходящую через точку параллельно оси ординат .
Эти	прямые	называют осями координат , точку О их пересечения — началом координат .
Докажите , что	прямые	пересекаются в точке А ( 9 ; 3 ) .
3 ) если	прямые	параллельны , то система решений не имеет .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если	прямые	пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Докажите , что	прямые	пересекаются в точке В ( – 6;–12 ) .
2 ) если	прямые	совпадают , то система имеет бесконечно много решений ;
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются	прямые	, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные	прямые	так , чтобы их начала отсчёта совпадали .
При каком значении a точка пересечения	прямых	принадлежит оси абсцисс ? .
Графики	прямых	пропорциональностей , которые приводились выше в качестве примеров .
Система — это математическая модель задачи о поиске координат общих точек двух	прямых	.
Найдите , не выполняя построения , координаты точки пересечения	прямых	.
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки пересечения	прямых	в уравнения системы .
Какая из	прямых	является графиком функции .
Следовательно , графиком данного уравнения является пара	прямых	.
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух	прямых	на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Функции у равно 2х ; у равно х ; у равно – х ; примеры	прямых	пропорциональностей .
Какая из	прямых	является графиком уравнения ? .
При каком значении k прямая проходит через точку пересечения	прямых	? .
Каково взаимное расположение	прямых	, являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
При каком значении b точка пересечения	прямых	принадлежит оси ординат ? .
Определите координаты точки пересечения	прямых	.
Путь , пройденный теплоходом по течению , на 48 км больше	пути	против течения .
Ясно , что переменные величины « стоимость проезда » и « длина	пути	, который проезжает пассажир » связаны между собой .
Действительно , если пассажир заплатил 30 р . , то нельзя однозначно установить длину	пути	, который он проехал .
Часть	пути	он ехал со скоростью 10 км / ч , а оставшийся путь — со скоростью 15 км / ч .
через каждые 10 км пути ( х км — длина	пути	, у р .
через каждые 10 км	пути	( х км — длина пути , у р .
Равенство , где s — пройденный путь , v — скорость движения , a t — время , за которое пройден путь s , называют формулой	пути	.
Первая часть	пути	составляет 10x км , а вторая — км .
Стоимость проезда ; Длина	пути	, который проезжает пассажир .
Поскольку первый автомобиль находился в	пути	на 1 ч дольше второго , то есть 4 ч , то он до встречи проехал 4х км .
Велосипедист проехал первую половину	пути	за 3 ч , а вторую — за 2,5 ч , так как увеличил скорость на 3 км / ч .
Как зависит длина пройденного им	пути	s от времени движения t ?
В первый день турист проехал 0,4 всего	пути	, во второй — -г оставшегося , а в третий — остальные 20 км .
Найдите длину	пути	.
Какой	путь	они проехали в первый день , если длина всего маршрута составляет 270 км ? .
Найдите общий	путь	, пройденный Петей , если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы , а время , потраченное на весь путь , составляет 4 ч .
Часть пути он ехал со скоростью 10 км / ч , а оставшийся	путь	— со скоростью 15 км / ч .
Равенство , где s — пройденный путь , v — скорость движения , a t — время , за которое пройден	путь	s , называют формулой пути .
Найдите общий путь , пройденный Петей , если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы , а время , потраченное на весь	путь	, составляет 4 ч .
Равенство , где s — пройденный	путь	, v — скорость движения , a t — время , за которое пройден путь s , называют формулой пути .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным	путём	сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Какое из данных	равенств	не является тождеством ? .
Какие из этих	равенств	являются тождествами ? .
Какие из данных	равенств	являются тождествами .
Какое из данных	равенств	является тождеством .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного	равенства	, получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Для любого числа a верны	равенства	: поскольку , поскольку .
Рассмотрим ещё несколько примеров ситуаций , математическими моделями которых служат	равенства	с двумя переменными .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного	равенства	тождественно равна нулю .
Например , все	равенства	: являются тождествами .
Так ,	равенства	, выражающие свойства сложения и умножения чисел , являются примерами тождеств .
Значения переменных х1 и х2 таковы , что выполняются	равенства	.
Упростим левую и правую части	равенства	: Получили одно и то же выражение .
Значения переменных х и у таковы , что выполняются	равенства	.
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного	равенства	, получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Если а не равно 0 , то справедливы такие	равенства	.
Упростим левую часть	равенства	: Тождество доказано .
Как видим , каждое полученное в примерах 1–5 равенство содержат по две переменные х и у. Такие	равенства	называют уравнениями с двумя переменными .
Для	равенства	Диофант применял знак ισ — первые две буквы слова ισος — « исос » , то есть « равный » .
Применив формулу разности квадратов и условие	равенства	произведения нулю , получим .
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного	равенства	, получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного	равенства	тождественно равна нулю .
Запишите в виде	равенства	утверждение : 1 ) сумма противоположных чисел равна нулю ;
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного	равенства	, получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Найдите и исправьте ошибки в	равенствах	.
В	равенстве	замените звёздочку таким выражением , чтобы образовалось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
В	равенстве	число а называют уменьшаемым , b — вычитаемым , с — разностью .
Каким выражением можно заменить звёздочку в	равенстве	, чтобы получилось уравнение : 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
В	равенстве	замените звёздочку таким выражением , чтобы получившееся уравнение : 1 ) не имело корней ;
В	равенстве	число а называют делимым , b — делителем , с — частным .
Какое число можно подставить вместо b , чтобы	равенство	было тождеством ? .
Для того , чтобы доказать , что данное	равенство	является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Это	равенство	с двумя переменными является математической моделью вышеописанной реальной ситуации .
Во втором случае , когда b ≠ 0 , при любом значении х получим неверное	равенство	Ох равно b. Отсюда : если а равно 0 и b ≠ 0 , то уравнение ах равно b корней не имеет .
Равенство верно , если верно	равенство	.
Чтобы доказать , что равенство не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое значение переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное	равенство	не выполняется .
Следовательно , данное	равенство	не является тождеством .
Очевидно , что для n меньше 1 доказываемое	равенство	верно .
Замените звёздочки такими одночленами , чтобы выполнялось	равенство	.
Для любых чисел а и b и любого натурального числа n справедливо	равенство	.
Чтобы доказать , что	равенство	не является тождеством , достаточно привести контрпример , указать такое значение переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Пример 2 Докажите , что	равенство	не является тождеством .
При каких значениях a , b , с и d выполняется	равенство	? .
Известно , что при некоторых значениях x и y выполняется	равенство	.
Найдите все целые числа x и y , при которых выполняется	равенство	.
Замените звёздочку такой степенью с основанием а , чтобы выполнялось	равенство	.
Каким одночленом надо заменить звёздочку , чтобы выполнялось	равенство	.
Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо	равенство	.
Вместо звёздочки запишите такое выражение , чтобы выполнялось	равенство	, где n — натуральное число .
При каких значениях a и b верно	равенство	.
Равенство означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а	равенство	означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
При каком значении переменной выполняется	равенство	? .
Пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное	равенство	, называют решением системы уравнений с двумя переменными .
При каких значениях х и у верно	равенство	.
Как видим , каждое полученное в примерах 1–5	равенство	содержат по две переменные х и у. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными .
Расставьте скобки так , чтобы	равенство	стало тождеством .
Следовательно , равенство верно , если верно	равенство	.
Корнем уравнения называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое	равенство	.
Рассмотрим	равенство	.
Если длины сторон двух других квадратов обозначить х см и у см , то получим	равенство	.
Если , например , в уравнение вместо х и у подставить числа 2 и 6 , то получим верное	равенство	.
Верно ли	равенство	.
Следовательно ,	равенство	верно , если верно равенство .
Какое число можно подставить вместо а , чтобы	равенство	было тождеством ? .
Очевидно , что для n равно 1 доказываемое	равенство	верно .
Пару значений переменных , обращающую уравнение в верное	равенство	, называют решением уравнения с двумя переменными .
При каком значении х верно	равенство	.
При каких значениях переменных х и у выполняется	равенство	.
Является ли тождеством	равенство	.
Однако никакое количество конкретных примеров не может гарантировать , что приведённое	равенство	верно для любых натуральных m и n.
Для любого числа a , отличного от нуля , и любых натуральных чисел m и n таких , что m больше n , справедливо	равенство	.
Замените звёздочку такой степенью , чтобы выполнялось	равенство	.
При любых значениях a верно	равенство	.
Докажите , что не является тождеством	равенство	.
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное	равенство	.
Можно ли утверждать , что	равенство	а2 равно | а | является тождеством ? .
Если величины у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют	равенству	, где k — число , постоянное для данных величин .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона	равнобедренного	треугольника равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона	равнобедренного треугольника	равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Из листа картона вырезали несколько	равносторонних	треугольников .
Из листа картона вырезали несколько	равносторонних треугольников	.
Вычислите значение полученного выражения при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности ,	радиусы	которых равны R и r , имеют общий центр .
найти дополнительные множители для каждой из дробей ,	разделив	общий знаменатель на знаменатели данных дробей ;
Поскольку , то ,	разделив	обе части последнего уравнения на b , получим .
1 ) Если а ≠ 0 , то ,	разделив	обе части уравнения ах равно b на а , получим х равно .
Полдня вся артель косила больший луг , а на вторую половину дня артель	разделилась	пополам , и одна половина осталась докашивать больший луг , а вторая начала косить меньший .
Чтобы найти неизвестный делитель , надо делимое	разделить	на частное .
Чтобы найти число по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и	разделить	значение процентов на эту дробь .
Чтобы найти число по значению его дроби , можно это значение	разделить	на эту дробь .
Отношение не изменится , если его члены умножить или	разделить	на одно и то же число , не равное нулю .
Чтобы разделить два отрицательных числа , надо модуль делимого	разделить	на модуль делителя .
Если же	разделить	данное число на сумму его цифр , то получим неполное частное 3 и остаток 3 .
Чтобы	разделить	два отрицательных числа , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого	разделить	на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы	разделить	два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение	разделить	на известный множитель .
Как	разделить	степени с одинаковыми основаниями ? .
Если обе части уравнения умножить (	разделить	) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю .
Если натуральное число	разделить	на 10 , то остаток равен числу , записанному последней цифрой этого числа .
Если обе части уравнения умножить (	разделить	) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Если числитель и знаменатель данной дроби	разделить	на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
Если можно , то выполните	разложение	на множители .
Решите уравнение , используя	разложение	на множители .
Таким образом ,	разложение	многочлена на множители позволило свести решение сложного уравнения к решению двух более простых .
И всё же дадим несколько общих советов : 1 ) если это возможно , то	разложение	надо начинать с вынесения общего множителя за скобки ; 2 ) проверить , можно ли применить формулы сокращённого умножения ;
Вообще , представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов называют	разложением	многочлена на множители .
Однако если воспользоваться	разложением	многочлена на множители , то уравнение можно переписать так .
Поясните , что называют	разложением	многочлена на множители .
Возникает естественный вопрос : какие способы и в какой последовательности надо применять при	разложении	многочлена на множители ?
Существует немало приёмов	разложения	многочлена на множители .
Сформулируйте правило	разложения	на множители суммы кубов двух выражений .
В частности , есть много многочленов , для	разложения	которых на множители надо применить несколько способов .
Сформулируйте правило	разложения	на множители разности квадратов двух выражений .
Вы уже знаете два способа	разложения	многочленов на множители вынесение общего множителя за скобки и метод группировки .
« Применение различных способов	разложения	многочлена на множители » .
19 Применение различных способов	разложения	многочлена на множители .
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы	разложения	многочлена на множители : вынесение общего множителя за скобки ; метод группировки ; применение формул сокращённого умножения .
Приведём примеры применения этой формулы для	разложения	многочленов на множители .
Сформулируйте правило	разложения	на множители разности кубов двух выражений .
Найдите значение выражения ,	разложив	его предварительно на множители .
Вычислите значение выражения , предварительно	разложив	его на множители .
Чтобы проверить , правильно ли	разложили	многочлен на множители , надо полученные множители перемножить .
В 6 больших и 8 маленьких ящиков	разложили	232 кг яблок .
О такой записи говорят , что многочлен	разложили	на множители .
Найдите эти выражения и	разложите	их на множители .
Полученные выражения	разложите	на множители .
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было	разложить	на множители по формуле разности квадратов .
Сумму какого одночлена и трёхчлена можно	разложить	на множители по формуле квадрата двучлена ?
Исходный многочлен удалось	разложить	на множители благодаря тому , что мы выгодным способом объединили в группы его члены .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно	разложить	на множители сумму или разность кубов двух одночленов .
Многочлен не удастся	разложить	на множители методом вынесения за скобки общего множителя , так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
Можно ли , применяя формулу разности квадратов ,	разложить	на множители выражение .
Какой из данных двучленов можно	разложить	на множители , применяя формулу разности квадратов ? .
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел , то есть	разложить	на простые множители .
Придумайте многочлен , который можно	разложить	на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было	разложить	на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле разности кубов .
Из следующих четырёх выражений только три можно	разложить	на множители .
14 Произведение	разности	и суммы двух выражений .
Найдите какие - нибудь три натуральных значения переменной х таких , чтобы выражение можно было разложить на множители по формуле	разности	квадратов .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно	разности	квадратов этих выражений .
Формула квадрата	разности	.
Можно ли , применяя формулу	разности	квадратов , разложить на множители выражение .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и	разности	чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Какой многочлен называют неполным квадратом	разности	?
Сформулируйте правило разложения на множители	разности	квадратов двух выражений .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение	разности	чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Какой из данных двучленов можно разложить на множители , применяя формулу	разности	квадратов ? .
Представьте многочлен в виде	разности	двучлена и трёхчлена .
Сформулируйте правило возведения	разности	двух выражений в квадрат .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу	разности	квадратов , получим ; 2 )
Представьте многочлен в виде	разности	двух многочленов с положительными коэффициентами .
« Преобразование многочлена в квадрат суммы или	разности	двух выражений » .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат	разности	чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата	разности	, получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Мы получили формулу квадрата	разности	двух выражений .
Решение . 3 ) Применив дважды формулу произведения суммы и	разности	двух выражений , получим .
« Квадрат суммы и квадрат	разности	двух выражений » .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб	разности	чисел c и d .
Решение 1 ) По формуле квадрата	разности	двух выражений получаем .
Разложите на множители многочлен , предварительно представив его в виде	разности	квадратов двух выражений .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат	разности	одночленов 3 m и 4n .
Можно ли представить в виде	разности	квадратов двух одночленов выражение ? .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат	разности	чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб	разности	чисел 6 и 8 .
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение	разности	двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Представьте многочлен в виде	разности	двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные числа , делится нацело на 6 .
Чему равно произведение	разности	двух выражений и их суммы ?
Представьте многочлен в виде суммы или	разности	квадратов двух выражений .
Это тождество называют формулой	разности	квадратов двух выражений .
Сформулируйте правило разложения на множители	разности	кубов двух выражений .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их	разности	; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Квадрат	разности	двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Какое тождество называют формулой квадрата	разности	двух выражений ? .
Разложите на множители , пользуясь формулой	разности	квадратов .
Какое тождество называют формулой	разности	кубов ? .
16 Квадрат суммы и квадрат	разности	двух выражений .
Перепишем формулы квадрата суммы и квадрата	разности	, поменяв местами их левые и правые части .
Произведение	разности	двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Применив формулу	разности	кубов , получим .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле	разности	квадратов , так и по формуле разности кубов .
Представьте многочлен в виде	разности	: 1 ) двух двучленов ; 2 ) трёхчлена и двучлена .
Такое название объясняется его внешним сходством с многочленом , который равен квадрату	разности	а и b.
Теперь при умножении	разности	выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
Разность кубов двух выражений равна произведению	разности	этих выражений и неполного квадрата их суммы .
Какое из данных выражений является записью	разности	произведения чисел а и b и числа с ? .
Укажите наименьшее натуральное значение n такое , чтобы выражение можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле	разности	кубов .
Представим левую часть уравнения в виде квадрата	разности	.
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и	разности	чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или	разности	двух чисел , найдите значение данного выражения .
Функция задана описательно : значение функции равно	разности	между значением аргумента и целой частью аргумента .
Разложите на множители , используя формулу	разности	квадратов .
Квадрат неполный	разности	двух выражений .
э . ) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата	разности	геометрически , восстановите его доказательство .
Выведите формулу куба	разности	.
Придумайте многочлен , который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов , так и по формуле	разности	кубов .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их	разности	.
Это тождество называют формулой	разности	кубов двух выражений .
Формула	разности	кубов .
Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата	разности	двух выражений .
Запишите формулу произведения	разности	и суммы двух выражений .
Формула	разности	квадратов .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб	разности	чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к	разности	прибавить вычитаемое .
Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата	разности	, вычислите .
Произведение	разности	и суммы двух выражений .
Представьте выражение в виде	разности	квадратов двух многочленов .
Разложение на множители	разности	кубов .
Квадрат	разности	двух выражений .
Запишите формулу	разности	квадратов двух выражений .
Применив формулу	разности	квадратов и условие равенства произведения нулю , получим .
а ) примените формулу	разности	квадратов ; б ) раскройте скобки и примените метод группировки .
Разложение на множители	разности	квадратов .
17 Преобразование многочлена в квадрат суммы или	разности	двух выражений .
Представив данный многочлен в виде	разности	кубов двух выражений , получим .
Многочлен , стоящий в правой части , называют неполным квадратом	разности	.
Разность квадратов двух выражений равна произведению	разности	этих выражений и их суммы .
Заметим , что формулу квадрата	разности	двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений .
Придумайте многочлен , который можно разложить на множители как по формуле	разности	квадратов , так и по формуле разности кубов .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 )	разность	чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Рассмотрим	разность	.
Чтобы найти	разность	двух чисел , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Докажите , что	разность	суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ;	разность	произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 )	разность	чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ;	разность	числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9 .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно разложить на множители сумму или	разность	кубов двух одночленов .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ;	разность	произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Докажите , что	разность	делится нацело на 18 .
« Сумма и	разность	кубов двух выражений » .
В случае утвердительного ответа запишите эту	разность	квадратов .
Докажите , что	разность	двузначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится нацело на 9 .
Используя термины « сумма » , «	разность	» , « произведение » , « частное » , прочитайте алгебраические выражения и укажите , какие из них являются целыми .
Найдите два числа , если их	разность	равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат —	разность	квадратов этих выражений .
Докажите , что : 1 )	разность	квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
5 )	разность	противоположных чисел равна нулю .
Найдите	разность	многочленов .
Зависит ли	разность	квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел ? .
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть	разность	.
При каком значении a	разность	принимает наименьшее значение , если .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ;	разность	кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 )	разность	квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Докажите , что	разность	квадратов этих чисел кратна 7 .
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а	разность	между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо	разность	любых двух выражений , не используя правило умножения двух многочленов .
Рассмотрим частный случай , когда в произведении двух многочленов один из них представляет собой	разность	двух выражений , а другой — их сумму .
Сумма двух чисел равна 28 , а	разность	их квадратов составляет 112 .
Какой многочлен надо вычесть из многочлена плюс с , чтобы их	разность	была тождественно равна многочлену ? .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 )	разность	квадратов чисел х и у .
Найдите сумму и	разность	многочленов .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а	разность	между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Рассмотрим	разность	левой и правой частей : Тождество доказано .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что	разность	левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
При делении данного числа на	разность	его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2 .
Докажите , что	разность	куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6 .
Найдите два числа , если их сумма равна 63 , а	разность	равна 19 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 )	разность	их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Докажите , что : 1 )	разность	квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 )	разность	квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 )	разность	квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
18 Сумма и	разность	кубов двух выражений .
Докажите , что из них всегда можно выбрать два ,	разность	которых делится нацело на 11 .
Докажите , что	разность	между квадратом натурального числа , не кратного 3 , и числом 1 кратна 3 .
Докажите , что	разность	квадратов двух произвольных натуральных чисел , каждое из которых не делится нацело на 3 , кратна 3 .
Какой многочлен надо вычесть из двучлена , чтобы	разность	была равна .
Зависит ли	разность	произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора чисел ? .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ;	разность	произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Приёмы доказательства тождеств тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что	разность	левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Мы получили три множителя , один из которых является	разностью	кубов , а два других — суммой кубов .
Полученный многочлен является	разностью	двух данных многочленов .
В равенстве число а называют уменьшаемым , b — вычитаемым , с —	разностью	.
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в	разряде	единиц .
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в	разряде	десятков меньше цифры в разряде единиц .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в	разряде	его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в	разряде	десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Сумма цифр двузначного числа равна 9 , причём цифра в	разряде	десятков больше цифры в разряде единиц .
Разность цифр двузначного числа равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в	разряде	единиц .
Затем	раскроем скобки	и приведём подобные слагаемые .
Затем	раскроем скобки	и приведём подобные слагаемые ( если таковые имеются ) .
а ) примените формулу разности квадратов ; б )	раскройте скобки	и примените метод группировки .
Для любого	рационального	числа a .
Для любого	рационального числа	a .
Каждому	рациональному	числу , отличному от нуля , соответствует обратное ему число .
Каждому	рациональному числу	, отличному от нуля , соответствует обратное ему число .
Объединив целые числа с дробными , получим	рациональные	числа .
Эта рубрика адресована , прежде всего , тем , кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно , творчески мыслить , формировать , выражать и отстаивать свою точку зрения , выдвигать гипотезы , находить наиболее	рациональные	и нестандартные решения .
Объединив целые числа с дробными , получим	рациональные числа	.
Сложение	рациональных	чисел .
Вычитание	рациональных	чисел .
Умножение	рациональных	чисел .
Деление	рациональных	чисел .
Сложение	рациональных чисел	.
Вычитание	рациональных чисел	.
Деление	рациональных чисел	.
Умножение	рациональных чисел	.
Пусть а — длина	ребра	куба , V — его объём .
Может ли получиться так , что сумма чисел вдоль каждого	ребра	стопки будет равна 55 ? .
Во сколько раз увеличится объём куба , если его	ребро	увеличить в m раз ? .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее	решение	уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
При каком значении a имеет	решение	система уравнений .
Термин , которым обозначают процесс , позволяющий за конечное количество шагов получить	решение	задачи .
Имеет ли	решение	система уравнений ? .
Пара чисел ( 4 ; – 1 ) — искомое	решение	.
А потому графический метод обычно применяют в тех случаях , когда	решение	достаточно найти приближённо .
Запишите алгоритм , для которого входными данными являются значения чисел а и b , а выходными —	решение	линейного уравнения .
Например , пара чисел — тоже её	решение	.
Вывод : пара чисел — единственное	решение	данной системы .
Следовательно , пара чисел ( – 1 ; 2 ) —	решение	данной системы .
Если переменные в уравнении обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая	решение	в виде пары , надо договориться , значение какой переменной ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
В таких случаях говорят , что пара чисел ( – 2 ; 0 ) — общее	решение	указанных уравнений .
Отсюда пара чисел ( 1 ; – 1 ) — единственное	решение	данного уравнения .
Покажем , как	решение	системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной .
Пара чисел ( 3 ; – 2 ) — искомое	решение	.
Имеет ли	решение	система уравнений .
Сколько времени заняло бы	решение	этой задачи « перебором » без компьютера и калькулятора ? .
К уравнению подберите второе линейное уравнение так , чтобы получилась система уравнений , которая : 1 ) имеет единственное	решение	;
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное	решение	системы , подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы .
Найдите	решение	системы уравнений .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное	решение	; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Если математикам встречается новая задача , то , как правило , они пытаются её	решение	свести к уже знакомой задаче .
Так возник термин « алгоритм » , которым обозначают процесс , дающий за конечное количество шагов	решение	задачи .
Выберите какую - либо систему уравнений из данного параграфа и проиллюстрируйте её	решение	графическим методом с помощью этого инструментария .
Таким образом , разложение многочлена на множители позволило свести	решение	сложного уравнения к решению двух более простых .
Пример , соответствующий случаю , когда система имеет единственное	решение	, мы уже рассмотрели выше .
Например , уравнение имеет только одно	решение	— пару чисел ( 0 ; 0 ) .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное	решение	;
Найдите	решение	уравнения , состоящее из двух равных чисел .
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные уравнения не являются линейными , однако	решение	каждого из них сводится к решению линейного уравнения .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести	решение	системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной .
Найдите	решение	уравнения , состоящее из двух противоположных чисел .
Подберите такие значения а и b , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное	решение	; не имеет решений .
Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это	решение	в виде точки М на координатной плоскости .
Подберите такие значения m и n , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное	решение	; не имеет решений .
Приведите пример уравнения с переменными х и у : 1 ) имеющего одно	решение	; 2 ) не имеющего решений ;
Например , рассмотренное выше уравнение имеет единственное	решение	.
Получили систему уравнений	решением	которой является пара чисел .
Ясно , что любая пара вида , и только она , где t — произвольное число , является	решением	уравнения .
Какая из пар чисел является	решением	каждого из уравнений ? .
Поэтому корень часто называют	решением	уравнения .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя переменными ,	решением	которого является пара чисел .
При каком значении a пара является	решением	уравнения .
Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными ,	решением	которой является пара чисел .
При каком значении a пара чисел ( – 4 ; 2 ) является	решением	уравнения ? .
Пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют	решением	системы уравнений с двумя переменными .
Известно , что пара чисел является	решением	уравнения .
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя переменными ,	решением	которого является пара чисел ( – 2 ; 1 ) .
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя переменными ,	решением	которого является пара чисел ( 3 ; 5 ) .
При каком значении a пара чисел является	решением	уравнения ? .
Пусть пара чисел является	решением	системы уравнений .
Какая из приведённых пар чисел является	решением	уравнения .
4 )	решением	которого является любая пара чисел .
При этом координаты любой точки этой прямой — пара чисел , являющаяся	решением	данного уравнения .
Любая пара чисел является его	решением	.
Поскольку	решением	уравнения с двумя переменными является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М на координатной плоскости .
Тот факт , что пара является решением уравнения , принято записывать так : ( а ; b ) является	решением	уравнения .
Что является	решением	системы уравнений с двумя переменными ?
Легко проверить , что пара чисел ( – 2 ; 0 ) является	решением	как уравнения , так и уравнения .
Что называют	решением	уравнения с двумя переменными ? .
При каких значениях a и b пара чисел ( – 2 ; 3 ) является	решением	системы уравнений .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является	решением	системы уравнений .
А то , что пара чисел является	решением	системы подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений системы , то есть проверка .
Например , если пара является	решением	какой - то системы , то понятно , что установить этот факт графически крайне сложно .
Её координаты являются	решением	каждого уравнения системы , а значит , и самой системы .
Тот факт , что пара является	решением	уравнения , принято записывать так : ( а ; b ) является решением уравнения .
Используя такое обозначение , можно , например , записать , что каждая из пар чисел ( 5 ; 85 ) , ( 40 ; 50 ) , ( 50 ; 40 ) является	решением	уравнения .
В связи с этим распространена ошибка : называть каждое число пары или саму пару , являющуюся	решением	, корнем уравнения с двумя переменными .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является	решением	данного уравнения .
Какая из пар чисел ( – 2 ; 1 ) ; ( 2 ; – 1 ) ; ( 6 ; 4 ) ; ( 8 ; – 4 ) является	решением	системы уравнений ? .
Итак ,	решением	системы является пара чисел ( 2 ; – 0,6 ) .
Следовательно , пара чисел ( 1 ; 3 ) является общим	решением	данных уравнений .
В этом случае говорят , что пара значений переменных удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является	решением	этого уравнения .
Из примера , приведённого в начале параграфа , следует , что пара чисел является	решением	системы .
Так , для уравнения каждая из пар чисел является его решением , а , например , пара его	решением	не является .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными ,	решением	которой является пара значений переменных .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными ,	решением	которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Является ли пара чисел	решением	уравнения ? .
Так , для уравнения каждая из пар чисел является его	решением	, а , например , пара его решением не является .
Пару значений переменных , обращающую уравнение в верное равенство , называют	решением	уравнения с двумя переменными .
Существуют специализированные математические пакеты программ , которые помогают школьникам и студентам выполнить техническую работу при	решении	задач .
Можете ли вы сформулировать алгоритм , которым пользовались при	решении	этой задачи ? .
Однако в математике при	решении	многих задач часто приходится использовать несколько приёмов , применяя их в некоторой последовательности .
Поэтому , если при	решении	уравнений появлялось « ложное число » , его превращали в « настоящее » , перенося в другую часть уравнения .
При	решении	задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли найденный корень смыслу задачи , и записать ответ .
При каком значении b система уравнений имеет бесконечно много	решений	? .
2 ) имеет бесконечно много решений ; 3 ) не имеет	решений	.
Но эго уравнение имеет бесконечно много решений , а следовательно , и рассматриваемая система имеет бесконечно много	решений	.
3 ) если прямые параллельны , то система	решений	не имеет .
Уравнение не имеет	решений	.
2 ) имеет бесконечно много	решений	; 3 ) не имеет решений .
Но эго уравнение имеет бесконечно много	решений	, а следовательно , и рассматриваемая система имеет бесконечно много решений .
Если графиком одного из уравнений системы является вся плоскость , то очевидно , что система имеет бесконечно много	решений	.
При каких значениях a , b и с уравнение не имеет	решений	? .
В завершение подчеркнём , что именно графический метод нам подсказал , что не существует системы линейных уравнений , имеющей , например , ровно 2 , или ровно 3 , или ровно 100	решений	.
Сколько	решений	имеет задача ? .
2 ) если прямые совпадают , то система имеет бесконечно много	решений	;
Если , то это уравнение не имеет	решений	, а следовательно , на координатной плоскости не существует точек , которые могли бы служить графиком уравнения .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение переменной х , можем найти бесконечно много	решений	данного уравнения .
