Левый контекст |
Термин |
Правый контекст |
|
Абсцисса
|
каждой точки графика функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной . |
|
Абсцисса
|
точки D равна f , поэтому ордината точки D равна kf . |
|
Аксиома
|
параллельности и признаки параллельности прямых позволяют доказывать свойства параллельных прямых . |
2.2 |
Аксиома
|
параллельности . |
|
Аргумент
|
. |
|
Бином
|
. |
5 |
Бином
|
Ньютона . |
|
Биномиальные
|
коэффициенты и треугольник Паскаля . |
|
Биномиальные
|
коэффициенты . |
1.2 |
Биссектриса
|
половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° . |
2.3 |
Биссектриса
|
угла в 45 ° делит его на углы . |
1.5 |
Биссектриса
|
плоского угла . |
|
Биссектриса
|
плоского угла . |
|
Величина
|
постоянная . |
|
Величина
|
переменная . |
|
Величина
|
угла . |
|
Величина
|
. |
|
Величина
|
плоского угла . |
|
Величина
|
прямого угла как единица измерения плоских углов . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK |
Величину
|
угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть . |
|
Величину
|
угла NKL определяем как сумму величин углов NKM и MKL , то есть . |
|
Величины
|
, которые не изменяются , называются постоянными ; величины , которые принимают различные значения , называются переменными . |
|
Величины
|
зависимые . |
|
Вершина
|
угла . |
|
Вершины
|
двух углов совпадают , и стороны двух углов расположены по двум пересекающимся прямым . |
|
Вершины
|
углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n . |
3.4 |
Выпуклый многоугольник
|
. |
|
Выражение
|
а1b2 - b1а2 иногда называют определителем системы двух линейных уравнений . |
3.8 |
Выражение
|
последующих членов геометрической прогрессии через предыдущие . |
|
Выражение
|
А , не содержащее переменных или содержащее только одну из х и у , иногда также удобно обозначать как А(х , у ) . |
|
Выражение
|
буквенное определённое всюду . |
|
Выражение
|
буквенное числовое . |
|
Выражение
|
буквенное линейное . |
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. |
Выражение
|
— левая часть полученного уравнения , выражение — правая часть этого уравнения . |
|
Выражение
|
буквенное . |
|
Выражения
|
тождественно равные . |
3.5 |
Высота
|
трапеции . |
|
Высоты
|
параллелограмма . |
|
Вычитая
|
из всех частей двойного неравенства а1 < а < а2 число b , получим двойное неравенство . |
|
Геометрическая фигура
|
называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все точки отрезка АВ принадлежат этой фигуре . |
|
Гипотенуза
|
и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам треугольника . |
|
Градус
|
. |
|
Градус
|
по Фаренгейту . |
|
Градус
|
по Цельсию . |
|
График
|
этого уравнения состоит из всех точек , координаты которых имеют вид , где а — любое число . |
|
График
|
уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с графиком линейной функции . |
4.4 |
График
|
функции . |
|
График
|
функции . |
|
График
|
. |
|
График
|
этого уравнения изображён . |
|
График
|
уравнения с двумя неизвестными . |
1.4 |
График
|
прямой пропорциональной зависимости . |
|
График
|
прямолинейной зависимости . |
|
График
|
линейной функции . |
|
График
|
линейного уравнения . |
|
График
|
уравнения есть прямая , проходящая через точки 0(0 ; 0 ) и А(2 ; 3 ) . |
|
График
|
прямо пропорциональной зависимости . |
|
Графики
|
линейных функций помогают наглядно представить все решения линейных уравнений с двумя неизвестными . |
Рассмотрим прямолинейную зависимость |
Графиком
|
Г этой зависимости называют график уравнения то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое число . |
|
Графиком
|
уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат . |
|
Графиком
|
уравнения , где к , b — фиксированные числа , является прямая . |
|
Графиком
|
линейной функции , где к и b — фиксированные числа , является прямая . |
|
Графиком
|
уравнения является : 1 ) вертикальная прямая . |
|
Графиком
|
линейной функции является прямая . |
|
Графиком
|
функции является прямая MN . |
|
Графиком
|
функции ( функциональной зависимости ) называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) . |
|
Деление
|
— трудоёмкая операция . |
|
Десятичные
|
приближения положительного числа с точностью до целой разрядной единицы . |
2.2 |
Десятичные
|
приближения положительного числа с точностью до 1 . |
2 |
Десятичные
|
приближения . |
|
Десятичные
|
приближения . |
|
Десятичные
|
приближения положительного числа с заданным числом знаков после запятой . |
2.5 |
Десятичные
|
приближения положительного числа . |
|
Десятичные
|
приближения отрицательного числа . |
|
Десятичным
|
приближением снизу числа а с точностью до 10 m называется число , равное b · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m . |
|
Десятичным
|
приближением сверху числа а с точностью до 10 m называется число , равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m . |
3 |
Диагонали
|
параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма . |
|
Диагональ
|
параллелограмма делит его на два равных треугольника . |
1.4 |
Длина
|
отрезков касательных для окружности , вписанной в треугольник . |
8 |
Длина
|
карандаша примерно равна 16,3 см , причём абсолютная погрешность измерения не превосходит 5 мм . |
|
Длина
|
пути S , пройденного телом при свободном падении в поле силы тяжести с ускорением g за время t при начальной нулевой скорости выражается формулой . |
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. |
Длины
|
равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда . |
1.1 |
Длины
|
сторон треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из средних линий этого треугольника ? . |
|
Доказательство
|
. |
|
Доказательство
|
равенства треугольников по двум соответствующим сторонам и медиане . |
4.6 |
Доказательство
|
третьего основного свойства степени . |
1.7 |
Доказательство
|
третьего признака . |
1.3 |
Доказательство
|
второго признака . |
|
Доказательство
|
этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства действительных чисел , поэтому разбирать доказательство мы не будем . |
4.4 |
Доказательство
|
второго основного свойства . |
|
Дробная
|
часть числа х обозначается через { х } . |
|
Дробная
|
часть числа . |
2.3 |
Дробные
|
части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? . |
2.10 |
Дуги
|
окружности и углы между её радиусами . |
2.9 |
Дуги
|
окружности и плоские углы . |
4.4 |
Замкнутый
|
числовой луч вида . |
4.3 |
Замкнутый
|
числовой луч вида . |
|
Знак
|
"угловой секунды "" пишут справа вверху от числа ." |
|
Знак
|
' угловой минуты пишут справа вверху от числа . |
1.5 |
Знак
|
квадрата чисел . |
|
Знаменатель
|
геометрической прогрессии . |
|
Значение
|
выражения при . |
1.3 |
Значение
|
буквенного выражения . |
|
Значение
|
одного из образовавшихся углов равно 53 ° . |
3.1 |
Значение
|
линейной функции при натуральных значениях переменной . |
|
Значение
|
двоичного разряда может быть либо 0 , либо 1 . |
|
Значение
|
буквенного выражения из предыдущего пункта можно вычислить при любых наборах значений букв . |
|
Значение
|
буквенного выражения . |
2.3 |
Значения
|
каких из указанных выражений не равны 2 ? . |
2.1 |
Значения
|
каких из приведённых выражений равны 25 ? . |
1.4 |
Значения
|
переменной у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью . |
1.3 |
Значения
|
переменной у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью , причём при . |
|
Значения
|
каких из указанных выражений равны 0,25 ? . |
|
Касательная
|
внутренняя . |
|
Касательная
|
к окружности перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания . |
|
Касательная
|
общая . |
|
Касательная
|
. |
|
Касательная
|
для двух окружностей внешняя . |
8 |
Касательные
|
, проведённые из точки А к окружности радиуса R , образуют угол в 60 ° . |
7 |
Касательные
|
, проведённые из точки А к окружности радиуса r , перпендикулярны . |
2 |
Касательные
|
к окружностям . 2.1 Общая касательная двух окружностей . |
|
Катет
|
О1Н имеет длину R1 - R2 . |
|
Квадрат
|
со стороной разбит на квадрат со стороной а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b. |
|
Квадрат
|
суммы и его геометрический смысл . |
|
Квадрат
|
разности . |
|
Квадрат
|
числа . |
|
Квадратные
|
корни из левой и правой частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга . |
|
Квадратные корни
|
из левой и правой частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга . |
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке |
Координата
|
каждой его точки меньше либо равна . |
|
Координата
|
каждой его точки больше либо равна -2 . |
|
Координаты
|
точки О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому точка О принадлежит графику Г . |
|
Координаты
|
точки N , симметричной точке М относительно оси Ох , имеют вид ( а ; -kа ) . |
|
Координаты
|
точки D удовлетворяют уравнению . |
|
Корень
|
уравнения . |
|
Корень
|
какого уравнения равен разности а - b двух чисел ? . |
|
Корень
|
. |
|
Корень
|
неравенства . |
|
Коэффициент
|
. |
|
Коэффициент
|
угловой . |
|
Коэффициент
|
одночлена . |
|
Коэффициент
|
биномиальный . |
|
Коэффициент
|
произведения двух одночленов равняется произведению коэффициентов этих одночленов . |
|
Коэффициент
|
одночлена нулевой степени считают равным самому одночлену . |
|
Коэффициент
|
пропорциональности . |
|
Куб
|
числа . |
|
Лемма
|
. |
|
Линейная
|
функция . |
1.8 |
Линейная
|
система с параметром . |
2 |
Линейная
|
функция/. 2.1 Определение линейной функции . |
Глава 10 |
Линейная
|
функция . |
2.10 |
Линейное
|
уравнение с нулевым коэффициентом . |
1.5 |
Линейное
|
уравнение , не имеющее корней . |
2.11 |
Линейное
|
неравенство , не имеющее корней . |
1.9 |
Линейное
|
уравнение с параметром . |
1.4 |
Линейное
|
уравнение , имеющее бесконечно много корней . |
2.6 |
Линейные
|
неравенства . |
1 |
Линейные
|
уравнения с одним неизвестным . |
|
Линейные
|
уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления . |
1.2 |
Линейные
|
уравнения . |
|
Линейные
|
неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления . |
Логарифм левой части этого равенства запишется в виде |
Логарифм
|
правой части равенства по определению равен . |
1.5 |
Логарифм
|
— название для показателя степени . |
|
Логарифм
|
. |
|
Логарифм
|
левой части этого равенства запишется в виде Логарифм правой части равенства по определению равен . |
|
Луч
|
открытый . |
|
Луч
|
замкнутый . |
|
Луч
|
. |
|
Луч
|
противоположный . |
|
Луч
|
числовой . |
При этом лучи О А и О В называют противоположными и кратко говорят : « |
Луч
|
О А является продолжением луча О В до прямой » . |
|
Луч
|
ОВ является биссектрисой того плоского угла АОС , который содержит этот луч . |
|
Лучи
|
PS и QS1 пересекаются в выделенной полуплоскости в точке R . |
|
Многоугольник
|
обладает следующими характеристическими свойствами . |
|
Многоугольник
|
выпуклый . |
|
Многоугольник
|
называют выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой , содержащей сторону этого многоугольника . |
|
Многочлен
|
стандартная форма . |
|
Многочлен
|
иногда называют биномом , так как является суммой двух слагаемых . |
|
Многочлен
|
. |
|
Многочлен
|
степень . |
3.4 |
Множество
|
решений уравнения . |
2.2 |
Множество
|
корней уравнения . |
|
Множество
|
всех решений этого уравнения совпадает с множеством решений уравнения . |
3.5 |
Множество
|
всех целочисленных решений уравнения вида . |
|
Множество
|
решений неравенства называют открытым числовым лучом и обозначают . |
2.3 |
Множество
|
корней неравенства . |
|
Множество
|
решений неравенства называют замкнутым числовым лучом и обозначают . |
|
Множество
|
корней ( решений ) Множество неравенства . |
Множество корней ( решений ) |
Множество
|
неравенства . |
|
Множество
|
таких пар является графиком линейной функции . |
|
Множество
|
корней ( решений ) уравнения . |
2.2 |
Множество
|
решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и множество решений неравенства . |
|
Множество
|
. |
|
Множество
|
таких пар является графиком функции . |
Точка М расположена на высоте ВН так , что . |
Найдите
|
площадь треугольника АМС . |
2 |
Найдите
|
угол при основании равнобедренного треугольника , если угол при его вершине равен . |
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что . |
Найдите
|
площадь треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 . |
8 |
Найдите
|
все решения системы . |
1 |
Найдите
|
угол при вершине равнобедренного треугольника , если угол при основании равен . |
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . |
Найдите
|
отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK . |
Отрезки DH и FG пересекаются в точке К. |
Найдите
|
отношение . |
6 |
Найдите
|
значение к , если известно , что график линейной функции проходит через точку . |
3 |
Найдите
|
приближённое значение суммы а и b с абсолютной погрешностью не более 0,01 . |
|
Найдите
|
длины боковых сторон трапеции . |
Отрезки KN и LM пересекаются в точке Р. |
Найдите
|
отношение . |
Отрезки ВМ и СК пересекаются в точке Р. |
Найдите
|
отношение . |
|
Найдите
|
расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см . |
Точки М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что . |
Найдите
|
площадь треугольника MNK . |
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. |
Найдите
|
отношение . |
|
Найдите
|
отношение . |
|
Найдите
|
верные разложения . |
1 |
Найдите
|
целую часть суммы . |
8 |
Найдите
|
с помощью графиков приближённое значение корня уравнения . |
Известно , что . |
Найдите
|
угол . |
|
Найдите
|
площадь четырёхугольника ABMN . |
Известно , что . |
Найдите
|
углы треугольников АВН и САН . |
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём |
Найдите
|
угол CGF . |
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. |
Найдите
|
длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности . |
|
Найдите
|
угол DGH . |
Точки М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. |
Найдите
|
площадь четырёхугольника BMNC . |
|
Найдите
|
углы четырёхугольника MNKL , если известны углы . |
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . |
Найдите
|
площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N . |
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) |
Найдите
|
длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС . |
5 |
Найдите
|
углы треугольника , если внешние углы при двух его вершинах равны 120 ° и 130 ° . |
|
Найдите
|
площадь треугольника АВМ . |
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в точке О. |
Найдите
|
углы треугольников АОВ , BOL , АОМ , если . |
7 |
Найдите
|
значение b , если известно , что график линейной функции проходит через точку . |
6 Точки С и D расположены на отрезке АВ так , что . |
Найдите
|
отношение . |
|
Найдите
|
углы треугольника . |
1 |
Найдите
|
сумму приближённых значений а , b и оцените её погрешность . |
|
Найдите
|
площадь треугольника BMN . |
|
Найдите
|
сумму отмеченных углов . |
5 Точка С расположена на отрезке АВ так , что . |
Найдите
|
отношение . |
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что . |
Найдите
|
отношение . |
11 |
Найдите
|
произведения , не прибегая к длинным вычислениям . |
12 |
Найдите
|
в треугольнике Паскаля . |
|
Найдите
|
длину отрезка общей внешней касательной , если . |
|
Найдите
|
площадь . |
|
Найдите
|
площадь меньшего шестиугольника , если . |
11 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 102для числа . |
10 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 100 для произведения . |
9 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 4 для числа . |
|
Найдите
|
площадь четырёхугольника MNKL . |
8 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 3для разности . |
7 В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и D. |
Найдите
|
длину отрезка KL , если известно , что . |
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « |
Найдите
|
все такие числовые значения d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » . |
|
Найдите
|
длину этой касательной , если . |
|
Найдите
|
радиус окружности . |
7 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 1 для произведения . |
|
Найдите
|
произведение . |
17 Известно , что . |
Найдите
|
отношение АМ : МВ . |
14 |
Найдите
|
. |
|
Найдите
|
периметр многоугольника . |
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « |
Найдите
|
все значения переменной величины х , при которых значения выражений равны » . |
|
Найдите
|
расстояние между центрами окружностей , если АВ 12 см . |
|
Найдите
|
площадь четырёхугольника ABCD , если AF b 5 см , FD b 3 см . |
Кратко эту задачу записывают так : « |
Найдите
|
все значения х , при которых » . |
Площадь треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . |
Найдите
|
площадь треугольника MNK . |
1.1 |
Найдите
|
верное разложение . |
2 |
Найдите
|
дробную часть суммы . |
12 |
Найдите
|
значение выражения . |
6 |
Найдите
|
произведение приближённого значения 2,5 0,05 и числа 1,23 . |
19 |
Найдите
|
радиус окружности , вписанной в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см . |
|
Найдите
|
отрезки , на которые точки касания разбивают стороны треугольника . |
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. |
Найдите
|
приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления . |
|
Найдите
|
а . |
3 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 103 для суммы . |
|
Найдите
|
эти числа . |
4 |
Найдите
|
десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 1 для суммы . |
|
Найдите
|
уменьшаемое и вычитаемое . |
5 |
Найдите
|
внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника . |
|
Найдите
|
площадь фигуры . |
5 |
Найдите
|
целую часть произведения . |
7 |
Найдите
|
суммы . |
6 |
Найдите
|
дробную часть произведения . |
|
Найдите
|
расстояние между центрами окружностей , если АВ 8 см . |
|
Найдите
|
сумму углов AKL и CLK . |
|
Найдите
|
координаты вершин квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) . |
|
Найдите
|
длины этих отрезков , если . |
9 |
Найдите
|
на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 2 от точки 5 . |
10 |
Найдите
|
на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 4 от точки 1 . |
3 |
Найдите
|
приближённое значение частного . |
9 |
Найдите
|
сумму . |
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. |
Найдите
|
стороны треугольника . |
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. |
Найдите
|
периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма . |
6 |
Найдите
|
сумму n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом а1 и разностью d , если . |
4 |
Найдите
|
приближённое значение частного и оцените абсолютную погрешность . |
5 |
Найдите
|
. |
4 |
Найдите
|
сумму всех последовательных натуральных чисел . |
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 |
Найдите
|
первый член и разность арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что . |
5 |
Найдите
|
приближённое значение частного . |
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см. |
Найдите
|
периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС . |
7 |
Найдите
|
площадь параллелограмма , зная его периметр р и высоты m и n . |
5 |
Найдите
|
площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и тупым углом в 150 ° . |
4 |
Найдите
|
площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и острым углом в 60 ° . |
7 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В. |
Найдите
|
расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой . |
3 Периметр ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. |
Найдите
|
площадь ромба . |
2 |
Найдите
|
площадь параллелограмма ABCD , если известно , что . |
11 |
Найдите
|
условие , при котором середины сторон четырёхугольника являются : а ) вершинами ромба ; б ) вершинами прямоугольника . |
|
Найдите
|
все треугольники , равные : а ) треугольнику ALM ; б ) треугольнику ACM . |
2 |
Найдите
|
, при каких числовых значениях а система имеет единственное решение . |
18 В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. |
Найдите
|
площадь трапеции . |
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. |
Найдите
|
площадь трапеции . |
|
Найдите
|
значение выражения . |
3 |
Найдите
|
число χη+ι , если известно , что . 4 . |
6 |
Найдите
|
приближённое значение частного и оцените абсолютную погрешность . |
7 |
Найдите
|
значение выражения . |
1 |
Найдите
|
какое - либо целочисленное решение уравнения . |
5 |
Найдите
|
, при каких значениях х положительно выражение . |
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. |
Найдите
|
множество всех точек М . |
|
Найдите
|
длину средней линии трапеции AFGD , если известно , что . |
|
Найдите
|
площади этих треугольников , если основания трапеции 35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 . |
2 |
Найдите
|
значение а , если . |
|
Найдите
|
площадь трапеции , основаниями которой являются эти хорды . |
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. |
Найдите
|
длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм . |
14 Отрезок MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см. |
Найдите
|
основания трапеции , если . |
|
Найдите
|
основания трапеции . |
3 |
Найдите
|
: 4 Запишите n начальных членов геометрической прогрессии , если . |
|
Найдите
|
множество всех точек М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС касательных к окружностям равны между собой . |
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. |
Найдите
|
меньшее основание трапеции . |
|
Найдите
|
длину отрезка LJ , если известно , что . |
8 |
Найдите
|
внутренние углы выпуклого четырёхугольника ABCD , если известно , что . |
5 |
Найдите
|
сумму пяти начальных членов геометрической прогрессии , если . |
9 Известно , что . |
Найдите
|
ZCDA . |
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. |
Найдите
|
основания трапеции . |
4 |
Найдите
|
значение выражения . |
5 |
Найдите
|
значение выражения . |
6 |
Найдите
|
значение выражения . |
2 |
Найдите
|
какие - нибудь приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 для чисел . |
3 |
Найдите
|
десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для обыкновенных дробей . |
|
Найдите
|
множество всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S отрезки касательных равны АВ . |
6 |
Найдите
|
суммы . |
3 |
Найдите
|
все целочисленные решения уравнения . |
2 |
Найдите
|
какие - либо два целочисленных решения уравнения . |
6 |
Найдите
|
, при каких значениях х отрицательно выражение . |
8 |
Найдите
|
последнюю цифру в десятичной записи числа . |
4 |
Найдите
|
приближённые значения квадратных корней из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений . |
|
Найдите
|
площадь трапеции . |
6 Площадь параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. |
Найдите
|
расстояние между двумя другими противоположными сторонами . |
|
Найдите
|
длины сторон прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь . |
Известно , что . |
Найдите
|
углы . |
а ) Известно , что . |
Найдите
|
углы . |
1 Известно , что . |
Найдите
|
. |
1 |
Найдите
|
площадь ромба , если длины его диагоналей равны : а ) 3 см и 4 см ; б ) 5 см и 11 см ; в ) 1,25 дм и 0,39 дм . |
|
Найдите
|
площадь заштрихованной на рисунке части , если площадь параллелограмма равна В . |
4 |
Найдите
|
общие точки промежутков . |
5 |
Найдите
|
общие точки промежутков . |
16 |
Найдите
|
, при каких значениях х можно вычислить значение выражения . |
