RuLingva - Текстовая аналитика

Левый контекст	Термин	Правый контекст
	*Биссектриса*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и медианой .
На стороне АВ квадрата ABCD отмечена точка Р.	*Биссектриса*	угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
	*Биссектриса*	треугольника . — угла .
	*Биссектриса*	ОР угла АОВ пересекает окружность в точке Q , при этом PQ OQ .
Найдите АВ . б )	*Биссектриса*	CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
	*Биссектриса*	угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника .
	*Биссектриса*	— от латинского bis ( дважды ) и sectio ( рассечение ) , т .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б )	*Биссектриса*	CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
	*Вершина*	угла .
	*Вершины*	Р и Е равностороннего треугольника АРЕ лежат на сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD , точки К и М — середины сторон АЕ и АР .
	*Вершины*	А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
	*Вершины*	треугольника АВС лежат на окружности .
63	*Вершины*	В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
	*Вершины*	прямоугольника .
	*Вершины*	остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
	*Высота*	и медиана треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных угла .
	*Высота*	треугольника .
	*Высота*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является медианой и биссектрисой .
	*Высота*	АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
	*Высота*	АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая к гипотенузе , равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
	*Высоты*	АА1 и BBj остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите , что . 119 .
82	*Высоты*	ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н )	*Высоты*	AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
	*Геометрическая фигура*	, также состоящая из четырёх отрезков которая называется четырёхугольником .
	*Геометрическое место точек*	.
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r.	*Гипотенуза*	OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
	*Гипотенуза*	— от греческих ὺπό [ гипо ] — под и τεινω [ тейно ] — натягивать .
	*Гипотенуза*	прямоугольного треугольника .
	*Градус*	— от латинского gradus ( шаг , ступень , степень ) .
	*Градус*	.
	*Градус*	обозначается знаком ° .
	*Деление*	развёрнутого угла на 180 частей восходит к астрономам и математикам Вавилонии .
	*Диагональ*	прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта диагональ является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
	*Диагональ*	прямоугольника разделяет его на два треугольника , равных треугольнику АВС .
	*Диагональ*	четырёхугольника .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б )	*Диаметр*	ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
	*Диаметр*	— от греческого διάμετρος [ диаметрос ] — поперечник .
	*Диаметр*	окружности .
	*Диаметр*	окружности — гипотенуза прямоугольного треугольника .
	*Длина*	отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка .
	*Длина*	перпендикуляра , проведённого из точки к прямой , называется расстоянием от этой точки до прямой .
	*Длина*	отрезка .
	*Доказательства*	равенства треугольников АВС и АХВХСХ в этих случаях приведены .
	*Доказательство*	.
	*Доказательство*	, смотрите .
	*Доказательство*	этого утверждения приведено .
	*Доказательство*	теоремы .
а )	*Дуга*	АВ окружности с центром О и радиуса 8 см равна 30 ° .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС — квадрат . ж )	*Дуга*	АВ окружности с центром О больше 180 ° .
	*Дуга*	окружности . Е .
	*Дуга*	АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О.	*Дуга*	этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
	*Единица*	измерения отрезков .
	*Жёсткость*	такой конструкции основана на третьем признаке равенства треугольников .
30	*Касательная*	.
	*Касательная*	к окружности .
	*Касательная*	к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания .
	*Катет*	прямоугольного треугольника .
	*Катет*	— от греческого κάθετος [ катетос ] — отвес .
	*Квадрат*	.
	*Квадрат*	— от латинского quadratus ( четырёхугольный ) .
	*Круг*	содержит точку О и все точки М. для которых ОМ .
	*Круг*	.
б )	*Луч*	ОМ — биссектриса угла АОВ , равного 60 ° .
	*Луч*	ОМ делит угол АОВ на два угла : ZAOM и ZMOB .
Найдите угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д )	*Луч*	ОР — биссектриса угла АОВ .
	*Луч*	I — биссектриса угла hk .
	*Луч*	ОС и данный отрезок АВ .
б )	*Луч*	ОМ — биссектриса угла АОВ , равного 100е .
2	*Луч*	и полуплоскость .
	*Луч*	ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
д )	*Луч*	ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса угла ВОР .
	*Луч*	. — делит угол на два угла .
	*Луч*	, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
	*Луч*	ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
18	*Луч*	ОС делит угол АОВ на два угла .
	*Лучи*	ВА и ВС делят развёрнутый угол PBQ на три угла .
	*Медиана*	треугольника .
	*Медиана*	равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и биссектрисой .
Докажите , что отрезок ME — биссектриса угла АМС . г )	*Медиана*	СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
	*Медиана*	МО равнобедренного треугольника AM В является высотой .
	*Множество*	всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
	*Множество*	всех точек , удовлетворяющих какому - либо условию , называют также геометрическим местом точек , удовлетворяющих этому условию .
	*Множество*	всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
	*Найдите*	угол между биссектрисами углов АОР и BOQ .
	*Найдите*	угол АОВ , если угол между биссектрисами углов АОР и BOQ равен 75 ° .
	*Найдите*	расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см.	*Найдите*	угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Периметр треугольника ABD равен 33 см.	*Найдите*	разность периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г )	*Найдите*	угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
	*Найдите*	угол DCE .
в ) Периметр треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см	*Найдите*	периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
Расстояние от точки М до прямой АС равно 10 см.	*Найдите*	расстояние от точки М до прямой АВ .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см	*Найдите*	периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
53 а )	*Найдите*	углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с ним , соответственно на 30 ° и 70 ° .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см.	*Найдите*	разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
	*Найдите*	расстояние от точки М до прямой АВ .
	*Найдите*	угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ .
	*Найдите*	угол BDC .
	*Найдите*	угол АМС .
	*Найдите*	длины отрезков АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О.	*Найдите*	угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом В , равным 20 ° , отмечены соответственно точки Q и Р так , что ZACQ- 60 ° и ZCAP 50 °	*Найдите*	угол APQ .
12 а )	*Найдите*	угол ВОС , если ZAOB = 140 ° и ZAOC = 70 ° .
	*Найдите*	углы треугольника АВС .
в ) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D , что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см.	*Найдите*	периметр треугольника АВС , если AB + AD = 28 см .
	*Найдите*	угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см.	*Найдите*	сумму АВ + AD .
	*Найдите*	угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
	*Найдите*	углы равнобедренного треугольника , если один из его внешних углов равен 100 ° .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .
	*Найдите*	угол между биссектрисами углов АОР и BOQ . г )
	*Найдите*	углы ВАМ и ВСМ .
	*Найдите*	периметр треугольника ВСМ .
	*Найдите*	угол между часовой и минутной стрелками часов , если они показывают : а ) 9 ч ; б ) 14 ч ; в ) 18 ч ; г ) 19 ч ; д ) 19 ч 30 мин .
в котором АВ = 6 см. Периметры треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см.	*Найдите*	сторону ВС .
	*Найдите*	длину данного отрезка .
	*Найдите*	каждый из этих углов .
	*Найдите*	число точек , каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых .
	*Найдите*	длину отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
	*Найдите*	углы АОР и BOQ , если ZPOQ = 25 ° , ZMOP = 20 ° и ZMOQ = 45 ° .
	*Найдите*	углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
	*Найдите*	углы АОР и BOQ , если ZPOQ = 50 ° , ZMOP = 30е и ZMOQ = 20е .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности радиуса 6 см.	*Найдите*	хорду АВ .
	*Найдите*	радиус окружности .
Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d.	*Найдите*	АВ и расстояние между серединами отрезков AM и MN .
б )	*Найдите*	сторону равнобедренного треугольника , если две другие стороны равны 5 см и 2 см .
	*Найдите*	длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
	*Найдите*	углы между касательной и хордой .
	*Найдите*	длины отрезков АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
	*Найдите*	эти углы .
	*Найдите*	угол АВМ .
21	*Найдите*	угол АОС , если .
	*Найдите*	остальные четыре угла .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см.	*Найдите*	расстояние от точки А до прямой ВС . д ) Угол прямоугольного треугольника равен 30 ° .
	*Найдите*	угол ВМН .
	*Найдите*	расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С.	*Найдите*	длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
	*Найдите*	углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол , образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
	*Найдите*	АВ . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
	*Найдите*	угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от вершин треугольника , лежит в его внутренней области .
Расстояние между серединами средних частей равно 7 см.	*Найдите*	расстояние между серединами крайних частей .
	*Найдите*	угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
	*Найдите*	угол CPQ .
	*Найдите*	угол NMC .
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е.	*Найдите*	АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите , что .
	*Найдите*	угол между отрезками касательных , проведёнными из указанной точки к данной окружности .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 и 3 . 153 .
94	*Найдите*	угол А и докажите , что BQ BR .
	*Найдите*	остальные три угла .
	*Найдите*	дугу АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на окружности .
	*Найдите*	сумму углов 1 , 2 , 3 , 4 и 5 . 161 .
	*Найдите*	углы этого треугольника .
	*Найдите*	углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , точка М — середина стороны AD .
Прямая АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в точке В.	*Найдите*	угол АМВ .
11 а )	*Найдите*	угол ВОС , если ZAOB = 70 ° и ZAOC = 35 ° .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см.	*Найдите*	угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см.	*Найдите*	длину отрезка АВ .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q.	*Найдите*	расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
	*Найдите*	длину отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см.	*Найдите*	расстояние от точки О до прямой АВ .
равном 24 см , отменены точки Р и Q.	*Найдите*	расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
	*Найдите*	угол МАВ .
	*Найдите*	углы ACM и ВСМ .
	*Найдите*	ВС .
	*Найдите*	эти углы , .
25	*Неравенство*	треугольника .
	*Неравенство*	треугольника .
	*Неразвёрнутый*	угол СОВ составляет часть развёрнутого угла АОВ .
	*Неразвёрнутый*	угол разделяет плоскость на две части , одна из которых называется внутренней , а другая — внешней областью этого угла .
	*Неразвёрнутый*	угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла .
	*Обратное*	утверждение : « если углы равны , то они вертикальные » , конечно же , неверно .
	*Обратной*	теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника : если два угла треугольника равны , то этот треугольник равнобедренный .
	*Окружность*	радиуса г с центром О .
	*Окружность*	.
	*Окружностью*	называется геометрическая фигура , состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
	*Опишите*	основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла .
	*Основание*	перпендикуляра , проведённого из точки к прямой .
Докажите , что АВ = ВС . ж )	*Основания*	высот ААХ и ВВ1 треугольника АВС лежат на его сторонах .
	*Остроугольный треугольник*	.
	*Отложите*	от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
	*Отложите*	от луча ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
	*Отложить*	от данного луча угол , равный данному .
	*Отрезок*	АН — высота треугольника АВС , в котором 27 ° .
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν.	*Отрезок*	AN называется биссектрисой треугольника .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з )	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , что .
	*Отрезок*	, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
	*Отрезок*	тоже геометрическая фигура .
	*Отрезок*	АН — перпендикуляр к прямой а .
	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , в котором .
	*Отрезок*	, соединяющий две точки окружности , называется хордой .
	*Отрезок*	АВ не имеет общих точек с прямой CD .
	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС , в котором .
	*Отрезок*	BD — высота треугольника .
	*Отрезок*	, соединяющий две вершины и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
	*Отрезок*	.
а )	*Отрезок*	АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
	*Отрезок*	, соединяющий точку А с точкой Н прямой а , называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой а .
Докажите , что АС BD . е )	*Отрезок*	ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
96	*Отрезок*	ААг — биссектриса треугольника АВС .
	*Отрезок*	АВ — общее основание равнобедренных треугольников АВС и ABD .
88	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , причём .
	*Отрезок*	с концами А и В также обозначают двумя буквами : АВ или ВА .
	*Отрезок*	AM называется наклонной , проведённой из точки А к прямой а .
18	*Отрезок*	разделен на n равных частей .
	*Отрезок*	BD — высота треугольника АВС с прямым углом В. Известно , что АВ = 2BD .
	*Отрезок*	АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з )	*Отрезок*	AD — медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
	*Отрезок*	МО — медиана этого треугольника , а следовательно , и высота , поэтому М01АВ .
	*Отрезок*	, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр , называется диаметром .
Найдите длину отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д )	*Отрезок*	АВ разделён на четыре неравные части .
	*Отрезок*	АВ — диаметр окружности .
	*Отрезок*	AD — высота треугольника АВС .
	*Отрезок*	CD накладывается на луч АВ .
	*Отрезок*	AD — биссектриса треугольника АВС с неравными сторонами АВ и АС .
87	*Отрезок*	AM — медиана треугольника АВС , причём .
а )	*Отрезок*	АВ — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС .
Найдите длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д )	*Отрезок*	длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
в )	*Отрезок*	CD — высота треугольника АВС с прямым углом С. Известно , что .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D.	*Отрезок*	OD — искомый , так как OD АВ .
27 а )	*Периметр*	треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС .
в )	*Периметр*	треугольника АВС отличается от периметра треугольника BCD на 6 см Найдите периметр треугольника ABD . г ) Отрезки DB и DC равны .
	*Периметр*	— от греческих περί [ пери ] — вокруг , около и μετράν [ метрей и ] — измерять .
	*Периметр*	треугольника ABD равен 33 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD . г ) Отрезки АВ и АС равны и .
28 а )	*Периметр*	треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б ) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
	*Периметр*	треугольника .
в ) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D.	*Периметры*	треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD .
в котором АВ = 6 см.	*Периметры*	треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см. Найдите сторону ВС .
98	*Перпендикуляр*	МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
	*Перпендикуляр*	АН является катетом , а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного треугольника АНМ .
	*Перпендикуляр*	— от латинского perpendicularis ( отвесный ) .
	*Перпендикуляр*	, проведённый из точки к прямой .
9 Перпендикулярные прямые	*Перпендикуляр*	к прямой .
	*Перпендикуляр*	, проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е )	*Перпендикулярные*	прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
	*Перпендикулярные*	прямые .
9	*Перпендикулярные*	прямые Перпендикуляр к прямой .
	*Полуокружность*	.
	*Приведите*	два решения этой задачи .
	*Приведите*	пример доказательства теоремы методом от противного .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а	*Проекцией*	отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
	*Проекцией*	точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в некоторой точке М.	*Проекцией*	этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
24	*Проекция*	отрезка .
	*Проекция*	отрезка на прямую . — точки на прямую .
	*Прямая*	а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
	*Прямая*	, как и любая геометрическая фигура , состоит из точек .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б.	*Прямая*	АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
	*Прямая*	АВ — касательная к окружности , В — точка касания .
	*Прямая*	а — серединный перпендикуляр к отрезку AS .
	*Прямая*	, на которой лежат его стороны , разделяет плоскость на две полуплоскости .
	*Прямая*	ΜΧΝ пересекает отрезок АВ в точке М .
	*Прямая*	.
	*Прямая*	АВ касается одной окружности в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
	*Прямоугольник*	, все стороны которого равны , называется квадратом .
	*Прямоугольник*	составлен из четырёх отрезков .
	*Прямоугольник*	ABCD .
18	*Прямоугольник*	.
	*Прямоугольник*	.
	*Прямоугольные*	треугольники .
	*Прямоугольные*	треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
	*Прямоугольные*	треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
	*Прямоугольные*	треугольники ОНА и ОНВ равны по двум катетам .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по катету и противолежащему углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по катету и прилежащему острому углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по гипотенузе и острому углу .
	*Прямоугольные*	треугольники равны по двум катетам .
	*Прямоугольные*	треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому углу по условию , поэтому .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по гипотенузе и острому углу .
	*Прямоугольные треугольники*	.
	*Прямоугольные треугольники*	равны по катету и прилежащему острому углу .
	*Прямоугольные треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
	*Прямоугольные треугольники*	ОНА и ОНВ равны по двум катетам .
	*Прямоугольные треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
	*Прямоугольные треугольники*	АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и острому углу по условию , поэтому .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по двум катетам .
	*Прямоугольные треугольники*	равны по катету и противолежащему углу .
20	*Прямоугольный*	треугольник с углом в 30 ° .
	*Прямоугольный*	треугольник .
	*Прямоугольный треугольник*	.
20	*Прямоугольный треугольник*	с углом в 30 ° .
	*Прямую*	, проходящую через две точки , например А и В , иногда обозначают двумя буквами : АВ или ВА .
	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
в )	*Прямые*	ОА и ОВ взаимно перпендикулярны и ZAOC = ZBOD .
	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
	*Прямые*	АВ и АС — касательные к окружности .
	*Прямые*	ОА и ОВ , а также прямые ОС и OD взаимно перпендикулярны .
Найдите угол АМВ . е )	*Прямые*	МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
	*Прямые*	AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса угла POQ .
Так , например , против равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и CV	*Равенство*	треугольников АВС и А1В1С1 условимся обозначать так .
4	*Равенство*	геометрических фигур .
	*Равнобедренный*	треугольник .
	*Равнобедренный треугольник*	.
	*Радиус*	— от латинского radius ( спица в колесе ) .
	*Радиус*	окружности .
а )	*Радиус*	О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
	*Разделите*	данный угол в 35 ° на семь равных частей .
	*Разделите*	данный угол в 54 ° на три равные части .
	*Решение*	.
	*Секунда*	.
	*Секунда*	— от латинского secunda divisio , второе деление градуса Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
	*Секущая*	по отношению к окружности .
	*Сторона*	и два угла одного треугольника равны какой - то стороне и каким - то двум углам другого треугольника .
Докажите . г )	*Сторона*	АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
	*Сторону*	прямоугольного треугольника , лежащую против прямого угла , называют гипотенузой , а две другие стороны — катетами .
52 а )	*Стороны*	треугольника АВС связаны соотношением .
	*Стороны*	треугольника . — угла . — четырёхугольника .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж )	*Стороны*	АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на отрезки AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
51 а )	*Стороны*	треугольника АВС связаны неравенствами .
27	*Сумма*	углов треугольника .
	*Сумма*	углов треугольника равна 180 ° .
	*Сумма*	длин всех сторон треугольника называется его периметром .
Следовательно , прямая а перпендикулярна к радиусу О А.	*Теорема*	доказана .
11	*Теорема*	об углах равнобедренного треугольника .
	*Теорема*	доказана .
	*Теорема*	.
13	*Теорема*	о высоте равнобедренного треугольника .
Поэтому , т . е . луч AM — биссектриса угла А.	*Теорема*	доказана .
Следовательно , наше предположение неверно , а значит , из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а	*Теорема*	доказана .
	*Теорема*	. — о биссектрисе угла .
	*Теорема*	— греческое слово θεώρημα , означающее рассматриваю , обдумываю .
Следовательно , отрезок АН — перпендикуляр к прямой а	*Теорема*	доказана .
	*Теоремой*	, обратной данной , называется такая теорема , в которой условием является заключение данной теоремы , а заключением — её условие .
