Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Абсцисса	каждой точки графика функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
	Абсцисса	точки D равна f , поэтому ордината точки D равна kf .
	Аксиома	параллельности и признаки параллельности прямых позволяют доказывать свойства параллельных прямых .
2.2	Аксиома	параллельности .
	Аргумент	.
	Бином	.
5	Бином	Ньютона .
	Биномиальные	коэффициенты и треугольник Паскаля .
	Биномиальные	коэффициенты .
1.2	Биссектриса	половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
2.3	Биссектриса	угла в 45 ° делит его на углы .
1.5	Биссектриса	плоского угла .
	Биссектриса	плоского угла .
	Величина	постоянная .
	Величина	переменная .
	Величина	угла .
	Величина	.
	Величина	плоского угла .
	Величина	прямого угла как единица измерения плоских углов .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK	Величину	угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
	Величину	угла NKL определяем как сумму величин углов NKM и MKL , то есть .
	Величины	, которые не изменяются , называются постоянными ; величины , которые принимают различные значения , называются переменными .
	Величины	зависимые .
	Вершина	угла .
	Вершины	двух углов совпадают , и стороны двух углов расположены по двум пересекающимся прямым .
	Вершины	углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n .
3.4	Выпуклый многоугольник	.
	Выражение	а1b2 - b1а2 иногда называют определителем системы двух линейных уравнений .
3.8	Выражение	последующих членов геометрической прогрессии через предыдущие .
	Выражение	А , не содержащее переменных или содержащее только одну из х и у , иногда также удобно обозначать как А(х , у ) .
	Выражение	буквенное определённое всюду .
	Выражение	буквенное числовое .
	Выражение	буквенное линейное .
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у.	Выражение	— левая часть полученного уравнения , выражение — правая часть этого уравнения .
	Выражение	буквенное .
	Выражения	тождественно равные .
3.5	Высота	трапеции .
	Высоты	параллелограмма .
	Вычитая	из всех частей двойного неравенства а1 < а < а2 число b , получим двойное неравенство .
	Геометрическая фигура	называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все точки отрезка АВ принадлежат этой фигуре .
	Гипотенуза	и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам треугольника .
	Градус	.
	Градус	по Фаренгейту .
	Градус	по Цельсию .
	График	этого уравнения состоит из всех точек , координаты которых имеют вид , где а — любое число .
	График	уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с графиком линейной функции .
4.4	График	функции .
	График	функции .
	График	.
	График	этого уравнения изображён .
	График	уравнения с двумя неизвестными .
1.4	График	прямой пропорциональной зависимости .
	График	прямолинейной зависимости .
	График	линейной функции .
	График	линейного уравнения .
	График	уравнения есть прямая , проходящая через точки 0(0 ; 0 ) и А(2 ; 3 ) .
	График	прямо пропорциональной зависимости .
	Графики	линейных функций помогают наглядно представить все решения линейных уравнений с двумя неизвестными .
Рассмотрим прямолинейную зависимость	Графиком	Г этой зависимости называют график уравнения то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое число .
	Графиком	уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
	Графиком	уравнения , где к , b — фиксированные числа , является прямая .
	Графиком	линейной функции , где к и b — фиксированные числа , является прямая .
	Графиком	уравнения является : 1 ) вертикальная прямая .
	Графиком	линейной функции является прямая .
	Графиком	функции является прямая MN .
	Графиком	функции ( функциональной зависимости ) называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
	Деление	— трудоёмкая операция .
	Десятичные	приближения положительного числа с точностью до целой разрядной единицы .
2.2	Десятичные	приближения положительного числа с точностью до 1 .
2	Десятичные	приближения .
	Десятичные	приближения .
	Десятичные	приближения положительного числа с заданным числом знаков после запятой .
2.5	Десятичные	приближения положительного числа .
	Десятичные	приближения отрицательного числа .
	Десятичным	приближением снизу числа а с точностью до 10 m называется число , равное b · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
	Десятичным	приближением сверху числа а с точностью до 10 m называется число , равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
3	Диагонали	параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма .
	Диагональ	параллелограмма делит его на два равных треугольника .
1.4	Длина	отрезков касательных для окружности , вписанной в треугольник .
8	Длина	карандаша примерно равна 16,3 см , причём абсолютная погрешность измерения не превосходит 5 мм .
	Длина	пути S , пройденного телом при свободном падении в поле силы тяжести с ускорением g за время t при начальной нулевой скорости выражается формулой .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х.	Длины	равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
1.1	Длины	сторон треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из средних линий этого треугольника ? .
	Доказательство	.
	Доказательство	равенства треугольников по двум соответствующим сторонам и медиане .
4.6	Доказательство	третьего основного свойства степени .
1.7	Доказательство	третьего признака .
1.3	Доказательство	второго признака .
	Доказательство	этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства действительных чисел , поэтому разбирать доказательство мы не будем .
4.4	Доказательство	второго основного свойства .
	Дробная	часть числа х обозначается через { х } .
	Дробная	часть числа .
2.3	Дробные	части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? .
2.10	Дуги	окружности и углы между её радиусами .
2.9	Дуги	окружности и плоские углы .
4.4	Замкнутый	числовой луч вида .
4.3	Замкнутый	числовой луч вида .
	Знак	"угловой секунды "" пишут справа вверху от числа ."
	Знак	' угловой минуты пишут справа вверху от числа .
1.5	Знак	квадрата чисел .
	Знаменатель	геометрической прогрессии .
	Значение	выражения при .
1.3	Значение	буквенного выражения .
	Значение	одного из образовавшихся углов равно 53 ° .
3.1	Значение	линейной функции при натуральных значениях переменной .
	Значение	двоичного разряда может быть либо 0 , либо 1 .
	Значение	буквенного выражения из предыдущего пункта можно вычислить при любых наборах значений букв .
	Значение	буквенного выражения .
2.3	Значения	каких из указанных выражений не равны 2 ? .
2.1	Значения	каких из приведённых выражений равны 25 ? .
1.4	Значения	переменной у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью .
1.3	Значения	переменной у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью , причём при .
	Значения	каких из указанных выражений равны 0,25 ? .
	Касательная	внутренняя .
	Касательная	к окружности перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания .
	Касательная	общая .
	Касательная	.
	Касательная	для двух окружностей внешняя .
8	Касательные	, проведённые из точки А к окружности радиуса R , образуют угол в 60 ° .
7	Касательные	, проведённые из точки А к окружности радиуса r , перпендикулярны .
2	Касательные	к окружностям . 2.1 Общая касательная двух окружностей .
	Катет	О1Н имеет длину R1 - R2 .
	Квадрат	со стороной разбит на квадрат со стороной а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
	Квадрат	суммы и его геометрический смысл .
	Квадрат	разности .
	Квадрат	числа .
	Квадратные	корни из левой и правой частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
	Квадратные корни	из левой и правой частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке	Координата	каждой его точки меньше либо равна .
	Координата	каждой его точки больше либо равна -2 .
	Координаты	точки О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому точка О принадлежит графику Г .
	Координаты	точки N , симметричной точке М относительно оси Ох , имеют вид ( а ; -kа ) .
	Координаты	точки D удовлетворяют уравнению .
	Корень	уравнения .
	Корень	какого уравнения равен разности а - b двух чисел ? .
	Корень	.
	Корень	неравенства .
	Коэффициент	.
	Коэффициент	угловой .
	Коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	биномиальный .
	Коэффициент	произведения двух одночленов равняется произведению коэффициентов этих одночленов .
	Коэффициент	одночлена нулевой степени считают равным самому одночлену .
	Коэффициент	пропорциональности .
	Куб	числа .
	Лемма	.
	Линейная	функция .
1.8	Линейная	система с параметром .
2	Линейная	функция/. 2.1 Определение линейной функции .
Глава 10	Линейная	функция .
2.10	Линейное	уравнение с нулевым коэффициентом .
1.5	Линейное	уравнение , не имеющее корней .
2.11	Линейное	неравенство , не имеющее корней .
1.9	Линейное	уравнение с параметром .
1.4	Линейное	уравнение , имеющее бесконечно много корней .
2.6	Линейные	неравенства .
1	Линейные	уравнения с одним неизвестным .
	Линейные	уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
1.2	Линейные	уравнения .
	Линейные	неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
Логарифм левой части этого равенства запишется в виде	Логарифм	правой части равенства по определению равен .
1.5	Логарифм	— название для показателя степени .
	Логарифм	.
	Логарифм	левой части этого равенства запишется в виде Логарифм правой части равенства по определению равен .
	Луч	открытый .
	Луч	замкнутый .
	Луч	.
	Луч	противоположный .
	Луч	числовой .
При этом лучи О А и О В называют противоположными и кратко говорят : «	Луч	О А является продолжением луча О В до прямой » .
	Луч	ОВ является биссектрисой того плоского угла АОС , который содержит этот луч .
	Лучи	PS и QS1 пересекаются в выделенной полуплоскости в точке R .
	Многоугольник	обладает следующими характеристическими свойствами .
	Многоугольник	выпуклый .
	Многоугольник	называют выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой , содержащей сторону этого многоугольника .
	Многочлен	стандартная форма .
	Многочлен	иногда называют биномом , так как является суммой двух слагаемых .
	Многочлен	.
	Многочлен	степень .
3.4	Множество	решений уравнения .
2.2	Множество	корней уравнения .
	Множество	всех решений этого уравнения совпадает с множеством решений уравнения .
3.5	Множество	всех целочисленных решений уравнения вида .
	Множество	решений неравенства называют открытым числовым лучом и обозначают .
2.3	Множество	корней неравенства .
	Множество	решений неравенства называют замкнутым числовым лучом и обозначают .
	Множество	корней ( решений ) Множество неравенства .
Множество корней ( решений )	Множество	неравенства .
	Множество	таких пар является графиком линейной функции .
	Множество	корней ( решений ) уравнения .
2.2	Множество	решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и множество решений неравенства .
	Множество	.
	Множество	таких пар является графиком функции .
Точка М расположена на высоте ВН так , что .	Найдите	площадь треугольника АМС .
2	Найдите	угол при основании равнобедренного треугольника , если угол при его вершине равен .
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что .	Найдите	площадь треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 .
8	Найдите	все решения системы .
1	Найдите	угол при вершине равнобедренного треугольника , если угол при основании равен .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что .	Найдите	отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
Отрезки DH и FG пересекаются в точке К.	Найдите	отношение .
6	Найдите	значение к , если известно , что график линейной функции проходит через точку .
3	Найдите	приближённое значение суммы а и b с абсолютной погрешностью не более 0,01 .
	Найдите	длины боковых сторон трапеции .
Отрезки KN и LM пересекаются в точке Р.	Найдите	отношение .
Отрезки ВМ и СК пересекаются в точке Р.	Найдите	отношение .
	Найдите	расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см .
Точки М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что .	Найдите	площадь треугольника MNK .
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q.	Найдите	отношение .
	Найдите	отношение .
	Найдите	верные разложения .
1	Найдите	целую часть суммы .
8	Найдите	с помощью графиков приближённое значение корня уравнения .
Известно , что .	Найдите	угол .
	Найдите	площадь четырёхугольника ABMN .
Известно , что .	Найдите	углы треугольников АВН и САН .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём	Найдите	угол CGF .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см.	Найдите	длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
	Найдите	угол DGH .
Точки М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см.	Найдите	площадь четырёхугольника BMNC .
	Найдите	углы четырёхугольника MNKL , если известны углы .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n .	Найдите	площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б )	Найдите	длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
5	Найдите	углы треугольника , если внешние углы при двух его вершинах равны 120 ° и 130 ° .
	Найдите	площадь треугольника АВМ .
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в точке О.	Найдите	углы треугольников АОВ , BOL , АОМ , если .
7	Найдите	значение b , если известно , что график линейной функции проходит через точку .
6 Точки С и D расположены на отрезке АВ так , что .	Найдите	отношение .
	Найдите	углы треугольника .
1	Найдите	сумму приближённых значений а , b и оцените её погрешность .
	Найдите	площадь треугольника BMN .
	Найдите	сумму отмеченных углов .
5 Точка С расположена на отрезке АВ так , что .	Найдите	отношение .
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что .	Найдите	отношение .
11	Найдите	произведения , не прибегая к длинным вычислениям .
12	Найдите	в треугольнике Паскаля .
	Найдите	длину отрезка общей внешней касательной , если .
	Найдите	площадь .
	Найдите	площадь меньшего шестиугольника , если .
11	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 102для числа .
10	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 100 для произведения .
9	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 4 для числа .
	Найдите	площадь четырёхугольника MNKL .
8	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 3для разности .
7 В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и D.	Найдите	длину отрезка KL , если известно , что .
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : «	Найдите	все такие числовые значения d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » .
	Найдите	длину этой касательной , если .
	Найдите	радиус окружности .
7	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 1 для произведения .
	Найдите	произведение .
17 Известно , что .	Найдите	отношение АМ : МВ .
14	Найдите	.
	Найдите	периметр многоугольника .
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : «	Найдите	все значения переменной величины х , при которых значения выражений равны » .
	Найдите	расстояние между центрами окружностей , если АВ 12 см .
	Найдите	площадь четырёхугольника ABCD , если AF b 5 см , FD b 3 см .
Кратко эту задачу записывают так : «	Найдите	все значения х , при которых » .
Площадь треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что .	Найдите	площадь треугольника MNK .
1.1	Найдите	верное разложение .
2	Найдите	дробную часть суммы .
12	Найдите	значение выражения .
6	Найдите	произведение приближённого значения 2,5 0,05 и числа 1,23 .
19	Найдите	радиус окружности , вписанной в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см .
	Найдите	отрезки , на которые точки касания разбивают стороны треугольника .
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см.	Найдите	приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
	Найдите	а .
3	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 103 для суммы .
	Найдите	эти числа .
4	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 1 для суммы .
	Найдите	уменьшаемое и вычитаемое .
5	Найдите	внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
	Найдите	площадь фигуры .
5	Найдите	целую часть произведения .
7	Найдите	суммы .
6	Найдите	дробную часть произведения .
	Найдите	расстояние между центрами окружностей , если АВ 8 см .
	Найдите	сумму углов AKL и CLK .
	Найдите	координаты вершин квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
	Найдите	длины этих отрезков , если .
9	Найдите	на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 2 от точки 5 .
10	Найдите	на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 4 от точки 1 .
3	Найдите	приближённое значение частного .
9	Найдите	сумму .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см.	Найдите	стороны треугольника .
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см.	Найдите	периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма .
6	Найдите	сумму n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом а1 и разностью d , если .
4	Найдите	приближённое значение частного и оцените абсолютную погрешность .
5	Найдите	.
4	Найдите	сумму всех последовательных натуральных чисел .
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3	Найдите	первый член и разность арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что .
5	Найдите	приближённое значение частного .
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см.	Найдите	периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС .
7	Найдите	площадь параллелограмма , зная его периметр р и высоты m и n .
5	Найдите	площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и тупым углом в 150 ° .
4	Найдите	площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и острым углом в 60 ° .
7 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В.	Найдите	расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой .
3 Периметр ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см.	Найдите	площадь ромба .
2	Найдите	площадь параллелограмма ABCD , если известно , что .
11	Найдите	условие , при котором середины сторон четырёхугольника являются : а ) вершинами ромба ; б ) вершинами прямоугольника .
	Найдите	все треугольники , равные : а ) треугольнику ALM ; б ) треугольнику ACM .
2	Найдите	, при каких числовых значениях а система имеет единственное решение .
18 В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см.	Найдите	площадь трапеции .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см.	Найдите	площадь трапеции .
	Найдите	значение выражения .
3	Найдите	число χη+ι , если известно , что . 4 .
6	Найдите	приближённое значение частного и оцените абсолютную погрешность .
7	Найдите	значение выражения .
1	Найдите	какое - либо целочисленное решение уравнения .
5	Найдите	, при каких значениях х положительно выражение .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М.	Найдите	множество всех точек М .
	Найдите	длину средней линии трапеции AFGD , если известно , что .
	Найдите	площади этих треугольников , если основания трапеции 35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 .
2	Найдите	значение а , если .
	Найдите	площадь трапеции , основаниями которой являются эти хорды .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е.	Найдите	длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
14 Отрезок MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см.	Найдите	основания трапеции , если .
	Найдите	основания трапеции .
3	Найдите	: 4 Запишите n начальных членов геометрической прогрессии , если .
	Найдите	множество всех точек М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС касательных к окружностям равны между собой .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см.	Найдите	меньшее основание трапеции .
	Найдите	длину отрезка LJ , если известно , что .
8	Найдите	внутренние углы выпуклого четырёхугольника ABCD , если известно , что .
5	Найдите	сумму пяти начальных членов геометрической прогрессии , если .
9 Известно , что .	Найдите	ZCDA .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см.	Найдите	основания трапеции .
4	Найдите	значение выражения .
5	Найдите	значение выражения .
6	Найдите	значение выражения .
2	Найдите	какие - нибудь приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 для чисел .
3	Найдите	десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для обыкновенных дробей .
	Найдите	множество всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S отрезки касательных равны АВ .
6	Найдите	суммы .
3	Найдите	все целочисленные решения уравнения .
2	Найдите	какие - либо два целочисленных решения уравнения .
6	Найдите	, при каких значениях х отрицательно выражение .
8	Найдите	последнюю цифру в десятичной записи числа .
4	Найдите	приближённые значения квадратных корней из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
	Найдите	площадь трапеции .
6 Площадь параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см.	Найдите	расстояние между двумя другими противоположными сторонами .
	Найдите	длины сторон прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь .
Известно , что .	Найдите	углы .
а ) Известно , что .	Найдите	углы .
1 Известно , что .	Найдите	.
1	Найдите	площадь ромба , если длины его диагоналей равны : а ) 3 см и 4 см ; б ) 5 см и 11 см ; в ) 1,25 дм и 0,39 дм .
	Найдите	площадь заштрихованной на рисунке части , если площадь параллелограмма равна В .
4	Найдите	общие точки промежутков .
5	Найдите	общие точки промежутков .
16	Найдите	, при каких значениях х можно вычислить значение выражения .
1	Найдите	степень одночлена .
10	Найдите	с помощью графиков приближённое значение корня уравнения .
	Найдите	на окружности точку А и на прямой точку В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
9	Найдите	с помощью графиков приближённое значение корня уравнения .
	Найдите	площадь прямоугольника .
3	Найдите	коэффициент и степень одночлена .
1 Известно , что ZADB ZDCB 90 ° , AD 12 см , АВ 13 см , ВС 3 см.	Найдите	площадь четырёхугольника ABCD .
	Найдите	все треугольники , равные : а ) треугольнику ACD ; б ) треугольнику BCD .
14	Найдите	площадь заштрихованной фигуры с вершинами в узлах сетки .
4	Найдите	коэффициент одночлена , где буквы а и b обозначают постоянные числа .
1.1	Найдите	степень одночлена : 1 ) 2 ; 2 ) 3 ; 3 ) 5 ; 4 ) 8 .
6	Найдите	приближённую длину диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
8	Найдите	произведение многочленов , упростив до стандартной формы .
5	Найдите	приближённую длину диагонали квадрата , сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
	Найдите	суммы и разности многочленов .
	Найдя	приближения сверху и снизу , мы можем гарантировать , что искомая масса заключена между ними .
	Найдём	теперь , какой номер s имеет в этой прогрессии число 199 , используя формулу общего члена арифметической прогрессии .
	Найдём	площадь равностороннего треугольника со стороной 2 см .
	Найдём	9872 .
	Найдём	.
	Найдём	номер n последнего слагаемого ( -60 ) в нашей сумме .
	Найдём	радиус r окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
	Найдём	радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
	Найдём	сумму внутренних односторонних углов 1 и 2 .
	Найдём	, сколько решений имеет система уравнений .
	Найдём	все решения уравнения в натуральных числах .
	Найдём	площадь равностороннего треугольника со стороной а .
	Найдём	площадь шестиугольника ABCDEF , у которого все углы равны по 120 ° и АВ 6 см , ВС 8 см , CD 10 см , DE 10 см .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : «	Найти	все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
	Найти	корень уравнения .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : «	Найти	все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
	Найти	, при каких числовых значениях а уравнение не имеет корней относительно неизвестной х .
	Найти	, в какое время встретятся Филя и Хрюша , если путь от Шаболовки до Останкина 25 км .
	Найти	скорости этих поездов .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : «	Найти	все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
Кратко эту задачу записывают так : «	Найти	все значения х , при которых » .
Кратко эту задачу записывают так : «	Найти	все значения х , при которых » ; или так : « Решить неравенство » .
	Найти	все решения уравнения .
	Найти	все решения этого уравнения непросто .
	Найти	сумму в которой в порядке убывания записаны все целые числа от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : «	Найти	все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
	Неравенства	называются равносильными , если множества корней этих неравенств совпадают .
	Неравенства	, решение .
	Неравенства	равносильны .
Глава 7	Неравенства	.
	Неравенства	равносильные .
2.1	Неравенства	с одной переменной ( со знаком > ) .
	Неравенства	равносильны , так как тождественно равно .
2.2	Неравенства	с одной переменной ( со знаком < ) .
	Неравенства	равносильны по той же причине , что и неравенства в примере 6 .
	Неравенства	противоположного направления ( смысла ) .
	Неравенства	называют неравенствами противоположного направления , или неравенствами противоположного смысла , или неравенствами с противоположными знаками .
	Неравенства	.
	Неравенство	линейное .
	Неравенство	нестрогое .
	Неравенство	, в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным неравенством .
	Неравенство	с одним неизвестным ( переменной ) .
	Неравенство	алгебраическое .
	Неравенство	числовое .
	Неравенство	.
	Неравенство	выполняется , если либо , либо , и читается так : « а больше либо равно b » .
	Неравенство	выполняется , если либо , либо , и читается так : « а меньше либо равно b » .
	Неравенство	строгое .
	Область допустимых значений	.
3.1	Одночлен	.
	Одночлен	нулевой степени .
	Одночлен	.
	Одночлен	-m2n имеет коэффициент -1 и степень 3 , равную .
	Одночлен	первой степени .
	Одночлен	, где π — постоянное число , имеет коэффициент и степень 3 , равную .
	Одночлен	abed можно записать в виде .
	Округление	положительного числа до других разрядов после запятой .
3.4	Округление	положительного числа до разряда единиц .
	Округление	положительного числа до второго разряда после запятой .
3	Округление	десятичных дробей .
3.5	Округление	положительного числа до разряда десятков .
	Округление	, правило .
	Округление	.
	Округление	до заданного разряда .
	Округление	положительного числа .
	Округление	отрицательного числа .
	Округление	, результат .
1	Округлите	следующие числа до разряда десятков .
2	Округлите	следующие числа до разряда тысяч .
3	Округлите	следующие числа до разряда единиц .
4	Округлите	следующие числа до разряда десятых .
5	Округлите	следующие числа до разряда сотых .
2	Округлите	числа а и b до второго разряда после запятой , найдите сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
5	Округлите	второй сомножитель до второго разряда после запятой , найдите произведение и оцените абсолютную погрешность произведения .
	Округляя	число 1529,3 до разряда единиц , получим 1529 .
8	Окружности	О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
9	Окружности	О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
	Окружности	, касающиеся внутренним образом .
	Окружности	могут оказаться по разные стороны от общей касательной , и тогда общая касательная называется внутренней касательной двух окружностей .
	Окружности	радиуса R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
	Окружности	могут оказаться по одну сторону от этой прямой и тогда общая касательная называется внешней касательной двух окружностей .
	Окружности	, касающиеся внешним образом .
	Окружность	вписанная .
23	Окружность	касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и не пересекает сторону CD , как изображено .
1.3	Окружность	, вписанная в прямоугольный треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
2	Окружность	радиуса 3 см касается сторон угла .
1.2	Окружность	с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
	Окружность	касается оснований трапеции , поэтому высота равна диаметру окружности , то есть равна 4 см .
	Окружность	вневписанная .
24	Окружность	касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных точках , как изображено .
	Окружность	.
1.3	Окружность	с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
1.6	Окружность	, вписанная в прямоугольный треугольник .
	Определитель	системы уравнений .
	Основание	высоты , проведённой из вершины В , совпадает с вершиной треугольника АВС .
	Основание	и высота параллелограмма .
	Основание	треугольника .
	Основание	степени .
	Основание	логарифма .
	Основание	.
	Основание	высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство .
4.3	Основание	треугольника .
	Основание	высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне АС треугольника АВС .
23	Основания	трапеции равны а и b.
22	Основания	трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит площадь трапеции её средняя линия .
	Основания	параллелограмма .
3.2	Основания	и боковые стороны трапеции .
7	Отложите	на числовой оси число 2 с помощью циркуля и линейки .
2.4	Отношение	площадей .
	Отрезок	ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из высот трапеции .
	Отрезок	, соединяющий середины двух сторон треугольника , называют средней линией треугольника .
14	Отрезок	MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см. Найдите основания трапеции , если .
	Отрезок	KL тоже можно считать высотой данного параллелограмма , проведённой к основанию AD .
Выберем на прямой а точку А , отличную от В.	Отрезок	АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к окружности с центром О .
	Отрезок	АВ этой прямой , лежащий в 1-й четверти , даёт часть графика уравнения .
	Отрезок	ОР также является высотой трапеции ABCD .
	Отрезок	CL — биссектриса в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х.	Отрезок	AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
	Отрезок	касательной .
	Отрезок	, соединяющий середины боковых сторон трапеции , называют средней линией трапеции .
	Отрезок	MN является средней линией трапеции ABCD .
Глава 8	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	, определение .
	Параллелограмм	.
10	Параллелограмм	ABCD разбит диагональю BD на два треугольника , и в треугольниках ABD и BCD проведены все медианы .
	Параллелограмм	, центр симметрии .
	Параллелограмм	и его свойства .
	Параллелограмм	, пересечение диагоналей .
	Параллелограммом	называется четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны .
	Параллельные	прямые АВ и CD пересекаются секущей MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что .
2	Параллельные	секущие сторон угла .
2.6	Параллельные	секущие двух параллельных прямых .
	Параллельные	стороны трапеции называют основаниями трапеции .
	Параллельные	прямые .
	Переменная	зависимая .
	Переменная	.
	Переменная	независимая .
	Переменная	величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
2.5	Пересечение	прямой и окружности .
	Пересечением	всех таких полуплоскостей будет выпуклая многоугольная область , границей которой является данный многоугольник .
2.4	Перестановка	частей уравнения .
3	Периметр	ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. Найдите площадь ромба .
8	Периметр	описанного около окружности многоугольника 60 см , а площадь многоугольника 240 см2 .
	Периметр	треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
1	Периметр	треугольника АВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС .
	Плоский	угол АВС равен сумме плоских углов ABD и DBC .
	Плоский	угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов .
	Плоский	угол АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
	Плоский	угол .
	Плоский	угол АОВ равен плоскому углу ВОС .
	Плоский	угол — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами с общей вершиной .
	Плоский	"угол в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
	Плоский	угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
1.1	Плоский	угол в 5 ° — это : 1 ) угол в радиан ;
1.2	Плоский	угол . .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н.	Площади	каких треугольников равны площади ромба ? .
4.1	Площади	многоугольников на клетчатой бумаге .
	Площади	равных фигур равны .
	Площадь	четырёхугольника .
	Площадь	многоугольника .
	Площадь	треугольника описанного .
	Площадь	треугольника произвольного .
	Площадь	треугольника равностороннего .
	Площадь	описанного многоугольника .
	Площадь	треугольника прямоугольного .
	Площадь	многоугольника описанного .
	Площадь	.
	Площадь	трапеции .
12	Площадь	треугольника АВС равна 22 м2 .
	Площадь	озера , занятая разрастающимися кувшинками , увеличивается каждый день вдвое .
2	Площадь	четырёхугольника .
	Площадь	параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABD и BCD .
4.4	Площадь	произвольного треугольника .
	Площадь	треугольника АВС равна S.
	Площадь	треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
4.7	Площадь	равностороннего треугольника .
	Площадь	треугольника АВС равна 15 см2 .
	Площадь	параллелограмма равна произведению основания на высоту , проведённую к этому основанию .
	Площадь	S квадрата со стороной а выражается формулой .
	Площадь	S поверхности сферы радиуса R выражается формулой .
	Площадь	S трапеции равна сумме площадей треугольников ABD и BCD .
	Площадь	трапеции равна половине произведения суммы оснований трапеции на её высоту .
	Площадь	треугольника ABL можно получить , вычитая из площади четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML .
6	Площадь	параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными сторонами .
4	Площадь	многоугольниика .
	Площадь	произвольного треугольника равна половине произведения его основания и высоты , проведённой к основанию .
	Площадь	рамки можно найти , если разбить её на известные геометрические фигуры .
	Площадь	любого квадрата со стороной , равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей единице измерения площади .
10	Площадь	треугольника АВС равна 99 см2 , а точки М и N делят сторону АС на три равные части .
11	Площадь	треугольника АВС равна 20 см2 , а точки М и N расположены на прямой АС .
	Площадь	описанного многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на периметр многоугольника .
	Площадь	треугольника АВС , изображённого на рис .
4	Площадь	треугольника .
Найдём радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см.	Площадь	S треугольника равна .
4.1	Площадь	прямоугольного треугольника .
	Площадь	треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
	Площадь	параллелограмма .
	Площадь	новой закрашиваемой части равна .
	Площадь	закрашенной части равна .
	Площадь	четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из площади четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML .
	Площадь	прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения длин .
	Подобные	слагаемые .
	Подобным	образом можно показать , что всякий корень неравенства является корнем неравенства .
	Показатель	степени .
	Положительным	или отрицательным будет число ? .
1.3	Последовательность	степеней .
	Последовательность	чисел .
	Последовательность	ненулевых чисел называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю .
	Последовательность	степеней .
	Правой	полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неотрицательную абсциссу .
	Прибавив	к обеим частям выражение -2х , получим .
	Прибавив	к обеим частям первого неравенства число с , к обеим частям второго неравенства число b , получим два неравенства .
	Прибавив	к обеим частям исходного неравенства число -1 , получим .
	Прибавив	к обеим частям этого равенства число -1 , получим равенство .
	Прибавим	к обеим частям этого равенства числовое выражение .
	Прибавляя	к обеим частям этого равенства числовое выражение , получаем числовое равенство .
	Прибавляя	к обеим частям этого числового неравенства число 5 , получаем числовое неравенство .
	Прибавляя	к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству решений неравенства .
	Приближённая	формула .
7	Приближённое	значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
5.1	Приближённое	значение частного .
6	Приближённое	извлечение квадратных корней . 6.1 О приближённом извлечении квадратных корней .
	Приближённое	значение квадратного корня .
5.3	Приближённое	вычисление отношения .
2.3	Приближённое	значение некоторой величины равно .
1	Приближённые	значения и погрешности .
Глава 14	Приближённые	вычисления .
5	Приближённые	формулы для деления .
	Приближённые	значения этих координат ( 2,5 ; 17,5 ) .
8	Приведите	пример системы , которая за счёт введения новых переменных сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
5	Приведите	пример системы линейных уравнений , не имеющей ни одного решения .
1	Приведите	примеры равноотстоящих прямых .
2	Приведите	пример уравнения с целыми коэффициентами и запишите все его целочисленные решения .
2	Приведите	одночлен к стандартной форме .
5	Приведите	примеры центрально симметричных ломаных с нечётным числом вершин .
	Приведите	примеры .
6	Приведите	пример фигуры , имеющей бесконечное число центров симметрии .
5	Приведите	пример следствия из некоторой теоремы .
6	Приведите	подобные слагаемые , если это возможно .
6	Приведите	пример системы уравнений , имеющей более одного решения .
10	Приведите	пример трапеции , в которую нельзя вписать окружность .
	Приведите	пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными , которая .
11	Приведите	примеры положительного и отрицательного чисел , таких , что .
1	Приведите	пример двух неравенств противоположного направления , почленное сложение которых приводит к неверному результату .
6	Приведите	примеры нестрогих равносильных неравенств .
5	Приведите	примеры чисел а и b , для которых одновременно выполняются неравенства а2 < b2 и а > b .
2	Приведите	пример двух неравенств одинакового направления , почленное умножение которых приводит к неверному результату .
3	Приведите	пример двух неравенств , почленное деление которых приводит к неверному результату .
1	Приведите	несколько примеров числовых неравенств .
	Приведя	подобные члены в левой и правой частях , получим , откуда следует , что .
	Приведя	подобные в каждой части , получим : Умножим обе части последнего равенства на ненулевое число .
	Приведём	подобные члены в левой и правой частях неравенства .
	Приводя	подобные члены в правой части числового равенства , получаем .
	Приводя	подобные члены в левой части числового равенства , получим равенство .
	Прогрессия	геометрическая .
	Прогрессия	.
	Прогрессия	арифметическая .
5.4	Произведение	неравенств одинакового направления .
V	Произведение	любого одночлена на нулевой одночлен равно нулевому одночлену .
4.1	Произведение	степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями .
	Произведение	bс является приближённым значением для ас .
	Произведение	положительного числа на отрицательное — отрицательно .
17	Произведение	двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых чисел .
	Произведение	двух многочленов равно некоторому многочлену .
	Произведение	неравенств одинакового направления .
Глава 9	Пропорциональные	отрезки .
	Пропорциональные	отрезки .
	Прямая	m делит плоскость на две полуплоскости , обозначенные на буквами а и β .
	Прямая	АВ образует прямые углы при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD .
1	Прямая	пропорциональность .
2.4	Прямая	пропорциональная зависимость задана формулой Какие из приведённых утверждений верны ? .
	Прямая	, проведённая через сторону ML , разделит четырёхугольник на две части .
	Прямая	.
	Прямая	АС является секущей при параллельных прямых AD и ВС. Точно так же , рассматривая прямые АВ и CD , получим , что .
	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	АВ является графиком функции .
	Прямая	АВ не пересекается с прямой CD , так как прямые АВ и CD различны и перпендикулярны прямой АХ .
18	Прямая	АВ касается окружности и CD АВ .
	Прямая	АВ является общей внешней касательной данных окружностей .
	Прямая	m проходит через центр О1,а поэтому пересекает первую окружность в двух точках .
11	Прямая	l не содержит вершины и пересекает две противоположные стороны прямоугольника .
	Прямая	l пересекает стороны ВС , CD , DE в точках F , G , Н соответственно , причём .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см.	Прямая	l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
	Прямая	PQ перпендикулярна радиусам О1Р и О2Q и касается обеих окружностей .
	Прямая	PQ является общей внешней касательной данных окружностей .
	Прямая	l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
1.1	Прямая	, содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
	Прямоугольник	.
2.3	Прямоугольник	разделён двумя прямыми на четыре прямоугольника .
	Прямоугольные	треугольники АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу ОА .
	Прямоугольные	треугольники KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые углы .
	Прямоугольные	треугольники САВ и DAB равны по двум катетам , поэтому .
	Прямоугольные треугольники	АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу ОА .
	Прямоугольные треугольники	САВ и DAB равны по двум катетам , поэтому .
	Прямоугольные треугольники	KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые углы .
1	Прямоугольный	участок длиной 8 км имеет площадь 400 га .
	Прямые	параллельные .
	Прямые	непересекающиеся .
	Прямые	равноотстоящие .
	Пустое множество	.
	Пустое множество	корней .
	Равенство	тождеством не является , потому что оно неверно .
	Равенство	внутренних накрест лежащих углов .
3.10	Равенство	многочленов .
Глава 4	Равенство	треугольников .
2.10	Равенство	внутренних накрест лежащих углов , образуемых секущей двух параллельных прямых .
1.5	Равенство	прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу .
	Равенство	многочленов .
	Равенство	в формуле отличается от равенства между выражениями ab и bа .
	Равенство	прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе .
	Равенством	указывают , что значения зависимой переменной у находят по значениям аргумента х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f .
1.8	Равнобедренная	трапеция , описанная около окружности .
1.8	Равнобедренная трапеция	, описанная около окружности .
3	Равнобедренные	трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
3	Равнобедренные трапеции	имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
3	Равносторонние	треугольники ABF и FCD расположены так , что точки A , F , D лежат на одной прямой .
11	Равносторонние	треугольники .
11	Равносторонние треугольники	.
3	Равносторонние треугольники	ABF и FCD расположены так , что точки A , F , D лежат на одной прямой .
2.11	Радиан	как единица измерения плоских углов .
	Радиан	.
	Радиусом	PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
	Развёрнутый угол	равен двум прямым углам или 2d .
	Разделив	каждую из частей этих неравенств на 100 получим .
	Разделим	прямой угол на 90 равных частей .
	Разделим	обе части на ненулевое число 4 .
14	Разделите	обе части неравенства .
14	Разделите	треугольник на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную вершину треугольника .
4.2	Разложение	на множители двучлена в общем виде .
4	Разложение	на множители двучлена .
	Разложение	двучлена на множители .
4.1	Разложение	на множители двучлена .
	Разложите	на четыре множителя .
9	Разложите	на множители .
3	Разложите	на три множителя .
5	Разложите	на два множителя .
1	Разложите	на два множителя .
2	Разложите	на два множителя .
6	Разложите	на два множителя .
	Разность	двух многочленов равна некоторому многочлену .
3.3	Решение	уравнения с двумя неизвестными .
3.7	Решение	уравнения .
2.11	Решение	линейных уравнений с помощью графиков .
3.6	Решение	уравнения в натуральных числах .
	Решение	.
3.1	Решение	линейного уравнения в целых числах .
	Решение	задачи сводится к решению системы .
	Решение	задач с помощью графиков .
1.2	Решение	систем уравнений .
	Решение	этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
	Решение	неравенства .
	Решение	системы уравнений .
	Решение	уравнения .
	Решение	уравнения с двумя неизвестными .
	Решение	линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
	Решение	целочисленное .
	Решением	системы двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства .
	Решением	уравнений в целых числах математики занимались с древних времён .
	Решением	системы являются координаты общей точки А построенных графиков .
	Решением	( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
2.3	Решения	каких из указанных неравенств входят в промежуток .
	Решения	второго уравнения представляются точками графика функции у.
	Ромб	.
	Секущая	MN при пересечении с прямыми АВ и CD образует восемь углов .
	Секущая	.
	Симметрия	центральная .
	Симметрия	относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при симметрии относительно прямой каждая прямая переходит в прямую .
1.6	Симметрия	графиков уравнений .
1.3	Система	двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
	Система	уравнений .
	Система	уравнений линейных .
Глава 12	Системы	уравнений .
	Системы	двух уравнений с двумя неизвестными .
	Складывая	почленно эти неравенства , получаем .
	Складывая	соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем .
	Складывая	соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
	Сложение	приближённых значений .
	Сложив	эти уравнения , получим .
1.3	Средняя	линия треугольника .
	Средняя	линия трапеции .
	Средняя	линия треугольника .
	Средняя	линия треугольника , соединяющая середины двух сторон , параллельна третьей стороне и равна её половине .
	Средняя	линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований .
2	Средняя	линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
1	Средняя	линия треугольника .
13	Средняя	линия трапеции равна 7 см , а одно из её оснований на 4 см больше другого .
	Средняя линия трапеции	параллельна основаниям и равна полусумме оснований .
13	Средняя линия трапеции	равна 7 см , а одно из её оснований на 4 см больше другого .
	Средняя линия трапеции	.
	Степеней	свойства первое основное .
Глава 2	Степень	с целым показателем .
	Степень	одночлена .
	Степень	с отрицательным показателем .
1.1	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	.
	Степень	ненулевого числа а с отрицательным целым показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 .
	Степень	с нулевым показателем .
	Степень	многочлена .
3	Степень	с целым показателем .
	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	с целым показателем .
	Степень	числа также можно возводить в степень .
2.6	Степень	отношения двух чисел .
2.3	Степень	произведения двух чисел .
	Степень	отношения двух чисел равна отношению степени числителя к степени знаменателя .
	Стороны	полученного прямоугольника равны 5 и 6 , а поэтому его площадь равна .
	Стороны	ВС и AD угла пересечены прямыми АВ и CD .
	Стороны	противоположные прямоугольника .
	Стороны	равны как радиусы равных окружностей .
20	Стороны	треугольника в некоторых единицах измерения выражаются целыми чётными числами .
1	Стороны	двух квадратов , имеющих общий центр , пересекаются попарно в восьми точках .
26	Стороны	описанного четырёхугольника ABCD в вершинах соединены шарнирами .
	Стороны	угла А лежат на непересекающихся прямых l и m , а стороны угла В лежат на двух других прямых k и n таких , что .
	Стороны	АВ и CD являются боковыми сторонами трапеции .
	Стороны	AD и ВС являются основаниями трапеции ABCD .
2	Строим	прямую n , проходящую через точку О2 и перпендикулярную прямой О1О2 .
	Строим	прямую m , проходящую через точку О1 и перпендикулярную прямой О1О2 .
	Сумма	неравенств одинакового направления .
3.6	Сумма	, разность и произведение многочленов .
1.8	Сумма	внутренних углов любого четырёхугольника .
	Сумма	двух многочленов равна некоторому многочлену .
	Сумма	параллелограмма .
	Сумма	внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
	Сумма	двух соседних углов параллелограмма равна 180 ° .
3.3	Сумма	внешних углов треугольника .
1.3	Сумма	двух чисел разного знака .
	Сумма	соседних углов параллелограмма .
	Сумма	одночленов называется многочленом .
	Сумма	плоских углов .
	Сумма	внутренних односторонних углов , образуемых секущей двух параллельных прямых .
	Сумма	нестрогих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является нестрогим неравенством того же направления .
	Сумма	величин всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
	Сумма	всех внутренних углов выпуклого n - угольника равна .
	Сумма	трёх из четырёх углов четырёхугольника равна 270 ° .
	Сумма	строгих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является строгим неравенством того же направления .
5.3	Сумма	неравенств одинакового направления .
	Сумма	внутренних углов выпуклого многоугольника .
	Сумма	величин всех углов в треугольниках ABC и ADC равна .
	Сумма	чисел разных знаков может быть отрицательной , положительной или нулём .
3	Сумма	углов треугольника .
Эту теорему иногда формулируют так :	Сумма	всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
1.5	Сумма	углов выпуклого четырёхугольника .
	Сумма	выпуклого четырёхугольника .
	Сумма	величин углов любого треугольника равна 180 ° .
	Сумма	внутренних односторонних углов .
1.4	Сумма	двух плоских углов .
	Сумма	внутренних углов .
	Сумма	всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOA равна .
	Сумма	выпуклого многоугольника .
1.9	Сумма	внешних углов выпуклого четырёхугольника .
	Сумма	.
	Сумма	S углов четырёхугольника равна сумме По свойствам параллельных прямых выполняются равенства .
	Сумма	S углов четырёхугольника равна .
	Сумма	внешних углов .
3	Сумма	двух чисел равна 407 , причём первое слагаемое в 10 раз больше , чем второе .
	Сумма	трёх внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
	Сумма	треугольника .
	Сумма	углов АОВ , ВОС , COD , DOA равна 360 ° .
	Сумма	S углов четырёхугольника ABCD равна сумме .
	Сумма	внутренних углов любого четырёхугольника равна 360 ° .
	Сумму	показателей степеней переменных букв , равную , называют степенью этого одночлена .
	Суммы	длин противоположных сторон описанного около окружности четырёхугольника равны между собой .
Даны прямая АС и два луча , выходящие из точки В.	Суммы	каких углов дают развёрнутый угол ? .
	Теорема	Фалеса .
2.1	Теорема	Фалеса .
	Теорема	о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
	Теорема	Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению уравнения в целых числах .
	Теорема	.
3.6	Теорема	о средней линии трапеции .
	Теорема	о пропорциональных отрезках .
	Теорема	доказана .
2.3	Теорема	о пропорциональных отрезках .
Глава 3	Тождества	.
2	Тождества	.
	Тождество	многочленов .
	Тождество	.
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К.	Точка	К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
	Точка	О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
	Точка	В расположена на графике уравнения , потому что при получаем .
16	Точка	М — середина стороны АВ , CD ВС. Докажите , что площади треугольников AMN и CND равны .
	Точка	О(0 ; 0 ) также расположена на этом графике .
	Точка	С переходит в точку C1 , совпадающую с точкой А .
	Точка	А переходит в точку Α1 , совпадающую с точкой С .
	Точка	D является серединой отрезка АВ и имеет координаты .
2.4	Точка	К на стороне АВ делит основание треугольника АВС в отношении .
	Точка	О выбрана так , что АВРО — параллелограмм .
	Точка	Р расположена на луче ОР , противоположном лучу ОА .
	Точка	D отлична от точки С , абсциссы этих точек равны между собой , поэтому ординаты точек D и С различны , то есть g не равно kf .
5	Точка	С расположена на отрезке АВ так , что . Найдите отношение .
	Точка	пересечения прямых расположена вне прямой с .
	Точка	М расположена на высоте ВН так , что . Найдите площадь треугольника АМС .
	Точка	К делит DC пополам .
	Точка	пересечения прямых лежит на прямой с .
4	Точка	В делит отрезок АС на части так , что .
	Точка	М имеет координаты ( -2 ; 0 ) .
1	Точка	А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
	Точка	С перейдёт в точку D и середина отрезка CD перейдёт в середину отрезка DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN .
	Точка	D переходит в точку D1 , совпадающую с точкой В .
	Точка	В переходит в точку B1 , совпадающую с точкой D .
6	Точки	С и D расположены на отрезке АВ так , что . Найдите отношение .
	Точки	М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
	Точки	К и D выбраны так , что . Докажите , что прямые АВ и DK параллельны .
7	Точки	расположены так , что .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R.	Точки	пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
13	Точки	А , В , С , D , Е являются вершинами правильного пятиугольника и соединены так , что образуют пятиконечную звезду .
1.3	Точки	графика прямой пропорциональной зависимости в правой полуплоскости .
1.2	Точки	А , В , С , D являются вершинами невыпуклого четырёхугольника .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S.	Точки	М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
20	Точки	М и N — середины сторон ВС и AD четырёхугольника ABCD .
	Точки	К и L выбраны соответственно на сторонах АВ и ВС так , что прямые KL и АС параллельны .
8	Точки	расположены так , что .
	Точки	В и В2 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС .
3	Точки	М и N расположены на боковых сторонах трапеции ABCD так , что .
	Точки	М , N , К и L соединены с вершинами квадрата .
7	Точки	М и N — середины сторон AD и АВ квадрата ABCD .
	Точки	А , В и С пересечения касательных определяют треугольник АВС .
	Точки	К , L , М , N выбраны так , что .
14	Точки	А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l , параллельная прямым а и b.
6	Точки	Μ , Ν , К , L расположены на сторонах четырёхугольника ABCD так , что . Докажите , что MNKL — параллелограмм .
	Точки	расположены так .
	Точки	М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите площадь четырёхугольника BMNC .
	Точку	В2 соединим отрезком с точкой С. По первому признаку равенства .
	Точку	А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
	Точку	О считают симметричной самой себе относительно точки О .
5.2	Транзитивность	неравенств .
	Трапецией	называют четырёхугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны , а две другие противолежащие стороны не параллельны .
16	Трапеции	ABCD и FGHE имеют общую среднюю линию , а их основания лежат на двух параллельных прямых .
	Трапецию	называют равнобедренной , если боковые стороны трапеции равны .
	Трапеция	, высота .
	Трапеция	.
20	Трапеция	делится диагональю на два треугольника .
	Трапеция	, боковые стороны .
	Трапеция	, основания .
	Трапеция	равнобедренная .
	Третий	случай .
	Третий	способ .
2.3	Третий	признак параллелограмма .
	Третий	признак .
4.5	Третье	основное свойство степени с целыми показателями .
	Третье	свойство .
	Треугольник	PQR — искомый , три его стороны равны соответственно заданным отрезкам .
	Треугольник	PQR удовлетворяет поставленным условиям .
	Треугольник	Паскаля .
	Треугольник	часто изображают так , что одна из сторон треугольника горизонтальна .
	Треугольник	PQR — искомый .
1.4	Треугольник	DEF образован средними линиями треугольника АВС .
	Треугольник	PQ расположен внутри треугольника PQR2 , а поэтому в поставленной задаче возможны два различных решения .
	Треугольники	PQR и PQS равны по третьему признаку равенства .
2	Треугольники	АВС и А1В1С1 равны , причём .
	Треугольники	PQR1 и PQR2 оба удовлетворяют требуемым условиям .
	Треугольники	MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD .
	Треугольники	каких площадей присутствуют ? .
2.7	Угловой коэффициент	прямой .
	Угловой коэффициент	прямой .
	Углы	называются внешними накрест лежащими .
	Углы	BMN и CKN внутренние накрест лежащие , образованные секущей МК с параллельными прямыми АВ и СК , значит .
	Углы	называются внешними односторонними .
	Углы	называются внутренними односторонними .
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и секущей ВС.	Углы	DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый угол .
1.1	Угол	, образованный двумя лучами .
	Угол	внешний треугольника .
	Угол	плоский .
	Угол	.
	Угол	наклона .
	Угол	между отрезками .
	Угол	нулевой .
	Угол	, который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым градусом и его величину обозначают 1 ° .
1.1	Угол	А в треугольнике АВС равен 57 ° 31′. Чему равна сумма углов В и С этого треугольника ? .
	Угол	, величина которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' .
1.2 В четырёхугольнике ABCD угол А равен углу В , а угол С равен углу D.	Угол	С равен 57 ° 32 ' .
	Угол	треугольника внутренний .
	Угол	, смежный внутреннему углу треугольника , иногда называют внешним углом треугольника .
1.4	Угол	"в 36000 "" равен : 1 ) углу 3600 ' ; 2 ) углу в 36 ° ; 3 ) углу в 30 ° ; 4 ) углу в 10 ° ."
	Угол	КСВ является внешним углом треугольника АВС при вершине С .
	Угол	эталонный .
	Угол	прямой .
	Угол	", величина которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его величину обозначают через 1 "" ."
	Угол	развёрнутый .
	Угол	— это фигура , образованная двумя лучами с общим началом .
	Угол	внутренний четырёхугольника .
4	Уменьшаемое	в три раза больше вычитаемого , и разность равна 78 .
	Умножая	обе части последнего числового неравенства на отрицательное число s получим числовое неравенство или , иначе .
	Умножение	обеих частей тождества на одинаковое выражение .
4.4	Умножение	приближённого значения на фиксированное число .
Какое из чисел больше : а или b . 1.9	Умножение	на отрицательное число обеих частей неравенства .
1.8	Умножение	на положительное число обеих частей неравенства .
2.7	Умножение	обеих частей уравнения на ненулевое число .
2.7	Умножение	обеих частей неравенства на отрицательное число .
	Умножив	обе части этого неравенства на положительное число 2 , получим неравенство .
	Умножив	все части этого неравенства на число -1 , получим .
	Умножив	обе части этого неравенства на положительное число , получим неравенство .
	Умножив	каждую из частей этих неравенств на 104 получим .
	Умножив	обе части этого равенства на ненулевое число 1/2 , получим равенство .
	Умножим	обе части первого уравнения на 2 .
	Умножим	на число обе части неравенства .
Приведя подобные в каждой части , получим :	Умножим	обе части последнего равенства на ненулевое число .
	Умножим	обе части равенства на ненулевое число 1/5 .
	Умножить	на ab ; умножить на умножить на b ; умножить на . 8 .
13	Умножьте	обе части неравенства .
	Уравнение	с одной неизвестной ( переменной ) .
3.6	Уравнение	.
	Уравнение	алгебраическое .
	Уравнение	равносильно уравнению .
	Уравнение	с параметром .
	Уравнение	.
3.8	Уравнение	.
	Уравнение	, то есть уравнение с двумя неизвестными , решено и его решения изображены .
	Уравнение	с двумя неизвестными ( переменными ) .
	Уравнение	линейное .
	Уравнение	, в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным уравнением .
	Уравнение	или является уравнением прямой , проходящей через точки А(0 ; -2 ) и В(3 ; -1 ) .
	Уравнение	, то есть уравнение с двумя неизвестными , решено , и его решения изображены .
	Уравнения	с одним неизвестным .
	Уравнения	равносильны .
1.1	Уравнения	с одним неизвестным .
	Уравнения	называются равносильными , если множества корней этих уравнений совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
3	Уравнения	с двумя неизвестными .
Глава 5	Уравнения	.
	Фигура	центрально симметричная .
	Фигура	, центрально симметричная длиной фигуре относительно точки О , может быть получена поворотом вокруг точки О на 180 ° .
	Фигуры	являются примерами центрально симметричных фигур .
	Функциональная	зависимость .
4	Функциональная	зависимость .
	Функцию	, которая в каждой точке а принимает значение { а } , можно записать в виде .
	Функцию	, которая в каждой точке х принимает значение [ х ] , можно записать в виде .
4.6	Функция	« целая часть х » .
4.5	Функция	.
4.7	Функция	« дробная часть х » .
	Функция	.
	Целая	часть числа .
	Целая	степень отношения двух чисел .
2.1	Целая	и дробная части положительного числа .
	Целая	часть числа х чаще всего обозначается как [ х ] .
	Целая	часть числа х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое целое число .
	Целой	частью числа х называется наибольшее целое число n , которое меньше либо равно х .
3.3	Целочисленные	решения линейного уравнения .
3.2	Целочисленные	решения уравнения вида .
3	Целочисленные	решения уравнений .
	Целочисленным	решением уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное целое число .
	Целые	числа 11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются неравенства .
2.2	Целые	части каких из следующих чисел являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных дробей ? .
	Целые числа	11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются неравенства .
4.5	Центр	симметрии параллелограмма .
	Центр	симметрии .
	Четырёхугольник	описанный .
	Четырёхугольник	EFGH окажется в одной полуплоскости относительно этой прямой , то есть прямая не разделяет четырёхугольник на две части .
1.2	Четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
	Четырёхугольник	невыпуклый .
1.1	Четырёхугольник	.
	Четырёхугольник	выпуклый .
	Четырёхугольник	.
	Четырёхугольник	называется выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой , содержащей сторону четырёхугольника .
	Числа	0 и -1 являются его корнями , потому что выполняются равенства .
	Числа	, стоящие в строках этого треугольника , называются биномиальными коэффициентами .
	Числа	210 , 26 · 24 и 2 ° · 2 ° являются произведениями 10 сомножителей , равных 2 .
	Число	5 и каждое из чисел , меньшее 5 , не является решением неравенства .
	Число	называют знаменателем этой геометрической прогрессии .
	Число	42,40 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 0,01 .
	Число	а равно нулю при а b -1 .
	Число	-42,40 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 0,01 .
	Число	-42,41 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного -42,4056 , с точностью до 0,01 .
	Число	а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим членом и так далее .
	Число	аn называют n - м членом этой последовательности .
I	Число	нуль является особым одночленом и называется нулевым одночленом .
	Число	42,41 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 0,01 .
	Число	k называют коэффициентом пропорциональности .
	Число	42 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 1 .
	Число	43 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 1 .
	Число	30 000 называется десятичным приближением снизу числа а с точностью до 101 .
	Число	f(а ) называют значением функции у bf(x ) для значения аргумента , равного а .
	Число	-d мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b .
	Число	40 000 называется десятичным приближением сверху числа а с точностью до 104 .
2.5	Число	, обратное степени .
	Число	-42 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 1 .
	Число	b в формуле называют свободным членом .
	Число	аn иногда называют степенью числа а с натуральным показателем n.
	Число	-h мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b .
	Числовое множество	.
	Члены	общества садоводов собираются поделить отведённую им землю на участки равной площади .
2.3	Шестиугольник	ABCDEF составлен из двух равных трапеций с общим основанием AD .
Отсюда получаем равенство , то есть	абсцисса	а точки А является корнем уравнения .
Левой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неположительную	абсциссу	.
Правой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет неотрицательную	абсциссу	.
2.4 Для каких из указанных точек плоскости ордината больше удвоенной	абсциссы	? .
Для точки К приближённое значение	абсциссы	равно 0,7 , а приближённое значение ординаты равно 1,3 .
Какие примеры	аксиом	вы знаете ? .
В качестве	аксиом	обычно берут простые и естественные утверждения .
Ответ на этот вопрос даёт	аксиома	параллельности .
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая	аксиома	: « Через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые , не пересекающие данную прямую » .
Покажем , как	аксиома	параллельности позволяет доказать следующее утверждение .
Утверждения , принимаемые за основу без доказательств , называются	аксиомами	.
В действительности этот постулат равносилен	аксиоме	параллельности .
По	аксиоме	параллельности прямая m не может быть параллельной прямой b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой точке В .
Поэтому через точку К проходят две различные прямые , параллельные прямой с. Это противоречит	аксиоме	параллельности .
2 Сформулируйте	аксиому	параллельности .
Из	аксиомы	параллельности следует , что прямые C1D1 и CD совпадают , а это значит , что и внутренние накрест лежащие углы также равны .
8 Как по графику найти значение функции при заданном значении	аргумента	? .
б ) Сколько значений	аргумента	может соответствовать одному значению функции ? .
6 Какой функцией определяется сумма n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью в зависимости от	аргумента	n ? .
Равенством указывают , что значения зависимой переменной у находят по значениям	аргумента	х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f .
Число f(а ) называют значением функции у bf(x ) для значения	аргумента	, равного а .
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого значения а из области значений	аргумента	функции через f(a ) символически обозначается значение зависимой переменной , соответствующее а .
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области значений	аргумента	, ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
а ) Сколько значений зависимой переменной может соответствовать одному значению	аргумента	? .
В этом случае переменная х называется независимой переменной или	аргументом	этой функциональной зависимости , а переменная у — зависимой переменной .
Задать функцию — значит указать , какие действия нужно произвести с	аргументом	х , чтобы получить соответствующее значение у.
6 Какая переменная называется	аргументом	, а какая — зависимой переменной ? .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон (	ассоциативность	) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон (	ассоциативность	) умножения ; свойство единицы .
Свойство тождественного равенства	ассоциативность	.
12 При каких значениях параметра а уравнение имеет	бесконечное множество	решений ? .
Графическое представление системы , имеющей	бесконечное множество	решений .
в ) имеет	бесконечное множество	решений , изображающееся точками некоторой прямой .
Значок читается как « минус	бесконечность	» и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в отрицательном направлении .
Значок читается как « плюс	бесконечность	» и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в положительном направлении .
1.5 Пример системы с	бесконечным множеством	решений .
Какие формулы	бинома	Ньютона вы знаете ? .
Представления в стандартной форме многочленов и так далее называют формулами	бинома	Ньютона .
Какой вид имеет формула	бинома	Ньютона .
3 Какие формулы	бинома	Ньютона вы знаете ? .
Коэффициент	биномиальный	.
Числа , стоящие в строках этого треугольника , называются	биномиальными	коэффициентами .
1.4 Какой вид имеет строка	биномиальных	коэффициентов для показателя степени 4 ? .
Многочлен иногда называют	биномом	, так как является суммой двух слагаемых .
Вершинами какого многоугольника являются точки пересечения	биссектрис	всех изображённых углов с вершинами А и В ? .
Докажите , что при пересечении	биссектрис	образуется квадрат .
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то диагональ АС —	биссектриса	углов А и С ? .
15 В параллелограмме ABCD проводится	биссектриса	угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена	биссектриса	AL .
4 Докажите , что если высота и	биссектриса	, проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
Отрезок CL — биссектриса в треугольнике АВС , отрезок C1L1 —	биссектриса	в треугольнике А1В1С1 .
6 Изображён равнобедренный треугольник АВС с основанием АС , a BL —	биссектриса	внешнего угла .
Отрезок CL —	биссектриса	в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 .
1 ) АК —	биссектриса	угла CAD .
9 В треугольнике АВС проведена	биссектриса	AL .
9 Что называют	биссектрисой	плоского угла ? .
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является ромбом , диагональ АС является	биссектрисой	углов с вершинами А и С Какие из равенств верны ? .
Например , если ОБ является	биссектрисой	угла АОС , а плоский угол АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать равенства .
2 В треугольнике медиана совпадает с	биссектрисой	, проведённой из той же вершины .
8 В четырёхугольнике ABCD диагональ АС является	биссектрисой	угла .
Для каких углов луч OD является	биссектрисой	, если угол AOF является суммой пяти равных углов .
Как доказать , что в четырёхугольнике ABCD углы В и D равны , если диагональ АС является	биссектрисой	углов А и С ? .
Луч ОВ является	биссектрисой	того плоского угла АОС , который содержит этот луч .
Напомним , что луч ОВ называют	биссектрисой	угла АОС .
С помощью транспортира нарисуйте	биссектрису	этого угла .
Через основание этой	биссектрисы	проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
18 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение	биссектрисы	угла А в топке D. Покажите , что .
5 В параллелограмме	биссектрисы	углов при вершинах пересекаются попарно в четырёх различных точках .
Через точку К	биссектрисы	угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Для обозначения информации о значении двоичного разряда применяется термин	бит	.
2 Что такое	бит	, байт , килобайт ? .
2 Сколько	битов	понадобится для записи чисел .
Поэтому для хранения всей такой таблицы потребуется	битов	.
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27	битов	.
Восемь	битов	составляют один байт , 210 байтов — один килобайт , а 210 килобайтов — один мегабайт .
Укажите правильный	вариант	ответа .
Придумайте свой	вариант	задачи , похожей на задачи 15 и 16 .
Укажите все правильные	варианты	ответов .
Укажите все правильные	варианты	ответа из заданных .
Укажите все правильные	варианты	ответа .
Аналогично рассматриваются другие возможные	варианты	.
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме	величин	всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
Какие примеры прямо пропорциональных	величин	вы знаете ? .
Рассмотрим другой способ вычисления	величин	внутренних углов выпуклого четырёхугольника .
2.4 Две средние линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных	величин	могут быть длиной стороны треугольника ? .
Рассматривалось несколько способов нахождения суммы	величин	углов конкретного четырёхугольника .
2.2 За приближённое значение суммы	величин	выбрали число 20,5 .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму	величин	углов NMK и KML , то есть .
Сумма	величин	всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
Во многих случаях изменение одной из	величин	вызывает определённые изменения других величин .
Какие из приведённых	величин	могут быть точным значением этой величины ? .
Во многих случаях изменение одной из величин вызывает определённые изменения других	величин	.
Зависимость	величин	функциональная .
Зависимость	величин	прямо пропорциональная .
Зависимость	величин	.
Сумма	величин	углов любого треугольника равна 180 ° .
Методы приблизительного подсчёта больших количеств возникли , в частности , в связи с задачами измерения таких	величин	, как длина , время , масса , температура и некоторые другие .
Сумма	величин	всех углов в треугольниках ABC и ADC равна .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных	величин	с достаточной степенью точности .
Проблема с числом дней в году показывает , что при сложении приближённых	величин	погрешности могут возрастать и иногда достигают больших значений .
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда значения измеряемых	величин	выражаются целыми числами , а само измерение сводится к счёту .
Для обозначения переменных	величин	можно использовать вместо х и у другие буквы , например .
С каждым объектом или явлением окружающего нас мира связано множество самых разнообразных	величин	.
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма	величин	внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других	величин	: точное значение измеряемой величины принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху .
3 В чём состоит идея последовательных приближений при измерении	величин	? .
Пусть а1,иа2 — точные , а b1 и b2 — приближённые значения некоторых	величин	.
Пусть снова b1 иb2 — приближения	величин	а1 и а2 , абсолютные погрешности которых не превосходят р1 и р2 .
1.1 О приближённом измерении	величин	.
10 Каким промежуткам принадлежат значения	величин	? .
Величину угла NKL определяем как сумму	величин	углов NKM и MKL , то есть .
Поэтому в данном случае буквы a vs кв выражении ah являются обозначением переменных	величин	.
Задача измерения	величин	непроста даже тогда , когда значения измеряемых величин выражаются целыми числами , а само измерение сводится к счёту .
2.1 При измерении	величин	а и b получили .
Иногда нужно сделать оговорки , учитывающие природу измеряемых	величин	.
Напомним определение прямой пропорциональности двух переменных	величин	.
Вместо слов «	величина	плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
При указании величины плоского угла слова «	величина	» и « плоского » часто не пишутся .
Какие корни имеет уравнение ах b а , где а — фиксированное число , х — неизвестная	величина	? .
Переменная	величина	у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
Если пренебречь малым слагаемым -х2 в знаменателе последней дроби , то её	величина	также мало изменится и получится .
Угол ,	величина	которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' .
Чему равна	величина	третьего внутреннего угла треугольника ? .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что	величина	плоского угла АОВ равна одному радиану .
4 Чему равна абсолютная	величина	произведения двух чисел ? .
Проведём исследование уравнения вида , где к , b — фиксированные числа , х — неизвестная	величина	.
Угол ,	величина	"которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его величину обозначают через 1 "" ."
Буквенное выражение вида , где х — переменная	величина	, а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно переменной х .
Абсолютная	величина	( модуль ) погрешности называется абсолютной погрешностью .
Чему равна	величина	угла ВАС ? .
Чему равна	величина	четвёртого внутреннего угла этого четырёхугольника ? .
Но этот угол прямой , его	величина	90 ° , следовательно угол CBD 180 ° .
Пусть	величина	у прямо пропорциональна величине х , то есть , где к — фиксированное ненулевое число .
Чему равна градусная мера угла , смежного к углу ,	величина	которого а ° ? .
Чему равна	величина	четвёртого внешнего угла ? .
Чему равна	величина	угла AED ? .
Пусть переменная	величина	у прямо пропорциональна переменной величине х.
Чему равна	величина	этих углов ? .
При любой единице измерения углов	величина	нулевого угла равна нулю .
Все значения , которые может принимать переменная	величина	, называются её областью допустимых значений .
Зная , что	величина	у изменяется прямо пропорционально величине х , заполните таблицу .
3 Какая	величина	считается переменной в буквенном выражении ? .
2 Какая	величина	считается постоянной в буквенном выражении ? .
Так ,	величина	угла равна 60 ° , а величина угла равна 120 ° .
С учётом этого получаем , что	величина	развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой градус равен радиан .
Так , величина угла равна 60 ° , а	величина	угла равна 120 ° .
Какие из указанных значений может принимать	величина	угла АОВ ? .
Один из главных вопросов , возникающих при изучении любого явления , состоит в отыскании взаимосвязей между переменными	величинами	, которые это явление характеризуют .
2.3 Какие из наборов значений могут быть	величинами	углов некоторого треугольника ? .
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о	величинах	углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , величину угла обозначают другим знаком .
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке : сумма углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о	величинах	углов .
С помощью коэффициента пропорциональности зависимость величины у , прямо пропорциональной	величине	х , можно выразить формулой .
Пусть переменная величина у прямо пропорциональна переменной	величине	х.
Пусть величина у прямо пропорциональна	величине	х , то есть , где к — фиксированное ненулевое число .
Что можно сказать о	величине	, область допустимых значений которой содержит единственное значение ? .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна	величине	х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
Любые два числа можно сравнить по	величине	.
Зная , что величина у изменяется прямо пропорционально	величине	х , заполните таблицу .
При каждой вершине найдутся два внешних угла четырёхугольника , равных по	величине	.
Как сравнить по	величине	два числа -1 и 1 ? .
2.1 На сторонах угла с вершиной А и	величиной	40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС .
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В	величиной	в 36 ° проведена биссектриса AL .
Если значение достаточно мало , то	величиной	х2 можно пренебречь по сравнению .
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну сторону от луча HF можно отложить только один угол	величиной	90 ° .
Буква π используется как удобное обозначение для вполне конкретного числа , то есть буква π является постоянной	величиной	в выражении nR2H .
2 Как определяется угол	величиной	в 0 ° ? .
Как изображается плоский угол	величиной	в 270 ° ? .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое	величиной	этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Зная	величину	одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
1.3 В четырёхугольнике три внутренних угла имеют	величину	по 30 ° .
Нулевой угол имеет	величину	в 0 ° , и этот угол образован двумя совпадающими лучами .
Чтобы разделить b на а , достаточно знать обратную к а	величину	.
Эту единицу измерения обычно называют прямым углом , а его	величину	обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой секундой и его	величину	"обозначают через 1 "" ."
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части углового градуса , называют угловой минутой и его	величину	обозначают через 1 ' .
Угол , который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым градусом и его	величину	обозначают 1 ° .
С помощью транспортира можно найти	величину	угла только приближённо .
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла ,	величину	угла обозначают другим знаком .
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных углов имеет	величину	, равную 180 ° , а величины вертикальных углов равны .
Пусть в результате измерений	величины	а получено её приближённое значение b.
Какое ещё значение могут иметь	величины	углов ? .
2.2 Даны	величины	трёх внутренних углов четырёхугольника .
Всякое число , заключённое между приближениями сверху и снизу , может считаться приближённым значением измеряемой	величины	.
3 Поставьте вместо знак > или < , чтобы правильно сравнить	величины	.
Углы , имеющие равные	величины	, равны между собой .
1.4 Измерение	величины	а , равной 5 , дало значение b , равное 4 .
1.2 Постоянные и переменные	величины	в буквенном выражении .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное значение измеряемой	величины	принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху .
Разные	величины	могут иметь разные области значений .
1.2 При измерении	величины	а получено .
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти	величины	любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
Таким образом , точное значение а измеряемой	величины	принадлежит промежутку , и это часто записывают так .
4.1 Постоянные и переменные	величины	.
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d переменной	величины	х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » .
Пусть а — точное значение некоторой	величины	, для которого найдены приближения снизу ах и сверху а2 .
Пусть b — приближённое значение	величины	а , абсолютная погрешность которого не превосходит р , то есть .
Отметим , что при решении задачи с помощью уравнения у нас есть свобода выбора , во - первых , буквы для обозначения неизвестной и , во- вторых ,	величины	, обозначаемой через неизвестную .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной	величины	х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной	величины	х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности	величины	а и модуля числа с .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной	величины	х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
Допустимые значения такой	величины	— натуральные числа .
Обозначим через b какое - нибудь приближённое значение данной	величины	из промежутка .
В подобных случаях рассматриваемые	величины	называются зависимыми .
При указании	величины	плоского угла слова « величина » и « плоского » часто не пишутся .
5 Чему равна абсолютная погрешность произведения приближённого значения некоторой	величины	и фиксированного числа ? .
7 Как определяется 1 % от	величины	? .
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при вершине Q , можно найти	величины	двух накрест лежащих углов .
Величины , которые не изменяются , называются постоянными ;	величины	, которые принимают различные значения , называются переменными .
Какие	величины	являются приближением сверху для общего веса купленной крупы ? .
Равные углы имеют равные	величины	.
Однако может быть , что не все буквы в буквенных выражениях обозначают переменные	величины	.
Переменная величина у , зависящая от переменной	величины	х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
При каких из указанных значений	величины	угла DEF этот шестиугольник не может быть выпуклым ? .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной	величины	х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Чем отличается угол от	величины	угла ? .
3 Какие	величины	считаются зависимыми , а какие — независимыми ? .
2 Что называется областью допустимых значений переменной	величины	?
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной	величины	х , при которых значения выражений равны » .
Обозначим MN х , NK a , KL у. Через	величины	х , а , у можно выразить длины следующих отрезков , имеющихся на чертеже .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для	величины	, обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
8 Как можно выбрать приближение	величины	, чтобы оценка абсолютной погрешности оказалась наименьшей ? .
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных углов имеет величину , равную 180 ° , а	величины	вертикальных углов равны .
1 Какие	величины	называются постоянными , а какие — переменными ?
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует приближённому значению	величины	, обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
Для соответствующие значения	величины	у будут .
С помощью коэффициента пропорциональности зависимость	величины	у , прямо пропорциональной величине х , можно выразить формулой .
Какие из приведённых величин могут быть точным значением этой	величины	? .
2.4 При измерении некоторой	величины	получилось 8,3 с абсолютной погрешностью не более 0,15 .
3 Какие переменные	величины	называют прямо пропорциональными ? .
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность произведения приближённого значения b	величины	а и фиксированного числа с .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b	величины	а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
2.3 Приближённое значение некоторой	величины	равно .
В таком случае буква с используется как обозначение постоянной	величины	.
В зависимости от задачи , которую мы решаем , буквы R и Н могут обозначать не изменяющиеся ( постоянные )	величины	или переменные .
По правилу оценки абсолютной погрешности произведения приближённого значения некоторой	величины	и фиксированного числа получаем .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и	величины	, обратной к знаменателю .
7 Что можно сказать о точном значении	величины	, если известно её приближённое значение и оценка сверху абсолютной погрешности ? .
4 Что можно считать приближённым значением измеряемой	величины	? .
Имеет место следующее свойство : от любого луча , лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно отложить плоский угол любой заданной	величины	от 0 ° до 180 ° .
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ BD , то	величины	углов АВС и ADC также выражаются через углы треугольников ABD и DCB .
Какие из приведённых чисел не могут быть точным значением измеряемой	величины	? .
Почему от любого луча можно отложить только два различных угла	величины	90 ° ? .
4 Докажите , что центрально симметричный многоугольник имеет чётное число	вершин	.
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением	вершин	треугольника ? .
Найдите координаты	вершин	квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из	вершин	, то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
5 Приведите примеры центрально симметричных ломаных с нечётным числом	вершин	.
Сколько	вершин	, сколько сторон и сколько диагоналей имеет десятиугольник ? .
Сколько развёрнутых плоских углов можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве	вершин	либо точку М , либо точку N ? .
Аналогично можно определить шестиугольник , семиугольник и многоугольник любым заданным числом	вершин	.
Чему равны расстояния от центра О окружности до	вершин	трапеции ABCD ? .
2.1 Через стороны треугольника и одну из	вершин	проведены прямые .
Сколько различных высот можно провести из всех	вершин	параллелограмма ? .
Как построить равносторонний треугольник , одна	вершина	которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
2 ) каждая	вершина	является общей точкой только для двух сторон .
4 В параллелограмме проводятся биссектрисы всех углов при	вершинах	.
1.1 В пятиугольнике ABODE внутренние углы при	вершинах	А , В , С — прямые и ZCDE 120 ° .
6 В прямоугольнике проводятся биссектрисы всех углов при	вершинах	.
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух	вершинах	, выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
Поэтому по известным углам , один из которых при	вершине	Р , а другой при вершине Q , можно найти величины двух накрест лежащих углов .
Выберем при каждой	вершине	по одному внешнему углу .
Аналогично по любому из отмеченных углов при	вершине	Q можно найти любой другой угол при этой вершине .
по углу при	вершине	и боковой стороне . б ) по углу при основании и боковой стороне .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при	вершине	А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
Сумма трёх внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой	вершине	, равна 360 ° .
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при	вершине	В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
Аналогично определяется внутренний угол при любой другой	вершине	выпуклого четырёхугольника .
8 Чему равна сумма внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой	вершине	? .
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при	вершине	.
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним углом , например , при	вершине	М называют тот плоский угол NMK , который содержит этот треугольник .
Угол КСВ является внешним углом треугольника АВС при	вершине	С .
В каждой	вершине	треугольника можно рассмотреть два его внешних угла .
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой	вершине	: как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при	вершине	Q , можно найти величины двух накрест лежащих углов .
Аналогично по любому из отмеченных углов при вершине Q можно найти любой другой угол при этой	вершине	.
Зная величину одного из отмеченных углов при	вершине	Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
При каждой	вершине	треугольника образуется два равных между собой внешних угла .
При каждой	вершине	найдутся два внешних угла четырёхугольника , равных по величине .
Внутренним углом этого четырёхугольника при	вершине	М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
Чему равна сумма внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой	вершине	? .
Чему равна сумма внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой	вершине	? .
1 Найдите угол при	вершине	равнобедренного треугольника , если угол при основании равен .
Например , отмечены внешние углы при	вершине	В .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при	вершине	L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
2 Найдите угол при основании равнобедренного треугольника , если угол при его	вершине	равен .
10 Чему равна сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой	вершине	? .
Рассмотрим в выпуклом четырёхугольнике ABCD по одному внешнему углу при каждой	вершине	.
Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой	вершине	, равна 360 ° .
Внутренним углом этого четырёхугольника при	вершине	К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при	вершине	С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
Внутренним углом этого четырёхугольника при	вершине	N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
4 Чему равна сумма внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой	вершине	? .
Для любого угла с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий угол с	вершиной	в точке С. Пусть это углы 1 и 3 .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский угол АОВ с	вершиной	О. Этот угол содержит дугу данной окружности .
Точку А называют	вершиной	угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
2.4 Изображено несколько углов с общей	вершиной	О. Какие из следующих равенств имеют место ? .
Через точку К биссектрисы угла с	вершиной	А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Для любых углов с общей	вершиной	О и для дуг этой окружности выполняются свойства .
Для любого угла с	вершиной	в точке А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в точке С. Пусть это углы 1 и 3 .
2.3 Изображён угол с	вершиной	С. Какие из приведённых записей не являются обозначениями этого угла ? .
У них попарно равны стороны с	вершиной	О , а углы АОВ и COD равны как вертикальные .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с	вершиной	в В и сторонами , параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° .
Плоский угол — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами с общей	вершиной	.
2.1 На сторонах угла с	вершиной	А и величиной 40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с	вершиной	В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Для любого угла с	вершиной	в точке А существует соответствующий ему угол с вершиной в точке В. Например , Z1 и Z3 .
Для любого угла с вершиной в точке А существует соответствующий ему угол с	вершиной	в точке В. Например , Z1 и Z3 .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей	вершиной	А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при параллельных прямых , поэтому Z1 также либо равен углу с	вершиной	в точке В , либо дополняет его до 180 ° .
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и плоскими углами с	вершиной	в центре окружности ? .
Точка О называется	вершиной	угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
1.2 Окружность с центром О касается сторон угла с	вершиной	А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с	вершиной	в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с	вершиной	в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с	вершиной	в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
Рассмотрим лучи ВА , BD и ВС с общей	вершиной	А .
Основание высоты , проведённой из вершины В , совпадает с	вершиной	треугольника АВС .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с	вершиной	Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с	вершиной	А и подсчитали число точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
Даны отрезок длины а , угол с	вершиной	А и точка В на одной из сторон угла .
Какую часть окружности образуют дуги , принадлежащие двум смежным углам с	вершиной	в центре окружности ? .
7 Что называется вершиной и стороной угла , образованного двумя отрезками с общей	вершиной	? .
3 Через	вершину	острого угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла .
14 Разделите треугольник на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную	вершину	треугольника .
Проведём через	вершину	С и середину М боковой стороны AD прямую до пересечения с прямой АВ в точке Р .
9 Через	вершину	параллелограмма проведите три прямые , которые делят параллелограмм на четыре части равной площади .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через	вершину	С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
Рассмотрим	вершину	А выпуклого четырёхугольника ABCD .
Аналогично : если через	вершину	С провести прямую параллельно стороне АВ , то образуется параллелограмм ABCL и треугольник CDL .
13 В треугольнике АВС через	вершину	А проведите прямую , делящую площадь треугольника пополам .
17 Через	вершину	С треугольника АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что .
Рассмотрим полуплоскость с границей АС и не содержащую	вершину	В. В полуплоскости β из вершины А проведём луч .
10 Через	вершину	параллелограмма проведите две прямые , которые делят параллелограмм на три части равной площади .
18 Через	вершину	С треугольника АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через	вершину	В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через	вершину	В прямую , параллельную стороне CD .
Через	вершину	С проведём прямую DK , параллельную стороне АВ треугольника АВС .
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной	вершины	треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной	вершины	треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
Как доказать , что два различных квадрата не могут иметь только три попарно совпадающие	вершины	? .
2 Через все	вершины	треугольника АВС проведены прямые , параллельные противоположным сторонам .
Пусть М — число узлов клетчатой бумаги , находящейся внутри многоугольной области с вершинами в узлах сетки , К — число узлов на границе , включая	вершины	, и S — площадь многоугольной области .
Из вершины А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из	вершины	С проводится перпендикуляр к прямой АВ .
11 Прямая l не содержит	вершины	и пересекает две противоположные стороны прямоугольника .
Из	вершины	А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из вершины С проводится перпендикуляр к прямой АВ .
Как построить равносторонний треугольник , одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся	вершины	лежат на двух заданных прямых ? .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а	вершины	лежат внутри этого треугольника .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через	вершины	С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
Из	вершины	А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из вершины А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ .
Из вершины А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из	вершины	А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ .
Пусть А , В , С —	вершины	заданного треугольника , О — центр окружности .
Основание высоты , проведённой из	вершины	В , лежит на стороне АС треугольника АВС .
В каком случае высота треугольника , проведённая из	вершины	, противоположной основанию , не пересекается с основанием ? .
Иными словами , существует перемещение треугольника АВС , при котором его	вершины	А , В , С совмещаются соответственно с вершинами треугольника .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от	вершины	треугольника .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до	вершины	угла , если АР 5 см ? .
Найдите расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от	вершины	угла до точки касания равно 2 см .
4 ) из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой	вершины	.
Проведём в трапеции ABCD из	вершины	В перпендикуляр ВН .
2 В треугольнике медиана совпадает с биссектрисой , проведённой из той же	вершины	.
Найдите расстояние от	вершины	угла до центра окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см .
4 ) из каждой	вершины	, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
2 Могут ли какие - то три	вершины	пятиугольника лежать на одной прямой ? .
В этом случае найти радиус — это найти отрезок стороны АС от	вершины	С до точки касания .
Основание высоты , проведённой из	вершины	В , совпадает с вершиной треугольника АВС .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из	вершины	угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
11 Докажите , что длина медианы треугольника меньше полусуммы сторон , выходящих из той же	вершины	, что и медиана .
Чему равно расстояние от	вершины	равностороннего треугольника со стороной 10 см до точки пересечения его медиан ? .
В каком отношении будет разбита проведёнными отрезками сторона АВ исходного треугольника , считая от	вершины	В ? .
Основание высоты , проведённой из	вершины	В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство .
Например ,	вершины	В и С лежат по разные стороны от прямой а , содержащей сторону AD .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и	вершины	основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
Рассмотрим полуплоскость с границей АС и не содержащую вершину В. В полуплоскости β из	вершины	А проведём луч .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из	вершины	тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две	вершины	четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
С многоугольниками на клетчатой бумаге ,	вершины	которых расположены в узлах , связаны некоторые интересные закономерности .
Какие величины являются приближением сверху для общего	веса	купленной крупы ? .
Предположим , что нам нужно взвесить яблоко на чашечных	весах	, причём каждая гирька , находящаяся в нашем распоряжении , имеет массу 10 граммов .
На многих измерительных приборах —	весах	, термометре , штангенциркуле — вы могли видеть надписи .
Степень числа также можно	возводить	в степень .
4 Как	возводить	в целую степень частное двух ненулевых чисел ? .
Выясните , какими могут быть углы этих равнобедренных треугольников , чтобы все их боковые стороны образовывали	восьмиугольник	, если известно , что .
Продолжая таким образом , получим , что сумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна , выпуклого	восьмиугольника	равна и так далее .
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б )	восьмиугольника	; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
Докажите , что стороны MN и KL	восьмиугольника	с вершинами в этих точках равны .
1.2 В окружность с центром О	вписан	правильный n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
2.4 В окружность с центром О	вписан	некоторый правильный многоугольник , одной из сторон которого является отрезок АВ .
18 В треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см	вписана	окружность .
Окружность	вписанная	.
1.6 Окружность ,	вписанная	в прямоугольный треугольник .
1.3 Окружность ,	вписанная	в прямоугольный треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если	вписанная	в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и	вписанная	окружности .
Пусть	вписанная	в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Таким образом , площадь треугольника равна произведению радиуса	вписанной	окружности на полупериметр .
r — радиус окружности ,	вписанной	в треугольник .
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания	вписанной	окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами .
Найдём радиус окружности ,	вписанной	в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
Применение площади к вычислению радиуса	вписанной	окружности .
По формуле S b рr , где r — радиус	вписанной	окружности .
Меньшая окружность является	вписанной	в треугольник АВС .
Чему равен радиус окружности ,	вписанной	в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
Чему равно значение периметра квадрата , выраженное через радиус	вписанной	окружности ? .
4 Как вычислить радиус	вписанной	в треугольник окружности , зная периметр и площадь треугольника ? .
9 Постройте треугольник по двум углам и радиусу	вписанной	окружности .
19 Найдите радиус окружности ,	вписанной	в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см .
Всякая вневписанная окружность является	вписанной	в два внешних угла и в один внутренний угол треугольника АВС .
1.4 Длина отрезков касательных для окружности ,	вписанной	в треугольник .
Найдём радиус r окружности ,	вписанной	в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
1.3 Чему равен радиус r окружности ,	вписанной	в ромб со стороной 5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? .
21 В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями АВ и CD можно	вписать	окружность .
В какой прямоугольник можно	вписать	окружность ? .
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную трапецию с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно	вписать	окружность ? .
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны , то в него можно	вписать	окружность .
1.4 Чему равны боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно	вписать	окружность ? .
22 В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями АВ b 6 см и CD b 3 см можно	вписать	окружность .
7 В каком случае в четырёхугольник нельзя	вписать	окружность ? .
10 Приведите пример трапеции , в которую нельзя	вписать	окружность .
Сумма	выпуклого многоугольника	.
Сумма внутренних углов	выпуклого многоугольника	.
Аналогично для произвольного	выпуклого многоугольника	можно взять каждую сторону , провести через неё прямую и рассмотреть полуплоскость , содержащую многоугольник .
3.5 Задание	выпуклого многоугольника	пересечением полуплоскостей .
Примером	выпуклого многоугольника	может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
12 Сформулируйте правило о замене левой или правой части неравенства на тождественно равное	выражение	.
Прибавим к обеим частям уравнения	выражение	4у .
Упростите при целых значениях m	выражение	.
Например , в записи слева от знака равенства стоит	выражение	S , а справа от знака равенства стоит выражение υ · t .
Это числовое	выражение	также принято считать значением буквенного выражения при соответствующих числовых значениях букв .
Докажите , что если два выражения А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на	выражение	X получается тождество .
2.5 Замена одной части уравнения на тождественно равное ей	выражение	.
Преобразуем подкоренное	выражение	, выделив в нём квадрат суммы двух чисел .
11 Что произойдёт с множеством решений , если к левой и правой частям неравенства прибавить всюду определённое	выражение	? .
Например , в записи слева от знака равенства стоит выражение S , а справа от знака равенства стоит	выражение	υ · t .
Составим	выражение	и подберём подходящую приближённую формулу для его вычисления .
Буквенное	выражение	.
В неравенстве выражение А(х ) называют левой частью неравенства ,	выражение	В(х ) — правой частью неравенства .
6 Найдите , при каких значениях х отрицательно	выражение	.
7 Из данного тождества умножением на заданное	выражение	получите новое тождество .
В неравенстве	выражение	А(х ) называют левой частью неравенства , выражение В(х ) — правой частью неравенства .
1.4 Всегда ли буквенное	выражение	имеет значение ?
Сначала прибавим к обеим частям	выражение	.
Подставим вместо буквы а	выражение	, вместо буквы b выражение .
Подставим вместо буквы а число 2 на все те места , где встречается буква а , и вместо буквы b	выражение	на все те места , где встречается буква b.
Подставим в обе части тождества вместо буквы а	выражение	на все те места , где встречается буква а .
Прибавим к обеим частям тождества	выражение	.
5 Запишите буквенное	выражение	в виде многочлена .
Прибавив к обеим частям	выражение	-2х , получим .
Приведённые свойства позволяют , например , заменить выражение на равное ему	выражение	.
Приведённые свойства позволяют , например , заменить	выражение	на равное ему выражение .
В неравенстве выражение С ( х ) называют левой частью неравенства ,	выражение	D ( х ) — правой частью неравенства .
В неравенстве	выражение	С ( х ) называют левой частью неравенства , выражение D ( х ) — правой частью неравенства .
1 Упростите	выражение	.
Умножение обеих частей тождества на одинаковое	выражение	.
2.4 Укажите все верные утверждения : 2 )	выражение	является одночленом .
Пусть D(x ) — произвольное всюду определённое	выражение	.
Возьмём после этого	выражение	и запишем равенства .
Рассмотрим теперь	выражение	и запишем равенства .
5 Найдите , при каких значениях х положительно	выражение	.
Прибавим к обеим его частям числовое	выражение	.
1 Какое буквенное	выражение	называют одночленом ? .
Домножим обе его части на	выражение	а .
Поэтому при а - 0	выражение	а0 определённого значения не имеет .
8 Сформулируйте правило умножения частей тождества на одинаковое	выражение	.
Подстановка в	выражение	.
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых выражений равно нулю , то и другое числовое	выражение	равно нулю .
Прибавим к обеим частям этого равенства числовое	выражение	.
Какой многочлен получится , если в многочлен вместо буквы а подставить	выражение	? .
Говорят , что мы произвели подстановку вместо буквы b в	выражение	.
Буквенное	выражение	вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно переменной х .
II Любое числовое	выражение	, не равное нулю , является одночленом нулевой степени .
Получим новое буквенное	выражение	.
Заменим левую часть на тождественно равное	выражение	.
Заменим в этом выражении букву b на	выражение	.
Прибавляя к обеим частям этого равенства числовое	выражение	, получаем числовое равенство .
Рассмотрим буквенное	выражение	.
Пусть D(x ; у ) — произвольное всюду определённое	выражение	.
При каких значениях переменных имеет смысл буквенное	выражение	.
Рассматривая буквенные выражения , иногда для краткости вместо слов « буквенное выражение » будем употреблять слово «	выражение	» .
Рассматривая буквенные выражения , иногда для краткости вместо слов « буквенное	выражение	» будем употреблять слово « выражение » .
Можно сказать , что выражение имеет смысл только при значениях а , не равных нулю , то есть буквенное	выражение	не является всюду определённым .
Заменим правую часть на тождественно равное	выражение	.
Можно сказать , что	выражение	имеет смысл только при значениях а , не равных нулю , то есть буквенное выражение не является всюду определённым .
В левых частях равенств стоит одно и то	выражение	х.
Рассмотрим некоторое буквенное	выражение	, например где а , b , с , d — переменные .
Возьмём , подставим эти числа вместо букв и получим числовое	выражение	.
Рассмотрим теперь буквенное	выражение	.
Для краткости будем говорить , что такое буквенное	выражение	определено всюду или , по - другому , всюду определено .
Рассмотрим доказательство правила 3 : « Пусть D(x ) — произвольное всюду определённое	выражение	.
Если при вычислении значения буквенного выражения выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо числа получится числовое	выражение	.
В этом случае говорят , что	выражение	имеет смысл при любых значениях переменных .
Заметим , что если в буквенное	выражение	, определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять выражение , также определённое всюду , то полученное новое буквенное выражение будет также всюду определено .
Иными словами ,	выражение	0 ° не определено или не имеет смысла .
Заметим , что если в буквенное выражение , определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять	выражение	, также определённое всюду , то полученное новое буквенное выражение будет также всюду определено .
Рассмотрим , например ,	выражение	nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру .
Подставим вместо буквы а выражение , вместо буквы b	выражение	.
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d	выражение	A(d ) не будет больше выражения B(d ) .
Прибавим к обеим частям первого тождества	выражение	b2 .
2.4 При каких значениях а , b , с	выражение	определено ? .
2.3 При каких значениях а , b , с	выражение	не определено ? .
1.2 Среди следующих укажите не буквенное	выражение	.
1.2 Какое	выражение	нужно вычесть из неравенства справа и слева , чтобы получить неравенство ? .
1.1 Укажите буквенное	выражение	среди следующих .
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного уравнения ,	выражение	— правая часть этого уравнения .
В уравнении выражение А(х ) называют левой частью уравнения ,	выражение	В(х ) — правой частью уравнения .
Какой вид будет иметь решение системы уравнений , если подставить во второе уравнение системы вместо неизвестного у равное ему	выражение	? .
Рассмотрим , например , буквенное	выражение	, которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа .
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и высоте h. В данное	выражение	вместо буквы а можно подставлять различные числа .
В уравнении	выражение	А(х ) называют левой частью уравнения , выражение В(х ) — правой частью уравнения .
Подставив это	выражение	вместо а во второе уравнение , получаем .
Какому многочлену равно буквенное	выражение	.
5 Как понимать слова , что «	выражение	имеет смысл при данном наборе значений переменных » ? .
2.9 Замена левой или правой части неравенства на тождественно равное	выражение	.
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового выражения и степеней переменных букв , то постоянное	выражение	принято считать коэффициентом .
Подставив в левую часть второго уравнения вместо неизвестного х равное ему	выражение	, получим уравнение с одним неизвестным .
Какой подстановкой можно получить	выражение	из выражения ? .
Заметим , что если в буквенное выражение , определённое всюду , вместо некоторой буквы подставлять выражение , также определённое всюду , то полученное новое буквенное	выражение	будет также всюду определено .
Пусть А и В два тождественно равных выражения и X — некоторое	выражение	.
1 Что называют линейным	выражением	с одной переменной ? .
Буквенное выражение вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется линейным	выражением	относительно переменной х .
2 Какая величина считается постоянной в буквенном	выражении	? .
1.2 Постоянные и переменные величины в буквенном	выражении	.
Подстановка в буквенном	выражении	.
Заменим в этом	выражении	букву b на выражение .
Буква π используется как удобное обозначение для вполне конкретного числа , то есть буква π является постоянной величиной в	выражении	nR2H .
Поэтому в данном случае буквы a vs кв	выражении	ah являются обозначением переменных величин .
3 Какая величина считается переменной в буквенном	выражении	? .
Аналогичное свойство выполняется для тождественного равенства всюду определённых	выражений	.
1.1 Примеры буквенных	выражений	.
Какие ещё примеры буквенных	выражений	вы знаете ? .
7 Какие примеры буквенных	выражений	, не всюду определённых , вы знаете ? .
Последняя формула может быть полезной при возведении в квадрат разности двух	выражений	.
В этой главе рассматривается тождественное равенство всюду определённых буквенных	выражений	.
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных	выражений	одной буквой можно получить систему линейных уравнений .
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной величины х , при которых значения	выражений	равны » .
Таким образом , для	выражений	можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной величины х , при которых значения выражений равны » .
Однако при х b -3/7 значения обоих	выражений	равны числу 23/7 , то есть имеет место равенство .
Для	выражений	А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны .
2.1 Значения каких из приведённых	выражений	равны 25 ? .
Определение тождественного равенства двух буквенных	выражений	.
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов	выражений	на равенство самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 .
Важным приёмом получения новых тождеств является подстановка в известное тождество вместо букв некоторых буквенных ( или числовых )	выражений	.
Приведённые свойства позволяют исключать промежуточные « звенья » из « цепочки » тождественных преобразований буквенных	выражений	.
Тождественные равенства буквенных	выражений	обладают важными свойствами .
При преобразовании буквенных	выражений	можно применять законы сложения , вычитания и умножения , которые используются при действиях с числовыми выражениями .
Основные правила преобразования всюду определённых буквенных	выражений	можно сформулировать так .
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного равенства многочленов совпадает с определением тождественного равенства буквенных	выражений	.
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов выражений на равенство самих	выражений	, то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 .
3 Как можно записать тождественное равенство двух буквенных	выражений	? .
Тождественное преобразование буквенных	выражений	.
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых	выражений	равно нулю , то и другое числовое выражение равно нулю .
Рассуждения предыдущего пункта можно повторить для	выражений	вида .
В случае , когда ясно , что речь идёт о тождественном равенстве буквенных	выражений	, вместо знака используют знак .
5 Из данного тождества подстановкой вместо букв указанных	выражений	получите новое тождество .
Два всюду определённых буквенных выражения называются тождественно равными , если равны значения этих	выражений	при подстановке вместо букв любых наборов чисел .
Когда важно подчеркнуть , что равенство буквенных	выражений	является тождеством , используют запись .
5 Как вы понимаете тождественные преобразования буквенных	выражений	? .
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений переменных получаются разные значения этих	выражений	, то эти два буквенных выражения не являются тождественно равными .
2.4 Какие из указанных	выражений	равны .
В результате при некотором числовом значении с для числовых	выражений	А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше выражения B(d ) .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных	выражений	А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных	выражений	А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны при всех ненулевых значениях а и о ? .
Использование основных свойств степени позволяет упрощать вычисление значений некоторых числовых	выражений	.
Для буквенных	выражений	С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
Таким образом , для буквенных	выражений	А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
Значения каких из указанных	выражений	равны 0,25 ? .
2.3 Значения каких из указанных	выражений	не равны 2 ? .
Чему равны степени слагаемых многочлена , равного	выражению	? .
Какому	выражению	равно ? .
4 Что означают слова « значение буквенного	выражения	» ? .
Рассмотрим два буквенных	выражения	.
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения	выражения	D ( х ) » .
1.1 Чему равно значение	выражения	.
Докажите , что если два	выражения	А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на выражение X получается тождество .
6 Какие буквенные	выражения	называют определёнными всюду ? .
Чему равно значение	выражения	.
1 Подставьте в формулу	выражения	.
1.2 Чему равно значение	выражения	.
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого	выражения	; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
Тогда	выражения	тождественно равны .
При некоторых числовых значениях переменной х эти	выражения	принимают различные значения .
Какой подстановкой можно получить выражение из	выражения	? .
Числовые	выражения	, не содержащие буквы х , всё равно бывает удобно обозначать через А(х ) , B(x ) , С(х ) , D(x ) , и так далее .
Найдите значение	выражения	.
Всякое натуральное число от 1 до 99 999 999 в двоичном коде можно записать в виде 27-значного	выражения	, используя только цифры 0 и 1 .
Пусть А и В два тождественно равных	выражения	и X — некоторое выражение .
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений переменных получаются разные значения этих выражений , то эти два буквенных	выражения	не являются тождественно равными .
1 Как вы понимаете буквенные	выражения	? .
14 Как доказать равносильность неравенств для любого всюду определённого	выражения	? .
2 Покажите , как выполняя последовательно арифметические операции , из букв и чисел получить	выражения	.
1 Определите , какие буквенные	выражения	определены всюду , а какие нет .
Пусть А(х ) и В(х ) — два буквенных	выражения	, в запись которых входит переменная , обозначенная через х .
9 Выполните подстановку	выражения	вместо переменной х в следующие выражения .
10 Выполните подстановку выражения вместо переменной х вместо переменной у в	выражения	.
2.2 Укажите все	выражения	, значения которых при являются полными квадратами .
7 Сформулируйте правило прибавления к частям тождества одинакового	выражения	.
5 Какие буквенные	выражения	называют многочленами ? .
7 Убедитесь на примерах , что указанные	выражения	имеют равные значения при одинаковых наборах значений переменных букв .
6 Найдите значение	выражения	.
Какие ещё	выражения	, не имеющие смысла , вам известны ? .
5 Найдите значение	выражения	.
Это числовое выражение также принято считать значением буквенного	выражения	при соответствующих числовых значениях букв .
4 Найдите значение	выражения	.
При некотором числовом значении с переменной х эти	выражения	А(с ) и Б(с ) могут принимать различные значения .
Любые два буквенных	выражения	можно соединить знаком равенства .
1 Какие буквенные	выражения	называют тождественно равными ? .
Тогда	выражения	А · X и В · X также тождественно равны .
3 Представьте в виде квадрата некоторого	выражения	.
Числовые	выражения	, не содержащие буквы х , иногда также удобно обозначать через А(х ) , В(х ) и так далее .
Значение буквенного	выражения	.
1 Буквенные	выражения	.
10 Выполните подстановку	выражения	вместо переменной х вместо переменной у в выражения .
Два всюду определённых буквенных	выражения	называются тождественно равными , если равны значения этих выражений при подстановке вместо букв любых наборов чисел .
1.3 Какой из следующих многочленов является результатом подстановки	выражения	вместо переменной х в многочлен ? .
9 Выполните подстановку выражения вместо переменной х в следующие	выражения	.
1.3 Значение буквенного	выражения	.
5 Упростите	выражения	.
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению	выражения	В(х ) » .
3 Упростите	выражения	.
Например , в одночленах и коэффициентами являются	выражения	соответственно .
Для формулировки этих свойств обозначим буквами А , В , С произвольные буквенные	выражения	.
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение	выражения	А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Прибавление к обеим частям тождества одинакового	выражения	.
2 Упростите	выражения	( при натуральных значениях букв ) .
Свойство	выражения	( -а ) .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению	выражения	В(х ) » .
Пусть А , В , С — некоторые буквенные	выражения	.
16 Найдите , при каких значениях х можно вычислить значение	выражения	.
Примерами одночленов могут служить	выражения	.
Слово « високосный » является искажением латинского	выражения	, означающего « дважды шестой » .
Намеченный процесс возведения в степень	выражения	нетрудно продолжить : получив формулу , можно найти формулу для и так далее .
Запись одночлена в виде произведения постоянного числового	выражения	и степеней различных постоянных или переменных букв будем называть стандартной формой одночлена .
Тогда для	выражения	сможем записать равенства .
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше	выражения	B(d ) .
Например , линейными являются	выражения	.
Полученное число 21 является значением буквенного	выражения	при выбранных значениях букв .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения	выражения	В(х ) » .
Значение буквенного	выражения	из предыдущего пункта можно вычислить при любых наборах значений букв .
Рассмотрим два буквенных	выражения	, например .
Если при вычислении значения буквенного	выражения	выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо числа получится числовое выражение .
2.3 Результатом подстановки в некоторый многочлен	выражения	вместо переменной z является .
2.3 Чему равно значение	выражения	.
2.4 Укажите все	выражения	, которые после приведения подобных в многочленах не становятся линейными уравнениями .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение	выражения	А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
Как показать , что	выражения	не являются тождественно равными ? .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение	выражения	С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
Возьмём два	выражения	.
Тождественным преобразованием буквенного	выражения	называют замену этого выражения на тождественно равное ему .
Укажите все	выражения	, являющиеся одночленами .
Для буквенного	выражения	, в запись которого входят некоторые числа и две переменные х и у , будем использовать обозначения А(х , у ) , В(х , у ) и так далее .
Числа , буквы и буквенные	выражения	, которые являются произведением чисел и букв , будем называть одночленами .
12 Найдите значение	выражения	.
Тождественным преобразованием буквенного выражения называют замену этого	выражения	на тождественно равное ему .
Значение	выражения	при .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение	выражения	А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Рассматривая буквенные	выражения	, иногда для краткости вместо слов « буквенное выражение » будем употреблять слово « выражение » .
7 Найдите значение	выражения	.
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового	выражения	и степеней переменных букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом .
2.6 Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же	выражения	.
2.3 Укажите все	выражения	, которые после приведения подобных в многочленах становятся линейными уравнениями .
Уравнение , в котором левая и правая части являются линейными	выражениями	, называется линейным уравнением .
Неравенство , в котором левая и правая части являются линейными	выражениями	, называется линейным неравенством .
С буквенными	выражениями	вы уже встречались .
Например , буквенными	выражениями	являются .
Равенство в формуле отличается от равенства между	выражениями	ab и bа .
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы сложения , вычитания и умножения , которые используются при действиях с числовыми	выражениями	.
Тождествами принято считать также верные равенства между числовыми	выражениями	, вовсе не содержащими переменных букв .
В зависимости от конкретной задачи буквы в	выражениях	могут иметь разный смысл .
Однако может быть , что не все буквы в буквенных	выражениях	обозначают переменные величины .
Например , из равенств следует равенство соответствующих	высот	треугольников АВС .
Вершинами какого четырёхугольника являются концы двух различных	высот	трапеции ? .
1.1 Одна сторона треугольника равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно отношение	высот	, проведённых к этим сторонам ? .
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из	высот	трапеции .
Сколько различных	высот	можно провести из всех вершин параллелограмма ? .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины	высот	этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
2.2 Какую площадь может иметь параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см , у которого одна из	высот	равна 3 см ? .
Чему в рассмотренном примере равно отношение	высот	треугольников АВС и ADC , проведённых к общей стороне АС ? .
2.3 Какую площадь может иметь параллелограмм со сторонами 8 см и 10 см , у которого одна из	высот	равна 9 см ? .
а ) одну из сторон треугольника . б ) одну из	высот	треугольника .
1.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а проведённая к ней	высота	равна 17 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
В каком случае	высота	треугольника , проведённая из вершины , противоположной основанию , не пересекается с основанием ? .
Окружность касается оснований трапеции , поэтому	высота	равна диаметру окружности , то есть равна 4 см .
4 Докажите , что если	высота	и биссектриса , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см	высота	, проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к стороне ВС ? .
3 Докажите , что если	высота	и медиана , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
Основание и	высота	параллелограмма .
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна	высота	, проведённая к стороне ВС ? .
6 В равнобедренной трапеции	высота	, проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Трапеция ,	высота	.
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна	высота	, проведённая к основанию треугольника ? .
9 В треугольнике АВС проведена	высота	АН .
1.3 Чему равна	высота	, проведённая в параллелограмме с площадью 25 см2 к стороне , длина которой равна 4 см ? .
3 Что такое	высота	трапеции ? .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС	высота	равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе	высота	равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
6 Чему равно отношение площадей двух треугольников с равными	высотами	? .
Для наглядности представим слагаемые как площади прямоугольников шириной 1 и	высотами	1 , 2 , 3 , 4 , 5 и изобразим их .
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух равнобедренных треугольников с общим основанием 6 см и проведёнными к нему	высотами	5 см и 7 см ? .
Что вы знаете о	высотах	треугольника ? .
Для вычисления объёма цилиндра по радиусу основания и	высоте	.
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и	высоте	h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа .
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и	высоте	, проведённой к этой стороне .
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и	высоте	, проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
5 Постройте равносторонний треугольник : а ) по стороне ; б ) по	высоте	.
Точка М расположена на	высоте	ВН так , что . Найдите площадь треугольника АМС .
Через точку В проведена прямая ВК , параллельная	высоте	СН треугольника .
6 На	высоте	ВН равнобедренного треугольника с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что .
по основанию и	высоте	, проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
11 Постройте трапецию по основанию ,	высоте	, проведённой к основанию , и диагоналям .
2.4 У каких из следующих параллелограммов площадь равна 36 см2 при данной стороне b и проведённой к этой стороне	высоте	h ? .
5 Постройте треугольник по двум сторонам и	высоте	.
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и	высотой	Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру .
2.1 В каких из указанных случаев трапеция с основаниями а , b и	высотой	h имеет площадь больше 20 см2 ? .
1.1 Чему равна площадь трапеции с основаниями 5 см и 7 см и	высотой	2 см ? .
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и	высотой	h , проведённой к основанию , и найдите площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
Отрезок ОР также является	высотой	трапеции ABCD .
3 Сколько краски потребуется , чтобы с двух сторон покрасить сплошную дверь шириной 82 см и	высотой	2 м 3 см , если на покраску 1 м2 уходит 80 г краски ? .
1 Что считают основанием параллелограмма и	высотой	, проведённой к этому основанию ? .
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют основанием , а отрезок ВН —	высотой	параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию .
Тогда	высотой	, проведённой к основанию , будет ВК b 4 см. Следовательно , по формуле .
Тогда отрезок ВН является	высотой	треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является	высотой	треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Отрезок KL тоже можно считать	высотой	данного параллелограмма , проведённой к основанию AD .
Площадь параллелограмма равна произведению основания на	высоту	, проведённую к этому основанию .
Обозначим длину основания AD буквой а , а	высоту	ВН — буквой h.
Обозначим длины оснований трапеции и её	высоту	буквами а , b и h соответственно , как отмечено .
Проведём	высоту	ВН и найдём .
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований трапеции на её	высоту	.
2 Как к заданному основанию параллелограмма провести его	высоту	? .
а ) сторону а треугольника . б )	высоту	треугольника , проведённую к стороне а .
К основанию АС треугольника АВС проведём	высоту	.
Как доказать , что значение площади параллелограмма не зависит от того , в каком месте проводить	высоту	к данному основанию ? .
В параллелограмме ABCD проведём	высоту	ВН .
Докажите , что проведённые к этим сторонам	высоты	треугольников либо лежат на одной прямой , либо не имеют общих точек .
Обозначим длину основания АС буквой а , длину	высоты	буквой h. Возможны три случая чертежа .
Основание	высоты	, проведённой из вершины В , совпадает с вершиной треугольника АВС .
Проведём	высоты	ВН и СК .
2.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а	высоты	6 см и 8 см. Какие значения площади параллелограмма возможны ? .
7 Найдите площадь параллелограмма , зная его периметр р и	высоты	m и n .
2.2 При каких значениях стороны а и проведённой к ней	высоты	h площадь треугольника равна 66 см2 ? .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как	высоты	одной трапеции .
15 Выразите площадь параллелограмма через две его	высоты	h и Н и периметр Р .
Как показать , что площадь трапеции равна произведению	высоты	трапеции на длину её средней линии ? .
2.2 Какие из указанных значений может иметь длина	высоты	, проведённой к стороне АВ треугольника АВС , если известно , что ВС ? .
Основание	высоты	, проведённой из вершины В , лежит на стороне АС треугольника АВС .
1.2 Если в треугольнике длина стороны 1,2 см , а длина	высоты	к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
На продолжении	высоты	ВН выбрана точка М так , что . Найдите площадь треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 .
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания и	высоты	, проведённой к основанию .
Основание	высоты	, проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство .
В частности , длина	высоты	параллелограмма ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD .
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как	высоты	этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
Если основаниями треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к ним	высоты	совпадают .
Как доказать , что в равнобедренном треугольнике	высоты	, проведённые к боковым сторонам , равны ? .
Разобьём её диагональю BD на два треугольника ABD и BCD и проведём	высоты	ВН и DP .
1.2 Какое выражение нужно	вычесть	из неравенства справа и слева , чтобы получить неравенство ? .
7 Запишите неравенства , которые получатся , если из обеих частей неравенства	вычесть	.
16 Запишите , какое неравенство получится , если из обеих частей неравенства	вычесть	.
Если из всех частей соотношения	вычесть	число 42 , то получим соотношение , то есть дробная часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным числом , меньшим 1 .
Такую сумму можно получить , если из суммы всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА	вычесть	сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
Найдите уменьшаемое и	вычитаемое	.
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти приближённое значение частного при помощи сложений ,	вычитаний	и умножений .
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы сложения ,	вычитания	и умножения , которые используются при действиях с числовыми выражениями .
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения ,	вычитания	, деления .
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения ,	вычитания	, деления .
Площадь треугольника ABL можно получить ,	вычитая	из площади четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML .
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить ,	вычитая	из площади четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML .
Для этого прибавим к нему и	вычтем	из него слагаемое .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая	геометрическая фигура	— трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
5 Что такое выпуклая	геометрическая фигура	? .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные	геометрические фигуры	.
Площадь рамки можно найти , если разбить её на известные	геометрические фигуры	.
11 Как объяснить , что если	геометрические фигуры	G1 и G2 являются выпуклыми , то возможен только один из следующих случаев .
10 Как объяснить , что выпуклыми	геометрическими фигурами	являются : а ) отрезок ; б ) луч ; в ) прямая .
Вы учились вычислять площади многих	геометрических фигур	.
Какие свойства равенства	геометрических фигур	вы знаете ? .
Последовательность ненулевых чисел называют	геометрической прогрессией	, если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю .
5 Какую последовательность называют	геометрической прогрессией	? .
6 Что такое первый член	геометрической прогрессии	? .
Как записать начальные четыре члена	геометрической прогрессии	с первым членом а , и знаменателем q ? .
Это семь начальных членов	геометрической прогрессии	с первым членом и знаменателем .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем	геометрической прогрессии	.
Каким должен быть седьмой член	геометрической прогрессии	из примера 3 ? .
Это пять начальных членов	геометрической прогрессии	с первым членом и знаменателем .
3.8 Выражение последующих членов	геометрической прогрессии	через предыдущие .
Знаменатель	геометрической прогрессии	.
Число называют знаменателем этой	геометрической прогрессии	.
3.7 Пример	геометрической прогрессии	.
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных членов	геометрической прогрессии	с первым членом 3 и знаменателем .
Первый член	геометрической прогрессии	.
7 Что такое знаменатель	геометрической прогрессии	? .
3 Найдите : 4 Запишите n начальных членов	геометрической прогрессии	, если .
Данная последовательность является примером	геометрической прогрессии	.
Поэтому эти последовательно записанные шесть чисел являются начальными членами	геометрической прогрессии	.
Стоящее на первом месте число 2 называют первым членом или первым элементом этой	геометрической прогрессии	.
5 Найдите сумму пяти начальных членов	геометрической прогрессии	, если .
8 Докажите , что круг является выпуклой	геометрической фигурой	.
В новых обозначениях	геометрическую прогрессию	можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
9 В каком случае объединение двух отрезков даёт выпуклую	геометрическую фигуру	? .
Рассмотрим на плоскости два различных луча ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую	геометрическую фигуру	называют углом ЛОВ .
Если	гипотенуза	и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если	гипотенуза	и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Чему равен катет прямоугольного треугольника , если его	гипотенуза	равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? .
Гипотенуза и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны	гипотенузе	и прилежащим к ней углам треугольника .
11 Постройте прямоугольный треугольник по катету и	гипотенузе	.
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по	гипотенузе	и острому углу .
Как построить прямоугольный треугольник по	гипотенузе	и катету ? .
3 ) признак равенства по	гипотенузе	и катету .
Тогда ВСКН — прямоугольник , прямоугольные треугольники АВН и DCK равны по	гипотенузе	и катету .
6 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по	гипотенузе	и катету .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно	гипотенузе	и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Равенство прямоугольных треугольников по катету и	гипотенузе	.
1.5 Равенство прямоугольных треугольников по	гипотенузе	и острому углу .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к	гипотенузе	высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно	гипотенузе	и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета с	гипотенузой	.
Прямоугольные треугольники KPG и KQH имеют одинаковую	гипотенузу	и равные острые углы .
Прямоугольные треугольники АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую	гипотенузу	ОА .
Мы знаем , что в прямоугольном треугольнике катет меньше	гипотенузы	.
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с острым углом в 30 ° один катет равен половине	гипотенузы	.
Пусть в треугольниках углы — прямые и соответственно равны	гипотенузы	равные острые углы .
Поэтому треугольник EFG можно построить только тогда , когда катет EF меньше	гипотенузы	FG , то есть когда .
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой	градус	равен радиан .
Угловой	градус	, угловая минута , угловая секунда .
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой	градус	» , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , « секунда » .
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут «	градус	» , « минута » , « секунда » .
Угловые :	градус	.
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части углового	градуса	, называют угловой минутой и его величину обозначают через 1 ' .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5	градусам	» можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в градусах по Фаренгейту от числового значения температуры С в	градусах	по Цельсию выражается линейной функцией .
В России привычным является измерение температуры в	градусах	по Цельсию ( ° С ) .
Какой температуре в градусах по Цельсию ° С соответствует температура -40 ° F в	градусах	по Фаренгейту ? .
10 Предположим , что угол между стрелками часов измеряется в	градусах	по ходу часовой стрелки от часовой до минутной стрелки .
Сравним значения одной и той же температуры в	градусах	по Цельсию и по Фаренгейту .
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в	градусах	по Фаренгейту от числового значения температуры С в градусах по Цельсию выражается линейной функцией .
Какой температуре в	градусах	по Цельсию ° С соответствует температура -40 ° F в градусах по Фаренгейту ? .
В некоторых странах принято измерять температуру в	градусах	по Фаренгейту ( ° F ) .
Выразите в	градусах	следующие углы .
Пусть , например , нужно измерить в	градусах	плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
температуры воды , измеренной в	градусах	Цельсия , составляют все числа от 0 до 100 .
7 Существует ли правильный многоугольник с внутренним углом в ( 180 - 10 - 6 )	градусов	? .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5	градусов	» .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5	градусов	» или « угол в 5 градусов » .
3 Пусть С обозначает число градусов по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее число	градусов	по шкале Фаренгейта .
Отсчёт	градусов	на транспортире можно производить как по часовой , так и против часовой стрелки .
3 Пусть С обозначает число	градусов	по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее число градусов по шкале Фаренгейта .
6 У каких правильных n - угольников внутренние углы выражаются целым числом	градусов	? .
Угол , который равен одной девяностой части прямого угла , называют угловым	градусом	и его величину обозначают 1 ° .
Если окружность разделить на 360 равных частей , то получатся 360 дуг окружности , каждая из которых соответствует одному угловому	градусу	.
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному	градусу	, то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Переведите в	градусы	по Фаренгейту : -5 ° С , 20 ° С , 80 ° С , -50 ° С , 36 ° С . б )
переведите в	градусы	по Цельсию : 9 ° F , 30 ° F , -15 ° F , 300 ° F , -50 ° F .
7 Найдите значение b , если известно , что	график	линейной функции проходит через точку .
2 Какой	график	имеет линейная функция ? .
Построим	график	функции .
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют	график	уравнения то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое число .
14 Начертите	график	функции .
Этот	график	можно построить , если отметить точки и провести прямую АВ .
13 Начертите	график	функции .
Какой	график	имеет уравнение , рассматриваемое как уравнение с неизвестными х и у ? .
Это значит , что если мы построим график первого уравнения системы , то	график	второго уравнения этой системы будет в точности таким же .
1.2 Укажите уравнение ,	график	которого — две вертикальные прямые .
Аналогично	график	уравнения у совпадает с графиком линейной функции .
4 Как построить	график	линейной функции ? .
Отразив отрезок АВ относительно оси Ох и затем отразив полученную ломаную относительно оси Оу , получим	график	уравнения .
Изобразим на	график	линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых неотрицательны .
8 Какой	график	имеет зависимость , заданная формулой ? .
9 Как построить	график	прямой пропорциональной зависимости ? .
Как построить	график	линейной функции , зная одну точку этого графика и угловой коэффициент ? .
Как выглядит	график	функции , если областью значений переменной х является промежуток ? .
Отсюда следует , что	график	уравнения симметричен относительно осей координат Ох и Oy .
Объединим лучи О А и ОВ и получим	график	функции .
Как построить	график	функции ? .
Это значит , что если мы построим	график	первого уравнения системы , то график второго уравнения этой системы будет в точности таким же .
6 Найдите значение к , если известно , что	график	линейной функции проходит через точку .
При симметрии относительно оси Ох этот график переходит в	график	уравнения .
Начертите	график	зависимости пройденного пути от времени .
Например ,	график	функции у b 2х - 4 можно построить так .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости	график	уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Какой вид имеет линейная функция ,	график	которой проходит через точки А(-1 ; -3 ) и В(2 ; 0 ) ? .
Сначала построим	график	уравнения .
Пусть Г —	график	уравнения .
Наглядное представление о функции даёт её	график	.
Если к , то	график	функции проходит через точки ( 0 ; 0 ) и ( 1 ; к ) .
в ) постройте	график	зависимости ° F от ° С . г )
Если , то	график	функции проходит через точки .
Если , то	график	функции проходит через точки ( 0 ; b ) и , лежащие на координатных осях .
постройте	график	зависимости ° С от ° F .
Построить	график	функции .
10 Какой вид имеет	график	функции .
2 Что представляет собой	график	линейной функции ? .
Из первого уравнения системы выразим у через х и построим	график	функции аналогично тому , как это было сделано в предыдущем пункте .
7 Начертите	график	функции .
12 Начертите	график	функции .
При симметрии относительно оси Ох этот	график	переходит в график уравнения .
Какой вид имеет	график	уравнения ? .
Изобразим	график	функции и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика .
1.1 Какой	график	соответствует функции .
Зная , что графиком уравнения является прямая , получаем , что	график	этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
1.3 Укажите уравнение ,	график	которого перпендикулярен графику уравнения 2у b 7 .
Какой	график	имеет линейная функция .
11 Изобразите на координатной плоскости	график	уравнения .
Изобразим	график	линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых отрицательны .
Как выглядит	график	функции .
1 Постройте	график	линейной функции .
Абсцисса каждой точки	графика	функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
Изобразим график линейной функции и выделим часть точек этого	графика	, абсциссы которых отрицательны .
Полученный луч ОВ без точки О является частью	графика	функции .
Изобразим на график линейной функции и выделим часть точек этого	графика	, абсциссы которых неотрицательны .
Полученный луч ОА является частью	графика	функции для .
Следовательно , для изображения	графика	функции можно рассмотреть два случая .
Возьмём произвольную точку М	графика	уравнения .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 )	графика	уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты .
Иногда для построения графика линейной функции удобно находить точки пересечения	графика	с осями координат .
Объединяя части	графика	, получим представление о графике функции .
Покажем теперь , что все точки	графика	Г уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
Решения второго уравнения представляются точками	графика	функции у.
Отсюда следует , что для построения этого	графика	достаточно определить две различные его точки и провести через них прямую .
Другими словами , все точки	графика	Г уравнения , лежащие в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
Для построения этого	графика	найдём при х 1 значение у b 4 и при х b 2 значение у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём прямую .
Изобразим часть графика функции , выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части	графика	.
Таким образом , все точки	графика	уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , — это все точки луча ОА .
Следовательно , точка R является точкой	графика	Г уравнения .
Изобразим оба	графика	и найдём координаты точки А их пересечения .
В предыдущем пункте показано , что для	графика	Г уравнения при частью графика Г в правой полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) .
В предыдущем пункте показано , что для графика Г уравнения при частью	графика	Г в правой полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) .
Иногда для построения	графика	линейной функции удобно находить точки пересечения графика с осями координат .
Таким образом , все точки	графика	Г уравнения , расположенные в левой полуплоскости , принадлежат лучу , противоположному лучу ОА .
2.5 Построение	графика	линейной функции по точкам пересечения с осями координат .
Таким образом , все точки	графика	уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки луча , противоположного лучу ОА .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек	графика	функции .
Как построить график линейной функции , зная одну точку этого	графика	и угловой коэффициент ? .
Изобразим часть	графика	функции , выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части графика .
Для построения части	графика	в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим уравнение , графиком которого является прямая .
Отрезок АВ этой прямой , лежащий в 1-й четверти , даёт часть	графика	уравнения .
Совместим оба	графика	.
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb )	графика	уравнения .
Эта прямая проходит через отмеченные точки	графика	.
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb )	графика	уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика уравнения .
Эта прямая проходит через любые две различные точки	графика	.
1.3 Точки	графика	прямой пропорциональной зависимости в правой полуплоскости .
Покажем сначала , что все точки луча ОА являются частью	графика	Г уравнения .
В координатной плоскости решения первого уравнения представляются точками	графика	функции .
Для построения	графика	найдём при х 0 значение у -1 и при х 3 значение у 1 .
Изобразим график функции и выделим часть	графика	, изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика .
2.4 Построение	графика	линейной функции по двум различным точкам .
Изобразим график функции и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части	графика	.
Какие точки	графика	линейной функции лежат на координатных осях ? .
2.4 Какие из приведённых рисунков являются	графиками	прямолинейных зависимостей у от х ? .
Связь между	графиками	линейных функций и уравнениями с двумя неизвестными .
Следовательно , точка В , симметричная точке А прямой , расположена на	графике	уравнения .
2.8 О	графике	уравнения .
Точка В расположена на	графике	уравнения , потому что при получаем .
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на	графике	уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения .
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на	графике	уравнения .
Объединяя части графика , получим представление о	графике	функции .
Точка О(0 ; 0 ) также расположена на этом	графике	.
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на	графике	линейной функции .
2.3 Укажите уравнения ,	графики	которых — две перпендикулярные прямые .
Как показать , что	графики	уравнений симметричны относительно оси .
Построим	графики	функций .
Эти линейные функции имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их	графики	являются параллельными прямыми .
10 Как связаны между собой	графики	уравнений ? .
5 Начертите	графики	уравнений .
Как показать , что	графики	уравнений симметричны относительно оси Ох ? .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются линейными , научитесь строить	графики	линейных функций .
Как доказать , что	графики	линейных функций параллельны ? .
1.4 Сколько общих точек имеют	графики	уравнений .
Изображены прямые —	графики	функций .
Примерами графиков функций могут служить	графики	прямых пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей .
2.1 Укажите уравнения ,	графики	которых — две вертикальные прямые .
В общем случае	графики	уравнений симметричны относительно оси Оу .
Следовательно ,	графики	не пересекаются .
Таким образом ,	графики	уравнений симметричны относительно оси Ох .
Решением системы являются координаты общей точки А построенных	графиков	.
1.6 Симметрия	графиков	уравнений .
Отметим точку А пересечения этих	графиков	.
Решите с помощью	графиков	систему уравнений .
1.5 Симметричность	графиков	относительно оси Оу .
10 Найдите с помощью	графиков	приближённое значение корня уравнения .
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении	графиков	в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
Рассмотрим решение с помощью	графиков	системы .
Примерами	графиков	функций могут служить графики прямых пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей .
8 Найдите с помощью	графиков	приближённое значение корня уравнения .
С помощью	графиков	корни линейных уравнений можно представить наглядно .
9 Найдите с помощью	графиков	приближённое значение корня уравнения .
2.11 Решение линейных уравнений с помощью	графиков	.
Решение задач с помощью	графиков	.
7 Что называют	графиком	функции ? .
Прямая АВ является	графиком	функции .
Множество таких пар является	графиком	линейной функции .
Покажем , что	графиком	линейной функции является прямая , которая параллельна прямой .
Построим прямую с уравнением и отметим точки М и К пересечения этой прямой с	графиком	уравнения .
Для построения части графика в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим уравнение ,	графиком	которого является прямая .
Множество таких пар является	графиком	функции .
3 Как доказать , что	графиком	линейной функции является прямая ? .
Иногда прямую , являющуюся	графиком	уравнения , называют прямой .
6 Что называют	графиком	уравнения , где k — фиксированное число ? .
Зная , что	графиком	уравнения является прямая , получаем , что график этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
Аналогично график уравнения у совпадает с	графиком	линейной функции .
Глядя на этот рисунок , естественно предположить , что	графиком	линейной функции является прямая .
7 Как доказать , что	графиком	прямой пропорциональной зависимости является прямая ? .
Заметим , что для любого числа а	графиком	уравнения является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой линейной функции .
Заметим , что для любого числа а графиком уравнения является вертикальная прямая , которая не будет	графиком	никакой линейной функции .
Поэтому	графиком	уравнения также является прямая .
5 Что называют	графиком	прямой пропорциональной зависимости ? .
График уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с	графиком	линейной функции .
Поэтому	графиком	уравнения является прямая , параллельная оси Ох .
7 Что называется	графиком	уравнения с двумя неизвестными ? .
1.2 Какой из рисунков является	графиком	прямой пропорциональной зависимости у от х ? .
Изображение множества решений уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют	графиком	этого уравнения .
При	графиком	уравнения является прямая .
Поэтому точка N принадлежит	графику	уравнения .
Координаты точки О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому точка О принадлежит	графику	Г .
Покажем , что всякая точка луча , противоположного лучу ОА , принадлежит	графику	Г уравнения .
8 Как по	графику	найти значение функции при заданном значении аргумента ? .
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую	графику	Г уравнения .
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую	графику	Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г уравнения .
Следовательно , точка С(f ; g ) не принадлежит	графику	уравнения .
1.3 Укажите уравнение , график которого перпендикулярен	графику	уравнения 2у b 7 .
Таким образом , каждая точка луча ОА принадлежит	графику	Г уравнения .
Тем самым все точки луча , противоположного лучу ОА , принадлежат	графику	Г уравнения .
Пересечением всех таких полуплоскостей будет выпуклая многоугольная область , границей которой является	данный	многоугольник .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить	данный	угол .
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г )	двенадцатиугольника	; д ) двадцатиугольника .
Значение	двоичного	разряда может быть либо 0 , либо 1 .
Для обозначения информации о значении	двоичного	разряда применяется термин бит .
1 Какое наибольшее целое число можно записать четырьмя цифрами в	двоичной	системе счисления ? .
Известно , что электронные вычислительные устройства оперируют с числами , записанными в	двоичном	коде .
Всякое натуральное число от 1 до 99 999 999 в	двоичном	коде можно записать в виде 27-значного выражения , используя только цифры 0 и 1 .
4.5 Примеры использования разложения	двучлена	.
В результате для любого натурального числа n , которое больше 1 , получаем формулу разложения	двучлена	на два множителя .
4.1 Разложение на множители	двучлена	.
4 Разложение на множители	двучлена	.
4.2 Разложение на множители	двучлена	в общем виде .
4.4 Применение разложения	двучлена	к решению некоторых задач на делимость .
5 Найдите внутренние углы правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в )	девятиугольника	; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства	действительных	чисел , поэтому разбирать доказательство мы не будем .
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства	действительных чисел	, поэтому разбирать доказательство мы не будем .
Тогда	деление	сведётся к умножению по формуле .
Совсем исключать	деление	из обихода , конечно же , нет никакого смысла .
1 ) сложение двух многочленов . 2 )	деление	многочлена на число , не равное 0 . 3 )
3 Приведите пример двух неравенств , почленное	деление	которых приводит к неверному результату .
Во всяком случае ,	деление	десятичных дробей на 2 , на 5 или на 10 выполняется достаточно просто .
	Деление	многочлена на многочлен .
Пример с	делением	листа бумаги пополам .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с	делением	на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности .
Как доказать , что числа , где а и b — целые числа , дают одинаковые остатки при	делении	на 7 ? .
Значит , одно из записанных чисел при	делении	на 7 даёт остаток 0 , то есть делится на 7 .
Следовательно , предположение о том , что некоторые два из чисел вида при дают одинаковые остатки при	делении	на 7 , было неверным .
Но при	делении	на 7 могут получаться только следующие остатки : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Предположим , что некоторые два из этих чисел дают одинаковые остатки при	делении	на 7 , то есть .
Таким образом , числа при	делении	на 7 дают семь различных остатков .
Как показать , что любая дробь после нескольких умножений ( или	делений	) на 2 её числителя и знаменателя приводится к виду , когда возможно применение формулы ? .
5 Приближённые формулы для	деления	.
Поэтому является одним из делителей числа 152 , и частное от	деления	152 на даёт число , которое меньше .
Проведём через каждую точку	деления	прямую , параллельную прямой АА1 .
Новые промежутки ещё раз делили пополам и маленькую единицу	деления	называли « румбом » .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек	деления	проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции .
1 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения результата от	деления	единицы на число , близкое к единице ? .
Заметим , что все выкладки выполнены без использования	деления	.
9 Цена	деления	мензурки равна 2 мл .
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , вычитания ,	деления	.
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , вычитания ,	деления	.
26 Каждая сторона трапеции разделена на три равные части и точки	деления	соединены .
На сколько равных частей можно разбить отрезок АС , чтобы точка В была одной из точек	деления	? .
Промежутки между этими направлениями делили пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » Полученные промежутки ещё раз	делили	пополам и новые направления называли тремя словами .
Промежутки между этими направлениями	делили	пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » Полученные промежутки ещё раз делили пополам и новые направления называли тремя словами .
Новые промежутки ещё раз	делили	пополам и маленькую единицу деления называли « румбом » .
11 Проведите через заданную точку прямую , которая	делит	площадь данного параллелограмма пополам .
Докажите , что полученная ломаная	делит	четырёхугольник на две равные по площади части .
2.3 Биссектриса угла в 45 °	делит	его на углы .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она	делит	параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла	делит	этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
Кажется очевидным , что многоугольник	делит	плоскость на две части .
2.4 Точка К на стороне АВ	делит	основание треугольника АВС в отношении .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла ,	делит	большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Это следует из того , что диагональ	делит	ромб на два равных равнобедренных треугольника .
Точка К	делит	DC пополам .
Любой угол	делит	плоскость на две части .
4 Точка В	делит	отрезок АС на части так , что .
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении	делит	площадь трапеции её средняя линия .
В каком отношении эта прямая	делит	стороны СА и СВ ? .
В каком отношении	делит	площадь трапеции её средняя линия ? .
Поэтому можно сказать , что луч ОВ	делит	угол АОС на два равных угла ВО А и СОВ .
Диагональ параллелограмма	делит	его на два равных треугольника .
Прямая m	делит	плоскость на две полуплоскости , обозначенные на буквами а и β .
Покажем , что внутренняя касательная	делит	пополам отрезок внешней касательной в точке их пересечения , то есть AF FB .
Поэтому является одним из	делителей	числа 152 , и частное от деления 152 на даёт число , которое меньше .
Выпишем все	делители	числа 152 : 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 25 , 75 , 225 .
1 ) делится на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 )	делится	на 3 .
1 )	делится	на 5 ; 2 ) делится на 5 .
1 ) делится на 5 ; 2 )	делится	на 5 .
Значит , одно из записанных чисел при делении на 7 даёт остаток 0 , то есть	делится	на 7 .
Укажите все верные утверждения :	делится	на 3 ; делится на 4 ; делится на 5 .
. д )	делится	на 53 .
Укажите все верные утверждения : делится на 3 ;	делится	на 4 ; делится на 5 .
Укажите все верные утверждения : делится на 3 ; делится на 4 ;	делится	на 5 .
Покажем , что число 7100 - 2100	делится	на 45 .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан	делится	точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число	делится	на 3 без остатка .
6 Как доказать , что	делится	на 7 при любом натуральном значении n ? .
Покажем , что число	делится	на 3 .
1.3 На какую наибольшую степень числа 3	делится	без остатка произведение .
Это значит , что для измерения температуры по Фаренгейту промежуток от 0 ° С до 100 ° С	делится	на 180 равных частей , начальной из этих отметок соответствует 32 ° F , следующей за ней отметке соответствует 33 ° F и так далее .
20 Трапеция	делится	диагональю на два треугольника .
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число	делится	на 45 без остатка , что и требовалось показать .
10 Докажите , что а )	делится	на 9 ; б ) делится на 6 ; в ) делится на 11 .
Докажите , что а ) делится на 13 ; б ) делится на 3 ; в ) делится на 13 ; г )	делится	на 181
Как доказать , что	делится	на 7 ? .
Докажите , что а ) делится на 13 ; б ) делится на 3 ; в )	делится	на 13 ; г ) делится на 181
Докажите , что а ) делится на 13 ; б )	делится	на 3 ; в ) делится на 13 ; г ) делится на 181
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что целое число 3у	делится	без остатка на число 7 .
Докажите , что а )	делится	на 13 ; б ) делится на 3 ; в ) делится на 13 ; г ) делится на 181
1 )	делится	на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 ) делится на 3 .
1 ) делится на 2 ; 2 )	делится	на 3 ; 3 ) делится на 5 ; 4 ) делится на 3 .
Отрезки АВ , CD и EF пересекаются в одной точке О и каждый из них	делится	точкой О пополам .
1 ) делится на 2 ; 2 ) делится на 3 ; 3 )	делится	на 5 ; 4 ) делится на 3 .
10 Докажите , что а ) делится на 9 ; б ) делится на 6 ; в )	делится	на 11 .
10 Докажите , что а ) делится на 9 ; б )	делится	на 6 ; в ) делится на 11 .
Так как числа 7 и 3 взаимно просты , то это может быть только в том случае , когда число у	делится	на 7 .
Если взять , то значение — вычислить невозможно , так как на нуль	делить	нельзя .
Тогда разность чисел 33 - 5к и 33 - 51 должна	делиться	на 7 , потому что .
25 Прямые , параллельные основаниям трапеции ,	делят	боковую сторону на три равные части .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL	делят	диагональ АС на три равные части .
2.4 В прямоугольнике ABCD точки К , L , V , О , М	делят	диагонали на равные части .
10 Площадь треугольника АВС равна 99 см2 , а точки М и N	делят	сторону АС на три равные части .
10 Через вершину параллелограмма проведите две прямые , которые	делят	параллелограмм на три части равной площади .
9 Через вершину параллелограмма проведите три прямые , которые	делят	параллелограмм на четыре части равной площади .
Диагонали параллелограмма	делятся	точкой пересечения пополам .
Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения	делятся	пополам , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
3 ) диагонали точкой пересечения	делятся	пополам .
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения	делятся	пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее .
диагонали параллелограмма в точке пересечения	делятся	пополам .
В результате построения получим отрезки АС и BD , которые в точке пересечения	делятся	пополам .
Диагонали параллелограмма в точке пересечения	делятся	пополам , поэтому так как .
По традиции високосными считаются годы , номера которых	делятся	на четыре .
13 В треугольнике АВС через вершину А проведите прямую ,	делящую	площадь треугольника пополам .
Сколько вершин , сколько сторон и сколько диагоналей имеет	десятиугольник	? .
Будем считать	десятичное	приближение 120 276 результатом округления числа 120275,7 до разряда единиц .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является	десятичное	приближение снизу с точностью до 1 .
В этом примере	десятичное	приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ;	десятичное	приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления числа было взято то	десятичное	приближение до второго разряда после запятой , которое расположено « ближе » к заданному числу .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются	десятичное	приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Чему равно	десятичное	приближение снизу для числа 371,240001 с точностью до 10 - 3 ? .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и	десятичное	приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём	десятичное	приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ;	десятичное	приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Будем считать	десятичное	приближение 1 результатом округления числа 0,517 до разряда единиц .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является	десятичное	приближение снизу с точностью до 10-m .
Приближение	десятичное	.
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ;	десятичное	приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
1.4 Чему равно	десятичное	приближение снизу для с точностью до второго разряда после запятой ? .
Чему равно	десятичное	приближение снизу для числа 0,999 с точностью до 1 ? .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является	десятичное	приближение сверху с точностью до 1 .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его	десятичное	приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Другими словами ,	десятичное	приближение 30 000 числа а , равного .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является	десятичное	приближение снизу с точностью до 10 m .
Будем считать	десятичное	приближение 120 280 результатом округления числа 120275,7 до разряда десятков .
Заменим левый конец промежутка на его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его	десятичное	приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого отношения .
Заменим левый конец промежутка на его	десятичное	приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого отношения .
Чему равно	десятичное	приближение сверху для числа 391,240001 с точностью до 103 ? .
Для этого возьмём	десятичное	приближение 120 270 снизу с точностью до 10 , десятичное приближение 120 280 сверху с точностью до 10 и полусумму 120 275 этих десятичных приближений .
В этом случае выбираем	десятичное	приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после запятой .
В примере 1 для числа 42,4056 были найдены	десятичное	приближение 42 снизу и десятичное приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ;	десятичное	приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Для числа а рассмотрим десятичное приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и	десятичное	приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также полусумму этих приближений .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём	десятичное	приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Для числа а рассмотрим	десятичное	приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также полусумму этих приближений .
В примере 1 для числа 42,4056 были найдены десятичное приближение 42 снизу и	десятичное	приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является	десятичное	приближение сверху с точностью до 10 m .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ;	десятичное	приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
В этом случае выбираем	десятичное	приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после запятой .
Для положительного числа b определено также его	десятичное	приближение h сверху с точностью до 10 m.
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его	десятичное	приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём	десятичное	приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Будем считать	десятичное	приближение 0 результатом округления числа 0,47 до разряда единиц .
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его	десятичное	приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является	десятичное	приближение сверху с точностью до 10-m .
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является	десятичное	приближение снизу с точностью до 10 .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ;	десятичное	приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и	десятичное	приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для этого возьмём	десятичное	приближение 120275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений .
В примере 2 для числа 42,4056 были определены	десятичное	приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное неравенство .
В примере 4 для числа 31 415,9 были найдены десятичное приближение 30 000 снизу и	десятичное	приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство .
В примере 2 для числа 42,4056 были определены десятичное приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и	десятичное	приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное неравенство .
Для этого возьмём	десятичное	приближение 0 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 1 сверху с точностью до 1 и полусумму 0,5 этих десятичных приближений .
В примере 4 для числа 31 415,9 были найдены	десятичное	приближение 30 000 снизу и десятичное приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство .
Другими словами ,	десятичное	приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Будем считать результатом округления числа 120 275 до разряда единиц	десятичное	приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу .
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является	десятичное	приближение сверху с точностью до 10 .
Для этого возьмём десятичное приближение 120 270 снизу с точностью до 10 ,	десятичное	приближение 120 280 сверху с точностью до 10 и полусумму 120 275 этих десятичных приближений .
Тогда для положительного числа b определено его	десятичное	приближение d снизу с точностью до 10 m.
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются	десятичное	приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для этого возьмём десятичное приближение 120 275 снизу с точностью до 1 ,	десятичное	приближение 120 276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений .
Для этого возьмём	десятичное	приближение 120 275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120 276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений .
а ) какое - нибудь его	десятичное	приближение снизу не являться его приближением сверху .
какое - нибудь его	десятичное	приближение сверху не являться его приближением сверху ? .
Для этого возьмём десятичное приближение 0 снизу с точностью до 1 ,	десятичное	приближение 1 сверху с точностью до 1 и полусумму 0,5 этих десятичных приближений .
Для этого возьмём десятичное приближение 120275 снизу с точностью до 1 ,	десятичное	приближение 120276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих десятичных приближений .
8 Найдите последнюю цифру в	десятичной	записи числа .
Рассмотрим положительное число а , записанное в виде	десятичной	дроби , например а 42,4056 .
Если возьмём основание , равное	десятичной	дроби 0,2 .
Найдём последнюю цифру в	десятичной	записи числа 3100 .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к	десятичному	приближению 42,40 .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к	десятичному	приближению 30 000 .
Возьмём положительную	десятичную	дробь , которая не является целым числом , например , а 42,4056 .
Возьмём	десятичную	дробь а b -42,4056 .
Возьмём	десятичную	дробь а b -31 415,9 .
Снова возьмём	десятичную	дробь а -42,4056 .
Возьмём	десятичную	дробь а 42,4056 .
8 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 3для разности .
11 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 102для числа .
Рассмотрим число а 5,29817 , которое имеет те же самые	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же полусумму этих приближений , что и в примере 1 .
4 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 1 для суммы .
3 Найдите	десятичные	приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для обыкновенных дробей .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
10 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 100 для произведения .
Аналогично для любого положительного числа определяются	десятичные	приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других целых разрядных единиц .
Аналогично для любого положительного числа определяются	десятичные	приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других дробных разрядных единиц .
7 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 10 1 для произведения .
9 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 4 для числа .
Рассмотрим число а 5,295 , которое имеет те же самые	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же полусумму этих приближений , что и в примерах 1 и 2 .
3 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до 103 для суммы .
11 Как находятся	десятичные	приближения снизу ( сверху ) с данной точностью для отрицательного числа ? .
4 Что называется	десятичным	приближением положительного числа сверху с точностью до 1 ? .
Число -42	десятичным	приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 1 .
3 Что называется	десятичным	приближением положительного числа снизу с точностью до 1 ? .
7 Что называется	десятичным	приближением положительного числа снизу с точностью до 101 ? .
Число -42,41	десятичным	приближением снизу для отрицательного числа а , равного -42,4056 , с точностью до 0,01 .
5 Что называется	десятичным	приближением положительного числа снизу с точностью до 0,01 ? .
9 Что называется	десятичным	приближением положительного числа снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m — натуральное число ? .
Будем считать число -43	десятичным	приближением снизу для отрицательного числа а , равного -42,4056 , с точностью до 1 .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000	десятичным	приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
Число -42,40	десятичным	приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 0,01 .
6 Что называется	десятичным	приближением положительного числа сверху с точностью до 0,01 ? .
8 Что называется	десятичным	приближением положительного числа сверху с точностью до 104 ? .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000	десятичным	приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
Число -h мы будем называть	десятичным	приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b .
10 Что называется	десятичным	приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для положительного числа , где m — натуральное число ? .
Может ли число 0 быть	десятичным	приближением с некоторой точностью для отрицательного числа ? .
Для числа 2,01 его десятичным приближением снизу с точностью до 0,01 является число 2,01 ; его	десятичным	приближением сверху с точностью до 0,01 является число 2,02 .
Число -d мы будем называть	десятичным	приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного числа -b .
Для него	десятичным	приближением снизу с точностью до 1 является число 4240 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является число 4241 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является число 4240 ,	десятичным	приближением сверху с точностью до 1 является число 4241 .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным числом , его целая часть , равная самому числу d , называется	десятичным	приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
Число 42,40 называется	десятичным	приближением снизу числа а с точностью до 0,01 .
Число 42,41 называется	десятичным	приближением сверху числа а с точностью до 0,01 .
Число 43 называется	десятичным	приближением сверху числа а с точностью до 1 .
2.4 В каких случаях указанное натуральное число является	десятичным	приближением сверху для соответствующего второго числа ? .
В случае , когда 100d является целым положительным числом , само число d называют	десятичным	приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
В случае , когда 100d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется	десятичным	приближением сверху с точностью до 0,01 .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным числом , его целая часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется	десятичным	приближением сверху с точностью до 1 .
Для него	десятичным	приближением снизу с точностью до 1 является число 3 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является число 4 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является число 3 ,	десятичным	приближением сверху с точностью до 1 является число 4 .
Число 30 000 называется	десятичным	приближением снизу числа а с точностью до 101 .
Число 40 000 называется	десятичным	приближением сверху числа а с точностью до 104 .
Число 42 называется	десятичным	приближением снизу числа а с точностью до 1 .
Для числа 2,01 его	десятичным	приближением снизу с точностью до 0,01 является число 2,01 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 является число 2,02 .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется	десятичным	приближением сверху с точностью до 104 .
Для числа 2 000 000 его	десятичным	приближением снизу с точностью до 104 является число 2 000 000 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 104 является число 2 010 000 .
Для числа 2 000 000 его десятичным приближением снизу с точностью до 104 является число 2 000 000 ; его	десятичным	приближением сверху с точностью до 104 является число 2 010 000 .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным числом , само число d называют	десятичным	приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Для записи приближённого значения с восемью	десятичными	знаками каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются	десятичными	приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? .
Для этих	десятичных	приближений числа а выполняется двойное неравенство .
Для этого возьмём десятичное приближение 120 270 снизу с точностью до 10 , десятичное приближение 120 280 сверху с точностью до 10 и полусумму 120 275 этих	десятичных	приближений .
Будем называть округлением числа замену его на одно из	десятичных	приближений .
Для этого возьмём десятичное приближение 120275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих	десятичных	приближений .
Какие из следующих	десятичных	дробей являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных дробей ? .
Рассмотрим теперь общее понятие	десятичных	приближений положительного числа а .
Для этого возьмём десятичное приближение 120 275 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 120 276 сверху с точностью до 1 и полусумму 120275,5 этих	десятичных	приближений .
Какое из	десятичных	приближений отрицательного числа — сверху или снизу — может совпасть с этим числом ? .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех	десятичных	знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди	десятичных	знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Во всяком случае , деление	десятичных	дробей на 2 , на 5 или на 10 выполняется достаточно просто .
Для этого возьмём десятичное приближение 0 снизу с точностью до 1 , десятичное приближение 1 сверху с точностью до 1 и полусумму 0,5 этих	десятичных	приближений .
Примеры	десятичных	приближений отрицательных чисел .
31415,9 , получено отбрасыванием всех	десятичных	знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
По аналогии с рассмотренными примерами 6 - 8 сформулируем общее определение	десятичных	приближений отрицательного числа .
3 Округление	десятичных	дробей .
1 Округлите следующие числа до разряда	десятков	.
Чему равен результат округления числа 204,2013 до разряда	десятков	? .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до разряда	десятков	является число -120 280 .
Аналогично определяются округления положительного числа до разряда сотен , тысяч ,	десятков	тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
1.4 Какова абсолютная погрешность округления числа 2112,2 до	десятков	? .
В примере 8 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до разряда	десятков	является число 120 280 .
Сформулируем правило округления положительного числа до разряда	десятков	.
7 Сформулируйте правило округления положительного числа до разряда	десятков	.
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда	десятков	является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Будем считать десятичное приближение 120 280 результатом округления числа 120275,7 до разряда	десятков	.
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда	десятков	является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
3.5 Округление положительного числа до разряда	десятков	.
Округлим число 120275,7 до разряда	десятков	.
Аналогично определяются округления отрицательного числа до разряда сотен , тысяч ,	десятков	тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
а ) по двум соседним сторонам и	диагонали	.
Аналогичное рассуждение можно провести и для	диагонали	BD .
12 На	диагонали	параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые , параллельные сторонам параллелограмма .
2 )	диагонали	перпендикулярны .
12 Постройте трапецию по разности оснований , боковым сторонам и одной	диагонали	.
5 Найдите приближённую длину	диагонали	квадрата , сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
1 В трапеции ABCD проведены	диагонали	, пересекающиеся в точке Е. Докажите , что углы треугольников ВСЕ и DAE соответственно равны .
Сколько плоских углов образуют	диагонали	квадрата с его сторонами ? .
6 Найдите приближённую длину	диагонали	прямоугольника со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
1 )	диагонали	перпендикулярны .
2.4 В прямоугольнике ABCD точки К , L , V , О , М делят	диагонали	на равные части .
3 )	диагонали	являются биссектрисами углов .
Так как	диагонали	параллелограмма точкой пересечения делятся пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее .
6 Середина одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединена с концами другой	диагонали	.
8 Постройте прямоугольник по одной из сторон и	диагонали	.
Обозначим буквой О точку пересечения прямых , содержащих его	диагонали	.
На прямой , проходящей через точки А и С , от точки О отложим отрезок ОР , равный	диагонали	АС .
Проведём	диагональ	АС и рассмотрим треугольники ADC и АВС , у которых сторона АС общая .
Это следует из того , что	диагональ	делит ромб на два равных равнобедренных треугольника .
8 В четырёхугольнике ABCD	диагональ	АС является биссектрисой угла .
Проведём	диагональ	АС , которая разбивает каждый из углов А и С пятиугольника на две части .
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то	диагональ	АС — биссектриса углов А и С ? .
Как доказать , что в четырёхугольнике ABCD углы В и D равны , если	диагональ	АС является биссектрисой углов А и С ? .
Проведём его	диагональ	АС .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём	диагональ	МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является ромбом ,	диагональ	АС является биссектрисой углов с вершинами А и С Какие из равенств верны ? .
7 Как показать , что	диагональ	ромба не может быть перпендикулярна его стороне ? .
В каждом выпуклом или невыпуклом четырёхугольнике можно провести	диагональ	, которая разбивает четырёхугольник на два треугольника .
6 Как показать , что	диагональ	прямоугольника не может быть перпендикулярна его стороне ? .
Возьмём выпуклый четырёхугольник ABCD и проведём его	диагональ	, например диагональ АС , разрезающую четырёхугольник ABCD на два треугольника АВС и ADC .
Возьмём выпуклый четырёхугольник ABCD и проведём его диагональ , например	диагональ	АС , разрезающую четырёхугольник ABCD на два треугольника АВС и ADC .
Другая	диагональ	АС проходит вне четырёхугольника ABCD .
Проведя отрезок BD , получим	диагональ	четырёхугольника ABCD , которая проходит внутри четырёхугольника .
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести	диагональ	BD , то величины углов АВС и ADC также выражаются через углы треугольников ABD и DCB .
Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник KLMN ,	диагональ	КМ которого расположена внутри четырёхугольника .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят	диагональ	АС на три равные части .
Разобьём её	диагональю	BD на два треугольника ABD и BCD и проведём высоты ВН и DP .
параллелограмм с проведённой	диагональю	. 2 ) правильный треугольник с проведённой средней линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
20 Трапеция делится	диагональю	на два треугольника .
1.4 Какую наибольшую площадь может иметь параллелограмм со стороной 6 см и	диагональю	10 см ? .
Разобьём параллелограмм	диагональю	BD на два равных треугольника ABD и BCD .
Разобьём выпуклый четырёхугольник ABCD	диагональю	АС на два треугольника АВС и ADC .
10 Параллелограмм ABCD разбит	диагональю	BD на два треугольника , и в треугольниках ABD и BCD проведены все медианы .
по двум	диагоналям	и углу между ними .
10 Постройте трапецию по основаниям и	диагоналям	.
деталь весит 122 г . ё ) 1 м равен 1000 мм . ж )	диаметр	велосипедного колеса равен 630 мм .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из окружности с хордой , не являющейся	диаметром	.
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её	диаметру	.
Окружность касается оснований трапеции , поэтому высота равна	диаметру	окружности , то есть равна 4 см .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение	длин	которых равно отношению натуральных чисел .
сумма	длин	диагоналей параллелограмма меньше его периметра .
сумма	длин	диагоналей параллелограмма больше его периметра .
сумма длин диагоналей параллелограмма меньше суммы	длин	любых двух его сторон .
6 Каким свойством обладают суммы	длин	противоположных сторон описанного четырёхугольника ? .
сумма	длин	диагоналей параллелограмма меньше суммы длин любых двух его сторон .
сумма длин диагоналей параллелограмма больше суммы	длин	любых двух его сторон .
сумма	длин	диагоналей параллелограмма больше суммы длин любых двух его сторон .
Чему равна сумма	длин	отрезков АК и DL ? .
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника суммы	длин	противоположных сторон равны , то в него можно вписать окружность .
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения	длин	.
Площадь любого квадрата со стороной , равной выбранной единице измерения	длин	, равна соответствующей единице измерения площади .
Как показать , что для	длин	отрезков AD , KN , СЕ , МО имеет место пропорция ? .
12 Докажите , что сумма	длин	всех медиан треугольника меньше периметра этого треугольника .
Чему равно отношение	длин	отрезков ? .
Суммы	длин	противоположных сторон описанного около окружности четырёхугольника равны между собой .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что	длина	дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
1.3 Чему равна высота , проведённая в параллелограмме с площадью 25 см2 к стороне ,	длина	которой равна 4 см ? .
При каких значениях R и r	длина	отрезка CD равна 5 см ? .
1.4 Чему равна	длина	общей хорды двух равных окружностей с радиусом 50 см , расстояние между центрами которых равно 60 см ? .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна	длина	отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Чему равна	длина	меньшего из оснований этой трапеции ? .
8 Из пассажирского поезда некто заметил , что встречный товарный поезд прошёл мимо за 10 с. Определите скорость товарного поезда , если известно , что его	длина	250 м , а скорость пассажирского поезда равна 50 км / ч .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз	длина	окружности больше длины удвоенного радиуса .
Чему равна	длина	каждого куска проволоки ? .
2.2 Какие из указанных значений может иметь	длина	высоты , проведённой к стороне АВ треугольника АВС , если известно , что ВС ? .
Чему равна	длина	отрезка СК касательной к окружности ? .
Методы приблизительного подсчёта больших количеств возникли , в частности , в связи с задачами измерения таких величин , как	длина	, время , масса , температура и некоторые другие .
Когда отцепили по 6 вагонов от каждого состава ,	длина	одного состава стала в 4 раза больше длины другого состава .
Чему в рассмотренном примере равна	длина	отрезка BN ? .
4 От дома до школы 500 м , а	длина	шага у Пети 50 5 см. Сосчитав число шагов по дороге в школу и обратно , Петя обнаружил , что результаты различаются на 220 шагов .
Если окружность имеет радиус r , то	длина	окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
1.3 В трапеции	длина	средней линии равна 4,8 см , а отношение оснований равно 3 : 5 .
14 Отрезок MN параллелен основаниям трапеции , его	длина	равна 11 см. Найдите основания трапеции , если .
При каких из указанных способов выбора точки М	длина	отрезка ML будет больше половины длины отрезка ВС ? .
В частности ,	длина	высоты параллелограмма ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD .
При каких способах выбора точки К	длина	отрезка МР будет меньше одной трети медианы AM ? .
2.3 Какие из расстояний могут быть пройдены в одном направлении за 100 шагов , если	длина	каждого шага - .
Чему равна	длина	отрезка MN , если ВС b 21 см ? .
11 Докажите , что	длина	медианы треугольника меньше полусуммы сторон , выходящих из той же вершины , что и медиана .
1.2 Если в треугольнике длина стороны 1,2 см , а	длина	высоты к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
1.2 Если в треугольнике	длина	стороны 1,2 см , а длина высоты к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
Периметр треугольника равен удвоенной	длине	отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
Они равны по	длине	половине периметра треугольника АВС .
27 В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды	длиной	R и .
1 Прямоугольный участок	длиной	8 км имеет площадь 400 га .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ	длиной	8 см ? .
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и	длиной	20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного параллелепипеда .
Разобьём отрезок АВ на 4 равные части	длиной	— АВ , а отрезок ВС на 7 равных частей длиной у ВС. Так как , то .
1.3 Чему равен радиус r окружности , вписанной в ромб со стороной 5 см и диагоналями	длиной	6 см и 8 см ? .
Разобьём отрезок АВ на 4 равные части длиной — АВ , а отрезок ВС на 7 равных частей	длиной	у ВС. Так как , то .
Фигура , центрально симметричная	длиной	фигуре относительно точки О , может быть получена поворотом вокруг точки О на 180 ° .
2.4 Две средние линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть	длиной	стороны треугольника ? .
2 Диагонали прямоугольника	длиной	24 см пересекаются под углом в 60 ° .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите	длину	отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
Найдите	длину	отрезка общей внешней касательной , если .
Обозначим	длину	отрезков AM , BN , СК и DL соответственно буквами х , у , z и t. Тогда .
Найдите	длину	этой касательной , если .
7 В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и D. Найдите	длину	отрезка KL , если известно , что .
Катет О1Н имеет	длину	R1 - R2 .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим	длину	отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Как показать , что площадь трапеции равна произведению высоты трапеции на	длину	её средней линии ? .
5 Найдите приближённую	длину	диагонали квадрата , сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
Обозначим	длину	основания AD буквой а , а высоту ВН — буквой h.
Отрезок ВН имеет	длину	, равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из высот трапеции .
Обозначим	длину	каждого такого отрезка через m. Тогда , а поэтому .
Обозначим длину основания АС буквой а ,	длину	высоты буквой h. Возможны три случая чертежа .
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим	длину	их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Найдите	длину	отрезка LJ , если известно , что .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет	длину	2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
6 Найдите приближённую	длину	диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет	длину	5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет	длину	19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите	длину	средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Обозначим	длину	основания АС буквой а , длину высоты буквой h. Возможны три случая чертежа .
1.1 Длины сторон треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую	длину	имеет одна из средних линий этого треугольника ? .
15 Через точку М , данную вне окружности О , проведите прямую так , чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В и отрезок АВ имел заданную	длину	.
Найдите	длину	средней линии трапеции AFGD , если известно , что .
Каковы приближённые значения	длины	отрезка , абсолютная погрешность которых не больше 0,7 мм ? .
Найдите	длины	сторон прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь .
Может ли точное значение	длины	равняться .
1 Найдите площадь ромба , если	длины	его диагоналей равны : а ) 3 см и 4 см ; б ) 5 см и 11 см ; в ) 1,25 дм и 0,39 дм .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть	длины	сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению	длины	окружности к её диаметру .
2.2 В треугольнике средние линии равны 3 см , 3 см и 5 см. Отрезки какой	длины	могут быть сторонами этого треугольника ? .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления площади прямоугольного треугольника , где а и b —	длины	катетов .
2.3 В треугольнике медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны	длины	отрезков медиан , отделяемых точкой их пересечения ? .
Какое приближённое значение	длины	гарантирует наименьшую оценку абсолютной погрешности ? .
2.4 Две средние линии треугольника имеют	длины	8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть длиной стороны треугольника ? .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём	длины	оснований трапеции .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите	длины	высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
1.3 При измерении	длины	бревна получились приближения снизу 5,25 м и сверху 5,26 м .
Обозначим MN х , NK a , KL у. Через величины х , а , у можно выразить	длины	следующих отрезков , имеющихся на чертеже .
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b —	длины	сторон прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения длин .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки ,	длины	которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления длины отрезка АК касательной , если известны	длины	сторон треугольника .
Когда отцепили по 6 вагонов от каждого состава , длина одного состава стала в 4 раза больше	длины	другого состава .
Обозначим	длины	оснований трапеции и её высоту буквами а , b и h соответственно , как отмечено .
Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления	длины	отрезка АК касательной , если известны длины сторон треугольника .
Даны отрезок	длины	а , угол с вершиной А и точка В на одной из сторон угла .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку	длины	R .
Найдите	длины	этих отрезков , если .
1.2 Сколько можно построить не равных равнобедренных треугольников , у которых	длины	двух сторон равны 4 см и 4 см ? .
Найдите	длины	боковых сторон трапеции .
17 На данной прямой найдите такую точку , чтобы касательные , проведённые из неё к данной окружности , были данной	длины	.
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а	длины	отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
При каких из указанных способов выбора точки М длина отрезка ML будет больше половины	длины	отрезка ВС ? .
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения	длины	строятся описанная и вписанная окружности .
Однако , при соединении концов двух параллельных отрезков LK и DC равной	длины	может получиться не четырёхугольник .
Докажите , что	длины	отрезков , на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами .
Выбирая в качестве приближения для отношения середину последнего промежутка , получим 0,875 с абсолютной погрешностью , не превосходящей половины	длины	промежутка [ 0,86 ; 0,89 ] .
Каковы	длины	всех сторон треугольника АВС ? .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше	длины	удвоенного радиуса .
В каких из приведённых случаев выбора	длины	основания ВС отрезки ВК и CL не имеют общей точки ? .
Примеры	доказательств	.
Утверждения , принимаемые за основу без	доказательств	, называются аксиомами .
Для	доказательства	равенства треугольников применяют ещё одно утверждение .
3.5 Пример	доказательства	равносильности нестрогих неравенств .
Для	доказательства	равенства треугольников иногда применяют другое утверждение .
4.7 Анализ	доказательства	.
При изучении геометрии на первый план выходят логические рассуждения , то есть	доказательства	.
2.3 Пример	доказательства	равенства площадей .
2.12 Пример	доказательства	равносильности неравенств .
Точно так же не вызывают удивления первый признак равенства треугольников , возможность откладывания углов и отрезков — утверждения , которые мы принимали без	доказательства	.
Одним из свойств , используемых при	доказательстве	неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
При	доказательстве	мы опирались на то , что отрезки АD и ВС не пересекаются .
Рассмотрим	доказательство	, которое приводилось в предыдущем пункте .
5 Сформулируйте теорему о медианах треугольника и приведите её	доказательство	.
Как провести	доказательство	.
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства действительных чисел , поэтому разбирать	доказательство	мы не будем .
Разберём	доказательство	третьего основного свойства степени для целых показателей .
4 Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и приведите её	доказательство	.
Как и в предыдущем пункте ,	доказательство	этого утверждения сводится к простому рассуждению .
Однако	доказательство	этого утверждения сложное .
Разберём	доказательство	второго основного свойства степени для целых показателей .
Расскажите , как проводится	доказательство	этого свойства .
Рассмотрим	доказательство	правила 3 : « Пусть D(x ) — произвольное всюду определённое выражение .
Разберём	доказательство	теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
По аналогии с	доказательством	теоремы о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
Для сравнения между собой обратных к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства	домножить	на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
1.4 Какая из следующих	дробей	является наибольшей ? .
3 Найдите десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для обыкновенных	дробей	.
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих обыкновенных	дробей	? .
Какие из следующих десятичных дробей являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных	дробей	? .
Во всяком случае , деление десятичных	дробей	на 2 , на 5 или на 10 выполняется достаточно просто .
3 Округление десятичных	дробей	.
2.2 Целые части каких из следующих чисел являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных	дробей	? .
Какие из следующих десятичных	дробей	являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных дробей ? .
5 Определите абсолютную погрешность при замене	дроби	0,8432 приближённым значением .
Если возьмём основание , равное десятичной	дроби	0,2 .
Если пренебречь малым слагаемым -х2 в знаменателе последней	дроби	, то её величина также мало изменится и получится .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой	дроби	, а затем представим её как произведение числителя и величины , обратной к знаменателю .
Рассмотрим положительное число а , записанное в виде десятичной	дроби	, например а 42,4056 .
1.2 Чему равна	дробная	часть произведения ? .
2.1 Целая и	дробная	части положительного числа .
1.3 Чему равна	дробная	часть от числа ? .
Если из всех частей соотношения вычесть число 42 , то получим соотношение , то есть	дробная	часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным числом , меньшим 1 .
2 Как вы понимаете слова «	дробная	часть положительного числа » ? .
