RuLingva - Текстовая аналитика

Левый контекст	Термин	Правый контекст
	*Биссектриса*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и медианой .
На стороне АВ квадрата ABCD отмечена точка Р.	*Биссектриса*	угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
	*Биссектриса*	треугольника . — угла .
	*Биссектриса*	ОР угла АОВ пересекает окружность в точке Q , при этом PQ OQ .
Найдите АВ . б )	*Биссектриса*	CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
	*Биссектриса*	угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
	*Биссектриса*	— от латинского bis ( дважды ) и sectio ( рассечение ) , т .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б )	*Биссектриса*	CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
	*Вершина*	угла .
	*Вершины*	Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD , точки К и М — середины сторон АЕ и АР .
	*Вершины*	А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
	*Вершины*	треугольника АВС лежат на окружности .
63	*Вершины*	В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
	*Вершины*	прямоугольника .
	*Вершины*	остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
	*Высота*	и медиана треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных угла .
	*Высота*	треугольника .
	*Высота*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является медианой и биссектрисой .
	*Высота*	АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
	*Высота*	АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
	*Высоты*	АА1 и BBj остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите , что . 119 .
82	*Высоты*	ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н )	*Высоты*	AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
	*Геометрическая фигура*	, также состоящая из четырёх отрезков которая называется четырёхугольником .
	*Геометрическое место точек*	.
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r.	*Гипотенуза*	OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
	*Гипотенуза*	— от греческих ὺπό [ гипо ] — под и τεινω [ тейно ] — натягивать .
	*Гипотенуза*	прямоугольного треугольника .
	*Градус*	— от латинского gradus ( шаг , ступень , степень ) .
	*Градус*	.
	*Градус*	обозначается знаком ° .
	*Деление*	развёрнутого угла на 180 частей восходит к астрономам и математикам Вавилонии .
	*Диагональ*	прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
	*Диагональ*	прямоугольника разделяет его на два треугольника , равных треугольнику АВС .
	*Диагональ*	четырёхугольника .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б )	*Диаметр*	ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
	*Диаметр*	— от греческого διάμετρος [ диаметрос ] — поперечник .
	*Диаметр*	окружности .
	*Диаметр*	окружности — гипотенуза прямоугольного треугольника .
	*Длина*	отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка .
	*Длина*	перпендикуляра , проведённого из точки к прямой , называется расстоянием от этой точки до прямой .
	*Длина*	отрезка .
	*Доказательства*	равенства треугольников АВС и АХВХСХ в этих случаях приведены .
	*Доказательство*	.
	*Доказательство*	, смотрите .
	*Доказательство*	этого утверждения приведено .
	*Доказательство*	теоремы .
а )	*Дуга*	АВ окружности с центром О и радиуса 8 см равна 30 ° .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС — квадрат . ж )	*Дуга*	АВ окружности с центром О больше 180 ° .
	*Дуга*	окружности . Е .
	*Дуга*	АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О.	*Дуга*	этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
	*Единица*	измерения отрезков .
	*Жёсткость*	такой конструкции основана на третьем признаке равенства треугольников .
30	*Касательная*	.
	*Касательная*	к окружности .
	*Касательная*	к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания .
	*Катет*	прямоугольного треугольника .
	*Катет*	— от греческого κάθετος [ катетос ] — отвес .
	*Квадрат*	.
	*Квадрат*	— от латинского quadratus ( четырёхугольный ) .
	*Круг*	содержит точку О и все точки М. для которых ОМ .
	*Круг*	.
б )	*Луч*	ОМ — биссектриса угла АОВ , равного 60 ° .
	*Луч*	ОМ делит угол АОВ на два угла : ZAOM и ZMOB .
Найдите угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д )	*Луч*	ОР — биссектриса угла АОВ .
	*Луч*	I — биссектриса угла hk .
	*Луч*	ОС и данный отрезок АВ .
б )	*Луч*	ОМ — биссектриса угла АОВ , равного 100е .
2	*Луч*	и полуплоскость .
	*Луч*	ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
д )	*Луч*	ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса угла ВОР .
	*Луч*	. — делит угол на два угла .
	*Луч*	, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
	*Луч*	ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
18	*Луч*	ОС делит угол АОВ на два угла .
	*Лучи*	ВА и ВС делят развёрнутый угол PBQ на три угла .
	*Медиана*	треугольника .
	*Медиана*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и биссектрисой .
Докажите , что отрезок ME — биссектриса угла АМС . г )	*Медиана*	СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
	*Медиана*	МО равнобедренного треугольника AM В является высотой .
	*Множество*	всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
	*Множество*	всех точек , удовлетворяющих какому - либо условию , называют также геометрическим местом точек , удовлетворяющих этому условию .
	*Множество*	всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
	*Найдите*	угол между биссектрисами углов АОР и BOQ .
	*Найдите*	угол АОВ , если угол между биссектрисами углов АОР и BOQ равен 75 ° .
	*Найдите*	расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см.	*Найдите*	угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Периметр треугольника ABD равен 33 см.	*Найдите*	разность периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г )	*Найдите*	угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
	*Найдите*	угол DCE .
в ) Периметр треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см	*Найдите*	периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
Расстояние от точки М до прямой АС равно 10 см.	*Найдите*	расстояние от точки М до прямой АВ .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см	*Найдите*	периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
53 а )	*Найдите*	углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см.	*Найдите*	разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
	*Найдите*	расстояние от точки М до прямой АВ .
	*Найдите*	угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ .
	*Найдите*	угол BDC .
	*Найдите*	угол АМС .
	*Найдите*	длины отрезков АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О.	*Найдите*	угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 °	*Найдите*	угол APQ .
12 а )	*Найдите*	угол ВОС , если ZAOB = 140 ° и ZAOC = 70 ° .
	*Найдите*	углы треугольника АВС .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см.	*Найдите*	периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
	*Найдите*	угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см.	*Найдите*	сумму АВ + AD .
	*Найдите*	угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
	*Найдите*	углы равнобедренного треугольника , если один из его внешних углов равен 100 ° .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .
	*Найдите*	угол между биссектрисами углов АОР и BOQ . г )
	*Найдите*	углы ВАМ и ВСМ .
	*Найдите*	периметр треугольника ВСМ .
	*Найдите*	угол между часовой и минутной стрелками часов , если они показывают : а ) 9 ч ; б ) 14 ч ; в ) 18 ч ; г ) 19 ч ; д ) 19 ч 30 мин .
в котором АВ = 6 см. Периметры треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см.	*Найдите*	сторону ВС .
	*Найдите*	длину данного отрезка .
	*Найдите*	каждый из этих углов .
	*Найдите*	число точек , каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых .
	*Найдите*	длину отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
	*Найдите*	углы АОР и BOQ , если ZPOQ = 25 ° , ZMOP = 20 ° и ZMOQ = 45 ° .
	*Найдите*	углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
	*Найдите*	углы АОР и BOQ , если ZPOQ = 50 ° , ZMOP = 30е и ZMOQ = 20е .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности радиуса 6 см.	*Найдите*	хорду АВ .
	*Найдите*	радиус окружности .
Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d.	*Найдите*	АВ и расстояние между серединами отрезков AM и MN .
б )	*Найдите*	сторону равнобедренного треугольника , если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
	*Найдите*	длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
	*Найдите*	углы между касательной и хордой .
	*Найдите*	длины отрезков АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
	*Найдите*	эти углы .
	*Найдите*	угол АВМ .
21	*Найдите*	угол АОС , если .
	*Найдите*	остальные четыре угла .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см.	*Найдите*	расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
	*Найдите*	угол ВМН .
	*Найдите*	расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С.	*Найдите*	длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
	*Найдите*	углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
	*Найдите*	АВ . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
	*Найдите*	угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит в его внутренней области .
Расстояние между серединами средних частей равно 7 см.	*Найдите*	расстояние между серединами крайних частей .
	*Найдите*	угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
	*Найдите*	угол CPQ .
	*Найдите*	угол NMC .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е.	*Найдите*	АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
	*Найдите*	угол между отрезками касательных , проведёнными из указанной точки к данной окружности .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 и 3 . 153 .
94	*Найдите*	угол А и докажите , что BQ BR .
	*Найдите*	остальные три угла .
	*Найдите*	дугу АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на окружности .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 . 161 .
	*Найдите*	углы этого треугольника .
	*Найдите*	углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина стороны AD .
Прямая АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в точке В.	*Найдите*	угол АМВ .
11 а )	*Найдите*	угол ВОС , если ZAOB = 70 ° и ZAOC = 35 ° .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см.	*Найдите*	угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см.	*Найдите*	длину отрезка АВ .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q.	*Найдите*	расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
	*Найдите*	длину отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см.	*Найдите*	расстояние от точки О до прямой АВ .
равном 24 см , отменены точки Р и Q.	*Найдите*	расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
	*Найдите*	угол МАВ .
	*Найдите*	углы ACM и ВСМ .
	*Найдите*	ВС .
	*Найдите*	эти углы , .
25	*Неравенство*	треугольника .
	*Неравенство*	треугольника .
	*Неразвёрнутый*	угол СОВ составляет часть развёрнутого угла АОВ .
	*Неразвёрнутый*	угол разделяет плоскость на две части , одна из которых называется внутренней , а другая — внешней областью этого угла .
	*Неразвёрнутый*	угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла .
	*Обратное*	утверждение : « если углы равны , то они вертикальные » , конечно же , неверно .
	*Обратной*	теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
	*Окружность*	радиуса г с центром О .
	*Окружность*	.
	*Окружностью*	называется геометрическая фигура , состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
	*Опишите*	основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла .
	*Основание*	перпендикуляра , проведённого из точки к прямой .
Докажите , что АВ = ВС . ж )	*Основания*	высот ААХ и ВВ1 треугольника АВС лежат на его сторонах .
	*Остроугольный треугольник*	.
	*Отложите*	от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
	*Отложите*	от луча ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
	*Отложить*	от данного луча угол , равный данному .
	*Отрезок*	АН — высота треугольника АВС , в котором 27 ° .
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν.	*Отрезок*	AN называется биссектрисой треугольника .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з )	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , что .
	*Отрезок*	, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
	*Отрезок*	тоже геометрическая фигура .
	*Отрезок*	АН — перпендикуляр к прямой а .
	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , в котором .
	*Отрезок*	, соединяющий две точки окружности , называется хордой .
	*Отрезок*	АВ не имеет общих точек с прямой CD .
	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС , в котором .
	*Отрезок*	BD — высота треугольника .
	*Отрезок*	, соединяющий две вершины и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
	*Отрезок*	.
а )	*Отрезок*	АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
	*Отрезок*	, соединяющий точку А с точкой Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой а .
Докажите , что АС BD . е )	*Отрезок*	ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
96	*Отрезок*	ААг — биссектриса треугольника АВС .
	*Отрезок*	АВ — общее основание равнобедренных треугольников АВС и ABD .
88	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , причём .
	*Отрезок*	с концами А и В также обозначают двумя буквами : АВ или ВА .
	*Отрезок*	AM называется наклонной , проведённой из точки А к прямой а .
18	*Отрезок*	разделен на n равных частей .
	*Отрезок*	BD — высота треугольника АВС с прямым углом В. Известно , что АВ = 2BD .
	*Отрезок*	АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з )	*Отрезок*	AD — медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
	*Отрезок*	МО — медиана этого треугольника , а следовательно , и высота , поэтому М01АВ .
	*Отрезок*	, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр , называется диаметром .
Найдите длину отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д )	*Отрезок*	АВ разделён на четыре неравные части .
	*Отрезок*	АВ — диаметр окружности .
	*Отрезок*	AD — высота треугольника АВС .
	*Отрезок*	CD накладывается на луч АВ .
	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС с неравными сторонами АВ и АС .
87	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , причём .
а )	*Отрезок*	АВ — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС .
Найдите длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д )	*Отрезок*	длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
в )	*Отрезок*	CD — высота треугольника АВС с прямым углом С. Известно , что .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D.	*Отрезок*	OD — искомый , так как OD АВ .
27 а )	*Периметр*	треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
в )	*Периметр*	треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см Найдите периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
	*Периметр*	— от греческих περί [ пери ] — вокруг , около и μετράν [ метрей и ] — измерять .
	*Периметр*	треугольника ABD равен 33 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
28 а )	*Периметр*	треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
	*Периметр*	треугольника .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D.	*Периметры*	треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
в котором АВ = 6 см.	*Периметры*	треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см. Найдите сторону ВС .
98	*Перпендикуляр*	МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
	*Перпендикуляр*	АН является катетом , а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного треугольника АНМ .
	*Перпендикуляр*	— от латинского perpendicularis ( отвесный ) .
	*Перпендикуляр*	, проведённый из точки к прямой .
9 Перпендикулярные прямые	*Перпендикуляр*	к прямой .
	*Перпендикуляр*	, проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е )	*Перпендикулярные*	прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
	*Перпендикулярные*	прямые .
9	*Перпендикулярные*	прямые Перпендикуляр к прямой .
	*Полуокружность*	.
	*Приведите*	два решения этой задачи .
	*Приведите*	пример доказательства теоремы методом от противного .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а	*Проекцией*	отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
	*Проекцией*	точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М.	*Проекцией*	этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
24	*Проекция*	отрезка .
	*Проекция*	отрезка на прямую . — точки на прямую .
	*Прямая*	а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
	*Прямая*	, как и любая геометрическая фигура , состоит из точек .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б.	*Прямая*	АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
	*Прямая*	АВ — касательная к окружности , В — точка касания .
	*Прямая*	а — серединный перпендикуляр к отрезку AS .
	*Прямая*	, на которой лежат его стороны , разделяет плоскость на две полуплоскости .
	*Прямая*	ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в точке М .
	*Прямая*	.
	*Прямая*	АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
	*Прямоугольник*	, все стороны которого равны , называется квадратом .
	*Прямоугольник*	составлен из четырёх отрезков .
	*Прямоугольник*	ABCD .
18	*Прямоугольник*	.
	*Прямоугольник*	.
	*Прямоугольные*	треугольники .
	*Прямоугольные*	треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
	*Прямоугольные*	треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
	*Прямоугольные*	треугольники ОНА и ОНВ равны по двум катетам .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по катету и противолежащему углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по катету и прилежащему острому углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по гипотенузе и острому углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по двум катетам .
	*Прямоугольные*	треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому углу по условию , поэтому .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по гипотенузе и острому углу .
	*Прямоугольные треугольники*	.
	*Прямоугольные треугольники*	равны по катету и прилежащему острому углу .
	*Прямоугольные треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
	*Прямоугольные треугольники*	ОНА и ОНВ равны по двум катетам .
	*Прямоугольные треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
	*Прямоугольные треугольники*	АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому углу по условию , поэтому .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по двум катетам .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по катету и противолежащему углу .
20	*Прямоугольный*	треугольник с углом в 30 ° .
	*Прямоугольный*	треугольник .
	*Прямоугольный треугольник*	.
20	*Прямоугольный треугольник*	с углом в 30 ° .
	*Прямую*	, проходящую через две точки , например А и В , иногда обозначают двумя буквами : АВ или ВА .
	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
в )	*Прямые*	ОА и ОВ взаимно перпендикулярны и ZAOC = ZBOD .
	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
	*Прямые*	АВ и АС — касательные к окружности .
	*Прямые*	ОА и ОВ , а также прямые ОС и OD взаимно перпендикулярны .
Найдите угол АМВ . е )	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
	*Прямые*	AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса угла POQ .
Так , например , против равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и CV	*Равенство*	треугольников АВС и А1В1С1 условимся обозначать так .
4	*Равенство*	геометрических фигур .
	*Равнобедренный*	треугольник .
	*Равнобедренный треугольник*	.
	*Радиус*	— от латинского radius ( спица в колесе ) .
	*Радиус*	окружности .
а )	*Радиус*	О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
	*Разделите*	данный угол в 35 ° на семь равных частей .
	*Разделите*	данный угол в 54 ° на три равные части .
	*Решение*	.
	*Секунда*	.
	*Секунда*	— от латинского secunda divisio , второе деление градуса Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
	*Секущая*	по отношению к окружности .
	*Сторона*	и два угла одного треугольника равны какой - то стороне и каким - то двум углам другого треугольника .
Докажите . г )	*Сторона*	АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
	*Сторону*	прямоугольного треугольника , лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
52 а )	*Стороны*	треугольника АВС связаны соотношением .
	*Стороны*	треугольника . — угла . — четырёхугольника .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж )	*Стороны*	АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
51 а )	*Стороны*	треугольника АВС связаны неравенствами .
27	*Сумма*	углов треугольника .
	*Сумма*	углов треугольника равна 180 ° .
	*Сумма*	длин всех сторон треугольника называется его периметром .
Следовательно , прямая а перпендикулярна к радиусу О А.	*Теорема*	доказана .
11	*Теорема*	об углах равнобедренного треугольника .
	*Теорема*	доказана .
	*Теорема*	.
13	*Теорема*	о высоте равнобедренного треугольника .
Поэтому , т . е . луч AM — биссектриса угла А.	*Теорема*	доказана .
Следовательно , наше предположение неверно , а значит , из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а	*Теорема*	доказана .
	*Теорема*	. — о биссектрисе угла .
	*Теорема*	— греческое слово θεώρημα , означающее рассматриваю , обдумываю .
Следовательно , отрезок АН — перпендикуляр к прямой а	*Теорема*	доказана .
	*Теоремой*	, обратной данной , называется такая теорема , в которой условием является заключение данной теоремы , а заключением — её условие .
26	*Теоремы*	о соотношениях между сторонами и углами треугольника .
	*Точка*	Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
	*Точка*	М и N — середины отрезков АВ и ВС .
в )	*Точка*	М — середина основания ВС равнобедренного треугольника АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б )	*Точка*	М — середина стороны АС треугольника АВС .
	*Точка*	О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
85	*Точка*	М лежит во внутренней области треугольника АВС .
Найдите угол ADC . ж )	*Точка*	, равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
	*Точка*	отрезка , делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
	*Точка*	М — середина отрезка АВ .
	*Точка*	М расположена внутри треугольника АВС так , что AM АВ .
Найдите угол ADC . ж )	*Точка*	, равноудалённая от вершин треугольника , лежит в его внутренней области .
	*Точка*	.
	*Точка*	D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной А треугольника АВС .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В.	*Точка*	М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
	*Точка*	С лежит на прямой АВ , причем .
1	*Точка*	, прямая , отрезок .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г )	*Точка*	М лежит на прямой АВ .
	*Точка*	Мх — проекция точки М на прямую OQ Ах Мх Вх .
84	*Точка*	М лежит во внутренней области треугольника АВС .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б )	*Точка*	М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14	*Точка*	С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
	*Точка*	С лежит на прямой АВ Расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно d.
если прямые АН и а перпендикулярны	*Точка*	Н называется основанием перпендикуляра АН .
равном 24 см , отменены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г )	*Точка*	М лежит на прямой АВ .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой точке М.	*Точка*	М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
55	*Точка*	С лежит на прямой АВ , а точка D не лежит на этой прямой .
	*Точка*	А лежит внутри неразвёрнутого угла hk ( т . е .
17	*Точка*	М — середина отрезка АВ , а точка N — середина отрезка МВ .
	*Точка*	Аг лежит как на луче ВС. так и на луче СВ , т .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д )	*Точка*	С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
б )	*Точка*	М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
	*Точки*	М и N — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD с прямыми углами А и В. Докажите , что .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г )	*Точки*	Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
	*Точки*	А , В и С лежат на окружности , прямая МА — касательная к ней .
Найдите дугу АВ . б )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности .
99 а )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности с центром О , причем .
Докажите , что . б )	*Точки*	М , N. Е и F лежат на окружности с центром О , причём точка О равноудалена от прямых MN и EF .
	*Точки*	С и С расположены по разные стороны от прямой АВ , причем .
в )	*Точки*	А и Б лежат по разные стороны от прямой CD , причём .
а )	*Точки*	Μ , N , Р и Q лежат на окружности с центром О , причём .
	*Точки*	А и В лежат по одну сторону от прямой а .
г )	*Точки*	Р и Q лежат на касательной к окружности с центром О так , что OP OQ , PQ 20 см и ZPOQ 90 ° .
	*Точки*	А и В лежат на касательной к окружности с центром О по разные стороны от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
	*Точки*	М v N — середины сторон АВ и АС треугольника АВС .
	*Точки*	А и В лежат по разные стороны от прямой CD , причём .
	*Точки*	А и С лежат по разные стороны от прямой BD , а точки В и D — по разные стороны от прямой АС .
	*Точки*	М и N — середины сторон АВ и AD .
Докажите , что АВ CD . б )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности с центром О , причем АВ CD .
	*Точки*	Ах и Вх — проекции точек А и Б на прямую OQ .
	*Точки*	А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
	*Точки*	К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между точками К и М , а два отрезка с концами в данных точках имеют общую середину .
	*Точки*	А , В , С и D лежат на одной окружности , луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
	*Третий*	признак равенства треугольников .
17	*Третий*	признак равенства треугольников .
10	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	называется равнобедренным .
Обозначим одну из них буквой С.	*Треугольник*	АВС — искомый .
	*Треугольник*	, у которого все стороны равны , называется равносторонним .
	*Треугольник*	СВХСХ равнобедренный , поэтому .
	*Треугольник*	можно увидеть и на фасаде здания .
	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его основании острый .
	*Треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу .
91	*Треугольники*	АВС и DEF равносторонние .
	*Треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и катету .
	*Треугольники*	.
	*Трисекция*	— от латинского tri ( натрое ) и sectio ( рассечение ) .
	*Трисекция*	угла .
	*Тупоугольный*	треугольник .
	*Тупоугольный треугольник*	.
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС.	*Угол*	В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
	*Угол*	называется прямым , если он равен 90 ° .
	*Угол*	.
32	*Угол*	между касательной и хордой .
	*Угол*	, меньший прямого , называется острым , а угол , больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
	*Угол*	4 — внешний угол , смежный с углом 3 данного треугольника .
	*Угол*	3 в сумме с углом 4 составляет 180 ° .
	*Угол*	, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Найдите углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б )	*Угол*	, образованный биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
5	*Угол*	между равными стропилами крыши дома равен 90е .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д )	*Угол*	прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Найдите углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б )	*Угол*	, образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
	*Угол*	DEF накладывается на угол АВС .
Докажите , что ЗАС = 4AD . г )	*Угол*	В равнобедренного треугольника АВС равен 120 ° .
	*Угол*	с вершиной О и сторонами ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается « угол АОВ » ) .
3	*Угол*	.
	*Угол*	называется развёрнутым , если его стороны лежат на одной прямой .
	*Угол*	2 является смежным как с углом 1 , так и с углом 3 .
	*Угол*	РВА ( угол между касательной PQ и хордой АВ ) равен .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О.	*Угол*	MOQ — искомый .
	*Угол*	между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого угла дуги .
	*Угол*	— это геометрическая фигура , состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой точки .
	*Угол*	с вершиной в центре окружности называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
	*Фигуру*	, состоящую из неразвёрнутого угла и его внутренней области , также называют углом .
	*Фигуры*	равные .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О.	*Хорда*	АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
	*Хорда*	— от греческого χορδή ( струна , жила ) .
	*Хорда*	окружности .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С.	*Хорды*	BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
	*Центр*	окружности . ч .
	*Четырёхугольник*	ABCD называется прямоугольником , если углы ABC , BCD , CDA и DAB прямые .
	*Четырёхугольник*	.
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами	*биссектриса*	прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Сравните отрезки АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны , луч ОЕ —	*биссектриса*	угла ВОС .
Докажите , что луч ВР —	*биссектриса*	угла CBD .
Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС с неравными сторонами АВ и АС .
Докажите , что отрезок ME —	*биссектриса*	угла АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть	*биссектриса*	этого угла .
д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е , луч OQ —	*биссектриса*	угла ВОР .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , что .
б ) Луч ОМ —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 60 ° .
96 Отрезок ААг —	*биссектриса*	треугольника АВС .
Известно , что . Докажите , что луч AM —	*биссектриса*	угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что луч ОЕ —	*биссектриса*	угла POQ .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН —	*биссектриса*	и высота треугольника .
Докажите , что если острый угол и	*биссектриса*	, проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Сравните отрезки АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны , луч ОЕ —	*биссектриса*	угла AOD .
74 Отрезки АН и AD — высота и	*биссектриса*	треугольника АВС .
Поэтому , т . е . луч AD —	*биссектриса*	данного угла А .
Найдите угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР —	*биссектриса*	угла АОВ .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса угла АСВ , а луч OQ —	*биссектриса*	угла АОВ .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ —	*биссектриса*	угла АСВ , а луч OQ — биссектриса угла АОВ .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если	*биссектриса*	треугольника является его высотой , то этот треугольник равнобедренный .
луч OQ —	*биссектриса*	угла ВОР .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН —	*биссектриса*	и высота равнобедренного треугольника АВС с основанием АС .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть	*биссектриса*	этого угла .
д ) Докажите , что если в треугольнике	*биссектриса*	является медианой , то этот треугольник — равнобедренный .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья	*биссектриса*	проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС , в котором .
Поскольку мы установили , что	*биссектриса*	, медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Это и есть искомая	*биссектриса*	данного угла А .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА —	*биссектриса*	угла СВМ .
122 * Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны , луч АВ —	*биссектриса*	угла DAE .
AN —	*биссектриса*	треугольника АВС .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО —	*биссектриса*	угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Луч I —	*биссектриса*	угла hk .
Поэтому , т . е . луч AM —	*биссектриса*	угла А. Теорема доказана .
б ) Луч ОМ —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 100е .
д ) Луч ОР —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса угла ВОР .
Докажем , что луч AM —	*биссектриса*	угла А .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и	*биссектрисой*	.
6 Какой отрезок называется	*биссектрисой*	треугольника ?
Является ли луч ОЕ	*биссектрисой*	угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Является ли луч ОЕ	*биссектрисой*	угла AOD ?
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и	*биссектрисой*	треугольника АВС .
Высота равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является медианой и	*биссектрисой*	.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется	*биссектрисой*	треугольника .
Луч , исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла , называется	*биссектрисой*	этого угла .
11 Какой луч называется	*биссектрисой*	угла ? .
Из этого следует , что отрезок AD является медианой и	*биссектрисой*	треугольника АВС .
Построить	*биссектрису*	данного неразвёрнутого угла .
58 Докажите , что каждый угол имеет	*биссектрису*	.
24 Объясните , как построить	*биссектрису*	данного неразвёрнутого угла .
Точки А , В , С и D лежат на одной окружности , луч BD содержит	*биссектрису*	ВМ треугольника АВС .
23 Свойство	*биссектрисы*	угла .
Три	*биссектрисы*	треугольника пересекаются в одной точке .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три	*биссектрисы*	треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
в ) Две	*биссектрисы*	треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Опишите основанный на этом факте способ построения	*биссектрисы*	угла .
Любой треугольник имеет три медианы три	*биссектрисы*	и три высоты .
Начинается она с построения равностороннего треугольника , затем следуют построение	*биссектрисы*	угла и построение перпендикуляра к прямой .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения	*биссектрисы*	внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Каждая точка	*биссектрисы*	неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку пересечения его медианы AM и	*биссектрисы*	BD .
31 Докажите теорему : каждая точка	*биссектрисы*	неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
Рассмотрите все возможные	*варианты*	.
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что	*величина*	и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и	*величина*	угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
	*Величину*	центрального угла АОВ .
37 Докажите , что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его	*вершин*	.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его	*вершин*	.
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех	*вершин*	треугольника .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его	*вершин*	, поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от	*вершин*	треугольника .
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от	*вершин*	треугольника , лежит в его внутренней области .
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от	*вершин*	треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две высоты , проведённые из	*вершин*	основания , равны .
На сторонах этого треугольника постройте точки , равноудалённые от	*вершин*	А и Б . л )
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно ,	*вершина*	прямого угла лежит на этой окружности .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах ,	*вершина*	В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Угол ,	*вершина*	которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились	*вершина*	А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а	*вершина*	С копии — с вершиной В треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы	*вершина*	В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы	*вершина*	Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
Противоположными являются сторона ВС и	*вершина*	А , сторона СА и вершина В , сторона АВ и вершина С .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то	*вершина*	прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то	*вершина*	прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Поэтому	*вершина*	С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей точкой лучей АХСХ и ВХСХ , т .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А , сторона СА и	*вершина*	В , сторона АВ и вершина С .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы	*вершина*	А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А , сторона СА и вершина В , сторона АВ и	*вершина*	С .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при	*вершинах*	В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Биссектрисы внешних углов при	*вершинах*	В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в	*вершине*	А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с прямыми углами при	*вершине*	О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
Что называется	*вершиной*	угла и что — сторонами угла ? .
точка А совпадает с	*вершиной*	угла ) , то их проекции АВХ и CXDX равны .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов с	*вершиной*	О изображено на рисунке 33 ?
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с	*вершиной*	А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с	*вершиной*	Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов с	*вершиной*	О изображено ?
Угол с	*вершиной*	в центре окружности называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
Общее начало двух лучей называется	*вершиной*	угла , а сами лучи — сторонами угла .
Угол с	*вершиной*	О и сторонами ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается « угол АОВ » ) .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с	*вершиной*	С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с	*вершиной*	А треугольника АВС .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с	*вершиной*	В треугольника .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с	*вершиной*	Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с	*вершиной*	Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с	*вершиной*	А и продолжения медианы СМ .
123 На сторонах угла с	*вершиной*	О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с	*вершиной*	А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Поэтому точка А копии совместится с	*вершиной*	А треугольника .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной	*вершиной*	, не больше боковой стороны .
Отрезок , соединяющий	*вершину*	треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
Две стороны четырёхугольника , имеющие общую	*вершину*	, называются смежными , а две стороны , не имеющие общей вершины , — противоположными .
Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную	*вершину*	, а для каждой вершины — противоположную сторону .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий	*вершину*	треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через	*вершину*	треугольника .
д ) Через	*вершину*	неразвёрнутого угла провели прямую .
В треугольнике АВС высота , проведённая из	*вершины*	А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
б ) по острому углу и биссектрисе , проведённой из	*вершины*	этого угла .
	*Вершины*	, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами , сторонами и углами другого .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной	*вершины*	, делят угол треугольника на три равных угла .
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из	*вершины*	этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Перпендикуляр , проведённый из	*вершины*	треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
Что такое стороны ,	*вершины*	, углы и периметр треугольника ? .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из	*вершины*	В , лежит на стороне ? .
Что такое	*вершины*	, смежные стороны , противоположные стороны и диагонали четырёхугольника ? .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из	*вершины*	В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же	*вершины*	.
Если	*вершины*	треугольника обозначены какими - нибудь буквами , например А , В и С , то его называют треугольником АВС ( или ВАС , или САВ и т . д. ) .
Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную вершину , а для каждой	*вершины*	— противоположную сторону .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из	*вершины*	В , лежит на продолжении стороны ? .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из	*вершины*	этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все	*вершины*	треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
по углу , высоте и биссектрисе , проведённым из	*вершины*	этого угла ; .
Найдите расстояние от	*вершины*	С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам , одна из которых проведена из	*вершины*	этого угла .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а	*вершины*	С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы	*вершины*	А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из	*вершины*	прямого угла , равна половине гипотенузы .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из	*вершины*	этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Луч , исходящий из	*вершины*	угла и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М —	*вершины*	равнобедренного треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из	*вершины*	прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из	*вершины*	этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если луч исходит из	*вершины*	неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а	*вершины*	С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Две стороны четырёхугольника , имеющие общую вершину , называются смежными , а две стороны , не имеющие общей	*вершины*	, — противоположными .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до	*вершины*	прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до	*вершины*	прямого угла равно длине одного из катетов .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а	*вершины*	С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Отрезок , соединяющий две	*вершины*	и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
Центральный угол АОВ на 27 ° больше	*вписанного*	угла , опирающегося на дугу АВ .
17 Докажите , что	*вписанные*	углы , опирающиеся на одну и ту же дугу , равны .
5 )	*вписанный*	угол , опирающийся на диаметр , прямой .
—	*вписанный*	.
Поскольку	*вписанный*	угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Рассмотрим	*вписанный*	угол АВС , опирающийся на дугу АС окружности , и докажем , что .
18 Докажите , что	*вписанный*	угол , опирающийся на полуокружность , прямой .
Говорят , что	*вписанный*	угол опирается на дугу , заключённую внутри этого угла .
Эту задачу можно решить другим способом , основанным на том , что	*вписанный*	угол , опирающийся на полуокружность , прямой .
16 Какой угол называется	*вписанным*	?
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется	*вписанным*	углом .
В третьей книге « Начал » обсуждаются свойства	*вписанных*	углов и касательных .
Докажите , что АВ = ВС . ж ) Основания	*высот*	ААХ и ВВ1 треугольника АВС лежат на его сторонах .
Докажите , что основания	*высот*	остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
Сколько	*высот*	имеет треугольник ? .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его	*высот*	.
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других	*высот*	— на продолжениях сторон .
73 Докажите , что основание одной из	*высот*	тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
75 Продолжения	*высот*	ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым углом А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН — биссектриса и	*высота*	треугольника .
В треугольнике АВС	*высота*	, проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
Отрезок МО — медиана этого треугольника , а следовательно , и	*высота*	, поэтому М01АВ .
АН —	*высота*	треугольника АВС .
Найдите угол А . б ) Две стороны и	*высота*	, проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН —	*высота*	этого треугольника .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней	*высота*	и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD —	*высота*	, проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
74 Отрезки АН и AD —	*высота*	и биссектриса треугольника АВС .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и	*высота*	равнобедренного треугольника АВС с основанием АС .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что	*высота*	прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Отрезок BD —	*высота*	треугольника .
Отрезок АН —	*высота*	треугольника АВС , в котором 27 ° .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН —	*высота*	этого треугольника .
Отрезок BD —	*высота*	треугольника АВС с прямым углом В. Известно , что АВ = 2BD .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и	*высота*	равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
в ) Отрезок CD —	*высота*	треугольника АВС с прямым углом С. Известно , что .
Отрезок AD —	*высота*	треугольника АВС .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а	*высота*	, проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и	*высота*	, проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и	*высотам*	, проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте остроугольный треугольник по стороне и двум	*высотам*	, проведённым к другим сторонам .
Постройте остроугольный треугольник по углу и двум	*высотам*	, одна из которых проведена из вершины этого угла .
Постройте остроугольный треугольник по двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к одной из них .
Найдите угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к одной из них , другого треугольника .
Сформулируйте следствия из теоремы о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
Постройте остроугольный треугольник АВС по разности углов А и В ,	*высоте*	CD и стороне ВС .
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и	*высоте*	, проведённой к основанию .
а ) по острому углу и	*высоте*	, проведённой к гипотенузе ; .
Постройте равнобедренный треугольник по	*высоте*	, проведённой к основанию , и углу при основании .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна	*высоте*	этого треугольника .
Докажем теорему о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
Постройте остроугольный треугольник АВС по стороне АВ ,	*высоте*	АН и углу А . р )
по углу ,	*высоте*	и биссектрисе , проведённым из вершины этого угла ; .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней	*высоте*	и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
	*Высоте*	равнобедренного треугольника .
8 Сформулируйте и докажите теорему о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
б ) по двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к третьей стороне ; .
Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов А и В ,	*высоте*	BD и стороне АС .
13 Теорема о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и	*высоте*	, проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Биссектриса равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является	*высотой*	и медианой .
Докажите , что если , то .. б ) Докажите , что если медиана треугольника является его	*высотой*	.
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между	*высотой*	и медианой , проведёнными из той же вершины .
Перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется	*высотой*	треугольника .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если биссектриса треугольника является его	*высотой*	, то этот треугольник равнобедренный .
7 Какой отрезок называется	*высотой*	треугольника ?
Медиана МО равнобедренного треугольника AM В является	*высотой*	.
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то отрезок AD копии совместится с	*высотой*	AD треугольника АВС .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является	*высотой*	и биссектрисой .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является	*высотой*	.
Докажем справедливость третьего неравенства Проведём	*высоту*	АН .
Пусть , например , в треугольнике АВС острыми являются углы Б и С. Проведём	*высоту*	ААУ .
Известен рассказ о том , что он вычислил	*высоту*	египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
Как узнать	*высоту*	крыши , если известна ширина дома ? .
Докажите , что точка D лежит между серединой стороны ВС и основанием	*высоты*	АН .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание	*высоты*	, проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две	*высоты*	, проведённые из вершин основания , равны .
77 Докажите , что если сторона и	*высоты*	, проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
45 а ) Докажите , что если две	*высоты*	треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Три	*высоты*	треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке .
Отметим , что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих треугольников , но и соответствующие медианы , биссектрисы и	*высоты*	.
Любой треугольник имеет три медианы три биссектрисы и три	*высоты*	.
Если посмотреть на город с большой	*высоты*	, то можно увидеть , что многие дома выглядят как прямоугольники .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три	*высоты*	треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Докажите , что	*высоты*	ВН и BE треугольников АВС и BCD взаимно перпендикулярны .
Отрезки ААХ и ВВ1 —	*высоты*	остроугольного треугольника АВС .
Таким образом , в равных треугольниках соответствующие медианы , биссектрисы и	*высоты*	равны .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание	*высоты*	, проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
70 На рисунке 124 AB CD , AD BC , BE и DF —	*высоты*	треугольников АВС и ADC .
Докажите , что основания высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти	*высоты*	являются биссектрисами .
Окружностью называется	*геометрическая фигура*	, состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Прямая , как и любая	*геометрическая фигура*	, состоит из точек .
Можно сказать , что отрезок — это	*геометрическая фигура*	, состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Отрезок тоже	*геометрическая фигура*	.
Угол — это	*геометрическая фигура*	, состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой точки .
Из точек состоит любая	*геометрическая фигура*	: отрезок , треугольник , окружность , прямоугольник и т .
Простейшие	*геометрические фигуры*	.
Таким образом , можно сказать : две	*геометрические фигуры*	называются равными , если их можно совместить наложением .
Множество всех точек , удовлетворяющих какому - либо условию , называют также	*геометрическим местом точек*	, удовлетворяющих этому условию .
Для изображения	*геометрических фигур*	пользуются различными чертёжными инструментами : линейкой ( в том числе линейкой с делениями ) , циркулем , угольником , транспортиром .
К началу нашей эры геометрия сформировалась как наука , в которой свойства	*геометрических фигур*	изучаются с помощью рассуждений .
Так возникла ещё одна из задач геометрии — задача об изучении взаимного расположения	*геометрических фигур*	.
4 Равенство	*геометрических фигур*	.
Два прямоугольника могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них стороны могут быть меньше или больше , чем у другого ( например , обложка учебника и крышка стола ) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении	*геометрических фигур*	.
Простейшей из	*геометрических фигур*	является точка .
Итак , в геометрии изучаются форма , размеры и взаимное расположение	*геометрических фигур*	.
Можно сказать , что серединный перпендикуляр к отрезку — это	*геометрическое место точек*	, равноудалённых от его концов .
Соединив их тремя отрезками , получим	*геометрическую фигуру*	, называемую треугольником .
Прямую как	*геометрическую фигуру*	мыслят себе простирающейся бесконечно в обе стороны .
Так как катеты прямоугольных треугольников АВН и АСН меньше их	*гипотенуз*	, в частности , и так как и С А ВС , то .
Отметим также , что если диаметром окружности является	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является	*гипотенуза*	, то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая	*гипотенуза*	, МН = МК по условию ) .
Докажем , что	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника больше катета .
19 Докажите , что если диаметром окружности является	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
	*Гипотенуза*	АВ больше катета АС .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник ,	*гипотенуза*	которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
а ) Отрезок АВ —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника АВС .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС	*гипотенуза*	АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая	*гипотенуза*	, по условию ) .
21 Докажите , что	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника больше катета .
Диаметр окружности —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника .
Требуется построить прямоугольный треугольник ,	*гипотенуза*	которого равна ΜΝ , а один из катетов равен PQ .
Если	*гипотенуза*	и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если	*гипотенуза*	и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Следовательно , луч СМ проходит внутри прямого угла АСВ , а точка М лежит на	*гипотенузе*	АВ .
29 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по	*гипотенузе*	и катету .
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по	*гипотенузе*	и катету .
Построить прямоугольный треугольник по	*гипотенузе*	и катету .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по	*гипотенузе*	и острому углу по условию , поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по	*гипотенузе*	и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Построение прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по	*гипотенузе*	и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Такое название связано с тем , что раньше было принято изображать прямоугольный треугольник стоящим на	*гипотенузе*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*гипотенузе*	и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
40 Построение прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Из точки М катета АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к	*гипотенузе*	АВ .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*гипотенузе*	и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и катету .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая к	*гипотенузе*	, равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
Прямоугольные треугольники равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к	*гипотенузе*	, разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
а ) по острому углу и высоте , проведённой к	*гипотенузе*	; .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
— прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Докажите , что AD BE CF . 92 На	*гипотенузе*	АВ прямоугольного треугольника АВС отмечены такие точки В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
93 На	*гипотенузе*	АС прямоугольного треугольника АВС отмечена такая точка Р , что АР АВ .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против прямого угла , называют	*гипотенузой*	, а две другие стороны — катетами .
Перпендикуляр АН является катетом , а наклонная AM —	*гипотенузой*	прямоугольного треугольника АНМ .
Найдите АВ . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с	*гипотенузой*	ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с	*гипотенузой*	ВС равна отрезку BD .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с	*гипотенузой*	О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Эти треугольники имеют общую	*гипотенузу*	О А и равные катеты ОВ и ОС , поэтому они равны .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает	*гипотенузу*	ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Докажем сначала , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине	*гипотенузы*	.
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины	*гипотенузы*	до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Так как катет меньше	*гипотенузы*	, то перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Докажите , что расстояние от середины	*гипотенузы*	до вершины прямого угла равно длине одного из катетов .
Докажите , что этот треугольник прямоугольный , а указанная точка — середина	*гипотенузы*	.
Докажем теперь , что если катет прямоугольного треугольника равен половине	*гипотенузы*	, то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетом АС , равным половине	*гипотенузы*	ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
Середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин .
24 Докажите , что если катет прямоугольного треугольника равен половине	*гипотенузы*	, то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , равна половине	*гипотенузы*	.
23 Докажите , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине	*гипотенузы*	.
В самом деле , пусть точка М — середина	*гипотенузы*	АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
В самом деле , середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
37 Докажите , что середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин .
15 Что такое	*градус*	?
Если два угла равны , то	*градус*	и его части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните :	*градус*	— это — часть развёрнутого угла ) , неразвёрнутый угол меньше 180 ° .
Градусная мера угла показывает , сколько раз	*градус*	и его части укладываются в данном угле .
Обычно за единицу измерения принимают	*градус*	— угол , равный — части развёрнутого угла .
При измерении углов используются также — часть	*градуса*	"( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается знаком "" ) ."
Секунда — от латинского secunda divisio , второе деление	*градуса*	Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
16 Какая часть	*градуса*	называется минутой , а какая — секундой ? .
С помощью центральных углов можно измерять дуги в	*градусах*	.
Например , градусную меру угла , в котором укладывается 35	*градусов*	", 42 минуты и 27 секунд , можно записать так : 35 ° 42'27 "" ."
Пусть ΜΝ и PQ —	*данные*	отрезки , причём .
А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить	*данный*	угол на три равных угла ?
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая	*данный*	луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Разделите	*данный*	угол в 54 ° на три равные части .
Разделите	*данный*	угол в 35 ° на семь равных частей .
Луч ОС и	*данный*	отрезок АВ .
Пусть АВ —	*данный*	отрезок .
По условию	*данный*	радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Секунда — от латинского secunda divisio , второе	*деление*	градуса Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
Такое	*деление*	было удобно для их вычислений , потому что у них число 60 играло такую же роль , как у нас число 10 .
Оказывается , что многие фигуры можно построить с помощью только циркуля и линейки без	*делений*	.
Луч ОМ	*делит*	угол АОВ на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ ,	*делит*	этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он	*делит*	этот угол на два угла .
Луч . —	*делит*	угол на два угла .
Докажите , что если точка С равноудалена от прямых АВ и AM , то она	*делит*	дугу АСВ пополам .
Докажите , что прямая CD пересекает отрезок АВ и	*делит*	его пополам .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С	*делит*	отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 ) диаметр	*делит*	круг пополам
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ	*делит*	угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
18 Луч ОС	*делит*	угол АОВ на два угла .
Луч ОР	*делит*	угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ	*делит*	угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч ОР	*делит*	угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
7 Что означают слова : « луч	*делит*	угол на два угла » ? .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла	*делит*	пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Ясно также , что если точка	*делит*	отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Ясно также , что если луч	*делит*	угол на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
г ) Три прямые пересекаются в одной точке и	*делят*	плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной вершины ,	*делят*	угол треугольника на три равных угла .
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые пересекаются в одной точке и	*делят*	плоскость на шесть углов .
Лучи ВА и ВС	*делят*	развёрнутый угол PBQ на три угла .
Точка отрезка ,	*делящая*	его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
Луч , исходящий из вершины угла и	*делящий*	его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
4 Можно ли ствол	*дерева*	длиной 10 м распилить на куски длиной : а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
Докажите , что	*диагонали*	прямоугольника равны .
89 В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются , а сторона АВ больше	*диагонали*	BD Докажите , что .
На	*диагонали*	АС квадрата ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC , точка М — середина стороны АВ .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта	*диагональ*	является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется	*диагональю*	четырёхугольника .
Докажите , что . ж ) Отрезки АВ и АС —	*диаметр*	и хорда окружности .
5 ) вписанный угол , опирающийся на	*диаметр*	, прямой .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 )	*диаметр*	делит круг пополам
Поскольку вписанный угол L опирается на	*диаметр*	ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Поскольку центр окружности является серединой диаметра , то	*диаметр*	окружности в два раза больше её радиуса .
3 Объясните , что такое центр , радиус и	*диаметр*	окружности .
Отрезок АВ —	*диаметр*	окружности .
Если хорда АВ —	*диаметр*	, то дуги , заключённые внутри углов ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
Если прямая а проходит через точку О , то она пересекает окружность в двух точках — концах	*диаметра*	, лежащего на этой прямой .
Поскольку центр окружности является серединой	*диаметра*	, то диаметр окружности в два раза больше её радиуса .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения окружностей с	*диаметрами*	АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На	*диаметре*	АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если	*диаметром*	окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является	*диаметром*	окружности , то дуга называется полуокружностью .
Отметим также , что если	*диаметром*	окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отрезок АВ является	*диаметром*	окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды окружности CD является и	*диаметром*	окружности ) .
Если же хорда АВ не является	*диаметром*	, то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
19 Докажите , что если	*диаметром*	окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отрезок , соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр , называется	*диаметром*	.
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с	*диаметром*	ВС в точках Р и Q соответственно .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является	*диаметром*	одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
Расстояние от точки до центра данной окружности равно	*диаметру*	этой окружности .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме	*длин*	этих двух отрезков .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма	*длин*	перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
На практике пользуются приближёнными значениями	*длин*	отрезков , но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Сумма	*длин*	всех сторон треугольника называется его периметром .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда	*длина*	тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому	*длина*	отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Таким образом , при выбранной единице измерения	*длина*	каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то	*длина*	всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
В этом случае говорят , что	*длина*	отрезка АВ равна 3 сантиметрам , или кратко : отрезок АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно	*длине*	одного из катетов .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна	*длине*	самого предмета .
Расстояние от точки А до прямой а равно	*длине*	отрезка АН .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно	*длине*	катета , то один из его углов равен 30 ° .
4 Можно ли ствол дерева длиной 10 м распилить на куски	*длиной*	: а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
5 Электропоезд	*длиной*	100 м проезжает мимо километрового столба за 5 секунд .
За какое время он проедет мост	*длиной*	800 м ? .
Найдите длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок	*длиной*	32 см разделён на четыре неравные части .
4 Можно ли ствол дерева	*длиной*	10 м распилить на куски длиной : а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
Найдите	*длину*	данного отрезка .
Найдите	*длину*	отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите	*длину*	отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Найдите	*длину*	отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
Найдите	*длину*	отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см. Найдите	*длину*	отрезка АВ .
Если же прямая а не проходит через точку О , то проведём перпендикуляр ОН к прямой а и обозначим его	*длину*	, т .
меньший отрезок имеет меньшую	*длину*	.
Найдите	*длины*	отрезков АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
13 Как связаны между собой	*длины*	отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Найдите	*длины*	отрезков АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой	*длины*	отрезков АВ , АС и СВ ? .
равные отрезки имеют равные	*длины*	.
Приведите пример	*доказательства*	теоремы методом от противного .
Воспользуемся методом	*доказательства*	от противного : допустим , что какие - то три точки А , В и С окружности с центром О лежат на некоторой прямой о .