Сколько	решений	может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными ? .
Уравнение вообще	решений	не имеет .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет	решений	; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много	решений	? .
Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать , что оно не имеет	решений	.
Приведём пример системы , которая не имеет	решений	.
Уравнение с двумя переменными не обязательно имеет бесконечно много	решений	.
Поэтому вторая задача не имеет	решений	.
Легко найти несколько	решений	этого уравнения .
Других общих точек графики уравнений не имеют , а следовательно , не имеет других	решений	и сама система .
Графический метод эффективен в тех случаях , когда требуется определить количество	решений	системы .
Очевидно , что первое уравнение этой системы	решений	не имеет , а значит , не существует и общего решения уравнений , входящих в систему .
Подберите такие значения а и b , при которых система уравнений имеет бесконечно много	решений	; имеет единственное решение ; не имеет решений .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество	решений	этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
При каких значениях a система уравнений не имеет	решений	; имеет бесконечно много решений ? .
Выясним , сколько	решений	может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными .
В случае утвердительного ответа укажите примеры	решений	.
Сколько	решений	имеет уравнение ? .
Если одно из уравнений системы не имеет	решений	, то очевидно , что вся система решений не имеет .
Отсюда можно сделать вывод : данная система	решений	не имеет .
Пара чисел не исчерпывает всех	решений	последней системы .
Подберите такие значения а и b , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет	решений	.
Если одно из уравнений системы не имеет решений , то очевидно , что вся система	решений	не имеет .
При каком значении a имеет бесконечно много	решений	система уравнений .
Приведите пример уравнения с переменными х и у : 1 ) имеющего одно решение ; 2 ) не имеющего	решений	;
имеющего бесконечно много	решений	;
Подберите такие значения m и n , при которых система уравнений имеет бесконечно много	решений	; имеет единственное решение ; не имеет решений .
Подберите такие значения m и n , при которых система уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет	решений	.
При каких значениях a не имеет	решений	система уравнений .
Например , система имеет бесконечно много	решений	.
При каком значении a система уравнений не имеет	решений	? .
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать , что	решений	нет .
При каких значениях a система уравнений не имеет решений ; имеет бесконечно много	решений	? .
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные уравнения не являются линейными , однако решение каждого из них сводится к	решению	линейного уравнения .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к	решению	линейного уравнения с одной переменной .
Таким образом , разложение многочлена на множители позволило свести решение сложного уравнения к	решению	двух более простых .
Разложение многочлена на множители является ключом к	решению	многих задач .
Покажем , как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к	решению	линейного уравнения с одной переменной .
Эту последовательность действий , состоящую из трёх шагов , можно назвать алгоритмом	решения	текстовых задач .
Эта и исходная системы имеют одни и те же	решения	.
Вот , например , четыре его	решения	.
Обозначение всех неизвестных величин одной буквой ς также сильно затрудняло запись	решения	задач , в которых фигурировали несколько переменных .
Запишите алгоритм для	решения	этой задачи .
Запишите алгоритм для	решения	этой задачи перебором всех двузначных чисел .
Графический метод	решения	системы двух линейных уравнений с двумя переменными .
Найдите какие - нибудь три	решения	уравнения .
Описанный здесь способ	решения	системы называют методом : подстановки .
Если требуется найти все общие	решения	нескольких уравнений , то говорят , что нужно решить систему уравнений .
Эта рубрика адресована , прежде всего , тем , кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно , творчески мыслить , формировать , выражать и отстаивать свою точку зрения , выдвигать гипотезы , находить наиболее рациональные и нестандартные	решения	.
Решить систему уравнений — это значит найти все её	решения	или доказать , что решений нет .
Алгоритм	решения	системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Очевидно , что первое уравнение этой системы решений не имеет , а значит , не существует и общего	решения	уравнений , входящих в систему .
Описанный метод	решения	системы уравнений называют графическим .
Это позволяет нам утверждать , что система имеет три	решения	.
Получим систему ,	решения	которой совпадают с решениями исходной системы .
Найдите все возможные	решения	.
Рассмотрим случай , когда каждое из уравнений системы имеет	решения	.
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же	решения	, что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Создайте для них математическую модель и напишите алгоритм для их	решения	.
Описанный способ	решения	системы называют методом сложения .
Очевидно , что	решения	этой системы совпадают с решениями уравнения .
выдающийся арабский учёный Мухаммед ибн Муса аль - Хорезми ( что означает Мухаммед , сын Мусы , из Хорезма ) написал трактат о способах	решения	уравнений .
Выразите из данного уравнения переменную у через переменную х и найдите какие - нибудь два	решения	этого уравнения .
Выразите из данного уравнения переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь три	решения	этого уравнения .
Запишите алгоритм	решения	этой задачи в общем виде .
В этой главе вы повторите свойства уравнений , сможете усовершенствовать навыки	решения	уравнений и задач на составление уравнений .
Схема	решения	задач на составление уравнений .
Например , благодаря символике Виета все линейные уравнения можно записать в виде ах равно b , а следовательно , построить процесс	решения	уравнения в общем виде так , как мы это сделали в 2 .
В чём суть графического метода	решения	систем уравнений с двумя переменными ? .
Выразите из уравнения переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь два	решения	этого уравнения .
Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом	решения	системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки .
Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные уравнения , но и исследовать процесс	решения	сразу целого класса уравнений .
Поэтому для	решения	данного уравнения достаточно решить каждое из уравнений : Отсюда .
Так , если в системе обе части первого уравнения умножить на 2 , то	решения	этого уравнения , а значит , и всей системы не изменятся .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же	решения	, что и данное .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же	решения	, что и данное .
Изучите некоторые методы их	решения	.
Имеет ли	решения	уравнение ? .
Три указанные пары не исчерпывают все	решения	этого уравнения .
Укажите какие - нибудь три	решения	уравнения .
Овладеете новым эффективным методом	решения	текстовых задач .
Графический метод	решения	системы двух линейных уравнений с двумя переменными » .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же	решения	, что и данное .
Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его	решения	или показать , что оно не имеет решений .
Если изобразить все	решения	уравнения , то получим график уравнения .
Бхаскара II ( 1114–1185 ) — индийский математик и астроном , автор трактата « Венец системы » ( ок . 1150 ) , в котором содержится изложение методов	решения	ряда алгебраических задач .
Запишите общий алгоритм для	решения	этих двух задач .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все	решения	уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Какие пары чисел являются	решениями	уравнения ? .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми	решениями	.
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются	решениями	данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются	решениями	данного уравнения .
Найдите все пары ( х ; у ) натуральных чисел , являющиеся	решениями	уравнения .
Найдите все пары ( х ; у ) целых чисел , являющиеся	решениями	уравнения .
Очевидно , что решения этой системы совпадают с	решениями	уравнения .
Следовательно ,	решениями	данного уравнения являются все пары чисел вида , где х — произвольное число , и все пары чисел вида , где у — произвольное число .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся	решениями	уравнения .
Пары чисел являются	решениями	данного уравнения .
Сколько существует пар простых чисел ( х ; у ) , являющихся	решениями	уравнения ? .
Получим систему , решения которой совпадают с	решениями	исходной системы .
Какие из пар чисел являются	решениями	уравнения ? .
Изображены графики уравнений найдите все пары чисел , являющиеся	решениями	каждого из данных уравнений .
Бхаскара II ( 1114–1185 ) — индийский математик и астроном , автор трактата « Венец системы » ( ок . 1150 ) , в котором содержится изложение методов решения	ряда	алгебраических задач .
В таком виде эти формулы в	ряде	случаев позволяют « свернуть » трёхчлен в квадрат двучлена .
В одном зале 12 одинаковых рядов , а в другом — 15 одинаковых	рядов	.
В одном зале 12 одинаковых	рядов	, а в другом — 15 одинаковых рядов .
В каждом ряду первого зала на 4 места больше , чем в каждом	ряду	второго .
В каждом	ряду	первого зала на 4 места больше , чем в каждом ряду второго .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество	секунд	в m часах , n минутах и р секундах .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р	секундах	.
Выразите скорость света в метрах в	секунду	; запишите результат , используя степень числа 10 .
греческий математик Герои Александрийский начал обозначать неизвестную величину буквой ς (	сигма	) .
« Решение задач с помощью	систем	линейных уравнений » .
Решением каких	систем	является пара чисел ( – 5 ; 2 ) ? .
Какая из следующих	систем	уравнений является математической моделью ситуации , описанной в условии задачи ? .
Какая из следующих	систем	уравнений соответствует условию задачи ? .
Какая из следующих	систем	уравнений является математической моделью ситуации , описанной в условии ? .
28 Решение	систем	линейных уравнений методом сложения .
27 Решение	систем	линейных уравнений методом подстановки .
В чём суть графического метода решения	систем	уравнений с двумя переменными ? .
29 Решение задач с помощью	систем	линейных уравнений .
Подберите такие значения m и n , при которых	система	уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
При каком значении a имеет решение	система	уравнений .
Плоскость , на которой задана прямоугольная	система	координат , называют координатной плоскостью .
Но эго уравнение имеет бесконечно много решений , а следовательно , и рассматриваемая	система	имеет бесконечно много решений .
При каком значении b	система	уравнений имеет бесконечно много решений ? .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 )	система	имеет бесконечно много решений ? .
Прямоугольная	система	координат .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 )	система	имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Это	система	.
Сколько решений может иметь	система	двух линейных уравнений с двумя переменными ? .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то	система	имеет единственное решение ;
Французский математик , в честь которого названа современная	система	координат .
Данная	система	ещё « не готова » к применению метода сложения .
Подберите такие значения а и b , при которых	система	уравнений имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
При каких значениях a	система	уравнений не имеет решений ; имеет бесконечно много решений ? .
При каком значении a имеет бесконечно много решений	система	уравнений .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная	система	будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Однако это совершенно не означает , что данная	система	решена .
При каких значениях a не имеет решений	система	уравнений .
К уравнению подберите второе линейное уравнение так , чтобы получилась	система	уравнений , которая : 1 ) имеет единственное решение ;
Имеет ли решение	система	уравнений .
Отсюда можно сделать вывод : данная	система	решений не имеет .
Это позволяет нам утверждать , что	система	имеет три решения .
Других общих точек графики уравнений не имеют , а следовательно , не имеет других решений и сама	система	.
Если одно из уравнений системы не имеет решений , то очевидно , что вся	система	решений не имеет .
Если графиком одного из уравнений системы является вся плоскость , то очевидно , что	система	имеет бесконечно много решений .
Например ,	система	имеет бесконечно много решений .
2 ) если прямые совпадают , то	система	имеет бесконечно много решений ;
При каком значении a	система	уравнений не имеет решений ? .
3 ) если прямые параллельны , то	система	решений не имеет .
Имеет ли решение	система	уравнений ? .
Пример , соответствующий случаю , когда	система	имеет единственное решение , мы уже рассмотрели выше .
Выясним , сколько решений может иметь	система	двух линейных уравнений с двумя переменными .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 )	система	не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Французский математик , в честь которого названа современная	система координат	.
Прямоугольная	система координат	.
Плоскость , на которой задана прямоугольная	система координат	, называют координатной плоскостью .
В этой главе вы познакомитесь с уравнениями с двумя переменными и их	системами	.
В одной	системе	координат представьте данные графически .
Постройте в одной	системе	координат графики линейных функций .
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря	системе	координат можно переходить от точек к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к алгебре .
Постройте в одной	системе	координат графики функций и найдите координаты точки их пересечения .
Так , если в	системе	обе части первого уравнения умножить на 2 , то решения этого уравнения , а значит , и всей системы не изменятся .
В турнире , организованном по олимпийской	системе	( проигравший выбывает ) , участвовали n теннисистов .
Поскольку в этой	системе	коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
Постройте в одной	системе	координат графики этих функций .
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря	системе координат	можно переходить от точек к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к алгебре .
Постройте в одной	системе координат	графики функций и найдите координаты точки их пересечения .
Постройте в одной	системе координат	графики этих функций .
В одной	системе координат	представьте данные графически .
Постройте в одной	системе координат	графики линейных функций .
Поэтому эту систему называют	системой	двух линейных уравнений с двумя переменными .
Так , решая систему мы заменили её	системой	.
Решить	систему	уравнений — это значит найти все её решения или доказать , что решений нет .
Поэтому эту	систему	называют системой двух линейных уравнений с двумя переменными .
Если требуется найти все общие решения нескольких уравнений , то говорят , что нужно решить	систему	уравнений .
Несмотря на то что П. Ферма опубликовал своё сочинение годом раньше , чем Р. Декарт , ту	систему	координат , которой мы сегодня пользуемся , называют декартовой .
Составьте	систему	двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел .
Эту	систему	, как и систему , полученную в задаче о прямоугольнике , вы научитесь решать в 9 классе .
Что означает решить	систему	уравнений ? .
А вот	систему	мы можем решить уже сейчас .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих	систему	уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Также можно считать решённой	систему	.
Составьте какую - нибудь	систему	двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в	систему	; найти координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Не всякую	систему	уравнений выгодно решать графически .
Составьте какую - нибудь	систему	двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара значений переменных .
Если графиками уравнений , входящих в	систему	линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Запишите соответствующую	систему	уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы .
Решить	систему	уравнений .
В каком случае говорят , что надо решить	систему	уравнений ? .
Эту систему , как и	систему	, полученную в задаче о прямоугольнике , вы научитесь решать в 9 классе .
Очевидно , что первое уравнение этой системы решений не имеет , а значит , не существует и общего решения уравнений , входящих в	систему	.
Решите графически	систему	уравнений .
Выберите какую - либо	систему	уравнений из данного параграфа и проиллюстрируйте её решение графическим методом с помощью этого инструментария .
Получим	систему	, решения которой совпадают с решениями исходной системы .
Рассмотрим	систему	, в которой сразу два уравнения нужно подготовить к применению метода сложения .
Решим ещё одну	систему	.
Так , решая	систему	мы заменили её системой .
Решите	систему	уравнений методом сложения .
Имеем	систему	уравнений .
Решите	систему	уравнений .
Решив эту	систему	, получаем .
Получили	систему	уравнений решением которой является пара чисел .
Тогда получили	систему	уравнений .
Составили	систему	уравнений решив которую получим .
Итак , чтобы решить	систему	линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Получим	систему	.
Решим	систему	уравнений .
Запишите	систему	линейных уравнений с двумя переменными .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют прямоугольную	систему	координат .
Несмотря на то что П. Ферма опубликовал своё сочинение годом раньше , чем Р. Декарт , ту	систему координат	, которой мы сегодня пользуемся , называют декартовой .
Ось абсцисс называют также осью х , а ось ординат — осью у , они вместе образуют прямоугольную	систему координат	.
Покажем , как решение	системы	линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной .
Пара чисел не исчерпывает всех решений последней	системы	.
Графический метод решения	системы	двух линейных уравнений с двумя переменными » .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения	системы	одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Решение	системы	уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Алгоритм решения	системы	уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Из примера , приведённого в начале параграфа , следует , что пара чисел является решением	системы	.
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение	системы	двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений	системы	, то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Следовательно , пара чисел ( – 1 ; 2 ) — решение данной	системы	.
Бхаскара II ( 1114–1185 ) — индийский математик и астроном , автор трактата « Венец	системы	» ( ок . 1150 ) , в котором содержится изложение методов решения ряда алгебраических задач .
Рассмотрим задачи , в которых	системы	двух линейных уравнений с двумя переменными используют как математические модели реальных ситуаций .
Найдите решение	системы	уравнений .
Пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют решением	системы	уравнений с двумя переменными .
Решением	системы	уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
Так , если в системе обе части первого уравнения умножить на 2 , то решения этого уравнения , а значит , и всей	системы	не изменятся .
Решение	системы	уравнений с двумя переменными .
Очевидно , что решения этой	системы	совпадают с решениями уравнения .
Подставив найденное значение х в первое уравнение данной	системы	, получим .
Действительно , умножим обе части первого уравнения	системы	на 3 .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения	системы	так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений	системы	заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Очевидно , что первое уравнение этой	системы	решений не имеет , а значит , не существует и общего решения уравнений , входящих в систему .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение	системы	вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Подставим найденное значение переменной х в любое из уравнений	системы	, например в первое .
Решение	системы	с двумя переменными .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной	системы	; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Например , если пара является решением какой - то	системы	, то понятно , что установить этот факт графически крайне сложно .
А то , что пара чисел является решением	системы	подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений системы , то есть проверка .
А то , что пара чисел является решением системы подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений	системы	, то есть проверка .
Графический метод эффективен в тех случаях , когда требуется определить количество решений	системы	.
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений	системы	.
Описанный метод решения	системы	уравнений называют графическим .
Если одно из уравнений	системы	не имеет решений , то очевидно , что вся система решений не имеет .
В завершение подчеркнём , что именно графический метод нам подсказал , что не существует	системы	линейных уравнений , имеющей , например , ровно 2 , или ровно 3 , или ровно 100 решений .
Вывод : пара чисел — единственное решение данной	системы	.
Если графиком одного из уравнений	системы	является вся плоскость , то очевидно , что система имеет бесконечно много решений .
Итак , решением	системы	является пара чисел ( 2 ; – 0,6 ) .
Её координаты являются решением каждого уравнения системы , а значит , и самой	системы	.
Её координаты являются решением каждого уравнения	системы	, а значит , и самой системы .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной	системы	; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Действительно , графики уравнений	системы	пересекаются в точке .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения	системы	так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой	системы	зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Описанный способ решения	системы	называют методом сложения .
Решение	системы	уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Рассмотрим случай , когда каждое из уравнений	системы	имеет решения .
Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом решения	системы	двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки .
Приведём пример	системы	, которая не имеет решений .
Решением этой	системы	является пара .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение	системы	, подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения	системы	.
Что является решением	системы	уравнений с двумя переменными ?
Второе уравнение последней	системы	является уравнением с одной переменной .
Рекомендуемые литература и интернет - ресурсы :	системы	счисления .
Описанный здесь способ решения	системы	называют методом : подстановки .
Какая из пар чисел ( – 2 ; 1 ) ; ( 2 ; – 1 ) ; ( 6 ; 4 ) ; ( 8 ; – 4 ) является решением	системы	уравнений ? .
Эта и исходная	системы	имеют одни и те же решения .
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения	системы	одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение	системы	вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Решением этой	системы	является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только натуральным числом .
Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений	системы	, то вновь получим уравнение с двумя переменными .
Графический метод решения	системы	двух линейных уравнений с двумя переменными .
Оба уравнения этой	системы	являются линейными .
Пусть пара чисел является решением	системы	уравнений .
При каких значениях a и b пара чисел ( – 2 ; 3 ) является решением	системы	уравнений .
Подставим во второе уравнение	системы	вместо переменной у выражение .
Подставим найденное значение y в первое уравнение исходной	системы	.
Для такой	системы	метод сложения уже является эффективным .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением	системы	уравнений .
Решение	системы	уравнений .
Получим систему , решения которой совпадают с решениями исходной	системы	.
Итак , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели	складывают	, а основание оставляют прежним .
Числа , которые	складывают	, называют слагаемыми , а результат сложения — суммой .
Если перед	скобками	стоит знак « плюс » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Если перед	скобками	стоит знак « – » , то при раскрытии скобок надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за	скобки	и метод группировки , получим .
Применив последовательно вынесение общего множителя за	скобки	и формулу разности квадратов , получим ; 2 )
Какое свойство умножения используют при вынесении общего множителя за	скобки	? .
И всё же дадим несколько общих советов : 1 ) если это возможно , то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за	скобки	; 2 ) проверить , можно ли применить формулы сокращённого умножения ;
Для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной	скобки	.
Вынесите за	скобки	общий множитель .
Леонард Эйлер ввёл знаки ( не равно ) , ( сумма ) ,	скобки	( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики .
Для этого каждый из многочленов возьмём в	скобки	и поставим перед вычитаемым знак « минус » .
Раскроем	скобки	, применив распределительное свойство умножения .
Расставьте	скобки	так , чтобы равенство стало тождеством .
Вы уже знаете два способа разложения многочленов на множители вынесение общего множителя за	скобки	и метод группировки .
Вычислите , используя вынесение общего множителя за	скобки	, значение многочлена .
Вынесите за	скобки	общий множитель в выражении .
Вынесите общий множитель за	скобки	.
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за	скобки	и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Вычислите , используя вынесение общего множителя за	скобки	.
Такие соображения подсказывают вынести за	скобки	общий множитель .
Многочлен не удастся разложить на множители методом вынесения за	скобки	общего множителя , так как множителя , общего для всех слагаемых , нет .
Для этого возьмём их в	скобки	и поставим между ними знак « плюс » .
Представим выражения в виде степеней с основанием 2 и вынесем за	скобки	общий множитель .
Упростите выражение , используя вынесение общего множителя за	скобки	.
Вынесение общего множителя за	скобки	.
Вынесите за	скобки	общий множитель ( n — натуральное число ) .
Раскройте	скобки	.
Любой из этих множителей можно вынести за	скобки	.
Систему уравнений записывают с помощью фигурной	скобки	.
Применив последовательно вынесение общего множителя за	скобки	и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Самый простой из них — вынесение общего множителя за	скобки	.
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения многочлена на множители : вынесение общего множителя за	скобки	; метод группировки ; применение формул сокращённого умножения .
Вынесем его за	скобки	.
С помощью фигурной	скобки	свойство модуля числа a можно записать так .
Вынесение общего множителя за	скобки	» .
Если перед скобками стоит знак « плюс » , то при раскрытии	скобок	надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменений .
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из чисел , букв , знаков арифметических действий и	скобок	, является буквенным выражением .
Если перед скобками стоит знак « – » , то при раскрытии	скобок	надо опустить этот знак , а все знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , изменить на противоположные .
Запись , составленную из чисел , букв , знаков арифметических действий и	скобок	, называют буквенным выражением .
Приведение подобных слагаемых и раскрытие	скобок	— примеры тождественных преобразований выражений .
Раскрытие	скобок	.
Запись , составленную из чисел , знаков арифметических действий и	скобок	, называют числовым выражением .
Запись , состоящую из чисел , букв , знаков арифметических действий и	скобок	, называют буквенным выражением .
Первое	слагаемое	8n суммы делится нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не делится .
Каждое	слагаемое	полученной суммы делится нацело на 4 , поэтому и сумма делится нацело на 4 .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное	слагаемое	.
Представив	слагаемое	6х в виде суммы , применим метод группировки .
Решение 1 ) Сгруппировав члены данного многочлена так , чтобы	слагаемые	в каждой группе имели общий множитель , получим .
Мы получили выражение , в котором оба	слагаемых	имеют множитель .
Произведением числа a на натуральное число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b	слагаемых	.
Разложите на множители трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных	слагаемых	.
Сколько	слагаемых	в этой сумме ? .
Используя правило приведения подобных	слагаемых	, упростим этот многочлен .
Мы представили данный многочлен в виде суммы двух	слагаемых	, которые могут принимать только неотрицательные значения .
Представление выражения в виде суммы , одним из	слагаемых	которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Произведением числа a на натуральное число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b	слагаемых	, каждое из которых равно а : b слагаемых .
Приведение подобных	слагаемых	и раскрытие скобок — примеры тождественных преобразований выражений .
При этом меняются длина мелового	следа	, масса , объём и даже температура кусочка мела .
Выражения каждой группы содержат такие действия :	сложение	, вычитание , умножение , возведение в степень , деление .
Вообще , при	сложении	и вычитании многочленов всегда получается многочлен .
28 Решение систем линейных уравнений методом	сложения	.
Метод	сложения	.
Чтобы исключить переменную у , умножим обе части первого уравнения на число 5 , а второго — на число – 8 и применим метод	сложения	.
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью	сложения	, вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Рассмотрим систему , в которой сразу два уравнения нужно подготовить к применению метода	сложения	.
Числа , которые складывают , называют слагаемыми , а результат	сложения	— суммой .
Данная система ещё « не готова » к применению метода	сложения	.
В силу распределительного свойства умножения относительно	сложения	оно верно при любых значениях переменных а и b .
Например , он не ввёл никаких специальных символов для обозначения	сложения	и умножения .
Так , равенства , выражающие свойства	сложения	и умножения чисел , являются примерами тождеств .
Свойства	сложения	.
Чтобы сложить ( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило	сложения	( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Решите систему уравнений методом	сложения	.
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём	сложения	левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Для такой системы метод	сложения	уже является эффективным .
Описанный способ решения системы называют методом	сложения	.
Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно	сложения	и вычитания .
Алгоритм решения системы уравнений методом	сложения	можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Решение системы уравнений методом	сложения	: 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить ,	сложив	почленно левые и правые части уравнений системы .
Потом эти треугольники	сложили	в стопку .
Если мы	сложим	почленно левые и правые части уравнений системы , то вновь получим уравнение с двумя переменными .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения	сложить	.
Чтобы	сложить	( вычесть ) две дроби с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а потом применить правило сложения ( вычитания ) дробей с равными знаменателями .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения	сложить	— распределительное свойство .
Чтобы	сложить	два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения	сложить	.
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 )	сложить	почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
	Сложить	модули слагаемых ; 3 ) перед полученным числом поставить знак « – » .
Чтобы	сложить	две дроби с равными знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тот же .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 )	сложить	почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Чтобы привести подобные слагаемые , надо	сложить	их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть .
Пусть надо	сложить	два многочлена .
Чтобы	сложить	два отрицательных числа , надо : 1 ) найти модули слагаемых ;
Чтобы сложить две дроби с равными знаменателями , надо	сложить	их числители , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы умножить	смешанные числа	, надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
Найдите	собственную	скорость лодки , если скорость течения составляет 2,5 км / ч .
Найдите	собственную	скорость лодки и скорость течения , если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше , чем за 4 ч против течения реки .
Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так , чтобы их начала отсчёта	совпадали	.
А вот значения выражений , записанных во второй таблице ,	совпадают	при любых значениях х.
Очевидно , что решения этой системы	совпадают	с решениями уравнения .
Получим систему , решения которой	совпадают	с решениями исходной системы .
2 ) если прямые	совпадают	, то система имеет бесконечно много решений ;
Мы видим , что эти значения	совпадают	для каждой отдельно взятой пары выражений .
Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно	сократить	работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
Если	сократить	дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя , то получим несократимую дробь .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и	среднего	из этих чисел равна кубу среднего числа .
Найдите эти числа , если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и	среднего	.
Найдите эти числа , если произведение наибольшего и	среднего	из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу	среднего	числа .
Приведены данные об уровне воды в реке по отношению к ординару (	среднему	уровню воды ) с 1 по 15 мая .
Числа a и d называют крайними членами пропорции , а числа b и с —	средними	членами пропорции .
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её	средних	членов .
Наибольшая из этих	степеней	равна числу 4 .
Степенью одночлена называют сумму показателей	степеней	всех переменных , входящих в него .
Применив последовательно правило возведения степени в степень и правило умножения	степеней	с одинаковым основанием , получим .
Произведение	степеней	.
Выражение являющееся произведением чисел , переменных и их	степеней	.
Выражение , представляющее собой произведение чисел , переменных и их	степеней	, называют одночленом .
Представим выражения в виде	степеней	с основанием 2 и вынесем за скобки общий множитель .
Аналогичное свойство имеет место для произведения трёх и более	степеней	.
Итак , при умножении	степеней	с одинаковыми основаниями показатели складывают , а основание оставляют прежним .
Каждое из них представляет собой произведение чисел , переменных и их	степеней	.
Представьте степень а в виде произведения двух	степеней	с основанием а всеми возможными способами .
Представьте выражение а12 в виде произведения двух	степеней	с основаниями а , одна из которых равна .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её	степеней	: первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Оно является частным двух	степеней	с одинаковыми основаниями .
Рассмотрим произведение	степеней	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении	степеней	с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение ( при необходимости воспользуйтесь таблицей	степеней	чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
Рассмотрим произведение двух	степеней	с одинаковыми основаниями , например .
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из	степеней	одночленов , из которых этот многочлен составлен .
Представьте степень в виде произведения	степеней	.
Привычные нам обозначения	степеней	х2 , х3 , у5 и т .
Свойства степени с натуральным показателем ( основное свойство	степени	) .
Представьте в виде	степени	с основанием – 5 выражение .
Возведение	степени	.
Ответ запишите в виде	степени	числа 10 .
Выражение называют степенью , число 4 — основанием степени , а число 3 — показателем	степени	.
Знак	степени	.
Показатель	степени	.
Обратите внимание , что в определении	степени	на показатель n наложено ограничение n больше 1 .
Считают , что нуль - одночлен	степени	не имеет .
Основное свойство	степени	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя	степени	делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Он составлен из одночленов ,	степени	которых соответственно равны числам .
Представьте в виде	степени	с основанием 2 выражение .
Представьте в виде	степени	произведение .
Представьте в виде	степени	выражение и вычислите его значение .
Считают , что нуль - многочлен	степени	не имеет .
Представьте в виде	степени	частное .
Как разделить	степени	с одинаковыми основаниями ? .
Запишите тождество , выражающее основное свойство	степени	.
Используя основное свойство	степени	, имеем .
Представьте в виде	степени	с основанием m выражение .
Например , степень одночлена равна 10 , а	степени	одночленов х3 и 9 равны соответственно 3 и 0 .
Представьте в виде	степени	с основанием n выражение .
Представьте в виде	степени	выражение , где n — натуральное число .
Представьте одночлен в виде : 1 ) произведения двух одночленов , один из которых равен ; 2 ) квадрата одночлена стандартного вида ; 3 ) четвёртой	степени	одночлена стандартного вида .
Это выражение можно представить в виде	степени	с основанием а .