12 Как определяется	дробная	часть числа ? .
4.7 Функция «	дробная	часть х » .
В этой записи число 42 называют целой частью числа а , число 0,4056 называют	дробной	частью числа а .
Другими словами , число 42 получено из числа а отбрасыванием стоящих после запятой всех знаков	дробной	части .
Определим	дробную	часть числа х как разность .
6 Найдите	дробную	часть произведения .
2 Найдите	дробную	часть суммы .
Изучая произведение	дробных	чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Аналогично для любого положительного числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других	дробных	разрядных единиц .
Какими свойствами обладает понятие равенства целых и	дробных	чисел ? .
Возьмём положительную десятичную	дробь	, которая не является целым числом , например , а 42,4056 .
Составим обратную к х	дробь	, а затем умножим её числитель и знаменатель на .
Возьмём десятичную	дробь	а 42,4056 .
Преобразуем эту	дробь	так , чтобы стало возможным использование приближённой формулы .
Как показать , что любая	дробь	после нескольких умножений ( или делений ) на 2 её числителя и знаменателя приводится к виду , когда возможно применение формулы ? .
Снова возьмём десятичную	дробь	а -42,4056 .
Возьмём десятичную	дробь	а b -31 415,9 .
Возьмём десятичную	дробь	а b -42,4056 .
Если окружность разделить на 360 равных частей , то получатся 360	дуг	окружности , каждая из которых соответствует одному угловому градусу .
Свойства	дуг	окружности .
Для любых углов с общей вершиной О и для	дуг	этой окружности выполняются свойства .
И наоборот , если	дуга	KLM равна дуге MNP , то угол КОМ равен углу МОР .
Каждая такая	дуга	является полуокружностью .
15 угол КОМ равен углу МОР , то	дуга	KLM равна дуге MNP .
15 угол КОМ равен углу МОР , то дуга KLM равна	дуге	MNP .
И наоборот , если дуга KLM равна	дуге	MNP , то угол КОМ равен углу МОР .
2 ) Если	дуги	, принадлежащие плоским углам , равны , то и плоские углы равны .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на	дуги	, соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Какую часть окружности образуют	дуги	, принадлежащие двум смежным углам с вершиной в центре окружности ? .
Если окружность разделить на 2 равные части , то получатся две	дуги	окружности , соответствующие развёрнутому углу .
1 ) Если плоские углы равны , то равны и	дуги	окружности , принадлежащие соответствующим плоским углам .
Если окружность разделить на 4 равные части , то получатся четыре	дуги	окружности , каждая из которых соответствует прямому углу .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина	дуги	АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
Затем из точки Q радиусом PR описываем дугу , которая пересечётся с первой	дугой	в точке S. Докажем , что прямая PS будет параллельна прямой CD .
Будем считать эту	дугу	соответствующей плоскому углу АОВ .
На сколько равных частей нужно разделить окружность , чтобы получить	дугу	"окружности , соответствующую углу в 1 "" ? ."
Радиусом PQ описываем	дугу	с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский угол АОВ с вершиной О. Этот угол содержит	дугу	данной окружности .
Затем из точки Q радиусом PR описываем	дугу	, которая пересечётся с первой дугой в точке S. Докажем , что прямая PS будет параллельна прямой CD .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем	дугу	PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
Аналогично для любого положительного числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других целых разрядных	единиц	.
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до разряда	единиц	является число 20 , то результат округления исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда	единиц	является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
Результатом округления числа 2,0132013 до разряда	единиц	является число 2 , поэтому результат округления исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,517 до разряда	единиц	является число -1 .
если цифра разряда	единиц	в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
В примере 7 было определено , что результатом округления числа 0,517 до разряда	единиц	является число 1 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,47 до разряда	единиц	является число 0 .
В примере 6 было определено , что результатом округления числа 0,47 до разряда	единиц	является число 0 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120 275 до разряда	единиц	является число -120 275 .
В примере 5 было определено , что результатом округления числа 120 275 до разряда	единиц	является число 120 275 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до разряда	единиц	является число -120 276 .
В примере 4 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до разряда	единиц	является число 120 276 .
Если цифра разряда	единиц	в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Чему равен результат округления числа 120275,4999 до разряда	единиц	? .
3 Округлите следующие числа до разряда	единиц	.
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда	единиц	является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
6 Как оценивается абсолютная погрешность округления до разряда	единиц	? .
Будем считать результатом округления числа 120 275 до разряда	единиц	десятичное приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу .
Сформулируем правило округления положительного числа до разряда	единиц	.
Будем считать десятичное приближение 1 результатом округления числа 0,517 до разряда	единиц	.
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат округления числа 25782,15 : а ) до разряда	единиц	; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
3.4 Округление положительного числа до разряда	единиц	.
5 Сформулируйте правило округления положительного числа до разряда	единиц	.
Округлим число 120275,7 до разряда	единиц	.
Округлим число 0,47 до разряда	единиц	.
Будем считать десятичное приближение 120 276 результатом округления числа 120275,7 до разряда	единиц	.
Как с помощью степени числа 10 записать результат округления числа 10,01 до разряда	единиц	? .
Округлим число 120 275 до разряда	единиц	.
Будем считать десятичное приближение 0 результатом округления числа 0,47 до разряда	единиц	.
Округляя число 1529,3 до разряда	единиц	, получим 1529 .
Округлим число 0,517 до разряда	единиц	.
Аналогично для любого положительного числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других дробных разрядных	единиц	.
ХАОВ b 1 (	единица	измерения ) ;
Величина прямого угла как	единица	измерения плоских углов .
2.11 Радиан как	единица	измерения плоских углов .
Чему равна в таких	единицах	.
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых	единицах	измерения длины строятся описанная и вписанная окружности .
В каких	единицах	обычно измеряют площадь комнаты ? .
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон прямоугольника , выраженные в одних	единицах	измерения длин .
Докажите , что площадь кольца между этими окружностями в соответствующих	единицах	измерения площади равна π .
20 Стороны треугольника в некоторых	единицах	измерения выражаются целыми чётными числами .
Площадь любого квадрата со стороной , равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей	единице	измерения площади .
3 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения квадратного корня из числа , близкого к	единице	? .
Площадь любого квадрата со стороной , равной выбранной	единице	измерения длин , равна соответствующей единице измерения площади .
Рассмотрим простейший случай , когда ищется число , обратное к числу , близкому к	единице	.
Сначала научимся извлекать корни из чисел , близких к	единице	.
Пусть задано близкое к	единице	число а .
При любой	единице	измерения углов величина нулевого угла равна нулю .
1 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения результата от деления единицы на число , близкое к	единице	? .
Для измерения углов сначала выберем	единицу	измерения — эталонный угол .
Эту	единицу	измерения обычно называют прямым углом , а его величину обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Выберем угол между лучами , определяемыми направлениями « норд » и « ост » , за	единицу	измерения углов .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на	единицу	больше целой части числа b .
Новые промежутки ещё раз делили пополам и маленькую	единицу	деления называли « румбом » .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на	единицу	больше целой части числа а .
Приближение с точностью до разрядной	единицы	.
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство	единицы	.
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного числа до второго разряда после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной	единицы	после запятой .
ХАОС b 2 (	единицы	измерения ) .
1.1 Чему равен результат округления числа 987 654,321 до разрядной	единицы	102 ? .
При замене	единицы	измерения изменяется и численное значение , хотя сам угол остаётся прежним .
Например , если ОБ является биссектрисой угла АОС , а плоский угол АОВ взять в качестве эталона (	единицы	измерения ) , то можно записать равенства .
При этом абсолютная погрешность результата округления положительного числа до n - го разряда после запятой не превосходит половины той же разрядной	единицы	.
1 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения результата от деления	единицы	на число , близкое к единице ? .
Допустим , что в качестве	единицы	измерения площади выбрана площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом в 1 см .
В свою очередь , если в качестве	единицы	измерения взять угол .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит числа 0,5 · 10 m , то есть не превосходит половины разрядной	единицы	10 m .
Для каждой	единицы	измерения углов справедливы свойства .
Пусть качестве	единицы	измерения взят ΖΑΟΒ .
После выбора	единицы	измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Десятичные приближения положительного числа с точностью до целой разрядной	единицы	.
По краям строк треугольника стоят	единицы	.
Выбор некоторого плоского угла в качестве	единичного	позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Луч	замкнутый	.
Как на числовой прямой расположен	замкнутый	числовой луч .
Для любого числа а множество решений неравенства называется	замкнутым	числовым лучом и обозначается .
Множество решений неравенства называют	замкнутым	числовым лучом и обозначают .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после	запятой	, есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после	запятой	будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного числа до второго разряда после	запятой	не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного числа до второго разряда после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после	запятой	.
Чему равен результат округления числа 9,99999 до третьего разряда после	запятой	? .
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после	запятой	.
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после	запятой	.
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после запятой , до третьего разряда после	запятой	, до шестого разряда после запятой и так далее .
В этом случае выбираем десятичное приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после	запятой	.
если цифра ( m+1)-го разряда после	запятой	в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
В записи числа а цифра третьего разряда после	запятой	меньше 5 , поэтому а b и число а оказывается в промежутке .
Десятичные приближения положительного числа с заданным числом знаков после	запятой	.
Чему равен результат округления числа -5,298176 до второго разряда после	запятой	? .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после	запятой	, до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления числа было взято то десятичное приближение до второго разряда после	запятой	, которое расположено « ближе » к заданному числу .
Округление положительного числа до других разрядов после	запятой	.
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после	запятой	будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
1 Сформулируйте правило округления положительного числа до второго разряда после	запятой	.
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после	запятой	, и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед	запятой	; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
Запишем результат округления числа 15,293 до второго знака после	запятой	, то есть до разряда 10 - 2 .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после	запятой	больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
2 Как оценивается абсолютная погрешность округления до второго разряда после	запятой	? .
В этом случае выбираем десятичное приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом округления числа а до второго разряда после	запятой	.
Если цифра 1-го разряда после	запятой	в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после	запятой	будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
3 Сформулируйте правило округления положительного числа до m - го разряда после	запятой	.
4 Как оценивается абсолютная погрешность округления до m - го разряда после	запятой	? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после	запятой	.
Если цифра 1-го разряда после	запятой	в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
Однако в этом случае в записи числа а цифра третьего разряда после	запятой	больше 5 , поэтому а b и число а лежит в промежутке .
1.4 Чему равно десятичное приближение снизу для с точностью до второго разряда после	запятой	? .
Чему равен результат округления числа 3,87512 до второго разряда после	запятой	? .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после	запятой	; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
При этом абсолютная погрешность результата округления положительного числа до n - го разряда после	запятой	не превосходит половины той же разрядной единицы .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после	запятой	и так далее .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после	запятой	.
Другими словами , число 42 получено из числа а отбрасыванием стоящих после	запятой	всех знаков дробной части .
Сформулируем общее правило округления положительного числа до некоторого разряда после	запятой	.
Из рассмотрения примера 3 следует , что результатом округления числа 5,295 до второго разряда после	запятой	является число 5,30 .
1.3 Что является результатом округления числа 1,168 до второго знака после	запятой	? .
Из рассмотрения примера 2 следует , что результатом округления числа 5,29817 до второго разряда после	запятой	является число 5,30 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,295 до второго разряда после	запятой	является число -5,30 .
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после	запятой	соответствующих обыкновенных дробей ? .
Если цифра ( m+1)-го разряда после	запятой	в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
Аналогично определяются округления отрицательного числа до любого разряда после	запятой	.
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29817 до второго разряда после	запятой	является число -5,30 .
Чему равен результат округления числа 3,1415926 до четвёртого разряда после	запятой	? .
2.2 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего разряда после	запятой	будет число -0,047 ? .
2 Округлите числа а и b до второго разряда после	запятой	, найдите сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
3.3 Правило округления положительного числа до некоторого разряда после	запятой	.
Округление положительного числа до второго разряда после	запятой	.
5 Округлите второй сомножитель до второго разряда после	запятой	, найдите произведение и оцените абсолютную погрешность произведения .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после	запятой	является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
Из рассмотрения примера 1 следует , что результатом округления числа 5,29459 до второго разряда после	запятой	является число 5,29 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29459 до второго разряда после	запятой	является число -5,29 .
Приближение с заданным числом знаков после	запятой	.
2.1 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего разряда после	запятой	будет число 23,456 ? .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после	запятой	является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
13 Точки А , В , С , D , Е являются вершинами правильного пятиугольника и соединены так , что образуют пятиконечную	звезду	.
Вспомним теперь шахматную легенду , по которой изобретатель шахматной игры запросил в награду за первую клеточку 1 зерно риса , за вторую — 2	зерна	, за третью — 22 зёрен и так далее : за каждую очередную клеточку в два раза больше , чем за предшествующую ей .
Вспомним теперь шахматную легенду , по которой изобретатель шахматной игры запросил в награду за первую клеточку 1	зерно	риса , за вторую — 2 зерна , за третью — 22 зёрен и так далее : за каждую очередную клеточку в два раза больше , чем за предшествующую ей .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой	знак	, аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для обозначения плоского угла используют тот же	знак	Ζ , что и для обозначения угла , образованного двумя лучами .
Иногда , как и для положительных чисел ,	знак	в обозначении опускают .
В случае , когда ясно , что речь идёт о тождественном равенстве буквенных выражений , вместо знака используют	знак	.
Например , такой симметричностью обладает	знак	суммирования .
3 Поставьте вместо	знак	> или < , чтобы правильно сравнить величины .
2 Поставьте вместо	знак	> или < так , чтобы выполнялось неравенство .
Как определить	знак	отношения двух ненулевых чисел ? .
4 Какой	знак	имеет сумма положительных чисел ? .
Для краткого обозначения угла используют	знак	Ζ .
5 Какой	знак	имеет произведение положительных чисел ? .
4 Поставьте вместо	знак	> или < так , чтобы выполнялось неравенство .
Относительно какой прямой симметричен	знак	Σ ? .
Запишем результат округления числа 15,293 до второго	знака	после запятой , то есть до разряда 10 - 2 .
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего	знака	после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? .
1.3 Что является результатом округления числа 1,168 до второго	знака	после запятой ? .
Таким образом , сумма двух чисел разного	знака	может оказаться или положительной , или отрицательной , или равной нулю .
1.3 Сумма двух чисел разного	знака	.
Действительно , если число а не равно нулю , то произведение состоит из сомножителей одного	знака	и потому а2 > 0 .
Например , в записи слева от знака равенства стоит выражение S , а справа от	знака	равенства стоит выражение υ · t .
В случае , когда ясно , что речь идёт о тождественном равенстве буквенных выражений , вместо	знака	используют знак .
Например , в записи слева от	знака	равенства стоит выражение S , а справа от знака равенства стоит выражение υ · t .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного	знака	положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго	знака	после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго	знака	после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Параллельность прямых обозначается с помощью	знака	.
Заметим , что когда числа а и b разного	знака	, то о знаке их суммы нельзя сделать определённого вывода , не имея дополнительных сведений об этих числах .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными	знаками	каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Неравенства называют неравенствами противоположного направления , или неравенствами противоположного смысла , или неравенствами с противоположными	знаками	.
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью	знаками	: 3513,6417 .
9 Что можно сказать о	знаках	чисел а и b , если .
Заметим , что когда числа а и b разного знака , то о	знаке	их суммы нельзя сделать определённого вывода , не имея дополнительных сведений об этих числах .
Для записи результата сравнения используются знакомые нам	знаки	: b , то есть « равно » ; > , то есть « больше » ; < , то есть « меньше » .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных	знаков	числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Десятичные приближения положительного числа с заданным числом	знаков	после запятой .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных	знаков	числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Сумма чисел разных	знаков	может быть отрицательной , положительной или нулём .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило	знаков	: произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в целых числах со значениями переменных х и у разных	знаков	? .
Приближение с заданным числом	знаков	после запятой .
Наряду со строгими неравенствами рассматривают нестрогие неравенства , которые записывают при помощи	знаков	< или > .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных	знаков	числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
Другими словами , число 42 получено из числа а отбрасыванием стоящих после запятой всех	знаков	дробной части .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх	знаков	непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
Для погрешности , не превосходящей 0,01 , указание границ промежутка с таким количеством	знаков	в ответе чрезмерно .
По очереди рассмотрели все возможные случаи	знаков	целых чисел р и д , и каждый раз выполнялось равенство , что и доказывает второе основное свойство степени .
2.1 Неравенства с одной переменной ( со	знаком	> ) .
а ) противоположного направления . б ) с противоположным	знаком	? .
3.2 Нестрогие неравенства с одной переменной ( со	знаком	> ) .
2.2 Неравенства с одной переменной ( со	знаком	< ) .
Любые два буквенных выражения можно соединить	знаком	равенства .
3.3 Нестрогие неравенства с одной переменной ( со	знаком	< ) .
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , величину угла обозначают другим	знаком	.
Сравнение чисел по	знаку	их разности .
Если пренебречь малым слагаемым -х2 в	знаменателе	последней дроби , то её величина также мало изменится и получится .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое	знаменателем	геометрической прогрессии .
Это пять начальных членов геометрической прогрессии с первым членом и	знаменателем	.
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных членов геометрической прогрессии с первым членом 3 и	знаменателем	.
Это семь начальных членов геометрической прогрессии с первым членом и	знаменателем	.
Число называют	знаменателем	этой геометрической прогрессии .
Как записать начальные четыре члена геометрической прогрессии с первым членом а , и	знаменателем	q ? .
Составим обратную к х дробь , а затем умножим её числитель и	знаменатель	на .
7 Что такое	знаменатель	геометрической прогрессии ? .
Сначала разделим на 4 числитель и	знаменатель	искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и величины , обратной к знаменателю .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и величины , обратной к	знаменателю	.
Как показать , что любая дробь после нескольких умножений ( или делений ) на 2 её числителя и	знаменателя	приводится к виду , когда возможно применение формулы ? .
Степень отношения двух чисел равна отношению степени числителя к степени	знаменателя	.
4 Найдите приближённое	значение	частного и оцените абсолютную погрешность .
Вычислив	значение	, сможем найти число зёрен , которое запросил в награду изобретатель шахматной игры .
2.3 Чему равно	значение	выражения .
7 Найдите	значение	b , если известно , что график линейной функции проходит через точку .
При этом условии	значение	х2 мало по сравнению с .
Зная приближение b и его погрешность d , точное	значение	можно найти по формуле .
3 Найдите приближённое	значение	частного .
При каких значениях независимой переменной х	значение	переменной у равно : а ) 1 ; б ) 2 ; в ) -1 ; г ) -3 ; д ) 4 ; е ) 6 ? .
Если для двух переменных х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее	значение	у , то зависимость переменной у от переменной х называется функциональной .
Напомним , что для практического измерения углов служит транспортир , с помощью шкалы которого можно определить численное	значение	градусной меры угла .
Последовательно вычислим значения этой функции при натуральных значениях и обозначим через аk	значение	.
2 По формуле найдите приближённое	значение	частного и оцените абсолютную погрешность .
Задать функцию — значит указать , какие действия нужно произвести с аргументом х , чтобы получить соответствующее	значение	у.
1 По формуле найдите приближённое	значение	частного .
6 Найдите	значение	к , если известно , что график линейной функции проходит через точку .
Обозначим через b какое - нибудь приближённое	значение	данной величины из промежутка .
Пусть а — точное	значение	некоторой величины , для которого найдены приближения снизу ах и сверху а2 .
5 Найдите приближённое	значение	частного .
16 Найдите , при каких значениях х можно вычислить	значение	выражения .
Если	значение	достаточно мало , то величиной х2 можно пренебречь по сравнению .
Если прибавить к обеим частям последнего числового неравенства числовое	значение	D(c ) , то либо по свойству получим строгое неравенство , либо получим равенство .
8 Найдите с помощью графиков приближённое	значение	корня уравнения .
Чему равно	значение	n ? .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых	значение	выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Приближённое	значение	квадратного корня .
В третьем параграфе аналогичное равенство установлено , когда числа тип могут принимать также	значение	0 .
1.2 Какое из приведённых значений лучше всего принять за приближённое	значение	.
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого значения а из области значений аргумента функции через f(a ) символически обозначается	значение	зависимой переменной , соответствующее а .
1.2 Какое приближённое	значение	отношения получится , если применить приближённую формулу ? .
1.1 Какое	значение	принимает линейная функция ? .
Пусть в результате измерений величины а получено её приближённое	значение	b.
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное	значение	: это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Каждое	значение	переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем уравнения .
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти приближённое	значение	частного при помощи сложений , вычитаний и умножений .
6 Найдите приближённое	значение	частного и оцените абсолютную погрешность .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых	значение	выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
7 Найдите	значение	выражения .
Что можно сказать о величине , область допустимых значений которой содержит единственное	значение	? .
Прямолинейной зависимостью переменной у от переменной х называется зависимость , при которой для каждого значения х соответствующее	значение	у вычисляется по формуле где k и b — фиксированные числа .
1.2 Чему равно	значение	выражения .
Тем самым указано вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее	значение	у , то есть зависимость переменной у от переменной х является функциональной .
3 По формуле найдите приближённое	значение	корня и оцените абсолютную погрешность .
Для построения этого графика найдём при х 1 значение у b 4 и при х b 2	значение	у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём прямую .
Если взять ещё какое - нибудь	значение	х и вычислить , то точка также попадёт на проведённую прямую .
Каждое числовое	значение	d переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем уравнения .
Если взять , то	значение	— вычислить невозможно , так как на нуль делить нельзя .
Найдите	значение	выражения .
Тогда полученное для площади трапеции	значение	запишется в виде формулы .
Таким образом , точное	значение	а измеряемой величины принадлежит промежутку , и это часто записывают так .
Функцию , которая в каждой точке а принимает	значение	{ а } , можно записать в виде .
Функцию , которая в каждой точке х принимает	значение	[ х ] , можно записать в виде .
1.4 Всегда ли буквенное выражение имеет	значение	?
Для построения этого графика найдём при х 1	значение	у b 4 и при х b 2 значение у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём прямую .
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое	значение	квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Отсюда следует , что	значение	отношения находится в промежутке .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых	значение	выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
5.1 Приближённое	значение	частного .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что	значение	площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
Если термометр показал 36,6 ° , то это значит , что ваша настоящая температура равна 36,6 ° ± 0,1 ° , то есть	значение	температуры лежит в промежутке от 36,5 ° до 36,7 ° .
Каждое	значение	с переменной х , при котором , называется корнем неравенства .
Это значит , что равенство выполняется при любом значении неизвестного у , если	значение	х равно числу - 2 .
Каждое	значение	с переменной х , при котором , называется корнем или решением неравенства .
Сопоставив значению первой координаты однозначно определённое	значение	второй координаты , получим функциональную зависимость переменной у от переменной х .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых	значение	выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
Поэтому	значение	р равняется половине разности а2 - αν то есть равняется числу .
12 Найдите	значение	выражения .
Заменим левый конец промежутка на его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится	значение	искомого отношения .
Какое	значение	имеет 211 , если известно , что . 3.6 .
6 Найдите	значение	выражения .
Какое ещё	значение	могут иметь величины углов ? .
5 Найдите	значение	выражения .
4 Найдите	значение	выражения .
Эта буква может участвовать в различных формулах , принимая при этом одно и то же	значение	.
Чему равно	значение	выражения .
Это значит , что можно взять любое	значение	для у , например у 2000 , и найти .
В этой главе вы узнаете , какие прямые называют параллельными и какое	значение	в геометрии имеет пятый постулат Евклида .
То же	значение	суммы , равное 360 ° , получится для любого выпуклого четырёхугольника .
Для точки К приближённое	значение	абсциссы равно 0,7 , а приближённое значение ординаты равно 1,3 .
Заметим , что если определитель системы не равен нулю , то из полученных выше равенств находим единственное значение х и единственное	значение	у .
1.1 Чему равно	значение	выражения .
Для точки К приближённое значение абсциссы равно 0,7 , а приближённое	значение	ординаты равно 1,3 .
Для построения графика найдём при х 0	значение	у -1 и при х 3 значение у 1 .
Для построения графика найдём при х 0 значение у -1 и при х 3	значение	у 1 .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует	значение	.
2 Найдите	значение	а , если .
4 Что означают слова «	значение	буквенного выражения » ? .
Если прибавить к обеим частям последнего числового неравенства числовое	значение	D(c ) , то по свойству получим неравенство .
9 Найдите с помощью графиков приближённое	значение	корня уравнения .
Заметим , что если определитель системы не равен нулю , то из полученных выше равенств находим единственное	значение	х и единственное значение у .
8 Как по графику найти	значение	функции при заданном значении аргумента ? .
6 Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD найдите точку М такую , что сумма принимает наименьшее	значение	.
10 Найдите с помощью графиков приближённое	значение	корня уравнения .
7 Что можно сказать о точном значении величины , если известно её приближённое	значение	и оценка сверху абсолютной погрешности ? .
Подставив это	значение	вместо у в первое уравнение , получим .
7 Как надо выбрать приближённое	значение	массы в предыдущей задаче , чтобы оценка его абсолютной погрешности была наименьшей ? .
Как доказать , что	значение	площади параллелограмма не зависит от того , в каком месте проводить высоту к данному основанию ? .
Иногда приближённое	значение	легче себе представить и запомнить .
Во втором случае решением уравнения являются пары вида ( 2 ; у ) , где у может принимать любое	значение	.
Запись означает , что точное	значение	а1 неизвестно , однако число b1 12,6 приближает его с абсолютной погрешностью , не превосходящей 0,05 .
Чему равно	значение	? .
Чему равно	значение	периметра квадрата , выраженное через радиус вписанной окружности ? .
2.2 За приближённое	значение	суммы величин выбрали число 20,5 .
Каким может быть точное	значение	суммы ? .
Так как приближённое	значение	π 3,14 найдено по правилам округления , то абсолютная погрешность этого приближения числа π не превосходит 0,005 .
Какое	значение	числа а нужно взять , чтобы неравенство было равносильно неравенству .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти положительное значение неизвестного х и целое положительное	значение	неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти положительное	значение	неизвестного х и целое положительное значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Это	значение	совпадает с тем , которое приведено в предыдущем пункте .
Чему равно	значение	( -1)2mпри натуральном m ? .
Вычислим приближённое	значение	.
Какое приближённое	значение	длины гарантирует наименьшую оценку абсолютной погрешности ? .
Заметим , что , несмотря на большое количество приближений , точное	значение	массы не всегда удаётся найти — можно лишь установить границы интервала , в котором находится точное значение .
2.3 Приближённое	значение	некоторой величины равно .
Пусть b — приближённое	значение	величины а , абсолютная погрешность которого не превосходит р , то есть .
При каких значениях переменной х определено	значение	переменной , где k , b — заданные числа ? .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное	значение	измеряемой величины принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху .
1.4 Измерение величины а , равной 5 , дало	значение	b , равное 4 .
Заметим , что , несмотря на большое количество приближений , точное значение массы не всегда удаётся найти — можно лишь установить границы интервала , в котором находится точное	значение	.
Получив	значение	у 50 , из соотношения 90 находим .
При замене единицы измерения изменяется и численное	значение	, хотя сам угол остаётся прежним .
В первом случае решением уравнения являются пары вида ( х ; 2 ) , где х может принимать любое	значение	.
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое	значение	периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
В подобных ситуациях прибегают к специальным приёмам , облегчающим процедуру счёта , но дающим лишь приблизительное , ориентировочное	значение	.
Решим систему двух уравнений с неизвестными х и у , то есть найдём , как выразить решения х и у через	значение	а .
7 Приближённое	значение	стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
Решениями уравнения являются пары ( с ; d ) , для которых верно равенство Таким образом , все решения начального уравнения — это пары вида , где с принимает любое	значение	.
3 Найдите приближённое	значение	суммы а и b с абсолютной погрешностью не более 0,01 .
Такому равенству не удовлетворяет ни одно	значение	у , и поэтому при начальная система решений не имеет .
Может ли точное	значение	длины равняться .
При нормальных условиях температура воды может выражаться	значением	от 0 до 100 ° С , потому что при температуре ниже 0 ° С вода замерзает и превращается в лёд , а при температуре +100 ° С она закипает и начинает превращаться в пар .
Полученное число 21 является	значением	буквенного выражения при выбранных значениях букв .
Какие из приведённых чисел не могут быть точным	значением	измеряемой величины ? .
Это числовое выражение также принято считать	значением	буквенного выражения при соответствующих числовых значениях букв .
Произведение bс является приближённым	значением	для ас .
Какие из приведённых величин могут быть точным	значением	этой величины ? .
Всякое число , заключённое между приближениями сверху и снизу , может считаться приближённым	значением	измеряемой величины .
Укажите все многочлены ,	значением	которых при является 32 .
4 Определите абсолютную погрешность при замене числа 283 572 приближённым	значением	.
5 Определите абсолютную погрешность при замене дроби 0,8432 приближённым	значением	.
Число f(а ) называют	значением	функции у bf(x ) для значения аргумента , равного а .
По правилу сложения приближений определяем , что число является приближённым	значением	суммы , причём абсолютная погрешность этого приближения не больше Значит .
4 Что можно считать приближённым	значением	измеряемой величины ? .
Следовательно , поэтому b1 b2 является приближённым	значением	суммы а1 а2 , погрешность которого не превосходит р1 р2 .
Итак , является приближённым	значением	разности причём погрешность этого приближения не превосходит .
При каком	значении	параметра а уравнение имеет хотя бы два различных корня ? .
Аналогично можно рассмотреть значения функции для при любом целом	значении	n .
Это значит , что равенство выполняется при любом	значении	неизвестного у , если значение х равно числу - 2 .
9 При каждом	значении	а найдите решения системы .
8 Как по графику найти значение функции при заданном	значении	аргумента ? .
1.3 При каком	значении	b система не имеет решений ? .
Для обозначения информации о	значении	двоичного разряда применяется термин бит .
При некотором числовом	значении	с переменной х эти выражения А(с ) и Б(с ) могут принимать различные значения .
7 Что можно сказать о точном	значении	величины , если известно её приближённое значение и оценка сверху абсолютной погрешности ? .
При некотором числовом	значении	d переменной х может выполняться равенство A(d ) b B(d ) .
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом	значении	d выражение A(d ) не будет больше выражения B(d ) .
Значит , числа 3т , 7т при любом целом	значении	m дают целое решение ( 3т ; 7т ) уравнения 7х 3у .
6 Как доказать , что делится на 7 при любом натуральном	значении	n ? .
В результате при некотором числовом	значении	с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется неравенство , при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше выражения B(d ) .
Для любых ненулевых чисел а и b при любом целом	значении	m выполняется равенство .
Такого равенства для чисел не может быть , так как при любом	значении	а произведение равно 0 и 0 не равен 1 .
Предположим , что число с является корнем этого уравнения , то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом	значении	с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше числа -5 .
1.2 При каком	значении	а система имеет бесконечное число решений ? .
В приведённом примере при подстановке вместо букв различных	значений	могут получаться как верные числовые равенства , так и неверные .
В самом деле , формула превращается в верное числовое равенство при подстановке вместо букв а и b любых числовых	значений	.
Использование основных свойств степени позволяет упрощать вычисление	значений	некоторых числовых выражений .
Все значения , которые может принимать переменная величина , называются её областью допустимых	значений	.
Какие из указанных	значений	может принимать величина угла АОВ ? .
Выберите внутри его точку М. Измерьте углы АМВ , ВМС , CMD , DMA и найдите сумму полученных	значений	.
Поэтому	значений	х и у , которые удовлетворяли бы уравнениям этой системы , нет .
Как выглядит график функции , если областью	значений	переменной х является промежуток ? .
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для натуральных	значений	переменной х ? .
Оценим абсолютную погрешность разности приближённых	значений	.
2.1 Какие из указанных	значений	байтов меньше одного мегабайта ? .
Абсолютная погрешность разности приближённых	значений	не превосходит суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Сколько	значений	зависимой переменной может соответствовать одному значению аргумента ? .
5 Как понимать слова , что « выражение имеет смысл при данном наборе	значений	переменных » ? .
Для любого числа а и любых натуральных	значений	тип выполняется равенство .
б ) Сколько	значений	аргумента может соответствовать одному значению функции ? .
2 Что называется областью допустимых	значений	переменной величины ?
Запишем равенство с той целью , чтобы найти наборы	значений	х и у , при которых равенство верно .
Укажите какой - нибудь подходящий промежуток	значений	х . 6.5
Таким образом , при а 1 найдена пара	значений	х и у , являющаяся решением начальной системы .
1.1 Какая из следующих пар	значений	переменных является корнем уравнения .
7 Убедитесь на примерах , что указанные выражения имеют равные значения при одинаковых наборах	значений	переменных букв .
2.3 При каких парах	значений	а и b система имеет единственное решение ? .
Значение буквенного выражения из предыдущего пункта можно вычислить при любых наборах	значений	букв .
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области	значений	аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
2.3 Какие из наборов	значений	могут быть величинами углов некоторого треугольника ? .
При каких из указанных	значений	величины угла DEF этот шестиугольник не может быть выпуклым ? .
2.1 Какие из	значений	могут быть суммой всех внутренних углов некоторого многоугольника ? .
При каких из указанных	значений	оснований этот четырёхугольник не может быть выпуклым ? .
2.3 При каких из указанных	значений	а и b верно неравенство .
В этом примере получаем функциональную зависимость переменной аn от переменной n , область	значений	которой — все натуральные числа .
Область допустимых	значений	.
Измерьте все его углы и найдите сумму полученных	значений	.
Выбирая несколько значений х , мы можем составить таблицу соответствующих	значений	.
Что можно сказать о величине , область допустимых	значений	которой содержит единственное значение ? .
2.2 Какие из приведённых	значений	меньше 6 ? .
Выбирая несколько	значений	х , мы можем составить таблицу соответствующих значений .
Разные величины могут иметь разные области	значений	.
По правилу умножения точного и приближённого	значений	находим ответ с погрешностью , не превосходящей .
Пары — это разные пары	значений	переменных .
2 Что можно сказать об абсолютной погрешности суммы приближённых	значений	? .
1 Найдите сумму приближённых	значений	а , b и оцените её погрешность .
Сложение приближённых	значений	.
3 Как оценивается абсолютная погрешность разности приближённых	значений	? .
2.2 При каких из указанных	значений	а и m существует трапеция с одним из оснований , равным а , и средней линией , равной m ? .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть последовательность	значений	линейной функции при натуральных значениях х ? .
Поэтому область допустимых	значений	.
1.1 Чему равна сумма приближённых	значений	? .
1.2 Какое из приведённых	значений	лучше всего принять за приближённое значение .
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе	значений	переменных получаются разные значения этих выражений , то эти два буквенных выражения не являются тождественно равными .
По правилу умножения точного и приближённого	значений	находим , что с погрешностью , не превосходящей 0,905 .
Для числовых	значений	а и b равенство верно только тогда , когда .
2.2 Какие из указанных	значений	может иметь длина высоты , проведённой к стороне АВ треугольника АВС , если известно , что ВС ? .
11 Укажите несколько	значений	а , для которых верно неравенство .
Абсолютная погрешность суммы приближённых	значений	не превосходит суммы абсолютных погрешностей каждого слагаемого .
Поэтому для любых	значений	а и b числа а2 и b2 неотрицательны .
Проблема с числом дней в году показывает , что при сложении приближённых величин погрешности могут возрастать и иногда достигают больших	значений	.
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого значения а из области	значений	аргумента функции через f(a ) символически обозначается значение зависимой переменной , соответствующее а .
1.3 Чему равна сумма трёх приближённых	значений	.
Эти названия объясняются так : число а2 равно	значению	площади квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует приближённому	значению	величины , обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
Тем самым указано вполне определённое правило , позволяющее по каждому	значению	х однозначно определить соответствующее значение у , то есть зависимость переменной у от переменной х является функциональной .
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему	значению	зависимой переменной .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно	значению	выражения В(х ) » .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно	значению	объёма куба , ребро которого равно а .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому	значению	0,97 для величины , обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
Если для двух переменных х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому	значению	х однозначно определить соответствующее значение у , то зависимость переменной у от переменной х называется функциональной .
а ) Сколько значений зависимой переменной может соответствовать одному	значению	аргумента ? .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно	значению	выражения В(х ) » .
Сопоставив	значению	первой координаты однозначно определённое значение второй координаты , получим функциональную зависимость переменной у от переменной х .
б ) Сколько значений аргумента может соответствовать одному	значению	функции ? .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а	значению	соответствует значение .
Показано , насколько малым должен быть , чтобы погрешность р не превосходила заданного	значения	.
2.4 Какие	значения	может иметь сумма нескольких начальных членов геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем .
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого	значения	а из области значений аргумента функции через f(a ) символически обозначается значение зависимой переменной , соответствующее а .
Если теперь в тождество подставить	значения	, получим .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те	значения	переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те	значения	переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше	значения	В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Подставим в тождество	значения	.
Для этого заметим , что . Подставим в формулу разложения на множители	значения	.
Последовательно вычислим	значения	этой функции при натуральных значениях и обозначим через аk значение .
Однако по условию задачи нам нужны не всякие решения уравнения , а только такие , в которых	значения	х и у одновременно являются неотрицательными целыми числами .
В примере 1 абсолютная погрешность приближённого	значения	127,5 из промежутка не больше 0,5 ( г ) .
1 Приближённые	значения	и погрешности .
Кратко эту задачу записывают так : « Найти все	значения	х , при которых » .
4.4 Умножение приближённого	значения	на фиксированное число .
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые	значения	? .
Таким образом , система имеет два решения , для которых приближённые	значения	.
Подставляя в формулу суммы членов арифметической прогрессии	значения	первого члена прогрессии , её разности и числа слагаемых , получаем .
Как показать , что указанные	значения	неизвестных x1 , z1 , х2 , у2 дают точные решения системы ? .
Подставляя в формулу для суммы начальных членов арифметической прогрессии	значения	, находим .
6 Найдите произведение приближённого	значения	2,5 0,05 и числа 1,23 .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше	значения	В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти положительные	значения	неизвестных х и у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
По правилу оценки абсолютной погрешности произведения приближённого	значения	некоторой величины и фиксированного числа получаем .
2.4 Какие	значения	может иметь периметр параллелограмма , у которого одна из сторон равна 12 см , а сумма некоторых трёх сторон равна 40 см ? .
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как	значения	некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для натуральных значений переменной х ? .
Для соответствующие	значения	величины у будут .
Каковы приближённые	значения	длины отрезка , абсолютная погрешность которых не больше 0,7 мм ? .
Подставим в формулу	значения	n b 20 , а b 5 , & b 2 .
В отдельных случаях , например для чисел 4 , 16 , 25 и некоторых других , калькулятор вообще укажет точные	значения	квадратных корней 2 , 4 , 5 и так далее .
Таким образом ,	значения	, которые принимают буквы а и h , могут изменяться .
Аналогично можно рассмотреть	значения	функции для при любом целом значении n .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных решений уравнения в целых числах ( m — переменная , принимающая все целые	значения	) ? .
Число f(а ) называют значением функции у bf(x ) для	значения	аргумента , равного а .
В тождество подставим	значения	, заметив , что .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего	значения	у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
5 Исследуйте систему ( в зависимости от числового	значения	а ) .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те	значения	переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
Равенством указывают , что	значения	зависимой переменной у находят по значениям аргумента х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f .
5 Чему равна абсолютная погрешность произведения приближённого	значения	некоторой величины и фиксированного числа ? .
4 Найдите приближённые	значения	квадратных корней из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения А(х ) больше	значения	выражения В(х ) » .
Если при вычислении	значения	буквенного выражения выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо числа получится числовое выражение .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше	значения	выражения D ( х ) » .
Кратко эту задачу записывают так : « Найти все	значения	х , при которых » ; или так : « Решить неравенство » .
Откуда калькулятор « берёт »	значения	квадратных корней ?
Пика приближённого	значения	частного .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все целые	значения	, а и b — некоторые фиксированные целые числа ? .
Все	значения	, которые может принимать переменная величина , называются её областью допустимых значений .
Абсолютная погрешность произведения приближённого	значения	b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
Отсюда следует , что если для некоторого числового	значения	х одно из числовых выражений равно нулю , то и другое числовое выражение равно нулю .
Так как по рисунку можно лишь приближённо указать координаты точки , то найденные	значения	проверим подстановкой .
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность произведения приближённого	значения	b величины а и фиксированного числа с .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те	значения	переменной величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда	значения	измеряемых величин выражаются целыми числами , а само измерение сводится к счёту .
Однако при х b -3/7	значения	обоих выражений равны числу 23/7 , то есть имеет место равенство .
Правило приближённого	значения	.
2.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а высоты 6 см и 8 см. Какие	значения	площади параллелограмма возможны ? .
2.2 Какие	значения	связаны функциональной зависимостью ? .
Найденные	значения	для х и у можно записать в виде пары чисел ( 40 ; 50 ) , которая является решением системы .
Приближённые	значения	этих координат ( 2,5 ; 17,5 ) .
7 Убедитесь на примерах , что указанные выражения имеют равные	значения	при одинаковых наборах значений переменных букв .
8 Проверьте на примерах , что если	значения	переменных а , b , с выбраны так , то тогда .
Два всюду определённых буквенных выражения называются тождественно равными , если равны	значения	этих выражений при подстановке вместо букв любых наборов чисел .
10 Каким промежуткам принадлежат	значения	величин ? .
При некотором числовом значении с переменной х эти выражения А(с ) и Б(с ) могут принимать различные	значения	.
Перебирая все целые	значения	m , можем получить любое целочисленное решение этого уравнения .
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все	значения	переменной величины х , при которых значения выражений равны » .
2.2 Укажите все выражения ,	значения	которых при являются полными квадратами .
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения переменной величины х , при которых	значения	выражений равны » .
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в градусах по Фаренгейту от числового	значения	температуры С в градусах по Цельсию выражается линейной функцией .
2.4 Какие	значения	не может иметь произведение аb ? .
Легко проверить , что указанные	значения	являются точными .
Отсюда получаем , что и все целочисленные решения уравнения , у которых оба	значения	неизвестных неотрицательны , исчерпываются парами .
Поэтому при а - 0 выражение а0 определённого	значения	не имеет .
Кратко эту задачу записывают так : « Найдите все	значения	х , при которых » .
Прямолинейной зависимостью переменной у от переменной х называется зависимость , при которой для каждого	значения	х соответствующее значение у вычисляется по формуле где k и b — фиксированные числа .
Получим различные	значения	в диапазоне от 0 ° до 180 ° .
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений переменных получаются разные	значения	этих выражений , то эти два буквенных выражения не являются тождественно равными .
В результате для любого натурального	значения	n получаем равенство .
19 Выпуклый четырёхугольник разбили диагоналями на четыре треугольника , подсчитали площадь каждого из треугольников и получили следующие	значения	: 1994 см2 , 1995 см2 , 1996 см2 , 1997 см2 .
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые	значения	d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » .
При некоторых числовых значениях переменной х эти выражения принимают различные	значения	.
Какие из оценок абсолютной погрешности этого	значения	являются верными ? .
Пусть а1,иа2 — точные , а b1 и b2 — приближённые	значения	некоторых величин .
Величины , которые не изменяются , называются постоянными ; величины , которые принимают различные	значения	, называются переменными .
1.1 Какие из указанных пар являются целочисленными решениями уравнения ( m — переменная , принимающая все целые	значения	) ? .
Например , при х b 0 получим	значения	- 2 и - 5 , при х b -2/3 получим значения -4 и -7/3 .
Сравним	значения	одной и той же температуры в градусах по Цельсию и по Фаренгейту .
Следовательно , если х ° С соответствует у ° F , то	значения	из промежутка от 32 ° F до у ° F пропорциональны значениям из промежутка от 0 ° С до х ° С с коэффициентом к , который можно найти , зная , что 180 ° F соответствуют 100 ° С. Поэтому .
Например , при х b 0 получим значения - 2 и - 5 , при х b -2/3 получим	значения	-4 и -7/3 .
Для записи приближённого	значения	с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Получаем , что зависимость числового	значения	температуры F в градусах по Фаренгейту от числового значения температуры С в градусах по Цельсию выражается линейной функцией .
Допустимые	значения	такой величины — натуральные числа .
2.1 Какие	значения	связаны зависимостью ? .
Следовательно , если х ° С соответствует у ° F , то значения из промежутка от 32 ° F до у ° F пропорциональны	значениям	из промежутка от 0 ° С до х ° С с коэффициентом к , который можно найти , зная , что 180 ° F соответствуют 100 ° С. Поэтому .
Некоторые из них всегда равны одним и тем же	значениям	.
Равенством указывают , что значения зависимой переменной у находят по	значениям	аргумента х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f .
Если известно , что абсолютная погрешность измерения не больше некоторого числа р , то можно гарантировать , что разность между точным и приближённым	значениями	удовлетворяет неравенству .
1.3 Значения переменной у связаны со	значениями	х прямой пропорциональной зависимостью , причём при .
4 Действия с приближёнными	значениями	. 4.1 Как возникают високосные годы .
2.1 Какие из указанных чисел являются приближёнными	значениями	3 с избытком ? .
Поэтому приближёнными	значениями	разумно считать только натуральные числа из интервала между приближениями с избытком и недостатком .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в целых числах со	значениями	переменных х и у разных знаков ? .
1.4 Значения переменной у связаны со	значениями	х прямой пропорциональной зависимостью .
Последовательно вычислим значения этой функции при натуральных	значениях	и обозначим через аk значение .
12 При каких	значениях	переменной верно неравенство ? .
Найти , при каких числовых	значениях	а уравнение не имеет корней относительно неизвестной х .
При натуральных	значениях	z и х числа в этом равенстве тоже натуральные , причём в произведении дают число 152 .
При некоторых числовых	значениях	переменной х эти выражения принимают различные значения .
Для любого ненулевого числа а при любых целых	значениях	тип выполняется равенство .
Можно ли доверять этой формуле при больших	значениях	? .
Полученное число 21 является значением буквенного выражения при выбранных	значениях	букв .
2.2 Какие из указанных выражений равны при всех ненулевых	значениях	а и о ? .
При каких	значениях	R и r длина отрезка CD равна 5 см ? .
2.1 При каких	значениях	n число больше ? .
3.1 Значение линейной функции при натуральных	значениях	переменной .
2.4 При каких	значениях	а из указанных система уравнений имеет хотя бы одно решение ? .
16 Найдите , при каких	значениях	х можно вычислить значение выражения .
18 Докажите , что при всех числовых	значениях	букв выполняются неравенства .
2.4 При каких	значениях	а , b , с выражение определено ? .
Упростите при целых	значениях	m выражение .
2.1 При каких	значениях	а выполняется неравенство .
16 Докажите , что при всех числовых	значениях	букв выполняются неравенства .
Можно сказать , что выражение имеет смысл только при	значениях	а , не равных нулю , то есть буквенное выражение не является всюду определённым .
12 При каких	значениях	параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений ? .
2.3 Из прямоугольника со сторонами а и b вырезали рамку шириной 1 см. При каких	значениях	а и b площадь рамки равна 20 см2 ? .
2 Упростите выражения ( при натуральных	значениях	букв ) .
2.2 При каких	значениях	а , b , m в равнобедренную трапецию с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно вписать окружность ? .
Для любого ненулевого числа а при любых целых	значениях	m и n выполняется равенство .
2.4 Какие из приведённых утверждений не выполняются при некоторых	значениях	чисел а , b и с ? .
При отрицательных	значениях	k угол наклона прямой получается тупым .
2 Найдите , при каких числовых	значениях	а система имеет единственное решение .
В этом случае говорят , что выражение имеет смысл при любых	значениях	переменных .
При каких	значениях	переменных имеет смысл буквенное выражение .
5 Найдите , при каких	значениях	х положительно выражение .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть последовательность значений линейной функции при натуральных	значениях	х ? .
5 Докажите , что при любых	значениях	переменных выполняются неравенства .
При каких	значениях	переменной х определено значение переменной , где k , b — заданные числа ? .
2.2 При каких	значениях	стороны а и проведённой к ней высоты h площадь треугольника равна 66 см2 ? .
При каких	значениях	независимой переменной х значение переменной у равно : а ) 1 ; б ) 2 ; в ) -1 ; г ) -3 ; д ) 4 ; е ) 6 ? .
6 Найдите , при каких	значениях	х отрицательно выражение .
Это числовое выражение также принято считать значением буквенного выражения при соответствующих числовых	значениях	букв .
При каких	значениях	сторон контуры этих квадратов не могут пересекаться ? .
2.3 При каких	значениях	а , b , с выражение не определено ? .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких	значениях	MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
Попробуйте , однако , сосчитать число	зёрен	в килограмме риса ! .
Общее число	зёрен	представляет собой сумму как это следует из ранее записанного равенства .
Вспомним теперь шахматную легенду , по которой изобретатель шахматной игры запросил в награду за первую клеточку 1 зерно риса , за вторую — 2 зерна , за третью — 22	зёрен	и так далее : за каждую очередную клеточку в два раза больше , чем за предшествующую ей .
Вычислив значение , сможем найти число	зёрен	, которое запросил в награду изобретатель шахматной игры .
К примеру , для указания количества	зёрен	в килограмме риса число 220 000 использовать гораздо удобнее , чем 223 561 или 218 734 .
Можно , например , сосчитать число	зёрен	в одном грамме риса , а результат умножить на 1000 .
4.3 Использование разложения для подсчёта числа	зёрен	из легенды о шахматах .
Вспомним теперь шахматную легенду , по которой изобретатель шахматной	игры	запросил в награду за первую клеточку 1 зерно риса , за вторую — 2 зерна , за третью — 22 зёрен и так далее : за каждую очередную клеточку в два раза больше , чем за предшествующую ей .
Вычислив значение , сможем найти число зёрен , которое запросил в награду изобретатель шахматной	игры	.
Прямая PQ перпендикулярна радиусам О1Р и О2Q и	касается	обеих окружностей .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см	касается	сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
6 Постройте окружность заданного радиуса , которая	касается	данной прямой в данной точке .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых	касается	прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Пусть вписанная в него окружность	касается	стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
12 Постройте окружность , которая	касается	сторон данного угла .
1.3 Окружность , вписанная в прямоугольный треугольник АВС ,	касается	катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
19 Даны угол и окружность , которая	касается	сторон угла .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ ,	касается	в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
18 Прямая АВ	касается	окружности и CD АВ .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна радиусу ОА первой окружности и радиусу О2В второй окружности , то есть	касается	этих окружностей .
2 Окружность радиуса 3 см	касается	сторон угла .
24 Окружность	касается	трёх сторон четырёхугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных точках , как изображено .
14 Вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность	касается	этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
Большая окружность	касается	одной стороны и продолжений двух других сторон треугольника АВС .
23 Окружность	касается	трёх сторон четырёхугольника ABCD и не пересекает сторону CD , как изображено .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая	касается	прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность	касается	стороны АС в точке М ? .
Окружность	касается	оснований трапеции , поэтому высота равна диаметру окружности , то есть равна 4 см .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая	касается	данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
13 Постройте окружность , которая	касается	одной стороны данного угла и другой его стороны в данной на ней точке .
14 Вписанная окружность	касается	стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
1.2 Окружность с центром О	касается	сторон угла с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
Сначала предположим , что такая	касательная	построена .
В 6 классе была определена	касательная	к окружности как прямая , которая имеет с окружностью единственную общую точку .
2 Касательные к окружностям . 2.1 Общая	касательная	двух окружностей .
1 Что такое	касательная	к окружности ? .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая	касательная	I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Окружности могут оказаться по разные стороны от общей касательной , и тогда общая	касательная	называется внутренней касательной двух окружностей .
2 Что такое общая внутренняя	касательная	к двум окружностям ? .
1 Что такое общая внешняя	касательная	к двум окружностям ? .
Покажем , что внутренняя	касательная	делит пополам отрезок внешней касательной в точке их пересечения , то есть AF FB .
6 К окружностям с центрами О1 иО2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внутренняя	касательная	.
Окружности могут оказаться по одну сторону от этой прямой и тогда общая	касательная	называется внешней касательной двух окружностей .
Общая	касательная	к двум равным окружностям .
5 К окружностям с центрами О1О2 и О2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внешняя	касательная	.
2.4 Общая	касательная	к двум окружностям с различными радиусами .
Основное свойство	касательной	.
А именно : прямая , проходящая через конец радиуса окружности перпендикулярно радиусу , является	касательной	.
3 Проведите	касательную	к данной окружности , проходящую через данную точку вне окружности .
15 Постройте	касательную	к заданной окружности , проходящую через заданную точку .
Как построить общую внутреннюю	касательную	к двум данным окружностям ? .
Когда одна из окружностей расположена внутри другой и имеет с ней одну общую точку можно рассматривать только одну общую	касательную	.
Как доказать , что через любую точку окружности можно провести единственную	касательную	к этой окружности ? .
Найденных соотношений достаточно , чтобы провести общую внешнюю	касательную	.
Установленные свойства позволяют провести общую внешнюю	касательную	.
2 Проведите	касательную	к данной окружности параллельно данной прямой .
Для двух окружностей , имеющих одну общую точку и расположенных вне друг друга можно рассмотреть две внешних общих касательных и одну внутреннюю общую	касательную	.
1 Проведите	касательную	, проходящую через данную точку окружности .
8 Как построить общую внутреннюю	касательную	к двум непересекающимся окружностям ? .
7 Как построить общую внешнюю	касательную	к двум окружностям ? .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую	касательную	к двум окружностям .
В каких случаях можно построить общие внутренние	касательные	к двум данным окружностям ? .
Рассмотрим две внутренние	касательные	MN и KL , проведённые к двум непересекающимся окружностям .
Рассмотрим две внешние	касательные	АВ и CD к двум неравным окружностям .
17 Постройте две общие внутренние	касательные	к двум заданным окружностям .
Если окружности равны и	касательные	параллельны , то равенство АВ CD доказывается проще .
16 К двум окружностям различного радиуса проведены две общие внешние	касательные	.
2.1 К двум окружностям проведены две	касательные	.
Было доказано , что	касательные	существуют .
Продолжим	касательные	до пересечения в точке К. Тогда из точки К к большей окружности проведены отрезки касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
Проведём к двум непересекающимся окружностям две внешние и одну внутреннюю	касательные	.
17 На данной прямой найдите такую точку , чтобы	касательные	, проведённые из неё к данной окружности , были данной длины .
Посмотрим из предыдущего пункта и воспроизведём его с некоторыми изменениями , продолжив внешние	касательные	до пересечения .
5 Из точки А проведены две	касательные	к окружности .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про	касательные	к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
Когда окружности пересекаются в двух различных точках , то их две внешние общие	касательные	, а внутренних касательных не существует .
Как доказать , что	касательные	не пересекаются ? .
Мы рассмотрели общие	касательные	двух окружностей .
Проведём к двум касающимся окружностям внешнюю и внутреннюю	касательные	.
2.8 Внешняя и внутренняя	касательные	к касающимся окружностям .
Эти случаи приводят к двум внешним	касательным	.
Отрезки FB и FM являются	касательными	к правой окружности , проведёнными из точки F , а поэтому .
Действительно , отрезки FA и FM являются	касательными	к левой окружности , проведёнными из точки F , а поэтому .
2.9 Пример задачи с	касательными	.
Таких	касательных	четыре , и они изображены ? .
Докажите , что точка пересечения внешних касательных , точка пересечения внутренних	касательных	и центры кругов лежат на одной прямой .
Сколько общих	касательных	можно провести к двум окружностям с радиусами 5 см и 3 см , расстояние между центрами которых равно 8 см ? .
5 Укажите ось симметрии окружности и двух	касательных	, проведённых к окружности из одной точки .
Пусть А — точка вне окружности с центром О , АВ и АС — различные отрезки	касательных	к одной и той же окружности .
Как показать , что отрезки	касательных	АВ и АС симметричны относительно прямой , проходящей через центр О и точку А ? .
Действительно , АК AM , СМ CL по свойству отрезков	касательных	, поэтому .
Для двух окружностей , имеющих одну общую точку и расположенных вне друг друга можно рассмотреть две внешних общих	касательных	и одну внутреннюю общую касательную .
Продолжим касательные до пересечения в точке К. Тогда из точки К к большей окружности проведены отрезки	касательных	КА и КС , а поэтому КА КС .
Отрезки внутренних общих	касательных	, проведённых к двум непересекающимся окружностям , равны .
Найдите множество всех точек М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС	касательных	к окружностям равны между собой .
Различные виды общих	касательных	.
Но из точки К к меньшей окружности тоже проведены отрезки	касательных	КВ и KD , а поэтому .
Отрезки внешних общих	касательных	, проведённых к двум окружностям , равны .
Точки А , В и С пересечения	касательных	определяют треугольник АВС .
3 Что можно сказать об отрезках	касательных	, проведённых из одной точки к одной и той же окружности ? .
Как доказать равенство отрезков внешних	касательных	к двум равным окружностям ? .
1.3 Свойство отрезков	касательных	.
Когда окружности пересекаются в двух различных точках , то их две внешние общие касательные , а внутренних	касательных	не существует .
5 Докажите , что отрезки общих внешних	касательных	, проведённых к двум окружностям , равны .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков	касательных	СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
а ) найдите отрезки	касательных	.
4 Сколько различных общих внутренних	касательных	можно провести к двум окружностям ? .
Отрезки	касательных	, проведённых к окружности из одной точки , равны .
Докажите , что точка пересечения внешних	касательных	, точка пересечения внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков	касательных	, проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
6 Каким свойством обладают отрезки общих внутренних	касательных	, проведённых к двум окружностям ? .
Свойство внешних	касательных	.
Отрезки	касательных	.
В свою очередь отрезки ВК и BL тоже равны по свойству отрезков	касательных	, проведённых из точки В .
Рассмотрев две полуплоскости с границей О1О2 , получим две общих внешних	касательных	к данным окружностям .
Свойство внутренних	касательных	.
Свойство отрезков	касательных	.
Отрезки общих внешних	касательных	.
Найдите множество всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S отрезки	касательных	равны АВ .
1.4 Длина отрезков	касательных	для окружности , вписанной в треугольник .
Рассмотрим описанный около окружности четырёхугольник ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках	касательных	получим равенства .
9 Окружности О1 и О2	касаются	друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Две окружности называют касающимися внешним образом , если они	касаются	некоторой прямой в одной и той же точке и расположены по разные стороны от этой прямой .
12 Две окружности касаются друг друга и	касаются	двух параллельных прямых так .
2.4 Две окружности разных радиусов	касаются	двух пересекающихся прямых .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и	касаются	лучей с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
13 Две окружности касаются внешним образом друг друга в точке А и	касаются	некоторой прямой в точках В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
7 Две окружности с радиусами R1 и R2	касаются	друг друга внешним образом .
4 Две окружности с радиусами Вт 2 см и R2 4 см	касаются	прямой а в точках А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а .
Две окружности называют касающимися внутренним образом , если они	касаются	некоторой прямой в одной точке и расположены по одну сторону от этой прямой .
2.3 Две окружности	касаются	сторон угла .
13 Две окружности	касаются	внешним образом друг друга в точке А и касаются некоторой прямой в точках В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
8 Окружности О1 и О2	касаются	прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
3 Две окружности с радиусами 2 см и R2 1 см	касаются	прямой а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F	касаются	друг друга и касаются лучей с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
23 Две окружности	касаются	друг друга внешним образом .
12 Две окружности	касаются	друг друга и касаются двух параллельных прямых так .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности	касаются	друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Изображена окружность с центром О и прямая а ,	касающаяся	окружности в точке В .
1.2 Построение окружности ,	касающейся	прямой .
Действительно , центр любой окружности ,	касающейся	прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности ,	касающейся	сторон этого угла .
Окружности ,	касающиеся	внешним образом .
Окружности ,	касающиеся	внутренним образом .
Две окружности называют	касающимися	внутренним образом , если они касаются некоторой прямой в одной точке и расположены по одну сторону от этой прямой .
Две окружности называют	касающимися	внешним образом , если они касаются некоторой прямой в одной и той же точке и расположены по разные стороны от этой прямой .
Случай соответствует окружностям ,	касающимся	друг друга внутренним образом .
2.8 Внешняя и внутренняя касательные к	касающимся	окружностям .
Проведём к двум	касающимся	окружностям внешнюю и внутреннюю касательные .
14 Постройте окружность , проходящую через заданную точку и	касающуюся	двух данных параллельных прямых .
16 Постройте окружность заданного радиуса ,	касающуюся	данной прямой и проходящую через данную точку .
Рассмотрим прямую ,	касающуюся	каждой из них .
Постройте окружность ,	касающуюся	заданной окружности и сторон заданного угла .
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с острым углом в 30 ° один	катет	равен половине гипотенузы .
Если гипотенуза и	катет	одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если	катет	и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Чему равен	катет	прямоугольного треугольника , если его гипотенуза равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? .
Поэтому треугольник EFG можно построить только тогда , когда	катет	EF меньше гипотенузы FG , то есть когда .
Чему равен катет прямоугольного треугольника , если его гипотенуза равна 136 мм , а второй	катет	64 мм ? .
Мы знаем , что в прямоугольном треугольнике	катет	меньше гипотенузы .
Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого	катета	с гипотенузой .
Отсюда следует , что прямоугольные треугольники OPQ и OP'Q ' равны по двум	катетам	.
1 ) третий признак равенства треугольников . 2 ) признак равенства по двум	катетам	.
Прямоугольные треугольники САВ и DAB равны по двум	катетам	, поэтому .
9 Постройте прямоугольный треугольник по двум	катетам	.
1.3 Окружность , вписанная в прямоугольный треугольник АВС , касается	катетов	АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления площади прямоугольного треугольника , где а и b — длины	катетов	.
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с	катетом	в 1 см .
4 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по	катету	и прилежащему острому углу .
Тогда ВСКН — прямоугольник , прямоугольные треугольники АВН и DCK равны по гипотенузе и	катету	.
3 ) признак равенства по гипотенузе и	катету	.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно	катету	и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) признак равенства по	катету	и острому углу .
6 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и	катету	.
Постройте прямоугольный треугольник по	катету	и сумме другого катета с гипотенузой .
10 Постройте прямоугольный треугольник по	катету	и прилежащему острому углу .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и	катету	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
11 Постройте прямоугольный треугольник по	катету	и гипотенузе .
Равенство прямоугольных треугольников по	катету	и гипотенузе .
Заметим , что и прямоугольные треугольники ORS и OR 'S ' равны по	катету	и острому углу .
Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и	катету	? .
10 Выразите	квадрат	стороны правильного шестиугольника через его площадь S .
10 Постройте	квадрат	площадью в 32 см2 .
Формула	квадрат	суммы .
Соседние стороны ОК и ON прямоугольника равны как радиусы в одной и той же окружности , поэтому CNOK —	квадрат	.
Квадрат со стороной разбит на квадрат со стороной а ,	квадрат	со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
Так , число а2 называют « а -	квадрат	» , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
Докажите , что образующийся при этом четырёхугольник PQRS —	квадрат	.
Формула	квадрат	разности .
4 Сколько внутренних плоских углов имеет : а )	квадрат	; б ) прямоугольник ; в ) ромб ; г ) параллелограмм ? .
возведение многочлена в	квадрат	. 4 )
Например , равносторонний треугольник имеет меньшую площадь , чем	квадрат	с такой же стороной .
Какую наименьшую площадь может иметь	квадрат	с вершинами в узлах клетчатой бумаги ? .
Квадрат со стороной разбит на	квадрат	со стороной а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число положительное , нулю равен только	квадрат	числа нуль .
Последняя формула может быть полезной при возведении в	квадрат	разности двух выражений .
На плоскости можно рассмотреть любой	квадрат	ABCD .
1 Даны	квадрат	и прямая l.
Постройте	квадрат	, равный данному , чтобы прямая l содержала .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или «	квадрат	числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
7 Как вы понимаете	квадрат	и куб отрицательного числа ? .
Действительно , мы знаем , что	квадрат	любого числа — это неотрицательное число .
6 Что такое	квадрат	и куб числа ? .
Это тождество иногда называют формулой сокращенного возведения суммы двух чисел в	квадрат	или формулой квадрата суммы .
Как можно определить	квадрат	, пользуясь определением прямоугольника ? .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение :	квадрат	любого ненулевого числа — число положительное , нулю равен только квадрат числа нуль .
Как можно определить	квадрат	, пользуясь определением ромба ? .
Что может получиться при возведении в	квадрат	обеих частей числового неравенства ? .
Докажите , что при пересечении биссектрис образуется	квадрат	.
Сколько вы знаете различных чисел ,	квадрат	которых равен 400 ? .
Формулы квадрата суммы или разности двух чисел иногда удобно применять при возведении чисел в	квадрат	.
Преобразуем подкоренное выражение , выделив в нём	квадрат	суммы двух чисел .
Действительно , точное вычисление	квадрата	полученного числа приводит к равенству .
4 На сторонах	квадрата	ABCD выбраны точки М , N , К , L так , что .
7 Точки М и N — середины сторон AD и АВ	квадрата	ABCD .
Это тождество иногда называют формулой сокращенного возведения суммы двух чисел в квадрат или формулой	квадрата	суммы .
Формулы	квадрата	суммы или разности двух чисел иногда удобно применять при возведении чисел в квадрат .
Как доказать , что два различных	квадрата	не могут иметь только три попарно совпадающие вершины ? .
5 Найдите приближённую длину диагонали	квадрата	, сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
Применив затем формулу	квадрата	суммы , получим .
Почему противоположные стороны	квадрата	лежат на непересекающихся прямых ? .
7 Приближённое значение стороны	квадрата	равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
1 Запишите формулу	квадрата	суммы двух чисел .
Чему равно значение периметра	квадрата	, выраженное через радиус вписанной окружности ? .
а ) одну из диагоналей	квадрата	. б ) одну из сторон квадрата .
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого	квадрата	и укажите погрешность вычисления .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади	квадрата	, сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
3 Представьте в виде	квадрата	некоторого выражения .
По свойству площадей получаем формулу , совпадающую с формулой	квадрата	суммы двух чисел .
5.3 Примеры применения формул	квадрата	суммы и квадрата разности .
2 Запишите формулу	квадрата	разности двух чисел .
Найдите координаты вершин	квадрата	ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
Чему равна площадь четырёхугольника ABCD , выраженная через площадь	квадрата	клетчатой бумаги ? .
Два	квадрата	имеют общую точку пересечения диагоналей .
а ) площадь	квадрата	со стороной 5 см . б ) площадь круга с радиусом 6 см ? .
4 Внутри	квадрата	ABCD расположен некоторый стоугольник , ограничивающий стоугольную область .
Сколько плоских углов образуют диагонали	квадрата	с его сторонами ? .
Воспользуемся формулой для	квадрата	суммы двух чисел а и b , чтобы получить формулу для куба суммы этих чисел .
Представим 28 в виде суммы этого	квадрата	и небольшого ( по сравнению с 25 ) добавка .
Точки М , N , К и L соединены с вершинами	квадрата	.
Площадь S	квадрата	со стороной а выражается формулой .
а ) одну из диагоналей квадрата . б ) одну из сторон	квадрата	.
в ) середины двух противоположных сторон	квадрата	.
1.5 Знак	квадрата	чисел .
Площадь любого	квадрата	со стороной , равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей единице измерения площади .
5.3 Примеры применения формул квадрата суммы и	квадрата	разности .
В	квадрате	ABCD точки К , L , М и N взяты так , что .
Как вы будете находить число , равное кубу числа ( -4 ) в	квадрате	? .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в	квадрате	» , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
Однако можно сказать , что , например , число 9 равно числу ( -3 ) в	квадрате	, поскольку 9 b ( -3)2 .
2.1 В	квадрате	ABCD точки К , L , М и N взяты так , что .
Пика приближённого	квадратного	корня .
3 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения	квадратного	корня из числа , близкого к единице ? .
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение	квадратного	корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого	квадратного	корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Приближённое значение	квадратного	корня .
Пика приближённого	квадратного корня	.
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение	квадратного корня	с восемью знаками : 3513,6417 .
3 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения	квадратного корня	из числа , близкого к единице ? .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого	квадратного корня	из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Приближённое значение	квадратного корня	.
3 Внутри	квадратной	области Κλ выбрали некоторую точку Fи построили фигуру К2 , симметричную К1 относительно точки F .
1 С помощью калькулятора найдите	квадратные	корни из чисел .
1 С помощью калькулятора найдите	квадратные корни	из чисел .
4 Чему равен	квадратный	корень из произведения двух положительных чисел ? .
При попытке найти	квадратный	корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Последний	квадратный	корень найдём по формуле .
1 Плата за квартиру состоит из а рублей оплаты коммунальных услуг и из b рублей за каждый	квадратный	метр жилой площади .
4 Чему равен	квадратный корень	из произведения двух положительных чисел ? .
Последний	квадратный корень	найдём по формуле .
При попытке найти	квадратный корень	из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Что называется	квадратным	корнем из положительного числа а ? .
Что называется	квадратным корнем	из положительного числа а ? .
Рассмотрим теперь вопрос об извлечении	квадратных	корней при помощи всего лишь четырёх арифметических действий и без использования вычислительной техники .
6 Приближённое извлечение квадратных корней . 6.1 О приближённом извлечении	квадратных	корней .
В предыдущем пункте последовательно закрашиваемые площади , выраженные в	квадратных	сантиметрах , образуют последовательность .
6.2 О таблице	квадратных	корней .
Разные искусственные приёмы позволяют использовать формулу ( 2 ) для извлечения	квадратных	корней чуть ли не из любых положительных чисел .
6 Приближённое извлечение	квадратных	корней . 6.1 О приближённом извлечении квадратных корней .
4 Найдите приближённые значения	квадратных	корней из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
Откуда калькулятор « берёт » значения	квадратных	корней ?
В отдельных случаях , например для чисел 4 , 16 , 25 и некоторых других , калькулятор вообще укажет точные значения	квадратных	корней 2 , 4 , 5 и так далее .
5 Как применить формулу к вычислению произвольных	квадратных	корней ? .
6 Приближённое извлечение квадратных корней . 6.1 О приближённом извлечении	квадратных корней	.
В отдельных случаях , например для чисел 4 , 16 , 25 и некоторых других , калькулятор вообще укажет точные значения	квадратных корней	2 , 4 , 5 и так далее .
Разные искусственные приёмы позволяют использовать формулу ( 2 ) для извлечения	квадратных корней	чуть ли не из любых положительных чисел .
Откуда калькулятор « берёт » значения	квадратных корней	?
6.2 О таблице	квадратных корней	.
6 Приближённое извлечение	квадратных корней	. 6.1 О приближённом извлечении квадратных корней .
5 Как применить формулу к вычислению произвольных	квадратных корней	? .
Рассмотрим теперь вопрос об извлечении	квадратных корней	при помощи всего лишь четырёх арифметических действий и без использования вычислительной техники .
4 Найдите приближённые значения	квадратных корней	из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме	квадратов	со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше площади комнаты ? .
1 Стороны двух	квадратов	, имеющих общий центр , пересекаются попарно в восьми точках .
При каких значениях сторон контуры этих	квадратов	не могут пересекаться ? .
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство	квадратов	выражений на равенство самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 .
Ближайшим к 28	квадратом	целого числа является 25 .
Последовательно приставляя к нему равные	квадраты	, придём к непересекающимся равноотстоящим прямым m и n .
Заметим , что построение двух непересекающихся прямых делалось в предположении , что плоскость может быть разбита на	квадраты	, как клетчатая бумага .
Докажите , что площадь	кольца	между этими окружностями в соответствующих единицах измерения площади равна π .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон (	коммутативность	) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
Свойство тождественного равенства	коммутативность	.
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон (	коммутативность	) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
При каких значениях сторон	контуры	этих квадратов не могут пересекаться ? .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале	координат	.
Отсюда следует , что график уравнения симметричен относительно осей	координат	Ох и Oy .
Значит , решениями системы уравнений являются пары	координат	точек пересечения М и N окружности и прямой .
Нетрудно заметить , что все эти точки расположены на одной прямой , проходящей через начало	координат	.
6 Постройте в каждом пункте в одной и той же системе	координат	графики уравнений .
2.5 Построение графика линейной функции по точкам пересечения с осями	координат	.
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары	координат	точек графика функции .
2.1 Какая пара точек лежит на прямой , проходящей через начало	координат	? .
Иногда для построения графика линейной функции удобно находить точки пересечения графика с осями	координат	.
2.2 Какие три из приведённых четырёх точек лежат на одной прямой , проходящей через начало	координат	? .
Такими парами	координат	будут , например , и вообще любая пара чисел , имеющая вид , где а — произвольное число .
Приближённые значения этих	координат	( 2,5 ; 17,5 ) .
Для этого возьмём на луче ОА точку В(с ; d ) , не совпадающую с началом системы	координат	0(0 ; 0 ) .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы	координат	и точку ( 1 ; k ) .
4 Определите , какие из пар точек лежат на одной прямой , проходящей через начало системы	координат	.
Если удалить его начало , то останутся точки ,	координата	каждой из которых больше -2 .
Если удалить его начало , то останутся точки ,	координата	каждой из которых меньше .
Отсюда следует , что на оси Оу число и b/2 является координатой середины отрезка с концами в точках с	координатами	d и f .
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют график уравнения то есть множество всех точек вида с	координатами	где а — любое число .
На какой прямой лежат точки с	координатами	( x ; kx ) ? .
Используя таблицу , отметим точки с соответствующими	координатами	.
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными	координатами	, о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Если предположить , что прямые пересекаются в какой - то точке с	координатами	( m ; n ) , то тогда одновременно должны выполняться равенства , откуда , что невозможно .
Посмотрим , как расположены на координатной плоскости точки с	координатами	( х ; у ) , для которых .
Все эти точки с	координатами	( -2 ; а ) составляют вертикальную прямую .
С другой стороны , в 6 классе было показано , что на числовой оси середина отрезка с концами в точках с	координатами	d и f имеет координату ( d + f ) .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными	координатами	за исключением вершин треугольника ? .
Через точку оси Оу с	координатой	b/2 проведем горизонтальную прямую , параллельную оси Ох .
Отсюда следует , что на оси Оу число и b/2 является	координатой	середины отрезка с концами в точках с координатами d и f .
С другой стороны , в 6 классе было показано , что на числовой оси середина отрезка с концами в точках с координатами d и f имеет	координату	( d + f ) .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая	координаты	.
Решением системы являются	координаты	общей точки А построенных графиков .
Поэтому	координаты	( с ; d ) точки В являются решением уравнения .
Точка М имеет	координаты	( -2 ; 0 ) .
Так как по рисунку можно лишь приближённо указать	координаты	точки , то найденные значения проверим подстановкой .
Её	координаты	имеют вид ( а ; kа ) .
Изобразим оба графика и найдём	координаты	точки А их пересечения .
Графиком функции ( функциональной зависимости ) называется множество всех точек координатной плоскости ,	координаты	которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
Если точка А имеет	координаты	А(а ; b ) , то для чисел а и b выполняются равенства .
Сопоставив значению первой координаты однозначно определённое значение второй	координаты	, получим функциональную зависимость переменной у от переменной х .
Каковы точные	координаты	точки К из примера 6 ? .
Найдите	координаты	вершин квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
Сопоставив значению первой	координаты	однозначно определённое значение второй координаты , получим функциональную зависимость переменной у от переменной х .
Найдите координаты вершин квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что точка А имеет	координаты	( -7 ; 3 ) .
Какие	координаты	имеет точка пересечения прямой и прямой , где к отлично от нуля ? .
График этого уравнения состоит из всех точек ,	координаты	которых имеют вид , где а — любое число .
Обозначим ( с ; f )	координаты	точки В , симметричной точке А(с ; -kс ) относительно оси .
Точка D является серединой отрезка АВ и имеет	координаты	.
При попытке найти квадратный	корень	из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Пусть а —	корень	этого уравнения , то есть выполняется числовое равенство .
Уравнения называются равносильными , если множества корней этих уравнений совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный	корень	(-8 ) .
Другими словами , всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий	корень	неравенства является корнем неравенства .
Иногда	корень	неравенства называют решением этого неравенства .
Подобным образом можно показать , что всякий	корень	неравенства является корнем неравенства .
4 Чему равен квадратный	корень	из произведения двух положительных чисел ? .
Искомый	корень	находится между числами -1,4 и -1,2 .
Как объяснить , что всякий	корень	неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства ? .
Иногда	корень	уравнения называют решением уравнения .
Но в правой части	корень	легко извлекается , следовательно .
Найти	корень	уравнения .
2 Как определяется	корень	уравнения с одним неизвестным ? .
Это уравнение тоже имеет только один	корень	.
Затем составим и решим уравнение , то есть , найдём его	корень	и отметим точку N(2 ; 0 ) .
Оно имеет только один	корень	Поменяем местами левую и правую части уравнения и получим новое уравнение .
Последний квадратный	корень	найдём по формуле .
Если теперь извлечь	корень	из произведения , то получится .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части ,	корень	или решение нестрогого неравенства А(х ) > В(х ) .
1.3 Примеры линейных уравнений , имеющих единственный	корень	.
Если зачеркнуть в левой и правой частях одинаковый множитель , то получится уравнение , которое имеет только один	корень	-1 .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части ,	корень	или решение нестрогого неравенства А(х ) < В(х ) .
Как объяснить , что всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий	корень	неравенства является корнем неравенства ? .
Если число не равно нулю , то уравнения и уравнение имеют единственный	корень	.
Другими словами , всякий	корень	неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства .
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов выражений на равенство самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный	корень	1 .
Тогда из свойств числовых неравенств следует , что , то есть число с —	корень	второго неравенства .
Тогда уравнение и уравнение или х - имеют единственный	корень	b / k .
Если уравнение не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество	корней	уравнения является пустым множеством .
4 Найдите приближённые значения квадратных	корней	из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
Уравнения называются равносильными , если множества	корней	этих уравнений совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
Решить неравенство — это одно из двух : либо найти все корни неравенства , либо доказать , что неравенство не имеет	корней	.
Решить уравнение — значит либо найти все корни уравнения , либо доказать , что это уравнение не имеет	корней	.
Если уравнение не имеет	корней	, то в этом случае говорят , что множество корней уравнения является пустым множеством .
Часто М называют множеством решений или множеством	корней	уравнения .
Ответ : при уравнение не имеет	корней	.
В отдельных случаях , например для чисел 4 , 16 , 25 и некоторых других , калькулятор вообще укажет точные значения квадратных	корней	2 , 4 , 5 и так далее .
Найти , при каких числовых значениях а уравнение не имеет	корней	относительно неизвестной х .
Обозначим через М набор всех его	корней	.
5 Как применить формулу к вычислению произвольных квадратных	корней	? .
Решить нестрогое неравенство — это одно из двух : либо найти все корни этого неравенства , либо доказать , что это неравенство не имеет	корней	.
Рассмотрим теперь вопрос об извлечении квадратных	корней	при помощи всего лишь четырёх арифметических действий и без использования вычислительной техники .
5 Может ли уравнение не иметь	корней	? .
Других	корней	нет , потому что если произведение двух чисел равняется нулю , то хотя бы один из сомножителей равен нулю .
Тогда уравнение имеет вид и не имеет	корней	.
2.2 Множество	корней	уравнения .
В этом случае уравнение имеет вид и не имеет	корней	.
Какой пример уравнения с пустым множеством	корней	рассматривался в первом параграфе ? .
Нарушится ли равносильность при переходе от уравнения к уравнению , если известно , что уравнение не имеет	корней	? .
Почему равносильны уравнения , каждое из которых не имеет	корней	? .
2.2 Укажите уравнения , у которых число	корней	больше одного .
6 Приближённое извлечение квадратных корней . 6.1 О приближённом извлечении квадратных	корней	.
2.3 Множество	корней	неравенства .
Как найти все решения уравнения , если известно , что уравнение не имеет	корней	? .
1.4 Линейное уравнение , имеющее бесконечно много	корней	.
Разные искусственные приёмы позволяют использовать формулу ( 2 ) для извлечения квадратных	корней	чуть ли не из любых положительных чисел .
3 Сколько	корней	может иметь линейное уравнение с одним неизвестным ? .
Практическое вычисление	корней	.
Поэтому уравнение не имеет	корней	.
Откуда калькулятор « берёт » значения квадратных	корней	?
Поэтому неравенство не имеет	корней	.
Неравенства называются равносильными , если множества	корней	этих неравенств совпадают .
Сколько	корней	имеет уравнение ? .
В результате множество	корней	уравнения и множество корней уравнения различны .
Сколько	корней	имеет уравнение .
В результате множество корней уравнения и множество	корней	уравнения различны .
Если неравенство не имеет	корней	, то в этом случае говорят , что множество его корней является пустым множеством .
6.2 О таблице квадратных	корней	.
6 Приближённое извлечение квадратных	корней	. 6.1 О приближённом извлечении квадратных корней .
Какое множество	корней	имеет неравенство .
Тогда уравнение имеет вид и любое число является	корнем	этого уравнения .
Ранее мы видели , что число -3/7 является	корнем	уравнения .
4 Какое число называют решением (	корнем	) неравенства ? .
В результате получаем , что число 5 является единственным	корнем	уравнения .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то число b будет также	корнем	уравнения .
Таким образом ,	корнем	уравнения может быть только число 5 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 5 .
Пусть число а является	корнем	этого уравнения , то есть выполняется равенство .
1.1 Укажите уравнение , которое имеет своим	корнем	число 2 .
Любое ненулевое число будет его	корнем	, но число 0 не является корнем этого неравенства .
Любое ненулевое число будет его корнем , но число 0 не является	корнем	этого неравенства .
Значит , 5 является	корнем	уравнения .
Пусть число а является	корнем	данного уравнения , то есть выполняется числовое равенство .
4 Какое число называют решением (	корнем	) нестрогого неравенства ? .
Предположим , что число а является	корнем	этого уравнения , то есть .
Как объяснить , что всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является	корнем	неравенства ? .
Предположим , что число с является	корнем	этого уравнения , то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше числа -5 .
Таким образом , число а является	корнем	уравнения .
Если число а является	корнем	данного уравнения , то выполняется числовое равенство .
Является ли число 5	корнем	уравнения ? .
Каждое значение с переменной х , при котором , называется	корнем	или решением неравенства .
Как объяснить , что всякий корень неравенства является	корнем	неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства ? .
1.2 Укажите уравнение , имеющее	корнем	число 5 .
В результате получаем , что число а будет	корнем	уравнения .
Другими словами , всякий корень неравенства является	корнем	неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства .
Пусть число с является	корнем	первого неравенства , то есть .
Обратно , если число а является	корнем	уравнения , то выполняется числовое равенство .
Отсюда получаем равенство , то есть абсцисса а точки А является	корнем	уравнения .
В результате получаем , что число , равное 3/2 , является единственным	корнем	уравнения .
1.1 Какая из следующих пар значений переменных является	корнем	уравнения .
Что называется квадратным	корнем	из положительного числа а ? .
Как доказать , что если число b является	корнем	уравнения , то это число b будет также корнем уравнения .
Как доказать , что если число b является корнем уравнения , то это число b будет также	корнем	уравнения .
Пусть число а является	корнем	данного уравнения , то есть верно числовое равенство .
В результате получаем , что число , равное является единственным	корнем	уравнения .
Верно и обратное : если число b является	корнем	уравнения , то это число b будет также корнем исходного уравнения .
Подобным образом можно показать , что всякий корень неравенства является	корнем	неравенства .
Значит , число является	корнем	уравнения .
Таким образом ,	корнем	уравнения может быть только число -8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа -8 .
Значит , число -3/8 является	корнем	уравнения .
Каждое значение переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется	корнем	уравнения .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то это число b будет также	корнем	исходного уравнения .
Следовательно , число а является	корнем	уравнения .
Таким образом ,	корнем	уравнения может быть только число-3/8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа -3/8 .
Другими словами , всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является	корнем	неравенства .
Каждое значение с переменной х , при котором , называется	корнем	неравенства .
В результате получаем , что число -8 является единственным	корнем	уравнения .
Каждое числовое значение d переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется	корнем	уравнения .
Таким образом ,	корнем	уравнения может быть только число 3/2 то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 3/2 .
2.1 Укажите уравнения , имеющие	корнем	число 0 .
Верно и обратное : если число b является	корнем	уравнения , то число b будет также корнем уравнения .
Решить уравнение — значит либо найти все	корни	уравнения , либо доказать , что это уравнение не имеет корней .
Решить неравенство — это одно из двух : либо найти все	корни	неравенства , либо доказать , что неравенство не имеет корней .
Решение линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же	корни	, что и исходное уравнение .
Сначала научимся извлекать	корни	из чисел , близких к единице .
Поэтому уравнения имеют одинаковые	корни	, то есть равносильны .
Решение этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же	корни	, что и исходное уравнение .
Решить нестрогое неравенство — это одно из двух : либо найти все	корни	этого неравенства , либо доказать , что это неравенство не имеет корней .
Какие	корни	имеет уравнение .
В результате мы получили , что уравнение имеет те же	корни	, что и уравнение .
В результате мы получили , что уравнения имеют одни и те же	корни	.
Какие	корни	имеет уравнение ? .
Почему уравнения имеют одни и те же	корни	? .
1 С помощью калькулятора найдите квадратные	корни	из чисел .
Какие ненулевые	корни	неравенства вы можете указать ? .
Квадратные	корни	из левой и правой частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
С помощью графиков	корни	линейных уравнений можно представить наглядно .
Аналогично можно показать , что одни и те же	корни	имеют уравнение и уравнение .
Какие	корни	имеет уравнение ах b а , где а — фиксированное число , х — неизвестная величина ? .
3 Может ли уравнение иметь два	корня	? .
Подставив в уравнение вместо х числа 1 и -1 , убеждаемся , что уравнение имеет два	корня	: -1 и 1 .
10 Найдите с помощью графиков приближённое значение	корня	уравнения .
Как можно получить более точные границы снизу и сверху для	корня	рассматриваемого уравнения ? .
8 Найдите с помощью графиков приближённое значение	корня	уравнения .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного	корня	из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного	корня	с восемью знаками : 3513,6417 .
При каком значении параметра а уравнение имеет хотя бы два различных	корня	? .
Пика приближённого квадратного	корня	.
3 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения квадратного	корня	из числа , близкого к единице ? .
9 Найдите с помощью графиков приближённое значение	корня	уравнения .
Приближённое значение квадратного	корня	.
3 По формуле найдите приближённое значение	корня	и оцените абсолютную погрешность .
Числа 0 и -1 являются его	корнями	, потому что выполняются равенства .
Следовательно ,	корнями	уравнения являются только три числа .
Аналогично доказывается , что	корнями	уравнения тоже являются только три числа .
Поэтому	корнями	данного уравнения являются все числа .
Значит ,	корнями	уравнения являются все числа .
Чему равен	коэффициент	пропорциональности ? .
Угловой	коэффициент	прямой .
4 Что такое	коэффициент	? .
Как построить график линейной функции , зная одну точку этого графика и угловой	коэффициент	? .
3 Найдите	коэффициент	и степень одночлена .
4 Найдите	коэффициент	одночлена , где буквы а и b обозначают постоянные числа .
Одночлен , где π — постоянное число , имеет	коэффициент	и степень 3 , равную .
Одночлен -m2n имеет	коэффициент	-1 и степень 3 , равную .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы	коэффициент	при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Что такое угловой	коэффициент	прямой ? .
2.7 Угловой	коэффициент	прямой .
Обычно числовой	коэффициент	пишут слева , а если буква входит в одночлен с показателем степени , равным 1 , то такой показатель , как правило , не пишут .
Следовательно ,	коэффициент	этого одночлена равен 1 , а степень равна 4 .
4 Что такое	коэффициент	пропорциональности ? .
Каковы	коэффициент	и степень одночлена .
6 Как определяется угловой	коэффициент	прямой ? .
С помощью	коэффициента	пропорциональности зависимость величины у , прямо пропорциональной величине х , можно выразить формулой .
2 Приведите пример уравнения с целыми	коэффициентами	и запишите все его целочисленные решения .
Числа , стоящие в строках этого треугольника , называются биномиальными	коэффициентами	.
Два одночлена называются подобными , если они либо равны , либо их можно записать так , что они будут отличаться только	коэффициентами	.
Например , в одночленах и	коэффициентами	являются выражения соответственно .
Любое уравнение вида с целыми	коэффициентами	а , b , с имеет целочисленные решения , когда — взаимно простые числа .
1.4 Какой вид имеет строка биномиальных	коэффициентов	для показателя степени 4 ? .
2.4 Какие строки чисел представляют собой строки	коэффициентов	разложения ( а - b)n для некоторого n ? .
Заполним по строкам треугольную таблицу , составленную из	коэффициентов	этих разложений , добавив строку с номером 0 , состоящую из одного числа 1 .
Коэффициент произведения двух одночленов равняется произведению	коэффициентов	этих одночленов .
7 Каким свойством обладают прямые с одинаковым угловым	коэффициентом	? .
Числовой множитель -3,2 называют	коэффициентом	этого одночлена .
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового выражения и степеней переменных букв , то постоянное выражение принято считать	коэффициентом	.
По этой причине число k в формуле называют угловым	коэффициентом	прямой .
2.10 Линейное уравнение с нулевым	коэффициентом	.
Следовательно , если х ° С соответствует у ° F , то значения из промежутка от 32 ° F до у ° F пропорциональны значениям из промежутка от 0 ° С до х ° С с	коэффициентом	к , который можно найти , зная , что 180 ° F соответствуют 100 ° С. Поэтому .
Число k называют	коэффициентом	пропорциональности .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим	коэффициенты	разложения в строке с номером 6 — коэффициенты разложения в строке с номером n поместим коэффициенты разложения .
Биномиальные	коэффициенты	.
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим коэффициенты разложения в строке с номером 6 —	коэффициенты	разложения в строке с номером n поместим коэффициенты разложения .
1.2 Укажите	коэффициенты	в разложении .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим коэффициенты разложения в строке с номером 6 — коэффициенты разложения в строке с номером n поместим	коэффициенты	разложения .
Биномиальные	коэффициенты	и треугольник Паскаля .
Эти линейные функции имеют одинаковые угловые	коэффициенты	, а поэтому их графики являются параллельными прямыми .
1.1 Укажите	коэффициенты	в разложении .
8 Докажите , что	круг	является выпуклой геометрической фигурой .
Выпуклыми фигурами являются , например ,	круг	и закрашенная часть плоскости .
Для вычисления площади	круга	, имеющего радиус 2 см , использована формула S 3,14 · 22 .
10 Даны два неравных непересекающихся	круга	.
а ) площадь квадрата со стороной 5 см . б ) площадь	круга	с радиусом 6 см ? .
Как оценить абсолютную погрешность формулы для площади	круга	, если R = 5 см ? .
27 В	круге	радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды длиной R и .
Докажите , что точка пересечения внешних касательных , точка пересечения внутренних касательных и центры	кругов	лежат на одной прямой .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или «	куб	числа а » .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а -	куб	» , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
7 Как вы понимаете квадрат и	куб	отрицательного числа ? .
6 Что такое квадрат и	куб	числа ? .
Формула	куб	суммы .
Рассмотрим	куб	с ребром а + b и разобьём его на 8 частей , как это условно изображено .
Как можно получить формулу для	куба	разности двух чисел тип , то есть .
Воспользуемся формулой для	куба	суммы двух чисел а и b , чтобы получить формулу .
Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух чисел а и b , чтобы получить формулу для	куба	суммы этих чисел .
Формуле	куба	суммы также можно дать геометрическую иллюстрацию .
5.5 Геометрическая иллюстрация	куба	суммы двух чисел .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма	куба	, ребро которого равно а .
1.1 Чему равен объём	куба	со стороной 7 см ? .
Одна часть является	кубом	с ребром а , а ещё одна часть — кубом с ребром b.
Одна часть является кубом с ребром а , а ещё одна часть —	кубом	с ребром b.
Как вы будете находить число , равное	кубу	числа ( -4 ) в квадрате ? .
Какой вид имеет	линейная	функция .
Какой график имеет	линейная	функция .
1.1 Какое значение принимает	линейная	функция ? .
Какой вид имеет	линейная	функция , график которой проходит через точки А(-1 ; -3 ) и В(2 ; 0 ) ? .
5 Дана	линейная	функция .
2 Какой график имеет	линейная	функция ? .
Решение	линейного	уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
1.6 О преобразованиях	линейного	уравнения .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений	линейного	неравенства .
3.3 Целочисленные решения	линейного	уравнения .
3.1 Решение	линейного	уравнения в целых числах .
Для какого	линейного	неравенства множество решений совпадает с промежутком ? .
График	линейного	уравнения .
Сокращённая запись решения	линейного	уравнения .
2.10 Сокращённая запись решения	линейного	неравенства .
Выражение буквенное	линейное	.
Неравенство	линейное	.
Уравнение	линейное	.
3 Сколько корней может иметь	линейное	уравнение с одним неизвестным ? .
2 Что такое	линейное	уравнение с одним неизвестным ? .
Иногда прямолинейная зависимость переменной у от переменной х называется	линейной	функцией от х .
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является	линейной	, однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить систему линейных уравнений .
2.5 Построение графика	линейной	функции по точкам пересечения с осями координат .
Графиком	линейной	функции является прямая .
Следовательно , число в формуле	линейной	функции характеризует угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох .
Аналогично график уравнения у совпадает с графиком	линейной	функции .
Изобразим график	линейной	функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых отрицательны .
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на графике	линейной	функции .
Эта функциональная зависимость называется	линейной	функцией .
7 Найдите значение b , если известно , что график	линейной	функции проходит через точку .
6 Найдите значение к , если известно , что график	линейной	функции проходит через точку .
1.7 Пример системы , которая заменой неизвестных сводится к	линейной	.
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой	линейной	функции , последовательно вычисленные для натуральных значений переменной х ? .
1 Какая функция называется	линейной	? .
Покажем , что графиком	линейной	функции является прямая , которая параллельна прямой .
Изобразим на график	линейной	функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых неотрицательны .
2 Линейная функция/. 2.1 Определение	линейной	функции .
Заметим , что для любого числа а графиком уравнения является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой	линейной	функции .
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в градусах по Фаренгейту от числового значения температуры С в градусах по Цельсию выражается	линейной	функцией .
График	линейной	функции .
1.3 Пусть зависимость у от х задаётся	линейной	функцией Чему равно к ? .
2 Что представляет собой график	линейной	функции ? .
Глядя на этот рисунок , естественно предположить , что графиком	линейной	функции является прямая .
1.4 Пусть зависимость у от х задаётся	линейной	функцией Чему равно а ? .
Как построить график	линейной	функции , зная одну точку этого графика и угловой коэффициент ? .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть последовательность значений	линейной	функции при натуральных значениях х ? .
2.2 Пример	линейной	функции .
Какие точки графика	линейной	функции лежат на координатных осях ? .
3.1 Значение	линейной	функции при натуральных значениях переменной .
Множество таких пар является графиком	линейной	функции .
Чтобы свести эту систему к	линейной	, введём новые переменные .
2.4 Построение графика	линейной	функции по двум различным точкам .
1 Постройте график	линейной	функции .
График уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с графиком	линейной	функции .
4 Как построить график	линейной	функции ? .
3 Как доказать , что графиком	линейной	функции является прямая ? .
Графиком	линейной	функции , где к и b — фиксированные числа , является прямая .
Иногда для построения графика	линейной	функции удобно находить точки пересечения графика с осями координат .
Приходим к	линейному	уравнению с одним неизвестным у.
Рассмотрим	линейную	функцию , например .
2.2 Укажите все	линейные	уравнения , которые имеют более одного решения .
5 Как решаются	линейные	уравнения в общем виде ? .
2.1 Укажите все	линейные	уравнения , у которых число 2 является решением .
Эти	линейные	функции имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их графики являются параллельными прямыми .
В этой главе напоминаются свойства числовых неравенств , вводится важное понятие равносильности неравенств , показывается , как решать	линейные	неравенства с одним неизвестным .
6 Как объяснить , что уравнение не является	линейным	? .
1 Что называют	линейным	выражением с одной переменной ? .
Неравенство , в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется	линейным	неравенством .
Буквенное выражение вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется	линейным	выражением относительно переменной х .
Уравнение , в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется	линейным	уравнением .
Например , уравнения являются	линейными	.
Уравнение , в котором левая и правая части являются	линейными	выражениями , называется линейным уравнением .
Например ,	линейными	являются выражения .
2.3 Какие из приведённых зависимостей не являются	линейными	? .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются	линейными	, научитесь строить графики линейных функций .
Например , неравенства являются	линейными	.
2.4 Какие из приведённых зависимостей являются	линейными	? .
Неравенство , в котором левая и правая части являются	линейными	выражениями , называется линейным неравенством .
7 Какие неравенства называют	линейными	? .
2.3 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в многочленах становятся	линейными	уравнениями .
2.4 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в многочленах не становятся	линейными	уравнениями .
2.11 Решение	линейных	уравнений с помощью графиков .
Это система	линейных	уравнений .
Связь между графиками	линейных	функций и уравнениями с двумя неизвестными .
4 Какие примеры	линейных	уравнений вам известны ? .
Приведите пример системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными , которая .
Как доказать , что графики	линейных	функций параллельны ? .
Графики	линейных	функций помогают наглядно представить все решения линейных уравнений с двумя неизвестными .
Выражение а1b2 - b1а2 иногда называют определителем системы двух	линейных	уравнений .
6 Как получить графически приближённые решения системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными ? .
Разбирая примеры на решение	линейных	неравенств , можно было видеть , что ответом является множество чисел .
1.3 Примеры	линейных	уравнений , имеющих единственный корень .
Покажем , что система двух	линейных	уравнений иногда может иметь сколь угодно много решений .
С помощью графиков корни	линейных	уравнений можно представить наглядно .
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить систему	линейных	уравнений .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются линейными , научитесь строить графики	линейных	функций .
Графический способ решения можно применять не только к системам	линейных	уравнений .
Покажем , что иногда система двух	линейных	уравнений может не иметь решений .
Рассмотренные в данном параграфе задачи сводились к системе двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
В случае системы	линейных	уравнений ( 5 ) пара чисел ( х0 ; у0 ) является решением , если одновременно выполняются равенства .
Система уравнений	линейных	.
В общем случае системой двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными называют систему вида .
Какую систему двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными , имеющую сколь угодно много решений , вы можете предложить ? .
Графики линейных функций помогают наглядно представить все решения	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
1.6 Частичное исследование системы двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
8 Приведите пример системы , которая за счёт введения новых переменных сводится к системе двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
2 Как вы понимаете слова : « система двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными » ? .
1.3 Система двух	линейных	уравнений с двумя неизвестными .
5 Приведите пример системы	линейных	уравнений , не имеющей ни одного решения .
Чему равен	логарифм	по основанию 10 от числа сто миллионов ? .
Что такое	логарифм	числа аn по основанию а ? .
Основание	логарифма	.
Запишите свойство	логарифма	для произведения двух степеней .
Какие свойства	логарифмов	по основанию а для степеней числа а вы знаете ? .
Запись свойств степеней с помощью	логарифмов	.
Запишем на языке	логарифмов	свойства степеней .
Такое же соглашение принято и в других подобных случаях : если , где а 0 , а не равно 1 и b 0 , то число n называют	логарифмом	числа b по основанию а и обозначают logub .
Для основания 2 и числа 16 показатель степени 4 называют также	логарифмом	числа 16 по основанию 2 и используют запись .
Докажите , что полученная	ломаная	делит четырёхугольник на две равные по площади части .
Отразив отрезок АВ относительно оси Ох и затем отразив полученную	ломаную	относительно оси Оу , получим график уравнения .
Полученный	луч	ОА является частью графика функции для .
Рассмотрим полуплоскость с границей АС и не содержащую вершину В. В полуплоскости β из вершины А проведём	луч	.
Полученный	луч	ОВ без точки О является частью графика функции .
Как на числовой прямой расположен замкнутый числовой	луч	.
С другой стороны , возьмём любой	луч	АВ .
Как на числовой оси расположен открытый числовой	луч	? .
	Луч	; 2 ) треугольник ; 3 ) четырёхугольник ; 4 ) шестиугольник .
Какой замкнутый числовой	луч	является множеством решений неравенства .
4.2 Открытый числовой	луч	вида .
В предыдущем пункте показано , что для графика Г уравнения при частью графика Г в правой полуплоскости является	луч	ОА , где А(1 ; k ) .
Эта окружность пересекает	луч	PS в двух точках — R1 и R2 .
Поэтому	луч	можно обозначить .
4.4 Замкнутый числовой	луч	вида .
4.5 Открытый числовой	луч	вида .
Затем построим перпендикуляр АВ к прямой АХ и дополним	луч	АВ до прямой АВ .
3 Проведём	луч	О1Н и построим параллельный ему луч О2Р .
Рассмотрим на числовой прямой	луч	, направленный в отрицательную сторону , с началом в точке Координата каждой его точки меньше либо равна .
Для каких углов	луч	OD является биссектрисой , если угол AOF является суммой пяти равных углов .
4.3 Замкнутый числовой	луч	вида .
Будем говорить , что	луч	О А является продолжением луча О В до прямой АВ , если лучи О А и О В образуют прямую .
3 Проведём луч О1Н и построим параллельный ему	луч	О2Р .
Рассмотрим на числовой прямой	луч	, направленный в положительную сторону , с началом в точке -2 .
Рассмотрим на числовой прямой	луч	, направленный в отрицательную сторону , с началом в точке .
10 Как объяснить , что выпуклыми геометрическими фигурами являются : а ) отрезок ; б )	луч	; в ) прямая .
Поэтому можно сказать , что	луч	ОВ делит угол АОС на два равных угла ВО А и СОВ .
Луч ОВ является биссектрисой того плоского угла АОС , который содержит этот	луч	.
Напомним , что	луч	ОВ называют биссектрисой угла АОС .
3 Как от заданного	луча	отложить угол , равный заданному углу ? .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , — это все точки	луча	ОА .
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну сторону от	луча	HF можно отложить только один угол величиной 90 ° .
Коротко можно сказать : « угол — это два	луча	с общим началом » .
Будем говорить , что луч О А является продолжением	луча	О В до прямой АВ , если лучи О А и О В образуют прямую .
Имеет место следующее свойство : от любого	луча	, лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно отложить плоский угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
Рассмотрим на плоскости два различных	луча	ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую геометрическую фигуру называют углом ЛОВ .
Покажем сначала , что все точки	луча	ОА являются частью графика Г уравнения .
Аналогично : два	луча	называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых .
Даны прямая АС и два	луча	, выходящие из точки В. Суммы каких углов дают развёрнутый угол ? .
Почему от любого	луча	можно отложить только два различных угла величины 90 ° ? .
Два различных	луча	с общим началом образуют два плоских угла .
Таким образом , каждая точка	луча	ОА принадлежит графику Г уравнения .
Но тогда из условия получаем , что от	луча	СА в одной полуплоскости отложены два равных угла ВСА и В2СА .
При этом лучи О А и О В называют противоположными и кратко говорят : « Луч О А является продолжением	луча	О В до прямой » .
Тем самым все точки	луча	, противоположного лучу ОА , принадлежат графику Г уравнения .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки	луча	, противоположного лучу ОА .
Оба	луча	, ограничивающие плоский угол , называют границей этого плоского угла .
Покажем , что всякая точка	луча	, противоположного лучу ОА , принадлежит графику Г уравнения .
Продолжение	луча	.
2.2 Из точки О проведены 6 лучей таким образом , что углы , образуемые любыми двумя соседними	лучами	, равны .
В чём разница между углом , образованным двумя	лучами	с общим началом , и плоским углом , ограниченным этими же двумя лучами ? .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя	лучами	с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические фигуры .
Плоский угол — это часть плоскости , ограниченная двумя	лучами	с общей вершиной .
С другой стороны , каждой из частей соответствует плоский угол , определяемый	лучами	ОА и ОВ .
Напомним , что в 5 классе мы определяли градусную меру углов , образованных двумя	лучами	.
В чём разница между углом , образованным двумя лучами с общим началом , и плоским углом , ограниченным этими же двумя	лучами	? .
Какую часть прямого угла составляет угол между	лучами	, определяющими направления зюйд - зюйд - вест и зюйд - ост - ост ? .
Рассмотрим два отрезка АВ и АС с общим концом А. Напомним , что углом между отрезками АВ и АС с общим концом А называется угол между	лучами	АВ и АС .
Напомним , что внутренним углом треугольника АВС между сторонами АВ и АС называют плоский угол , определяемый	лучами	АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Эту единицу измерения обычно называют прямым углом , а его величину обозначают через d. Тогда угол между	лучами	, определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
А это означает , что если мера меньшего из плоских углов , образованных	лучами	ВА и ВС , равна а ° , то мера большего угла равна 360 ° - а ° .
1.1 Угол , образованный двумя	лучами	.
Заметим теперь , что определению угла удовлетворяет фигура , образованная противоположными	лучами	TS и TU одной и той же прямой .
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными	лучами	одной прямой .
Для обозначения плоского угла используют тот же знак Ζ , что и для обозначения угла , образованного двумя	лучами	.
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя	лучами	, и связанные с ними плоские углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
Выберем угол между	лучами	, определяемыми направлениями « норд » и « ост » , за единицу измерения углов .
Нулевой угол имеет величину в 0 ° , и этот угол образован двумя совпадающими	лучами	.
Угол — это фигура , образованная двумя	лучами	с общим началом .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются продолжениями ( то есть противоположными	лучами	) сторон другого .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на	луче	АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Отложим на	луче	АВ отрезок АВ2 , равный отрезку Для треугольников АВ2С и А1В1С1 выполняются условия первого признака равенства .
Для этого возьмём на	луче	ОА точку В(с ; d ) , не совпадающую с началом системы координат 0(0 ; 0 ) .
На	луче	PS построим отрезок PR , равный отрезку CD .
Точка Р расположена на	луче	ОР , противоположном лучу ОА .
На	луче	AM отложим отрезок АВ2 , равный отрезку AxBr .
Покажем теперь , что все точки графика Г уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , расположены на	луче	ОА .
Действительно , при повороте на 180 ° любая точка М перейдёт в точку M1 расположенную на	луче	, дополнительном к лучу ОМ , причём .
Как было доказано в предыдущем пункте , точка Р ' лежит на	луче	ОА .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на	луче	АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На	луче	АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Другими словами , все точки графика Г уравнения , лежащие в правой полуплоскости , расположены на	луче	ОА .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и касаются	лучей	с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух	лучей	на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих	лучей	можно отложить только по одному отрезку длины R .
2.2 Из точки О проведены 6	лучей	таким образом , что углы , образуемые любыми двумя соседними лучами , равны .
Заметим , что для	лучей	ОА , ОС и ОВ можно рассмотреть и другие плоские углы .
4 Отметим точки А и В пересечения	лучей	О1Н и О2Р с окружностями .
Отсюда следует , что	лучи	СВ и СВ2 совпадают , а значит , точки В и В2 совпадают .
Рассмотрим	лучи	ВА , BD и ВС с общей вершиной А .
При этом	лучи	О А и О В называют противоположными и кратко говорят : « Луч О А является продолжением луча О В до прямой » .
Проведём в полуплоскости а различные	лучи	АС , AD , АЕ с началом в точке А .
Объединим	лучи	О А и ОВ и получим график функции .
Рассмотренные числовые	лучи	иногда называют промежутками числовой прямой .
Точка О называется вершиной угла , а	лучи	ОА и ОВ называются его сторонами .
Из точек В и С проведены	лучи	, пересекающиеся в точке К так , что .
Будем говорить , что луч О А является продолжением луча О В до прямой АВ , если	лучи	О А и О В образуют прямую .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при вершине А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются	лучи	АВ и AD .
Множество решений неравенства называют открытым числовым	лучом	и обозначают .
Для любого числа а множество решений неравенства называется замкнутым числовым	лучом	и обозначается .
Обозначим через D точку пересечения этой прямой с	лучом	ОА .
Множество решений неравенства называют замкнутым числовым	лучом	и обозначают .
Для любого числа а множество решений неравенства называется открытым числовым	лучом	и обозначается .
Построим угол , равный заданному острому углу PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным	лучом	АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки луча , противоположного	лучу	ОА .
Тем самым все точки луча , противоположного	лучу	ОА , принадлежат графику Г уравнения .
Точка Р расположена на луче ОР , противоположном	лучу	ОА .
Таким образом , все точки графика Г уравнения , расположенные в левой полуплоскости , принадлежат лучу , противоположному	лучу	ОА .
Таким образом , все точки графика Г уравнения , расположенные в левой полуплоскости , принадлежат	лучу	, противоположному лучу ОА .
Для этого выберем произвольно точку С(f ; g ) , для которой f > 0 и которая не принадлежит	лучу	ОА .
Действительно , при повороте на 180 ° любая точка М перейдёт в точку M1 расположенную на луче , дополнительном к	лучу	ОМ , причём .
Покажем , что всякая точка луча , противоположного	лучу	ОА , принадлежит графику Г уравнения .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из	медиан	делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Через точку пересечения	медиан	треугольника АВС проведена прямая , параллельная АВ .
Свойство точки пересечения	медиан	.
Чему равно расстояние от вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см до точки пересечения его	медиан	? .
Следовательно , для точки О пересечения	медиан	AM и BN выполняются соотношения .
Проведём в треугольнике АВС медианы AM и BN и обозначим точку пересечения этих	медиан	буквой О .
12 Докажите , что сумма длин всех	медиан	треугольника меньше периметра этого треугольника .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения	медиан	треугольника .
Таким образом , свойство	медиан	треугольника доказано .
Свойство точки пересечения	медиан	треугольника .
2.3 В треугольнике медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны длины отрезков	медиан	, отделяемых точкой их пересечения ? .
1.1 В треугольнике АВС проведена	медиана	СМ , на отрезке AM взята точка Н так , что .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена	медиана	AM , и для заданной точки К на стороне АС находится точка Р пересечения отрезков ВК и AM .
2 В треугольнике	медиана	совпадает с биссектрисой , проведённой из той же вершины .
1.4 В треугольнике ABC	медиана	АК оказалась равна половине стороны ВС. Что можно сказать о таком треугольнике ? .
3 Докажите , что если высота и	медиана	, проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник равнобедренный .
11 Докажите , что длина медианы треугольника меньше полусуммы сторон , выходящих из той же вершины , что и	медиана	.
6 В треугольнике АВС проведена	медиана	ВМ .
2.3 В треугольнике АВС проведена	медиана	ВМ .
9 В треугольнике АВС площади 72 см2 проведена	медиана	ВМ .
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие	медиану	BD в точках Р и Q. Найдите отношение .
При каких способах выбора точки К длина отрезка МР будет меньше одной трети	медианы	AM ? .
11 Докажите , что длина	медианы	треугольника меньше полусуммы сторон , выходящих из той же вершины , что и медиана .
Значок читается как «	минус	бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в отрицательном направлении .
4 Докажите , что центрально симметричный	многоугольник	имеет чётное число вершин .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при вершине А называют плоский угол , содержащий	многоугольник	ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
2.4 В окружность с центром О вписан некоторый правильный	многоугольник	, одной из сторон которого является отрезок АВ .
Изображён	многоугольник	и отмечена точка А. Где находится эта точка , вне многоугольника или внутри его ?
Теоретически площадь любого многоугольника можно найти , разбивая	многоугольник	на треугольники .
Какую многоугольную область ограничивает	многоугольник	? .
9 Около окружности радиуса 25 мм описан	многоугольник	площади 20 см2 .
Сам	многоугольник	обычно называют границей своей многоугольной области .
Аналогично для произвольного выпуклого многоугольника можно взять каждую сторону , провести через неё прямую и рассмотреть полуплоскость , содержащую	многоугольник	.
4 Какой	многоугольник	называют выпуклым ? .
Пересечением всех таких полуплоскостей будет выпуклая многоугольная область , границей которой является данный	многоугольник	.
Кажется очевидным , что	многоугольник	делит плоскость на две части .
7 Существует ли правильный	многоугольник	с внутренним углом в ( 180 - 10 - 6 ) градусов ? .
Аналогично можно определить шестиугольник , семиугольник и	многоугольник	любым заданным числом вершин .
3.4 Выпуклый	многоугольник	.
Для описанного около окружности	многоугольника	можно получить удобную для практического применения формулу площади .
В этой главе вы вспомните многие известные свойства многоугольников , познакомитесь с понятием угла	многоугольника	, узнаете некоторые новые приёмы вычисления площадей .
2.2 Какой может быть сумма внутренних углов правильного	многоугольника	? .
3.5 Задание выпуклого	многоугольника	пересечением полуплоскостей .
Площадь	многоугольника	.
Аналогичное рассуждение можно провести для любого описанного	многоугольника	и получить следующее правило .
Площадь описанного	многоугольника	.
2.1 Какие из значений могут быть суммой всех внутренних углов некоторого	многоугольника	? .
Площадь	многоугольника	описанного .
Сколько пар непересекающихся прямых могут быть среди прямых , содержащих стороны	многоугольника	? .
3.3 Необычный пример	многоугольника	.
Свойства	многоугольника	.
Сумма выпуклого	многоугольника	.
3 По какой формуле можно вычислять площадь описанного около окружности	многоугольника	? .
Сумма внутренних углов выпуклого	многоугольника	.
Примером выпуклого	многоугольника	может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
Многоугольник называют выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой , содержащей сторону этого	многоугольника	.
Идея разрезания	многоугольника	на треугольники позволяет определить внутренние углы многоугольника , а также показать , что сумма S внутренних углов любого n - угольника вычисляется по формуле .
8 Периметр описанного около окружности	многоугольника	60 см , а площадь многоугольника 240 см2 .
Аналогично для произвольного выпуклого	многоугольника	можно взять каждую сторону , провести через неё прямую и рассмотреть полуплоскость , содержащую многоугольник .
Внутренние углы	многоугольника	определяются сложнее , чем внутренние углы треугольника .
Изображён многоугольник и отмечена точка А. Где находится эта точка , вне	многоугольника	или внутри его ?
8 Периметр описанного около окружности многоугольника 60 см , а площадь	многоугольника	240 см2 .
Вершинами какого	многоугольника	являются точки пересечения биссектрис всех изображённых углов с вершинами А и В ? .
Найдите периметр	многоугольника	.
Сколько плоских углов образуют все пары соседних сторон	многоугольника	с n сторонами ? .
Площадь описанного многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на периметр	многоугольника	.
Площадь описанного	многоугольника	равна половине произведения радиуса окружности на периметр многоугольника .
Теоретически площадь любого	многоугольника	можно найти , разбивая многоугольник на треугольники .
Идея разрезания многоугольника на треугольники позволяет определить внутренние углы	многоугольника	, а также показать , что сумма S внутренних углов любого n - угольника вычисляется по формуле .
Иногда приходится находить площади фигур , которые не являются	многоугольниками	, но граница которых состоит из отрезков .
С	многоугольниками	на клетчатой бумаге , вершины которых расположены в узлах , связаны некоторые интересные закономерности .
2.4 В некотором	многоугольнике	два угла — прямые .
2.3 Какое число пар взаимно перпендикулярных сторон может быть в	многоугольнике	? .
В этой главе вы вспомните многие известные свойства	многоугольников	, познакомитесь с понятием угла многоугольника , узнаете некоторые новые приёмы вычисления площадей .
4.1 Площади	многоугольников	на клетчатой бумаге .
3.1 Примеры	многоугольников	.
Часть плоскости , ограниченная	многоугольником	, называется многоугольной областью .
Какой многочлен получится , если в	многочлен	вместо буквы а подставить выражение ? .
После приведения подобных слагаемых наибольшая степень одночленов , составляющих	многочлен	, может уменьшиться .
1 Как разложить на множители	многочлен	? .
Например ,	многочлен	равен многочлену .
Два многочлена в стандартной форме тождественно равны только тогда , когда можно переставить местами слагаемые и сомножители у слагаемых одного многочлена так , что при этом получится второй	многочлен	.
Подстановка многочлена в	многочлен	.
При одновременной подстановке в многочлен вместо переменной буквы некоторого многочлена получится новый	многочлен	.
Будем считать , что	многочлен	имеет стандартную форму , если этот многочлен не имеет подобных слагаемых , при этом каждый входящий в него одночлен записан в стандартной форме .
Распределительный закон умножения позволяет сумму двух подобных одночленов , входящих в	многочлен	, заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести подобные слагаемые .
1.2 Результатом какого действия не обязательно является	многочлен	? .
Какой	многочлен	получится , если в многочлен вместо буквы а подставить выражение ? .
1.3 Какой из следующих многочленов является результатом подстановки выражения вместо переменной х в	многочлен	? .
Полученный	многочлен	не имеет подобных слагаемых .
При одновременной подстановке в	многочлен	вместо переменной буквы некоторого многочлена получится новый многочлен .
Заменим букву х на	многочлен	.
деление многочлена на	многочлен	.
3.7 Подстановка многочлена в	многочлен	.
2.3 Результатом подстановки в некоторый	многочлен	выражения вместо переменной z является .
Будем считать , что многочлен имеет стандартную форму , если этот	многочлен	не имеет подобных слагаемых , при этом каждый входящий в него одночлен записан в стандартной форме .
Каждый	многочлен	тождественными преобразованиями можно привести к стандартной форме .
3.8 Стандартная форма или стандартный вид	многочлена	.
9 Какую форму записи называют стандартной формой	многочлена	? .
Степень	многочлена	.
Подстановка	многочлена	в многочлен .
Стандартная форма	многочлена	.
Иногда стандартную форму	многочлена	называют стандартным видом многочлена .
Иногда стандартную форму многочлена называют стандартным видом	многочлена	.
Какова стандартная форма	многочлена	, равного ? .
3.5 Понятие	многочлена	.
4 Как записать разложение на два множителя	многочлена	? .
3 Как записать разложение на два множителя	многочлена	? .
2 Как записать разложение на два множителя	многочлена	? .
У первоначального	многочлена	есть слагаемое х3 , степень которого равна 3 , а у многочлена все слагаемые имеют степень не больше 2 .
У первоначального многочлена есть слагаемое х3 , степень которого равна 3 , а у	многочлена	все слагаемые имеют степень не больше 2 .
Иногда это тождество называют формулой разложения	многочлена	на два множителя .
Чему равны степени слагаемых	многочлена	, равного выражению ? .
Тождественными преобразованиями сумму , разность и произведение многочленов можно также представить в виде	многочлена	.
Два	многочлена	в стандартной форме тождественно равны только тогда , когда можно переставить местами слагаемые и сомножители у слагаемых одного многочлена так , что при этом получится второй многочлен .
Два многочлена в стандартной форме тождественно равны только тогда , когда можно переставить местами слагаемые и сомножители у слагаемых одного	многочлена	так , что при этом получится второй многочлен .
5 Запишите буквенное выражение в виде	многочлена	.
деление	многочлена	на многочлен .
При одновременной подстановке в многочлен вместо переменной буквы некоторого	многочлена	получится новый многочлен .
возведение	многочлена	в квадрат . 4 )
1 ) сложение двух многочленов . 2 ) деление	многочлена	на число , не равное 0 . 3 )
6 Покажите на примерах , что сумма , разность и произведение двух многочленов равны некоторым	многочленам	.
Например ,	многочленами	являются .
Из соображений удобства одночлены также называют	многочленами	.
2.4 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в	многочленах	не становятся линейными уравнениями .
2.3 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в	многочленах	становятся линейными уравнениями .
Представления в стандартной форме	многочленов	и так далее называют формулами бинома Ньютона .
Найдите суммы и разности	многочленов	.
8 Найдите произведение	многочленов	, упростив до стандартной формы .
Иногда тождественное равенство	многочленов	.
3.9 О степенях слагаемых в записи	многочленов	.
3.10 Равенство	многочленов	.
1.3 Какой из следующих	многочленов	является результатом подстановки выражения вместо переменной х в многочлен ? .
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного равенства	многочленов	совпадает с определением тождественного равенства буквенных выражений .
1 ) сложение двух	многочленов	. 2 ) деление многочлена на число , не равное 0 . 3 )
6 Покажите на примерах , что сумма , разность и произведение двух	многочленов	равны некоторым многочленам .
Произведение двух	многочленов	равно некоторому многочлену .
3.6 Сумма , разность и произведение	многочленов	.
Равенство	многочленов	.
Тождественными преобразованиями сумму , разность и произведение	многочленов	можно также представить в виде многочлена .
Сумма двух	многочленов	равна некоторому многочлену .
Разность двух	многочленов	равна некоторому многочлену .
Тождество	многочленов	.
Этим	многочленом	может быть .
Сумма одночленов называется	многочленом	.
Сумма двух многочленов равна некоторому	многочлену	.
Какому	многочлену	равно буквенное выражение .
Произведение двух многочленов равно некоторому	многочлену	.
Разность двух многочленов равна некоторому	многочлену	.
Какому	многочлену	равно произведение .
Например , многочлен равен	многочлену	.
9 Выполните указанные подстановки и запишите полученные	многочлены	в стандартной форме .
Укажите все	многочлены	, значением которых при является 32 .
1 Какие примеры числовых	множеств	вы знаете ? .
2 Какие примеры	множеств	точек на числовой оси вы знаете ? .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому	множества	решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
4.1 Понятие числового	множества	.
Сравните полученные	множества	решений .
Уравнения называются равносильными , если	множества	корней этих уравнений совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
Не вводя общего понятия	множества	, будем называть этим словом произвольный набор чисел , а также произвольный набор точек числовой прямой .
Изображение	множества	решений уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют графиком этого уравнения .
5 Сравните	множества	решений неравенства и неравенства .
Иногда запись используют для записи	множества	решений неравенства .
Графиком уравнения , то есть изображением	множества	всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
Полученное множество решений уравнения удобно представить в виде	множества	точек на координатной плоскости .
Неравенства называются равносильными , если	множества	корней этих неравенств совпадают .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о	множестве	всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о	множестве	всех решений линейного неравенства .
Например , можно говорить о	множестве	всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о	множестве	чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Следовательно , множеством решений неравенства является	множество	всех чисел , каждое из которых больше 5 .
Какое	множество	решений имеет уравнение ? .
5 Какое	множество	точек задаёт уравнение ?
Как показать , что	множество	решений неравенства является пустым множеством ? .
Через [ 2 ; 3 ] обозначим	множество	всех чисел х , для которых одновременно выполняются неравенства .
4 Какой вид на координатной плоскости имеет	множество	всех точек ( х ; у ) при , где b — число ? .
в ) имеет бесконечное	множество	решений , изображающееся точками некоторой прямой .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите	множество	всех точек М .
7 Как найти множество решений неравенства , если известно	множество	решений неравенства ? .
В этом случае	множество	решений уравнения является пустым множеством .
7 Как найти	множество	решений неравенства , если известно множество решений неравенства ? .
Через ( 2 ; 3 ) обозначим	множество	всех чисел х , для которых одновременно выполняются неравенства .
12 При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное	множество	решений ? .
Пустое	множество	.
13 Как связаны между собой множество решений неравенства и	множество	решений неравенства ? .
Как иначе можно назвать	множество	всех целых положительных чисел ? .
Разбирая примеры на решение линейных неравенств , можно было видеть , что ответом является	множество	чисел .
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит	множество	решений неравенства и множество решений неравенства .
Если неравенство не имеет корней , то в этом случае говорят , что	множество	его корней является пустым множеством .
Графическое представление системы , имеющей бесконечное	множество	решений .
Графиком функции ( функциональной зависимости ) называется	множество	всех точек координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
Через ( 2 ; 3 ] обозначим	множество	всех чисел х , для которых одновременно выполняются неравенства .
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и	множество	решений неравенства .
С каждым объектом или явлением окружающего нас мира связано	множество	самых разнообразных величин .
Через [ 2 ; 3 ) обозначим	множество	всех чисел х , для которых одновременно выполняются неравенства 2 < х и х < 3 .
Числовое	множество	.
Полученное	множество	решений уравнения удобно представить в виде множества точек на координатной плоскости .
В результате	множество	корней уравнения и множество корней уравнения различны .
Для любого числа а	множество	решений неравенства называется замкнутым числовым лучом и обозначается .
Таким образом ,	множество	решений неравенства совпадает с множеством решений неравенства .
Найдите	множество	всех точек М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС касательных к окружностям равны между собой .
Будем говорить , что два уравнения равносильны , если они имеют одно и то же	множество	решений .
Найдите	множество	всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S отрезки касательных равны АВ .
13 Как связаны между собой	множество	решений неравенства и множество решений неравенства ? .
Если уравнение не имеет корней , то в этом случае говорят , что	множество	корней уравнения является пустым множеством .
Таким образом , все эти уравнения имеют одно и то же	множество	корней ( состоящее из одного и того же числа ) , то есть эти уравнения равносильны .
Какое	множество	корней имеет неравенство .
В результате множество корней уравнения и	множество	корней уравнения различны .
Пустое	множество	корней .
Для какого линейного неравенства	множество	решений совпадает с промежутком ? .
Для любого числа а	множество	решений неравенства называется открытым числовым лучом и обозначается .
На координатной плоскости	множество	всех точек вида , где k — фиксированное число , есть прямая .
2.2 Какие из указанных промежутков содержат	множество	решений неравенства ? .
2 Изобразите на числовой прямой	множество	решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют график уравнения то есть	множество	всех точек вида с координатами где а — любое число .
1 Изобразите на числовой прямой	множество	решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Таким образом , уравнение имеет пустое	множество	решений .
При переходе от одного уравнения к равносильному ему другому уравнению	множество	решений не изменяется .
Таким образом , множество решений неравенства совпадает с	множеством	решений неравенства .
Часто М называют множеством корней или	множеством	решений неравенства .
Часто М называют	множеством	корней или множеством решений неравенства .
1.5 Пример системы с бесконечным	множеством	решений .
Множество всех решений этого уравнения совпадает с	множеством	решений уравнения .
В этом случае множество решений уравнения является пустым	множеством	.
Набор всех решений уравнения называют	множеством	решений этого уравнения .
Какой замкнутый числовой луч является	множеством	решений неравенства .
Часто М называют множеством решений или	множеством	корней уравнения .
Для каких из указанных неравенств является	множеством	решений ? .
Если неравенство не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество его корней является пустым	множеством	.
Как показать , что множество решений неравенства является пустым	множеством	? .
1.4 Для какого из следующих неравенств не является	множеством	решений ? .
1.3 Для какого из следующих неравенств является	множеством	решений ? .
1.2 Для какого из неравенств промежуток не является	множеством	всех решений ? .
5 Что называют	множеством	решений ( корней ) неравенства ? .
Следовательно ,	множеством	решений неравенства является множество всех чисел , каждое из которых больше 5 .
Если уравнение не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество корней уравнения является пустым	множеством	.
1.1 Для какого из неравенств промежуток является	множеством	всех решений ? .
Часто М называют	множеством	решений или множеством корней уравнения .
По аналогии со строгими неравенствами набор М всех корней неравенства называют	множеством	корней или множеством решений этого неравенства .
По аналогии со строгими неравенствами набор М всех корней неравенства называют множеством корней или	множеством	решений этого неравенства .
11 Что произойдёт с	множеством	решений , если к левой и правой частям неравенства прибавить всюду определённое выражение ? .
Какой пример уравнения с пустым	множеством	корней рассматривался в первом параграфе ? .
Следовательно , всякое решение с данного неравенства является числом , большим 5 , то есть число с принадлежит	множеству	решений неравенства .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит	множеству	решений неравенства .
Таким образом , при вычёркивании одинаковых	множителей	с неизвестным в левой и правой частях уравнения ( то есть при сокращении на такой множитель ) равносильность может нарушаться .
Действительно , произведение нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда один из	множителей	равен нулю .
Из свойств умножения следует , что произведение двух чисел только тогда равно нулю , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю .
Разложение двучлена на	множители	.
9 Разложите на	множители	.
4.2 Разложение на	множители	двучлена в общем виде .
Для этого заметим , что . Подставим в формулу разложения на	множители	значения .
Поэтому мы найдём все решения уравнения , если по очереди приравняем к нулю	множители	и решим два полученных уравнения и или равносильные им уравнения .
4.1 Разложение на	множители	двучлена .
1 Как разложить на	множители	многочлен ? .
4 Разложение на	множители	двучлена .
Если зачеркнуть в левой и правой частях одинаковый	множитель	, то получится уравнение , которое имеет только один корень -1 .
Таким образом , при вычёркивании одинаковых множителей с неизвестным в левой и правой частях уравнения ( то есть при сокращении на такой	множитель	) равносильность может нарушаться .
Числовой	множитель	-3,2 называют коэффициентом этого одночлена .
3 Разложите на три	множителя	.
В результате для любого натурального числа n , которое больше 1 , получаем формулу разложения двучлена на два	множителя	.
6 Разложите на два	множителя	.
Иногда это тождество называют формулой разложения многочлена на два	множителя	.
5 Разложите на два	множителя	.
2 Разложите на два	множителя	.
1 Разложите на два	множителя	.
4 Как записать разложение на два	множителя	многочлена ? .
Разложите на четыре	множителя	.
2 Как записать разложение на два	множителя	многочлена ? .
3 Как записать разложение на два	множителя	многочлена ? .
Точность приближения удобно характеризовать	модулем	погрешности d. Чем меньше , тем точнее данное приближение .
2.6 Графическое решение системы уравнений с	модулем	.
15 Знаки чисел а и b противоположны и	модули	чисел не равны между собой .
Абсолютная величина (	модуль	) погрешности называется абсолютной погрешностью .
Это неравенство для	модуля	равносильно двойному неравенству .
Используя свойства	модуля	, получим .
Для применения на практике формулы необходимо знать её погрешность , то есть оценку	модуля	разности между её левой и правой частями .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и	модуля	числа с .
Обозначим через х время в часах , прошедшее с 12 ч до	момента	встречи , и через у — расстояние в километрах от Шаболовки до места встречи .
Например , температура кипения воды при нормальных условиях равна + 100 ° С. В то же время объём наливаемой в чайник воды может быть различным в разные	моменты	времени .
Таким образом , при а 1	найдена	пара значений х и у , являющаяся решением начальной системы .
Как показать , что	найденная	пара чисел ( х ; у ) является решением системы ? .
Так как по рисунку можно лишь приближённо указать координаты точки , то	найденные	значения проверим подстановкой .
Запишем последовательно суммы для	найденных	неотрицательных целых решений : 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 .
Так как площадь пятиугольника равна сумме	найденных	площадей ,
Так как приближённое значение π 3,14	найдено	по правилам округления , то абсолютная погрешность этого приближения числа π не превосходит 0,005 .
Пусть а — точное значение некоторой величины , для которого	найдены	приближения снизу ах и сверху а2 .
В примере 1 для числа 42,4056 были	найдены	десятичное приближение 42 снизу и десятичное приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство .
В примере 4 для числа 31 415,9 были	найдены	десятичное приближение 30 000 снизу и десятичное приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство .
3 По формуле	найдите	приближённое значение корня и оцените абсолютную погрешность .
а )	найдите	отрезки касательных .
17 На данной прямой	найдите	такую точку , чтобы касательные , проведённые из неё к данной окружности , были данной длины .
Измерьте все его углы и	найдите	сумму полученных значений .
1.2 Среди следующих равенств , где а ,	найдите	то , которое является тождеством .
2 Округлите числа а и b до второго разряда после запятой ,	найдите	сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и высотой h , проведённой к основанию , и	найдите	площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
5 Округлите второй сомножитель до второго разряда после запятой ,	найдите	произведение и оцените абсолютную погрешность произведения .
1.1 Среди следующих равенств	найдите	то , которое является тождеством .
б )	найдите	кратчайшее из расстояний от точки А до точек окружности .
6 Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD	найдите	точку М такую , что сумма принимает наименьшее значение .
2 На клетчатой бумаге	найдите	площадь фигуры , изображённой .
Выберите внутри его точку М. Измерьте углы АМВ , ВМС , CMD , DMA и	найдите	сумму полученных значений .
	Найдите	расстояние от точки А до центра окружности .
в )	найдите	с точностью до 10 .
1 По формуле	найдите	приближённое значение частного .
в )	найдите	кратчайшее из расстояний от точки А до точек окружности .
2 По формуле	найдите	приближённое значение частного и оцените абсолютную погрешность .
9 При каждом значении а	найдите	решения системы .
Последний квадратный корень	найдём	по формуле .
Проведём высоту ВН и	найдём	.
Выполнив действия ,	найдём	.
Затем составим и решим уравнение , то есть ,	найдём	его корень и отметим точку N(2 ; 0 ) .
Решим систему двух уравнений с неизвестными х и у , то есть	найдём	, как выразить решения х и у через значение а .
Для построения графика	найдём	при х 0 значение у -1 и при х 3 значение у 1 .
Поэтому мы	найдём	все решения уравнения , если по очереди приравняем к нулю множители и решим два полученных уравнения и или равносильные им уравнения .
Изобразим оба графика и	найдём	координаты точки А их пересечения .
Для построения этого графика	найдём	при х 1 значение у b 4 и при х b 2 значение у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём прямую .
Следовательно , если х ° С соответствует у ° F , то значения из промежутка от 32 ° F до у ° F пропорциональны значениям из промежутка от 0 ° С до х ° С с коэффициентом к , который можно	найти	, зная , что 180 ° F соответствуют 100 ° С. Поэтому .
Решить неравенство — это одно из двух : либо	найти	все корни неравенства , либо доказать , что неравенство не имеет корней .
Зная приближение b и его погрешность d , точное значение можно	найти	по формуле .
Решить уравнение — это значит одно из двух : либо	найти	все решения уравнения , либо доказать , что уравнение не имеет решений .
8 Как по графику	найти	значение функции при заданном значении аргумента ? .
Например , площадь « буквы M » можно	найти	как сумму площадей двух прямоугольников .
Запишем равенство с той целью , чтобы	найти	наборы значений х и у , при которых равенство верно .
С помощью транспортира можно	найти	величину угла только приближённо .
Решить уравнение — значит либо	найти	все корни уравнения , либо доказать , что это уравнение не имеет корней .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно	найти	положительное значение неизвестного х и целое положительное значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Оказывается , существуют формулы , позволяющие	найти	приближённое значение частного при помощи сложений , вычитаний и умножений .
Покажем , как можно	найти	сумму углов четырёхугольника ABCD .
Так , площадь « жука » можно	найти	новым способом .
Заметим , что , несмотря на большое количество приближений , точное значение массы не всегда удаётся	найти	— можно лишь установить границы интервала , в котором находится точное значение .
7 Как	найти	множество решений неравенства , если известно множество решений неравенства ? .
В этом случае найти радиус — это	найти	отрезок стороны АС от вершины С до точки касания .
Как можно	найти	.
Можно уточнить результаты взвешивания , если выполнить ещё один шаг в построении приближений :	найти	приближение снизу , большее 100 граммов , и приближение сверху , меньшее 150 граммов .
В этом случае	найти	радиус — это найти отрезок стороны АС от вершины С до точки касания .
Если а 1 , то из полученного равенства сможем	найти	.
Намеченный процесс возведения в степень выражения нетрудно продолжить : получив формулу , можно	найти	формулу для и так далее .
Как доказанное свойство позволяет	найти	сумму всех углов параллелограмма ? .
3 Как можно	найти	целочисленное решение уравнения .
Аналогично по любому из отмеченных углов при вершине Q можно	найти	любой другой угол при этой вершине .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые целые числа , нетрудно	найти	все его целочисленные решения .
Как	найти	сумму ? .
Теперь отношение 1 : 1,03 можно легко	найти	по формуле .
Площадь рамки можно	найти	, если разбить её на известные геометрические фигуры .
Как	найти	все решения уравнения , если известно , что уравнение не имеет корней ? .
Четырёхугольная область не является выпуклой , потому что можно	найти	такие две точки этой области , например М и N , что не все точки отрезка MN содержатся в данной области .
Её можно оценить сверху , то есть	найти	число , заведомо превосходящее эту абсолютную погрешность .
Решить систему — значит либо	найти	все её решения , либо показать , что решений нет .
Вычислив значение , сможем	найти	число зёрен , которое запросил в награду изобретатель шахматной игры .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно	найти	, если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно	найти	величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно	найти	положительные значения неизвестных х и у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
При попытке	найти	квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при вершине Q , можно	найти	величины двух накрест лежащих углов .
Какие решения уравнения вы можете	найти	? .
Это значит , что можно взять любое значение для у , например у 2000 , и	найти	.
Какие углы можно	найти	на получившемся чертеже ? .
Рассмотрим , как	найти	одно из целочисленных решений уравнения вида где а , b , с — ненулевые целые числа , причём а и b взаимно просты .
Если на клетчатой бумаге изобразить « жука » , то , разбивая « жука » на треугольники , параллелограммы , трапеции и находя их площади по известным формулам , можно	найти	общую площадь « жука » .
Теоретически площадь любого многоугольника можно	найти	, разбивая многоугольник на треугольники .
Решить нестрогое неравенство — это одно из двух : либо	найти	все корни этого неравенства , либо доказать , что это неравенство не имеет корней .
8 Как доказать , что если число а больше 1 , то любая	натуральная	степень числа а больше 1 ? .
Для любого	натурального	числа n , большего 1 , справедливо тождество .
Таким образом , для любого	натурального	числа n можно получить неравенство .
Если для натурального числа m степень аm определена , то для	натурального	числа степень определяем как число , равное .
В результате для любого	натурального	числа n , которое больше 1 , получаем формулу разложения двучлена на два множителя .
В этом случае для любого	натурального	числа n выполняется неравенство .
Для любого ненулевого числа а определим а как число , равное как число , равное , и так далее , то есть положим для произвольного	натурального	числа n , то выполняется следующее свойство .
Как показать , что для любого числа и любого	натурального	числа n выполняются равенства ? .
Если для	натурального	числа m степень аm определена , то для натурального числа степень определяем как число , равное .
Как показать , что для любого	натурального	числа n сумма первых n нечётных чисел равна n2 ? .
Для любого ненулевого числа а и	натурального	числа n .
В общем случае для произвольного	натурального	числа n имеет место формула .
Как показать , что , если положить по определению 3 ° b 1 , то для любого	натурального	числа n выполняется равенство .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого	натурального	числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и	натурального	числа n .
Для любых чисел а и b и любого	натурального	числа n выполняется равенство .
Определив для любого числа а Ф 0 , получаем для любого	натурального	числа n .
Как показать , что для любого	натурального	числа n имеет место равенство .
Если теперь для числа а и	натурального	числа к определено число аk , то принимаем , по определению .
Для	натурального	числа произведение n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й степенью числа а и обозначается через аn .
Из формулы предыдущего пункта для любого	натурального	числа n получаем , что .
Таким образом , для любого числа а и любого	натурального	числа n мы определили число аn .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из	натурального	числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
В результате для любого	натурального	значения n получаем равенство .
1 Что такое n - я степень числа а для	натурального	? .
Для любого числа а , ненулевого числа b и	натурального	числа n выполняется равенство .
Если принять такое определение , то тогда для любого	натурального	числа n получаем .
Для любого ненулевого числа а и	натурального числа	n .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и	натурального числа	n .
Если принять такое определение , то тогда для любого	натурального числа	n получаем .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого	натурального числа	n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
Таким образом , для любого	натурального числа	n можно получить неравенство .
В результате для любого	натурального числа	n , которое больше 1 , получаем формулу разложения двучлена на два множителя .
Для любого ненулевого числа а определим а как число , равное как число , равное , и так далее , то есть положим для произвольного	натурального числа	n , то выполняется следующее свойство .
Если теперь для числа а и	натурального числа	к определено число аk , то принимаем , по определению .
Таким образом , для любого числа а и любого	натурального числа	n мы определили число аn .
Как показать , что для любого числа и любого	натурального числа	n выполняются равенства ? .
Для любого числа а , ненулевого числа b и	натурального числа	n выполняется равенство .
Для	натурального числа	произведение n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й степенью числа а и обозначается через аn .
Для любого	натурального числа	n , большего 1 , справедливо тождество .
Если для натурального числа m степень аm определена , то для	натурального числа	степень определяем как число , равное .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из	натурального числа	от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Из формулы предыдущего пункта для любого	натурального числа	n получаем , что .
Как показать , что для любого	натурального числа	n сумма первых n нечётных чисел равна n2 ? .
Если для	натурального числа	m степень аm определена , то для натурального числа степень определяем как число , равное .
Для любых чисел а и b и любого	натурального числа	n выполняется равенство .
Как показать , что для любого	натурального числа	n имеет место равенство .
В общем случае для произвольного	натурального числа	n имеет место формула .
В этом случае для любого	натурального числа	n выполняется неравенство .
Определив для любого числа а Ф 0 , получаем для любого	натурального числа	n .
Как показать , что , если положить по определению 3 ° b 1 , то для любого	натурального числа	n выполняется равенство .
8 Сформулируйте правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m —	натуральное	число .
Докажите , что , где n —	натуральное	число .
Пусть m —	натуральное	число .
Обозначив через М	натуральное	число , равное , получим .
Докажите , что , где n —	натуральное	число , большее 1 .
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное	натуральное	число , лежат на графике линейной функции .
Отсюда следует , что стоящее слева	натуральное	число делится на 3 без остатка .
Сформулируем правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m —	натуральное	число .
9 Как оценивается абсолютная погрешность округления до разряда 10 m , где m —	натуральное	число ? .
2.4 В каких случаях указанное	натуральное	число является десятичным приближением сверху для соответствующего второго числа ? .
9 Что называется десятичным приближением положительного числа снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m —	натуральное	число ? .
Всякое	натуральное	число от 1 до 99 999 999 в двоичном коде можно записать в виде 27-значного выражения , используя только цифры 0 и 1 .
Пусть р b -m , где m —	натуральное	число .
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое	натуральное	число от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное число от 1 до 60 ? .
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное число от 1 до 12 , а m — некоторое	натуральное	число от 1 до 60 ? .
Отсюда следует , что стоящее слева	натуральное	число делится на 45 без остатка , что и требовалось показать .
10 Что называется десятичным приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для положительного числа , где m —	натуральное	число ? .
Отсюда следует , что стоящее слева	натуральное число	делится на 3 без остатка .
Пусть р b -m , где m —	натуральное число	.
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное	натуральное число	, лежат на графике линейной функции .
8 Сформулируйте правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m —	натуральное число	.
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное число от 1 до 12 , а m — некоторое	натуральное число	от 1 до 60 ? .
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое	натуральное число	от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное число от 1 до 60 ? .
9 Как оценивается абсолютная погрешность округления до разряда 10 m , где m —	натуральное число	? .
Сформулируем правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m —	натуральное число	.
Отсюда следует , что стоящее слева	натуральное число	делится на 45 без остатка , что и требовалось показать .
Всякое	натуральное число	от 1 до 99 999 999 в двоичном коде можно записать в виде 27-значного выражения , используя только цифры 0 и 1 .
Докажите , что , где n —	натуральное число	, большее 1 .
Обозначив через М	натуральное число	, равное , получим .
Докажите , что , где n —	натуральное число	.
9 Что называется десятичным приближением положительного числа снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m —	натуральное число	? .
10 Что называется десятичным приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для положительного числа , где m —	натуральное число	? .
Пусть m —	натуральное число	.
2.4 В каких случаях указанное	натуральное число	является десятичным приближением сверху для соответствующего второго числа ? .
Чему равно значение ( -1)2mпри	натуральном	m ? .
Как доказать , что если , то при любом	натуральном	n ? .
6 Как доказать , что делится на 7 при любом	натуральном	значении n ? .
Тем самым каждому	натуральному	числу n однозначно сопоставляется число .
Тем самым каждому	натуральному числу	n однозначно сопоставляется число .
3 Как ещё можно последовательно определить	натуральную	степень числа ? .
В этом примере получаем функциональную зависимость переменной аn от переменной n , область значений которой — все	натуральные	числа .
Таким образом ,	натуральные	нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью прогрессии .
10 Докажите , что если m и n	натуральные	числа .
При натуральных значениях z и х числа в этом равенстве тоже	натуральные	, причём в произведении дают число 152 .
Допустимые значения такой величины —	натуральные	числа .
Поэтому приближёнными значениями разумно считать только	натуральные	числа из интервала между приближениями с избытком и недостатком .
В том случае , когда , где m и n —	натуральные	числа , воспользуемся уже доказанным выше равенством .
Если , где m и n —	натуральные	числа ,
Рассмотрим	натуральные	числа 1 , 2 , 3 и так далее .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется второе основное свойство степени , то есть , когда р и q —	натуральные	числа .
Пусть , где m и n —	натуральные	числа .
Поэтому приближёнными значениями разумно считать только	натуральные числа	из интервала между приближениями с избытком и недостатком .
10 Докажите , что если m и n	натуральные числа	.
Если , где m и n —	натуральные числа	,
Пусть , где m и n —	натуральные числа	.
Рассмотрим	натуральные числа	1 , 2 , 3 и так далее .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется второе основное свойство степени , то есть , когда р и q —	натуральные числа	.
В том случае , когда , где m и n —	натуральные числа	, воспользуемся уже доказанным выше равенством .
В этом примере получаем функциональную зависимость переменной аn от переменной n , область значений которой — все	натуральные числа	.
Допустимые значения такой величины —	натуральные числа	.
2 Запишите в виде некоторой степени с	натуральным	показателем , большим 1 .
4 Запишите в виде степени с	натуральным	показателем .
1.1 Степень с	натуральным	показателем .
1 Определение степени с	натуральным	показателем .
Число аn иногда называют степенью числа а с	натуральным	показателем n.
2 Свойства степеней с	натуральным	показателем .
Степень с	натуральным	показателем .
а ) числа 2 с	натуральными	показателями от 10 до 20 . б ) числа 3 с натуральными показателями от 1 до 10 .
а ) числа 2 с натуральными показателями от 10 до 20 . б ) числа 3 с	натуральными	показателями от 1 до 10 .
На каком месте в последовательности всех степеней числа 5 с	натуральными	показателями находится число 3125 ? .
в ) числа 5 с	натуральными	показателями от 1 до 6 .
Мы определили степени с	натуральными	показателями .
Также можно взять любое число а и рассмотреть последовательность степеней числа а с	натуральными	показателями .
Формула суммы первых n	натуральных	чисел .
3.1 Значение линейной функции при	натуральных	значениях переменной .
Последовательно вычислим значения этой функции при	натуральных	значениях и обозначим через аk значение .
3.6 Решение уравнения в	натуральных	числах .
При	натуральных	значениях z и х числа в этом равенстве тоже натуральные , причём в произведении дают число 152 .
Напомним , что для	натуральных	показателей m и n во втором параграфе установлено первое основное свойство .
Какие решения в	натуральных	числах имеет рассмотренное уравнение ? .
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом и разностью , то есть последовательность	натуральных	чисел .
Найдём все решения уравнения в	натуральных	числах .
Чему равна сумма первых	натуральных	чисел ? .
Для любого числа а и любых	натуральных	значений тип выполняется равенство .
4 Найдите сумму всех последовательных	натуральных	чисел .
Во втором параграфе показано , что для	натуральных	показателей выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и натурального числа n .
сумму всех	натуральных	чисел , меньших чем 51 ? .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть последовательность значений линейной функции при	натуральных	значениях х ? .
8 Известно , что сумма всех нечётных	натуральных	чисел , меньших 100 , равна 502 .
Какие решения в	натуральных	числах имеет уравнение ? .
Итак , в соответствии с приведёнными выше примерами попытаемся определить а0 для любого основания а таким образом , чтобы равенство выполнялось при всех	натуральных	n.
Для	натуральных	чисел z , х справедливо неравенство .
5 Чему равна сумма первых n	натуральных	чисел ? .
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для	натуральных	значений переменной х ? .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех	натуральных	n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению	натуральных	чисел .
Вычислить сумму всех	натуральных	нечетных чисел от 1 до 199 включительно .
Так как во втором параграфе для	натуральных	показателей это свойство доказано , то остаётся рассмотреть другие случаи .
а ) сумму всех чётных чисел , меньших чем 101 . б ) сумму всех	натуральных	чисел , меньших чем 101 .
Во втором параграфе показано , что для	натуральных	показателей выполняется второе основное свойство степени , то есть , когда р и q — натуральные числа .
Таким образом , определяя для любого числа а 0 нулевую степень равенством , мы сохраняем свойства степеней , которые были установлены для	натуральных	показателей .
Учитывая , что для	натуральных	показателей это свойство доказано во втором параграфе , рассмотрим другие случаи .
2 Упростите выражения ( при	натуральных	значениях букв ) .
4 Найдите сумму всех последовательных	натуральных чисел	.
Формула суммы первых n	натуральных чисел	.
сумму всех	натуральных чисел	, меньших чем 51 ? .
Чему равна сумма первых	натуральных чисел	? .
Для	натуральных чисел	z , х справедливо неравенство .
8 Известно , что сумма всех нечётных	натуральных чисел	, меньших 100 , равна 502 .
а ) сумму всех чётных чисел , меньших чем 101 . б ) сумму всех	натуральных чисел	, меньших чем 101 .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению	натуральных чисел	.
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом и разностью , то есть последовательность	натуральных чисел	.
5 Чему равна сумма первых n	натуральных чисел	? .
Какие решения в	натуральных числах	имеет уравнение ? .
Какие решения в	натуральных числах	имеет рассмотренное уравнение ? .
В пункте мы	нашли	одно целочисленное решение этого уравнения .
Получилась	нелинейная	система уравнений .
Для существования треугольника с указанными сторонами	необходимо	одновременное выполнение неравенств .
Для применения на практике формулы	необходимо	знать её погрешность , то есть оценку модуля разности между её левой и правой частями .
5 На изготовление одной детали робот затрачивает 3 с. Какой функцией определяется время M ,	необходимое	на изготовление n деталей ? .
Приведём таблицу погрешностей ,	необходимую	для практического применения формулы .
Действительно , мы знаем , что квадрат любого числа — это	неотрицательное	число .
Правой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет	неотрицательную	абсциссу .
Изобразим на график линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых	неотрицательны	.
Отсюда получаем , что и все целочисленные решения уравнения , у которых оба значения неизвестных	неотрицательны	, исчерпываются парами .
Поэтому для любых значений а и b числа а2 и b2	неотрицательны	.
Если из всех частей соотношения вычесть число 42 , то получим соотношение , то есть дробная часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является	неотрицательным	числом , меньшим 1 .
2 Какое число называют : а )	неотрицательным	; б ) неположительным ? .
Если выполняется неравенство , то число а называют	неотрицательным	.
Однако по условию задачи нам нужны не всякие решения уравнения , а только такие , в которых значения х и у одновременно являются	неотрицательными	целыми числами .
Целые числа 11 - 2т и m будут	неотрицательными	только тогда , когда одновременно выполняются неравенства .
Запишем последовательно суммы для найденных	неотрицательных	целых решений : 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 .
5 Докажите , что для	неотрицательных	чисел а и b .
Левой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая точка которой имеет	неположительную	абсциссу .
2 Какое число называют : а ) неотрицательным ; б )	неположительным	? .
Если выполняется неравенство , то число а называют	неположительным	.
Сумма	неравенств	одинакового направления .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных	неравенств	совпадают , и эти неравенства равносильны .
9 Сформулируйте три свойства равносильности	неравенств	.
Умножив каждую из частей этих	неравенств	на 104 получим .
Запишем с пояснениями последовательность равносильных	неравенств	.
Ещё одно правило преобразования	неравенств	, сохраняющее равносильность .
Тогда из свойств числовых	неравенств	следует , что , то есть число с — корень второго неравенства .
Разделив каждую из частей этих	неравенств	на 100 получим .
2.12 Пример доказательства равносильности	неравенств	.
Чтобы получить ответ при решении неравенства , используя правила 1 - 7 , можно записать последовательность	неравенств	, каждое из которых равносильно заданному неравенству .
14 Как доказать равносильность	неравенств	для любого всюду определённого выражения ? .
Произведение	неравенств	одинакового направления .
В 6 классе мы установили следующие важные свойства числовых	неравенств	.
5.4 Произведение	неравенств	одинакового направления .
2.3 Для каких из перечисленных	неравенств	любое его решение а удовлетворяет неравенству ? .
Равносильность нестрогих	неравенств	.
5.3 Сумма	неравенств	одинакового направления .
2.2 Множество решений каких из перечисленных	неравенств	одновременно содержит множество решений неравенства и множество решений неравенства .
Неравенства называются равносильными , если множества корней этих	неравенств	совпадают .
1.4 Какое из следующих неравенств можно получить , применяя правило почленного сложения	неравенств	одинакового направления ? .
1.4 Какое из следующих	неравенств	можно получить , применяя правило почленного сложения неравенств одинакового направления ? .
При почленном умножении двух числовых	неравенств	одного направления может получиться неверная запись .
Сумма строгих	неравенств	одинакового направления ( одинакового смысла ) является строгим неравенством того же направления .
Аналогичное свойство выполняется для нестрогих	неравенств	.
Понятие равносильности	неравенств	обладает свойствами , похожими на свойства равенства чисел .
Для существования треугольника с указанными сторонами необходимо одновременное выполнение	неравенств	.
Следствием рассмотренных свойств	неравенств	является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число положительное , нулю равен только квадрат числа нуль .
5 Почленное сложение и умножение	неравенств	.
2 Приведите пример двух	неравенств	одинакового направления , почленное умножение которых приводит к неверному результату .
1.4 Для какого из следующих	неравенств	не является множеством решений ? .
1 Приведите пример двух	неравенств	противоположного направления , почленное сложение которых приводит к неверному результату .
Кратко свойство транзитивности	неравенств	можно записать так .
7 Сформулируйте утверждение о почленном умножении двух неравенств одного направления с положительными частями	неравенств	.
2.5 Свойства равносильности	неравенств	.
8 Сформулируйте правила преобразования нестрогих	неравенств	, сохраняющие равносильность .
Разбирая примеры на решение линейных	неравенств	, можно было видеть , что ответом является множество чисел .
Равносильность	неравенств	.
3.5 Пример доказательства равносильности нестрогих	неравенств	.
Используя правило , можно выписать аналогичные правила для нестрогих	неравенств	вида .
Эти рассуждения переносятся на случай нестрогих	неравенств	одинакового направления , поэтому справедливо свойство .
2.4 Для каких из указанных	неравенств	все решения не входят в промежуток ? .
При нахождении решений нестрогого неравенства точно так же , как и в случае строгих неравенств , применяются правила преобразования	неравенств	, сохраняющие равносильность .
Из транзитивности	неравенств	следует , что .
При нахождении решений нестрогого неравенства точно так же , как и в случае строгих	неравенств	, применяются правила преобразования неравенств , сохраняющие равносильность .
Как и в случае строгих неравенств , для нестрогих	неравенств	определяют понятие равносильности .
Как и в случае строгих	неравенств	, для нестрогих неравенств определяют понятие равносильности .
2.3 Решения каких из указанных	неравенств	входят в промежуток .
1.3 Для какого из следующих	неравенств	является множеством решений ? .
Сумма нестрогих	неравенств	одинакового направления ( одинакового смысла ) является нестрогим неравенством того же направления .
2.4 Равносильность	неравенств	.
2.1 Для каких из перечисленных	неравенств	любое число является решением ? .
6 Приведите примеры нестрогих равносильных	неравенств	.
Для любых чисел из	неравенств	после сложения левых и правых частей этих неравенств получаем неравенство или .
Для любых чисел из неравенств после сложения левых и правых частей этих	неравенств	получаем неравенство или .
1.2 Для какого из	неравенств	промежуток не является множеством всех решений ? .
Для сравнения между собой обратных к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух	неравенств	.
Почленное произведение	неравенств	приводит к неверной записи .
1.1 Для какого из	неравенств	промежуток является множеством всех решений ? .
7 Сформулируйте утверждение о почленном умножении двух	неравенств	одного направления с положительными частями неравенств .
Как показать равносильность	неравенств	? .
3 Приведите пример двух	неравенств	, почленное деление которых приводит к неверному результату .
5 К какому результату приводит сложение двух строгих	неравенств	одного направления ? .
1 Что такое почленное сложение	неравенств	? .
Каким из следующих	неравенств	равносильно неравенство .
Каким из указанных	неравенств	равносильно неравенство .
6 К какому результату приводит сложение двух нестрогих	неравенств	одного направления ? .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность	неравенств	: если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Какому из указанных	неравенств	равносильно неравенство .
Одним из свойств , используемых при доказательстве	неравенств	, является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
5.2 Транзитивность	неравенств	.
2.2 Какие из	неравенств	всегда равносильны неравенству .
2.3 Какие из перечисленных	неравенств	не равносильны неравенству .
2.2 Какие из указанных	неравенств	выполняются для любого числа а ? .
Заметим , что в этом примере части	неравенств	были как положительны , так и отрицательны .
Примеры показывают , что сложение и умножение	неравенств	следует выполнять с осторожностью .
По свойству транзитивности из	неравенств	следует неравенство .
2.1 Какие из приведённых	неравенств	выполняются всегда .
2 Преобразование	неравенств	.
2.3 Какие из указанных	неравенств	выполняются для любых чисел а и b ? .
Если левые и правые части неравенств положительны , то почленное произведение	неравенств	одного направления является неравенством того же направления .
Если левые и правые части	неравенств	положительны , то почленное произведение неравенств одного направления является неравенством того же направления .
Это правило можно записать в виде следующих свойств числовых	неравенств	.
Правила преобразований	неравенств	.
Для каких из указанных	неравенств	является множеством решений ? .
5.1 Почленное сложение и умножение	неравенств	.
2 Что такое почленное умножение	неравенств	? .
В этой главе напоминаются свойства числовых	неравенств	, вводится важное понятие равносильности неравенств , показывается , как решать линейные неравенства с одним неизвестным .
1 Приведите несколько примеров числовых	неравенств	.
3 Сформулируйте свойство транзитивности строгих	неравенств	.
В этой главе напоминаются свойства числовых неравенств , вводится важное понятие равносильности	неравенств	, показывается , как решать линейные неравенства с одним неизвестным .
4 Сформулируйте свойство транзитивности нестрогих	неравенств	.
2.4 Какие из перечисленных	неравенств	равносильны неравенству .
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых	неравенств	и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
1 Свойства числовых	неравенств	.
Свойства числовых	неравенств	.
Прибавив к обеим частям первого неравенства число с , к обеим частям второго неравенства число b , получим два	неравенства	.
4 Какое число называют решением ( корнем ) нестрогого	неравенства	? .
Как показать , что равносильны	неравенства	? .
11 Сформулируйте свойство об умножении на положительное число обеих частей	неравенства	.
11 Что произойдёт с множеством решений , если к левой и правой частям	неравенства	прибавить всюду определённое выражение ? .
Чтобы получить ответ при решении	неравенства	, используя правила 1 - 7 , можно записать последовательность неравенств , каждое из которых равносильно заданному неравенству .
Решение	неравенства	.
2.9 Замена левой или правой части	неравенства	на тождественно равное выражение .
10 Сформулируйте свойство о прибавлении числа к обеим частям	неравенства	.
Свойства равносильности	неравенства	.
Что получится , если обе части	неравенства	умножить на число ? .
18 Докажите , что при всех числовых значениях букв выполняются	неравенства	.
16 Докажите , что при всех числовых значениях букв выполняются	неравенства	.
Множество корней ( решений ) Множество	неравенства	.
1 Что означают	неравенства	: а > b , а < b ? .
Подобным образом можно показать , что всякий корень неравенства является корнем	неравенства	.
5 Приведите примеры чисел а и b , для которых одновременно выполняются	неравенства	а2 < b2 и а > b .
Подобным образом можно показать , что всякий корень	неравенства	является корнем неравенства .
12 Сформулируйте правило о замене левой или правой части	неравенства	на тождественно равное выражение .
Прибавив к обеим частям первого	неравенства	число с , к обеим частям второго неравенства число b , получим два неравенства .
В ответе перечислите верные	неравенства	.
Прибавив к обеим частям первого неравенства число с , к обеим частям второго	неравенства	число b , получим два неравенства .
12 Сформулируйте свойство об умножении на отрицательное число обеих частей	неравенства	.
Действительно , из	неравенства	следует , что , из неравенства следует , что .
Для сравнения между собой обратных к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного	неравенства	домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
2.10 Сокращённая запись решения линейного	неравенства	.
Корень	неравенства	.
Для любого числа а множество решений	неравенства	называется открытым числовым лучом и обозначается .
Что может получиться при возведении в квадрат обеих частей числового	неравенства	? .
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти	неравенства	равносильны .
Действительно , из неравенства следует , что , из	неравенства	следует , что .
Неравенства равносильны по той же причине , что и	неравенства	в примере 6 .
Таким образом , всякое решение первого	неравенства	является решением второго неравенства .
Какое из чисел больше : а или b . 1.9 Умножение на отрицательное число обеих частей	неравенства	.
В этой главе напоминаются свойства числовых неравенств , вводится важное понятие равносильности неравенств , показывается , как решать линейные	неравенства	с одним неизвестным .
1.1 Строгие	неравенства	.
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти	неравенства	равносильны .
Если известно , что число а больше числа b , то это можно записать в виде строгого	неравенства	а > b или также в виде строгого неравенства b < а , поскольку в этом случае число b меньше числа а .
Если известно , что число а больше числа b , то это можно записать в виде строгого неравенства а > b или также в виде строгого	неравенства	b < а , поскольку в этом случае число b меньше числа а .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого	неравенства	, поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго	неравенства	является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Продолжая этот процесс шаг за шагом , на k - м шаге , почленно умножив части неравенства на части	неравенства	, придём к неравенству .
Множество решений	неравенства	называют замкнутым числовым лучом и обозначают .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго	неравенства	, а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Предположим , что число с является корнем этого уравнения , то есть Такого числового	неравенства	не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше числа -5 .
Таким образом , всякое решение первого	неравенства	является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Продолжая этот процесс шаг за шагом , на k - м шаге , почленно умножив части	неравенства	на части неравенства , придём к неравенству .
Следовательно , число d является решением	неравенства	.
Предположим , что число с является корнем этого уравнения , то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового	неравенства	равна -10 , что меньше числа -5 .
Запишем после этого два	неравенства	.
Запишем два	неравенства	.
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям	неравенства	число -D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
Для любого числа а множество решений	неравенства	называется замкнутым числовым лучом и обозначается .
Обратно , если число d является решением	неравенства	, то есть , то , прибавив к обеим частям неравенства число -D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
Так как то из	неравенства	следует , что .
Следовательно , число с является решением	неравенства	.
Так как , то из	неравенства	следует , что .
Сокращённую запись решения неравенства получим , если будем записывать только равносильные	неравенства	без пояснений .
Сокращённую запись решения	неравенства	получим , если будем записывать только равносильные неравенства без пояснений .
3 Какие	неравенства	называют неравенствами .
4 Какое число называют решением ( корнем )	неравенства	? .
10 Какие правила об умножении левой и правой частей	неравенства	вы знаете ? .
Из	неравенства	следует , что .
5 Сравните множества решений	неравенства	и неравенства .
1.8 Умножение на положительное число обеих частей	неравенства	.
5 Сравните множества решений неравенства и	неравенства	.
1.7 Прибавление числа к обеим частям	неравенства	.
Какой замкнутый числовой луч является множеством решений	неравенства	.
7 Как найти множество решений	неравенства	, если известно множество решений неравенства ? .
Как доказать , что из	неравенства	следует неравенство .
1.2 Какое выражение нужно вычесть из	неравенства	справа и слева , чтобы получить неравенство ? .
Из	неравенства	а и b следует , что .
7 Как найти множество решений неравенства , если известно множество решений	неравенства	? .
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и множество решений	неравенства	.
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений	неравенства	и множество решений неравенства .
Прибавив к обеим частям исходного	неравенства	число -1 , получим .
7 Какие	неравенства	называют линейными ? .
6 Какие	неравенства	называют равносильными ? .
5 Докажите , что при любых значениях переменных выполняются	неравенства	.
Приведём подобные члены в левой и правой частях	неравенства	.