41 Объясните , в чем состоит метод	*доказательства*	от противного .
Начнём с	*доказательства*	первого утверждения .
До греков геометрия представляла собой собрание полученных из опыта правил и фактов , и только у греков появились теоремы и	*доказательства*	, и именно тогда геометрия приобрела близкий к современному вид .
Воспользуемся идеей	*доказательства*	теоремы об углах равнобедренного треугольника .
При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом	*доказательства*	от противного .
41 Объясните , в чем состоит метод	*доказательства от противного*	.
При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом	*доказательства от противного*	.
Воспользуемся методом	*доказательства от противного*	: допустим , что какие - то три точки А , В и С окружности с центром О лежат на некоторой прямой о .
Такой способ рассуждений часто используется в математике при	*доказательствах*	утверждений .
При	*доказательстве*	теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом доказательства от противного .
24 Что такое теорема и	*доказательство*	теоремы ? .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем привели	*доказательство*	этой теоремы .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается путем рассуждения , называется теоремой , а само рассуждение —	*доказательством*	теоремы .
Из определения градусной меры дуги следует , что сумма градусных мер двух	*дуг*	окружности с общими концами равна 360 ° .
В тех случаях , когда ясно , о какой из двух	*дуг*	с концами А и Б идет речь , используют краткое обозначение : АВ .
11 Объясните , что такое хорда и	*дуга*	окружности .
13 Объясните , какая	*дуга*	называется полуокружностью .
Градусная мера дуги обозначается так же , как и сама	*дуга*	.
Две дуги с концами А и Б :	*дуга*	АРВ ( синяя ) и дуга AQB ( зелёная ) .
Две дуги с концами А и Б : дуга АРВ ( синяя ) и	*дуга*	AQB ( зелёная ) .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является диаметром окружности , то	*дуга*	называется полуокружностью .
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же	*дуга*	АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
3 На листе бумаги нарисована	*дуга*	окружности .
Обычно говорят кратко :	*дуга*	BCD равна 155 ° , и пишут .
Если	*дуга*	А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на	*дуге*	АВ .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на	*дуге*	АВ .
На этой	*дуге*	отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
На	*дуге*	АС , лежащей внутри угла ВАС , отмечена точка М так , что .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой	*дуге*	отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Градусная мера	*дуги*	. — угла .
14 Как определяется градусная мера	*дуги*	?
Таким образом , каждый из углов между касательной ССХ и хордой АВ измеряется половиной заключённой внутри него	*дуги*	.
Градусная мера	*дуги*	обозначается так же , как и сама дуга .
Две	*дуги*	с концами А и Б : дуга АРВ ( синяя ) и дуга AQB ( зелёная ) .
Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого угла	*дуги*	.
Вписанный угол измеряется половиной	*дуги*	, на которую он опирается .
Если хорда АВ — диаметр , то	*дуги*	, заключённые внутри углов ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
АРВ и AQB —	*дуги*	окружности , ограниченные точками Л и В .
Глава 3 . 1 Градусная мера	*дуги*	обода велосипедного колеса , расположенной между двумя соседними спицами , равна 20 .
Из определения градусной меры	*дуги*	следует , что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 ° .
градусная мера	*дуги*	BCD равна 155 ° , поскольку .
Если отрезок , соединяющий концы	*дуги*	, является диаметром окружности , то дуга называется полуокружностью .
С помощью центральных углов можно измерять	*дуги*	в градусах .
31 Хорды и	*дуги*	.
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется	*дугой*	окружности .
Докажите , что если точка С равноудалена от прямых АВ и AM , то она делит	*дугу*	АСВ пополам .
17 Докажите , что вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же	*дугу*	, равны .
опирается на	*дугу*	.
1 Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же	*дугу*	, равны .
Говорят , что вписанный угол опирается на	*дугу*	, заключённую внутри этого угла .
Найдите	*дугу*	АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на окружности .
Вписанный угол АВС опирается на	*дугу*	АМС .
Рассмотрим вписанный угол АВС , опирающийся на	*дугу*	АС окружности , и докажем , что .
Центральный угол АОВ на 27 ° больше вписанного угла , опирающегося на	*дугу*	АВ .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз	*единица*	измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Если же один отрезок меньше другого , то	*единица*	измерения ( или её часть ) укладывается в нём меньшее число раз , чем в другом , т .
Если два отрезка равны , то	*единица*	измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Таким образом , при выбранной	*единице*	измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Измерение углов основано на сравнении их с углом , принятым за	*единицу*	измерения .
Обычно за	*единицу*	измерения принимают градус — угол , равный — части развёрнутого угла .
Конечно , отрезок , принятый за	*единицу*	измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Если за	*единицу*	измерения принят сантиметр , то для измерения отрезка нужно узнать , сколько раз в нём укладывается сантиметр .
Измерение отрезков основано на сравнении их с отрезком , принятым за	*единицу*	измерения .
В странах — участницах Метрической конвенции ( в частности , в России ) в качестве основной	*единицы*	измерения отрезков используется метр .
Наиболее трудные из них отмечены	*звёздочкой*	.
Градус обозначается	*знаком*	° .
При измерении углов используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается	*знаком*	"' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается знаком "" ) ."
При измерении углов используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается	*знаком*	""" ) ."
На практике пользуются приближёнными	*значениями*	длин отрезков , но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Евклид описывал геометрию как систему предложений ( теорем ) , которые последовательно выводятся из нескольких перечисленных им основных понятий и	*истин*	.
С развитием мореплавания появилась потребность ориентироваться по звёздам и составлять географические	*карты*	.
Прямая АВ	*касается*	одной окружности в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
Каким должен быть радиус окружности с центром А , чтобы она : 1 )	*касалась*	прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 )	*касалась*	прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Точки А , В и С лежат на окружности , прямая МА —	*касательная*	к ней .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и	*касательная*	а .
Одну из точек пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая	*касательная*	.
б ) Через точку А , лежащую на окружности , проведены	*касательная*	АВ и хорда АС .
Пусть а —	*касательная*	к окружности с центром О , А — точка касания .
Допустим , что задача решена и АВ — искомая	*касательная*	.
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая	*касательная*	, пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
а ) Через конец хорды , равной радиусу , проведена	*касательная*	.
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена	*касательная*	к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Через точку С проведена	*касательная*	, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите , что . з ) Исходя , докажите , что .
Прямая АВ —	*касательная*	к окружности , В — точка касания .
В этом случае прямая называется	*касательной*	по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
данная прямая является	*касательной*	к окружности .
В самом деле , по теореме о свойстве	*касательной*	ΖΑΒΟ 90е и ZACO 90 ° , т .
Докажите , что прямая ВС является	*касательной*	к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
7 Какая прямая называется	*касательной*	к окружности ?
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является	*касательной*	.
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является	*касательной*	к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
По признаку	*касательной*	прямая а является искомой касательной .
Проведём через точку В	*касательную*	PQ к окружности .
30 Объясните , как с помощью циркуля и линейки через данную точку провести	*касательную*	к данной окружности .
Две окружности имеют общую точку М и общую	*касательную*	в этой точке .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а	*касательную*	а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Через данную точку А провести	*касательную*	к данной окружности с центром О .
Постройте общую	*касательную*	к двум данным окружностям .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие	*касательные*	, не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает	*касательные*	С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Прямые АВ и АС —	*касательные*	к окружности .
Рассмотрим две	*касательные*	к окружности с центром О , проходящие через точку А. Пусть Б и С — точки касания .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС —	*касательные*	к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает	*касательные*	СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
В третьей книге « Начал » обсуждаются свойства вписанных углов и	*касательных*	.
Отрезки	*касательных*	, проведённые из одной точки .
Найдите угол между отрезками	*касательных*	, проведёнными из указанной точки к данной окружности .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки	*касательных*	к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками	*касательных*	, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
9 Докажите , что отрезки	*касательных*	к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая ,	*касающаяся*	окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и	*касающаяся*	окружностей в точках Ах , В , .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая ,	*касающаяся*	окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ ,	*касающуюся*	окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей	*катет*	АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Если гипотенуза и	*катет*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
23 Докажите , что	*катет*	прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Так как	*катет*	меньше гипотенузы , то перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Докажем теперь , что если	*катет*	прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
24 Докажите , что если	*катет*	прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если	*катет*	и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а	*катет*	— меньшему из этих отрезков .
Докажем сначала , что	*катет*	прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML —	*катет*	, равный PQ .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если	*катет*	и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше	*катета*	HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине	*катета*	, то один из его углов равен 30 ° .
24 Докажите , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого	*катета*	, равен 30 ° .
Докажем теперь , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого	*катета*	, равен 30 ° .
Докажем , что гипотенуза прямоугольного треугольника больше	*катета*	.
Из точки М	*катета*	АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
21 Докажите , что гипотенуза прямоугольного треугольника больше	*катета*	.
гипотенуза АВ больше	*катета*	АС .
Если же — различные точки , то прямоугольные треугольники О AM и ОВМ равны по двум	*катетам*	, поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум	*катетам*	; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники ОНА и ОНВ равны по двум	*катетам*	.
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум	*катетам*	; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катетам*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Прямоугольные треугольники равны по двум	*катетам*	.
Дан треугольник АВС с прямым углом А. На	*катете*	АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
Требуется построить прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна ΜΝ , а один из	*катетов*	равен PQ .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из	*катетов*	.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	*катетом*	АС , равным половине гипотенузы ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и	*катетом*	ОВ , равным радиусу данной окружности .
Перпендикуляр АН является	*катетом*	, а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного треугольника АНМ .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*катету*	.
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*катету*	( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
— прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный	*катету*	АС .
Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и	*катету*	.
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катету*	и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по	*катету*	и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники равны по	*катету*	и прилежащему острому углу .
Постройте прямоугольный треугольник по	*катету*	и медиане , проведённой к другому катету .
Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане , проведённой к другому	*катету*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катету*	и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*катету*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
40 Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по	*катету*	и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по	*катету*	и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по	*катету*	и противолежащему углу .
29 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и	*катету*	.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и	*катету*	.
Докажите , что четырёхугольник PQRS —	*квадрат*	. д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Докажите , что . г ) Изображён	*квадрат*	ABCD , в котором .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС —	*квадрат*	. ж ) Дуга АВ окружности с центром О больше 180 ° .
Докажите , что PS1RS . г )	*квадрат*	ABCD , стороны которого продолжены так , что .
Докажите , что четырёхугольник PQRS —	*квадрат*	. д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Как с помощью только нити убедиться в том , что это : а ) прямоугольник ; б )	*квадрат*	? .
На диагонали АС	*квадрата*	ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC , точка М — середина стороны АВ .
Три	*квадрата*	.
б ) Точка М — середина стороны АВ	*квадрата*	ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Внутри	*квадрата*	ABCD взята такая точка М , что ZABM 75 ° и ZCDM 30 ° .
На стороне АВ	*квадрата*	ABCD отмечена точка Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
8 Плотнику нужно заделать	*квадратное*	отверстие размером 12 см на 12 см , а у него есть только кусок доски размером 9 см на 16 см. Как разрезать этот кусок на две части , чтобы ими можно было точно закрыть отверстие ? .
9 У хозяйки был любимый	*квадратный*	плед размером 3 м на 3 м .
Докажите , что четырёхугольник , стороны которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника , является	*квадратом*	.
Прямоугольник , все стороны которого равны , называется	*квадратом*	.
Какой четырёхугольник называется	*квадратом*	? .
Что такое	*круг*	? .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 ) диаметр делит	*круг*	пополам
Если точка А лежит внутри	*круга*	, ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Таким образом , один конец отрезка HD ( точка Н ) лежит внутри указанного круга , а другой ( точка D ) — вне этого	*круга*	.
Наконец , если точка А лежит вне	*круга*	, ограниченного данной окружностью , то будем рассуждать так .
Таким образом , один конец отрезка HD ( точка Н ) лежит внутри указанного	*круга*	, а другой ( точка D ) — вне этого круга .
1 ° d < г. Поскольку ОН г , то точка Н лежит внутри	*круга*	, ограниченного данной окружностью .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне	*круга*	, ограниченного данной окружностью .
Часть . плоскости , ограниченная окружностью , называется	*кругом*	.
Поскольку углы А и D прямые , то сторона АВ наложится на	*луч*	DC .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что	*луч*	ВА — биссектриса угла СВМ .
Углы AMN и DMN прямые , поэтому луч МА наложится на	*луч*	MD .
Поэтому луч НА наложится на	*луч*	НВ , и , следовательно , угол 1 совместится с углом 2 .
Ответ обоснуйте . е ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите	*луч*	OD так , чтобы выполнялось равенство .
Наложим отрезок CD на	*луч*	АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например ,	*луч*	h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Отрезок CD накладывается на	*луч*	АВ .
Обычно	*луч*	обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что	*луч*	ОЕ — биссектриса угла POQ .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на	*луч*	АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС	*луч*	, перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Углы AMN и DMN прямые , поэтому	*луч*	МА наложится на луч MD .
Постройте	*луч*	ОМ так , чтобы углы МО А и МОВ были равными тупыми углами .
Докажите , что	*луч*	ВР — биссектриса угла CBD .
В результате перегибания по прямой MN точки А и D совместились , а сторона АВ наложилась на	*луч*	DC .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой	*луч*	ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если	*луч*	исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Так как , то сторона АС наложится на луч АХСХ , а сторона ВС — на	*луч*	В1С1 .
Так как , то сторона АС наложится на	*луч*	АХСХ , а сторона ВС — на луч В1С1 .
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей	*луч*	О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Сравните отрезки АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны ,	*луч*	ОЕ — биссектриса угла ВОС .
Является ли	*луч*	ОЕ биссектрисой угла AOD ?
Ясно также , что если	*луч*	делит угол на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
Известно , что . Докажите , что	*луч*	AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что	*луч*	АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Требуется построить угол , равный углу А , одной из сторон которого будет	*луч*	ОМ .
Поэтому	*луч*	НА наложится на луч НВ , и , следовательно , угол 1 совместится с углом 2 .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал	*луч*	ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
38 а ) Докажите , что . б )	*луч*	CQ — биссектриса угла АСВ , а луч OQ — биссектриса угла АОВ .
7 Что означают слова : «	*луч*	делит угол на два угла » ? .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса угла АСВ , а	*луч*	OQ — биссектриса угла АОВ .
Перечертите рисунок 44 в тетрадь и проведите	*луч*	OD так , чтобы выполнялось равенство ZBOD = ZAOC .
Точки А , В , С и D лежат на одной окружности ,	*луч*	BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
Является ли	*луч*	ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например ,	*луч*	О А ) .
11 Какой	*луч*	называется биссектрисой угла ? .
122 * Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны ,	*луч*	АВ — биссектриса угла DAE .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести	*луч*	с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал	*луч*	ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Пусть даны неразвёрнутый угол А ( для развёрнутого угла решение очевидно ) и	*луч*	ОМ .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку М прямую а так , чтобы лучи МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а	*луч*	MR — в другой полуплоскости .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал	*луч*	АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести	*луч*	с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
	*Луч*	OQ — биссектриса угла ВОР .
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей	*луч*	ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\	*луч*	OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Поэтому , т . е .	*луч*	AM — биссектриса угла А. Теорема доказана .
Ту из точек пересечения окружностей , которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём	*луч*	AD .
Докажем , что	*луч*	AM — биссектриса угла А .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP :	*луч*	OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е ,	*луч*	OQ — биссектриса угла ВОР .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом А так , чтобы один из них пересекал	*луч*	ВС , а другой не пересекал .
Поэтому , т . е .	*луч*	AD — биссектриса данного угла А .
Сравните отрезки АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны ,	*луч*	ОЕ — биссектриса угла AOD .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный	*луч*	в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал	*луч*	АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Следовательно ,	*луч*	СМ проходит внутри прямого угла АСВ , а точка М лежит на гипотенузе АВ .
4 Объясните , что такое	*луч*	и что такое полуплоскость .
Отложите от	*луча*	ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
Отложим от	*луча*	АВ угол BAD , равный углу В. Поскольку , то точка D лежит между точками Б и С .
Начало	*луча*	.
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Отложить от данного	*луча*	угол , равный данному .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом А так , чтобы один из них пересекал луч ВС , а другой не пересекал .
21 Объясните , как отложить от данного	*луча*	угол , равный данному .
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного	*луча*	отложите угол , равный половине данного угла .
Отложите от	*луча*	EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
На биссектрисе угла ВАС отмечена точка О , а на продолжении	*луча*	АВ отмечена точка D Может ли выполняться равенство О ?
Отложим на продолжении	*луча*	НА отрезок НВ , равный отрезку НА .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Но не может ли получиться так , что точка В совместится не с точкой С , а с какой - то другой точкой Е	*луча*	DC ?
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало	*луча*	, а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с	*лучами*	О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
в ) На	*луче*	АВ отмечены точки С и В так , что АВ < BD , а АС = BD .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на	*луче*	АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Точка Аг лежит как на	*луче*	ВС. так и на луче СВ , т .
На	*луче*	с началом О отмечены точки А , В и С так , что .
На данном	*луче*	от его начала отложить отрезок , равный данному отрезку .
Откладывание на	*луче*	отрезка , равного данному .
На	*луче*	с началом О отмечены три точки — А , В и С так , что .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на	*луче*	( например , луч О А ) .
Докажите , что точка Я лежит на	*луче*	DB .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на	*луче*	QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Точка Аг лежит как на луче ВС. так и на	*луче*	СВ , т .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из	*лучей*	синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Угол — это геометрическая фигура , состоящая из точки и двух	*лучей*	, исходящих из этой точки .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из	*лучей*	.
Общее начало двух	*лучей*	называется вершиной угла , а сами лучи — сторонами угла .
Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей точкой	*лучей*	АХСХ и ВХСХ , т .
Углы BOD и СОЕ на рисунке 45 равны ,	*лучи*	ОВ и ОЕ — биссектрисы углов АОС и DOF .
3 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку О прямую а так , чтобы	*лучи*	ОА , ОВ и ОС лежали в одной полуплоскости с границей а .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на	*лучи*	АХВХ и АгСг .
Если сторонами угла являются	*лучи*	h и k , то угол обозначают так : Zhk .
Общее начало двух лучей называется вершиной угла , а сами	*лучи*	— сторонами угла .
Углы АОЕ и BOF равны ,	*лучи*	ОВ и ОЕ — биссектрисы углов АОС и DOF .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку М прямую а так , чтобы	*лучи*	МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а луч MR — в другой полуплоскости .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется	*лучом*	, исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с	*лучом*	ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма	*медиан*	треугольника меньше его периметра .
Докажите , что сумма	*медиан*	АА1 и ВВ1 треугольника АВС больше полусуммы сторон АС и ВС .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если	*медиана*	, проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
87 Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , причём .
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то	*медиана*	, проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Докажите , что если , то .. б ) Докажите , что если	*медиана*	треугольника является его высотой .
Докажите , что если	*медиана*	и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Высота и	*медиана*	треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных угла .
Докажите , что . г ) Докажите , что	*медиана*	АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
Отрезок МО —	*медиана*	этого треугольника , а следовательно , и высота , поэтому М01АВ .
Поскольку мы установили , что биссектриса ,	*медиана*	и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , в котором .
Следствие 2 можно сформулировать иначе :	*медиана*	прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , равна половине гипотенузы .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD —	*медиана*	треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
AM —	*медиана*	треугольника АВС .
Докажите , что . г ) Докажите , что	*медиана*	АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и	*медиана*	одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
88 Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , причём .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то	*медиана*	AM треугольника не является высотой .
по основанию и	*медиане*	, проведённой к основанию ; .
Любой треугольник имеет три	*медианы*	три биссектрисы и три высоты .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения	*медианы*	СМ .
Три	*медианы*	треугольника пересекаются в одной точке .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку пересечения его	*медианы*	AM и биссектрисы BD .
Мы видим , что три	*медианы*	треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка	*множества*	Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Следовательно ,	*множество*	Ф и есть этот серединный перпендикуляр .
Что представляет собой	*множество*	точек X ? .
Что представляет собой	*множество*	середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
80 Что представляет собой	*множество*	всех точек плоскости , равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых ? .
Обозначим это	*множество*	буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
33 Докажите , что	*множество*	всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
30 Докажите , что	*множество*	всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется	*множество*	проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит	*множеству*	Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Докажите , что угол HAD равен	*модулю*	полуразности углов В и С .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот	*момент*	, когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
( Примеры таких задач можно	*найти*	) .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное*	число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное*	число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Чтобы ответить на этот вопрос ,	*необходимо*	провести рассуждение .
Из двух последних	*неравенств*	следует , что точка Н лежит между точками Б и С. Таким образом .
Пусть , например , АВ ВС и СА ВС. Тогда первые два из	*неравенств*	( 1 ) , очевидно , выполняются .
Доказанную теорему можно сформулировать иначе : для любых трёх точек А , В и С , не лежащих на одной прямой , справедливы	*неравенства*	( 1 ) .
Докажем справедливость третьего	*неравенства*	Проведём высоту АН .
Но в силу	*неравенства*	треугольника .
Справедливость	*неравенства*	доказывается аналогично .
Объясните , что такое	*неравенство*	треугольника .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться	*неравенство*	? .
86 Докажите , что для любых точек А , В и С имеет место	*неравенство*	.
Так как , то для любой точки М прямой а справедливо	*неравенство*	.
Каждое из них называется	*неравенством*	треугольника .
Точка А лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла hk ( т . е .
Из точки М биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла .
Фигуру , состоящую из	*неразвёрнутого*	угла и его внутренней области , также называют углом .
Можно сказать , что внутренняя область	*неразвёрнутого*	угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Если луч исходит из вершины	*неразвёрнутого*	угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Каждая точка , лежащая внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалённая от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого	*неразвёрнутого*	угла .
Каждая точка биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла равноудалена от его сторон .
24 Объясните , как построить биссектрису данного	*неразвёрнутого*	угла .
Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла А , проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам угла и докажем , что .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
Рассмотрим точку М , которая лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла А и равноудалена от его сторон , т .
д ) Через вершину	*неразвёрнутого*	угла провели прямую .
Построить биссектрису данного	*неразвёрнутого*	угла .
31 Докажите теорему : каждая точка биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла равноудалена от его сторон .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
32 Докажите теорему : каждая точка , лежащая внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудаленная от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Изображены	*неразвёрнутые*	углы АОВ и hk , развёрнутый угол DEF .
Начертите	*неразвёрнутый*	угол и отметьте точку А , лежащую на его стороне , точку В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Начертите	*неразвёрнутый*	угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Пусть даны	*неразвёрнутый*	угол А ( для развёрнутого угла решение очевидно ) и луч ОМ .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните : градус — это — часть развёрнутого угла ) ,	*неразвёрнутый*	угол меньше 180 ° .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны	*неразвёрнутый*	угол и отрезок .
б ) Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла , один из которых в три раза больше половины другого .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
г ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено ?
Пусть теперь даны два	*неразвёрнутых*	угла ( углы АВС и DEF ) .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
г ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено на рисунке 33 ?
в ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов , вершинами которых являются обозначенные буквами точки , изображено ? .
Фалес поделился с	*ним*	тем , что знал , и посоветовал поехать в Египет для продолжения изучения геометрии .
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника , не смежного с	*ним*	, то треугольник равнобедренный .
53 а ) Найдите углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с	*ним*	, соответственно на 30 ° и 70 ° .
Найдите углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол ,	*образованный*	биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
Найдите углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол ,	*образованный*	биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
Шоссе и ответвляющаяся от него дорога	*образуют*	два смежных угла .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они	*образуют*	четыре прямых угла .
22 Какой угол	*образуют*	стрелки часов 8 3 ч 10 мин ? .
Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
б ) Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла , один из которых в три раза больше половины другого .
— ,	*обратная*	данной теореме .
Отметим , что если доказана какая - нибудь теорема , то из этого ещё не следует справедливость	*обратного*	утверждения .
Более того ,	*обратное*	утверждение не всегда оказывается верным .
Верно ли	*обратное*	утверждение ? .
По отношению к какой теореме эта теорема является	*обратной*	? .
Теоремой ,	*обратной*	данной , называется такая теорема , в которой условием является заключение данной теоремы , а заключением — её условие .
Какая теорема называется	*обратной*	данной теореме ? .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по	*обратной*	теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является	*обратной*	? .
Докажем теперь теорему ,	*обратную*	теореме о свойстве касательной ( признак касательной ) .
Докажем теперь	*обратную*	теорему .
Докажем теорему ,	*обратную*	теореме о серединном перпендикуляре к отрезку .
10 Сформулируйте и докажите теорему ,	*обратную*	теореме о свойстве касательной .
Докажем сначала теорему о биссектрисе угла , а затем	*обратную*	ей теорему .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих	*окружностей*	обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения	*окружностей*	с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся	*окружностей*	в точках Ах , В , .
Ту из точек пересечения	*окружностей*	, которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Одну из точек пересечения этих	*окружностей*	обозначим буквой L.
Докажите , что точки А , В , О и Р лежат на одной	*окружности*	.
Дуга АВ	*окружности*	с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
30 Объясните , как с помощью циркуля и линейки через данную точку провести касательную к данной	*окружности*	.
Точки А , В , С и D лежат на одной	*окружности*	, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
Докажите , что АВ CD . б ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	с центром О , причем АВ CD .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус	*окружности*	с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Отрезок , соединяющий две точки	*окружности*	, называется хордой .
9 Докажите , что отрезки касательных к	*окружности*	, проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
При каком соотношении между отрезком ОА и радиусом R	*окружности*	задача имеет решение ? .
В этом случае прямая называется секущей по отношению к	*окружности*	.
Из определения	*окружности*	следует , что все радиусы равны друг другу .
Постройте центр данной	*окружности*	.
Найдите радиус	*окружности*	.
6 Какая прямая называется секущей по отношению к	*окружности*	? .
3 Объясните , что такое центр , радиус и диаметр	*окружности*	.
Точки А и В лежат на касательной к	*окружности*	с центром О по разные стороны от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
Таким образом , если расстояние от центра	*окружности*	до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом	*окружности*	( отрезок ОМ ) .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр	*окружности*	.
Найдите угол между отрезками касательных , проведёнными из указанной точки к данной	*окружности*	.
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой	*окружности*	.
Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	, А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса	*окружности*	( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
Если мы попытаемся это сделать , то обнаружим , что	*окружности*	с центрами А и Б не пересекутся .
Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой	*окружности*	.
Расстояние от точки до центра данной	*окружности*	равно диаметру этой окружности .
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на	*окружности*	и , следовательно , является общей точкой прямой а и окружности .
4 Докажите , что никакие три точки	*окружности*	не лежат на одной прямой .
Найдите дугу АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	.
19 Докажите , что если диаметром	*окружности*	является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на	*окружности*	, и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к	*окружности*	с центром О ( Б и С — точки касания ) .
5 Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом	*окружности*	и расстоянием от её центра до прямой ? .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС — квадрат . ж ) Дуга АВ	*окружности*	с центром О больше 180 ° .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу	*окружности*	.
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр	*окружности*	.
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на окружности и , следовательно , является общей точкой прямой а и	*окружности*	.
Докажите , что прямая ВС является касательной к	*окружности*	с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
— касания прямой и	*окружности*	. — пересечения прямых .
99 а ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	с центром О , причем .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся	*окружности*	в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды	*окружности*	CD является и диаметром окружности ) .
Докажите , что	*окружности*	радиуса АВ с центрами А и Б пересекаются в двух точках .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра	*окружности*	к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Отрезок , соединяющий две точки	*окружности*	и проходящий через её центр , называется диаметром .
данная прямая является касательной к	*окружности*	.
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к	*окружности*	, проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
а ) Дуга АВ	*окружности*	с центром О и радиуса 8 см равна 30 ° .
Какая точка называется точкой касания прямой и	*окружности*	? .
Следовательно , ОБ О А г , поэтому точка Б также является общей точкой прямой и	*окружности*	.
Докажите , что точки С , L , М и N лежат на одной	*окружности*	.
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ	*окружности*	отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Отрезок АВ — диаметр	*окружности*	.
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра	*окружности*	до прямой а равно радиусу .
Прямая АВ касается одной	*окружности*	в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
точки	*окружности*	не лежат на одной прямой , то других общих точек у прямой а и окружности нет .
Докажите , что . б ) Точки М , N. Е и F лежат на	*окружности*	с центром О , причём точка О равноудалена от прямых MN и EF .
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники , отрезки , треугольники ,	*окружности*	, четырёхугольники и т .
В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и	*окружности*	.
11 Объясните , что такое хорда и дуга	*окружности*	.
в ) В треугольнике АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и	*окружности*	с центром С радиуса 3 см ? .
точки окружности не лежат на одной прямой , то других общих точек у прямой а и	*окружности*	нет .
На данной	*окружности*	постройте точку , равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых .
б ) Через точку А , лежащую на	*окружности*	, проведены касательная АВ и хорда АС .
а ) Точки Μ , N , Р и Q лежат на	*окружности*	с центром О , причём .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к	*окружности*	с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
28 Определение	*окружности*	.
Рассмотрим две касательные к	*окружности*	с центром О , проходящие через точку А. Пусть Б и С — точки касания .
2 Дайте определение	*окружности*	.
г ) Точки Р и Q лежат на касательной к	*окружности*	с центром О так , что OP OQ , PQ 20 см и ZPOQ 90 ° .
Две	*окружности*	имеют общую точку М и общую касательную в этой точке .
Прямые АВ и АС — касательные к	*окружности*	.
Отрезок АВ является диаметром	*окружности*	с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Прямая АВ — касательная к	*окружности*	, В — точка касания .
7 Какая прямая называется касательной к	*окружности*	?
Построим две	*окружности*	радиуса АВ с центрами .
Итак , если расстояние от центра	*окружности*	до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
в ) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и	*окружности*	с центром С радиуса 5 см ? .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой	*окружности*	, радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О	*окружности*	радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Вершины треугольника АВС лежат на	*окружности*	.
3 На листе бумаги нарисована дуга	*окружности*	.
В этом случае прямая называется касательной по отношению к	*окружности*	, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ	*окружности*	перпендикулярен к хорде ВВ .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на	*окружности*	? .
Докажите , что MN EF . в ) Отрезки О А и ОВ — радиусы	*окружности*	, причём ΖΑΟΒ 120 ° .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на	*окружности*	с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся	*окружности*	в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
12 Какой угол называется центральным углом	*окружности*	? .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне	*окружности*	; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри	*окружности*	и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды	*окружности*	радиуса 6 см. Найдите хорду АВ .
а ) Отрезки ОА и ОВ — радиусы	*окружности*	, расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса .
Каким должен быть радиус	*окружности*	с центром А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
Постройте точку , лежащую на данной	*окружности*	и равноудалённую от концов данного отрезка .
Данная точка ( точка О ) называется центром	*окружности*	, а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды окружности CD является и диаметром	*окружности*	) .
Отметим на	*окружности*	какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
Касательная к	*окружности*	перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания .
Воспользуемся методом доказательства от противного : допустим , что какие - то три точки А , В и С	*окружности*	с центром О лежат на некоторой прямой о .
На	*окружности*	отмечены точки А , В , М и N так , что 160 ° .
Дуга	*окружности*	. Е .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды	*окружности*	с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см. Найдите расстояние от точки О до прямой АВ .
Следовательно , точка М не лежит на	*окружности*	.
Затем построим две	*окружности*	: радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Точки А , В и С лежат на	*окружности*	, прямая МА — касательная к ней .
Следовательно , на отрезке HD найдется точка А , лежащая на	*окружности*	, т .
Докажем , что никакие три точки	*окружности*	не лежат на одной прямой .
Отметим также , что если диаметром	*окружности*	является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Построение	*окружности*	с помощью циркуля .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к	*окружности*	, пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Для проведения	*окружности*	на местности пользуются веревкой и двумя колышками .
а ) Радиус О А	*окружности*	с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Диаметр	*окружности*	.
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной	*окружности*	.
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой	*окружности*	.
Для построения	*окружности*	пользуются циркулем .
Поскольку центр окружности является серединой диаметра , то диаметр	*окружности*	в два раза больше её радиуса .
Одну из точек пересечения этой	*окружности*	с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
Поскольку центр	*окружности*	является серединой диаметра , то диаметр окружности в два раза больше её радиуса .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой	*окружности*	.
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на	*окружности*	с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
АРВ и AQB — дуги	*окружности*	, ограниченные точками Л и В .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является диаметром	*окружности*	, то дуга называется полуокружностью .
Если точка А лежит на данной	*окружности*	, то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА .
Касательная к	*окружности*	.
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ , касающуюся	*окружности*	в точке А. Проведём хорду АВ .
поэтому точка М не лежит на	*окружности*	.
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу	*окружности*	( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра	*окружности*	до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Радиус	*окружности*	.
Центр	*окружности*	. ч .
Из определения градусной меры дуги следует , что сумма градусных мер двух дуг	*окружности*	с общими концами равна 360 ° .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой	*окружности*	, пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Секущая по отношению к	*окружности*	.
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой	*окружности*	, поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
расстояние от центра данной	*окружности*	до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
Для любой другой точки М прямой а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН , т . е . , и поэтому точка М не лежит на данной	*окружности*	.
Угол , вершина которого лежит на	*окружности*	, а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Если дуга А В	*окружности*	с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса	*окружности*	, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Угол с вершиной в центре	*окружности*	называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
29 Взаимное расположение прямой и	*окружности*	.
Хорда	*окружности*	.
Рассмотрим вписанный угол АВС , опирающийся на дугу АС	*окружности*	, и докажем , что .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две	*окружности*	радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Проведём через точку В касательную PQ к	*окружности*	.
Докажите , что . ж ) Отрезки АВ и АС — диаметр и хорда	*окружности*	.
Построение	*окружности*	с помощью веревки и двух колышков к отрезку АВ , поэтому ОМ 1 а .
Через данную точку А провести касательную к данной	*окружности*	с центром О .
Итак , точка М лежит вне	*окружности*	, так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Пусть а — касательная к	*окружности*	с центром О , А — точка касания .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй	*окружности*	пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к	*окружности*	, если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром	*окружности*	является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Диаметр	*окружности*	— гипотенуза прямоугольного треугольника .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной	*окружности*	и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой	*окружности*	.
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой	*окружности*	с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
всевозможные прямые , на которых данная	*окружность*	с центром О отсекает отрезки , являющиеся её хордами .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и	*окружность*	не имеют общих точек .
Как ( с помощью циркуля и линейки ) построить всю	*окружность*	? .
Если прямая а проходит через точку О , то она пересекает	*окружность*	в двух точках — концах диаметра , лежащего на этой прямой .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим	*окружность*	с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
расстояние от центра данной окружности до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и	*окружность*	в зависимости от соотношения между d и г .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают	*окружность*	, называется вписанным углом .
Проведём	*окружность*	произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
С помощью циркуля построим	*окружность*	радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Следовательно , прямая а и	*окружность*	имеют только одну общую точку , т .
Затем построим	*окружность*	радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная	*окружность*	пересекаются в двух точках .
Проведём	*окружность*	произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Биссектриса ОР угла АОВ пересекает	*окружность*	в точке Q , при этом PQ OQ .
Проведём отрезок О А и построим его середину М. Затем проведём	*окружность*	с центром М радиуса МА .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и	*окружность*	имеют две общие точки .
Постройте	*окружность*	данного радиуса , проходящую через две данные точки .
Рассмотрим	*окружность*	с центром О и прямую ССХ , касающуюся окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
В самом деле , построим какую - нибудь	*окружность*	с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую	*окружность*	в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
5 Сколько общих точек имеют прямая и	*окружность*	в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой ? .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают	*окружность*	с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
Из точек состоит любая геометрическая фигура : отрезок , треугольник ,	*окружность*	, прямоугольник и т .
Даны	*окружность*	и точка внутри неё .
Даны	*окружность*	с центром О и точка А вне неё .
Проведите через точку А прямую , пересекающую	*окружность*	в точках В и С , так , что .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём	*окружность*	с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то	*окружность*	проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Действительно , построим середину О отрезка ΜΝ и проведём	*окружность*	с центром О радиуса ОМ .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет	*окружность*	на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
Рассмотрим	*окружность*	с центром О радиуса г и прямую а .
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и	*окружность*	имеют только одну общую точку .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить	*окружность*	с центром в данной точке и радиусом , равным данному отрезку .
Даны	*окружность*	, точка и два отрезка — АВ и CD .
Затем построим	*окружность*	с центром М радиуса PQ .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной	*окружностью*	.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с	*окружностью*	с центром О. Угол MOQ — искомый .
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной	*окружностью*	, то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Часть . плоскости , ограниченная	*окружностью*	, называется кругом .
Наконец , если точка А лежит вне круга , ограниченного данной	*окружностью*	, то будем рассуждать так .
Отрезки и углы , связанные с	*окружностью*	.
Одну из точек пересечения этой окружности с данной	*окружностью*	обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
1 ° d < г. Поскольку ОН г , то точка Н лежит внутри круга , ограниченного данной	*окружностью*	.
Постройте общую касательную к двум данным	*окружностям*	.
К двум	*окружностям*	с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
Проекцией точки М на прямую а называется	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Точка Н —	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
Постройте равнобедренный треугольник ,	*основание*	которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше основания .
73 Докажите , что	*основание*	одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Отрезок АВ — общее	*основание*	равнобедренных треугольников АВС и ABD .
Пусть точка Н —	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая точка прямой а .
Что такое	*основание*	перпендикуляра ? .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ	*основание*	высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD	*основание*	высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	АС .
Дан равнобедренный треугольник АВС с	*основанием*	АС и точка D на стороне АВ .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является	*основанием*	? .
Докажите , что точка D лежит между серединой стороны ВС и	*основанием*	высоты АН .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона —	*основанием*	равнобедренного треугольника .
если прямые АН и а перпендикулярны Точка Н называется	*основанием*	перпендикуляра АН .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCA 10 ° .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с	*основанием*	ВС и докажем , что .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим	*основанием*	АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCB 10 ° .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
; 2 ) углы при	*основании*	равнобедренного треугольника равны ;
Постройте равнобедренный треугольник по высоте , проведённой к основанию , и углу при	*основании*	.
Середина отрезка OD лежит на	*основании*	АВ .
19 Докажите , что углы при	*основании*	равнобедренного треугольника — острые .
Треугольник ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его	*основании*	острый .
по боковой стороне и углу при	*основании*	; .
Можно сказать так : дан равнобедренный треугольник ; требуется доказать , что углы при его	*основании*	равны .
Отсюда , в частности , следует , что углы при	*основании*	равнобедренного треугольника острые .
Углы при	*основании*	равнобедренного треугольника равны .
56 Биссектрисы углов при	*основании*	АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Условием здесь является первая часть утверждения : « если треугольник равнобедренный » , а заключением — вторая часть : « то углы при его	*основании*	равны » .
81 Биссектрисы углов при	*основании*	АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Чтобы выделить в ней условие и заключение , сформулируем её так : « если треугольник равнобедренный , то углы при его	*основании*	равны » .
в ) Биссектрисы углов при	*основании*	АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
Высота равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является медианой и биссектрисой .
Биссектриса равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является высотой и медианой .
по основанию и медиане , проведённой к	*основанию*	; .
по	*основанию*	и медиане , проведённой к основанию ; .
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте , проведённой к	*основанию*	.
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к	*основанию*	, проходит через вершину треугольника .
Постройте равнобедренный треугольник по высоте , проведённой к	*основанию*	, и углу при основании .
в ) по	*основанию*	и углу между боковыми сторонами .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к	*основанию*	ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является высотой и биссектрисой .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к	*основанию*	, совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Докажите , что	*основания*	высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
78 Докажите , что середина	*основания*	равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон .
в ) Точка М — середина	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку	*основания*	равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что прямая , проходящая через середину	*основания*	равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
33 а ) На продолжении	*основания*	АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две высоты , проведённые из вершин	*основания*	, равны .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше	*основания*	.
34 а ) На продолжении	*основания*	АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а	*основания*	двух других высот — на продолжениях сторон .
68 На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина	*основания*	ВС. Докажите , что BQ СР .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM .
Для измерения	*остатка*	пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в	*остатке*	целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в	*остатке*	ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Например , в отрезке АС сантиметр укладывается четыре раза с	*остатком*	, но не укладывается пять раз .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый	*остаток*	, то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится	*остаток*	.
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого*	угла , на другую сторону является отрезок .
36 Докажите , что если на одной из сторон	*острого*	угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого*	угла , на другую сторону является отрезок .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне	*острого*	угла , равны , то их проекции на другую сторону также равны .
Если на одной из сторон	*острого*	угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области	*острого*	угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон	*острого*	угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого угла*	, на другую сторону является отрезок .
36 Докажите , что если на одной из сторон	*острого угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон	*острого угла*	О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области	*острого угла*	А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Если на одной из сторон	*острого угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого угла*	, на другую сторону является отрезок .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне	*острого угла*	, равны , то их проекции на другую сторону также равны .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему	*острому*	углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*острому*	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому*	углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему	*острому*	углу .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему	*острому*	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
б ) по	*острому*	углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла .
а ) по	*острому*	углу и высоте , проведённой к гипотенузе ; .
Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему	*острому*	углу .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому*	углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*острому*	углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому*	углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и	*острому*	углу по условию , поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему	*острому углу*	.
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому углу*	; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и	*острому углу*	по условию , поэтому .
б ) по	*острому углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*острому углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему	*острому углу*	; по катету и противолежащему острому углу .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому углу*	; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему	*острому углу*	.
а ) по	*острому углу*	и высоте , проведённой к гипотенузе ; .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*острому углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему	*острому углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому углу*	( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE	*остроугольного треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Высоты АА1 и BBj	*остроугольного треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Докажите , что . 119 .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого	*остроугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного	*остроугольного треугольника*	соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Вершины	*остроугольного треугольника*	АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
Докажите , что основания высот	*остроугольного треугольника*	являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
Отрезки ААХ и ВВ1 — высоты	*остроугольного треугольника*	АВС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по стороне и двум высотам , проведённым к другим сторонам .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них .
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по стороне АВ , высоте АН и углу А . р )
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по сумме углов А и В , высоте BD и стороне АС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по разности углов А и В , высоте CD и стороне ВС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по углу и двум высотам , одна из которых проведена из вершины этого угла .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла	*острые*	, а третий прямой или тупой .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла	*острые*	, либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
в ) Даны	*острые*	углы АВС и DEF .
19 Докажите , что углы при основании равнобедренного треугольника —	*острые*	.
Отсюда , в частности , следует , что углы при основании равнобедренного треугольника	*острые*	.
В любом треугольнике хотя бы два угла	*острые*	.
Если все углы треугольника	*острые*	, то треугольник называют остроугольным .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла	*острые*	, либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла	*острые*	, а третий прямой или тупой .
Итак , если один из углов треугольника тупой , то два других угла	*острые*	.
в ) Даны	*острые углы*	АВС и DEF .
Треугольник ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его основании	*острый*	.
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны	*острый*	угол АВС и тупой угол DEF .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему	*острый*	угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них	*острый*	.
Если же хорда АВ не является диаметром , то	*острый*	угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
—	*острый*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и	*острый*	угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Следовательно , угол В	*острый*	.
Рассмотрим	*острый*	угол POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Аналогично доказывается , что угол С	*острый*	.
Докажите , что если	*острый*	угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что если	*острый угол*	и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему	*острый угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны	*острый угол*	АВС и тупой угол DEF .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и	*острый угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если же хорда АВ не является диаметром , то	*острый угол*	САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Рассмотрим	*острый угол*	POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Угол , меньший прямого , называется	*острым*	, а угол , больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
Докажите , что если угол треугольника является	*острым*	, прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
19 Какой угол называется	*острым*	, какой — прямым , а какой — тупым ? .
Докажите , что угол треугольника является	*острым*	, прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Каким углом (	*острым*	, прямым , тупым или развёрнутым ) является искомый угол ? .
Пусть , например , в треугольнике АВС	*острыми*	являются углы Б и С. Проведём высоту ААУ .
Глава 2 . 1 Как , пользуясь только верёвкой и	*острыми*	колышками , начертить на земле прямой угол ? .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из	*острых*	углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Учитывая , что сумма двух	*острых*	углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
В самом деле , в таких треугольниках два других	*острых*	угла также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников .
В самом деле , в таких треугольниках два других	*острых угла*	также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из	*острых углов*	; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Учитывая , что сумма двух	*острых углов*	прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности	*отложен*	отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
От середины М отрезка АВ , равного 2,4 м ,	*отложены*	на прямой АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
123 На сторонах угла с вершиной О	*отложены*	равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см ,	*отложены*	на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
На прямой а от точки Н	*отложим*	отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ	*отложим*	отрезок AM , равный катету АС .
Проведём произвольную прямую , отметим на ней точку А и	*отложим*	отрезок АВ , равный PQ .
Проведем произвольную прямую , отметим на ней точку А и	*отложим*	отрезок АВ .
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного луча	*отложите*	угол , равный половине данного угла .
21 Объясните , как	*отложить*	от данного луча угол , равный данному .
На данном луче от его начала	*отложить*	отрезок , равный данному отрезку .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По	*отношению*	к какой теореме эта теорема является обратной ? .
6 Какая прямая называется секущей по	*отношению*	к окружности ? .
По	*отношению*	к какой теореме эта теорема является обратной ? .
В этом случае прямая называется секущей по	*отношению*	к окружности .
Секущая по	*отношению*	к окружности .
В этом случае прямая называется касательной по	*отношению*	к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
Точка М — середина	*отрезка*	АВ .
Действительно , построим середину О	*отрезка*	ΜΝ и проведём окружность с центром О радиуса ОМ .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина	*отрезка*	АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина	*отрезка*	АС .
Точка отрезка , делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого	*отрезка*	.
Точка отрезка , делящая его на два равных	*отрезка*	, называется серединой этого отрезка .
а точка D — середина	*отрезка*	СЕ .
Является ли середина отрезка AD серединой	*отрезка*	ВС ?
Назовите середину	*отрезка*	BD .
Докажите , что если концы	*отрезка*	равноудалены от прямой , пересекающей отрезок , то эта прямая проходит через середину отрезка .
Эту задачу нужно понимать так : даны три	*отрезка*	— PiQi .
24 Проекция	*отрезка*	.
Каждая точка , равноудалённая от концов	*отрезка*	, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
Рассмотрим произвольную точку М , равноудалённую от концов	*отрезка*	АВ , и докажем , что точка М лежит на серединном перпендикуляре а к этому отрезку .
Концы	*отрезка*	.
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от прямой , пересекающей отрезок , то эта прямая проходит через середину	*отрезка*	.
Пусть Мх — проекция точки М	*отрезка*	АВ на прямую OQ .
Точка	*отрезка*	, делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией	*отрезка*	на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Откладывание на луче	*отрезка*	, равного данному .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр пересекается с отрезком АВ , и есть середина этого	*отрезка*	.
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три	*отрезка*	.
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка	*отрезка*	АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Является ли середина	*отрезка*	AD серединой отрезка ВС ?
Проекция	*отрезка*	на прямую . — точки на прямую .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки	*отрезка*	АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
— серединного перпендикуляра . — середины	*отрезка*	.
Пусть даны два	*отрезка*	— АВ и CD .
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три	*отрезка*	с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой и данных отрезков .
Длина	*отрезка*	.
Середина	*отрезка*	.
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки	*отрезка*	АВ .
Наглядно видно , что отрезок АХВХ является проекцией	*отрезка*	АВ на прямую OQ .
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого	*отрезка*	.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая , проходящая через середину	*отрезка*	и перпендикулярная к нему .
Расстояние от точки А до прямой а равно длине	*отрезка*	АН .
Докажите , что если прямая пересекает отрезок в его середине , то концы	*отрезка*	равноудалены от этой прямой .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого	*отрезка*	на прямую а .
Таким образом , один конец	*отрезка*	HD ( точка Н ) лежит внутри указанного круга , а другой ( точка D ) — вне этого круга .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов	*отрезка*	, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов	*отрезка*	и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два	*отрезка*	Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго	*отрезка*	.
Найдите длину	*отрезка*	ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
10 Какая точка называется серединой	*отрезка*	? .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М	*отрезка*	АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
9 Объясните , как сравнить два	*отрезка*	и как сравнить два угла .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину	*отрезка*	АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX	*отрезка*	А0АХ .
Найдите длину	*отрезка*	AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
30 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов	*отрезка*	, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Концы	*отрезка*	— точки .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого	*отрезка*	на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если за единицу измерения принят сантиметр , то для измерения	*отрезка*	нужно узнать , сколько раз в нём укладывается сантиметр .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два	*отрезка*	, один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Отрезки АВ и CD пересекаются в середине М	*отрезка*	АВ , причём .