Представьте число в виде	степени	с показателем , большим 1 , и наименьшим по модулю основанием .
Из этой теоремы следует такое правило : при возведении	степени	в степень показатели перемножают , а основание оставляют прежним .
6 Свойства	степени	с натуральным показателем .
Число а при этом называют основанием	степени	.
Свойства	степени	с натуральным показателем ( основное свойство степени ) .
Запишите в виде	степени	с показателем 2 выражение .
Степень с основанием а и показателем n обозначают аn и читают : « а в n - й	степени	» .
Свойства	степени	.
Если же показатель	степени	— число нечётное , то один множитель останется без пары .
К одночленам стандартного вида также относят числа , отличные от нуля , переменные и их	степени	.
Тождество выражает основное свойство	степени	.
Пользуясь определением	степени	, представьте в виде произведения степень .
Основание	степени	.
Из этой теоремы следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель	степени	делителя , а основание оставляют прежним .
Если показатель	степени	— чётное число , то при возведении в степень множители можно разбить на пары .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если показатель	степени	является чётным числом ?
Все остальные множители — это	степени	с различными основаниями .
Представьте в виде	степени	выражение , где k — натуральное число .
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание степени а и показатель	степени	n , а выходными — степень числа a с показателем n.
Как умножить	степени	с одинаковыми основаниями ? .
А может ли показатель	степени	быть равным 1 ?
11 ) В выражении 74 число 7 —	степени	.
Договорились также считать одночленами все числа , любые переменные и их	степени	.
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание	степени	а и показатель степени n , а выходными — степень числа a с показателем n.
22 ) В выражении а число n —	степени	.
Прочитайте выражение , назовите основание и показатель	степени	.
Запишите : 1 ) числа 16 ; 64 ; 256 в виде степени с основанием 4 ; 2 ) числа 0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде	степени	с основанием 0,3 .
Представьте выражение в виде	степени	и вычислите его значение ( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
Одночлен , содержащий только один числовой множитель , отличный от нуля , который стоит на первом месте ; все остальные множители — это	степени	с различными основаниями .
Представьте в виде	степени	выражение .
Запишите выражение 248 в виде	степени	с основанием .
Применив последовательно правило возведения	степени	в степень и правило умножения степеней с одинаковым основанием , получим .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение	степени	отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Запишите : 1 ) числа 16 ; 64 ; 256 в виде	степени	с основанием 4 ; 2 ) числа 0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3 .
Выражение называют степенью , число 4 — основанием	степени	, а число 3 — показателем степени .
Представьте в виде	степени	с основанием 5 выражение .
Запишите выражение в виде	степени	с основанием .
Запишите в виде	степени	с показателем 3 выражение .
Приведите одночлен к стандартному виду , укажите его коэффициент и	степень	.
Итак , при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в	степень	и полученные результаты перемножают .
Если показатель степени — чётное число , то при возведении в	степень	множители можно разбить на пары .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья	степень	— Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Итак , при возведении произведения в	степень	каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают .
Очевидно , что если . Итак , при возведении неотрицательного числа в	степень	получаем неотрицательное число .
Вторая	степень	числа .
Упростите выражение Выполните возведение в	степень	.
Третья	степень	числа .
Как возвести произведение в	степень	? .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в	степень	с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Выразите скорость света в метрах в секунду ; запишите результат , используя	степень	числа 10 .
Если в числовое выражение входит степень , то сначала выполняют возведение в	степень	, а потом другие действия .
Укажите его	степень	.
При возведении отрицательного числа в	степень	возможны два случая .
Вторую	степень	также называют квадратом числа .
Запишите эту величину , используя	степень	числа 10 .
Какое число , положительное или отрицательное , получают при возведении в	степень	положительного числа ? .
Во втором —	степень	с основанием х встречается дважды .
Приведём ещё примеры : степень многочлена равна двум ;	степень	многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
Если в числовое выражение входит	степень	, то сначала выполняют возведение в степень , а потом другие действия .
Например ,	степень	одночлена равна 10 , а степени одночленов х3 и 9 равны соответственно 3 и 0 .
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания , умножения и деления , но и с помощью действия возведения в	степень	.
Третью	степень	называют кубом числа , а запись а3 читают : « а в кубе » .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая	степень	— σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание , умножение , возведение в	степень	, деление .
При возведении отрицательного числа в	степень	с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Представьте	степень	а в виде произведения двух степеней с основанием а всеми возможными способами .
Применив последовательно правило возведения степени в	степень	и правило умножения степеней с одинаковым основанием , получим .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая	степень	— Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
Выполните возведение в	степень	.
Возведём , например , в четвёртую	степень	одночлен .
При возведении одночлена в	степень	также получают одночлен .
Покажем , как можно преобразовать	степень	произведения , например выражение .
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание степени а и показатель степени n , а выходными —	степень	числа a с показателем n.
Представьте	степень	в виде произведения степеней .
Также можно сказать , что выполнили действие возведения в пятую	степень	числа 2 .
Пользуясь определением степени , представьте в виде произведения	степень	.
Из этой теоремы следует такое правило : при возведении степени в	степень	показатели перемножают , а основание оставляют прежним .
Так как , то , применив правило возведения произведения в	степень	, получим .
Замените	степень	произведением , а затем произведение преобразуйте в многочлен .
Как возвести	степень	в степень ? .
Заметим , что , например , выражения одночленами не являются , так как они , кроме умножения и возведения в	степень	, содержат и другие действия .
Возведение в	степень	.
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила ,	степень	) ; третья степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
В таких случаях говорят , что число 2 возвели в пятую	степень	и получили 32 .
Можно ли , например , число 5 возвести в	степень	0 или в степень – 2 ?
Так как при возведении в	степень	с чётным показателем любого числа , кроме 0 , получаем положительное число , то данное уравнение не имеет коней .
Приведём ещё примеры :	степень	многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ; степень многочлена 3 равна нулю .
Приведём ещё примеры : степень многочлена равна двум ; степень многочлена равна шести ;	степень	многочлена 3 равна нулю .
Как возвести степень в	степень	? .
Можно ли , например , число 5 возвести в степень 0 или в	степень	– 2 ?
Поэтому если число оканчивается цифрой 6 , то любая его	степень	оканчивается цифрой 6 .
В таком случае говорят , что	степень	многочлена равна 4 .
Выражение называют	степенью	, число 4 — основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Замените звёздочку такой	степенью	с основанием а , чтобы выполнялось равенство .
Что называют	степенью	числа a с показателем 1 ? .
Упростите выражение , заменив произведение одинаковых множителей	степенью	: 10 множителей ; k множителей ;
Замените звёздочку такой	степенью	, чтобы выполнялось равенство .
Оно является	степенью	с основанием а3 и показателем 4 .
Что называют	степенью	многочлена стандартного вида ? .
Что называют	степенью	одночлена ? .
Это определение позволяет любое число считать	степенью	с показателем 1 .
Что называют	степенью	числа a с натуральным показателем n , большим 1 ? .
Одна из	сторон	прямоугольника в 11 раз меньше другой .
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами	сторон	прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Периметр прямоугольника равен 7,8 см , а одна из его	сторон	на 1,3 см больше другой .
э . ) для вычисления целочисленных значений длин	сторон	прямоугольного треугольника .
Сторона квадрата на 3 см меньше одной из	сторон	прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны .
Если длины	сторон	двух других квадратов обозначить х см и у см , то получим равенство .
Обозначим длины его	сторон	х см и у см. Тогда .
Так , запись является математической моделью задачи о поиске	сторон	прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних	сторон	прямоугольника .
Связаны ли между собой площадь квадрата и его	сторона	?
Если	сторона	квадрата равна а , а площадь — S , то какой формулой задаётся зависимость переменной S от переменной а ?
Пример 1 Изменяется	сторона	квадрата .
Упражнения . Связаны ли между собой периметр равностороннего треугольника и его	сторона	?
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая	сторона	равнобедренного треугольника равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Если	сторона	треугольника равна а , а периметр — Р , то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от переменной а ?
Вы знаете , что с его помощью можно найти периметр прямоугольника со	сторонами	а и b. Если , например , буквы а и b заменить соответственно числами 3 и 4 , то получим числовое выражение .
Площадь квадрата со	стороной	10 см равна сумме площадей двух других квадратов .
Площадь квадрата со	стороной	10 см равна 100 см2 .
Найдите координаты вершины квадрата со	стороной	4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
Докажите , что если	сторону	квадрата увеличить в n раз , то его площадь увеличится в n2 раз .
Найдите	сторону	квадрата , если при увеличении ее на 5 см получится квадрат , площадь которого на 95 см2 больше площади данного .
Если	сторону	квадрата уменьшить на 8 см , то получится квадрат , площадь которого на 352 см2 меньше площади данного .
Найдите	сторону	данного квадрата .
Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его	сторону	уменьшить на 5 см , а другую увеличить на 3 см , то его площадь уменьшится на 21 см2 .
Если каждую	сторону	прямоугольника увеличить на 3 см , то его площадь увеличится на 45 см2 .
Найдите	сторону	квадрата , если его площадь на 45 см2 больше площади данного прямоугольника .
Если поставлена задача найти	стороны	прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение уравнений , где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его	стороны	лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное число .
С помощью этой формулы можно , выбрав произвольную длину	стороны	, найти соответствующее значение периметра квадрата .
Найдите	стороны	прямоугольника .
Найдите	стороны	данного прямоугольника .
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные	стороны	увеличить на 6 см , а две другие уменьшить на 2 см , то его площадь увеличится на 24 см2 .
Найдите	стороны	прямоугольника , если его периметр равен 144 см .
Если длину	стороны	квадрата обозначить а , а периметр — Р , то зависимость значения переменной Р от значения переменной а ( коротко говорят : зависимость переменной Р от переменной а ) задаётся формулой .
Если две противоположные	стороны	увеличить на 4 см , а две другие уменьшить на 5 см , то его площадь уменьшится на 17 см2 .
Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой	стороны	.
Эта формула является математической моделью связи между такими величинами , как длина	стороны	квадрата и его периметр .
Найдите	стороны	прямоугольника , имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников , периметр каждого из которых равен 20 см .
Как	строили	мост между геометрией и алгеброй .
После изучения материала этого параграфа становится понятно , почему в технике , медицине , экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы , которые позволяют	строить	графики различных функциональных зависимостей .
Также важно научиться пользоваться графическим редактором , с помощью которого можно работать с геометрическими фигурами и	строить	чертежи .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k , то и	сумма	также делится нацело на число k .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 )	сумма	кубов чисел 4 и 3 .
Леонард Эйлер ввёл знаки ( не равно ) , (	сумма	) , скобки ( совместно с Г. Лейбницем ) и другие обозначения , о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики .
Может ли получиться так , что	сумма	чисел вдоль каждого ребра стопки будет равна 55 ? .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ;	сумма	произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то	сумма	также не делится нацело на число k .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 )	сумма	квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Докажите , что : 1 )	сумма	трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Рассматриваемая	сумма	имеет вид .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 )	сумма	пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Известно , что	сумма	равна .
Поэтому и	сумма	не делится нацело на 12 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 )	сумма	четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4 , поэтому и	сумма	делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 )	сумма	трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа ,	сумма	квадратов которых равна 164 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 )	сумма	куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ;	сумма	квадратов чисел – 10 и 6 .
Следовательно ,	сумма	не делится нацело на 8 .
Докажите , что	сумма	кубов двух последовательных натуральных чисел , ни одно из которых не кратно 3 , делится нацело на 9 .
Их	сумма	, а следовательно , и данный многочлен будут принимать нулевое значение тогда и только тогда , когда каждое из слагаемых будет равно нулю , то есть когда х меньше 6 и у меньше – 2 .
Используя термины «	сумма	» , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте алгебраические выражения и укажите , какие из них являются целыми .
Если	сумма	цифр числа не делится нацело на 9 , то и само число не делится нацело на 9 .
Докажите , что	сумма	кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3 .
В таблице показано , как зависит	сумма	денег , находящихся на счёте , от количества прошедших лет .
Через 2 года эта	сумма	составит .
Следовательно ,	сумма	цифр числа , являющегося значением данного выражения , равна 3 .
Какой многочлен надо прибавить к многочлену чтобы их	сумма	была тождественно равна многочлену .
Найдите координаты точки графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ;	сумма	координат которой равна 30 .
Какой многочлен надо прибавить к многочлену чтобы их	сумма	была тождественно равна 5 ? .
Тогда через год величина М —	сумма	денег на счёте — станет равной .
Если	сумма	цифр числа делится нацело на 3 , то и само число делится нацело на 3 .
Если	сумма	цифр числа делится нацело на 9 , то и само число делится нацело на 9 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 )	сумма	четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что : 1 )	сумма	чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9 .
Запишите в виде равенства утверждение : 1 )	сумма	противоположных чисел равна нулю ;
Докажите , что	сумма	любого натурального числа и его квадрата является чётным числом .
Докажите , что	сумма	квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа .
Докажите , что	сумма	трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3 .
Номер называют « счастливым » , если	сумма	трёх его первых цифр равна сумме трёх последних .
Если	сумма	цифр числа не делится нацело на 3 , то и само число не делится нацело на 3 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 )	сумма	семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
При каком значении a	сумма	принимает наименьшее значение , если .
Докажите , что	сумма	произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа .
Какая	сумма	была внесена на каждый из вкладов .
Какой многочлен надо прибавить к трёхчлену , чтобы	сумма	была равна .
Можно ли утверждать , что если	сумма	двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Докажите , что	сумма	четырёх последовательных чётных натуральных чисел не делится нацело на 8 .
Найдите четыре последовательных натуральных числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем	сумма	квадратов первого и третьего .
Докажите , что : 1 )	сумма	чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Докажите , что : 1 )	сумма	пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 )	сумма	их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 )	сумма	их кубов ? .
Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы их	сумма	была тождественно равна нулю .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 )	сумма	четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
От перестановки слагаемых	сумма	не изменяется — переместительное свойство .
Здесь на трёх восточных языках — арабском , китайском и иврите — записано хорошо известное вам свойство : от перемены мест слагаемых	сумма	не меняется .
Докажите , что	сумма	кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4 .
Найдите четыре последовательных натуральных числа , если	сумма	квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
Найдите два числа , если их	сумма	равна 63 , а разность равна 19 .
Найдите два числа , если их разность равна 23 , а	сумма	удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна	сумме	этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной	сумме	этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Чтобы к	сумме	двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Площадь квадрата со стороной 10 см равна	сумме	площадей двух других квадратов .
Номер называют « счастливым » , если сумма трёх его первых цифр равна	сумме	трёх последних .
Из числа a вычесть число b — значит найти такое число , которое в	сумме	с числом b даёт число а .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное	сумме	чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Сколько слагаемых в этой	сумме	? .
В последовательности a , b , с , d , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 каждое число равно	сумме	двух предыдущих .
Если к	сумме	прибавить число 16 , то полученное выражение можно « свернуть » по формуле квадрата суммы .
Назовите одночлены ,	суммой	которых является данный многочлен : Найдите значение многочлена .
Иначе обстоит дело с	суммой	одночленов .
Выражение , являющееся	суммой	нескольких одночленов .
Мы получили три множителя , один из которых является разностью кубов , а два других —	суммой	кубов .
Полученный многочлен является	суммой	двух данных многочленов .
Выражение , которое является	суммой	нескольких одночленов , называют многочленом .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми , а результат сложения —	суммой	.
Если же разделить данное число на	сумму	его цифр , то получим неполное частное 3 и остаток 3 .
Первое из них представляет собой	сумму	одночленов , а второе — сумму одночленов .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ;	сумму	числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Чтобы число умножить на	сумму	двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Какую	сумму	денег получил рабочий ? .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ;	сумму	чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Первое из них представляет собой сумму одночленов , а второе —	сумму	одночленов .
Степенью одночлена называют	сумму	показателей степеней всех переменных , входящих в него .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 )	сумму	квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Найдите	сумму	и разность многочленов .
Рассмотрим частный случай , когда в произведении двух многочленов один из них представляет собой разность двух выражений , а другой — их	сумму	.
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ;	сумму	чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Произведением числа a на натуральное число b , не равное 1 , называют	сумму	, состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ;	сумму	трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ;	сумму	кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить	сумму	второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Запишите алгоритм , с помощью которого можно разложить на множители	сумму	или разность кубов двух одночленов .
Найдите	сумму	многочленов .
Для школьной библиотеки приобрели 50 орфографических и толковых словарей русского языка на общую	сумму	11 000 р .
Теперь при умножении разности выражений на их	сумму	можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат	сумму	либо разность любых двух выражений , не используя правило умножения двух многочленов .
Запишите в виде выражения : 1 )	сумму	чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
на общую	сумму	62 р .
16 Квадрат	суммы	и квадрат разности двух выражений .
Представление выражения в виде	суммы	, одним из слагаемых которой является квадрат двучлена ( в нашем примере это ) , называют выделением квадрата двучлена из данного выражения .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат	суммы	чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их	суммы	.
Это тождество называют формулой квадрата	суммы	двух выражений .
Докажите , что сумма трёхзначного числа и удвоенной	суммы	его цифр делится нацело на 3 .
« Квадрат	суммы	и квадрат разности двух выражений » .
Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности , получим ; 3 ) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу	суммы	кубов ; 4 ) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки , получим .
Выведите формулу куба	суммы	.
« Преобразование многочлена в квадрат	суммы	или разности двух выражений » .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение	суммы	и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Какое тождество называют формулой квадрата	суммы	двух выражений ? .
э . ) доказывал формулы квадрата	суммы	и квадрата разности геометрически , восстановите его доказательство .
Сформулируйте правило возведения	суммы	двух выражений в квадрат .
Найдите , пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена , значение	суммы	Решение .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления	суммы	чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Если к сумме прибавить число 16 , то полученное выражение можно « свернуть » по формуле квадрата	суммы	.
Представьте многочлен в виде	суммы	или разности квадратов двух выражений .
Представьте многочлен в виде	суммы	двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной b.
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и	суммы	его цифр делится нацело на 9 .
Квадрат	суммы	двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения .
Докажите , что разность	суммы	квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение	суммы	чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Запишите в виде выражения куб	суммы	чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
17 Преобразование многочлена в квадрат	суммы	или разности двух выражений .
Перепишем формулы квадрата	суммы	и квадрата разности , поменяв местами их левые и правые части .
Докажите , что значение	суммы	двучленов , где а и b — произвольные натуральные числа , делится нацело на 7 .
Представьте число 24 в виде	суммы	таких двух чисел , чтобы их произведение было наибольшим .
14 Произведение разности и	суммы	двух выражений .
Формула квадрата	суммы	.
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их	суммы	; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Представьте в виде	суммы	квадратов двух выражений многочлен .
Разложите на множители трёхчлен , представив предварительно один из его членов в виде	суммы	подобных слагаемых .
Формула	суммы	кубов .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из	суммы	вычесть известное слагаемое .
По формуле квадрата	суммы	получаем .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб	суммы	чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Сумма кубов двух выражений равна произведению	суммы	этих выражений и неполного квадрата их разности .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат	суммы	или разности двух чисел , найдите значение данного выражения .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение	суммы	чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Многочлен называют неполным квадратом	суммы	.
Чему равно произведение разности двух выражений и их	суммы	?
Произведение разности двух выражений и их	суммы	равно разности квадратов этих выражений .
Запишите формулу произведения разности и	суммы	двух выражений .
Представьте многочлен в виде квадрата	суммы	или квадрата разности двух выражений .
Какое тождество называют формулой	суммы	кубов ? .
Первое слагаемое 8n	суммы	делится нацело на 8 , а второе слагаемое 12 — не делится .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное	суммы	и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Разложение на множители	суммы	кубов .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение	суммы	чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Сформулируйте правило разложения на множители	суммы	кубов двух выражений .
Какой многочлен называют неполным квадратом	суммы	?
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6	суммы	шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Каждое слагаемое полученной	суммы	делится нацело на 4 , поэтому и сумма делится нацело на 4 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат	суммы	чисел 7,8 и 8,2 .
Представив слагаемое 6х в виде	суммы	, применим метод группировки .
Найдите три последовательных натуральных числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше	суммы	квадратов двух других чисел .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их	суммы	.
Заметим , что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата	суммы	двух выражений .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат	суммы	чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Представив данный многочлен в виде	суммы	кубов двух выражений , получим .
Это тождество называют формулой	суммы	кубов двух выражений .
Квадрат	суммы	двух выражений .
Используя формулу квадрата	суммы	или формулу квадрата разности , вычислите .
Произведение разности и	суммы	двух выражений .
Найдите такие значения х , при которых выражение можно представить в виде квадрата	суммы	.
Решение . 3 ) Применив дважды формулу произведения	суммы	и разности двух выражений , получим .
Применив формулу	суммы	кубов , получим .
Мы представили данный многочлен в виде	суммы	двух слагаемых , которые могут принимать только неотрицательные значения .
После изучения материала этого параграфа становится понятно , почему в технике , медицине , экономике и многих других	сферах	человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы , которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей .
По окружности , длина которой равна 100 м , движутся два	тела	.
В общем случае справедлива следующая	теорема	.
Этот пример подсказывает , что имеет место такая	теорема	.
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается с помощью доказательства , называют	теоремой	.
Этот пример подсказывает следующую	теорему	.
Из этой	теоремы	следует такое правило : при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя , а основание оставляют прежним .
Нередко в математике , помимо знания общего закона (	теоремы	) , удобно пользоваться правилами , применимыми в частных ( особых ) случаях .
Из этой	теоремы	следует такое правило : при возведении степени в степень показатели перемножают , а основание оставляют прежним .
Введение в	теорию чисел	.
Так , равенства , выражающие свойства сложения и умножения чисел , являются примерами	тождеств	.
Приёмы доказательства	тождеств	тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; показывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Какие приёмы используют для доказательства	тождеств	? .
Можно ли с помощью компьютера доказать тождество , « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных значения левой и правой частей	тождества	? .
Это	тождество	называют формулой разности кубов двух выражений .
Следовательно ,	тождество	доказано .
Тем самым мы доказали	тождество	.
Мы доказали	тождество	.
Запишите	тождество	, выражающее основное свойство степени .
Поэтому это	тождество	называют формулой сокращённого умножения .
Это	тождество	называют формулой квадрата суммы двух выражений .
Это	тождество	называют формулой суммы кубов двух выражений .
Получили	тождество	, которое можно записать и так .
Замените звёздочки такими одночленами , чтобы образовалось	тождество	.
Какое	тождество	называют формулой квадрата суммы двух выражений ? .
Замените звёздочки такими одночленами , чтобы выполнялось	тождество	.
Докажите	тождество	.
Получили	тождество	.
Это	тождество	называют формулой разности квадратов двух выражений .
Из пары тождественно равных выражений легко получить	тождество	.
Можно ли с помощью компьютера доказать	тождество	, « перебрав » все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных значения левой и правой частей тождества ? .
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного треугольника . ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите	тождество	.
Поставьте вместо звёздочек такие одночлены , чтобы выполнялось	тождество	.
Докажите	тождество	: Разность квадратов двух двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , равна 693 .
Какое	тождество	называют формулой суммы кубов ? .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы образовалось	тождество	.
Какое	тождество	называют формулой разности кубов ? .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является тождеством ( или доказать	тождество	) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Данное	тождество	является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора ( VI в .
Подставьте вместо звёздочек такие одночлены , чтобы выполнялось	тождество	.
Какое	тождество	называют формулой квадрата разности двух выражений ? .
Пример 1 Докажите	тождество	: Решение .
Докажите	тождество	, где n — произвольное натуральное число .
Какие одночлены надо подставить вместо звёздочек , чтобы выполнялось	тождество	.
Докажите	тождество	, где n — натуральное число .
Докажите , что не является	тождеством	равенство .
Какое число можно подставить вместо b , чтобы равенство было	тождеством	? .
Для того , чтобы доказать , что данное равенство является	тождеством	( или доказать тождество ) , используют такие приёмы ( методы ): тождественно преобразуют одну из частей данного равенства , получая другую часть ; тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства , получая одно и то же выражение ; доказывают , что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю .
Что называют	тождеством	? .
Является ли	тождеством	равенство .
Какое число можно подставить вместо а , чтобы равенство было	тождеством	? .
Следовательно , данное равенство не является	тождеством	.
Можно ли утверждать , что равенство а2 равно | а | является	тождеством	? .
Какое из данных равенств является	тождеством	.
Какое из данных равенств не является	тождеством	? .
Чтобы доказать , что равенство не является	тождеством	, достаточно привести контрпример , указать такое значение переменной ( переменных , если их несколько ) , при котором данное равенство не выполняется .
Равенство , верное при любых значениях входящих в него переменных , называют	тождеством	.
Пример 2 Докажите , что равенство не является	тождеством	.
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех	точек	пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
французский учёный Никола Орем ( ок . 1323–1392 ) впервые применил в математике идею Гиппарха : он разбил плоскость на клетки ( как разбит ваш тетрадный листок ) и стал задавать положение	точек	широтой и долготой .
Очевидно , что , придавая аргументу другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше	точек	на координатной плоскости .
Рассмотрим пары чисел как координаты ( х ; у )	точек	координатной плоскости .
Поэтому для построения графика достаточно определить координаты двух любых её	точек	.
Система — это математическая модель задачи о поиске координат общих	точек	двух прямых .
Вычислите значение y по формуле у , если . Найдите координаты	точек	А , В , С , D , Е , F , К , М , N .
Чему равны абсциссы	точек	этой прямой ? .
Не выполняя построения , найдите координаты	точек	пересечения с осями координат графика функции .
Чему равны ординаты	точек	этой прямой ? .
Ведь	точек	, которые следовало бы отметить , бесконечно много .
Других общих	точек	графики уравнений не имеют , а следовательно , не имеет других решений и сама система .
Предположим , что заданы координаты некоторых двух	точек	А и В на координатной плоскости и через эти точки проведена прямая .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 )	точек	пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Если , то это уравнение не имеет решений , а следовательно , на координатной плоскости не существует	точек	, которые могли бы служить графиком уравнения .
Не выполняя построения , найдите координаты	точек	пересечения графиков функций .
Однако если отметить достаточно много	точек	, а затем соединить их плавной линией , то полученная кривая будет тем меньше отличаться от искомого графика , чем больше точек мы отметим .
Однако если отметить достаточно много точек , а затем соединить их плавной линией , то полученная кривая будет тем меньше отличаться от искомого графика , чем больше	точек	мы отметим .
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря системе координат можно переходить от	точек	к числам , от линий к уравнениям , от геометрии к алгебре .
Найдите координаты её	точек	пересечения с осями координат .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех	точек	координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех	точек	координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех	точек	координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами	точек	, принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех	точек	координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
Найдите координаты	точек	пересечения прямой с осями координат .
Не выполняя построения графика функции , определите , через какие из данных	точек	проходит этот график .
Не выполняя построения , найдите координаты	точек	пересечения с осями координат графика уравнения .
Через какую из данных	точек	проходит график функции ? .
Действительно , плоскость и нарисованная на ней прямая имеют бесконечно много общих	точек	.
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех	точек	координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Сколько общих	точек	может иметь с графиком функции любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс ? .
Он состоит из двух	точек	.
Назовите координаты нескольких	точек	, принадлежащих графику функции .
Не выполняя построения , найдите координаты	точек	пересечения графика функции с осями координат .
Поэтому его графиком является единственная	точка	.
Если точка лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если	точка	лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а	точка	В на оси у — координату – 2 .
Графику какого из уравнений принадлежит	точка	.
Задаётся абсцисса некоторой точки С и сказано , что	точка	С лежит на этой же прямой .
Принадлежит ли графику уравнения	точка	? .
Чтобы установить , принадлежит ли	точка	графику функции , найдём значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Как расположена на координатной плоскости относительно оси х	точка	А , если .
Эта	точка	принадлежит каждому из графиков .
Принадлежит ли графику функции , заданной формулой ,	точка	.
При каком значении b	точка	пересечения прямых принадлежит оси ординат ? .
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение функции , то	точка	с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Принадлежит ли графику функции	точка	.
При каком значении a	точка	пересечения прямых принадлежит оси абсцисс ? .
Значит ,	точка	В не принадлежит графику функции .
Не выполняя построения , определите , принадлежит ли графику функции	точка	.
Если	точка	лежит на оси абсцисс , то её ордината равна нулю , а если точка лежит на оси ординат , то нулю равна её абсцисса .
Если значение функции будет равно ординате данной точки , то	точка	принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна	точка	, у которой обе координаты — положительные числа ? .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна	точка	, у которой обе координаты — целые числа ? .
Следовательно ,	точка	А принадлежит графику данной функции .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими	точками	, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
При каких значениях a и b прямая пересекает оси координат в	точках	А ( – 6 ; 0 ) и В ( 0 ; 12 ) ? .
График функции пересекает оси координат в	точках	.
Графиком некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в	точках	.
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , график которого пересекает оси координат в	точках	.
В какой	точке	прямая пересекает : 1 ) ось х ; 2 ) ось у ?
При каком значении m график функции пересекает ось х в	точке	с абсциссой – 1 ? .
Они пересекаются в	точке	.
При каком значении b графики функций пересекаются в одной	точке	? .
Так как данный график пересекает O в	точке	( 3 ; 0 ) , то , подставив её координаты , получим .
В какой	точке	график функции пересекает ось ординат ?
Графики функций пересекаются в	точке	с абсциссой 2 .
Графики функций пересекаются в	точке	, абсцисса которой равна – 3 .
Докажите , что прямые пересекаются в	точке	А ( 9 ; 3 ) .
График данной функции пересекает ось ординат в	точке	( 0 ; 4 ) .
