Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Автоматы	включают одновременно .
	Биссектриса	угла .
Для любого числа a .	ВЫЧИТАНИЕ	.
	Величина	острого угла меньше 90 ° , а величина тупого угла больше 90 ° .
	Величина	какого угла больше : острого или тупого ?
	Величины	углов .
	Величины	. Выразите величину в указанных единицах .
	Вершины	этих многоугольников являются вершинами многогранника , а стороны — рёбрами многогранника .
	Впишите	вместо звёздочек такие цифры , чтобы получилось верное равенство .
	Вынесите за скобки	общий множитель в выражении и найдите его значение .
	Вынесите за скобки	общий множитель и найдите значение выражения .
	Выпуклые многоугольники	.
	Выражение	при этом выглядит проще .
	Выражение	составлено из тех же чисел и с помощью таких же знаков действий , что и первое выражение .
	Выражение	в первых скобках делится на 9 , а во вторых нет .
	Выражения	без скобок .
	Выражения	52 , 53 , 54 — это примеры степеней .
	Выражения	со скобками .
	Выражения	, содержащие степени .
	Высота	5 одинаковых полок в шкафу равна 2 м .
	Высота	первого столбика , равная 8 , показывает , сколько было дождливых дней , второго столбика — сколько было облачных дней , а третьего — сколько было ясных дней .
	Вычесть	из числа а число b — значит найти такое число с , которое в сумме с числом b даёт число а .
	Вычитание	дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
	Вычитание	смешанных дробей .
	Вычитание	— это действие , обратное сложению .
	Вычитание	вместе с умножением также обладает распределительным свойством .
	Геометрические тела	и их изображение .
	Геометрические тела	.
39	Геометрические тела	и их изображение .
«	Градус	» — слово латинского происхождения , и означает оно шаг , ступень , степень .
	Гугол	— это число , которое записывается единицей со ста нулями , т .
	Дерево	ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ .
	Деление	дробей .
24	Деление	с остатком .
	Деление	многозначных чисел обычно выполняют уголком .
	Деление	и дроби .
	Деление	.
36	Деление	дробей .
	Деление	— это действие , обратное умножению .
	Деление	с остатком .
	Деление	целого на доли .
	Деление	с остатком при решении задач .
	Деление с остатком	при решении задач .
	Деление с остатком	.
24	Деление с остатком	.
	Делимое	, делитель , частное .
	Делимое	.
20	Делители	и кратные .
	Делители	и кратные .
	Делители	числа .
	Делитель	.
	Делится	ли это число на 10 ?
б )	Делится	ли это число на 18 ?
	Делится	ли .
	Делится	ли произведение на 2 ?
	Делится	ли оно на 2 ?
Докажите , не выполняя действий , что сумма делится на 2 , на 3 и на 4 :	Делится	ли сумма .
	Десятичная	нумерация .
	Десятичная	нумерация зародилась примерно 1500 лет тому назад в Индии .
	Десятки	.
	Десятки	тысяч .
	Диагональ	разделила прямоугольник на два равных треугольника .
	Диагональ	АС разбивает пятиугольник АВСКМ на два многоугольника .
	Диагональ	многоугольника .
	Диаметр	окружности состоит из двух радиусов .
	Диаметр	делит окружность и круг на две равные части .
	Длина	ломаной равна сумме длин отрезков , из которых она состоит .
	Длина	отрезка .
	Длина	ломаной ABCD равна АВ + ВС + CD .
	Длина	линий окружность .
3	Длина	линии .
	Длина	параллелепипеда равна 3 см , ширина — 2 см , высота — 4 см. Каков объём параллелепипеда ?
	Длина	ломаной .
	Длину	отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В. В данном случае расстояние между точками А и В равно 2 см 5 мм .
	Дробные	числа выражаются дробями , но оказывается , что любое натуральное число также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
	Дробь	, числитель которой больше знаменателя или равен ему , называют неправильной .
	Дробь	, числитель которой меньше знаменателя , называют правильной .
	Дробь	— правильная , она меньше 1 , а дробь — неправильная , она больше 1 .
	Дробь	: числитель дроби ; знаменатель дроби .
	Дробь	и есть произведение дробей .
	Единица	объёма , равная одному кубическому дециметру , имеет и другое название — литр .
	Единицы	объёма .
	Единицы	длины .
	Единицы	площади .
	Единицы	массы .
	Единичные	квадраты .
	Знак	≈ читается как « приближённо равно » .
	Знак	Δ является общепринятым символом , обозначающим слово « треугольник » .
	Знаменатель	дроби .
	Значение	какой величины могут выражать 138 см ? .
	Значение	какого из трёх данных выражений наименьшее .
	Квадрат	.
	Квадраты	чисел .
	Комбинаторные	задачи .
8	Комбинаторные	задачи .
	Компоненты	действий .
	Кратные	числа .
«	Кратный	» - слово русского происхождения .
«	Кратный	» означает « известное число разов » - так говорится в толковом словаре старинных терминов .
	Круг	составлен из равных элементов .
	Куб	— это такой прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , поэтому все его грани — квадраты .
	Куб	разрезали по рёбрам , выделенным красным цветом , и получили развёртку .
	Куб	, цилиндр , шар , конус .
	Куб	с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд .
	Кубы	чисел .
	Ломаная	.
	Луч	ОС делит угол ∠АОВ на два равных угла : ∠АОС равно ∠СОВ .
	Луч	ОС — биссектриса угла АОВ , луч ОМ — биссектриса угла АОС .
	Луч	.
	Лучи	ОМ и ОК — биссектрисы углов СОВ и СОА .
	Лучи	АВ и АС называют сторонами угла , точку А — его вершиной .
	Многогранники	.
	Многогранники	составлены из одинаковых параллелепипедов .
	Многогранники	могут иметь самую различную форму .
	Многоугольники	разбиты на два прямоугольника .
	Многоугольники	.
19	Многоугольники	.
	Множители	.
	Множители	, произведение .
а )	НОД	( 12 ; 24 ) .
С помощью перебора мы установили , что	НОД	( 30 ; 45 ) равно 15 .
	Нод	( а ; b ) — наибольший общий делитель чисел a и b. Например , НОД ( 8 ; 12 ) равно 4 .
НОД ( а ; b ) — наибольший общий делитель чисел a и b. Например ,	НОД	( 8 ; 12 ) равно 4 .
	Нод	( 30 ; 12 ) .
	Нод	( 9 ; 10 ) .
Найдите : а )	НОД	( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б )	НОД	( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в )	НОД	( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г )	НОД	( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а )	НОД	( m ; n ) ; б ) НОК ( m ; n ) .
Найдите	НОД	( 24 ; 18 ) .
Например ,	НОД	( 30 ; 45 ) равно 15 .
в )	НОД	( 40 ; 60 ) .
В заключение заметим , что найти	НОД	и НОК небольших чисел разобранными выше способами несложно .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и	НОК	( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите	НОК	( 9 ; 12 ) .
	Нок	( 18 ; 12 ) равно 36 , значит , наименьший общий знаменатель дробей равен 36 .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и	НОК	( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и	НОК	( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОД ( 3 ; 5 ) и	НОК	( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
Найдите : а ) НОК ( 8 ; 12 ) ; б ) НОК ( 2 ; 5 ; 7 ) ; в )	НОК	( 2 ; 4 ; 7 ) .
Найдите : а ) НОК ( 8 ; 12 ) ; б )	НОК	( 2 ; 5 ; 7 ) ; в ) НОК ( 2 ; 4 ; 7 ) .
Найдите : а )	НОК	( 8 ; 12 ) ; б ) НОК ( 2 ; 5 ; 7 ) ; в ) НОК ( 2 ; 4 ; 7 ) .
Итак ,	НОК	( 6 ; 8) равно 24 .
В заключение заметим , что найти НОД и	НОК	небольших чисел разобранными выше способами несложно .
Например ,	НОК	( 10 ; 15 ) равно 30 .
Найдите : а ) НОД ( m ; n ) ; б )	НОК	( m ; n ) .
	Нок	( а ; b ) - наименьшее общее кратное чисел а и b. Например , НОК ( 8 ; 12 ) равно 24 .
НОК ( а ; b ) - наименьшее общее кратное чисел а и b. Например ,	НОК	( 8 ; 12 ) равно 24 .
	Наибольший общий делитель	чисел а и Ъ обозначают так .
	Найдите	скорость автомобиля .
	Найдите	величину угла АОМ .
	Найдите	число , при делении которого на 6 получается неполное частное , равное 7 , и остаток , равный 3 .
	Найдите	площадь прямоугольника .
	Найдите	угол МОК .
	Найдите	стороны прямоугольника .
Начертите отрезок АВ , равный 6 см.	Найдите	точки , которые находятся от точки А на расстоянии , равном 4 см , и от точки В на расстоянии , равном 5 см .
	Найдите	в газетах или журналах примеры округлённых чисел .
	Найдите	сумму всех шести записанных чисел .
	Найдите	шестиугольник .
	Найдите	: а ) скорость течения реки ; б ) собственную скорость катера .
	Найдите	приближённое значение произведения , округлив множители до старшего разряда .
	Найдите	радиус окружности , если её диаметр равен : 6 см , 9 см , 12 м .
	Найдите	сумму или разность дробей и , если возможно , сократите результат .
	Найдите	первое , шестое и двадцатое числа в этом ряду .
	Найдите	неизвестный компонент действия .
	Найдите	объём .
3 Измерения параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см.	Найдите	площадь наибольшей грани параллелепипеда .
	Найдите	длину другой её стороны .
	Найдите	число , если/. а ) при делении его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7 . б ) при делении его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
	Найдите	координаты каких - нибудь двух точек на координатной прямой , равноудалённых от точки А ( 9 ) .
	Найдите	длины ломаных .
	Найдите	их величины .
	Найдите	.
	Найдите	сами короткий способ вычисления степени 6002 , воспользовавшись найденным приёмом вычисления .
	Найдите	НОК ( 9 ; 12 ) .
	Найдите	НОД ( 24 ; 18 ) .
	Найдите	величину угла СОВ .
Какую часть стены маляр красит за 1 ч , если всю стену он покрасит :	Найдите	неизвестное число .
	Найдите	неизвестный множитель .
	Найдите	какое - нибудь число , которое при делении на 2 даёт в остатке 1 , а при делении на 3 даёт в остатке 2 .
	Найдите	длину большей его стороны .
	Найдите	все такие значения а , при которых дробь правильная и при которых неправильная .
	Найдите	величину угла АОС .
	Найдите	какое - нибудь двузначное число , которое при делении и на 2 , и на 3 даёт в остатке 1 . 2 )
	Найдите	треугольники , шестиугольники .
	Найдите	четырёхугольники .
	Найдите	неизвестное число , обозначенное буквой .
	Найдите	скорость лодки против течения реки .
	Найдите	сумму чисел .
Расстояние между точками А и В равно 20 см , а между точками В и С — 5 см.	Найдите	расстояние между точками А и С .
	Найдите	произведение .
	Найдите	значение степени .
	Найдите	лёгкий способ умножения на 101 и вычислите произведение .
б )	Найдите	наименьшее и наибольшее двузначные числа , кратные 7 .
	Найдите	самый короткий маршрут .
	Найдите	сумму членов этой последовательности .
	Найдите	неизвестное число .
	Найдите	объём параллелепипеда , измерения которого равны .
	Найдите	: а ) НОК ( 8 ; 12 ) ; б ) НОК ( 2 ; 5 ; 7 ) ; в ) НОК ( 2 ; 4 ; 7 ) .
	Найдите	объёмы тел .
	Найдите	несколько общих кратных двух данных чисел и укажите их наименьшее общее кратное : а ) 3 и 4 ; б ) 5 и 15 ; в ) 6 и 9 .
а )	Найдите	скорость лодки по течению реки и против течения , если её собственная скорость 8 км / ч , а скорость течения реки 1 км / ч . б ) Скорость лодки по течению реки равна 17 км / ч , а скорость течения реки равна 2 км / ч .
	Найдите	все делители числа 20 и первые шесть чисел , кратных 20 .
	Найдите	сумму площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
а )	Найдите	диаметр окружности , если её радиус равен : 12 см , 3 см 5 мм , 10 дм . б )
	Найдите	три последовательных числа , сумма которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а ) Сумма двух чисел 96 , а разность 18 .
	Найдите	: а ) НОД ( 3 ; 5 ) и НОК ( 3 ; 5 ) ; б ) НОД ( 5 ; 7 ) и НОК ( 5 ; 7 ) ; в ) НОД ( 2 ; 11 ) и НОК ( 2 ; 11 ) ; г ) НОД ( 11 ; 13 ) и НОК ( 11 ; 13 ) .
а )	Найдите	первое трёхзначное число , являющееся простым .
в )	Найдите	все 35 треугольников .
	Найдите	все делители числа а , если .
	Найдите	частное .
	Найдите	произведение чисел .
а )	Найдите	координаты точек на координатной прямой , которые удалены от точки А ( 13 ) на 4 единицы .
	Найдите	периметр треугольника .
	Найдите	сторону КТ .
	Найдите	: а ) НОД ( m ; n ) ; б ) НОК ( m ; n ) .
	Найдите	приближённое значение суммы , округлив слагаемые до старшего разряда .
	Найдите	все делители числа .
5	Найдите	периметр треугольника , имеющего стороны 2 см 5 мм , 3 см , 4 см 7 мм .
	Найдите	ещё какие - нибудь делители числа 272 и запишите соответствующие равенства .
	Найдите	сумму .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	измерения прямоугольных параллелепипедов .
6	Найдите	значение выражения .
	Найдите	их значения .
	Найдите	на этой же шкале метку 70 и отметьте там ещё одну точку — В , она лежит на второй стороне угла .
	Найдите	четырёхугольники , у которых есть : а ) прямой угол ; б ) равные стороны .
	Найдите	четырёхугольник , не являющийся квадратом , у которого все стороны равны .
	Найдите	среди данных величин равные .
а ) Периметр прямоугольника равен 36 см , длина одной стороны — 10 см.	Найдите	длину смежной стороны .
4	Найдите	периметр .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	число , куб которого равен .
	Найдите	в учебнике свойства натурального ряда и перечислите их .
	Найдите	на шкале начало отсчёта — метку 0 — и отметьте точку А. Эта точка лежит на одной из сторон угла .
	Найдите	число , квадрат которого равен .
	Найдите	прямые углы в окружающей вас обстановке .
	Найдите	ошибку , допущенную при сокращении дроби .
а ) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см , а основание равно 10 см.	Найдите	длину боковой стороны .
	Найдите	площадь квадрата со стороной : 9 м ; 11 см .
	Найдите	площадь прямоугольника , если одна из его сторон равна 25 см , а про другую известно , что она : а ) на 7 см меньше ; б ) в 2 раза больше .
	Найдите	квадрат и куб числа .
	Найдите	его площадь .
	Найдите	и назовите острые углы , тупые углы .
	Найдите	площадь этого прямоугольника .
Известно , что .	Найдите	значение выражения .
	Найдите	два способа решения .
	Найдите	исходные квадраты на рисунке и назовите их .
	Найдите	какое - нибудь число , расположенное между числами .
	Найдите	несколько дробей , которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство .
	Найдите	значения выражений .
	Найдите	стоимость игрушки в упаковке , если цена игрушки 300 р . в ) Математический кружок посещают 40 пятиклассников , что составляет всех пятиклассников школы .
	Найдите	значение выражения , вынося за скобки общий множитель : Решите задачу двумя способами .
В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см.	Найдите	длину основания .
	Найдём	частные : 18:30 и 108:18 .
	Найдём	площадь квадрата со стороной .
	Найдём	разность чисел .
	Найдём	площадь прямоугольника ABCD , выразив её в квадратных сантиметрах .
	Найдём	, например , периметр прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
	Найдём	площадь прямоугольника со сторонами м и м , опираясь на геометрические соображения .
	Найдём	дополнительный множитель : 2 .
	Найдём	все делители каждого из них и подчеркнём их общие делители : делители числа 30 ; делители числа 45 .
	Найдём	все делители числа 24 .
	Натуральное	число называют целой частью смешанной дроби , а правильную дробь — её дробной частью .
	Натуральное число	называют целой частью смешанной дроби , а правильную дробь — её дробной частью .
	Натуральные	числа , записанные по порядку одно за другим , образуют натуральный ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
	Натуральные	числа появились в глубокой древности , когда людям понадобилось вести счёт окружающих их предметов : плодов , животных и т .
	Натуральные	числа , как и дробные , можно записывать в виде дробей .
	Натуральные	числа , имеющие более двух делителей , называют составными числами .
	Натуральные	числа и дроби .
32	Натуральные	числа и дроби .
	Натуральные	числа округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
Глава 2	Натуральные	числа .
	Натуральные	числа обладают многими интересными свойствами , которые с давних времён привлекают внимание математиков , и изучаются в разделе математики , называемом « Теория чисел » .
32	Натуральные числа	и дроби .
	Натуральные числа	, как и дробные , можно записывать в виде дробей .
	Натуральные числа	, имеющие более двух делителей , называют составными числами .
	Натуральные числа	обладают многими интересными свойствами , которые с давних времён привлекают внимание математиков , и изучаются в разделе математики , называемом « Теория чисел » .
Глава 2	Натуральные числа	.
	Натуральные числа	, записанные по порядку одно за другим , образуют натуральный ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
	Натуральные числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
	Натуральные числа	и дроби .
	Натуральные числа	появились в глубокой древности , когда людям понадобилось вести счёт окружающих их предметов : плодов , животных и т .
	Натуральный	ряд .
	Натуральный	ряд бесконечен , и именно это мы показываем , ставя многоточие .
6	Натуральный	ряд .
	Округление	по правилу . Округлите числа .
	Округление	по смыслу .
7	Округление	натуральных чисел .
	Округление	натуральных чисел .
	Округлив	число 564 до десятков , мы заменили его приближённым значением с недостатком .
	Округлите	число 89615 : а ) до десятков ; б ) до сотен ; в ) до тысяч .
Округление по правилу .	Округлите	числа .
	Окружность	всегда привлекала к себе внимание художников и архитекторов .
4	Окружность	.
	Окружность	удивительно гармоничная фигура , древние греки считали её самой совершенной .
	Окружность	и круг .
	Опишите	линии , используя термины , с которыми вы познакомились .
	Основание	степени — это повторяющийся множитель , а показатель степени равен числу « повторений » , т .
	Остатки	от деления .
	Острый	угол , прямой угол , тупой угол , развёрнутый угол .
	Острый угол	, прямой угол , тупой угол , развёрнутый угол .
	Отложите	транспортир и возьмите линейку .
	Отложите	на одной стороне угла отрезок АВ , равный 2 см , а на другой — отрезок AD , равный 3 см. 3 )
	Отложите	вправо от точки Е отрезок , равный единичному ; вы получите точку , которая изображает число 2 .
	Отложите	вправо от этой точки ещё один единичный отрезок ; вы получите точку , изображающую число 3 .
	Отложите	на этой прямой отрезок ΝΜ , равный отрезку АВ .
	Отрезок	ОЕ назовём единичным отрезком .
	Отрезок	, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр , называют диаметром окружности .
	Отрезок	.
а )	Отрезок	длиной 3 дм разделили на 5 равных частей .
а )	Отрезок	изображает 1 км .
	Отрезок	, который соединяет центр окружности с какой - либо её точкой , называют радиусом окружности .
	Отрезок	АВ .
	Отрезок	BE соединяет две его несоседние вершины .
	Параллелепипед	и пирамида .
40	Параллелепипед	и пирамида .
	Параллелограмм	.
	Периметр	прямоугольника равен 28 см , одна из его сторон на 2 см больше другой .
	Периметр	прямоугольника равен 54 см. Его длина на 5 см больше ширины .
а )	Периметр	прямоугольника равен 36 см , длина одной стороны — 10 см. Найдите длину смежной стороны .
	Периметр	квадрата равен 36 см. Чему равна его сторона ? .
	Периметр	многоугольника .
	Периметр	прямоугольника .
	Периметр	прямоугольника , как и любого многоугольника , равен сумме длин его сторон .
	Периметр	обычно обозначают буквой Р. Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон .
Периметр обычно обозначают буквой Р.	Периметр	многоугольника равен сумме длин всех его сторон .
	Периметр	четырёхугольника КОРТ равен 17 см , КО равно 5 см , ОР равно 6 см , РТ равно КТ .
а )	Периметр	прямоугольника равен 30 см , одна из его сторон в 4 раза больше другой .
	Периметр	треугольника .
	Пирамида	.
	Площадь	кухни 10 м2 .
	Площадь	прямоугольника ABCD , с одной стороны , равна произведению , а с другой — разности .
	Площадь	прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон .
	Площадь	фигуры , единицы площади .
28	Площадь	прямоугольника .
Задача - исследование . 1 )	Площадь	прямоугольника равна 36 см2 .
	Площадь	арены цирка .
	Площадь	большого квадрата равна 1 м2 ; значит , площадь каждого маленького квадрата составляет м2 .
	Площадь	прямоугольника равна 600 м2 , а одна из сторон равна : а ) 30 м ; б ) 60 м ; в ) 120 м .
	Площадь	спортивного зала прямоугольной формы 132 м2 , длина меньшей его стороны равна 10 м .
а )	Площадь	комнаты прямоугольной формы 19 м2 , длина одной из её сторон 5 м .
	Площадь	прямоугольника .
	Площадь	и периметр .
	Поверхности	каких геометрических тел состоят не только из плоских частей ?
	Поверхность	шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
	Поверхность	любого многогранника состоит из многоугольников .
	Поверхность	куба разрезали по отрезкам OK , ON , ОМ , ОА , OD , ОС , МВ и развернули .
	Подобным	образом и рассуждают обычно при решении задач на совместную работу .
	Показатель	степени ; основание степени .
	Поле	имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 380 м .
	Порядок	действий в вычислениях .
11	Порядок	действий в вычислениях .
	Правильные	дроби .
	Правильные	и неправильные дроби .
	Правильные дроби	.
	Приведите	примеры таких чисел .
	Приведите	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Приведите	пример числа , которое при делении на 5 даёт в остатке 2 .
	Приведите	дробь к знаменателю 16 , 32 , 56 , 1000
	Приведите	примеры разных таблиц .
	Приведите	примеры чисел для каждого случая .
	Приведите	свои примеры несократимых дробей .
	Приведите	дроби к знаменателю 100 . б )
а )	Приведите	дробь к знаменателю 14 , 21 , 35 , 140 . б )
	Приведите	примеры , иллюстрирующие эти свойства .
	Приведите	дроби к знаменателю 60 .
	Приведите	контрпример для утверждения .
	Приведите	примеры .
	Приведите	примеры числовых выражений .
	Приведите	примеры предметов , на которых можно увидеть окружность или круг .
	Приведите	к знаменателю 36 те из данных дробей , которые возможно .
	Приведите	дроби к общему знаменателю и выполните действия .
	Приведите	дробь - к знаменателю 12 ; 15 ; 36 .
	Произведение	« почти равно » делимому , точнее говоря , меньше его на соответствующий остаток .
	Произведение	будет равно площади в соответствующих квадратных единицах .
	Произведение	.
	Произведение	трёх чисел , как и сумму , также записывают без скобок .
	Произведение	взаимно обратных дробей равно 1 .
	Произведение	одинаковых множителей обычно заменяют степенью , поэтому разложение числа 90 на простые множители выглядит так .
	Простые числа	, разность которых равна 2 , называют числами - близнецами .
21	Простые числа	.
	Простые числа	— это как бы кирпичики , из которых с помощью умножения могут быть « построены » все остальные натуральные числа .
	Простые числа	.
	Простые числа	, меньшие 50 : 2 , 3 , 5 , 7 ; 11 , 13 , 17 , 19 ; 23 , 29 ; 31 , 37 ; 41 , 43 , 47 .
	Прямая	.
	Прямая	неограниченно продолжается в обе стороны .
	Прямоугольник	разделён на три равные части .
	Прямоугольник	квадрат .
	Прямоугольник	.
	Прямоугольник	, у которого все стороны равны , называют квадратом .
	Прямоугольники	.
26	Прямоугольники	.
	Равенство	фигур .
	Равенство	неверно .
27	Равенство	фигур .
	Равнобедренные	треугольники и скопируйте их в тетрадь .
	Равнобедренные треугольники	и скопируйте их в тетрадь .
	Равнобедренный	треугольник АВС разрезали по прямой ВО .
	Равнобедренный	треугольник обладает множеством интересных свойств .
	Равнобедренный	треугольник .
	Равнобедренный треугольник	АВС разрезали по прямой ВО .
	Равнобедренный треугольник	.
	Равнобедренный треугольник	обладает множеством интересных свойств .
	Равнобокая трапеция	.
	Радиус	и диаметр окружности .
	Развёрнутый угол	равен сумме двух прямых углов , а прямой угол составляет половину развёрнутого .
	Разделим	яблоки между братьями по - другому : дадим каждому по 2 яблока и ещё по от каждого из оставшихся .
	Разделим	на 4 числа 180 , 181 , 182 , 183 .
	Разделите	круг на четыре равные части .
	Разделите	ещё раз каждую часть пополам .
	Разделите	.
	Разделите	его на две равные части .
	Разделите	единичный отрезок на пять равных частей и отсчитайте от 0 вправо три , пять , семь таких частей .
	Разделить	число а на число b — это значит найти такое число с , при умножении которого на b в произведении получится а .
	Разложение	числа на простые множители — это его « паспорт » .
	Разложение	числа на простые множители .
	Разложите	на простые множители число , равное произведению .
	Разложите	на простые множители числа .
	Разложите	на простые множители число .
	Решение	задач с помощью дерева возможных вариантов .
	Решение	. 1 ) 90 ( кн . ) — столько книг может переплести за один день первая мастерская .
	Решение	.
	Решение	можно записать с помощью выражения .
	Решение	задач .
	Решение	задачи можно записать с помощью выражения .
	Решение	. 1 ) Уравняем мысленно число тетрадей в пачках : « уберём » из большей пачки десять тетрадей .
16	Решение	задач .
	Решение	можно записать так .
	Ромб	.
	Складываем	из кубиков .
	Складываем	из равных фигур . 1 ) Вырежьте из бумаги четыре равносторонних треугольника , равные треугольнику .
	Складывать	смешанные дроби легко .
	Слагаемые	11 , 17 и 22 не делятся на 5 , а их сумма на это число делится .
	Слагаемые	в данной сумме — это произведения , каждое из которых содержит в качестве множителя одно и то же число 12 .
	Сложение	многозначных чисел обычно выполняют поразрядно в столбик .
	Сложение	и вычитание дробей с разными знаменателями .
	Сложение	и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями .
	Сложение	.
9	Сложение	и вычитание .
	Сложение	смешанных дробей .
34	Сложение	и вычитание смешанных дробей .
	Сложение	и вычитание .
33	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание смешанных дробей .
	Сложив	все карточки , чередуя при этом цвета в последовательности б , ж , з , к , с , б , ж , он пронумеровал их подряд , начиная с номера 1 .
	Сложите	его так , чтобы стороны угла совпали .
а )	Сложите	из этих квадратов какой - нибудь многоугольник .
Вырежьте из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см.	Сложите	из них : а ) квадрат ; б ) прямоугольник .
	Сложите	прямоугольник , площадь которого была бы равна 8 кв. ед .
	Сложите	из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник .
	Сложите	из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
	Сложите	из них : а ) треугольник ; б ) четырёхугольник .
б )	Собственная	скорость катера 18 км / ч , скорость течения реки 2 км / ч .
б )	Собственная	скорость теплохода 30 км / ч , скорость течения реки 4 км / ч .
	Собственная	скорость теплохода равна 20 км / ч , скорость течения реки — 2 км / ч .
	Сократите	дроби и укажите , какие из них представляют натуральные числа .
	Сократите	те из них , которые можно сократить .
	Сократите	дроби .
	Сократите	дробь .
	Средняя	полка .
	Степень	: показатель степени ; основание степени .
	Степень	числа .
	Степень	.
12	Степень	числа .
	Стороны	этого квадрата разделены на 5 равных частей , квадрат разбит на 25 равных квадратов .
	Стороны	такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
	Стороны	, углы , диагонали многоугольника .
	Сумма	делится на 9 , так как каждое её слагаемое делится на 9 .
	Сумма	равна 18 , она тоже делится на 9 .
	Сумма	двух чисел 87 , а разность 19 .
а )	Сумма	всех сторон прямоугольника равна 48 см. Его длина на 4 см больше ширины .
	Сумма	числа рёбер и вершин пирамиды равна 25 .
Найдите три последовательных числа , сумма которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а )	Сумма	двух чисел 96 , а разность 18 .
	Сумма	углов .
	Сумму	удобно вычислить , если преобразовать её следующим образом .
Натуральные числа обладают многими интересными свойствами , которые с давних времён привлекают внимание математиков , и изучаются в разделе математики , называемом «	Теория чисел	» .
	Точка	О для каждого луча является его началом .
	Точка	, отмеченная на прямой , разбивает её на два луча .
	Точки	А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их отрезки — его сторонами , углы ABC , BCD , CDA , DAB — углами четырёхугольника .
	Точки	А , В и С лежат на одной прямой .
	Третью	степень числа называют кубом этого числа .
	Треугольник	АВС — равнобедренный , его боковые стороны — АВ и ВС , а основание — АС .
	Треугольник	АВС - равнобедренный .
(	Треугольник	АВС равносторонний . )
а )	Треугольник	АВС можно также назвать треугольником ВАС .
	Треугольник	под номером 6 равнобедренный прямоугольный .
	Треугольник	, в котором есть прямой угол , называют прямоугольным треугольником .
Проведите отрезок ВС	Треугольник	АВС — равнобедренный , АВ и АС — боковые стороны , ВС — основание треугольника .
	Треугольник	, у которого равны все стороны , называют равносторонним .
25	Треугольники	и их виды .
	Треугольники	: а ) равнобедренные ; б ) равносторонние .
	Треугольники	и их виды .
	Треугольники	: а ) остроугольные ; б ) тупоугольные ; в ) прямоугольные .
	Угол	АОВ равен 48 ° .
	Угол	COD прямой , а ∠АОС равно ∠BOD .
	Угол	АОВ равен 90 ° .
	Угол	АОС равен 139 ° .
б )	Угол	ВАС равен 136 ° , а угол BAD равен 56 ° .
	Угол	.
	Угол	, ограниченный двумя соседними лучами , считают равным одному градусу и записывают так : 1 ° .
а )	Угол	68 ° разделён биссектрисой на два угла .
а )	Угол	ВАС равен 28 ° , а угол CAD равен 56 ° .
	Угол	, меньший прямого , называется острым углом , а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
	Угол	, который образует биссектриса с одной стороной данного угла , равен 16 ° .
	Уменьшаемое	, вычитаемое , разность .
	Умножение	дробей .
	Умножение	дроби на дробь .
	Умножение	дроби на натуральное число и на смешанную дробь .
35	Умножение	дробей .
	Умножение	и деление .
	Умножение	дроби на натуральное число и смешанную дробь .
	Умножение	.
	Умножение	многозначных чисел обычно выполняют в столбик .
	Умножив	число 45 на 4 , в каждом из этих случаев мы не получим делимое .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 2 .
	Умножим	обе части последнего равенства на дробь , обратную , т . е .
	Фигура	, ограниченная окружностью , — это хорошо известный вам круг .
	Фигура	, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений , называется многоугольником .
	Целая	часть ; дробная часть .
	Четырёхугольник	— это один из видов многоугольников .
	Четырёхугольники	, как и треугольники , бывают самые разные .
	Четырёхугольники	.
	Числа	, которые останутся незачёркнутыми , и есть простые числа .
	Числа	трёх других классов можно записать в виде суммы , в которой одно слагаемое — произведение неполного частного и делителя , а другое — остаток .
	Числа	простые , составные и число 1 .
	Числа	, которые складывают , называют слагаемыми ; число , которое получается при сложении , называют суммой .
	Числа	при делении , как вы знаете , также имеют свои названия .
	Числа	, которые перемножают , называют множителями ; результат умножения называют произведением .
	Числа	2 и просто записывают рядом без знака « плюс » .
	Числа	560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
	Числитель	дроби .
	Число	а делится на 36 .
	Число	1 — исключение , оно не имеет предыдущего .
	Число	внизу , под чертой , показывает , на сколько равных частей делили .
	Число	8 на 6 не делится , число 16 также на 6 не делится , а вот число 24 уже делится на 6 .
	Число	диагоналей многоугольника можно подсчитать так .
	Число	всех мальчиков составляет числа девочек .
	Число	2 простое ; обведите его кружочком и зачеркните все числа , кратные 2 , т .
	Число	1 имеет только один делитель — само это число .
	Число	, которое имеет только два делителя — самого себя и 1 , называется простым числом .
	Число	разложили на простые множители и получили такое произведение .
	Число	20 , на которое умножили числитель и знаменатель дроби , называют дополнительным множителем .
	Число	вверху , над чертой , показывает , сколько таких частей взяли .
	Число	564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими целое число десятков ; при этом ближе оно к числу 560 .
	Число	180 разделилось на 4 нацело , без остатка ; оно кратно числу 4 .
	Число	делится на 9 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа делится на 9 .
Подсчёты ;	Число	учащихся .
	Число	делится на 3 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа делится на 3 .
	Число	15 меньше , чем число 22 , а 22 меньше , чем 36 .
	Число	баллов ;
	Число	4351 не делится на 9 , так как , а 13 не делится на 9 .
	Члены	последовательности 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , .. — это числа , которые при делении на 3 дают в остатке 1 .
Один	автомат	за час наполняет соком 75 банок , а другой — 65 банок .
Например , если хотят пригласить на гастроли молодёжный ансамбль , то предварительно нужно выяснить , какой из существующих	ансамблей	наиболее популярен .
Например , если хотят пригласить на гастроли молодёжный	ансамбль	, то предварительно нужно выяснить , какой из существующих ансамблей наиболее популярен .
Проблему измерения приходится решать и современному человечеству , поскольку появляются новые объекты и новые задачи , такие , например , как измерение размеров молекул и	атомов	или размеров нашей Вселенной .
Слово «	биссектриса	» имеет латинское происхождение , означает оно « надвое рассекающая » .
Что такое	биссектриса	угла .
Луч ОС — биссектриса угла АОВ , луч ОМ —	биссектриса	угла АОС .
Угол , который образует	биссектриса	с одной стороной данного угла , равен 16 ° .
Этот луч —	биссектриса	угла АОВ .
Луч ОС —	биссектриса	угла АОВ , луч ОМ — биссектриса угла АОС .
2 Что называют	биссектрисой	угла ?
а ) Угол 68 ° разделён	биссектрисой	на два угла .
Что называют	биссектрисой	угла ? .
С помощью перегибания листа найдите его	биссектрису	и начертите её карандашом .
Начертите на листе бумаги какой - нибудь угол и проведите его	биссектрису	.
Проведите в нём	биссектрису	ВО .
Постройте	биссектрису	этого угла .
Начертите развёрнутый угол и проведите его	биссектрису	.
Если провести	биссектрису	развёрнутого угла , она разделит его на два прямых угла .
Поставив на первое место математику и рассуждая точно так же , получим ещё два	варианта	: МРФ , МФР .
Для каждого	варианта	длин сторон вычислите периметр прямоугольника .
Мы получили два	варианта	расписания : РМФ , РФМ .
Чтобы выбрать первую цифру кода , у нас есть три	варианта	: цифры 1 , 2 или 3 .
Для выбора второй цифры кода есть те же три	варианта	: цифры 1 , 2 и 3 .
Сколько всего	вариантов	этой комбинации существует ? .
Таким образом , можно составить 6 различных	вариантов	расписания : РМФ , РФМ , МРФ , МФР , ФМР , ФРМ .
Сколько	вариантов	выбора двух книг из пяти есть у Саши ? .
А для этого нужно найти удобный способ перебора всех возможных	вариантов	.
Сколько различных	вариантов	расписания можно составить на этот день ? .
Часто процесс перебора удобно осуществлять путём построения специальной схемы — так называемого дерева возможных	вариантов	.
Решение задач с помощью дерева возможных	вариантов	.
Решите задачу о расписании уроков ( задача 2 ) с помощью дерева возможных	вариантов	.
На рисунке с помощью стрелок изображён один из возможных	вариантов	комбинации .
Предложите несколько	вариантов	ответов , приведённых в таблице .
Чтобы ответить на подобный вопрос , можно рассмотреть все возможные	варианты	выбора .
Чтобы удобнее было выписывать	варианты	расписания , обозначим : русский язык — Р , математика — М , физкультура — Ф. Если первым поставить русский язык , то на втором уроке может быть или математика , или физкультура .
Рассмотрите все возможные	варианты	.
Поставив на первое место физкультуру , получим	варианты	: ФМР , ФРМ .
Найдите среди данных	величин	равные .
Так постепенно от непосредственного сравнения того , что он может видеть или взять в руки , человек пришёл к измерению и сравнению	величин	.
Сравнение	величин	.
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого	величина	угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
а ) Каким ( острым , прямым , тупым или развёрнутым ) является угол ,	величина	которого равна 22 ° , 163 ° , 90 ° , 18 ° , 98 ° , 180 ° , 89 ° , 178е ? .
Какой должна быть	величина	каждой части ?
Величина острого угла меньше 90 ° , а	величина	тупого угла больше 90 ° .
На сколько градусов изменится	величина	угла между стрелками через 1 ч ? .
3 Острым , прямым или тупым является угол ,	величина	которого равна 120 ° , 45 ° , 90 ° ?
Поэтому в газетах и журналах , в телевизионных передачах , кроме таблиц , используют особые рисунки , которые наглядно иллюстрируют соотношения между рассматриваемыми	величинами	.
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой	величине	целое число раз , эти единицы стали делить на части .
Самой распространённой единицей измерения углов является угол	величиной	в 1 градус .
Вид треугольника определяется не только числом равных сторон , но и	величиной	его углов .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную	величину	.
В обоих случаях закрашена одна и та же часть круга , а значит , дроби - и - выражают одну и ту же	величину	.
Измерьте	величину	каждого угла треугольника АВС .
Измерьте и запишите	величину	каждого угла этого четырёхугольника .
Начертите грань BMNC в натуральную	величину	.
Найдите	величину	угла СОВ .
Величины . Выразите	величину	в указанных единицах .
Образец . Выразите	величину	в указанных единицах .
Найдите	величину	угла АОС .
Как измерить	величину	угла и построить угол заданной величины с помощью транспортира .
Измерьте и запишите его	величину	.
Найдите	величину	угла АОМ .
Измерьте	величину	одного из острых углов .
Как измерить	величину	угла .
Измерьте и запишите	величину	тупого угла и длину наибольшей стороны треугольника .
Назовите	величину	угла , дополняющего : а ) угол АОВ до развёрнутого ; б ) угол COD до развёрнутого .
Расскажите , как измерить	величину	угла , пользуясь транспортиром .
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить	величину	их площади к 112 м2 .
Начертите грань CDLK в натуральную	величину	.
Тогда другая сторона угла укажет	величину	угла в градусах .
Назовите	величину	развёрнутого угла ; прямого угла .
При помощи транспортира можно не только измерить	величину	угла , но и построить угол заданной величины .
Как измерить величину угла и построить угол заданной	величины	с помощью транспортира .
Построение угла заданной	величины	.
Два отрезка или угла можно сравнить наложением , а можно измерить их и сравнить получившиеся	величины	.
Одну и ту же долю	величины	можно записать разными дробями .
Петя выразил	величины	в других единицах и записал .
При помощи транспортира можно не только измерить величину угла , но и построить угол заданной	величины	.
Как вы знаете , дроби в математике используются для того , чтобы кратко обозначать часть	величины	, которая рассматривается .
Значение какой	величины	могут выражать 138 см ? .
В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные	величины	: скорость движения , время движения и пройденный путь .
Сравните	величины	.
4 Измерьте и запишите	величины	углов .
Действительно , перспектива - это изображение предметов в соответствии с тем кажущимся изменением их	величины	и очертаний , которое зависит от степени отдалённости от зрителя .
Сравните	величины	и запишите ответ с помощью знака .
Найдите их	величины	.
Построение углов заданной	величины	.
Какой из квадратов развёртки является	верхней гранью	куба ? .
Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней ,	вершин	или рёбер , чем у треугольной пирамиды .
1 Возьмите какую - нибудь модель многогранника и определите число его	вершин	.
Выпишите последовательность	вершин	при таком обходе .
а ) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так , чтобы одной из	вершин	была точка Α ?
Надо хорошо отдохнуть , набраться сил для штурма новых	вершин	математики .
А сколько	вершин	? .
Сколько	вершин	в основании пирамиды ? .
Сколько	вершин	, граней , рёбер : а ) у шестиугольной пирамиды ; б ) у десятиугольной пирамиды ; в ) у стоугольной пирамиды ? .
Но и сторон у него тоже шесть , да и	вершин	столько же .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число рёбер ; число	вершин	; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
	Вершин	?
Обратите внимание : у многоугольника	вершин	столько же , сколько сторон , а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково .
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько сторон , а у многогранника число	вершин	и число граней необязательно одинаково .
И вообще у любого многоугольника столько же	вершин	и сторон , сколько у него углов .
Сколько у неё	вершин	? .
У прямоугольного параллелепипеда 8	вершин	, 12 рёбер и 6 граней .
Сумма числа рёбер и	вершин	пирамиды равна 25 .
Сколько у него	вершин	? .
Возьмите куб и определите , сколько у него граней ,	вершин	, рёбер .
— умножить это число на число	вершин	.
— найти число диагоналей , выходящих из одной вершины , — их на 3 меньше , чем	вершин	.
Транспортир накладывают на угол так , чтобы	вершина	угла совпала с центром транспортира , а одна из сторон угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
В каких случаях	вершина	видима , а в каких нет ? .
Взяли три одинаковых проволочных квадрата и спаяли их в	вершинах	так , что получилась каркасная модель многогранника .
Боковые грани — треугольники , сходящиеся в одной	вершине	, а основание — многоугольник , противолежащий этой вершине .
Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой	вершине	?
Этот же угол можно обозначить и короче , по его	вершине	: ∠А .
2 ) Сколько рёбер сходится в	вершине	А ?
Определите число рёбер и число граней куба , сходящихся в каждой его	вершине	.
Проведите два луча с началом в	вершине	угла , проходящие через отмеченные точки .
Боковые грани — треугольники , сходящиеся в одной вершине , а основание — многоугольник , противолежащий этой	вершине	.
Постройте прямой угол с	вершиной	в точке В и отложите отрезок ВС , равный 3 см .
Лучи АВ и АС называют сторонами угла , точку А — его	вершиной	.
Задача - исследование . 1 ) Сколько углов , равных 60 ° и имеющих общую	вершину	и общие с соседями стороны , можно построить ? .
Начертите прямой угол и обозначьте его	вершину	буквой А .
Наложите транспортир на лист бумаги и отметьте	вершину	угла — точку О — она должна располагаться в центре транспортира .
Сколько граней имеют общую	вершину	А ?
Три грани прямоугольного параллелепипеда , имеющие общую	вершину	М , хотят окрасить в красный цвет , а остальные — в синий .
Назовите общую	вершину	всех синих граней .
Сколько рёбер параллелепипеда выходит из каждой его	вершины	?
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число рёбер ; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой	вершины	.
— найти число диагоналей , выходящих из одной	вершины	, — их на 3 меньше , чем вершин .
У треугольной пирамиды 4 грани , 6 рёбер и 4	вершины	.
Назовите все	вершины	, все стороны и все углы четырёхугольника .
Теперь мы видим все его грани , рёбра ,	вершины	.
Назовите все диагонали шестиугольника ABCDEF , выходящие из	вершины	В .
Отрезок BE соединяет две его несоседние	вершины	.
Всегда начинайте с известной	вершины	— точки А , две другие подбирайте так , чтобы получился равнобедренный треугольник .
Рёбра , грани и	вершины	.
Представьте , что развёрнутый угол разделён лучами , выходящими из его	вершины	, на 180 равных углов .
Для того чтобы назвать ломаную , последовательно перечисляют её	вершины	— ABCDE .
У пирамиды 1883	вершины	.
Назовите	вершины	, в которых сходятся : а ) и видимые , и невидимые рёбра ; б ) только видимые рёбра ; в ) только невидимые рёбра .
Древние люди хорошо понимали , что один человек может быть выше ростом , чем другой , что до озера можно добраться быстрее , чем до	вершины	горы , у подножия которой это озеро расположено .
Чтобы назвать четырёхугольник , последовательно перечисляют все его	вершины	, начиная с любой из них .
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом	возвели	её в квадрат .
Чтобы найти значение выражения 54 , или , как говорят иначе ,	возвести	5 в четвёртую степень , надо вычислить произведение .
Чтобы найти площадь квадрата , надо длину его стороны	возвести	в квадрат .
Так как 14400 , то найти значение степени 1202 можно так :	возвести	в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля .
Так как у квадрата все стороны равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его сторон и полученное значение	возвести	в квадрат .
О познаниях древних народов в области геометрии можно судить по тому , какие сооружения они	возводили	.
Древние строители	возводили	храмы , подчиняясь ряду правил : здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и располагаться по сторонам света .
Проведём прямую , на которой лежит какая - нибудь из сторон	выпуклого многоугольника	.
Запишите	выражение	и найдите его значение .
Заменив сумму произведением мы получили	выражение	, значение которого можно уже вычислить устно .
Читают	выражение	54 так : « Пять в четвёртой степени » .
Говорят , что	выражение	7:0 не имеет смысла .
Но 96 и 120 , поэтому данное	выражение	можно преобразовать следующим образом .
Объясните , что означает	выражение	1015 .
Как называют	выражение	54 и что оно означает ? .
Представьте в виде степени	выражение	.
Решите задачу , составив	выражение	.
Если	выражение	не содержит скобок , то сначала нужно вычислить значения всех степеней .
Упростите	выражение	, используя степени .
Упростите	выражение	, сняв скобки , которые можно не ставить , а затем найдите его значение .
Рассмотрим ещё одно	выражение	со скобками , составленное из тех же чисел и таких же знаков действий , что и предыдущее .
Не выполняя вычислений , определите , какое из следующих выражений имеет то же значение , что и данное	выражение	, и объясните почему .
Из этого правила следует , что если	выражение	без скобок содержит только действия сложения и вычитания или только действия умножения и деления , то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Например , если бы мы не сформулировали первое правило порядка действий , то	выражение	пришлось бы записывать так .
Запишите	выражение	для нахождения площади квадрата со стороной : 1 см , 2 дм , 10 см , 12 м .
Если	выражение	содержит скобки , то сначала выполняют действия в скобках .
Выражение составлено из тех же чисел и с помощью таких же знаков действий , что и первое	выражение	.
Понятно , что если	выражение	содержит скобки , то сначала выполняют действия в скобках , при этом учитывают все сформулированные ранее правила .
Упростите	выражение	, убрав « лишние » скобки .
Дано	выражение	.
Если бы мы захотели в выражении 100:52 заменить степень произведением , то его обязательно нужно было бы заключить в скобки ( иначе получилось бы совсем другое	выражение	, не равное частному 100:52 ) .
Переставьте всеми возможными способами знаки действий в	выражении	и в каждом случае найдите значение полученного выражения .
Если выполнить все указанные в	выражении	действия , то получится число , которое называют значением выражения .
В данном	выражении	нет множителей , дающих в произведении « круглое » число .
В этом	выражении	есть числа , при сложении которых получаются « круглые » числа — это 44 и 56 , а также 189 и 11 .
В	выражении	расставьте скобки так , чтобы в результате получилось число : а ) 3 ; б ) 9 ; в ) 1 .
Укажите порядок действий в	выражении	и найдите его значение : Решите задачу .
Но самое интересное состоит в том , что , хотя в	выражении	скобок нет , на самом деле они подразумеваются .
Вынесите за скобки общий множитель в	выражении	и найдите его значение .
В этом	выражении	число 5 — основание степени , а число 4 — показатель степени .
А в первом	выражении	скобки можно не ставить .
Если бы мы захотели в	выражении	100:52 заменить степень произведением , то его обязательно нужно было бы заключить в скобки ( иначе получилось бы совсем другое выражение , не равное частному 100:52 ) .
Если в	выражении	скобок нет , то сначала выполняют слева направо все действия умножения и деления , а потом — слева направо все действия сложения и вычитания .
Рассмотрим последнее из этих	выражений	: 54 .
Выполните вычисления и назовите последние цифры значений этих	выражений	.
Вычисление значений числовых	выражений	.
Запись	выражений	.
Для вычисления значений	выражений	, содержащих степени , мы будем пользоваться уже известными правилами ( ведь степень — это произведение ! ) .
Не выполняя вычислений , сравните значения	выражений	.
Не выполняя действий , сравните значения	выражений	.
Не выполняя вычислений , определите , какое из следующих	выражений	имеет то же значение , что и данное выражение , и объясните почему .
При вычислении значений этих	выражений	получится одно и то же число .
Такое преобразование	выражений	называют вынесением общего множителя за скобки .
Сравните значения	выражений	, не выполняя вычислений .
Приведите примеры числовых	выражений	.
Сравните значения	выражений	.
Найдём значения	выражений	.
Найдите значения	выражений	.
Используя данное равенство , найдите значение двух следующих	выражений	.
Вычисление значений	выражений	, содержащих степень .
Значение какого из трёх данных	выражений	наименьшее .
Если выполнить все указанные в выражении действия , то получится число , которое называют значением	выражения	.
Чему равно значение	выражения	.
Рассмотренные правила сложения и умножения чисел полезны тем , что позволяют преобразовывать суммы и произведения в	выражения	, удобные для вычислений .
При этом различают	выражения	, записанные без скобок , и выражения , содержащие скобки .
Для	выражения	частей целого нужны новые , дробные числа .
Найдём значение	выражения	.
Так как мы находили площадь одного и того же прямоугольника , то	выражения	равны .
Составьте два	выражения	для ответа на вопрос задачи .
Вычислим значение	выражения	.
Как называются такие	выражения	и как вычисляют их значения .
Так , при вычислении значения	выражения	придерживаются такого порядка действий .
Вынесите за скобки общий множитель и найдите значение	выражения	.
Так как значение	выражения	делится на 11 , то и равное ему произведение делится на 11 .
Продолжите эту цепочку разностей , записав ещё три	выражения	.
Не выполняя действий , определите , делится ли на 3 значение	выражения	.
Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые	выражения	.
Найдите значение	выражения	, вынося за скобки общий множитель : Решите задачу двумя способами .
Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении и в каждом случае найдите значение полученного	выражения	.
Однако содержащиеся в нём скобки меняют порядок действий : сначала надо вычислить значение	выражения	, записанного в скобках .
Вычислите значение	выражения	( постарайтесь найти рациональное решение ) .
Известно , что . Найдите значение	выражения	.
При вычислении значения	выражения	, не содержащего скобок , руководствуются следующим правилом .
Вычисляя значения числового	выражения	, необходимо соблюдать принятый порядок действий .
Чтобы найти значение	выражения	54 , или , как говорят иначе , возвести 5 в четвёртую степень , надо вычислить произведение .
При этом различают выражения , записанные без скобок , и	выражения	, содержащие скобки .
Решение можно записать с помощью	выражения	.
Укажите порядок действий при вычислении значения	выражения	.
При вычислении значения	выражения	со скобками действуют в соответствии со следующим правилом .
В этом случае при вычислении значения	выражения	, заключённого в скобках , нужно сначала выполнить деление .
В каком порядке надо выполнять действия для нахождения значения	выражения	.
Решение задачи можно записать с помощью	выражения	.
Это решение можно записать с помощью	выражения	так .
6 Найдите значение	выражения	.
Докажите , что значение данного	выражения	есть число составное .
При вычислении значения	выражения	решение мы записали в виде цепочки равенств .
Запишите различные числовые	выражения	, показывающие , как это можно сделать .
Чем различаются эти	выражения	? .
Сформулируйте правила порядка действий для вычисления значения	выражения	без скобок ; содержащего скобки .
Найдите значение	выражения	.
Точно так же мы не пишем скобки в	выражениях	с несколькими слагаемыми или множителями .
Найдите сумму площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см ,	высота	— 3 см .
Чему равна	высота	каждой полки ?
Длина параллелепипеда равна 3 см , ширина — 2 см ,	высота	— 4 см. Каков объём параллелепипеда ?
Сколько фигур и какие надо вырезать из стекла , чтобы сделать аквариум , длина которого равна 40 см , ширина — 20 см , а	высота	— 30 см ? .
Для заполнения всей коробки кубики нужно уложить в 5 слоёв , так как её	высота	равна 5 дм .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см ,	высота	— 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Одна из самых знаменитых — пирамида Хеопса ,	высота	которой достигает 147 м .
Есть два аквариума : первый — длиной 40 см , шириной 30 см , высотой 50 см , второй — длиной 50 см , шириной 30 см ,	высотой	40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
Есть два аквариума : первый — длиной 40 см , шириной 30 см ,	высотой	50 см , второй — длиной 50 см , шириной 30 см , высотой 40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
а ) Сколько литров воды вмещает аквариум длиной 95 см , шириной 32 см и	высотой	50 см ? .
Каждый прямоугольный параллелепипед имеет три измерения : длину , ширину и	высоту	.
Определите его длину , ширину и	высоту	.
Для каждого из них найдите длину , ширину и	высоту	.
В каких единицах вы будете измерять : а ) длину своего прыжка ; б ) площадь квартиры ; в ) вместимость ведра ; г ) периметр школьного участка ; д ) объём комнаты ; е ) вместимость стакана ; ж )	высоту	дома ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений : длины , ширины и	высоты	.
Например , данные диаграммы 1 можно представить и в виде диаграммы 2 , поместив столбики рядом , и в виде диаграммы 3 , изобразив вместо столбиков отрезки той же	высоты	.
Например , чтобы определить , в какие месяцы в Москве выпадает меньше осадков , чем во Владивостоке , последовательно сравним	высоты	соответствующих столбиков и увидим , что столбики на диаграмме 5 выше столбиков на диаграмме 4 с мая по сентябрь .
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби	вычесть	числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения :	вычесть	из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Чтобы из 6	вычесть	, « займём » единицу в целой части числа Так как , то , Итак .
Конечно , можно было бы последовательно выполнить два указанных действия — сначала сложить дроби , а затем из результата	вычесть	.
Что значит	вычесть	из числа a число b ? .
Так , из одного числа нельзя	вычесть	другое , если второе число больше первого .
Если уменьшаемое и	вычитаемое	обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и сложение , вычитание многозначных чисел обычно выполняют поразрядно .
уменьшаемое ,	вычитаемое	, разность .
Уменьшаемое ,	вычитаемое	, разность .
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с	вычитаемым	даёт уменьшаемое .
Выполните	вычитание	.
9 Сложение и	вычитание	.
Вы знаете , что два арифметических действия - сложение и умножение - выполнимы всегда , а два других —	вычитание	и деление - таким свойством не обладают .
Как связаны между собой сложение и	вычитание	чисел .
Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и сложение ,	вычитание	многозначных чисел обычно выполняют поразрядно .
34 Сложение и	вычитание	смешанных дробей .
33 Сложение и	вычитание	дробей .
Сложение и	вычитание	дробей с одинаковыми знаменателями .
Сложение и	вычитание	дробей .
Сложение и	вычитание	дробей с разными знаменателями .
Сложение и	вычитание	смешанных дробей .
Сложение и	вычитание	.
А скорость , с которой лодка плывёт против течения реки , получается	вычитанием	из собственной скорости лодки скорости течения реки .
При	вычитании	из любого числа этого же числа получается нуль .
Из свойства нуля при сложении вытекают его свойства при	вычитании	.
При	вычитании	нуля из любого числа получается то же число .
при	вычитании	? .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при сложении и	вычитании	; свойства нуля и единицы при умножении и делении .
Правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей .
Если требуется найти сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями .
С помощью букв правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями записывается так .
Связь сложения и	вычитания	. 1 ) Используя равенство , найдите : 2 ) С помощью сложения проверьте , верно ли равенство .
Просто специально договорились , что умножение и деление выполняются раньше сложения и	вычитания	, и благодаря этой договорённости скобки можно не ставить .
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила сложения и	вычитания	дробей .
Сформулируйте правила сложения и	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями и запишите их в буквенном виде .
Заметим , что для сложения и	вычитания	дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания натуральных чисел .
Заметим , что для сложения и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и	вычитания	натуральных чисел .
Два других « участника »	вычитания	имеют в отличие от сложения разные названия : уменьшаемое и вычитаемое — « то , что уменьшают » и « то , что вычитают » .
Результат	вычитания	называется разностью .
Кроме действий сложения и	вычитания	, вам известны также действия умножения и деления .
Если в выражении скобок нет , то сначала выполняют слева направо все действия умножения и деления , а потом — слева направо все действия сложения и	вычитания	.
С помощью этих цифр с применением сложения и	вычитания	в римской нумерации записывают и другие числа .
Запишите с помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно	вычитания	.
Приведём примеры	вычитания	дробей .
Из этого правила следует , что если выражение без скобок содержит только действия сложения и	вычитания	или только действия умножения и деления , то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Чтобы ответить на вопрос задачи , надо уметь складывать и	вычитать	дроби .
Вы уже умеете складывать и	вычитать	числа и , конечно , не считаете это слишком трудным .
Два других « участника » вычитания имеют в отличие от сложения разные названия : уменьшаемое и вычитаемое — « то , что уменьшают » и « то , что	вычитают	» .
Расскажите на примерах , как складывают и	вычитают	дроби с разными знаменателями .
Как складывают и	вычитают	дроби с одинаковыми знаменателями и с разными знаменателями .
Как складывают и	вычитают	смешанные дроби .
Сначала	вычтем	из 9 целую часть числа Так как .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают	геометрические тела	, например куб , цилиндр , шар , конус .
Две	геометрические фигуры	называют равными , если их можно совместить друг с другом , наложив одну на другую .
Что же мы имеем в виду , когда говорим , что две	геометрические фигуры	равны ?
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других	геометрических тел	специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
Названия многих	геометрических тел	произошли от соответствующих предметов .
Поверхности каких	геометрических тел	состоят не только из плоских частей ?
Среди множества	геометрических тел	есть большая группа многогранников .
Точно так же поверхность каждого	геометрического тела	разбивает пространство на внутреннюю и внешнюю области .
Вам хорошо знаком	градус	Цельсия как единица измерения температуры , например температура воздуха 25 ° С или температура тела больного 38 ° С .
Что такое 1	градус	?
Самой распространённой единицей измерения углов является угол величиной в 1	градус	.
Тогда другая сторона угла укажет величину угла в	градусах	.
На сколько	градусов	изменится величина угла между стрелками через 1 ч ? .
Покажите руками угол 90 ° , 180 ° . б ) На сколько	градусов	поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин , 30 мин , 1 ч ? .
Угол , ограниченный двумя соседними лучами , считают равным одному	градусу	и записывают так : 1 ° .
Сколько	граней	куба не имеют общих рёбер с нижней гранью ? .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин , 12 рёбер и 6	граней	.
— начертите переднюю ( видимую ) грань параллелепипеда . — проведите видимые и невидимые рёбра боковых	граней	. — начертите заднюю ( невидимую ) грань .
всего	граней	?
Сколько у неё боковых	граней	?
Как окрашены рёбра этих	граней	на спичечном коробке ? .
Сколько	граней	параллелепипеда сходится в каждой вершине ?
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько сторон , а у многогранника число вершин и число	граней	необязательно одинаково .
Сколько равных	граней	у параллелепипеда ?
Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа	граней	, вершин или рёбер , чем у треугольной пирамиды .
Каковы размеры	граней	AMNB , BNKC , MLKN ?
Сколько рёбер и	граней	у параллелепипеда , какую форму имеют его грани .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число	граней	, их форма ; число рёбер ; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Назовите общую вершину всех синих	граней	.
Сколько	граней	имеют общую вершину А ?
Сколько у него	граней	?
Сколько у данного многогранника	граней	?
Сколько вершин ,	граней	, рёбер : а ) у шестиугольной пирамиды ; б ) у десятиугольной пирамиды ; в ) у стоугольной пирамиды ? .
Определите число рёбер и число	граней	куба , сходящихся в каждой его вершине .
У каких из его	граней	наибольшая площадь и чему она равна ? .
Возьмите куб и определите , сколько у него	граней	, вершин , рёбер .
Как вы думаете , сколько	граней	будет у этого многогранника , если отрезать ещё один угол ? .
Сколько	граней	куба имеют общие рёбра с нижней гранью ?
Поставьте его на одну из	граней	.
Сколько	граней	на этом рисунке не видно ?
Сколько	граней	у получившегося многогранника ? .
У пирамиды 28	граней	.
Какие из этих	граней	видимые ? .
Найдите сумму площадей всех	граней	: а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные	грани	этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Закрасьте его видимые	грани	, используя для каждой грани свой цвет .
Назовите видимые и невидимые	грани	многогранника .
Закрасьте его видимые грани , используя для каждой	грани	свой цвет .
Назовите	грани	, у которых : а ) все рёбра видимые ; б ) есть видимые и невидимые рёбра ; в ) все рёбра невидимые .
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник Противоположные	грани	параллелепипеда равны .
Боковые	грани	— треугольники , сходящиеся в одной вершине , а основание — многоугольник , противолежащий этой вершине .
Все её	грани	— треугольники , и каждая из них может считаться её основанием .
У треугольной пирамиды 4	грани	, 6 рёбер и 4 вершины .
Пронумеруйте его	грани	.
Укажите её основание и боковые	грани	.
На	грани	куба нанесены цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Рёбра ,	грани	и вершины .
Назовите равные им	грани	.
Сколько рёбер и граней у параллелепипеда , какую форму имеют его	грани	.
3 Измерения параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см. Найдите площадь наибольшей	грани	параллелепипеда .
Куб — это такой прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , поэтому все его	грани	— квадраты .
Теперь мы видим все его	грани	, рёбра , вершины .