В этом случае говорят , что длина	*отрезка*	АВ равна 3 сантиметрам , или кратко : отрезок АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого	*отрезка*	выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Середина	*отрезка*	OD лежит на основании АВ .
Докажем , что она является проекцией некоторой точки	*отрезка*	АВ .
Докажите , что прямая CD проходит через середину	*отрезка*	АВ .
17 Точка М — середина	*отрезка*	АВ , а точка N — середина отрезка МВ .
26 Объясните , как построить середину данного	*отрезка*	.
Докажите , что проекцией	*отрезка*	, лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
1 Объясните , что такое отрезок и концы	*отрезка*	.
17 Точка М — середина отрезка АВ , а точка N — середина	*отрезка*	МВ .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина	*отрезка*	АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
От середины М	*отрезка*	АВ , равного 2,4 м , отложены на прямой АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше	*отрезка*	А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX отрезка А0АХ .
Докажите с помощью наложения , что точка является серединой	*отрезка*	CD .
Постройте точку , лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного	*отрезка*	.
Найдите длину	*отрезка*	AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два	*отрезка*	, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего	*отрезка*	равна сумме длин этих двух отрезков .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше	*отрезка*	CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Точки К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между точками К и М , а два	*отрезка*	с концами в данных точках имеют общую середину .
Если два	*отрезка*	, лежащие на одной стороне острого угла , равны , то их проекции на другую сторону также равны .
В самом деле , по построению точки Р и Q равноудалены от концов	*отрезка*	АВ , поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой	*отрезка*	CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
Пусть теперь Мх — произвольная точка	*отрезка*	АХВХ .
Итак , мы доказали , что проекцией	*отрезка*	, лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
Длина	*отрезка*	называется также расстоянием между концами этого отрезка .
Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого	*отрезка*	.
Даны окружность , точка и два	*отрезка*	— АВ и CD .
Если на одной из сторон острого угла лежат два	*отрезка*	, один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов	*отрезка*	, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см. Найдите длину	*отрезка*	АВ .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго	*отрезка*	.
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой	*отрезка*	MN .
Если два	*отрезка*	равны , то единица измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Докажите теорему : каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого	*отрезка*	.
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого	*отрезка*	на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Найдите длину данного	*отрезка*	.
Построив серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ , мы попутно решили ещё одну задачу построить середину данного	*отрезка*	АВ .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник , стороны которого равны данным	*отрезкам*	, в том случае , когда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других ? .
Требуется построить треугольник АВС , стороны которого соответственно равны этим трём	*отрезкам*	: .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	АЕ , НЕ и AD .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух отрезков существует прямоугольник , две смежные стороны которого равны этим	*отрезкам*	.
Поэтому если какой - нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других , то нельзя построить треугольник , стороны которого равны данным	*отрезкам*	.
Наряду с треугольником АВС рассмотрим прямоугольник 1 , смежные стороны которого равны соответственно	*отрезкам*	СВ и СА .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	АВ , ВМ и углам .
Отрезки АВ и АС назовем	*отрезками*	касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Найдите угол между	*отрезками*	касательных , проведёнными из указанной точки к данной окружности .
Соединив их тремя	*отрезками*	, получим геометрическую фигуру , называемую треугольником .
е . лежит на	*отрезке*	АХВХ .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом	*отрезке*	.
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На	*отрезке*	BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р , лежащую на прямой CD , но не лежащую на	*отрезке*	АВ , и точку Q , лежащую как на прямой CD .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом	*отрезке*	— получится остаток .
в ) На	*отрезке*	АВ отмечены точки С и D так , что .
Следовательно , на	*отрезке*	HD найдется точка А , лежащая на окружности , т .
так и на	*отрезке*	АВ .
Сантиметр укладывается в	*отрезке*	АВ ровно три раза .
На	*отрезке*	АВ .
в ) На	*отрезке*	АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на	*отрезке*	BD , так , чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала отрезок ВС .
Например , в	*отрезке*	АС сантиметр укладывается четыре раза с остатком , но не укладывается пять раз .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на	*отрезке*	АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на	*отрезке*	А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Сколько точек нужно отметить на	*отрезке*	PQ , чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в точках Р , Q и отмеченных точках ? .
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные	*отрезки*	называются сторонами , а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Рассмотрим равные	*отрезки*	АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Сравните	*отрезки*	АВ и АС . б ) Отрезки АВ и ВС равны .
всевозможные прямые , на которых данная окружность с центром О отсекает	*отрезки*	, являющиеся её хордами .
Поскольку	*отрезки*	МА и МВ равны , то их проекции МХА и МХС также равны .
Если равные	*отрезки*	АВ и CD расположены так , как показано ( т . е .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством :	*отрезки*	касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ	*отрезки*	МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Обозначим её буквой В. При этом	*отрезки*	АН и АК накладываются на отрезки ВН и ВК .
Обозначим её буквой В. При этом отрезки АН и АК накладываются на	*отрезки*	ВН и ВК .
Сравните	*отрезки*	АС и BD . б ) Углы АОС и BOD равны .
От середины М отрезка АВ , равного 2,4 м , отложены на прямой АВ	*отрезки*	МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD пересекались , а	*отрезки*	АВ и CD не имели общих точек .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя	*отрезки*	АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
1 а ) Имеют ли общие точки :	*отрезки*	АВ и CD ; прямые АВ и CD ? .
Сравните	*отрезки*	АВ и АС . б ) Отрезки CD и DE равны .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то	*отрезки*	АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные	*отрезки*	О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно ,	*отрезки*	МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на	*отрезки*	AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а )	*отрезки*	АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от стороны (	*отрезки*	АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между точками А и В , точка В — между точками С и ,	*отрезки*	АВ и CD равны .
Сравните	*отрезки*	АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны , луч ОЕ — биссектриса угла AOD .
Могут ли	*отрезки*	L.V и КХ быть равными ?
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники ,	*отрезки*	, треугольники , окружности , четырёхугольники и т .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС ,	*отрезки*	AD и АН — биссектриса и высота треугольника .
Сравните	*отрезки*	ОС и OD . б ) Углы АОВ и COD равны .
Пусть ΜΝ и PQ — данные	*отрезки*	, причём .
Сравните	*отрезки*	AD и BE .
На прямой отмечены точки А , В , С и D так , что точка В лежит между точками А и С , а	*отрезки*	АС и BD равны .
Эти	*отрезки*	называются сторонами прямоугольника .
Сравните	*отрезки*	АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны , луч ОЕ — биссектриса угла ВОС .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ стороны АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На сторонах АС и A , Ct отмечены точки D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что треугольники BDC и B1D1C1 равны , и сравните	*отрезки*	BD и BXDV .
Выбранные точки называются вершинами треугольника , а соединяющие их	*отрезки*	— его сторонами .
равные	*отрезки*	имеют равные длины .
9 Докажите , что	*отрезки*	касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Могут ли	*отрезки*	АВ и CD иметь общую середину ; не иметь общей середины ?
13 Как связаны между собой длины	*отрезков*	АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d. Найдите АВ и расстояние между серединами	*отрезков*	AM и MN .
в ) Сколько	*отрезков*	с концами А , В , С и D изображено ? .
к ) Сколько	*отрезков*	с концами в обозначенных буквами точках изображено ? .
12 Объясните , как производится измерение	*отрезков*	.
Поэтому если какой - нибудь из данных	*отрезков*	больше или равен сумме двух других , то нельзя построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам .
Найдите длины	*отрезков*	АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
Расстояние между серединами	*отрезков*	AM и NB равно d. Найдите АВ и расстояние между серединами отрезков AM и MN .
5 Сравнение	*отрезков*	и углов .
Сравнение	*отрезков*	и углов .
Прямоугольник составлен из четырёх	*отрезков*	.
Сколько точек нужно отметить на отрезке PQ , чтобы получилось ровно шесть различных	*отрезков*	с концами в точках Р , Q и отмеченных точках ? .
Измерение	*отрезков*	основано на сравнении их с отрезком , принятым за единицу измерения .
Найдите длины	*отрезков*	АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
в ) Сколько	*отрезков*	с концами К , L , М и N изображено ? .
равном 24 см , отменены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами	*отрезков*	АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
Для измерения	*отрезков*	, изображённых на листе бумаги , удобнее использовать сантиметр — одну сотую часть метра или дециметр — одну десятую часть метра .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных	*отрезков*	считается тот , который составит часть другого .
В странах — участницах Метрической конвенции ( в частности , в России ) в качестве основной единицы измерения	*отрезков*	используется метр .
Докажите , что по крайней мере два из трёх	*отрезков*	AD , BD и CD не равны друг другу .
Пусть М и N — середины	*отрезков*	АВ и ВС. Поскольку О А ОВ , то точка О лежит на серединном перпендикуляре .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами	*отрезков*	AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
6 Измерение	*отрезков*	.
Докажите , что середины	*отрезков*	АВ и ОС совпадают .
Докажем теперь теорему о проекциях равных	*отрезков*	.
Из нашего построения следует , что если один из	*отрезков*	меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
Рассмотрим фигуру , составленную из	*отрезков*	АВ , ВС , CD и DA , никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек , отличных от концов .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух	*отрезков*	.
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих	*отрезков*	.
Геометрическая фигура , также состоящая из четырёх	*отрезков*	которая называется четырёхугольником .
к ) Сколько	*отрезков*	с концами в обозначенных буквами точках изображено на рисунке ? .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух	*отрезков*	существует прямоугольник , две смежные стороны которого равны этим отрезкам .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины	*отрезков*	АВ , АС и СВ ? .
проекциях равных	*отрезков*	.
35 Сформулируйте и докажите теорему о проекциях равных	*отрезков*	.
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой и данных	*отрезков*	.
Мы сказали , что прямоугольник составлен из четырёх	*отрезков*	.
Единица измерения	*отрезков*	.
Расстояние между серединами	*отрезков*	АС и ВС равно 7 см. Найдите АС .
Точка С лежит на прямой АВ Расстояние между серединами	*отрезков*	АВ и АС равно d.
На практике пользуются приближёнными значениями длин	*отрезков*	, но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Точка М и N — середины	*отрезков*	АВ и ВС .
Измерение	*отрезков*	и углов .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам , в том случае , когда каждый из данных	*отрезков*	меньше суммы двух других ? .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с	*отрезком*	PQ . е ) Изображены три отрезка .
Измерение отрезков основано на сравнении их с	*отрезком*	, принятым за единицу измерения .
При этом отрезок BD копии совместится с	*отрезком*	CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Имеет ли прямая LM общие точки с	*отрезком*	PQ ? .
При каком соотношении между	*отрезком*	ОА и радиусом R окружности задача имеет решение ? .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр пересекается с	*отрезком*	АВ , и есть середина этого отрезка .
При этом , однако , изображается лишь часть прямой , называемая	*отрезком*	.
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с	*отрезком*	RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
Может ли прямая АВ иметь общую точку с	*отрезком*	CD ? .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по	*отрезку*	.
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
Отложим на продолжении луча НА отрезок НВ , равный	*отрезку*	НА .
И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к	*отрезку*	.
к	*отрезку*	. сумме углов треугольника . — об углах равнобедренного треугольника .
Рассмотрим произвольную точку М , равноудалённую от концов отрезка АВ , и докажем , что точка М лежит на серединном перпендикуляре а к этому	*отрезку*	.
Можно сказать , что серединный перпендикуляр к	*отрезку*	— это геометрическое место точек , равноудалённых от его концов .
Докажите теорему : каждая точка серединного перпендикуляра к	*отрезку*	равноудалена от концов этого отрезка .
Каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	.
Постройте хорду MN , равную	*отрезку*	АВ , так , чтобы расстояние от данной точки до прямой MN было равно CD .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к	*отрезку*	АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Построив серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	АВ , мы попутно решили ещё одну задачу построить середину данного отрезка АВ .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен	*отрезку*	АВ .
27 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к	*отрезку*	?
Докажем теорему , обратную теореме о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
ММХ — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АС .
серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
Она и является искомым серединным перпендикуляром к	*отрезку*	АВ .
Таким образом , серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ проходит через точки Р и Q , т .
Каждая точка серединного перпендикуляра к	*отрезку*	равноудалена от концов этого отрезка .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
25 Объясните , как построить серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	.
Докажем теорему о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
Постройте треугольник , в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному	*отрезку*	, а угол , заключённый между этими сторонами , равен данному углу .
На данном луче от его начала отложить отрезок , равный данному	*отрезку*	.
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Прямая а — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	AS .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому	*отрезку*	.
Прямая а — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
Обозначим буквой М произвольную точку серединного перпендикуляра а к	*отрезку*	АВ и докажем , что .
Серединный перпендикуляр к	*отрезку*	.
Таким образом , прямая МО — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ , и точка М лежит на нем .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно данному	*отрезку*	, а боковая сторона вдвое больше основания .
Это означает , что прямая ММ , — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АС .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и радиусом , равным данному	*отрезку*	.
30 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому	*отрезку*	.
Если река является серединным перпендикуляром к	*отрезку*	, соединяющему две деревни , то эти деревни равноудалены от моста через реку .
Построение окружности с помощью веревки и двух колышков к	*отрезку*	АВ , поэтому ОМ 1 а .
Серединным перпендикуляром к	*отрезку*	называется прямая , проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему .
В самом деле , по построению точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ , поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	.
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна	*отрезку*	BD .
Построить серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	.
22 Серединный перпендикуляр к	*отрезку*	.
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к	*отрезку*	.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором	*отрезок*	AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ ,	*отрезок*	ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что если прямая пересекает	*отрезок*	в его середине , то концы отрезка равноудалены от этой прямой .
Из этого следует , что	*отрезок*	AD является медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Докажите , что прямая CD пересекает	*отрезок*	АВ и делит его пополам .
22 Объясните , какой	*отрезок*	называется наклонной , проведённой из данной точки к данной прямой .
Проведём	*отрезок*	О А и построим его середину М. Затем проведём окружность с центром М радиуса МА .
При этом	*отрезок*	BD копии совместится с отрезком CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а	*отрезок*	АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что	*отрезок*	AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то	*отрезок*	AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС .
Мы видим , что	*отрезок*	А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX отрезка А0АХ .
Отложим на продолжении луча НА	*отрезок*	НВ , равный отрезку НА .
Докажите , что каждый	*отрезок*	имеет середину .
23 Объясните , какой	*отрезок*	называется перпендикуляром , проведённым из данной точки к данной прямой .
2 а ) Имеют ли общие точки прямая PQ и	*отрезок*	RT ? .
Проведём произвольную прямую , отметим на ней точку А и отложим	*отрезок*	АВ , равный PQ .
1 Объясните , что такое	*отрезок*	и концы отрезка .
При этом	*отрезок*	АВ копии совместится со стороной АС треугольника АВС .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то	*отрезок*	АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то	*отрезок*	АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В , лежащую на прямой КМ , так , чтобы прямая АВ пересекала прямые KL и LM , но не пересекала	*отрезок*	КМ . д )
Проведем произвольную прямую , отметим на ней точку А и отложим	*отрезок*	АВ .
Луч ОС и данный	*отрезок*	АВ .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а	*отрезок*	АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
На прямой а от точки Н отложим	*отрезок*	HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на отрезке BD , так , чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала	*отрезок*	ВС .
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от прямой , пересекающей	*отрезок*	, то эта прямая проходит через середину отрезка .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б )	*отрезок*	АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Следовательно ,	*отрезок*	АН — перпендикуляр к прямой а Теорема доказана .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а	*отрезок*	МС был равен отрезку АВ .
Если	*отрезок*	, соединяющий концы дуги , является диаметром окружности , то дуга называется полуокружностью .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является	*отрезок*	.
Из точек состоит любая геометрическая фигура :	*отрезок*	, треугольник , окружность , прямоугольник и т .
На данном луче от его начала отложить	*отрезок*	, равный данному отрезку .
Докажите , что	*отрезок*	с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из сторон треугольника .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что	*отрезок*	, соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
49 а ) На стороне АВ треугольника АВС , в котором , отмечена точка М. Может ли	*отрезок*	AM быть равным 20 см ? .
Если же один	*отрезок*	меньше другого , то единица измерения ( или её часть ) укладывается в нём меньшее число раз , чем в другом , т .
меньший	*отрезок*	имеет меньшую длину .
Прямая ΜΧΝ пересекает	*отрезок*	АВ в точке М .
Можно сказать , что	*отрезок*	— это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является	*отрезок*	.
Ясно также , что если точка делит	*отрезок*	на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности (	*отрезок*	ОМ ) .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания ,	*отрезок*	АВ равен радиусу окружности .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим	*отрезок*	AM , равный катету АС .
1 Точка , прямая ,	*отрезок*	.
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит	*отрезок*	АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и	*отрезок*	.
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О	*отрезок*	АН — высота этого треугольника .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а	*отрезок*	, соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает	*отрезок*	АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите	*отрезок*	АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Пусть АВ — данный	*отрезок*	.
Докажите , что	*отрезок*	ME — биссектриса угла АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
Наложим	*отрезок*	CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
7 Какой	*отрезок*	называется высотой треугольника ?
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла ,	*отрезок*	CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на	*отрезок*	BD , равный АВ .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и	*отрезок*	PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
5 Какой	*отрезок*	называется медианой треугольника ?
6 Какой	*отрезок*	называется биссектрисой треугольника ?
Даны	*отрезок*	АВ и прямая а , пересекающая этот отрезок .
Рассмотрим острый угол POQ и	*отрезок*	АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен	*отрезок*	ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает	*отрезок*	АВ .
Даны отрезок АВ и прямая а , пересекающая этот	*отрезок*	.
Наглядно видно , что	*отрезок*	АХВХ является проекцией отрезка АВ на прямую OQ .
Конечно ,	*отрезок*	, принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Проведем	*отрезок*	CCj .
Если он пересекает	*отрезок*	А1В1 , то получим два равнобедренных треугольника : AJCJC и BJCJC .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что	*отрезок*	, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
В этом случае говорят , что длина отрезка АВ равна 3 сантиметрам , или кратко :	*отрезок*	АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
всевозможные прямые , на которых данная окружность с центром О	*отсекает*	отрезки , являющиеся её хордами .
д. , в стереометрии — пространственные фигуры , например	*параллелепипеды*	, шары , цилиндры .
Многие предметы вокруг нас имеют форму прямоугольника : обложка книги и её страницы ; оконная рама и стёкла ; крышка стола и элементы её оформления ; полки шкафов ,	*паркет*	и двери ; рамка картины .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр	*пересекается*	с отрезком АВ , и есть середина этого отрезка .
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD	*пересекались*	, а отрезки АВ и CD не имели общих точек .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Три медианы треугольника	*пересекаются*	в одной точке .
Три биссектрисы треугольника	*пересекаются*	в одной точке .
Прямые	*пересекаются*	.
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС ,	*пересекаются*	в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Отрезки АВ и CD	*пересекаются*	в середине М отрезка АВ , причём .
Три высоты треугольника или их продолжения	*пересекаются*	в одной точке .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника	*пересекаются*	в точке , лежащей на третьей стороне .
ж ) Прямые PQ и LM	*пересекаются*	в точке М .
Прямые AD и ВС	*пересекаются*	в точке Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса угла POQ .
Докажите , что прямые а и b не	*пересекаются*	.
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС	*пересекаются*	в точке стороны ВС. Докажите , что .
Мы видим , что три медианы треугольника	*пересекаются*	в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Равные хорды АС и BD	*пересекаются*	.
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD	*пересекаются*	в точке О , точка М — середина стороны AD .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника	*пересекаются*	в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
95 Биссектрисы углов А и Б треугольника АВС	*пересекаются*	в точке М , причём .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также	*пересекаются*	в одной точке .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не	*пересекаются*	, поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажите , что окружности радиуса АВ с центрами А и Б	*пересекаются*	в двух точках .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам ,	*пересекаются*	в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О , причём 135 ° .
89 В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD	*пересекаются*	, а сторона АВ больше диагонали BD Докажите , что .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность	*пересекаются*	в двух точках .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым углом А	*пересекаются*	в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
в ) Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О , причём 150 ° .
г ) Три прямые	*пересекаются*	в одной точке и делят плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
и ) Даны четыре прямые , каждые две из которых	*пересекаются*	.
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые	*пересекаются*	в одной точке и делят плоскость на шесть углов .
65 Отрезки AD и BE	*пересекаются*	в точке С , причём АС СЕ и ZBAC ZDEC Докажите , что ААВЕ AEDA .
Таким образом , две прямые , перпендикулярные к прямой а , не	*пересекаются*	.
к ) В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD	*пересекаются*	в точке О , причём .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они	*пересекаются*	, а общая точка называется точкой пересечения этих прямых .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а ,	*пересекаются*	в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Высоты АА1 и BBj остроугольного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке Н. Докажите , что . 119 .
Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует , что две прямые , перпендикулярные к одной и той же прямой , не	*пересекаются*	.
и ) Диагонали прямоугольника ABCD	*пересекаются*	в точке О , точки М и N — середины сторон АВ и AD .
Отрезки DC и АЕ	*пересекаются*	в точке О. Докажите , что АО ОС .
41 а ) Докажите , что если четырёхугольник ABCD — прямоугольник , то . б ) Диагонали прямоугольника ABCD	*пересекаются*	в точке О. Докажите .
Что означают слова « две прямые	*пересекаются*	» ?
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не	*пересекаются*	) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Хорды АС и BD	*пересекаются*	, причем АВ CD .
С помощью рассуждений убедитесь в том , что все данные прямые	*пересекаются*	в одной точке .
б ) Две	*пересекающиеся*	прямые образуют четыре неразвёрнутых угла , один из которых в три раза больше половины другого .
Даны три попарно	*пересекающиеся*	прямые , не проходящие через одну точку .
Две	*пересекающиеся*	прямые образуют четыре неразвёрнутых угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
Две	*пересекающиеся*	прямые образуют четыре неразвёрнутых угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
Даны четыре попарно	*пересекающиеся*	прямые .
Две	*пересекающиеся*	прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре прямых угла .
Из точки М проведены перпендикуляры МН и МК к двум	*пересекающимся*	прямым .
80 Что представляет собой множество всех точек плоскости , равноудалённых от двух данных	*пересекающихся*	прямых ? .
На данной окружности постройте точку , равноудалённую от двух данных	*пересекающихся*	прямых .
Пять прямых ,	*пересекающихся*	в одной точке .
Ту из точек	*пересечения*	окружностей , которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его	*пересечения*	со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они пересекаются , а общая точка называется точкой	*пересечения*	этих прямых .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её	*пересечения*	с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
— касания прямой и окружности . —	*пересечения*	прямых .
Одну из точек	*пересечения*	этих окружностей обозначим буквой L.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её	*пересечения*	со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки	*пересечения*	диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
Пусть Н — точка	*пересечения*	прямых АВ и а .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её	*пересечения*	со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Одну из точек	*пересечения*	этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка	*пересечения*	окружностей с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её	*пересечения*	с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку	*пересечения*	его медианы AM и биссектрисы BD .
Известно , что через точку	*пересечения*	любых двух из них проходится по крайней мере ещё одна из данных прямых .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку	*пересечения*	биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Объясните следующее правило : бедуин прицеливается из ружья в точку	*пересечения*	берега реки и границы пастбища , и если и его шатёр будет справа , то он должен ехать налево , и наоборот .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек	*пересечения*	этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Докажите , что	*периметр*	треугольника BCD больше периметра треугольника АВС .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите	*периметр*	треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм ,	*периметр*	треугольника АВМ равен 16 мм .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что	*периметр*	треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
в ) Периметр треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см Найдите	*периметр*	треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
Найдите	*периметр*	треугольника ВСМ .
Что такое стороны , вершины , углы и	*периметр*	треугольника ? .
Докажите , что	*периметр*	треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма медиан треугольника меньше его периметра .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите	*периметр*	треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а	*периметр*	треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма медиан треугольника меньше его	*периметра*	.
в ) Периметр треугольника АВС отличается от	*периметра*	треугольника BCD на 6 см Найдите периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от	*периметра*	треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше	*периметра*	треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма медиан треугольника меньше его периметра .
Докажите , что каждая сторона треугольника меньше половины его	*периметра*	.
Докажите , что периметр треугольника BCD больше	*периметра*	треугольника АВС .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность	*периметров*	треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
Периметр треугольника ABD равен 33 см. Найдите разность	*периметров*	треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
Сумма длин всех сторон треугольника называется его	*периметром*	.
в ) На стороне АС треугольника АВС с	*периметром*	17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
Постройте треугольник по	*периметру*	и двум углам .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что	*периметры*	треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный	*перпендикуляр*	к этому отрезку .
Из точки , не лежащей на прямой , можно провести	*перпендикуляр*	к этой прямой .
ММХ — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АС .
Докажите , что	*перпендикуляр*	, проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от точки до прямой ? .
А есть ли такой	*перпендикуляр*	?
Так как катет меньше гипотенузы , то	*перпендикуляр*	, проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Действительно , точка М , в которой серединный	*перпендикуляр*	пересекается с отрезком АВ , и есть середина этого отрезка .
Прямая а — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АВ .
Таким образом , прямая МО — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АВ , и точка М лежит на нем .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный	*перпендикуляр*	( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
22 Серединный	*перпендикуляр*	к отрезку .
Таким образом , серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АВ проходит через точки Р и Q , т .
Из точки М катета АС прямоугольного треугольника АВС проведён	*перпендикуляр*	МН к гипотенузе АВ .
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АВ .
25 Объясните , как построить серединный	*перпендикуляр*	к данному отрезку .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну теорему : из точки , не лежащей на прямой , можно провести	*перпендикуляр*	к этой прямой , и притом только один .
Следовательно , отрезок АН —	*перпендикуляр*	к прямой а Теорема доказана .
а ) Отрезок АН —	*перпендикуляр*	, проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Следовательно , множество Ф и есть этот серединный	*перпендикуляр*	.
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что	*перпендикуляр*	, проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
47 а ) Серединный	*перпендикуляр*	к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АВ .
Это означает , что прямая ММ , — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку АС .
Докажите , что и серединный	*перпендикуляр*	к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
Построить серединный	*перпендикуляр*	к данному отрезку .
Но этого не может быть , так как из точки , не лежащей на прямой , можно провести только один	*перпендикуляр*	к этой прямой .
Отрезок АН —	*перпендикуляр*	к прямой а .
30 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный	*перпендикуляр*	к этому отрезку .
Докажем , что из точки А можно провести	*перпендикуляр*	к прямой а .
Так как из точки А можно провести только один	*перпендикуляр*	к прямой ВС , то отрезок AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС .
Можно сказать , что серединный	*перпендикуляр*	к отрезку — это геометрическое место точек , равноудалённых от его концов .
Построив серединный	*перпендикуляр*	к данному отрезку АВ , мы попутно решили ещё одну задачу построить середину данного отрезка АВ .
9 Как провести	*перпендикуляр*	к прямой , начерченной на листе бумаги , из отмеченной точки , если у вас есть только линейка , карандаш и прозрачная бумага ? .
Прямая а — серединный	*перпендикуляр*	к отрезку AS .
Если же прямая а не проходит через точку О , то проведём	*перпендикуляр*	ОН к прямой а и обозначим его длину , т .
Серединный	*перпендикуляр*	к отрезку .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён	*перпендикуляр*	МН к стороне АС .
Для любой другой точки М прямой а наклонная ОМ больше	*перпендикуляра*	ОН , т . е . , и поэтому точка М не лежит на данной окружности .
Построение серединного	*перпендикуляра*	.
25 Докажите теорему о существовании	*перпендикуляра*	к прямой .
Каждая точка серединного	*перпендикуляра*	к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
Обозначим буквой М произвольную точку серединного	*перпендикуляра*	а к отрезку АВ и докажем , что .
26 Докажите теорему о единственности	*перпендикуляра*	к прямой .
Мы ввели понятие	*перпендикуляра*	, проведённого из данной точки к данной прямой .
если прямые АН и а перпендикулярны Точка Н называется основанием	*перпендикуляра*	АН .
Длина	*перпендикуляра*	, проведённого из точки к прямой , называется расстоянием от этой точки до прямой .
Наклонная ОМ больше	*перпендикуляра*	ОН .
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два	*перпендикуляра*	— NC и NE .
Пусть точка Н — основание	*перпендикуляра*	, проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая точка прямой а .
Что такое основание	*перпендикуляра*	? .
Докажем теорему о существовании	*перпендикуляра*	к прямой .
— серединного	*перпендикуляра*	. — середины отрезка .
И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного	*перпендикуляра*	к отрезку .
Теоремы о существовании и о единственности	*перпендикуляра*	к прямой можно объединить в одну теорему : из точки , не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой прямой , и притом только один .
Докажите теорему : каждая точка серединного	*перпендикуляра*	к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
Проекцией точки М на прямую а называется основание	*перпендикуляра*	, проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Из теоремы о единственности	*перпендикуляра*	к прямой следует , что две прямые , перпендикулярные к одной и той же прямой , не пересекаются .
Предположим , что из точки А можно провести два	*перпендикуляра*	АН и АК к прямой а .
38 Построение серединного	*перпендикуляра*	.
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного	*перпендикуляра*	принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Начинается она с построения равностороннего треугольника , затем следуют построение биссектрисы угла и построение	*перпендикуляра*	к прямой .
Докажем , что из точки А нельзя провести два	*перпендикуляра*	к прямой а .
Точка Н — основание	*перпендикуляра*	, проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
Докажем теперь теорему о единственности	*перпендикуляра*	к прямой .
Если же точка М не лежит на прямой а , то из точки М будут проведены два	*перпендикуляра*	к прямой а , что невозможно .
Таким образом , из точки О проведены два	*перпендикуляра*	к прямой а — ОМ и ON .
Из точки , не лежащей на прямой , нельзя провести два	*перпендикуляра*	к этой прямой .
Следовательно , наше предположение неверно , а значит , из точки А нельзя провести два	*перпендикуляра*	к прямой а Теорема доказана .
Основание	*перпендикуляра*	, проведённого из точки к прямой .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном	*перпендикуляре*	к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Докажем теорему , обратную теореме о серединном	*перпендикуляре*	к отрезку .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности	*перпендикулярен*	к хорде ВВ .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника	*перпендикулярно*	к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Если точка А лежит на данной окружности , то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А	*перпендикулярно*	к прямой ОА .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М	*перпендикулярно*	к прямой а .
Построение прямой , проходящей через точку М и	*перпендикулярной*	к прямой о .
39 Построение прямой ,	*перпендикулярной*	к данной .
27 Объясните , как построить прямую , проходящую через данную точку и	*перпендикулярную*	к данной прямой .
Проведём прямую ΜΧΝ ,	*перпендикулярную*	прямой OQ .
Через середину М стороны AD проведём прямую ,	*перпендикулярную*	к AD .
Через точку А проведём прямую а ,	*перпендикулярную*	к прямой АВ ; как это сделать , мы знаем .
Построить прямую , проходящую через данную точку и	*перпендикулярную*	к данной прямой .
15 а ) Прямые АЕ и BF взаимно	*перпендикулярны*	.
в ) Прямые ОА и ОВ взаимно	*перпендикулярны*	и ZAOC = ZBOD .
Докажите , что ОС 1 OD . 16 а ) Прямые АЕ и BF взаимно	*перпендикулярны*	.
Прямые ОА и ОВ , а также прямые ОС и OD взаимно	*перпендикулярны*	.
если прямые АН и а	*перпендикулярны*	Точка Н называется основанием перпендикуляра АН .
23 Докажите , что биссектрисы смежных углов взаимно	*перпендикулярны*	.
Докажите , что медианы МР и MQ треугольников АМС и ВМС взаимно	*перпендикулярны*	.
Докажите , что высоты ВН и BE треугольников АВС и BCD взаимно	*перпендикулярны*	.
122 * Хорды АВ и CD взаимно	*перпендикулярны*	, луч АВ — биссектриса угла DAE .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ	*перпендикулярны*	к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажите , что если биссектрисы углов АОВ и ВОС взаимно	*перпендикулярны*	,
Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует , что две прямые ,	*перпендикулярные*	к одной и той же прямой , не пересекаются .
Таким образом , две прямые ,	*перпендикулярные*	к прямой а , не пересекаются .
Предположим , что две прямые ,	*перпендикулярные*	к прямой а , пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч ,	*перпендикулярный*	к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно	*перпендикулярными*	) , если они образуют четыре прямых угла .
22 Какие прямые называются	*перпендикулярными*	? .
Две пересекающиеся прямые называются	*перпендикулярными*	( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре прямых угла .
—	*перпендикулярных*	прямых .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин	*перпендикуляров*	, проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Серединным	*перпендикуляром*	к отрезку называется прямая , проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему .
Если река является серединным	*перпендикуляром*	к отрезку , соединяющему две деревни , то эти деревни равноудалены от моста через реку .
23 Объясните , какой отрезок называется	*перпендикуляром*	, проведённым из данной точки к данной прямой .
Отрезок , соединяющий точку А с точкой Н прямой а , называется	*перпендикуляром*	, проведённым из точки А к прямой а .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным	*перпендикуляром*	к одной из его высот .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является	*перпендикуляром*	, проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
27 Какая прямая называется серединным	*перпендикуляром*	к отрезку ?
Она и является искомым серединным	*перпендикуляром*	к отрезку АВ .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные	*перпендикуляры*	к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Из точки М проведены	*перпендикуляры*	МН и МК к двум пересекающимся прямым .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены	*перпендикуляры*	МН и МК к сторонам угла .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные	*перпендикуляры*	к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены	*перпендикуляры*	МА и МВ к сторонам этого угла .
48 а ) Серединные	*перпендикуляры*	к двум сторонам треугольника проходят через точку О.
Это название объясняется тем , что возникновение геометрии было связано с практической деятельностью — разметкой земельных участков , прокладыванием дорог , строительством сложных архитектурных сооружений ( например , египетских	*пирамид*	) .
При строительстве египетских	*пирамид*	использовались накопленные с глубокой древности практические геометрические правила .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской	*пирамиды*	, измерив её тень в тот момент , когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
В планиметрии рассматриваются	*плоские*	фигуры — прямоугольники , отрезки , треугольники , окружности , четырёхугольники и т .
Окружностью называется геометрическая фигура , состоящая из всех точек	*плоскости*	, расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Множество всех точек	*плоскости*	, каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
30 Докажите , что множество всех точек	*плоскости*	, каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
5 В	*плоскости*	расположено 5 зубчатых колес так , что первое колесо сцеплено своими зубьями со вторым , второе — с третьм , третье — с четвёртым , четвёртое — с пятым , а пятое — с первым .
Множество всех точек	*плоскости*	, каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
80 Что представляет собой множество всех точек	*плоскости*	, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых ? .
Часть .	*плоскости*	, ограниченная окружностью , называется кругом .
33 Докажите , что множество всех точек	*плоскости*	, каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
При повторном перегибании	*плоскости*	по прямой а точка Н останется на месте .
Мысленно перегнём	*плоскость*	по прямой а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая точку А , наложилась на другую полуплоскость .
Прямая , на которой лежат его стороны , разделяет	*плоскость*	на две полуплоскости .
Мысленно перегнём	*плоскость*	по прямой а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая точку А. наложилась на другую полуплоскость .
Неразвёрнутый угол разделяет	*плоскость*	на две части , одна из которых называется внутренней , а другая — внешней областью этого угла .
Она пересечёт сторону ВС в некоторой точке N. Мысленно перегнём	*плоскость*	по прямой MN так , чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую .
г ) Три прямые пересекаются в одной точке и делят	*плоскость*	на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
Обозначим её буквой В. Разогнём	*плоскость*	и проведём через точки А у В прямую .
Любая прямая разделяет	*плоскость*	на две части , каждая из которых называется полуплоскостью , а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей .
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые пересекаются в одной точке и делят	*плоскость*	на шесть углов .
В случае	*положительного*	ответа сделайте рисунок .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается	*положительным*	числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Изображены две	*полуокружности*	( синяя и зелёная ) .
2 Вписанный угол , опирающийся на	*полуокружность*	, прямой .
18 Докажите , что вписанный угол , опирающийся на	*полуокружность*	, прямой .
Эту задачу можно решить другим способом , основанным на том , что вписанный угол , опирающийся на	*полуокружность*	, прямой .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является диаметром окружности , то дуга называется	*полуокружностью*	.
13 Объясните , какая дуга называется	*полуокружностью*	.
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является	*полуокружностью*	, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше	*полусуммы*	сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что сумма медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС больше	*полусуммы*	сторон АС и ВС .
На практике пользуются	*приближёнными*	значениями длин отрезков , но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Доказательство этого утверждения	*приведено*	.
этого утверждения	*приведено*	.
Кроме того , в конце учебника	*приведены*	задачи повышенной трудности .
Доказательства равенства треугольников АВС и АХВХСХ в этих случаях	*приведены*	.
Дополнительные задачи ( они немного труднее )	*приведены*	в конце каждой главы .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем	*привели*	доказательство этой теоремы .
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а	*прилежащие*	к ней углы равны углам Л и Б этого треугольника .
4 ) если сторона и	*прилежащие*	к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны ;
Докажите , что если сторона ,	*прилежащий*	к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона ,	*прилежащий*	к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и	*прилежащий*	к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум	*прилежащим*	к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум	*прилежащим*	к ней углам .
23 Объясните , как построить треугольник по стороне и двум	*прилежащим*	к ней углам .
Если сторона и два	*прилежащих*	к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что	*проекцией*	отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
Наглядно видно , что отрезок АХВХ является	*проекцией*	отрезка АВ на прямую OQ .
Итак , мы доказали , что	*проекцией*	отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является	*проекцией*	некоторой точки отрезка АВ .
Докажем , что она является	*проекцией*	некоторой точки отрезка АВ .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К —	*проекции*	середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Точки Ах и Вх —	*проекции*	точек А и Б на прямую OQ .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше	*проекции*	второго отрезка .
Поскольку отрезки МА и МВ равны , то их	*проекции*	МХА и МХС также равны .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне острого угла , равны , то их	*проекции*	на другую сторону также равны .
точка А совпадает с вершиной угла ) , то их	*проекции*	АВХ и CXDX равны .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше	*проекции*	BQBX отрезка А0АХ .
Пусть Ах и В1 —	*проекции*	точек А и В на прямую OQ .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , —	*проекции*	точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше	*проекции*	второго отрезка .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество	*проекций*	всех точек этого отрезка на прямую а .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх —	*проекция*	точки М на прямую АС .
Пусть Мх —	*проекция*	точки М отрезка АВ на прямую OQ .
Точка Мх —	*проекция*	точки М на прямую OQ Ах Мх Вх .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то	*проекция*	первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Пусть А2 — проекция точки А на прямую ВВХ , С2 —	*проекция*	точки С на прямую DDX .
Пусть А2 —	*проекция*	точки А на прямую ВВХ , С2 — проекция точки С на прямую DDX .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что	*проекция*	каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то	*проекция*	первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его	*проекция*	В0Вn в n раз больше проекции BQBX отрезка А0АХ .
	*Проекциях*	равных отрезков .
35 Сформулируйте и докажите теорему о	*проекциях*	равных отрезков .
Докажем теперь теорему о	*проекциях*	равных отрезков .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и	*противолежащий*	ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Следовательно ,	*прямая*	а и окружность имеют только одну общую точку , т .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что	*прямая*	МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Может ли	*прямая*	АВ иметь общую точку с отрезком CD ? .
Через точку О проведена	*прямая*	, перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а касательную а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Одну из точек пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то	*прямая*	АВ — искомая касательная .
Докажите , что	*прямая*	, проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
7 Какая	*прямая*	называется касательной к окружности ?
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что	*прямая*	СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Для краткости вместо слов «	*прямая*	АС перпендикулярна к прямой BD » используют запись АС -L BD .
6 Какая	*прямая*	называется секущей по отношению к окружности ? .
Известно , что	*прямая*	, проходящая через любые две точки , содержит по крайней мере ещё одну из данных точек .
В этом случае	*прямая*	называется касательной по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
1 Точка ,	*прямая*	, отрезок .
данная	*прямая*	является касательной к окружности .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то	*прямая*	и окружность имеют две общие точки .
Докажите , что	*прямая*	ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
27 Какая	*прямая*	называется серединным перпендикуляром к отрезку ?
Докажите , что	*прямая*	CD проходит через середину отрезка АВ .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли	*прямая*	АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Даны	*прямая*	а и точки А и В , лежащие по одну сторону от неё .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а	*прямая*	АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
5 Сколько общих точек имеют	*прямая*	и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой ? .
Если А е а , то говорят также , что	*прямая*	а проходит через точку А .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому	*прямая*	ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
Следовательно ,	*прямая*	а перпендикулярна к радиусу О А. Теорема доказана .
Из этого следует , что	*прямая*	а является секущей , а не касательной , что противоречит условию .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что	*прямая*	, проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что	*прямая*	, проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Имеет ли	*прямая*	LM общие точки с отрезком PQ ? .
В этом случае	*прямая*	называется секущей по отношению к окружности .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта	*прямая*	пересекает отрезок АВ .
В самом деле , если бы две прямые имели две общие точки , то через эти две точки проходили бы две прямые , чего не может быть , так как через две точки проходит только одна	*прямая*	.
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В , лежащую на прямой КМ , так , чтобы	*прямая*	АВ пересекала прямые KL и LM , но не пересекала отрезок КМ . д )
Это означает , что	*прямая*	ММ , — серединный перпендикуляр к отрезку АС .
Постройте на прямой а точку С так , чтобы эта	*прямая*	содержала биссектрису треугольника АВС .
Докажите , что	*прямая*	CD пересекает отрезок АВ и делит его пополам .
Если	*прямая*	а проходит через точку О , то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра , лежащего на этой прямой .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то	*прямая*	и окружность не имеют общих точек .
Если же	*прямая*	а не проходит через точку О , то проведём перпендикуляр ОН к прямой а и обозначим его длину , т .
Серединным перпендикуляром к отрезку называется	*прямая*	, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему .
Докажите , что если	*прямая*	пересекает отрезок в его середине , то концы отрезка равноудалены от этой прямой .
Таким образом ,	*прямая*	МО — серединный перпендикуляр к отрезку АВ , и точка М лежит на нем .
Даны отрезок АВ и	*прямая*	а , пересекающая этот отрезок .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому	*прямая*	а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
расстояние от центра данной окружности до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют	*прямая*	а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
Любая прямая разделяет плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью , а сама	*прямая*	называется границей каждой из этих полуплоскостей .
Любая	*прямая*	разделяет плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью , а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей .
Через каждую пару этих точек проведена	*прямая*	.
По признаку касательной	*прямая*	а является искомой касательной .
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от прямой , пересекающей отрезок , то эта	*прямая*	проходит через середину отрезка .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на отрезке BD , так , чтобы	*прямая*	MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала отрезок ВС .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а	*прямая*	RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
2 а ) Имеют ли общие точки	*прямая*	PQ и отрезок RT ? .
Точки А , В и С лежат на окружности ,	*прямая*	МА — касательная к ней .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы	*прямая*	PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то	*прямая*	и окружность имеют только одну общую точку .
Таким образом , через две точки проходит	*прямая*	, и притом только одна .
Если	*прямая*	проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной .
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая	*прямая*	, проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Поскольку	*прямая*	АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины	*прямого*	угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина	*прямого*	угла лежит на этой окружности .
Правда , для некоторых углов эта задача имеет решение , например для	*прямого*	угла ( объясните , почему ) .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина	*прямого*	угла треугольника лежит на этой окружности .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина	*прямого*	угла треугольника лежит на этой окружности .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из вершины	*прямого*	угла , равна половине гипотенузы .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам	*прямого*	угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
Угол , меньший прямого , называется острым , а угол , больший	*прямого*	, но меньший развернутого , — тупым .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины	*прямого*	угла равно длине одного из катетов .
Угол , меньший	*прямого*	, называется острым , а угол , больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса	*прямого*	угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области	*прямого*	угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против	*прямого*	угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины	*прямого*	угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Следовательно , луч СМ проходит внутри	*прямого*	угла АСВ , а точка М лежит на гипотенузе АВ .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины	*прямого угла*	равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина	*прямого угла*	треугольника лежит на этой окружности .
Правда , для некоторых углов эта задача имеет решение , например для	*прямого угла*	( объясните , почему ) .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина	*прямого угла*	лежит на этой окружности .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам	*прямого угла*	с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из вершины	*прямого угла*	, равна половине гипотенузы .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса	*прямого угла*	делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области	*прямого угла*	АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины	*прямого угла*	, равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Следовательно , луч СМ проходит внутри	*прямого угла*	АСВ , а точка М лежит на гипотенузе АВ .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против	*прямого угла*	, называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины	*прямого угла*	равно длине одного из катетов .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина	*прямого угла*	треугольника лежит на этой окружности .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к	*прямой*	АВ .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от	*прямой*	ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой	*прямой*	.
На	*прямой*	отмечены точки А , В и С так , что АВ = 1,22 дм и АС = 6 мм .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой	*прямой*	( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
27 Объясните , как построить прямую , проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной	*прямой*	.
Точки А и В лежат по одну сторону от	*прямой*	а .
в ) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение	*прямой*	АВ и окружности с центром С радиуса 5 см ? .
Каким должен быть радиус окружности с центром А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с	*прямой*	ВС общих точек .
Проведём прямую ΜΧΝ , перпендикулярную	*прямой*	OQ .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до	*прямой*	а равно радиусу .
От середины М отрезка АВ , равного 2,4 м , отложены на	*прямой*	АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
Постройте точку М	*прямой*	а так , чтобы сумма была меньше суммы , где X — любая точка прямой а , отличная от М . 189 .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от	*прямой*	ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к	*прямой*	AD .
3 ) имела с	*прямой*	ВС две общие точки ? .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на	*прямой*	АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
равном 24 см , отменены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на	*прямой*	АВ .
10 а ) На	*прямой*	АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Каким должен быть радиус окружности с центром А , чтобы она : 1 ) касалась	*прямой*	ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
Найдите расстояние от вершины С до	*прямой*	АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения окружностей с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на	*прямой*	АС .
Докажем , что из точки А нельзя провести два перпендикуляра к	*прямой*	а .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к	*прямой*	, содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
С помощью рассуждений убедитесь в том , что все данные точки лежат на одной	*прямой*	.
Предположим , что из точки А можно провести два перпендикуляра АН и АК к	*прямой*	а .
Мысленно перегнём плоскость по	*прямой*	а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая точку А. наложилась на другую полуплоскость .
Поэтому точки А , Н и В лежат на одной	*прямой*	и также точки А , К и В лежат на одной прямой .
Следовательно , наше предположение неверно , а значит , из точки А нельзя провести два перпендикуляра к	*прямой*	а Теорема доказана .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к	*прямой*	можно объединить в одну теорему : из точки , не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой прямой , и притом только один .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну теорему : из точки , не лежащей на	*прямой*	, можно провести перпендикуляр к этой прямой , и притом только один .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну теорему : из точки , не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой	*прямой*	, и притом только один .
Из теоремы о единственности перпендикуляра к	*прямой*	следует , что две прямые , перпендикулярные к одной и той же прямой , не пересекаются .
Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует , что две прямые , перпендикулярные к одной и той же	*прямой*	, не пересекаются .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к	*прямой*	а , пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на	*прямой*	а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Если же точка М не лежит на	*прямой*	а , то из точки М будут проведены два перпендикуляра к прямой а , что невозможно .
Если же точка М не лежит на прямой а , то из точки М будут проведены два перпендикуляра к	*прямой*	а , что невозможно .
Таким образом , две прямые , перпендикулярные к	*прямой*	а , не пересекаются .
Точки С и С расположены по разные стороны от	*прямой*	АВ , причем .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на	*прямой*	АС .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от	*прямой*	АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Точка С лежит на	*прямой*	АВ Расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно d.
Точка С лежит на	*прямой*	АВ , причем .
26 Докажите теорему о единственности перпендикуляра к	*прямой*	.
25 Докажите теорему о существовании перпендикуляра к	*прямой*	.
55 Точка С лежит на	*прямой*	АВ , а точка D не лежит на этой прямой .
2 Вписанный угол , опирающийся на полуокружность ,	*прямой*	.
Из точки , не лежащей на	*прямой*	, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой .
Докажем теперь теорему о единственности перпендикуляра к	*прямой*	.
Следовательно , отрезок АН — перпендикуляр к	*прямой*	а Теорема доказана .
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на окружности и , следовательно , является общей точкой	*прямой*	а и окружности .
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на	*прямой*	АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
На	*прямой*	ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
9 Перпендикулярные прямые Перпендикуляр к	*прямой*	.
16 Докажите , что если один из углов треугольника	*прямой*	, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Если один из них	*прямой*	, то и остальные углы прямые .