Действительно , графики уравнений системы пересекаются в	точке	.
Докажите , что прямые пересекаются в	точке	В ( – 6;–12 ) .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в	точке	А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Следовательно , график функции пересекает ось ординат в	точке	.
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в	точке	В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Графики функций пересекаются в одной	точке	.
Остаётся провести прямую через	точки	.
Как и для построения графика любой линейной функции , нужно знать две принадлежащие ему	точки	.
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 )	точки	пересечения графика данной функции с графиком функции .
Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты	точки	пересечения этих отрезков , если .
Все эти	точки	лежат на одной прямой , которая и является графиком функции .
На координатной плоскости отметьте	точки	.
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие	точки	.
График линейной функции проходит через	точки	.
Запишите уравнение прямой , проходящей через	точки	: Запишите уравнение прямой , проходящей через точки .
Определите абсциссу	точки	пересечения графиков функций .
Эти	точки	будут иметь одинаковые ординаты , равные 2 .
Одна из координат	точки	на плоскости .
Найдите координаты	точки	графика функции абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Каждому числу поставили в соответствие расстояние от	точки	, изображающей это число на координатной прямой , до начала отсчёта .
Постройте в одной системе координат графики функций и найдите координаты	точки	их пересечения .
Модулем числа a называют расстояние от начала отсчёта до	точки	, изображающей это число на координатной прямой .
Напишите алгоритм , который находит ординату	точки	С. Всегда ли этот алгоритм « сработает » ?
Расстояние от	точки	координатной прямой до начала отсчёта .
Каковы координаты	точки	пересечения графика уравнения с осью абсцисс ? .
Соединив полученные	точки	отрезками , постройте кривую спроса на картофель .
При каких значениях a и b график уравнения проходит через	точки	? .
Все	точки	графика функции имеют одинаковую ординату , равную – 6 .
Отметим на координатной плоскости	точки	и проведём через них прямую .
Найдите , не выполняя построения , координаты	точки	пересечения прямых .
Подставив координаты этой	точки	в формулу , получаем откуда b равно 4 .
Соединив полученные	точки	отрезками , постройте « кривые популярности » каждой партии .
При каких значениях m и n график уравнения проходит через	точки	? .
Найдите ординату	точки	их пересечения .
Найдите ординату этой	точки	.
Изобразите на координатной плоскости все	точки	( х ; у ) такие , что х — произвольное число ; у — произвольное число ; х — произвольное число .
Запишите уравнение прямой , проходящей через точки : Запишите уравнение прямой , проходящей через	точки	.
Эти графики имеют три общие	точки	.
Записывая координаты	точки	, абсциссу всегда ставят на первое место , а ординату — на второе .
Научитесь проводить прямую через две	точки	.
При этом координаты любой	точки	этой прямой — пара чисел , являющаяся решением данного уравнения .
Проходит ли график уравнения через	точки	, имеющие положительную абсциссу ? .
Все	точки	, координаты которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют прямую , проходящую через точку параллельно оси ординат .
Эти	точки	изображены .
Постройте прямую , проходящую через	точки	А ( – 2 ; 3 ) и В ( 4 ; 3 ) .
При этом значение аргумента является абсциссой	точки	, а соответствующее значение функции — её ординатой .
Фигура может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей	точки	.
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой	точки	, принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Число 3 называют абсциссой точки М , число – 2 — ординатой	точки	М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
Постройте прямую , проходящую через	точки	С ( 3 ; 0 ) и D ( 3 ; – 4 ) .
Все	точки	, координаты которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное число , образуют ось абсцисс .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции , найдём значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной	точки	.
Может ли график функции состоять из одной	точки	? .
Поэтому для нахождения координат	точки	пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение .
Так как график искомого уравнения проходит через	точки	, имеющие разные абсциссы , то он является невертикальной прямой .
Если значение функции будет равно ординате данной	точки	, то точка принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Число 3 называют абсциссой	точки	М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
Предположим , что заданы координаты некоторых двух точек А и В на координатной плоскости и через эти	точки	проведена прямая .
Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной	точки	? .
Число 3 называют абсциссой точки М , число – 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место	точки	М на координатной плоскости .
График этой функции состоит из трёх частей :	точки	О ( 0 ; 0 ) и двух лучей , у каждого из которых « выколото » начало .
Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде	точки	М на координатной плоскости .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , график которого проходит через	точки	М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Поэтому для нахождения координат	точки	пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие	точки	; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Поэтому их называют координатами	точки	М и записывают .
Шень А. Игры и стратегии с	точки	зрения математики .
Следовательно , график данной функции имеет с осью абсцисс две общие	точки	.
Теперь через	точки	проведём прямую .
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты	точки	пересечения прямых в уравнения системы .
Принадлежат ли графику уравнения	точки	, имеющие отрицательную ординату ? .
Если — координаты произвольно выбранной	точки	графика , то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции f , то есть .
Следовательно , искомый график содержит все	точки	, у которых абсцисса равна 2 , а ордината — любое число .
Задаётся абсцисса некоторой	точки	С и сказано , что точка С лежит на этой же прямой .
Все	точки	координатной плоскости , которые можно отметить , действуя таким способом , образуют график функции .
Все эти	точки	принадлежат прямой , перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку .
Определите координаты	точки	пересечения прямых .
Придумайте три уравнения , графики которых проходят через	точку	.
Проходит ли график уравнения через	точку	? .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту	точку	и точку О ( 0 ; 0 ) .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь точку графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и	точку	О ( 0 ; 0 ) .
На координатной плоскости обозначим	точку	М. Прямая , проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
При каком значении a через	точку	М ( 3 ; – 2 ) проходит график функции .
Так как график проходит через	точку	А ( 3 ; – 12 ) , то , откуда k меньше – 4 .
Постройте график уравнения , если он проходит через	точку	.
График уравнения проходит через	точку	.
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и	точку	С ( 8 ; – 12 ) .
На координатной плоскости обозначим точку М. Прямая , проходящая через	точку	М перпендикулярно оси абсцисс , пересекает её в точке А , а прямая , перпендикулярная оси ординат , пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3 , а точка В на оси у — координату – 2 .
Составьте линейное уравнение с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и	точку	.
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике	точку	, соответствующую случаю , когда С — середина отрезка АВ .
Найдите значение b , при котором график функции проходит через	точку	.
При каком значении k график функции проходит через	точку	? .
Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую - нибудь	точку	графика , отличную от начала координат , и провести прямую через эту точку и точку О ( 0 ; 0 ) .
Эта рубрика адресована , прежде всего , тем , кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно , творчески мыслить , формировать , выражать и отстаивать свою	точку	зрения , выдвигать гипотезы , находить наиболее рациональные и нестандартные решения .
Задайте формулой какие - нибудь две линейные функции , графики которых проходят через	точку	.
Не выполняя построения графика функции , найдите	точку	этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
График функции параллелен оси абсцисс и проходит через	точку	.
Эти прямые называют осями координат ,	точку	О их пересечения — началом координат .
Задайте формулой функцию , являющуюся прямой пропорциональностью , если её график проходит через	точку	.
Докажите , что график уравнения не проходит через	точку	: Проходит ли через начало координат график уравнения ? .
При каком значении a через	точку	A ( 5 ; – 3 ) проходит график уравнения ? .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя переменными , график которого проходит через	точку	.
При каком значении a график уравнения проходит через	точку	? .
Не выполняя построения графика функции , найдите	точку	этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
При каком значении b график уравнения проходит через	точку	? .
При каком значении k прямая проходит через	точку	пересечения прямых ? .
Особенностью является то , что эта прямая при любом значении k проходит через	точку	О ( 0 ; 0 ) .
Освойте средства графического редактора , позволяющие изобразить	точку	с заданными координатами .
Все эти точки принадлежат прямой , перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через	точку	.
Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике	точку	, соответствующую случаю , когда прямоугольник ABCD является квадратом .
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное число , образуют прямую , проходящую через	точку	параллельно оси ординат .
В первый бидон налили 30 % всего молока , во второй — того , что в первый , в	третий	— на 26 л меньше , чем в первый , а в четвёртый — на 10 л больше , чем во второй .
За второй день он прошёл на 6 км больше , чем за первый , а за	третий	— расстояния , пройденного за первых два дня .
Первый из них изготовил в 3 раза больше деталей , чем второй , а	третий	— на 16 деталей больше , чем второй .
Первый ловил рыбу ежедневно , второй — через день ,	третий	— через 2 дня , седьмой — через 6 дней .
За первый день Вася прочёл страниц книги , за второй — страниц книги и за	третий	день — оставшиеся 12 страниц .
Во второй день продали — того , что продали в первый день , а в	третий	— столько , сколько в первые два дня вместе .
В первый день турист проехал 0,4 всего пути , во второй — -г оставшегося , а в	третий	— остальные 20 км .
Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч , другой — за 12 ч , а	третий	— за 15 ч .
Первый рабочий изготовил в 2 раза меньше деталей , чем второй , а	третий	— на 10 деталей больше , чем первый .
За первый день Вася прочёл страниц книги , за второй — 64 % оставшихся , а за	третий	— остальные 54 страницы .
Во второй и	третий	дни они проехали соответственно 120 % и расстояния , которое они преодолели за первый день .
Второе число на 4 больше первого , а	третье	— на 6 больше второго .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить	третье	число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Первые два слагаемых делятся нацело на 12 , а	третье	— не делится .
Второе число на 1 больше первого ,	третье	— на 5 больше второго , а четвёртое — на 2 больше третьего .
Чтобы произведение двух чисел умножить на	третье	число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Известно , что одно из чисел а , b и с положительное , второе — отрицательное , а	третье	равно нулю , причём .
Количество рабочих первого цеха составляет количества рабочих третьего цеха , а количество рабочих второго цеха — 80 % количества рабочих	третьего	.
Зависит ли разность произведения второго и	третьего	из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора чисел ? .
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение	третьего	и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и	третьего	от выбора чисел ? .
Найдите три последовательных натуральных числа таких , что произведение второго и	третьего	из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
Найдите четыре последовательных натуральных числа , если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и	третьего	.
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения	третьего	и первого .
Площадь второго поля в 1 — раза меньше площади первого , а площадь	третьего	поля составляет 72 % площади первого .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и	третьего	чисел — сочетательное свойство .
Количество рабочих первого цеха составляет количества рабочих	третьего	цеха , а количество рабочих второго цеха — 80 % количества рабочих третьего .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и	третьего	чисел — сочетательное свойство .
Второе число на 1 больше первого , третье — на 5 больше второго , а четвёртое — на 2 больше	третьего	.
На первой полке стояло — всех книг , на второй — 60 % всех книг , а на	третьей	— на 8 книг меньше , чем на первой .
В первой коробке было 45 шариков , из них 15 — белых , во второй — 75 шариков , из них 25 — белых , в	третьей	— 24 белых и 48 красных шариков , в четвёртой — поровну белых , красных и зелёных шариков .
Первая часть на 2 м длиннее второй и на 4 м длиннее	третьей	.
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на	третьем	шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на	третьем	шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Так , если каждое из правил , описанных в примерах 1 , 2 и 3 , обозначить буквой f , то в первом примере f(2 ) равно 8 , во втором f(2 ) равно 121 000 , в	третьем	f(2 ) равно 0 .
Найдите эти числа , если отношение первого числа к	третьему	равно отношению второго числа к четвёртому .
Найдите эти числа , если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к	третьему	.
Демохар четвёртую часть жизни прожил мальчиком , пятую часть — юношей ,	третью	часть — зрелым мужчиной и 13 лет — в годах .
Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше , чем вторая , а	третья	— количества деталей , изготовленных первой и второй бригадами вместе .
В своём знаменитом труде « Арифметика » он ввёл обозначения не только для неизвестной величины , но и для некоторых её степеней : первая степень — σ ; вторая степень — Δν ( от Δυναμις — « дюнамис » , что означает сила , степень ) ;	третья	степень — Κν ( от Κυβος — « кубос » , то есть куб ) .
В шестизначном числе первая и четвёртая , вторая и пятая ,	третья	и шестая цифры одинаковы .
Рядом росла вся в цвету симендга , и на ней	третья	часть разместилась .
Дан прямоугольный	треугольник	.
Если сторона	треугольника	равна а , а периметр — Р , то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от переменной а ?
Упражнения . Связаны ли между собой периметр равностороннего	треугольника	и его сторона ?
При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений являются длинами сторон прямоугольного	треугольника	. ( Тождество Ж. Л. Лагранжа . ) Докажите тождество .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона равнобедренного	треугольника	равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
э . ) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного	треугольника	.
Потом эти	треугольники	сложили в стопку .
Из листа картона вырезали несколько равносторонних	треугольников	.
В таком виде эти формулы в ряде случаев позволяют « свернуть »	трёхчлен	в квадрат двучлена .
Представьте	трёхчлен	в виде квадрата двучлена .
Разложите на множители	трёхчлен	, выделив предварительно квадрат двучлена .
Представьте , если это можно , в виде квадрата двучлена или в виде выражения , противоположного квадрату двучлена ,	трёхчлен	.
Умножим двучлен на	трёхчлен	.
Разложите на множители	трёхчлен	.
Разложите на множители	трёхчлен	, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых .
Выведите формулу квадрата	трёхчлена	.
Представьте многочлен в виде разности двучлена и	трёхчлена	.
Представьте многочлен в виде разности : 1 ) двух двучленов ; 2 )	трёхчлена	и двучлена .
Сумму какого одночлена и	трёхчлена	можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена ?
Поэтому , прибавив к данному	трёхчлену	число 16 и вычтя из него 16 , получим .
Какой многочлен надо прибавить к	трёхчлену	, чтобы сумма была равна .
Пусть градусные меры двух смежных	углов	равны α и β .
Если градусные меры его острых	углов	обозначить х и у , то можно записать .
В равенстве число а называют	уменьшаемым	, b — вычитаемым , с — разностью .
Поэтому приведённое правило позволяет	умножать	многочлен на одночлен .
Упражнения . Выполните	умножение	.
Выполните	умножение	двучленов ( n — натуральное число ) .
Выполните	умножение	многочленов .
Выполните	умножение	.
Выполните	умножение	одночленов , где m и n — натуральные числа .
Выражения каждой группы содержат такие действия : сложение , вычитание ,	умножение	, возведение в степень , деление .
Выполните	умножение	одночленов .
Особые ситуации встречаются и при	умножении	многочленов .
Итак , при	умножении	степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают , а основание оставляют прежним .
Теперь при	умножении	разности выражений на их сумму можно сократить работу , сразу записав результат — разность квадратов этих выражений .
Таким образом , при	умножении	многочлена на многочлен всегда получаем многочлен .
Поэтому это тождество называют формулой сокращённого	умножения	.
Раскроем скобки , применив распределительное свойство	умножения	.
Используя распределительное и сочетательное свойства	умножения	, получаем : 140 .
С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух выражений , не используя правило	умножения	двух многочленов .
Вычислите , используя распределительное свойство	умножения	.
Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство	умножения	относительно сложения и вычитания .
Сформулируем правило	умножения	многочлена на многочлен .
Формула сокращённого	умножения	.
Применив последовательно правило возведения степени в степень и правило	умножения	степеней с одинаковым основанием , получим .
Так , равенства , выражающие свойства сложения и	умножения	чисел , являются примерами тождеств .
Здесь использовано распределительное свойство	умножения	записанное справа налево .
Заметим , что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения , вычитания ,	умножения	и деления , но и с помощью действия возведения в степень .
Например , он не ввёл никаких специальных символов для обозначения сложения и	умножения	.
И всё же дадим несколько общих советов : 1 ) если это возможно , то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за скобки ; 2 ) проверить , можно ли применить формулы сокращённого	умножения	;
Найдите значение выражения , используя распределительное свойство	умножения	.
Поэтому их относят к формулам сокращённого	умножения	.
В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения многочлена на множители : вынесение общего множителя за скобки ; метод группировки ; применение формул сокращённого	умножения	.
Например , если надо умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм	умножения	в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Заметим , что , например , выражения одночленами не являются , так как они , кроме	умножения	и возведения в степень , содержат и другие действия .
В силу распределительного свойства	умножения	относительно сложения оно верно при любых значениях переменных а и b .
Какое свойство	умножения	используют при вынесении общего множителя за скобки ? .
Используя формулы сокращённого	умножения	, представьте в виде многочлена выражение .
Чтобы умножить смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом	умножения	дробей .
Свойства	умножения	.
Значения зависимой переменной находим по такому правилу : каждое значение независимой переменной	умножим	на 2 и из полученного произведения вычтем 1 .
Действительно ,	умножим	обе части первого уравнения системы на 3 .
Чтобы исключить переменную у ,	умножим	обе части первого уравнения на число 5 , а второго — на число – 8 и применим метод сложения .
Чтобы	умножить	два числа с разными знаками , надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Как	умножить	степени с одинаковыми основаниями ? .
Например , если надо	умножить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 , то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик , а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число	умножить	на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Чтобы произведение двух чисел	умножить	на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Чтобы умножить два числа с разными знаками , надо	умножить	их модули и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Покажем , как	умножить	два многочлена на примере произведения .
Чтобы умножить два отрицательных числа , надо	умножить	их модули .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно	умножить	этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Отношение не изменится , если его члены	умножить	или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена	умножить	на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Как	умножить	одночлен на многочлен ? .
Чтобы	умножить	смешанные числа , надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
Чтобы	умножить	два отрицательных числа , надо умножить их модули .
Так , если в системе обе части первого уравнения	умножить	на 2 , то решения этого уравнения , а значит , и всей системы не изменятся .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде дроби и	умножить	число на эту дробь .
Чтобы	умножить	многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
На какое выражение надо	умножить	многочлен , чтобы произведение было равно многочлену ? .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое	умножить	на число , обратное делителю .
Чтобы найти неизвестное делимое , надо делитель	умножить	на частное .
Чтобы привести подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и полученный результат	умножить	на общую буквенную часть .
Чтобы	умножить	дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Чтобы	умножить	одночлен на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы найти дробь от числа , можно число	умножить	на эту дробь .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число	умножить	на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Чтобы найти делимое , надо делитель	умножить	на неполное частное и прибавить остаток .
Чтобы найти процентное отношение двух чисел , надо их отношение	умножить	на 100 и к результату дописать знак процента .
На какое выражение надо	умножить	двучлен , чтобы произведение было равно двучлену .
Если обе части уравнения	умножить	( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель	умножить	на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Как	умножить	многочлен на многочлен ? .
Если обе части уравнения	умножить	( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
	Умножить	числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель .
Чтобы число	умножить	на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Если числитель и знаменатель данной дроби	умножить	на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Текст , выделенный жирным шрифтом , разъясняет смысл термина « линейное	уравнение	с одной переменной » .
Что означает решить	уравнение	с двумя переменными ?
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое	уравнение	в верное равенство .
Решите	уравнение	, если один из его корней равен 0,3 .
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить	уравнение	с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
« Линейное	уравнение	с двумя переменными и его график » .
Отсюда следует : если , то уравнение ах равно b имеет единственный корень , равный/. 2 ) Если а равно 0 , то линейное	уравнение	приобретает такой вид : Ох равно b.
В первом случае получаем	уравнение	Ох равно 0 .
Докажите , что не имеет положительных корней	уравнение	.
Имеет ли корни	уравнение	: В случае утвердительного ответа укажите их .
Решите	уравнение	, если один из его корней равен – 1,6 .
Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше значения выражения , то получаем	уравнение	.
Однако если воспользоваться разложением многочлена на множители , то	уравнение	можно переписать так .
Составьте какое - нибудь	уравнение	с двумя переменными , решением которого является пара чисел .
Заметим , что если а ≠ – 1 , то	уравнение	имеет единственный корень , равный 1 .
Линейное	уравнение	с двумя переменными .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое	уравнение	системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
По условию задачи составить	уравнение	( сконструировать математическую модель задачи ) .
Решить	уравнение	с двумя переменными .
Отсюда следует : если , то	уравнение	ах равно b имеет единственный корень , равный/. 2 ) Если а равно 0 , то линейное уравнение приобретает такой вид : Ох равно b.
Докажите , что	уравнение	не имеет корней .
Линейное	уравнение	с одной переменной .
При каком значении a	уравнение	1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет корней ;
Решите	уравнение	, используя разложение на множители .
Решите	уравнение	Решите уравнение ; А ) 0 В ) х — любое число ; Б ) корней нет ; Г ) 10 .
Решите уравнение Решите	уравнение	; А ) 0 В ) х — любое число ; Б ) корней нет ; Г ) 10 .
Третье	уравнение	корней не имеет .
Запишем данное	уравнение	в виде .
Решить полученное	уравнение	.
Но эго	уравнение	имеет бесконечно много решений , а следовательно , и рассматриваемая система имеет бесконечно много решений .
Например , каждое из уравнений решить очень легко , а вот	уравнение	вы пока решать не умеете .
Докажите , что если . Докажите , что если . Решите	уравнение	.
Докажите , что не имеет отрицательных корней	уравнение	.
При каком значении a	уравнение	не имеет корней ?
2 Линейное	уравнение	с одной переменной .
Пару значений переменных , обращающую каждое	уравнение	в верное равенство , называют решением системы уравнений с двумя переменными .
Очевидно , что первое	уравнение	этой системы решений не имеет , а значит , не существует и общего решения уравнений , входящих в систему .
Глава 1 Линейное	уравнение	с одной переменной .
Докажите , что не имеет корней	уравнение	.
Подставим найденное значение y в первое	уравнение	исходной системы .
Отсюда : если а равно 0 и b равно равно 0 , то	уравнение	ах равно b имеет бесконечно много корней : любое число является его корнем .
Например ,	уравнение	имеет только одно решение — пару чисел ( 0 ; 0 ) .
Какое	уравнение	называют линейным уравнением с одной переменной ? .
Значит , искомое	уравнение	имеет вид у — – 4х или 4х плюс у меньше 0 .
Какое	уравнение	называют линейным уравнением с двумя переменными ? .
Заметим , что мы решили каждое из уравнений , но при этом	уравнение	нами не решено .
Решить	уравнение	с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать , что оно не имеет решений .
При	уравнение	принимает вид .
При а ≠ 1 получаем : Ответ : если , то	уравнение	не имеет корней ; если а ≠ 1 .
1 ) При	уравнение	принимает 2 )
Решите	уравнение	Решение .
При каких значениях a , b и с	уравнение	не имеет решений ? .
Тогда	уравнение	этой прямой можно записать в виде , где k и b — некоторые числа .
Упражнения . Является ли линейным	уравнение	с двумя переменными .
решить	уравнение	с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное значение переменной в выражение , полученное на первом шаге ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим	уравнение	, имеющее те же решения , что и данное .
Вы узнаете , что	уравнение	с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим	уравнение	, имеющее те же самые корни , что и данное .
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое	уравнение	системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
При каком значении a	уравнение	не имеет корней ? .
Подставим найденное значение переменной х в	уравнение	.
Если данное уравнение не имеет корней , то , прибавив к обеим частям одно и то же число , получим	уравнение	, тоже не имеющее корней .
При каких значениях a	уравнение	имеет единственный корень ? .
Решите	уравнение	.
Второе	уравнение	последней системы является уравнением с одной переменной .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим	уравнение	, имеющее те же корни , что и данное .
Составьте линейное	уравнение	с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку .
Если , например , в	уравнение	вместо х и у подставить числа 2 и 6 , то получим верное равенство .
Составьте	уравнение	, которое имеет единственный корень , равный числу – 4 ; имеет бесконечно много корней ; не имеет корней .
Так как при возведении в степень с чётным показателем любого числа , кроме 0 , получаем положительное число , то данное	уравнение	не имеет коней .
Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы , то вновь получим	уравнение	с двумя переменными .
Это	уравнение	можно преобразовать так .
Пусть задано линейное	уравнение	, в котором .
Подставив найденное значение х в первое	уравнение	данной системы , получим .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить	уравнение	.
Подставив в формулу вместо у число 12 , получаем	уравнение	, откуда .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить	уравнение	с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Линейным уравнением с двумя переменными называют	уравнение	вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа .
При каком значении a	уравнение	имеет корень , равный числу 3 ; имеет корень , равный числу – 6 ? .
Часто , например , вместо предложения « дано	уравнение	у равно 2х » говорят « дана прямая » .
Если , то это	уравнение	не имеет решений , а следовательно , на координатной плоскости не существует точек , которые могли бы служить графиком уравнения .
Докажите , что корнем уравнения является любое число ;	уравнение	не имеет корней .
При каком значении a имеет бесконечно много корней	уравнение	.
При каком значении a	уравнение	имеет корень , равный числу – 9 ; имеет корень , равный числу 2 ? .
Пару значений переменных , обращающую	уравнение	в верное равенство , называют решением уравнения с двумя переменными .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то	уравнение	с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
25 Линейное	уравнение	с двумя переменными и его график .
Чтобы найти искомое значение аргумента , решим	уравнение	.
При каком значении a не имеет корней	уравнение	.
Если , то	уравнение	принимает вид .
Запишите	уравнение	прямой , проходящей через точки : Запишите уравнение прямой , проходящей через точки .
Сколько корней имеет линейное	уравнение	если .
Запишите уравнение прямой , проходящей через точки : Запишите	уравнение	прямой , проходящей через точки .
Если вместо переменной у подставлять в	уравнение	любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве , чтобы получилось	уравнение	: 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень ? .
Если данное	уравнение	не имеет корней , то , прибавив к обеим частям одно и то же число , получим уравнение , тоже не имеющее корней .
Составьте линейное	уравнение	с двумя переменными , графиком которого является прямая , проходящая через начало координат и точку С ( 8 ; – 12 ) .
Имеет ли решения	уравнение	? .
Составьте	уравнение	с двумя переменными по такому условию : 1 ) боковая сторона равнобедренного треугольника равна а см , основание — b см , периметр — 32 см ; 2 ) один автомобиль проехал со скоростью х км / ч за 6 ч на 32 км меньше , чем другой автомобиль со скоростью у км / ч проехал за 7 ч ; 3 ) в одном магазине было х ц яблок , а во втором — у ц ; за день в первом магазине продали 14 % яблок , а во втором — 18 % яблок , причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше , чем в первом .
Составьте линейное	уравнение	с двумя переменными , график которого пересекает оси координат в точках .
Например ,	уравнение	имеет бесконечно много корней , а уравнение вообще не имеет корней .
Полученное	уравнение	— это результат перевода условия задачи с русского языка на математический .
Составленное по данному условию	уравнение	называют математической моделью этой ситуации .
При каком значении a	уравнение	: 1 ) имеет бесконечно много корней ; 3 ) имеет один корень ?
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить	уравнение	( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли найденный корень смыслу задачи , и записать ответ .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим	уравнение	, имеющее те же корни , что и данное .
К уравнению подберите второе линейное	уравнение	так , чтобы получилась система уравнений , которая : 1 ) имеет единственное решение ;
Конечно , чтобы получить ответ ,	уравнение	надо решить .
При каком значении b	уравнение	1 ) имеет бесконечно много корней ; 2 ) не имеет корней ;
Во втором случае , когда b ≠ 0 , при любом значении х получим неверное равенство Ох равно b. Отсюда : если а равно 0 и b ≠ 0 , то	уравнение	ах равно b корней не имеет .
« Линейное	уравнение	с одной переменной » .
По условию этих задач можно составить одно и то же	уравнение	, корнем которого является число 1,5 .
В равенстве замените звёздочку таким выражением , чтобы образовалось	уравнение	: 1 ) не имеющее корней ; 2 ) имеющее бесконечно много корней ; 3 ) имеющее один корень .
Составьте какое - нибудь	уравнение	с двумя переменными , график которого проходит через точку .
Например , уравнение имеет бесконечно много корней , а	уравнение	вообще не имеет корней .
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное	уравнение	; выяснить , соответствует ли найденный корень смыслу задачи , и записать ответ .
Составьте	уравнение	с двумя переменными по такому условию : 1 ) длина прямоугольника равна х м , ширина — у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Решить	уравнение	— значит найти все его корни или убедиться , что их вообще нет .
Рассмотрим	уравнение	.
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим	уравнение	, имеющее те же решения , что и данное .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим	уравнение	, имеющее те же решения , что и данное .
Корнем уравнения называют значение переменной , при котором	уравнение	обращается в верное числовое равенство .
При последнее	уравнение	принимает вид и имеет бесконечно много корней .
Составьте какое - нибудь линейное	уравнение	с двумя переменными , решением которого является пара чисел ( 3 ; 5 ) .
Составьте линейное	уравнение	с двумя переменными , график которого проходит через точки М ( 6 ; 0 ) и К ( 0 ; 6 ) .
Например , рассмотренное выше	уравнение	имеет единственное решение .
При каком значении a	уравнение	имеет бесконечно много корней ? .
В равенстве замените звёздочку таким выражением , чтобы получившееся	уравнение	: 1 ) не имело корней ;
Подставим во второе	уравнение	системы вместо переменной у выражение .
Сколько решений имеет	уравнение	? .
Составьте какое - нибудь линейное	уравнение	с двумя переменными , решением которого является пара чисел ( – 2 ; 1 ) .
Какое уравнение называют линейным	уравнением	с одной переменной ? .
Поскольку формула , задающая линейную функцию , является	уравнением	с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён график уравнения .
Уравнение вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным	уравнением	с одной переменной .
Линейным	уравнением	с двумя переменными называют уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа .
Какое уравнение называют линейным	уравнением	с двумя переменными ? .
Уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые числа , называют линейным	уравнением	с двумя переменными .
Уравнение вида , где х — переменная , а и b — некоторые числа , называют линейным	уравнением	с одной переменной .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить	уравнением	, полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Второе уравнение последней системы является	уравнением	с одной переменной .