5 Что называют множеством решений ( корней )	неравенства	? .
7 Запишите	неравенства	, которые получатся , если из обеих частей неравенства вычесть .
Умножим на число обе части	неравенства	.
7 Запишите неравенства , которые получатся , если из обеих частей	неравенства	вычесть .
8 Какое правило о перестановке правой и левой частей	неравенства	вы знаете ? .
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого	неравенства	, и эти неравенства равносильны .
Тогда из свойств числовых неравенств следует , что , то есть число с — корень второго	неравенства	.
13 Умножьте обе части	неравенства	.
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного	неравенства	.
Если прибавить к обеим частям последнего числового	неравенства	числовое значение D(c ) , то по свойству получим неравенство .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части , корень или решение нестрогого	неравенства	А(х ) > В(х ) .
3.3 Нестрогие	неравенства	с одной переменной ( со знаком < ) .
1 Изобразите на числовой прямой множество решений	неравенства	и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Как показать , что	неравенства	равносильны ? .
Другими словами , всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем	неравенства	.
Другими словами , всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень	неравенства	является корнем неравенства .
Другими словами , всякий корень неравенства является корнем	неравенства	, и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства .
Другими словами , всякий корень	неравенства	является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части , корень или решение нестрогого	неравенства	А(х ) < В(х ) .
Иногда запись используют для записи множества решений	неравенства	.
Таким образом , множество решений неравенства совпадает с множеством решений	неравенства	.
Эти свойства позволяют получать новые равносильные	неравенства	.
2 Изобразите на числовой прямой множество решений	неравенства	и запишите обозначение соответствующего промежутка .
По аналогии со строгими неравенствами набор М всех корней	неравенства	называют множеством корней или множеством решений этого неравенства .
По аналогии со строгими неравенствами набор М всех корней неравенства называют множеством корней или множеством решений этого	неравенства	.
13 Как связаны между собой множество решений	неравенства	и множество решений неравенства ? .
Прибавляя к обеим частям этого числового	неравенства	число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству решений неравенства .
Обратно , покажем , что всякое число , большее 5 , будет решением данного	неравенства	.
Следовательно , всякое решение с данного неравенства является числом , большим 5 , то есть число с принадлежит множеству решений	неравенства	.
Складывая почленно	неравенства	, получаем : следовательно .
Решить нестрогое неравенство — это одно из двух : либо найти все корни этого	неравенства	, либо доказать , что это неравенство не имеет корней .
Следовательно , всякое решение с данного	неравенства	является числом , большим 5 , то есть число с принадлежит множеству решений неравенства .
1.4 Какой из указанных промежутков содержит все решения	неравенства	.
Прибавляя к обеим частям этого числового	неравенства	число 5 , получаем числовое неравенство .
Пусть число с — решение этого	неравенства	, то есть .
Складывая почленно эти	неравенства	, получаем .
Таким образом , множество решений	неравенства	совпадает с множеством решений неравенства .
Как доказать , что всякое решение второго	неравенства	является решением первого неравенства .
2.6 Линейные	неравенства	.
Например ,	неравенства	являются линейными .
Через [ 2 ; 3 ] обозначим множество всех чисел х , для которых одновременно выполняются	неравенства	.
14 Разделите обе части	неравенства	.
Умножая обе части последнего числового	неравенства	на отрицательное число s получим числовое неравенство или , иначе .
Пусть число с является решением	неравенства	, то есть .
Через [ 2 ; 3 ) обозначим множество всех чисел х , для которых одновременно выполняются	неравенства	2 < х и х < 3 .
Умножив все части этого	неравенства	на число -1 , получим .
2.7 Умножение обеих частей	неравенства	на отрицательное число .
16 Запишите , какое неравенство получится , если из обеих частей	неравенства	вычесть .
Второе неравенство получается из первого , если к каждой из частей первого	неравенства	прибавить число 5 .
17 Запишите , какое неравенство получится , если к обеим частям	неравенства	прибавить .
Через ( 2 ; 3 ] обозначим множество всех чисел х , для которых одновременно выполняются	неравенства	.
Множество решений	неравенства	называют открытым числовым лучом и обозначают .
Таким образом , каждое число , большее числа , является решениями данного	неравенства	.
Через ( 2 ; 3 ) обозначим множество всех чисел х , для которых одновременно выполняются	неравенства	.
Таким образом , решениями данного	неравенства	могут быть только числа , большие .
Для какого линейного	неравенства	множество решений совпадает с промежутком ? .
Умножив обе части этого	неравенства	на положительное число , получим неравенство .
Пусть число с является решением данного	неравенства	, то есть выполняется числовое неравенство .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго	неравенства	.
Нестрогие	неравенства	.
3.1 Нестрогие	неравенства	.
Наряду со строгими неравенствами рассматривают нестрогие	неравенства	, которые записывают при помощи знаков < или > .
Вычитая из всех частей двойного	неравенства	а1 < а < а2 число b , получим двойное неравенство .
Когда	неравенства	выполняются одновременно ? .
Линейные	неравенства	решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
3.2 Нестрогие	неравенства	с одной переменной ( со знаком > ) .
Умножив обе части этого	неравенства	на положительное число 2 , получим неравенство .
2.2 Какие из указанных промежутков содержат множество решений	неравенства	? .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству решений	неравенства	.
13 Как связаны между собой множество решений неравенства и множество решений	неравенства	? .
2.3 Множество корней	неравенства	.
Следовательно , число d является решением нестрогого	неравенства	.
Как объяснить , что всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень	неравенства	является корнем неравенства ? .
Целые числа 11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются	неравенства	.
Следовательно , число с является решением нестрогого	неравенства	.
Как объяснить , что всякий корень неравенства является корнем	неравенства	, и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства ? .
Иногда корень	неравенства	называют решением этого неравенства .
Пусть число с является корнем первого	неравенства	, то есть .
Как объяснить , что всякий корень	неравенства	является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем неравенства ? .
Обратно , если число d является решением	неравенства	, то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Если А(х ) , B(х ) , С(х ) , D(x ) — многочлены от переменной х , то	неравенства	называются алгебраическими неравенствами от х .
Как показать , что множество решений	неравенства	является пустым множеством ? .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого	неравенства	число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Тогда первые два	неравенства	выполнены .
Каждое значение с переменной х , при котором , называется корнем или решением	неравенства	.
Рассмотрим два	неравенства	.
В неравенстве выражение С ( х ) называют левой частью неравенства , выражение D ( х ) — правой частью	неравенства	.
В неравенстве выражение С ( х ) называют левой частью	неравенства	, выражение D ( х ) — правой частью неравенства .
Иногда корень неравенства называют решением этого	неравенства	.
Какие ненулевые корни	неравенства	вы можете указать ? .
Любое ненулевое число будет его корнем , но число 0 не является корнем этого	неравенства	.
Какие	неравенства	из перечисленных не равносильны неравенству .
Каждое значение с переменной х , при котором , называется корнем	неравенства	.
В неравенстве выражение А(х ) называют левой частью неравенства , выражение В(х ) — правой частью	неравенства	.
Как объяснить , что всякий корень неравенства является корнем неравенства , и обратно — всякий корень неравенства является корнем	неравенства	? .
При этом выполняются	неравенства	.
Таким образом , всякое решение первого нестрогого	неравенства	является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого	неравенства	, а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Всякое число , большее 5 , является решением этого	неравенства	.
В неравенстве выражение А(х ) называют левой частью	неравенства	, выражение В(х ) — правой частью неравенства .
Решить неравенство — это одно из двух : либо найти все корни	неравенства	, либо доказать , что неравенство не имеет корней .
Число 5 и каждое из чисел , меньшее 5 , не является решением	неравенства	.
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого	неравенства	является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Если прибавить к обеим частям последнего числового	неравенства	числовое значение D(c ) , то либо по свойству получим строгое неравенство , либо получим равенство .
При нахождении решений нестрогого	неравенства	точно так же , как и в случае строгих неравенств , применяются правила преобразования неравенств , сохраняющие равносильность .
Часто М называют множеством корней или множеством решений	неравенства	.
Показать , что	неравенства	равносильны .
Как доказать , что всякое решение второго неравенства является решением первого	неравенства	.
Следовательно , множеством решений	неравенства	является множество всех чисел , каждое из которых больше 5 .
Тогда справедливы	неравенства	.
Спрашивается , в какой степени это утверждение распространяется на числовые	неравенства	? .
1.3 Какое из чисел одновременно удовлетворяет	неравенствам	.
2.1 Какие из чисел одновременно удовлетворяют	неравенствам	.
В	неравенстве	выражение С ( х ) называют левой частью неравенства , выражение D ( х ) — правой частью неравенства .
В	неравенстве	выражение А(х ) называют левой частью неравенства , выражение В(х ) — правой частью неравенства .
В каком случае в	неравенстве	достигается равенство ? .
По свойству транзитивности из неравенств следует	неравенство	.
В этом случае для любого натурального числа n выполняется	неравенство	.
Второе	неравенство	получается из первого , если к каждой из частей первого неравенства прибавить число 5 .
8 Для какого числа а	неравенство	а < 0 выполнено , если а равно .
Как показать , что	неравенство	равносильно неравенству ? .
Умножив обе части этого неравенства на положительное число , получим	неравенство	.
Рассмотрим алгебраическое	неравенство	.
Таким образом , для любого натурального числа n можно получить	неравенство	.
Заметим , что в примере было показано , что	неравенство	равносильно неравенству .
6 Для каких пар чисел , приведённых в таблице , выполняется	неравенство	а > b ?
Поэтому	неравенство	не имеет корней .
Тогда	неравенство	равносильно неравенству .
7 Для какого числа а	неравенство	а > 0 выполнено , если а равно .
Какое множество корней имеет	неравенство	.
Умножая обе части последнего числового неравенства на отрицательное число s получим числовое	неравенство	или , иначе .
В результате при некотором числовом значении с для числовых выражений А(с ) и В(с ) выполняется	неравенство	, при некотором числовом значении d выражение A(d ) не будет больше выражения B(d ) .
Умножив обе части этого неравенства на положительное число 2 , получим	неравенство	.
2.1 При каких значениях а выполняется	неравенство	.
Кратко эту задачу записывают так : « Найти все значения х , при которых » ; или так : « Решить	неравенство	» .
В результате	неравенство	равносильно неравенству .
4 Поставьте вместо знак > или < так , чтобы выполнялось	неравенство	.
Это	неравенство	для модуля равносильно двойному неравенству .
2 Поставьте вместо знак > или < так , чтобы выполнялось	неравенство	.
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число 5 , получаем числовое	неравенство	.
Для любых чисел из неравенств после сложения левых и правых частей этих неравенств получаем	неравенство	или .
Решить	неравенство	.
Поэтому для любых чисел а , b и с выполняется	неравенство	.
Другими словами , неравенство выполняется тогда и только тогда , когда выполняется	неравенство	.
Другими словами ,	неравенство	выполняется тогда и только тогда , когда выполняется неравенство .
Следовательно , справедливо	неравенство	.
Решить неравенство — это одно из двух : либо найти все корни неравенства , либо доказать , что	неравенство	не имеет корней .
6 Решите	неравенство	.
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое	неравенство	, то есть число d принадлежит множеству решений неравенства .
Как доказать , что из неравенства следует	неравенство	.
Решить	неравенство	— это одно из двух : либо найти все корни неравенства , либо доказать , что неравенство не имеет корней .
Если	неравенство	не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество его корней является пустым множеством .
Пусть задано	неравенство	.
Пусть число с является решением данного неравенства , то есть выполняется числовое	неравенство	.
Одним из важнейших является следующее правило , позволяющее заменить	неравенство	на равносильное ему неравенство противоположного направления .
Такое	неравенство	не выполняется , если .
Какое значение числа а нужно взять , чтобы	неравенство	было равносильно неравенству .
12 Докажите , что для любых положительных чисел a и b верно	неравенство	.
Каждое	неравенство	равносильно самому себе .
2 ) Если первое	неравенство	равносильно второму , то второе неравенство равносильно первому .
2.3 При каких из указанных значений а и b верно	неравенство	.
2 ) Если первое неравенство равносильно второму , то второе	неравенство	равносильно первому .
3 ) Если первое неравенство равносильно второму , второе	неравенство	равносильно третьему , то первое неравенство равносильно третьему .
3 ) Если первое неравенство равносильно второму , второе неравенство равносильно третьему , то первое	неравенство	равносильно третьему .
Если их почленно сложить , то получится	неравенство	.
Вычитая из всех частей двойного неравенства а1 < а < а2 число b , получим двойное	неравенство	.
Какие решения имеет	неравенство	.
2.11 Линейное	неравенство	, не имеющее корней .
Рассмотрим	неравенство	.
Одним из важнейших является следующее правило , позволяющее заменить неравенство на равносильное ему	неравенство	противоположного направления .
3 ) Если первое	неравенство	равносильно второму , второе неравенство равносильно третьему , то первое неравенство равносильно третьему .
18 Решите	неравенство	.
Если выполняется	неравенство	, то число а называют неположительным .
1.2 Какой вид примет	неравенство	, если обе его части разделить на -0,1 ? .
1.3 Какое	неравенство	из перечисленных равносильно неравенству .
1.4 Какое	неравенство	из перечисленных не равносильно неравенству .
Какие решения имеет нестрогое	неравенство	х2 > 0 ? .
Каким из указанных неравенств равносильно	неравенство	.
Если прибавить к обеим частям последнего числового неравенства числовое значение D(c ) , то либо по свойству получим строгое	неравенство	, либо получим равенство .
1 В каких случаях выполняется числовое	неравенство	.
Для числа 120275,7 выполняется двойное	неравенство	, поэтому число 120275,7 находится в промежутке .
Каким из следующих неравенств равносильно	неравенство	.
12 При каких значениях переменной верно	неравенство	? .
8 Докажите , что при любых а и b выполняется	неравенство	.
Или сокращённо : « Решить	неравенство	А(х ) > В(х ) » .
1.1 Какому неравенству равносильно	неравенство	.
Решите	неравенство	от неизвестного х .
Для числа 120 275 выполняется двойное	неравенство	120 275 120 275 120275,5 , поэтому число 120 275 находится в промежутке .
Как доказать , что если r — отрицательное число , то	неравенство	равносильно неравенству .
15 Решите	неравенство	.
Для натуральных чисел z , х справедливо	неравенство	.
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое	неравенство	, также по свойству , либо равенство .
Тогда	неравенство	равносильно неравенству » .
В примере 4 для числа 31 415,9 были найдены десятичное приближение 30 000 снизу и десятичное приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное	неравенство	.
Для этих десятичных приближений числа а выполняется двойное	неравенство	.
11 Укажите несколько значений а , для которых верно	неравенство	.
3 Что означают слова « решите нестрогое	неравенство	» ? .
Решить нестрогое	неравенство	— это одно из двух : либо найти все корни этого неравенства , либо доказать , что это неравенство не имеет корней .
Какие решения имеет нестрогое	неравенство	х2 < 0 ? .
В каком случае будет выполняться	неравенство	? .
7 Решите	неравенство	.
4 Решите	неравенство	.
В примере 1 для числа 42,4056 были найдены десятичное приближение 42 снизу и десятичное приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное	неравенство	.
3 Решите	неравенство	.
Решить нестрогое неравенство — это одно из двух : либо найти все корни этого неравенства , либо доказать , что это	неравенство	не имеет корней .
Если выполняется	неравенство	, то число а называют неотрицательным .
16 Запишите , какое	неравенство	получится , если из обеих частей неравенства вычесть .
Или сокращённо : « Решить	неравенство	А(х ) < В(х ) » .
В примере 2 для числа 42,4056 были определены десятичное приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное	неравенство	.
17 Запишите , какое	неравенство	получится , если к обеим частям неравенства прибавить .
Тогда	неравенство	равносильно неравенству r .
Какому из указанных неравенств равносильно	неравенство	.
Для числа 0,47 выполняется двойное	неравенство	, поэтому число 0,47 находится в промежутке .
Из соотношения следует двойное	неравенство	.
Как доказать , что если r — положительное число , то	неравенство	равносильно неравенству .
1 Как вы понимаете фразу « решите	неравенство	» ? .
Например , можно записать нестрогое	неравенство	.
1.2 Какое выражение нужно вычесть из неравенства справа и слева , чтобы получить	неравенство	? .
Вместо слов « нестрогое	неравенство	» иногда для краткости говорят слово « неравенство » .
Решите	неравенство	.
Для числа 0,517 выполняется двойное	неравенство	, поэтому число 0,517 находится в промежутке .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям неравенства число -D(d ) , получим	неравенство	, также по свойству .
Вместо слов « нестрогое неравенство » иногда для краткости говорят слово «	неравенство	» .
Если прибавить к обеим частям последнего числового неравенства числовое значение D(c ) , то по свойству получим	неравенство	.
2 Какую запись называют	неравенством	с одной переменной ? .
В этом случае запись называют	неравенством	с одной переменной ( с одним неизвестным ) .
В этом случае запись А(х ) > В(х ) называют нестрогим	неравенством	с одной переменной ( с одним неизвестным ) .
Если левые и правые части неравенств положительны , то почленное произведение неравенств одного направления является	неравенством	того же направления .
Пусть а и b — ненулевые числа , связанные , например ,	неравенством	.
Неравенство , в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным	неравенством	.
В этом случае запись А(х ) < В(х ) также называют нестрогим	неравенством	с одной переменной ( с одним неизвестным ) .
И в этом случае запись также называют	неравенством	с одной переменной ( с одним неизвестным ) .
Сумма нестрогих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является нестрогим	неравенством	того же направления .
Сумма строгих неравенств одинакового направления ( одинакового смысла ) является строгим	неравенством	того же направления .
Как показать , что неравенство равносильно	неравенству	? .
Заметим , что в примере было показано , что неравенство равносильно	неравенству	.
Тогда неравенство равносильно	неравенству	.
1.2 Какое из указанных чисел х является наименьшим целым числом , которое удовлетворяет	неравенству	.
Тогда неравенство равносильно	неравенству	r .
2.4 Какие из перечисленных неравенств равносильны	неравенству	.
Продолжая этот процесс шаг за шагом , на k - м шаге , почленно умножив части неравенства на части неравенства , придём к	неравенству	.
Как доказать , что если r — отрицательное число , то неравенство равносильно	неравенству	.
В результате неравенство равносильно	неравенству	.
Тогда неравенство равносильно	неравенству	» .
1.3 Какое неравенство из перечисленных равносильно	неравенству	.
2.3 Какие из перечисленных неравенств не равносильны	неравенству	.
2.2 Какие из неравенств всегда равносильны	неравенству	.
Если известно , что абсолютная погрешность измерения не больше некоторого числа р , то можно гарантировать , что разность между точным и приближённым значениями удовлетворяет	неравенству	.
1.4 Какое неравенство из перечисленных не равносильно	неравенству	.
Чтобы получить ответ при решении неравенства , используя правила 1 - 7 , можно записать последовательность неравенств , каждое из которых равносильно заданному	неравенству	.
2.3 Для каких из перечисленных неравенств любое его решение а удовлетворяет	неравенству	? .
1.1 Какому	неравенству	равносильно неравенство .
Как доказать , что если r — положительное число , то неравенство равносильно	неравенству	.
Какое значение числа а нужно взять , чтобы неравенство было равносильно	неравенству	.
Это неравенство для модуля равносильно двойному	неравенству	.
Какие неравенства из перечисленных не равносильны	неравенству	.
2 Сколько	неразвёрнутых	углов разного вида вы можете указать ? .
Сколько пар	неразвёрнутых	углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
Сколько	неразвёрнутых	углов можно указать ? .
Сколько	неразвёрнутых	углов образуют 100 прямых , пересекающихся в одной точке ? .
Чему равна сумма всех	неразвёрнутых	углов .
Сколько всего плоских	неразвёрнутых	углов вы можете указать ? .
Вычислить сумму всех натуральных	нечетных	чисел от 1 до 199 включительно .
Докажите , что если точка М не лежит на границе стоугольника и число точек пересечения	нечётно	, то точка М лежит внутри стоугольной области .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е	нечётное	число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Второе	нечётное	число а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то	нечётное	число аk+1 имеет вид .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье	нечётное	число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Обозначим первое	нечётное	число 1 через а1 .
Таким образом , натуральные	нечётные	числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью прогрессии .
5 Приведите примеры центрально симметричных ломаных с	нечётным	числом вершин .
Чему равна сумма первых 10 членов прогрессии с	нечётными	номерами ? .
1.4 Чему равна сумма первых 50	нечётных	чисел ? .
8 Известно , что сумма всех	нечётных	натуральных чисел , меньших 100 , равна 502 .
Как показать , что для любого натурального числа n сумма первых n	нечётных	чисел равна n2 ? .
Таким образом , сумма первых 100	нечётных	чисел равна 1002 .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с вершиной в В и сторонами , параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с	ним	составляет 180 ° .
Для сравнения между собой обратных к	ним	чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
Внешний угол треугольника равен сумме не смежных с	ним	внутренних углов этого треугольника .
Каждый следующий элемент этой последовательности в два раза меньше стоящего перед	ним	элемента , то есть получается умножением на число .
Если основаниями треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к	ним	высоты совпадают .
4 Оконный проём имеет форму прямоугольника с надстроенным над	ним	полукругом , как изображено .
При	нормальных	условиях температура воды может выражаться значением от 0 до 100 ° С , потому что при температуре ниже 0 ° С вода замерзает и превращается в лёд , а при температуре +100 ° С она закипает и начинает превращаться в пар .
Например , температура кипения воды при	нормальных	условиях равна + 100 ° С. В то же время объём наливаемой в чайник воды может быть различным в разные моменты времени .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на	нули	четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
Свойство числа	нуль	.
I Число	нуль	является особым одночленом и называется нулевым одночленом .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число положительное , нулю равен только квадрат числа	нуль	.
Если взять , то значение — вычислить невозможно , так как на	нуль	делить нельзя .
В случае a - b абсолютная погрешность равна	нулю	.
Заметим , что если определитель системы не равен	нулю	, то из полученных выше равенств находим единственное значение х и единственное значение у .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число положительное ,	нулю	равен только квадрат числа нуль .
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых выражений равно нулю , то и другое числовое выражение равно	нулю	.
Действительно , если число а не равно	нулю	, то произведение состоит из сомножителей одного знака и потому а2 > 0 .
Поскольку произведение нескольких чисел может равняться	нулю	только в том случае , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю , то и произведение равно 0 только в том случае , когда .
Можно сказать , что выражение имеет смысл только при значениях а , не равных	нулю	, то есть буквенное выражение не является всюду определённым .
Отсюда следует , что если для некоторого числового значения х одно из числовых выражений равно	нулю	, то и другое числовое выражение равно нулю .
Следовательно , число не меньше 1 , а значит , не может равняться	нулю	.
Последовательность ненулевых чисел называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное	нулю	.
При любой единице измерения углов величина нулевого угла равна	нулю	.
Таким образом , сумма двух чисел разного знака может оказаться или положительной , или отрицательной , или равной	нулю	.
Поскольку произведение нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда хотя бы один из сомножителей равен	нулю	, то и произведение равно 0 только в том случае , когда .
II Любое числовое выражение , не равное	нулю	, является одночленом нулевой степени .
Если теперь возьмём произвольные числа b и с , не равные	нулю	, то аналогично получим .
Если число не равно	нулю	, то уравнения и уравнение имеют единственный корень .
Действительно , произведение нескольких чисел может равняться	нулю	только в том случае , когда один из множителей равен нулю .
Поэтому мы найдём все решения уравнения , если по очереди приравняем к	нулю	множители и решим два полученных уравнения и или равносильные им уравнения .
Из свойств умножения следует , что произведение двух чисел только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Других корней нет , потому что если произведение двух чисел равняется нулю , то хотя бы один из сомножителей равен	нулю	.
Из свойств умножения следует , что произведение двух чисел только тогда равно	нулю	, когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Число а равно	нулю	при а b -1 .
Действительно , произведение нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда один из множителей равен	нулю	.
Других корней нет , потому что если произведение двух чисел равняется	нулю	, то хотя бы один из сомножителей равен нулю .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от	нуля	число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Почему на числовой прямой противоположные друг другу числа симметричны относительно	нуля	? .
Из свойства	нуля	получаем , что а может быть любым числом .
Какие координаты имеет точка пересечения прямой и прямой , где к отлично от	нуля	? .
Поэтому	область допустимых значений	.
Что можно сказать о величине ,	область допустимых значений	которой содержит единственное значение ? .
2 Что называется	областью допустимых значений	переменной величины ?
Все значения , которые может принимать переменная величина , называются её	областью допустимых значений	.
4 Составьте систему , которая вместе с уравнением	образовала	бы систему .
Точку А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС	образован	отрезками АВ и АС .
Нулевой угол имеет величину в 0 ° , и этот угол	образован	двумя совпадающими лучами .
1.4 Треугольник DEF	образован	средними линиями треугольника АВС .
Как доказать , что общая часть двух выпуклых фигур ,	образованная	при их пересечении , является выпуклой фигурой ? .
Заметим теперь , что определению угла удовлетворяет фигура ,	образованная	противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
Угол — это фигура ,	образованная	двумя лучами с общим началом .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура ,	образованная	двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические фигуры .
7 Что называется вершиной и стороной угла ,	образованного	двумя отрезками с общей вершиной ? .
Чему равна площадь треугольника ,	образованного	средними линиями , если площадь данного треугольника равна S ? .
Для обозначения плоского угла используют тот же знак Ζ , что и для обозначения угла ,	образованного	двумя лучами .
Углы BMN и CKN внутренние накрест лежащие ,	образованные	секущей МК с параллельными прямыми АВ и СК , значит .
Равны и их соответствующие углы PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие углы ,	образованные	при пересечении прямых CD и PS секущей PQ .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы ,	образованные	секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD .
В этой главе рассматриваются углы ,	образованные	двумя лучами , и связанные с ними плоские углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это плоский угол ,	образованный	его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский угол ,	образованный	отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
1.1 Угол ,	образованный	двумя лучами .
В чём разница между углом ,	образованным	двумя лучами с общим началом , и плоским углом , ограниченным этими же двумя лучами ? .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные стороны параллелограмма , и точку М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими ,	образованными	секущей АВ .
Его соседние углы АВС и BAD являются внутренними односторонними углами ,	образованными	секущей АВ параллельных прямых AD и ВС. Поэтому по свойству .
Например , четырёхугольник ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух плоских углов ,	образованных	соседними сторонами ВС и CD , содержит только часть этого четырёхугольника .
Теорема о пропорциональности отрезков ,	образованных	параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
Напомним , что в 5 классе мы определяли градусную меру углов ,	образованных	двумя лучами .
2.6 О названиях углов ,	образованных	секущей .
А это означает , что если мера меньшего из плоских углов ,	образованных	лучами ВА и ВС , равна а ° , то мера большего угла равна 360 ° - а ° .
2.2 Из точки О проведены 6 лучей таким образом , что углы ,	образуемые	любыми двумя соседними лучами , равны .
2.10 Равенство внутренних накрест лежащих углов ,	образуемых	секущей двух параллельных прямых .
Сумма внутренних односторонних углов ,	образуемых	секущей двух параллельных прямых .
Прямая АВ	образует	прямые углы при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD .
Секущая MN при пересечении с прямыми АВ и CD	образует	восемь углов .
Будут ли параллельны две прямые , при пересечении которых секущая	образует	равные соответственные углы ? .
3 Через вершину острого угла проведите две прямые , каждая из которых	образует	равные углы со сторонами данного угла .
6 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное число от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное число от 1 до 60 ? .
В предыдущем пункте последовательно закрашиваемые площади , выраженные в квадратных сантиметрах ,	образуют	последовательность .
Какую фигуру	образуют	общие точки фигур К1 и К2 ? .
При каком угле а стороны равнобедренных треугольников	образуют	правильный шестиугольник ? .
Будем говорить , что луч О А является продолжением луча О В до прямой АВ , если лучи О А и О В	образуют	прямую .
Сколько плоских углов	образуют	все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
13 Точки А , В , С , D , Е являются вершинами правильного пятиугольника и соединены так , что	образуют	пятиконечную звезду .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки фигур	образуют	центрально симметричную фигуру с центром О .
2.1 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением	образуют	систему , имеющую единственное решение .
2.2 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением	образуют	систему , имеющую хотя бы одно решение .
5 Сколько плоских углов	образуют	все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
Сколько неразвёрнутых углов	образуют	100 прямых , пересекающихся в одной точке ? .
1 Сколько углов разного вида	образуют	стороны треугольника ? .
Получившиеся уравнения	образуют	систему двух уравнений с двумя неизвестными .
Таким образом , натуральные нечётные числа	образуют	арифметическую прогрессию с первым членом и разностью прогрессии .
Сколько плоских углов	образуют	диагонали квадрата с его сторонами ? .
Какую часть окружности	образуют	дуги , принадлежащие двум смежным углам с вершиной в центре окружности ? .
Сколько плоских углов	образуют	все пары соседних сторон многоугольника с n сторонами ? .
Две пересекающиеся прямые	образуют	четыре угла , любые два из которых являются либо вертикальными , либо смежными .
При каком угле α при основаниях боковые стороны равнобедренных треугольников	образуют	шестиугольник ? .
Два различных луча с общим началом	образуют	два плоских угла .
Если на плоскости две прямые	образуют	с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Все точки вида ( 2 ; у )	образуют	на координатной плоскости вертикальную прямую .
Сколько развёрнутых углов	образуют	часовая и минутная стрелки за 12 часов ? .
8 Касательные , проведённые из точки А к окружности радиуса R ,	образуют	угол в 60 ° .
Рассмотрим простейший случай , когда ищется число ,	обратное	к числу , близкому к единице .
Справедливо и	обратное	: всякая точка Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика уравнения .
Верно и	обратное	: если число b является корнем уравнения , то это число b будет также корнем исходного уравнения .
Верно и	обратное	: если число b является корнем уравнения , то число b будет также корнем уравнения .
Таким образом , число ,	обратное	аn , есть .
2.5 Число ,	обратное	степени .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и величины ,	обратной	к знаменателю .
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует приближённому значению величины ,	обратной	к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для величины ,	обратной	к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
Составим	обратную	к х дробь , а затем умножим её числитель и знаменатель на .
Чтобы разделить b на а , достаточно знать	обратную	к а величину .
1.10 Сравнение чисел ,	обратных	к заданным ненулевым числам .
Для сравнения между собой	обратных	к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
Сутки — это время	обращения	Земли вокруг своей оси .
9 В каком случае	объединение	двух отрезков даёт выпуклую геометрическую фигуру ? .
а ) пересечения их треугольных областей . б )	объединения	их треугольных областей .
для любого треугольника . г ) для	объединения	двух неперекрывающихся треугольников с общей стороной . д ) для любой многоугольной области .
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих	обыкновенных дробей	? .
Какие из следующих десятичных дробей являются приближениями сверху для соответствующих	обыкновенных дробей	? .
2.2 Целые части каких из следующих чисел являются приближениями сверху для соответствующих	обыкновенных дробей	? .
3 Найдите десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,01 для	обыкновенных дробей	.
Как представить	одночлен	, где π — постоянное число , в виде произведения двух одночленов ? .
Если	одночлен	представлен как произведение постоянного числового выражения и степеней переменных букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом .
VI Если f и g — некоторые ненулевые одночлены , то f - g также	одночлен	, степень которого равна сумме степеней одночленов и g .
Рассмотрим	одночлен	.
V Произведение любого одночлена на нулевой	одночлен	равно нулевому одночлену .
Преобразуя , получим новый	одночлен	.
2 Приведите	одночлен	к стандартной форме .
Обычно числовой коэффициент пишут слева , а если буква входит в	одночлен	с показателем степени , равным 1 , то такой показатель , как правило , не пишут .
Будем считать , что многочлен имеет стандартную форму , если этот многочлен не имеет подобных слагаемых , при этом каждый входящий в него	одночлен	записан в стандартной форме .
Как привести к стандартной форме	одночлен	, где π - постоянное число ? .
Рассмотрим , например ,	одночлен	.
Понятие степени для нулевого	одночлена	не определяется .
Два	одночлена	называются подобными , если они либо равны , либо их можно записать так , что они будут отличаться только коэффициентами .
Следовательно , коэффициент этого	одночлена	равен 1 , а степень равна 4 .
4 Найдите коэффициент	одночлена	, где буквы а и b обозначают постоянные числа .
Числа , буквы и буквенные выражения , которые являются произведением чисел и букв , будем называть	одночленами	.
Укажите все выражения , являющиеся	одночленами	.
Например , в	одночленах	и коэффициентами являются выражения соответственно .
Распределительный закон умножения позволяет сумму двух подобных	одночленов	, входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести подобные слагаемые .
Примерами	одночленов	могут служить выражения .
Сумма	одночленов	называется многочленом .
Коэффициент произведения двух одночленов равняется произведению коэффициентов этих	одночленов	.
Коэффициент произведения двух	одночленов	равняется произведению коэффициентов этих одночленов .
VI Если f и g — некоторые ненулевые одночлены , то f - g также одночлен , степень которого равна сумме степеней	одночленов	и g .
Какие примеры	одночленов	вы знаете ? .
После приведения подобных слагаемых наибольшая степень	одночленов	, составляющих многочлен , может уменьшиться .
Рассмотрим произведение	одночленов	.
Как представить одночлен , где π — постоянное число , в виде произведения двух	одночленов	? .
2.4 Укажите все верные утверждения : 2 ) выражение является	одночленом	.
IV Любая буква , обозначающая переменную , является	одночленом	первой степени .
III Любая буква , обозначающая постоянное ненулевое число , является	одночленом	нулевой степени .
II Любое числовое выражение , не равное нулю , является	одночленом	нулевой степени .
I Число нуль является особым одночленом и называется нулевым	одночленом	.
I Число нуль является особым	одночленом	и называется нулевым одночленом .
1 Какое буквенное выражение называют	одночленом	? .
Понятие степени числа позволяет любому	одночлену	придать удобный вид .
V Произведение любого одночлена на нулевой одночлен равно нулевому	одночлену	.
Коэффициент одночлена нулевой степени считают равным самому	одночлену	.
Мы видим , что только по результату округления не всегда можно определить , до какого разряда произведено	округление	и какова погрешность округления .
Будем называть	округлением	числа замену его на одно из десятичных приближений .
В этой главе вы познакомитесь с исходными понятиями вычислительной математики : приближениями , погрешностями ,	округлением	, приближёнными вычислениями .
При	округлении	по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит числа 5 .
При	округлении	по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит числа 0,5 .
При	округлении	того же самого числа 2013,2013 до разряда тысяч опять - таки получим число 2000 .
При	округлении	этого числа до разряда сотен получим 2000 .
При	округлении	по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит числа 0,5 · 10 m , то есть не превосходит половины разрядной единицы 10 m .
При	округлении	по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит числа 0,5 · 10 m .
2.4 Какие из следующих	округлений	имеют абсолютную погрешность , большую 0,15 ? .
8 Сформулируйте правило	округления	положительного числа до разряда 10 m , где m — натуральное число .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом	округления	этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
1.2 Как записывается результат	округления	числа 37065,91 до разряда тысяч с помощью степени числа 10 ? .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом	округления	числа а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -0,517 до разряда единиц является число -1 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 .
Сформулируем правило	округления	положительного числа до разряда десятков .
7 Сформулируйте правило	округления	положительного числа до разряда десятков .
5 Сформулируйте правило	округления	положительного числа до разряда единиц .
4 Как оценивается абсолютная погрешность	округления	до m - го разряда после запятой ? .
3.8 Указание разрядов	округления	при помощи степеней числа 10 .
1.1 Чему равен результат	округления	числа 987 654,321 до разрядной единицы 102 ? .
Чему равен результат	округления	числа 3,87512 до второго разряда после запятой ? .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата	округления	положительного числа до второго разряда после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
Запишем результат	округления	числа 15,293 до второго знака после запятой , то есть до разряда 10 - 2 .
В примере 8 было определено , что результатом	округления	числа 120275,7 до разряда десятков является число 120 280 .
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат	округления	числа 25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
Будем считать результатом	округления	числа 120 275 до разряда единиц десятичное приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу .
11 Как указывается разряд	округления	при помощи степеней числа 10 ? .
3 Сформулируйте правило	округления	положительного числа до m - го разряда после запятой .
1.3 Что является результатом	округления	числа 1,168 до второго знака после запятой ? .
1 Сформулируйте правило	округления	положительного числа до второго разряда после запятой .
10 Сформулируйте правило	округления	отрицательного числа .
Будем считать десятичное приближение 0 результатом	округления	числа 0,47 до разряда единиц .
В примерах 1 и 2 в качестве результата	округления	числа было взято то десятичное приближение до второго разряда после запятой , которое расположено « ближе » к заданному числу .
2 Как оценивается абсолютная погрешность	округления	до второго разряда после запятой ? .
9 Как оценивается абсолютная погрешность	округления	до разряда 10 m , где m — натуральное число ? .
Сформулируем правило	округления	положительного числа до разряда единиц .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом	округления	числа а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
Будем считать десятичное приближение 1 результатом	округления	числа 0,517 до разряда единиц .
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом	округления	числа а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
Как с помощью степени числа 10 записать результат	округления	числа 10,01 до разряда единиц ? .
Чему равен результат	округления	числа 120275,4999 до разряда единиц ? .
Мы видим , что только по результату	округления	не всегда можно определить , до какого разряда произведено округление и какова погрешность округления .
Так как приближённое значение π 3,14 найдено по правилам	округления	, то абсолютная погрешность этого приближения числа π не превосходит 0,005 .
Все эти странности календаря имеют чисто математическую природу и напрямую связаны с ошибками	округления	.
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -120275,7 до разряда десятков является число -120 280 .
Чему равен результат	округления	числа 3,1415926 до четвёртого разряда после запятой ? .
3.3 Правило	округления	положительного числа до некоторого разряда после запятой .
В случае же	округления	до разряда 103 можно представить данное число 2013,2013 в виде 2,0132013 · 103 .
Сформулируем общее правило	округления	положительного числа до некоторого разряда после запятой .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом	округления	числа а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
В этом случае выбираем десятичное приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом	округления	числа а до второго разряда после запятой .
Результатом	округления	числа 2,0132013 до разряда единиц является число 2 , поэтому результат округления исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
В этом случае абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 · 10 .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом	округления	числа а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
Аналогично определяются	округления	отрицательного числа до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
Чему равен результат	округления	числа 9,99999 до третьего разряда после запятой ? .
Чему равен результат	округления	числа -5,298176 до второго разряда после запятой ? .
Результатом округления числа 2,0132013 до разряда единиц является число 2 , поэтому результат	округления	исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Будем считать десятичное приближение 120 276 результатом	округления	числа 120275,7 до разряда единиц .
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до разряда единиц является число 20 , то результат	округления	исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом	округления	числа а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 · 10 m .
Аналогично определяются	округления	положительного числа до первого разряда после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
Будем считать десятичное приближение 120 280 результатом	округления	числа 120275,7 до разряда десятков .
1.4 Какова абсолютная погрешность	округления	числа 2112,2 до десятков ? .
2.1 Для каких из указанных чисел результатом	округления	до третьего разряда после запятой будет число 23,456 ? .
Существуют различные способы	округления	.
Рассмотрим один из распространённых способов	округления	.
Аналогично можно записывать и другие результаты	округления	.
2.2 Для каких из указанных чисел результатом	округления	до третьего разряда после запятой будет число -0,047 ? .
Мы видим , что только по результату округления не всегда можно определить , до какого разряда произведено округление и какова погрешность	округления	.
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом	округления	этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
В случае	округления	до разряда 102 можно представить данное число 2013,2013 в виде 20,132013 · 102 .
При этом абсолютная погрешность результата	округления	положительного числа до n - го разряда после запятой не превосходит половины той же разрядной единицы .
2.3 Какие из следующих чисел являются результатом	округления	числа 11,168 до некоторого разряда ? .
В этом случае выбираем десятичное приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом	округления	числа а до второго разряда после запятой .
Поскольку результатом	округления	числа 20,132013 до разряда единиц является число 20 , то результат округления исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
меньше 5 , то результатом	округления	этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
6 Как оценивается абсолютная погрешность	округления	до разряда единиц ? .
В примере 5 было определено , что результатом	округления	числа 120 275 до разряда единиц является число 120 275 .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом	округления	числа а до разряда 10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
В этом случае абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 · 10 - 2 .
3.6 Правило	округления	положительного числа до разряда 10 m .
В этом случае абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 .
3.7 Примеры	округления	отрицательных чисел .
Чему равен результат	округления	числа 204,2013 до разряда десятков ? .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -120275,7 до разряда единиц является число -120 276 .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -5,29459 до второго разряда после запятой является число -5,29 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 · 10 m , то есть не превосходит половины разрядной единицы 10 m .
Аналогично определяются	округления	положительного числа до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -0,47 до разряда единиц является число 0 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 5 .
Из рассмотрения примера 2 следует , что результатом	округления	числа 5,29817 до второго разряда после запятой является число 5,30 .
Чему равны результаты	округления	числа 2013,2013 до разряда сотен и до разряда тысяч ? .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -120 275 до разряда единиц является число -120 275 .
Из рассмотрения примера 1 следует , что результатом	округления	числа 5,29459 до второго разряда после запятой является число 5,29 .
В примере 7 было определено , что результатом	округления	числа 0,517 до разряда единиц является число 1 .
В примере 6 было определено , что результатом	округления	числа 0,47 до разряда единиц является число 0 .
Аналогично определяются	округления	отрицательного числа до любого разряда после запятой .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -5,295 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом	округления	числа а до разряда 10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
Положим , что результатом	округления	отрицательного числа -5,29817 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
Погрешность	округления	.
В примере 4 было определено , что результатом	округления	числа 120275,7 до разряда единиц является число 120 276 .
В этом случае абсолютная погрешность результата	округления	не превосходит числа 0,5 10 - 2 .
Из рассмотрения примера 3 следует , что результатом	округления	числа 5,295 до второго разряда после запятой является число 5,30 .
Сформулируем правило	округления	положительного числа до разряда 10 m , где m — натуральное число .
Из соображений практического удобства число суток в году	округляют	до 365 .
Когда одна из	окружностей	расположена внутри другой и имеет с ней одну общую точку можно рассматривать только одну общую касательную .
Сколько различных общих касательных можно провести для	окружностей	? .
Прямая PQ перпендикулярна радиусам О1Р и О2Q и касается обеих	окружностей	.
Как доказать , что точка касания окружностей лежит на прямой , проходящей через центры	окружностей	? .
1.4 Чему равна длина общей хорды двух равных	окружностей	с радиусом 50 см , расстояние между центрами которых равно 60 см ? .
фигура , составленная из шести	окружностей	, имеющих общий центр .
Как доказать , что точка касания	окружностей	лежит на прямой , проходящей через центры окружностей ? .
фигура , составленная из двух равных	окружностей	.
фигура , составленная из двух неравных	окружностей	. 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из окружности с хордой , не являющейся диаметром .
Найдите расстояние между центрами	окружностей	, если АВ 8 см .
Прямая PQ является общей внешней касательной данных	окружностей	.
Касание	окружностей	внутреннее .
Окружности могут оказаться по разные стороны от общей касательной , и тогда общая касательная называется внутренней касательной двух	окружностей	.
Касательная для двух	окружностей	внешняя .
2 Касательные к окружностям . 2.1 Общая касательная двух	окружностей	.
Найдите расстояние между центрами	окружностей	, если АВ 12 см .
10 Через точку пересечения двух	окружностей	проведите прямую так , чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды .
Будем называть эту прямую общей касательной для данных	окружностей	.
Окружности могут оказаться по одну сторону от этой прямой и тогда общая касательная называется внешней касательной двух	окружностей	.
Прямая АВ является общей внешней касательной данных	окружностей	.
11 Через точку касания двух	окружностей	проводится произвольная прямая .
На каком расстоянии от прямой находится центр каждой из построенных	окружностей	? .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары	окружностей	, одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Для двух	окружностей	, имеющих одну общую точку и расположенных вне друг друга можно рассмотреть две внешних общих касательных и одну внутреннюю общую касательную .
Окружности радиуса R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других	окружностей	, удовлетворяющих условиям задачи , нет .
Стороны равны как радиусы равных	окружностей	.
Касание	окружностей	внешнее .
11 Сколько существует вневписанных	окружностей	для заданного треугольника ? .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы	окружностей	, если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Соединим точки касания с центрами соответствующих	окружностей	и рассмотрим четырёхугольник .
Мы рассмотрели общие касательные двух	окружностей	.
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы	окружностей	О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна радиусу ОА первой окружности и радиусу О2В второй окружности , то есть касается этих	окружностей	.
Соединим точки касания К и L с центрами соответствующих	окружностей	.
Пусть А — точка вне	окружности	с центром О , АВ и АС — различные отрезки касательных к одной и той же окружности .
Значит , решениями системы уравнений являются пары координат точек пересечения М и N	окружности	и прямой .
Свойства дуг	окружности	.
Две	окружности	называют касающимися внутренним образом , если они касаются некоторой прямой в одной точке и расположены по одну сторону от этой прямой .
Если окружность разделить на 360 равных частей , то получатся 360 дуг	окружности	, каждая из которых соответствует одному угловому градусу .
Пусть А — точка вне окружности с центром О , АВ и АС — различные отрезки касательных к одной и той же	окружности	.
Докажите , что угол между касательной АВ к	окружности	и хордой BD равен углу BCD .
Соединив отрезками центр О	окружности	с точками касания В и С , получим , что ОВ АВ , ОС АС .
Если	окружности	равны и касательные параллельны , то равенство АВ CD доказывается проще .
4 Укажите несколько осей симметрии	окружности	.
Случай соответствует окружностям , меньшая из которых лежит внутри большей	окружности	.
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE , описанный около	окружности	радиуса R. Соединим центр окружности с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей	окружности	проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Но из точки К к меньшей	окружности	тоже проведены отрезки касательных КВ и KD , а поэтому .
Возьмём две непересекающиеся и расположенные вне друг друга	окружности	.
8 Касательные , проведённые из точки А к	окружности	радиуса R , образуют угол в 60 ° .
Отрезки FB и FM являются касательными к правой	окружности	, проведёнными из точки F , а поэтому .
в ) найдите кратчайшее из расстояний от точки А до точек	окружности	.
Как построить центр вневписанной	окружности	? .
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE , описанный около окружности радиуса R. Соединим центр	окружности	с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
б ) найдите кратчайшее из расстояний от точки А до точек	окружности	.
Отрезки касательных , проведённых к	окружности	из одной точки , равны .
18 Прямая АВ касается	окружности	и CD АВ .
Рассмотрим описанный около	окружности	четырёхугольник ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках касательных получим равенства .
1.7 Свойство четырёхугольника , описанного около	окружности	.
9 Как устанавливается соответствие между дугами	окружности	и плоскими углами с вершиной в центре окружности ? .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и	окружности	касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
11 Что можно сказать о параллелограмме , описанном вокруг	окружности	? .
Изображена окружность с центром О и прямая а , касающаяся	окружности	в точке В .
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и плоскими углами с вершиной в центре	окружности	? .
Найдите на	окружности	точку А и на прямой точку В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
23 Две	окружности	касаются друг друга внешним образом .
12 Две	окружности	касаются друг друга и касаются двух параллельных прямых так .
По формуле S b рr , где r — радиус вписанной	окружности	.
10 Где расположен центр вневписанной	окружности	? .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной	окружности	, касающейся сторон этого угла .
3 Что можно сказать об отрезках касательных , проведённых из одной точки к одной и той же	окружности	? .
Действительно , отрезки FA и FM являются касательными к левой	окружности	, проведёнными из точки F , а поэтому .
24 В плоскости заданы две равные	окружности	.
9 Постройте треугольник по двум углам и радиусу вписанной	окружности	.
Выберем на прямой а точку А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к	окружности	с центром О .
найдите расстояние от точки А до центра	окружности	.
5 Укажите ось симметрии	окружности	и двух касательных , проведённых к окружности из одной точки .
1.4 Длина отрезков касательных для	окружности	, вписанной в треугольник .
Найдём радиус r	окружности	, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
7 Две	окружности	с центрами Ох и О2 пересекаются в двух различных точках А и В. Докажите , что треугольники О1АО2 и ОХВО2 равны .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из	окружности	с хордой , не являющейся диаметром .
Свойство вневписанной	окружности	.
2.4 На плоскости заданы точки А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С центрами А и В и радиусами R и r проводятся	окружности	и строится отрезок CD их общей внешней касательной .
Чему равна длина отрезка СК касательной к	окружности	? .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей	окружности	проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
3 Проведите касательную к данной окружности , проходящую через данную точку вне	окружности	.
Таким образом , площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной	окружности	на полупериметр .
1 Проведите касательную , проходящую через данную точку	окружности	.
3 Проведите касательную к данной	окружности	, проходящую через данную точку вне окружности .
По свойству касательной к	окружности	имеем О1К KL и О2L KL , поэтому .
Если окружность разделить на 2 равные части , то получатся две дуги	окружности	, соответствующие развёрнутому углу .
Если будем двигаться по	окружности	по часовой стрелке от точки А к точке В , то получим один угол Если двигаться от точки А к точке В против часовой стрелки , то получим другой угол .
2.5 Пересечение прямой и	окружности	.
Как вы знаете , уравнение в координатной плоскости является уравнением	окружности	с центром F(1;-1 ) и радиусом .
Рассмотрим произвольную окружность радиуса г с центром О. Тогда любые два радиуса ОА и ОВ определяют некоторое разбиение	окружности	на две части .
2 Проведите касательную к данной	окружности	параллельно данной прямой .
2.4 Две	окружности	разных радиусов касаются двух пересекающихся прямых .
Постройте окружность , касающуюся заданной	окружности	и сторон заданного угла .
2.3 Две	окружности	касаются сторон угла .
4 Проведите к данной	окружности	касательную под данным углом к данной прямой .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра	окружности	до вершины угла , если АР 5 см ? .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому	окружности	пересекутся в двух точках R и R1 .
8 Периметр описанного около	окружности	многоугольника 60 см , а площадь многоугольника 240 см2 .
r — радиус	окружности	, вписанной в треугольник .
7 Касательные , проведённые из точки А к	окружности	радиуса r , перпендикулярны .
10 Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так , чтобы обе	окружности	высекали на этой прямой равные хорды .
Найдите радиус	окружности	.
11 Даны две	окружности	с общим центром .
Для описанного около	окружности	многоугольника можно получить удобную для практического применения формулу площади .
Соседние стороны ОК и ON прямоугольника равны как радиусы в одной и той же	окружности	, поэтому CNOK — квадрат .
1.2 Чему равна площадь ромба со стороной 9 см , описанного вокруг	окружности	с радиусом 1 см ? .
9 Около	окружности	радиуса 25 мм описан многоугольник площади 20 см2 .
Проведём радиусы ОМ , ОК и ON в точки касания	окружности	со сторонами треугольника .
5 Укажите ось симметрии окружности и двух касательных , проведённых к	окружности	из одной точки .
Докажите , что прямая , соединяющая точки касания , перпендикулярна прямой , соединяющей точку А и центр	окружности	.
Пусть А , В , С — вершины заданного треугольника , О — центр	окружности	.
Найдём радиус	окружности	, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
2.2 В каких случаях невозможно построить описанный вокруг	окружности	четырёхугольник с заданными длинами сторон a , b , с , d ? .
5 Из точки А проведены две касательные к	окружности	.
Две	окружности	называют касающимися внешним образом , если они касаются некоторой прямой в одной и той же точке и расположены по разные стороны от этой прямой .
7 Две	окружности	с радиусами R1 и R2 касаются друг друга внешним образом .
Если окружность разделить на 4 равные части , то получатся четыре дуги	окружности	, каждая из которых соответствует прямому углу .
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания вписанной	окружности	разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами .
1.3 Чему равен радиус r	окружности	, вписанной в ромб со стороной 5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? .
2 Какие свойства касательной к	окружности	вы знаете ? .
Как построить окружность , центрально симметричную данной	окружности	относительно заданной точки F ? .
В 6 классе была определена касательная к	окружности	как прямая , которая имеет с окружностью единственную общую точку .
17 На данной прямой найдите такую точку , чтобы касательные , проведённые из неё к данной	окружности	, были данной длины .
2.9 Дуги	окружности	и плоские углы .
Выделим одно из полезных свойств вневписанной	окружности	, пользуясь обозначениями .
2.11 Свойство вневписанной	окружности	.
А именно : прямая , проходящая через конец радиуса	окружности	перпендикулярно радиусу , является касательной .
Какую часть окружности образуют дуги , принадлежащие двум смежным углам с вершиной в центре	окружности	? .
Окружность касается оснований трапеции , поэтому высота равна диаметру	окружности	, то есть равна 4 см .
15 Постройте касательную к заданной	окружности	, проходящую через заданную точку .
Применение площади к вычислению радиуса вписанной	окружности	.
Касательная к	окружности	перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей	окружности	соответствует 360 ° .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна радиусу ОА первой	окружности	и радиусу О2В второй окружности , то есть касается этих окружностей .
1.8 Равнобедренная трапеция , описанная около	окружности	.
Отметим точку G пересечения	окружности	с прямой n .
Найдите расстояние от вершины угла до центра	окружности	, если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см .
Как доказать , что через любую точку	окружности	можно провести единственную касательную к этой окружности ? .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к	окружности	из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
2.3 На плоскости построили три	окружности	с общим центром О и радиусами 3 см , 5 см и 8 см. Через точку О провели прямую .
Какую часть	окружности	образуют дуги , принадлежащие двум смежным углам с вершиной в центре окружности ? .
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и вписанная	окружности	.
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой	окружности	.
Чему равно значение периметра квадрата , выраженное через радиус вписанной	окружности	? .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна радиусу ОА первой окружности и радиусу О2В второй	окружности	, то есть касается этих окружностей .
1 ) Если плоские углы равны , то равны и дуги	окружности	, принадлежащие соответствующим плоским углам .
Наконец , когда	окружности	не пересекаются и одна расположена внутри другой , никаких общих касательных не существует .
Площадь описанного многоугольника равна половине произведения радиуса	окружности	на периметр многоугольника .
Для любых углов с общей вершиной О и для дуг этой	окружности	выполняются свойства .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский угол АОВ с вершиной О. Этот угол содержит дугу данной	окружности	.
Найдите множество всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к	окружности	S отрезки касательных равны АВ .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к	окружности	, узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
Если окружность имеет радиус r , то длина	окружности	имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина	окружности	больше длины удвоенного радиуса .
Чему равен радиус	окружности	, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
19 Найдите радиус	окружности	, вписанной в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см .
3 Две	окружности	с радиусами 2 см и R2 1 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а .
15 Через точку М , данную вне	окружности	О , проведите прямую так , чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В и отрезок АВ имел заданную длину .
Продолжим касательные до пересечения в точке К. Тогда из точки К к большей	окружности	проведены отрезки касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения	окружности	с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра	окружности	радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см , описанную около	окружности	радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
1 Что такое касательная к	окружности	? .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в точке А	окружности	с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
2.10 Дуги	окружности	и углы между её радиусами .
13 Две	окружности	касаются внешним образом друг друга в точке А и касаются некоторой прямой в точках В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
4 Две	окружности	с радиусами Вт 2 см и R2 4 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а .
3 По какой формуле можно вычислять площадь описанного около	окружности	многоугольника ? .
Чему равны расстояния от центра О	окружности	до вершин трапеции ABCD ? .
Действительно , центр любой	окружности	, касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
1.2 Построение	окружности	, касающейся прямой .
Суммы длин противоположных сторон описанного около	окружности	четырёхугольника равны между собой .
На сколько равных частей нужно разделить окружность , чтобы получить дугу	окружности	", соответствующую углу в 1 "" ? ."
Когда	окружности	пересекаются в двух различных точках , то их две внешние общие касательные , а внутренних касательных не существует .
Как доказать , что через любую точку окружности можно провести единственную касательную к этой	окружности	? .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины	окружности	к её диаметру .
4 Как вычислить радиус вписанной в треугольник	окружности	, зная периметр и площадь треугольника ? .
2.3 Две неравные	окружности	с центрами Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
Прямая m проходит через центр О1,а поэтому пересекает первую	окружность	в двух точках .
2.4 В	окружность	с центром О вписан некоторый правильный многоугольник , одной из сторон которого является отрезок АВ .
18 В треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см вписана	окружность	.
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является	окружность	радиуса 5 с центром в начале координат .
21 В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями АВ и CD можно вписать	окружность	.
Рассмотрим	окружность	с центром О и некоторый плоский угол АОВ с вершиной О. Этот угол содержит дугу данной окружности .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС	окружность	касается стороны АС в точке М ? .
Если	окружность	разделить на 4 равные части , то получатся четыре дуги окружности , каждая из которых соответствует прямому углу .
Большая	окружность	касается одной стороны и продолжений двух других сторон треугольника АВС .
Если окажется , что , то можно считать	окружность	с радиусом R2 первой , окружность с радиусом R1 — второй и провести аналогичное построение .
Эта	окружность	пересекает луч PS в двух точках — R1 и R2 .
Меньшая	окружность	является вписанной в треугольник АВС .
14 Постройте	окружность	, проходящую через заданную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых .
14 Вписанная	окружность	касается стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
Если	окружность	имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
Если	окружность	разделить на 2 равные части , то получатся две дуги окружности , соответствующие развёрнутому углу .
13 Постройте	окружность	, которая касается одной стороны данного угла и другой его стороны в данной на ней точке .
14 Вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная	окружность	касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную трапецию с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно вписать	окружность	? .
Изображена	окружность	с центром О и прямая а , касающаяся окружности в точке В .
Всякая вневписанная	окружность	является вписанной в два внешних угла и в один внутренний угол треугольника АВС .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и	окружность	с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
7 В каком случае в четырёхугольник нельзя вписать	окружность	? .
12 Постройте	окружность	, которая касается сторон данного угла .
1.4 На плоскости заданы	окружность	с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
22 В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями АВ b 6 см и CD b 3 см можно вписать	окружность	.
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны , то в него можно вписать	окружность	.
2.10 Вневписанная	окружность	.
16 Постройте	окружность	заданного радиуса , касающуюся данной прямой и проходящую через данную точку .
Как построить	окружность	, центрально симметричную данной окружности относительно заданной точки F ? .
Если окажется , что , то можно считать окружность с радиусом R2 первой ,	окружность	с радиусом R1 — второй и провести аналогичное построение .
Пусть задана	окружность	с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту	окружность	разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
19 Даны угол и	окружность	, которая касается сторон угла .
Рассмотрим произвольную	окружность	радиуса г с центром О. Тогда любые два радиуса ОА и ОВ определяют некоторое разбиение окружности на две части .
Разберём , как построить	окружность	заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
4 Изобразите на координатной плоскости	окружность	, заданную уравнением .
Затем проведём	окружность	радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
Такую	окружность	называют вневписанной для треугольника .
15 Через точку М , данную вне окружности О , проведите прямую так , чтобы она пересекла	окружность	в двух точках А и В и отрезок АВ имел заданную длину .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и	окружность	с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
10 Приведите пример трапеции , в которую нельзя вписать	окружность	.
В какой прямоугольник можно вписать	окружность	? .
1.2 В	окружность	с центром О вписан правильный n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
Если	окружность	разделить на 360 равных частей , то получатся 360 дуг окружности , каждая из которых соответствует одному угловому градусу .
21 Даны	окружность	S и отрезок АВ .
На сколько равных частей нужно разделить	окружность	", чтобы получить дугу окружности , соответствующую углу в 1 "" ? ."
С центром в точке F и радиусом О1О2 проведём	окружность	.
Проведём	окружность	с центром в точке Q радиуса А2В2 .
1.4 Чему равны боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать	окружность	? .
Пусть вписанная в него	окружность	касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
6 Постройте	окружность	заданного радиуса , которая касается данной прямой в данной точке .
9 Что такое вневписанная	окружность	? .
1.2 На плоскости заданы	окружность	с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также	окружность	радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
Постройте	окружность	, касающуюся заданной окружности и сторон заданного угла .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём	окружность	радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную	окружность	с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Аналогично прямая n пересекает вторую	окружность	в двух точках .
9 Даны прямая а ,	окружность	S и точка F , не лежащая на них .
12 Как связан полупериметр р треугольника с вневписанной	окружностью	? .
В 6 классе была определена касательная к окружности как прямая , которая имеет с	окружностью	единственную общую точку .
3 Сколько различных общих внешних касательных можно провести к двум	окружностям	? .
1 Что такое общая внешняя касательная к двум	окружностям	? .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к	окружностям	.
2.4 Общая касательная к двум	окружностям	с различными радиусами .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К	окружностям	проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
2 Что такое общая внутренняя касательная к двум	окружностям	? .
Рассмотрим построение общей внешней касательной к двум непересекающимся	окружностям	различных радиусов R1 и R2 .
Случай соответствует	окружностям	, касающимся друг друга внутренним образом .
2 Касательные к	окружностям	. 2.1 Общая касательная двух окружностей .
Рассмотрев две полуплоскости с границей О1О2 , получим две общих внешних касательных к данным	окружностям	.
2.1 К двум	окружностям	проведены две касательные .
Отрезки внешних общих касательных , проведённых к двум	окружностям	, равны .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к	окружностям	О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
4 Сколько различных общих внутренних касательных можно провести к двум	окружностям	? .
В каких случаях можно построить общие внутренние касательные к двум данным	окружностям	? .
Случай соответствует	окружностям	, меньшая из которых лежит внутри большей окружности .
Рассмотрим две внешние касательные АВ и CD к двум неравным	окружностям	.
Иногда для удобства отрезок общей касательной к двум	окружностям	с концами в точках касания тоже называется общей касательной .
5 К	окружностям	с центрами О1О2 и О2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внешняя касательная .
Общая касательная к двум равным	окружностям	.
2.5 Обоснование построения общей касательной к двум	окружностям	.
Проведём к двум касающимся	окружностям	внешнюю и внутреннюю касательные .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к	окружностям	.
17 Постройте две общие внутренние касательные к двум заданным	окружностям	.
2.8 Внешняя и внутренняя касательные к касающимся	окружностям	.
16 К двум	окружностям	различного радиуса проведены две общие внешние касательные .
7 Как построить общую внешнюю касательную к двум	окружностям	? .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум	окружностям	.
Как построить общую внутреннюю касательную к двум данным	окружностям	? .
Отрезки внутренних общих касательных , проведённых к двум непересекающимся	окружностям	, равны .
8 Как построить общую внутреннюю касательную к двум непересекающимся	окружностям	? .
Рассмотрим построение общей внешней касательной к двум равным	окружностям	.
6 Каким свойством обладают отрезки общих внутренних касательных , проведённых к двум	окружностям	? .
Сколько общих касательных можно провести к двум	окружностям	с радиусами 5 см и 3 см , расстояние между центрами которых равно 8 см ? .
Найдите множество всех точек М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС касательных к	окружностям	равны между собой .
5 Докажите , что отрезки общих внешних касательных , проведённых к двум	окружностям	, равны .
Как доказать равенство отрезков внешних касательных к двум равным	окружностям	? .
Проведём к двум непересекающимся	окружностям	две внешние и одну внутреннюю касательные .
Рассмотрим две внутренние касательные MN и KL , проведённые к двум непересекающимся	окружностям	.
6 К	окружностям	с центрами О1 иО2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внутренняя касательная .
2 Покажите , как выполняя последовательно арифметические	операции	, из букв и чисел получить выражения .
Для сокращения записи суммы нескольких одинаковых чисел используют	операцию	умножения .
Деление — трудоёмкая	операция	.
9 Около окружности радиуса 25 мм	описан	многоугольник площади 20 см2 .
1.8 Равнобедренная трапеция ,	описанная	около окружности .
13 Для правильного шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся	описанная	и вписанная окружности .
1.7 Свойство четырёхугольника ,	описанного	около окружности .
Площадь треугольника	описанного	.
1.2 Чему равна площадь ромба со стороной 9 см ,	описанного	вокруг окружности с радиусом 1 см ? .
26 Стороны	описанного	четырёхугольника ABCD в вершинах соединены шарнирами .
Площадь многоугольника	описанного	.
Аналогичное рассуждение можно провести для любого	описанного	многоугольника и получить следующее правило .
Суммы длин противоположных сторон	описанного	около окружности четырёхугольника равны между собой .
3 По какой формуле можно вычислять площадь	описанного	около окружности многоугольника ? .
Свойство	описанного	четырёхугольника .
Для	описанного	около окружности многоугольника можно получить удобную для практического применения формулу площади .
По свойству	описанного	четырёхугольника получим и поэтому периметр будет равен Отсюда .
6 Каким свойством обладают суммы длин противоположных сторон	описанного	четырёхугольника ? .
Площадь	описанного	многоугольника .
Площадь	описанного	многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на периметр многоугольника .
8 Периметр	описанного	около окружности многоугольника 60 см , а площадь многоугольника 240 см2 .
11 Что можно сказать о параллелограмме ,	описанном	вокруг окружности ? .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см ,	описанную	около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
Рассмотрим	описанный	около окружности четырёхугольник ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках касательных получим равенства .
Четырёхугольник	описанный	.
2.2 В каких случаях невозможно построить	описанный	вокруг окружности четырёхугольник с заданными длинами сторон a , b , с , d ? .
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE ,	описанный	около окружности радиуса R. Соединим центр окружности с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
Докажите , что при любой его деформации в выпуклый четырёхугольник снова получится	описанный	четырёхугольник .
Выражение а1b2 - b1а2 иногда называют	определителем	системы двух линейных уравнений .
Заметим , что если	определитель	системы не равен нулю , то из полученных выше равенств находим единственное значение х и единственное значение у .
Абсцисса точки D равна f , поэтому	ордината	точки D равна kf .
Все точки ,	ордината	которых равна 2 , расположены на прямой , перпендикулярной оси Оу и проходящей через точку ( 0 ; 2 ) .
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области значений аргумента ,	ордината	равна соответствующему значению зависимой переменной .
2.4 Для каких из указанных точек плоскости	ордината	больше удвоенной абсциссы ? .
Для точки К приближённое значение абсциссы равно 0,7 , а приближённое значение	ординаты	равно 1,3 .
7 В равнобедренной трапеции большее	основание	равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
2.1 В трапеции ABCD большее	основание	AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
Через	основание	этой биссектрисы проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны	основание	ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее	основание	трапеции .
При умножении двух степеней с одинаковыми основаниями	основание	не меняется , а показатели степеней складываются .
В этом случае число 10 —	основание	степени , а число 6 — показатель степени .
В таком случае иногда говорят , что горизонтально расположенная сторона — это	основание	треугольника .
2.4 Точка К на стороне АВ делит	основание	треугольника АВС в отношении .
Принимаем в треугольнике АВС за	основание	сторону .
Эта прямая пересечёт	основание	AD в точке К , отличной от точек А и D. При этом образуются треугольник АВК и параллелограмм BCDK .
В этом случае число 2 —	основание	степени , число 10 — показатель степени .
Если возьмём	основание	, равное десятичной дроби 0,2 .
Важно понять , что слова «	основание	треугольника » используются только для удобства зрительного восприятия .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее	основание	трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Поэтому в треугольнике РВС	основание	РВ равно сумме оснований трапеции ABCD , а отрезок MN является средней линией этого треугольника .
4 Что такое	основание	степени ? .
При этом число 3 называют	основанием	степени , а число 5 называют показателем степени .
6 На высоте ВН равнобедренного треугольника с	основанием	АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что .
Чему равен радиус окружности , вписанной в равнобедренный треугольник с	основанием	10 см и боковой стороной 13 см ? .
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют	основанием	, а отрезок ВН — высотой параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию .
6 Изображён равнобедренный треугольник АВС с	основанием	АС , a BL — биссектриса внешнего угла .
2.3 Шестиугольник ABCDEF составлен из двух равных трапеций с общим	основанием	AD .
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим	основанием	ВС. Проведём через вершину В прямую , параллельную стороне CD .
3 В равнобедренном треугольнике АВС с	основанием	АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
В этой записи число 2 является	основанием	степени , а число 4 — показателем степени .
В этом случае	основанием	степени является число -3 .
1 Что считают	основанием	параллелограмма и высотой , проведённой к этому основанию ? .
В каком случае высота треугольника , проведённая из вершины , противоположной основанию , не пересекается с	основанием	? .
Например , можно сказать , что изображён треугольник АВС с	основанием	АС .
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух равнобедренных треугольников с общим	основанием	6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
2.1 Как умножаются степени с одинаковым	основанием	?
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять	основанием	степени , и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой степени числа -10 .
6 Нарисуйте треугольник с	основанием	а и высотой h , проведённой к основанию , и найдите площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать	основанием	этого треугольника .
Любой треугольник можно переместить так , чтобы нужная его сторона на рисунке выглядела	основанием	.
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с	основанием	4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к основанию треугольника ? .
2 Найдите угол при	основании	равнобедренного треугольника , если угол при его вершине равен .
19 В равнобедренной трапеции основания 42 см и 54 см , угол при	основании	45 ° .
10 В равнобедренном треугольнике АВС углы при	основании	равны 50 ° .
Как доказать , что если углы при	основании	трапеции равны , то трапеция равнобедренная ? .
по углу при вершине и боковой стороне . б ) по углу при	основании	и боковой стороне .
8 Постройте трапецию по основанию , одному из углов при	основании	и боковым сторонам .
2 На сторонах равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные равнобедренные треугольники с углом а при	основании	.
Докажите , что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при	основании	треугольника равны .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при	основании	равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
Выбирая эти числа показателями при	основании	2 , получим последовательность степеней числа 2 .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при	основании	AD .
1 Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника , если угол при	основании	равен .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины	оснований	трапеции .
При каких из указанных значений	оснований	этот четырёхугольник не может быть выпуклым ? .
2.2 При каких из указанных значений а и m существует трапеция с одним из	оснований	, равным а , и средней линией , равной m ? .
2 Докажите , что равнобедренная трапеция симметрична относительно прямой , проходящей через середины	оснований	.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме	оснований	.
Чему равна длина меньшего из	оснований	этой трапеции ? .
1.3 В трапеции длина средней линии равна 4,8 см , а отношение	оснований	равно 3 : 5 .
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме	оснований	трапеции ABCD , а отрезок MN является средней линией этого треугольника .
13 Средняя линия трапеции равна 7 см , а одно из её	оснований	на 4 см больше другого .
Площадь трапеции равна половине произведения суммы	оснований	трапеции на её высоту .
Окружность касается	оснований	трапеции , поэтому высота равна диаметру окружности , то есть равна 4 см .
12 Постройте трапецию по разности	оснований	, боковым сторонам и одной диагонали .
Обозначим длины	оснований	трапеции и её высоту буквами а , b и h соответственно , как отмечено .
К	основанию	АС треугольника АВС проведём высоту .
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по	основанию	и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при вершине .
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по	основанию	и углу при вершине .
по	основанию	и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
по основанию и высоте , проведённой к	основанию	. г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
Тогда высотой , проведённой к	основанию	, будет ВК b 4 см. Следовательно , по формуле .
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания и высоты , проведённой к	основанию	.
11 Постройте трапецию по основанию , высоте , проведённой к	основанию	, и диагоналям .
В каком случае высота треугольника , проведённая из вершины , противоположной	основанию	, не пересекается с основанием ? .
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к	основанию	треугольника ? .
8 Постройте трапецию по	основанию	, одному из углов при основании и боковым сторонам .
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и высотой h , проведённой к	основанию	, и найдите площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к	основанию	. д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
11 Постройте трапецию по	основанию	, высоте , проведённой к основанию , и диагоналям .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная	основанию	, равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
Что такое логарифм числа аn по	основанию	а ? .
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по	основанию	а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа .
Как доказать , что значение площади параллелограмма не зависит от того , в каком месте проводить высоту к данному	основанию	? .
Чему равен логарифм по	основанию	10 от числа сто миллионов ? .
1 Что считают основанием параллелограмма и высотой , проведённой к этому	основанию	? .
2 Как к заданному	основанию	параллелограмма провести его высоту ? .
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту , проведённую к этому	основанию	.
Отрезок KL тоже можно считать высотой данного параллелограмма , проведённой к	основанию	AD .
Для основания 2 и числа 16 показатель степени 4 называют также логарифмом числа 16 по	основанию	2 и используют запись .
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют основанием , а отрезок ВН — высотой параллелограмма ABCD , проведённой к этому	основанию	.
Какие свойства логарифмов по	основанию	а для степеней числа а вы знаете ? .
Такое же соглашение принято и в других подобных случаях : если , где а 0 , а не равно 1 и b 0 , то число n называют логарифмом числа b по	основанию	а и обозначают logub .
16 Трапеции ABCD и FGHE имеют общую среднюю линию , а их	основания	лежат на двух параллельных прямых .
Площадь параллелограмма равна произведению	основания	на высоту , проведённую к этому основанию .
14 Отрезок MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см. Найдите	основания	трапеции , если .
Обозначим длину	основания	AD буквой а , а высоту ВН — буквой h.
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего	основания	через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Для	основания	2 и числа 16 показатель степени 4 называют также логарифмом числа 16 по основанию 2 и используют запись .
Найдите	основания	трапеции .
Докажите , что	основания	перпендикуляров являются вершинами прямоугольника .
Почему первое основное свойство степени с целым показателем записывают только для ненулевого	основания	степени ? .
Аналогичное равенство остаётся верным и в том случае , если вместо	основания	степени 2 взять любое ненулевое число а .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их	основания	совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
Для примера в качестве	основания	степени возьмём число 2 .
Обозначим длину	основания	АС буквой а , длину высоты буквой h. Возможны три случая чертежа .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите	основания	трапеции .
В каких из приведённых случаев выбора длины	основания	ВС отрезки ВК и CL не имеют общей точки ? .
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а	основания	АС и ОР равны .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и вершины	основания	являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его	основания	и высоты , проведённой к основанию .
18 В равнобедренной трапеции	основания	51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите площадь трапеции .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом	основания	R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру .
Для вычисления объёма цилиндра по радиусу	основания	и высоте .
Итак , в соответствии с приведёнными выше примерами попытаемся определить а0 для любого	основания	а таким образом , чтобы равенство выполнялось при всех натуральных n.
Трапеция ,	основания	.
Пусть Q и Q ' —	основания	перпендикуляров , проведённых соответственно из точек Р и Р ' к оси Ох .
19 В равнобедренной трапеции	основания	42 см и 54 см , угол при основании 45 ° .
Пусть S и S ' —	основания	перпендикуляров , проведённых соответственно из точек R и R ' к оси Ох .
Найдите площади этих треугольников , если	основания	трапеции 35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 .
Пусть AD , ВС —	основания	трапеции .
8 Докажите , что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки	основания	до боковых сторон не зависит от выбора точки .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены отрезки , параллельные	основаниям	трапеции .
10 Постройте трапецию по	основаниям	и диагоналям .
14 Отрезок MN параллелен	основаниям	трапеции , его длина равна 11 см. Найдите основания трапеции , если .
9 Постройте трапецию по	основаниям	и боковым сторонам .
25 Прямые , параллельные	основаниям	трапеции , делят боковую сторону на три равные части .
Средняя линия трапеции параллельна	основаниям	и равна полусумме оснований .
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную трапецию с	основаниями	а , b и боковой стороной m невозможно вписать окружность ? .
1.1 Чему равна площадь трапеции с	основаниями	5 см и 7 см и высотой 2 см ? .
Рассмотрим трапецию ABCD с	основаниями	АВ и CD и средней линией MN .
4.1 Произведение степеней с одинаковыми	основаниями	и целыми показателями .
2.1 В каких из указанных случаев трапеция с	основаниями	а , b и высотой h имеет площадь больше 20 см2 ? .
1.4 Чему равны боковые стороны равнобедренной трапеции с	основаниями	7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать окружность ? .
2.4 В трапеции ABCD с	основаниями	на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
22 В прямоугольную трапецию ABCD с	основаниями	АВ b 6 см и CD b 3 см можно вписать окружность .
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными	основаниями	трапеции , и является одной из высот трапеции .
При умножении двух степеней с одинаковыми	основаниями	основание не меняется , а показатели степеней складываются .
Найдите площадь трапеции ,	основаниями	которой являются эти хорды .
21 В равнобедренную трапецию ABCD с	основаниями	АВ и CD можно вписать окружность .
24 Диагонали трапеции с	основаниями	AD и ВС пересекаются в точке Р. Докажите , что площади треугольников АВР и CDP равны .
7 Чему равно отношение площадей двух треугольников с равными	основаниями	? .
1.2 В трапеции ABCD с	основаниями	провели отрезок ВМ параллельно стороне CD .
Стороны AD и ВС являются	основаниями	трапеции ABCD .
1.1 В трапеции ABCD с	основаниями	провели отрезки ВК и CL так , что .
в ) треугольники с	основаниями	АВ и CD строятся вне ромба , а треугольники с основаниями ВС и AD — внутри ромба .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с	основаниями	, совпадающими со сторонами ромба .
Параллельные стороны трапеции называют	основаниями	трапеции .
Если	основаниями	треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к ним высоты совпадают .
2 Какие стороны трапеции называют её	основаниями	? .
в ) треугольники с основаниями АВ и CD строятся вне ромба , а треугольники с	основаниями	ВС и AD — внутри ромба .
При каком угле α при	основаниях	боковые стороны равнобедренных треугольников образуют шестиугольник ? .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на	основаниях	выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
1.3 На какую наибольшую степень числа 3 делится без	остатка	произведение .
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что целое число 3у делится без	остатка	на число 7 .
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число делится на 3 без	остатка	.
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное число делится на 45 без	остатка	, что и требовалось показать .
Но при делении на 7 могут получаться только следующие	остатки	: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Как доказать , что числа , где а и b — целые числа , дают одинаковые	остатки	при делении на 7 ? .
Следовательно , предположение о том , что некоторые два из чисел вида при дают одинаковые	остатки	при делении на 7 , было неверным .
Предположим , что некоторые два из этих чисел дают одинаковые	остатки	при делении на 7 , то есть .
Таким образом , числа при делении на 7 дают семь различных	остатков	.
Значит , одно из записанных чисел при делении на 7 даёт	остаток	0 , то есть делится на 7 .
3 Через вершину	острого	угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного	острого	угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
3 Через вершину	острого угла	проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного	острого угла	произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
4 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему	острому	углу .
1.5 Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и	острому	углу .
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и	острому	углу .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему	острому	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и	острому	углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) признак равенства по катету и	острому	углу .
Построим угол , равный заданному	острому	углу PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
Заметим , что и прямоугольные треугольники ORS и OR 'S ' равны по катету и	острому	углу .
10 Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему	острому	углу .
1.5 Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и	острому углу	.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и	острому углу	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
10 Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему	острому углу	.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему	острому углу	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) признак равенства по катету и	острому углу	.
4 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему	острому углу	.
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и	острому углу	.
Построим угол , равный заданному	острому углу	PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
Заметим , что и прямоугольные треугольники ORS и OR 'S ' равны по катету и	острому углу	.
2.4 Какие из пар углов являются углами некоторого	остроугольного треугольника	? .
Тогда для прямых АВ и CD	острые	внутренние накрест лежащие углы ZBPQ и ZCQP равны .
Пусть в треугольниках углы — прямые и соответственно равны гипотенузы равные	острые	углы .
Прямоугольные треугольники KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные	острые	углы .
3 Равнобедренные трапеции имеют	острые	углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Пусть в треугольниках углы — прямые и соответственно равны гипотенузы равные	острые углы	.
Прямоугольные треугольники KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные	острые углы	.
3 Равнобедренные трапеции имеют	острые углы	по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Чему равен ZCBK , если он	острый	? .
Если катет и прилежащий к нему	острый	угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и	острый	угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и	острый угол	одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если катет и прилежащий к нему	острый угол	одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с	острым	углом в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
4 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и	острым	углом в 60 ° .
3 На сторонах ромба ABCD с	острым	углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
4 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и	острым углом	в 60 ° .
3 На сторонах ромба ABCD с	острым углом	в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с	острым углом	в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
Возьмём две прямые АВ и CD и их секущую MN , для которых внутренние накрест лежащие углы BPQ и CQP равны и являются	острыми	.
По свойству	острых	углов прямоугольного треугольника имеем равенство .
2.1 Сколько	острых	внутренних углов может иметь выпуклый пятиугольник ? .
По свойству	острых углов	прямоугольного треугольника имеем равенство .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла	откладываются	отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
В результате получаем 11 равных отрезков ,	отложенных	на одной стороне угла .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно	отложенных	и равных между собой отрезков .
Но тогда из условия получаем , что от луча СА в одной полуплоскости	отложены	два равных угла ВСА и В2СА .
Пусть , например , на одной стороне угла	отложены	отрезки АВ и ВС , для которых .
1.4 На одной стороне угла	отложены	четыре отрезка , отношение которых , и через их концы проведены параллельные секущие .
На произвольной прямой	отложим	отрезок PQ , равный отрезку А1В1 .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На прямой а	отложим	отрезок AD , равный АС .
На произвольной прямой	отложим	отрезок PQ , равный отрезку АВ .
На прямой , проходящей через точки А и С , от точки О	отложим	отрезок ОР , равный диагонали АС .
На луче AM	отложим	отрезок АВ2 , равный отрезку AxBr .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ	отложим	отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
На произвольной прямой	отложим	отрезок PQ , равный отрезку АХВХ .
На одной стороне угла	отложим	равные между собой отрезки АВ , ВС . CD , DE .
3 Как от заданного луча	отложить	угол , равный заданному углу ? .
Почему от любого луча можно	отложить	только два различных угла величины 90 ° ? .
Если на одной стороне угла последовательно	отложить	два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну сторону от луча HF можно	отложить	только один угол величиной 90 ° .
Если на одной стороне угла последовательно	отложить	несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
Имеет место следующее свойство : от любого луча , лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно	отложить	плоский угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно	отложить	только по одному отрезку длины R .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С ,	отложить	от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
Чему равно	отношение	.
8 Когда	отношение	двух ненулевых чисел положительно ? .
17 Известно , что . Найдите	отношение	АМ : МВ .
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что . Найдите	отношение	.
Отрезки DH и FG пересекаются в точке К. Найдите	отношение	.
1.1 Одна сторона треугольника равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно	отношение	высот , проведённых к этим сторонам ? .
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите	отношение	.
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки ,	отношение	длин которых равно отношению натуральных чисел .
Известно , что жирность продукта в процентах — это	отношение	массы жиров к общей массе этого продукта , умноженное на 100 .
Отрезки ВМ и СК пересекаются в точке Р. Найдите	отношение	.
Отрезки KN и LM пересекаются в точке Р. Найдите	отношение	.
Теперь	отношение	1 : 1,03 можно легко найти по формуле .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у	отношение	равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
9 Когда	отношение	двух ненулевых чисел отрицательно ? .
Вычислим	отношение	.
Рассмотрим	отношение	степеней двух чисел с равными показателями , например .
Если для любого времени t составим	отношение	, то такое отношение всегда равно 5 .
1.4 На одной стороне угла отложены четыре отрезка ,	отношение	которых , и через их концы проведены параллельные секущие .
Чему равно	отношение	соответствующих отрезков , получившихся на другой стороне угла ? .
Если для любого времени t составим отношение , то такое	отношение	всегда равно 5 .
Чему в рассмотренном примере равно	отношение	высот треугольников АВС и ADC , проведённых к общей стороне АС ? .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите	отношение	площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
5 Точка С расположена на отрезке АВ так , что . Найдите	отношение	.
В некоторых задачах важно обращать внимание на	отношение	площадей .
6 Точки С и D расположены на отрезке АВ так , что . Найдите	отношение	.
Чему равно	отношение	длин отрезков ? .
6 Чему равно	отношение	площадей двух треугольников с равными высотами ? .
Найдите	отношение	.
Чему равно	отношение	? .
1.3 В трапеции длина средней линии равна 4,8 см , а	отношение	оснований равно 3 : 5 .
7 Чему равно	отношение	площадей двух треугольников с равными основаниями ? .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть	отношением	площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком	отношении	делит площадь трапеции её средняя линия .
В каком	отношении	делит площадь трапеции её средняя линия ? .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в	отношении	2:1 , считая от вершины треугольника .
В каком	отношении	эта прямая делит стороны СА и СВ ? .
В каком	отношении	будет разбита проведёнными отрезками сторона АВ исходного треугольника , считая от вершины В ? .
2.4 Точка К на стороне АВ делит основание треугольника АВС в	отношении	.
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных	отношений	не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
Степень отношения двух чисел равна	отношению	степени числителя к степени знаменателя .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно	отношению	натуральных чисел .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное	отношению	длины окружности к её диаметру .
Заменим левый конец промежутка на его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , а правый конец промежутка — на его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого	отношения	.
Выбирая в качестве приближения для	отношения	середину последнего промежутка , получим 0,875 с абсолютной погрешностью , не превосходящей половины длины промежутка [ 0,86 ; 0,89 ] .
Целая степень	отношения	двух чисел .
Свойства	отношения	степеней .
5.3 Приближённое вычисление	отношения	.
Степень	отношения	двух чисел равна отношению степени числителя к степени знаменателя .
1.2 Какое приближённое значение	отношения	получится , если применить приближённую формулу ? .
В общем случае выполняется следующее свойство	отношения	степеней с равными показателями .
2.6 Степень	отношения	двух чисел .
Как определить знак	отношения	двух ненулевых чисел ? .
Отсюда следует , что значение	отношения	находится в промежутке .
2.1 Используя приближённую формулу , определите , какие	отношения	вычисляются с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие целые числа очень часто позволяет находить	отношения	произвольных величин с достаточной степенью точности .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких	отношениях	площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких	отношениях	СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
Допустим , что поставили точку Р в середине	отрезка	AM и точку Q в середине отрезка BN .
Если приближение b совпадает с серединой отрезка , то каждый из отрезков равен половине	отрезка	.
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных	отрезка	и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
При каких из указанных способов выбора точки М длина отрезка ML будет больше половины длины	отрезка	ВС ? .
При каких из указанных способов выбора точки М длина	отрезка	ML будет больше половины длины отрезка ВС ? .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину	отрезка	АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Обозначим длину каждого такого	отрезка	через m. Тогда , а поэтому .
В зависимости от того , где расположится точка пересечения	отрезка	ВВ2 с прямой АС относительно точек А и С , будем иметь один из рисунков .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой	отрезка	.
Изобразим график функции и выделим часть графика , изображённую в виде	отрезка	АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика .
7 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В. Найдите расстояние от середины	отрезка	АВ до этой прямой .
При каких значениях R и r длина	отрезка	CD равна 5 см ? .
7 В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и D. Найдите длину	отрезка	KL , если известно , что .
Отметим середину К	отрезка	PQ и проведём перпендикуляры КН и KG к прямым АВ и CD соответственно .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина	отрезка	АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Изобразим часть графика функции , выделенную в виде	отрезка	CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части графика .
Примером выпуклой фигуры является многоугольная область , потому что в этой области вместе с любыми точками М и N содержатся все точки	отрезка	MN .
Различные точки А и А1 называют симметричными относительно точки О , если точка О является серединой	отрезка	АА1 .
Однако в предыдущем пункте мы без обоснования рассмотрели точку N пересечения	отрезка	ВС с прямой m.
Чему равна длина	отрезка	СК касательной к окружности ? .
Если приближение b совпадает с серединой	отрезка	, то каждый из отрезков равен половине отрезка .
Значит , точка О является серединой	отрезка	MM1 а поэтому точка М1 симметрична точке М относительно точки О .
Поэтому точка М1 является серединой	отрезка	А1D1 .
Проведите прямую так , чтобы при её пересечении с окружностями образовалось три равных	отрезка	.
Если при этом окажется , что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой , а никакие два не соседних	отрезка	не имеют общих точек , то полученную фигуру будем называть пятиугольником .
Найдите на окружности точку А и на прямой точку В так , чтобы точка F была серединой	отрезка	АВ .
Проведите прямую l так , чтобы она пересекала стороны угла в точках А и В , а точка М являлась серединой	отрезка	АВ .
Как доказать , что если взять две точки М и N выпуклой многоугольной области , то все точки	отрезка	MN содержатся в этой области ? .
Рассмотрим два	отрезка	АВ и АС с общим концом А. Напомним , что углом между отрезками АВ и АС с общим концом А называется угол между лучами АВ и АС .
При каких способах выбора точки К длина	отрезка	МР будет меньше одной трети медианы AM ? .
Допустим , что поставили точку Р в середине отрезка AM и точку Q в середине	отрезка	BN .
При измерении	отрезка	получены приближения : 82 мм — с недостатком и 83 мм — с избытком .
Найдите длину	отрезка	общей внешней касательной , если .
Если при этом окажется , что никакие два соседних	отрезка	не лежат на одной прямой , а никакие два не соседних отрезка не имеют общих точек , то полученную фигуру будем называть пятиугольником .
Проведите через точку F прямую , пересекающую прямые аиb в точках А и В так , чтобы точка F была серединой	отрезка	АВ .
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с вершиной А и подсчитали число точек пересечения	отрезка	МА с границей стоугольника .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину	отрезка	касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
Геометрическая фигура называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все точки	отрезка	АВ принадлежат этой фигуре .
Четырёхугольная область не является выпуклой , потому что можно найти такие две точки этой области , например М и N , что не все точки	отрезка	MN содержатся в данной области .
Каковы приближённые значения длины	отрезка	, абсолютная погрешность которых не больше 0,7 мм ? .
У	отрезка	АБ точка В лежит в полуплоскости а , а точка А — на границе этой полуплоскости .
Следовательно , все остальные точки	отрезка	АВ лежат в полуплоскости ос .
Аналогично получается , что у	отрезка	CD точка D лежит в полуплоскости β , точка С — на границе этой полуплоскости , а все остальные точки — в полуплоскости β .
Чему в рассмотренном примере равна длина	отрезка	BN ? .
Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления длины	отрезка	АК касательной , если известны длины сторон треугольника .
Если приближение b отличается от , то оценка абсолютной погрешности больше числа потому что один из отрезков больше половины	отрезка	.
Найдите длину	отрезка	LJ , если известно , что .
Отсюда следует , что на оси Оу число и b/2 является координатой середины	отрезка	с концами в точках с координатами d и f .
С другой стороны , в 6 классе было показано , что на числовой оси середина	отрезка	с концами в точках с координатами d и f имеет координату ( d + f ) .
16 Постройте треугольник , если заданы три	отрезка	, равные его медианам .
Два	отрезка	называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых .
Периметр треугольника равен удвоенной длине	отрезка	касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
Пусть заданы два	отрезка	А1В1 , А2В2 и угол MNK , который должен лежать в треугольнике против стороны , равной отрезку А2В2 .
Точка С перейдёт в точку D и середина	отрезка	CD перейдёт в середину отрезка DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN .
Точка С перейдёт в точку D и середина отрезка CD перейдёт в середину	отрезка	DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN .
Точка D является серединой	отрезка	АВ и имеет координаты .
Чему равна длина	отрезка	MN , если ВС b 21 см ? .
Постройте на продолжении	отрезка	точку С такую , что .
1.4 На одной стороне угла отложены четыре	отрезка	, отношение которых , и через их концы проведены параллельные секущие .
Середина любого	отрезка	определяется единственным образом .
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину	отрезка	АВ и параллельная прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
14 Точки А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину	отрезка	АВ проводится прямая l , параллельная прямым а и b.
Построим треугольник по трём сторонам , равным	отрезкам	А1В1 , А2В2 , А3В3 .
Докажите , что отрезки АВ и СВ соответственно пропорциональны	отрезкам	МВ и NB .
Треугольник PQR — искомый , три его стороны равны соответственно заданным	отрезкам	.
Как доказать , что в условиях теоремы данного пункта отрезки пропорциональны соответственно	отрезкам	АВ , ВС , АС ? .
Иногда в таком случае говорят , что отрезки пропорциональны	отрезкам	АВ и ВС .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным	отрезкам	.
Соединяя последовательно	отрезками	точки А , В , С и D , получим четырёхугольник .
Угол между	отрезками	.
Чтобы получить пятиугольник , можно взять пять различных точек и последовательно соединить их пятью	отрезками	так , что последняя точка будет соединена с первой .
6 Какой угол называется углом между	отрезками	с общим концом ? .
В каком отношении будет разбита проведёнными	отрезками	сторона АВ исходного треугольника , считая от вершины В ? .
Затем последовательно соединим их	отрезками	так , чтобы несоседние отрезки не пересекались , а последняя точка была соединена с первой .
Соединив	отрезками	центр О окружности с точками касания В и С , получим , что ОВ АВ , ОС АС .
1.6 Углы между	отрезками	.
Вычисление площадей фигур , ограниченных	отрезками	.
Рассмотрим два отрезка АВ и АС с общим концом А. Напомним , что углом между	отрезками	АВ и АС с общим концом А называется угол между лучами АВ и АС .
Точку А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован	отрезками	АВ и АС .
Заметим , что в случае угла между	отрезками	также можно рассматривать плоские углы .
Поэтому , соединяя последовательно	отрезками	точки А , В , С , D , получаем четырёхугольник .
7 Что называется вершиной и стороной угла , образованного двумя	отрезками	с общей вершиной ? .
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский угол , образованный	отрезками	АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
3.2 Задача о трёх	отрезках	, имеющих общую середину .
2.4 Частный случай теоремы о пропорциональных	отрезках	.
Теорема о пропорциональных	отрезках	.
2.3 Теорема о пропорциональных	отрезках	.
1.1 В треугольнике АВС проведена медиана СМ , на	отрезке	AM взята точка Н так , что .
Постройте на	отрезке	такую точку С , что .
5 Точка С расположена на	отрезке	АВ так , что . Найдите отношение .
6 Точки С и D расположены на	отрезке	АВ так , что . Найдите отношение .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные	отрезки	, длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
2.1 На сторонах угла с вершиной А и величиной 40 ° отмечены равные	отрезки	АВ и АС .
Из свойств перемещения следует , что при этом	отрезки	АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в отрезки CD , DA , АВ , ВС , то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя при симметрии относительно точки пересечения диагоналей .
Из свойств перемещения следует , что при этом отрезки АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в	отрезки	CD , DA , АВ , ВС , то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя при симметрии относительно точки пересечения диагоналей .
6 Каким свойством обладают	отрезки	общих внутренних касательных , проведённых к двум окружностям ? .
2.3 На плоскости выбраны четыре различные точки А , В , С , D так , что	отрезки	АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена точка К пересечения прямых АВ и CD .
На одной стороне угла отложим равные между собой	отрезки	АВ , ВС . CD , DE .
Действительно ,	отрезки	FA и FM являются касательными к левой окружности , проведёнными из точки F , а поэтому .
12 Равны	отрезки	АС и BD , ВС и AD .
5 Докажите , что	отрезки	общих внешних касательных , проведённых к двум окружностям , равны .
Но из точки К к меньшей окружности тоже проведены	отрезки	касательных КВ и KD , а поэтому .
Точно так же удаётся показать , что	отрезки	AD и СВ не пересекаются .
Докажите , что	отрезки	АВ и СВ соответственно пропорциональны отрезкам МВ и NB .
Таким образом ,	отрезки	АВ и CD не имеют общих точек .
Пусть А — точка вне окружности с центром О , АВ и АС — различные	отрезки	касательных к одной и той же окружности .
Найдите множество всех точек М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S	отрезки	касательных равны АВ .
Таким образом , в четырёхугольнике с вершинами С , D , L , К	отрезки	CD , LK равны и параллельны .
При доказательстве мы опирались на то , что	отрезки	АD и ВС не пересекаются .
12 Постройте треугольник АВС , если заданы	отрезки	, равные его сторонам АВ , ВС и медиане , проведённой к стороне АВ .
Так как	отрезки	BD и АС пересекаются , то точки Б и Б лежат в разных полуплоскостях .
Найдите множество всех точек М таких , что проведённые из них	отрезки	МВ и МС касательных к окружностям равны между собой .
В результате построения получим	отрезки	АС и BD , которые в точке пересечения делятся пополам .
Постройте треугольник АБС , зная угол БАС ,	отрезки	АС , предполагая , что .
Проведём	отрезки	AM и BN , пересекающиеся в точке L. Докажем , что площадь четырёхугольника LNDM равна площади треугольника ABL .
Продолжим касательные до пересечения в точке К. Тогда из точки К к большей окружности проведены	отрезки	касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
Иногда в таком случае говорят , что	отрезки	пропорциональны отрезкам АВ и ВС .
Рассмотрим	отрезки	ВК и BL .
В свою очередь	отрезки	ВК и BL тоже равны по свойству отрезков касательных , проведённых из точки В .
Глава 9 Пропорциональные	отрезки	.
Как доказать , что в условиях теоремы данного пункта	отрезки	пропорциональны соответственно отрезкам АВ , ВС , АС ? .
9 ) произвольным образом	отрезки	АВ , CD , EF и так далее .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что	отрезки	ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
2.2 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка М и проведены отрезки , причём известно , что	отрезки	MN и KL не пересекаются .
2.2 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка М и проведены	отрезки	, причём известно , что отрезки MN и KL не пересекаются .
1.2 В треугольнике АВС сторона АВ разделена на семь равных частей и проведены	отрезки	, параллельные АС .
а ) найдите	отрезки	касательных .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие	отрезки	А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Как доказать , что	отрезки	АС и BD не пересекаются .
Как доказать , что	отрезки	FM и GM равны ? .
Выбранные точки называют вершинами четырёхугольника , а проведённые	отрезки	— сторонами четырёхугольника .
17 В параллелограмме ABCD	отрезки	EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей параллелограмма , точка I — середина BE , точка К — середина .
Как показать , что	отрезки	касательных АВ и АС симметричны относительно прямой , проходящей через центр О и точку А ? .
Пропорциональные	отрезки	.
В каких из приведённых случаев выбора длины основания ВС	отрезки	ВК и CL не имеют общей точки ? .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены	отрезки	, параллельные основаниям трапеции .
Можно показать , что	отрезки	СК и DL не пересекаются , и поэтому фигура CDLK действительно является параллелограммом .
Пусть заданы	отрезки	АВ и CD и угол MNK .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на	отрезки	6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются	отрезки	, отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
Затем последовательно соединим их отрезками так , чтобы несоседние	отрезки	не пересекались , а последняя точка была соединена с первой .
Как доказать , что если	отрезки	АВ и CD пересекают друг друга в середине каждого из них .
Пусть , например , на одной стороне угла отложены	отрезки	АВ и ВС , для которых .
Точку А называют вершиной угла ВАС ,	отрезки	АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
Затем	отрезки	АВ и МС разделены на четыре равные части каждый точками .
Найдите	отрезки	, на которые точки касания разбивают стороны треугольника .
1.1 В трапеции ABCD с основаниями провели	отрезки	ВК и CL так , что .
2.3 В треугольнике медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны длины	отрезков	медиан , отделяемых точкой их пересечения ? .
Ситуация с измерением углов напоминает ситуацию с измерением	отрезков	.
Из равенства треугольников следует равенство	отрезков	MN и NK , а по свойству сторон параллелограмма отрезки АС и МК равны .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся	отрезков	. 4 ) фигура , составленная из окружности с хордой , не являющейся диаметром .
Действительно , АК AM , СМ CL по свойству	отрезков	касательных , поэтому .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы	отрезков	провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Однако , при соединении концов двух параллельных	отрезков	LK и DC равной длины может получиться не четырёхугольник .
Как доказать равенство	отрезков	внешних касательных к двум равным окружностям ? .
В свою очередь отрезки ВК и BL тоже равны по свойству	отрезков	касательных , проведённых из точки В .
Чему равно отношение длин	отрезков	? .
Свойство	отрезков	касательных .
Чему равна сумма длин	отрезков	АК и DL ? .
Какие из указанных пар	отрезков	равны ? .
1.4 Сколько центров симметрии может иметь фигура , составленная из двух	отрезков	? .
фигура , составленная из двух неравных	отрезков	.
Обозначим длину	отрезков	AM , BN , СК и DL соответственно буквами х , у , z и t. Тогда .
1.3 Свойство	отрезков	касательных .
Если приближение b отличается от , то оценка абсолютной погрешности больше числа потому что один из	отрезков	больше половины отрезка .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины	отрезков	BN и ВМ через z. Тогда .
Иногда приходится находить площади фигур , которые не являются многоугольниками , но граница которых состоит из	отрезков	.
9 В каком случае объединение двух	отрезков	даёт выпуклую геометрическую фигуру ? .
В результате получаем 11 равных	отрезков	, отложенных на одной стороне угла .
3 Сформулируйте теорему Фалеса о параллельных секущих сторон угла , проходящих через концы равных	отрезков	, и докажите эту теорему .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство	отрезков	касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
По теореме на второй стороне угла получим 11 равных между собой	отрезков	.
Теорема о пропорциональности	отрезков	, образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
Если через концы всех	отрезков	проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Как на практике проверить параллельность двух	отрезков	? .
Эти перпендикуляры параллельны , поэтому по теореме о пропорциональности	отрезков	получаем пропорцию .
Точно так же не вызывают удивления первый признак равенства треугольников , возможность откладывания углов и	отрезков	— утверждения , которые мы принимали без доказательства .
Чему равно отношение соответствующих	отрезков	, получившихся на другой стороне угла ? .
Пусть среди	отрезков	А1В1 , А2В2 и А3В3 отрезок А1Б1 — максимальный .
Найдите длины этих	отрезков	, если .
Докажите , что длины	отрезков	, на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами .
1.4 Длина	отрезков	касательных для окружности , вписанной в треугольник .
Обозначим MN х , NK a , KL у. Через величины х , а , у можно выразить длины следующих	отрезков	, имеющихся на чертеже .
Сколько можно указать	отрезков	, равных отрезку AL ? .
Середины каких из указанных	отрезков	принадлежат прямой ВМ ? .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам	отрезков	АВ и ВС .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных	отрезков	касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Если приближение b совпадает с серединой отрезка , то каждый из	отрезков	равен половине отрезка .
Если через концы	отрезков	АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Рассмотрим два равносторонних треугольника АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной прямой , а точки М и N — середины	отрезков	AD и BE .
Как показать , что для длин	отрезков	AD , KN , СЕ , МО имеет место пропорция ? .
Нетрудно понять , что вместо четырёх равных	отрезков	на стороне угла можно взять любое другое число равных отрезков и провести аналогичное рассуждение .
Нетрудно понять , что вместо четырёх равных отрезков на стороне угла можно взять любое другое число равных	отрезков	и провести аналогичное рассуждение .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на стороне АС находится точка Р пересечения	отрезков	ВК и AM .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных	отрезков	и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных	отрезков	точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади ромба ? .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы	отрезков	провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой	отрезков	.
Выберем на прямой а точку А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть	отрезком	касательной , проведённой из точки А к окружности с центром О .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости	отрезком	АВ длиной 8 см ? .
Произвольную точку М плоскости соединили	отрезком	с вершиной А и подсчитали число точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
Точку В2 соединим	отрезком	с точкой С. По первому признаку равенства .
На произвольной прямой отложим отрезок PQ , равный	отрезку	АВ .
Сколько можно указать отрезков , равных	отрезку	AL ? .
На произвольной прямой отложим отрезок PQ , равный	отрезку	А1В1 .
Отложим на луче АВ отрезок АВ2 , равный	отрезку	Для треугольников АВ2С и А1В1С1 выполняются условия первого признака равенства .
Пусть заданы два отрезка А1В1 , А2В2 и угол MNK , который должен лежать в треугольнике против стороны , равной	отрезку	А2В2 .
На луче PS построим отрезок PR , равный	отрезку	CD .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному	отрезку	длины R .
На луче AM отложим отрезок АВ2 , равный	отрезку	AxBr .
На произвольной прямой отложим отрезок PQ , равный	отрезку	АХВХ .
Докажите , что прямая l пересекает любой	отрезок	, один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а , пересекает	отрезок	CD в середине .
На произвольной прямой отложим	отрезок	PQ , равный отрезку АВ .
Поэтому	отрезок	ВС пересекает прямую m , что и требовалось доказать .
Отложим на луче АВ	отрезок	АВ2 , равный отрезку Для треугольников АВ2С и А1В1С1 выполняются условия первого признака равенства .
10 Как объяснить , что выпуклыми геометрическими фигурами являются : а )	отрезок	; б ) луч ; в ) прямая .
Так как	отрезок	AM можно единственным образом разбить на три равные части , из равенств следует совпадение точек F и О .
15 Через точку М , данную вне окружности О , проведите прямую так , чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В и	отрезок	АВ имел заданную длину .
На сколько равных частей можно разбить	отрезок	АС , чтобы точка В была одной из точек деления ? .
4 Точка В делит	отрезок	АС на части так , что .
Отсюда следует , что средней линией треугольника АВС , соединяющей середины сторон АВ и ВС , может быть только	отрезок	ΜΝ , который параллелен стороне АС .
На луче PS построим	отрезок	PR , равный отрезку CD .
На произвольной прямой отложим	отрезок	PQ , равный отрезку А1В1 .
Даны	отрезок	длины а , угол с вершиной А и точка В на одной из сторон угла .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На прямой а отложим	отрезок	AD , равный АС .
2 Дан	отрезок	АВ .
Иногда для удобства	отрезок	общей касательной к двум окружностям с концами в точках касания тоже называется общей касательной .
1 С помощью циркуля и линейки разделите заданный	отрезок	.
Построим на прямой m	отрезок	EF , равный R1 - R2 .
Как следует вести построение , если	отрезок	PQ окажется перпендикуляром к прямой CD ? .
3 Дан	отрезок	АВ .
Далее , прямая АС параллельна прямой m , а поэтому	отрезок	АС не пересекает прямую m .
2.4 На плоскости заданы точки А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С центрами А и В и радиусами R и r проводятся окружности и строится	отрезок	CD их общей внешней касательной .
Так как	отрезок	АВ имеет общую точку М с прямой m , то точки А и В лежат в различных полуплоскостях .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится	отрезок	CL .
1.2 В трапеции ABCD с основаниями провели	отрезок	ВМ параллельно стороне CD .
Проведя	отрезок	BD , получим диагональ четырёхугольника ABCD , которая проходит внутри четырёхугольника .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится	отрезок	ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
1 )	отрезок	; 2 ) треугольник ; 3 ) прямоугольник ; 4 ) параллелограмм .
В этом случае найти радиус — это найти	отрезок	стороны АС от вершины С до точки касания .
Отразив	отрезок	АВ относительно оси Ох и затем отразив полученную ломаную относительно оси Оу , получим график уравнения .
21 Даны окружность S и	отрезок	АВ .
Как будет выглядеть чертёж в данной задаче , если точка А попадёт на	отрезок	СЕ ? .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I ,	отрезок	которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему	отрезок	ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
1.1 Прямая , содержащая	отрезок	АВ , касается в точке А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Покажем , что внутренняя касательная делит пополам	отрезок	внешней касательной в точке их пересечения , то есть AF FB .
На произвольной прямой отложим	отрезок	PQ , равный отрезку АХВХ .
Пусть среди отрезков А1В1 , А2В2 и А3В3	отрезок	А1Б1 — максимальный .
По условию прямая PL проведена параллельно прямой QM , поэтому	отрезок	PL является средней линией в треугольнике KQM .
Отложим на одной стороне угла	отрезок	АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
На луче AM отложим	отрезок	АВ2 , равный отрезку AxBr .
2.4 В окружность с центром О вписан некоторый правильный многоугольник , одной из сторон которого является	отрезок	АВ .
Это значит , что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему	отрезок	, прямая переходит в прямую , треугольник переходит в равный ему треугольник и так далее .
Известно , что прямая не всегда пересекает	отрезок	.
1.2 В окружность с центром О вписан правильный n - угольник , одна из сторон которого —	отрезок	CD , и угол COD b 30 ° .
Отрезок CL — биссектриса в треугольнике АВС ,	отрезок	C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 .
Поэтому	отрезок	ВВ2 пересекает прямую АС .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD ,	отрезок	DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Тогда	отрезок	ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим	отрезок	АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
На прямой , проходящей через точки А и С , от точки О отложим	отрезок	ОР , равный диагонали АС .
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют основанием , а	отрезок	ВН — высотой параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится	отрезок	MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
По свойству средней линии треугольника получаем , что	отрезок	MN параллелен прямой РВ .
Разобьём отрезок АВ на 4 равные части длиной — АВ , а	отрезок	ВС на 7 равных частей длиной у ВС. Так как , то .
Разобьём	отрезок	АВ на 4 равные части длиной — АВ , а отрезок ВС на 7 равных частей длиной у ВС. Так как , то .
Это значит , что при центральной симметрии	отрезок	переходит в равный ему отрезок , прямая переходит в прямую , треугольник переходит в равный ему треугольник и так далее .
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме оснований трапеции ABCD , а	отрезок	MN является средней линией этого треугольника .
Пусть заданы	отрезок	АВ и углы ΜΝΚ , Μ1Ν1Κ1 .
Как показать , что сумма отрицательных чисел всегда	отрицательна	? .
их сумма	отрицательна	.
Для любых чисел а , b и любого	отрицательного	числа с имеет место свойство .
11 Приведите примеры положительного и	отрицательного	чисел , таких , что .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -5,29459 до второго разряда после запятой является число -5,29 .
Десятичные приближения	отрицательного	числа .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -5,295 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
Аналогично определяются округления	отрицательного	числа до любого разряда после запятой .
Число -d мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m	отрицательного	числа -b .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -120275,7 до разряда единиц является число -120 276 .
Округление	отрицательного	числа .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -120 275 до разряда единиц является число -120 275 .
По аналогии с рассмотренными примерами 6 - 8 сформулируем общее определение десятичных приближений	отрицательного	числа .
Число -h мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m	отрицательного	числа -b .
Какое из десятичных приближений	отрицательного	числа — сверху или снизу — может совпасть с этим числом ? .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -0,517 до разряда единиц является число -1 .
11 Как находятся десятичные приближения снизу ( сверху ) с данной точностью для	отрицательного	числа ? .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -120275,7 до разряда десятков является число -120 280 .
Аналогично определяются округления	отрицательного	числа до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
10 Сформулируйте правило округления	отрицательного	числа .
7 Как вы понимаете квадрат и куб	отрицательного	числа ? .
Будем считать число -43 десятичным приближением снизу для	отрицательного	числа а , равного -42,4056 , с точностью до 1 .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -0,47 до разряда единиц является число 0 .
Число -42,40 десятичным приближением сверху для данного	отрицательного	числа а с точностью до 0,01 .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для	отрицательного	числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
Число -42,41 десятичным приближением снизу для	отрицательного	числа а , равного -42,4056 , с точностью до 0,01 .
Положим , что результатом округления	отрицательного	числа -5,29817 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного	отрицательного	числа а с точностью до 10 000 .
Число -42 десятичным приближением сверху для данного	отрицательного	числа а с точностью до 1 .
Может ли число 0 быть десятичным приближением с некоторой точностью для	отрицательного	числа ? .
Приближение	отрицательного	числа .
Какое из чисел больше : а или b . 1.9 Умножение на	отрицательное	число обеих частей неравенства .
Произведение положительного числа на	отрицательное	— отрицательно .
Как доказать , что если r —	отрицательное	число , то неравенство равносильно неравенству .
Умножая обе части последнего числового неравенства на	отрицательное	число s получим числовое неравенство или , иначе .
Пусть s —	отрицательное	число .
2.7 Умножение обеих частей неравенства на	отрицательное	число .
12 Сформулируйте свойство об умножении на	отрицательное	число обеих частей неравенства .
Определение	отрицательной	степени .
Сумма чисел разных знаков может быть	отрицательной	, положительной или нулём .
3.5 Определение	отрицательной	степени числа , если известна предыдущая степень .
Таким образом , сумма двух чисел разного знака может оказаться или положительной , или	отрицательной	, или равной нулю .
Значок читается как « минус бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в	отрицательном	направлении .
4 Как обозначаются промежутки , неограниченно продолженные в	отрицательном	направлении ? .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в	отрицательную	сторону , с началом в точке .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в	отрицательную	сторону , с началом в точке Координата каждой его точки меньше либо равна .
Заметим , что в этом примере части неравенств были как положительны , так и	отрицательны	.
Изобразим график линейной функции и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых	отрицательны	.
Степень с	отрицательным	показателем .
Положительным или	отрицательным	будет число ? .
Почему степени с	отрицательным	показателем определяются только для ненулевых чисел ? .
Если а2 b 0 , то число а не является ни положительным , ни	отрицательным	.
Степень ненулевого числа а с	отрицательным	целым показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 .
3 Как определяется степень ненулевого числа а с целым	отрицательным	показателем ? .
3 Какое число называют	отрицательным	? .
Для	отрицательных	чисел геометрической аналогии с кубами и квадратами нет .
Как показать , что сумма	отрицательных	чисел всегда отрицательна ? .
При	отрицательных	значениях k угол наклона прямой получается тупым .
3.7 Примеры округления	отрицательных	чисел .
Примеры десятичных приближений	отрицательных	чисел .
20 Через заданную точку внутри угла проведите прямую ,	отсекающую	от угла треугольник наименьшего возможного периметра .
Как через заданную точку провести прямую ,	отсекающую	от заданного угла треугольник заданного периметра ? .
Чему равна площадь	отсечённого	ею треугольника ? .
Объём V прямоугольного	параллелепипеда	с ребрами а , b , с выражается формулой .
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного	параллелепипеда	.
Для вычисления объёма прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями а , b , с .
Три части являются прямоугольными	параллелепипедами	с рёбрами а , b , b.
Три части являются прямоугольными	параллелепипедами	с рёбрами а , а , b.
Возьмём	параллелограмм	ABCD .
В результате , по соответствующему признаку , получаем , что четырёхугольник MKLN —	параллелограмм	.
7 Постройте	параллелограмм	, равновеликий заданному четырёхугольнику .
Разобьём	параллелограмм	диагональю BD на два равных треугольника ABD и BCD .
Из свойств перемещения следует , что при этом отрезки АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в отрезки CD , DA , АВ , ВС , то есть весь	параллелограмм	ABCD переходит в себя при симметрии относительно точки пересечения диагоналей .
1.4 С какими из указанных углов может существовать	параллелограмм	? .
Полученное свойство считают основным для параллелограмма и поэтому	параллелограмм	определяют как четырёхугольник , у которого каждая пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых .
4 ) диагонали параллелограмма всегда разбивают	параллелограмм	на четыре равных треугольника .
Точка О выбрана так , что АВРО —	параллелограмм	.
4 Постройте	параллелограмм	, равновеликий заданной трапеции .
9 Через вершину параллелограмма проведите три прямые , которые делят	параллелограмм	на четыре части равной площади .
3 Постройте	параллелограмм	, равновеликий заданному треугольнику .
8 Постройте	параллелограмм	.
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она делит	параллелограмм	либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD выбраны соответственно точки М и К так , что . Докажите , что четырёхугольник MBKD —	параллелограмм	.
1 Докажите , что	параллелограмм	является выпуклым четырёхугольником .
Так как этот	параллелограмм	имеет прямой угол , то он является прямоугольником .
Следовательно , и по первому признаку можно сделать вывод , что четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны , то такой четырёхугольник —	параллелограмм	.
	Параллелограмм	с проведённой диагональю . 2 ) правильный треугольник с проведённой средней линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны , то такой четырёхугольник —	параллелограмм	.
По условию , поэтому второй признак позволяет сделать вывод , что ABCD —	параллелограмм	.
1 ) отрезок ; 2 ) треугольник ; 3 ) прямоугольник ; 4 )	параллелограмм	.
Таким образом , получаем а поэтому четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
4 Сколько внутренних плоских углов имеет : а ) квадрат ; б ) прямоугольник ; в ) ромб ; г )	параллелограмм	? .
3.4 Разбиение трапеции на треугольник и	параллелограмм	.
Обозначим буквой К точку пересечения прямых m и l Так как , четырёхугольник AMКС —	параллелограмм	.
Аналогично : если через вершину С провести прямую параллельно стороне АВ , то образуется	параллелограмм	ABCL и треугольник CDL .
Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам , то такой четырёхугольник —	параллелограмм	.
6 Докажите , что	параллелограмм	является центрально симметричной фигурой .
По признаку четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
Как было доказано , четырёхугольник AMКС —	параллелограмм	, а треугольники MBN и KCN равны .
6 Как трапецию разбить на	параллелограмм	и треугольник ? .
1.2 Четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
По второму признаку четырёхугольник О1КLО2 —	параллелограмм	.
10 Через вершину параллелограмма проведите две прямые , которые делят	параллелограмм	на три части равной площади .
В 5 классе , описывая различные виды четырёхугольников , мы сказали , что	параллелограмм	— это четырёхугольник , у которого противоположные стороны равны .
Следовательно , взятый	параллелограмм	является ромбом .
Рассмотрим	параллелограмм	ABCD .
Рассмотрим	параллелограмм	, у которого две соседние стороны равны .
Таким образом , прямоугольник можно определить как	параллелограмм	с прямым углом .
2.3 Какие свойства из перечисленных могут иметь и некоторый	параллелограмм	, и некоторый четырёхугольник , не являющийся параллелограммом ? .
12 Постройте	параллелограмм	, зная середины трёх его сторон .
2.2 Какую площадь может иметь	параллелограмм	со сторонами 6 см и 8 см , у которого одна из высот равна 3 см ? .
Следовательно , взятый	параллелограмм	является прямоугольником .
2.3 Какую площадь может иметь	параллелограмм	со сторонами 8 см и 10 см , у которого одна из высот равна 9 см ? .
Таким образом , ромб можно определить как	параллелограмм	, у которого две соседние стороны равны .
1.4 Какую наибольшую площадь может иметь	параллелограмм	со стороной 6 см и диагональю 10 см ? .
Поэтому BKLH —	параллелограмм	, его противоположные стороны равны , в частности .
Эта прямая пересечёт основание AD в точке К , отличной от точек А и D. При этом образуются треугольник АВК и	параллелограмм	BCDK .
6 Точки Μ , Ν , К , L расположены на сторонах четырёхугольника ABCD так , что . Докажите , что MNKL —	параллелограмм	.
Рассмотрим	параллелограмм	с прямым углом .
1.2 Какую наибольшую площадь может иметь	параллелограмм	со сторонами 12 см и 18 см ? .
Докажите , что четырёхугольник BKDL —	параллелограмм	.
7 Какой	параллелограмм	будет ромбом ? .
5 Какой	параллелограмм	будет прямоугольником ? .
Пусть О — точка пересечения диагоналей	параллелограмма	ABCD .
Так как , то площадь	параллелограмма	равна .
Сумма	параллелограмма	.
По второму признаку	параллелограмма	точки С , D , L , К являются вершинами параллелограмма .
Площадь	параллелограмма	равна произведению основания на высоту , проведённую к этому основанию .
Тогда сторону AD	параллелограмма	ABCD называют основанием , а отрезок ВН — высотой параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию .
По второму признаку параллелограмма точки С , D , L , К являются вершинами	параллелограмма	.
2.1 У	параллелограмма	сторона равна 5 см , а высоты 6 см и 8 см. Какие значения площади параллелограмма возможны ? .
Из свойств	параллелограмма	следует , что .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые , параллельные сторонам	параллелограмма	.
2 Найдите площадь	параллелограмма	ABCD , если известно , что .
Рассмотрим два	параллелограмма	ABCD и ABKL с общей стороной АВ .
Тогда сторону AD параллелограмма ABCD называют основанием , а отрезок ВН — высотой	параллелограмма	ABCD , проведённой к этому основанию .
Докажем ещё один признак	параллелограмма	.
2.3 Третий признак	параллелограмма	.
1.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а проведённая к ней высота равна 17 см. Чему равна площадь	параллелограмма	? .
Как доказать , что значение площади	параллелограмма	не зависит от того , в каком месте проводить высоту к данному основанию ? .
Найдите площадь заштрихованной на рисунке части , если площадь	параллелограмма	равна В .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два	параллелограмма	? .
5 Найдите площадь	параллелограмма	со сторонами 5 см и 6 см и тупым углом в 150 ° .
10 Через вершину	параллелограмма	проведите две прямые , которые делят параллелограмм на три части равной площади .
Так как диагонали	параллелограмма	точкой пересечения делятся пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее .
Точно так же определяются внутренние углы ромба и	параллелограмма	.
Докажем , что точка пересечения диагоналей	параллелограмма	является его центром симметрии .
4.5 Центр симметрии	параллелограмма	.
Отрезок KL тоже можно считать высотой данного	параллелограмма	, проведённой к основанию AD .
9 Через вершину	параллелограмма	проведите три прямые , которые делят параллелограмм на четыре части равной площади .
4 Найдите площадь	параллелограмма	со сторонами 7 см и 9 см и острым углом в 60 ° .
Сколько различных высот можно провести из всех вершин	параллелограмма	? .
8 Докажите , что если любую точку внутри	параллелограмма	соединить с вершинами , как изображено на рис .
В частности , длина высоты	параллелограмма	ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD .
3.2 Вычисление площади	параллелограмма	.
1.1 Какое из перечисленных свойств четырёхугольника является признаком	параллелограмма	? .
Основание и высота	параллелограмма	.
12 На диагонали	параллелограмма	выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые , параллельные сторонам параллелограмма .
1 Что считают основанием	параллелограмма	и высотой , проведённой к этому основанию ? .
7 Найдите площадь	параллелограмма	, зная его периметр р и высоты m и n .
У любого	параллелограмма	имеется .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны	параллелограмма	и не проходит ни через одну из вершин , то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
2.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а высоты 6 см и 8 см. Какие значения площади	параллелограмма	возможны ? .
2.4 Какие значения может иметь периметр	параллелограмма	, у которого одна из сторон равна 12 см , а сумма некоторых трёх сторон равна 40 см ? .
3 Сформулируйте признак	параллелограмма	по свойству четырёх сторон .
2 Сформулируйте признак	параллелограмма	по свойству двух противоположных сторон .
1 Сформулируйте признак	параллелограмма	по свойству диагоналей .
Площадь	параллелограмма	.
6 Площадь	параллелограмма	равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными сторонами .
11 Проведите через заданную точку прямую , которая делит площадь данного	параллелограмма	пополам .
Площадь	параллелограмма	равна сумме площадей треугольников ABD и BCD .
2 По какой формуле вычисляется площадь	параллелограмма	? .
1.1 У	параллелограмма	сторона равна 5 см , а проведённая к ней высота равна 17 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
3 По какой формуле можно вычислить площадь	параллелограмма	? .
1.4 Свойство точки пересечения диагоналей	параллелограмма	.
Покажем , что середины сторон этого четырёхугольника являются вершинами	параллелограмма	.
сумма длин диагоналей	параллелограмма	больше его периметра .
Свойство диагоналей	параллелограмма	.
Из свойств	параллелограмма	получаем , что .
сумма длин диагоналей	параллелограмма	меньше суммы длин любых двух его сторон .
сумма длин диагоналей	параллелограмма	больше суммы длин любых двух его сторон .
2 Какие признаки	параллелограмма	вы знаете ? .
Получили следующие свойства	параллелограмма	.
2.3 Каким может быть один из углов	параллелограмма	, если известно , что сумма двух каких - то его углов равна 150 ° ? .
Диагональ	параллелограмма	делит его на два равных треугольника .
1 Какие свойства	параллелограмма	вы знаете ? .
Противоположные стороны	параллелограмма	попарно равны .
Противоположные углы	параллелограмма	попарно равны .
Как доказанное свойство позволяет найти сумму всех углов	параллелограмма	? .
2.2 Каким может оказаться число пар равных сторон на чертеже некоторого	параллелограмма	? .
По свойству сторон	параллелограмма	имеем .
15 Выразите площадь	параллелограмма	через две его высоты h и Н и периметр Р .
Получаем следующее свойство диагоналей	параллелограмма	.
4 ) диагонали	параллелограмма	всегда разбивают параллелограмм на четыре равных треугольника .
Диагонали	параллелограмма	делятся точкой пересечения пополам .
Сумма соседних углов	параллелограмма	.
Получаем следующее свойство углов	параллелограмма	.
Диагонали	параллелограмма	в точке пересечения делятся пополам , поэтому так как .
диагонали	параллелограмма	в точке пересечения делятся пополам .
2 ) диагонали	параллелограмма	всегда равны .
1 ) диагонали	параллелограмма	всегда являются биссектрисами соответствующих углов .
Сумма двух соседних углов	параллелограмма	равна 180 ° .
Доказанные общие свойства	параллелограмма	позволяют заключить , что у параллелограмма с прямым углом все углы прямые , а противоположные стороны попарно равны .
2.1 Сколько пар равных треугольников может оказаться на чертеже	параллелограмма	с проведёнными диагоналями ? .
Свойства	параллелограмма	.
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у	параллелограмма	с прямым углом все углы прямые , а противоположные стороны попарно равны .
Из равенства треугольников следует равенство отрезков MN и NK , а по свойству сторон	параллелограмма	отрезки АС и МК равны .
3 Сформулируйте свойства сторон	параллелограмма	.
17 В параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей	параллелограмма	, точка I — середина BE , точка К — середина .
4 Сформулируйте свойства углов	параллелограмма	.
Иногда удобно использовать следующий признак	параллелограмма	.
2 Сформулируйте свойства диагоналей	параллелограмма	.
2.2 Второй признак	параллелограмма	.
В этой главе вы узнаете свойства и признаки	параллелограмма	, научитесь вычислять площадь параллелограмма , познакомитесь с центральной симметрией фигур на плоскости .
В этой главе вы узнаете свойства и признаки параллелограмма , научитесь вычислять площадь	параллелограмма	, познакомитесь с центральной симметрией фигур на плоскости .
1.1 Пример	параллелограмма	.
Основания	параллелограмма	.
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон	параллелограмма	.
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у	параллелограмма	с двумя равными соседними сторонами все стороны равны .
2 Как к заданному основанию	параллелограмма	провести его высоту ? .
сумма длин диагоналей	параллелограмма	меньше его периметра .
У	параллелограмма	ABCD с вершинами в узлах клетчатой бумаги равны стороны АВ и CD , стороны AD и ВС , углы BAD и BCD , углы АВС и ADC .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные стороны	параллелограмма	, и точку М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными секущей АВ .
1.3 Свойства	параллелограмма	.
Признаки	параллелограмма	.
Полученное свойство считают основным для	параллелограмма	и поэтому параллелограмм определяют как четырёхугольник , у которого каждая пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых .
Высоты	параллелограмма	.
Первый признак	параллелограмма	.
3 Диагонали	параллелограмма	равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма .
Докажем следующий признак	параллелограмма	.
Доказанные общие свойства	параллелограмма	позволяют заключить , что у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами все стороны равны .
Определение	параллелограмма	.
Таким образом , противоположные стороны данного	параллелограмма	попарно параллельны .
1.3 Что можно сказать о диагоналях	параллелограмма	? .
7 В	параллелограмме	ABCD проведены биссектрисы углов А и D. Найдите длину отрезка KL , если известно , что .
1.3 Чему равна высота , проведённая в	параллелограмме	с площадью 25 см2 к стороне , длина которой равна 4 см ? .
11 Что можно сказать о	параллелограмме	, описанном вокруг окружности ? .
4 В	параллелограмме	проводятся биссектрисы всех углов при вершинах .
1.4 В	параллелограмме	ABCD , площадь которого равна 32 см2 , на сторонах ВС и CD отмечены точки М и N так , что .
9 В	параллелограмме	ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
5 В	параллелограмме	биссектрисы углов при вершинах пересекаются попарно в четырёх различных точках .
2.4 В	параллелограмме	ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
17 В	параллелограмме	ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей параллелограмма , точка I — середина BE , точка К — середина .
8 В	параллелограмме	ABCD точки М и К — середины сторон АВ и CD .
В	параллелограмме	ABCD на сторонах АВ и CD выбраны соответственно точки М и К так , что . Докажите , что четырёхугольник MBKD — параллелограмм .
В	параллелограмме	ABCD проведём высоту ВН .
15 В	параллелограмме	ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
13 Предложите свой признак равенства	параллелограммов	.
2.4 У каких из следующих	параллелограммов	площадь равна 36 см2 при данной стороне b и проведённой к этой стороне высоте h ? .
неравносторонний треугольник . 2 ) четырёхугольник , не являющийся	параллелограммом	.
2.2 В каком из перечисленных случаев четырёхугольник обязательно является	параллелограммом	? .
Из этого признака , например , сразу следует , что ромб является	параллелограммом	.
1 Какой четырёхугольник называется	параллелограммом	? .
Как доказать , что четырёхугольник , у которого все стороны равны , является	параллелограммом	? .
1.2 В каком из перечисленных случаев можно сделать вывод , что четырёхугольник ABCD не является	параллелограммом	? .
С другой стороны , всякий ромб является	параллелограммом	.
Следовательно , четырёхугольник НАВО2 является	параллелограммом	, у которого угол АНО2 равен 90 ° .
Можно показать , что отрезки СК и DL не пересекаются , и поэтому фигура CDLK действительно является	параллелограммом	.
По признаку четырёхугольник MNKL является	параллелограммом	, что и требовалось установить .
2.3 Какие свойства из перечисленных могут иметь и некоторый параллелограмм , и некоторый четырёхугольник , не являющийся	параллелограммом	? .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая	параллельна	общей внешней касательной к окружностям .
Средняя линия трапеции	параллельна	основаниям и равна полусумме оснований .
Покажем , что графиком линейной функции является прямая , которая	параллельна	прямой .
Средняя линия треугольника , соединяющая середины двух сторон ,	параллельна	третьей стороне и равна её половине .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая	параллельна	общей внутренней касательной к окружностям .
Как доказать , что если прямая а	параллельна	прямой b , а прямая b параллельна прямой с , то прямая а параллельна прямой с ? .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой с , то прямая а	параллельна	прямой с ? .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а прямая b	параллельна	прямой с , то прямая а параллельна прямой с ? .
1.1 В треугольнике АВС проведена средняя линия MN ,	параллельная	АС , в треугольнике BMN проведена средняя линия , параллельная MN .
1.1 В треугольнике АВС проведена средняя линия MN , параллельная АС , в треугольнике BMN проведена средняя линия ,	параллельная	MN .
16 Через середину стороны АВ прямоугольника ABCD проводится прямая l ,	параллельная	стороне ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину стороны CD .
Через точку пересечения медиан треугольника АВС проведена прямая ,	параллельная	АВ .
Через точку В проведена прямая ВК ,	параллельная	высоте СН треугольника .
18 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая ,	параллельная	стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что .
Через основание этой биссектрисы проводится прямая ,	параллельная	стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника ,	параллельная	основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
10 В треугольнике АВС площади S проведена средняя линия MN ,	параллельная	стороне АВ .
Проводится прямая ,	параллельная	АВ и пересекающая две других стороны .
17 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая ,	параллельная	биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что .
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и	параллельная	прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
Поэтому графиком уравнения является прямая ,	параллельная	оси Ох .
14 Точки А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l ,	параллельная	прямым а и b.
1.2 В трапеции ABCD с основаниями провели отрезок ВМ	параллельно	стороне CD .
1.2 Почему прямая , проходящая через одну сторону треугольника	параллельно	другой стороне , пересекает третью .
2 Проведите касательную к данной окружности	параллельно	данной прямой .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС	параллельно	стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
По условию прямая PL проведена	параллельно	прямой QM , поэтому отрезок PL является средней линией в треугольнике KQM .
Аналогично : если через вершину С провести прямую	параллельно	стороне АВ , то образуется параллелограмм ABCL и треугольник CDL .
1.1 Свойство прямой , проходящей через середину стороны треугольника	параллельно	другой стороне .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В	параллельно	стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
Проведём через точку N прямую	параллельно	прямой AM , пересекающую сторону ВС в точке К .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С	параллельно	стороне АВ проводится отрезок CL .
15 Продолжения сторон АВ и СВ треугольника АВС пересекаются в точках М и N прямой ,	параллельной	прямой АС .
Построение прямой ,	параллельной	заданной .
Часто для удобства прямую а считают	параллельной	самой себе .
Докажите , что каждая из сторон нового треугольника в два раза больше	параллельной	ей стороны треугольника АВС .
По аксиоме параллельности прямая m не может быть	параллельной	прямой b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой точке В .
Проведём через каждую точку деления прямую ,	параллельную	прямой АА1 .
Докажем , что при центральной симметрии относительно точки О прямая l , не проходящая через точку О , переходит в прямую m ,	параллельную	прямой l .
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через вершину В прямую ,	параллельную	стороне CD .
Докажем , что точка N — середина стороны ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через точку С прямую l ,	параллельную	прямой АВ .
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести прямую m ,	параллельную	стороне АС , то такая прямая пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в точке Ν .
Проведём через середину М стороны АВ прямую m ,	параллельную	прямой АС .
Через точку вне заданной прямой можно провести только одну прямую ,	параллельную	данной .
Через точку оси Оу с координатой b/2 проведем горизонтальную прямую ,	параллельную	оси Ох .
Через вершину С проведём прямую DK ,	параллельную	стороне АВ треугольника АВС .
б ) используя общую	параллельную	прямую .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую ,	параллельную	прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Покажем , как с помощью циркуля и линейки построить прямую ,	параллельную	данной прямой CD и проходящую через точку Р , не лежащую на прямой CD .
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны , то такие прямые	параллельны	.
Если же для секущей MN внутренние накрест лежащие углы являются прямыми , то , как уже было сказано , прямые АВ	параллельны	как перпендикуляры к одной прямой .
Поэтому у четырёхугольника НАВО2 стороны НА и О2В равны R2 и по построению	параллельны	.
Следовательно , прямые АВ и CD	параллельны	.
Отсюда следует , что прямые АВ и CD как перпендикуляры к одной прямой не пересекаются , то есть	параллельны	.
Если окружности равны и касательные	параллельны	, то равенство АВ CD доказывается проще .
Следует , что прямые	параллельны	.
Предположим , что прямые а и b не	параллельны	.
Если две прямые а и b параллельны прямой с , то прямые а и b	параллельны	между собой .
Мы доказали , что две различные прямые , перпендикулярные третьей прямой , не пересекаются , то есть	параллельны	.
Как доказать , что прямые АС , NL и МК	параллельны	между собой ? .
Как доказать , что графики линейных функций	параллельны	? .
Будут ли	параллельны	две прямые , при пересечении которых секущая образует равные соответственные углы ? .
Если две прямые а и b	параллельны	прямой с , то прямые а и b параллельны между собой .
Докажите , что прямые AD и ВС	параллельны	.
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны и	параллельны	стороны AD и ВС. Проведём диагонали АС и BD и обозначим через К точку их пересечения .
Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и	параллельны	, то такой четырёхугольник — параллелограмм .
В самом деле , в четырёхугольнике О1PQО2 противоположные стороны О1Р и О2Q равны ,	параллельны	между собой и перпендикулярны прямой О1О2 .
Докажите , что прямые АВ и CD	параллельны	, если .
Так как , то по признаку параллельности прямых прямые АВ и CD	параллельны	.
Таким образом , в четырёхугольнике с вершинами С , D , L , К отрезки CD , LK равны и	параллельны	.
Эти перпендикуляры	параллельны	, поэтому по теореме о пропорциональности отрезков получаем пропорцию .
Тогда KL и ВН параллельны , как перпендикуляры к прямой AD , а ВК и HL	параллельны	, так как расположены на параллельных прямых ВС и AD .
Тогда KL и ВН	параллельны	, как перпендикуляры к прямой AD , а ВК и HL параллельны , так как расположены на параллельных прямых ВС и AD .
Точки К и D выбраны так , что . Докажите , что прямые АВ и DK	параллельны	.
Точки К и L выбраны соответственно на сторонах АВ и ВС так , что прямые KL и АС	параллельны	.
С другой стороны , противоположные стороны прямоугольника попарно	параллельны	, как перпендикуляры к одной прямой .
Докажите , что прямые АВ и CD	параллельны	.
Параллелограммом называется четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно	параллельны	.
Таким образом , противоположные стороны данного параллелограмма попарно	параллельны	.
3 Докажите , что две прямые	параллельны	, если при пересечении их секущей выполняется одно из условий .
Трапецией называют четырёхугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны , а две другие противолежащие стороны не	параллельны	.
Если стороны одного угла соответственно	параллельны	сторонам другого угла , то такие углы или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не	параллельны	и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Трапецией называют четырёхугольник , у которого две противолежащие стороны	параллельны	, а две другие противолежащие стороны не параллельны .
Докажите , что биссектрисы углов APQ и DQP	параллельны	.
4 Прямые АВ и CD	параллельны	.
7 Показано , как можно провести	параллельные	прямые с помощью угольника .
Поэтому через точку К проходят две различные прямые ,	параллельные	прямой с. Это противоречит аксиоме параллельности .
Проведём две	параллельные	секущие сторон угла .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда	параллельные	секущие пересекают две параллельные прямые .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две	параллельные	прямые .
Например , рассмотрим	параллельные	прямые а и b , которые пересекаются параллельными секущими так .
Могут ли при этом получиться различные прямые ,	параллельные	данной прямой ?
2 Что означают слова «	параллельные	секущие сторон угла » ? .
Если две	параллельные	прямые пересечены секущей , то образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны .
1.1 На плоскости даны три	параллельные	прямые .
2.4 Две	параллельные	прямые пересекаются третьей .
Прямые	параллельные	.
В общем случае три	параллельные	секущие сторон угла обладают следующим свойством .
25 Прямые ,	параллельные	основаниям трапеции , делят боковую сторону на три равные части .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести	параллельные	прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
27 В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две	параллельные	хорды длиной R и .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести	параллельные	секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Проведём через точки А , В , С , D , Е	параллельные	между собой прямые , пересекающие стороны угла соответственно в точках К , L , М , N , О .
Через точки А , В , С провести	параллельные	между собой прямые , не пересекающие вторую сторону угла ? .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести	параллельные	прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С	параллельные	между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D прямые ,	параллельные	стороне АВ , и отметим углы .
2 Через все вершины треугольника АВС проведены прямые ,	параллельные	противоположным сторонам .
3 Две	параллельные	прямые пересечены секущей .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены отрезки ,	параллельные	основаниям трапеции .
1.1 Изображены две	параллельные	прямые , пересечённые третьей прямой .
Проведём через точки А , В , С	параллельные	секущие , пересекающие вторую сторону угла в точках Α1 , B1 , С1 .
В треугольниках АВС и АВО проведём средние линии MN и KL ,	параллельные	стороне АВ .
Если через концы всех отрезков проводятся	параллельные	между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Две	параллельные	прямые пересекаются второй парой параллельных прямых .
Возьмём две	параллельные	прямые а и b. Пересечём их секущей и обозначим соответствующие углы 1 и 2 .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые ,	параллельные	сторонам параллелограмма .
Если две	параллельные	прямые пересечены секущей , то образующиеся внутренние односторонние углы в сумме дают 180 ° .
1.3 В каком из перечисленных случаев можно сделать вывод , что у четырёхугольника ABCD имеются две	параллельные	стороны ? .
Возьмём две	параллельные	прямые а и b. Пересечём их секущей , как на рис .
Через точки К и L проводятся прямые ,	параллельные	стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите отношение .
1.2 В треугольнике АВС сторона АВ разделена на семь равных частей и проведены отрезки ,	параллельные	АС .
1.4 На одной стороне угла отложены четыре отрезка , отношение которых , и через их концы проведены	параллельные	секущие .
Рассмотрим две	параллельные	прямые а и b.
Следствие : Если две	параллельные	прямые пересечены секущей , то образующиеся соответственные углы равны .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN ,	параллельный	стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
3 Проведём луч О1Н и построим	параллельный	ему луч О2Р .
Например , рассмотрим параллельные прямые а и b , которые пересекаются	параллельными	секущими так .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с	параллельными	секущими угла .
В частности , длина высоты параллелограмма ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между	параллельными	прямыми ВС и AD .
Аналогично : два луча называются	параллельными	, если они лежат на параллельных прямых .
В этой главе вы узнаете , какие прямые называют	параллельными	и какое значение в геометрии имеет пятый постулат Евклида .
Две прямые на плоскости называются	параллельными	, если они не пересекаются .
Углы с соответственно	параллельными	сторонами .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных	параллельными	секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
Расстоянием между двумя	параллельными	прямыми называется расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой .
9 Сформулируйте свойство углов с соответственно	параллельными	сторонами .
2.12 Углы с соответственно	параллельными	сторонами .
Так как прямые AM и NK являются	параллельными	секущими сторон угла АСВ , то , откуда .
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между	параллельными	основаниями трапеции , и является одной из высот трапеции .
Два отрезка называются	параллельными	, если они лежат на параллельных прямых .
Рассмотрим два угла с соответственно	параллельными	сторонами .
Далее заметим , что прямые РМ и NK являются	параллельными	секущими сторон угла NBC .
Углы BMN и CKN внутренние накрест лежащие , образованные секущей МК с	параллельными	прямыми АВ и СК , значит .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с вершиной в В и сторонами ,	параллельными	прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° .
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с вершиной в точке В и сторонами ,	параллельными	прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с	параллельными	прямыми АВ и CD .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами ,	параллельными	прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Эти линейные функции имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их графики являются	параллельными	прямыми .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами ,	параллельными	прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Расстояние между	параллельными	прямыми .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно	параллельными	сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
1 Какие прямые называются	параллельными	? .
2.4 Свойства	параллельных	прямых .
Тогда углы САВ и DCA равны как внутренние накрест лежащие при	параллельных	прямых АВ , DK и секущей АС .
Сколько различных пар	параллельных	прямых при этом дополнительно возникают ? .
2.6 Параллельные секущие двух	параллельных	прямых .
Сумма S углов четырёхугольника равна сумме По свойствам	параллельных	прямых выполняются равенства .
14 Постройте окружность , проходящую через заданную точку и касающуюся двух данных	параллельных	прямых .
8 Две пары	параллельных	прямых пересекаются пятой прямой .
Запишем в краткой форме свойства	параллельных	прямых .
1 На двух	параллельных	прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
4 Сформулируйте обобщение теоремы о	параллельных	секущих сторон угла .
Тогда KL и ВН параллельны , как перпендикуляры к прямой AD , а ВК и HL параллельны , так как расположены на	параллельных	прямых ВС и AD .
1.4 Имеется две пары	параллельных	прямых , причём некоторые пересекаются .
Свойство	параллельных	прямых .
12 Две окружности касаются друг друга и касаются двух	параллельных	прямых так .
2.10 Равенство внутренних накрест лежащих углов , образуемых секущей двух	параллельных	прямых .
Аналогично : два луча называются параллельными , если они лежат на	параллельных	прямых .
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при	параллельных	прямых АВ , DK и секущей ВС. Углы DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый угол .
Две параллельные прямые пересекаются второй парой	параллельных	прямых .
Их соответствующие стороны расположены на	параллельных	прямых .
В этой главе рассматриваются важные свойства	параллельных	прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
Аксиома параллельности и признаки параллельности прямых позволяют доказывать свойства	параллельных	прямых .
14 Точки А и В лежат на	параллельных	прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l , параллельная прямым а и b.
Прежде всего из определения	параллельных	прямых вытекает свойство .
Рассмотрев внутренние накрест лежащие углы DAB и РВА при	параллельных	прямых AD и ВС , получим , что .
3 Сформулируйте теорему Фалеса о	параллельных	секущих сторон угла , проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту теорему .
Два отрезка называются параллельными , если они лежат на	параллельных	прямых .
Свойство	параллельных	секущих сторон угла .
Чему равна сумма внешних односторонних углов при двух	параллельных	и секущей ? .
Прямая АС является секущей при	параллельных	прямых AD и ВС. Точно так же , рассматривая прямые АВ и CD , получим , что .
5 Две пары	параллельных	прямых пересекаются пятой прямой .
Таким образом , приходим к следующему свойству	параллельных	прямых .
Сумма внутренних односторонних углов , образуемых секущей двух	параллельных	прямых .
Однако , при соединении концов двух	параллельных	отрезков LK и DC равной длины может получиться не четырёхугольник .
Таким образом , получаем следующее свойство	параллельных	секущих сторон угла .
Полученное свойство считают основным для параллелограмма и поэтому параллелограмм определяют как четырёхугольник , у которого каждая пара противоположных сторон лежит на	параллельных	прямых .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при	параллельных	прямых , поэтому Z1 также либо равен углу с вершиной в точке В , либо дополняет его до 180 ° .
Таким образом , прямая m является секущей для обеих	параллельных	прямых а и b .
11 Какие свойства	параллельных	прямых вы знаете ? .
Его соседние углы АВС и BAD являются внутренними односторонними углами , образованными секущей АВ	параллельных	прямых AD и ВС. Поэтому по свойству .
Какие примеры	параллельных	прямых вам известны ? .
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на	параллельных	прямых m и n .
16 Трапеции ABCD и FGHE имеют общую среднюю линию , а их основания лежат на двух	параллельных	прямых .
2.9 Свойство секущей	параллельных	прямых .
6 Две пары	параллельных	прямых пересекаются пятой прямой .
12 При каких значениях	параметра	а уравнение имеет бесконечное множество решений ? .
При каком значении	параметра	а уравнение имеет хотя бы два различных корня ? .
Рассмотрим пример задачи с	параметром	.
Уравнение с	параметром	.
1.9 Линейное уравнение с	параметром	.
Задача с	параметром	.
1.8 Линейная система с	параметром	.
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить	паркетом	в форме квадратов со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше площади комнаты ? .
Буквенное выражение вида , где х —	переменная	величина , а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно переменной х .
1.1 Какие из указанных пар являются целочисленными решениями уравнения ( m —	переменная	, принимающая все целые значения ) ? .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных решений уравнения в целых числах ( m —	переменная	, принимающая все целые значения ) ? .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m —	переменная	, принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные целые числа ? .
Пусть А(х ) и В(х ) — два буквенных выражения , в запись которых входит	переменная	, обозначенная через х .
Величина	переменная	.
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m —	переменная	, принимающая все целые значения ? .
Все значения , которые может принимать	переменная	величина , называются её областью допустимых значений .
В этом случае переменная х называется независимой переменной или аргументом этой функциональной зависимости , а	переменная	у — зависимой переменной .
Пусть	переменная	величина у прямо пропорциональна переменной величине х.
В этом случае	переменная	х называется независимой переменной или аргументом этой функциональной зависимости , а переменная у — зависимой переменной .
10 Выполните подстановку выражения вместо	переменной	х вместо переменной у в выражения .
Заметим , что вместо	переменной	х могут использоваться и другие буквы .
При подстановке в обе части этого уравнения числа 1 вместо	переменной	х и числа вместо переменной у получаем равенство .
При одновременной подстановке в многочлен вместо	переменной	буквы некоторого многочлена получится новый многочлен .
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для натуральных значений	переменной	х ? .
Каждое числовое значение d	переменной	х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем уравнения .
12 При каких значениях	переменной	верно неравенство ? .
Буквенное выражение вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные числа , называется линейным выражением относительно	переменной	х .
3 Какая величина считается	переменной	в буквенном выражении ? .
3.1 Значение линейной функции при натуральных значениях	переменной	.
1.3 Какой из следующих многочленов является результатом подстановки выражения вместо	переменной	х в многочлен ? .
В этом случае запись называют уравнением с одним неизвестным ( с одной	переменной	) .
2.3 Результатом подстановки в некоторый многочлен выражения вместо	переменной	z является .
При подстановке в обе части этого уравнения числа 1 вместо переменной х и числа вместо	переменной	у получаем равенство .
Если А(х ) и В(х ) — многочлены от	переменной	х , то уравнение называется алгебраическим уравнением от х .
Переменная величина у , зависящая от	переменной	величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
На первом месте пары стоит число , которое мы подставляем вместо переменной х , на втором месте стоит число , которое мы подставляем вместо	переменной	у .
9 Выполните подстановку выражения вместо	переменной	х в следующие выражения .
Подставим вместо	переменной	а число 2 и получим числовое равенство .
Неравенство с одним неизвестным (	переменной	) .
Докажите , что если два выражения А и В с	переменной	а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на выражение X получается тождество .
2 Какую запись называют неравенством с одной	переменной	? .
Если для двух переменных х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то зависимость	переменной	у от переменной х называется функциональной .
Если для двух переменных х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то зависимость переменной у от	переменной	х называется функциональной .
Тем самым указано вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то есть зависимость переменной у от	переменной	х является функциональной .
При каких значениях независимой	переменной	х значение переменной у равно : а ) 1 ; б ) 2 ; в ) -1 ; г ) -3 ; д ) 4 ; е ) 6 ? .
Пусть переменная величина у прямо пропорциональна	переменной	величине х.
Тем самым указано вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то есть зависимость	переменной	у от переменной х является функциональной .
При каких значениях независимой переменной х значение	переменной	у равно : а ) 1 ; б ) 2 ; в ) -1 ; г ) -3 ; д ) 4 ; е ) 6 ? .
10 Выполните подстановку выражения вместо переменной х вместо	переменной	у в выражения .
На первом месте пары стоит число , которое мы подставляем вместо	переменной	х , на втором месте стоит число , которое мы подставляем вместо переменной у .
Как называется число , обозначенное буквой к в записи выражающей прямую пропорциональную зависимость переменной у от	переменной	? .
В этом примере получаем функциональную зависимость переменной аn от	переменной	n , область значений которой — все натуральные числа .
Как выглядит график функции , если областью значений	переменной	х является промежуток ? .
Если А(х ) , B(х ) , С(х ) , D(x ) — многочлены от	переменной	х , то неравенства называются алгебраическими неравенствами от х .
В этом случае запись А(х ) > В(х ) называют нестрогим неравенством с одной	переменной	( с одним неизвестным ) .
Таким образом , для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найти все те значения	переменной	величины х , при которых значение выражения А(х ) больше значения выражения В(х ) » .
В этом случае получаем прямую пропорциональную зависимость	переменной	у от переменной х .
1 Что называют линейным выражением с одной	переменной	? .
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d	переменной	величины х , при каждом из которых выполняется числовое равенство » .
2 Что называется областью допустимых значений	переменной	величины ?
Абсцисса каждой точки графика функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой	переменной	.
Часто функциональную зависимость переменной у от	переменной	х называют функцией .
В этом случае запись А(х ) < В(х ) также называют нестрогим неравенством с одной	переменной	( с одним неизвестным ) .
Часто функциональную зависимость	переменной	у от переменной х называют функцией .
В этом случае переменная х называется независимой переменной или аргументом этой функциональной зависимости , а переменная у — зависимой	переменной	.
2.1 Неравенства с одной	переменной	( со знаком > ) .
В этом случае переменная х называется независимой	переменной	или аргументом этой функциональной зависимости , а переменная у — зависимой переменной .
Равенством указывают , что значения зависимой	переменной	у находят по значениям аргумента х с помощью некоторого правила , обозначаемого через f .
В этом случае запись называют неравенством с одной	переменной	( с одним неизвестным ) .
5 Как кратко записать зависимость	переменной	у от переменной х ? .
Прямолинейной зависимостью переменной у от	переменной	х называется зависимость , при которой для каждого значения х соответствующее значение у вычисляется по формуле где k и b — фиксированные числа .
И в этом случае запись также называют неравенством с одной	переменной	( с одним неизвестным ) .
При некоторых числовых значениях	переменной	х эти выражения принимают различные значения .
Каждое значение с	переменной	х , при котором , называется корнем или решением неравенства .
В этом случае запись называют уравнением с одной	переменной	( с одним неизвестным ) .
Для буквенных выражений С ( х ) и D ( х ) можно сформулировать другую задачу : « Найти все те значения	переменной	величины х , при которых значение выражения С(х ) меньше значения выражения D ( х ) » .
2.2 Неравенства с одной	переменной	( со знаком < ) .
Таким образом , для выражений можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все значения	переменной	величины х , при которых значения выражений равны » .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно также сформулировать задачу : « Найти все те значения	переменной	величины х , при которых значение выражения А(х ) либо меньше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
1.3 Значения	переменной	у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью , причём при .
6 Какая переменная называется аргументом , а какая — зависимой	переменной	? .
Каждое значение	переменной	х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем уравнения .
3.3 Нестрогие неравенства с одной	переменной	( со знаком < ) .
Прямолинейной зависимостью	переменной	у от переменной х называется зависимость , при которой для каждого значения х соответствующее значение у вычисляется по формуле где k и b — фиксированные числа .
Каждое значение с	переменной	х , при котором , называется корнем неравенства .
5 Как кратко записать зависимость переменной у от	переменной	х ? .
В этом случае получаем прямую пропорциональную зависимость переменной у от	переменной	х .
Пусть для двух переменных х и у зависимость переменной у от	переменной	х является функциональной .
1.4 Значения	переменной	у связаны со значениями х прямой пропорциональной зависимостью .
В этом примере получаем функциональную зависимость	переменной	аn от переменной n , область значений которой — все натуральные числа .
Пусть для двух переменных х и у зависимость	переменной	у от переменной х является функциональной .
При некотором числовом значении d	переменной	х может выполняться равенство A(d ) b B(d ) .
При каких значениях переменной х определено значение	переменной	, где k , b — заданные числа ? .
3.2 Нестрогие неравенства с одной	переменной	( со знаком > ) .
При каких значениях	переменной	х определено значение переменной , где k , b — заданные числа ? .
При некотором числовом значении с	переменной	х эти выражения А(с ) и Б(с ) могут принимать различные значения .
Сопоставив значению первой координаты однозначно определённое значение второй координаты , получим функциональную зависимость	переменной	у от переменной х .
Как называется число , обозначенное буквой к в записи выражающей прямую пропорциональную зависимость	переменной	у от переменной ? .
Уравнение с одной неизвестной (	переменной	) .
Сопоставив значению первой координаты однозначно определённое значение второй координаты , получим функциональную зависимость переменной у от	переменной	х .
По аналогии со строгими неравенствами для буквенных выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать задачу : « Найти все те значения	переменной	величины х , при которых значение выражения А(х ) либо больше значения В(х ) , либо равно значению выражения В(х ) » .
Иногда прямолинейная зависимость	переменной	у от переменной х называется линейной функцией от х .
Иногда прямолинейная зависимость переменной у от	переменной	х называется линейной функцией от х .
Заменив в тождестве букву а на	переменную	х и букву b на число -1 , получим тождество .
Подставляя в это тождество	переменную	х вместо буквы а и число 5 вместо буквы b , получаем тождество .
IV Любая буква , обозначающая	переменную	, является одночленом первой степени .
1.2 Постоянные и	переменные	величины в буквенном выражении .
3 Какие	переменные	величины называют прямо пропорциональными ? .
В этой записи буквами a1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 обозначают постоянные , которые в конкретных задачах являются числами , а буквами х и у обозначают	переменные	или неизвестные .
Рассмотрим некоторое буквенное выражение , например где а , b , с , d —	переменные	.
Для буквенного выражения , в запись которого входят некоторые числа и две	переменные	х и у , будем использовать обозначения А(х , у ) , В(х , у ) и так далее .
Чтобы свести эту систему к линейной , введём новые	переменные	.
Однако может быть , что не все буквы в буквенных выражениях обозначают	переменные	величины .
В зависимости от задачи , которую мы решаем , буквы R и Н могут обозначать не изменяющиеся ( постоянные ) величины или	переменные	.
4.1 Постоянные и	переменные	величины .
3.5 Равносильные преобразования уравнения с двумя	переменными	.
В главе 6 мы рассматривали уравнения с двумя	переменными	.
Обычно специально оговаривают , какие буквы являются постоянными , а какие	переменными	.
Величины , которые не изменяются , называются постоянными ; величины , которые принимают различные значения , называются	переменными	.
Будем считать , что если про буквы ничего не сказано , то они являются	переменными	.
Уравнение с двумя неизвестными (	переменными	) .
3 Какие буквы в следующих формулах могут быть	переменными	? .
Один из главных вопросов , возникающих при изучении любого явления , состоит в отыскании взаимосвязей между	переменными	величинами , которые это явление характеризуют .
1 Какие величины называются постоянными , а какие —	переменными	?
Какие тождества с двумя	переменными	вы знаете ? .
В уравнении с двумя неизвестными в качестве	переменных	не всегда используют буквы х и у .
5 Докажите , что при любых значениях	переменных	выполняются неравенства .
5 Как понимать слова , что « выражение имеет смысл при данном наборе значений	переменных	» ? .
Выражение А , не содержащее	переменных	или содержащее только одну из х и у , иногда также удобно обозначать как А(х , у ) .
8 Приведите пример системы , которая за счёт введения новых	переменных	сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
Сумму показателей степеней	переменных	букв , равную , называют степенью этого одночлена .
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового выражения и степеней	переменных	букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом .
Пусть для двух	переменных	х и у зависимость переменной у от переменной х является функциональной .
Если для двух	переменных	х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то зависимость переменной у от переменной х называется функциональной .
Заметим , что если при каком - то хотя бы одном наборе значений	переменных	получаются разные значения этих выражений , то эти два буквенных выражения не являются тождественно равными .
Тождествами принято считать также верные равенства между числовыми выражениями , вовсе не содержащими	переменных	букв .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в целых числах со значениями	переменных	х и у разных знаков ? .
8 Проверьте на примерах , что если значения	переменных	а , b , с выбраны так , то тогда .
Пары — это разные пары значений	переменных	.
7 Убедитесь на примерах , что указанные выражения имеют равные значения при одинаковых наборах значений	переменных	букв .
Для обозначения	переменных	величин можно использовать вместо х и у другие буквы , например .
В правой части приведённых формул стоят произведения чисел , постоянных и	переменных	букв .
Запись одночлена в виде произведения постоянного числового выражения и степеней различных постоянных или	переменных	букв будем называть стандартной формой одночлена .
Поэтому в данном случае буквы a vs кв выражении ah являются обозначением	переменных	величин .
При каких значениях	переменных	имеет смысл буквенное выражение .
Напомним определение прямой пропорциональности двух	переменных	величин .
В этом случае говорят , что выражение имеет смысл при любых значениях	переменных	.
1.1 Какая из следующих пар значений	переменных	является корнем уравнения .
Почленно	перемножив	их , получим .
Чтобы доказать это соотношение ,	перемножим	, воспользовавшись третьим основным свойством степеней .
Итак , два равенства можно почленно сложить или	перемножить	, и при этом снова получаются равенства .
В каком случае высота треугольника , проведённая из вершины , противоположной основанию , не	пересекается	с основанием ? .
Прямая АВ не	пересекается	с прямой CD , так как прямые АВ и CD различны и перпендикулярны прямой АХ .
Затем последовательно соединим их отрезками так , чтобы несоседние отрезки не	пересекались	, а последняя точка была соединена с первой .
При каких значениях сторон контуры этих квадратов не могут	пересекаться	? .
24 Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС	пересекаются	в точке Р. Докажите , что площади треугольников АВР и CDP равны .
Если предположить , что прямые	пересекаются	в какой - то точке с координатами ( m ; n ) , то тогда одновременно должны выполняться равенства , откуда , что невозможно .
Следовательно , графики не	пересекаются	.
Отрезки KN и LM	пересекаются	в точке Р. Найдите отношение .
Отрезки ВМ и СК	пересекаются	в точке Р. Найдите отношение .
15 Продолжения сторон АВ и СВ треугольника АВС	пересекаются	в точках М и N прямой , параллельной прямой АС .
Например , рассмотрим параллельные прямые а и b , которые	пересекаются	параллельными секущими так .
2.2 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка М и проведены отрезки , причём известно , что отрезки MN и KL не	пересекаются	.
Продолжения боковых сторон АВ и CD	пересекаются	в точке М. При этом образуются два треугольника AMD и ВМС .
Отрезки АВ , CD и EF	пересекаются	в одной точке О и каждый из них делится точкой О пополам .
В треугольнике АВС точка N на стороне АС и точка М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN	пересекаются	в точке Р. Доказать , что .
Лучи PS и QS1	пересекаются	в выделенной полуплоскости в точке R .
7 Две окружности с центрами Ох и О2	пересекаются	в двух различных точках А и В. Докажите , что треугольники О1АО2 и ОХВО2 равны .
Отрезки DH и FG	пересекаются	в точке К. Найдите отношение .
Когда окружности	пересекаются	в двух различных точках , то их две внешние общие касательные , а внутренних касательных не существует .
Так как отрезки BD и АС	пересекаются	, то точки Б и Б лежат в разных полуплоскостях .
И в первом , и во втором случае через точку к прямой можно провести лишь один перпендикуляр , и предположение о том , что прямые а и b	пересекаются	, неверно .
Две прямые , перпендикулярные третьей прямой , не	пересекаются	.
5 В параллелограмме биссектрисы углов при вершинах	пересекаются	попарно в четырёх различных точках .
Отсюда следует , что прямые АВ и CD как перпендикуляры к одной прямой не	пересекаются	, то есть параллельны .
2.4 Две параллельные прямые	пересекаются	третьей .
6 Две пары параллельных прямых	пересекаются	пятой прямой .
Как показать , что прямые АН и BF не	пересекаются	? .
Как показать , что эти перпендикуляры либо не	пересекаются	, либо совпадают ? .
1 Стороны двух квадратов , имеющих общий центр ,	пересекаются	попарно в восьми точках .
Точно так же удаётся показать , что отрезки AD и СВ не	пересекаются	.
Выясните , какие из них попарно	пересекаются	, а какие нет .
Две параллельные прямые	пересекаются	второй парой параллельных прямых .
При доказательстве мы опирались на то , что отрезки АD и ВС не	пересекаются	.
3 Докажите , что диагонали невыпуклого четырёхугольника не	пересекаются	, а диагонали любого выпуклого четырёхугольника пересекаются .
3 Докажите , что диагонали невыпуклого четырёхугольника не пересекаются , а диагонали любого выпуклого четырёхугольника	пересекаются	.
1.4 Имеется две пары параллельных прямых , причём некоторые	пересекаются	.
Можно показать , что отрезки СК и DL не	пересекаются	, и поэтому фигура CDLK действительно является параллелограммом .
11 Отрезки АВ и CD	пересекаются	точке О , причём .
Как доказать , что касательные не	пересекаются	? .
Пусть диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD	пересекаются	в точке О .
Таким образом , предположение о том , что прямые а и b	пересекаются	, было неверным .
Мы доказали , что две различные прямые , перпендикулярные третьей прямой , не	пересекаются	, то есть параллельны .
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не	пересекаются	.
Как доказать , что отрезки АС и BD не	пересекаются	.
Значит , прямые АВ и CD перпендикулярны прямой AD , а поэтому не	пересекаются	.
Параллельные прямые АВ и CD	пересекаются	секущей MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что .
2 Диагонали прямоугольника длиной 24 см	пересекаются	под углом в 60 ° .
Диагонали четырёхугольника ABCD площади 60 см2	пересекаются	в точке М причём .
Отрезки СМ и DN	пересекаются	в точке Р. Докажите , что .
12 В четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов	пересекаются	.
8 Две пары параллельных прямых	пересекаются	пятой прямой .
Все утверждения , предшествующие пятому постулату Евклида , остаются такими же , как и в привычной геометрии ( например , два перпендикуляра , проведённые к одной прямой , не	пересекаются	) .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и	пересекаются	с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Наконец , когда окружности не	пересекаются	и одна расположена внутри другой , никаких общих касательных не существует .
Эти прямые не	пересекаются	.
1.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна 54 см2 , медианы	пересекаются	в точке Р. Чему равна площадь невыпуклого четырёхугольника АРВС ? .
Медианы треугольника	пересекаются	в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Тогда они	пересекаются	в некоторой точке К .
Предположим , что найдутся две прямые а и b , которые перпендикулярны третьей прямой с и	пересекаются	.
5 Две пары параллельных прямых	пересекаются	пятой прямой .
Две	пересекающиеся	прямые образуют четыре угла , любые два из которых являются либо вертикальными , либо смежными .
1 В трапеции ABCD проведены диагонали ,	пересекающиеся	в точке Е. Докажите , что углы треугольников ВСЕ и DAE соответственно равны .