Для краткости вместо слов « прямая АС перпендикулярна к	*прямой*	BD » используют запись АС -L BD .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий	*прямой*	или тупой .
Отрезок , соединяющий точку А с точкой Н	*прямой*	а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой а .
Отрезок , соединяющий точку А с точкой Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к	*прямой*	а .
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к	*прямой*	ВС , то отрезок AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС .
—	*прямой*	.
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на	*прямой*	АВ .
Отрезок АН — перпендикуляр к	*прямой*	а .
Для любой другой точки М	*прямой*	а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН , т . е . , и поэтому точка М не лежит на данной окружности .
Из точки , не лежащей на	*прямой*	, можно провести перпендикуляр к этой прямой .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки к	*прямой*	, меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от точки до прямой ? .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой	*прямой*	Что называется расстоянием от точки до прямой ? .
Ту из точек пересечения окружностей , которая лежит с точкой А по разные стороны от	*прямой*	ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от точки до	*прямой*	? .
Пусть А — точка , не лежащая на данной	*прямой*	а .
Докажем , что из точки А можно провести перпендикуляр к	*прямой*	а .
Мысленно перегнём плоскость по	*прямой*	а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая точку А , наложилась на другую полуплоскость .
Перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к	*прямой*	, содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
При повторном перегибании плоскости по	*прямой*	а точка Н останется на месте .
Так как углы 1 и 2 — смежные , то их сумма равна 180 г , поэтому каждый из них —	*прямой*	.
Докажем теорему о существовании перпендикуляра к	*прямой*	.
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной	*прямой*	а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Постройте хорду MN , равную отрезку АВ , так , чтобы расстояние от данной точки до	*прямой*	MN было равно CD .
18 Докажите , что вписанный угол , опирающийся на полуокружность ,	*прямой*	.
Длина перпендикуляра , проведённого из точки к прямой , называется расстоянием от этой точки до	*прямой*	.
Длина перпендикуляра , проведённого из точки к	*прямой*	, называется расстоянием от этой точки до прямой .
Так как катет меньше гипотенузы , то перпендикуляр , проведённый из точки к	*прямой*	, меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой	*прямой*	, проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух точек	*прямой*	— концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Так как , то для любой точки М	*прямой*	а справедливо неравенство .
Отрезок AM называется наклонной , проведённой из точки А к	*прямой*	а .
Пусть точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая точка	*прямой*	а .
Пусть точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки А к	*прямой*	а , а М — любая другая точка прямой а .
При этом , однако , изображается лишь часть	*прямой*	, называемая отрезком .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до	*прямой*	ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Тогда радиус О А будет наклонной к	*прямой*	а , поэтому расстояние от точки О до прямой а меньше радиуса .
Тогда радиус О А будет наклонной к прямой а , поэтому расстояние от точки О до	*прямой*	а меньше радиуса .
Расстояние от точки М до прямой АС равно 10 см. Найдите расстояние от точки М до	*прямой*	АВ .
Начинается она с построения равностороннего треугольника , затем следуют построение биссектрисы угла и построение перпендикуляра к	*прямой*	.
Для краткости вместо слов « точка А лежит на прямой о » используют запись Ае а , а вместо слов « точка В не лежит на	*прямой*	а » — запись В а .
В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания	*прямой*	и окружности .
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов треугольника	*прямой*	, то сумма двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них острый .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к	*прямой*	АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Данная точка М может лежать на данной	*прямой*	а , а может и не лежать на ней .
Постройте точку М прямой а так , чтобы сумма была меньше суммы , где X — любая точка	*прямой*	а , отличная от М . 189 .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий	*прямой*	или тупой .
Представление о	*прямой*	даёт натянутая нить .
Расстояние от точки А до	*прямой*	а равно длине отрезка АН .
5 ) вписанный угол , опирающийся на диаметр ,	*прямой*	.
Если один из углов треугольника	*прямой*	, то треугольник называют прямоугольным .
На	*прямой*	а постройте точку , равноудалённую от точек Л и Б. Всегда ли эта задача имеет решение ? .
точки окружности не лежат на одной прямой , то других общих точек у	*прямой*	а и окружности нет .
Расстояние от точки М до	*прямой*	АС равно 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ .
Следовательно , ОБ О А г , поэтому точка Б также является общей точкой	*прямой*	и окружности .
Для краткости вместо слов « точка А лежит на	*прямой*	о » используют запись Ае а , а вместо слов « точка В не лежит на прямой а » — запись В а .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до	*прямой*	АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от	*прямой*	ВА .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой	*прямой*	, лежащих между концами .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к	*прямой*	ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а касательную а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Если точка М лежит на	*прямой*	АВ , то она совпадает с серединой О отрезка АВ , а значит , лежит на прямой а .
Если точка М лежит на прямой АВ , то она совпадает с серединой О отрезка АВ , а значит , лежит на	*прямой*	а .
Если же точка М не лежит на	*прямой*	АВ , то точки А , В и М — вершины равнобедренного треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
На	*прямой*	а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до	*прямой*	больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Через точку А проведём прямую а , перпендикулярную к	*прямой*	АВ ; как это сделать , мы знаем .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до	*прямой*	а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
расстояние от центра данной окружности до	*прямой*	а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
Если же прямая а не проходит через точку О , то проведём перпендикуляр ОН к	*прямой*	а и обозначим его длину , т .
Докажите , что если прямая пересекает отрезок в его середине , то концы отрезка равноудалены от этой	*прямой*	.
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от	*прямой*	АХВХ .
Перпендикуляр , проведённый из точки к	*прямой*	.
Эту задачу можно решить другим способом , основанным на том , что вписанный угол , опирающийся на полуокружность ,	*прямой*	.
Основание перпендикуляра , проведённого из точки к	*прямой*	.
29 Взаимное расположение	*прямой*	и окружности .
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от	*прямой*	, пересекающей отрезок , то эта прямая проходит через середину отрезка .
Наклонная , проведённая из точки к	*прямой*	.
Отрезок АВ не имеет общих точек с	*прямой*	CD .
перпендикуляре к	*прямой*	.
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой	*прямой*	и данных отрезков .
В прямоугольном треугольнике угол между катетами	*прямой*	, а любые два прямых угла равны .
б ) Существуют ли точки , которые одновременно лежат на прямой PQ и	*прямой*	RT ? .
б ) Существуют ли точки , которые одновременно лежат на	*прямой*	PQ и прямой RT ? .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к	*прямой*	а .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см. Найдите расстояние от точки О до	*прямой*	АВ .
Докажите , что эти точки равноудалены от	*прямой*	ВС .
Таким образом , из точки О проведены два перпендикуляра к	*прямой*	а — ОМ и ON .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол —	*прямой*	, поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В , лежащую на	*прямой*	КМ , так , чтобы прямая АВ пересекала прямые KL и LM , но не пересекала отрезок КМ . д )
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р , лежащую на прямой CD , но не лежащую на отрезке АВ , и точку Q , лежащую как на	*прямой*	CD .
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р , лежащую на	*прямой*	CD , но не лежащую на отрезке АВ , и точку Q , лежащую как на прямой CD .
Если точка А лежит на данной окружности , то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А перпендикулярно к	*прямой*	ОА .
Найдите расстояние от точки А до	*прямой*	ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
а ) Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности , расстояние от точки А до	*прямой*	ОВ в два раза меньше радиуса .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с	*прямой*	, проходящей через эту точку и центр окружности .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с	*прямой*	CD общих точек ; .
Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD , а точки В и D — по разные стороны от	*прямой*	АС .
Точки А и С лежат по разные стороны от	*прямой*	BD , а точки В и D — по разные стороны от прямой АС .
з ) имела с	*прямой*	CD две общие точки ? .
в ) В треугольнике АВС угол С —	*прямой*	, АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 3 см ? .
в ) В треугольнике АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение	*прямой*	АВ и окружности с центром С радиуса 3 см ? .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась	*прямой*	CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Она пересечёт сторону ВС в некоторой точке N. Мысленно перегнём плоскость по	*прямой*	MN так , чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую .
На	*прямой*	отмечены точки А , В , С и D так , что точка В лежит между точками А и С , а отрезки АС и BD равны .
В этом случае мы обнаружим , что	*прямой*	угол NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
39 Построение	*прямой*	, перпендикулярной к данной .
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из точки N к	*прямой*	DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
Но этого не может быть , так как из точки , не лежащей на	*прямой*	, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой .
9 Как провести перпендикуляр к	*прямой*	, начерченной на листе бумаги , из отмеченной точки , если у вас есть только линейка , карандаш и прозрачная бумага ? .
Точки А и В лежат по разные стороны от	*прямой*	CD , причём .
В результате перегибания по	*прямой*	MN точки А и D совместились , а сторона АВ наложилась на луч DC .
4 Докажите , что никакие три точки окружности не лежат на одной	*прямой*	.
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к	*прямой*	OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от	*прямой*	АХВХ .
Найдите расстояние от точки М до	*прямой*	АВ .
Следовательно , точки Ах и Б , также лежат по разные стороны от	*прямой*	ММХ , поэтому точка Мх лежит между точками Ах и Вх , т .
Постройте на	*прямой*	а точку С так , чтобы эта прямая содержала биссектрису треугольника АВС .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от	*прямой*	ΑγΒλ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от	*прямой*	MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Рассмотрим фигуру , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , никакие два из которых не лежат на одной	*прямой*	и не имеют общих точек , отличных от концов .
е . совпадает с	*прямой*	PQ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от	*прямой*	ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к	*прямой*	, проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Какая точка называется точкой касания	*прямой*	и окружности ? .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от	*прямой*	ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
5 Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до	*прямой*	? .
Расстояние между двумя точками . — от точки до	*прямой*	.
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с	*прямой*	, проходящей через эту точку и центр окружности .
Глава 2 . 1 Как , пользуясь только верёвкой и острыми колышками , начертить на земле	*прямой*	угол ? .
Таким образом , если расстояние от центра окружности до	*прямой*	равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
3 Предложите способ измерения расстояния между двумя точками , если нельзя пройти по	*прямой*	от одной точки до другой .
Итак , если расстояние от центра окружности до	*прямой*	меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к	*прямой*	а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на	*прямой*	а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на	*прямой*	а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Дан треугольник АВС с прямым углом А. На катете АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от	*прямой*	ВС . з )
В самом деле , пусть угол С треугольника АВС	*прямой*	.
98 Перпендикуляр МН к	*прямой*	, содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
В треугольнике АВС угол С	*прямой*	, a ZB 35 ° .
— касания	*прямой*	и окружности . — пересечения прямых .
Построение прямой , проходящей через точку М и перпендикулярной к	*прямой*	о .
Ответ обоснуйте . д ) На	*прямой*	АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между точками А и В , точка В — между точками С и , отрезки АВ и CD равны .
в ) Точки А и Б лежат по разные стороны от	*прямой*	CD , причём .
Если один из углов треугольника	*прямой*	, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Построение	*прямой*	, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой о .
В этом случае мы обнаружим , что	*прямой угол*	NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
Глава 2 . 1 Как , пользуясь только верёвкой и острыми колышками , начертить на земле	*прямой угол*	? .
Каждый из этих треугольников равен треугольнику АВС ( по двум сторонам и заключённому между ними	*прямому*	углу ) .
Каждый из этих треугольников равен треугольнику АВС ( по двум сторонам и заключённому между ними	*прямому углу*	) .
Докажите , что четырёхугольник AMON —	*прямоугольник*	.
В четырёхугольнике ААХВХА2 углы Ах , А2 И ВХ прямые , поэтому этот четырёхугольник —	*прямоугольник*	, и его противоположные стороны АА2 и АХВХ равны .
41 а ) Докажите , что если четырёхугольник ABCD —	*прямоугольник*	, то . б ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите .
Докажите , что этот четырёхугольник —	*прямоугольник*	.
17 Докажите , что если три угла четырёхугольника прямые , то этот четырёхугольник —	*прямоугольник*	.
Из точек состоит любая геометрическая фигура : отрезок , треугольник , окружность ,	*прямоугольник*	и т .
Как с помощью только нити убедиться в том , что это : а )	*прямоугольник*	; б ) квадрат ? .
Мы сказали , что	*прямоугольник*	составлен из четырёх отрезков .
Итак , для описания формы большого числа предметов используется слово «	*прямоугольник*	» .
Наряду с треугольником АВС рассмотрим	*прямоугольник*	1 , смежные стороны которого равны соответственно отрезкам СВ и СА .
Докажите , что четырёхугольник ABCD —	*прямоугольник*	. л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух отрезков существует	*прямоугольник*	, две смежные стороны которого равны этим отрезкам .
Рассмотрим	*прямоугольник*	ABCD и докажем , что его противоположные стороны , например АВ и DC , равны .
Итак ,	*прямоугольник*	— это четырёхугольник , у которого все углы прямые .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет	*прямоугольник*	на два прямоугольника .
Если в четырёхугольнике ABCD углы DAB , АВС и BCD прямые , то этот четырёхугольник —	*прямоугольник*	.
Само название «	*прямоугольник*	» говорит о том , что его углы прямые , т .
Докажите , что четырёхугольник AMON —	*прямоугольник*	. л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны	*прямоугольника*	к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
15 Сформулируйте и докажите теорему о противоположных сторонах	*прямоугольника*	.
Докажите , что диагонали	*прямоугольника*	равны .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два	*прямоугольника*	.
Точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей	*прямоугольника*	ABCD к прямой AD .
и ) Диагонали	*прямоугольника*	ABCD пересекаются в точке О , точки М и N — середины сторон АВ и AD .
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали	*прямоугольника*	ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина стороны AD .
Например , обложка книги и каждый её лист имеют форму	*прямоугольника*	.
Если две смежные стороны	*прямоугольника*	равны , то все его стороны равны .
Диагональ	*прямоугольника*	разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Смежные стороны	*прямоугольника*	равны соответственно сторонам СВ и СА треугольника АВС .
противоположных сторонах .	*прямоугольника*	.
Докажем теорему о противоположных сторонах	*прямоугольника*	.
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны	*прямоугольника*	.
Диагональ	*прямоугольника*	разделяет его на два треугольника , равных треугольнику АВС .
Противоположные стороны	*прямоугольника*	равны .
Многие предметы вокруг нас имеют форму	*прямоугольника*	: обложка книги и её страницы ; оконная рама и стёкла ; крышка стола и элементы её оформления ; полки шкафов , паркет и двери ; рамка картины .
Два	*прямоугольника*	могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них стороны могут быть меньше или больше , чем у другого ( например , обложка учебника и крышка стола ) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении геометрических фигур .
Вершины	*прямоугольника*	.
Вершины Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на сторонах ВС и CD	*прямоугольника*	ABCD , точки К и М — середины сторон АЕ и АР .
Но для описания	*прямоугольника*	этого мало .
Крышка письменного стола также имеет форму	*прямоугольника*	.
Посмотрите вокруг : перед вами очень много предметов , имеющих форму	*прямоугольника*	.
41 а ) Докажите , что если четырёхугольник ABCD — прямоугольник , то . б ) Диагонали	*прямоугольника*	ABCD пересекаются в точке О. Докажите .
Докажите , что четырёхугольник , стороны которого лежат на биссектрисах углов	*прямоугольника*	, является квадратом .
Эти отрезки называются сторонами	*прямоугольника*	.
Если посмотреть на город с большой высоты , то можно увидеть , что многие дома выглядят как	*прямоугольники*	.
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры —	*прямоугольники*	, отрезки , треугольники , окружности , четырёхугольники и т .
Но эта фигура , конечно же , не является	*прямоугольником*	.
Четырёхугольник ABCD называется	*прямоугольником*	, если углы ABC , BCD , CDA и DAB прямые .
14 Какой четырёхугольник называется	*прямоугольником*	? .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
37 Докажите , что середина гипотенузы	*прямоугольного*	треугольника равноудалена от всех его вершин .
Учитывая , что сумма двух острых углов	*прямоугольного*	треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны .
Катет	*прямоугольного*	треугольника .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота	*прямоугольного*	треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны .
Из точки М катета АС	*прямоугольного*	треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD	*прямоугольного*	треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Высота АН	*прямоугольного*	треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
40 Построение	*прямоугольного*	треугольника по гипотенузе и катету .
а ) Отрезок АВ — гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника АВС .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что AD BE CF . 92 На гипотенузе АВ	*прямоугольного*	треугольника АВС отмечены такие точки В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол	*прямоугольного*	треугольника равен 30 ° .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого	*прямоугольного*	треугольника , то такие треугольники равны .
Построение	*прямоугольного*	треугольника по гипотенузе и катету .
Найдите АВ . б ) Биссектриса CD	*прямоугольного*	треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС	*прямоугольного*	треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Высота АН	*прямоугольного*	треугольника АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
Если гипотенуза и катет одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
93 На гипотенузе АС	*прямоугольного*	треугольника АВС отмечена такая точка Р , что АР АВ .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного	*прямоугольного*	треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажем теперь , что если катет	*прямоугольного*	треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Середина гипотенузы	*прямоугольного*	треугольника равноудалена от всех его вершин .
24 Докажите , что если катет	*прямоугольного*	треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Докажем сначала , что катет	*прямоугольного*	треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
В самом деле , середина гипотенузы	*прямоугольного*	треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Перпендикуляр АН является катетом , а наклонная AM — гипотенузой	*прямоугольного*	треугольника АНМ .
Как называются стороны	*прямоугольного*	треугольника ? .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана	*прямоугольного*	треугольника , проведённая из вершины прямого угла , равна половине гипотенузы .
Сторону	*прямоугольного*	треугольника , лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
—	*прямоугольного*	треугольника по гипотенузе и катету .
23 Докажите , что катет	*прямоугольного*	треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD	*прямоугольного*	треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Диаметр окружности — гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника .
21 Докажите , что гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника больше катета .
Докажем , что гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника больше катета .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ	*прямоугольного*	треугольника АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению	*прямоугольного*	треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза	*прямоугольного*	треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол	*прямоугольного треугольника*	равен 30 ° .
Середина гипотенузы	*прямоугольного треугольника*	равноудалена от всех его вершин .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Сторону	*прямоугольного треугольника*	, лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
Перпендикуляр АН является катетом , а наклонная AM — гипотенузой	*прямоугольного треугольника*	АНМ .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
а ) Отрезок АВ — гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	АВС .
Если гипотенуза и катет одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажем , что гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	больше катета .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
24 Докажите , что если катет	*прямоугольного треугольника*	равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Построение	*прямоугольного треугольника*	по гипотенузе и катету .
Найдите АВ . б ) Биссектриса CD	*прямоугольного треугольника*	АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
Высота АН	*прямоугольного треугольника*	АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
В самом деле , середина гипотенузы	*прямоугольного треугольника*	равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ	*прямоугольного треугольника*	АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
Докажите , что AD BE CF . 92 На гипотенузе АВ	*прямоугольного треугольника*	АВС отмечены такие точки В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС	*прямоугольного треугольника*	АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
23 Докажите , что катет	*прямоугольного треугольника*	, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
93 На гипотенузе АС	*прямоугольного треугольника*	АВС отмечена такая точка Р , что АР АВ .
Как называются стороны	*прямоугольного треугольника*	? .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота	*прямоугольного треугольника*	, проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD	*прямоугольного треугольника*	АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Из точки М катета АС	*прямоугольного треугольника*	АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
—	*прямоугольного треугольника*	по гипотенузе и катету .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению	*прямоугольного треугольника*	АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
37 Докажите , что середина гипотенузы	*прямоугольного треугольника*	равноудалена от всех его вершин .
Диаметр окружности — гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	.
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана	*прямоугольного треугольника*	, проведённая из вершины прямого угла , равна половине гипотенузы .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Катет	*прямоугольного треугольника*	.
21 Докажите , что гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	больше катета .
Докажем теперь , что если катет	*прямоугольного треугольника*	равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов	*прямоугольного треугольника*	равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD	*прямоугольного треугольника*	OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Докажем сначала , что катет	*прямоугольного треугольника*	, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	LMN , a ML — катет , равный PQ .
Гипотенуза	*прямоугольного треугольника*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Высота АН	*прямоугольного треугольника*	АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого	*прямоугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного	*прямоугольного треугольника*	соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
40 Построение	*прямоугольного треугольника*	по гипотенузе и катету .
по сохранившейся части вырезать такое же	*прямоугольное*	стекло ?
Хозяйка хочет сшить из оставшейся части новый плед	*прямоугольной*	формы , предварительно разрезав её на два куска .
2 От оконного стекла	*прямоугольной*	формы откололись два куска .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В	*прямоугольном*	треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в	*прямоугольном*	треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
В	*прямоугольном*	треугольнике угол между катетами прямой , а любые два прямых угла равны .
в ) В	*прямоугольном*	треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 5 см ? .
Докажите , что в	*прямоугольном*	треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
В	*прямоугольном треугольнике*	угол между катетами прямой , а любые два прямых угла равны .
в ) В	*прямоугольном треугольнике*	АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 5 см ? .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в	*прямоугольном треугольнике*	расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В	*прямоугольном треугольнике*	АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Докажите , что в	*прямоугольном треугольнике*	с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Рассмотрим	*прямоугольные*	треугольники АВС и АХВХСХ , у которых углы А и Ах прямые , и .
Если же — различные точки , то	*прямоугольные*	треугольники О AM и ОВМ равны по двум катетам , поэтому .
Следовательно ,	*прямоугольные*	треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и острому углу .
треугольники АВО и АСО	*прямоугольные*	.
От него отрезали два износившихся противоположных уголка —	*прямоугольные*	треугольники с катетами 1 м .
От него отрезали два износившихся противоположных уголка —	*прямоугольные треугольники*	с катетами 1 м .
Если же — различные точки , то	*прямоугольные треугольники*	О AM и ОВМ равны по двум катетам , поэтому .
Рассмотрим	*прямоугольные треугольники*	АВС и АХВХСХ , у которых углы А и Ах прямые , и .
Следовательно ,	*прямоугольные треугольники*	АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и острому углу .
Докажите , что этот треугольник	*прямоугольный*	, а указанная точка — середина гипотенузы .
Рассмотрим	*прямоугольный*	треугольник АВС с катетом АС , равным половине гипотенузы ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
Построить	*прямоугольный*	треугольник по гипотенузе и катету .
Докажите , что треугольник АВС	*прямоугольный*	. д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Постройте	*прямоугольный*	треугольник по катету и медиане , проведённой к другому катету .
28 Объясните , как построить	*прямоугольный*	треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Требуется построить	*прямоугольный*	треугольник , гипотенуза которого равна ΜΝ , а один из катетов равен PQ .
Постройте	*прямоугольный*	треугольник : .
Рассмотрим	*прямоугольный*	треугольник АВС с прямым углом А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
29 Объясните , как построить	*прямоугольный*	треугольник по гипотенузе и катету .
Докажите , что этот треугольник —	*прямоугольный*	.
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и	*прямоугольный*	.
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует	*прямоугольный*	треугольник , гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
Такое название связано с тем , что раньше было принято изображать	*прямоугольный*	треугольник стоящим на гипотенузе .
Докажите , что треугольник АВС	*прямоугольный*	.
—	*прямоугольный*	.
Опираясь на результаты , нетрудно построить	*прямоугольный*	треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Рассмотрим	*прямоугольный треугольник*	АВС с катетом АС , равным половине гипотенузы ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
29 Объясните , как построить	*прямоугольный треугольник*	по гипотенузе и катету .
Постройте	*прямоугольный треугольник*	: .
Рассмотрим	*прямоугольный треугольник*	АВС с прямым углом А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
Такое название связано с тем , что раньше было принято изображать	*прямоугольный треугольник*	стоящим на гипотенузе .
Требуется построить	*прямоугольный треугольник*	, гипотенуза которого равна ΜΝ , а один из катетов равен PQ .
Постройте	*прямоугольный треугольник*	по катету и медиане , проведённой к другому катету .
Опираясь на результаты , нетрудно построить	*прямоугольный треугольник*	по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
28 Объясните , как построить	*прямоугольный треугольник*	по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует	*прямоугольный треугольник*	, гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
Построить	*прямоугольный треугольник*	по гипотенузе и катету .
Если один из углов треугольника прямой , то треугольник называют	*прямоугольным*	.
	*Прямоугольным*	?
21 Признаки равенства	*прямоугольных*	треугольников .
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства	*прямоугольных*	треугольников по гипотенузе и катету .
Рассмотрим ещё один признак равенства	*прямоугольных*	треугольников .
Гипотенузы ВС и ВХСХ	*прямоугольных*	треугольников АВС и АХВХСХ равны , АВ АХВХ .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства	*прямоугольных*	треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Из двух равных	*прямоугольных*	треугольников с углами в 30 ° составлен равносторонний треугольник .
25 Сформулируйте четыре признака равенства	*прямоугольных*	треугольников , вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников .
Так как катеты	*прямоугольных*	треугольников АВН и АСН меньше их гипотенуз , в частности , и так как и С А ВС , то .
Гипотенузы ВС и ВХСХ	*прямоугольных треугольников*	АВС и АХВХСХ равны , АВ АХВХ .
Рассмотрим ещё один признак равенства	*прямоугольных треугольников*	.
21 Признаки равенства	*прямоугольных треугольников*	.
Так как катеты	*прямоугольных треугольников*	АВН и АСН меньше их гипотенуз , в частности , и так как и С А ВС , то .
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства	*прямоугольных треугольников*	по гипотенузе и катету .
25 Сформулируйте четыре признака равенства	*прямоугольных треугольников*	, вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства	*прямоугольных треугольников*	: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Из двух равных	*прямоугольных треугольников*	с углами в 30 ° составлен равносторонний треугольник .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить	*прямую*	, проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и радиусом , равным данному отрезку .
Через точку С проведена касательная , пересекающая	*прямую*	АВ в точке D. Докажите , что . з ) Исходя , докажите , что .
Точка Мх — проекция точки М на	*прямую*	OQ Ах Мх Вх .
д ) Через вершину неразвёрнутого угла провели	*прямую*	.
Точки Ах и Вх — проекции точек А и Б на	*прямую*	OQ .
Наглядно видно , что отрезок АХВХ является проекцией отрезка АВ на	*прямую*	OQ .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку М	*прямую*	а так , чтобы лучи МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а луч MR — в другой полуплоскости .
3 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку О	*прямую*	а так , чтобы лучи ОА , ОВ и ОС лежали в одной полуплоскости с границей а .
Рассмотрим окружность с центром О и	*прямую*	ССХ , касающуюся окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
Можно ли провести	*прямую*	так , чтобы она прошла через точку А и пересекла прямые МВ , МС и MD ? .
Если точка А лежит на данной окружности , то проведём	*прямую*	ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА .
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите	*прямую*	так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой и данных отрезков .
Если точка А лежит на данной окружности , то проведём прямую ОА , а затем построим	*прямую*	а , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА .
Пусть Ах и В1 — проекции точек А и В на	*прямую*	OQ .
Пусть Мх — проекция точки М отрезка АВ на	*прямую*	OQ .
Отметим какие - нибудь две точки и проведём через них	*прямую*	.
Они пересекутся в двух точках — Р и Q. Проведём	*прямую*	PQ .
Чтобы провести	*прямую*	на листе бумаги , пользуются линейкой .
	*Прямую*	, не совпадающую с проведённой .
Пусть А2 — проекция точки А на прямую ВВХ , С2 — проекция точки С на	*прямую*	DDX .
Пусть А2 — проекция точки А на	*прямую*	ВВХ , С2 — проекция точки С на прямую DDX .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх — проекция точки М на	*прямую*	АС .
Через середину М стороны AD проведём	*прямую*	, перпендикулярную к AD .
Рассмотрим	*прямую*	а и точку О , лежащую на этой прямой .
Точка О разделяет	*прямую*	а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Проекция отрезка на прямую . — точки на	*прямую*	.
Проекция отрезка на	*прямую*	. — точки на прямую .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая	*прямую*	ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Рассмотрим произвольную	*прямую*	а и точку А , не лежащую на ней .
Рассмотрим окружность с центром О радиуса г и	*прямую*	а .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на	*прямую*	OQ и является точка Мх .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на	*прямую*	ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Можно ли провести	*прямую*	так , чтобы она проходила через точку С и пересекала прямые АВ и AD ? .
Проведем произвольную	*прямую*	, отметим на ней точку А и отложим отрезок АВ .
Проведём	*прямую*	ΜΧΝ , перпендикулярную прямой OQ .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на	*прямую*	а .
Проведём произвольную	*прямую*	, отметим на ней точку А и отложим отрезок АВ , равный PQ .
Рассмотрим	*прямую*	а и точку А , не лежащую на этой прямой .
Проведите через точку А	*прямую*	, пересекающую окружность в точках В и С , так , что .
Обозначим её буквой В. Разогнём плоскость и проведём через точки А у В	*прямую*	.
Через точку А проведём	*прямую*	а , перпендикулярную к прямой АВ ; как это сделать , мы знаем .
Построить	*прямую*	, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой .
27 Объясните , как построить	*прямую*	, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой .
Проекцией точки М на	*прямую*	а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую	*прямую*	а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на	*прямую*	а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует , что две	*прямые*	, перпендикулярные к одной и той же прямой , не пересекаются .
Если в четырёхугольнике ABCD углы DAB , АВС и BCD	*прямые*	, то этот четырёхугольник — прямоугольник .
в ) углы А и D	*прямые*	, 29 ° .
1 а ) Имеют ли общие точки : отрезки АВ и CD ;	*прямые*	АВ и CD ? .
Предположим , что две	*прямые*	, перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Четырёхугольник ABCD называется прямоугольником , если углы ABC , BCD , CDA и DAB	*прямые*	.
Здесь и далее , говоря « две точки » , « три	*прямые*	» и т .
Углы А и D четырёхугольника ABCD —	*прямые*	и АВ - CD .
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В , лежащую на прямой КМ , так , чтобы прямая АВ пересекала	*прямые*	KL и LM , но не пересекала отрезок КМ . д )
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы	*прямые*	АВ и CD пересекались , а отрезки АВ и CD не имели общих точек .
Две пересекающиеся	*прямые*	образуют четыре неразвёрнутых угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
22 Какие	*прямые*	называются перпендикулярными ? .
9 Перпендикулярные	*прямые*	Перпендикуляр к прямой .
Поскольку углы А и D	*прямые*	, то сторона АВ наложится на луч DC .
Две пересекающиеся	*прямые*	образуют четыре неразвёрнутых угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
Прямые а и b имеют одну общую точку , а	*прямые*	р и q не имеют общих точек .
Перпендикулярные	*прямые*	.
Если один из них прямой , то и остальные углы	*прямые*	.
Две пересекающиеся	*прямые*	называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре прямых угла .
В самом деле , если бы две	*прямые*	имели две общие точки , то через эти две точки проходили бы две прямые , чего не может быть , так как через две точки проходит только одна прямая .
если	*прямые*	АН и а перпендикулярны Точка Н называется основанием перпендикуляра АН .
Докажите , что	*прямые*	а и b не пересекаются .
Даны три попарно пересекающиеся	*прямые*	, не проходящие через одну точку .
В самом деле , если бы две прямые имели две общие точки , то через эти две точки проходили бы две	*прямые*	, чего не может быть , так как через две точки проходит только одна прямая .
Если две	*прямые*	имеют общую точку , то говорят , что они пересекаются , а общая точка называется точкой пересечения этих прямых .
17 Докажите , что если три угла четырёхугольника	*прямые*	, то этот четырёхугольник — прямоугольник .
С помощью рассуждений убедитесь в том , что все данные	*прямые*	пересекаются в одной точке .
Даны четыре попарно пересекающиеся	*прямые*	.
В четырёхугольнике ААХВХА2 углы Ах , А2 И ВХ	*прямые*	, поэтому этот четырёхугольник — прямоугольник , и его противоположные стороны АА2 и АХВХ равны .
Таким образом , мы получили , что через точки А и В проходят две	*прямые*	АН и АК .
Можно ли провести прямую так , чтобы она проходила через точку С и пересекала	*прямые*	АВ и AD ? .
д , мы будем считать , что эти точки ,	*прямые*	и т .
всевозможные	*прямые*	, на которых данная окружность с центром О отсекает отрезки , являющиеся её хордами .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку	*прямые*	АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Из этого следует , что две	*прямые*	либо имеют только одну общую точку , либо не имеют общих точек .
Что означают слова « две	*прямые*	пересекаются » ?
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как	*прямые*	АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Углы AMN и DMN	*прямые*	, поэтому луч МА наложится на луч MD .
б ) Две пересекающиеся	*прямые*	образуют четыре неразвёрнутых угла , один из которых в три раза больше половины другого .
Таким образом , две	*прямые*	, перпендикулярные к прямой а , не пересекаются .
и ) Даны четыре	*прямые*	, каждые две из которых пересекаются .
г ) Три	*прямые*	пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
Можно ли провести прямую так , чтобы она прошла через точку А и пересекла	*прямые*	МВ , МС и MD ? .
Как правило ,	*прямые*	обозначаются малыми латинскими буквами : а , Ъ , с и т .
3 Сколько общих точек могут иметь две	*прямые*	?
Итак , прямоугольник — это четырёхугольник , у которого все углы	*прямые*	.
На рисунке изображены четыре	*прямые*	.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ , у которых углы А и Ах	*прямые*	, и .
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три	*прямые*	пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть углов .
Прямые ОА и ОВ , а также	*прямые*	ОС и OD взаимно перпендикулярны .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на отрезке BD , так , чтобы прямая MN пересекала	*прямые*	АС и ВС , но не пересекала отрезок ВС .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные	*прямые*	АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Само название « прямоугольник » говорит о том , что его углы	*прямые*	, т .
Угол называется	*прямым*	, если он равен 90 ° .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с	*прямым*	углом С. Докажите , что .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к	*прямым*	АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с	*прямым*	углом BAD .
Докажите , что если угол треугольника является острым ,	*прямым*	или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Вершины А и В треугольника АВС с	*прямым*	углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	*прямым*	углом А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
в ) Отрезок CD — высота треугольника АВС с	*прямым*	углом С. Известно , что .
Докажите , что угол треугольника является острым ,	*прямым*	или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Требуется доказать , что угол CDA также является	*прямым*	.
Каким углом ( острым ,	*прямым*	, тупым или развёрнутым ) является искомый угол ? .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с	*прямым*	углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
Из точки М проведены перпендикуляры МН и МК к двум пересекающимся	*прямым*	.
Отрезок BD — высота треугольника АВС с	*прямым*	углом В. Известно , что АВ = 2BD .
19 Какой угол называется острым , какой —	*прямым*	, а какой — тупым ? .
7 Сколько раз угол между часовой и минутной стрелками часов оказывается	*прямым*	за время от 15 до 17 часов ? .
Дан треугольник АВС с	*прямым*	углом А. На катете АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с	*прямым*	углом NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с	*прямым*	углом Ах и тупым углом О , чего не может быть .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с	*прямым*	углом С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с	*прямым углом*	С. Докажите , что .
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с	*прямым углом*	NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с	*прямым углом*	BAD .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	*прямым углом*	А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с	*прямым углом*	С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Вершины А и В треугольника АВС с	*прямым углом*	С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с	*прямым углом*	Ах и тупым углом О , чего не может быть .
Дан треугольник АВС с	*прямым углом*	А. На катете АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
Отрезок BD — высота треугольника АВС с	*прямым углом*	В. Известно , что АВ = 2BD .
в ) Отрезок CD — высота треугольника АВС с	*прямым углом*	С. Известно , что .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с	*прямым углом*	С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD с	*прямыми*	углами А и В. Докажите , что .
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с	*прямыми*	углами при вершине О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD с	*прямыми углами*	А и В. Докажите , что .
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с	*прямыми углами*	при вершине О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
— касания прямой и окружности . — пересечения	*прямых*	.
80 Что представляет собой множество всех точек плоскости , равноудалённых от двух данных пересекающихся	*прямых*	? .
Известно , что через точку пересечения любых двух из них проходится по крайней мере ещё одна из данных	*прямых*	.
Решите : а ) задачу 134 для случая , когда даны пять	*прямых*	; б ) задачу 135 для случая , когда даны пять точек .
На стороне ВС этого треугольника постройте точку , равноудалённую от	*прямых*	АВ и АС . з )
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре	*прямых*	угла .
Сколько всего проведено	*прямых*	?
Постройте точку , равноудалённую от этих	*прямых*	.
На данной окружности постройте точку , равноудалённую от двух данных пересекающихся	*прямых*	.
Найдите число точек , каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных	*прямых*	.
Докажите , что если точка С равноудалена от	*прямых*	АВ и AM , то она делит дугу АСВ пополам .
Докажите , что . б ) Точки М , N. Е и F лежат на окружности с центром О , причём точка О равноудалена от	*прямых*	MN и EF .
В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой , а любые два	*прямых*	угла равны .
То есть равноудалена от	*прямых*	, содержащих стороны угла .
— перпендикулярных	*прямых*	.
Докажите , что точка О равноудалена от	*прямых*	АВ и CD .
д ) Сколько	*прямых*	нужно провести через данную точку , чтобы образовалось ровно шесть углов с вершинами в этой точке ? .
Углы АНВ и АКБ — развёрнутые , так как каждый из них равен сумме двух	*прямых*	углов .
2 Сколько	*прямых*	проходит через две данные точки ? .
Пусть Н — точка пересечения	*прямых*	АВ и а .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они пересекаются , а общая точка называется точкой пересечения этих	*прямых*	.
Как называется общая точка двух	*прямых*	? .
Пять	*прямых*	, пересекающихся в одной точке .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре	*прямых угла*	.
В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой , а любые два	*прямых угла*	равны .
Углы АНВ и АКБ — развёрнутые , так как каждый из них равен сумме двух	*прямых углов*	.
Известно , что он преподавал математику в Александрии , и , когда царь Египта Птолемей I спросил у него , нет ли более короткого	*пути*	к геометрии , чем его « Начала » , Евклид смело ответил , что в геометрии нет царских дорог .
Как он должен ехать , чтобы суммарный	*путь*	был наименьшим ?
Из этих	*равенств*	следует , что .
16 Второй признак	*равенства*	треугольников .
Итак , поэтому треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку	*равенства*	треугольников .
Доказательства	*равенства*	треугольников АВС и АХВХСХ в этих случаях приведены .
15 Первый признак	*равенства*	треугольников .
12 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую третий признак	*равенства*	треугольников .
Он называется первым признаком	*равенства*	треугольников .
17 Третий признак	*равенства*	треугольников .
Жёсткость такой конструкции основана на третьем признаке	*равенства*	треугольников .
Сформулируйте и докажите теорему , выражающую первый признак	*равенства*	треугольников .
признаки	*равенства*	треугольников .
11 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую второй признак	*равенства*	треугольников .
В самом деле , в таких треугольниках два других острых угла также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку	*равенства*	треугольников .
25 Сформулируйте четыре признака равенства прямоугольных треугольников , вытекающие из первого и второго признаков	*равенства*	треугольников .
25 Сформулируйте четыре признака	*равенства*	прямоугольных треугольников , вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников .
Рассмотрим ещё один признак	*равенства*	прямоугольных треугольников .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака	*равенства*	прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках	*равенства*	треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
21 Признаки	*равенства*	прямоугольных треугольников .
Далее в первой книге доказываются признаки	*равенства*	треугольников .
Второй признак	*равенства*	треугольников .
Аналогично ( исходя из	*равенства*	ОВ ОС ) получаем ON 1 а .
Если точка М совпадает с серединой О отрезка АВ , то справедливость	*равенства*	очевидна .
Первый признак	*равенства*	треугольников .
Из	*равенства*	следует , что треугольник BAD равнобедренный .
Третий признак	*равенства*	треугольников .
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак	*равенства*	прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету .
Доказанная теорема выражает признак ( равенство у треугольников двух сторон и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о	*равенстве*	треугольников .
В этом параграфе мы докажем три теоремы о	*равенстве*	треугольников .
Доказанная теорема выражает признак (	*равенство*	у треугольников двух сторон и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников .
Таким образом ,	*равенство*	у треугольника двух углов позволяет сделать вывод о том , что этот треугольник равнобедренный , т .
Оказывается , что	*равенство*	двух треугольников можно установить путем сравнения некоторых их элементов , т .
На биссектрисе угла ВАС отмечена точка О , а на продолжении луча АВ отмечена точка D Может ли выполняться	*равенство*	О ?
Ответ обоснуйте . е ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите луч OD так , чтобы выполнялось	*равенство*	.
Перечертите рисунок 44 в тетрадь и проведите луч OD так , чтобы выполнялось	*равенство*	ZBOD = ZAOC .
	*Равенство*	двух углов является признаком равнобедренного треугольника .
Возможность установить	*равенство*	двух фигур , не производя наложения одной на другую , а лишь измеряя и сравнивая некоторые их элементы , важна на практике , например при сравнении двух земельных участков , которые , конечно же , нельзя наложить один на другой .
Боковые стороны	*равнобедренного*	треугольника .
к отрезку . сумме углов треугольника . — об углах	*равнобедренного*	треугольника .
68 На боковых сторонах АВ и АС	*равнобедренного*	треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина основания ВС. Докажите , что BQ СР .
67 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого	*равнобедренного*	треугольника .
34 а ) На продолжении основания АС	*равнобедренного*	треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Рассмотрим , например , теорему об углах	*равнобедренного*	треугольника .
Обратной теореме об углах	*равнобедренного*	треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Как называются стороны	*равнобедренного*	треугольника ? .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота	*равнобедренного*	треугольника АВС с основанием АС .
3 Сформулируйте и докажите теорему об углах	*равнобедренного*	треугольника .
4 Докажите теорему ( признак	*равнобедренного*	треугольника ): если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
в ) Точка М — середина основания ВС	*равнобедренного*	треугольника АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке	*равнобедренного*	треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
На боковых сторонах ВА и ВС	*равнобедренного*	треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
в ) Биссектрисы углов при основании АС	*равнобедренного*	треугольника АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС	*равнобедренного*	треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
высоте	*равнобедренного*	треугольника .
—	*равнобедренного*	треугольника .
Докажите , что ЗАС = 4AD . г ) Угол В	*равнобедренного*	треугольника АВС равен 120 ° .
б ) Найдите сторону	*равнобедренного*	треугольника , если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М — вершины	*равнобедренного*	треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
67 Докажите , что середины сторон	*равнобедренного*	треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
81 Биссектрисы углов при основании АВ	*равнобедренного*	треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
82 Высоты ААг и ВВ ,	*равнобедренного*	треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Найдите углы	*равнобедренного*	треугольника , если один из его внешних углов равен 100 ° .
54 а ) Один из углов	*равнобедренного*	треугольника в два раза больше другого .
; 2 ) углы при основании	*равнобедренного*	треугольника равны ;
78 Докажите , что середина основания	*равнобедренного*	треугольника равноудалена от боковых сторон .
Медиана МО	*равнобедренного*	треугольника AM В является высотой .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания	*равнобедренного*	треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания	*равнобедренного*	треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
12 Признак	*равнобедренного*	треугольника .
Биссектриса	*равнобедренного*	треугольника , проведённая к основанию , является высотой и медианой .
Докажите . г ) Сторона АВ	*равнобедренного*	треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
Углы при основании	*равнобедренного*	треугольника равны .
Докажем теорему об углах	*равнобедренного*	треугольника .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием	*равнобедренного*	треугольника .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота	*равнобедренного*	треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
19 Докажите , что углы при основании	*равнобедренного*	треугольника — острые .
11 Теорема об углах	*равнобедренного*	треугольника .
Биссектрисы	*равнобедренного*	треугольника АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
56 Биссектрисы углов при основании АС	*равнобедренного*	треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Воспользуемся идеей доказательства теоремы об углах	*равнобедренного*	треугольника .
62 На боковых сторонах АВ и ВС	*равнобедренного*	треугольника АВС отмечены точки D и Е так , что AD СЕ .
равенство двух углов является признаком	*равнобедренного*	треугольника .
Медиана	*равнобедренного*	треугольника , проведённая к основанию , является высотой и биссектрисой .
Высота	*равнобедренного*	треугольника , проведённая к основанию , является медианой и биссектрисой .
Сформулируйте следствия из теоремы о высоте	*равнобедренного*	треугольника .
13 Теорема о высоте	*равнобедренного*	треугольника .
Докажем теорему о высоте	*равнобедренного*	треугольника .
8 Сформулируйте и докажите теорему о высоте	*равнобедренного*	треугольника .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М основания ВС	*равнобедренного*	треугольника АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM .
Отсюда , в частности , следует , что углы при основании	*равнобедренного*	треугольника острые .
33 а ) На продолжении основания АС	*равнобедренного*	треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота	*равнобедренного треугольника*	, проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
54 а ) Один из углов	*равнобедренного треугольника*	в два раза больше другого .
к отрезку . сумме углов треугольника . — об углах	*равнобедренного треугольника*	.
Докажем теорему о высоте	*равнобедренного треугольника*	.
12 Признак	*равнобедренного треугольника*	.
высоте	*равнобедренного треугольника*	.
равенство двух углов является признаком	*равнобедренного треугольника*	.
Высота	*равнобедренного треугольника*	, проведённая к основанию , является медианой и биссектрисой .
в ) Биссектрисы углов при основании АС	*равнобедренного треугольника*	АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
19 Докажите , что углы при основании	*равнобедренного треугольника*	— острые .
Боковые стороны	*равнобедренного треугольника*	.
13 Теорема о высоте	*равнобедренного треугольника*	.
Найдите углы	*равнобедренного треугольника*	, если один из его внешних углов равен 100 ° .
—	*равнобедренного треугольника*	.
; 2 ) углы при основании	*равнобедренного треугольника*	равны ;
Воспользуемся идеей доказательства теоремы об углах	*равнобедренного треугольника*	.
Докажите . г ) Сторона АВ	*равнобедренного треугольника*	АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
82 Высоты ААг и ВВ ,	*равнобедренного треугольника*	АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М основания ВС	*равнобедренного треугольника*	АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM .
62 На боковых сторонах АВ и ВС	*равнобедренного треугольника*	АВС отмечены точки D и Е так , что AD СЕ .
4 Докажите теорему ( признак	*равнобедренного треугольника*	): если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
33 а ) На продолжении основания АС	*равнобедренного треугольника*	АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания	*равнобедренного треугольника*	и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
67 Докажите , что середины сторон	*равнобедренного треугольника*	являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
Как называются стороны	*равнобедренного треугольника*	? .
8 Сформулируйте и докажите теорему о высоте	*равнобедренного треугольника*	.
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания	*равнобедренного треугольника*	с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
34 а ) На продолжении основания АС	*равнобедренного треугольника*	АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
в ) Точка М — середина основания ВС	*равнобедренного треугольника*	АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
Сформулируйте следствия из теоремы о высоте	*равнобедренного треугольника*	.
67 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого	*равнобедренного треугольника*	.
68 На боковых сторонах АВ и АС	*равнобедренного треугольника*	АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина основания ВС. Докажите , что BQ СР .
56 Биссектрисы углов при основании АС	*равнобедренного треугольника*	АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Биссектрисы	*равнобедренного треугольника*	АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
78 Докажите , что середина основания	*равнобедренного треугольника*	равноудалена от боковых сторон .
На боковых сторонах ВА и ВС	*равнобедренного треугольника*	АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
11 Теорема об углах	*равнобедренного треугольника*	.
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием	*равнобедренного треугольника*	.
Докажем теорему об углах	*равнобедренного треугольника*	.
81 Биссектрисы углов при основании АВ	*равнобедренного треугольника*	АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Углы при основании	*равнобедренного треугольника*	равны .
Медиана	*равнобедренного треугольника*	, проведённая к основанию , является высотой и биссектрисой .
Биссектриса	*равнобедренного треугольника*	, проведённая к основанию , является высотой и медианой .
3 Сформулируйте и докажите теорему об углах	*равнобедренного треугольника*	.
б ) Найдите сторону	*равнобедренного треугольника*	, если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота	*равнобедренного треугольника*	АВС с основанием АС .
Отсюда , в частности , следует , что углы при основании	*равнобедренного треугольника*	острые .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС	*равнобедренного треугольника*	АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М — вершины	*равнобедренного треугольника*	, так как АМ - ВМ по условию .
Докажите , что ЗАС = 4AD . г ) Угол В	*равнобедренного треугольника*	АВС равен 120 ° .
Медиана МО	*равнобедренного треугольника*	AM В является высотой .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке	*равнобедренного треугольника*	: если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Обратной теореме об углах	*равнобедренного треугольника*	является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Рассмотрим , например , теорему об углах	*равнобедренного треугольника*	.
В	*равнобедренном*	треугольнике одна сторона равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является основанием ? .
В	*равнобедренном*	треугольнике АОВ угол ОАВ равен .
66 Докажите , что в	*равнобедренном*	треугольнике равны : медианы , проведённые к боковым сторонам ; биссектрисы , проведённые к боковым сторонам .