1 |
Найдите
|
степень одночлена . |
10 |
Найдите
|
с помощью графиков приближённое значение корня уравнения . |
|
Найдите
|
на окружности точку А и на прямой точку В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ . |
9 |
Найдите
|
с помощью графиков приближённое значение корня уравнения . |
|
Найдите
|
площадь прямоугольника . |
3 |
Найдите
|
коэффициент и степень одночлена . |
1 Известно , что ZADB ZDCB 90 ° , AD 12 см , АВ 13 см , ВС 3 см. |
Найдите
|
площадь четырёхугольника ABCD . |
|
Найдите
|
все треугольники , равные : а ) треугольнику ACD ; б ) треугольнику BCD . |
14 |
Найдите
|
площадь заштрихованной фигуры с вершинами в узлах сетки . |
4 |
Найдите
|
коэффициент одночлена , где буквы а и b обозначают постоянные числа . |
1.1 |
Найдите
|
степень одночлена : 1 ) 2 ; 2 ) 3 ; 3 ) 5 ; 4 ) 8 . |
6 |
Найдите
|
приближённую длину диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? . |
8 |
Найдите
|
произведение многочленов , упростив до стандартной формы . |
5 |
Найдите
|
приближённую длину диагонали квадрата , сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения . |
|
Найдите
|
суммы и разности многочленов . |
|
Найдя
|
приближения сверху и снизу , мы можем гарантировать , что искомая масса заключена между ними . |
|
Найдём
|
теперь , какой номер s имеет в этой прогрессии число 199 , используя формулу общего члена арифметической прогрессии . |
|
Найдём
|
площадь равностороннего треугольника со стороной 2 см . |
|
Найдём
|
9872 . |
|
Найдём
|
. |
|
Найдём
|
номер n последнего слагаемого ( -60 ) в нашей сумме . |
|
Найдём
|
радиус r окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см . |
|
Найдём
|
радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна . |
|
Найдём
|
сумму внутренних односторонних углов 1 и 2 . |
|
Найдём
|
, сколько решений имеет система уравнений . |
|
Найдём
|
все решения уравнения в натуральных числах . |
|
Найдём
|
площадь равностороннего треугольника со стороной а . |
|
Найдём
|
площадь шестиугольника ABCDEF , у которого все углы равны по 120 ° и АВ 6 см , ВС 8 см , CD 10 см , DE 10 см . |
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « |
Найти
|
все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » . |
|
Найти
|
корень уравнения . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « |
Найти
|
все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
|
Найти
|
, при каких числовых значениях а уравнение не имеет корней относительно неизвестной х . |
|
Найти
|
, в какое время встретятся Филя и Хрюша , если путь от Шаболовки до Останкина 25 км . |
|
Найти
|
скорости этих поездов . |
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « |
Найти
|
все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » . |
Кратко эту задачу записывают так : « |
Найти
|
все значения х , при которых » . |
Кратко эту задачу записывают так : « |
Найти
|
все значения х , при которых » ; или так : « Решить неравенство » . |
|
Найти
|
все решения уравнения . |
|
Найти
|
все решения этого уравнения непросто . |
|
Найти
|
сумму в которой в порядке убывания записаны все целые числа от 99 до -60 , делящиеся на 3 . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « |
Найти
|
все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
|
Неравенства
|
называются равносильными , если множества корней этих неравенств совпадают . |
|
Неравенства
|
, решение . |
|
Неравенства
|
равносильны . |
Глава 7 |
Неравенства
|
. |
|
Неравенства
|
равносильные . |
2.1 |
Неравенства
|
с одной переменной ( со знаком > ) . |
|
Неравенства
|
равносильны , так как тождественно равно . |
2.2 |
Неравенства
|
с одной переменной ( со знаком < ) . |
|
Неравенства
|
равносильны по той же причине , что и неравенства в примере 6 . |
|
Неравенства
|
противоположного направления ( смысла ) . |
|
Неравенства
|
называют неравенствами противоположного направления , или неравенствами противоположного смысла , или неравенствами с противоположными знаками . |
|
Неравенства
|
. |
|
Неравенство
|
линейное . |
|
Неравенство
|
нестрогое . |
|
Неравенство
|
, в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным неравенством . |
|
Неравенство
|
с одним неизвестным ( переменной ) . |
|
Неравенство
|
алгебраическое . |
|
Неравенство
|
числовое . |
|
Неравенство
|
. |
|
Неравенство
|
выполняется , если либо , либо , и читается так : « а больше либо равно b » . |
|
Неравенство
|
выполняется , если либо , либо , и читается так : « а меньше либо равно b » . |
|
Неравенство
|
строгое . |
|
Область допустимых значений
|
. |
3.1 |
Одночлен
|
. |
|
Одночлен
|
нулевой степени . |
|
Одночлен
|
. |
|
Одночлен
|
-m2n имеет коэффициент -1 и степень 3 , равную . |
|
Одночлен
|
первой степени . |
|
Одночлен
|
, где π — постоянное число , имеет коэффициент и степень 3 , равную . |
|
Одночлен
|
abed можно записать в виде . |
|
Округление
|
положительного числа до других разрядов после запятой . |
3.4 |
Округление
|
положительного числа до разряда единиц . |
|
Округление
|
положительного числа до второго разряда после запятой . |
3 |
Округление
|
десятичных дробей . |
3.5 |
Округление
|
положительного числа до разряда десятков . |
|
Округление
|
, правило . |
|
Округление
|
. |
|
Округление
|
до заданного разряда . |
|
Округление
|
положительного числа . |
|
Округление
|
отрицательного числа . |
|
Округление
|
, результат . |
1 |
Округлите
|
следующие числа до разряда десятков . |
2 |
Округлите
|
следующие числа до разряда тысяч . |
3 |
Округлите
|
следующие числа до разряда единиц . |
4 |
Округлите
|
следующие числа до разряда десятых . |
5 |
Округлите
|
следующие числа до разряда сотых . |
2 |
Округлите
|
числа а и b до второго разряда после запятой , найдите сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность . |
5 |
Округлите
|
второй сомножитель до второго разряда после запятой , найдите произведение и оцените абсолютную погрешность произведения . |
|
Округляя
|
число 1529,3 до разряда единиц , получим 1529 . |
8 |
Окружности
|
О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой . |
9 |
Окружности
|
О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см . |
|
Окружности
|
, касающиеся внутренним образом . |
|
Окружности
|
могут оказаться по разные стороны от общей касательной , и тогда общая касательная называется внутренней касательной двух окружностей . |
|
Окружности
|
радиуса R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет . |
|
Окружности
|
могут оказаться по одну сторону от этой прямой и тогда общая касательная называется внешней касательной двух окружностей . |
|
Окружности
|
, касающиеся внешним образом . |
|
Окружность
|
вписанная . |
23 |
Окружность
|
касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и не пересекает сторону CD , как изображено . |
1.3 |
Окружность
|
, вписанная в прямоугольный треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? . |
2 |
Окружность
|
радиуса 3 см касается сторон угла . |
1.2 |
Окружность
|
с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° . |
|
Окружность
|
касается оснований трапеции , поэтому высота равна диаметру окружности , то есть равна 4 см . |
|
Окружность
|
вневписанная . |
24 |
Окружность
|
касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных точках , как изображено . |
|
Окружность
|
. |
1.3 |
Окружность
|
с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? . |
1.6 |
Окружность
|
, вписанная в прямоугольный треугольник . |
|
Определитель
|
системы уравнений . |
|
Основание
|
высоты , проведённой из вершины В , совпадает с вершиной треугольника АВС . |
|
Основание
|
и высота параллелограмма . |
|
Основание
|
треугольника . |
|
Основание
|
степени . |
|
Основание
|
логарифма . |
|
Основание
|
. |
|
Основание
|
высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство . |
4.3 |
Основание
|
треугольника . |
|
Основание
|
высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне АС треугольника АВС . |
23 |
Основания
|
трапеции равны а и b. |
22 |
Основания
|
трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит площадь трапеции её средняя линия . |
|
Основания
|
параллелограмма . |
3.2 |
Основания
|
и боковые стороны трапеции . |
7 |
Отложите
|
на числовой оси число 2 с помощью циркуля и линейки . |
2.4 |
Отношение
|
площадей . |
|
Отрезок
|
ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из высот трапеции . |
|
Отрезок
|
, соединяющий середины двух сторон треугольника , называют средней линией треугольника . |
14 |
Отрезок
|
MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см. Найдите основания трапеции , если . |
|
Отрезок
|
KL тоже можно считать высотой данного параллелограмма , проведённой к основанию AD . |
Выберем на прямой а точку А , отличную от В. |
Отрезок
|
АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к окружности с центром О . |
|
Отрезок
|
АВ этой прямой , лежащий в 1-й четверти , даёт часть графика уравнения . |
|
Отрезок
|
ОР также является высотой трапеции ABCD . |
|
Отрезок
|
CL — биссектриса в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 . |
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. |
Отрезок
|
AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда . |
|
Отрезок
|
касательной . |
|
Отрезок
|
, соединяющий середины боковых сторон трапеции , называют средней линией трапеции . |
|
Отрезок
|
MN является средней линией трапеции ABCD . |
Глава 8 |
Параллелограмм
|
. |
|
Параллелограмм
|
, определение . |
|
Параллелограмм
|
. |
10 |
Параллелограмм
|
ABCD разбит диагональю BD на два треугольника , и в треугольниках ABD и BCD проведены все медианы . |
|
Параллелограмм
|
, центр симметрии . |
|
Параллелограмм
|
и его свойства . |
|
Параллелограмм
|
, пересечение диагоналей . |
|
Параллелограммом
|
называется четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны . |
|
Параллельные
|
прямые АВ и CD пересекаются секущей MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что . |
2 |
Параллельные
|
секущие сторон угла . |
2.6 |
Параллельные
|
секущие двух параллельных прямых . |
|
Параллельные
|
стороны трапеции называют основаниями трапеции . |
|
Параллельные
|
прямые . |
|
Переменная
|
зависимая . |
|
Переменная
|
. |
|
Переменная
|
независимая . |
|
Переменная
|
величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение . |
2.5 |
Пересечение
|
прямой и окружности . |
|
Пересечением
|
всех таких полуплоскостей будет выпуклая многоугольная область , границей которой является данный многоугольник . |
2.4 |
Перестановка
|
частей уравнения . |
3 |
Периметр
|
ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. Найдите площадь ромба . |
8 |
Периметр
|
описанного около окружности многоугольника 60 см , а площадь многоугольника 240 см2 . |
|
Периметр
|
треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла . |
1 |
Периметр
|
треугольника АВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС . |
|
Плоский
|
угол АВС равен сумме плоских углов ABD и DBC . |
|
Плоский
|
угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов . |
|
Плоский
|
угол АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM . |
|
Плоский
|
угол . |
|
Плоский
|
угол АОВ равен плоскому углу ВОС . |
|
Плоский
|
угол — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами с общей вершиной . |
|
Плоский
|
"угол в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ." |
|
Плоский
|
угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан . |
1.1 |
Плоский
|
угол в 5 ° — это : 1 ) угол в радиан ; |
1.2 |
Плоский
|
угол . . |
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. |
Площади
|
каких треугольников равны площади ромба ? . |
4.1 |
Площади
|
многоугольников на клетчатой бумаге . |
|
Площади
|
равных фигур равны . |
|
Площадь
|
четырёхугольника . |
|
Площадь
|
многоугольника . |
|
Площадь
|
треугольника описанного . |
|
Площадь
|
треугольника произвольного . |
|
Площадь
|
треугольника равностороннего . |
|
Площадь
|
описанного многоугольника . |
|
Площадь
|
треугольника прямоугольного . |
|
Площадь
|
многоугольника описанного . |
|
Площадь
|
. |
|
Площадь
|
трапеции . |
12 |
Площадь
|
треугольника АВС равна 22 м2 . |
|
Площадь
|
озера , занятая разрастающимися кувшинками , увеличивается каждый день вдвое . |
2 |
Площадь
|
четырёхугольника . |
|
Площадь
|
параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABD и BCD . |
4.4 |
Площадь
|
произвольного треугольника . |
|
Площадь
|
треугольника АВС равна S. |
|
Площадь
|
треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны . |
4.7 |
Площадь
|
равностороннего треугольника . |
|
Площадь
|
треугольника АВС равна 15 см2 . |
|
Площадь
|
параллелограмма равна произведению основания на высоту , проведённую к этому основанию . |
|
Площадь
|
S квадрата со стороной а выражается формулой . |
|
Площадь
|
S поверхности сферы радиуса R выражается формулой . |
|
Площадь
|
S трапеции равна сумме площадей треугольников ABD и BCD . |
|
Площадь
|
трапеции равна половине произведения суммы оснований трапеции на её высоту . |
|
Площадь
|
треугольника ABL можно получить , вычитая из площади четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML . |
6 |
Площадь
|
параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными сторонами . |
4 |
Площадь
|
многоугольниика . |
|
Площадь
|
произвольного треугольника равна половине произведения его основания и высоты , проведённой к основанию . |
|
Площадь
|
рамки можно найти , если разбить её на известные геометрические фигуры . |
|
Площадь
|
любого квадрата со стороной , равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей единице измерения площади . |
10 |
Площадь
|
треугольника АВС равна 99 см2 , а точки М и N делят сторону АС на три равные части . |
11 |
Площадь
|
треугольника АВС равна 20 см2 , а точки М и N расположены на прямой АС . |
|
Площадь
|
описанного многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на периметр многоугольника . |
|
Площадь
|
треугольника АВС , изображённого на рис . |
4 |
Площадь
|
треугольника . |
Найдём радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. |
Площадь
|
S треугольника равна . |
4.1 |
Площадь
|
прямоугольного треугольника . |
|
Площадь
|
треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите площадь треугольника MNK . |
|
Площадь
|
параллелограмма . |
|
Площадь
|
новой закрашиваемой части равна . |
|
Площадь
|
закрашенной части равна . |
|
Площадь
|
четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из площади четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML . |
|
Площадь
|
прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения длин . |
|
Подобные
|
слагаемые . |
|
Подобным
|
образом можно показать , что всякий корень неравенства является корнем неравенства . |
|
Показатель
|
степени . |
|
Положительным
|
или отрицательным будет число ? . |
1.3 |
Последовательность
|
степеней . |
|
Последовательность
|
чисел . |
|
Последовательность
|
ненулевых чисел называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю . |
|
Последовательность
|
степеней . |
|
Правой
|
полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неотрицательную абсциссу . |
|
Прибавив
|
к обеим частям выражение -2х , получим . |
|
Прибавив
|
к обеим частям первого неравенства число с , к обеим частям второго неравенства число b , получим два неравенства . |
|
Прибавив
|
к обеим частям исходного неравенства число -1 , получим . |
|
Прибавив
|
к обеим частям этого равенства число -1 , получим равенство . |
|
Прибавим
|
к обеим частям этого равенства числовое выражение . |
|
Прибавляя
|
к обеим частям этого равенства числовое выражение , получаем числовое равенство . |
|
Прибавляя
|
к обеим частям этого числового неравенства число 5 , получаем числовое неравенство . |
|
Прибавляя
|
к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству решений неравенства . |
|
Приближённая
|
формула . |
7 |
Приближённое
|
значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления . |
5.1 |
Приближённое
|
значение частного . |
6 |
Приближённое
|
извлечение квадратных корней . 6.1 О приближённом извлечении квадратных корней . |
|
Приближённое
|
значение квадратного корня . |
5.3 |
Приближённое
|
вычисление отношения . |
2.3 |
Приближённое
|
значение некоторой величины равно . |
1 |
Приближённые
|
значения и погрешности . |
Глава 14 |
Приближённые
|
вычисления . |
5 |
Приближённые
|
формулы для деления . |
|
Приближённые
|
значения этих координат ( 2,5 ; 17,5 ) . |
8 |
Приведите
|
пример системы , которая за счёт введения новых переменных сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными . |
5 |
Приведите
|
пример системы линейных уравнений , не имеющей ни одного решения . |
1 |
Приведите
|
примеры равноотстоящих прямых . |
2 |
Приведите
|
пример уравнения с целыми коэффициентами и запишите все его целочисленные решения . |
2 |
Приведите
|
одночлен к стандартной форме . |
5 |
Приведите
|
примеры центрально симметричных ломаных с нечётным числом вершин . |
|
Приведите
|
примеры . |
6 |
Приведите
|
пример фигуры , имеющей бесконечное число центров симметрии . |
5 |
Приведите
|
пример следствия из некоторой теоремы . |
6 |
Приведите
|
подобные слагаемые , если это возможно . |
6 |
Приведите
|
пример системы уравнений , имеющей более одного решения . |
10 |
Приведите
|
пример трапеции , в которую нельзя вписать окружность . |
|
Приведите
|
пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , которая . |
11 |
Приведите
|
примеры положительного и отрицательного чисел , таких , что . |
1 |
Приведите
|
пример двух неравенств противоположного направления , почленное сложение которых приводит к неверному результату . |
6 |
Приведите
|
примеры нестрогих равносильных неравенств . |
5 |
Приведите
|
примеры чисел а и b , для которых одновременно выполняются неравенства а2 < b2 и а > b . |
2 |
Приведите
|
пример двух неравенств одинакового направления , почленное умножение которых приводит к неверному результату . |
3 |
Приведите
|
пример двух неравенств , почленное деление которых приводит к неверному результату . |
1 |
Приведите
|
несколько примеров числовых неравенств . |
|
Приведя
|
подобные члены в левой и правой частях , получим , откуда следует , что . |
|
Приведя
|
подобные в каждой части , получим : Умножим обе части последнего равенства на ненулевое число . |
|
Приведём
|
подобные члены в левой и правой частях неравенства . |
|
Приводя
|
подобные члены в правой части числового равенства , получаем . |
|
Приводя
|
подобные члены в левой части числового равенства , получим равенство . |
|
Прогрессия
|
геометрическая . |
|
Прогрессия
|
. |
|
Прогрессия
|
арифметическая . |
5.4 |
Произведение
|
неравенств одинакового направления . |
V |
Произведение
|
любого одночлена на нулевой одночлен равно нулевому одночлену . |
4.1 |
Произведение
|
степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями . |
|
Произведение
|
bс является приближённым значением для ас . |
|
Произведение
|
положительного числа на отрицательное — отрицательно . |
17 |
Произведение
|
двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых чисел . |
|
Произведение
|
двух многочленов равно некоторому многочлену . |
|
Произведение
|
неравенств одинакового направления . |
Глава 9 |
Пропорциональные
|
отрезки . |
|
Пропорциональные
|
отрезки . |
|
Прямая
|
m делит плоскость на две полуплоскости , обозначенные на буквами а и β . |
|
Прямая
|
АВ образует прямые углы при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD . |
1 |
Прямая
|
пропорциональность . |
2.4 |
Прямая
|
пропорциональная зависимость задана формулой Какие из приведённых утверждений верны ? . |
|
Прямая
|
, проведённая через сторону ML , разделит четырёхугольник на две части . |
|
Прямая
|
. |
|
Прямая
|
АС является секущей при параллельных прямых AD и ВС. Точно так же , рассматривая прямые АВ и CD , получим , что . |
|
Прямая
|
пропорциональность . |
|
Прямая
|
АВ является графиком функции . |
|
Прямая
|
АВ не пересекается с прямой CD , так как прямые АВ и CD различны и перпендикулярны прямой АХ . |
18 |
Прямая
|
АВ касается окружности и CD АВ . |
|
Прямая
|
АВ является общей внешней касательной данных окружностей . |
|
Прямая
|
m проходит через центр О1,а поэтому пересекает первую окружность в двух точках . |
11 |
Прямая
|
l не содержит вершины и пересекает две противоположные стороны прямоугольника . |
|
Прямая
|
l пересекает стороны ВС , CD , DE в точках F , G , Н соответственно , причём . |
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. |
Прямая
|
l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой . |
|
Прямая
|
PQ перпендикулярна радиусам О1Р и О2Q и касается обеих окружностей . |
|
Прямая
|
PQ является общей внешней касательной данных окружностей . |
|
Прямая
|
l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF . |
1.1 |
Прямая
|
, содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? . |
|
Прямоугольник
|
. |
2.3 |
Прямоугольник
|
разделён двумя прямыми на четыре прямоугольника . |
|
Прямоугольные
|
треугольники АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу ОА . |
|
Прямоугольные
|
треугольники KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые углы . |
|
Прямоугольные
|
треугольники САВ и DAB равны по двум катетам , поэтому . |
|
Прямоугольные треугольники
|
АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу ОА . |
|
Прямоугольные треугольники
|
САВ и DAB равны по двум катетам , поэтому . |
|
Прямоугольные треугольники
|
KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые углы . |
1 |
Прямоугольный
|
участок длиной 8 км имеет площадь 400 га . |
|
Прямые
|
параллельные . |
|
Прямые
|
непересекающиеся . |
|
Прямые
|
равноотстоящие . |
|
Пустое множество
|
. |
|
Пустое множество
|
корней . |
|
Равенство
|
тождеством не является , потому что оно неверно . |
|
Равенство
|
внутренних накрест лежащих углов . |
3.10 |
Равенство
|
многочленов . |
Глава 4 |
Равенство
|
треугольников . |
2.10 |
Равенство
|
внутренних накрест лежащих углов , образуемых секущей двух параллельных прямых . |
1.5 |
Равенство
|
прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу . |
|
Равенство
|
многочленов . |
|
Равенство
|
в формуле отличается от равенства между выражениями ab и bа . |
|
Равенство
|
прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе . |
|
Равенством
|
указывают , что значения зависимой переменной у находят по значениям аргумента х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f . |
1.8 |
Равнобедренная
|
трапеция , описанная около окружности . |
1.8 |
Равнобедренная трапеция
|
, описанная около окружности . |
3 |
Равнобедренные
|
трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? . |
3 |
Равнобедренные трапеции
|
имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? . |
3 |
Равносторонние
|
треугольники ABF и FCD расположены так , что точки A , F , D лежат на одной прямой . |
11 |
Равносторонние
|
треугольники . |
11 |
Равносторонние треугольники
|
. |
3 |
Равносторонние треугольники
|
ABF и FCD расположены так , что точки A , F , D лежат на одной прямой . |
2.11 |
Радиан
|
как единица измерения плоских углов . |
|
Радиан
|
. |
|
Радиусом
|
PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD . |
|
Развёрнутый угол
|
равен двум прямым углам или 2d . |
|
Разделив
|
каждую из частей этих неравенств на 100 получим . |
|
Разделим
|
прямой угол на 90 равных частей . |
|
Разделим
|
обе части на ненулевое число 4 . |
14 |
Разделите
|
обе части неравенства . |
14 |