Умножив обе части данного уравнения на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем дробей , содержащихся в этом	уравнении	, получаем .
Если переменные в	уравнении	обозначены буквами , отличными от х и y , то , записывая решение в виде пары , надо договориться , значение какой переменной ставится на первое место в паре , а какой — на второе .
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики	уравнений	, входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары чисел и будут искомыми решениями .
Изображены графики уравнений найдите все пары чисел , являющиеся решениями каждого из данных	уравнений	.
Изображены графики	уравнений	найдите все пары чисел , являющиеся решениями каждого из данных уравнений .
Какая из пар чисел является решением каждого из	уравнений	? .
Составьте систему двух линейных	уравнений	с двумя переменными , решением которой является пара чисел .
Описанный метод решения системы	уравнений	называют графическим .
Решение системы	уравнений	.
Других общих точек графики	уравнений	не имеют , а следовательно , не имеет других решений и сама система .
Не всякую систему	уравнений	выгодно решать графически .
Вот ещё примеры линейных	уравнений	.
Сформулируйте свойства	уравнений	с двумя переменными .
Приведём ещё примеры линейных	уравнений	.
Действительно , графики	уравнений	системы пересекаются в точке .
Поэтому эту систему называют системой двух линейных	уравнений	с двумя переменными .
Решением системы	уравнений	с двумя переменными называют пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство .
Систему	уравнений	записывают с помощью фигурной скобки .
Если требуется найти все общие решения нескольких уравнений , то говорят , что нужно решить систему	уравнений	.
Если требуется найти все общие решения нескольких	уравнений	, то говорят , что нужно решить систему уравнений .
Поэтому для решения данного уравнения достаточно решить каждое из	уравнений	: Отсюда .
Графику какого из	уравнений	принадлежит точка .
« Решение задач с помощью	уравнений	» .
Найдите корень уравнения Какое из	уравнений	является линейным ? .
Графиком каких	уравнений	является та же прямая , что и график уравнения ? .
Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные уравнения , но и исследовать процесс решения сразу целого класса	уравнений	.
Решением каких из	уравнений	является пара чисел ? .
Если поставлена задача найти стороны прямоугольника , площадь которого равна 12 см2 , а периметр 14 см , то надо найти общее решение	уравнений	, где х см и у см — длины соседних сторон прямоугольника .
3 Решение задач с помощью	уравнений	.
Следовательно , пара чисел ( 1 ; 3 ) является общим решением данных	уравнений	.
Вам неоднократно приходилось решать задачи с помощью составления	уравнений	.
Изображены графики	уравнений	.
В таких случаях говорят , что пара чисел ( – 2 ; 0 ) — общее решение указанных	уравнений	.
А то , что пара чисел является решением системы подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из	уравнений	системы , то есть проверка .
Какие из данных	уравнений	являются уравнениями с двумя переменными .
Какое из данных	уравнений	соответствует условию задачи ? .
Какое из данных	уравнений	является математической моделью ситуации , описанной в условии задачи ? .
26 Системы	уравнений	с двумя переменными .
Очевидно , что первое уравнение этой системы решений не имеет , а значит , не существует и общего решения	уравнений	, входящих в систему .
Какие из данных	уравнений	являются линейными .
При решении задач на составление	уравнений	удобно придерживаться такой последовательности действий по условию задачи составить уравнение ( сконструировать математическую модель задачи ) ; решить полученное уравнение ; выяснить , соответствует ли найденный корень смыслу задачи , и записать ответ .
Графический метод решения системы двух линейных	уравнений	с двумя переменными .
Решить систему	уравнений	— это значит найти все её решения или доказать , что решений нет .
Сколько решений может иметь система двух линейных	уравнений	с двумя переменными ? .
При каком значении a система	уравнений	не имеет решений ? .
« Решение задач с помощью систем линейных	уравнений	» .
Какая из пар чисел ( – 2 ; 1 ) ; ( 2 ; – 1 ) ; ( 6 ; 4 ) ; ( 8 ; – 4 ) является решением системы	уравнений	? .
При каком значении b система	уравнений	имеет бесконечно много решений ? .
Графический метод решения системы двух линейных	уравнений	с двумя переменными » .
При подготовке к новой теме вы повторили основные свойства	уравнений	.
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными , составляющих систему	уравнений	, если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Какая из следующих систем	уравнений	является математической моделью ситуации , описанной в условии ? .
Каково взаимное расположение прямых , являющихся графиками двух линейных	уравнений	с двумя переменными , составляющих систему уравнений , если : 1 ) система имеет единственное решение ; 2 ) система не имеет решений ; 3 ) система имеет бесконечно много решений ? .
Какая из следующих систем	уравнений	соответствует условию задачи ? .
Графики	уравнений	очень разнообразны .
Какая из следующих систем	уравнений	является математической моделью ситуации , описанной в условии задачи ? .
Найдите решение системы	уравнений	.
Покажем , как решение системы линейных	уравнений	с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной .
Решите систему	уравнений	методом сложения .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа , то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части	уравнений	системы .
Свойства	уравнений	с двумя переменными .
В чём суть графического метода решения систем	уравнений	с двумя переменными ? .
Что означает решить систему	уравнений	? .
выдающийся арабский учёный Мухаммед ибн Муса аль - Хорезми ( что означает Мухаммед , сын Мусы , из Хорезма ) написал трактат о способах решения	уравнений	.
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из	уравнений	исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Подставим найденное значение переменной х в любое из	уравнений	системы , например в первое .
Что является решением системы	уравнений	с двумя переменными ?
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части	уравнений	, полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
В каком случае говорят , что надо решить систему	уравнений	? .
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из	уравнений	системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
В завершение подчеркнём , что именно графический метод нам подсказал , что не существует системы линейных	уравнений	, имеющей , например , ровно 2 , или ровно 3 , или ровно 100 решений .
Поэтому , если при решении	уравнений	появлялось « ложное число » , его превращали в « настоящее » , перенося в другую часть уравнения .
Алгоритм решения системы	уравнений	методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Запишите соответствующую систему	уравнений	, проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы .
27 Решение систем линейных	уравнений	методом подстановки .
Пусть пара чисел является решением системы	уравнений	.
Имеет ли решение система	уравнений	? .
При каких значениях a система	уравнений	не имеет решений ; имеет бесконечно много решений ? .
29 Решение задач с помощью систем линейных	уравнений	.
При каком значении a имеет бесконечно много решений система	уравнений	.
Заметим , что мы решили каждое из	уравнений	, но при этом уравнение нами не решено .
Подберите такие значения а и b , при которых система	уравнений	имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
Подберите такие значения m и n , при которых система	уравнений	имеет бесконечно много решений ; имеет единственное решение ; не имеет решений .
При каких значениях a не имеет решений система	уравнений	.
Решите систему	уравнений	.
Имеем систему	уравнений	.
К уравнению подберите второе линейное уравнение так , чтобы получилась система	уравнений	, которая : 1 ) имеет единственное решение ;
Например , каждое из	уравнений	решить очень легко , а вот уравнение вы пока решать не умеете .
Имеет ли решение система	уравнений	.
Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом решения системы двух линейных	уравнений	с двумя переменными методом подстановки .
При каких значениях a и b пара чисел ( – 2 ; 3 ) является решением системы	уравнений	.
Этот метод основан на следующем утверждении : если одно из уравнений системы заменить уравнением , полученным путём сложения левых и правых частей	уравнений	системы , то полученная система будет иметь те же решения , что и исходная ( примем этот факт без доказательства ) .
Свойства	уравнений	с двумя переменными запомнить легко : они аналогичны свойствам уравнений с одной переменной , которые вы изучали в 6 классе .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы	уравнений	.
При каком значении a имеет решение система	уравнений	.
Составьте какую - нибудь систему двух линейных	уравнений	с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
28 Решение систем линейных	уравнений	методом сложения .
Свойства уравнений с двумя переменными запомнить легко : они аналогичны свойствам	уравнений	с одной переменной , которые вы изучали в 6 классе .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных	уравнений	с двумя переменными , решением которой является пара значений переменных .
Тогда получили систему	уравнений	.
Выберите какую - либо систему	уравнений	из данного параграфа и проиллюстрируйте её решение графическим методом с помощью этого инструментария .
Решите графически систему	уравнений	.
Системы линейных	уравнений	с двумя переменными .
Запишите систему линейных	уравнений	с двумя переменными .
Составили систему	уравнений	решив которую получим .
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных	уравнений	с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной .
Преобразуем его , используя свойства	уравнений	.
Получили систему	уравнений	решением которой является пара чисел .
Решим систему	уравнений	.
Рассмотрим задачи , в которых системы двух линейных	уравнений	с двумя переменными используют как математические модели реальных ситуаций .
Рассмотрим случай , когда каждое из	уравнений	системы имеет решения .
Итак , чтобы решить систему линейных	уравнений	методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Какое из следующих	уравнений	: а ) имеет один корень ; б ) имеет два корня ; в ) имеет бесконечно много корней ; г ) не имеет ни одного корня .
Решение системы	уравнений	методом подстановки : 1 ) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части	уравнений	, полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Решение системы	уравнений	с двумя переменными .
В этой главе вы повторите свойства уравнений , сможете усовершенствовать навыки решения уравнений и задач на составление	уравнений	.
« Системы	уравнений	с двумя переменными .
Если одно из	уравнений	системы не имеет решений , то очевидно , что вся система решений не имеет .
Схема решения задач на составление	уравнений	.
Решение системы	уравнений	методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если графиками уравнений , входящих в систему линейных	уравнений	, являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Выясним , сколько решений может иметь система двух линейных	уравнений	с двумя переменными .
Свойства	уравнений	.
Пару значений переменных , обращающую каждое уравнение в верное равенство , называют решением системы	уравнений	с двумя переменными .
В этой главе вы повторите свойства уравнений , сможете усовершенствовать навыки решения	уравнений	и задач на составление уравнений .
Решить систему	уравнений	.
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба уравнения системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из	уравнений	исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Если графиками	уравнений	, входящих в систему линейных уравнений , являются прямые , то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости : 1 ) если прямые пересекаются , то система имеет единственное решение ;
Если мы сложим почленно левые и правые части	уравнений	системы , то вновь получим уравнение с двумя переменными .
В этой главе вы повторите свойства	уравнений	, сможете усовершенствовать навыки решения уравнений и задач на составление уравнений .
Если графиком одного из	уравнений	системы является вся плоскость , то очевидно , что система имеет бесконечно много решений .
В этом случае говорят , что пара значений переменных удовлетворяет данному	уравнению	или что эта пара является решением этого уравнения .
К	уравнению	подберите второе линейное уравнение так , чтобы получилась система уравнений , которая : 1 ) имеет единственное решение ;
При каком значении b	уравнения	имеют один и тот же корень ? .
Поскольку формула , задающая линейную функцию , является уравнением с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён график	уравнения	.
Если к обеим частям данного	уравнения	прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Выразите из данного	уравнения	переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь три решения этого уравнения .
Решение	уравнения	.
Поэтому для решения данного	уравнения	достаточно решить каждое из уравнений : Отсюда .
Проходит ли график	уравнения	через точки , имеющие положительную абсциссу ? .
Найдите все целые значения n , при которых корень	уравнения	является натуральным числом .
Корнем	уравнения	называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство .
Выразите из уравнения переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь два решения этого	уравнения	.
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные уравнения не являются линейными , однако решение каждого из них сводится к решению линейного	уравнения	.
Запишите соответствующую систему уравнений , проверьте найденное решение системы , подставив координаты точки пересечения прямых в	уравнения	системы .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат графика	уравнения	.
Значит , в этом случае график	уравнения	— вся координатная плоскость .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения	уравнения	являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Тот факт , что пара является решением	уравнения	, принято записывать так : ( а ; b ) является решением уравнения .
При каком значении b график	уравнения	проходит через точку ? .
Известно , что пара чисел является решением	уравнения	.
Тот факт , что пара является решением уравнения , принято записывать так : ( а ; b ) является решением	уравнения	.
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком	уравнения	, то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Поскольку , то левая часть	уравнения	обращается в нуль только при одновременном выполнении условий .
Графиком каких уравнений является та же прямая , что и график	уравнения	? .
Каковы координаты точки пересечения графика	уравнения	с осью абсцисс ? .
Представим левую часть	уравнения	в виде квадрата разности .
Чтобы исключить переменную у , умножим обе части первого	уравнения	на число 5 , а второго — на число – 8 и применим метод сложения .
Выразите у через х и х через у из	уравнения	.
Выразите из	уравнения	переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
При каких значениях d корень	уравнения	больше , чем d .
Запишите алгоритм , для которого входными данными являются значения чисел а и b , а выходными — решение линейного	уравнения	.
Отсюда пара чисел ( 1 ; – 1 ) — единственное решение данного	уравнения	.
Сколько существует пар простых чисел ( х ; у ) , являющихся решениями	уравнения	? .
Какая из приведённых пар чисел является решением	уравнения	.
Что называют графиком	уравнения	с двумя переменными ? .
Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответствующее значение переменной х , можем найти бесконечно много решений данного	уравнения	.
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные	уравнения	с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями уравнения .
Что является графиком	уравнения	? .
Умножим обе части первого	уравнения	на – 3 .
Принадлежит ли графику	уравнения	хотя бы одна точка , у которой обе координаты — положительные числа ? .
Выразите из данного уравнения переменную у через переменную х и найдите какие - нибудь два решения этого	уравнения	.
Какая из прямых является графиком	уравнения	? .
Найдите корень	уравнения	.
Найдите все целые значения m , при которых корень	уравнения	является целым числом .
Изображён график	уравнения	.
Корни	уравнения	ах равно b , х — любое число ; корней нет .
Если изобразить все решения уравнения , то получим график	уравнения	.
Умножив обе части данного	уравнения	на число 24 , являющееся наименьшим общим знаменателем дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
Придумайте три	уравнения	, графики которых проходят через точку .
В этом случае корнем	уравнения	является любое число .
Поэтому корень часто называют решением	уравнения	.
График этого	уравнения	изображён .
Значит , графиком	уравнения	, является невертикальная прямая .
Если изобразить все решения	уравнения	, то получим график уравнения .
График	уравнения	с двумя переменны ми .
Принадлежат ли графику	уравнения	точки , имеющие отрицательную ординату ? .
Найденный корень	уравнения	— это ещё не ответ задачи .
Рассмотрим три	уравнения	: Число – 1,5 является единственным корнем первого уравнения .
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части	уравнения	в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Докажите , что число 5 является корнем	уравнения	; число – 2 не является корнем уравнения .
Графиком	уравнения	с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Принадлежит ли графику	уравнения	хотя бы одна точка , у которой обе координаты — целые числа ? .
Действительно , поскольку , то при х ≠ 0 или у ≠ 0 левая часть	уравнения	принимает только положительные значения .
Вы узнаете , что некоторые известные вам	уравнения	можно объединить в один класс .
Докажите , что число 5 является корнем уравнения ; число – 2 не является корнем	уравнения	.
Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные	уравнения	, но и исследовать процесс решения сразу целого класса уравнений .
Рассмотрим три уравнения : Число – 1,5 является единственным корнем первого	уравнения	.
Составьте	уравнения	, графики которых изображены .
Если к обеим частям данного	уравнения	прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Рассмотрим систему , в которой сразу два	уравнения	нужно подготовить к применению метода сложения .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного	уравнения	.
Постройте график этого	уравнения	.
Чему равен корень	уравнения	.
Пары чисел являются решениями данного	уравнения	.
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар чисел , являющихся решениями	уравнения	.
Что является графиком	уравнения	ах плюс by меньше с , если b ф 0 или если .
Поскольку решением	уравнения	с двумя переменными является пара чисел , например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М на координатной плоскости .
При каком значении a пара является решением	уравнения	.
Поскольку , то , разделив обе части последнего	уравнения	на b , получим .
Постройте график	уравнения	, если он проходит через точку .
Графиком	уравнения	является кривая , которую называют эллипсом .
Что называют решением	уравнения	с двумя переменными ? .
Графиком этого	уравнения	является прямая .
При каком значении a любое число является корнем	уравнения	.
Геометрическая фигура , являющаяся графиком	уравнения	.
Так как график искомого	уравнения	проходит через точки , имеющие разные абсциссы , то он является невертикальной прямой .
Её координаты являются решением каждого	уравнения	системы , а значит , и самой системы .
График линейного	уравнения	с двумя переменными .
При каком значении a график	уравнения	проходит через точку ? .
Итак , чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки , нужно : 1 ) выразить из любого	уравнения	системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Найдите решение	уравнения	, состоящее из двух равных чисел .
Обратим внимание на то , что данное определение похоже на определение корня	уравнения	с одной переменной .
Найдите все пары ( х ; у ) натуральных чисел , являющиеся решениями	уравнения	.
Из первого	уравнения	выразим переменную у через переменную х. Имеем .
Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю , то корнем второго	уравнения	является любое число .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком	уравнения	с двумя переменными .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного	уравнения	, называют графиком уравнения с двумя переменными .
Принадлежит ли графику	уравнения	точка ? .
Так , если в системе обе части первого уравнения умножить на 2 , то решения этого	уравнения	, а значит , и всей системы не изменятся .
Легко найти несколько решений этого	уравнения	.
Используя такое обозначение , можно , например , записать , что каждая из пар чисел ( 5 ; 85 ) , ( 40 ; 50 ) , ( 50 ; 40 ) является решением	уравнения	.
Выразите из данного уравнения переменную х через переменную у и найдите какие - нибудь три решения этого	уравнения	.
При каких целых значениях b корень	уравнения	является целым числом , которое делится нацело на 3 ? .
Выясним , какая фигура является графиком линейного	уравнения	.
Оба	уравнения	этой системы являются линейными .
Найдите решение	уравнения	, состоящее из двух противоположных чисел .
Так , для	уравнения	каждая из пар чисел является его решением , а , например , пара его решением не является .
При каком значении с	уравнения	имеют один и тот же корень ? .
При этом координаты любой точки этой прямой — пара чисел , являющаяся решением данного	уравнения	.
Если обе части	уравнения	умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Какие из пар чисел являются решениями	уравнения	? .
Докажите , что график	уравнения	не проходит через точку : Проходит ли через начало координат график уравнения ? .
Графиком	уравнения	является кривая , которую называют кардиоидой .
Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба	уравнения	системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Графиком	уравнения	является вся координатная плоскость .
Уничтожение одинаковых членов в обеих частях	уравнения	он назвал противопоставлением ( по - арабски — « аль - мукабала » ) .
Какие из чисел – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 являются корнями	уравнения	? .
Очевидно , что решения этой системы совпадают с решениями	уравнения	.
Обратим ваше внимание на то , что рассмотренные	уравнения	не являются линейными , однако решение каждого из них сводится к решению линейного уравнения .
Несмотря на существенное различие полученных ответов , приведённые	уравнения	внешне похожи : все они имеют вид ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые числа .
Ясно , что любая пара вида , и только она , где t — произвольное число , является решением	уравнения	.
В каждом из двух случаев : графиком	уравнения	является прямая .
Найдите корень	уравнения	Какое из уравнений является линейным ? .
При каких целых значениях a корень	уравнения	является целым числом , которое делится нацело на 2 ? .
Решение линейного	уравнения	с одной переменной .
В связи с этим распространена ошибка : называть каждое число пары или саму пару , являющуюся решением , корнем	уравнения	с двумя переменными .
Значения а и b. Корни	уравнения	: любое число ; корней нет .
Является ли пара чисел решением	уравнения	? .
Поэтому , если при решении уравнений появлялось « ложное число » , его превращали в « настоящее » , перенося в другую часть	уравнения	.
Разложив левую часть	уравнения	на множители и применив условие , согласно которому произведение равно нулю , получаем .
Постройте график	уравнения	.
Если какое - либо слагаемое перенести из одной части	уравнения	в другую , изменив при этом его знак на противоположный , то получим уравнение , имеющее те же самые корни , что и данное .
Проходит ли график	уравнения	через точку ? .
А в 9 классе вы сможете доказать , что графиком	уравнения	является окружность .
Действительно , умножим обе части первого	уравнения	системы на 3 .
Выразите из данного	уравнения	переменную у через переменную х и найдите какие - нибудь два решения этого уравнения .
Рассуждая аналогично , можно показать , что графиком	уравнения	, где , является вертикальная прямая .
Если обе части	уравнения	умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля число , то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
При каком значении a через точку A ( 5 ; – 3 ) проходит график	уравнения	? .
При каких значениях a и b график	уравнения	проходит через точки ? .
Казалось бы , чего проще — использовать математическую фразу для записи линейного	уравнения	.
При каких значениях b корень	уравнения	меньше , чем b .
В этом случае говорят , что пара значений переменных удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является решением этого	уравнения	.
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного	уравнения	.
График	уравнения	проходит через точку .
1 ) Если а ≠ 0 , то , разделив обе части	уравнения	ах равно b на а , получим х равно .
Если , то это уравнение не имеет решений , а следовательно , на координатной плоскости не существует точек , которые могли бы служить графиком	уравнения	.
При каких значениях m и n график	уравнения	проходит через точки ? .
Легко проверить , что пара чисел ( – 2 ; 0 ) является решением как уравнения , так и	уравнения	.
Легко проверить , что пара чисел ( – 2 ; 0 ) является решением как	уравнения	, так и уравнения .
Приведите пример	уравнения	с переменными х и у : 1 ) имеющего одно решение ; 2 ) не имеющего решений ;
Построение графика	уравнения	такого вида рассмотрим в примере 2 .
Запишите алгоритм , который по входным данным а , b и с определит , какая фигура является графиком	уравнения	.
Три указанные пары не исчерпывают все решения этого	уравнения	.
Укажите какое - либо значение b , при котором будет целым числом корень	уравнения	.
Решение системы уравнений методом сложения : 1 ) подобрав « выгодные » множители , преобразовать одно или оба	уравнения	системы так , чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами ; 2 ) сложить почленно левые и правые части уравнений , полученных на первом шаге ; 3 ) решить уравнение с одной переменной , полученное на втором шаге ; 4 ) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы ; 5 ) вычислить значение другой переменной ; 6 ) записать ответ .
Так , когда вы записывали формулы и составляли	уравнения	, вам приходилось обозначать числа буквами , конструируя буквенные выражения .
Найдите какие - нибудь три решения	уравнения	.
Рассмотрим ещё один способ , позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного	уравнения	с одной переменной .
Какие пары чисел являются решениями	уравнения	? .
Укажите какие - нибудь три решения	уравнения	.
6 Какая фигура является графиком	уравнения	.
Следовательно , решениями данного	уравнения	являются все пары чисел вида , где х — произвольное число , и все пары чисел вида , где у — произвольное число .
Заметим , что , например ,	уравнения	линейными не являются .
При каком значении a пара чисел является решением	уравнения	? .
Таким образом , разложение многочлена на множители позволило свести решение сложного	уравнения	к решению двух более простых .
Например , в 8 классе вы узнаете , что графиком рассмотренного в начале параграфа	уравнения	является фигура .
График	уравнения	с двумя переменными .
Что представляет собой график	уравнения	.
Например , благодаря символике Виета все линейные уравнения можно записать в виде ах равно b , а следовательно , построить процесс решения	уравнения	в общем виде так , как мы это сделали в 2 .
При каком значении a пара чисел ( – 4 ; 2 ) является решением	уравнения	? .
Так , если в системе обе части первого	уравнения	умножить на 2 , то решения этого уравнения , а значит , и всей системы не изменятся .
В каждом из двух случаев графиком	уравнения	является прямая .
Может ли график	уравнения	с двумя переменными состоять только из одной точки ? .
Покажем , как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного	уравнения	с одной переменной .
Решение	уравнения	с двумя переменными .
Найдите все пары ( х ; у ) целых чисел , являющиеся решениями	уравнения	.
При каком значении a график	уравнения	проходит через начало координат ? .
Например , благодаря символике Виета все линейные	уравнения	можно записать в виде ах равно b , а следовательно , построить процесс решения уравнения в общем виде так , как мы это сделали в 2 .
Решение системы уравнений методом подстановки : 1 ) выразить из любого	уравнения	системы одну переменную через другую ; 2 ) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение , полученное на первом шаге ;
Пару значений переменных , обращающую уравнение в верное равенство , называют решением	уравнения	с двумя переменными .
Докажите , что график уравнения не проходит через точку : Проходит ли через начало координат график	уравнения	? .
Итак , мы сформулировали ( или , говорят , « дали » ) определение линейного	уравнения	с одной переменной .
Корень	уравнения	.
Докажите , что корнем	уравнения	является любое число ; уравнение не имеет корней .
Найдите корни	уравнения	.
Следовательно , графиком данного	уравнения	является пара прямых .
В этой главе вы познакомитесь с	уравнениями	с двумя переменными и их системами .
Как видим , каждое полученное в примерах 1–5 равенство содержат по две переменные х и у. Такие равенства называют	уравнениями	с двумя переменными .
Какие из данных уравнений являются	уравнениями	с двумя переменными .
Какие из	фигур	могут быть графиком функции ? .
Магия чисел и	фигур	.
Подчеркнём , что если какая - то	фигура	является графиком функции f , то выполняются два условия .
Выясним , какая	фигура	является графиком линейного уравнения .
Например , в 8 классе вы узнаете , что графиком рассмотренного в начале параграфа уравнения является	фигура	.
Всякая ли	фигура	может служить графиком функции ? .
6 Какая	фигура	является графиком уравнения .
Какие два условия должны выполняться , чтобы	фигура	была графиком функции р .
Запишите алгоритм , который по входным данным а , b и с определит , какая	фигура	является графиком уравнения .
Геометрическая	фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям функции .
Геометрическая	фигура	, состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком функции f .
Далеко не всякая	фигура	, изображённая на координатной плоскости , может служить графиком функции .
Подчеркнём , что если какая - то	фигура	является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара чисел , которая является решением данного уравнения .
Геометрическая	фигура	, являющаяся графиком уравнения .
Также важно научиться пользоваться графическим редактором , с помощью которого можно работать с геометрическими	фигурами	и строить чертежи .
Фигура может являться графиком некоторой функции , если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой	фигурой	не более одной общей точки .
Графиком функции f называют геометрическую	фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую	фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения .
Геометрическую	фигуру	, состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары чисел ) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Выразите через π , R и r площадь	фигуры	, ограниченной этими окружностями .
Приведите пример	фигуры	, которая не может являться графиком функции .
Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади	фигуры	, которую она ограничивает .
Чему равна площадь закрашенной	фигуры	?
—	фокусы	и трюки .
Математические	фокусы	.
— математические	фокусы	.
Гарднер М. Математические	фокусы	и головоломки .
Лонге Б. Математические	фокусы	.
Является ли это правило	функцией	?
Такое правило называют	функцией	, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной .
Какое правило называют	функцией	? .
Является ли это правило	функцией	? .
Поясните , почему описанное правило является	функцией	.
Познакомитесь с особым видом правила , определяющим эти связи , —	функцией	.
Является ли правило , с помощью которого по значению переменной t находят значение переменной V ,	функцией	?
Правило , с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной , называют	функцией	.
Какое из этих правил является	функцией	? .
Является ли такое правило	функцией	? .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно 12 .
Для задания данной	функции	используют форму записи с помощью фигурной скобки .
Этот способ удобно использовать в тех случаях , когда область определения	функции	состоит из нескольких чисел .
При каком значении aргумента эти	функции	принимают равные значения ? .
График данной	функции	пересекает ось ординат в точке ( 0 ; 4 ) .
Следовательно , эта таблица — ещё один способ задания	функции	f.
График линейной	функции	.
Что называют графиком	функции	? .
Если значение	функции	будет равно ординате данной точки , то точка принадлежит графику , в противном случае — не принадлежит .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график	функции	имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки .
Какова область значений этой	функции	? .
Какое из следующих утверждений верно : 1 ) график функции имеет с осью ординат две общие точки ; 2 ) график	функции	имеет с осью абсцисс две общие точки .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение	функции	равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Найдите значения	функции	f , соответствующие аргументам : 1 ) – 2 ; 2 ) – 1 ; 3 ) 1 .
Пользуясь графиком	функции	у равно f(x ) , заполните таблицу .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика	функции	с осью ординат надо найти значение данной функции при х равно 0 .
Что является графиком линейной	функции	? .
Следовательно , график данной	функции	имеет с осью абсцисс две общие точки .
Что является графиком	функции	? .
Графиком какой	функции	является ось абсцисс ? .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной	функции	при х равно 0 .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Рассмотрим самый распространённый способ задания	функции	: задание функции с помощью формулы .
Рассмотрим самый распространённый способ задания функции : задание	функции	с помощью формулы .
1 ) Так как – 2 меньше – 1 , то значение	функции	вычисляется по формуле .
Следовательно , график	функции	пересекает ось ординат в точке .
Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение	функции	.
Какие способы задания	функции	вы знаете ? .
Постройте график	функции	у меньше 2 – 4х .
Следовательно , точка А принадлежит графику данной	функции	.
Постройте график	функции	, областью определения которой являются целые числа , удовлетворяющие неравенству .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Постройте график	функции	, пользуясь составленной таблицей .
Функция f задана описательно : значение	функции	равно наибольшему целому числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
Пользуясь графиком	функции	, укажите область значений функции .
Постройте график	функции	, областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Пользуясь графиком функции , укажите область значений	функции	.
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику	функции	, найдём значение функции при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Сколько общих точек может иметь с графиком	функции	любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс ? .
Чтобы установить , принадлежит ли точка графику функции , найдём значение	функции	при значении aргумента , равном абсциссе данной точки .
Найдите : 1 ) значения	функции	для значений аргумента , равных ;
Постройте график	функции	.
Например , формулы задают	функции	, областью определения каждой из которых являются все числа .