76 Докажите , что в	*равнобедренном*	треугольнике две высоты , проведённые из вершин основания , равны .
66 Докажите , что в	*равнобедренном треугольнике*	равны : медианы , проведённые к боковым сторонам ; биссектрисы , проведённые к боковым сторонам .
В	*равнобедренном треугольнике*	АОВ угол ОАВ равен .
В	*равнобедренном треугольнике*	одна сторона равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является основанием ? .
76 Докажите , что в	*равнобедренном треугольнике*	две высоты , проведённые из вершин основания , равны .
Можно сказать так : дан	*равнобедренный*	треугольник ; требуется доказать , что углы при его основании равны .
Условием здесь является первая часть утверждения : « если треугольник	*равнобедренный*	» , а заключением — вторая часть : « то углы при его основании равны » .
Чтобы выделить в ней условие и заключение , сформулируем её так : « если треугольник	*равнобедренный*	, то углы при его основании равны » .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник —	*равнобедренный*	. б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник	*равнобедренный*	.
4 Докажите теорему ( признак равнобедренного треугольника ): если два угла треугольника равны , то этот треугольник	*равнобедренный*	.
Постройте	*равнобедренный*	треугольник по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию .
Постройте	*равнобедренный*	треугольник , основание которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше основания .
Треугольник ACM	*равнобедренный*	, поэтому угол ACM при его основании острый .
Треугольник СВХСХ	*равнобедренный*	, поэтому .
Докажите , что треугольник АВС	*равнобедренный*	.
Дан	*равнобедренный*	треугольник АВС с основанием АС и точка D на стороне АВ .
Рассмотрим	*равнобедренный*	треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
—	*равнобедренный*	.
Постройте	*равнобедренный*	треугольник по высоте , проведённой к основанию , и углу при основании .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если биссектриса треугольника является его высотой , то этот треугольник	*равнобедренный*	.
Из равенства следует , что треугольник BAD	*равнобедренный*	.
д ) Докажите , что если в треугольнике биссектриса является медианой , то этот треугольник —	*равнобедренный*	.
Постройте	*равнобедренный*	треугольник : .
Таким образом , равенство у треугольника двух углов позволяет сделать вывод о том , что этот треугольник	*равнобедренный*	, т .
Если два угла треугольника равны , то этот треугольник	*равнобедренный*	.
Докажите , что треугольник АВС —	*равнобедренный*	. з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
Рассмотрим	*равнобедренный*	треугольник АВС с основанием ВС и докажем , что .
то этот треугольник	*равнобедренный*	.
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС —	*равнобедренный*	и прямоугольный .
Докажите , что треугольник CDE	*равнобедренный*	.
Докажите , что треугольник DBC	*равнобедренный*	.
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника , не смежного с ним , то треугольник	*равнобедренный*	.
Постройте	*равнобедренный треугольник*	: .
Рассмотрим	*равнобедренный треугольник*	АВС с основанием ВС и докажем , что .
Дан	*равнобедренный треугольник*	АВС с основанием АС и точка D на стороне АВ .
Постройте	*равнобедренный треугольник*	по высоте , проведённой к основанию , и углу при основании .
Постройте	*равнобедренный треугольник*	по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию .
Рассмотрим	*равнобедренный треугольник*	АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Можно сказать так : дан	*равнобедренный треугольник*	; требуется доказать , что углы при его основании равны .
Постройте	*равнобедренный треугольник*	, основание которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше основания .
2 Какой треугольник называется	*равнобедренным*	?
Треугольник называется	*равнобедренным*	.
Отрезок АВ — общее основание	*равнобедренных*	треугольников АВС и ABD .
Если он пересекает отрезок А1В1 , то получим два	*равнобедренных*	треугольника : AJCJC и BJCJC .
63 Вершины В и D	*равнобедренных*	треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Если он пересекает отрезок А1В1 , то получим два	*равнобедренных треугольника*	: AJCJC и BJCJC .
63 Вершины В и D	*равнобедренных треугольников*	АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Отрезок АВ — общее основание	*равнобедренных треугольников*	АВС и ABD .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК	*равносторонний*	.
а ) Даны	*равносторонний*	треугольник АВС и точка В1 на стороне АС .
Из двух равных прямоугольных треугольников с углами в 30 ° составлен	*равносторонний*	треугольник .
—	*равносторонний*	.
Докажите , что треугольник МРК —	*равносторонний*	. з ) .
а ) Даны	*равносторонний треугольник*	АВС и точка В1 на стороне АС .
Из двух равных прямоугольных треугольников с углами в 30 ° составлен	*равносторонний треугольник*	.
Треугольник , у которого все стороны равны , называется	*равносторонним*	.
На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и С , так , чтобы треугольник А1В1С1 был	*равносторонним*	.
3 Объясните , что такое центр ,	*радиус*	и диаметр окружности .
По условию данный радиус (	*радиус*	ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
По условию данный	*радиус*	( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Тогда	*радиус*	О А будет наклонной к прямой а , поэтому расстояние от точки О до прямой а меньше радиуса .
Каким должен быть	*радиус*	окружности с центром А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
Найдите	*радиус*	окружности .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть	*радиус*	окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Затем построим окружность	*радиуса*	ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Рассмотрим окружность с центром О	*радиуса*	г и прямую а .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше	*радиуса*	этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О	*радиуса*	3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Построим две окружности	*радиуса*	АВ с центрами .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С	*радиуса*	ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Проведём окружность произвольного	*радиуса*	с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и	*радиуса*	P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к окружности	*радиуса*	4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше	*радиуса*	окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
Затем построим две окружности :	*радиуса*	P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Поскольку центр окружности является серединой диаметра , то диаметр окружности в два раза больше её	*радиуса*	.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности	*радиуса*	ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Докажите , что окружности	*радиуса*	АВ с центрами А и Б пересекаются в двух точках .
Действительно , построим середину О отрезка ΜΝ и проведём окружность с центром О	*радиуса*	ОМ .
Затем построим окружность с центром М	*радиуса*	PQ .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А	*радиуса*	АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
а ) Дуга АВ окружности с центром О и	*радиуса*	8 см равна 30 ° .
С помощью циркуля построим окружность	*радиуса*	АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Проведём отрезок О А и построим его середину М. Затем проведём окружность с центром М	*радиуса*	МА .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р	*радиуса*	ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Проведём окружность произвольного	*радиуса*	с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Окружность	*радиуса*	г с центром О .
а ) Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности , расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше	*радиуса*	.
4 В парке расположена клумба	*радиуса*	3 м .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности	*радиуса*	6 см. Найдите хорду АВ .
Постройте окружность данного	*радиуса*	, проходящую через две данные точки .
в ) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С	*радиуса*	5 см ? .
Если прямая проходит через конец	*радиуса*	, лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной .
в ) В треугольнике АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С	*радиуса*	3 см ? .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности	*радиуса*	5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше	*радиуса*	окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О	*радиуса*	АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Тогда радиус О А будет наклонной к прямой а , поэтому расстояние от точки О до прямой а меньше	*радиуса*	.
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом	*радиусе*	ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
При каком соотношении между отрезком ОА и	*радиусом*	R окружности задача имеет решение ? .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности ,	*радиусом*	окружности ( отрезок ОМ ) .
5 Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между	*радиусом*	окружности и расстоянием от её центра до прямой ? .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и	*радиусом*	, равным данному отрезку .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и	*радиусом*	другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным	*радиусу*	данной окружности .
а ) Через конец хорды , равной	*радиусу*	, проведена касательная .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к	*радиусу*	ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому	*радиусу*	, то она является касательной .
Касательная к окружности перпендикулярна к	*радиусу*	, проведённому в точку касания .
Следовательно , прямая а перпендикулярна к	*радиусу*	О А. Теорема доказана .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно	*радиусу*	.
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно	*радиусу*	окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен	*радиусу*	окружности .
а ) Отрезки ОА и ОВ —	*радиусы*	окружности , расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса .
Из определения окружности следует , что все	*радиусы*	равны друг другу .
Докажите , что MN EF . в ) Отрезки О А и ОВ —	*радиусы*	окружности , причём ΖΑΟΒ 120 ° .
Рассмотрим теперь	*развёрнутый угол*	.
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому	*развёрнутый угол*	больше любого неразвёрнутого угла .
Любые два	*развёрнутых угла*	равны .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько	*развёрнутых углов*	с вершиной О изображено на рисунке 33 ?
в ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько	*развёрнутых углов*	, вершинами которых являются обозначенные буквами точки , изображено ? .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько	*развёрнутых углов*	с вершиной О изображено ?
18 Отрезок	*разделен*	на n равных частей .
Проведя биссектрису данного угла А , мы	*разделили*	его на два равных угла .
И лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель ( 1814–1848 ) доказал , что с помощью циркуля и линейки	*разделить*	произвольный угол на три равных угла невозможно .
А можно ли с помощью циркуля и линейки	*разделить*	данный угол на три равных угла ?
Если каждую половину	*разделить*	пополам , то угол А окажется разделённым на четыре равных угла .
Найдите длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см	*разделён*	на четыре неравные части .
Найдите длину отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ	*разделён*	на четыре неравные части .
Материал учебника	*разделён*	на главы , главы — на параграфы , параграфы — на пункты ; ориентироваться в этом материале вам поможет предметный указатель .
Постройте остроугольный треугольник АВС по	*разности*	углов А и В , высоте CD и стороне ВС .
Постройте треугольник по стороне ,	*разности*	углов при этой стороне и сумме двух других сторон .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите	*разность*	периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
Периметр треугольника ABD равен 33 см. Найдите	*разность*	периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
При каком соотношении между отрезком ОА и радиусом R окружности задача имеет	*решение*	? .
На прямой а постройте точку , равноудалённую от точек Л и Б. Всегда ли эта задача имеет	*решение*	? .
Например , если в задаче о построении треугольника по трём сторонам заранее неизвестно , что искомый треугольник существует , то данная задача не всегда имеет	*решение*	.
Пусть даны неразвёрнутый угол А ( для развёрнутого угла	*решение*	очевидно ) и луч ОМ .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то	*решение*	задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Всегда ли эта задача имеет	*решение*	? .
Всегда ли задача имеет	*решение*	? .
И в том и в другом случае	*решение*	задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку .
При каком условии задача имеет	*решение*	? .
Правда , для некоторых углов эта задача имеет	*решение*	, например для прямого угла ( объясните , почему ) .
При	*решении*	этой задачи мы исходили из того , что искомый треугольник существует .
Сколько	*решений*	имеет задача ? .
Сколько	*решений*	может иметь эта задача ? .
Сколько	*решений*	может иметь задача ? .
В частности , на ней основаны	*решения*	задач в пунктах .
Если же это заранее неизвестно , то может оказаться , что задача на построение не имеет	*решения*	.
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью , то задача	*решения*	не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Приведите два	*решения*	этой задачи .
Построение угла , равного данному , лежит в основе	*решения*	ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам .
5 Электропоезд длиной 100 м проезжает мимо километрового столба за 5	*секунд*	.
Например , градусную меру угла , в котором укладывается 35 градусов , 42 минуты и 27	*секунд*	", можно записать так : 35 ° 42'27 "" ."
16 Какая часть градуса называется минутой , а какая —	*секундой*	? .
При измерении углов используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется	*секундой*	"60 и обозначается знаком "" ) ."
В этом случае прямая называется	*секущей*	по отношению к окружности .
Из этого следует , что прямая а является	*секущей*	, а не касательной , что противоречит условию .
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является	*секущей*	( докажите это ) .
6 Какая прямая называется	*секущей*	по отношению к окружности ? .
Евклид описывал геометрию как	*систему*	предложений ( теорем ) , которые последовательно выводятся из нескольких перечисленных им основных понятий и истин .
Могут ли вращаться колёса такой	*системы*	? .
Если точка М	*совпадает*	с серединой О отрезка АВ , то справедливость равенства очевидна .
Если точка М лежит на прямой АВ , то она	*совпадает*	с серединой О отрезка АВ , а значит , лежит на прямой а .
е .	*совпадает*	с прямой PQ .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не	*совпадает*	с центром ; в ) лежит на окружности ? .
точка А	*совпадает*	с вершиной угла ) , то их проекции АВХ и CXDX равны .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию ,	*совпадают*	, то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Докажите , что середины отрезков АВ и ОС	*совпадают*	.
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не	*совпадающий*	с лучами О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
прямую , не	*совпадающую*	с проведённой .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами	*средних*	частей — 20 см. Найдите длину отрезка АВ .
Расстояние между серединами	*средних*	частей равно 7 см. Найдите расстояние между серединами крайних частей .
Градус — от латинского gradus ( шаг , ступень ,	*степень*	) .
Требуется построить угол , равный углу А , одной из	*сторон*	которого будет луч ОМ .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях	*сторон*	.
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из	*сторон*	острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Действительно , в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других	*сторон*	.
Докажите , что отрезок с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из	*сторон*	треугольника .
67 Докажите , что середины	*сторон*	равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его	*сторон*	есть биссектриса этого угла .
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его	*сторон*	.
31 Докажите теорему : каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его	*сторон*	.
Постройте треугольник по стороне , разности углов при этой стороне и сумме двух других	*сторон*	.
Точки М v N — середины	*сторон*	АВ и АС треугольника АВС .
Точки М и N — середины	*сторон*	АВ и CD четырёхугольника ABCD с прямыми углами А и В. Докажите , что .
Если на одной из	*сторон*	острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Вершины Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD , точки К и М — середины	*сторон*	АЕ и АР .
Сумма длин всех	*сторон*	треугольника называется его периметром .
38 Докажите теорему : каждая сторона треугольника меньше суммы двух других	*сторон*	.
36 Докажите , что если на одной из	*сторон*	острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух	*сторон*	треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из	*сторон*	острого угла , на другую сторону является отрезок .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других	*сторон*	другого треугольника , то такие треугольники равны .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его	*сторон*	, есть биссектриса этого угла .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями	*сторон*	другого .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других	*сторон*	одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
32 Докажите теорему : каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудаленная от	*сторон*	угла , лежит на его биссектрисе .
и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точки М и N — середины	*сторон*	АВ и AD .
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других	*сторон*	.
Каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от	*сторон*	угла , лежит на его биссектрисе .
Рассмотрим точку М , которая лежит внутри неразвёрнутого угла А и равноудалена от его	*сторон*	, т .
78 Докажите , что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от боковых	*сторон*	.
Точки М и N — середины	*сторон*	АВ и AD .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из	*сторон*	острого угла , на другую сторону является отрезок .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин	*сторон*	АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные отрезки называются сторонами , а концы	*сторон*	( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Поэтому вершина С — общая точка	*сторон*	АС и ВС — совместится с общей точкой лучей АХСХ и ВХСХ , т .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности	*сторон*	АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы	*сторон*	АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других	*сторон*	треугольника .
Отметим , что в равных треугольниках против равных	*сторон*	лежат равные углы , а против равных углов — равные стороны .
Докажите , что сумма медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС больше полусуммы	*сторон*	АС и ВС .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других	*сторон*	.
Доказанная теорема выражает признак ( равенство у треугольников двух	*сторон*	и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников .
Так , например , против равных	*сторон*	АВ и А1В1 лежат равные углы С и CV Равенство треугольников АВС и А1В1С1 условимся обозначать так .
а ) по двум сторонам и медиане , проведённой к одной из этих	*сторон*	; .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС ,	*сторона*	АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья	*сторона*	— основанием равнобедренного треугольника .
Докажите , что если	*сторона*	и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
Так как , то	*сторона*	АС наложится на луч АХСХ , а сторона ВС — на луч В1С1 .
В треугольнике АВС	*сторона*	АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН — биссектриса и высота треугольника .
В треугольнике против большего угла лежит бóльшая	*сторона*	.
39 Докажите теорему : в треугольнике против большего угла лежит бóльшая	*сторона*	.
Постройте треугольник ,	*сторона*	которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней углы равны углам Л и Б этого треугольника .
Поскольку углы А и D прямые , то	*сторона*	АВ наложится на луч DC .
Говорят , что каждая	*сторона*	развёрнутого угла является продолжением другой стороны .
Докажите , что если	*сторона*	, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
Каждая	*сторона*	треугольника меньше суммы двух других сторон .
На стороне АВ треугольника АВС , в котором АС = 20 см , отмечена такая точка М , что СМ = 16 см. Может ли	*сторона*	АВ быть равной 4 см ? .
В равнобедренном треугольнике одна	*сторона*	равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является основанием ? .
89 В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются , а	*сторона*	АВ больше диагонали BD Докажите , что .
Так как , то сторона АС наложится на луч АХСХ , а	*сторона*	ВС — на луч В1С1 .
Два угла , у которых одна	*сторона*	— общая , а две другие являются продолжениями одна другой , называются смежными .
Постройте треугольник , в котором одна	*сторона*	в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку , а угол , заключённый между этими сторонами , равен данному углу .
38 Докажите теорему : каждая	*сторона*	треугольника меньше суммы двух других сторон .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно данному отрезку , а боковая	*сторона*	вдвое больше основания .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б ,	*сторона*	ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Действительно , в треугольнике каждая	*сторона*	меньше суммы двух других сторон .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А , сторона СА и вершина В ,	*сторона*	АВ и вершина С .
Если	*сторона*	и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Поскольку , то	*сторона*	АВ совместится со стороной ΑχΒχ , а сторона АС совместится со стороной АгСх , в частности совместятся точки В и Βχ , С и Οχ .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А ,	*сторона*	СА и вершина В , сторона АВ и вершина С .
4 ) если	*сторона*	и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны ;
Противоположными являются	*сторона*	ВС и вершина А , сторона СА и вершина В , сторона АВ и вершина С .
Поскольку , то сторона АВ совместится со стороной ΑχΒχ , а	*сторона*	АС совместится со стороной АгСх , в частности совместятся точки В и Βχ , С и Οχ .
77 Докажите , что если	*сторона*	и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что каждая	*сторона*	треугольника меньше половины его периметра .
В результате перегибания по прямой MN точки А и D совместились , а	*сторона*	АВ наложилась на луч DC .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах ,	*сторона*	АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если	*сторона*	, прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Каждый из этих треугольников равен треугольнику АВС ( по двум	*сторонам*	и заключённому между ними прямому углу ) .
48 а ) Серединные перпендикуляры к двум	*сторонам*	треугольника проходят через точку О.
20 Объясните , как построить треугольник по трём	*сторонам*	.
Постройте остроугольный треугольник по двум	*сторонам*	и высоте , проведённой к одной из них .
— треугольника по трём	*сторонам*	.
перпендикуляры МН и МК к	*сторонам*	равны .
Постройте остроугольный треугольник по стороне и двум высотам , проведённым к другим	*сторонам*	.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум	*сторонам*	и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Найдите угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум	*сторонам*	и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
Например , если в задаче о построении треугольника по трём	*сторонам*	заранее неизвестно , что искомый треугольник существует , то данная задача не всегда имеет решение .
22 Объясните , как построить треугольник по двум	*сторонам*	и углу между ними .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум	*сторонам*	треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к	*сторонам*	АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к	*сторонам*	угла .
Две стороны и угол одного треугольника равны каким - то двум	*сторонам*	и какому - то углу другого треугольника .
Отметим , что задача о построении треугольника по трём	*сторонам*	является одной из важнейших задач на построение .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его	*сторонам*	, равна высоте этого треугольника .
66 Докажите , что в равнобедренном треугольнике равны : медианы , проведённые к боковым	*сторонам*	; биссектрисы , проведённые к боковым сторонам .
Смежные стороны прямоугольника равны соответственно	*сторонам*	СВ и СА треугольника АВС .
Построить треугольник по трём	*сторонам*	.
Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к	*сторонам*	этого угла .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым	*сторонам*	, пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
66 Докажите , что в равнобедренном треугольнике равны : медианы , проведённые к боковым сторонам ; биссектрисы , проведённые к боковым	*сторонам*	.
35 Построение треугольника по трём	*сторонам*	.
В самом деле , треугольники АВС и OPQ равны по трём	*сторонам*	, поэтому .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по	*сторонам*	прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
В самом деле , треугольники ABD и ACD равны по трём	*сторонам*	.
а ) по двум	*сторонам*	и медиане , проведённой к одной из этих сторон ; .
Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы неразвёрнутого угла А , проведём перпендикуляры МН и МК к	*сторонам*	угла и докажем , что .
б ) по двум	*сторонам*	и высоте , проведённой к третьей стороне ; .
г ) по двум	*сторонам*	и углу , противолежащему одной из них .
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём	*сторонам*	другого треугольника , то такие треугольники равны .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум	*сторонам*	и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Постройте треугольник по двум	*сторонам*	и медиане , проведённой к третьей стороне .
Постройте треугольник , в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку , а угол , заключённый между этими	*сторонами*	, равен данному углу .
Соотношения между	*сторонами*	и углами треугольника .
Общее начало двух лучей называется вершиной угла , а сами лучи —	*сторонами*	угла .
Что называется вершиной угла и что —	*сторонами*	угла ? .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со	*сторонами*	угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
в ) по основанию и углу между боковыми	*сторонами*	.
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные отрезки называются	*сторонами*	, а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Эти отрезки называются	*сторонами*	прямоугольника .
Выбранные точки называются вершинами треугольника , а соединяющие их отрезки — его	*сторонами*	.
Равные стороны называются боковыми	*сторонами*	, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника .
26 Теоремы о соотношениях между	*сторонами*	и углами треугольника .
вершины , стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами ,	*сторонами*	и углами другого .
Смежными	*сторонами*	четырёхугольника ABCD являются стороны АВ и ВС , ВС и CD , CD и DA , DA и АВ , а противоположными — стороны АВ и CD , ВС и DA .
Угол с вершиной О и	*сторонами*	ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается « угол АОВ » ) .
Если	*сторонами*	угла являются лучи h и k , то угол обозначают так : Zhk .
Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с неравными	*сторонами*	АВ и АС .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со	*сторонами*	угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Из этого следует , что стороны АС и ВС совместятся соответственно со	*сторонами*	АХСХ и ВХСХ .
На	*сторонах*	ВС и АВ постройте точки А1 и С , так , чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним .
На	*сторонах*	АВ и ВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPCB 20е и ZBAQ 10 ° .
Докажите , что АВ = ВС . ж ) Основания высот ААХ и ВВ1 треугольника АВС лежат на его	*сторонах*	.
На	*сторонах*	этого треугольника постройте точки , равноудалённые от вершин А и Б . л )
в ) Точка М — середина основания ВС равнобедренного треугольника АВС , точки D и Е лежат на	*сторонах*	АВ и АС так , что и .
68 На боковых	*сторонах*	АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина основания ВС. Докажите , что BQ СР .
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На	*сторонах*	АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Докажите , что отрезок с концами на разных	*сторонах*	треугольника не превосходит наибольшей из сторон треугольника .
На	*сторонах*	угла POQ отмечены точки А , В , С и D так , что О А ОВ и АС BD .
123 На	*сторонах*	угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
На	*сторонах*	АВ и АС отмечены такие точки Л и Л7 , что ZMCB A0z и ZXBC 50 .
На боковых	*сторонах*	ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ стороны АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На	*сторонах*	АС и A , Ct отмечены точки D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что треугольники BDC и B1D1C1 равны , и сравните отрезки BD и BXDV .
Докажите , что . ж ) На	*сторонах*	АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС взяты такие точки М , Р v К , что .
Докажем теорему о противоположных	*сторонах*	прямоугольника .
64 На	*сторонах*	ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с прямыми углами при вершине О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Вершины Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на	*сторонах*	ВС и CD прямоугольника ABCD , точки К и М — середины сторон АЕ и АР .
15 Сформулируйте и докажите теорему о противоположных	*сторонах*	прямоугольника .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На	*сторонах*	ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
противоположных	*сторонах*	. прямоугольника .
61 В треугольниках АВС и AlBiCl углы А и Αλ равны и АВ - А1В1 , AC ACV На	*сторонах*	АС и А1С1 отмечены точки D и D , так , что ZDBC ZD1B1C1 .
62 На боковых	*сторонах*	АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки D и Е так , что AD СЕ .
в ) На	*стороне*	АВ треугольника АВС отмечена точка D. Известно , что 40 ° и .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны	*стороне*	и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны	*стороне*	и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны ;
Постройте равнобедренный треугольник по боковой	*стороне*	и высоте , проведённой к основанию .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны	*стороне*	и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане , проведённой к третьей	*стороне*	.
23 Объясните , как построить треугольник по	*стороне*	и двум прилежащим к ней углам .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на	*стороне*	? .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны	*стороне*	, прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
47 а ) Серединный перпендикуляр к	*стороне*	АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Постройте треугольник по стороне , разности углов при этой	*стороне*	и сумме двух других сторон .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой	*стороне*	, другого треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой	*стороне*	, пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
в ) На	*стороне*	АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой	*стороне*	, одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте треугольник по	*стороне*	, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон .
49 а ) На	*стороне*	АВ треугольника АВС , в котором , отмечена точка М. Может ли отрезок AM быть равным 20 см ? .
На	*стороне*	АВ треугольника АВС , в котором АС = 20 см , отмечена такая точка М , что СМ = 16 см. Может ли сторона АВ быть равной 4 см ? .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на	*стороне*	треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Рассмотрим острый угол POQ и отрезок АВ , лежащий на	*стороне*	ОР этого угла .
Постройте остроугольный треугольник по	*стороне*	и двум высотам , проведённым к другим сторонам .
б ) по двум сторонам и высоте , проведённой к третьей	*стороне*	; .
в ) На	*стороне*	АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной	*стороне*	АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней углы равны углам Л и Б этого треугольника .
по боковой	*стороне*	и углу при основании ; .
На	*стороне*	АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам АВ , ВМ и углам .
а ) Даны равносторонний треугольник АВС и точка В1 на	*стороне*	АС .
Сторона и два угла одного треугольника равны какой - то	*стороне*	и каким - то двум углам другого треугольника .
На	*стороне*	АВ треугольника АВС , в котором АВ = 30 ° , отмечена точка D , причем 120 ° .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей	*стороне*	.
На	*стороне*	АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ;	*стороне*	, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
во внутренней области этого угла ) , точка В лежит на	*стороне*	угла hk , а точка С — вне угла hk ( т . е .
Постройте остроугольный треугольник АВС по разности углов А и В , высоте CD и	*стороне*	ВС .
Постройте на	*стороне*	АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и тупой угол DEF .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны	*стороне*	и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если два отрезка , лежащие на одной	*стороне*	острого угла , равны , то их проекции на другую сторону также равны .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к	*стороне*	АС .
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к	*стороне*	АС .
Отметим , что точки Ах и Вх лежат на	*стороне*	OQ угла POQ , а не на её продолжении .
Постройте остроугольный треугольник АВС по	*стороне*	АВ , высоте АН и углу А . р )
На	*стороне*	АВ квадрата ABCD отмечена точка Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и точка D на	*стороне*	АВ .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей	*стороне*	проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
На	*стороне*	ВС этого треугольника постройте точку , равноудалённую от прямых АВ и АС . з )
Начертите неразвёрнутый угол и отметьте точку А , лежащую на его	*стороне*	, точку В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по	*стороне*	и двум прилежащим к ней углам .
Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов А и В , высоте BD и	*стороне*	АС .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей	*стороной*	АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему	*стороной*	АС треугольника .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей	*стороной*	, а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Поскольку , то сторона АВ совместится со стороной ΑχΒχ , а сторона АС совместится со	*стороной*	АгСх , в частности совместятся точки В и Βχ , С и Οχ .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со	*стороной*	АС треугольника .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со	*стороной*	ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
При этом отрезок АВ копии совместится со	*стороной*	АС треугольника АВС .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со	*стороной*	10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему	*стороной*	АВ треугольника .
Чтобы узнать , равны они или нет , можно скопировать фигуру ф2 на прозрачную бумагу и попытаться наложить копию на фигуру Ф , той или другой	*стороной*	так , чтобы полностью совместить её с фигурой Ф , .
Поскольку , то сторона АВ совместится со	*стороной*	ΑχΒχ , а сторона АС совместится со стороной АгСх , в частности совместятся точки В и Βχ , С и Οχ .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со	*стороной*	ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую	*сторону*	угла в n раз больше проекции второго отрезка .
в котором АВ = 6 см. Периметры треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см. Найдите	*сторону*	ВС .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне острого угла , равны , то их проекции на другую	*сторону*	также равны .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную	*сторону*	, разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую	*сторону*	является отрезок .
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает	*сторону*	ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
Точки А и В лежат по одну	*сторону*	от прямой а .
Даны прямая а и точки А и В , лежащие по одну	*сторону*	от неё .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну	*сторону*	от прямой АХВХ .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую	*сторону*	данного угла .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же	*сторону*	от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же	*сторону*	от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну	*сторону*	от прямой ВА .
Перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную	*сторону*	, называется высотой треугольника .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую	*сторону*	является отрезок .
Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную вершину , а для каждой вершины — противоположную	*сторону*	.
Решите ту же задачу в случае , когда населённые пункты расположены по одну	*сторону*	от дороги .
Точки А и Ах лежат по одну	*сторону*	от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает	*сторону*	ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую	*сторону*	угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну	*сторону*	от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Она пересечёт	*сторону*	ВС в некоторой точке N. Мысленно перегнём плоскость по прямой MN так , чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую .
б ) Найдите	*сторону*	равнобедренного треугольника , если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
На диагонали АС квадрата ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC , точка М — середина	*стороны*	АВ .
	*Стороны*	и углы ) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника .
Смежными сторонами четырёхугольника ABCD являются	*стороны*	АВ и ВС , ВС и CD , CD и DA , DA и АВ , а противоположными — стороны АВ и CD , ВС и DA .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой	*стороны*	.
вершины ,	*стороны*	и углы одного треугольника совместятся с вершинами , сторонами и углами другого .
Прямую как геометрическую фигуру мыслят себе простирающейся бесконечно в обе	*стороны*	.
Сравните	*стороны*	АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
Докажите , что отрезок ME — биссектриса угла АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его	*стороны*	АВ .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки	*стороны*	прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
Требуется построить треугольник АВС ,	*стороны*	которого соответственно равны этим трём отрезкам : .
Следовательно , точка В совместится с точкой С. Таким образом ,	*стороны*	АВ и DC совместятся , а значит .
Два угла называются вертикальными , если	*стороны*	одного угла являются продолжениями сторон другого .
Ту из точек пересечения окружностей , которая лежит с точкой А по разные	*стороны*	от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Что такое	*стороны*	, вершины , углы и периметр треугольника ? .
Два прямоугольника могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них	*стороны*	могут быть меньше или больше , чем у другого ( например , обложка учебника и крышка стола ) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении геометрических фигур .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М	*стороны*	АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
б ) Точка М — середина	*стороны*	АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Две стороны четырёхугольника , имеющие общую вершину , называются смежными , а две	*стороны*	, не имеющие общей вершины , — противоположными .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной	*стороны*	, не больше большей из двух других сторон .
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина	*стороны*	AD .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные	*стороны*	от прямой ΑγΒλ .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины	*стороны*	ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные	*стороны*	от этой прямой .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Av а	*стороны*	АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
7 Два населенных пункта А и В расположены по разные	*стороны*	от прямолинейной дороги .
Следовательно , точки Ах и Б , также лежат по разные	*стороны*	от прямой ММХ , поэтому точка Мх лежит между точками Ах и Вх , т .
Точки А и В лежат на касательной к окружности с центром О по разные	*стороны*	от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
Через середину М	*стороны*	AD проведём прямую , перпендикулярную к AD .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные	*стороны*	от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Если при этом стороны EF и ВС также совместятся , то и углы совместятся , и , следовательно , они равны : если же	*стороны*	EF и ВС не совместятся , то меньшим считается тот угол , который составит часть .
Если при этом	*стороны*	EF и ВС также совместятся , то и углы совместятся , и , следовательно , они равны : если же стороны EF и ВС не совместятся , то меньшим считается тот угол , который составит часть .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а	*стороны*	EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник ,	*стороны*	которого равны данным отрезкам , в том случае , когда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других ? .
Точки А и С лежат по разные	*стороны*	от прямой BD , а точки В и D — по разные стороны от прямой АС .
Поэтому если какой - нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других , то нельзя построить треугольник ,	*стороны*	которого равны данным отрезкам .
Следовательно , совместятся	*стороны*	ВС и ΒχΟχ .
Рассмотрим прямоугольник ABCD и докажем , что его противоположные	*стороны*	, например АВ и DC , равны .
Боковые	*стороны*	равнобедренного треугольника .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные	*стороны*	от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
В четырёхугольнике ААХВХА2 углы Ах , А2 И ВХ прямые , поэтому этот четырёхугольник — прямоугольник , и его противоположные	*стороны*	АА2 и АХВХ равны .
Докажите , что PS1RS . г ) квадрат ABCD ,	*стороны*	которого продолжены так , что .
Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD , а точки В и D — по разные	*стороны*	от прямой АС .
Отметим , что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы , а против равных углов — равные	*стороны*	.
Смежные	*стороны*	четырёхугольника .
Если три	*стороны*	одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Отметим , что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только	*стороны*	и углы этих треугольников , но и соответствующие медианы , биссектрисы и высоты .
Смежными сторонами четырёхугольника ABCD являются стороны АВ и ВС , ВС и CD , CD и DA , DA и АВ , а противоположными —	*стороны*	АВ и CD , ВС и DA .
То есть равноудалена от прямых , содержащих	*стороны*	угла .
Противоположные	*стороны*	четырёхугольника .
Угол называется развёрнутым , если его	*стороны*	лежат на одной прямой .
Если при этом точки Б и С совместятся , то совместятся	*стороны*	АВ и DC , и , следовательно , они равны .
б ) Найдите сторону равнобедренного треугольника , если две другие	*стороны*	равны 5 см и 2 см .
Противоположные	*стороны*	прямоугольника равны .
Если две	*стороны*	и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Говорят , что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой	*стороны*	.
Из этого следует , что	*стороны*	АС и ВС совместятся соответственно со сторонами АХСХ и ВХСХ .
Точки А и В лежат по разные	*стороны*	от прямой CD , причём .
Прямая , на которой лежат его	*стороны*	, разделяет плоскость на две полуплоскости .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от	*стороны*	( отрезки АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
продолжении	*стороны*	OQ , то получается треугольник ААхО с прямым углом Ах и тупым углом О , чего не может быть .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину	*стороны*	треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой	*стороны*	, другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Две	*стороны*	четырёхугольника , имеющие общую вершину , называются смежными , а две стороны , не имеющие общей вершины , — противоположными .
б ) В треугольнике АВС точка М — середина	*стороны*	АВ и .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой	*стороны*	, одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные	*стороны*	прямоугольника .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие	*стороны*	попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Сравните	*стороны*	этого треугольника .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке	*стороны*	ВС. Докажите , что .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше	*стороны*	ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше	*стороны*	АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС	*стороны*	АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ	*стороны*	АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На сторонах АС и A , Ct отмечены точки D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что треугольники BDC и B1D1C1 равны , и сравните отрезки BD и BXDV .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше	*стороны*	АС , отрезки AD и АН — биссектриса и высота треугольника .
Докажите , что ААВС АА1ВХС1 . 72 В треугольниках АВС и A , B , C , равны углы А и А ,	*стороны*	АВ и АгВ1 , биссектрисы AD и А , Х , .
Прямоугольник , все	*стороны*	которого равны , называется квадратом .
Докажите , что ААВЕ ACDF . 71 В треугольниках АВС и Α , Β , Ο , равны	*стороны*	АВ и А , В , ВС И В , С1 ( медианы AM и А , М , .
Найдите угол А . б ) Две	*стороны*	и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные	*стороны*	от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Докажите , что точка D лежит между серединой	*стороны*	ВС и основанием высоты АН .
Наряду с треугольником АВС рассмотрим прямоугольник 1 , смежные	*стороны*	которого равны соответственно отрезкам СВ и СА .
в ) Точки А и Б лежат по разные	*стороны*	от прямой CD , причём .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные	*стороны*	от прямой АХВХ .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении	*стороны*	? .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а	*стороны*	пересекают окружность , называется вписанным углом .
Докажите , что четырёхугольник ,	*стороны*	которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника , является квадратом .
40 Докажите теорему : в треугольнике против большей	*стороны*	лежит больший угол .
Если две смежные стороны прямоугольника равны , то все его	*стороны*	равны .
Как называются	*стороны*	прямоугольного треугольника ? .
Как называются	*стороны*	равнобедренного треугольника ? .
Отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной	*стороны*	, называется медианой треугольника .
В треугольнике против большей	*стороны*	лежит больший угол .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие	*стороны*	— катетами .
Если две смежные	*стороны*	прямоугольника равны , то все его стороны равны .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина	*стороны*	АС треугольника АВС .
Что такое вершины , смежные стороны , противоположные	*стороны*	и диагонали четырёхугольника ? .
Точки С и С расположены по разные	*стороны*	от прямой АВ , причем .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина	*стороны*	АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
Треугольник , у которого все	*стороны*	равны , называется равносторонним .
Что такое вершины , смежные	*стороны*	, противоположные стороны и диагонали четырёхугольника ? .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух отрезков существует прямоугольник , две смежные	*стороны*	которого равны этим отрезкам .
Для каждой	*стороны*	треугольника можно указать противоположную вершину , а для каждой вершины — противоположную сторону .
Две	*стороны*	и угол одного треугольника равны каким - то двум сторонам и какому - то углу другого треугольника .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше	*стороны*	ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
если две его	*стороны*	равны .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной	*стороны*	.
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной	*стороны*	. 145 .
Смежные	*стороны*	прямоугольника равны соответственно сторонам СВ и СА треугольника АВС .
Равные	*стороны*	называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника .
16 Докажите , что если один из углов треугольника прямой , то	*сумма*	двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и	*сумма*	двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
Чему равна их	*сумма*	? .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что	*сумма*	длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Учитывая , что	*сумма*	двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
В каком месте дороги нужно построить автобусную остановку X , чтобы	*сумма*	расстояний от А и В до X была наименьшей ?
Постройте точку М прямой а так , чтобы	*сумма*	была меньше суммы , где X — любая точка прямой а , отличная от М . 189 .
Из определения градусной меры дуги следует , что	*сумма*	градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 ° .
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов треугольника прямой , то	*сумма*	двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них острый .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что	*сумма*	медиан треугольника меньше его периметра .
Докажите , что	*сумма*	медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС больше полусуммы сторон АС и ВС .
Если один из углов треугольника прямой , то	*сумма*	двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Таким образом ,	*сумма*	смежных углов равна 180 ° .
Так как углы 1 и 2 — смежные , то их	*сумма*	равна 180 г , поэтому каждый из них — прямой .
Поэтому если какой - нибудь из данных отрезков больше или равен	*сумме*	двух других , то нельзя построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам .
Углы АНВ и АКБ — развёрнутые , так как каждый из них равен	*сумме*	двух прямых углов .
к отрезку .	*сумме*	углов треугольника . — об углах равнобедренного треугольника .
Угол 3 в	*сумме*	с углом 4 составляет 180 ° .
Докажите , что внешний угол треугольника равен	*сумме*	двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Постройте треугольник по стороне , разности углов при этой стороне и	*сумме*	двух других сторон .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна	*сумме*	длин этих двух отрезков .
42 Сформулируйте и докажите теорему о	*сумме*	углов треугольника .
Из теоремы о	*сумме*	углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Этот же угол 3 в	*сумме*	с углами 1 и 2 также составляет 180 ° .
Ясно также , что если луч делит угол на два угла , то градусная мера всего угла равна	*сумме*	градусных мер этих углов .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и	*сумме*	двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен	*сумме*	двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Постройте остроугольный треугольник АВС по	*сумме*	углов А и В , высоте BD и стороне АС .
Найдите	*сумму*	углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 . 161 .
Найдите	*сумму*	углов 1 , 2 и 3 . 153 .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите	*сумму*	АВ + AD .
Найдите	*сумму*	углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам , в том случае , когда каждый из данных отрезков меньше	*суммы*	двух других ? .
38 Докажите теорему : каждая сторона треугольника меньше	*суммы*	двух других сторон .
Постройте точку М прямой а так , чтобы сумма была меньше	*суммы*	, где X — любая точка прямой а , отличная от М . 189 .
Каждая сторона треугольника меньше	*суммы*	двух других сторон .
Каждый угол треугольника меньше	*суммы*	двух других его углов .
Действительно , в треугольнике каждая сторона меньше	*суммы*	двух других сторон .
Евклид описывал геометрию как систему предложений (	*теорем*	) , которые последовательно выводятся из нескольких перечисленных им основных понятий и истин .
Помимо этого в « Началах » доказано много других важных	*теорем*	, с которыми вам ещё предстоит познакомиться .
Доказанная	*теорема*	выражает признак ( равенство у треугольников двух сторон и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников .
Теоремой , обратной данной , называется такая	*теорема*	, в которой условием является заключение данной теоремы , а заключением — её условие .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта	*теорема*	является обратной ? .
Отметим , что если доказана какая - нибудь	*теорема*	, то из этого ещё не следует справедливость обратного утверждения .
Какая	*теорема*	называется обратной данной теореме ? .
24 Что такое	*теорема*	и доказательство теоремы ? .
По отношению к какой теореме эта	*теорема*	является обратной ? .
Следовательно	*теорема*	доказана .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является	*теорема*	о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
10 Сформулируйте и докажите теорему , обратную	*теореме*	о свойстве касательной .
В любой	*теореме*	различают две части : условие и заключение .
Докажем теорему , обратную	*теореме*	о серединном перпендикуляре к отрезку .
По отношению к какой	*теореме*	эта теорема является обратной ? .
Обратной	*теореме*	об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой	*теореме*	эта теорема является обратной ? .
Обозначим это множество буквой Ф. По	*теореме*	о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
	*Теореме*	о биссектрисе угла .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной	*теореме*	каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Докажем теперь теорему , обратную	*теореме*	о свойстве касательной ( признак касательной ) .
Какая теорема называется обратной данной	*теореме*	? .
В самом деле , по	*теореме*	о свойстве касательной ΖΑΒΟ 90е и ZACO 90 ° , т .
— , обратная данной	*теореме*	.
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её	*теоремой*	): вертикальные углы равны , а затем привели доказательство этой теоремы .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается путем рассуждения , называется	*теоремой*	, а само рассуждение — доказательством теоремы .
Докажем	*теорему*	об угле между касательной и хордой .
Докажем	*теорему*	о противоположных сторонах прямоугольника .
Обычно сначала формулируют	*теорему*	( т . е .
Докажите	*теорему*	: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
3 Сформулируйте и докажите	*теорему*	об углах равнобедренного треугольника .
39 Докажите	*теорему*	: в треугольнике против большего угла лежит бóльшая сторона .
Докажем теперь	*теорему*	о единственности перпендикуляра к прямой .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали	*теорему*	( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем привели доказательство этой теоремы .
Докажем	*теорему*	о высоте равнобедренного треугольника .
11 Сформулируйте и докажите	*теорему*	, выражающую второй признак равенства треугольников .
38 Докажите	*теорему*	: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон .
31 Докажите	*теорему*	: каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
Докажем	*теорему*	о серединном перпендикуляре к отрезку .
42 Сформулируйте и докажите	*теорему*	о сумме углов треугольника .
15 Сформулируйте и докажите	*теорему*	об угле между касательной и хордой .
Рассмотрим , например ,	*теорему*	об углах равнобедренного треугольника .
12 Сформулируйте и докажите	*теорему*	, выражающую третий признак равенства треугольников .
Докажем	*теорему*	о свойстве касательной .
32 Докажите	*теорему*	: каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудаленная от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Докажем	*теорему*	о существовании перпендикуляра к прямой .
35 Сформулируйте и докажите	*теорему*	о проекциях равных отрезков .
Докажем	*теорему*	об углах равнобедренного треугольника .
Докажем теперь	*теорему*	, обратную теореме о свойстве касательной ( признак касательной ) .
Докажем теперь	*теорему*	о проекциях равных отрезков .
15 Сформулируйте и докажите	*теорему*	о противоположных сторонах прямоугольника .
Сформулируйте и докажите	*теорему*	о вписанном угле .
Докажем	*теорему*	о вписанном угле .
Доказанную	*теорему*	можно сформулировать иначе : для любых трёх точек А , В и С , не лежащих на одной прямой , справедливы неравенства ( 1 ) .
40 Докажите	*теорему*	: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол .
8 Сформулируйте и докажите	*теорему*	о высоте равнобедренного треугольника .
8 Сформулируйте и докажите	*теорему*	о свойстве касательной .
Докажем сначала теорему о биссектрисе угла , а затем обратную ей	*теорему*	.
Докажем сначала	*теорему*	о биссектрисе угла , а затем обратную ей теорему .
26 Сформулируйте и докажите	*теорему*	, выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету .
26 Докажите	*теорему*	о единственности перпендикуляра к прямой .
10 Сформулируйте и докажите	*теорему*	, обратную теореме о свойстве касательной .
Докажем	*теорему*	, обратную теореме о серединном перпендикуляре к отрезку .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну	*теорему*	: из точки , не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой прямой , и притом только один .
Докажем теперь обратную	*теорему*	.
4 Докажите	*теорему*	( признак равнобедренного треугольника ): если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
29 Докажите	*теорему*	: каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
25 Докажите	*теорему*	о существовании перпендикуляра к прямой .
Сформулируйте и докажите	*теорему*	, выражающую первый признак равенства треугольников .
Заключение	*теоремы*	.
До греков геометрия представляла собой собрание полученных из опыта правил и фактов , и только у греков появились	*теоремы*	и доказательства , и именно тогда геометрия приобрела близкий к современному вид .
Утверждение , которое выводится непосредственно из	*теоремы*	, называется следствием .
Поскольку ZВАС ZBACX 90 ° , то утверждение	*теоремы*	справедливо .
Из	*теоремы*	о единственности перпендикуляра к прямой следует , что две прямые , перпендикулярные к одной и той же прямой , не пересекаются .
24 Что такое теорема и доказательство	*теоремы*	? .
28 Что такое условие теоремы и заключение	*теоремы*	?
Условие	*теоремы*	— это то , что дано , заключение — то , что требуется доказать .
28 Что такое условие	*теоремы*	и заключение теоремы ?
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем привели доказательство этой	*теоремы*	.
Теоремой , обратной данной , называется такая теорема , в которой условием является заключение данной	*теоремы*	, а заключением — её условие .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается путем рассуждения , называется теоремой , а само рассуждение — доказательством	*теоремы*	.
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной	*теоремы*	можно вывести следующие утверждения .
Доказательство	*теоремы*	.
Условие	*теоремы*	.
Из	*теоремы*	о сумме углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Сформулируйте следствия из	*теоремы*	о высоте равнобедренного треугольника .
Исходя из этого предположения , путем рассуждений мы пришли к противоречию с условием	*теоремы*	.
Воспользуемся идеей доказательства	*теоремы*	об углах равнобедренного треугольника .
Приведите пример доказательства	*теоремы*	методом от противного .
При доказательстве	*теоремы*	мы использовали способ рассуждений , который называется методом доказательства от противного .
В этом параграфе мы докажем три	*теоремы*	о равенстве треугольников .
Они предназначены для тех , кому понравится решать задачи и доказывать	*теоремы*	.
Ту из	*точек*	пересечения окружностей , которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
5 Сколько общих	*точек*	имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой ? .
Из этого следует , что две прямые либо имеют только одну общую точку , либо не имеют общих	*точек*	.
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух	*точек*	прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех	*точек*	этой прямой , лежащих между концами .
Даны точки А , В и С. Постройте точку , равноудалённую от	*точек*	А и В и удалённую от точки С на расстояние , равное АВ .
Рассмотрим фигуру , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих	*точек*	, отличных от концов .
Решите : а ) задачу 134 для случая , когда даны пять прямых ; б ) задачу 135 для случая , когда даны пять	*точек*	.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из	*точек*	её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции	*точек*	А , В , С и D на другую сторону данного угла .
На прямой а постройте точку , равноудалённую от	*точек*	Л и Б. Всегда ли эта задача имеет решение ? .
точки окружности не лежат на одной прямой , то других общих	*точек*	у прямой а и окружности нет .
Прямые а и b имеют одну общую точку , а прямые р и q не имеют общих	*точек*	.
30 Докажите , что множество всех	*точек*	плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
расстояние от центра данной окружности до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих	*точек*	имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
Прямая , как и любая геометрическая фигура , состоит из	*точек*	.
Из	*точек*	состоит любая геометрическая фигура : отрезок , треугольник , окружность , прямоугольник и т .
Известно , что прямая , проходящая через любые две точки , содержит по крайней мере ещё одну из данных	*точек*	.
Доказанную теорему можно сформулировать иначе : для любых трёх	*точек*	А , В и С , не лежащих на одной прямой , справедливы неравенства ( 1 ) .