Определите периметр	грани	ABCD .
Какие	грани	будут красными ?
2 Выпишите все видимые	грани	параллелепипеда .
Назовите её основание и боковые	грани	.
Три	грани	прямоугольного параллелепипеда , имеющие общую вершину М , хотят окрасить в красный цвет , а остальные — в синий .
Перерисуйте в тетрадь многогранник , так , чтобы видимые грани стали невидимыми , а невидимые	грани	стали видимыми .
В каждом случае определите , какая цифра находится на нижней	грани	.
Какую форму имеют	грани	пирамиды .
Хорошо видны три его	грани	, но , не « обойдя » его , невозможно представить себе , как он выглядит сзади .
Перерисуйте в тетрадь многогранник , так , чтобы видимые	грани	стали невидимыми , а невидимые грани стали видимыми .
У пирамиды различают основание и боковые	грани	.
Каждая	грань	прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник Противоположные грани параллелепипеда равны .
Начертите	грань	CDLK в натуральную величину .
Мысленно сверните куб из развёрток и определите , какая	грань	является верхней , если закрашенная грань нижняя .
Начертите пятиугольную	грань	многогранника , если ребро куба 4 см , а разрез проходит через середины рёбер куба .
— начертите переднюю ( видимую )	грань	параллелепипеда . — проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней . — начертите заднюю ( невидимую ) грань .
Мысленно сверните куб из развёрток и определите , какая грань является верхней , если закрашенная	грань	нижняя .
Начертите	грань	BMNC в натуральную величину .
— начертите переднюю ( видимую ) грань параллелепипеда . — проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней . — начертите заднюю ( невидимую )	грань	.
В каких случаях	грань	будет видимой , а в каких нет ? .
Каждый из этих многоугольников называют	гранью	многогранника .
Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней	гранью	? .
Сколько граней куба имеют общие рёбра с нижней	гранью	?
Какой из квадратов развёртки является верхней	гранью	куба ? .
Развёртка многогранника — это плоская фигура , составленная из многоугольников , являющихся его	гранями	и расположенных определённым образом изображена некоторая фигура .
Среди множества геометрических тел есть большая	группа	многогранников .
Чтобы прочитать число , записанное в десятичной системе , его разбивают справа налево на классы , по три цифры в каждом ( самая левая	группа	цифр может состоять как из трёх , так и из одной или двух цифр ) .
По сколько человек может быть в этих	группах	? .
В одной	группе	36 спортсменов , а в другой — 40 спортсменов .
Оно состоит в том , что в сумме трёх чисел можно объединять в	группу	как первые два слагаемых , так и последние два — результат будет одним и тем же .
Остальные цвета объедините в одну	группу	под названием « другие цвета » .
При сложении нескольких чисел их можно как угодно переставлять и объединять в	группы	.
При умножении нескольких чисел их можно как угодно переставлять и объединять в	группы	.
Их надо разбить на равные	группы	.
Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так , чтобы	группы	шли одна за другой одинаковыми рядами ? .
А затем люди догадались вместо	группы	единиц писать один знак .
Чему равен	данный	угол ? .
Выполните	деление	.
Выполните	деление	и сократите полученную дробь .
А Петя сказал , что	деление	выполнено неверно .
Умножение и	деление	.
В этом случае при вычислении значения выражения , заключённого в скобках , нужно сначала выполнить	деление	.
Дело в том , что	деление	дробей сводится к умножению .
Как связаны между собой умножение и	деление	.
Покажем , что	деление	дробей можно свести к умножению .
через нулевое	деление	.
Выполните	деление	с остатком : а ) числа 65 на 8 ; б ) числа 118 на 11 ; в ) числа 160 на 15 .
Для того чтобы узнать , делится ли одно число нг другое , не всегда нужно выполнять	деление	.
Просто специально договорились , что умножение и	деление	выполняются раньше сложения и вычитания , и благодаря этой договорённости скобки можно не ставить .
Объясните на примерах , как выполняют	деление	, если делимое или делитель выражены смешанной дробью или натуральным числом .
Однако в таком случае , как вы знаете , можно выполнить	деление	с остатком .
Вы знаете , что два арифметических действия - сложение и умножение - выполнимы всегда , а два других — вычитание и	деление	- таким свойством не обладают .
Выполните	деление с остатком	: а ) числа 65 на 8 ; б ) числа 118 на 11 ; в ) числа 160 на 15 .
Однако в таком случае , как вы знаете , можно выполнить	деление с остатком	.
Задачи , которые вы раньше решали делением , решаются	делением	и в том случае , если они содержат дробные данные .
Задачи , которые вы раньше решали	делением	, решаются делением и в том случае , если они содержат дробные данные .
Эта задача , как вы знаете , решается	делением	.
В математике эта задача , как и первая , решается	делением	, т .
Если при	делении	получается остаток , то вместо слова « частное » обычно говорят « неполное частное » , для того чтобы подчеркнуть , что речь идёт о делении с остатком .
В остальных случаях при	делении	получились остатки , равные соответственно 1 , 2 , 3 .
При	делении	на 4 дают в остатке 1 : 33 . 129 .
При	делении	на 4 дают в остатке 2 : 34 . 130 .
Найдите какое - нибудь число , которое при	делении	на 2 даёт в остатке 1 , а при делении на 3 даёт в остатке 2 .
При	делении	на 4 дают в остатке 3 : 35 . 131 .
Найдите какое - нибудь двузначное число , которое при	делении	и на 2 , и на 3 даёт в остатке 1 . 2 )
Найдите число , если/. а ) при	делении	его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7 . б ) при делении его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
Найдите число , при	делении	которого на 6 получается неполное частное , равное 7 , и остаток , равный 3 .
Так , при	делении	на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом натуральные числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные числа .
При	делении	на 3 возможны остатки , равные 0 , 1 , 2 , т .
Найдите число , если/. а ) при делении его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7 . б ) при	делении	его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
Какие остатки возможны при	делении	на 3 ?
Найдите какое - нибудь число , которое при делении на 2 даёт в остатке 1 , а при	делении	на 3 даёт в остатке 2 .
При	делении	дробей выполняются известные свойства , связанные с нулём и единицей .
Сколько различных остатков может получиться при	делении	на 10 ? .
Если при делении получается остаток , то вместо слова « частное » обычно говорят « неполное частное » , для того чтобы подчеркнуть , что речь идёт о	делении	с остатком .
При	делении	на натуральное число n возможны следующие остатки .
Какие остатки могут получиться при	делении	некоторого числа : а ) на 5 ; б ) на 8 ; в ) на 10 ? .
А как начинается последовательность чисел , которые при	делении	на 3 дают в остатке 2 ?
При	делении	нуля на любое число , не равное нулю , получается 0 , например .
Не выполняя деления , определите , какой остаток получается при	делении	: а ) числа 137 на 10 , на 5 , на 3 ; б ) числа 543 на 2 , на 5 , на 9 .
Члены последовательности 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , .. — это числа , которые при	делении	на 3 дают в остатке 1 .
Если разделить целое на три равные части , то доли получатся больше , чем при	делении	на четыре равные части .
Какой наибольший остаток возможен при	делении	числа : а ) на 6 ; б ) на 11 ; в ) на 20 ? .
При	делении	любого числа на 1 получается это же число , например .
При	делении	любого числа , не равного нулю , на себя получается единица , например .
И вообще : когда мы говорим о	делении	числа a на число b , всегда подразумеваем , что число b не равно 0 .
Числа при	делении	, как вы знаете , также имеют свои названия .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при сложении и вычитании ; свойства нуля и единицы при умножении и	делении	.
при	делении	? .
12 Какие остатки могут получиться при	делении	некоторого числа на 5 ?
Приведите пример числа , которое при	делении	на 5 даёт в остатке 2 .
Если при делении получается остаток , то вместо слова « частное » обычно говорят « неполное частное » , для того чтобы подчеркнуть , что речь идёт о	делении с остатком	.
Не выполняя	деления	, докажите , что : а ) число 358 не делится на 17 ; б ) число 238 не делится на 22 .
С помощью букв правило	деления	дробей можно записать так .
Как , не выполняя	деления	, определить , делится ли данное число на 10 ?
Этот перебор можно сократить , если , отыскав один делитель , записать сразу же и другой , являющийся частным от	деления	числа 24 на найденный делитель .
Не выполняя	деления	, определите , какой остаток получается при делении : а ) числа 137 на 10 , на 5 , на 3 ; б ) числа 543 на 2 , на 5 , на 9 .
Остатки от	деления	.
Обратите внимание : остаток всегда меньше делителя — только в этом случае мы заканчиваем процесс	деления	уголком .
Если в выражении скобок нет , то сначала выполняют слева направо все действия умножения и	деления	, а потом — слева направо все действия сложения и вычитания .
Отсюда понятно правило	деления	дроби на дробь .
Правило	деления	дроби на дробь .
Примеры	деления	чисел с остатком .
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом	деления	дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Какими могут быть остатки от	деления	на натуральное число п .
Кроме действий сложения и вычитания , вам известны также действия умножения и	деления	.
Сформулируйте свойства	деления	, связанные с единицей и нулём .
Связь умножения и	деления	.
Только результат этого	деления	выражается не натуральным , а дробным числом .
Как , не выполняя	деления	, можно установить , делится ли данное число на 2 , на 5 , на 10 , на 3 , на 9 .
Из этого правила следует , что если выражение без скобок содержит только действия сложения и вычитания или только действия умножения и	деления	, то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Каким числом может выражаться результат	деления	натуральных чисел ?
Сформулируйте правило	деления	дроби на дробь .
Возьмём число 738 и , не выполняя	деления	, постараемся выяснить , делится ли оно на 9 .
Поэтому в математике дробную черту рассматривают ещё и как знак	деления	.
Из свойств умножения , связанных с числами 0 и 1 , вытекают соответствующие свойства	деления	.
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила умножения и	деления	дробей .
Правило	деления	дробей .
Результат	деления	натуральных чисел выражается или натуральным , или дробным числом .
Коля	делил	число 156 на 8 и получил в частном 18 , а в остатке 12 .
б ) не	делилась	на 15 ; г ) не была кратна 3 .
а )	делилась	на 8 ; в ) была кратна 9 .
Число внизу , под чертой , показывает , на сколько равных частей	делили	.
Укажите три числа , которые можно подставить вместо буквы а , чтобы произведение : а ) 36а	делилось	на 14 ; б ) 15а было кратно 20 .
Поставьте вместо знака такую цифру , чтобы получившееся число	делилось	на 9 .
Подберите такое число а , чтобы произведение 23а	делилось	на 2 ; на 5 ; на 11 .
Если	делимое	и делитель обозначить буквами а и b , то частное можно записать так : a : b .
	Делимое	.
Расскажите , как найти неизвестный множитель ; неизвестное	делимое	; неизвестный делитель .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно	делимое	умножить на дробь , обратную делителю .
В предыдущем примере 18 —	делимое	, 3 — делитель , 6 — частное .
При этом частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой —	делимое	, а знаменатель — делитель .
Если обозначить	делимое	и делитель буквами m и n .
Если	делимое	или делитель является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
	Делимое	равно неполное частное × делитель + остаток .
В каждом случае запишите равенство , связывающее	делимое	, делитель , неполное частное и остаток .
Объясните на примерах , как выполняют деление , если	делимое	или делитель выражены смешанной дробью или натуральным числом .
Умножив число 45 на 4 , в каждом из этих случаев мы не получим	делимое	.
Произведение « почти равно »	делимому	, точнее говоря , меньше его на соответствующий остаток .
Луч ОС	делит	угол ∠АОВ на два равных угла : ∠АОС равно ∠СОВ .
На сколько областей она	делит	плоскость ? .
Диаметр	делит	окружность и круг на две равные части .
Она	делит	плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю .
Каждая диагональ прямоугольника	делит	его на два треугольника .
Укажите какие - нибудь десять	делителей	произведения .
а ) Укажите какие - нибудь пять	делителей	произведения .
Укажите ещё несколько	делителей	этого числа .
Такие пары	делителей	удобно записывать друг под другом .
Назовите пять	делителей	разности .
Таким образом , число 24 имеет восемь	делителей	: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 .
Получим ещё шесть	делителей	: 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 .
А сколько	делителей	имеет квадрат простого числа ?
Укажите ещё несколько	делителей	этой суммы .
Как вы думаете , сколько	делителей	имеет пятая степень простого числа ?
Сколько	делителей	имеет каждое из них ? .
Натуральные числа , имеющие более двух	делителей	, называют составными числами .
Сколько	делителей	имеет число .
Докажите , что число 35 является	делителем	числа 560 , а число 18 его делителем не является .
Его называют наибольшим общим	делителем	этих чисел .
Докажите , что число 35 является делителем числа 560 , а число 18 его	делителем	не является .
Если число а делится на число b , то число b называют	делителем	числа а .
Вместе с ним и число 6 является	делителем	18 .
А число 4	делителем	числа 18 не является .
Можно сказать , что число 9 является	делителем	45 или что число 45 — кратное числа 9 .
Найдите ещё какие - нибудь	делители	числа 272 и запишите соответствующие равенства .
Найдём все делители каждого из них и подчеркнём их общие делители :	делители	числа 30 ; делители числа 45 .
Из него можно узнать много полезных сведений о данном числе , например , найти все его	делители	.
Найдите все	делители	числа 20 и первые шесть чисел , кратных 20 .
а ) любое чётное число имеет только чётные	делители	.
4 Укажите все общие	делители	чисел 24 и 18 .
3 Выпишите все	делители	числа 40 .
Выпишите все общие	делители	чисел 36 и 45 и назовите их наибольший общий делитель .
Найдём все	делители	числа 24 .
Найдите все	делители	числа .
Найдём все делители каждого из них и подчеркнём их общие	делители	: делители числа 30 ; делители числа 45 .
Часто при решении задач приходится находить общие	делители	двух или более чисел .
Найдите все	делители	числа а , если .
Найдём все делители каждого из них и подчеркнём их общие делители : делители числа 30 ;	делители	числа 45 .
Вы видели , что с помощью перебора можно найти все	делители	числа .
Найдём все	делители	каждого из них и подчеркнём их общие делители : делители числа 30 ; делители числа 45 .
Перечислите все	делители	числа 3125 ; числа 64 .
Так будет всегда , когда знаменатели имеют общие	делители	, отличные от 1 .
Наибольший общий	делитель	чисел а и Ъ обозначают так .
делимое равно неполное частное ×	делитель	+ остаток .
Если одно число делится на другое , то для описания их взаимосвязи используются слова «	делитель	» и « кратное » .
Что такое	делитель	и кратное числа .
Когда одно число делится на другое , то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово «	делитель	» , но ещё и слово « кратное » .
В каждом случае запишите равенство , связывающее делимое ,	делитель	, неполное частное и остаток .
Чтобы сократить дробь , её числитель и знаменатель нужно разделить на их общий	делитель	.
Если делимое или	делитель	является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Этот перебор можно сократить , если , отыскав один	делитель	, записать сразу же и другой , являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель .
Так как делимое должно равняться частному , умноженному на	делитель	, то .
НОД ( а ; b ) — наибольший общий	делитель	чисел a и b. Например , НОД ( 8 ; 12 ) равно 4 .
Сформулируйте несколько выводов из равенства , используя слова « делится » , «	делитель	» , « кратное » .
В предыдущем примере 18 — делимое , 3 —	делитель	, 6 — частное .
Её числитель и знаменатель имеют общий	делитель	, равный 6 .
	Делитель	.
Этот перебор можно сократить , если , отыскав один делитель , записать сразу же и другой , являющийся частным от деления числа 24 на найденный	делитель	.
Если обозначить делимое и	делитель	буквами m и n .
Объясните на примерах , как выполняют деление , если делимое или	делитель	выражены смешанной дробью или натуральным числом .
Число 1 имеет только один	делитель	— само это число .
Делимое ,	делитель	, частное .
Выпишите все общие делители чисел 36 и 45 и назовите их наибольший общий	делитель	.
Расскажите , как найти неизвестный множитель ; неизвестное делимое ; неизвестный	делитель	.
Если делимое и	делитель	обозначить буквами а и b , то частное можно записать так : a : b .
Так , число 3 —	делитель	18 .
При этом частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель —	делитель	.
Из рассмотренных выше примеров ясно , что по отношению к	делителю	4 имеется четыре класса натуральных чисел .
а ) Назовите четыре	делителя	суммы .
Поэтому его можно представить в виде произведения частного и	делителя	.
Числа трёх других классов можно записать в виде суммы , в которой одно слагаемое — произведение неполного частного и	делителя	, а другое — остаток .
Число , которое имеет только два	делителя	— самого себя и 1 , называется простым числом .
1 ) Как известно , простое число имеет два	делителя	.
Два его	делителя	очевидны : это 1 и само число 24 .
Обратите внимание : остаток всегда меньше	делителя	— только в этом случае мы заканчиваем процесс деления уголком .
Из равенства следует , что числа 34 и 8 являются	делителями	числа 272 .
2 Какие из чисел 2 , 6 , 12 , 15 , 24 являются	делителями	числа 84 ? .
А верно ли утверждение : если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число , то и сумма не	делится	на это число ?
Если одно из слагаемых не	делится	на некоторое число , а остальные делятся , то сумма на это число не делится .
Оно	делится	на 10 , но число 10 делится на 5 , значит , и 480 делится на 5 .
А как по последней цифре числа узнать ,	делится	ли оно на 5 ?
Если одно из слагаемых не делится на некоторое число , а остальные делятся , то сумма на это число не	делится	.
	Делится	на 5 .
Первые два её слагаемых делятся на 6 , а третье слагаемое на 6 не	делится	.
Эти признаки делимости позволяют определить ,	делится	ли число на 10 , на 5 или на 2 по его последней цифре .
Понятно , что дробь можно привести и к другому знаменателю — к любому , который	делится	на 5 .
Как , не выполняя деления , можно установить ,	делится	ли данное число на 2 , на 5 , на 10 , на 3 , на 9 .
Чтобы объединить эти два утверждения в одно , обычно используют словосочетание « в том и только том случае » и говорят : число	делится	на 10 в том и только том случае , когда его последней цифрой является 0 .
Для того чтобы узнать ,	делится	ли одно число нг другое , не всегда нужно выполнять деление .
2 ) если число делится на 3 , то оно	делится	на 9 ? .
А верно ли утверждение : если ни одно из слагаемых не	делится	на некоторое число , то и сумма не делится на это число ?
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не	делится	на 10 .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно	делится	на 10 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 10 .
Поэтому и сумма , равная 112 , на 6 не	делится	.
в ) делится на 2 , на 3 , на 5 , на 4 , на 10 . г )	делится	на 2 , на 3 , на 5 , на 4 , на 15 , на 77 .
Слагаемые 11 , 17 и 22 не делятся на 5 , а их сумма на это число	делится	.
1 ) если число делится на 9 , то оно	делится	на 3 .
Число а	делится	на 36 .
Известно , что некоторое число	делится	на 4 .
в )	делится	на 2 , на 3 , на 5 , на 4 , на 10 . г ) делится на 2 , на 3 , на 5 , на 4 , на 15 , на 77 .
Можно ли утверждать , что оно	делится	на 2 ? .
б ) Известно , что некоторое число	делится	на 2 .
Можно ли утверждать , что оно	делится	на 4 ? .
Докажите , не выполняя действий , что сумма	делится	на 2 , на 3 и на 4 : Делится ли сумма .
Докажите , что разность	делится	на 15 .
Воспользовавшись результатом предыдущего задания , определите ,	делится	ли .
Известно , что каждое слагаемое в некоторой сумме	делится	на 16 .
2 ) если число	делится	на 3 , то оно делится на 9 ? .
Можно ли утверждать , что эта сумма не	делится	на 5 ? .
Не выполняя деления , докажите , что : а ) число 358 не	делится	на 17 ; б ) число 238 не делится на 22 .
Не выполняя деления , докажите , что : а ) число 358 не делится на 17 ; б ) число 238 не	делится	на 22 .
Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух слагаемых , одно из которых	делится	на указанное число .
б )	делится	на 4 .
любое нечётное число	делится	на 3 .
а ) если сумма	делится	на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это число .
а ) если сумма делится на некоторое число , то и каждое слагаемое	делится	на это число .
б ) если произведение	делится	на некоторое число , то и какой - нибудь из входящих в него множителей делится на это число .
б ) если произведение делится на некоторое число , то и какой - нибудь из входящих в него множителей	делится	на это число .
1 ) если число	делится	на 9 , то оно делится на 3 .
Известно , что некоторое число	делится	на 10 .
Оно делится на 10 , но число 10	делится	на 5 , значит , и 480 делится на 5 .
Число делится на 9 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа	делится	на 9 .
Используя его , легко показать , что , например , число 684	делится	на 6 .
Так как значение выражения	делится	на 11 , то и равное ему произведение делится на 11 .
в )	делится	ли на 10 сумма .
б )	делится	ли на 5 разность .
а )	делится	ли на 2 сумма .
Так как значение выражения делится на 11 , то и равное ему произведение	делится	на 11 .
Если один из множителей	делится	на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Если один из множителей делится на некоторое число , то и произведение	делится	на это число .
Оно	делится	на 39 , а 39 делится на 13 , отсюда следует , что и число 3900 тоже делится на 13 .
Оно делится на 39 , а 39	делится	на 13 , отсюда следует , что и число 3900 тоже делится на 13 .
Оно делится на 39 , а 39 делится на 13 , отсюда следует , что и число 3900 тоже	делится	на 13 .
Если первое число	делится	на второе , а второе число делится на третье , то и первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе число	делится	на третье , то и первое число делится на третье .
Объясните , почему число 3147 делится на 3 и не	делится	на 9 .
Объясните , почему число 3147	делится	на 3 и не делится на 9 .
Как , не выполняя деления , определить ,	делится	ли данное число на 10 ?
Например , число 4584 делится на 3 , а 1111 не	делится	.
Число делится на 3 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа	делится	на 3 .
Покажем , что и само произведение тоже	делится	на 11 .
Число	делится	на 3 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа делится на 3 .
Один из входящих в него множителей , число 33 ,	делится	на 11 .
большему из этих знаменателей , и проверять , делятся ли они на 12 : число 30 на 12 не	делится	, число 45 также не делится , а 60 делится .
1 Известно , что число а	делится	на число b.
Какое простое число	делится	: а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 19 ? .
Например , число 6 — составное : оно	делится	не только на 1 и на 6 , но ещё и на 2 , и на 3 .
Любое число	делится	само на себя и на 1 .
Сформулируйте несколько выводов из равенства , используя слова «	делится	» , « делитель » , « кратное » .
На этом перебор можно закончить , так как число 24 — первое число в натуральном ряду , которое	делится	и на 8 , и на 6 .
Число 8 на 6 не делится , число 16 также на 6 не делится , а вот число 24 уже	делится	на 6 .
Число 8 на 6 не делится , число 16 также на 6 не	делится	, а вот число 24 уже делится на 6 .
Число 8 на 6 не	делится	, число 16 также на 6 не делится , а вот число 24 уже делится на 6 .
числу 8 , и в каждом случае проверять ,	делится	ли это кратное на 6 .
Например , число 45	делится	на 9 .
Если число а	делится	на число b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или число а кратно числу b ) .
Когда одно число	делится	на другое , то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово « делитель » , но ещё и слово « кратное » .
Как вы назовёте части круга , на которые он	делится	своим диаметром ? .
Можно ли записать этими же цифрами число , которое	делится	на 3 ?
большему из этих знаменателей , и проверять , делятся ли они на 12 : число 30 на 12 не делится , число 45 также не делится , а 60	делится	.
большему из этих знаменателей , и проверять , делятся ли они на 12 : число 30 на 12 не делится , число 45 также не	делится	, а 60 делится .
Не выполняя действий , определите ,	делится	ли на 3 значение выражения .
Число 4351 не делится на 9 , так как , а 13 не	делится	на 9 .
Число 4351 не	делится	на 9 , так как , а 13 не делится на 9 .
Больший знаменатель — число 12 —	делится	на меньший , поэтому его можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей .
Каждое из них	делится	на 7 .
Поэтому признак делимости на 2 можно сформулировать так : число	делится	на 2 в том и только том случае , если оно оканчивается чётной цифрой .
Если одно число	делится	на другое , то для описания их взаимосвязи используются слова « делитель » и « кратное » .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно	делится	на 2 ; числа , оканчивающиеся какой - нибудь из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , не делятся на 2 .
По последней цифре числа можно узнать также ,	делится	ли оно на 2 .
Выясним ,	делится	ли на 7 их сумма .
Так как сумма равна произведению , то она	делится	на 7 .
Можно сказать иначе : число	делится	на 5 в том и только том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 .
Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 , то оно делится на 5 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не	делится	на 5 .
Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 , то оно	делится	на 5 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 5 .
Значит , число 486 на 5 не	делится	.
Во втором случае одно слагаемое	делится	на 5 , а другое нет .
В первой сумме оба слагаемых делятся на 5 , значит , и число 485	делится	на 5 .
Если каждое слагаемое	делится	на некоторое число , то и сумма делится на это число .
Очевидно , что всякое число , оканчивающееся цифрой 0 ,	делится	на 5 .
Оно делится на 10 , но число 10 делится на 5 , значит , и 480	делится	на 5 .
Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то и сумма	делится	на это число .
Возьмём число 738 и , не выполняя деления , постараемся выяснить ,	делится	ли оно на 9 .
Для этого достаточно представить число 684 в виде суммы , в которой каждое слагаемое	делится	на 6 .
Сумма	делится	на 9 , так как каждое её слагаемое делится на 9 .
А вот в 4 коробки разложить поровну 18 карандашей нельзя — на 4 число 18 не	делится	.
Например , число 78345 делится на 9 , так как , а 27	делится	на 9 .
Например , число 78345	делится	на 9 , так как , а 27 делится на 9 .
Число	делится	на 9 в том и только том случае , если сумма цифр этого числа делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не	делится	на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не	делится	на 9 , то и само число не делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число	делится	на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Если сумма цифр числа	делится	на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Так как , то число 18	делится	на 3 и в 3 коробки разложить карандаши поровну можно .
И результат зависел от того ,	делится	ли эта сумма на 9 .
Значит , число 736 не	делится	на 9 .
Выражение в первых скобках	делится	на 9 , а во вторых нет .
Значит , число 738	делится	на 9 .
Следовательно , и вся сумма	делится	на 9 .
Сумма равна 18 , она тоже	делится	на 9 .
Сумма делится на 9 , так как каждое её слагаемое	делится	на 9 .
Если число а	делится	на число b , то число b называют делителем числа а .
Если первое число делится на второе , а второе число делится на третье , то и первое число	делится	на третье .
Например , число 4584	делится	на 3 , а 1111 не делится .
Если вы умеете умножать дроби , то легко научитесь их	делить	.
На 0	делить	нельзя ! .
И помните , на 0 по - прежнему	делить	нельзя ! .
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое число раз , эти единицы стали	делить	на части .
Если и дальше	делить	каждую треть круга на одинаковые доли , то будем получать новые дроби , равные .
Общий знаменатель данных дробей должен	делиться	и на 5 , и на 8 .
Чем больше число частей , на которые	делят	целое , тем меньше получаемые доли .
равны , в точке пересечения	делятся	пополам и пересекаются под прямым углом .
в )	делятся	на 3 и не делятся на 2 . г ) делятся на 10 и на 9 .
делятся на 2 и не	делятся	на 3 .
11 Какие из чисел 115 , 120 , 142 , 170 , 186 : а ) делятся на 2 и не	делятся	на 5 ; б ) делятся на 2 и на 5 ? .
	Делятся	на 2 и не делятся на 3 .
а )	делятся	на 2 и на 3 .
в ) делятся на 3 и не	делятся	на 2 . г ) делятся на 10 и на 9 .
Выпишите из них те , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 3 и не	делятся	на 9 .
Выпишите из них те , которые : а ) делятся на 9 ; б )	делятся	на 3 и не делятся на 9 .
Выпишите из них те , которые : а )	делятся	на 9 ; б ) делятся на 3 и не делятся на 9 .
б ) Какие из чисел 111 , 110 , 222 , 834 , 2383 , 882	делятся	на 3 ?
Условия , при которых сумма и произведение нескольких чисел	делятся	на данное число .
в ) делятся на 3 и не делятся на 2 . г )	делятся	на 10 и на 9 .
д ) делятся на 10 и не	делятся	на 9 .
е ) в точке пересечения	делятся	пополам и пересекаются под прямым углом .
	Делятся	на 9 и не делятся на 10 .
делятся на 9 и не	делятся	на 10 .
а )	делятся	на 2 .
	Делятся	на 5 .
Выпишите из них те , которые	делятся	: а ) на 6 ; б ) на 15 ; в ) на 18 . 2 )
11 Какие из чисел 115 , 120 , 142 , 170 , 186 : а ) делятся на 2 и не делятся на 5 ; б )	делятся	на 2 и на 5 ? .
11 Какие из чисел 115 , 120 , 142 , 170 , 186 : а )	делятся	на 2 и не делятся на 5 ; б ) делятся на 2 и на 5 ? .
Примеры чисел , которые	делятся	на 4 : 32 . 128 . 500 . 620 . 1284 .
большему из этих знаменателей , и проверять ,	делятся	ли они на 12 : число 30 на 12 не делится , число 45 также не делится , а 60 делится .
« по отношению к числу 3 » натуральные числа	делятся	на три класса .
10 Какие из чисел 272 , 312 , 405 , 512	делятся	: а ) на 3 ; б ) на 9 ? .
д )	делятся	на 10 и не делятся на 9 .
г ) не	делятся	ни на 2 , ни на 5 ? .
а ) Какие из чисел 212 , 216 , 8361 , 56007 , 4125	делятся	на 9 ?
г ) равны и в точке пересечения	делятся	пополам .
Например , числа 1020 , 48960 , 580 делятся на 10 , а числа 125 , 4718 не	делятся	на 10 .
Первые два её слагаемых	делятся	на 6 , а третье слагаемое на 6 не делится .
Поэтому диагонали квадрата , как всякого прямоугольника , равны и в точке пересечения	делятся	пополам .
Если одно из слагаемых не делится на некоторое число , а остальные	делятся	, то сумма на это число не делится .
Слагаемые 11 , 17 и 22 не	делятся	на 5 , а их сумма на это число делится .
в )	делятся	на 2 и на 5 .
В первой сумме оба слагаемых	делятся	на 5 , значит , и число 485 делится на 5 .
Например , числа 85 , 1290 , 15065	делятся	на 5 , а числа 348 , 5953 не делятся на 5 .
Например , числа 1020 , 48960 , 580	делятся	на 10 , а числа 125 , 4718 не делятся на 10 .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 ; числа , оканчивающиеся какой - нибудь из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , не	делятся	на 2 .
Например , числа 85 , 1290 , 15065 делятся на 5 , а числа 348 , 5953 не	делятся	на 5 .
Например , числа 1248 , 30540 делятся на 2 , а числа 951 , 3497 не	делятся	на 2 .
б ) в точке пересечения	делятся	пополам .
а ) Какие из чисел 132 , 815 , 2600 , 551 , 1000	делятся	на 5 ?
б ) Какие из чисел 9376 , 881 , 1050 , 12345 , 1112	делятся	на 2 ?
Какие из чисел 18 , 35 , 53 , 70 , 204 , 360 . а )	делятся	на 5 , но не делятся на 2 .
Какие из чисел 18 , 35 , 53 , 70 , 204 , 360 . а ) делятся на 5 , но не	делятся	на 2 .
	Делятся	на 2 , но не делятся на 5 .
делятся на 2 , но не	делятся	на 5 .
Например , числа 1248 , 30540	делятся	на 2 , а числа 951 , 3497 не делятся на 2 .
В точке пересечения диагонали прямоугольника	делятся	пополам .
числа ,	делящиеся	и не делящиеся на 2 .
В каждом случае приведите примеры чисел ,	делящихся	и не делящихся на указанное число .
Вы не раз имели дело с кубами , сделанными из	дерева	или пластмассы , можете вылепить куб из пластилина .
Решение задач с помощью	дерева	возможных вариантов .
Решим с помощью построения	дерева	разобранную выше задачу о цифровых кодах . 1 ) Изобразите корень дерева , для этого поставьте знак .
Двигаясь от корня	дерева	по ветвям , мы получим все возможные коды .
Поэтому от корня	дерева	проведите три ветви ( три отрезка ) и на их концах поставьте цифры 1 , 2 и 3 .
Решим с помощью построения дерева разобранную выше задачу о цифровых кодах . 1 ) Изобразите корень	дерева	, для этого поставьте знак .
Часто процесс перебора удобно осуществлять путём построения специальной схемы — так называемого	дерева	возможных вариантов .
Решите задачу о расписании уроков ( задача 2 ) с помощью	дерева	возможных вариантов .
Это название принято потому , что такая схема , как вы увидите , действительно напоминает	дерево	, правда , расположенное « вверх ногами » и без ствола .
Какую часть всех	деревьев	составляют сливы ? .
Какую часть всех	деревьев	составляют яблони ?
	Десятиугольника	?
Запишите какое - нибудь	десятичное	число , назовите классы и разряды в его записи .
А	десятичной	нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет число 10 : единица каждого следующего разряда составляет 10 единиц предыдущего разряда .
Чтение и запись чисел в	десятичной	нумерации .
Чтобы прочитать число , записанное в	десятичной	системе , его разбивают справа налево на классы , по три цифры в каждом ( самая левая группа цифр может состоять как из трёх , так и из одной или двух цифр ) .
Сколько знаков используется для записи чисел в	десятичной	системе ?
Изобретение	десятичной	системы заняло много веков .
В	десятичной	системе значение цифры зависит от того , какое место в записи числа она занимает , а точнее , в каком разряде она находится .
Поэтому великим достижением математиков было изобретение	десятичной	позиционной системы записи чисел , хорошо вам известной .
Почему наша система записи чисел называется	десятичной	?
В	десятичной	системе счисления важное значение имеют степени числа 10 .
а ) 4 тысячи 3 сотни 2	десятка	1 единица . б ) 5 миллионов б тысяч 7 сотен 8 десятков .
а ) из первого	десятка	; б ) расположенные между числами 100 и 110 .
Натуральные числа округляют до	десятков	, сотен , тысяч и т .
Например , в числе 3748152 цифра 2 означает две единицы , цифра 5 — пять	десятков	, цифра 1 — одну сотню и т .
Если бы мы захотели в римской нумерации записать очень большое число , то нам потребовалось бы придумать ещё много новых цифр — для	десятков	тысяч , сотен тысяч и т .
Округлите число 89615 : а ) до	десятков	; б ) до сотен ; в ) до тысяч .
Округлим до	десятков	число 568 .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до	десятков	; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых	десятков	; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде	десятков	.
При округлении числа до	десятков	его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
Округлим до	десятков	число 564 .
а ) 281 , 69 , 347 , 23 до	десятков	.
На примерах округления до	десятков	чисел 132 , 136 , 135 покажите , как округляют числа по правилу .
Число 564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими целое число	десятков	; при этом ближе оно к числу 560 .
Поэтому , округляя число 564 до	десятков	, мы должны заменить его числом 560 .
Например , число 2803 содержит 2 тысячи , 8 сотен , 0	десятков	и 3 единицы .
Запишите ряд чисел , который получится , если последовательно округлять данное число до	десятков	, сотен и т .
Округлив число 564 до	десятков	, мы заменили его приближённым значением с недостатком .
Тимур задумал число и , округлив его до	десятков	, записал : 280 .
Округлим до	десятков	число 565 .
а ) 4 тысячи 3 сотни 2 десятка 1 единица . б ) 5 миллионов б тысяч 7 сотен 8	десятков	.
Проведите	диагонали	и обозначьте точку их пересечения .
Единственным многоугольником , который не имеет ни одной	диагонали	, является треугольник .
В точке пересечения	диагонали	прямоугольника делятся пополам .
В прямоугольнике ABCD провели	диагонали	.
В пятиугольниках ABCDE и KLMNP назовите равные	диагонали	и запишите соответствующие равенства .
Каким свойством обладают	диагонали	прямоугольника .
Назовите все	диагонали	шестиугольника ABCDEF , выходящие из вершины В .
Вырежите из бумаги прямоугольник и разрежьте его по	диагонали	.
Возьмите квадрат и проведите его	диагонали	.
Под каким углом пересекаются	диагонали	квадрата ? .
Но есть у них ещё одно свойство :	диагонали	квадрата при пересечении образуют прямые углы .
8 Каким свойством обладают	диагонали	прямоугольника ? .
Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите	диагонали	прямоугольника .
В этом шестиугольнике можно провести и другие	диагонали	.
У прямоугольника , как у любого четырёхугольника , две	диагонали	Вы видите , что они пересекаются ; точка О — точка пересечения диагоналей .
Этот отрезок —	диагональ	шестиугольника .
Запишите , на какие многоугольники разбила пятиугольник эта	диагональ	.
Проведите вторую	диагональ	.
Какой стороне треугольника равна	диагональ	прямоугольника ? .
Начертите прямоугольник , обозначьте его и проведите одну	диагональ	.
7 Начертите произвольный выпуклый пятиугольник ABCDE и проведите	диагональ	AD .
Какие углы образует	диагональ	со сторонами квадрата ?
Что больше :	диагональ	квадрата или его сторона ?
Начертите в тетради квадрат и проведите одну его	диагональ	.
Каждая	диагональ	прямоугольника делит его на два треугольника .
Разрежьте квадрат по	диагоналям	.
Отметьте точку О. Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Чему равен	диаметр	этой окружности ? .
Как можно приближённо вычислить длину окружности , если известен её	диаметр	? .
Слово «	диаметр	» происходит от латинского слова diametros - поперечник .
Назовите	диаметр	окружности .
Радиус и	диаметр	окружности .
а ) Найдите	диаметр	окружности , если её радиус равен : 12 см , 3 см 5 мм , 10 дм . б )
Чему равен	диаметр	каждой окружности ? .
Найдите радиус окружности , если её	диаметр	равен : 6 см , 9 см , 12 м .
Во всех цирках мира арена — это круг	диаметром	13 м .
Отрезок , который соединяет две точки окружности и проходит через её центр , называют	диаметром	окружности .
Как вы назовёте части круга , на которые он делится своим	диаметром	? .
	Диаметром	окружности ? .
Вы знаете , что площадь прямоугольника равна произведению	длин	его смежных сторон .
Существуют и другие инструменты , которые служат для измерения расстояний и	длин	: рулетка , одометр , штангенциркуль .
В России метрическая система единиц стала применяться только с 1918 г. , до этого для измерения	длин	использовались такие единицы , как верста , локоть , аршин и т .
Периметр прямоугольника , как и любого многоугольника , равен сумме	длин	его сторон .
Существует и другой способ — измерение отрезков и сравнение их	длин	.
Инструменты для измерения расстояний и	длин	.
Длина ломаной равна сумме	длин	отрезков , из которых она состоит .
Периметр обычно обозначают буквой Р. Периметр многоугольника равен сумме	длин	всех его сторон .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму	длин	двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон .
Площадь прямоугольника равна произведению	длин	его смежных сторон .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму	длин	двух других сторон .
Для каждого варианта	длин	сторон вычислите периметр прямоугольника .
Задача измерения	длин	кривых значительно сложнее : линейкой кривую не измеришь .
Назовите отрезки в порядке убывания их	длин	.
Кто из них идёт с большей скоростью , если	длина	шага у них одинакова ? .
а ) Сумма всех сторон прямоугольника равна 48 см. Его	длина	на 4 см больше ширины .
Сколько фигур и какие надо вырезать из стекла , чтобы сделать аквариум ,	длина	которого равна 40 см , ширина — 20 см , а высота — 30 см ? .
У прямоугольного параллелепипеда	длина	равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Чему равна	длина	отрезка СВ ? .
Какова	длина	маршрута ? .
Чему равна	длина	всего пути от Старицы до Твери ? .
Найдите сумму площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда ,	длина	которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
С помощью линейки установили , что его	длина	равна 2 см 5 мм .
Какова	длина	одной части ? .
а ) У прямоугольного участка земли ширина 25 м , а	длина	60 м .
Площадь спортивного зала прямоугольной формы 132 м2 ,	длина	меньшей его стороны равна 10 м .
рост школьника . 4 )	длина	карандаша .
б ) Стулья шириной 60 см надо установить вдоль стены ,	длина	которой 7 м .
Периметр прямоугольника равен 54 см. Его	длина	на 5 см больше ширины .
Начертите отрезок ,	длина	которого равна 12 клеткам .
Начертите прямоугольник , у которого	длина	равна 4 м , а ширина — 3 м .
Постройте ломаную ,	длина	которой равна 20 см , состоящую из четырёх звеньев различной длины .
а ) Площадь комнаты прямоугольной формы 19 м2 ,	длина	одной из её сторон 5 м .
Это и будет	длина	кривой .
Начертите ломаную АВС , такую , что АВ равно 3 см , ВС равно 5 см. Чему равна	длина	этой ломаной ? .
а ) Периметр прямоугольника равен 36 см ,	длина	одной стороны — 10 см. Найдите длину смежной стороны .
Чему равна	длина	отрезка ΑΒ ? .
Какова	длина	беговой дорожки , если они встретились через 3 мин ? .
У какого участка	длина	ограды будет больше ? .
А чтобы измерить отрезок , мы должны прежде всего иметь единицу измерения — отрезок ,	длина	которого принята за единицу .
Постройте на классной доске отрезки	длиной	1 м , 1 м 15 см .
Начертите в тетради отрезок АВ	длиной	3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
а ) Сколько литров воды вмещает аквариум	длиной	95 см , шириной 32 см и высотой 50 см ? .
Начертите отрезок	длиной	6 клеточек .
Начертите отрезок	длиной	18 клеточек .
а ) Моток ленты	длиной	10 м надо разрезать на куски по 45 см. Сколько таких кусков получится и сколько ленты останется ? .
Есть два аквариума : первый — длиной 40 см , шириной 30 см , высотой 50 см , второй —	длиной	50 см , шириной 30 см , высотой 40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
Есть два аквариума : первый —	длиной	40 см , шириной 30 см , высотой 50 см , второй — длиной 50 см , шириной 30 см , высотой 40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
Постройте по клеточкам в тетради отрезки	длиной	5 см , 6 см 5 мм . б )
Дед и внук , работая вместе , покрасили забор	длиной	168 м за 12 ч .
а ) Отрезок	длиной	3 дм разделили на 5 равных частей .
б ) Взяли проволоку	длиной	17 см и из неё согнули треугольник , две стороны которого равны 5 см и б см. Что вы можете сказать об этом треугольнике ? .
а ) Проволоку	длиной	15 см согнули так , что получился равносторонний треугольник .
Моток проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски	длиной	15 см и 10 см так , чтобы не осталось обрезков .
Эти стороны прямоугольника иногда называют	длиной	и шириной .
На своём маршруте она должна пройти три перегона	длиной	12 км , 15 км и 18 км , сделав при этом две остановки по ч .
Моток проволоки	длиной	110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так , чтобы не осталось обрезков .
Ленту	длиной	14 м разрезали на 4 равные части .
От куска проволоки	длиной	5 м отрезали 2 м проволоки .
	Длину	отреза ткани при покупке .
в )	длину	и ширину книги .
В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите	длину	основания .
Измерьте	длину	и ширину вашей комнаты , выбрав подходящий измерительный инструмент .
Каждый прямоугольный параллелепипед имеет три измерения :	длину	, ширину и высоту .
Обозначьте точки пересечения прямой и окружности буквами А и В. Измерьте	длину	отрезка АВ .
Определите его	длину	, ширину и высоту .
Перечертите в тетрадь ломаные измерьте их звенья и найдите	длину	каждой ломаной .
В автомобиле длину пройденного пути показывает одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса и преобразования в	длину	пройденного пути .
В автомобиле	длину	пройденного пути показывает одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса и преобразования в длину пройденного пути .
Начертите какую - нибудь кривую и измерьте её	длину	.
Начертите окружность радиусом 3 см и измерьте её	длину	с помощью нити .
Измерьте и запишите	длину	каждого ребра многогранника .
Назовите	длину	отрезка АВ в миллиметрах .
Найдите	длину	другой её стороны .
а ) Периметр прямоугольника равен 36 см , длина одной стороны — 10 см. Найдите	длину	смежной стороны .
Распрямите нитку и измерьте её	длину	.
Какие результаты в прыжках в	длину	показали Руслан и Петя ? .
Как можно приближённо вычислить	длину	окружности , если известен её диаметр ? .
Начертите окружность радиусом 2 см и найдите	длину	окружности двумя способами : измерением и вычислением .
Саша прыгнул в	длину	на 3 м 18 см. Это на 15 см хуже результата Руслана и на 25 см лучше результата Пети .
а ) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите	длину	боковой стороны .
Постройте треугольник АВС , где угол А равен 135 ° , сторона АВ имеет	длину	3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей ? .
Измерьте	длину	отрезка AN .
Чтобы найти площадь квадрата , надо	длину	его стороны возвести в квадрат .
В каких единицах вы будете измерять : а )	длину	своего прыжка ; б ) площадь квартиры ; в ) вместимость ведра ; г ) периметр школьного участка ; д ) объём комнаты ; е ) вместимость стакана ; ж ) высоту дома ? .
Это можно сделать по - разному : или найти	длину	этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Найдите	длину	большей его стороны .
Для каждого из них найдите	длину	, ширину и высоту .
а ) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 35 м хотят разместить прямоугольный бассейн , имеющий	длину	20 м и ширину 7 м .
Измерьте и запишите величину тупого угла и	длину	наибольшей стороны треугольника .
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его	длину	.
Единицы	длины	.
Начертите в тетради какой - нибудь прямоугольник с периметром , равным 24 см. Укажите	длины	его сторон .
В нашей стране и во многих других странах мира основной единицей измерения	длины	является метр .
Начертите треугольник ,	длины	сторон которого различны .
Известны	длины	рёбер : АВ равно 2 см 5 мм , AD равно 2 см , АК равно 4 см. Запишите длины рёбер CD , DL , KL .
Интересно , что ещё в Древнем Вавилоне единицами объёмов служили кубы , ребром которых являлись единицы	длины	.
Какой	длины	надо взять кусок проволоки , чтобы сделать из него .
Какими могут быть	длины	его сторон , если они выражены в сантиметрах ?
Постройте ломаную , длина которой равна 20 см , состоящую из четырёх звеньев различной	длины	.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений :	длины	, ширины и высоты .
Известны длины рёбер : АВ равно 2 см 5 мм , AD равно 2 см , АК равно 4 см. Запишите	длины	рёбер CD , DL , KL .
Найдите	длины	ломаных .
Какой	длины	получился ряд ? .
Коробку заполняют кубиками с ребром , равным единице	длины	.
Когда использовавшиеся единицы измерения (	длины	, площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое число раз , эти единицы стали делить на части .
Определите	длины	всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей	длины	и полученные значения перемножить .
Назовите ещё какой - нибудь путь такой же	длины	, что и АВКМ , и путь такой же длины , что и ABCDNM .
Пусть AD равно 3 см. Вычислите	длины	отрезков DE и АВ .
Какой	длины	проволоку достаточно взять , чтобы сделать каркасную модель : а ) куба с ребром 10 см ; б ) прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 см , 10 см , 14 см ? .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить	длины	смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Определите	длины	выделенных ломаных .
Назовите ещё какой - нибудь путь такой же длины , что и АВКМ , и путь такой же	длины	, что и ABCDNM .
Каковы	длины	сторон каждого из этих прямоугольников ? .
Известны	длины	его рёбер : АВ равно 6 см , ML равно 4 см , AM равно 2 см . 1 )
Для измерения	длины	отрезков пользуются линейкой .
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила сложения и вычитания	дробей	.
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила умножения и деления	дробей	.
С помощью букв правило деления	дробей	можно записать так .
Пользуясь основным свойством дроби , можно получить сколько угодно	дробей	, равных данной .
Сформулируйте правила сложения и вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями и запишите их в буквенном виде .
Приведите свои примеры несократимых	дробей	.
Из двух неравных	дробей	всегда одна больше , а другая меньше .
Сложение и вычитание	дробей	.
Сложение и вычитание смешанных	дробей	.
Умножение	дробей	.
Деление	дробей	.
33 Сложение и вычитание	дробей	.
Сложение и вычитание	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Найдём сумму	дробей	.
Из этого примера понятно правило сложения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Используя буквы , правило сложения	дробей	с одинаковыми знаменателями можно записать так .
Приведём примеры сложения	дробей	на основе этого правила .
Сравнение	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Вычитание	дробей	, как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких	дробей	.
Чтобы найти разность	дробей	с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
С помощью букв правило вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями записывается так .
Приведём примеры вычитания	дробей	.
Сложение и вычитание	дробей	с разными знаменателями .
Если требуется найти сумму или разность	дробей	, знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Если требуется найти сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Заметим , что для сложения и вычитания	дробей	выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания натуральных чисел .
Из двух	дробей	с одинаковыми числителями больше та , у которой знаменатель меньше .
Найдите сумму или разность	дробей	и , если возможно , сократите результат .
34 Сложение и вычитание смешанных	дробей	.
Изображение	дробей	точками на координатной прямой .
Правило вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей .
Приведите к знаменателю 36 те из данных	дробей	, которые возможно .
б ) Сколько	дробей	представляют натуральные числа и сколько среди них представляют число 1 ? .
Сравнение	дробей	.
А иногда оказывается удобным сравнить каждую из	дробей	с какой - нибудь другой дробью , например с 1/2 .
Приведём каждую из	дробей	к знаменателю 36 .
НОК ( 18 ; 12 ) равно 36 , значит , наименьший общий знаменатель	дробей	равен 36 .
Сформулируйте правило сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Покажите разные способы сравнения	дробей	.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями , их приводят к общему знаменателю , а затем сравнивают по правилу сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Определите , какая из	дробей	наименьшая и какая — наибольшая .
Сравнение	дробей	с разными знаменателями .
Это и есть наименьший общий знаменатель данных	дробей	.
Однако это не наименьший общий знаменатель данных	дробей	.
В качестве общего знаменателя	дробей	всегда можно взять произведение их знаменателей .
Найдите несколько	дробей	, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство .
а ) Сколько среди полученных чисел правильных	дробей	и сколько — неправильных ? .
Сколько таких	дробей	существует в каждом случае ? .
Оно и является наименьшим общим знаменателем	дробей	.
Определите , какая из	дробей	ближе к 1 , и сравните их .
Общий знаменатель данных	дробей	должен делиться и на 5 , и на 8 .
Больший знаменатель — число 12 — делится на меньший , поэтому его можно взять в качестве общего знаменателя данных	дробей	.
Что натуральные числа можно записывать в виде	дробей	.
При делении	дробей	выполняются известные свойства , связанные с нулём и единицей .
При приведении	дробей	к общему знаменателю стараются найти наименьший общий знаменатель — тогда вычисления будут проще .
Поэтому сначала научимся выполнять это преобразование	дробей	.
Натуральные числа , как и дробные , можно записывать в виде	дробей	.
Вообще приводить дроби к общему знаменателю приходится не только при сравнении	дробей	, но и в других случаях .
Приведение	дробей	к общему знаменателю .
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та , у которой числитель больше .
Приведём каждую из	дробей	к знаменателю 40 .
Запишем число 2 в виде суммы натурального числа и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения	дробей	.
Наименьший общий знаменатель	дробей	равен 72 .
Для	дробей	, как и для натуральных чисел , справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Сделайте так , чтобы знаменатели	дробей	были одинаковыми .
Сложение смешанных	дробей	.
На примере умножения чисел расскажите , как выполняют умножение смешанных	дробей	.
Среди всех	дробей	, равных , несократимая только одна .
сумма этих	дробей	равна натуральному числу .
Какая из следующих	дробей	не равна дроби .
Дело в том , что деление	дробей	сводится к умножению .
Дробь и есть произведение	дробей	.
35 Умножение	дробей	.
Рассмотрим произведения взаимно обратных	дробей	.
36 Деление	дробей	.
Правило умножения	дробей	.
С помощью букв свойство взаимно обратных	дробей	можно записать так .
Вычитание смешанных	дробей	.
Проведённое рассуждение подсказывает нам правило умножения	дробей	.
Чтобы вычисления были проще , числители и знаменатели	дробей	нужно перемножать не сразу , а лишь после сокращения на общие множители ( если , конечно , это возможно ) .
Произведение взаимно обратных	дробей	равно 1 .
Представим натуральное число 2 в виде дроби со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения	дробей	.
Правило деления	дробей	.
Представим смешанную дробь в виде неправильной дроби и затем применим правило умножения	дробей	.
Покажем , что деление	дробей	можно свести к умножению .
С помощью букв правило умножения	дробей	можно записать так .
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления	дробей	, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Легко сравнить	дроби	с одинаковыми знаменателями .
Такие	дроби	называют равными .
Вы могли это заметить , например , изображая	дроби	на координатной прямой .
В обоих случаях закрашена одна и та же часть круга , а значит ,	дроби	- и - выражают одну и ту же величину .
Доли и	дроби	.
Вообще приводить	дроби	к общему знаменателю приходится не только при сравнении дробей , но и в других случаях .
Иначе говорят : привести	дроби	к общему знаменателю .
Основное свойство	дроби	.
Чтобы сравнить	дроби	с разными знаменателями , можно заменить их равными им дробями с одинаковыми знаменателями .
Сокращение	дроби	.
Приведём к общему знаменателю	дроби	.
Умея сравнивать дроби с числителем , равным 1 , можно сравнить , не приводя к общему знаменателю , любые	дроби	, имеющие одинаковые числители .
Умея сравнивать	дроби	с числителем , равным 1 , можно сравнить , не приводя к общему знаменателю , любые дроби , имеющие одинаковые числители .
Иногда	дроби	с разными знаменателями удаётся сравнить и не приводя их к общему знаменателю .
Пользуясь основным свойством	дроби	, можно получить сколько угодно дробей , равных данной .
Дробь : числитель дроби ; знаменатель	дроби	.
Сравним	дроби	.
С помощью букв основное свойство	дроби	можно записать .
Чтобы сравнить	дроби	с разными знаменателями , их приводят к общему знаменателю , а затем сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями .
Теперь вы можете сравнивать любые	дроби	— и с одинаковыми знаменателями , и с разными знаменателями .
Значит ,	дроби	- и - также равны .
Дробь : числитель	дроби	; знаменатель дроби .
Все эти примеры иллюстрируют основное свойство	дроби	.
Так как , то числитель и знаменатель	дроби	нужно умножить на 20 .
Приведение	дроби	к новому знаменателю .
Дроби получаются из	дроби	умножением её числителя и знаменателя на одно и то же число : на 2 , 3 , 4 .
Число 20 , на которое умножили числитель и знаменатель	дроби	, называют дополнительным множителем .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 2 .
Если и дальше делить каждую треть круга на одинаковые доли , то будем получать новые	дроби	, равные .
Сокращение	дроби	можно выполнять последовательно .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Как сокращают	дроби	.
Правильные и неправильные	дроби	.
Натуральные числа и	дроби	.
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен знаменателю , у	дроби	3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
Выпишите в одну строку все правильные дроби , в другую — все неправильные	дроби	.
Выпишите в одну строку все правильные	дроби	, в другую — все неправильные дроби .
Такие записи , как , тоже	дроби	.
Запишите все правильные	дроби	со знаменателем 12 .
Правильные	дроби	.
Сократите	дроби	.
Неправильные	дроби	.
Изобразим на координатной прямой	дроби	.
Посмотрите на полученный рисунок : правильной	дроби	соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной	дроби	— точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Запишите числитель и знаменатель	дроби	в виде произведений , содержащих одинаковые множители , и сократите дробь .
Назовите числитель и знаменатель	дроби	.
Какие	дроби	называются правильными и какие - неправильными ?
Запишите три правильные	дроби	со знаменателем 6 и три неправильные дроби со знаменателем 6 .
Запишите три правильные дроби со знаменателем 6 и три неправильные	дроби	со знаменателем 6 .
Даны	дроби	.
Назовите знаменатель и числитель	дроби	и объясните , что они показывают .
Запишите	дроби	: одна вторая , одна пятая , две третьих , три четверти .
Приведите	дроби	к знаменателю 100 . б )
Какая из следующих дробей не равна	дроби	.
У	дроби	2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
Знаменатель	дроби	.
Однако , чтобы сравнить две	дроби	, необязательно обращаться к координатной прямой .
Так появились	дроби	.
29 Доли и	дроби	.
Какие	дроби	считаются равными .
Приведите	дроби	к знаменателю 60 .
Как сравнивают	дроби	с разными знаменателями .
Его называют знаменателем	дроби	.
Задачи на	дроби	.
Его называют числителем	дроби	.
Как приводят	дроби	к новому знаменателю .
Как приводят	дроби	к общему знаменателю .
Запишите три какие - нибудь	дроби	, равные .
Определите на глаз , какой	дроби	соответствует каждая точка .
Равные	дроби	.
Найдите ошибку , допущенную при сокращении	дроби	.
неправильные	дроби	?
Какие из точек , отмеченных на координатной прямой , изображают правильные	дроби	?
Начертите координатную прямую и отметьте на ней	дроби	.
Подставьте в дробь — вместо букв а и b всеми возможными способами числа от 1 до 6 так , чтобы полученные	дроби	были правильными .
Числитель	дроби	.
Как сравнивают	дроби	с одинаковыми знаменателями .
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у	дроби	. - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной	дроби	.
Нам удалось сравнить	дроби	, сравнив каждую из них с 1 .
Запишите смешанную дробь в виде неправильной	дроби	.
Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной	дроби	.
Запишите неправильную дробь в виде смешанной	дроби	.
Запишите сумму в виде смешанной	дроби	.
На примере суммы расскажите , как складывают смешанные	дроби	.
На примере дроби покажите , как из неправильной	дроби	выделяют целую часть .
На примере	дроби	покажите , как из неправильной дроби выделяют целую часть .
Нужно только помнить , что смешанная дробь — это сумма натурального числа и	дроби	.
Представьте число 7 в виде неправильной	дроби	.
Складывать смешанные	дроби	легко .
Выделите целую часть	дроби	.
Запишем число 2 в виде суммы натурального числа и	дроби	и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
Представим в виде	дроби	число 2 .
При вычислениях приходится выполнять и обратное преобразование : представлять смешанную дробь в виде неправильной	дроби	.
Частное равно 17 — это целая часть смешанной	дроби	; остаток равен 5 — это числитель дробной части .
Выясним , сколько раз знаменатель	дроби	содержится в числителе .
Выделим целую часть из	дроби	.
В таких случаях говорят , что из неправильной	дроби	выделили целую часть .
Решая задачу о братьях и яблоках , мы записали ответ двумя способами : в виде неправильной дроби и в виде смешанной	дроби	2 .
Решая задачу о братьях и яблоках , мы записали ответ двумя способами : в виде неправильной	дроби	и в виде смешанной дроби 2 .
Выделение целой части из неправильной дроби и представление смешанной	дроби	в виде неправильной .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно по	дроби	найти неизвестное целое .
Мы решили задачу с помощью рассуждений , опираясь на смысл	дроби	.
Как вы знаете ,	дроби	в математике используются для того , чтобы кратко обозначать часть величины , которая рассматривается .
Запишите две какие - нибудь смешанные	дроби	, удовлетворяющие условию .
Отсюда понятно правило деления	дроби	на дробь .
Запишем это неизвестное пока нам частное в виде	дроби	, т .
Назовите дробь , обратную	дроби	.
Эти примеры подсказывают , что взаимно обратные	дроби	обладают следующим свойством .
Каким свойством обладают взаимно обратные	дроби	?
Сформулируйте правило деления	дроби	на дробь .
Взаимно обратными являются , например ,	дроби	( вы помните , конечно , что дробь — это другая запись числа 5 ) .
Поэтому такие	дроби	, как и , называют взаимно обратными .
Взаимно обратные	дроби	.
Если вы умеете умножать	дроби	, то легко научитесь их делить .
Выделение целой части из неправильной	дроби	и представление смешанной дроби в виде неправильной .
Правило деления	дроби	на дробь .
Умножение	дроби	на натуральное число и на смешанную дробь .
Умножение	дроби	на дробь .
Сформулируйте правило умножения	дроби	на дробь и проиллюстрируйте его примером .
Представим смешанную дробь в виде неправильной	дроби	и затем применим правило умножения дробей .
Представим натуральное число 2 в виде	дроби	со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения дробей .
Для этого нужно натуральное число и смешанную дробь записать в виде неправильной	дроби	.
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на натуральное число , на смешанную дробь , а также перемножать смешанные	дроби	.
Умножение	дроби	на натуральное число и смешанную дробь .
Чтобы вычислить произведение , надо знать , как умножают	дроби	.
Приёмы решения двух видов задач « на	дроби	» .
Какие	дроби	называют взаимно обратными .
Сравним	дроби	, не приводя их к общему знаменателю .
Смешанные	дроби	.
Для такого « комбинированного » числа , которое складывается из натурального числа и	дроби	, в математике есть специальное обозначение 2 .
Представьте число 4 в виде	дроби	разными способами .
При этом частное двух натуральных чисел равно	дроби	, числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Поэтому можно считать , что все числа , которые мы используем , —	дроби	.
Теперь легко представить в виде	дроби	любое другое натуральное число , например число 5 .
Итак , число 1 представляется в виде	дроби	, у которой числитель и знаменатель равны .
Деление и	дроби	.
32 Натуральные числа и	дроби	.
Сравните	дроби	, не приводя их к общему знаменателю .
Выпишите	дроби	, которые больше .
Отметьте на координатной прямой все правильные	дроби	со знаменателем 7 и дробь .
Представьте в виде	дроби	частные 5:6 ; 15:10 . ( m , n — натуральные числа ) ,
Запишите	дроби	в том порядке , как они расположены на координатной прямой .
а ) Запишите все	дроби	со знаменателем 24 , которые расположены между числами .