Проведём отрезки AM и BN ,	пересекающиеся	в точке L. Докажем , что площадь четырёхугольника LNDM равна площади треугольника ABL .
8 Даны	пересекающиеся	прямые а и b и точка F , не лежащая на прямых .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b ,	пересекающиеся	в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
Из точек В и С проведены лучи ,	пересекающиеся	в точке К так , что .
2.1 На плоскости проведены четыре взаимно	пересекающиеся	прямые .
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ ,	пересекающиеся	в точке О. Найдите углы треугольников АОВ , BOL , АОМ , если .
Вершины двух углов совпадают , и стороны двух углов расположены по двум	пересекающимся	прямым .
2.4 Две окружности разных радиусов касаются двух	пересекающихся	прямых .
Сколько неразвёрнутых углов образуют 100 прямых ,	пересекающихся	в одной точке ? .
3 Как построить прямую , не	пересекающуюся	с заданной прямой ? .
Известно , что через точку А , лежащую вне прямой CD , всегда можно провести прямую , не	пересекающуюся	с данной .
Параллелограмм ,	пересечение	диагоналей .
Как задать внутренний угол выпуклого четырёхугольника	пересечением	полуплоскостей ? .
В каком случае четырёхугольная область является	пересечением	полуплоскостей ? .
В пункте 1.3 было показано , как получить выпуклую четырёхугольную область	пересечением	четырёх полуплоскостей .
Поэтому	пересечением	всех четырёх полуплоскостей является выпуклая четырёхугольная область .
Как задать треугольную область	пересечением	полуплоскостей ? .
3.5 Задание выпуклого многоугольника	пересечением	полуплоскостей .
Если при	пересечении	двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны , то такие прямые параллельны .
3 Докажите , что две прямые параллельны , если при	пересечении	их секущей выполняется одно из условий .
Будут ли параллельны две прямые , при	пересечении	которых секущая образует равные соответственные углы ? .
Равны и их соответствующие углы PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие углы , образованные при	пересечении	прямых CD и PS секущей PQ .
Секущая MN при	пересечении	с прямыми АВ и CD образует восемь углов .
Докажите , что при	пересечении	биссектрис образуется квадрат .
В четырёхугольнике ABCD при	пересечении	диагоналей образуется четыре угла .
Проведите прямую так , чтобы при её	пересечении	с окружностями образовалось три равных отрезка .
При	пересечении	этих трёх прямых образуется треугольник .
Как доказать , что общая часть двух выпуклых фигур , образованная при их	пересечении	, является выпуклой фигурой ? .
Докажите , что если точка М не лежит на границе стоугольника и число точек	пересечения	нечётно , то точка М лежит внутри стоугольной области .
Вершинами какого многоугольника являются точки	пересечения	биссектрис всех изображённых углов с вершинами А и В ? .
2.3 На плоскости выбраны четыре различные точки А , В , С , D так , что отрезки АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена точка К	пересечения	прямых АВ и CD .
Диагонали параллелограмма делятся точкой	пересечения	пополам .
Проведём его диагонали АС и BD и обозначим буквой О точку их	пересечения	.
1.4 Свойство точки	пересечения	диагоналей параллелограмма .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на стороне АС находится точка Р	пересечения	отрезков ВК и AM .
4 Отметим точки А и В	пересечения	лучей О1Н и О2Р с окружностями .
17 В параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О	пересечения	диагоналей параллелограмма , точка I — середина BE , точка К — середина .
Значит , решениями системы уравнений являются пары координат точек	пересечения	М и N окружности и прямой .
а )	пересечения	их треугольных областей . б ) объединения их треугольных областей .
3 Из точки	пересечения	диагоналей ромба проводятся перпендикуляры к сторонам .
Два квадрата имеют общую точку	пересечения	диагоналей .
3 В одной полуплоскости относительно прямой О1О2 отмечаем точки Р и Q	пересечения	прямых m и n с окружностями .
Расстояния между точками её	пересечения	с окружностями могут быть следующими .
диагонали параллелограмма в точке	пересечения	делятся пополам .
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с вершиной А и подсчитали число точек	пересечения	отрезка МА с границей стоугольника .
Сколько всего развёрнутых углов можно указать на рисунке с вершинами в точках	пересечения	? .
Проведём через вершину С и середину М боковой стороны AD прямую до	пересечения	с прямой АВ в точке Р .
Отметим точку G	пересечения	окружности с прямой n .
Обозначим через D точку	пересечения	этой прямой с лучом ОА .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка	пересечения	этих полуокружностей .
1.3 Изображены три прямые и три точки их	пересечения	.
Свойство точки	пересечения	медиан .
Изобразим оба графика и найдём координаты точки А их	пересечения	.
Если в четырёхугольнике диагонали в точке	пересечения	делятся пополам , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны и параллельны стороны AD и ВС. Проведём диагонали АС и BD и обозначим через К точку их	пересечения	.
Построим прямую с уравнением и отметим точки М и К	пересечения	этой прямой с графиком уравнения .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек	пересечения	данных прямых ? .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки	пересечения	этой прямой с параллельными секущими угла .
3 ) диагонали точкой	пересечения	делятся пополам .
В результате построения получим отрезки АС и BD , которые в точке	пересечения	делятся пополам .
Пусть D — точка	пересечения	прямой АВ с осью симметрии .
Какие координаты имеет точка	пересечения	прямой и прямой , где к отлично от нуля ? .
10 Через точку	пересечения	двух окружностей проведите прямую так , чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки	пересечения	медиан треугольника .
Обозначим буквой N точку	пересечения	прямой m со стороной ВС .
Обозначим буквой К точку	пересечения	прямых m и l Так как , четырёхугольник AMКС — параллелограмм .
Прямая АВ образует прямые углы при	пересечения	с прямой AD , а поэтому АВ AD .
Однако в предыдущем пункте мы без обоснования рассмотрели точку N	пересечения	отрезка ВС с прямой m.
Отметим точку А	пересечения	этих графиков .
Посмотрим из предыдущего пункта и воспроизведём его с некоторыми изменениями , продолжив внешние касательные до	пересечения	.
Точка	пересечения	прямых расположена вне прямой с .
Продолжим касательные до	пересечения	в точке К. Тогда из точки К к большей окружности проведены отрезки касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
Свойство точки	пересечения	медиан треугольника .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой	пересечения	в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Проведём в треугольнике АВС медианы AM и BN и обозначим точку	пересечения	этих медиан буквой О .
Диагонали параллелограмма в точке	пересечения	делятся пополам , поэтому так как .
Следовательно , для точки О	пересечения	медиан AM и BN выполняются соотношения .
Аналогично можно рассмотреть медианы AM и СР и получить , что для точки F их	пересечения	выполняются соотношения .
Чему равно расстояние от вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см до точки	пересечения	его медиан ? .
2.3 В треугольнике медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны длины отрезков медиан , отделяемых точкой их	пересечения	? .
Покажем , что внутренняя касательная делит пополам отрезок внешней касательной в точке их	пересечения	, то есть AF FB .
Точка	пересечения	прямых лежит на прямой с .
Точки А , В и С	пересечения	касательных определяют треугольник АВС .
Через точку	пересечения	медиан треугольника АВС проведена прямая , параллельная АВ .
2.5 Построение графика линейной функции по точкам	пересечения	с осями координат .
В зависимости от того , где расположится точка	пересечения	отрезка ВВ2 с прямой АС относительно точек А и С , будем иметь один из рисунков .
Докажите , что точка пересечения внешних касательных , точка	пересечения	внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой .
Докажите , что точка	пересечения	внешних касательных , точка пересечения внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой .
Иногда для построения графика линейной функции удобно находить точки	пересечения	графика с осями координат .
Обозначим буквой О точку	пересечения	прямых , содержащих его диагонали .
Докажем , что точка	пересечения	диагоналей параллелограмма является его центром симметрии .
Так как предположение о существовании точки	пересечения	прямых приводит к противоречию , то тем самым доказана параллельность этих прямых .
Пусть О — точка	пересечения	диагоналей параллелограмма ABCD .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки	пересечения	окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Так как диагонали параллелограмма точкой	пересечения	делятся пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее .
Из свойств перемещения следует , что при этом отрезки АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в отрезки CD , DA , АВ , ВС , то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя при симметрии относительно точки	пересечения	диагоналей .
Обозначим через С точку	пересечения	прямых l и n.
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её	пересечения	с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Для прямой обозначим через А точку её	пересечения	с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Следовательно , при	перестановке	частей уравнения получается равносильное ему уравнение .
8 Какое правило о	перестановке	правой и левой частей неравенства вы знаете ? .
В скобках получили	периметр	пятиугольника .
2.4 Какие значения может иметь	периметр	параллелограмма , у которого одна из сторон равна 12 см , а сумма некоторых трёх сторон равна 40 см ? .
Чему равен	периметр	этой трапеции , если известно , что периметр треугольника АВМ равен 18 см ? .
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см. Найдите	периметр	треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС .
Чему равен периметр треугольника DEF , если	периметр	треугольника АВС равен 36 см ? .
—	периметр	треугольника . — полупериметр треугольника .
Чему равен	периметр	треугольника DEF , если периметр треугольника АВС равен 36 см ? .
1.2 В ромбе диагонали равны 6 см и 9 см. Чему равен	периметр	прямоугольника , полученного соединением середин сторон этого ромба ? .
Чему равен периметр этой трапеции , если известно , что	периметр	треугольника АВМ равен 18 см ? .
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите	периметр	четырёхугольника с вершинами в серединах сторон параллелограмма .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а	периметр	треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
Площадь описанного многоугольника равна половине произведения радиуса окружности на	периметр	многоугольника .
6 Площадь параллелограмма равна 480 см2 , его	периметр	равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными сторонами .
4 Как вычислить радиус вписанной в треугольник окружности , зная	периметр	и площадь треугольника ? .
4 Внутри треугольника АВС выбрана произвольная точка М. Докажите , что	периметр	треугольника АМС меньше периметра треугольника АВС .
По свойству описанного четырёхугольника получим и поэтому	периметр	будет равен Отсюда .
15 Выразите площадь параллелограмма через две его высоты h и Н и	периметр	Р .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN	периметр	трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
Найдите	периметр	многоугольника .
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и	периметр	30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Пусть прямоугольник имеет заданный	периметр	Р , а радиус R полукруга изменяется .
5 Внутри треугольника АВС выбраны три произвольные точки М , N , К. Докажите , что	периметр	треугольника MNK меньше периметра треугольника АВС .
7 Найдите площадь параллелограмма , зная его	периметр	р и высоты m и n .
Как через заданную точку провести прямую , отсекающую от заданного угла треугольник заданного	периметра	? .
Они равны по длине половине	периметра	треугольника АВС .
12 Докажите , что сумма длин всех медиан треугольника меньше	периметра	этого треугольника .
сумма длин диагоналей параллелограмма больше его	периметра	.
сумма длин диагоналей параллелограмма меньше его	периметра	.
4 Внутри треугольника АВС выбрана произвольная точка М. Докажите , что периметр треугольника АМС меньше	периметра	треугольника АВС .
20 Через заданную точку внутри угла проведите прямую , отсекающую от угла треугольник наименьшего возможного	периметра	.
5 Внутри треугольника АВС выбраны три произвольные точки М , N , К. Докажите , что периметр треугольника MNK меньше	периметра	треугольника АВС .
Чему равно значение	периметра	квадрата , выраженное через радиус вписанной окружности ? .
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение	периметра	этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
Возьмём равнобедренную трапецию с	периметром	20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
И в первом , и во втором случае через точку к прямой можно провести лишь один	перпендикуляр	, и предположение о том , что прямые а и b пересекаются , неверно .
Из вершины А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из вершины С проводится	перпендикуляр	к прямой АВ .
Из вершины А проводится	перпендикуляр	к прямой CD , а из вершины С проводится перпендикуляр к прямой АВ .
Из вершины А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из вершины А проводится	перпендикуляр	BF к прямой АВ .
Из вершины А проводится	перпендикуляр	АН к прямой CD , а из вершины А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ .
Из любой точки К прямой ВС , отличной от точки В , опустим	перпендикуляр	KL на прямую AD .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём	перпендикуляр	s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Затем построим	перпендикуляр	АВ к прямой АХ и дополним луч АВ до прямой АВ .
Сначала из точки А опустим	перпендикуляр	АХ на прямую CD .
Проведём в трапеции ABCD из вершины В	перпендикуляр	ВН .
Проведём из точки В	перпендикуляр	ВН к стороне AD .
В этом случае из точки С опущены два различных	перпендикуляра	на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
Все утверждения , предшествующие пятому постулату Евклида , остаются такими же , как и в привычной геометрии ( например , два	перпендикуляра	, проведённые к одной прямой , не пересекаются ) .
В этом случае из точки Н восставлены два различных	перпендикуляра	АН и ВН .
Два	перпендикуляра	к одной прямой .
1.3 Укажите уравнение , график которого	перпендикулярен	графику уравнения 2у b 7 .
Через точку К биссектрисы угла с вершиной А	перпендикулярно	биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Когда точки О1 и О2 различны , можно провести единственные прямые m и n	перпендикулярно	прямой О1О2 .
А именно : прямая , проходящая через конец радиуса окружности	перпендикулярно	радиусу , является касательной .
Все точки , ордината которых равна 2 , расположены на прямой ,	перпендикулярной	оси Оу и проходящей через точку ( 0 ; 2 ) .
2 Строим прямую n , проходящую через точку О2 и	перпендикулярную	прямой О1О2 .
Проведём через точку С прямую ,	перпендикулярную	оси Ох .
Строим прямую m , проходящую через точку О1 и	перпендикулярную	прямой О1О2 .
Значит , прямые АВ и CD	перпендикулярны	прямой AD , а поэтому не пересекаются .
В самом деле , в четырёхугольнике О1PQО2 противоположные стороны О1Р и О2Q равны , параллельны между собой и	перпендикулярны	прямой О1О2 .
Чему равна площадь четырёхугольника ABCD , у которого диагонали взаимно	перпендикулярны	и равны соответственно 6 см и 7 см ? .
Предположим , что найдутся две прямые а и b , которые	перпендикулярны	третьей прямой с и пересекаются .
1 ) диагонали	перпендикулярны	.
2 ) диагонали	перпендикулярны	.
7 Касательные , проведённые из точки А к окружности радиуса r ,	перпендикулярны	.
7 В четырёхугольнике ABCD диагонали взаимно	перпендикулярны	.
4 ) диагонали равны и	перпендикулярны	.
Прямая АВ не пересекается с прямой CD , так как прямые АВ и CD различны и	перпендикулярны	прямой АХ .
Проведём две взаимно	перпендикулярные	прямые m и n.
Мы доказали , что две различные прямые ,	перпендикулярные	третьей прямой , не пересекаются , то есть параллельны .
Две прямые ,	перпендикулярные	третьей прямой , не пересекаются .
14 Проведены две взаимно	перпендикулярные	прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
2.3 Укажите уравнения , графики которых — две	перпендикулярные	прямые .
4 ) две	перпендикулярные	прямые ( одна вертикальная и одна горизонтальная ) .
12 Докажите , что если фигура имеет две взаимно	перпендикулярные	оси симметрии , то фигура имеет и центр симметрии .
2.3 Какое число пар взаимно	перпендикулярных	сторон может быть в многоугольнике ? .
2 Сформулируйте утверждение о прямых ,	перпендикулярных	к некоторой прямой .
Пусть Q и Q ' — основания	перпендикуляров	, проведённых соответственно из точек Р и Р ' к оси Ох .
1.1 Дана прямая АВ и точки С , D , Е. Сколько различных	перпендикуляров	можно провести через С , D , и Е к прямой АВ ? .
Докажите , что основания	перпендикуляров	являются вершинами прямоугольника .
Пусть S и S ' — основания	перпендикуляров	, проведённых соответственно из точек R и R ' к оси Ох .
Как следует вести построение , если отрезок PQ окажется	перпендикуляром	к прямой CD ? .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с	перпендикуляром	s обозначим О1 и О2 .
3 Из точки пересечения диагоналей ромба проводятся	перпендикуляры	к сторонам .
Эти	перпендикуляры	параллельны , поэтому по теореме о пропорциональности отрезков получаем пропорцию .
Как показать , что эти	перпендикуляры	либо не пересекаются , либо совпадают ? .
Из точек А и В опустим	перпендикуляры	на координатную ось Ох .
« π » читается «	пи	» .
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя лучами , и связанные с ними плоские углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы ,	плоские	углы .
Измеряя	плоские	углы , мы до сих пор предполагали , что измеряемый угол расположен в некоторой полуплоскости , то есть не больше развёрнутого угла .
2.1 Рассматриваются	плоские	углы меньше развёрнутого .
Точно так же можно рассматривать	плоские	углы , которые являются суммой четырёх плоских углов и так далее .
Измерим	плоские	углы ВАС , BAD , ВАЕ , содержащиеся в полуплоскости а .
2.9 Дуги окружности и	плоские	углы .
Заметим , что в случае угла между отрезками также можно рассматривать	плоские	углы .
2 ) Если дуги , принадлежащие плоским углам , равны , то и	плоские	углы равны .
1 ) Если	плоские	углы равны , то равны и дуги окружности , принадлежащие соответствующим плоским углам .
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя лучами , и связанные с ними	плоские	углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
Заметим , что для лучей ОА , ОС и ОВ можно рассмотреть и другие	плоские	углы .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый	плоский	угол АОВ с вершиной О. Этот угол содержит дугу данной окружности .
4 Изобразите	плоский	угол .
Например , если ОБ является биссектрисой угла АОС , а	плоский	угол АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать равенства .
2 Изобразите	плоский	угол .
3 Изобразите	плоский	угол .
В этом случае	плоский	угол АОС является суммой углов СОВ и ВОА .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при вершине А называют	плоский	угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним углом , например , при вершине М называют тот	плоский	угол NMK , который содержит этот треугольник .
Аналогично	плоский	угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Аналогично можно рассматривать	плоский	угол , который является суммой двух плоских углов , один из которых сам является суммой некоторых двух плоских углов .
Так как этот	плоский	угол содержится в полуплоскости , то его градусная мера находится в границах от 0 ° до 180 ° .
Таким образом , мы получаем возможность измерять любой	плоский	угол , причём градусная мера плоского угла может быть любой в пределах от 0 ° до 360 ° .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать «	плоский	угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
Напомним , что внутренним углом треугольника АВС между сторонами АВ и АС называют	плоский	угол , определяемый лучами АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Угол	плоский	.
Тогда	плоский	угол АОВ называется суммой плоских углов АОС и СОВ .
Пусть	плоский	угол составлен из двух частей : плоского угла АОС и плоского угла СОВ .
В этом случае говорят , что рассматриваемый	плоский	угол является суммой трёх плоских углов .
Далее ,	плоский	угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
Чем отличается развёрнутый	плоский	угол от полуплоскости ? .
С другой стороны , каждой из частей соответствует	плоский	угол , определяемый лучами ОА и ОВ .
Пусть , например , нужно измерить в градусах	плоский	угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Как изображается	плоский	угол величиной в 270 ° ? .
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют	плоский	угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
В каком случае	плоский	угол является суммой шести плоских углов ? .
2 Что такое	плоский	угол ? .
Например ,	плоский	угол АВС содержится в выделенной полуплоскости с границей ВА .
Оба луча , ограничивающие	плоский	угол , называют границей этого плоского угла .
Имеет место следующее свойство : от любого луча , лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно отложить	плоский	угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
Иногда вместо слов «	плоский	угол » , если это не приводит к недоразумениям , говорят коротко « угол » .
6 В каком случае	плоский	угол будет выпуклой фигурой ? .
Какие из указанных плоских углов содержат	плоский	угол DAC ? .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это	плоский	угол , образованный его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
1 ) Если плоские углы равны , то равны и дуги окружности , принадлежащие соответствующим	плоским	углам .
2 ) Если дуги , принадлежащие	плоским	углам , равны , то и плоские углы равны .
В чём разница между углом , образованным двумя лучами с общим началом , и	плоским	углом , ограниченным этими же двумя лучами ? .
Закрашенные части плоскости являются	плоскими	углами .
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и	плоскими	углами с вершиной в центре окружности ? .
В этом случае угол АОС равен сумме двух равных	плоских	углов .
В этом случае получаем два	плоских	развёрнутых угла .
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях	плоских	углов , то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , « секунда » .
3 Сколько всего	плоских	углов вы можете указать ? .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух	плоских	углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из сторон данного угла до целой прямой .
4 Сколько внутренних	плоских	углов имеет : а ) квадрат ; б ) прямоугольник ; в ) ромб ; г ) параллелограмм ? .
Например , четырёхугольник ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух	плоских	углов , образованных соседними сторонами ВС и CD , содержит только часть этого четырёхугольника .
Величина прямого угла как единица измерения	плоских	углов .
Сколько	плоских	углов образуют диагонали квадрата с его сторонами ? .
Какие из указанных	плоских	углов содержат плоский угол DAC ? .
Какой из двух	плоских	углов при этом рассматривается , обычно поясняют дополнительно .
1.4 Сумма двух	плоских	углов .
Сколько всего	плоских	неразвёрнутых углов вы можете указать ? .
Сколько	плоских	углов образуют все пары соседних сторон многоугольника с n сторонами ? .
Как на практике сравнить два	плоских	угла ? .
5 Сколько	плоских	углов образуют все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
Тогда плоский угол АОВ называется суммой	плоских	углов АОС и СОВ .
Сколько развёрнутых	плоских	углов можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве вершин либо точку М , либо точку N ? .
2.1 Градусная мера	плоских	углов .
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является суммой двух	плоских	углов , один из которых сам является суммой некоторых двух плоских углов .
2.11 Радиан как единица измерения	плоских	углов .
Точно так же можно рассматривать плоские углы , которые являются суммой четырёх	плоских	углов и так далее .
2.12 Измерение	плоских	углов , больших развёрнутых .
А это означает , что если мера меньшего из	плоских	углов , образованных лучами ВА и ВС , равна а ° , то мера большего угла равна 360 ° - а ° .
В этом случае говорят , что рассматриваемый плоский угол является суммой трёх	плоских	углов .
4 Чему равна градусная мера суммы	плоских	углов ? .
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является суммой двух плоских углов , один из которых сам является суммой некоторых двух	плоских	углов .
Напомним два определения для	плоских	углов , меньших развёрнутого угла .
Сколько	плоских	углов образуют все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
Измерение	плоских	углов .
Плоский угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух	плоских	углов .
Сумма	плоских	углов .
В каком случае плоский угол является суммой шести	плоских	углов ? .
Плоский угол АВС равен сумме	плоских	углов ABD и DBC .
Плоский угол , составленный из двух	плоских	углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов .
При этом всегда один из этих	плоских	углов расположен в некоторой полуплоскости .
Градусная мера суммы	плоских	углов равна сумме градусных мер слагаемых .
Два различных луча с общим началом образуют два	плоских	угла .
При указании величины плоского угла слова « величина » и «	плоского	» часто не пишутся .
Плоский угол АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию	плоского	угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
Граница	плоского	угла .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина	плоского	угла АОВ равна одному радиану .
Градусная мера	плоского	угла .
5 Что называется вершиной и стороной	плоского	угла ? .
Оба луча , ограничивающие плоский угол , называют границей этого	плоского	угла .
Таким образом , мы получаем возможность измерять любой плоский угол , причём градусная мера	плоского	угла может быть любой в пределах от 0 ° до 360 ° .
1.5 Биссектриса	плоского	угла .
Биссектриса	плоского	угла .
Вместо слов « величина	плоского	угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
Пусть плоский угол составлен из двух частей : плоского угла АОС и	плоского	угла СОВ .
9 Что называют биссектрисой	плоского	угла ? .
Луч ОВ является биссектрисой того	плоского	угла АОС , который содержит этот луч .
При указании величины	плоского	угла слова « величина » и « плоского » часто не пишутся .
Пусть плоский угол составлен из двух частей :	плоского	угла АОС и плоского угла СОВ .
Выбор некоторого	плоского	угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого	плоского	угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
2.2 Градусная мера	плоского	угла , содержащегося в полуплоскости .
Для обозначения	плоского	угла используют тот же знак Ζ , что и для обозначения угла , образованного двумя лучами .
Величина	плоского	угла .
Плоский угол АОВ равен	плоскому	углу ВОС .
Будем считать эту дугу соответствующей	плоскому	углу АОВ .
Плоский угол АОВ равен	плоскому	углу KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
После выбора единицы измерения углов любому	плоскому	углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей	плоскости	— разные геометрические фигуры .
Как в координатной	плоскости	построить прямую с уравнением ? .
2.4 Для каких из указанных точек	плоскости	ордината больше удвоенной абсциссы ? .
На	плоскости	можно рассмотреть любой квадрат ABCD .
Рассмотрим на	плоскости	два различных луча ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую геометрическую фигуру называют углом ЛОВ .
Отметим на координатной	плоскости	точку А(1 ; k ) и проведём прямую ОА .
На координатной	плоскости	множество всех точек вида , где k — фиксированное число , есть прямая .
Посмотрим , как расположены на координатной	плоскости	точки с координатами ( х ; у ) , для которых .
Произвольную точку М	плоскости	соединили отрезком с вершиной А и подсчитали число точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
Выпуклыми фигурами являются , например , круг и закрашенная часть	плоскости	.
Найдите множество всех точек М	плоскости	таких , что проведённые из них к окружности S отрезки касательных равны АВ .
Следовательно , центральная симметрия тоже является перемещением	плоскости	.
4 Изобразите на координатной	плоскости	окружность , заданную уравнением .
24 В	плоскости	заданы две равные окружности .
Изображение множества решений уравнения с двумя неизвестными на координатной	плоскости	иногда называют графиком этого уравнения .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной	плоскости	, является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
Возьмём на координатной	плоскости	прямую и на этой прямой точку А(с ; d ) , где .
Наглядно перемещение можно представлять себе как передвижение копии треугольника АВС на	плоскости	или в пространстве до совпадения с треугольником .
Полученное множество решений уравнения удобно представить в виде множества точек на координатной	плоскости	.
2.3 Изображение прямолинейной зависимости на координатной	плоскости	.
График уравнения у 7х в координатной	плоскости	совпадает с графиком линейной функции .
11 Что такое перемещение	плоскости	? .
Симметрия относительно оси является перемещением	плоскости	, поэтому при симметрии относительно прямой каждая прямая переходит в прямую .
1.4 На	плоскости	заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
В координатной	плоскости	решения первого уравнения представляются точками графика функции .
2.3 На	плоскости	выбраны четыре различные точки А , В , С , D так , что отрезки АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена точка К пересечения прямых АВ и CD .
3 Изобразите на координатной	плоскости	все решения ( х ; у ) уравнения .
2.4 На	плоскости	заданы точки А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С центрами А и В и радиусами R и r проводятся окружности и строится отрезок CD их общей внешней касательной .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной	плоскости	график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Все точки вида ( 2 ; у ) образуют на координатной	плоскости	вертикальную прямую .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на	плоскости	отрезком АВ длиной 8 см ? .
1.2 На	плоскости	заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Две фигуры Ф1 и Ф2	плоскости	называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Часть	плоскости	, ограниченная многоугольником , называется многоугольной областью .
5 Как центральная симметрия связана с поворотами	плоскости	? .
3.4 Использование поворота	плоскости	для решения задач .
Как вы знаете , уравнение в координатной	плоскости	является уравнением окружности с центром F(1;-1 ) и радиусом .
В этой главе вы узнаете свойства и признаки параллелограмма , научитесь вычислять площадь параллелограмма , познакомитесь с центральной симметрией фигур на	плоскости	.
Выберем на	плоскости	точку О .
Изображение прямой на координатной	плоскости	.
Если на	плоскости	две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
2.2 На	плоскости	проведены три прямые .
2.1 На	плоскости	проведены четыре взаимно пересекающиеся прямые .
Две прямые на	плоскости	называются параллельными , если они не пересекаются .
4 Какой вид на координатной	плоскости	имеет множество всех точек ( х ; у ) при , где b — число ? .
1.1 На	плоскости	даны три параллельные прямые .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной	плоскости	треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением вершин треугольника ? .
Графиком функции ( функциональной зависимости ) называется множество всех точек координатной	плоскости	, координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
2.3 На	плоскости	построили три окружности с общим центром О и радиусами 3 см , 5 см и 8 см. Через точку О провели прямую .
Параллельность прямых на	плоскости	обладает следующими тремя основными свойствами .
На координатной	плоскости	точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на графике линейной функции .
11 Изобразите на координатной	плоскости	график уравнения .
Плоский угол — это часть	плоскости	, ограниченная двумя лучами с общей вершиной .
Пусть на	плоскости	заданы такие прямые АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что прямая MN — секущая для прямых АВ и CD .
Ранее говорилось , что поворот является перемещением	плоскости	.
Мы изучаем евклидову геометрию	плоскости	.
Закрашенные части	плоскости	являются плоскими углами .
Кажется очевидным , что многоугольник делит	плоскость	на две части .
Заметим , что построение двух непересекающихся прямых делалось в предположении , что	плоскость	может быть разбита на квадраты , как клетчатая бумага .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится	плоскость	при продолжении любой из сторон данного угла до целой прямой .
Рассмотрим	плоскость	, расчерченную как клетчатая бумага , и на ней две прямые .
Прямая m делит	плоскость	на две полуплоскости , обозначенные на буквами а и β .
Любой угол делит	плоскость	на две части .
13 Рассмотрим координатную	плоскость	с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
Вычисление	площадей	фигур , ограниченных отрезками .
Докажите , что площадь четырёхугольника PMQN равна сумме	площадей	треугольников АВР и CDQ .
Так как площадь пятиугольника равна сумме найденных	площадей	,
2 ) Если фигура составлена из двух неперекрывающихся частей , то площадь всей фигуры равна сумме	площадей	частей .
Площадь S трапеции равна сумме	площадей	треугольников ABD и BCD .
4 , то сумма площадей треугольников AMВ и CMD будет равна сумме	площадей	треугольников AMD и ВМС .
6 Чему равно отношение	площадей	двух треугольников с равными высотами ? .
В некоторых задачах важно обращать внимание на отношение	площадей	.
2.4 Отношение	площадей	.
По свойству	площадей	получаем формулу , совпадающую с формулой квадрата суммы двух чисел .
7 Чему равно отношение	площадей	двух треугольников с равными основаниями ? .
Треугольники каких	площадей	присутствуют ? .
2.3 Пример доказательства равенства	площадей	.
В этой главе вы вспомните многие известные свойства многоугольников , познакомитесь с понятием угла многоугольника , узнаете некоторые новые приёмы вычисления	площадей	.
Площадь параллелограмма равна сумме	площадей	треугольников ABD и BCD .
4 , то сумма	площадей	треугольников AMВ и CMD будет равна сумме площадей треугольников AMD и ВМС .
Тем самым вычисление площади четырёхугольника можно свести к задаче на вычисление	площадей	треугольников .
Например , площадь « буквы M » можно найти как сумму	площадей	двух прямоугольников .
В таком случае площадь треугольника АВС равна сумме	площадей	прямоугольных треугольников АВН и ВНС .
Найдём	площади	треугольников , на которые диагоналями разбит четырёхугольник .
Например , два полукруга имеют равные	площади	. 4 )
Площадь любого квадрата со стороной , равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей единице измерения	площади	.
Воспользуемся формулой	площади	прямоугольного треугольника для получения формулы площади произвольного треугольника .
Как доказать , что равные треугольники имеют равные	площади	? .
По формуле	площади	прямоугольного треугольника получаем .
Тогда полученное для	площади	трапеции значение запишется в виде формулы .
Иногда приходится находить	площади	фигур , которые не являются многоугольниками , но граница которых состоит из отрезков .
3.7 Формула	площади	трапеции .
2 Перечислите основные свойства	площади	.
Свойства	площади	.
Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника для получения формулы	площади	произвольного треугольника .
Если одна фигура содержит вторую фигуру , то площадь второй фигуры не больше	площади	первой фигуры .
Применение	площади	к вычислению радиуса вписанной окружности .
В этих обозначениях полученное в предыдущем пункте правило вычисления	площади	можно записать в виде формулы .
4.3 Пример на вычисление	площади	дополнением фигуры до треугольника .
Как оценить абсолютную погрешность формулы для	площади	круга , если R = 5 см ? .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины	площади	трапеции ABCD ? .
	Площади	равностороннего треугольника со стороной а .
Докажите , что площадь треугольника MCD равна половине	площади	трапеции .
Докажите , что площадь центральной части равна 1/9 от	площади	всей трапеции .
Докажите , что площадь средней части равна 1/3 от	площади	всей трапеции .
Для описанного около окружности многоугольника можно получить удобную для практического применения формулу	площади	.
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше	площади	треугольника АВС ? .
Запишем	площади	треугольников .
Для наглядности представим слагаемые как	площади	прямоугольников шириной 1 и высотами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и изобразим их .
Тогда сумма S5 получится равной	площади	фигуры .
Найдите	площади	этих треугольников , если основания трапеции 35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 .
Например , при сумма равна половине	площади	прямоугольника со сторонами , как это можно видеть .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления	площади	прямоугольного треугольника , где а и b — длины катетов .
С помощью приведённых формул можно вычислять	площади	многих фигур , например , на клетчатой бумаге .
Напомним основные свойства	площади	.
24 Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС пересекаются в точке Р. Докажите , что	площади	треугольников АВР и CDP равны .
Допустим , что в качестве единицы измерения	площади	выбрана площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом в 1 см .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к	площади	треугольника MNK .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение	площади	такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
2.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а высоты 6 см и 8 см. Какие значения	площади	параллелограмма возможны ? .
Докажите , что	площади	заштрихованных частей равны .
Проведём отрезки AM и BN , пересекающиеся в точке L. Докажем , что площадь четырёхугольника LNDM равна	площади	треугольника ABL .
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме квадратов со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше	площади	комнаты ? .
10 Через вершину параллелограмма проведите две прямые , которые делят параллелограмм на три части равной	площади	.
9 Через вершину параллелограмма проведите три прямые , которые делят параллелограмм на четыре части равной	площади	.
Следовательно , четырёхугольники АВСМ и BCDN равны , а поэтому их	площади	тоже равны .
Как доказать , что значение	площади	параллелограмма не зависит от того , в каком месте проводить высоту к данному основанию ? .
Площадь треугольника ABL можно получить , вычитая из	площади	четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML .
Основные свойства	площади	.
3.2 Вычисление	площади	параллелограмма .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к	площади	трапеции MNCD ? .
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из	площади	четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением	площади	трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
10 В треугольнике АВС	площади	S проведена средняя линия MN , параллельная стороне АВ .
Диагонали четырёхугольника ABCD	площади	60 см2 пересекаются в точке М причём .
Докажите , что площадь кольца между этими окружностями в соответствующих единицах измерения	площади	равна π .
9 Около окружности радиуса 25 мм описан многоугольник	площади	20 см2 .
16 Точка М — середина стороны АВ , CD ВС. Докажите , что	площади	треугольников AMN и CND равны .
Следовательно , площадь четырёхугольника ABCD равна	площади	треугольника BPD .
18 Выпуклый четырёхугольник ABCD разбивается диагоналями на четыре треугольника ABM , ВСМ , CDM , ADM ,	площади	которых соответственно равны S1 , S2 , S3 , S4 .
9 В треугольнике АВС	площади	72 см2 проведена медиана ВМ .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение	площади	треугольника АВС к площади треугольника MNK .
9 Докажите , что медианы разбивают треугольник на шесть равных по	площади	треугольников .
5 Какой вид имеет формула Пика для вычисления	площади	многоугольной области на клетчатой бумаге ? .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны	площади	ромба ? .
При каких тип площадь треугольника АКС будет составлять 1/7	площади	треугольника АВС ? .
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления	площади	треугольника по основанию а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа .
1.3 В треугольнике	площади	S проведена средняя линия .
Члены общества садоводов собираются поделить отведённую им землю на участки равной	площади	.
В предыдущем пункте последовательно закрашиваемые	площади	, выраженные в квадратных сантиметрах , образуют последовательность .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению	площади	квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
Вычисление	площади	четырёхугольника .
Тем самым вычисление	площади	четырёхугольника можно свести к задаче на вычисление площадей треугольников .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по	площади	треугольник и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
Докажите , что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равные по	площади	части .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление	площади	одного треугольника .
Площадь треугольника ОВР равна	площади	треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
Аналогично площадь треугольника ODP равна	площади	треугольника ADC .
1 Плата за квартиру состоит из а рублей оплаты коммунальных услуг и из b рублей за каждый квадратный метр жилой	площади	.
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление	площади	четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
Для вычисления	площади	круга , имеющего радиус 2 см , использована формула S 3,14 · 22 .
Если на клетчатой бумаге изобразить « жука » , то , разбивая « жука » на треугольники , параллелограммы , трапеции и находя их	площади	по известным формулам , можно найти общую площадь « жука » .
Вы учились вычислять	площади	многих геометрических фигур .
Найдите	площадь	.
2 На клетчатой бумаге найдите	площадь	фигуры , изображённой .
Найдите	площадь	фигуры .
И эта	площадь	меньше х на 100 соток .
Найдите длины сторон прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его	площадь	.
Обозначим через х общую	площадь	в сотках , а через у — количество человек в обществе .
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана	площадь	равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом в 1 см .
Обозначим	площадь	треугольника AMD буквой х , то есть .
а )	площадь	квадрата со стороной 5 см . б ) площадь круга с радиусом 6 см ? .
2.4 У каких из следующих параллелограммов	площадь	равна 36 см2 при данной стороне b и проведённой к этой стороне высоте h ? .
4 Как вычислить радиус вписанной в треугольник окружности , зная периметр и	площадь	треугольника ? .
а ) площадь квадрата со стороной 5 см . б )	площадь	круга с радиусом 6 см ? .
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и высотой h , проведённой к основанию , и найдите	площадь	треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
2.3 Какую	площадь	может иметь параллелограмм со сторонами 8 см и 10 см , у которого одна из высот равна 9 см ? .
Найдите	площадь	треугольника АВМ .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ	площадь	треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
Пусть М — число узлов клетчатой бумаги , находящейся внутри многоугольной области с вершинами в узлах сетки , К — число узлов на границе , включая вершины , и S —	площадь	многоугольной области .
Следовательно ,	площадь	четырёхугольника ABCD равна площади треугольника BPD .
Аналогично	площадь	треугольника ODP равна площади треугольника ADC .
1 По какой формуле вычисляется	площадь	треугольника ? .
По какой формуле можно вычислять	площадь	правильного шестиугольника со стороной а ? .
В этой главе вы узнаете свойства и признаки параллелограмма , научитесь вычислять	площадь	параллелограмма , познакомитесь с центральной симметрией фигур на плоскости .
1 Известно , что ZADB ZDCB 90 ° , AD 12 см , АВ 13 см , ВС 3 см. Найдите	площадь	четырёхугольника ABCD .
1.2 Чему равна	площадь	четырёхугольника , составленного из двух равнобедренных треугольников с общим основанием 6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
В каких единицах обычно измеряют	площадь	комнаты ? .
4 Два равных прямоугольных треугольника АВС и ACD имеют	площадь	3 см2 каждый .
Найдите	площадь	четырёхугольника ABCD , если AF b 5 см , FD b 3 см .
Чему равна	площадь	пятиугольника ΑΒΜΝΌ ? .
2.3 Из прямоугольника со сторонами а и b вырезали рамку шириной 1 см. При каких значениях а и b	площадь	рамки равна 20 см2 ? .
Чему равна	площадь	четырёхугольника ABCD , у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 см и 7 см ? .
3 По какой формуле можно вычислять	площадь	произвольного треугольника ? .
Если на клетчатой бумаге изобразить « жука » , то , разбивая « жука » на треугольники , параллелограммы , трапеции и находя их площади по известным формулам , можно найти общую	площадь	« жука » .
4 Как можно вычислить	площадь	четырёхугольника ? .
5 По какой формуле можно вычислять	площадь	равностороннего треугольника ? .
3 По какой формуле вычисляется	площадь	трапеции ? .
1 Найдите	площадь	ромба , если длины его диагоналей равны : а ) 3 см и 4 см ; б ) 5 см и 11 см ; в ) 1,25 дм и 0,39 дм .
2 По какой формуле вычисляется	площадь	параллелограмма ? .
1.3 В треугольнике АВС ,	площадь	которого равна 54 см2 , медианы пересекаются в точке Р. Чему равна площадь невыпуклого четырёхугольника АРВС ? .
1 По какой формуле можно вычислять	площадь	прямоугольного треугольника ? .
Таким образом ,	площадь	треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр .
2.2 Какую	площадь	может иметь параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см , у которого одна из высот равна 3 см ? .
Найдите	площадь	треугольника BMN .
1 Как можно вычислять	площадь	многоугольной области на клетчатой бумаге ? .
При каких тип	площадь	треугольника АКС будет составлять 1/7 площади треугольника АВС ? .
Как бы вы ещё вычислили	площадь	этой рамки ? .
После этого вычислим	площадь	рамки .
Площадь треугольника ABL можно получить , вычитая из площади четырёхугольника АВСМ	площадь	четырёхугольника BCML .
Так как , то	площадь	параллелограмма равна .
5 Найдите	площадь	параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и тупым углом в 150 ° .
4 Найдите	площадь	параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и острым углом в 60 ° .
3 Периметр ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. Найдите	площадь	ромба .
2.3 В треугольнике АВС ,	площадь	которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
2.2 Какую площадь может иметь невыпуклый четырёхугольник ABCD , если известно , что площадь треугольника АВС равна 28 см2 ,	площадь	треугольника ADC равна 15 см2 ? .
2 Найдите	площадь	параллелограмма ABCD , если известно , что .
2.2 Какую площадь может иметь невыпуклый четырёхугольник ABCD , если известно , что	площадь	треугольника АВС равна 28 см2 , площадь треугольника ADC равна 15 см2 ? .
1 Прямоугольный участок длиной 8 км имеет	площадь	400 га .
Чему равна	площадь	четырёхугольника AMNC ? .
2.2 Какую	площадь	может иметь невыпуклый четырёхугольник ABCD , если известно , что площадь треугольника АВС равна 28 см2 , площадь треугольника ADC равна 15 см2 ? .
3 По какой формуле можно вычислить	площадь	параллелограмма ? .
2 По какой формуле можно вычислять	площадь	равностороннего треугольника ? .
Найдём	площадь	равностороннего треугольника со стороной а .
7 Найдите	площадь	параллелограмма , зная его периметр р и высоты m и n .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях	площадь	треугольника CMN равна 1/3S ? .
1.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна 54 см2 , медианы пересекаются в точке Р. Чему равна	площадь	невыпуклого четырёхугольника АРВС ? .
Точка М расположена на высоте ВН так , что . Найдите	площадь	треугольника АМС .
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из площади четырёхугольника BCDM	площадь	четырёхугольника BCML .
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что . Найдите	площадь	треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 .
1.4 Какую наибольшую	площадь	может иметь параллелограмм со стороной 6 см и диагональю 10 см ? .
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что . Найдите площадь треугольника АМС , зная , что	площадь	треугольника АВС равна 81 см2 .
1.2 Какую наибольшую	площадь	может иметь параллелограмм со сторонами 12 см и 18 см ? .
1.1 У параллелограмма сторона равна 5 см , а проведённая к ней высота равна 17 см. Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
1.4 В треугольнике АВС ,	площадь	которого равна 18 см2 , на сторонах АВ и ВС выбраны точки М и N так , что . 1 .
Точки М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что . Найдите	площадь	треугольника MNK .
Площадь треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите	площадь	треугольника MNK .
Проведём отрезки AM и BN , пересекающиеся в точке L. Докажем , что	площадь	четырёхугольника LNDM равна площади треугольника ABL .
11 Проведите через заданную точку прямую , которая делит	площадь	данного параллелограмма пополам .
1.2 Если в треугольнике длина стороны 1,2 см , а длина высоты к ней равна 5 см , то удвоенная	площадь	треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
Чему равна	площадь	треугольника ABD ? .
2.2 При каких значениях стороны а и проведённой к ней высоты h	площадь	треугольника равна 66 см2 ? .
Как выглядит формула , где S —	площадь	равностороннего треугольника со стороной , равной а ? .
3 По какой формуле можно вычислять	площадь	описанного около окружности многоугольника ? .
Чему равна	площадь	равностороннего треугольника со стороной 1 км ? .
2.1 В каких из указанных случаев трапеция с основаниями а , b и высотой h имеет	площадь	больше 20 см2 ? .
11 В треугольнике АВС известны АВ 4 см , АС 7 см и	площадь	10 см2 .
Чему равна	площадь	треугольника , образованного средними линиями , если площадь данного треугольника равна S ? .
Отсюда следует , что	площадь	фигуры равна .
15 Выразите	площадь	параллелограмма через две его высоты h и Н и периметр Р .
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме квадратов со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая	площадь	будет больше площади комнаты ? .
Чему равна площадь треугольника , образованного средними линиями , если	площадь	данного треугольника равна S ? .
Так ,	площадь	« жука » можно найти новым способом .
Стороны полученного прямоугольника равны 5 и 6 , а поэтому его	площадь	равна .
Следовательно ,	площадь	шестиугольника ABCDEF равна .
10 Выразите квадрат стороны правильного шестиугольника через его	площадь	S .
В каком отношении делит	площадь	трапеции её средняя линия ? .
Найдите	площадь	четырёхугольника ABMN .
Чему равна	площадь	четырёхугольника ABCD , выраженная через площадь квадрата клетчатой бумаги ? .
Чему равна площадь четырёхугольника ABCD , выраженная через	площадь	квадрата клетчатой бумаги ? .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите	площадь	четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Чему равна	площадь	шестиугольника ABCDEF с точностью до 1 см2 ? .
14 Найдите	площадь	заштрихованной фигуры с вершинами в узлах сетки .
Точки М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите	площадь	четырёхугольника BMNC .
18 В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите	площадь	трапеции .
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит	площадь	трапеции её средняя линия .
Найдите	площадь	меньшего шестиугольника , если .
Найдите	площадь	трапеции , основаниями которой являются эти хорды .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите	площадь	трапеции .
Какой функцией от R определяется	площадь	S оконного проёма ? .
Найдите площади этих треугольников , если основания трапеции 35 см и 29 см , а её	площадь	256 см2 .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и	площадь	S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Докажите , что	площадь	кольца между этими окружностями в соответствующих единицах измерения площади равна π .
Найдите	площадь	трапеции .
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется	площадь	S таких трапеций в зависимости от х ? .
Теоретически	площадь	любого многоугольника можно найти , разбивая многоугольник на треугольники .
а ) сторона большего шестиугольника равна 4 см . б )	площадь	большего шестиугольника равна 20 см2 .
Докажите , что	площадь	треугольника MCD равна половине площади трапеции .
Докажите , что	площадь	центральной части равна 1/9 от площади всей трапеции .
После этого	площадь	« жука » можно вычислить по формуле Пика .
1.1 Чему равна	площадь	правильного шестиугольника со стороной 4 см ? .
Если одна фигура содержит вторую фигуру , то	площадь	второй фигуры не больше площади первой фигуры .
В таком случае	площадь	треугольника АВС равна сумме площадей прямоугольных треугольников АВН и ВНС .
1.1 Чему равна	площадь	трапеции с основаниями 5 см и 7 см и высотой 2 см ? .
1.4 В параллелограмме ABCD ,	площадь	которого равна 32 см2 , на сторонах ВС и CD отмечены точки М и N так , что .
Найдите	площадь	прямоугольника .
Найдём	площадь	равностороннего треугольника со стороной 2 см .
Как показать , что	площадь	трапеции равна произведению высоты трапеции на длину её средней линии ? .
Найдите	площадь	четырёхугольника MNKL .
Докажите , что	площадь	четырёхугольника PMQN равна сумме площадей треугольников АВР и CDQ .
Заметим , что общая	площадь	х отведённой земли равна 500 ( соток ) .
8 Периметр описанного около окружности многоугольника 60 см , а	площадь	многоугольника 240 см2 .
Чему равна	площадь	отсечённого ею треугольника ? .
Докажите , что	площадь	средней части равна 1/3 от площади всей трапеции .
9 По какой формуле можно вычислять	площадь	трапеции ? .
Найдите площадь заштрихованной на рисунке части , если	площадь	параллелограмма равна В .
13 В треугольнике АВС через вершину А проведите прямую , делящую	площадь	треугольника пополам .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев	площадь	трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
Найдём	площадь	шестиугольника ABCDEF , у которого все углы равны по 120 ° и АВ 6 см , ВС 8 см , CD 10 см , DE 10 см .
Общая закрашенная	площадь	равна .
2 ) Если фигура составлена из двух неперекрывающихся частей , то	площадь	всей фигуры равна сумме площадей частей .
Например ,	площадь	« буквы M » можно найти как сумму площадей двух прямоугольников .
Как можно вычислять	площадь	фигуры , имеющей ось симметрии ? .
Например , равносторонний треугольник имеет меньшую	площадь	, чем квадрат с такой же стороной .
Продолжив указанный процесс , каждый раз будем закрашивать часть ,	площадь	которой в два раза меньше , чем закрашенная на предыдущем шаге часть листа .
Так как	площадь	пятиугольника равна сумме найденных площадей ,
1.2 Чему равна	площадь	ромба со стороной 9 см , описанного вокруг окружности с радиусом 1 см ? .
После семи шагов получим , что самая маленькая закрашенная часть имеет	площадь	, а общая закрашенная площадь равна .
После семи шагов получим , что самая маленькая закрашенная часть имеет площадь , а общая закрашенная	площадь	равна .
Какую наименьшую	площадь	может иметь квадрат с вершинами в узлах клетчатой бумаги ? .
19 Выпуклый четырёхугольник разбили диагоналями на четыре треугольника , подсчитали	площадь	каждого из треугольников и получили следующие значения : 1994 см2 , 1995 см2 , 1996 см2 , 1997 см2 .
Найдите	площадь	заштрихованной на рисунке части , если площадь параллелограмма равна В .
Какой функцией определяется общая плата за квартиру жилой	площадью	х м2 ? .
Возьмём лист бумаги прямоугольной формы	площадью	18 см2 .
10 Постройте квадрат	площадью	в 32 см2 .
1.3 Чему равна высота , проведённая в параллелограмме с	площадью	25 см2 к стороне , длина которой равна 4 см ? .
Значок читается как «	плюс	бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в положительном направлении .
Представим себе , что от одной кувшинки оказалась покрытой половина	поверхности	озера .
Площадь S	поверхности	сферы радиуса R выражается формулой .
Через 30 дней от одной кувшинки покрытой оказывается вся	поверхность	озера .
Однако	подобное	определение не годится для невыпуклого четырёхугольника .
Приводя	подобные	члены в левой части числового равенства , получим равенство .
Приведя	подобные	в каждой части , получим : Умножим обе части последнего равенства на ненулевое число .
Приводя	подобные	члены в правой части числового равенства , получаем .
Приведём	подобные	члены в левой и правой частях неравенства .
Приведя	подобные	члены в левой и правой частях , получим , откуда следует , что .
Распределительный закон умножения позволяет сумму двух подобных одночленов , входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести	подобные	слагаемые .
Затем приведём	подобные	члены в левой и правой частях .
Одночлена	подобные	.
6 Приведите	подобные	слагаемые , если это возможно .
Приведём	подобные	слагаемые в многочлене .
Два одночлена называются	подобными	, если они либо равны , либо их можно записать так , что они будут отличаться только коэффициентами .
7 Какие слагаемые называют	подобными	? .
Будем считать , что многочлен имеет стандартную форму , если этот многочлен не имеет	подобных	слагаемых , при этом каждый входящий в него одночлен записан в стандартной форме .
Распределительный закон умножения позволяет сумму двух	подобных	одночленов , входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести подобные слагаемые .
Полученный многочлен не имеет	подобных	слагаемых .
Заменим каждую сумм	подобных	слагаемых на одно слагаемое .
В	подобных	случаях рассматриваемые величины называются зависимыми .
2.3 Укажите все выражения , которые после приведения	подобных	в многочленах становятся линейными уравнениями .
2.4 Укажите все выражения , которые после приведения	подобных	в многочленах не становятся линейными уравнениями .
8 Что называют приведением	подобных	слагаемых ? .
Такое же соглашение принято и в других	подобных	случаях : если , где а 0 , а не равно 1 и b 0 , то число n называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают logub .
В	подобных	ситуациях прибегают к специальным приёмам , облегчающим процедуру счёта , но дающим лишь приблизительное , ориентировочное значение .
После приведения	подобных	слагаемых наибольшая степень одночленов , составляющих многочлен , может уменьшиться .
Сумму	показателей	степеней переменных букв , равную , называют степенью этого одночлена .
Так как во втором параграфе для натуральных	показателей	это свойство доказано , то остаётся рассмотреть другие случаи .
Разберём доказательство третьего основного свойства степени для целых	показателей	.
В этой главе напоминается о степени числа , рассматриваются основные свойства степени и показывается , как понятие степени обобщается на случай целых и некоторых других	показателей	.
Для произвольных целых	показателей	второе основное свойство степени также остаётся верным .
Разберём доказательство второго основного свойства степени для целых	показателей	.
Рассмотрим число 210 и произведения степеней числа 2 , сумма	показателей	степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
Учитывая , что для натуральных	показателей	это свойство доказано во втором параграфе , рассмотрим другие случаи .
Таким образом , определяя для любого числа а 0 нулевую степень равенством , мы сохраняем свойства степеней , которые были установлены для натуральных	показателей	.
Во втором параграфе показано , что для натуральных	показателей	выполняется второе основное свойство степени , то есть , когда р и q — натуральные числа .
Во втором параграфе показано , что для натуральных	показателей	выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и натурального числа n .
Напомним , что для натуральных	показателей	m и n во втором параграфе установлено первое основное свойство .
Таким образом , для целых	показателей	также остаётся верным первое основное свойство степени .
Такое же свойство выполняется для произвольных целых	показателей	тип .
Для произвольных целых	показателей	третье основное свойство также остаётся верным .
1 Определение степени с натуральным	показателем	.
Почему первое основное свойство степени с целым	показателем	записывают только для ненулевого основания степени ? .
1.1 Степень с натуральным	показателем	.
Обычно числовой коэффициент пишут слева , а если буква входит в одночлен с	показателем	степени , равным 1 , то такой показатель , как правило , не пишут .
4 Запишите в виде степени с натуральным	показателем	.
Почему степени с отрицательным	показателем	определяются только для ненулевых чисел ? .
Также , по определению , для удобства считают , что степень числа а с	показателем	, равным 1 , равна а , то есть .
3 Степень с целым	показателем	.
2 Свойства степеней с натуральным	показателем	.
Вы знаете , что для степеней числа а с показателем 2 и	показателем	3 существуют отдельные названия , пришедшие к нам ещё от древних греков .
Вы знаете , что для степеней числа а с	показателем	2 и показателем 3 существуют отдельные названия , пришедшие к нам ещё от древних греков .
Степень ненулевого числа а с отрицательным целым	показателем	можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 .
Степень с целым	показателем	.
Таким образом третье основное свойство степени с целым	показателем	доказано .
2 Запишите в виде некоторой степени с натуральным	показателем	, большим 1 .
Степень с отрицательным	показателем	.
Какие свойства степени с целым	показателем	вы знаете ? .
Степень с нулевым	показателем	.
Степень с натуральным	показателем	.
1 Сформулируйте первое основное свойство степени с целым	показателем	.
При этом число 3 называют основанием степени , а число 5 называют	показателем	степени .
В этой записи число 2 является основанием степени , а число 4 —	показателем	степени .
3 Как определяется степень ненулевого числа а с целым отрицательным	показателем	? .
3 Сформулируйте и докажите третье основное свойство степени с целым	показателем	.
Глава 2 Степень с целым	показателем	.
1.2 Определение степени , если известна степень с предыдущим	показателем	.
Число аn иногда называют степенью числа а с натуральным	показателем	n.
2 Сформулируйте второе основное свойство степени с целым	показателем	.
Распространим понятие степени на целые	показатели	.
При умножении двух степеней с одинаковыми основаниями основание не меняется , а	показатели	степеней складываются .
При последовательном возведении в степень	показатели	степеней перемножаются .
В этом случае число 2 — основание степени , число 10 —	показатель	степени .
В этом случае число 10 — основание степени , а число 6 —	показатель	степени .
Степень ненулевого числа а с отрицательным целым показателем можно также определить следующим образом : пусть	показатель	степени равен — 1 .
Обычно числовой коэффициент пишут слева , а если буква входит в одночлен с показателем степени , равным 1 , то такой	показатель	, как правило , не пишут .
Для основания 2 и числа 16	показатель	степени 4 называют также логарифмом числа 16 по основанию 2 и используют запись .
5 Что такое	показатель	степени ? .
1.5 Логарифм — название для	показателя	степени .
1.4 Какой вид имеет строка биномиальных коэффициентов для	показателя	степени 4 ? .
Рассмотрим отношение степеней двух чисел с равными	показателями	, например .
Выбирая эти числа	показателями	при основании 2 , получим последовательность степеней числа 2 .
4.1 Произведение степеней с одинаковыми основаниями и целыми	показателями	.
4.3 Второе основное свойство степени с целыми	показателями	.
а ) числа 2 с натуральными	показателями	от 10 до 20 . б ) числа 3 с натуральными показателями от 1 до 10 .
Рассмотрим произведения степеней одного числа с целыми	показателями	.
Мы определили степени с натуральными	показателями	.
Также можно взять любое число а и рассмотреть последовательность степеней числа а с натуральными	показателями	.
4.2 Первое основное свойство степени с целыми	показателями	.
а ) числа 2 с натуральными показателями от 10 до 20 . б ) числа 3 с натуральными	показателями	от 1 до 10 .
в ) числа 5 с натуральными	показателями	от 1 до 6 .
4.5 Третье основное свойство степени с целыми	показателями	.
На каком месте в последовательности всех степеней числа 5 с натуральными	показателями	находится число 3125 ? .
4 Свойства степеней с целыми	показателями	.
В общем случае выполняется следующее свойство отношения степеней с равными	показателями	.
Длина пути S , пройденного телом при свободном падении в	поле	силы тяжести с ускорением g за время t при начальной нулевой скорости выражается формулой .
Значит , числа и положительны , поэтому их сумма	положительна	.
а ) их сумма	положительна	.
Какое число одновременно не отрицательно и не	положительно	? .
2.2 Десятичные приближения	положительного	числа с точностью до 1 .
Рассмотрим теперь общее понятие десятичных приближений	положительного	числа а .
Для любого	положительного	числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Сформулируем правило округления	положительного	числа до разряда десятков .
Десятичные приближения	положительного	числа с заданным числом знаков после запятой .
Аналогично для любого	положительного	числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
2.5 Десятичные приближения	положительного	числа .
3.5 Округление	положительного	числа до разряда десятков .
если цифра разряда единиц в записи	положительного	числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
Аналогично определяются округления	положительного	числа до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
Что называется квадратным корнем из	положительного	числа а ? .
3.6 Правило округления	положительного	числа до разряда 10 m .
Если цифра разряда единиц в записи	положительного	числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Десятичные приближения	положительного	числа с точностью до целой разрядной единицы .
Для любого	положительного	числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Сформулируем правило округления	положительного	числа до разряда 10 m , где m — натуральное число .
Аналогично для любого	положительного	числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других дробных разрядных единиц .
Округление	положительного	числа .
Аналогично для любого	положительного	числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других целых разрядных единиц .
11 Приведите примеры	положительного	и отрицательного чисел , таких , что .
3.4 Округление	положительного	числа до разряда единиц .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи	положительного	числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи	положительного	числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
Сформулируем общее правило округления	положительного	числа до некоторого разряда после запятой .
3.3 Правило округления	положительного	числа до некоторого разряда после запятой .
При этом абсолютная погрешность результата округления	положительного	числа до n - го разряда после запятой не превосходит половины той же разрядной единицы .
Для любых чисел а , b и любого	положительного	числа с имеет место свойство : если а и с , то .
Аналогично , если в записи	положительного	числа d цифра третьего разряда после запятой .
Аналогично определяются округления	положительного	числа до первого разряда после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления	положительного	числа до второго разряда после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
3 Сформулируйте правило округления	положительного	числа до m - го разряда после запятой .
Аналогично , если в записи	положительного	числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
5 Сформулируйте правило округления	положительного	числа до разряда единиц .
7 Сформулируйте правило округления	положительного	числа до разряда десятков .
Аналогично , если в записи	положительного	числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Округление	положительного	числа до других разрядов после запятой .
8 Сформулируйте правило округления	положительного	числа до разряда 10 m , где m — натуральное число .
Округление	положительного	числа до второго разряда после запятой .
Если цифра разряда 10m-1 в записи	положительного	числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
1 Сформулируйте правило округления	положительного	числа до второго разряда после запятой .
Произведение	положительного	числа на отрицательное — отрицательно .
Тогда для	положительного	числа b определено его десятичное приближение d снизу с точностью до 10 m.
Для	положительного	числа b определено также его десятичное приближение h сверху с точностью до 10 m.
1 Что называется целой частью	положительного	числа ? .
2 Как вы понимаете слова « дробная часть	положительного	числа » ? .
3 Что называется десятичным приближением	положительного	числа снизу с точностью до 1 ? .
4 Что называется десятичным приближением	положительного	числа сверху с точностью до 1 ? .
5 Что называется десятичным приближением	положительного	числа снизу с точностью до 0,01 ? .
6 Что называется десятичным приближением	положительного	числа сверху с точностью до 0,01 ? .
7 Что называется десятичным приближением	положительного	числа снизу с точностью до 101 ? .
Если цифра разряда 10m-1 в записи	положительного	числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
2.1 Целая и дробная части	положительного	числа .
8 Что называется десятичным приближением	положительного	числа сверху с точностью до 104 ? .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи	положительного	числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
9 Что называется десятичным приближением	положительного	числа снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m — натуральное число ? .
10 Что называется десятичным приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для	положительного	числа , где m — натуральное число ? .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи	положительного	числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
Сформулируем правило округления	положительного	числа до разряда единиц .
2.2 Пусть b — фиксированное	положительное	число .
11 Сформулируйте свойство об умножении на	положительное	число обеих частей неравенства .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное	положительное	число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Получаем , что сумма этих положительных чисел —	положительное	число .
Умножив обе части этого неравенства на	положительное	число , получим неравенство .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти	положительное	значение неизвестного х и целое положительное значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Умножив обе части этого неравенства на	положительное	число 2 , получим неравенство .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число	положительное	, нулю равен только квадрат числа нуль .
Как доказать , что если r —	положительное	число , то неравенство равносильно неравенству .
Пусть r —	положительное	число .
1.8 Умножение на	положительное	число обеих частей неравенства .
Рассмотрим	положительное	число а , записанное в виде десятичной дроби , например а 42,4056 .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти положительное значение неизвестного х и целое	положительное	значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Сумма чисел разных знаков может быть отрицательной ,	положительной	или нулём .
Таким образом , сумма двух чисел разного знака может оказаться или	положительной	, или отрицательной , или равной нулю .
Значок читается как « плюс бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль числовой оси в	положительном	направлении .
5 Как обозначаются промежутки , неограниченно продолженные в	положительном	направлении ? .
Следовательно , число в формуле линейной функции характеризует угол наклона прямой к	положительному	направлению оси Ох .
Возьмём	положительную	десятичную дробь , которая не является целым числом , например , а 42,4056 .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в	положительную	сторону , с началом в точке -2 .
Пусть а , b	положительны	.
Если левые и правые части неравенств	положительны	, то почленное произведение неравенств одного направления является неравенством того же направления .
Пусть числа a , b , с , d	положительны	.
Заметим , что в этом примере части неравенств были как	положительны	, так и отрицательны .
Значит , числа и	положительны	, поэтому их сумма положительна .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти	положительные	значения неизвестных х и у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым	положительным	числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Если а2 b 0 , то число а не является ни	положительным	, ни отрицательным .
Дополнительно в случае , когда d является целым	положительным	числом , его целая часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с	положительным	направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
2 Какое число называют	положительным	? .
В случае , когда 100d является целым	положительным	числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми	положительными	координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
7 Сформулируйте утверждение о почленном умножении двух неравенств одного направления с	положительными	частями неравенств .
Как геометрически при	положительных	а и b объяснить равенство ? .
При	положительных	а и b формула имеет наглядный геометрический смысл .
Иногда , как и для	положительных	чисел , знак в обозначении опускают .
Как дать геометрическую иллюстрацию формуле для	положительных	а > b ? .
5 Какой знак имеет произведение	положительных	чисел ? .
Далее , произведение	положительных	чисел положительно , поэтому .
Получаем , что сумма этих	положительных	чисел — положительное число .
4 Какой знак имеет сумма	положительных	чисел ? .
4 Чему равен квадратный корень из произведения двух	положительных	чисел ? .
12 Докажите , что для любых	положительных	чисел a и b верно неравенство .
Как иначе можно назвать множество всех целых	положительных	чисел ? .
Такое свойство выполняется для любых двух	положительных	чисел : если .
Для любых	положительных	чисел а , b , с и d , если .
Для	положительных	чисел а и b произведение а b можно записать в виде .
Разные искусственные приёмы позволяют использовать формулу ( 2 ) для извлечения квадратных корней чуть ли не из любых	положительных	чисел .
Возьмём любые два	положительных	числа а и b , например .
Например , два	полукруга	имеют равные площади . 4 )
Пусть прямоугольник имеет заданный периметр Р , а радиус R	полукруга	изменяется .
4 Оконный проём имеет форму прямоугольника с надстроенным над ним	полукругом	, как изображено .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих	полуокружностей	.
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две	полуокружности	: радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Каждая такая дуга является	полуокружностью	.
— периметр треугольника . —	полупериметр	треугольника .
12 Как связан	полупериметр	р треугольника с вневписанной окружностью ? .
Таким образом , площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на	полупериметр	.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна	полусумме	оснований .
Рассмотрим число а 5,29817 , которое имеет те же самые десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же	полусумму	этих приближений , что и в примере 1 .
Для числа а рассмотрим десятичное приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также	полусумму	этих приближений .
Рассмотрим число а 5,295 , которое имеет те же самые десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же	полусумму	этих приближений , что и в примерах 1 и 2 .
11 Докажите , что длина медианы треугольника меньше	полусуммы	сторон , выходящих из той же вершины , что и медиана .
Найти сумму в которой в	порядке	убывания записаны все целые числа от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
В результате появляется последовательность чисел , расположенных в таком	порядке	.
Обозначим слагаемые в	порядке	их следования , так далее .
2.1 Какие из приведённых наборов чисел , записанных в указанном	порядке	, являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии ? .
1 Какие примеры	последовательностей	вы знаете ? .
2.2 Какие из приведённых	последовательностей	с членами аn , где nb 1 , 2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
2.4 Какие из приведённых	последовательностей	с членами аn , где пb 1,2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
Решение линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде	последовательности	уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
На каком месте в	последовательности	всех степеней числа 5 с натуральными показателями находится число 3125 ? .
Для записи бесконечной последовательности в общем виде удобно члены	последовательности	обозначать так .
1 Запишите семь начальных членов	последовательности	с общим членом аn .
Для записи бесконечной	последовательности	в общем виде удобно члены последовательности обозначать так .
Решение этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде	последовательности	уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
Аналогичные рассуждения можно провести и для вычисления суммы любого числа начальных членов рассматриваемой	последовательности	.
1.2 Чему равно произведение первых трёх чисел из	последовательности	степеней числа 2 ? .
1.3 На каком месте в	последовательности	степеней числа 3 находится число , равное 273 ? .
Число а1 называют первым членом этой	последовательности	, число а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим членом и так далее .
Для этой	последовательности	. Получаем , что разность аn+1 - аn не зависит от n и равна .
При таком способе записи можно сразу же определить , на каком месте стоит тот или иной член	последовательности	.
Например , а10 стоит на десятом месте от начала	последовательности	.
Число аn называют n - м членом этой	последовательности	.
Каждый следующий элемент этой	последовательности	в два раза меньше стоящего перед ним элемента , то есть получается умножением на число .
Рассмотрим	последовательность	, n - й член которой вычисляется по формуле .
Данная	последовательность	является примером геометрической прогрессии .
Для выяснения , является ли данная	последовательность	арифметической прогрессией , достаточно убедиться , что разность между каждым её членом , начиная со второго , и предыдущим членом постоянна .
2 Какую	последовательность	называют арифметической прогрессией ? .
Арифметической прогрессией называется	последовательность	для которой разности равны одному и тому же числу .
2 Докажите , что	последовательность	хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 Найдите первый член и разность арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть	последовательность	значений линейной функции при натуральных значениях х ? .
Полученная	последовательность	является примером арифметической прогрессии .
Отсюда следует , что	последовательность	чисел a1 а2 , а3 , является арифметической прогрессией с первым членом и разностью .
В результате появляется	последовательность	чисел , расположенных в таком порядке .
В предыдущем пункте последовательно закрашиваемые площади , выраженные в квадратных сантиметрах , образуют	последовательность	.
Следовательно ,	последовательность	, заданная формулой , является арифметической прогрессией с разностью .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую	последовательность	чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Как доказать , что	последовательность	, n - й член которой вычисляется по формуле , является арифметической прогрессией ? .
Чтобы получить ответ при решении неравенства , используя правила 1 - 7 , можно записать	последовательность	неравенств , каждое из которых равносильно заданному неравенству .
5 Какую	последовательность	называют геометрической прогрессией ? .
4 Как вы понимаете	последовательность	? .
Выбирая эти числа показателями при основании 2 , получим	последовательность	степеней числа 2 .
Запишем с пояснениями	последовательность	равносильных неравенств .
Также можно взять любое число а и рассмотреть	последовательность	степеней числа а с натуральными показателями .
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом и разностью , то есть	последовательность	натуральных чисел .
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного уравнения , выражение —	правая	часть этого уравнения .
Уравнение , в котором левая и	правая	части являются линейными выражениями , называется линейным уравнением .
Неравенство , в котором левая и	правая	части являются линейными выражениями , называется линейным неравенством .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих	правее	второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для прямой обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную	правее	точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Если точка а расположена	правее	точки b , то расстояние между а и b не превосходит расстояния между а2 и b , то есть .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную	правее	точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих	правее	второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено	правее	числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено	правее	на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
11 Середины сторон	правильного	шестиугольника последовательно соединены между собой , так что получается меньший шестиугольник .
Докажите , что середины сторон правильного шестиугольника являются вершинами другого	правильного	шестиугольника .
1.1 Чему равна площадь	правильного	шестиугольника со стороной 4 см ? .
5 Найдите внутренние углы	правильного	: а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
13 Точки А , В , С , D , Е являются вершинами	правильного	пятиугольника и соединены так , что образуют пятиконечную звезду .
Докажите , что середины сторон	правильного	шестиугольника являются вершинами другого правильного шестиугольника .
10 Выразите квадрат стороны	правильного	шестиугольника через его площадь S .
Чему равны углы	правильного	пятиугольника ( то есть пятиугольника , в котором все стороны равны и все углы равны ) ? .
2.2 Какой может быть сумма внутренних углов	правильного	многоугольника ? .
13 Для	правильного	шестиугольника со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и вписанная окружности .
По какой формуле можно вычислять площадь	правильного	шестиугольника со стороной а ? .
2.2 Какой может быть сумма внутренних углов	правильного многоугольника	? .
13 Для	правильного шестиугольника	со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и вписанная окружности .
Докажите , что середины сторон	правильного шестиугольника	являются вершинами другого правильного шестиугольника .
Докажите , что середины сторон правильного шестиугольника являются вершинами другого	правильного шестиугольника	.
1.1 Чему равна площадь	правильного шестиугольника	со стороной 4 см ? .
По какой формуле можно вычислять площадь	правильного шестиугольника	со стороной а ? .
10 Выразите квадрат стороны	правильного шестиугольника	через его площадь S .
11 Середины сторон	правильного шестиугольника	последовательно соединены между собой , так что получается меньший шестиугольник .
1.3 Укажите	правильное	разложение .
Что вы знаете о	правильном	шестиугольнике ? .
Что вы знаете о	правильном шестиугольнике	? .
Какие из равенств	правильны	? .
Укажите все	правильные	варианты ответа .
2.4 Выберите все	правильные	утверждения .
Укажите все	правильные	варианты ответов .
Укажите все	правильные	варианты ответа из заданных .
2.4 В окружность с центром О вписан некоторый	правильный	многоугольник , одной из сторон которого является отрезок АВ .
6 Постройте	правильный	шестиугольник по стороне .
1.2 В окружность с центром О вписан	правильный	n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
При каком угле а стороны равнобедренных треугольников образуют	правильный	шестиугольник ? .
Примером выпуклого многоугольника может служить любой	правильный	шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
Укажите	правильный	вариант ответа .
1.4 Сколько внутренних углов имеет	правильный	50-угольник ? .
параллелограмм с проведённой диагональю . 2 )	правильный	треугольник с проведённой средней линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
7 Существует ли	правильный	многоугольник с внутренним углом в ( 180 - 10 - 6 ) градусов ? .
Рассмотрим	правильный	шестиугольник ABCDEF .
7 Существует ли	правильный многоугольник	с внутренним углом в ( 180 - 10 - 6 ) градусов ? .
2.4 В окружность с центром О вписан некоторый	правильный многоугольник	, одной из сторон которого является отрезок АВ .
параллелограмм с проведённой диагональю . 2 )	правильный треугольник	с проведённой средней линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
6 Постройте	правильный шестиугольник	по стороне .
Рассмотрим	правильный шестиугольник	ABCDEF .
При каком угле а стороны равнобедренных треугольников образуют	правильный шестиугольник	? .
Примером выпуклого многоугольника может служить любой	правильный шестиугольник	, то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
6 У каких	правильных	n - угольников внутренние углы выражаются целым числом градусов ? .
При	правильных	вычислениях получится 42k2 .
в ) крайнее	правое	число в 91-й строке . г ) второе справа число в 91-й строке .
Приведём подобные члены в левой и	правой	частях неравенства .
8 Какое правило о перестановке	правой	и левой частей неравенства вы знаете ? .
Покажем теперь , что все точки графика Г уравнения , содержащиеся в	правой	полуплоскости , расположены на луче ОА .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в	правой	полуплоскости , — это все точки луча ОА .
Другими словами , все точки графика Г уравнения , лежащие в	правой	полуплоскости , расположены на луче ОА .
Затем приведём подобные члены в левой и	правой	частях .
Отрезки FB и FM являются касательными к	правой	окружности , проведёнными из точки F , а поэтому .
Но в	правой	части корень легко извлекается , следовательно .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или	правой	части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
Квадратные корни из левой и	правой	частей этого приближённого равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
Приведя подобные члены в левой и	правой	частях , получим , откуда следует , что .
В неравенстве выражение А(х ) называют левой частью неравенства , выражение В(х ) —	правой	частью неравенства .
В уравнении выражение А(х ) называют левой частью уравнения , выражение В(х ) —	правой	частью уравнения .
1 Запишите уравнение , не содержащее неизвестных в	правой	части , равносильное уравнению .
В неравенстве выражение С ( х ) называют левой частью неравенства , выражение D ( х ) —	правой	частью неравенства .
Таким образом , при вычёркивании одинаковых множителей с неизвестным в левой и	правой	частях уравнения ( то есть при сокращении на такой множитель ) равносильность может нарушаться .
1.3 Точки графика прямой пропорциональной зависимости в	правой	полуплоскости .
В	правой	части приведённых формул стоят произведения чисел , постоянных и переменных букв .
11 Что произойдёт с множеством решений , если к левой и	правой	частям неравенства прибавить всюду определённое выражение ? .
2.9 Замена левой или	правой	части неравенства на тождественно равное выражение .
Если зачеркнуть в левой и	правой	частях одинаковый множитель , то получится уравнение , которое имеет только один корень -1 .
Для применения на практике формулы необходимо знать её погрешность , то есть оценку модуля разности между её левой и	правой	частями .
Логарифм левой части этого равенства запишется в виде Логарифм	правой	части равенства по определению равен .
В предыдущем пункте показано , что для графика Г уравнения при частью графика Г в	правой	полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) .
Приводя подобные члены в	правой	части числового равенства , получаем .
10 Какие правила об умножении левой и	правой	частей неравенства вы знаете ? .
12 Сформулируйте правило о замене левой или	правой	части неравенства на тождественно равное выражение .
Левая часть этого уравнения тождественно равна	правой	части , потому что .
Почленной суммой двух равенств называется новое равенство в	правой	части которого стоит сумма правых , а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
Оно имеет только один корень Поменяем местами левую и	правую	части уравнения и получим новое уравнение .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и	правую	части , корень или решение нестрогого неравенства А(х ) > В(х ) .
4 Решите системы ( предварительно умножьте	правую	и левую части первого уравнения . ( Предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения на 2 ) .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и	правую	части , корень или решение нестрогого неравенства А(х ) < В(х ) .
4 Решите системы ( предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения . ( Предварительно умножьте	правую	и левую части первого уравнения на 2 ) .
Поменяем местами	правую	и левую части и получим новое тождество .
( Предварительно умножьте	правую	и левую части первого уравнения на 3/5 ) .
Поменяем местами	правую	и левую части уравнения .
Для сравнения между собой обратных к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и	правую	части исходного неравенства домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
Заменим	правую	часть на тождественно равное выражение .
Поэтому	правые	части этих равенств равны .
Если левые и	правые	части неравенств положительны , то почленное произведение неравенств одного направления является неравенством того же направления .
Складывая соответственно левые и	правые	части этих уравнений , получаем .
Складывая соответственно левые и	правые	части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
Сложим	правые	и левые части полученных уравнений .
Заменим левый конец промежутка на его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , а	правый	конец промежутка — на его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 и получим промежуток [ 0,86 ; 0,89 ] , в котором заведомо находится значение искомого отношения .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное значение измеряемой величины принадлежит промежутку на числовой прямой , левым концом которого является приближение снизу , а	правым	— приближение сверху .
Почленной суммой двух равенств называется новое равенство в правой части которого стоит сумма	правых	, а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
Для любых чисел из неравенств после сложения левых и	правых	частей этих неравенств получаем неравенство или .
Таким образом , мы получаем возможность измерять любой плоский угол , причём градусная мера плоского угла может быть любой в	пределах	от 0 ° до 360 ° .
Какие из измерений дадут погрешность для количества муки , содержащегося в пакете , в	пределах	от ( -50 ) до 50 граммов ? .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то ,	прибавив	к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то ,	прибавив	к обеим частям неравенства число -D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
Для этого	прибавим	к нему и вычтем из него слагаемое .
Сначала	прибавим	к обеим частям выражение .
Второе неравенство получается из первого , если к каждой из частей первого неравенства	прибавить	число 5 .
Сколько килограммов второго сплава нужно	прибавить	к 20 килограммам первого сплава , чтобы получить сплав , содержащий 32 % серебра ? .
Если	прибавить	к обеим частям последнего числового неравенства числовое значение D(c ) , то либо по свойству получим строгое неравенство , либо получим равенство .
17 Запишите , какое неравенство получится , если к обеим частям неравенства	прибавить	.
11 Что произойдёт с множеством решений , если к левой и правой частям неравенства	прибавить	всюду определённое выражение ? .
Если	прибавить	к обеим частям последнего числового неравенства числовое значение D(c ) , то по свойству получим неравенство .
Продолжительность года , равная 365,25 , также	приближённая	.
3 Какой вид имеет	приближённая	формула для нахождения квадратного корня из числа , близкого к единице ? .
Следовательно , справедлива	приближённая	формула .
1 Какой вид имеет	приближённая	формула для нахождения результата от деления единицы на число , близкое к единице ? .
Это и есть искомая	приближённая	формула .
Пика	приближённого	квадратного корня .
По правилу оценки абсолютной погрешности произведения	приближённого	значения некоторой величины и фиксированного числа получаем .
4.4 Умножение	приближённого	значения на фиксированное число .
Пика	приближённого	значения частного .
По правилу умножения точного и	приближённого	значений находим ответ с погрешностью , не превосходящей .
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность произведения	приближённого	значения b величины а и фиксированного числа с .
Правило	приближённого	значения .
Для записи	приближённого	значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из натурального числа от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
6 Найдите произведение	приближённого	значения 2,5 0,05 и числа 1,23 .
В примере 1 абсолютная погрешность	приближённого	значения 127,5 из промежутка не больше 0,5 ( г ) .
По правилу умножения точного и	приближённого	значений находим , что с погрешностью , не превосходящей 0,905 .
3 Как применять формулу для	приближённого	вычисления частного двух близких друг к другу чисел ? .
Абсолютная погрешность произведения	приближённого	значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
Квадратные корни из левой и правой частей этого	приближённого	равенства также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
5 Чему равна абсолютная погрешность произведения	приближённого	значения некоторой величины и фиксированного числа ? .
1 По формуле найдите	приближённое	значение частного .
Обозначим через b какое - нибудь	приближённое	значение данной величины из промежутка .
3 Найдите	приближённое	значение суммы а и b с абсолютной погрешностью не более 0,01 .
1.2 Какое из приведённых значений лучше всего принять за	приближённое	значение .
3 По формуле найдите	приближённое	значение корня и оцените абсолютную погрешность .
10 Найдите с помощью графиков	приближённое	значение корня уравнения .
Пусть b —	приближённое	значение величины а , абсолютная погрешность которого не превосходит р , то есть .
Иногда	приближённое	значение легче себе представить и запомнить .
Какое	приближённое	значение длины гарантирует наименьшую оценку абсолютной погрешности ? .
2.2 За	приближённое	значение суммы величин выбрали число 20,5 .
7 Как надо выбрать	приближённое	значение массы в предыдущей задаче , чтобы оценка его абсолютной погрешности была наименьшей ? .
1.2 Какое	приближённое	значение отношения получится , если применить приближённую формулу ? .
6 Найдите	приближённое	значение частного и оцените абсолютную погрешность .
5 Найдите	приближённое	значение частного .
4 Найдите	приближённое	значение частного и оцените абсолютную погрешность .
3 Найдите	приближённое	значение частного .
9 Найдите с помощью графиков	приближённое	значение корня уравнения .
8 Найдите с помощью графиков	приближённое	значение корня уравнения .
2 По формуле найдите	приближённое	значение частного и оцените абсолютную погрешность .
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти	приближённое	значение частного при помощи сложений , вычитаний и умножений .
7 Приближённое значение стороны квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите	приближённое	значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
При попытке найти квадратный корень из числа 12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим	приближённое	значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Так как	приближённое	значение π 3,14 найдено по правилам округления , то абсолютная погрешность этого приближения числа π не превосходит 0,005 .
Для точки К приближённое значение абсциссы равно 0,7 , а	приближённое	значение ординаты равно 1,3 .
Пусть в результате измерений величины а получено её	приближённое	значение b.
Пренебрегая малым слагаемым превратим точное равенство в	приближённое	.
Для точки К	приближённое	значение абсциссы равно 0,7 , а приближённое значение ординаты равно 1,3 .
7 Что можно сказать о точном значении величины , если известно её	приближённое	значение и оценка сверху абсолютной погрешности ? .
Вычислим	приближённое	значение .
2.3 Какие из приведённых равенств получаются с помощью	приближённой	формулы ? .
Преобразуем эту дробь так , чтобы стало возможным использование	приближённой	формулы .
2.4 Какие из приближённых равенств можно получить с помощью	приближённой	формулы ? .
2 Как пользоваться таблицей погрешностей	приближённой	формулы ? .
2.3 Какие из приближённых равенств получаются с помощью	приближённой	формулы ? .
2.4 Какие из приведённых равенств можно получить с помощью	приближённой	формулы ? .
6 Приближённое извлечение квадратных корней . 6.1 О	приближённом	извлечении квадратных корней .
1.1 О	приближённом	измерении величин .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует	приближённому	значению 0,97 для величины , обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует	приближённому	значению величины , обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
2.1 Используя	приближённую	формулу , определите , какие отношения вычисляются с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
1.2 Какое приближённое значение отношения получится , если применить	приближённую	формулу ? .
6 Найдите	приближённую	длину диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя	приближённую	формулу , определите , какой из приведённых результатов соответствует приближённому значению величины , обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
1.3 Используя	приближённую	формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для величины , обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
Какую	приближённую	формулу для вычисления — вы можете предложить ? .
2.2 Используя	приближённую	формулу , определите , какие из частных можно вычислить с абсолютной погрешностью , меньшей 0,001 .
Составим выражение и подберём подходящую	приближённую	формулу для его вычисления .
5 Найдите	приближённую	длину диагонали квадрата , сторона которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
Пусть а1,иа2 — точные , а b1 и b2 —	приближённые	значения некоторых величин .
4 Найдите	приближённые	значения квадратных корней из следующих чисел и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
Каковы	приближённые	значения длины отрезка , абсолютная погрешность которых не больше 0,7 мм ? .
Таким образом , система имеет два решения , для которых	приближённые	значения .
6 Как получить графически	приближённые	решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ? .
Всякое число , заключённое между приближениями сверху и снизу , может считаться	приближённым	значением измеряемой величины .
4 Определите абсолютную погрешность при замене числа 283 572	приближённым	значением .
4 Что можно считать	приближённым	значением измеряемой величины ? .
Итак , является	приближённым	значением разности причём погрешность этого приближения не превосходит .
Следовательно , поэтому b1 b2 является	приближённым	значением суммы а1 а2 , погрешность которого не превосходит р1 р2 .
5 Определите абсолютную погрешность при замене дроби 0,8432	приближённым	значением .
Произведение bс является	приближённым	значением для ас .
Если известно , что абсолютная погрешность измерения не больше некоторого числа р , то можно гарантировать , что разность между точным и	приближённым	значениями удовлетворяет неравенству .
По правилу сложения приближений определяем , что число является	приближённым	значением суммы , причём абсолютная погрешность этого приближения не больше Значит .
Поэтому	приближёнными	значениями разумно считать только натуральные числа из интервала между приближениями с избытком и недостатком .
1 Точными или	приближёнными	являются следующие данные ? .
2.1 Какие из указанных чисел являются	приближёнными	значениями 3 с избытком ? .
4 Действия с	приближёнными	значениями . 4.1 Как возникают високосные годы .
В этой главе вы познакомитесь с исходными понятиями вычислительной математики : приближениями , погрешностями , округлением ,	приближёнными	вычислениями .
Докажем правильность построения общей внешней касательной , которое	приведено	в предыдущем пункте , и проведём исследование .
Это значение совпадает с тем , которое	приведено	в предыдущем пункте .
4 Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и	приведите	её доказательство .
5 Сформулируйте теорему о медианах треугольника и	приведите	её доказательство .
Затем	приведём	подобные члены в левой и правой частях .
Можно доказать , что	приведённое	в данном пункте определение тождественного равенства многочленов совпадает с определением тождественного равенства буквенных выражений .
Поэтому несём в	приведённые	выше рассуждения следующие изменения .
2.3 Изображён угол с вершиной С. Какие из	приведённых	записей не являются обозначениями этого угла ? .
1.4 Какая из	приведённых	систем не имеет решений ? .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из	приведённых	случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из	приведённых	погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для величины , обратной к числу 1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
2.4 Какие из	приведённых	зависимостей являются линейными ? .
1.2 Какое из	приведённых	значений лучше всего принять за приближённое значение .
1.3 С помощью формулы определите , какой из	приведённых	результатов является верным для 0,87
2.3 Какие из	приведённых	зависимостей не являются линейными ? .
Может показаться , что из	приведённых	рассуждений мы сразу же получаем четырёхугольник CDLK , который можно видеть .
2.1 Значения каких из	приведённых	выражений равны 25 ? .
2.2 Для каких из	приведённых	уравнений некоторыми решениями в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
С помощью	приведённых	формул можно вычислять площади многих фигур , например , на клетчатой бумаге .
Какие из	приведённых	чисел не могут быть точным значением измеряемой величины ? .
Какие из	приведённых	величин могут быть точным значением этой величины ? .
с абсолютной погрешностью 0,01 . 3 ) с абсолютной погрешностью 0,001 . 4 ) с абсолютной погрешностью 0,0001 . 1.4 Используя приближённую формулу , определите , какой из	приведённых	результатов соответствует приближённому значению величины , обратной к 1,001 . 1 ) 0,99 с абсолютной погрешностью , меньшей 0,01 .
В каких из	приведённых	случаев выбора длины основания ВС отрезки ВК и CL не имеют общей точки ? .
1.4 С помощью формулы определите , какой из	приведённых	результатов является верным для 1,03
2.1 Какие из	приведённых	неравенств выполняются всегда .
2.2 Какие из	приведённых	последовательностей с членами аn , где nb 1 , 2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
2.4 Прямая пропорциональная зависимость задана формулой Какие из	приведённых	утверждений верны ? .
2.4 Какие из	приведённых	равенств можно получить с помощью приближённой формулы ? .
2.4 Какие из	приведённых	утверждений всегда верны ? .
2.2 Какие из	приведённых	значений меньше 6 ? .
2.1 Какие из	приведённых	наборов чисел , записанных в указанном порядке , являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии ? .
2.4 Какие из	приведённых	последовательностей с членами аn , где пb 1,2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
В правой части	приведённых	формул стоят произведения чисел , постоянных и переменных букв .
Среди	приведённых	чисел укажите наименьшее .
2.3 Какие из	приведённых	чисел являются членами арифметической прогрессии с общим членом .
2.4 Какие из	приведённых	рисунков являются графиками прямолинейных зависимостей у от х ? .
Какие из	приведённых	утверждений верны ? .
2.3 Какие из	приведённых	равенств получаются с помощью приближённой формулы ? .
6 Для каких пар чисел ,	приведённых	в таблице , выполняется неравенство а > b ?
2.2 Какие три из	приведённых	четырёх точек лежат на одной прямой , проходящей через начало координат ? .
1.1 Укажите среди	приведённых	уравнение , равносильное уравнению .
1.1 Какой из	приведённых	систем уравнений соответствует графическое решение .
2.4 Какие из	приведённых	утверждений не выполняются при некоторых значениях чисел а , b и с ? .
2.2 Какие три из	приведённых	точек лежат на одной прямой ? .
2.3 Какие из	приведённых	зависимостей являются прямолинейными ? .
16 Составьте задачу , решение которой	привело	бы к уравнению .
Каждый многочлен тождественными преобразованиями можно	привести	к стандартной форме .
Распределительный закон умножения позволяет сумму двух подобных одночленов , входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае ,	привести	подобные слагаемые .
Как	привести	к стандартной форме одночлен , где π - постоянное число ? .
В 1 мы сформулировали четыре правила , применение которых к уравнениям с одним неизвестным	приводит	к равносильным уравнениям .
5 К какому результату	приводит	сложение двух строгих неравенств одного направления ? .
Действительно , точное вычисление квадрата полученного числа	приводит	к равенству .
6 К какому результату	приводит	сложение двух нестрогих неравенств одного направления ? .
Иногда вместо слов « плоский угол » , если это не	приводит	к недоразумениям , говорят коротко « угол » .
Почленное произведение неравенств	приводит	к неверной записи .
1 Приведите пример двух неравенств противоположного направления , почленное сложение которых	приводит	к неверному результату .
Так как предположение о существовании точки пересечения прямых	приводит	к противоречию , то тем самым доказана параллельность этих прямых .
3 Приведите пример двух неравенств , почленное деление которых	приводит	к неверному результату .
2 Приведите пример двух неравенств одинакового направления , почленное умножение которых	приводит	к неверному результату .
11 Какие примеры преобразований , которые могут	приводить	к неравносильным уравнениям , вы знаете ? .
Эти случаи	приводят	к двум внешним касательным .
Иногда эту теорему	приводят	в следующей краткой формулировке : сумма углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах углов .
9 Какие преобразования уравнений	приводят	к равносильным уравнениям ? .
При решении уравнений обычно стараются выполнять преобразования ,	приводящие	к уравнению , равносильному заданному уравнению .
Гипотенуза и	прилежащие	к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам треугольника .
Получаем , что сторона ВС и	прилежащие	к ней углы треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK .
Если катет и	прилежащий	к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Построение треугольника по стороне и	прилежащим	к ней углам .
2.4 Построение треугольника по стороне и	прилежащим	к ней углам .
4 Как построить треугольник по стороне и	прилежащим	к ней углам ? .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум	прилежащим	к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Гипотенуза и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и	прилежащим	к ней углам треугольника .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и	прилежащим	к ней углам треугольника ADK .
Если сторона и два	прилежащих	к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
5 Какую последовательность называют геометрической	прогрессией	? .
Арифметической	прогрессией	называется последовательность для которой разности равны одному и тому же числу .
Как доказать , что последовательность , n - й член которой вычисляется по формуле , является арифметической	прогрессией	? .
Следовательно , последовательность , заданная формулой , является арифметической	прогрессией	с разностью .
Последовательность ненулевых чисел называют геометрической	прогрессией	, если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю .
Для выяснения , является ли данная последовательность арифметической	прогрессией	, достаточно убедиться , что разность между каждым её членом , начиная со второго , и предыдущим членом постоянна .
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической	прогрессией	, если . 3 Найдите первый член и разность арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что .
2 Какую последовательность называют арифметической	прогрессией	? .
Отсюда следует , что последовательность чисел a1 а2 , а3 , является арифметической	прогрессией	с первым членом и разностью .
Как доказать , что члены арифметической	прогрессии	можно получить как значения некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для натуральных значений переменной х ? .
Поэтому эти последовательно записанные шесть чисел являются начальными членами геометрической	прогрессии	.
1.4 Общий член арифметической	прогрессии	задаётся формулой .
7 Что такое знаменатель геометрической	прогрессии	? .
6 Что такое первый член геометрической	прогрессии	? .
Данная последовательность является примером геометрической	прогрессии	.
Найдём теперь , какой номер s имеет в этой	прогрессии	число 199 , используя формулу общего члена арифметической прогрессии .
4 Как доказать формулу общего члена арифметической	прогрессии	? .
1.3 Чему равна разность арифметической	прогрессии	с общим членом ? .
Таким образом , натуральные нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью	прогрессии	.
Запишем и вычислим сумму первых пяти членов этой	прогрессии	.
3.7 Пример геометрической	прогрессии	.
Из определения арифметической	прогрессии	следует : откуда , откуда , откуда и так далее .
Формула суммы членов арифметической	прогрессии	.
Полученную формулу иногда называют формулой общего члена арифметической	прогрессии	.
Это число называют разностью арифметической	прогрессии	и обычно обозначают буквой d .
Рассмотрим сумму нескольких начальных , последовательно расположенных , членов арифметической	прогрессии	с первым членом a1 и разностью d .
1.1 Чему равен 10-й член арифметической	прогрессии	, если ? .
3 Найдите : 4 Запишите n начальных членов геометрической	прогрессии	, если .
Стоящее на первом месте число 2 называют первым членом или первым элементом этой геометрической	прогрессии	.
6 По какой формуле можно вычислить сумму n начальных членов арифметической	прогрессии	? .
3.8 Выражение последующих членов геометрической	прогрессии	через предыдущие .
2.1 Какие из приведённых наборов чисел , записанных в указанном порядке , являются последовательными членами некоторой арифметической	прогрессии	? .
Каким должен быть седьмой член геометрической	прогрессии	из примера 3 ? .
6 Какой функцией определяется сумма n начальных членов арифметической	прогрессии	с первым членом и разностью в зависимости от аргумента n ? .
2.3 Какие из приведённых чисел являются членами арифметической	прогрессии	с общим членом .
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных членов геометрической	прогрессии	с первым членом 3 и знаменателем .
Формула для n - го члена арифметической	прогрессии	.
Знаменатель геометрической	прогрессии	.
Это семь начальных членов геометрической	прогрессии	с первым членом и знаменателем .
Чему равна сумма первых 10 членов	прогрессии	с нечётными номерами ? .
Это пять начальных членов геометрической	прогрессии	с первым членом и знаменателем .
Подставляя в формулу суммы членов арифметической прогрессии значения первого члена	прогрессии	, её разности и числа слагаемых , получаем .
5 Найдите сумму пяти начальных членов геометрической	прогрессии	, если .
Подставляя в формулу суммы членов арифметической	прогрессии	значения первого члена прогрессии , её разности и числа слагаемых , получаем .
Первый член арифметической	прогрессии	.
Первый член геометрической	прогрессии	.
Найдём теперь , какой номер s имеет в этой прогрессии число 199 , используя формулу общего члена арифметической	прогрессии	.
Число называют знаменателем этой геометрической	прогрессии	.
Иногда эту сумму для краткости называют суммой начальных членов арифметической	прогрессии	, а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых членов арифметической прогрессии .
1.2 Чему равна сумма первых 8 членов арифметической	прогрессии	с общим членом .
3 По какой формуле можно вычислить n - й член арифметической	прогрессии	? .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической	прогрессии	, по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
Полученная последовательность является примером арифметической	прогрессии	.
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 Найдите первый член и разность арифметической	прогрессии	с общим членом а , если известно , что .
Подставляя в формулу для суммы начальных членов арифметической	прогрессии	значения , находим .
Таким образом , в арифметической	прогрессии	, начиная со второго члена , разность между каждым членом и предшествующим ему членом равна одному и тому же числу .
Как записать начальные четыре члена геометрической	прогрессии	с первым членом а , и знаменателем q ? .
7 Докажите , что если Sm , Sn и Sm+n — суммы соответственно m , n и m + n начальных членов одной арифметической	прогрессии	, то .
В главе вводится понятие арифметической	прогрессии	и изложены некоторые её свойства .
3.2 Определение арифметической	прогрессии	.
Пусть Sn обозначает сумму n начальных членов этой	прогрессии	.
По формуле для общего члена арифметической	прогрессии	имеем , откуда .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической	прогрессии	.
6 Найдите сумму n начальных членов арифметической	прогрессии	с первым членом а1 и разностью d , если .
Иногда эту сумму для краткости называют суммой начальных членов арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых членов арифметической	прогрессии	.
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической	прогрессии	.
В новых обозначениях геометрическую	прогрессию	можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Рассмотрим арифметическую	прогрессию	, n - й элемент которой вычисляется по формуле .
Рассмотрим арифметическую	прогрессию	, у которой известны первый член а1 и разность d .
Рассмотрим арифметическую	прогрессию	с первым членом и разностью , то есть последовательность натуральных чисел .
Таким образом , натуральные нечётные числа образуют арифметическую	прогрессию	с первым членом и разностью прогрессии .
Арифметическая	прогрессия	, сумма первых членов .
Какая арифметическая	прогрессия	получится , если рассмотреть последовательность значений линейной функции при натуральных значениях х ? .
Арифметическая	прогрессия	, формула суммы членов .
Арифметическая	прогрессия	.
Арифметическая	прогрессия	, первый член .
Арифметическая	прогрессия	, формула общего члена .
3 Арифметическая	прогрессия	.
Арифметическая	прогрессия	, разность .
6 Найдите	произведение	приближённого значения 2,5 0,05 и числа 1,23 .
Поэтому , если , то	произведение	.
8 Найдите	произведение	многочленов , упростив до стандартной формы .
6 Когда	произведение	двух чисел положительно ? .
Чему равно	произведение	7а ? .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а	произведение	двух чисел разных знаков отрицательно .
Поскольку	произведение	нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю , то и произведение равно 0 только в том случае , когда .
Найдите	произведение	.
Если одночлен представлен как	произведение	постоянного числового выражения и степеней переменных букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом .
Такого равенства для чисел не может быть , так как при любом значении а	произведение	равно 0 и 0 не равен 1 .
1.3 На какую наибольшую степень числа 3 делится без остатка	произведение	.
Поскольку произведение нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю , то и	произведение	равно 0 только в том случае , когда .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков :	произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Почленное	произведение	.
5 Округлите второй сомножитель до второго разряда после запятой , найдите	произведение	и оцените абсолютную погрешность произведения .
Найдём	произведение	.
Чему равно	произведение	чисел , одно из которых равно трём в девяносто девятой степени , а другое равно трём в степени сто один ? .
7 Когда	произведение	двух чисел отрицательно ? .
Действительно ,	произведение	нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда один из множителей равен нулю .
Изучая	произведение	дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Для натурального числа	произведение	n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й степенью числа а и обозначается через аn .
Далее ,	произведение	положительных чисел положительно , поэтому .
Для положительных чисел а и b	произведение	а b можно записать в виде .
Почленное	произведение	неравенств приводит к неверной записи .
Какому многочлену равно	произведение	.
Действительно , если число а не равно нулю , то	произведение	состоит из сомножителей одного знака и потому а2 > 0 .
Тождественными преобразованиями сумму , разность и	произведение	многочленов можно также представить в виде многочлена .
5 Какой знак имеет	произведение	положительных чисел ? .
Рассмотрим	произведение	одночленов .
Других корней нет , потому что если	произведение	двух чисел равняется нулю , то хотя бы один из сомножителей равен нулю .
Если левые и правые части неравенств положительны , то почленное	произведение	неравенств одного направления является неравенством того же направления .
1.2 Чему равно	произведение	первых трёх чисел из последовательности степеней числа 2 ? .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как	произведение	числителя и величины , обратной к знаменателю .
Из свойств умножения следует , что	произведение	двух чисел только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
17 Произведение двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем	произведение	следующих двух последовательных целых чисел .
2.4 Какие значения не может иметь	произведение	аb ? .
Чему равно	произведение	чисел 250 и 550 ? .
6 Покажите на примерах , что сумма , разность и	произведение	двух многочленов равны некоторым многочленам .
3.6 Сумма , разность и	произведение	многочленов .
Числа , буквы и буквенные выражения , которые являются	произведением	чисел и букв , будем называть одночленами .
Аналогично определяется почленное умножение равенств : почленным	произведением	двух равенств называется новое равенство .
При натуральных значениях z и х числа в этом равенстве тоже натуральные , причём в	произведении	дают число 152 .
Чтобы сократить запись произведения нескольких одинаковых чисел , это число записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых сомножителей в	произведении	.
1.2 Какому из	произведений	равно число 159 ? .
Какие из указанных	произведений	равны 124 ? .
Какие из указанных	произведений	равны 330 ? .
В результате видно , что число ( 2 · 3)4 равно	произведению	чисел 24 и 34 , то есть .
Как показать , что площадь трапеции равна	произведению	высоты трапеции на длину её средней линии ? .
Коэффициент произведения двух одночленов равняется	произведению	коэффициентов этих одночленов .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна	произведению	абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
Это свойство можно сформулировать так : n - я степень произведения двух чисел равна	произведению	n - х степеней сомножителей .
Площадь параллелограмма равна	произведению	основания на высоту , проведённую к этому основанию .
Таким образом , площадь треугольника равна	произведению	радиуса вписанной окружности на полупериметр .
В результате видно , что число ( 24)3 равно	произведению	сомножителей , каждый из которых равен 2 , то есть .
5 Чему равна абсолютная погрешность	произведения	приближённого значения некоторой величины и фиксированного числа ? .
Погрешность	произведения	приближения на фиксированное число .
Площадь описанного многоугольника равна половине	произведения	радиуса окружности на периметр многоугольника .
Если теперь извлечь корень из	произведения	, то получится .
4 Чему равен квадратный корень из	произведения	двух положительных чисел ? .
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность	произведения	приближённого значения b величины а и фиксированного числа с .
4 Чему равна абсолютная величина	произведения	двух чисел ? .
5 Округлите второй сомножитель до второго разряда после запятой , найдите произведение и оцените абсолютную погрешность	произведения	.
В 5 классе вы узнали , что последняя цифра у	произведения	двух чисел такая же , как у произведения их последних цифр .
Рассмотрим	произведения	степеней одного числа с целыми показателями .
7 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 1 для	произведения	.
6 Найдите дробную часть	произведения	.
Рассмотрим степень	произведения	двух чисел .
5 Найдите целую часть	произведения	.
Коэффициент	произведения	двух одночленов равняется произведению коэффициентов этих одночленов .
Чтобы сократить запись	произведения	нескольких одинаковых чисел , это число записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых сомножителей в произведении .
Это свойство можно сформулировать так : n - я степень	произведения	двух чисел равна произведению n - х степеней сомножителей .
Площадь трапеции равна половине	произведения	суммы оснований трапеции на её высоту .
Как представить одночлен , где π — постоянное число , в виде	произведения	двух одночленов ? .
11 Найдите	произведения	, не прибегая к длинным вычислениям .
Абсолютная погрешность	произведения	приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
Площадь произвольного треугольника равна половине	произведения	его основания и высоты , проведённой к основанию .
2.3 Степень	произведения	двух чисел .
Запись одночлена в виде	произведения	постоянного числового выражения и степеней различных постоянных или переменных букв будем называть стандартной формой одночлена .
10 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 100 для	произведения	.
В правой части приведённых формул стоят	произведения	чисел , постоянных и переменных букв .
1.1 Чему равна целая часть	произведения	? .
1.2 Чему равна дробная часть	произведения	? .
1.4 Сравнение	произведения	чисел с нулём .
В 5 классе вы узнали , что последняя цифра у произведения двух чисел такая же , как у	произведения	их последних цифр .
Запишите свойство логарифма для	произведения	двух степеней .
Рассмотрим число 210 и	произведения	степеней числа 2 , сумма показателей степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
По правилу оценки абсолютной погрешности	произведения	приближённого значения некоторой величины и фиксированного числа получаем .
Заметим , что число -2187 можно представить в виде	произведения	.
Числа 210 , 26 · 24 и 2 ° · 2 ° являются	произведениями	10 сомножителей , равных 2 .
Переставив средние члены	пропорции	, получим что и требовалось доказать .
2 Сформулируйте основное свойство	пропорции	.
По свойству	пропорции	получаем , откуда .
Почему нельзя утверждать , что рост ребёнка прямо	пропорционален	его возрасту ? .
пройденный путь прямо	пропорционален	времени движения .
пройденный путь прямо	пропорционален	скорости автомобиля .
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо	пропорциональна	величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому числу k , а значению соответствует значение .
Пусть переменная величина у прямо	пропорциональна	переменной величине х.
1 ) скорость автомобиля прямо	пропорциональна	времени движения .
Пусть величина у прямо	пропорциональна	величине х , то есть , где к — фиксированное ненулевое число .
Следовательно , прямая	пропорциональная	зависимость является частным случаем прямолинейной зависимости .
2.4 Прямая	пропорциональная	зависимость задана формулой Какие из приведённых утверждений верны ? .
Зависимость величин прямо	пропорциональная	.
Зная , что величина у изменяется прямо	пропорционально	величине х , заполните таблицу .
время движения прямо	пропорционально	пройденному пути .
График прямо	пропорциональной	зависимости .
7 Как доказать , что графиком прямой	пропорциональной	зависимости является прямая ? .
1.3 Точки графика прямой	пропорциональной	зависимости в правой полуплоскости .
5 Что называют графиком прямой	пропорциональной	зависимости ? .
9 Как построить график прямой	пропорциональной	зависимости ? .
1.2 Какой из рисунков является графиком прямой	пропорциональной	зависимости у от х ? .
1.3 Значения переменной у связаны со значениями х прямой	пропорциональной	зависимостью , причём при .
1.4 Значения переменной у связаны со значениями х прямой	пропорциональной	зависимостью .
С помощью коэффициента пропорциональности зависимость величины у , прямо	пропорциональной	величине х , можно выразить формулой .
В этой главе мы напомним свойства прямой	пропорциональной	зависимости .
1.4 График прямой	пропорциональной	зависимости .
1.1 Какое из уравнений задаёт прямую	пропорциональную	зависимость ? .
Как называется число , обозначенное буквой к в записи выражающей прямую	пропорциональную	зависимость переменной у от переменной ? .
В этом случае получаем прямую	пропорциональную	зависимость переменной у от переменной х .
Как доказать , что в условиях теоремы данного пункта отрезки	пропорциональны	соответственно отрезкам АВ , ВС , АС ? .
Следовательно , если х ° С соответствует у ° F , то значения из промежутка от 32 ° F до у ° F	пропорциональны	значениям из промежутка от 0 ° С до х ° С с коэффициентом к , который можно найти , зная , что 180 ° F соответствуют 100 ° С. Поэтому .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут	пропорциональны	исходным отрезкам .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых	пропорциональны	длинам отрезков АВ и ВС .
Иногда в таком случае говорят , что отрезки	пропорциональны	отрезкам АВ и ВС .
Докажите , что отрезки АВ и СВ соответственно	пропорциональны	отрезкам МВ и NB .
3 Какие переменные величины называют прямо	пропорциональными	? .
Теорема о	пропорциональных	отрезках .
2.3 Теорема о	пропорциональных	отрезках .
Какие примеры прямо	пропорциональных	величин вы знаете ? .
Примерами графиков функций могут служить графики прямых	пропорциональных	зависимостей , а также прямолинейных зависимостей .
2.5 Обобщение теоремы о	пропорциональных	отрезках .
2.4 Частный случай теоремы о	пропорциональных	отрезках .
Аналогично , опустив из точек А и В перпендикуляры на координатную ось Оу , по той же теореме получаем	пропорцию	.
Эти перпендикуляры параллельны , поэтому по теореме о пропорциональности отрезков получаем	пропорцию	.
Значит , имеет место	пропорция	.
1 Что такое	пропорция	? .
Как показать , что для длин отрезков AD , KN , СЕ , МО имеет место	пропорция	? .
Любое уравнение вида с целыми коэффициентами а , b , с имеет целочисленные решения , когда — взаимно	простые числа	.
Какой	процент	олова в получившемся сплаве ? .
Известно , что жирность продукта в	процентах	— это отношение массы жиров к общей массе этого продукта , умноженное на 100 .
Задача на	проценты	.
1.11 Текстовая задача на	проценты	.
Графиком функции является	прямая	MN .
Зная , что графиком уравнения является	прямая	, получаем , что график этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
График уравнения есть	прямая	, проходящая через точки 0(0 ; 0 ) и А(2 ; 3 ) .
Докажите , что	прямая	, соединяющая точки касания , перпендикулярна прямой , соединяющей точку А и центр окружности .
Окружности радиуса R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как	прямая	l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
7 Во что переходит	прямая	при центральной симметрии ? .
Например , вне прямой можно выбрать какую - нибудь точку , через две точки проходит единственная	прямая	.
Зная , что графиком уравнения является прямая , получаем , что график этого уравнения —	прямая	ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
горизонтальная	прямая	.
По аксиоме параллельности прямая m не может быть параллельной прямой b , поэтому	прямая	m пересекает прямую в некоторой точке В .
По аксиоме параллельности	прямая	m не может быть параллельной прямой b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой точке В .
Через точку К биссектрисы угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится	прямая	, которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что	прямая	l пересекает сторону ВС .
Графиком уравнения является : 1 ) вертикальная	прямая	.
Симметрия относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при симметрии относительно прямой каждая	прямая	переходит в прямую .
При графиком уравнения является	прямая	.
Поэтому графиком уравнения также является	прямая	.
В каком отношении эта	прямая	делит стороны СА и СВ ? .
Таким образом ,	прямая	m является секущей для обеих параллельных прямых а и b .
Докажите , что	прямая	l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
А именно :	прямая	, проходящая через конец радиуса окружности перпендикулярно радиусу , является касательной .
14 Точки А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится	прямая	l , параллельная прямым а и b.
Изображена окружность с центром О и	прямая	а , касающаяся окружности в точке В .
9 Как строится	прямая	, не пересекающая заданную прямую ? .
Далее ,	прямая	АС параллельна прямой m , а поэтому отрезок АС не пересекает прямую m .
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести прямую m , параллельную стороне АС , то такая	прямая	пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в точке Ν .
На координатной плоскости множество всех точек вида , где k — фиксированное число , есть	прямая	.
9 Даны	прямая	а , окружность S и точка F , не лежащая на них .
11 Через точку касания двух окружностей проводится произвольная	прямая	.
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что	прямая	, проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
Известно , что	прямая	не всегда пересекает отрезок .
Эта	прямая	пересечёт основание AD в точке К , отличной от точек А и D. При этом образуются треугольник АВК и параллелограмм BCDK .
Докажите , что	прямая	l . а ) не пересекает две другие стороны прямоугольника .
1.1 Дана	прямая	АВ и точки С , D , Е. Сколько различных перпендикуляров можно провести через С , D , и Е к прямой АВ ? .
Как показать , что если	прямая	пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть	прямая	, проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Четырёхугольник EFGH окажется в одной полуплоскости относительно этой прямой , то есть	прямая	не разделяет четырёхугольник на две части .
Даны	прямая	АС и два луча , выходящие из точки В. Суммы каких углов дают развёрнутый угол ? .
1.2 Почему	прямая	, проходящая через одну сторону треугольника параллельно другой стороне , пересекает третью .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена	прямая	b , к прямой b — прямая с , к прямой с — прямая d и к прямой d — прямая е .
По условию	прямая	PL проведена параллельно прямой QM , поэтому отрезок PL является средней линией в треугольнике KQM .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к прямой b —	прямая	с , к прямой с — прямая d и к прямой d — прямая е .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к прямой b — прямая с , к прямой с —	прямая	d и к прямой d — прямая е .
Для построения части графика в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим уравнение , графиком которого является	прямая	.
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к прямой b — прямая с , к прямой с — прямая d и к прямой d —	прямая	е .
3 Как доказать , что графиком линейной функции является	прямая	? .
Следовательно , точки Р , О и Р ' лежат на одной прямой , и эта	прямая	— ОА .
Построим угол , равный заданному острому углу PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является	прямая	АВ .
Заметим , что для любого числа а графиком уравнения является вертикальная	прямая	, которая не будет графиком никакой линейной функции .
Покажем , что графиком линейной функции является	прямая	, которая параллельна прямой .
Через основание этой биссектрисы проводится	прямая	, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится	прямая	EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится	прямая	l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
Затем из точки Q радиусом PR описываем дугу , которая пересечётся с первой дугой в точке S. Докажем , что	прямая	PS будет параллельна прямой CD .
22 Даны	прямая	l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
18 Через вершину С треугольника АВС проведена	прямая	, параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что .
Их пересекает четвёртая	прямая	.
2 Даны равносторонний треугольник и прямая l. Постройте треугольник , равный данному , чтобы	прямая	l содержала .
Докажем , что при центральной симметрии относительно точки О	прямая	l , не проходящая через точку О , переходит в прямую m , параллельную прямой l .
2 Даны равносторонний треугольник и	прямая	l. Постройте треугольник , равный данному , чтобы прямая l содержала .
Через точку пересечения медиан треугольника АВС проведена	прямая	, параллельная АВ .
7 Как обозначается числовая	прямая	в виде промежутка ? .
Графиком линейной функции , где к и b — фиксированные числа , является	прямая	.
Эта	прямая	проходит через отмеченные точки графика .
Аналогично	прямая	n пересекает вторую окружность в двух точках .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится	прямая	EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Глядя на этот рисунок , естественно предположить , что графиком линейной функции является	прямая	.
В 6 классе была определена касательная к окружности как	прямая	, которая имеет с окружностью единственную общую точку .
Постройте квадрат , равный данному , чтобы	прямая	l содержала .
Докажите , что	прямая	BL параллельна прямой АС .
Пусть на плоскости заданы такие прямые АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что	прямая	MN — секущая для прямых АВ и CD .
Это значит , что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок ,	прямая	переходит в прямую , треугольник переходит в равный ему треугольник и так далее .
1 Даны квадрат и	прямая	l.
Как доказать , что если	прямая	а параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой с , то прямая а параллельна прямой с ? .
Пусть на плоскости заданы такие прямые АВ и CD , что	прямая	MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что прямая MN — секущая для прямых АВ и CD .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а	прямая	b параллельна прямой с , то прямая а параллельна прямой с ? .
Проводится	прямая	, параллельная АВ и пересекающая две других стороны .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой с , то	прямая	а параллельна прямой с ? .
Следовательно ,	прямая	пропорциональная зависимость является частным случаем прямолинейной зависимости .
Так как центральная симметрия является перемещением , то	прямая	l переходит в некоторую прямую m .
10 Как объяснить , что выпуклыми геометрическими фигурами являются : а ) отрезок ; б ) луч ; в )	прямая	.
В какую прямую при центральной симметрии переходит	прямая	, проходящая через центр симметрии ? .
Поэтому графиком уравнения является	прямая	, параллельная оси Ох .
Графиком уравнения , где к , b — фиксированные числа , является	прямая	.
Через точку В проведена	прямая	ВК , параллельная высоте СН треугольника .
16 Через середину стороны АВ прямоугольника ABCD проводится прямая l , параллельная стороне ВС. Докажите , что	прямая	l проходит через середину стороны CD .
Таким образом , при построении прямой , проходящей через точку А и не пересекающей прямую CD , всегда получается лишь одна	прямая	.
Постройте треугольник , равный данному , чтобы	прямая	l содержала .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то	прямая	ВР будет параллельна прямой CD .
16 Через середину стороны АВ прямоугольника ABCD проводится	прямая	l , параллельная стороне ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину стороны CD .
17 Через вершину С треугольника АВС проведена	прямая	, параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что .
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней	прямая	разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две вершины четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
Графиком линейной функции является	прямая	.
Отсюда получаем , что	прямая	АВ перпендикулярна радиусу ОА первой окружности и радиусу О2В второй окружности , то есть касается этих окружностей .
7 Как доказать , что графиком прямой пропорциональной зависимости является	прямая	? .
3 Даны треугольник со сторонами а , b , с и	прямая	l.
6 Как измеряются углы с использованием	прямого	угла в качестве эталона ? .
Какую часть	прямого	угла составляет угол между лучами , определяющими направления зюйд - зюйд - вест и зюйд - ост - ост ? .
Величина	прямого	угла как единица измерения плоских углов .
Угол , который равен одной девяностой части	прямого	угла , называют угловым градусом и его величину обозначают 1 ° .
Какую часть	прямого угла	составляет угол между лучами , определяющими направления зюйд - зюйд - вест и зюйд - ост - ост ? .
Величина	прямого угла	как единица измерения плоских углов .
Угол , который равен одной девяностой части	прямого угла	, называют угловым градусом и его величину обозначают 1 ° .
6 Как измеряются углы с использованием	прямого угла	в качестве эталона ? .
В этой главе мы напомним свойства	прямой	пропорциональной зависимости .
2 Докажите , что равнобедренная трапеция симметрична относительно	прямой	, проходящей через середины оснований .
Однако в предыдущем пункте мы без обоснования рассмотрели точку N пересечения отрезка ВС с	прямой	m.
Затем построим перпендикуляр АВ к прямой АХ и дополним луч АВ до	прямой	АВ .
Две прямые , перпендикулярные третьей	прямой	, не пересекаются .
1.1 Формула	прямой	пропорциональности .
1.1 Свойство	прямой	, проходящей через середину стороны треугольника параллельно другой стороне .
Напомним определение	прямой	пропорциональности двух переменных величин .
Так как отрезок АВ имеет общую точку М с	прямой	m , то точки А и В лежат в различных полуплоскостях .
Уравнение или является уравнением	прямой	, проходящей через точки А(0 ; -2 ) и В(3 ; -1 ) .
Аналогичные зависимости мы рассматривали в 6 классе и называли	прямой	пропорциональностью .
Далее , прямая АС параллельна	прямой	m , а поэтому отрезок АС не пересекает прямую m .
13 Две окружности касаются внешним образом друг друга в точке А и касаются некоторой	прямой	в точках В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
Это значит , что точки А и С расположены в одной полуплоскости относительно	прямой	m .
И в первом , и во втором случае через точку к	прямой	можно провести лишь один перпендикуляр , и предположение о том , что прямые а и b пересекаются , неверно .
Что такое угловой коэффициент	прямой	? .
Для прямой обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку	прямой	, расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Не вводя общего понятия множества , будем называть этим словом произвольный набор чисел , а также произвольный набор точек числовой	прямой	.
Пусть точка А лежит вне заданной	прямой	CD .
Значит , решениями системы уравнений являются пары координат точек пересечения М и N окружности и	прямой	.
Значит , прямые АВ и CD перпендикулярны	прямой	AD , а поэтому не пересекаются .
Затем построим перпендикуляр АВ к	прямой	АХ и дополним луч АВ до прямой АВ .
Докажем , что точка N — середина стороны ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через точку С прямую l , параллельную	прямой	АВ .
Обозначим буквой N точку пересечения	прямой	m со стороной ВС .
Заметим теперь , что определению угла удовлетворяет фигура , образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же	прямой	.
Проведём через середину М стороны АВ прямую m , параллельную	прямой	АС .
Прямая АВ образует прямые углы при пересечения с	прямой	AD , а поэтому АВ AD .
Прямая АВ не пересекается с	прямой	CD , так как прямые АВ и CD различны и перпендикулярны прямой АХ .
Четырёхугольник называется выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно любой	прямой	, содержащей сторону четырёхугольника .
Рассмотрим два равносторонних треугольника АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной	прямой	, а точки М и N — середины отрезков AD и BE .
2.5 Пересечение	прямой	и окружности .
Прямая АВ не пересекается с прямой CD , так как прямые АВ и CD различны и перпендикулярны	прямой	АХ .
Отрезок АВ этой	прямой	, лежащий в 1-й четверти , даёт часть графика уравнения .
1.4 Построение	прямой	, которая проходит через данную точку и не пересекает данную прямую .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой	прямой	с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Рассмотрим на числовой	прямой	луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке .
Построим прямую с уравнением и отметим точки М и К пересечения этой	прямой	с графиком уравнения .
Четырёхугольник EFGH окажется в одной полуплоскости относительно этой	прямой	, то есть прямая не разделяет четырёхугольник на две части .
Тогда угол ВАС называется углом наклона	прямой	.
Аналогично для каждой	прямой	, где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
По условию прямая PL проведена параллельно	прямой	QM , поэтому отрезок PL является средней линией в треугольнике KQM .
Таким образом , точки С , В , D лежат на одной	прямой	, и прямые а и b совпадают .
Все точки , ордината которых равна 2 , расположены на	прямой	, перпендикулярной оси Оу и проходящей через точку ( 0 ; 2 ) .
4 Определите , какие из пар точек лежат на одной	прямой	, проходящей через начало системы координат .
Чему равно расстояние от точки F до	прямой	EN ? .
9 Как построить график	прямой	пропорциональной зависимости ? .
Проведём через каждую точку деления прямую , параллельную	прямой	АА1 .
7 Как доказать , что графиком	прямой	пропорциональной зависимости является прямая ? .
Какие координаты имеет точка пересечения	прямой	и прямой , где к отлично от нуля ? .
7 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой	прямой	.
Какие координаты имеет точка пересечения прямой и	прямой	, где к отлично от нуля ? .
При отрицательных значениях k угол наклона	прямой	получается тупым .
7 По разные стороны от данной	прямой	на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой .
5 Что называют графиком	прямой	пропорциональной зависимости ? .
По этой причине число k в формуле называют угловым коэффициентом	прямой	.
Симметрия относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при симметрии относительно	прямой	каждая прямая переходит в прямую .
Как на числовой	прямой	расположен замкнутый числовой луч .
1.2 Какой из рисунков является графиком	прямой	пропорциональной зависимости у от х ? .
Зная , что графиком уравнения является прямая , получаем , что график этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу	прямой	ОА .
1.3 Значения переменной у связаны со значениями х	прямой	пропорциональной зависимостью , причём при .
Например , тупым является угол наклона	прямой	.
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой	прямой	с параллельными секущими угла .
Построим прямую а , симметричную	прямой	относительно оси .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается	прямой	l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Пусть D — точка пересечения	прямой	АВ с осью симметрии .
Возьмём на координатной плоскости прямую и на этой	прямой	точку А(с ; d ) , где .
Для графического представления функции рассмотрим промежутки числовой	прямой	вида , где n — целое число .
Точки В и В2 лежат в разных полуплоскостях относительно	прямой	АС .
В зависимости от того , где расположится точка пересечения отрезка ВВ2 с	прямой	АС относительно точек А и С , будем иметь один из рисунков .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается	прямой	l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Следовательно , точка В , симметричная точке А	прямой	, расположена на графике уравнения .
2.2 Какие три из приведённых четырёх точек лежат на одной	прямой	, проходящей через начало координат ? .
Проведём через точку N прямую параллельно	прямой	AM , пересекающую сторону ВС в точке К .
Иногда прямую , являющуюся графиком уравнения , называют	прямой	.
2.1 Какая пара точек лежит на	прямой	, проходящей через начало координат ? .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка	прямой	, имеющая координаты .
1.4 Значения переменной у связаны со значениями х	прямой	пропорциональной зависимостью .
По свойству средней линии треугольника получаем , что отрезок MN параллелен	прямой	РВ .
Будем говорить , что луч О А является продолжением луча О В до	прямой	АВ , если лучи О А и О В образуют прямую .
Каждый узел	прямой	а находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой b , а каждый узел прямой b находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой а .
11 Площадь треугольника АВС равна 20 см2 , а точки М и N расположены на	прямой	АС .
Точка пересечения прямых расположена вне	прямой	с .
2.1 Какие из точек лежат на	прямой	.
2.7 Угловой коэффициент	прямой	.
2 Сформулируйте утверждение о прямых , перпендикулярных к некоторой	прямой	.
1.3 Точки графика	прямой	пропорциональной зависимости в правой полуплоскости .
На какой	прямой	лежат точки с координатами ( x ; kx ) ? .
Для	прямой	обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку	прямой	, расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Проведём через вершину С и середину М боковой стороны AD прямую до пересечения с	прямой	АВ в точке Р .
Нетрудно заметить , что все эти точки расположены на одной	прямой	, проходящей через начало координат .
в ) имеет бесконечное множество решений , изображающееся точками некоторой	прямой	.
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На	прямой	а отложим отрезок AD , равный АС .
Но этот угол	прямой	, его величина 90 ° , следовательно угол CBD 180 ° .
Изображение	прямой	на координатной плоскости .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из сторон данного угла до целой	прямой	.
Рассмотрим на числовой	прямой	луч , направленный в положительную сторону , с началом в точке -2 .
Обозначим через D точку пересечения этой	прямой	с лучом ОА .
Рассмотрим на числовой	прямой	луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке Координата каждой его точки меньше либо равна .
Каждый узел прямой а находится на расстоянии в один шаг сетки от	прямой	b , а каждый узел прямой b находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой а .
Каждый узел прямой а находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой b , а каждый узел	прямой	b находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой а .
Каждый узел прямой а находится на расстоянии в один шаг сетки от прямой b , а каждый узел прямой b находится на расстоянии в один шаг сетки от	прямой	а .
Покажем , что графиком линейной функции является прямая , которая параллельна	прямой	.
Для этого на	прямой	ОА возьмём точку R(-u ; -υ ) , где , и точку R'(u ; -υ ) .
Следовательно , число в формуле линейной функции характеризует угол наклона	прямой	к положительному направлению оси Ох .
Следовательно , точки Р , О и Р ' лежат на одной	прямой	, и эта прямая — ОА .
Два перпендикуляра к одной	прямой	.
15 Продолжения сторон АВ и СВ треугольника АВС пересекаются в точках М и N	прямой	, параллельной прямой АС .
При этом лучи О А и О В называют противоположными и кратко говорят : « Луч О А является продолжением луча О В до	прямой	» .
5 Что такое угол наклона	прямой	к оси Ох ? .
Предположим , что найдутся две прямые а и b , которые перпендикулярны третьей	прямой	с и пересекаются .
1.4 График	прямой	пропорциональной зависимости .
Середины каких из указанных отрезков принадлежат	прямой	ВМ ? .
6 Как определяется угловой коэффициент	прямой	? .
Точка пересечения прямых лежит на	прямой	с .
15 Продолжения сторон АВ и СВ треугольника АВС пересекаются в точках М и N прямой , параллельной	прямой	АС .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную	прямой	АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на	прямой	b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до	прямой	l равно 2 см .
Из любой точки К	прямой	ВС , отличной от точки В , опустим перпендикуляр KL на прямую AD .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой	прямой	с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
Тогда KL и ВН параллельны , как перпендикуляры к	прямой	AD , а ВК и HL параллельны , так как расположены на параллельных прямых ВС и AD .
Две окружности называют касающимися внешним образом , если они касаются некоторой	прямой	в одной и той же точке и расположены по разные стороны от этой прямой .
Две окружности называют касающимися внешним образом , если они касаются некоторой прямой в одной и той же точке и расположены по разные стороны от этой	прямой	.
Следовательно , расстояния от точек В и К до	прямой	AD равны .
Вершины углов А и В лежат на	прямой	l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n .
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной	прямой	до другой прямой .
4 Две окружности с радиусами Вт 2 см и R2 4 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно	прямой	а .
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной прямой до другой	прямой	.
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и параллельная	прямой	а , пересекает отрезок CD в середине .
8 Две пары параллельных прямых пересекаются пятой	прямой	.
Могут ли при этом получиться различные прямые , параллельные данной	прямой	?
Через точку вне заданной	прямой	можно провести только одну прямую , параллельную данной .
Таким образом , при построении	прямой	, проходящей через точку А и не пересекающей прямую CD , всегда получается лишь одна прямая .
Кроме того , угол ВСА —	прямой	.
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и точку D	прямой	m , симметричную точке В относительно точки О .
Две окружности называют касающимися внутренним образом , если они касаются некоторой	прямой	в одной точке и расположены по одну сторону от этой прямой .
Две окружности называют касающимися внутренним образом , если они касаются некоторой прямой в одной точке и расположены по одну сторону от этой	прямой	.
Известно , что через точку А , лежащую вне	прямой	CD , всегда можно провести прямую , не пересекающуюся с данной .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 )	прямой	угол ; 4 ) угол в - х радиан .
4 Две окружности с радиусами Вт 2 см и R2 4 см касаются	прямой	а в точках А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а .
1.1 Изображены две параллельные прямые , пересечённые третьей	прямой	.
Многоугольник называют выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой	прямой	, содержащей сторону этого многоугольника .
Выберем на	прямой	а точку А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к окружности с центром О .
Угловой коэффициент	прямой	.
Найдите на окружности точку А и на	прямой	точку В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Построим на	прямой	m отрезок EF , равный R1 - R2 .
Из вершины А проводится перпендикуляр к	прямой	CD , а из вершины С проводится перпендикуляр к прямой АВ .
Из вершины А проводится перпендикуляр к прямой CD , а из вершины С проводится перпендикуляр к	прямой	АВ .
Разделим	прямой	угол на 90 равных частей .
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан ,	прямой	угол равен радиан , один угловой градус равен радиан .
Окружности могут оказаться по одну сторону от этой	прямой	и тогда общая касательная называется внешней касательной двух окружностей .
3 Две окружности с радиусами 2 см и R2 1 см касаются	прямой	а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а .
Как показать , что отрезки касательных АВ и АС симметричны относительно	прямой	, проходящей через центр О и точку А ? .
1.3 Перпендикулярно к	прямой	а проведена прямая b , к прямой b — прямая с , к прямой с — прямая d и к прямой d — прямая е .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к	прямой	b — прямая с , к прямой с — прямая d и к прямой d — прямая е .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к прямой b — прямая с , к	прямой	с — прямая d и к прямой d — прямая е .
1.3 Перпендикулярно к прямой а проведена прямая b , к прямой b — прямая с , к прямой с — прямая d и к	прямой	d — прямая е .
Так как	прямой	угол равен восьми румбам , то один румб равен .
3 Две окружности с радиусами 2 см и R2 1 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно	прямой	а .
17 На данной	прямой	найдите такую точку , чтобы касательные , проведённые из неё к данной окружности , были данной длины .
16 Постройте окружность заданного радиуса , касающуюся данной	прямой	и проходящую через данную точку .
1.1 Дана прямая АВ и точки С , D , Е. Сколько различных перпендикуляров можно провести через С , D , и Е к	прямой	АВ ? .
Из вершины А проводится перпендикуляр АН к прямой CD , а из вершины А проводится перпендикуляр BF к	прямой	АВ .
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С	прямой	m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
6 Постройте окружность заданного радиуса , которая касается данной	прямой	в данной точке .
2 Изобразите на числовой	прямой	множество решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна	прямой	CD .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное значение измеряемой величины принадлежит промежутку на числовой	прямой	, левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху .
8 Окружности О1 и О2 касаются	прямой	внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
Если выбрать на	прямой	CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
Угол	прямой	.
Покажем , как с помощью циркуля и линейки построить прямую , параллельную данной прямой CD и проходящую через точку Р , не лежащую на	прямой	CD .
Предположим , что на числовой	прямой	числа а , b , α1 и а2 .
Покажем , как с помощью циркуля и линейки построить прямую , параллельную данной	прямой	CD и проходящую через точку Р , не лежащую на прямой CD .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка	прямой	CD .
Построение	прямой	, параллельной заданной .
3 В одной полуплоскости относительно	прямой	О1О2 отмечаем точки Р и Q пересечения прямых m и n с окружностями .
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая аксиома : « Через точку вне данной	прямой	можно провести по крайней мере две прямые , не пересекающие данную прямую » .
Если же для секущей MN внутренние накрест лежащие углы являются прямыми , то , как уже было сказано , прямые АВ параллельны как перпендикуляры к одной	прямой	.
На	прямой	, проходящей через точки А и С , от точки О отложим отрезок ОР , равный диагонали АС .
Отсюда следует , что прямые АВ и CD как перпендикуляры к одной	прямой	не пересекаются , то есть параллельны .
1 Изобразите на числовой	прямой	множество решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Все утверждения , предшествующие пятому постулату Евклида , остаются такими же , как и в привычной геометрии ( например , два перпендикуляра , проведённые к одной	прямой	, не пересекаются ) .
Относительно какой	прямой	симметричен знак Σ ? .
В самом деле , в четырёхугольнике О1PQО2 противоположные стороны О1Р и О2Q равны , параллельны между собой и перпендикулярны	прямой	О1О2 .
2 Строим прямую n , проходящую через точку О2 и перпендикулярную	прямой	О1О2 .
Выберем на	прямой	l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
Строим прямую m , проходящую через точку О1 и перпендикулярную	прямой	О1О2 .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на	прямой	а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
Докажите , что прямая BL параллельна	прямой	АС .
Как доказать , что точка касания окружностей лежит на	прямой	, проходящей через центры окружностей ? .
Докажем , что при центральной симметрии относительно точки О прямая l , не проходящая через точку О , переходит в прямую m , параллельную	прямой	l .
Если при этом окажется , что никакие два соседних отрезка не лежат на одной	прямой	, а никакие два не соседних отрезка не имеют общих точек , то полученную фигуру будем называть пятиугольником .
Мы доказали , что две различные прямые , перпендикулярные третьей	прямой	, не пересекаются , то есть параллельны .
Докажите , что прямая , соединяющая точки касания , перпендикулярна	прямой	, соединяющей точку А и центр окружности .
Если две прямые а и b параллельны	прямой	с , то прямые а и b параллельны между собой .
С другой стороны , противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны , как перпендикуляры к одной	прямой	.
Так как этот параллелограмм имеет	прямой	угол , то он является прямоугольником .
Затем из точки Q радиусом PR описываем дугу , которая пересечётся с первой дугой в точке S. Докажем , что прямая PS будет параллельна	прямой	CD .
По аксиоме параллельности прямая m не может быть параллельной	прямой	b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой точке В .
Как доказать , что если прямая а параллельна	прямой	b , а прямая b параллельна прямой с , то прямая а параллельна прямой с ? .
Проведём через точку А прямой а некоторую прямую m , не совпадающую с	прямой	а .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а прямая b параллельна	прямой	с , то прямая а параллельна прямой с ? .
Как доказать , что если прямая а параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой с , то прямая а параллельна	прямой	с ? .
Проведём через точку А	прямой	а некоторую прямую m , не совпадающую с прямой а .
2 Проведите касательную к данной окружности параллельно данной	прямой	.
Например , вне	прямой	можно выбрать какую - нибудь точку , через две точки проходит единственная прямая .
Как следует вести построение , если отрезок PQ окажется перпендикуляром к	прямой	CD ? .
Когда точки О1 и О2 различны , можно провести единственные прямые m и n перпендикулярно	прямой	О1О2 .
Поэтому через точку К проходят две различные прямые , параллельные	прямой	с. Это противоречит аксиоме параллельности .
Рассмотренные числовые лучи иногда называют промежутками числовой	прямой	.
Почему на числовой	прямой	противоположные друг другу числа симметричны относительно нуля ? .
Промежутки числовой	прямой	.
Отметим точку G пересечения окружности с	прямой	n .
Докажите , что точки А , В , С расположены на одной	прямой	.
Докажите , что проведённые к этим сторонам высоты треугольников либо лежат на одной	прямой	, либо не имеют общих точек .
6 Две пары параллельных прямых пересекаются пятой	прямой	.
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к	прямой	l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
Сколько угловых секунд содержит	прямой	угол ? .
Например , вершины В и С лежат по разные стороны от	прямой	а , содержащей сторону AD .
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две вершины четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно	прямой	а .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной	прямой	l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на	прямой	s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
1.2 Построение окружности , касающейся	прямой	.
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к	прямой	l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Действительно , центр любой окружности , касающейся	прямой	l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
5 Две пары параллельных прямых пересекаются пятой	прямой	.
10 Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так , чтобы обе окружности высекали на этой	прямой	равные хорды .
3 ) никакие две соседние стороны не лежат на одной	прямой	.
Равный ему треугольник О1НО2 может быть построен двумя способами : точка Н лежит либо в верхней полуплоскости относительно	прямой	О1О2 , либо в нижней полуплоскости .
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными лучами одной	прямой	.
Из вершины А проводится перпендикуляр АН к	прямой	CD , а из вершины А проводится перпендикуляр BF к прямой АВ .
На каком расстоянии от	прямой	находится центр каждой из построенных окружностей ? .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 )	прямой угол	; 4 ) угол в - х радиан .
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан ,	прямой угол	равен радиан , один угловой градус равен радиан .
Разделим	прямой угол	на 90 равных частей .
Так как	прямой угол	равен восьми румбам , то один румб равен .
Так как этот параллелограмм имеет	прямой угол	, то он является прямоугольником .
Сколько угловых секунд содержит	прямой угол	? .
Если окружность разделить на 4 равные части , то получатся четыре дуги окружности , каждая из которых соответствует	прямому	углу .
Если окружность разделить на 4 равные части , то получатся четыре дуги окружности , каждая из которых соответствует	прямому углу	.
4 Изображён	прямоугольник	.
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге	прямоугольник	ABCD и измерьте его углы .
7 Нарисуйте	прямоугольник	ABCD .
Сделаем дополнительное построение , проведя О2Н О1К Получим	прямоугольник	O2НКL и прямоугольный треугольник О1НО2 .
12 Пол комнаты , который представляет из себя	прямоугольник	со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме квадратов со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше площади комнаты ? .
Как доказать , что если параллелограммы ABCD и ABKL — прямоугольники , то CDLK тоже	прямоугольник	? .
Таким образом ,	прямоугольник	можно определить как параллелограмм с прямым углом .
Возьмём две такие фигуры и составим из них	прямоугольник	.
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это плоский угол , образованный его сторонами и содержащий этот	прямоугольник	.
В какой	прямоугольник	можно вписать окружность ? .
Но ВСКН —	прямоугольник	, поэтому .
8 Постройте	прямоугольник	по одной из сторон и диагонали .
Тогда ВСКН —	прямоугольник	, прямоугольные треугольники АВН и DCK равны по гипотенузе и катету .
Поэтому НАВО2 —	прямоугольник	.
4 Сколько внутренних плоских углов имеет : а ) квадрат ; б )	прямоугольник	; в ) ромб ; г ) параллелограмм ? .
1 ) отрезок ; 2 ) треугольник ; 3 )	прямоугольник	; 4 ) параллелограмм .
Следовательно , CNOK —	прямоугольник	.
Пусть	прямоугольник	имеет заданный периметр Р , а радиус R полукруга изменяется .
6 Найдите приближённую длину диагонали	прямоугольника	со сторонами 5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
Какой признак	прямоугольника	вы можете предложить ? .
2 Диагонали	прямоугольника	длиной 24 см пересекаются под углом в 60 ° .
Площадь	прямоугольника	вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения длин .
Докажите , что прямая l . а ) не пересекает две другие стороны	прямоугольника	.
Рассмотрим , например , противоположные стороны АВ и CD	прямоугольника	ABCD .
2.3 Из	прямоугольника	со сторонами а и b вырезали рамку шириной 1 см. При каких значениях а и b площадь рамки равна 20 см2 ? .
5 Докажите , что середины сторон ромба являются вершинами	прямоугольника	.
4 Докажите , что середины сторон	прямоугольника	являются вершинами ромба .
а ) для любого	прямоугольника	со сторонами , идущими по линиям сетки . б ) для любого прямоугольного треугольника с катетами , идущими по линиям сетки .
б ) пересекает каждую из диагоналей	прямоугольника	.
6 Как показать , что диагональ	прямоугольника	не может быть перпендикулярна его стороне ? .
Стороны полученного	прямоугольника	равны 5 и 6 , а поэтому его площадь равна .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол	прямоугольника	— это плоский угол , образованный его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
Какие свойства диагоналей	прямоугольника	вы знаете ? .
Хотя , например , для	прямоугольника	можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это плоский угол , образованный его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
Противоположные стороны	прямоугольника	лежат на непересекающихся прямых .
5 На сторонах	прямоугольника	ABCD со сторонами а и b во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABM , BCN , CDK , ADL .
1.2 Даны два	прямоугольника	, причём GH AB .
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины сторон	прямоугольника	, выраженные в одних единицах измерения длин .
1.3 Противоположные стороны	прямоугольника	.
11 Прямая l не содержит вершины и пересекает две противоположные стороны	прямоугольника	.
Утверждение предыдущего пункта позволяет в качестве следствия получить свойство	прямоугольника	.
Квадрат со стороной разбит на квадрат со стороной а , квадрат со стороной b и два равных	прямоугольника	со сторонами а и b.
Как можно определить квадрат , пользуясь определением	прямоугольника	? .
16 Через середину стороны АВ	прямоугольника	ABCD проводится прямая l , параллельная стороне ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину стороны CD .
6 Сформулируйте известные вам свойства	прямоугольника	.
1.2 В ромбе диагонали равны 6 см и 9 см. Чему равен периметр	прямоугольника	, полученного соединением середин сторон этого ромба ? .
С другой стороны , противоположные стороны	прямоугольника	попарно параллельны , как перпендикуляры к одной прямой .
Найдите площадь	прямоугольника	.
4 Оконный проём имеет форму	прямоугольника	с надстроенным над ним полукругом , как изображено .
Соседние стороны ОК и ON	прямоугольника	равны как радиусы в одной и той же окружности , поэтому CNOK — квадрат .
11 Найдите условие , при котором середины сторон четырёхугольника являются : а ) вершинами ромба ; б ) вершинами	прямоугольника	.
Докажите , что основания перпендикуляров являются вершинами	прямоугольника	.
2.3 Прямоугольник разделён двумя прямыми на четыре	прямоугольника	.
Найдите длины сторон	прямоугольника	в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь .
Например , при сумма равна половине площади	прямоугольника	со сторонами , как это можно видеть .
Стороны противоположные	прямоугольника	.
1.4 В	прямоугольнике	ABCD угол ВРС равен 80 ° , угол РСВ равен 50 ° .
2.4 В	прямоугольнике	ABCD точки К , L , V , О , М делят диагонали на равные части .
6 В	прямоугольнике	проводятся биссектрисы всех углов при вершинах .
Как доказать , что если параллелограммы ABCD и ABKL —	прямоугольники	, то CDLK тоже прямоугольник ? .
Например , площадь « буквы M » можно найти как сумму площадей двух	прямоугольников	.
Для наглядности представим слагаемые как площади	прямоугольников	шириной 1 и высотами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и изобразим их .
Сколько различных пар непересекающихся прямых задают стороны этих	прямоугольников	? .
5 Какой параллелограмм будет	прямоугольником	? .
Так как этот параллелограмм имеет прямой угол , то он является	прямоугольником	.
Следовательно , взятый параллелограмм является	прямоугольником	.
Как доказать , что четырёхугольник ABCD не является	прямоугольником	? .
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана площадь равнобедренного	прямоугольного	треугольника с катетом в 1 см .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления площади	прямоугольного	треугольника , где а и b — длины катетов .
По свойству острых углов	прямоугольного	треугольника имеем равенство .
Чему равен катет	прямоугольного	треугольника , если его гипотенуза равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? .
а ) для любого прямоугольника со сторонами , идущими по линиям сетки . б ) для любого	прямоугольного	треугольника с катетами , идущими по линиям сетки .
1 По какой формуле можно вычислять площадь	прямоугольного	треугольника ? .
Площадь треугольника	прямоугольного	.
Если гипотенуза и катет одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Объём V	прямоугольного	параллелепипеда с ребрами а , b , с выражается формулой .
Из	прямоугольного	треугольника АВН по теореме Пифагора получим равенство .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
Воспользуемся формулой площади	прямоугольного	треугольника для получения формулы площади произвольного треугольника .
По формуле площади	прямоугольного	треугольника получаем .
4.1 Площадь	прямоугольного	треугольника .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
Для вычисления объёма	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями а , b , с .
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме	прямоугольного	параллелепипеда .
Если гипотенуза и острый угол одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
Воспользуемся свойствами углов	прямоугольного	треугольника для получения ещё одного признака равенства прямоугольных треугольников .
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме	прямоугольного параллелепипеда	.
Объём V	прямоугольного параллелепипеда	с ребрами а , b , с выражается формулой .
Для вычисления объёма	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями а , b , с .
По формуле площади	прямоугольного треугольника	получаем .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления площади	прямоугольного треугольника	, где а и b — длины катетов .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
Воспользуемся свойствами углов	прямоугольного треугольника	для получения ещё одного признака равенства прямоугольных треугольников .
По свойству острых углов	прямоугольного треугольника	имеем равенство .
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана площадь равнобедренного	прямоугольного треугольника	с катетом в 1 см .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
а ) для любого прямоугольника со сторонами , идущими по линиям сетки . б ) для любого	прямоугольного треугольника	с катетами , идущими по линиям сетки .
Если гипотенуза и острый угол одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Воспользуемся формулой площади	прямоугольного треугольника	для получения формулы площади произвольного треугольника .
1 По какой формуле можно вычислять площадь	прямоугольного треугольника	? .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
4.1 Площадь	прямоугольного треугольника	.
Из	прямоугольного треугольника	АВН по теореме Пифагора получим равенство .
Чему равен катет	прямоугольного треугольника	, если его гипотенуза равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? .
Если гипотенуза и катет одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Возьмём лист бумаги	прямоугольной	формы площадью 18 см2 .
Проверьте , что в	прямоугольном	треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
1.3 В	прямоугольном	треугольнике наименьший угол в 6 раз меньше суммы двух других углов .
Мы знаем , что в	прямоугольном	треугольнике катет меньше гипотенузы .
10 Докажите , что в	прямоугольном	треугольнике с острым углом в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
Проверьте , что в	прямоугольном треугольнике	АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
10 Докажите , что в	прямоугольном треугольнике	с острым углом в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
Мы знаем , что в	прямоугольном треугольнике	катет меньше гипотенузы .
1.3 В	прямоугольном треугольнике	наименьший угол в 6 раз меньше суммы двух других углов .
22 В	прямоугольную	трапецию ABCD с основаниями АВ b 6 см и CD b 3 см можно вписать окружность .
Например , древнегреческий математик Пифагор изучал	прямоугольные	треугольники с целочисленными сторонами .
Заметим , что и	прямоугольные	треугольники ORS и OR 'S ' равны по катету и острому углу .
Отсюда следует , что	прямоугольные	треугольники OPQ и OP'Q ' равны по двум катетам .
Тогда ВСКН — прямоугольник ,	прямоугольные	треугольники АВН и DCK равны по гипотенузе и катету .
Заметим , что и	прямоугольные треугольники	ORS и OR 'S ' равны по катету и острому углу .
Отсюда следует , что	прямоугольные треугольники	OPQ и OP'Q ' равны по двум катетам .
Тогда ВСКН — прямоугольник ,	прямоугольные треугольники	АВН и DCK равны по гипотенузе и катету .
Например , древнегреческий математик Пифагор изучал	прямоугольные треугольники	с целочисленными сторонами .
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС	прямоугольный	; б ) если треугольник АВС прямоугольный ( с прямым углом В ) , то .
Найдём радиус окружности , вписанной в	прямоугольный	треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
Как построить	прямоугольный	треугольник по гипотенузе и катету ? .
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС прямоугольный ; б ) если треугольник АВС	прямоугольный	( с прямым углом В ) , то .
такой треугольник	прямоугольный	.
10 Постройте	прямоугольный	треугольник по катету и прилежащему острому углу .
Сделаем дополнительное построение , проведя О2Н О1К Получим прямоугольник O2НКL и	прямоугольный	треугольник О1НО2 .
1.6 Окружность , вписанная в	прямоугольный	треугольник .
Найдём радиус r окружности , вписанной в	прямоугольный	треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
Тогда треугольник АВС	прямоугольный	и его катеты АВ b h , АС b а .
11 Постройте	прямоугольный	треугольник по катету и гипотенузе .
1.3 Окружность , вписанная в	прямоугольный	треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
Постройте	прямоугольный	треугольник по катету и сумме другого катета с гипотенузой .
9 Постройте	прямоугольный	треугольник по двум катетам .
1.6 Окружность , вписанная в	прямоугольный треугольник	.
Сделаем дополнительное построение , проведя О2Н О1К Получим прямоугольник O2НКL и	прямоугольный треугольник	О1НО2 .
Постройте	прямоугольный треугольник	по катету и сумме другого катета с гипотенузой .
Найдём радиус окружности , вписанной в	прямоугольный треугольник	со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
11 Постройте	прямоугольный треугольник	по катету и гипотенузе .
Найдём радиус r окружности , вписанной в	прямоугольный треугольник	со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
1.3 Окружность , вписанная в	прямоугольный треугольник	АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
10 Постройте	прямоугольный треугольник	по катету и прилежащему острому углу .
Как построить	прямоугольный треугольник	по гипотенузе и катету ? .
9 Постройте	прямоугольный треугольник	по двум катетам .
Три части являются	прямоугольными	параллелепипедами с рёбрами а , b , b.
Три части являются	прямоугольными	параллелепипедами с рёбрами а , а , b.
Три части являются	прямоугольными параллелепипедами	с рёбрами а , а , b.
Три части являются	прямоугольными параллелепипедами	с рёбрами а , b , b.
1.4 Случай	прямоугольных	треугольников .
Воспользуемся теоремой Пифагора для получения ещё одного признака равенства	прямоугольных	треугольников .
4 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных	треугольников по катету и прилежащему острому углу .
Воспользуемся свойствами углов прямоугольного треугольника для получения ещё одного признака равенства	прямоугольных	треугольников .
Равенство	прямоугольных	треугольников по катету и гипотенузе .
10 Изображены восемь равных равнобедренных	прямоугольных	треугольников .
Следовательно , по признаку равенства	прямоугольных	треугольников они равны .
В таком случае площадь треугольника АВС равна сумме площадей	прямоугольных	треугольников АВН и ВНС .
2 Из	прямоугольных	листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного параллелепипеда .
Пусть в	прямоугольных	треугольниках равны гипотенузы и катеты .
Как доказать этот признак равенства	прямоугольных	треугольников ? .
Пусть треугольник АВС состоит из двух	прямоугольных	треугольников АВК и ВКС , причём ВК b 4 см , АК b 5 см , СК b 2 см .
6 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных	треугольников по гипотенузе и катету .
Из второго признака равенства треугольников следует такой признак равенства	прямоугольных	треугольников .
5 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных	треугольников по гипотенузе и острому углу .
1.5 Равенство	прямоугольных	треугольников по гипотенузе и острому углу .
Пусть в	прямоугольных треугольниках	равны гипотенузы и катеты .
4 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных треугольников	по катету и прилежащему острому углу .
Пусть треугольник АВС состоит из двух	прямоугольных треугольников	АВК и ВКС , причём ВК b 4 см , АК b 5 см , СК b 2 см .
В таком случае площадь треугольника АВС равна сумме площадей	прямоугольных треугольников	АВН и ВНС .
Воспользуемся свойствами углов прямоугольного треугольника для получения ещё одного признака равенства	прямоугольных треугольников	.
6 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных треугольников	по гипотенузе и катету .
10 Изображены восемь равных равнобедренных	прямоугольных треугольников	.
Равенство	прямоугольных треугольников	по катету и гипотенузе .
Воспользуемся теоремой Пифагора для получения ещё одного признака равенства	прямоугольных треугольников	.
Как доказать этот признак равенства	прямоугольных треугольников	? .
1.5 Равенство	прямоугольных треугольников	по гипотенузе и острому углу .
Следовательно , по признаку равенства	прямоугольных треугольников	они равны .
5 Сформулируйте признак равенства	прямоугольных треугольников	по гипотенузе и острому углу .
Из второго признака равенства треугольников следует такой признак равенства	прямоугольных треугольников	.
1.4 Случай	прямоугольных треугольников	.
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К	прямую	, параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Проведём через точку А прямой а некоторую	прямую	m , не совпадающую с прямой а .
Аналогично для произвольного выпуклого многоугольника можно взять каждую сторону , провести через неё	прямую	и рассмотреть полуплоскость , содержащую многоугольник .
Для построения этого графика найдём при х 1 значение у b 4 и при х b 2 значение у b Через точки ( 1 ; 4 ) и проведём	прямую	.
Проведём через каждую точку деления	прямую	, параллельную прямой АА1 .
9 Как строится прямая , не пересекающая заданную	прямую	? .
3 Какую	прямую	задаёт уравнение у а , где а — число ? .
Симметрия относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при симметрии относительно прямой каждая прямая переходит в	прямую	.
Покажем , как с помощью циркуля и линейки построить	прямую	, параллельную данной прямой CD и проходящую через точку Р , не лежащую на прямой CD .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести	прямую	PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
2 Строим	прямую	n , проходящую через точку О2 и перпендикулярную прямой О1О2 .
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая аксиома : « Через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые , не пересекающие данную	прямую	» .
11 Проведите через заданную точку	прямую	, которая делит площадь данного параллелограмма пополам .
Это значит , что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок , прямая переходит в	прямую	, треугольник переходит в равный ему треугольник и так далее .
Проведём через точку N	прямую	параллельно прямой AM , пересекающую сторону ВС в точке К .
Сначала из точки А опустим перпендикуляр АХ на	прямую	CD .
Этот график можно построить , если отметить точки и провести	прямую	АВ .
3 Как построить	прямую	, не пересекающуюся с заданной прямой ? .
Поэтому отрезок ВС пересекает	прямую	m , что и требовалось доказать .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту	прямую	в точке А , другой — в точке В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
Строим	прямую	m , проходящую через точку О1 и перпендикулярную прямой О1О2 .
Все точки вида ( 2 ; у ) образуют на координатной плоскости вертикальную	прямую	.
1.4 Построение прямой , которая проходит через данную точку и не пересекает данную	прямую	.
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести	прямую	m , параллельную стороне АС , то такая прямая пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в точке Ν .
1.1 Какое из уравнений задаёт	прямую	пропорциональную зависимость ? .
10 Через точку пересечения двух окружностей проведите	прямую	так , чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды .
Через точки ( 0 ; -1 ) и ( 3 ; 1 ) проведём	прямую	.
Через сторону четырёхугольника EFGH проведём	прямую	.
По аксиоме параллельности прямая m не может быть параллельной прямой b , поэтому прямая m пересекает	прямую	в некоторой точке В .
Как называется число , обозначенное буквой к в записи выражающей	прямую	пропорциональную зависимость переменной у от переменной ? .
Так как центральная симметрия является перемещением , то прямая l переходит в некоторую	прямую	m .
Далее , прямая АС параллельна прямой m , а поэтому отрезок АС не пересекает	прямую	m .
Рассмотрим содержащую его	прямую	а и полуплоскость а с границей а .
Построим	прямую	а , симметричную прямой относительно оси .
Через точку оси Оу с координатой b/2 проведем горизонтальную	прямую	, параллельную оси Ох .
Проведём через середину М стороны АВ	прямую	m , параллельную прямой АС .
Построим	прямую	с уравнением и отметим точки М и К пересечения этой прямой с графиком уравнения .
Проведите	прямую	l так , чтобы она пересекала стороны угла в точках А и В , а точка М являлась серединой отрезка АВ .
Таким образом , при построении прямой , проходящей через точку А и не пересекающей	прямую	CD , всегда получается лишь одна прямая .
Через точку вне заданной прямой можно провести только одну	прямую	, параллельную данной .
В какую	прямую	при центральной симметрии переходит прямая , проходящая через центр симметрии ? .
Возьмём на координатной плоскости	прямую	и на этой прямой точку А(с ; d ) , где .
Известно , что через точку А , лежащую вне прямой CD , всегда можно провести	прямую	, не пересекающуюся с данной .
Иногда	прямую	, являющуюся графиком уравнения , называют прямой .
Если взять ещё какое - нибудь значение х и вычислить , то точка также попадёт на проведённую	прямую	.
Из любой точки К прямой ВС , отличной от точки В , опустим перпендикуляр KL на	прямую	AD .
Отсюда следует , что для построения этого графика достаточно определить две различные его точки и провести через них	прямую	.
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через вершину В	прямую	, параллельную стороне CD .
2.3 На плоскости построили три окружности с общим центром О и радиусами 3 см , 5 см и 8 см. Через точку О провели	прямую	.
Аналогично : если через вершину С провести	прямую	параллельно стороне АВ , то образуется параллелограмм ABCL и треугольник CDL .
Будем называть эту	прямую	общей касательной для данных окружностей .
Рассмотрим	прямую	, касающуюся каждой из них .
Через вершину С проведём	прямую	DK , параллельную стороне АВ треугольника АВС .
15 Через точку М , данную вне окружности О , проведите	прямую	так , чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В и отрезок АВ имел заданную длину .
Проведём через вершину С и середину М боковой стороны AD	прямую	до пересечения с прямой АВ в точке Р .
Проведите	прямую	так , чтобы при её пересечении с окружностями образовалось три равных отрезка .
Будем говорить , что луч О А является продолжением луча О В до прямой АВ , если лучи О А и О В образуют	прямую	.
20 Через заданную точку внутри угла проведите	прямую	, отсекающую от угла треугольник наименьшего возможного периметра .
Докажем , что точка N — середина стороны ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через точку С	прямую	l , параллельную прямой АВ .
Как в координатной плоскости построить	прямую	с уравнением ? .
Отметим на координатной плоскости точку А(1 ; k ) и проведём	прямую	ОА .
Поэтому отрезок ВВ2 пересекает	прямую	АС .
Проведите через точку F	прямую	, пересекающую прямые аиb в точках А и В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Докажем , что при центральной симметрии относительно точки О прямая l , не проходящая через точку О , переходит в	прямую	m , параллельную прямой l .
В этом случае получаем	прямую	пропорциональную зависимость переменной у от переменной х .
Проведём через точку С	прямую	, перпендикулярную оси Ох .
Часто для удобства	прямую	а считают параллельной самой себе .
Параллельные прямые АВ и CD пересекаются секущей MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q	прямую	C1D1 так , что .
Как через заданную точку провести	прямую	, отсекающую от заданного угла треугольник заданного периметра ? .
Все эти точки с координатами ( -2 ; а ) составляют вертикальную	прямую	.
13 В треугольнике АВС через вершину А проведите	прямую	, делящую площадь треугольника пополам .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на	прямую	с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
Следствие : Если две параллельные	прямые	пересечены секущей , то образующиеся соответственные углы равны .
Из аксиомы параллельности следует , что	прямые	C1D1 и CD совпадают , а это значит , что и внутренние накрест лежащие углы также равны .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные	прямые	а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
Следовательно ,	прямые	АВ и CD параллельны .
Если же для секущей MN внутренние накрест лежащие углы являются прямыми , то , как уже было сказано ,	прямые	АВ параллельны как перпендикуляры к одной прямой .
3 Две параллельные	прямые	пересечены секущей .
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая аксиома : « Через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две	прямые	, не пересекающие данную прямую » .
Далее заметим , что	прямые	РМ и NK являются параллельными секущими сторон угла NBC .
1.1 Изображены две параллельные	прямые	, пересечённые третьей прямой .
1.1 Изображены две	прямые	, на каждой из которых выбраны по одной точке М и N соответственно .
Как доказать , что если для одной и той же трапеции провести	прямые	ВК и CL , то получающиеся треугольники АВК и LCD равны ? .
Рассмотрим две параллельные	прямые	а и b.
Отсюда следует , что	прямые	АВ и CD как перпендикуляры к одной прямой не пересекаются , то есть параллельны .
Докажите , что	прямые	АВ и CD параллельны .
Так как	прямые	AM и NK являются параллельными секущими сторон угла АСВ , то , откуда .
1 Какие	прямые	называются параллельными ? .
Точки К и D выбраны так , что . Докажите , что	прямые	АВ и DK параллельны .
Две параллельные	прямые	пересекаются второй парой параллельных прямых .
Через точки К и L проводятся	прямые	, параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите отношение .
Если две параллельные	прямые	пересечены секущей , то образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с прямым углом все углы	прямые	, а противоположные стороны попарно равны .
2.4 Две параллельные	прямые	пересекаются третьей .
Параллельные	прямые	АВ и CD пересекаются секущей MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что .
3 Докажите , что две	прямые	параллельны , если при пересечении их секущей выполняется одно из условий .
10 Через вершину параллелограмма проведите две	прямые	, которые делят параллелограмм на три части равной площади .
Возьмём две	прямые	АВ и CD и их секущую MN , для которых внутренние накрест лежащие углы BPQ и CQP равны и являются острыми .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти	прямые	не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Докажите , что	прямые	AD и ВС параллельны .
1.2 Три	прямые	имеют одну общую точку .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D	прямые	, параллельные стороне АВ , и отметим углы .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены	прямые	, параллельные сторонам параллелограмма .
9 Через вершину параллелограмма проведите три	прямые	, которые делят параллелограмм на четыре части равной площади .
Если на плоскости две	прямые	образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
1.3 Изображены три	прямые	и три точки их пересечения .
2.1 На плоскости проведены четыре взаимно пересекающиеся	прямые	.
Докажите , что	прямые	АВ и CD параллельны , если .
Если две параллельные	прямые	пересечены секущей , то образующиеся внутренние односторонние углы в сумме дают 180 ° .
Точки К и L выбраны соответственно на сторонах АВ и ВС так , что	прямые	KL и АС параллельны .
3 Через вершину острого угла проведите две	прямые	, каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла .
7 Показано , как можно провести параллельные	прямые	с помощью угольника .
Две пересекающиеся	прямые	образуют четыре угла , любые два из которых являются либо вертикальными , либо смежными .
Возьмём две параллельные	прямые	а и b. Пересечём их секущей , как на рис .
1.1 В пятиугольнике ABODE внутренние углы при вершинах А , В , С —	прямые	и ZCDE 120 ° .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные	прямые	.
2 Через все вершины треугольника АВС проведены	прямые	, параллельные противоположным сторонам .
Возьмём две параллельные	прямые	а и b. Пересечём их секущей и обозначим соответствующие углы 1 и 2 .
1.1 На плоскости даны три параллельные	прямые	.
Будут ли параллельны две	прямые	, при пересечении которых секущая образует равные соответственные углы ? .
Например , рассмотрим параллельные	прямые	а и b , которые пересекаются параллельными секущими так .
2.2 На плоскости проведены три	прямые	.
Так как , то по признаку параллельности прямых	прямые	АВ и CD параллельны .
7 Каким свойством обладают	прямые	с одинаковым угловым коэффициентом ? .
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны , то такие	прямые	параллельны .
1 Непересекающиеся	прямые	.
Если две	прямые	а и b параллельны прямой с , то прямые а и b параллельны между собой .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные	прямые	, пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
Прямая АВ образует	прямые	углы при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD .
Поэтому через точку К проходят две различные	прямые	, параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме параллельности .
Эти	прямые	не пересекаются .
8 Даны пересекающиеся	прямые	а и b и точка F , не лежащая на прямых .
Рассмотрим плоскость , расчерченную как клетчатая бумага , и на ней две	прямые	.
Две	прямые	на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются .
Все	прямые	не совпадают .
2.1 Укажите уравнения , графики которых — две вертикальные	прямые	.
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные	прямые	, пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
1.1 Непересекающиеся	прямые	на клетчатой бумаге .
Параллельные	прямые	.
В этой главе вы узнаете , какие	прямые	называют параллельными и какое значение в геометрии имеет пятый постулат Евклида .
Проведём две взаимно перпендикулярные	прямые	m и n.
3 ) две горизонтальные	прямые	.
1.2 Укажите уравнение , график которого — две вертикальные	прямые	.
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой	прямые	, пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Если предположить , что	прямые	пересекаются в какой - то точке с координатами ( m ; n ) , то тогда одновременно должны выполняться равенства , откуда , что невозможно .
Проведём через точки А , В , С , D , Е параллельные между собой	прямые	, пересекающие стороны угла соответственно в точках К , L , М , N , О .
Проведите через точку F прямую , пересекающую	прямые	аиb в точках А и В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Когда точки О1 и О2 различны , можно провести единственные	прямые	m и n перпендикулярно прямой О1О2 .
Пусть на плоскости заданы такие	прямые	АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что прямая MN — секущая для прямых АВ и CD .
Таким образом , предположение о том , что	прямые	а и b пересекаются , было неверным .
Предположим , что найдутся две	прямые	а и b , которые перпендикулярны третьей прямой с и пересекаются .
Две	прямые	, перпендикулярные третьей прямой , не пересекаются .
2.2 Какое число различных пар непересекающихся прямых могут образовывать	прямые	, содержащие стороны некоторого шестиугольника ? .
И в первом , и во втором случае через точку к прямой можно провести лишь один перпендикуляр , и предположение о том , что	прямые	а и b пересекаются , неверно .
Через точки А , В , С провести параллельные между собой	прямые	, не пересекающие вторую сторону угла ? .
Таким образом , точки С , В , D лежат на одной прямой , и	прямые	а и b совпадают .
Как показать , что	прямые	АН и BF не пересекаются ? .
Как доказать , что	прямые	АС , NL и МК параллельны между собой ? .
Значит ,	прямые	АВ и CD перпендикулярны прямой AD , а поэтому не пересекаются .
Мы доказали , что две различные	прямые	, перпендикулярные третьей прямой , не пересекаются , то есть параллельны .
Предположим , что	прямые	а и b не параллельны .
Следует , что	прямые	параллельны .
Могут ли при этом получиться различные	прямые	, параллельные данной прямой ?
Пусть в треугольниках углы —	прямые	и соответственно равны гипотенузы равные острые углы .
Прямая АВ не пересекается с прямой CD , так как	прямые	АВ и CD различны и перпендикулярны прямой АХ .
Поэтому	прямые	а и b можно назвать равноотстоящими .
2.1 Через стороны треугольника и одну из вершин проведены	прямые	.
Если две прямые а и b параллельны прямой с , то	прямые	а и b параллельны между собой .
2.4 В некотором многоугольнике два угла —	прямые	.
1.4 Имеются четырёхугольник и ещё две	прямые	.
2.3 Укажите уравнения , графики которых — две перпендикулярные	прямые	.
4 ) две перпендикулярные	прямые	( одна вертикальная и одна горизонтальная ) .
Прямая АС является секущей при параллельных прямых AD и ВС. Точно так же , рассматривая	прямые	АВ и CD , получим , что .
Поэтому и	прямые	а и b совпадают , так как в одну сторону от луча HF можно отложить только один угол величиной 90 ° .
Рассмотрим	прямые	AD и ВС , проходящие через противоположные стороны параллелограмма , и точку М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными секущей АВ .
Изображены	прямые	— графики функций .
Прямая АВ образует	прямые углы	при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD .
Эту единицу измерения обычно называют	прямым	углом , а его величину обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с	прямым	углом все углы прямые , а противоположные стороны попарно равны .
14 Точки А и В лежат на параллельных прямых а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l , параллельная	прямым	а и b.
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными	прямым	k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
Отметим середину К отрезка PQ и проведём перпендикуляры КН и KG к	прямым	АВ и CD соответственно .
Вершины двух углов совпадают , и стороны двух углов расположены по двум пересекающимся	прямым	.
Таким образом , прямоугольник можно определить как параллелограмм с	прямым	углом .
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС прямоугольный ; б ) если треугольник АВС прямоугольный ( с	прямым	углом В ) , то .
Последовательно приставляя к нему равные квадраты , придём к непересекающимся равноотстоящим	прямым	m и n .
Рассмотрим параллелограмм с	прямым	углом .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными	прямым	k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными	прямым	l и m , либо дополняет его до 180 ° .
21 В трапеции ABCD с	прямым	углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
Развёрнутый угол равен двум	прямым	углам или 2d .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с вершиной в В и сторонами , параллельными	прямым	l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° .
Развёрнутый угол равен двум	прямым углам	или 2d .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с	прямым углом	все углы прямые , а противоположные стороны попарно равны .
Таким образом , прямоугольник можно определить как параллелограмм с	прямым углом	.
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС прямоугольный ; б ) если треугольник АВС прямоугольный ( с	прямым углом	В ) , то .
Рассмотрим параллелограмм с	прямым углом	.
21 В трапеции ABCD с	прямым углом	при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
Эту единицу измерения обычно называют	прямым углом	, а его величину обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Если же для секущей MN внутренние накрест лежащие углы являются	прямыми	, то , как уже было сказано , прямые АВ параллельны как перпендикуляры к одной прямой .
14 Разделите треугольник на три равновеликие части	прямыми	, проходящими через заданную вершину треугольника .
Эти линейные функции имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их графики являются параллельными	прямыми	.
Расстоянием между двумя параллельными	прямыми	называется расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой .
Углы BMN и CKN внутренние накрест лежащие , образованные секущей МК с параллельными	прямыми	АВ и СК , значит .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с параллельными	прямыми	АВ и CD .
Расстояние между параллельными	прямыми	.
В частности , длина высоты параллелограмма ABCD , проведённой к стороне AD , равна расстоянию между параллельными	прямыми	ВС и AD .
Стороны ВС и AD угла пересечены	прямыми	АВ и CD .
Секущая MN при пересечении с	прямыми	АВ и CD образует восемь углов .
2.3 Прямоугольник разделён двумя	прямыми	на четыре прямоугольника .
2.9 Свойство секущей параллельных	прямых	.
Отсюда , по признаку параллельности	прямых	, заключаем , что Аналогично устанавливается параллельность прямых АВ и CD .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных	прямых	? .
4 Что такое секущая для двух	прямых	? .
Отсюда , по признаку параллельности прямых , заключаем , что Аналогично устанавливается параллельность	прямых	АВ и CD .
Какие признаки параллельности	прямых	вы знаете ? .
Запишем в краткой форме свойства параллельных	прямых	.
Сколько различных пар параллельных	прямых	при этом дополнительно возникают ? .
3 Какие признаки параллельности	прямых	вы знаете ? .
Точка пересечения	прямых	лежит на прямой с .
Стороны угла А лежат на непересекающихся	прямых	l и m , а стороны угла В лежат на двух других прямых k и n таких , что .
2.4 Свойства параллельных	прямых	.
Как доказать , что в треугольнике не может быть двух	прямых	углов ? .
Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных	прямых	.
Тогда углы САВ и DCA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных	прямых	АВ , DK и секущей АС .
Аналогично : два луча называются параллельными , если они лежат на параллельных	прямых	.
14 Постройте окружность , проходящую через заданную точку и касающуюся двух данных параллельных	прямых	.
Сколько различных пар непересекающихся	прямых	может быть ? .
Какое максимальное количество различных пар непересекающихся	прямых	может быть ? .
Аксиома параллельности и признаки параллельности прямых позволяют доказывать свойства параллельных	прямых	.
Аксиома параллельности и признаки параллельности	прямых	позволяют доказывать свойства параллельных прямых .
2.10 Равенство внутренних накрест лежащих углов , образуемых секущей двух параллельных	прямых	.
8 Две пары параллельных	прямых	пересекаются пятой прямой .
Заметим , что построение двух непересекающихся	прямых	делалось в предположении , что плоскость может быть разбита на квадраты , как клетчатая бумага .
Сколько различных пар непересекающихся	прямых	задают стороны этих прямоугольников ? .
Сколько имеется различных пар непересекающихся	прямых	? .
Площадь треугольника АВС равна S. На	прямых	АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
Докажем ещё один признак параллельности	прямых	.
Таким образом , прямая m является секущей для обеих параллельных	прямых	а и b .
1 На двух параллельных	прямых	а и b выбраны точки А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
Стороны угла А лежат на непересекающихся прямых l и m , а стороны угла В лежат на двух других	прямых	k и n таких , что .
Две параллельные прямые пересекаются второй парой параллельных	прямых	.
1.3 Какое наибольшее число внутренних	прямых	углов может иметь шестиугольник ? .
Тогда KL и ВН параллельны , как перпендикуляры к прямой AD , а ВК и HL параллельны , так как расположены на параллельных	прямых	ВС и AD .
Какие ещё примеры непересекающихся	прямых	вы знаете ? .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх	прямых	, вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
фигура , составленная из двух различных	прямых	.
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных	прямых	АВ , DK и секущей ВС. Углы DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый угол .
Представление о непересекающихся или равноотстоящих	прямых	дают два ряда рельсов прямолинейного участка железной дороги , если представить , что они неограниченно продолжены в обе стороны .
Прежде всего из определения параллельных	прямых	вытекает свойство .
Их соответствующие стороны расположены на параллельных	прямых	.
Сумма внутренних односторонних углов , образуемых секущей двух параллельных	прямых	.
Далее , признак параллельности	прямых	можно записать так .
Противоположные стороны прямоугольника лежат на непересекающихся	прямых	.
Таким образом , приходим к следующему свойству параллельных	прямых	.
Примерами графиков функций могут служить графики	прямых	пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей .
Если при пересечении двух	прямых	секущей внутренние накрест лежащие углы равны , то такие прямые параллельны .
В итоге получаем ещё один признак параллельности	прямых	.
6 Две пары параллельных	прямых	пересекаются пятой прямой .
Так как предположение о существовании точки пересечения	прямых	приводит к противоречию , то тем самым доказана параллельность этих прямых .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при параллельных	прямых	, поэтому Z1 также либо равен углу с вершиной в точке В , либо дополняет его до 180 ° .
Обозначим буквой О точку пересечения	прямых	, содержащих его диагонали .
Обозначим буквой К точку пересечения	прямых	m и l Так как , четырёхугольник AMКС — параллелограмм .
Свойство центрально симметричных	прямых	.
Так как предположение о существовании точки пересечения прямых приводит к противоречию , то тем самым доказана параллельность этих	прямых	.
3 В одной полуплоскости относительно прямой О1О2 отмечаем точки Р и Q пересечения	прямых	m и n с окружностями .
Тогда для	прямых	АВ и CD острые внутренние накрест лежащие углы ZBPQ и ZCQP равны .
Прямая АС является секущей при параллельных	прямых	AD и ВС. Точно так же , рассматривая прямые АВ и CD , получим , что .
Когда рассматривают секущую двух	прямых	, то кроме внутренних накрест лежащих углов выделяют и другие пары углов и дают им особые названия .
16 Трапеции ABCD и FGHE имеют общую среднюю линию , а их основания лежат на двух параллельных	прямых	.
2 Сформулируйте утверждение о	прямых	, перпендикулярных к некоторой прямой .
1 Приведите примеры равноотстоящих	прямых	.
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных	прямых	m и n .
Обозначим через С точку пересечения	прямых	l и n.
Почему противоположные стороны квадрата лежат на непересекающихся	прямых	? .
Так как , то по признаку параллельности	прямых	прямые АВ и CD параллельны .
Определение параллельности	прямых	.
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных	прямых	, пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
По признаку параллельности	прямых	.
Например , соответственно изображены углы наклона	прямых	.
14 Точки А и В лежат на параллельных	прямых	а и b. Через середину отрезка АВ проводится прямая l , параллельная прямым а и b.
Из параллельности	прямых	AD и ВС следует , что , как внутренние накрест лежащие , по той же причине .
Сколько пар непересекающихся прямых могут быть среди	прямых	, содержащих стороны многоугольника ? .
Эти углы являются внутренними накрест лежащими для	прямых	АВ и CD и секущей АС .
Углы АВО и CDO являются внутренними накрест лежащими для	прямых	АВ , CD и секущей BD .
Сколько неразвёрнутых углов образуют 100	прямых	, пересекающихся в одной точке ? .
Полученное свойство считают основным для параллелограмма и поэтому параллелограмм определяют как четырёхугольник , у которого каждая пара противоположных сторон лежит на параллельных	прямых	.
2.7 Параллельность	прямых	при равенстве внутренних накрест лежащих углов .
2.3 Признаки параллельности	прямых	.
10 Сформулируйте признак параллельности	прямых	.
2.6 Параллельность	прямых	.
Сколько пар непересекающихся	прямых	могут быть среди прямых , содержащих стороны многоугольника ? .
8 Даны пересекающиеся прямые а и b и точка F , не лежащая на	прямых	.
Точка пересечения	прямых	расположена вне прямой с .
2.3 На плоскости выбраны четыре различные точки А , В , С , D так , что отрезки АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена точка К пересечения	прямых	АВ и CD .
Равны и их соответствующие углы PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие углы , образованные при пересечении	прямых	CD и PS секущей PQ .
Это утверждение является признаком параллельности	прямых	.
2.4 Две окружности разных радиусов касаются двух пересекающихся	прямых	.
2.6 Параллельные секущие двух параллельных	прямых	.
Параллельность	прямых	CD и PS следует из признака параллельности .
Его соседние углы АВС и BAD являются внутренними односторонними углами , образованными секущей АВ параллельных	прямых	AD и ВС. Поэтому по свойству .
Параллельность	прямых	на плоскости обладает следующими тремя основными свойствами .
При пересечении этих трёх	прямых	образуется треугольник .
1.4 Имеется две пары параллельных	прямых	, причём некоторые пересекаются .
11 Какие свойства параллельных	прямых	вы знаете ? .
Как построить равносторонний треугольник , одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных	прямых	? .
Рассмотрев внутренние накрест лежащие углы DAB и РВА при параллельных	прямых	AD и ВС , получим , что .
Какие примеры параллельных	прямых	вам известны ? .
Покажем , как , опираясь на основные свойства	прямых	, доказать , что такая точка существует .
Сумма S углов четырёхугольника равна сумме По свойствам параллельных	прямых	выполняются равенства .
8 Докажите , что противоположные стороны ромба лежат на непересекающихся	прямых	.
Свойство параллельных	прямых	.
Параллельность	прямых	обозначается с помощью знака .
Например , параллельность	прямых	а и b можно записать в виде или в виде .
Пусть на плоскости заданы такие прямые АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что прямая MN — секущая для	прямых	АВ и CD .
2.2 Какое число различных пар непересекающихся	прямых	могут образовывать прямые , содержащие стороны некоторого шестиугольника ? .
12 Две окружности касаются друг друга и касаются двух параллельных	прямых	так .
5 Две пары параллельных	прямых	пересекаются пятой прямой .
1.3 Какое наибольшее число внутренних	прямых углов	может иметь шестиугольник ? .
Как доказать , что в треугольнике не может быть двух	прямых углов	? .
Таким образом , уравнение имеет	пустое множество	решений .
Если уравнение не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество корней уравнения является	пустым множеством	.
В этом случае множество решений уравнения является	пустым множеством	.
Какой пример уравнения с	пустым множеством	корней рассматривался в первом параграфе ? .
Если неравенство не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество его корней является	пустым множеством	.
Как показать , что множество решений неравенства является	пустым множеством	? .
поезд был в	пути	5 суток .
На каком расстоянии от начала	пути	туристы сделали первый привал ? .
Для вычисления пройденного	пути	за время t при фиксированной скорости υ .
Изобразим схематически условие задачи , где А — начало пути , В — место первого привала , С — место второго привала , D — конец	пути	.
Изобразим схематически условие задачи , где А — начало	пути	, В — место первого привала , С — место второго привала , D — конец пути .
Начертите график зависимости пройденного	пути	от времени .
Длина	пути	S , пройденного телом при свободном падении в поле силы тяжести с ускорением g за время t при начальной нулевой скорости выражается формулой .
время движения прямо пропорционально пройденному	пути	.
Найти , в какое время встретятся Филя и Хрюша , если	путь	от Шаболовки до Останкина 25 км .
пройденный	путь	прямо пропорционален времени движения .
пройденный	путь	прямо пропорционален скорости автомобиля .
При постоянной скорости движения V , измеряемой в километрах в час , пройденный	путь	S в километрах может быть вычислен по формуле .
Чтобы получить	пятиугольник	, можно взять пять различных точек и последовательно соединить их пятью отрезками так , что последняя точка будет соединена с первой .
Например , таким способом по точкам можно получить	пятиугольник	ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Этот же	пятиугольник	получится , если мы соединим сначала точку Е с точкой D , затем точку D с точкой С и так далее .
1 Как можно получить	пятиугольник	? .
2.1 Сколько острых внутренних углов может иметь выпуклый	пятиугольник	? .
Рассмотрим выпуклый	пятиугольник	ABCDE .
Возьмём , например ,	пятиугольник	ABCDE , описанный около окружности радиуса R. Соединим центр окружности с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
2 Могут ли какие - то три вершины	пятиугольника	лежать на одной прямой ? .
В скобках получили периметр	пятиугольника	.
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов	пятиугольника	можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов	пятиугольника	MKLPQ , то есть .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов	пятиугольника	равна .
5 Найдите внутренние углы правильного : а )	пятиугольника	; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
Так как площадь	пятиугольника	равна сумме найденных площадей ,
13 Точки А , В , С , D , Е являются вершинами правильного	пятиугольника	и соединены так , что образуют пятиконечную звезду .
Чему равна площадь	пятиугольника	ΑΒΜΝΌ ? .
Чему равны углы правильного пятиугольника ( то есть	пятиугольника	, в котором все стороны равны и все углы равны ) ? .
Проведём диагональ АС , которая разбивает каждый из углов А и С	пятиугольника	на две части .
Чему равны углы правильного	пятиугольника	( то есть пятиугольника , в котором все стороны равны и все углы равны ) ? .
Если при этом окажется , что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой , а никакие два не соседних отрезка не имеют общих точек , то полученную фигуру будем называть	пятиугольником	.
7 Построить четырёхугольник , равновеликий заданному	пятиугольнику	.
4 Каковы основные свойства тождественных	равенств	? .
Так как отрезок AM можно единственным образом разбить на три равные части , из	равенств	следует совпадение точек F и О .
2.4 Какие из приведённых	равенств	можно получить с помощью приближённой формулы ? .
В левых частях	равенств	стоит одно и то выражение х.
2.3 Какие из приведённых	равенств	получаются с помощью приближённой формулы ? .
Всего получается сомножителей , равных а , то есть аn + m. Это рассуждение можно кратко записать в виде цепочки	равенств	.
Поэтому правые части этих	равенств	равны .
Какие из	равенств	верны ? .
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является ромбом , диагональ АС является биссектрисой углов с вершинами А и С Какие из	равенств	верны ? .
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых	равенств	и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
2.4 Какие из приближённых	равенств	можно получить с помощью приближённой формулы ? .
2.3 Какие из приближённых	равенств	получаются с помощью приближённой формулы ? .
Аналогично определяется почленное умножение равенств : почленным произведением двух	равенств	называется новое равенство .
Например , из	равенств	следует равенство соответствующих высот треугольников АВС .
Аналогично определяется почленное умножение	равенств	: почленным произведением двух равенств называется новое равенство .
Почленной суммой двух равенств называется новое равенство в правой части которого стоит сумма правых , а в левой — сумма левых частей исходных	равенств	.
Почленной суммой двух	равенств	называется новое равенство в правой части которого стоит сумма правых , а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
1.2 Среди следующих	равенств	, где а , найдите то , которое является тождеством .
1.1 Среди следующих	равенств	найдите то , которое является тождеством .
2.4 Изображено несколько углов с общей вершиной О. Какие из следующих	равенств	имеют место ? .
Заметим , что если определитель системы не равен нулю , то из полученных выше	равенств	находим единственное значение х и единственное значение у .
Какие из следующих	равенств	верны ? .
Действительно , имеет место следующая цепочка	равенств	.
Какие из	равенств	правильны ? .
Какие из	равенств	являются верными ? .
Тождествами принято считать также верные	равенства	между числовыми выражениями , вовсе не содержащими переменных букв .
Например ,	равенства	все являются тождествами .
Напомним , что для чисел выполняется такое свойство	равенства	.
2.3 Свойства тождественного	равенства	: транзитивность , симметричность , рефлексивность .
Аналогичное свойство выполняется для тождественного	равенства	всюду определённых выражений .
Тождественные	равенства	буквенных выражений обладают важными свойствами .
Какие свойства	равенства	геометрических фигур вы знаете ? .
Какие свойства применялись в приведённом примере при записи каждого очередного	равенства	? .
Например , можно последовательно записать тождественные	равенства	.
Для чисел выполняется такое свойство	равенства	.
13 Предложите свой признак	равенства	параллелограммов .
Признаки	равенства	треугольников первый признак .
Из второго признака	равенства	треугольников следует такой признак равенства прямоугольных треугольников .
По первому признаку	равенства	треугольников .
Квадратные корни из левой и правой частей этого приближённого	равенства	также , очевидно , будут мало отличаться друг от друга .
Итак , два равенства можно почленно сложить или перемножить , и при этом снова получаются	равенства	.
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые	равенства	.
Если предположить , что прямые пересекаются в какой - то точке с координатами ( m ; n ) , то тогда одновременно должны выполняться	равенства	, откуда , что невозможно .
Это утверждение называется вторым признаком	равенства	треугольников .
При а , большем 0 и не равном 1 , из равенства следует , что из	равенства	можно получить равенство .
При а , большем 0 и не равном 1 , из	равенства	следует , что из равенства можно получить равенство .
Логарифм левой части этого равенства запишется в виде Логарифм правой части	равенства	по определению равен .
Логарифм левой части этого	равенства	запишется в виде Логарифм правой части равенства по определению равен .
Таким образом , второй признак	равенства	треугольников доказан .
Докажем второй признак	равенства	треугольников .
Отложим на луче АВ отрезок АВ2 , равный отрезку Для треугольников АВ2С и А1В1С1 выполняются условия первого признака	равенства	.
Они равны по третьему признаку	равенства	треугольников .
По второму признаку	равенства	треугольников .
Напомним введённое ранее понятие	равенства	углов .
Из второго признака равенства треугольников следует такой признак	равенства	прямоугольных треугольников .
Докажите следующий признак	равенства	треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Итак , два	равенства	можно почленно сложить или перемножить , и при этом снова получаются равенства .
В случае системы линейных уравнений ( 5 ) пара чисел ( х0 ; у0 ) является решением , если одновременно выполняются	равенства	.
Например , если ОБ является биссектрисой угла АОС , а плоский угол АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать	равенства	.
Получили два одинаковых	равенства	.
Таким образом , верны	равенства	.
Как показать , что для любого числа и любого натурального числа n выполняются	равенства	? .
Свойство тождественного	равенства	, транзитивность .
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного равенства многочленов совпадает с определением тождественного	равенства	буквенных выражений .
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного	равенства	многочленов совпадает с определением тождественного равенства буквенных выражений .
Воспользуемся свойствами углов прямоугольного треугольника для получения ещё одного признака	равенства	прямоугольных треугольников .
Доказательство	равенства	треугольников по двум соответствующим сторонам и медиане .
По третьему признаку	равенства	треугольников получаем , что .
По первому признаку	равенства	.
Из	равенства	треугольников следует равенство соответственных сторон АС и BD .
В итоге получаем	равенства	АС b BD , АЕ b BF , СЕ b DF , откуда , по третьему признаку , треугольники АСЕ и BDF равны .
Использование признаков	равенства	треугольника для решения задач .
Как доказать этот признак	равенства	прямоугольных треугольников ? .
По первому признаку	равенства	треугольники ACD и ВСЕ равны .
Из	равенства	треугольников MCD и МРА следует равенство их соответственных сторон .
Из	равенства	треугольников следует равенство отрезков MN и NK , а по свойству сторон параллелограмма отрезки АС и МК равны .
Равенство в формуле отличается от	равенства	между выражениями ab и bа .
Точно так же не вызывают удивления первый признак	равенства	треугольников , возможность откладывания углов и отрезков — утверждения , которые мы принимали без доказательства .
В нашем случае оба	равенства	выполняются , а поэтому полученная графическим способом пара чисел ( 3 ; 1 ) является точным решением начальной системы .
Он означает , что если для двух треугольников АВС и имеют место	равенства	то можно сделать копию треугольника АВС , которая при наложении совпадёт с треугольником .
Свойство тождественного	равенства	, симметричность .
Это утверждение называется третьим признаком	равенства	треугольников .
Рассмотрим описанный около окружности четырёхугольник ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках касательных получим	равенства	.
Понятие равносильности неравенств обладает свойствами , похожими на свойства	равенства	чисел .
4 Сформулируйте признак	равенства	прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу .
В 6 классе вы уже изучали признак	равенства	треугольников .
Аналогично получаются	равенства	.
Сумма S углов четырёхугольника равна сумме По свойствам параллельных прямых выполняются	равенства	.
Умножив обе части этого	равенства	на ненулевое число 1/2 , получим равенство .
Числа 0 и -1 являются его корнями , потому что выполняются	равенства	.
Свойство тождественного	равенства	дистрибутивность .
Используя	равенства	, получаем равенство .
Какими свойствами обладает понятие	равенства	целых и дробных чисел ? .
Значит , для некоторого числа m должны выполняться	равенства	.
Приводя подобные члены в правой части числового	равенства	, получаем .
1 Признаки	равенства	треугольников .
Обе части второго	равенства	удаётся разделить на 32 и получить более простое равенство .
1 ) третий признак	равенства	треугольников . 2 ) признак равенства по двум катетам .
Используя это обозначение и определение целой части числа , можем , например , записать	равенства	.
По третьему признаку	равенства	.
Треугольники PQR и PQS равны по третьему признаку	равенства	.
Традиционно этот признак называют первым признаком	равенства	треугольников .
Если а 1 , то из полученного	равенства	сможем найти .
Точку В2 соединим отрезком с точкой С. По первому признаку	равенства	.
По первому признаку	равенства	треугольников получаем .
1 Сформулируйте первый признак	равенства	треугольников .
Заметим , что и треугольник PQR1 также является искомым , однако этот треугольник равен треугольнику PQR в силу третьего признака	равенства	треугольников .
Выполнив арифметические действия в каждой из частей этого	равенства	, получим , что .
Свойство тождественного	равенства	ассоциативность .
Докажем третий признак	равенства	треугольников .
2 Сформулируйте второй признак	равенства	треугольников .
Приведя подобные в каждой части , получим : Умножим обе части последнего	равенства	на ненулевое число .
3 ) признак	равенства	по гипотенузе и катету .
В результате получаем следующие	равенства	.
3 Сформулируйте третий признак	равенства	треугольников .
Возьмём после этого выражение и запишем	равенства	.
Прибавив к обеим частям этого	равенства	число -1 , получим равенство .
1 ) третий признак равенства треугольников . 2 ) признак	равенства	по двум катетам .
4 ) признак	равенства	по катету и острому углу .
5 Сформулируйте признак	равенства	прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу .
Общее число зёрен представляет собой сумму как это следует из ранее записанного	равенства	.
В этой главе вы найдёте признаки	равенства	треугольников , а также примеры геометрических задач , в частности , примеры решения задач на построение треугольников .
Вычитая из обеих частей этого равенства соответствующие части	равенства	получим .
Прибавляя к обеим частям этого	равенства	числовое выражение , получаем числовое равенство .
Таким образом , в треугольниках вместе с равенствами будут верны также и другие	равенства	.
Вычитая из обеих частей этого	равенства	соответствующие части равенства получим .
Определение тождественного	равенства	двух буквенных выражений .
Любые два буквенных выражения можно соединить знаком	равенства	.
Например , в записи слева от знака	равенства	стоит выражение S , а справа от знака равенства стоит выражение υ · t .
Если точка А имеет координаты А(а ; b ) , то для чисел а и b выполняются	равенства	.
Например , в записи слева от знака равенства стоит выражение S , а справа от знака	равенства	стоит выражение υ · t .
Прибавим к обеим частям этого	равенства	числовое выражение .
В приведённом примере при подстановке вместо букв различных значений могут получаться как верные числовые	равенства	, так и неверные .
Следовательно , по признаку	равенства	прямоугольных треугольников они равны .
Для доказательства	равенства	треугольников иногда применяют другое утверждение .
Такого	равенства	для чисел не может быть , так как при любом значении а произведение равно 0 и 0 не равен 1 .
Свойство тождественного	равенства	коммутативность .
Свойство тождественного	равенства	рефлексивность .
По второму признаку	равенства	треугольники АВС и ADC равны .
Поэтому выполняются	равенства	.
Рассмотрим теперь выражение и запишем	равенства	.
2.3 Пример доказательства	равенства	площадей .
Для доказательства	равенства	треугольников применяют ещё одно утверждение .
Приводя подобные члены в левой части числового	равенства	, получим равенство .
2.3 Укажите все неверные	равенства	.
Воспользуемся теоремой Пифагора для получения ещё одного признака	равенства	прямоугольных треугольников .
Умножим обе части	равенства	на ненулевое число 1/5 .
Запишем	равенства	.
Так как х и у — целые числа , то из	равенства	следует , что целое число 3у делится без остатка на число 7 .
2.2 Укажите все верные	равенства	.
6 Сформулируйте признак	равенства	прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету .
Тогда для выражения сможем записать	равенства	.
По второму признаку	равенства	.
Отметим , что оба решения основаны на	равенстве	треугольников ACD и ВСЕ .
При натуральных значениях z и х числа в этом	равенстве	тоже натуральные , причём в произведении дают число 152 .
2.7 Параллельность прямых при	равенстве	внутренних накрест лежащих углов .
В случае , когда ясно , что речь идёт о тождественном	равенстве	буквенных выражений , вместо знака используют знак .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется	равенство	, где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Приводя подобные члены в левой части числового равенства , получим	равенство	.
Запишем	равенство	с той целью , чтобы найти наборы значений х и у , при которых равенство верно .
Как показать , что , если положить по определению 3 ° b 1 , то для любого натурального числа n выполняется	равенство	.
Используя равенства , получаем	равенство	.
Если число а является корнем данного уравнения , то выполняется числовое	равенство	.
Прибавляя к обеим частям этого равенства числовое выражение , получаем числовое	равенство	.
Это — числовое	равенство	.
В каком случае в неравенстве достигается	равенство	? .
Из равенства треугольников MCD и МРА следует	равенство	их соответственных сторон .
Аналогично определяется почленное умножение равенств : почленным произведением двух равенств называется новое	равенство	.
Обратно , если число а является корнем уравнения , то выполняется числовое	равенство	.
По очереди рассмотрели все возможные случаи знаков целых чисел р и д , и каждый раз выполнялось	равенство	, что и доказывает второе основное свойство степени .
Как показать , что	равенство	выполняется для любого ненулевого числа и любого целого числа m ? .
При подстановке в обе части этого уравнения числа 1 вместо переменной х и числа вместо переменной у получаем	равенство	.
Отсюда получаем	равенство	, то есть абсцисса а точки А является корнем уравнения .
В каком случае получается	равенство	? .
Например , при равенство 5 b 6 - 1 неверно , а при	равенство	верно .
Если окружности равны и касательные параллельны , то	равенство	АВ CD доказывается проще .
Аналогичное	равенство	остаётся верным и в том случае , если вместо основания степени 2 взять любое ненулевое число а .
Поэтому первое уравнение обращается в верное числовое	равенство	в одном из трёх случаев .
В предыдущих пунктах на примерах показано , что для целых чисел выполняется	равенство	.
В результате для любого натурального значения n получаем	равенство	.
Пусть а — корень этого уравнения , то есть выполняется числовое	равенство	.
Рассмотрим	равенство	.
Для любых чисел а и b и любого натурального числа n выполняется	равенство	.
Для любого ненулевого числа а при любых целых значениях тип выполняется	равенство	.
Для любого числа а , ненулевого числа b и натурального числа n выполняется	равенство	.
Как доказать	равенство	отрезков внешних касательных к двум равным окружностям ? .
В третьем параграфе аналогичное	равенство	установлено , когда числа тип могут принимать также значение 0 .
Тождественное	равенство	.
Тогда выполняется	равенство	.
Это означает , что выполняется	равенство	.
Как показать , что для любого натурального числа n имеет место	равенство	.
Получим числовое	равенство	.
Из равенства треугольников следует	равенство	отрезков MN и NK , а по свойству сторон параллелограмма отрезки АС и МК равны .
Таким образом , получаем	равенство	MN KL .
Записав последнее	равенство	в виде приходим к уже известному целочисленному решению уравнения .
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора получим	равенство	.
Решениями уравнения являются пары ( с ; d ) , для которых верно	равенство	Таким образом , все решения начального уравнения — это пары вида , где с принимает любое значение .
Для любого числа а и любых натуральных значений тип выполняется	равенство	.
Как показать , что	равенство	выполняется для любого ненулевого числа а и любых целых чисел р и q ? .
Пренебрегая малым слагаемым превратим точное	равенство	в приближённое .
Для любого ненулевого числа а при любых целых значениях m и n выполняется	равенство	.
Основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС треугольника АВС В таком случае можно записать	равенство	.
При а , большем 0 и не равном 1 , из равенства следует , что из равенства можно получить	равенство	.
Если а 1 , то	равенство	принимает вид .
Какое соответствие между вершинами треугольников определяет это	равенство	? .
При некотором числовом значении d переменной х может выполняться	равенство	A(d ) b B(d ) .
Для выражений А(х ) и В(х ) можно сформулировать следующую задачу : « Найдите все такие числовые значения d переменной величины х , при каждом из которых выполняется числовое	равенство	» .
Так как , то из предыдущего пункта получаем	равенство	.
Нетрудно проверить , что	равенство	на самом деле верно .
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов выражений на	равенство	самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 .
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить	равенство	квадратов выражений на равенство самих выражений , то получим уравнение , имеющее единственный корень 1 .
Для любых ненулевых чисел а и b при любом целом значении m выполняется	равенство	.
7 Какое	равенство	называется тождеством ? .
Запишем равенство с той целью , чтобы найти наборы значений х и у , при которых	равенство	верно .
В результате для градусных мер получится	равенство	.
Когда важно подчеркнуть , что	равенство	буквенных выражений является тождеством , используют запись .
Например , при	равенство	5 b 6 - 1 неверно , а при равенство верно .
В каком случае достигается	равенство	? .
Для числовых значений а и b	равенство	верно только тогда , когда .
Аналогично получается	равенство	.
По свойству острых углов прямоугольного треугольника имеем	равенство	.
Итак , в соответствии с приведёнными выше примерами попытаемся определить а0 для любого основания а таким образом , чтобы	равенство	выполнялось при всех натуральных n.
Иногда тождественное	равенство	многочленов .
В результате получим	равенство	.
Пусть число а является корнем данного уравнения , то есть верно числовое	равенство	.
В этой главе рассматривается тождественное	равенство	всюду определённых буквенных выражений .
Например , из равенств следует	равенство	соответствующих высот треугольников АВС .
Какое тождество получится , если в последнее	равенство	вместо а подставить b2 ? .
Аналогично получаем	равенство	.
Можно получить	равенство	и других соответствующих элементов этих треугольников .
Пусть число а является корнем данного уравнения , то есть выполняется числовое	равенство	.
Если прибавить к обеим частям последнего числового неравенства числовое значение D(c ) , то либо по свойству получим строгое неравенство , либо получим	равенство	.
Прибавив к обеим частям этого равенства число -1 , получим	равенство	.
Однако при х b -3/7 значения обоих выражений равны числу 23/7 , то есть имеет место	равенство	.
Покажите , что записанное	равенство	не является тождеством .
Покажите , что записанное	равенство	является тождеством .
Тогда	равенство	можно записать в виде формулы .
Это значит , что	равенство	выполняется при любом значении неизвестного у , если значение х равно числу - 2 .
Это	равенство	можно записать в следующей формулировке .
Подставив число 5 вместо х в уравнение , получим	равенство	.
Умножив обе части этого равенства на ненулевое число 1/2 , получим	равенство	.
В самом деле , формула превращается в верное числовое	равенство	при подстановке вместо букв а и b любых числовых значений .
Пусть число а является корнем этого уравнения , то есть выполняется	равенство	.
3 Как можно записать тождественное	равенство	двух буквенных выражений ? .
Подставим вместо переменной а число 2 и получим числовое	равенство	.
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо	равенство	.
По этой причине	равенство	иногда называют тождеством или тождественным равенством .
Из равенства треугольников следует	равенство	соответственных сторон АС и BD .
Перепишем последнее	равенство	в виде .
Как геометрически при положительных а и b объяснить	равенство	? .
Отсюда следует	равенство	.
Обе части второго равенства удаётся разделить на 32 и получить более простое	равенство	.
Подставив число -8 вместо х в уравнение , получим числовое	равенство	.
Почленной суммой двух равенств называется новое	равенство	в правой части которого стоит сумма правых , а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
Таким образом , определяя для любого числа а 0 нулевую степень	равенством	, мы сохраняем свойства степеней , которые были установлены для натуральных показателей .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих	равенству	, о множестве всех решений линейного неравенства .
Действительно , точное вычисление квадрата полученного числа приводит к	равенству	.
Такому	равенству	не удовлетворяет ни одно значение у , и поэтому при начальная система решений не имеет .
4 Докажите , что если диагонали трапеции равны , то трапеция	равнобедренная	.
Как доказать , что если углы при основании трапеции равны , то трапеция	равнобедренная	? .
2 Докажите , что	равнобедренная	трапеция симметрична относительно прямой , проходящей через середины оснований .
Трапеция	равнобедренная	.
2 Докажите , что	равнобедренная трапеция	симметрична относительно прямой , проходящей через середины оснований .
4 Докажите , что середины сторон	равнобедренного	треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
Как доказать , что для	равнобедренного	треугольника середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана площадь	равнобедренного	прямоугольного треугольника с катетом в 1 см .
2 Найдите угол при основании	равнобедренного	треугольника , если угол при его вершине равен .
4 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого	равнобедренного	треугольника .
6 На высоте ВН	равнобедренного	треугольника с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что .
2 Средняя линия	равнобедренного	треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
1 Найдите угол при вершине	равнобедренного	треугольника , если угол при основании равен .
4 Докажите , что середины сторон	равнобедренного треугольника	являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
4 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого	равнобедренного треугольника	.
Как доказать , что для	равнобедренного треугольника	середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
1 Найдите угол при вершине	равнобедренного треугольника	, если угол при основании равен .
6 На высоте ВН	равнобедренного треугольника	с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что .
2 Найдите угол при основании	равнобедренного треугольника	, если угол при его вершине равен .
2 Средняя линия	равнобедренного треугольника	, параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
1.4 Чему равны боковые стороны	равнобедренной	трапеции с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать окружность ? .
Докажите , что точки касания являются вершинами	равнобедренной	трапеции .
18 В	равнобедренной	трапеции основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите площадь трапеции .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами	равнобедренной	трапеции ? .
19 В	равнобедренной	трапеции основания 42 см и 54 см , угол при основании 45 ° .
6 В	равнобедренной	трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
4 Какую трапецию называют	равнобедренной	? .
2.4 При каких из указанных условий четырёхугольник ABCD обязательно будет	равнобедренной	трапецией ? .
7 В	равнобедренной	трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
Трапецию называют	равнобедренной	, если боковые стороны трапеции равны .
2.4 При каких из указанных условий четырёхугольник ABCD обязательно будет	равнобедренной трапецией	? .
7 В	равнобедренной трапеции	большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
1.4 Чему равны боковые стороны	равнобедренной трапеции	с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать окружность ? .
Докажите , что точки касания являются вершинами	равнобедренной трапеции	.
18 В	равнобедренной трапеции	основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите площадь трапеции .
19 В	равнобедренной трапеции	основания 42 см и 54 см , угол при основании 45 ° .
6 В	равнобедренной трапеции	высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами	равнобедренной трапеции	? .
Докажите , что в	равнобедренном	треугольнике биссектрисы углов при основании треугольника равны .
2 Докажите , что в	равнобедренном	треугольнике медианы , проведённые к боковым сторонам , равны .
10 В	равнобедренном	треугольнике АВС углы при основании равны 50 ° .
Как доказать , что в	равнобедренном	треугольнике высоты , проведённые к боковым сторонам , равны ? .
8 Докажите , что в	равнобедренном	треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора точки .
3 В	равнобедренном	треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
1.4 Чему в	равнобедренном	треугольнике с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к основанию треугольника ? .
10 В	равнобедренном треугольнике	АВС углы при основании равны 50 ° .
1.4 Чему в	равнобедренном треугольнике	с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к основанию треугольника ? .
Как доказать , что в	равнобедренном треугольнике	высоты , проведённые к боковым сторонам , равны ? .
3 В	равнобедренном треугольнике	АВС с основанием АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
8 Докажите , что в	равнобедренном треугольнике	сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора точки .
2 Докажите , что в	равнобедренном треугольнике	медианы , проведённые к боковым сторонам , равны .
Докажите , что в	равнобедренном треугольнике	биссектрисы углов при основании треугольника равны .
21 В	равнобедренную	трапецию ABCD с основаниями АВ и CD можно вписать окружность .
Возьмём	равнобедренную	трапецию с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
2.2 При каких значениях а , b , m в	равнобедренную	трапецию с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно вписать окружность ? .
Возьмём	равнобедренную трапецию	с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
21 В	равнобедренную трапецию	ABCD с основаниями АВ и CD можно вписать окружность .
2.2 При каких значениях а , b , m в	равнобедренную трапецию	с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно вписать окружность ? .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные	равнобедренные	треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные	равнобедренные	треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
2 На сторонах равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные	равнобедренные	треугольники с углом а при основании .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные	равнобедренные треугольники	так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
2 На сторонах равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные	равнобедренные треугольники	с углом а при основании .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные	равнобедренные треугольники	с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
7 Постройте	равнобедренный	треугольник .
4 Постройте	равнобедренный	треугольник : а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при вершине .
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник	равнобедренный	.
Чему равен радиус окружности , вписанной в	равнобедренный	треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
6 Изображён	равнобедренный	треугольник АВС с основанием АС , a BL — биссектриса внешнего угла .
На сторонах АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что треугольник АВС	равнобедренный	, если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих треугольниках являются .
Докажите , что треугольник	равнобедренный	.
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то треугольник	равнобедренный	.
Через основание этой биссектрисы проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL	равнобедренный	.
7 Постройте	равнобедренный треугольник	.
Чему равен радиус окружности , вписанной в	равнобедренный треугольник	с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
6 Изображён	равнобедренный треугольник	АВС с основанием АС , a BL — биссектриса внешнего угла .
4 Постройте	равнобедренный треугольник	: а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при вершине .
Какой треугольник называется	равнобедренным	? .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются	равнобедренными	? .
При каком угле а стороны	равнобедренных	треугольников образуют правильный шестиугольник ? .
При каком угле α при основаниях боковые стороны	равнобедренных	треугольников образуют шестиугольник ? .
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух	равнобедренных	треугольников с общим основанием 6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
10 Изображены восемь равных	равнобедренных	прямоугольных треугольников .
8 Изображены три равных	равнобедренных	треугольника — AKL , ALM , ΑΜΝ .
Это следует из того , что диагональ делит ромб на два равных	равнобедренных	треугольника .
Выясните , какими могут быть углы этих	равнобедренных	треугольников , чтобы все их боковые стороны образовывали восьмиугольник , если известно , что .
1.2 Сколько можно построить не равных	равнобедренных	треугольников , у которых длины двух сторон равны 4 см и 4 см ? .
8 Изображены три равных	равнобедренных треугольника	— AKL , ALM , ΑΜΝ .
Это следует из того , что диагональ делит ромб на два равных	равнобедренных треугольника	.
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух	равнобедренных треугольников	с общим основанием 6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
Выясните , какими могут быть углы этих	равнобедренных треугольников	, чтобы все их боковые стороны образовывали восьмиугольник , если известно , что .
При каком угле α при основаниях боковые стороны	равнобедренных треугольников	образуют шестиугольник ? .
При каком угле а стороны	равнобедренных треугольников	образуют правильный шестиугольник ? .
1.2 Сколько можно построить не равных	равнобедренных треугольников	, у которых длины двух сторон равны 4 см и 4 см ? .
14 Разделите треугольник на три	равновеликие	части прямыми , проходящими через заданную вершину треугольника .
Как для невыпуклого четырёхугольника ABCD получить	равновеликий	ему треугольник ? .
6 Постройте треугольник ,	равновеликий	данному параллелограмму .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в	равновеликий	по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
5 Как превратить четырёхугольник в	равновеликий	ему треугольник ? .
4 Постройте параллелограмм ,	равновеликий	заданной трапеции .
5 Постройте треугольник ,	равновеликий	заданной трапеции .
7 Построить четырёхугольник ,	равновеликий	заданному пятиугольнику .
3 Постройте параллелограмм ,	равновеликий	заданному треугольнику .
7 Постройте параллелограмм ,	равновеликий	заданному четырёхугольнику .
Построение треугольника	равновеликого	четырёхугольнику .
2.3 В	равностороннем	треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
9 Докажите , что в	равностороннем	треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трёх сторон не зависит от выбора этой точки .
9 Докажите , что в	равностороннем треугольнике	сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трёх сторон не зависит от выбора этой точки .
2.3 В	равностороннем треугольнике	АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
5 На сторонах прямоугольника ABCD со сторонами а и b во внешнюю сторону построены	равносторонние	треугольники ABM , BCN , CDK , ADL .
5 На сторонах прямоугольника ABCD со сторонами а и b во внешнюю сторону построены	равносторонние треугольники	ABM , BCN , CDK , ADL .
Отсюда следует , что треугольник MCN —	равносторонний	.
Как доказать , что треугольник PQC —	равносторонний	? .
Как построить	равносторонний	треугольник , одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
2 Даны	равносторонний	треугольник и прямая l. Постройте треугольник , равный данному , чтобы прямая l содержала .
Продолжим стороны ВС , DE , AF таким образом , чтобы получился	равносторонний	треугольник MNK .
Например ,	равносторонний	треугольник имеет меньшую площадь , чем квадрат с такой же стороной .
Докажем , что ACMN всегда	равносторонний	.
5 Постройте	равносторонний	треугольник : а ) по стороне ; б ) по высоте .
2 Даны	равносторонний треугольник	и прямая l. Постройте треугольник , равный данному , чтобы прямая l содержала .
Продолжим стороны ВС , DE , AF таким образом , чтобы получился	равносторонний треугольник	MNK .
Например ,	равносторонний треугольник	имеет меньшую площадь , чем квадрат с такой же стороной .
5 Постройте	равносторонний треугольник	: а ) по стороне ; б ) по высоте .
Как построить	равносторонний треугольник	, одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
Рассмотрим два	равносторонних	треугольника АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной прямой , а точки М и N — середины отрезков AD и BE .
9 Изображены шесть равных	равносторонних	треугольников .
Одновременно образуются ещё три	равносторонних	треугольника — AMВ , CND , EFK .
Рассмотрим два	равносторонних треугольника	АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной прямой , а точки М и N — середины отрезков AD и BE .
Одновременно образуются ещё три	равносторонних треугольника	— AMВ , CND , EFK .
9 Изображены шесть равных	равносторонних треугольников	.
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой градус равен	радиан	.
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан , прямой угол равен	радиан	, один угловой градус равен радиан .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π	радиан	; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
Плоский угол в	радиан	"— это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
Как определяется	радиан	? .
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π	радиан	, прямой угол равен радиан , один угловой градус равен радиан .
1.1 Плоский угол в 5 ° — это : 1 ) угол в	радиан	;
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х	радиан	.
Какую часть	радиана	содержит одна угловая секунда ? .
12 Выразите в	радианах	следующие углы .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному	радиану	.
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что	радиус	одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
Чему равно значение периметра квадрата , выраженное через	радиус	вписанной окружности ? .
Найдём	радиус	окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
Чему равен	радиус	окружности , вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
19 Найдите	радиус	окружности , вписанной в треугольник со сторонами 6 см , 8 см , 10 см .
Для вычисления площади круга , имеющего	радиус	2 см , использована формула S 3,14 · 22 .
1.3 Чему равен	радиус	r окружности , вписанной в ромб со стороной 5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? .
Если окружность имеет	радиус	r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
4 Как вычислить	радиус	вписанной в треугольник окружности , зная периметр и площадь треугольника ? .
Пусть прямоугольник имеет заданный периметр Р , а	радиус	R полукруга изменяется .
Найдите	радиус	окружности .
Найдём	радиус	r окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
В этом случае найти	радиус	— это найти отрезок стороны АС от вершины С до точки касания .
По формуле S b рr , где r —	радиус	вписанной окружности .
r —	радиус	окружности , вписанной в треугольник .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и	радиуса	HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE , описанный около окружности	радиуса	R. Соединим центр окружности с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность	радиуса	А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
27 В круге	радиуса	R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды длиной R и .
Проведём окружность с центром в точке Q	радиуса	А2В2 .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности :	радиуса	QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности	радиуса	1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
Площадь описанного многоугольника равна половине произведения	радиуса	окружности на периметр многоугольника .
Таким образом , площадь треугольника равна произведению	радиуса	вписанной окружности на полупериметр .
9 Около окружности	радиуса	25 мм описан многоугольник площади 20 см2 .
Применение площади к вычислению	радиуса	вписанной окружности .
Затем проведём окружность	радиуса	А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
Площадь S поверхности сферы	радиуса	R выражается формулой .
2 Окружность	радиуса	3 см касается сторон угла .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е	радиуса	2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
6 Постройте окружность заданного	радиуса	, которая касается данной прямой в данной точке .
Рассмотрим произвольную окружность радиуса г с центром О. Тогда любые два	радиуса	ОА и ОВ определяют некоторое разбиение окружности на две части .
16 Постройте окружность заданного	радиуса	, касающуюся данной прямой и проходящую через данную точку .
Рассмотрим произвольную окружность	радиуса	г с центром О. Тогда любые два радиуса ОА и ОВ определяют некоторое разбиение окружности на две части .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F	радиуса	8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
16 К двум окружностям различного	радиуса	проведены две общие внешние касательные .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см , описанную около окружности	радиуса	2 см. Найдём длины оснований трапеции .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это число , показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного	радиуса	.
7 Касательные , проведённые из точки А к окружности	радиуса	r , перпендикулярны .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е	радиуса	6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Для вычисления объёма шара	радиуса	R .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F	радиуса	6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
Разберём , как построить окружность заданного	радиуса	R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше	радиуса	другой .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность	радиуса	5 с центром в начале координат .
Пусть задана окружность с центром О и два таких	радиуса	ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
А именно : прямая , проходящая через конец	радиуса	окружности перпендикулярно радиусу , является касательной .
Окружности	радиуса	R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
8 Касательные , проведённые из точки А к окружности	радиуса	R , образуют угол в 60 ° .
Окружности радиуса R с центром в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна	радиусам	О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
Прямая PQ перпендикулярна	радиусам	О1Р и О2Q и касается обеих окружностей .
2.4 Общая касательная к двум окружностям с различными	радиусами	.
4 Две окружности с	радиусами	Вт 2 см и R2 4 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а .
2.4 На плоскости заданы точки А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С центрами А и В и	радиусами	R и r проводятся окружности и строится отрезок CD их общей внешней касательной .
6 К окружностям с центрами О1 иО2 и	радиусами	R1 и R2 проводится общая внутренняя касательная .
Сколько общих касательных можно провести к двум окружностям с	радиусами	5 см и 3 см , расстояние между центрами которых равно 8 см ? .
2.3 На плоскости построили три окружности с общим центром О и	радиусами	3 см , 5 см и 8 см. Через точку О провели прямую .
7 Две окружности с	радиусами	R1 и R2 касаются друг друга внешним образом .
3 Две окружности с	радиусами	2 см и R2 1 см касаются прямой а в точках А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а .
5 К окружностям с центрами О1О2 и О2 и	радиусами	R1 и R2 проводится общая внешняя касательная .
2.10 Дуги окружности и углы между её	радиусами	.
2.4 Две окружности разных	радиусов	касаются двух пересекающихся прямых .
Рассмотрим построение общей внешней касательной к двум непересекающимся окружностям различных	радиусов	R1 и R2 .
Если окажется , что , то можно считать окружность с радиусом R2 первой , окружность с	радиусом	R1 — второй и провести аналогичное построение .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с центром О и	радиусом	1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же	радиусом	описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
Если окажется , что , то можно считать окружность с	радиусом	R2 первой , окружность с радиусом R1 — второй и провести аналогичное построение .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность	радиусом	R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
1.3 Окружность с центром О и	радиусом	3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
1.2 Чему равна площадь ромба со стороной 9 см , описанного вокруг окружности с	радиусом	1 см ? .
1.4 Чему равна длина общей хорды двух равных окружностей с	радиусом	50 см , расстояние между центрами которых равно 60 см ? .
а ) площадь квадрата со стороной 5 см . б ) площадь круга с	радиусом	6 см ? .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с	радиусом	основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру .
Как вы знаете , уравнение в координатной плоскости является уравнением окружности с центром F(1;-1 ) и	радиусом	.
С центром в точке F и	радиусом	О1О2 проведём окружность .
Затем из точки Q	радиусом	PR описываем дугу , которая пересечётся с первой дугой в точке S. Докажем , что прямая PS будет параллельна прямой CD .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна радиусу ОА первой окружности и	радиусу	О2В второй окружности , то есть касается этих окружностей .
9 Постройте треугольник по двум углам и	радиусу	вписанной окружности .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна	радиусу	О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
Для вычисления объёма цилиндра по	радиусу	основания и высоте .
Отсюда получаем , что прямая АВ перпендикулярна	радиусу	ОА первой окружности и радиусу О2В второй окружности , то есть касается этих окружностей .
Касательная к окружности перпендикулярна	радиусу	, проведённому в точку касания .
А именно : прямая , проходящая через конец радиуса окружности перпендикулярно	радиусу	, является касательной .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите	радиусы	окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
Стороны равны как	радиусы	равных окружностей .
Соседние стороны ОК и ON прямоугольника равны как	радиусы	в одной и той же окружности , поэтому CNOK — квадрат .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите	радиусы	окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE , описанный около окружности радиуса R. Соединим центр окружности с вершинами и проведём	радиусы	ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
Проведём	радиусы	ОМ , ОК и ON в точки касания окружности со сторонами треугольника .
Заметим , что каждый	развёрнутый угол	расположен в полуплоскости с границей , содержащей стороны этого угла .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 )	развёрнутый угол	; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
В этом случае получаем два плоских	развёрнутых угла	.
Сколько всего	развёрнутых углов	можно указать на рисунке с вершинами в точках пересечения ? .
7 Сколько всего	развёрнутых углов	вы можете указать ? .
Сколько	развёрнутых углов	образуют часовая и минутная стрелки за 12 часов ? .
5 Боковая сторона трапеции	разделена	на три равные части и из точек деления проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции .
26 Каждая сторона трапеции	разделена	на три равные части и точки деления соединены .
1.2 В треугольнике АВС сторона АВ	разделена	на семь равных частей и проведены отрезки , параллельные АС .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС	разделена	на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади ромба ? .
Затем отрезки АВ и МС	разделены	на четыре равные части каждый точками .
Сначала	разделим	на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и величины , обратной к знаменателю .
Прямая , проведённая через сторону ML ,	разделит	четырёхугольник на две части .
С помощью транспортира	разделите	этот угол на три равных угла .
1 С помощью циркуля и линейки	разделите	заданный отрезок .
С помощью транспортира	разделите	этот угол на 5 равных углов .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые	разделится	плоскость при продолжении любой из сторон данного угла до целой прямой .
На сколько равных частей нужно	разделить	"окружность , чтобы получить дугу окружности , соответствующую углу в 1 "" ? ."
1.2 Какой вид примет неравенство , если обе его части	разделить	на -0,1 ? .
Если окружность	разделить	на 4 равные части , то получатся четыре дуги окружности , каждая из которых соответствует прямому углу .
Если окружность	разделить	на 360 равных частей , то получатся 360 дуг окружности , каждая из которых соответствует одному угловому градусу .
Если окружность	разделить	на 2 равные части , то получатся две дуги окружности , соответствующие развёрнутому углу .
Обе части второго равенства удаётся	разделить	на 32 и получить более простое равенство .
Чтобы	разделить	b на а , достаточно знать обратную к а величину .
2.3 Прямоугольник	разделён	двумя прямыми на четыре прямоугольника .
1.1 Найдите верное	разложение	.
4 Как записать	разложение	на два множителя многочлена ? .
1.3 Укажите правильное	разложение	.
2 Как записать	разложение	на два множителя многочлена ? .
3 Как записать	разложение	на два множителя многочлена ? .
1.1 Укажите коэффициенты в	разложении	.
1.2 Укажите коэффициенты в	разложении	.
Заполним по строкам треугольную таблицу , составленную из коэффициентов этих	разложений	, добавив строку с номером 0 , состоящую из одного числа 1 .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим коэффициенты разложения в строке с номером 6 — коэффициенты	разложения	в строке с номером n поместим коэффициенты разложения .
4.5 Примеры использования	разложения	двучлена .
Запишем	разложения	.
4.4 Применение	разложения	двучлена к решению некоторых задач на делимость .
4.3 Использование	разложения	для подсчёта числа зёрен из легенды о шахматах .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим коэффициенты	разложения	в строке с номером 6 — коэффициенты разложения в строке с номером n поместим коэффициенты разложения .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического треугольника : в строке с номером 5 поместим коэффициенты разложения в строке с номером 6 — коэффициенты разложения в строке с номером n поместим коэффициенты	разложения	.
В результате для любого натурального числа n , которое больше 1 , получаем формулу	разложения	двучлена на два множителя .
Иногда это тождество называют формулой	разложения	многочлена на два множителя .
Для этого заметим , что . Подставим в формулу	разложения	на множители значения .
2.4 Какие строки чисел представляют собой строки коэффициентов	разложения	( а - b)n для некоторого n ? .
Найдите верные	разложения	.
1 Как	разложить	на множители многочлен ? .
2 Постройте угол , равный	разности	двух данных углов .
Оценим абсолютную погрешность	разности	приближённых значений .
Погрешность	разности	.
Квадрат	разности	.
Как можно получить формулу для куба	разности	двух чисел тип , то есть .
Заметим , что	разности	и так далее все равны одному и тому же числу .
3 Как оценивается абсолютная погрешность	разности	приближённых значений ? .
Формулы квадрата суммы или	разности	двух чисел иногда удобно применять при возведении чисел в квадрат .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна	разности	AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
Арифметической прогрессией называется последовательность для которой	разности	равны одному и тому же числу .
Для применения на практике формулы необходимо знать её погрешность , то есть оценку модуля	разности	между её левой и правой частями .
8 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 3для	разности	.
Последняя формула может быть полезной при возведении в квадрат	разности	двух выражений .
5.3 Примеры применения формул квадрата суммы и квадрата	разности	.
Формула квадрат	разности	.
Сравнение чисел по знаку их	разности	.
Итак , является приближённым значением	разности	причём погрешность этого приближения не превосходит .
Подставляя в формулу суммы членов арифметической прогрессии значения первого члена прогрессии , её	разности	и числа слагаемых , получаем .
Корень какого уравнения равен	разности	а - b двух чисел ? .
12 Постройте трапецию по	разности	оснований , боковым сторонам и одной диагонали .
Поэтому значение р равняется половине	разности	а2 - αν то есть равняется числу .
2 Запишите формулу квадрата	разности	двух чисел .
Постройте треугольник АВС по стороне АВ , прилежащему к этой стороне углу ВАС и	разности	сторон АС и ВС , зная , что .
Найдите суммы и	разности	многочленов .
Абсолютная погрешность	разности	приближённых значений не превосходит суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого .
Если известно , что абсолютная погрешность измерения не больше некоторого числа р , то можно гарантировать , что	разность	между точным и приближённым значениями удовлетворяет неравенству .
4 Уменьшаемое в три раза больше вычитаемого , и	разность	равна 78 .
Вычислим	разность	.
Таким образом , в арифметической прогрессии , начиная со второго члена ,	разность	между каждым членом и предшествующим ему членом равна одному и тому же числу .
Поэтому погрешность приближения , то есть	разность	d b а - b , заключена в промежутке .
Тождественными преобразованиями сумму ,	разность	и произведение многочленов можно также представить в виде многочлена .
Арифметическая прогрессия ,	разность	.
1.3 Чему равна	разность	арифметической прогрессии с общим членом ? .
6 Покажите на примерах , что сумма ,	разность	и произведение двух многочленов равны некоторым многочленам .
3.6 Сумма ,	разность	и произведение многочленов .
С другой стороны ,	разность	чисел равна .
Определим дробную часть числа х как	разность	.
Для этой последовательности . Получаем , что	разность	аn+1 - аn не зависит от n и равна .
Таким образом , зная первый член и	разность	арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
1.1 Чему равна	разность	.
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 Найдите первый член и	разность	арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что .
Тогда	разность	чисел 33 - 5к и 33 - 51 должна делиться на 7 , потому что .
Для выяснения , является ли данная последовательность арифметической прогрессией , достаточно убедиться , что	разность	между каждым её членом , начиная со второго , и предыдущим членом постоянна .
Рассмотрим арифметическую прогрессию , у которой известны первый член а1 и	разность	d .
Погрешностью этого приближения называется	разность	.
Отсюда следует , что последовательность чисел a1 а2 , а3 , является арифметической прогрессией с первым членом и	разностью	.
Рассмотрим сумму нескольких начальных , последовательно расположенных , членов арифметической прогрессии с первым членом a1 и	разностью	d .
6 Какой функцией определяется сумма n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом и	разностью	в зависимости от аргумента n ? .
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом и	разностью	, то есть последовательность натуральных чисел .
Следовательно , последовательность , заданная формулой , является арифметической прогрессией с	разностью	.
6 Найдите сумму n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом а1 и	разностью	d , если .
Это число называют	разностью	арифметической прогрессии и обычно обозначают буквой d .
Таким образом , натуральные нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и	разностью	прогрессии .
11 Как указывается	разряд	округления при помощи степеней числа 10 ? .
если цифра ( m+1)-го	разряда	после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
Результатом округления числа 2,0132013 до	разряда	единиц является число 2 , поэтому результат округления исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го	разряда	после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
5 Округлите второй сомножитель до второго	разряда	после запятой , найдите произведение и оцените абсолютную погрешность произведения .
Если цифра ( m+1)-го	разряда	после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
В этом случае выбираем десятичное приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом округления числа а до второго	разряда	после запятой .
Сформулируем общее правило округления положительного числа до некоторого	разряда	после запятой .
3.3 Правило округления положительного числа до некоторого	разряда	после запятой .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего	разряда	после запятой .
9 Как оценивается абсолютная погрешность округления до	разряда	10 m , где m — натуральное число ? .
Для обозначения информации о значении двоичного	разряда	применяется термин бит .
Чему равен результат округления числа 3,1415926 до четвёртого	разряда	после запятой ? .
В записи числа а цифра третьего	разряда	после запятой меньше 5 , поэтому а b и число а оказывается в промежутке .
1 Округлите следующие числа до	разряда	десятков .
2.2 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего	разряда	после запятой будет число -0,047 ? .
2 Округлите следующие числа до	разряда	тысяч .
Округлим число 120 275 до	разряда	единиц .
Будем считать десятичное приближение 120 276 результатом округления числа 120275,7 до	разряда	единиц .
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до	разряда	единиц является число 20 , то результат округления исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
1.4 Чему равно десятичное приближение снизу для с точностью до второго	разряда	после запятой ? .
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат округления числа 25782,15 : а ) до	разряда	единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
5 Округлите следующие числа до	разряда	сотых .
4 Округлите следующие числа до	разряда	десятых .
Округлим число 120275,7 до	разряда	единиц .
3.4 Округление положительного числа до	разряда	единиц .
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до разряда единиц является число 20 , то результат округления исходного числа до	разряда	102 можно записать в виде 20 · 102 .
3 Округлите следующие числа до	разряда	единиц .
Чему равен результат округления числа 9,99999 до третьего	разряда	после запятой ? .
В случае же округления до	разряда	103 можно представить данное число 2013,2013 в виде 2,0132013 · 103 .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το	разряда	после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
Округление положительного числа до второго	разряда	после запятой .
При этом абсолютная погрешность результата округления положительного числа до n - го	разряда	после запятой не превосходит половины той же разрядной единицы .
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго	разряда	после запятой будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат округления числа 25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до	разряда	тысяч ; в ) до разряда десятых .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго	разряда	после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго	разряда	после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до	разряда	10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
4 Как оценивается абсолютная погрешность округления до m - го	разряда	после запятой ? .
3 Сформулируйте правило округления положительного числа до m - го	разряда	после запятой .
Как с помощью степени числа 10 записать результат округления числа 10,01 до	разряда	единиц ? .
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления числа было взято то десятичное приближение до второго	разряда	после запятой , которое расположено « ближе » к заданному числу .
2 Округлите числа а и b до второго	разряда	после запятой , найдите сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
Однако в этом случае в записи числа а цифра третьего	разряда	после запятой равна 5 , поэтому а b , но число а так же , как и в примере 2 , попало в промежуток .
1 Сформулируйте правило округления положительного числа до второго	разряда	после запятой .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего	разряда	после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Чему равен результат округления числа 3,87512 до второго	разряда	после запятой ? .
2.1 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего	разряда	после запятой будет число 23,456 ? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго	разряда	после запятой .
2 Как оценивается абсолютная погрешность округления до второго	разряда	после запятой ? .
2.3 Какие из следующих чисел являются результатом округления числа 11,168 до некоторого	разряда	? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего	разряда	после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Поэтому результат исходного числа до	разряда	10 2 равен числу 1529 · 10 - 2 .
Округляя число 1529,3 до	разряда	единиц , получим 1529 .
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат округления числа 25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до	разряда	десятых .
Результатом округления числа 2,0132013 до разряда единиц является число 2 , поэтому результат округления исходного числа до	разряда	103 можно записать в виде 2 · 103 .
8 Сформулируйте правило округления положительного числа до	разряда	10 m , где m — натуральное число .
меньше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго	разряда	после запятой .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого	разряда	после запятой и так далее .
Однако в этом случае в записи числа а цифра третьего	разряда	после запятой больше 5 , поэтому а b и число а лежит в промежутке .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после запятой , до третьего	разряда	после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого	разряда	после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
1.2 Как записывается результат округления числа 37065,91 до	разряда	тысяч с помощью степени числа 10 ? .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного числа до второго	разряда	после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
7 Сформулируйте правило округления положительного числа до	разряда	десятков .
Запишем результат округления числа 15,293 до второго знака после запятой , то есть до	разряда	10 - 2 .
В этом случае выбираем десятичное приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом округления числа а до второго	разряда	после запятой .
6 Как оценивается абсолютная погрешность округления до	разряда	единиц ? .
5 Сформулируйте правило округления положительного числа до	разряда	единиц .
Значение двоичного	разряда	может быть либо 0 , либо 1 .
Если цифра	разряда	10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго	разряда	после запятой .
В случае округления до	разряда	102 можно представить данное число 2013,2013 в виде 20,132013 · 102 .
В примере 5 было определено , что результатом округления числа 120 275 до	разряда	единиц является число 120 275 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120 275 до	разряда	единиц является число -120 275 .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до	разряда	единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
В примере 6 было определено , что результатом округления числа 0,47 до	разряда	единиц является число 0 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,47 до	разряда	единиц является число 0 .
В примере 7 было определено , что результатом округления числа 0,517 до	разряда	единиц является число 1 .
Если цифра 1-го	разряда	после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
Чему равны результаты округления числа 2013,2013 до	разряда	сотен и до разряда тысяч ? .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,517 до	разряда	единиц является число -1 .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до	разряда	единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
В примере 8 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до	разряда	десятков является число 120 280 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до	разряда	десятков является число -120 280 .
Если цифра 1-го	разряда	после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
3.6 Правило округления положительного числа до	разряда	10 m .
Аналогично определяются округления отрицательного числа до	разряда	сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
Сформулируем правило округления положительного числа до	разряда	единиц .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до	разряда	10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до	разряда	единиц является число -120 276 .
В примере 4 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до	разряда	единиц является число 120 276 .
Аналогично определяются округления отрицательного числа до любого	разряда	после запятой .
Чему равен результат округления числа 120275,4999 до	разряда	единиц ? .
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до	разряда	десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
если цифра	разряда	единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до	разряда	десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29459 до второго	разряда	после запятой является число -5,29 .
Если цифра	разряда	единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Из рассмотрения примера 2 следует , что результатом округления числа 5,29817 до второго	разряда	после запятой является число 5,30 .
Сформулируем правило округления положительного числа до	разряда	десятков .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29817 до второго	разряда	после запятой является число -5,30 .
Будем считать десятичное приближение 1 результатом округления числа 0,517 до	разряда	единиц .
Будем считать результатом округления числа 120 275 до	разряда	единиц десятичное приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу .
Округление до заданного	разряда	.
Из рассмотрения примера 1 следует , что результатом округления числа 5,29459 до второго	разряда	после запятой является число 5,29 .
Округлим число 120275,7 до	разряда	десятков .
Из рассмотрения примера 3 следует , что результатом округления числа 5,295 до второго	разряда	после запятой является число 5,30 .
Аналогично определяются округления положительного числа до	разряда	сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
3.5 Округление положительного числа до	разряда	десятков .
Чему равны результаты округления числа 2013,2013 до разряда сотен и до	разряда	тысяч ? .
Чему равен результат округления числа 204,2013 до	разряда	десятков ? .
Будем считать десятичное приближение 120 280 результатом округления числа 120275,7 до	разряда	десятков .
Чему равен результат округления числа -5,298176 до второго	разряда	после запятой ? .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,295 до второго	разряда	после запятой является число -5,30 .
Округлим число 0,47 до	разряда	единиц .
Округлим число 0,517 до	разряда	единиц .
Будем считать десятичное приближение 0 результатом округления числа 0,47 до	разряда	единиц .
Мы видим , что только по результату округления не всегда можно определить , до какого	разряда	произведено округление и какова погрешность округления .
Если цифра	разряда	10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
При округлении того же самого числа 2013,2013 до	разряда	тысяч опять - таки получим число 2000 .
Сформулируем правило округления положительного числа до	разряда	10 m , где m — натуральное число .
При округлении этого числа до	разряда	сотен получим 2000 .
Округление положительного числа до других	разрядов	после запятой .
3.8 Указание	разрядов	округления при помощи степеней числа 10 .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба ,	ребро	которого равно а .
2.3 Свойства тождественного равенства : транзитивность , симметричность ,	рефлексивность	.
Свойство тождественного равенства	рефлексивность	.
Это свойство называют	рефлексивностью	.
Как доказать , что рассмотренная система имеет единственное	решение	? .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое	решение	второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Неравенства ,	решение	.
1.1 Какой из приведённых систем уравнений соответствует графическое	решение	.
2.4 При каких значениях а из указанных система уравнений имеет хотя бы одно	решение	? .
При каких условиях поставленная задача будет иметь единственное	решение	? .
Графическое решение системы , содержащей уравнение , не зависящее от у. Разберём графическое	решение	системы .
Таким образом , всякое	решение	первого неравенства является решением второго неравенства .
Какой вид будет иметь	решение	системы уравнений , если подставить во второе уравнение системы вместо неизвестного у равное ему выражение ? .
1 Что вы понимаете под словами « целочисленное	решение	уравнения с двумя неизвестными » ? .
Теорема Пифагора позволяет свести	решение	этой задачи к решению уравнения в целых числах .
2 Графическое	решение	системы уравнений с двумя неизвестными .
Графическое	решение	системы , содержащей уравнение , не зависящее от у. Разберём графическое решение системы .
Пусть ( р ; q ) — ещё какое - нибудь целочисленное	решение	уравнения .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части , корень или	решение	нестрогого неравенства А(х ) < В(х ) .
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы решения уравнений , разбирается	решение	некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
Следовательно , всякое	решение	с данного неравенства является числом , большим 5 , то есть число с принадлежит множеству решений неравенства .
1.3 Какая из следующих систем имеет то же	решение	, что и система ? .
а ) имеет единственное	решение	.
Если а Ф 0 , то аn Ф 0 , и уравнение имеет единственное	решение	.
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое	решение	второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
1 Найдите какое - либо целочисленное	решение	уравнения .
Ответ : система имеет одно	решение	при всех а , отличных от 1 ; система не имеет решений при а 1 .
Как записать сокращённо	решение	уравнения из примера 3 ? .
2 Найдите , при каких числовых значениях а система имеет единственное	решение	.
Например ,	решение	уравнения можно записать так .
Как записать все целочисленные решения уравнения , зная некоторое его	решение	( р ; q ) ? .
3 Как можно найти целочисленное	решение	уравнения .
а ) имеющую единственное	решение	.
2 Как определяется	решение	уравнения с двумя неизвестными ? .
В пункте мы нашли одно целочисленное	решение	этого уравнения .
Таким образом , всякое	решение	первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Пусть число с —	решение	этого неравенства , то есть .
16 Составьте задачу ,	решение	которой привело бы к уравнению .
2.3 Для каких из перечисленных неравенств любое его	решение	а удовлетворяет неравенству ? .
Таким образом , всякое	решение	первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
2.1 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением образуют систему , имеющую единственное	решение	.
Дальнейшее	решение	уравнения сводится к решению трёх систем .
Разбирая примеры на	решение	линейных неравенств , можно было видеть , что ответом является множество чисел .
Перебирая все целые значения m , можем получить любое целочисленное	решение	этого уравнения .
2.2 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением образуют систему , имеющую хотя бы одно	решение	.
2.3 При каких парах значений а и b система имеет единственное	решение	? .
2.6 Графическое	решение	системы уравнений с модулем .
Значит , числа 3т , 7т при любом целом значении m дают целое	решение	( 3т ; 7т ) уравнения 7х 3у .
Как доказать , что всякое	решение	второго неравенства является решением первого неравенства .
Рассмотрим	решение	с помощью графиков системы .
По аналогии со строгими неравенствами определяют левую и правую части , корень или	решение	нестрогого неравенства А(х ) > В(х ) .
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является решением второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является	решением	первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Аналогично для каждого числа а можно взять и получить пару чисел , являющуюся	решением	начальной системы .
Поэтому координаты ( с ; d ) точки В являются	решением	уравнения .
Обратно , если число d является	решением	неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Целочисленным	решением	уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное целое число .
Иногда корень неравенства называют	решением	этого неравенства .
1.2 Укажите уравнение , которое при b b 2 имеет	решением	любое число .
Проверкой можем убедиться , что пара чисел является точным	решением	начальной системы .
Следовательно , число d является	решением	нестрогого неравенства .
1.2 Какая из систем уравнений имеет	решением	пару х 2 , у 3 ? .
1 Будет ли указанная пара чисел ( х0 ; у0 )	решением	системы ? .
4 Какое число называют	решением	( корнем ) нестрогого неравенства ? .
Следовательно , число d является	решением	неравенства .
Иногда корень уравнения называют	решением	уравнения .
1.4 Пары чисел , где m — целое число , являются	решением	уравнения в целых числах .
Координаты точки О(0,0 ) являются	решением	уравнения и поэтому точка О принадлежит графику Г .
В первом случае	решением	уравнения являются пары вида ( х ; 2 ) , где х может принимать любое значение .
Следовательно , число с является	решением	нестрогого неравенства .
2.1 Укажите все линейные уравнения , у которых число 2 является	решением	.
Положим а0 b х. Поскольку , то число х должно быть	решением	уравнения .
2.1 Для каких из перечисленных неравенств любое число является	решением	? .
Следовательно , число с является	решением	неравенства .
Таким образом , при а 1 найдена пара значений х и у , являющаяся	решением	начальной системы .
Во втором случае	решением	уравнения являются пары вида ( 2 ; у ) , где у может принимать любое значение .
Таким образом , всякое решение первого нестрогого неравенства является	решением	второго нестрогого неравенства , а всякое решение второго нестрогого неравенства является решением первого нестрогого неравенства , и эти неравенства равносильны .
Тогда его	решением	является любая пара чисел где а — произвольное число .
1.2 Какая из указанных пар является	решением	уравнения ? .
Пусть число с является	решением	неравенства , то есть .
2.4 Укажите все числа а , для каждого из которых найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является	решением	системы .
1.3 Пары чисел , где m — целое число , являются	решением	уравнения в целых числах .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является	решением	первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Следовательно , пара чисел ( р - 4 ; q - 1 ) является	решением	уравнения или уравнения 7х -5у .
В случае системы линейных уравнений ( 5 ) пара чисел ( х0 ; у0 ) является	решением	, если одновременно выполняются равенства .
Как показать , что найденная пара чисел ( х ; у ) является	решением	системы ? .
Каждое значение с переменной х , при котором , называется корнем или	решением	неравенства .
Число 5 и каждое из чисел , меньшее 5 , не является	решением	неравенства .
Как проверить , что при а 1 пара чисел является	решением	системы из примера 2 ? .
Обратно , если число d является	решением	неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям неравенства число -D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
1.4 Укажите число а , для которого найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является	решением	системы .
В нашем случае оба равенства выполняются , а поэтому полученная графическим способом пара чисел ( 3 ; 1 ) является точным	решением	начальной системы .
3 Что называют	решением	системы двух уравнений с двумя неизвестными ? .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является	решением	второго неравенства .
Найденные значения для х и у можно записать в виде пары чисел ( 40 ; 50 ) , которая является	решением	системы .
4 Какое число называют	решением	( корнем ) неравенства ? .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является	решением	второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Таким образом , пара чисел ( 4 ; 1 ) является целочисленным	решением	уравнения .
Поэтому пару чисел 1 и 7/3 называют	решением	уравнения и обычно записывают в виде .
Является ли пара чисел	решением	уравнения ? .
Как доказать , что всякое решение второго неравенства является	решением	первого неравенства .
Следовательно , любая пара чисел вида , где b — произвольное число , является	решением	уравнения .
Всякое число , большее 5 , является	решением	этого неравенства .
Пусть число с является	решением	данного неравенства , то есть выполняется числовое неравенство .
Обратно , покажем , что всякое число , большее 5 , будет	решением	данного неравенства .
При	решении	уравнений обычно стараются выполнять преобразования , приводящие к уравнению , равносильному заданному уравнению .
Чтобы получить ответ при	решении	неравенства , используя правила 1 - 7 , можно записать последовательность неравенств , каждое из которых равносильно заданному неравенству .
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении графиков в	решении	задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
При	решении	уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
Отметим , что при	решении	задачи с помощью уравнения у нас есть свобода выбора , во - первых , буквы для обозначения неизвестной и , во- вторых , величины , обозначаемой через неизвестную .
Решить уравнение — это значит одно из двух : либо найти все решения уравнения , либо доказать , что уравнение не имеет	решений	.
Запишем последовательно суммы для найденных неотрицательных целых	решений	: 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 .
Это уравнение не имеет	решений	.
Таким образом , множество решений неравенства совпадает с множеством	решений	неравенства .
2 Изобразите на числовой прямой множество	решений	неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
При переходе от одного уравнения к равносильному ему другому уравнению множество	решений	не изменяется .
Решить систему — значит либо найти все её решения , либо показать , что	решений	нет .
Иногда запись используют для записи множества	решений	неравенства .
Таким образом , уравнение имеет пустое множество	решений	.
3.4 Множество	решений	уравнения .
7 Как найти множество решений неравенства , если известно множество	решений	неравенства ? .
1.4 Укажите уравнение , которое при b b 5 не имеет	решений	.
7 Как найти множество	решений	неравенства , если известно множество решений неравенства ? .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех	решений	линейного неравенства .
Полученное множество	решений	уравнения удобно представить в виде множества точек на координатной плоскости .
1.3 Для какого из следующих неравенств является множеством	решений	? .
1.2 Для какого из неравенств промежуток не является множеством всех	решений	? .
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и множество	решений	неравенства .
2.2 Множество	решений	каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество решений неравенства и множество решений неравенства .
Некоторые из	решений	этого уравнения можно записать в виде пар : ( 0 ; 5 ) , ( -5 ; 0 ) , ( -3 ; 4 ) .
2.3 Какие из следующих уравнений вместе с уравнением составляют систему , не имеющую	решений	? .
Множество	решений	неравенства называют замкнутым числовым лучом и обозначают .
В этом случае множество	решений	уравнения является пустым множеством .
Для какого линейного неравенства множество	решений	совпадает с промежутком ? .
Ответ : система имеет одно решение при всех а , отличных от 1 ; система не имеет	решений	при а 1 .
5 Сравните множества	решений	неравенства и неравенства .
1.4 Какая из приведённых систем не имеет	решений	? .
3.5 Множество всех целочисленных	решений	уравнения вида .
В некоторых случаях уравнение может не иметь	решений	.
Часто М называют множеством	решений	или множеством корней уравнения .
1 Изобразите на числовой прямой множество	решений	неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Такому равенству не удовлетворяет ни одно значение у , и поэтому при начальная система	решений	не имеет .
Изображение множества	решений	уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют графиком этого уравнения .
Часто М называют множеством корней или множеством	решений	неравенства .
Набор всех решений уравнения называют множеством	решений	этого уравнения .
Сравните полученные множества	решений	.
Какое множество	решений	имеет уравнение ? .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех	решений	этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
Набор всех	решений	уравнения называют множеством решений этого уравнения .
Множество	решений	неравенства называют открытым числовым лучом и обозначают .
2.2 Множество решений каких из перечисленных неравенств одновременно содержит множество	решений	неравенства и множество решений неравенства .
Для любого числа а множество	решений	неравенства называется замкнутым числовым лучом и обозначается .
В связи с понятием решения уравнения с двумя неизвестными возникает задача о нахождении всех	решений	уравнения .
Найдём , сколько	решений	имеет система уравнений .
Будем говорить , что два уравнения равносильны , если они имеют одно и то же множество	решений	.
3 Покажите алгебраически и графически , что следующие системы имеют бесконечно много	решений	.
Следовательно , множеством	решений	неравенства является множество всех чисел , каждое из которых больше 5 .
1.3 При каком значении b система не имеет	решений	? .
Графическое представление системы , имеющей бесконечное множество	решений	.
1.4 Пример системы , не имеющей	решений	.
Какую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными , имеющую сколь угодно много	решений	, вы можете предложить ? .
Какое уравнение с двумя неизвестными , не имеющее	решений	, вы можете предложить ? .
В каком случае задача не имеет	решений	? .
5 Что называют множеством	решений	( корней ) неравенства ? .
Рассмотрим , как найти одно из целочисленных	решений	уравнения вида где а , b , с — ненулевые целые числа , причём а и b взаимно просты .
Множество всех решений этого уравнения совпадает с множеством	решений	уравнения .
имеющую бесконечно много	решений	.
По аналогии со строгими неравенствами набор М всех корней неравенства называют множеством корней или множеством	решений	этого неравенства .
Сколько может быть	решений	? .
Множество корней (	решений	) уравнения .
не имеющую	решений	.
11 Что произойдёт с множеством	решений	, если к левой и правой частям неравенства прибавить всюду определённое выражение ? .
Как показать , что уравнение не имеет целочисленных	решений	? .
Для любого числа а множество	решений	неравенства называется открытым числовым лучом и обозначается .
3.4 Существование целочисленных	решений	уравнения вида .
Для каких из указанных неравенств является множеством	решений	? .
Сколько	решений	имеет данная задача ? .
12 При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество	решений	? .
1.4 Для какого из следующих неравенств не является множеством	решений	? .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества	решений	данных неравенств совпадают , и эти неравенства равносильны .
Покажем , что иногда система двух линейных уравнений может не иметь	решений	.
1.2 При каком значении а система имеет бесконечное число	решений	? .
Как показать , что множество	решений	неравенства является пустым множеством ? .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных	решений	уравнения в целых числах ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
Множество всех	решений	этого уравнения совпадает с множеством решений уравнения .
б ) не имеет	решений	.
Графическое представление системы , не имеющей	решений	.
Таким образом , множество	решений	неравенства совпадает с множеством решений неравенства .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству	решений	неравенства .
Покажем , что система двух линейных уравнений иногда может иметь сколь угодно много	решений	.
в ) имеет бесконечное множество	решений	, изображающееся точками некоторой прямой .
2.2 Укажите все уравнения , у которых нет	решений	.
Множество корней (	решений	) Множество неравенства .
При нахождении	решений	нестрогого неравенства точно так же , как и в случае строгих неравенств , применяются правила преобразования неравенств , сохраняющие равносильность .
13 Как связаны между собой множество решений неравенства и множество	решений	неравенства ? .
4 Докажите , что уравнение не имеет целочисленных	решений	.
2.2 Какие из указанных промежутков содержат множество	решений	неравенства ? .
1.5 Пример системы с бесконечным множеством	решений	.
Это значит , что не существует пар чисел ( а ; b ) которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям системы , то есть наша система уравнений не имеет	решений	.
13 Как связаны между собой множество	решений	неравенства и множество решений неравенства ? .
1.1 Для какого из неравенств промежуток является множеством всех	решений	? .
Сколько	решений	может иметь задача ? .
Какой замкнутый числовой луч является множеством	решений	неравенства .
Следовательно , всякое решение с данного неравенства является числом , большим 5 , то есть число с принадлежит множеству	решений	неравенства .
Решение задачи сводится к	решению	системы .
Дальнейшее решение уравнения сводится к	решению	трёх систем .
Записав последнее равенство в виде приходим к уже известному целочисленному	решению	уравнения .
Теорема Пифагора позволяет свести решение этой задачи к	решению	уравнения в целых числах .
4.4 Применение разложения двучлена к	решению	некоторых задач на делимость .
Следовательно , общие	решения	уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
Сокращённую запись	решения	неравенства получим , если будем записывать только равносильные неравенства без пояснений .
В связи с понятием	решения	уравнения с двумя неизвестными возникает задача о нахождении всех решений уравнения .
Как показать , что формулы , где k — целое число , также задают все целые	решения	уравнения ? .
Приведём пример задачи о построении треугольника , которая может иметь два	решения	.
3 Целочисленные	решения	уравнений .
Отсюда получаем , что и все целочисленные	решения	уравнения , у которых оба значения неизвестных неотрицательны , исчерпываются парами .
3.3 Целочисленные	решения	линейного уравнения .
Отсюда следует , что формулы , где m — целое число , задают все целочисленные	решения	уравнения Например , если .
Таким образом , система имеет два	решения	, для которых приближённые значения .
В этой главе вы найдёте признаки равенства треугольников , а также примеры геометрических задач , в частности , примеры	решения	задач на построение треугольников .
2.4 Для каких из указанных неравенств все	решения	не входят в промежуток ? .
8 Найдите все	решения	системы .
10 Как связаны	решения	двух уравнений вида с решениями уравнения ? .
Решить уравнение — это значит одно из двух : либо найти все	решения	уравнения , либо доказать , что уравнение не имеет решений .
Найти все	решения	этого уравнения непросто .
Найдём все	решения	уравнения в натуральных числах .
Такая точность вполне достаточна для	решения	очень многих практических задач .
Какие	решения	в натуральных числах имеет уравнение ? .
Треугольник PQ расположен внутри треугольника PQR2 , а поэтому в поставленной задаче возможны два различных	решения	.
Как показать , что указанные значения неизвестных x1 , z1 , х2 , у2 дают точные	решения	системы ? .
Любое уравнение вида с целыми коэффициентами а , b , с имеет целочисленные	решения	, когда — взаимно простые числа .
Для иллюстрации графического способа	решения	системы уравнений с двумя неизвестными разберём такой подход .
В этой главе вы узнаете приёмы	решения	систем уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
Какие	решения	в натуральных числах имеет рассмотренное уравнение ? .
Какие	решения	уравнения вы можете найти ? .
Как найти все	решения	уравнения , если известно , что уравнение не имеет корней ? .
1.4 Какой из указанных промежутков содержит все	решения	неравенства .
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные	решения	.
2.5 Пример неединственности	решения	.
Решить систему — значит либо найти все её	решения	, либо показать , что решений нет .
5 Приведите пример системы линейных уравнений , не имеющей ни одного	решения	.
Какие	решения	имеет неравенство .
Таким образом , для	решения	данной задачи достаточно найти положительное значение неизвестного х и целое положительное значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
5 При каких условиях уравнение имеет целочисленные	решения	? .
Графики линейных функций помогают наглядно представить все	решения	линейных уравнений с двумя неизвестными .
3.4 Использование поворота плоскости для	решения	задач .
Однако по условию задачи нам нужны не всякие	решения	уравнения , а только такие , в которых значения х и у одновременно являются неотрицательными целыми числами .
3 Изобразите на координатной плоскости все	решения	( х ; у ) уравнения .
2.2 Укажите все линейные уравнения , которые имеют более одного	решения	.
Покажем ещё один возможный способ	решения	задачи из предыдущего пункта .
6 Как получить графически приближённые	решения	системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ? .
2.4 У каких уравнений с одним неизвестным есть ровно два	решения	? .
Найти все	решения	уравнения .
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы	решения	уравнений , разбирается решение некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
Какие	решения	имеет нестрогое неравенство х2 < 0 ? .
Какие	решения	имеет уравнение ? .
Отметим , что оба	решения	основаны на равенстве треугольников ACD и ВСЕ .
Приходим к тому же результату , что и при разборе	решения	в предыдущем пункте .
3 Найдите все целочисленные	решения	уравнения .
6 Приведите пример системы уравнений , имеющей более одного	решения	.
Графический способ	решения	можно применять не только к системам линейных уравнений .
В координатной плоскости	решения	первого уравнения представляются точками графика функции .
Решим систему двух уравнений с неизвестными х и у , то есть найдём , как выразить	решения	х и у через значение а .
2 Найдите какие - либо два целочисленных	решения	уравнения .
Решениями уравнения являются пары ( с ; d ) , для которых верно равенство Таким образом , все	решения	начального уравнения — это пары вида , где с принимает любое значение .
9 При каждом значении а найдите	решения	системы .
Краткая запись	решения	этого уравнения имеет вид .
Как записать все целочисленные	решения	уравнения , зная некоторое его решение ( р ; q ) ? .
3.2 Целочисленные	решения	уравнения вида .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют	решения	вида , где m — переменная , принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные целые числа ? .
2.2 Какие из следующих систем имеют те же	решения	, что и система ? .
Уравнение , то есть уравнение с двумя неизвестными , решено и его	решения	изображены .
Поэтому мы найдём все	решения	уравнения , если по очереди приравняем к нулю множители и решим два полученных уравнения и или равносильные им уравнения .
Сокращённая запись	решения	линейного уравнения .
Следовательно , мы представим все	решения	уравнения , если на одном рисунке изобразим все решения уравнения и все решения уравнения , что и сделано .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют	решения	в целых числах со значениями переменных х и у разных знаков ? .
Таким образом , для	решения	данной задачи достаточно найти положительные значения неизвестных х и у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
Использование признаков равенства треугольника для	решения	задач .
2 Приведите пример уравнения с целыми коэффициентами и запишите все его целочисленные	решения	.
Следовательно , мы представим все решения уравнения , если на одном рисунке изобразим все решения уравнения и все	решения	уравнения , что и сделано .
Приведём сокращённую запись	решения	.
Таким образом , наша система имеет два	решения	.
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные	решения	уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое целое число .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть	решения	системы получаются как пары координат точек графика функции .
2.10 Сокращённая запись	решения	линейного неравенства .
Какие	решения	имеет нестрогое неравенство х2 > 0 ? .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые целые числа , нетрудно найти все его целочисленные	решения	.
На примере уравнения покажем , как находить все целочисленные	решения	, если известно одно из них .
Следовательно , мы представим все решения уравнения , если на одном рисунке изобразим все	решения	уравнения и все решения уравнения , что и сделано .
Уравнение , то есть уравнение с двумя неизвестными , решено , и его	решения	изображены .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с	решениями	любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
Таким образом ,	решениями	данного неравенства могут быть только числа , большие .
Значит ,	решениями	системы уравнений являются пары координат точек пересечения М и N окружности и прямой .
Таким образом ,	решениями	уравнения являются пары и вообще пара чисел вида ( а ; 2 ) для любого числа а .
Какие из пар чисел (-8 ; 6 ) , ( 10 ; 10 ) ; являются	решениями	системы , рассмотренной в примере 4 ? .
Какие из этих пар являются	решениями	системы .
Таким образом , каждое число , большее числа , является	решениями	данного неравенства .
Следовательно , все пары вида ( -2 ; а ) , где а любое число , являются	решениями	второго уравнения системы .
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми	решениями	в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
10 Как записать все пары чисел , которые являются	решениями	системы .
1.1 Какие из указанных пар являются целочисленными	решениями	уравнения ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
10 Как связаны решения двух уравнений вида с	решениями	уравнения ? .
Из этого признака , например , сразу следует , что	ромб	является параллелограммом .
4 Сколько внутренних плоских углов имеет : а ) квадрат ; б ) прямоугольник ; в )	ромб	; г ) параллелограмм ? .
9 Дан	ромб	ABCD .
10 Дан	ромб	ABCD .
параллелограмм с проведённой диагональю . 2 ) правильный треугольник с проведённой средней линией . 3 )	ромб	с проведёнными диагоналями .
9 Постройте	ромб	по стороне и одному заданному углу .
Таким образом ,	ромб	можно определить как параллелограмм , у которого две соседние стороны равны .
8 Нарисуйте	ромб	.
Это следует из того , что диагональ делит	ромб	на два равных равнобедренных треугольника .
С другой стороны , всякий	ромб	является параллелограммом .
1.3 Чему равен радиус r окружности , вписанной в	ромб	со стороной 5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? .
Как построить	ромб	по стороне и одной из диагоналей ? .
1 Найдите площадь	ромба	, если длины его диагоналей равны : а ) 3 см и 4 см ; б ) 5 см и 11 см ; в ) 1,25 дм и 0,39 дм .
в ) треугольники с основаниями АВ и CD строятся вне ромба , а треугольники с основаниями ВС и AD — внутри	ромба	.
Какие свойства диагоналей	ромба	вы знаете ? .
Как можно определить квадрат , пользуясь определением	ромба	? .
5 Докажите , что середины сторон	ромба	являются вершинами прямоугольника .
Точно так же определяются внутренние углы	ромба	и параллелограмма .
4 Докажите , что середины сторон прямоугольника являются вершинами	ромба	.
7 Как показать , что диагональ	ромба	не может быть перпендикулярна его стороне ? .
в ) треугольники с основаниями АВ и CD строятся вне	ромба	, а треугольники с основаниями ВС и AD — внутри ромба .
8 Докажите , что противоположные стороны	ромба	лежат на непересекающихся прямых .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами	ромба	.
2.3 Изображены два равных	ромба	ABCD и CDEF .
а ) все треугольники строятся вне	ромба	.
11 Найдите условие , при котором середины сторон четырёхугольника являются : а ) вершинами	ромба	; б ) вершинами прямоугольника .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади	ромба	? .
все треугольники строятся внутри	ромба	.
2.2 Изображены два равных	ромба	ABCD и CDEF .
8 Сформулируйте известные вам свойства	ромба	.
3 Периметр	ромба	равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. Найдите площадь ромба .
3 На сторонах	ромба	ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
1.2 В ромбе диагонали равны 6 см и 9 см. Чему равен периметр прямоугольника , полученного соединением середин сторон этого	ромба	? .
1.2 Чему равна площадь	ромба	со стороной 9 см , описанного вокруг окружности с радиусом 1 см ? .
3 Из точки пересечения диагоналей	ромба	проводятся перпендикуляры к сторонам .
3 Периметр ромба равен 52 см , а одна из его диагоналей — 10 см. Найдите площадь	ромба	.
1.2 В	ромбе	диагонали равны 6 см и 9 см. Чему равен периметр прямоугольника , полученного соединением середин сторон этого ромба ? .
2.3 В	ромбе	ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади ромба ? .
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является	ромбом	, диагональ АС является биссектрисой углов с вершинами А и С Какие из равенств верны ? .
7 Какой параллелограмм будет	ромбом	? .
Следовательно , взятый параллелограмм является	ромбом	.
Представление о непересекающихся или равноотстоящих прямых дают два	ряда	рельсов прямолинейного участка железной дороги , если представить , что они неограниченно продолжены в обе стороны .
Сколько угловых	секунд	содержит прямой угол ? .
Более точными измерениями установлено , что продолжительность года составляет 365 суток 5 часов 48 минут и 46	секунд	.
14 Сколько угловых	секунд	содержит угол : а ) в 3 ' ; б ) в 10 ° ; в ) в 19 ' ? .
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , «	секунда	» .
Угловой градус , угловая минута , угловая	секунда	.
Угловые :	секунда	.
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских углов , то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая	секунда	» обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , « секунда » .
8 Как определяется угловая	секунда	? .
Какую часть радиана содержит одна угловая	секунда	? .
Угол , величина которого равна одной шестидесятой части угловой минуты , называют угловой	секундой	"и его величину обозначают через 1 "" ."
Знак угловой	секунды	""" пишут справа вверху от числа ."
4 Что такое	секущая	для двух прямых ? .
Пусть на плоскости заданы такие прямые АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных точках Р и Q. Говорят , что прямая MN —	секущая	для прямых АВ и CD .
Будут ли параллельны две прямые , при пересечении которых	секущая	образует равные соответственные углы ? .
Если две параллельные прямые пересечены	секущей	, то образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны .
Чему равна сумма внешних односторонних углов при двух параллельных и	секущей	? .
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и	секущей	ВС. Углы DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый угол .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные стороны параллелограмма , и точку М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными	секущей	АВ .
Тогда углы САВ и DCA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и	секущей	АС .
2.9 Свойство	секущей	параллельных прямых .
2.10 Равенство внутренних накрест лежащих углов , образуемых	секущей	двух параллельных прямых .
Углы АВО и CDO являются внутренними накрест лежащими для прямых АВ , CD и	секущей	BD .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные	секущей	AD с параллельными прямыми АВ и CD .
3 Две параллельные прямые пересечены	секущей	.
1 Что называется	секущей	сторон угла ? .
Таким образом , прямая m является	секущей	для обеих параллельных прямых а и b .
Равны и их соответствующие углы PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие углы , образованные при пересечении прямых CD и PS	секущей	PQ .
Следствие : Если две параллельные прямые пересечены	секущей	, то образующиеся соответственные углы равны .
Если же для	секущей	MN внутренние накрест лежащие углы являются прямыми , то , как уже было сказано , прямые АВ параллельны как перпендикуляры к одной прямой .
Если две параллельные прямые пересечены	секущей	, то образующиеся внутренние односторонние углы в сумме дают 180 ° .
Если при пересечении двух прямых	секущей	внутренние накрест лежащие углы равны , то такие прямые параллельны .
Возьмём две параллельные прямые а и b. Пересечём их	секущей	и обозначим соответствующие углы 1 и 2 .
Свойство	секущей	.
3 Докажите , что две прямые параллельны , если при пересечении их	секущей	выполняется одно из условий .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от	секущей	, где сумма углов меньше 180 ° .
Эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых АВ и CD и	секущей	АС .
Сумма внутренних односторонних углов , образуемых	секущей	двух параллельных прямых .
2 Прямые AB и CD пересечены	секущей	MN .
Прямая АС является	секущей	при параллельных прямых AD и ВС. Точно так же , рассматривая прямые АВ и CD , получим , что .
Параллельные прямые АВ и CD пересекаются	секущей	MN в точках Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что .
2.6 О названиях углов , образованных	секущей	.
Углы BMN и CKN внутренние накрест лежащие , образованные	секущей	МК с параллельными прямыми АВ и СК , значит .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же	секущей	два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Возьмём две параллельные прямые а и b. Пересечём их	секущей	, как на рис .
Его соседние углы АВС и BAD являются внутренними односторонними углами , образованными	секущей	АВ параллельных прямых AD и ВС. Поэтому по свойству .
1.4 На одной стороне угла отложены четыре отрезка , отношение которых , и через их концы проведены параллельные	секущие	.
Проведём две параллельные	секущие	сторон угла .
Проведём через точки А , В , С параллельные	секущие	, пересекающие вторую сторону угла в точках Α1 , B1 , С1 .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой	секущие	сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
В общем случае три параллельные	секущие	сторон угла обладают следующим свойством .
2.6 Параллельные	секущие	двух параллельных прямых .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные	секущие	пересекают две параллельные прямые .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные	секущие	сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
2 Параллельные	секущие	сторон угла .
2 Что означают слова « параллельные	секущие	сторон угла » ? .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными	секущими	угла .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными	секущими	сторон угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
Далее заметим , что прямые РМ и NK являются параллельными	секущими	сторон угла NBC .
Так как прямые AM и NK являются параллельными	секущими	сторон угла АСВ , то , откуда .
Свойство параллельных	секущих	сторон угла .
Таким образом , получаем следующее свойство параллельных	секущих	сторон угла .
3 Сформулируйте теорему Фалеса о параллельных	секущих	сторон угла , проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту теорему .
4 Сформулируйте обобщение теоремы о параллельных	секущих	сторон угла .
Когда рассматривают	секущую	двух прямых , то кроме внутренних накрест лежащих углов выделяют и другие пары углов и дают им особые названия .
Возьмём две прямые АВ и CD и их	секущую	MN , для которых внутренние накрест лежащие углы BPQ и CQP равны и являются острыми .
Аналогично можно определить шестиугольник ,	семиугольник	и многоугольник любым заданным числом вершин .
Продолжая таким образом , получим , что сумма внутренних углов выпуклого	семиугольника	равна , выпуклого восьмиугольника равна и так далее .
Поворот на какой из перечисленных углов является центральной	симметрией	? .
В этой главе вы узнаете свойства и признаки параллелограмма , научитесь вычислять площадь параллелограмма , познакомитесь с центральной	симметрией	фигур на плоскости .
12 Докажите , что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси	симметрии	, то фигура имеет и центр симметрии .
Пусть D — точка пересечения прямой АВ с осью	симметрии	.
Докажем , что при центральной	симметрии	относительно точки О прямая l , не проходящая через точку О , переходит в прямую m , параллельную прямой l .
Какие свойства центральной	симметрии	вы знаете ? .
Параллелограмм , центр	симметрии	.
Из свойств перемещения следует , что при этом отрезки АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в отрезки CD , DA , АВ , ВС , то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя при	симметрии	относительно точки пересечения диагоналей .
7 Во что переходит прямая при центральной	симметрии	? .
Докажите , что четырёхугольник ABCD имеет ось	симметрии	.
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам , то при этой центральной	симметрии	происходит следующее .
6 Приведите пример фигуры , имеющей бесконечное число центров	симметрии	.
2.2 Какие из указанных фигур могут иметь центр	симметрии	? .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть точку , заметим , что при	симметрии	относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты .
Центр	симметрии	.
12 Докажите , что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии , то фигура имеет и центр	симметрии	.
1.4 Сколько центров	симметрии	может иметь фигура , составленная из двух отрезков ? .
4.5 Центр	симметрии	параллелограмма .
Это значит , что при центральной	симметрии	отрезок переходит в равный ему отрезок , прямая переходит в прямую , треугольник переходит в равный ему треугольник и так далее .
В какую прямую при центральной	симметрии	переходит прямая , проходящая через центр симметрии ? .
3 Что такое центр	симметрии	? .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра	симметрии	О .
В какую прямую при центральной симметрии переходит прямая , проходящая через центр	симметрии	? .
5 Укажите ось	симметрии	окружности и двух касательных , проведённых к окружности из одной точки .
1.2 Какая из следующих фигур не имеет центра	симметрии	? .
4 Укажите несколько осей	симметрии	окружности .
Симметрия относительно оси является перемещением плоскости , поэтому при	симметрии	относительно прямой каждая прямая переходит в прямую .
Как можно вычислять площадь фигуры , имеющей ось	симметрии	? .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при	симметрии	относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
При	симметрии	относительно оси Ох этот график переходит в график уравнения .
Докажем , что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром	симметрии	.
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра	симметрии	О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О .
Рассмотрим	симметрию	относительно точки О .
Центральная	симметрия	.
Следовательно , центральная	симметрия	тоже является перемещением плоскости .
5 Как центральная	симметрия	связана с поворотами плоскости ? .
Так как центральная	симметрия	является перемещением , то прямая l переходит в некоторую прямую m .
4.4 Центральная	симметрия	является поворотом .
4 Центральная	симметрия	.
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и	систем	, в которых требуется получить целочисленные решения .
1.1 Какой из приведённых	систем	уравнений соответствует графическое решение .
2.2 Какие из следующих	систем	имеют те же решения , что и система ? .
1.4 Какая из приведённых	систем	не имеет решений ? .
1.3 Какая из следующих	систем	имеет то же решение , что и система ? .
1.2 Какая из	систем	уравнений имеет решением пару х 2 , у 3 ? .
1.2 Решение	систем	уравнений .
В этой главе вы узнаете приёмы решения	систем	уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
5 Для каждой из следующих	систем	: 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Дальнейшее решение уравнения сводится к решению трёх	систем	.
1.8 Линейная	система	с параметром .
Таким образом ,	система	имеет два решения , для которых приближённые значения .
2.4 При каких значениях а из указанных	система	уравнений имеет хотя бы одно решение ? .
Получилась нелинейная	система	уравнений .
Ответ :	система	имеет одно решение при всех а , отличных от 1 ; система не имеет решений при а 1 .
Покажем , что иногда	система	двух линейных уравнений может не иметь решений .
Ответ : система имеет одно решение при всех а , отличных от 1 ;	система	не имеет решений при а 1 .
Иногда	система	двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить систему линейных уравнений .
2.3 При каких парах значений а и b	система	имеет единственное решение ? .
Как доказать , что рассмотренная	система	имеет единственное решение ? .
1.2 При каком значении а	система	имеет бесконечное число решений ? .
1 Как вы понимаете слова : «	система	двух уравнений с двумя неизвестными » ? .
1.3 При каком значении b	система	не имеет решений ? .
2.2 Какие из следующих систем имеют те же решения , что и	система	? .
Покажем , что	система	двух линейных уравнений иногда может иметь сколь угодно много решений .
2 Как вы понимаете слова : «	система	двух линейных уравнений с двумя неизвестными » ? .
Это	система	линейных уравнений .
2 Найдите , при каких числовых значениях а	система	имеет единственное решение .
Это значит , что не существует пар чисел ( а ; b ) которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям системы , то есть наша	система	уравнений не имеет решений .
Иногда в этом случае говорят , что	система	уравнений несовместна .
Таким образом , наша	система	имеет два решения .
1.3 Какая из следующих систем имеет то же решение , что и	система	? .
Такому равенству не удовлетворяет ни одно значение у , и поэтому при начальная	система	решений не имеет .
Найдём , сколько решений имеет	система	уравнений .
Графический способ решения можно применять не только к	системам	линейных уравнений .
Например , в	системе	из пункта имеем а1 4 , b1 4 , с1 360 , а2 3,5 , b2 4,4 , с2 360 .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого уравнения в	системе	таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Рассмотренные в данном параграфе задачи сводились к	системе	двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
6 Постройте в каждом пункте в одной и той же	системе	координат графики уравнений .
1 Какое наибольшее целое число можно записать четырьмя цифрами в двоичной	системе	счисления ? .
8 Приведите пример системы , которая за счёт введения новых переменных сводится к	системе	двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
6 Постройте в каждом пункте в одной и той же	системе координат	графики уравнений .
В общем случае	системой	двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют систему вида .
1 Решите	систему	графическим способом .
Решим графически	систему	.
Получившиеся уравнения образуют	систему	двух уравнений с двумя неизвестными .
Решим	систему	двух уравнений с неизвестными х и у , то есть найдём , как выразить решения х и у через значение а .
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить	систему	линейных уравнений .
6 Решите	систему	графическим способом .
5 Исследуйте	систему	( в зависимости от числового значения а ) .
Решить	систему	— значит либо найти все её решения , либо показать , что решений нет .
В общем случае системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют	систему	вида .
4 Составьте	систему	, которая вместе с уравнением образовала бы систему .
Получаем	систему	.
Чтобы свести эту	систему	к линейной , введём новые переменные .
4 Составьте систему , которая вместе с уравнением образовала бы	систему	.
Решите с помощью графиков	систему	уравнений .
2.3 Какие из следующих уравнений вместе с уравнением составляют	систему	, не имеющую решений ? .
Рассмотрим	систему	.
7 Решите	систему	уравнений .
6 Решите	систему	уравнений .
Какую	систему	двух линейных уравнений с двумя неизвестными , имеющую сколь угодно много решений , вы можете предложить ? .
4 Что значит решить	систему	уравнений ? .
2.2 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением образуют	систему	, имеющую хотя бы одно решение .
2 ) решите получившуюся	систему	.
7 Что значит решить	систему	уравнений ? .
Эту	систему	можно записать в виде .
2.1 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с уравнением образуют	систему	, имеющую единственное решение .
Как решить	систему	.
1.6 Частичное исследование	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
Это значит , что если мы построим график первого уравнения	системы	, то график второго уравнения этой системы будет в точности таким же .
Рассмотрим решение с помощью графиков	системы	.
4 Решите	системы	( предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения . ( Предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения на 2 ) .
Поэтому значений х и у , которые удовлетворяли бы уравнениям этой	системы	, нет .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало	системы	координат и точку ( 1 ; k ) .
3 Покажите алгебраически и графически , что следующие	системы	имеют бесконечно много решений .
Как показать , что указанные значения неизвестных x1 , z1 , х2 , у2 дают точные решения	системы	? .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей	системы	— пара чисел ( 8 ; 17 ) .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй	системы	— пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
Решением ( х ; z ) для первой	системы	является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
Аналогично для каждого числа а можно взять и получить пару чисел , являющуюся решением начальной	системы	.
Графическое представление	системы	, имеющей бесконечное множество решений .
При этом пара чисел удовлетворяет как первому , так и второму уравнению начальной	системы	.
2.6 Графическое решение	системы	уравнений с модулем .
Это значит , что не существует пар чисел ( а ; b ) которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям	системы	, то есть наша система уравнений не имеет решений .
1.5 Пример	системы	с бесконечным множеством решений .
Вернёмся к рассмотрению	системы	.
Графическое решение	системы	, содержащей уравнение , не зависящее от у. Разберём графическое решение системы .
Это значит , что если мы построим график первого уравнения системы , то график второго уравнения этой	системы	будет в точности таким же .
Выразим у через х как из первого , так и из второго уравнений	системы	.
В случае	системы	линейных уравнений ( 5 ) пара чисел ( х0 ; у0 ) является решением , если одновременно выполняются равенства .
Из первого уравнения	системы	выразим у через х и построим график функции аналогично тому , как это было сделано в предыдущем пункте .
Заметим , что если определитель	системы	не равен нулю , то из полученных выше равенств находим единственное значение х и единственное значение у .
1.4 Укажите число а , для которого найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является решением	системы	.
Второе уравнение	системы	в своей записи не содержит неизвестного у.
В нашем случае оба равенства выполняются , а поэтому полученная графическим способом пара чисел ( 3 ; 1 ) является точным решением начальной	системы	.
Как показать , что найденная пара чисел ( х ; у ) является решением	системы	? .
1.7 Пример	системы	, которая заменой неизвестных сводится к линейной .
Какие из пар чисел (-8 ; 6 ) , ( 10 ; 10 ) ; являются решениями	системы	, рассмотренной в примере 4 ? .
Для этого возьмём на луче ОА точку В(с ; d ) , не совпадающую с началом	системы	координат 0(0 ; 0 ) .
2.4 Укажите все числа а , для каждого из которых найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является решением	системы	.
Выражение а1b2 - b1а2 иногда называют определителем	системы	двух линейных уравнений .
Следовательно , все пары вида ( -2 ; а ) , где а любое число , являются решениями второго уравнения	системы	.
1.4 Пример	системы	, не имеющей решений .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения	системы	получаются как пары координат точек графика функции .
Проверкой можем убедиться , что пара чисел является точным решением начальной	системы	.
Графическое представление	системы	, не имеющей решений .
Значит , решениями	системы	уравнений являются пары координат точек пересечения М и N окружности и прямой .
Складывая соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной	системы	на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
Решением	системы	двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства .
Графическое решение системы , содержащей уравнение , не зависящее от у. Разберём графическое решение	системы	.
Решите графически	системы	.
Следовательно , общие решения уравнений нашей	системы	совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
3 Решите	системы	.
Определитель	системы	уравнений .
Какой вид будет иметь решение системы уравнений , если подставить во второе уравнение	системы	вместо неизвестного у равное ему выражение ? .
5 Приведите пример	системы	линейных уравнений , не имеющей ни одного решения .
Решением	системы	являются координаты общей точки А построенных графиков .
Заметим , что из первого уравнения	системы	следует , что .
Для иллюстрации графического способа решения	системы	уравнений с двумя неизвестными разберём такой подход .
4 Определите , какие из пар точек лежат на одной прямой , проходящей через начало	системы	координат .
Таким образом , при а 1 найдена пара значений х и у , являющаяся решением начальной	системы	.
6 Приведите пример	системы	уравнений , имеющей более одного решения .
3 Что называют решением	системы	двух уравнений с двумя неизвестными ? .
10 Как записать все пары чисел , которые являются решениями	системы	.
9 При каждом значении а найдите решения	системы	.
Приведите пример	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными , которая .
8 Найдите все решения	системы	.
Решение	системы	уравнений .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях	системы	одинаковым ;
1 Будет ли указанная пара чисел ( х0 ; у0 ) решением	системы	? .
Какие из этих пар являются решениями	системы	.
6 Как получить графически приближённые решения	системы	двух линейных уравнений с двумя неизвестными ? .
Найденные значения для х и у можно записать в виде пары чисел ( 40 ; 50 ) , которая является решением	системы	.
Решение задачи сводится к решению	системы	.
Какой вид будет иметь решение	системы	уравнений , если подставить во второе уравнение системы вместо неизвестного у равное ему выражение ? .
Как проверить , что при а 1 пара чисел является решением	системы	из примера 2 ? .
8 Приведите пример	системы	, которая за счёт введения новых переменных сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
2 Графическое решение	системы	уравнений с двумя неизвестными .
4 Определите , какие из пар точек лежат на одной прямой , проходящей через начало	системы координат	.
Для этого возьмём на луче ОА точку В(с ; d ) , не совпадающую с началом	системы координат	0(0 ; 0 ) .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало	системы координат	и точку ( 1 ; k ) .
3 Раскройте	скобки	.
8 Раскройте	скобки	.
2 Раскройте	скобки	.
7 Раскройте	скобки	.
5 Раскройте	скобки	.
У первоначального многочлена есть	слагаемое	х3 , степень которого равна 3 , а у многочлена все слагаемые имеют степень не больше 2 .
3 Сумма двух чисел равна 407 , причём первое	слагаемое	в 10 раз больше , чем второе .
Для этого прибавим к нему и вычтем из него	слагаемое	.
Заменим каждую сумм подобных слагаемых на одно	слагаемое	.
Обозначим	слагаемые	в порядке их следования , так далее .
Два многочлена в стандартной форме тождественно равны только тогда , когда можно переставить местами слагаемые и сомножители у	слагаемых	одного многочлена так , что при этом получится второй многочлен .
8 Что называют приведением подобных	слагаемых	? .
Поэтому важно уметь заранее оценить погрешность суммы , если известны погрешности отдельных	слагаемых	.
Чему равны степени	слагаемых	многочлена , равного выражению ? .
После приведения подобных	слагаемых	наибольшая степень одночленов , составляющих многочлен , может уменьшиться .
Многочлен иногда называют биномом , так как является суммой двух	слагаемых	.
3.9 О степенях	слагаемых	в записи многочленов .
Заменим каждую сумм подобных	слагаемых	на одно слагаемое .
1 )	сложение	двух многочленов . 2 ) деление многочлена на число , не равное 0 . 3 )
1 Приведите пример двух неравенств противоположного направления , почленное	сложение	которых приводит к неверному результату .
5.1 Почленное	сложение	и умножение неравенств .
6 К какому результату приводит	сложение	двух нестрогих неравенств одного направления ? .
5 К какому результату приводит	сложение	двух строгих неравенств одного направления ? .
1 Что такое почленное	сложение	неравенств ? .
Примеры показывают , что	сложение	и умножение неравенств следует выполнять с осторожностью .
5 Почленное	сложение	и умножение неравенств .
3 ) В каждой строке , начиная с номера 2 , всякое число строки , кроме начального и последнего , получается	сложением	находящихся слева и справа от него двух чисел предыдущей строки .
Проблема с числом дней в году показывает , что при	сложении	приближённых величин погрешности могут возрастать и иногда достигают больших значений .
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти приближённое значение частного при помощи	сложений	, вычитаний и умножений .
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы	сложения	, умножения , вычитания , деления .
2.1 На какие числа нужно умножить соответственно уравнения так , чтобы после их	сложения	в получившемся уравнении отсутствовал у ? .
Для любых чисел из неравенств после	сложения	левых и правых частей этих неравенств получаем неравенство или .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ;	сложения	; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность )	сложения	; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
По правилу	сложения	приближений определяем , что число является приближённым значением суммы , причём абсолютная погрешность этого приближения не больше Значит .
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы	сложения	, вычитания и умножения , которые используются при действиях с числовыми выражениями .
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы	сложения	, умножения , вычитания , деления .
1.4 Какое из следующих неравенств можно получить , применяя правило почленного	сложения	неравенств одинакового направления ? .
Законы переместительный	сложения	.
Законы сочетательный	сложения	.
Если их почленно	сложить	, то получится неравенство .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо	сложить	, чтобы получить данный угол .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если	сложить	сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Итак , два равенства можно почленно	сложить	или перемножить , и при этом снова получаются равенства .
Ясно , что точка А1	совпадает	с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1	совпадает	с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Таким образом , множество решений неравенства	совпадает	с множеством решений неравенства .
Аналогично график уравнения у	совпадает	с графиком линейной функции .
Для какого линейного неравенства множество решений	совпадает	с промежутком ? .
Если приближение b	совпадает	с серединой отрезка , то каждый из отрезков равен половине отрезка .
Основание высоты , проведённой из вершины В ,	совпадает	с вершиной треугольника АВС .
Можно доказать , что приведённое в данном пункте определение тождественного равенства многочленов	совпадает	с определением тождественного равенства буквенных выражений .
Множество всех решений этого уравнения	совпадает	с множеством решений уравнения .
Это значение	совпадает	с тем , которое приведено в предыдущем пункте .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон	совпадает	с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
Как построить равносторонний треугольник , одна вершина которого	совпадает	с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
2 В треугольнике медиана	совпадает	с биссектрисой , проведённой из той же вершины .
Построим угол , равный заданному острому углу PQR и такой , что одна из его сторон	совпадает	с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
График уравнения у 7х в координатной плоскости	совпадает	с графиком линейной функции .
Таким образом , точки С , В , D лежат на одной прямой , и прямые а и b	совпадают	.
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы	совпадают	с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
Как показать , что эти перпендикуляры либо не пересекаются , либо	совпадают	? .
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной вершины треугольника ,	совпадают	, то треугольник равнобедренный .
Неравенства называются равносильными , если множества корней этих неравенств	совпадают	.
Поэтому и прямые а и b	совпадают	, так как в одну сторону от луча HF можно отложить только один угол величиной 90 ° .
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В ,	совпадают	, а основания АС и ОР равны .
Таким образом , всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства , а всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства , поэтому множества решений данных неравенств	совпадают	, и эти неравенства равносильны .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания	совпадают	со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
Поэтому треугольники АВС и АВ2С тоже	совпадают	.
Отсюда следует , что лучи СВ и СВ2 совпадают , а значит , точки В и В2	совпадают	.
Отсюда следует , что лучи СВ и СВ2	совпадают	, а значит , точки В и В2 совпадают .
Вершины двух углов	совпадают	, и стороны двух углов расположены по двум пересекающимся прямым .
Из аксиомы параллельности следует , что прямые C1D1 и CD	совпадают	, а это значит , что и внутренние накрест лежащие углы также равны .
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной вершины треугольника ,	совпадают	, то треугольник равнобедренный .
Уравнения называются равносильными , если множества корней этих уравнений	совпадают	шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
Все прямые не	совпадают	.
Заметим , что угол , стороны которого не	совпадают	, имеет градусную меру большую , чем 0 ° .
10 В каком случае числа а и -а	совпадают	? .
Если основаниями треугольников AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к ним высоты	совпадают	.
11 Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов	совпадают	, если считать , что первое совпадение происходит в 0 часов , а последнее — в 24 часа ? .
Получаем , что треугольники А1В1С1 и АВ2С равны по построению , а треугольники АВС и АВ2С равны как	совпадающие	.
Как доказать , что два различных квадрата не могут иметь только три попарно	совпадающие	вершины ? .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями ,	совпадающими	со сторонами ромба .
1.1 Сколько можно построить не	совпадающих	друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
Проведём через точку А прямой а некоторую прямую m , не	совпадающую	с прямой а .
Для этого возьмём на луче ОА точку В(с ; d ) , не	совпадающую	с началом системы координат 0(0 ; 0 ) .
Точка В переходит в точку B1 ,	совпадающую	с точкой D .
Точка С переходит в точку C1 ,	совпадающую	с точкой А .
Точка D переходит в точку D1 ,	совпадающую	с точкой В .
По свойству площадей получаем формулу ,	совпадающую	с формулой квадрата суммы двух чисел .
Точка А переходит в точку Α1 ,	совпадающую	с точкой С .
Так как отрезок AM можно единственным образом разбить на три равные части , из равенств следует	совпадение	точек F и О .
11 Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов совпадают , если считать , что первое	совпадение	происходит в 0 часов , а последнее — в 24 часа ? .
Наглядно перемещение можно представлять себе как передвижение копии треугольника АВС на плоскости или в пространстве до	совпадения	с треугольником .
Какое из десятичных приближений отрицательного числа — сверху или снизу — может	совпасть	с этим числом ? .
Чтобы	сократить	запись произведения нескольких одинаковых чисел , это число записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых сомножителей в произведении .
Действительно , если число а не равно нулю , то произведение состоит из	сомножителей	одного знака и потому а2 > 0 .
В самом деле , число аm состоит из m одинаковых	сомножителей	, равных а ; число аn — из n таких же сомножителей .
Поскольку произведение нескольких чисел может равняться нулю только в том случае , когда хотя бы один из	сомножителей	равен нулю , то и произведение равно 0 только в том случае , когда .
Для натурального числа произведение n одинаковых	сомножителей	, равных а , называется n - й степенью числа а и обозначается через аn .
Других корней нет , потому что если произведение двух чисел равняется нулю , то хотя бы один из	сомножителей	равен нулю .
В результате видно , что число ( 24)3 равно произведению	сомножителей	, каждый из которых равен 2 , то есть .
Всего получается	сомножителей	, равных а , то есть аn + m. Это рассуждение можно кратко записать в виде цепочки равенств .
В самом деле , число аm состоит из m одинаковых сомножителей , равных а ; число аn — из n таких же	сомножителей	.
Чтобы сократить запись произведения нескольких одинаковых чисел , это число записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых	сомножителей	в произведении .
Числа 210 , 26 · 24 и 2 ° · 2 ° являются произведениями 10	сомножителей	, равных 2 .
Это свойство можно сформулировать так : n - я степень произведения двух чисел равна произведению n - х степеней	сомножителей	.
5 Округлите второй	сомножитель	до второго разряда после запятой , найдите произведение и оцените абсолютную погрешность произведения .
Покажем , что разумное	сочетание	приближённых методов с делением на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности .
б )	среднее	число в 9-й строке .
2.2 При каких из указанных значений а и m существует трапеция с одним из оснований , равным а , и	средней	линией , равной m ? .
Найдите длину	средней	линии трапеции AFGD , если известно , что .
Как показать , что площадь трапеции равна произведению высоты трапеции на длину её	средней	линии ? .
8 Сформулируйте теорему о	средней	линии трапеции .
Свойство	средней	линии треугольника .
Докажите , что площадь	средней	части равна 1/3 от площади всей трапеции .
Отрезок , соединяющий середины боковых сторон трапеции , называют	средней	линией трапеции .
3.6 Теорема о	средней	линии трапеции .
Докажем основные свойства	средней	линии трапеции .
По условию прямая PL проведена параллельно прямой QM , поэтому отрезок PL является	средней	линией в треугольнике KQM .
Отрезок , соединяющий середины двух сторон треугольника , называют	средней	линией треугольника .
4 Сформулируйте теорему о	средней	линии треугольника и приведите её доказательство .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину	средней	линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
параллелограмм с проведённой диагональю . 2 ) правильный треугольник с проведённой	средней	линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
1.3 В трапеции длина	средней	линии равна 4,8 см , а отношение оснований равно 3 : 5 .
Отсюда следует , что	средней	линией треугольника АВС , соединяющей середины сторон АВ и ВС , может быть только отрезок ΜΝ , который параллелен стороне АС .
Свойство	средней	линии трапеции .
Тогда , и по свойству	средней	линии , откуда .
Отрезок MN является	средней	линией трапеции ABCD .
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и	средней	линией MN .
1.4 Свойство	средней	линии треугольника .
В нём MN является	средней	линией , а поэтому .
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме оснований трапеции ABCD , а отрезок MN является	средней	линией этого треугольника .
По свойству	средней	линии треугольника получаем , что отрезок MN параллелен прямой РВ .
Отрезок , соединяющий середины боковых сторон трапеции , называют	средней линией трапеции	.
Отрезок MN является	средней линией трапеции	ABCD .
Найдите длину	средней линии трапеции	AFGD , если известно , что .
3.6 Теорема о	средней линии трапеции	.
Докажем основные свойства	средней линии трапеции	.
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину	средней линии трапеции	ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Свойство	средней линии трапеции	.
8 Сформулируйте теорему о	средней линии трапеции	.
2.2 В треугольнике	средние	линии равны 3 см , 3 см и 5 см. Отрезки какой длины могут быть сторонами этого треугольника ? .
2.1 В треугольнике АВС проведены все три	средние	линии .
Переставив	средние	члены пропорции , получим что и требовалось доказать .
2.4 Две	средние	линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть длиной стороны треугольника ? .
В треугольниках АВС и АВО проведём	средние	линии MN и KL , параллельные стороне АВ .
1.4 Треугольник DEF образован	средними	линиями треугольника АВС .
Чему равна площадь треугольника , образованного	средними	линиями , если площадь данного треугольника равна S ? .
Сколько в трапеции можно провести	средних	линий ? .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства	средних	линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
Сколько всего	средних	линий в треугольнике ? .
1.1 Длины сторон треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из	средних	линий этого треугольника ? .
16 Трапеции ABCD и FGHE имеют общую	среднюю	линию , а их основания лежат на двух параллельных прямых .
10 В треугольнике АВС площади S проведена	средняя	линия MN , параллельная стороне АВ .
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит площадь трапеции её	средняя	линия .
Изображена	средняя	линия ΜΝ , соединяющая середины сторон АВ и ВС треугольника АВС .
В каком отношении делит площадь трапеции её	средняя	линия ? .
1.1 В треугольнике АВС проведена средняя линия MN , параллельная АС , в треугольнике BMN проведена	средняя	линия , параллельная MN .
1.1 В треугольнике АВС проведена	средняя	линия MN , параллельная АС , в треугольнике BMN проведена средняя линия , параллельная MN .
3 Как определяется	средняя	линия треугольника ? .
7 Как определяется	средняя	линия трапеции ? .
1.3 В треугольнике площади S проведена	средняя	линия .
7 Как определяется	средняя линия трапеции	? .
В общем случае имеет место первое основное свойство	степеней	.
Это свойство можно сформулировать так : n - я степень произведения двух чисел равна произведению n - х	степеней	сомножителей .
Чтобы доказать это соотношение , перемножим , воспользовавшись третьим основным свойством	степеней	.
Рассмотрим отношение	степеней	двух чисел с равными показателями , например .
В общем случае выполняется следующее свойство отношения	степеней	с равными показателями .
В общем случае имеет место третье основное свойство	степеней	.
Запись свойств	степеней	с помощью логарифмов .
Запишем на языке логарифмов свойства	степеней	.
VI Если f и g — некоторые ненулевые одночлены , то f - g также одночлен , степень которого равна сумме	степеней	одночленов и g .
При последовательном возведении в степень показатели	степеней	перемножаются .
При умножении двух степеней с одинаковыми основаниями основание не меняется , а показатели	степеней	складываются .
1.3 Последовательность	степеней	.
Вы знаете , что для	степеней	числа а с показателем 2 и показателем 3 существуют отдельные названия , пришедшие к нам ещё от древних греков .
11 Как указывается разряд округления при помощи	степеней	числа 10 ? .
На каком месте в последовательности всех	степеней	числа 5 с натуральными показателями находится число 3125 ? .
Также можно взять любое число а и рассмотреть последовательность	степеней	числа а с натуральными показателями .
1.2 Чему равно произведение первых трёх чисел из последовательности	степеней	числа 2 ? .
1.3 На каком месте в последовательности	степеней	числа 3 находится число , равное 273 ? .
В общем случае имеет место второе основное свойство	степеней	.
2.4 Какие из указанных	степеней	числа больше 0,1 ? .
Выбирая эти числа показателями при основании 2 , получим последовательность	степеней	числа 2 .
Рассмотрим число 210 и произведения	степеней	числа 2 , сумма показателей степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
Рассмотрим число 210 и произведения степеней числа 2 , сумма показателей	степеней	которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
3.8 Указание разрядов округления при помощи	степеней	числа 10 .
При умножении двух	степеней	с одинаковыми основаниями основание не меняется , а показатели степеней складываются .
В результате получаем формулу где слагаемыми являются одночлены в стандартной форме , расположенные по возрастанию степеней буквы и ( или , что то же самое , по убыванию	степеней	буквы а ) .
2 Свойства	степеней	с натуральным показателем .
Какие свойства логарифмов по основанию а для	степеней	числа а вы знаете ? .
Запишите свойство логарифма для произведения двух	степеней	.
6 Укажите с помощью	степеней	числа 10 результат округления числа 25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
Если одночлен представлен как произведение постоянного числового выражения и	степеней	переменных букв , то постоянное выражение принято считать коэффициентом .
Свойства отношения	степеней	.
Рассмотрим произведения	степеней	одного числа с целыми показателями .
4.1 Произведение	степеней	с одинаковыми основаниями и целыми показателями .
Последовательность	степеней	.
4 Свойства	степеней	с целыми показателями .
Сумму показателей	степеней	переменных букв , равную , называют степенью этого одночлена .
Таким образом , определяя для любого числа а 0 нулевую степень равенством , мы сохраняем свойства	степеней	, которые были установлены для натуральных показателей .
Запись одночлена в виде произведения постоянного числового выражения и	степеней	различных постоянных или переменных букв будем называть стандартной формой одночлена .
В результате получаем формулу где слагаемыми являются одночлены в стандартной форме , расположенные по возрастанию	степеней	буквы и ( или , что то же самое , по убыванию степеней буквы а ) .
При этом число 3 называют основанием	степени	, а число 5 называют показателем степени .
В этом случае число 10 — основание степени , а число 6 — показатель	степени	.
Спрашивается , в какой	степени	это утверждение распространяется на числовые неравенства ? .
Названия для второй и третьей	степени	.
В этом случае число 2 — основание	степени	, число 10 — показатель степени .
В этом случае число 2 — основание степени , число 10 — показатель	степени	.
В этом случае основанием	степени	является число -3 .
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять основанием	степени	, и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой степени числа -10 .
Показатель	степени	.
Основание	степени	.
IV Любая буква , обозначающая переменную , является одночленом первой	степени	.
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять основанием степени , и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой	степени	числа -10 .
III Любая буква , обозначающая постоянное ненулевое число , является одночленом нулевой	степени	.
Одночлен первой	степени	.
II Любое числовое выражение , не равное нулю , является одночленом нулевой	степени	.
Иногда говорят , что аn — это n - я степень числа а , или « а в степени n » , или « а в n - й	степени	» , или « а в n - й » .
В этом случае число 10 — основание	степени	, а число 6 — показатель степени .
В этой главе напоминается о	степени	числа , рассматриваются основные свойства степени и показывается , как понятие степени обобщается на случай целых и некоторых других показателей .
В этой главе напоминается о степени числа , рассматриваются основные свойства	степени	и показывается , как понятие степени обобщается на случай целых и некоторых других показателей .
В этой главе напоминается о степени числа , рассматриваются основные свойства степени и показывается , как понятие	степени	обобщается на случай целых и некоторых других показателей .
При этом число 3 называют основанием степени , а число 5 называют показателем	степени	.
Понятие	степени	числа позволяет любому одночлену придать удобный вид .
Обычно числовой коэффициент пишут слева , а если буква входит в одночлен с показателем	степени	, равным 1 , то такой показатель , как правило , не пишут .
Чему равно произведение чисел , одно из которых равно трём в девяносто девятой степени , а другое равно трём в	степени	сто один ? .
Чему равно произведение чисел , одно из которых равно трём в девяносто девятой	степени	, а другое равно трём в степени сто один ? .
1.2 Определение	степени	, если известна степень с предыдущим показателем .
Например , о числе 210 можно сказать , что это два в десятой степени , а можно сказать , что это два в	степени	десять или два в десятой .
Например , о числе 210 можно сказать , что это два в десятой	степени	, а можно сказать , что это два в степени десять или два в десятой .
243 представлено в виде	степени	числа 3 .
Иногда говорят , что аn — это n - я степень числа а , или « а в	степени	n » , или « а в n - й степени » , или « а в n - й » .
Можно сказать , что 243 записывается в виде	степени	числа 3 .
Одночлен нулевой	степени	.
1 Определение	степени	с натуральным показателем .
Аналогичное равенство остаётся верным и в том случае , если вместо основания	степени	2 взять любое ненулевое число а .
В этой записи число 2 является основанием	степени	, а число 4 — показателем степени .
Какие свойства	степени	с целым показателем вы знаете ? .
Мы определили	степени	с натуральными показателями .
Распространим понятие	степени	на целые показатели .
Таким образом третье основное свойство	степени	с целым показателем доказано .
3.2 Определение нулевой	степени	.
3.3 Ещё одно свойство нулевой	степени	.
Разберём доказательство третьего основного свойства	степени	для целых показателей .
4.6 Доказательство третьего основного свойства	степени	.
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется третье основное свойство	степени	, то есть для произвольных чисел а и b и натурального числа n .
4.5 Третье основное свойство	степени	с целыми показателями .
По очереди рассмотрели все возможные случаи знаков целых чисел р и д , и каждый раз выполнялось равенство , что и доказывает второе основное свойство	степени	.
Определение отрицательной	степени	.
Разберём доказательство второго основного свойства	степени	для целых показателей .
Почему	степени	с отрицательным показателем определяются только для ненулевых чисел ? .
Степень ненулевого числа а с отрицательным целым показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель	степени	равен — 1 .
Для произвольных целых показателей второе основное свойство	степени	также остаётся верным .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется второе основное свойство	степени	, то есть , когда р и q — натуральные числа .
4.3 Второе основное свойство	степени	с целыми показателями .
Почему первое основное свойство степени с целым показателем записывают только для ненулевого основания	степени	? .
Почему первое основное свойство	степени	с целым показателем записывают только для ненулевого основания степени ? .
Таким образом , для целых показателей также остаётся верным первое основное свойство	степени	.
Для примера в качестве основания	степени	возьмём число 2 .
4.2 Первое основное свойство	степени	с целыми показателями .
1 Сформулируйте первое основное свойство	степени	с целым показателем .
1.5 Логарифм — название для показателя	степени	.
2 Сформулируйте второе основное свойство	степени	с целым показателем .
6 Запишите разными способами , используя	степени	.
В этой записи число 2 является основанием степени , а число 4 — показателем	степени	.
Для основания 2 и числа 16 показатель	степени	4 называют также логарифмом числа 16 по основанию 2 и используют запись .
2 Как определяется число а в	степени	1 ? .
4 Что такое основание	степени	? .
5 Что такое показатель	степени	? .
2 Запишите в виде некоторой	степени	с натуральным показателем , большим 1 .
2.1 Как умножаются	степени	с одинаковым основанием ?
2.2 Правило возведения	степени	в степень .
Используя первое свойство	степени	, получим .
Используя второе свойство	степени	, получим .
Используя третье свойство	степени	, получим .
Использование основных свойств	степени	позволяет упрощать вычисление значений некоторых числовых выражений .
2.5 Число , обратное	степени	.
Степень отношения двух чисел равна отношению	степени	числителя к степени знаменателя .
Степень отношения двух чисел равна отношению степени числителя к	степени	знаменателя .
2.8 Как искать последнюю цифру	степени	числа .
1 Сформулируйте первое основное свойство	степени	.
2 Сформулируйте второе основное свойство	степени	.
3 Сформулируйте третье основное свойство	степени	.
4 Сформулируйте свойство	степени	частного двух чисел .
Докажите свойства	степени	.
1 Запишите в виде	степени	одного числа .
4 Запишите в виде	степени	с натуральным показателем .
3 Сформулируйте и докажите третье основное свойство	степени	с целым показателем .
Коэффициент одночлена нулевой	степени	считают равным самому одночлену .
3.5 Определение отрицательной	степени	числа , если известна предыдущая степень .
Как с помощью	степени	числа 10 записать результат округления числа 10,01 до разряда единиц ? .
1.2 Как записывается результат округления числа 37065,91 до разряда тысяч с помощью	степени	числа 10 ? .
1.4 Какой вид имеет строка биномиальных коэффициентов для показателя	степени	4 ? .
Чему равны	степени	слагаемых многочлена , равного выражению ? .
Понятие	степени	для нулевого одночлена не определяется .
Одночлен -m2n имеет коэффициент -1 и	степень	3 , равную .
Одночлен , где π — постоянное число , имеет коэффициент и	степень	3 , равную .
1.3 На какую наибольшую	степень	числа 3 делится без остатка произведение .
Также , по определению , для удобства считают , что	степень	числа а с показателем , равным 1 , равна а , то есть .
3 Найдите коэффициент и	степень	одночлена .
Многочлен	степень	.
1.2 Определение степени , если известна	степень	с предыдущим показателем .
Рассмотрим третью	степень	одночлена .
Таким образом , определяя для любого числа а 0 нулевую	степень	равенством , мы сохраняем свойства степеней , которые были установлены для натуральных показателей .
3.5 Определение отрицательной степени числа , если известна предыдущая	степень	.
Рассмотрим	степень	произведения двух чисел .
Если для натурального числа m	степень	аm определена , то для натурального числа степень определяем как число , равное .
Если для натурального числа m степень аm определена , то для натурального числа	степень	определяем как число , равное .
3 Как определяется	степень	ненулевого числа а с целым отрицательным показателем ? .
3 Как определяется	степень	одночлена ? .
Намеченный процесс возведения в	степень	выражения нетрудно продолжить : получив формулу , можно найти формулу для и так далее .
1.1 Найдите	степень	одночлена : 1 ) 2 ; 2 ) 3 ; 3 ) 5 ; 4 ) 8 .
8 Как доказать , что если число а больше 1 , то любая натуральная	степень	числа а больше 1 ? .
Возведём число в шестую	степень	.
Иногда говорят , что аn — это n - я	степень	числа а , или « а в степени n » , или « а в n - й степени » , или « а в n - й » .
2.1 На какие цифры может заканчиваться	степень	числа 3 ? .
Следовательно , коэффициент этого одночлена равен 1 , а	степень	равна 4 .
1 Найдите	степень	одночлена .
После приведения подобных слагаемых наибольшая	степень	одночленов , составляющих многочлен , может уменьшиться .
Это свойство можно сформулировать так : n - я	степень	произведения двух чисел равна произведению n - х степеней сомножителей .
Степень числа также можно возводить в	степень	.
2.2 Правило возведения степени в	степень	.
4 Как возводить в целую	степень	частное двух ненулевых чисел ? .
При последовательном возведении в	степень	показатели степеней перемножаются .
У первоначального многочлена есть слагаемое х3 ,	степень	которого равна 3 , а у многочлена все слагаемые имеют степень не больше 2 .
VI Если f и g — некоторые ненулевые одночлены , то f - g также одночлен ,	степень	которого равна сумме степеней одночленов и g .
1 Что такое n - я	степень	числа а для натурального ? .
У первоначального многочлена есть слагаемое х3 , степень которого равна 3 , а у многочлена все слагаемые имеют	степень	не больше 2 .
Каковы коэффициент и	степень	одночлена .
Целая	степень	отношения двух чисел .
3 Как ещё можно последовательно определить натуральную	степень	числа ? .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие целые числа очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной	степенью	точности .
Число аn иногда называют	степенью	числа а с натуральным показателем n.
Рассмотрим число 2 и число 16 , которое является четвёртой	степенью	числа 2 , то есть .
Для натурального числа произведение n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й	степенью	числа а и обозначается через аn .
Сумму показателей степеней переменных букв , равную , называют	степенью	этого одночлена .
3.9 О	степенях	слагаемых в записи многочленов .
Построим треугольник по двум сторонам и углу , противолежащему одной из	сторон	.
Из равенства треугольников следует равенство соответственных	сторон	АС и BD .
Таким образом , при продолжении боковых	сторон	трапеции образуются два треугольника с соответственно равными углами .
а ) одну из	сторон	треугольника . б ) одну из высот треугольника .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются продолжениями ( то есть противоположными лучами )	сторон	другого .
2 Параллельные секущие	сторон	угла .
2.2 В каких случаях невозможно построить описанный вокруг окружности четырёхугольник с заданными длинами	сторон	a , b , с , d ? .
Сколько плоских углов образуют все пары соседних	сторон	четырёхугольника ? .
6 Каким свойством обладают суммы длин противоположных	сторон	описанного четырёхугольника ? .
Продолжения боковых	сторон	АВ и CD пересекаются в точке М. При этом образуются два треугольника AMD и ВМС .
Отрезок , соединяющий середины боковых	сторон	трапеции , называют средней линией трапеции .
Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления длины отрезка АК касательной , если известны длины	сторон	треугольника .
2 ) каждая вершина является общей точкой только для двух	сторон	.
Далее заметим , что прямые РМ и NK являются параллельными секущими	сторон	угла NBC .
у четырёхугольника имеются две пары равных противоположных	сторон	.
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие	сторон	угла , то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Докажите , что середины	сторон	правильного шестиугольника являются вершинами другого правильного шестиугольника .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается	сторон	угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
12 Постройте окружность , которая касается	сторон	данного угла .
в ) середины двух	сторон	треугольника .
4 Докажите , что середины	сторон	равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
2.1 В каких из указанных случаев можно построить треугольник с длинами	сторон	с , d , e ? .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых	сторон	и вершины основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
а ) одну из диагоналей квадрата . б ) одну из	сторон	квадрата .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие	сторон	угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Сколько плоских углов образуют все пары соседних	сторон	многоугольника с n сторонами ? .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из	сторон	совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
По свойству	сторон	параллелограмма имеем .
В общем случае три параллельные секущие	сторон	угла обладают следующим свойством .
Точки М , N , К выбраны на продолжениях	сторон	так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
5 Сколько плоских углов образуют все пары соседних	сторон	четырёхугольника ? .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины	сторон	АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
Постройте треугольник АВС по стороне АВ , прилежащему к этой стороне углу ВАС и разности	сторон	АС и ВС , зная , что .
11 Середины	сторон	правильного шестиугольника последовательно соединены между собой , так что получается меньший шестиугольник .
Так как прямые AM и NK являются параллельными секущими	сторон	угла АСВ , то , откуда .
Полученное свойство считают основным для параллелограмма и поэтому параллелограмм определяют как четырёхугольник , у которого каждая пара противоположных	сторон	лежит на параллельных прямых .
1.2 Сколько можно построить не равных равнобедренных треугольников , у которых длины двух	сторон	равны 4 см и 4 см ? .
2.4 Какие значения может иметь периметр параллелограмма , у которого одна из сторон равна 12 см , а сумма некоторых трёх	сторон	равна 40 см ? .
2.3 Две окружности касаются	сторон	угла .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся	сторон	этого угла .
Свойство параллельных секущих	сторон	угла .
2.2 Каким может оказаться число пар равных	сторон	на чертеже некоторого параллелограмма ? .
1.2 Окружность с центром О касается	сторон	угла с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
сумма длин диагоналей параллелограмма меньше суммы длин любых двух его	сторон	.
а ) проведённой к одной из этих	сторон	.
сумма длин диагоналей параллелограмма больше суммы длин любых двух его	сторон	.
Таким образом , получаем следующее свойство параллельных секущих	сторон	угла .
2.4 Какие значения может иметь периметр параллелограмма , у которого одна из	сторон	равна 12 см , а сумма некоторых трёх сторон равна 40 см ? .
1.1 Длины	сторон	треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из средних линий этого треугольника ? .
3 Сколько краски потребуется , чтобы с двух	сторон	покрасить сплошную дверь шириной 82 см и высотой 2 м 3 см , если на покраску 1 м2 уходит 80 г краски ? .
Найдите длины	сторон	прямоугольника в шагах сетки и вычислите по формуле его площадь .
Аналогично : если L и К — середины	сторон	СВ и CD треугольника CBD .
Постройте окружность , касающуюся заданной окружности и	сторон	заданного угла .
Пусть N и М — середины двух соседних	сторон	АВ и AD .
Покажем , что середины	сторон	этого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма .
1.5 Свойство середин	сторон	произвольного четырёхугольника .
8 Докажите , что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых	сторон	не зависит от выбора точки .
Средняя линия треугольника , соединяющая середины двух	сторон	, параллельна третьей стороне и равна её половине .
7 Точки М и N — середины	сторон	AD и АВ квадрата ABCD .
Из равенства треугольников следует равенство отрезков MN и NK , а по свойству	сторон	параллелограмма отрезки АС и МК равны .
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле , где а и b — длины	сторон	прямоугольника , выраженные в одних единицах измерения длин .
2.1 В треугольнике АВС точки К , L , М — середины	сторон	.
19 Даны угол и окружность , которая касается	сторон	угла .
2 Окружность радиуса 3 см касается	сторон	угла .
4 Сформулируйте обобщение теоремы о параллельных секущих	сторон	угла .
11 Докажите , что длина медианы треугольника меньше полусуммы	сторон	, выходящих из той же вершины , что и медиана .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из	сторон	данного угла до целой прямой .
Проведём две параллельные секущие	сторон	угла .
две пары равных углов . 3 ) пара равных	сторон	; 4 ) четыре равные стороны .
Изображена средняя линия ΜΝ , соединяющая середины	сторон	АВ и ВС треугольника АВС .
20 Точки М и N — середины	сторон	ВС и AD четырёхугольника ABCD .
3 Сформулируйте свойства	сторон	параллелограмма .
2.3 Какое число пар взаимно перпендикулярных	сторон	может быть в многоугольнике ? .
Отрезок , соединяющий середины двух	сторон	треугольника , называют средней линией треугольника .
15 Продолжения	сторон	АВ и СВ треугольника АВС пересекаются в точках М и N прямой , параллельной прямой АС .
Большая окружность касается одной стороны и продолжений двух других	сторон	треугольника АВС .
Докажите , что каждая из	сторон	нового треугольника в два раза больше параллельной ей стороны треугольника АВС .
Треугольник часто изображают так , что одна из	сторон	треугольника горизонтальна .
Отсюда следует , что средней линией треугольника АВС , соединяющей середины	сторон	АВ и ВС , может быть только отрезок ΜΝ , который параллелен стороне АС .
8 В параллелограмме ABCD точки М и К — середины	сторон	АВ и CD .
3 Сформулируйте теорему Фалеса о параллельных секущих	сторон	угла , проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту теорему .
Каковы длины всех	сторон	треугольника АВС ? .
При каких значениях	сторон	контуры этих квадратов не могут пересекаться ? .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими	сторон	угла , остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
9 Докажите , что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трёх	сторон	не зависит от выбора этой точки .
1 ) у четырёхугольника имеются две пары равных	сторон	.
Даны отрезок длины а , угол с вершиной А и точка В на одной из	сторон	угла .
1.2 В ромбе диагонали равны 6 см и 9 см. Чему равен периметр прямоугольника , полученного соединением середин	сторон	этого ромба ? .
Суммы длин противоположных	сторон	описанного около окружности четырёхугольника равны между собой .
1 Что называется секущей	сторон	угла ? .
Из равенства треугольников MCD и МРА следует равенство их соответственных	сторон	.
Сколько вершин , сколько	сторон	и сколько диагоналей имеет десятиугольник ? .
3 Сформулируйте признак параллелограмма по свойству четырёх	сторон	.
2.4 В окружность с центром О вписан некоторый правильный многоугольник , одной из	сторон	которого является отрезок АВ .
11 Найдите условие , при котором середины	сторон	четырёхугольника являются : а ) вершинами ромба ; б ) вершинами прямоугольника .
12 Постройте параллелограмм , зная середины трёх его	сторон	.
8 Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник , зная середины его	сторон	.
8 Постройте прямоугольник по одной из	сторон	и диагонали .
2 Что означают слова « параллельные секущие	сторон	угла » ? .
2 Сформулируйте признак параллелограмма по свойству двух противоположных	сторон	.
Найдите длины боковых	сторон	трапеции .
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах	сторон	треугольника АВС .
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника суммы длин противоположных	сторон	равны , то в него можно вписать окружность .
1.2 В окружность с центром О вписан правильный n - угольник , одна из	сторон	которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
в ) середины двух противоположных	сторон	квадрата .
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах	сторон	параллелограмма .
4 Докажите , что середины	сторон	прямоугольника являются вершинами ромба .
5 Докажите , что середины	сторон	ромба являются вершинами прямоугольника .
Построим угол , равный заданному острому углу PQR и такой , что одна из его	сторон	совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
24 Окружность касается трёх	сторон	четырёхугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных точках , как изображено .
23 Окружность касается трёх	сторон	четырёхугольника ABCD и не пересекает сторону CD , как изображено .
2.3 В ромбе ABCD	сторона	ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади ромба ? .
1.1 Одна	сторона	треугольника равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно отношение высот , проведённых к этим сторонам ? .
1.2 В треугольнике АВС	сторона	АВ разделена на семь равных частей и проведены отрезки , параллельные АС .
В каком отношении будет разбита проведёнными отрезками	сторона	АВ исходного треугольника , считая от вершины В ? .
Найдётся такая	сторона	четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две вершины четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
а )	сторона	большего шестиугольника равна 4 см . б ) площадь большего шестиугольника равна 20 см2 .
Проведём диагональ АС и рассмотрим треугольники ADC и АВС , у которых	сторона	АС общая .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади квадрата ,	сторона	которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
Если	сторона	и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Два угла называются смежными , если у них одна	сторона	общая , а две другие являются противоположными лучами одной прямой .
5 Боковая	сторона	трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции .
Получаем , что	сторона	ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK .
каждая	сторона	содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
Любой треугольник можно переместить так , чтобы нужная его	сторона	на рисунке выглядела основанием .
26 Каждая	сторона	трапеции разделена на три равные части и точки деления соединены .
2.1 У параллелограмма	сторона	равна 5 см , а высоты 6 см и 8 см. Какие значения площади параллелограмма возможны ? .
1.1 У параллелограмма	сторона	равна 5 см , а проведённая к ней высота равна 17 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
В треугольнике АВС	сторона	АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
5 Найдите приближённую длину диагонали квадрата ,	сторона	которого равна 3 см. Оцените абсолютную погрешность приближения .
Таким образом ,	сторона	АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
18 В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см , боковая	сторона	41 см. Найдите площадь трапеции .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая	сторона	равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
В таком случае иногда говорят , что горизонтально расположенная	сторона	— это основание треугольника .
При каких условиях можно построить треугольник по трём	сторонам	? .
12 Постройте трапецию по разности оснований , боковым	сторонам	и одной диагонали .
2 Через все вершины треугольника АВС проведены прямые , параллельные противоположным	сторонам	.
9 Постройте трапецию по основаниям и боковым	сторонам	.
8 Постройте трапецию по основанию , одному из углов при основании и боковым	сторонам	.
2.3 Построение треугольника по двум	сторонам	и углу между ними .
9 Постройте треугольник по двум	сторонам	и медиане , проведённой к третьей стороне .
а ) по двум соседним	сторонам	и диагонали .
3 Из точки пересечения диагоналей ромба проводятся перпендикуляры к	сторонам	.
Если стороны одного угла соответственно параллельны	сторонам	другого угла , то такие углы или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Как доказать , что в равнобедренном треугольнике высоты , проведённые к боковым	сторонам	, равны ? .
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём	сторонам	другого треугольника , то такие треугольники равны .
2 Докажите , что в равнобедренном треугольнике медианы , проведённые к боковым	сторонам	, равны .
Доказательство равенства треугольников по двум соответствующим	сторонам	и медиане .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту точку проведены прямые , параллельные	сторонам	параллелограмма .
Докажите , что проведённые к этим	сторонам	высоты треугольников либо лежат на одной прямой , либо не имеют общих точек .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к	сторонам	АВ и ВС .
Построим треугольник по двум	сторонам	и углу , противолежащему одной из сторон .
1 Как построить треугольник по трём	сторонам	? .
5 Постройте треугольник по двум	сторонам	и высоте .
Построение треугольника по трём	сторонам	.
4 ) из каждой вершины , двигаясь по	сторонам	, можно дойти до любой другой вершины .
каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим	сторонам	.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум	сторонам	и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
17 Постройте треугольник по стороне и медианам , проведённым к двум другим	сторонам	треугольника .
Построение треугольника по двум	сторонам	и углу между ними .
1.1 Одна сторона треугольника равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно отношение высот , проведённых к этим	сторонам	? .
Построим треугольник по трём	сторонам	, равным отрезкам А1В1 , А2В2 , А3В3 .
12 Постройте треугольник АВС , если заданы отрезки , равные его	сторонам	АВ , ВС и медиане , проведённой к стороне АВ .
2.2 В треугольнике средние линии равны 3 см , 3 см и 5 см. Отрезки какой длины могут быть	сторонами	этого треугольника ? .
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с вершиной в точке В и	сторонами	, параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и	сторонами	, параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и	сторонами	, параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному треугольнику со	сторонами	10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со	сторонами	7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме квадратов со стороной 12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше площади комнаты ? .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при вершине А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD ,	сторонами	которого являются лучи АВ и AD .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с вершиной в В и	сторонами	, параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° .
Например , древнегреческий математик Пифагор изучал прямоугольные треугольники с целочисленными	сторонами	.
Рассмотрим два угла с соответственно параллельными	сторонами	.
19 Найдите радиус окружности , вписанной в треугольник со	сторонами	6 см , 8 см , 10 см .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми	сторонами	При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
5 На сторонах прямоугольника ABCD со	сторонами	а и b во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABM , BCN , CDK , ADL .
2.3 Из прямоугольника со	сторонами	а и b вырезали рамку шириной 1 см. При каких значениях а и b площадь рамки равна 20 см2 ? .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными	сторонами	, лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
3 Через вершину острого угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со	сторонами	данного угла .
18 В треугольник со	сторонами	6 см , 8 см , 10 см вписана окружность .
Выбранные точки называют вершинами четырёхугольника , а проведённые отрезки —	сторонами	четырёхугольника .
3 Даны треугольник со	сторонами	а , b , с и прямая l.
2.12 Углы с соответственно параллельными	сторонами	.
1.2 Какую наибольшую площадь может иметь параллелограмм со	сторонами	12 см и 18 см ? .
Проведём радиусы ОМ , ОК и ON в точки касания окружности со	сторонами	треугольника .
Для существования треугольника с указанными	сторонами	необходимо одновременное выполнение неравенств .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это плоский угол , образованный его	сторонами	и содержащий этот прямоугольник .
угол . 2 ) треугольник с двумя неравными	сторонами	. 3 ) треугольник с двумя неравными углами . 4 ) четырёхугольник с двумя равными сторонами .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со	сторонами	ромба .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со	сторонами	треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
1.3 В треугольнике АВС со	сторонами	АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к стороне ВС ? .
4 Найдите площадь параллелограмма со	сторонами	7 см и 9 см и острым углом в 60 ° .
5 Найдите площадь параллелограмма со	сторонами	5 см и 6 см и тупым углом в 150 ° .
Напомним , что внутренним углом треугольника АВС между	сторонами	АВ и АС называют плоский угол , определяемый лучами АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с двумя равными соседними	сторонами	все стороны равны .
2.3 Какую площадь может иметь параллелограмм со	сторонами	8 см и 10 см , у которого одна из высот равна 9 см ? .
6 Найдите приближённую длину диагонали прямоугольника со	сторонами	5 см и 6 см. Какова абсолютная погрешность этого приближения ? .
Непараллельные стороны трапеции называют боковыми	сторонами	трапеции .
Найдём радиус r окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со	сторонами	3 см , 4 см , 5 см .
6 Площадь параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными	сторонами	равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными сторонами .
2.2 Какую площадь может иметь параллелограмм со	сторонами	6 см и 8 см , у которого одна из высот равна 3 см ? .
6 Площадь параллелограмма равна 480 см2 , его периметр равен 112 см , а расстояние между двумя противоположными сторонами равно 12 см. Найдите расстояние между двумя другими противоположными	сторонами	.
Стороны АВ и CD являются боковыми	сторонами	трапеции .
Например , четырёхугольник ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух плоских углов , образованных соседними	сторонами	ВС и CD , содержит только часть этого четырёхугольника .
Проверьте , что в треугольнике АВС со	сторонами	АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
Найдём радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со	сторонами	5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
Сколько плоских углов образуют все пары соседних сторон многоугольника с n	сторонами	? .
Точка О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его	сторонами	.
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между	сторонами	АВ и АС называют плоский угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Квадрат со стороной разбит на квадрат со стороной а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со	сторонами	а и b.
а ) для любого прямоугольника со	сторонами	, идущими по линиям сетки . б ) для любого прямоугольного треугольника с катетами , идущими по линиям сетки .
Углы с соответственно параллельными	сторонами	.
Например , при сумма равна половине площади прямоугольника со	сторонами	, как это можно видеть .
На сторонах АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что треугольник АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными	сторонами	в этих треугольниках являются .
Сколько плоских углов образуют диагонали квадрата с его	сторонами	? .
угол . 2 ) треугольник с двумя неравными сторонами . 3 ) треугольник с двумя неравными углами . 4 ) четырёхугольник с двумя равными	сторонами	.
9 Сформулируйте свойство углов с соответственно параллельными	сторонами	.
Точку А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют	сторонами	угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
Рассмотрим треугольник АВС со	сторонами	АВ , ВС , АС .
6 Точки Μ , Ν , К , L расположены на	сторонах	четырёхугольника ABCD так , что . Докажите , что MNKL — параллелограмм .
Выберем на	сторонах	PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
2 На	сторонах	равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные равнобедренные треугольники с углом а при основании .
В параллелограмме ABCD на	сторонах	АВ и CD выбраны соответственно точки М и К так , что . Докажите , что четырёхугольник MBKD — параллелограмм .
Точки К и L выбраны соответственно на	сторонах	АВ и ВС так , что прямые KL и АС параллельны .
1.4 В параллелограмме ABCD , площадь которого равна 32 см2 , на	сторонах	ВС и CD отмечены точки М и N так , что .
2.1 На	сторонах	угла с вершиной А и величиной 40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС .
1 На	сторонах	равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
3 Точки М и N расположены на боковых	сторонах	трапеции ABCD так , что .
3 На	сторонах	ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
На	сторонах	АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что треугольник АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих треугольниках являются .
1.4 В треугольнике АВС , площадь которого равна 18 см2 , на	сторонах	АВ и ВС выбраны точки М и N так , что . 1 .
4 На	сторонах	квадрата ABCD выбраны точки М , N , К , L так , что .
5 На	сторонах	прямоугольника ABCD со сторонами а и b во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABM , BCN , CDK , ADL .
18 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная	стороне	АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что .
Отложим на одной	стороне	угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй	стороне	угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
12 Постройте треугольник АВС , если заданы отрезки , равные его сторонам АВ , ВС и медиане , проведённой к	стороне	АВ .
Постройте треугольник АВС по стороне АВ , прилежащему к этой	стороне	углу ВАС и разности сторон АС и ВС , зная , что .
Отсюда следует , что средней линией треугольника АВС , соединяющей середины сторон АВ и ВС , может быть только отрезок ΜΝ , который параллелен	стороне	АС .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно	стороне	АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной	стороне	угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Если на одной	стороне	угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к	стороне	АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой	стороне	.
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй	стороне	угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
по	стороне	, сумме диагоналей и углу между диагоналями .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой	стороне	равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
2.4 У каких из следующих параллелограммов площадь равна 36 см2 при данной стороне b и проведённой к этой	стороне	высоте h ? .
по углу при вершине и боковой	стороне	. б ) по углу при основании и боковой стороне .
1.3 Чему равна высота , проведённая в параллелограмме с площадью 25 см2 к	стороне	, длина которой равна 4 см ? .
4 Как построить треугольник по	стороне	и прилежащим к ней углам ? .
Через основание этой биссектрисы проводится прямая , параллельная	стороне	АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
Точки М на	стороне	АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите площадь четырёхугольника BMNC .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно	стороне	и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Постройте треугольник АВС по	стороне	АВ , прилежащему к этой стороне углу ВАС и разности сторон АС и ВС , зная , что .
Если на одной	стороне	угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
по углу при вершине и боковой стороне . б ) по углу при основании и боковой	стороне	.
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой	стороне	и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой стороне и высоте , проведённой к этой стороне .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй	стороне	угла получатся два равных между собой отрезка .
В треугольниках АВС и АВО проведём средние линии MN и KL , параллельные	стороне	АВ .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК соответственно равны	стороне	AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK .
2.4 У каких из следующих параллелограммов площадь равна 36 см2 при данной	стороне	b и проведённой к этой стороне высоте h ? .
18 Постройте треугольник по	стороне	и двум медианам , одна из которых проводится к данной стороне .
2.4 Построение треугольника по	стороне	и прилежащим к ней углам .
Точки М на стороне АВ и N на	стороне	АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите площадь четырёхугольника BMNC .
10 В треугольнике АВС площади S проведена средняя линия MN , параллельная	стороне	АВ .
Аналогично : если через вершину С провести прямую параллельно	стороне	АВ , то образуется параллелограмм ABCL и треугольник CDL .
На одной	стороне	угла отложим равные между собой отрезки АВ , ВС . CD , DE .
1.1 Свойство прямой , проходящей через середину стороны треугольника параллельно другой	стороне	.
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к	стороне	AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к	стороне	ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
по основанию и высоте , проведённой к основанию . г ) по боковой стороне и высоте , проведённой к основанию . д ) по боковой	стороне	и высоте , проведённой к этой стороне .
16 Через середину стороны АВ прямоугольника ABCD проводится прямая l , параллельная	стороне	ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину стороны CD .
Нетрудно понять , что вместо четырёх равных отрезков на	стороне	угла можно взять любое другое число равных отрезков и провести аналогичное рассуждение .
по	стороне	и двум диагоналям .
Средняя линия треугольника , соединяющая середины двух сторон , параллельна третьей	стороне	и равна её половине .
Как построить ромб по	стороне	и одной из диагоналей ? .
Постройте точку С на другой	стороне	угла такую , что .
18 Постройте треугольник по стороне и двум медианам , одна из которых проводится к данной	стороне	.