Отрезок АВ не имеет общих	*точек*	с прямой CD .
Одну из	*точек*	пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
Множество всех	*точек*	плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Каким должен быть радиус окружности с центром А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих	*точек*	.
Множество всех	*точек*	плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
Точки Ах и Вх — проекции	*точек*	А и Б на прямую OQ .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть	*точек*	которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Что представляет собой множество	*точек*	X ? .
Геометрическое место	*точек*	.
Множество всех	*точек*	, удовлетворяющих какому - либо условию , называют также геометрическим местом точек , удовлетворяющих этому условию .
Пусть Ах и В1 — проекции	*точек*	А и В на прямую OQ .
Множество всех точек , удовлетворяющих какому - либо условию , называют также геометрическим местом	*точек*	, удовлетворяющих этому условию .
Можно сказать , что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место	*точек*	, равноудалённых от его концов .
33 Докажите , что множество всех	*точек*	плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех	*точек*	этого отрезка на прямую а .
3 Сколько общих	*точек*	могут иметь две прямые ?
Окружностью называется геометрическая фигура , состоящая из всех	*точек*	плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из	*точек*	пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Одну из	*точек*	пересечения этих окружностей обозначим буквой L.
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих	*точек*	; .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от	*точек*	А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
80 Что представляет собой множество всех	*точек*	плоскости , равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых ? .
Через каждую пару этих	*точек*	проведена прямая .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих	*точек*	с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
Сколько	*точек*	нужно отметить на отрезке PQ , чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в точках Р , Q и отмеченных точках ? .
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD пересекались , а отрезки АВ и CD не имели общих	*точек*	.
86 Докажите , что для любых	*точек*	А , В и С имеет место неравенство .
Найдите число	*точек*	, каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих	*точек*	.
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих	*точек*	к стороне АС .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая	*точка*	М , что ZMBC 30 ° и ZMCB 10 ° .
Даны окружность ,	*точка*	и два отрезка — АВ и CD .
На стороне АС треугольника АВС отмечена	*точка*	М. Постройте треугольник АВС по отрезкам АВ , ВМ и углам .
Какая	*точка*	называется точкой касания прямой и окружности ? .
Даны окружность и	*точка*	внутри неё .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то	*точка*	пересечения окружностей с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и	*точка*	А является серединой отрезка MN .
Докажите , что	*точка*	Я лежит на луче DB .
Внутри квадрата ABCD взята такая	*точка*	М , что ZABM 75 ° и ZCDM 30 ° .
На дуге АС , лежащей внутри угла ВАС , отмечена	*точка*	М так , что .
Докажите , что	*точка*	D лежит между серединой стороны ВС и основанием высоты АН .
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и	*точка*	D на стороне АВ .
Вне равностороннего треугольника АВС отмечена	*точка*	Е , а внутри него — точка М. Докажите , что .
Вне равностороннего треугольника АВС отмечена точка Е , а внутри него —	*точка*	М. Докажите , что .
Даны окружность с центром О и	*точка*	А вне неё .
Постройте точку М прямой а так , чтобы сумма была меньше суммы , где X — любая	*точка*	прямой а , отличная от М . 189 .
Прямая АВ — касательная к окружности , В —	*точка*	касания .
Докажите , что . б ) Точки М , N. Е и F лежат на окружности с центром О , причём	*точка*	О равноудалена от прямых MN и EF .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена	*точка*	М. Может ли выполняться неравенство ? .
На стороне АС треугольника АВС отмечена	*точка*	М. Постройте треугольник АВС по отрезкам ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
Докажите , что	*точка*	О равноудалена от прямых АВ и CD .
Докажите с помощью наложения , что	*точка*	является серединой отрезка CD .
Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята	*точка*	М так , что ZAMB- 30 ° и ZMBC 23 ° .
Докажите , что если	*точка*	С равноудалена от прямых АВ и AM , то она делит дугу АСВ пополам .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена	*точка*	С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена	*точка*	М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Пусть а — касательная к окружности с центром О , А —	*точка*	касания .
Наконец , если	*точка*	А лежит вне круга , ограниченного данной окружностью , то будем рассуждать так .
Действительно ,	*точка*	М , в которой серединный перпендикуляр пересекается с отрезком АВ , и есть середина этого отрезка .
Итак ,	*точка*	М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
На прямой ВС отмечена	*точка*	L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
На стороне АВ квадрата ABCD отмечена	*точка*	Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
На биссектрисе угла ВАС отмечена точка О , а на продолжении луча АВ отмечена	*точка*	D Может ли выполняться равенство О ?
Следовательно ,	*точка*	М не лежит на окружности .
На прямой ВС отмечена точка L так , что	*точка*	D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
На биссектрисе угла ВАС отмечена	*точка*	О , а на продолжении луча АВ отмечена точка D Может ли выполняться равенство О ?
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке D ,	*точка*	О равноудалена от всех вершин треугольника .
Если	*точка*	А лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
а ) Даны равносторонний треугольник АВС и	*точка*	В1 на стороне АС .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , «	*точка*	С перемешается при этом по отрезку .
На этой дуге отмечена	*точка*	М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена	*точка*	С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности , а их общая	*точка*	называется точкой касания прямой и окружности .
Если	*точка*	А лежит на данной окружности , то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если	*точка*	М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
Данная	*точка*	М может лежать на данной прямой а , а может и не лежать на ней .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая	*точка*	М , что ZMBC 30 ° и ZMCA 10 ° .
Отложим от луча АВ угол BAD , равный углу В. Поскольку , то	*точка*	D лежит между точками Б и С .
поэтому	*точка*	М не лежит на окружности .
а	*точка*	D — середина отрезка СЕ .
	*Точка*	А совпадает с вершиной угла ) , то их проекции АВХ и CXDX равны .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ ,	*точка*	В — середина отрезка АС .
На прямой отмечены точки А , В , С и D так , что	*точка*	В лежит между точками А и С , а отрезки АС и BD равны .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между точками А и В ,	*точка*	В — между точками С и , отрезки АВ и CD равны .
55 Точка С лежит на прямой АВ , а	*точка*	D не лежит на этой прямой .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д	*точка*	С лежит между точками А и В , точка В — между точками С и , отрезки АВ и CD равны .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом	*точка*	D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы	*точка*	С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая	*точка*	множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Поэтому	*точка*	А копии совместится с вершиной А треугольника .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая	*точка*	серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Таким образом , прямая МО — серединный перпендикуляр к отрезку АВ , и	*точка*	М лежит на нем .
В самом деле , пусть	*точка*	М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС ,	*точка*	Мх — проекция точки М на прямую АС .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена	*точка*	Е , не лежащая на прямой АС .
Каждая	*точка*	серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена	*точка*	D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
во внутренней области этого угла ) ,	*точка*	В лежит на стороне угла hk , а точка С — вне угла hk ( т . е .
90 Во внутренней области равностороннего треугольника АВС отмечена	*точка*	D. Докажите , что .
во внутренней области этого угла ) , точка В лежит на стороне угла hk , а	*точка*	С — вне угла hk ( т . е .
Каждая	*точка*	, равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
На диагонали АС квадрата ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC ,	*точка*	М — середина стороны АВ .
Точки К , L , М и N расположены на одной прямой так , что	*точка*	L лежит между точками К и М , а два отрезка с концами в данных точках имеют общую середину .
На диагонали АС квадрата ABCD отмечена такая	*точка*	N , что AN 3NC , точка М — середина стороны АВ .
Как называется	*точка*	Q ? .
Если	*точка*	М совпадает с серединой О отрезка АВ , то справедливость равенства очевидна .
49 а ) На стороне АВ треугольника АВС , в котором , отмечена	*точка*	М. Может ли отрезок AM быть равным 20 см ? .
Если	*точка*	М лежит на прямой АВ , то она совпадает с серединой О отрезка АВ , а значит , лежит на прямой а .
На стороне АВ треугольника АВС , в котором АС = 20 см , отмечена такая	*точка*	М , что СМ = 16 см. Может ли сторона АВ быть равной 4 см ? .
Если же	*точка*	М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М — вершины равнобедренного треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
Рассмотрим произвольную точку М , равноудалённую от концов отрезка АВ , и докажем , что	*точка*	М лежит на серединном перпендикуляре а к этому отрезку .
Следовательно , луч СМ проходит внутри прямого угла АСВ , а	*точка*	М лежит на гипотенузе АВ .
Ясно также , что если	*точка*	делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
На стороне АВ треугольника АВС , в котором АВ = 30 ° , отмечена	*точка*	D , причем 120 ° .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если	*точка*	М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
При повторном перегибании плоскости по прямой а	*точка*	Н останется на месте .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама	*точка*	М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Пусть теперь Мх — произвольная	*точка*	отрезка АХВХ .
10 Какая	*точка*	называется серединой отрезка ? .
Как называется общая	*точка*	двух прямых ? .
Пусть Н —	*точка*	пересечения прямых АВ и а .
При перегибании точки Н и К остаются на месте ,	*точка*	А накладывается на некоторую точку .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая	*точка*	отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и	*точка*	В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине	*точка*	В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и	*точка*	А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Если же	*точка*	М не лежит на прямой а , то из точки М будут проведены два перпендикуляра к прямой а , что невозможно .
Докажем , что	*точка*	Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Следовательно , точки Ах и Б , также лежат по разные стороны от прямой ММХ , поэтому	*точка*	Мх лежит между точками Ах и Вх , т .
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О ,	*точка*	М — середина стороны AD .
17 Точка М — середина отрезка АВ , а	*точка*	N — середина отрезка МВ .
Пусть А —	*точка*	, не лежащая на данной прямой а .
Пусть	*точка*	Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая точка прямой а .
е ) Во внутренней области угла АВС , равного 60 ° , отмечена	*точка*	D так , что 100 ° и 80 ° .
Каждая	*точка*	биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
Пусть точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая	*точка*	прямой а .
10 а ) На прямой АВ отмечена	*точка*	С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Каждая	*точка*	, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
При этом	*точка*	А наложится на некоторую точку .
в ) На стороне АВ треугольника АВС отмечена	*точка*	D. Известно , что 40 ° и .
В самом деле , если предположить , что	*точка*	Ах лежит на .
31 Докажите теорему : каждая	*точка*	биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является	*точка*	Мх .
29 Докажите теорему : каждая	*точка*	, равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
Докажите теорему : каждая	*точка*	серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая	*точка*	D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
32 Докажите теорему : каждая	*точка*	, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудаленная от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
93 На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС отмечена такая	*точка*	Р , что АР АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому	*точка*	Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Из двух последних неравенств следует , что	*точка*	Н лежит между точками Б и С. Таким образом .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что	*точка*	D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Данная точка (	*точка*	О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Данная	*точка*	( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Следовательно , ОБ О А г , поэтому	*точка*	Б также является общей точкой прямой и окружности .
Для краткости вместо слов « точка А лежит на прямой о » используют запись Ае а , а вместо слов «	*точка*	В не лежит на прямой а » — запись В а .
Простейшей из геометрических фигур является	*точка*	.
Докажите , что этот треугольник прямоугольный , а указанная	*точка*	— середина гипотенузы .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а	*точка*	О называется началом каждого из лучей .
Но не может ли получиться так , что	*точка*	В совместится не с точкой С , а с какой - то другой точкой Е луча DC ?
Следовательно , на отрезке HD найдется	*точка*	А , лежащая на окружности , т .
б ) В треугольнике АВС	*точка*	М — середина стороны АВ и .
Таким образом , один конец отрезка HD ( точка Н ) лежит внутри указанного круга , а другой (	*точка*	D ) — вне этого круга .
1 ° d < г. Поскольку ОН г , то	*точка*	Н лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они пересекаются , а общая	*точка*	называется точкой пересечения этих прямых .
Следовательно ,	*точка*	В совместится с точкой С. Таким образом , стороны АВ и DC совместятся , а значит .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая	*точка*	D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена	*точка*	М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
Таким образом , один конец отрезка HD (	*точка*	Н ) лежит внутри указанного круга , а другой ( точка D ) — вне этого круга .
Для краткости вместо слов «	*точка*	А лежит на прямой о » используют запись Ае а , а вместо слов « точка В не лежит на прямой а » — запись В а .
Для любой другой точки М прямой а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН , т . е . , и поэтому	*точка*	М не лежит на данной окружности .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена	*точка*	D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Пусть М и N — середины отрезков АВ и ВС. Поскольку О А ОВ , то	*точка*	О лежит на серединном перпендикуляре .
Поэтому вершина С — общая	*точка*	сторон АС и ВС — совместится с общей точкой лучей АХСХ и ВХСХ , т .
2 ° d г. Так как ОН , то	*точка*	Н лежит на окружности и , следовательно , является общей точкой прямой а и окружности .
Расстояние между двумя	*точками*	. — от точки до прямой .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между	*точками*	А и В , точка В — между точками С и , отрезки АВ и CD равны .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между точками А и В , точка В — между	*точками*	С и , отрезки АВ и CD равны .
Точки К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между	*точками*	К и М , а два отрезка с концами в данных точках имеют общую середину .
На прямой отмечены точки А , В , С и D так , что точка В лежит между	*точками*	А и С , а отрезки АС и BD равны .
Следовательно , точки Ах и Б , также лежат по разные стороны от прямой ММХ , поэтому точка Мх лежит между	*точками*	Ах и Вх , т .
АРВ и AQB — дуги окружности , ограниченные	*точками*	Л и В .
3 Предложите способ измерения расстояния между двумя	*точками*	, если нельзя пройти по прямой от одной точки до другой .
4 Предложите способ измерения расстояния между двумя	*точками*	, одна из которых недоступна .
е . лежит между	*точками*	В и С. Следовательно .
Отложим от луча АВ угол BAD , равный углу В. Поскольку , то точка D лежит между	*точками*	Б и С .
Из двух последних неравенств следует , что точка Н лежит между	*точками*	Б и С. Таким образом .
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих	*точках*	проведённой прямой и данных отрезков .
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных	*точках*	и общих точках проведённой прямой и данных отрезков .
к ) Сколько отрезков с концами в обозначенных буквами	*точках*	изображено на рисунке ? .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в	*точках*	Р и Q соответственно .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух	*точках*	.
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в	*точках*	Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в	*точках*	Ах , В , .
Они пересекутся в двух	*точках*	— Р и Q. Проведём прямую PQ .
Сколько точек нужно отметить на отрезке PQ , чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в точках Р , Q и отмеченных	*точках*	? .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в	*точках*	Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
к ) Сколько отрезков с концами в обозначенных буквами	*точках*	изображено ? .
Если прямая а проходит через точку О , то она пересекает окружность в двух	*точках*	— концах диаметра , лежащего на этой прямой .
Проведите через точку А прямую , пересекающую окружность в	*точках*	В и С , так , что .
Докажите , что окружности радиуса АВ с центрами А и Б пересекаются в двух	*точках*	.
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух	*точках*	.
Точки К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между точками К и М , а два отрезка с концами в данных	*точках*	имеют общую середину .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух	*точках*	— А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в	*точках*	А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
Сколько точек нужно отметить на отрезке PQ , чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в	*точках*	Р , Q и отмеченных точках ? .
Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в	*точке*	О , причём 135 ° .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в	*точке*	С , а касательную а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в	*точке*	А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а касательную а в	*точке*	D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ , касающуюся окружности в	*точке*	А. Проведём хорду АВ .
д ) Сколько прямых нужно провести через данную точку , чтобы образовалось ровно шесть углов с вершинами в этой	*точке*	? .
Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой	*точке*	.
С помощью рассуждений убедитесь в том , что все данные прямые пересекаются в одной	*точке*	.
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в	*точке*	стороны ВС. Докажите , что .
На стороне АВ квадрата ABCD отмечена точка Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в	*точке*	Q Докажите , что .
Прямые AD и ВС пересекаются в	*точке*	Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса угла POQ .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в	*точке*	, лежащей на третьей стороне .
в ) Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	О , причём 150 ° .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой	*точке*	М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в	*точке*	М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в	*точке*	О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Пять прямых , пересекающихся в одной	*точке*	.
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в	*точке*	Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в	*точке*	М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в	*точке*	О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Прямая АВ касается одной окружности в	*точке*	А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
95 Биссектрисы углов А и Б треугольника АВС пересекаются в	*точке*	М , причём .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в	*точке*	D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной	*точке*	.
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
к ) В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в	*точке*	О , причём .
ж ) Прямые PQ и LM пересекаются в	*точке*	М .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым углом А пересекаются в	*точке*	Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в	*точке*	В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Три медианы треугольника пересекаются в одной	*точке*	.
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной	*точке*	, три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Через точку С проведена касательная , пересекающая прямую АВ в	*точке*	D. Докажите , что . з ) Исходя , докажите , что .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной	*точке*	, три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые пересекаются в одной	*точке*	и делят плоскость на шесть углов .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной	*точке*	.
Три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной	*точке*	.
г ) Три прямые пересекаются в одной	*точке*	и делят плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
Прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в	*точке*	М .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в	*точке*	М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в	*точке*	М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
65 Отрезки AD и BE пересекаются в	*точке*	С , причём АС СЕ и ZBAC ZDEC Докажите , что ААВЕ AEDA .
Биссектриса ОР угла АОВ пересекает окружность в	*точке*	Q , при этом PQ OQ .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в	*точке*	D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Прямая АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в	*точке*	В. Найдите угол АМВ .
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в	*точке*	О , точка М — середина стороны AD .
Она пересечёт сторону ВС в некоторой	*точке*	N. Мысленно перегнём плоскость по прямой MN так , чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую .
Отрезки DC и АЕ пересекаются в	*точке*	О. Докажите , что АО ОС .
Высоты АА1 и BBj остроугольного треугольника АВС пересекаются в	*точке*	Н. Докажите , что . 119 .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной	*точке*	и радиусом , равным данному отрезку .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в	*точке*	С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в	*точке*	О , точки М и N — середины сторон АВ и AD .
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в	*точке*	Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
41 а ) Докажите , что если четырёхугольник ABCD — прямоугольник , то . б ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в	*точке*	О. Докажите .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой	*точке*	М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
Следовательно ,	*точки*	Ах и Б , также лежат по разные стороны от прямой ММХ , поэтому точка Мх лежит между точками Ах и Вх , т .
Расстояние от	*точки*	до центра данной окружности равно диаметру этой окружности .
Если же точка М не лежит на прямой а , то из	*точки*	М будут проведены два перпендикуляра к прямой а , что невозможно .
в ) Точка М — середина основания ВС равнобедренного треугольника АВС ,	*точки*	D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
3 ) имела с прямой ВС две общие	*точки*	? .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но	*точки*	А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Отметим , что	*точки*	Ах и Вх лежат на стороне OQ угла POQ , а не на её продолжении .
Поскольку , то сторона АВ совместится со стороной ΑχΒχ , а сторона АС совместится со стороной АгСх , в частности совместятся	*точки*	В и Βχ , С и Οχ .
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены	*точки*	Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
На окружности отмечены	*точки*	А , В , М и N так , что 160 ° .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) ,	*точки*	В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Следовательно ,	*точки*	А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
Таким образом , серединный перпендикуляр к отрезку АВ проходит через	*точки*	Р и Q , т .
Докажем , что она является проекцией некоторой	*точки*	отрезка АВ .
23 Объясните , какой отрезок называется перпендикуляром , проведённым из данной	*точки*	к данной прямой .
Из	*точки*	М проведены перпендикуляры МН и МК к двум пересекающимся прямым .
Докажите , что	*точки*	М , Н и К не лежат на одной прямой .
Точки А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а	*точки*	А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
Докажите , что . ж ) На сторонах АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС взяты такие	*точки*	М , Р v К , что .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные	*точки*	, а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и радиусом , равным данному отрезку .
В самом деле , по построению	*точки*	Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ , поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
Докажите , что эти	*точки*	равноудалены от прямой ВС .
2 Сколько прямых проходит через две данные	*точки*	? .
Выберем какие - нибудь три	*точки*	, не лежащие на одной прямой .
Выбранные	*точки*	называются вершинами треугольника , а соединяющие их отрезки — его сторонами .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной	*точки*	, равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М. Проекцией этой	*точки*	на прямую OQ и является точка Мх .
Докажите , что	*точки*	А , В , О и Р лежат на одной окружности .
Расстояние от	*точки*	А до прямой а равно длине отрезка АН .
4 Докажите , что никакие три	*точки*	окружности не лежат на одной прямой .
Длина перпендикуляра , проведённого из точки к прямой , называется расстоянием от этой	*точки*	до прямой .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно	*точки*	Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
При этом	*точки*	М и N останутся на месте .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В —	*точки*	касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из	*точки*	М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Так как из	*точки*	А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то отрезок AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С —	*точки*	касания ) .
Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из	*точки*	стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
Проведём из	*точки*	А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О ,	*точки*	М и N — середины сторон АВ и AD .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим	*точки*	её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора	*точки*	М на дуге АВ .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из	*точки*	М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Найдите расстояние от	*точки*	А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD , а	*точки*	В и D — по разные стороны от прямой АС .
Следовательно ,	*точки*	А и D совместятся .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от	*точки*	А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
а ) Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности , расстояние от	*точки*	А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса .
Если при этом	*точки*	Б и С совместятся , то совместятся стороны АВ и DC , и , следовательно , они равны .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из	*точки*	М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
На сторонах этого треугольника постройте	*точки*	, равноудалённые от вершин А и Б . л )
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены	*точки*	М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из	*точки*	N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
Но этого не может быть , так как из	*точки*	, не лежащей на прямой , можно провести только один перпендикуляр к этой прямой .
Расстояние от точки М до прямой АС равно 10 см. Найдите расстояние от	*точки*	М до прямой АВ .
В результате перегибания по прямой MN	*точки*	А и D совместились , а сторона АВ наложилась на луч DC .
Из	*точки*	М катета АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из	*точки*	внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Расстояние от	*точки*	М до прямой АС равно 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ .
Точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из	*точки*	пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см. Найдите расстояние от	*точки*	О до прямой АВ .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх — проекция	*точки*	М на прямую АС .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим	*точки*	её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
На сторонах ВС и АВ постройте	*точки*	А1 и С , так , чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним .
Длина перпендикуляра , проведённого из	*точки*	к прямой , называется расстоянием от этой точки до прямой .
Так как катет меньше гипотенузы , то перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же	*точки*	к этой прямой .
Так как катет меньше гипотенузы , то перпендикуляр , проведённый из	*точки*	к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Точки А и В лежат на касательной к окружности с центром О по разные стороны от	*точки*	касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
Постройте окружность данного радиуса , проходящую через две данные	*точки*	.
Отрезок AM называется наклонной , проведённой из	*точки*	А к прямой а .
Пусть точка Н — основание перпендикуляра , проведённого из	*точки*	А к прямой а , а М — любая другая точка прямой а .
Найдите угол между отрезками касательных , проведёнными из указанной	*точки*	к данной окружности .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В —	*точки*	касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
Пусть А2 — проекция	*точки*	А на прямую ВВХ , С2 — проекция точки С на прямую DDX .
Пусть А2 — проекция точки А на прямую ВВХ , С2 — проекция	*точки*	С на прямую DDX .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за	*точки*	А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
Даны прямая а и	*точки*	А и В , лежащие по одну сторону от неё .
На сторонах угла POQ отмечены	*точки*	А , В , С и D так , что О А ОВ и АС BD .
Найдите расстояние от	*точки*	М до прямой АВ .
Б и С —	*точки*	касания .
Докажите , что если	*точки*	А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения окружностей с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
На луче с началом О отмечены три	*точки*	— А , В и С так , что .
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные отрезки называются сторонами , а концы сторон (	*точки*	А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
На луче с началом О отмечены	*точки*	А , В и С так , что .
С помощью рассуждений убедитесь в том , что все данные	*точки*	лежат на одной прямой .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора	*точки*	М на дуге АВ .
Известно , что прямая , проходящая через любые две	*точки*	, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек .
Даны четыре	*точки*	.
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из	*точки*	А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Даны	*точки*	А , В и С. Постройте точку , равноудалённую от точек А и В и удалённую от точки С на расстояние , равное АВ .
Даны точки А , В и С. Постройте точку , равноудалённую от точек А и В и удалённую от	*точки*	С на расстояние , равное АВ .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В —	*точки*	касания , ZAMB 60 ° .
з ) имела с прямой CD две общие	*точки*	? .
Докажите , что	*точки*	С , L , М и N лежат на одной окружности .
Отрезки касательных , проведённые из одной	*точки*	.
3 Предложите способ измерения расстояния между двумя точками , если нельзя пройти по прямой от одной	*точки*	до другой .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены	*точки*	С и Д точка С лежит между точками А и В , точка В — между точками С и , отрезки АВ и CD равны .
9 Как провести перпендикуляр к прямой , начерченной на листе бумаги , из отмеченной	*точки*	, если у вас есть только линейка , карандаш и прозрачная бумага ? .
Воспользуемся методом доказательства от противного : допустим , что какие - то три	*точки*	А , В и С окружности с центром О лежат на некоторой прямой о .
На прямой отмечены	*точки*	А , В , С и D так , что точка В лежит между точками А и С , а отрезки АС и BD равны .
в ) На луче АВ отмечены	*точки*	С и В так , что АВ < BD , а АС = BD .
Таким образом , из	*точки*	О проведены два перпендикуляра к прямой а — ОМ и ON .
1 а ) Имеют ли общие	*точки*	: отрезки АВ и CD ; прямые АВ и CD ? .
Постройте хорду MN , равную отрезку АВ , так , чтобы расстояние от данной	*точки*	до прямой MN было равно CD .
Следовательно ,	*точки*	А , Б и С не лежат на одной прямой , что и требовалось доказать .
Отрезок , соединяющий две	*точки*	окружности , называется хордой .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от	*точки*	В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Наклонная , проведённая из	*точки*	к прямой .
Таким образом , через две	*точки*	проходит прямая , и притом только одна .
Основание перпендикуляра , проведённого из	*точки*	к прямой .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из	*точки*	А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Обычно	*точки*	обозначают большими латинскими буквами : А , В , С и т .
Перпендикуляр , проведённый из	*точки*	к прямой .
На прямой а от	*точки*	Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Если же — различные	*точки*	, то прямоугольные треугольники О AM и ОВМ равны по двум катетам , поэтому .
На прямой отмечены	*точки*	А , В и С так , что АВ = 1,22 дм и АС = 6 мм .
равном 24 см , отменены	*точки*	Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены	*точки*	Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из	*точки*	М к прямой АВ .
Докажите , что AD BE CF . 92 На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отмечены такие	*точки*	В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
в ) На отрезке АВ отмечены	*точки*	С и D так , что .
Из	*точки*	М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же	*точки*	D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ стороны АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На сторонах АС и A , Ct отмечены	*точки*	D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что треугольники BDC и B1D1C1 равны , и сравните отрезки BD и BXDV .
Круг содержит точку О и все	*точки*	М. для которых ОМ .
д , мы будем считать , что эти	*точки*	, прямые и т .
68 На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие	*точки*	Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина основания ВС. Докажите , что BQ СР .
Здесь и далее , говоря « две	*точки*	» , « три прямые » и т .
Окружностью называется геометрическая фигура , состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной	*точки*	.
Ясно , что через отмеченные	*точки*	нельзя провести другую .
Отметим какие - нибудь две	*точки*	и проведём через них прямую .
Отметьте в тетради	*точки*	Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
Тогда радиус О А будет наклонной к прямой а , поэтому расстояние от	*точки*	О до прямой а меньше радиуса .
Отрезок , соединяющий две	*точки*	окружности и проходящий через её центр , называется диаметром .
б ) Существуют ли	*точки*	, которые одновременно лежат на прямой PQ и прямой RT ? .
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с прямыми углами при вершине О отмечены	*точки*	А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Вершины Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD ,	*точки*	К и М — середины сторон АЕ и АР .
2 а ) Имеют ли общие	*точки*	прямая PQ и отрезок RT ? .
в ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов , вершинами которых являются обозначенные буквами	*точки*	, изображено ? .
Докажем , что никакие три	*точки*	окружности не лежат на одной прямой .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то	*точки*	А , В и М — вершины равнобедренного треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
Имеет ли прямая LM общие	*точки*	с отрезком PQ ? .
Отметьте в тетради	*точки*	А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD пересекались , а отрезки АВ и CD не имели общих точек .
62 На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены	*точки*	D и Е так , что AD СЕ .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все	*точки*	которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все	*точки*	которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Поскольку ZCAXCX180 ° , то	*точки*	С , Ах и Сх будут лежать на одной прямой .
61 В треугольниках АВС и AlBiCl углы А и Αλ равны и АВ - А1В1 , AC ACV На сторонах АС и А1С1 отмечены	*точки*	D и D , так , что ZDBC ZD1B1C1 .
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О , проходящие через точку А. Пусть Б и С —	*точки*	касания .
Отметим на окружности какие - нибудь две	*точки*	— А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
и ) Даны четыре	*точки*	.
Изображение	*точки*	можно получить , прикасаясь к листу бумаги остро отточенным карандашом .
Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну теорему : из	*точки*	, не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой прямой , и притом только один .
В самом деле , если бы две прямые имели две общие	*точки*	, то через эти две точки проходили бы две прямые , чего не может быть , так как через две точки проходит только одна прямая .
Можно ли внутри треугольника АВС с тупым углом А отметить	*точки*	Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC ? .
Отрезок , соединяющий точку А с точкой Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из	*точки*	А к прямой а .
Мы ввели понятие перпендикуляра , проведённого из данной	*точки*	к данной прямой .
При перегибании	*точки*	Н и К остаются на месте , точка А накладывается на некоторую точку .
На сторонах АВ и ВС отмечены такие	*точки*	Р и Q , что ZPCB 20е и ZBAQ 10 ° .
Предположим , что из	*точки*	А можно провести два перпендикуляра АН и АК к прямой а .
Докажем , что из	*точки*	А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие	*точки*	.
Проекцией	*точки*	М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Из	*точки*	, не лежащей на прямой , можно провести перпендикуляр к этой прямой .
Из	*точки*	, не лежащей на прямой , нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из	*точки*	М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от	*точки*	до прямой ? .
Обозначим её буквой В. Разогнём плоскость и проведём через	*точки*	А у В прямую .
Докажем , что из	*точки*	А можно провести перпендикуляр к прямой а .
Прямую , проходящую через две	*точки*	, например А и В , иногда обозначают двумя буквами : АВ или ВА .
В самом деле , если бы две прямые имели две общие точки , то через эти две	*точки*	проходили бы две прямые , чего не может быть , так как через две точки проходит только одна прямая .
Так как , то для любой	*точки*	М прямой а справедливо неравенство .
22 Объясните , какой отрезок называется наклонной , проведённой из данной	*точки*	к данной прямой .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из	*точки*	О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же	*точки*	к этой прямой Что называется расстоянием от точки до прямой ? .
Докажите , что перпендикуляр , проведённый из	*точки*	к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от точки до прямой ? .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены	*точки*	Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Пусть Мх — проекция	*точки*	М отрезка АВ на прямую OQ .
Следовательно , наше предположение неверно , а значит , из	*точки*	А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а Теорема доказана .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной	*точки*	, равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Таким образом , мы получили , что через	*точки*	А и В проходят две прямые АН и АК .
Для любой другой	*точки*	М прямой а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН , т . е . , и поэтому точка М не лежит на данной окружности .
Проекция отрезка на прямую . —	*точки*	на прямую .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно	*точки*	Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
Угол — это геометрическая фигура , состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой	*точки*	.
В самом деле , если бы две прямые имели две общие точки , то через эти две точки проходили бы две прямые , чего не может быть , так как через две	*точки*	проходит только одна прямая .
Точка Мх — проекция	*точки*	М на прямую OQ Ах Мх Вх .
Угол — это геометрическая фигура , состоящая из	*точки*	и двух лучей , исходящих из этой точки .
Поэтому точки А , Н и В лежат на одной прямой и также	*точки*	А , К и В лежат на одной прямой .
На сторонах АВ и АС отмечены такие	*точки*	Л и Л7 , что ZMCB A0z и ZXBC 50 .
Концы отрезка —	*точки*	.
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой	*точки*	отрезка АВ .
Поэтому	*точки*	А , Н и В лежат на одной прямой и также точки А , К и В лежат на одной прямой .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой	*точки*	отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Расстояние между двумя точками . — от	*точки*	до прямой .
	*Точки*	окружности не лежат на одной прямой , то других общих точек у прямой а и окружности нет .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они пересекаются , а общая точка называется	*точкой*	пересечения этих прямых .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо	*точкой*	окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на окружности и , следовательно , является общей	*точкой*	прямой а и окружности .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с	*точкой*	А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Но не может ли получиться так , что точка В совместится не с	*точкой*	С , а с какой - то другой точкой Е луча DC ?
Следовательно , точка В совместится с	*точкой*	С. Таким образом , стороны АВ и DC совместятся , а значит .
В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности , а их общая точка называется	*точкой*	касания прямой и окружности .
Какая точка называется	*точкой*	касания прямой и окружности ? .
Следовательно , ОБ О А г , поэтому точка Б также является общей	*точкой*	прямой и окружности .
Отрезок , соединяющий точку А с	*точкой*	Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой а .
с	*точкой*	Сх .
Ту из точек пересечения окружностей , которая лежит с	*точкой*	А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину треугольника с	*точкой*	противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с	*точкой*	В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Но не может ли получиться так , что точка В совместится не с точкой С , а с какой - то другой	*точкой*	Е луча DC ?
Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей	*точкой*	лучей АХСХ и ВХСХ , т .
Из этого следует , что две прямые либо имеют только одну общую	*точку*	, либо не имеют общих точек .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим	*точку*	её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Следовательно , прямая а и окружность имеют только одну общую	*точку*	, т .
б ) Через	*точку*	А , лежащую на окружности , проведены касательная АВ и хорда АС .
Можно ли провести прямую так , чтобы она прошла через	*точку*	А и пересекла прямые МВ , МС и MD ? .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D	*точку*	его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Может ли прямая АВ иметь общую	*точку*	с отрезком CD ? .
Через	*точку*	О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а касательную а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую	*точку*	, а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте	*точку*	пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через	*точку*	А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
Рассмотрим произвольную	*точку*	М , равноудалённую от концов отрезка АВ , и докажем , что точка М лежит на серединном перпендикуляре а к этому отрезку .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте	*точку*	N. лежащую на отрезке BD , так , чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала отрезок ВС .
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте	*точку*	В , лежащую на прямой КМ , так , чтобы прямая АВ пересекала прямые KL и LM , но не пересекала отрезок КМ . д )
Прямые а и b имеют одну общую	*точку*	, а прямые р и q не имеют общих точек .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту	*точку*	и центр окружности .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте	*точку*	М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О , проходящие через	*точку*	А. Пусть Б и С — точки касания .
Если две прямые имеют общую	*точку*	, то говорят , что они пересекаются , а общая точка называется точкой пересечения этих прямых .
Можно ли провести прямую так , чтобы она проходила через	*точку*	С и пересекала прямые АВ и AD ? .
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте	*точку*	Р , лежащую на прямой CD , но не лежащую на отрезке АВ , и точку Q , лежащую как на прямой CD .
Рассмотрим прямую а и	*точку*	О , лежащую на этой прямой .
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р , лежащую на прямой CD , но не лежащую на отрезке АВ , и	*точку*	Q , лежащую как на прямой CD .
Дан треугольник АВС с прямым углом А. На катете АВ постройте	*точку*	М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за	*точку*	С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь	*точку*	на луче ( например , луч О А ) .
3 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через	*точку*	О прямую а так , чтобы лучи ОА , ОВ и ОС лежали в одной полуплоскости с границей а .
Постройте на стороне АС	*точку*	Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и тупой угол DEF .
Постройте	*точку*	, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка .
На данной окружности постройте	*точку*	, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых .
Постройте	*точку*	, равноудалённую от этих прямых .
Если же прямая а не проходит через	*точку*	О , то проведём перпендикуляр ОН к прямой а и обозначим его длину , т .
Даны три попарно пересекающиеся прямые , не проходящие через одну	*точку*	.
30 Объясните , как с помощью циркуля и линейки через данную	*точку*	провести касательную к данной окружности .
Через данную	*точку*	М проведены .
Обозначим буквой М произвольную	*точку*	биссектрисы неразвёрнутого угла А , проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам угла и докажем , что .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через	*точку*	М перпендикулярно к прямой а .
Через данную	*точку*	А провести касательную к данной окружности с центром О .
Проведём через	*точку*	В касательную PQ к окружности .
Через	*точку*	С проведена касательная , пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите , что . з ) Исходя , докажите , что .
Если прямая а проходит через	*точку*	О , то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра , лежащего на этой прямой .
Если точка А лежит на данной окружности , то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через	*точку*	А перпендикулярно к прямой ОА .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту	*точку*	и центр окружности .
Рассмотрим прямую а и	*точку*	А , не лежащую на этой прямой .
Отрезок , соединяющий	*точку*	А с точкой Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой а .
Рассмотрим	*точку*	М , которая лежит внутри неразвёрнутого угла А и равноудалена от его сторон , т .
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через	*точку*	А , является секущей ( докажите это ) .
Мысленно перегнём плоскость по прямой а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая	*точку*	А , наложилась на другую полуплоскость .
При этом точка А наложится на некоторую	*точку*	.
Построение прямой , проходящей через	*точку*	М и перпендикулярной к прямой о .
Мысленно перегнём плоскость по прямой а так , чтобы полуплоскость с границей а , содержащая	*точку*	А. наложилась на другую полуплоскость .
Построить прямую , проходящую через данную	*точку*	и перпендикулярную к данной прямой .
При перегибании точки Н и К остаются на месте , точка А накладывается на некоторую	*точку*	.
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую	*точку*	.
27 Объясните , как построить прямую , проходящую через данную	*точку*	и перпендикулярную к данной прямой .
Постройте	*точку*	М прямой а так , чтобы сумма была меньше суммы , где X — любая точка прямой а , отличная от М . 189 .
Проведите через	*точку*	А прямую , пересекающую окружность в точках В и С , так , что .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через	*точку*	О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через	*точку*	М прямую а так , чтобы лучи МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а луч MR — в другой полуплоскости .
Две окружности имеют общую	*точку*	М и общую касательную в этой точке .
Начертите неразвёрнутый угол и отметьте	*точку*	А , лежащую на его стороне , точку В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Через	*точку*	А проведём прямую а , перпендикулярную к прямой АВ ; как это сделать , мы знаем .
Начертите неразвёрнутый угол и отметьте точку А , лежащую на его стороне ,	*точку*	В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за	*точку*	В на отрезок BD , равный АВ .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через	*точку*	В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Начертите неразвёрнутый угол и отметьте точку А , лежащую на его стороне , точку В , лежащую в его внутренней области , и	*точку*	С , лежащую в его внешней области .
Если А е а , то говорят также , что прямая а проходит через	*точку*	А .
Проведем произвольную прямую , отметим на ней	*точку*	А и отложим отрезок АВ .
Проведём произвольную прямую , отметим на ней	*точку*	А и отложим отрезок АВ , равный PQ .
Обозначим буквой М произвольную	*точку*	серединного перпендикуляра а к отрезку АВ и докажем , что .
На прямой а постройте	*точку*	, равноудалённую от точек Л и Б. Всегда ли эта задача имеет решение ? .
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в	*точку*	касания .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за	*точку*	С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Даны точки А , В и С. Постройте	*точку*	, равноудалённую от точек А и В и удалённую от точки С на расстояние , равное АВ .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий	*точку*	основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
Известно , что через	*точку*	пересечения любых двух из них проходится по крайней мере ещё одна из данных прямых .
д ) Сколько прямых нужно провести через данную	*точку*	, чтобы образовалось ровно шесть углов с вершинами в этой точке ? .
48 а ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника проходят через	*точку*	О.
Объясните следующее правило : бедуин прицеливается из ружья в	*точку*	пересечения берега реки и границы пастбища , и если и его шатёр будет справа , то он должен ехать налево , и наоборот .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте	*точку*	пересечения его медианы AM и биссектрисы BD .
На стороне ВС этого треугольника постройте	*точку*	, равноудалённую от прямых АВ и АС . з )
Постройте наименьшую хорду , проходящую через эту	*точку*	.
Рассмотрим произвольную прямую а и	*точку*	А , не лежащую на ней .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через	*точку*	О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Постройте на прямой а	*точку*	С так , чтобы эта прямая содержала биссектрису треугольника АВС .
Круг содержит	*точку*	О и все точки М. для которых ОМ .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через	*точку*	О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
12 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую	*третий*	признак равенства треугольников .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а	*третий*	прямой или тупой .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а	*третий*	прямой или тупой .
5 В плоскости расположено 5 зубчатых колес так , что первое колесо сцеплено своими зубьями со вторым , второе — с третьм ,	*третье*	— с четвёртым , четвёртое — с пятым , а пятое — с первым .
Один из этих шести углов в два раза больше другого и в три раза меньше	*третьего*	.
Докажем справедливость	*третьего*	неравенства Проведём высоту АН .
В	*третьей*	книге « Начал » обсуждаются свойства вписанных углов и касательных .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на	*третьей*	стороне .
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане , проведённой к	*третьей*	стороне .
б ) по двум сторонам и высоте , проведённой к	*третьей*	стороне ; .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к	*третьей*	стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
Жёсткость такой конструкции основана на	*третьем*	признаке равенства треугольников .
Можно ли проложить прямолинейную дорожку , соединяющую : а ) первую и вторую дорожки ; б ) первую и	*третью*	дорожки ; в ) все три дорожки ? .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и	*третья*	биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а	*третья*	сторона — основанием равнобедренного треугольника .
Докажите , что	*треугольник*	МРК — равносторонний . з ) .
Дан	*треугольник*	АВС .
Приложим	*треугольник*	АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Постройте	*треугольник*	DEF , в котором . д ) Дан треугольник АВС .
и ) Начертите неравнобедренный	*треугольник*	АВС и постройте точку пересечения его медианы AM и биссектрисы BD .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный	*треугольник*	по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный	*треугольник*	, гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
Постройте	*треугольник*	DEF , в котором . е ) От данного луча отложите угол , равный половине данного угла .
Требуется построить	*треугольник*	АВС , стороны которого соответственно равны этим трём отрезкам : .
Постройте треугольник DEF , в котором . д ) Дан	*треугольник*	АВС .
Мысленно наложим треугольник АВС на	*треугольник*	АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Отложите от луча ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан	*треугольник*	АВС .
Получится	*треугольник*	BCD , в котором .
продолжении стороны OQ , то получается	*треугольник*	ААхО с прямым углом Ах и тупым углом О , чего не может быть .
Условием здесь является первая часть утверждения : « если	*треугольник*	равнобедренный » , а заключением — вторая часть : « то углы при его основании равны » .
К треугольнику АВС приложили равный ему	*треугольник*	ABD . .
На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и С , так , чтобы	*треугольник*	А1В1С1 был равносторонним .
Рассмотрим прямоугольный	*треугольник*	АВС с катетом АС , равным половине гипотенузы ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
20 Прямоугольный	*треугольник*	с углом в 30 ° .
а ) Даны равносторонний	*треугольник*	АВС и точка В1 на стороне АС .
Построить	*треугольник*	по трём сторонам .
Приложим	*треугольник*	АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
то этот	*треугольник*	равнобедренный .
Из двух равных прямоугольных треугольников с углами в 30 ° составлен равносторонний	*треугольник*	.
Рассмотрим прямоугольный	*треугольник*	АВС с прямым углом А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот	*треугольник*	— равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Приложим к треугольнику АВС равный ему	*треугольник*	ABD так , как показано .
Получится	*треугольник*	BCD , в котором , а так как , то .
Таким образом ,	*треугольник*	LMN искомый .
Постройте остроугольный	*треугольник*	по двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них .
При решении этой задачи мы исходили из того , что искомый	*треугольник*	существует .
Рассмотрим теперь	*треугольник*	АВС , угол А которого тупой .
Постройте	*треугольник*	, в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку , а угол , заключённый между этими сторонами , равен данному углу .
Постройте	*треугольник*	, сторона которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней углы равны углам Л и Б этого треугольника .
Дан	*треугольник*	АВС с прямым углом А. На катете АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
и ) Начертите	*треугольник*	АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Дан неравнобедренный	*треугольник*	АВС .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить	*треугольник*	, стороны которого равны данным отрезкам , в том случае , когда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других ? .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте	*треугольник*	АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Требуется построить прямоугольный	*треугольник*	, гипотенуза которого равна ΜΝ , а один из катетов равен PQ .
Поэтому если какой - нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других , то нельзя построить	*треугольник*	, стороны которого равны данным отрезкам .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот	*треугольник*	равнобедренный .
Постройте равнобедренный	*треугольник*	по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию .
Например , если в задаче о построении треугольника по трём сторонам заранее неизвестно , что искомый	*треугольник*	существует , то данная задача не всегда имеет решение .
Постройте остроугольный	*треугольник*	по стороне и двум высотам , проведённым к другим сторонам .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый	*треугольник*	АВС , поскольку .
Докажите , что	*треугольник*	АВС — равнобедренный . з ) Докажите , что перпендикуляр , проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , разделяет прямоугольник на два прямоугольника .
Чтобы выделить в ней условие и заключение , сформулируем её так : « если	*треугольник*	равнобедренный , то углы при его основании равны » .
Построить прямоугольный	*треугольник*	по гипотенузе и катету .
Дан равнобедренный	*треугольник*	АВС с основанием АС и точка D на стороне АВ .
Такое название связано с тем , что раньше было принято изображать прямоугольный	*треугольник*	стоящим на гипотенузе .
Если один из углов треугольника прямой , то	*треугольник*	называют прямоугольным .
Если один из углов треугольника тупой , то	*треугольник*	называют тупоугольным .
Постройте равнобедренный	*треугольник*	по высоте , проведённой к основанию , и углу при основании .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что	*треугольник*	МРК равносторонний .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если биссектриса треугольника является его высотой , то этот	*треугольник*	равнобедренный .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить	*треугольник*	по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Для этого рассмотрим	*треугольник*	АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Если все углы треугольника острые , то	*треугольник*	называют остроугольным .
Постройте прямоугольный	*треугольник*	по катету и медиане , проведённой к другому катету .
Постройте остроугольный	*треугольник*	АВС по стороне АВ , высоте АН и углу А . р )
Остроугольный	*треугольник*	.
Тупоугольный	*треугольник*	.
Прямоугольный	*треугольник*	.
Постройте остроугольный	*треугольник*	по углу и двум высотам , одна из которых проведена из вершины этого угла .
Постройте равнобедренный	*треугольник*	, основание которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше основания .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить	*треугольник*	по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Мысленно наложим	*треугольник*	АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Можно сказать так : дан равнобедренный	*треугольник*	; требуется доказать , что углы при его основании равны .
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника , не смежного с ним , то	*треугольник*	равнобедренный .
Постройте	*треугольник*	по стороне , разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон .
Постройте	*треугольник*	по периметру и двум углам .
Постройте	*треугольник*	по двум сторонам и медиане , проведённой к третьей стороне .
Докажите , что	*треугольник*	DBC равнобедренный .
Рассмотрим	*треугольник*	АВС , угол А которого больше угла В , и докажем , что ВС АС .
Докажите , что	*треугольник*	CDE равнобедренный .
Докажите , что	*треугольник*	АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Из равенства следует , что	*треугольник*	BAD равнобедренный .
Рассмотрим	*треугольник*	АВС , в котором ВС > АС , и докажем , что .
Иногда вместо слов «	*треугольник*	АВС » используют запись ААВС .
Постройте остроугольный	*треугольник*	АВС по разности углов А и В , высоте CD и стороне ВС .
Дан	*треугольник*	АВС , в котором ZB 70 ° , ZC 50 .
Равнобедренный	*треугольник*	.
Докажите , что этот	*треугольник*	— тупоугольный . з ) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
Докажите , что	*треугольник*	АВС равнобедренный .
Рассмотрим произвольный	*треугольник*	АВС и докажем , что 180 ° .
Рассмотрим равнобедренный	*треугольник*	АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Докажите , что этот	*треугольник*	— прямоугольный .
Мысленно скопируем	*треугольник*	АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на	*треугольник*	АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
20 Какой	*треугольник*	называется остроугольным ?
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что	*треугольник*	АВС — равнобедренный и прямоугольный .
2 Какой	*треугольник*	называется равнобедренным ?
126 Постройте	*треугольник*	: .
4 Докажите теорему ( признак равнобедренного треугольника ): если два угла треугольника равны , то этот	*треугольник*	равнобедренный .
Постройте равнобедренный	*треугольник*	: .
Сколько медиан имеет	*треугольник*	? .
Сколько биссектрис имеет	*треугольник*	? .
Любой	*треугольник*	имеет три медианы три биссектрисы и три высоты .
Постройте прямоугольный	*треугольник*	: .
Постройте остроугольный	*треугольник*	АВС по сумме углов А и В , высоте BD и стороне АС .