Разделите
|
треугольник на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную вершину треугольника . |
4.2 |
Разложение
|
на множители двучлена в общем виде . |
4 |
Разложение
|
на множители двучлена . |
|
Разложение
|
двучлена на множители . |
4.1 |
Разложение
|
на множители двучлена . |
|
Разложите
|
на четыре множителя . |
9 |
Разложите
|
на множители . |
3 |
Разложите
|
на три множителя . |
5 |
Разложите
|
на два множителя . |
1 |
Разложите
|
на два множителя . |
2 |
Разложите
|
на два множителя . |
6 |
Разложите
|
на два множителя . |
|
Разность
|
двух многочленов равна некоторому многочлену . |
3.3 |
Решение
|
уравнения с двумя неизвестными . |
3.7 |
Решение
|
уравнения . |
2.11 |
Решение
|
линейных уравнений с помощью графиков . |
3.6 |
Решение
|
уравнения в натуральных числах . |
|
Решение
|
. |
3.1 |
Решение
|
линейного уравнения в целых числах . |
|
Решение
|
задачи сводится к решению системы . |
|
Решение
|
задач с помощью графиков . |
1.2 |
Решение
|
систем уравнений . |
|
Решение
|
этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение . |
|
Решение
|
неравенства . |
|
Решение
|
системы уравнений . |
|
Решение
|
уравнения . |
|
Решение
|
уравнения с двумя неизвестными . |
|
Решение
|
линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение . |
|
Решение
|
целочисленное . |
|
Решением
|
системы двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства . |
|
Решением
|
уравнений в целых числах математики занимались с древних времён . |
|
Решением
|
системы являются координаты общей точки А построенных графиков . |
|
Решением
|
( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) . |
2.3 |
Решения
|
каких из указанных неравенств входят в промежуток . |
|
Решения
|
второго уравнения представляются точками графика функции у. |
|
Ромб
|
. |
|
Секущая
|
MN при пересечении с прямыми АВ и CD образует восемь углов . |
|
Секущая
|
. |
|
Симметрия
|
центральная . |
|
Симметрия
|
относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при симметрии относительно прямой каждая прямая переходит в прямую . |
1.6 |
Симметрия
|
графиков уравнений . |
1.3 |
Система
|
двух линейных уравнений с двумя неизвестными . |
|
Система
|
уравнений . |
|
Система
|
уравнений линейных . |
Глава 12 |
Системы
|
уравнений . |
|
Системы
|
двух уравнений с двумя неизвестными . |
|
Складывая
|
почленно эти неравенства , получаем . |
|
Складывая
|
соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем . |
|
Складывая
|
соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим . |
|
Сложение
|
приближённых значений . |
|
Сложив
|
эти уравнения , получим . |
1.3 |
Средняя
|
линия треугольника . |
|
Средняя
|
линия трапеции . |
|
Средняя
|
линия треугольника . |
|
Средняя
|
линия треугольника , соединяющая середины двух сторон , параллельна третьей стороне и равна её половине . |
|
Средняя
|
линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований . |
2 |
Средняя
|
линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника . |
1 |
Средняя
|
линия треугольника . |
13 |
Средняя
|
линия трапеции равна 7 см , а одно из её оснований на 4 см больше другого . |
|
Средняя линия трапеции
|
параллельна основаниям и равна полусумме оснований . |
13 |
Средняя линия трапеции
|
равна 7 см , а одно из её оснований на 4 см больше другого . |
|
Средняя линия трапеции
|
. |
|
Степеней
|
свойства первое основное . |
Глава 2 |
Степень
|
с целым показателем . |
|
Степень
|
одночлена . |
|
Степень
|
с отрицательным показателем . |
1.1 |
Степень
|
с натуральным показателем . |
|
Степень
|
. |
|
Степень
|
ненулевого числа а с отрицательным целым показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 . |
|
Степень
|
с нулевым показателем . |
|
Степень
|
многочлена . |
3 |
Степень
|
с целым показателем . |
|
Степень
|
с натуральным показателем . |
|
Степень
|
с целым показателем . |
|
Степень
|
числа также можно возводить в степень . |
2.6 |
Степень
|
отношения двух чисел . |
2.3 |
Степень
|
произведения двух чисел . |
|
Степень
|
отношения двух чисел равна отношению степени числителя к степени знаменателя . |
|
Стороны
|
полученного прямоугольника равны 5 и 6 , а поэтому его площадь равна . |
|
Стороны
|
ВС и AD угла пересечены прямыми АВ и CD . |
|
Стороны
|
противоположные прямоугольника . |
|
Стороны
|
равны как радиусы равных окружностей . |
20 |
Стороны
|
треугольника в некоторых единицах измерения выражаются целыми чётными числами . |
1 |
Стороны
|
двух квадратов , имеющих общий центр , пересекаются попарно в восьми точках . |
26 |
Стороны
|
описанного четырёхугольника ABCD в вершинах соединены шарнирами . |
|
Стороны
|
угла А лежат на непересекающихся прямых l и m , а стороны угла В лежат на двух других прямых k и n таких , что . |
|
Стороны
|
АВ и CD являются боковыми сторонами трапеции . |
|
Стороны
|
AD и ВС являются основаниями трапеции ABCD . |
2 |
Строим
|
прямую n , проходящую через точку О2 и перпендикулярную прямой О1О2 . |
|
Строим
|
прямую m , проходящую через точку О1 и перпендикулярную прямой О1О2 . |
|
Сумма
|
неравенств одинакового направления . |
3.6 |
Сумма
|
, разность и произведение многочленов . |
1.8 |
Сумма
|
внутренних углов любого четырёхугольника . |
|
Сумма
|
двух многочленов равна некоторому многочлену . |
|
Сумма
|
параллелограмма . |
|
Сумма
|
внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° . |
|
Сумма
|
двух соседних углов параллелограмма равна 180 ° . |
3.3 |
Сумма
|
внешних углов треугольника . |
1.3 |
Сумма
|
двух чисел разного знака . |
|
Сумма
|
соседних углов параллелограмма . |
|
Сумма
|
одночленов называется многочленом . |
|
Сумма
|
плоских углов . |
|
Сумма
|
внутренних односторонних углов , образуемых секущей двух параллельных прямых . |
|
Сумма
|
нестрогих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является нестрогим неравенством того же направления . |
|
Сумма
|
величин всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° . |
|
Сумма
|
всех внутренних углов выпуклого n - угольника равна . |
|
Сумма
|
трёх из четырёх углов четырёхугольника равна 270 ° . |
|
Сумма
|
строгих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является строгим неравенством того же направления . |
5.3 |
Сумма
|
неравенств одинакового направления . |
|
Сумма
|
внутренних углов выпуклого многоугольника . |
|
Сумма
|
величин всех углов в треугольниках ABC и ADC равна . |
|
Сумма
|
чисел разных знаков может быть отрицательной , положительной или нулём . |
3 |
Сумма
|
углов треугольника . |
Эту теорему иногда формулируют так : |
Сумма
|
всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° . |
1.5 |
Сумма
|
углов выпуклого четырёхугольника . |
|
Сумма
|
выпуклого четырёхугольника . |
|
Сумма
|
величин углов любого треугольника равна 180 ° . |
|
Сумма
|
внутренних односторонних углов . |
1.4 |
Сумма
|
двух плоских углов . |
|
Сумма
|
внутренних углов . |
|
Сумма
|
всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOA равна . |
|
Сумма
|
выпуклого многоугольника . |
1.9 |
Сумма
|
внешних углов выпуклого четырёхугольника . |
|
Сумма
|
. |
|
Сумма
|
S углов четырёхугольника равна сумме По свойствам параллельных прямых выполняются равенства . |
|
Сумма
|
S углов четырёхугольника равна . |
|
Сумма
|
внешних углов . |
3 |
Сумма
|
двух чисел равна 407 , причём первое слагаемое в 10 раз больше , чем второе . |
|
Сумма
|
трёх внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° . |
|
Сумма
|
треугольника . |
|
Сумма
|
углов АОВ , ВОС , COD , DOA равна 360 ° . |
|
Сумма
|
S углов четырёхугольника ABCD равна сумме . |
|
Сумма
|
внутренних углов любого четырёхугольника равна 360 ° . |
|
Сумму
|
показателей степеней переменных букв , равную , называют степенью этого одночлена . |
|
Суммы
|
длин противоположных сторон описанного около окружности четырёхугольника равны между собой . |
Даны прямая АС и два луча , выходящие из точки В. |
Суммы
|
каких углов дают развёрнутый угол ? . |
|
Теорема
|
Фалеса . |
2.1 |
Теорема
|
Фалеса . |
|
Теорема
|
о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые . |
|
Теорема
|
Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению уравнения в целых числах . |
|
Теорема
|
. |
3.6 |
Теорема
|
о средней линии трапеции . |
|
Теорема
|
о пропорциональных отрезках . |
|
Теорема
|
доказана . |
2.3 |
Теорема
|
о пропорциональных отрезках . |
Глава 3 |
Тождества
|
. |
2 |
Тождества
|
. |
|
Тождество
|
многочленов . |
|
Тождество
|
. |
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. |
Точка
|
К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R . |
|
Точка
|
О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами . |
|
Точка
|
В расположена на графике уравнения , потому что при получаем . |
16 |
Точка
|
М — середина стороны АВ , CD ВС. Докажите , что площади треугольников AMN и CND равны . |
|
Точка
|
О(0 ; 0 ) также расположена на этом графике . |
|
Точка
|
С переходит в точку C1 , совпадающую с точкой А . |
|
Точка
|
А переходит в точку Α1 , совпадающую с точкой С . |
|
Точка
|
D является серединой отрезка АВ и имеет координаты . |
2.4 |
Точка
|
К на стороне АВ делит основание треугольника АВС в отношении . |
|
Точка
|
О выбрана так , что АВРО — параллелограмм . |
|
Точка
|
Р расположена на луче ОР , противоположном лучу ОА . |
|
Точка
|
D отлична от точки С , абсциссы этих точек равны между собой , поэтому ординаты точек D и С различны , то есть g не равно kf . |
5 |
Точка
|
С расположена на отрезке АВ так , что . Найдите отношение . |
|
Точка
|
пересечения прямых расположена вне прямой с . |
|
Точка
|
М расположена на высоте ВН так , что . Найдите площадь треугольника АМС . |
|
Точка
|
К делит DC пополам . |
|
Точка
|
пересечения прямых лежит на прямой с . |
4 |
Точка
|
В делит отрезок АС на части так , что . |
|
Точка
|
М имеет координаты ( -2 ; 0 ) . |
1 |
Точка
|
А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности . |
|
Точка
|
С перейдёт в точку D и середина отрезка CD перейдёт в середину отрезка DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN . |
|
Точка
|
D переходит в точку D1 , совпадающую с точкой В . |
|
Точка
|
В переходит в точку B1 , совпадающую с точкой D . |
6 |
Точки
|
С и D расположены на отрезке АВ так , что . Найдите отношение . |
|
Точки
|
М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что . Найдите площадь треугольника MNK . |
|
Точки
|
К и D выбраны так , что . Докажите , что прямые АВ и DK параллельны . |
7 |
Точки
|
расположены так , что . |
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. |
Точки
|
пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 . |
13 |
Точки
|
А , В , С , D , Е являются вершинами правильного пятиугольника и соединены так , что образуют пятиконечную звезду . |
1.3 |
Точки
|
графика прямой пропорциональной зависимости в правой полуплоскости . |
1.2 |
Точки
|
А , В , С , D являются вершинами невыпуклого четырёхугольника . |
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. |
Точки
|
М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N . |
20 |
Точки
|
М и N — середины сторон ВС и AD четырёхугольника ABCD . |
|
Точки
|
К и L выбраны соответственно на сторонах АВ и ВС так , что прямые KL и АС параллельны . |
8 |
Точки
|
расположены так , что . |
|
Точки
|
В и В2 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС . |
3 |
Точки
|
М и N расположены на боковых сторонах трапеции ABCD так , что . |
|
Точки
|
М , N , К и L соединены с вершинами квадрата . |
7 |
Точки
|
М и N — середины сторон AD и АВ квадрата ABCD . |
|
Точки
|
А , В и С пересечения касательных определяют треугольник АВС . |
|
Точки
|
К , L , М , N выбраны так , что . |
14 |
Точки
|
А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l , параллельная прямым а и b. |
6 |
Точки
|
Μ , Ν , К , L расположены на сторонах четырёхугольника ABCD так , что . Докажите , что MNKL — параллелограмм . |
|
Точки
|
расположены так . |
|
Точки
|
М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите площадь четырёхугольника BMNC . |
|
Точку
|
В2 соединим отрезком с точкой С. По первому признаку равенства . |
|
Точку
|
А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС . |
|
Точку
|
О считают симметричной самой себе относительно точки О . |
5.2 |
Транзитивность
|
неравенств . |
|
Трапецией
|
называют четырёхугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны , а две другие противолежащие стороны не параллельны . |
16 |
Трапеции
|
ABCD и FGHE имеют общую среднюю линию , а их основания лежат на двух параллельных прямых . |
|
Трапецию
|
называют равнобедренной , если боковые стороны трапеции равны . |
|
Трапеция
|
, высота . |
|
Трапеция
|
. |
20 |
Трапеция
|
делится диагональю на два треугольника . |
|
Трапеция
|
, боковые стороны . |
|
Трапеция
|
, основания . |
|
Трапеция
|
равнобедренная . |
|
Третий
|
случай . |
|
Третий
|
способ . |
2.3 |
Третий
|
признак параллелограмма . |
|
Третий
|
признак . |
4.5 |
Третье
|
основное свойство степени с целыми показателями . |
|
Третье
|
свойство . |
|
Треугольник
|
PQR — искомый , три его стороны равны соответственно заданным отрезкам . |
|
Треугольник
|
PQR удовлетворяет поставленным условиям . |
|
Треугольник
|
Паскаля . |
|
Треугольник
|
часто изображают так , что одна из сторон треугольника горизонтальна . |
|
Треугольник
|
PQR — искомый . |
1.4 |
Треугольник
|
DEF образован средними линиями треугольника АВС . |
|
Треугольник
|
PQ расположен внутри треугольника PQR2 , а поэтому в поставленной задаче возможны два различных решения . |
|
Треугольники
|
PQR и PQS равны по третьему признаку равенства . |
2 |
Треугольники
|
АВС и А1В1С1 равны , причём . |
|
Треугольники
|
PQR1 и PQR2 оба удовлетворяют требуемым условиям . |
|
Треугольники
|
MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD . |
|
Треугольники
|
каких площадей присутствуют ? . |
2.7 |
Угловой коэффициент
|
прямой . |
|
Угловой коэффициент
|
прямой . |
|
Углы
|
называются внешними накрест лежащими . |
|
Углы
|
BMN и CKN внутренние накрест лежащие , образованные секущей МК с параллельными прямыми АВ и СК , значит . |
|
Углы
|
называются внешними односторонними . |
|
Углы
|
называются внутренними односторонними . |
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и секущей ВС. |
Углы
|
DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый угол . |
1.1 |
Угол
|
, образованный двумя лучами . |
|
Угол
|
внешний треугольника . |
|
Угол
|
плоский . |
|
Угол
|
. |
|
Угол
|
наклона . |
|
Угол
|
между отрезками . |
|
Угол
|
нулевой . |
|
Угол
|
, который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым градусом и его величину обозначают 1 ° . |
1.1 |
Угол
|
А в треугольнике АВС равен 57 ° 31′. Чему равна сумма углов В и С этого треугольника ? . |
|
Угол
|
, величина которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' . |
1.2 В четырёхугольнике ABCD угол А равен углу В , а угол С равен углу D. |
Угол
|
С равен 57 ° 32 ' . |
|
Угол
|
треугольника внутренний . |
|
Угол
|
, смежный внутреннему углу треугольника , иногда называют внешним углом треугольника . |
1.4 |
Угол
|
"в 36000 "" равен : 1 ) углу 3600 ' ; 2 ) углу в 36 ° ; 3 ) углу в 30 ° ; 4 ) углу в 10 ° ." |
|
Угол
|
КСВ является внешним углом треугольника АВС при вершине С . |
|
Угол
|
эталонный . |
|
Угол
|
прямой . |
|
Угол
|
", величина которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его величину обозначают через 1 "" ." |
|
Угол
|
развёрнутый . |
|
Угол
|
— это фигура , образованная двумя лучами с общим началом . |
|
Угол
|
внутренний четырёхугольника . |
4 |
Уменьшаемое
|
в три раза больше вычитаемого , и разность равна 78 . |
|
Умножая
|
обе части последнего числового неравенства на отрицательное число s получим числовое неравенство или , иначе . |
|
Умножение
|
обеих частей тождества на одинаковое выражение . |
4.4 |
Умножение
|
приближённого значения на фиксированное число . |
Какое из чисел больше : а или b . 1.9 |
Умножение
|
на отрицательное число обеих частей неравенства . |
1.8 |
Умножение
|
на положительное число обеих частей неравенства . |
2.7 |
Умножение
|
обеих частей уравнения на ненулевое число . |
2.7 |
Умножение
|
обеих частей неравенства на отрицательное число . |
|
Умножив
|
обе части этого неравенства на положительное число 2 , получим неравенство . |
|
Умножив
|
все части этого неравенства на число -1 , получим . |
|
Умножив
|
обе части этого неравенства на положительное число , получим неравенство . |
|
Умножив
|
каждую из частей этих неравенств на 104 получим . |
|
Умножив
|
обе части этого равенства на ненулевое число 1/2 , получим равенство . |
|
Умножим
|
обе части первого уравнения на 2 . |
|
Умножим
|
на число обе части неравенства . |
Приведя подобные в каждой части , получим : |
Умножим
|
обе части последнего равенства на ненулевое число . |
|
Умножим
|
обе части равенства на ненулевое число 1/5 . |
|
Умножить
|
на ab ; умножить на умножить на b ; умножить на . 8 . |
13 |
Умножьте
|
обе части неравенства . |
|
Уравнение
|
с одной неизвестной ( переменной ) . |
3.6 |
Уравнение
|
. |
|
Уравнение
|
алгебраическое . |
|
Уравнение
|
равносильно уравнению . |
|
Уравнение
|
с параметром . |
|
Уравнение
|
. |
3.8 |
Уравнение
|
. |
|
Уравнение
|
, то есть уравнение с двумя неизвестными , решено и его решения изображены . |
|
Уравнение
|
с двумя неизвестными ( переменными ) . |
|
Уравнение
|
линейное . |
|
Уравнение
|
, в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным уравнением . |
|
Уравнение
|
или является уравнением прямой , проходящей через точки А(0 ; -2 ) и В(3 ; -1 ) . |
|
Уравнение
|
, то есть уравнение с двумя неизвестными , решено , и его решения изображены . |
|
Уравнения
|
с одним неизвестным . |
|
Уравнения
|
равносильны . |
1.1 |
Уравнения
|
с одним неизвестным . |
|
Уравнения
|
называются равносильными , если множества корней этих уравнений совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) . |
3 |
Уравнения
|
с двумя неизвестными . |
Глава 5 |
Уравнения
|
. |
|
Фигура
|
центрально симметричная . |
|
Фигура
|
, центрально симметричная длиной фигуре относительно точки О , может быть получена поворотом вокруг точки О на 180 ° . |
|
Фигуры
|
являются примерами центрально симметричных фигур . |
|
Функциональная
|
зависимость . |
4 |
Функциональная
|
зависимость . |
|
Функцию
|
, которая в каждой точке а принимает значение { а } , можно записать в виде . |
|
Функцию
|
, которая в каждой точке х принимает значение [ х ] , можно записать в виде . |
4.6 |
Функция
|
« целая часть х » . |
4.5 |
Функция
|
. |
4.7 |
Функция
|
« дробная часть х » . |
|
Функция
|
. |
|
Целая
|
часть числа . |
|
Целая
|
степень отношения двух чисел . |
2.1 |
Целая
|
и дробная части положительного числа . |
|
Целая
|
часть числа х чаще всего обозначается как [ х ] . |
|
Целая
|
часть числа х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое целое число . |
|
Целой
|
частью числа х называется наибольшее целое число n , которое меньше либо равно х . |
3.3 |
Целочисленные
|
решения линейного уравнения . |
3.2 |
Целочисленные
|
решения уравнения вида . |
3 |
Целочисленные
|
решения уравнений . |
|
Целочисленным
|
решением уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное целое число . |
|
Целые
|
числа 11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются неравенства . |
2.2 |
Целые
|
части каких из следующих чисел являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных дробей ? . |
|
Целые числа
|
11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются неравенства . |
4.5 |
Центр
|
симметрии параллелограмма . |
|
Центр
|
симметрии . |
|
Четырёхугольник
|
описанный . |
|
Четырёхугольник
|
EFGH окажется в одной полуплоскости относительно этой прямой , то есть прямая не разделяет четырёхугольник на две части . |
1.2 |
Четырёхугольник
|
ABCD — параллелограмм . |
|
Четырёхугольник
|
невыпуклый . |
1.1 |
Четырёхугольник
|
. |
|
Четырёхугольник
|
выпуклый . |
|
Четырёхугольник
|
. |
|
Четырёхугольник
|
называется выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой , содержащей сторону четырёхугольника . |
|
Числа
|
0 и -1 являются его корнями , потому что выполняются равенства . |
|
Числа
|
, стоящие в строках этого треугольника , называются биномиальными коэффициентами . |
|
Числа
|
210 , 26 · 24 и 2 ° · 2 ° являются произведениями 10 сомножителей , равных 2 . |
|
Число
|
5 и каждое из чисел , меньшее 5 , не является решением неравенства . |
|
Число
|
называют знаменателем этой геометрической прогрессии . |
|
Число
|
42,40 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 0,01 . |
|
Число
|
а равно нулю при а b -1 . |
|
Число
|
-42,40 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 0,01 . |
|
Число
|
-42,41 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного -42,4056 , с точностью до 0,01 . |
|
Число
|
а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим членом и так далее . |
|
Число
|
аn называют n - м членом этой последовательности . |
I |
Число
|
нуль является особым одночленом и называется нулевым одночленом . |
|
Число
|
42,41 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 0,01 . |
|
Число
|
k называют коэффициентом пропорциональности . |
|
Число
|
42 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 1 . |
|
Число
|
43 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 1 . |
|
Число
|
30 000 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 101 . |
|
Число
|
f(а ) называют значением функции у bf(x ) для значения аргумента , равного а . |
|
Число
|
-d мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b . |
|
Число
|
40 000 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 104 . |
2.5 |
Число
|
, обратное степени . |
|
Число
|
-42 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 1 . |
|
Число
|
b в формуле называют свободным членом . |
|
Число
|
аn иногда называют степенью числа а с натуральным показателем n. |
|
Число
|
-h мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b . |
|
Числовое множество
|
. |
|
Члены
|
общества садоводов собираются поделить отведённую им землю на участки равной площади . |
2.3 |
Шестиугольник
|
ABCDEF составлен из двух равных трапеций с общим основанием AD . |
Отсюда получаем равенство , то есть |
абсцисса
|
а точки А является корнем уравнения . |
Левой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неположительную |
абсциссу
|
. |
Правой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неотрицательную |
абсциссу
|
. |
2.4 Для каких из указанных точек плоскости ордината больше удвоенной |
абсциссы
|
? . |
Для точки К приближённое значение |
абсциссы
|
равно 0,7 , а приближённое значение ординаты равно 1,3 . |
Какие примеры |
аксиом
|
вы знаете ? . |
В качестве |
аксиом
|
обычно берут простые и естественные утверждения . |
Ответ на этот вопрос даёт |
аксиома
|
параллельности . |
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая |
аксиома
|
: « Через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые , не пересекающие данную прямую » . |
Покажем , как |
аксиома
|
параллельности позволяет доказать следующее утверждение . |
Утверждения , принимаемые за основу без доказательств , называются |
аксиомами
|
. |
В действительности этот постулат равносилен |
аксиоме
|
параллельности . |
По |
аксиоме
|
параллельности прямая m не может быть параллельной прямой b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой точке В . |
Поэтому через точку К проходят две различные прямые , параллельные прямой с. Это противоречит |