26	*Теоремы*	о соотношениях между сторонами и углами треугольника .
	*Точка*	Н — основание перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
	*Точка*	М и N — середины отрезков АВ и ВС .
в )	*Точка*	М — середина основания ВС равнобедренного треугольника АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
27 а ) Периметр треугольника АВС , отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD , если АВ = BD - DA = DC . б )	*Точка*	М — середина стороны АС треугольника АВС .
	*Точка*	О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
85	*Точка*	М лежит во внутренней области треугольника АВС .
Найдите угол ADC . ж )	*Точка*	, равноудалённая от вершин треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
	*Точка*	отрезка , делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
	*Точка*	М — середина отрезка АВ .
	*Точка*	М расположена внутри треугольника АВС так , что AM АВ .
Найдите угол ADC . ж )	*Точка*	, равноудалённая от вершин треугольника , лежит в его внутренней области .
	*Точка*	.
	*Точка*	D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной А треугольника АВС .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В.	*Точка*	М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
	*Точка*	С лежит на прямой АВ , причем .
1	*Точка*	, прямая , отрезок .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г )	*Точка*	М лежит на прямой АВ .
	*Точка*	Мх — проекция точки М на прямую OQ Ах Мх Вх .
84	*Точка*	М лежит во внутренней области треугольника АВС .
28 а ) Периметр треугольника ABD равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD , если АВ = BD = DA = DC . б )	*Точка*	М — середина стороны АС треугольника АВС , сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм , периметр треугольника АВМ равен 16 мм .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14	*Точка*	С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
	*Точка*	С лежит на прямой АВ Расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно d.
если прямые АН и а перпендикулярны	*Точка*	Н называется основанием перпендикуляра АН .
равном 24 см , отменены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г )	*Точка*	М лежит на прямой АВ .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а , пересекаются в некоторой точке М.	*Точка*	М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .
55	*Точка*	С лежит на прямой АВ , а точка D не лежит на этой прямой .
	*Точка*	А лежит внутри неразвёрнутого угла hk ( т . е .
17	*Точка*	М — середина отрезка АВ , а точка N — середина отрезка МВ .
	*Точка*	Аг лежит как на луче ВС. так и на луче СВ , т .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д )	*Точка*	С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
б )	*Точка*	М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
	*Точки*	М и N — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD с прямыми углами А и В. Докажите , что .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г )	*Точки*	Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
	*Точки*	А , В и С лежат на окружности , прямая МА — касательная к ней .
Найдите дугу АВ . б )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности .
99 а )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности с центром О , причем .
Докажите , что . б )	*Точки*	М , N. Е и F лежат на окружности с центром О , причём точка О равноудалена от прямых MN и EF .
	*Точки*	С и С расположены по разные стороны от прямой АВ , причем .
в )	*Точки*	А и Б лежат по разные стороны от прямой CD , причём .
а )	*Точки*	Μ , N , Р и Q лежат на окружности с центром О , причём .
	*Точки*	А и В лежат по одну сторону от прямой а .
г )	*Точки*	Р и Q лежат на касательной к окружности с центром О так , что OP OQ , PQ 20 см и ZPOQ 90 ° .
	*Точки*	А и В лежат на касательной к окружности с центром О по разные стороны от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
	*Точки*	М v N — середины сторон АВ и АС треугольника АВС .
	*Точки*	А и В лежат по разные стороны от прямой CD , причём .
	*Точки*	А и С лежат по разные стороны от прямой BD , а точки В и D — по разные стороны от прямой АС .
	*Точки*	М и N — середины сторон АВ и AD .
Докажите , что АВ CD . б )	*Точки*	А , В , С и D лежат на окружности с центром О , причем АВ CD .
	*Точки*	Ах и Вх — проекции точек А и Б на прямую OQ .
	*Точки*	А и Ах лежат по одну сторону от этой прямой ( поскольку прямые АА1 и ΜΧΝ не пересекаются ) , точки В и В1 также лежат по одну сторону от прямой ΜΧΝ , а точки А , и Вх лежат по разные стороны от этой прямой .
	*Точки*	К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между точками К и М , а два отрезка с концами в данных точках имеют общую середину .
	*Точки*	А , В , С и D лежат на одной окружности , луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
	*Третий*	признак равенства треугольников .
17	*Третий*	признак равенства треугольников .
10	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	называется равнобедренным .
Обозначим одну из них буквой С.	*Треугольник*	АВС — искомый .
	*Треугольник*	, у которого все стороны равны , называется равносторонним .
	*Треугольник*	СВХСХ равнобедренный , поэтому .
	*Треугольник*	можно увидеть и на фасаде здания .
	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его основании острый .
	*Треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу .
91	*Треугольники*	АВС и DEF равносторонние .
	*Треугольники*	АМН и АМК равны по гипотенузе и катету .
	*Треугольники*	.
	*Трисекция*	— от латинского tri ( натрое ) и sectio ( рассечение ) .
	*Трисекция*	угла .
	*Тупоугольный*	треугольник .
	*Тупоугольный треугольник*	.
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч , перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС.	*Угол*	В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
	*Угол*	называется прямым , если он равен 90 ° .
	*Угол*	.
32	*Угол*	между касательной и хордой .
	*Угол*	, меньший прямого , называется острым , а угол , больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
	*Угол*	4 — внешний угол , смежный с углом 3 данного треугольника .
	*Угол*	3 в сумме с углом 4 составляет 180 ° .
	*Угол*	, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Найдите углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б )	*Угол*	, образованный биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
5	*Угол*	между равными стропилами крыши дома равен 90е .
Докажите , что . г ) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС . д )	*Угол*	прямоугольного треугольника равен 30 ° .
Найдите углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б )	*Угол*	, образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
	*Угол*	DEF накладывается на угол АВС .
Докажите , что ЗАС = 4AD . г )	*Угол*	В равнобедренного треугольника АВС равен 120 ° .
	*Угол*	с вершиной О и сторонами ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается « угол АОВ » ) .
3	*Угол*	.
	*Угол*	называется развёрнутым , если его стороны лежат на одной прямой .
	*Угол*	2 является смежным как с углом 1 , так и с углом 3 .
	*Угол*	РВА ( угол между касательной PQ и хордой АВ ) равен .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О.	*Угол*	MOQ — искомый .
	*Угол*	между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого угла дуги .
	*Угол*	— это геометрическая фигура , состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой точки .
	*Угол*	с вершиной в центре окружности называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
	*Фигуру*	, состоящую из неразвёрнутого угла и его внутренней области , также называют углом .
	*Фигуры*	равные .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О.	*Хорда*	АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
	*Хорда*	— от греческого χορδή ( струна , жила ) .
	*Хорда*	окружности .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С.	*Хорды*	BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
	*Центр*	окружности . ч .
	*Четырёхугольник*	ABCD называется прямоугольником , если углы ABC , BCD , CDA и DAB прямые .
	*Четырёхугольник*	.
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами	*биссектриса*	прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Сравните отрезки АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны , луч ОЕ —	*биссектриса*	угла ВОС .
Докажите , что луч ВР —	*биссектриса*	угла CBD .
Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС с неравными сторонами АВ и АС .
Докажите , что отрезок ME —	*биссектриса*	угла АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть	*биссектриса*	этого угла .
д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е , луч OQ —	*биссектриса*	угла ВОР .
Докажите , что этот треугольник — остроугольный . з ) Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , что .
б ) Луч ОМ —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 60 ° .
96 Отрезок ААг —	*биссектриса*	треугольника АВС .
Известно , что . Докажите , что луч AM —	*биссектриса*	угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что луч ОЕ —	*биссектриса*	угла POQ .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН —	*биссектриса*	и высота треугольника .
Докажите , что если острый угол и	*биссектриса*	, проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Сравните отрезки АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны , луч ОЕ —	*биссектриса*	угла AOD .
74 Отрезки АН и AD — высота и	*биссектриса*	треугольника АВС .
Поэтому , т . е . луч AD —	*биссектриса*	данного угла А .
Найдите угол АОМ , если ZAOB = 120е и ZAOM = 2ZBOM . д ) Луч ОР —	*биссектриса*	угла АОВ .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса угла АСВ , а луч OQ —	*биссектриса*	угла АОВ .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ —	*биссектриса*	угла АСВ , а луч OQ — биссектриса угла АОВ .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если	*биссектриса*	треугольника является его высотой , то этот треугольник равнобедренный .
луч OQ —	*биссектриса*	угла ВОР .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН —	*биссектриса*	и высота равнобедренного треугольника АВС с основанием АС .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон есть	*биссектриса*	этого угла .
д ) Докажите , что если в треугольнике	*биссектриса*	является медианой , то этот треугольник — равнобедренный .
в ) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья	*биссектриса*	проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Отрезок AD —	*биссектриса*	треугольника АВС , в котором .
Поскольку мы установили , что	*биссектриса*	, медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Это и есть искомая	*биссектриса*	данного угла А .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА —	*биссектриса*	угла СВМ .
122 * Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны , луч АВ —	*биссектриса*	угла DAE .
AN —	*биссектриса*	треугольника АВС .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО —	*биссектриса*	угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Луч I —	*биссектриса*	угла hk .
Поэтому , т . е . луч AM —	*биссектриса*	угла А. Теорема доказана .
б ) Луч ОМ —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 100е .
д ) Луч ОР —	*биссектриса*	угла АОВ , равного 144е , луч OQ — биссектриса угла ВОР .
Докажем , что луч AM —	*биссектриса*	угла А .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является высотой и	*биссектрисой*	.
6 Какой отрезок называется	*биссектрисой*	треугольника ?
Является ли луч ОЕ	*биссектрисой*	угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Является ли луч ОЕ	*биссектрисой*	угла AOD ?
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и	*биссектрисой*	треугольника АВС .
Высота равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является медианой и	*биссектрисой*	.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ν. Отрезок AN называется	*биссектрисой*	треугольника .
Луч , исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла , называется	*биссектрисой*	этого угла .
11 Какой луч называется	*биссектрисой*	угла ? .
Из этого следует , что отрезок AD является медианой и	*биссектрисой*	треугольника АВС .
Построить	*биссектрису*	данного неразвёрнутого угла .
58 Докажите , что каждый угол имеет	*биссектрису*	.
24 Объясните , как построить	*биссектрису*	данного неразвёрнутого угла .
Точки А , В , С и D лежат на одной окружности , луч BD содержит	*биссектрису*	ВМ треугольника АВС .
23 Свойство	*биссектрисы*	угла .
Три	*биссектрисы*	треугольника пересекаются в одной точке .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три	*биссектрисы*	треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
в ) Две	*биссектрисы*	треугольника проходят через точку О. Докажите , что и третья биссектриса проходит через точку О . г ) Точки Н v К — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите , что . Рассмотрите все возможные случаи .
Опишите основанный на этом факте способ построения	*биссектрисы*	угла .
Любой треугольник имеет три медианы три	*биссектрисы*	и три высоты .
Начинается она с построения равностороннего треугольника , затем следуют построение	*биссектрисы*	угла и построение перпендикуляра к прямой .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения	*биссектрисы*	внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ .
Каждая точка	*биссектрисы*	неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку пересечения его медианы AM и	*биссектрисы*	BD .
31 Докажите теорему : каждая точка	*биссектрисы*	неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон .
Рассмотрите все возможные	*варианты*	.
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что	*величина*	и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и	*величина*	угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
	*Величину*	центрального угла АОВ .
37 Докажите , что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его	*вершин*	.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его	*вершин*	.
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке D , точка О равноудалена от всех	*вершин*	треугольника .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его	*вершин*	, поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Докажите , что . г ) Докажите , что медиана АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от	*вершин*	треугольника .
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от	*вершин*	треугольника , лежит в его внутренней области .
Найдите угол ADC . ж ) Точка , равноудалённая от	*вершин*	треугольника , лежит во внешней области одного из его углов .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две высоты , проведённые из	*вершин*	основания , равны .
На сторонах этого треугольника постройте точки , равноудалённые от	*вершин*	А и Б . л )
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно ,	*вершина*	прямого угла лежит на этой окружности .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах ,	*вершина*	В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Угол ,	*вершина*	которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились	*вершина*	А копии с вершиной А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а	*вершина*	С копии — с вершиной В треугольника .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы	*вершина*	В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы	*вершина*	Е совместилась с вершиной Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
Противоположными являются сторона ВС и	*вершина*	А , сторона СА и вершина В , сторона АВ и вершина С .
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то	*вершина*	прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то	*вершина*	прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Поэтому	*вершина*	С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей точкой лучей АХСХ и ВХСХ , т .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А , сторона СА и	*вершина*	В , сторона АВ и вершина С .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы	*вершина*	А копии совместилась с вершиной А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Противоположными являются сторона ВС и вершина А , сторона СА и вершина В , сторона АВ и	*вершина*	С .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы	*вершина*	А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при	*вершинах*	В и С треугольника АВС , пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Биссектрисы внешних углов при	*вершинах*	В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в	*вершине*	А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
64 На сторонах ОК и OL треугольников ОКБ и OLC с прямыми углами при	*вершине*	О отмечены точки А и D. Известно , что OA OD , AK DL и ZKAB ZCDL .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Av а стороны АВ и АС наложились на лучи АХВХ и АгСг .
Что называется	*вершиной*	угла и что — сторонами угла ? .
точка А совпадает с	*вершиной*	угла ) , то их проекции АВХ и CXDX равны .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а вершины С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов с	*вершиной*	О изображено на рисунке 33 ?
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с	*вершиной*	А треугольника , а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с	*вершиной*	Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по отрезку .
г ) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов с	*вершиной*	О изображено ?
Угол с	*вершиной*	в центре окружности называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
Общее начало двух лучей называется	*вершиной*	угла , а сами лучи — сторонами угла .
Угол с	*вершиной*	О и сторонами ОА и ОВ обозначают так : ZAOB ( читается « угол АОВ » ) .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с	*вершиной*	С треугольника , а вершина С копии — с вершиной В треугольника .
Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с	*вершиной*	А треугольника АВС .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника , а вершина С копии — с	*вершиной*	В треугольника .
Наложим угол DEF на угол АВС так , чтобы вершина Е совместилась с	*вершиной*	Б , сторона ED совместилась со стороной ВА , а стороны EF и ВС оказались по одну сторону от прямой ВА .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с	*вершиной*	Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с	*вершиной*	Ах , вершина В — с вершиной Вх , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с	*вершиной*	А и продолжения медианы СМ .
123 На сторонах угла с	*вершиной*	О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с	*вершиной*	А треугольника , а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Поэтому точка А копии совместится с	*вершиной*	А треугольника .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной	*вершиной*	, не больше боковой стороны .
Отрезок , соединяющий	*вершину*	треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
Две стороны четырёхугольника , имеющие общую	*вершину*	, называются смежными , а две стороны , не имеющие общей вершины , — противоположными .
Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную	*вершину*	, а для каждой вершины — противоположную сторону .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий	*вершину*	треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через	*вершину*	треугольника .
д ) Через	*вершину*	неразвёрнутого угла провели прямую .
В треугольнике АВС высота , проведённая из	*вершины*	А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
б ) по острому углу и биссектрисе , проведённой из	*вершины*	этого угла .
	*Вершины*	, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами , сторонами и углами другого .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной	*вершины*	, делят угол треугольника на три равных угла .
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то медиана , проведённая из	*вершины*	этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Перпендикуляр , проведённый из	*вершины*	треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника .
Что такое стороны ,	*вершины*	, углы и периметр треугольника ? .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из	*вершины*	В , лежит на стороне ? .
Что такое	*вершины*	, смежные стороны , противоположные стороны и диагонали четырёхугольника ? .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из	*вершины*	В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же	*вершины*	.
Если	*вершины*	треугольника обозначены какими - нибудь буквами , например А , В и С , то его называют треугольником АВС ( или ВАС , или САВ и т . д. ) .
Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную вершину , а для каждой	*вершины*	— противоположную сторону .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из	*вершины*	В , лежит на продолжении стороны ? .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если медиана , проведённая из	*вершины*	этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все	*вершины*	треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
по углу , высоте и биссектрисе , проведённым из	*вершины*	этого угла ; .
Найдите расстояние от	*вершины*	С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам , одна из которых проведена из	*вершины*	этого угла .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы вершины А и Av В и Вх совместились , а	*вершины*	С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так , чтобы	*вершины*	А и Av В и Вх совместились , а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой ΑγΒλ .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из	*вершины*	прямого угла , равна половине гипотенузы .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из	*вершины*	этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Луч , исходящий из	*вершины*	угла и делящий его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Если же точка М не лежит на прямой АВ , то точки А , В и М —	*вершины*	равнобедренного треугольника , так как АМ - ВМ по условию .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из	*вершины*	прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из	*вершины*	этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если луч исходит из	*вершины*	неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Приложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , вершина В — с вершиной Вх , а	*вершины*	С и Сх оказались по разные стороны от прямой АХВХ .
Две стороны четырёхугольника , имеющие общую вершину , называются смежными , а две стороны , не имеющие общей	*вершины*	, — противоположными .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до	*вершины*	прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до	*вершины*	прямого угла равно длине одного из катетов .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник АХВХСХ так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах , сторона АВ — с равной ей стороной АХВХ , а	*вершины*	С и Сх оказались по одну сторону от прямой АХВХ .
Отрезок , соединяющий две	*вершины*	и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
Центральный угол АОВ на 27 ° больше	*вписанного*	угла , опирающегося на дугу АВ .
17 Докажите , что	*вписанные*	углы , опирающиеся на одну и ту же дугу , равны .
5 )	*вписанный*	угол , опирающийся на диаметр , прямой .
—	*вписанный*	.
Поскольку	*вписанный*	угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Рассмотрим	*вписанный*	угол АВС , опирающийся на дугу АС окружности , и докажем , что .
18 Докажите , что	*вписанный*	угол , опирающийся на полуокружность , прямой .
Говорят , что	*вписанный*	угол опирается на дугу , заключённую внутри этого угла .
Эту задачу можно решить другим способом , основанным на том , что	*вписанный*	угол , опирающийся на полуокружность , прямой .
16 Какой угол называется	*вписанным*	?
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность , называется	*вписанным*	углом .
В третьей книге « Начал » обсуждаются свойства	*вписанных*	углов и касательных .
Докажите , что АВ = ВС . ж ) Основания	*высот*	ААХ и ВВ1 треугольника АВС лежат на его сторонах .
Докажите , что основания	*высот*	остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
Сколько	*высот*	имеет треугольник ? .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его	*высот*	.
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других	*высот*	— на продолжениях сторон .
73 Докажите , что основание одной из	*высот*	тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
75 Продолжения	*высот*	ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым углом А пересекаются в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС , отрезки AD и АН — биссектриса и	*высота*	треугольника .