Сравните	дроби	, сократив их ; запишите результат с помощью знака > , < или равно .
Сравните	дроби	и запишите результат с помощью знака > или < .
Приведите к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
Расположите	дроби	в порядке возрастания .
Сравните	дроби	.
Расскажите , как привести к общему знаменателю	дроби	.
Эти же	дроби	можно сравнить иначе .
Легко понять , что , так как дробь меньше отличается от 1 , чем : у дроби - до 1 « не хватает » , а у	дроби	« не хватает » .
Легко понять , что , так как дробь меньше отличается от 1 , чем : у	дроби	- до 1 « не хватает » , а у дроби « не хватает » .
Не приводя	дроби	к общему знаменателю , определите , какая из них меньше .
Каким натуральным числам равны	дроби	.
Сократите	дроби	и укажите , какие из них представляют натуральные числа .
Представьте каждое из чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 в виде	дроби	со знаменателем 10
Для записи дробных чисел , наряду с правильными и неправильными дробями , используют ещё и так называемые смешанные	дроби	.
Как складывают и вычитают смешанные	дроби	.
Приведите	дроби	к общему знаменателю и выполните действия .
Расскажите на примерах , как складывают и вычитают	дроби	с разными знаменателями .
Воспользуемся основным свойством	дроби	.
Но мы воспользуемся более рациональным способом — приведём к наименьшему общему знаменателю сразу все три	дроби	.
Конечно , можно было бы последовательно выполнить два указанных действия — сначала сложить	дроби	, а затем из результата вычесть .
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой	дроби	вычесть числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы сложить	дроби	с одинаковыми знаменателями , нужно сложить их числители , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы ответить на вопрос задачи , надо уметь складывать и вычитать	дроби	.
Натуральное число называют целой частью смешанной	дроби	, а правильную дробь — её дробной частью .
Как складывают и вычитают	дроби	с одинаковыми знаменателями и с разными знаменателями .
2 ) Сравните	дроби	.
Расскажите , как сравнивают	дроби	с одинаковыми знаменателями ; с разными знаменателями .
На примере	дроби	- расскажите , как дробь приводят к новому знаменателю ( например , к знаменателю 20 ) .
Сформулируйте основное свойство	дроби	и запишите его с помощью букв .
На этой же координатной прямой отметьте точку , соответствующую	дроби	.
3 На примере	дроби	покажите , как дробь изображают точкой на координатной прямой .
Запишите все неправильные	дроби	с числителем 5 .
Представьте в виде	дроби	несколькими способами числа 3 , 1 , 8 , 15 .
Представьте число 12 в виде	дроби	со знаменателем 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
9 Запишите в виде	дроби	частное двух натуральных чисел .
Дробные числа выражаются дробями , но оказывается , что любое натуральное число также можно представить в виде	дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
Целая часть ;	дробная	часть .
Смешанная дробь : целая часть ;	дробная	часть .
Они обозначают одно и то же	дробное	число .
Прочитайте смешанную дробь , запишите её в виде суммы целой и	дробной	частей .
Частное равно 17 — это целая часть смешанной дроби ; остаток равен 5 — это числитель	дробной	части .
Натуральное число называют целой частью смешанной дроби , а правильную дробь — её	дробной	частью .
Прочитайте смешанную дробь и назовите её целую и	дробную	части .
Поэтому в математике	дробную	черту рассматривают ещё и как знак деления .
Натуральные числа , как и	дробные	, можно записывать в виде дробей .
Задачи , которые вы раньше решали делением , решаются делением и в том случае , если они содержат	дробные	данные .
Сложим по отдельности целые и	дробные	части данных чисел .
Задачи , которые вы раньше решали умножением , решаются умножением и в том случае , если они содержат	дробные	данные .
Для выражения частей целого нужны новые ,	дробные	числа .
Теперь , когда нам известны	дробные	числа , можно разделить друг на друга любые два натуральных числа .
Только результат этого деления выражается не натуральным , а	дробным	числом .
Результат деления натуральных чисел выражается или натуральным , или	дробным	числом .
Теперь вы знакомы не только с натуральными числами , но и с	дробными	.
Для записи	дробных	чисел , наряду с правильными и неправильными дробями , используют ещё и так называемые смешанные дроби .
Читают смешанную	дробь	так : две целых и две третьих .
Запишите неправильную	дробь	в виде смешанной дроби .
Возьмём	дробь	и « перевернём » её , поменяв местами числитель и знаменатель .
Говорят , что	дробь	— сократили .
Отсюда понятно правило деления дроби на	дробь	.
Но прежде вам нужно будет познакомиться с новым понятием -	дробь	, обратная данной .
Подставьте в	дробь	вместо а и b числа от 1 до 5 всеми возможными способами .
Найдите все такие значения а , при которых	дробь	правильная и при которых неправильная .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
При каких значениях а	дробь	равна натуральному числу ? .
Натуральное число называют целой частью смешанной дроби , а правильную	дробь	— её дробной частью .
Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как	дробь	привести к новому знаменателю ; б ) как сократить дробь .
Поэтому эту	дробь	можно заменить более простой , разделив её числитель и знаменатель на 6 .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на	дробь	, обратную делителю .
2 Какая	дробь	называется правильной и какая — неправильной ?
А если прочитать эту цепочку равенств справа налево , то мы увидим , что дробь можно преобразовать в	дробь	, разделив её числитель и знаменатель на 4 .
Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и	дробь	.
А если прочитать эту цепочку равенств справа налево , то мы увидим , что	дробь	можно преобразовать в дробь , разделив её числитель и знаменатель на 4 .
Дробь — правильная , она меньше 1 , а	дробь	— неправильная , она больше 1 .
3 На примере дроби покажите , как	дробь	изображают точкой на координатной прямой .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится	дробь	, равная данной .
Правило деления дроби на	дробь	.
На координатной прямой большая дробь изображается точкой , расположенной правее , а меньшая	дробь	— точкой , расположенной левее .
Получим	дробь	.
Умножим обе части последнего равенства на	дробь	, обратную , т . е .
Прочитайте смешанную	дробь	и назовите её целую и дробную части .
Такая запись , как , также считается дробью , причём это несократимая дробь и , значит , самая простая	дробь	, с помощью которой можно записать число 5 .
Такая запись , как , также считается дробью , причём это несократимая	дробь	и , значит , самая простая дробь , с помощью которой можно записать число 5 .
Сократим	дробь	на 2 , получим .
Не всякую	дробь	можно сократить .
Нужно только помнить , что смешанная	дробь	— это сумма натурального числа и дроби .
Прочитайте смешанную	дробь	, запишите её в виде суммы целой и дробной частей .
Например , полученную выше	дробь	сократить нельзя , так как её числитель и знаменатель не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Расскажите , как изобразить на координатной прямой	дробь	и сделайте это .
Взаимно обратными являются , например , дроби ( вы помните , конечно , что	дробь	— это другая запись числа 5 ) .
Заменим	дробь	равной дробью со знаменателем 100 .
Подставьте в	дробь	— вместо букв а и b всеми возможными способами числа от 1 до 6 так , чтобы полученные дроби были правильными .
	Дробь	3/3 соответствует целому прямоугольнику .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Укажите самую простую	дробь	, с помощью которой можно записать число 4 .
Какие числа можно подставить вместо буквы k , чтобы	дробь	k/3 была : а ) правильной ; б ) неправильной ? .
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
При вычислениях приходится выполнять и обратное преобразование : представлять смешанную	дробь	в виде неправильной дроби .
На координатной прямой большая	дробь	изображается точкой , расположенной правее , а меньшая дробь — точкой , расположенной левее .
Эту дробь называют обратной дроби/. Если мы теперь « перевернём » дробь , то получим исходную	дробь	.
Такую	дробь	называют несократимой .
Эту дробь называют обратной дроби/. Если мы теперь « перевернём »	дробь	, то получим исходную дробь .
Выполните деление и сократите полученную	дробь	.
Эту	дробь	называют обратной дроби/. Если мы теперь « перевернём » дробь , то получим исходную дробь .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , нужно разделить на эту	дробь	число , ей соответствующее .
Чтобы сократить	дробь	, её числитель и знаменатель нужно разделить на их общий делитель .
Таким образом неправильная	дробь	представлена в виде смешанной .
Сократим	дробь	.
На примере дроби - расскажите , как	дробь	приводят к новому знаменателю ( например , к знаменателю 20 ) .
Легко понять , что , так как	дробь	меньше отличается от 1 , чем : у дроби - до 1 « не хватает » , а у дроби « не хватает » .
Запишите	дробь	, которая дополняет до 1 данную дробь .
Однако тот же результат получится , если число 42 умножить на	дробь	.
Как умножают дробь на	дробь	.
Умножение дроби на	дробь	.
Запишите дробь , которая дополняет до 1 данную	дробь	.
Как умножают	дробь	на дробь .
а ) Приведите	дробь	к знаменателю 14 , 21 , 35 , 140 . б )
Объясните , что означает каждая	дробь	.
Используя признаки делимости , докажите , что	дробь	можно сократить , и выполните сокращение .
Покажите на примере , как можно умножить	дробь	на натуральное число .
Приведите	дробь	к знаменателю 16 , 32 , 56 , 1000
Как изобразить	дробь	точкой на координатной прямой .
Для этого нужно натуральное число и смешанную	дробь	записать в виде неправильной дроби .
Сформулируйте правило умножения дроби на	дробь	и проиллюстрируйте его примером .
Смешанная	дробь	: целая часть ; дробная часть .
Что такое	дробь	.
Понятно , что	дробь	можно привести и к другому знаменателю — к любому , который делится на 5 .
Если после выполнения действий получается сократимая	дробь	, то её обычно сокращают .
Назовите	дробь	, обратную дроби .
одна	дробь	больше другой на 1 .
А как же	дробь	получается из исходных ?
Сформулируйте правило деления дроби на	дробь	.
Говорят , что	дробь	- привели к новому знаменателю .
Представим смешанную	дробь	в виде неправильной дроби и затем применим правило умножения дробей .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений , содержащих одинаковые множители , и сократите	дробь	.
Укажите	дробь	, обратную данной .
Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь привести к новому знаменателю ; б ) как сократить	дробь	.
Запишите соответствующую	дробь	, назовите её числитель и знаменатель .
Запишите смешанную	дробь	в виде неправильной дроби .
Сократите	дробь	.
Можно ли сократить	дробь	?
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на натуральное число , на смешанную	дробь	, а также перемножать смешанные дроби .
В самом деле , разделив число 28 на	дробь	, получим тот же результат .
Смешанная	дробь	.
Как умножают	дробь	на натуральное число , на смешанную дробь .
Умножение дроби на натуральное число и смешанную	дробь	.
Приведите	дробь	- к знаменателю 12 ; 15 ; 36 .
Возьмём	дробь	.
Как умножают дробь на натуральное число , на смешанную	дробь	.
Теперь известна часть целого — число 28 ; этой части соответствует	дробь	.
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать	дробь	на натуральное число , на смешанную дробь , а также перемножать смешанные дроби .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную	дробь	.
Умножение дроби на натуральное число и на смешанную	дробь	.
Таким образом , нужно только привести	дробь	к знаменателю 12 .
Теперь закрашенная часть выразится	дробью	.
Заменим дробь равной	дробью	со знаменателем 100 .
Выразите	дробью	часть класса , которую составляют девочки .
Такую запись называют	дробью	.
Такую запись называют смешанной	дробью	.
Объясните на примерах , как выполняют деление , если делимое или делитель выражены смешанной	дробью	или натуральным числом .
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной	дробью	, то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Значит , закрашенная часть круга выражается	дробью	.
Зная целое , нужно уметь находить его часть , указанную соответствующей	дробью	, и , наоборот , по известной части « восстанавливать » целое .
Какое число называют смешанной	дробью	.
Чтобы найти число по его части , выраженной	дробью	, нужно разделить на эту дробь число , ей соответствующее .
Такая запись , как , также считается	дробью	, причём это несократимая дробь и , значит , самая простая дробь , с помощью которой можно записать число 5 .
Выполните действие со смешанными	дробями	.
Математики древности высоко ценили умение оперировать	дробями	.
Но , как и при решении первой задачи , ответ можно получить другим способом , воспользовавшись соответствующим правилом действия с	дробями	.
Дробные числа выражаются	дробями	, но оказывается , что любое натуральное число также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Вычислять разности , в которых одно из чисел или оба являются смешанными	дробями	, труднее .
Разные действия с	дробями	.
При решении задач иногда приходится выполнять арифметические действия не только с натуральными числами , но и с	дробями	.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями , можно заменить их равными им	дробями	с одинаковыми знаменателями .
Для записи дробных чисел , наряду с правильными и неправильными	дробями	, используют ещё и так называемые смешанные дроби .
Одну и ту же долю величины можно записать разными	дробями	.
Глава 9 Действия с	дробями	.
Используйте для разных	дуг	карандаши разных цветов .
Отметим на окружности две точки : А и В. Они разделили окружность на две части , которые имеют своё название —	дуги	.
Обведите получившиеся	дуги	карандашами .
« Гекто » - первая часть в слове « гектар » , в переводе с греческого означает « сто » , служит для образования наименований	единиц	, равных 100 исходным единицам , т .
В России метрическая система	единиц	стала применяться только с 1918 г. , до этого для измерения длин использовались такие единицы , как верста , локоть , аршин и т .
Они образуют так называемую метрическую систему	единиц	.
Для записи следующих чисел используются новые цифры , обозначающие сразу большое число	единиц	.
Если фигуру можно разбить на единичные квадраты , то площадь фигуры равна числу квадратных	единиц	, её составляющих .
Класс	единиц	: единицы .
А затем люди догадались вместо группы	единиц	писать один знак .
Какие из	единиц	метрической системы больше метра , а какие меньше ? .
В некоторых странах до сих пор используют свою систему	единиц	измерения .
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого числа в разряде	единиц	стоит цифра 0 .
Сначала идёт класс	единиц	, потом — класс тысяч , миллионов , миллиардов .
А десятичной нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет число 10 : единица каждого следующего разряда составляет 10	единиц	предыдущего разряда .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде	единиц	, и в разряде десятков .
а ) 4 тысячи 3 сотни 2 десятка 1	единица	. б ) 5 миллионов б тысяч 7 сотен 8 десятков .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует	единица	площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Вам хорошо знаком градус Цельсия как	единица	измерения температуры , например температура воздуха 25 ° С или температура тела больного 38 ° С .
А десятичной нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет число 10 :	единица	каждого следующего разряда составляет 10 единиц предыдущего разряда .
п. А вот само слово « ар » в русском языке - это	единица	измерения площади .
При делении любого числа , не равного нулю , на себя получается	единица	, например .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует	единица	площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Во сколько раз каждая последующая	единица	больше предыдущей ? .
« Гекто » - первая часть в слове « гектар » , в переводе с греческого означает « сто » , служит для образования наименований единиц , равных 100 исходным	единицам	, т .
Интересно , что ещё в Древнем Вавилоне	единицами	объёмов служили кубы , ребром которых являлись единицы длины .
Соотношение между	единицами	площади в метрической системе мер .
Величины . Выразите величину в указанных	единицах	.
В каких	единицах	вы будете измерять : а ) длину своего прыжка ; б ) площадь квартиры ; в ) вместимость ведра ; г ) периметр школьного участка ; д ) объём комнаты ; е ) вместимость стакана ; ж ) высоту дома ? .
В каких	единицах	вы будете измерять : а ) расстояние от дома до школы .
Произведение будет равно площади в соответствующих квадратных	единицах	.
Петя выразил величины в других	единицах	и записал .
Образец . Выразите величину в указанных	единицах	.
11 В каких	единицах	измеряют площадь : квартиры , государства , дачного участка , пашни , листа бумаги , оконного стекла ? .
Чему равны объёмы тел , сложенных из одинаковых кубиков , если объём одного кубика равен 1 кубической	единице	( 1 куб .
Коробку заполняют кубиками с ребром , равным	единице	длины .
Удобно считать , что этот объём равен	единице	.
Гугол — это число , которое записывается	единицей	со ста нулями , т .
Сформулируйте свойства деления , связанные с	единицей	и нулём .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной	единицей	длины и полученные значения перемножить .
При делении дробей выполняются известные свойства , связанные с нулём и	единицей	.
Такой квадрат называют квадратной	единицей	( кв. ед . ) .
Самой распространённой	единицей	измерения углов является угол величиной в 1 градус .
Сформулируйте свойства умножения , связанные с	единицей	и нулём .
В нашей стране и во многих других странах мира основной	единицей	измерения длины является метр .
Какую именно	единицу	измерения площади выбрать ?
Чтобы из 6 вычесть , « займём »	единицу	в целой части числа Так как , то , Итак .
Чему равна его площадь , если один квадрат принять за квадратную	единицу	? .
А чтобы измерить отрезок , мы должны прежде всего иметь единицу измерения — отрезок , длина которого принята за	единицу	.
За	единицу	измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной , равной единичному отрезку .
Чтобы найти площадь фигуры , прежде всего нужно выбрать	единицу	измерения площади .
Раньше всего они стали изображать	единицу	палочкой , потом двумя палочками число 2 , тремя — число 3 .
А чтобы измерить отрезок , мы должны прежде всего иметь	единицу	измерения — отрезок , длина которого принята за единицу .
Примем расстояние между городами за	единицу	.
На его горизонтальной стороне указали погоду , на его вертикальной стороне , выбрав	единицу	измерения , отметили число дней и построили три столбика .
Например , число 2803 содержит 2 тысячи , 8 сотен , 0 десятков и 3	единицы	.
Какие используют	единицы	объёма в метрической системе мер .
В России метрическая система единиц стала применяться только с 1918 г. , до этого для измерения длин использовались такие	единицы	, как верста , локоть , аршин и т .
Новые	единицы	площади - ар , гектар .
Класс единиц :	единицы	.
Есть и другие	единицы	измерения , связанные с метром : миллиметр , сантиметр , дециметр , километр .
Для этого нам нужны	единицы	объёмов .
Интересно , что ещё в Древнем Вавилоне единицами объёмов служили кубы , ребром которых являлись	единицы	длины .
а ) Найдите координаты точек на координатной прямой , которые удалены от точки А ( 13 ) на 4	единицы	.
Для измерения земельных участков применяются также такие	единицы	площади , как ар и гектар ( их записывают : а и га ) .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при сложении и вычитании ; свойства нуля и	единицы	при умножении и делении .
Площадь фигуры ,	единицы	площади .
Каждое натуральное число , кроме 1 , получается из предыдущего прибавлением	единицы	.
Например , в числе 3748152 цифра 2 означает две	единицы	, цифра 5 — пять десятков , цифра 1 — одну сотню и т .
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое число раз , эти	единицы	стали делить на части .
Когда использовавшиеся	единицы	измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое число раз , эти единицы стали делить на части .
Подумайте , сколько клеток должно быть в	единичном	отрезке , чтобы было удобно выполнять построение .
Подумайте , сколько клеток должно быть в	единичном отрезке	, чтобы было удобно выполнять построение .
За единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной , равной	единичному	отрезку .
Отложите вправо от точки Е отрезок , равный	единичному	; вы получите точку , которая изображает число 2 .
За единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной , равной	единичному отрезку	.
Если фигуру можно разбить на	единичные	квадраты , то площадь фигуры равна числу квадратных единиц , её составляющих .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на	единичные	квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
а ) Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок одну клеточку .
Отложите вправо от этой точки ещё один	единичный	отрезок ; вы получите точку , изображающую число 3 .
Разделите	единичный	отрезок на пять равных частей и отсчитайте от 0 вправо три , пять , семь таких частей .
За единицу измерения площади удобно взять	единичный	квадрат — квадрат со стороной , равной единичному отрезку .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ; отложите	единичный	отрезок ( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный	отрезок , равный 14 клеткам ) .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок две клеточки .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный отрезок	, равный 14 клеткам ) .
а ) Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	одну клеточку .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ; отложите	единичный отрезок	( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	две клеточки .
Разделите	единичный отрезок	на пять равных частей и отсчитайте от 0 вправо три , пять , семь таких частей .
Отложите вправо от этой точки ещё один	единичный отрезок	; вы получите точку , изображающую число 3 .
Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 9 см. Отметьте точки с координатами .
Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком в 10 клеток .
Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте точки с координатами .
Отрезок ОЕ назовём	единичным	отрезком .
Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 9 см. Отметьте точки с координатами .
Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	в 10 клеток .
Отрезок ОЕ назовём	единичным отрезком	.
Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте точки с координатами .
В кулинарной книге написано , что для варенья из	ежевики	на 3 части ягод надо брать 2 части сахара .
Изображена	замкнутая	линия без самопересечений .
Вспомним , что	замкнутая	линия разбивает плоскость на две области : внутреннюю и внешнюю .
Границы многих государств мира на карте представляют собой одну	замкнутую	линию : внутренняя область — это сама страна , а внешняя — заграница .
Проведите через эти точки какую - нибудь	замкнутую	линию .
Легко отличить	замкнутую	линию от незамкнутой .
а )	замкнутую	ломаную , состоящую из трёх звеньев .
Нарисуйте в тетради какую - нибудь	замкнутую	и какую - нибудь незамкнутую линии .
Нарисуйте в тетради	замкнутую	линию без самопересечений и закрасьте внутреннюю область получившейся фигуры .
Перечертите в тетрадь	звезду	.
Впишите вместо	звёздочек	такие цифры , чтобы получилось верное равенство .
В Киевской Руси существовала мера	зерна	- кадь .
Для обозначения равных фигур в математике используется известный вам	знак	равенства « равно » .
Поэтому в математике дробную черту рассматривают ещё и как	знак	деления .
А затем люди догадались вместо группы единиц писать один	знак	.
Решим с помощью построения дерева разобранную выше задачу о цифровых кодах . 1 ) Изобразите корень дерева , для этого поставьте	знак	.
Сравните числа и запишите ответ с помощью	знака	.
Сравните дроби , сократив их ; запишите результат с помощью	знака	> , < или равно .
Сравните дроби и запишите результат с помощью	знака	> или < .
А самая главная трудность состояла в отсутствии	знака	для « пустого » разряда .
Сравните величины и запишите ответ с помощью	знака	.
Числа 2 и просто записывают рядом без	знака	« плюс » .
Поставьте вместо	знака	такую цифру , чтобы получившееся число делилось на 9 .
О роли скобок как математического	знака	.
Переставьте всеми возможными способами	знаки	действий в выражении и в каждом случае найдите значение полученного выражения .
Сколько	знаков	используется для записи чисел в десятичной системе ?
Выражение составлено из тех же чисел и с помощью таких же	знаков	действий , что и первое выражение .
Из чисел с помощью	знаков	арифметических действий и скобок составляют числовые выражения .
Результат сравнения двух чисел записывают с помощью	знаков	< ( меньше ) и > ( больше ) .
Рассмотрим ещё одно выражение со скобками , составленное из тех же чисел и таких же	знаков	действий , что и предыдущее .
большему из этих	знаменателей	, и проверять , делятся ли они на 12 : число 30 на 12 не делится , число 45 также не делится , а 60 делится .
В качестве общего знаменателя дробей всегда можно взять произведение их	знаменателей	.
Но имейте в виду , что произведение	знаменателей	не всегда будет наименьшим общим знаменателем .
Его называют	знаменателем	дроби .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе —	знаменателем	.
Представьте число 12 в виде дроби со	знаменателем	1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Оно и является наименьшим общим	знаменателем	дробей .
Представьте каждое из чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 в виде дроби со	знаменателем	10
Представим натуральное число 2 в виде дроби со	знаменателем	, равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения дробей .
Дробные числа выражаются дробями , но оказывается , что любое натуральное число также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно	знаменателем	.
Запишите три правильные дроби со	знаменателем	6 и три неправильные дроби со знаменателем 6 .
Но имейте в виду , что произведение знаменателей не всегда будет наименьшим общим	знаменателем	.
а ) Запишите все дроби со	знаменателем	24 , которые расположены между числами .
Заменим дробь равной дробью со	знаменателем	100 .
Запишите все правильные дроби со	знаменателем	12 .
Запишите три правильные дроби со знаменателем 6 и три неправильные дроби со	знаменателем	6 .
Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со	знаменателем	7 и дробь .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их	знаменатели	и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Чтобы вычисления были проще , числители и	знаменатели	дробей нужно перемножать не сразу , а лишь после сокращения на общие множители ( если , конечно , это возможно ) .
Так будет всегда , когда	знаменатели	имеют общие делители , отличные от 1 .
Сделайте так , чтобы	знаменатели	дробей были одинаковыми .
Если требуется найти сумму или разность дробей ,	знаменатели	которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Назовите числитель и	знаменатель	дроби .
Итак , число 1 представляется в виде дроби , у которой числитель и	знаменатель	равны .
Число 20 , на которое умножили числитель и	знаменатель	дроби , называют дополнительным множителем .
Назовите	знаменатель	и числитель дроби и объясните , что они показывают .
А если прочитать эту цепочку равенств справа налево , то мы увидим , что дробь можно преобразовать в дробь , разделив её числитель и	знаменатель	на 4 .
При приведении дробей к общему знаменателю стараются найти наименьший общий	знаменатель	— тогда вычисления будут проще .
Запишите соответствующую дробь , назовите её числитель и	знаменатель	.
Больший	знаменатель	— число 12 — делится на меньший , поэтому его можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей .
Наименьший общий	знаменатель	дробей равен 72 .
Так как , то числитель и	знаменатель	дроби нужно умножить на 20 .
Поэтому эту дробь можно заменить более простой , разделив её числитель и	знаменатель	на 6 .
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та , у которой	знаменатель	меньше .
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй , а	знаменатель	оставить прежним .
Понятно , что этот общий	знаменатель	— наименьший из всех возможных .
НОК ( 18 ; 12 ) равно 36 , значит , наименьший общий	знаменатель	дробей равен 36 .
Наименьший общий	знаменатель	: 24 .
Например , полученную выше дробь сократить нельзя , так как её числитель и	знаменатель	не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Это и есть наименьший общий	знаменатель	данных дробей .
Если числитель и	знаменатель	дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями , нужно сложить их числители , а	знаменатель	оставить прежним .
Однако это не наименьший общий	знаменатель	данных дробей .
Запишите числитель и	знаменатель	дроби в виде произведений , содержащих одинаковые множители , и сократите дробь .
Для этого разделим числитель на	знаменатель	.
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на 2 .
При этом частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а	знаменатель	— делитель .
Выясним , сколько раз	знаменатель	дроби содержится в числителе .
Дробь : числитель дроби ;	знаменатель	дроби .
Возьмём дробь и « перевернём » её , поменяв местами числитель и	знаменатель	.
Чтобы сократить дробь , её числитель и	знаменатель	нужно разделить на их общий делитель .
Её числитель и	знаменатель	имеют общий делитель , равный 6 .
Общий	знаменатель	данных дробей должен делиться и на 5 , и на 8 .
Приведём к общему	знаменателю	дроби .
Но мы воспользуемся более рациональным способом — приведём к наименьшему общему	знаменателю	сразу все три дроби .
Приведите дробь - к	знаменателю	12 ; 15 ; 36 .
Приведём каждую из дробей к	знаменателю	36 .
На примере дроби - расскажите , как дробь приводят к новому	знаменателю	( например , к знаменателю 20 ) .
Приведение дробей к общему	знаменателю	.
Приведите к наименьшему общему	знаменателю	дроби .
Таким образом , нужно только привести дробь к	знаменателю	12 .
На примере дроби - расскажите , как дробь приводят к новому знаменателю ( например , к	знаменателю	20 ) .
Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь привести к новому	знаменателю	; б ) как сократить дробь .
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен	знаменателю	, у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
При приведении дробей к общему	знаменателю	стараются найти наименьший общий знаменатель — тогда вычисления будут проще .
Сравните дроби , не приводя их к общему	знаменателю	.
Расскажите , как привести к общему	знаменателю	дроби .
Как приводят дроби к новому	знаменателю	.
а ) Приведите дробь к	знаменателю	14 , 21 , 35 , 140 . б )
Вообще приводить дроби к общему	знаменателю	приходится не только при сравнении дробей , но и в других случаях .
Умея сравнивать дроби с числителем , равным 1 , можно сравнить , не приводя к общему	знаменателю	, любые дроби , имеющие одинаковые числители .
Понятно , что дробь можно привести и к другому	знаменателю	— к любому , который делится на 5 .
Говорят , что дробь - привели к новому	знаменателю	.
Если требуется найти сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему	знаменателю	, а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Не приводя дроби к общему	знаменателю	, определите , какая из них меньше .
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями , их приводят к общему	знаменателю	, а затем сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями .
Как приводят дроби к общему	знаменателю	.
Приведите дроби к	знаменателю	60 .
Приведите к	знаменателю	36 те из данных дробей , которые возможно .
Приведите дробь к	знаменателю	16 , 32 , 56 , 1000
Иначе говорят : привести дроби к общему	знаменателю	.
Приведение дроби к новому	знаменателю	.
Приведём каждую из дробей к	знаменателю	40 .
Иногда дроби с разными знаменателями удаётся сравнить и не приводя их к общему	знаменателю	.
Сравним дроби , не приводя их к общему	знаменателю	.
Приведите дроби к общему	знаменателю	и выполните действия .
Приведите дроби к	знаменателю	100 . б )
Дробь , числитель которой больше	знаменателя	или равен ему , называют неправильной .
Дроби получаются из дроби умножением её числителя и	знаменателя	на одно и то же число : на 2 , 3 , 4 .
Больший знаменатель — число 12 — делится на меньший , поэтому его можно взять в качестве общего	знаменателя	данных дробей .
Можно взять в качестве общего	знаменателя	произведение чисел 12 и 15 , равное 180 .
Дробь , числитель которой меньше	знаменателя	, называют правильной .
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше	знаменателя	.
У дроби 2/3 числитель меньше	знаменателя	, у дроби . - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
В качестве общего	знаменателя	дробей всегда можно взять произведение их знаменателей .
Так как	значение	выражения делится на 11 , то и равное ему произведение делится на 11 .
Не выполняя действий , определите , делится ли на 3	значение	выражения .
Укажите порядок действий в выражении и найдите его	значение	: Решите задачу .
Найдите	значение	выражения , вынося за скобки общий множитель : Решите задачу двумя способами .
Так как у квадрата все стороны равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его сторон и полученное	значение	возвести в квадрат .
Вычислите	значение	выражения ( постарайтесь найти рациональное решение ) .
Используя данное равенство , найдите	значение	двух следующих выражений .
Найдите	значение	степени .
Упростите выражение , сняв скобки , которые можно не ставить , а затем найдите его	значение	.
Не выполняя вычислений , определите , какое из следующих выражений имеет то же	значение	, что и данное выражение , и объясните почему .
Известно , что . Найдите	значение	выражения .
Найдём	значение	выражения .
Чтобы ответить на этот вопрос , надо найти	значение	произведения .
Чтобы найти	значение	выражения 54 , или , как говорят иначе , возвести 5 в четвёртую степень , надо вычислить произведение .
Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении и в каждом случае найдите	значение	полученного выражения .
Найдите приближённое	значение	суммы , округлив слагаемые до старшего разряда .
В десятичной системе	значение	цифры зависит от того , какое место в записи числа она занимает , а точнее , в каком разряде она находится .
Найдите	значение	выражения .
Пользуясь оценкой , сравните	значение	каждой суммы с данным числом .
6 Найдите	значение	выражения .
Докажите , что	значение	данного выражения есть число составное .
Запишите выражение и найдите его	значение	.
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое	значение	с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
Вынесите за скобки общий множитель в выражении и найдите его	значение	.
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли	значение	степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в квадрат .
Чему равно	значение	выражения .
Вынесите за скобки общий множитель и найдите	значение	выражения .
Например , иногда полезно знать , что пользуясь этими равенствами , вычислите : 1 ) Вычислим	значение	степени 1202 , воспользовавшись сочетательным свойством умножения .
Найдите приближённое	значение	произведения , округлив множители до старшего разряда .
Так как 14400 , то найти	значение	степени 1202 можно так : возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля .
Вычислим	значение	суммы .
В десятичной системе счисления важное	значение	имеют степени числа 10 .
Попробуйте объяснить	значение	этого слова .
Однако содержащиеся в нём скобки меняют порядок действий : сначала надо вычислить	значение	выражения , записанного в скобках .
Заменив сумму произведением мы получили выражение ,	значение	которого можно уже вычислить устно .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое	значение	с избытком .
Вычислим	значение	выражения .
Если выполнить все указанные в выражении действия , то получится число , которое называют	значением	выражения .
Округлив число 564 до десятков , мы заменили его приближённым	значением	с недостатком .
е . заменяют его приближённым	значением	с избытком .
Для вычисления	значений	выражений , содержащих степени , мы будем пользоваться уже известными правилами ( ведь степень — это произведение ! ) .
Правила , устанавливающие порядок действий в вычислениях , используют вычислительные машины для вычисления числовых	значений	.
При вычислении	значений	этих выражений получится одно и то же число .
Выполните вычисления и назовите последние цифры	значений	этих выражений .
Нам опять нужно выбирать из двух приближённых	значений	, равных 560 и 570 .
Вычисление	значений	числовых выражений .
Вычисление	значений	выражений , содержащих степень .
Очевидно , что в данном случае округляемое число ближе к приближённому	значению	с избытком , а значит , 568 ≈ 570 .
При вычислении	значения	выражения , не содержащего скобок , руководствуются следующим правилом .
Как называются такие выражения и как вычисляют их	значения	.
В каком порядке надо выполнять действия для нахождения	значения	выражения .
Не выполняя вычислений , сравните	значения	выражений .
При вычислении	значения	выражения решение мы записали в виде цепочки равенств .
Сравните	значения	выражений , не выполняя вычислений .
Сравните	значения	выражений .
Кстати , именно от этого	значения	происходит слово « арена » .
При вычислении	значения	выражения со скобками действуют в соответствии со следующим правилом .
Найдите их	значения	.
Прилагательное « нечётное » - слово противоположного	значения	, означающее « непарный » .
Укажите порядок действий при вычислении	значения	выражения .
Сформулируйте правила порядка действий для вычисления	значения	выражения без скобок ; содержащего скобки .
В этом случае при вычислении	значения	выражения , заключённого в скобках , нужно сначала выполнить деление .
Найдите все такие	значения	а , при которых дробь правильная и при которых неправильная .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные	значения	перемножить .
Так , при вычислении	значения	выражения придерживаются такого порядка действий .
Найдите	значения	выражений .
Вычисляя	значения	числового выражения , необходимо соблюдать принятый порядок действий .
Если выражение не содержит скобок , то сначала нужно вычислить	значения	всех степеней .
Найдём	значения	выражений .
Не выполняя действий , сравните	значения	выражений .
Получим число , которое по - прежнему меньше	значения	площади арены , но выражает её точнее .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными	значениями	с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
При каких	значениях	а дробь равна натуральному числу ? .
Из четырёх	игр	: шашки , лото , конструктор и эрудит — надо выбрать две .
Впереди большие летние каникулы - время отдыха ,	игр	, развлечений , увлекательных путешествий .
Эмблема Олимпийских	игр	— пять сплетённых колец , символизирующих Европу , Азию , Африку , Австралию и Америку .
Каждому , кто интересуется спортивными	играми	, знакомы так называемые турнирные таблицы .
Результат каждой	игры	записывается в двух клетках таблицы .
Политическая	карта	Африки .
На слепой карте города (	карта	, на которой нет никаких названий ) надо было написать названия улиц .
Границы многих государств мира на	карте	представляют собой одну замкнутую линию : внутренняя область — это сама страна , а внешняя — заграница .
На слепой	карте	города ( карта , на которой нет никаких названий ) надо было написать названия улиц .
На работу с	картой	и заучивание стихотворения ученик затратил ч , причём времени на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше , чем на работу с картой .
На работу с картой и заучивание стихотворения ученик затратил ч , причём времени на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше , чем на работу с	картой	.
Задания по географии и по математике ученик выполнял ч , причём работа с	картой	заняла на ч меньше , чем решение задачи .
Выполняя домашнюю работу , Толя заметил время , которое ушло на приготовление каждого урока : на работу с	картой	, на решение задачи , на заучивание стихотворения .
Всякий	квадрат	— прямоугольник .
закрашенная часть квадрата тоже	квадрат	.
Возьмите	квадрат	и проведите его диагонали .
Так как у квадрата все стороны равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его сторон и полученное значение возвести в	квадрат	.
Так как 14400 , то найти значение степени 1202 можно так : возвести в	квадрат	число 12 и приписать к результату два нуля .
Может ли среди таких прямоугольников быть	квадрат	? .
Найдите число ,	квадрат	которого равен .
а ) прямоугольник со сторонами , равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм . б )	квадрат	со стороной 4 см 8 мм .
Такой	квадрат	называют квадратной единицей ( кв. ед . ) .
Изображён	квадрат	со стороной 1 м .
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в	квадрат	.
Разрежьте	квадрат	по диагоналям .
в )	квадрат	. г ) прямоугольник .
а ) прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см . б )	квадрат	со стороной 45 мм .
За единицу измерения площади удобно взять единичный	квадрат	— квадрат со стороной , равной единичному отрезку .
Прямоугольник	квадрат	.
Стороны этого квадрата разделены на 5 равных частей ,	квадрат	разбит на 25 равных квадратов .
Определите , на сколько равных частей раздёлен	квадрат	и какая его часть закрашена .
Чтобы найти площадь квадрата , надо длину его стороны возвести в	квадрат	.
А сколько делителей имеет	квадрат	простого числа ?
Не выполняя вычислений , докажите , что возведение в	квадрат	выполнено неверно .
Чему равна его площадь , если один	квадрат	принять за квадратную единицу ? .
Вырежьте из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см. Сложите из них : а )	квадрат	; б ) прямоугольник .
Среди четырёхугольников вы легко найдёте и прямоугольники , и	квадрат	.
Какая фигура треугольник или	квадрат	?
Начертите в тетради	квадрат	и проведите одну его диагональ .
а )	квадрат	со стороной 2 см . б ) прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см .
Розовый	квадрат	разбит на квадраты , а зелёный — на квадраты .
За единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат —	квадрат	со стороной , равной единичному отрезку .
Для этого надо было уметь строить прямой угол ,	квадрат	, прямоугольный треугольник .
Найдите	квадрат	и куб числа .
Какой цифрой оканчивается	квадрат	числа .
Начертите	квадрат	, площадь которого равна 8 кв. ед .
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два	квадрата	; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Сложите из получившихся частей	квадрата	( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Так как у	квадрата	все стороны равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его сторон и полученное значение возвести в квадрат .
Если сторона квадрата 10 м , то его площадь 1 а ; если сторона	квадрата	100 м , то его площадь 1 га .
Чтобы найти площадь	квадрата	, надо длину его стороны возвести в квадрат .
а ) прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см . б )	квадрата	со стороной 7 см .
Взяли три одинаковых проволочных	квадрата	и спаяли их в вершинах так , что получилась каркасная модель многогранника .
Какие углы образует диагональ со сторонами	квадрата	?
Под каким углом пересекаются диагонали	квадрата	? .
а ) прямоугольника со сторонами 5 см 6 мм и 7 см 9 мм . б )	квадрата	со стороной 1 м 56 см .
Запишите выражение для нахождения площади	квадрата	со стороной : 1 см , 2 дм , 10 см , 12 м .
Найдём площадь	квадрата	со стороной .
Вырежьте из бумаги четыре равных	квадрата	со стороной 3 см. Сложите из них : а ) квадрат ; б ) прямоугольник .
Возьмите три таких проволочных	квадрата	и попробуйте сложить из них многогранник .
Часто можно услышать , как говорят « два равных круга » , « два равных	квадрата	» .
Перечертите развёртку на лист клетчатой бумаги , увеличив так , чтобы сторона каждого	квадрата	была равна 3 см .
Чему равна сторона	квадрата	, если его площадь равна : а ) 49 м2 ; б ) 64 см2 ? .
Что больше : диагональ	квадрата	или его сторона ?
Площадь большого	квадрата	равна 1 м2 ; значит , площадь каждого маленького квадрата составляет м2 .
Найдите площадь	квадрата	со стороной : 9 м ; 11 см .
Стороны этого	квадрата	разделены на 5 равных частей , квадрат разбит на 25 равных квадратов .
Площадь большого квадрата равна 1 м2 ; значит , площадь каждого маленького	квадрата	составляет м2 .
Поэтому диагонали	квадрата	, как всякого прямоугольника , равны и в точке пересечения делятся пополам .
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали	квадрата	при пересечении образуют прямые углы .
Таким образом , у	квадрата	все углы прямые и все стороны равны .
Какая часть	квадрата	осталась незакрашенной ? .
Вычислите периметр	квадрата	, сторона которого равна : а ) 5 см ; б ) 7 см 5 мм ; в ) 10 см 3 мм .
а ) две окружности равны , если . б ) два	квадрата	равны , если .
Произведите необходимые измерения и найдите периметр прямоугольника и	квадрата	.
Периметр	квадрата	равен 36 см. Чему равна его сторона ? .
Изображена арена , покрытая квадратной сеткой со стороной	квадрата	1 м .
закрашенная часть	квадрата	тоже квадрат .
Если сторона	квадрата	10 м , то его площадь 1 а ; если сторона квадрата 100 м , то его площадь 1 га .
Чему равна площадь	квадрата	со стороной 5 см ?
Например , запись 32 читают так : « Три во второй степени » или « Три в	квадрате	» .
Используя линии	квадратной	сетки , постройте углы , равные 45 ° и 135 ° .
В узле	квадратной	сетки тетради отметьте точку 0 .
С помощью	квадратной	сетки попытайтесь оценить эту площадь более точно .
— отметьте в одном из узлов	квадратной	сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Такой квадрат называют	квадратной	единицей ( кв. ед . ) .
Изображена арена , покрытая	квадратной	сеткой со стороной квадрата 1 м .
Чему равна его площадь , если один квадрат принять за	квадратную	единицу ? .
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на	квадратные	дециметры ) , подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить величину их площади к 112 м2 .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади	квадратный	метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади	квадратный	сантиметр ( 1 см2 ) .
Например , жилую площадь измеряют в квадратных метрах , а территорию страны — в	квадратных	километрах .
Произведение будет равно площади в соответствующих	квадратных	единицах .
б ) Сколько	квадратных	метров в 1 км2 ?
Например , жилую площадь измеряют в	квадратных	метрах , а территорию страны — в квадратных километрах .
а ) Сколько	квадратных	сантиметров в 1 м2 ?
Если фигуру можно разбить на единичные квадраты , то площадь фигуры равна числу	квадратных	единиц , её составляющих .
Найдём площадь прямоугольника ABCD , выразив её в	квадратных	сантиметрах .
Начертите в тетради круг радиусом 3 см. Оцените площадь круга в	квадратных	сантиметрах .
Выразите : а ) в	квадратных	сантиметрах : 7 дм2 , 12 дм2 , 400 мм2 ; б ) в квадратных метрах : 1 км2 , 300 дм2 .
Выразите : а ) в квадратных сантиметрах : 7 дм2 , 12 дм2 , 400 мм2 ; б ) в	квадратных	метрах : 1 км2 , 300 дм2 .
а ) Сложите из этих	квадратов	какой - нибудь многоугольник .
Внутри арены умещается 112 розовых	квадратов	, поэтому её площадь больше 112 м2 .
Вырежите из листа бумаги в клетку 8 одинаковых	квадратов	со стороной , равной 4 клеткам .
Какие из	квадратов	развёртки соединились при сворачивании куба ?
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать число этих	квадратов	внутри арены и добавить величину их площади к 112 м2 .
Это признак равенства	квадратов	.
( Используйте таблицу	квадратов	. )
Стороны этого квадрата разделены на 5 равных частей , квадрат разбит на 25 равных	квадратов	.
Так , например , если стороны двух	квадратов	равны , то и сами квадраты равны .
Какой из	квадратов	развёртки является верхней гранью куба ? .
Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх	квадратов	сложите многоугольник .
Он состоит из 12 маленьких	квадратов	.
Вторую степень числа называют также	квадратом	этого числа .
5 Какой четырёхугольник называют прямоугольником , а какой —	квадратом	? .
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют	квадратом	.
	Квадратом	? .
Найдите четырёхугольник , не являющийся	квадратом	, у которого все стороны равны .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а	квадрату	со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Если добавить	квадраты	, частично выходящие за арену ( жёлтые квадраты — их 36 ) , то получим , что площадь арены меньше 148 м2 .
Каждый из прямоугольников разбит на	квадраты	со стороной 1 см .
Розовый квадрат разбит на	квадраты	, а зелёный — на квадраты .
Если фигуру можно разбить на единичные	квадраты	, то площадь фигуры равна числу квадратных единиц , её составляющих .
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые	квадраты	разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить величину их площади к 112 м2 .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные	квадраты	, достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
Если добавить квадраты , частично выходящие за арену ( жёлтые	квадраты	— их 36 ) , то получим , что площадь арены меньше 148 м2 .
Розовый квадрат разбит на квадраты , а зелёный — на	квадраты	.
Единичные	квадраты	.
Добавив затем мелкие	квадраты	, частично выходящие за арену , мы получим число , которое больше площади .
А как найти площадь фигуры , которую нельзя разбить на	квадраты	? .
Так , например , если стороны двух квадратов равны , то и сами	квадраты	равны .
Куб — это такой прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , поэтому все его грани —	квадраты	.
Начертите в тетради	квадраты	площадью 1 см2 и 1 дм2 , на доске - 1 м2 .
Найдите исходные	квадраты	на рисунке и назовите их .
Эмблема Олимпийских игр — пять сплетённых	колец	, символизирующих Европу , Азию , Африку , Австралию и Америку .
Слово «	комбинаторика	» произошло от латинского слова combinare , что означает « соединять » , « сочетать » .
Познакомимся с задачами , относящимися к области математики , называемой	комбинаторикой	.
Как решать	комбинаторные	задачи способом перебора .
Какие задачи называют	комбинаторными	.
Примеры решения	комбинаторных	задач .
При решении	комбинаторных	задач чаще всего приходится отвечать на вопрос : « Сколькими способами ? » .
Как называется способ решения	комбинаторных	задач , рассмотренных в этом пункте ? .
Найдите неизвестный	компонент	действия .
Как называются	компоненты	действия при умножении ?
Как называются	компоненты	действия при сложении ?
Для склеивания можно по	контуру	развёртки в некоторых местах оставить узенькие полоски бумаги .
Он изображал	контуры	предметов , животных , объектов природы , стремясь запечатлеть сцены из окружавшей его действительности .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела , например куб , цилиндр , шар ,	конус	.
Куб , цилиндр , шар ,	конус	.
Например , из Древней Греции пришли термины «	конус	» - предмет , которым затыкали бочку ; « пирамида » - огонь , костёр ; « цилиндр » - валик .
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность	конуса	, поверхность куба и т .
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с	координатами	На этой же прямой отметьте точки с координатами .
Прямую с отмеченными точками , которые изображают числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной прямой ; сами числа называют	координатами	отмеченных точек .
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 9 см. Отметьте точки с	координатами	.
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте точки с	координатами	.
Так , вместо « отметим точку с	координатой	, равной 5 » говорят « отметим число 5 » .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с	координатой	1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Если , например , точка М имеет	координату	, равную 8 , то это записывают так : М(8 ) .
Для каждой точки , отмеченной на координатной прямой , запишите её	координаты	.
Найдите	координаты	каких - нибудь двух точек на координатной прямой , равноудалённых от точки А ( 9 ) .
Запишите	координаты	точек , отмеченных на координатной прямой .
а ) Найдите	координаты	точек на координатной прямой , которые удалены от точки А ( 13 ) на 4 единицы .
Решим с помощью построения дерева разобранную выше задачу о цифровых кодах . 1 ) Изобразите	корень	дерева , для этого поставьте знак .
Но и в современном языке мы используем слова с	корнем	« крат » , например : однократный , многократно .
Двигаясь от	корня	дерева по ветвям , мы получим все возможные коды .
Поэтому от	корня	дерева проведите три ветви ( три отрезка ) и на их концах поставьте цифры 1 , 2 и 3 .
а ) делилась на 8 ; в ) была	кратна	9 .
б ) не делилась на 15 ; г ) не была	кратна	3 .
Укажите три числа , которые можно подставить вместо буквы а , чтобы произведение : а ) 36а делилось на 14 ; б ) 15а было	кратно	20 .
Докажите , что число 825 кратно 15 и не	кратно	35 .
Число 180 разделилось на 4 нацело , без остатка ; оно	кратно	числу 4 .
Если число а делится на число b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или число а	кратно	числу b ) .
Докажите , что число 825	кратно	15 и не кратно 35 .
Нельзя также разделить одно число на другое , если первое число не	кратно	второму .
числу 8 , и в каждом случае проверять , делится ли это	кратное	на 6 .
а ) какое - нибудь число ,	кратное	35 , заключённое в промежутке от 500 до 600 . б ) среди чисел , больших 1000 , наименьшее число , кратное 80 .
Чтобы найти наименьшее общее	кратное	12 и 15 , воспользуемся уже известным вам приёмом .
Найдём наименьшее общее	кратное	чисел 6 и 8 .
Найдётся число , меньшее их произведения и	кратное	каждому из них .
а ) какое - нибудь число , кратное 35 , заключённое в промежутке от 500 до 600 . б ) среди чисел , больших 1000 , наименьшее число ,	кратное	80 .
Найдите несколько общих кратных двух данных чисел и укажите их наименьшее общее	кратное	: а ) 3 и 4 ; б ) 5 и 15 ; в ) 6 и 9 .
Что такое делитель и	кратное	числа .
Если одно число делится на другое , то для описания их взаимосвязи используются слова « делитель » и «	кратное	» .
Можно сказать , что число 9 является делителем 45 или что число 45 —	кратное	числа 9 .
Если число а делится на число b , то говорят , что число а —	кратное	числа b ( или число а кратно числу b ) .
НОК ( а ; b ) - наименьшее общее	кратное	чисел а и b. Например , НОК ( 8 ; 12 ) равно 24 .
Однако при решении многих задач важно знать наименьшее общее	кратное	рассматриваемых чисел .
Однако , если числа большие , лучше пользоваться специальными приёмами , с которыми вы познакомитесь позже . Наименьшее общее	кратное	чисел а и b обозначают так .
Укажите число ,	кратное	9 , ближайшее к числу .
Когда одно число делится на другое , то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово « делитель » , но ещё и слово «	кратное	» .
Сформулируйте несколько выводов из равенства , используя слова « делится » , « делитель » , «	кратное	» .
Коля выписывает числа ,	кратные	14 , начиная с наименьшего .
б ) Найдите наименьшее и наибольшее двузначные числа ,	кратные	7 .
Эта последовательность , как и натуральный ряд , бесконечна , и все числа ,	кратные	10 , выписать нельзя .
Число 2 простое ; обведите его кружочком и зачеркните все числа ,	кратные	2 , т .
Обведите его кружочком и вычеркните все оставшиеся числа ,	кратные	3 , т .
20 Делители и	кратные	.
	Кратные	4 , также можно записать в виде подобных сумм , только в качестве второго слагаемого следует взять число 0 .
Делители и	кратные	.
Обведите его кружочком и вычеркните все числа ,	кратные	5 .
Рассмотрим , к примеру , числа ,	кратные	10 .
Будем последовательно перебирать числа ,	кратные	15 , т .
Будем перебирать числа ,	кратные	большему из них , т . е .
Любое число , делящееся и на 8 , и на 6 , является их общим	кратным	, и таких чисел бесконечно много .
А как обстоит дело с	кратными	? .
Можно указать сколько угодно общих	кратных	чисел 5 и 8 : 40 , 80 , 120 и т .
Окажется ли в этом ряду	кратных	число 164 ?
Найдите все делители числа 20 и первые шесть чисел ,	кратных	20 .
5 Запишите по порядку , начиная с наименьшего , несколько чисел ,	кратных	7 .
Как начинается последовательность чисел ,	кратных	числу : а ) 4 ; б )
Серёжа записал ряд	кратных	некоторого числа , начиная с наименьшего , и на двенадцатом месте у него оказалось число 60 .
Найдите несколько общих	кратных	двух данных чисел и укажите их наименьшее общее кратное : а ) 3 и 4 ; б ) 5 и 15 ; в ) 6 и 9 .
6 Запишите три общих	кратных	чисел 9 и 12 .
а ) Сколько чисел ,	кратных	9 , содержится среди первых ста чисел ? .
Почему окружность	кривая	, которая может « скользить сама по себе » .
Люди придумали много способов измерения	кривой	.
Выложите вдоль этой	кривой	нитку .
Это и будет длина	кривой	.
Нарисуйте	кривую	на листе бумаги .
Задача измерения длин кривых значительно сложнее : линейкой	кривую	не измеришь .
Начертите какую - нибудь	кривую	и измерьте её длину .
Чуть позже человек стал украшать продукты своего труда орнаментами , которые могли складываться из отрезков прямых или быть	кривыми	линиями .
Задача измерения длин	кривых	значительно сложнее : линейкой кривую не измеришь .
Среди	кривых	линий важную роль играет окружность .
Окружность и	круг	.
Во всех цирках мира арена — это	круг	диаметром 13 м .
Приведите примеры предметов , на которых можно увидеть окружность или	круг	.
Начертите в тетради	круг	и разделите его отрезком на две равные части .
Изображено несколько отрезков и	круг	.
Вы могли видеть , как работают точильный круг и гончарный	круг	.
Разделите	круг	на четыре равные части .
Диаметр делит окружность и	круг	на две равные части .
Фигура , ограниченная окружностью , — это хорошо известный вам	круг	.
Начертите в тетради	круг	радиусом 3 см. Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах .
Доли . 1 ) Начертите	круг	.
А	круг	у многих народов - символ солнца .
Раскрасьте получившийся узор таким образом , как будто бы вы накладывали каждый следующий	круг	на предыдущий .
Вы могли видеть , как работают точильный	круг	и гончарный круг .
Как с помощью двух перегибаний можно найти центр	круга	? .
Какую долю	круга	составляет каждая часть ? .
Если разделить каждую треть	круга	на 3 равные части , то будет закрашено - круга .
В обоих случаях закрашена одна и та же часть	круга	, а значит , дроби - и - выражают одну и ту же величину .
Начертите в тетради круг радиусом 3 см. Оцените площадь	круга	в квадратных сантиметрах .
Если разделить каждую треть круга на 3 равные части , то будет закрашено -	круга	.
Часто можно услышать , как говорят « два равных	круга	» , « два равных квадрата » .
	Круга	.
Если и дальше делить каждую треть	круга	на одинаковые доли , то будем получать новые дроби , равные .
Пусть каждую треть	круга	разделили на 4 равные части .
Какую долю	круга	составляет каждая из получившихся частей ? .
Значит , закрашенная часть	круга	выражается дробью .
Как вы назовёте части	круга	, на которые он делится своим диаметром ? .
Установите на глаз , какие из отрезков можно закрыть этим	кругом	.
Мысленно сверните	куб	из развёрток и определите , какая грань является верхней , если закрашенная грань нижняя .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела , например	куб	, цилиндр , шар , конус .
У вас получится	куб	.
Нарисуйте	куб	в тетради и покажите один из способов , как разрезать его , чтобы получить развёртку .
Чему равны объёмы тел , сложенных из одинаковых кубиков , если объём одного кубика равен 1 кубической единице ( 1	куб	.
Нарисуйте	куб	и покажите для каждого случая , как проходит по кубу линия разреза .
Найдите число ,	куб	которого равен .
а ) Вылепите из пластилина	куб	с ребром 1 см. Это кубический сантиметр . б ) Изготовьте каркасную модель куба объёмом 1 дм3 .
	Куб	простого числа ?
Среди всех параллелепипедов особую роль играет один , хорошо вам известный —	куб	.
Возьмите	куб	и определите , сколько у него граней , вершин , рёбер .
Возьмите	куб	, который вы сделали из развёртки .
Вы не раз имели дело с кубами , сделанными из дерева или пластмассы , можете вылепить	куб	из пластилина .
Найдите квадрат и	куб	числа .
Поставьте	куб	на стол .
Но можно самим сделать	куб	из листа бумаги .
Наиболее простые и распространённые формы зданий - это	куб	и параллелепипед .
Определите число рёбер и число граней	куба	, сходящихся в каждой его вершине .
Начертите пятиугольную грань многогранника , если ребро куба 4 см , а разрез проходит через середины рёбер	куба	.
Какие многогранники могут получиться при разрезании	куба	плоскостью ?
Поверхность	куба	разрезали по отрезкам OK , ON , ОМ , ОА , OD , ОС , МВ и развернули .
Изображён каркас	куба	.
Какие из квадратов развёртки соединились при сворачивании	куба	?
Развёртки	куба	.
Сколько граней	куба	не имеют общих рёбер с нижней гранью ? .
Найдём объём	куба	, ребро которого равно 5 дм : 125 ( дм3 ) .
Точно так же поступают и сейчас : объём куба с ребром 1 см принимают за один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , объём	куба	с ребром 1 м — за один кубический метр ( 1 м3 ) и т .
Это развёртка	куба	. 1 )
Три положения этого	куба	.
Точно так же поступают и сейчас : объём	куба	с ребром 1 см принимают за один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , объём куба с ребром 1 м — за один кубический метр ( 1 м3 ) и т .
Какой длины проволоку достаточно взять , чтобы сделать каркасную модель : а )	куба	с ребром 10 см ; б ) прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 см , 10 см , 14 см ? .
Сколько литров воды вмещает бак , имеющий форму	куба	с ребром 6 дм ? .
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность	куба	и т .
От	куба	отрезали угол .
Какие точки совместятся с точкой А при склеивании	куба	из развёртки ? .
а ) Вылепите из пластилина куб с ребром 1 см. Это кубический сантиметр . б ) Изготовьте каркасную модель	куба	объёмом 1 дм3 .
Какой из квадратов развёртки является верхней гранью	куба	? .
Сколько граней	куба	имеют общие рёбра с нижней гранью ?
У	куба	всего одиннадцать развёрток .
При этом мы получим развёртку	куба	.
И наоборот , разрезав поверхность	куба	по некоторым рёбрам , мы можем развернуть её в плоскую фигуру .
Найдите сумму площадей всех граней : а )	куба	с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
Начертите пятиугольную грань многогранника , если ребро	куба	4 см , а разрез проходит через середины рёбер куба .
Понятно , что все три измерения	куба	равны между собой .
	Куба	с ребром 7 дм .
На грани	куба	нанесены цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Как сделать развёртку	куба	.
Перечертите в тетрадь развёртки этого	куба	и нанесите на них недостающие цифры .
Почему фигуры не могут быть развёртками	куба	? .
Например , египтяне знали , как вычислять объёмы	куба	, параллелепипеда , цилиндра , а также усечённой пирамиды .
Третью степень числа называют	кубом	этого числа .
Нарисуйте куб и покажите для каждого случая , как проходит по	кубу	линия разреза .
Интересно , что ещё в Древнем Вавилоне единицами объёмов служили	кубы	, ребром которых являлись единицы длины .
Такие диаграммы , как диаграмма 3 , иногда называют	линейными	.
Если начертить несколько отрезков так , чтобы каждый следующий начинался в той же точке , где заканчивается предыдущий ( но не лежал на одной с ним прямой ) , то получится	ломаная	линия .
При этом	ломаная	может быть самопересекающейся или не иметь самопересечений .
Что такое луч , отрезок ,	ломаная	.
Длина	ломаной	.
Длина	ломаной	равна сумме длин отрезков , из которых она состоит .
Из точки А в точку С можно « пройти » по отрезку АС , по	ломаной	ADC или по ломаной АВС .
Длину	ломаной	, ограничивающей многоугольник , называют периметром этого многоугольника .
Длина	ломаной	ABCD равна АВ + ВС + CD .
Перечертите в тетрадь ломаные измерьте их звенья и найдите длину каждой	ломаной	.
Концы отрезков — точки А , В , С , D и Е — называются вершинами	ломаной	, а сами отрезки — её сторонами или звеньями .
Из точки А в точку С можно « пройти » по отрезку АС , по ломаной ADC или по	ломаной	АВС .
Фигура , ограниченная замкнутой	ломаной	без самопересечений , называется многоугольником .
Начертите ломаную АВС , такую , что АВ равно 3 см , ВС равно 5 см. Чему равна длина этой	ломаной	? .
У замкнутой	ломаной	не может быть меньше трёх звеньев , поэтому самым простым многоугольником является треугольник .
а ) замкнутую	ломаную	, состоящую из трёх звеньев .
б ) незамкнутую	ломаную	, состоящую из четырёх звеньев .
Рассмотрим	ломаную	, состоящую из отрезков АВ , ВС , CD , DE .
Для того чтобы назвать	ломаную	, последовательно перечисляют её вершины — ABCDE .
б ) Начертите в тетради какую - нибудь	ломаную	с вершинами в узлах сетки и « продиктуйте » её соседу по парте .
Назовите	ломаную	.
Если вас попросят начертить	ломаную	, например , из четырёх звеньев , вы можете сделать её замкнутой или незамкнутой .
Постройте	ломаную	, длина которой равна 20 см , состоящую из четырёх звеньев различной длины .
Начертите	ломаную	АВС , такую , что АВ равно 3 см , ВС равно 5 см. Чему равна длина этой ломаной ? .
Постройте в тетради	ломаную	по следующему описанию .
Перечертите в тетрадь	ломаную	.
Назовите . а ) отрезки , одним из концов которых является точка М . б ) какую - нибудь	ломаную	, состоящую из трёх звеньев .
Перечертите в тетрадь	ломаные	измерьте их звенья и найдите длину каждой ломаной .
Найдите длины	ломаных	.
несколько	ломаных	, по которым можно пройти из точки А в точку К .
Проведите	луч	ОС так , чтобы угол АОС был прямым , угол СОВ — тупым .
Этот	луч	— биссектриса угла АОВ .