аксиоме
|
параллельности . |
2 Сформулируйте |
аксиому
|
параллельности . |
Из |
аксиомы
|
параллельности следует , что прямые C1D1 и CD совпадают , а это значит , что и внутренние накрест лежащие углы также равны . |
8 Как по графику найти значение функции при заданном значении |
аргумента
|
? . |
б ) Сколько значений |
аргумента
|
может соответствовать одному значению функции ? . |
6 Какой функцией определяется сумма n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью в зависимости от |
аргумента
|
n ? . |
Равенством указывают , что значения зависимой переменной у находят по значениям |
аргумента
|
х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f . |
Число f(а ) называют значением функции у bf(x ) для значения |
аргумента
|
, равного а . |
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого значения а из области значений |
аргумента
|
функции через f(a ) символически обозначается значение зависимой переменной , соответствующее а . |
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области значений |
аргумента
|
, ордината равна соответствующему значению зависимой переменной . |
а ) Сколько значений зависимой переменной может соответствовать одному значению |
аргумента
|
? . |
В этом случае переменная х называется независимой переменной или |
аргументом
|
этой функциональной зависимости , а переменная у — зависимой переменной . |
Задать функцию — значит указать , какие действия нужно произвести с |
аргументом
|
х , чтобы получить соответствующее значение у. |
6 Какая переменная называется |
аргументом
|
, а какая — зависимой переменной ? . |
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( |
ассоциативность
|
) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы . |
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( |
ассоциативность
|
) умножения ; свойство единицы . |
Свойство тождественного равенства |
ассоциативность
|
. |
12 При каких значениях параметра а уравнение имеет |
бесконечное множество
|
решений ? . |
Графическое представление системы , имеющей |
бесконечное множество
|
решений . |
в ) имеет |
бесконечное множество
|
решений , изображающееся точками некоторой прямой . |
Значок читается как « минус |
бесконечность
|
» и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в отрицательном направлении . |
Значок читается как « плюс |
бесконечность
|
» и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в положительном направлении . |
1.5 Пример системы с |
бесконечным множеством
|
решений . |
Какие формулы |
бинома
|
Ньютона вы знаете ? . |
Представления в стандартной форме многочленов и так далее называют формулами |
бинома
|
Ньютона . |
Какой вид имеет формула |
бинома
|
Ньютона . |
3 Какие формулы |
бинома
|
Ньютона вы знаете ? . |
Коэффициент |
биномиальный
|
. |
Числа , стоящие в строках этого треугольника , называются |
биномиальными
|
коэффициентами . |
1.4 Какой вид имеет строка |
биномиальных
|
коэффициентов для показателя степени 4 ? . |
Многочлен иногда называют |
биномом
|
, так как является суммой двух слагаемых . |
Вершинами какого многоугольника являются точки пересечения |
биссектрис
|
всех изображённых углов с вершинами А и В ? . |
Докажите , что при пересечении |
биссектрис
|
образуется квадрат . |
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то диагональ АС — |
биссектриса
|
углов А и С ? . |
15 В параллелограмме ABCD проводится |
биссектриса
|
угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм . |
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена |
биссектриса
|
AL . |
4 Докажите , что если высота и |
биссектриса
|
, проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный . |
Отрезок CL — биссектриса в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — |
биссектриса
|
в треугольнике А1В1С1 . |
6 Изображён равнобедренный треугольник АВС с основанием АС , a BL — |
биссектриса
|
внешнего угла . |
Отрезок CL — |
биссектриса
|
в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 . |
1 ) АК — |
биссектриса
|
угла CAD . |
9 В треугольнике АВС проведена |
биссектриса
|
AL . |
9 Что называют |
биссектрисой
|
плоского угла ? . |
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является ромбом , диагональ АС является |
биссектрисой
|
углов с вершинами А и С Какие из равенств верны ? . |
Например , если ОБ является |
биссектрисой
|
угла АОС , а плоский угол АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать равенства . |
2 В треугольнике медиана совпадает с |
биссектрисой
|
, проведённой из той же вершины . |
8 В четырёхугольнике ABCD диагональ АС является |
биссектрисой
|
угла . |
Для каких углов луч OD является |
биссектрисой
|
, если угол AOF является суммой пяти равных углов . |
Как доказать , что в четырёхугольнике ABCD углы В и D равны , если диагональ АС является |
биссектрисой
|
углов А и С ? . |
Луч ОВ является |
биссектрисой
|
того плоского угла АОС , который содержит этот луч . |
Напомним , что луч ОВ называют |
биссектрисой
|
угла АОС . |
С помощью транспортира нарисуйте |
биссектрису
|
этого угла . |
Через основание этой |
биссектрисы
|
проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный . |
18 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение |
биссектрисы
|
угла А в топке D. Покажите , что . |
5 В параллелограмме |
биссектрисы
|
углов при вершинах пересекаются попарно в четырёх различных точках . |
Через точку К |
биссектрисы
|
угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? . |
Для обозначения информации о значении двоичного разряда применяется термин |
бит
|
. |
2 Что такое |
бит
|
, байт , килобайт ? . |
2 Сколько |
битов
|
понадобится для записи чисел . |
Поэтому для хранения всей такой таблицы потребуется |
битов
|
. |
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 |
битов
|
. |
Восемь |
битов
|
составляют один байт , 210 байтов — один килобайт , а 210 килобайтов — один мегабайт . |
Укажите правильный |
вариант
|
ответа . |
Придумайте свой |
вариант
|
задачи , похожей на задачи 15 и 16 . |
Укажите все правильные |
варианты
|
ответов . |
Укажите все правильные |
варианты
|
ответа из заданных . |
Укажите все правильные |
варианты
|
ответа . |
Аналогично рассматриваются другие возможные |
варианты
|
. |
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме |
величин
|
всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна . |
Какие примеры прямо пропорциональных |
величин
|
вы знаете ? . |
Рассмотрим другой способ вычисления |
величин
|
внутренних углов выпуклого четырёхугольника . |
2.4 Две средние линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных |
величин
|
могут быть длиной стороны треугольника ? . |
Рассматривалось несколько способов нахождения суммы |
величин
|
углов конкретного четырёхугольника . |
2.2 За приближённое значение суммы |
величин
|
выбрали число 20,5 . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму |
величин
|
углов NMK и KML , то есть . |
Сумма |
величин
|
всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° . |
Во многих случаях изменение одной из |
величин
|
вызывает определённые изменения других величин . |
Какие из приведённых |
величин
|
могут быть точным значением этой величины ? . |
Во многих случаях изменение одной из величин вызывает определённые изменения других |
величин
|
. |
Зависимость |
величин
|
функциональная . |
Зависимость |
величин
|
прямо пропорциональная . |
Зависимость |
величин
|
. |
Сумма |
величин
|
углов любого треугольника равна 180 ° . |
Методы приблизительного подсчёта больших количеств возникли , в частности , в связи с задачами измерения таких |
величин
|
, как длина , время , масса , температура и некоторые другие . |
Сумма |
величин
|
всех углов в треугольниках ABC и ADC равна . |
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных |
величин
|
с достаточной степенью точности . |
Проблема с числом дней в году показывает , что при сложении приближённых |
величин
|
погрешности могут возрастать и иногда достигают больших значений . |
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда значения измеряемых |
величин
|
выражаются целыми числами , а само измерение сводится к счёту . |
Для обозначения переменных |
величин
|
можно использовать вместо х и у другие буквы , например . |
С каждым объектом или явлением окружающего нас мира связано множество самых разнообразных |
величин
|
. |
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма |
величин
|
внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна . |
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других |
величин
|
: точное значение измеряемой величины принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху . |
3 В чём состоит идея последовательных приближений при измерении |
величин
|
? . |
Пусть а1,иа2 — точные , а b1 и b2 — приближённые значения некоторых |
величин
|
. |
Пусть снова b1 иb2 — приближения |
величин
|
а1 и а2 , абсолютные погрешности которых не превосходят р1 и р2 . |
1.1 О приближённом измерении |
величин
|
. |
10 Каким промежуткам принадлежат значения |
величин
|
? . |
Величину угла NKL определяем как сумму |
величин
|
углов NKM и MKL , то есть . |
Поэтому в данном случае буквы a vs кв выражении ah являются обозначением переменных |
величин
|
. |
Задача измерения |
величин
|
непроста даже тогда , когда значения измеряемых величин выражаются целыми числами , а само измерение сводится к счёту . |
2.1 При измерении |
величин
|
а и b получили . |
Иногда нужно сделать оговорки , учитывающие природу измеряемых |
величин
|
. |
Напомним определение прямой пропорциональности двух переменных |
величин
|
. |
Вместо слов « |
величина
|
плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » . |
При указании величины плоского угла слова « |
величина
|
» и « плоского » часто не пишутся . |
Какие корни имеет уравнение ах b а , где а — фиксированное число , х — неизвестная |
величина
|
? . |
Переменная |
величина
|
у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение . |
Если пренебречь малым слагаемым -х2 в знаменателе последней дроби , то её |
величина
|
также мало изменится и получится . |
Угол , |
величина
|
которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' . |
Чему равна |
величина
|
третьего внутреннего угла треугольника ? . |
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что |
величина
|
плоского угла АОВ равна одному радиану . |
4 Чему равна абсолютная |
величина
|
произведения двух чисел ? . |
Проведём исследование уравнения вида , где к , b — фиксированные числа , х — неизвестная |
величина
|
. |
Угол , |
величина
|
"которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его величину обозначают через 1 "" ." |
Буквенное выражение вида , где х — переменная |
величина
|
, а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно переменной х . |
Абсолютная |
величина
|
( модуль ) погрешности называется абсолютной погрешностью . |
Чему равна |
величина
|
угла ВАС ? . |
Чему равна |
величина
|
четвёртого внутреннего угла этого четырёхугольника ? . |
Но этот угол прямой , его |
величина
|
90 ° , следовательно угол CBD 180 ° . |
Пусть |
величина
|
у прямо пропорциональна величине х , то есть , где к — фиксированное ненулевое число . |
Чему равна градусная мера угла , смежного к углу , |
величина
|
которого а ° ? . |
Чему равна |
величина
|
четвёртого внешнего угла ? . |
Чему равна |
величина
|
угла AED ? . |
Пусть переменная |
величина
|
у прямо пропорциональна переменной величине х. |
Чему равна |
величина
|
этих углов ? . |
При любой единице измерения углов |
величина
|
нулевого угла равна нулю . |
Все значения , которые может принимать переменная |
величина
|
, называются её областью допустимых значений . |
Зная , что |
величина
|
у изменяется прямо пропорционально величине х , заполните таблицу . |
3 Какая |
величина
|
считается переменной в буквенном выражении ? . |
2 Какая |
величина
|
считается постоянной в буквенном выражении ? . |
Так , |
величина
|
угла равна 60 ° , а величина угла равна 120 ° . |
С учётом этого получаем , что |
величина
|
развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой градус равен радиан . |
Так , величина угла равна 60 ° , а |
величина
|
угла равна 120 ° . |
Какие из указанных значений может принимать |
величина
|
угла АОВ ? . |
Один из главных вопросов , возникающих при изучении любого явления , состоит в отыскании взаимосвязей между переменными |
величинами
|
, которые это явление характеризуют . |
2.3 Какие из наборов значений могут быть |
величинами
|
углов некоторого треугольника ? . |
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о |
величинах
|
углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , величину угла обозначают другим знаком . |
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке : сумма углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о |
величинах
|
углов . |
С помощью коэффициента пропорциональности зависимость величины у , прямо пропорциональной |
величине
|
х , можно выразить формулой . |
Пусть переменная величина у прямо пропорциональна переменной |
величине
|
х. |
Пусть величина у прямо пропорциональна |
величине
|
х , то есть , где к — фиксированное ненулевое число . |
Что можно сказать о |
величине
|
, область допустимых значений которой содержит единственное значение ? . |
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна |
величине
|
х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение . |
Любые два числа можно сравнить по |
величине
|
. |
Зная , что величина у изменяется прямо пропорционально |
величине
|
х , заполните таблицу . |
При каждой вершине найдутся два внешних угла четырёхугольника , равных по |
величине
|
. |
Как сравнить по |
величине
|
два числа -1 и 1 ? . |
2.1 На сторонах угла с вершиной А и |
величиной
|
40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС . |
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В |
величиной
|
в 36 ° проведена биссектриса AL . |
Если значение достаточно мало , то |
величиной
|
х2 можно пренебречь по сравнению . |
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну сторону от луча HF можно отложить только один угол |
величиной
|
90 ° . |
Буква π используется как удобное обозначение для вполне конкретного числа , то есть буква π является постоянной |
величиной
|
в выражении nR2H . |
2 Как определяется угол |
величиной
|
в 0 ° ? . |
Как изображается плоский угол |
величиной
|
в 270 ° ? . |
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое |
величиной
|
этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол . |
Зная |
величину
|
одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° . |
1.3 В четырёхугольнике три внутренних угла имеют |
величину
|
по 30 ° . |
Нулевой угол имеет |
величину
|
в 0 ° , и этот угол образован двумя совпадающими лучами . |
Чтобы разделить b на а , достаточно знать обратную к а |
величину
|
. |
Эту единицу измерения обычно называют прямым углом , а его |
величину
|
обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d . |
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его |
величину
|
"обозначают через 1 "" ." |
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его |
величину
|
обозначают через 1 ' . |
Угол , который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым градусом и его |
величину
|
обозначают 1 ° . |
С помощью транспортира можно найти |
величину
|
угла только приближённо . |
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , |
величину
|
угла обозначают другим знаком . |
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных углов имеет |
величину
|
, равную 180 ° , а величины вертикальных углов равны . |
Пусть в результате измерений |
величины
|
а получено её приближённое значение b. |
Какое ещё значение могут иметь |
величины
|
углов ? . |
2.2 Даны |
величины
|
трёх внутренних углов четырёхугольника . |
Всякое число , заключённое между приближениями сверху и снизу , может считаться приближённым значением измеряемой |
величины
|
. |
3 Поставьте вместо знак > или < , чтобы правильно сравнить |
величины
|
. |
Углы , имеющие равные |
величины
|
, равны между собой . |
1.4 Измерение |
величины
|
а , равной 5 , дало значение b , равное 4 . |
1.2 Постоянные и переменные |
величины
|
в буквенном выражении . |
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное значение измеряемой |
величины
|
принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху . |
Разные |
величины
|
могут иметь разные области значений . |
1.2 При измерении |
величины
|
а получено . |
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти |
величины
|
любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° . |
Таким образом , точное значение а измеряемой |
величины
|
принадлежит промежутку , и это часто записывают так . |
4.1 Постоянные и переменные |
величины
|
. |
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d переменной |
величины
|
х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » . |
Пусть а — точное значение некоторой |
величины
|
, для которого найдены приближения снизу ах и сверху а2 . |
Пусть b — приближённое значение |
величины
|
а , абсолютная погрешность которого не превосходит р , то есть . |
Отметим , что при решении задачи с помощью уравнения у нас есть свобода выбора , во - первых , буквы для обозначения неизвестной и , во- вторых , |
величины
|
, обозначаемой через неизвестную . |
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной |
величины
|
х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной |
величины
|
х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности |
величины
|
а и модуля числа с . |
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной |
величины
|
х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » . |
Допустимые значения такой |
величины
|
— натуральные числа . |
Обозначим через b какое - нибудь приближённое значение данной |
величины
|
из промежутка . |
В подобных случаях рассматриваемые |
величины
|
называются зависимыми . |
При указании |
величины
|
плоского угла слова « величина » и « плоского » часто не пишутся . |
5 Чему равна абсолютная погрешность произведения приближённого значения некоторой |
величины
|
и фиксированного числа ? . |
7 Как определяется 1 % от |
величины
|
? . |
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при вершине Q , можно найти |
величины
|
двух накрест лежащих углов . |
Величины , которые не изменяются , называются постоянными ; |
величины
|
, которые принимают различные значения , называются переменными . |
Какие |
величины
|
являются приближением сверху для общего веса купленной крупы ? . |
Равные углы имеют равные |
величины
|
. |
Однако может быть , что не все буквы в буквенных выражениях обозначают переменные |
величины
|
. |
Переменная величина у , зависящая от переменной |
величины
|
х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение . |
При каких из указанных значений |
величины
|
угла DEF этот шестиугольник не может быть выпуклым ? . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной |
величины
|
х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
Чем отличается угол от |
величины
|
угла ? . |
3 Какие |
величины
|
считаются зависимыми , а какие — независимыми ? . |
2 Что называется областью допустимых значений переменной |
величины
|
? |
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной |
величины
|
х , при которых значения выражений равны » . |
Обозначим MN х , NK a , KL у. Через |
величины
|
х , а , у можно выразить длины следующих отрезков , имеющихся на чертеже . |
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для |
величины
|
, обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 . |
8 Как можно выбрать приближение |
величины
|
, чтобы оценка абсолютной погрешности оказалась наименьшей ? . |
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных углов имеет величину , равную 180 ° , а |
величины
|
вертикальных углов равны . |
1 Какие |
величины
|
называются постоянными , а какие — переменными ? |
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует приближённому значению |
величины
|
, обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 . |
Для соответствующие значения |
величины
|
у будут . |
С помощью коэффициента пропорциональности зависимость |
величины
|
у , прямо пропорциональной величине х , можно выразить формулой . |
Какие из приведённых величин могут быть точным значением этой |
величины
|
? . |
2.4 При измерении некоторой |
величины
|
получилось 8,3 с абсолютной погрешностью не более 0,15 . |
3 Какие переменные |
величины
|
называют прямо пропорциональными ? . |
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность произведения приближённого значения b |
величины
|
а и фиксированного числа с . |
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b |
величины
|
а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с . |
2.3 Приближённое значение некоторой |
величины
|
равно . |
В таком случае буква с используется как обозначение постоянной |
величины
|
. |
В зависимости от задачи , которую мы решаем , буквы R и Н могут обозначать не изменяющиеся ( постоянные ) |
величины
|
или переменные . |
По правилу оценки абсолютной погрешности произведения приближённого значения некоторой |
величины
|
и фиксированного числа получаем . |
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и |
величины
|
, обратной к знаменателю . |
7 Что можно сказать о точном значении |
величины
|
, если известно её приближённое значение и оценка сверху абсолютной погрешности ? . |
4 Что можно считать приближённым значением измеряемой |
величины
|
? . |
Имеет место следующее свойство : от любого луча , лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно отложить плоский угол любой заданной |
величины
|
от 0 ° до 180 ° . |
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ BD , то |
величины
|
углов АВС и ADC также выражаются через углы треугольников ABD и DCB . |
Какие из приведённых чисел не могут быть точным значением измеряемой |
величины
|
? . |
Почему от любого луча можно отложить только два различных угла |
величины
|
90 ° ? . |
4 Докажите , что центрально симметричный многоугольник имеет чётное число |
вершин
|
. |
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением |
вершин
|
треугольника ? . |
Найдите координаты |
вершин
|
квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) . |
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из |
вершин
|
, то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? . |
5 Приведите примеры центрально симметричных ломаных с нечётным числом |
вершин
|
. |
Сколько |
вершин
|
, сколько сторон и сколько диагоналей имеет десятиугольник ? . |
Сколько развёрнутых плоских углов можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве |
вершин
|
либо точку М , либо точку N ? . |
Аналогично можно определить шестиугольник , семиугольник и многоугольник любым заданным числом |
вершин
|
. |
Чему равны расстояния от центра О окружности до |
вершин
|
трапеции ABCD ? . |
2.1 Через стороны треугольника и одну из |
вершин
|
проведены прямые . |
Сколько различных высот можно провести из всех |
вершин
|
параллелограмма ? . |
Как построить равносторонний треугольник , одна |
вершина
|
которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? . |
2 ) каждая |
вершина
|
является общей точкой только для двух сторон . |
4 В параллелограмме проводятся биссектрисы всех углов при |