Как и для построения графика любой линейной	функции	, нужно знать две принадлежащие ему точки .
Упражнения . Прочитайте следующую запись , укажите аргумент	функции	и зависимую переменную : функция задана формулой .
Если функция задана формулой , правая часть которой — целое выражение , и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой	функции	являются все числа .
Приведите пример фигуры , которая не может являться графиком	функции	.
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями координат графика	функции	.
Значит , точка В не принадлежит графику	функции	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Все числа , записанные в первой строке этой таблицы , составляют область определения данной	функции	f.
Какие два условия должны выполняться , чтобы фигура была графиком	функции	р .
Найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной	функции	с осью абсцисс надо решить уравнение .
Может ли график	функции	состоять из одной точки ? .
Графиком	функции	у равно b , где b ≠ 0 , является прямая , параллельная оси абсцисс .
Значение	функции	равно 0 при значениях aргумента , равных – 5 и 4 .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : – 4 ; 3,5 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : 9 ; – 5 ; 0 .
Пользуясь графиком , найдите , при каких значениях aргумента значения	функции	меньше нуля и при каких — больше нуля .
Рассмотрим ещё один частный случай линейной	функции	.
Найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Заметим , что графиком	функции	у равно 0 является ось абсцисс .
Всякая ли фигура может служить графиком	функции	? .
Найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 5 ; – 2 ; 0 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : 1 ; – 11 ; 0,8 .
Составьте таблицу значений	функции	с шагом 1 .
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения графика	функции	с осями координат .
Принадлежит ли графику	функции	, заданной формулой , точка .
2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно .
Ясно , что в этом случае значения	функции	будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента .
Постройте график этой	функции	.
Область определения	функции	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Графиком	функции	f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f .
Все точки координатной плоскости , которые можно отметить , действуя таким способом , образуют график	функции	.
При каком значении aргумента значение	функции	равно – 2 ? .
Найдите значение b , при котором график	функции	проходит через точку .
График линейной	функции	проходит через точки .
При каком значении k график	функции	проходит через точку ? .
Очевидно , что , придавая аргументу другие значения ( отличные от целых ) из области определения и находя соответствующие значения	функции	, можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
Запишите алгоритм , который по входным данным k и b определит , какая прямая является графиком	функции	: горизонтальная или не горизонтальная , проходящая через начало координат или нет .
При каком значении х значение	функции	равно значению аргумента ? .
При этом значение аргумента является абсциссой точки , а соответствующее значение	функции	— её ординатой .
Найдите значение	функции	, если значение аргумента равно : – 2 ; 0 ; 2 ; 6 .
Независимую переменную ещё называют аргументом	функции	.
Все точки графика	функции	имеют одинаковую ординату , равную – 6 .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений	функции	; 4 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; .
Составим таблицу значений этой	функции	для некоторых значений аргумента .
При каких значениях х значение	функции	равно удвоенному значению аргумента ? .
График	функции	пересекает оси координат в точках .
При каких значениях aргумента эти	функции	принимают равные значения ?
Все эти точки лежат на одной прямой , которая и является графиком	функции	.
Графиком функции f называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям	функции	f .
Не выполняя построения графика	функции	, найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком функции .
Пользуясь графиком , найдите значения аргумента , при которых значение	функции	: 1 ) равно 5 ; больше 5 ; 3 ) меньше 5 ; 4 ) больше – 3 , но меньше 7 .
Действительно , вертикальная прямая не может служить графиком	функции	.
Через какую из данных точек проходит график	функции	? .
Так , на экране монитора изображён график	функции	.
Область определения некоторой	функции	— однозначные натуральные числа , а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Найдите значения	функции	соответствующие аргументам .
При каком значении a через точку М ( 3 ; – 2 ) проходит график	функции	.
При каком значении независимой переменной	функции	принимают равные значения ?
Найдите координаты точки графика	функции	абсцисса и ордината которой равны между собой ; сумма координат которой равна 30 .
Поскольку описанный метод построения графика	функции	требует значительной технической работы , то существенную её часть может взять на себя компьютер .
Какие числа составляют область определения этой	функции	? .
В курсе геометрии 9 класса вы докажете , что графиком линейной	функции	является прямая .
Постройте график	функции	f .
При всех положительных значениях аргумента значение	функции	f равно – 1 , при всех отрицательных — равно 1 .
Изображён график	функции	.
Очевидно , что описанный метод построения графика	функции	на практике реализовать невозможно .
В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой	функции	.
Все значения , которые принимает аргумент , образуют область определения	функции	.
Так , в примере 1 областью определения	функции	являются все положительные числа ; в примере 2 — натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
График	функции	параллелен оси абсцисс и проходит через точку .
Найдите : 1 ) область определения и область значений	функции	; 2 ) g(7 ) ; g(3 ) ; g(l ) ; g(9 ) ; g(4 ) .
Что называют аргументом	функции	? .
Что такое область определения	функции	? .
Что называют значением	функции	? .
Что такое область значений	функции	? .
Графиком некоторой	функции	является ломаная ABCD с вершинами в точках .
Постройте график	функции	: если .
В случае утвердительного ответа назовите аргумент соответствующей	функции	.
значения аргумента , при которых значения	функции	отрицательные .
В случае утвердительного ответа укажите область определения и область значений этой	функции	.
Какие из фигур могут быть графиком	функции	? .
В случае утвердительного ответа укажите , что является аргументом соответствующей	функции	.
Принадлежит ли графику	функции	точка .
В случае утвердительного ответа укажите , что является аргументом соответствующей	функции	, её область определения и область значений .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих графику	функции	.
Функция задана описательно : значение	функции	равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента .
Область значений	функции	.
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком	функции	f , то выполняются два условия .
Пользуясь графиком , найдите : 2 ) значения х , при которых ; 3 ) область определения и область значений функции ; 4 ) значения аргумента , при которых значения	функции	положительные ; .
Однако эти	функции	похожи тем , что формулы , их задающие , имеют вид .
Построим график	функции	.
Для	функции	f каждому значению аргумента х соответствует некоторое значение зависимой переменной у.
Какая из прямых является графиком	функции	.
Задайте формулой какие - нибудь две линейные	функции	, графики которых проходят через точку .
Составим таблицу значений этой	функции	при целых значениях aргумента .
Заметим , что областью определения линейной	функции	являются все числа .
22 График	функции	.
Значение зависимой переменной ещё называют значением	функции	.
Постройте график данной	функции	.
Функция f задана описательно : значение	функции	равно наибольшему целому числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Значение	функции	f , которое соответствует значению х аргумента х , обозначают f(x0 ) .
Например , f(7 ) — это значение	функции	при х равно 7 .
Для данной	функции	существует специальное обозначение ( читают : « у равен целой части числа х » ) .
С помощью средств этого редактора постройте график этой	функции	.
Вообще , запись f(a ) равно b означает , что значению а аргумента соответствует значение b	функции	.
Все значения , которые принимает зависимая переменная , образуют область значений	функции	.
В примере 1 область значений	функции	— это все положительные числа , в примере 2 — числа , записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все числа , не меньшие – 5 и не большие 7 .
В этих примерах мы сконструировали	функции	, описывающие две разные реальные ситуации .
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной	функции	с графиком функции .
При каком значении переменной х	функции	принимают равные значения ?
Не выполняя построения графика функции , найдите координаты : 1 ) точек пересечения графика с осями координат ; 2 ) точки пересечения графика данной функции с графиком	функции	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение y , если ; 2 ) значения х , которым соответствуют значения ; 3 ) значения аргумента , при которых значение	функции	равно нулю ; ;
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям функции f называется графиком	функции	f .
Например , окружность не может являться графиком	функции	.
Не выполняя построения , определите , принадлежит ли графику	функции	точка .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты — соответствующим значениям	функции	f называется графиком функции f .
Далеко не всякая фигура , изображённая на координатной плоскости , может служить графиком	функции	.
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента функции , а ординаты — соответствующим значениям	функции	.
График этой	функции	состоит из трёх частей : точки О ( 0 ; 0 ) и двух лучей , у каждого из которых « выколото » начало .
Геометрическая фигура , состоящая из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента	функции	, а ординаты — соответствующим значениям функции .
Задайте формулой функцию , если значения	функции	на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
График	функции	— характерный тому пример .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение	функции	равно нулю .
График	функции	.
В какой точке график	функции	пересекает ось ординат ?
Для каждого положительного аргумента значение	функции	равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
область определения и область значений	функции	; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Способы задания	функции	.
Освойте инструменты текстового и / или табличного редактора для построения графика	функции	, заданной таблично .
Не выполняя построения графика	функции	, определите , через какие из данных точек проходит этот график .
Фигура может являться графиком некоторой	функции	, если любая прямая , перпендикулярная оси абсцисс , имеет с этой фигурой не более одной общей точки .
« График	функции	» .
Графиком линейной	функции	является прямая .
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа , а значения	функции	в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной	функции	( это выражает схема ) , то её график — прямая .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений	функции	: все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения	функции	: все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
Постройте график	функции	у меньше – 4х .
Ту же роль играет для	функции	её график .
« Способы задания	функции	» .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение	функции	, если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Эта формула показывает , что для	функции	у равно kx при х ≠ 0 отношение соответствующих значений зависимой и независимой переменных остаётся постоянным и равно k .
Задайте формулой функцию , если значения	функции	противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Линейные	функции	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение	функции	равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения .
Изображён график некоторой	функции	.
Эта прямая является графиком линейной	функции	.
Не выполняя построения графика	функции	, найдите точку этого графика , у которой : 1 ) абсцисса равна ординате ; 2 ) ордината на 6 больше абсциссы .
Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1 ; для каждого отрицательного аргумента значение	функции	равно – 1 ; если аргумент равен нулю , то значение функции равно нулю .
Графиком линейной	функции	является невертикальная прямая .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно : 1 ; – 1 ; 0 .
Графиком функции не обязательно является линия , изображён график	функции	, заданной таблицей .
Знаете ли вы какие - то компьютерные программы , которые позволяют построить график произвольной	функции	? .
Составим таблицу значений данной	функции	для двух произвольных значений аргумента .
21 Способы задания	функции	.
Если х0 — некоторое значение аргумента , а f(x0 ) — соответствующее значение	функции	, то точка с координатами обязательно принадлежит графику ; .
Если — координаты произвольно выбранной точки графика , то х0 и y0 — соответствующие значения независимой и зависимой переменных	функции	f , то есть .
Не выполняя построения графика	функции	, найдите точку этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные числа .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений	функции	, имеющую лишь два столбца .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения функции положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения	функции	отрицательные .
График какой	функции	изображён ? .
Значение	функции	.
На каком из рисунков изображён график	функции	? .
Может ли ломаная АВС быть графиком некоторой	функции	, если ? .
Графиком	функции	не обязательно является линия , изображён график функции , заданной таблицей .
Постройте график	функции	Решение .
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками , то для построения графика линейной	функции	достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции , имеющую лишь два столбца .
Даны	функции	.
Изучите основные способы задания	функции	.
Графиком некоторой	функции	является ломаная МКЕ , где .
Найдите значение	функции	, если значение аргумента равно .
Составьте таблицу значений	функции	, заданной формулой , где – 1 меньше х меньше 3 , с шагом 0,5 .
область определения и область значений функции ; 5 ) значения аргумента , при которых значения	функции	положительные ; 6 ) значения аргумента , при которых значения функции отрицательные .
Рассмотрим пример построения графика	функции	, заданной описательно .
Область определения данной	функции	— все числа .
При каком значении m график	функции	пересекает ось х в точке с абсциссой – 1 ? .
Такой способ задания	функции	называют описательным .
Составьте таблицу значений	функции	, заданной формулой , где – 3 меньше х меньше 2 , с шагом 1 .
Графики	функций	пересекаются в точке , абсцисса которой равна – 3 .
Постройте на одной координатной плоскости графики	функций	f и g.
Например , изображены графики некоторых	функций	.
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения графиков	функций	.
Определите абсциссу точки пересечения графиков	функций	.
Вот ещё примеры линейных	функций	.
Постройте в одной системе координат графики	функций	и найдите координаты точки их пересечения .
Графиком какой из данных	функций	является горизонтальная прямая ? .
Построив на одной координатной плоскости графики данных	функций	, установите , при каких значениях х .
Постройте в одной системе координат графики линейных	функций	.
При каком значении b графики	функций	пересекаются в одной точке ? .
Постройте в одной системе координат графики этих	функций	.
Среди данных функций укажите прямую пропорциональность : Какая из данных	функций	не является линейной ? .
Среди данных	функций	укажите прямую пропорциональность : Какая из данных функций не является линейной ? .
Графики	функций	пересекаются в одной точке .
Графики	функций	пересекаются в точке с абсциссой 2 .
Графиком какой из данных	функций	является прямая , проходящая через начало координат ? .
Такое правило называют функцией , а соответствующую зависимость одной переменной от другой —	функциональной	.
Является ли эта зависимость	функциональной	? .
Какую зависимость одной переменной от другой называют	функциональной	? .
Не всякая зависимость одной переменной от другой является	функциональной	.
Однако если считать стоимость проезда независимой переменной , то описанная зависимость не является	функциональной	.
Поэтому приведённая зависимость времени t от температуры T не является	функциональной	.
Является ли эта зависимость	функциональной	?
Эта формула задаёт	функциональную	зависимость переменной V от переменной t .
В упражнениях этого параграфа описаны разнообразные	функциональные	зависимости между величинами .
После изучения материала этого параграфа становится понятно , почему в технике , медицине , экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы , которые позволяют строить графики различных	функциональных	зависимостей .
Создайте в текстовом и / или табличном редакторе таблицу , которая задаёт некоторую	функцию	.
Изучите инструменты этого редактора , которые позволяют заполнить таблицу с помощью формулы , задающей	функцию	.
Создайте в текстовом и / или табличном редакторе таблицу , которая задаёт какую - либо линейную	функцию	.
Какую	функцию	называют линейной ? .
Задайте данную	функцию	формулой .
Рассмотрим	функцию	областью определения которой являются числа .
Задайте формулой	функцию	, если значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента ; равны утроенным соответствующим значениям аргумента ; на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента .
Линейную	функцию	, которую задают формулой где k ≠ 0 , называют прямой пропорциональностью .
Задайте эту	функцию	формулой и таблично .
Задайте эту	функцию	таблично .
Мы получили формулу , задающую линейную	функцию	.
Рассмотрим	функцию	, где – 1 меньше х меньше 4 .
Задайте формулой	функцию	, являющуюся прямой пропорциональностью , если её график проходит через точку .
Задайте эту	функцию	формулой .
Если хотят подчеркнуть , что формула , например , задаёт некоторую	функцию	f , то пишут .
В формуле , задающей линейную	функцию	, не исключены случаи , когда k равно 0 или b равно 0 .
Следовательно , мы задали некоторую	функцию	f , областью определения которой являются все числа .
Примеры , рассмотренные в предыдущем параграфе , показывают , что	функцию	можно задавать различными способами .
Если хотят подчеркнуть , что , например , формула задаёт	функцию	с аргументом t и зависимой переменной s , то пишут .
Задайте эту	функцию	описательно и формулой .
Задайте формулой линейную	функцию	.
Поэтому линейную	функцию	, которую задают формулой у равно kx , где k ≠ 0 , называют прямой пропорциональностью .
Задайте формулой линейную	функцию	, графиком которой является изображённая : 1 ) прямая a ; 2 ) прямая b .
Рассмотрим	функцию	g , заданную следующим правилом : каждому однозначному натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата .
Задайте формулой линейную	функцию	, графиком которой является изображённая : 1 ) прямая m 2 ) прямая n .
Понятно , что	функцию	из примера 2 задаёт формула , где х — любое число , кроме 0 .
Обозначив эту	функцию	буквой f , найдите f(2 ) , f(–5 ) , f(0 ) .
Если в примере 1 независимую переменную обозначить буквой х , а зависимую — буквой у , указать область определения , х — любое число , то формула задаёт вышеописанную	функцию	.
Поскольку формула , задающая линейную	функцию	, является уравнением с двумя переменными , то также можно сказать , что изображён график уравнения .
Обычно независимую переменную обозначают буквой х , зависимую — буквой у ,	функцию	( правило ) — буквой f. Если переменная у функционально зависит от переменной х , то этот факт обозначают так : читают : « игрек равен эф от икс » .
Данную	функцию	называют « дробная часть числа » , и для неё существует специальное обозначение : у меньше { х } .
Какую	функцию	называют прямой пропорциональностью ? .
Придумайте	функцию	f , областью определения которой являются все натуральные числа , а областью значений — три числа : 0 ; 1 ; 2 .
Задайте формулой	функцию	, если значения функции на 3 меньше соответствующих значений аргумента ; на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 2 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 2 ; 3 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает положительные значения .
Линейная	функция	.
Каким способом задана эта	функция	? .
Найдите значение y , если :	функция	задана формулой у.
Найдите значение y , если :	функция	задана формулой .
Что надо указать , чтобы	функция	считалась заданной ? .
Упражнения . Прочитайте следующую запись , укажите аргумент функции и зависимую переменную :	функция	задана формулой .
Является ли линейной	функция	.
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 6 ; 3 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 2,5 ; 3 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает отрицательные значения .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 1 ; 0 ; – 2 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : – 4 ; 3 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает отрицательные значения .
Дана	функция	.
Существует ли	функция	, графиком которой является ось ординат ? .
Здесь задана	функция	f , область определения которой — все числа , кроме 0 .
Если , например , функция задана формулой , то просто говорят , что задана	функция	.
Если , например ,	функция	задана формулой , то просто говорят , что задана функция .
Если	функция	задана формулой , правая часть которой — целое выражение , и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все числа .
Является ли линейной	функция	, заданная формулой .
Пользуясь графиком , найдите : 1 ) значение функции , если значение аргумента равно : 4 ; – 1 ; 0,5 ; 2 ) значение аргумента , при котором значение функции равно : 1 ; – 1 ; 0 ; 3 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает положительные значения .
Задана	функция	, областью определения которой являются все однозначные натуральные числа .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых функция принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает отрицательные значения .
Линейная	функция	задана формулой .
Является ли прямой пропорциональностью	функция	, заданная формулой .
Поскольку	функция	— это правило , то её можно задать словами .
Так , изучая график , можно , например , найти : 1 ) область определения функции : все х такие , что ; 2 ) область значений функции : все у такие , что ; 3 ) значения аргумента , при которых значение функции равно нулю : х равно – 3 или х равно 1 ; 4 ) значения аргумента , при которых	функция	принимает положительные значения ; 5 ) значения аргумента , при которых функция принимает отрицательные значения .
« Линейная	функция	, её график и свойства » .
Итак , правила , описанные в примерах 1 , 2 и 8 , являются	функциями	.
По определению , где [ x ] —	целая	часть х. Например .
Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные уравнения , но и исследовать процесс решения сразу	целого	класса уравнений .
Если функция задана формулой , правая часть которой —	целое	выражение , и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все числа .
Выражение	целое	.
Из квадратного листа бумаги в клетку , содержащего целое количество клеток , вырезали по линиям квадрат , содержащий	целое	количество клеток , так , что осталась 71 клетка .
Из квадратного листа бумаги в клетку , содержащего	целое	количество клеток , вырезали по линиям квадрат , содержащий целое количество клеток , так , что осталась 71 клетка .
Функция задана описательно : значение функции равно разности между значением аргумента и	целой	частью аргумента .
Для данной функции существует специальное обозначение ( читают : « у равен	целой	части числа х » ) .
Докажите , что при любом	целом	значении a значение выражения делится нацело на 3 .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему	целому	числу , которое не превышает соответствующее значение аргумента .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему	целому	числу , которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему	целому числу	, которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему	целому числу	, которое не превышает соответствующее значение аргумента .
э . ) для вычисления	целочисленных	значений длин сторон прямоугольного треугольника .
В 7 классе мы будем изучать	целые	выражения .
Объединив	целые	числа с дробными , получим рациональные числа .
Найдите все	целые	значения n , при которых корень уравнения является натуральным числом .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты —	целые	числа ? .
Найдите все	целые	числа x и y , при которых выполняется равенство .
Постройте график функции , областью определения которой являются	целые	числа , удовлетворяющие неравенству .
Найдите все	целые	значения m , при которых корень уравнения является целым числом .
Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулём , получим	целые	числа .
Данное выражение представлено в виде произведения двух множителей , первый из которых равен 7 , а второй принимает только	целые	значения .
Если коэффициенты многочлена —	целые	числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Если коэффициенты многочлена —	целые числа	, то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Найдите все	целые числа	x и y , при которых выполняется равенство .
Постройте график функции , областью определения которой являются	целые числа	, удовлетворяющие неравенству .
Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулём , получим	целые числа	.
Объединив	целые числа	с дробными , получим рациональные числа .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты —	целые числа	? .
До вечера больший луг был скошен , а от меньшего остался участок , который скосил на следующий день один косарь , работавший	целый	день .
Укажите какое - либо значение b , при котором будет	целым	числом корень уравнения .
Найдите все целые значения m , при которых корень уравнения является	целым	числом .
Выражение , не содержащее деления на выражение с переменными , называют	целым	выражением .
Может ли быть	целым	числом значение выражения .
При каких целых значениях b корень уравнения является	целым	числом , которое делится нацело на 3 ? .
При каких целых значениях a корень уравнения является	целым	числом , которое делится нацело на 2 ? .
При каких целых значениях b корень уравнения является	целым числом	, которое делится нацело на 3 ? .
Укажите какое - либо значение b , при котором будет	целым числом	корень уравнения .
Может ли быть	целым числом	значение выражения .
Найдите все целые значения m , при которых корень уравнения является	целым числом	.
При каких целых значениях a корень уравнения является	целым числом	, которое делится нацело на 2 ? .
Используя термины « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , прочитайте алгебраические выражения и укажите , какие из них являются	целыми	.
Все натуральные числа , противоположные им числа и число 0 называют	целыми	числами .
Какие из данных выражений являются	целыми	.
Числа – 1 ; – 2 ; – 3 называют	целыми	отрицательными числами .
Какие алгебраические выражения называют	целыми	? .
Объединив натуральные числа с	целыми	отрицательными и нулём , получим целые числа .
Выражения второй группы	целыми	не являются .
Их называют	целыми	выражениями .
Натуральные числа называют	целыми	положительными числами .
Составим таблицу значений этой функции при	целых	значениях aргумента .
Докажите , что разность суммы квадратов двух последовательных	целых	чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
При каких	целых	значениях b корень уравнения является целым числом , которое делится нацело на 3 ? .
Найдите все пары ( х ; у )	целых	чисел , являющиеся решениями уравнения .
При каких	целых	значениях a корень уравнения является целым числом , которое делится нацело на 2 ? .
Очевидно , что , придавая аргументу другие значения ( отличные от	целых	) из области определения и находя соответствующие значения функции , можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости .
Докажите , что разность суммы квадратов двух последовательных	целых чисел	и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
Найдите все пары ( х ; у )	целых чисел	, являющиеся решениями уравнения .
Вычислите значение полученного выражения при а меньше 7,4 см , b меньше 2,6 см. Две окружности , радиусы которых равны R и r , имеют общий	центр	.
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных	чисел	делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих	чисел	; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных	чисел	делится нацело на 8 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности	чисел	а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Магия	чисел	и фигур .
Докажите тождество : Разность квадратов двух двузначных	чисел	, записанных одними и теми же цифрами , равна 693 .
Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара	чисел	.
Известно , что пара	чисел	является решением уравнения .
Решением каких из уравнений является пара	чисел	? .
Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих	чисел	и произведения первого и четвёртого от выбора чисел ? .
Докажите , что остаток при делении произведения	чисел	m и n на 11 равен 1 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных	чисел	равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных	чисел	делится нацело на 10 .
Тайны простых	чисел	.
Докажите , что разность квадратов этих	чисел	кратна 7 .
Легко проверить , что пара	чисел	( – 2 ; 0 ) является решением как уравнения , так и уравнения .
Каждое из них представляет собой произведение	чисел	, переменных и их степеней .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных чётных	чисел	равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы	чисел	а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Какие пары	чисел	являются решениями уравнения ? .
Сумма 100 разных натуральных	чисел	равна 5051 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного	чисел	р и q .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения	чисел	m и n и частного чисел р и q .
Запишите алгоритм , для которого входными данными являются значения	чисел	а и b , а выходными — решение линейного уравнения .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих	чисел	; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных	чисел	и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих	чисел	равна кубу среднего числа .
Сколько существует пар простых	чисел	( х ; у ) , являющихся решениями уравнения ? .
Какая из пар	чисел	является решением каждого из уравнений ? .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных	чисел	кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
При каком значении a пара	чисел	( – 4 ; 2 ) является решением уравнения ? .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных чётных	чисел	делится нацело на 4 .
Найдите решение уравнения , состоящее из двух противоположных	чисел	.
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных	чисел	делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Деление рациональных	чисел	.
Найдите решение уравнения , состоящее из двух равных	чисел	.
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя переменными , решением которого является пара	чисел	( 3 ; 5 ) .
Составьте какое - нибудь линейное уравнение с двумя переменными , решением которого является пара	чисел	( – 2 ; 1 ) .
Изображены графики уравнений найдите все пары	чисел	, являющиеся решениями каждого из данных уравнений .
При каком значении a пара	чисел	является решением уравнения ? .
В таких случаях говорят , что пара	чисел	( – 2 ; 0 ) — общее решение указанных уравнений .
Сумма двух	чисел	равна 28 , а разность их квадратов составляет 112 .
Введение в теорию	чисел	.
5 ) разность противоположных	чисел	равна нулю .
Запись , составленную из	чисел	, букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
4 ) модули противоположных	чисел	равны ;
Представьте число 24 в виде суммы таких двух	чисел	, чтобы их произведение было наибольшим .
Чтобы найти процентное отношение двух	чисел	, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента .
Итак , решением системы является пара	чисел	( 2 ; – 0,6 ) .
Геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары	чисел	) являются решениями данного уравнения , называют графиком уравнения с двумя переменными .
Процентное отношение двух	чисел	— это их отношение , выраженное в процентах .
Пара	чисел	( 4 ; – 1 ) — искомое решение .
Процентное отношение двух	чисел	.
Следовательно , пара	чисел	( – 1 ; 2 ) — решение данной системы .
Этот способ удобно использовать в тех случаях , когда область определения функции состоит из нескольких	чисел	.
Пусть пара	чисел	является решением системы уравнений .
Какая из приведённых пар	чисел	является решением уравнения .
Запишите в виде равенства утверждение : 1 ) сумма противоположных	чисел	равна нулю ;
Дано 12 натуральных	чисел	.
Докажите , что разность квадратов двух произвольных натуральных	чисел	, каждое из которых не делится нацело на 3 , кратна 3 .
Отношение положительных	чисел	а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть число а составляет от числа b .
Клетки таблицы размером 101×101 заполнены числами так , что произведение	чисел	в каждом столбце является отрицательным .
Запишите в виде выражения куб суммы	чисел	а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Так , равенства , выражающие свойства сложения и умножения	чисел	, являются примерами тождеств .
Может ли оказаться , что количество строк , произведение	чисел	в которых положительно , равно 51 ? .
Частное двух чисел а и b , не равных нулю , ещё называют отношением	чисел	а и b или отношением числа a к числу b .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов	чисел	a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности чисел c и d .
Частное двух	чисел	а и b , не равных нулю , ещё называют отношением чисел а и b или отношением числа a к числу b .
Получили систему уравнений решением которой является пара	чисел	.
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения	чисел	каждой группы были равны ? .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов	чисел	c и d ; куб разности чисел c и d .
Найдите два числа , если их разность равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих	чисел	и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
Найдите четыре последовательных натуральных числа таких , что произведение четвёртого и второго из этих	чисел	на 17 больше произведения третьего и первого .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных	чисел	равен 3 .
Запись , составленную из	чисел	, знаков арифметических действий и скобок , называют числовым выражением .
Может ли запись произведения этих	чисел	состоять только из цифр 2 и 4 ? .
Следовательно , пара	чисел	( 1 ; 3 ) является общим решением данных уравнений .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных	чисел	, меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух	чисел	, найдите значение данного выражения .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных	чисел	, большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Рассмотрим пары	чисел	как координаты ( х ; у ) точек координатной плоскости .
Какое из данных выражений является записью разности произведения	чисел	а и b и числа с ? .
Из примера , приведённого в начале параграфа , следует , что пара	чисел	является решением системы .
Пара	чисел	не исчерпывает всех решений последней системы .
Например , пара	чисел	— тоже её решение .
Вывод : пара	чисел	— единственное решение данной системы .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных	чисел	не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Найдите эти числа , если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих	чисел	.
Его суть состоит в следующем : построить на одной координатной плоскости графики уравнений , входящих в систему ; найти координаты всех точек пересечения построенных графиков ; полученные пары	чисел	и будут искомыми решениями .
А то , что пара	чисел	является решением системы подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений системы , то есть проверка .
Найдите три последовательных натуральных числа , если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других	чисел	.
Найдите три последовательных натуральных числа таких , что произведение второго и третьего из этих	чисел	на 50 больше квадрата первого .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных	чисел	делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных	чисел	, большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Какая из пар	чисел	( – 2 ; 1 ) ; ( 2 ; – 1 ) ; ( 6 ; 4 ) ; ( 8 ; – 4 ) является решением системы уравнений ? .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных	чисел	делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Пары	чисел	являются решениями данного уравнения .
Запись , состоящую из	чисел	, букв , знаков арифметических действий и скобок , называют буквенным выражением .
Решением каких систем является пара	чисел	( – 5 ; 2 ) ? .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара	чисел	Пара чисел ( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Составьте какую - нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является пара чисел Пара	чисел	( 6 ; 4 ) является решением системы уравнений .