а ) сторону а треугольника . б ) высоту треугольника , проведённую к	стороне	а .
Чему равно отношение соответствующих отрезков , получившихся на другой	стороне	угла ? .
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на стороне АС , N на	стороне	ВС , М и L на стороне АВ так , что . Найдите отношение .
10 В треугольнике АВС выбраны точки D на	стороне	АВ , F на стороне АС , G и Н на стороне .
2.2 На	стороне	ВС треугольника АВС выбрана точка М и проведены отрезки , причём известно , что отрезки MN и KL не пересекаются .
Построение треугольника по	стороне	и прилежащим к ней углам .
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на	стороне	АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что . Найдите отношение .
В частности , длина высоты параллелограмма ABCD , проведённой к	стороне	AD , равна расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD .
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к	стороне	АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к стороне ВС ? .
1.3 В треугольнике АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к	стороне	ВС ? .
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно	стороне	АВ проводится отрезок CL .
1.4 На	стороне	АС треугольника АВС выбрана точка D так , что .
12 В треугольнике АВС выбраны точки М на стороне АС и К на	стороне	АВ так , что .
12 В треугольнике АВС выбраны точки М на	стороне	АС и К на стороне АВ так , что .
В треугольнике АВС точка N на	стороне	АС и точка М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р. Доказать , что .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный	стороне	АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
11 В треугольнике АВС выбраны точки К и L на стороне АВ , М и N на	стороне	АС так , что .
1.2 Почему прямая , проходящая через одну сторону треугольника параллельно другой	стороне	, пересекает третью .
2.4 Точка К на	стороне	АВ делит основание треугольника АВС в отношении .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные	стороне	АВ , и отметим углы .
11 В треугольнике АВС выбраны точки К и L на	стороне	АВ , М и N на стороне АС так , что .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на	стороне	АС находится точка Р пересечения отрезков ВК и AM .
9 В треугольнике АВС выбраны точка К на	стороне	АВ и точка L на стороне ВС так , что .
9 В треугольнике АВС выбраны точка К на стороне АВ и точка L на	стороне	ВС так , что .
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные	стороне	АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите отношение .
Чему в рассмотренном примере равно отношение высот треугольников АВС и ADC , проведённых к общей	стороне	АС ? .
2.2 Какие из указанных значений может иметь длина высоты , проведённой к	стороне	АВ треугольника АВС , если известно , что ВС ? .
10 В треугольнике АВС выбраны точки D на стороне АВ , F на стороне АС , G и Н на	стороне	.
Допустим , что на одной	стороне	угла расположены ( рис .
9 Постройте ромб по	стороне	и одному заданному углу .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой	стороне	угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
По теореме на второй	стороне	угла получим 11 равных между собой отрезков .
В треугольнике АВС точка N на стороне АС и точка М на	стороне	ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р. Доказать , что .
Рассмотрим трапецию ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через вершину В прямую , параллельную	стороне	CD .
6 Постройте правильный шестиугольник по	стороне	.
Проведём из точки В перпендикуляр ВН к	стороне	AD .
17 Постройте треугольник по	стороне	и медианам , проведённым к двум другим сторонам треугольника .
9 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане , проведённой к третьей	стороне	.
2.1 В трапеции ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно	стороне	CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
1.4 На одной	стороне	угла отложены четыре отрезка , отношение которых , и через их концы проведены параллельные секущие .
13 В треугольнике АВС выбраны точки К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на	стороне	АВ так , что . Найдите отношение .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной	стороне	угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
5 Постройте равносторонний треугольник : а ) по	стороне	; б ) по высоте .
1.2 В трапеции ABCD с основаниями провели отрезок ВМ параллельно	стороне	CD .
Пусть , например , на одной	стороне	угла отложены отрезки АВ и ВС , для которых .
7 Как показать , что диагональ ромба не может быть перпендикулярна его	стороне	? .
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести прямую m , параллельную	стороне	АС , то такая прямая пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в точке Ν .
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по основанию и боковой	стороне	; б ) по основанию и углу при вершине .
В результате получаем 11 равных отрезков , отложенных на одной	стороне	угла .
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по	стороне	каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n .
Через вершину С проведём прямую DK , параллельную	стороне	АВ треугольника АВС .
Основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на	стороне	АС треугольника АВС .
проведённой к третьей	стороне	.
10 В треугольнике АВС выбраны точки D на стороне АВ , F на	стороне	АС , G и Н на стороне .
6 Как показать , что диагональ прямоугольника не может быть перпендикулярна его	стороне	? .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на	стороне	АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
Найдём площадь равностороннего треугольника со	стороной	а .
По какой формуле можно вычислять площадь правильного шестиугольника со	стороной	а ? .
Площадь любого квадрата со	стороной	, равной выбранной единице измерения длин , равна соответствующей единице измерения площади .
для любого треугольника . г ) для объединения двух неперекрывающихся треугольников с общей	стороной	. д ) для любой многоугольной области .
Рассмотрим два параллелограмма ABCD и ABKL с общей	стороной	АВ .
Найдём площадь равностороннего треугольника со	стороной	2 см .
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную трапецию с основаниями а , b и боковой	стороной	m невозможно вписать окружность ? .
2.4 В треугольнике АВС со	стороной	АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на стороне АС находится точка Р пересечения отрезков ВК и AM .
1.1 Чему равен объём куба со	стороной	7 см ? .
2.4 Параллелограммы с общей	стороной	.
Чему равна площадь равностороннего треугольника со	стороной	1 км ? .
Обозначим буквой N точку пересечения прямой m со	стороной	ВС .
1.1 Чему равна площадь правильного шестиугольника со	стороной	4 см ? .
Квадрат со стороной разбит на квадрат со стороной а , квадрат со	стороной	b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со	стороной	х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного параллелепипеда .
1.4 Какую наибольшую площадь может иметь параллелограмм со	стороной	6 см и диагональю 10 см ? .
12 Пол комнаты , который представляет из себя прямоугольник со сторонами 7,48 м и 3,25 м , нужно застелить паркетом в форме квадратов со	стороной	12 см. При каком количестве паркетных плиток их общая площадь будет больше площади комнаты ? .
Квадрат со стороной разбит на квадрат со	стороной	а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
Квадрат со	стороной	разбит на квадрат со стороной а , квадрат со стороной b и два равных прямоугольника со сторонами а и b.
13 Для правильного шестиугольника со	стороной	2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и вписанная окружности .
Чему равен радиус окружности , вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой	стороной	13 см ? .
площади равностороннего треугольника со	стороной	а .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со	стороной	12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
Как выглядит формула , где S — площадь равностороннего треугольника со	стороной	, равной а ? .
7 Что называется вершиной и	стороной	угла , образованного двумя отрезками с общей вершиной ? .
1.3 Чему равен радиус r окружности , вписанной в ромб со	стороной	5 см и диагоналями длиной 6 см и 8 см ? .
а ) площадь квадрата со	стороной	5 см . б ) площадь круга с радиусом 6 см ? .
Площадь S квадрата со	стороной	а выражается формулой .
1.2 Чему равна площадь ромба со	стороной	9 см , описанного вокруг окружности с радиусом 1 см ? .
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с основанием 4 см и боковой	стороной	5 см равна высота , проведённая к основанию треугольника ? .
Например , равносторонний треугольник имеет меньшую площадь , чем квадрат с такой же	стороной	.
4 Что называется вершиной и	стороной	угла ? .
5 Что называется вершиной и	стороной	плоского угла ? .
Чему равно расстояние от вершины равностороннего треугольника со	стороной	10 см до точки пересечения его медиан ? .
Принимаем в треугольнике АВС за основание	сторону	.
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную	сторону	, с началом в точке .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в положительную	сторону	, с началом в точке -2 .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную	сторону	, с началом в точке Координата каждой его точки меньше либо равна .
1.2 Почему прямая , проходящая через одну	сторону	треугольника параллельно другой стороне , пересекает третью .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает	сторону	DC в точке Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести прямую m , параллельную стороне АС , то такая прямая пересечёт	сторону	ВС в её середине , то есть в точке Ν .
Аналогично для произвольного выпуклого многоугольника можно взять каждую	сторону	, провести через неё прямую и рассмотреть полуплоскость , содержащую многоугольник .
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну	сторону	от луча HF можно отложить только один угол величиной 90 ° .
Через	сторону	четырёхугольника EFGH проведём прямую .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F ,	сторону	ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
Тогда	сторону	AD параллелограмма ABCD называют основанием , а отрезок ВН — высотой параллелограмма ABCD , проведённой к этому основанию .
Прямая l пересекает	сторону	АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую	сторону	угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
Через основание этой биссектрисы проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая	сторону	АВ в точке К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
Проведём через точки А , В , С параллельные секущие , пересекающие вторую	сторону	угла в точках Α1 , B1 , С1 .
Через точки А , В , С провести параллельные между собой прямые , не пересекающие вторую	сторону	угла ? .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую	сторону	считать основанием этого треугольника .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую	сторону	угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
25 Прямые , параллельные основаниям трапеции , делят боковую	сторону	на три равные части .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую	сторону	угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает	сторону	ВС .
10 Площадь треугольника АВС равна 99 см2 , а точки М и N делят	сторону	АС на три равные части .
Окружности могут оказаться по одну	сторону	от этой прямой и тогда общая касательная называется внешней касательной двух окружностей .
Например , вершины В и С лежат по разные стороны от прямой а , содержащей	сторону	AD .
Проведём через точку N прямую параллельно прямой AM , пересекающую	сторону	ВС в точке К .
Прямая , проведённая через	сторону	ML , разделит четырёхугольник на две части .
5 На сторонах прямоугольника ABCD со сторонами а и b во внешнюю	сторону	построены равносторонние треугольники ABM , BCN , CDK , ADL .
Две окружности называют касающимися внутренним образом , если они касаются некоторой прямой в одной точке и расположены по одну	сторону	от этой прямой .
а )	сторону	а треугольника . б ) высоту треугольника , проведённую к стороне а .
23 Окружность касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и не пересекает	сторону	CD , как изображено .
Многоугольник называют выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой , содержащей	сторону	этого многоугольника .
24 Окружность касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и пересекает	сторону	CD в двух различных точках , как изображено .
Четырёхугольник называется выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой , содержащей	сторону	четырёхугольника .
Рассмотрим , например , противоположные	стороны	АВ и CD прямоугольника ABCD .
8 Докажите , что противоположные	стороны	ромба лежат на непересекающихся прямых .
2.2 Какое число различных пар непересекающихся прямых могут образовывать прямые , содержащие	стороны	некоторого шестиугольника ? .
13 Постройте окружность , которая касается одной стороны данного угла и другой его	стороны	в данной на ней точке .
Через точку К биссектрисы угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает	стороны	в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Сколько пар непересекающихся прямых могут быть среди прямых , содержащих	стороны	многоугольника ? .
Например , вершины В и С лежат по разные	стороны	от прямой а , содержащей сторону AD .
Если основаниями треугольников AMD и CMD считать	стороны	AM и СМ , то проведённые к ним высоты совпадают .
Их соответствующие	стороны	расположены на параллельных прямых .
Поэтому BKLH — параллелограмм , его противоположные	стороны	равны , в частности .
Противоположные	стороны	прямоугольника лежат на непересекающихся прямых .
В двух равных треугольниках АВС и ΜΝΚ равны между собой	стороны	АВ и ΝΚ , ВС и МК .
14 Вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же	стороны	в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
4 Два треугольника расположены так , что две их	стороны	лежат на одной прямой .
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие	стороны	углов лежат на параллельных прямых m и n .
Вершины двух углов совпадают , и	стороны	двух углов расположены по двум пересекающимся прямым .
Отсюда следует , что равны соответственные	стороны	BN и NC этих треугольников , что и требовалось доказать .
С другой	стороны	.
Пусть вписанная в него окружность касается	стороны	АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
В этом случае найти радиус — это найти отрезок	стороны	АС от вершины С до точки касания .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М ,	стороны	ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Докажем , что точка N — середина	стороны	ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через точку С прямую l , параллельную прямой АВ .
13 Постройте окружность , которая касается одной	стороны	данного угла и другой его стороны в данной на ней точке .
две пары равных углов . 3 ) пара равных сторон ; 4 ) четыре равные	стороны	.
14 Вписанная окружность касается	стороны	АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
Соседние	стороны	ОК и ON прямоугольника равны как радиусы в одной и той же окружности , поэтому CNOK — квадрат .
Треугольник PQR — искомый , три его	стороны	равны соответственно заданным отрезкам .
Сколько различных пар непересекающихся прямых задают	стороны	этих прямоугольников ? .
Пусть заданы два отрезка А1В1 , А2В2 и угол MNK , который должен лежать в треугольнике против	стороны	, равной отрезку А2В2 .
Проведём через середину М	стороны	АВ прямую m , параллельную прямой АС .
Докажите , что	стороны	MN и KL восьмиугольника с вершинами в этих точках равны .
7 Приближённое значение	стороны	квадрата равно 1,2 0,04 см. Найдите приближённое значение периметра этого квадрата и укажите погрешность вычисления .
Докажите , что прямая l . а ) не пересекает две другие	стороны	прямоугольника .
1.1 Свойство прямой , проходящей через середину	стороны	треугольника параллельно другой стороне .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих	стороны	угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
2.1 Через	стороны	треугольника и одну из вершин проведены прямые .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М	стороны	AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
Почему противоположные	стороны	квадрата лежат на непересекающихся прямых ? .
Стороны угла А лежат на непересекающихся прямых l и m , а	стороны	угла В лежат на двух других прямых k и n таких , что .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N	стороны	ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
Отсюда следует , что как соответственные	стороны	равных треугольников .
11 Прямая l не содержит вершины и пересекает две противоположные	стороны	прямоугольника .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N ,	стороны	АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
1.4 В треугольнике ABC медиана АК оказалась равна половине	стороны	ВС. Что можно сказать о таком треугольнике ? .
—	стороны	треугольника .
Параллелограммом называется четырёхугольник , у которого противоположные	стороны	попарно параллельны .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении	стороны	ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
В самом деле , в четырёхугольнике О1PQО2 противоположные	стороны	О1Р и О2Q равны , параллельны между собой и перпендикулярны прямой О1О2 .
Если продолжить боковые	стороны	трапеции , то они пересекутся в некоторой точке .
Противоположные	стороны	параллелограмма попарно равны .
В треугольнике АВС точка М — середина	стороны	АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
Отсюда следует , что равны соответственные	стороны	этих треугольников .
Трапецию называют равнобедренной , если боковые	стороны	трапеции равны .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той	стороны	от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
Чему равны углы правильного пятиугольника ( то есть пятиугольника , в котором все	стороны	равны и все углы равны ) ? .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с прямым углом все углы прямые , а противоположные	стороны	попарно равны .
С другой	стороны	, противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны , как перпендикуляры к одной прямой .
Таким образом , противоположные	стороны	данного параллелограмма попарно параллельны .
1.3 Противоположные	стороны	прямоугольника .
Непараллельные	стороны	трапеции называют боковыми сторонами трапеции .
Получаем , что в треугольнике MCN две	стороны	равны , а угол между ними — 60 ° .
Если две	стороны	и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Параллельные	стороны	трапеции называют основаниями трапеции .
1.2 Если в треугольнике длина	стороны	1,2 см , а длина высоты к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
3.2 Основания и боковые	стороны	трапеции .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами все	стороны	равны .
С другой	стороны	, всякий ромб является параллелограммом .
С другой	стороны	, в 6 классе было показано , что на числовой оси середина отрезка с концами в точках с координатами d и f имеет координату ( d + f ) .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные	стороны	параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она делит параллелограмм либо на две трапеции , либо на два параллелограмма ? .
Трапецией называют четырёхугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны , а две другие противолежащие	стороны	не параллельны .
Трапецией называют четырёхугольник , у которого две противолежащие	стороны	параллельны , а две другие противолежащие стороны не параллельны .
2.2 При каких значениях	стороны	а и проведённой к ней высоты h площадь треугольника равна 66 см2 ? .
Рассмотрим параллелограмм , у которого две соседние	стороны	равны .
Таким образом , ромб можно определить как параллелограмм , у которого две соседние	стороны	равны .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные стороны параллелограмма , и точку М на продолжении	стороны	ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными секущей АВ .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные	стороны	параллелограмма , и точку М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными секущей АВ .
Большая окружность касается одной	стороны	и продолжений двух других сторон треугольника АВС .
При каком угле α при основаниях боковые	стороны	равнобедренных треугольников образуют шестиугольник ? .
При каком угле а	стороны	равнобедренных треугольников образуют правильный шестиугольник ? .
Заметим , что каждый развёрнутый угол расположен в полуплоскости с границей , содержащей	стороны	этого угла .
Выясните , какими могут быть углы этих равнобедренных треугольников , чтобы все их боковые	стороны	образовывали восьмиугольник , если известно , что .
Основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении	стороны	АС треугольника АВС В таком случае можно записать равенство .
2 Какие	стороны	трапеции называют её основаниями ? .
Примером выпуклого многоугольника может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все	стороны	равны между собой и все углы равны между собой .
Если три	стороны	одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Трапеция , боковые	стороны	.
2.2 Изображены четыре	стороны	шестиугольника ABCDEF , причём известно , что .
Проведём через вершину С и середину М боковой	стороны	AD прямую до пересечения с прямой АВ в точке Р .
Поэтому у четырёхугольника НАВО2	стороны	НА и О2В равны R2 и по построению параллельны .
28 Середина М боковой стороны АВ трапеции ABCD соединена с вершинами противоположной боковой	стороны	.
3 ) никакие две соседние	стороны	не лежат на одной прямой .
Продолжим	стороны	ВС , DE , AF таким образом , чтобы получился равносторонний треугольник MNK .
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны	стороны	АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то диагональ АС — биссектриса углов А и С ? .
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны	стороны	ВС и CD , то диагональ АС — биссектриса углов А и С ? .
Найдём	стороны	этих треугольников .
3 Изображены два равных треугольника АВС и ACD , причём	стороны	АВ и CD не равны .
27 В круге радиуса R по разные	стороны	от центра проведены две параллельные хорды длиной R и .
1 Сколько углов разного вида образуют	стороны	треугольника ? .
Прямая l пересекает	стороны	ВС , CD , DE в точках F , G , Н соответственно , причём .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение	стороны	АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
В 5 классе , описывая различные виды четырёхугольников , мы сказали , что параллелограмм — это четырёхугольник , у которого противоположные	стороны	равны .
У параллелограмма ABCD с вершинами в узлах клетчатой бумаги равны	стороны	АВ и CD , стороны AD и ВС , углы BAD и BCD , углы АВС и ADC .
У параллелограмма ABCD с вершинами в узлах клетчатой бумаги равны стороны АВ и CD ,	стороны	AD и ВС , углы BAD и BCD , углы АВС и ADC .
28 Середина М боковой	стороны	АВ трапеции ABCD соединена с вершинами противоположной боковой стороны .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые	стороны	АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
С другой	стороны	, возьмём любой луч АВ .
С другой стороны , противоположные	стороны	прямоугольника попарно параллельны , как перпендикуляры к одной прямой .
Докажите , что каждая из сторон нового треугольника в два раза больше параллельной ей	стороны	треугольника АВС .
Представление о непересекающихся или равноотстоящих прямых дают два ряда рельсов прямолинейного участка железной дороги , если представить , что они неограниченно продолжены в обе	стороны	.
Проводится прямая , параллельная АВ и пересекающая две других	стороны	.
У них попарно равны	стороны	с вершиной О , а углы АОВ и COD равны как вертикальные .
17 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение	стороны	АВ в точке D. Докажите , что .
Если в четырёхугольнике две противоположные	стороны	равны и параллельны , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
16 Через середину стороны АВ прямоугольника ABCD проводится прямая l , параллельная стороне ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину	стороны	CD .
Проведём через точки А , В , С , D , Е параллельные между собой прямые , пересекающие	стороны	угла соответственно в точках К , L , М , N , О .
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны и параллельны	стороны	AD и ВС. Проведём диагонали АС и BD и обозначим через К точку их пересечения .
16 Через середину	стороны	АВ прямоугольника ABCD проводится прямая l , параллельная стороне ВС. Докажите , что прямая l проходит через середину стороны CD .
Следовательно , точка Р — середина	стороны	KQ треугольника KQM .
Два угла называются вертикальными , если	стороны	одного из них являются продолжениями ( то есть противоположными лучами ) сторон другого .
1.4 Чему равны боковые	стороны	равнобедренной трапеции с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать окружность ? .
Две окружности называют касающимися внешним образом , если они касаются некоторой прямой в одной и той же точке и расположены по разные	стороны	от этой прямой .
Заметим , что угол ,	стороны	которого не совпадают , имеет градусную меру большую , чем 0 ° .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину	стороны	АВ треугольника АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
Если в четырёхугольнике противоположные	стороны	попарно равны , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны	стороны	АВ и CD и равны стороны AD и ВС .
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны стороны АВ и CD и равны	стороны	AD и ВС .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD , точка L — середина	стороны	ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
Как доказать , что четырёхугольник , у которого все	стороны	равны , является параллелограммом ? .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина	стороны	AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
7 По разные	стороны	от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две точки А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите	стороны	треугольника .
С другой	стороны	, каждой из частей соответствует плоский угол , определяемый лучами ОА и ОВ .
2.4 Две средние линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть длиной	стороны	треугольника ? .
Найдите отрезки , на которые точки касания разбивают	стороны	треугольника .
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания вписанной окружности разбивают	стороны	этого треугольника , выражаются целыми числами .
Проведите прямую l так , чтобы она пересекала	стороны	угла в точках А и В , а точка М являлась серединой отрезка АВ .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую	стороны	угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Окружности могут оказаться по разные	стороны	от общей касательной , и тогда общая касательная называется внутренней касательной двух окружностей .
С другой	стороны	, разность чисел равна .
В каком отношении эта прямая делит	стороны	СА и СВ ? .
10 Выразите квадрат	стороны	правильного шестиугольника через его площадь S .
1.3 В каком из перечисленных случаев можно сделать вывод , что у четырёхугольника ABCD имеются две параллельные	стороны	? .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1	стороны	ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны	стороны	АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Если	стороны	одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла , то такие углы или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Приходим к тому , что в треугольниках ΜΝΚ и Μ1Ν1Κ1 равны соответственно все	стороны	.
16 Точка М — середина	стороны	АВ , CD ВС. Докажите , что площади треугольников AMN и CND равны .
Мы установили , что если через середину М	стороны	АВ провести прямую m , параллельную стороне АС , то такая прямая пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в точке Ν .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается	стороны	АС в точке М ? .
4 Внутри квадрата ABCD расположен некоторый	стоугольник	, ограничивающий стоугольную область .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной точки , научитесь	строить	общую касательную к двум окружностям .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются линейными , научитесь	строить	графики линейных функций .
Что произойдёт , если вы попытаетесь	строить	треугольник с двумя тупыми углами ? .
Заменим каждую	сумм	подобных слагаемых на одно слагаемое .
1.2 Какая из	сумм	равна .
Чему равна	сумма	внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Почленной суммой двух равенств называется новое равенство в правой части которого стоит	сумма	правых , а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что	сумма	всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
Почленной суммой двух равенств называется новое равенство в правой части которого стоит сумма правых , а в левой —	сумма	левых частей исходных равенств .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то	сумма	внутренних углов пятиугольника равна .
10 Чему равна	сумма	внешних углов выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а	сумма	углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
1.4 Чему равна	сумма	внутренних углов выпуклого шестиугольника ? .
12 Докажите , что	сумма	длин всех медиан треугольника меньше периметра этого треугольника .
7 Чему равна	сумма	внутренних углов выпуклого n - угольника ? .
8 Чему равна	сумма	внешних углов выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
4 Какой знак имеет	сумма	положительных чисел ? .
6 Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD найдите точку М такую , что	сумма	принимает наименьшее значение .
Таким образом ,	сумма	двух чисел разного знака может оказаться или положительной , или отрицательной , или равной нулю .
Значит , числа и положительны , поэтому их	сумма	положительна .
их	сумма	отрицательна .
а ) их	сумма	положительна .
Так как	сумма	углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
1.3 Чему равна	сумма	трёх приближённых значений .
1.1 Угол А в треугольнике АВС равен 57 ° 31′. Чему равна	сумма	углов В и С этого треугольника ? .
Арифметическая прогрессия ,	сумма	первых членов .
Как доказать , что	сумма	всех внешних углов треугольника равна 720 ° ? .
Тогда , как	сумма	смежных углов , а поэтому .
Почленное	сумма	.
8 Докажите , что в равнобедренном треугольнике	сумма	расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора точки .
Чему равна	сумма	внешних односторонних углов при двух параллельных и секущей ? .
9 Докажите , что в равностороннем треугольнике	сумма	расстояний от любой внутренней точки до всех трёх сторон не зависит от выбора этой точки .
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке :	сумма	углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах углов .
Чему равна	сумма	всех неразвёрнутых углов .
Чему равна	сумма	углов АВС , САВ и DCA ? .
3.1 Чему равна	сумма	углов треугольника ?
2.3 Каким может быть один из углов параллелограмма , если известно , что	сумма	двух каких - то его углов равна 150 ° ? .
Идея разрезания многоугольника на треугольники позволяет определить внутренние углы многоугольника , а также показать , что	сумма	S внутренних углов любого n - угольника вычисляется по формуле .
	Сумма	длин диагоналей параллелограмма больше суммы длин любых двух его сторон .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла ,	сумма	которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
4 , то	сумма	площадей треугольников AMВ и CMD будет равна сумме площадей треугольников AMD и ВМС .
	Сумма	длин диагоналей параллелограмма меньше суммы длин любых двух его сторон .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где	сумма	углов меньше 180 ° .
На сколько ваша	сумма	отличается от 360 ° ? .
	Сумма	длин диагоналей параллелограмма больше его периметра .
	Сумма	длин диагоналей параллелограмма меньше его периметра .
В то же время многие утверждения , доказываемые на основе пятого постулата , изменяются ( например ,	сумма	углов любого треугольника меньше 180 ° ) .
1 Чему равна	сумма	углов треугольника ? .
4 Чему равна	сумма	внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
5 Чему равна	сумма	углов четырёхугольника ? .
2.4 Какие значения может иметь периметр параллелограмма , у которого одна из сторон равна 12 см , а	сумма	некоторых трёх сторон равна 40 см ? .
Из определения развёрнутого угла следует , что	сумма	смежных углов имеет величину , равную 180 ° , а величины вертикальных углов равны .
2.2 Какой может быть	сумма	внутренних углов правильного многоугольника ? .
Получаем , что	сумма	этих положительных чисел — положительное число .
Как показать , что	сумма	отрицательных чисел всегда отрицательна ? .
1.1 Чему равна	сумма	приближённых значений ? .
7 Чему равна	сумма	внутренних углов выпуклого четырёхугольника ? .
Продолжая таким образом , получим , что	сумма	внутренних углов выпуклого семиугольника равна , выпуклого восьмиугольника равна и так далее .
2.4 Какие значения может иметь	сумма	нескольких начальных членов геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем .
Таким образом ,	сумма	первых 100 нечётных чисел равна 1002 .
Как показать , что для любого натурального числа n	сумма	первых n нечётных чисел равна n2 ? .
5 Чему равна	сумма	первых n натуральных чисел ? .
Тогда	сумма	S5 получится равной площади фигуры .
8 Известно , что	сумма	всех нечётных натуральных чисел , меньших 100 , равна 502 .
1.2 Чему равна	сумма	первых 8 членов арифметической прогрессии с общим членом .
Чему равна	сумма	первых 10 членов прогрессии с нечётными номерами ? .
Например , при	сумма	равна половине площади прямоугольника со сторонами , как это можно видеть .
Чему равна	сумма	длин отрезков АК и DL ? .
Чему равна	сумма	внешних углов треугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Как показать , что последняя	сумма	равна .
где многоточие означает , что по указанному закону записывается	сумма	всех шестидесяти трёх слагаемых .
Рассмотрим число 210 и произведения степеней числа 2 ,	сумма	показателей степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
6 Какой функцией определяется	сумма	n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью в зависимости от аргумента n ? .
1.4 Чему равна	сумма	первых 50 нечётных чисел ? .
Чему равна	сумма	всех углов треугольников АВС и ADC .
6 Покажите на примерах , что	сумма	, разность и произведение двух многочленов равны некоторым многочленам .
Чему равна	сумма	первых натуральных чисел ? .
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что	сумма	величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
В скобках стоит	сумма	всех внутренних углов четырёхугольника , которая равна 360 ° .
Так как площадь пятиугольника равна	сумме	найденных площадей ,
За это время в	сумме	они проехали км , что по условию задачи составляет 360 км .
Сумма S углов четырёхугольника ABCD равна	сумме	.
Сумма S углов четырёхугольника равна	сумме	По свойствам параллельных прямых выполняются равенства .
По аналогии с доказательством теоремы о	сумме	углов треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
Плоский угол АВС равен	сумме	плоских углов ABD и DBC .
Градусная мера суммы плоских углов равна	сумме	градусных мер слагаемых .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в	сумме	получить этот угол .
По теореме о	сумме	углов треугольника .
Докажите , что площадь четырёхугольника PMQN равна	сумме	площадей треугольников АВР и CDQ .
Внешний угол треугольника равен	сумме	не смежных с ним внутренних углов этого треугольника .
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и секущей ВС. Углы DC А , АС В и ВСК в	сумме	составляют развёрнутый угол .
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в	сумме	угол в 180 ° .
Постройте прямоугольный треугольник по катету и	сумме	другого катета с гипотенузой .
в ) внутренние односторонние углы в сумме дают 180 ° . г ) внешние односторонние углы в	сумме	дают 180 ° .
в ) внутренние односторонние углы в	сумме	дают 180 ° . г ) внешние односторонние углы в сумме дают 180 ° .
по стороне ,	сумме	диагоналей и углу между диагоналями .
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла , то такие углы или равны , или составляют в	сумме	180 ° .
2 ) Если фигура составлена из двух неперекрывающихся частей , то площадь всей фигуры равна	сумме	площадей частей .
1 Постройте угол , равный	сумме	двух данных углов .
Как было отмечено в первом случае , любой угол с вершиной в В и сторонами , параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в	сумме	с ним составляет 180 ° .
Поэтому углы либо равны , либо в	сумме	составляют 180 ° .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен	сумме	внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна	сумме	всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
Если две параллельные прямые пересечены секущей , то образующиеся внутренние односторонние углы в	сумме	дают 180 ° .
Площадь параллелограмма равна	сумме	площадей треугольников ABD и BCD .
VI Если f и g — некоторые ненулевые одночлены , то f - g также одночлен , степень которого равна	сумме	степеней одночленов и g .
4 , то сумма площадей треугольников AMВ и CMD будет равна	сумме	площадей треугольников AMD и ВМС .
Далее , плоский угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен	сумме	внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
Площадь S трапеции равна	сумме	площадей треугольников ABD и BCD .
При выделении каждому члену общества по 16 соток в	сумме	получится 16у соток , что больше х на 12 соток .
Отметим , что в	сумме	составляют .
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно	сумме	оснований трапеции ABCD , а отрезок MN является средней линией этого треугольника .
В таком случае площадь треугольника АВС равна	сумме	площадей прямоугольных треугольников АВН и ВНС .
Найдём номер n последнего слагаемого ( -60 ) в нашей	сумме	.
В этом случае угол АОС равен	сумме	двух равных плоских углов .
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна	сумме	величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
При выделении каждому члену общества по 12,5 сотки в	сумме	получится 12,5у соток .
Из того , что в	сумме	оба поезда проехали бы 360 км , получаем .
11 Докажите теорему о	сумме	внутренних углов любого четырёхугольника .
Многочлен иногда называют биномом , так как является	суммой	двух слагаемых .
Для каких углов луч OD является биссектрисой , если угол AOF является	суммой	пяти равных углов .
В этом случае говорят , что рассматриваемый плоский угол является	суммой	трёх плоских углов .
В каком случае плоский угол является	суммой	шести плоских углов ? .
Иногда эту сумму для краткости называют суммой начальных членов арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений —	суммой	первых членов арифметической прогрессии .
Точно так же можно рассматривать плоские углы , которые являются	суммой	четырёх плоских углов и так далее .
Почленной	суммой	двух равенств называется новое равенство в правой части которого стоит сумма правых , а в левой — сумма левых частей исходных равенств .
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является суммой двух плоских углов , один из которых сам является	суммой	некоторых двух плоских углов .
Иногда эту сумму для краткости называют	суммой	начальных членов арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых членов арифметической прогрессии .
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является	суммой	двух плоских углов , один из которых сам является суммой некоторых двух плоских углов .
Плоский угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется	суммой	этих двух плоских углов .
Тогда плоский угол АОВ называется	суммой	плоских углов АОС и СОВ .
В этом случае плоский угол АОС является	суммой	углов СОВ и ВОА .
2.1 Какие из значений могут быть	суммой	всех внутренних углов некоторого многоугольника ? .
Как вычислить	сумму	? .
Общее число зёрен представляет собой	сумму	как это следует из ранее записанного равенства .
Найдём	сумму	внутренних односторонних углов 1 и 2 .
Распределительный закон умножения позволяет	сумму	двух подобных одночленов , входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести подобные слагаемые .
Как найти	сумму	? .
Тождественными преобразованиями	сумму	, разность и произведение многочленов можно также представить в виде многочлена .
Иногда эту	сумму	для краткости называют суммой начальных членов арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых членов арифметической прогрессии .
Запишем эту	сумму	углов , пользуясь обозначениями .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить	сумму	n первых членов арифметической прогрессии .
Измерьте все его углы и найдите	сумму	полученных значений .
Выберите внутри его точку М. Измерьте углы АМВ , ВМС , CMD , DMA и найдите	сумму	полученных значений .
2 Округлите числа а и b до второго разряда после запятой , найдите	сумму	полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
Найдём	сумму	чисел и оценим абсолютную погрешность результата .
4 Найдите	сумму	всех последовательных натуральных чисел .
Найдите	сумму	углов AKL и CLK .
6 Найдите	сумму	n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом а1 и разностью d , если .
а )	сумму	всех чётных чисел , меньших чем 101 . б ) сумму всех натуральных чисел , меньших чем 101 .
а ) сумму всех чётных чисел , меньших чем 101 . б )	сумму	всех натуральных чисел , меньших чем 101 .
Найдите	сумму	отмеченных углов .
1 Найдите	сумму	приближённых значений а , b и оцените её погрешность .
	Сумму	всех натуральных чисел , меньших чем 51 ? .
9 Найдите	сумму	.
Отсюда следует , что	сумму	всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить	сумму	всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Найти	сумму	в которой в порядке убывания записаны все целые числа от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
Как доказанное свойство позволяет найти	сумму	всех углов параллелограмма ? .
Такую	сумму	можно получить , если из суммы всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
6 По какой формуле можно вычислить	сумму	n начальных членов арифметической прогрессии ? .
Вычислить	сумму	всех натуральных нечетных чисел от 1 до 199 включительно .
Покажем , как можно найти	сумму	углов четырёхугольника ABCD .
Вычислим	сумму	.
Запишем и вычислим	сумму	первых пяти членов этой прогрессии .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и	сумму	всех углов четырёхугольника ACDE .
5 Найдите	сумму	пяти начальных членов геометрической прогрессии , если .
Пусть Sn обозначает	сумму	n начальных членов этой прогрессии .
Такую сумму можно получить , если из суммы всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть	сумму	углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
Рассмотрим	сумму	нескольких начальных , последовательно расположенных , членов арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d .
Например , площадь « буквы M » можно найти как	сумму	площадей двух прямоугольников .
Величину угла NKL определяем как	сумму	величин углов NKM и MKL , то есть .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как	сумму	величин углов NMK и KML , то есть .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать	сумму	внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине К будем считать	сумму	внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
Формуле куба	суммы	также можно дать геометрическую иллюстрацию .
5.3 Примеры применения формул квадрата	суммы	и квадрата разности .
7 Найдите	суммы	.
Это правило распространяется на	суммы	трёх , четырёх или любого другого числа слагаемых .
Запишем последовательно	суммы	для найденных неотрицательных целых решений : 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 .
Рассматривалось несколько способов нахождения	суммы	величин углов конкретного четырёхугольника .
По свойству площадей получаем формулу , совпадающую с формулой квадрата	суммы	двух чисел .
То же значение	суммы	, равное 360 ° , получится для любого выпуклого четырёхугольника .
Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух чисел а и b , чтобы получить формулу для куба	суммы	этих чисел .
Подставляя в формулу	суммы	членов арифметической прогрессии значения первого члена прогрессии , её разности и числа слагаемых , получаем .
1.3 В прямоугольном треугольнике наименьший угол в 6 раз меньше	суммы	двух других углов .
Воспользуемся формулой для куба	суммы	двух чисел а и b , чтобы получить формулу .
Площадь трапеции равна половине произведения	суммы	оснований трапеции на её высоту .
Квадрат	суммы	и его геометрический смысл .
3 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 103 для	суммы	.
Представим 28 в виде	суммы	этого квадрата и небольшого ( по сравнению с 25 ) добавка .
Воспользуемся формулой для квадрата	суммы	двух чисел а и b , чтобы получить формулу для куба суммы этих чисел .
Каким может быть точное значение	суммы	? .
сумма длин диагоналей параллелограмма больше	суммы	длин любых двух его сторон .
6 Каким свойством обладают	суммы	длин противоположных сторон описанного четырёхугольника ? .
6 Найдите	суммы	.
Преобразуем подкоренное выражение , выделив в нём квадрат	суммы	двух чисел .
1 Запишите формулу квадрата	суммы	двух чисел .
7 Докажите , что если Sm , Sn и Sm+n —	суммы	соответственно m , n и m + n начальных членов одной арифметической прогрессии , то .
Формула	суммы	первых n натуральных чисел .
Следовательно , поэтому b1 b2 является приближённым значением	суммы	а1 а2 , погрешность которого не превосходит р1 р2 .
Применив затем формулу квадрата	суммы	, получим .
25 Докажите , что если у выпуклого четырёхугольника	суммы	длин противоположных сторон равны , то в него можно вписать окружность .
Найдите	суммы	и разности многочленов .
Погрешность	суммы	.
Заметим , что когда числа а и b разного знака , то о знаке их	суммы	нельзя сделать определённого вывода , не имея дополнительных сведений об этих числах .
Аналогичные рассуждения можно провести и для вычисления	суммы	любого числа начальных членов рассматриваемой последовательности .
Абсолютная погрешность суммы приближённых значений не превосходит	суммы	абсолютных погрешностей каждого слагаемого .
4 Чему равна градусная мера	суммы	плоских углов ? .
Такую сумму можно получить , если из	суммы	всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
сумма длин диагоналей параллелограмма меньше	суммы	длин любых двух его сторон .
Абсолютная погрешность	суммы	приближённых значений не превосходит суммы абсолютных погрешностей каждого слагаемого .
4 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 1 для	суммы	.
1 Найдите целую часть	суммы	.
2 Найдите дробную часть	суммы	.
Формула квадрат	суммы	.
2.2 За приближённое значение	суммы	величин выбрали число 20,5 .
Формула остаётся верной и когда вместо	суммы	рассматривается только одно число 1 .
3.4 Примеры нахождения	суммы	углов четырёхугольника .
Формула куб	суммы	.
Для сокращения записи	суммы	нескольких одинаковых чисел используют операцию умножения .
3 Найдите приближённое значение	суммы	а и b с абсолютной погрешностью не более 0,01 .
Арифметическая прогрессия , формула	суммы	членов .
2.4 Градусная мера	суммы	двух углов и её свойство .
Подставляя в формулу для	суммы	начальных членов арифметической прогрессии значения , находим .
Абсолютная погрешность разности приближённых значений не превосходит	суммы	абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого .
Поэтому важно уметь заранее оценить погрешность	суммы	, если известны погрешности отдельных слагаемых .
Формулы квадрата	суммы	или разности двух чисел иногда удобно применять при возведении чисел в квадрат .
2 Что можно сказать об абсолютной погрешности	суммы	приближённых значений ? .
Как представить развёрнутый угол в виде	суммы	двух равных углов ? .
5.5 Геометрическая иллюстрация куба	суммы	двух чисел .
По правилу сложения приближений определяем , что число является приближённым значением	суммы	, причём абсолютная погрешность этого приближения не больше Значит .
Формула	суммы	членов арифметической прогрессии .
Это тождество иногда называют формулой сокращенного возведения суммы двух чисел в квадрат или формулой квадрата	суммы	.
Это тождество иногда называют формулой сокращенного возведения	суммы	двух чисел в квадрат или формулой квадрата суммы .
Градусная мера	суммы	плоских углов равна сумме градусных мер слагаемых .
Может ли абсолютная погрешность	суммы	оказаться меньше абсолютных погрешностей отдельных слагаемых ? .
Площадь S поверхности	сферы	радиуса R выражается формулой .
Для вычисления кинетической энергии	тела	фиксированной массы m , движущегося со скоростью υ .
Длина пути S , пройденного	телом	при свободном падении в поле силы тяжести с ускорением g за время t при начальной нулевой скорости выражается формулой .
Таким образом , доказана	теорема	.
Это утверждение известно как	теорема	Фалеса .
По	теореме	Пифагора или .
Эти перпендикуляры параллельны , поэтому по	теореме	о пропорциональности отрезков получаем пропорцию .
По	теореме	о сумме углов треугольника .
Аналогично , опустив из точек А и В перпендикуляры на координатную ось Оу , по той же	теореме	получаем пропорцию .
По	теореме	на второй стороне угла получим 11 равных между собой отрезков .
Из прямоугольного треугольника АВН по	теореме	Пифагора получим равенство .
По	теореме	предыдущего пункта отмеченные углы 1 и 3 равны .
Воспользуемся	теоремой	Пифагора для получения ещё одного признака равенства прямоугольных треугольников .
1.5 Что называют	теоремой	?
3 Сформулируйте теорему Фалеса о параллельных секущих сторон угла , проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту	теорему	.
Иногда эту	теорему	приводят в следующей краткой формулировке : сумма углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах углов .
5 Сформулируйте	теорему	о медианах треугольника и приведите её доказательство .
Эту	теорему	иногда формулируют так : Сумма всех внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
11 Докажите	теорему	о сумме внутренних углов любого четырёхугольника .
4 Сформулируйте	теорему	о средней линии треугольника и приведите её доказательство .
Докажите эту	теорему	.
3 Сформулируйте	теорему	Фалеса о параллельных секущих сторон угла , проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту теорему .
8 Сформулируйте	теорему	о средней линии трапеции .
Какие	теоремы	вы знаете ? .
Как сформулировать доказанное утверждение в виде	теоремы	? .
По аналогии с доказательством	теоремы	о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
С учётом	теоремы	получаем общую формулировку .
5 Приведите пример следствия из некоторой	теоремы	.
Рассмотрим задачу на применение сформулированной	теоремы	.
Рассмотрим описанный около окружности четырёхугольник ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из	теоремы	об отрезках касательных получим равенства .
4 Сформулируйте обобщение	теоремы	о параллельных секущих сторон угла .
Полученный результат сформулируем в виде	теоремы	.
Из	теоремы	Пифагора для треугольника ΜΝΚ получаем , а для треугольника Μ1Ν1Κ1 получаем .
2.5 Обобщение	теоремы	о пропорциональных отрезках .
Как доказать , что в условиях	теоремы	данного пункта отрезки пропорциональны соответственно отрезкам АВ , ВС , АС ? .
Полученный результат запишем в виде	теоремы	.
Разберём доказательство	теоремы	из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
Доказательство этой	теоремы	сложное , опирается на некоторые свойства действительных чисел , поэтому разбирать доказательство мы не будем .
2.4 Частный случай	теоремы	о пропорциональных отрезках .
Важным приёмом получения новых	тождеств	является подстановка в известное тождество вместо букв некоторых буквенных ( или числовых ) выражений .
Получение новых	тождеств	методом подстановки .
Как называется закон , позволяющий записать	тождеств	.
Тогда имеют место следующие	тождества	: переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
Подставим в обе части	тождества	вместо буквы а выражение на все те места , где встречается буква а .
5 Из данного	тождества	подстановкой вместо букв указанных выражений получите новое тождество .
Какие	тождества	с двумя переменными вы знаете ? .
Умножение обеих частей	тождества	на одинаковое выражение .
8 Сформулируйте правило умножения частей	тождества	на одинаковое выражение .
6 Докажите	тождества	.
7 Из данного	тождества	умножением на заданное выражение получите новое тождество .
Прибавим к обеим частям	тождества	выражение .
В качестве примеров приводятся некоторые замечательные	тождества	.
Прибавим к обеим частям первого	тождества	выражение b2 .
Покажем , как полученные	тождества	иногда позволяют облегчить вычисления .
Докажите	тождества	.
7 Сформулируйте правило прибавления к частям	тождества	одинакового выражения .
Укажите все	тождества	.
Прибавление к обеим частям	тождества	одинакового выражения .
Заменив в	тождестве	букву а на переменную х и букву b на число -1 , получим тождество .
Докажите , что если два выражения А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в	тождестве	всюду буквы а на выражение X получается тождество .
Вспомним	тождество	.
Какое	тождество	получится , если в последнее равенство вместо а подставить b2 ? .
Рассмотрим	тождество	.
Как можно доказать	тождество	.
Получим новое	тождество	.
В результате получаем новое	тождество	.
Иногда это	тождество	называют формулой разложения многочлена на два множителя .
Для любого натурального числа n , большего 1 , справедливо	тождество	.
Допустим , что получено	тождество	.
Докажите , что если два выражения А и В с переменной а тождественно равны , то при замене в тождестве всюду буквы а на выражение X получается	тождество	.
Как доказать	тождество	.
Таким образом , получается новое	тождество	.
В	тождество	подставим значения , заметив , что .
Подстановка в	тождество	.
Это	тождество	иногда называют формулой сокращенного возведения суммы двух чисел в квадрат или формулой квадрата суммы .
В итоге получаем	тождество	.
2 Как вы понимаете	тождество	? .
Если теперь в	тождество	подставить значения , получим .
Запишем	тождество	.
Подставим в	тождество	значения .
Известно	тождество	.
Подставляя в это	тождество	переменную х вместо буквы а и число 5 вместо буквы b , получаем тождество .
Получим ещё одно новое	тождество	.
Заменив в тождестве букву а на переменную х и букву b на число -1 , получим	тождество	.
5 Из данного тождества подстановкой вместо букв указанных выражений получите новое	тождество	.
Важным приёмом получения новых тождеств является подстановка в известное	тождество	вместо букв некоторых буквенных ( или числовых ) выражений .
Поменяем местами правую и левую части и получим новое	тождество	.
Подставляя в это тождество переменную х вместо буквы а и число 5 вместо буквы b , получаем	тождество	.
7 Из данного тождества умножением на заданное выражение получите новое	тождество	.
7 Какое равенство называется	тождеством	? .
3 Какое уравнение можно назвать	тождеством	? .
По этой причине равенство иногда называют	тождеством	или тождественным равенством .
Покажите , что записанное равенство не является	тождеством	.
Покажите , что записанное равенство является	тождеством	.
Когда важно подчеркнуть , что равенство буквенных выражений является	тождеством	, используют запись .
Вернёмся к	тождеству	.
На сколько равных частей можно разбить отрезок АС , чтобы точка В была одной из	точек	деления ? .
Графиком функции ( функциональной зависимости ) называется множество всех	точек	координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
График этого уравнения состоит из всех	точек	, координаты которых имеют вид , где а — любое число .
Изобразим график линейной функции и выделим часть	точек	этого графика , абсциссы которых отрицательны .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат	точек	графика функции .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех	точек	М .
Найдите множество всех	точек	М таких , что проведённые из них отрезки МВ и МС касательных к окружностям равны между собой .
Изобразим на график линейной функции и выделим часть	точек	этого графика , абсциссы которых неотрицательны .
На координатной плоскости множество всех	точек	вида , где k — фиксированное число , есть прямая .
Пусть S и S ' — основания перпендикуляров , проведённых соответственно из	точек	R и R ' к оси Ох .
2.2 Какие три из приведённых	точек	лежат на одной прямой ? .
2.2 Какие три из приведённых четырёх	точек	лежат на одной прямой , проходящей через начало координат ? .
а ) G1 и G2 не имеют общих	точек	.
Точка D отлична от точки С , абсциссы этих	точек	равны между собой , поэтому ординаты точек D и С различны , то есть g не равно kf .
Точка D отлична от точки С , абсциссы этих точек равны между собой , поэтому ординаты	точек	D и С различны , то есть g не равно kf .
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют график уравнения то есть множество всех	точек	вида с координатами где а — любое число .
4 ) диагонали не имеют общих	точек	.
Докажите , что если точка М не лежит на границе стоугольника и число	точек	пересечения нечётно , то точка М лежит внутри стоугольной области .
б ) найдите кратчайшее из расстояний от точки А до	точек	окружности .
2.4 Для каких из указанных	точек	плоскости ордината больше удвоенной абсциссы ? .
2.1 Какая пара	точек	лежит на прямой , проходящей через начало координат ? .
в ) найдите кратчайшее из расстояний от точки А до	точек	окружности .
Сколько пар неразвёрнутых углов с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди	точек	пересечения данных прямых ? .
5 Какое множество	точек	задаёт уравнение ?
Следовательно , расстояния от	точек	В и К до прямой AD равны .
4 Определите , какие из пар	точек	лежат на одной прямой , проходящей через начало системы координат .
4 Какой вид на координатной плоскости имеет множество всех	точек	( х ; у ) при , где b — число ? .
2 Какие примеры множеств	точек	на числовой оси вы знаете ? .
Из	точек	В и С проведены лучи , пересекающиеся в точке К так , что .
Геометрическая фигура называется выпуклой , если для любых двух	точек	А и В этой фигуры все точки отрезка АВ принадлежат этой фигуре .
Докажите , что проведённые к этим сторонам высоты треугольников либо лежат на одной прямой , либо не имеют общих	точек	.
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех	точек	числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из	точек	деления проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции .
Не вводя общего понятия множества , будем называть этим словом произвольный набор чисел , а также произвольный набор	точек	числовой прямой .
Таким образом , отрезки АВ и CD не имеют общих	точек	.
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с вершиной А и подсчитали число	точек	пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
Значит , решениями системы уравнений являются пары координат	точек	пересечения М и N окружности и прямой .
В зависимости от того , где расположится точка пересечения отрезка ВВ2 с прямой АС относительно	точек	А и С , будем иметь один из рисунков .
Полученное множество решений уравнения удобно представить в виде множества	точек	на координатной плоскости .
Аналогично , опустив из	точек	А и В перпендикуляры на координатную ось Оу , по той же теореме получаем пропорцию .
Эта прямая пересечёт основание AD в точке К , отличной от	точек	А и D. При этом образуются треугольник АВК и параллелограмм BCDK .
Из	точек	А и В опустим перпендикуляры на координатную ось Ох .
Если при этом окажется , что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой , а никакие два не соседних отрезка не имеют общих	точек	, то полученную фигуру будем называть пятиугольником .
Найдите множество всех	точек	М плоскости таких , что проведённые из них к окружности S отрезки касательных равны АВ .
Пусть Q и Q ' — основания перпендикуляров , проведённых соответственно из	точек	Р и Р ' к оси Ох .
Чтобы получить пятиугольник , можно взять пять различных	точек	и последовательно соединить их пятью отрезками так , что последняя точка будет соединена с первой .
Так как отрезок AM можно единственным образом разбить на три равные части , из равенств следует совпадение	точек	F и О .
1.4 Сколько общих	точек	имеют графики уравнений .
2.1 Какие из	точек	лежат на прямой .
4 Внутри треугольника АВС выбрана произвольная	точка	М. Докажите , что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника АВС .
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому	точка	М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В ,	точка	D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Ясно , что	точка	А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что	точка	М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
Значит , точка О является серединой отрезка MM1 а поэтому	точка	М1 симметрична точке М относительно точки О .
2.2 На стороне ВС треугольника АВС выбрана	точка	М и проведены отрезки , причём известно , что отрезки MN и KL не пересекаются .
Следовательно ,	точка	R является точкой графика Г уравнения .
В треугольнике АВС	точка	М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
У отрезка АБ	точка	В лежит в полуплоскости а , а точка А — на границе этой полуплоскости .
У отрезка АБ точка В лежит в полуплоскости а , а	точка	А — на границе этой полуплоскости .
Аналогично получается , что у отрезка CD	точка	D лежит в полуплоскости β , точка С — на границе этой полуплоскости , а все остальные точки — в полуплоскости β .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L -	точка	пересечения этих полуокружностей .
Поэтому	точка	М1 является серединой отрезка А1D1 .
Как будет выглядеть чертёж в данной задаче , если	точка	А попадёт на отрезок СЕ ? .
На продолжении высоты ВН выбрана	точка	М так , что . Найдите площадь треугольника АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 .
Аналогично получается , что у отрезка CD точка D лежит в полуплоскости β ,	точка	С — на границе этой полуплоскости , а все остальные точки — в полуплоскости β .
Различные точки А и А1 называют симметричными относительно точки О , если	точка	О является серединой отрезка АА1 .
Заметим , что если	точка	( х0 ; у0 ) удовлетворяет этому уравнению , то точки также удовлетворяют этому уравнению .
Как доказать , что	точка	касания окружностей лежит на прямой , проходящей через центры окружностей ? .
Чтобы получить пятиугольник , можно взять пять различных точек и последовательно соединить их пятью отрезками так , что последняя	точка	будет соединена с первой .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая	точка	фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая	точка	фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
В зависимости от того , где расположится	точка	пересечения отрезка ВВ2 с прямой АС относительно точек А и С , будем иметь один из рисунков .
Действительно , при повороте на 180 ° любая	точка	М перейдёт в точку M1 расположенную на луче , дополнительном к лучу ОМ , причём .
Если	точка	а расположена левее точки b , то расстояние между а и b не превосходит расстояния между а1 и b , то есть .
6 На высоте ВН равнобедренного треугольника с основанием АС выбрана произвольная	точка	D. Докажите , что .
Пусть D —	точка	пересечения прямой АВ с осью симметрии .
Если	точка	а расположена правее точки b , то расстояние между а и b не превосходит расстояния между а2 и b , то есть .
17 В параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей параллелограмма , точка I — середина BE ,	точка	К — середина .
17 В параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ,	точка	I — середина BE , точка К — середина .
Докажем , что	точка	пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии .
Пусть О —	точка	пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
1.1 В треугольнике АВС проведена медиана СМ , на отрезке AM взята	точка	Н так , что .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ ,	точка	К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
Изображён многоугольник и отмечена точка А. Где находится эта	точка	, вне многоугольника или внутри его ?
Если	точка	А имеет координаты А(а ; b ) , то для чисел а и b выполняются равенства .
Докажите , что	точка	пересечения внешних касательных , точка пересечения внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой .
1.4 На стороне АС треугольника АВС выбрана	точка	D так , что .
Докажите , что если точка М не лежит на границе стоугольника и число точек пересечения нечётно , то	точка	М лежит внутри стоугольной области .
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте	точка	М перешла в точку Ν.
Равный ему треугольник О1НО2 может быть построен двумя способами :	точка	Н лежит либо в верхней полуплоскости относительно прямой О1О2 , либо в нижней полуплоскости .
Докажите , что если	точка	М не лежит на границе стоугольника и число точек пересечения нечётно , то точка М лежит внутри стоугольной области .
Значит ,	точка	О является серединой отрезка MM1 а поэтому точка М1 симметрична точке М относительно точки О .
Докажите , что точка пересечения внешних касательных ,	точка	пересечения внутренних касательных и центры кругов лежат на одной прямой .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на стороне АС находится	точка	Р пересечения отрезков ВК и AM .
Изображён многоугольник и отмечена	точка	А. Где находится эта точка , вне многоугольника или внутри его ?
9 В треугольнике АВС выбраны	точка	К на стороне АВ и точка L на стороне ВС так , что .
Проведите прямую l так , чтобы она пересекала стороны угла в точках А и В , а	точка	М являлась серединой отрезка АВ .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя	точка	N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади трапеции MNCD ? .
2.3 На плоскости выбраны четыре различные точки А , В , С , D так , что отрезки АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена	точка	К пересечения прямых АВ и CD .
Пусть	точка	А лежит вне заданной прямой CD .
Следовательно ,	точка	С(f ; g ) не принадлежит графику уравнения .
9 В параллелограмме ABCD	точка	К — середина стороны AD , точка L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней	точка	М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
В треугольнике АВС	точка	N на стороне АС и точка М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р. Доказать , что .
Докажем , что	точка	N — середина стороны ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через точку С прямую l , параллельную прямой АВ .
9 Даны прямая а , окружность S и	точка	F , не лежащая на них .
Покажем , как , опираясь на основные свойства прямых , доказать , что такая	точка	существует .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит	точка	прямой , имеющая координаты .
Затем последовательно соединим их отрезками так , чтобы несоседние отрезки не пересекались , а последняя	точка	была соединена с первой .
Правой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая	точка	которой имеет неотрицательную абсциссу .
Покажем , что всякая	точка	луча , противоположного лучу ОА , принадлежит графику Г уравнения .
Как было доказано в предыдущем пункте ,	точка	Р ' лежит на луче ОА .
Изобразим график функции и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама	точка	В не содержится в отмеченной части графика .
10 Даны угол и	точка	М внутри угла .
Таким образом , каждая	точка	луча ОА принадлежит графику Г уравнения .
Изобразим часть графика функции , выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама	точка	D не содержится в отмеченной части графика .
Если взять ещё какое - нибудь значение х и вычислить , то	точка	также попадёт на проведённую прямую .
Например , при получается	точка	В(4 ; 2 ) .
Проведите через точку F прямую , пересекающую прямые аиb в точках А и В так , чтобы	точка	F была серединой отрезка АВ .
Пусть А —	точка	вне окружности с центром О , АВ и АС — различные отрезки касательных к одной и той же окружности .
8 Даны пересекающиеся прямые а и b и	точка	F , не лежащая на прямых .
Следовательно ,	точка	В , симметричная точке А прямой , расположена на графике уравнения .
Координаты точки О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому	точка	О принадлежит графику Г .
9 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD ,	точка	L — середина стороны ВС. Докажите , что отрезки ВК и DL делят диагональ АС на три равные части .
Даны отрезок длины а , угол с вершиной А и	точка	В на одной из сторон угла .
Следовательно ,	точка	Р — середина стороны KQ треугольника KQM .
Какие координаты имеет	точка	пересечения прямой и прямой , где к отлично от нуля ? .
В треугольнике АВС точка N на стороне АС и	точка	М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р. Доказать , что .
Заметим , что	точка	b является серединой промежутка .
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то	точка	D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения .
Найдите координаты вершин квадрата ABCD , симметричного относительно точки О , если известно , что	точка	А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
9 В треугольнике АВС выбраны точка К на стороне АВ и	точка	L на стороне ВС так , что .
Поэтому	точка	N принадлежит графику уравнения .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О	точка	М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
Так как при таком повороте точка А перейдёт в точку В ,	точка	В перейдёт в точку С .
Справедливо и обратное : всякая	точка	Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика уравнения .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная	точка	и через эту точку проведены прямые , параллельные сторонам параллелограмма .
Так как	точка	М — середина АВ , то .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R —	точка	прямой CD .
Так как при таком повороте	точка	А перейдёт в точку В , точка В перейдёт в точку С .
На сколько равных частей можно разбить отрезок АС , чтобы	точка	В была одной из точек деления ? .
Левой полуплоскостью назовём полуплоскость , каждая	точка	которой имеет неположительную абсциссу .
Найдите на окружности точку А и на прямой точку В так , чтобы	точка	F была серединой отрезка АВ .
Например , таким способом по	точкам	можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
2.5 Построение графика линейной функции по	точкам	пересечения с осями координат .
2.4 Построение графика линейной функции по двум различным	точкам	.
Решения второго уравнения представляются	точками	графика функции у.
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между	точками	С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между точками касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между	точками	касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между	точками	А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
Расстояния между	точками	её пересечения с окружностями могут быть следующими .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между	точками	касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Примером выпуклой фигуры является многоугольная область , потому что в этой области вместе с любыми	точками	М и N содержатся все точки отрезка MN .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков	точками	Е , F , G , Н. Площади каких треугольников равны площади ромба ? .
Затем отрезки АВ и МС разделены на четыре равные части каждый	точками	.
Соединив отрезками центр О окружности с	точками	касания В и С , получим , что ОВ АВ , ОС АС .
8 Окружности О1 и О2 касаются прямой внешним образом , расстояние между	точками	касания равно 12 см. Прямая l2 является внутренней общей касательной к окружностям О1 и О2 , расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите радиусы окружностей О1 и О2 , если известно , что радиус одной из них в 5 раз больше радиуса другой .
в ) имеет бесконечное множество решений , изображающееся	точками	некоторой прямой .
В координатной плоскости решения первого уравнения представляются	точками	графика функции .
Проведите через точку F прямую , пересекающую прямые аиb в	точках	А и В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Аналогично прямая n пересекает вторую окружность в двух	точках	.
Прямая l пересекает стороны ВС , CD , DE в	точках	F , G , Н соответственно , причём .
Через точку К биссектрисы угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в	точках	В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
7 Две окружности с центрами Ох и О2 пересекаются в двух различных	точках	А и В. Докажите , что треугольники О1АО2 и ОХВО2 равны .
Проведите прямую l так , чтобы она пересекала стороны угла в	точках	А и В , а точка М являлась серединой отрезка АВ .
Окружности радиуса R с центром в	точках	О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
Параллельные прямые АВ и CD пересекаются секущей MN в	точках	Р и Q. Проведём через точку Q прямую C1D1 так , что .
3 Две окружности с радиусами 2 см и R2 1 см касаются прямой а в	точках	А и В и расположены в одной полуплоскости относительно прямой а .
Пусть на плоскости заданы такие прямые АВ и CD , что прямая MN пересекает АВ и CD в различных	точках	Р и Q. Говорят , что прямая MN — секущая для прямых АВ и CD .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в	точках	А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением вершин треугольника ? .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в	точках	А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
15 Через точку М , данную вне окружности О , проведите прямую так , чтобы она пересекла окружность в двух	точках	А и В и отрезок АВ имел заданную длину .
Докажите , что стороны MN и KL восьмиугольника с вершинами в этих	точках	равны .
Эта окружность пересекает луч PS в двух	точках	— R1 и R2 .
Углы с вершинами в	точках	С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
13 Две окружности касаются внешним образом друг друга в точке А и касаются некоторой прямой в	точках	В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
4 Две окружности с радиусами Вт 2 см и R2 4 см касаются прямой а в	точках	А и В и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой а .
1 Стороны двух квадратов , имеющих общий центр , пересекаются попарно в восьми	точках	.
Прямая m проходит через центр О1,а поэтому пересекает первую окружность в двух	точках	.
Через точки К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в	точках	Р и Q. Найдите отношение .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в	точках	К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Сколько всего развёрнутых углов можно указать на рисунке с вершинами в	точках	пересечения ? .
С другой стороны , в 6 классе было показано , что на числовой оси середина отрезка с концами в	точках	с координатами d и f имеет координату ( d + f ) .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в	точках	А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
Проведём через точки А , В , С , D , Е параллельные между собой прямые , пересекающие стороны угла соответственно в	точках	К , L , М , N , О .
1.2 Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в	точках	В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух	точках	R и R1 .
Проведём через точки А , В , С параллельные секущие , пересекающие вторую сторону угла в	точках	Α1 , B1 , С1 .
5 В параллелограмме биссектрисы углов при вершинах пересекаются попарно в четырёх различных	точках	.
15 Продолжения сторон АВ и СВ треугольника АВС пересекаются в	точках	М и N прямой , параллельной прямой АС .
Отсюда следует , что на оси Оу число и b/2 является координатой середины отрезка с концами в	точках	с координатами d и f .
1.3 Окружность , вписанная в прямоугольный треугольник АВС , касается катетов АС и ВС в	точках	Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
24 Окружность касается трёх сторон четырёхугольника ABCD и пересекает сторону CD в двух различных	точках	, как изображено .
Когда окружности пересекаются в двух различных	точках	, то их две внешние общие касательные , а внутренних касательных не существует .
Иногда для удобства отрезок общей касательной к двум окружностям с концами в	точках	касания тоже называется общей касательной .
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную	точке	А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
Из точек В и С проведены лучи , пересекающиеся в	точке	К так , что .
Для любого угла с вершиной в точке А существует соответствующий ему угол с вершиной в	точке	В. Например , Z1 и Z3 .
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную	точке	В относительно точки О .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в	точке	К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной	точке	К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
6 Постройте окружность заданного радиуса , которая касается данной прямой в данной	точке	.
Для любого угла с вершиной в	точке	А существует соответствующий ему угол с вершиной в точке В. Например , Z1 и Z3 .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с центром в	точке	К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная	точке	С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения .
Следовательно , точка В , симметричная	точке	А прямой , расположена на графике уравнения .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в	точке	N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
диагонали параллелограмма в	точке	пересечения делятся пополам .
13 Две окружности касаются внешним образом друг друга в	точке	А и касаются некоторой прямой в точках В и С. Докажите , что угол ВАС равен 90 ° .
Тогда они пересекаются в некоторой	точке	К .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при параллельных прямых , поэтому Z1 также либо равен углу с вершиной в	точке	В , либо дополняет его до 180 ° .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в	точке	М ? .
В таком случае точку А1 называют симметричной точке А относительно точки О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной	точке	А1 относительно точки О .
В треугольнике АВС точка N на стороне АС и точка М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в	точке	Р. Доказать , что .
Для любого угла с вершиной в	точке	А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в точке С. Пусть это углы 1 и 3 .
Для любого угла с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в	точке	С. Пусть это углы 1 и 3 .
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой угол с вершиной в	точке	В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
Если в четырёхугольнике диагонали в	точке	пересечения делятся пополам , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
Продолжим касательные до пересечения в	точке	К. Тогда из точки К к большей окружности проведены отрезки касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в	точке	М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из точки А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
1.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна 54 см2 , медианы пересекаются в	точке	Р. Чему равна площадь невыпуклого четырёхугольника АРВС ? .
Проведём в полуплоскости а различные лучи АС , AD , АЕ с началом в	точке	А .
Проведём отрезки AM и BN , пересекающиеся в	точке	L. Докажем , что площадь четырёхугольника LNDM равна площади треугольника ABL .
Изображена окружность с центром О и прямая а , касающаяся окружности в	точке	В .
Затем из точки Q радиусом PR описываем дугу , которая пересечётся с первой дугой в	точке	S. Докажем , что прямая PS будет параллельна прямой CD .
Рассмотрим на плоскости два различных луча ОА и ОВ с началом в	точке	О. Напомним , что такую геометрическую фигуру называют углом ЛОВ .
Отрезки АВ , CD и EF пересекаются в одной	точке	О и каждый из них делится точкой О пополам .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в	точке	О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в	точке	Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох	точке	Q(b ; kb ) графика уравнения .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в	точке	Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
Если предположить , что прямые пересекаются в какой - то	точке	с координатами ( m ; n ) , то тогда одновременно должны выполняться равенства , откуда , что невозможно .
Проведём окружность с центром в	точке	Q радиуса А2В2 .
Отрезки KN и LM пересекаются в	точке	Р. Найдите отношение .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в	точке	.
1 В трапеции ABCD проведены диагонали , пересекающиеся в	точке	Е. Докажите , что углы треугольников ВСЕ и DAE соответственно равны .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в	точке	К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
Отрезки ВМ и СК пересекаются в	точке	Р. Найдите отношение .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в	точке	Координата каждой его точки меньше либо равна .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в	точке	Q , где R — точка прямой CD .
По аксиоме параллельности прямая m не может быть параллельной прямой b , поэтому прямая m пересекает прямую в некоторой	точке	В .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в	точке	К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в положительную сторону , с началом в	точке	-2 .
В результате построения получим отрезки АС и BD , которые в	точке	пересечения делятся пополам .
Покажем , что внутренняя касательная делит пополам отрезок внешней касательной в	точке	их пересечения , то есть AF FB .
Две окружности называют касающимися внешним образом , если они касаются некоторой прямой в одной и той же	точке	и расположены по разные стороны от этой прямой .
Рассмотрим точку В(-2 ; 3 ) , симметричную	точке	А относительно оси Оу .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в	точке	А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
В таком случае точку А1 называют симметричной	точке	А относительно точки О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной точке А1 относительно точки О .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в	точке	Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в	точке	Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Две окружности называют касающимися внутренним образом , если они касаются некоторой прямой в одной	точке	и расположены по одну сторону от этой прямой .
Диагонали четырёхугольника ABCD площади 60 см2 пересекаются в	точке	М причём .
Проведём через точку N прямую параллельно прямой AM , пересекающую сторону ВС в	точке	К .
Координаты точки N , симметричной	точке	М относительно оси Ох , имеют вид ( а ; -kа ) .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в	точке	М. Найдите множество всех точек М .
Отрезки СМ и DN пересекаются в	точке	Р. Докажите , что .
Значит , точка О является серединой отрезка MM1 а поэтому точка М1 симметрична	точке	М относительно точки О .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой	точке	фигуры Ф1 относительно точки О .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в	точке	G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в	точке	В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
24 Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС пересекаются в	точке	Р. Докажите , что площади треугольников АВР и CDP равны .
Отрезки DH и FG пересекаются в	точке	К. Найдите отношение .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в	точке	А окружности с центром О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Мы установили , что если через середину М стороны АВ провести прямую m , параллельную стороне АС , то такая прямая пересечёт сторону ВС в её середине , то есть в	точке	Ν .
Прямая l пересекает сторону АВ в	точке	F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите угол CGF .
Диагонали параллелограмма в	точке	пересечения делятся пополам , поэтому так как .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в	точке	Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в	точке	В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
1.1 Изображены две прямые , на каждой из которых выбраны по одной	точке	М и N соответственно .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в	точке	Н , причём Найдите угол CGF .
В этом случае из точки С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в	точке	А , другой — в точке В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
Медианы треугольника пересекаются в одной	точке	, и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой	точке	фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Если продолжить боковые стороны трапеции , то они пересекутся в некоторой	точке	.
С центром в	точке	F и радиусом О1О2 проведём окружность .
Функцию , которая в каждой	точке	а принимает значение { а } , можно записать в виде .
22 Даны прямая l и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в	точке	А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в	точке	А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от точки А до прямой l равно 2 см .
Продолжения боковых сторон АВ и CD пересекаются в	точке	М. При этом образуются два треугольника AMD и ВМС .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от точки А к точке В , то получим один угол Если двигаться от точки А к	точке	В против часовой стрелки , то получим другой угол .
14 Вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в	точке	М , вневписанная окружность касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
Лучи PS и QS1 пересекаются в выделенной полуплоскости в	точке	R .
Пусть диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в	точке	О .
13 Постройте окружность , которая касается одной стороны данного угла и другой его стороны в данной на ней	точке	.
14 Вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же стороны в	точке	К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
Эта прямая пересечёт основание AD в	точке	К , отличной от точек А и D. При этом образуются треугольник АВК и параллелограмм BCDK .
Сколько неразвёрнутых углов образуют 100 прямых , пересекающихся в одной	точке	? .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в	точке	В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
11 Отрезки АВ и CD пересекаются	точке	О , причём .
Обозначим ( с ; f ) координаты точки В , симметричной	точке	А(с ; -kс ) относительно оси .
17 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в	точке	D. Докажите , что .
Через основание этой биссектрисы проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в	точке	К. Докажите , что треугольник AKL равнобедренный .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в	точке	А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Проведём через вершину С и середину М боковой стороны AD прямую до пересечения с прямой АВ в	точке	Р .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в	точке	В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от точки А к	точке	В , то получим один угол Если двигаться от точки А к точке В против часовой стрелки , то получим другой угол .
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в	точке	О. Найдите углы треугольников АОВ , BOL , АОМ , если .
Функцию , которая в каждой	точке	х принимает значение [ х ] , можно записать в виде .
На прямой , проходящей через	точки	А и С , от точки О отложим отрезок ОР , равный диагонали АС .
Как вы понимаете слова « внутренние	точки	четырёхугольника » ? .
Через	точки	( 0 ; -1 ) и ( 3 ; 1 ) проведём прямую .
Построим прямую с уравнением и отметим	точки	М и К пересечения этой прямой с графиком уравнения .
9 Окружности О1 и О2 касаются друг друга в точке А. К окружностям проведена общая касательная I , отрезок которой между точками касания имеет длину 5 см. Найдите радиусы окружностей , если известно , что расстояние от	точки	А до прямой l равно 2 см .
Решением системы являются координаты общей	точки	А построенных графиков .
Докажите , что	точки	А , В , С расположены на одной прямой .
2.4 На плоскости заданы	точки	А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С центрами А и В и радиусами R и r проводятся окружности и строится отрезок CD их общей внешней касательной .
Заметим , что если точка ( х0 ; у0 ) удовлетворяет этому уравнению , то	точки	также удовлетворяют этому уравнению .
3 Равносторонние треугольники ABF и FCD расположены так , что	точки	A , F , D лежат на одной прямой .
Для	точки	К приближённое значение абсциссы равно 0,7 , а приближённое значение ординаты равно 1,3 .
8 В параллелограмме ABCD	точки	М и К — середины сторон АВ и CD .
Изобразим оба графика и найдём координаты	точки	А их пересечения .
Сколько всего различных невыпуклых четырёхугольников можно получить , по - разному соединяя эти	точки	? .
Найдите расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от вершины угла до	точки	касания равно 2 см .
В свою очередь отрезки ВК и BL тоже равны по свойству отрезков касательных , проведённых из	точки	В .
1.4 В треугольнике АВС , площадь которого равна 18 см2 , на сторонах АВ и ВС выбраны	точки	М и N так , что . 1 .
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из	точки	В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из	точки	А к этой окружности .
Чему равно расстояние от	точки	F до прямой EN ? .
Так как по рисунку можно лишь приближённо указать координаты	точки	, то найденные значения проверим подстановкой .
Если точка а расположена правее	точки	b , то расстояние между а и b не превосходит расстояния между а2 и b , то есть .
Все эти	точки	с координатами ( -2 ; а ) составляют вертикальную прямую .
Выбранные	точки	называют вершинами четырёхугольника , а проведённые отрезки — сторонами четырёхугольника .
Докажите , что	точки	касания являются вершинами равнобедренной трапеции .
Для построения этого графика найдём при х 1 значение у b 4 и при х b 2 значение у b Через	точки	( 1 ; 4 ) и проведём прямую .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной	точки	с целочисленными координатами за исключением вершин треугольника ? .
5 Внутри треугольника АВС выбраны три произвольные	точки	М , N , К. Докажите , что периметр треугольника MNK меньше периметра треугольника АВС .
На прямой , проходящей через точки А и С , от	точки	О отложим отрезок ОР , равный диагонали АС .
Каковы точные координаты	точки	К из примера 6 ? .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются	точки	М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
Уравнение или является уравнением прямой , проходящей через	точки	А(0 ; -2 ) и В(3 ; -1 ) .
1.4 В параллелограмме ABCD , площадь которого равна 32 см2 , на сторонах ВС и CD отмечены	точки	М и N так , что .
Изобразим	точки	а1 , b и а2 на числовой прямой .
Как доказать , что если взять две	точки	М и N выпуклой многоугольной области , то все точки отрезка MN содержатся в этой области ? .
Как доказать , что если взять две точки М и N выпуклой многоугольной области , то все	точки	отрезка MN содержатся в этой области ? .
Общие	точки	всех полуплоскостей α , β , γ , δ лежат либо внутри четырёхугольника ABCD , либо на его границе .
каждая сторона содержит только две	точки	, принадлежащие другим сторонам .
Геометрическая фигура называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все	точки	отрезка АВ принадлежат этой фигуре .
Четырёхугольная область не является выпуклой , потому что можно найти такие две	точки	этой области , например М и N , что не все точки отрезка MN содержатся в данной области .
Четырёхугольная область не является выпуклой , потому что можно найти такие две точки этой области , например М и N , что не все	точки	отрезка MN содержатся в данной области .
Возьмём четыре различные	точки	, никакие три из которых не лежат на одной прямой .
Примером выпуклой фигуры является многоугольная область , потому что в этой области вместе с любыми точками М и N содержатся все	точки	отрезка MN .
Свойство	точки	пересечения медиан .
22 Даны прямая l и на ней	точки	А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей , одна из которых касается прямой l в точке А , другая касается прямой l в точке В , и окружности касаются друг друга в точке М. Найдите множество всех точек М .
Если точка а расположена левее	точки	b , то расстояние между а и b не превосходит расстояния между а1 и b , то есть .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство	точки	пересечения медиан треугольника .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через	точки	А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
При каких из указанных способов выбора	точки	М длина отрезка ML будет больше половины длины отрезка ВС ? .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от точки А к точке В , то получим один угол Если двигаться от	точки	А к точке В против часовой стрелки , то получим другой угол .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от	точки	А к точке В , то получим один угол Если двигаться от точки А к точке В против часовой стрелки , то получим другой угол .
Рассмотрим симметрию относительно	точки	О .
Отрезки касательных , проведённых к окружности из одной	точки	, равны .
Выберем на прямой а точку А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из	точки	А к окружности с центром О .
Все	точки	, ордината которых равна 2 , расположены на прямой , перпендикулярной оси Оу и проходящей через точку ( 0 ; 2 ) .
5 Найдите общие	точки	промежутков .
В этом случае из	точки	Н восставлены два различных перпендикуляра АН и ВН .
В этом случае из	точки	С опущены два различных перпендикуляра на прямую с , пусть один пересекает эту прямую в точке А , другой — в точке В. На прямой а отложим отрезок AD , равный АС .
2.1 В треугольнике АВС	точки	К , L , М — середины сторон .
Таким образом ,	точки	С , В , D лежат на одной прямой , и прямые а и b совпадают .
Глава 11 Свойства окружностей/. В этой главе вы вспомните про касательные к окружности , узнаете важное свойство отрезков касательных , проведённых к окружности из одной	точки	, научитесь строить общую касательную к двум окружностям .
4 Найдите общие	точки	промежутков .
Если удалить его начало , то останутся	точки	, координата каждой из которых больше -2 .
2.3 На плоскости выбраны четыре различные	точки	А , В , С , D так , что отрезки АВ , АС и AD равны , ΖВАС b ZBAD и отмечена точка К пересечения прямых АВ и CD .
Координата каждой его	точки	больше либо равна -2 .
Из свойств перемещения следует , что при этом отрезки АБ , ВС , CD , DA переходят соответственно в отрезки CD , DA , АВ , ВС , то есть весь параллелограмм ABCD переходит в себя при симметрии относительно	точки	пересечения диагоналей .
Рассмотрим на числовой прямой луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке Координата каждой его	точки	меньше либо равна .
Докажем , что при центральной симметрии относительно	точки	О прямая l , не проходящая через точку О , переходит в прямую m , параллельную прямой l .
10 Найдите на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 4 от	точки	1 .
10 Найдите на числовой оси	точки	, находящиеся на расстоянии 4 от точки 1 .
Сначала из	точки	А опустим перпендикуляр АХ на прямую CD .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее	точки	А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Как построить окружность , центрально симметричную данной окружности относительно заданной	точки	F ? .
При каких способах выбора	точки	К длина отрезка МР будет меньше одной трети медианы AM ? .
5 Из	точки	А проведены две касательные к окружности .
Тем самым все	точки	луча , противоположного лучу ОА , принадлежат графику Г уравнения .
Отсюда следует , что лучи СВ и СВ2 совпадают , а значит ,	точки	В и В2 совпадают .
5 Укажите ось симметрии окружности и двух касательных , проведённых к окружности из одной	точки	.
3 Что можно сказать об отрезках касательных , проведённых из одной	точки	к одной и той же окружности ? .
На координатной плоскости	точки	( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на графике линейной функции .
Фигура , центрально симметричная длиной фигуре относительно	точки	О , может быть получена поворотом вокруг точки О на 180 ° .
Рассмотрим два равносторонних треугольника АВС и CDE , где	точки	А , С , Е принадлежат одной прямой , а точки М и N — середины отрезков AD и BE .
Таким образом , все	точки	графика уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки луча , противоположного лучу ОА .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в левой полуплоскости , — это все	точки	луча , противоположного лучу ОА .
2.4 В треугольнике АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной	точки	К на стороне АС находится точка Р пересечения отрезков ВК и AM .
Рассмотрим описанный около окружности четырёхугольник ABCD и отметим	точки	касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках касательных получим равенства .
10 Площадь треугольника АВС равна 99 см2 , а	точки	М и N делят сторону АС на три равные части .
2.2 Из	точки	О проведены 6 лучей таким образом , что углы , образуемые любыми двумя соседними лучами , равны .
Значит , точка О является серединой отрезка MM1 а поэтому точка М1 симметрична точке М относительно	точки	О .
11 Площадь треугольника АВС равна 20 см2 , а	точки	М и N расположены на прямой АС .
Эта прямая проходит через отмеченные	точки	графика .
График уравнения есть прямая , проходящая через	точки	0(0 ; 0 ) и А(2 ; 3 ) .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные	точки	расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника MNK .
Пусть вписанная в него окружность касается стороны АВ в точке М , стороны ВС в точке N , стороны АС в точке К. Обозначим длину отрезка АК через х. Отрезок AM другой касательной , проведённой из	точки	А , также равен х. Длины равных отрезков касательных СК и CN обозначим через у , а длины отрезков BN и ВМ через z. Тогда .
Площадь треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно	точки	М , N , К так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
Используя таблицу , отметим	точки	с соответствующими координатами .
Фигура , центрально симметричная длиной фигуре относительно точки О , может быть получена поворотом вокруг	точки	О на 180 ° .
9 Найдите на числовой оси точки , находящиеся на расстоянии 2 от	точки	5 .
9 Найдите на числовой оси	точки	, находящиеся на расстоянии 2 от точки 5 .
Выберем на прямой l любые две различные	точки	А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно	точки	О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
1.3 Изображены три прямые и три	точки	их пересечения .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно	точки	О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
Так как предположение о существовании	точки	пересечения прямых приводит к противоречию , то тем самым доказана параллельность этих прямых .
Найдите координаты вершин квадрата ABCD , симметричного относительно	точки	О , если известно , что точка А имеет координаты ( -7 ; 3 ) .
Проведём через	точки	А , В , С , D , Е параллельные между собой прямые , пересекающие стороны угла соответственно в точках К , L , М , N , О .
Через	точки	А , В , С провести параллельные между собой прямые , не пересекающие вторую сторону угла ? .
Даны прямая АС и два луча , выходящие из	точки	В. Суммы каких углов дают развёрнутый угол ? .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q	точки	пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные	точки	F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Проведём через	точки	А , В , С параллельные секущие , пересекающие вторую сторону угла в точках Α1 , B1 , С1 .
Для прямой обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее	точки	А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
7 По разные стороны от данной прямой на расстоянии 10 см и 4 см от неё даны две	точки	А и В. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой прямой .
Чему равно расстояние от вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см до	точки	пересечения его медиан ? .
Аналогично можно рассмотреть медианы AM и СР и получить , что для	точки	F их пересечения выполняются соотношения .
Следовательно , для	точки	О пересечения медиан AM и BN выполняются соотношения .
Полученный луч ОВ без	точки	О является частью графика функции .
Свойство	точки	пересечения медиан треугольника .
Координаты	точки	N , симметричной точке М относительно оси Ох , имеют вид ( а ; -kа ) .
Следовательно ,	точки	Б и С лежат в различных полуплоскостях α и β .
Это значит , что	точки	А и С расположены в одной полуплоскости относительно прямой m .
Абсцисса каждой	точки	графика функции принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
Например , вне прямой можно выбрать какую - нибудь точку , через две	точки	проходит единственная прямая .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что	точки	А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в точку Μ1(-a ; -b ) .
Затем из	точки	Q радиусом PR описываем дугу , которая пересечётся с первой дугой в точке S. Докажем , что прямая PS будет параллельна прямой CD .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от	точки	Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
13 В треугольнике АВС выбраны	точки	К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что . Найдите отношение .
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно	точки	О .
Соединяя последовательно отрезками	точки	А , В , С и D , получим четырёхугольник .
Если удалить его начало , то останутся	точки	, координата каждой из которых меньше .
12 В треугольнике АВС выбраны	точки	М на стороне АС и К на стороне АВ так , что .
11 В треугольнике АВС выбраны	точки	К и L на стороне АВ , М и N на стороне АС так , что .
Так как отрезки BD и АС пересекаются , то	точки	Б и Б лежат в разных полуплоскостях .
Следовательно , все остальные	точки	отрезка АВ лежат в полуплоскости ос .
Аналогично получается , что у отрезка CD точка D лежит в полуплоскости β , точка С — на границе этой полуплоскости , а все остальные	точки	— в полуплоскости β .
Поэтому , соединяя последовательно отрезками	точки	А , В , С , D , получаем четырёхугольник .
Отсюда следует , что для построения этого графика достаточно определить две различные его	точки	и провести через них прямую .
1 Какие	точки	называют центрально симметричными относительно некоторой точки ? .
1 Какие точки называют центрально симметричными относительно некоторой	точки	? .
1.1 Дана прямая АВ и	точки	С , D , Е. Сколько различных перпендикуляров можно провести через С , D , и Е к прямой АВ ? .
2 Какую фигуру называют центрально симметричной другой фигуре относительно некоторой	точки	? .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие	точки	фигур образуют центрально симметричную фигуру с центром О .
10 В треугольнике АВС выбраны	точки	D на стороне АВ , F на стороне АС , G и Н на стороне .
Через	точки	К и L проводятся прямые , параллельные стороне АС и пересекающие медиану BD в точках Р и Q. Найдите отношение .
3 Внутри квадратной области Κλ выбрали некоторую точку Fи построили фигуру К2 , симметричную К1 относительно	точки	F .
Какую фигуру образуют общие	точки	фигур К1 и К2 ? .
Таким образом	точки	G , К и Н лежат на одной прямой .
Какой вид имеет линейная функция , график которой проходит через	точки	А(-1 ; -3 ) и В(2 ; 0 ) ? .
7 Постройте треугольник , центрально симметричный данному треугольнику относительно заданной	точки	.
Докажите , что прямая , соединяющая	точки	касания , перпендикулярна прямой , соединяющей точку А и центр окружности .
Рассмотрим два равносторонних треугольника АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной прямой , а	точки	М и N — середины отрезков AD и BE .
В этом случае найти радиус — это найти отрезок стороны АС от вершины С до	точки	касания .
Так как отрезок АВ имеет общую точку М с прямой m , то	точки	А и В лежат в различных полуплоскостях .
Вершинами какого четырёхугольника являются эти	точки	? .
Рассмотрим поворот чертежа вокруг	точки	С на 60 ° по часовой стрелке , и пусть при этом точки А , В , С , D , Е , Μ , N переходят соответственно в точки А1 , B1 , C1 , D1 , Ε1 , Μ1 , Ν1 .
4.2 Центрально симметричные	точки	.
Если , то график функции проходит через	точки	.
Таким образом , все	точки	графика уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , — это все точки луча ОА .
Покажем сначала , что все	точки	луча ОА являются частью графика Г уравнения .
Если к , то график функции проходит через	точки	( 0 ; 0 ) и ( 1 ; к ) .
Поэтому координаты ( с ; d )	точки	В являются решением уравнения .
Этот график можно построить , если отметить	точки	и провести прямую АВ .
Таким образом , все	точки	графика Г уравнения , расположенные в левой полуплоскости , принадлежат лучу , противоположному лучу ОА .
Координаты	точки	О(0,0 ) являются решением уравнения и поэтому точка О принадлежит графику Г .
На какой прямой лежат	точки	с координатами ( x ; kx ) ? .
Различные	точки	А и А1 называют симметричными относительно точки О , если точка О является серединой отрезка АА1 .
Обозначим ( с ; f ) координаты	точки	В , симметричной точке А(с ; -kс ) относительно оси .
Различные точки А и А1 называют симметричными относительно	точки	О , если точка О является серединой отрезка АА1 .
4 Отметим	точки	А и В пересечения лучей О1Н и О2Р с окружностями .
Какие	точки	графика линейной функции лежат на координатных осях ? .
Абсцисса точки D равна f , поэтому ордината	точки	D равна kf .
Если , то график функции проходит через	точки	( 0 ; b ) и , лежащие на координатных осях .
Рассмотрим поворот чертежа вокруг точки С на 60 ° по часовой стрелке , и пусть при этом	точки	А , В , С , D , Е , Μ , N переходят соответственно в точки А1 , B1 , C1 , D1 , Ε1 , Μ1 , Ν1 .
Соединим	точки	касания с центрами соответствующих окружностей и рассмотрим четырёхугольник .
1 На двух параллельных прямых а и b выбраны	точки	А , В , С , D. Докажите , что прямая , проходящая через середину отрезка АВ и параллельная прямой а , пересекает отрезок CD в середине .
Проведём из	точки	В перпендикуляр ВН к стороне AD .
Из любой	точки	К прямой ВС , отличной от точки В , опустим перпендикуляр KL на прямую AD .
Вершинами какого многоугольника являются	точки	пересечения биссектрис всех изображённых углов с вершинами А и В ? .
26 Каждая сторона трапеции разделена на три равные части и	точки	деления соединены .
Из любой точки К прямой ВС , отличной от	точки	В , опустим перпендикуляр KL на прямую AD .
Покажем теперь , что все	точки	графика Г уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой	точки	одной прямой до другой прямой .
Абсцисса	точки	D равна f , поэтому ордината точки D равна kf .
Иногда для построения графика линейной функции удобно находить	точки	пересечения графика с осями координат .
Координаты	точки	D удовлетворяют уравнению .
Другими словами , все	точки	графика Г уравнения , лежащие в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
3 В одной полуплоскости относительно прямой О1О2 отмечаем	точки	Р и Q пересечения прямых m и n с окружностями .
Когда	точки	О1 и О2 различны , можно провести единственные прямые m и n перпендикулярно прямой О1О2 .
Соединим	точки	касания К и L с центрами соответствующих окружностей .
Эта прямая проходит через любые две различные	точки	графика .
В таком случае точку А1 называют симметричной точке А относительно	точки	О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной точке А1 относительно точки О .
Докажите , что длины отрезков , на которые	точки	касания вписанной окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются целыми числами .
В таком случае точку А1 называют симметричной точке А относительно точки О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной точке А1 относительно	точки	О .
Продолжим касательные до пересечения в точке К. Тогда из	точки	К к большей окружности проведены отрезки касательных КА и КС , а поэтому КА КС .
б ) найдите кратчайшее из расстояний от	точки	А до точек окружности .
2.4 В прямоугольнике ABCD	точки	К , L , V , О , М делят диагонали на равные части .
Но из	точки	К к меньшей окружности тоже проведены отрезки касательных КВ и KD , а поэтому .
Таким образом , все точки графика уравнения , содержащиеся в правой полуплоскости , — это все	точки	луча ОА .
Действительно , отрезки FA и FM являются касательными к левой окружности , проведёнными из	точки	F , а поэтому .
Отрезки FB и FM являются касательными к правой окружности , проведёнными из	точки	F , а поэтому .
8 Касательные , проведённые из	точки	А к окружности радиуса R , образуют угол в 60 ° .
По второму признаку параллелограмма	точки	С , D , L , К являются вершинами параллелограмма .
в ) найдите кратчайшее из расстояний от	точки	А до точек окружности .
9 Докажите , что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней	точки	до всех трёх сторон не зависит от выбора этой точки .
9 Докажите , что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трёх сторон не зависит от выбора этой	точки	.
Следовательно ,	точки	Р , О и Р ' лежат на одной прямой , и эта прямая — ОА .
найдите расстояние от	точки	А до центра окружности .
7 Касательные , проведённые из	точки	А к окружности радиуса r , перпендикулярны .
Нетрудно заметить , что все эти	точки	расположены на одной прямой , проходящей через начало координат .
В квадрате ABCD	точки	К , L , М и N взяты так , что .
2.1 В квадрате ABCD	точки	К , L , М и N взяты так , что .
На сторонах АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные	точки	М и N. Докажите , что треугольник АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих треугольниках являются .
Точку О считают симметричной самой себе относительно	точки	О .
1.4 Свойство	точки	пересечения диагоналей параллелограмма .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно	точки	О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно	точки	О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Посмотрим , как расположены на координатной плоскости	точки	с координатами ( х ; у ) , для которых .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно	точки	О .
Найдите отрезки , на которые	точки	касания разбивают стороны треугольника .
Все	точки	вида ( 2 ; у ) образуют на координатной плоскости вертикальную прямую .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются	точки	М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD выбраны соответственно	точки	М и К так , что . Докажите , что четырёхугольник MBKD — параллелограмм .
Точка D отлична от	точки	С , абсциссы этих точек равны между собой , поэтому ординаты точек D и С различны , то есть g не равно kf .
Плоский угол , составленный из двух плоских углов , общие	точки	которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов .
3 Из	точки	пересечения диагоналей ромба проводятся перпендикуляры к сторонам .
8 Докажите , что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой	точки	основания до боковых сторон не зависит от выбора точки .
В каких из приведённых случаев выбора длины основания ВС отрезки ВК и CL не имеют общей	точки	? .
8 Докажите , что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора	точки	.
Отсюда получаем равенство , то есть абсцисса а	точки	А является корнем уравнения .
4 На сторонах квадрата ABCD выбраны	точки	М , N , К , L так , что .
Отрезки АВ , CD и EF пересекаются в одной точке О и каждый из них делится	точкой	О пополам .
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с	точкой	Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Ясно , что точка А1 совпадает с	точкой	В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится	точкой	пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
3 ) диагонали	точкой	пересечения делятся пополам .
2.3 В треугольнике медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны длины отрезков медиан , отделяемых	точкой	их пересечения ? .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с	точкой	Е и точку Е с точкой А .
Так как диагонали параллелограмма	точкой	пересечения делятся пополам , то при этой центральной симметрии происходит следующее .
Этот же пятиугольник получится , если мы соединим сначала точку Е с	точкой	D , затем точку D с точкой С и так далее .
Точка В переходит в точку B1 , совпадающую с	точкой	D .
Точка А переходит в точку Α1 , совпадающую с	точкой	С .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с	точкой	С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Этот же пятиугольник получится , если мы соединим сначала точку Е с точкой D , затем точку D с	точкой	С и так далее .
Следовательно , точка R является	точкой	графика Г уравнения .
Диагонали параллелограмма делятся	точкой	пересечения пополам .
Точка D переходит в точку D1 , совпадающую с	точкой	В .
Как построить равносторонний треугольник , одна вершина которого совпадает с заданной	точкой	, а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
2 ) каждая вершина является общей	точкой	только для двух сторон .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с	точкой	В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с	точкой	N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в точку Ν.
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с	точкой	D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Точку В2 соединим отрезком с	точкой	С. По первому признаку равенства .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с	точкой	А .
Точка С переходит в точку C1 , совпадающую с	точкой	А .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через	точку	К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
Для этого на прямой ОА возьмём точку R(-u ; -υ ) , где , и	точку	R'(u ; -υ ) .
Возьмём на координатной плоскости прямую и на этой прямой	точку	А(с ; d ) , где .
Выберите внутри его	точку	М. Измерьте углы АМВ , ВМС , CMD , DMA и найдите сумму полученных значений .
Обозначим через С	точку	пересечения прямых l и n.
Отметим	точку	А пересечения этих графиков .
Как построить график линейной функции , зная одну	точку	этого графика и угловой коэффициент ? .
Через	точку	К биссектрисы угла с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Два квадрата имеют общую	точку	пересечения диагоналей .
2.3 На плоскости построили три окружности с общим центром О и радиусами 3 см , 5 см и 8 см. Через	точку	О провели прямую .
Проведём через	точку	N прямую параллельно прямой AM , пересекающую сторону ВС в точке К .
Через	точку	В проведена прямая ВК , параллельная высоте СН треугольника .
17 В параллелограмме ABCD отрезки EF и GH проходят через	точку	О пересечения диагоналей параллелограмма , точка I — середина BE , точка К — середина .
Возьмём произвольную	точку	М графика уравнения .
Проведём в треугольнике АВС медианы AM и BN и обозначим	точку	пересечения этих медиан буквой О .
7 Найдите значение b , если известно , что график линейной функции проходит через	точку	.
6 Найдите значение к , если известно , что график линейной функции проходит через	точку	.
Допустим , что поставили	точку	Р в середине отрезка AM и точку Q в середине отрезка BN .
В левой полуплоскости рассмотрим	точку	Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г уравнения .
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и	точку	( 1 ; k ) .
Через	точку	оси Оу с координатой b/2 проведем горизонтальную прямую , параллельную оси Ох .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А	точку	её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Допустим , что поставили точку Р в середине отрезка AM и	точку	Q в середине отрезка BN .
Ясно , что точка А1 совпадает с точкой В , точка D1 — с точкой Е. Поэтому точка М1 совпадает с точкой N. Но это значит что при указанном повороте точка М перешла в	точку	Ν.
Для этого на прямой ОА возьмём	точку	R(-u ; -υ ) , где , и точку R'(u ; -υ ) .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую	точку	прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Обозначим через D	точку	пересечения этой прямой с лучом ОА .
Проведём через	точку	С прямую , перпендикулярную оси Ох .
Обратно , если возьмём	точку	С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения .
Известно , что через	точку	А , лежащую вне прямой CD , всегда можно провести прямую , не пересекающуюся с данной .
Через	точку	вне заданной прямой можно провести только одну прямую , параллельную данной .
Таким образом , при построении прямой , проходящей через	точку	А и не пересекающей прямую CD , всегда получается лишь одна прямая .
Рассмотрим	точку	В(-2 ; 3 ) , симметричную точке А относительно оси Оу .
Поэтому через	точку	К проходят две различные прямые , параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме параллельности .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть	точку	, заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты .
Для этого выберем произвольно	точку	С(f ; g ) , для которой f > 0 и которая не принадлежит лучу ОА .
Постройте на продолжении отрезка	точку	С такую , что .
Обратно , взяв любую	точку	( х0 ; у0 ) графика уравнения , то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты .
Постройте на отрезке такую	точку	С , что .
Покажем , как с помощью циркуля и линейки построить прямую , параллельную данной прямой CD и проходящую через	точку	Р , не лежащую на прямой CD .
Если выбрать на прямой CD	точку	Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
Для этого возьмём на луче ОА	точку	В(с ; d ) , не совпадающую с началом системы координат 0(0 ; 0 ) .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей	точку	С , отложить от точки Р угол BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
Через	точку	пересечения медиан треугольника АВС проведена прямая , параллельная АВ .
1.4 Построение прямой , которая проходит через данную	точку	и не пересекает данную прямую .
И в первом , и во втором случае через	точку	к прямой можно провести лишь один перпендикуляр , и предположение о том , что прямые а и b пересекаются , неверно .
Проведём через каждую	точку	деления прямую , параллельную прямой АА1 .
Отметим на координатной плоскости	точку	А(1 ; k ) и проведём прямую ОА .
Проведём через	точку	А прямой а некоторую прямую m , не совпадающую с прямой а .
Все точки , ордината которых равна 2 , расположены на прямой , перпендикулярной оси Оу и проходящей через	точку	( 0 ; 2 ) .
Параллельные прямые АВ и CD пересекаются секущей MN в точках Р и Q. Проведём через	точку	Q прямую C1D1 так , что .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные числа , обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую	точку	оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г уравнения и отметим	точку	Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г уравнения .
Однако в предыдущем пункте мы без обоснования рассмотрели	точку	N пересечения отрезка ВС с прямой m.
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим	точку	С прямой m , симметричную точке А , и точку D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
Выберем на прямой l любые две различные точки А и В. Построим точку С прямой m , симметричную точке А , и	точку	D прямой m , симметричную точке В относительно точки О .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D ,	точку	D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С ,	точку	С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В ,	точку	В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим	точку	А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и точку Е с точкой А .
Затем составим и решим уравнение , то есть , найдём его корень и отметим	точку	N(2 ; 0 ) .
Докажите , что прямая , соединяющая точки касания , перпендикулярна прямой , соединяющей	точку	А и центр окружности .
Рассмотрим прямые AD и ВС , проходящие через противоположные стороны параллелограмма , и	точку	М на продолжении стороны ВС Углы MBA и BAD равны и являются внутренними накрест лежащими , образованными секущей АВ .
20 Через заданную	точку	внутри угла проведите прямую , отсекающую от угла треугольник наименьшего возможного периметра .
15 Через	точку	М , данную вне окружности О , проведите прямую так , чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В и отрезок АВ имел заданную длину .
16 Постройте окружность заданного радиуса , касающуюся данной прямой и проходящую через данную	точку	.
Произвольную	точку	М плоскости соединили отрезком с вершиной А и подсчитали число точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
G1 и G2 имеют единственную общую	точку	.
3 Внутри квадратной области Κλ выбрали некоторую	точку	Fи построили фигуру К2 , симметричную К1 относительно точки F .
Как показать , что отрезки касательных АВ и АС симметричны относительно прямой , проходящей через центр О и	точку	А ? .
14 Постройте окружность , проходящую через заданную	точку	и касающуюся двух данных параллельных прямых .
Докажем , что при центральной симметрии относительно точки О прямая l , не проходящая через	точку	О , переходит в прямую m , параллельную прямой l .
15 Постройте касательную к заданной окружности , проходящую через заданную	точку	.
6 Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD найдите	точку	М такую , что сумма принимает наименьшее значение .
11 Через	точку	касания двух окружностей проводится произвольная прямая .
Действительно , при повороте на 180 ° любая точка М перейдёт в	точку	M1 расположенную на луче , дополнительном к лучу ОМ , причём .
Так как отрезок АВ имеет общую	точку	М с прямой m , то точки А и В лежат в различных полуплоскостях .
Этот же пятиугольник получится , если мы соединим сначала точку Е с точкой D , затем	точку	D с точкой С и так далее .
Этот же пятиугольник получится , если мы соединим сначала	точку	Е с точкой D , затем точку D с точкой С и так далее .
Выберем на прямой а	точку	А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к окружности с центром О .
Точка А переходит в	точку	Α1 , совпадающую с точкой С .
1 Проведите касательную , проходящую через данную	точку	окружности .
Действительно , центр любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через	точку	К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
3 Проведите касательную к данной окружности , проходящую через данную	точку	вне окружности .
Точка С переходит в	точку	C1 , совпадающую с точкой А .
Как доказать , что через любую	точку	окружности можно провести единственную касательную к этой окружности ? .
Например , таким способом по точкам можно получить пятиугольник ABCDE : последовательно соединим точку А с точкой В , точку В с точкой С , точку С с точкой D , точку D с точкой Е и	точку	Е с точкой А .
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведённому в	точку	касания .
В 6 классе была определена касательная к окружности как прямая , которая имеет с окружностью единственную общую	точку	.
Точка В переходит в	точку	B1 , совпадающую с точкой D .
Точка D переходит в	точку	D1 , совпадающую с точкой В .
Обозначим буквой О	точку	пересечения прямых , содержащих его диагонали .
Постройте	точку	С на другой стороне угла такую , что .
17 На данной прямой найдите такую	точку	, чтобы касательные , проведённые из неё к данной окружности , были данной длины .
Точка С перейдёт в	точку	D и середина отрезка CD перейдёт в середину отрезка DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN .
8 Докажите , что если любую	точку	внутри параллелограмма соединить с вершинами , как изображено на рис .
В таком случае точку А1 называют симметричной точке А относительно точки О. Соответственно	точку	А также можно назвать симметричной точке А1 относительно точки О .
Например , вне прямой можно выбрать какую - нибудь	точку	, через две точки проходит единственная прямая .
Для двух окружностей , имеющих одну общую	точку	и расположенных вне друг друга можно рассмотреть две внешних общих касательных и одну внутреннюю общую касательную .
Когда одна из окружностей расположена внутри другой и имеет с ней одну общую	точку	можно рассматривать только одну общую касательную .
Строим прямую m , проходящую через	точку	О1 и перпендикулярную прямой О1О2 .
Для прямой обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую	точку	прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Была построена новая , неевклидова геометрия , в которой место пятого постулата занимает другая аксиома : « Через	точку	вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые , не пересекающие данную прямую » .
2 Строим прямую n , проходящую через	точку	О2 и перпендикулярную прямой О1О2 .
Отметим	точку	G пересечения окружности с прямой n .
Поставим внутри четырёхугольника	точку	О .
Затем вычислим и отметим	точку	В ( 5 ; 0 ) .
Обозначим буквой N	точку	пересечения прямой m со стороной ВС .
Докажем , что точка N — середина стороны ВС. Для этого выполним дополнительное построение , проведя через	точку	С прямую l , параллельную прямой АВ .
Сначала вычислим и отметим	точку	А(1 ; 1 ) .
Обозначим буквой К	точку	пересечения прямых m и l Так как , четырёхугольник AMКС — параллелограмм .
Как через заданную	точку	провести прямую , отсекающую от заданного угла треугольник заданного периметра ? .
Пусть в четырёхугольнике ABCD равны и параллельны стороны AD и ВС. Проведём диагонали АС и BD и обозначим через К	точку	их пересечения .
Так как при таком повороте точка А перейдёт в точку В , точка В перейдёт в	точку	С .
Для прямой обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую	точку	оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
Проведите через	точку	F прямую , пересекающую прямые аиb в точках А и В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Найдите на окружности	точку	А и на прямой точку В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
Найдите на окружности точку А и на прямой	точку	В так , чтобы точка F была серединой отрезка АВ .
10 Через	точку	пересечения двух окружностей проведите прямую так , чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды .
Сколько развёрнутых плоских углов можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве вершин либо	точку	М , либо точку N ? .
В таком случае	точку	А1 называют симметричной точке А относительно точки О. Соответственно точку А также можно назвать симметричной точке А1 относительно точки О .
Сколько развёрнутых плоских углов можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве вершин либо точку М , либо	точку	N ? .
Так как при таком повороте точка А перейдёт в	точку	В , точка В перейдёт в точку С .
1.2 Три прямые имеют одну общую	точку	.
Проведём его диагонали АС и BD и обозначим буквой О	точку	их пересечения .
Выберем на плоскости	точку	О .
Сначала вычислим и отметим	точку	М(0 ; -4 ) .
Отметим	точку	М — середину CD и точку N — середину DE .
Отметим точку М — середину CD и	точку	N — середину DE .
12 На диагонали параллелограмма выбрана произвольная точка и через эту	точку	проведены прямые , параллельные сторонам параллелограмма .
11 Проведите через заданную	точку	прямую , которая делит площадь данного параллелограмма пополам .
Для прямой обозначим через А	точку	её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
13 Рассмотрим координатную плоскость с началом в точке О . а ) Покажите , что точки А(5 ; 3 ) и В(-5 ; -3 ) симметричны относительно точки О . б ) Покажите , что при симметрии относительно точки О точка М(а ; b ) переходит в	точку	Μ1(-a ; -b ) .
Из	транзитивности	неравенств следует , что .
По свойству	транзитивности	из неравенств следует неравенство .
3 Сформулируйте свойство	транзитивности	строгих неравенств .
Кратко свойство	транзитивности	неравенств можно записать так .
4 Сформулируйте свойство	транзитивности	нестрогих неравенств .
2.3 Свойства тождественного равенства :	транзитивность	, симметричность , рефлексивность .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является	транзитивность	неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Свойство тождественного равенства ,	транзитивность	.
Обычно это свойство называют	транзитивностью	.
1 Какой четырёхугольник называют	трапецией	? .
2.4 При каких из указанных условий четырёхугольник ABCD обязательно будет равнобедренной	трапецией	? .
8 Сформулируйте теорему о средней линии	трапеции	.
7 В равнобедренной	трапеции	большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см , угол при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание	трапеции	.
13 Средняя линия	трапеции	равна 7 см , а одно из её оснований на 4 см больше другого .
Найдите основания	трапеции	.
14 Отрезок MN параллелен основаниям	трапеции	, его длина равна 11 см. Найдите основания трапеции , если .
14 Отрезок MN параллелен основаниям трапеции , его длина равна 11 см. Найдите основания	трапеции	, если .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса угла BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину средней линии	трапеции	ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Найдите длину средней линии	трапеции	AFGD , если известно , что .
Чему равны расстояния от центра О окружности до вершин	трапеции	ABCD ? .
18 В равнобедренной	трапеции	основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите площадь трапеции .
18 В равнобедренной трапеции основания 51 см и 69 см , боковая сторона 41 см. Найдите площадь	трапеции	.
19 В равнобедренной	трапеции	основания 42 см и 54 см , угол при основании 45 ° .
Найдите площадь	трапеции	.
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания	трапеции	.
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание	трапеции	на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
6 В равнобедренной	трапеции	высота , проведённая из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
5 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены отрезки , параллельные основаниям	трапеции	.
Как показать , что площадь трапеции равна произведению высоты	трапеции	на длину её средней линии ? .
2 Какие стороны	трапеции	называют её основаниями ? .
3 Что такое высота	трапеции	? .
Возьмём равнобедренную трапецию с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований	трапеции	.
Пусть AD , ВС — основания	трапеции	.
7 Как определяется средняя линия	трапеции	? .
Найдите площади этих треугольников , если основания	трапеции	35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 .
Окружность касается оснований	трапеции	, поэтому высота равна диаметру окружности , то есть равна 4 см .
9 По какой формуле можно вычислять площадь	трапеции	? .
Пусть АВ 6 см , ВС 11 см и ширина рамки равна 1 см. Разобьём рамку на	трапеции	.
1 В	трапеции	ABCD проведены диагонали , пересекающиеся в точке Е. Докажите , что углы треугольников ВСЕ и DAE соответственно равны .
3 Точки М и N расположены на боковых сторонах	трапеции	ABCD так , что .
4 Докажите , что если диагонали	трапеции	равны , то трапеция равнобедренная .
5 Боковая сторона	трапеции	разделена на три равные части и из точек деления проведены отрезки , параллельные основаниям трапеции .
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади	трапеции	ABNM к площади трапеции MNCD ? .
21 В	трапеции	ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
21 В трапеции ABCD с прямым углом при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь	трапеции	.
22 Основания	трапеции	равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит площадь трапеции её средняя линия .
3 По какой формуле вычисляется площадь	трапеции	? .
1.3 В	трапеции	длина средней линии равна 4,8 см , а отношение оснований равно 3 : 5 .
Чему равна длина меньшего из оснований этой	трапеции	? .
2.1 В	трапеции	ABCD большее основание AD имеет длину 19 см. Через вершину В параллельно стороне CD проводится отрезок ВК и через вершину С параллельно стороне АВ проводится отрезок CL .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и	трапеции	, доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
Площадь	трапеции	.
Чему равен периметр этой	трапеции	, если известно , что периметр треугольника АВМ равен 18 см ? .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр	трапеции	AMNC будет меньше 30 см ? .
Если на клетчатой бумаге изобразить « жука » , то , разбивая « жука » на треугольники , параллелограммы ,	трапеции	и находя их площади по известным формулам , можно найти общую площадь « жука » .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь	трапеции	АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
2.4 В трапеции ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади	трапеции	ABCD ? .
1.4 Чему равны боковые стороны равнобедренной	трапеции	с основаниями 7,2 см и 3,6 см , в которую можно вписать окружность ? .
Найдите длины боковых сторон	трапеции	.
2.4 В параллелограмме ABCD отмечены середина М стороны AD и некоторая внутренняя точка N стороны ВС. Какие из указанных отношений не могут быть отношением площади трапеции ABNM к площади	трапеции	MNCD ? .
2.4 В	трапеции	ABCD с основаниями на основаниях выбираются точки М и К. В каких из приведённых случаев площадь трапеции АВМК будет больше половины площади трапеции ABCD ? .
3 Равнобедренные	трапеции	имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
10 Приведите пример	трапеции	, в которую нельзя вписать окружность .
1.2 В	трапеции	ABCD с основаниями провели отрезок ВМ параллельно стороне CD .
22 Основания трапеции равны 12 см и 36 см. Найдите , в каком отношении делит площадь	трапеции	её средняя линия .
1.1 Чему равна площадь	трапеции	с основаниями 5 см и 7 см и высотой 2 см ? .
23 Основания	трапеции	равны а и b.
В каком отношении делит площадь	трапеции	её средняя линия ? .
24 Диагонали	трапеции	с основаниями AD и ВС пересекаются в точке Р. Докажите , что площади треугольников АВР и CDP равны .
Докажите , что точки касания являются вершинами равнобедренной	трапеции	.
25 Прямые , параллельные основаниям	трапеции	, делят боковую сторону на три равные части .
Докажите , что площадь средней части равна 1/3 от площади всей	трапеции	.
26 Каждая сторона	трапеции	разделена на три равные части и точки деления соединены .
Докажите , что площадь центральной части равна 1/9 от площади всей	трапеции	.
Найдите площадь	трапеции	, основаниями которой являются эти хорды .
28 Середина М боковой стороны АВ	трапеции	ABCD соединена с вершинами противоположной боковой стороны .
Докажите , что площадь треугольника MCD равна половине площади	трапеции	.
1.1 В	трапеции	ABCD с основаниями провели отрезки ВК и CL так , что .
Средняя линия	трапеции	.
Как показать , что площадь	трапеции	равна произведению высоты трапеции на длину её средней линии ? .
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований	трапеции	на её высоту .
Свойство средней линии	трапеции	.
Тогда полученное для площади	трапеции	значение запишется в виде формулы .
Отрезок MN является средней линией	трапеции	ABCD .
Отрезок , соединяющий середины боковых сторон трапеции , называют средней линией	трапеции	.
Параллельные стороны	трапеции	называют основаниями трапеции .
3.6 Теорема о средней линии	трапеции	.
Вершинами какого четырёхугольника являются концы двух различных высот	трапеции	? .
Отрезок ОР также является высотой	трапеции	ABCD .
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями трапеции , и является одной из высот	трапеции	.
Отрезок ВН имеет длину , равную расстоянию между параллельными основаниями	трапеции	, и является одной из высот трапеции .
Проведём в	трапеции	ABCD из вершины В перпендикуляр ВН .
3.5 Высота	трапеции	.
Площадь	трапеции	равна половине произведения суммы оснований трапеции на её высоту .
Как доказать , что если для одной и той же	трапеции	провести прямые ВК и CL , то получающиеся треугольники АВК и LCD равны ? .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам	трапеции	ABCD при основании AD .
3.4 Разбиение	трапеции	на треугольник и параллелограмм .
Как доказать , что если углы при основании	трапеции	равны , то трапеция равнобедренная ? .
Таким образом , при продолжении боковых сторон	трапеции	образуются два треугольника с соответственно равными углами .
Если продолжить боковые стороны	трапеции	, то они пересекутся в некоторой точке .
Как показать , что если прямая пересекает противоположные стороны параллелограмма и не проходит ни через одну из вершин , то она делит параллелограмм либо на две	трапеции	, либо на два параллелограмма ? .
3.2 Основания и боковые стороны	трапеции	.
3.3 Дополнение	трапеции	до треугольника .
Как доказать , что для равнобедренного треугольника середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами равнобедренной	трапеции	? .
Трапецию называют равнобедренной , если боковые стороны	трапеции	равны .
Стороны АВ и CD являются боковыми сторонами	трапеции	.
Непараллельные стороны трапеции называют боковыми сторонами	трапеции	.
Непараллельные стороны	трапеции	называют боковыми сторонами трапеции .
Стороны AD и ВС являются основаниями	трапеции	ABCD .
Параллельные стороны трапеции называют основаниями	трапеции	.
Докажем основные свойства средней линии	трапеции	.
3.1 Определение	трапеции	.
Отрезок , соединяющий середины боковых сторон	трапеции	, называют средней линией трапеции .
Средняя линия	трапеции	параллельна основаниям и равна полусумме оснований .
Обозначим длины оснований	трапеции	и её высоту буквами а , b и h соответственно , как отмечено .
Площадь S	трапеции	равна сумме площадей треугольников ABD и BCD .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной	трапеции	.
4 Постройте параллелограмм , равновеликий заданной	трапеции	.
3.7 Формула площади	трапеции	.
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме оснований	трапеции	ABCD , а отрезок MN является средней линией этого треугольника .
Сколько в	трапеции	можно провести средних линий ? .
5 Постройте треугольник , равновеликий заданной	трапеции	.
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких	трапеций	в зависимости от х ? .
2.3 Шестиугольник ABCDEF составлен из двух равных	трапеций	с общим основанием AD .
2.2 При каких значениях а , b , m в равнобедренную	трапецию	с основаниями а , b и боковой стороной m невозможно вписать окружность ? .
5 Как	трапецию	можно дополнить до треугольника ? .
Рассмотрим произвольную	трапецию	.
6 Как	трапецию	разбить на параллелограмм и треугольник ? .
Рассмотрим	трапецию	ABCD с основаниями АВ и CD и средней линией MN .
Возьмём	трапецию	ABCD .
8 Постройте	трапецию	по основанию , одному из углов при основании и боковым сторонам .
Возьмём равнобедренную	трапецию	с периметром 20 см , описанную около окружности радиуса 2 см. Найдём длины оснований трапеции .
4 Какую	трапецию	называют равнобедренной ? .
9 Постройте	трапецию	по основаниям и боковым сторонам .
Рассмотрим	трапецию	ABCD с меньшим основанием ВС. Проведём через вершину В прямую , параллельную стороне CD .
11 Постройте	трапецию	по основанию , высоте , проведённой к основанию , и диагоналям .
22 В прямоугольную	трапецию	ABCD с основаниями АВ b 6 см и CD b 3 см можно вписать окружность .
12 Постройте	трапецию	по разности оснований , боковым сторонам и одной диагонали .
21 В равнобедренную	трапецию	ABCD с основаниями АВ и CD можно вписать окружность .
10 Постройте	трапецию	по основаниям и диагоналям .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура —	трапеция	, изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
2 Докажите , что	трапеция	является выпуклым четырёхугольником .
4 Докажите , что если диагонали трапеции равны , то	трапеция	равнобедренная .
2 Докажите , что равнобедренная	трапеция	симметрична относительно прямой , проходящей через середины оснований .
1.8 Равнобедренная	трапеция	, описанная около окружности .
2.2 При каких из указанных значений а и m существует	трапеция	с одним из оснований , равным а , и средней линией , равной m ? .
В результате получим четырёхугольник ABCD , который имеет особое название —	трапеция	.
2.1 В каких из указанных случаев	трапеция	с основаниями а , b и высотой h имеет площадь больше 20 см2 ? .
2.3 В равностороннем треугольнике АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается	трапеция	AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
Как доказать , что если углы при основании трапеции равны , то	трапеция	равнобедренная ? .
Докажем	третий	признак равенства треугольников .
1 )	третий	признак равенства треугольников . 2 ) признак равенства по двум катетам .
3 Сформулируйте	третий	признак равенства треугольников .
В общем случае имеет место	третье	основное свойство степеней .
Второе нечётное число а2 имеет вид ,	третье	нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Используя	третье	свойство степени , получим .
	Третье	справа число в 50-й строке .
а )	третье	число слева в 7-й строке .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется	третье	основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и натурального числа n .
Для произвольных целых показателей	третье	основное свойство также остаётся верным .
Степеней свойства	третье	основное .
Таким образом	третье	основное свойство степени с целым показателем доказано .
3 Сформулируйте и докажите	третье	основное свойство степени с целым показателем .
3 Сформулируйте	третье	основное свойство степени .
Аналогично определяются округления положительного числа до первого разряда после запятой , до	третьего	разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
1.7 Доказательство	третьего	признака .
Чему равен результат округления числа 9,99999 до	третьего	разряда после запятой ? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра	третьего	разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Чему равна величина	третьего	внутреннего угла треугольника ? .
Однако в этом случае в записи числа а цифра	третьего	разряда после запятой равна 5 , поэтому а b , но число а так же , как и в примере 2 , попало в промежуток .
2.1 Для каких из указанных чисел результатом округления до	третьего	разряда после запятой будет число 23,456 ? .
2.3 Дробные части каких из следующих чисел являются десятичными приближениями снизу до	третьего	знака после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? .
В записи числа а цифра	третьего	разряда после запятой меньше 5 , поэтому а b и число а оказывается в промежутке .
Разберём доказательство	третьего	основного свойства степени для целых показателей .
4.6 Доказательство	третьего	основного свойства степени .
Заметим , что и треугольник PQR1 также является искомым , однако этот треугольник равен треугольнику PQR в силу	третьего	признака равенства треугольников .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше	третьего	числа , то первое число больше третьего числа .
2.2 Для каких из указанных чисел результатом округления до	третьего	разряда после запятой будет число -0,047 ? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра	третьего	разряда после запятой .
Однако в этом случае в записи числа а цифра	третьего	разряда после запятой больше 5 , поэтому а b и число а лежит в промежутке .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра	третьего	разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше	третьего	числа .
2.4 Две параллельные прямые пересекаются	третьей	.
9 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане , проведённой к	третьей	стороне .
1.1 Изображены две параллельные прямые , пересечённые	третьей	прямой .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для	третьей	системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
Средняя линия треугольника , соединяющая середины двух сторон , параллельна	третьей	стороне и равна её половине .
2 На трёх полках расположены книги так , что на второй полке книг вдвое больше , чем на первой , а на	третьей	— вдвое больше , чем на второй .
Две прямые , перпендикулярные	третьей	прямой , не пересекаются .
Названия для второй и	третьей	степени .
Предположим , что найдутся две прямые а и b , которые перпендикулярны	третьей	прямой с и пересекаются .
Мы доказали , что две различные прямые , перпендикулярные	третьей	прямой , не пересекаются , то есть параллельны .
проведённой к	третьей	стороне .
Во втором классе на 4 ученика меньше , чем в	третьем	классе .
В	третьем	параграфе аналогичное равенство установлено , когда числа тип могут принимать также значение 0 .
Треугольники PQR и PQS равны по	третьему	признаку равенства .
В итоге получаем равенства АС b BD , АЕ b BF , СЕ b DF , откуда , по	третьему	признаку , треугольники АСЕ и BDF равны .
Они равны по	третьему	признаку равенства треугольников .
По	третьему	признаку равенства .
По	третьему	признаку равенства треугольников получаем , что .
3 ) Если первое неравенство равносильно второму , второе неравенство равносильно третьему , то первое неравенство равносильно	третьему	.
3 ) Если первое неравенство равносильно второму , второе неравенство равносильно	третьему	, то первое неравенство равносильно третьему .
Число а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым членом , число а3 называют	третьим	членом и так далее .
Чтобы доказать это соотношение , перемножим , воспользовавшись	третьим	основным свойством степеней .
Это утверждение называется	третьим	признаком равенства треугольников .
1.2 Почему прямая , проходящая через одну сторону треугольника параллельно другой стороне , пересекает	третью	.
Вспомним теперь шахматную легенду , по которой изобретатель шахматной игры запросил в награду за первую клеточку 1 зерно риса , за вторую — 2 зерна , за	третью	— 22 зёрен и так далее : за каждую очередную клеточку в два раза больше , чем за предшествующую ей .
Рассмотрим	третью	степень одночлена .
Постройте	треугольник	АВС по стороне АВ , прилежащему к этой стороне углу ВАС и разности сторон АС и ВС , зная , что .
При каких условиях можно построить	треугольник	по трём сторонам ? .
4 Как построить	треугольник	по стороне и прилежащим к ней углам ? .
10 Постройте прямоугольный	треугольник	по катету и прилежащему острому углу .
11 Постройте прямоугольный	треугольник	по катету и гипотенузе .
Постройте прямоугольный	треугольник	по катету и сумме другого катета с гипотенузой .
4 Постройте равнобедренный	треугольник	: а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и углу при вершине .
5 Постройте равносторонний	треугольник	: а ) по стороне ; б ) по высоте .
Постройте	треугольник	АБС , зная угол БАС , отрезки АС , предполагая , что .
7 Постройте равнобедренный	треугольник	.
9 Постройте прямоугольный	треугольник	по двум катетам .
2.1 В каких из указанных случаев можно построить	треугольник	с длинами сторон с , d , e ? .
12 Постройте	треугольник	АВС , если заданы отрезки , равные его сторонам АВ , ВС и медиане , проведённой к стороне АВ .
Рассмотрим	треугольник	.
Как доказать , что	треугольник	PQC — равносторонний ? .
параллелограмм с проведённой диагональю . 2 ) правильный	треугольник	с проведённой средней линией . 3 ) ромб с проведёнными диагоналями .
r — радиус окружности , вписанной в	треугольник	.
луч ; 2 )	треугольник	; 3 ) четырёхугольник ; 4 ) шестиугольник .
угол . 2 ) треугольник с двумя неравными сторонами . 3 )	треугольник	с двумя неравными углами . 4 ) четырёхугольник с двумя равными сторонами .
угол . 2 )	треугольник	с двумя неравными сторонами . 3 ) треугольник с двумя неравными углами . 4 ) четырёхугольник с двумя равными сторонами .
1 ) отрезок ; 2 )	треугольник	; 3 ) прямоугольник ; 4 ) параллелограмм .
6 Изображён равнобедренный	треугольник	АВС с основанием АС , a BL — биссектриса внешнего угла .
Напомним , что внутренним углом треугольника АВС между сторонами АВ и АС называют плоский угол , определяемый лучами АВ и АС , содержащий	треугольник	АВС .
Продолжим стороны ВС , DE , AF таким образом , чтобы получился равносторонний	треугольник	MNK .
7 Постройте	треугольник	, центрально симметричный данному треугольнику относительно заданной точки .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости	треугольник	с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением вершин треугольника ? .
Это значит , что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок , прямая переходит в прямую , треугольник переходит в равный ему	треугольник	и так далее .
Это значит , что при центральной симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок , прямая переходит в прямую ,	треугольник	переходит в равный ему треугольник и так далее .
неравносторонний	треугольник	. 2 ) четырёхугольник , не являющийся параллелограммом .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по площади	треугольник	и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
Как для невыпуклого четырёхугольника ABCD получить равновеликий ему	треугольник	? .
При пересечении этих трёх прямых образуется	треугольник	.
такой	треугольник	прямоугольный .
такой	треугольник	остроугольный .
такой	треугольник	тупоугольный .
5 Как превратить четырёхугольник в равновеликий ему	треугольник	? .
9 Постройте	треугольник	по двум сторонам и медиане , проведённой к третьей стороне .
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС прямоугольный ; б ) если	треугольник	АВС прямоугольный ( с прямым углом В ) , то .
Докажите , что : а ) если , то	треугольник	АВС прямоугольный ; б ) если треугольник АВС прямоугольный ( с прямым углом В ) , то .
5 Постройте	треугольник	, равновеликий заданной трапеции .
6 Постройте	треугольник	, равновеликий данному параллелограмму .
Докажите , что	треугольник	равнобедренный .
9 Докажите , что медианы разбивают	треугольник	на шесть равных по площади треугольников .
Какой	треугольник	называется равнобедренным ? .
Найдём радиус окружности , вписанной в прямоугольный	треугольник	со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S треугольника равна .
Чему равен радиус окружности , вписанной в равнобедренный	треугольник	с основанием 10 см и боковой стороной 13 см ? .
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним углом , например , при вершине М называют тот плоский угол NMK , который содержит этот	треугольник	.
Как построить равносторонний	треугольник	, одна вершина которого совпадает с заданной точкой , а две оставшиеся вершины лежат на двух заданных прямых ? .
На сторонах АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что	треугольник	АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих треугольниках являются .
Например , равносторонний	треугольник	имеет меньшую площадь , чем квадрат с такой же стороной .
Например , можно сказать , что изображён	треугольник	АВС с основанием АС .
Любой	треугольник	можно переместить так , чтобы нужная его сторона на рисунке выглядела основанием .
Тогда	треугольник	АВС прямоугольный и его катеты АВ b h , АС b а .
6 Как трапецию разбить на параллелограмм и	треугольник	? .
Пусть	треугольник	АВС состоит из двух прямоугольных треугольников АВК и ВКС , причём ВК b 4 см , АК b 5 см , СК b 2 см .
Аналогично : если через вершину С провести прямую параллельно стороне АВ , то образуется параллелограмм ABCL и	треугольник	CDL .
6 Нарисуйте	треугольник	с основанием а и высотой h , проведённой к основанию , и найдите площадь треугольника , если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
Эта прямая пересечёт основание AD в точке К , отличной от точек А и D. При этом образуются	треугольник	АВК и параллелограмм BCDK .
3.4 Разбиение трапеции на	треугольник	и параллелограмм .
13 Изображён	треугольник	АВС .
2 Даны равносторонний	треугольник	и прямая l. Постройте треугольник , равный данному , чтобы прямая l содержала .
2 Даны равносторонний треугольник и прямая l. Постройте	треугольник	, равный данному , чтобы прямая l содержала .
18 Постройте	треугольник	по стороне и двум медианам , одна из которых проводится к данной стороне .
3 Даны	треугольник	со сторонами а , b , с и прямая l.
17 Постройте	треугольник	по стороне и медианам , проведённым к двум другим сторонам треугольника .
16 Постройте	треугольник	, если заданы три отрезка , равные его медианам .
Постройте	треугольник	, равный данному , чтобы прямая l содержала .
5 Постройте	треугольник	по двум сторонам и высоте .
Докажите , что б )	треугольник	АВС равен треугольнику DCB .
Через основание этой биссектрисы проводится прямая , параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Докажите , что	треугольник	AKL равнобедренный .
8 Постройте с помощью циркуля и линейки	треугольник	, зная середины его сторон .
Рассмотрим	треугольник	АВС .
Рассмотрим	треугольник	ABD .
Как доказать , что	треугольник	не может иметь два тупых угла ? .
4 Как вычислить радиус вписанной в	треугольник	окружности , зная периметр и площадь треугольника ? .
Рассмотрим произвольный	треугольник	АВС .
Отсюда следует , что	треугольник	MCN — равносторонний .
1 Как построить	треугольник	по трём сторонам ? .
14 Разделите	треугольник	на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную вершину треугольника .
18 В	треугольник	со сторонами 6 см , 8 см , 10 см вписана окружность .
треугольник АВС . 2 ) треугольник AEF . 3 )	треугольник	ACD . 4 )
1.4 Длина отрезков касательных для окружности , вписанной в	треугольник	.
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий	треугольник	АВС .
Биномиальные коэффициенты и	треугольник	Паскаля .
Точки А , В и С пересечения касательных определяют	треугольник	АВС .
Заметим , что и	треугольник	PQR1 также является искомым , однако этот треугольник равен треугольнику PQR в силу третьего признака равенства треугольников .
В треугольнике АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в	треугольник	АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
9 Постройте	треугольник	по двум углам и радиусу вписанной окружности .
Поэтому	треугольник	EFG можно построить только тогда , когда катет EF меньше гипотенузы FG , то есть когда .
	Треугольник	АВС . 2 ) треугольник AEF . 3 ) треугольник ACD . 4 )
Как через заданную точку провести прямую , отсекающую от заданного угла	треугольник	заданного периметра ? .
треугольник АВС . 2 )	треугольник	AEF . 3 ) треугольник ACD . 4 )
Равный ему	треугольник	О1НО2 может быть построен двумя способами : точка Н лежит либо в верхней полуплоскости относительно прямой О1О2 , либо в нижней полуплоскости .
1.3 Окружность , вписанная в прямоугольный	треугольник	АВС , касается катетов АС и ВС в точках Р и Q , и известно , что Чему равняется ? .
	Треугольник	ABD .
Меньшая окружность является вписанной в	треугольник	АВС .
Заметим , что и треугольник PQR1 также является искомым , однако этот	треугольник	равен треугольнику PQR в силу третьего признака равенства треугольников .
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то	треугольник	равнобедренный .
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной вершины треугольника , совпадают , то	треугольник	равнобедренный .
Как построить прямоугольный	треугольник	по гипотенузе и катету ? .
Найдём радиус r окружности , вписанной в прямоугольный	треугольник	со сторонами 3 см , 4 см , 5 см .
4 Какой вид имеет арифметический	треугольник	Паскаля ? .
1.6 Окружность , вписанная в прямоугольный	треугольник	.
Построим	треугольник	по двум сторонам и углу , противолежащему одной из сторон .
Если задан	треугольник	АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
В остальных случаях	треугольник	EFG может быть построен .
Благодаря этому труду свойства арифметического треугольника получили широкую известность среди математиков , а сам	треугольник	стали называть треугольником Паскаля .
2 Построим	треугольник	О1НО2 , равный треугольнику EFG , у которого О1Н EF .
19 Найдите радиус окружности , вписанной в	треугольник	со сторонами 6 см , 8 см , 10 см .
Рассмотрим	треугольник	АВС со сторонами АВ , ВС , АС .
20 Через заданную точку внутри угла проведите прямую , отсекающую от угла	треугольник	наименьшего возможного периметра .
Построим	треугольник	по трём сторонам , равным отрезкам А1В1 , А2В2 , А3В3 .
Что произойдёт , если вы попытаетесь строить	треугольник	с двумя тупыми углами ? .
Сделаем дополнительное построение , проведя О2Н О1К Получим прямоугольник O2НКL и прямоугольный	треугольник	О1НО2 .
Из прямоугольного	треугольника	АВН по теореме Пифагора получим равенство .
Каковы длины всех сторон	треугольника	АВС ? .
Числа , стоящие в строках этого	треугольника	, называются биномиальными коэффициентами .
Благодаря этому труду свойства арифметического	треугольника	получили широкую известность среди математиков , а сам треугольник стали называть треугольником Паскаля .
2.2 В треугольнике средние линии равны 3 см , 3 см и 5 см. Отрезки какой длины могут быть сторонами этого	треугольника	? .
Найдём площадь равностороннего	треугольника	со стороной 2 см .
Оказывается , для всех строк арифметического	треугольника	выполняются свойства 1–3 .
Чему равна площадь равностороннего	треугольника	со стороной 1 км ? .
Разобьём её диагональю BD на два	треугольника	ABD и BCD и проведём высоты ВН и DP .
Для строки с номером 4 проверка свойства 3 . Можно продолжить заполнение строк арифметического	треугольника	: в строке с номером 5 поместим коэффициенты разложения в строке с номером 6 — коэффициенты разложения в строке с номером n поместим коэффициенты разложения .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного	треугольника	.
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади	треугольника	по основанию а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные числа .
5 По какой формуле можно вычислять площадь равностороннего	треугольника	? .
Чему равен катет прямоугольного	треугольника	, если его гипотенуза равна 136 мм , а второй катет 64 мм ? .
3 По какой формуле можно вычислять площадь произвольного	треугольника	? .
1 По какой формуле можно вычислять площадь прямоугольного	треугольника	? .
Найдём площадь равностороннего	треугольника	со стороной а .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади	треугольника	АВС ? .
2.4 Две средние линии	треугольника	имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть длиной стороны треугольника ? .
Поэтому в треугольнике РВС основание РВ равно сумме оснований трапеции ABCD , а отрезок MN является средней линией этого	треугольника	.
2.4 Две средние линии треугольника имеют длины 8 см и 10 см. Какие из указанных величин могут быть длиной стороны	треугольника	? .
Получим часть арифметического	треугольника	с нулевой по четвёртую строку , известного более двух тысяч лет .
Укажем следующие важные свойства этой части арифметического	треугольника	.
2.2 Построение	треугольника	, равновеликого заданному четырёхугольнику .
Тогда отрезок ВН является высотой	треугольника	ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой треугольника BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
Тогда отрезок ВН является высотой треугольника ABD , проведённой к стороне AD , отрезок DP является высотой	треугольника	BCD , проведённой к стороне ВС , и ВН b DP как высоты одной трапеции .
4.7 Площадь равностороннего	треугольника	.
По краям строк	треугольника	стоят единицы .
По свойству средней линии	треугольника	получаем , что отрезок MN параллелен прямой РВ .
5 Каковы свойства чисел арифметического	треугольника	? .
Таким образом , свойство медиан	треугольника	доказано .
2.1 Какие строки не являются строками	треугольника	Паскаля ? .
Треугольник PQ расположен внутри	треугольника	PQR2 , а поэтому в поставленной задаче возможны два различных решения .
2 Средняя линия равнобедренного	треугольника	, параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон	треугольника	АВС .
Основание высоты , проведённой из вершины В , совпадает с вершиной	треугольника	АВС .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного	треугольника	равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
К основанию АС	треугольника	АВС проведём высоту .
Через точку В проведена прямая ВК , параллельная высоте СН	треугольника	.
Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника для получения формулы площади произвольного	треугольника	.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого	треугольника	, то такие треугольники равны .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр	треугольника	равен 16 см. Найдите стороны треугольника .
Воспользуемся формулой площади прямоугольного	треугольника	для получения формулы площади произвольного треугольника .
4.4 Площадь произвольного	треугольника	.
1 Периметр	треугольника	АВС равен 14 см. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС .
5 Сформулируйте теорему о медианах	треугольника	и приведите её доказательство .
4 Сформулируйте теорему о средней линии	треугольника	и приведите её доказательство .
В каком случае высота	треугольника	, проведённая из вершины , противоположной основанию , не пересекается с основанием ? .
3 Как определяется средняя линия	треугольника	? .
Чему равно расстояние от вершины равностороннего	треугольника	со стороной 10 см до точки пересечения его медиан ? .
Проведём радиусы ОМ , ОК и ON в точки касания окружности со сторонами	треугольника	.
В каком отношении будет разбита проведёнными отрезками сторона АВ исходного	треугольника	, считая от вершины В ? .
1 Периметр треугольника АВС равен 14 см. Найдите периметр	треугольника	с вершинами в серединах сторон треугольника АВС .
6 Как по пятой строке арифметического	треугольника	получить его шестую строку ? .
2 Средняя линия равнобедренного треугольника , параллельная основанию , равна 3 см , а периметр треугольника равен 16 см. Найдите стороны	треугольника	.
Основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на стороне АС	треугольника	АВС .
5 Как трапецию можно дополнить до	треугольника	? .
Чему равен периметр треугольника DEF , если периметр	треугольника	АВС равен 36 см ? .
Чему равен периметр	треугольника	DEF , если периметр треугольника АВС равен 36 см ? .
1.4 Треугольник DEF образован средними линиями	треугольника	АВС .
Чему равна площадь отсечённого ею	треугольника	? .
Если две стороны и угол между ними одного	треугольника	равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого	треугольника	, то такие треугольники равны .
1.1 Длины сторон	треугольника	5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из средних линий этого треугольника ? .
Площадь произвольного	треугольника	равна половине произведения его основания и высоты , проведённой к основанию .
По формуле площади прямоугольного	треугольника	получаем .
10 Параллелограмм ABCD разбит диагональю BD на два	треугольника	, и в треугольниках ABD и BCD проведены все медианы .
Докажите , что прямая l пересекает любой отрезок , один конец которого расположен на прямой а , а другой конец — на прямой b . 15 Через середину стороны АВ	треугольника	АВС параллельно стороне АС проводится прямая l. Докажите , что прямая l пересекает сторону ВС .
17 Через вершину С	треугольника	АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе угла А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что .
Основание высоты , проведённой из вершины В , лежит на продолжении стороны АС	треугольника	АВС В таком случае можно записать равенство .
18 Через вершину С	треугольника	АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы угла А в топке D. Покажите , что .
В каждом выпуклом или невыпуклом четырёхугольнике можно провести диагональ , которая разбивает четырёхугольник на два	треугольника	.
В таком случае площадь	треугольника	АВС равна сумме площадей прямоугольных треугольников АВН и ВНС .
Иными словами , существует перемещение	треугольника	АВС , при котором его вершины А , В , С совмещаются соответственно с вершинами треугольника .
Иными словами , существует перемещение треугольника АВС , при котором его вершины А , В , С совмещаются соответственно с вершинами	треугольника	.
Наглядно перемещение можно представлять себе как передвижение копии	треугольника	АВС на плоскости или в пространстве до совпадения с треугольником .
Он означает , что если для двух треугольников АВС и имеют место равенства то можно сделать копию	треугольника	АВС , которая при наложении совпадёт с треугольником .
1.1 Длины сторон треугольника 5 см , 7 см и 10 см. Какую длину имеет одна из средних линий этого	треугольника	? .
Угол внешний	треугольника	.
Внешний угол	треугольника	.
Площадь	треугольника	прямоугольного .
1 ) такого	треугольника	не существует .
Это следует из того , что диагональ делит ромб на два равных равнобедренных	треугольника	.
Чему равна площадь	треугольника	ABD ? .
Площадь	треугольника	АВС равна 15 см2 .
1.4 На стороне АС	треугольника	АВС выбрана точка D так , что .
Разобьём параллелограмм диагональю BD на два равных	треугольника	ABD и BCD .
Площадь	треугольника	ABL можно получить , вычитая из площади четырёхугольника АВСМ площадь четырёхугольника BCML .
1.2 Если в треугольнике длина стороны 1,2 см , а длина высоты к ней равна 5 см , то удвоенная площадь	треугольника	равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
11 Сколько существует вневписанных окружностей для заданного	треугольника	? .
1.1 Одна сторона	треугольника	равна 2,8 см , вторая равна 1,2 см. Чему равно отношение высот , проведённых к этим сторонам ? .
Площадь треугольника АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите площадь	треугольника	MNK .
12 Как связан полупериметр р	треугольника	с вневписанной окружностью ? .
Площадь	треугольника	АВС равна S. На прямых АВ , АС и ВС выбраны соответственно точки М , N , К так , что . Найдите площадь треугольника MNK .
Точки М , N , К выбраны на продолжениях сторон так , что . Найдите площадь	треугольника	MNK .
Площадь	треугольника	АВС , изображённого на рис .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади треугольника АВС к площади	треугольника	MNK .
14 Проведены две взаимно перпендикулярные прямые а и b , пересекающиеся в точке Н. Остальные точки расположены так , что . Найдите отношение площади	треугольника	АВС к площади треугольника MNK .
1 По какой формуле вычисляется площадь	треугольника	? .
Площадь	треугольника	равностороннего .
Проведём отрезки AM и BN , пересекающиеся в точке L. Докажем , что площадь четырёхугольника LNDM равна площади	треугольника	ABL .
Площадь	треугольника	АВС равна S.
2.1 Через стороны	треугольника	и одну из вершин проведены прямые .
Докажите , что каждая из сторон нового треугольника в два раза больше параллельной ей стороны	треугольника	АВС .
Основание	треугольника	.
Что вы знаете о высотах	треугольника	? .
2 Через все вершины	треугольника	АВС проведены прямые , параллельные противоположным сторонам .
Обозначим площадь	треугольника	AMD буквой х , то есть .
а ) одну из сторон	треугольника	. б ) одну из высот треугольника .
а ) одну из сторон треугольника . б ) одну из высот	треугольника	.
в ) середины двух сторон	треугольника	.
17 Постройте треугольник по стороне и медианам , проведённым к двум другим сторонам	треугольника	.
15 Продолжения сторон АВ и СВ	треугольника	АВС пересекаются в точках М и N прямой , параллельной прямой АС .
а ) сторону а	треугольника	. б ) высоту треугольника , проведённую к стороне а .
а ) сторону а треугольника . б ) высоту	треугольника	, проведённую к стороне а .
2.2 На стороне ВС	треугольника	АВС выбрана точка М и проведены отрезки , причём известно , что отрезки MN и KL не пересекаются .
4 Два	треугольника	расположены так , что две их стороны лежат на одной прямой .
При каких тип площадь треугольника АКС будет составлять 1/7 площади	треугольника	АВС ? .
При каких тип площадь	треугольника	АКС будет составлять 1/7 площади треугольника АВС ? .
2.4 Точка К на стороне АВ делит основание	треугольника	АВС в отношении .
Площадь	треугольника	описанного .
Площадь	треугольника	произвольного .
2.2 При каких значениях стороны а и проведённой к ней высоты h площадь	треугольника	равна 66 см2 ? .
2.2 Какую площадь может иметь невыпуклый четырёхугольник ABCD , если известно , что площадь	треугольника	АВС равна 28 см2 , площадь треугольника ADC равна 15 см2 ? .
Как доказать , что для равнобедренного	треугольника	середины боковых сторон и вершины основания являются вершинами равнобедренной трапеции ? .
Через точку пересечения медиан	треугольника	АВС проведена прямая , параллельная АВ .
Построение	треугольника	равновеликого четырёхугольнику .
Таким образом , сторона АК	треугольника	АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого	треугольника	.
Проверьте , что в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого	треугольника	, вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
2.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь	треугольника	CMN равна 1/3S ? .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы	треугольника	АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
6 Нарисуйте треугольник с основанием а и высотой h , проведённой к основанию , и найдите площадь	треугольника	, если : а ) а b 3 см , h b 5 см ; б ) а b 12 см , h b 2 см ; в ) а b 4,9 см , h b 0,3 см .
Площадь	треугольника	ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
Построение	треугольника	угла , равного данному .
12 Докажите , что сумма длин всех медиан	треугольника	меньше периметра этого треугольника .
11 Докажите , что длина медианы	треугольника	меньше полусуммы сторон , выходящих из той же вершины , что и медиана .
Допустим , что в качестве единицы измерения площади выбрана площадь равнобедренного прямоугольного	треугольника	с катетом в 1 см .
2.2 Какие из указанных значений может иметь длина высоты , проведённой к стороне АВ	треугольника	АВС , если известно , что ВС ? .
3 Сумма углов	треугольника	.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных	треугольника	.
20 Стороны	треугольника	в некоторых единицах измерения выражаются целыми чётными числами .
Следовательно , точка Р — середина стороны KQ	треугольника	KQM .
Найдите отрезки , на которые точки касания разбивают стороны	треугольника	.
Внутренний угол	треугольника	.
Площадь треугольника ОВР равна площади	треугольника	АВС , так как высоты этих треугольников , опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны этого	треугольника	, выражаются целыми числами .
Проверьте , что в треугольнике АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого	треугольника	, проведённых к сторонам АВ и ВС .
Аналогично площадь	треугольника	ODP равна площади треугольника ADC .
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что . Найдите площадь треугольника АМС , зная , что площадь	треугольника	АВС равна 81 см2 .
2.2 Какую площадь может иметь невыпуклый четырёхугольник ABCD , если известно , что площадь треугольника АВС равна 28 см2 , площадь	треугольника	ADC равна 15 см2 ? .
3.3 Дополнение трапеции до	треугольника	.
На продолжении высоты ВН выбрана точка М так , что . Найдите площадь	треугольника	АМС , зная , что площадь треугольника АВС равна 81 см2 .
Построение	треугольника	.
Точка М расположена на высоте ВН так , что . Найдите площадь	треугольника	АМС .
12 Площадь	треугольника	АВС равна 22 м2 .
Построение	треугольника	по трём сторонам .
11 Площадь	треугольника	АВС равна 20 см2 , а точки М и N расположены на прямой АС .
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь	треугольника	МВК больше площади треугольника АВС ? .
Построение	треугольника	по двум сторонам и углу между ними .
Продолжения боковых сторон АВ и CD пересекаются в точке М. При этом образуются два	треугольника	AMD и ВМС .
Построение	треугольника	по стороне и прилежащим к ней углам .
12 Докажите , что сумма длин всех медиан треугольника меньше периметра этого	треугольника	.
Таким образом , при продолжении боковых сторон трапеции образуются два	треугольника	с соответственно равными углами .
10 Площадь	треугольника	АВС равна 99 см2 , а точки М и N делят сторону АС на три равные части .
Найдите площадь	треугольника	АВМ .
Угол	треугольника	внутренний .
Следовательно , площадь четырёхугольника ABCD равна площади	треугольника	BPD .
Аналогично площадь треугольника ODP равна площади	треугольника	ADC .
Найдите площадь	треугольника	BMN .
20 Трапеция делится диагональю на два	треугольника	.
Докажите , что каждая из сторон нового	треугольника	в два раза больше параллельной ей стороны треугольника АВС .
Пусть А , В , С — вершины заданного	треугольника	, О — центр окружности .
18 Выпуклый четырёхугольник ABCD разбивается диагоналями на четыре	треугольника	ABM , ВСМ , CDM , ADM , площади которых соответственно равны S1 , S2 , S3 , S4 .
Большая окружность касается одной стороны и продолжений двух других сторон	треугольника	АВС .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов	треугольника	АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Найдём радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 5 см , 12 см , 13 см. Тогда Р 30 см , р 15 см. Площадь S	треугольника	равна .
Так как сумма углов	треугольника	АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
Рассмотрим два равносторонних	треугольника	АВС и CDE , где точки А , С , Е принадлежат одной прямой , а точки М и N — середины отрезков AD и BE .
В то же время многие утверждения , доказываемые на основе пятого постулата , изменяются ( например , сумма углов любого	треугольника	меньше 180 ° ) .
Использование признаков равенства	треугольника	для решения задач .
Средняя линия	треугольника	.
Такую окружность называют вневписанной для	треугольника	.
1 Чему равна сумма углов	треугольника	? .
2 Какой угол называют внешним углом	треугольника	? .
3 Сформулируйте свойство внешнего угла	треугольника	.
Таким образом , площадь	треугольника	равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр .
4 Чему равна сумма внешних углов	треугольника	, взятых по одному при каждой вершине ? .
Разобьём выпуклый четырёхугольник ABCD диагональю АС на два	треугольника	АВС и ADC .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов	треугольника	MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
1 Найдите угол при вершине равнобедренного	треугольника	, если угол при основании равен .
— периметр треугольника . — полупериметр	треугольника	.
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий	треугольника	и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
— периметр	треугольника	. — полупериметр треугольника .
4 Внутри	треугольника	АВС выбрана произвольная точка М. Докажите , что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника АВС .
Внутренние углы многоугольника определяются сложнее , чем внутренние углы	треугольника	.
4 Как вычислить радиус вписанной в треугольник окружности , зная периметр и площадь	треугольника	? .
14 Вписанная окружность касается стороны АВ	треугольника	АВС в точке М , вневписанная окружность касается этой же стороны в точке К. Докажите , что AM - ВК и АК ВМ .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов	треугольника	проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
1.7 Внутренние углы	треугольника	.
2 По какой формуле можно вычислять площадь равностороннего	треугольника	? .
5 Внутри треугольника АВС выбраны три произвольные точки М , N , К. Докажите , что периметр треугольника MNK меньше периметра	треугольника	АВС .
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом	треугольника	между сторонами АВ и АС называют плоский угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
1.1 Свойство прямой , проходящей через середину стороны	треугольника	параллельно другой стороне .
5 Внутри треугольника АВС выбраны три произвольные точки М , N , К. Докажите , что периметр	треугольника	MNK меньше периметра треугольника АВС .
3.1 Чему равна сумма углов	треугольника	?
Докажите , что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании	треугольника	равны .
1 Средняя линия	треугольника	.
3 Докажите , что если высота и медиана , проведённые из одной вершины	треугольника	, совпадают , то треугольник равнобедренный .
4 Докажите , что если высота и биссектриса , проведённые из одной вершины	треугольника	, совпадают , то треугольник равнобедренный .
Они равны по длине половине периметра	треугольника	АВС .
5 Внутри	треугольника	АВС выбраны три произвольные точки М , N , К. Докажите , что периметр треугольника MNK меньше периметра треугольника АВС .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан	треугольника	.
4 Внутри треугольника АВС выбрана произвольная точка М. Докажите , что периметр треугольника АМС меньше периметра	треугольника	АВС .
4 Внутри треугольника АВС выбрана произвольная точка М. Докажите , что периметр	треугольника	АМС меньше периметра треугольника АВС .
Разобьём четырёхугольник ABCD на два	треугольника	.
Из теоремы Пифагора для треугольника ΜΝΚ получаем , а для	треугольника	Μ1Ν1Κ1 получаем .
2 Найдите угол при основании равнобедренного	треугольника	, если угол при его вершине равен .
Одновременно образуются ещё три равносторонних	треугольника	— AMВ , CND , EFK .
4 ) диагонали параллелограмма всегда разбивают параллелограмм на четыре равных	треугольника	.
2.3 Какие из наборов значений могут быть величинами углов некоторого	треугольника	? .
8 Что такое внутренний угол	треугольника	? .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА	треугольника	АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD	треугольника	.
2.4 Какие из пар углов являются углами некоторого остроугольного	треугольника	? .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK	треугольника	MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
4.3 Пример на вычисление площади дополнением фигуры до	треугольника	.
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с целочисленными координатами за исключением вершин	треугольника	? .
14 Разделите треугольник на три равновеликие части прямыми , проходящими через заданную вершину	треугольника	.
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK	треугольника	MLK .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL	треугольника	MLK .
Приведём пример задачи о построении	треугольника	, которая может иметь два решения .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK	треугольника	MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML	треугольника	MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
1 Сколько углов разного вида образуют стороны	треугольника	? .
13 В треугольнике АВС через вершину А проведите прямую , делящую площадь	треугольника	пополам .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине К будем считать сумму внутреннего угла NKM	треугольника	MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
Далее , плоский угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC	треугольника	ADC .
— стороны	треугольника	.
2.4 Построение	треугольника	по стороне и прилежащим к ней углам .
Всякая вневписанная окружность является вписанной в два внешних угла и в один внутренний угол	треугольника	АВС .
Для существования	треугольника	с указанными сторонами необходимо одновременное выполнение неравенств .
Найдите углы	треугольника	.
1 На сторонах равностороннего	треугольника	АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
Чему равна сумма внешних углов	треугольника	, взятых по одному при каждой вершине ? .
5 Найдите углы	треугольника	, если внешние углы при двух его вершинах равны 120 ° и 130 ° .
Чему равен наименьший угол этого	треугольника	? .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам	треугольника	ADK .
Свойство средней линии	треугольника	.
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами	треугольника	АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
Напомним , что внутренним углом	треугольника	АВС между сторонами АВ и АС называют плоский угол , определяемый лучами АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные треугольники так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого	треугольника	.
2 На сторонах равностороннего	треугольника	АВС во внешнюю часть строятся равные равнобедренные треугольники с углом а при основании .
1.1 Угол А в треугольнике АВС равен 57 ° 31′. Чему равна сумма углов В и С этого	треугольника	? .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней углы	треугольника	ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK .
Возьмём выпуклый четырёхугольник ABCD и проведём его диагональ , например диагональ АС , разрезающую четырёхугольник ABCD на два	треугольника	АВС и ADC .
Внутренний угол АВС этого четырёхугольника тот же , что и внутренний угол АВС	треугольника	АВС .
2.3 Построение	треугольника	по двум сторонам и углу между ними .
площади равностороннего	треугольника	со стороной а .
Аналогично внутренний угол ADC этого четырёхугольника тот же , что и внутренний угол ADC	треугольника	ADC .
Далее , плоский угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС	треугольника	АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
Из теоремы Пифагора для	треугольника	ΜΝΚ получаем , а для треугольника Μ1Ν1Κ1 получаем .
19 Выпуклый четырёхугольник разбили диагоналями на четыре	треугольника	, подсчитали площадь каждого из треугольников и получили следующие значения : 1994 см2 , 1995 см2 , 1996 см2 , 1997 см2 .
Сумма	треугольника	.
4.1 Площадь прямоугольного	треугольника	.
Гипотенуза и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам	треугольника	.
Аналогично : если L и К — середины сторон СВ и CD	треугольника	CBD .
На основе этой формулы была получена формула для вычисления площади прямоугольного	треугольника	, где а и b — длины катетов .
По теореме о сумме углов	треугольника	.
Воспользуемся свойствами углов прямоугольного	треугольника	для получения ещё одного признака равенства прямоугольных треугольников .
Если три стороны одного	треугольника	равны соответственно трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны .
На сторонах АС и ВС	треугольника	АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что треугольник АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих треугольниках являются .
Как доказать , что сумма всех внешних углов	треугольника	равна 720 ° ? .
4.3 Основание	треугольника	.
4 Два равных прямоугольных	треугольника	АВС и ACD имеют площадь 3 см2 каждый .
3.3 Сумма внешних углов	треугольника	.
Отмечены все внешние углы	треугольника	АВС .
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого	треугольника	, то такие треугольники равны .
Для внешних углов	треугольника	справедливо следующее утверждение .
4 Площадь	треугольника	.
Свойство точки пересечения медиан	треугольника	.
В каждой вершине	треугольника	можно рассмотреть два его внешних угла .
Угол КСВ является внешним углом	треугольника	АВС при вершине С .
Чему равен периметр этой трапеции , если известно , что периметр	треугольника	АВМ равен 18 см ? .
Медианы	треугольника	пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
По свойству острых углов прямоугольного	треугольника	имеем равенство .
Внешний угол треугольника равен сумме не смежных с ним внутренних углов этого	треугольника	.
Внешний угол	треугольника	равен сумме не смежных с ним внутренних углов этого треугольника .
1.4 Чему в равнобедренном треугольнике с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к основанию	треугольника	? .
Угол , смежный внутреннему углу треугольника , иногда называют внешним углом	треугольника	.
Гипотенуза и прилежащие к ней углы	треугольника	ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам треугольника .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Докажите , что площадь	треугольника	MCD равна половине площади трапеции .
Угол , смежный внутреннему углу	треугольника	, иногда называют внешним углом треугольника .
Все медианы	треугольника	обладают следующим свойством .
Чему равна площадь треугольника , образованного средними линиями , если площадь данного	треугольника	равна S ? .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла	треугольника	к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
Треугольник часто изображают так , что одна из сторон	треугольника	горизонтальна .
6 На высоте ВН равнобедренного	треугольника	с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите , что .
1.3 Средняя линия	треугольника	.
4 Докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного	треугольника	.
В результате получаем следующее свойство внешних углов	треугольника	.
4 Докажите , что середины сторон равнобедренного	треугольника	являются вершинами другого равнобедренного треугольника .
Как выглядит формула , где S — площадь равностороннего	треугольника	со стороной , равной а ? .
Чему равна площадь	треугольника	, образованного средними линиями , если площадь данного треугольника равна S ? .
Сумма трёх внешних углов	треугольника	, взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
3 Изображены два равных	треугольника	АВС и ACD , причём стороны АВ и CD не равны .
Через вершину С проведём прямую DK , параллельную стороне АВ	треугольника	АВС .
1.2 Почему прямая , проходящая через одну сторону	треугольника	параллельно другой стороне , пересекает третью .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
Сумма величин углов любого	треугольника	равна 180 ° .
1 Изображены два	треугольника	— ABD и ACD , причём известно , что ZBAD равно ZCDA , ZCAD равно ZBDA .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Отрезок , соединяющий середины двух сторон	треугольника	, называют средней линией треугольника .
а ) для любого прямоугольника со сторонами , идущими по линиям сетки . б ) для любого прямоугольного	треугольника	с катетами , идущими по линиям сетки .
В таком случае иногда говорят , что горизонтально расположенная сторона — это основание	треугольника	.
При каждой вершине	треугольника	образуется два равных между собой внешних угла .
Средняя линия	треугольника	, соединяющая середины двух сторон , параллельна третьей стороне и равна её половине .
Чему равна величина третьего внутреннего угла	треугольника	? .
1.4 Свойство средней линии	треугольника	.
для любого	треугольника	. г ) для объединения двух неперекрывающихся треугольников с общей стороной . д ) для любой многоугольной области .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке , и каждая из медиан делится точкой пересечения в отношении 2:1 , считая от вершины	треугольника	.
Отрезок , соединяющий середины двух сторон треугольника , называют средней линией	треугольника	.
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке : сумма углов любого	треугольника	равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах углов .
Периметр	треугольника	равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
Отсюда следует , что средней линией	треугольника	АВС , соединяющей середины сторон АВ и ВС , может быть только отрезок ΜΝ , который параллелен стороне АС .
Изображена средняя линия ΜΝ , соединяющая середины сторон АВ и ВС	треугольника	АВС .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Важно понять , что слова « основание	треугольника	» используются только для удобства зрительного восприятия .
8 Изображены три равных равнобедренных	треугольника	— AKL , ALM , ΑΜΝ .
Рассуждения из предыдущего пункта позволяют получить правило вычисления длины отрезка АК касательной , если известны длины сторон	треугольника	.
Таким образом , в	треугольниках	вместе с равенствами будут верны также и другие равенства .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в	треугольниках	АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Пусть в	треугольниках	углы — прямые и соответственно равны гипотенузы равные острые углы .
Пусть в	треугольниках	АВС и А1В1С1 равны АС .
10 Параллелограмм ABCD разбит диагональю BD на два треугольника , и в	треугольниках	ABD и BCD проведены все медианы .
Приходим к тому , что в	треугольниках	ΜΝΚ и Μ1Ν1Κ1 равны соответственно все стороны .
Сумма величин всех углов в	треугольниках	ABC и ADC равна .
Пусть в	треугольниках	равны .
Так как в равных	треугольниках	равны все соответствующие элементы , то в треугольниках ACD и ВСЕ равны медианы СМ и CN и углы MCA и NCB .
Так как в равных треугольниках равны все соответствующие элементы , то в	треугольниках	ACD и ВСЕ равны медианы СМ и CN и углы MCA и NCB .
Пусть в прямоугольных	треугольниках	равны гипотенузы и катеты .
На сторонах АС и ВС треугольника АВС выбрали соответственно различные точки М и N. Докажите , что треугольник АВС равнобедренный , если известно , что ANB равно АМВ и при этом соответственными сторонами в этих	треугольниках	являются .
Пусть в	треугольниках	АВС и А1В1С1 проведены медианы СМ и С1М1 и известно , что .
10 Докажите , что в прямоугольном	треугольнике	с острым углом в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
2.3 В	треугольнике	медианы равны 8 см , 9 см и 12 см. Какие в нём возможны длины отрезков медиан , отделяемых точкой их пересечения ? .
13 В	треугольнике	АВС выбраны точки К на стороне АС , N на стороне ВС , М и L на стороне АВ так , что . Найдите отношение .
Как доказать , что в	треугольнике	не может быть двух прямых углов ? .
Сколько всего средних линий в	треугольнике	? .
Проведём в	треугольнике	АВС медианы AM и BN и обозначим точку пересечения этих медиан буквой О .
Напомним , что в	треугольнике	MNK внутренним углом , например , при вершине М называют тот плоский угол NMK , который содержит этот треугольник .
1.1 В	треугольнике	АВС проведена средняя линия MN , параллельная АС , в треугольнике BMN проведена средняя линия , параллельная MN .
В	треугольнике	АВС точка М — середина стороны АВ , точка К расположена на продолжении стороны ВС. При каких отношениях СК : КВ площадь треугольника МВК больше площади треугольника АВС ? .
1.1 В треугольнике АВС проведена средняя линия MN , параллельная АС , в	треугольнике	BMN проведена средняя линия , параллельная MN .
1.3 В	треугольнике	АВС , площадь которого равна 54 см2 , медианы пересекаются в точке Р. Чему равна площадь невыпуклого четырёхугольника АРВС ? .
По условию прямая PL проведена параллельно прямой QM , поэтому отрезок PL является средней линией в	треугольнике	KQM .
1.1 В	треугольнике	два внутренних угла равны 57 ° и 68 ° .
9 В	треугольнике	АВС проведена биссектриса AL .
12 В	треугольнике	АВС выбраны точки М на стороне АС и К на стороне АВ так , что .
2.2 В	треугольнике	средние линии равны 3 см , 3 см и 5 см. Отрезки какой длины могут быть сторонами этого треугольника ? .
1.2 В	треугольнике	АВС углы попарно различны .
1.1 Угол А в	треугольнике	АВС равен 57 ° 31′. Чему равна сумма углов В и С этого треугольника ? .
9 В	треугольнике	АВС проведена высота АН .
7 В	треугольнике	АВС угол ВАС равен 48 ° , угол АВС равен 23 ° .
10 В	треугольнике	АВС выбраны точки D на стороне АВ , F на стороне АС , G и Н на стороне .
9 В	треугольнике	АВС выбраны точка К на стороне АВ и точка L на стороне ВС так , что .
1.3 Какая из следующих пар углов может присутствовать в одном	треугольнике	? .