вершинах
|
. |
1.1 В пятиугольнике ABODE внутренние углы при |
вершинах
|
А , В , С — прямые и ZCDE 120 ° . |
6 В прямоугольнике проводятся биссектрисы всех углов при |
вершинах
|
. |
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух |
вершинах
|
, выбранных среди точек пересечения данных прямых ? . |
Поэтому по известным углам , один из которых при |
вершине
|
Р , а другой при вершине Q , можно найти величины двух накрест лежащих углов . |
Выберем при каждой |
вершине
|
по одному внешнему углу . |
Аналогично по любому из отмеченных углов при |
вершине
|
Q можно найти любой другой угол при этой вершине . |
по углу при |
вершине
|
и боковой стороне . б ) по углу при основании и боковой стороне . |
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при |
вершине
|
А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD . |
Сумма трёх внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
, равна 360 ° . |
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при |
вершине
|
В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL . |
Аналогично определяется внутренний угол при любой другой |
вершине
|
выпуклого четырёхугольника . |
8 Чему равна сумма внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
? . |
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при |
вершине
|
. |
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним углом , например , при |
вершине
|
М называют тот плоский угол NMK , который содержит этот треугольник . |
Угол КСВ является внешним углом треугольника АВС при |
вершине
|
С . |
В каждой |
вершине
|
треугольника можно рассмотреть два его внешних угла . |
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой |
вершине
|
: как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° . |
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при |
вершине
|
Q , можно найти величины двух накрест лежащих углов . |
Аналогично по любому из отмеченных углов при вершине Q можно найти любой другой угол при этой |
вершине
|
. |
Зная величину одного из отмеченных углов при |
вершине
|
Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° . |
При каждой |
вершине
|
треугольника образуется два равных между собой внешних угла . |
При каждой |
вершине
|
найдутся два внешних угла четырёхугольника , равных по величине . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при |
вершине
|
М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть . |
Чему равна сумма внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
? . |
Чему равна сумма внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
? . |
1 Найдите угол при |
вершине
|
равнобедренного треугольника , если угол при основании равен . |
Например , отмечены внешние углы при |
вершине
|
В . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при |
вершине
|
L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK . |
2 Найдите угол при основании равнобедренного треугольника , если угол при его |
вершине
|
равен . |
10 Чему равна сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
? . |
Рассмотрим в выпуклом четырёхугольнике ABCD по одному внешнему углу при каждой |
вершине
|
. |
Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
, равна 360 ° . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при |
вершине
|
К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK . |
21 В трапеции ABCD с прямым углом при |
вершине
|
С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции . |
Внутренним углом этого четырёхугольника при |
вершине
|
N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK . |
4 Чему равна сумма внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой |
вершине
|
? . |
Для любого угла с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий угол с |
вершиной
|
в точке С. Пусть это углы 1 и 3 . |
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский угол АОВ с |
вершиной
|
О. Этот угол содержит дугу данной окружности . |
Точку А называют |
вершиной
|
угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС . |
2.4 Изображено несколько углов с общей |
вершиной
|
О. Какие из следующих равенств имеют место ? . |
Через точку К биссектрисы угла с |
вершиной
|
А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? . |
Для любых углов с общей |
вершиной
|
О и для дуг этой окружности выполняются свойства . |
Для любого угла с |
вершиной
|
в точке А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в точке С. Пусть это углы 1 и 3 . |
2.3 Изображён угол с |
вершиной
|
С. Какие из приведённых записей не являются обозначениями этого угла ? . |
У них попарно равны стороны с |
вершиной
|
О , а углы АОВ и COD равны как вертикальные . |
Как было отмечено в первом случае , любой угол с |
вершиной
|
в В и сторонами , параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° . |
Плоский угол — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами с общей |
вершиной
|
. |
2.1 На сторонах угла с |
вершиной
|
А и величиной 40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС . |
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с |
вершиной
|
В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° . |
Для любого угла с |
вершиной
|
в точке А существует соответствующий ему угол с вершиной в точке В. Например , Z1 и Z3 . |
Для любого угла с вершиной в точке А существует соответствующий ему угол с |
вершиной
|
в точке В. Например , Z1 и Z3 . |
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей |
вершиной
|
А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? . |
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при параллельных прямых , поэтому Z1 также либо равен углу с |
вершиной
|
в точке В , либо дополняет его до 180 ° . |
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и плоскими углами с |
вершиной
|
в центре окружности ? . |
Точка О называется |
вершиной
|
угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами . |
1.2 Окружность с центром О касается сторон угла с |
вершиной
|
А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° . |
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с |
вершиной
|
в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° . |
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с |
вершиной
|
в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° . |
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с |
вершиной
|
в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° . |
Рассмотрим лучи ВА , BD и ВС с общей |
вершиной
|
А . |
Основание высоты , проведённой из вершины В , совпадает с |
вершиной
|
треугольника АВС . |
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с |
вершиной
|
Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? . |
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с |
вершиной
|
А и подсчитали число точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника . |
Даны отрезок длины а , угол с |
вершиной
|
А и точка В на одной из сторон угла . |
Какую часть окружности образуют дуги , принадлежащие двум смежным углам с |
вершиной
|
в центре окружности ? . |
7 Что называется вершиной и стороной угла , образованного двумя отрезками с общей |
вершиной
|
? . |
3 Через |
вершину
|
острого угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла . |
14 Разделите треугольник на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную |
вершину
|
треугольника . |
Проведём через |
вершину
|
С и середину М боковой стороны AD прямую до пересечения с прямой АВ в точке Р . |
9 Через |
вершину
|
параллелограмма проведите три прямые , которые делят параллелограмм на четыре части равной площади . |
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через |
вершину
|
С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL . |
Рассмотрим |
вершину
|
А выпуклого четырёхугольника ABCD . |
Аналогично : если через |
вершину
|
С провести прямую параллельно стороне АВ , то образуется параллелограмм ABCL и треугольник CDL . |
13 В треугольнике АВС через |
вершину
|
А проведите прямую , делящую площадь треугольника пополам . |
17 Через |
вершину
|
С треугольника АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что . |
Рассмотрим полуплоскость с границей АС и не содержащую |
вершину
|
В. В полуплоскости β из вершины А проведём луч . |
10 Через |
вершину
|
параллелограмма проведите две прямые , которые делят параллелограмм на три части равной площади . |
18 Через |
вершину
|
С треугольника АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что . |
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через |
вершину
|
В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL . |
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через |
вершину
|
В прямую , параллельную стороне CD . |
Через |
вершину
|
С проведём прямую DK , параллельную стороне АВ треугольника АВС . |
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной |
вершины
|
треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный . |
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной |
вершины
|
треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный . |
Как доказать , что два различных квадрата не могут иметь только три попарно совпадающие |
вершины
|
? . |
2 Через все |
вершины
|
треугольника АВС проведены прямые , параллельные противоположным сторонам . |
Пусть М — число узлов клетчатой бумаги , находящейся внутри многоугольной области с вершинами в узлах сетки , К — число узлов на границе , включая |
вершины
|
, и S — площадь многоугольной области . |
Из вершины А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из |
вершины
|
С проводится перпендикуляр к прямой АВ . |
11 Прямая l не содержит |
вершины
|
и пересекает две противоположные стороны прямоугольника . |
Из |
вершины
|
А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из вершины С проводится перпендикуляр к прямой АВ . |
Как построить равносторонний треугольник , одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся |
вершины
|
лежат на двух заданных прямых ? . |
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а |
вершины
|
лежат внутри этого треугольника . |
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через |
вершины
|
С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы . |
Из |
вершины
|
А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из вершины А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ . |
Из вершины А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из |
вершины
|
А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ . |
Пусть А , В , С — |
вершины
|
заданного треугольника , О — центр окружности . |
Основание высоты , проведённой из |
вершины
|
В , лежит на стороне АС треугольника АВС . |
В каком случае высота треугольника , проведённая из |
вершины
|
, противоположной основанию , не пересекается с основанием ? . |
Иными словами , существует перемещение треугольника АВС , при котором его |
вершины
|
А , В , С совмещаются соответственно с вершинами треугольника . |
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от |
вершины
|
треугольника . |
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до |
вершины
|
угла , если АР 5 см ? . |
Найдите расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от |
вершины
|
угла до точки касания равно 2 см . |
4 ) из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой |
вершины
|
. |
Проведём в трапеции ABCD из |
вершины
|
В перпендикуляр ВН . |
2 В треугольнике медиана совпадает с биссектрисой , проведённой из той же |
вершины
|
. |
Найдите расстояние от |
вершины
|
угла до центра окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см . |
4 ) из каждой |
вершины
|
, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины . |
2 Могут ли какие - то три |
вершины
|
пятиугольника лежать на одной прямой ? . |
В этом случае найти радиус — это найти отрезок стороны АС от |
вершины
|
С до точки касания . |
Основание высоты , проведённой из |
вершины
|
В , совпадает с вершиной треугольника АВС . |
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из |
вершины
|
угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла . |
11 Докажите , что длина медианы треугольника меньше полусуммы сторон , выходящих из той же |
вершины
|
, что и медиана . |
Чему равно расстояние от |
вершины
|
равностороннего треугольника со стороной 10 см до точки пересечения его медиан ? . |
В каком отношении будет разбита проведёнными отрезками сторона АВ исходного треугольника , считая от |
вершины
|
В ? . |
Основание высоты , проведённой из |
вершины
|
В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство . |
Например , |
вершины
|
В и С лежат по разные стороны от прямой а , содержащей сторону AD . |
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и |
вершины
|
основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? . |
Рассмотрим полуплоскость с границей АС и не содержащую вершину В. В полуплоскости β из |
вершины
|
А проведём луч . |
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из |
вершины
|
тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции . |
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две |
вершины
|
четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а . |
С многоугольниками на клетчатой бумаге , |
вершины
|
которых расположены в узлах , связаны некоторые интересные закономерности . |
Какие величины являются приближением сверху для общего |
веса
|
купленной крупы ? . |
Предположим , что нам нужно взвесить яблоко на чашечных |
весах
|
, причём каждая гирька , находящаяся в нашем распоряжении , имеет массу 10 граммов . |
На многих измерительных приборах — |
весах
|
, термометре , штангенциркуле — вы могли видеть надписи . |
Степень числа также можно |
возводить
|
в степень . |
4 Как |
возводить
|
в целую степень частное двух ненулевых чисел ? . |
Выясните , какими могут быть углы этих равнобедренных треугольников , чтобы все их боковые стороны образовывали |
восьмиугольник
|
, если известно , что . |
Продолжая таким образом , получим , что сумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна , выпуклого |
восьмиугольника
|
равна и так далее . |
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) |
восьмиугольника
|
; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника . |
Докажите , что стороны MN и KL |
восьмиугольника
|
с вершинами в этих точках равны . |
1.2 В окружность с центром О |
вписан
|
правильный n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° . |
2.4 В окружность с центром О |
вписан
|
некоторый правильный многоугольник , одной из сторон которого является отрезок АВ . |
18 В треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см |
вписана
|
окружность . |
Окружность |
вписанная
|
. |
1.6 Окружность , |
вписанная
|
в прямоугольный треугольник . |
1.3 Окружность , |
вписанная
|
в прямоугольный треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? . |
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если |
вписанная
|
в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? . |
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и |
вписанная
|
окружности . |
Пусть |
вписанная
|
в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда . |
Таким образом , площадь треугольника равна произведению радиуса |
вписанной
|
окружности на полупериметр . |
r — радиус окружности , |
вписанной
|
в треугольник . |
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания |
вписанной
|
окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами . |
Найдём радиус окружности , |
вписанной
|
в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна . |
Применение площади к вычислению радиуса |
вписанной
|
окружности . |
По формуле S b рr , где r — радиус |
вписанной
|
окружности . |
Меньшая окружность является |
вписанной
|
в треугольник АВС . |
Чему равен радиус окружности , |
вписанной
|
в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? . |
Чему равно значение периметра квадрата , выраженное через радиус |
вписанной
|
окружности ? . |
4 Как вычислить радиус |
вписанной
|
в треугольник окружности , зная периметр и площадь треугольника ? . |
9 Постройте треугольник по двум углам и радиусу |
вписанной
|
окружности . |
19 Найдите радиус окружности , |
вписанной
|
в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см . |
Всякая вневписанная окружность является |
вписанной
|
в два внешних угла и в один внутренний угол треугольника АВС . |
1.4 Длина отрезков касательных для окружности , |
вписанной
|
в треугольник . |
Найдём радиус r окружности , |
вписанной
|
в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см . |
1.3 Чему равен радиус r окружности , |
вписанной
|
в ромб со стороной 5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? . |
21 В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями АВ и CD можно |
вписать
|
окружность . |
В какой прямоугольник можно |
вписать
|
окружность ? . |
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную трапецию с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно |
вписать
|
окружность ? . |
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны , то в него можно |
вписать
|
окружность . |
1.4 Чему равны боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно |
вписать
|
окружность ? . |
22 В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями АВ b 6 см и CD b 3 см можно |
вписать
|
окружность . |
7 В каком случае в четырёхугольник нельзя |
вписать
|
окружность ? . |
10 Приведите пример трапеции , в которую нельзя |
вписать
|
окружность . |
Сумма |
выпуклого многоугольника
|
. |
Сумма внутренних углов |
выпуклого многоугольника
|
. |
Аналогично для произвольного |
выпуклого многоугольника
|
можно взять каждую сторону , провести через неё прямую и рассмотреть полуплоскость , содержащую многоугольник . |
3.5 Задание |
выпуклого многоугольника
|
пересечением полуплоскостей . |
Примером |
выпуклого многоугольника
|
может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой . |
12 Сформулируйте правило о замене левой или правой части неравенства на тождественно равное |
выражение
|
. |
Прибавим к обеим частям уравнения |
выражение
|
4у . |
Упростите при целых значениях m |
выражение
|
. |
Например , в записи слева от знака равенства стоит |
выражение
|
S , а справа от знака равенства стоит выражение υ · t . |
Это числовое |
выражение
|
также принято считать значением буквенного выражения при соответствующих числовых значениях букв . |
Докажите , что если два выражения А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на |
выражение
|
X получается тождество . |
2.5 Замена одной части уравнения на тождественно равное ей |
выражение
|
. |
Преобразуем подкоренное |
выражение
|
, выделив в нём квадрат суммы двух чисел . |
11 Что произойдёт с множеством решений , если к левой и правой частям неравенства прибавить всюду определённое |
выражение
|
? . |
Например , в записи слева от знака равенства стоит выражение S , а справа от знака равенства стоит |
выражение
|
υ · t . |
Составим |
выражение
|
и подберём подходящую приближённую формулу для его вычисления . |
Буквенное |
выражение
|
. |
В неравенстве выражение А(х ) называют левой частью неравенства , |
выражение
|
В(х ) — правой частью неравенства . |
6 Найдите , при каких значениях х отрицательно |
выражение
|
. |
7 Из данного тождества умножением на заданное |
выражение
|
получите новое тождество . |
В неравенстве |
выражение
|
А(х ) называют левой частью неравенства , выражение В(х ) — правой частью неравенства . |
1.4 Всегда ли буквенное |
выражение
|
имеет значение ? |
Сначала прибавим к обеим частям |
выражение
|
. |
Подставим вместо буквы а |
выражение
|
, вместо буквы b выражение . |
Подставим вместо буквы а число 2 на все те места , где встречается буква а , и вместо буквы b |
выражение
|
на все те места , где встречается буква b. |
Подставим в обе части тождества вместо буквы а |
выражение
|
на все те места , где встречается буква а . |
Прибавим к обеим частям тождества |
выражение
|
. |
5 Запишите буквенное |
выражение
|
в виде многочлена . |
Прибавив к обеим частям |
выражение
|
-2х , получим . |
Приведённые свойства позволяют , например , заменить выражение на равное ему |
выражение
|
. |
Приведённые свойства позволяют , например , заменить |
выражение
|
на равное ему выражение . |
В неравенстве выражение С ( х ) называют левой частью неравенства , |
выражение
|
D ( х ) — правой частью неравенства . |
В неравенстве |
выражение
|
С ( х ) называют левой частью неравенства , выражение D ( х ) — правой частью неравенства . |
1 Упростите |
выражение
|
. |
Умножение обеих частей тождества на одинаковое |
выражение
|
. |
2.4 Укажите все верные утверждения : 2 ) |
выражение
|
является одночленом . |
Пусть D(x ) — произвольное всюду определённое |
выражение
|
. |
Возьмём после этого |
выражение
|
и запишем равенства . |
Рассмотрим теперь |
выражение
|
и запишем равенства . |
5 Найдите , при каких значениях х положительно |
выражение
|
. |
Прибавим к обеим его частям числовое |
выражение
|
. |
1 Какое буквенное |
выражение
|
называют одночленом ? . |
Домножим обе его части на |
выражение
|
а . |
Поэтому при а - 0 |
выражение
|
а0 определённого значения не имеет . |
8 Сформулируйте правило умножения частей тождества на одинаковое |
выражение
|
. |
Подстановка в |
выражение
|
. |
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых выражений равно нулю , то и другое числовое |
выражение
|
равно нулю . |
Прибавим к обеим частям этого равенства числовое |
выражение
|
. |
Какой многочлен получится , если в многочлен вместо буквы а подставить |
выражение
|
? . |
Говорят , что мы произвели подстановку вместо буквы b в |
выражение
|
. |
Буквенное |
выражение
|
вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно переменной х . |
II Любое числовое |
выражение
|
, не равное нулю , является одночленом нулевой степени . |
Получим новое буквенное |
выражение
|
. |
Заменим левую часть на тождественно равное |
выражение
|
. |
Заменим в этом выражении букву b на |
выражение
|
. |
Прибавляя к обеим частям этого равенства числовое |
выражение
|
, получаем числовое равенство . |
Рассмотрим буквенное |
выражение
|
. |
Пусть D(x ; у ) — произвольное всюду определённое |
выражение
|
. |
При каких значениях переменных имеет смысл буквенное |
выражение
|
. |
Рассматривая буквенные выражения , иногда для краткости вместо слов « буквенное выражение » будем употреблять слово « |
выражение
|
» . |
Рассматривая буквенные выражения , иногда для краткости вместо слов « буквенное |
выражение
|
» будем употреблять слово « выражение » . |
Можно сказать , что выражение имеет смысл только при значениях а , не равных нулю , то есть буквенное |
выражение
|
не является всюду определённым . |
Заменим правую часть на тождественно равное |
выражение
|
. |
Можно сказать , что |
выражение
|
имеет смысл только при значениях а , не равных нулю , то есть буквенное выражение не является всюду определённым . |
В левых частях равенств стоит одно и то |
выражение
|
х. |
Рассмотрим некоторое буквенное |
выражение
|
, например где а , b , с , d — переменные . |
Возьмём , подставим эти числа вместо букв и получим числовое |
выражение
|
. |
Рассмотрим теперь буквенное |
выражение
|
. |
Для краткости будем говорить , что такое буквенное |
выражение
|
определено всюду или , по - другому , всюду определено . |
Рассмотрим доказательство правила 3 : « Пусть D(x ) — произвольное всюду определённое |