Проведите	луч	ОВ так , чтобы он разделил угол АОС на два угла .
Луч ОС — биссектриса угла АОВ ,	луч	ОМ — биссектриса угла АОС .
Представление о луче даёт нам	луч	света , например от фонарика или прожектора .
Что такое	луч	, отрезок , ломаная .
И	луч	, и отрезок являются частями прямой .
Она разбивает прямую на два	луча	, которые идут от точки О в разные стороны по двум направлениям .
Начало	луча	— это источник света .
Да , ведь , говоря точнее , два	луча	с общим началом образуют не один угол , а два .
Проведите два	луча	с началом в вершине угла , проходящие через отмеченные точки .
Проведём на листе бумаги два	луча	АВ и АС с общим началом в точке А. Мы получим угол .
Точка О для каждого	луча	является его началом .
Точка , отмеченная на прямой , разбивает её на два	луча	.
Но можно провести два	луча	с общим началом и так , чтобы они не составляли прямую .
Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести , чтобы все углы , образованные двумя соседними	лучами	, были острыми ? .
Угол , ограниченный двумя соседними	лучами	, считают равным одному градусу и записывают так : 1 ° .
Отметьте точку и проведите из неё лучи так , чтобы все углы между двумя соседними	лучами	были тупыми .
Представьте , что развёрнутый угол разделён	лучами	, выходящими из его вершины , на 180 равных углов .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и	луче	СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на	луче	АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
Представление о	луче	даёт нам луч света , например от фонарика или прожектора .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же	луче	с началом в точке Β ? .
точка А лежит на	луче	СВ .
в ) точка А лежит на	луче	BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
Сколько получилось	лучей	с началом в точке D ?
Если отметить на одном из	лучей	точку А , а на другом точку В , то лучи можно назвать ОА и ОВ .
Сама эта точка является для получившихся	лучей	началом .
Сколько	лучей	.
Какое наименьшее число	лучей	с началом в одной точке надо провести , чтобы все углы , образованные двумя соседними лучами , были острыми ? .
Считают , что	лучи	, составляющие прямую , также образуют угол .
Отметьте точку и проведите из неё	лучи	так , чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми .
Если отметить на одном из лучей точку А , а на другом точку В , то	лучи	можно назвать ОА и ОВ .
Обозначьте и запишите получившиеся	лучи	.
а ) точка С принадлежала отрезку с концами в точках А и В . б ) точка D принадлежала	лучу	АВ и не принадлежала отрезку АВ .
в ) точка К принадлежала	лучу	ВА и не принадлежала отрезку АВ .
Изображён	многогранник	.
Представьте себе , что этот	многогранник	прозрачный .
Сверните лист бумаги пополам и расположите его так , как изображён	многогранник	.
Но изображать	многогранник	прозрачным не очень удобно : получается набор линий , в котором трудно разобраться .
Охарактеризуйте каждый	многогранник	по плану : число граней , их форма ; число рёбер ; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Упражнения . Рассматриваем	многогранник	.
Перерисуйте в тетрадь	многогранник	, так , чтобы видимые грани стали невидимыми , а невидимые грани стали видимыми .
Возьмите три таких проволочных квадрата и попробуйте сложить из них	многогранник	.
Все кубики , из которых сложен	многогранник	, одинаковы .
а ) Перерисуйте в тетрадь	многогранник	.
Как вы думаете , сколько граней будет у этого	многогранника	, если отрезать ещё один угол ? .
Как пройти по всем рёбрам	многогранника	, проходя каждое ребро только один раз ? .
Поверхность любого	многогранника	состоит из многоугольников .
Сколько у этого	многогранника	рёбер ?
Начертите пятиугольную грань	многогранника	, если ребро куба 4 см , а разрез проходит через середины рёбер куба .
Каждый из этих многоугольников называют гранью	многогранника	.
Что такое развёртка	многогранника	.
Ни у одного	многогранника	не может быть меньшего числа граней , вершин или рёбер , чем у треугольной пирамиды .
Развёртка	многогранника	— это плоская фигура , составленная из многоугольников , являющихся его гранями и расположенных определённым образом изображена некоторая фигура .
Вершины этих многоугольников являются вершинами	многогранника	, а стороны — рёбрами многогранника .
Взяли три одинаковых проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так , что получилась каркасная модель	многогранника	.
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько сторон , а у	многогранника	число вершин и число граней необязательно одинаково .
Сколько граней у получившегося	многогранника	? .
Назовите видимые и невидимые грани	многогранника	.
Измерьте и запишите длину каждого ребра	многогранника	.
Сколько у данного	многогранника	граней ?
Вершины этих многоугольников являются вершинами многогранника , а стороны — рёбрами	многогранника	.
1 Возьмите какую - нибудь модель	многогранника	и определите число его вершин .
Термины , связанные с	многогранниками	.
Какие	многогранники	могут получиться при разрезании куба плоскостью ?
Как изображают	многогранники	.
Что среди пространственных тел выделяют	многогранники	.
Вырежите их и сверните	многогранники	.
При всём разнообразии	многогранники	имеют ряд общих свойств .
Среди множества геометрических тел есть большая группа	многогранников	.
У	многогранников	все части поверхности плоские .
Сделайте из палочек и пластилина каркасную модель одного из	многогранников	.
Точно так же можно изготовить модель и некоторых других	многогранников	: начертить на бумаге развёртку , вырезать её , свернуть по линиям , соответствующим рёбрам , и склеить .
Умножение	многозначных	чисел обычно выполняют в столбик .
Сложение	многозначных	чисел обычно выполняют поразрядно в столбик .
Деление	многозначных	чисел обычно выполняют уголком .
Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и сложение , вычитание	многозначных	чисел обычно выполняют поразрядно .
Перенесите один из них в тетрадь и покажите , как ещё можно разбить этот	многоугольник	на прямоугольники .
Весь	многоугольник	лежит по одну сторону от этой прямой .
Что такое	многоугольник	.
Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов сложите	многоугольник	.
Обведите 3 клетки тетрадного листа так , чтобы получился	многоугольник	.
Нарисуйте на листе бумаги какой - нибудь	многоугольник	.
а ) Сложите из этих квадратов какой - нибудь	многоугольник	.
Боковые грани — треугольники , сходящиеся в одной вершине , а основание —	многоугольник	, противолежащий этой вершине .
А невыпуклый	многоугольник	таким свойством не обладает .
Длину ломаной , ограничивающей	многоугольник	, называют периметром этого многоугольника .
Подложите под него ещё один лист бумаги и вырежьте при помощи ножниц изображённый	многоугольник	.
В основании пирамиды может лежать	многоугольник	с любым количеством сторон .
Вы видите , что существует такая прямая , на которой лежит сторона	многоугольника	и которая разбивает его на части , расположенные по разные от этой прямой стороны .
Периметр обычно обозначают буквой Р. Периметр	многоугольника	равен сумме длин всех его сторон .
Диагональ АС разбивает пятиугольник АВСКМ на два	многоугольника	.
Что называют периметром	многоугольника	.
Обратите внимание , что угол	многоугольника	может быть больше развёрнутого .
И вообще у любого	многоугольника	столько же вершин и сторон , сколько у него углов .
Диагональ	многоугольника	.
У какого	многоугольника	9 диагоналей ? .
Назовите равные стороны и равные углы каждого	многоугольника	Скопируйте эти многоугольники в тетрадь .
Число диагоналей	многоугольника	можно подсчитать так .
Периметр	многоугольника	.
Стороны , углы , диагонали	многоугольника	.
Длину ломаной , ограничивающей многоугольник , называют периметром этого	многоугольника	.
Обратите внимание : у	многоугольника	вершин столько же , сколько сторон , а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково .
Проведём прямую , на которой лежит какая - нибудь из сторон выпуклого	многоугольника	.
Периметр прямоугольника , как и любого	многоугольника	, равен сумме длин его сторон .
При этом вы получите два	многоугольника	.
Вычислите площадь каждого	многоугольника	.
Являются ли развёртками треугольной пирамиды	многоугольники	?
Так как при наложении они совмещаются , то эти	многоугольники	равны .
Из того , что	многоугольники	ABCDE и KLMNP равны , следует , например , что .
Глава 5 Углы и	многоугольники	.
Все фигуры — это	многоугольники	.
Запишите , на какие	многоугольники	разбила пятиугольник эта диагональ .
Назовите равные стороны и равные углы каждого многоугольника Скопируйте эти	многоугольники	в тетрадь .
Назовите выпуклые и невыпуклые	многоугольники	.
Выпуклые	многоугольники	.
Выполнив необходимые измерения , найдите периметр	многоугольников	.
Каждый из этих	многоугольников	называют гранью многогранника .
Четырёхугольник — это один из видов	многоугольников	.
Вершины этих	многоугольников	являются вершинами многогранника , а стороны — рёбрами многогранника .
Развёртка многогранника — это плоская фигура , составленная из	многоугольников	, являющихся его гранями и расположенных определённым образом изображена некоторая фигура .
Поверхность любого многогранника состоит из	многоугольников	.
Из равенства этих	многоугольников	можно также сделать вывод о равенстве диагоналей BE и LP , углов ADB и KNL , треугольников АСЕ и КМР и т .
Сколько разных	многоугольников	таким способом можно нарисовать ? .
Фигура , ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений , называется	многоугольником	.
Какую фигуру называют	многоугольником	.
Термины , связанные с	многоугольником	.
Единственным	многоугольником	, который не имеет ни одной диагонали , является треугольник .
Какую фигуру называют	многоугольником	? .
У замкнутой ломаной не может быть меньше трёх звеньев , поэтому самым простым	многоугольником	является треугольник .
Среди	множества	геометрических тел есть большая группа многогранников .
Посмотрев вокруг , вы наверняка заметите , что нас окружает	множество	предметов , содержащих прямые линии .
Нас окружает	множество	предметов .
Современного человека тоже окружает	множество	линий : на земле , на воде , в небе .
Равнобедренный треугольник обладает	множеством	интересных свойств .
Представим каждое из чисел в виде произведения , в котором один из	множителей	равен 7 , и вынесем общий множитель 7 за скобки .
Если один из	множителей	делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Сколько простых	множителей	содержится в разложении ? .
На первый взгляд у произведений нет общих	множителей	.
В данном выражении нет	множителей	, дающих в произведении « круглое » число .
Каждое из чисел первого класса можно записать в виде произведения , в котором один из	множителей	равен 4 .
Произведение одинаковых	множителей	обычно заменяют степенью , поэтому разложение числа 90 на простые множители выглядит так .
он указывает , сколько одинаковых	множителей	содержится в произведении .
Точно так же произведение четырёх	множителей	, каждый из которых равен 5 , записывают в виде 54 .
Измените группировку	множителей	в произведении и вычислите результат .
Число 20 , на которое умножили числитель и знаменатель дроби , называют дополнительным	множителем	.
Найдите приближённое значение произведения , округлив	множители	до старшего разряда .
Чтобы вычисления были проще , числители и знаменатели дробей нужно перемножать не сразу , а лишь после сокращения на общие	множители	( если , конечно , это возможно ) .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений , содержащих одинаковые	множители	, и сократите дробь .
Разложим на простые	множители	число 90 .
Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел , или , как говорят , разложить на простые	множители	.
Таким образом , какое бы натуральное число ( кроме числа 1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть разложено на простые	множители	.
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью , поэтому разложение числа 90 на простые	множители	выглядит так .
Часто приходится вычислять и произведения , в которых все	множители	равны .
Число разложили на простые	множители	и получили такое произведение .
Разложите на простые	множители	числа .
Разложите на простые	множители	число , равное произведению .
Если	множители	обозначить буквами а и b , то их произведение можно записать так .
Назовите все двузначные числа , меньшие 30 , разложение на простые	множители	которых содержит только два различных множителя .
Разложите на простые	множители	число .
в ) Узнайте , какое число было разложено на простые	множители	.
Признаки делимости помогают при разложении числа на простые	множители	( при этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты ) .
Разложение числа на простые	множители	— это его « паспорт » .
Разложение числа на простые	множители	.
Найдём дополнительные	множители	: 5 , 4 .
Дано разложение на простые	множители	числа 420 .
2 ) Есть ли в разложении одинаковые	множители	? .
Найдём дополнительный	множитель	: 2 .
Представим каждое из чисел в виде произведения , в котором один из множителей равен 7 , и вынесем общий	множитель	7 за скобки .
Вспомните , как найти неизвестный	множитель	.
Расскажите , как найти неизвестный	множитель	; неизвестное делимое ; неизвестный делитель .
Основание степени — это повторяющийся	множитель	, а показатель степени равен числу « повторений » , т .
Найдите неизвестный	множитель	.
Вынесите за скобки общий	множитель	в выражении и найдите его значение .
Вынесите за скобки общий	множитель	и найдите значение выражения .
Найдите значение выражения , вынося за скобки общий	множитель	: Решите задачу двумя способами .
Вынесем этот общий	множитель	за скобки .
Назовите все двузначные числа , меньшие 30 , разложение на простые множители которых содержит только два различных	множителя	.
Такое преобразование выражений называют вынесением общего	множителя	за скобки .
4	множителя	.
Слагаемые в данной сумме — это произведения , каждое из которых содержит в качестве	множителя	одно и то же число 12 .
Этот случай сложнее — у слагаемых и нет общего	множителя	.
В некоторый	момент	гребец уронил в воду шляпу и , не заметив этого , продолжал плыть дальше .
Итак , скобки указывают	на порядок	выполнения действий .
Выпишите все общие делители чисел 36 и 45 и назовите их	наибольший общий делитель	.
НОД ( а ; b ) —	наибольший общий делитель	чисел a и b. Например , НОД ( 8 ; 12 ) равно 4 .
Его называют	наибольшим общим делителем	этих чисел .
Оказывается , что ответ на этот вопрос был	найден	больше двух тысяч лет назад .
Этот перебор можно сократить , если , отыскав один делитель , записать сразу же и другой , являющийся частным от деления числа 24 на	найденный	делитель .
Найдите сами короткий способ вычисления степени 6002 , воспользовавшись	найденным	приёмом вычисления .
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно поручить компьютеру ; с его помощью уже получены огромные простые числа , которые вручную , наверное , никогда бы не были	найдены	.
Выполните необходимые измерения и	найдите	периметр пятиугольника .
Вынесите за скобки общий множитель в выражении и	найдите	его значение .
Вынесите за скобки общий множитель и	найдите	значение выражения .
Связь сложения и вычитания . 1 ) Используя равенство ,	найдите	: 2 ) С помощью сложения проверьте , верно ли равенство .
Пользуясь этим приёмом ,	найдите	.
Укажите порядок действий в выражении и	найдите	его значение : Решите задачу .
С помощью перегибания листа	найдите	его биссектрису и начертите её карандашом .
а ) Проведите необходимые измерения и	найдите	площадь : тетрадного листа , крышки стола , классной доски , классной комнаты , спортивной площадки .
Перечертите в тетрадь ломаные измерьте их звенья и	найдите	длину каждой ломаной .
С помощью кальки	найдите	четырёхугольник , равный четырёхугольнику ABCD .
В каждом случае	найдите	его площадь .
Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении и в каждом случае	найдите	значение полученного выражения .
Произведите необходимые измерения и	найдите	периметр прямоугольника и квадрата .
Упростите выражение , сняв скобки , которые можно не ставить , а затем	найдите	его значение .
Начертите окружность радиусом 2 см и	найдите	длину окружности двумя способами : измерением и вычислением .
Запишите выражение и	найдите	его значение .
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и	найдите	его длину .
Выполнив необходимые измерения ,	найдите	периметр многоугольников .
Выполнив необходимые измерения ,	найдите	периметр четырёхугольника .
С помощью кальки	найдите	на рисунке угол , равный углу А .
Используя это ,	найдите	среди следующих равенств неверное .
Используя данное равенство ,	найдите	значение двух следующих выражений .
Для каждого из них	найдите	длину , ширину и высоту .
Пользуясь рассмотренным приёмом ,	найдите	.
С помощью угольника	найдите	прямой угол .
Сначала	найдём	от 42 .
Чтобы понять , как , быть может , рассуждал Гаусс , разберём более простую задачу :	найдём	сумму чисел от 1 до 10 .
Сначала	найдём	одну восьмую долю всех книг , для этого разделим 32 на 8 .
А теперь	найдём	сумму чисел 21035 , 3440 и 880927 .
Затем	найдём	три восьмые доли , для этого умножим полученное число на 3 . 1 ) 4 ( книги ) — это - часть всех книг .
Чтобы ответить на вопрос задачи , надо	найти	от этого числа .
Это можно сделать по - разному : или	найти	длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы	найти	его периметр , можно сложить длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Если требуется	найти	сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
В заключение заметим , что	найти	НОД и НОК небольших чисел разобранными выше способами несложно .
—	найти	число диагоналей , выходящих из одной вершины , — их на 3 меньше , чем вершин .
Как с помощью двух перегибаний можно	найти	центр круга ? .
Чтобы	найти	разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит	найти	такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Так как 14400 , то	найти	значение степени 1202 можно так : возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля .
Чтобы	найти	площадь фигуры , прежде всего нужно выбрать единицу измерения площади .
Вы видели , что с помощью перебора можно	найти	все делители числа .
А сколько можете	найти	вы ? .
Чтобы ответить на этот вопрос , надо	найти	значение произведения .
А как	найти	площадь фигуры , которую нельзя разбить на квадраты ? .
Из него можно узнать много полезных сведений о данном числе , например ,	найти	все его делители .
Чтобы	найти	наименьшее общее кратное 12 и 15 , воспользуемся уже известным вам приёмом .
Заметим , что сложить можно любые два числа , а разность двух натуральных чисел можно	найти	только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
	Найти	такое число , которое при умножении на 0 даст 7 .
Вспомните , как	найти	неизвестный множитель .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или	найти	площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Попробуйте теперь сами	найти	сумму , которую так быстро вычислил Гаусс .
Вычислите значение выражения ( постарайтесь	найти	рациональное решение ) .
Чтобы	найти	площадь квадрата , надо длину его стороны возвести в квадрат .
Разделить число а на число b — это значит	найти	такое число с , при умножении которого на b в произведении получится а .
Известно , за какое время выполнено две седьмых всей работы , поэтому можно	найти	, за какое время была выполнена у всей работы : надо 4 разделить на 2 .
Пусть , например , требуется	найти	разность между числом 12 и суммой чисел 7 и 3 .
Чтобы	найти	значение выражения 54 , или , как говорят иначе , возвести 5 в четвёртую степень , надо вычислить произведение .
Для любых двух натуральных чисел всегда можно	найти	их произведение .
А для этого нужно	найти	удобный способ перебора всех возможных вариантов .
Вы знаете , что умножить , например , 5 на 7 — это значит	найти	сумму семи слагаемых , каждое из которых равно 5 .
При приведении дробей к общему знаменателю стараются	найти	наименьший общий знаменатель — тогда вычисления будут проще .
Расскажите , как	найти	неизвестный множитель ; неизвестное делимое ; неизвестный делитель .
Чтобы	найти	- от 42 , умножим 14 на 2 : 28 .
Расскажите , как	найти	неизвестное слагаемое ; неизвестное уменьшаемое ; неизвестное вычитаемое .
Вообще , если требуется	найти	часть от целого , заданного некоторым числом , можно пользоваться следующим правилом .
Вычесть из числа а число b — значит	найти	такое число с , которое в сумме с числом b даёт число а .
И чтобы ответить на вопрос задачи , нужно	найти	целое по его части , т .
Чтобы	найти	число по его части , выраженной дробью , нужно разделить на эту дробь число , ей соответствующее .
Вообще , если требуется по части	найти	целое , можно пользоваться следующим правилом .
Длину окружности приближённо можно	найти	, умножив её радиус на 6 .
Чтобы	найти	часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно по дроби	найти	неизвестное целое .
Запишем число 2 в виде суммы	натурального	числа и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
Найдите в учебнике свойства	натурального	ряда и перечислите их .
В то же время у каждого	натурального	числа имеется следующее , и это верно для всех чисел без исключения .
Для такого « комбинированного » числа , которое складывается из	натурального	числа и дроби , в математике есть специальное обозначение 2 .
Нужно только помнить , что смешанная дробь — это сумма	натурального	числа и дроби .
Например , нет такого	натурального	числа , которое равно частному 7:3 .
В самом деле , нет такого	натурального	числа , при умножении которого на 4 получается 18 : произведение 4 на 4 меньше 18 , а произведение 4 на 5 уже больше 18 .
Договорились также считать , что число 0 меньше любого	натурального	числа .
В то же время у каждого	натурального числа	имеется следующее , и это верно для всех чисел без исключения .
Договорились также считать , что число 0 меньше любого	натурального числа	.
Нужно только помнить , что смешанная дробь — это сумма	натурального числа	и дроби .
Для такого « комбинированного » числа , которое складывается из	натурального числа	и дроби , в математике есть специальное обозначение 2 .
Например , нет такого	натурального числа	, которое равно частному 7:3 .
Запишем число 2 в виде суммы	натурального числа	и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
В самом деле , нет такого	натурального числа	, при умножении которого на 4 получается 18 : произведение 4 на 4 меньше 18 , а произведение 4 на 5 уже больше 18 .
Какими могут быть остатки от деления на	натуральное	число п .
Вообще будем считать , что всякое	натуральное	число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Таким образом , какое бы	натуральное	число ( кроме числа 1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть разложено на простые множители .
Умножение дроби на	натуральное	число и смешанную дробь .
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на	натуральное	число , на смешанную дробь , а также перемножать смешанные дроби .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое	натуральное	число с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Как умножают дробь на	натуральное	число , на смешанную дробь .
При делении на	натуральное	число n возможны следующие остатки .
Представим	натуральное	число 2 в виде дроби со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения дробей .
— если требуется округлить	натуральное	число , вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений .
Что значит « округлить	натуральное	число » .
Теперь легко представить в виде дроби любое другое	натуральное	число , например число 5 .
Каждое	натуральное	число , кроме 1 , получается из предыдущего прибавлением единицы .
Одно	натуральное	число всегда можно разделить на другое .
Умножение дроби на	натуральное	число и на смешанную дробь .
Покажите на примере , как можно умножить дробь на	натуральное	число .
Для этого нужно	натуральное	число и смешанную дробь записать в виде неправильной дроби .
Дробные числа выражаются дробями , но оказывается , что любое	натуральное	число также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Любое ли	натуральное	число относится к одному из этих двух видов ? .
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на	натуральное число	, на смешанную дробь , а также перемножать смешанные дроби .
Представим	натуральное число	2 в виде дроби со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения дробей .
Какими могут быть остатки от деления на	натуральное число	п .
Как умножают дробь на	натуральное число	, на смешанную дробь .
Каждое	натуральное число	, кроме 1 , получается из предыдущего прибавлением единицы .
Умножение дроби на	натуральное число	и на смешанную дробь .
Теперь легко представить в виде дроби любое другое	натуральное число	, например число 5 .
Для этого нужно	натуральное число	и смешанную дробь записать в виде неправильной дроби .
— если требуется округлить	натуральное число	, вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений .
При делении на	натуральное число	n возможны следующие остатки .
Таким образом , какое бы	натуральное число	( кроме числа 1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть разложено на простые множители .
Дробные числа выражаются дробями , но оказывается , что любое	натуральное число	также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Любое ли	натуральное число	относится к одному из этих двух видов ? .
Одно	натуральное число	всегда можно разделить на другое .
Вообще будем считать , что всякое	натуральное число	можно разделить на любое другое натуральное число с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Умножение дроби на	натуральное число	и смешанную дробь .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое	натуральное число	с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Покажите на примере , как можно умножить дробь на	натуральное число	.
Что значит « округлить	натуральное число	» .
В	натуральном	ряду есть наименьшее число — это 1 — и нет наибольшего .
Заметим , что в	натуральном	ряду чередуются чётные и нечётные числа , т .
В	натуральном	ряду число а появляется позже , чем число b.
Меньшим считается то число , которое в	натуральном	ряду появляется раньше , а большим — то , которое появляется позже .
На этом перебор можно закончить , так как число 24 — первое число в	натуральном	ряду , которое делится и на 8 , и на 6 .
О	натуральном	ряде и его свойствах .
При каких значениях а дробь равна	натуральному	числу ? .
сумма этих дробей равна	натуральному	числу .
При каких значениях а дробь равна	натуральному числу	? .
сумма этих дробей равна	натуральному числу	.
Начертите грань CDLK в	натуральную	величину .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в	натуральную	величину .
Начертите грань BMNC в	натуральную	величину .
п. Само слово « натуральный » означает в русском языке то же самое , что и слово « естественный » , так что название «	натуральные	» соответствует происхождению чисел в человеческой практике .
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все	натуральные	числа от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните число 1 — оно не простое .
Это позволит вам решать такие задачи , которые вы не могли решить , зная только	натуральные	числа .
Дроби , как и	натуральные	числа , можно изображать точками на координатной прямой .
Дроби , так же как и	натуральные	числа , известны с самых древних времён и были « изобретены » в связи с потребностями людей в измерении .
б ) Сколько дробей представляют	натуральные	числа и сколько среди них представляют число 1 ? .
Какие из них представляют	натуральные	числа ? .
Простые числа — это как бы кирпичики , из которых с помощью умножения могут быть « построены » все остальные	натуральные	числа .
Что	натуральные	числа можно записывать в виде дробей .
Представьте в виде дроби частные 5:6 ; 15:10 . ( m , n —	натуральные	числа ) ,
Пусть а и b —	натуральные	числа .
Сократите дроби и укажите , какие из них представляют	натуральные	числа .
На примере числа 2347059210 расскажите , как читают	натуральные	числа .
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом	натуральные	числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные числа .
На координатной прямой отмечены	натуральные	числа а , b , с и d. Сравните указанные числа и запишите соответствующее неравенство .
« по отношению к числу 3 »	натуральные	числа делятся на три класса .
Сократите дроби и укажите , какие из них представляют	натуральные числа	.
Что	натуральные числа	можно записывать в виде дробей .
Какие из них представляют	натуральные числа	? .
Представьте в виде дроби частные 5:6 ; 15:10 . ( m , n —	натуральные числа	) ,
На координатной прямой отмечены	натуральные числа	а , b , с и d. Сравните указанные числа и запишите соответствующее неравенство .
Дроби , как и	натуральные числа	, можно изображать точками на координатной прямой .
б ) Сколько дробей представляют	натуральные числа	и сколько среди них представляют число 1 ? .
Дроби , так же как и	натуральные числа	, известны с самых древних времён и были « изобретены » в связи с потребностями людей в измерении .
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом	натуральные числа	разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные числа .
Простые числа — это как бы кирпичики , из которых с помощью умножения могут быть « построены » все остальные	натуральные числа	.
Это позволит вам решать такие задачи , которые вы не могли решить , зная только	натуральные числа	.
На примере числа 2347059210 расскажите , как читают	натуральные числа	.
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все	натуральные числа	от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните число 1 — оно не простое .
« по отношению к числу 3 »	натуральные числа	делятся на три класса .
Пусть а и b —	натуральные числа	.
Эта последовательность , как и	натуральный	ряд , бесконечна , и все числа , кратные 10 , выписать нельзя .
п. Само слово «	натуральный	» означает в русском языке то же самое , что и слово « естественный » , так что название « натуральные » соответствует происхождению чисел в человеческой практике .
Натуральные числа , записанные по порядку одно за другим , образуют	натуральный	ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
Обратите внимание : число 0 не входит в	натуральный	ряд , т .
Каким	натуральным	числам равны дроби .
Если делимое или делитель является	натуральным	числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Результат деления натуральных чисел выражается или	натуральным	, или дробным числом .
не считается	натуральным	числом .
Только результат этого деления выражается не	натуральным	, а дробным числом .
Объясните на примерах , как выполняют деление , если делимое или делитель выражены смешанной дробью или	натуральным	числом .
Каким	натуральным числам	равны дроби .
Если делимое или делитель является	натуральным числом	или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Объясните на примерах , как выполняют деление , если делимое или делитель выражены смешанной дробью или	натуральным числом	.
не считается	натуральным числом	.
Но некоторые из них « по совместительству » являются и	натуральными	числами .
Глава 3 Действия с	натуральными	числами .
Теперь вы знакомы не только с	натуральными	числами , но и с дробными .
Между какими последовательными	натуральными	числами заключено число .
д. Эти числа , как вы знаете , называются	натуральными	.
При решении задач иногда приходится выполнять арифметические действия не только с	натуральными	числами , но и с дробями .
Теперь вы знакомы не только с	натуральными числами	, но и с дробными .
Глава 3 Действия с	натуральными числами	.
При решении задач иногда приходится выполнять арифметические действия не только с	натуральными числами	, но и с дробями .
Правило округления	натуральных	чисел : .
Каким числом может выражаться результат деления	натуральных	чисел ?
Из рассмотренных выше примеров ясно , что по отношению к делителю 4 имеется четыре класса	натуральных	чисел .
Из двух различных	натуральных	чисел всегда одно больше , а другое меньше .
При этом частное двух	натуральных	чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Сравнение	натуральных	чисел .
Округление	натуральных	чисел .
Для любых двух	натуральных	чисел всегда можно найти их произведение .
Теперь , когда нам известны дробные числа , можно разделить друг на друга любые два	натуральных	числа .
9 Запишите в виде дроби частное двух	натуральных	чисел .
Сравнение и упорядочение	натуральных	чисел .
7 Округление	натуральных	чисел .
Вычитание дробей , как и	натуральных	чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Об изображении	натуральных	чисел точками на прямой .
В 5 классе вы вспомните уже известные вам свойства	натуральных	чисел и узнаете некоторые новые .
Что любые два	натуральных	числа можно разделить друг на друга .
Заметим , что для сложения и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания	натуральных	чисел .
Представление	натуральных	чисел дробями .
Результат деления	натуральных	чисел выражается или натуральным , или дробным числом .
Для дробей , как и для	натуральных	чисел , справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Заметим , что сложить можно любые два числа , а разность двух	натуральных	чисел можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
9 Запишите в виде дроби частное двух	натуральных чисел	.
Каким числом может выражаться результат деления	натуральных чисел	?
При этом частное двух	натуральных чисел	равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Из рассмотренных выше примеров ясно , что по отношению к делителю 4 имеется четыре класса	натуральных чисел	.
Сравнение и упорядочение	натуральных чисел	.
7 Округление	натуральных чисел	.
Округление	натуральных чисел	.
Правило округления	натуральных чисел	: .
Об изображении	натуральных чисел	точками на прямой .
Заметим , что для сложения и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания	натуральных чисел	.
Заметим , что сложить можно любые два числа , а разность двух	натуральных чисел	можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
Результат деления	натуральных чисел	выражается или натуральным , или дробным числом .
Из двух различных	натуральных чисел	всегда одно больше , а другое меньше .
Для любых двух	натуральных чисел	всегда можно найти их произведение .
Представление	натуральных чисел	дробями .
Сравнение	натуральных чисел	.
Вычитание дробей , как и	натуральных чисел	, определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
В 5 классе вы вспомните уже известные вам свойства	натуральных чисел	и узнаете некоторые новые .
Для дробей , как и для	натуральных чисел	, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Что любые два	натуральных числа	можно разделить друг на друга .
Теперь , когда нам известны дробные числа , можно разделить друг на друга любые два	натуральных числа	.
Число 180 разделилось на 4	нацело	, без остатка ; оно кратно числу 4 .
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала	нашли	значение степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в квадрат .
И возникает такой естественный вопрос : можно ли построить , хотя бы в далёком будущем , такой мощный компьютер , чтобы он	нашёл	все простые числа ?
Сколько грибов	нашёл	брат ? .
Брат	нашёл	на 7 грибов больше , чем его сестра .
Легко отличить замкнутую линию от	незамкнутой	.
Нарисуйте в тетради какую - нибудь замкнутую и какую - нибудь	незамкнутую	линии .
б )	незамкнутую	ломаную , состоящую из четырёх звеньев .
О том , что линии бывают замкнутые и	незамкнутые	, самопересекающиеся и без самопересечений .
	Незамкнутые	линии .
Так , например , линии замкнутые , а линии и	незамкнутые	.
Сколько можно построить	незамкнутых	ломаных с вершинами в этих точках ?
Ежедневно нам	необходима	разнообразная информация .
Понятно , что при этом	необходимо	учитывать сформулированное выше правило .
Вычисляя значения числового выражения ,	необходимо	соблюдать принятый порядок действий .
Чтобы сделать заказ для школьного буфета ,	необходимо	знать , что больше всего нравится детям .
Для записи последовательности действий	необходимо	употребить скобки .
Вы наверняка умеете пользоваться такой таблицей : извлекать из неё и анализировать	необходимую	информацию .
Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Проведите	необходимые	измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников .
а ) Проведите	необходимые	измерения и найдите площадь : тетрадного листа , крышки стола , классной доски , классной комнаты , спортивной площадки .
Выполните	необходимые	измерения и найдите периметр пятиугольника .
Произведите	необходимые	измерения и найдите периметр прямоугольника и квадрата .
Выполнив	необходимые	измерения , найдите периметр четырёхугольника .
Выполнив	необходимые	измерения , найдите периметр многоугольников .
Проведите	необходимые	измерения и проверьте , насколько вы были точны .
Таким образом	неправильная дробь	представлена в виде смешанной .
При вычислениях приходится выполнять и обратное преобразование : представлять смешанную дробь в виде	неправильной дроби	.
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде	неправильной дроби	.
Представим смешанную дробь в виде	неправильной дроби	и затем применим правило умножения дробей .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а	неправильной дроби	— точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
На примере дроби покажите , как из	неправильной дроби	выделяют целую часть .
Решая задачу о братьях и яблоках , мы записали ответ двумя способами : в виде	неправильной дроби	и в виде смешанной дроби 2 .
В таких случаях говорят , что из	неправильной дроби	выделили целую часть .
Представьте число 7 в виде	неправильной дроби	.
Запишите смешанную дробь в виде	неправильной дроби	.
Выделение целой части из	неправильной дроби	и представление смешанной дроби в виде неправильной .
Для этого нужно натуральное число и смешанную дробь записать в виде	неправильной дроби	.
Запишите	неправильную дробь	в виде смешанной дроби .
Правильные и	неправильные дроби	.
	Неправильные дроби	?
Выпишите в одну строку все правильные дроби , в другую — все	неправильные дроби	.
Запишите три правильные дроби со знаменателем 6 и три	неправильные дроби	со знаменателем 6 .
Запишите все	неправильные дроби	с числителем 5 .
Для записи дробных чисел , наряду с правильными и	неправильными дробями	, используют ещё и так называемые смешанные дроби .
Назовите числа сначала в порядке возрастания , а потом в порядке убывания ; в каждом случае запишите цепочку	неравенств	.
Чтение и запись двойных	неравенств	.
Ответ запишите в виде двойного	неравенства	.
Этот факт записывают в виде двойного	неравенства	.
Запишите в виде двойного	неравенства	.
Запишите в виде	неравенства	.
Найдите несколько дробей , которые можно подставить вместо k и получить верное двойное	неравенство	.
верно	неравенство	.
Двойное	неравенство	принято читать « с середины » : 22 больше , чем 15 , и меньше , чем 36 .
На координатной прямой отмечены натуральные числа а , b , с и d. Сравните указанные числа и запишите соответствующее	неравенство	.
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное число ; б ) чётного и	нечётного	чисел — нечётное число .
любое	нечётное	число делится на 3 .
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное число ; б ) чётного и нечётного чисел —	нечётное	число .
Прилагательное «	нечётное	» - слово противоположного значения , означающее « непарный » .
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом натуральные числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и	нечётные	числа .
Все	нечётные	числа — простые .
Это единственное чётное простое число , все остальные простые числа	нечётные	.
Все простые числа , большие 2 , —	нечётные	. 4 ) Все нечётные числа , большие 2 , — составные .
Заметим , что в натуральном ряду чередуются чётные и	нечётные	числа , т .
Все простые числа , большие 2 , — нечётные . 4 ) Все	нечётные	числа , большие 2 , — составные .
Все простые числа —	нечётные	.
Цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 обычно называют чётными , а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 -	нечётными	.
Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных	нечётных	чисел .
сумму всех	нечётных	чисел от 1 до 99 .
а ) сумму первых десяти	нечётных	чисел .
В каждом случае определите , какая цифра находится на	нижней грани	.
Сколько граней куба не имеют общих рёбер с	нижней гранью	? .
Сколько граней куба имеют общие рёбра с	нижней гранью	?
Если начертить несколько отрезков так , чтобы каждый следующий начинался в той же точке , где заканчивается предыдущий ( но не лежал на одной с	ним	прямой ) , то получится ломаная линия .
Вместе с	ним	и число 6 является делителем 18 .
Добавьте ещё к	ним	трёх юношей , из коих Теон самый способный » .
Все эти данные не являются точными , однако в жизни они играют очень важную роль : по	ним	мы можем сравнить города по численности населения , страны по территориям и др.
Округлённые результаты часто записывают без	нулей	, добавляя сокращения « тыс. » , « млн » , « млрд » .
При вычитании из любого числа этого же числа получается	нуль	.
При делении любого числа , не равного	нулю	, на себя получается единица , например .
Для любого числа а , не равного	нулю	.
При делении нуля на любое число , не равное	нулю	, получается 0 , например .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком ; при этом остаток может быть равным	нулю	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от	нуля	число , то получится дробь , равная данной .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при сложении и вычитании ; свойства	нуля	и единицы при умножении и делении .
Запишите с помощью букв : свойства	нуля	при сложении и вычитании ; свойства нуля и единицы при умножении и делении .
При вычитании	нуля	из любого числа получается то же число .
Так как 14400 , то найти значение степени 1202 можно так : возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два	нуля	.
И это естественно , потому что предметы никогда не начинают считать с	нуля	.
Такая цифра - прообраз нашего	нуля	- была изобретена в Индии только в VII в . ; её изображали точкой или кружочком .
При делении	нуля	на любое число , не равное нулю , получается 0 , например .
Из свойства	нуля	при сложении вытекают его свойства при вычитании .
При делении дробей выполняются известные свойства , связанные с	нулём	и единицей .
Убедитесь , что узор	образован	одной линией .
Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести , чтобы все углы ,	образованные	двумя соседними лучами , были острыми ? .
Угол , который	образует	биссектриса с одной стороной данного угла , равен 16 ° .
Какие углы	образует	диагональ со сторонами квадрата ?
Натуральные числа , записанные по порядку одно за другим ,	образуют	натуральный ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
Они	образуют	так называемую метрическую систему единиц .
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали квадрата при пересечении	образуют	прямые углы .
Считают , что лучи , составляющие прямую , также	образуют	угол .
Да , ведь , говоря точнее , два луча с общим началом	образуют	не один угол , а два .
Воспользуйтесь тем , что линии сетки	образуют	прямые углы .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник , у которого стороны ,	образующие	прямой угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
1 Начертите прямоугольный треугольник , у которого стороны ,	образующие	прямой угол , равны 3 см и 4 см .
Но прежде вам нужно будет познакомиться с новым понятием - дробь ,	обратная	данной .
Вычитание — это действие ,	обратное	сложению .
Деление — это действие ,	обратное	умножению .
При вычислениях приходится выполнять и	обратное	преобразование : представлять смешанную дробь в виде неправильной дроби .
Выполните	обратное	преобразование .
Эту дробь называют	обратной	дроби/. Если мы теперь « перевернём » дробь , то получим исходную дробь .
Запишите другое число , используя те же цифры , но в	обратном	порядке , и прочитайте его .
Запишем эту сумму дважды , расположив во втором случае слагаемые в	обратном	порядке .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое умножить на дробь ,	обратную	делителю .
Назовите дробь ,	обратную	дроби .
Укажите дробь ,	обратную	данной .
Умножим обе части последнего равенства на дробь ,	обратную	, т . е .
Каким свойством обладают взаимно	обратные	дроби ?
Взаимно	обратные	дроби .
Эти примеры подсказывают , что взаимно	обратные	дроби обладают следующим свойством .
Движение по реке . а ) На путь из пункта А в пункт Б теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на	обратный	путь — 2 ч .
Поэтому время , которое катер затратил на	обратный	путь , равно .
Сколько времени затратил катер на	обратный	путь ? .
На путь из пункта А в пункт В автомобиль затратил 1 ч , а на	обратный	путь — на 10 мин больше .
Поэтому такие дроби , как и , называют взаимно	обратными	.
Какие дроби называют взаимно	обратными	.
Взаимно	обратными	являются , например , дроби ( вы помните , конечно , что дробь — это другая запись числа 5 ) .
Произведение взаимно	обратных	дробей равно 1 .
Рассмотрим произведения взаимно	обратных	дробей .
С помощью букв свойство взаимно	обратных	дробей можно записать так .
Примером перспективы может служить изображение на фотографии : рельсы кажутся сходящимися в одной точке , что и создаёт иллюзию	объёмного	изображения .
С давних пор люди искали различные способы изображения	объёмных	тел , передающие ощущение глубины пространства .
Опровергните утверждение : если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце , то	округление	выполняли до разряда тысяч .
Выполните	округление	указанного числа и запишите результат , используя сокращённые наименования .
При	округлении	числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
При	округлении	до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде десятков .
Назовите несколько чисел , при	округлении	которых до сотен получится это число .
в ) Назовите наибольшее число , при	округлении	которого до сотен получится это число .
При	округлении	числа до некоторого разряда могут встретиться разные случаи .
Опровергните утверждение : если при	округлении	числа получилось число с тремя нулями на конце , то округление выполняли до разряда тысяч .
При	округлении	чисел для самоконтроля полезно проверять , что в круглом числе цифр не меньше , чем в исходном .
Назовите наименьшее число , при	округлении	которого до сотен получится это число .
Записывают результат	округления	так : 564 ≈ 560 .
На примерах	округления	до десятков чисел 132 , 136 , 135 покажите , как округляют числа по правилу .
Правило	округления	натуральных чисел : .
Найдите приближённое значение суммы ,	округлив	слагаемые до старшего разряда .
Укажите примерное количество гвоздей ,	округлив	данное число до сотен , до тысяч .
Тимур задумал число и ,	округлив	его до десятков , записал : 280 .
Найдите приближённое значение произведения ,	округлив	множители до старшего разряда .
Некоторое число	округлили	до сотен и получили 53400
Рассмотрите приближённое равенство и скажите , до какого разряда	округлили	число 486573 .
Что значит «	округлить	натуральное число » .
— если требуется	округлить	натуральное число , вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений .
Учитель предложил	округлить	до миллионов число 26547049 .
Так как 1 км равно 1000 м , то число 6789 надо	округлить	до тысяч : 6789 м ≈ 7000 м равно 7 км . а ) Масса слона 5835 кг .
Запишите ряд чисел , который получится , если последовательно	округлять	данное число до десятков , сотен и т .
— если справа от разряда , до которого	округляют	число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 ; в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
— все цифры , расположенные правее разряда , до которого	округляют	число , заменяют нулями .
Натуральные числа	округляют	до десятков , сотен , тысяч и т .
На примерах округления до десятков чисел 132 , 136 , 135 покажите , как	округляют	числа по правилу .
Когда полная точность не нужна или невозможна , числа	округляют	, т .
В таких случаях число	округляют	« в большую сторону » , т .
Как	округляют	числа .
Поэтому ,	округляя	число 564 до десятков , мы должны заменить его числом 560 .
Одну из точек пересечения	окружностей	обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до точки А ; б ) от точки С до точки В ? .
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из	окружностей	?
Узоры из	окружностей	можно увидеть на фасадах зданий , решётках мостов , предметах быта .
Каково расстояние от каждой точки пересечения	окружностей	до их центров ? .
Скопируйте в тетрадь рисунки , составленные из	окружностей	.
В этом заключается основной признак равенства	окружностей	.
Или : если у двух	окружностей	равны радиусы , то равны и сами окружности .
Рисунки из	окружностей	.
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус	окружности	и найдите его длину .
Назовите диаметр	окружности	.
Каким свойством обладают точки	окружности	? .
Или : если у двух окружностей равны радиусы , то равны и сами	окружности	.
Отметьте точку О. Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой	окружности	? .
Все точки	окружности	находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — её центра .
Отрезок , который соединяет центр	окружности	с какой - либо её точкой , называют радиусом окружности .
Длину	окружности	приближённо можно найти , умножив её радиус на 6 .
Радиус и диаметр	окружности	.
Это свойство	окружности	объясняет некоторые хорошо известные факты .
Почему для вычерчивания	окружности	используют циркуль .
Чему равен диаметр каждой	окружности	? .
Начертите	окружности	с радиусами , равными 2 см , 4 см 5 мм .
Отметьте в тетради точку О. Постройте две	окружности	с центром в этой точке : одну радиусом 2 см , другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
Найдите радиус	окружности	, если её диаметр равен : 6 см , 9 см , 12 м .
Чему равен радиус этой	окружности	? .
Используя	окружности	, можно получать очень красивые узоры .
Отрезок , который соединяет центр окружности с какой - либо её точкой , называют радиусом	окружности	.
Проведите и обозначьте ещё два отрезка с концами на	окружности	, равные отрезку АВ .
Диаметр	окружности	состоит из двух радиусов .
Начертите окружность радиусом 2 см и найдите длину	окружности	двумя способами : измерением и вычислением .
Отрезок , который соединяет две точки окружности и проходит через её центр , называют диаметром	окружности	.
Проведите	окружности	радиусом 4 клеточки с центрами в этих точках .
Отметим на	окружности	две точки : А и В. Они разделили окружность на две части , которые имеют своё название — дуги .
Отрезок , который соединяет две точки	окружности	и проходит через её центр , называют диаметром окружности .
Так как все точки окружности находятся на одном расстоянии от её центра , то все радиусы	окружности	равны между собой .
Отметьте точку О и начертите пять отрезков , равных 3 см , с общим концом в точке О. Другие концы этих отрезков лежат на	окружности	.
Так как все точки	окружности	находятся на одном расстоянии от её центра , то все радиусы окружности равны между собой .
Обозначьте точки пересечения прямой и	окружности	буквами А и В. Измерьте длину отрезка АВ .
Каким свойством обладают точки	окружности	?
Что называют радиусом	окружности	?
а ) две	окружности	равны , если . б ) два квадрата равны , если .
диаметром	окружности	? .
а ) Найдите диаметр	окружности	, если её радиус равен : 12 см , 3 см 5 мм , 10 дм . б )
Как можно приближённо вычислить длину	окружности	, если известен её диаметр ? .
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см. Проведите прямую , пересекающую	окружность	.
Изображена	окружность	с центром в точке О и проведены радиусы ОА , ОВ , ОС , OD .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите	окружность	с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Начертите с помощью циркуля	окружность	.
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите	окружность	с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Начертите	окружность	с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Отметим на окружности две точки : А и В. Они разделили	окружность	на две части , которые имеют своё название — дуги .
Отметьте точку О. Проведите	окружность	с центром в точке О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности ? .
Начертите	окружность	радиусом 3 см и измерьте её длину с помощью нити .
Среди кривых линий важную роль играет	окружность	.
Начертите	окружность	и проведите три прямые , её пересекающие .
Диаметр делит	окружность	и круг на две равные части .
Начертите	окружность	и постройте два её радиуса так , чтобы угол между ними был равен .
Длина линий	окружность	.
а )	окружность	. б ) равнобедренный треугольник .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите	окружность	с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Начертите	окружность	и отметьте на ней три точки .
Приведите примеры предметов , на которых можно увидеть	окружность	или круг .
Почему	окружность	кривая , которая может « скользить сама по себе » .
Отметьте точки А и В. Проведите	окружность	с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его длину .
В отличие от прямой	окружность	является замкнутой линией .
Начертите ещё одну	окружность	, большего радиуса .
Каким свойством обладает	окружность	.
Начертите	окружность	радиусом 2 см и найдите длину окружности двумя способами : измерением и вычислением .
Начертите	окружность	с центром в точке О и радиусом 3 см. Проведите прямую , пересекающую окружность .
Термины , связанные с	окружностью	.
Как нужно провести прямую , чтобы расстояние между точками пересечения этой прямой с	окружностью	было наибольшим ? .
Фигура , ограниченная	окружностью	, — это хорошо известный вам круг .
Её	описал	на арабском языке среднеазиатский математик Аль - Хорезми .
Постройте по	описанному	алгоритму прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см .
Какими ещё словами можно	описать	взаимосвязь между этими числами ?
Назовите её	основание	и боковые грани .
Укажите её	основание	и боковые грани .
Степень : показатель степени ;	основание	степени .
а ) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см , а	основание	равно 10 см. Найдите длину боковой стороны .
Начертите пирамиду так , чтобы	основание	ABCD было видимым .
Треугольник АВС — равнобедренный , его боковые стороны — АВ и ВС , а	основание	— АС .
Боковые грани — треугольники , сходящиеся в одной вершине , а	основание	— многоугольник , противолежащий этой вершине .
Назовите	основание	степени ; показатель степени .
Вырежите из листа бумаги ( кальки ) равнобедренный треугольник АВС , АС —	основание	.
Укажите боковые стороны и	основание	каждого треугольника .
Постройте равнобедренный треугольник ,	основание	которого равно 5 см , а углы при основании равны 75 ° .
Чтобы выложить кубиками всё	основание	, потребуется 2 таких ряда , т .
У пирамиды различают	основание	и боковые грани .
Показатель степени ;	основание	степени .
Проведите отрезок ВС Треугольник АВС — равнобедренный , АВ и АС — боковые стороны , ВС —	основание	треугольника .
В этом выражении число 5 —	основание	степени , а число 4 — показатель степени .
Все её грани — треугольники , и каждая из них может считаться её	основанием	.
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а третью сторону —	основанием	.
Какая фигура является	основанием	этой пирамиды ? .
а ) равностороннего треугольника со стороной 12 см . б ) равнобедренного треугольника с	основанием	, равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
а ) равностороннего треугольника со стороной 8 см . б ) равнобедренного треугольника с	основанием	25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно 5 см , а углы при	основании	равны 75 ° .
Назовите свойства , на	основании	которых выполнены преобразования , и вычислите результат .
В	основании	пирамиды может лежать многоугольник с любым количеством сторон .
В равнобедренном треугольнике углы при	основании	равны .
Сколько вершин в	основании	пирамиды ? .
А это означает , что углы при	основании	тоже равны .
Назовите : а ) угол , противолежащий основанию ; б ) углы при	основании	.
Назовите свойства , на	основании	которых выполнены преобразования , и вычислите сумму .
При этом углы при	основании	поменяются местами , но так как боковые стороны равны , то треугольники полностью совместятся .
На	основании	оранжевой коробки вдоль ребра , равного 3 дм , уложатся 3 кубика .
Назовите : а ) угол , противолежащий	основанию	; б ) углы при основании .
Начинайте построение с	основания	треугольника .
Называют пирамиду по числу сторон её	основания	: треугольная , четырёхугольная , шестиугольная и т .
точка О — середина	основания	АС .
Сколько у пятиугольной пирамиды рёбер	основания	?
В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину	основания	.
Древние строители возводили храмы , подчиняясь ряду правил : здания должны были иметь в	основаниях	определённые фигуры и располагаться по сторонам света .
Число 180 разделилось на 4 нацело , без	остатка	; оно кратно числу 4 .
В первый день они прошли всего расстояния , а во второй день —	остатка	.
На тетради она истратила этой суммы , а на учебники —	остатка	.
Члены последовательности 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , .. — это числа , которые при делении на 3 дают в	остатке	1 .
Найдите число , если/. а ) при делении его на 13 в частном получается 12 и в	остатке	7 . б ) при делении его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
Приведите пример числа , которое при делении на 5 даёт в	остатке	2 .
Найдите число , если/. а ) при делении его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7 . б ) при делении его на 24 в частном получается 17 и в	остатке	1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
При делении на 4 дают в	остатке	1 : 33 . 129 .
Коля делил число 156 на 8 и получил в частном 18 , а в	остатке	12 .
Найдите какое - нибудь число , которое при делении на 2 даёт в	остатке	1 , а при делении на 3 даёт в остатке 2 .
Так , при делении на 2 в	остатке	может получиться 0 или 1 , при этом натуральные числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные числа .
Найдите какое - нибудь двузначное число , которое при делении и на 2 , и на 3 даёт в	остатке	1 . 2 )
При делении на 4 дают в	остатке	3 : 35 . 131 .
При делении на 4 дают в	остатке	2 : 34 . 130 .
А как начинается последовательность чисел , которые при делении на 3 дают в	остатке	2 ?
Найдите какое - нибудь число , которое при делении на 2 даёт в остатке 1 , а при делении на 3 даёт в	остатке	2 .
Какие	остатки	могут получиться при делении некоторого числа : а ) на 5 ; б ) на 8 ; в ) на 10 ? .
12 Какие	остатки	могут получиться при делении некоторого числа на 5 ?
Какими могут быть	остатки	от деления на натуральное число п .
При делении на натуральное число n возможны следующие	остатки	.
При делении на 3 возможны	остатки	, равные 0 , 1 , 2 , т .
Какие	остатки	возможны при делении на 3 ?
В остальных случаях при делении получились	остатки	, равные соответственно 1 , 2 , 3 .
Сколько различных	остатков	может получиться при делении на 10 ? .
24 Деление с	остатком	.
Деление с	остатком	.
Однако в таком случае , как вы знаете , можно выполнить деление с	остатком	.
Примеры деления чисел с	остатком	.
Выполните деление с	остатком	: а ) числа 65 на 8 ; б ) числа 118 на 11 ; в ) числа 160 на 15 .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с	остатком	; при этом остаток может быть равным нулю .
Деление с	остатком	при решении задач .
Если при делении получается остаток , то вместо слова « частное » обычно говорят « неполное частное » , для того чтобы подчеркнуть , что речь идёт о делении с	остатком	.
	Остаток	.
Если при делении получается	остаток	, то вместо слова « частное » обычно говорят « неполное частное » , для того чтобы подчеркнуть , что речь идёт о делении с остатком .
Произведение « почти равно » делимому , точнее говоря , меньше его на соответствующий	остаток	.
Обратите внимание :	остаток	всегда меньше делителя — только в этом случае мы заканчиваем процесс деления уголком .
В каждом случае запишите равенство , связывающее делимое , делитель , неполное частное и	остаток	.
Найдите число , при делении которого на 6 получается неполное частное , равное 7 , и	остаток	, равный 3 .
Числа трёх других классов можно записать в виде суммы , в которой одно слагаемое — произведение неполного частного и делителя , а другое —	остаток	.
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком ; при этом	остаток	может быть равным нулю .
делимое равно неполное частное × делитель +	остаток	.
Не выполняя деления , определите , какой	остаток	получается при делении : а ) числа 137 на 10 , на 5 , на 3 ; б ) числа 543 на 2 , на 5 , на 9 .
Частное равно 17 — это целая часть смешанной дроби ;	остаток	равен 5 — это числитель дробной части .
Какой наибольший	остаток	возможен при делении числа : а ) на 6 ; б ) на 11 ; в ) на 20 ? .
По мере раскрытия веера получаются различные углы - от	острого	до развёрнутого .
Величина какого угла больше :	острого	или тупого ?
Величина	острого	угла меньше 90 ° , а величина тупого угла больше 90 ° .
Величина	острого угла	меньше 90 ° , а величина тупого угла больше 90 ° .
Начертите на нелинованной бумаге	остроугольный треугольник	и обозначьте его .
а ) равнобедренный	остроугольный треугольник	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Его называют	остроугольным треугольником	.
У треугольника все углы	острые	.
б ) Выберите из данных углов сначала	острые	, а затем тупые углы : 114 ° , 54 ° , 81 ° , 100 ° , 139 ° , 99 ° , 90 ° , 77 ° .
Найдите и назовите	острые	углы , тупые углы .
Найдите и назовите	острые углы	, тупые углы .
Начертите	острый	угол АОВ .
Какой из этих углов	острый	, какой — тупой , а какой — прямой ? .
Начертите в тетради	острый	, прямой и тупой углы .
Каким является угол АОВ , если угол ВОС	острый	?
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой угол ; в )	острый	угол .
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В ,	острый	угол С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
	Острый	?
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол , какой из его углов	острый	, сколько у него тупых углов .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол ,	острый	угол и тупой угол .
На какой угол (	острый	, прямой , тупой или развёрнутый ) поворачивается часовая стрелка за 1 ч , 2 ч , 3 ч , 4 ч , 5 ч , 6 ч ? .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол ,	острый угол	и тупой угол .
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В ,	острый угол	С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Начертите	острый угол	АОВ .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой угол ; в )	острый угол	.
Угол , меньший прямого , называется	острым	углом , а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
Эратосфен писал на восковых табличках специальной палочкой , а составные числа выкалывал	острым	концом , после чего табличка напоминала решето .
а ) Каким (	острым	, прямым , тупым или развёрнутым ) является угол , величина которого равна 22 ° , 163 ° , 90 ° , 18 ° , 98 ° , 180 ° , 89 ° , 178е ? .
1 Какой угол называют	острым	, а какой — тупым ?
Определите сначала , каким (	острым	или тупым ) является угол , а затем с помощью транспортира постройте его .
Угол , меньший прямого , называется	острым углом	, а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести , чтобы все углы , образованные двумя соседними лучами , были	острыми	? .
Какие из углов являются	острыми	, а какие — тупыми ?
Начертите в тетради два	острых	и два тупых угла .
Измерьте величину одного из	острых	углов .
Измерьте величину одного из	острых углов	.
На сторонах угла А циркулем	отложите	равные отрезки .
Постройте прямой угол с вершиной в точке В и	отложите	отрезок ВС , равный 3 см .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ;	отложите	единичный отрезок ( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Какое число не	относится	ни к одному из этих двух видов ? .
Любое ли натуральное число	относится	к одному из этих двух видов ? .
Познакомимся с задачами ,	относящимися	к области математики , называемой комбинаторикой .
Из рассмотренных выше примеров ясно , что по	отношению	к делителю 4 имеется четыре класса натуральных чисел .
« по	отношению	к числу 3 » натуральные числа делятся на три класса .
Начертите отрезки , равные этого	отрезка	.
Чему равна длина	отрезка	СВ ? .
Отметьте на глаз точку С — середину	отрезка	АВ , а затем точки D и Е — середины отрезков АС и СВ соответственно .
Проведём прямую и отметим на ней две точки К и М. Они ограничивают отрезок КМ и называются концами этого	отрезка	.
Любые две отмеченные точки являются концами некоторого	отрезка	.
Начертите отрезки , равные данного	отрезка	.
Чему равна длина	отрезка	ΑΒ ? .
Назовите длину	отрезка	АВ в миллиметрах .
Длина	отрезка	.
Проведите и обозначьте ещё два	отрезка	с концами на окружности , равные отрезку АВ .
Длину	отрезка	АВ называют также расстоянием между точками А и В. В данном случае расстояние между точками А и В равно 2 см 5 мм .
Поэтому от корня дерева проведите три ветви ( три	отрезка	) и на их концах поставьте цифры 1 , 2 и 3 .
Начертите на нелинованном листе бумаги четыре	отрезка	, измерьте их и запишите результаты измерений .
Обозначьте точки пересечения прямой и окружности буквами А и В. Измерьте длину	отрезка	АВ .
Но отрезок ВА уже был учтён : ведь АВ и ВА — это два разных « имени » одного и того же	отрезка	.
Измерьте длину	отрезка	AN .
Поэтому от каждой первой цифры кода проведём снова по три	отрезка	и на их концах опять запишем цифры 1 , 2 и 3 .
Как сравнить два	отрезка	.
Два	отрезка	или угла можно сравнить наложением , а можно измерить их и сравнить получившиеся величины .
Поверхность куба разрезали по	отрезкам	OK , ON , ОМ , ОА , OD , ОС , МВ и развернули .
а ) точка А лежит на	отрезке	СВ .
Подумайте , сколько клеток должно быть в единичном	отрезке	, чтобы было удобно выполнять построение .
Постройте на классной доске	отрезки	длиной 1 м , 1 м 15 см .
Начертите	отрезки	, равные этого отрезка .
Все	отрезки	с концом в точке D уже указаны .
Построите	отрезки	, соответствующие .
Начертите	отрезки	, соответствующие 3/8 км , .
Например , данные диаграммы 1 можно представить и в виде диаграммы 2 , поместив столбики рядом , и в виде диаграммы 3 , изобразив вместо столбиков	отрезки	той же высоты .
Назовите	отрезки	в порядке убывания их длин .
Концы отрезков — точки А , В , С , D и Е — называются вершинами ломаной , а сами	отрезки	— её сторонами или звеньями .
Так же как и	отрезки	, углы можно сравнивать не только наложением , но и с помощью измерения .
Как называются все эти	отрезки	? .
Назовите . а )	отрезки	, одним из концов которых является точка М . б ) какую - нибудь ломаную , состоящую из трёх звеньев .
Углы , как и	отрезки	, можно сравнивать между собой .
Сначала перечислите все	отрезки	, левым концом которых является точка А. Это отрезки АВ , АС и AD .
точку С , расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки 0 . 4 ) Соедините каждую из точек А , В , С с точкой О. Назовите получившиеся	отрезки	.
На сторонах угла А циркулем отложите равные	отрезки	.
Проведите все	отрезки	, концами которых являются пары этих точек .
Начертите	отрезки	, равные данного отрезка .
Точки А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их	отрезки	— его сторонами , углы ABC , BCD , CDA , DAB — углами четырёхугольника .
Теперь рассмотрите все	отрезки	с одним из концов в точке В. Это отрезки ВА , ВС и BD .
Значит , новыми будут только	отрезки	ВС и BD .
Объясните , как сравнить	отрезки	с помощью циркуля .
Теперь рассмотрите все отрезки с одним из концов в точке В. Это	отрезки	ВА , ВС и BD .
Сначала перечислите все отрезки , левым концом которых является точка А. Это	отрезки	АВ , АС и AD .
На калькуляторах они изображаются с помощью	отрезков	.