4 В	треугольнике	АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в точке О. Найдите углы треугольников АОВ , BOL , АОМ , если .
В	треугольнике	АВС точка N на стороне АС и точка М на стороне ВС выбраны так , что . Отрезки AM и BN пересекаются в точке Р. Доказать , что .
1.4 В	треугольнике	АВС , площадь которого равна 18 см2 , на сторонах АВ и ВС выбраны точки М и N так , что . 1 .
3 В равнобедренном	треугольнике	АВС с основанием АС и углом при вершине В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
13 В	треугольнике	АВС известны углы .
1.3 В	треугольнике	АВС угол АВС равен 37 ° .
1.3 В	треугольнике	площади S проведена средняя линия .
10 В равнобедренном	треугольнике	АВС углы при основании равны 50 ° .
2.3 В	треугольнике	АВС , площадь которого равна S , на стороне АВ выбираются точки М и N так , что точка М расположена между точками А и N. При каких отношениях площадь треугольника CMN равна 1/3S ? .
2.1 В	треугольнике	АВС проведены все три средние линии .
В	треугольнике	АВС сторона АС равна 7 см , и на ней точка М расположена так , что AM 4 см. Какими могут быть длины сторон АВ и ВС , если вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке М ? .
9 В	треугольнике	АВС площади 72 см2 проведена медиана ВМ .
11 В	треугольнике	АВС выбраны точки К и L на стороне АВ , М и N на стороне АС так , что .
1.3 В прямоугольном	треугольнике	наименьший угол в 6 раз меньше суммы двух других углов .
1.4 В треугольнике ABC медиана АК оказалась равна половине стороны ВС. Что можно сказать о таком	треугольнике	? .
6 В	треугольнике	АВС проведена медиана ВМ .
8 Докажите , что в равнобедренном	треугольнике	сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон не зависит от выбора точки .
11 В	треугольнике	АВС известны АВ 4 см , АС 7 см и площадь 10 см2 .
2.1 В	треугольнике	АВС проводятся .
Мы знаем , что в прямоугольном	треугольнике	катет меньше гипотенузы .
1.4 Чему в равнобедренном	треугольнике	с основанием 4 см и боковой стороной 5 см равна высота , проведённая к основанию треугольника ? .
1.1 В	треугольнике	АВС проведена медиана СМ , на отрезке AM взята точка Н так , что .
2.3 В равностороннем	треугольнике	АВС со стороной 12 см проводится отрезок MN , параллельный стороне АС , и получается трапеция AMNC с равными боковыми сторонами При каких значениях MN периметр трапеции AMNC будет меньше 30 см ? .
1.4 В	треугольнике	ABC медиана АК оказалась равна половине стороны ВС. Что можно сказать о таком треугольнике ? .
Как доказать , что в равнобедренном	треугольнике	высоты , проведённые к боковым сторонам , равны ? .
2.3 В	треугольнике	АВС проведена медиана ВМ .
1.3 В	треугольнике	АВС со сторонами АВ b 10 см , ВС b 12 см высота , проведённая к стороне АВ , равна 6 см. Чему равна высота , проведённая к стороне ВС ? .
2 В	треугольнике	медиана совпадает с биссектрисой , проведённой из той же вершины .
2.4 В	треугольнике	АВС со стороной АС b 12 см проведена медиана AM , и для заданной точки К на стороне АС находится точка Р пересечения отрезков ВК и AM .
Отрезок CL — биссектриса в треугольнике АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в	треугольнике	А1В1С1 .
Отрезок CL — биссектриса в	треугольнике	АВС , отрезок C1L1 — биссектриса в треугольнике А1В1С1 .
Проверьте , что в	треугольнике	АВС со сторонами АВ b 13 см , ВС b 15 см , АС b 14 см проведённая к стороне АС высота равна 12 см . б ) Найдите длины высот этого треугольника , проведённых к сторонам АВ и ВС .
9 Докажите , что в равностороннем	треугольнике	сумма расстояний от любой внутренней точки до всех трёх сторон не зависит от выбора этой точки .
Пусть заданы два отрезка А1В1 , А2В2 и угол MNK , который должен лежать в	треугольнике	против стороны , равной отрезку А2В2 .
Поэтому в	треугольнике	РВС основание РВ равно сумме оснований трапеции ABCD , а отрезок MN является средней линией этого треугольника .
10 В	треугольнике	АВС площади S проведена средняя линия MN , параллельная стороне АВ .
Французский математик XVII века Блёз Паскаль посвятил арифметическому треугольнику и его свойствам специальное сочинение « Трактат об арифметическом	треугольнике	» .
Принимаем в	треугольнике	АВС за основание сторону .
13 В	треугольнике	АВС через вершину А проведите прямую , делящую площадь треугольника пополам .
12 Найдите в	треугольнике	Паскаля .
1.2 В	треугольнике	АВС сторона АВ разделена на семь равных частей и проведены отрезки , параллельные АС .
2.1 В	треугольнике	АВС точки К , L , М — середины сторон .
1.2 Если в	треугольнике	длина стороны 1,2 см , а длина высоты к ней равна 5 см , то удвоенная площадь треугольника равна : 1)12,4 см ; 2 ) 12 см ; 3 ) 6 см ; 4 ) 7,8 см .
Получаем , что в	треугольнике	MCN две стороны равны , а угол между ними — 60 ° .
2 Докажите , что в равнобедренном	треугольнике	медианы , проведённые к боковым сторонам , равны .
Докажите , что в равнобедренном	треугольнике	биссектрисы углов при основании треугольника равны .
12 В	треугольнике	АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами В , С , М , N .
Проверьте , что в прямоугольном	треугольнике	АВС с катетами АВ b 15 см , ВС b 20 см проведённая к гипотенузе высота равна 12 см . б ) Проверьте , что значение площади такого треугольника , вычисленное по общей формуле , не зависит от того , какую сторону считать основанием этого треугольника .
7 Изображены равные	треугольники	АВС и AKL , причём .
7 Две окружности с центрами Ох и О2 пересекаются в двух различных точках А и В. Докажите , что	треугольники	О1АО2 и ОХВО2 равны .
В итоге получаем , что	треугольники	MBN и CKN равны по второму признаку .
Эти	треугольники	равнобедренны .
Рассмотрим	треугольники	.
Докажите , что	треугольники	ΚΜΝ и KLN равны .
Найдите все	треугольники	, равные : а ) треугольнику ACD ; б ) треугольнику BCD .
Отсюда следует , что прямоугольные	треугольники	OPQ и OP'Q ' равны по двум катетам .
Докажите , что равны	треугольники	: a ) ABL и АСК ; б ) ВСК и BLK ; в ) BCL и KCL .
Прямоугольные	треугольники	САВ и DAB равны по двум катетам , поэтому .
По второму признаку	треугольники	AOD и ВОС равны .
По второму признаку равенства	треугольники	АВС и ADC равны .
Например , древнегреческий математик Пифагор изучал прямоугольные	треугольники	с целочисленными сторонами .
Как доказать , что равные	треугольники	имеют равные площади ? .
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие	треугольники	равны .
Как доказать , что если для одной и той же трапеции провести прямые ВК и CL , то получающиеся	треугольники	АВК и LCD равны ? .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие	треугольники	равны .
Тогда ВСКН — прямоугольник , прямоугольные	треугольники	АВН и DCK равны по гипотенузе и катету .
Поэтому	треугольники	АВС и АВ2С тоже совпадают .
Получаем , что	треугольники	А1В1С1 и АВ2С равны по построению , а треугольники АВС и АВ2С равны как совпадающие .
Получаем , что треугольники А1В1С1 и АВ2С равны по построению , а	треугольники	АВС и АВ2С равны как совпадающие .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
5 На сторонах прямоугольника ABCD со сторонами а и b во внешнюю сторону построены равносторонние	треугольники	ABM , BCN , CDK , ADL .
Прямоугольные	треугольники	АВО и АСО имеют соответственно равные катеты ВО и СО и общую гипотенузу ОА .
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника , то такие	треугольники	равны .
3 Равносторонние	треугольники	ABF и FCD расположены так , что точки A , F , D лежат на одной прямой .
Найдите все	треугольники	, равные : а ) треугольнику ALM ; б ) треугольнику ACM .
Как было доказано , четырёхугольник AMКС — параллелограмм , а	треугольники	MBN и KCN равны .
По первому признаку равенства	треугольники	ACD и ВСЕ равны .
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
Заметим , что и прямоугольные	треугольники	ORS и OR 'S ' равны по катету и острому углу .
Рассмотрим	треугольники	АСО и BDO .
Докажем , что	треугольники	АСЕ и BDF равны .
Отсюда следует , что . Рассмотрим теперь	треугольники	АВС и А1В1С1 .
1 На сторонах равностороннего треугольника АВС строятся равные равнобедренные	треугольники	так , что их основания совпадают со сторонами треугольника АВС , а вершины лежат внутри этого треугольника .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то	треугольники	АВС и А1В1С1 равны .
Обратим внимание на	треугольники	ACD и ВСЕ .
2 На сторонах равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные равнобедренные	треугольники	с углом а при основании .
Проведём диагональ АС и рассмотрим	треугольники	ADC и АВС , у которых сторона АС общая .
3 На сторонах ромба ABCD с острым углом в 60 ° строятся равные равнобедренные	треугольники	с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
все	треугольники	строятся внутри ромба .
в )	треугольники	с основаниями АВ и CD строятся вне ромба , а треугольники с основаниями ВС и AD — внутри ромба .
в ) треугольники с основаниями АВ и CD строятся вне ромба , а	треугольники	с основаниями ВС и AD — внутри ромба .
Рассмотрев	треугольники	AOD и ВОС , аналогичными рассуждениями придём к тому , что .
Теоретически площадь любого многоугольника можно найти , разбивая многоугольник на	треугольники	.
Если на клетчатой бумаге изобразить « жука » , то , разбивая « жука » на	треугольники	, параллелограммы , трапеции и находя их площади по известным формулам , можно найти общую площадь « жука » .
Рассмотрим	треугольники	АОВ и COD .
а ) все	треугольники	строятся вне ромба .
Аналогично можно рассмотреть	треугольники	АОЕ и BOF и получить , что АЕ b BF , а затем рассмотреть треугольники СОЕ и DOF и получить , что СЕ b DF .
11 Равносторонние	треугольники	.
Аналогично можно рассмотреть треугольники АОЕ и BOF и получить , что АЕ b BF , а затем рассмотреть	треугольники	СОЕ и DOF и получить , что СЕ b DF .
Прямоугольные	треугольники	KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые углы .
Идея разрезания многоугольника на	треугольники	позволяет определить внутренние углы многоугольника , а также показать , что сумма S внутренних углов любого n - угольника вычисляется по формуле .
В итоге получаем равенства АС b BD , АЕ b BF , СЕ b DF , откуда , по третьему признаку ,	треугольники	АСЕ и BDF равны .
Например , из равенств следует равенство соответствующих высот	треугольников	АВС .
Для доказательства равенства	треугольников	иногда применяют другое утверждение .
Найдём стороны этих	треугольников	.
Это утверждение называется вторым признаком равенства	треугольников	.
Сумма всех углов	треугольников	АОВ , ВОС , COD , DOA равна .
Докажем второй признак равенства	треугольников	.
Признаки равенства	треугольников	первый признак .
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов	треугольников	MNK и MLK , то есть равна .
Из равенства	треугольников	MCD и МРА следует равенство их соответственных сторон .
Они равны по третьему признаку равенства	треугольников	.
1 ) третий признак равенства	треугольников	. 2 ) признак равенства по двум катетам .
Найдите площади этих	треугольников	, если основания трапеции 35 см и 29 см , а её площадь 256 см2 .
Докажите следующий признак равенства	треугольников	: если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Таким образом , второй признак равенства	треугольников	доказан .
1.4 Случай прямоугольных	треугольников	.
Из второго признака равенства	треугольников	следует такой признак равенства прямоугольных треугольников .
Из второго признака равенства треугольников следует такой признак равенства прямоугольных	треугольников	.
Отложим на луче АВ отрезок АВ2 , равный отрезку Для	треугольников	АВ2С и А1В1С1 выполняются условия первого признака равенства .
Точно так же не вызывают удивления первый признак равенства	треугольников	, возможность откладывания углов и отрезков — утверждения , которые мы принимали без доказательства .
В таком случае площадь треугольника АВС равна сумме площадей прямоугольных	треугольников	АВН и ВНС .
Он означает , что если для двух	треугольников	АВС и имеют место равенства то можно сделать копию треугольника АВС , которая при наложении совпадёт с треугольником .
Площадь S трапеции равна сумме площадей	треугольников	ABD и BCD .
По первому признаку равенства	треугольников	.
9 Докажите , что медианы разбивают треугольник на шесть равных по площади	треугольников	.
Сколько пар равных	треугольников	можно указать на чертеже ? .
Пусть треугольник АВС состоит из двух прямоугольных	треугольников	АВК и ВКС , причём ВК b 4 см , АК b 5 см , СК b 2 см .
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ BD , то величины углов АВС и ADC также выражаются через углы	треугольников	ABD и DCB .
2.1 Сколько пар равных	треугольников	может оказаться на чертеже параллелограмма с проведёнными диагоналями ? .
Глава 4 Равенство	треугольников	.
В этой главе вы найдёте признаки равенства	треугольников	, а также примеры геометрических задач , в частности , примеры решения задач на построение треугольников .
В этой главе вы найдёте признаки равенства треугольников , а также примеры геометрических задач , в частности , примеры решения задач на построение	треугольников	.
1 Признаки равенства	треугольников	.
В 6 классе вы уже изучали признак равенства	треугольников	.
Тогда как соответственные углы равных	треугольников	.
1 В трапеции ABCD проведены диагонали , пересекающиеся в точке Е. Докажите , что углы	треугольников	ВСЕ и DAE соответственно равны .
Какое соответствие между вершинами	треугольников	определяет это равенство ? .
Тем самым вычисление площади четырёхугольника можно свести к задаче на вычисление площадей	треугольников	.
Традиционно этот признак называют первым признаком равенства	треугольников	.
Можно получить равенство и других соответствующих элементов этих	треугольников	.
24 Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС пересекаются в точке Р. Докажите , что площади	треугольников	АВР и CDP равны .
Выясните , какими могут быть углы этих равнобедренных	треугольников	, чтобы все их боковые стороны образовывали восьмиугольник , если известно , что .
1.2 Чему равна площадь четырёхугольника , составленного из двух равнобедренных	треугольников	с общим основанием 6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
Из равенства	треугольников	следует равенство отрезков MN и NK , а по свойству сторон параллелограмма отрезки АС и МК равны .
Чему равна сумма всех углов	треугольников	АВС и ADC .
По третьему признаку равенства	треугольников	получаем , что .
9 Изображены шесть равных равносторонних	треугольников	.
Докажем третий признак равенства	треугольников	.
19 Выпуклый четырёхугольник разбили диагоналями на четыре треугольника , подсчитали площадь каждого из	треугольников	и получили следующие значения : 1994 см2 , 1995 см2 , 1996 см2 , 1997 см2 .
Построение	треугольников	.
4 Сформулируйте признак равенства прямоугольных	треугольников	по катету и прилежащему острому углу .
3 Сформулируйте третий признак равенства	треугольников	.
У этих	треугольников	АО равен ОВ , СО равен OD по условию , а углы АОС и BOD равны как вертикальные .
По первому признаку равенства	треугольников	получаем .
Равенство прямоугольных	треугольников	по катету и гипотенузе .
Воспользуемся теоремой Пифагора для получения ещё одного признака равенства прямоугольных	треугольников	.
2 Сформулируйте второй признак равенства	треугольников	.
Из равенства	треугольников	следует равенство соответственных сторон АС и BD .
Отсюда следует , что равны соответственные стороны BN и NC этих	треугольников	, что и требовалось доказать .
1 Сформулируйте первый признак равенства	треугольников	.
Доказательство равенства	треугольников	по двум соответствующим сторонам и медиане .
для любого треугольника . г ) для объединения двух неперекрывающихся	треугольников	с общей стороной . д ) для любой многоугольной области .
10 Изображены восемь равных равнобедренных прямоугольных	треугольников	.
16 Точка М — середина стороны АВ , CD ВС. Докажите , что площади	треугольников	AMN и CND равны .
1.5 Равенство прямоугольных	треугольников	по гипотенузе и острому углу .
При каком угле а стороны равнобедренных	треугольников	образуют правильный шестиугольник ? .
Воспользуемся свойствами углов прямоугольного треугольника для получения ещё одного признака равенства прямоугольных	треугольников	.
Запишем площади	треугольников	.
6 Сформулируйте признак равенства прямоугольных	треугольников	по гипотенузе и катету .
Какой из следующих	треугольников	равен AMN .
Отсюда следует , что как соответственные стороны равных	треугольников	.
При каком угле α при основаниях боковые стороны равнобедренных	треугольников	образуют шестиугольник ? .
Отметим , что оба решения основаны на равенстве	треугольников	ACD и ВСЕ .
Такую сумму можно получить , если из суммы всех углов	треугольников	АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
Известно , что . Найдите углы	треугольников	АВН и САН .
1.2 Сколько можно построить не равных равнобедренных	треугольников	, у которых длины двух сторон равны 4 см и 4 см ? .
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных	треугольников	по гипотенузе и острому углу .
Для доказательства равенства	треугольников	применяют ещё одно утверждение .
Заметим , что и треугольник PQR1 также является искомым , однако этот треугольник равен треугольнику PQR в силу третьего признака равенства	треугольников	.
Это утверждение называется третьим признаком равенства	треугольников	.
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в точке О. Найдите углы	треугольников	АОВ , BOL , АОМ , если .
По второму признаку равенства	треугольников	.
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом	треугольников	, равных заданному треугольнику со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
6 Чему равно отношение площадей двух	треугольников	с равными высотами ? .
Как доказать этот признак равенства прямоугольных	треугольников	? .
Площадь параллелограмма равна сумме площадей	треугольников	ABD и BCD .
Площадь треугольника ОВР равна площади треугольника АВС , так как высоты этих	треугольников	, опущенные из точки В , совпадают , а основания АС и ОР равны .
4 , то сумма площадей	треугольников	AMВ и CMD будет равна сумме площадей треугольников AMD и ВМС .
2.3 Две неравные окружности с центрами Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей вершиной А. Какие из указанных	треугольников	являются равнобедренными ? .
Чему в рассмотренном примере равно отношение высот	треугольников	АВС и ADC , проведённых к общей стороне АС ? .
Следовательно , по признаку равенства прямоугольных	треугольников	они равны .
Докажите , что площадь четырёхугольника PMQN равна сумме площадей	треугольников	АВР и CDQ .
Отсюда следует , что равны соответствующие элементы этих	треугольников	.
7 Чему равно отношение площадей двух	треугольников	с равными основаниями ? .
Если основаниями	треугольников	AMD и CMD считать стороны AM и СМ , то проведённые к ним высоты совпадают .
2.3 В ромбе ABCD сторона ВС разделена на 5 равных отрезков точками Е , F , G , Н. Площади каких	треугольников	равны площади ромба ? .
Найдём площади	треугольников	, на которые диагоналями разбит четырёхугольник .
Докажите , что проведённые к этим сторонам высоты	треугольников	либо лежат на одной прямой , либо не имеют общих точек .
4 , то сумма площадей треугольников AMВ и CMD будет равна сумме площадей	треугольников	AMD и ВМС .
Отсюда следует , что равны соответственные стороны этих	треугольников	.
Наглядно перемещение можно представлять себе как передвижение копии треугольника АВС на плоскости или в пространстве до совпадения с	треугольником	.
Он означает , что если для двух треугольников АВС и имеют место равенства то можно сделать копию треугольника АВС , которая при наложении совпадёт с	треугольником	.
Благодаря этому труду свойства арифметического треугольника получили широкую известность среди математиков , а сам треугольник стали называть	треугольником	Паскаля .
7 Постройте треугольник , центрально симметричный данному	треугольнику	относительно заданной точки .
Найдите все треугольники , равные : а )	треугольнику	ACD ; б ) треугольнику BCD .
Найдите все треугольники , равные : а ) треугольнику ACD ; б )	треугольнику	BCD .
2 Построим треугольник О1НО2 , равный	треугольнику	EFG , у которого О1Н EF .
3 Постройте параллелограмм , равновеликий заданному	треугольнику	.
Заметим , что и треугольник PQR1 также является искомым , однако этот треугольник равен	треугольнику	PQR в силу третьего признака равенства треугольников .
Французский математик XVII века Блёз Паскаль посвятил арифметическому	треугольнику	и его свойствам специальное сочинение « Трактат об арифметическом треугольнике » .
Найдите все треугольники , равные : а ) треугольнику ALM ; б )	треугольнику	ACM .
Докажите , что б ) треугольник АВС равен	треугольнику	DCB .
Найдите все треугольники , равные : а )	треугольнику	ALM ; б ) треугольнику ACM .
1.1 Сколько можно построить не совпадающих друг с другом треугольников , равных заданному	треугольнику	со сторонами 10 см , 8 см , 7 см , у которых одна из сторон совпадает с заданным на плоскости отрезком АВ длиной 8 см ? .
Заполним по строкам	треугольную	таблицу , составленную из коэффициентов этих разложений , добавив строку с номером 0 , состоящую из одного числа 1 .
Как задать	треугольную	область пересечением полуплоскостей ? .
а ) пересечения их треугольных областей . б ) объединения их	треугольных	областей .
а ) пересечения их	треугольных	областей . б ) объединения их треугольных областей .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины	тупого	угла , делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины	тупого угла	, делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
такой треугольник	тупоугольный	.
Пусть равны	тупые	внутренние накрест лежащие углы .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и	тупые	углы АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и	тупые углы	АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
При отрицательных значениях k угол наклона прямой получается	тупым	.
Например ,	тупым	является угол наклона прямой .
5 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и	тупым	углом в 150 ° .
5 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и	тупым углом	в 150 ° .
Что произойдёт , если вы попытаетесь строить треугольник с двумя	тупыми	углами ? .
Что произойдёт , если вы попытаетесь строить треугольник с двумя	тупыми углами	? .
Как доказать , что треугольник не может иметь два	тупых	угла ? .
2.1 Сколько	тупых	углов может иметь выпуклый четырёхугольник ? .
Как доказать , что треугольник не может иметь два	тупых угла	? .
2.1 Сколько	тупых углов	может иметь выпуклый четырёхугольник ? .
1 Что называется секущей сторон	угла	? .
Заметим теперь , что определению	угла	удовлетворяет фигура , образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
Теорема о пропорциональности отрезков , образованных параллельными секущими сторон	угла	, остаётся верной и в том случае , когда параллельные секущие пересекают две параллельные прямые .
Чему равна величина	угла	AED ? .
6 Как измеряются углы с использованием прямого	угла	в качестве эталона ? .
Почему от любого луча можно отложить только два различных	угла	величины 90 ° ? .
3 Сформулируйте теорему Фалеса о параллельных секущих сторон	угла	, проходящих через концы равных отрезков , и докажите эту теорему .
4 Сформулируйте обобщение теоремы о параллельных секущих сторон	угла	.
9 Что называют биссектрисой плоского	угла	? .
2.3 Две окружности касаются сторон	угла	.
5 Как измеряются углы с помощью эталонного	угла	? .
2 Что означают слова « параллельные секущие сторон	угла	» ? .
При любой единице измерения углов величина нулевого	угла	равна нулю .
Чему равна величина третьего внутреннего	угла	треугольника ? .
Проведём через точки А , В , С параллельные секущие , пересекающие вторую сторону	угла	в точках Α1 , B1 , С1 .
С помощью транспортира разделите этот угол на три равных	угла	.
Точку А называют вершиной	угла	ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
Допустим , что на одной стороне	угла	расположены ( рис .
1.1 В треугольнике два внутренних	угла	равны 57 ° и 68 ° .
По теореме на второй стороне	угла	получим 11 равных между собой отрезков .
Оба луча , ограничивающие плоский угол , называют границей этого плоского	угла	.
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон	угла	, то получающиеся при этом на другой стороне угла соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Точку А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами	угла	ВАС и говорят , что угол ВАС образован отрезками АВ и АС .
В результате получаем 11 равных отрезков , отложенных на одной стороне	угла	.
Чем отличается угол от величины	угла	? .
Если через концы всех отрезков проводятся параллельные между собой секущие сторон угла , то получающиеся при этом на другой стороне	угла	соответствующие отрезки А1В1 , C1D1 , E1F1 и так далее будут пропорциональны исходным отрезкам .
Как доказать , что треугольник не может иметь два тупых	угла	? .
Величина прямого	угла	как единица измерения плоских углов .
Как на практике сравнить два плоских	угла	? .
С помощью транспортира нарисуйте биссектрису этого	угла	.
В этом случае получаем два плоских развёрнутых	угла	.
Заметим , что в случае	угла	между отрезками также можно рассматривать плоские углы .
С помощью транспортира можно найти величину	угла	только приближённо .
Так , величина угла равна 60 ° , а величина	угла	равна 120 ° .
Так , величина	угла	равна 60 ° , а величина угла равна 120 ° .
Напомним , что для практического измерения углов служит транспортир , с помощью шкалы которого можно определить численное значение градусной меры	угла	.
Граница плоского	угла	.
20 Через заданную точку внутри угла проведите прямую , отсекающую от	угла	треугольник наименьшего возможного периметра .
1 Перечислите основные свойства градусной меры	угла	.
1.2 Окружность с центром О касается сторон	угла	с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
Из определения развёрнутого	угла	следует , что сумма смежных углов имеет величину , равную 180 ° , а величины вертикальных углов равны .
Какую часть прямого	угла	составляет угол между лучами , определяющими направления зюйд - зюйд - вест и зюйд - ост - ост ? .
Всякая вневписанная окружность является вписанной в два внешних	угла	и в один внутренний угол треугольника АВС .
Угол , который равен одной девяностой части прямого	угла	, называют угловым градусом и его величину обозначают 1 ° .
Измеряя плоские углы , мы до сих пор предполагали , что измеряемый угол расположен в некоторой полуплоскости , то есть не больше развёрнутого	угла	.
Как построить угол , в два раза больший заданного	угла	? .
2.4 В некотором многоугольнике два	угла	— прямые .
2.3 Изображён угол с вершиной С. Какие из приведённых записей не являются обозначениями этого	угла	? .
19 Даны угол и окружность , которая касается сторон	угла	.
В четырёхугольнике ABCD при пересечении диагоналей образуется четыре	угла	.
Напомним два определения для плоских углов , меньших развёрнутого	угла	.
Величина плоского	угла	.
6 Изображён равнобедренный треугольник АВС с основанием АС , a BL — биссектриса внешнего	угла	.
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого	угла	равна π радиан , прямой угол равен радиан , один угловой градус равен радиан .
Пусть задана окружность с центром О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского	угла	АОВ равна одному радиану .
2.2 Построение	угла	, равного данному .
7 Что называется вершиной и стороной	угла	, образованного двумя отрезками с общей вершиной ? .
Для обозначения плоского	угла	используют тот же знак Ζ , что и для обозначения угла , образованного двумя лучами .
Два	угла	называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными лучами одной прямой .
Два	угла	называются вертикальными , если стороны одного из них являются продолжениями ( то есть противоположными лучами ) сторон другого .
При каждой вершине найдутся два внешних	угла	четырёхугольника , равных по величине .
Для обозначения плоского угла используют тот же знак Ζ , что и для обозначения	угла	, образованного двумя лучами .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из сторон данного	угла	до целой прямой .
Постройте окружность , касающуюся заданной окружности и сторон заданного	угла	.
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого	угла	произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Проведём две параллельные секущие сторон	угла	.
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны	угла	в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Чему равно отношение соответствующих отрезков , получившихся на другой стороне	угла	? .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего	угла	ACD треугольника .
Два различных луча с общим началом образуют два плоских	угла	.
2.2 Градусная мера плоского	угла	, содержащегося в полуплоскости .
1.4 На одной стороне	угла	отложены четыре отрезка , отношение которых , и через их концы проведены параллельные секущие .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны	угла	, определяется новая геометрическая фигура — трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего	угла	ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Таким образом , мы получаем возможность измерять любой плоский угол , причём градусная мера плоского	угла	может быть любой в пределах от 0 ° до 360 ° .
Что можно сказать о внутренних накрест лежащих углах , если два соответственных	угла	равны ? .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних	угла	, сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма углов меньше 180 ° .
3 ) Если два	угла	имеют одну и ту же градусную меру , то эти углы равны .
2 ) Если два	угла	равны , то они имеют одну и ту же градусную меру .
4 Что называется вершиной и стороной	угла	? .
Через точку К биссектрисы	угла	с вершиной А перпендикулярно биссектрисе проводится прямая , которая пересекает стороны в точках В и С. Какой из признаков позволяет доказать , что ВК b КС ? .
Даны отрезок длины а , угол с вершиной А и точка В на одной из сторон	угла	.
Чему равна величина	угла	ВАС ? .
Далее , плоский угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего	угла	DAC треугольника ADC .
Постройте точку С на другой стороне	угла	такую , что .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине К будем считать сумму внутреннего	угла	NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
Далее , плоский угол BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего	угла	ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
2.1 На сторонах	угла	с вершиной А и величиной 40 ° отмечены равные отрезки АВ и АС .
3 Сформулируйте свойство внешнего	угла	треугольника .
А это означает , что если мера меньшего из плоских углов , образованных лучами ВА и ВС , равна а ° , то мера большего	угла	равна 360 ° - а ° .
20 Через заданную точку внутри	угла	проведите прямую , отсекающую от угла треугольник наименьшего возможного периметра .
5 Что называется вершиной и стороной плоского	угла	? .
1 ) АК — биссектриса	угла	CAD .
3 Чему равна градусная мера развёрнутого	угла	? .
Для краткого обозначения	угла	используют знак Ζ .
Градусная мера плоского	угла	.
Заметим , что каждый развёрнутый угол расположен в полуплоскости с границей , содержащей стороны этого	угла	.
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого	угла	; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
17 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная биссектрисе	угла	А и пересекающая продолжение стороны АВ в точке D. Докажите , что .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского	угла	указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
18 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая , параллельная стороне АВ и пересекающая продолжение биссектрисы	угла	А в топке D. Покажите , что .
Какие из указанных значений может принимать величина	угла	АОВ ? .
Нетрудно понять , что вместо четырёх равных отрезков на стороне	угла	можно взять любое другое число равных отрезков и провести аналогичное рассуждение .
6 В равнобедренной трапеции высота , проведённая из вершины тупого	угла	, делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 15 см. Найдите основания трапеции .
Точка О называется вершиной	угла	, а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
Найдите расстояние от вершины угла до центра окружности , если расстояние от вершины	угла	до точки касания равно 2 см .
Как через заданную точку провести прямую , отсекающую от заданного	угла	треугольник заданного периметра ? .
Для любого	угла	с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в точке С. Пусть это углы 1 и 3 .
Выбор некоторого плоского	угла	в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Если сторона и два прилежащих к ней	угла	одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего	угла	KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
1.5 Биссектриса плоского	угла	.
Стороны угла А лежат на непересекающихся прямых l и m , а стороны	угла	В лежат на двух других прямых k и n таких , что .
Стороны ВС и AD	угла	пересечены прямыми АВ и CD .
Таким образом , получаем следующее свойство параллельных секущих сторон	угла	.
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины угла треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого	угла	.
Стороны	угла	А лежат на непересекающихся прямых l и m , а стороны угла В лежат на двух других прямых k и n таких , что .
1.3 Какую часть от половины развёрнутого	угла	составляет угол в 1,8 ° ? .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины	угла	, если АР 5 см ? .
Плоский угол АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию плоского	угла	АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
Вместо слов « величина плоского	угла	равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
Но тогда из условия получаем , что от луча СА в одной полуплоскости отложены два равных	угла	ВСА и В2СА .
Если стороны одного	угла	соответственно параллельны сторонам другого угла , то такие углы или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Проведём через точки А , В , С , D , Е параллельные между собой прямые , пересекающие стороны	угла	соответственно в точках К , L , М , N , О .
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого	угла	, то такие углы или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину	угла	LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
Вершина	угла	.
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими	угла	.
Величина	угла	.
Например , если ОБ является биссектрисой	угла	АОС , а плоский угол АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать равенства .
Биссектриса плоского	угла	.
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , величину	угла	обозначают другим знаком .
Отложим на одной стороне угла отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону	угла	в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
13 Постройте окружность , которая касается одной стороны данного	угла	и другой его стороны в данной на ней точке .
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах углов , использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого	угла	, величину угла обозначают другим знаком .
Отложим на одной стороне	угла	отрезок АВ и равный ему отрезок ВС. Проведём через точки А , В , С параллельные между собой прямые , пересекающие вторую сторону угла в точках К , L , М. Выполним дополнительное построение , проведя через точку К прямую , параллельную прямой АС и обозначим через Р и Q точки пересечения этой прямой с параллельными секущими угла .
12 Постройте окружность , которая касается сторон данного	угла	.
2 Параллельные секущие сторон	угла	.
Если на одной стороне	угла	последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
10 Даны угол и точка М внутри	угла	.
Если на одной стороне	угла	последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону	угла	, то на второй стороне угла получатся два равных между собой отрезка .
Если на одной стороне угла последовательно отложить два равных отрезка и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне	угла	получатся два равных между собой отрезка .
При указании величины плоского	угла	слова « величина » и « плоского » часто не пишутся .
Через точки А , В , С провести параллельные между собой прямые , не пересекающие вторую сторону	угла	? .
Свойство параллельных секущих сторон	угла	.
2.3 Биссектриса	угла	в 45 ° делит его на углы .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего	угла	MKL треугольника MLK .
При каких из указанных значений величины	угла	DEF этот шестиугольник не может быть выпуклым ? .
Проведите прямую l так , чтобы она пересекала стороны	угла	в точках А и В , а точка М являлась серединой отрезка АВ .
На одной стороне	угла	отложим равные между собой отрезки АВ , ВС . CD , DE .
Построение треугольника	угла	, равного данному .
8 В четырёхугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой	угла	.
Для любого	угла	с вершиной в точке А существует соответствующий ему угол с вершиной в точке В. Например , Z1 и Z3 .
15 В параллелограмме ABCD проводится биссектриса	угла	BAD , которая пересекает сторону DC в точке Е. Найдите длину средней линии трапеции ABED , если АВ b 78 мм , AD b 42 мм .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего	угла	NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
Рассмотрим два	угла	с соответственно параллельными сторонами .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне	угла	получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
В каждой вершине треугольника можно рассмотреть два его внешних	угла	.
Чему равна величина четвёртого внешнего	угла	? .
2 Окружность радиуса 3 см касается сторон	угла	.
1.2 Биссектриса половины развёрнутого	угла	делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
Пусть плоский угол составлен из двух частей : плоского угла АОС и плоского	угла	СОВ .
1.4 В выпуклом четырёхугольнике три внешних	угла	равны по 100 ° .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон	угла	с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
Так как прямые AM и NK являются параллельными секущими сторон	угла	АСВ , то , откуда .
Поэтому можно сказать , что луч ОВ делит угол АОС на два равных	угла	ВО А и СОВ .
Пусть плоский угол составлен из двух частей : плоского	угла	АОС и плоского угла СОВ .
Чему равна величина четвёртого внутреннего	угла	этого четырёхугольника ? .
Напомним , что луч ОВ называют биссектрисой	угла	АОС .
Луч ОВ является биссектрисой того плоского	угла	АОС , который содержит этот луч .
Далее заметим , что прямые РМ и NK являются параллельными секущими сторон	угла	NBC .
1.3 В четырёхугольнике три внутренних	угла	имеют величину по 30 ° .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне	угла	откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных чисел .
Пусть , например , на одной стороне	угла	отложены отрезки АВ и ВС , для которых .
При каждой вершине треугольника образуется два равных между собой внешних	угла	.
1.2 В невыпуклом четырёхугольнике ABCD один из внутренних углов равен 210 ° , остальные три внутренних	угла	равны между собой .
Как с помощью этого	угла	изобразить угол в 1 ° ? .
В этой главе вы вспомните многие известные свойства многоугольников , познакомитесь с понятием	угла	многоугольника , узнаете некоторые новые приёмы вычисления площадей .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне угла , провести параллельные секущие сторон	угла	, то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
3 Через вершину острого угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного	угла	.
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два	угла	в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
Две пересекающиеся прямые образуют четыре	угла	, любые два из которых являются либо вертикальными , либо смежными .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону угла , то на второй стороне	угла	получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
Чему равна градусная мера	угла	, смежного к углу , величина которого а ° ? .
Найдите расстояние от вершины	угла	до центра окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см .
Если через концы отрезков АВ и ВС , расположенных на одной стороне	угла	, провести параллельные секущие сторон угла , то на второй стороне угла получатся соответственные отрезки , длины которых пропорциональны длинам отрезков АВ и ВС .
Если на одной стороне угла последовательно отложить несколько равных отрезков и через концы отрезков провести параллельные прямые , пересекающие вторую сторону	угла	, то на второй стороне угла получатся столько же последовательно отложенных и равных между собой отрезков .
В общем случае три параллельные секущие сторон	угла	обладают следующим свойством .
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два	угла	в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два	угла	в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
3 Через вершину острого	угла	проведите две прямые , каждая из которых образует равные углы со сторонами данного угла .
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла делит этот угол на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два	угла	в 45 ° .
Периметр треугольника равен удвоенной длине отрезка касательной , проведённой из вершины	угла	треугольника к вневписанной окружности , касающейся сторон этого угла .
Величину	угла	NKL определяем как сумму величин углов NKM и MKL , то есть .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней углы треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней	углам	треугольника ADK .
Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней	углам	.
9 Постройте треугольник по двум	углам	и радиусу вписанной окружности .
Гипотенуза и прилежащие к ней углы треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней	углам	треугольника .
Какую часть окружности образуют дуги , принадлежащие двум смежным	углам	с вершиной в центре окружности ? .
Развёрнутый угол равен двум прямым	углам	или 2d .
4 Как построить треугольник по стороне и прилежащим к ней	углам	? .
2 ) Если дуги , принадлежащие плоским	углам	, равны , то и плоские углы равны .
1 ) Если плоские углы равны , то равны и дуги окружности , принадлежащие соответствующим плоским	углам	.
Поэтому по известным	углам	, один из которых при вершине Р , а другой при вершине Q , можно найти величины двух накрест лежащих углов .
2.4 Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней	углам	.
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС , углы треугольника АВК при этой стороне равны соответственным	углам	трапеции ABCD при основании AD .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней	углам	другого треугольника , то такие треугольники равны .
Таким образом , при продолжении боковых сторон трапеции образуются два треугольника с соответственно равными	углами	.
2.4 Какие из пар углов являются	углами	некоторого остроугольного треугольника ? .
Что произойдёт , если вы попытаетесь строить треугольник с двумя тупыми	углами	? .
6 Какие углы называют внутренними односторонними	углами	? .
угол . 2 ) треугольник с двумя неравными сторонами . 3 ) треугольник с двумя неравными	углами	. 4 ) четырёхугольник с двумя равными сторонами .
Закрашенные части плоскости являются плоскими	углами	.
Его соседние углы АВС и BAD являются внутренними односторонними	углами	, образованными секущей АВ параллельных прямых AD и ВС. Поэтому по свойству .
Углы 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими	углами	.
8 Какие углы называют соответственными	углами	? .
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и плоскими	углами	с вершиной в центре окружности ? .
7 Какие углы называются внешними односторонними	углами	? .
2 Из прямоугольных листов картона шириной 10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в	углах	со стороной х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного параллелепипеда .
Что можно сказать о внутренних накрест лежащих	углах	.
Что можно сказать о внутренних накрест лежащих	углах	, если два соответственных угла равны ? .
При каком	угле	α при основаниях боковые стороны равнобедренных треугольников образуют шестиугольник ? .
При каком	угле	а стороны равнобедренных треугольников образуют правильный шестиугольник ? .
2.3 Каким может быть один из	углов	параллелограмма , если известно , что сумма двух каких - то его углов равна 150 ° ? .
1.8 Сумма внутренних	углов	любого четырёхугольника .
Сумма внутренних	углов	любого четырёхугольника равна 360 ° .
3 ) диагонали являются биссектрисами	углов	.
две пары равных	углов	. 3 ) пара равных сторон ; 4 ) четыре равные стороны .
1 ) диагонали параллелограмма всегда являются биссектрисами соответствующих	углов	.
у четырёхугольника имеются две пары равных противоположных	углов	.
Величину угла NKL определяем как сумму величин	углов	NKM и MKL , то есть .
у четырёхугольника имеются две пары равных	углов	.
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних	углов	треугольников MNK и MLK , то есть равна .
1.4 С какими из указанных	углов	может существовать параллелограмм ? .
Чему равна сумма	углов	АВС , САВ и DCA ? .
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних	углов	четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
1.2 В невыпуклом четырёхугольнике ABCD один из внутренних	углов	равен 210 ° , остальные три внутренних угла равны между собой .
Чему равна величина этих	углов	? .
1.3 Какое наибольшее число внутренних прямых	углов	может иметь шестиугольник ? .
Из определения внутренних	углов	четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских	углов	, то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из сторон данного угла до целой прямой .
Какой из двух плоских	углов	при этом рассматривается , обычно поясняют дополнительно .
Сумма внешних	углов	.
9 Сформулируйте свойство	углов	с соответственно параллельными сторонами .
4 В параллелограмме проводятся биссектрисы всех	углов	при вершинах .
Сумма внутренних односторонних	углов	.
Сумма внутренних	углов	.
5 В параллелограмме биссектрисы	углов	при вершинах пересекаются попарно в четырёх различных точках .
Сумма соседних	углов	параллелограмма .
Для каких углов луч OD является биссектрисой , если угол AOF является суммой пяти равных	углов	.
Для каких	углов	луч OD является биссектрисой , если угол AOF является суммой пяти равных углов .
1.4 Сумма двух плоских	углов	.
Отметим пары равных	углов	OAD , ОСВ и ODA , ОВС .
Тогда плоский угол АОВ называется суммой плоских	углов	АОС и СОВ .
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя лучами , и связанные с ними плоские углы , способы измерения	углов	, напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
2.1 Сколько тупых	углов	может иметь выпуклый четырёхугольник ? .
Сумма плоских	углов	.
Сколько плоских	углов	образуют диагонали квадрата с его сторонами ? .
7 В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы	углов	А и D. Найдите длину отрезка KL , если известно , что .
В этом случае плоский угол АОС является суммой	углов	СОВ и ВОА .
Плоский угол , составленный из двух плоских	углов	, общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов .
Сумма трёх из четырёх	углов	четырёхугольника равна 270 ° .
В этом случае угол АОС равен сумме двух равных плоских	углов	.
Напомним введённое ранее понятие равенства	углов	.
В каком случае плоский угол является суммой шести плоских	углов	? .
Точно так же можно рассматривать плоские углы , которые являются суммой четырёх плоских	углов	и так далее .
В этом случае говорят , что рассматриваемый плоский угол является суммой трёх плоских	углов	.
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является суммой двух плоских углов , один из которых сам является суммой некоторых двух плоских	углов	.
6 В прямоугольнике проводятся биссектрисы всех	углов	при вершинах .
Аналогично можно рассматривать плоский угол , который является суммой двух плоских	углов	, один из которых сам является суммой некоторых двух плоских углов .
Плоский угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских	углов	.
Плоский угол , составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам	углов	, называется суммой этих двух плоских углов .
2.2 Даны величины трёх внутренних	углов	четырёхугольника .
Как объяснить , что четырёхугольник не может иметь двух внутренних	углов	, каждый из которых больше развёрнутого ? .
Получаем следующее свойство	углов	параллелограмма .
Как доказанное свойство позволяет найти сумму всех	углов	параллелограмма ? .
1.9 Сумма внешних	углов	выпуклого четырёхугольника .
пара равных	углов	; 2 )
В скобках стоит сумма всех внутренних	углов	четырёхугольника , которая равна 360 ° .
Сумма внешних	углов	выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
4 Сформулируйте свойства	углов	параллелограмма .
Чему равна сумма внешних	углов	треугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Чему равна сумма всех неразвёрнутых	углов	.
8 Чему равна сумма внешних	углов	выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
7 Чему равна сумма внутренних	углов	выпуклого n - угольника ? .
Чему равна сумма внешних	углов	выпуклого n - угольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Сумма всех внутренних	углов	выпуклого n - угольника равна .
Продолжая таким образом , получим , что сумма внутренних	углов	выпуклого семиугольника равна , выпуклого восьмиугольника равна и так далее .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех	углов	пятиугольника MKLPQ , то есть .
Сумма двух соседних	углов	параллелограмма равна 180 ° .
7 Чему равна сумма внутренних	углов	выпуклого четырёхугольника ? .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних	углов	шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних	углов	пятиугольника равна .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма	углов	четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
10 Чему равна сумма внешних	углов	выпуклого четырёхугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Так как сумма	углов	треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов четырёхугольника равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
11 Докажите теорему о сумме внутренних	углов	любого четырёхугольника .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех	углов	четырёхугольника ACDE .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех	углов	треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Отсюда следует , что сумму всех внутренних	углов	пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов четырёхугольника ACDE .
Сколько плоских	углов	образуют все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
Проведём диагональ АС , которая разбивает каждый из	углов	А и С пятиугольника на две части .
Сумма внутренних	углов	выпуклого многоугольника .
Вершинами какого многоугольника являются точки пересечения биссектрис всех изображённых	углов	с вершинами А и В ? .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех	углов	треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
1 Сколько	углов	разного вида образуют стороны треугольника ? .
Сколько различных пар равных	углов	? .
2.1 Сколько острых внутренних	углов	может иметь выпуклый пятиугольник ? .
3.3 Сумма внешних	углов	треугольника .
Как доказать , что сумма всех внешних	углов	треугольника равна 720 ° ? .
Для измерения	углов	сначала выберем единицу измерения — эталонный угол .
По теореме о сумме	углов	треугольника .
Тогда , как сумма смежных	углов	, а поэтому .
Внешний угол треугольника равен сумме не смежных с ним внутренних	углов	этого треугольника .
Для внешних	углов	треугольника справедливо следующее утверждение .
После выбора единицы измерения	углов	любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Ситуация с измерением	углов	напоминает ситуацию с измерением отрезков .
Как доказать , что в треугольнике не может быть двух прямых	углов	? .
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке : сумма	углов	любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах углов .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных	углов	и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Сумма величин	углов	любого треугольника равна 180 ° .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных	углов	, чтобы в сумме получить этот угол .
3.1 Чему равна сумма	углов	треугольника ?
3 Сумма	углов	треугольника .
Как доказать , что в четырёхугольнике ABCD углы В и D равны , если диагональ АС является биссектрисой	углов	А и С ? .
Сколько различных пар равных	углов	можно указать ? .
Иногда эту теорему приводят в следующей краткой формулировке : сумма углов любого треугольника равна 180 ° , неявно предполагая , что речь идёт о величинах	углов	.
Воспользуемся свойствами	углов	прямоугольного треугольника для получения ещё одного признака равенства прямоугольных треугольников .
В результате получаем следующее свойство внешних	углов	треугольника .
Измерение плоских	углов	.
Докажите , что в равнобедренном треугольнике биссектрисы	углов	при основании треугольника равны .
Сумма	углов	АОВ , ВОС , COD , DOA равна 360 ° .
Сумма всех	углов	треугольников АОВ , ВОС , COD , DOA равна .
Такую сумму можно получить , если из суммы всех углов треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть сумму	углов	АОВ , ВОС , COD , DOA .
Напомним , что для практического измерения	углов	служит транспортир , с помощью шкалы которого можно определить численное значение градусной меры угла .
Такую сумму можно получить , если из суммы всех	углов	треугольников АОВ , ВОС , COD , DOА вычесть сумму углов АОВ , ВОС , COD , DOA .
Сумма S	углов	четырёхугольника ABCD равна сумме .
Равенство внутренних накрест лежащих	углов	.
Сумма S	углов	четырёхугольника равна сумме По свойствам параллельных прямых выполняются равенства .
Верно ли , что если у четырёхугольника ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то диагональ АС — биссектриса	углов	А и С ? .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме	углов	треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим углы .
По свойству острых	углов	прямоугольного треугольника имеем равенство .
Покажем , как можно найти сумму	углов	четырёхугольника ABCD .
3.4 Примеры нахождения суммы	углов	четырёхугольника .
Когда рассматривают секущую двух прямых , то кроме внутренних накрест лежащих углов выделяют и другие пары	углов	и дают им особые названия .
Плоский угол АВС равен сумме плоских	углов	ABD и DBC .
Градусная мера суммы плоских	углов	равна сумме градусных мер слагаемых .
Сумма трёх внешних	углов	треугольника , взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
Как представить развёрнутый угол в виде суммы двух равных	углов	? .
Сколько различных пар смежных	углов	может при этом образоваться ? .
Какое число различных пар вертикальных	углов	может при этом получиться ? .
Какое максимальное число	углов	, равных 117 ° , может быть ? .
Один из образовавшихся	углов	равен 63 ° .
Вершины двух	углов	совпадают , и стороны двух углов расположены по двум пересекающимся прямым .
Возможны три случая взаимного расположения этих двух	углов	.
Чему равна сумма внешних односторонних	углов	при двух параллельных и секущей ? .
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных углов имеет величину , равную 180 ° , а величины вертикальных	углов	равны .
Найдём сумму внутренних односторонних	углов	1 и 2 .
Из определения развёрнутого угла следует , что сумма смежных	углов	имеет величину , равную 180 ° , а величины вертикальных углов равны .
Сумма внутренних односторонних	углов	, образуемых секущей двух параллельных прямых .
Напомним два определения для плоских	углов	, меньших развёрнутого угла .
Если из текста ясно , что речь идёт об измерениях плоских	углов	, то вместо слов « угловой градус » , « угловая минута » , « угловая секунда » обычно говорят или пишут « градус » , « минута » , « секунда » .
Секущая MN при пересечении с прямыми АВ и CD образует восемь	углов	.
2.10 Равенство внутренних накрест лежащих	углов	, образуемых секущей двух параллельных прямых .
Зная величину одного из отмеченных	углов	при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других	углов	при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме угол в 180 ° .
Аналогично по любому из отмеченных	углов	при вершине Q можно найти любой другой угол при этой вершине .
Величина прямого угла как единица измерения плоских	углов	.
Выберем угол между лучами , определяемыми направлениями « норд » и « ост » , за единицу измерения	углов	.
Поэтому по известным углам , один из которых при вершине Р , а другой при вершине Q , можно найти величины двух накрест лежащих	углов	.
2.6 О названиях	углов	, образованных секущей .
Когда рассматривают секущую двух прямых , то кроме внутренних накрест лежащих	углов	выделяют и другие пары углов и дают им особые названия .
Вершины двух углов совпадают , и стороны двух	углов	расположены по двум пересекающимся прямым .
При этом всегда один из этих плоских	углов	расположен в некоторой полуплоскости .
При любой единице измерения	углов	величина нулевого угла равна нулю .
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из	углов	, а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n .
Какое ещё значение могут иметь величины	углов	? .
Значение одного из образовавшихся	углов	равно 53 ° .
Найдите сумму	углов	AKL и CLK .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных	углов	или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
8 Постройте трапецию по основанию , одному из	углов	при основании и боковым сторонам .
Для каждой единицы измерения	углов	справедливы свойства .
Ранее , когда было ясно , что речь идёт о величинах	углов	, использовалось обозначение Ζ. Иногда , чтобы отличать от обозначения самого угла , величину угла обозначают другим знаком .
Докажите , что биссектрисы	углов	APQ и DQP параллельны .
2.4 Изображено несколько	углов	с общей вершиной О. Какие из следующих равенств имеют место ? .
1.4 Чему равна сумма внутренних	углов	выпуклого шестиугольника ? .
2.3 Каким может быть один из углов параллелограмма , если известно , что сумма двух каких - то его	углов	равна 150 ° ? .
С помощью транспортира разделите этот угол на 5 равных	углов	.
4 Чему равна градусная мера суммы плоских	углов	? .
А это означает , что если мера меньшего из плоских	углов	, образованных лучами ВА и ВС , равна а ° , то мера большего угла равна 360 ° - а ° .
2.12 Измерение плоских	углов	, больших развёрнутых .
2.11 Радиан как единица измерения плоских	углов	.
Сколько пар неразвёрнутых	углов	с соответственно параллельными сторонами , лежащими на этих четырёх прямых , вы можете насчитать при двух вершинах , выбранных среди точек пересечения данных прямых ? .
Для любых	углов	с общей вершиной О и для дуг этой окружности выполняются свойства .
Вершины углов А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны	углов	лежат на параллельных прямых m и n .
Вершины	углов	А и В лежат на прямой l , содержащей по стороне каждого из углов , а две другие стороны углов лежат на параллельных прямых m и n .
Сумма S	углов	четырёхугольника равна .
2.4 Градусная мера суммы двух	углов	и её свойство .
2.7 Параллельность прямых при равенстве внутренних накрест лежащих	углов	.
Поворот на какой из перечисленных	углов	является центральной симметрией ? .
2 Постройте угол , равный разности двух данных	углов	.
1 Постройте угол , равный сумме двух данных	углов	.
7 Сколько всего развёрнутых	углов	вы можете указать ? .
Сколько плоских	углов	образуют все пары соседних сторон многоугольника с n сторонами ? .
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ BD , то величины	углов	АВС и ADC также выражаются через углы треугольников ABD и DCB .
Какие из указанных плоских	углов	содержат плоский угол DAC ? .
2.2 Суммой каких	углов	является угол ЕАС ? .
Этот подход применим к определению внутренних	углов	невыпуклого четырёхугольника .
5 Сколько плоских	углов	образуют все пары соседних сторон четырёхугольника ? .
1.3 В прямоугольном треугольнике наименьший угол в 6 раз меньше суммы двух других	углов	.
Даны прямая АС и два луча , выходящие из точки В. Суммы каких	углов	дают развёрнутый угол ? .
2.2 В четырёхугольнике ABCD , который не является ромбом , диагональ АС является биссектрисой	углов	с вершинами А и С Какие из равенств верны ? .
Сколько развёрнутых плоских	углов	можно указать на этом рисунке , выбирая в качестве вершин либо точку М , либо точку N ? .
2.4 Какие из пар	углов	являются углами некоторого остроугольного треугольника ? .
Эту теорему иногда формулируют так : Сумма всех внутренних	углов	выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
Сколько всего плоских неразвёрнутых	углов	вы можете указать ? .
Сколько неразвёрнутых	углов	образуют 100 прямых , пересекающихся в одной точке ? .
Найдите сумму отмеченных	углов	.
Рассмотрим другой способ вычисления величин внутренних	углов	выпуклого четырёхугольника .
1.1 Угол А в треугольнике АВС равен 57 ° 31′. Чему равна сумма	углов	В и С этого треугольника ? .
Например , четырёхугольник ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух плоских	углов	, образованных соседними сторонами ВС и CD , содержит только часть этого четырёхугольника .
Сколько неразвёрнутых	углов	можно указать ? .
1.3 Какая из следующих пар	углов	может присутствовать в одном треугольнике ? .
Сколько развёрнутых	углов	образуют часовая и минутная стрелки за 12 часов ? .
Один из этих	углов	равен 45 ° .
2.1 Какие из значений могут быть суммой всех внутренних	углов	некоторого многоугольника ? .
Сколько всего развёрнутых	углов	можно указать на рисунке с вершинами в точках пересечения ? .
12 В четырёхугольнике ABCD биссектрисы	углов	пересекаются .
2.2 Какой может быть сумма внутренних	углов	правильного многоугольника ? .
2.3 Какие из наборов значений могут быть величинами	углов	некоторого треугольника ? .
1.4 Сколько внутренних	углов	имеет правильный 50-угольник ? .
Чему может быть равен один из других	углов	? .
Запишем эту сумму	углов	, пользуясь обозначениями .
Чему равна сумма всех	углов	треугольников АВС и ADC .
Сумма величин всех	углов	в треугольниках ABC и ADC равна .
Идея разрезания многоугольника на треугольники позволяет определить внутренние углы многоугольника , а также показать , что сумма S внутренних	углов	любого n - угольника вычисляется по формуле .
1.1 Какой из	углов	на рис .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин	углов	NMK и KML , то есть .
2 Сколько неразвёрнутых	углов	разного вида вы можете указать ? .
1.2 Какой из	углов	равен .
Точно так же не вызывают удивления первый признак равенства треугольников , возможность откладывания	углов	и отрезков — утверждения , которые мы принимали без доказательства .
Если на плоскости две прямые образуют с одной и той же секущей два внутренних односторонних угла , сумма которых отлична от 180 ° , то эти прямые не параллельны и пересекаются с той стороны от секущей , где сумма	углов	меньше 180 ° .
1.5 Сумма	углов	выпуклого четырёхугольника .
1 Чему равна сумма	углов	треугольника ? .
Напомним , что в 5 классе мы определяли градусную меру	углов	, образованных двумя лучами .
3 Сколько всего плоских	углов	вы можете указать ? .
Рассматривалось несколько способов нахождения суммы величин	углов	конкретного четырёхугольника .
В то же время многие утверждения , доказываемые на основе пятого постулата , изменяются ( например , сумма	углов	любого треугольника меньше 180 ° ) .
2.1 Градусная мера плоских	углов	.
4 Чему равна сумма внешних	углов	треугольника , взятых по одному при каждой вершине ? .
Сумма величин всех внутренних	углов	выпуклого четырёхугольника равна 360 ° .
5 Чему равна сумма	углов	четырёхугольника ? .
4 Сколько внутренних плоских	углов	имеет : а ) квадрат ; б ) прямоугольник ; в ) ромб ; г ) параллелограмм ? .
6 Как определяется	угловой коэффициент	прямой ? .
Что такое	угловой коэффициент	прямой ? .
Как построить график линейной функции , зная одну точку этого графика и	угловой коэффициент	? .
Эти линейные функции имеют одинаковые	угловые коэффициенты	, а поэтому их графики являются параллельными прямыми .
По этой причине число k в формуле называют	угловым коэффициентом	прямой .
7 Каким свойством обладают прямые с одинаковым	угловым коэффициентом	? .
7 Существует ли правильный многоугольник с внутренним	углом	в ( 180 - 10 - 6 ) градусов ? .
Внутренним	углом	этого четырёхугольника при вершине К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
В чём разница между	углом	, образованным двумя лучами с общим началом , и плоским углом , ограниченным этими же двумя лучами ? .
Рассмотрим параллелограмм с прямым	углом	.
5 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 6 см и тупым	углом	в 150 ° .
Таким образом , прямоугольник можно определить как параллелограмм с прямым	углом	.
В чём разница между углом , образованным двумя лучами с общим началом , и плоским	углом	, ограниченным этими же двумя лучами ? .
Внутренним	углом	этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
Внутренним	углом	этого четырёхугольника при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
4 Найдите площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 9 см и острым	углом	в 60 ° .
Эту единицу измерения обычно называют прямым	углом	, а его величину обозначают через d. Тогда угол между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним	углом	при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
Этот угол STU называется развёрнутым	углом	.
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с прямым	углом	все углы прямые , а противоположные стороны попарно равны .
Внешним	углом	выпуклого четырёхугольника называют угол , смежный внутреннему углу четырёхугольника .
Внутренним	углом	четырёхугольника ABCD при вершине А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
21 В трапеции ABCD с прямым	углом	при вершине С известны основание ВС b 15 см и боковые стороны АВ b 17 см , CD b 8 см. Найдите площадь трапеции .
Плоский угол АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с	углом	KLM .
10 Докажите , что в прямоугольном треугольнике с острым	углом	в 30 ° один катет равен половине гипотенузы .
Напомним , что внутренним	углом	треугольника АВС между сторонами АВ и АС называют плоский угол , определяемый лучами АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
6 Какой угол называется	углом	между отрезками с общим концом ? .
Угол , смежный внутреннему углу треугольника , иногда называют внешним	углом	треугольника .
Угол КСВ является внешним	углом	треугольника АВС при вершине С .
Тогда угол ВАС называется	углом	наклона прямой .
Докажите , что : а ) если , то треугольник АВС прямоугольный ; б ) если треугольник АВС прямоугольный ( с прямым	углом	В ) , то .
3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и	углом	при вершине В величиной в 36 ° проведена биссектриса AL .
Рассмотрим два отрезка АВ и АС с общим концом А. Напомним , что	углом	между отрезками АВ и АС с общим концом А называется угол между лучами АВ и АС .
2 Какой угол называют внешним	углом	треугольника ? .
8 Какой угол называют смежным с данным выпуклым	углом	? .
9 Какой угол называют внешним	углом	выпуклого четырёхугольника ? .
Если задан треугольник АВС , то внутренним	углом	треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский угол , образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
3 Какая фигура называется развёрнутым	углом	? .
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним	углом	, например , при вершине М называют тот плоский угол NMK , который содержит этот треугольник .
Рассмотрим на плоскости два различных луча ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую геометрическую фигуру называют	углом	ЛОВ .
2 На сторонах равностороннего треугольника АВС во внешнюю часть строятся равные равнобедренные треугольники с	углом	а при основании .
4 Проведите к данной окружности касательную под данным	углом	к данной прямой .
2 Диагонали прямоугольника длиной 24 см пересекаются под	углом	в 60 ° .
3 На сторонах ромба ABCD с острым	углом	в 60 ° строятся равные равнобедренные треугольники с основаниями , совпадающими со сторонами ромба .
Будем считать эту дугу соответствующей плоскому	углу	АОВ .
3 Как от заданного луча отложить угол , равный заданному	углу	? .
по углу при вершине и боковой стороне . б ) по	углу	при основании и боковой стороне .
"1.4 Угол в 36000 "" равен : 1 )"	углу	3600 ' ; 2 ) углу в 36 ° ; 3 ) углу в 30 ° ; 4 ) углу в 10 ° .
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому	углу	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
"1.4 Угол в 36000 "" равен : 1 ) углу 3600 ' ; 2 )"	углу	в 36 ° ; 3 ) углу в 30 ° ; 4 ) углу в 10 ° .
В этой же полуплоскости построим угол S1QP , равный	углу	Μ1Ν1Κ1 .
4 ) признак равенства по катету и острому	углу	.
17 равен	углу	АВС ? .
Заметим , что и прямоугольные треугольники ORS и OR 'S ' равны по катету и острому	углу	.
"1.4 Угол в 36000 "" равен : 1 ) углу 3600 ' ; 2 ) углу в 36 ° ; 3 ) углу в 30 ° ; 4 )"	углу	в 10 ° .
В одной из полуплоскостей построим угол SPQ , равный	углу	ΜΝΚ .
4 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому	углу	.
5 Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому	углу	.
9 Постройте ромб по стороне и одному заданному	углу	.
"1.4 Угол в 36000 "" равен : 1 ) углу 3600 ' ; 2 ) углу в 36 ° ; 3 )"	углу	в 30 ° ; 4 ) углу в 10 ° .
15 угол КОМ равен	углу	МОР , то дуга KLM равна дуге MNP .
4 Постройте равнобедренный треугольник : а ) по основанию и боковой стороне ; б ) по основанию и	углу	при вершине .
В одной из полуплоскостей построим угол SPQ , равный	углу	MNK .
2.3 Построение треугольника по двум сторонам и	углу	между ними .
И наоборот , если дуга KLM равна дуге MNP , то угол КОМ равен	углу	МОР .
Если окружность разделить на 2 равные части , то получатся две дуги окружности , соответствующие развёрнутому	углу	.
Чему равна градусная мера угла , смежного к	углу	, величина которого а ° ? .
10 Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому	углу	.
Если окружность разделить на 4 равные части , то получатся четыре дуги окружности , каждая из которых соответствует прямому	углу	.
по двум диагоналям и	углу	между ними .
по стороне , сумме диагоналей и	углу	между диагоналями .
Постройте треугольник АВС по стороне АВ , прилежащему к этой стороне	углу	ВАС и разности сторон АС и ВС , зная , что .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому	углу	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Построим угол , равный заданному острому	углу	PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
Построим треугольник по двум сторонам и	углу	, противолежащему одной из сторон .
На сколько равных частей нужно разделить окружность , чтобы получить дугу окружности , соответствующую	углу	"в 1 "" ? ."
Обратно : углы , смежные к одному и тому же	углу	, являются вертикальными .
Заметим , что вертикальные углы являются смежными к одному и тому же	углу	.
1.5 Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому	углу	.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и	углу	между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
по	углу	при вершине и боковой стороне . б ) по углу при основании и боковой стороне .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие углы при параллельных прямых , поэтому Z1 также либо равен	углу	с вершиной в точке В , либо дополняет его до 180 ° .
Каждому	углу	соответствует его градусная мера .
Докажите , что угол между касательной АВ к окружности и хордой BD равен	углу	BCD .
Выберем при каждой вершине по одному внешнему	углу	.
Рассмотрим в выпуклом четырёхугольнике ABCD по одному внешнему	углу	при каждой вершине .
Построение треугольника по двум сторонам и	углу	между ними .
Внешним углом выпуклого четырёхугольника называют угол , смежный внутреннему	углу	четырёхугольника .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р угол BPQ , равный	углу	PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой угол с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен	углу	с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
1.2 В четырёхугольнике ABCD угол А равен	углу	В , а угол С равен углу D. Угол С равен 57 ° 32 ' .
1.2 В четырёхугольнике ABCD угол А равен углу В , а угол С равен	углу	D. Угол С равен 57 ° 32 ' .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому	углу	соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
Плоский угол АОВ равен плоскому	углу	ВОС .
Плоский угол АОВ равен плоскому	углу	KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
Угол , смежный внутреннему	углу	треугольника , иногда называют внешним углом треугольника .
Так как в равных треугольниках равны все соответствующие элементы , то в треугольниках ACD и ВСЕ равны медианы СМ и CN и	углы	MCA и NCB .
Точно так же определяются внутренние	углы	ромба и параллелограмма .
Внутренние углы многоугольника определяются сложнее , чем внутренние	углы	треугольника .
Внутренние	углы	многоугольника определяются сложнее , чем внутренние углы треугольника .
1.2 В треугольнике АВС	углы	попарно различны .
Измерим плоские	углы	ВАС , BAD , ВАЕ , содержащиеся в полуплоскости а .
Аналогично определяются внутренние	углы	ВСА и АВС .
1.7 Внутренние	углы	треугольника .
Заметим , что в случае угла между отрезками также можно рассматривать плоские	углы	.
Гипотенуза и прилежащие к ней	углы	треугольника ΜΝΚ равны гипотенузе и прилежащим к ней углам треугольника .
Пусть в треугольниках углы — прямые и соответственно равны гипотенузы равные острые	углы	.
Пусть в треугольниках	углы	— прямые и соответственно равны гипотенузы равные острые углы .
С помощью транспортира измерим	углы	ABD , DBC , АВС и предположим , что их градусные меры равны α ° , β ° , γ ° соответственно .
Идея разрезания многоугольника на треугольники позволяет определить внутренние	углы	многоугольника , а также показать , что сумма S внутренних углов любого n - угольника вычисляется по формуле .
Тогда	углы	САВ и DCA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и секущей АС .
Примером выпуклого многоугольника может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все	углы	равны между собой .
Отмечены все внешние	углы	треугольника АВС .
Например , отмечены внешние	углы	при вершине В .
По аналогии с доказательством теоремы о сумме углов треугольника проведём через вершины С и D прямые , параллельные стороне АВ , и отметим	углы	.
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя лучами , и связанные с ними плоские углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские	углы	.
Прямоугольные треугольники KPG и KQH имеют одинаковую гипотенузу и равные острые	углы	.
Чему равны углы правильного пятиугольника ( то есть пятиугольника , в котором все стороны равны и все	углы	равны ) ? .
Найдём площадь шестиугольника ABCDEF , у которого все	углы	равны по 120 ° и АВ 6 см , ВС 8 см , CD 10 см , DE 10 см .
1.1 В пятиугольнике ABODE внутренние	углы	при вершинах А , В , С — прямые и ZCDE 120 ° .
6 У каких правильных n - угольников внутренние	углы	выражаются целым числом градусов ? .
5 Найдите внутренние	углы	правильного : а ) пятиугольника ; б ) восьмиугольника ; в ) девятиугольника ; г ) двенадцатиугольника ; д ) двадцатиугольника .
3 Через вершину острого угла проведите две прямые , каждая из которых образует равные	углы	со сторонами данного угла .
Найдите углы четырёхугольника MNKL , если известны	углы	.
Выясните , какими могут быть	углы	этих равнобедренных треугольников , чтобы все их боковые стороны образовывали восьмиугольник , если известно , что .
Пусть заданы отрезок АВ и	углы	ΜΝΚ , Μ1Ν1Κ1 .
Найдите	углы	четырёхугольника MNKL , если известны углы .
2.1 Рассматриваются плоские	углы	меньше развёрнутого .
Известно , что . Найдите	углы	треугольников АВН и САН .
5 Найдите углы треугольника , если внешние	углы	при двух его вершинах равны 120 ° и 130 ° .
Докажите следующий признак равенства треугольников : если в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 стороны ВС и В1С1 и тупые	углы	АВС и А1В1С1 , то треугольники АВС и А1В1С1 равны .
5 Найдите	углы	треугольника , если внешние углы при двух его вершинах равны 120 ° и 130 ° .
2.2 Из точки О проведены 6 лучей таким образом , что	углы	, образуемые любыми двумя соседними лучами , равны .
Какие	углы	можно найти на получившемся чертеже ? .
4 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL и ВМ , пересекающиеся в точке О. Найдите	углы	треугольников АОВ , BOL , АОМ , если .
У этих треугольников АО равен ОВ , СО равен OD по условию , а	углы	АОС и BOD равны как вертикальные .
В этой главе рассматриваются углы , образованные двумя лучами , и связанные с ними плоские	углы	, способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
Найдите	углы	треугольника .
3 ) Если два угла имеют одну и ту же градусную меру , то эти	углы	равны .
Точно так же можно рассматривать плоские	углы	, которые являются суммой четырёх плоских углов и так далее .
Могут ли неравные	углы	иметь одинаковую градусную меру ? .
Чему равны	углы	правильного пятиугольника ( то есть пятиугольника , в котором все стороны равны и все углы равны ) ? .
Как доказать , что в четырёхугольнике ABCD	углы	В и D равны , если диагональ АС является биссектрисой углов А и С ? .
Равные	углы	имеют равные величины .
10 В равнобедренном треугольнике АВС	углы	при основании равны 50 ° .
2.9 Дуги окружности и плоские	углы	.
Поэтому	углы	либо равны , либо в сумме составляют 180 ° .
Прямая АВ образует прямые	углы	при пересечения с прямой AD , а поэтому АВ AD .
Заметим , что для лучей ОА , ОС и ОВ можно рассмотреть и другие плоские	углы	.
Если две параллельные прямые пересечены секущей , то образующиеся внутренние односторонние	углы	в сумме дают 180 ° .
По теореме предыдущего пункта отмеченные	углы	1 и 3 равны .
Углы 3 и 1 равны как внутренние накрест лежащие , а	углы	3 и 1 равны как вертикальные .
Обратно :	углы	, смежные к одному и тому же углу , являются вертикальными .
Возьмём две параллельные прямые а и b. Пересечём их секущей и обозначим соответствующие	углы	1 и 2 .
Заметим , что вертикальные	углы	являются смежными к одному и тому же углу .
Следствие : Если две параллельные прямые пересечены секущей , то образующиеся соответственные	углы	равны .
Из аксиомы параллельности следует , что прямые C1D1 и CD совпадают , а это значит , что и внутренние накрест лежащие	углы	также равны .
Углы 1 и 3 равны , как соответствующие	углы	при параллельных прямых , поэтому Z1 также либо равен углу с вершиной в точке В , либо дополняет его до 180 ° .
2.5 Внутренние накрест лежащие	углы	.
Углы 3 и 5 — это тоже внутренние накрест лежащие	углы	.
Равны и их соответствующие углы PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие	углы	, образованные при пересечении прямых CD и PS секущей PQ .
Его соседние	углы	АВС и BAD являются внутренними односторонними углами , образованными секущей АВ параллельных прямых AD и ВС. Поэтому по свойству .
Равны и их соответствующие	углы	PQR и SPQ , то есть равны внутренние накрест лежащие углы , образованные при пересечении прямых CD и PS секущей PQ .
Будут ли параллельны две прямые , при пересечении которых секущая образует равные соответственные	углы	? .
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие	углы	равны , то такие прямые параллельны .
Доказанные общие свойства параллелограмма позволяют заключить , что у параллелограмма с прямым углом все	углы	прямые , а противоположные стороны попарно равны .
В итоге внутренние накрест лежащие	углы	Z3 и Z5 стали известными .
Если же для секущей MN внутренние накрест лежащие	углы	являются прямыми , то , как уже было сказано , прямые АВ параллельны как перпендикуляры к одной прямой .
Тогда для прямых АВ и CD острые внутренние накрест лежащие	углы	ZBPQ и ZCQP равны .
Пусть равны тупые внутренние накрест лежащие	углы	.
Поэтому	углы	PKG и QKH равны 180 ° .
Если две параллельные прямые пересечены секущей , то образующиеся внутренние накрест лежащие	углы	равны .
13 В треугольнике АВС известны	углы	.
1 ) Если плоские	углы	равны , то равны и дуги окружности , принадлежащие соответствующим плоским углам .
Для любого угла с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий угол с вершиной в точке С. Пусть это	углы	1 и 3 .
Возьмём две прямые АВ и CD и их секущую MN , для которых внутренние накрест лежащие	углы	BPQ и CQP равны и являются острыми .
У параллелограмма ABCD с вершинами в узлах клетчатой бумаги равны стороны АВ и CD , стороны AD и ВС ,	углы	BAD и BCD , углы АВС и ADC .
2.3 Биссектриса угла в 45 ° делит его на	углы	.
Известно , что . Найдите	углы	.
У параллелограмма ABCD с вершинами в узлах клетчатой бумаги равны стороны АВ и CD , стороны AD и ВС , углы BAD и BCD ,	углы	АВС и ADC .
а ) Известно , что . Найдите	углы	.
в ) внутренние односторонние углы в сумме дают 180 ° . г ) внешние односторонние	углы	в сумме дают 180 ° .
Выразите в градусах следующие	углы	.
соответственные	углы	равны .
12 Выразите в радианах следующие	углы	.
Измерьте все его	углы	и найдите сумму полученных значений .
Выберите внутри его точку М. Измерьте	углы	АМВ , ВМС , CMD , DMA и найдите сумму полученных значений .
2 ) Если дуги , принадлежащие плоским углам , равны , то и плоские	углы	равны .
а ) внешние накрест лежащие	углы	равны .
6 Как измеряются	углы	с использованием прямого угла в качестве эталона ? .
5 Как измеряются	углы	с помощью эталонного угла ? .
а ) используя внутренние накрест лежащие	углы	.
8 Какие	углы	называют соответственными углами ? .
Однако можно измерять	углы	и большие развёрнутого .
Измеряя плоские	углы	, мы до сих пор предполагали , что измеряемый угол расположен в некоторой полуплоскости , то есть не больше развёрнутого угла .
7 Какие	углы	называются внешними односторонними углами ? .
6 Какие	углы	называют внутренними односторонними углами ? .
5 Какие	углы	называют внутренними накрест лежащими ? .
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла , то такие	углы	или равны , или составляют в сумме 180 ° .
Противоположные	углы	параллелограмма попарно равны .
2.10 Дуги окружности и	углы	между её радиусами .
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник ABCD и измерьте его	углы	.
в ) внутренние односторонние	углы	в сумме дают 180 ° . г ) внешние односторонние углы в сумме дают 180 ° .
В этой главе рассматриваются	углы	, образованные двумя лучами , и связанные с ними плоские углы , способы измерения углов , напоминается основное свойство градусной меры . 1Углы , плоские углы .
1.4 Внутренние	углы	выпуклого четырёхугольника .
6 Как определяются внутренние	углы	невыпуклого четырёхугольника ? .
Аналогично определялись внутренние	углы	выпуклого четырёхугольника .
1.7 Внутренние	углы	невыпуклого четырёхугольника .
Поэтому их	углы	наклона равны .
Заметим , что если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ BD , то величины углов АВС и ADC также выражаются через	углы	треугольников ABD и DCB .
3 Равнобедренные трапеции имеют острые	углы	по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой функцией определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
Аналогично определяют внутренние	углы	и для выпуклого четырёхугольника .
Рассмотрев внутренние накрест лежащие	углы	DAB и РВА при параллельных прямых AD и ВС , получим , что .
Как доказать , что если	углы	при основании трапеции равны , то трапеция равнобедренная ? .
Таким образом , сторона АК треугольника АВК равна разности AD и ВС ,	углы	треугольника АВК при этой стороне равны соответственным углам трапеции ABCD при основании AD .
Значит , их соответственные	углы	ВАС и DCA равны .
Эти	углы	являются внутренними накрест лежащими для прямых АВ и CD и секущей АС .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а	углы	MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD .
У них попарно равны стороны с вершиной О , а	углы	АОВ и COD равны как вертикальные .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию , углы DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие	углы	, образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD .
1 В трапеции ABCD проведены диагонали , пересекающиеся в точке Е. Докажите , что	углы	треугольников ВСЕ и DAE соответственно равны .
Получаем , что сторона ВС и прилежащие к ней	углы	треугольника ВСК соответственно равны стороне AD и прилежащим к ней углам треугольника ADK .
Тогда как соответственные	углы	равных треугольников .
Треугольники MCD и МРА равны , так как у них по условию ,	углы	DMC и АМР равны как вертикальные , а углы MDC и МАР равны как внутренние накрест лежащие углы , образованные секущей AD с параллельными прямыми АВ и CD .
8 Найдите внутренние	углы	выпуклого четырёхугольника ABCD , если известно , что .
Например , соответственно изображены	углы	наклона прямых .
8 Какой	угол	называют смежным с данным выпуклым углом ? .
Рассмотрим произвольный	угол	.
9 Какой	угол	называют внешним углом выпуклого четырёхугольника ? .
Так как Z1 b Z3 , то можно сделать вывод , что любой	угол	с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен углу с вершиной в точке А и сторонами , параллельными прямым l и m , либо дополняет его до 180 ° .
Если две стороны и	угол	между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны .
Если катет и прилежащий к нему острый	угол	одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Углы с вершинами в точках С и В удовлетворяют условию второго случая , и поэтому любой	угол	с вершиной в точке В и сторонами , параллельными прямым k и n , либо равен Z3 , либо дополняет его до 180 ° .
1.3 В треугольнике АВС	угол	АВС равен 37 ° .
Заменим угол DCA на равный ему угол САВ и	угол	ВСК на равный ему угол СВА .
5 Что такое	угол	наклона прямой к оси Ох ? .
Если гипотенуза и острый	угол	одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Углы СВ А и КС В также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ , DK и секущей ВС. Углы DC А , АС В и ВСК в сумме составляют развёрнутый	угол	.
Заменим	угол	DCA на равный ему угол САВ и угол ВСК на равный ему угол СВА .
Заменим угол DCA на равный ему	угол	САВ и угол ВСК на равный ему угол СВА .
6 В каком случае плоский	угол	будет выпуклой фигурой ? .
1.4 В прямоугольнике ABCD угол ВРС равен 80 ° ,	угол	РСВ равен 50 ° .
Заменим угол DCA на равный ему угол САВ и угол ВСК на равный ему	угол	СВА .
Внешний	угол	треугольника .
Внешний	угол	треугольника равен сумме не смежных с ним внутренних углов этого треугольника .
Рассмотрим внешний	угол	КАС .
Например , тупым является	угол	наклона прямой .
При отрицательных значениях k	угол	наклона прямой получается тупым .
5 Что такое внутренний	угол	четырёхугольника ? .
Для любого угла с вершиной в точке А существует равный ему соответствующий	угол	с вершиной в точке С. Пусть это углы 1 и 3 .
Всякая вневписанная окружность является вписанной в два внешних угла и в один внутренний	угол	треугольника АВС .
Для любого угла с вершиной в точке А существует соответствующий ему	угол	с вершиной в точке В. Например , Z1 и Z3 .
10 Предположим , что	угол	между стрелками часов измеряется в градусах по ходу часовой стрелки от часовой до минутной стрелки .
Чему равен	угол	между стрелками , когда часы показывают : а ) 8 часов 15 минут ; б ) 2 часа 15 минут ; в ) 7 часов 45 минут ; г ) 2 часа 5 минут ? .
13 Сколько угловых минут содержит	угол	: а ) в 3 ° ; б ) в 5 ° ; в ) в 45 ° ? .
14 Сколько угловых секунд содержит	угол	: а ) в 3 ' ; б ) в 10 ° ; в ) в 19 ' ? .
Если выбрать на прямой CD точку Q , лежащую между точками С и D , провести прямую PQ и в полуплоскости с границей PQ , не содержащей точку С , отложить от точки Р	угол	BPQ , равный углу PQC , то прямая ВР будет параллельна прямой CD .
1.1 Плоский	угол	в 5 ° — это : 1 ) угол в радиан ;
1.1 Плоский угол в 5 ° — это : 1 )	угол	в радиан ;
2 )	угол	"в 3600 "" ; 3 ) угол в 300 ' ; 4 ) угол в 360 ' ."
"2 ) угол в 3600 "" ; 3 )"	угол	в 300 ' ; 4 ) угол в 360 ' .
"2 ) угол в 3600 "" ; 3 ) угол в 300 ' ; 4 )"	угол	в 360 ' .
1.2 Биссектриса половины развёрнутого угла делит этот	угол	на : 1 ) два угла в 30 ° ; 2 ) два угла в 90 ° ; 3 ) два угла в 15 ° ; 4 ) два угла в 45 ° .
1.3 Какую часть от половины развёрнутого угла составляет	угол	в 1,8 ° ? .
Как было отмечено в первом случае , любой	угол	с вершиной в В и сторонами , параллельными прямым l и n , либо равен Z3 , либо в сумме с ним составляет 180 ° .
Плоский	угол	в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый	угол	; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой	угол	; 4 ) угол в - х радиан .
Плоский угол в 90 ° — это : 1 ) угол в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 )	угол	в - х радиан .
Плоский	угол	"в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
Плоский угол в радиан — это : 1 )	угол	"в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
Плоский угол в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 )	угол	"в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
Плоский угол в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 )	угол	"в 3600 ' ; 4 ) угол в 3600 "" ."
Внутренний	угол	четырёхугольника .
Внутренний	угол	треугольника .
Внешний	угол	выпуклого четырёхугольника .
Внешний	угол	.
Плоский угол в 90 ° — это : 1 )	угол	в π радиан ; 2 ) развёрнутый угол ; 3 ) прямой угол ; 4 ) угол в - х радиан .
Плоский угол в радиан — это : 1 ) угол в 90 ° ; 2 ) угол в 60 ° ; 3 ) угол в 3600 ' ; 4 )	угол	"в 3600 "" ."
Как построить	угол	, в два раза больший заданного угла ? .
Напомним , что в треугольнике MNK внутренним углом , например , при вершине М называют тот плоский	угол	NMK , который содержит этот треугольник .
7 В треугольнике АВС	угол	ВАС равен 48 ° , угол АВС равен 23 ° .
7 В треугольнике АВС угол ВАС равен 48 ° ,	угол	АВС равен 23 ° .
Прямая l пересекает сторону АВ в точке F , сторону ВС в точке G , а продолжение стороны АС в точке Н , причём Найдите	угол	CGF .
Известно , что . Найдите	угол	.
Напомним , что внутренним углом треугольника АВС между сторонами АВ и АС называют плоский	угол	, определяемый лучами АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Найдите	угол	DGH .
1.2 В четырёхугольнике ABCD	угол	А равен углу В , а угол С равен углу D. Угол С равен 57 ° 32 ' .
1.2 В четырёхугольнике ABCD угол А равен углу В , а	угол	С равен углу D. Угол С равен 57 ° 32 ' .
Чему равен	угол	В ? .
Внутренний	угол	АВС этого четырёхугольника тот же , что и внутренний угол АВС треугольника АВС .
Вычислим	угол	MCN следующим образом .
Внутренний угол АВС этого четырёхугольника тот же , что и внутренний	угол	АВС треугольника АВС .
Получаем , что в треугольнике MCN две стороны равны , а	угол	между ними — 60 ° .
Как показать , что невыпуклый четырёхугольник имеет хотя бы один внутренний	угол	, больший 180 ° ? .
Аналогично внутренний	угол	ADC этого четырёхугольника тот же , что и внутренний угол ADC треугольника ADC .
Аналогично внутренний угол ADC этого четырёхугольника тот же , что и внутренний	угол	ADC треугольника ADC .
Далее , плоский	угол	BAD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
Аналогично плоский	угол	BCD , содержащий четырёхугольник ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний	угол	MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
Рассмотрим некоторый	угол	.
Внутренним углом этого четырёхугольника при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний	угол	MLK треугольника MLK .
7 В равнобедренной трапеции большее основание равно 7 см ,	угол	при основании равен 60 ° , боковая сторона равна 3,2 см. Найдите меньшее основание трапеции .
19 В равнобедренной трапеции основания 42 см и 54 см ,	угол	при основании 45 ° .
1.2 В окружность с центром О вписан правильный n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и	угол	COD b 30 ° .
1.4 В прямоугольнике ABCD	угол	ВРС равен 80 ° , угол РСВ равен 50 ° .
	Угол	. 2 ) треугольник с двумя неравными сторонами . 3 ) треугольник с двумя неравными углами . 4 ) четырёхугольник с двумя равными сторонами .
Следовательно , число в формуле линейной функции характеризует	угол	наклона прямой к положительному направлению оси Ох .
2 Найдите угол при основании равнобедренного треугольника , если	угол	при его вершине равен .
1.3 В прямоугольном треугольнике наименьший	угол	в 6 раз меньше суммы двух других углов .
Внешним углом выпуклого четырёхугольника называют	угол	, смежный внутреннему углу четырёхугольника .
Тогда	угол	ВАС называется углом наклона прямой .
Построим	угол	, равный заданному острому углу PQR и такой , что одна из его сторон совпадает с данным лучом АВ , а вторая лежит в полуплоскости β , границей которой является прямая АВ .
Тогда	угол	LAK — искомый .
Как с помощью этого угла изобразить	угол	в 1 ° ? .
Пусть заданы отрезки АВ и CD и	угол	MNK .
В одной из полуплоскостей построим	угол	SPQ , равный углу MNK .
В одной из полуплоскостей построим	угол	SPQ , равный углу ΜΝΚ .
В этой же полуплоскости построим	угол	S1QP , равный углу Μ1Ν1Κ1 .
Внутренним углом четырёхугольника ABCD при вершине А называют плоский	угол	, содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
Пусть заданы два отрезка А1В1 , А2В2 и	угол	MNK , который должен лежать в треугольнике против стороны , равной отрезку А2В2 .
3 Как от заданного луча отложить	угол	, равный заданному углу ? .
Так как этот плоский	угол	содержится в полуплоскости , то его градусная мера находится в границах от 0 ° до 180 ° .
1 Постройте	угол	, равный сумме двух данных углов .
Аналогично определяется внутренний	угол	при любой другой вершине выпуклого четырёхугольника .
2 Постройте	угол	, равный разности двух данных углов .
Каждый внутренний	угол	выпуклого четырёхугольника имеет градусную меру от 0 ° до 180 ° .
Как задать внутренний	угол	выпуклого четырёхугольника пересечением полуплоскостей ? .
Даны отрезок длины а ,	угол	с вершиной А и точка В на одной из сторон угла .
2 Какой	угол	называют внешним углом треугольника ? .
1 Найдите	угол	при вершине равнобедренного треугольника , если угол при основании равен .
Постройте треугольник АБС , зная	угол	БАС , отрезки АС , предполагая , что .
1 Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника , если	угол	при основании равен .
2 Найдите	угол	при основании равнобедренного треугольника , если угол при его вершине равен .
Чему равен наименьший	угол	этого треугольника ? .
9 Из бумаги вырезан	угол	в 19 ° .
Чему равен	угол	АВР ? .
6 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное число от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное число от 1 до 60 ? .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний угол прямоугольника — это плоский	угол	, образованный его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
Например , можно считать , что нулевой	угол	"равен либо 0 ° , либо 0′ , либо 0 "" ."
Эту единицу измерения обычно называют прямым углом , а его величину обозначают через d. Тогда	угол	между лучами , определяющими направления « ост » и « зюйд » , равен d .
Хотя , например , для прямоугольника можно сказать , что внутренний	угол	прямоугольника — это плоский угол , образованный его сторонами и содержащий этот прямоугольник .
Но этот угол прямой , его величина 90 ° , следовательно	угол	CBD 180 ° .
Заметим , что	угол	, стороны которого не совпадают , имеет градусную меру большую , чем 0 ° .
4	угол	ALB равен 60 ° ? .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный	угол	.
Зная величину одного из отмеченных углов при вершине Р , можно найти величины любых других углов при этой вершине : как вертикальные , Z1 и Z2 дополнительные , то есть дают в сумме	угол	в 180 ° .
Если задан треугольник АВС , то внутренним углом треугольника между сторонами АВ и АС называют плоский	угол	, образованный отрезками АВ и АС , содержащий треугольник АВС .
Точку А называют вершиной угла ВАС , отрезки АВ и АС называют сторонами угла ВАС и говорят , что	угол	ВАС образован отрезками АВ и АС .
13 Две окружности касаются внешним образом друг друга в точке А и касаются некоторой прямой в точках В и С. Докажите , что	угол	ВАС равен 90 ° .
Рассмотрим два отрезка АВ и АС с общим концом А. Напомним , что углом между отрезками АВ и АС с общим концом А называется	угол	между лучами АВ и АС .
Для каких углов луч OD является биссектрисой , если	угол	AOF является суммой пяти равных углов .
Аналогично по любому из отмеченных углов при вершине Q можно найти любой другой	угол	при этой вершине .
Поэтому можно сказать , что луч ОВ делит	угол	АОС на два равных угла ВО А и СОВ .
В этом случае	угол	АОС равен сумме двух равных плоских углов .
Кроме того ,	угол	ВСА — прямой .
Плоский	угол	АОВ равен плоскому углу ВОС .
Выберем	угол	между лучами , определяемыми направлениями « норд » и « ост » , за единицу измерения углов .
Какую часть прямого угла составляет	угол	между лучами , определяющими направления зюйд - зюйд - вест и зюйд - ост - ост ? .
В каком случае плоский	угол	является суммой шести плоских углов ? .
Например , если ОБ является биссектрисой угла АОС , а плоский	угол	АОВ взять в качестве эталона ( единицы измерения ) , то можно записать равенства .
1 Что такое	угол	? .
2 Что такое плоский	угол	? .
Докажите , что	угол	между касательной АВ к окружности и хордой BD равен углу BCD .
Нулевой угол имеет величину в 0 ° , и этот	угол	образован двумя совпадающими лучами .
Разделим прямой	угол	на 90 равных частей .
Сколько угловых секунд содержит прямой	угол	? .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это число показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот	угол	.
Для измерения углов сначала выберем единицу измерения — эталонный	угол	.
Как представить развёрнутый	угол	в виде суммы двух равных углов ? .
2.8 Нулевой	угол	.
Плоский	угол	АВС равен сумме плоских углов ABD и DBC .
Так как прямой	угол	равен восьми румбам , то один румб равен .
Чем отличается	угол	от величины угла ? .
Имеет место следующее свойство : от любого луча , лежащего на границе данной полуплоскости , в этой полуплоскости можно отложить плоский	угол	любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
Плоский	угол	.
В свою очередь , если в качестве единицы измерения взять	угол	.
Например , плоский	угол	АВС содержится в выделенной полуплоскости с границей ВА .
2.3 Изображён	угол	с вершиной С. Какие из приведённых записей не являются обозначениями этого угла ? .
2.2 Суммой каких углов является	угол	ЕАС ? .
Иногда отдельно вводят нулевой	угол	— угол , смежный к развёрнутому .
Какие из указанных плоских углов содержат плоский	угол	DAC ? .
Поэтому и прямые а и b совпадают , так как в одну сторону от луча HF можно отложить только один	угол	величиной 90 ° .
8 Что такое внутренний	угол	треугольника ? .
Иногда отдельно вводят нулевой угол —	угол	, смежный к развёрнутому .
Нулевой	угол	имеет величину в 0 ° , и этот угол образован двумя совпадающими лучами .
Но этот	угол	прямой , его величина 90 ° , следовательно угол CBD 180 ° .
6 Какой	угол	называется углом между отрезками с общим концом ? .
19 Даны	угол	и окружность , которая касается сторон угла .
Даны прямая АС и два луча , выходящие из точки В. Суммы каких углов дают развёрнутый	угол	? .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский	угол	в 5 градусов » или « угол в 5 градусов » .
Плоский	угол	АОВ равен плоскому углу KLM , потому что если сделать копию плоского угла АОВ , то эту копию можно совместить с углом KLM .
В этом случае говорят , что рассматриваемый плоский	угол	является суммой трёх плоских углов .
Однако надо иметь в виду , что	угол	как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические фигуры .
Иногда вместо слов « плоский угол » , если это не приводит к недоразумениям , говорят коротко «	угол	» .
Иногда вместо слов « плоский	угол	» , если это не приводит к недоразумениям , говорят коротко « угол » .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский	угол	АОВ с вершиной О. Этот угол содержит дугу данной окружности .
Так как этот параллелограмм имеет прямой	угол	, то он является прямоугольником .
Как изображается плоский	угол	величиной в 270 ° ? .
Оба луча , ограничивающие плоский	угол	, называют границей этого плоского угла .
2 Как определяется	угол	величиной в 0 ° ? .
Плоский	угол	— это часть плоскости , ограниченная двумя лучами с общей вершиной .
Любой	угол	делит плоскость на две части .
1.2 Плоский	угол	. .
Как ещё можно обозначить	угол	? .
2 Изобразите плоский	угол	.
3 Изобразите плоский	угол	.
С помощью транспортира разделите этот	угол	на три равных угла .
Коротко можно сказать : «	угол	— это два луча с общим началом » .
При замене единицы измерения изменяется и численное значение , хотя сам	угол	остаётся прежним .
4 Изобразите плоский	угол	.
С помощью транспортира разделите этот	угол	на 5 равных углов .
5 С помощью транспортира нарисуйте	угол	: а ) в 1 румб ; б ) в 3 румба ; в ) в 1,5 румба .
Следовательно , четырёхугольник НАВО2 является параллелограммом , у которого	угол	АНО2 равен 90 ° .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и	угол	как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические фигуры .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский	угол	с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с центром в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Таким образом , мы получаем возможность измерять любой плоский	угол	, причём градусная мера плоского угла может быть любой в пределах от 0 ° до 360 ° .
Измеряя плоские углы , мы до сих пор предполагали , что измеряемый	угол	расположен в некоторой полуплоскости , то есть не больше развёрнутого угла .
Рассмотрим окружность с центром О и некоторый плоский угол АОВ с вершиной О. Этот	угол	содержит дугу данной окружности .
15	угол	КОМ равен углу МОР , то дуга KLM равна дуге MNP .
И наоборот , если дуга KLM равна дуге MNP , то	угол	КОМ равен углу МОР .
Аналогично можно рассматривать плоский	угол	, который является суммой двух плоских углов , один из которых сам является суммой некоторых двух плоских углов .
8 Касательные , проведённые из точки А к окружности радиуса R , образуют	угол	в 60 ° .
Вместо слов « величина плоского угла равна 5 градусам » можно сказать или написать « плоский угол в 5 градусов » или «	угол	в 5 градусов » .
10 Даны	угол	и точка М внутри угла .
Плоский	угол	, составленный из двух плоских углов , общие точки которых принадлежат только границам углов , называется суммой этих двух плоских углов .
С другой стороны , каждой из частей соответствует плоский	угол	, определяемый лучами ОА и ОВ .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от точки А к точке В , то получим один	угол	Если двигаться от точки А к точке В против часовой стрелки , то получим другой угол .
Если будем двигаться по окружности по часовой стрелке от точки А к точке В , то получим один угол Если двигаться от точки А к точке В против часовой стрелки , то получим другой	угол	.
В этом случае плоский	угол	АОС является суммой углов СОВ и ВОА .
Развёрнутый	угол	равен двум прямым углам или 2d .
Чем отличается развёрнутый плоский	угол	от полуплоскости ? .
Тогда плоский	угол	АОВ называется суммой плоских углов АОС и СОВ .
С учётом этого получаем , что величина развёрнутого угла равна π радиан , прямой	угол	равен радиан , один угловой градус равен радиан .
1.3 Развёрнутый	угол	и полуплоскость .
Этот	угол	STU называется развёрнутым углом .
Заметим , что каждый развёрнутый	угол	расположен в полуплоскости с границей , содержащей стороны этого угла .
Пусть плоский	угол	составлен из двух частей : плоского угла АОС и плоского угла СОВ .
1.2 В окружность с центром О вписан правильный n -	угольник	, одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
8 Чему равна сумма внешних углов выпуклого n -	угольника	, взятых по одному при каждой вершине ? .
Чему равна сумма внешних углов выпуклого n -	угольника	, взятых по одному при каждой вершине ? .
7 Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n -	угольника	? .
7 Показано , как можно провести параллельные прямые с помощью	угольника	.
Сумма всех внутренних углов выпуклого n -	угольника	равна .
Идея разрезания многоугольника на треугольники позволяет определить внутренние углы многоугольника , а также показать , что сумма S внутренних углов любого n -	угольника	вычисляется по формуле .
6 У каких правильных n -	угольников	внутренние углы выражаются целым числом градусов ? .
Найдите	уменьшаемое	и вычитаемое .
5 Почленное сложение и	умножение	неравенств .
Примеры показывают , что сложение и	умножение	неравенств следует выполнять с осторожностью .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ;	умножение	обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
2 Что такое почленное	умножение	неравенств ? .
2 Приведите пример двух неравенств одинакового направления , почленное	умножение	которых приводит к неверному результату .
Аналогично определяется почленное	умножение	равенств : почленным произведением двух равенств называется новое равенство .
5.1 Почленное сложение и	умножение	неравенств .
7 Из данного тождества	умножением	на заданное выражение получите новое тождество .
Каждое число , начиная со второго , получается	умножением	предыдущего числа на 3 .
Последовательность ненулевых чисел называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента	умножением	на одно и то же число q , не равное нулю .
Каждый следующий элемент этой последовательности в два раза меньше стоящего перед ним элемента , то есть получается	умножением	на число .
12 Сформулируйте свойство об	умножении	на отрицательное число обеих частей неравенства .
11 Сформулируйте свойство об	умножении	на положительное число обеих частей неравенства .
При	умножении	двух степеней с одинаковыми основаниями основание не меняется , а показатели степеней складываются .
7 Сформулируйте утверждение о почленном	умножении	двух неравенств одного направления с положительными частями неравенств .
При почленном	умножении	двух числовых неравенств одного направления может получиться неверная запись .
10 Какие правила об	умножении	левой и правой частей неравенства вы знаете ? .
Оказывается , существуют формулы , позволяющие найти приближённое значение частного при помощи сложений , вычитаний и	умножений	.
Как показать , что любая дробь после нескольких	умножений	( или делений ) на 2 её числителя и знаменателя приводится к виду , когда возможно применение формулы ? .
Тогда деление сведётся к	умножению	по формуле .
Линейные уравнения решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения ,	умножения	, вычитания , деления .
Линейные неравенства решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых неравенств и законы сложения ,	умножения	, вычитания , деления .
Распределительный закон	умножения	позволяет сумму двух подобных одночленов , входящих в многочлен , заменить на одно слагаемое , или , как говорят в таком случае , привести подобные слагаемые .
По правилу	умножения	точного и приближённого значений находим ответ с погрешностью , не превосходящей .
По правилу	умножения	точного и приближённого значений находим , что с погрешностью , не превосходящей 0,905 .
Законы сочетательный	умножения	.
Из свойств	умножения	следует , что произведение двух чисел только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
При преобразовании буквенных выражений можно применять законы сложения , вычитания и	умножения	, которые используются при действиях с числовыми выражениями .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность )	умножения	; сочетательный закон ( ассоциативность ) умножения ; свойство единицы .
Тогда имеют место следующие тождества : переместительный закон ( коммутативность ) сложения ; сочетательный закон ( ассоциативность ) ; сложения ; существование противоположного элемента ; переместительный закон ( коммутативность ) умножения ; сочетательный закон ( ассоциативность )	умножения	; свойство единицы .
Законы переместительный	умножения	.
8 Сформулируйте правило	умножения	частей тождества на одинаковое выражение .
Для сокращения записи суммы нескольких одинаковых чисел используют операцию	умножения	.
Известно , что жирность продукта в процентах — это отношение массы жиров к общей массе этого продукта ,	умноженное	на 100 .
Продолжая этот процесс шаг за шагом , на k - м шаге , почленно	умножив	части неравенства на части неравенства , придём к неравенству .
Составим обратную к х дробь , а затем	умножим	её числитель и знаменатель на .
2.1 На какие числа нужно	умножить	соответственно уравнения так , чтобы после их сложения в получившемся уравнении отсутствовал у ? .
Можно , например , сосчитать число зёрен в одном грамме риса , а результат	умножить	на 1000 .
Умножить на ab ; умножить на умножить на b ;	умножить	на . 8 .
Что получится , если обе части неравенства	умножить	на число ? .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно	умножить	обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Умножить на ab ;	умножить	на умножить на b ; умножить на . 8 .
Умножить на ab ; умножить на	умножить	на b ; умножить на . 8 .
4 Решите системы ( предварительно	умножьте	правую и левую части первого уравнения . ( Предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения на 2 ) .
( Предварительно	умножьте	правую и левую части первого уравнения на 3/5 ) .
4 Решите системы ( предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения . ( Предварительно	умножьте	правую и левую части первого уравнения на 2 ) .
Подставив число вместо х в	уравнение	, получим запись которая является числовым равенством .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число 3/2 то есть	уравнение	не может иметь корней , отличных от числа 3/2 .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число-3/8 , то есть	уравнение	не может иметь корней , отличных от числа -3/8 .
Подставив число -3/8 вместо х в	уравнение	, получим запись , которая является числовым равенством .
2 Решите	уравнение	.
3 Решите	уравнение	.
4 Решите	уравнение	.
5 Решите	уравнение	.
Рассмотрим	уравнение	.
Решите	уравнение	.
Подставив у 7т в	уравнение	, получим , откуда х 3т .
8 Решите	уравнение	.
Как показать , что	уравнение	не имеет целочисленных решений ? .
Сколько корней имеет	уравнение	.
Подставив число -8 вместо х в	уравнение	, получим числовое равенство .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число -8 , то есть	уравнение	не может иметь корней , отличных от числа -8 .
Иногда	уравнение	записывают в виде , когда из текста ясно , что речь идёт об уравнении с двумя неизвестными х и у .
Решить	уравнение	.
1.4 Линейное	уравнение	, имеющее бесконечно много корней .
Подставив число 5 вместо х в	уравнение	, получим равенство .
Решить	уравнение	— значит либо найти все корни уравнения , либо доказать , что это уравнение не имеет корней .
Тогда	уравнение	равносильно уравнению ) .
Данное	уравнение	равносильно уравнению .
Таким образом ,	уравнение	имеет пустое множество решений .
Как вы знаете ,	уравнение	в координатной плоскости является уравнением окружности с центром F(1;-1 ) и радиусом .
Для построения части графика в 1-й четверти заменим |на х , на у. В результате получим	уравнение	, графиком которого является прямая .
Выполнив тождественные преобразования , получим	уравнение	, равносильное уравнению .
Несмотря на то что , мы сохраняем запись , чтобы подчеркнуть , что рассматривается	уравнение	с двумя неизвестными х и у .
3 Какую прямую задаёт	уравнение	у а , где а — число ? .
5 Какое множество точек задаёт	уравнение	?
Это	уравнение	не имеет решений .
В 6 классе мы рассматривали	уравнение	.
Запишем	уравнение	в виде и рассмотрим 7 чисел .
В некоторых случаях	уравнение	может не иметь решений .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число 5 , то есть	уравнение	не может иметь корней , отличных от числа 5 .
Какое множество решений имеет	уравнение	? .
Когда	уравнение	имеет вид , где а и b — ненулевые целые числа , нетрудно найти все его целочисленные решения .
Или так : « Решите	уравнение	» .
Решить уравнение — это значит одно из двух : либо найти все решения уравнения , либо доказать , что	уравнение	не имеет решений .
Решить	уравнение	— это значит одно из двух : либо найти все решения уравнения , либо доказать , что уравнение не имеет решений .
Мы сохраняем запись , чтобы подчеркнуть , что рассматривается	уравнение	с двумя неизвестными х и у.
Например , можно рассмотреть	уравнение	с двумя неизвестными S и t .
Любое	уравнение	вида с целыми коэффициентами а , b , с имеет целочисленные решения , когда — взаимно простые числа .
В результате получаем	уравнение	с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного уравнения , выражение — правая часть этого уравнения .
3.1 Алгебраическое	уравнение	с двумя неизвестными .
1.2 Укажите	уравнение	, имеющее корнем число 5 .
Какие корни имеет	уравнение	? .
1.1 Укажите среди приведённых	уравнение	, равносильное уравнению .
9 Решите	уравнение	.
1 Решите	уравнение	.
5 Может ли	уравнение	не иметь корней ? .
1.5 Линейное	уравнение	, не имеющее корней .
Какие корни имеет	уравнение	.
1.9 Линейное	уравнение	с параметром .
3 Какое	уравнение	можно назвать тождеством ? .
Тогда	уравнение	равносильно уравнению С(х ) b В(х ) .
Какой график имеет уравнение , рассматриваемое как	уравнение	с неизвестными х и у ? .
Какой график имеет	уравнение	, рассматриваемое как уравнение с неизвестными х и у ? .
Найти , при каких числовых значениях а	уравнение	не имеет корней относительно неизвестной х .
Следовательно , при перестановке частей уравнения получается равносильное ему	уравнение	.
Это	уравнение	тоже имеет только один корень .
Оно имеет только один корень Поменяем местами левую и правую части уравнения и получим новое	уравнение	.
Если число не равно нулю , то уравнения и	уравнение	имеют единственный корень .
В этом случае	уравнение	имеет вид и не имеет корней .
Ответ : при	уравнение	не имеет корней .
Какие корни имеет	уравнение	ах b а , где а — фиксированное число , х — неизвестная величина ? .
При каком значении параметра а	уравнение	имеет хотя бы два различных корня ? .
Решение этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное	уравнение	.
Поэтому получаем	уравнение	.
2 Что такое линейное	уравнение	с одним неизвестным ? .
3 Сколько корней может иметь линейное	уравнение	с одним неизвестным ? .
6 Как объяснить , что	уравнение	не является линейным ? .
Поэтому первое	уравнение	обращается в верное числовое равенство в одном из трёх случаев .
1.1 Укажите	уравнение	, которое имеет своим корнем число 2 .
1.2 Укажите	уравнение	, которое при b b 2 имеет решением любое число .
1.4 Укажите	уравнение	, которое при b b 5 не имеет решений .
Почему	уравнение	равносильно уравнению ? .
Если А(х ) и В(х ) — многочлены от переменной х , то	уравнение	называется алгебраическим уравнением от х .
Рассмотрим алгебраическое	уравнение	.
Пусть задано	уравнение	.
Если	уравнение	не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество корней уравнения является пустым множеством .
Таким образом , получаем	уравнение	.
Тогда	уравнение	равносильно уравнению .
4 Докажите , что	уравнение	не имеет целочисленных решений .
5 При каких условиях	уравнение	имеет целочисленные решения ? .
Пусть имеется	уравнение	.
Решить уравнение — значит либо найти все корни уравнения , либо доказать , что это	уравнение	не имеет корней .
Поэтому	уравнение	не имеет корней .
Сколько корней имеет	уравнение	? .
3 Может ли	уравнение	иметь два корня ? .
Аналогично можно показать , что одни и те же корни имеют	уравнение	и уравнение .
Аналогично можно показать , что одни и те же корни имеют уравнение и	уравнение	.
В результате мы получили , что	уравнение	имеет те же корни , что и уравнение .
Запишем	уравнение	в виде .
В результате мы получили , что уравнение имеет те же корни , что и	уравнение	.
Воспользуемся формулой и перепишем	уравнение	в виде .
Нарушится ли равносильность при переходе от уравнения к уравнению , если известно , что	уравнение	не имеет корней ? .
Решение линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное	уравнение	.
Подставив в уравнение вместо х числа 1 и -1 , убеждаемся , что	уравнение	имеет два корня : -1 и 1 .
Подставив в	уравнение	вместо х числа 1 и -1 , убеждаемся , что уравнение имеет два корня : -1 и 1 .
Если зачеркнуть в левой и правой частях одинаковый множитель , то получится	уравнение	, которое имеет только один корень -1 .
Какие решения в натуральных числах имеет	уравнение	? .
Уравнение , то есть	уравнение	с двумя неизвестными , решено , и его решения изображены .
Следовательно ,	уравнение	равносильно уравнению или уравнению .
Тогда	уравнение	имеет вид и любое число является корнем этого уравнения .
Уравнение , то есть	уравнение	с двумя неизвестными , решено и его решения изображены .
4 Что значит решить	уравнение	? .
Тогда	уравнение	имеет вид и не имеет корней .
6 Что значит решить	уравнение	? .
Тогда уравнение и	уравнение	или х - имеют единственный корень b / k .
Тогда	уравнение	и уравнение или х - имеют единственный корень b / k .
1 Запишите	уравнение	, не содержащее неизвестных в правой части , равносильное уравнению .
1.2 Укажите	уравнение	, график которого — две вертикальные прямые .
1.3 Укажите	уравнение	, график которого перпендикулярен графику уравнения 2у b 7 .
Как найти все решения уравнения , если известно , что	уравнение	не имеет корней ? .
Если же выполнить не элементарное преобразование — заменить равенство квадратов выражений на равенство самих выражений , то получим	уравнение	, имеющее единственный корень 1 .
Следовательно ,	уравнение	равносильно уравнению .
Или так : « Решить	уравнение	А(х ) b В(х ) » .
Какие решения в натуральных числах имеет рассмотренное	уравнение	? .
Если а Ф 0 , то аn Ф 0 , и	уравнение	имеет единственное решение .
13 Решите относительно х	уравнение	.
12 При каких значениях параметра а	уравнение	имеет бесконечное множество решений ? .
Какие решения имеет	уравнение	? .
11 Решите	уравнение	.
Затем составим и решим	уравнение	, то есть , найдём его корень и отметим точку N(2 ; 0 ) .
Домножив первое	уравнение	на число b2 , а второе уравнение на число ( -b1 ) , получим .
Домножим первое	уравнение	на 4 , а второе на -3 .
Получаем одно и то же	уравнение	, записанное дважды .
Домножив первое уравнение на число b2 , а второе	уравнение	на число ( -b1 ) , получим .
Какое	уравнение	с двумя неизвестными , не имеющее решений , вы можете предложить ? .
Подставив это выражение вместо а во второе	уравнение	, получаем .
Второе	уравнение	системы в своей записи не содержит неизвестного у.
Графическое решение системы , содержащей	уравнение	, не зависящее от у. Разберём графическое решение системы .
Если же а b 0 , то и	уравнение	принимает вид .
Подставив это значение вместо у в первое	уравнение	, получим .
Подставив в левую часть второго уравнения вместо неизвестного х равное ему выражение , получим	уравнение	с одним неизвестным .
Получим	уравнение	.
Складывая соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе	уравнение	на число ах , получим .
2.10 Линейное	уравнение	с нулевым коэффициентом .
Какой вид будет иметь решение системы уравнений , если подставить во второе	уравнение	системы вместо неизвестного у равное ему выражение ? .
Складывая соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое	уравнение	начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
Если А(х ) и В(х ) — многочлены от переменной х , то уравнение называется алгебраическим	уравнением	от х .
1 Что называют	уравнением	с двумя неизвестными ? .
В этом случае запись называют	уравнением	с одним неизвестным ( с одной переменной ) .
4 Изобразите на координатной плоскости окружность , заданную	уравнением	.
Уравнение , в котором левая и правая части являются линейными выражениями , называется линейным	уравнением	.
Как в координатной плоскости построить прямую с	уравнением	? .
2.2 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с	уравнением	образуют систему , имеющую хотя бы одно решение .
В этом случае запись называют	уравнением	.
В этом случае запись называют	уравнением	с одной переменной ( с одним неизвестным ) .
2.1 Укажите уравнения , каждое из которых вместе с	уравнением	образуют систему , имеющую единственное решение .
4 Составьте систему , которая вместе с	уравнением	образовала бы систему .
2.3 Какие из следующих уравнений вместе с	уравнением	составляют систему , не имеющую решений ? .
Как вы знаете , уравнение в координатной плоскости является	уравнением	окружности с центром F(1;-1 ) и радиусом .
Уравнение или является	уравнением	прямой , проходящей через точки А(0 ; -2 ) и В(3 ; -1 ) .
1 Что называют	уравнением	с одним неизвестным ? .
Построим прямую с	уравнением	и отметим точки М и К пересечения этой прямой с графиком уравнения .
2.1 На какие числа нужно умножить соответственно уравнения так , чтобы после их сложения в получившемся	уравнении	отсутствовал у ? .
Иногда уравнение записывают в виде , когда из текста ясно , что речь идёт об	уравнении	с двумя неизвестными х и у .
В	уравнении	с двумя неизвестными в качестве переменных не всегда используют буквы х и у .
В	уравнении	выражение А(х ) называют левой частью уравнения , выражение В(х ) — правой частью уравнения .
Выразим х через у как в первом , так и во втором	уравнении	.
5 Начертите графики	уравнений	.
10 Как связаны между собой графики	уравнений	? .
1.10 Примеры задач на составление	уравнений	.
Как показать , что графики	уравнений	симметричны относительно оси .
Задача на составление	уравнений	.
4 Что значит решить систему	уравнений	? .
Какой вид будет иметь решение системы	уравнений	, если подставить во второе уравнение системы вместо неизвестного у равное ему выражение ? .
Решение этого уравнения представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности	уравнений	, имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
2 Как вы понимаете слова : « система двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными » ? .
3 Что называют решением системы двух	уравнений	с двумя неизвестными ? .
6 Постройте в каждом пункте в одной и той же системе координат графики	уравнений	.
2.3 Какие из следующих	уравнений	вместе с уравнением составляют систему , не имеющую решений ? .
Для иллюстрации графического способа решения системы	уравнений	с двумя неизвестными разберём такой подход .
Решение линейного уравнения можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности	уравнений	, имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
1 Как вы понимаете слова : « система двух	уравнений	с двумя неизвестными » ? .
2.4 При каких значениях а из указанных система	уравнений	имеет хотя бы одно решение ? .
1.3 Система двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
1.2 Какая из систем	уравнений	имеет решением пару х 2 , у 3 ? .
7 Решите систему	уравнений	.
1.1 Какое из	уравнений	задаёт прямую пропорциональную зависимость ? .
6 Решите систему	уравнений	.
В общем случае системой двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными называют систему вида .
Эти правила также называют элементарными преобразованиями	уравнений	.
8 Приведите пример системы , которая за счёт введения новых переменных сводится к системе двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
7 Что значит решить систему	уравнений	? .
6 Приведите пример системы	уравнений	, имеющей более одного решения .
2 Графическое решение системы	уравнений	с двумя неизвестными .
Рассмотренные в данном параграфе задачи сводились к системе двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
5 Приведите пример системы линейных	уравнений	, не имеющей ни одного решения .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из	уравнений	, то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
Графики линейных функций помогают наглядно представить все решения линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
Графический способ решения можно применять не только к системам линейных	уравнений	.
Какую систему двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными , имеющую сколь угодно много решений , вы можете предложить ? .
При решении	уравнений	обычно стараются выполнять преобразования , приводящие к уравнению , равносильному заданному уравнению .
1.6 Частичное исследование системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными .
Это система линейных	уравнений	.
2.11 Решение линейных	уравнений	с помощью графиков .
Получилась нелинейная система	уравнений	.
С помощью графиков корни линейных	уравнений	можно представить наглядно .
Складывая соответственно левые и правые части этих	уравнений	, получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
Иногда система двух уравнений с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить систему линейных	уравнений	.
Иногда система двух	уравнений	с двумя неизвестными не является линейной , однако при обозначении некоторых буквенных выражений одной буквой можно получить систему линейных уравнений .
Элементарные преобразования	уравнений	.
При решении	уравнений	с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
Складывая соответственно левые и правые части этих	уравнений	, получаем .
Выражение а1b2 - b1а2 иногда называют определителем системы двух линейных	уравнений	.
8 Какие свойства равносильности	уравнений	вы знаете ? .
4 Какие примеры линейных	уравнений	вам известны ? .
2.2 Для каких из приведённых	уравнений	некоторыми решениями в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
Уравнения называются равносильными , если множества корней этих уравнений совпадают шесть	уравнений	, каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
1.4 Какое из	уравнений	не равносильно уравнению .
1.3 Какое из	уравнений	равносильно уравнению .
Решением системы двух	уравнений	с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства .
В случае системы линейных	уравнений	( 5 ) пара чисел ( х0 ; у0 ) является решением , если одновременно выполняются равенства .
Покажем , что иногда система двух линейных	уравнений	может не иметь решений .
Решением	уравнений	в целых числах математики занимались с древних времён .
2.4 Какие из следующих	уравнений	имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные целые числа ? .
Иногда в этом случае говорят , что система	уравнений	несовместна .
Сложим правые и левые части полученных	уравнений	.
Покажем , что система двух линейных	уравнений	иногда может иметь сколь угодно много решений .
2.3 Для каких из следующих	уравнений	существуют решения в целых числах со значениями переменных х и у разных знаков ? .
10 Как связаны решения двух	уравнений	вида с решениями уравнения ? .
9 Какие преобразования	уравнений	приводят к равносильным уравнениям ? .
2.3 Равносильность	уравнений	.
Уравнения называются равносильными , если множества корней этих	уравнений	совпадают шесть уравнений , каждое из которых имеет единственный корень (-8 ) .
Решим систему двух	уравнений	с неизвестными х и у , то есть найдём , как выразить решения х и у через значение а .
Таким образом , графики	уравнений	симметричны относительно оси Ох .
2 Постройте графики	уравнений	.
Получившиеся уравнения образуют систему двух	уравнений	с двумя неизвестными .
В общем случае графики	уравнений	симметричны относительно оси Оу .
1.1 Какой из приведённых систем	уравнений	соответствует графическое решение .
Выразим у через х как из первого , так и из второго	уравнений	.
Глава 12 Системы	уравнений	.
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем	уравнений	, вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
Система	уравнений	линейных .
1.2 Решение систем	уравнений	.
Система	уравнений	.
2.4 У каких	уравнений	с одним неизвестным есть ровно два решения ? .
1.3 Примеры линейных	уравнений	, имеющих единственный корень .
Сравним графики	уравнений	.
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры	уравнений	и систем , в которых требуется получить целочисленные решения .
Приведите пример системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными , которая .
6 Как получить графически приближённые решения системы двух линейных	уравнений	с двумя неизвестными ? .
Это значит , что не существует пар чисел ( а ; b ) которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям системы , то есть наша система	уравнений	не имеет решений .
Системы двух	уравнений	с двумя неизвестными .
Решение системы	уравнений	.
1.1 Составление двух	уравнений	с двумя неизвестными .
Выразим у через х как из первого , так и из второго	уравнений	системы .
Решите с помощью графиков систему	уравнений	.
1.4 Сколько общих точек имеют графики	уравнений	.
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы решения	уравнений	, разбирается решение некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
Значит , решениями системы	уравнений	являются пары координат точек пересечения М и N окружности и прямой .
6 Какие свойства равносильности	уравнений	вы знаете ? .
Следовательно , общие решения	уравнений	нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика функции .
3 Целочисленные решения	уравнений	.
2.6 Графическое решение системы	уравнений	с модулем .
Найдём , сколько решений имеет система	уравнений	.
Равносильность	уравнений	.
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности	уравнений	, рассматриваются некоторые приёмы решения уравнений , разбирается решение некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
1.6 Симметрия графиков	уравнений	.
Преобразования	уравнений	элементарные .
Преобразования	уравнений	.
Определитель системы	уравнений	.
Преобразования	уравнений	нарушающие равносильность .
Преобразования	уравнений	сохраняющие равносильность , .
Сформулируем аналогичные правила для	уравнений	с двумя неизвестными .
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы решения уравнений , разбирается решение некоторых задач с помощью	уравнений	, приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
Как показать , что графики	уравнений	симметричны относительно оси Ох ? .
В этой главе говорится об уравнениях , вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы решения уравнений , разбирается решение некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров	уравнений	с двумя неизвестными .
Уравнение равносильно	уравнению	.
Координаты точки D удовлетворяют	уравнению	.
В результате элементарных преобразований приходим к уравнению , которое равносильно исходному	уравнению	.
Нарушится ли равносильность при переходе от уравнения к	уравнению	, если известно , что уравнение не имеет корней ? .
16 Составьте задачу , решение которой привело бы к	уравнению	.
При решении уравнений обычно стараются выполнять преобразования , приводящие к уравнению , равносильному заданному	уравнению	.
1.4 Какое из уравнений не равносильно	уравнению	.
При решении уравнений обычно стараются выполнять преобразования , приводящие к	уравнению	, равносильному заданному уравнению .
Этому	уравнению	удовлетворяет любое число .
1.1 Укажите среди приведённых уравнение , равносильное	уравнению	.
1.3 Какое из уравнений равносильно	уравнению	.
При этом пара чисел удовлетворяет как первому , так и второму	уравнению	начальной системы .
В результате элементарных преобразований приходим к	уравнению	, которое равносильно исходному уравнению .
1 Запишите уравнение , не содержащее неизвестных в правой части , равносильное	уравнению	.
2.3 Укажите все уравнения , равносильные	уравнению	.
Тогда уравнение равносильно	уравнению	.
Заметим , что если точка ( х0 ; у0 ) удовлетворяет этому	уравнению	, то точки также удовлетворяют этому уравнению .
Тогда уравнение равносильно	уравнению	) .
Почему уравнение равносильно	уравнению	? .
Тем самым при переходе от уравнения к	уравнению	нарушена равносильность .
Вернёмся к	уравнению	.
Данное уравнение равносильно	уравнению	.
Заметим , что если точка ( х0 ; у0 ) удовлетворяет этому уравнению , то точки также удовлетворяют этому	уравнению	.
Выполнив тождественные преобразования , получим уравнение , равносильное	уравнению	.
При переходе от одного уравнения к равносильному ему другому	уравнению	множество решений не изменяется .
В этом примере при переходе от уравнения к	уравнению	тоже нарушена равносильность .
Тогда уравнение равносильно	уравнению	С(х ) b В(х ) .
2.4 Укажите все уравнения , не равносильные	уравнению	.
Следовательно , уравнение равносильно	уравнению	.
Следовательно , уравнение равносильно уравнению или	уравнению	.
Следовательно , уравнение равносильно	уравнению	или уравнению .
Приходим к линейному	уравнению	с одним неизвестным у.
Как найти все решения	уравнения	, если известно , что уравнение не имеет корней ? .
3 Изобразите на координатной плоскости все решения ( х ; у )	уравнения	.
Графиком	уравнения	является : 1 ) вертикальная прямая .
8 Найдите с помощью графиков приближённое значение корня	уравнения	.
Поэтому корнями данного	уравнения	являются все числа .
Левая часть этого	уравнения	тождественно равна правой части , потому что .
Значит , числа 3т , 7т при любом целом значении m дают целое решение ( 3т ; 7т )	уравнения	7х 3у .
В результате множество корней	уравнения	и множество корней уравнения различны .
11 Изобразите на координатной плоскости график	уравнения	.
Тем самым при переходе от	уравнения	к уравнению нарушена равносильность .
Решение	уравнения	с двумя неизвестными .
Нарушится ли равносильность при переходе от	уравнения	к уравнению , если известно , что уравнение не имеет корней ? .
Таким образом , при вычёркивании одинаковых множителей с неизвестным в левой и правой частях	уравнения	( то есть при сокращении на такой множитель ) равносильность может нарушаться .
2.2 Укажите все	уравнения	, у которых нет решений .
В этом примере при переходе от	уравнения	к уравнению тоже нарушена равносильность .
2 Как определяется корень	уравнения	с одним неизвестным ? .
10 Найдите с помощью графиков приближённое значение корня	уравнения	.
Решение	уравнения	.
2.1 Укажите	уравнения	, графики которых — две вертикальные прямые .
8 Решите	уравнения	.
Таким образом	уравнения	не всегда равносильны .
2.3 Укажите	уравнения	, графики которых — две перпендикулярные прямые .
4 Какие	уравнения	называют равносильными ? .
1.3 Укажите уравнение , график которого перпендикулярен графику	уравнения	2у b 7 .
В результате множество корней уравнения и множество корней	уравнения	различны .
9 Найдите с помощью графиков приближённое значение корня	уравнения	.
Какие решения	уравнения	вы можете найти ? .
Следовательно , мы представим все решения уравнения , если на одном рисунке изобразим все решения уравнения и все решения	уравнения	, что и сделано .
7 Что называется графиком	уравнения	с двумя неизвестными ? .
Какие	уравнения	с двумя неизвестными вы знаете ? .
Множество корней ( решений )	уравнения	.
3.3 Решение	уравнения	с двумя неизвестными .
При подстановке в обе части этого	уравнения	числа 1 вместо переменной х и числа вместо переменной у получаем равенство .
Получившиеся	уравнения	образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными .
Поэтому пару чисел 1 и 7/3 называют решением	уравнения	и обычно записывают в виде .
Является ли пара чисел решением	уравнения	? .
В связи с понятием решения	уравнения	с двумя неизвестными возникает задача о нахождении всех решений уравнения .
Заметим , что из первого	уравнения	системы следует , что .
В связи с понятием решения уравнения с двумя неизвестными возникает задача о нахождении всех решений	уравнения	.
График линейного	уравнения	.
Решить уравнение — это значит одно из двух : либо найти все решения	уравнения	, либо доказать , что уравнение не имеет решений .
График	уравнения	с двумя неизвестными .
Набор всех решений	уравнения	называют множеством решений этого уравнения .
Набор всех решений уравнения называют множеством решений этого	уравнения	.
Изображение множества решений	уравнения	с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют графиком этого уравнения .
Изображение множества решений уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости иногда называют графиком этого	уравнения	.
Подставив в левую часть второго	уравнения	вместо неизвестного х равное ему выражение , получим уравнение с одним неизвестным .
При переходе от одного	уравнения	к равносильному ему другому уравнению множество решений не изменяется .
В этом случае множество решений	уравнения	является пустым множеством .
Будем говорить , что два	уравнения	равносильны , если они имеют одно и то же множество решений .
3.5 Равносильные преобразования	уравнения	с двумя переменными .
Некоторые из решений этого	уравнения	можно записать в виде пар : ( 0 ; 5 ) , ( -5 ; 0 ) , ( -3 ; 4 ) .
Графиком	уравнения	, то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого	уравнения	на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с центром в начале координат .
Таким образом , решениями	уравнения	являются пары и вообще пара чисел вида ( а ; 2 ) для любого числа а .
2 Являются ли равносильными	уравнения	.
Краткая запись решения этого	уравнения	имеет вид .
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного	уравнения	, выражение — правая часть этого уравнения .
5 Какие	уравнения	с двумя неизвестными называют равносильными ? .
10 Как связаны решения двух уравнений вида с решениями	уравнения	? .
2 Как определяется решение	уравнения	с двумя неизвестными ? .
Но из второго	уравнения	равно 3 .
6 Являются ли равносильными	уравнения	? .
Умножим обе части первого	уравнения	на 2 .
Корень	уравнения	.
Следовательно , мы представим все решения уравнения , если на одном рисунке изобразим все решения	уравнения	и все решения уравнения , что и сделано .
Следовательно , мы представим все решения	уравнения	, если на одном рисунке изобразим все решения уравнения и все решения уравнения , что и сделано .
График этого	уравнения	состоит из всех точек , координаты которых имеют вид , где а — любое число .
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара чисел ( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в	уравнения	вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства .
Поэтому мы найдём все решения уравнения , если по очереди приравняем к нулю множители и решим два полученных уравнения и или равносильные им	уравнения	.
Поэтому мы найдём все решения уравнения , если по очереди приравняем к нулю множители и решим два полученных	уравнения	и или равносильные им уравнения .
Поэтому мы найдём все решения	уравнения	, если по очереди приравняем к нулю множители и решим два полученных уравнения и или равносильные им уравнения .
График этого	уравнения	изображён .
Положим а0 b х. Поскольку , то число х должно быть решением	уравнения	.
2.1 Укажите	уравнения	, имеющие корнем число 0 .
2.2 Укажите	уравнения	, у которых число корней больше одного .
Следовательно , любая пара чисел вида , где b — произвольное число , является решением	уравнения	.
2.3 Укажите все	уравнения	, равносильные уравнению .
3.7 Решение	уравнения	.
2.4 Укажите все	уравнения	, не равносильные уравнению .
Поэтому графиком	уравнения	является прямая , параллельная оси Ох .
Полученное множество решений	уравнения	удобно представить в виде множества точек на координатной плоскости .
В результате получаем уравнение с двумя неизвестными х и у. Выражение — левая часть полученного уравнения , выражение — правая часть этого	уравнения	.
3.4 Множество решений	уравнения	.
Следовательно , корнями	уравнения	являются только три числа .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей	уравнения	на одно и то же ненулевое число .
В координатной плоскости решения первого	уравнения	представляются точками графика функции .
Таким образом , корнем	уравнения	может быть только число-3/8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа -3/8 .
Пусть число а является корнем данного	уравнения	, то есть выполняется числовое равенство .
Зная , что графиком уравнения является прямая , получаем , что график этого	уравнения	— прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
Значит , число является корнем	уравнения	.
Зная , что графиком	уравнения	является прямая , получаем , что график этого уравнения — прямая ОБ , симметричная относительно оси Оу прямой ОА .
Точка В расположена на графике	уравнения	, потому что при получаем .
График	уравнения	есть прямая , проходящая через точки 0(0 ; 0 ) и А(2 ; 3 ) .
Решения второго	уравнения	представляются точками графика функции у.
Таким образом , корнем	уравнения	может быть только число 3/2 то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 3/2 .
В результате получаем , что число 5 является единственным корнем	уравнения	.
Значит , 5 является корнем	уравнения	.
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график	уравнения	, где k — фиксированное положительное число , есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Таким образом , все точки графика	уравнения	, содержащиеся в левой полуплоскости , — это все точки луча , противоположного лучу ОА .
Таким образом , корнем	уравнения	может быть только число 5 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 5 .
Тем самым все точки луча , противоположного лучу ОА , принадлежат графику Г	уравнения	.
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике	уравнения	то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике уравнения .
Следовательно , точка R является точкой графика Г	уравнения	.
Обратно , если возьмём точку С(-1 ; 1,5 ) , расположенную на графике уравнения то точка D(1 ; 1,5 ) , симметричная точке С относительно оси Оу , расположена на графике	уравнения	.
В результате получаем , что число , равное является единственным корнем	уравнения	.
Если число а является корнем данного	уравнения	, то выполняется числовое равенство .
1.6 О преобразованиях линейного	уравнения	.
Предположим , что число а является корнем этого	уравнения	, то есть .
Аналогично график	уравнения	у совпадает с графиком линейной функции .
6 Что называют графиком	уравнения	, где k — фиксированное число ? .
Поэтому графиком	уравнения	также является прямая .
При симметрии относительно оси Ох этот график переходит в график	уравнения	.
Значит , корнями	уравнения	являются все числа .
Пусть число а является корнем этого	уравнения	, то есть выполняется равенство .
При графиком	уравнения	является прямая .
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) графика уравнения симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика	уравнения	.
Справедливо и обратное : всякая точка Р(b ; -kb ) графика	уравнения	симметрична относительно оси Ох точке Q(b ; kb ) графика уравнения .
В результате получаем , что число -8 является единственным корнем	уравнения	.
Поэтому точка N принадлежит графику	уравнения	.
Возьмём произвольную точку М графика	уравнения	.
Таким образом , корнем	уравнения	может быть только число -8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа -8 .
Пусть число а является корнем данного	уравнения	, то есть верно числовое равенство .
Значит , число -3/8 является корнем	уравнения	.
Покажем , что всякая точка луча , противоположного лучу ОА , принадлежит графику Г	уравнения	.
Таким образом , все точки графика Г	уравнения	, расположенные в левой полуплоскости , принадлежат лучу , противоположному лучу ОА .
Линейные	уравнения	решаются при помощи преобразований , использующих свойства числовых равенств и законы сложения , умножения , вычитания , деления .
Множество всех решений этого уравнения совпадает с множеством решений	уравнения	.
Множество всех решений этого	уравнения	совпадает с множеством решений уравнения .
3.1 Решение линейного	уравнения	в целых числах .
Таким образом , каждая точка луча ОА принадлежит графику Г	уравнения	.
2.2 Укажите	уравнения	, каждое из которых вместе с уравнением образуют систему , имеющую хотя бы одно решение .
2.1 Укажите	уравнения	, каждое из которых вместе с уравнением образуют систему , имеющую единственное решение .
Поэтому координаты ( с ; d ) точки В являются решением	уравнения	.
Покажем сначала , что все точки луча ОА являются частью графика Г	уравнения	.
Координаты точки О(0,0 ) являются решением	уравнения	и поэтому точка О принадлежит графику Г .
Пусть Г — график	уравнения	.
Построим прямую с уравнением и отметим точки М и К пересечения этой прямой с графиком	уравнения	.
Перебирая все целые значения m , можем получить любое целочисленное решение этого	уравнения	.
Отрезок АВ этой прямой , лежащий в 1-й четверти , даёт часть графика	уравнения	.
Это значит , что если мы построим график первого	уравнения	системы , то график второго уравнения этой системы будет в точности таким же .
Это значит , что если мы построим график первого уравнения системы , то график второго	уравнения	этой системы будет в точности таким же .
Отсюда следует , что график	уравнения	симметричен относительно осей координат Ох и Oy .
Сначала построим график	уравнения	.
Покажем теперь , что все точки графика Г	уравнения	, содержащиеся в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
Однако по условию задачи нам нужны не всякие решения	уравнения	, а только такие , в которых значения х и у одновременно являются неотрицательными целыми числами .
Целочисленным решением	уравнения	является любая пара чисел , где m — произвольное целое число .
Отсюда получаем , что и все целочисленные решения	уравнения	, у которых оба значения неизвестных неотрицательны , исчерпываются парами .
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г уравнения и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г	уравнения	.
В левой полуплоскости рассмотрим точку Р(-с ; -кс ) , принадлежащую графику Г	уравнения	и отметим точку Р'(с ; кс ) , также принадлежащую графику Г уравнения .
Является ли число 5 корнем	уравнения	? .
Например ,	уравнения	являются линейными .
В предыдущем пункте показано , что для графика Г	уравнения	при частью графика Г в правой полуплоскости является луч ОА , где А(1 ; k ) .
Какой вид имеет график	уравнения	? .
1.2 Линейные	уравнения	.
Корень какого	уравнения	равен разности а - b двух чисел ? .
В результате получаем , что число а будет корнем	уравнения	.
Таким образом , все точки графика	уравнения	, содержащиеся в правой полуплоскости , — это все точки луча ОА .
Из первого	уравнения	системы выразим у через х и построим график функции аналогично тому , как это было сделано в предыдущем пункте .
Каждое значение переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем	уравнения	.
Другими словами , все точки графика Г	уравнения	, лежащие в правой полуплоскости , расположены на луче ОА .
Каждое значение переменной х , при котором обе части	уравнения	равны , называется корнем уравнения .
1 Линейные	уравнения	с одним неизвестным .
Следовательно , точка С(f ; g ) не принадлежит графику	уравнения	.
Следовательно , все пары вида ( -2 ; а ) , где а любое число , являются решениями второго	уравнения	системы .
3.2 Целочисленные решения	уравнения	вида .
Ранее мы видели , что число -3/7 является корнем	уравнения	.
Как можно получить более точные границы снизу и сверху для корня рассматриваемого	уравнения	? .
Обратно , если число а является корнем	уравнения	, то выполняется числовое равенство .
В результате мы получили , что	уравнения	имеют одни и те же корни .
Во втором случае решением	уравнения	являются пары вида ( 2 ; у ) , где у может принимать любое значение .
Как показать , что	уравнения	равносильны ? .
Следовательно , при перестановке частей	уравнения	получается равносильное ему уравнение .
Сложив эти	уравнения	, получим .
В первом случае решением	уравнения	являются пары вида ( х ; 2 ) , где х может принимать любое значение .
Оно имеет только один корень Поменяем местами левую и правую части	уравнения	и получим новое уравнение .
В главе 6 мы рассматривали	уравнения	с двумя переменными .
2.4 Перестановка частей	уравнения	.
Почему равносильны	уравнения	, каждое из которых не имеет корней ? .
Поэтому	уравнения	равносильны .
Аналогично доказывается , что корнями	уравнения	тоже являются только три числа .
Таким образом , все эти уравнения имеют одно и то же множество корней ( состоящее из одного и того же числа ) , то есть эти	уравнения	равносильны .
Таким образом , все эти	уравнения	имеют одно и то же множество корней ( состоящее из одного и того же числа ) , то есть эти уравнения равносильны .
Какой пример	уравнения	с пустым множеством корней рассматривался в первом параграфе ? .
Решениями уравнения являются пары ( с ; d ) , для которых верно равенство Таким образом , все решения начального	уравнения	— это пары вида , где с принимает любое значение .
Решить уравнение — значит либо найти все корни	уравнения	, либо доказать , что это уравнение не имеет корней .
Если уравнение не имеет корней , то в этом случае говорят , что множество корней	уравнения	является пустым множеством .
2.5 Замена одной части	уравнения	на тождественно равное ей выражение .
Решениями	уравнения	являются пары ( с ; d ) , для которых верно равенство Таким образом , все решения начального уравнения — это пары вида , где с принимает любое значение .
Поэтому	уравнения	имеют одинаковые корни , то есть равносильны .
Из первого	уравнения	получаем а .
Отсюда получаем равенство , то есть абсцисса а точки А является корнем	уравнения	.
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям	уравнения	одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей	уравнения	; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные	уравнения	: изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то число b будет также корнем	уравнения	.
Верно и обратное : если число b является корнем	уравнения	, то число b будет также корнем уравнения .
Пусть а — корень этого	уравнения	, то есть выполняется числовое равенство .
2.7 Умножение обеих частей	уравнения	на ненулевое число .
Как доказать , что если число b является корнем уравнения , то это число b будет также корнем	уравнения	.
Как доказать , что если число b является корнем	уравнения	, то это число b будет также корнем уравнения .
Таким образом ,	уравнения	равносильны .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то это число b будет также корнем исходного	уравнения	.
Верно и обратное : если число b является корнем	уравнения	, то это число b будет также корнем исходного уравнения .
Следовательно , число а является корнем	уравнения	.
2.6 Прибавление к обеим частям	уравнения	одного и того же выражения .
Найти корень	уравнения	.
Заметим , что для любого числа а графиком	уравнения	является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой линейной функции .
Часто М называют множеством решений или множеством корней	уравнения	.
2.2 Множество корней	уравнения	.
Почему	уравнения	имеют одни и те же корни ? .
4 Решите системы ( предварительно умножьте правую и левую части первого	уравнения	. ( Предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения на 2 ) .
4 Решите системы ( предварительно умножьте правую и левую части первого уравнения . ( Предварительно умножьте правую и левую части первого	уравнения	на 2 ) .
( Предварительно умножьте правую и левую части первого	уравнения	на 3/5 ) .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого	уравнения	в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Тогда уравнение имеет вид и любое число является корнем этого	уравнения	.
1.1 Какая из следующих пар значений переменных является корнем	уравнения	.
Проведём исследование	уравнения	вида , где к , b — фиксированные числа , х — неизвестная величина .
2.1 На какие числа нужно умножить соответственно	уравнения	так , чтобы после их сложения в получившемся уравнении отсутствовал у ? .
1.8 Исследование	уравнения	общем виде .
Как записать сокращённо решение	уравнения	из примера 3 ? .
Например , решение	уравнения	можно записать так .
Иногда прямую , являющуюся графиком	уравнения	, называют прямой .
Решение линейного	уравнения	можно представить сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
Сокращённая запись решения линейного	уравнения	.
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют график	уравнения	то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое число .
График	уравнения	у 7х в координатной плоскости совпадает с графиком линейной функции .
Таким образом , число а является корнем	уравнения	.
Если число не равно нулю , то	уравнения	и уравнение имеют единственный корень .
2.8 О графике	уравнения	.
Решение этого	уравнения	представим сокращённо , записывая результаты преобразований в виде последовательности уравнений , имеющих те же корни , что и исходное уравнение .
Следовательно , точка В , симметричная точке А прямой , расположена на графике	уравнения	.
Иногда корень уравнения называют решением	уравнения	.
Иногда корень	уравнения	называют решением уравнения .
Каждое числовое значение d переменной х , при котором обе части уравнения равны , называется корнем	уравнения	.
Каждое числовое значение d переменной х , при котором обе части	уравнения	равны , называется корнем уравнения .
В уравнении выражение А(х ) называют левой частью уравнения , выражение В(х ) — правой частью	уравнения	.
В уравнении выражение А(х ) называют левой частью	уравнения	, выражение В(х ) — правой частью уравнения .
2.1 Алгебраические	уравнения	.
2.2 Укажите все линейные	уравнения	, которые имеют более одного решения .
2.1 Укажите все линейные	уравнения	, у которых число 2 является решением .
Прибавим к обеим частям этого	уравнения	число -3 .
Прибавим к обеим частям	уравнения	выражение 4у .
Найти все решения	уравнения	.
1 Решите	уравнения	.
5 Как решаются линейные	уравнения	в общем виде ? .
Графиком	уравнения	, где к , b — фиксированные числа , является прямая .
Обратно , взяв любую точку ( х0 ; у0 ) графика	уравнения	, то есть точку , заметим , что при симметрии относительно оси в неё переходит точка прямой , имеющая координаты .
Отметим , что при решении задачи с помощью	уравнения	у нас есть свобода выбора , во - первых , буквы для обозначения неизвестной и , во- вторых , величины , обозначаемой через неизвестную .
Поменяем местами правую и левую части	уравнения	.
Отразив отрезок АВ относительно оси Ох и затем отразив полученную ломаную относительно оси Оу , получим график	уравнения	.
В результате получаем , что число , равное 3/2 , является единственным корнем	уравнения	.
3 Как можно найти целочисленное решение	уравнения	.
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные решения	уравнения	можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое целое число .
1.2 Какая из указанных пар является решением	уравнения	? .
Таким образом , пара чисел ( 4 ; 1 ) является целочисленным решением	уравнения	.
1.1 Какие из указанных пар являются целочисленными решениями	уравнения	( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
3 Найдите все целочисленные решения	уравнения	.
Отсюда следует , что формулы , где m — целое число , задают все целочисленные решения	уравнения	Например , если .
2 Найдите какие - либо два целочисленных решения	уравнения	.
1 Найдите какое - либо целочисленное решение	уравнения	.
Как записать все целочисленные решения	уравнения	, зная некоторое его решение ( р ; q ) ? .
На примере	уравнения	покажем , как находить все целочисленные решения , если известно одно из них .
2 Приведите пример	уравнения	с целыми коэффициентами и запишите все его целочисленные решения .
3.4 Существование целочисленных решений	уравнения	вида .
Как показать , что формулы , где k — целое число , также задают все целые решения	уравнения	? .
1 Что вы понимаете под словами « целочисленное решение	уравнения	с двумя неизвестными » ? .
3.6 Решение	уравнения	в натуральных числах .
1.3 Пары чисел , где m — целое число , являются решением	уравнения	в целых числах .
Это можно доказать рассуждениями , которые продемонстрируем на примере	уравнения	.
Следовательно , пара чисел ( р - 4 ; q - 1 ) является решением уравнения или	уравнения	7х -5у .
Найдём все решения	уравнения	в натуральных числах .
3.5 Множество всех целочисленных решений	уравнения	вида .
Рассмотрим , как найти одно из целочисленных решений	уравнения	вида где а , b , с — ненулевые целые числа , причём а и b взаимно просты .
Пусть ( р ; q ) — ещё какое - нибудь целочисленное решение	уравнения	.
3.3 Целочисленные решения линейного	уравнения	.
Найти все решения этого	уравнения	непросто .
Дальнейшее решение	уравнения	сводится к решению трёх систем .
Предположим , что число с является корнем этого	уравнения	, то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше числа -5 .
Теорема Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению	уравнения	в целых числах .
Записав последнее равенство в виде приходим к уже известному целочисленному решению	уравнения	.
Следовательно , пара чисел ( р - 4 ; q - 1 ) является решением	уравнения	или уравнения 7х -5у .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных решений	уравнения	в целых числах ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
1.4 Пары чисел , где m — целое число , являются решением	уравнения	в целых числах .
В пункте мы нашли одно целочисленное решение этого	уравнения	.
11 Какие примеры преобразований , которые могут приводить к неравносильным	уравнениям	, вы знаете ? .
2.4 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в многочленах не становятся линейными	уравнениями	.
Связь между графиками линейных функций и	уравнениями	с двумя неизвестными .
2.3 Укажите все выражения , которые после приведения подобных в многочленах становятся линейными	уравнениями	.
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое число нужно умножить обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих	уравнениях	системы одинаковым ;
В этой главе говорится об	уравнениях	, вводится важное понятие равносильности уравнений , рассматриваются некоторые приёмы решения уравнений , разбирается решение некоторых задач с помощью уравнений , приводится несколько примеров уравнений с двумя неизвестными .
Иногда приходится находить площади	фигур	, которые не являются многоугольниками , но граница которых состоит из отрезков .
Какие свойства равенства геометрических	фигур	вы знаете ? .
Как доказать , что общая часть двух выпуклых	фигур	, образованная при их пересечении , является выпуклой фигурой ? .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки	фигур	образуют центрально симметричную фигуру с центром О .
Вычисление площадей	фигур	, ограниченных отрезками .
Фигуры являются примерами центрально симметричных	фигур	.
4.1 Примеры центрально симметричных	фигур	.
Каждая из этих	фигур	имеет центр , при повороте вокруг которого на 180 ° фигура переходит сама в себя .
В этой главе вы узнаете свойства и признаки параллелограмма , научитесь вычислять площадь параллелограмма , познакомитесь с центральной симметрией	фигур	на плоскости .
в ) общая часть	фигур	G1 и G2 является выпуклой фигурой .
1.3 Какая из следующих	фигур	может быть центрально симметричной ? .
2.1 Какие из указанных	фигур	могут быть центрально симметричными ? .
2.4 Какие из следующих	фигур	не центрально симметричны ? .
Вы учились вычислять площади многих геометрических	фигур	.
1.2 Какая из следующих	фигур	не имеет центра симметрии ? .
Площади равных	фигур	равны .
Какую фигуру образуют общие точки	фигур	К1 и К2 ? .
2.3 Какие из перечисленных	фигур	центрально симметричны ? .
2.2 Какие из указанных	фигур	могут иметь центр симметрии ? .
С помощью приведённых формул можно вычислять площади многих	фигур	, например , на клетчатой бумаге .
	Фигура	, составленная из двух различных прямых .
5 Что такое выпуклая геометрическая	фигура	? .
Геометрическая	фигура	называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все точки отрезка АВ принадлежат этой фигуре .
Если одна	фигура	содержит вторую фигуру , то площадь второй фигуры не больше площади первой фигуры .
В этой главе рассматриваются важные свойства параллельных прямых , пересекающих стороны угла , определяется новая геометрическая	фигура	— трапеция , изучаются свойства средних линий треугольника и трапеции , доказывается свойство точки пересечения медиан треугольника .
Каждая из этих фигур имеет центр , при повороте вокруг которого на 180 °	фигура	переходит сама в себя .
Однако надо иметь в виду , что угол как	фигура	, образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические фигуры .
Угол — это	фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 )	фигура	, составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из окружности с хордой , не являющейся диаметром .
	Фигура	, составленная из двух неравных отрезков .
	Фигура	, составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из окружности с хордой , не являющейся диаметром .
3 Какая	фигура	называется развёрнутым углом ? .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 )	фигура	, составленная из окружности с хордой , не являющейся диаметром .
2 ) Если	фигура	составлена из двух неперекрывающихся частей , то площадь всей фигуры равна сумме площадей частей .
Выпуклая	фигура	.
	Фигура	, составленная из двух равных окружностей .
	Фигура	, составленная из шести окружностей , имеющих общий центр .
Можно показать , что отрезки СК и DL не пересекаются , и поэтому	фигура	CDLK действительно является параллелограммом .
12 Докажите , что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии , то	фигура	имеет и центр симметрии .
Заметим теперь , что определению угла удовлетворяет	фигура	, образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
1.4 Сколько центров симметрии может иметь	фигура	, составленная из двух отрезков ? .
12 Докажите , что если	фигура	имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии , то фигура имеет и центр симметрии .
10 Как объяснить , что выпуклыми геометрическими	фигурами	являются : а ) отрезок ; б ) луч ; в ) прямая .
Выпуклыми	фигурами	являются , например , круг и закрашенная часть плоскости .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной	фигуре	Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О .
2 Какую фигуру называют центрально симметричной другой	фигуре	относительно некоторой точки ? .
Фигура , центрально симметричная длиной	фигуре	относительно точки О , может быть получена поворотом вокруг точки О на 180 ° .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной	фигуре	Ф1 относительно центра симметрии О .
Геометрическая фигура называется выпуклой , если для любых двух точек А и В этой фигуры все точки отрезка АВ принадлежат этой	фигуре	.
Как доказать , что общая часть двух выпуклых фигур , образованная при их пересечении , является выпуклой	фигурой	? .
6 Докажите , что параллелограмм является центрально симметричной	фигурой	.
в ) общая часть фигур G1 и G2 является выпуклой	фигурой	.
Например , такой	фигурой	является рамка .
8 Докажите , что круг является выпуклой геометрической	фигурой	.
6 В каком случае плоский угол будет выпуклой	фигурой	? .
3 Внутри квадратной области Κλ выбрали некоторую точку Fи построили	фигуру	К2 , симметричную К1 относительно точки F .
4 Какую	фигуру	называют центрально симметричной ? .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей	фигуру	F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки фигур образуют центрально симметричную фигуру с центром О .
Если при этом окажется , что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой , а никакие два не соседних отрезка не имеют общих точек , то полученную	фигуру	будем называть пятиугольником .
Если одна фигура содержит вторую	фигуру	, то площадь второй фигуры не больше площади первой фигуры .
Рассмотрим на плоскости два различных луча ОА и ОВ с началом в точке О. Напомним , что такую геометрическую	фигуру	называют углом ЛОВ .
9 В каком случае объединение двух отрезков даёт выпуклую геометрическую	фигуру	? .
Какую	фигуру	образуют общие точки фигур К1 и К2 ? .
В каком случае	фигуру	можно назвать центрально симметричной ? .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно	фигуру	Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки фигур образуют центрально симметричную	фигуру	с центром О .
2 Какую	фигуру	называют центрально симметричной другой фигуре относительно некоторой точки ? .
В таком случае	фигуру	Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О .
14 Найдите площадь заштрихованной	фигуры	с вершинами в узлах сетки .
4 Какие	фигуры	называются равносоставленными ? .
2 На клетчатой бумаге найдите площадь	фигуры	, изображённой .
Другого рода « правильностью » строения обладают	фигуры	.
4.3 Пример на вычисление площади дополнением	фигуры	до треугольника .
Симметричные относительно оси	фигуры	обладают некоторой « правильностью » строения .
Вспомним	фигуры	, симметричные относительно оси .
6 Приведите пример	фигуры	, имеющей бесконечное число центров симметрии .
Как можно вычислять площадь	фигуры	, имеющей ось симметрии ? .
Найдите площадь	фигуры	.
2 Для некоторой	фигуры	F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки фигур образуют центрально симметричную фигуру с центром О .
Две	фигуры	Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Площадь рамки можно найти , если разбить её на известные геометрические	фигуры	.
Изображены две центрально симметричные друг другу	фигуры	.
Примером выпуклой	фигуры	является многоугольная область , потому что в этой области вместе с любыми точками М и N содержатся все точки отрезка MN .
2 ) Если фигура составлена из двух неперекрывающихся частей , то площадь всей	фигуры	равна сумме площадей частей .
4.3 Центрально симметричные	фигуры	.
11 Как объяснить , что если геометрические	фигуры	G1 и G2 являются выпуклыми , то возможен только один из следующих случаев .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка	фигуры	Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Если одна фигура содержит вторую фигуру , то площадь второй фигуры не больше площади первой	фигуры	.
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке	фигуры	Ф1 относительно точки О .
Отсюда следует , что площадь	фигуры	равна .
Тогда сумма S5 получится равной площади	фигуры	.
Возьмём две такие	фигуры	и составим из них прямоугольник .
Если одна фигура содержит вторую фигуру , то площадь второй	фигуры	не больше площади первой фигуры .
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка	фигуры	Ф1 симметрична некоторой точке фигуры Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
Однако надо иметь в виду , что угол как фигура , образованная двумя лучами с общим началом , и угол как одна из двух соответствующих частей плоскости — разные геометрические	фигуры	.
Две фигуры Ф1 и Ф2 плоскости называют симметричными относительно точки О , если каждая точка фигуры Ф1 симметрична некоторой точке	фигуры	Ф2 относительно точки О и , наоборот , каждая точка фигуры Ф2 симметрична некоторой точке фигуры Ф1 относительно точки О .
3 Равнобедренные трапеции имеют острые углы по 60 ° и периметр 30 см. Обозначим длину их большего основания через х см. Какой	функцией	определяется площадь S таких трапеций в зависимости от х ? .
1.4 Пусть зависимость у от х задаётся линейной	функцией	Чему равно а ? .
Эта функциональная зависимость называется линейной	функцией	.
Какой	функцией	от R определяется площадь S оконного проёма ? .
1.3 Пусть зависимость у от х задаётся линейной	функцией	Чему равно к ? .
Иногда прямолинейная зависимость переменной у от переменной х называется линейной	функцией	от х .
Часто функциональную зависимость переменной у от переменной х называют	функцией	.
6 Какой	функцией	определяется сумма n начальных членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью в зависимости от аргумента n ? .
Какой	функцией	определяется общая плата за квартиру жилой площадью х м2 ? .
5 На изготовление одной детали робот затрачивает 3 с. Какой	функцией	определяется время M , необходимое на изготовление n деталей ? .
Какой	функцией	определяется объём V коробки ? .
Получаем , что зависимость числового значения температуры F в градусах по Фаренгейту от числового значения температуры С в градусах по Цельсию выражается линейной	функцией	.
График линейной	функции	.
График	функции	.
Объединим лучи О А и ОВ и получим график	функции	.
7 Найдите значение b , если известно , что график линейной	функции	проходит через точку .
Полученный луч ОВ без точки О является частью графика	функции	.
Следовательно , для изображения графика	функции	можно рассмотреть два случая .
Полученный луч ОА является частью графика	функции	для .
Число f(а ) называют значением	функции	у bf(x ) для значения аргумента , равного а .
Какая арифметическая прогрессия получится , если рассмотреть последовательность значений линейной	функции	при натуральных значениях х ? .
Иногда это правило задаётся с помощью таблицы или формулы , при этом для каждого значения а из области значений аргумента	функции	через f(a ) символически обозначается значение зависимой переменной , соответствующее а .
В дальнейшем понятие	функции	будет уточнено .
4.4 График	функции	.
Как доказать , что члены арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой линейной	функции	, последовательно вычисленные для натуральных значений переменной х ? .
Изобразим график линейной	функции	и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых отрицательны .
Наглядное представление о	функции	даёт её график .
Последовательно вычислим значения этой	функции	при натуральных значениях и обозначим через аk значение .
Графиком	функции	( функциональной зависимости ) называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
3.1 Значение линейной	функции	при натуральных значениях переменной .
Абсцисса каждой точки графика	функции	принадлежит области значений аргумента , ордината равна соответствующему значению зависимой переменной .
Как выглядит график	функции	, если областью значений переменной х является промежуток ? .
Изобразим на график линейной	функции	и выделим часть точек этого графика , абсциссы которых неотрицательны .
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное число , лежат на графике линейной	функции	.
6 Найдите значение к , если известно , что график линейной	функции	проходит через точку .
Изобразим график	функции	и выделим часть графика , изображённую в виде отрезка АВ со стрелочкой , чтобы указать на то , что сама точка В не содержится в отмеченной части графика .
Как построить график	функции	? .
13 Начертите график	функции	.
Покажем , что графиком линейной	функции	является прямая , которая параллельна прямой .
14 Начертите график	функции	.
1.1 Какой график соответствует	функции	.
Графиком	функции	является прямая MN .
Иногда для построения графика линейной	функции	удобно находить точки пересечения графика с осями координат .
2.5 Построение графика линейной	функции	по точкам пересечения с осями координат .
Прямая АВ является графиком	функции	.
Построить график	функции	.
Графиком линейной	функции	является прямая .
2.4 Построение графика линейной	функции	по двум различным точкам .
Какие точки графика линейной	функции	лежат на координатных осях ? .
Если к , то график	функции	проходит через точки ( 0 ; 0 ) и ( 1 ; к ) .
Если , то график	функции	проходит через точки .
Если , то график	функции	проходит через точки ( 0 ; b ) и , лежащие на координатных осях .
Графиком линейной	функции	, где к и b — фиксированные числа , является прямая .
Глядя на этот рисунок , естественно предположить , что графиком линейной	функции	является прямая .
2.2 Пример линейной	функции	.
2 Линейная функция/. 2.1 Определение линейной	функции	.
График уравнения у 7х в координатной плоскости совпадает с графиком линейной	функции	.
Аналогично график уравнения у совпадает с графиком линейной	функции	.
В координатной плоскости решения первого уравнения представляются точками графика	функции	.
Решения второго уравнения представляются точками графика	функции	у.
Из первого уравнения системы выразим у через х и построим график	функции	аналогично тому , как это было сделано в предыдущем пункте .
Эти линейные	функции	имеют одинаковые угловые коэффициенты , а поэтому их графики являются параллельными прямыми .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие	функции	называются линейными , научитесь строить графики линейных функций .
Вы познакомитесь с понятием	функции	, узнаете , какие функции называются линейными , научитесь строить графики линейных функций .
Следовательно , общие решения уравнений нашей системы совпадают с решениями любого из уравнений , то есть решения системы получаются как пары координат точек графика	функции	.
2 Что представляет собой график линейной	функции	? .
12 Начертите график	функции	.
7 Начертите график	функции	.
Например , график	функции	у b 2х - 4 можно построить так .
Аналогично можно рассмотреть значения	функции	для при любом целом значении n .
7 Что называют графиком	функции	? .
Заметим , что для любого числа а графиком уравнения является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой линейной	функции	.
Множество таких пар является графиком	функции	.
Как построить график линейной	функции	, зная одну точку этого графика и угловой коэффициент ? .
Множество таких пар является графиком линейной	функции	.
3 Как доказать , что графиком линейной	функции	является прямая ? .
Объединяя части графика , получим представление о графике	функции	.
Следовательно , число в формуле линейной	функции	характеризует угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох .
8 Как по графику найти значение	функции	при заданном значении аргумента ? .
4 Как построить график линейной	функции	? .
1 Постройте график линейной	функции	.
10 Какой вид имеет график	функции	.
Изобразим часть графика	функции	, выделенную в виде отрезка CD со стрелкой , чтобы указать на то , что сама точка D не содержится в отмеченной части графика .
б ) Сколько значений аргумента может соответствовать одному значению	функции	? .
Для графического представления	функции	рассмотрим промежутки числовой прямой вида , где n — целое число .
Как выглядит график	функции	.
Построим график	функции	.
Примерами графиков	функций	могут служить графики прямых пропорциональных зависимостей , а также прямолинейных зависимостей .
Графики линейных	функций	помогают наглядно представить все решения линейных уравнений с двумя неизвестными .
Связь между графиками линейных	функций	и уравнениями с двумя неизвестными .
Изображены прямые — графики	функций	.
Построим графики	функций	.
Как доказать , что графики линейных	функций	параллельны ? .
Вы познакомитесь с понятием функции , узнаете , какие функции называются линейными , научитесь строить графики линейных	функций	.
Зависимость величин	функциональная	.
4 Что такое	функциональная	зависимость ? .
Эта	функциональная	зависимость называется линейной функцией .
Будет ли зависимость пройденного расстояния от скорости движения	функциональной	зависимостью , если время движения постоянно ? .
Если для двух переменных х и у существует вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то зависимость переменной у от переменной х называется	функциональной	.
Тем самым указано вполне определённое правило , позволяющее по каждому значению х однозначно определить соответствующее значение у , то есть зависимость переменной у от переменной х является	функциональной	.
В этом случае переменная х называется независимой переменной или аргументом этой	функциональной	зависимости , а переменная у — зависимой переменной .
Графиком функции (	функциональной	зависимости ) называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых имеют вид ( а ; f(а ) ) .
Пусть для двух переменных х и у зависимость переменной у от переменной х является	функциональной	.
2.2 Какие значения связаны	функциональной	зависимостью ? .
Сопоставив значению первой координаты однозначно определённое значение второй координаты , получим	функциональную	зависимость переменной у от переменной х .
Часто	функциональную	зависимость переменной у от переменной х называют функцией .
В этом примере получаем	функциональную	зависимость переменной аn от переменной n , область значений которой — все натуральные числа .
Задать	функцию	— значит указать , какие действия нужно произвести с аргументом х , чтобы получить соответствующее значение у.
Рассмотрим	функцию	, которая на всей числовой прямой задаётся формулой .
Рассмотрим линейную	функцию	, например .
2 Какой график имеет линейная	функция	? .
Какой вид имеет линейная	функция	.
Глава 10 Линейная	функция	.
1.1 Какое значение принимает линейная	функция	? .
1 Какая	функция	называется линейной ? .
Линейная	функция	.
Какой график имеет линейная	функция	.
9 Пусть задана	функция	.
Какой вид имеет линейная	функция	, график которой проходит через точки А(-1 ; -3 ) и В(2 ; 0 ) ? .
5 Дана линейная	функция	.
Докажите , что угол между касательной АВ к окружности и	хордой	BD равен углу BCD .
фигура , составленная из двух неравных окружностей . 3 ) фигура , составленная из двух непересекающихся отрезков . 4 ) фигура , составленная из окружности с	хордой	, не являющейся диаметром .
10 Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так , чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные	хорды	.
27 В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные	хорды	длиной R и .
Найдите площадь трапеции , основаниями которой являются эти	хорды	.
1.4 Чему равна длина общей	хорды	двух равных окружностей с радиусом 50 см , расстояние между центрами которых равно 60 см ? .
Заметим , что выполняется соотношение , то есть	целая	часть числа а является наибольшим целым числом , не превосходящим числа а .
4.6 Функция «	целая	часть х » .
Десятичным приближением снизу числа а с точностью до 10 m называется число , равное b · 10 m , где b —	целая	часть числа а · 10 m .
1.2 Чему равна	целая	часть от числа ? .
Чему равна	целая	часть числа 0,999999 ? .
Чему равна	целая	часть числа 103 · 2,71828 ? .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным числом , его	целая	часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
Десятичным приближением сверху числа а с точностью до 10 m называется число , равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b —	целая	часть числа а · 10 m .
1.1 Чему равна	целая	часть произведения ? .
11 Как определяется	целая	часть числа ? .
Ближайшим к 28 квадратом	целого	числа является 25 .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа и любого	целого	числа m ? .
Ближайшим к 28 квадратом	целого числа	является 25 .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа и любого	целого числа	m ? .
Пусть m —	целое	число .
1.3 Пары чисел , где m —	целое	число , являются решением уравнения в целых числах .
8 Докажите , что если , где m и n — целые числа , то —	целое	число .