выражение
|
. |
Если при вычислении значения буквенного выражения выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо числа получится числовое |
выражение
|
. |
В этом случае говорят , что |
выражение
|
имеет смысл при любых значениях переменных . |
Заметим , что если в буквенное |
выражение
|
, определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять выражение , также определённое всюду , то полученное новое буквенное выражение будет также всюду определено . |
Иными словами , |
выражение
|
0 ° не определено или не имеет смысла . |
Заметим , что если в буквенное выражение , определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять |
выражение
|
, также определённое всюду , то полученное новое буквенное выражение будет также всюду определено . |
Рассмотрим , например , |
выражение
|
nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру . |
Подставим вместо буквы а выражение , вместо буквы b |
выражение
|
. |
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d |
выражение
|
A(d ) не будет больше выражения B(d ) . |
Прибавим к обеим частям первого тождества |
выражение
|
b2 . |
2.4 При каких значениях а , b , с |
выражение
|
определено ? . |
2.3 При каких значениях а , b , с |
выражение
|
не определено ? . |
1.2 Среди следующих укажите не буквенное |
выражение
|
. |
1.2 Какое |
выражение
|
нужно вычесть из неравенства справа и слева , чтобы получить неравенство ? . |
1.1 Укажите буквенное |
выражение
|
среди следующих . |
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного уравнения , |
выражение
|
— правая часть этого уравнения . |
В уравнении выражение А(х ) называют левой частью уравнения , |
выражение
|
В(х ) — правой частью уравнения . |
Какой вид будет иметь решение системы уравнений , если подставить во второе уравнение системы вместо неизвестного у равное ему |
выражение
|
? . |
Рассмотрим , например , буквенное |
выражение
|
, которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа . |
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и высоте h. В данное |
выражение
|
вместо буквы а можно подставлять различные числа . |
В уравнении |
выражение
|
А(х ) называют левой частью уравнения , выражение В(х ) — правой частью уравнения . |
Подставив это |
выражение
|
вместо а во второе уравнение , получаем . |
Какому многочлену равно буквенное |
выражение
|
. |
5 Как понимать слова , что « |
выражение
|
имеет смысл при данном наборе значений переменных » ? . |
2.9 Замена левой или правой части неравенства на тождественно равное |
выражение
|
. |
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового выражения и степеней переменных букв , то постоянное |
выражение
|
принято считать коэффициентом . |
Подставив в левую часть второго уравнения вместо неизвестного х равное ему |
выражение
|
, получим уравнение с одним неизвестным . |
Какой подстановкой можно получить |
выражение
|
из выражения ? . |
Заметим , что если в буквенное выражение , определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять выражение , также определённое всюду , то полученное новое буквенное |
выражение
|
будет также всюду определено . |
Пусть А и В два тождественно равных выражения и X — некоторое |
выражение
|
. |
1 Что называют линейным |
выражением
|
с одной переменной ? . |
Буквенное выражение вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется линейным |
выражением
|
относительно переменной х . |
2 Какая величина считается постоянной в буквенном |
выражении
|
? . |
1.2 Постоянные и переменные величины в буквенном |
выражении
|
. |
Подстановка в буквенном |
выражении
|
. |
Заменим в этом |
выражении
|
букву b на выражение . |
Буква π используется как удобное обозначение для вполне конкретного числа , то есть буква π является постоянной величиной в |
выражении
|
nR2H . |
Поэтому в данном случае буквы a vs кв |
выражении
|
ah являются обозначением переменных величин . |
3 Какая величина считается переменной в буквенном |
выражении
|
? . |
Аналогичное свойство выполняется для тождественного равенства всюду определённых |
выражений
|
. |
1.1 Примеры буквенных |
выражений
|
. |
Какие ещё примеры буквенных |
выражений
|
вы знаете ? . |
7 Какие примеры буквенных |
выражений
|
, не всюду определённых , вы знаете ? . |
Последняя формула может быть полезной при возведении в квадрат разности двух |
выражений
|
. |
В этой главе рассматривается тождественное равенство всюду определённых буквенных |
выражений
|
. |
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных |
выражений
|
одной буквой можно получить систему линейных уравнений . |
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной величины х , при которых значения |
выражений
|
равны » . |
Таким образом , для |
выражений
|
можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной величины х , при которых значения выражений равны » . |
Однако при х b -3/7 значения обоих |
выражений
|
равны числу 23/7 , то есть имеет место равенство . |
Для |
выражений
|
А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » . |
2.2 Какие из указанных |
выражений
|
равны . |
2.1 Значения каких из приведённых |
выражений
|
равны 25 ? . |
Определение тождественного равенства двух буквенных |
выражений
|
. |
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов |
выражений
|
на равенство самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 . |
Важным приёмом получения новых тождеств является подстановка в известное тождество вместо букв некоторых буквенных ( или числовых ) |
выражений
|
. |
Приведённые свойства позволяют исключать промежуточные « звенья » из « цепочки » тождественных преобразований буквенных |
выражений
|
. |
Тождественные равенства буквенных |
выражений
|
обладают важными свойствами . |
При преобразовании буквенных |
выражений
|
можно применять законы сложения , вычитания и умножения , которые используются при действиях с числовыми выражениями . |
Основные правила преобразования всюду определённых буквенных |
выражений
|
можно сформулировать так . |
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного равенства многочленов совпадает с определением тождественного равенства буквенных |
выражений
|
. |
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов выражений на равенство самих |
выражений
|
, то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 . |
3 Как можно записать тождественное равенство двух буквенных |
выражений
|
? . |
Тождественное преобразование буквенных |
выражений
|
. |
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых |
выражений
|
равно нулю , то и другое числовое выражение равно нулю . |
Рассуждения предыдущего пункта можно повторить для |
выражений
|
вида . |
В случае , когда ясно , что речь идёт о тождественном равенстве буквенных |
выражений
|
, вместо знака используют знак . |
5 Из данного тождества подстановкой вместо букв указанных |
выражений
|
получите новое тождество . |
Два всюду определённых буквенных выражения называются тождественно равными , если равны значения этих |
выражений
|
при подстановке вместо букв любых наборов чисел . |
Когда важно подчеркнуть , что равенство буквенных |
выражений
|
является тождеством , используют запись . |
5 Как вы понимаете тождественные преобразования буквенных |
выражений
|
? . |
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений переменных получаются разные значения этих |
выражений
|
, то эти два буквенных выражения не являются тождественно равными . |
2.4 Какие из указанных |
выражений
|
равны . |
В результате при некотором числовом значении с для числовых |
выражений
|
А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше выражения B(d ) . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных |
выражений
|
А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных |
выражений
|
А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
2.2 Какие из указанных |
выражений
|
равны при всех ненулевых значениях а и о ? . |
Использование основных свойств степени позволяет упрощать вычисление значений некоторых числовых |
выражений
|
. |
Для буквенных |
выражений
|
С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » . |
Таким образом , для буквенных |
выражений
|
А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » . |
Значения каких из указанных |
выражений
|
равны 0,25 ? . |
2.3 Значения каких из указанных |
выражений
|
не равны 2 ? . |
Чему равны степени слагаемых многочлена , равного |
выражению
|
? . |
Какому |
выражению
|
равно ? . |
4 Что означают слова « значение буквенного |
выражения
|
» ? . |
Рассмотрим два буквенных |
выражения
|
. |
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения |
выражения
|
D ( х ) » . |
1.1 Чему равно значение |
выражения
|
. |
Докажите , что если два |
выражения
|
А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на выражение X получается тождество . |
6 Какие буквенные |
выражения
|
называют определёнными всюду ? . |
Чему равно значение |
выражения
|
. |
1 Подставьте в формулу |
выражения
|
. |
1.2 Чему равно значение |
выражения
|
. |
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого |
выражения
|
; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число . |
Тогда |
выражения
|
тождественно равны . |
При некоторых числовых значениях переменной х эти |
выражения
|
принимают различные значения . |
Какой подстановкой можно получить выражение из |
выражения
|
? . |
Числовые |
выражения
|
, не содержащие буквы х , всё равно бывает удобно обозначать через А(х ) , B(x ) , С(х ) , D(x ) , и так далее . |
Найдите значение |
выражения
|
. |
Всякое натуральное число от 1 до 99 999 999 в двоичном коде можно записать в виде 27-значного |
выражения
|
, используя только цифры 0 и 1 . |
Пусть А и В два тождественно равных |
выражения
|
и X — некоторое выражение . |
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений переменных получаются разные значения этих выражений , то эти два буквенных |
выражения
|
не являются тождественно равными . |
1 Как вы понимаете буквенные |
выражения
|
? . |
14 Как доказать равносильность неравенств для любого всюду определённого |
выражения
|
? . |
2 Покажите , как выполняя последовательно арифметические операции , из букв и чисел получить |
выражения
|
. |
1 Определите , какие буквенные |
выражения
|
определены всюду , а какие нет . |
Пусть А(х ) и В(х ) — два буквенных |
выражения
|
, в запись которых входит переменная , обозначенная через х . |
9 Выполните подстановку |
выражения
|
вместо переменной х в следующие выражения . |
10 Выполните подстановку выражения вместо переменной х вместо переменной у в |
выражения
|
. |
2.2 Укажите все |
выражения
|
, значения которых при являются полными квадратами . |
7 Сформулируйте правило прибавления к частям тождества одинакового |
выражения
|
. |
5 Какие буквенные |
выражения
|
называют многочленами ? . |
7 Убедитесь на примерах , что указанные |
выражения
|
имеют равные значения при одинаковых наборах значений переменных букв . |
6 Найдите значение |
выражения
|
. |
Какие ещё |
выражения
|
, не имеющие смысла , вам известны ? . |
5 Найдите значение |
выражения
|
. |
Это числовое выражение также принято считать значением буквенного |
выражения
|
при соответствующих числовых значениях букв . |
4 Найдите значение |
выражения
|
. |
При некотором числовом значении с переменной х эти |
выражения
|
А(с ) и Б(с ) могут принимать различные значения . |
Любые два буквенных |
выражения
|
можно соединить знаком равенства . |
1 Какие буквенные |
выражения
|
называют тождественно равными ? . |
Тогда |
выражения
|
А · X и В · X также тождественно равны . |
3 Представьте в виде квадрата некоторого |
выражения
|
. |
Числовые |
выражения
|
, не содержащие буквы х , иногда также удобно обозначать через А(х ) , В(х ) и так далее . |
Значение буквенного |
выражения
|
. |
1 Буквенные |
выражения
|
. |
10 Выполните подстановку |
выражения
|
вместо переменной х вместо переменной у в выражения . |
Два всюду определённых буквенных |
выражения
|
называются тождественно равными , если равны значения этих выражений при подстановке вместо букв любых наборов чисел . |
1.3 Какой из следующих многочленов является результатом подстановки |
выражения
|
вместо переменной х в многочлен ? . |
9 Выполните подстановку выражения вместо переменной х в следующие |
выражения
|
. |
1.3 Значение буквенного |
выражения
|
. |
5 Упростите |
выражения
|
. |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению |
выражения
|
В(х ) » . |
3 Упростите |
выражения
|
. |
Например , в одночленах и коэффициентами являются |
выражения
|
соответственно . |
Для формулировки этих свойств обозначим буквами А , В , С произвольные буквенные |
выражения
|
. |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение |
выражения
|
А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
Прибавление к обеим частям тождества одинакового |
выражения
|
. |
2 Упростите |
выражения
|
( при натуральных значениях букв ) . |
Свойство |
выражения
|
( -а ) . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению |
выражения
|
В(х ) » . |
Пусть А , В , С — некоторые буквенные |
выражения
|
. |
16 Найдите , при каких значениях х можно вычислить значение |
выражения
|
. |
Примерами одночленов могут служить |
выражения
|
. |
Слово « високосный » является искажением латинского |
выражения
|
, означающего « дважды шестой » . |
Намеченный процесс возведения в степень |
выражения
|
нетрудно продолжить : получив формулу , можно найти формулу для и так далее . |
Запись одночлена в виде произведения постоянного числового |
выражения
|
и степеней различных постоянных или переменных букв будем называть стандартной формой одночлена . |
Тогда для |
выражения
|
сможем записать равенства . |
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше |
выражения
|
B(d ) . |
Например , линейными являются |
выражения
|
. |
Полученное число 21 является значением буквенного |
выражения
|
при выбранных значениях букв . |
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения |
выражения
|
В(х ) » . |
Значение буквенного |
выражения
|
из предыдущего пункта можно вычислить при любых наборах значений букв . |
Рассмотрим два буквенных |
выражения
|
, например . |
Если при вычислении значения буквенного |
выражения
|
выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо числа получится числовое выражение . |
2.3 Результатом подстановки в некоторый многочлен |
выражения
|
вместо переменной z является . |
2.3 Чему равно значение |
выражения
|
. |
2.4 Укажите все |
выражения
|
, которые после приведения подобных в многочленах не становятся линейными уравнениями . |
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение |
выражения
|
А(х ) больше значения выражения В(х ) » . |
Как показать , что |
выражения
|
не являются тождественно равными ? . |
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение |
выражения
|
С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » . |
Возьмём два |
выражения
|
. |
Тождественным преобразованием буквенного |
выражения
|
называют замену этого выражения на тождественно равное ему . |
Укажите все |
выражения
|
, являющиеся одночленами . |
Для буквенного |
выражения
|
, в запись которого входят некоторые числа и две переменные х и у , будем использовать обозначения А(х , у ) , В(х , у ) и так далее . |
Числа , буквы и буквенные |
выражения
|
, которые являются произведением чисел и букв , будем называть одночленами . |
12 Найдите значение |
выражения
|
. |
Тождественным преобразованием буквенного выражения называют замену этого |
выражения
|
на тождественно равное ему . |
Значение |
выражения
|
при . |
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение |
выражения
|
А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » . |
Рассматривая буквенные |
выражения
|
, иногда для краткости вместо слов « буквенное выражение » будем употреблять слово « выражение » . |
7 Найдите значение |
выражения
|
. |
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового |
выражения
|
и степеней переменных букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом . |
2.6 Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же |
выражения
|
. |
2.3 Укажите все |
выражения
|
, которые после приведения подобных в многочленах становятся линейными уравнениями . |
Уравнение , в котором левая и правая части являются линейными |
выражениями
|
, называется линейным уравнением . |
Неравенство , в котором левая и правая части являются линейными |
выражениями
|
, называется линейным неравенством . |
С буквенными |
выражениями
|
вы уже встречались . |
Например , буквенными |
выражениями
|
являются . |
Равенство в формуле отличается от равенства между |
выражениями
|
ab и bа . |
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы сложения , вычитания и умножения , которые используются при действиях с числовыми |
выражениями
|
. |
Тождествами принято считать также верные равенства между числовыми |
выражениями
|
, вовсе не содержащими переменных букв . |
В зависимости от конкретной задачи буквы в |
выражениях
|
могут иметь разный смысл . |
Однако может быть , что не все буквы в буквенных |
выражениях
|
обозначают переменные величины . |
Например , из равенств следует равенство соответствующих |
высот
|
треугольников АВС . |
Вершинами какого четырёхугольника являются концы двух различных |
высот
|
трапеции ? . |
1.1 Одна сторона треугольника равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно отношение |
высот
|
, проведённых к этим сторонам ? . |
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из |
высот
|
трапеции . |
Сколько различных |
высот
|
можно провести из всех вершин параллелограмма ? . |
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины |
высот
|
этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС . |
2.2 Какую площадь может иметь параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см , у которого одна из |
высот
|
равна 3 см ? . |
Чему в рассмотренном примере равно отношение |
высот
|
треугольников АВС и ADC , проведённых к общей стороне АС ? . |
2.3 Какую площадь может иметь параллелограмм со сторонами 8 см и 10 см , у которого одна из |
высот
|
равна 9 см ? . |
а ) одну из сторон треугольника . б ) одну из |
высот
|
треугольника . |
1.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а проведённая к ней |
высота
|
равна 17 см. Чему равна площадь параллелограмма ? . |
В каком случае |
высота
|
треугольника , проведённая из вершины , противоположной основанию , не пересекается с основанием ? . |
Окружность касается оснований трапеции , поэтому |
высота
|
равна диаметру окружности , то есть равна 4 см . |
4 Докажите , что если |
высота
|
и биссектриса , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный . |
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см |
высота
|
, проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к стороне ВС ? . |
3 Докажите , что если |
высота
|
и медиана , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный . |
Основание и |
высота
|
параллелограмма . |
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна |
высота
|
, проведённая к стороне ВС ? . |
6 В равнобедренной трапеции |
высота
|
, проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции . |
Трапеция , |
высота
|
. |
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна |
высота
|
, проведённая к основанию треугольника ? . |
9 В треугольнике АВС проведена |
высота
|
АН . |
1.3 Чему равна |
высота
|
, проведённая в параллелограмме с площадью 25 см2 к стороне , длина которой равна 4 см ? . |
3 Что такое |
высота
|
трапеции ? . |
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС |
высота
|
равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС . |
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе |
высота
|
равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника . |
6 Чему равно отношение площадей двух треугольников с равными |
высотами
|
? . |
Для наглядности представим слагаемые как площади прямоугольников шириной 1 и |
высотами
|
1 , 2 , 3 , 4 , 5 и изобразим их . |
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух равнобедренных треугольников с общим основанием 6 см и проведёнными к нему |
высотами
|
5 см и 7 см ? . |
Что вы знаете о |
высотах
|
треугольника ? . |
Для вычисления объёма цилиндра по радиусу основания и |
высоте
|
. |
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и |
высоте
|
h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа . |
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и |
высоте
|
, проведённой к этой стороне . |
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и |
высоте
|
, проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне . |
5 Постройте равносторонний треугольник : а ) по стороне ; б ) по |
высоте
|
. |
Точка М расположена на |
высоте
|
ВН так , что . Найдите площадь треугольника АМС . |
Через точку В проведена прямая ВК , параллельная |
высоте
|
СН треугольника . |
6 На |
высоте
|
ВН равнобедренного треугольника с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что . |
по основанию и |
высоте
|
, проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне . |
11 Постройте трапецию по основанию , |
высоте
|
, проведённой к основанию , и диагоналям . |
2.4 У каких из следующих параллелограммов площадь равна 36 см2 при данной стороне b и проведённой к этой стороне |
высоте
|
h ? . |
5 Постройте треугольник по двум сторонам и |
высоте
|
. |
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и |
высотой
|
Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру . |
2.1 В каких из указанных случаев трапеция с основаниями а , b и |
высотой
|
h имеет площадь больше 20 см2 ? . |
1.1 Чему равна площадь трапеции с основаниями 5 см и 7 см и |
высотой
|
2 см ? . |
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и |
высотой
|
h , проведённой к основанию , и найдите площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см . |
Отрезок ОР также является |
высотой
|
трапеции ABCD . |
3 Сколько краски потребуется , чтобы с двух сторон покрасить сплошную дверь шириной 82 см и |
высотой
|
2 м 3 см , если на покраску 1 м2 уходит 80 г краски ? . |
1 Что считают основанием параллелограмма и |
высотой
|
, проведённой к этому основанию ? . |
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют основанием , а отрезок ВН — |
высотой
|
параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию . |
Тогда |
высотой
|
, проведённой к основанию , будет ВК b 4 см. Следовательно , по формуле . |
Тогда отрезок ВН является |
высотой
|
треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции . |
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является |
высотой
|
треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции . |
Отрезок KL тоже можно считать |
высотой
|
данного параллелограмма , проведённой к основанию AD . |
Площадь параллелограмма равна произведению основания на |
высоту
|
, проведённую к этому основанию . |
Обозначим длину основания AD буквой а , а |
высоту
|
ВН — буквой h. |
Обозначим длины оснований трапеции и её |
высоту
|
буквами а , b и h соответственно , как отмечено . |
Проведём |
высоту
|
ВН и найдём . |
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований трапеции на её |
высоту
|
. |
2 Как к заданному основанию параллелограмма провести его |
высоту
|
? . |
а ) сторону а треугольника . б ) |
высоту
|
треугольника , проведённую к стороне а . |