Рассмотрим	*треугольник*	АВС и докажем , что .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте	*треугольник*	АВС по отрезкам АВ , ВМ и углам .
Сколько высот имеет	*треугольник*	? .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на	*треугольник*	АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте	*треугольник*	АВС по отрезкам ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
28 Объясните , как построить прямоугольный	*треугольник*	по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Рассмотрим равнобедренный	*треугольник*	АВС с основанием ВС и докажем , что .
29 Объясните , как построить прямоугольный	*треугольник*	по гипотенузе и катету .
Рассмотрим	*треугольник*	АВС , углы В и С которого равны , и докажем , что АВ = АС .
Если два угла треугольника равны , то этот	*треугольник*	равнобедренный .
Мысленно наложим	*треугольник*	АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
Докажите , что этот	*треугольник*	— остроугольный . з ) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , что .
Докажите , что	*треугольник*	АВС прямоугольный .
Мысленно скопируем	*треугольник*	АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
д ) Докажите , что если в треугольнике биссектриса является медианой , то этот	*треугольник*	— равнобедренный .
23 Объясните , как построить	*треугольник*	по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Мысленно наложим треугольник АВС на	*треугольник*	AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
22 Объясните , как построить	*треугольник*	по двум сторонам и углу между ними .
Докажите , что этот	*треугольник*	прямоугольный , а указанная точка — середина гипотенузы .
20 Объясните , как построить	*треугольник*	по трём сторонам .
Таким образом , равенство у треугольника двух углов позволяет сделать вывод о том , что этот	*треугольник*	равнобедренный , т .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на	*треугольник*	АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Из точек состоит любая геометрическая фигура : отрезок ,	*треугольник*	, окружность , прямоугольник и т .
Мысленно скопируем	*треугольник*	АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН — биссектриса и высота	*треугольника*	.
Вне равностороннего	*треугольника*	АВС отмечена точка Е , а внутри него — точка М. Докажите , что .
Каждый угол	*треугольника*	меньше суммы двух других его углов .
Перпендикуляр АН является катетом , а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного	*треугольника*	АНМ .
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех вершин	*треугольника*	.
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А	*треугольника*	, а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Отрезок AD — биссектриса	*треугольника*	АВС с неравными сторонами АВ и АС .
Сторона и два угла одного треугольника равны какой - то стороне и каким - то двум углам другого	*треугольника*	.
Выбранные точки называются вершинами	*треугольника*	, а соединяющие их отрезки — его сторонами .
Докажем сначала , что катет прямоугольного	*треугольника*	, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Сторона и два угла одного	*треугольника*	равны какой - то стороне и каким - то двум углам другого треугольника .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием равнобедренного	*треугольника*	.
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
11 Теорема об углах равнобедренного	*треугольника*	.
Определите вид этого	*треугольника*	.
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет угол , одного	*треугольника*	соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Две стороны и угол одного	*треугольника*	равны каким - то двум сторонам и какому - то углу другого треугольника .
Биссектрисы равнобедренного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Для каждой стороны	*треугольника*	можно указать противоположную вершину , а для каждой вершины — противоположную сторону .
Докажем теперь , что если катет прямоугольного	*треугольника*	равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Какие ещё предметы имеют форму	*треугольника*	.
Докажем теорему об углах равнобедренного	*треугольника*	.
Углы CAB , АВС и ВСА называются углами	*треугольника*	АВС .
Углы при основании равнобедренного	*треугольника*	равны .
Если вершины	*треугольника*	обозначены какими - нибудь буквами , например А , В и С , то его называют треугольником АВС ( или ВАС , или САВ и т . д. ) .
Сумма длин всех сторон	*треугольника*	называется его периметром .
Две стороны и угол одного треугольника равны каким - то двум сторонам и какому - то углу другого	*треугольника*	.
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного	*треугольника*	соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Докажите , что отрезок с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из сторон	*треугольника*	.
Вершины А и В	*треугольника*	АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Постройте на прямой а точку С так , чтобы эта прямая содержала биссектрису	*треугольника*	АВС .
; 2 ) углы при основании равнобедренного	*треугольника*	равны ;
4 ) если сторона и прилежащие к ней углы одного	*треугольника*	равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны ;
4 ) если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны ;
Начинается она с построения равностороннего	*треугольника*	, затем следуют построение биссектрисы угла и построение перпендикуляра к прямой .
Построение прямоугольного	*треугольника*	по гипотенузе и катету .
Биссектриса	*треугольника*	. — угла .
Боковые стороны равнобедренного	*треугольника*	.
—	*треугольника*	.
Внешний угол	*треугольника*	.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Высота	*треугольника*	.
Катет прямоугольного	*треугольника*	.
Медиана	*треугольника*	.
Неравенство	*треугольника*	.
— равнобедренного	*треугольника*	.
Периметр	*треугольника*	.
— прямоугольного	*треугольника*	по гипотенузе и катету .
—	*треугольника*	по трём сторонам .
Стороны	*треугольника*	. — угла . — четырёхугольника .
Рассмотрим , например , теорему об углах равнобедренного	*треугольника*	.
высоте равнобедренного	*треугольника*	.
к отрезку . сумме углов	*треугольника*	. — об углах равнобедренного треугольника .
к отрезку . сумме углов треугольника . — об углах равнобедренного	*треугольника*	.
Гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	.
Докажите , что отрезок с концами на разных сторонах	*треугольника*	не превосходит наибольшей из сторон треугольника .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Точка М расположена внутри	*треугольника*	АВС так , что AM АВ .
Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной А	*треугольника*	АВС .
Докажите , что периметр	*треугольника*	BCD больше периметра треугольника АВС .
Докажите , что периметр треугольника BCD больше периметра	*треугольника*	АВС .
Внутри	*треугольника*	АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного	*треугольника*	АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне	*треугольника*	отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ	*треугольника*	.
Докажите , что угол	*треугольника*	является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Докажите , что если угол	*треугольника*	является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Высота и медиана	*треугольника*	, проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных угла .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол	*треугольника*	на три равных угла .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	LMN , a ML — катет , равный PQ .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Внутри равнобедренного	*треугольника*	АВС с основанием ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCB 10 ° .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного	*треугольника*	равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Внутри равнобедренного	*треугольника*	АВС с основанием ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCA 10 ° .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного	*треугольника*	АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Внутри угла АВС равностороннего	*треугольника*	АВС взята точка М так , что ZAMB- 30 ° и ZMBC 23 ° .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что основания высот остроугольного	*треугольника*	являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
Докажите , что основания высот остроугольного треугольника являются вершинами	*треугольника*	, в котором эти высоты являются биссектрисами .
Вершины Р и Е равностороннего	*треугольника*	АРЕ лежат на сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD , точки К и М — середины сторон АЕ и АР .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Можно ли внутри	*треугольника*	АВС с тупым углом А отметить точки Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC ? .
Поэтому точка А копии совместится с вершиной А	*треугольника*	.
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС	*треугольника*	.
Вершины остроугольного	*треугольника*	АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
Периметр	*треугольника*	ABD равен 33 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого	*треугольника*	.
Вершины	*треугольника*	АВС лежат на окружности .
Выразите углы	*треугольника*	АВС через углы треугольника А1В1С1 .
Выразите углы треугольника АВС через углы	*треугольника*	А1В1С1 .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр	*треугольника*	АВС , если AB + AD = 28 см .
Отрезки ААХ и ВВ1 — высоты остроугольного	*треугольника*	АВС .
Высоты АА1 и BBj остроугольного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Докажите , что . 119 .
в ) На стороне АС	*треугольника*	АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
Найдите периметр	*треугольника*	ВСМ .
в ) Периметр	*треугольника*	АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см Найдите периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр	*треугольника*	АВМ равен 16 мм .
Из точки М катета АС прямоугольного	*треугольника*	АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
28 а ) Периметр	*треугольника*	ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
в ) На стороне АС	*треугольника*	АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
Точки А , В , С и D лежат на одной окружности , луч BD содержит биссектрису ВМ	*треугольника*	АВС .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Если один из углов	*треугольника*	прямой , то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других углов этого	*треугольника*	равна 90 ° .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС	*треугольника*	АВС .
На сторонах этого	*треугольника*	постройте точки , равноудалённые от вершин А и Б . л )
В самом деле , пусть угол С	*треугольника*	АВС прямой .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр	*треугольника*	ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС	*треугольника*	АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра	*треугольника*	BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
в ) Периметр треугольника АВС отличается от периметра	*треугольника*	BCD на 6 см Найдите периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного	*треугольника*	АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного	*треугольника*	соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла	*треугольника*	лежит на этой окружности .
Если три стороны одного	*треугольника*	соответственно равны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Если он пересекает отрезок А1В1 , то получим два равнобедренных	*треугольника*	: AJCJC и BJCJC .
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Если две стороны и угол между ними одного	*треугольника*	соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
стороны и углы ) одного треугольника соответственно равны элементам другого	*треугольника*	.
стороны и углы ) одного	*треугольника*	соответственно равны элементам другого треугольника .
Докажите , что если , то .. б ) Докажите , что если медиана	*треугольника*	является его высотой .
в ) Периметр треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см Найдите периметр	*треугольника*	ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
Таким образом , если два	*треугольника*	равны , то элементы ( т . е .
вершины , стороны и углы одного	*треугольника*	совместятся с вершинами , сторонами и углами другого .
Напомним , что две фигуры , в частности два	*треугольника*	, называются равными , если их можно совместить наложением .
Докажите , что отрезок ME — биссектриса угла АМС . г ) Медиана СМ	*треугольника*	АВС в два раза меньше его стороны АВ .
в ) Точка М — середина основания ВС равнобедренного	*треугольника*	АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего	*треугольника*	АВС продолжены за точки А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного	*треугольника*	АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину	*треугольника*	.
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если биссектриса	*треугольника*	является его высотой , то этот треугольник равнобедренный .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного	*треугольника*	и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного	*треугольника*	АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М основания ВС равнобедренного	*треугольника*	АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM .
Докажите , что . ж ) На сторонах АВ , ВС и СА равностороннего	*треугольника*	АВС взяты такие точки М , Р v К , что .
Так как угол А копии равен углу А	*треугольника*	, то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два	*треугольника*	, равных треугольнику АВС .
27 а ) Периметр	*треугольника*	АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
Перпендикуляр , проведённый из вершины	*треугольника*	к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
Если один из углов	*треугольника*	тупой , то треугольник называют тупоугольным .
Отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой	*треугольника*	.
Отрезок , соединяющий вершину	*треугольника*	с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
На стороне АС	*треугольника*	АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам АВ , ВМ и углам .
Если один из углов	*треугольника*	прямой , то треугольник называют прямоугольным .
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой	*треугольника*	.
Биссектриса угла А	*треугольника*	АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
На стороне АС	*треугольника*	АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
13 Теорема о высоте равнобедренного	*треугольника*	.
Сторону прямоугольного	*треугольника*	, лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
Перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой	*треугольника*	.
равенство двух углов является признаком равнобедренного	*треугольника*	.
Докажем , что гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	больше катета .
При этом отрезок АВ копии совместится со стороной АС	*треугольника*	АВС .
Поскольку углы В и С равны , то угол В копии совместится с углом С треугольника , а угол С копии — с углом В	*треугольника*	.
Поскольку углы В и С равны , то угол В копии совместится с углом С	*треугольника*	, а угол С копии — с углом В треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В	*треугольника*	.
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С	*треугольника*	, а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
Воспользуемся идеей доказательства теоремы об углах равнобедренного	*треугольника*	.
На стороне ВС этого	*треугольника*	постройте точку , равноудалённую от прямых АВ и АС . з )
Если два угла	*треугольника*	равны , то этот треугольник равнобедренный .
12 Признак равнобедренного	*треугольника*	.
При этом угол В копии совместится с углом С	*треугольника*	АВС , а значит , эти углы равны .
Таким образом , равенство у	*треугольника*	двух углов позволяет сделать вывод о том , что этот треугольник равнобедренный , т .
Смежные стороны прямоугольника равны соответственно сторонам СВ и СА	*треугольника*	АВС .
Если все углы	*треугольника*	острые , то треугольник называют остроугольным .
Отсюда , в частности , следует , что углы при основании равнобедренного	*треугольника*	острые .
Три высоты	*треугольника*	или их продолжения пересекаются в одной точке .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два	*треугольника*	, у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты	*треугольника*	или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы	*треугольника*	пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней углы равны углам Л и Б этого	*треугольника*	.
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной стороне АВ данного	*треугольника*	АВС , а прилежащие к ней углы равны углам Л и Б этого треугольника .
Мы видим , что три медианы	*треугольника*	пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Три медианы	*треугольника*	пересекаются в одной точке .
Три биссектрисы	*треугольника*	пересекаются в одной точке .
Биссектриса равнобедренного	*треугольника*	, проведённая к основанию , является высотой и медианой .
Медиана равнобедренного	*треугольника*	, проведённая к основанию , является высотой и биссектрисой .
АН — высота	*треугольника*	АВС .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота равнобедренного	*треугольника*	, проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD	*треугольника*	, и , значит .
При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD	*треугольника*	, и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то отрезок AD копии совместится с высотой AD	*треугольника*	АВС .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС	*треугольника*	.
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом	*треугольника*	ABD с прямым углом BAD .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А	*треугольника*	, а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Итак , если один из углов	*треугольника*	тупой , то два других угла острые .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой	*треугольника*	АВС .
Докажем теорему о высоте равнобедренного	*треугольника*	.
AN — биссектриса	*треугольника*	АВС .
AM — медиана	*треугольника*	АВС .
Из этого следует , что отрезок AD является медианой и биссектрисой	*треугольника*	АВС .
Высота равнобедренного	*треугольника*	, проведённая к основанию , является медианой и биссектрисой .
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов	*треугольника*	прямой , то сумма двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них острый .
Элементы	*треугольника*	.
26 Теоремы о соотношениях между сторонами и углами	*треугольника*	.
Каждое из них называется неравенством	*треугольника*	.
Отрезок АН — высота	*треугольника*	АВС , в котором 27 ° .
19 Докажите , что углы при основании равнобедренного	*треугольника*	— острые .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг	*треугольника*	АВС с тупым углом А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного	*треугольника*	, проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
74 Отрезки АН и AD — высота и биссектриса	*треугольника*	АВС .
Каждая сторона	*треугольника*	меньше суммы двух других сторон .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне	*треугольника*	, а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два	*треугольника*	, углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного	*треугольника*	лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Как называются стороны прямоугольного	*треугольника*	? .
25 Неравенство	*треугольника*	.
Соотношения между сторонами и углами	*треугольника*	.
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного	*треугольника*	равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон	*треугольника*	, является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного	*треугольника*	. е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С	*треугольника*	АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
21 Докажите , что гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	больше катета .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ	*треугольника*	АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам	*треугольника*	пересекаются в точке , лежащей на третьей стороне .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного	*треугольника*	соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Отрезок BD — высота	*треугольника*	АВС с прямым углом В. Известно , что АВ = 2BD .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного	*треугольника*	, проведённая из вершины прямого угла , равна половине гипотенузы .
4 Докажите теорему ( признак равнобедренного треугольника ): если два угла	*треугольника*	равны , то этот треугольник равнобедренный .
Внешним углом треугольника называется угол , смежный с каким - нибудь из углов этого	*треугольника*	.
5 Какой отрезок называется медианой	*треугольника*	?
6 Какой отрезок называется биссектрисой	*треугольника*	?
85 Точка М лежит во внутренней области	*треугольника*	АВС .
7 Какой отрезок называется высотой	*треугольника*	?
Внешним углом	*треугольника*	называется угол , смежный с каким - нибудь из углов этого треугольника .
8 Сформулируйте и докажите теорему о высоте равнобедренного	*треугольника*	.
Сформулируйте следствия из теоремы о высоте равнобедренного	*треугольника*	.
84 Точка М лежит во внутренней области	*треугольника*	АВС .
68 На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного	*треугольника*	АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина основания ВС. Докажите , что BQ СР .
Сумма углов	*треугольника*	равна 180 ° .
27 Сумма углов	*треугольника*	.
Отрезок AD — высота	*треугольника*	АВС .
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
16 Докажите , что если один из углов	*треугольника*	прямой , то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Диаметр окружности — гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	.
Середина гипотенузы прямоугольного	*треугольника*	равноудалена от всех его вершин .
В самом деле , пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного	*треугольника*	АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
Но в силу неравенства	*треугольника*	.
16 Докажите , что если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других углов этого	*треугольника*	равна 90 ° .
78 Докажите , что середина основания равнобедренного	*треугольника*	равноудалена от боковых сторон .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного	*треугольника*	АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
67 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного	*треугольника*	.
67 Докажите , что середины сторон равнобедренного	*треугольника*	являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
48 а ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам	*треугольника*	проходят через точку О.
Докажите , что внешний угол треугольника равен сумме двух углов	*треугольника*	, не смежных с этим внешним углом .
Докажите , что внешний угол	*треугольника*	равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Найдите углы	*треугольника*	ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина стороны AD .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего	*треугольника*	к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого	*треугольника*	.
Высота АН прямоугольного	*треугольника*	АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
37 Докажите , что середина гипотенузы прямоугольного	*треугольника*	равноудалена от всех его вершин .
Например , если в задаче о построении	*треугольника*	по трём сторонам заранее неизвестно , что искомый треугольник существует , то данная задача не всегда имеет решение .
Найдите АВ . б ) Биссектриса CD прямоугольного	*треугольника*	АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота равнобедренного	*треугольника*	АВС с основанием АС .
в ) Отрезок CD — высота	*треугольника*	АВС с прямым углом С. Известно , что .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего	*треугольника*	АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного	*треугольника*	равен 30 ° .
38 Докажите теорему : каждая сторона	*треугольника*	меньше суммы двух других сторон .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного	*треугольника*	соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
42 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов	*треугольника*	.
Объясните , что такое неравенство	*треугольника*	.
45 а ) Докажите , что если две высоты	*треугольника*	равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Высота АН прямоугольного	*треугольника*	АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
35 Построение	*треугольника*	по трём сторонам .
Докажите , что ЗАС = 4AD . г ) Угол В равнобедренного	*треугольника*	АВС равен 120 ° .
43 Какой угол называется внешним углом	*треугольника*	?
Из теоремы о сумме углов	*треугольника*	следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС	*треугольника*	АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного	*треугольника*	соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что АВ = ВС . ж ) Основания высот ААХ и ВВ1	*треугольника*	АВС лежат на его сторонах .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла	*треугольника*	лежит на этой окружности .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС	*треугольника*	АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
23 Докажите , что катет прямоугольного	*треугольника*	, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
в ) Две биссектрисы	*треугольника*	проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС	*треугольника*	АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
24 Докажите , что если катет прямоугольного	*треугольника*	равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр	*треугольника*	АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ	*треугольника*	АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Точки М v N — середины сторон АВ и АС	*треугольника*	АВС .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного	*треугольника*	соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного	*треугольника*	АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM	*треугольника*	не является высотой .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого	*треугольника*	.
Найдите угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого	*треугольника*	.
Найдите угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного	*треугольника*	соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
Высоты ААХ и ВБ ,	*треугольника*	АВС равны .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного	*треугольника*	, то такие треугольники равны .
Отметим , что задача о построении	*треугольника*	по трём сторонам является одной из важнейших задач на построение .
62 На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного	*треугольника*	АВС отмечены точки D и Е так , что AD СЕ .
87 Отрезок AM — медиана	*треугольника*	АВС , причём .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины	*треугольника*	и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний угол	*треугольника*	равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
96 Отрезок ААг — биссектриса	*треугольника*	АВС .
Отрезок AD — биссектриса	*треугольника*	АВС , в котором .
95 Биссектрисы углов А и Б	*треугольника*	АВС пересекаются в точке М , причём .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину	*треугольника*	с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
в ) На стороне АВ	*треугольника*	АВС отмечена точка D. Известно , что 40 ° и .
Отрезок BD — высота	*треугольника*	.
Углы	*треугольника*	АВС связаны соотношениями .
Найдите углы	*треугольника*	АВС .
52 а ) Стороны	*треугольника*	АВС связаны соотношением .
Отрезок AM — медиана	*треугольника*	АВС , в котором .
93 На гипотенузе АС прямоугольного	*треугольника*	АВС отмечена такая точка Р , что АР АВ .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного	*треугольника*	с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
Биссектрисы АА1 и ВВ1	*треугольника*	АВС пересекаются в точке О , причём 135 ° .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С	*треугольника*	АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Сравните стороны этого	*треугольника*	.
Углы	*треугольника*	АВС связаны неравенствами .
Сравните углы этого	*треугольника*	и выясните , может ли угол А быть тупым .
51 а ) Стороны	*треугольника*	АВС связаны неравенствами .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма медиан	*треугольника*	меньше его периметра .
4 Докажите теорему ( признак равнобедренного	*треугольника*	): если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин	*треугольника*	, лежит во внешней области одного из его углов .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного	*треугольника*	АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Найдите углы равнобедренного	*треугольника*	, если один из его внешних углов равен 100 ° .
Обратной теореме об углах равнобедренного	*треугольника*	является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
д ) Докажите , что если один из внешних углов	*треугольника*	в два раза больше угла треугольника , не смежного с ним , то треугольник равнобедренный .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного	*треугольника*	: если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла	*треугольника*	, не смежного с ним , то треугольник равнобедренный .
На стороне АВ	*треугольника*	АВС , в котором АВ = 30 ° , отмечена точка D , причем 120 ° .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла	*треугольника*	равны , то этот треугольник равнобедренный .
в ) Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного	*треугольника*	АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
Медиана МО равнобедренного	*треугольника*	AM В является высотой .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного	*треугольника*	OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М — вершины равнобедренного	*треугольника*	, так как АМ - ВМ по условию .
Отрезок МО — медиана этого	*треугольника*	, а следовательно , и высота , поэтому М01АВ .
Найдите углы этого	*треугольника*	.
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин	*треугольника*	, лежит в его внутренней области .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD — биссектриса	*треугольника*	АВС с прямым углом С. Докажите , что .
54 а ) Один из углов равнобедренного	*треугольника*	в два раза больше другого .
В нашем учебнике уже были определения , например определение угла ,	*треугольника*	и т .
53 а ) Найдите углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол	*треугольника*	больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
40 Построение прямоугольного	*треугольника*	по гипотенузе и катету .
53 а ) Найдите углы	*треугольника*	АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр	*треугольника*	CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра	*треугольника*	АВС . е ) Докажите , что сумма медиан треугольника меньше его периметра .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного	*треугольника*	АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Что такое стороны , вершины , углы и периметр	*треугольника*	? .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD — медиана	*треугольника*	АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
88 Отрезок AM — медиана	*треугольника*	АВС , причём .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1	*треугольника*	АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
90 Во внутренней области равностороннего	*треугольника*	АВС отмечена точка D. Докажите , что .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ	*треугольника*	АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
Докажите , что сумма медиан АА1 и ВВ1	*треугольника*	АВС больше полусуммы сторон АС и ВС .
49 а ) На стороне АВ	*треугольника*	АВС , в котором , отмечена точка М. Может ли отрезок AM быть равным 20 см ? .
Как называются стороны равнобедренного	*треугольника*	? .
На стороне АВ	*треугольника*	АВС , в котором АС = 20 см , отмечена такая точка М , что СМ = 16 см. Может ли сторона АВ быть равной 4 см ? .
Угол 4 — внешний угол , смежный с углом 3 данного	*треугольника*	.
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин	*треугольника*	.
3 Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного	*треугольника*	.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов	*треугольника*	, не смежных с этим внешним углом .
Докажите , что периметр	*треугольника*	АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма медиан треугольника меньше его периметра .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „	*треугольника*	АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что AD BE CF . 92 На гипотенузе АВ прямоугольного	*треугольника*	АВС отмечены такие точки В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
Докажите , что каждая сторона	*треугольника*	меньше половины его периметра .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны	*треугольника*	перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон	*треугольника*	.
а ) Отрезок АВ — гипотенуза прямоугольного	*треугольника*	АВС .
б ) Найдите сторону равнобедренного	*треугольника*	, если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
Докажите , что в прямоугольном	*треугольнике*	с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Оказывается , что так будет в любом	*треугольнике*	, но доказать это мы сможем только в 8 классе .
Действительно , в	*треугольнике*	каждая сторона меньше суммы двух других сторон .
В	*треугольнике*	АВС угол С прямой , a ZB 35 ° .
Пусть , например , в	*треугольнике*	АВС острыми являются углы Б и С. Проведём высоту ААУ .
В любом	*треугольнике*	хотя бы два угла острые .
в ) В прямоугольном	*треугольнике*	АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 5 см ? .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в	*треугольнике*	АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
д ) Докажите , что если в	*треугольнике*	биссектриса является медианой , то этот треугольник — равнобедренный .
В равнобедренном	*треугольнике*	одна сторона равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является основанием ? .
В равнобедренном	*треугольнике*	АОВ угол ОАВ равен .
В	*треугольнике*	против большего угла лежит бóльшая сторона .
66 Докажите , что в равнобедренном	*треугольнике*	равны : медианы , проведённые к боковым сторонам ; биссектрисы , проведённые к боковым сторонам .
40 Докажите теорему : в	*треугольнике*	против большей стороны лежит больший угол .
39 Докажите теорему : в	*треугольнике*	против большего угла лежит бóльшая сторона .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном	*треугольнике*	АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
В прямоугольном	*треугольнике*	угол между катетами прямой , а любые два прямых угла равны .
б ) В	*треугольнике*	АВС точка М — середина стороны АВ и .
18 Докажите , что в любом	*треугольнике*	либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном	*треугольнике*	расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
В	*треугольнике*	АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН — биссектриса и высота треугольника .
в ) В	*треугольнике*	АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 3 см ? .
76 Докажите , что в равнобедренном	*треугольнике*	две высоты , проведённые из вершин основания , равны .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом	*треугольнике*	либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
В	*треугольнике*	против большей стороны лежит больший угол .
Случайно это или так будет в любом	*треугольнике*	?
В	*треугольнике*	АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
Докажите , что	*треугольники*	ВКС и CMD — равносторонние .
Итак ,	*треугольники*	полностью совместятся , поэтому они равны .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Рассмотрим	*треугольники*	АВС и АХВХСХ , у которых , и докажем , что эти треугольники равны .
Рассмотрим треугольники АВС и АХВХСХ , у которых , и докажем , что эти	*треугольники*	равны .
Прямоугольные	*треугольники*	ОНА и ОНВ равны по двум катетам .
Прямоугольные	*треугольники*	.
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Докажем , что эти	*треугольники*	равны .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Рассмотрим прямоугольные	*треугольники*	АВС и АХВХСХ , у которых углы А и Ах прямые , и .
Если же — различные точки , то прямоугольные	*треугольники*	О AM и ОВМ равны по двум катетам , поэтому .
В самом деле ,	*треугольники*	ABD и ACD равны по трём сторонам .
Прямоугольные	*треугольники*	АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому углу по условию , поэтому .
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Следовательно , прямоугольные	*треугольники*	АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и острому углу .
Докажите , что если , где AM и АХМХ — медианы треугольников АВС и АХВХСХ , то эти	*треугольники*	равны .
Рассмотрим	*треугольники*	АВС и А1Б , С1 , у которых , и докажем , что эти треугольники равны .
Рассмотрим треугольники АВС и А1Б , С1 , у которых , и докажем , что эти	*треугольники*	равны .
Итак , поэтому	*треугольники*	АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников .
В самом деле , в таких треугольниках два других острых угла также равны , поэтому указанные	*треугольники*	равны по второму признаку равенства треугольников .
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники , отрезки ,	*треугольники*	, окружности , четырёхугольники и т .
Итак ,	*треугольники*	полностью совместятся , и , следовательно , они равны .
Могут ли такие	*треугольники*	быть неравными ? .
14 Равные	*треугольники*	.
Рассмотрим	*треугольники*	АВС и ΑχΒχΟχ , у которых , и докажем , что эти треугольники равны .
Прямоугольные	*треугольники*	равны по катету и прилежащему острому углу .
Эти	*треугольники*	имеют общую гипотенузу О А и равные катеты ОВ и ОС , поэтому они равны .
Рассмотрим равные	*треугольники*	АБС и А1Б1С1 .
Рассмотрим треугольники АВС и ΑχΒχΟχ , у которых , и докажем , что эти	*треугольники*	равны .
Прямоугольные	*треугольники*	равны по гипотенузе и острому углу .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
	*Треугольники*	АВО и АСО прямоугольные .
Прямоугольные	*треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Прямоугольные	*треугольники*	равны по катету и противолежащему углу .
Докажите , что	*треугольники*	BDC и В-1БЛСЛ равны , и сравните углы BDC и B1D1C1 .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Могут ли эти	*треугольники*	быть неравными ? .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
4 ) если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны ;
Прямоугольные	*треугольники*	равны по двум катетам .
От него отрезали два износившихся противоположных уголка — прямоугольные	*треугольники*	с катетами 1 м .
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
В самом деле ,	*треугольники*	АВС и OPQ равны по трём сторонам , поэтому .
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ стороны АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На сторонах АС и A , Ct отмечены точки D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что	*треугольники*	BDC и B1D1C1 равны , и сравните отрезки BD и BXDV .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие	*треугольники*	равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Прямоугольные	*треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
Докажите , что высоты ВН и BE	*треугольников*	АВС и BCD взаимно перпендикулярны .
12 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую третий признак равенства	*треугольников*	.
Периметр треугольника ABD равен 33 см. Найдите разность периметров	*треугольников*	АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
Так как катеты прямоугольных	*треугольников*	АВН и АСН меньше их гипотенуз , в частности , и так как и С А ВС , то .
Докажите , что если , где AM и АХМХ — медианы	*треугольников*	АВС и АХВХСХ , то эти треугольники равны .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из	*треугольников*	АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры	*треугольников*	ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
Доказательства равенства	*треугольников*	АВС и АХВХСХ в этих случаях приведены .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М основания ВС равнобедренного треугольника АВС проведены биссектрисы МР и MQ	*треугольников*	АВМ и ACM .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из	*треугольников*	ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Итак , поэтому треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства	*треугольников*	.
25 Сформулируйте четыре признака равенства прямоугольных	*треугольников*	, вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров	*треугольников*	АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
11 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую второй признак равенства	*треугольников*	.
Доказанная теорема выражает признак ( равенство у	*треугольников*	двух сторон и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников .
Гипотенузы ВС и ВХСХ прямоугольных	*треугольников*	АВС и АХВХСХ равны , АВ АХВХ .
15 Первый признак равенства	*треугольников*	.
Доказанная теорема выражает признак ( равенство у треугольников двух сторон и угла между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве	*треугольников*	.
Он называется первым признаком равенства	*треугольников*	.
16 Второй признак равенства	*треугольников*	.
В этом параграфе мы докажем три теоремы о равенстве	*треугольников*	.
в котором АВ = 6 см. Периметры	*треугольников*	АВМ и ВСМ отличаются на 10 см. Найдите сторону ВС .
Докажите , что медианы МР и MQ	*треугольников*	АМС и ВМС взаимно перпендикулярны .
Оказывается , что равенство двух	*треугольников*	можно установить путем сравнения некоторых их элементов , т .
Отметим , что при наложении равных	*треугольников*	друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих треугольников , но и соответствующие медианы , биссектрисы и высоты .
Так , например , против равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и CV Равенство	*треугольников*	АВС и А1В1С1 условимся обозначать так .
17 Третий признак равенства	*треугольников*	.
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры	*треугольников*	ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
Сформулируйте и докажите теорему , выражающую первый признак равенства	*треугольников*	.
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства прямоугольных	*треугольников*	по гипотенузе и катету .
25 Сформулируйте четыре признака равенства прямоугольных треугольников , вытекающие из первого и второго признаков равенства	*треугольников*	.
признаки равенства	*треугольников*	.
Отрезок АВ — общее основание равнобедренных	*треугольников*	АВС и ABD .
Отметим , что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих	*треугольников*	, но и соответствующие медианы , биссектрисы и высоты .
без фактического наложения	*треугольников*	друг на друга .
Жёсткость такой конструкции основана на третьем признаке равенства	*треугольников*	.
64 На сторонах ОК и OL	*треугольников*	ОКБ и OLC с прямыми углами при вершине О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Из двух равных прямоугольных	*треугольников*	с углами в 30 ° составлен равносторонний треугольник .
19 Виды	*треугольников*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных	*треугольников*	: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
70 На рисунке 124 AB CD , AD BC , BE и DF — высоты	*треугольников*	АВС и ADC .
Далее в первой книге доказываются признаки равенства	*треугольников*	.
В самом деле , в таких треугольниках два других острых угла также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства	*треугольников*	.
Третий признак равенства	*треугольников*	.
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства	*треугольников*	справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
21 Признаки равенства прямоугольных	*треугольников*	.
Первый признак равенства	*треугольников*	.
Каждый из этих	*треугольников*	равен треугольнику АВС ( по двум сторонам и заключённому между ними прямому углу ) .
Второй признак равенства	*треугольников*	.
63 Вершины В и D равнобедренных	*треугольников*	АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Рассмотрим ещё один признак равенства прямоугольных	*треугольников*	.
Соединив их тремя отрезками , получим геометрическую фигуру , называемую	*треугольником*	.
Наряду с	*треугольником*	АВС рассмотрим прямоугольник 1 , смежные стороны которого равны соответственно отрезкам СВ и СА .
Если вершины треугольника обозначены какими - нибудь буквами , например А , В и С , то его называют	*треугольником*	АВС ( или ВАС , или САВ и т . д. ) .
В результате копия полностью совместится с	*треугольником*	АВС .
1 Объясните , какая фигура называется	*треугольником*	.
Каждый из этих треугольников равен	*треугольнику*	АВС ( по двум сторонам и заключённому между ними прямому углу ) .
К	*треугольнику*	АВС приложили равный ему треугольник ABD . .
Приложим к	*треугольнику*	АВС равный ему треугольник ABD так , как показано .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , равных	*треугольнику*	АВС .
Приложим треугольник АВС к	*треугольнику*	АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Приложим треугольник АВС к	*треугольнику*	А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
Парус имеет	*треугольную*	форму .
Эта задача называется задачей о	*трисекции*	угла .
Если же хорда АВ не является диаметром , то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а	*тупой*	угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
—	*тупой*	.
Рассмотрим теперь треугольник АВС , угол А которого	*тупой*	.
Итак , если один из углов треугольника	*тупой*	, то два других угла острые .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и	*тупой*	угол DEF .
Если один из углов треугольника	*тупой*	, то треугольник называют тупоугольным .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий прямой или	*тупой*	.
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла острые , а третий прямой или	*тупой*	.
Если же хорда АВ не является диаметром , то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а	*тупой угол*	СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и	*тупой угол*	DEF .
73 Докажите , что основание одной из высот	*тупоугольного*	треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
73 Докажите , что основание одной из высот	*тупоугольного треугольника*	лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Докажите , что этот треугольник —	*тупоугольный*	. з ) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
—	*тупоугольный*	.
Если один из углов треугольника тупой , то треугольник называют	*тупоугольным*	.
	*Тупоугольным*	?
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или	*тупым*	, то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
и ) Начертите треугольник АВС с	*тупым*	углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Можно ли внутри треугольника АВС с	*тупым*	углом А отметить точки Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC ? .
Внутри треугольника АВС с	*тупым*	углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с прямым углом Ах и	*тупым*	углом О , чего не может быть .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с	*тупым*	углом А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
Угол , меньший прямого , называется острым , а угол , больший прямого , но меньший развернутого , —	*тупым*	.
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или	*тупым*	, если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Каким углом ( острым , прямым ,	*тупым*	или развёрнутым ) является искомый угол ? .
19 Какой угол называется острым , какой — прямым , а какой —	*тупым*	? .
Сравните углы этого треугольника и выясните , может ли угол А быть	*тупым*	.
Внутри треугольника АВС с	*тупым углом*	А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с прямым углом Ах и	*тупым углом*	О , чего не может быть .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с	*тупым углом*	А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
Можно ли внутри треугольника АВС с	*тупым углом*	А отметить точки Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC ? .
и ) Начертите треугольник АВС с	*тупым углом*	Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Постройте луч ОМ так , чтобы углы МО А и МОВ были равными	*тупыми*	углами .
Постройте луч ОМ так , чтобы углы МО А и МОВ были равными	*тупыми углами*	.
Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых	*угла*	, один из которых на 30 ° меньше половины другого .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне острого	*угла*	, равны , то их проекции на другую сторону также равны .
4 Докажите теорему ( признак равнобедренного треугольника ): если два	*угла*	треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Найдите остальные четыре	*угла*	.
Эта задача называется задачей о трисекции	*угла*	.
б ) Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых	*угла*	, один из которых в три раза больше половины другого .
А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных	*угла*	?
Найдите остальные три	*угла*	.
Если каждую половину разделить пополам , то угол А окажется разделённым на четыре равных	*угла*	.
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого	*угла*	, на другую сторону является отрезок .
39 Докажите теорему : в треугольнике против большего	*угла*	лежит бóльшая сторона .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого	*угла*	О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
На дуге АС , лежащей внутри	*угла*	ВАС , отмечена точка М так , что .
Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого	*угла*	.
Поэтому угол А не может быть равным углу Б и не может быть меньше	*угла*	В. Следовательно .
Точка D расположена на биссектрисе внешнего	*угла*	с вершиной А треугольника АВС .
Луч . — делит угол на два	*угла*	.
Если на одной из сторон острого	*угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ , делит этот угол на два	*угла*	: ZAOM и ZMOB .
Следовательно , луч СМ проходит внутри прямого	*угла*	АСВ , а точка М лежит на гипотенузе АВ .
точка А совпадает с вершиной	*угла*	) , то их проекции АВХ и CXDX равны .
Луч ОМ делит угол АОВ на два	*угла*	: ZAOM и ZMOB .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два	*угла*	.
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного луча отложите угол , равный половине данного	*угла*	.
Это и есть искомая биссектриса данного	*угла*	А .
Поэтому , т . е . луч AD — биссектриса данного	*угла*	А .
В любом треугольнике хотя бы два	*угла*	острые .
Построение биссектрисы	*угла*	.
122 * Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны , луч АВ — биссектриса	*угла*	DAE .
Фигуру , состоящую из неразвёрнутого	*угла*	и его внутренней области , также называют углом .
123 На сторонах	*угла*	с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри	*угла*	, то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого	*угла*	и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Отложите от луча ВА во внешнюю область	*угла*	АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого	*угла*	отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного	*угла*	.
Проведя биссектрису данного угла А , мы разделили его на два равных	*угла*	.
Любую из этих полуплоскостей можно выбрать в качестве внутренней области развёрнутого	*угла*	.
Проведя биссектрису данного	*угла*	А , мы разделили его на два равных угла .
во внутренней области этого угла ) , точка В лежит на стороне угла hk , а точка С — вне	*угла*	hk ( т . е .
Что называется вершиной	*угла*	и что — сторонами угла ? .
Говорят , что каждая сторона развёрнутого	*угла*	является продолжением другой стороны .
—	*угла*	, равного данному .
Каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон	*угла*	, лежит на его биссектрисе .
Каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого	*угла*	и равноудалённая от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Если сторонами	*угла*	являются лучи h и k , то угол обозначают так : Zhk .
То есть равноудалена от прямых , содержащих стороны	*угла*	.
Общее начало двух лучей называется вершиной угла , а сами лучи — сторонами	*угла*	.
Общее начало двух лучей называется вершиной	*угла*	, а сами лучи — сторонами угла .
Докажите , что луч ВР — биссектриса	*угла*	CBD .
Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы неразвёрнутого угла А , проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам	*угла*	и докажем , что .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина	*угла*	POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы неразвёрнутого	*угла*	А , проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам угла и докажем , что .
Стороны треугольника . —	*угла*	. — четырёхугольника .
Рассмотрим точку М , которая лежит внутри неразвёрнутого	*угла*	А и равноудалена от его сторон , т .
Сторона и два	*угла*	одного треугольника равны какой - то стороне и каким - то двум углам другого треугольника .
Теорема . — о биссектрисе	*угла*	.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого	*угла*	равноудалена от его сторон .
В нашем учебнике уже были определения , например определение	*угла*	, треугольника и т .
Докажем сначала теорему о биссектрисе	*угла*	, а затем обратную ей теорему .
23 Свойство биссектрисы	*угла*	.
е ) Во внутренней области	*угла*	АВС , равного 60 ° , отмечена точка D так , что 100 ° и 80 ° .
теореме о биссектрисе	*угла*	.
Если два	*угла*	треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
На сторонах	*угла*	POQ отмечены точки А , В , С и D так , что О А ОВ и АС BD .
Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два	*угла*	треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Трисекция	*угла*	.
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше	*угла*	треугольника , не смежного с ним , то треугольник равнобедренный .
Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы	*угла*	.
В самом деле , в таких треугольниках два других острых	*угла*	также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников .
И лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель ( 1814–1848 ) доказал , что с помощью циркуля и линейки разделить произвольный угол на три равных	*угла*	невозможно .
Неразвёрнутый угол разделяет плоскость на две части , одна из которых называется внутренней , а другая — внешней областью этого	*угла*	.
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого	*угла*	АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
во внешней области этого	*угла*	) .
Что называется вершиной угла и что — сторонами	*угла*	? .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого	*угла*	делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
7 Что означают слова : « луч делит угол на два	*угла*	» ? .
Докажем сначала , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против	*угла*	в 30 ° , равен половине гипотенузы .
9 Объясните , как сравнить два отрезка и как сравнить два	*угла*	.
Биссектриса ОР	*угла*	АОВ пересекает окружность в точке Q , при этом PQ OQ .
б ) по острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого	*угла*	.
11 Какой луч называется биссектрисой	*угла*	? .
Что показывает градусная мера	*угла*	? .
Из точки М биссектрисы неразвёрнутого	*угла*	О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла .
во внутренней области этого угла ) , точка В лежит на стороне	*угла*	hk , а точка С — вне угла hk ( т . е .
18 Луч ОС делит угол АОВ на два	*угла*	.
Биссектриса	*угла*	А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
по углу , высоте и биссектрисе , проведённым из вершины этого	*угла*	; .
Правда , для некоторых углов эта задача имеет решение , например для прямого	*угла*	( объясните , почему ) .
Отметим , что точки Ах и Вх лежат на стороне OQ	*угла*	POQ , а не на её продолжении .
Точка А лежит внутри неразвёрнутого	*угла*	hk ( т . е .
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область	*угла*	АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Рассмотрим острый угол POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого	*угла*	.
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого	*угла*	АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого	*угла*	.
На стороне АВ квадрата ABCD отмечена точка Р. Биссектриса	*угла*	DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой , а любые два прямых	*угла*	равны .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого	*угла*	и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
Поэтому , т . е . луч AM — биссектриса	*угла*	А. Теорема доказана .
Внутренняя область	*угла*	закрашена синим .
Докажем , что луч AM — биссектриса	*угла*	А .
во внутренней области этого	*угла*	) , точка В лежит на стороне угла hk , а точка С — вне угла hk ( т . е .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону	*угла*	в n раз больше проекции второго отрезка .
Рассмотрим треугольник АВС , угол А которого больше	*угла*	В , и докажем , что ВС АС .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против прямого	*угла*	, называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого	*угла*	, другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два	*угла*	так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам	*угла*	.
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого	*угла*	А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
36 Построение	*угла*	, равного данному .
Луч , исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого	*угла*	.
Если сторона и два прилежащих к ней	*угла*	одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего	*угла*	с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Луч , исходящий из вершины угла и делящий его на два равных	*угла*	, называется биссектрисой этого угла .
Луч , исходящий из вершины	*угла*	и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого	*угла*	треугольника лежит на этой окружности .
Неразвёрнутый угол СОВ составляет часть развёрнутого	*угла*	АОВ .
Доказанная теорема выражает признак ( равенство у треугольников двух сторон и	*угла*	между ними ) , по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два	*угла*	так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч I — биссектриса	*угла*	hk .
луч OQ — биссектриса	*угла*	ВОР .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого	*угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Любые два развёрнутых	*угла*	равны .
Пусть даны неразвёрнутый угол А ( для развёрнутого	*угла*	решение очевидно ) и луч ОМ .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого	*угла*	, на другую сторону является отрезок .
Два	*угла*	, у которых одна сторона — общая , а две другие являются продолжениями одна другой , называются смежными .
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого	*угла*	.
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого	*угла*	, поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла .
24 Объясните , как построить биссектрису данного неразвёрнутого	*угла*	.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами	*угла*	буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого	*угла*	.
Внутри	*угла*	АВС равностороннего треугольника АВС взята точка М так , что ZAMB- 30 ° и ZMBC 23 ° .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого	*угла*	и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
Найдите угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР — биссектриса	*угла*	АОВ .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого	*угла*	с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого	*угла*	дуги .
б ) Луч ОМ — биссектриса	*угла*	АОВ , равного 60 ° .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса	*угла*	АСВ , а луч OQ — биссектриса угла АОВ .
Ясно также , что если луч делит угол на два	*угла*	, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса угла АСВ , а луч OQ — биссектриса	*угла*	АОВ .
Ясно также , что если луч делит угол на два угла , то градусная мера всего	*угла*	равна сумме градусных мер этих углов .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните : градус — это — часть развёрнутого	*угла*	) , неразвёрнутый угол меньше 180 ° .
Если же один угол меньше другого , то градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего	*угла*	.
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого	*угла*	равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Если же один угол меньше другого , то градусная мера меньшего	*угла*	меньше градусной меры большего угла .
Если два	*угла*	равны , то градус и его части укладываются в них одинаковое число раз , т .
"Поскольку 42 ' = 0,7 ° и 27""= 0,0075 ° , то градусную меру этого"	*угла*	можно также записать в виде 35,7075 ° .
Например , градусную меру	*угла*	", в котором укладывается 35 градусов , 42 минуты и 27 секунд , можно записать так : 35 ° 42'27 "" ."
Градусная мера	*угла*	показывает , сколько раз градус и его части укладываются в данном угле .
Обычно за единицу измерения принимают градус — угол , равный — части развёрнутого	*угла*	.
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого	*угла*	равно длине одного из катетов .
Деление развёрнутого	*угла*	на 180 частей восходит к астрономам и математикам Вавилонии .
Говорят , что вписанный угол опирается на дугу , заключённую внутри этого	*угла*	.
величину центрального	*угла*	АОВ .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону	*угла*	в n раз больше проекции второго отрезка .
б ) Луч ОМ — биссектриса	*угла*	АОВ , равного 100е .
Является ли луч ОЕ биссектрисой	*угла*	ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Сравните отрезки АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны , луч ОЕ — биссектриса	*угла*	AOD .
Является ли луч ОЕ биссектрисой	*угла*	AOD ?
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса	*угла*	А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Сравните отрезки АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны , луч ОЕ — биссектриса	*угла*	ВОС .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два	*угла*	так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два	*угла*	так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
д ) Луч ОР — биссектриса	*угла*	АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса угла ВОР .
д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса	*угла*	ВОР .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого	*угла*	, одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного	*угла*	являются продолжениями сторон другого .
Пусть теперь даны два неразвёрнутых	*угла*	( углы АВС и DEF ) .
Два	*угла*	называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого	*угла*	треугольника лежит на этой окружности .
Докажите , что отрезок ME — биссектриса	*угла*	АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
32 Докажите теорему : каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудаленная от сторон	*угла*	, лежит на его биссектрисе .
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального	*угла*	АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри	*угла*	АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
Внешняя ( внутренняя ) область	*угла*	.
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого	*угла*	, соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Градусная мера дуги . —	*угла*	.
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса	*угла*	СВМ .
Итак , если один из углов треугольника тупой , то два других	*угла*	острые .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса	*угла*	А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три	*угла*	острые , либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два	*угла*	острые , а третий прямой или тупой .
Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам , одна из которых проведена из вершины этого	*угла*	.
Построение	*угла*	, равного данному .
Построение	*угла*	, равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого	*угла*	, соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
37 Построение биссектрисы	*угла*	.
В треугольнике против большего	*угла*	лежит бóльшая сторона .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого	*угла*	, равна половине гипотенузы .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два	*угла*	острые , а третий прямой или тупой .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого	*угла*	, равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три	*угла*	острые , либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого	*угла*	лежит на этой окружности .
Построить биссектрису данного неразвёрнутого	*угла*	.
Центральный угол АОВ на 27 ° больше вписанного	*угла*	, опирающегося на дугу АВ .
На биссектрисе	*угла*	ВАС отмечена точка О , а на продолжении луча АВ отмечена точка D Может ли выполняться равенство О ?
Можно ли внутри треугольника АВС с тупым углом А отметить точки Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше	*угла*	BQC ? .
17 Докажите , что если три	*угла*	четырёхугольника прямые , то этот четырёхугольник — прямоугольник .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного	*угла*	и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Вершина	*угла*	.