Пусть а и b — любые ненулевые числа , m — произвольное	целое	число .
1.4 Пары чисел , где m —	целое	число , являются решением уравнения в целых числах .
Целочисленным решением уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное	целое	число .
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что	целое	число 3у делится без остатка на число 7 .
Пусть число -b отрицательно , m — фиксированное	целое	число .
1 Какое наибольшее	целое	число можно записать четырьмя цифрами в двоичной системе счисления ? .
Для графического представления функции рассмотрим промежутки числовой прямой вида , где n —	целое	число .
В результате получится : — не целое число ; — не	целое	число ; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; —	целое	число .
В результате получится : — не	целое	число ; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные решения уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое	целое	число .
Значит , у 7т , где m — некоторое	целое	число .
Так как m является целым числом , то х 3т тоже	целое	число .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не	целое	число ; — целое число .
Таким образом , для решения данной задачи достаточно найти положительное значение неизвестного х и	целое	положительное значение неизвестного у , удовлетворяющих одновременно уравнениям .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не	целое	число ; — не целое число ; — целое число .
Целая часть числа х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое	целое	число .
Целой частью числа х называется наибольшее	целое	число n , которое меньше либо равно х .
Значит , числа 3т , 7т при любом целом значении m дают	целое	решение ( 3т ; 7т ) уравнения 7х 3у .
Отсюда следует , что формулы , где m —	целое	число , задают все целочисленные решения уравнения Например , если .
Как показать , что формулы , где k —	целое	число , также задают все целые решения уравнения ? .
8 Докажите , что если , где m и n — целые числа , то —	целое число	.
Как показать , что формулы , где k —	целое число	, также задают все целые решения уравнения ? .
Целой частью числа х называется наибольшее	целое число	n , которое меньше либо равно х .
Для графического представления функции рассмотрим промежутки числовой прямой вида , где n —	целое число	.
Пусть а и b — любые ненулевые числа , m — произвольное	целое число	.
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что	целое число	3у делится без остатка на число 7 .
1.4 Пары чисел , где m —	целое число	, являются решением уравнения в целых числах .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; —	целое число	.
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не	целое число	; — целое число .
Целая часть числа х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое	целое число	.
Отсюда следует , что формулы , где m —	целое число	, задают все целочисленные решения уравнения Например , если .
1.3 Пары чисел , где m —	целое число	, являются решением уравнения в целых числах .
В результате получится : — не целое число ; — не	целое число	; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не	целое число	; — не целое число ; — целое число .
Целочисленным решением уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное	целое число	.
Значит , у 7т , где m — некоторое	целое число	.
Пусть число -b отрицательно , m — фиксированное	целое число	.
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные решения уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое	целое число	.
Так как m является целым числом , то х 3т тоже	целое число	.
Пусть m —	целое число	.
1 Какое наибольшее	целое число	можно записать четырьмя цифрами в двоичной системе счисления ? .
В результате получится : — не	целое число	; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше	целой	части числа b .
Используя это обозначение и определение	целой	части числа , можем , например , записать равенства .
1 Что называется	целой	частью положительного числа ? .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является	целой	частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Если пояснения отсутствуют , то принято считать , что имеется в виду меньший из двух плоских углов , то есть целиком лежащий в одной из полуплоскостей , на которые разделится плоскость при продолжении любой из сторон данного угла до	целой	прямой .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является	целой	частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
Десятичные приближения положительного числа с точностью до	целой	разрядной единицы .
В этой записи число 42 называют	целой	частью числа а , число 0,4056 называют дробной частью числа а .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше	целой	части числа а .
Значит , числа 3т , 7т при любом	целом	значении m дают целое решение ( 3т ; 7т ) уравнения 7х 3у .
Для любых ненулевых чисел а и b при любом	целом	значении m выполняется равенство .
Аналогично можно рассмотреть значения функции для при любом	целом	значении n .
1 Найдите какое - либо	целочисленное	решение уравнения .
Решение	целочисленное	.
Перебирая все целые значения m , можем получить любое	целочисленное	решение этого уравнения .
Пусть ( р ; q ) — ещё какое - нибудь	целочисленное	решение уравнения .
В пункте мы нашли одно	целочисленное	решение этого уравнения .
3 Как можно найти	целочисленное	решение уравнения .
1 Что вы понимаете под словами «	целочисленное	решение уравнения с двумя неизвестными » ? .
Записав последнее равенство в виде приходим к уже известному	целочисленному	решению уравнения .
В этой главе вы узнаете приёмы решения систем уравнений , вспомните о применении графиков в решении задач , найдёте примеры уравнений и систем , в которых требуется получить	целочисленные	решения .
На примере уравнения покажем , как находить все	целочисленные	решения , если известно одно из них .
Любое уравнение вида с целыми коэффициентами а , b , с имеет	целочисленные	решения , когда — взаимно простые числа .
3 Найдите все	целочисленные	решения уравнения .
2 Приведите пример уравнения с целыми коэффициентами и запишите все его	целочисленные	решения .
Отсюда следует , что формулы , где m — целое число , задают все	целочисленные	решения уравнения Например , если .
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все	целочисленные	решения уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое целое число .
5 При каких условиях уравнение имеет	целочисленные	решения ? .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые целые числа , нетрудно найти все его	целочисленные	решения .
Как записать все	целочисленные	решения уравнения , зная некоторое его решение ( р ; q ) ? .
Отсюда получаем , что и все	целочисленные	решения уравнения , у которых оба значения неизвестных неотрицательны , исчерпываются парами .
Таким образом , пара чисел ( 4 ; 1 ) является	целочисленным	решением уравнения .
Как с помощью формулы Пика объяснить , что на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(0 ; 7 ) , В(3 ; 5 ) , С(10 ; 0 ) не содержит ни одной точки с	целочисленными	координатами за исключением вершин треугольника ? .
Например , древнегреческий математик Пифагор изучал прямоугольные треугольники с	целочисленными	сторонами .
1.1 Какие из указанных пар являются	целочисленными	решениями уравнения ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
4 Докажите , что уравнение не имеет	целочисленных	решений .
Рассмотрим , как найти одно из	целочисленных	решений уравнения вида где а , b , с — ненулевые целые числа , причём а и b взаимно просты .
3.5 Множество всех	целочисленных	решений уравнения вида .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех	целочисленных	решений уравнения в целых числах ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
2 Найдите какие - либо два	целочисленных	решения уравнения .
3.4 Существование	целочисленных	решений уравнения вида .
Как показать , что уравнение не имеет	целочисленных	решений ? .
Определим	целую	часть произвольного числа х по следующему правилу .
4 Как возводить в	целую	степень частное двух ненулевых чисел ? .
1 Найдите	целую	часть суммы .
5 Найдите	целую	часть произведения .
Перебирая все	целые	значения m , можем получить любое целочисленное решение этого уравнения .
Рассмотрим , как найти одно из целочисленных решений уравнения вида где а , b , с — ненулевые	целые	числа , причём а и b взаимно просты .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые	целые	числа , нетрудно найти все его целочисленные решения .
Начнём последовательно подставлять вместо х подряд все	целые	числа , начиная с х 0 .
Так как х и у —	целые	числа , то из равенства следует , что целое число 3у делится без остатка на число 7 .
1.1 Какие из указанных пар являются целочисленными решениями уравнения ( m — переменная , принимающая все	целые	значения ) ? .
8 Докажите , что если , где m и n —	целые	числа , то — целое число .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все	целые	значения , а и b — некоторые фиксированные целые числа ? .
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в целых числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все	целые	значения ? .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных решений уравнения в целых числах ( m — переменная , принимающая все	целые	значения ) ? .
Как доказать , что числа , где а и b —	целые	числа , дают одинаковые остатки при делении на 7 ? .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные	целые	числа ? .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие	целые	числа очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности .
Через год ошибка составит 0,25 суток , через два — 0,5 суток , через три — 0,75 суток , а через четыре « набегают » уже	целые	сутки .
Как показать , что формулы , где k — целое число , также задают все	целые	решения уравнения ? .
Найти сумму в которой в порядке убывания записаны все	целые	числа от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
Распространим понятие степени на	целые	показатели .
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие	целые числа	очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные	целые числа	? .
Так как х и у —	целые числа	, то из равенства следует , что целое число 3у делится без остатка на число 7 .
Начнём последовательно подставлять вместо х подряд все	целые числа	, начиная с х 0 .
8 Докажите , что если , где m и n —	целые числа	, то — целое число .
Рассмотрим , как найти одно из целочисленных решений уравнения вида где а , b , с — ненулевые	целые числа	, причём а и b взаимно просты .
Как доказать , что числа , где а и b —	целые числа	, дают одинаковые остатки при делении на 7 ? .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые	целые числа	, нетрудно найти все его целочисленные решения .
Найти сумму в которой в порядке убывания записаны все	целые числа	от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
1 Сформулируйте первое основное свойство степени с	целым	показателем .
Дополнительно в случае , когда d является	целым	положительным числом , его целая часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
3 Как определяется степень ненулевого числа а с	целым	отрицательным показателем ? .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося	целым	, определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Степень с	целым	показателем .
Возьмём положительную десятичную дробь , которая не является	целым	числом , например , а 42,4056 .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является	целым	, то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Заметим , что выполняется соотношение , то есть целая часть числа а является наибольшим	целым	числом , не превосходящим числа а .
Степень ненулевого числа а с отрицательным	целым	показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 .
6 У каких правильных n - угольников внутренние углы выражаются	целым	числом градусов ? .
Так как m является	целым	числом , то х 3т тоже целое число .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является	целым	, аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Глава 2 Степень с	целым	показателем .
3 Степень с	целым	показателем .
3 Сформулируйте и докажите третье основное свойство степени с	целым	показателем .
Почему первое основное свойство степени с	целым	показателем записывают только для ненулевого основания степени ? .
2 Сформулируйте второе основное свойство степени с	целым	показателем .
1.2 Какое из указанных чисел х является наименьшим	целым	числом , которое удовлетворяет неравенству .
В случае , когда 10 - 4 · d является	целым	положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Таким образом третье основное свойство степени с	целым	показателем доказано .
Какие свойства степени с	целым	показателем вы знаете ? .
В случае , когда 100d является	целым	положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
Возьмём положительную десятичную дробь , которая не является	целым числом	, например , а 42,4056 .
Так как m является	целым числом	, то х 3т тоже целое число .
1.2 Какое из указанных чисел х является наименьшим	целым числом	, которое удовлетворяет неравенству .
6 У каких правильных n - угольников внутренние углы выражаются	целым числом	градусов ? .
Заметим , что выполняется соотношение , то есть целая часть числа а является наибольшим	целым числом	, не превосходящим числа а .
Любое уравнение вида с	целыми	коэффициентами а , b , с имеет целочисленные решения , когда — взаимно простые числа .
Однако по условию задачи нам нужны не всякие решения уравнения , а только такие , в которых значения х и у одновременно являются неотрицательными	целыми	числами .
Рассмотрим произведения степеней одного числа с	целыми	показателями .
4.1 Произведение степеней с одинаковыми основаниями и	целыми	показателями .
4 Свойства степеней с	целыми	показателями .
2 Приведите пример уравнения с	целыми	коэффициентами и запишите все его целочисленные решения .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с	целыми	положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда значения измеряемых величин выражаются	целыми	числами , а само измерение сводится к счёту .
4.3 Второе основное свойство степени с	целыми	показателями .
4.2 Первое основное свойство степени с	целыми	показателями .
4.5 Третье основное свойство степени с	целыми	показателями .
20 Стороны треугольника в некоторых единицах измерения выражаются	целыми	чётными числами .
Докажите , что длины отрезков , на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны этого треугольника , выражаются	целыми	числами .
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда значения измеряемых величин выражаются	целыми числами	, а само измерение сводится к счёту .
1.3 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в	целых	числах .
Для произвольных	целых	показателей третье основное свойство также остаётся верным .
3.1 Решение линейного уравнения в	целых	числах .
1.4 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в	целых	числах .
Неужели в его электронной памяти записана полная восьмизначная таблица корней из всех	целых	чисел от 1 до 99 999 999 ?
17 Произведение двух последовательных	целых	чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых чисел .
Как иначе можно назвать множество всех	целых	положительных чисел ? .
Теорема Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению уравнения в	целых	числах .
В этой главе напоминается о степени числа , рассматриваются основные свойства степени и показывается , как понятие степени обобщается на случай	целых	и некоторых других показателей .
Такое же свойство выполняется для произвольных	целых	показателей тип .
17 Произведение двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных	целых	чисел .
Какими свойствами обладает понятие равенства	целых	и дробных чисел ? .
Разберём доказательство третьего основного свойства степени для	целых	показателей .
Решением уравнений в	целых	числах математики занимались с древних времён .
Запишем последовательно суммы для найденных неотрицательных	целых	решений : 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 .
Например , можно говорить о множестве всех	целых	чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
По очереди рассмотрели все возможные случаи знаков	целых	чисел р и д , и каждый раз выполнялось равенство , что и доказывает второе основное свойство степени .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в	целых	числах со значениями переменных х и у разных знаков ? .
В предыдущих пунктах на примерах показано , что для	целых	чисел выполняется равенство .
Аналогично для любого положительного числа определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других	целых	разрядных единиц .
Для произвольных	целых	показателей второе основное свойство степени также остаётся верным .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа а и любых	целых	чисел р и q ? .
Разберём доказательство второго основного свойства степени для	целых	показателей .
Для любого ненулевого числа а при любых	целых	значениях m и n выполняется равенство .
Таким образом , для	целых	показателей также остаётся верным первое основное свойство степени .
2.1 Какие из указанных пар являются записью всех целочисленных решений уравнения в	целых	числах ( m — переменная , принимающая все целые значения ) ? .
Упростите при	целых	значениях m выражение .
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в	целых	числах являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
Для любого ненулевого числа а при любых	целых	значениях тип выполняется равенство .
Например , можно говорить о множестве всех	целых чисел	, о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
17 Произведение двух последовательных	целых чисел	на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых чисел .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа а и любых	целых чисел	р и q ? .
Неужели в его электронной памяти записана полная восьмизначная таблица корней из всех	целых чисел	от 1 до 99 999 999 ?
17 Произведение двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных	целых чисел	.
В предыдущих пунктах на примерах показано , что для	целых чисел	выполняется равенство .
По очереди рассмотрели все возможные случаи знаков	целых чисел	р и д , и каждый раз выполнялось равенство , что и доказывает второе основное свойство степени .
1.4 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в	целых числах	.
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в	целых числах	являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
Решением уравнений в	целых числах	математики занимались с древних времён .
Теорема Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению уравнения в	целых числах	.
1.3 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в	целых числах	.
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в	целых числах	со значениями переменных х и у разных знаков ? .
Как построить	центр	вневписанной окружности ? .
Соединив отрезками	центр	О окружности с точками касания В и С , получим , что ОВ АВ , ОС АС .
В какую прямую при центральной симметрии переходит прямая , проходящая через	центр	симметрии ? .
12 Докажите , что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии , то фигура имеет и	центр	симметрии .
Пусть А , В , С — вершины заданного треугольника , О —	центр	окружности .
Докажите , что прямая , соединяющая точки касания , перпендикулярна прямой , соединяющей точку А и	центр	окружности .
Как показать , что отрезки касательных АВ и АС симметричны относительно прямой , проходящей через	центр	О и точку А ? .
10 Где расположен	центр	вневписанной окружности ? .
Действительно ,	центр	любой окружности , касающейся прямой l в точке К , обязан лежать на перпендикуляре s , проведённом к прямой l через точку К. Точка К служит началом двух лучей на прямой s , и на каждом из этих лучей можно отложить только по одному отрезку длины R .
фигура , составленная из шести окружностей , имеющих общий	центр	.
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через	центр	Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
1 Стороны двух квадратов , имеющих общий	центр	, пересекаются попарно в восьми точках .
3 Что такое	центр	симметрии ? .
Каждая из этих фигур имеет	центр	, при повороте вокруг которого на 180 ° фигура переходит сама в себя .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через	центр	Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
Параллелограмм ,	центр	симметрии .
2.2 Какие из указанных фигур могут иметь	центр	симметрии ? .
Возьмём , например , пятиугольник ABCDE , описанный около окружности радиуса R. Соединим	центр	окружности с вершинами и проведём радиусы ОН , ОМ , ON , OK , OL в точки касания .
Прямая m проходит через	центр	О1,а поэтому пересекает первую окружность в двух точках .
На каком расстоянии от прямой находится	центр	каждой из построенных окружностей ? .
найдите расстояние от точки А до	центра	окружности .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно	центра	симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно центра симметрии О .
Чему равны расстояния от	центра	О окружности до вершин трапеции ABCD ? .
Найдите расстояние от вершины угла до	центра	окружности , если расстояние от вершины угла до точки касания равно 2 см .
Возьмём четырёхугольник АВСМ Повернём его вокруг	центра	О шестиугольника на 60 ° по ходу часовой стрелки .
1.2 Какая из следующих фигур не имеет	центра	симметрии ? .
1.3 Окружность с центром О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от	центра	окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно	центра	О. Докажите , что общие точки фигур образуют центрально симметричную фигуру с центром О .
1 Точка А находится на расстоянии 10 см от	центра	окружности радиуса 1 см. Найдите длину отрезка касательной , проведённой из точки А к этой окружности .
В таком случае фигуру Ф1 называют центрально симметричной фигуре Ф2 относительно центра симметрии О. Соответственно фигуру Ф21 можно назвать центрально симметричной фигуре Ф1 относительно	центра	симметрии О .
27 В круге радиуса R по разные стороны от	центра	проведены две параллельные хорды длиной R и .
2.4 На плоскости заданы точки А и В , расстояние между которыми равно 3 см. С	центрами	А и В и радиусами R и r проводятся окружности и строится отрезок CD их общей внешней касательной .
Найдите расстояние между	центрами	окружностей , если АВ 8 см .
1.4 Чему равна длина общей хорды двух равных окружностей с радиусом 50 см , расстояние между	центрами	которых равно 60 см ? .
Соединим точки касания К и L с	центрами	соответствующих окружностей .
Найдите расстояние между	центрами	окружностей , если АВ 12 см .
Соединим точки касания с	центрами	соответствующих окружностей и рассмотрим четырёхугольник .
Сколько общих касательных можно провести к двум окружностям с радиусами 5 см и 3 см , расстояние между	центрами	которых равно 8 см ? .
7 Две окружности с	центрами	Ох и О2 пересекаются в двух различных точках А и В. Докажите , что треугольники О1АО2 и ОХВО2 равны .
5 К окружностям с	центрами	О1О2 и О2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внешняя касательная .
6 К окружностям с	центрами	О1 иО2 и радиусами R1 и R2 проводится общая внутренняя касательная .
2.3 Две неравные окружности с	центрами	Е и F касаются друг друга и касаются лучей с общей вершиной А. Какие из указанных треугольников являются равнобедренными ? .
Какую часть окружности образуют дуги , принадлежащие двум смежным углам с вершиной в	центре	окружности ? .
9 Как устанавливается соответствие между дугами окружности и плоскими углами с вершиной в	центре	окружности ? .
6 Приведите пример фигуры , имеющей бесконечное число	центров	симметрии .
1.4 Сколько	центров	симметрии может иметь фигура , составленная из двух отрезков ? .
1.2 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 6 см и окружность с	центром	F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Пусть задана окружность с	центром	О и два таких радиуса ОА и ОВ , что длина дуги АВ равна радиусу О А. В этом случае говорят , что величина плоского угла АОВ равна одному радиану .
1.2 В окружность с	центром	О вписан правильный n - угольник , одна из сторон которого — отрезок CD , и угол COD b 30 ° .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с центром в точке А и радиуса HF с	центром	в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
2.4 В окружность с	центром	О вписан некоторый правильный многоугольник , одной из сторон которого является отрезок АВ .
Выберем на сторонах PQ и QR заданного острого угла произвольные точки F и Н. На луче АВ отложим отрезок АК , равный QH , а затем в полуплоскости β проведём две полуокружности : радиуса QF с	центром	в точке А и радиуса HF с центром в точке К. Пусть L - точка пересечения этих полуокружностей .
Рассмотрим окружность с	центром	О и некоторый плоский угол АОВ с вершиной О. Этот угол содержит дугу данной окружности .
С	центром	в точке F и радиусом О1О2 проведём окружность .
Докажем , что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его	центром	симметрии .
1.3 Окружность с	центром	О и радиусом 3 см касается сторон угла с вершиной Р в точках А и В. Чему равно расстояние от центра окружности до вершины угла , если АР 5 см ? .
Пусть , например , нужно измерить в градусах плоский угол с вершиной В. Построим вспомогательную окружность с	центром	в точке В , пересекающую стороны угла в точках А и С. Если эту окружность разобьём на дуги , соответствующие одному градусу , то получим , что всей окружности соответствует 360 ° .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с центром в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с	центром	в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
Рассмотрим произвольную окружность радиуса г с	центром	О. Тогда любые два радиуса ОА и ОВ определяют некоторое разбиение окружности на две части .
Затем проведём окружность радиуса А2В2 и с	центром	в точке Р , а также окружность радиуса А3В3 с центром в точке Q По предположению , поэтому окружности пересекутся в двух точках R и R1 .
1.2 На плоскости заданы окружность с	центром	Е радиуса 6 см и окружность с центром F радиуса 8 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внешней касательной к окружностям .
Как вы знаете , уравнение в координатной плоскости является уравнением окружности с	центром	F(1;-1 ) и радиусом .
1.4 На плоскости заданы окружность с	центром	Е радиуса 2 см и окружность с центром F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
1.4 На плоскости заданы окружность с центром Е радиуса 2 см и окружность с	центром	F радиуса 6 см. Через центр Е меньшей окружности проводится прямая EN , которая параллельна общей внутренней касательной к окружностям .
Радиусом PQ описываем дугу с	центром	в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с центром в точке Q , где R — точка прямой CD .
Разберём , как построить окружность заданного радиуса R , которая касается данной прямой l в данной точке К. Для этого через К проведём перпендикуляр s к прямой l и с	центром	в точке К проведём окружность радиусом R. Точки пересечения окружности с перпендикуляром s обозначим О1 и О2 .
Радиусом PQ описываем дугу с центром в точке Р , и тем же радиусом описываем дугу PR с	центром	в точке Q , где R — точка прямой CD .
2 Для некоторой фигуры F1 построили центрально симметричную ей фигуру F2 относительно центра О. Докажите , что общие точки фигур образуют центрально симметричную фигуру с	центром	О .
1.2 Окружность с	центром	О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С , и известно , что ZBOC 120 ° .
Окружности радиуса R с	центром	в точках О1 и О2 будут искомыми , так как прямая l перпендикулярна радиусам О1К и О2К. Других окружностей , удовлетворяющих условиям задачи , нет .
11 Даны две окружности с общим	центром	.
Изображена окружность с	центром	О и прямая а , касающаяся окружности в точке В .
2.3 На плоскости построили три окружности с общим	центром	О и радиусами 3 см , 5 см и 8 см. Через точку О провели прямую .
Пусть А — точка вне окружности с	центром	О , АВ и АС — различные отрезки касательных к одной и той же окружности .
1.1 Прямая , содержащая отрезок АВ , касается в точке А окружности с	центром	О и радиусом 1,5 см. Чему равна длина отрезка АВ , если известно , что ОБ 2,5 см ? .
Графиком уравнения , то есть изображением множества всех решений этого уравнения на координатной плоскости , является окружность радиуса 5 с	центром	в начале координат .
Выберем на прямой а точку А , отличную от В. Отрезок АВ будем называть отрезком касательной , проведённой из точки А к окружности с	центром	О .
Проведём окружность с	центром	в точке Q радиуса А2В2 .
Докажите , что точка пересечения внешних касательных , точка пересечения внутренних касательных и	центры	кругов лежат на одной прямой .
Как доказать , что точка касания окружностей лежит на прямой , проходящей через	центры	окружностей ? .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма	цилиндра	с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное число , равное отношению длины окружности к её диаметру .
Для вычисления объёма	цилиндра	по радиусу основания и высоте .
Возьмём	четырёхугольник	АВСМ Повернём его вокруг центра О шестиугольника на 60 ° по ходу часовой стрелки .
Полученное свойство считают основным для параллелограмма и поэтому параллелограмм определяют как	четырёхугольник	, у которого каждая пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых .
Например ,	четырёхугольник	ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух плоских углов , образованных соседними сторонами ВС и CD , содержит только часть этого четырёхугольника .
3 Какой	четырёхугольник	называют невыпуклым ? .
Соединяя последовательно отрезками точки А , В , С и D , получим	четырёхугольник	.
2.3 При каких из указанных условий	четырёхугольник	ABCD обязательно является выпуклым ? .
Аналогично плоский угол BCD , содержащий	четырёхугольник	ABCD , равен сумме внутреннего угла ВСА треугольника АВС и внутреннего угла ACD треугольника .
Поэтому , соединяя последовательно отрезками точки А , В , С , D , получаем	четырёхугольник	.
Следовательно ,	четырёхугольник	НАВО2 является параллелограммом , у которого угол АНО2 равен 90 ° .
Трапецией называют	четырёхугольник	, у которого две противолежащие стороны параллельны , а две другие противолежащие стороны не параллельны .
Возьмём выпуклый четырёхугольник ABCD и проведём его диагональ , например диагональ АС , разрезающую	четырёхугольник	ABCD на два треугольника АВС и ADC .
2.2 Какую площадь может иметь невыпуклый	четырёхугольник	ABCD , если известно , что площадь треугольника АВС равна 28 см2 , площадь треугольника ADC равна 15 см2 ? .
В результате получим	четырёхугольник	ABCD , который имеет особое название — трапеция .
Далее , плоский угол BAD , содержащий	четырёхугольник	ABCD , равен сумме внутреннего угла ВАС треугольника АВС и внутреннего угла DAC треугольника ADC .
1 Как определяется	четырёхугольник	? .
2.1 Сколько тупых углов может иметь выпуклый	четырёхугольник	? .
2 Какой	четырёхугольник	называют выпуклым ? .
Рассмотрим невыпуклый	четырёхугольник	KLMN , диагональ КМ которого расположена внутри четырёхугольника .
Возьмём выпуклый	четырёхугольник	ABCD и проведём его диагональ , например диагональ АС , разрезающую четырёхугольник ABCD на два треугольника АВС и ADC .
В каких случаях	четырёхугольник	не является выпуклым ? .
Докажите , что	четырёхугольник	ABCD имеет ось симметрии .
Таким образом , получаем а поэтому	четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
Как объяснить , что	четырёхугольник	не может иметь двух внутренних углов , каждый из которых больше развёрнутого ? .
Однако , при соединении концов двух параллельных отрезков LK и DC равной длины может получиться не	четырёхугольник	.
Найдём площади треугольников , на которые диагоналями разбит	четырёхугольник	.
По признаку	четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
Докажите , что при любой его деформации в выпуклый четырёхугольник снова получится описанный	четырёхугольник	.
Как показать , что невыпуклый	четырёхугольник	имеет хотя бы один внутренний угол , больший 180 ° ? .
В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD выбраны соответственно точки М и К так , что . Докажите , что	четырёхугольник	MBKD — параллелограмм .
Докажите , что при любой его деформации в выпуклый	четырёхугольник	снова получится описанный четырёхугольник .
Докажите , что образующийся при этом	четырёхугольник	PQRS — квадрат .
Параллелограммом называется	четырёхугольник	, у которого противоположные стороны попарно параллельны .
2.2 В каком из перечисленных случаев	четырёхугольник	обязательно является параллелограммом ? .
1.2 В каком из перечисленных случаев можно сделать вывод , что	четырёхугольник	ABCD не является параллелограммом ? .
Рассмотрим описанный около окружности	четырёхугольник	ABCD и отметим точки касания К , L , М , N. Из теоремы об отрезках касательных получим равенства .
7 В каком случае в	четырёхугольник	нельзя вписать окружность ? .
Произвольный	четырёхугольник	можно превратить в равновеликий по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление площади четырёхугольника свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
1 Какой	четырёхугольник	называют трапецией ? .
Может показаться , что из приведённых рассуждений мы сразу же получаем	четырёхугольник	CDLK , который можно видеть .
1 Какой	четырёхугольник	называется параллелограммом ? .
Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны , то такой	четырёхугольник	— параллелограмм .
Следовательно , и по первому признаку можно сделать вывод , что	четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
В 5 классе , описывая различные виды четырёхугольников , мы сказали , что параллелограмм — это	четырёхугольник	, у которого противоположные стороны равны .
Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны , то такой	четырёхугольник	— параллелограмм .
По второму признаку	четырёхугольник	О1КLО2 — параллелограмм .
Соединим точки касания с центрами соответствующих окружностей и рассмотрим	четырёхугольник	.
5 Как превратить	четырёхугольник	в равновеликий ему треугольник ? .
2.2 В каких случаях невозможно построить описанный вокруг окружности	четырёхугольник	с заданными длинами сторон a , b , с , d ? .
Рассмотрим	четырёхугольник	ABCD .
В каждом выпуклом или невыпуклом четырёхугольнике можно провести диагональ , которая разбивает	четырёхугольник	на два треугольника .
18 Выпуклый	четырёхугольник	ABCD разбивается диагоналями на четыре треугольника ABM , ВСМ , CDM , ADM , площади которых соответственно равны S1 , S2 , S3 , S4 .
Как доказать , что	четырёхугольник	, у которого все стороны равны , является параллелограммом ? .
При каких из указанных значений оснований этот	четырёхугольник	не может быть выпуклым ? .
19 Выпуклый	четырёхугольник	разбили диагоналями на четыре треугольника , подсчитали площадь каждого из треугольников и получили следующие значения : 1994 см2 , 1995 см2 , 1996 см2 , 1997 см2 .
Точка С перейдёт в точку D и середина отрезка CD перейдёт в середину отрезка DE , то	четырёхугольник	АВСМ при указанном повороте займёт положение четырёхугольника BCDN .
2.3 Какие свойства из перечисленных могут иметь и некоторый параллелограмм , и некоторый	четырёхугольник	, не являющийся параллелограммом ? .
2.4 При каких из указанных условий	четырёхугольник	ABCD обязательно будет равнобедренной трапецией ? .
Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам , то такой	четырёхугольник	— параллелограмм .
неравносторонний треугольник . 2 )	четырёхугольник	, не являющийся параллелограммом .
По признаку	четырёхугольник	MNKL является параллелограммом , что и требовалось установить .
Рассмотрим невыпуклый	четырёхугольник	ABCD .
Обозначим буквой К точку пересечения прямых m и l Так как ,	четырёхугольник	AMКС — параллелограмм .
угол . 2 ) треугольник с двумя неравными сторонами . 3 ) треугольник с двумя неравными углами . 4 )	четырёхугольник	с двумя равными сторонами .
Четырёхугольник EFGH окажется в одной полуплоскости относительно этой прямой , то есть прямая не разделяет	четырёхугольник	на две части .
луч ; 2 ) треугольник ; 3 )	четырёхугольник	; 4 ) шестиугольник .
Рассмотрим	четырёхугольник	MNKL .
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет	четырёхугольник	на две части , то есть некоторые две вершины четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
Докажите , что	четырёхугольник	BKDL — параллелограмм .
Разобьём выпуклый	четырёхугольник	ABCD диагональю АС на два треугольника АВС и ADC .
В результате , по соответствующему признаку , получаем , что	четырёхугольник	MKLN — параллелограмм .
Таким способом можно получить , например ,	четырёхугольник	ABCD .
Возьмём произвольный	четырёхугольник	ABCD .
Вспомним , как получается	четырёхугольник	.
Рассмотрим	четырёхугольник	EFGH .
Прямая , проведённая через сторону ML , разделит	четырёхугольник	на две части .
Разобьём	четырёхугольник	ABCD на два треугольника .
Иногда говорят , что	четырёхугольник	MNKL — невыпуклый четырёхугольник .
Возьмём сначала полуплоскость α с границей АВ , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость β с границей ВС , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость γ с границей CD , содержащую четырёхугольник ABCD , и , наконец , полуплоскость δ с границей AD , содержащую	четырёхугольник	ABCD .
Возьмём сначала полуплоскость α с границей АВ , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость β с границей ВС , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость γ с границей CD , содержащую	четырёхугольник	ABCD , и , наконец , полуплоскость δ с границей AD , содержащую четырёхугольник ABCD .
Как доказать , что	четырёхугольник	ABCD не является прямоугольником ? .
Сам	четырёхугольник	называют границей своей четырёхугольной области .
1.4 Имеются	четырёхугольник	и ещё две прямые .
7 Построить	четырёхугольник	, равновеликий заданному пятиугольнику .
Возьмём сначала полуплоскость α с границей АВ , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость β с границей ВС , содержащую	четырёхугольник	ABCD , затем полуплоскость γ с границей CD , содержащую четырёхугольник ABCD , и , наконец , полуплоскость δ с границей AD , содержащую четырёхугольник ABCD .
Поэтому	четырёхугольник	MNKL не является выпуклым .
Докажите , что полученная ломаная делит	четырёхугольник	на две равные по площади части .
Возьмём сначала полуплоскость α с границей АВ , содержащую	четырёхугольник	ABCD , затем полуплоскость β с границей ВС , содержащую четырёхугольник ABCD , затем полуплоскость γ с границей CD , содержащую четырёхугольник ABCD , и , наконец , полуплоскость δ с границей AD , содержащую четырёхугольник ABCD .
Иногда говорят , что четырёхугольник MNKL — невыпуклый	четырёхугольник	.
Рассмотрим выпуклый	четырёхугольник	ABCD .
Как было доказано ,	четырёхугольник	AMКС — параллелограмм , а треугольники MBN и KCN равны .
Рассматривалось несколько способов нахождения суммы величин углов конкретного	четырёхугольника	.
Отсюда следует , что сумму всех внутренних углов пятиугольника можно найти , если сложить сумму всех углов треугольника АВС и сумму всех углов	четырёхугольника	ACDE .
11 Докажите теорему о сумме внутренних углов любого	четырёхугольника	.
3 Докажите , что диагонали невыпуклого	четырёхугольника	не пересекаются , а диагонали любого выпуклого четырёхугольника пересекаются .
Аналогично определяется внутренний угол при любой другой вершине выпуклого	четырёхугольника	.
10 Чему равна сумма внешних углов выпуклого	четырёхугольника	, взятых по одному при каждой вершине ? .
1.5 Сумма углов выпуклого	четырёхугольника	.
3 Докажите , что диагонали невыпуклого четырёхугольника не пересекаются , а диагонали любого выпуклого	четырёхугольника	пересекаются .
То же значение суммы , равное 360 ° , получится для любого выпуклого	четырёхугольника	.
Как задать внутренний угол выпуклого	четырёхугольника	пересечением полуплоскостей ? .
Каждый внутренний угол выпуклого	четырёхугольника	имеет градусную меру от 0 ° до 180 ° .
Чему равна площадь	четырёхугольника	ABCD , выраженная через площадь квадрата клетчатой бумаги ? .
Проведя отрезок BD , получим диагональ	четырёхугольника	ABCD , которая проходит внутри четырёхугольника .
Сумма величин всех внутренних углов выпуклого	четырёхугольника	равна 360 ° .
Тем самым вычисление площади	четырёхугольника	можно свести к задаче на вычисление площадей треугольников .
Вычисление площади	четырёхугольника	.
2 Площадь	четырёхугольника	.
Сумма трёх из четырёх углов	четырёхугольника	равна 270 ° .
2.2 Даны величины трёх внутренних углов	четырёхугольника	.
Чему равна величина четвёртого внутреннего угла этого	четырёхугольника	? .
Внутренним углом этого	четырёхугольника	при вершине М будем считать сумму внутреннего угла NMK треугольника MNK и внутреннего угла KML треугольника MLK Величину угла LMN определяем как сумму величин углов NMK и KML , то есть .
6 Внутри выпуклого	четырёхугольника	ABCD найдите точку М такую , что сумма принимает наименьшее значение .
1.2 Точки А , В , С , D являются вершинами невыпуклого	четырёхугольника	.
Внутренний угол	четырёхугольника	.
Вершинами какого	четырёхугольника	являются концы двух различных высот трапеции ? .
11 Найдите условие , при котором середины сторон	четырёхугольника	являются : а ) вершинами ромба ; б ) вершинами прямоугольника .
5 Чему равна сумма углов	четырёхугольника	? .
Общие точки всех полуплоскостей α , β , γ , δ лежат либо внутри	четырёхугольника	ABCD , либо на его границе .
6 Точки Μ , Ν , К , L расположены на сторонах	четырёхугольника	ABCD так , что . Докажите , что MNKL — параллелограмм .
3 Диагонали параллелограмма равны 5 см и 9 см. Найдите периметр	четырёхугольника	с вершинами в серединах сторон параллелограмма .
8 Найдите внутренние углы выпуклого	четырёхугольника	ABCD , если известно , что .
Внешний угол выпуклого	четырёхугольника	.
Покажем , что середины сторон этого	четырёхугольника	являются вершинами параллелограмма .
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180 ° , а сумма углов	четырёхугольника	равна 360 ° , то сумма внутренних углов пятиугольника равна .
Аналогично определяют внутренние углы и для выпуклого	четырёхугольника	.
Внешним углом выпуклого	четырёхугольника	называют угол , смежный внутреннему углу четырёхугольника .
Через сторону	четырёхугольника	EFGH проведём прямую .
1.9 Сумма внешних углов выпуклого	четырёхугольника	.
Сумма внутренних углов любого	четырёхугольника	равна 360 ° .
3.4 Примеры нахождения суммы углов	четырёхугольника	.
Четырёхугольник называется выпуклым , если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой , содержащей сторону	четырёхугольника	.
Покажем , как можно найти сумму углов	четырёхугольника	ABCD .
Из определения внутренних углов четырёхугольника следует , что сумма величин внутренних углов	четырёхугольника	KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
Что вы можете сказать о диагоналях невыпуклого	четырёхугольника	? .
Сумма S углов	четырёхугольника	равна сумме По свойствам параллельных прямых выполняются равенства .
Поставим внутри	четырёхугольника	точку О .
Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник KLMN , диагональ КМ которого расположена внутри	четырёхугольника	.
Сумма S углов	четырёхугольника	ABCD равна сумме .
1.4 Внутренние углы выпуклого	четырёхугольника	.
Сумма S углов	четырёхугольника	равна .
9 Какой угол называют внешним углом выпуклого	четырёхугольника	? .
Внешним углом выпуклого четырёхугольника называют угол , смежный внутреннему углу	четырёхугольника	.
Выбранные точки называют вершинами	четырёхугольника	, а проведённые отрезки — сторонами четырёхугольника .
6 Середина одной из диагоналей выпуклого	четырёхугольника	соединена с концами другой диагонали .
7 Чему равна сумма внутренних углов выпуклого	четырёхугольника	? .
Внутренним углом этого	четырёхугольника	при вершине К будем считать сумму внутреннего угла NKM треугольника MNK и внутреннего угла MKL треугольника MLK .
6 Как определяются внутренние углы невыпуклого	четырёхугольника	? .
5 Что такое внутренний угол	четырёхугольника	? .
Найдите площадь	четырёхугольника	MNKL .
Верно ли , что если у	четырёхугольника	ABCD равны стороны АВ и ΑΌ и равны стороны ВС и CD , то диагональ АС — биссектриса углов А и С ? .
Сумма внешних углов выпуклого	четырёхугольника	, взятых по одному при каждой вершине , равна 360 ° .
Найдите площадь	четырёхугольника	ABCD , если AF b 5 см , FD b 3 см .
В скобках стоит сумма всех внутренних углов	четырёхугольника	, которая равна 360 ° .
1.5 Свойство середин сторон произвольного	четырёхугольника	.
Внутренним углом	четырёхугольника	ABCD при вершине А называют плоский угол , содержащий многоугольник ABCD , сторонами которого являются лучи АВ и AD .
Рассмотрим вершину А выпуклого	четырёхугольника	ABCD .
1.8 Сумма внутренних углов любого	четырёхугольника	.
При каждой вершине найдутся два внешних угла	четырёхугольника	, равных по величине .
Выбранные точки называют вершинами четырёхугольника , а проведённые отрезки — сторонами	четырёхугольника	.
Чему равна площадь	четырёхугольника	ABCD , у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 см и 7 см ? .
Из определения внутренних углов	четырёхугольника	следует , что сумма величин внутренних углов четырёхугольника KLMN равна сумме величин всех внутренних углов треугольников MNK и MLK , то есть равна .
По свойству описанного	четырёхугольника	получим и поэтому периметр будет равен Отсюда .
6 Каким свойством обладают суммы длин противоположных сторон описанного	четырёхугольника	? .
4 Как можно вычислить площадь	четырёхугольника	? .
Вершинами какого	четырёхугольника	являются эти точки ? .
1 Известно , что ZADB ZDCB 90 ° , AD 12 см , АВ 13 см , ВС 3 см. Найдите площадь	четырёхугольника	ABCD .
у	четырёхугольника	имеются две пары равных противоположных углов .
1.1 Какое из перечисленных свойств	четырёхугольника	является признаком параллелограмма ? .
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из площади четырёхугольника BCDM площадь	четырёхугольника	BCML .
Угол внутренний	четырёхугольника	.
Найдите углы	четырёхугольника	MNKL , если известны углы .
Докажите , что площадь	четырёхугольника	PMQN равна сумме площадей треугольников АВР и CDQ .
Площадь четырёхугольника LNDM можно получить , вычитая из площади	четырёхугольника	BCDM площадь четырёхугольника BCML .
20 Точки М и N — середины сторон ВС и AD	четырёхугольника	ABCD .
Произвольный четырёхугольник можно превратить в равновеликий по площади треугольник и тем самым задачу на вычисление площади	четырёхугольника	свести к задаче на вычисление площади одного треугольника .
Например , четырёхугольник ABCD обладает тем свойством , что каждый из двух плоских углов , образованных соседними сторонами ВС и CD , содержит только часть этого	четырёхугольника	.
Точка С перейдёт в точку D и середина отрезка CD перейдёт в середину отрезка DE , то четырёхугольник АВСМ при указанном повороте займёт положение	четырёхугольника	BCDN .
Суммы длин противоположных сторон описанного около окружности	четырёхугольника	равны между собой .
Следовательно , площадь	четырёхугольника	ABCD равна площади треугольника BPD .
Сумма выпуклого	четырёхугольника	.
у	четырёхугольника	имеются две пары равных противоположных сторон .
Внутренний угол АВС этого	четырёхугольника	тот же , что и внутренний угол АВС треугольника АВС .
у	четырёхугольника	имеются две пары равных углов .
Аналогично внутренний угол ADC этого	четырёхугольника	тот же , что и внутренний угол ADC треугольника ADC .
Как для невыпуклого	четырёхугольника	ABCD получить равновеликий ему треугольник ? .
1 ) у	четырёхугольника	имеются две пары равных сторон .
Найдётся такая сторона четырёхугольника , что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две вершины	четырёхугольника	попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
Проведём отрезки AM и BN , пересекающиеся в точке L. Докажем , что площадь	четырёхугольника	LNDM равна площади треугольника ABL .
1.2 Чему равна площадь	четырёхугольника	, составленного из двух равнобедренных треугольников с общим основанием 6 см и проведёнными к нему высотами 5 см и 7 см ? .
Найдётся такая сторона	четырёхугольника	, что проведённая по ней прямая разделяет четырёхугольник на две части , то есть некоторые две вершины четырёхугольника попадают в различные полуплоскости относительно прямой а .
1.3 В каком из перечисленных случаев можно сделать вывод , что у	четырёхугольника	ABCD имеются две параллельные стороны ? .
Рассмотрим другой способ вычисления величин внутренних углов выпуклого	четырёхугольника	.
1.7 Свойство	четырёхугольника	, описанного около окружности .
Свойство описанного	четырёхугольника	.
1.3 В треугольнике АВС , площадь которого равна 54 см2 , медианы пересекаются в точке Р. Чему равна площадь невыпуклого	четырёхугольника	АРВС ? .
23 Окружность касается трёх сторон	четырёхугольника	ABCD и не пересекает сторону CD , как изображено .
Однако подобное определение не годится для невыпуклого	четырёхугольника	.
Как вы понимаете слова « внутренние точки	четырёхугольника	» ? .
Найдите площадь	четырёхугольника	ABMN .
Другая диагональ АС проходит вне	четырёхугольника	ABCD .
Площадь треугольника ABL можно получить , вычитая из площади четырёхугольника АВСМ площадь	четырёхугольника	BCML .
Проведя отрезок BD , получим диагональ четырёхугольника ABCD , которая проходит внутри	четырёхугольника	.
Поэтому у	четырёхугольника	НАВО2 стороны НА и О2В равны R2 и по построению параллельны .
Площадь	четырёхугольника	.
24 Окружность касается трёх сторон	четырёхугольника	ABCD и пересекает сторону CD в двух различных точках , как изображено .
Внутренним углом этого	четырёхугольника	при вершине N будем считать внутренний угол MNK треугольника MNK ; внутренним углом при вершине L будем считать внутренний угол MLK треугольника MLK .
26 Стороны описанного	четырёхугольника	ABCD в вершинах соединены шарнирами .
Точки М на стороне АВ и N на стороне АС расположены так , что AM 3 см , AN 4 см. Найдите площадь	четырёхугольника	BMNC .
5 Сколько плоских углов образуют все пары соседних сторон	четырёхугольника	? .
Эту теорему иногда формулируют так : Сумма всех внутренних углов выпуклого	четырёхугольника	равна 360 ° .
Этот подход применим к определению внутренних углов невыпуклого	четырёхугольника	.
Сколько плоских углов образуют все пары соседних сторон	четырёхугольника	? .
Аналогично определялись внутренние углы выпуклого	четырёхугольника	.
25 Докажите , что если у выпуклого	четырёхугольника	суммы длин противоположных сторон равны , то в него можно вписать окружность .
Площадь	четырёхугольника	LNDM можно получить , вычитая из площади четырёхугольника BCDM площадь четырёхугольника BCML .
12 В треугольнике АВС известны АВ с , АС b и площадь S. Точки М на луче АВ и N на луче АС расположены так , что AM m , AN n . Найдите площадь	четырёхугольника	с вершинами В , С , М , N .
1.7 Внутренние углы невыпуклого	четырёхугольника	.
1.2 В невыпуклом	четырёхугольнике	ABCD один из внутренних углов равен 210 ° , остальные три внутренних угла равны между собой .
1.4 В выпуклом	четырёхугольнике	три внешних угла равны по 100 ° .
Если в	четырёхугольнике	диагонали в точке пересечения делятся пополам , то такой четырёхугольник — параллелограмм .
В каждом выпуклом или невыпуклом	четырёхугольнике	можно провести диагональ , которая разбивает четырёхугольник на два треугольника .
Рассмотрим в выпуклом	четырёхугольнике	ABCD по одному внешнему углу при каждой вершине .
Докажите , что	четырёхугольники	AOKD и КОРL тоже параллелограммы .
Какие	четырёхугольники	, имеющие особые названия , вы знаете ? .
Следовательно ,	четырёхугольники	АВСМ и BCDN равны , а поэтому их площади тоже равны .
Из построения следует , что	четырёхугольники	АВР К и BCQP — параллелограммы .
1.2 Выпуклые и невыпуклые	четырёхугольники	.
В 5 классе , описывая различные виды	четырёхугольников	, мы сказали , что параллелограмм — это четырёхугольник , у которого противоположные стороны равны .
Сколько всего различных невыпуклых	четырёхугольников	можно получить , по - разному соединяя эти точки ? .
1 Докажите , что параллелограмм является выпуклым	четырёхугольником	.
2 Докажите , что трапеция является выпуклым	четырёхугольником	.
Построение треугольника равновеликого	четырёхугольнику	.
7 Постройте параллелограмм , равновеликий заданному	четырёхугольнику	.
2.2 Построение треугольника , равновеликого заданному	четырёхугольнику	.
Предположим , что некоторые два из этих	чисел	дают одинаковые остатки при делении на 7 , то есть .
2 Запишите формулу квадрата разности двух	чисел	.
1 Запишите формулу квадрата суммы двух	чисел	.
С другой стороны , разность	чисел	равна .
Тогда разность	чисел	33 - 5к и 33 - 51 должна делиться на 7 , потому что .
В результате появляется последовательность	чисел	, расположенных в таком порядке .
Разбирая примеры на решение линейных неравенств , можно было видеть , что ответом является множество	чисел	.
Например , можно говорить о множестве всех целых	чисел	, о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
Не вводя общего понятия множества , будем называть этим словом произвольный набор	чисел	, а также произвольный набор точек числовой прямой .
2.4 Какие строки	чисел	представляют собой строки коэффициентов разложения ( а - b)n для некоторого n ? .
1.4 Пары	чисел	, где m — целое число , являются решением уравнения в целых числах .
Аналогично для каждого числа а можно взять и получить пару	чисел	, являющуюся решением начальной системы .
Как показать , что найденная пара	чисел	( х ; у ) является решением системы ? .
При этом пара	чисел	удовлетворяет как первому , так и второму уравнению начальной системы .
4 Чему равна абсолютная величина произведения двух	чисел	? .
5 Каковы свойства	чисел	арифметического треугольника ? .
Действительно , произведение нескольких	чисел	может равняться нулю только в том случае , когда один из множителей равен нулю .
8 Известно , что сумма всех нечётных натуральных	чисел	, меньших 100 , равна 502 .
1.4 Чему равна сумма первых 50 нечётных	чисел	? .
Из свойств умножения следует , что произведение двух	чисел	только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
2.2 Целые части каких из следующих	чисел	являются приближениями сверху для соответствующих обыкновенных дробей ? .
2.3 Дробные части каких из следующих	чисел	являются десятичными приближениями снизу до третьего знака после запятой соответствующих обыкновенных дробей ? .
Следовательно , множеством решений неравенства является множество всех	чисел	, каждое из которых больше 5 .
Число 5 и каждое из	чисел	, меньшее 5 , не является решением неравенства .
Таким образом , пара	чисел	( 4 ; 1 ) является целочисленным решением уравнения .
1.1 Какое число является одновременно приближением снизу для	чисел	2,36 и 2,40 ? .
Какими свойствами обладает понятие равенства целых и дробных	чисел	? .
Обозначим через р наибольшее из	чисел	.
2.3 Какие из указанных неравенств выполняются для любых	чисел	а и b ? .
2 Найдите какие - нибудь приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 для	чисел	.
1.2 Какое из указанных	чисел	больше -1/3но меньше -1/5 ? .
11 Приведите примеры положительного и отрицательного	чисел	, таких , что .
6 Для каких пар	чисел	, приведённых в таблице , выполняется неравенство а > b ?
5 Приведите примеры	чисел	а и b , для которых одновременно выполняются неравенства а2 < b2 и а > b .
3 Сумма двух	чисел	равна 407 , причём первое слагаемое в 10 раз больше , чем второе .
Если точка А имеет координаты А(а ; b ) , то для	чисел	а и b выполняются равенства .
17 Произведение двух последовательных целых	чисел	на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых чисел .
10 Как записать все пары	чисел	, которые являются решениями системы .
Найдём сумму	чисел	и оценим абсолютную погрешность результата .
15 Знаки чисел а и b противоположны и модули	чисел	не равны между собой .
15 Знаки	чисел	а и b противоположны и модули чисел не равны между собой .
9 Что можно сказать о знаках	чисел	а и b , если .
Запишем уравнение в виде и рассмотрим 7	чисел	.
Таким образом , решениями уравнения являются пары и вообще пара	чисел	вида ( а ; 2 ) для любого числа а .
Других корней нет , потому что если произведение двух	чисел	равняется нулю , то хотя бы один из сомножителей равен нулю .
2.3 Какие из следующих	чисел	являются результатом округления числа 11,168 до некоторого разряда ? .
Как проверить , что при а 1 пара	чисел	является решением системы из примера 2 ? .
2.2 Для каких из указанных	чисел	результатом округления до третьего разряда после запятой будет число -0,047 ? .
1 Будет ли указанная пара	чисел	( х0 ; у0 ) решением системы ? .
2 Дан набор следующих пар	чисел	.
Какие из приведённых	чисел	не могут быть точным значением измеряемой величины ? .
Следовательно , любая пара	чисел	вида , где b — произвольное число , является решением уравнения .
Понятие равносильности неравенств обладает свойствами , похожими на свойства равенства	чисел	.
17 Произведение двух последовательных целых чисел на 14 меньше , чем произведение следующих двух последовательных целых	чисел	.
2.1 Для каких из указанных	чисел	результатом округления до третьего разряда после запятой будет число 23,456 ? .
Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух	чисел	а и b , чтобы получить формулу для куба суммы этих чисел .
В случае системы линейных уравнений ( 5 ) пара	чисел	( х0 ; у0 ) является решением , если одновременно выполняются равенства .
Для сокращения записи суммы нескольких одинаковых	чисел	используют операцию умножения .
Чтобы сократить запись произведения нескольких одинаковых	чисел	, это число записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых сомножителей в произведении .
Через [ 2 ; 3 ) обозначим множество всех	чисел	х , для которых одновременно выполняются неравенства 2 < х и х < 3 .
Чему равна сумма первых натуральных	чисел	? .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара	чисел	( 8 ; 17 ) .
2.1 Какие из приведённых наборов	чисел	, записанных в указанном порядке , являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии ? .
2.3 Какие из приведённых	чисел	являются членами арифметической прогрессии с общим членом .
Через [ 2 ; 3 ] обозначим множество всех	чисел	х , для которых одновременно выполняются неравенства .
Последовательность	чисел	.
Чему равно произведение	чисел	, одно из которых равно трём в девяносто девятой степени , а другое равно трём в степени сто один ? .
Для отрицательных	чисел	геометрической аналогии с кубами и квадратами нет .
4 Найдите приближённые значения квадратных корней из следующих	чисел	и оцените абсолютные погрешности результата вычислений .
1.2 Чему равно произведение первых трёх	чисел	из последовательности степеней числа 2 ? .
2 Сколько битов понадобится для записи	чисел	.
1 С помощью калькулятора найдите квадратные корни из	чисел	.
1)на 3 ; 2 ) на 4 ; 3 ) на 5 ; 4 ) на 6 . 2.2 Среди следующих	чисел	укажите числа , равные некоторым степеням числа 0,5 : 1)0,5 ; 2)0,25 ; 3)0,75 ; 4)1 .
4 Чему равен квадратный корень из произведения двух положительных	чисел	? .
2.3 Степень произведения двух	чисел	.
Рассмотрим степень произведения двух	чисел	.
В результате видно , что число ( 2 · 3)4 равно произведению	чисел	24 и 34 , то есть .
Для любых	чисел	а и b и любого натурального числа n выполняется равенство .
Следовательно , пара	чисел	( р - 4 ; q - 1 ) является решением уравнения или уравнения 7х -5у .
Это свойство можно сформулировать так : n - я степень произведения двух	чисел	равна произведению n - х степеней сомножителей .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара чисел ( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара	чисел	( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
Через ( 2 ; 3 ] обозначим множество всех	чисел	х , для которых одновременно выполняются неравенства .
Через ( 2 ; 3 ) обозначим множество всех	чисел	х , для которых одновременно выполняются неравенства .
Решением ( х ; z ) для первой системы является пара	чисел	( 113 ; 112 ) , для второй системы — пара чисел ( 36 ; 39 ) , для третьей системы — пара чисел ( 8 ; 17 ) .
а ) сумму всех чётных	чисел	, меньших чем 101 . б ) сумму всех натуральных чисел , меньших чем 101 .
4 Найдите сумму всех последовательных натуральных	чисел	.
5 Чему равна сумма первых n натуральных	чисел	? .
1.3 Какое из	чисел	одновременно удовлетворяет неравенствам .
а ) сумму всех чётных чисел , меньших чем 101 . б ) сумму всех натуральных	чисел	, меньших чем 101 .
Как показать , что для любого натурального числа n сумма первых n нечётных	чисел	равна n2 ? .
1.2 Какое из указанных	чисел	х является наименьшим целым числом , которое удовлетворяет неравенству .
Таким образом , сумма первых 100 нечётных	чисел	равна 1002 .
12 Докажите , что для любых положительных	чисел	a и b верно неравенство .
сумму всех натуральных	чисел	, меньших чем 51 ? .
Вычислить сумму всех натуральных нечетных	чисел	от 1 до 199 включительно .
Чему равно произведение	чисел	250 и 550 ? .
Для любых положительных	чисел	а , b , с и d , если .
Для любых	чисел	из неравенств после сложения левых и правых частей этих неравенств получаем неравенство или .
Отсюда следует , что последовательность	чисел	a1 а2 , а3 , является арифметической прогрессией с первым членом и разностью .
Для любых	чисел	.
Для натуральных	чисел	z , х справедливо неравенство .
2.1 Какие из указанных	чисел	являются приближёнными значениями 3 с избытком ? .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх	чисел	первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Сумма	чисел	разных знаков может быть отрицательной , положительной или нулём .
Найденные значения для х и у можно записать в виде пары	чисел	( 40 ; 50 ) , которая является решением системы .
2.1 Какие из	чисел	одновременно удовлетворяют неравенствам .
2.4 Какие из приведённых утверждений не выполняются при некоторых значениях	чисел	а , b и с ? .
Аналогично для	чисел	а и b , таких , что , можно рассматривать промежутки .
Поэтому для любых	чисел	а , b и с выполняется неравенство .
3 ) В каждой строке , начиная с номера 2 , всякое число строки , кроме начального и последнего , получается сложением находящихся слева и справа от него двух	чисел	предыдущей строки .
2.6 Степень отношения двух	чисел	.
Рассмотрим отношение степеней двух	чисел	с равными показателями , например .
Доказательство этой теоремы сложное , опирается на некоторые свойства действительных	чисел	, поэтому разбирать доказательство мы не будем .
Разберём доказательство теоремы из предыдущего пункта для случая , когда на одной стороне угла откладываются отрезки , отношение длин которых равно отношению натуральных	чисел	.
5 Докажите , что для неотрицательных	чисел	а и b .
2 Покажите , как выполняя последовательно арифметические операции , из букв и	чисел	получить выражения .
Два всюду определённых буквенных выражения называются тождественно равными , если равны значения этих выражений при подстановке вместо букв любых наборов	чисел	.
Формула суммы первых n натуральных	чисел	.
Напомним , что для	чисел	выполняется такое свойство равенства .
Для	чисел	выполняется такое свойство равенства .
Значит , одно из записанных	чисел	при делении на 7 даёт остаток 0 , то есть делится на 7 .
В правой части приведённых формул стоят произведения	чисел	, постоянных и переменных букв .
Числа , буквы и буквенные выражения , которые являются произведением	чисел	и букв , будем называть одночленами .
Как иначе можно назвать множество всех целых положительных	чисел	? .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек числовой прямой с целыми положительными координатами , о множестве	чисел	х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
1.3 Пары	чисел	, где m — целое число , являются решением уравнения в целых числах .
Это тождество иногда называют формулой сокращенного возведения суммы двух	чисел	в квадрат или формулой квадрата суммы .
По свойству площадей получаем формулу , совпадающую с формулой квадрата суммы двух	чисел	.
Формулы квадрата суммы или разности двух	чисел	иногда удобно применять при возведении чисел в квадрат .
Формулы квадрата суммы или разности двух чисел иногда удобно применять при возведении	чисел	в квадрат .
Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух чисел а и b , чтобы получить формулу для куба суммы этих	чисел	.
Как можно получить формулу для куба разности двух	чисел	тип , то есть .
5.5 Геометрическая иллюстрация куба суммы двух	чисел	.
Воспользуемся формулой для куба суммы двух	чисел	а и b , чтобы получить формулу .
Следовательно , предположение о том , что некоторые два из	чисел	вида при дают одинаковые остатки при делении на 7 , было неверным .
4 Как возводить в целую степень частное двух ненулевых	чисел	? .
Является ли пара	чисел	решением уравнения ? .
Целая степень отношения двух	чисел	.
Как доказать , что для любых ненулевых	чисел	.
Разные искусственные приёмы позволяют использовать формулу ( 2 ) для извлечения квадратных корней чуть ли не из любых положительных	чисел	.
Степень отношения двух	чисел	равна отношению степени числителя к степени знаменателя .
4 Сформулируйте свойство степени частного двух	чисел	.
Преобразуем подкоренное выражение , выделив в нём квадрат суммы двух	чисел	.
Какие из следующих	чисел	больше 1 ? .
Сначала научимся извлекать корни из	чисел	, близких к единице .
Иногда , как и для положительных	чисел	, знак в обозначении опускают .
Почему степени с отрицательным показателем определяются только для ненулевых	чисел	? .
Последовательность ненулевых	чисел	называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же число q , не равное нулю .
Неужели в его электронной памяти записана полная восьмизначная таблица корней из всех целых	чисел	от 1 до 99 999 999 ?
Примеры десятичных приближений отрицательных	чисел	.
Для положительных	чисел	а и b произведение а b можно записать в виде .
Поэтому эти последовательно записанные шесть	чисел	являются начальными членами геометрической прогрессии .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность	чисел	аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля число , называемое знаменателем геометрической прогрессии .
Среди приведённых	чисел	укажите наименьшее .
Поэтому пару	чисел	1 и 7/3 называют решением уравнения и обычно записывают в виде .
Поскольку произведение нескольких	чисел	может равняться нулю только в том случае , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю , то и произведение равно 0 только в том случае , когда .
В предыдущих пунктах на примерах показано , что для целых	чисел	выполняется равенство .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа а и любых целых	чисел	р и q ? .
По очереди рассмотрели все возможные случаи знаков целых	чисел	р и д , и каждый раз выполнялось равенство , что и доказывает второе основное свойство степени .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных	чисел	а и b и натурального числа n .
Для любых ненулевых	чисел	а и b при любом целом значении m выполняется равенство .
3 Как применять формулу для приближённого вычисления частного двух близких друг к другу	чисел	? .
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется такая пара	чисел	( х0 ; у0 ) , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих неизвестных х и у получаются числовые равенства .
В отдельных случаях , например для	чисел	4 , 16 , 25 и некоторых других , калькулятор вообще укажет точные значения квадратных корней 2 , 4 , 5 и так далее .
В 5 классе вы узнали , что последняя цифра у произведения двух	чисел	такая же , как у произведения их последних цифр .
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом и разностью , то есть последовательность натуральных	чисел	.
Выяснить , какое из	чисел	: больше другого .
Это значит , что не существует пар	чисел	( а ; b ) которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям системы , то есть наша система уравнений не имеет решений .
9 Когда отношение двух ненулевых	чисел	отрицательно ? .
3.7 Примеры округления отрицательных	чисел	.
4 Какой знак имеет сумма положительных	чисел	? .
Проверкой можем убедиться , что пара	чисел	является точным решением начальной системы .
1.3 Сумма двух	чисел	разного знака .
Целочисленным решением уравнения является любая пара	чисел	, где m — произвольное целое число .
Для сравнения между собой обратных к ним	чисел	1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства домножить на ненулевое число В результате может получиться одно из двух неравенств .
Корень какого уравнения равен разности а - b двух	чисел	? .
8 Когда отношение двух ненулевых	чисел	положительно ? .
7 Когда произведение двух	чисел	отрицательно ? .
Какое из двух	чисел	: а или b , больше другого , если .
6 Когда произведение двух	чисел	положительно ? .
Таким образом , сумма двух	чисел	разного знака может оказаться или положительной , или отрицательной , или равной нулю .
Для любых	чисел	а , b и любого положительного числа с имеет место свойство : если а и с , то .
Для любых	чисел	а , b и любого отрицательного числа с имеет место свойство .
Далее , произведение положительных	чисел	положительно , поэтому .
Тогда его решением является любая пара	чисел	где а — произвольное число .
Какое из	чисел	: 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
Какое из	чисел	больше : а или b . 1.9 Умножение на отрицательное число обеих частей неравенства .
Сравнение	чисел	по знаку их разности .
В нашем случае оба равенства выполняются , а поэтому полученная графическим способом пара	чисел	( 3 ; 1 ) является точным решением начальной системы .
5 Какой знак имеет произведение положительных	чисел	? .
1.2 Сравнение	чисел	с нулём .
1.4 Сравнение произведения	чисел	с нулём .
Такого равенства для	чисел	не может быть , так как при любом значении а произведение равно 0 и 0 не равен 1 .
Сколько вы знаете различных	чисел	, квадрат которых равен 400 ? .
1.10 Сравнение	чисел	, обратных к заданным ненулевым числам .
Такое свойство выполняется для любых двух положительных	чисел	: если .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Получаем , что сумма этих положительных	чисел	— положительное число .
Изучая произведение дробных чисел , мы установили правило знаков : произведение двух	чисел	одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Какое из	чисел	больше а или b ? .
Как определить знак отношения двух ненулевых	чисел	? .
Такими парами координат будут , например , и вообще любая пара	чисел	, имеющая вид , где а — произвольное число .
1.5 Знак квадрата	чисел	.
Какие из пар	чисел	(-8 ; 6 ) , ( 10 ; 10 ) ; являются решениями системы , рассмотренной в примере 4 ? .
Для	чисел	а , b и с имеет место свойство .
Как показать , что сумма отрицательных	чисел	всегда отрицательна ? .
Изучая произведение дробных	чисел	, мы установили правило знаков : произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Найдём последнюю цифру в десятичной записи	числа	3100 .
Так как , будем искать последнюю цифру	числа	950 .
3.5 Округление положительного	числа	до разряда десятков .
Для любого числа а , ненулевого числа b и натурального	числа	n выполняется равенство .
1.3 На каком месте в последовательности степеней	числа	3 находится число , равное 273 ? .
Заметим , что когда	числа	а и b разного знака , то о знаке их суммы нельзя сделать определённого вывода , не имея дополнительных сведений об этих числах .
Так как , будем искать последнюю цифру	числа	8120 .
Для любого числа а , ненулевого	числа	b и натурального числа n выполняется равенство .
1.2 Чему равно произведение первых трёх чисел из последовательности степеней	числа	2 ? .
2.8 Как искать последнюю цифру степени	числа	.
Будем считать десятичное приближение 120 280 результатом округления	числа	120275,7 до разряда десятков .
2.1 На какие цифры может заканчиваться степень	числа	3 ? .
Для любых чисел а и b и любого натурального	числа	n выполняется равенство .
1)на 3 ; 2 ) на 4 ; 3 ) на 5 ; 4 ) на 6 . 2.2 Среди следующих чисел укажите числа , равные некоторым степеням	числа	0,5 : 1)0,5 ; 2)0,25 ; 3)0,75 ; 4)1 .
2.4 Какие из указанных степеней	числа	больше 0,1 ? .
Как показать , что для любого натурального	числа	n имеет место равенство .
Рассмотрим число 210 и произведения степеней	числа	2 , сумма показателей степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
Для любого	числа	а и любых натуральных значений тип выполняется равенство .
Степень	числа	также можно возводить в степень .
3 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения квадратного корня из	числа	, близкого к единице ? .
Десятичным приближением снизу числа а с точностью до 10 m называется число , равное b · 10 m , где b — целая часть	числа	а · 10 m .
Ближайшим к 28 квадратом целого	числа	является 25 .
Десятичным приближением снизу	числа	а с точностью до 10 m называется число , равное b · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
Возможны и другие записи	числа	миллион , например .
Для любого	числа	а , ненулевого числа b и натурального числа n выполняется равенство .
1)на 3 ; 2 ) на 4 ; 3 ) на 5 ; 4 ) на 6 . 2.2 Среди следующих чисел укажите	числа	, равные некоторым степеням числа 0,5 : 1)0,5 ; 2)0,25 ; 3)0,75 ; 4)1 .
Аналогично определяются округления отрицательного	числа	до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
а ) числа 2 с натуральными показателями от 10 до 20 . б )	числа	3 с натуральными показателями от 1 до 10 .
Рассмотрим натуральные	числа	1 , 2 , 3 и так далее .
Таким образом , для любого числа а и любого натурального	числа	n мы определили число аn .
Таким образом , для любого	числа	а и любого натурального числа n мы определили число аn .
Если теперь для числа а и натурального	числа	к определено число аk , то принимаем , по определению .
Если теперь для	числа	а и натурального числа к определено число аk , то принимаем , по определению .
Иногда говорят , что аn — это n - я степень	числа	а , или « а в степени n » , или « а в n - й степени » , или « а в n - й » .
Число аn иногда называют степенью	числа	а с натуральным показателем n.
Выбирая эти	числа	показателями при основании 2 , получим последовательность степеней числа 2 .
Также , по определению , для удобства считают , что степень	числа	а с показателем , равным 1 , равна а , то есть .
Для натурального числа произведение n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й степенью	числа	а и обозначается через аn .
Для натурального	числа	произведение n одинаковых сомножителей , равных а , называется n - й степенью числа а и обозначается через аn .
В общем случае для произвольного натурального	числа	n имеет место формула .
Чему равен результат округления	числа	120275,4999 до разряда единиц ? .
Рассмотрим теперь общее понятие десятичных приближений положительного	числа	а .
Этот промежуток содержит число 2 , число 3 и все	числа	, расположенные между числами 2 и 3 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 .
Возьмём теперь два	числа	, например , 2 и 3 .
Выбирая эти числа показателями при основании 2 , получим последовательность степеней	числа	2 .
Также можно взять любое число а и рассмотреть последовательность степеней	числа	а с натуральными показателями .
На каком месте в последовательности всех степеней	числа	5 с натуральными показателями находится число 3125 ? .
а )	числа	2 с натуральными показателями от 10 до 20 . б ) числа 3 с натуральными показателями от 1 до 10 .
Запишите	числа	, равные степеням .
Что такое логарифм	числа	аn по основанию а ? .
7 Как вы понимаете квадрат и куб отрицательного	числа	? .
6 Что такое квадрат и куб	числа	? .
3 Как ещё можно последовательно определить натуральную степень	числа	? .
1 Что такое n - я степень	числа	а для натурального ? .
Чему равен логарифм по основанию 10 от	числа	сто миллионов ? .
Такое же соглашение принято и в других подобных случаях : если , где а 0 , а не равно 1 и b 0 , то число n называют логарифмом	числа	b по основанию а и обозначают logub .
Для основания 2 и числа 16 показатель степени 4 называют также логарифмом	числа	16 по основанию 2 и используют запись .
Для основания 2 и	числа	16 показатель степени 4 называют также логарифмом числа 16 по основанию 2 и используют запись .
Рассмотрим число 2 и число 16 , которое является четвёртой степенью	числа	2 , то есть .
Как вы будете находить число , равное кубу	числа	( -4 ) в квадрате ? .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб	числа	а » .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат	числа	а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
Вы знаете , что для степеней	числа	а с показателем 2 и показателем 3 существуют отдельные названия , пришедшие к нам ещё от древних греков .
Аналогичные рассуждения можно провести и для вычисления суммы любого	числа	начальных членов рассматриваемой последовательности .
в )	числа	5 с натуральными показателями от 1 до 6 .
Поэтому последняя цифра	числа	8120 такая же , как и у числа 125 , то есть 1 .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого	числа	— число положительное , нулю равен только квадрат числа нуль .
В результате приходим к тому , что последней цифрой	числа	3100 является 1 .
В примере 4 для	числа	31 415,9 были найдены десятичное приближение 30 000 снизу и десятичное приближение 40 000 сверху с точностью до 10 000 , для которых выполняется двойное неравенство .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого числа и любого целого	числа	m ? .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого	числа	и любого целого числа m ? .
Число -42,40 десятичным приближением сверху для данного отрицательного	числа	а с точностью до 0,01 .
В том случае , когда , где m и n — натуральные	числа	, воспользуемся уже доказанным выше равенством .
Если , где m и n — натуральные	числа	,
Пусть , где m и n — натуральные	числа	.
Число -42,41 десятичным приближением снизу для отрицательного	числа	а , равного -42,4056 , с точностью до 0,01 .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	5 .
Как показать , что равенство выполняется для любого ненулевого	числа	а и любых целых чисел р и q ? .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется второе основное свойство степени , то есть , когда р и q — натуральные	числа	.
В примере 2 для	числа	42,4056 были определены десятичное приближение 42,40 снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение 42,41 сверху с точностью до 0,01 , для которых выполняется двойное неравенство .
Число -42 десятичным приближением сверху для данного отрицательного	числа	а с точностью до 1 .
Для любого ненулевого	числа	а при любых целых значениях тип выполняется равенство .
1.7 Прибавление	числа	к обеим частям неравенства .
Будем считать число -43 десятичным приближением снизу для отрицательного	числа	а , равного -42,4056 , с точностью до 1 .
В третьем параграфе аналогичное равенство установлено , когда	числа	тип могут принимать также значение 0 .
Рассмотрим произведения степеней одного	числа	с целыми показателями .
Для любого ненулевого	числа	а при любых целых значениях m и n выполняется равенство .
если цифра разряда единиц в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления	числа	а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
Во втором параграфе показано , что для натуральных показателей выполняется третье основное свойство степени , то есть для произвольных чисел а и b и натурального	числа	n .
Для любого	числа	а множество решений неравенства называется замкнутым числовым лучом и обозначается .
По аналогии с рассмотренными примерами 6 - 8 сформулируем общее определение десятичных приближений отрицательного	числа	.
Десятичные приближения отрицательного	числа	.
Покажем , что разумное сочетание приближённых методов с делением на небольшие целые	числа	очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с достаточной степенью точности .
Однако в этом случае в записи	числа	а цифра третьего разряда после запятой больше 5 , поэтому а b и число а лежит в промежутке .
3.6 Правило округления положительного	числа	до разряда 10 m .
Если при вычислении значения буквенного выражения выполнить не все арифметические действия , а только некоторые , то вместо	числа	получится числовое выражение .
Возьмём , подставим эти	числа	вместо букв и получим числовое выражение .
Буква π используется как удобное обозначение для вполне конкретного	числа	, то есть буква π является постоянной величиной в выражении nR2H .
Аналогично , если в записи положительного	числа	d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Точно так же различные	числа	можно подставлять вместо буквы h .
Может ли число 0 быть десятичным приближением с некоторой точностью для отрицательного	числа	? .
Чему равен результат округления	числа	204,2013 до разряда десятков ? .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного числа до второго разряда после запятой не превосходит	числа	0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного	числа	а с точностью до 10 000 .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного	числа	а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
В этом случае выбираем десятичное приближение сверху , равное 5,30 , и называем его результатом округления	числа	а до второго разряда после запятой .
Пусть а и b — любые ненулевые	числа	, m — произвольное целое число .
Аналогично определяются округления положительного	числа	до разряда сотен , тысяч , десятков тысяч , миллионов , миллиардов и так далее .
Рассмотрим , например , буквенное выражение , которое записано в формуле для вычисления площади треугольника по основанию а и высоте h. В данное выражение вместо буквы а можно подставлять различные	числа	.
Поэтому последняя цифра числа 8120 такая же , как и у	числа	125 , то есть 1 .
3 Как определяется степень ненулевого	числа	а с целым отрицательным показателем ? .
При попытке найти квадратный корень из	числа	12 345 678 с помощью восьмиразрядного калькулятора получим приближённое значение квадратного корня с восемью знаками : 3513,6417 .
Для записи приближённого значения с восемью десятичными знаками каждого квадратного корня из натурального	числа	от 1 до 99 999 999 используется 27 битов .
Если теперь возьмём произвольные	числа	b и с , не равные нулю , то аналогично получим .
Определив для любого числа а Ф 0 , получаем для любого натурального	числа	n .
Определив для любого	числа	а Ф 0 , получаем для любого натурального числа n .
Чему равна целая часть	числа	103 · 2,71828 ? .
Для этих десятичных приближений	числа	а выполняется двойное неравенство .
Если цифра разряда единиц в записи положительного	числа	а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Как показать , что , если положить по определению 3 ° b 1 , то для любого натурального	числа	n выполняется равенство .
Заметим , что если b и с — любые ненулевые	числа	.
Если принять такое определение , то тогда для любого натурального	числа	n получаем .
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять основанием степени , и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой степени	числа	-10 .
1.3 На какую наибольшую степень	числа	3 делится без остатка произведение .
8 Найдите последнюю цифру в десятичной записи	числа	.
1 Запишите в виде степени одного	числа	.
Какие свойства логарифмов по основанию а для степеней	числа	а вы знаете ? .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой больше 5 , то результатом округления этого	числа	d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Десятичным приближением сверху	числа	а с точностью до 10 m называется число , равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
Чему равна последняя цифра	числа	"7 "" ? ."
Десятичным приближением сверху числа а с точностью до 10 m называется число , равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b — целая часть	числа	а · 10 m .
2 Как определяется число а-1 для ненулевого	числа	а ? .
Таким образом , определяя для любого	числа	а 0 нулевую степень равенством , мы сохраняем свойства степеней , которые были установлены для натуральных показателей .
Как показать , что для любого числа и любого натурального	числа	n выполняются равенства ? .
если цифра разряда единиц в записи положительного	числа	а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда десятков является десятичное приближение сверху с точностью до 10 .
Действительно , точное вычисление квадрата полученного	числа	приводит к равенству .
Рассмотрим последовательно записанные	числа	.
Что называется квадратным корнем из положительного	числа	а ? .
Каждое число , начиная со второго , получается умножением предыдущего	числа	на 3 .
Рассмотрим последовательно записанные	числа	: 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 .
В примере 1 для	числа	42,4056 были найдены десятичное приближение 42 снизу и десятичное приближение 43 сверху с точностью до 1 , для которых выполняется двойное неравенство .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа — число положительное , нулю равен только квадрат	числа	нуль .
Как показать , что для любого	числа	и любого натурального числа n выполняются равенства ? .
Если для натурального числа m степень аm определена , то для натурального	числа	степень определяем как число , равное .
Поэтому корнями данного уравнения являются все	числа	.
Степень ненулевого	числа	а с отрицательным целым показателем можно также определить следующим образом : пусть показатель степени равен — 1 .
3.5 Определение отрицательной степени	числа	, если известна предыдущая степень .
Если цифра разряда единиц в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления	числа	а до разряда десятков является десятичное приближение снизу с точностью до 10 .
Для любого ненулевого числа а и натурального	числа	n .
Для любого ненулевого	числа	а и натурального числа n .
Для любого ненулевого числа а определим а как число , равное как число , равное , и так далее , то есть положим для произвольного натурального	числа	n , то выполняется следующее свойство .
Для любого ненулевого	числа	а определим а как число , равное как число , равное , и так далее , то есть положим для произвольного натурального числа n , то выполняется следующее свойство .
Если для натурального	числа	m степень аm определена , то для натурального числа степень определяем как число , равное .
Для	числа	1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять основанием степени , и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой степени числа -10 .
Этот промежуток содержит число 2 и все	числа	, расположенные между числами 2 и 3 .
243 представлено в виде степени	числа	3 .
Определим дробную часть	числа	х как разность .
Дробная часть	числа	х обозначается через { х } .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части	числа	а .
Для	числа	120275,7 выполняется двойное неравенство , поэтому число 120275,7 находится в промежутке .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху	числа	а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
В этом примере десятичное приближение снизу числа а с точностью до 1 является целой частью этого	числа	а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
В этом примере десятичное приближение снизу	числа	а с точностью до 1 является целой частью этого числа а ; десятичное приближение сверху числа а с точностью до 1 на единицу больше целой части числа а .
11 Как определяется целая часть	числа	? .
Аналогично для любого положительного	числа	b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
12 Как определяется дробная часть	числа	? .
Другими словами , число 42 получено из	числа	а отбрасыванием стоящих после запятой всех знаков дробной части .
Любые два	числа	можно сравнить по величине .
Число 43 называется десятичным приближением сверху	числа	а с точностью до 1 .
Так как числа 5 и 7 взаимно просты , то из делимости числа на 7 следует делимость	числа	l — к на 7 .
Число 42 называется десятичным приближением снизу	числа	а с точностью до 1 .
Так как числа 5 и 7 взаимно просты , то из делимости	числа	на 7 следует делимость числа l — к на 7 .
Так как	числа	5 и 7 взаимно просты , то из делимости числа на 7 следует делимость числа l — к на 7 .
3.4 Округление положительного	числа	до разряда единиц .
Таким образом ,	числа	при делении на 7 дают семь различных остатков .
Поэтому для любых значений а и b	числа	а2 и b2 неотрицательны .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу	числа	b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого	числа	b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков	числа	а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Другими словами , десятичное приближение 42,40	числа	а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением числа 0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Число 42,41 называется десятичным приближением сверху	числа	а с точностью до 0,01 .
Число 42,40 называется десятичным приближением снизу	числа	а с точностью до 0,01 .
Будем считать десятичное приближение 120 276 результатом округления	числа	120275,7 до разряда единиц .
Таким образом , число 42,40 является приближением снизу , а число 42,41 — приближением сверху	числа	а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 0,01 .
Определим целую часть произвольного	числа	х по следующему правилу .
Целой частью	числа	х называется наибольшее целое число n , которое меньше либо равно х .
Если известно , что число а больше	числа	b , то это можно записать в виде строгого неравенства а > b или также в виде строгого неравенства b < а , поскольку в этом случае число b меньше числа а .
Как доказать , что числа , где а и b — целые	числа	, дают одинаковые остатки при делении на 7 ? .
Десятичные приближения положительного	числа	с заданным числом знаков после запятой .
Целая часть	числа	х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое целое число .
Чему равно десятичное приближение снизу для	числа	0,999 с точностью до 1 ? .
Как доказать , что	числа	, где а и b — целые числа , дают одинаковые остатки при делении на 7 ? .
Целая часть	числа	х чаще всего обозначается как [ х ] .
Используя это обозначение и определение целой части	числа	, можем , например , записать равенства .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 1 на единицу больше целой части	числа	b .
Действительно , мы знаем , что квадрат любого	числа	— это неотрицательное число .
Аналогично для любого положительного числа b , не являющегося целым , определяются десятичное приближение снизу с точностью до 1 и десятичное приближение сверху с точностью до 1 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 1 является целой частью этого числа b ; десятичное приближение сверху	числа	b с точностью до 1 на единицу больше целой части числа b .
Для	числа	а , равного 42,4056 .
Чему равен результат округления	числа	3,87512 до второго разряда после запятой ? .
Округление положительного	числа	до других разрядов после запятой .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число -8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от	числа	-8 .
Поэтому приближёнными значениями разумно считать только натуральные	числа	из интервала между приближениями с избытком и недостатком .
Сформулируем общее правило округления положительного	числа	до некоторого разряда после запятой .
3.3 Правило округления положительного	числа	до некоторого разряда после запятой .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число 3/2 то есть уравнение не может иметь корней , отличных от	числа	3/2 .
Чему равен результат округления	числа	3,1415926 до четвёртого разряда после запятой ? .
При этом абсолютная погрешность результата округления положительного	числа	до n - го разряда после запятой не превосходит половины той же разрядной единицы .
Предположим , что на числовой прямой	числа	а , b , α1 и а2 .
Заметим , что в каждом из трёх рассмотренных случаев ( примеры 1 - 3 ) абсолютная погрешность результата округления положительного	числа	до второго разряда после запятой не превосходит числа 0,005 , то есть половины от 0,01 — второй разрядной единицы после запятой .
2.1 Целая и дробная части положительного	числа	.
4 Определите абсолютную погрешность при замене	числа	283 572 приближённым значением .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число-3/8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от	числа	-3/8 .
Если приближение b отличается от , то оценка абсолютной погрешности больше	числа	потому что один из отрезков больше половины отрезка .
Когда уравнение имеет вид , где а и b — ненулевые целые	числа	, нетрудно найти все его целочисленные решения .
Рассмотрим , как найти одно из целочисленных решений уравнения вида где а , b , с — ненулевые целые	числа	, причём а и b взаимно просты .
Аналогично определяются округления положительного	числа	до первого разряда после запятой , до третьего разряда после запятой , до шестого разряда после запятой и так далее .
Значит ,	числа	3т , 7т при любом целом значении m дают целое решение ( 3т ; 7т ) уравнения 7х 3у .
Если известно , что абсолютная погрешность измерения не больше некоторого	числа	р , то можно гарантировать , что разность между точным и приближённым значениями удовлетворяет неравенству .
Целая часть	числа	.
Начнём последовательно подставлять вместо х подряд все целые	числа	, начиная с х 0 .
Любое уравнение вида с целыми коэффициентами а , b , с имеет целочисленные решения , когда — взаимно простые	числа	.
Так как	числа	7 и 3 взаимно просты , то это может быть только в том случае , когда число у делится на 7 .
Таким образом , корнем уравнения может быть только число 5 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от	числа	5 .
Чему равен результат округления	числа	9,99999 до третьего разряда после запятой ? .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 · 10 m .
Буквенное выражение вида , где х — переменная величина , а , b — постоянные	числа	, называется линейным выражением относительно переменной х .
1.2 Чему равна целая часть от	числа	? .
1.3 Чему равна дробная часть от	числа	? .
2.2 Десятичные приближения положительного	числа	с точностью до 1 .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления	числа	а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
Чему равна целая часть	числа	0,999999 ? .
если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного	числа	а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до m - το разряда после запятой является десятичное приближение сверху с точностью до 10-m .
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления	числа	было взято то десятичное приближение до второго разряда после запятой , которое расположено « ближе » к заданному числу .
Если из всех частей соотношения вычесть число 42 , то получим соотношение , то есть дробная часть	числа	а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным числом , меньшим 1 .
Таким образом , решениями уравнения являются пары и вообще пара чисел вида ( а ; 2 ) для любого	числа	а .
Допустимые значения такой величины — натуральные	числа	.
Заметим , что выполняется соотношение , то есть целая часть числа а является наибольшим целым числом , не превосходящим	числа	а .
Заметим , что выполняется соотношение , то есть целая часть	числа	а является наибольшим целым числом , не превосходящим числа а .
В этой записи число 42 называют целой частью числа а , число 0,4056 называют дробной частью	числа	а .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления	числа	а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
Если цифра ( m+1)-го разряда после запятой в записи положительного	числа	а меньше 5 , то результатом округления числа а до m - го разряда после запятой является десятичное приближение снизу с точностью до 10-m .
В этой записи число 42 называют целой частью	числа	а , число 0,4056 называют дробной частью числа а .
Таким образом , число 42 является приближением снизу , а число 43 — приближением сверху	числа	а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 1 , то есть .
При подстановке в обе части этого уравнения числа 1 вместо переменной х и	числа	вместо переменной у получаем равенство .
При подстановке в обе части этого уравнения	числа	1 вместо переменной х и числа вместо переменной у получаем равенство .
Другими словами , десятичное приближение 42,40 числа а , равного 42,4056 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих правее второго знака после запятой ; десятичное приближение 42,41 получено прибавлением	числа	0,01 к десятичному приближению 42,40 .
Сформулируем правило округления положительного	числа	до разряда единиц .
Значит ,	числа	и положительны , поэтому их сумма положительна .
Найти сумму в которой в порядке убывания записаны все целые	числа	от 99 до -60 , делящиеся на 3 .
Пусть	числа	a , b , с , d положительны .
Выпишем все делители	числа	152 : 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 25 , 75 , 225 .
Будем считать десятичное приближение 1 результатом округления	числа	0,517 до разряда единиц .
В этом случае для любого натурального	числа	n выполняется неравенство .
Для	числа	2 000 000 его десятичным приближением снизу с точностью до 104 является число 2 000 000 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 104 является число 2 010 000 .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего	числа	.
Таким образом , для любого натурального	числа	n можно получить неравенство .
8 Как доказать , что если число а больше 1 , то любая натуральная степень	числа	а больше 1 ? .
Таким образом , натуральные нечётные	числа	образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью прогрессии .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу	числа	d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Какое значение	числа	а нужно взять , чтобы неравенство было равносильно неравенству .
Поэтому является одним из делителей	числа	152 , и частное от деления 152 на даёт число , которое меньше .
Округление положительного	числа	.
Подставляя в формулу суммы членов арифметической прогрессии значения первого члена прогрессии , её разности и	числа	слагаемых , получаем .
Аналогично , если число а меньше числа b , то есть число b больше	числа	а , то можно применить любую из записей : а < b или b > а .
Как сравнить по величине два	числа	-1 и 1 ? .
Куб	числа	.
Однако в этом случае в записи	числа	а цифра третьего разряда после запятой равна 5 , поэтому а b , но число а так же , как и в примере 2 , попало в промежуток .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего	числа	, то первое число больше третьего числа .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления	числа	а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
2.5 Десятичные приближения положительного	числа	.
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного	числа	а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение сверху с точностью до 1 .
В этой главе напоминается о степени	числа	, рассматриваются основные свойства степени и показывается , как понятие степени обобщается на случай целых и некоторых других показателей .
Чему равно десятичное приближение сверху для	числа	391,240001 с точностью до 103 ? .
Свойство	числа	нуль .
Подставив в уравнение вместо х	числа	1 и -1 , убеждаемся , что уравнение имеет два корня : -1 и 1 .
Дробная часть	числа	.
Этот промежуток содержит число 3 и все	числа	, расположенные между числами 2 и 3 .
Этот промежуток содержит все	числа	, расположенные между числами 2 и 3 .
Возьмём любые два положительных	числа	а и b , например .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления	числа	а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
Из формулы предыдущего пункта для любого натурального	числа	n получаем , что .
Если цифра 1-го разряда после запятой в записи положительного	числа	а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда единиц является десятичное приближение снизу с точностью до 1 .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального	числа	n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
Квадрат	числа	.
2.4 Укажите все	числа	а , для каждого из которых найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является решением системы .
Аналогично для любого положительного	числа	определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 10 ; до 100 , до 10й и других целых разрядных единиц .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго	числа	, а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Округление отрицательного	числа	.
Для	числа	0,517 выполняется двойное неравенство , поэтому число 0,517 находится в промежутке .
Как показать , что для любого натурального	числа	n сумма первых n нечётных чисел равна n2 ? .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше	числа	b .
температуры воды , измеренной в градусах Цельсия , составляют все	числа	от 0 до 100 .
Десятичные приближения положительного	числа	с точностью до целой разрядной единицы .
Чему равно десятичное приближение снизу для	числа	371,240001 с точностью до 10 - 3 ? .
Аналогично для любого положительного	числа	определяются десятичные приближения сверху и снизу с точностью до 0,1 ; до 0,001 , до 0,000001 и других дробных разрядных единиц .
В этом примере получаем функциональную зависимость переменной аn от переменной n , область значений которой — все натуральные	числа	.
Значит , для некоторого	числа	m должны выполняться равенства .
Для	числа	2,01 его десятичным приближением снизу с точностью до 0,01 является число 2,01 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 является число 2,02 .
Приближение отрицательного	числа	.
В случае , когда 100d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу	числа	d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
Почему на числовой прямой противоположные друг другу	числа	симметричны относительно нуля ? .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше	числа	b .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху	числа	b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше	числа	b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу	числа	b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для буквенного выражения , в запись которого входят некоторые	числа	и две переменные х и у , будем использовать обозначения А(х , у ) , В(х , у ) и так далее .
Так как	числа	7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные решения уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое целое число .
Если известно , что число а больше числа b , то это можно записать в виде строгого неравенства а > b или также в виде строгого неравенства b < а , поскольку в этом случае число b меньше	числа	а .
Для любого положительного числа b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков	числа	b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для любого положительного	числа	b , для которого число 100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Для	числа	120 275 выполняется двойное неравенство 120 275 120 275 120275,5 , поэтому число 120 275 находится в промежутке .
Можно сказать , что 243 записывается в виде степени	числа	3 .
Таким образом , число 30 000 является приближением снизу , а число 40 000 — приближением сверху	числа	31 415,9 , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 10 000 104 .
Число 30 000 называется десятичным приближением снизу	числа	а с точностью до 101 .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху	числа	b с точностью до 104 больше числа b .
Будем считать десятичное приближение 0 результатом округления	числа	0,47 до разряда единиц .
При натуральных значениях z и х	числа	в этом равенстве тоже натуральные , причём в произведении дают число 152 .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше	числа	b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Для любого положительного числа b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу	числа	b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Аналогично , если в записи положительного	числа	d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого числа d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Для любого положительного	числа	b , для которого число 10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Значит , корнями уравнения являются все	числа	.
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков числа а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением	числа	10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
31415,9 , получено отбрасыванием всех десятичных знаков	числа	а , стоящих после запятой , и заменой на нули четырёх знаков непосредственно перед запятой ; десятичное приближение 40 000 получено прибавлением числа 10 000 , равного 104 , к десятичному приближению 30 000 .
Другими словами , десятичное приближение 30 000	числа	а , равного .
Для	числа	0,47 выполняется двойное неравенство , поэтому число 0,47 находится в промежутке .
Целые	числа	11 - 2т и m будут неотрицательными только тогда , когда одновременно выполняются неравенства .
Аналогично , если в записи положительного числа d цифра третьего разряда после запятой равна 5 , то результатом округления этого	числа	d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Аналогично , если число а меньше	числа	b , то есть число b больше числа а , то можно применить любую из записей : а < b или b > а .
Будем считать результатом округления	числа	120 275 до разряда единиц десятичное приближение 120 275 , равное в данном примере самому числу .
"Знак угловой секунды "" пишут справа вверху от"	числа	.
Число 40 000 называется десятичным приближением сверху	числа	а с точностью до 104 .
Знак ' угловой минуты пишут справа вверху от	числа	.
Для	числа	а , равного 31 415,9 .
Для любого	числа	а множество решений неравенства называется открытым числовым лучом и обозначается .
Сформулируем правило округления положительного	числа	до разряда десятков .
Таким образом , все эти уравнения имеют одно и то же множество корней ( состоящее из одного и того же	числа	) , то есть эти уравнения равносильны .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а больше либо равна 5 , то результатом округления	числа	а до разряда 10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
Точно так же	числа	b2 4,81 и b3 7,14 приближают а2 и а3 с абсолютными погрешностями , не большими 0,03 и 0,06 соответственно .
Запишем результат округления	числа	15,293 до второго знака после запятой , то есть до разряда 10 - 2 .
В этом случае абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 10 - 2 .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-0,517 до разряда единиц является число -1 .
1.3 Что является результатом округления	числа	1,168 до второго знака после запятой ? .
При каких значениях переменной х определено значение переменной , где k , b — заданные	числа	? .
Так как х и у — целые	числа	, то из равенства следует , что целое число 3у делится без остатка на число 7 .
9 Что называется десятичным приближением положительного	числа	снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m — натуральное число ? .
Будем называть округлением	числа	замену его на одно из десятичных приближений .
При округлении по данному правилу абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 · 10 m , то есть не превосходит половины разрядной единицы 10 m .
2 Округлите следующие	числа	до разряда тысяч .
Аналогично , если в записи положительного	числа	d цифра третьего разряда после запятой .
Как с помощью степени	числа	10 записать результат округления числа 10,01 до разряда единиц ? .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-5,29459 до второго разряда после запятой является число -5,29 .
меньше 5 , то результатом округления этого	числа	d до второго разряда после запятой будем называть его десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 , то есть с точностью до второго разряда после запятой .
Поэтому результат исходного	числа	до разряда 10 2 равен числу 1529 · 10 - 2 .
3 Округлите следующие	числа	до разряда единиц .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного	числа	а больше либо равна 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение сверху с точностью до 10 m .
1.4 Какова абсолютная погрешность округления	числа	2112,2 до десятков ? .
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до разряда единиц является число 20 , то результат округления исходного	числа	до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
Заметим , что для любого	числа	а графиком уравнения является вертикальная прямая , которая не будет графиком никакой линейной функции .
Аналогично для каждого	числа	а можно взять и получить пару чисел , являющуюся решением начальной системы .
Число -d мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного	числа	-b .
Из рассмотрения примера 3 следует , что результатом округления	числа	5,295 до второго разряда после запятой является число 5,30 .
8 Докажите , что если , где m и n — целые	числа	, то — целое число .
5 Округлите следующие	числа	до разряда сотых .
Для любых чисел а , b и любого положительного	числа	с имеет место свойство : если а и с , то .
Результатом округления	числа	2,0132013 до разряда единиц является число 2 , поэтому результат округления исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Для положительного	числа	b определено также его десятичное приближение h сверху с точностью до 10 m.
В этом случае выбираем десятичное приближение снизу , равное 5,29 , и называем его результатом округления	числа	а до второго разряда после запятой .
Аналогично доказывается , что корнями уравнения тоже являются только три	числа	.
Результатом округления числа 2,0132013 до разряда единиц является число 2 , поэтому результат округления исходного	числа	до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Графиком линейной функции , где к и b — фиксированные	числа	, является прямая .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного числа а меньше 5 , то результатом округления	числа	а до разряда 10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-120275,7 до разряда единиц является число -120 276 .
Это правило распространяется на суммы трёх , четырёх или любого другого	числа	слагаемых .
В этом случае абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 · 10 - 2 .
Как с помощью степени числа 10 записать результат округления	числа	10,01 до разряда единиц ? .
Аналогично для каждой прямой , где k и b — фиксированные	числа	, обозначим через А точку её пересечения с осью Ох , через В — любую точку оси Ох , расположенную правее точки А , через С — любую точку прямой , расположенную в верхней полуплоскости относительно оси Ох .
6 Что называется десятичным приближением положительного	числа	сверху с точностью до 0,01 ? .
6 Найдите произведение приближённого значения 2,5 0,05 и	числа	1,23 .
В этом случае абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 .
Следовательно , корнями уравнения являются только три	числа	.
6 Укажите с помощью степеней числа 10 результат округления	числа	25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
Число -h мы будем называть десятичным приближением сверху с точностью до 10 m отрицательного	числа	-b .
12 Может ли для некоторого	числа	.
5 Сформулируйте правило округления положительного	числа	до разряда единиц .
11 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 102для	числа	.
5 Что называется десятичным приближением положительного	числа	снизу с точностью до 0,01 ? .
7 Сформулируйте правило округления положительного	числа	до разряда десятков .
6 Укажите с помощью степеней	числа	10 результат округления числа 25782,15 : а ) до разряда единиц ; б ) до разряда тысяч ; в ) до разряда десятых .
4 Округлите следующие	числа	до разряда десятых .
Какое из десятичных приближений отрицательного	числа	— сверху или снизу — может совпасть с этим числом ? .
В примере 5 было определено , что результатом округления	числа	120 275 до разряда единиц является число 120 275 .
Из рассмотрения примера 1 следует , что результатом округления	числа	5,29459 до второго разряда после запятой является число 5,29 .
В примере 6 было определено , что результатом округления	числа	0,47 до разряда единиц является число 0 .
Заполним по строкам треугольную таблицу , составленную из коэффициентов этих разложений , добавив строку с номером 0 , состоящую из одного	числа	1 .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее	числа	0 ? .
2 Округлите	числа	а и b до второго разряда после запятой , найдите сумму полученных результатов и оцените её абсолютную погрешность .
2.1 На какие	числа	нужно умножить соответственно уравнения так , чтобы после их сложения в получившемся уравнении отсутствовал у ? .
8 Что называется десятичным приближением положительного	числа	сверху с точностью до 104 ? .
1 Сформулируйте правило округления положительного	числа	до второго разряда после запятой .
В примере 7 было определено , что результатом округления	числа	0,517 до разряда единиц является число 1 .
1.2 Как записывается результат округления числа 37065,91 до разряда тысяч с помощью степени	числа	10 ? .
В каждой строке	числа	, равноудалённые от начала и конца строки , одинаковы .
5 Чему равна абсолютная погрешность произведения приближённого значения некоторой величины и фиксированного	числа	? .
7 Что называется десятичным приближением положительного	числа	снизу с точностью до 101 ? .
9 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 10 - 4 для	числа	.
3 Сформулируйте правило округления положительного	числа	до m - го разряда после запятой .
В записи	числа	а цифра третьего разряда после запятой меньше 5 , поэтому а b и число а оказывается в промежутке .
Найдите эти	числа	.
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-0,47 до разряда единиц является число 0 .
1.1 Чему равен результат округления	числа	987 654,321 до разрядной единицы 102 ? .
Чему равны результаты округления	числа	2013,2013 до разряда сотен и до разряда тысяч ? .
8 Сформулируйте правило округления положительного	числа	до разряда 10 m , где m — натуральное число .
1.2 Как записывается результат округления	числа	37065,91 до разряда тысяч с помощью степени числа 10 ? .
1 Что называется целой частью положительного	числа	? .
В примере 8 было определено , что результатом округления	числа	120275,7 до разряда десятков является число 120 280 .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее	числа	0 , а число b — левее числа 0 ? .
Для любого натурального	числа	n , большего 1 , справедливо тождество .
6 Известно , что . Сравните	числа	.
Проведём исследование уравнения вида , где к , b — фиксированные	числа	, х — неизвестная величина .
Так как приближённое значение π 3,14 найдено по правилам округления , то абсолютная погрешность этого приближения	числа	π не превосходит 0,005 .
Произведение положительного	числа	на отрицательное — отрицательно .
10 Сформулируйте правило округления отрицательного	числа	.
Чему равен результат округления	числа	-5,298176 до второго разряда после запятой ? .
При округлении того же самого	числа	2013,2013 до разряда тысяч опять - таки получим число 2000 .
4 Найдите коэффициент одночлена , где буквы а и b обозначают постоянные	числа	.
Тогда для положительного	числа	b определено его десятичное приближение d снизу с точностью до 10 m.
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-5,29817 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
Для любых чисел а , b и любого отрицательного	числа	с имеет место свойство .
2.4 Какие из следующих уравнений имеют решения вида , где m — переменная , принимающая все целые значения , а и b — некоторые фиксированные целые	числа	? .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного числа с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля	числа	с .
11 Как находятся десятичные приближения снизу ( сверху ) с данной точностью для отрицательного	числа	? .
Округление положительного	числа	до второго разряда после запятой .
Для	числа	а рассмотрим десятичное приближение снизу а1 5,29 с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху а2 5,30 с точностью до 0,01 , а также полусумму этих приближений .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-5,295 до второго разряда после запятой является число -5,30 .
11 Как указывается разряд округления при помощи степеней	числа	10 ? .
При округлении этого	числа	до разряда сотен получим 2000 .
Предположим , что число с является корнем этого уравнения , то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше	числа	-5 .
Понятие степени	числа	позволяет любому одночлену придать удобный вид .
Это правило позволяет оценить абсолютную погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного	числа	с .
Таким образом , каждое число , большее	числа	, является решениями данного неравенства .
3.8 Указание разрядов округления при помощи степеней	числа	10 .
В этом случае абсолютная погрешность результата округления не превосходит	числа	0,5 · 10 .
7 Для какого	числа	а неравенство а > 0 выполнено , если а равно .
1 Округлите следующие	числа	до разряда десятков .
8 Для какого	числа	а неравенство а < 0 выполнено , если а равно .
2.3 Какие из следующих чисел являются результатом округления	числа	11,168 до некоторого разряда ? .
10 Докажите , что если m и n натуральные	числа	.
10 В каком случае	числа	а и -а совпадают ? .
Графиком уравнения , где к , b — фиксированные	числа	, является прямая .
Таким образом , решениями данного неравенства могут быть только	числа	, большие .
3 Что называется десятичным приближением положительного	числа	снизу с точностью до 1 ? .
Прямолинейной зависимостью переменной у от переменной х называется зависимость , при которой для каждого значения х соответствующее значение у вычисляется по формуле где k и b — фиксированные	числа	.
Если для любого	числа	х .
2 Как вы понимаете слова « дробная часть положительного	числа	» ? .
2.4 В каких случаях указанное натуральное число является десятичным приближением сверху для соответствующего второго	числа	? .
2.2 Какие из указанных неравенств выполняются для любого	числа	а ? .
По правилу оценки абсолютной погрешности произведения приближённого значения некоторой величины и фиксированного	числа	получаем .
Если цифра разряда 10m-1 в записи положительного	числа	а меньше 5 , то результатом округления числа а до разряда 10 m является десятичное приближение снизу с точностью до 10 m .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-120 275 до разряда единиц является число -120 275 .
В результате для любого натурального	числа	n , которое больше 1 , получаем формулу разложения двучлена на два множителя .
Поскольку результатом округления	числа	20,132013 до разряда единиц является число 20 , то результат округления исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
В примере 4 было определено , что результатом округления	числа	120275,7 до разряда единиц является число 120 276 .
Пусть а и b — ненулевые	числа	, связанные , например , неравенством .
Из рассмотрения примера 2 следует , что результатом округления	числа	5,29817 до второго разряда после запятой является число 5,30 .
Аналогично определяются округления отрицательного	числа	до любого разряда после запятой .
Сформулируем правило округления положительного	числа	до разряда 10 m , где m — натуральное число .
Положим , что результатом округления отрицательного	числа	-120275,7 до разряда десятков является число -120 280 .
4.3 Использование разложения для подсчёта	числа	зёрен из легенды о шахматах .
4 Что называется десятичным приближением положительного	числа	сверху с точностью до 1 ? .
10 Что называется десятичным приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для положительного	числа	, где m — натуральное число ? .
10 Сформулируйте свойство о прибавлении	числа	к обеим частям неравенства .
Абсолютная погрешность произведения приближённого значения b величины а и фиксированного	числа	с равна произведению абсолютной погрешности величины а и модуля числа с .
1.10 Сравнение чисел , обратных к заданным ненулевым	числам	.
В этой записи буквами a1 , b1 , c1 , а2 , b2 , с2 обозначают постоянные , которые в конкретных задачах являются	числами	, а буквами х и у обозначают переменные или неизвестные .
Задача измерения величин непроста даже тогда , когда значения измеряемых величин выражаются целыми	числами	, а само измерение сводится к счёту .
Известно , что электронные вычислительные устройства оперируют с	числами	, записанными в двоичном коде .
20 Стороны треугольника в некоторых единицах измерения выражаются целыми чётными	числами	.
1.4 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в целых	числах	.
Что можно сказать о	числах	а и b ? .
1.3 Пары чисел , где m — целое число , являются решением уравнения в целых	числах	.
Какие решения в натуральных	числах	имеет уравнение ? .
Какие решения в натуральных	числах	имеет рассмотренное уравнение ? .
Теорема Пифагора позволяет свести решение этой задачи к решению уравнения в целых	числах	.
2.2 Для каких из приведённых уравнений некоторыми решениями в целых	числах	являются пары вида ( -2 m ; 3 m ) , где m — переменная , принимающая все целые значения ? .
2.3 Для каких из следующих уравнений существуют решения в целых	числах	со значениями переменных х и у разных знаков ? .
Решением уравнений в целых	числах	математики занимались с древних времён .
Пусть , например , речь идёт о	числе	жителей в городе .
Например , о	числе	210 можно сказать , что это два в десятой степени , а можно сказать , что это два в степени десять или два в десятой .
Составим обратную к х дробь , а затем умножим её	числитель	и знаменатель на .
Сначала разделим на 4	числитель	и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение числителя и величины , обратной к знаменателю .
Сначала разделим на 4 числитель и знаменатель искомой дроби , а затем представим её как произведение	числителя	и величины , обратной к знаменателю .
Степень отношения двух чисел равна отношению степени	числителя	к степени знаменателя .
Как показать , что любая дробь после нескольких умножений ( или делений ) на 2 её	числителя	и знаменателя приводится к виду , когда возможно применение формулы ? .
Тем самым каждому натуральному числу n однозначно сопоставляется	число	.
Пусть s — отрицательное	число	.
Тогда уравнение имеет вид и любое	число	является корнем этого уравнения .
Каким может быть наибольшее	число	кур и овец , если известно , что у них всего 22 ноги ? .
Как показать , что формулы , где k — целое	число	, также задают все целые решения уравнения ? .
Погрешность произведения приближения на фиксированное	число	.
Для числа 120 275 выполняется двойное неравенство 120 275 120 275 120275,5 , поэтому	число	120 275 находится в промежутке .
Нетрудно понять , что вместо четырёх равных отрезков на стороне угла можно взять любое другое	число	равных отрезков и провести аналогичное рассуждение .
Возьмём	число	а 31 415,9 и рассмотрим число равное 3,14159 .
Отсюда видно , что наименьшее	число	кур и овец равно 6 , когда число овец равно 5 , а курица одна .
Возьмём число а 31 415,9 и рассмотрим	число	равное 3,14159 .
2.7 Умножение обеих частей неравенства на отрицательное	число	.
График этого уравнения состоит из всех точек , координаты которых имеют вид , где а — любое	число	.
Таким образом , число 30 000 является приближением снизу , а	число	40 000 — приближением сверху числа 31 415,9 , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 10 000 104 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является число 3 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является	число	4 .
Отсюда видно , что наименьшее число кур и овец равно 6 , когда	число	овец равно 5 , а курица одна .
Второе неравенство получается из первого , если к каждой из частей первого неравенства прибавить	число	5 .
Таким образом ,	число	30 000 является приближением снизу , а число 40 000 — приближением сверху числа 31 415,9 , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 10 000 104 .
Тогда найдётся такое фиксированное	число	k , что .
1.2 Укажите уравнение , имеющее корнем	число	5 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является	число	3 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является число 4 .
2.4 Укажите все числа а , для каждого из которых найдётся хотя бы одно такое	число	b , что пара ( а ; b ) является решением системы .
Округлим	число	0,47 до разряда единиц .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье нечётное	число	а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Поэтому является одним из делителей числа 152 , и частное от деления 152 на даёт	число	, которое меньше .
Второе нечётное	число	а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное число аk+1 имеет вид .
Обозначим первое нечётное	число	1 через а1 .
Тогда общее	число	ног равно , откуда по условию .
2.2 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего разряда после запятой будет	число	-0,047 ? .
Обозначим через х число кур , а через у —	число	овец .
Обозначим через х	число	кур , а через у — число овец .
Сколько кур и сколько овец гуляют во дворе , если известно , что у них всего 22 ноги , а общее	число	кур и овец самое меньшее , какое может быть ? .
Однако в этом случае в записи числа а цифра третьего разряда после запятой равна 5 , поэтому а b , но	число	а так же , как и в примере 2 , попало в промежуток .
Прибавив к обеим частям первого неравенства число с , к обеим частям второго неравенства	число	b , получим два неравенства .
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное	число	от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное число от 1 до 60 ? .
6 Какой угол образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 5 часов ; б ) 8 часов ; в ) 2 часа 30 минут ; г ) 7 часов 30 минут ; д ) к часов m минут , где к — некоторое натуральное число от 1 до 12 , а m — некоторое натуральное	число	от 1 до 60 ? .
Прибавив к обеим частям первого неравенства	число	с , к обеим частям второго неравенства число b , получим два неравенства .
Для числа 2 000 000 его десятичным приближением снизу с точностью до 104 является	число	2 000 000 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 104 является число 2 010 000 .
1.3 Какое наибольшее	число	внутренних прямых углов может иметь шестиугольник ? .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,295 до второго разряда после запятой является	число	-5,30 .
Для числа 2 000 000 его десятичным приближением снизу с точностью до 104 является число 2 000 000 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 104 является	число	2 010 000 .
Уже в далёкой древности выяснилось , что это	число	— нецелое .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое	число	больше третьего числа .
Из соображений практического удобства	число	суток в году округляют до 365 .
Напомним , что если а > 0 , то	число	а положительно ; если а < 0 , то число а отрицательно .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое число больше второго числа , а второе	число	больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Следовательно ,	число	с является решением неравенства .
Одним из свойств , используемых при доказательстве неравенств , является транзитивность неравенств : если из трёх чисел первое	число	больше второго числа , а второе число больше третьего числа , то первое число больше третьего числа .
Подставим вместо буквы а	число	2 на все те места , где встречается буква а , и вместо буквы b выражение на все те места , где встречается буква b.
Прибавим к обеим частям этого уравнения	число	-3 .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное	число	, то нечётное число аk+1 имеет вид .
Предположим , что	число	с является корнем этого уравнения , то есть Такого числового неравенства не может быть , так как при любом значении с левая часть полученного числового неравенства равна -10 , что меньше числа -5 .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ;	число	d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Второе нечётное число а2 имеет вид , третье нечётное число а3 имеет вид и так далее : если аk — k - е нечётное число , то нечётное	число	аk+1 имеет вид .
Пусть	число	с является решением неравенства , то есть .
Целочисленным решением уравнения является любая пара чисел , где m — произвольное целое	число	.
Следовательно ,	число	в формуле линейной функции характеризует угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох .
Умножая обе части последнего числового неравенства на отрицательное	число	s получим числовое неравенство или , иначе .
По этой причине	число	k в формуле называют угловым коэффициентом прямой .
Для числа 0,47 выполняется двойное неравенство , поэтому	число	0,47 находится в промежутке .
Для любого положительного числа b , для которого	число	10 - 4 · b не является целым , аналогично определяются десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 104 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 104 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 104 больше числа b .
Пусть	число	с является корнем первого неравенства , то есть .
Тогда из свойств числовых неравенств следует , что , то есть	число	с — корень второго неравенства .
Прибавив к обеим частям исходного неравенства	число	-1 , получим .
Аналогично , если число а меньше числа b , то есть	число	b больше числа а , то можно применить любую из записей : а < b или b > а .
При натуральных значениях z и х числа в этом равенстве тоже натуральные , причём в произведении дают	число	152 .
Пусть	число	а является корнем этого уравнения , то есть выполняется равенство .
Округлим	число	0,517 до разряда единиц .
Тогда его решением является любая пара чисел где а — произвольное	число	.
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до разряда единиц является	число	-120 276 .
Для сравнения между собой обратных к ним чисел 1 / a и 1 / b можно левую и правую части исходного неравенства домножить на ненулевое	число	В результате может получиться одно из двух неравенств .
Отсюда следует , что на оси Оу	число	и b/2 является координатой середины отрезка с концами в точках с координатами d и f .
Умножим на	число	обе части неравенства .
Если окружность имеет радиус r , то длина окружности имеет длину 2дг , где π b 3,1415 — это	число	, показывающее , во сколько раз длина окружности больше длины удвоенного радиуса .
Для числа 0,517 выполняется двойное неравенство , поэтому	число	0,517 находится в промежутке .
Найдём теперь , какой номер s имеет в этой прогрессии	число	199 , используя формулу общего члена арифметической прогрессии .
Докажите , что , где n — натуральное	число	, большее 1 .
Докажите , что , где n — натуральное	число	.
2.1 Для каких из указанных чисел результатом округления до третьего разряда после запятой будет	число	23,456 ? .
В примере 4 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до разряда единиц является	число	120 276 .
8 Как доказать , что если	число	а больше 1 , то любая натуральная степень числа а больше 1 ? .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным числом , само	число	d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Отсюда следует , что формулы , где m — целое	число	, задают все целочисленные решения уравнения Например , если .
Сравнительно просто пересчитать	число	учеников в классе или число страниц в не очень толстой тетради .
Пусть r — положительное	число	.
Пусть m — натуральное	число	.
Подставив	число	5 вместо х в уравнение , получим равенство .
Рассмотрим положительное	число	а , записанное в виде десятичной дроби , например а 42,4056 .
11 Сформулируйте свойство об умножении на положительное	число	обеих частей неравенства .
В этой записи	число	42 называют целой частью числа а , число 0,4056 называют дробной частью числа а .
В случае округления до разряда 102 можно представить данное	число	2013,2013 в виде 20,132013 · 102 .
2.4 В каких случаях указанное натуральное	число	является десятичным приближением сверху для соответствующего второго числа ? .
Таким образом , корнем уравнения может быть только	число	5 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 5 .
В этой записи число 42 называют целой частью числа а ,	число	0,4056 называют дробной частью числа а .
Прибавим к обеим частям	число	-2 .
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что целое число 3у делится без остатка на	число	7 .
Пусть	число	а является корнем данного уравнения , то есть выполняется числовое равенство .
Докажите , что если точка М не лежит на границе стоугольника и	число	точек пересечения нечётно , то точка М лежит внутри стоугольной области .
Поскольку результатом округления числа 20,132013 до разряда единиц является	число	20 , то результат округления исходного числа до разряда 102 можно записать в виде 20 · 102 .
В примере 8 было определено , что результатом округления числа 120275,7 до разряда десятков является	число	120 280 .
Если из всех частей соотношения вычесть	число	42 , то получим соотношение , то есть дробная часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным числом , меньшим 1 .
Рассмотрим прямолинейную зависимость Графиком Г этой зависимости называют график уравнения то есть множество всех точек вида с координатами где а — любое	число	.
Подставив	число	-8 вместо х в уравнение , получим числовое равенство .
Произвольную точку М плоскости соединили отрезком с вершиной А и подсчитали	число	точек пересечения отрезка МА с границей стоугольника .
Таким образом , число 42 является приближением снизу , а	число	43 — приближением сверху числа а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 1 , то есть .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,517 до разряда единиц является	число	-1 .
Таким образом ,	число	42 является приближением снизу , а число 43 — приближением сверху числа а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 1 , то есть .
Всякое	число	, большее 5 , является решением этого неравенства .
Сколько учеников в классе , если их	число	больше 32 и меньше 35 , причём девочек на 3 больше , чем мальчиков ? .
Результатом округления числа 2,0132013 до разряда единиц является	число	2 , поэтому результат округления исходного числа до разряда 103 можно записать в виде 2 · 103 .
Является ли	число	5 корнем уравнения ? .
Любое ненулевое число будет его корнем , но	число	0 не является корнем этого неравенства .
При этом	число	а может быть любым .
Таким образом , корнем уравнения может быть только	число	-8 , то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа -8 .
В случае же округления до разряда 103 можно представить данное	число	2013,2013 в виде 2,0132013 · 103 .
Любое ненулевое	число	будет его корнем , но число 0 не является корнем этого неравенства .
Если	число	не равно нулю , то уравнения и уравнение имеют единственный корень .
При этом	число	b может быть любым .
В результате получаем , что	число	5 является единственным корнем уравнения .
Умножив обе части этого равенства на ненулевое	число	1/2 , получим равенство .
Приведя подобные в каждой части , получим : Умножим обе части последнего равенства на ненулевое	число	.
В результате получится : — не целое	число	; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
6 Что называют графиком уравнения , где k — фиксированное	число	? .
2.3 Какое	число	пар взаимно перпендикулярных сторон может быть в многоугольнике ? .
Рассмотрим	число	2013,2013 .
2.2 Какое	число	различных пар непересекающихся прямых могут образовывать прямые , содержащие стороны некоторого шестиугольника ? .
В результате получится : — не целое число ; — не целое	число	; — не целое число ; — не целое число ; — целое число .
Так как числа 7 и 3 взаимно просты , то это может быть только в том случае , когда	число	у делится на 7 .
Подставив	число	-3/8 вместо х в уравнение , получим запись , которая является числовым равенством .
Пусть	число	а является корнем данного уравнения , то есть верно числовое равенство .
Значит ,	число	-3/8 является корнем уравнения .
Так как m является целым числом , то х 3т тоже целое	число	.
В результате получаем , что	число	, равное является единственным корнем уравнения .
2.2 Каким может оказаться	число	пар равных сторон на чертеже некоторого параллелограмма ? .
Значит , у 7т , где m — некоторое целое	число	.
Округляя	число	1529,3 до разряда единиц , получим 1529 .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое	число	; — не целое число ; — целое число .
1.1 Какое	число	является одновременно приближением снизу для чисел 2,36 и 2,40 ? .
Таким образом , корнем уравнения может быть только	число	3/2 то есть уравнение не может иметь корней , отличных от числа 3/2 .
Следовательно , любая пара чисел вида , где b — произвольное	число	, является решением уравнения .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120275,7 до разряда десятков является	число	-120 280 .
При округлении того же самого числа 2013,2013 до разряда тысяч опять - таки получим	число	2000 .
Подставив	число	вместо х в уравнение , получим запись которая является числовым равенством .
Значит ,	число	является корнем уравнения .
Вычитая из всех частей двойного неравенства а1 < а < а2	число	b , получим двойное неравенство .
В результате получаем , что	число	, равное 3/2 , является единственным корнем уравнения .
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — целое	число	.
В результате получится : — не целое число ; — не целое число ; — не целое число ; — не целое	число	; — целое число .
Её можно оценить сверху , то есть найти	число	, заведомо превосходящее эту абсолютную погрешность .
Одной из оценок сверху для абсолютной погрешности является	число	равное расстоянию между концами промежутка .
9 Запишите	число	-а , если а равно .
Прибавив к обеим частям этого равенства	число	-1 , получим равенство .
Ранее мы видели , что	число	-3/7 является корнем уравнения .
Пусть	число	с — решение этого неравенства , то есть .
Округлим	число	120275,7 до разряда единиц .
Пусть М —	число	узлов клетчатой бумаги , находящейся внутри многоугольной области с вершинами в узлах сетки , К — число узлов на границе , включая вершины , и S — площадь многоугольной области .
Округлим	число	120 275 до разряда единиц .
2.1 Укажите все линейные уравнения , у которых	число	2 является решением .
8 Сформулируйте правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m — натуральное	число	.
В результате рассмотрений предыдущего и этого пунктов показано : на координатной плоскости график уравнения , где k — фиксированное положительное	число	, есть прямая , проходящая через начало системы координат и точку ( 1 ; k ) .
Пусть	число	с является решением данного неравенства , то есть выполняется числовое неравенство .
Для любого положительного числа b , для которого	число	100b не является целым , то есть среди десятичных знаков числа b , стоящих правее второго знака после запятой , есть хотя бы один ненулевой знак , аналогично определяются десятичное приближение снизу с точностью до 0,01 и десятичное приближение сверху с точностью до 0,01 , причём десятичное приближение снизу числа b с точностью до 0,01 меньше числа b ; десятичное приближение сверху числа b с точностью до 0,01 больше числа b .
Обратно , если	число	d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям неравенства число -D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
На первом месте пары стоит число , которое мы подставляем вместо переменной х , на втором месте стоит	число	, которое мы подставляем вместо переменной у .
Если известно , что число а больше числа b , то это можно записать в виде строгого неравенства а > b или также в виде строгого неравенства b < а , поскольку в этом случае	число	b меньше числа а .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что	число	а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
Сравнительно просто пересчитать число учеников в классе или	число	страниц в не очень толстой тетради .
Попробуйте , однако , сосчитать	число	зёрен в килограмме риса ! .
1.2 Укажите уравнение , которое при b b 2 имеет решением любое	число	.
На первом месте пары стоит	число	, которое мы подставляем вместо переменной х , на втором месте стоит число , которое мы подставляем вместо переменной у .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -120 275 до разряда единиц является	число	-120 275 .
Пусть М — число узлов клетчатой бумаги , находящейся внутри многоугольной области с вершинами в узлах сетки , К —	число	узлов на границе , включая вершины , и S — площадь многоугольной области .
Аналогично , если	число	а меньше числа b , то есть число b больше числа а , то можно применить любую из записей : а < b или b > а .
2.1 Укажите уравнения , имеющие корнем	число	0 .
Для числа 2,01 его десятичным приближением снизу с точностью до 0,01 является число 2,01 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 является	число	2,02 .
Для числа 2,01 его десятичным приближением снизу с точностью до 0,01 является	число	2,01 ; его десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 является число 2,02 .
2.2 Укажите уравнения , у которых	число	корней больше одного .
Так как числа 7 и 5 взаимно просты , то все целочисленные решения уравнения можно записать в виде ( -5 m ; 7 m ) , где m — любое целое	число	.
Таким образом , каждое	число	, большее числа , является решениями данного неравенства .
Умножив обе части этого неравенства на положительное	число	, получим неравенство .
В случае , когда 100d является целым положительным числом , само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ;	число	d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее число , называемое величиной этого угла ; это	число	показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Выбор некоторого плоского угла в качестве единичного позволяет для любого плоского угла указать подходящее	число	, называемое величиной этого угла ; это число показывает , сколько эталонных углов или их частей надо сложить , чтобы получить данный угол .
Умножив обе части этого неравенства на положительное	число	2 , получим неравенство .
5 Для каждой из следующих систем : 1 ) определите , на какое	число	нужно умножить обе части первого уравнения в системе таким образом , чтобы коэффициент при х стал в обоих уравнениях системы одинаковым ;
Возьмём произвольное	число	d , такое , что .
После выбора единицы измерения углов любому плоскому углу соответствует определённое численное значение : это	число	показывает , сколько нужно взять эталонных углов и частей эталонных углов , чтобы в сумме получить этот угол .
В случае , когда 100d является целым положительным числом , само	число	d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
В примере 5 было определено , что результатом округления числа 120 275 до разряда единиц является	число	120 275 .
Таким образом , число 42,40 является приближением снизу , а	число	42,41 — приближением сверху числа а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 0,01 .
Можно , например , сосчитать	число	зёрен в одном грамме риса , а результат умножить на 1000 .
Для графического представления функции рассмотрим промежутки числовой прямой вида , где n — целое	число	.
2 Какое	число	называют положительным ? .
Следовательно ,	число	не меньше 1 , а значит , не может равняться нулю .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства	число	-5 , получаем числовое неравенство , то есть число d принадлежит множеству решений неравенства .
Пусть	число	d больше 5 , то есть .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -0,47 до разряда единиц является	число	0 .
Для числа 120275,7 выполняется двойное неравенство , поэтому	число	120275,7 находится в промежутке .
3 Какое	число	называют отрицательным ? .
Обратно , покажем , что всякое	число	, большее 5 , будет решением данного неравенства .
Следовательно , всякое решение с данного неравенства является числом , большим 5 , то есть	число	с принадлежит множеству решений неравенства .
Другими словами ,	число	42 получено из числа а отбрасыванием стоящих после запятой всех знаков дробной части .
В результате получаем , что	число	-8 является единственным корнем уравнения .
Всякое	число	, заключённое между приближениями сверху и снизу , может считаться приближённым значением измеряемой величины .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства	число	5 , получаем числовое неравенство .
В примере 7 было определено , что результатом округления числа 0,517 до разряда единиц является	число	1 .
Таким образом ,	число	42,40 является приближением снизу , а число 42,41 — приближением сверху числа а , и абсолютная погрешность каждого из этих приближений меньше 0,01 .
Действительно , мы знаем , что квадрат любого числа — это неотрицательное	число	.
Возьмём	число	а 5,29459 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является число 4240 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является	число	4241 .
Для него десятичным приближением снизу с точностью до 1 является	число	4240 , десятичным приближением сверху с точностью до 1 является число 4241 .
Рассмотрим	число	100а , равное 4240,56 .
К примеру , для указания количества зёрен в килограмме риса	число	220 000 использовать гораздо удобнее , чем 223 561 или 218 734 .
1.1 Укажите уравнение , которое имеет своим корнем	число	2 .
Целой частью числа х называется наибольшее целое	число	n , которое меньше либо равно х .
Какие корни имеет уравнение ах b а , где а — фиксированное	число	, х — неизвестная величина ? .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на числовой прямой с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а	число	b — левее числа 0 ? .
Так как х и у — целые числа , то из равенства следует , что целое	число	3у делится без остатка на число 7 .
Прибавляя к обеим частям этого числового неравенства число -5 , получаем числовое неравенство , то есть	число	d принадлежит множеству решений неравенства .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным числом , его целая часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ;	число	d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
Целая часть числа х равна n , если число х содержится в промежутке , где n — некоторое целое	число	.
Если известно , что	число	а больше числа b , то это можно записать в виде строгого неравенства а > b или также в виде строгого неравенства b < а , поскольку в этом случае число b меньше числа а .
В примере 6 было определено , что результатом округления числа 0,47 до разряда единиц является	число	0 .
Целая часть числа х равна n , если	число	х содержится в промежутке , где n — некоторое целое число .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям неравенства	число	-D(d ) , получим неравенство , также по свойству .
9 Как оценивается абсолютная погрешность округления до разряда 10 m , где m — натуральное	число	? .
1 Какое наибольшее целое	число	можно записать четырьмя цифрами в двоичной системе счисления ? .
Сформулируем правило округления положительного числа до разряда 10 m , где m — натуральное	число	.
Рассмотрим	число	миллион .
Десятичным приближением снизу числа а с точностью до 10 m называется	число	, равное b · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
Как называется	число	, обозначенное буквой к в записи выражающей прямую пропорциональную зависимость переменной у от переменной ? .
Возведём	число	в шестую степень .
Таким образом ,	число	, обратное аn , есть .
1.4 Пары чисел , где m — целое	число	, являются решением уравнения в целых числах .
12 Сформулируйте свойство об умножении на отрицательное	число	обеих частей неравенства .
Это	число	равно , его можно записать также в виде .
1.8 Умножение на положительное	число	обеих частей неравенства .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29459 до второго разряда после запятой является	число	-5,29 .
6 Приведите пример фигуры , имеющей бесконечное	число	центров симметрии .
Число а1 называют первым членом этой последовательности ,	число	а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим членом и так далее .
Если	число	а является корнем данного уравнения , то выполняется числовое равенство .
3 Какую прямую задаёт уравнение у а , где а —	число	? .
Число а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым членом ,	число	а3 называют третьим членом и так далее .
На координатной плоскости точки ( n ; аn ) , где n — произвольное натуральное	число	, лежат на графике линейной функции .
1.1 Чему равно	число	.
1.2 Какому из произведений равно	число	159 ? .
Какое из чисел больше : а или b . 1.9 Умножение на отрицательное	число	обеих частей неравенства .
На координатной плоскости множество всех точек вида , где k — фиксированное	число	, есть прямая .
Десятичным приближением сверху числа а с точностью до 10 m называется	число	, равное ( 6 4 - 1 ) · 10 m , где b — целая часть числа а · 10 m .
Рассмотрим для примера	число	2 .
третье справа	число	в 50-й строке .
Положим а0 b х. Поскольку , то	число	х должно быть решением уравнения .
4 От дома до школы 500 м , а длина шага у Пети 50 5 см. Сосчитав	число	шагов по дороге в школу и обратно , Петя обнаружил , что результаты различаются на 220 шагов .
Рассмотрим , например , выражение nR2H , которое применяется для вычисления объёма цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. В этом случае буквой π обозначено конкретное	число	, равное отношению длины окружности к её диаметру .
Следствием рассмотренных свойств неравенств является следующее важное заключение : квадрат любого ненулевого числа —	число	положительное , нулю равен только квадрат числа нуль .
в ) крайнее правое число в 91-й строке . г ) второе справа	число	в 91-й строке .
в ) крайнее правое	число	в 91-й строке . г ) второе справа число в 91-й строке .
Из рассмотрения примера 1 следует , что результатом округления числа 5,29459 до второго разряда после запятой является	число	5,29 .
Этому уравнению удовлетворяет любое	число	.
В результате видно , что	число	( 2 · 3)4 равно произведению чисел 24 и 34 , то есть .
Заметим , что . Будем считать :	число	-40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 , число -30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
3 Пусть С обозначает	число	градусов по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее число градусов по шкале Фаренгейта .
Такое же соглашение принято и в других подобных случаях : если , где а 0 , а не равно 1 и b 0 , то	число	n называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают logub .
Возьмём фиксированное	число	с .
Как доказать , что если r — отрицательное	число	, то неравенство равносильно неравенству .
3 Пусть С обозначает число градусов по шкале Цельсия , a F обозначает соответствующее	число	градусов по шкале Фаренгейта .
2 Как определяется	число	а в степени 1 ? .
2 Какое	число	называют : а ) неотрицательным ; б ) неположительным ? .
4 Какое	число	называют решением ( корнем ) нестрогого неравенства ? .
Складывая соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на число ( -а2 ) , а второе уравнение на	число	ах , получим .
3 Найдите	число	χη+ι , если известно , что . 4 .
Складывая соответственно левые и правые части этих уравнений , получаем/. Аналогично домножив первое уравнение начальной системы на	число	( -а2 ) , а второе уравнение на число ах , получим .
11 Пусть а — фиксированное	число	.
1.3 На каком месте в последовательности степеней числа 3 находится	число	, равное 273 ? .
Таким образом ,	число	а является корнем уравнения .
Пусть m — целое	число	.
Округлим	число	120275,7 до разряда десятков .
Домножив первое уравнение на число b2 , а второе уравнение на	число	( -b1 ) , получим .
Рассмотрим	число	210 и произведения степеней числа 2 , сумма показателей степеней которых равна 10 , например , 26 · 24 и 25 · 25 .
Какое	число	одновременно не отрицательно и не положительно ? .
Домножив первое уравнение на	число	b2 , а второе уравнение на число ( -b1 ) , получим .
В самом деле ,	число	аm состоит из m одинаковых сомножителей , равных а ; число аn — из n таких же сомножителей .
В самом деле , число аm состоит из m одинаковых сомножителей , равных а ;	число	аn — из n таких же сомножителей .
Полученное	число	21 является значением буквенного выражения при выбранных значениях букв .
Рассмотрим , например ,	число	( 24)3 .
Это	число	по определению равно 24 · 24 · 24 , его можно записать также в виде .
В результате видно , что	число	( 24)3 равно произведению сомножителей , каждый из которых равен 2 , то есть .
Рассмотрим	число	а 5,295 , которое имеет те же самые десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же полусумму этих приближений , что и в примерах 1 и 2 .
4 Какой вид на координатной плоскости имеет множество всех точек ( х ; у ) при , где b —	число	? .
Например , возьмём	число	( 2 · 3)4 .
Это	число	по определению равно , его можно записать также в виде .
Из рассмотрения примера 2 следует , что результатом округления числа 5,29817 до второго разряда после запятой является	число	5,30 .
б ) среднее	число	в 9-й строке .
а ) третье	число	слева в 7-й строке .
Пусть величина у прямо пропорциональна величине х , то есть , где к — фиксированное ненулевое	число	.
Какое	число	различных пар вертикальных углов может при этом получиться ? .
Покажем , что	число	7100 - 2100 делится на 45 .
Может ли	число	0 быть десятичным приближением с некоторой точностью для отрицательного числа ? .
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное	число	делится на 3 без остатка .
III Любая буква , обозначающая постоянное ненулевое	число	, является одночленом нулевой степени .
Обозначив через М натуральное	число	, равное , получим .
Пусть r — ненулевое	число	.
Рассмотрим	число	а 5,29817 , которое имеет те же самые десятичные приближения снизу и сверху с точностью до 0,01 и ту же полусумму этих приближений , что и в примере 1 .
В результате получаем , что	число	а будет корнем уравнения .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то	число	b будет также корнем уравнения .
Покажем , что	число	делится на 3 .
Вычислив значение , сможем найти	число	зёрен , которое запросил в награду изобретатель шахматной игры .
Общее	число	зёрен представляет собой сумму как это следует из ранее записанного равенства .
Верно и обратное : если	число	b является корнем уравнения , то число b будет также корнем уравнения .
Отсюда следует , что стоящее слева натуральное	число	делится на 45 без остатка , что и требовалось показать .
Разделим обе части на	число	2 .
Как представить одночлен , где π — постоянное	число	, в виде произведения двух одночленов ? .
Рассмотрим простейший случай , когда ищется	число	, обратное к числу , близкому к единице .
Подставим вместо переменной а	число	2 и получим числовое равенство .
Заметим , что . Будем считать : число -40 000 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного - 31 415,9 , с точностью до 10 000 ,	число	-30 000 десятичным приближением сверху для данного отрицательного числа а с точностью до 10 000 .
2.7 Умножение обеих частей уравнения на ненулевое	число	.
Пусть задано близкое к единице	число	а .
1 ) сложение двух многочленов . 2 ) деление многочлена на	число	, не равное 0 . 3 )
Как доказать , что если число b является корнем уравнения , то это	число	b будет также корнем уравнения .
Пусть р b -m , где m — натуральное	число	.
1 Какой вид имеет приближённая формула для нахождения результата от деления единицы на	число	, близкое к единице ? .
Как доказать , что если	число	b является корнем уравнения , то это число b будет также корнем уравнения .
Умножив все части этого неравенства на	число	-1 , получим .
Обратно , если	число	а является корнем уравнения , то выполняется числовое равенство .
Умножим обе части равенства на ненулевое	число	1/5 .
Верно и обратное : если число b является корнем уравнения , то это	число	b будет также корнем исходного уравнения .
1.3 Пары чисел , где m — целое	число	, являются решением уравнения в целых числах .
Аналогичное равенство остаётся верным и в том случае , если вместо основания степени 2 взять любое ненулевое	число	а .
Для любого ненулевого числа а определим а как	число	, равное как число , равное , и так далее , то есть положим для произвольного натурального числа n , то выполняется следующее свойство .
Для любого ненулевого числа а определим а как число , равное как	число	, равное , и так далее , то есть положим для произвольного натурального числа n , то выполняется следующее свойство .
Это	число	называют разностью арифметической прогрессии и обычно обозначают буквой d .
Например ,	число	99 999 999 можно записать в виде .
Если для натурального числа m степень аm определена , то для натурального числа степень определяем как	число	, равное .
Всякое натуральное	число	от 1 до 99 999 999 в двоичном коде можно записать в виде 27-значного выражения , используя только цифры 0 и 1 .
Каждый следующий элемент этой последовательности в два раза меньше стоящего перед ним элемента , то есть получается умножением на	число	.
3 ) В каждой строке , начиная с номера 2 , всякое	число	строки , кроме начального и последнего , получается сложением находящихся слева и справа от него двух чисел предыдущей строки .
Действительно , если	число	а не равно нулю , то произведение состоит из сомножителей одного знака и потому а2 > 0 .
Если а2 b 0 , то	число	а не является ни положительным , ни отрицательным .
Последовательность ненулевых чисел называют геометрической прогрессией , если каждый её элемент , начиная со второго , получается из предыдущего элемента умножением на одно и то же	число	q , не равное нулю .
Каждое	число	, начиная со второго , получается умножением предыдущего числа на 3 .
Верно и обратное : если	число	b является корнем уравнения , то это число b будет также корнем исходного уравнения .
Стоящее на первом месте	число	2 называют первым членом или первым элементом этой геометрической прогрессии .
4 Докажите , что центрально симметричный многоугольник имеет чётное	число	вершин .
В новых обозначениях геометрическую прогрессию можно определить как такую последовательность чисел аn , для которой при всех натуральных n выполняется равенство , где q — не зависящее от номера n отличное от нуля	число	, называемое знаменателем геометрической прогрессии .
1 Как определяется	число	а0 ? .
Какое максимальное	число	углов , равных 117 ° , может быть ? .
При решении уравнений с одним неизвестным используют правила , позволяющие получать равносильные уравнения : изменение местами частей уравнения ; выполнение тождественных преобразований в левой или правой части ; прибавление к обеим частям уравнения одного и того же всюду определённого выражения ; умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое	число	.
Заменив в тождестве букву а на переменную х и букву b на	число	-1 , получим тождество .
Подставляя в это тождество переменную х вместо буквы а и	число	5 вместо буквы b , получаем тождество .
Будем считать	число	-43 десятичным приближением снизу для отрицательного числа а , равного -42,4056 , с точностью до 1 .
Для примера в качестве основания степени возьмём	число	2 .
Следовательно ,	число	d является решением нестрогого неравенства .
Одночлен , где π — постоянное	число	, имеет коэффициент и степень 3 , равную .
Как привести к стандартной форме одночлен , где π - постоянное	число	? .
Однако в этом случае в записи числа а цифра третьего разряда после запятой больше 5 , поэтому а b и	число	а лежит в промежутке .
2.1 При каких значениях n	число	больше ? .
2.2 За приближённое значение суммы величин выбрали	число	20,5 .
2 Как определяется	число	а-1 для ненулевого числа а ? .
8 Докажите , что если , где m и n — целые числа , то — целое	число	.
В этой записи число 2 является основанием степени , а	число	4 — показателем степени .
Пусть а и b — любые ненулевые числа , m — произвольное целое	число	.
При этом	число	3 называют основанием степени , а число 5 называют показателем степени .
В этом случае число 2 — основание степени ,	число	10 — показатель степени .
Если выполняется неравенство , то	число	а называют неположительным .
Следовательно ,	число	с является решением нестрогого неравенства .
В этом случае	число	2 — основание степени , число 10 — показатель степени .
Также можно взять любое	число	а и рассмотреть последовательность степеней числа а с натуральными показателями .
В этом случае число 10 — основание степени , а	число	6 — показатель степени .
В этом случае	число	10 — основание степени , а число 6 — показатель степени .
Заметим , что	число	-2187 можно представить в виде произведения .
Аналогично —	число	1 000 000 можно записать в виде 106 .
При этом число 3 называют основанием степени , а	число	5 называют показателем степени .
Положим , что результатом округления отрицательного числа -5,29817 до второго разряда после запятой является	число	-5,30 .
На каком месте в последовательности всех степеней числа 5 с натуральными показателями находится	число	3125 ? .
По правилу сложения приближений определяем , что	число	является приближённым значением суммы , причём абсолютная погрешность этого приближения не больше Значит .
Следовательно , все пары вида ( -2 ; а ) , где а любое	число	, являются решениями второго уравнения системы .
Чтобы сократить запись произведения нескольких одинаковых чисел , это	число	записывают только один раз , а сверху справа указывают количество этих одинаковых сомножителей в произведении .
1.2 При каком значении а система имеет бесконечное	число	решений ? .
Обратно , если	число	d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства число -D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Этот промежуток содержит	число	2 и все числа , расположенные между числами 2 и 3 .
В этом случае основанием степени является	число	-3 .
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть число -10 можно взять основанием степени , и в этом случае	число	1 000 000 представляется в виде шестой степени числа -10 .
Пусть число -b отрицательно , m — фиксированное целое	число	.
Пусть b — фиксированное	число	.
Если теперь для числа а и натурального числа к определено	число	аk , то принимаем , по определению .
2.2 Пусть b — фиксированное положительное	число	.
1.1 Пусть b — фиксированное	число	.
Если выполняется неравенство , то	число	а называют неотрицательным .
9 Что называется десятичным приближением положительного числа снизу ( сверху ) с точностью до 10 m , где m — натуральное	число	? .
Для числа 1 000 000 возможна также запись , то есть	число	-10 можно взять основанием степени , и в этом случае число 1 000 000 представляется в виде шестой степени числа -10 .
Подсчитаем	число	М узлов , которые лежат строго внутри « жука » , и получим М 18 .
Этот промежуток содержит	число	2 , число 3 и все числа , расположенные между числами 2 и 3 .
Формула остаётся верной и когда вместо суммы рассматривается только одно	число	1 .
В этой записи	число	2 является основанием степени , а число 4 — показателем степени .
Этот промежуток содержит число 2 ,	число	3 и все числа , расположенные между числами 2 и 3 .
Что получится , если обе части неравенства умножить на	число	? .
Подсчитаем	число	К узлов , которые лежат на границе « жука » , и получим К - 50 .
Предположим , что	число	а является корнем этого уравнения , то есть .
Таким образом , для любого числа а и любого натурального числа n мы определили	число	аn .
1.4 Укажите	число	а , для которого найдётся хотя бы одно такое число b , что пара ( а ; b ) является решением системы .
Запись означает , что точное значение а1 неизвестно , однако	число	b1 12,6 приближает его с абсолютной погрешностью , не превосходящей 0,05 .
Так ,	число	а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ; число а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
Напомним , что если а > 0 , то число а положительно ; если а < 0 , то	число	а отрицательно .
4.4 Умножение приближённого значения на фиксированное	число	.
2.1 Для каких из перечисленных неравенств любое	число	является решением ? .
В записи числа а цифра третьего разряда после запятой меньше 5 , поэтому а b и	число	а оказывается в промежутке .
Следовательно ,	число	d является решением неравенства .
7 Отложите на числовой оси	число	2 с помощью циркуля и линейки .
Из рассмотрения примера 3 следует , что результатом округления числа 5,295 до второго разряда после запятой является	число	5,30 .
Следовательно ,	число	а является корнем уравнения .
Разделим обе части на ненулевое	число	4 .
Представим 0,94 в виде , а затем воспользуемся формулой ,	число	х в которой равно -0,06 .
Как вы будете находить	число	, равное кубу числа ( -4 ) в квадрате ? .
Получаем , что сумма этих положительных чисел — положительное	число	.
Рассмотрим число 2 и	число	16 , которое является четвёртой степенью числа 2 , то есть .
Такими парами координат будут , например , и вообще любая пара чисел , имеющая вид , где а — произвольное	число	.
Как доказать , что если r — положительное	число	, то неравенство равносильно неравенству .
4 Какое	число	называют решением ( корнем ) неравенства ? .
Обратно , если число d является решением неравенства , то есть , то , прибавив к обеим частям нестрогого неравенства	число	-D(d ) , получим либо строгое неравенство , также по свойству , либо равенство .
Так , число а2 называют « а - квадрат » , или « а в квадрате » , или « квадрат числа а » ;	число	а3 называют « а - куб » , или « а в кубе » , или « куб числа а » .
Эти названия объясняются так :	число	а2 равно значению площади квадрата , сторона которого равна а ; число а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
Эти названия объясняются так : число а2 равно значению площади квадрата , сторона которого равна а ;	число	а3 равно значению объёма куба , ребро которого равно а .
Однако можно сказать , что , например ,	число	9 равно числу ( -3 ) в квадрате , поскольку 9 b ( -3)2 .
Пусть	число	-b отрицательно , m — фиксированное целое число .
Положительным или отрицательным будет	число	? .
10 Что называется десятичным приближением снизу ( сверху ) с точностью до 10 m для положительного числа , где m — натуральное	число	? .
1.4 Укажите число а , для которого найдётся хотя бы одно такое	число	b , что пара ( а ; b ) является решением системы .
Аналогично	число	-125 равно числу ( _ 5 ) в кубе , поскольку -125 b ( -5)3 .
Этот промежуток содержит	число	3 и все числа , расположенные между числами 2 и 3 .
Пусть а — фиксированное	число	.
Рассмотрим	число	2 и число 16 , которое является четвёртой степенью числа 2 , то есть .
7 Как обозначается	числовая прямая	в виде промежутка ? .
4.1 Понятие	числового множества	.
Значок читается как « плюс бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль	числовой оси	в положительном направлении .
7 Отложите на	числовой оси	число 2 с помощью циркуля и линейки .
Как на	числовой оси	расположен открытый числовой луч ? .
С другой стороны , в 6 классе было показано , что на	числовой оси	середина отрезка с концами в точках с координатами d и f имеет координату ( d + f ) .
2 Какие примеры множеств точек на	числовой оси	вы знаете ? .
Промежутки на	числовой оси	.
9 Найдите на	числовой оси	точки , находящиеся на расстоянии 2 от точки 5 .
10 Найдите на	числовой оси	точки , находящиеся на расстоянии 4 от точки 1 .
Значок читается как « минус бесконечность » и употребляется как символ , указывающий на неограниченное продолжение вдоль	числовой оси	в отрицательном направлении .
Для графического представления функции рассмотрим промежутки	числовой прямой	вида , где n — целое число .
2 Изобразите на	числовой прямой	множество решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Например , можно говорить о множестве всех целых чисел , о множестве всех точек	числовой прямой	с целыми положительными координатами , о множестве чисел х , удовлетворяющих равенству , о множестве всех решений линейного неравенства .
1 Изобразите на	числовой прямой	множество решений неравенства и запишите обозначение соответствующего промежутка .
Рассмотрим на	числовой прямой	луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке Координата каждой его точки меньше либо равна .
Как на	числовой прямой	расположен замкнутый числовой луч .
Предположим , что на	числовой прямой	числа а , b , α1 и а2 .
Всё сказанное остаётся справедливым и при измерении любых других величин : точное значение измеряемой величины принадлежит промежутку на	числовой прямой	, левым концом которого является приближение снизу , а правым — приближение сверху .
Рассмотрим на	числовой прямой	луч , направленный в положительную сторону , с началом в точке -2 .
Не вводя общего понятия множества , будем называть этим словом произвольный набор чисел , а также произвольный набор точек	числовой прямой	.
Почему на	числовой прямой	противоположные друг другу числа симметричны относительно нуля ? .
Промежутки	числовой прямой	.
Рассмотренные числовые лучи иногда называют промежутками	числовой прямой	.
Рассмотрим на	числовой прямой	луч , направленный в отрицательную сторону , с началом в точке .
Какое из чисел : 1 / a или 1 / b расположено правее на	числовой прямой	с положительным направлением вправо , если известно , что число а расположено правее числа 0 , а число b — левее числа 0 ? .
1 Какие примеры	числовых множеств	вы знаете ? .
Десятичные приближения положительного числа с заданным	числом	знаков после запятой .
Возьмём положительную десятичную дробь , которая не является целым	числом	, например , а 42,4056 .
5 Приведите примеры центрально симметричных ломаных с нечётным	числом	вершин .
Какое из десятичных приближений отрицательного числа — сверху или снизу — может совпасть с этим	числом	? .
В нашем примере таким	числом	является , так как .
Аналогично можно определить шестиугольник , семиугольник и многоугольник любым заданным	числом	вершин .
1.2 Какое из указанных чисел х является наименьшим целым	числом	, которое удовлетворяет неравенству .
Проблема с	числом	дней в году показывает , что при сложении приближённых величин погрешности могут возрастать и иногда достигают больших значений .
Из свойства нуля получаем , что а может быть любым	числом	.
Приближение с заданным	числом	знаков после запятой .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным	числом	, его целая часть , равная самому числу d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
Заметим , что выполняется соотношение , то есть целая часть числа а является наибольшим целым	числом	, не превосходящим числа а .
Так как m является целым	числом	, то х 3т тоже целое число .
Если из всех частей соотношения вычесть число 42 , то получим соотношение , то есть дробная часть числа а , равная а - 42 , где а 0,4056 , является неотрицательным	числом	, меньшим 1 .
В случае , когда 100d является целым положительным	числом	, само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 0,01 ; число d + 0,01 называется десятичным приближением сверху с точностью до 0,01 .
6 У каких правильных n - угольников внутренние углы выражаются целым	числом	градусов ? .
В случае , когда 10 - 4 · d является целым положительным	числом	, само число d называют десятичным приближением снизу числа d с точностью до 104 ; число d + 101 называется десятичным приближением сверху с точностью до 104 .
Следовательно , всякое решение с данного неравенства является	числом	, большим 5 , то есть число с принадлежит множеству решений неравенства .
Однако при х b -3/7 значения обоих выражений равны	числу	23/7 , то есть имеет место равенство .
Поэтому результат исходного числа до разряда 10 2 равен	числу	1529 · 10 - 2 .
Однако можно сказать , что , например , число 9 равно	числу	( -3 ) в квадрате , поскольку 9 b ( -3)2 .
Тем самым каждому натуральному	числу	n однозначно сопоставляется число .
В примерах 1 и 2 в качестве результата округления числа было взято то десятичное приближение до второго разряда после запятой , которое расположено « ближе » к заданному	числу	.
Это значит , что равенство выполняется при любом значении неизвестного у , если значение х равно	числу	- 2 .
1.3 Используя приближённую формулу , определите , какая из приведённых погрешностей точнее всего соответствует приближённому значению 0,97 для величины , обратной к	числу	1,03 . 1 ) с абсолютной погрешностью 0,1 .
Аналогично число -125 равно	числу	( _ 5 ) в кубе , поскольку -125 b ( -5)3 .
Поэтому значение р равняется половине разности а2 - αν то есть равняется	числу	.
Заметим , что разности и так далее все равны одному и тому же	числу	.
Будем считать результатом округления числа 120 275 до разряда единиц десятичное приближение 120 275 , равное в данном примере самому	числу	.
Арифметической прогрессией называется последовательность для которой разности равны одному и тому же	числу	.
Переменная величина у , зависящая от переменной величины х , прямо пропорциональна величине х , если при любом для соответствующего значения у отношение равно одному и тому же ненулевому	числу	k , а значению соответствует значение .
Таким образом , в арифметической прогрессии , начиная со второго члена , разность между каждым членом и предшествующим ему членом равна одному и тому же	числу	.
Рассмотрим простейший случай , когда ищется число , обратное к	числу	, близкому к единице .
Дополнительно в случае , когда d является целым положительным числом , его целая часть , равная самому	числу	d , называется десятичным приближением снизу с точностью до 1 ; число d называется десятичным приближением сверху с точностью до 1 .
3 По какой формуле можно вычислить n - й	член	арифметической прогрессии ? .
Первый	член	.
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 Найдите первый	член	и разность арифметической прогрессии с общим членом а , если известно , что .
При таком способе записи можно сразу же определить , на каком месте стоит тот или иной	член	последовательности .
Первый	член	геометрической прогрессии .
Каким должен быть седьмой	член	геометрической прогрессии из примера 3 ? .
Рассмотрим последовательность , n - й	член	которой вычисляется по формуле .
Рассмотрим арифметическую прогрессию , у которой известны первый	член	а1 и разность d .
6 Что такое первый	член	геометрической прогрессии ? .
Таким образом , зная первый	член	и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии .
1.1 Чему равен 10-й	член	арифметической прогрессии , если ? .
Арифметическая прогрессия , первый	член	.
1.4 Общий	член	арифметической прогрессии задаётся формулой .
Как доказать , что последовательность , n - й	член	которой вычисляется по формуле , является арифметической прогрессией ? .
Первый	член	арифметической прогрессии .
Таким образом , в арифметической прогрессии , начиная со второго	члена	, разность между каждым членом и предшествующим ему членом равна одному и тому же числу .
Найдём теперь , какой номер s имеет в этой прогрессии число 199 , используя формулу общего	члена	арифметической прогрессии .
Арифметическая прогрессия , формула общего	члена	.
Как записать начальные четыре	члена	геометрической прогрессии с первым членом а , и знаменателем q ? .
Подставляя в формулу суммы членов арифметической прогрессии значения первого	члена	прогрессии , её разности и числа слагаемых , получаем .
Полученную формулу иногда называют формулой общего	члена	арифметической прогрессии .
4 Как доказать формулу общего	члена	арифметической прогрессии ? .
Формула для n - го	члена	арифметической прогрессии .
По формуле для общего	члена	арифметической прогрессии имеем , откуда .
2.2 Какие из приведённых последовательностей с	членами	аn , где nb 1 , 2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
2.3 Какие из приведённых чисел являются	членами	арифметической прогрессии с общим членом .
2.4 Какие из приведённых последовательностей с	членами	аn , где пb 1,2 , являются арифметическими прогрессиями ? .
2.1 Какие из приведённых наборов чисел , записанных в указанном порядке , являются последовательными	членами	некоторой арифметической прогрессии ? .
Поэтому эти последовательно записанные шесть чисел являются начальными	членами	геометрической прогрессии .
3 Найдите : 4 Запишите n начальных	членов	геометрической прогрессии , если .
Запишем и вычислим сумму первых пяти	членов	этой прогрессии .
1.2 Чему равна сумма первых 8	членов	арифметической прогрессии с общим членом .
Подставляя в формулу суммы	членов	арифметической прогрессии значения первого члена прогрессии , её разности и числа слагаемых , получаем .
6 По какой формуле можно вычислить сумму n начальных	членов	арифметической прогрессии ? .
1 Запишите семь начальных	членов	последовательности с общим членом аn .
Чему равна сумма первых 10	членов	прогрессии с нечётными номерами ? .
Иногда эту сумму для краткости называют суммой начальных	членов	арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых членов арифметической прогрессии .
Рассмотрим сумму нескольких начальных , последовательно расположенных ,	членов	арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d .
Иногда эту сумму для краткости называют суммой начальных членов арифметической прогрессии , а в случае , если это не вызывает недоразумений — суммой первых	членов	арифметической прогрессии .
Пусть Sn обозначает сумму n начальных	членов	этой прогрессии .
Это пять начальных	членов	геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .
Это семь начальных	членов	геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .
7 Докажите , что если Sm , Sn и Sm+n — суммы соответственно m , n и m + n начальных	членов	одной арифметической прогрессии , то .
3.8 Выражение последующих	членов	геометрической прогрессии через предыдущие .
Арифметическая прогрессия , формула суммы	членов	.
6 Какой функцией определяется сумма n начальных	членов	арифметической прогрессии с первым членом и разностью в зависимости от аргумента n ? .
Таким образом , зная первый член и разность арифметической прогрессии , по этой формуле для любого натурального числа n , большего 1 , можно вычислить сумму n первых	членов	арифметической прогрессии .
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных	членов	геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем .
Аналогичные рассуждения можно провести и для вычисления суммы любого числа начальных	членов	рассматриваемой последовательности .
5 Найдите сумму пяти начальных	членов	геометрической прогрессии , если .
Формула суммы	членов	арифметической прогрессии .
Арифметическая прогрессия , сумма первых	членов	.
Подставляя в формулу для суммы начальных	членов	арифметической прогрессии значения , находим .
6 Найдите сумму n начальных	членов	арифметической прогрессии с первым членом а1 и разностью d , если .
1.2 Чему равна сумма первых 8 членов арифметической прогрессии с общим	членом	.
Число а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым	членом	, число а3 называют третьим членом и так далее .
Для выяснения , является ли данная последовательность арифметической прогрессией , достаточно убедиться , что разность между каждым её членом , начиная со второго , и предыдущим	членом	постоянна .
Число а1 называют первым членом этой последовательности , число а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим	членом	и так далее .
Число b в формуле называют свободным	членом	.
1.3 Чему равна разность арифметической прогрессии с общим	членом	? .
Таким образом , натуральные нечётные числа образуют арифметическую прогрессию с первым	членом	и разностью прогрессии .
Таким образом , в арифметической прогрессии , начиная со второго члена , разность между каждым членом и предшествующим ему	членом	равна одному и тому же числу .
Для выяснения , является ли данная последовательность арифметической прогрессией , достаточно убедиться , что разность между каждым её	членом	, начиная со второго , и предыдущим членом постоянна .
Это семь начальных членов геометрической прогрессии с первым	членом	и знаменателем .
Число а1 называют первым	членом	этой последовательности , число а2 называют вторым членом , число а3 называют третьим членом и так далее .
2.4 Какие значения может иметь сумма нескольких начальных членов геометрической прогрессии с первым	членом	3 и знаменателем .
2 Докажите , что последовательность хn , где n b 1 , 2 , 3 , является арифметической прогрессией , если . 3 Найдите первый член и разность арифметической прогрессии с общим	членом	а , если известно , что .
Рассмотрим сумму нескольких начальных , последовательно расположенных , членов арифметической прогрессии с первым	членом	a1 и разностью d .
Как записать начальные четыре члена геометрической прогрессии с первым	членом	а , и знаменателем q ? .
6 Какой функцией определяется сумма n начальных членов арифметической прогрессии с первым	членом	и разностью в зависимости от аргумента n ? .
1 Запишите семь начальных членов последовательности с общим	членом	аn .
Число аn называют n - м	членом	этой последовательности .
Это пять начальных членов геометрической прогрессии с первым	членом	и знаменателем .
2.3 Какие из приведённых чисел являются членами арифметической прогрессии с общим	членом	.
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым	членом	и разностью , то есть последовательность натуральных чисел .
Отсюда следует , что последовательность чисел a1 а2 , а3 , является арифметической прогрессией с первым	членом	и разностью .
6 Найдите сумму n начальных членов арифметической прогрессии с первым	членом	а1 и разностью d , если .
Таким образом , в арифметической прогрессии , начиная со второго члена , разность между каждым	членом	и предшествующим ему членом равна одному и тому же числу .
Стоящее на первом месте число 2 называют первым	членом	или первым элементом этой геометрической прогрессии .
Сколько земли достанется каждому	члену	общества , если всю отведённую землю поделить поровну ? .
При выделении каждому	члену	общества по 16 соток в сумме получится 16у соток , что больше х на 12 соток .
При выделении каждому	члену	общества по 12,5 сотки в сумме получится 12,5у соток .
Затем приведём подобные	члены	в левой и правой частях .
Переставив средние	члены	пропорции , получим что и требовалось доказать .
Приведём подобные	члены	в левой и правой частях неравенства .
Как доказать , что	члены	арифметической прогрессии можно получить как значения некоторой линейной функции , последовательно вычисленные для натуральных значений переменной х ? .
Приведя подобные	члены	в левой и правой частях , получим , откуда следует , что .
Приводя подобные	члены	в левой части числового равенства , получим равенство .
Для записи бесконечной последовательности в общем виде удобно	члены	последовательности обозначать так .
Приводя подобные	члены	в правой части числового равенства , получаем .
4 Докажите , что центрально симметричный многоугольник имеет	чётное	число вершин .
20 Стороны треугольника в некоторых единицах измерения выражаются целыми	чётными	числами .
а ) сумму всех	чётных	чисел , меньших чем 101 . б ) сумму всех натуральных чисел , меньших чем 101 .
Для вычисления объёма	шара	радиуса R .
Примером выпуклого многоугольника может служить любой правильный шестиугольник , то есть такой	шестиугольник	, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
При каком угле а стороны равнобедренных треугольников образуют правильный	шестиугольник	? .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый	шестиугольник	MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов шестиугольника равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
При каких из указанных значений величины угла DEF этот	шестиугольник	не может быть выпуклым ? .
6 Постройте правильный	шестиугольник	по стороне .
луч ; 2 ) треугольник ; 3 ) четырёхугольник ; 4 )	шестиугольник	.
Аналогично можно определить	шестиугольник	, семиугольник и многоугольник любым заданным числом вершин .
Рассмотрим правильный	шестиугольник	ABCDEF .
При каком угле α при основаниях боковые стороны равнобедренных треугольников образуют	шестиугольник	? .
11 Середины сторон правильного шестиугольника последовательно соединены между собой , так что получается меньший	шестиугольник	.
Примером выпуклого многоугольника может служить любой правильный	шестиугольник	, то есть такой шестиугольник , у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой .
1.3 Какое наибольшее число внутренних прямых углов может иметь	шестиугольник	? .
1.1 Чему равна площадь правильного	шестиугольника	со стороной 4 см ? .
2.2 Изображены четыре стороны	шестиугольника	ABCDEF , причём известно , что .
По какой формуле можно вычислять площадь правильного	шестиугольника	со стороной а ? .
1.4 Чему равна сумма внутренних углов выпуклого	шестиугольника	? .
Аналогично , если теперь рассмотрим выпуклый шестиугольник MNKLPQ и проведём диагональ МК , то получим , что сумма всех внутренних углов	шестиугольника	равна сумме всех углов треугольника MKN и всех углов пятиугольника MKLPQ , то есть .
11 Середины сторон правильного	шестиугольника	последовательно соединены между собой , так что получается меньший шестиугольник .
Докажите , что середины сторон правильного	шестиугольника	являются вершинами другого правильного шестиугольника .
Найдём площадь	шестиугольника	ABCDEF , у которого все углы равны по 120 ° и АВ 6 см , ВС 8 см , CD 10 см , DE 10 см .
Найдите площадь меньшего	шестиугольника	, если .
а ) сторона большего	шестиугольника	равна 4 см . б ) площадь большего шестиугольника равна 20 см2 .
а ) сторона большего шестиугольника равна 4 см . б ) площадь большего	шестиугольника	равна 20 см2 .
10 Выразите квадрат стороны правильного	шестиугольника	через его площадь S .
Чему равна площадь	шестиугольника	ABCDEF с точностью до 1 см2 ? .
13 Для правильного	шестиугольника	со стороной 2 в некоторых единицах измерения длины строятся описанная и вписанная окружности .
Возьмём четырёхугольник АВСМ Повернём его вокруг центра О	шестиугольника	на 60 ° по ходу часовой стрелки .
2.2 Какое число различных пар непересекающихся прямых могут образовывать прямые , содержащие стороны некоторого	шестиугольника	? .
Следовательно , площадь	шестиугольника	ABCDEF равна .
Докажите , что середины сторон правильного шестиугольника являются вершинами другого правильного	шестиугольника	.
Что вы знаете о правильном	шестиугольнике	? .
Какова	ширина	участка ? .
Пусть АВ 6 см , ВС 11 см и	ширина	рамки равна 1 см. Разобьём рамку на трапеции .
2.3 Из прямоугольника со сторонами а и b вырезали рамку	шириной	1 см. При каких значениях а и b площадь рамки равна 20 см2 ? .
3 Сколько краски потребуется , чтобы с двух сторон покрасить сплошную дверь	шириной	82 см и высотой 2 м 3 см , если на покраску 1 м2 уходит 80 г краски ? .
2 Из прямоугольных листов картона	шириной	10 см и длиной 20 см вырезают квадратики в углах со стороной х см , и склеивают коробку в форме прямоугольного параллелепипеда .
Для наглядности представим слагаемые как площади прямоугольников	шириной	1 и высотами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и изобразим их .