Может ли получиться так , что сумма	чисел	вдоль каждого ребра стопки будет равна 55 ? .
При каких значениях a и b пара	чисел	( – 2 ; 3 ) является решением системы уравнений .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных	чисел	делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных	чисел	и меньшего из них , если большее число равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Пара	чисел	( 3 ; – 2 ) — искомое решение .
Докажите , что : 1 ) сумма	чисел	ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность чисел abc и cba делится нацело на 99 .
Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b ; сумму кубов чисел a и b ; разность кубов чисел c и d ; куб разности	чисел	c и d .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности	чисел	х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Например , уравнение имеет только одно решение — пару	чисел	( 0 ; 0 ) .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения	чисел	– 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности	чисел	9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Отсюда пара	чисел	( 1 ; – 1 ) — единственное решение данного уравнения .
Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара	чисел	, например , то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М на координатной плоскости .
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру , состоящую из всех тех , и только тех точек координатной плоскости , координаты которых ( пары	чисел	) являются решениями данного уравнения .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы	чисел	х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Подчеркнём , что если какая - то фигура является графиком уравнения , то выполняются два условия : 1 ) все решения уравнения являются координатами точек , принадлежащих графику ; 2 ) координаты любой точки , принадлежащей графику , — это пара	чисел	, которая является решением данного уравнения .
Для любого числа a и любых натуральных	чисел	m и n справедливо равенство .
Докажите , что остаток при делении произведения	чисел	а и b на 8 равен 5 .
Если вместо переменной у подставлять в уравнение любые её значения , то будем получать линейные уравнения с одной переменной , корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно , что так можно получить бесконечно много пар	чисел	, являющихся решениями уравнения .
Следовательно , решениями данного уравнения являются все пары	чисел	вида , где х — произвольное число , и все пары чисел вида , где у — произвольное число .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности	чисел	6 и 8 .
Любое составное число можно представить в виде произведения простых	чисел	, то есть разложить на простые множители .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность	чисел	m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Является ли пара	чисел	решением уравнения ? .
Сложение рациональных	чисел	.
Какие из пар	чисел	являются решениями уравнения ? .
Если наибольший общий делитель двух натуральных	чисел	равен 1 , то их называют взаимно простыми .
Какие из	чисел	– 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 являются корнями уравнения ? .
Умножение рациональных	чисел	.
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности	чисел	7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Следовательно , решениями данного уравнения являются все пары чисел вида , где х — произвольное число , и все пары	чисел	вида , где у — произвольное число .
Признаки делимости натуральных	чисел	.
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных	чисел	не может являться квадратом натурального числа .
Докажите , что произведение	чисел	х и у делится нацело на 6 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов	чисел	– 10 и 6 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов	чисел	7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Поскольку , то произведение любых	чисел	, оканчивающихся на 6 , является числом , последняя цифра которого равна 6 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы	чисел	и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы	чисел	4 и 3 ; 4 ) сумма кубов чисел 4 и 3 .
Докажите , что разность суммы квадратов двух последовательных целых	чисел	и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел .
Для любого натурального числа a каждое из	чисел	является кратным числа a .
Делимость натуральных	чисел	.
Пусть первое из этих	чисел	равно , где n — произвольное натуральное число .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение	чисел	а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму чисел a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов	чисел	х и у .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) квадрат разности чисел 7 и 5 ; 2 ) разность квадратов чисел 7 и 5 ; 3 ) куб суммы чисел 4 и 3 ; 4 ) сумма кубов	чисел	4 и 3 .
Среди	чисел	, кратных а , наибольшего нет , а наименьшее есть — это само число а .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности	чисел	– 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Зависит ли разность квадрата второго из этих	чисел	и произведения первого и третьего от выбора чисел ? .
Если каждое из	чисел	а и b делится нацело на число k , то и сумма также делится нацело на число k .
Известно , что одно из	чисел	а , b и с положительное , второе — отрицательное , а третье равно нулю , причём .
Установите , какое из	чисел	является положительным , какое отрицательным и какое равно нулю .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности	чисел	– 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Так , для уравнения каждая из пар	чисел	является его решением , а , например , пара его решением не является .
Используя такое обозначение , можно , например , записать , что каждая из пар	чисел	( 5 ; 85 ) , ( 40 ; 50 ) , ( 50 ; 40 ) является решением уравнения .
Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение ( при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней	чисел	2 и 3 , расположенной на форзаце учебника ) .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения	чисел	– 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы	чисел	– 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Запишите в виде выражения : 1 ) сумму	чисел	a и с ; 2 ) разность чисел m и n ; 3 ) произведение суммы чисел х и у и их разности ; 4 ) квадрат разности чисел х и у ; 5 ) разность квадратов чисел х и у .
Докажите , что : 1 ) сумма	чисел	abc , bса и cab кратна 111 ; разность числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9 .
Пусть — некоторый набор натуральных	чисел	, а набор yх , получен из него в результате перестановки некоторых чисел .
Выражение , представляющее собой произведение	чисел	, переменных и их степеней , называют одночленом .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме	чисел	х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Чтобы произведение двух	чисел	умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Докажите , что сумма кубов трёх последовательных натуральных	чисел	делится нацело на 3 .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных	чисел	делится нацело на некоторое натуральное число , то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму	чисел	, обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Сумма двух противоположных	чисел	равна нулю .
Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора	чисел	? .
Вычитание рациональных	чисел	.
Докажите , что : 1 ) сумма чисел ab , bс и са делится нацело на 11 ; 2 ) разность	чисел	abc и cba делится нацело на 99 .
Сколько существует шестизначных	чисел	, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра ? .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы	чисел	7,8 и 8,2 .
Модули противоположных	чисел	равны .
При этом координаты любой точки этой прямой — пара	чисел	, являющаяся решением данного уравнения .
Запишите алгоритм для решения этой задачи перебором всех двузначных	чисел	.
Чтобы к сумме двух	чисел	прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Чтобы найти разность двух	чисел	, можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Любая пара	чисел	является его решением .
Докажите , что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора	чисел	.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего	чисел	— сочетательное свойство .
Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора	чисел	? .
Для любого числа a , отличного от нуля , и любых натуральных	чисел	m и n таких , что m больше n , справедливо равенство .
Данное выражение равно произведению двух натуральных	чисел	, одним из которых является 14 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы	чисел	– 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных	чисел	делится нацело на 4 .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы чисел а и b ; 2 ) сумму квадратов	чисел	а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Докажите , что сумма четырёх последовательных чётных натуральных	чисел	не делится нацело на 8 .
Найдите все пары ( х ; у ) натуральных	чисел	, являющиеся решениями уравнения .
Докажите , что сумма кубов двух последовательных натуральных	чисел	, ни одно из которых не кратно 3 , делится нацело на 9 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего	чисел	— сочетательное свойство .
Пусть — некоторый набор натуральных чисел , а набор yх , получен из него в результате перестановки некоторых	чисел	.
4 ) решением которого является любая пара	чисел	.
Чтобы число умножить на сумму двух	чисел	, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Найдите все пары ( х ; у ) целых	чисел	, являющиеся решениями уравнения .
Запишите в виде выражения : 1 ) квадрат суммы	чисел	а и b ; 2 ) сумму квадратов чисел а и b ; 3 ) удвоенное произведение чисел а и b ; 4 ) квадрат разности одночленов 3 m и 4n .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму	чисел	х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Выражение являющееся произведением	чисел	, переменных и их степеней .
Для любых	чисел	а и b и любого натурального числа n справедливо равенство .
Пусть меньшее из этих	чисел	равно х , тогда три следующих за ним числа будут равны .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов	чисел	2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Составьте какое - нибудь уравнение с двумя переменными , решением которого является пара	чисел	.
Подчеркнём , что не всякая запись , состоящая из	чисел	, букв , знаков арифметических действий и скобок , является буквенным выражением .
Ответ запишите в виде степени	числа	10 .
Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные	числа	, то уравнение с одной переменной можно получить , сложив почленно левые и правые части уравнений системы .
произведение данного числа и	числа	1 равно 1 ; 3 ) произведением данного числа и числа – 1 является число , противоположное данному ;
Найдите эти	числа	, если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому .
Известно , что а и b — натуральные	числа	, а число a / b — правильная дробь .
Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального	числа	.
произведение данного числа и числа 1 равно 1 ; 3 ) произведением данного числа и	числа	– 1 является число , противоположное данному ;
Выразите скорость света в метрах в секунду ; запишите результат , используя степень	числа	10 .
Функцию , которую можно задать формулой вида , где k и b — некоторые	числа	, х — независимая переменная , называют линейной .
Найдите все целые	числа	x и y , при которых выполняется равенство .
произведение данного числа и числа 1 равно 1 ; 3 ) произведением данного	числа	и числа – 1 является число , противоположное данному ;
Выполните умножение одночленов , где m и n — натуральные	числа	.
Остаток при делении натурального	числа	a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7 .
Заметим , что областью определения линейной функции являются все	числа	.
Найдите все двузначные	числа	, равные произведению своих цифр , увеличенных на 1 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму	числа	a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Докажите , что если остаток при делении натурального	числа	на 16 равен 4 , то квадрат этого числа делится нацело на 16 .
Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого	числа	?
Для любых чисел а и b и любого натурального	числа	n справедливо равенство .
Остаток при делении некоторого натурального	числа	на 11 равен 6 .
Если функция задана формулой , правая часть которой — целое выражение , и при этом не указана область определения , то будем считать , что областью определения такой функции являются все	числа	.
Частное двух чисел а и b , не равных нулю , ещё называют отношением чисел а и b или отношением	числа	a к числу b .
Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого	числа	? .
Задумали три натуральных	числа	.
Отношение положительных чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше	числа	b или какую часть число а составляет от числа b .
Для любого	числа	a , отличного от нуля , и любых натуральных чисел m и n таких , что m больше n , справедливо равенство .
Остаток при делении некоторого натурального	числа	на 9 равен 5 .
Докажите , что если остаток при делении натурального	числа	на 25 равен 5 , то квадрат этого числа кратен 25 .
Так , когда вы записывали формулы и составляли уравнения , вам приходилось обозначать	числа	буквами , конструируя буквенные выражения .
Найдите два	числа	, если их сумма равна 63 , а разность равна 19 .
Найдите два	числа	, если их разность равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
Найдите два числа , если их разность равна 23 , а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго	числа	равна 22 . ( Задача из рассказа « Репетитор » Л. П. Чехова . )
Здесь задана функция f , область определения которой — все	числа	, кроме 0 .
Остаток при делении натурального	числа	х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2 .
Если а , b , с и d —	числа	, не равные нулю , то отношения равны и могут образовать пропорцию .
Отношение положительных чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть число а составляет от	числа	b .
Найдите эти числа , если отношение первого числа к третьему равно отношению второго	числа	к четвёртому .
Докажите , что не существует такого натурального	числа	n , при котором значение выражения делится нацело на 8 .
произведение данного	числа	и числа 1 равно 1 ; 3 ) произведением данного числа и числа – 1 является число , противоположное данному ;
Найдите эти числа , если отношение первого	числа	к третьему равно отношению второго числа к четвёртому .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4 , то квадрат этого	числа	делится нацело на 16 .
Так как а сравниваемые	числа	отрицательные .
Докажите , что значение суммы двучленов , где а и b — произвольные натуральные	числа	, делится нацело на 7 .
Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика , у которой абсцисса и ордината — противоположные	числа	.
Например , формулы задают функции , областью определения каждой из которых являются все	числа	.
Все	числа	, записанные в первой строке этой таблицы , составляют область определения данной функции f.
Числа a и d называют крайними членами пропорции , а	числа	b и с — средними членами пропорции .
Понятно , что вместо букв а и b можно подставлять и другие	числа	, получая каждый раз новое числовое выражение .
Прослеживается закономерность : , где m и n — произвольные натуральные	числа	.
Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так , чтобы один из них не содержал переменной у. Докажите , что значение разности двучленов , где m и n — произвольные натуральные	числа	, делится нацело на 6 .
Для любого	числа	a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство .
Остаток при делении натурального числа х на 6 равен 3 , а остаток при делении натурального	числа	y на 6 равен 2 .
Запишите эту величину , используя степень	числа	10 .
Рассмотрим функцию областью определения которой являются	числа	.
Какие	числа	составляют область определения этой функции ? .
Найдите три последние цифры значения выражения Остаток при делении на 6	числа	a равен 2 , а числа b равен 3 .
При возведении отрицательного	числа	в степень возможны два случая .
Очевидно , что если . Итак , при возведении неотрицательного	числа	в степень получаем неотрицательное число .
К одночленам стандартного вида также относят	числа	, отличные от нуля , переменные и их степени .
Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального	числа	n на 3 равен 2 .
Область определения данной функции — все	числа	.
Какое число , положительное или отрицательное , получают при возведении в степень положительного	числа	? .
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — положительные	числа	? .
Также можно сказать , что выполнили действие возведения в пятую степень	числа	2 .
Остаток при делении натурального	числа	m на 5 равен 3 , а остаток при делении натурального числа n на 3 равен 2 .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного	числа	, если показатель степени является чётным числом ?
Принадлежит ли графику уравнения хотя бы одна точка , у которой обе координаты — целые	числа	? .
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального	числа	b на 9 равен 7 .
И даже , например , у одночленов при записи которых числовой множитель не используется , коэффициентами являются	числа	1 и – 1 соответственно .
Степенью	числа	a с показателем 1 называют само это число .
Выбрали некоторые три последовательных натуральных	числа	.
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и	числа	, обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Выясните , какой остаток может давать квадрат натурального	числа	при делении на 4 .
Что называют степенью	числа	a с показателем 1 ? .
Что называют степенью	числа	a с натуральным показателем n , большим 1 ? .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления	числа	a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Известно , что 60 %	числа	a на 2 больше , чем 70 % числа b , а 50 % числа b на 10 больше , чем 1/3 числа a.
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного	числа	в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Докажите , что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5 , то квадрат этого	числа	кратен 25 .
Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде , где k и b — некоторые	числа	.
Так как при возведении в степень с чётным показателем любого	числа	, кроме 0 , получаем положительное число , то данное уравнение не имеет коней .
При возведении отрицательного	числа	в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Данное выражение представлено в виде произведения трёх множителей , один из которых равен 8 , а два других — натуральные	числа	.
Запишите алгоритм , входными данными для которого являются основание степени а и показатель степени n , а выходными — степень	числа	a с показателем n.
Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые	числа	.
Следовательно , сумма цифр	числа	, являющегося значением данного выражения , равна 3 .
Остаток при делении натурального	числа	m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5 .
Каким числом , чётным или нечётным , является квадрат нечётного натурального	числа	? .
Докажите , что : 1 ) сумма чисел abc , bса и cab кратна 111 ; разность	числа	abc и суммы его цифр делится нацело на 9 .
Пусть меньшее из этих чисел равно х , тогда три следующих за ним	числа	будут равны .
Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального	числа	на 8 ? .
Договорились также считать одночленами все	числа	, любые переменные и их степени .
Найдите три последние цифры значения выражения Остаток при делении на 6 числа a равен 2 , а	числа	b равен 3 .
К подобным одночленам также относят и	числа	.
Для данной функции существует специальное обозначение ( читают : « у равен целой части	числа	х » ) .
Докажите , что если Остаток при делении числа a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5	числа	b равен 3 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба числа 5 и квадрата	числа	8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Десятичная запись одного пятизначного	числа	состоит только из цифр 2 и 3 , а другого пятизначного числа — только из цифр 3 и 4 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и	числа	0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Десятичная запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3 , а другого пятизначного	числа	— только из цифр 3 и 4 .
Можно ли с помощью этих операций добиться того , чтобы все	числа	, записанные на доске , оказались равными ? .
Квадрат	числа	.
Составьте числовое выражение и найдите его значение произведение суммы чисел – 12 и 8 и	числа	0,5 ; сумма произведения чисел – 12 и 8 и числа 0,5 ; частное суммы и разности чисел – 1,6 и – 1,2 ; квадрат суммы чисел – 10 и 6 ; сумма квадратов чисел – 10 и 6 .
Область определения некоторой функции — однозначные натуральные	числа	, а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента .
За один шаг разрешается , выбрав два	числа	, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1 .
Куб	числа	.
На доске написаны	числа	1 , 2 , 3 , 10 .
Каждому натуральному числу , которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при делении этого	числа	на 6 .
Известно , что натуральные	числа	m и n таковы , что значение выражения делится нацело на 11 .
Данную функцию называют « дробная часть	числа	» , и для неё существует специальное обозначение : у меньше { х } .
Докажите , что если Остаток при делении	числа	a на 5 равен 4 , а остаток при делении на 5 числа b равен 3 .
Найдите четыре последовательных нечётных натуральных	числа	, сумма квадратов которых равна 164 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение : 1 ) сумма куба	числа	5 и квадрата числа 8 ; куб разности чисел 9 и 8 ; 3 ) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25 ; 4 ) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2 .
Задумали четыре натуральных	числа	.
Найдите четыре последовательных натуральных	числа	таких , что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше произведения второго и первого .
Задана функция , областью определения которой являются все однозначные натуральные	числа	.
Если , например , в уравнение вместо х и у подставить	числа	2 и 6 , то получим верное равенство .
Найдите четыре последовательных натуральных	числа	, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше , чем сумма квадратов первого и третьего .
Постройте график функции , областью определения которой являются целые	числа	, удовлетворяющие неравенству .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные	числа	и которая принимает значение 1 при чётных значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на число ; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и	числа	2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3 , а остаток при делении натурального	числа	b на 8 равен 7 .
Найдите эти	числа	, если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Остаток при делении натурального	числа	a на 3 равен 1 , а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7 .
Найдите три последовательных натуральных	числа	, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел .
Запишите : 1 )	числа	16 ; 64 ; 256 в виде степени с основанием 4 ; 2 ) числа 0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3 .
Запишите : 1 ) числа 16 ; 64 ; 256 в виде степени с основанием 4 ; 2 )	числа	0,09 ; 0,027 ; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3 .
Функцию , которую можно задать формулой вида где k и b — некоторые	числа	, х — независимая переменная , называют линейной .
Степенью	числа	a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9 , а остаток при делении натурального	числа	n на 11 равен 5 .
Даны три	числа	, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего .
Произведением	числа	a на натуральное число b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
Известно , что 25 % одного числа равно 20 % другого числа , а 4 первого	числа	на 4 меньше 40 % другого .
Известно , что 60 % числа a на 2 больше , чем 70 % числа b , а 50 %	числа	b на 10 больше , чем 1/3 числа a.
Степень	числа	.
Поскольку произведение любого	числа	на нуль равно нулю , то корнем второго уравнения является любое число .
Выбрали некоторые четыре последовательных натуральных	числа	.
Найдите три последовательных натуральных	числа	таких , что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого .
Искомые корни —	числа	0,5 и – 1 .
Натуральные	числа	называют целыми положительными числами .
Известно , что 45 % числа a на 7 больше , чем этого	числа	.
Известно , что 45 %	числа	a на 7 больше , чем этого числа .
Третья степень	числа	.
В примере 1 область значений функции — это все положительные числа , в примере 2 — числа , записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все	числа	, не меньшие – 5 и не большие 7 .
Все натуральные	числа	, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами .
Рациональные	числа	.
Учитывая , что существуют только два	числа	, – 4 и 4 , модули которых равны 4 , получаем .
Нахождение	числа	по его дроби .
Эйлер использовал в своих трудах обозначения , предложенные другими учёными ( например , обозначение	числа	π , впервые введённое Уильямом Джонсом в 1706 году ) .
Докажите , что сумма любого натурального	числа	и его квадрата является чётным числом .
В примере 1 область значений функции — это все положительные числа , в примере 2 —	числа	, записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все числа , не меньшие – 5 и не большие 7 .
На сколько значение выражения больше	числа	2 ? .
Все натуральные числа , противоположные им	числа	и число 0 называют целыми числами .
Чтобы найти проценты от	числа	, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь .
Степенью	числа	a с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а , n множителей .
Остаток при делении на 3	числа	n равен 1 .
Модуль	числа	a обозначают так : читают : « модуль а » .
Модулем	числа	a называют расстояние от начала отсчёта до точки , изображающей это число на координатной прямой .
Модуль	числа	.
Дробные	числа	.
Уравнение вида , где х — переменная , а и b — некоторые	числа	, называют линейным уравнением с одной переменной .
Третью степень называют кубом	числа	, а запись а3 читают : « а в кубе » .
Объединив целые числа с дробными , получим рациональные	числа	.
Объединив натуральные	числа	с целыми отрицательными и нулём , получим целые числа .
Объединив целые	числа	с дробными , получим рациональные числа .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным	числа	b , число b — делителем числа a .
Натуральные	числа	.
Степенью	числа	a с показателем 1 называют само число а .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем	числа	a .
Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулём , получим целые	числа	.
Для любого натурального	числа	a каждое из чисел является кратным числа a .
Для любого натурального числа a каждое из чисел является кратным	числа	a .
Наименьшим делителем любого натурального	числа	a является число 1 , а наибольшим — само число а .
Вторую степень также называют квадратом	числа	.
Модуль положительного	числа	равен этому числу , модуль отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
В примере 1 область значений функции — это все положительные	числа	, в примере 2 — числа , записанные во второй строке таблицы , в примере 3 — все числа , не меньшие – 5 и не большие 7 .
Целые	числа	.
Докажите , что . Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального	числа	.
Например , при делении	числа	43 на 8 получим неполное частное 5 и остаток 3 .
Остаток при делении натурального	числа	m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального числа n на 4 равен 2 .
Докажите , что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального	числа	.
Докажите , что разность между квадратом натурального	числа	, не кратного 3 , и числом 1 кратна 3 .
Если запись натурального	числа	оканчивается нечётной цифрой , то оно не делится нацело на 2 .
Если запись натурального	числа	оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится нацело на 5 .
Если сумма цифр	числа	не делится нацело на 3 , то и само число не делится нацело на 3 .
Если запись натурального	числа	оканчивается чётной цифрой , то оно делится нацело на 2 .
Найдите эти	числа	.
Если запись натурального	числа	оканчивается любой цифрой , отличной от 0 или 5 , то оно не делится нацело на 5 .
Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4 , а другого	числа	равен 3 .
Если сумма цифр	числа	делится нацело на 3 , то и само число делится нацело на 3 .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 11 .
Известно , что 60 % числа a на 2 больше , чем 70 %	числа	b , а 50 % числа b на 10 больше , чем 1/3 числа a.
Если сумма цифр	числа	не делится нацело на 9 , то и само число не делится нацело на 9 .
Вторая степень	числа	.
Если сумма цифр	числа	делится нацело на 9 , то и само число делится нацело на 9 .
Остаток от деления на 7 одного натурального	числа	равен 4 , а другого числа равен 3 .
Какое из данных выражений является записью разности произведения чисел а и b и	числа	с ? .
Докажите , что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего	числа	.
Докажите , что разность куба натурального числа и самого этого	числа	делится нацело на 6 .
Чтобы найти дробь от	числа	, можно число умножить на эту дробь .
Несмотря на существенное различие полученных ответов , приведённые уравнения внешне похожи : все они имеют вид ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые	числа	.
Нахождение дроби от	числа	.
Уравнение вида ах равно b , где х — переменная , а и b — некоторые	числа	, называют линейным уравнением с одной переменной .
Чтобы разделить два отрицательных	числа	, надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Дробь , числитель и знаменатель которой — взаимно простые	числа	, называют несократимой .
На сколько значение выражения меньше	числа	10 ? .
Чтобы разделить два	числа	с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак « – » .
Если натуральное число разделить на 10 , то остаток равен числу , записанному последней цифрой этого	числа	.
Если цифры	числа	переставить , то полученное число будет в 1 раза больше данного .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа ; в примере 2 — натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные	числа	, не превосходящие 24 .
Докажите , что остаток при делении квадрата натурального	числа	на число 3 равен 0 или 1 .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа ; в примере 2 — натуральные	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
Так , в примере 1 областью определения функции являются все положительные	числа	; в примере 2 — натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; в примере 3 — все неотрицательные числа , не превосходящие 24 .
Известно , что	числа	х и у таковы , что .
Если запись натурального	числа	оканчивается любой цифрой , отличной от 0 , то оно не делится нацело на 10 .
Если цифры	числа	переставить , то полученное число будет на 54 меньше данного .
Докажите , что разность куба натурального	числа	и самого этого числа делится нацело на 6 .
Если запись натурального	числа	оканчивается цифрой 0 , то оно делится нацело на 10 .
Модуль положительного числа равен этому числу , модуль отрицательного	числа	равен числу , противоположному данному .
Остаток при делении натурального числа m на 6 равен 5 , а остаток при делении натурального	числа	n на 4 равен 2 .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 9 , причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц .
Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно обратные	числа	.
Придумайте функцию f , областью определения которой являются все натуральные	числа	, а областью значений — три числа : 0 ; 1 ; 2 .
Найдите данные	числа	.
Найдите четыре последовательных натуральных	числа	таких , что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого .
Найдите эти числа , если отношение первого	числа	ко второму равно отношению второго числа к третьему .
Придумайте функцию f , областью определения которой являются все натуральные числа , а областью значений — три	числа	: 0 ; 1 ; 2 .
Чтобы умножить два отрицательных	числа	, надо умножить их модули .
Из	числа	a вычесть число b — значит найти такое число , которое в сумме с числом b даёт число а .
Чтобы умножить смешанные	числа	, надо сначала записать их в виде неправильных дробей , а потом воспользоваться правилом умножения дробей .
Даны три	числа	, из которых каждое следующее на 4 больше предыдущего .
Докажите , что сумма трёхзначного	числа	и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3 .
Разность показывает , на сколько число а больше числа b или на сколько число b меньше	числа	a .
Найдите эти числа , если отношение первого числа ко второму равно отношению второго	числа	к третьему .
Чтобы умножить два	числа	с разными знаками , надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак « — » .
Для любого рационального	числа	a .
Найдите эти	числа	, если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего .
Разность цифр двузначного	числа	равна 6 , причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц .
Разность показывает , на сколько число а больше	числа	b или на сколько число b меньше числа a .
При делении данного	числа	на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2 .
Можно ли натуральные	числа	от 1 до 32 разбить на три группы так , чтобы произведения чисел каждой группы были равны ? .
Докажите , что квадрат натурального	числа	имеет нечётное количество делителей .
Докажите , что разность двузначного	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится нацело на 9 .
Чтобы сложить два отрицательных	числа	, надо : 1 ) найти модули слагаемых ;
Следовательно , мы задали некоторую функцию f , областью определения которой являются все	числа	.
Сумма цифр двузначного	числа	равна 15 .
Остаток при делении на 3	числа	n равен 2 .
В те времена отрицательные	числа	не признавали и называли невозможными , ложными , абсурдными .
Известно , что 25 % одного числа равно 20 % другого	числа	, а 4 первого числа на 4 меньше 40 % другого .
Запись является обозначением двузначного	числа	, содержащего а десятков и b единиц , то есть .
Докажите , что разность двузначного числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится нацело на 9 .
С помощью фигурной скобки свойство модуля	числа	a можно записать так .
Рассмотрим правило , по которому числу 0 ставятся в соответствие все чётные	числа	, а числу 1 — все нечётные числа .
Известно , что 60 % числа a на 2 больше , чем 70 % числа b , а 50 % числа b на 10 больше , чем 1/3	числа	a.
Чтобы сложить два	числа	с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем .
Если коэффициенты многочлена — целые	числа	, то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это число 4 ) .
Для любого	числа	a верны равенства : поскольку , поскольку .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого	числа	на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Натуральные	числа	x и y таковы .
Аналогично запись abc является обозначением трёхзначного	числа	, содержащего а сотен , b десятков и с единиц , то есть .
Модуль	числа	принимает только неотрицательные значения .
Найдите	числа	a и b .
Рассмотрим правило , по которому числу 0 ставятся в соответствие все чётные числа , а числу 1 — все нечётные	числа	.
Уравнение вида , где х и у — переменные , а , b , с — некоторые	числа	, называют линейным уравнением с двумя переменными .
Вы узнаете , что возведение	числа	в квадрат и куб — частные случаи нового арифметического действия .
Если произведение ab — положительное , то	числа	a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то числа a и b имеют разные знаки .
Найдите эти	числа	, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему .
Известно , что 25 % одного	числа	равно 20 % другого числа , а 4 первого числа на 4 меньше 40 % другого .
Если произведение ab — положительное , то числа a и b имеют одинаковые знаки ; если произведение аb — отрицательное , то	числа	a и b имеют разные знаки .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных	числам	х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Он составлен из одночленов , степени которых соответственно равны	числам	.
Докажите , что это число кратно	числам	7 , 11 и 13 .
В своих трудах эти учёные показали , как благодаря системе координат можно переходить от точек к	числам	, от линий к уравнениям , от геометрии к алгебре .
Тогда следующими тремя	числами	являются соответственно .
Поскольку буквы можно заменять произвольными	числами	, то эти буквы называют переменными , а само буквенное выражение — выражением с переменными ( или с переменной , если она одна ) .
Натуральные числа называют целыми положительными	числами	.
Первый по карточке с числами выдаёт карточку с числами , а второй по карточке с	числами	( а ; b ; с ) — карточку с числами .
Первый по карточке с числами выдаёт карточку с	числами	, а второй по карточке с числами ( а ; b ; с ) — карточку с числами .
Первый по карточке с	числами	выдаёт карточку с числами , а второй по карточке с числами ( а ; b ; с ) — карточку с числами .
Гальперин Г.А. Просто о простых	числах	.
В шестизначном	числе	первая и четвёртая , вторая и пятая , третья и шестая цифры одинаковы .