23 Докажите , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против	*угла*	в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса	*угла*	POQ .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области	*угла*	, и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Проведём из точки А во внутренней области	*угла*	ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Начинается она с построения равностороннего треугольника , затем следуют построение биссектрисы	*угла*	и построение перпендикуляра к прямой .
31 Докажите теорему : каждая точка биссектрисы неразвёрнутого	*угла*	равноудалена от его сторон .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области	*угла*	, отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Шоссе и ответвляющаяся от него дорога образуют два смежных	*угла*	.
д ) Через вершину неразвёрнутого	*угла*	провели прямую .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных	*угла*	.
Биссектриса треугольника . —	*угла*	.
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области	*угла*	.
Лучи ВА и ВС делят развёрнутый угол PBQ на три	*угла*	.
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они образуют четыре прямых	*угла*	.
Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область	*угла*	DOE ? .
Отложите от луча EF во внутреннюю область	*угла*	DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых	*угла*	( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами	*угла*	буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри	*угла*	АОВ , то её градусная мера считается равной .
Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область	*угла*	AOD ? .
32 Докажите теорему : каждая точка , лежащая внутри неразвёрнутого	*угла*	и равноудаленная от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней	*углам*	.
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней углы равны	*углам*	Л и Б этого треугольника .
23 Объясните , как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней	*углам*	.
Постройте треугольник по периметру и двум	*углам*	.
4 ) если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней	*углам*	другого треугольника , то такие треугольники равны ;
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и	*углам*	, на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны	*углам*	данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам ВС , AM и	*углам*	ABM , АМВ . 132 .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней	*углам*	другого треугольника , то такие треугольники равны .
Сторона и два угла одного треугольника равны какой - то стороне и каким - то двум	*углам*	другого треугольника .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по отрезкам АВ , ВМ и	*углам*	.
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с прямыми	*углами*	при вершине О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Из двух равных прямоугольных треугольников с	*углами*	в 30 ° составлен равносторонний треугольник .
Постройте луч ОМ так , чтобы углы МО А и МОВ были равными тупыми	*углами*	.
Углы CAB , АВС и ВСА называются	*углами*	треугольника АВС .
вершины , стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами , сторонами и	*углами*	другого .
Этот же угол 3 в сумме с	*углами*	1 и 2 также составляет 180 ° .
Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD с прямыми	*углами*	А и В. Докажите , что .
Соотношения между сторонами и	*углами*	треугольника .
26 Теоремы о соотношениях между сторонами и	*углами*	треугольника .
к отрезку . сумме углов треугольника . — об	*углах*	равнобедренного треугольника .
11 Теорема об	*углах*	равнобедренного треугольника .
3 Сформулируйте и докажите теорему об	*углах*	равнобедренного треугольника .
Обратной теореме об	*углах*	равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
Докажем теорему об	*углах*	равнобедренного треугольника .
Рассмотрим , например , теорему об	*углах*	равнобедренного треугольника .
Воспользуемся идеей доказательства теоремы об	*углах*	равнобедренного треугольника .
Градусная мера угла показывает , сколько раз градус и его части укладываются в данном	*угле*	.
15 Сформулируйте и докажите теорему об	*угле*	между касательной и хордой .
Докажем теорему об	*угле*	между касательной и хордой .
Сформулируйте и докажите теорему о вписанном	*угле*	.
вписанном	*угле*	.
Докажем теорему о вписанном	*угле*	.
	*Угле*	между касательной .
Найдите сумму	*углов*	1 , 2 , 3 , 4 и 5 . 161 .
При измерении	*углов*	"используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается знаком "" ) ."
17 Как связаны между собой градусные меры двух	*углов*	, если : а ) эти углы равны ; б ) один угол меньше другого ? .
42 Сформулируйте и докажите теорему о сумме	*углов*	треугольника .
Сумма	*углов*	треугольника равна 180 ° .
Измерение	*углов*	основано на сравнении их с углом , принятым за единицу измерения .
7 Измерение	*углов*	.
Как связаны между собой градусные меры	*углов*	АОВ , АОС и СОВ ? .
Постройте треугольник по стороне , разности	*углов*	при этой стороне и сумме двух других сторон .
Таким образом , каждый из	*углов*	между касательной ССХ и хордой АВ измеряется половиной заключённой внутри него дуги .
Для измерения	*углов*	, изображённых на чертеже , используют транспортир .
Измерение отрезков и	*углов*	.
Углы АОЕ и BOF равны , лучи ОВ и ОЕ — биссектрисы	*углов*	АОС и DOF .
Докажите , что внешний угол треугольника равен сумме двух	*углов*	треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Если один из	*углов*	треугольника прямой , то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме	*углов*	А и В , высоте BD и стороне АС .
23 Докажите , что биссектрисы смежных	*углов*	взаимно перпендикулярны .
Найдите сумму	*углов*	1 , 2 и 3 . 153 .
Если хорда АВ — диаметр , то дуги , заключённые внутри	*углов*	ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
56 Биссектрисы	*углов*	при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других	*углов*	этого треугольника равна 90 ° .
Постройте остроугольный треугольник АВС по разности	*углов*	А и В , высоте CD и стороне ВС .
Углы BOD и СОЕ на рисунке 45 равны , лучи ОВ и ОЕ — биссектрисы	*углов*	АОС и DOF .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его	*углов*	равен 30 ° .
Ясно также , что если луч делит угол на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих	*углов*	.
27 Сумма	*углов*	треугольника .
16 Докажите , что если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других	*углов*	этого треугольника равна 90 ° .
г ) Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть	*углов*	, два из которых равны 30 ° и 50 ° .
13 а ) Один из смежных	*углов*	на 60 ° меньше другого .
Внешним углом треугольника называется угол , смежный с каким - нибудь из	*углов*	этого треугольника .
Из теоремы о сумме	*углов*	треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Один из смежных	*углов*	в три раза больше другого .
Найдите каждый из этих	*углов*	.
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть	*углов*	.
Один из этих шести	*углов*	в два раза больше другого и в три раза меньше третьего .
Биссектрисы внешних	*углов*	при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных	*углов*	, то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем привели доказательство этой теоремы .
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух	*углов*	треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Найдите углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами	*углов*	АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
Отметим , что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы , а против равных	*углов*	— равные стороны .
Найдите углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами	*углов*	АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
Таким образом , сумма смежных	*углов*	равна 180 ° .
Найдите угол АОВ , если угол между биссектрисами	*углов*	АОР и BOQ равен 75 ° .
Найдите угол между биссектрисами	*углов*	АОР и BOQ . г )
16 Докажите , что если один из	*углов*	треугольника прямой , то сумма двух других углов этого треугольника равна 90 ° .
Найдите угол между биссектрисами	*углов*	АОР и BOQ .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами	*углов*	АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
Углы АНВ и АКБ — развёрнутые , так как каждый из них равен сумме двух прямых	*углов*	.
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его	*углов*	.
Докажите , что если биссектрисы	*углов*	АОВ и ВОС взаимно перпендикулярны ,
С помощью центральных	*углов*	можно измерять дуги в градусах .
в ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых	*углов*	, вершинами которых являются обозначенные буквами точки , изображено ? .
в ) Сколько неразвёрнутых	*углов*	и сколько развёрнутых углов , вершинами которых являются обозначенные буквами точки , изображено ? .
5 а ) Сколько	*углов*	изображено на рисунке ?
Итак , если один из	*углов*	треугольника тупой , то два других угла острые .
Найдите углы равнобедренного треугольника , если один из его внешних	*углов*	равен 100 ° .
Докажите , что угол HAD равен модулю полуразности	*углов*	В и С .
—	*углов*	.
Если один из	*углов*	треугольника тупой , то треугольник называют тупоугольным .
Если один из	*углов*	треугольника прямой , то треугольник называют прямоугольным .
г ) Сколько неразвёрнутых	*углов*	и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено на рисунке 33 ?
81 Биссектрисы	*углов*	при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
54 а ) Один из	*углов*	равнобедренного треугольника в два раза больше другого .
Правда , для некоторых	*углов*	эта задача имеет решение , например для прямого угла ( объясните , почему ) .
Учитывая , что сумма двух острых	*углов*	прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
95 Биссектрисы	*углов*	А и Б треугольника АВС пересекаются в точке М , причём .
Найдите сумму	*углов*	1 , 2 , 3 , 4 и 5 .
в ) Биссектрисы	*углов*	при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
к отрезку . сумме	*углов*	треугольника . — об углах равнобедренного треугольника .
д ) Докажите , что если один из внешних	*углов*	треугольника в два раза больше угла треугольника , не смежного с ним , то треугольник равнобедренный .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых	*углов*	; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
53 а ) Найдите углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше	*углов*	, не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых	*углов*	с вершиной О изображено на рисунке 33 ?
Каждый угол треугольника меньше суммы двух других его	*углов*	.
Сколько новых	*углов*	при этом образовалось ? .
Каждый из	*углов*	ВАС и ВАСг будем называть углом между касательной и хордой .
5 Сравнение отрезков и	*углов*	.
Сравнение отрезков и	*углов*	.
д ) Сколько прямых нужно провести через данную точку , чтобы образовалось ровно шесть	*углов*	с вершинами в этой точке ? .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых	*углов*	с вершиной О изображено ?
Докажите , что четырёхугольник , стороны которого лежат на биссектрисах	*углов*	прямоугольника , является квадратом .
г ) Сколько неразвёрнутых	*углов*	и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено ?
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других	*углов*	равна 90 ° , поэтому каждый из них острый .
равенство двух	*углов*	является признаком равнобедренного треугольника .
В третьей книге « Начал » обсуждаются свойства вписанных	*углов*	и касательных .
В пункте 18 мы доказали , что если один из	*углов*	треугольника прямой , то сумма двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них острый .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних	*углов*	при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
6 а ) Сколько	*углов*	изображено на рисунке 30 ?
Таким образом , равенство у треугольника двух	*углов*	позволяет сделать вывод о том , что этот треугольник равнобедренный , т .
Дан треугольник АВС с прямым	*углом*	А. На катете АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
Поэтому луч НА наложится на луч НВ , и , следовательно , угол 1 совместится с	*углом*	2 .
Докажите , что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним	*углом*	.
Отрезок BD — высота треугольника АВС с прямым	*углом*	В. Известно , что АВ = 2BD .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым	*углом*	А и углом В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и	*углом*	В , равным 30 ° , и докажем , что АС - ВС .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с прямым	*углом*	Ах и тупым углом О , чего не может быть .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является	*углом*	треугольника ABD с прямым углом BAD .
20 Прямоугольный треугольник с	*углом*	в 30 ° .
Внешним	*углом*	треугольника называется угол , смежный с каким - нибудь из углов этого треугольника .
Внутри треугольника АВС с тупым	*углом*	А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Каждый из углов ВАС и ВАСг будем называть	*углом*	между касательной и хордой .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым	*углом*	Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Можно ли внутри треугольника АВС с тупым	*углом*	А отметить точки Р и Q так , чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC ? .
продолжении стороны OQ , то получается треугольник ААхО с прямым углом Ах и тупым	*углом*	О , чего не может быть .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с	*углом*	С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Фигуру , состоящую из неразвёрнутого угла и его внутренней области , также называют	*углом*	.
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным	*углом*	( угол АОБ ) .
Каким	*углом*	( острым , прямым , тупым или развёрнутым ) является искомый угол ? .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым	*углом*	BAD .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым	*углом*	С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
43 Какой угол называется внешним	*углом*	треугольника ?
в ) Отрезок CD — высота треугольника АВС с прямым	*углом*	С. Известно , что .
В этом случае мы обнаружим , что прямой угол NBA совместился с прямым	*углом*	NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
12 Какой угол называется центральным	*углом*	окружности ? .
Угол 2 является смежным как с	*углом*	1 , так и с углом 3 .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с	*углом*	В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите угол APQ .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым	*углом*	А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
Измерение углов основано на сравнении их с	*углом*	, принятым за единицу измерения .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и	*углом*	А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCA 10 ° .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым	*углом*	С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и	*углом*	А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCB 10 ° .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется вписанным	*углом*	.
Угол 2 является смежным как с углом 1 , так и с	*углом*	3 .
Строители начали рыть траншею под	*углом*	60 ° к дорожке .
При этом угол В копии совместится с	*углом*	С треугольника АВС , а значит , эти углы равны .
Поскольку углы В и С равны , то угол В копии совместится с углом С треугольника , а угол С копии — с	*углом*	В треугольника .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с прямым	*углом*	С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним	*углом*	.
Поскольку углы В и С равны , то угол В копии совместится с	*углом*	С треугольника , а угол С копии — с углом В треугольника .
Угол 4 — внешний угол , смежный с	*углом*	3 данного треугольника .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с прямым	*углом*	С. Докажите , что .
Угол 3 в сумме с	*углом*	4 составляет 180 ° .
5 Какая фигура называется	*углом*	?
При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с	*углом*	CAD треугольника , и , значит .
Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему острому	*углу*	.
по боковой стороне и	*углу*	при основании ; .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому	*углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте равнобедренный треугольник по высоте , проведённой к основанию , и	*углу*	при основании .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому	*углу*	.
Построение угла , равного данному , лежит в основе решения ещё двух задач на построение : построить треугольник по двум сторонам и	*углу*	между ними ; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому	*углу*	( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому	*углу*	; по катету и противолежащему острому углу .
Требуется построить угол , равный	*углу*	А , одной из сторон которого будет луч ОМ .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому	*углу*	; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
в ) по основанию и	*углу*	между боковыми сторонами .
Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему	*углу*	.
Постройте остроугольный треугольник АВС по стороне АВ , высоте АН и	*углу*	А . р )
Постройте остроугольный треугольник по	*углу*	и двум высотам , одна из которых проведена из вершины этого угла .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому	*углу*	.
по	*углу*	, высоте и биссектрисе , проведённым из вершины этого угла ; .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и острому	*углу*	.
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный	*углу*	АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
Две стороны и угол одного треугольника равны каким - то двум сторонам и какому - то	*углу*	другого треугольника .
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому	*углу*	.
Так как угол А копии равен	*углу*	А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому	*углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте треугольник , в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку , а угол , заключённый между этими сторонами , равен данному	*углу*	.
а ) по острому	*углу*	и высоте , проведённой к гипотенузе ; .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему	*углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней	*углу*	и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Каждый из этих треугольников равен треугольнику АВС ( по двум сторонам и заключённому между ними прямому	*углу*	) .
22 Объясните , как построить треугольник по двум сторонам и	*углу*	между ними .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому	*углу*	по условию , поэтому .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому	*углу*	; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и	*углу*	между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен	*углу*	С . в ) Даны острый угол АВС и тупой угол DEF .
г ) по двум сторонам и	*углу*	, противолежащему одной из них .
б ) по острому	*углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла .
Отложим от луча АВ угол BAD , равный	*углу*	В. Поскольку , то точка D лежит между точками Б и С .
Поэтому угол А не может быть равным	*углу*	Б и не может быть меньше угла В. Следовательно .
Отложите от луча ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный	*углу*	DEF . г ) Дан треугольник АВС .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен	*углу*	МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней	*углу*	и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому	*углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Итак , прямоугольник — это четырёхугольник , у которого все	*углы*	прямые .
17 Докажите , что вписанные	*углы*	, опирающиеся на одну и ту же дугу , равны .
Условием здесь является первая часть утверждения : « если треугольник равнобедренный » , а заключением — вторая часть : « то	*углы*	при его основании равны » .
На рисунках	*углы*	иногда обозначают цифрами .
Найдите	*углы*	ACM и ВСМ .
Сравните	*углы*	АОЕ и BOF .
Если при этом стороны EF и ВС также совместятся , то и	*углы*	совместятся , и , следовательно , они равны : если же стороны EF и ВС не совместятся , то меньшим считается тот угол , который составит часть .
Например , мы знаем , что если	*углы*	вертикальные , то они равны .
17 Как связаны между собой градусные меры двух углов , если : а ) эти	*углы*	равны ; б ) один угол меньше другого ? .
Найдите	*углы*	АОР и BOQ , если ZPOQ = 25 ° , ZMOP = 20 ° и ZMOQ = 45 ° .
Найдите	*углы*	треугольника АВС .
Найдите эти	*углы*	, .
Найдите	*углы*	этого треугольника .
20 Какие	*углы*	называются смежными ?
8 Смежный и вертикальные	*углы*	.
Найдите эти	*углы*	.
Чтобы выделить в ней условие и заключение , сформулируем её так : « если треугольник равнобедренный , то	*углы*	при его основании равны » .
Изображены смежные	*углы*	АОВ и ВОС .
Четырёхугольник ABCD называется прямоугольником , если	*углы*	ABC , BCD , CDA и DAB прямые .
Это можно сделать , так как	*углы*	А и Αχ равны .
Изображены неразвёрнутые	*углы*	АОВ и hk , развёрнутый угол DEF .
Сравните	*углы*	BOD и СОЕ .
Найдите	*углы*	ВАМ и ВСМ .
Найдите	*углы*	треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина стороны AD .
Постройте треугольник , сторона которого равна утроенной стороне АВ данного треугольника АВС , а прилежащие к ней	*углы*	равны углам Л и Б этого треугольника .
Пусть , например , в треугольнике АВС острыми являются	*углы*	Б и С. Проведём высоту ААУ .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные	*углы*	с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Что такое стороны , вершины ,	*углы*	и периметр треугольника ? .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные	*углы*	с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
При этом угол В копии совместится с углом С треугольника АВС , а значит , эти	*углы*	равны .
61 В треугольниках АВС и AlBiCl	*углы*	А и Αλ равны и АВ - А1В1 , AC ACV На сторонах АС и А1С1 отмечены точки D и D , так , что ZDBC ZD1B1C1 .
4 ) если сторона и прилежащие к ней	*углы*	одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны ;
3 ) вертикальные	*углы*	равны ;
Сравните	*углы*	АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
; 2 )	*углы*	при основании равнобедренного треугольника равны ;
Найдите	*углы*	АОР и BOQ , если ZPOQ = 50 ° , ZMOP = 30е и ZMOQ = 20е .
Докажите , что треугольники BDC и В-1БЛСЛ равны , и сравните	*углы*	BDC и B1D1C1 .
21 Какие	*углы*	называются вертикальными ?
Поскольку	*углы*	А и D прямые , то сторона АВ наложится на луч DC .
Если в четырёхугольнике ABCD	*углы*	DAB , АВС и BCD прямые , то этот четырёхугольник — прямоугольник .
равные	*углы*	имеют равные градусные меры .
Сравните	*углы*	этого треугольника и выясните , может ли угол А быть тупым .
Постройте луч ОМ так , чтобы	*углы*	МО А и МОВ были равными тупыми углами .
Пусть теперь даны два неразвёрнутых угла (	*углы*	АВС и DEF ) .
Обратное утверждение : « если	*углы*	равны , то они вертикальные » , конечно же , неверно .
Найдите	*углы*	между касательной и хордой .
Сравните	*углы*	1 и 2 .
Назовите эти	*углы*	.
Можно сказать так : дан равнобедренный треугольник ; требуется доказать , что	*углы*	при его основании равны .
Поскольку	*углы*	В и С равны , то угол В копии совместится с углом С треугольника , а угол С копии — с углом В треугольника .
53 а ) Найдите	*углы*	треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
1 Вписанные	*углы*	, опирающиеся на одну и ту же дугу , равны .
Найдите	*углы*	равнобедренного треугольника , если один из его внешних углов равен 100 ° .
в ) Даны острые	*углы*	АВС и DEF .
Сравните	*углы*	АВС и ADE .
Само название « прямоугольник » говорит о том , что его	*углы*	прямые , т .
Найдите	*углы*	БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
стороны и	*углы*	) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника .
в )	*углы*	А и D прямые , 29 ° .
вершины , стороны и	*углы*	одного треугольника совместятся с вершинами , сторонами и углами другого .
Рассмотрим треугольник АВС ,	*углы*	В и С которого равны , и докажем , что АВ = АС .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные	*углы*	равны , а затем привели доказательство этой теоремы .
Отрезки и	*углы*	, связанные с окружностью .
Есть ли еще равные	*углы*	на этом рисунке ? .
Докажите , что если медиана и	*углы*	, на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Так как	*углы*	1 и 2 — смежные , то их сумма равна 180 г , поэтому каждый из них — прямой .
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ , у которых	*углы*	А и Ах прямые , и .
Известно , чтоМогут ли	*углы*	hk и hi быть : а ) смежными ; б ) несмежными ? .
В четырёхугольнике ААХВХА2	*углы*	Ах , А2 И ВХ прямые , поэтому этот четырёхугольник — прямоугольник , и его противоположные стороны АА2 и АХВХ равны .
19 Докажите , что	*углы*	при основании равнобедренного треугольника — острые .
Отметим , что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные	*углы*	, а против равных углов — равные стороны .
30 а ) Отрезки АВ и АС равны Сравните	*углы*	1 и 2 . б ) Отрезки АВ и AD равны .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла (	*углы*	1 , 2 , 3 и 4 ) .
Найдите	*углы*	DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
Докажите , что ААВС АА1ВХС1 . 72 В треугольниках АВС и A , B , C , равны	*углы*	А и А , стороны АВ и АгВ1 , биссектрисы AD и А , Х , .
Докажем , что вертикальные	*углы*	равны .
Отметим , что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и	*углы*	этих треугольников , но и соответствующие медианы , биссектрисы и высоты .
Вертикальными являются углы 1 и 3 , а также	*углы*	2 и 4 .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника ,	*углы*	каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Вертикальными являются	*углы*	1 и 3 , а также углы 2 и 4 .
Выразите	*углы*	треугольника АВС через углы треугольника А1В1С1 .
Отсюда , в частности , следует , что	*углы*	при основании равнобедренного треугольника острые .
Сравните	*углы*	АВС и АСЕ .
Если один из них прямой , то и остальные	*углы*	прямые .
Если все	*углы*	треугольника острые , то треугольник называют остроугольным .
Так , например , против равных сторон АВ и А1В1 лежат равные	*углы*	С и CV Равенство треугольников АВС и А1В1С1 условимся обозначать так .
Выразите углы треугольника АВС через	*углы*	треугольника А1В1С1 .
Постройте	*угол*	, равный 15 ° ; 120 ° .
22 Какой	*угол*	образуют стрелки часов 8 3 ч 10 мин ? .
Глава 2 . 1 Как , пользуясь только верёвкой и острыми колышками , начертить на земле прямой	*угол*	? .
Эту задачу можно решить другим способом , основанным на том , что вписанный	*угол*	, опирающийся на полуокружность , прямой .
в ) В треугольнике АВС	*угол*	С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 3 см ? .
Постройте	*угол*	, равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
В самом деле , пусть	*угол*	С треугольника АВС прямой .
58 Докажите , что каждый	*угол*	имеет биссектрису .
Найдите	*угол*	между часовой и минутной стрелками часов , если они показывают : а ) 9 ч ; б ) 14 ч ; в ) 18 ч ; г ) 19 ч ; д ) 19 ч 30 мин .
7 Сколько раз	*угол*	между часовой и минутной стрелками часов оказывается прямым за время от 15 до 17 часов ? .
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый	*угол*	больше любого неразвёрнутого угла .
Отложить от данного луча	*угол*	, равный данному .
Наложим угол DEF на	*угол*	АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Найдите	*угол*	ВМН .
21 Найдите	*угол*	АОС , если .
Найдите	*угол*	ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
Угол DEF накладывается на	*угол*	АВС .
Неразвёрнутый	*угол*	СОВ составляет часть развёрнутого угла АОВ .
На какой	*угол*	повернётся второе колесо , когда первое повернётся : а ) на 8 зубьев ; б ) на 45 ° ? .
Требуется построить	*угол*	, равный углу А , одной из сторон которого будет луч ОМ .
Неразвёрнутый	*угол*	составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла .
Если при этом стороны EF и ВС также совместятся , то и углы совместятся , и , следовательно , они равны : если же стороны EF и ВС не совместятся , то меньшим считается тот	*угол*	, который составит часть .
Если же хорда АВ не является диаметром , то острый	*угол*	САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Пусть даны неразвёрнутый	*угол*	А ( для развёрнутого угла решение очевидно ) и луч ОМ .
е ) Дан	*угол*	АОВ .
Наложим	*угол*	DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы	*угол*	МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Найдите	*угол*	CPQ .
53 а ) Найдите углы треугольника АВС , если . б ) Внешний	*угол*	треугольника больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
м ) Постройте	*угол*	, равный 45 ° .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему	*угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается «	*угол*	АОВ » ) .
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет	*угол*	, одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Луч . — делит	*угол*	на два угла .
Треугольник ACM равнобедренный , поэтому	*угол*	ACM при его основании острый .
Постройте	*угол*	, равный 60 ° ; 30 ° .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ , делит этот	*угол*	на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если	*угол*	АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый	*угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Луч ОМ делит	*угол*	АОВ на два угла : ZAOM и ZMOB .
Докажите , что если медиана и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет	*угол*	, другого треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного луча отложите	*угол*	, равный половине данного угла .
Отложите от луча ВА во внешнюю область угла АВС	*угол*	, равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
Если каждую половину разделить пополам , то	*угол*	А окажется разделённым на четыре равных угла .
А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный	*угол*	на три равных угла ?
Рассмотрим теперь развёрнутый	*угол*	.
И лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель ( 1814–1848 ) доказал , что с помощью циркуля и линейки разделить произвольный	*угол*	на три равных угла невозможно .
Если сторонами угла являются лучи h и k , то	*угол*	обозначают так : Zhk .
Докажем теперь , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то	*угол*	, лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Рассмотрим острый	*угол*	POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
В прямоугольном треугольнике	*угол*	между катетами прямой , а любые два прямых угла равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый	*угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Неразвёрнутый	*угол*	разделяет плоскость на две части , одна из которых называется внутренней , а другая — внешней областью этого угла .
Докажите , что если сторона , прилежащий к ней	*угол*	и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны ; стороне , прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот	*угол*	на два угла .
5 ) вписанный	*угол*	, опирающийся на диаметр , прямой .
Докажите , что	*угол*	HAD равен модулю полуразности углов В и С .
Аналогично доказывается , что	*угол*	С острый .
Требуется доказать , что	*угол*	CDA также является прямым .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если	*угол*	А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Сравните углы этого треугольника и выясните , может ли	*угол*	А быть тупым .
В треугольнике АВС	*угол*	С прямой , a ZB 35 ° .
Постройте треугольник , в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку , а	*угол*	, заключённый между этими сторонами , равен данному углу .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите	*угол*	ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Поскольку вписанный	*угол*	L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Начертите неразвёрнутый	*угол*	и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Разделите данный	*угол*	в 54 ° на три равные части .
Разделите данный	*угол*	в 35 ° на семь равных частей .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот	*угол*	— прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый	*угол*	и отрезок .
Поскольку углы В и С равны , то	*угол*	В копии совместится с углом С треугольника , а угол С копии — с углом В треугольника .
Рассмотрим теперь треугольник АВС ,	*угол*	А которого тупой .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и тупой	*угол*	DEF .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны острый	*угол*	АВС и тупой угол DEF .
Две стороны и	*угол*	одного треугольника равны каким - то двум сторонам и какому - то углу другого треугольника .
Внешний	*угол*	треугольника .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы	*угол*	AED был равен углу С . в ) Даны острый угол АВС и тупой угол DEF .
Найдите	*угол*	ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит в его внутренней области .
В этом случае мы обнаружим , что прямой	*угол*	NBA совместился с прямым углом NED и , следовательно , из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE .
Следовательно ,	*угол*	В острый .
94 Найдите	*угол*	А и докажите , что BQ BR .
Начертите неразвёрнутый	*угол*	и отметьте точку А , лежащую на его стороне , точку В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Поскольку углы В и С равны , то угол В копии совместится с углом С треугольника , а	*угол*	С копии — с углом В треугольника .
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом (	*угол*	АОБ ) .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF	*угол*	, равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
Если же хорда АВ не является диаметром , то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой	*угол*	СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Изображены неразвёрнутые углы АОВ и hk , развёрнутый	*угол*	DEF .
Докажите , что внешний	*угол*	треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
21 Объясните , как отложить от данного луча	*угол*	, равный данному .
Найдите	*угол*	АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ .
Найдите	*угол*	А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
Вписанный	*угол*	измеряется половиной дуги , на которую он опирается .
Найдите	*угол*	между биссектрисами углов АОР и BOQ . г )
18 Докажите , что вписанный	*угол*	, опирающийся на полуокружность , прямой .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам	*угол*	между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит	*угол*	АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч ОР делит	*угол*	АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
12 а ) Найдите	*угол*	ВОС , если ZAOB = 140 ° и ZAOC = 70 ° .
Этот же	*угол*	3 в сумме с углами 1 и 2 также составляет 180 ° .
6 Какой	*угол*	называется развёрнутым ? .
Найдите	*угол*	между биссектрисами углов АОР и BOQ .
Докажите , что если острый	*угол*	и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
16 Какой	*угол*	называется вписанным ?
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите	*угол*	АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
7 Что означают слова : « луч делит	*угол*	на два угла » ? .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит	*угол*	АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
Луч ОР делит	*угол*	АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
Каким углом ( острым , прямым , тупым или развёрнутым ) является искомый	*угол*	? .
12 Какой	*угол*	называется центральным углом окружности ? .
11 а ) Найдите	*угол*	ВОС , если ZAOB = 70 ° и ZAOC = 35 ° .
Вписанный	*угол*	АВС опирается на дугу АМС .
Говорят , что вписанный	*угол*	опирается на дугу , заключённую внутри этого угла .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней	*угол*	и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Угол , меньший прямого , называется острым , а	*угол*	, больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD треугольника , и поэтому BD - CD , а	*угол*	BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Найдите	*угол*	BDC .
Ясно также , что если луч делит	*угол*	на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
Найдите	*угол*	АОВ , если угол между биссектрисами углов АОР и BOQ равен 75 ° .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите	*угол*	С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Найдите угол АОВ , если	*угол*	между биссектрисами углов АОР и BOQ равен 75 ° .
Поскольку	*угол*	АОС равен 180е , то ΖΑΟΒ + ZBOC = ZAOC = 180 ° .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый	*угол*	, больший 180 ° .
Каждый	*угол*	треугольника меньше суммы двух других его углов .
Найдите	*угол*	МАВ .
Поэтому	*угол*	А не может быть равным углу Б и не может быть меньше угла В. Следовательно .
В треугольнике против большей стороны лежит больший	*угол*	.
Внешним углом треугольника называется	*угол*	, смежный с каким - нибудь из углов этого треугольника .
Центральный	*угол*	АОВ на 27 ° больше вписанного угла , опирающегося на дугу АВ .
Можно ли внутри треугольника АВС с тупым углом А отметить точки Р и Q так , чтобы	*угол*	ВАР был не меньше угла BQC ? .
Отложим от луча АВ	*угол*	BAD , равный углу В. Поскольку , то точка D лежит между точками Б и С .
Докажите , что	*угол*	треугольника является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Из теоремы о сумме углов треугольника следует что : внешний	*угол*	треугольника равен сумме двух углов треугольника , не смежных с этим внешним углом .
Рассмотрим треугольник АВС ,	*угол*	А которого больше угла В , и докажем , что ВС АС .
Поэтому луч НА наложится на луч НВ , и , следовательно ,	*угол*	1 совместится с углом 2 .
Прямая АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в точке В. Найдите	*угол*	АМВ .
Докажите , что если	*угол*	треугольника является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Найдите	*угол*	АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Найдите	*угол*	между отрезками касательных , проведёнными из указанной точки к данной окружности .
Найдите	*угол*	АВМ .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной вершины , делят	*угол*	треугольника на три равных угла .
24 Докажите , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то	*угол*	, лежащий против этого катета , равен 30 ° .
2 Вписанный	*угол*	, опирающийся на полуокружность , прямой .
Найдите	*угол*	АМС .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и	*угол*	POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Угол РВА (	*угол*	между касательной PQ и хордой АВ ) равен .
Найдите	*угол*	NMC .
Лучи ВА и ВС делят развёрнутый	*угол*	PBQ на три угла .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 ° Найдите	*угол*	APQ .
Если две стороны и	*угол*	между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Угол 4 — внешний	*угол*	, смежный с углом 3 данного треугольника .
Рассмотрим вписанный	*угол*	АВС , опирающийся на дугу АС окружности , и докажем , что .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните : градус — это — часть развёрнутого угла ) , неразвёрнутый	*угол*	меньше 180 ° .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите	*угол*	между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
Развёрнутый	*угол*	равен 180 ° ( вспомните : градус — это — часть развёрнутого угла ) , неразвёрнутый угол меньше 180 ° .
Если , например , угол А содержит ровно 60 ° , то говорят :	*угол*	А равен 60 ° ( пишут : ZA = 60 :) .
Если же один	*угол*	меньше другого , то градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла .
При этом	*угол*	В копии совместится с углом С треугольника АВС , а значит , эти углы равны .
Если , например ,	*угол*	А содержит ровно 60 ° , то говорят : угол А равен 60 ° ( пишут : ZA = 60 :) .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а	*угол*	С равен 60 ° .
17 Как связаны между собой градусные меры двух углов , если : а ) эти углы равны ; б ) один	*угол*	меньше другого ? .
Обычно за единицу измерения принимают градус —	*угол*	, равный — части развёрнутого угла .
18 Луч ОС делит	*угол*	АОВ на два угла .
Постройте	*угол*	, равный 160 ° ; 75 ° ; 105 ° .
33 Вписанный	*угол*	.
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите	*угол*	АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
43 Какой	*угол*	называется внешним углом треугольника ?
Так как	*угол*	А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
40 Докажите теорему : в треугольнике против большей стороны лежит больший	*угол*	.
Найдите	*угол*	DCE .
В равнобедренном треугольнике АОВ	*угол*	ОАВ равен .
19 Какой	*угол*	называется острым , какой — прямым , а какой — тупым ? .
Для изображения геометрических фигур пользуются различными чертёжными инструментами : линейкой ( в том числе линейкой с делениями ) , циркулем ,	*угольником*	, транспортиром .
Два прямоугольника могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них стороны могут быть меньше или больше , чем у другого ( например , обложка учебника и крышка стола ) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении геометрических	*фигур*	.
Примерами равных	*фигур*	могут служить многие предметы : две одинаковые монеты , два одинаковых флюгера удастся , то фигуры Ф , и Ф2 равны .
Итак , в геометрии изучаются форма , размеры и взаимное расположение геометрических	*фигур*	.
К началу нашей эры геометрия сформировалась как наука , в которой свойства геометрических	*фигур*	изучаются с помощью рассуждений .
4 Равенство геометрических	*фигур*	.
Простейшей из геометрических	*фигур*	является точка .
Для изображения геометрических	*фигур*	пользуются различными чертёжными инструментами : линейкой ( в том числе линейкой с делениями ) , циркулем , угольником , транспортиром .
Возможность установить равенство двух	*фигур*	, не производя наложения одной на другую , а лишь измеряя и сравнивая некоторые их элементы , важна на практике , например при сравнении двух земельных участков , которые , конечно же , нельзя наложить один на другой .
Так возникла ещё одна из задач геометрии — задача об изучении взаимного расположения геометрических	*фигур*	.
Окружностью называется геометрическая	*фигура*	, состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Но эта	*фигура*	, конечно же , не является прямоугольником .
Угол — это геометрическая	*фигура*	, состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой точки .
Прямая , как и любая геометрическая	*фигура*	, состоит из точек .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая	*фигура*	, состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
5 Какая	*фигура*	называется углом ?
1 Объясните , какая	*фигура*	называется треугольником .
13 Объясните , какая	*фигура*	называется четырёхугольником .
Мысленно можно представить себе , что на фигуру Ф , накладывается сама	*фигура*	Ф2 , а не её копия .
Отрезок тоже геометрическая	*фигура*	.
Из точек состоит любая геометрическая	*фигура*	: отрезок , треугольник , окружность , прямоугольник и т .
Такая	*фигура*	называется четырёхугольником ABCD , указанные отрезки называются сторонами , а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Геометрическая	*фигура*	, также состоящая из четырёх отрезков которая называется четырёхугольником .
Чтобы узнать , равны они или нет , можно скопировать фигуру ф2 на прозрачную бумагу и попытаться наложить копию на фигуру Ф , той или другой стороной так , чтобы полностью совместить её с	*фигурой*	Ф , .
Чтобы узнать , равны они или нет , можно скопировать	*фигуру*	ф2 на прозрачную бумагу и попытаться наложить копию на фигуру Ф , той или другой стороной так , чтобы полностью совместить её с фигурой Ф , .
Мысленно можно представить себе , что на	*фигуру*	Ф , накладывается сама фигура Ф2 , а не её копия .
Задачи , в которых требуется построить какую - то	*фигуру*	с помощью только этих двух инструментов , называются задачами на построение .
Рассмотрим	*фигуру*	, составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек , отличных от концов .
Прямую как геометрическую	*фигуру*	мыслят себе простирающейся бесконечно в обе стороны .
Чтобы узнать , равны они или нет , можно скопировать фигуру ф2 на прозрачную бумагу и попытаться наложить копию на	*фигуру*	Ф , той или другой стороной так , чтобы полностью совместить её с фигурой Ф , .
Соединив их тремя отрезками , получим геометрическую	*фигуру*	, называемую треугольником .
Напомним , что две	*фигуры*	, в частности два треугольника , называются равными , если их можно совместить наложением .
Пусть даны две	*фигуры*	— Ф , и Ф2 .
В геометрии две	*фигуры*	, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры , называют равными .
Примерами равных фигур могут служить многие предметы : две одинаковые монеты , два одинаковых флюгера удастся , то	*фигуры*	Ф , и Ф2 равны .
Равные	*фигуры*	.
Таким образом , можно сказать : две геометрические	*фигуры*	называются равными , если их можно совместить наложением .
Простейшие геометрические	*фигуры*	.
В планиметрии рассматриваются плоские	*фигуры*	— прямоугольники , отрезки , треугольники , окружности , четырёхугольники и т .
Оказывается , что многие	*фигуры*	можно построить с помощью только циркуля и линейки без делений .
д. , в стереометрии — пространственные	*фигуры*	, например параллелепипеды , шары , цилиндры .
8 Какие	*фигуры*	называются равными ? .
Что представляет собой множество середин таких	*хорд*	, если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
11 Объясните , что такое	*хорда*	и дуга окружности .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены	*хорда*	АВ и касательная а .
Если	*хорда*	АВ — диаметр , то дуги , заключённые внутри углов ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
Если же	*хорда*	АВ не является диаметром , то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Докажите , что . ж ) Отрезки АВ и АС — диаметр и	*хорда*	окружности .
б ) Через точку А , лежащую на окружности , проведены касательная АВ и	*хорда*	АС .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к	*хорде*	ВВ .
32 Угол между касательной и	*хордой*	.
и	*хордой*	.
Каждый из углов ВАС и ВАСг будем называть углом между касательной и	*хордой*	.
Если же хорда АВ не является диаметром , то острый угол САВ между касательной ССХ и	*хордой*	АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Отрезок , соединяющий две точки окружности , называется	*хордой*	.
15 Сформулируйте и докажите теорему об угле между касательной и	*хордой*	.
Угол РВА ( угол между касательной PQ и	*хордой*	АВ ) равен .
— между касательной и	*хордой*	.
Найдите углы между касательной и	*хордой*	.
Угол между касательной и	*хордой*	измеряется половиной заключённой внутри этого угла дуги .
Докажем теорему об угле между касательной и	*хордой*	.
Таким образом , каждый из углов между касательной ССХ и	*хордой*	АВ измеряется половиной заключённой внутри него дуги .
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ , касающуюся окружности в точке А. Проведём	*хорду*	АВ .
Постройте наименьшую	*хорду*	, проходящую через эту точку .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая	*хорду*	АВ в точке С , а касательную а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Постройте	*хорду*	MN , равную отрезку АВ , так , чтобы расстояние от данной точки до прямой MN было равно CD .
а ) Через конец	*хорды*	, равной радиусу , проведена касательная .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину	*хорды*	ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Отрезки АВ , CD и EF —	*хорды*	окружности CD является и диаметром окружности ) .
Равные	*хорды*	АС и BD пересекаются .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться	*целое*	число раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке	*целое*	число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Однажды Фалес , предвидя большой урожай оливок , взял в наём все маслодавильни и , став фактическим монополистом в изготовлении оливкового масла , нажил	*целое*	состояние .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке	*целое число*	раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться	*целое число*	раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Поскольку	*центр*	окружности является серединой диаметра , то диаметр окружности в два раза больше её радиуса .
Отрезок , соединяющий две точки окружности и проходящий через её	*центр*	, называется диаметром .
Постройте	*центр*	данной окружности .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и	*центр*	окружности .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и	*центр*	окружности .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий	*центр*	с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
3 Объясните , что такое	*центр*	, радиус и диаметр окружности .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через	*центр*	О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от	*центра*	окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
расстояние от	*центра*	данной окружности до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от	*центра*	окружности до прямой а равно радиусу .
В семи метрах от	*центра*	клумбы проходит дорожка .
Расстояние от точки до	*центра*	данной окружности равно диаметру этой окружности .
Таким образом , если расстояние от	*центра*	окружности до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
5 Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её	*центра*	до прямой ? .
Итак , если расстояние от	*центра*	окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из	*центра*	окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Построим две окружности радиуса АВ с	*центрами*	.
Если мы попытаемся это сделать , то обнаружим , что окружности с	*центрами*	А и Б не пересекутся .
К двум окружностям с	*центрами*	О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
Докажите , что окружности радиуса АВ с	*центрами*	А и Б пересекаются в двух точках .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с	*центрами*	Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Угол с вершиной в	*центре*	окружности называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с	*центром*	В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Действительно , построим середину О отрезка ΜΝ и проведём окружность с	*центром*	О радиуса ОМ .
Затем построим окружность с	*центром*	М радиуса PQ .
Рассмотрим две касательные к окружности с	*центром*	О , проходящие через точку А. Пусть Б и С — точки касания .
Пусть а — касательная к окружности с	*центром*	О , А — точка касания .
Через данную точку А провести касательную к данной окружности с	*центром*	О .
Данная точка ( точка О ) называется	*центром*	окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Окружность радиуса г с	*центром*	О .
Рассмотрим окружность с	*центром*	О радиуса г и прямую а .
Воспользуемся методом доказательства от противного : допустим , что какие - то три точки А , В и С окружности с	*центром*	О лежат на некоторой прямой о .
Даны окружность с	*центром*	О и точка А вне неё .
Дуга АВ окружности с	*центром*	О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с	*центром*	А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
в ) В треугольнике АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с	*центром*	С радиуса 3 см ? .
г ) Точки Р и Q лежат на касательной к окружности с	*центром*	О так , что OP OQ , PQ 20 см и ZPOQ 90 ° .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с	*центром*	О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
Докажите , что АВ CD . б ) Точки А , В , С и D лежат на окружности с	*центром*	О , причем АВ CD .
99 а ) Точки А , В , С и D лежат на окружности с	*центром*	О , причем .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с	*центром*	в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с	*центром*	М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с	*центром*	О ( Б и С — точки касания ) .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с	*центром*	в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
а ) Точки Μ , N , Р и Q лежат на окружности с	*центром*	О , причём .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с	*центром*	О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Отрезок АВ является диаметром окружности с	*центром*	О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС — квадрат . ж ) Дуга АВ окружности с	*центром*	О больше 180 ° .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с	*центром*	; в ) лежит на окружности ? .
всевозможные прямые , на которых данная окружность с	*центром*	О отсекает отрезки , являющиеся её хордами .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с	*центром*	О отрезок АН — высота этого треугольника .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с	*центром*	в данной точке и радиусом , равным данному отрезку .
а ) Дуга АВ окружности с	*центром*	О и радиуса 8 см равна 30 ° .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с	*центром*	О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см. Найдите расстояние от точки О до прямой АВ .
а ) Радиус О А окружности с	*центром*	О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с	*центром*	О , проведены хорда АВ и касательная а .
Докажите , что . б ) Точки М , N. Е и F лежат на окружности с	*центром*	О , причём точка О равноудалена от прямых MN и EF .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с	*центром*	С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Рассмотрим окружность с	*центром*	О и прямую ССХ , касающуюся окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с	*центром*	О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с	*центром*	О. Угол MOQ — искомый .
Проведём отрезок О А и построим его середину М. Затем проведём окружность с	*центром*	М радиуса МА .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с	*центром*	Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Точки А и В лежат на касательной к окружности с	*центром*	О по разные стороны от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с	*центром*	М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Проведём окружность произвольного радиуса с	*центром*	А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Если дуга А В окружности с	*центром*	О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
в ) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с	*центром*	С радиуса 5 см ? .
Проведём окружность произвольного радиуса с	*центром*	в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Каким должен быть радиус окружности с	*центром*	А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с	*центром*	О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
д. , в стереометрии — пространственные фигуры , например параллелепипеды , шары ,	*цилиндры*	.
17 Докажите , что если три угла четырёхугольника прямые , то этот	*четырёхугольник*	— прямоугольник .
Если в четырёхугольнике ABCD углы DAB , АВС и BCD прямые , то этот	*четырёхугольник*	— прямоугольник .
Докажите , что	*четырёхугольник*	PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
41 а ) Докажите , что если	*четырёхугольник*	ABCD — прямоугольник , то . б ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите .
Итак , прямоугольник — это	*четырёхугольник*	, у которого все углы прямые .
Докажите , что	*четырёхугольник*	AMON — прямоугольник .
Какой	*четырёхугольник*	называется квадратом ? .
14 Какой	*четырёхугольник*	называется прямоугольником ? .
Докажите , что	*четырёхугольник*	, стороны которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника , является квадратом .
Докажите , что	*четырёхугольник*	ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
Докажите , что	*четырёхугольник*	AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что	*четырёхугольник*	PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Докажите , что этот	*четырёхугольник*	— прямоугольник .
Докажите , что	*четырёхугольник*	ОВАС — квадрат . ж ) Дуга АВ окружности с центром О больше 180 ° .
В четырёхугольнике ААХВХА2 углы Ах , А2 И ВХ прямые , поэтому этот	*четырёхугольник*	— прямоугольник , и его противоположные стороны АА2 и АХВХ равны .
Противоположные стороны	*четырёхугольника*	.
Смежные стороны	*четырёхугольника*	.
Сравните стороны АВ и CD	*четырёхугольника*	ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные отрезки называются сторонами , а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами	*четырёхугольника*	.
Две стороны	*четырёхугольника*	, имеющие общую вершину , называются смежными , а две стороны , не имеющие общей вершины , — противоположными .
Сравните углы АВС и ACD	*четырёхугольника*	ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
Смежными сторонами	*четырёхугольника*	ABCD являются стороны АВ и ВС , ВС и CD , CD и DA , DA и АВ , а противоположными — стороны АВ и CD , ВС и DA .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется диагональю	*четырёхугольника*	.
17 Докажите , что если три угла	*четырёхугольника*	прямые , то этот четырёхугольник — прямоугольник .
6 Имеется пластина в форме	*четырёхугольника*	.
Углы А и D	*четырёхугольника*	ABCD — прямые и АВ - CD .
Точки М и N — середины сторон АВ и CD	*четырёхугольника*	ABCD с прямыми углами А и В. Докажите , что .
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники , отрезки , треугольники , окружности ,	*четырёхугольники*	и т .
Такая фигура называется	*четырёхугольником*	ABCD , указанные отрезки называются сторонами , а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Геометрическая фигура , также состоящая из четырёх отрезков которая называется	*четырёхугольником*	.
13 Объясните , какая фигура называется	*четырёхугольником*	.
Итак , для описания формы большого	*числа*	предметов используется слово « прямоугольник » .
Для изображения геометрических фигур пользуются различными чертёжными инструментами : линейкой ( в том	*числе*	линейкой с делениями ) , циркулем , угольником , транспортиром .
Такое деление было удобно для их вычислений , потому что у них	*число*	60 играло такую же роль , как у нас число 10 .
Если два угла равны , то градус и его части укладываются в них одинаковое	*число*	раз , т .
Такое деление было удобно для их вычислений , потому что у них число 60 играло такую же роль , как у нас	*число*	10 .
Если же один отрезок меньше другого , то единица измерения ( или её часть ) укладывается в нём меньшее	*число*	раз , чем в другом , т .
Если два отрезка равны , то единица измерения и её части укладываются в них одинаковое	*число*	раз , т .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое	*число*	раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться целое	*число*	раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Найдите	*число*	точек , каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное	*число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное	*число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным	*числом*	, показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
д. , в стереометрии — пространственные фигуры , например параллелепипеды ,	*шары*	, цилиндры .
Как узнать высоту крыши , если известна	*ширина*	дома ? .

В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов

Геометрия. 7 класс