К основанию АС треугольника АВС проведём |
высоту
|
. |
Как доказать , что значение площади параллелограмма не зависит от того , в каком месте проводить |
высоту
|
к данному основанию ? . |
В параллелограмме ABCD проведём |
высоту
|
ВН . |
Докажите , что проведённые к этим сторонам |
высоты
|
треугольников либо лежат на одной прямой , либо не имеют общих точек . |
Обозначим длину основания АС буквой а , длину |
высоты
|
буквой h. Возможны три случая чертежа . |
Основание |
высоты
|
, проведённой из вершины В , совпадает с вершиной треугольника АВС . |
Проведём |
высоты
|
ВН и СК . |
2.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а |
высоты
|
6 см и 8 см. Какие значения площади параллелограмма возможны ? . |
7 Найдите площадь параллелограмма , зная его периметр р и |
высоты
|
m и n . |
2.2 При каких значениях стороны а и проведённой к ней |
высоты
|
h площадь треугольника равна 66 см2 ? . |
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как |
высоты
|
одной трапеции . |
15 Выразите площадь параллелограмма через две его |
высоты
|
h и Н и периметр Р . |
Как показать , что площадь трапеции равна произведению |
высоты
|
трапеции на длину её средней линии ? . |
2.2 Какие из указанных значений может иметь длина |
высоты
|
, проведённой к стороне АВ треугольника АВС , если известно , что ВС ? . |
Основание |
высоты
|
, проведённой из вершины В , лежит на стороне АС треугольника АВС . |
1.2 Если в треугольнике длина стороны 1,2 см , а длина |
высоты
|
к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см . |
На продолжении |
высоты
|
ВН выбрана точка М так , что . Найдите площадь треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 . |
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания и |
высоты
|
, проведённой к основанию . |
Основание |
высоты
|
, проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство . |
В частности , длина |
высоты
|
параллелограмма ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD . |
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как |
высоты
|
этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны . |
Если основаниями треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к ним |
высоты
|
совпадают . |
Как доказать , что в равнобедренном треугольнике |
высоты
|
, проведённые к боковым сторонам , равны ? . |
Разобьём её диагональю BD на два треугольника ABD и BCD и проведём |
высоты
|
ВН и DP . |
1.2 Какое выражение нужно |
вычесть
|
из неравенства справа и слева , чтобы получить неравенство ? . |
7 Запишите неравенства , которые получатся , если из обеих частей неравенства |
вычесть
|
. |
16 Запишите , какое неравенство получится , если из обеих частей неравенства |
вычесть
|
. |
Если из всех частей соотношения |
вычесть
|
число 42 , то получим соотношение , то есть дробная часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным числом , меньшим 1 . |
Такую сумму можно получить , если из суммы всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА |
вычесть
|
сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA . |
Найдите уменьшаемое и |
вычитаемое
|
. |
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти приближённое значение частного при помощи сложений , |
вычитаний
|
и умножений . |
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы сложения , |
вычитания
|
и умножения , которые используются при действиях с числовыми выражениями . |
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , |
вычитания
|
, деления . |
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , |
вычитания
|
, деления . |
Площадь треугольника ABL можно получить , |
вычитая
|
из площади четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML . |
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить , |
вычитая
|
из площади четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML . |
Для этого прибавим к нему и |
вычтем
|
из него слагаемое . |
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая |
геометрическая фигура
|
— трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника . |
5 Что такое выпуклая |
геометрическая фигура
|
? . |
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные |
геометрические фигуры
|
. |
Площадь рамки можно найти , если разбить её на известные |
геометрические фигуры
|
. |
11 Как объяснить , что если |
геометрические фигуры
|
G1 и G2 являются выпуклыми , то возможен только один из следующих случаев . |
10 Как объяснить , что выпуклыми |
геометрическими фигурами
|
являются : а ) отрезок ; б ) луч ; в ) прямая . |
Вы учились вычислять площади многих |
геометрических фигур
|
. |
Какие свойства равенства |
геометрических фигур
|
вы знаете ? . |
Последовательность ненулевых чисел называют |
геометрической прогрессией
|
, если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю . |
5 Какую последовательность называют |
геометрической прогрессией
|
? . |
6 Что такое первый член |
геометрической прогрессии
|
? . |
Как записать начальные четыре члена |
геометрической прогрессии
|
с первым членом а , и знаменателем q ? . |
Это семь начальных членов |
геометрической прогрессии
|
с первым членом и знаменателем . |
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем |
геометрической прогрессии
|
. |
Каким должен быть седьмой член |
геометрической прогрессии
|
из примера 3 ? . |
Это пять начальных членов |
геометрической прогрессии
|
с первым членом и знаменателем . |
3.8 Выражение последующих членов |
геометрической прогрессии
|
через предыдущие . |
Знаменатель |
геометрической прогрессии
|
. |
Число называют знаменателем этой |
геометрической прогрессии
|
. |
3.7 Пример |
геометрической прогрессии
|
. |
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных членов |
геометрической прогрессии
|
с первым членом 3 и знаменателем . |
Первый член |
геометрической прогрессии
|
. |
7 Что такое знаменатель |
геометрической прогрессии
|
? . |
3 Найдите : 4 Запишите n начальных членов |
геометрической прогрессии
|
, если . |
Данная последовательность является примером |
геометрической прогрессии
|
. |
Поэтому эти последовательно записанные шесть чисел являются начальными членами |
геометрической прогрессии
|
. |
Стоящее на первом месте число 2 называют первым членом или первым элементом этой |
геометрической прогрессии
|
. |
5 Найдите сумму пяти начальных членов |
геометрической прогрессии
|
, если . |
8 Докажите , что круг является выпуклой |
геометрической фигурой
|
. |
В новых обозначениях |
геометрическую прогрессию
|
можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии . |
9 В каком случае объединение двух отрезков даёт выпуклую |
геометрическую фигуру
|
? . |
Рассмотрим на плоскости два различных луча ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую |
геометрическую фигуру
|
называют углом ЛОВ . |
Если |
гипотенуза
|
и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны . |
Если |
гипотенуза
|
и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны . |
Чему равен катет прямоугольного треугольника , если его |
гипотенуза
|
равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? . |
Гипотенуза и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны |
гипотенузе
|
и прилежащим к ней углам треугольника . |
11 Постройте прямоугольный треугольник по катету и |
гипотенузе
|
. |
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по |
гипотенузе
|
и острому углу . |
Как построить прямоугольный треугольник по |
гипотенузе
|
и катету ? . |
3 ) признак равенства по |
гипотенузе
|
и катету . |
Тогда ВСКН — прямоугольник , прямоугольные треугольники АВН и DCK равны по |
гипотенузе
|
и катету . |
6 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по |
гипотенузе
|
и катету . |
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно |
гипотенузе
|
и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны . |
Равенство прямоугольных треугольников по катету и |
гипотенузе
|
. |
1.5 Равенство прямоугольных треугольников по |
гипотенузе
|
и острому углу . |
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к |
гипотенузе
|
высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника . |
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно |
гипотенузе
|
и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны . |
Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета с |
гипотенузой
|
. |
Прямоугольные треугольники KPG и KQH имеют одинаковую |
гипотенузу
|
и равные острые углы . |
Прямоугольные треугольники АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую |
гипотенузу
|
ОА . |
Мы знаем , что в прямоугольном треугольнике катет меньше |
гипотенузы
|
. |
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с острым углом в 30 ° один катет равен половине |
гипотенузы
|
. |
Пусть в треугольниках углы — прямые и соответственно равны |
гипотенузы
|
равные острые углы . |
Поэтому треугольник EFG можно построить только тогда , когда катет EF меньше |
гипотенузы
|
FG , то есть когда . |
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой |
градус
|
равен радиан . |
Угловой |
градус
|
, угловая минута , угловая секунда . |
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой |
градус
|
» , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , « секунда » . |
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « |
градус
|
» , « минута » , « секунда » . |
Угловые : |
градус
|
. |
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части углового |
градуса
|
, называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' . |
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 |
градусам
|
» можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » . |
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в градусах по Фаренгейту от числового значения температуры С в |
градусах
|
по Цельсию выражается линейной функцией . |
В России привычным является измерение температуры в |
градусах
|
по Цельсию ( ° С ) . |
Какой температуре в градусах по Цельсию ° С соответствует температура -40 ° F в |
градусах
|
по Фаренгейту ? . |
10 Предположим , что угол между стрелками часов измеряется в |
градусах
|
по ходу часовой стрелки от часовой до минутной стрелки . |
Сравним значения одной и той же температуры в |
градусах
|
по Цельсию и по Фаренгейту . |
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в |
градусах
|
по Фаренгейту от числового значения температуры С в градусах по Цельсию выражается линейной функцией . |
Какой температуре в |
градусах
|
по Цельсию ° С соответствует температура -40 ° F в градусах по Фаренгейту ? . |
В некоторых странах принято измерять температуру в |
градусах
|
по Фаренгейту ( ° F ) . |
Выразите в |
градусах
|
следующие углы . |
Пусть , например , нужно измерить в |
градусах
|
плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° . |
температуры воды , измеренной в |
градусах
|
Цельсия , составляют все числа от 0 до 100 . |
7 Существует ли правильный многоугольник с внутренним углом в ( 180 - 10 - 6 ) |
градусов
|
? . |
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 |
градусов
|
» . |
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 |
градусов
|
» или « угол в 5 градусов » . |
3 Пусть С обозначает число градусов по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее число |
градусов
|
по шкале Фаренгейта . |
Отсчёт |
градусов
|
на транспортире можно производить как по часовой , так и против часовой стрелки . |
3 Пусть С обозначает число |
градусов
|
по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее число градусов по шкале Фаренгейта . |
6 У каких правильных n - угольников внутренние углы выражаются целым числом |
градусов
|
? . |
Угол , который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым |
градусом
|
и его величину обозначают 1 ° . |
Если окружность разделить на 360 равных частей , то получатся 360 дуг окружности , каждая из которых соответствует одному угловому |
градусу
|
. |
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному |
градусу
|
, то получим , что всей окружности соответствует 360 ° . |
Переведите в |
градусы
|
по Фаренгейту : -5 ° С , 20 ° С , 80 ° С , -50 ° С , 36 ° С . б ) |
переведите в |
градусы
|
по Цельсию : 9 ° F , 30 ° F , -15 ° F , 300 ° F , -50 ° F . |
7 Найдите значение b , если известно , что |
график
|
линейной функции проходит через точку . |
2 Какой |
график
|
имеет линейная функция ? . |
Построим |
график
|
функции . |
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют |
график
|
уравнения то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое число . |
14 Начертите |
график
|
функции . |
Этот |
график
|
можно построить , если отметить точки и провести прямую АВ . |
13 Начертите |
график
|
функции . |
Какой |
график
|
имеет уравнение , рассматриваемое как уравнение с неизвестными х и у ? . |
Это значит , что если мы построим график первого уравнения системы , то |
график
|
второго уравнения этой системы будет в точности таким же . |
1.2 Укажите уравнение , |
график
|
которого — две вертикальные прямые . |
Аналогично |
график
|
уравнения у совпадает с графиком линейной функции . |
4 Как построить |
график
|
линейной функции ? . |
Отразив отрезок АВ относительно оси Ох и затем отразив полученную ломаную относительно оси Оу , получим |
график
|
уравнения . |
Изобразим на |
график
|
линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых неотрицательны . |
8 Какой |
график
|
имеет зависимость , заданная формулой ? . |
9 Как построить |
график
|
прямой пропорциональной зависимости ? . |
Как построить |
график
|
линейной функции , зная одну точку этого графика и угловой коэффициент ? . |
Как выглядит |
график
|
функции , если областью значений переменной х является промежуток ? . |
Отсюда следует , что |
график
|
уравнения симметричен относительно осей координат Ох и Oy . |
Объединим лучи О А и ОВ и получим |
график
|
функции . |
Как построить |
график
|
функции ? . |
Это значит , что если мы построим |
график
|
первого уравнения системы , то график второго уравнения этой системы будет в точности таким же . |
6 Найдите значение к , если известно , что |
график
|
линейной функции проходит через точку . |
При симметрии относительно оси Ох этот график переходит в |
график
|
уравнения . |
Начертите |
график
|
зависимости пройденного пути от времени . |
Например , |
график
|
функции у b 2х - 4 можно построить так . |
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости |
график
|
уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) . |
Какой вид имеет линейная функция , |
график
|
которой проходит через точки А(-1 ; -3 ) и В(2 ; 0 ) ? . |
Сначала построим |
график
|
уравнения . |
Пусть Г — |
график
|
уравнения . |
Наглядное представление о функции даёт её |
график
|
. |
Если к , то |
график
|
функции проходит через точки ( 0 ; 0 ) и ( 1 ; к ) . |
в ) постройте |
график
|
зависимости ° F от ° С . г ) |
Если , то |
график
|
функции проходит через точки . |
Если , то |
график
|
функции проходит через точки ( 0 ; b ) и , лежащие на координатных осях . |
постройте |
график
|
зависимости ° С от ° F . |
Построить |
график
|
функции . |
10 Какой вид имеет |
график
|
функции . |
2 Что представляет собой |
график
|
линейной функции ? . |
Из первого уравнения системы выразим у через х и построим |
график
|
функции аналогично тому , как это было сделано в предыдущем пункте . |
7 Начертите |
график
|
функции . |
12 Начертите |
график
|
функции . |
При симметрии относительно оси Ох этот |
график
|
переходит в график уравнения . |
Какой вид имеет |
график
|
уравнения ? . |
Изобразим |
график
|
функции и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика . |
1.1 Какой |
график
|
соответствует функции . |
Зная , что графиком уравнения является прямая , получаем , что |
график
|
этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА . |
1.3 Укажите уравнение , |
график
|
которого перпендикулярен графику уравнения 2у b 7 . |
Какой |
график
|
имеет линейная функция . |
11 Изобразите на координатной плоскости |
график
|
уравнения . |
Изобразим |
график
|
линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых отрицательны . |
Как выглядит |
график
|
функции . |
1 Постройте |
график
|
линейной функции . |
Абсцисса каждой точки |
графика
|
функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной . |
Изобразим график линейной функции и выделим часть точек этого |
графика
|
, абсциссы которых отрицательны . |
Полученный луч ОВ без точки О является частью |
графика
|
функции . |
Изобразим на график линейной функции и выделим часть точек этого |
графика
|
, абсциссы которых неотрицательны . |
Полученный луч ОА является частью |
графика
|
функции для . |
Следовательно , для изображения |
графика
|
функции можно рассмотреть два случая . |
Возьмём произвольную точку М |
графика
|
уравнения . |
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) |
графика
|
уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты . |
Иногда для построения графика линейной функции удобно находить точки пересечения |
графика
|
с осями координат . |
Объединяя части |
графика
|
, получим представление о графике функции . |
Покажем теперь , что все точки |
графика
|
Г уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , расположены на луче ОА . |
Решения второго уравнения представляются точками |
графика
|
функции у. |
Отсюда следует , что для построения этого |
графика
|
достаточно определить две различные его точки и провести через них прямую . |
Другими словами , все точки |
графика
|
Г уравнения , лежащие в правой полуплоскости , расположены на луче ОА . |
Для построения этого |
графика
|
найдём при х 1 значение у b 4 и при х b 2 значение у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём прямую . |
Изобразим часть графика функции , выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части |
графика
|
. |
Таким образом , все точки |
графика
|
уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , — это все точки луча ОА . |
Следовательно , точка R является точкой |
графика
|
Г уравнения . |
Изобразим оба |
графика
|
и найдём координаты точки А их пересечения . |
В предыдущем пункте показано , что для |
графика
|
Г уравнения при частью графика Г в правой полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) . |
В предыдущем пункте показано , что для графика Г уравнения при частью |
графика
|
Г в правой полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) . |
Иногда для построения |
графика
|
линейной функции удобно находить точки пересечения графика с осями координат . |
Таким образом , все точки |
графика
|
Г уравнения , расположенные в левой полуплоскости , принадлежат лучу , противоположному лучу ОА . |
2.5 Построение |
графика
|
линейной функции по точкам пересечения с осями координат . |
Таким образом , все точки |
графика
|
уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки луча , противоположного лучу ОА . |
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек |
графика
|
функции . |
Как построить график линейной функции , зная одну точку этого |
графика
|
и угловой коэффициент ? . |
Изобразим часть |
графика
|
функции , выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части графика . |
Для построения части |
графика
|
в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим уравнение , графиком которого является прямая . |
Отрезок АВ этой прямой , лежащий в 1-й четверти , даёт часть |
графика
|
уравнения . |
Совместим оба |
графика
|
. |
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) |
графика
|
уравнения . |
Эта прямая проходит через отмеченные точки |
графика
|
. |
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) |
графика
|
уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика уравнения . |
Эта прямая проходит через любые две различные точки |
графика
|
. |
1.3 Точки |
графика
|
прямой пропорциональной зависимости в правой полуплоскости . |
Покажем сначала , что все точки луча ОА являются частью |
графика
|
Г уравнения . |
В координатной плоскости решения первого уравнения представляются точками |
графика
|
функции . |
Для построения |
графика
|
найдём при х 0 значение у -1 и при х 3 значение у 1 . |
Изобразим график функции и выделим часть |
графика
|
, изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика . |
2.4 Построение |
графика
|
линейной функции по двум различным точкам . |
Изобразим график функции и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части |
графика
|
. |
Какие точки |
графика
|
линейной функции лежат на координатных осях ? . |
2.4 Какие из приведённых рисунков являются |
графиками
|
прямолинейных зависимостей у от х ? . |
Связь между |
графиками
|
линейных функций и уравнениями с двумя неизвестными . |
Следовательно , точка В , симметричная точке А прямой , расположена на |
графике
|
уравнения . |
2.8 О |
графике
|
уравнения . |
Точка В расположена на |
графике
|
уравнения , потому что при получаем . |
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на |
графике
|
уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения . |
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на |
графике
|
уравнения . |
Объединяя части графика , получим представление о |
графике
|
функции . |
Точка О(0 ; 0 ) также расположена на этом |
графике
|
. |
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на |
графике
|
линейной функции . |
2.3 Укажите уравнения , |
графики
|
которых — две перпендикулярные прямые . |
Как показать , что |
графики
|
уравнений симметричны относительно оси . |
Построим |
графики
|
функций . |
Эти линейные функции имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их |
графики
|
являются параллельными прямыми . |
10 Как связаны между собой |
графики
|
уравнений ? . |
5 Начертите |
графики
|
уравнений . |
Как показать , что |
графики
|
уравнений симметричны относительно оси Ох ? . |
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются линейными , научитесь строить |
графики
|
линейных функций . |
Как доказать , что |
графики
|
линейных функций параллельны ? . |
1.4 Сколько общих точек имеют |
графики
|
уравнений . |
Изображены прямые — |
графики
|
функций . |
Примерами графиков функций могут служить |
графики
|
прямых пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей . |
2.1 Укажите уравнения , |
графики
|
которых — две вертикальные прямые . |
В общем случае |
графики
|
уравнений симметричны относительно оси Оу . |
Следовательно , |
графики
|
не пересекаются . |
Таким образом , |
графики
|
уравнений симметричны относительно оси Ох . |
Решением системы являются координаты общей точки А построенных |
графиков
|
. |
1.6 Симметрия |
графиков
|
уравнений . |
Отметим точку А пересечения этих |
графиков
|
. |
Решите с помощью |
графиков
|
систему уравнений . |
1.5 Симметричность |
графиков
|
относительно оси Оу . |
10 Найдите с помощью |
графиков
|
приближённое значение корня уравнения . |
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении |
графиков
|
в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения . |
Рассмотрим решение с помощью |
графиков
|
системы . |
Примерами |
графиков
|
функций могут служить графики прямых пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей . |
8 Найдите с помощью |
графиков
|
приближённое значение корня уравнения . |
С помощью |
графиков
|
корни линейных уравнений можно представить наглядно . |
9 Найдите с помощью |
графиков
|
приближённое значение корня уравнения . |