Из всех	отрезков	с концом в точке С новым будет только отрезок CD .
Изображено несколько	отрезков	и круг .
Отметьте на глаз точку С — середину отрезка АВ , а затем точки D и Е — середины	отрезков	АС и СВ соответственно .
На прямой отметили четыре точки : А , В , С и D. Сколько получилось	отрезков	? .
Установите на глаз , какие из	отрезков	можно закрыть этим кругом .
Для измерения длины	отрезков	пользуются линейкой .
Отметьте точку О и начертите пять	отрезков	, равных 3 см , с общим концом в точке О. Другие концы этих отрезков лежат на окружности .
Отметьте точку О и начертите пять отрезков , равных 3 см , с общим концом в точке О. Другие концы этих	отрезков	лежат на окружности .
Итак , мы получили 6	отрезков	: АВ , АС , AD , ВС , BD , CD .
Чуть позже человек стал украшать продукты своего труда орнаментами , которые могли складываться из	отрезков	прямых или быть кривыми линиями .
Длина ломаной равна сумме длин	отрезков	, из которых она состоит .
Сколько	отрезков	?
Рассмотрим ломаную , состоящую из	отрезков	АВ , ВС , CD , DE .
Пусть AD равно 3 см. Вычислите длины	отрезков	DE и АВ .
Определите на глаз среди трёх	отрезков	наибольший и наименьший .
Однако такой способ сравнения	отрезков	не всегда возможен .
Сформулируйте признак равенства двух	отрезков	.
Концы	отрезков	— точки А , В , С , D и Е — называются вершинами ломаной , а сами отрезки — её сторонами или звеньями .
Сколько получилось	отрезков	? .
На прямой отметили пять точек : А , В , С , D и Е. Сколько всего получилось	отрезков	? .
Существует и другой способ — измерение	отрезков	и сравнение их длин .
Если начертить несколько	отрезков	так , чтобы каждый следующий начинался в той же точке , где заканчивается предыдущий ( но не лежал на одной с ним прямой ) , то получится ломаная линия .
Концы	отрезков	обозначим буквами В и С .
Изобразим всю работу	отрезком	.
Начертите координатную прямую с единичным	отрезком	в 10 клеток .
Начертите координатную прямую с единичным	отрезком	, равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте точки с координатами .
Соедините точки С и D	отрезком	.
Начертите в тетради круг и разделите его	отрезком	на две равные части .
Отрезок ОЕ назовём единичным	отрезком	.
Начертите координатную прямую с единичным	отрезком	, равным 9 см. Отметьте точки с координатами .
а ) точка С принадлежала	отрезку	с концами в точках А и В . б ) точка D принадлежала лучу АВ и не принадлежала отрезку АВ .
Сделайте рисунок по следующему условию : точка С принадлежит	отрезку	АВ ; АВ равно 10 см , АС равно 4 см 5 мм .
а ) точка С принадлежала отрезку с концами в точках А и В . б ) точка D принадлежала лучу АВ и не принадлежала	отрезку	АВ .
Отложите на этой прямой отрезок ΝΜ , равный	отрезку	АВ .
За единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной , равной единичному	отрезку	.
Из точки А в точку С можно « пройти » по	отрезку	АС , по ломаной ADC или по ломаной АВС .
в ) точка К принадлежала лучу ВА и не принадлежала	отрезку	АВ .
Проведите и обозначьте ещё два отрезка с концами на окружности , равные	отрезку	АВ .
а ) Сделайте рисунок по следующему условию : точка С принадлежит	отрезку	АВ ; АС равно 5 см 4 мм , СВ равно 3 см 7 мм .
И луч , и	отрезок	являются частями прямой .
Проведите	отрезок	ВС Треугольник АВС — равнобедренный , АВ и АС — боковые стороны , ВС — основание треугольника .
Как называется этот	отрезок	?
Начертите	отрезок	, длина которого равна 12 клеткам .
Проведём прямую и отметим на ней две точки К и М. Они ограничивают	отрезок	КМ и называются концами этого отрезка .
Постройте	отрезок	АВ .
Начертите	отрезок	АВ , равный 6 см. Найдите точки , которые находятся от точки А на расстоянии , равном 4 см , и от точки В на расстоянии , равном 5 см .
Этот	отрезок	— диагональ шестиугольника .
Начертите в тетради	отрезок	АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Постройте прямой угол с вершиной в точке В и отложите	отрезок	ВС , равный 3 см .
Начертите	отрезок	длиной 18 клеточек .
Проведите через точку К . а ) прямую b , пересекающую отрезок АВ . б ) прямую d , не пересекающую	отрезок	АВ .
Отложите на этой прямой	отрезок	ΝΜ , равный отрезку АВ .
Отложите вправо от точки Е	отрезок	, равный единичному ; вы получите точку , которая изображает число 2 .
Что такое луч ,	отрезок	, ломаная .
Начертите	отрезок	длиной 6 клеточек .
Начертите координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	две клеточки .
а ) Начертите координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	одну клеточку .
Проведите через точку К . а ) прямую b , пересекающую	отрезок	АВ . б ) прямую d , не пересекающую отрезок АВ .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ; отложите единичный отрезок ( возьмите	отрезок	, равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Показан	отрезок	, соответствующий - ч .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ; отложите единичный	отрезок	( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Разделите единичный	отрезок	на пять равных частей и отсчитайте от 0 вправо три , пять , семь таких частей .
Отложите вправо от этой точки ещё один единичный	отрезок	; вы получите точку , изображающую число 3 .
Из всех отрезков с концом в точке С новым будет только	отрезок	CD .
Иногда это легко сделать , наложив один	отрезок	на другой при помощи циркуля .
Отложите на одной стороне угла	отрезок	АВ , равный 2 см , а на другой — отрезок AD , равный 3 см. 3 )
Отложите на одной стороне угла отрезок АВ , равный 2 см , а на другой —	отрезок	AD , равный 3 см. 3 )
Начертите координатную прямую ( возьмите единичный	отрезок	, равный 14 клеткам ) .
А чтобы измерить отрезок , мы должны прежде всего иметь единицу измерения —	отрезок	, длина которого принята за единицу .
А чтобы измерить	отрезок	, мы должны прежде всего иметь единицу измерения — отрезок , длина которого принята за единицу .
Но	отрезок	ВА уже был учтён : ведь АВ и ВА — это два разных « имени » одного и того же отрезка .
Начертите	отрезок	АВ .
Изображён прямоугольный	параллелепипед	.
Наиболее простые и распространённые формы зданий - это куб и	параллелепипед	.
Скопируйте в тетрадь	параллелепипед	следующим образом .
Изображаем	параллелепипед	и пирамиду .
Куб — это такой прямоугольный	параллелепипед	, у которого все рёбра равны , поэтому все его грани — квадраты .
Мы рассмотрим два наиболее важных среди них —	параллелепипед	и пирамиду .
Из скольких кубиков сложен этот	параллелепипед	? .
Каждый прямоугольный	параллелепипед	имеет три измерения : длину , ширину и высоту .
Из кубиков с ребром 2 см сложили	параллелепипед	.
Например , египтяне знали , как вычислять объёмы куба ,	параллелепипеда	, цилиндра , а также усечённой пирамиды .
Таким образом , мы пришли к правилу вычисления объёма прямоугольного	параллелепипеда	.
Форма прямоугольного	параллелепипеда	служит основой многих сооружений древних зодчих .
3 Измерения параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см. Найдите площадь наибольшей грани	параллелепипеда	.
Форму прямоугольного	параллелепипеда	имеют многие предметы , с которыми мы встречаемся в жизни , например коробки , используемые для упаковки различных товаров .
Сколько рёбер и граней у	параллелепипеда	, какую форму имеют его грани .
Правило вычисления объёма	параллелепипеда	.
— начертите переднюю ( видимую ) грань	параллелепипеда	. — проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней . — начертите заднюю ( невидимую ) грань .
Развёртки прямоугольного	параллелепипеда	и пирамиды .
Найдём объём прямоугольного	параллелепипеда	, измерения которого равны 6 мм , 10 мм и 15 мм : 900 ( мм3 ) .
Определите длины всех рёбер данного прямоугольного	параллелепипеда	.
Объём	параллелепипеда	.
Изображена развёртка прямоугольного	параллелепипеда	, развёртка четырёхугольной пирамиды .
У прямоугольного	параллелепипеда	длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Скопируйте на лист бумаги развёртки	параллелепипеда	и пирамиды , увеличив каждый размер вдвое .
Измерения	параллелепипеда	.
41 Объём	параллелепипеда	.
Обратите внимание , что каждая коробка имеет форму	параллелепипеда	.
а )	параллелепипеда	с измерениями 2 см , 6 см , 11 см . б )
Современные архитекторы также используют форму прямоугольного	параллелепипеда	при проектировании зданий .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного	параллелепипеда	в натуральную величину .
Развёртки	параллелепипеда	и пирамиды .
Из 12 кубиков с ребром 5 см можно сложить 4 разных прямоугольных	параллелепипеда	.
Какой длины проволоку достаточно взять , чтобы сделать каркасную модель : а ) куба с ребром 10 см ; б ) прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 6 см , 10 см , 14 см ? .
Вычисляем объём	параллелепипеда	.
Найдите сумму площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б )	параллелепипеда	, длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
Найдите объём	параллелепипеда	, измерения которого равны .
Длина	параллелепипеда	равна 3 см , ширина — 2 см , высота — 4 см. Каков объём параллелепипеда ?
В качестве прямоугольного	параллелепипеда	возьмите спичечный коробок .
Сколько рёбер	параллелепипеда	выходит из каждой его вершины ?
Сколько равных граней у	параллелепипеда	?
У прямоугольного	параллелепипеда	8 вершин , 12 рёбер и 6 граней .
Сколько граней	параллелепипеда	сходится в каждой вершине ?
Вопросы и задания : Назовите три предмета , имеющие форму прямоугольного	параллелепипеда	.
Объем прямоугольного	параллелепипеда	.
2 Выпишите все видимые грани	параллелепипеда	.
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник Противоположные грани	параллелепипеда	равны .
Каждая грань прямоугольного	параллелепипеда	— прямоугольник Противоположные грани параллелепипеда равны .
3 Измерения	параллелепипеда	равны 3 см , 4 см и 5 см. Найдите площадь наибольшей грани параллелепипеда .
Объём прямоугольного	параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений : длины , ширины и высоты .
Три грани прямоугольного	параллелепипеда	, имеющие общую вершину М , хотят окрасить в красный цвет , а остальные — в синий .
Длина параллелепипеда равна 3 см , ширина — 2 см , высота — 4 см. Каков объём	параллелепипеда	?
Сделайте развёртку	параллелепипеда	, измерения которого равны 9 см , 6 см , 5 см .
Среди всех	параллелепипедов	особую роль играет один , хорошо вам известный — куб .
Многогранники составлены из одинаковых	параллелепипедов	.
Сколько всего	параллелепипедов	можно сложить ?
Бруски , из которых сложены параллелепипеды , одинаковы и имеют измерения 8 см , 4 см , 2 см. Вычислите объёмы	параллелепипедов	.
И , вычисляя объём , мы перемножали измерения	параллелепипедов	.
Найдите измерения прямоугольных	параллелепипедов	.
Сделайте это двумя способами : а ) сложив объёмы соответствующих брусков ; б ) перемножив измерения	параллелепипедов	.
Обычный , всем известный кирпич с точки зрения геометрии является прямоугольным	параллелепипедом	.
Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные прямоугольные	параллелепипеды	.
Бруски , из которых сложены	параллелепипеды	, одинаковы и имеют измерения 8 см , 4 см , 2 см. Вычислите объёмы параллелепипедов .
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на натуральное число , на смешанную дробь , а также	перемножать	смешанные дроби .
Чтобы вычисления были проще , числители и знаменатели дробей нужно	перемножать	не сразу , а лишь после сокращения на общие множители ( если , конечно , это возможно ) .
Числа , которые	перемножают	, называют множителями ; результат умножения называют произведением .
Сделайте это двумя способами : а ) сложив объёмы соответствующих брусков ; б )	перемножив	измерения параллелепипедов .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения	перемножить	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно	перемножить	их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
д ) равны и	пересекаются	под прямым углом .
У прямоугольника , как у любого четырёхугольника , две диагонали Вы видите , что они	пересекаются	; точка О — точка пересечения диагоналей .
Так , на клетчатой бумаге линии	пересекаются	под прямым углом .
равны , в точке пересечения делятся пополам и	пересекаются	под прямым углом .
Под каким углом	пересекаются	диагонали квадрата ? .
в )	пересекаются	под прямым углом .
Диагонали прямоугольника равны и	пересекаются	.
е ) в точке пересечения делятся пополам и	пересекаются	под прямым углом .
В некотором городе три попарно	пересекающиеся	улицы .
Начертите две	пересекающиеся	прямые а и b и обозначьте точку их пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую , отличную от а и b.
Задача - исследование . 1 ) Начертите две	пересекающиеся	прямые .
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали квадрата при	пересечении	образуют прямые углы .
Например , в клетке на	пересечении	строки « 2 » и столбца « 4 » стоит 1 .
При этом , естественно , Антипов ( 4 ) проиграл Галкину ( 2 ) , и поэтому на	пересечении	строки « 4 » и столбца « 2 » стоит 0 .
В клетках таблицы на	пересечении	строк и столбцов помещены результаты партий шахматистов : 1 — победа , 0 — проигрыш , - — ничья .
Клетки на	пересечении	строк и столбцов с одинаковыми номерами закрашены — шахматист не может играть сам с собой .
Обозначьте точки	пересечения	прямой и окружности буквами А и В. Измерьте длину отрезка АВ .
Одну из точек	пересечения	окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до точки А ; б ) от точки С до точки В ? .
равны , в точке	пересечения	делятся пополам и пересекаются под прямым углом .
Проведите диагонали и обозначьте точку их	пересечения	.
Поэтому диагонали квадрата , как всякого прямоугольника , равны и в точке	пересечения	делятся пополам .
г ) равны и в точке	пересечения	делятся пополам .
е ) в точке	пересечения	делятся пополам и пересекаются под прямым углом .
Обозначьте точку	пересечения	диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников .
Как нужно провести прямую , чтобы расстояние между точками	пересечения	этой прямой с окружностью было наибольшим ? .
В точке	пересечения	диагонали прямоугольника делятся пополам .
У прямоугольника , как у любого четырёхугольника , две диагонали Вы видите , что они пересекаются ; точка О — точка	пересечения	диагоналей .
Каково расстояние от каждой точки	пересечения	окружностей до их центров ? .
Сколько точек попарного	пересечения	прямых у вас получилось ? .
б ) в точке	пересечения	делятся пополам .
Начертите две пересекающиеся прямые а и b и обозначьте точку их	пересечения	буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую , отличную от а и b.
Проведите третью прямую , пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку	пересечения	.
Вы , конечно , знаете , что сложение чисел обладает переместительным свойством : при	перестановке	слагаемых сумма не меняется .
Среди двузначных простых чисел , записанных разными цифрами , есть такие , которые остаются простыми после	перестановки	цифр .
Запишите все числа , большие данного , которые можно получить с помощью	перестановки	цифр этого числа .
а ) В равнобедренном треугольнике	периметр	равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны .
Какой из этих прямоугольников имеет наименьший	периметр	? .
5 Найдите	периметр	треугольника , имеющего стороны 2 см 5 мм , 3 см , 4 см 7 мм .
Вычислите	периметр	прямоугольника со сторонами : а ) 4 см и 9 см ; б ) 22 м и 14 м .
Вычислите	периметр	квадрата , сторона которого равна : а ) 5 см ; б ) 7 см 5 мм ; в ) 10 см 3 мм .
Определите	периметр	грани ABCD .
В каких единицах вы будете измерять : а ) длину своего прыжка ; б ) площадь квартиры ; в ) вместимость ведра ; г )	периметр	школьного участка ; д ) объём комнаты ; е ) вместимость стакана ; ж ) высоту дома ? .
Слово «	периметр	» греческого происхождения , означает оно « измеряю вокруг » .
Для каждого варианта длин сторон вычислите	периметр	прямоугольника .
Произведите необходимые измерения и найдите	периметр	прямоугольника и квадрата .
Определите на глаз	периметр	вашей классной комнаты .
Площадь и	периметр	.
Чему равен	периметр	прямоугольника со сторонами , равными 3 м 45 см и 1 м 70 см ? .
Выполните необходимые измерения и найдите	периметр	пятиугольника .
4 Найдите	периметр	.
В равнобедренном треугольнике	периметр	равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания .
Найдите	периметр	треугольника .
Вычислите	периметр	.
Чему равен	периметр	этого треугольника ?
7 Вычислите	периметр	.
Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите	периметр	одного из тупоугольных треугольников .
Найдём , например ,	периметр	прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
Выполнив необходимые измерения , найдите	периметр	четырёхугольника .
Чему равен	периметр	треугольника АВС со сторонами .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его	периметр	, можно сложить длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Выполнив необходимые измерения , найдите	периметр	многоугольников .
Что называют	периметром	многоугольника .
Начертите в тетради какой - нибудь прямоугольник с	периметром	, равным 24 см. Укажите длины его сторон .
Начертите ещё один прямоугольник с таким же	периметром	, но с другими сторонами .
Длину ломаной , ограничивающей многоугольник , называют	периметром	этого многоугольника .
Форму	пирамид	имели гробницы фараонов в Древнем Египте .
Простейшей пирамидой является треугольная	пирамида	.
Параллелепипед и	пирамида	.
Одна из самых знаменитых —	пирамида	Хеопса , высота которой достигает 147 м .
Какая это	пирамида	? .
4 ) Существует ли	пирамида	, у которой 1999 рёбер ? .
Например , из Древней Греции пришли термины « конус » - предмет , которым затыкали бочку ; «	пирамида	» - огонь , костёр ; « цилиндр » - валик .
40 Параллелепипед и	пирамида	.
4 Изображена	пирамида	.
Как называется	пирамида	? .
Простейшей	пирамидой	является треугольная пирамида .
Мы рассмотрим два наиболее важных среди них — параллелепипед и	пирамиду	.
Перенесите развёртку на лист бумаги , вырежите развёртку и сверните из неё четырёхугольную	пирамиду	.
Изображаем параллелепипед и	пирамиду	.
Называют	пирамиду	по числу сторон её основания : треугольная , четырёхугольная , шестиугольная и т .
Назовите	пирамиду	.
Начертите	пирамиду	так , чтобы основание ABCD было видимым .
Например , египтяне знали , как вычислять объёмы куба , параллелепипеда , цилиндра , а также усечённой	пирамиды	.
Развёртки параллелепипеда и	пирамиды	.
Сумма числа рёбер и вершин	пирамиды	равна 25 .
Развёртки прямоугольного параллелепипеда и	пирамиды	.
Изображена развёртка прямоугольного параллелепипеда , развёртка четырёхугольной	пирамиды	.
Скопируйте на лист бумаги развёртки параллелепипеда и	пирамиды	, увеличив каждый размер вдвое .
Являются ли развёртками треугольной	пирамиды	многоугольники ?
Какая фигура является основанием этой	пирамиды	? .
В основании	пирамиды	может лежать многоугольник с любым количеством сторон .
Сколько вершин , граней , рёбер : а ) у шестиугольной пирамиды ; б ) у десятиугольной	пирамиды	; в ) у стоугольной пирамиды ? .
Сколько у пятиугольной	пирамиды	рёбер основания ?
Назовите	пирамиды	.
Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней , вершин или рёбер , чем у треугольной	пирамиды	.
Сколько вершин , граней , рёбер : а ) у шестиугольной	пирамиды	; б ) у десятиугольной пирамиды ; в ) у стоугольной пирамиды ? .
Скопируйте рисунок в тетрадь и дорисуйте его : а ) до треугольной	пирамиды	; б ) до четырёхугольной пирамиды .
Древнеегипетские	пирамиды	сохранились до наших дней .
Сколько вершин , граней , рёбер : а ) у шестиугольной пирамиды ; б ) у десятиугольной пирамиды ; в ) у стоугольной	пирамиды	? .
Начертите все	пирамиды	в тетради .
Сооружения , похожие на египетские	пирамиды	, строили и древние майя , жившие на американском континенте .
Нужно изготовить каркасную модель треугольной	пирамиды	, все рёбра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки ? .
У	пирамиды	1883 вершины .
У	пирамиды	28 граней .
Ответьте на те же вопросы для семиугольной	пирамиды	.
У	пирамиды	различают основание и боковые грани .
Какую форму имеют грани	пирамиды	.
Сколько вершин в основании	пирамиды	? .
Скопируйте рисунок в тетрадь и дорисуйте его : а ) до треугольной пирамиды ; б ) до четырёхугольной	пирамиды	.
У треугольной	пирамиды	4 грани , 6 рёбер и 4 вершины .
У	пирамиды	1800 рёбер .
Их храмы имели форму усечённой	пирамиды	.
Развёртка многогранника — это	плоская	фигура , составленная из многоугольников , являющихся его гранями и расположенных определённым образом изображена некоторая фигура .
Какую форму имеют	плоские	части ? .
У многогранников все части поверхности	плоские	.
Поверхности каких геометрических тел состоят не только из	плоских	частей ?
На сколько областей она делит	плоскость	? .
Вспомним , что замкнутая линия разбивает	плоскость	на две области : внутреннюю и внешнюю .
Она делит	плоскость	на две области — внутреннюю и внешнюю .
Она разбивает	плоскость	на две области — внутреннюю и внешнюю .
Какие многогранники могут получиться при разрезании куба	плоскостью	?
И наоборот , разрезав поверхность куба по некоторым рёбрам , мы можем развернуть её в	плоскую	фигуру .
Найдите сумму	площадей	всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
п. А вот само слово « ар » в русском языке - это единица измерения	площади	.
Соотношение между единицами	площади	в метрической системе мер .
Она составляет — общей	площади	квартиры .
Новые единицы	площади	- ар , гектар .
Поэтому данные прямоугольники имеют	площади	10 см2 и 12 см2 .
Единицы	площади	.
Так как у квадрата все стороны равны , то для нахождения его	площади	достаточно измерить любую из его сторон и полученное значение возвести в квадрат .
Произведение будет равно	площади	в соответствующих квадратных единицах .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица	площади	квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Запишите выражение для нахождения	площади	квадрата со стороной : 1 см , 2 дм , 10 см , 12 м .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица	площади	квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Определите	площади	прямоугольников .
Какую часть	площади	всего участка займёт бассейн ? .
Определите	площади	фигур .
Добавив затем мелкие квадраты , частично выходящие за арену , мы получим число , которое больше	площади	.
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины ,	площади	, объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое число раз , эти единицы стали делить на части .
Для измерения	площади	прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить величину их	площади	к 112 м2 .
В гектарах измеряют	площади	больших участков , например поля или лесного массива .
Площадь фигуры , единицы	площади	.
Какую именно единицу измерения	площади	выбрать ?
Получим число , которое по - прежнему меньше значения	площади	арены , но выражает её точнее .
За единицу измерения	площади	удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной , равной единичному отрезку .
Но эти прямоугольники можно сравнить по	площади	.
Для измерения земельных участков применяются также такие единицы	площади	, как ар и гектар ( их записывают : а и га ) .
Какую часть	площади	всего участка займёт дом ? .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления	площади	произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон .
Расположите в порядке возрастания	площади	: 1 см2 , 1 м2 , 1 мм2 , 1 км2 , 1 дм2 , 1 а , 1 га .
Чтобы найти площадь фигуры , прежде всего нужно выбрать единицу измерения	площади	.
Какова	площадь	поля ?
Найдите	площадь	прямоугольника , если одна из его сторон равна 25 см , а про другую известно , что она : а ) на 7 см меньше ; б ) в 2 раза больше .
Начертите квадрат ,	площадь	которого равна 8 кв. ед .
Начертите в тетради круг радиусом 3 см. Оцените	площадь	круга в квадратных сантиметрах .
С помощью квадратной сетки попытайтесь оценить эту	площадь	более точно .
Найдите его	площадь	.
Чему равна	площадь	квадрата со стороной 5 см ?
Чему равна	площадь	прямоугольника со сторонами , равными 1 м и 40 см ? .
Найдите	площадь	этого прямоугольника .
Найдите	площадь	прямоугольника .
Вычислите	площадь	каждого многоугольника .
У каких из его граней наибольшая	площадь	и чему она равна ? .
В каких единицах вы будете измерять : а ) длину своего прыжка ; б )	площадь	квартиры ; в ) вместимость ведра ; г ) периметр школьного участка ; д ) объём комнаты ; е ) вместимость стакана ; ж ) высоту дома ? .
11 В каких единицах измеряют	площадь	: квартиры , государства , дачного участка , пашни , листа бумаги , оконного стекла ? .
а ) Проведите необходимые измерения и найдите	площадь	: тетрадного листа , крышки стола , классной доски , классной комнаты , спортивной площадки .
10 Вычислите	площадь	.
б ) Что больше :	площадь	классной доски или 1 м2 ; площадь классной комнаты или 1 сотка ; площадь спортивной площадки или 1 гектар ? .
б ) Что больше : площадь классной доски или 1 м2 ;	площадь	классной комнаты или 1 сотка ; площадь спортивной площадки или 1 гектар ? .
б ) Что больше : площадь классной доски или 1 м2 ; площадь классной комнаты или 1 сотка ;	площадь	спортивной площадки или 1 гектар ? .
Какова	площадь	участка ?
Чтобы найти	площадь	фигуры , прежде всего нужно выбрать единицу измерения площади .
Если фигуру можно разбить на единичные квадраты , то	площадь	фигуры равна числу квадратных единиц , её составляющих .
Зелёный прямоугольник имеет большую	площадь	.
Если стороны прямоугольника равны , то его	площадь	должна быть равна ( м2 ) .
Вы знаете , что	площадь	прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон .
Найдём	площадь	прямоугольника ABCD , выразив её в квадратных сантиметрах .
Чему равна его	площадь	, если один квадрат принять за квадратную единицу ? .
Обычно	площадь	фигуры обозначают буквой S .
Какова	площадь	квартиры ? .
« Ар » в переводе с латинского означает «	площадь	» : так римляне называли участок земли , который использовался ими для общественных собраний , рынков и т .
3 Измерения параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см. Найдите	площадь	наибольшей грани параллелепипеда .
Чтобы найти	площадь	квадрата , надо длину его стороны возвести в квадрат .
Например , жилую	площадь	измеряют в квадратных метрах , а территорию страны — в квадратных километрах .
Если добавить квадраты , частично выходящие за арену ( жёлтые квадраты — их 36 ) , то получим , что	площадь	арены меньше 148 м2 .
Чему равна сторона квадрата , если его	площадь	равна : а ) 49 м2 ; б ) 64 см2 ? .
А как найти	площадь	фигуры , которую нельзя разбить на квадраты ? .
Площадь большого квадрата равна 1 м2 ; значит ,	площадь	каждого маленького квадрата составляет м2 .
Если сторона квадрата 10 м , то его площадь 1 а ; если сторона квадрата 100 м , то его	площадь	1 га .
Если сторона квадрата 10 м , то его	площадь	1 а ; если сторона квадрата 100 м , то его площадь 1 га .
Внутри арены умещается 112 розовых квадратов , поэтому её	площадь	больше 112 м2 .
Значит ,	площадь	прямоугольника равна — м2 .
Найдите	площадь	квадрата со стороной : 9 м ; 11 см .
Продолжая далее , будем находить	площадь	арены всё точнее .
Найдём	площадь	прямоугольника со сторонами м и м , опираясь на геометрические соображения .
Чтобы вычислить	площадь	более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить величину их площади к 112 м2 .
Так как мы находили	площадь	одного и того же прямоугольника , то выражения равны .
В каждом случае найдите его	площадь	.
Сложите прямоугольник ,	площадь	которого была бы равна 8 кв. ед .
Найдём	площадь	квадрата со стороной .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти	площадь	каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Изобразите прямоугольный участок	площадью	9 а .
Начертите в тетради квадраты	площадью	1 см2 и 1 дм2 , на доске - 1 м2 .
Пусть клетка изображает участок	площадью	50 м2 .
Числа 2 и просто записывают рядом без знака «	плюс	» .
Поверхность шара называется сферой , а для	поверхностей	других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
Всякий раз , когда кончиком карандаша мы прикасаемся к	поверхности	бумаги , мы отмечаем точку .
Если мы ведём им по	поверхности	, то рисуем линию .
Возьмите кубик и на его	поверхности	проведите линию .
Возьмите мячик и на его	поверхности	отметьте мелом две точки .
У многогранников все части	поверхности	плоские .
Границей этих областей служит	поверхность	тела .
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса ,	поверхность	куба и т .
Точно так же	поверхность	каждого геометрического тела разбивает пространство на внутреннюю и внешнюю области .
И наоборот , разрезав	поверхность	куба по некоторым рёбрам , мы можем развернуть её в плоскую фигуру .
В переводе с греческого « сфера » означает « шар » , а мы называем сферой только	поверхность	шара .
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто :	поверхность	конуса , поверхность куба и т .
Чтобы ответить на	подобный	вопрос , можно рассмотреть все возможные варианты выбора .
кратные 4 , также можно записать в виде	подобных	сумм , только в качестве второго слагаемого следует взять число 0 .
Основание степени — это повторяющийся множитель , а	показатель	степени равен числу « повторений » , т .
Степень :	показатель	степени ; основание степени .
В этом выражении число 5 — основание степени , а число 4 —	показатель	степени .
Назовите основание степени ;	показатель	степени .
За сколько часов второй тракторист может вспахать	поле	? .
Два тракториста вспахали	поле	за б ч совместной работы .
Первый тракторист мог бы вспахать это	поле	за 10 ч .
На	поле	пять игроков .
Начертите в тетради	полукруг	и разделите его с помощью транспортира : а ) на 4 равные части ; б ) на 6 равных частей ; в ) на 3 равные части .
Шкала транспортира представляет собой	полуокружность	, разделённую на 180 равных частей .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника :	полусумму	длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на	полусумму	длин двух других сторон .
В гектарах измеряют площади больших участков , например	поля	или лесного массива .
Какова площадь	поля	?
Так , при вычислении значения выражения придерживаются такого	порядка	действий .
Сформулируйте правила	порядка	действий для вычисления значения выражения без скобок ; содержащего скобки .
О принятых правилах	порядка	действий люди когда - то просто договорились .
Например , если бы мы не сформулировали первое правило	порядка	действий , то выражение пришлось бы записывать так .
Таким образом , принятые правила	порядка	действий позволяют во многих случаях опускать скобки .
Если в этом случае скобки опустить и записать , то по правилу	порядка	действий ( слева направо ) придём к неверному результату .
Назовите числа сначала в порядке возрастания , а потом в	порядке	убывания ; в каждом случае запишите цепочку неравенств .
Расположите в	порядке	возрастания площади : 1 см2 , 1 м2 , 1 мм2 , 1 км2 , 1 дм2 , 1 а , 1 га .
В каком	порядке	надо выполнять действия для нахождения значения выражения .
Запишите их в	порядке	убывания .
Запишите дроби в том	порядке	, как они расположены на координатной прямой .
Полученные данные представьте в виде новой таблицы , в которой цвета запишите в следующем	порядке	: красный , зелёный , оранжевый , голубой , другие цвета .
Назовите числа сначала в	порядке	возрастания , а потом в порядке убывания ; в каждом случае запишите цепочку неравенств .
Запишите их в	порядке	возрастания .
Первыми простыми числами в	порядке	возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое число — это число 2 .
Сначала запишем в	порядке	возрастания все коды , начинающиеся с цифры 1 : 11 , 12 , 13 .
Назовите отрезки в	порядке	убывания их длин .
Затем запишем в	порядке	возрастания коды , начинающиеся с цифры 2 : 21 , 22 , 23 .
Будем выписывать все такие числа в	порядке	возрастания .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том	порядке	, в котором вы их строили .
Наконец , запишем в	порядке	возрастания коды , начинающиеся с цифры 3 : 31 , 32 , 33 .
Запишем эту сумму дважды , расположив во втором случае слагаемые в обратном	порядке	.
Перечислите числа a , b , с , d в	порядке	возрастания .
Назовите углы в	порядке	возрастания их градусных мер .
Перечислите в	порядке	возрастания первые десять простых чисел .
В каком	порядке	они появляются ? .
Из этого правила следует , что если выражение без скобок содержит только действия сложения и вычитания или только действия умножения и деления , то их выполняют слева направо в том	порядке	, в котором они записаны .
Запишите другое число , используя те же цифры , но в обратном	порядке	, и прочитайте его .
Расположите дроби в	порядке	возрастания .
В соответствии с	порядком	выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в квадрат .
5 Запишите по	порядку	, начиная с наименьшего , несколько чисел , кратных 7 .
Натуральные числа , записанные по	порядку	одно за другим , образуют натуральный ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
Итак , скобки указывают на	порядок	выполнения действий .
Однако содержащиеся в нём скобки меняют	порядок	действий : сначала надо вычислить значение выражения , записанного в скобках .
Поэтому	порядок	действий должен быть таким .
Укажите	порядок	действий в выражении и найдите его значение : Решите задачу .
Вычислите , выбрав удобный	порядок	действий .
В каком случае неправильно указан	порядок	действий ? .
Укажите	порядок	действий при вычислении значения выражения .
Укажите	порядок	действий и выполните вычисления .
Правила , устанавливающие	порядок	действий в вычислениях , используют вычислительные машины для вычисления числовых значений .
Вычисляя значения числового выражения , необходимо соблюдать принятый	порядок	действий .
Найдите сумму членов этой	последовательности	.
Сложив все карточки , чередуя при этом цвета в	последовательности	б , ж , з , к , с , б , ж , он пронумеровал их подряд , начиная с номера 1 .
Запишите три следующих числа этой	последовательности	.
В числовой	последовательности	первое число равно , а каждое следующее в 1 раза больше предыдущего .
Запишите первые пять чисел этой	последовательности	.
Содержится ли в этой	последовательности	число 99 ?
Для записи	последовательности	действий необходимо употребить скобки .
Члены	последовательности	1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , .. — это числа , которые при делении на 3 дают в остатке 1 .
Запишите	последовательность	из 10 чисел , у которой первое число равно 1 , а каждое следующее — на больше предыдущего .
По какому правилу составлена	последовательность	чисел ?
д. Получим такую	последовательность	.
Эта	последовательность	, как и натуральный ряд , бесконечна , и все числа , кратные 10 , выписать нельзя .
Обратите внимание на то , как строится эта	последовательность	: в ней первым идёт число 10 и каждое следующее число на 10 больше предыдущего .
Задача - исследование . 1 ) Рассмотрите	последовательность	чисел 2 , 22 , 23 , 24 , 212 .
Как начинается	последовательность	чисел , кратных числу : а ) 4 ; б )
Выпишите	последовательность	вершин при таком обходе .
А как начинается	последовательность	чисел , которые при делении на 3 дают в остатке 2 ?
Кто	прав	: продавец или Саша ? .
На координатной прямой большая дробь изображается точкой , расположенной	правее	, а меньшая дробь — точкой , расположенной левее .
На координатной прямой большему числу соответствует точка , расположенная	правее	, а меньшему — точка , расположенная левее .
На координатной прямой число а расположено левее числа 12 , а число b —	правее	его .
— все цифры , расположенные	правее	разряда , до которого округляют число , заменяют нулями .
Постройте . 1 ) точку А , расположенную на 5 клеток	правее	и на 4 клетки выше точки 0 . 2 ) точку В , расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки 0 .
Постройте . 1 ) точку А , расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки 0 . 2 ) точку В , расположенную на 3 клетки	правее	и на 2 клетки ниже точки 0 .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная	правее	1 или совпадающая с ней .
Какие точки расположены левее 1 , а какие —	правее	1 ? .
Заменим нулями все цифры	правее	подчёркнутой . ( Не ошибитесь !
Дробь —	правильная	, она меньше 1 , а дробь — неправильная , она больше 1 .
Объясните , в чём состоит ошибка , и покажите , какой должна быть	правильная	запись .
Найдите все такие значения а , при которых дробь	правильная	и при которых неправильная .
Поэтому воздушный шарик	правильно	было бы назвать « сферик » .
Посмотрите на полученный рисунок :	правильной	дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Дробь , числитель которой меньше знаменателя , называют	правильной	.
Какие числа можно подставить вместо буквы k , чтобы дробь k/3 была : а )	правильной	; б ) неправильной ? .
2 Какая дробь называется	правильной	и какая — неправильной ?
Посмотрите на полученный рисунок :	правильной дроби	соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
При	правильном	решении всех задач можно было получить 40 баллов .
Натуральное число называют целой частью смешанной дроби , а	правильную	дробь — её дробной частью .
Натуральное число называют целой частью смешанной дроби , а	правильную дробь	— её дробной частью .
Отметьте на координатной прямой все	правильные	дроби со знаменателем 7 и дробь .
Выпишите в одну строку все	правильные	дроби , в другую — все неправильные дроби .
Какие из точек , отмеченных на координатной прямой , изображают	правильные	дроби ?
Запишите три	правильные	дроби со знаменателем 6 и три неправильные дроби со знаменателем 6 .
Запишите все	правильные	дроби со знаменателем 12 .
Отметьте на координатной прямой все	правильные дроби	со знаменателем 7 и дробь .
Какие из точек , отмеченных на координатной прямой , изображают	правильные дроби	?
Выпишите в одну строку все	правильные дроби	, в другую — все неправильные дроби .
Запишите все	правильные дроби	со знаменателем 12 .
Запишите три	правильные дроби	со знаменателем 6 и три неправильные дроби со знаменателем 6 .
Объясните , какую ошибку допустил каждый , и дайте	правильный	ответ .
Для записи дробных чисел , наряду с	правильными	и неправильными дробями , используют ещё и так называемые смешанные дроби .
Какие дроби называются	правильными	и какие - неправильными ?
Подставьте в дробь — вместо букв а и b всеми возможными способами числа от 1 до 6 так , чтобы полученные дроби были	правильными	.
а ) Сколько среди полученных чисел	правильных	дробей и сколько — неправильных ? .
а ) Сколько среди полученных чисел	правильных дробей	и сколько — неправильных ? .
Справа от подчёркнутого разряда стоит цифра , большая 5 , —	прибавим	к цифре подчёркнутого разряда 1 .
Из этого примера понятен приём умножения на 15 : число нужно умножить на 10 и к результату	прибавить	половину получившегося произведения .
Если к	прибавить	, то получится 1 .
— если справа от разряда , до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда	прибавляют	1 ; в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 —	приближённое	значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 —	приближённое	значение с избытком .
Найдите	приближённое	значение суммы , округлив слагаемые до старшего разряда .
Найдите	приближённое	значение произведения , округлив множители до старшего разряда .
Запишите соответствующее	приближённое	равенство . б ) В вагоне метро находится 148 пассажиров .
Рассмотрите	приближённое	равенство и скажите , до какого разряда округлили число 486573 .
Очевидно , что в данном случае округляемое число ближе к	приближённому	значению с избытком , а значит , 568 ≈ 570 .
Запишите соответствующие	приближённые	равенства .
В практической жизни часто требуется выполнить не точные вычисления , а	приближённые	, например , если нужно « прикинуть » , во что обойдётся та или иная покупка .
е . заменяют его	приближённым	значением с избытком .
Округлив число 564 до десятков , мы заменили его	приближённым	значением с недостатком .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его	приближёнными	значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
В таблице	приведены	данные по каждому месяцу года о количестве картин , проданных в художественном салоне .
Результаты участников	приведены	в таблице .
В каждом случае	приведите	примеры таких чисел .
В каждом случае	приведите	примеры чисел , делящихся и не делящихся на указанное число .
Мы показали , что последнее утверждение неверно ,	приведя	опровергающий его пример .
Но мы воспользуемся более рациональным способом —	приведём	к наименьшему общему знаменателю сразу все три дроби .
Предложите несколько вариантов ответов ,	приведённых	в таблице .
Говорят , что дробь -	привели	к новому знаменателю .
Чтобы опровергнуть некоторое общее утверждение , достаточно	привести	один контрпример .
Если требуется найти сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует	привести	к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Таким образом , нужно только	привести	дробь к знаменателю 12 .
Расскажите , как	привести	к общему знаменателю дроби .
Иначе говорят :	привести	дроби к общему знаменателю .
Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь	привести	к новому знаменателю ; б ) как сократить дробь .
Понятно , что дробь можно	привести	и к другому знаменателю — к любому , который делится на 5 .
Отсутствие обязательных скобок	приводит	к неверному результату .
Вообще	приводить	дроби к общему знаменателю приходится не только при сравнении дробей , но и в других случаях .
Умея сравнивать дроби с числителем , равным 1 , можно сравнить , не	приводя	к общему знаменателю , любые дроби , имеющие одинаковые числители .
Иногда дроби с разными знаменателями удаётся сравнить и не	приводя	их к общему знаменателю .
Не	приводя	дроби к общему знаменателю , определите , какая из них меньше .
Сравним дроби , не	приводя	их к общему знаменателю .
Сравните дроби , не	приводя	их к общему знаменателю .
Как	приводят	дроби к новому знаменателю .
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями , их	приводят	к общему знаменателю , а затем сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями .
На примере дроби - расскажите , как дробь	приводят	к новому знаменателю ( например , к знаменателю 20 ) .
Как	приводят	дроби к общему знаменателю .
Назовите углы ,	прилежащие	к стороне АС .
Делится ли	произведение	на 2 ?
Числа трёх других классов можно записать в виде суммы , в которой одно слагаемое —	произведение	неполного частного и делителя , а другое — остаток .
Не выполняя действий , докажите , что	произведение	.
Найдите лёгкий способ умножения на 101 и вычислите	произведение	.
В самом деле , нет такого натурального числа , при умножении которого на 4 получается 18 : произведение 4 на 4 меньше 18 , а	произведение	4 на 5 уже больше 18 .
Вычислим	произведение	.
Известно , что	произведение	а и b равно числу с. Запишите это утверждение в виде равенства .
Подберите такое число а , чтобы	произведение	23а делилось на 2 ; на 5 ; на 11 .
Если множители обозначить буквами а и b , то их	произведение	можно записать так .
Чтобы найти значение выражения 54 , или , как говорят иначе , возвести 5 в четвёртую степень , надо вычислить	произведение	.
Можно взять в качестве общего знаменателя	произведение	чисел 12 и 15 , равное 180 .
Чтобы вычислить	произведение	, надо знать , как умножают дроби .
Запишите короче сумму и	произведение	.
Укажите три числа , которые можно подставить вместо буквы а , чтобы	произведение	: а ) 36а делилось на 14 ; б ) 15а было кратно 20 .
Для любых двух натуральных чисел всегда можно найти их	произведение	.
д. Наименьшее из них — их	произведение	, число 40 .
Найдём	произведение	.
Вычислите	произведение	.
Точно так же	произведение	четырёх множителей , каждый из которых равен 5 , записывают в виде 54 .
Условия , при которых сумма и	произведение	нескольких чисел делятся на данное число .
Может ли	произведение	двух простых чисел быть простым числом ? .
Но имейте в виду , что	произведение	знаменателей не всегда будет наименьшим общим знаменателем .
Возьмём	произведение	чисел 214 и 33 .
Покажем , что и само	произведение	тоже делится на 11 .
В самом деле ,	произведение	можно преобразовать следующим образом .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое	произведение	записать числителем , а второе — знаменателем .
Так как значение выражения делится на 11 , то и равное ему	произведение	делится на 11 .
Дробь и есть	произведение	дробей .
Для вычисления значений выражений , содержащих степени , мы будем пользоваться уже известными правилами ( ведь степень — это	произведение	! ) .
Вычислим	произведение	4 и 25 равно 100 , а на 100 умножать легко , и ответ можно получить устно .
Найдём	произведение	чисел 159 и 48 .
Если один из множителей делится на некоторое число , то и	произведение	делится на это число .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим	произведение	или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Множители ,	произведение	.
Укажите такое число а , при котором	произведение	7а является простым числом .
б ) если	произведение	делится на некоторое число , то и какой - нибудь из входящих в него множителей делится на это число .
Найдите	произведение	чисел .
Это , например ,	произведение	чисел 8 и 6 , равное 48 , числа 96 , 192 , 240 .
Число разложили на простые множители и получили такое	произведение	.
Образец . Вычислите	произведение	удобным способом .
Найдите	произведение	.
В самом деле , нет такого натурального числа , при умножении которого на 4 получается 18 :	произведение	4 на 4 меньше 18 , а произведение 4 на 5 уже больше 18 .
Для ответа на этот вопрос надо вычислить	произведение	.
В качестве общего знаменателя дробей всегда можно взять	произведение	их знаменателей .
Однако их можно выделить , заменив число 75	произведением	25 · 3 , а число 16 — произведением 4 · 4 .
Правда , применяется оно чаще всего справа налево , в результате чего сумма ( или разность ) заменяется равным ей	произведением	.
Заменив сумму	произведением	мы получили выражение , значение которого можно уже вычислить устно .
Однако их можно выделить , заменив число 75 произведением 25 · 3 , а число 16 —	произведением	4 · 4 .
Если бы мы захотели в выражении 100:52 заменить степень	произведением	, то его обязательно нужно было бы заключить в скобки ( иначе получилось бы совсем другое выражение , не равное частному 100:52 ) .
Числа , которые перемножают , называют множителями ; результат умножения называют	произведением	.
В данном выражении нет множителей , дающих в	произведении	« круглое » число .
он указывает , сколько одинаковых множителей содержится в	произведении	.
Измените группировку множителей в	произведении	и вычислите результат .
Разделить число а на число b — это значит найти такое число с , при умножении которого на b в	произведении	получится а .
В математике также есть специальный способ для более короткой записи таких	произведений	.
При вычислении	произведений	помогает знание некоторых результатов .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде	произведений	, содержащих одинаковые множители , и сократите дробь .
Вычисление	произведений	.
На первый взгляд у	произведений	нет общих множителей .
Каких книг в библиотеке больше : учебников или художественных	произведений	? .
Вычисление	произведений	и частных .
Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и	произведений	.
Площадь прямоугольника ABCD , с одной стороны , равна	произведению	, а с другой — разности .
Вы знаете , что площадь прямоугольника равна	произведению	длин его смежных сторон .
Разложите на простые множители число , равное	произведению	.
Площадь прямоугольника равна	произведению	длин его смежных сторон .
Объём прямоугольного параллелепипеда равен	произведению	трёх его измерений : длины , ширины и высоты .
Так как сумма равна	произведению	, то она делится на 7 .
Какому	произведению	равно число 300000000 ? .
а ) сумма	произведения	24 и 11 и частного 96 и 3 . б ) разность числа 510 и суммы чисел 236 и 128 .
Всякое составное число можно представить в виде	произведения	простых чисел , или , как говорят , разложить на простые множители .
Делимость	произведения	.
Для решения задач полезно знать некоторые свойства делимости суммы и	произведения	нескольких чисел .
Каждое из чисел первого класса можно записать в виде	произведения	, в котором один из множителей равен 4 .
22 Делимость суммы и	произведения	.
Часто приходится вычислять и	произведения	, в которых все множители равны .
Чтобы ответить на этот вопрос , надо найти значение	произведения	.
Вы знаете , что сумму , в которой все слагаемые равны , можно записать короче - в виде	произведения	.
Найдётся число , меньшее их	произведения	и кратное каждому из них .
Рассмотренные правила сложения и умножения чисел полезны тем , что позволяют преобразовывать суммы и	произведения	в выражения , удобные для вычислений .
Рассмотрим	произведения	взаимно обратных дробей .
Слагаемые в данной сумме — это	произведения	, каждое из которых содержит в качестве множителя одно и то же число 12 .
Определите последнюю цифру	произведения	.
Делимость суммы и	произведения	.
Учебники составляют библиотечного фонда , а художественные	произведения	.
Из рассмотренного свойства делимости	произведения	можно получить ещё одно полезное свойство .
а ) Укажите какие - нибудь пять делителей	произведения	.
Укажите какие - нибудь десять делителей	произведения	.
Найдите приближённое значение	произведения	, округлив множители до старшего разряда .
Представим каждое из чисел в виде	произведения	, в котором один из множителей равен 7 , и вынесем общий множитель 7 за скобки .
Из этого примера понятен приём умножения на 15 : число нужно умножить на 10 и к результату прибавить половину получившегося	произведения	.
Поэтому его можно представить в виде	произведения	частного и делителя .
Элементы древних орнаментов можно встретить и в	произведениях	современных мастеров .
А сколько делителей имеет квадрат	простого числа	?
куб	простого числа	?
четвёртая степень	простого числа	?
Как вы думаете , сколько делителей имеет пятая степень	простого числа	?
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее	простое число	— это число 2 .
1 ) Как известно ,	простое число	имеет два делителя .
Это единственное чётное	простое число	, все остальные простые числа нечётные .
Какое	простое число	делится : а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 19 ? .
Все	простые числа	, большие 2 , — нечётные . 4 ) Все нечётные числа , большие 2 , — составные .
9 Назовите	простые числа	.
Такая таблица , в которой перечислены все	простые числа	из первой тысячи , помещена на с. 222 учебника .
И возникает такой естественный вопрос : можно ли построить , хотя бы в далёком будущем , такой мощный компьютер , чтобы он нашёл все	простые числа	?
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно поручить компьютеру ; с его помощью уже получены огромные	простые числа	, которые вручную , наверное , никогда бы не были найдены .
Это единственное чётное простое число , все остальные	простые числа	нечётные .
Числа , которые останутся незачёркнутыми , и есть	простые числа	.
Все	простые числа	— нечётные .
Может ли произведение двух простых чисел быть	простым числом	? .
Число , которое имеет только два делителя — самого себя и 1 , называется	простым числом	.
Укажите такое число а , при котором произведение 7а является	простым числом	.
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть	простым числом	? .
Первыми	простыми числами	в порядке возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое число — это число 2 .
Может ли произведение двух	простых чисел	быть простым числом ? .
Ещё великий математик Древней Греции Евклид доказал , что	простых чисел	бесконечно много , так что полный их список составить просто невозможно .
Можно сказать так : среди	простых чисел	самого большого числа нет .
Перечислите в порядке возрастания первые десять	простых чисел	.
С тех пор его способ отыскания	простых чисел	называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все натуральные числа от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните число 1 — оно не простое .
Применим его для поиска всех	простых чисел	, меньших 50 .
а ) Может ли сумма двух	простых чисел	быть простым числом ? .
В настоящее время составление таблиц	простых чисел	можно поручить компьютеру ; с его помощью уже получены огромные простые числа , которые вручную , наверное , никогда бы не были найдены .
Выполните задания , используя таблицу	простых чисел	.
Определите , сколько	простых чисел	в третьей сотне .
Всякое составное число можно представить в виде произведения	простых чисел	, или , как говорят , разложить на простые множители .
Среди двузначных	простых чисел	, записанных разными цифрами , есть такие , которые остаются простыми после перестановки цифр .
Интересный способ составления списка	простых чисел	придумал древнегреческий математик Эратосфен ( III в .
Поэтому ещё с древнейших времён математики составляли специальные таблицы	простых чисел	.
Таблица	простых чисел	.
Назовите : а ) угол ,	противолежащий	основанию ; б ) углы при основании .
Боковые грани — треугольники , сходящиеся в одной вершине , а основание — многоугольник ,	противолежащий	этой вершине .
Назовите угол ,	противолежащий	стороне ВС ; стороне АВ .
В этом случае можно воспользоваться верёвкой , натянув её между двумя метками - колышками , через которые должна пройти	прямая	.
2	прямая	.
Можно обозначать прямые и одной маленькой буквой латинского алфавита , изображены две прямые —	прямая	а и прямая b .
Если перегнуть лист бумаги , то линия сгиба —	прямая	линия .
Так , проведённую через точки Е и F прямую можно назвать « прямая EF » или «	прямая	FE » .
Среди всех линий важное место занимает	прямая	.
Координатная	прямая	.
Так , проведённую через точки Е и F прямую можно назвать «	прямая	EF » или « прямая FE » .
Можно обозначать прямые и одной маленькой буквой латинского алфавита , изображены две прямые — прямая а и	прямая	b .
Вы видите , что существует такая	прямая	, на которой лежит сторона многоугольника и которая разбивает его на части , расположенные по разные от этой прямой стороны .
Если перегнуть лист бумаги , то линия сгиба —	прямая линия	.
Угол , меньший	прямого	, называется острым углом , а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
Угол , меньший прямого , называется острым углом , а угол , больший	прямого	, но меньший развёрнутого , — тупым .
Назовите величину развёрнутого угла ;	прямого	угла .
Для построения	прямого	угла древние египтяне натягивали связанную за концы верёвку , разделённую на 12 равных частей узелками , на три колышка .
Для построения	прямого угла	древние египтяне натягивали связанную за концы верёвку , разделённую на 12 равных частей узелками , на три колышка .
Назовите величину развёрнутого угла ;	прямого угла	.
На	прямой	отметили четыре точки : А , В , С и D. Сколько получилось отрезков ? .
Отрезки на	прямой	.
Изображены развёрнутый угол А ,	прямой	угол В , острый угол С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Изображение чисел точками координатной	прямой	для математиков настолько привычно , что в речи часто число и изображающую его точку не различают .
Начертите	прямой	угол и обозначьте его вершину буквой А .
Развёрнутый угол равен 180 ° , а	прямой	угол , который составляет половину развёрнутого , равен 90 ° .
Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его : а ) на две равные части	прямой	линией ; б ) на четыре равные части двумя прямыми линиями .
На координатной	прямой	отмечены натуральные числа а , b , с и d. Сравните указанные числа и запишите соответствующее неравенство .
С помощью угольника найдите	прямой	угол .
Изобразим на координатной	прямой	дроби .
Отметьте на этой	прямой	числа 3 , 5 , 7 , 9 .
Если начертить несколько отрезков так , чтобы каждый следующий начинался в той же точке , где заканчивается предыдущий ( но не лежал на одной с ним	прямой	) , то получится ломаная линия .
На координатной	прямой	большая дробь изображается точкой , расположенной правее , а меньшая дробь — точкой , расположенной левее .
Отметьте на этой координатной	прямой	числа 1 , 4 , 8 .
Отметьте точку К так , чтобы точки А , В и К не принадлежали одной	прямой	.
Расскажите , как изобразить на координатной	прямой	дробь и сделайте это .
И луч , и отрезок являются частями	прямой	.
Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов , а	прямой	угол составляет половину развёрнутого .
	Прямой	?
Отметьте на этой же	прямой	сначала число , а затем .
Постройте	прямой	угол с вершиной в точке В и отложите отрезок ВС , равный 3 см .
Для этого надо было уметь строить	прямой	угол , квадрат , прямоугольный треугольник .
Выделяют такие виды углов :	прямой	угол , развёрнутый угол , острый угол и тупой угол .
Начертите в тетради	прямой	угол и разделите его на глаз на три равные части .
Задачи , похожие на задачу об отрезках на	прямой	.
Камень , если его не бросить , а выпустить из рук , падает на землю по	прямой	.
На этой же координатной	прямой	отметьте точку , соответствующую дроби .
Среди всех углов особое место занимает	прямой	угол .
Отметьте в тетради три точки , не принадлежащие одной	прямой	.
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же	прямой	отметьте точки с координатами .
Равнобедренный треугольник АВС разрезали по	прямой	ВО .
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два угла прямые , или треугольник , у которого один угол	прямой	, а другой тупой ?
Отметьте на этой координатной	прямой	числа 12 , 2 , 8 .
Обозначьте точки пересечения	прямой	и окружности буквами А и В. Измерьте длину отрезка АВ .
Есть ли в треугольнике	прямой	угол ?
Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В , такие , что АВ равно 3 см. Отметьте на	прямой	точку С так , чтобы выполнялось условие .
На координатной	прямой	число а расположено левее числа 12 , а число b — правее его .
Так , шаг за шагом , можно будет построить точки , которым соответствуют числа 4 , 5 , 6 Направление , в котором мы перемещаемся по	прямой	, переходя от меньшего числа к большему , показывают стрелкой .
В математике принято изображать числа точками на	прямой	.
Острый угол ,	прямой	угол , тупой угол , развёрнутый угол .
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике	прямой	угол , какой из его углов острый , сколько у него тупых углов .
Прямую с отмеченными точками , которые изображают числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной	прямой	; сами числа называют координатами отмеченных точек .
Об изображении натуральных чисел точками на	прямой	.
Части	прямой	.
Весь многоугольник лежит по одну сторону от этой	прямой	.
Сравните числа m и n , если известно , что на координатной	прямой	числу m соответствует точка , расположенная левее .
Рассмотрите различные случаи расположения точек на	прямой	.
Вы видите , что существует такая прямая , на которой лежит сторона многоугольника и которая разбивает его на части , расположенные по разные от этой	прямой	стороны .
На	прямой	отметили пять точек : А , В , С , D и Е. Сколько всего получилось отрезков ? .
Начертите	прямой	угол и проведите на глаз его биссектрису .
а ) любой четырёхугольник имеет	прямой	угол .
Отметьте четыре точки , не лежащие на	прямой	АС ; обозначьте их .
Отметьте на координатной	прямой	все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь .
Найдите четырёхугольники , у которых есть : а )	прямой	угол ; б ) равные стороны .
На какой угол ( острый ,	прямой	, тупой или развёрнутый ) поворачивается часовая стрелка за 1 ч , 2 ч , 3 ч , 4 ч , 5 ч , 6 ч ? .
Получался треугольник со сторонами 3 , 4 и 5 , один из углов которого	прямой	.
Начертите на листе в клетку	прямой	угол .
Какой из этих углов острый , какой — тупой , а какой —	прямой	? .
У треугольника один из углов	прямой	.
Треугольник , в котором есть	прямой	угол , называют прямоугольным треугольником .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой	угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
В отличие от	прямой	окружность является замкнутой линией .
9 Разбейте	прямой	на две равные части .
Для этого они построили	прямой	угол .
Точка , отмеченная на	прямой	, разбивает её на два луча .
Угол COD	прямой	, а ∠АОС равно ∠BOD .
1 Начертите прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой	угол , равны 3 см и 4 см .
Отметьте на	прямой	АС ещё три точки и обозначьте их .
Как нужно провести прямую , чтобы расстояние между точками пересечения этой	прямой	с окружностью было наибольшим ? .
Начертите в тетради острый ,	прямой	и тупой углы .
Есть ли здесь	прямой	угол ? .
Отложите на этой	прямой	отрезок ΝΜ , равный отрезку АВ .
Представление о	прямой	можно получить с помощью натянутой нити .
Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его : а ) на две равные части	прямой линией	; б ) на четыре равные части двумя прямыми линиями .
Острый угол ,	прямой угол	, тупой угол , развёрнутый угол .
Выделяют такие виды углов :	прямой угол	, развёрнутый угол , острый угол и тупой угол .
Для этого надо было уметь строить	прямой угол	, квадрат , прямоугольный треугольник .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой угол	, равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
С помощью угольника найдите	прямой угол	.
Начертите на листе в клетку	прямой угол	.
Есть ли здесь	прямой угол	? .
Развёрнутый угол равен 180 ° , а	прямой угол	, который составляет половину развёрнутого , равен 90 ° .
Среди всех углов особое место занимает	прямой угол	.
Изображены развёрнутый угол А ,	прямой угол	В , острый угол С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Треугольник , в котором есть	прямой угол	, называют прямоугольным треугольником .
Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов , а	прямой угол	составляет половину развёрнутого .
Для этого они построили	прямой угол	.
Есть ли в треугольнике	прямой угол	?
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике	прямой угол	, какой из его углов острый , сколько у него тупых углов .
Постройте	прямой угол	с вершиной в точке В и отложите отрезок ВС , равный 3 см .
Начертите	прямой угол	и проведите на глаз его биссектрису .
Начертите в тетради	прямой угол	и разделите его на глаз на три равные части .
Найдите четырёхугольники , у которых есть : а )	прямой угол	; б ) равные стороны .
а ) любой четырёхугольник имеет	прямой угол	.
Начертите	прямой угол	и обозначьте его вершину буквой А .
1 Начертите прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой угол	, равны 3 см и 4 см .
Измерьте сторону , противолежащую	прямому	углу .
Измерьте сторону , противолежащую	прямому углу	.
Всякий квадрат —	прямоугольник	.
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда —	прямоугольник	Противоположные грани параллелепипеда равны .
Начертите	прямоугольник	ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника .
Вырежьте из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см. Сложите из них : а ) квадрат ; б )	прямоугольник	.
Один	прямоугольник	целиком и ещё две части от другого прямоугольника составляют 5/3 прямоугольника .
Начертите в тетради какой - нибудь	прямоугольник	с периметром , равным 24 см. Укажите длины его сторон .
Начертите в тетради	прямоугольник	и разрежьте его : а ) на две равные части прямой линией ; б ) на четыре равные части двумя прямыми линиями .
Начертите	прямоугольник	, обозначьте его и проведите одну диагональ .
Постройте по описанному алгоритму	прямоугольник	со сторонами 3 см и 4 см .
цветом выделен	прямоугольник	со сторонами м .
Начертите на клетчатой бумаге	прямоугольник	со сторонами 7 см 5 мм и 3 см .
а )	прямоугольник	со сторонами , равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм . б ) квадрат со стороной 4 см 8 мм .
Начертите	прямоугольник	, у которого длина равна 4 м , а ширина — 3 м .
Изобразите	прямоугольник	с такими же размерами , если 1 м изображается двумя клетками .
а ) квадрат со стороной 2 см . б )	прямоугольник	со сторонами 12 см и 5 см .
Начертите	прямоугольник	, обозначьте его .
в ) квадрат . г )	прямоугольник	.
Но это весь	прямоугольник	целиком , т .
Начертите	прямоугольник	и закрасьте 3/4 этого прямоугольника .
Как построить	прямоугольник	.
На нём изображён	прямоугольник	ABCD , разбитый на два прямоугольника .