В треугольнике АВС	*высота*	, проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а высота , проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
Отрезок МО — медиана этого треугольника , а следовательно , и	*высота*	, поэтому М01АВ .
АН —	*высота*	треугольника АВС .
Найдите угол А . б ) Две стороны и	*высота*	, проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них , другого треугольника .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН —	*высота*	этого треугольника .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней	*высота*	и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD —	*высота*	, проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
74 Отрезки АН и AD —	*высота*	и биссектриса треугольника АВС .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и	*высота*	равнобедренного треугольника АВС с основанием АС .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что	*высота*	прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Отрезок BD —	*высота*	треугольника .
Отрезок АН —	*высота*	треугольника АВС , в котором 27 ° .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН —	*высота*	этого треугольника .
Отрезок BD —	*высота*	треугольника АВС с прямым углом В. Известно , что АВ = 2BD .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и	*высота*	равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
в ) Отрезок CD —	*высота*	треугольника АВС с прямым углом С. Известно , что .
Отрезок AD —	*высота*	треугольника АВС .
В треугольнике АВС высота , проведённая из вершины А , не меньше стороны ВС. а	*высота*	, проведённая из вершины В , не меньше стороны АС Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и	*высота*	, проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и	*высотам*	, проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте остроугольный треугольник по стороне и двум	*высотам*	, проведённым к другим сторонам .
Постройте остроугольный треугольник по углу и двум	*высотам*	, одна из которых проведена из вершины этого угла .
Постройте остроугольный треугольник по двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к одной из них .
Найдите угол А . б ) Две стороны и высота , проведённая к одной из них , одного треугольника соответственно равны двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к одной из них , другого треугольника .
Сформулируйте следствия из теоремы о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
Постройте остроугольный треугольник АВС по разности углов А и В ,	*высоте*	CD и стороне ВС .
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и	*высоте*	, проведённой к основанию .
а ) по острому углу и	*высоте*	, проведённой к гипотенузе ; .
Постройте равнобедренный треугольник по	*высоте*	, проведённой к основанию , и углу при основании .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма длин перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна	*высоте*	этого треугольника .
Докажем теорему о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
Постройте остроугольный треугольник АВС по стороне АВ ,	*высоте*	АН и углу А . р )
по углу ,	*высоте*	и биссектрисе , проведённым из вершины этого угла ; .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней	*высоте*	и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
	*Высоте*	равнобедренного треугольника .
8 Сформулируйте и докажите теорему о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
б ) по двум сторонам и	*высоте*	, проведённой к третьей стороне ; .
Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов А и В ,	*высоте*	BD и стороне АС .
13 Теорема о	*высоте*	равнобедренного треугольника .
45 а ) Докажите , что если две высоты треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и	*высоте*	, проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Биссектриса равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является	*высотой*	и медианой .
Докажите , что если , то .. б ) Докажите , что если медиана треугольника является его	*высотой*	.
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между	*высотой*	и медианой , проведёнными из той же вершины .
Перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется	*высотой*	треугольника .
37 а ) Докажите , что . б ) Докажите , что если биссектриса треугольника является его	*высотой*	, то этот треугольник равнобедренный .
7 Какой отрезок называется	*высотой*	треугольника ?
Медиана МО равнобедренного треугольника AM В является	*высотой*	.
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то отрезок AD копии совместится с	*высотой*	AD треугольника АВС .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к основанию , является	*высотой*	и биссектрисой .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является	*высотой*	.
Докажем справедливость третьего неравенства Проведём	*высоту*	АН .
Пусть , например , в треугольнике АВС острыми являются углы Б и С. Проведём	*высоту*	ААУ .
Известен рассказ о том , что он вычислил	*высоту*	египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
Как узнать	*высоту*	крыши , если известна ширина дома ? .
Докажите , что точка D лежит между серединой стороны ВС и основанием	*высоты*	АН .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание	*высоты*	, проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две	*высоты*	, проведённые из вершин основания , равны .
77 Докажите , что если сторона и	*высоты*	, проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
45 а ) Докажите , что если две	*высоты*	треугольника равны , то этот треугольник — равнобедренный . б ) Докажите , что если сторона , прилежащий к ней угол и высота , проведённая к этой стороне , одного треугольника соответственно равны стороне , прилежащему к ней углу и высоте , проведённой к этой стороне , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Три	*высоты*	треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке .
Отметим , что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих треугольников , но и соответствующие медианы , биссектрисы и	*высоты*	.
Любой треугольник имеет три медианы три биссектрисы и три	*высоты*	.
Если посмотреть на город с большой	*высоты*	, то можно увидеть , что многие дома выглядят как прямоугольники .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три	*высоты*	треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Докажите , что	*высоты*	ВН и BE треугольников АВС и BCD взаимно перпендикулярны .
Отрезки ААХ и ВВ1 —	*высоты*	остроугольного треугольника АВС .
Таким образом , в равных треугольниках соответствующие медианы , биссектрисы и	*высоты*	равны .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание	*высоты*	, проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
70 На рисунке 124 AB CD , AD BC , BE и DF —	*высоты*	треугольников АВС и ADC .
Докажите , что основания высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти	*высоты*	являются биссектрисами .
Окружностью называется	*геометрическая фигура*	, состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Прямая , как и любая	*геометрическая фигура*	, состоит из точек .
Можно сказать , что отрезок — это	*геометрическая фигура*	, состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Отрезок тоже	*геометрическая фигура*	.
Угол — это	*геометрическая фигура*	, состоящая из точки и двух лучей , исходящих из этой точки .
Из точек состоит любая	*геометрическая фигура*	: отрезок , треугольник , окружность , прямоугольник и т .
Простейшие	*геометрические фигуры*	.
Таким образом , можно сказать : две	*геометрические фигуры*	называются равными , если их можно совместить наложением .
Множество всех точек , удовлетворяющих какому - либо условию , называют также	*геометрическим местом точек*	, удовлетворяющих этому условию .
Для изображения	*геометрических фигур*	пользуются различными чертёжными инструментами : линейкой ( в том числе линейкой с делениями ) , циркулем , угольником , транспортиром .
К началу нашей эры геометрия сформировалась как наука , в которой свойства	*геометрических фигур*	изучаются с помощью рассуждений .
Так возникла ещё одна из задач геометрии — задача об изучении взаимного расположения	*геометрических фигур*	.
4 Равенство	*геометрических фигур*	.
Два прямоугольника могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них стороны могут быть меньше или больше , чем у другого ( например , обложка учебника и крышка стола ) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении	*геометрических фигур*	.
Простейшей из	*геометрических фигур*	является точка .
Итак , в геометрии изучаются форма , размеры и взаимное расположение	*геометрических фигур*	.
Можно сказать , что серединный перпендикуляр к отрезку — это	*геометрическое место точек*	, равноудалённых от его концов .
Соединив их тремя отрезками , получим	*геометрическую фигуру*	, называемую треугольником .
Прямую как	*геометрическую фигуру*	мыслят себе простирающейся бесконечно в обе стороны .
Так как катеты прямоугольных треугольников АВН и АСН меньше их	*гипотенуз*	, в частности , и так как и С А ВС , то .
Отметим также , что если диаметром окружности является	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является	*гипотенуза*	, то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету ( AM — общая	*гипотенуза*	, МН = МК по условию ) .
Докажем , что	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника больше катета .
19 Докажите , что если диаметром окружности является	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
	*Гипотенуза*	АВ больше катета АС .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник ,	*гипотенуза*	которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
а ) Отрезок АВ —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника АВС .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС	*гипотенуза*	АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу ( AM — общая	*гипотенуза*	, по условию ) .
21 Докажите , что	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника больше катета .
Диаметр окружности —	*гипотенуза*	прямоугольного треугольника .
Требуется построить прямоугольный треугольник ,	*гипотенуза*	которого равна ΜΝ , а один из катетов равен PQ .
Если	*гипотенуза*	и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если	*гипотенуза*	и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Следовательно , луч СМ проходит внутри прямого угла АСВ , а точка М лежит на	*гипотенузе*	АВ .
29 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по	*гипотенузе*	и катету .
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по	*гипотенузе*	и катету .
Построить прямоугольный треугольник по	*гипотенузе*	и катету .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по	*гипотенузе*	и острому углу по условию , поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по	*гипотенузе*	и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Построение прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по	*гипотенузе*	и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Такое название связано с тем , что раньше было принято изображать прямоугольный треугольник стоящим на	*гипотенузе*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*гипотенузе*	и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
40 Построение прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и острому углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Из точки М катета АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к	*гипотенузе*	АВ .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*гипотенузе*	и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и катету .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая к	*гипотенузе*	, равна 7 см , а угол С равен 60 ° .
Прямоугольные треугольники равны по	*гипотенузе*	и острому углу .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к	*гипотенузе*	, разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
а ) по острому углу и высоте , проведённой к	*гипотенузе*	; .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по	*гипотенузе*	и катету ( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
— прямоугольного треугольника по	*гипотенузе*	и катету .
Докажите , что AD BE CF . 92 На	*гипотенузе*	АВ прямоугольного треугольника АВС отмечены такие точки В » и В , что BD ВС и АЕ АС .
93 На	*гипотенузе*	АС прямоугольного треугольника АВС отмечена такая точка Р , что АР АВ .
Сторону прямоугольного треугольника , лежащую против прямого угла , называют	*гипотенузой*	, а две другие стороны — катетами .
Перпендикуляр АН является катетом , а наклонная AM —	*гипотенузой*	прямоугольного треугольника АНМ .
Найдите АВ . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с	*гипотенузой*	ВС равна 8 см. Найдите АВ , если .
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с	*гипотенузой*	ВС равна отрезку BD .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с	*гипотенузой*	О А и катетом ОВ , равным радиусу данной окружности .
Эти треугольники имеют общую	*гипотенузу*	О А и равные катеты ОВ и ОС , поэтому они равны .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей катет АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает	*гипотенузу*	ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Докажем сначала , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине	*гипотенузы*	.
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины	*гипотенузы*	до вершины прямого угла равно длине катета , то один из его углов равен 30 ° .
Так как катет меньше	*гипотенузы*	, то перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Докажите , что расстояние от середины	*гипотенузы*	до вершины прямого угла равно длине одного из катетов .
Докажите , что этот треугольник прямоугольный , а указанная точка — середина	*гипотенузы*	.
Докажем теперь , что если катет прямоугольного треугольника равен половине	*гипотенузы*	, то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетом АС , равным половине	*гипотенузы*	ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
Середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин .
24 Докажите , что если катет прямоугольного треугольника равен половине	*гипотенузы*	, то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Следствие 2 можно сформулировать иначе : медиана прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , равна половине	*гипотенузы*	.
23 Докажите , что катет прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине	*гипотенузы*	.
В самом деле , пусть точка М — середина	*гипотенузы*	АВ прямоугольного треугольника АВС , точка Мх — проекция точки М на прямую АС .
В самом деле , середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
37 Докажите , что середина	*гипотенузы*	прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин .
15 Что такое	*градус*	?
Если два угла равны , то	*градус*	и его части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните :	*градус*	— это — часть развёрнутого угла ) , неразвёрнутый угол меньше 180 ° .
Градусная мера угла показывает , сколько раз	*градус*	и его части укладываются в данном угле .
Обычно за единицу измерения принимают	*градус*	— угол , равный — части развёрнутого угла .
При измерении углов используются также — часть	*градуса*	"( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается знаком "" ) ."
Секунда — от латинского secunda divisio , второе деление	*градуса*	Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
16 Какая часть	*градуса*	называется минутой , а какая — секундой ? .
С помощью центральных углов можно измерять дуги в	*градусах*	.
Например , градусную меру угла , в котором укладывается 35	*градусов*	", 42 минуты и 27 секунд , можно записать так : 35 ° 42'27 "" ."
Пусть ΜΝ и PQ —	*данные*	отрезки , причём .
А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить	*данный*	угол на три равных угла ?
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая	*данный*	луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Разделите	*данный*	угол в 54 ° на три равные части .
Разделите	*данный*	угол в 35 ° на семь равных частей .
Луч ОС и	*данный*	отрезок АВ .
Пусть АВ —	*данный*	отрезок .
По условию	*данный*	радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Секунда — от латинского secunda divisio , второе	*деление*	градуса Транспортир — от латинского transportare ( переносить ) .
Такое	*деление*	было удобно для их вычислений , потому что у них число 60 играло такую же роль , как у нас число 10 .
Оказывается , что многие фигуры можно построить с помощью только циркуля и линейки без	*делений*	.
Луч ОМ	*делит*	угол АОВ на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ ,	*делит*	этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он	*делит*	этот угол на два угла .
Луч . —	*делит*	угол на два угла .
Докажите , что если точка С равноудалена от прямых АВ и AM , то она	*делит*	дугу АСВ пополам .
Докажите , что прямая CD пересекает отрезок АВ и	*делит*	его пополам .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С	*делит*	отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 ) диаметр	*делит*	круг пополам
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ	*делит*	угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
18 Луч ОС	*делит*	угол АОВ на два угла .
Луч ОР	*делит*	угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ	*делит*	угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Луч ОР	*делит*	угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP : луч OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
7 Что означают слова : « луч	*делит*	угол на два угла » ? .
Докажите , что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла	*делит*	пополам угол между высотой и медианой , проведёнными из той же вершины .
Ясно также , что если точка	*делит*	отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Ясно также , что если луч	*делит*	угол на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
г ) Три прямые пересекаются в одной точке и	*делят*	плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
Высота и медиана треугольника , проведённые из одной вершины ,	*делят*	угол треугольника на три равных угла .
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые пересекаются в одной точке и	*делят*	плоскость на шесть углов .
Лучи ВА и ВС	*делят*	развёрнутый угол PBQ на три угла .
Точка отрезка ,	*делящая*	его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
Луч , исходящий из вершины угла и	*делящий*	его на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
4 Можно ли ствол	*дерева*	длиной 10 м распилить на куски длиной : а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
Докажите , что	*диагонали*	прямоугольника равны .
89 В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются , а сторона АВ больше	*диагонали*	BD Докажите , что .
На	*диагонали*	АС квадрата ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC , точка М — середина стороны АВ .
Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника , у которых эта	*диагональ*	является общей стороной , а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от стороны ( отрезки АС и BD ) , называется	*диагональю*	четырёхугольника .
Докажите , что . ж ) Отрезки АВ и АС —	*диаметр*	и хорда окружности .
5 ) вписанный угол , опирающийся на	*диаметр*	, прямой .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 )	*диаметр*	делит круг пополам
Поскольку вписанный угол L опирается на	*диаметр*	ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML — катет , равный PQ .
Поскольку центр окружности является серединой диаметра , то	*диаметр*	окружности в два раза больше её радиуса .
3 Объясните , что такое центр , радиус и	*диаметр*	окружности .
Отрезок АВ —	*диаметр*	окружности .
Если хорда АВ —	*диаметр*	, то дуги , заключённые внутри углов ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
Если прямая а проходит через точку О , то она пересекает окружность в двух точках — концах	*диаметра*	, лежащего на этой прямой .
Поскольку центр окружности является серединой	*диаметра*	, то диаметр окружности в два раза больше её радиуса .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения окружностей с	*диаметрами*	АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На	*диаметре*	АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если	*диаметром*	окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является	*диаметром*	окружности , то дуга называется полуокружностью .
Отметим также , что если	*диаметром*	окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отрезок АВ является	*диаметром*	окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды окружности CD является и	*диаметром*	окружности ) .
Если же хорда АВ не является	*диаметром*	, то острый угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
19 Докажите , что если	*диаметром*	окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Отрезок , соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр , называется	*диаметром*	.
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с	*диаметром*	ВС в точках Р и Q соответственно .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является	*диаметром*	одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
Расстояние от точки до центра данной окружности равно	*диаметру*	этой окружности .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме	*длин*	этих двух отрезков .
Докажите , что четырёхугольник ABCD — прямоугольник . л ) Докажите , что сумма	*длин*	перпендикуляров , проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам , равна высоте этого треугольника .
На практике пользуются приближёнными значениями	*длин*	отрезков , но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Сумма	*длин*	всех сторон треугольника называется его периметром .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда	*длина*	тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому	*длина*	отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Таким образом , при выбранной единице измерения	*длина*	каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то	*длина*	всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
В этом случае говорят , что	*длина*	отрезка АВ равна 3 сантиметрам , или кратко : отрезок АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно	*длине*	одного из катетов .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот момент , когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна	*длине*	самого предмета .
Расстояние от точки А до прямой а равно	*длине*	отрезка АН .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно	*длине*	катета , то один из его углов равен 30 ° .
4 Можно ли ствол дерева длиной 10 м распилить на куски	*длиной*	: а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
5 Электропоезд	*длиной*	100 м проезжает мимо километрового столба за 5 секунд .
За какое время он проедет мост	*длиной*	800 м ? .
Найдите длину отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок	*длиной*	32 см разделён на четыре неравные части .
4 Можно ли ствол дерева	*длиной*	10 м распилить на куски длиной : а ) 70 см и 90 см ; б ) 70 см и 80 см ?
Найдите	*длину*	данного отрезка .
Найдите	*длину*	отрезка AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите	*длину*	отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Найдите	*длину*	отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
Найдите	*длину*	отрезка AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см. Найдите	*длину*	отрезка АВ .
Если же прямая а не проходит через точку О , то проведём перпендикуляр ОН к прямой а и обозначим его	*длину*	, т .
меньший отрезок имеет меньшую	*длину*	.
Найдите	*длины*	отрезков АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
13 Как связаны между собой	*длины*	отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Найдите	*длины*	отрезков АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой	*длины*	отрезков АВ , АС и СВ ? .
равные отрезки имеют равные	*длины*	.
Приведите пример	*доказательства*	теоремы методом от противного .
Воспользуемся методом	*доказательства*	от противного : допустим , что какие - то три точки А , В и С окружности с центром О лежат на некоторой прямой о .
41 Объясните , в чем состоит метод	*доказательства*	от противного .
Начнём с	*доказательства*	первого утверждения .
До греков геометрия представляла собой собрание полученных из опыта правил и фактов , и только у греков появились теоремы и	*доказательства*	, и именно тогда геометрия приобрела близкий к современному вид .
Воспользуемся идеей	*доказательства*	теоремы об углах равнобедренного треугольника .
При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом	*доказательства*	от противного .
41 Объясните , в чем состоит метод	*доказательства от противного*	.
При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом	*доказательства от противного*	.
Воспользуемся методом	*доказательства от противного*	: допустим , что какие - то три точки А , В и С окружности с центром О лежат на некоторой прямой о .
Такой способ рассуждений часто используется в математике при	*доказательствах*	утверждений .