2.11 Решение линейных уравнений с помощью |
графиков
|
. |
Решение задач с помощью |
графиков
|
. |
7 Что называют |
графиком
|
функции ? . |
Прямая АВ является |
графиком
|
функции . |
Множество таких пар является |
графиком
|
линейной функции . |
Покажем , что |
графиком
|
линейной функции является прямая , которая параллельна прямой . |
Построим прямую с уравнением и отметим точки М и К пересечения этой прямой с |
графиком
|
уравнения . |
Для построения части графика в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим уравнение , |
графиком
|
которого является прямая . |
Множество таких пар является |
графиком
|
функции . |
3 Как доказать , что |
графиком
|
линейной функции является прямая ? . |
Иногда прямую , являющуюся |
графиком
|
уравнения , называют прямой . |
6 Что называют |
графиком
|
уравнения , где k — фиксированное число ? . |
Зная , что |
графиком
|
уравнения является прямая , получаем , что график этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА . |
Аналогично график уравнения у совпадает с |
графиком
|
линейной функции . |
Глядя на этот рисунок , естественно предположить , что |
графиком
|
линейной функции является прямая . |
7 Как доказать , что |
графиком
|
прямой пропорциональной зависимости является прямая ? . |
Заметим , что для любого числа а |
графиком
|
уравнения является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой линейной функции . |
Заметим , что для любого числа а графиком уравнения является вертикальная прямая , которая не будет |
графиком
|
никакой линейной функции . |
Поэтому |
графиком
|
уравнения также является прямая . |
5 Что называют |
графиком
|
прямой пропорциональной зависимости ? . |
График уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с |
графиком
|
линейной функции . |
Поэтому |
графиком
|
уравнения является прямая , параллельная оси Ох . |
7 Что называется |
графиком
|
уравнения с двумя неизвестными ? . |
1.2 Какой из рисунков является |
графиком
|
прямой пропорциональной зависимости у от х ? . |
Изображение множества решений уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют |
графиком
|
этого уравнения . |
При |
графиком
|
уравнения является прямая . |
Поэтому точка N принадлежит |
графику
|
уравнения . |
Координаты точки О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому точка О принадлежит |
графику
|
Г . |
Покажем , что всякая точка луча , противоположного лучу ОА , принадлежит |
графику
|
Г уравнения . |
8 Как по |
графику
|
найти значение функции при заданном значении аргумента ? . |
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую |
графику
|
Г уравнения . |
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую |
графику
|
Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г уравнения . |
Следовательно , точка С(f ; g ) не принадлежит |
графику
|
уравнения . |
1.3 Укажите уравнение , график которого перпендикулярен |
графику
|
уравнения 2у b 7 . |
Таким образом , каждая точка луча ОА принадлежит |
графику
|
Г уравнения . |
Тем самым все точки луча , противоположного лучу ОА , принадлежат |
графику
|
Г уравнения . |
Пересечением всех таких полуплоскостей будет выпуклая многоугольная область , границей которой является |
данный
|
многоугольник . |
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить |
данный
|
угол . |
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) |
двенадцатиугольника
|
; д ) двадцатиугольника . |
Значение |
двоичного
|
разряда может быть либо 0 , либо 1 . |
Для обозначения информации о значении |
двоичного
|
разряда применяется термин бит . |
1 Какое наибольшее целое число можно записать четырьмя цифрами в |
двоичной
|
системе счисления ? . |
Известно , что электронные вычислительные устройства оперируют с числами , записанными в |
двоичном
|
коде . |
Всякое натуральное число от 1 до 99 999 999 в |
двоичном
|
коде можно записать в виде 27-значного выражения , используя только цифры 0 и 1 . |
4.5 Примеры использования разложения |
двучлена
|
. |
В результате для любого натурального числа n , которое больше 1 , получаем формулу разложения |
двучлена
|
на два множителя . |
4.1 Разложение на множители |
двучлена
|
. |
4 Разложение на множители |
двучлена
|
. |
4.2 Разложение на множители |
двучлена
|
в общем виде . |
4.4 Применение разложения |
двучлена
|
к решению некоторых задач на делимость . |
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) |
девятиугольника
|
; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника . |
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства |
действительных
|
чисел , поэтому разбирать доказательство мы не будем . |
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства |
действительных чисел
|
, поэтому разбирать доказательство мы не будем . |
Тогда |
деление
|
сведётся к умножению по формуле . |
Совсем исключать |
деление
|
из обихода , конечно же , нет никакого смысла . |
1 ) сложение двух многочленов . 2 ) |
деление
|
многочлена на число , не равное 0 . 3 ) |
3 Приведите пример двух неравенств , почленное |
деление
|
которых приводит к неверному результату . |
Во всяком случае , |
деление
|
десятичных дробей на 2 , на 5 или на 10 выполняется достаточно просто . |
|
Деление
|
многочлена на многочлен . |
Пример с |
делением
|
листа бумаги пополам . |
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с |
делением
|
на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности . |
Как доказать , что числа , где а и b — целые числа , дают одинаковые остатки при |
делении
|
на 7 ? . |
Значит , одно из записанных чисел при |
делении
|
на 7 даёт остаток 0 , то есть делится на 7 . |
Следовательно , предположение о том , что некоторые два из чисел вида при дают одинаковые остатки при |
делении
|
на 7 , было неверным . |
Но при |
делении
|
на 7 могут получаться только следующие остатки : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . |
Предположим , что некоторые два из этих чисел дают одинаковые остатки при |
делении
|
на 7 , то есть . |
Таким образом , числа при |
делении
|
на 7 дают семь различных остатков . |
Как показать , что любая дробь после нескольких умножений ( или |
делений
|
) на 2 её числителя и знаменателя приводится к виду , когда возможно применение формулы ? . |
5 Приближённые формулы для |
деления
|
. |
Поэтому является одним из делителей числа 152 , и частное от |
деления
|
152 на даёт число , которое меньше . |
Проведём через каждую точку |
деления
|
прямую , параллельную прямой АА1 . |
Новые промежутки ещё раз делили пополам и маленькую единицу |
деления
|
называли « румбом » . |
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек |
деления
|
проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции . |
1 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения результата от |
деления
|
единицы на число , близкое к единице ? . |
Заметим , что все выкладки выполнены без использования |
деления
|
. |
9 Цена |
деления
|
мензурки равна 2 мл . |
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , вычитания , |
деления
|
. |
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , вычитания , |
деления
|
. |
26 Каждая сторона трапеции разделена на три равные части и точки |
деления
|
соединены . |
На сколько равных частей можно разбить отрезок АС , чтобы точка В была одной из точек |
деления
|
? . |
Промежутки между этими направлениями делили пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » Полученные промежутки ещё раз |
делили
|
пополам и новые направления называли тремя словами . |
Промежутки между этими направлениями |
делили
|
пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » Полученные промежутки ещё раз делили пополам и новые направления называли тремя словами . |
Новые промежутки ещё раз |
делили
|
пополам и маленькую единицу деления называли « румбом » . |
11 Проведите через заданную точку прямую , которая |
делит
|
площадь данного параллелограмма пополам . |
Докажите , что полученная ломаная |
делит
|
четырёхугольник на две равные по площади части . |
2.3 Биссектриса угла в 45 ° |
делит
|
его на углы . |
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она |
делит
|
параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? . |
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла |
делит
|
этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° . |
Кажется очевидным , что многоугольник |
делит
|
плоскость на две части . |
2.4 Точка К на стороне АВ |
делит
|
основание треугольника АВС в отношении . |
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , |
делит
|
большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции . |
Это следует из того , что диагональ |
делит
|
ромб на два равных равнобедренных треугольника . |
Точка К |
делит
|
DC пополам . |
Любой угол |
делит
|
плоскость на две части . |
4 Точка В |
делит
|
отрезок АС на части так , что . |
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении |
делит
|
площадь трапеции её средняя линия . |
В каком отношении эта прямая |
делит
|
стороны СА и СВ ? . |
В каком отношении |
делит
|
площадь трапеции её средняя линия ? . |
Поэтому можно сказать , что луч ОВ |
делит
|
угол АОС на два равных угла ВО А и СОВ . |
Диагональ параллелограмма |
делит
|
его на два равных треугольника . |
Прямая m |
делит
|
плоскость на две полуплоскости , обозначенные на буквами а и β . |
Покажем , что внутренняя касательная |
делит
|
пополам отрезок внешней касательной в точке их пересечения , то есть AF FB . |
Поэтому является одним из |
делителей
|
числа 152 , и частное от деления 152 на даёт число , которое меньше . |
Выпишем все |
делители
|
числа 152 : 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 25 , 75 , 225 . |
1 ) делится на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 ) |
делится
|
на 3 . |
1 ) |
делится
|
на 5 ; 2 ) делится на 5 . |
1 ) делится на 5 ; 2 ) |
делится
|
на 5 . |
Значит , одно из записанных чисел при делении на 7 даёт остаток 0 , то есть |
делится
|
на 7 . |
Укажите все верные утверждения : |
делится
|
на 3 ; делится на 4 ; делится на 5 . |
. д ) |
делится
|
на 53 . |
Укажите все верные утверждения : делится на 3 ; |
делится
|
на 4 ; делится на 5 . |
Укажите все верные утверждения : делится на 3 ; делится на 4 ; |
делится
|
на 5 . |
Покажем , что число 7100 - 2100 |
делится
|
на 45 . |
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан |
делится
|
точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника . |
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число |
делится
|
на 3 без остатка . |
6 Как доказать , что |
делится
|
на 7 при любом натуральном значении n ? . |
Покажем , что число |
делится
|
на 3 . |
1.3 На какую наибольшую степень числа 3 |
делится
|
без остатка произведение . |
Это значит , что для измерения температуры по Фаренгейту промежуток от 0 ° С до 100 ° С |
делится
|
на 180 равных частей , начальной из этих отметок соответствует 32 ° F , следующей за ней отметке соответствует 33 ° F и так далее . |
20 Трапеция |
делится
|
диагональю на два треугольника . |
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число |
делится
|
на 45 без остатка , что и требовалось показать . |
10 Докажите , что а ) |
делится
|
на 9 ; б ) делится на 6 ; в ) делится на 11 . |
Докажите , что а ) делится на 13 ; б ) делится на 3 ; в ) делится на 13 ; г ) |
делится
|
на 181 |
Как доказать , что |
делится
|
на 7 ? . |
Докажите , что а ) делится на 13 ; б ) делится на 3 ; в ) |
делится
|
на 13 ; г ) делится на 181 |
Докажите , что а ) делится на 13 ; б ) |
делится
|
на 3 ; в ) делится на 13 ; г ) делится на 181 |
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что целое число 3у |
делится
|
без остатка на число 7 . |
Докажите , что а ) |
делится
|
на 13 ; б ) делится на 3 ; в ) делится на 13 ; г ) делится на 181 |
1 ) |
делится
|
на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 ) делится на 3 . |
1 ) делится на 2 ; 2 ) |
делится
|
на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 ) делится на 3 . |
Отрезки АВ , CD и EF пересекаются в одной точке О и каждый из них |
делится
|
точкой О пополам . |
1 ) делится на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 ) |
делится
|
на 5 ; 4 ) делится на 3 . |
10 Докажите , что а ) делится на 9 ; б ) делится на 6 ; в ) |
делится
|
на 11 . |
10 Докажите , что а ) делится на 9 ; б ) |
делится
|
на 6 ; в ) делится на 11 . |
Так как числа 7 и 3 взаимно просты , то это может быть только в том случае , когда число у |
делится
|
на 7 . |
Если взять , то значение — вычислить невозможно , так как на нуль |
делить
|
нельзя . |
Тогда разность чисел 33 - 5к и 33 - 51 должна |
делиться
|
на 7 , потому что . |
25 Прямые , параллельные основаниям трапеции , |
делят
|
боковую сторону на три равные части . |
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL |
делят
|
диагональ АС на три равные части . |
2.4 В прямоугольнике ABCD точки К , L , V , О , М |
делят
|
диагонали на равные части . |
10 Площадь треугольника АВС равна 99 см2 , а точки М и N |
делят
|
сторону АС на три равные части . |
10 Через вершину параллелограмма проведите две прямые , которые |
делят
|
параллелограмм на три части равной площади . |
9 Через вершину параллелограмма проведите три прямые , которые |
делят
|
параллелограмм на четыре части равной площади . |
Диагонали параллелограмма |
делятся
|
точкой пересечения пополам . |
Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения |
делятся
|
пополам , то такой четырёхугольник — параллелограмм . |
3 ) диагонали точкой пересечения |
делятся
|
пополам . |
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения |
делятся
|
пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее . |
диагонали параллелограмма в точке пересечения |
делятся
|
пополам . |
В результате построения получим отрезки АС и BD , которые в точке пересечения |
делятся
|
пополам . |
Диагонали параллелограмма в точке пересечения |
делятся
|
пополам , поэтому так как . |
По традиции високосными считаются годы , номера которых |
делятся
|
на четыре . |
13 В треугольнике АВС через вершину А проведите прямую , |
делящую
|
площадь треугольника пополам . |
Сколько вершин , сколько сторон и сколько диагоналей имеет |
десятиугольник
|
? . |
Будем считать |
десятичное
|
приближение 120 276 результатом округления числа 120275,7 до разряда единиц . |
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 1 . |
В этом примере |
десятичное
|
приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а . |
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; |
десятичное
|
приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а . |
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления числа было взято то |
десятичное
|
приближение до второго разряда после запятой , которое расположено « ближе » к заданному числу . |
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b . |
Чему равно |
десятичное
|
приближение снизу для числа 371,240001 с точностью до 10 - 3 ? . |
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b . |
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём |
десятичное
|
приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b . |
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; |
десятичное
|
приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b . |
Будем считать |
десятичное
|
приближение 1 результатом округления числа 0,517 до разряда единиц . |
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 10-m . |
Приближение |
десятичное
|
. |
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; |
десятичное
|
приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b . |
1.4 Чему равно |
десятичное
|
приближение снизу для с точностью до второго разряда после запятой ? . |
Чему равно |
десятичное
|
приближение снизу для числа 0,999 с точностью до 1 ? . |
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 1 . |
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой . |
Другими словами , |
десятичное
|
приближение 30 000 числа а , равного . |
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 10 m . |
Будем считать |
десятичное
|
приближение 120 280 результатом округления числа 120275,7 до разряда десятков . |
Заменим левый конец промежутка на его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого отношения . |
Заменим левый конец промежутка на его |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого отношения . |
Чему равно |
десятичное
|
приближение сверху для числа 391,240001 с точностью до 103 ? . |
Для этого возьмём |
десятичное
|
приближение 120 270 снизу с точностью до 10 , десятичное приближение 120 280 сверху с точностью до 10 и полусумму 120 275 этих десятичных приближений . |
В этом случае выбираем |
десятичное
|
приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после запятой . |
В примере 1 для числа 42,4056 были найдены |
десятичное
|
приближение 42 снизу и десятичное приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство . |
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; |
десятичное
|
приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b . |
Для числа а рассмотрим десятичное приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и |
десятичное
|
приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также полусумму этих приближений . |
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём |
десятичное
|
приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b . |
Для числа а рассмотрим |
десятичное
|
приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также полусумму этих приближений . |
В примере 1 для числа 42,4056 были найдены десятичное приближение 42 снизу и |
десятичное
|
приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство . |
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 10 m . |
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; |
десятичное
|
приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 . |
В этом случае выбираем |
десятичное
|
приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после запятой . |
Для положительного числа b определено также его |
десятичное
|
приближение h сверху с точностью до 10 m. |
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой . |
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём |
десятичное
|
приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b . |
Будем считать |
десятичное
|
приближение 0 результатом округления числа 0,47 до разряда единиц . |
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой . |
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 10-m . |
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 10 . |
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; |
десятичное
|
приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 . |
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b . |
Для этого возьмём |
десятичное
|
приближение 120275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений . |
В примере 2 для числа 42,4056 были определены |
десятичное
|
приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное неравенство . |
В примере 4 для числа 31 415,9 были найдены десятичное приближение 30 000 снизу и |
десятичное
|
приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство . |
В примере 2 для числа 42,4056 были определены десятичное приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и |
десятичное
|
приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное неравенство . |
Для этого возьмём |
десятичное
|
приближение 0 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 1 сверху с точностью до 1 и полусумму 0,5 этих десятичных приближений . |
В примере 4 для числа 31 415,9 были найдены |
десятичное
|
приближение 30 000 снизу и десятичное приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство . |
Другими словами , |
десятичное
|
приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 . |
Будем считать результатом округления числа 120 275 до разряда единиц |
десятичное
|
приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу . |
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является |
десятичное
|
приближение сверху с точностью до 10 . |
Для этого возьмём десятичное приближение 120 270 снизу с точностью до 10 , |
десятичное
|
приближение 120 280 сверху с точностью до 10 и полусумму 120 275 этих десятичных приближений . |
Тогда для положительного числа b определено его |
десятичное
|
приближение d снизу с точностью до 10 m. |
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются |
десятичное
|
приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b . |
Для этого возьмём десятичное приближение 120 275 снизу с точностью до 1 , |
десятичное
|
приближение 120 276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений . |
Для этого возьмём |
десятичное
|
приближение 120 275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120 276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений . |
а ) какое - нибудь его |
десятичное
|
приближение снизу не являться его приближением сверху . |
какое - нибудь его |
десятичное
|
приближение сверху не являться его приближением сверху ? . |
Для этого возьмём десятичное приближение 0 снизу с точностью до 1 , |
десятичное
|
приближение 1 сверху с точностью до 1 и полусумму 0,5 этих десятичных приближений . |
Для этого возьмём десятичное приближение 120275 снизу с точностью до 1 , |
десятичное
|
приближение 120276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений . |
8 Найдите последнюю цифру в |
десятичной
|
записи числа . |
Рассмотрим положительное число а , записанное в виде |
десятичной
|
дроби , например а 42,4056 . |
Если возьмём основание , равное |
десятичной
|
дроби 0,2 . |
Найдём последнюю цифру в |
десятичной
|
записи числа 3100 . |
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к |
десятичному
|
приближению 42,40 . |
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к |
десятичному
|
приближению 30 000 . |
Возьмём положительную |
десятичную
|
дробь , которая не является целым числом , например , а 42,4056 . |
Возьмём |
десятичную
|
дробь а b -42,4056 . |
Возьмём |
десятичную
|
дробь а b -31 415,9 . |
Снова возьмём |
десятичную
|
дробь а -42,4056 . |
Возьмём |
десятичную
|
дробь а 42,4056 . |
8 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 3для разности . |
11 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 102для числа . |
Рассмотрим число а 5,29817 , которое имеет те же самые |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же полусумму этих приближений , что и в примере 1 . |
4 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 1 для суммы . |
3 Найдите |
десятичные
|
приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для обыкновенных дробей . |
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b . |
10 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 100 для произведения . |
Аналогично для любого положительного числа определяются |
десятичные
|
приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других целых разрядных единиц . |
Аналогично для любого положительного числа определяются |
десятичные
|
приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других дробных разрядных единиц . |
7 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 10 1 для произведения . |
9 Найдите |
десятичные
|
приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 4 для числа . |
Рассмотрим число а 5,295 , которое имеет те же самые |
десятичные
|
прибл |