Вырежите из бумаги	прямоугольник	и разрежьте его по диагонали .
Зелёный	прямоугольник	имеет большую площадь .
Диагональ разделила	прямоугольник	на два равных треугольника .
Среди них мы выделим один , хорошо вам известный —	прямоугольник	.
Сложите	прямоугольник	, площадь которого была бы равна 8 кв. ед .
Построим	прямоугольник	со сторонами , равными 2 см и 3 см. Для этого .
Из получившихся равных прямоугольных треугольников сложили	прямоугольник	.
Может ли среди этих фигур быть	прямоугольник	? .
а )	прямоугольник	со сторонами 7 см и 4 см . б ) квадрат со стороной 45 мм .
Начертите	прямоугольник	со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь привести к новому знаменателю ; б ) как сократить дробь .
Начертите ещё один	прямоугольник	с таким же периметром , но с другими сторонами .
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б )	прямоугольник	; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Нарисуйте этот	прямоугольник	.
Изображён	прямоугольник	, разделённый на 7 равных частей .
Многоугольники разбиты на два	прямоугольника	.
Если взять все три его части , то получим 3/3	прямоугольника	.
Для измерения площади	прямоугольника	необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
Закрашено 2/3	прямоугольника	.
Если стороны	прямоугольника	равны , то его площадь должна быть равна ( м2 ) .
Произведите необходимые измерения и найдите периметр	прямоугольника	и квадрата .
Вы знаете , что площадь	прямоугольника	равна произведению длин его смежных сторон .
Чему равен периметр	прямоугольника	со сторонами , равными 3 м 45 см и 1 м 70 см ? .
Площадь	прямоугольника	равна произведению длин его смежных сторон .
Какой стороне треугольника равна диагональ	прямоугольника	? .
а ) Периметр	прямоугольника	равен 36 см , длина одной стороны — 10 см. Найдите длину смежной стороны .
Найдём площадь	прямоугольника	со сторонами м и м , опираясь на геометрические соображения .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить стороны	прямоугольника	выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
Построение	прямоугольника	.
Вычислите периметр	прямоугольника	со сторонами : а ) 4 см и 9 см ; б ) 22 м и 14 м .
Поле имеет форму	прямоугольника	со сторонами 500 м и 380 м .
Эти стороны	прямоугольника	иногда называют длиной и шириной .
Для построения	прямоугольника	можно воспользоваться чертёжным треугольником .
У	прямоугольника	противоположные стороны равны , а две смежные ( соседние ) стороны могут быть различны .
Каким свойством обладают диагонали	прямоугольника	.
Начертите прямоугольник и закрасьте 3/4 этого	прямоугольника	.
Так как мы находили площадь одного и того же	прямоугольника	, то выражения равны .
Периметр	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	, как и любого многоугольника , равен сумме длин его сторон .
Найдите площадь	прямоугольника	, если одна из его сторон равна 25 см , а про другую известно , что она : а ) на 7 см меньше ; б ) в 2 раза больше .
а ) Сумма всех сторон	прямоугольника	равна 48 см. Его длина на 4 см больше ширины .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого	прямоугольника	и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Найдите стороны	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	равен 54 см. Его длина на 5 см больше ширины .
Так как у	прямоугольника	противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Найдём площадь	прямоугольника	ABCD , выразив её в квадратных сантиметрах .
На нём изображён прямоугольник ABCD , разбитый на два	прямоугольника	.
Чему равна площадь	прямоугольника	со сторонами , равными 1 м и 40 см ? .
Каждая диагональ	прямоугольника	делит его на два треугольника .
Возьмём два одинаковых	прямоугольника	и разделим каждый на три равные части .
Площадь	прямоугольника	ABCD , с одной стороны , равна произведению , а с другой — разности .
Поэтому диагонали квадрата , как всякого	прямоугольника	, равны и в точке пересечения делятся пополам .
В точке пересечения диагонали	прямоугольника	делятся пополам .
Один прямоугольник целиком и ещё две части от другого	прямоугольника	составляют 5/3 прямоугольника .
Значит , площадь	прямоугольника	равна — м2 .
в ) два	прямоугольника	равны , если .
Один прямоугольник целиком и ещё две части от другого прямоугольника составляют 5/3	прямоугольника	.
Диагонали	прямоугольника	обладают двумя важными свойствами .
У	прямоугольника	, как у любого четырёхугольника , две диагонали Вы видите , что они пересекаются ; точка О — точка пересечения диагоналей .
Площадь	прямоугольника	равна 600 м2 , а одна из сторон равна : а ) 30 м ; б ) 60 м ; в ) 120 м .
Найдите площадь	прямоугольника	.
Найдём , например , периметр	прямоугольника	со сторонами 2 см и 3 см .
Диагонали	прямоугольника	равны и пересекаются .
Диагонали	прямоугольника	.
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два	прямоугольника	равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два треугольника равны , если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника .
а ) Периметр	прямоугольника	равен 30 см , одна из его сторон в 4 раза больше другой .
Вы видите , что и	прямоугольника	вместе составляют данного прямоугольника .
Вы видите , что и прямоугольника вместе составляют данного	прямоугольника	.
Следовательно , им можно пользоваться для приближённых вычислений , когда четырёхугольник мало отличается от	прямоугольника	.
Дело в том , что оно справедливо только для	прямоугольника	.
Найдите площадь этого	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	равен 28 см , одна из его сторон на 2 см больше другой .
Задача - исследование . 1 ) Площадь	прямоугольника	равна 36 см2 .
Попытаемся сравнить два	прямоугольника	.
Для каждого варианта длин сторон вычислите периметр	прямоугольника	.
а )	прямоугольника	со сторонами 6 см и 4 см . б ) квадрата со стороной 7 см .
Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите диагонали	прямоугольника	.
28 Площадь	прямоугольника	.
8 Каким свойством обладают диагонали	прямоугольника	? .
а )	прямоугольника	со сторонами 5 см 6 мм и 7 см 9 мм . б ) квадрата со стороной 1 м 56 см .
Фундамент имеет форму	прямоугольника	со сторонами 12 м и 10 м .
Каждая из этих частей составляет одну треть	прямоугольника	.
две третьих	прямоугольника	, закрашены .
Площадь	прямоугольника	.
Так , утверждение « все четырёхугольники являются	прямоугольниками	» опровергается примером четырёхугольника .
В	прямоугольнике	ABCD провели диагонали .
Поэтому данные	прямоугольники	имеют площади 10 см2 и 12 см2 .
Среди четырёхугольников вы легко найдёте и	прямоугольники	, и квадрат .
Перенесите один из них в тетрадь и покажите , как ещё можно разбить этот многоугольник на	прямоугольники	.
Разбиваем на	прямоугольники	.
Строим	прямоугольники	.
Но эти	прямоугольники	можно сравнить по площади .
Определите площади	прямоугольников	.
Может ли среди таких	прямоугольников	быть квадрат ? .
Каковы длины сторон каждого из этих	прямоугольников	? .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких	прямоугольников	и результаты сложить ; получим сумму .
Сколько таких	прямоугольников	можно сложить ?
Каждый из	прямоугольников	разбит на квадраты со стороной 1 см .
Какой из этих	прямоугольников	имеет наименьший периметр ? .
5 Какой четырёхугольник называют	прямоугольником	, а какой — квадратом ? .
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся	прямоугольником	; д ) шестиугольник .
Вы , конечно , знаете , что четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют	прямоугольником	.
Какой четырёхугольник называют	прямоугольником	?
дробь 3/3 соответствует целому	прямоугольнику	.
Таким образом , мы пришли к правилу вычисления объёма	прямоугольного	параллелепипеда .
Объём	прямоугольного	параллелепипеда равен произведению трёх его измерений : длины , ширины и высоты .
а ) У	прямоугольного	участка земли ширина 25 м , а длина 60 м .
Вопросы и задания : Назовите три предмета , имеющие форму	прямоугольного	параллелепипеда .
Объем	прямоугольного	параллелепипеда .
В качестве	прямоугольного	параллелепипеда возьмите спичечный коробок .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого	прямоугольного	параллелепипеда в натуральную величину .
Развёртки	прямоугольного	параллелепипеда и пирамиды .
Назовите точки , являющиеся вершинами	прямоугольного	треугольника .
У	прямоугольного	параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Размеры одного	прямоугольного	садового участка 22 м и 30 м , а другого — 32 м и 20 м .
Изображена развёртка	прямоугольного	параллелепипеда , развёртка четырёхугольной пирамиды .
Определите длины всех рёбер данного	прямоугольного	параллелепипеда .
Каждая грань	прямоугольного	параллелепипеда — прямоугольник Противоположные грани параллелепипеда равны .
Форма	прямоугольного	параллелепипеда служит основой многих сооружений древних зодчих .
У	прямоугольного	параллелепипеда 8 вершин , 12 рёбер и 6 граней .
Три грани	прямоугольного	параллелепипеда , имеющие общую вершину М , хотят окрасить в красный цвет , а остальные — в синий .
Форму	прямоугольного	параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы встречаемся в жизни , например коробки , используемые для упаковки различных товаров .
Найдём объём	прямоугольного	параллелепипеда , измерения которого равны 6 мм , 10 мм и 15 мм : 900 ( мм3 ) .
Современные архитекторы также используют форму	прямоугольного	параллелепипеда при проектировании зданий .
Какой длины проволоку достаточно взять , чтобы сделать каркасную модель : а ) куба с ребром 10 см ; б )	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 6 см , 10 см , 14 см ? .
У	прямоугольного параллелепипеда	длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Вопросы и задания : Назовите три предмета , имеющие форму	прямоугольного параллелепипеда	.
Какой длины проволоку достаточно взять , чтобы сделать каркасную модель : а ) куба с ребром 10 см ; б )	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 6 см , 10 см , 14 см ? .
Объем	прямоугольного параллелепипеда	.
Найдём объём	прямоугольного параллелепипеда	, измерения которого равны 6 мм , 10 мм и 15 мм : 900 ( мм3 ) .
Изображена развёртка	прямоугольного параллелепипеда	, развёртка четырёхугольной пирамиды .
Три грани	прямоугольного параллелепипеда	, имеющие общую вершину М , хотят окрасить в красный цвет , а остальные — в синий .
Каждая грань	прямоугольного параллелепипеда	— прямоугольник Противоположные грани параллелепипеда равны .
Таким образом , мы пришли к правилу вычисления объёма	прямоугольного параллелепипеда	.
Современные архитекторы также используют форму	прямоугольного параллелепипеда	при проектировании зданий .
Развёртки	прямоугольного параллелепипеда	и пирамиды .
У	прямоугольного параллелепипеда	8 вершин , 12 рёбер и 6 граней .
В качестве	прямоугольного параллелепипеда	возьмите спичечный коробок .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см , ширина — 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого	прямоугольного параллелепипеда	в натуральную величину .
Определите длины всех рёбер данного	прямоугольного параллелепипеда	.
Объём	прямоугольного параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений : длины , ширины и высоты .
Форму	прямоугольного параллелепипеда	имеют многие предметы , с которыми мы встречаемся в жизни , например коробки , используемые для упаковки различных товаров .
Форма	прямоугольного параллелепипеда	служит основой многих сооружений древних зодчих .
Назовите точки , являющиеся вершинами	прямоугольного треугольника	.
Площадь спортивного зала	прямоугольной	формы 132 м2 , длина меньшей его стороны равна 10 м .
Разметили два земельных участка	прямоугольной	формы .
а ) Площадь комнаты	прямоугольной	формы 19 м2 , длина одной из её сторон 5 м .
а ) На	прямоугольном	участке земли со сторонами 50 м и 35 м хотят разместить прямоугольный бассейн , имеющий длину 20 м и ширину 7 м .
б ) На	прямоугольном	участке земли со сторонами 20 м и 30 м заложили фундамент для дома .
Треугольники : а ) остроугольные ; б ) тупоугольные ; в )	прямоугольные	.
Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные	прямоугольные	параллелепипеды .
Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные	прямоугольные параллелепипеды	.
Треугольник под номером 6 равнобедренный	прямоугольный	.
Куб — это такой	прямоугольный	параллелепипед , у которого все рёбра равны , поэтому все его грани — квадраты .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	прямоугольный	треугольник .
Для этого надо было уметь строить прямой угол , квадрат ,	прямоугольный	треугольник .
а ) Начертите на нелинованной бумаге	прямоугольный	треугольник , у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
а ) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 35 м хотят разместить	прямоугольный	бассейн , имеющий длину 20 м и ширину 7 м .
1 Начертите	прямоугольный	треугольник , у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см .
равносторонний	прямоугольный	треугольник ? .
Каждый	прямоугольный	параллелепипед имеет три измерения : длину , ширину и высоту .
Начертите произвольные остроугольный ,	прямоугольный	, тупоугольный треугольники .
Изображён	прямоугольный	параллелепипед .
Изобразите	прямоугольный	участок площадью 9 а .
Каждый	прямоугольный параллелепипед	имеет три измерения : длину , ширину и высоту .
Куб — это такой	прямоугольный параллелепипед	, у которого все рёбра равны , поэтому все его грани — квадраты .
Изображён	прямоугольный параллелепипед	.
Для этого надо было уметь строить прямой угол , квадрат ,	прямоугольный треугольник	.
равносторонний	прямоугольный треугольник	? .
а ) Начертите на нелинованной бумаге	прямоугольный треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
1 Начертите	прямоугольный треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	прямоугольный треугольник	.
Треугольник , в котором есть прямой угол , называют	прямоугольным	треугольником .
Обычный , всем известный кирпич с точки зрения геометрии является	прямоугольным	параллелепипедом .
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник :	прямоугольным	, остроугольным или тупоугольным ? .
Обычный , всем известный кирпич с точки зрения геометрии является	прямоугольным параллелепипедом	.
Треугольник , в котором есть прямой угол , называют	прямоугольным треугольником	.
Найдите измерения	прямоугольных	параллелепипедов .
Из получившихся равных	прямоугольных	треугольников сложили прямоугольник .
Найдите измерения	прямоугольных параллелепипедов	.
Из получившихся равных	прямоугольных треугольников	сложили прямоугольник .
Проведите	прямую	а и отметьте на ней точки А , В , С , D , К так , чтобы .
Проведите через точку К . а )	прямую	b , пересекающую отрезок АВ . б ) прямую d , не пересекающую отрезок АВ .
Как нужно провести	прямую	, чтобы расстояние между точками пересечения этой прямой с окружностью было наибольшим ? .
Называют	прямую	по любым двум принадлежащим ей точкам .
Начертите координатную	прямую	с единичным отрезком , равным 9 см. Отметьте точки с координатами .
Проведите через точку К . а ) прямую b , пересекающую отрезок АВ . б )	прямую	d , не пересекающую отрезок АВ .
Через две точки можно провести только одну	прямую	.
Поэтому начертить	прямую	полностью невозможно .
Попробуйте провести через эти две точки другую	прямую	.
Начертите координатную	прямую	с единичным отрезком в 10 клеток .
Так , проведённую через точки Е и F	прямую	можно назвать « прямая EF » или « прямая FE » .
Проводя	прямую	на листе бумаги , мы показываем лишь её часть .
Отметьте в тетради точки А и С. Проведите через них	прямую	.
Проведём	прямую	и отметим на ней две точки К и М. Они ограничивают отрезок КМ и называются концами этого отрезка .
Проведём	прямую	, на которой лежит какая - нибудь из сторон выпуклого многоугольника .
А если надо провести	прямую	на земле , например , чтобы разметить дорожку на участке ?
Считают , что лучи , составляющие	прямую	, также образуют угол .
Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней дроби .
а ) Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на четыре клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 2 .
Но можно провести два луча с общим началом и так , чтобы они не составляли	прямую	.
Начертите	прямую	, отметьте на ней точку 0 ; отложите единичный отрезок ( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
Она разбивает	прямую	на два луча , которые идут от точки О в разные стороны по двум направлениям .
Назовите	прямую	тремя способами .
Отметьте точки А и Б. Проведите	прямую	АВ .
Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней числа 3 , 7 , 10 .
Начертите	прямую	и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на три клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 6 .
Начертите горизонтальную	прямую	.
Начертите	прямую	и отметьте на ней точки А и В , такие , что АВ равно 3 см. Отметьте на прямой точку С так , чтобы выполнялось условие .
Как провести	прямую	.
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см. Проведите	прямую	, пересекающую окружность .
Начертите две пересекающиеся прямые а и b и обозначьте точку их пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну	прямую	, отличную от а и b.
Проведите в тетради горизонтальную	прямую	по линии клетчатой бумаги .
Проведём	прямую	и отметим на ней точку О.
Отметьте на листе бумаги две точки Е и F и проведите через них	прямую	по линейке .
Начертите координатную	прямую	с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте точки с координатами .
Проведите третью	прямую	, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения .
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два угла	прямые	, или треугольник , у которого один угол прямой , а другой тупой ?
Найдите	прямые	углы в окружающей вас обстановке .
Посмотрев вокруг , вы наверняка заметите , что нас окружает множество предметов , содержащих	прямые	линии .
Начертите две пересекающиеся	прямые	а и b и обозначьте точку их пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую , отличную от а и b.
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали квадрата при пересечении образуют	прямые	углы .
Отметьте точку А и проведите через неё две различные	прямые	.
Таким образом , у квадрата все углы	прямые	и все стороны равны .
Начертите окружность и проведите три	прямые	, её пересекающие .
Можно обозначать	прямые	и одной маленькой буквой латинского алфавита , изображены две прямые — прямая а и прямая b .
Можно обозначать прямые и одной маленькой буквой латинского алфавита , изображены две	прямые	— прямая а и прямая b .
Воспользуйтесь тем , что линии сетки образуют	прямые	углы .
Вы , конечно , знаете , что четырёхугольник , у которого все углы	прямые	, называют прямоугольником .
На листе бумаги , на классной доске	прямые	проводят с помощью линейки .
Задача - исследование . 1 ) Начертите две пересекающиеся	прямые	.
Посмотрев вокруг , вы наверняка заметите , что нас окружает множество предметов , содержащих	прямые линии	.
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали квадрата при пересечении образуют	прямые углы	.
Воспользуйтесь тем , что линии сетки образуют	прямые углы	.
Найдите	прямые углы	в окружающей вас обстановке .
равны , в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под	прямым	углом .
3 Острым ,	прямым	или тупым является угол , величина которого равна 120 ° , 45 ° , 90 ° ?
Проведите луч ОС так , чтобы угол АОС был	прямым	, угол СОВ — тупым .
е ) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под	прямым	углом .
Так , на клетчатой бумаге линии пересекаются под	прямым	углом .
д ) равны и пересекаются под	прямым	углом .
а ) Каким ( острым ,	прямым	, тупым или развёрнутым ) является угол , величина которого равна 22 ° , 163 ° , 90 ° , 18 ° , 98 ° , 180 ° , 89 ° , 178е ? .
в ) пересекаются под	прямым	углом .
Так , на клетчатой бумаге линии пересекаются под	прямым углом	.
д ) равны и пересекаются под	прямым углом	.
равны , в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под	прямым углом	.
е ) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под	прямым углом	.
в ) пересекаются под	прямым углом	.
Чтобы убедиться в этом , попробуйте нарисовать треугольник с двумя	прямыми	углами .
Могут ли два других его угла быть не	прямыми	? .
Начертите четырёхугольник с двумя	прямыми	углами .
Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его : а ) на две равные части прямой линией ; б ) на четыре равные части двумя	прямыми	линиями .
Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его : а ) на две равные части прямой линией ; б ) на четыре равные части двумя	прямыми линиями	.
Начертите четырёхугольник с двумя	прямыми углами	.
Чтобы убедиться в этом , попробуйте нарисовать треугольник с двумя	прямыми углами	.
Чуть позже человек стал украшать продукты своего труда орнаментами , которые могли складываться из отрезков	прямых	или быть кривыми линиями .
Если провести биссектрису развёрнутого угла , она разделит его на два	прямых	угла .
Сколько можно построить	прямых	, проходящих через точку D ? .
Проведите третью прямую , пересекающую каждую из этих	прямых	и не проходящую через их точку пересечения .
Развёрнутый угол равен сумме двух	прямых	углов , а прямой угол составляет половину развёрнутого .
Сколько точек попарного пересечения	прямых	у вас получилось ? .
Сколько	прямых	можно провести через две точки ? .
Если провести биссектрису развёрнутого угла , она разделит его на два	прямых угла	.
Развёрнутый угол равен сумме двух	прямых углов	, а прямой угол составляет половину развёрнутого .
Какую часть	пути	проходит Толя за б мин ?
Состоялась ли встреча автомобилей , если они находятся в	пути	1 ч ?
Только на этот раз работа заключается в прохождении	пути	.
Два курьера идут навстречу друг другу и в	пути	встречаются .
Сколько часов находился пешеход в	пути	? .
Он находится в	пути	7 ч 20 мин .
В автомобиле длину пройденного пути показывает одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса и преобразования в длину пройденного	пути	.
а ) На	пути	от дома к озеру Фёдор встретил друга .
В автомобиле длину пройденного	пути	показывает одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса и преобразования в длину пройденного пути .
Чему равна длина всего	пути	от Старицы до Твери ? .
В первый день они проехали всего	пути	, а во второй — всего пути .
В первый день они проехали всего пути , а во второй — всего	пути	.
Проехав 36 км , автомобиль сделал остановку , и после этого ему осталось проехать всего	пути	.
Назовите ещё какой - нибудь	путь	такой же длины , что и АВКМ , и путь такой же длины , что и ABCDNM .
Сколько времени затратил катер на обратный	путь	? .
До остановки автобус ехал ч , а на оставшийся	путь	он затратил на ч меньше .
Какой	путь	самый короткий ?
Какой	путь	короче : АВКМ или ABCDNM ?
На путь из пункта А в пункт В автомобиль затратил 1 ч , а на обратный	путь	— на 10 мин больше .
С какой скоростью идёт Пётр и сколько минут занимает у него	путь	от дома до школы ? .
На	путь	из пункта А в пункт В автомобиль затратил 1 ч , а на обратный путь — на 10 мин больше .
Сколько времени затратит лодка на такой же	путь	: а ) по течению реки ; б ) против течения реки ? .
Назовите ещё какой - нибудь путь такой же длины , что и АВКМ , и	путь	такой же длины , что и ABCDNM .
Поэтому время , которое катер затратил на обратный	путь	, равно .
Движение по реке . а ) На	путь	из пункта А в пункт Б теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный путь — 2 ч .
Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на	путь	из В в А ? .
В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины : скорость движения , время движения и пройденный	путь	.
Сколько времени занял у них этот	путь	, если они шли со скоростью 4 км / ч ? .
Сколько времени потратит моторная лодка на	путь	от одного причала до другого и обратно , если собственная скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Сколько времени затратит моторная лодка на	путь	от одного причала до другого и обратно , если собственная скорость лодки 12 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
Какой	путь	пройдёт катер по течению реки за 2 ч ?
Движение по реке . а ) На путь из пункта А в пункт Б теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный	путь	— 2 ч .
Диагональ АС разбивает	пятиугольник	АВСКМ на два многоугольника .
Запишите , на какие многоугольники разбила	пятиугольник	эта диагональ .
7 Начертите произвольный выпуклый	пятиугольник	ABCDE и проведите диагональ AD .
число диагоналей выпуклого	пятиугольника	равно трём .
Выполните необходимые измерения и найдите периметр	пятиугольника	.
В	пятиугольниках	ABCDE и KLMNP назовите равные диагонали и запишите соответствующие равенства .
При вычислении значения выражения решение мы записали в виде цепочки	равенств	.
А если прочитать эту цепочку	равенств	справа налево , то мы увидим , что дробь можно преобразовать в дробь , разделив её числитель и знаменатель на 4 .
Используя это , найдите среди следующих	равенств	неверное .
Укажите , какое из приближённых	равенств	точнее .
Записать решение можно в виде цепочки	равенств	.
Закончите	равенства	.
В математике , как правило , равенство двух фигур устанавливается с помощью специальных признаков	равенства	.
Сформулируйте признак	равенства	двух отрезков .
Понятие	равенства	играет в геометрии огромную роль , а возникло оно совершенно естественным образом , понятным любому школьнику .
Признаки	равенства	.
Умножим обе части последнего	равенства	на дробь , обратную , т . е .
Из	равенства	этих многоугольников можно также сделать вывод о равенстве диагоналей BE и LP , углов ADB и KNL , треугольников АСЕ и КМР и т .
Для обозначения равных фигур в математике используется известный вам знак	равенства	« равно » .
Известно , что произведение а и b равно числу с. Запишите это утверждение в виде	равенства	.
На самом деле в этой цепочке соединены два	равенства	.
Что существуют признаки	равенства	фигур .
Найдите ещё какие - нибудь делители числа 272 и запишите соответствующие	равенства	.
Эти	равенства	подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел .
Запишите соответствующие приближённые	равенства	.
В этом заключается основной признак	равенства	окружностей .
Задача - исследование . 1 ) Проверьте	равенства	.
В пятиугольниках ABCDE и KLMNP назовите равные диагонали и запишите соответствующие	равенства	.
Сформулируйте несколько выводов из	равенства	, используя слова « делится » , « делитель » , « кратное » .
Поставьте скобки так , чтобы	равенства	стали верными .
Это признак	равенства	квадратов .
Запишите это утверждение в виде	равенства	.
Убедитесь в том , что	равенства	неверны .
Для	равенства	более сложных фигур требуется равенство большего числа их элементов .
Из	равенства	следует , что числа 34 и 8 являются делителями числа 272 .
Запишите другие	равенства	, связывающие эти числа .
Эти признаки указывают , равенство каких соответственных элементов фигур позволяет сделать вывод о	равенстве	самих фигур .
Из равенства этих многоугольников можно также сделать вывод о	равенстве	диагоналей BE и LP , углов ADB и KNL , треугольников АСЕ и КМР и т .
В математике , как правило ,	равенство	двух фигур устанавливается с помощью специальных признаков равенства .
В самом деле , рассмотрим	равенство	, представляющее число 50 в виде суммы трёх слагаемых .
Связь сложения и вычитания . 1 ) Используя равенство , найдите : 2 ) С помощью сложения проверьте , верно ли	равенство	.
Числовое	равенство	, которое мы получили , иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .
С помощью умножения проверьте , верно ли	равенство	.
Запишите соответствующее приближённое	равенство	. б ) В вагоне метро находится 148 пассажиров .
Рассмотрите приближённое	равенство	и скажите , до какого разряда округлили число 486573 .
Для равенства более сложных фигур требуется	равенство	большего числа их элементов .
Используя данное	равенство	, найдите значение двух следующих выражений .
Верно ли	равенство	.
Запишите следующее	равенство	и проверьте себя с помощью вычислений .
Связь сложения и вычитания . 1 ) Используя	равенство	, найдите : 2 ) С помощью сложения проверьте , верно ли равенство .
Можно записать	равенство	.
Объясните , почему верно	равенство	.
Впишите вместо звёздочек такие цифры , чтобы получилось верное	равенство	.
В каждом случае запишите	равенство	, связывающее делимое , делитель , неполное частное и остаток .
Эти признаки указывают ,	равенство	каких соответственных элементов фигур позволяет сделать вывод о равенстве самих фигур .
2 Каким свойством обладают углы	равнобедренного	треугольника ? .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны	равнобедренного	треугольника называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
а ) равностороннего треугольника со стороной 12 см . б )	равнобедренного	треугольника с основанием , равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
а ) равностороннего треугольника со стороной 8 см . б )	равнобедренного	треугольника с основанием 25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
а ) равностороннего треугольника со стороной 12 см . б )	равнобедренного треугольника	с основанием , равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны	равнобедренного треугольника	называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
а ) равностороннего треугольника со стороной 8 см . б )	равнобедренного треугольника	с основанием 25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
2 Каким свойством обладают углы	равнобедренного треугольника	? .
В	равнобедренном	треугольнике углы при основании равны .
В	равнобедренном	треугольнике периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания .
а ) В	равнобедренном	треугольнике периметр равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны .
В	равнобедренном треугольнике	периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания .
а ) В	равнобедренном треугольнике	периметр равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны .
В	равнобедренном треугольнике	углы при основании равны .
3 Начертите какой - нибудь	равнобедренный	треугольник , у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
	Равнобедренный	тупоугольный треугольник .
Проведите отрезок ВС Треугольник АВС —	равнобедренный	, АВ и АС — боковые стороны , ВС — основание треугольника .
Давайте научимся изображать	равнобедренный	треугольник .
а )	равнобедренный	остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Треугольник под номером 6	равнобедренный	прямоугольный .
Треугольник АВС —	равнобедренный	, его боковые стороны — АВ и ВС , а основание — АС .
Сложите из получившихся равных треугольников	равнобедренный	треугольник .
Постройте	равнобедренный	треугольник , основание которого равно 5 см , а углы при основании равны 75 ° .
Всегда начинайте с известной вершины — точки А , две другие подбирайте так , чтобы получился	равнобедренный	треугольник .
Постройте	равнобедренный	треугольник , если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б )	равнобедренный	прямоугольный треугольник .
Вырежите из листа бумаги ( кальки )	равнобедренный	треугольник АВС , АС — основание .
Треугольник АВС -	равнобедренный	.
Каким свойством обладает	равнобедренный	треугольник .
а ) окружность . б )	равнобедренный	треугольник .
Сложите из получившихся равных треугольников	равнобедренный треугольник	.
Постройте	равнобедренный треугольник	, основание которого равно 5 см , а углы при основании равны 75 ° .
Постройте	равнобедренный треугольник	, если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
Вырежите из листа бумаги ( кальки )	равнобедренный треугольник	АВС , АС — основание .
Всегда начинайте с известной вершины — точки А , две другие подбирайте так , чтобы получился	равнобедренный треугольник	.
Каким свойством обладает	равнобедренный треугольник	.
а ) окружность . б )	равнобедренный треугольник	.
3 Начертите какой - нибудь	равнобедренный треугольник	, у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
Давайте научимся изображать	равнобедренный треугольник	.
Если треугольник имеет две равные стороны , то его называют	равнобедренным	.
Какие треугольники называют	равнобедренными	, а какие - равносторонними .
а ) Сколько можно построить	равнобедренных	треугольников с вершинами в этих точках так , чтобы одной из вершин была точка Α ?
а ) Сколько можно построить	равнобедренных треугольников	с вершинами в этих точках так , чтобы одной из вершин была точка Α ?
Существует ли	равносторонний	тупоугольный треугольник ?
а ) Проволоку длиной 15 см согнули так , что получился	равносторонний	треугольник .
( Треугольник АВС	равносторонний	. )
	Равносторонний	прямоугольный треугольник ? .
а ) Проволоку длиной 15 см согнули так , что получился	равносторонний треугольник	.
Треугольник , у которого равны все стороны , называют	равносторонним	.
Какие треугольники называют равнобедренными , а какие -	равносторонними	.
Складываем из равных фигур . 1 ) Вырежьте из бумаги четыре	равносторонних	треугольника , равные треугольнику .
Изображены 13	равносторонних	треугольников .
Складываем из равных фигур . 1 ) Вырежьте из бумаги четыре	равносторонних треугольника	, равные треугольнику .
Изображены 13	равносторонних треугольников	.
Чему равен	радиус	этой окружности ? .
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен	радиус	каждой из окружностей ?
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите	радиус	окружности и найдите его длину .
а ) Найдите диаметр окружности , если её	радиус	равен : 12 см , 3 см 5 мм , 10 дм . б )
Найдите	радиус	окружности , если её диаметр равен : 6 см , 9 см , 12 м .
Слово «	радиус	» соответствует латинскому слову radius , которое на русский язык можно перевести как « спица в колесе » .
Длину окружности приближённо можно найти , умножив её	радиус	на 6 .
Начертите ещё одну окружность , большего	радиуса	.
Начертите окружность и постройте два её	радиуса	так , чтобы угол между ними был равен .
Начертите окружности с	радиусами	, равными 2 см , 4 см 5 мм .
Диаметр окружности состоит из двух	радиусов	.
Что называют	радиусом	окружности ?
Проведите окружности	радиусом	4 клеточки с центрами в этих точках .
Начертите в тетради круг	радиусом	3 см. Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах .
Отрезок , который соединяет центр окружности с какой - либо её точкой , называют	радиусом	окружности .
Начертите окружность	радиусом	2 см и найдите длину окружности двумя способами : измерением и вычислением .
Начертите окружность с центром в точке О и	радиусом	3 см. Проведите прямую , пересекающую окружность .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А	радиусом	2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с центром в этой точке : одну	радиусом	2 см , другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с центром в этой точке : одну радиусом 2 см , другую	радиусом	3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В	радиусом	2 см 5 мм .
Начертите окружность	радиусом	3 см и измерьте её длину с помощью нити .
Отметьте точку О. Проведите окружность с центром в точке О и	радиусом	4 см. Чему равен диаметр этой окружности ? .
Или : если у двух окружностей равны	радиусы	, то равны и сами окружности .
Так как все точки окружности находятся на одном расстоянии от её центра , то все	радиусы	окружности равны между собой .
Изображена окружность с центром в точке О и проведены	радиусы	ОА , ОВ , ОС , OD .
Представьте , что	развёрнутый угол	разделён лучами , выходящими из его вершины , на 180 равных углов .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а )	развёрнутый угол	; б ) тупой угол ; в ) острый угол .
И если это не два	развёрнутых угла	, то один из них меньше развёрнутого , а другой — больше .
Стороны этого квадрата	разделены	на 5 равных частей , квадрат разбит на 25 равных квадратов .
В самом деле ,	разделив	число 28 на дробь , получим тот же результат .
Поэтому эту дробь можно заменить более простой ,	разделив	её числитель и знаменатель на 6 .
А если прочитать эту цепочку равенств справа налево , то мы увидим , что дробь можно преобразовать в дробь ,	разделив	её числитель и знаменатель на 4 .
Проведите луч ОВ так , чтобы он	разделил	угол АОС на два угла .
Диагональ	разделила	прямоугольник на два равных треугольника .
Пусть каждую треть круга	разделили	на 4 равные части .
Ребята	разделили	3 яблока поровну на 6 человек .
Отметим на окружности две точки : А и В. Они	разделили	окружность на две части , которые имеют своё название — дуги .
Вырежите этот угол и проверьте перегибанием , правильно ли вы	разделили	угол пополам .
Братья легко	разделили	между собой 20 верблюдов : старший получил 10 , средний — 5 , а младший - 4 верблюда .
а ) Ребята	разделили	4 пиццы поровну на 12 человек .
В первом случае предмет	разделили	на 7 равных частей и взяли 3 части , во втором - на 9 равных частей и взяли 4 части .
а ) Отрезок длиной 3 дм	разделили	на 5 равных частей .
Обратите внимание : для ответа на вопрос задачи мы расстояние	разделили	на скорость сближения .
Число 180	разделилось	на 4 нацело , без остатка ; оно кратно числу 4 .
Для этого	разделим	числитель на знаменатель .
Сначала найдём одну восьмую долю всех книг , для этого	разделим	32 на 8 .
Можно поступить следующим образом :	разделим	каждое из двух яблок на 3 равные части и дадим братьям от каждого яблока по одной части .
Возьмём два одинаковых прямоугольника и	разделим	каждый на три равные части .
Для этого	разделим	42 на 3 : 14 .
Если провести биссектрису развёрнутого угла , она	разделит	его на два прямых угла .
Начертите в тетради круг и	разделите	его отрезком на две равные части .
Начертите в тетради полукруг и	разделите	его с помощью транспортира : а ) на 4 равные части ; б ) на 6 равных частей ; в ) на 3 равные части .
2 ) Каждую часть	разделите	ещё раз пополам .
Начертите в тетради прямой угол и	разделите	его на глаз на три равные части .
Одно натуральное число всегда можно	разделить	на другое .
Решим задачу на знакомый сюжет : 8 яблок надо	разделить	поровну между тремя братьями .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , нужно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
б ) Три друга решили вместе купить футбольный мяч и	разделить	его стоимость между собой поровну .
—	разделить	результат на 2 ( объясните почему ) .
а ) Сколько существует способов	разделить	36 конфет на одинаковые порции ?
	Разделить	на — или попросту 100 р .
Если	разделить	каждую треть круга на 3 равные части , то будет закрашено - круга .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , нужно	разделить	на эту дробь число , ей соответствующее .
Действительно , если , например ,	разделить	яблоко на пять равных частей , то две части меньше , чем три такие же части .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или	разделить	на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Нельзя также	разделить	одно число на другое , если первое число не кратно второму .
Что любые два натуральных числа можно	разделить	друг на друга .
Теперь , когда нам известны дробные числа , можно	разделить	друг на друга любые два натуральных числа .
Чтобы сократить дробь , её числитель и знаменатель нужно	разделить	на их общий делитель .
Если целое	разделить	на три равные части , на четыре , на пять равных частей , то получатся доли , которые соответственно называют так : одна треть , одна четверть , одна пятая .
Что значит	разделить	число a на число b ? .
Если	разделить	целое на три равные части , то доли получатся больше , чем при делении на четыре равные части .
Известно , за какое время выполнено две седьмых всей работы , поэтому можно найти , за какое время была выполнена у всей работы : надо 4	разделить	на 2 .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно	разделить	на любое другое натуральное число с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Рассмотрим простую задачу : « Имеется 9 яблок , нужно	разделить	их поровну между тремя братьями .
Так же следует поступить и в данном случае —	разделить	расстояние на время .
« Имеется 2 яблока , и их надо	разделить	поровну между тремя братьями .
Однако	разделить	одно число на другое удаётся не всегда .
Прямоугольник	разделён	на три равные части .
Узнаем , на сколько частей	разделён	теперь круг:12 .
Представьте , что развёрнутый угол	разделён	лучами , выходящими из его вершины , на 180 равных углов .
а ) Угол 68 °	разделён	биссектрисой на два угла .
Для построения прямого угла древние египтяне натягивали связанную за концы верёвку ,	разделённую	на 12 равных частей узелками , на три колышка .
Шкала транспортира представляет собой полуокружность ,	разделённую	на 180 равных частей .
Изображён прямоугольник ,	разделённый	на 7 равных частей .
Назовите все двузначные числа , меньшие 30 ,	разложение	на простые множители которых содержит только два различных множителя .
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью , поэтому	разложение	числа 90 на простые множители выглядит так .
Дано	разложение	на простые множители числа 420 .
Признаки делимости помогают при	разложении	числа на простые множители ( при этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты ) .
Почему в	разложении	нет числа 1 ? .
2 ) Есть ли в	разложении	одинаковые множители ? .
Сколько простых множителей содержится в	разложении	? .
в ) Узнайте , какое число было	разложено	на простые множители .
Таким образом , какое бы натуральное число ( кроме числа 1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть	разложено	на простые множители .
Число	разложили	на простые множители и получили такое произведение .
б ) Некоторое количество яиц можно	разложить	в коробки , по 10 штук в каждую или по 12 штук в каждую ( в обоих случаях коробки будут заполнены и яиц не останется ) .
Можно ли 18 карандашей	разложить	поровну в 3 коробки ?
Так как , то число 18 делится на 3 и в 3 коробки	разложить	карандаши поровну можно .
А вот в 4 коробки	разложить	поровну 18 карандашей нельзя — на 4 число 18 не делится .
Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел , или , как говорят ,	разложить	на простые множители .
Если их	разложить	в коробки , по 6 штук в каждую , то тоже останется 5 лишних карандашей .
Если имеющиеся карандаши	разложить	в коробки , по 8 штук в каждую , то останется 5 лишних карандашей .
Их нужно	разложить	в одинаковые кучки так , чтобы в каждой были и синие , и жёлтые палочки .
Мама сварила 2 кг варенья и хочет	разложить	его в баночки , каждая из которых вмещает — кг варенья .
Все семена надо	разложить	в пакеты , по кг в каждый .
Вычисление сумм и	разностей	.
Продолжите эту цепочку	разностей	, записав ещё три выражения .
Проиллюстрируйте эти правила на примерах суммы и	разности	.
Сформулируйте соответствующее свойство	разности	.
Вычислять	разности	, в которых одно из чисел или оба являются смешанными дробями , труднее .
Назовите пять делителей	разности	.
Площадь прямоугольника ABCD , с одной стороны , равна произведению , а с другой —	разности	.
Составьте все возможные суммы и	разности	из чисел .
Найдём	разность	чисел .
б )	разность	наименьшего шестизначного числа и наибольшего трёхзначного числа .
б ) делится ли на 5	разность	.
Если требуется найти сумму или	разность	дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Найдите сумму или	разность	дробей и , если возможно , сократите результат .
Чтобы найти	разность	дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
Объясните , как можно вычислить	разность	.
Чему равна 100-я	разность	? .
Чему равна	разность	между наибольшим и наименьшим пятизначными числами , записанными с помощью цифр 1 , 2 и 3 ? .
в ) разность на 10 . г )	разность	на 100 .
в )	разность	на 10 . г ) разность на 100 .
а )	разность	. б ) разность на 11 .
Заметим , что сложить можно любые два числа , а	разность	двух натуральных чисел можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
Докажите , что	разность	делится на 15 .
уменьшаемое , вычитаемое ,	разность	.
Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их	разность	можно записать так : a — b . Как и сложение , вычитание многозначных чисел обычно выполняют поразрядно .
Простые числа ,	разность	которых равна 2 , называют числами - близнецами .
а ) разность . б )	разность	на 11 .
Правда , применяется оно чаще всего справа налево , в результате чего сумма ( или	разность	) заменяется равным ей произведением .
Сумма двух чисел 87 , а	разность	19 .
Найдите три последовательных числа , сумма которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а ) Сумма двух чисел 96 , а	разность	18 .
а ) сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3 . б )	разность	числа 510 и суммы чисел 236 и 128 .
Уменьшаемое , вычитаемое ,	разность	.
Пусть , например , требуется найти	разность	между числом 12 и суммой чисел 7 и 3 .
Результат вычитания называется	разностью	.
При округлении числа до некоторого	разряда	могут встретиться разные случаи .
Справа от подчёркнутого	разряда	стоит цифра , большая 5 , — прибавим к цифре подчёркнутого разряда 1 .
Справа от подчёркнутого разряда стоит цифра , большая 5 , — прибавим к цифре подчёркнутого	разряда	1 .
— если справа от разряда , до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого	разряда	прибавляют 1 ; в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
Рассмотрите приближённое равенство и скажите , до какого	разряда	округлили число 486573 .
д. , вплоть до старшего	разряда	. а ) 62538 ; б ) 28701568 .
А десятичной нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет число 10 : единица каждого следующего разряда составляет 10 единиц предыдущего	разряда	.
Опровергните утверждение : если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце , то округление выполняли до	разряда	тысяч .
— если справа от	разряда	, до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 ; в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
А десятичной нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет число 10 : единица каждого следующего	разряда	составляет 10 единиц предыдущего разряда .
— все цифры , расположенные правее	разряда	, до которого округляют число , заменяют нулями .
А самая главная трудность состояла в отсутствии знака для « пустого »	разряда	.
Найдите приближённое значение произведения , округлив множители до старшего	разряда	.
Найдите приближённое значение суммы , округлив слагаемые до старшего	разряда	.
В десятичной системе значение цифры зависит от того , какое место в записи числа она занимает , а точнее , в каком	разряде	она находится .
Подчеркнём цифру в	разряде	миллионов .
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого числа в	разряде	единиц стоит цифра 0 .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в	разряде	единиц , и в разряде десятков .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в	разряде	десятков .
Запишите какое - нибудь десятичное число , назовите классы и	разряды	в его записи .
На диаграмме показано	распределение	суточной нормы питания , которую рекомендуют врачи .
Проверьте , действительно ли круговая диаграмма показывает	распределение	долей игрушек , принесённых каждым классом , в общем сборе игрушек .
Вычислите значение выражения ( постарайтесь найти	рациональное	решение ) .
Но мы воспользуемся более	рациональным	способом — приведём к наименьшему общему знаменателю сразу все три дроби .
Измерьте и запишите длину каждого	ребра	многогранника .
На основании оранжевой коробки вдоль	ребра	, равного 3 дм , уложатся 3 кубика .
Найдём объём куба ,	ребро	которого равно 5 дм : 125 ( дм3 ) .
Как пройти по всем рёбрам многогранника , проходя каждое	ребро	только один раз ? .
Начертите пятиугольную грань многогранника , если	ребро	куба 4 см , а разрез проходит через середины рёбер куба .
Записать	решение	можно в виде цепочки равенств .
Выполняя домашнюю работу , Толя заметил время , которое ушло на приготовление каждого урока : на работу с картой , на	решение	задачи , на заучивание стихотворения .
Задания по географии и по математике ученик выполнял ч , причём работа с картой заняла на ч меньше , чем	решение	задачи .
А как записать	решение	этой задачи арифметическим действием ?
Вычислите значение выражения ( постарайтесь найти рациональное	решение	) .
Это	решение	можно записать с помощью выражения так .
При вычислении значения выражения	решение	мы записали в виде цепочки равенств .
на математическом языке её	решение	записывают так : 2:3 .
Но , как и при	решении	первой задачи , ответ можно получить другим способом , воспользовавшись соответствующим правилом действия с дробями .
Подобным образом и рассуждают обычно при	решении	задач на совместную работу .
Деление с остатком при	решении	задач .
Однако при	решении	многих задач важно знать наименьшее общее кратное рассматриваемых чисел .
При	решении	комбинаторных задач чаще всего приходится отвечать на вопрос : « Сколькими способами ? » .
Какой приём используют при	решении	задач на совместную работу .
При правильном	решении	всех задач можно было получить 40 баллов .
Здесь вы познакомитесь с некоторыми приёмами рассуждений , которые встречаются при	решении	задач достаточно часто .
Часто при	решении	задач приходится находить общие делители двух или более чисел .
При	решении	задач иногда приходится выполнять арифметические действия не только с натуральными числами , но и с дробями .
Сколько	решений	имеет каждая задача ? .
Как называется способ	решения	комбинаторных задач , рассмотренных в этом пункте ? .
Примеры	решения	комбинаторных задач .
Приёмы	решения	двух видов задач « на дроби » .
Теперь вы познакомитесь с этими задачами более основательно и , главное , узнаете общий приём их	решения	.
Запись	решения	может выглядеть так .
Найдите два способа	решения	.
Приёмы	решения	новых видов задач - на части и на уравнивание .
Для	решения	задач полезно знать некоторые свойства делимости суммы и произведения нескольких чисел .
Серёжа записал	ряд	кратных некоторого числа , начиная с наименьшего , и на двенадцатом месте у него оказалось число 60 .
Спортсменов построили в колонну по 6 человек в ряду , а затем перестроили , поставив в каждый	ряд	по 4 человека .
Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один	ряд	.
6 Натуральный	ряд	.
Натуральные числа , записанные по порядку одно за другим , образуют натуральный	ряд	: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
Эта последовательность , как и натуральный	ряд	, бесконечна , и все числа , кратные 10 , выписать нельзя .
При всём разнообразии многогранники имеют	ряд	общих свойств .
Запишите	ряд	чисел , который получится , если последовательно округлять данное число до десятков , сотен и т .
Натуральный	ряд	бесконечен , и именно это мы показываем , ставя многоточие .
Обратите внимание : число 0 не входит в натуральный	ряд	, т .
Сравнение диаграмм позволит ответить на	ряд	вопросов .
Натуральный	ряд	.
Какой длины получился	ряд	? .
Лук посадили в 4 ряда , по 15 луковиц в каждом , а потом в каждый	ряд	посадили ещё по 12 луковиц .
Найдите в учебнике свойства натурального	ряда	и перечислите их .
Лук посадили в 4	ряда	, по 15 луковиц в каждом , а потом в каждый ряд посадили ещё по 12 луковиц .
Чтобы выложить кубиками всё основание , потребуется 2 таких	ряда	, т .
В зале кинотеатра 500 кресел , которые расставлены одинаковыми	рядами	, по 25 кресел в каждом .
Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так , чтобы группы шли одна за другой одинаковыми	рядами	? .
О натуральном	ряде	и его свойствах .
Сколько	рядов	в амфитеатре ? .
Каждый слой имеет 5	рядов	, по 6 пачек в каждом .
Первые 12 рядов составлены из красных стульев , а следующие 18	рядов	— из синих стульев .
В красном зале 40	рядов	, по 45 мест в каждом .
Первые 12	рядов	составлены из красных стульев , а следующие 18 рядов — из синих стульев .
В синем зале 25	рядов	, по 24 места в каждом .
В партере 12	рядов	.
Его можно записать короче : 52 . 2 ) Сколько стеклянных шариков поместится в коробку , если каждый слой шариков состоит из 5	рядов	, по 5 шариков в каждом , и в коробку помещается 5 таких слоёв ? .
Найдите первое , шестое и двадцатое числа в этом	ряду	.
Сколько пар чисел - близнецов в	ряду	чисел : а ) от 1 до 100 ; б ) от 100 до 200 ? .
Древние строители возводили храмы , подчиняясь	ряду	правил : здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и располагаться по сторонам света .
Заметим , что в натуральном	ряду	чередуются чётные и нечётные числа , т .
Окажется ли в этом	ряду	кратных число 164 ?
Спортсменов построили в колонну по 6 человек в	ряду	, а затем перестроили , поставив в каждый ряд по 4 человека .
В натуральном	ряду	число а появляется позже , чем число b.
В актовом зале стоят стулья , по 17 стульев в	ряду	.
Установите закономерность в	ряду	чисел и назовите три следующих числа .
Меньшим считается то число , которое в натуральном	ряду	появляется раньше , а большим — то , которое появляется позже .
В натуральном	ряду	есть наименьшее число — это 1 — и нет наибольшего .
На этом перебор можно закончить , так как число 24 — первое число в натуральном	ряду	, которое делится и на 8 , и на 6 .
Известны длины его	рёбер	: АВ равно 6 см , ML равно 4 см , AM равно 2 см . 1 )
У треугольной пирамиды 4 грани , 6	рёбер	и 4 вершины .
Сумма числа	рёбер	и вершин пирамиды равна 25 .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин , 12	рёбер	и 6 граней .
Сколько вершин , граней ,	рёбер	: а ) у шестиугольной пирамиды ; б ) у десятиугольной пирамиды ; в ) у стоугольной пирамиды ? .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число	рёбер	; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Определите длины всех	рёбер	данного прямоугольного параллелепипеда .
Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней , вершин или	рёбер	, чем у треугольной пирамиды .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число рёбер ; число вершин ; число	рёбер	, исходящих из каждой вершины .
Сколько у этого многогранника	рёбер	?
Начертите пятиугольную грань многогранника , если ребро куба 4 см , а разрез проходит через середины	рёбер	куба .
Возьмите куб и определите , сколько у него граней , вершин ,	рёбер	.
4 ) Существует ли пирамида , у которой 1999	рёбер	? .
Определите число	рёбер	и число граней куба , сходящихся в каждой его вершине .
Сколько граней куба не имеют общих	рёбер	с нижней гранью ? .
боковых	рёбер	?
2 ) Сколько	рёбер	сходится в вершине А ?
всего	рёбер	?
Сколько	рёбер	?
Сколько	рёбер	параллелепипеда выходит из каждой его вершины ?
Известны длины	рёбер	: АВ равно 2 см 5 мм , AD равно 2 см , АК равно 4 см. Запишите длины рёбер CD , DL , KL .
У пирамиды 1800	рёбер	.
Известны длины рёбер : АВ равно 2 см 5 мм , AD равно 2 см , АК равно 4 см. Запишите длины	рёбер	CD , DL , KL .
а ) Сколько минут и	секунд	в 400 с ?
б ) Сколько сантиметров содержится ; в ) Сколько	секунд	содержится .
Сколько диагоналей у	семиугольника	?
В России метрическая	система	единиц стала применяться только с 1918 г. , до этого для измерения длин использовались такие единицы , как верста , локоть , аршин и т .
Что такое метрическая	система	мер .
Почему наша	система	записи чисел называется десятичной ?
Почему наша	система	записи чисел называется позиционной .
	Система	мер жидкости имела вид : 1 бочка равно 40 вёдрам , 1 ведро равно 10 штофам , 1 штоф равно 2 бутылям , 1 бутыль равно 10 чаркам .
д. Именно поэтому	система	и называется позиционной .
Какие используют единицы объёма в метрической	системе	мер .
Соотношение между единицами площади в метрической	системе	мер .
В десятичной	системе	счисления важное значение имеют степени числа 10 .
В десятичной	системе	значение цифры зависит от того , какое место в записи числа она занимает , а точнее , в каком разряде она находится .
В метрической	системе	: 1 м3 равно 1000 дм3 , 1 дм3 равно 1000 см3 , 1 см3 равно 1000 мм3 .
Чтобы прочитать число , записанное в десятичной	системе	, его разбивают справа налево на классы , по три цифры в каждом ( самая левая группа цифр может состоять как из трёх , так и из одной или двух цифр ) .
Сколько знаков используется для записи чисел в десятичной	системе	?
Они образуют так называемую метрическую	систему	единиц .
В некоторых странах до сих пор используют свою	систему	единиц измерения .
Поэтому великим достижением математиков было изобретение десятичной позиционной	системы	записи чисел , хорошо вам известной .
Какие из единиц метрической	системы	больше метра , а какие меньше ? .
Изобретение десятичной	системы	заняло много веков .
Чтобы ответить на вопрос задачи , надо уметь	складывать	и вычитать дроби .
Вы уже умеете	складывать	и вычитать числа и , конечно , не считаете это слишком трудным .
Как	складывают	и вычитают смешанные дроби .
Расскажите на примерах , как	складывают	и вычитают дроби с разными знаменателями .
На примере суммы расскажите , как	складывают	смешанные дроби .
Как	складывают	и вычитают дроби с одинаковыми знаменателями и с разными знаменателями .
Числа , которые	складывают	, называют слагаемыми ; число , которое получается при сложении , называют суммой .
Выражения со	скобками	.
Рассмотрим ещё одно выражение со	скобками	, составленное из тех же чисел и таких же знаков действий , что и предыдущее .
При вычислении значения выражения со	скобками	действуют в соответствии со следующим правилом .
Упростите выражение , убрав « лишние »	скобки	.
Сформулируйте правила порядка действий для вычисления значения выражения без скобок ; содержащего	скобки	.
Если выражение содержит	скобки	, то сначала выполняют действия в скобках .
Такое преобразование выражений называют вынесением общего множителя за	скобки	.
Вынесите число 15 за	скобки	.
Представим каждое из чисел в виде произведения , в котором один из множителей равен 7 , и вынесем общий множитель 7 за	скобки	.
Понятно , что если выражение содержит	скобки	, то сначала выполняют действия в скобках , при этом учитывают все сформулированные ранее правила .
При этом различают выражения , записанные без скобок , и выражения , содержащие	скобки	.
Вынесем этот общий множитель за	скобки	.
Вынесите за	скобки	общий множитель и найдите значение выражения .
Таким образом , принятые правила порядка действий позволяют во многих случаях опускать	скобки	.
Если бы мы захотели в выражении 100:52 заменить степень произведением , то его обязательно нужно было бы заключить в	скобки	( иначе получилось бы совсем другое выражение , не равное частному 100:52 ) .
Точно так же мы не пишем	скобки	в выражениях с несколькими слагаемыми или множителями .
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того , как поставлены	скобки	, то их можно вообще не ставить и писать просто , понимая эту запись и как , и как .
Найдите значение выражения , вынося за	скобки	общий множитель : Решите задачу двумя способами .
Просто специально договорились , что умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания , и благодаря этой договорённости	скобки	можно не ставить .
В выражении расставьте	скобки	так , чтобы в результате получилось число : а ) 3 ; б ) 9 ; в ) 1 .
Для записи последовательности действий необходимо употребить	скобки	.
Вынесите за	скобки	общий множитель в выражении и найдите его значение .
Выражения без	скобок	.
Сформулируйте правила порядка действий для вычисления значения выражения без	скобок	; содержащего скобки .
Произведение трёх чисел , как и сумму , также записывают без	скобок	.
Из чисел с помощью знаков арифметических действий и	скобок	составляют числовые выражения .
Если выражение не содержит	скобок	, то сначала нужно вычислить значения всех степеней .
Если в выражении	скобок	нет , то сначала выполняют слева направо все действия умножения и деления , а потом — слева направо все действия сложения и вычитания .
Из этого правила следует , что если выражение без	скобок	содержит только действия сложения и вычитания или только действия умножения и деления , то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Но самое интересное состоит в том , что , хотя в выражении	скобок	нет , на самом деле они подразумеваются .
При этом различают выражения , записанные без	скобок	, и выражения , содержащие скобки .
При вычислении значения выражения , не содержащего	скобок	, руководствуются следующим правилом .
О смысле	скобок	.
Отсутствие обязательных	скобок	приводит к неверному результату .
О роли	скобок	как математического знака .
Каждое	слагаемое	меньше .
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить сумму на некоторое число , можно каждое	слагаемое	умножить на это число и полученные результаты сложить .
Всё « испортило »	слагаемое	10 .
Первые два её слагаемых делятся на 6 , а третье	слагаемое	на 6 не делится .
Известно , что каждое	слагаемое	в некоторой сумме делится на 16 .
Запишем эту сумму дважды , расположив во втором случае	слагаемые	в обратном порядке .
Каждое число можно представить в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Вы знаете , что умножить , например , 5 на 7 — это значит найти сумму семи	слагаемых	, каждое из которых равно 5 .
Для этого представим число 738 в виде суммы разрядных	слагаемых	и преобразуем её .
Запись числа в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Запишите число , которое представлено в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Представьте число в виде суммы разрядных	слагаемых	с помощью степеней числа 10 .
Запишите в виде суммы разрядных	слагаемых	число .
Запишите число , представленное в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Этот случай сложнее — у	слагаемых	и нет общего множителя .
7	слагаемых	.
Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух	слагаемых	, одно из которых делится на указанное число .
Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и	сложение	, вычитание многозначных чисел обычно выполняют поразрядно .
Вы , конечно , знаете , что	сложение	чисел обладает переместительным свойством : при перестановке слагаемых сумма не меняется .
Как связаны между собой	сложение	и вычитание чисел .
Выполните	сложение	и представьте результат в виде смешанной дроби .
Вы знаете , что два арифметических действия -	сложение	и умножение - выполнимы всегда , а два других — вычитание и деление - таким свойством не обладают .
Выполните	сложение	.
Вам известно также , что	сложение	обладает сочетательным свойством .
Как называются числа при	сложении	?
Из свойства нуля при	сложении	вытекают его свойства при вычитании .
Напомним , что число 0 обладает в действии сложения особым свойством : при	сложении	любого числа с нулём получается это же самое число .
В этом выражении есть числа , при	сложении	которых получаются « круглые » числа — это 44 и 56 , а также 189 и 11 .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ; число , которое получается при	сложении	, называют суммой .
Как называются компоненты действия при	сложении	?
При	сложении	нескольких чисел их можно как угодно переставлять и объединять в группы .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при	сложении	и вычитании ; свойства нуля и единицы при умножении и делении .
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при	сложении	с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Вычитание — это действие , обратное	сложению	.
Переместительное и сочетательное свойства	сложения	и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и произведений .
Для дробей , как и для натуральных чисел , справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия	сложения	: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Так как результат	сложения	трёх чисел не зависит от того , как поставлены скобки , то их можно вообще не ставить и писать просто , понимая эту запись и как , и как .
Числовое равенство , которое мы получили , иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Приведём примеры	сложения	дробей на основе этого правила .
Запишите с помощью букв переместительное и сочетательное свойства	сложения	и умножения .
Запишите с помощью букв распределительное свойство умножения относительно	сложения	и относительно вычитания .
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила	сложения	и вычитания дробей .
Рассмотренные правила	сложения	и умножения чисел полезны тем , что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения , удобные для вычислений .
Если в выражении скобок нет , то сначала выполняют слева направо все действия умножения и деления , а потом — слева направо все действия	сложения	и вычитания .
Из этого правила следует , что если выражение без скобок содержит только действия	сложения	и вычитания или только действия умножения и деления , то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Кроме действий	сложения	и вычитания , вам известны также действия умножения и деления .
Вычислите сумму , используя переместительное и сочетательное свойства	сложения	.
Не выполняя	сложения	, сравните с числом 1 сумму .
Просто специально договорились , что умножение и деление выполняются раньше	сложения	и вычитания , и благодаря этой договорённости скобки можно не ставить .
Переместительное свойство	сложения	.
Сочетательное свойство	сложения	.
Связь	сложения	и вычитания . 1 ) Используя равенство , найдите : 2 ) С помощью сложения проверьте , верно ли равенство .
Из этого примера понятно правило	сложения	дробей с одинаковыми знаменателями .
Два других « участника » вычитания имеют в отличие от	сложения	разные названия : уменьшаемое и вычитаемое — « то , что уменьшают » и « то , что вычитают » .
Сформулируйте правила	сложения	и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и запишите их в буквенном виде .
С помощью букв свойства	сложения	и умножения можно записать так .
Как можно упрощать вычисления , используя свойства	сложения	и умножения чисел .
Точнее , его следует называть так : распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
17 Свойства	сложения	и умножения .
Новое свойство , с которым вы познакомитесь , является « совместным » свойством	сложения	и умножения .
Если требуется найти сумму или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами	сложения	и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Запишем число 2 в виде суммы натурального числа и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом	сложения	дробей .
Напомним , что число 0 обладает в действии	сложения	особым свойством : при сложении любого числа с нулём получается это же самое число .
С помощью этих цифр с применением	сложения	и вычитания в римской нумерации записывают и другие числа .
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило	сложения	таких дробей .
Свойства	сложения	и умножения .
Используя буквы , правило	сложения	дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так .
Такую возможность при вычислениях дают свойства	сложения	и умножения .
Связь сложения и вычитания . 1 ) Используя равенство , найдите : 2 ) С помощью	сложения	проверьте , верно ли равенство .
Заметим , что для сложения и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для	сложения	и вычитания натуральных чисел .