При	*доказательстве*	теоремы мы использовали способ рассуждений , который называется методом доказательства от противного .
24 Что такое теорема и	*доказательство*	теоремы ? .
Например , когда мы ввели понятие вертикальных углов , то сначала сформулировали теорему ( хотя и не называли её теоремой ): вертикальные углы равны , а затем привели	*доказательство*	этой теоремы .
В математике утверждение , справедливость которого устанавливается путем рассуждения , называется теоремой , а само рассуждение —	*доказательством*	теоремы .
Из определения градусной меры дуги следует , что сумма градусных мер двух	*дуг*	окружности с общими концами равна 360 ° .
В тех случаях , когда ясно , о какой из двух	*дуг*	с концами А и Б идет речь , используют краткое обозначение : АВ .
11 Объясните , что такое хорда и	*дуга*	окружности .
13 Объясните , какая	*дуга*	называется полуокружностью .
Градусная мера дуги обозначается так же , как и сама	*дуга*	.
Две дуги с концами А и Б :	*дуга*	АРВ ( синяя ) и дуга AQB ( зелёная ) .
Две дуги с концами А и Б : дуга АРВ ( синяя ) и	*дуга*	AQB ( зелёная ) .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является диаметром окружности , то	*дуга*	называется полуокружностью .
Если дуга А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же	*дуга*	АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
3 На листе бумаги нарисована	*дуга*	окружности .
Обычно говорят кратко :	*дуга*	BCD равна 155 ° , и пишут .
Если	*дуга*	А В окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на	*дуге*	АВ .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на	*дуге*	АВ .
На этой	*дуге*	отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
На	*дуге*	АС , лежащей внутри угла ВАС , отмечена точка М так , что .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой	*дуге*	отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Градусная мера	*дуги*	. — угла .
14 Как определяется градусная мера	*дуги*	?
Таким образом , каждый из углов между касательной ССХ и хордой АВ измеряется половиной заключённой внутри него	*дуги*	.
Градусная мера	*дуги*	обозначается так же , как и сама дуга .
Две	*дуги*	с концами А и Б : дуга АРВ ( синяя ) и дуга AQB ( зелёная ) .
Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого угла	*дуги*	.
Вписанный угол измеряется половиной	*дуги*	, на которую он опирается .
Если хорда АВ — диаметр , то	*дуги*	, заключённые внутри углов ВАС и BAClt являются полуокружностями и , следовательно , равны 180 ° .
АРВ и AQB —	*дуги*	окружности , ограниченные точками Л и В .
Глава 3 . 1 Градусная мера	*дуги*	обода велосипедного колеса , расположенной между двумя соседними спицами , равна 20 .
Из определения градусной меры	*дуги*	следует , что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 ° .
градусная мера	*дуги*	BCD равна 155 ° , поскольку .
Если отрезок , соединяющий концы	*дуги*	, является диаметром окружности , то дуга называется полуокружностью .
С помощью центральных углов можно измерять	*дуги*	в градусах .
31 Хорды и	*дуги*	.
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется	*дугой*	окружности .
Докажите , что если точка С равноудалена от прямых АВ и AM , то она делит	*дугу*	АСВ пополам .
17 Докажите , что вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же	*дугу*	, равны .
опирается на	*дугу*	.
1 Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же	*дугу*	, равны .
Говорят , что вписанный угол опирается на	*дугу*	, заключённую внутри этого угла .
Найдите	*дугу*	АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на окружности .
Вписанный угол АВС опирается на	*дугу*	АМС .
Рассмотрим вписанный угол АВС , опирающийся на	*дугу*	АС окружности , и докажем , что .
Центральный угол АОВ на 27 ° больше вписанного угла , опирающегося на	*дугу*	АВ .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз	*единица*	измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Если же один отрезок меньше другого , то	*единица*	измерения ( или её часть ) укладывается в нём меньшее число раз , чем в другом , т .
Если два отрезка равны , то	*единица*	измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Таким образом , при выбранной	*единице*	измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Измерение углов основано на сравнении их с углом , принятым за	*единицу*	измерения .
Обычно за	*единицу*	измерения принимают градус — угол , равный — части развёрнутого угла .
Конечно , отрезок , принятый за	*единицу*	измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Если за	*единицу*	измерения принят сантиметр , то для измерения отрезка нужно узнать , сколько раз в нём укладывается сантиметр .
Измерение отрезков основано на сравнении их с отрезком , принятым за	*единицу*	измерения .
В странах — участницах Метрической конвенции ( в частности , в России ) в качестве основной	*единицы*	измерения отрезков используется метр .
Наиболее трудные из них отмечены	*звёздочкой*	.
Градус обозначается	*знаком*	° .
При измерении углов используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается	*знаком*	"' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается знаком "" ) ."
При измерении углов используются также — часть градуса ( она называется минутой 60 и обозначается знаком ' ) и — часть минуты ( она называется секундой 60 и обозначается	*знаком*	""" ) ."
На практике пользуются приближёнными	*значениями*	длин отрезков , но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Евклид описывал геометрию как систему предложений ( теорем ) , которые последовательно выводятся из нескольких перечисленных им основных понятий и	*истин*	.
С развитием мореплавания появилась потребность ориентироваться по звёздам и составлять географические	*карты*	.
Прямая АВ	*касается*	одной окружности в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
Каким должен быть радиус окружности с центром А , чтобы она : 1 )	*касалась*	прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 )	*касалась*	прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Точки А , В и С лежат на окружности , прямая МА —	*касательная*	к ней .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и	*касательная*	а .
Одну из точек пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая	*касательная*	.
б ) Через точку А , лежащую на окружности , проведены	*касательная*	АВ и хорда АС .
Пусть а —	*касательная*	к окружности с центром О , А — точка касания .
Допустим , что задача решена и АВ — искомая	*касательная*	.
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая	*касательная*	, пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
а ) Через конец хорды , равной радиусу , проведена	*касательная*	.
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена	*касательная*	к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Через точку С проведена	*касательная*	, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите , что . з ) Исходя , докажите , что .
Прямая АВ —	*касательная*	к окружности , В — точка касания .
В этом случае прямая называется	*касательной*	по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
данная прямая является	*касательной*	к окружности .
В самом деле , по теореме о свойстве	*касательной*	ΖΑΒΟ 90е и ZACO 90 ° , т .
Докажите , что прямая ВС является	*касательной*	к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
7 Какая прямая называется	*касательной*	к окружности ?
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является	*касательной*	.
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является	*касательной*	к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
По признаку	*касательной*	прямая а является искомой касательной .
Проведём через точку В	*касательную*	PQ к окружности .
30 Объясните , как с помощью циркуля и линейки через данную точку провести	*касательную*	к данной окружности .
Две окружности имеют общую точку М и общую	*касательную*	в этой точке .
Через точку О проведена прямая , перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С , а	*касательную*	а в точке D. Докажите , что . з ) Докажите , что .
Через данную точку А провести	*касательную*	к данной окружности с центром О .
Постройте общую	*касательную*	к двум данным окружностям .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие	*касательные*	, не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М , пересекает	*касательные*	С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Прямые АВ и АС —	*касательные*	к окружности .
Рассмотрим две	*касательные*	к окружности с центром О , проходящие через точку А. Пусть Б и С — точки касания .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС —	*касательные*	к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает	*касательные*	СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Прямые МА и МВ —	*касательные*	к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
В третьей книге « Начал » обсуждаются свойства вписанных углов и	*касательных*	.
Отрезки	*касательных*	, проведённые из одной точки .
Найдите угол между отрезками	*касательных*	, проведёнными из указанной точки к данной окружности .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки	*касательных*	к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками	*касательных*	, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
9 Докажите , что отрезки	*касательных*	к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая ,	*касающаяся*	окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и	*касающаяся*	окружностей в точках Ах , В , .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая ,	*касающаяся*	окружности в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ ,	*касающуюся*	окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
98 Перпендикуляр МН к прямой , содержащей	*катет*	АС прямоугольного треугольника АВС , пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно , что ZCDH 50 ° , ZCMH 45 ° и ΖΑΒΗ 10 ° .
Если гипотенуза и	*катет*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
23 Докажите , что	*катет*	прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Так как	*катет*	меньше гипотенузы , то перпендикуляр , проведённый из точки к прямой , меньше любой наклонной , проведённой из той же точки к этой прямой .
Докажем теперь , что если	*катет*	прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
24 Докажите , что если	*катет*	прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого катета , равен 30 ° .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если	*катет*	и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а	*катет*	— меньшему из этих отрезков .
Докажем сначала , что	*катет*	прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы .
Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр ΜΝ , то этот угол — прямой , поэтому ΜΝ — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN , a ML —	*катет*	, равный PQ .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если	*катет*	и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше	*катета*	HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ , если АС = 30 см . д ) Докажите , что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине	*катета*	, то один из его углов равен 30 ° .
24 Докажите , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого	*катета*	, равен 30 ° .
Докажем теперь , что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы , то угол , лежащий против этого	*катета*	, равен 30 ° .
Докажем , что гипотенуза прямоугольного треугольника больше	*катета*	.
Из точки М	*катета*	АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ .
21 Докажите , что гипотенуза прямоугольного треугольника больше	*катета*	.
гипотенуза АВ больше	*катета*	АС .
Если же — различные точки , то прямоугольные треугольники О AM и ОВМ равны по двум	*катетам*	, поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум	*катетам*	; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники ОНА и ОНВ равны по двум	*катетам*	.
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум	*катетам*	; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катетам*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Прямоугольные треугольники равны по двум	*катетам*	.
Дан треугольник АВС с прямым углом А. На	*катете*	АВ постройте точку М , находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС . з )
Требуется построить прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна ΜΝ , а один из	*катетов*	равен PQ .
Докажите , что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из	*катетов*	.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	*катетом*	АС , равным половине гипотенузы ВС , и докажем , что ZB = 30 ° .
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и	*катетом*	ОВ , равным радиусу данной окружности .
Перпендикуляр АН является	*катетом*	, а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного треугольника АНМ .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*катету*	.
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*катету*	( AM — общая гипотенуза , МН = МК по условию ) .
— прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим отрезок AM , равный	*катету*	АС .
Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
26 Сформулируйте и докажите теорему , выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и	*катету*	.
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катету*	и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по	*катету*	и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники равны по	*катету*	и прилежащему острому углу .
Постройте прямоугольный треугольник по	*катету*	и медиане , проведённой к другому катету .
Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане , проведённой к другому	*катету*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*катету*	и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*катету*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
40 Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и	*катету*	.
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по	*катету*	и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по	*катету*	и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по	*катету*	и противолежащему углу .
29 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и	*катету*	.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и	*катету*	.
Докажите , что четырёхугольник PQRS —	*квадрат*	. д ) Из точки М , лежащей во внутренней области острого угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Докажите , что . г ) Изображён	*квадрат*	ABCD , в котором .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС —	*квадрат*	. ж ) Дуга АВ окружности с центром О больше 180 ° .
Докажите , что PS1RS . г )	*квадрат*	ABCD , стороны которого продолжены так , что .
Докажите , что четырёхугольник PQRS —	*квадрат*	. д ) Докажите , что высота прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , разделяет его на два треугольника , углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника . е ) Из точки М стороны АВ треугольника АВС с углом С , равным 72 ° , проведён перпендикуляр МН к стороне АС .
Как с помощью только нити убедиться в том , что это : а ) прямоугольник ; б )	*квадрат*	? .
На диагонали АС	*квадрата*	ABCD отмечена такая точка N , что AN 3NC , точка М — середина стороны АВ .
Три	*квадрата*	.
б ) Точка М — середина стороны АВ	*квадрата*	ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Внутри	*квадрата*	ABCD взята такая точка М , что ZABM 75 ° и ZCDM 30 ° .
На стороне АВ	*квадрата*	ABCD отмечена точка Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q Докажите , что .
8 Плотнику нужно заделать	*квадратное*	отверстие размером 12 см на 12 см , а у него есть только кусок доски размером 9 см на 16 см. Как разрезать этот кусок на две части , чтобы ими можно было точно закрыть отверстие ? .
9 У хозяйки был любимый	*квадратный*	плед размером 3 м на 3 м .
Докажите , что четырёхугольник , стороны которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника , является	*квадратом*	.
Прямоугольник , все стороны которого равны , называется	*квадратом*	.
Какой четырёхугольник называется	*квадратом*	? .
Что такое	*круг*	? .
Считается , что Фалес открыл следующие геометрические факты : 1 ) диаметр делит	*круг*	пополам
Если точка А лежит внутри	*круга*	, ограниченного данной окружностью , то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Таким образом , один конец отрезка HD ( точка Н ) лежит внутри указанного круга , а другой ( точка D ) — вне этого	*круга*	.
Наконец , если точка А лежит вне	*круга*	, ограниченного данной окружностью , то будем рассуждать так .
Таким образом , один конец отрезка HD ( точка Н ) лежит внутри указанного	*круга*	, а другой ( точка D ) — вне этого круга .
1 ° d < г. Поскольку ОН г , то точка Н лежит внутри	*круга*	, ограниченного данной окружностью .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне	*круга*	, ограниченного данной окружностью .
Часть . плоскости , ограниченная окружностью , называется	*кругом*	.
Поскольку углы А и D прямые , то сторона АВ наложится на	*луч*	DC .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что	*луч*	ВА — биссектриса угла СВМ .
Углы AMN и DMN прямые , поэтому луч МА наложится на	*луч*	MD .
Поэтому луч НА наложится на	*луч*	НВ , и , следовательно , угол 1 совместится с углом 2 .
Ответ обоснуйте . е ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите	*луч*	OD так , чтобы выполнялось равенство .
Наложим отрезок CD на	*луч*	АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например ,	*луч*	h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Отрезок CD накладывается на	*луч*	АВ .
Обычно	*луч*	обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите , что	*луч*	ОЕ — биссектриса угла POQ .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на	*луч*	АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС	*луч*	, перпендикулярный к прямой АВ , и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС. Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD .
Углы AMN и DMN прямые , поэтому	*луч*	МА наложится на луч MD .
Постройте	*луч*	ОМ так , чтобы углы МО А и МОВ были равными тупыми углами .
Докажите , что	*луч*	ВР — биссектриса угла CBD .
В результате перегибания по прямой MN точки А и D совместились , а сторона АВ наложилась на	*луч*	DC .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой	*луч*	ОМ , не совпадающий с лучами О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
Если	*луч*	исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Так как , то сторона АС наложится на луч АХСХ , а сторона ВС — на	*луч*	В1С1 .
Так как , то сторона АС наложится на	*луч*	АХСХ , а сторона ВС — на луч В1С1 .
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей	*луч*	О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Сравните отрезки АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны ,	*луч*	ОЕ — биссектриса угла ВОС .
Является ли	*луч*	ОЕ биссектрисой угла AOD ?
Ясно также , что если	*луч*	делит угол на два угла , то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов .
Известно , что . Докажите , что	*луч*	AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно , отрезки МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что	*луч*	АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Требуется построить угол , равный углу А , одной из сторон которого будет	*луч*	ОМ .
Поэтому	*луч*	НА наложится на луч НВ , и , следовательно , угол 1 совместится с углом 2 .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал	*луч*	ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
38 а ) Докажите , что . б )	*луч*	CQ — биссектриса угла АСВ , а луч OQ — биссектриса угла АОВ .
7 Что означают слова : «	*луч*	делит угол на два угла » ? .
38 а ) Докажите , что . б ) луч CQ — биссектриса угла АСВ , а	*луч*	OQ — биссектриса угла АОВ .
Перечертите рисунок 44 в тетрадь и проведите	*луч*	OD так , чтобы выполнялось равенство ZBOD = ZAOC .
Точки А , В , С и D лежат на одной окружности ,	*луч*	BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
Является ли	*луч*	ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например ,	*луч*	О А ) .
11 Какой	*луч*	называется биссектрисой угла ? .
122 * Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны ,	*луч*	АВ — биссектриса угла DAE .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести	*луч*	с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал	*луч*	ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Пусть даны неразвёрнутый угол А ( для развёрнутого угла решение очевидно ) и	*луч*	ОМ .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку М прямую а так , чтобы лучи МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а	*луч*	MR — в другой полуплоскости .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал	*луч*	АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести	*луч*	с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
	*Луч*	OQ — биссектриса угла ВОР .
Можно сказать , что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей	*луч*	ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 100 ° , на два угла так , что 3ZAOP = = lZBOP\	*луч*	OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ - 4ZPOQ .
Поэтому , т . е .	*луч*	AM — биссектриса угла А. Теорема доказана .
Ту из точек пересечения окружностей , которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём	*луч*	AD .
Докажем , что	*луч*	AM — биссектриса угла А .
Луч ОР делит угол АОВ , равный 150е , на два угла так , что 2ZAOP = 3ZBOP :	*луч*	OQ делит угол АОР на два угла так , что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектоисами углов АОВ и POQ . г ) Найдите угол АОМ , если ZAOB - 90 ° и ZAOM = 2ZBOM .
д ) Луч ОР — биссектриса угла АОВ , равного 144е ,	*луч*	OQ — биссектриса угла ВОР .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом А так , чтобы один из них пересекал	*луч*	ВС , а другой не пересекал .
Поэтому , т . е .	*луч*	AD — биссектриса данного угла А .
Сравните отрезки АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны ,	*луч*	ОЕ — биссектриса угла AOD .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный	*луч*	в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два луча с началом М так , чтобы один из них пересекал	*луч*	АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Следовательно ,	*луч*	СМ проходит внутри прямого угла АСВ , а точка М лежит на гипотенузе АВ .
4 Объясните , что такое	*луч*	и что такое полуплоскость .
Отложите от	*луча*	ВА во внешнюю область угла АВС угол , равный углу DEF . г ) Дан треугольник АВС .
Отложим от	*луча*	АВ угол BAD , равный углу В. Поскольку , то точка D лежит между точками Б и С .
Начало	*луча*	.
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Отложить от данного	*луча*	угол , равный данному .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом А так , чтобы один из них пересекал луч ВС , а другой не пересекал .
21 Объясните , как отложить от данного	*луча*	угол , равный данному .
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного	*луча*	отложите угол , равный половине данного угла .
Отложите от	*луча*	EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и отрезок .
На биссектрисе угла ВАС отмечена точка О , а на продолжении	*луча*	АВ отмечена точка D Может ли выполняться равенство О ?
Отложим на продолжении	*луча*	НА отрезок НВ , равный отрезку НА .
Перечертите рисунок в тетрадь и проведите два	*луча*	с началом М так , чтобы один из них пересекал луч АВ , а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М , удовлетворяющий обоим условиям ? .
Но не может ли получиться так , что точка В совместится не с точкой С , а с какой - то другой точкой Е	*луча*	DC ?