Докажите , что в любом 60-значном	числе	, десятичная запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001 .
В двузначном	числе	количество десятков на 2 меньше количества единиц .
В двузначном	числе	количество десятков в 3 раза больше количества единиц .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь , числитель которой равен произведению	числителей	, а знаменатель — произведению знаменателей .
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её	числитель	умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Если	числитель	и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получим дробь , равную данной .
Если	числитель	и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель , то получим дробь , равную данной .
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть	числитель	вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
умножить	числитель	и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель .
Считают , что . Произведением двух дробей является дробь ,	числитель	которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей .
Дробь ,	числитель	и знаменатель которой — взаимно простые числа , называют несократимой .
Если сократить дробь на наибольший общий делитель	числителя	и знаменателя , то получим несократимую дробь .
При вычитании дробей с равными знаменателями надо из	числителя	уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого , а знаменатель оставить тот же самый .
Деление	числителя	и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от 1 , называют сокращением дроби .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ;	число	, обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Чтобы	число	умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Корни уравнения ах равно b , х — любое	число	; корней нет .
Сравните значения выражений , где n — натуральное	число	.
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это	число	умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить — распределительное свойство .
Запишите в виде выражения :	число	, противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Очевидно , что	число	делится нацело на 9 .
Можно ли , например ,	число	5 возвести в степень 0 или в степень – 2 ?
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное	число	.
Чтобы найти разность двух чисел , можно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
Выполните умножение двучленов ( n — натуральное	число	) .
Следовательно , искомый график содержит все точки , у которых абсцисса равна 2 , а ордината — любое	число	.
Если n — чётное	число	, то выражение 9n можно представить в виде произведения , содержащего чётное число девяток .
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное	число	, то получим дробь , равную данной .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число , то на это	число	делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
Если n — чётное число , то выражение 9n можно представить в виде произведения , содержащего чётное	число	девяток .
Чему равно	число	а ? .
Можно ли утверждать , что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное	число	, то на это число делится нацело : 1 ) разность их квадратов ; 2 ) сумма их квадратов ; 3 ) сумма их кубов ? .
11 ) В выражении 74	число	7 — степени .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ;	число	, обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Значит , само это	число	делится нацело на 3 .
Известно , что n — натуральное	число	.
Докажите , что значение выражения : делится нацело на 10 ; делится нацело на 5 , где n — натуральное	число	, делится нацело на 5 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое	число	умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
В последовательности a , b , с , d , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 каждое	число	равно сумме двух предыдущих .
22 ) В выражении а	число	n — степени .
Докажите , что это	число	кратно числам 7 , 11 и 13 .
Пусть данное	число	содержит а десятков и b единиц .
Если натуральное	число	разделить на 10 , то остаток равен числу , записанному последней цифрой этого числа .
Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4 , если две его стороны лежат на осях координат , а произведение координат одной из вершин — положительное	число	.
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье	число	, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Ясно , что любая пара вида , и только она , где t — произвольное	число	, является решением уравнения .
Какой цифрой оканчивается значение выражения ( n — натуральное	число	) ? .
Каким образом вы зададите	число	π ? .
Так как при возведении в степень с чётным показателем любого числа , кроме 0 , получаем положительное	число	, то данное уравнение не имеет коней .
Какое	число	, положительное или отрицательное , получают при возведении в степень положительного числа ? .
Разделить число а на	число	b — значит найти такое число , произведение которого с числом b равно а .
Установите , больше или меньше исходного полученное	число	и на сколько процентов .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на	число	k , то и сумма также делится нацело на число k .
Обозначим	число	всех ящиков , собранных двумя бригадами , буквой у.
Разность показывает , на сколько	число	а больше числа b или на сколько число b меньше числа a .
В равенстве	число	а называют уменьшаемым , b — вычитаемым , с — разностью .
Из числа a вычесть число b — значит найти такое число , которое в сумме с числом b даёт	число	а .
Среди чисел , кратных а , наибольшего нет , а наименьшее есть — это само	число	а .
Наименьшим делителем любого натурального числа a является число 1 , а наибольшим — само	число	а .
Наименьшим делителем любого натурального числа a является	число	1 , а наибольшим — само число а .
Из числа a вычесть число b — значит найти такое	число	, которое в сумме с числом b даёт число а .
Из числа a вычесть	число	b — значит найти такое число , которое в сумме с числом b даёт число а .
Если коэффициенты многочлена — целые числа , то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов ( в нашем примере это	число	4 ) .
Саша и Вася записывают 30-значное	число	, используя только цифры 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 .
Составьте числовое выражение и найдите его значение частное от деления суммы чисел и на	число	; разность произведения чисел – 1,5 и 4 и числа 2 ; произведение суммы и разности чисел – 1,9 и 0,9 ; куб разности чисел 6 и 8 .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b ,	число	b — делителем числа a .
Тогда зависимость переменной у от переменной х выражается формулой , где х — натуральное	число	.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье	число	, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то	число	а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
д. Вася хочет получить	число	, кратное 9 .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное	число	b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Если натуральное	число	а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числа b , число b — делителем числа a .
Поэтому , прибавив к данному трёхчлену	число	16 и вычтя из него 16 , получим .
Ответ : если , то x — любое	число	; если а ≠ – 9 ,
Модулем числа a называют расстояние от начала отсчёта до точки , изображающей это	число	на координатной прямой .
Если к сумме прибавить	число	16 , то полученное выражение можно « свернуть » по формуле квадрата суммы .
В этом случае корнем уравнения является любое	число	.
В равенстве	число	а называют делимым , b — делителем , с — частным .
Изобразите на координатной плоскости все точки ( х ; у ) такие , что х — произвольное число ; у — произвольное число ; х — произвольное	число	.
Изобразите на координатной плоскости все точки ( х ; у ) такие , что х — произвольное число ; у — произвольное	число	; х — произвольное число .
Изобразите на координатной плоскости все точки ( х ; у ) такие , что х — произвольное	число	; у — произвольное число ; х — произвольное число .
Разделить число а на число b — значит найти такое	число	, произведение которого с числом b равно а .
Представьте	число	в виде степени с показателем , большим 1 , и наименьшим по модулю основанием .
Некоторое	число	сначала увеличили на 20 % , а потом уменьшили результат на 20 % .
Очевидно , что	число	делится нацело на 18 .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 )	число	, которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Чтобы умножить дробь на натуральное	число	, надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения .
Пусть первое из этих чисел равно , где n — произвольное натуральное	число	.
Все точки , координаты которых имеют вид , где у — произвольное	число	, образуют прямую , проходящую через точку параллельно оси ординат .
Все точки , координаты которых имеют вид ( х ; 0 ) , где х — произвольное	число	, образуют ось абсцисс .
Следовательно , решениями данного уравнения являются все пары чисел вида , где х — произвольное число , и все пары чисел вида , где у — произвольное	число	.
Любое составное	число	можно представить в виде произведения простых чисел , то есть разложить на простые множители .
Следовательно , решениями данного уравнения являются все пары чисел вида , где х — произвольное	число	, и все пары чисел вида , где у — произвольное число .
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это	число	, а знаменатель оставить без изменения .
Натуральное	число	, имеющее более двух делителей , называют составным .
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это	число	.
Разделить	число	а на число b — значит найти такое число , произведение которого с числом b равно а .
Представьте в виде степени выражение , где k — натуральное	число	.
Натуральное	число	называют простым , если оно имеет только два разных делителя : единицу и само это число .
Представьте в виде степени выражение , где n — натуральное	число	.
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное	число	; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 ) число , которое не делится нацело на 3 ? .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля	число	, то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Какова вероятность того , что при бросании игрального кубика выпадет : 1 ) нечётное число ; 2 ) число , которое делится нацело на 3 ; 3 )	число	, которое не делится нацело на 3 ? .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на	число	k .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же	число	, то получим уравнение , имеющее те же решения , что и данное .
Вместо звёздочки запишите такое выражение , чтобы выполнялось равенство , где n — натуральное	число	.
Разность показывает , на сколько число а больше числа b или на сколько	число	b меньше числа a .
Если число а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на	число	k , то сумма также не делится нацело на число k .
При этом говорят , что — значение переменной х , а	число	4 — значение выражения 2х плюс 3 при х .
Поэтому если	число	оканчивается цифрой 6 , то любая его степень оканчивается цифрой 6 .
В связи с этим распространена ошибка : называть каждое	число	пары или саму пару , являющуюся решением , корнем уравнения с двумя переменными .
Если число а делится нацело на число k , а	число	b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если число а делится нацело на	число	k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Все натуральные числа , противоположные им числа и	число	0 называют целыми числами .
Если	число	а делится нацело на число k , а число b не делится нацело на число k , то сумма также не делится нацело на число k .
Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k , то и сумма также делится нацело на	число	k .
При каком значении a любое	число	является корнем уравнения .
Докажите , что корнем уравнения является любое	число	; уравнение не имеет корней .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9 , то и само	число	не делится нацело на 9 .
Какое	число	можно подставить вместо а , чтобы равенство было тождеством ? .
Отношение положительных чисел а и b показывает , во сколько раз	число	а больше числа b или какую часть число а составляет от числа b .
Тогда n можно представить в виде , где k — натуральное	число	.
Данное выражение представлено в виде произведения , один из множителей которого равен 24 , а другой — натуральное	число	.
Степенью числа a с показателем 1 называют само	число	а .
Степенью числа a с показателем 1 называют само это	число	.
Рассмотрим правило , согласно которому каждому натуральному числу соответствует противоположное ему	число	.
Запишите в виде выражения : произведение четырёх последовательных натуральных чисел , большее из которых равно х ; разность произведения двух последовательных нечётных чисел и меньшего из них , если большее	число	равно 2k плюс 1 ; количество килограммов в а тоннах и b центнерах .
Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37 , чтобы полученное	число	делилось нацело на 6 ? .
Это определение позволяет любое	число	считать степенью с показателем 1 .
Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это	число	, а каждому отрицательному числу — число , ему противоположное .
Упростите выражение , где n — натуральное	число	.
Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число , а каждому отрицательному числу —	число	, ему противоположное .
Докажите , что остаток при делении квадрата натурального числа на	число	3 равен 0 или 1 .
Докажите , что число 5 является корнем уравнения ;	число	– 2 не является корнем уравнения .
Каждому рациональному числу , отличному от нуля , соответствует обратное ему	число	.
Если цифры числа переставить , то полученное	число	будет в 1 раза больше данного .
В таких случаях говорят , что	число	2 возвели в пятую степень и получили 32 .
Докажите , что	число	5 является корнем уравнения ; число – 2 не является корнем уравнения .
Если величины у их прямо пропорциональны , то их соответствующие значения удовлетворяют равенству , где k —	число	, постоянное для данных величин .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на	число	, обратное делителю .
Поскольку , то	число	4 называют значением выражения .
Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение , где n — натуральное	число	.
Представьте в виде многочлена	число	, состоящее из : 1 ) 4 сотен , х десятков и у единиц ; 2 ) а тысяч , b сотен , 5 десятков и с единиц .
Если такое	число	существует , найдите его .
Пусть n — некоторое натуральное	число	.
Отношение положительных чисел а и b показывает , во сколько раз число а больше числа b или какую часть	число	а составляет от числа b .
Найдите данное	число	.
Разложите на множители , где n — натуральное	число	.
Найдите	число	а .
Выражение называют степенью , число 4 — основанием степени , а	число	3 — показателем степени .
Чтобы найти	число	по его процентам , можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь .
Второе	число	на 1 больше первого , третье — на 5 больше второго , а четвёртое — на 2 больше третьего .
Число 3 называют абсциссой точки М ,	число	– 2 — ординатой точки М. Числа 3 и – 2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости .
Отношение не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же	число	, не равное нулю .
Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю , то корнем второго уравнения является любое	число	.
Решите уравнение Решите уравнение ; А ) 0 В ) х — любое	число	; Б ) корней нет ; Г ) 10 .
После этого получили	число	, которое на 48 больше данного .
Чтобы найти	число	по значению его дроби , можно это значение разделить на эту дробь .
Равенство означает , что	число	– 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что число – 3 возвели в куб и получили – 27 .
Тогда n равно 3k , где k — натуральное	число	.
Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения , где n — произвольное натуральное	число	?
Какое	число	можно подставить вместо b , чтобы равенство было тождеством ? .
Чтобы найти проценты от числа , можно представить проценты в виде дроби и умножить	число	на эту дробь .
Докажите тождество , где n — произвольное натуральное	число	.
Докажите , что в любом 60-значном числе , десятичная запись которого не содержит нулей , можно зачеркнуть несколько цифр так , что полученное в результате этого	число	будет делиться нацело на 1001 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел , большее из которых равно 2k ;	число	, в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Если сумма цифр числа делится нацело на 9 , то и само	число	делится нацело на 9 .
Чтобы найти дробь от числа , можно	число	умножить на эту дробь .
Какое	число	надо прибавить к многочлену , чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена ?
Докажите , что	число	составное .
Выражение называют степенью ,	число	4 — основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Второе	число	на 4 больше первого , а третье — на 6 больше второго .
Найдите данное двузначное	число	.
Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки , изображающей это	число	на координатной прямой , до начала отсчёта .
Равенство означает , что число – 3 возвели в квадрат и получили 9 , а равенство означает , что	число	– 3 возвели в куб и получили – 27 .
Не всегда одно натуральное	число	делится нацело на другое .
Понятно , что функцию из примера 2 задаёт формула , где х — любое	число	, кроме 0 .
Чтобы исключить переменную у , умножим обе части первого уравнения на	число	5 , а второго — на число – 8 и применим метод сложения .
Если же показатель степени —	число	нечётное , то один множитель останется без пары .
Чтобы исключить переменную у , умножим обе части первого уравнения на число 5 , а второго — на	число	– 8 и применим метод сложения .
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3 , то и само	число	не делится нацело на 3 .
По условию этих задач можно составить одно и то же уравнение , корнем которого является	число	1,5 .
Отсюда : если а равно 0 и b равно равно 0 , то уравнение ах равно b имеет бесконечно много корней : любое	число	является его корнем .
Если сумма цифр числа делится нацело на 3 , то и само	число	делится нацело на 3 .
Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же отличное от нуля	число	, то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Поскольку каждые два отрицательных множителя в произведении дают положительное	число	, то верно следующее утверждение .
Если цифры числа переставить , то полученное	число	будет на 54 меньше данного .
Разложите на множители выражение ( n — натуральное	число	) .
Подставив в формулу вместо у	число	12 , получаем уравнение , откуда .
Если данное уравнение не имеет корней , то , прибавив к обеим частям одно и то же	число	, получим уравнение , тоже не имеющее корней .
Если к этому числу прибавить 63 , то получим	число	, записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке .
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное	число	, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Представьте в виде произведения трёх множителей выражение , где n — натуральное	число	.
Вынесите за скобки общий множитель ( n — натуральное	число	) .
В результате получили	число	, которое в 21 раз больше данного .
Если к обеим частям данного уравнения прибавить ( или из обеих частей вычесть ) одно и то же	число	, то получим уравнение , имеющее те же корни , что и данное .
Разложите на множители ( n — натуральное	число	) .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на	число	, противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ;	число	делилось нацело на 2 и на 3 .
Если в примере 1 независимую переменную обозначить буквой х , а зависимую — буквой у , указать область определения , х — любое	число	, то формула задаёт вышеописанную функцию .
Умножив обе части данного уравнения на	число	24 , являющееся наименьшим общим знаменателем дробей , содержащихся в этом уравнении , получаем .
Если поменять его цифры местами , то получим	число	, которое меньше данного на 9 .
Оно показывает , сколько процентов одно	число	составляет от другого .
Докажите тождество , где n — натуральное	число	.
Представьте	число	24 в виде суммы таких двух чисел , чтобы их произведение было наибольшим .
Подставив вместо х в выражение	число	2 , получим .
Существует ли двузначное	число	, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
Очевидно , что если . Итак , при возведении неотрицательного числа в степень получаем неотрицательное	число	.
Числа a и b называют членами отношения , число а — предыдущим членом отношения , а	число	b — последующим .
Тогда n равно , где k — натуральное	число	.
Известно , что а и b — натуральные числа , а	число	a / b — правильная дробь .
Произведением числа a на натуральное	число	b , не равное 1 , называют сумму , состоящую из b слагаемых , каждое из которых равно а : b слагаемых .
Конечно , можно сразу в это выражение подставить вместо а	число	— и найти значение числового выражения .
Числа a и b называют членами отношения ,	число	а — предыдущим членом отношения , а число b — последующим .
Значения а и b. Корни уравнения : любое	число	; корней нет .
Докажите , что	число	: делится нацело на 11 ; делится нацело на 37 ; делится нацело на 7 ; делится нацело на 9 и на 101 .
произведение данного числа и числа 1 равно 1 ; 3 ) произведением данного числа и числа – 1 является	число	, противоположное данному ;
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы	число	делилось нацело на 3 и на 10 ; число делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Если же разделить данное	число	на сумму его цифр , то получим неполное частное 3 и остаток 3 .
Замените звёздочки такими цифрами , чтобы число делилось нацело на 3 и на 10 ;	число	делилось нацело на 9 и на 5 ; число делилось нацело на 2 и на 3 .
Некоторое	число	сначала уменьшили на 10 % , а потом результат увеличили на 20 % .
Существует ли двузначное	число	, удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Поэтому , если при решении уравнений появлялось « ложное	число	» , его превращали в « настоящее » , перенося в другую часть уравнения .
Если показатель степени — чётное	число	, то при возведении в степень множители можно разбить на пары .
Разделить число а на число b — значит найти такое число , произведение которого с	числом	b равно а .
Если переменную х заменить , например ,	числом	, то получим числовое выражение .
Найдите все целые значения m , при которых корень уравнения является целым	числом	.
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а разность между данным	числом	и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
Существует ли двузначное число , в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц , а разность между данным числом и	числом	, записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна 27 ? .
Из числа a вычесть число b — значит найти такое число , которое в сумме с	числом	b даёт число а .
Укажите какое - либо значение b , при котором будет целым	числом	корень уравнения .
Найдите все целые значения n , при которых корень уравнения является натуральным	числом	.
Выразите это расстояние натуральным	числом	в метрах .
Следовательно , значение выражения является отрицательным	числом	при любом значении a .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным	числом	?
При каких целых значениях a корень уравнения является целым	числом	, которое делится нацело на 2 ? .
При каких целых значениях b корень уравнения является целым	числом	, которое делится нацело на 3 ? .
Каким	числом	, положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если показатель степени является чётным числом ?
Докажите , что при любом значении переменной а значение выражения является отрицательным	числом	.
Каким	числом	, чётным или нечётным , является квадрат нечётного натурального числа ? .
нечётным	числом	? .
Докажите , что значение выражения является чётным	числом	.
Чтобы сложить два числа с разными знаками , надо : 1 ) найти модули слагаемых ; 2 ) из большего модуля вычесть меньший модуль ; 3 ) перед полученным	числом	поставить знак слагаемого с большим модулем .
Докажите , что разность между квадратом натурального числа , не кратного 3 , и	числом	1 кратна 3 .
Каким	числом	, чётным или нечётным , является значение выражения ? .
сложить модули слагаемых ; 3 ) перед полученным	числом	поставить знак « – » .
Решением этой системы является пара ( х ; у ) , в которой у — 22,5 , что не соответствует смыслу задачи , так как количество монет может быть только натуральным	числом	.
Докажите , что при любых значениях х значение выражения является положительным	числом	.
Докажите , что при любом натуральном значении n , отличном от 1 , значение выражения является составным	числом	.
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим	числом	и числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Поскольку , то произведение любых чисел , оканчивающихся на 6 , является	числом	, последняя цифра которого равна 6 .
Существует ли двузначное число , удовлетворяющее таким условиям : цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц , а разность между этим числом и	числом	, записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , равна : 1 ) 20 ; 2 ) 18 ?
Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным	числом	поставить знак « – » .
Степень одночлена , который является	числом	, отличным от нуля , считают равной нулю .
Докажите , что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным	числом	.
Выразите эту площадь натуральным	числом	в квадратных километрах .
Найдите все натуральные значения n , при которых значение каждого из выражений является простым	числом	.
Может ли быть целым	числом	значение выражения .
Каждому неотрицательному	числу	поставили в соответствие само это число , а каждому отрицательному числу — число , ему противоположное .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный	числу	3 ; имеет корень , равный числу – 6 ? .
Модуль положительного числа равен этому числу , модуль отрицательного числа равен	числу	, противоположному данному .
Наибольшая из этих степеней равна	числу	4 .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное	числу	а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Если натуральное число разделить на 10 , то остаток равен	числу	, записанному последней цифрой этого числа .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного	числу	с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому	числу	прибавить сумму второго и третьего чисел — сочетательное свойство .
Рассмотрим правило , по которому каждому натуральному	числу	поставили в соответствие остаток при делении его на 7 .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому	числу	, которое не превосходит соответствующего значения аргумента .
Составьте уравнение , которое имеет единственный корень , равный	числу	– 4 ; имеет бесконечно много корней ; не имеет корней .
Если к этому	числу	прибавить 63 , то получим число , записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке .
Запишите в виде выражения : число , противоположное числу а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное	числу	b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
К некоторому двузначному	числу	слева и справа дописали цифру 1 .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный	числу	– 9 ; имеет корень , равный числу 2 ? .
Частное двух чисел а и b , не равных нулю , ещё называют отношением чисел а и b или отношением числа a к	числу	b .
Рассмотрим правило , по которому	числу	0 ставятся в соответствие все чётные числа , а числу 1 — все нечётные числа .
Рассмотрим правило , по которому числу 0 ставятся в соответствие все чётные числа , а	числу	1 — все нечётные числа .
Докажите , что значение выражения кратно	числу	.
Модуль положительного числа равен этому	числу	, модуль отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
Если две величины прямо пропорциональны , то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин	числу	.
Рассмотрим функцию g , заданную следующим правилом : каждому однозначному натуральному	числу	поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата .
Запишите в виде выражения : число , противоположное	числу	а ; число , обратное числу а ; сумму чисел х и у ; число , обратное сумме чисел х и у ; сумму чисел , обратных числам х и у ; сумму числа a и его квадрата ; частное от деления числа a на число , противоположное числу b ; произведение суммы чисел а и b и числа , обратного числу с ; разность произведения чисел m и n и частного чисел р и q .
Рассмотрим правило , согласно которому каждому натуральному	числу	соответствует противоположное ему число .
Функция f задана описательно : значение функции равно наибольшему целому	числу	, которое не превышает соответствующее значение аргумента .
Каждому	числу	поставили в соответствие расстояние от точки , изображающей это число на координатной прямой , до начала отсчёта .
Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число , а каждому отрицательному	числу	— число , ему противоположное .
Каждому рациональному	числу	, отличному от нуля , соответствует обратное ему число .
Какую цифру надо приписать слева и справа к	числу	37 , чтобы полученное число делилось нацело на 6 ? .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный числу – 9 ; имеет корень , равный	числу	2 ? .
Каждому натуральному	числу	, которое больше , чем 10 , но меньше , чем 20 , поставили в соответствие остаток при делении этого числа на 6 .
При каком значении a уравнение имеет корень , равный числу 3 ; имеет корень , равный	числу	– 6 ? .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый	член	другого и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый	член	одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , нужно умножить этот одночлен на каждый	член	многочлена и полученные произведения сложить .
Считают , что такой многочлен состоит из одного	члена	.
Числа a и d называют крайними членами пропорции , а числа b и с — средними	членами	пропорции .
Что называют подобными	членами	многочлена ? .
Числа a и b называют	членами	отношения , число а — предыдущим членом отношения , а число b — последующим .
Если среди одночленов , составляющих многочлен , есть подобные , то их называют подобными	членами	многочлена .
Числа a и d называют крайними	членами	пропорции , а числа b и с — средними членами пропорции .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют	членами	многочлена .
Так ,	членами	многочлена являются одночлены .
Уничтожение одинаковых	членов	в обеих частях уравнения он назвал противопоставлением ( по - арабски — « аль - мукабала » ) .
Разложите на множители трёхчлен , представив предварительно один из его	членов	в виде суммы подобных слагаемых .
Произведение крайних	членов	пропорции равно произведению её средних членов .
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних	членов	.
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 )	членов	с переменной у .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных	членов	многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему , но более простой — с меньшим количеством	членов	.
Многочлен , состоящий из двух	членов	, называют двучленом , а из трёх членов — трёхчленом .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 ) членов с x2 ; 2 )	членов	с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных членов многочлен не содержал : 1 )	членов	с x2 ; 2 ) членов с переменной х ; 3 ) членов с переменной у .
Многочлен , состоящий из двух членов , называют двучленом , а из трёх	членов	— трёхчленом .
Приведение подобных	членов	.
Вместо звёздочки запишите такой многочлен , чтобы после приведения подобных	членов	полученный многочлен не содержал переменной а .
Такое упрощение называют приведением подобных	членов	многочлена .
Числа a и b называют членами отношения , число а — предыдущим	членом	отношения , а число b — последующим .
Из одночленов выберите несколько и составьте из них : 1 ) многочлен стандартного вида ; 2 ) многочлен , содержащий подобные	члены	; 3 ) два многочлена стандартного вида , использовав при этом все данные одночлены .
Приведите подобные	члены	многочлена .
Подобные	члены	.
Приведите подобные	члены	и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных , если . Приведите подобные	члены	и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных .
Например , в многочлене подобные	члены	подчёркнуты одинаковым количеством чёрточек .
Но обычно общий множитель выбирают так , чтобы	члены	многочлена , остающегося в скобках , не имели общего буквенного множителя .
Решение 1 ) Сгруппировав	члены	данного многочлена так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель , получим .
Исходный многочлен удалось разложить на множители благодаря тому , что мы выгодным способом объединили в группы его	члены	.
Однако	члены	этого многочлена можно объединить в группы так , что слагаемые каждой группы будут иметь общий множитель .
Однако , записав в стандартном виде одночлены , из которых он составлен , а затем приведя подобные	члены	, его можно преобразовать в многочлен стандартного вида .
Отношение не изменится , если его	члены	умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю .
Сколько существует шестизначных чисел , в записи которых есть хотя бы одна	чётная	цифра ? .
Докажите , что количество « счастливых » билетов	чётно	.
Докажите , что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из	чётного	количества блюд при условии , что заказать все блюда из меню нельзя .
Если n —	чётное	число , то выражение 9n можно представить в виде произведения , содержащего чётное число девяток .
Если n — чётное число , то выражение 9n можно представить в виде произведения , содержащего	чётное	число девяток .
Если показатель степени —	чётное	число , то при возведении в степень множители можно разбить на пары .
Если запись натурального числа оканчивается	чётной	цифрой , то оно делится нацело на 2 .
Следовательно , значение выражения делится нацело на 10 при любом	чётном	значении n .
Докажите , что значение выражения делится нацело на 10 при любом	чётном	значении n .
Можно ли утверждать , что при любом натуральном	чётном	значении п значение выражения делится нацело на 84 ?
Рассмотрим правило , по которому числу 0 ставятся в соответствие все	чётные	числа , а числу 1 — все нечётные числа .
Каким числом ,	чётным	или нечётным , является квадрат нечётного натурального числа ? .
Докажите , что значение выражения является	чётным	числом .
Каким числом , положительным или отрицательным , является значение степени отрицательного числа , если показатель степени является	чётным	числом ?
Так как при возведении в степень с	чётным	показателем любого числа , кроме 0 , получаем положительное число , то данное уравнение не имеет коней .
Докажите , что сумма любого натурального числа и его квадрата является	чётным	числом .
При возведении отрицательного числа в степень с	чётным	показателем получаем положительное число , а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число .
Каким числом ,	чётным	или нечётным , является значение выражения ? .
Цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 называют	чётными	, а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 — нечётными .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных	чётных	чисел равна удвоенной сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8 .
Докажите , что : 1 ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел ; 2 ) разность квадратов двух последовательных	чётных	чисел делится нацело на 4 .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных	чётных	натуральных чисел делится нацело на 10 .
Запишите в виде выражения : утроенное произведение разности чисел а и b и их суммы ; сумму трёх последовательных натуральных чисел , меньшее из которых равно n ; произведение трёх последовательных	чётных	натуральных чисел , большее из которых равно 2k ; число , в котором а тысяч , b сотен и с единиц ; количество сантиметров в х метрах и у сантиметрах ; количество секунд в m часах , n минутах и р секундах .
Постройте график функции , областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при	чётных	значениях aргумента и значение – 1 при нечётных значениях aргумента .
Докажите , что : 1 ) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3 ; 2 ) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7 ; 3 ) сумма четырёх последовательных	чётных	натуральных чисел делится нацело на 4 ; 4 ) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10 .
Докажите , что : 1 ) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5 ; 2 ) сумма трёх последовательных	чётных	натуральных чисел делится нацело на 6 ; 3 ) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8 ; 4 ) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4 ; 5 ) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3 .
Докажите , что сумма четырёх последовательных	чётных	натуральных чисел не делится нацело на 8 .
Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию : 1 ) длина прямоугольника равна х м ,	ширина	— у м , периметр — 18 м ; 2 ) автобус ехал 4 ч со скоростью m км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , проехав всего 250 км ; 3 ) тетрадь стоит х р . , а ручка — у р . , 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р . ;
Найдите исходные длину и	ширину	прямоугольника .
Если длину увеличить на 2 см , а	ширину	уменьшить на 4 см , то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см2 .
Если	ширину	прямоугольника уменьшить на 6 см , то его площадь уменьшится на 144 см2 .
Найдите исходную	ширину	прямоугольника .
Длина прямоугольника в 3 раза больше его	ширины	.
Длина прямоугольника на 2 см больше его	ширины	.
Графиком уравнения является кривая , которую называют	эллипсом	.