Заметим , что для	сложения	и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания натуральных чисел .
Чему равны объёмы тел ,	сложенных	из одинаковых кубиков , если объём одного кубика равен 1 кубической единице ( 1 куб .
Бруски , из которых	сложены	параллелепипеды , одинаковы и имеют измерения 8 см , 4 см , 2 см. Вычислите объёмы параллелепипедов .
Сделайте это двумя способами : а )	сложив	объёмы соответствующих брусков ; б ) перемножив измерения параллелепипедов .
Бруски размером 2 дм , 4 дм , 8 дм	сложили	штабелем .
Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки	сложили	в ящик в 4 слоя .
Из получившихся равных прямоугольных треугольников	сложили	прямоугольник .
Из кубиков с ребром 2 см	сложили	параллелепипед .
Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов	сложите	многоугольник .
Возьмите шесть одинаковых кубиков и	сложите	из них разные прямоугольные параллелепипеды .
Вырежите фигуру из бумаги и	сложите	.
Во введении к этой главе рассказана история маленького Гаусса , который удивительно быстро сумел	сложить	числа от 1 до 100 .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно	сложить	длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты	сложить	; получим сумму .
Чтобы	сложить	дроби с одинаковыми знаменателями , нужно сложить их числители , а знаменатель оставить прежним .
Сколько таких прямоугольников можно	сложить	?
Сколько всего параллелепипедов можно	сложить	?
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить сумму на некоторое число , можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты	сложить	.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями , нужно	сложить	их числители , а знаменатель оставить прежним .
Из 12 кубиков с ребром 5 см можно	сложить	4 разных прямоугольных параллелепипеда .
Конечно , можно было бы последовательно выполнить два указанных действия — сначала	сложить	дроби , а затем из результата вычесть .
Заметим , что	сложить	можно любые два числа , а разность двух натуральных чисел можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
В такие коробки надо	сложить	250 вилок .
Однажды в Германии в конце XVIII в . , для того чтобы заставить учеников поработать , учитель дал им задание -	сложить	все числа от 1 до 100 .
Заметив это , легко	сложить	числа устно .
Возьмите три таких проволочных квадрата и попробуйте	сложить	из них многогранник .
Пусть , например ,	собственная	скорость лодки ( скорость в стоячей воде ) равна 7 км / ч , а скорость течения реки — 2 км / ч .
Какое расстояние проплыл катер , если его	собственная	скорость равна 15 км / ч , а скорость течения реки — 3 км / ч ?
а ) Найдите скорость лодки по течению реки и против течения , если её	собственная	скорость 8 км / ч , а скорость течения реки 1 км / ч . б ) Скорость лодки по течению реки равна 17 км / ч , а скорость течения реки равна 2 км / ч .
Сколько времени заняла вся прогулка , если	собственная	скорость катера 15 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно , если	собственная	скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом , если	собственная	скорость теплохода равна 25 км / ч , а скорость течения реки равна 3 км / ч ? .
Сколько времени затратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно , если	собственная	скорость лодки 12 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через 15 мин , если	собственная	скорость лодки 9 км / ч ?
Тогда скорость , с которой лодка плывёт по течению , складывается из её	собственной	скорости и скорости течения .
А скорость , с которой лодка плывёт против течения реки , получается вычитанием из	собственной	скорости лодки скорости течения реки .
Найдите : а ) скорость течения реки ; б )	собственную	скорость катера .
Катер , имеющий	собственную	скорость 15 км / ч , проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения .
Два тракториста вспахали поле за б ч	совместной	работы .
Сколько конвертов останется им надписать через 2 ч	совместной	работы ? .
Решив задачу с новым условием , мы получили тот же самый ответ : при	совместной	работе мастерские смогут переплести 1200 книг по - прежнему за 6 дней .
4 ) 6 ( дн . ) — за столько дней переплетут книги мастерские при	совместной	работе .
Следующая задача решается так же , как и задача на	совместную	работу .
Используя эти данные , составьте задачу на	совместную	работу и решите её .
38 Задачи на	совместную	работу .
Какой приём используют при решении задач на	совместную	работу .
Вам уже встречались так называемые задачи на	совместную	работу .
Задачи на	совместную	работу .
Подобным образом и рассуждают обычно при решении задач на	совместную	работу .
Новое свойство , с которым вы познакомитесь , является «	совместным	» свойством сложения и умножения .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или	совпадающая	с ней .
Если при наложении одного угла на другой они	совпадут	, то эти углы равны .
Транспортир накладывают на угол так , чтобы вершина угла	совпала	с центром транспортира , а одна из сторон угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
Сложите его так , чтобы стороны угла	совпали	.
Сравните дроби ,	сократив	их ; запишите результат с помощью знака > , < или равно .
Говорят , что дробь —	сократили	.
Выполните деление и	сократите	полученную дробь .
Найдите сумму или разность дробей и , если возможно ,	сократите	результат .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений , содержащих одинаковые множители , и	сократите	дробь .
Этот перебор можно	сократить	, если , отыскав один делитель , записать сразу же и другой , являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель .
Сократите те из них , которые можно	сократить	.
Используя признаки делимости , докажите , что дробь можно	сократить	, и выполните сокращение .
Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь привести к новому знаменателю ; б ) как	сократить	дробь .
Чтобы	сократить	дробь , её числитель и знаменатель нужно разделить на их общий делитель .
Не всякую дробь можно	сократить	.
Можно ли	сократить	дробь ?
Например , полученную выше дробь	сократить	нельзя , так как её числитель и знаменатель не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Если после выполнения действий получается сократимая дробь , то её обычно	сокращают	.
Как	сокращают	дроби .
Начертите такую же	спираль	, но « раскручивающуюся » в противоположную сторону .
Перечертите в тетрадь	спираль	и продолжите её « раскручивание » .
На	средней	полке на 4 книги меньше , чем на верхней , и на 2 книги больше , чем на нижней полке .
На	средней	— книги по рукоделию ; их на 6 меньше , чем книг по рисованию .
Он завещал старшему половину ,	среднему	четвёртую часть , а младшему пятую .
Братья легко разделили между собой 20 верблюдов : старший получил 10 ,	средний	— 5 , а младший - 4 верблюда .
Нижняя полка . 1 ) « Уравняйте » число книг на полках по верхней полке : « добавьте » на	среднюю	полку 4 книги , а на нижнюю 6 книг .
Если выражение не содержит скобок , то сначала нужно вычислить значения всех	степеней	.
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых с помощью	степеней	числа 10 .
Выражения 52 , 53 , 54 — это примеры	степеней	.
Представьте в виде	степени	выражение .
В десятичной системе счисления важное значение имеют	степени	числа 10 .
Выражения , содержащие	степени	.
Показатель степени ; основание	степени	.
Понятие	степени	.
Назовите основание	степени	; показатель степени .
Степень : показатель	степени	; основание степени .
Степень : показатель степени ; основание	степени	.
а ) Представьте в виде	степени	числа 10 . б )
Основание	степени	— это повторяющийся множитель , а показатель степени равен числу « повторений » , т .
Действительно , перспектива - это изображение предметов в соответствии с тем кажущимся изменением их величины и очертаний , которое зависит от	степени	отдалённости от зрителя .
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение	степени	, а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в квадрат .
Упростите выражение , используя	степени	.
Запишите в виде	степени	.
Определите последнюю цифру	степени	232 , 249 , 262 , 283 .
Представьте в виде	степени	числа 2 .
Читают выражение 54 так : « Пять в четвёртой	степени	» .
Для записи числа в виде суммы разрядных слагаемых используют	степени	числа 10 .
Для вычисления значений выражений , содержащих	степени	, мы будем пользоваться уже известными правилами ( ведь степень — это произведение ! ) .
Показатель	степени	; основание степени .
Основание степени — это повторяющийся множитель , а показатель	степени	равен числу « повторений » , т .
Найдите значение	степени	.
В этом выражении число 5 — основание степени , а число 4 — показатель	степени	.
Например , запись 32 читают так : « Три во второй	степени	» или « Три в квадрате » .
Так , запись 43 читают : « Четыре в третьей	степени	» или « Четыре в кубе » .
Найдите сами короткий способ вычисления	степени	6002 , воспользовавшись найденным приёмом вычисления .
Например , иногда полезно знать , что пользуясь этими равенствами , вычислите : 1 ) Вычислим значение	степени	1202 , воспользовавшись сочетательным свойством умножения .
Так как 14400 , то найти значение	степени	1202 можно так : возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля .
Назовите основание степени ; показатель	степени	.
В этом выражении число 5 — основание	степени	, а число 4 — показатель степени .
Как вы думаете , сколько делителей имеет пятая	степень	простого числа ?
шестая	степень	?
десятая	степень	? .
Сравните числа : m и m2 ; m2 и m3 . 3 ) Как меняется число при возведении его в	степень	, если оно больше 1 ?
Для вычисления значений выражений , содержащих степени , мы будем пользоваться уже известными правилами ( ведь	степень	— это произведение ! ) .
Вторую	степень	числа называют также квадратом этого числа .
четвёртая	степень	простого числа ?
Чтобы найти значение выражения 54 , или , как говорят иначе , возвести 5 в четвёртую	степень	, надо вычислить произведение .
« Градус » — слово латинского происхождения , и означает оно шаг , ступень ,	степень	.
б ) при возведении числа 2 в	степень	получается число , оканчивающееся цифрой 4 , цифрой 8 или цифрой 6 .
Третью	степень	числа называют кубом этого числа .
Вычисление значений выражений , содержащих	степень	.
Сначала выполним возведение в	степень	.
Если бы мы захотели в выражении 100:52 заменить	степень	произведением , то его обязательно нужно было бы заключить в скобки ( иначе получилось бы совсем другое выражение , не равное частному 100:52 ) .
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют	степенью	, поэтому разложение числа 90 на простые множители выглядит так .
У внутренней и у внешней шкал транспортира начало отсчёта располагается с разных	сторон	.
Периметр прямоугольника , как и любого многоугольника , равен сумме длин его	сторон	.
Найдите на шкале начало отсчёта — метку 0 — и отметьте точку А. Эта точка лежит на одной из	сторон	угла .
Транспортир накладывают на угол так , чтобы вершина угла совпала с центром транспортира , а одна из	сторон	угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
Начертите в тетради какой - нибудь прямоугольник с периметром , равным 24 см. Укажите длины его	сторон	.
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить длины смежных	сторон	и умножить эту сумму на 2 .
а ) Сумма всех	сторон	прямоугольника равна 48 см. Его длина на 4 см больше ширины .
Периметр обычно обозначают буквой Р. Периметр многоугольника равен сумме длин всех его	сторон	.
Площадь прямоугольника равна 600 м2 , а одна из	сторон	равна : а ) 30 м ; б ) 60 м ; в ) 120 м .
Так как у квадрата все стороны равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его	сторон	и полученное значение возвести в квадрат .
Каковы длины	сторон	каждого из этих прямоугольников ? .
Постройте треугольник АВС , где угол А равен 135 ° , сторона АВ имеет длину 3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из	сторон	этого треугольника является наибольшей ? .
а ) Площадь комнаты прямоугольной формы 19 м2 , длина одной из её	сторон	5 м .
Начертите треугольник , длины	сторон	которого различны .
Вид треугольника определяется не только числом равных	сторон	, но и величиной его углов .
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько	сторон	, а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково .
а ) Периметр прямоугольника равен 30 см , одна из его	сторон	в 4 раза больше другой .
Периметр прямоугольника равен 28 см , одна из его	сторон	на 2 см больше другой .
Какими могут быть длины его	сторон	, если они выражены в сантиметрах ?
Для каждого варианта длин	сторон	вычислите периметр прямоугольника .
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных	сторон	.
В основании пирамиды может лежать многоугольник с любым количеством	сторон	.
Называют пирамиду по числу	сторон	её основания : треугольная , четырёхугольная , шестиугольная и т .
И это выполняется для каждой из его	сторон	.
Найдите площадь прямоугольника , если одна из его	сторон	равна 25 см , а про другую известно , что она : а ) на 7 см меньше ; б ) в 2 раза больше .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других	сторон	.
Но и	сторон	у него тоже шесть , да и вершин столько же .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных	сторон	четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон .
Вы знаете , что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных	сторон	.
Проведём прямую , на которой лежит какая - нибудь из	сторон	выпуклого многоугольника .
И вообще у любого многоугольника столько же вершин и	сторон	, сколько у него углов .
Пусть	сторона	клетки тетради изображает 1 м .
Если сторона квадрата 10 м , то его площадь 1 а ; если	сторона	квадрата 100 м , то его площадь 1 га .
Тогда другая	сторона	угла укажет величину угла в градусах .
Что больше : диагональ квадрата или его	сторона	?
Чему равна	сторона	квадрата , если его площадь равна : а ) 49 м2 ; б ) 64 см2 ? .
Вычислите периметр квадрата ,	сторона	которого равна : а ) 5 см ; б ) 7 см 5 мм ; в ) 10 см 3 мм .
Чему равна его	сторона	? .
Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его	сторона	? .
Постройте треугольник АВС , где угол А равен 135 ° , сторона АВ имеет длину 3 см , а	сторона	ВС — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей ? .
Постройте треугольник АВС , где угол А равен 135 ° ,	сторона	АВ имеет длину 3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей ? .
Чему равна другая его	сторона	? .
Если	сторона	квадрата 10 м , то его площадь 1 а ; если сторона квадрата 100 м , то его площадь 1 га .
Вы видите , что существует такая прямая , на которой лежит	сторона	многоугольника и которая разбивает его на части , расположенные по разные от этой прямой стороны .
Перечертите развёртку на лист клетчатой бумаги , увеличив так , чтобы	сторона	каждого квадрата была равна 3 см .
В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см , а боковая	сторона	равна 6 см. Найдите длину основания .
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два треугольника равны , если две стороны одного треугольника равны двум	сторонам	другого треугольника .
Древние строители возводили храмы , подчиняясь ряду правил : здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и располагаться по	сторонам	света .
Начертите два треугольника так , чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами , а у другого принадлежали его	сторонам	.
Классификация треугольников по	сторонам	.
цветом выделен прямоугольник со	сторонами	м .
Найдём , например , периметр прямоугольника со	сторонами	2 см и 3 см .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми	сторонами	, а третью сторону — основанием .
Начертите прямоугольник со	сторонами	4 клетки и 6 клеток и с помощью этого рисунка покажите , что . Расскажите , используя пример : а ) как дробь привести к новому знаменателю ; б ) как сократить дробь .
Чему равен периметр прямоугольника со	сторонами	, равными 3 м 45 см и 1 м 70 см ? .
Постройте по описанному алгоритму прямоугольник со	сторонами	3 см и 4 см .
Лучи АВ и АС называют	сторонами	угла , точку А — его вершиной .
Получался треугольник со	сторонами	3 , 4 и 5 , один из углов которого прямой .
Вычислите периметр прямоугольника со	сторонами	: а ) 4 см и 9 см ; б ) 22 м и 14 м .
Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром , но с другими	сторонами	.
Найдём площадь прямоугольника со	сторонами	м и м , опираясь на геометрические соображения .
Какие углы образует диагональ со	сторонами	квадрата ?
а ) прямоугольника со	сторонами	5 см 6 мм и 7 см 9 мм . б ) квадрата со стороной 1 м 56 см .
а ) прямоугольник со	сторонами	, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм . б ) квадрат со стороной 4 см 8 мм .
Концы отрезков — точки А , В , С , D и Е — называются вершинами ломаной , а сами отрезки — её	сторонами	или звеньями .
Начертите прямоугольник ABCD со	сторонами	5 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника .
а ) равностороннего треугольника со стороной 8 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием 25 мм и боковыми	сторонами	, равными 45 мм .
Фундамент имеет форму прямоугольника со	сторонами	12 м и 10 м .
а ) На прямоугольном участке земли со	сторонами	50 м и 35 м хотят разместить прямоугольный бассейн , имеющий длину 20 м и ширину 7 м .
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого величина угла между боковыми	сторонами	равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
б ) На прямоугольном участке земли со	сторонами	20 м и 30 м заложили фундамент для дома .
Точки А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их отрезки — его	сторонами	, углы ABC , BCD , CDA , DAB — углами четырёхугольника .
а ) прямоугольника со	сторонами	6 см и 4 см . б ) квадрата со стороной 7 см .
а ) квадрат со стороной 2 см . б ) прямоугольник со	сторонами	12 см и 5 см .
Поле имеет форму прямоугольника со	сторонами	500 м и 380 м .
а ) прямоугольник со	сторонами	7 см и 4 см . б ) квадрат со стороной 45 мм .
Построим прямоугольник со	сторонами	, равными 2 см и 3 см. Для этого .
Начертите на клетчатой бумаге прямоугольник со	сторонами	7 см 5 мм и 3 см .
Чему равна площадь прямоугольника со	сторонами	, равными 1 м и 40 см ? .
Чему равен периметр треугольника АВС со	сторонами	.
На	сторонах	угла А циркулем отложите равные отрезки .
Найдите на этой же шкале метку 70 и отметьте там ещё одну точку — В , она лежит на второй	стороне	угла .
На его горизонтальной	стороне	указали погоду , на его вертикальной стороне , выбрав единицу измерения , отметили число дней и построили три столбика .
Назовите угол , противолежащий	стороне	ВС ; стороне АВ .
Назовите угол , противолежащий стороне ВС ;	стороне	АВ .
На его горизонтальной стороне указали погоду , на его вертикальной	стороне	, выбрав единицу измерения , отметили число дней и построили три столбика .
Назовите углы , прилежащие к	стороне	АС .
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной	стороне	; б ) два треугольника равны , если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника .
Отложите на одной	стороне	угла отрезок АВ , равный 2 см , а на другой — отрезок AD , равный 3 см. 3 )
Какой	стороне	треугольника равна диагональ прямоугольника ? .
а ) равностороннего треугольника со стороной 12 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием , равным 7 см , и боковой	стороной	, равной 13 см .
а ) прямоугольника со сторонами 5 см 6 мм и 7 см 9 мм . б ) квадрата со	стороной	1 м 56 см .
Чему равна площадь квадрата со	стороной	5 см ?
Квадрату со	стороной	один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со стороной один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Найдём площадь квадрата со	стороной	.
За единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со	стороной	, равной единичному отрезку .
Запишите выражение для нахождения площади квадрата со	стороной	: 1 см , 2 дм , 10 см , 12 м .
Вырежьте из бумаги четыре равных квадрата со	стороной	3 см. Сложите из них : а ) квадрат ; б ) прямоугольник .
а ) прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см . б ) квадрат со	стороной	45 мм .
Квадрату со стороной один метр ( 1 м ) соответствует единица площади квадратный метр ( 1 м2 ) , а квадрату со	стороной	один сантиметр ( 1 см ) соответствует единица площади квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Изображён квадрат со	стороной	1 м .
а ) прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см . б ) квадрата со	стороной	7 см .
Угол , который образует биссектриса с одной	стороной	данного угла , равен 16 ° .
Вырежите из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со	стороной	, равной 4 клеткам .
а ) равностороннего треугольника со	стороной	8 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием 25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
Найдите площадь квадрата со	стороной	: 9 м ; 11 см .
а ) равностороннего треугольника со	стороной	12 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием , равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
а ) квадрат со	стороной	2 см . б ) прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см .
а ) прямоугольник со сторонами , равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм . б ) квадрат со	стороной	4 см 8 мм .
Каждый из прямоугольников разбит на квадраты со	стороной	1 см .
Изображена арена , покрытая квадратной сеткой со	стороной	квадрата 1 м .
Начертите два угла с общей	стороной	так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой угол ; в ) острый угол .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а третью	сторону	— основанием .
Начертите такую же спираль , но « раскручивающуюся » в противоположную	сторону	.
Найдите	сторону	КТ .
В таких случаях число округляют « в большую	сторону	» , т .
Весь многоугольник лежит по одну	сторону	от этой прямой .
Измерьте	сторону	, противолежащую прямому углу .
Площадь прямоугольника ABCD , с одной	стороны	, равна произведению , а с другой — разности .
а ) Периметр прямоугольника равен 36 см , длина одной стороны — 10 см. Найдите длину смежной	стороны	.
а ) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите длину боковой	стороны	.
Постройте равнобедренный треугольник , если . а ) боковые	стороны	треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
Найдите	стороны	прямоугольника .
Измерьте и запишите величину тупого угла и длину наибольшей	стороны	треугольника .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник , у которого	стороны	, образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
Укажите боковые	стороны	и основание каждого треугольника .
Измерьте	стороны	и углы треугольника .
Покажите на чертеже и назовите их равные	стороны	и равные углы .
Найдите длину большей его	стороны	.
Площадь спортивного зала прямоугольной формы 132 м2 , длина меньшей его	стороны	равна 10 м .
Найдите длину другой её	стороны	.
При этом углы при основании поменяются местами , но так как боковые	стороны	равны , то треугольники полностью совместятся .
Проведите отрезок ВС Треугольник АВС — равнобедренный , АВ и АС — боковые	стороны	, ВС — основание треугольника .
Его	стороны	специальных названий не имеют , так как они все одинаковые .
Треугольник , у которого равны все	стороны	, называют равносторонним .
Треугольник АВС — равнобедренный , его боковые	стороны	— АВ и ВС , а основание — АС .
Чтобы найти площадь квадрата , надо длину его	стороны	возвести в квадрат .
Так как у квадрата все	стороны	равны , то для нахождения его площади достаточно измерить любую из его сторон и полученное значение возвести в квадрат .
Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты , достаточно измерить	стороны	прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить .
а ) у любого треугольника все	стороны	равны .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные	стороны	равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
Если треугольник имеет две равные	стороны	, то его называют равнобедренным .
В каждом треугольнике три	стороны	, причём некоторые из них могут быть равны .
Если	стороны	прямоугольника равны , то его площадь должна быть равна ( м2 ) .
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два треугольника равны , если две	стороны	одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника .
Постройте равнобедренный треугольник , если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые	стороны	равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
б ) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё согнули треугольник , две	стороны	которого равны 5 см и б см. Что вы можете сказать об этом треугольнике ? .
а ) Периметр прямоугольника равен 36 см , длина одной	стороны	— 10 см. Найдите длину смежной стороны .
Назовите все вершины , все	стороны	и все углы четырёхугольника .
Задача - исследование . 1 ) Сколько углов , равных 60 ° и имеющих общую вершину и общие с соседями	стороны	, можно построить ? .
Она разбивает прямую на два луча , которые идут от точки О в разные	стороны	по двум направлениям .
Вы видите , что существует такая прямая , на которой лежит сторона многоугольника и которая разбивает его на части , расположенные по разные от этой прямой	стороны	.
Прямая неограниченно продолжается в обе	стороны	.
Назовите равные	стороны	и равные углы каждого многоугольника Скопируйте эти многоугольники в тетрадь .
1 Начертите прямоугольный треугольник , у которого	стороны	, образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см .
5 Найдите периметр треугольника , имеющего	стороны	2 см 5 мм , 3 см , 4 см 7 мм .
Так как у прямоугольника противоположные	стороны	равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2 .
Таким образом , у квадрата все углы прямые и все	стороны	равны .
Сложите его так , чтобы	стороны	угла совпали .
Прямоугольник , у которого все	стороны	равны , называют квадратом .
Эти	стороны	прямоугольника иногда называют длиной и шириной .
У прямоугольника противоположные стороны равны , а две смежные ( соседние )	стороны	могут быть различны .
У прямоугольника противоположные	стороны	равны , а две смежные ( соседние ) стороны могут быть различны .
Вершины этих многоугольников являются вершинами многогранника , а	стороны	— рёбрами многогранника .
Найдите четырёхугольник , не являющийся квадратом , у которого все	стороны	равны .
Найдите четырёхугольники , у которых есть : а ) прямой угол ; б ) равные	стороны	.
Так , например , если	стороны	двух квадратов равны , то и сами квадраты равны .
Сооружения , похожие на египетские пирамиды ,	строили	и древние майя , жившие на американском континенте .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их	строили	.
Для этого надо было уметь	строить	прямой угол , квадрат , прямоугольный треугольник .
Древние люди умели не только	строить	, но и находить объёмы некоторых пространственных тел .
Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования	сумм	и произведений .
Вычисление	сумм	и разностей .
кратные 4 , также можно записать в виде подобных	сумм	, только в качестве второго слагаемого следует взять число 0 .
Вычисление	сумм	.
Каково же было его удивление , когда уже через несколько минут один из учеников сказал ответ :	сумма	равна 5050 .
Очевидно , что	сумма	равна 392 .
Вы , конечно , знаете , что сложение чисел обладает переместительным свойством : при перестановке слагаемых	сумма	не меняется .
Значит , искомая	сумма	равна 55 .
Известно , что	сумма	чисел а и b равна числу с.
Выясним , делится ли на 7 их	сумма	.
а ) если	сумма	делится на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это число .
Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то и	сумма	делится на это число .
Докажите , что	сумма	: а ) двух чётных чисел — чётное число ; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное число .
А верно ли утверждение : если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число , то и	сумма	не делится на это число ?
Можно ли утверждать , что эта	сумма	не делится на 5 ? .
Следовательно , и вся	сумма	делится на 9 .
а ) Может ли	сумма	двух простых чисел быть простым числом ? .
В каждом случае во вторых скобках была записана	сумма	цифр взятого числа .
И результат зависел от того , делится ли эта	сумма	на 9 .
а )	сумма	произведения 24 и 11 и частного 96 и 3 . б ) разность числа 510 и суммы чисел 236 и 128 .
Если	сумма	цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если	сумма	цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Сколько лет каждому , если	сумма	их возрастов 103 года ? .
Докажите , не выполняя действий , что сумма делится на 2 , на 3 и на 4 : Делится ли	сумма	.
Подберите такие три числа , чтобы при подстановке каждого из них вместо буквы а	сумма	.
Найдите три последовательных числа ,	сумма	которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а ) Сумма двух чисел 96 , а разность 18 .
Условия , при которых	сумма	и произведение нескольких чисел делятся на данное число .
Слагаемые 11 , 17 и 22 не делятся на 5 , а их	сумма	на это число делится .
Поэтому и	сумма	, равная 112 , на 6 не делится .
Значит ,	сумма	меньше 1 , т .
в ) делится ли на 10	сумма	.
а )	сумма	на 3 ?
б )	сумма	на 5 ?
Число делится на 9 в том и только том случае , если	сумма	цифр этого числа делится на 9 .
Так как	сумма	равна произведению , то она делится на 7 .
Докажите , не выполняя действий , что	сумма	делится на 2 , на 3 и на 4 : Делится ли сумма .
Если одно из слагаемых не делится на некоторое число , а остальные делятся , то	сумма	на это число не делится .
Нужно только помнить , что смешанная дробь — это	сумма	натурального числа и дроби .
Слагаемые ,	сумма	.
Число делится на 3 в том и только том случае , если	сумма	цифр этого числа делится на 3 .
Правда , применяется оно чаще всего справа налево , в результате чего	сумма	( или разность ) заменяется равным ей произведением .
а ) делится ли на 2	сумма	.
	Сумма	этих дробей равна натуральному числу .
Длина ломаной равна	сумме	длин отрезков , из которых она состоит .
Известно , что каждое слагаемое в некоторой	сумме	делится на 16 .
Развёрнутый угол равен	сумме	двух прямых углов , а прямой угол составляет половину развёрнутого .
Оно состоит в том , что в	сумме	трёх чисел можно объединять в группу как первые два слагаемых , так и последние два — результат будет одним и тем же .
Периметр обычно обозначают буквой Р. Периметр многоугольника равен	сумме	длин всех его сторон .
Периметр прямоугольника , как и любого многоугольника , равен	сумме	длин его сторон .
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с , которое в	сумме	с числом b даёт число а .
Слагаемые в данной	сумме	— это произведения , каждое из которых содержит в качестве множителя одно и то же число 12 .
Каждая пара чисел , расположенных друг под другом , в	сумме	даёт 11 , а всего таких пар 10 .
В первой	сумме	оба слагаемых делятся на 5 , значит , и число 485 делится на 5 .
С	суммой	связано ещё одно полезное свойство делимости .
Пусть , например , требуется найти разность между числом 12 и	суммой	чисел 7 и 3 .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ; число , которое получается при сложении , называют	суммой	.
Назовите свойства , на основании которых выполнены преобразования , и вычислите	сумму	.
Найдите	сумму	всех шести записанных чисел .
Не вычисляя	сумму	, сравните её с числом 10 .
Вычислите	сумму	, используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
Запишите	сумму	в виде смешанной дроби .
Найдём	сумму	.
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени , а затем вычислили	сумму	; во втором случае мы сначала вычислили сумму , а уж потом возвели её в квадрат .
Если требуется найти	сумму	или разность дробей , знаменатели которых различны , то сначала их следует привести к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Запишите короче	сумму	и произведение .
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени , а затем вычислили сумму ; во втором случае мы сначала вычислили	сумму	, а уж потом возвели её в квадрат .
Сравним с 1	сумму	.
Не выполняя сложения , сравните с числом 1	сумму	.
Найдём	сумму	дробей .
Найдите	сумму	членов этой последовательности .
Если слагаемые обозначить буквами а и b , то их	сумму	можно записать так : a + b .
А теперь найдём	сумму	чисел 21035 , 3440 и 880927 .
Найдём	сумму	чисел 10835 и 874 .
Вычислим	сумму	.
Заменив	сумму	произведением мы получили выражение , значение которого можно уже вычислить устно .
Заметим , что распределительное свойство справедливо и в том случае , когда число умножается на	сумму	трёх и более слагаемых .
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить	сумму	на некоторое число , можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим	сумму	.
Чтобы понять , как , быть может , рассуждал Гаусс , разберём более простую задачу : найдём	сумму	чисел от 1 до 10 .
Запишем эту	сумму	дважды , расположив во втором случае слагаемые в обратном порядке .
	Сумму	всех нечётных чисел от 1 до 99 .
а )	сумму	первых десяти нечётных чисел .
Попробуйте теперь сами найти	сумму	, которую так быстро вычислил Гаусс .
Вычислите	сумму	, используя приём Гаусса .
Вычислите удобным способом	сумму	.
Найдите	сумму	.
Вычислите	сумму	сгруппировав слагаемые иначе .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить длины смежных сторон и умножить эту	сумму	на 2 .
Найдите	сумму	площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см , ширина — 4 см , высота — 3 см .
Вы знаете , что	сумму	, в которой все слагаемые равны , можно записать короче - в виде произведения .
Найдите	сумму	или разность дробей и , если возможно , сократите результат .
Вы знаете , что умножить , например , 5 на 7 — это значит найти	сумму	семи слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Рассмотрите	сумму	.
Сравним	сумму	375 + 197 с числом 600 .
Найдите	сумму	чисел .
Произведение трёх чисел , как и	сумму	, также записывают без скобок .
а )	сумму	наибольшего четырёхзначного числа и наибольшего пятизначного числа .
Запишите число , представленное в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Запись числа в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Проиллюстрируйте эти правила на примерах	суммы	и разности .
Запишем число 2 в виде	суммы	натурального числа и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
Какая часть	суммы	осталась ? »
Вот пример такой задачи : « На покупку волейбольных мячей истратили всей имевшейся	суммы	, на покупку скакалок — четвёртую часть .
Каждое число можно представить в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Составьте все возможные	суммы	и разности из чисел .
Сначала узнаем , какую часть всей	суммы	составляют 100 р .
На примере	суммы	расскажите , как складывают смешанные дроби .
— это — всей	суммы	.
Прочитайте смешанную дробь , запишите её в виде	суммы	целой и дробной частей .
На тетради она истратила этой	суммы	, а на учебники — остатка .
Запишите в виде	суммы	разрядных слагаемых число .
В итоге она истратила половину	суммы	.
Оля истратила треть имевшейся у неё	суммы	денег , а потом ещё 100 р .
Возьмём числа 485 и 486 и представим каждое из них в виде	суммы	двух слагаемых .
Для решения задач полезно знать некоторые свойства делимости	суммы	и произведения нескольких чисел .
Делимость	суммы	.
Для этого достаточно представить число 684 в виде	суммы	, в которой каждое слагаемое делится на 6 .
Представьте число 2125 : а ) в виде суммы двух четырёхзначных чисел ; б ) в виде	суммы	трёх трёхзначных чисел .
Найдите приближённое значение	суммы	, округлив слагаемые до старшего разряда .
Интересно , что когда говорят о соответствующем свойстве делимости	суммы	, то вспоминают поговорку о ложке дёгтя в бочке мёда .
В самом деле , рассмотрим равенство , представляющее число 50 в виде	суммы	трёх слагаемых .
а ) Назовите четыре делителя	суммы	.
Укажите ещё несколько делителей этой	суммы	.
Пользуясь оценкой , сравните значение каждой	суммы	с данным числом .
Представьте число в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Делимость	суммы	и произведения .
22 Делимость	суммы	и произведения .
а ) сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3 . б ) разность числа 510 и	суммы	чисел 236 и 128 .
Для этого представим число 738 в виде	суммы	разрядных слагаемых и преобразуем её .
Вычислим значение	суммы	.
Эти равенства подсказывают приём вычисления	суммы	последовательных нечётных чисел .
Для записи числа в виде	суммы	разрядных слагаемых используют степени числа 10 .
Рассмотренные правила сложения и умножения чисел полезны тем , что позволяют преобразовывать	суммы	и произведения в выражения , удобные для вычислений .
Представим теперь таким же образом в виде	суммы	число 736 .
Числа трёх других классов можно записать в виде	суммы	, в которой одно слагаемое — произведение неполного частного и делителя , а другое — остаток .
Запишите число , которое представлено в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Представьте число в виде	суммы	разрядных слагаемых с помощью степеней числа 10 .
Представление числа в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Представьте рассматриваемое число в виде	суммы	двух слагаемых , одно из которых делится на указанное число .
Представьте число 2125 : а ) в виде	суммы	двух четырёхзначных чисел ; б ) в виде суммы трёх трёхзначных чисел .
В переводе с греческого «	сфера	» означает « шар » , а мы называем сферой только поверхность шара .
Поверхность шара называется	сферой	, а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
В переводе с греческого « сфера » означает « шар » , а мы называем	сферой	только поверхность шара .
Сколько граней параллелепипеда	сходится	в каждой вершине ?
2 ) Сколько рёбер	сходится	в вершине А ?
Назовите вершины , в которых	сходятся	: а ) и видимые , и невидимые рёбра ; б ) только видимые рёбра ; в ) только невидимые рёбра .
Боковые грани — треугольники ,	сходящиеся	в одной вершине , а основание — многоугольник , противолежащий этой вершине .
Примером перспективы может служить изображение на фотографии : рельсы кажутся	сходящимися	в одной точке , что и создаёт иллюзию объёмного изображения .
Определите число рёбер и число граней куба ,	сходящихся	в каждой его вершине .
Вы все знакомы с такими таблицами , как расписание уроков ,	таблица умножения	, страница школьного дневника , таблица первенства по футболу , таблица результатов шахматного турнира , календарь , программа передач телевидения , расписание движения автобусов и поездов .
Помните : чтобы легко выполнять умножение чисел , нужно прежде всего хорошо знать	таблицу умножения	.
Поверхность шара называется сферой , а для поверхностей других геометрических	тел	специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
Среди множества геометрических	тел	есть большая группа многогранников .
Изображение пространственных	тел	.
С давних пор люди искали различные способы изображения объёмных	тел	, передающие ощущение глубины пространства .
Названия многих геометрических	тел	произошли от соответствующих предметов .
Поверхности каких геометрических	тел	состоят не только из плоских частей ?
Что среди пространственных	тел	выделяют многогранники .
Найдите объёмы	тел	.
Древние люди умели не только строить , но и находить объёмы некоторых пространственных	тел	.
Чему равны объёмы	тел	, сложенных из одинаковых кубиков , если объём одного кубика равен 1 кубической единице ( 1 куб .
39 Геометрические	тела	и их изображение .
Геометрические	тела	и их изображение .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические	тела	, например куб , цилиндр , шар , конус .
Геометрические	тела	.
Точно так же поверхность каждого геометрического	тела	разбивает пространство на внутреннюю и внешнюю области .
Границей этих областей служит поверхность	тела	.
Вам хорошо знаком градус Цельсия как единица измерения температуры , например температура воздуха 25 ° С или температура	тела	больного 38 ° С .
А как изображают пространственные	тела	в геометрии ? .
Многие небесные	тела	имеют форму , близкую к форме шара .
Есть ли среди них	тела	с равными объёмами ? .
Рисуем пространственные	тела	.
Запишите координаты	точек	, отмеченных на координатной прямой .
На прямой отметили пять	точек	: А , В , С , D и Е. Сколько всего получилось отрезков ? .
Какие из	точек	, отмеченных на координатной прямой , изображают правильные дроби ?
Прямую с отмеченными точками , которые изображают числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной прямой ; сами числа называют координатами отмеченных	точек	.
Сколько	точек	попарного пересечения прямых у вас получилось ? .
Сколько	точек	самопересечения имеет каждая из них ? .
Рассмотрите различные случаи расположения	точек	на прямой .
Одну из	точек	пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до точки А ; б ) от точки С до точки В ? .
Найдите координаты каких - нибудь двух	точек	на координатной прямой , равноудалённых от точки А ( 9 ) .
а ) Найдите координаты	точек	на координатной прямой , которые удалены от точки А ( 13 ) на 4 единицы .
точку С , расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки 0 . 4 ) Соедините каждую из	точек	А , В , С с точкой О. Назовите получившиеся отрезки .
Проведите все отрезки , концами которых являются пары этих	точек	.
На клетчатой бумаге отмечены шесть	точек	.
Найдите на шкале начало отсчёта — метку 0 — и отметьте точку А. Эта	точка	лежит на одной из сторон угла .
Сама эта	точка	является для получившихся лучей началом .
Сначала перечислите все отрезки , левым концом которых является	точка	А. Это отрезки АВ , АС и AD .
Определите на глаз , какой дроби соответствует каждая	точка	.
Сравните числа m и n , если известно , что на координатной прямой числу m соответствует	точка	, расположенная левее .
а ) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так , чтобы одной из вершин была	точка	Α ?
	Точка	О — середина основания АС .
У прямоугольника , как у любого четырёхугольника , две диагонали Вы видите , что они пересекаются ; точка О —	точка	пересечения диагоналей .
Все точки одинаковы , и одна	точка	от другой ничем не отличается .
а ) точка С принадлежала отрезку с концами в точках А и В . б )	точка	D принадлежала лучу АВ и не принадлежала отрезку АВ .
	Точка	А лежит на луче СВ .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует	точка	, расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Будем считать , что	точка	О изображает число 0 , а точка Е — число 1 .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее точки с координатой 1 , а неправильной дроби —	точка	, расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Назовите . а ) отрезки , одним из концов которых является	точка	М . б ) какую - нибудь ломаную , состоящую из трёх звеньев .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д )	точка	В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
Будем считать , что точка О изображает число 0 , а	точка	Е — число 1 .
в ) точка А лежит на луче BD . г )	точка	D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
в )	точка	А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
а )	точка	С принадлежала отрезку с концами в точках А и В . б ) точка D принадлежала лучу АВ и не принадлежала отрезку АВ .
У прямоугольника , как у любого четырёхугольника , две диагонали Вы видите , что они пересекаются ;	точка	О — точка пересечения диагоналей .
Если , например ,	точка	М имеет координату , равную 8 , то это записывают так : М(8 ) .
На координатной прямой большему числу соответствует	точка	, расположенная правее , а меньшему — точка , расположенная левее .
а ) Сделайте рисунок по следующему условию :	точка	С принадлежит отрезку АВ ; АС равно 5 см 4 мм , СВ равно 3 см 7 мм .
а )	точка	А лежит на отрезке СВ .
Сделайте рисунок по следующему условию :	точка	С принадлежит отрезку АВ ; АВ равно 10 см , АС равно 4 см 5 мм .
в )	точка	К принадлежала лучу ВА и не принадлежала отрезку АВ .
На координатной прямой большему числу соответствует точка , расположенная правее , а меньшему —	точка	, расположенная левее .
Называют прямую по любым двум принадлежащим ей	точкам	.
Прямую с отмеченными	точками	, которые изображают числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной прямой ; сами числа называют координатами отмеченных точек .
Изображение чисел	точками	координатной прямой для математиков настолько привычно , что в речи часто число и изображающую его точку не различают .
Об изображении натуральных чисел	точками	на прямой .
Расскажите , как изображают числа	точками	на координатной прямой .
Расстояние между точками А и В равно 20 см , а между точками В и С — 5 см. Найдите расстояние между	точками	А и С .
Расстояние между	точками	А и В равно 20 см , а между точками В и С — 5 см. Найдите расстояние между точками А и С .
Что называют расстоянием между двумя	точками	? .
Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В. В данном случае расстояние между	точками	А и В равно 2 см 5 мм .
Длину отрезка АВ называют также расстоянием между	точками	А и В. В данном случае расстояние между точками А и В равно 2 см 5 мм .
Что называют расстоянием между двумя	точками	.
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между	точками	А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
Как нужно провести прямую , чтобы расстояние между	точками	пересечения этой прямой с окружностью было наибольшим ? .
В математике принято изображать числа	точками	на прямой .
Расстояние между точками А и В равно 20 см , а между	точками	В и С — 5 см. Найдите расстояние между точками А и С .
Надпишите над	точками	соответственно .
Изображение дробей	точками	на координатной прямой .
Дроби , как и натуральные числа , можно изображать	точками	на координатной прямой .
Проведите окружности радиусом 4 клеточки с центрами в этих	точках	.
а ) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих	точках	так , чтобы одной из вершин была точка Α ?
а ) точка С принадлежала отрезку с концами в	точках	А и В . б ) точка D принадлежала лучу АВ и не принадлежала отрезку АВ .
Сколько можно построить незамкнутых ломаных с вершинами в этих	точках	?
Отметьте точку О и начертите пять отрезков , равных 3 см , с общим концом в	точке	О. Другие концы этих отрезков лежат на окружности .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в	точке	А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
равны , в	точке	пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом .
Какое наименьшее число лучей с началом в одной	точке	надо провести , чтобы все углы , образованные двумя соседними лучами , были острыми ? .
Поэтому диагонали квадрата , как всякого прямоугольника , равны и в	точке	пересечения делятся пополам .
Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с центром в этой	точке	: одну радиусом 2 см , другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
б ) в	точке	пересечения делятся пополам .
Сколько получилось лучей с началом в	точке	D ?
Если начертить несколько отрезков так , чтобы каждый следующий начинался в той же	точке	, где заканчивается предыдущий ( но не лежал на одной с ним прямой ) , то получится ломаная линия .
е ) в	точке	пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в	точке	В радиусом 2 см 5 мм .
Теперь рассмотрите все отрезки с одним из концов в	точке	В. Это отрезки ВА , ВС и BD .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е ) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в	точке	Β ? .
Начертите окружность с центром в	точке	О и радиусом 3 см. Проведите прямую , пересекающую окружность .
Примером перспективы может служить изображение на фотографии : рельсы кажутся сходящимися в одной	точке	, что и создаёт иллюзию объёмного изображения .
Из всех отрезков с концом в	точке	С новым будет только отрезок CD .
Все отрезки с концом в	точке	D уже указаны .
Изображена окружность с центром в	точке	О и проведены радиусы ОА , ОВ , ОС , OD .
Отметьте точку О. Проведите окружность с центром в	точке	О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности ? .
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в	точке	В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
г ) равны и в	точке	пересечения делятся пополам .
В	точке	пересечения диагонали прямоугольника делятся пополам .
Проведём на листе бумаги два луча АВ и АС с общим началом в	точке	А. Мы получим угол .
Постройте прямой угол с вершиной в	точке	В и отложите отрезок ВС , равный 3 см .
Начертите окружность с центром в	точке	А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в	точке	А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его длину .
Начертите два треугольника так , чтобы у одного из них эти	точки	являлись вершинами , а у другого принадлежали его сторонам .
Назовите	точки	, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника .
Начертите окружность и отметьте на ней три	точки	.
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от	точки	А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от	точки	В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Постройте . 1 ) точку А , расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше	точки	0 . 2 ) точку В , расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки 0 .
Проведите через эти	точки	какую - нибудь замкнутую линию .
Каково расстояние от каждой	точки	пересечения окружностей до их центров ? .
Отметьте в тетради три	точки	, не принадлежащие одной прямой .
Все	точки	окружности находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — её центра .
Обычный , всем известный кирпич с	точки	зрения геометрии является прямоугольным параллелепипедом .
Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от одной	точки	— её центра .
а ) Начертите координатную прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от	точки	О вправо на четыре клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 2 .
Сколько прямых можно провести через две	точки	? .
Так как все	точки	окружности находятся на одном расстоянии от её центра , то все радиусы окружности равны между собой .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините	точки	по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Отметьте в тетради	точки	А и В. Измерьте расстояние между ними .
Отметьте на ней	точки	В ( 7 ) , С ( 10 ) , D ( 14 ) , Е ( 19 ) .
Проведём прямую и отметим на ней две	точки	К и М. Они ограничивают отрезок КМ и называются концами этого отрезка .
Каким свойством обладают	точки	окружности ?
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней	точки	с координатами На этой же прямой отметьте точки с координатами .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от	точки	С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Она разбивает прямую на два луча , которые идут от	точки	О в разные стороны по двум направлениям .
Постройте . 1 ) точку А , расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки 0 . 2 ) точку В , расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже	точки	0 .
Отрезок , который соединяет две	точки	окружности и проходит через её центр , называют диаметром окружности .
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 9 см. Отметьте	точки	с координатами .
На прямой отметили четыре	точки	: А , В , С и D. Сколько получилось отрезков ? .
Отметьте точку К так , чтобы	точки	А , В и К не принадлежали одной прямой .
Возьмите мячик и на его поверхности отметьте мелом две	точки	.
Можно ли через эти две	точки	провести другую линию ?
Любые две отмеченные	точки	являются концами некоторого отрезка .
Посмотрите на полученный рисунок : правильной дроби соответствует точка , расположенная левее	точки	с координатой 1 , а неправильной дроби — точка , расположенная правее 1 или совпадающая с ней .
Все	точки	одинаковы , и одна точка от другой ничем не отличается .
Отметьте	точки	А и Б. Проведите прямую АВ .
Соедините	точки	С и D отрезком .
Всегда начинайте с известной вершины —	точки	А , две другие подбирайте так , чтобы получился равнобедренный треугольник .
Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от	точки	О вправо на три клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 6 .
Отложите вправо от этой	точки	ещё один единичный отрезок ; вы получите точку , изображающую число 3 .
Какие	точки	совместятся с точкой А при склеивании куба из развёртки ? .
Отложите вправо от	точки	Е отрезок , равный единичному ; вы получите точку , которая изображает число 2 .
Отметьте	точки	А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его длину .
Так , проведённую через	точки	Е и F прямую можно назвать « прямая EF » или « прямая FE » .
точку С , расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже	точки	0 . 4 ) Соедините каждую из точек А , В , С с точкой О. Назовите получившиеся отрезки .
а ) Найдите координаты точек на координатной прямой , которые удалены от	точки	А ( 13 ) на 4 единицы .
в ) точка А лежит на луче BD . г ) точка D лежит между точками А и С . д ) точка В лежит на луче АС и луче СА . е )	точки	D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке Β ? .
Каким свойством обладают	точки	окружности ? .
Какие	точки	расположены левее 1 , а какие — правее 1 ? .
Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от	точки	С до точки А ; б ) от точки С до точки В ? .
Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до	точки	А ; б ) от точки С до точки В ? .
Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до точки А ; б ) от	точки	С до точки В ? .
Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние : а ) от точки С до точки А ; б ) от точки С до	точки	В ? .
Найдите координаты каких - нибудь двух точек на координатной прямой , равноудалённых от	точки	А ( 9 ) .
Сначала в узлы сетки , через которые проходит овал , поставьте	точки	.
Начертите отрезок АВ , равный 6 см. Найдите	точки	, которые находятся от точки А на расстоянии , равном 4 см , и от точки В на расстоянии , равном 5 см .
Начертите отрезок АВ , равный 6 см. Найдите точки , которые находятся от	точки	А на расстоянии , равном 4 см , и от точки В на расстоянии , равном 5 см .
Начертите прямую и отметьте на ней	точки	А и В , такие , что АВ равно 3 см. Отметьте на прямой точку С так , чтобы выполнялось условие .
Начертите отрезок АВ , равный 6 см. Найдите точки , которые находятся от точки А на расстоянии , равном 4 см , и от	точки	В на расстоянии , равном 5 см .
несколько ломаных , по которым можно пройти из	точки	А в точку К .
Отметим на окружности две	точки	: А и В. Они разделили окружность на две части , которые имеют своё название — дуги .
Из	точки	А в точку С можно « пройти » по отрезку АС , по ломаной ADC или по ломаной АВС .
Отметьте в тетради	точки	А и С. Проведите через них прямую .
Отметьте и обозначьте три	точки	, не лежащие на одной прямой .
Отметьте на листе бумаги две	точки	Е и F и проведите через них прямую по линейке .
Обозначьте	точки	пересечения прямой и окружности буквами А и В. Измерьте длину отрезка АВ .
Отметьте четыре	точки	, не лежащие на прямой АС ; обозначьте их .
Через каждые три клеточки отметьте на ней	точки	.
Попробуйте провести через эти две	точки	другую прямую .
Через две	точки	можно провести только одну прямую .
Отметьте на прямой АС ещё три	точки	и обозначьте их .
Отметьте на глаз точку С — середину отрезка АВ , а затем	точки	D и Е — середины отрезков АС и СВ соответственно .
Отметьте три	точки	, не лежащие на одной прямой .
Уже очень давно человек столкнулся с проблемой сравнения окружавших его предметов или объектов по размеру , удалённости от некоторой	точки	и др.
Начертите координатную прямую с единичным отрезком , равным 10 клеткам , и отметьте на ней точки с координатами На этой же прямой отметьте	точки	с координатами .
Для каждой	точки	, отмеченной на координатной прямой , запишите её координаты .
Концы отрезков —	точки	А , В , С , D и Е — называются вершинами ломаной , а сами отрезки — её сторонами или звеньями .
Проведите два луча с началом в вершине угла , проходящие через отмеченные	точки	.
Так , шаг за шагом , можно будет построить	точки	, которым соответствуют числа 4 , 5 , 6 Направление , в котором мы перемещаемся по прямой , переходя от меньшего числа к большему , показывают стрелкой .
Проведите прямую а и отметьте на ней	точки	А , В , С , D , К так , чтобы .
3 На примере дроби покажите , как дробь изображают	точкой	на координатной прямой .
Такая цифра - прообраз нашего нуля - была изобретена в Индии только в VII в . ; её изображали	точкой	или кружочком .
На координатной прямой большая дробь изображается	точкой	, расположенной правее , а меньшая дробь — точкой , расположенной левее .
Какие точки совместятся с	точкой	А при склеивании куба из развёртки ? .
точку С , расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки 0 . 4 ) Соедините каждую из точек А , В , С с	точкой	О. Назовите получившиеся отрезки .
На координатной прямой большая дробь изображается точкой , расположенной правее , а меньшая дробь —	точкой	, расположенной левее .
Отрезок , который соединяет центр окружности с какой - либо её	точкой	, называют радиусом окружности .
Как изобразить дробь	точкой	на координатной прямой .
Вы видите , что 1 и изображаются одной и той же	точкой	координатной прямой .
Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В , такие , что АВ равно 3 см. Отметьте на прямой	точку	С так , чтобы выполнялось условие .
Найдите на этой же шкале метку 70 и отметьте там ещё одну	точку	— В , она лежит на второй стороне угла .
а ) Начертите координатную прямую и отметьте на ней	точку	О. Отступив от точки О вправо на четыре клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 2 .
Начертите две пересекающиеся прямые а и b и обозначьте точку их пересечения буквой D. Проведите через	точку	D ещё одну прямую , отличную от а и b.
Лучи АВ и АС называют сторонами угла ,	точку	А — его вершиной .
Постройте . 1 )	точку	А , расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки 0 . 2 ) точку В , расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки 0 .
Отметьте какую - нибудь	точку	во внутренней области , во внешней области и на границе областей .
Постройте . 1 ) точку А , расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки 0 . 2 )	точку	В , расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки 0 .
Проведите третью прямую , пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их	точку	пересечения .
несколько ломаных , по которым можно пройти из точки А в	точку	К .
	Точку	С , расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки 0 . 4 ) Соедините каждую из точек А , В , С с точкой О. Назовите получившиеся отрезки .
Отметьте на глаз	точку	С — середину отрезка АВ , а затем точки D и Е — середины отрезков АС и СВ соответственно .
Отметьте	точку	О. Проведите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности ? .
Найдите на шкале начало отсчёта — метку 0 — и отметьте	точку	А. Эта точка лежит на одной из сторон угла .
Начертите прямую , отметьте на ней	точку	0 ; отложите единичный отрезок ( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте число 1 .
В узле квадратной сетки тетради отметьте	точку	0 .
Отметьте	точку	О и начертите пять отрезков , равных 3 см , с общим концом в точке О. Другие концы этих отрезков лежат на окружности .
Наложите транспортир на лист бумаги и отметьте вершину угла —	точку	О — она должна располагаться в центре транспортира .
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А , проходящую через	точку	В. Проведите радиус окружности и найдите его длину .
Отметьте	точку	и проведите из неё лучи так , чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми .
Проведите диагонали и обозначьте	точку	их пересечения .
Отметьте	точку	А и проведите через неё две различные прямые .
Изображение чисел точками координатной прямой для математиков настолько привычно , что в речи часто число и изображающую его	точку	не различают .
На этой же координатной прямой отметьте	точку	, соответствующую дроби .
Начертите прямую и отметьте на ней	точку	О. Отступив от точки О вправо на три клетки , поставьте метку и подпишите под ней число 6 .
Если отметить на одном из лучей	точку	А , а на другом точку В , то лучи можно назвать ОА и ОВ .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте	точку	В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Так , вместо « отметим	точку	с координатой , равной 5 » говорят « отметим число 5 » .
Всякий раз , когда кончиком карандаша мы прикасаемся к поверхности бумаги , мы отмечаем	точку	.
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки	точку	А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Отметьте на ней	точку	О , а справа от неё ещё одну точку — Е .
Отметьте на ней точку О , а справа от неё ещё одну	точку	— Е .
Из точки А в	точку	С можно « пройти » по отрезку АС , по ломаной ADC или по ломаной АВС .
Сколько можно построить прямых , проходящих через	точку	D ? .
Отложите вправо от этой точки ещё один единичный отрезок ; вы получите	точку	, изображающую число 3 .
Если отметить на одном из лучей точку А , а на другом	точку	В , то лучи можно назвать ОА и ОВ .
Проведите через	точку	К . а ) прямую b , пересекающую отрезок АВ . б ) прямую d , не пересекающую отрезок АВ .
Отметьте	точку	К так , чтобы точки А , В и К не принадлежали одной прямой .
Отложите вправо от точки Е отрезок , равный единичному ; вы получите	точку	, которая изображает число 2 .
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через	точку	А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через	точку	В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Начертите две пересекающиеся прямые а и b и обозначьте	точку	их пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую , отличную от а и b.
Отметьте в тетради	точку	О. Постройте две окружности с центром в этой точке : одну радиусом 2 см , другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте	точку	С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
— отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А . — от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз , отметьте точку В . — от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз , отметьте точку С . — от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и б клеток вверх , отметьте	точку	О. Соедините точки по линейке в том порядке , в котором вы их строили .
Обозначьте	точку	пересечения диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников .
Проведём прямую и отметим на ней	точку	О.
Равнобокая	трапеция	.
Повесть из 270 страниц решили напечатать в трёх номерах журнала , причём во второй номер поместили часть повести , в 1 раза большую , чем в первый номер , а в	третий	— в 2 раза большую , чем в первый .
Один отряд может выполнить эту работу за 2 ч , другой — за 3 ч , а	третий	— за 6 ч .
Сколько километров они проехали в	третий	день ? .
Сколько километров они прошли в	третий	день ? .
Если первое число делится на второе , а второе число делится на третье , то и первое число делится на	третье	.
Первые два её слагаемых делятся на 6 , а	третье	слагаемое на 6 не делится .
Если первое число делится на второе , а второе число делится на	третье	, то и первое число делится на третье .
Высота первого столбика , равная 8 , показывает , сколько было дождливых дней , второго столбика — сколько было облачных дней , а	третьего	— сколько было ясных дней .
Определите , сколько простых чисел в	третьей	сотне .
Так , запись 43 читают : « Четыре в	третьей	степени » или « Четыре в кубе » .
Если на втором дать математику , то на третьем может быть только физкультура ; если же на втором уроке дать физкультуру , то на	третьем	окажется математика .
Если на втором дать математику , то на	третьем	может быть только физкультура ; если же на втором уроке дать физкультуру , то на третьем окажется математика .
Запишите дроби : одна вторая , одна пятая , две	третьих	, три четверти .
две	третьих	прямоугольника , закрашены .
Например , две	третьих	записывают так .
Читают смешанную дробь так : две целых и две	третьих	.
Проведите	третью	прямую , пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения .
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а	третью	сторону — основанием .
Простейшей пирамидой является	треугольная	пирамида .
Называют пирамиду по числу сторон её основания :	треугольная	, четырёхугольная , шестиугольная и т .
А можно ли нарисовать	треугольник	, у которого два угла прямые , или треугольник , у которого один угол прямой , а другой тупой ?
Давайте научимся изображать равнобедренный	треугольник	.
Чтобы убедиться в этом , попробуйте нарисовать	треугольник	с двумя прямыми углами .
Возьмите прозрачный лист и скопируйте на него	треугольник	.
Это тупоугольный	треугольник	.
6 Начертите	треугольник	, один из углов которого равен 100 ° .
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два угла прямые , или	треугольник	, у которого один угол прямой , а другой тупой ?
а ) Проволоку длиной 15 см согнули так , что получился равносторонний	треугольник	.
Существует ли равносторонний тупоугольный	треугольник	?
Какая фигура	треугольник	или квадрат ?
Перегибая	треугольник	по этой биссектрисе , убедитесь в справедливости следующих утверждений .
Вырежите из листа бумаги ( кальки ) равнобедренный	треугольник	АВС , АС — основание .
б ) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё согнули	треугольник	, две стороны которого равны 5 см и б см. Что вы можете сказать об этом треугольнике ? .
Постройте	треугольник	АВС , где угол А равен 135 ° , сторона АВ имеет длину 3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей ? .
Постройте равнобедренный	треугольник	, если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
равнобедренный тупоугольный	треугольник	.
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный	треугольник	.
Равнобедренный	треугольник	.
а ) равнобедренный остроугольный	треугольник	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Начертите на нелинованной бумаге остроугольный	треугольник	и обозначьте его .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный	треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
Всегда начинайте с известной вершины — точки А , две другие подбирайте так , чтобы получился равнобедренный	треугольник	.
Каким свойством обладает равнобедренный	треугольник	.
У замкнутой ломаной не может быть меньше трёх звеньев , поэтому самым простым многоугольником является	треугольник	.
Если	треугольник	имеет две равные стороны , то его называют равнобедренным .
Начертите	треугольник	, длины сторон которого различны .
равносторонний прямоугольный	треугольник	? .
Начертите на нелинованной бумаге тупоугольный	треугольник	и обозначьте его .
Постройте равнобедренный	треугольник	, основание которого равно 5 см , а углы при основании равны 75 ° .
Равнобедренный	треугольник	обладает множеством интересных свойств .
Единственным многоугольником , который не имеет ни одной диагонали , является	треугольник	.
Равнобедренный	треугольник	АВС разрезали по прямой ВО .
а ) окружность . б ) равнобедренный	треугольник	.
Для этого надо было уметь строить прямой угол , квадрат , прямоугольный	треугольник	.
1 Начертите прямоугольный	треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 3 см и 4 см .
Получался	треугольник	со сторонами 3 , 4 и 5 , один из углов которого прямой .
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный	треугольник	, у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
Этот	треугольник	так и называют — египетский .
Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный	треугольник	.
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот	треугольник	: прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
Как ещё можно назвать этот	треугольник	?
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в )	треугольник	; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Сложите из них : а )	треугольник	; б ) четырёхугольник .
Знак Δ является общепринятым символом , обозначающим слово «	треугольник	» .
Начертите в тетради	треугольник	.
Начертите два	треугольника	так , чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами , а у другого принадлежали его сторонам .
Измерьте и запишите величину тупого угла и длину наибольшей стороны	треугольника	.
Складываем из равных фигур . 1 ) Вырежьте из бумаги четыре равносторонних	треугольника	, равные треугольнику .
Начинайте построение с основания	треугольника	.
Постройте равнобедренный треугольник , если . а ) боковые стороны	треугольника	равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
Постройте треугольник АВС , где угол А равен 135 ° , сторона АВ имеет длину 3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из сторон этого	треугольника	является наибольшей ? .
Сколько всего можно придумать обозначений этого	треугольника	? .
Периметр	треугольника	.
Диагональ разделила прямоугольник на два равных	треугольника	.
У равностороннего	треугольника	все углы равны .
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два треугольника равны , если две стороны одного	треугольника	равны двум сторонам другого треугольника .
Если вы считаете , что не следует , попробуйте начертить в тетради два разных	треугольника	с углами , равными , например , 90 ° , 45 ° , 45 ° .
У	треугольника	один из углов прямой .
У	треугольника	один из углов тупой .
У	треугольника	все углы острые .
а ) равностороннего треугольника со стороной 12 см . б ) равнобедренного	треугольника	с основанием , равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
а ) равностороннего	треугольника	со стороной 12 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием , равным 7 см , и боковой стороной , равной 13 см .
а ) у любого	треугольника	все стороны равны .
2 Каким свойством обладают углы равнобедренного	треугольника	? .