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало	*луча*	, а вторая — какую - нибудь точку на луче ( например , луч О А ) .
Если угол АОВ — развёрнутый , то любой луч ОМ , не совпадающий с	*лучами*	О А и ОБ , делит этот угол на два угла : ZAOM и ZMOB .
в ) На	*луче*	АВ отмечены точки С и В так , что АВ < BD , а АС = BD .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на	*луче*	АВ отложим отрезок AM , равный катету АС .
Точка Аг лежит как на	*луче*	ВС. так и на луче СВ , т .
На	*луче*	с началом О отмечены точки А , В и С так , что .
На данном	*луче*	от его начала отложить отрезок , равный данному отрезку .
Откладывание на	*луче*	отрезка , равного данному .
На	*луче*	с началом О отмечены три точки — А , В и С так , что .
Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой ( например , луч h ) , либо двумя большими латинскими буквами , первая из которых обозначает начало луча , а вторая — какую - нибудь точку на	*луче*	( например , луч О А ) .
Докажите , что точка Я лежит на	*луче*	DB .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на	*луче*	QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ? .
Точка Аг лежит как на луче ВС. так и на	*луче*	СВ , т .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из	*лучей*	синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Угол — это геометрическая фигура , состоящая из точки и двух	*лучей*	, исходящих из этой точки .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется лучом , исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из	*лучей*	.
Общее начало двух	*лучей*	называется вершиной угла , а сами лучи — сторонами угла .
Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей точкой	*лучей*	АХСХ и ВХСХ , т .
Углы BOD и СОЕ на рисунке 45 равны ,	*лучи*	ОВ и ОЕ — биссектрисы углов АОС и DOF .
3 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку О прямую а так , чтобы	*лучи*	ОА , ОВ и ОС лежали в одной полуплоскости с границей а .
Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник AlBlCi так , чтобы вершина А совместилась с вершиной Av а стороны АВ и АС наложились на	*лучи*	АХВХ и АгСг .
Если сторонами угла являются	*лучи*	h и k , то угол обозначают так : Zhk .
Общее начало двух лучей называется вершиной угла , а сами	*лучи*	— сторонами угла .
Углы АОЕ и BOF равны ,	*лучи*	ОВ и ОЕ — биссектрисы углов АОС и DOF .
4 а ) Перечертите рисунок в тетрадь и проведите через точку М прямую а так , чтобы	*лучи*	МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а , а луч MR — в другой полуплоскости .
Точка О разделяет прямую а на две части , каждая из которых называется	*лучом*	, исходящим из точки О ( один из лучей синий , а другой зелёный ) , а точка О называется началом каждого из лучей .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с	*лучом*	ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Докажите , что периметр треугольника АХВ1С1 меньше периметра треугольника АВС . е ) Докажите , что сумма	*медиан*	треугольника меньше его периметра .
Докажите , что сумма	*медиан*	АА1 и ВВ1 треугольника АВС больше полусуммы сторон АС и ВС .
Докажите , что угол треугольника является острым , прямым или тупым , если	*медиана*	, проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
87 Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , причём .
Докажите , что если угол треугольника является острым , прямым или тупым , то	*медиана*	, проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
Докажите , что если , то .. б ) Докажите , что если	*медиана*	треугольника является его высотой .
Докажите , что если	*медиана*	и углы , на которые она разделяет угол , одного треугольника соответственно равны : медиане и углам , на которые она разделяет угол , другого треугольника , то такие треугольники равны .
Высота и	*медиана*	треугольника , проведённые из одной вершины , делят угол треугольника на три равных угла .
Докажите , что . г ) Докажите , что	*медиана*	АА1 треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС . д ) На сторонах ВС , СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Av Вг и С1 отличные от вершин треугольника .
Отрезок МО —	*медиана*	этого треугольника , а следовательно , и высота , поэтому М01АВ .
Поскольку мы установили , что биссектриса ,	*медиана*	и высота равнобедренного треугольника , проведённые к основанию , совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , в котором .
Следствие 2 можно сформулировать иначе :	*медиана*	прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , равна половине гипотенузы .
Докажите , что этот треугольник — тупоугольный . з ) Отрезок AD —	*медиана*	треугольника АВС с прямым углом С. Докажите , ЧТО ZBAD ZABC ZADC ZACB .
AM —	*медиана*	треугольника АВС .
Докажите , что . г ) Докажите , что	*медиана*	АА „ треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС . д ) Докажите , что прямая , проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне , пересекает бόльшую из двух других сторон треугольника .
Докажите , что если сторона и проведённые к ней высота и	*медиана*	одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника , то такие треугольники равны .
88 Отрезок AM —	*медиана*	треугольника АВС , причём .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то	*медиана*	AM треугольника не является высотой .
по основанию и	*медиане*	, проведённой к основанию ; .
Любой треугольник имеет три	*медианы*	три биссектрисы и три высоты .
и ) Начертите треугольник АВС с тупым углом Б и постройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения	*медианы*	СМ .
Три	*медианы*	треугольника пересекаются в одной точке .
и ) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку пересечения его	*медианы*	AM и биссектрисы BD .
Мы видим , что три	*медианы*	треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка	*множества*	Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Следовательно ,	*множество*	Ф и есть этот серединный перпендикуляр .
Что представляет собой	*множество*	точек X ? .
Что представляет собой	*множество*	середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
80 Что представляет собой	*множество*	всех точек плоскости , равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых ? .
Обозначим это	*множество*	буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
33 Докажите , что	*множество*	всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
30 Докажите , что	*множество*	всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется	*множество*	проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит	*множеству*	Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Докажите , что угол HAD равен	*модулю*	полуразности углов В и С .
Известен рассказ о том , что он вычислил высоту египетской пирамиды , измерив её тень в тот	*момент*	, когда длина тени , отбрасываемой предметом , равна длине самого предмета .
( Примеры таких задач можно	*найти*	) .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное*	число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное*	число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n —	*натуральное число*	) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Чтобы ответить на этот вопрос ,	*необходимо*	провести рассуждение .
Из двух последних	*неравенств*	следует , что точка Н лежит между точками Б и С. Таким образом .
Пусть , например , АВ ВС и СА ВС. Тогда первые два из	*неравенств*	( 1 ) , очевидно , выполняются .
Доказанную теорему можно сформулировать иначе : для любых трёх точек А , В и С , не лежащих на одной прямой , справедливы	*неравенства*	( 1 ) .
Докажем справедливость третьего	*неравенства*	Проведём высоту АН .
Но в силу	*неравенства*	треугольника .
Справедливость	*неравенства*	доказывается аналогично .
Объясните , что такое	*неравенство*	треугольника .
Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки Р и Q , а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться	*неравенство*	? .
86 Докажите , что для любых точек А , В и С имеет место	*неравенство*	.
Так как , то для любой точки М прямой а справедливо	*неравенство*	.
Каждое из них называется	*неравенством*	треугольника .
Точка А лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла hk ( т . е .
Из точки М биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла .
Фигуру , состоящую из	*неразвёрнутого*	угла и его внутренней области , также называют углом .
Можно сказать , что внутренняя область	*неразвёрнутого*	угла АОВ — это общая часть двух полуплоскостей : полуплоскости с границей АО , содержащей луч ОБ , и полуплоскости с границей ВО , содержащей луч О А. На эти полуплоскости заштрихованы синими и красными линиями , в результате чего внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами .
Если луч исходит из вершины	*неразвёрнутого*	угла и проходит внутри угла , то говорят , что он делит этот угол на два угла .
Каждая точка , лежащая внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалённая от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла , поэтому развёрнутый угол больше любого	*неразвёрнутого*	угла .
Каждая точка биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла равноудалена от его сторон .
24 Объясните , как построить биссектрису данного	*неразвёрнутого*	угла .
Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла А , проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам угла и докажем , что .
33 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалена от его сторон , есть биссектриса этого угла .
Рассмотрим точку М , которая лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла А и равноудалена от его сторон , т .
д ) Через вершину	*неразвёрнутого*	угла провели прямую .
Построить биссектрису данного	*неразвёрнутого*	угла .
31 Докажите теорему : каждая точка биссектрисы	*неразвёрнутого*	угла равноудалена от его сторон .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых лежит внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудалена от его сторон есть биссектриса этого угла .
32 Докажите теорему : каждая точка , лежащая внутри	*неразвёрнутого*	угла и равноудаленная от сторон угла , лежит на его биссектрисе .
Изображены	*неразвёрнутые*	углы АОВ и hk , развёрнутый угол DEF .
Начертите	*неразвёрнутый*	угол и отметьте точку А , лежащую на его стороне , точку В , лежащую в его внутренней области , и точку С , лежащую в его внешней области .
Начертите	*неразвёрнутый*	угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Пусть даны	*неразвёрнутый*	угол А ( для развёрнутого угла решение очевидно ) и луч ОМ .
Развёрнутый угол равен 180 ° ( вспомните : градус — это — часть развёрнутого угла ) ,	*неразвёрнутый*	угол меньше 180 ° .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны	*неразвёрнутый*	угол и отрезок .
б ) Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла , один из которых в три раза больше половины другого .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
г ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено ?
Пусть теперь даны два	*неразвёрнутых*	угла ( углы АВС и DEF ) .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре	*неразвёрнутых*	угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
г ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено на рисунке 33 ?
в ) Сколько	*неразвёрнутых*	углов и сколько развёрнутых углов , вершинами которых являются обозначенные буквами точки , изображено ? .
Фалес поделился с	*ним*	тем , что знал , и посоветовал поехать в Египет для продолжения изучения геометрии .
д ) Докажите , что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника , не смежного с	*ним*	, то треугольник равнобедренный .
53 а ) Найдите углы треугольника АВС , если . б ) Внешний угол треугольника больше углов , не смежных с	*ним*	, соответственно на 30 ° и 70 ° .
Найдите углы БОС , EOD и AOD , если ZAOC = 30 ° . б ) Угол ,	*образованный*	биссектрисами углов АОВ и ВОС , равен 60 ° , a ZBOC = 30 ° .
Найдите углы DOF , ВОС и АОС , если ZBOD = 140 ° . б ) Угол ,	*образованный*	биссектрисами углов АОВ и АОС равен 25 ° , a ΖΑΟΒ = 40 ° .
Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла , один из которых на 30 ° меньше половины другого .
Шоссе и ответвляющаяся от него дорога	*образуют*	два смежных угла .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными ( или взаимно перпендикулярными ) , если они	*образуют*	четыре прямых угла .
22 Какой угол	*образуют*	стрелки часов 8 3 ч 10 мин ? .
Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла ( углы 1 , 2 , 3 и 4 ) .
б ) Две пересекающиеся прямые	*образуют*	четыре неразвёрнутых угла , один из которых в три раза больше половины другого .
— ,	*обратная*	данной теореме .
Отметим , что если доказана какая - нибудь теорема , то из этого ещё не следует справедливость	*обратного*	утверждения .
Более того ,	*обратное*	утверждение не всегда оказывается верным .
Верно ли	*обратное*	утверждение ? .
По отношению к какой теореме эта теорема является	*обратной*	? .
Теоремой ,	*обратной*	данной , называется такая теорема , в которой условием является заключение данной теоремы , а заключением — её условие .
Какая теорема называется	*обратной*	данной теореме ? .
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по	*обратной*	теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является	*обратной*	? .
Докажем теперь теорему ,	*обратную*	теореме о свойстве касательной ( признак касательной ) .
Докажем теперь	*обратную*	теорему .
Докажем теорему ,	*обратную*	теореме о серединном перпендикуляре к отрезку .
10 Сформулируйте и докажите теорему ,	*обратную*	теореме о свойстве касательной .
Докажем сначала теорему о биссектрисе угла , а затем	*обратную*	ей теорему .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих	*окружностей*	обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Докажите , что если точки А , Б и С не лежат на одной прямой , то точка пересечения	*окружностей*	с диаметрами АВ и ВС , отличная от Б , лежит на прямой АС .
К двум окружностям с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся	*окружностей*	в точках Ах , В , .
Ту из точек пересечения	*окружностей*	, которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС , обозначим буквой D. Наконец , проведём луч AD .
Одну из точек пересечения этих	*окружностей*	обозначим буквой L.
Докажите , что точки А , В , О и Р лежат на одной	*окружности*	.
Дуга АВ	*окружности*	с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся окружности в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
30 Объясните , как с помощью циркуля и линейки через данную точку провести касательную к данной	*окружности*	.
Точки А , В , С и D лежат на одной	*окружности*	, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС .
Докажите , что АВ CD . б ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	с центром О , причем АВ CD .
б ) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус	*окружности*	с центром М , чтобы она : 1 ) касалась прямой CD , 2 ) не имела с прямой CD общих точек ; .
Отрезок , соединяющий две точки	*окружности*	, называется хордой .
9 Докажите , что отрезки касательных к	*окружности*	, проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
При каком соотношении между отрезком ОА и радиусом R	*окружности*	задача имеет решение ? .
В этом случае прямая называется секущей по отношению к	*окружности*	.
Из определения	*окружности*	следует , что все радиусы равны друг другу .
Постройте центр данной	*окружности*	.
Найдите радиус	*окружности*	.
6 Какая прямая называется секущей по отношению к	*окружности*	? .
3 Объясните , что такое центр , радиус и диаметр	*окружности*	.
Точки А и В лежат на касательной к	*окружности*	с центром О по разные стороны от точки касания , причем О А ОВ 8 см и ZAOB 120 ° .
Таким образом , если расстояние от центра	*окружности*	до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом	*окружности*	( отрезок ОМ ) .
9 Докажите , что отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр	*окружности*	.
Найдите угол между отрезками касательных , проведёнными из указанной точки к данной	*окружности*	.
19 Докажите , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой	*окружности*	.
Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	, А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу окружности .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса	*окружности*	( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
Если мы попытаемся это сделать , то обнаружим , что	*окружности*	с центрами А и Б не пересекутся .
Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой	*окружности*	.
Расстояние от точки до центра данной	*окружности*	равно диаметру этой окружности .
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на	*окружности*	и , следовательно , является общей точкой прямой а и окружности .
4 Докажите , что никакие три точки	*окружности*	не лежат на одной прямой .
Найдите дугу АВ . б ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	.
19 Докажите , что если диаметром	*окружности*	является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на	*окружности*	, и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к	*окружности*	с центром О ( Б и С — точки касания ) .
5 Сколько общих точек имеют прямая и окружность в зависимости от соотношения между радиусом	*окружности*	и расстоянием от её центра до прямой ? .
Докажите , что четырёхугольник ОВАС — квадрат . ж ) Дуга АВ	*окружности*	с центром О больше 180 ° .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания , отрезок АВ равен радиусу	*окружности*	.
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр	*окружности*	.
2 ° d г. Так как ОН , то точка Н лежит на окружности и , следовательно , является общей точкой прямой а и	*окружности*	.
Докажите , что прямая ВС является касательной к	*окружности*	с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
— касания прямой и	*окружности*	. — пересечения прямых .
99 а ) Точки А , В , С и D лежат на	*окружности*	с центром О , причем .
На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся	*окружности*	в точке М , пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите , что величина и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды	*окружности*	CD является и диаметром окружности ) .
Докажите , что	*окружности*	радиуса АВ с центрами А и Б пересекаются в двух точках .
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра	*окружности*	к данной прямой а , поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу .
Отрезок , соединяющий две точки	*окружности*	и проходящий через её центр , называется диаметром .
данная прямая является касательной к	*окружности*	.
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к	*окружности*	, проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
а ) Дуга АВ	*окружности*	с центром О и радиуса 8 см равна 30 ° .
Какая точка называется точкой касания прямой и	*окружности*	? .
Следовательно , ОБ О А г , поэтому точка Б также является общей точкой прямой и	*окружности*	.
Докажите , что точки С , L , М и N лежат на одной	*окружности*	.
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ	*окружности*	отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Отрезок АВ — диаметр	*окружности*	.
По условию данный радиус ( радиус ОА ) является перпендикуляром , проведённым из центра окружности к данной прямой а , поэтому расстояние от центра	*окружности*	до прямой а равно радиусу .
Прямая АВ касается одной	*окружности*	в точке А , а другой — в точке В. Найдите угол АМВ .
точки	*окружности*	не лежат на одной прямой , то других общих точек у прямой а и окружности нет .
Докажите , что . б ) Точки М , N. Е и F лежат на	*окружности*	с центром О , причём точка О равноудалена от прямых MN и EF .
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники , отрезки , треугольники ,	*окружности*	, четырёхугольники и т .
В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и	*окружности*	.
11 Объясните , что такое хорда и дуга	*окружности*	.
в ) В треугольнике АВС угол С — прямой , АВ 2АС , ВС б см. Каково взаимное расположение прямой АВ и	*окружности*	с центром С радиуса 3 см ? .
точки окружности не лежат на одной прямой , то других общих точек у прямой а и	*окружности*	нет .
На данной	*окружности*	постройте точку , равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых .
б ) Через точку А , лежащую на	*окружности*	, проведены касательная АВ и хорда АС .
а ) Точки Μ , N , Р и Q лежат на	*окружности*	с центром О , причём .
Докажите , что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС , а прямая АВ не является касательной к	*окружности*	с центром С радиуса ВС . б ) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и ZA 60 ° .
28 Определение	*окружности*	.
Рассмотрим две касательные к	*окружности*	с центром О , проходящие через точку А. Пусть Б и С — точки касания .
2 Дайте определение	*окружности*	.
г ) Точки Р и Q лежат на касательной к	*окружности*	с центром О так , что OP OQ , PQ 20 см и ZPOQ 90 ° .
Две	*окружности*	имеют общую точку М и общую касательную в этой точке .
Прямые АВ и АС — касательные к	*окружности*	.
Отрезок АВ является диаметром	*окружности*	с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Прямая АВ — касательная к	*окружности*	, В — точка касания .
7 Какая прямая называется касательной к	*окружности*	?
Построим две	*окружности*	радиуса АВ с центрами .
Итак , если расстояние от центра	*окружности*	до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и окружность имеют две общие точки .
в ) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и	*окружности*	с центром С радиуса 5 см ? .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой	*окружности*	, радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О	*окружности*	радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности , если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
Вершины треугольника АВС лежат на	*окружности*	.
3 На листе бумаги нарисована дуга	*окружности*	.
В этом случае прямая называется касательной по отношению к	*окружности*	, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ . б ) Диаметр ААХ	*окружности*	перпендикулярен к хорде ВВ .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на	*окружности*	? .
Докажите , что MN EF . в ) Отрезки О А и ОВ — радиусы	*окружности*	, причём ΖΑΟΒ 120 ° .
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на	*окружности*	с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
Дуга АВ окружности с центром О меньше 180 ° На этой дуге отмечена точка М. Прямая , касающаяся	*окружности*	в точке М. пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите , что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ .
12 Какой угол называется центральным углом	*окружности*	? .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне	*окружности*	; б ) лежит внутри окружности и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
Что представляет собой множество середин таких хорд , если точка М : а ) лежит вне окружности ; б ) лежит внутри	*окружности*	и не совпадает с центром ; в ) лежит на окружности ? .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды	*окружности*	радиуса 6 см. Найдите хорду АВ .
а ) Отрезки ОА и ОВ — радиусы	*окружности*	, расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса .
Каким должен быть радиус	*окружности*	с центром А , чтобы она : 1 ) касалась прямой ВС. 2 ) не имела с прямой ВС общих точек .
Постройте точку , лежащую на данной	*окружности*	и равноудалённую от концов данного отрезка .
Данная точка ( точка О ) называется центром	*окружности*	, а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	с центром О радиуса 3 см , А и В — точки касания , МО б см. Найдите угол АМВ . е ) Перпендикулярные прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О ( Б и С — точки касания ) .
Найдите угол АМВ . е ) Прямые МА и МВ — касательные к	*окружности*	радиуса 4 см , А и В — точки касания , ZAMB 60 ° .
Отрезки АВ , CD и EF — хорды окружности CD является и диаметром	*окружности*	) .
Отметим на	*окружности*	какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
Касательная к	*окружности*	перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания .
Воспользуемся методом доказательства от противного : допустим , что какие - то три точки А , В и С	*окружности*	с центром О лежат на некоторой прямой о .
На	*окружности*	отмечены точки А , В , М и N так , что 160 ° .
Дуга	*окружности*	. Е .
в ) Отрезки МА и МВ — хорды	*окружности*	с центром О , ZAMB 45 ° , АВ 7 см. Найдите расстояние от точки О до прямой АВ .
Следовательно , точка М не лежит на	*окружности*	.
Затем построим две	*окружности*	: радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
Точки А , В и С лежат на	*окружности*	, прямая МА — касательная к ней .
Следовательно , на отрезке HD найдется точка А , лежащая на	*окружности*	, т .
Докажем , что никакие три точки	*окружности*	не лежат на одной прямой .
Отметим также , что если диаметром	*окружности*	является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности .
Построение	*окружности*	с помощью циркуля .
а ) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к	*окружности*	, пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Для проведения	*окружности*	на местности пользуются веревкой и двумя колышками .
а ) Радиус О А	*окружности*	с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности , пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите , что луч ВА — биссектриса угла СВМ .
Диаметр	*окружности*	.
Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ , то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой О А и катетом ОВ , равным радиусу данной	*окружности*	.
Отметим также , что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника , то вершина прямого угла треугольника лежит на этой	*окружности*	.
Для построения	*окружности*	пользуются циркулем .
Поскольку центр окружности является серединой диаметра , то диаметр	*окружности*	в два раза больше её радиуса .
Одну из точек пересечения этой	*окружности*	с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
Поскольку центр	*окружности*	является серединой диаметра , то диаметр окружности в два раза больше её радиуса .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части , каждая из которых называется дугой	*окружности*	.
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на	*окружности*	с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
АРВ и AQB — дуги	*окружности*	, ограниченные точками Л и В .
Если отрезок , соединяющий концы дуги , является диаметром	*окружности*	, то дуга называется полуокружностью .
Если точка А лежит на данной	*окружности*	, то проведём прямую ОА , а затем построим прямую а , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА .
Касательная к	*окружности*	.
Рассмотрим окружность с центром О и прямую ССХ , касающуюся	*окружности*	в точке А. Проведём хорду АВ .
поэтому точка М не лежит на	*окружности*	.
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу	*окружности*	( d г ) , то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра	*окружности*	до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Радиус	*окружности*	.
Центр	*окружности*	. ч .
Из определения градусной меры дуги следует , что сумма градусных мер двух дуг	*окружности*	с общими концами равна 360 ° .
С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. Дуга этой	*окружности*	, пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Секущая по отношению к	*окружности*	.
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой	*окружности*	, поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
расстояние от центра данной	*окружности*	до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г .
Для любой другой точки М прямой а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН , т . е . , и поэтому точка М не лежит на данной	*окружности*	.
Угол , вершина которого лежит на	*окружности*	, а стороны пересекают окружность , называется вписанным углом .
Если дуга А В	*окружности*	с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ , то её градусная мера считается равной .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса	*окружности*	, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Угол с вершиной в центре	*окружности*	называется её центральным углом ( угол АОБ ) .
29 Взаимное расположение прямой и	*окружности*	.
Хорда	*окружности*	.
Рассмотрим вписанный угол АВС , опирающийся на дугу АС	*окружности*	, и докажем , что .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две	*окружности*	радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
Проведём через точку В касательную PQ к	*окружности*	.
Докажите , что . ж ) Отрезки АВ и АС — диаметр и хорда	*окружности*	.
Построение	*окружности*	с помощью веревки и двух колышков к отрезку АВ , поэтому ОМ 1 а .
Через данную точку А провести касательную к данной	*окружности*	с центром О .
Итак , точка М лежит вне	*окружности*	, так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .
Пусть а — касательная к	*окружности*	с центром О , А — точка касания .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй	*окружности*	пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
а ) Отрезок АН — перпендикуляр , проведённый из точки А к прямой , проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к	*окружности*	, если : 1 ) ZAOH 45 ° и АН б см ; 2 ) ZAOH 60 ° и СМ 10 см ? .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром	*окружности*	является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Диаметр	*окружности*	— гипотенуза прямоугольного треугольника .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной	*окружности*	и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то окружность проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой	*окружности*	.
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой	*окружности*	с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
всевозможные прямые , на которых данная	*окружность*	с центром О отсекает отрезки , являющиеся её хордами .
Итак , точка М лежит вне окружности , так как если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и	*окружность*	не имеют общих точек .
Как ( с помощью циркуля и линейки ) построить всю	*окружность*	? .
Если прямая а проходит через точку О , то она пересекает	*окружность*	в двух точках — концах диаметра , лежащего на этой прямой .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим	*окружность*	с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
расстояние от центра данной окружности до прямой а , буквой d. Выясним , сколько общих точек имеют прямая а и	*окружность*	в зависимости от соотношения между d и г .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают	*окружность*	, называется вписанным углом .
Проведём	*окружность*	произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С. Они пересекутся в двух точках .
С помощью циркуля построим	*окружность*	радиуса АВ с центром О. Дуга этой окружности , пересекающая данный луч в точке D. Отрезок OD — искомый , так как OD АВ .
Следовательно , прямая а и	*окружность*	имеют только одну общую точку , т .
Затем построим	*окружность*	радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная	*окружность*	пересекаются в двух точках .
Проведём	*окружность*	произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
Биссектриса ОР угла АОВ пересекает	*окружность*	в точке Q , при этом PQ OQ .
Проведём отрезок О А и построим его середину М. Затем проведём	*окружность*	с центром М радиуса МА .
Итак , если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d < г ) , то прямая и	*окружность*	имеют две общие точки .
Постройте	*окружность*	данного радиуса , проходящую через две данные точки .
Рассмотрим	*окружность*	с центром О и прямую ССХ , касающуюся окружности в точке А. Проведём хорду АВ .
В самом деле , построим какую - нибудь	*окружность*	с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Докажите , что АС BD . е ) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую	*окружность*	в точке С. Докажите , что АС ВС . ж ) Через точку А , лежащую на окружности с центром О , проведены хорда АВ и касательная а .
5 Сколько общих точек имеют прямая и	*окружность*	в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой ? .
Докажите , что либо AB CD , либо AD ВС . е ) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают	*окружность*	с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно .
Из точек состоит любая геометрическая фигура : отрезок , треугольник ,	*окружность*	, прямоугольник и т .
Даны	*окружность*	и точка внутри неё .
Даны	*окружность*	с центром О и точка А вне неё .
Проведите через точку А прямую , пересекающую	*окружность*	в точках В и С , так , что .
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём	*окружность*	с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О. Угол MOQ — искомый .
В самом деле , середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин , поэтому если диаметром окружности является гипотенуза , то	*окружность*	проходит через все вершины треугольника и , следовательно , вершина прямого угла лежит на этой окружности .
Действительно , построим середину О отрезка ΜΝ и проведём	*окружность*	с центром О радиуса ОМ .
Отметим на окружности какие - нибудь две точки — А и Б. Прямая АВ разделяет	*окружность*	на две части , каждая из которых называется дугой окружности .
Рассмотрим	*окружность*	с центром О радиуса г и прямую а .
Таким образом , если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d г ) , то прямая и	*окружность*	имеют только одну общую точку .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить	*окружность*	с центром в данной точке и радиусом , равным данному отрезку .
Даны	*окружность*	, точка и два отрезка — АВ и CD .
Затем построим	*окружность*	с центром М радиуса PQ .
На прямой а от точки Н отложим отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной	*окружностью*	.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами В и С. Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р. Наконец , проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с	*окружностью*	с центром О. Угол MOQ — искомый .
Если точка А лежит внутри круга , ограниченного данной	*окружностью*	, то задача решения не имеет , поскольку любая прямая , проходящая через точку А , является секущей ( докажите это ) .
Часть . плоскости , ограниченная	*окружностью*	, называется кругом .
Наконец , если точка А лежит вне круга , ограниченного данной	*окружностью*	, то будем рассуждать так .
Отрезки и углы , связанные с	*окружностью*	.
Одну из точек пересечения этой окружности с данной	*окружностью*	обозначим буквой В. Поскольку , то прямая АВ — искомая касательная .
1 ° d < г. Поскольку ОН г , то точка Н лежит внутри круга , ограниченного данной	*окружностью*	.
Постройте общую касательную к двум данным	*окружностям*	.
К двум	*окружностям*	с центрами О и Ох проведены две общие касательные , не пересекающие отрезка ООх , и одна общая касательная , пересекающая их в точках А , В и касающаяся окружностей в точках Ах , В , .
Проекцией точки М на прямую а называется	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Точка Н —	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD .
Постройте равнобедренный треугольник ,	*основание*	которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше основания .
73 Докажите , что	*основание*	одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а основания двух других высот — на продолжениях сторон .
Отрезок АВ — общее	*основание*	равнобедренных треугольников АВС и ABD .
Пусть точка Н —	*основание*	перпендикуляра , проведённого из точки А к прямой а , а М — любая другая точка прямой а .
Что такое	*основание*	перпендикуляра ? .
33 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ	*основание*	высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
34 а ) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD	*основание*	высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
Известно , что . Докажите , что . ж ) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	АС .
Дан равнобедренный треугольник АВС с	*основанием*	АС и точка D на стороне АВ .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см , а другая равна 10 см. Какая из них является	*основанием*	? .
Докажите , что точка D лежит между серединой стороны ВС и	*основанием*	высоты АН .
Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона —	*основанием*	равнобедренного треугольника .
если прямые АН и а перпендикулярны Точка Н называется	*основанием*	перпендикуляра АН .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCA 10 ° .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с	*основанием*	ВС и докажем , что .
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим	*основанием*	АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Внутри равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	ВС и углом А , равным 80 ° , отмечена такая точка М , что ZMBC 30 ° и ZMCB 10 ° .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с	*основанием*	АС продолжена за точку В на отрезок BD , равный АВ .
; 2 ) углы при	*основании*	равнобедренного треугольника равны ;
Постройте равнобедренный треугольник по высоте , проведённой к основанию , и углу при	*основании*	.
Середина отрезка OD лежит на	*основании*	АВ .
19 Докажите , что углы при	*основании*	равнобедренного треугольника — острые .
Треугольник ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его	*основании*	острый .
по боковой стороне и углу при	*основании*	; .
Можно сказать так : дан равнобедренный треугольник ; требуется доказать , что углы при его	*основании*	равны .
Отсюда , в частности , следует , что углы при	*основании*	равнобедренного треугольника острые .
Углы при	*основании*	равнобедренного треугольника равны .
56 Биссектрисы углов при	*основании*	АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Условием здесь является первая часть утверждения : « если треугольник равнобедренный » , а заключением — вторая часть : « то углы при его	*основании*	равны » .
81 Биссектрисы углов при	*основании*	АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Чтобы выделить в ней условие и заключение , сформулируем её так : « если треугольник равнобедренный , то углы при его	*основании*	равны » .
в ) Биссектрисы углов при	*основании*	АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О , причём 150 ° .
Высота равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является медианой и биссектрисой .
Биссектриса равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является высотой и медианой .
по основанию и медиане , проведённой к	*основанию*	; .
по	*основанию*	и медиане , проведённой к основанию ; .
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте , проведённой к	*основанию*	.
Докажите , что прямая , проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к	*основанию*	, проходит через вершину треугольника .
Постройте равнобедренный треугольник по высоте , проведённой к	*основанию*	, и углу при основании .
в ) по	*основанию*	и углу между боковыми сторонами .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к	*основанию*	ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Медиана равнобедренного треугольника , проведённая к	*основанию*	, является высотой и биссектрисой .
Поскольку мы установили , что биссектриса , медиана и высота равнобедренного треугольника , проведённые к	*основанию*	, совпадают , то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения .
Докажите , что	*основания*	высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
78 Докажите , что середина	*основания*	равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон .
в ) Точка М — середина	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС , точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС так , что и .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что отрезок , соединяющий точку	*основания*	равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ , отрезок ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что прямая , проходящая через середину	*основания*	равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию , проходит через вершину треугольника .
33 а ) На продолжении	*основания*	АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС , АВМ и СВМ основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны ? .
76 Докажите , что в равнобедренном треугольнике две высоты , проведённые из вершин	*основания*	, равны .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно данному отрезку , а боковая сторона вдвое больше	*основания*	.
34 а ) На продолжении	*основания*	АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC , ABD и CBD основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне ? .
73 Докажите , что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника , а	*основания*	двух других высот — на продолжениях сторон .
68 На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q , что ZPMB ZQMC , где М — середина	*основания*	ВС. Докажите , что BQ СР .
Докажите , что АВ 1 СМ . в ) Из середины М	*основания*	ВС равнобедренного треугольника АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM .
Для измерения	*остатка*	пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в	*остатке*	целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в	*остатке*	ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Например , в отрезке АС сантиметр укладывается четыре раза с	*остатком*	, но не укладывается пять раз .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый	*остаток*	, то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится	*остаток*	.
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого*	угла , на другую сторону является отрезок .
36 Докажите , что если на одной из сторон	*острого*	угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого*	угла , на другую сторону является отрезок .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне	*острого*	угла , равны , то их проекции на другую сторону также равны .
Если на одной из сторон	*острого*	угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области	*острого*	угла А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон	*острого*	угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого угла*	, на другую сторону является отрезок .
36 Докажите , что если на одной из сторон	*острого угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Рассмотрим равные отрезки АВ и CD , лежащие на одной из сторон	*острого угла*	О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Докажите , что четырёхугольник PQRS — квадрат . д ) Из точки М , лежащей во внутренней области	*острого угла*	А , проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла .
Если на одной из сторон	*острого угла*	лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон	*острого угла*	, на другую сторону является отрезок .
Если два отрезка , лежащие на одной стороне	*острого угла*	, равны , то их проекции на другую сторону также равны .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему	*острому*	углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*острому*	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому*	углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему	*острому*	углу .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему	*острому*	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому*	углу .
б ) по	*острому*	углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла .
а ) по	*острому*	углу и высоте , проведённой к гипотенузе ; .
Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему	*острому*	углу .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому*	углу ( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*острому*	углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому*	углу ; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и	*острому*	углу по условию , поэтому .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему	*острому углу*	.
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому углу*	; по катету и любому из острых углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Прямоугольные треугольники АВА2 И CDC2 равны по гипотенузе и	*острому углу*	по условию , поэтому .
б ) по	*острому углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла .
Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и	*острому углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и прилежащему	*острому углу*	; по катету и противолежащему острому углу .
Следовательно , прямоугольные треугольники АВС и АХВХСХ равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и	*острому углу*	.
28 Объясните , как построить прямоугольный треугольник по двум катетам ; по гипотенузе и	*острому углу*	; по катету и прилежащему острому углу ; по катету и противолежащему острому углу .
Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему	*острому углу*	.
а ) по	*острому углу*	и высоте , проведённой к гипотенузе ; .
Докажите , что если острый угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны	*острому углу*	и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему	*острому углу*	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и	*острому углу*	( AM — общая гипотенуза , по условию ) .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE	*остроугольного треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Высоты АА1 и BBj	*остроугольного треугольника*	АВС пересекаются в точке Н. Докажите , что . 119 .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого	*остроугольного треугольника*	, то такие треугольники равны .
77 Докажите , что если сторона и высоты , проведённые из концов этой стороны , одного	*остроугольного треугольника*	соответственно равны стороне и высотам , проведённым из концов этой стороны , другого остроугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Вершины	*остроугольного треугольника*	АВС лежат на окружности с центром О отрезок АН — высота этого треугольника .
Докажите , что основания высот	*остроугольного треугольника*	являются вершинами треугольника , в котором эти высоты являются биссектрисами .
Отрезки ААХ и ВВ1 — высоты	*остроугольного треугольника*	АВС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по стороне и двум высотам , проведённым к другим сторонам .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по двум сторонам и высоте , проведённой к одной из них .
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по стороне АВ , высоте АН и углу А . р )
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по сумме углов А и В , высоте BD и стороне АС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	АВС по разности углов А и В , высоте CD и стороне ВС .
Постройте	*остроугольный треугольник*	по углу и двум высотам , одна из которых проведена из вершины этого угла .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла	*острые*	, а третий прямой или тупой .
Таким образом , мы приходим к заключению : в любом треугольнике либо все три угла	*острые*	, либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
в ) Даны	*острые*	углы АВС и DEF .
19 Докажите , что углы при основании равнобедренного треугольника —	*острые*	.
Отсюда , в частности , следует , что углы при основании равнобедренного треугольника	*острые*	.
В любом треугольнике хотя бы два угла	*острые*	.
Если все углы треугольника	*острые*	, то треугольник называют остроугольным .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла	*острые*	, либо два угла острые , а третий прямой или тупой .
18 Докажите , что в любом треугольнике либо все три угла острые , либо два угла	*острые*	, а третий прямой или тупой .
Итак , если один из углов треугольника тупой , то два других угла	*острые*	.
в ) Даны	*острые углы*	АВС и DEF .
Треугольник ACM равнобедренный , поэтому угол ACM при его основании	*острый*	.
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны	*острый*	угол АВС и тупой угол DEF .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему	*острый*	угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
В пункте 18 мы доказали , что если один из углов треугольника прямой , то сумма двух других углов равна 90 ° , поэтому каждый из них	*острый*	.
Если же хорда АВ не является диаметром , то	*острый*	угол САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
—	*острый*	.
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и	*острый*	угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Следовательно , угол В	*острый*	.
Рассмотрим	*острый*	угол POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Аналогично доказывается , что угол С	*острый*	.
Докажите , что если	*острый*	угол и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что если	*острый угол*	и биссектриса , проведённая из вершины этого угла , одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе , проведённой из вершины этого угла , другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения : если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и прилежащий к нему	*острый угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте на стороне АС точку Е так , чтобы угол AED был равен углу С . в ) Даны	*острый угол*	АВС и тупой угол DEF .
Учитывая , что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и	*острый угол*	одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если же хорда АВ не является диаметром , то	*острый угол*	САВ между касательной ССХ и хордой АВ равен 90 ° -ZOAB , а тупой угол СХАВ равен 90 ° + ZOAB .
Рассмотрим	*острый угол*	POQ и отрезок АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Угол , меньший прямого , называется	*острым*	, а угол , больший прямого , но меньший развернутого , — тупым .
Докажите , что если угол треугольника является	*острым*	, прямым или тупым , то медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны . 145 .
19 Какой угол называется	*острым*	, какой — прямым , а какой — тупым ? .
Докажите , что угол треугольника является	*острым*	, прямым или тупым , если медиана , проведённая из вершины этого угла , соответственно больше , равна или меньше половины противоположной стороны .
Каким углом (	*острым*	, прямым , тупым или развёрнутым ) является искомый угол ? .
Пусть , например , в треугольнике АВС	*острыми*	являются углы Б и С. Проведём высоту ААУ .
Глава 2 . 1 Как , пользуясь только верёвкой и	*острыми*	колышками , начертить на земле прямой угол ? .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из	*острых*	углов ; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Учитывая , что сумма двух	*острых*	углов прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
В самом деле , в таких треугольниках два других	*острых*	угла также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников .
В самом деле , в таких треугольниках два других	*острых угла*	также равны , поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников .
Опираясь на результаты , нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам : по двум катетам ; по гипотенузе и острому углу ; по катету и любому из	*острых углов*	; ( объясните , как выполнить эти построения ) .
Учитывая , что сумма двух	*острых углов*	прямоугольного треугольника равна 90 ° , получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников : если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны ; если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности	*отложен*	отрезок ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
От середины М отрезка АВ , равного 2,4 м ,	*отложены*	на прямой АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
123 На сторонах угла с вершиной О	*отложены*	равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см ,	*отложены*	на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
На прямой а от точки Н	*отложим*	отрезок HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ	*отложим*	отрезок AM , равный катету АС .
Проведём произвольную прямую , отметим на ней точку А и	*отложим*	отрезок АВ , равный PQ .
Проведем произвольную прямую , отметим на ней точку А и	*отложим*	отрезок АВ .
Постройте треугольник DEF , в котором . е ) От данного луча	*отложите*	угол , равный половине данного угла .
21 Объясните , как	*отложить*	от данного луча угол , равный данному .
На данном луче от его начала	*отложить*	отрезок , равный данному отрезку .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По	*отношению*	к какой теореме эта теорема является обратной ? .
6 Какая прямая называется секущей по	*отношению*	к окружности ? .
По	*отношению*	к какой теореме эта теорема является обратной ? .
В этом случае прямая называется секущей по	*отношению*	к окружности .
Секущая по	*отношению*	к окружности .
В этом случае прямая называется касательной по	*отношению*	к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
Точка М — середина	*отрезка*	АВ .
Действительно , построим середину О	*отрезка*	ΜΝ и проведём окружность с центром О радиуса ОМ .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина	*отрезка*	АЕ , точка В — середина отрезка АС .
Является ли луч ОЕ биссектрисой угла ВОС Ответ обоснуйте . д ) Точка С — середина отрезка АЕ , точка В — середина	*отрезка*	АС .
Точка отрезка , делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого	*отрезка*	.
Точка отрезка , делящая его на два равных	*отрезка*	, называется серединой этого отрезка .
а точка D — середина	*отрезка*	СЕ .
Является ли середина отрезка AD серединой	*отрезка*	ВС ?
Назовите середину	*отрезка*	BD .
Докажите , что если концы	*отрезка*	равноудалены от прямой , пересекающей отрезок , то эта прямая проходит через середину отрезка .
Эту задачу нужно понимать так : даны три	*отрезка*	— PiQi .
24 Проекция	*отрезка*	.
Каждая точка , равноудалённая от концов	*отрезка*	, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
Рассмотрим произвольную точку М , равноудалённую от концов	*отрезка*	АВ , и докажем , что точка М лежит на серединном перпендикуляре а к этому отрезку .
Концы	*отрезка*	.
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от прямой , пересекающей отрезок , то эта прямая проходит через середину	*отрезка*	.
Пусть Мх — проекция точки М	*отрезка*	АВ на прямую OQ .
Точка	*отрезка*	, делящая его на два равных отрезка , называется серединой этого отрезка .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией	*отрезка*	на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а .
Откладывание на луче	*отрезка*	, равного данному .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр пересекается с отрезком АВ , и есть середина этого	*отрезка*	.
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три	*отрезка*	.
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка	*отрезка*	АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Является ли середина	*отрезка*	AD серединой отрезка ВС ?
Проекция	*отрезка*	на прямую . — точки на прямую .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки	*отрезка*	АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
— серединного перпендикуляра . — середины	*отрезка*	.
Пусть даны два	*отрезка*	— АВ и CD .
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три	*отрезка*	с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой и данных отрезков .
Длина	*отрезка*	.
Середина	*отрезка*	.
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки	*отрезка*	АВ .
Наглядно видно , что отрезок АХВХ является проекцией	*отрезка*	АВ на прямую OQ .
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого	*отрезка*	.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая , проходящая через середину	*отрезка*	и перпендикулярная к нему .
Расстояние от точки А до прямой а равно длине	*отрезка*	АН .
Докажите , что если прямая пересекает отрезок в его середине , то концы	*отрезка*	равноудалены от этой прямой .
Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра , проведённого из точки М к прямой а , если точка М не лежит на прямой а , и сама точка М , если она лежит на прямой а Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого	*отрезка*	на прямую а .
Таким образом , один конец	*отрезка*	HD ( точка Н ) лежит внутри указанного круга , а другой ( точка D ) — вне этого круга .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов	*отрезка*	, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Можно сказать , что отрезок — это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов	*отрезка*	и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два	*отрезка*	Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго	*отрезка*	.
Найдите длину	*отрезка*	ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи .
10 Какая точка называется серединой	*отрезка*	? .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М	*отрезка*	АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
9 Объясните , как сравнить два	*отрезка*	и как сравнить два угла .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину	*отрезка*	АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ отрезки МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX	*отрезка*	А0АХ .
Найдите длину	*отрезка*	AM , если AM = 2ВМ и АВ - 6 см . д ) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части .
30 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов	*отрезка*	, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку .
Концы	*отрезка*	— точки .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого	*отрезка*	на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Если за единицу измерения принят сантиметр , то для измерения	*отрезка*	нужно узнать , сколько раз в нём укладывается сантиметр .
36 Докажите , что если на одной из сторон острого угла лежат два	*отрезка*	, один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Отрезки АВ и CD пересекаются в середине М	*отрезка*	АВ , причём .
В этом случае говорят , что длина	*отрезка*	АВ равна 3 сантиметрам , или кратко : отрезок АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого	*отрезка*	выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке .
Середина	*отрезка*	OD лежит на основании АВ .
Докажем , что она является проекцией некоторой точки	*отрезка*	АВ .
Докажите , что прямая CD проходит через середину	*отрезка*	АВ .
17 Точка М — середина	*отрезка*	АВ , а точка N — середина отрезка МВ .
26 Объясните , как построить середину данного	*отрезка*	.
Докажите , что проекцией	*отрезка*	, лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
1 Объясните , что такое отрезок и концы	*отрезка*	.
17 Точка М — середина отрезка АВ , а точка N — середина	*отрезка*	МВ .
Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром : он укладывается в остатке ровно четыре раза , поэтому длина	*отрезка*	АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз , и получается новый остаток , то его можно измерить с помощью долей миллиметра .
От середины М	*отрезка*	АВ , равного 2,4 м , отложены на прямой АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
Мы видим , что отрезок А0Аn в n раз больше	*отрезка*	А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX отрезка А0АХ .
Докажите с помощью наложения , что точка является серединой	*отрезка*	CD .
Постройте точку , лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного	*отрезка*	.
Найдите длину	*отрезка*	AM , если АВ = 16 см и ВМ = ЗАМ . д ) Отрезок АВ разделён на четыре неравные части .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два	*отрезка*	, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего	*отрезка*	равна сумме длин этих двух отрезков .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше	*отрезка*	CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Точки К , L , М и N расположены на одной прямой так , что точка L лежит между точками К и М , а два	*отрезка*	с концами в данных точках имеют общую середину .
Если два	*отрезка*	, лежащие на одной стороне острого угла , равны , то их проекции на другую сторону также равны .
В самом деле , по построению точки Р и Q равноудалены от концов	*отрезка*	АВ , поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку .
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой	*отрезка*	CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой отрезка MN .
Пусть теперь Мх — произвольная точка	*отрезка*	АХВХ .
Итак , мы доказали , что проекцией	*отрезка*	, лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является отрезок .
Длина	*отрезка*	называется также расстоянием между концами этого отрезка .
Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого	*отрезка*	.
Даны окружность , точка и два	*отрезка*	— АВ и CD .
Если на одной из сторон острого угла лежат два	*отрезка*	, один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов	*отрезка*	, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см , а между серединами средних частей — 20 см. Найдите длину	*отрезка*	АВ .
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго	*отрезка*	.
На прямой ВС отмечена точка L так , что точка D является серединой отрезка CL ; на прямой АВ отмечены точки Μ и N так , что и точка А является серединой	*отрезка*	MN .
Если два	*отрезка*	равны , то единица измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз , т .
Докажите теорему : каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого	*отрезка*	.
Если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка , один из которых в n раз больше второго ( n — натуральное число ) , то проекция первого	*отрезка*	на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка .
Найдите длину данного	*отрезка*	.
Построив серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ , мы попутно решили ещё одну задачу построить середину данного	*отрезка*	АВ .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник , стороны которого равны данным	*отрезкам*	, в том случае , когда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других ? .
Требуется построить треугольник АВС , стороны которого соответственно равны этим трём	*отрезкам*	: .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	АЕ , НЕ и AD .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	ВС , AM и углам ABM , АМВ . 132 .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух отрезков существует прямоугольник , две смежные стороны которого равны этим	*отрезкам*	.
Поэтому если какой - нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других , то нельзя построить треугольник , стороны которого равны данным	*отрезкам*	.
Наряду с треугольником АВС рассмотрим прямоугольник 1 , смежные стороны которого равны соответственно	*отрезкам*	СВ и СА .
На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треугольник АВС по	*отрезкам*	АВ , ВМ и углам .
Отрезки АВ и АС назовем	*отрезками*	касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Найдите угол между	*отрезками*	касательных , проведёнными из указанной точки к данной окружности .
Соединив их тремя	*отрезками*	, получим геометрическую фигуру , называемую треугольником .
е . лежит на	*отрезке*	АХВХ .
Таким образом , при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом , показывающим , сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом	*отрезке*	.
63 Вершины В и D равнобедренных треугольников АВС и ADC с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На	*отрезке*	BD отмечена точка Е , не лежащая на прямой АС .
Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р , лежащую на прямой CD , но не лежащую на	*отрезке*	АВ , и точку Q , лежащую как на прямой CD .
Конечно , отрезок , принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом	*отрезке*	— получится остаток .
в ) На	*отрезке*	АВ отмечены точки С и D так , что .
Следовательно , на	*отрезке*	HD найдется точка А , лежащая на окружности , т .
так и на	*отрезке*	АВ .
Сантиметр укладывается в	*отрезке*	АВ ровно три раза .
На	*отрезке*	АВ .
в ) На	*отрезке*	АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на	*отрезке*	BD , так , чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала отрезок ВС .
Например , в	*отрезке*	АС сантиметр укладывается четыре раза с остатком , но не укладывается пять раз .
Однако этот факт требует обоснования : нужно доказать , что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на	*отрезке*	АХВХ и , обратно , каждая точка отрезка АХВХ является проекцией некоторой точки отрезка АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на	*отрезке*	А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Сколько точек нужно отметить на	*отрезке*	PQ , чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в точках Р , Q и отмеченных точках ? .
Такая фигура называется четырёхугольником ABCD , указанные	*отрезки*	называются сторонами , а концы сторон ( точки А , В , С , D ) — вершинами четырёхугольника .
Рассмотрим равные	*отрезки*	АВ и CD , лежащие на одной из сторон острого угла О. Пусть Ах , Вх , Сх иВ , — проекции точек А , В , С и D на другую сторону данного угла .
Сравните	*отрезки*	АВ и АС . б ) Отрезки АВ и ВС равны .
всевозможные прямые , на которых данная окружность с центром О отсекает	*отрезки*	, являющиеся её хордами .
Поскольку	*отрезки*	МА и МВ равны , то их проекции МХА и МХС также равны .
Если равные	*отрезки*	АВ и CD расположены так , как показано ( т . е .
Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных , проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством :	*отрезки*	касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
10 а ) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах , если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м . б ) От середины М отрезка АВ , равного 5,6 см , отложены на прямой АВ	*отрезки*	МР = 18 мм и MQ = 0,32 дм .
Обозначим её буквой В. При этом	*отрезки*	АН и АК накладываются на отрезки ВН и ВК .
Обозначим её буквой В. При этом отрезки АН и АК накладываются на	*отрезки*	ВН и ВК .
Сравните	*отрезки*	АС и BD . б ) Углы АОС и BOD равны .
От середины М отрезка АВ , равного 2,4 м , отложены на прямой АВ	*отрезки*	МР = 72 см и MQ = 0,25 м .
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD пересекались , а	*отрезки*	АВ и CD не имели общих точек .
Затем построим две окружности : радиуса P3Q3 с центром в точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя	*отрезки*	АС и ВС , получим искомый треугольник АВС , поскольку .
1 а ) Имеют ли общие точки :	*отрезки*	АВ и CD ; прямые АВ и CD ? .
Сравните	*отрезки*	АВ и АС . б ) Отрезки CD и DE равны .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то	*отрезки*	АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные	*отрезки*	О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен отрезку АВ .
Известно , что . Докажите , что луч AM — биссектриса угла А . е ) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно ,	*отрезки*	МН и NK — перпендикуляры , проведённые из этих точек к стороне АС .
Докажите , что CQ 1 PR . е ) Докажите , что . ж ) Стороны АВ , ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А , В и С на	*отрезки*	AM , ВК и СР так , что . Докажите , что треугольник МРК равносторонний .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а )	*отрезки*	АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Отрезок , соединяющий две вершины и отличный от стороны (	*отрезки*	АС и BD ) , называется диагональю четырёхугольника .
Ответ обоснуйте . д ) На прямой АВ отмечены точки С и Д точка С лежит между точками А и В , точка В — между точками С и ,	*отрезки*	АВ и CD равны .
Сравните	*отрезки*	АВ и CD . г ) Углы АОВ и COD равны , луч ОЕ — биссектриса угла AOD .
Могут ли	*отрезки*	L.V и КХ быть равными ?
В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники ,	*отрезки*	, треугольники , окружности , четырёхугольники и т .
В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС ,	*отрезки*	AD и АН — биссектриса и высота треугольника .
Сравните	*отрезки*	ОС и OD . б ) Углы АОВ и COD равны .
Пусть ΜΝ и PQ — данные	*отрезки*	, причём .
Сравните	*отрезки*	AD и BE .
На прямой отмечены точки А , В , С и D так , что точка В лежит между точками А и С , а	*отрезки*	АС и BD равны .
Эти	*отрезки*	называются сторонами прямоугольника .
Сравните	*отрезки*	АС и BD . г ) Углы АОС и BOD равны , луч ОЕ — биссектриса угла ВОС .
60 В треугольниках АВС и ΑλΒ^λ стороны АВ и А , равны и ΖΑ ΖΑλ , ZB ZBV На сторонах АС и A , Ct отмечены точки D и Dx так , что CD ClDv Докажите , что треугольники BDC и B1D1C1 равны , и сравните	*отрезки*	BD и BXDV .
Выбранные точки называются вершинами треугольника , а соединяющие их	*отрезки*	— его сторонами .
равные	*отрезки*	имеют равные длины .
9 Докажите , что	*отрезки*	касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .
Могут ли	*отрезки*	АВ и CD иметь общую середину ; не иметь общей середины ?
13 Как связаны между собой длины	*отрезков*	АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d. Найдите АВ и расстояние между серединами	*отрезков*	AM и MN .
в ) Сколько	*отрезков*	с концами А , В , С и D изображено ? .
к ) Сколько	*отрезков*	с концами в обозначенных буквами точках изображено ? .
12 Объясните , как производится измерение	*отрезков*	.
Поэтому если какой - нибудь из данных	*отрезков*	больше или равен сумме двух других , то нельзя построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам .
Найдите длины	*отрезков*	АР и BQ в миллиметрах , если PQ = 1,4 см .
Расстояние между серединами	*отрезков*	AM и NB равно d. Найдите АВ и расстояние между серединами отрезков AM и MN .
5 Сравнение	*отрезков*	и углов .
Сравнение	*отрезков*	и углов .
Прямоугольник составлен из четырёх	*отрезков*	.
Сколько точек нужно отметить на отрезке PQ , чтобы получилось ровно шесть различных	*отрезков*	с концами в точках Р , Q и отмеченных точках ? .
Измерение	*отрезков*	основано на сравнении их с отрезком , принятым за единицу измерения .
Найдите длины	*отрезков*	АР и BQ в дециметрах , если PQ = 97 см .
в ) Сколько	*отрезков*	с концами К , L , М и N изображено ? .
равном 24 см , отменены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами	*отрезков*	АВ и PQ , если АР = 2РВ и PQ = 3QB . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
Для измерения	*отрезков*	, изображённых на листе бумаги , удобнее использовать сантиметр — одну сотую часть метра или дециметр — одну десятую часть метра .
Наложим отрезок CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных	*отрезков*	считается тот , который составит часть другого .
В странах — участницах Метрической конвенции ( в частности , в России ) в качестве основной единицы измерения	*отрезков*	используется метр .
Докажите , что по крайней мере два из трёх	*отрезков*	AD , BD и CD не равны друг другу .
Пусть М и N — середины	*отрезков*	АВ и ВС. Поскольку О А ОВ , то точка О лежит на серединном перпендикуляре .
в ) На отрезке АВ , равном 30 м , отмечены точки Р и Q. Найдите расстояние между серединами	*отрезков*	AQ и PQ , если ЗАР = 2РВ и AQ = 2AP . г ) Точка М лежит на прямой АВ .
6 Измерение	*отрезков*	.
Докажите , что середины	*отрезков*	АВ и ОС совпадают .
Докажем теперь теорему о проекциях равных	*отрезков*	.
Из нашего построения следует , что если один из	*отрезков*	меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих отрезков .
Рассмотрим фигуру , составленную из	*отрезков*	АВ , ВС , CD и DA , никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек , отличных от концов .
Ясно также , что если точка делит отрезок на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух	*отрезков*	.
Из нашего построения следует , что если один из отрезков меньше другого , то существует прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна большему , а катет — меньшему из этих	*отрезков*	.
Геометрическая фигура , также состоящая из четырёх	*отрезков*	которая называется четырёхугольником .
к ) Сколько	*отрезков*	с концами в обозначенных буквами точках изображено на рисунке ? .
Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того , что для любых двух	*отрезков*	существует прямоугольник , две смежные стороны которого равны этим отрезкам .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины	*отрезков*	АВ , АС и СВ ? .
проекциях равных	*отрезков*	.
35 Сформулируйте и докажите теорему о проекциях равных	*отрезков*	.
Перечертите этот рисунок в тетрадь и проведите прямую так , чтобы образовалось ещё ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой и данных	*отрезков*	.
Мы сказали , что прямоугольник составлен из четырёх	*отрезков*	.
Единица измерения	*отрезков*	.
Расстояние между серединами	*отрезков*	АС и ВС равно 7 см. Найдите АС .
Точка С лежит на прямой АВ Расстояние между серединами	*отрезков*	АВ и АС равно d.
На практике пользуются приближёнными значениями длин	*отрезков*	, но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше .
Точка М и N — середины	*отрезков*	АВ и ВС .
Измерение	*отрезков*	и углов .
В связи с этим возникает вопрос : всегда ли можно построить треугольник , стороны которого равны данным отрезкам , в том случае , когда каждый из данных	*отрезков*	меньше суммы двух других ? .
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с	*отрезком*	PQ . е ) Изображены три отрезка .
Измерение отрезков основано на сравнении их с	*отрезком*	, принятым за единицу измерения .
При этом отрезок BD копии совместится с	*отрезком*	CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Имеет ли прямая LM общие точки с	*отрезком*	PQ ? .
При каком соотношении между	*отрезком*	ОА и радиусом R окружности задача имеет решение ? .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр пересекается с	*отрезком*	АВ , и есть середина этого отрезка .
При этом , однако , изображается лишь часть прямой , называемая	*отрезком*	.
Отметьте в тетради точки Р , Q , R и Т так , чтобы прямая PQ имела с	*отрезком*	RT общую точку , а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ . е ) Изображены три отрезка .
Может ли прямая АВ иметь общую точку с	*отрезком*	CD ? .
Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докажите , « точка С перемешается при этом по	*отрезку*	.
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
Отложим на продолжении луча НА отрезок НВ , равный	*отрезку*	НА .
И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к	*отрезку*	.
к	*отрезку*	. сумме углов треугольника . — об углах равнобедренного треугольника .
Рассмотрим произвольную точку М , равноудалённую от концов отрезка АВ , и докажем , что точка М лежит на серединном перпендикуляре а к этому	*отрезку*	.
Можно сказать , что серединный перпендикуляр к	*отрезку*	— это геометрическое место точек , равноудалённых от его концов .
Докажите теорему : каждая точка серединного перпендикуляра к	*отрезку*	равноудалена от концов этого отрезка .
Каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	.
Постройте хорду MN , равную	*отрезку*	АВ , так , чтобы расстояние от данной точки до прямой MN было равно CD .
В самом деле , построим какую - нибудь окружность с центром М , пересекающую прямую а в двух точках — А и В. Точка М равноудалена от точек А и Б и , следовательно , лежит на серединном перпендикуляре к	*отрезку*	АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр ( как его построить , мы знаем ) — он и будет искомой прямой , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а .
Построив серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	АВ , мы попутно решили ещё одну задачу построить середину данного отрезка АВ .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам , пересекаются в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а отрезок МС был равен	*отрезку*	АВ .
27 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к	*отрезку*	?
Докажем теорему , обратную теореме о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
ММХ — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АС .
серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
Она и является искомым серединным перпендикуляром к	*отрезку*	АВ .
Таким образом , серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ проходит через точки Р и Q , т .
Каждая точка серединного перпендикуляра к	*отрезку*	равноудалена от концов этого отрезка .
29 Докажите теорему : каждая точка , равноудалённая от концов отрезка , лежит на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	По отношению к какой теореме эта теорема является обратной ? .
25 Объясните , как построить серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	.
Докажем теорему о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	.
Постройте треугольник , в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному	*отрезку*	, а угол , заключённый между этими сторонами , равен данному углу .
На данном луче от его начала отложить отрезок , равный данному	*отрезку*	.
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к	*отрезку*	каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку .
Прямая а — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	AS .
Множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому	*отрезку*	.
Прямая а — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ .
Обозначим буквой М произвольную точку серединного перпендикуляра а к	*отрезку*	АВ и докажем , что .
Серединный перпендикуляр к	*отрезку*	.
Таким образом , прямая МО — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АВ , и точка М лежит на нем .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно данному	*отрезку*	, а боковая сторона вдвое больше основания .
Это означает , что прямая ММ , — серединный перпендикуляр к	*отрезку*	АС .
При этом предполагается , что с помощью линейки можно построить прямую , проходящую через две данные точки , а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и радиусом , равным данному	*отрезку*	.
30 Докажите , что множество всех точек плоскости , каждая из которых равноудалена от концов отрезка , есть серединный перпендикуляр к этому	*отрезку*	.
Если река является серединным перпендикуляром к	*отрезку*	, соединяющему две деревни , то эти деревни равноудалены от моста через реку .
Построение окружности с помощью веревки и двух колышков к	*отрезку*	АВ , поэтому ОМ 1 а .
Серединным перпендикуляром к	*отрезку*	называется прямая , проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему .
В самом деле , по построению точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ , поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому	*отрезку*	.
Высота АН прямоугольного треугольника АВС , проведённая из вершины прямого угла , равна 4 см , АВ = 8 см. Найдите угол С . б ) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна	*отрезку*	BD .
Построить серединный перпендикуляр к данному	*отрезку*	.
22 Серединный перпендикуляр к	*отрезку*	.
Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к	*отрезку*	.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором	*отрезок*	AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Докажите , что четырёхугольник AMON — прямоугольник . л ) Отрезки МВХ и МСХ — перпендикуляры , проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ ,	*отрезок*	ВН — высота этого треугольника .
Докажите , что если прямая пересекает	*отрезок*	в его середине , то концы отрезка равноудалены от этой прямой .
Из этого следует , что	*отрезок*	AD является медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Докажите , что прямая CD пересекает	*отрезок*	АВ и делит его пополам .
22 Объясните , какой	*отрезок*	называется наклонной , проведённой из данной точки к данной прямой .
Проведём	*отрезок*	О А и построим его середину М. Затем проведём окружность с центром М радиуса МА .
При этом	*отрезок*	BD копии совместится с отрезком CD треугольника , и поэтому BD - CD , а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника , и , значит .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника , а	*отрезок*	АВ копии с равной ему стороной АС треугольника .
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС , в котором отрезок AD — высота , проведённая к основанию ВС. Докажем , что	*отрезок*	AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС .
Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС , то	*отрезок*	AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС .
Мы видим , что	*отрезок*	А0Аn в n раз больше отрезка А0А1 и его проекция В0Вn в n раз больше проекции BQBX отрезка А0АХ .
Отложим на продолжении луча НА	*отрезок*	НВ , равный отрезку НА .
Докажите , что каждый	*отрезок*	имеет середину .
23 Объясните , какой	*отрезок*	называется перпендикуляром , проведённым из данной точки к данной прямой .
2 а ) Имеют ли общие точки прямая PQ и	*отрезок*	RT ? .
Проведём произвольную прямую , отметим на ней точку А и отложим	*отрезок*	АВ , равный PQ .
1 Объясните , что такое	*отрезок*	и концы отрезка .
При этом	*отрезок*	АВ копии совместится со стороной АС треугольника АВС .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то отрезок АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то	*отрезок*	АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Так как угол А копии равен углу А треугольника , то	*отрезок*	АВ копии наложится на луч АС , а поскольку , то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника .
Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В , лежащую на прямой КМ , так , чтобы прямая АВ пересекала прямые KL и LM , но не пересекала	*отрезок*	КМ . д )
Проведем произвольную прямую , отметим на ней точку А и отложим	*отрезок*	АВ .
Луч ОС и данный	*отрезок*	АВ .
Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги , перевернём копию и наложим её на треугольник АВС так , чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника , а	*отрезок*	АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника .
На прямой а от точки Н отложим	*отрезок*	HD r. Гипотенуза OD прямоугольного треугольника OHD больше катета HD , поэтому OD > г. Это означает , что точка D лежит вне круга , ограниченного данной окружностью .
г ) Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте точку N. лежащую на отрезке BD , так , чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС , но не пересекала	*отрезок*	ВС .
Докажите , что если концы отрезка равноудалены от прямой , пересекающей	*отрезок*	, то эта прямая проходит через середину отрезка .
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б )	*отрезок*	АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Следовательно ,	*отрезок*	АН — перпендикуляр к прямой а Теорема доказана .
123 На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки О А и ОВ , а во внутренней области этого угла отмечена точка С. Постройте точку М так , чтобы угол МАО был равен углу МВО , а	*отрезок*	МС был равен отрезку АВ .
Если	*отрезок*	, соединяющий концы дуги , является диаметром окружности , то дуга называется полуокружностью .
Докажите , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является	*отрезок*	.
Из точек состоит любая геометрическая фигура :	*отрезок*	, треугольник , окружность , прямоугольник и т .
На данном луче от его начала отложить	*отрезок*	, равный данному отрезку .
Докажите , что	*отрезок*	с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из сторон треугольника .
Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что	*отрезок*	, соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной , не больше боковой стороны .
49 а ) На стороне АВ треугольника АВС , в котором , отмечена точка М. Может ли	*отрезок*	AM быть равным 20 см ? .
Если же один	*отрезок*	меньше другого , то единица измерения ( или её часть ) укладывается в нём меньшее число раз , чем в другом , т .
меньший	*отрезок*	имеет меньшую длину .
Прямая ΜΧΝ пересекает	*отрезок*	АВ в точке М .
Можно сказать , что	*отрезок*	— это геометрическая фигура , состоящая из двух точек прямой — концов отрезка и всех точек этой прямой , лежащих между концами .
Итак , мы доказали , что проекцией отрезка , лежащего на одной из сторон острого угла , на другую сторону является	*отрезок*	.
Ясно также , что если точка делит	*отрезок*	на два отрезка , то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а отрезок , соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности (	*отрезок*	ОМ ) .
Прямые МА и МВ — касательные к окружности , А и В — точки касания ,	*отрезок*	АВ равен радиусу окружности .
Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим	*отрезок*	AM , равный катету АС .
1 Точка , прямая ,	*отрезок*	.
13 Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD , если : а ) отрезки АВ и CD равны ; б ) отрезок АВ меньше отрезка CD1 . 14 Точка С делит	*отрезок*	АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ , АС и СВ ? .
Отложите от луча EF во внутреннюю область угла DEF угол , равный углу АВС . г ) Даны неразвёрнутый угол и	*отрезок*	.
Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружности с центром О	*отрезок*	АН — высота этого треугольника .
Данная точка ( точка О ) называется центром окружности , а	*отрезок*	, соединяющий центр с какой - либо точкой окружности , радиусом окружности ( отрезок ОМ ) .
Следовательно , точки А и В также лежат по разные стороны от прямой ΜΧΝ , и поэтому прямая ΜΧΝ пересекает	*отрезок*	АВ в некоторой точке М. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка Мх .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите	*отрезок*	АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Пусть АВ — данный	*отрезок*	.
Докажите , что	*отрезок*	ME — биссектриса угла АМС . г ) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ .
Наложим	*отрезок*	CD на луч АВ так , чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В , то отрезки АВ и CD совместятся , и , следовательно , они равны ; если же точки D и В не совместятся , то меньшим из данных отрезков считается тот , который составит часть другого .
7 Какой	*отрезок*	называется высотой треугольника ?
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла ,	*отрезок*	CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и отрезок PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
Докажите . г ) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на	*отрезок*	BD , равный АВ .
Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ , все точки которого лежат во внутренней области угла , отрезок CD , все точки которого лежат во внешней области угла , и	*отрезок*	PQ , часть точек которого лежит во внутренней , а часть — во внешней области угла .
5 Какой	*отрезок*	называется медианой треугольника ?
6 Какой	*отрезок*	называется биссектрисой треугольника ?
Даны	*отрезок*	АВ и прямая а , пересекающая этот отрезок .
Рассмотрим острый угол POQ и	*отрезок*	АВ , лежащий на стороне ОР этого угла .
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен	*отрезок*	ОХ , разный перпендикуляру , проведённому из точки М к прямой АВ .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не пересекаются , поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает	*отрезок*	АВ .
Даны отрезок АВ и прямая а , пересекающая этот	*отрезок*	.
Наглядно видно , что	*отрезок*	АХВХ является проекцией отрезка АВ на прямую OQ .
Конечно ,	*отрезок*	, принятый за единицу измерения , может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток .
Проведем	*отрезок*	CCj .
Если он пересекает	*отрезок*	А1В1 , то получим два равнобедренных треугольника : AJCJC и BJCJC .
Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD , если . г ) Докажите , что	*отрезок*	, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , не больше большей из двух других сторон .
В этом случае говорят , что длина отрезка АВ равна 3 сантиметрам , или кратко :	*отрезок*	АВ равен 3 см ( пишут : АВ = 3 см ) .
всевозможные прямые , на которых данная окружность с центром О	*отсекает*	отрезки , являющиеся её хордами .
д. , в стереометрии — пространственные фигуры , например	*параллелепипеды*	, шары , цилиндры .
Многие предметы вокруг нас имеют форму прямоугольника : обложка книги и её страницы ; оконная рама и стёкла ; крышка стола и элементы её оформления ; полки шкафов ,	*паркет*	и двери ; рамка картины .
Действительно , точка М , в которой серединный перпендикуляр	*пересекается*	с отрезком АВ , и есть середина этого отрезка .
Отметьте в тетради точки А , В , С и D так , чтобы прямые АВ и CD	*пересекались*	, а отрезки АВ и CD не имели общих точек .
56 Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О. Докажите , что ΖΑΒΟ ZCBO . 57 Докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны , то медиана AM треугольника не является высотой .
Три медианы треугольника	*пересекаются*	в одной точке .
Три биссектрисы треугольника	*пересекаются*	в одной точке .
Прямые	*пересекаются*	.
Докажите , что треугольник АВС прямоугольный . д ) Прямые , содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС ,	*пересекаются*	в точке О. Найдите угол ВОС , если угол А равен ос . е ) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D , что ZBAD 20 ° и ZBCD 10 ° .
Отрезки АВ и CD	*пересекаются*	в середине М отрезка АВ , причём .
Три высоты треугольника или их продолжения	*пересекаются*	в одной точке .
Докажите , что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О . б ) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника	*пересекаются*	в точке , лежащей на третьей стороне .
ж ) Прямые PQ и LM	*пересекаются*	в точке М .
Прямые AD и ВС	*пересекаются*	в точке Е. Докажите , что луч ОЕ — биссектриса угла POQ .
Докажите , что прямые а и b не	*пересекаются*	.
47 а ) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС , если ВС = 24 см , а периметр треугольника АЕС равен 30 см . б ) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС	*пересекаются*	в точке стороны ВС. Докажите , что .
Мы видим , что три медианы треугольника	*пересекаются*	в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
Равные хорды АС и BD	*пересекаются*	.
Найдите углы треугольника ADH , если 44 ° . з ) Докажите , что если . и ) Диагонали прямоугольника ABCD	*пересекаются*	в точке О , точка М — середина стороны AD .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника	*пересекаются*	в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке .
95 Биссектрисы углов А и Б треугольника АВС	*пересекаются*	в точке М , причём .
Мы видим , что три медианы треугольника пересекаются в одной точке , три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке , три высоты треугольника или их продолжения также	*пересекаются*	в одной точке .
Докажем , что точка Мх лежит на отрезке А , Б. Так как прямые АА1 и ММХ перпендикулярны к прямой OQ , то они не	*пересекаются*	, поэтому точка Ах лежит по ту же сторону от прямой ММи что и точка А. По аналогичной причине точка В , лежит по ту же сторону от прямой ММХ , что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой MMj , поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ .
Докажите , что окружности радиуса АВ с центрами А и Б	*пересекаются*	в двух точках .
82 Высоты ААг и ВВ , равнобедренного треугольника АВС , проведённые к боковым сторонам ,	*пересекаются*	в точке М. Докажите , что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О , причём 135 ° .
89 В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD	*пересекаются*	, а сторона АВ больше диагонали BD Докажите , что .
Постройте угол , равный 150 ° ; 135 ° . н ) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ , НЕ и AD .
Затем построим окружность радиуса ΜΝ с центром В. Поскольку , то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности , поэтому прямая а и построенная окружность	*пересекаются*	в двух точках .
75 Продолжения высот ВВХ и ССг треугольника АВС с тупым углом А	*пересекаются*	в точке Н. Докажите , что ΖΑΒΗ ZACH и 180 ° .
в ) Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О , причём 150 ° .
г ) Три прямые	*пересекаются*	в одной точке и делят плоскость на шесть углов , два из которых равны 30 ° и 50 ° .
81 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке М. Докажите , что прямая СМ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ .
и ) Даны четыре прямые , каждые две из которых	*пересекаются*	.
в ) Исходя , докажите , что . г ) Три прямые	*пересекаются*	в одной точке и делят плоскость на шесть углов .
65 Отрезки AD и BE	*пересекаются*	в точке С , причём АС СЕ и ZBAC ZDEC Докажите , что ААВЕ AEDA .
Таким образом , две прямые , перпендикулярные к прямой а , не	*пересекаются*	.
к ) В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD	*пересекаются*	в точке О , причём .
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС	*пересекаются*	в точке О. Докажите , что луч АО — биссектриса угла А . г ) Докажите , что прямая , проходящая через середины двух сторон треугольника , является серединным перпендикуляром к одной из его высот .
Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС	*пересекаются*	в точке D , точка О равноудалена от всех вершин треугольника .
Если две прямые имеют общую точку , то говорят , что они	*пересекаются*	, а общая точка называется точкой пересечения этих прямых .
Предположим , что две прямые , перпендикулярные к прямой а ,	*пересекаются*	в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а , так как в этом случае образуется развёрнутый угол , больший 180 ° .

В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов

Геометрия. 7 класс