Проведите отрезок ВС Треугольник АВС — равнобедренный , АВ и АС — боковые стороны , ВС — основание	треугольника	.
Стороны такого треугольника имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного	треугольника	называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
Стороны такого	треугольника	имеют специальные названия : равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами , а третью сторону — основанием .
Измерьте стороны и углы	треугольника	.
Укажите боковые стороны и основание каждого	треугольника	.
Определите вид	треугольника	, углы которого равны .
Измерьте величину каждого угла	треугольника	АВС .
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два треугольника равны , если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого	треугольника	.
Чему равен периметр этого	треугольника	?
Опровергните утверждение , сделав чертёж : а ) два прямоугольника равны , если у них есть по одной равной стороне ; б ) два	треугольника	равны , если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника .
Назовите точки , являющиеся вершинами прямоугольного	треугольника	.
Например , вы видите два равных	треугольника	: ΔАВС и ΔΚΜΝ .
Вид	треугольника	определяется не только числом равных сторон , но и величиной его углов .
Каждая диагональ прямоугольника делит его на два	треугольника	.
5 Найдите периметр	треугольника	, имеющего стороны 2 см 5 мм , 3 см , 4 см 7 мм .
а ) равностороннего треугольника со стороной 8 см . б ) равнобедренного	треугольника	с основанием 25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
Какой стороне	треугольника	равна диагональ прямоугольника ? .
а ) равностороннего	треугольника	со стороной 8 см . б ) равнобедренного треугольника с основанием 25 мм и боковыми сторонами , равными 45 мм .
Чему равен периметр	треугольника	АВС со сторонами .
Найдите периметр	треугольника	.
б ) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё согнули треугольник , две стороны которого равны 5 см и б см. Что вы можете сказать об этом	треугольнике	? .
В равнобедренном	треугольнике	углы при основании равны .
В каждом	треугольнике	три стороны , причём некоторые из них могут быть равны .
В равнобедренном	треугольнике	периметр равен 21 см , а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания .
Есть ли в	треугольнике	прямой угол ?
а ) В равнобедренном	треугольнике	периметр равен 36 см , а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны .
Как различают	треугольники	по видам углов .
Чертим	треугольники	.
Следует ли из этого , что	треугольники	равны ? .
Какие	треугольники	называют равнобедренными , а какие - равносторонними .
Есть ли среди них равные	треугольники	?
Перечислите все получившиеся	треугольники	.
Равнобедренные	треугольники	и скопируйте их в тетрадь .
Боковые грани —	треугольники	, сходящиеся в одной вершине , а основание — многоугольник , противолежащий этой вершине .
Начертите произвольные остроугольный , прямоугольный , тупоугольный	треугольники	.
Четырёхугольники , как и	треугольники	, бывают самые разные .
При этом углы при основании поменяются местами , но так как боковые стороны равны , то	треугольники	полностью совместятся .
Переверните лист и совместите	треугольники	.
Найдите	треугольники	, шестиугольники .
Все её грани —	треугольники	, и каждая из них может считаться её основанием .
Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных	треугольников	.
У двух	треугольников	углы попарно равны .
Классификация	треугольников	по углам .
Сколько таких	треугольников	можно построить ? .
а ) Сколько можно построить равнобедренных	треугольников	с вершинами в этих точках так , чтобы одной из вершин была точка Α ?
Изображены 13 равносторонних	треугольников	.
Классификация	треугольников	по сторонам .
в ) Найдите все 35	треугольников	.
Из получившихся равных прямоугольных	треугольников	сложили прямоугольник .
Нет , таких	треугольников	не бывает .
Сложите из получившихся равных	треугольников	равнобедренный треугольник .
Сколько получилось	треугольников	?
Определите вид	треугольников	АВС , ABO , ВОС .
а ) Сколько	треугольников	? .
Виды	треугольников	.
Из равенства этих многоугольников можно также сделать вывод о равенстве диагоналей BE и LP , углов ADB и KNL ,	треугольников	АСЕ и КМР и т .
Из имеющихся у вас четырёх	треугольников	и четырёх квадратов сложите многоугольник .
Его называют остроугольным	треугольником	.
Треугольник , в котором есть прямой угол , называют прямоугольным	треугольником	.
а ) Треугольник АВС можно также назвать	треугольником	ВАС .
Для построения прямоугольника можно воспользоваться чертёжным	треугольником	.
а ) равный	треугольнику	АВС . б )
равный	треугольнику	АВС , но в другом положении .
Складываем из равных фигур . 1 ) Вырежьте из бумаги четыре равносторонних треугольника , равные	треугольнику	.
Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней , вершин или рёбер , чем у	треугольной	пирамиды .
Являются ли развёртками	треугольной	пирамиды многоугольники ?
У	треугольной	пирамиды 4 грани , 6 рёбер и 4 вершины .
Нужно изготовить каркасную модель	треугольной	пирамиды , все рёбра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки ? .
Скопируйте рисунок в тетрадь и дорисуйте его : а ) до	треугольной	пирамиды ; б ) до четырёхугольной пирамиды .
Величина какого угла больше : острого или	тупого	?
Величина острого угла меньше 90 ° , а величина	тупого	угла больше 90 ° .
Измерьте и запишите величину	тупого	угла и длину наибольшей стороны треугольника .
Измерьте и запишите величину	тупого угла	и длину наибольшей стороны треугольника .
Величина острого угла меньше 90 ° , а величина	тупого угла	больше 90 ° .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол , острый угол и	тупой	угол .
Какой из этих углов острый , какой —	тупой	, а какой — прямой ? .
Острый угол , прямой угол ,	тупой	угол , развёрнутый угол .
Начертите в тетради острый , прямой и	тупой	углы .
На какой угол ( острый , прямой ,	тупой	или развёрнутый ) поворачивается часовая стрелка за 1 ч , 2 ч , 3 ч , 4 ч , 5 ч , 6 ч ? .
Начертите	тупой	угол АОВ .
У треугольника один из углов	тупой	.
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два угла прямые , или треугольник , у которого один угол прямой , а другой	тупой	?
	Тупой	? .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б )	тупой	угол ; в ) острый угол .
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В , острый угол С , равный 30 ° , и	тупой	угол D , равный 140 ° .
Острый угол , прямой угол ,	тупой угол	, развёрнутый угол .
Начертите	тупой угол	АОВ .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол , острый угол и	тупой угол	.
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В , острый угол С , равный 30 ° , и	тупой угол	D , равный 140 ° .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б )	тупой угол	; в ) острый угол .
Треугольники : а ) остроугольные ; б )	тупоугольные	; в ) прямоугольные .
Это	тупоугольный	треугольник .
равнобедренный	тупоугольный	треугольник .
Начертите произвольные остроугольный , прямоугольный ,	тупоугольный	треугольники .
Начертите на нелинованной бумаге	тупоугольный	треугольник и обозначьте его .
Существует ли равносторонний	тупоугольный	треугольник ?
равнобедренный	тупоугольный треугольник	.
Это	тупоугольный треугольник	.
Существует ли равносторонний	тупоугольный треугольник	?
Начертите на нелинованной бумаге	тупоугольный треугольник	и обозначьте его .
Начертите произвольные остроугольный , прямоугольный ,	тупоугольный треугольники	.
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или	тупоугольным	? .
Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из	тупоугольных	треугольников .
Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из	тупоугольных треугольников	.
Найдите и назовите острые углы ,	тупые	углы .
б ) Выберите из данных углов сначала острые , а затем	тупые	углы : 114 ° , 54 ° , 81 ° , 100 ° , 139 ° , 99 ° , 90 ° , 77 ° .
Найдите и назовите острые углы ,	тупые углы	.
б ) Выберите из данных углов сначала острые , а затем	тупые углы	: 114 ° , 54 ° , 81 ° , 100 ° , 139 ° , 99 ° , 90 ° , 77 ° .
Проведите луч ОС так , чтобы угол АОС был прямым , угол СОВ —	тупым	.
Определите сначала , каким ( острым или	тупым	) является угол , а затем с помощью транспортира постройте его .
1 Какой угол называют острым , а какой —	тупым	?
3 Острым , прямым или	тупым	является угол , величина которого равна 120 ° , 45 ° , 90 ° ?
а ) Каким ( острым , прямым ,	тупым	или развёрнутым ) является угол , величина которого равна 22 ° , 163 ° , 90 ° , 18 ° , 98 ° , 180 ° , 89 ° , 178е ? .
Угол , меньший прямого , называется острым углом , а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , —	тупым	.
Отметьте точку и проведите из неё лучи так , чтобы все углы между двумя соседними лучами были	тупыми	.
Начертите четырёхугольник , у которого являются	тупыми	: а ) два соседних угла ; б ) два противоположных угла .
Какие из углов являются острыми , а какие —	тупыми	?
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол , какой из его углов острый , сколько у него	тупых	углов .
Начертите в тетради два острых и два	тупых	угла .
Начертите в тетради два острых и два	тупых угла	.
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол , какой из его углов острый , сколько у него	тупых углов	.
Начертите в тетради два острых и два тупых	угла	.
Проведите луч ОВ так , чтобы он разделил угол АОС на два	угла	.
Чтобы сравнить два	угла	, можно наложить их друг на друга .
Расскажите , как измерить величину	угла	, пользуясь транспортиром .
Назовите величину развёрнутого	угла	; прямого угла .
Назовите величину развёрнутого угла ; прямого	угла	.
Величина какого	угла	больше : острого или тупого ?
Если при наложении одного	угла	на другой они совпадут , то эти углы равны .
При помощи транспортира можно не только измерить величину	угла	, но и построить угол заданной величины .
Лучи АВ и АС называют сторонами	угла	, точку А — его вершиной .
Построение	угла	заданной величины .
Найдите на этой же шкале метку 70 и отметьте там ещё одну точку — В , она лежит на второй стороне	угла	.
Транспортир накладывают на угол так , чтобы вершина угла совпала с центром транспортира , а одна из сторон	угла	прошла через начало отсчёта на шкале , т .
На сторонах	угла	А циркулем отложите равные отрезки .
Постройте угол АОВ , дополняющий его до развёрнутого	угла	.
Как измерить величину	угла	и построить угол заданной величины с помощью транспортира .
Для построения прямого	угла	древние египтяне натягивали связанную за концы верёвку , разделённую на 12 равных частей узелками , на три колышка .
Как измерить величину	угла	.
Разогните лист — линия сгиба будет биссектрисой этого	угла	.
Сложите его так , чтобы стороны	угла	совпали .
Начертите два	угла	с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой угол ; в ) острый угол .
Если провести биссектрису развёрнутого	угла	, она разделит его на два прямых угла .
Если провести биссектрису развёрнутого угла , она разделит его на два прямых	угла	.
Найдите на шкале начало отсчёта — метку 0 — и отметьте точку А. Эта точка лежит на одной из сторон	угла	.
Транспортир накладывают на угол так , чтобы вершина	угла	совпала с центром транспортира , а одна из сторон угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
Проведите два луча с началом в вершине	угла	, проходящие через отмеченные точки .
Тогда другая сторона угла укажет величину	угла	в градусах .
И если это не два развёрнутых	угла	, то один из них меньше развёрнутого , а другой — больше .
Что называют биссектрисой	угла	? .
Луч ОС делит угол ∠АОВ на два равных	угла	: ∠АОС равно ∠СОВ .
Величина острого угла меньше 90 ° , а величина тупого	угла	больше 90 ° .
На сколько градусов изменится величина	угла	между стрелками через 1 ч ? .
Величина острого	угла	меньше 90 ° , а величина тупого угла больше 90 ° .
а ) Угол 68 ° разделён биссектрисой на два	угла	.
Что такое биссектриса	угла	.
Биссектриса	угла	.
Вырежите из листа бумаги три неравных	угла	.
Тогда другая сторона	угла	укажет величину угла в градусах .
Найдите величину	угла	СОВ .
Наложите транспортир на лист бумаги и отметьте вершину	угла	— точку О — она должна располагаться в центре транспортира .
Этот луч — биссектриса	угла	АОВ .
Назовите величину	угла	, дополняющего : а ) угол АОВ до развёрнутого ; б ) угол COD до развёрнутого .
Угол , который образует биссектриса с одной стороной данного	угла	, равен 16 ° .
Измерьте величину каждого	угла	треугольника АВС .
Луч ОС — биссектриса угла АОВ , луч ОМ — биссектриса	угла	АОС .
2 Что называют биссектрисой	угла	?
Луч ОС — биссектриса	угла	АОВ , луч ОМ — биссектриса угла АОС .
Могут ли два других его	угла	быть не прямыми ? .
Отложите на одной стороне	угла	отрезок АВ , равный 2 см , а на другой — отрезок AD , равный 3 см. 3 )
Найдите величину	угла	АОМ .
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два	угла	прямые , или треугольник , у которого один угол прямой , а другой тупой ?
3 Начертите какой - нибудь равнобедренный треугольник , у которого величина	угла	между боковыми сторонами равна 100º. Каким является этот треугольник : прямоугольным , остроугольным или тупоугольным ? .
Найдите величину	угла	АОС .
Измерьте и запишите величину каждого	угла	этого четырёхугольника .
Измерьте и запишите величину тупого	угла	и длину наибольшей стороны треугольника .
Начертите четырёхугольник , у которого являются тупыми : а ) два соседних	угла	; б ) два противоположных угла .
Два отрезка или	угла	можно сравнить наложением , а можно измерить их и сравнить получившиеся величины .
Постройте биссектрису этого	угла	.
Начертите четырёхугольник , у которого являются тупыми : а ) два соседних угла ; б ) два противоположных	угла	.
Классификация треугольников по	углам	.
Точки А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их отрезки — его сторонами , углы ABC , BCD , CDA , DAB —	углами	четырёхугольника .
Чтобы убедиться в этом , попробуйте нарисовать треугольник с двумя прямыми	углами	.
Начертите четырёхугольник с двумя прямыми	углами	.
Если вы считаете , что не следует , попробуйте начертить в тетради два разных треугольника с	углами	, равными , например , 90 ° , 45 ° , 45 ° .
Какие бывают виды	углов	.
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол , какой из его	углов	острый , сколько у него тупых углов .
Из равенства этих многоугольников можно также сделать вывод о равенстве диагоналей BE и LP ,	углов	ADB и KNL , треугольников АСЕ и КМР и т .
У него шесть	углов	.
Сумма	углов	.
Какова градусная мера каждого из получившихся	углов	? .
Самой распространённой единицей измерения	углов	является угол величиной в 1 градус .
И вообще у любого многоугольника столько же вершин и сторон , сколько у него	углов	.
Развёрнутый угол равен сумме двух прямых	углов	, а прямой угол составляет половину развёрнутого .
Получался треугольник со сторонами 3 , 4 и 5 , один из	углов	которого прямой .
Представьте , что развёрнутый угол разделён лучами , выходящими из его вершины , на 180 равных	углов	.
Измерение	углов	.
Среди всех	углов	особое место занимает прямой угол .
18 Измерение	углов	.
б ) Выберите из данных	углов	сначала острые , а затем тупые углы : 114 ° , 54 ° , 81 ° , 100 ° , 139 ° , 99 ° , 90 ° , 77 ° .
Сколько	углов	.
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол , какой из его углов острый , сколько у него тупых	углов	.
Измерьте величину одного из острых	углов	.
6 Начертите треугольник , один из	углов	которого равен 100 ° .
Сколько всего	углов	, меньших развёрнутого ? .
Построение	углов	заданной величины .
Задача - исследование . 1 ) Сколько	углов	, равных 60 ° и имеющих общую вершину и общие с соседями стороны , можно построить ? .
4 Измерьте и запишите величины	углов	.
Измерение	углов	проводится следующим образом .
Выделяют такие виды	углов	: прямой угол , развёрнутый угол , острый угол и тупой угол .
Какой из этих	углов	острый , какой — тупой , а какой — прямой ? .
Какие из	углов	являются острыми , а какие — тупыми ?
У треугольника один из	углов	тупой .
Лучи ОМ и ОК — биссектрисы	углов	СОВ и СОА .
У треугольника один из	углов	прямой .
Величины	углов	.
Виды	углов	.
Для измерения и построения	углов	используют специальный прибор — транспортир .
Вид треугольника определяется не только числом равных сторон , но и величиной его	углов	.
Как различают треугольники по видам	углов	.
е ) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым	углом	.
Угол , меньший прямого , называется острым	углом	, а угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
в ) пересекаются под прямым	углом	.
Так , на клетчатой бумаге линии пересекаются под прямым	углом	.
равны , в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым	углом	.
д ) равны и пересекаются под прямым	углом	.
Под каким	углом	пересекаются диагонали квадрата ? .
Измерьте сторону , противолежащую прямому	углу	.
С помощью кальки найдите на рисунке угол , равный	углу	А .
Найдите и назовите острые углы , тупые	углы	.
Таким образом , у квадрата все	углы	прямые и все стороны равны .
Назовите : а ) угол , противолежащий основанию ; б )	углы	при основании .
Стороны ,	углы	, диагонали многоугольника .
Вы , конечно , знаете , что четырёхугольник , у которого все	углы	прямые , называют прямоугольником .
Точки А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их отрезки — его сторонами ,	углы	ABC , BCD , CDA , DAB — углами четырёхугольника .
Так же как и отрезки ,	углы	можно сравнивать не только наложением , но и с помощью измерения .
Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные	углы	.
Как обозначают и сравнивают	углы	.
В равнобедренном треугольнике	углы	при основании равны .
Назовите все вершины , все стороны и все	углы	четырёхугольника .
А это означает , что	углы	при основании тоже равны .
Постройте эти	углы	с помощью транспортира .
Найдите прямые	углы	в окружающей вас обстановке .
Сравниваем	углы	.
Сравните	углы	, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6 .
Но есть у них ещё одно свойство : диагонали квадрата при пересечении образуют прямые	углы	.
При этом	углы	при основании поменяются местами , но так как боковые стороны равны , то треугольники полностью совместятся .
Какие	углы	у вас получились ? .
Укажите и	углы	, бóльшие развёрнутого .
У треугольника все	углы	острые .
По мере раскрытия веера получаются различные	углы	- от острого до развёрнутого .
Если при наложении одного угла на другой они совпадут , то эти	углы	равны .
б ) Выберите из данных углов сначала острые , а затем тупые	углы	: 114 ° , 54 ° , 81 ° , 100 ° , 139 ° , 99 ° , 90 ° , 77 ° .
Сравните	углы	AOD и СОВ , АОС и BOD .
Какие	углы	образует диагональ со сторонами квадрата ?
Воспользуйтесь тем , что линии сетки образуют прямые	углы	.
17 Как обозначают и сравнивают	углы	.
Скопируйте в тетрадь	углы	.
Определите вид треугольника ,	углы	которого равны .
Измерьте стороны и	углы	треугольника .
Назовите	углы	, прилежащие к стороне АС .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно 5 см , а	углы	при основании равны 75 ° .
Назовите равные стороны и равные	углы	каждого многоугольника Скопируйте эти многоугольники в тетрадь .
Найдите и назовите острые	углы	, тупые углы .
Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести , чтобы все	углы	, образованные двумя соседними лучами , были острыми ? .
Назовите	углы	в порядке возрастания их градусных мер .
Измерьте все его	углы	.
У двух треугольников	углы	попарно равны .
2 Каким свойством обладают	углы	равнобедренного треугольника ? .
Верно ли , что	углы	АОВ и DOC равны ?
Назовите эти	углы	.
У равностороннего треугольника все	углы	равны .
Используя линии квадратной сетки , постройте	углы	, равные 45 ° и 135 ° .
Отметьте точку и проведите из неё лучи так , чтобы все	углы	между двумя соседними лучами были тупыми .
За какое время на тот же	угол	поворачивается часовая стрелка ? .
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В , острый	угол	С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Представление о том , что такое	угол	, можно получить , посмотрев на веер .
Этот же	угол	можно обозначить и короче , по его вершине : ∠А .
Начертите тупой	угол	АОВ .
Острый угол , прямой угол , тупой угол , развёрнутый	угол	.
Найдите четырёхугольники , у которых есть : а ) прямой	угол	; б ) равные стороны .
Этот	угол	называют развёрнутым .
Считают , что лучи , составляющие прямую , также образуют	угол	.
Начертите развёрнутый	угол	и проведите его биссектрису .
Этот	угол	можно легко построить с помощью чертёжного угольника .
Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый	угол	.
3 Острым , прямым или тупым является	угол	, величина которого равна 120 ° , 45 ° , 90 ° ?
Изображены развёрнутый угол А , прямой угол В , острый угол С , равный 30 ° , и тупой	угол	D , равный 140 ° .
Среди всех углов особое место занимает прямой	угол	.
При помощи транспортира можно не только измерить величину угла , но и построить	угол	заданной величины .
Есть ли в треугольнике прямой	угол	?
Транспортир накладывают на	угол	так , чтобы вершина угла совпала с центром транспортира , а одна из сторон угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
Сам	угол	обозначают так : ∠BAC ( или ∠САВ ) .
С помощью угольника найдите прямой	угол	.
Построенный	угол	равен 70 ° .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый	угол	, острый угол и тупой угол .
Выделяют такие виды углов : прямой	угол	, развёрнутый угол , острый угол и тупой угол .
а ) любой четырёхугольник имеет прямой	угол	.
Обратите внимание , что	угол	многоугольника может быть больше развёрнутого .
Легко увидеть , что первый	угол	меньше , так как он целиком оказался внутри второго .
Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов , а прямой	угол	составляет половину развёрнутого .
Острый угол , прямой угол , тупой	угол	, развёрнутый угол .
1 Какой	угол	называют острым , а какой — тупым ?
Новую фигуру -	угол	.
Как измерить величину угла и построить	угол	заданной величины с помощью транспортира .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол , острый	угол	и тупой угол .
Для этого надо было уметь строить прямой	угол	, квадрат , прямоугольный треугольник .
Острый угол , прямой	угол	, тупой угол , развёрнутый угол .
Начертите острый	угол	АОВ .
Острый	угол	, прямой угол , тупой угол , развёрнутый угол .
А может ли	угол	быть больше развёрнутого ?
Проведите луч ОС так , чтобы	угол	АОС был прямым , угол СОВ — тупым .
Проведите луч ОС так , чтобы угол АОС был прямым ,	угол	СОВ — тупым .
Изображены развёрнутый	угол	А , прямой угол В , острый угол С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Луч ОС делит	угол	∠АОВ на два равных угла : ∠АОС равно ∠СОВ .
Угол , меньший прямого , называется острым углом , а	угол	, больший прямого , но меньший развёрнутого , — тупым .
Проведём на листе бумаги два луча АВ и АС с общим началом в точке А. Мы получим	угол	.
Да , ведь , говоря точнее , два луча с общим началом образуют не один	угол	, а два .
Развёрнутый	угол	равен сумме двух прямых углов , а прямой угол составляет половину развёрнутого .
Выделяют такие виды углов : прямой угол , развёрнутый угол , острый угол и тупой	угол	.
Изображены развёрнутый угол А , прямой	угол	В , острый угол С , равный 30 ° , и тупой угол D , равный 140 ° .
Например , построим	угол	, равный 70 ° .
Возьмите	угол	, вырезанный из листа бумаги .
Определите на глаз , есть ли в этом четырёхугольнике прямой	угол	, какой из его углов острый , сколько у него тупых углов .
Самой распространённой единицей измерения углов является	угол	величиной в 1 градус .
а ) Угол ВАС равен 28 ° , а	угол	CAD равен 56 ° .
1 Начертите прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие прямой	угол	, равны 3 см и 4 см .
Начертите окружность и постройте два её радиуса так , чтобы	угол	между ними был равен .
Определите сначала , каким ( острым или тупым ) является	угол	, а затем с помощью транспортира постройте его .
Представьте , что развёрнутый	угол	разделён лучами , выходящими из его вершины , на 180 равных углов .
Как вы думаете , сколько граней будет у этого многогранника , если отрезать ещё один	угол	? .
Каким является угол АОВ , если	угол	ВОС острый ?
Постройте	угол	АОВ , дополняющий его до развёрнутого угла .
Начертите в тетради прямой	угол	и разделите его на глаз на три равные части .
Начертите прямой	угол	и проведите на глаз его биссектрису .
Начертите	угол	ВОС .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой угол ; в ) острый	угол	.
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый угол ; б ) тупой	угол	; в ) острый угол .
Начертите в тетради	угол	и обозначьте его АОС .
Для этого они построили прямой	угол	.
Начертите на листе в клетку прямой	угол	.
Чему равен	угол	BAD ? .
С помощью кальки проверьте , действительно ли второй	угол	равен первому .
Постройте треугольник АВС , где	угол	А равен 135 ° , сторона АВ имеет длину 3 см , а сторона ВС — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей ? .
Чему равен	угол	CAD ? .
Треугольник , в котором есть прямой	угол	, называют прямоугольным треугольником .
А можно ли нарисовать треугольник , у которого два угла прямые , или треугольник , у которого один	угол	прямой , а другой тупой ?
Есть ли здесь прямой	угол	? .
Назовите : а )	угол	, противолежащий основанию ; б ) углы при основании .
Начертите произвольный	угол	и обозначьте его буквой А .
Постройте	угол	DOC , дополняющий угол ВОС до развёрнутого .
Назовите	угол	, противолежащий стороне ВС ; стороне АВ .
Чему равен данный	угол	? .
Вырежите этот угол и проверьте перегибанием , правильно ли вы разделили	угол	пополам .
Вырежите этот	угол	и проверьте перегибанием , правильно ли вы разделили угол пополам .
Постройте угол DOC , дополняющий	угол	ВОС до развёрнутого .
Найдите	угол	МОК .
Начертите на листе бумаги какой - нибудь	угол	и проведите его биссектрису .
а ) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие прямой	угол	, равны 3 см и 4 см. Обозначьте его .
От куба отрезали	угол	.
Постройте равнобедренный треугольник , если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а	угол	между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а угол между ними — 120 ° .
Постройте равнобедренный треугольник , если . а ) боковые стороны треугольника равны 4 см , а угол между ними — 40 ° . б ) боковые стороны равны 4 см 5 мм , а	угол	между ними — 120 ° .
б ) Угол ВАС равен 136 ° , а	угол	BAD равен 56 ° .
а ) Чему равен	угол	между часовой и минутной стрелками , если часы показывают 1 ч , 3 ч , 4 ч , .
Проведите луч ОВ так , чтобы он разделил	угол	АОС на два угла .
Каким является	угол	АОВ , если угол ВОС острый ?
На какой	угол	( острый , прямой , тупой или развёрнутый ) поворачивается часовая стрелка за 1 ч , 2 ч , 3 ч , 4 ч , 5 ч , 6 ч ? .
Назовите величину угла , дополняющего : а )	угол	АОВ до развёрнутого ; б ) угол COD до развёрнутого .
Назовите величину угла , дополняющего : а ) угол АОВ до развёрнутого ; б )	угол	COD до развёрнутого .
Развёрнутый	угол	равен 180 ° , а прямой угол , который составляет половину развёрнутого , равен 90 ° .
Покажите руками	угол	90 ° , 180 ° . б ) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин , 30 мин , 1 ч ? .
Развёрнутый угол равен 180 ° , а прямой	угол	, который составляет половину развёрнутого , равен 90 ° .
Начертите в тетради какой - нибудь	угол	и обозначьте его .
А теперь от руки нарисуйте равный ему	угол	.
а ) Каким ( острым , прямым , тупым или развёрнутым ) является	угол	, величина которого равна 22 ° , 163 ° , 90 ° , 18 ° , 98 ° , 180 ° , 89 ° , 178е ? .
Начертите два угла с общей стороной так , чтобы вместе они составляли : а ) развёрнутый	угол	; б ) тупой угол ; в ) острый угол .
С помощью кальки найдите на рисунке	угол	, равный углу А .
Начертите прямой	угол	и обозначьте его вершину буквой А .
Постройте прямой	угол	с вершиной в точке В и отложите отрезок ВС , равный 3 см .
Этот угол можно легко построить с помощью чертёжного	угольника	.
С помощью	угольника	найдите прямой угол .
Заметим , что сложить можно любые два числа , а разность двух натуральных чисел можно найти только в том случае , когда	уменьшаемое	больше вычитаемого или равно ему .
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт	уменьшаемое	.
Если	уменьшаемое	и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и сложение , вычитание многозначных чисел обычно выполняют поразрядно .
Два других « участника » вычитания имеют в отличие от сложения разные названия :	уменьшаемое	и вычитаемое — « то , что уменьшают » и « то , что вычитают » .
	Уменьшаемое	, вычитаемое , разность .
Два других « участника » вычитания имеют в отличие от сложения разные названия : уменьшаемое и вычитаемое — « то , что	уменьшают	» и « то , что вычитают » .
Если вы умеете	умножать	дроби , то легко научитесь их делить .
Пользуясь сформулированным правилом , можно	умножать	дробь на натуральное число , на смешанную дробь , а также перемножать смешанные дроби .
Вычислим произведение 4 и 25 равно 100 , а на 100	умножать	легко , и ответ можно получить устно .
Для этого будем последовательно	умножать	10 на 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и т .
Чтобы вычислить произведение , надо знать , как	умножают	дроби .
Как	умножают	дробь на дробь .
Как	умножают	дробь на натуральное число , на смешанную дробь .
Просто специально договорились , что	умножение	и деление выполняются раньше сложения и вычитания , и благодаря этой договорённости скобки можно не ставить .
Вы знаете , что два арифметических действия - сложение и	умножение	- выполнимы всегда , а два других — вычитание и деление - таким свойством не обладают .
Разберите , как выполнено	умножение	числа 24 на 15 .
Как связаны между собой	умножение	и деление .
Помните : чтобы легко выполнять	умножение	чисел , нужно прежде всего хорошо знать таблицу умножения .
На примере умножения чисел расскажите , как выполняют	умножение	смешанных дробей .
Задачи , которые вы раньше решали умножением , решаются	умножением	и в том случае , если они содержат дробные данные .
Задачи , которые вы раньше решали	умножением	, решаются умножением и в том случае , если они содержат дробные данные .
Вычитание вместе с	умножением	также обладает распределительным свойством .
Дроби получаются из дроби	умножением	её числителя и знаменателя на одно и то же число : на 2 , 3 , 4 .
При	умножении	нескольких чисел их можно как угодно переставлять и объединять в группы .
При	умножении	любого числа на 1 получается то же число .
Как называются числа при	умножении	?
Но при	умножении	на 0 всегда получается 0 .
Как называются компоненты действия при	умножении	?
При	умножении	любого числа на 0 получается 0 .
В самом деле , нет такого натурального числа , при	умножении	которого на 4 получается 18 : произведение 4 на 4 меньше 18 , а произведение 4 на 5 уже больше 18 .
Запишите с помощью букв : свойства нуля при сложении и вычитании ; свойства нуля и единицы при	умножении	и делении .
найти такое число , которое при	умножении	на 0 даст 7 .
Объясните приём , который использован при	умножении	.
Разделить число а на число b — это значит найти такое число с , при	умножении	которого на b в произведении получится а .
Дело в том , что деление дробей сводится к	умножению	.
Деление — это действие , обратное	умножению	.
Покажем , что деление дробей можно свести к	умножению	.
Переместительное свойство	умножения	.
Представим натуральное число 2 в виде дроби со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом	умножения	дробей .
С помощью	умножения	проверьте , верно ли равенство .
Напомним свойства	умножения	, связанные с числом 1 и с числом 0 .
Сочетательное свойство	умножения	.
Например , иногда полезно знать , что пользуясь этими равенствами , вычислите : 1 ) Вычислим значение степени 1202 , воспользовавшись сочетательным свойством	умножения	.
Помните : чтобы легко выполнять умножение чисел , нужно прежде всего хорошо знать таблицу	умножения	.
Для дробей , как и для натуральных чисел , справедливы переместительное и сочетательное свойства	умножения	, а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
17 Свойства сложения и	умножения	.
Из этого примера понятен приём	умножения	на 15 : число нужно умножить на 10 и к результату прибавить половину получившегося произведения .
Простые числа — это как бы кирпичики , из которых с помощью	умножения	могут быть « построены » все остальные натуральные числа .
Для дробей , как и для натуральных чисел , справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Как можно упрощать вычисления , используя свойства сложения и	умножения	чисел .
С помощью букв свойства сложения и	умножения	можно записать так .
Из свойств	умножения	, связанных с числами 0 и 1 , вытекают соответствующие свойства деления .
Переместительное и сочетательное свойства сложения и	умножения	позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и произведений .
Действие	умножения	также обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Правило	умножения	дробей .
На примере	умножения	чисел расскажите , как выполняют умножение смешанных дробей .
Свойства сложения и	умножения	.
Найдите лёгкий способ	умножения	на 101 и вычислите произведение .
Сформулируйте и запишите с помощью букв правила	умножения	и деления дробей .
С помощью букв правило	умножения	дробей можно записать так .
Рассмотренные правила сложения и	умножения	чисел полезны тем , что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения , удобные для вычислений .
Вы все знакомы с такими таблицами , как расписание уроков , таблица	умножения	, страница школьного дневника , таблица первенства по футболу , таблица результатов шахматного турнира , календарь , программа передач телевидения , расписание движения автобусов и поездов .
Если в выражении скобок нет , то сначала выполняют слева направо все действия	умножения	и деления , а потом — слева направо все действия сложения и вычитания .
Запишите с помощью букв распределительное свойство	умножения	относительно сложения и относительно вычитания .
Точнее , его следует называть так : распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Из этого правила следует , что если выражение без скобок содержит только действия сложения и вычитания или только действия	умножения	и деления , то их выполняют слева направо в том порядке , в котором они записаны .
Проведённое рассуждение подсказывает нам правило	умножения	дробей .
Сформулируйте свойства	умножения	, связанные с единицей и нулём .
Числовое равенство , которое мы получили , иллюстрирует распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Представим смешанную дробь в виде неправильной дроби и затем применим правило	умножения	дробей .
Связь	умножения	и деления .
Такую возможность при вычислениях дают свойства сложения и	умножения	.
Запишите с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и	умножения	.
Сформулируйте правило	умножения	дроби на дробь и проиллюстрируйте его примером .
Кроме действий сложения и вычитания , вам известны также действия	умножения	и деления .
Числа , которые перемножают , называют множителями ; результат	умножения	называют произведением .
Новое свойство , с которым вы познакомитесь , является « совместным » свойством сложения и	умножения	.
Так как делимое должно равняться частному ,	умноженному	на делитель , то .
Длину окружности приближённо можно найти ,	умножив	её радиус на 6 .
Обратите внимание : для ответа на вопрос задачи мы скорость удаления	умножили	на время движения .
Число 20 , на которое	умножили	числитель и знаменатель дроби , называют дополнительным множителем .
Затем найдём три восьмые доли , для этого	умножим	полученное число на 3 . 1 ) 4 ( книги ) — это - часть всех книг .
Чтобы найти - от 42 ,	умножим	14 на 2 : 28 .
Так как , то числитель и знаменатель дроби нужно	умножить	на 20 .
Вы знаете , что	умножить	, например , 5 на 7 — это значит найти сумму семи слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Чтобы	умножить	дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Если числитель и знаменатель дроби	умножить	или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны , то , чтобы найти его периметр , можно сложить длины смежных сторон и	умножить	эту сумму на 2 .
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить сумму на некоторое число , можно каждое слагаемое	умножить	на это число и полученные результаты сложить .
Однако тот же результат получится , если число 42	умножить	на дробь .
Словами его читают следующим образом : чтобы	умножить	сумму на некоторое число , можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и	умножить	её на ширину ; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
—	умножить	это число на число вершин .
Из этого примера понятен приём умножения на 15 : число нужно	умножить	на 10 и к результату прибавить половину получившегося произведения .
	Умножить	на 6 .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно делимое	умножить	на дробь , обратную делителю .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника : полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника	умножить	на полусумму длин двух других сторон .
Чтобы	умножить	трёхзначное число на 1001 , достаточно приписать к нему справа само это число .
Так же следует поступить и в данном случае —	умножить	скорость на время .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число	умножить	на данную дробь .
Покажите на примере , как можно	умножить	дробь на натуральное число .
Их храмы имели форму	усечённой пирамиды	.
Например , египтяне знали , как вычислять объёмы куба , параллелепипеда , цилиндра , а также	усечённой пирамиды	.
Складываем из равных	фигур	. 1 ) Вырежьте из бумаги четыре равносторонних треугольника , равные треугольнику .
В математике , как правило , равенство двух	фигур	устанавливается с помощью специальных признаков равенства .
27 Равенство	фигур	.
Эти признаки указывают , равенство каких соответственных элементов	фигур	позволяет сделать вывод о равенстве самих фигур .
Сколько	фигур	и какие надо вырезать из стекла , чтобы сделать аквариум , длина которого равна 40 см , ширина — 20 см , а высота — 30 см ? .
Что существуют признаки равенства	фигур	.
Какие из равных	фигур	можно совместить , перемещая их по листу бумаги ? .
Определите площади	фигур	.
Эти признаки указывают , равенство каких соответственных элементов фигур позволяет сделать вывод о равенстве самих	фигур	.
Равенство	фигур	.
Для равенства более сложных	фигур	требуется равенство большего числа их элементов .
Может ли среди этих	фигур	быть прямоугольник ? .
Для обозначения равных	фигур	в математике используется известный вам знак равенства « равно » .
Развёртка многогранника — это плоская	фигура	, составленная из многоугольников , являющихся его гранями и расположенных определённым образом изображена некоторая фигура .
Окружность удивительно гармоничная	фигура	, древние греки считали её самой совершенной .
Какая	фигура	треугольник или квадрат ?
Какая	фигура	является основанием этой пирамиды ? .
Развёртка многогранника — это плоская фигура , составленная из многоугольников , являющихся его гранями и расположенных определённым образом изображена некоторая	фигура	.
Как бы вы назвали получившуюся	фигуру	? .
Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю	фигуру	.
Вырежите	фигуру	из бумаги и сложите .
И наоборот , разрезав поверхность куба по некоторым рёбрам , мы можем развернуть её в плоскую	фигуру	.
Если	фигуру	можно разбить на единичные квадраты , то площадь фигуры равна числу квадратных единиц , её составляющих .
Какую	фигуру	называют многоугольником .
Новую	фигуру	- угол .
Какую	фигуру	называют многоугольником ? .
Какие	фигуры	называют равными .
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие	фигуры	и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Как получить две равные	фигуры	?
Обычно площадь	фигуры	обозначают буквой S .
Если фигуру можно разбить на единичные квадраты , то площадь	фигуры	равна числу квадратных единиц , её составляющих .
Нарисуйте в тетради замкнутую линию без самопересечений и закрасьте внутреннюю область получившейся	фигуры	.
А как найти площадь	фигуры	, которую нельзя разбить на квадраты ? .
Что же мы имеем в виду , когда говорим , что две геометрические	фигуры	равны ?
Проверьте , используя кальку , что	фигуры	равны .
2 ) Из двух равных уголков можно составить разные	фигуры	.
Какие	фигуры	называют равными ? .
Все	фигуры	— это многоугольники .
Почему	фигуры	не могут быть развёртками куба ? .
Две геометрические	фигуры	называют равными , если их можно совместить друг с другом , наложив одну на другую .
Каким образом можно установить , что две	фигуры	являются равными ?
Площадь	фигуры	, единицы площади .
Равные	фигуры	.
Чтобы найти площадь	фигуры	, прежде всего нужно выбрать единицу измерения площади .
Какие	фигуры	вы получили ?
Древние строители возводили храмы , подчиняясь ряду правил : здания должны были иметь в основаниях определённые	фигуры	и располагаться по сторонам света .
Смешанная дробь :	целая	часть ; дробная часть .
Частное равно 17 — это	целая	часть смешанной дроби ; остаток равен 5 — это числитель дробной части .
Нахождение части	целого	и целого по его части .
Нахождение части целого и	целого	по его части .
Расскажите , как решают задачи на нахождение части целого и	целого	по его части .
Деление	целого	на доли .
Расскажите , как решают задачи на нахождение части	целого	и целого по его части .
Для выражения частей	целого	нужны новые , дробные числа .
Сформулируйте правило нахождения	целого	по его части .
Нахождение части	целого	. а ) В классе 32 ученика , из них приняли участие в лыжной гонке .
37 Нахождение части	целого	и целого по его части .
37 Нахождение части целого и	целого	по его части .
Вообще , если требуется найти часть от	целого	, заданного некоторым числом , можно пользоваться следующим правилом .
Нахождение	целого	по его части .
Теперь известна часть	целого	— число 28 ; этой части соответствует дробь .
Весь объём работы , которую должны выполнить мастерские , — это	целое	.
А всё	целое	— это , и оно равно 42 .
Чем больше число частей , на которые делят	целое	, тем меньше получаемые доли .
Зная целое , нужно уметь находить его часть , указанную соответствующей дробью , и , наоборот , по известной части « восстанавливать »	целое	.
Зная	целое	, нужно уметь находить его часть , указанную соответствующей дробью , и , наоборот , по известной части « восстанавливать » целое .
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине	целое	число раз , эти единицы стали делить на части .
Число 564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими	целое	число десятков ; при этом ближе оно к числу 560 .
Если речь идёт о части , то обязательно есть и	целое	- то , от чего берётся соответствующая часть .
Число 564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими	целое число	десятков ; при этом ближе оно к числу 560 .
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине	целое число	раз , эти единицы стали делить на части .
Выделение	целой	части из неправильной дроби и представление смешанной дроби в виде неправильной .
Чтобы из 6 вычесть , « займём » единицу в	целой	части числа Так как , то , Итак .
Натуральное число называют	целой	частью смешанной дроби , а правильную дробь — её дробной частью .
Прочитайте смешанную дробь , запишите её в виде суммы	целой	и дробной частей .
дробь 3/3 соответствует	целому	прямоугольнику .
Теперь по	целому	яблоку братьям не достанется .
В таких случаях говорят , что из неправильной дроби выделили	целую	часть .
Выделите	целую	часть дроби .
Сначала вычтем из 9	целую	часть числа Так как .
На примере дроби покажите , как из неправильной дроби выделяют	целую	часть .
Прочитайте смешанную дробь и назовите её	целую	и дробную части .
Выделим	целую	часть из дроби .
Сложим по отдельности	целые	и дробные части данных чисел .
В жизни нам нередко приходится пользоваться не только	целыми	величинами , но и их долями .
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из	целых	десятков ; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
Читают смешанную дробь так : две	целых	и две третьих .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из	целых	сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде десятков .
Отрезок , который соединяет две точки окружности и проходит через её	центр	, называют диаметром окружности .
Отрезок , который соединяет	центр	окружности с какой - либо её точкой , называют радиусом окружности .
Как с помощью двух перегибаний можно найти	центр	круга ? .
Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — её	центра	.
Так как все точки окружности находятся на одном расстоянии от её	центра	, то все радиусы окружности равны между собой .
Проведите окружности радиусом 4 клеточки с	центрами	в этих точках .
Наложите транспортир на лист бумаги и отметьте вершину угла — точку О — она должна располагаться в	центре	транспортира .
Каково расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их	центров	? .
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с	центром	в точке А , проходящую через точку В. Проведите радиус окружности и найдите его длину .
Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с	центром	в этой точке : одну радиусом 2 см , другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область , расположенную между этими окружностями .
Отметьте точку О. Проведите окружность с	центром	в точке О и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности ? .
Транспортир накладывают на угол так , чтобы вершина угла совпала с	центром	транспортира , а одна из сторон угла прошла через начало отсчёта на шкале , т .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с	центром	в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с	центром	в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм .
Начертите окружность с центром в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с	центром	в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Начертите окружность с	центром	в точке А , проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В , проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей ?
Изображена окружность с	центром	в точке О и проведены радиусы ОА , ОВ , ОС , OD .
Начертите окружность с	центром	в точке О и радиусом 3 см. Проведите прямую , пересекающую окружность .
Перерисуйте от руки в тетрадь	цилиндр	.
Например , из Древней Греции пришли термины « конус » - предмет , которым затыкали бочку ; « пирамида » - огонь , костёр ; «	цилиндр	» - валик .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела , например куб ,	цилиндр	, шар , конус .
Куб ,	цилиндр	, шар , конус .
Например , египтяне знали , как вычислять объёмы куба , параллелепипеда ,	цилиндра	, а также усечённой пирамиды .
Стакан и карандаш часто имеют форму	цилиндра	.
Начертите	четырёхугольник	, у которого являются тупыми : а ) два соседних угла ; б ) два противоположных угла .
Если вы считаете , что да , то начертите такой	четырёхугольник	.
5 Какой	четырёхугольник	называют прямоугольником , а какой — квадратом ? .
Какой	четырёхугольник	называют прямоугольником ?
Следовательно , им можно пользоваться для приближённых вычислений , когда	четырёхугольник	мало отличается от прямоугольника .
С помощью кальки найдите	четырёхугольник	, равный четырёхугольнику ABCD .
Сложите из них : а ) треугольник ; б )	четырёхугольник	.
Найдите	четырёхугольник	, не являющийся квадратом , у которого все стороны равны .
Например , наш	четырёхугольник	можно назвать так : ABCD .
Начертите	четырёхугольник	с двумя прямыми углами .
а ) любой	четырёхугольник	имеет прямой угол .
Вы , конечно , знаете , что	четырёхугольник	, у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
Один	четырёхугольник	является выпуклым , а другой нет .
Чтобы назвать	четырёхугольник	, последовательно перечисляют все его вершины , начиная с любой из них .
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г )	четырёхугольник	, не являющийся прямоугольником ; д ) шестиугольник .
Назовите все вершины , все стороны и все углы	четырёхугольника	.
Точки А , В , С и D называют вершинами этого четырёхугольника , соединяющие их отрезки — его сторонами , углы ABC , BCD , CDA , DAB — углами	четырёхугольника	.
У прямоугольника , как у любого	четырёхугольника	, две диагонали Вы видите , что они пересекаются ; точка О — точка пересечения диагоналей .
В древнем египетском папирусе приводится такое правило для вычисления площади произвольного	четырёхугольника	: полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон .
Выполнив необходимые измерения , найдите периметр	четырёхугольника	.
Запишите все возможные обозначения	четырёхугольника	ABCD .
Измерьте и запишите величину каждого угла этого	четырёхугольника	.
Периметр	четырёхугольника	КОРТ равен 17 см , КО равно 5 см , ОР равно 6 см , РТ равно КТ .
Так , утверждение « все четырёхугольники являются прямоугольниками » опровергается примером	четырёхугольника	.
Определите на глаз , есть ли в этом	четырёхугольнике	прямой угол , какой из его углов острый , сколько у него тупых углов .
Посмотрите на	четырёхугольники	.
Так , утверждение « все	четырёхугольники	являются прямоугольниками » опровергается примером четырёхугольника .
Найдите	четырёхугольники	, у которых есть : а ) прямой угол ; б ) равные стороны .
Изображены различные	четырёхугольники	.
Найдите	четырёхугольники	.
б ) Сколько	четырёхугольников	? .
Среди	четырёхугольников	вы легко найдёте и прямоугольники , и квадрат .
С помощью кальки найдите четырёхугольник , равный	четырёхугольнику	ABCD .
Мы видим , что у	чисел	30 и 45 несколько общих делителей : 1 , 3 , 5 , 15 .
Его называют наибольшим общим делителем этих	чисел	.
Приведите примеры таких	чисел	.
Любое число , делящееся и на 8 , и на 6 , является их общим кратным , и таких	чисел	бесконечно много .
Это , например , произведение	чисел	8 и 6 , равное 48 , числа 96 , 192 , 240 .
В то же время у каждого натурального числа имеется следующее , и это верно для всех	чисел	без исключения .
Однако при решении многих задач важно знать наименьшее общее кратное рассматриваемых	чисел	.
Часто при решении задач приходится находить общие делители двух или более	чисел	.
Найдём наименьшее общее кратное	чисел	6 и 8 .
б ) Сколько	чисел	можно записать , используя только цифры 3 и 7 ?
Найдём произведение	чисел	159 и 48 .
Умножение многозначных	чисел	обычно выполняют в столбик .
Наибольший общий делитель	чисел	а и Ъ обозначают так .
Выполните задания , используя таблицу простых	чисел	.
Найдём частное	чисел	104101209 и 10203 .
Таблица простых	чисел	.
В заключение заметим , что найти НОД и НОК небольших	чисел	разобранными выше способами несложно .
Для любых двух натуральных	чисел	всегда можно найти их произведение .
Из	чисел	с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения .
Какие из	чисел	163 , 261 , 271 , 447 , 457 , 758 являются простыми ? .
Глава 6 Делимость	чисел	.
Определите , сколько простых	чисел	в третьей сотне .
Найдите произведение	чисел	.
Среди двузначных простых	чисел	, записанных разными цифрами , есть такие , которые остаются простыми после перестановки цифр .
Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и b , то их разность можно записать так : a — b . Как и сложение , вычитание многозначных	чисел	обычно выполняют поразрядно .
Сколько пар	чисел	- близнецов в ряду чисел : а ) от 1 до 100 ; б ) от 100 до 200 ? .
В 5 классе вы вспомните уже известные вам свойства натуральных	чисел	и узнаете некоторые новые .
Деление многозначных	чисел	обычно выполняют уголком .
Однако , если числа большие , лучше пользоваться специальными приёмами , с которыми вы познакомитесь позже . Наименьшее общее кратное	чисел	а и b обозначают так .
Найдите все делители числа 20 и первые шесть	чисел	, кратных 20 .
Помните : чтобы легко выполнять умножение	чисел	, нужно прежде всего хорошо знать таблицу умножения .
а ) какое - нибудь число , кратное 35 , заключённое в промежутке от 500 до 600 . б ) среди	чисел	, больших 1000 , наименьшее число , кратное 80 .
Всякое составное число можно представить в виде произведения простых	чисел	, или , как говорят , разложить на простые множители .
Найдите сумму	чисел	.
Поэтому ещё с древнейших времён математики составляли специальные таблицы простых	чисел	.
Интересный способ составления списка простых	чисел	придумал древнегреческий математик Эратосфен ( III в .
Применим его для поиска всех простых	чисел	, меньших 50 .
С тех пор его способ отыскания простых	чисел	называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все натуральные числа от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните число 1 — оно не простое .
Составьте все возможные частные из	чисел	.
В настоящее время составление таблиц простых	чисел	можно поручить компьютеру ; с его помощью уже получены огромные простые числа , которые вручную , наверное , никогда бы не были найдены .
Ещё великий математик Древней Греции Евклид доказал , что простых	чисел	бесконечно много , так что полный их список составить просто невозможно .
Можно сказать так : среди простых	чисел	самого большого числа нет .
Может ли произведение двух простых	чисел	быть простым числом ? .
Перечислите в порядке возрастания первые десять простых	чисел	.
Какие из следующих	чисел	являются простыми : 11 , 26 , 27 , 29 , 31 , 33 , 39 , 43 , 51 , 59 , 67 , 69 ? .
Какое из данных	чисел	не является простым ?
Рассмотрим ещё одно выражение со скобками , составленное из тех же	чисел	и таких же знаков действий , что и предыдущее .
а ) Может ли сумма двух простых	чисел	быть простым числом ? .
Из двух различных натуральных	чисел	всегда одно больше , а другое меньше .
Пусть , например , требуется найти разность между числом 12 и суммой	чисел	7 и 3 .
НОД ( а ; b ) — наибольший общий делитель	чисел	a и b. Например , НОД ( 8 ; 12 ) равно 4 .
НОК ( а ; b ) - наименьшее общее кратное	чисел	а и b. Например , НОК ( 8 ; 12 ) равно 24 .
Выражение составлено из тех же	чисел	и с помощью таких же знаков действий , что и первое выражение .
Выпишите все общие делители	чисел	36 и 45 и назовите их наибольший общий делитель .
Известно , что сумма	чисел	а и b равна числу с.
Представьте число 2125 : а ) в виде суммы двух четырёхзначных чисел ; б ) в виде суммы трёх трёхзначных	чисел	.
Найдём разность	чисел	.
Как начинается последовательность	чисел	, кратных числу : а ) 4 ; б )
В каждом случае запишите первые десять	чисел	.
Заметим , что сложить можно любые два числа , а разность двух натуральных	чисел	можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
« Сконструируйте » несколько трёхзначных	чисел	, обладающих таким же свойством .
Сколько всего существует таких	чисел	? .
Представьте число 2125 : а ) в виде суммы двух четырёхзначных	чисел	; б ) в виде суммы трёх трёхзначных чисел .
Найдите несколько общих кратных двух данных	чисел	и укажите их наименьшее общее кратное : а ) 3 и 4 ; б ) 5 и 15 ; в ) 6 и 9 .
а ) Сколько	чисел	, кратных 9 , содержится среди первых ста чисел ? .
а ) Сколько чисел , кратных 9 , содержится среди первых ста	чисел	? .
Сколько пар чисел - близнецов в ряду	чисел	: а ) от 1 до 100 ; б ) от 100 до 200 ? .
По какому правилу составлена последовательность	чисел	?
Приведите примеры	чисел	для каждого случая .
11 Какие из	чисел	115 , 120 , 142 , 170 , 186 : а ) делятся на 2 и не делятся на 5 ; б ) делятся на 2 и на 5 ? .
Сколько получится	чисел	, если каждую цифру использовать только один раз ? .
10 Какие из	чисел	272 , 312 , 405 , 512 делятся : а ) на 3 ; б ) на 9 ? .
Сколько новых	чисел	можно получить из числа 546 , переставляя цифры ? .
Результат сравнения двух	чисел	записывают с помощью знаков < ( меньше ) и > ( больше ) .
Каждая пара	чисел	, расположенных друг под другом , в сумме даёт 11 , а всего таких пар 10 .
Сколько четырёхзначных	чисел	, заключённых в промежутке от 1000 до 2000 , можно составить из цифр 1 , 2 , 3 и 4 , используя каждую из них только один раз ? .
На примерах округления до десятков	чисел	132 , 136 , 135 покажите , как округляют числа по правилу .
Вы , конечно , знаете , что сложение	чисел	обладает переместительным свойством : при перестановке слагаемых сумма не меняется .
Сумма двух	чисел	87 , а разность 19 .
6 Запишите три общих кратных	чисел	9 и 12 .
5 Запишите по порядку , начиная с наименьшего , несколько	чисел	, кратных 7 .
Какие из отмеченных	чисел	больше ? .
Какие из отмеченных	чисел	меньше ? .
Для любых	чисел	а , b и с .
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное число ; б ) чётного и нечётного	чисел	— нечётное число .
Для любых	чисел	а и b .
Сколько всего таких	чисел	? .
Натуральные числа обладают многими интересными свойствами , которые с давних времён привлекают внимание математиков , и изучаются в разделе математики , называемом « Теория	чисел	» .
4 Укажите все общие делители	чисел	24 и 18 .
В каждом случае приведите примеры таких	чисел	.
Докажите , что сумма : а ) двух чётных	чисел	— чётное число ; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное число .
Какое из двух полученных	чисел	точнее указывает примерное число учащихся в школе , если в школе 758 учеников ?
Найдите три последовательных числа , сумма которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а ) Сумма двух	чисел	96 , а разность 18 .
Как можно упрощать вычисления , используя свойства сложения и умножения	чисел	.
Для дробей , как и для натуральных	чисел	, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Найдите в газетах или журналах примеры округлённых	чисел	.
Сравнение и упорядочение натуральных	чисел	.
При округлении	чисел	для самоконтроля полезно проверять , что в круглом числе цифр не меньше , чем в исходном .
Чтобы понять , как , быть может , рассуждал Гаусс , разберём более простую задачу : найдём сумму	чисел	от 1 до 10 .
Сравнение натуральных	чисел	.
Сколько двузначных	чисел	можно записать , если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз ? .
Так как результат сложения трёх	чисел	не зависит от того , как поставлены скобки , то их можно вообще не ставить и писать просто , понимая эту запись и как , и как .
а ) Сколько среди полученных	чисел	правильных дробей и сколько — неправильных ? .
В каждом случае приведите примеры	чисел	, делящихся и не делящихся на указанное число .
Вычислять разности , в которых одно из	чисел	или оба являются смешанными дробями , труднее .
9 Запишите в виде дроби частное двух натуральных	чисел	.
Сложим по отдельности целые и дробные части данных	чисел	.
а ) Какие из	чисел	132 , 815 , 2600 , 551 , 1000 делятся на 5 ?
б ) Какие из	чисел	9376 , 881 , 1050 , 12345 , 1112 делятся на 2 ?
Какие из	чисел	18 , 35 , 53 , 70 , 204 , 360 . а ) делятся на 5 , но не делятся на 2 .
Представьте каждое из	чисел	1 , 2 , 3 , 4 , 5 в виде дроби со знаменателем 10
Назовите несколько	чисел	, при округлении которых до сотен получится это число .
Рассмотренные правила сложения и умножения	чисел	полезны тем , что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения , удобные для вычислений .
а ) Какие из	чисел	212 , 216 , 8361 , 56007 , 4125 делятся на 9 ?
Запишите ряд	чисел	, который получится , если последовательно округлять данное число до десятков , сотен и т .
Каким числом может выражаться результат деления натуральных	чисел	?
7 Округление натуральных	чисел	.
Запишите последовательность из 10	чисел	, у которой первое число равно 1 , а каждое следующее — на больше предыдущего .
При этом частное двух натуральных	чисел	равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
б ) Какие из	чисел	111 , 110 , 222 , 834 , 2383 , 882 делятся на 3 ?
В газетах и журналах вы могли видеть , что при записи больших	чисел	используют сокращения : тыс. , млн , млрд .
При умножении нескольких	чисел	их можно как угодно переставлять и объединять в группы .
При сложении нескольких	чисел	их можно как угодно переставлять и объединять в группы .
Докажите , что каждое из	чисел	37940 , 1272 , 1551 , 207027 является составным числом .
Найдите сумму всех шести записанных	чисел	.
Вычитание дробей , как и натуральных	чисел	, определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Составьте все возможные суммы и разности из	чисел	.
Представление натуральных	чисел	дробями .
Произведение трёх	чисел	, как и сумму , также записывают без скобок .
Результат деления натуральных	чисел	выражается или натуральным , или дробным числом .
Оно состоит в том , что в сумме трёх	чисел	можно объединять в группу как первые два слагаемых , так и последние два — результат будет одним и тем же .
Округление натуральных	чисел	.
а ) сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3 . б ) разность числа 510 и суммы	чисел	236 и 128 .
2 Какие из	чисел	2 , 6 , 12 , 15 , 24 являются делителями числа 84 ? .
Из рассмотренных выше примеров ясно , что по отношению к делителю 4 имеется четыре класса натуральных	чисел	.
Это особый случай , так как число 565 одинаково удалено от соседних « круглых »	чисел	560 и 570 .
Условия , при которых сумма и произведение нескольких	чисел	делятся на данное число .
Можно взять в качестве общего знаменателя произведение	чисел	12 и 15 , равное 180 .
Изображение	чисел	точками координатной прямой для математиков настолько привычно , что в речи часто число и изображающую его точку не различают .
Каждое из	чисел	первого класса можно записать в виде произведения , в котором один из множителей равен 4 .
Об изображении натуральных	чисел	точками на прямой .
Можно указать сколько угодно общих кратных	чисел	5 и 8 : 40 , 80 , 120 и т .
Примеры	чисел	, которые делятся на 4 : 32 . 128 . 500 . 620 . 1284 .
Для решения задач полезно знать некоторые свойства делимости суммы и произведения нескольких	чисел	.
Возьмём произведение	чисел	214 и 33 .
Для записи дробных	чисел	, наряду с правильными и неправильными дробями , используют ещё и так называемые смешанные дроби .
Какое из этих	чисел	меньше ? .
Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных	чисел	.
Сколько знаков используется для записи	чисел	в десятичной системе ?
Квадраты	чисел	.
Установите закономерность в ряду	чисел	и назовите три следующих числа .
сумму всех нечётных	чисел	от 1 до 99 .
а ) сумму первых десяти нечётных	чисел	.
Представим каждое из	чисел	в виде произведения , в котором один из множителей равен 7 , и вынесем общий множитель 7 за скобки .
Чтение и запись	чисел	в десятичной нумерации .
В дальнейшем вы узнаете , что для больших	чисел	есть другой способ записи , который облегчает работу с ними .
Заметим , что для сложения и вычитания дробей выполняются те же свойства , что и для сложения и вычитания натуральных	чисел	.
Правило округления натуральных	чисел	: .
Кубы	чисел	.
п. Само слово « натуральный » означает в русском языке то же самое , что и слово « естественный » , так что название « натуральные » соответствует происхождению	чисел	в человеческой практике .
А теперь найдём сумму	чисел	21035 , 3440 и 880927 .
Запись	чисел	в римской нумерации .
Почему наша система записи	чисел	называется позиционной .
Особенности записи	чисел	в римской нумерации .
Какое из	чисел	больше : или ?
Задача - исследование . 1 ) Рассмотрите последовательность	чисел	2 , 22 , 23 , 24 , 212 .
А как начинается последовательность	чисел	, которые при делении на 3 дают в остатке 2 ?
Сколько существует двузначных	чисел	, у которых первая цифра больше второй ? .
Примеры деления	чисел	с остатком .
Для записи следующих	чисел	используются новые цифры , обозначающие сразу большое число единиц .
Запишите первые пять	чисел	этой последовательности .
Как связаны между собой сложение и вычитание	чисел	.
Какое из	чисел	больше .
Поэтому великим достижением математиков было изобретение десятичной позиционной системы записи	чисел	, хорошо вам известной .
Найдём сумму	чисел	10835 и 874 .
Сложение многозначных	чисел	обычно выполняют поразрядно в столбик .
На примере умножения	чисел	расскажите , как выполняют умножение смешанных дробей .
Почему наша система записи	чисел	называется десятичной ?
Возьмём какие - нибудь два	числа	, например 30 и 45 .
Для любого	числа	a .
Это , например , произведение чисел 8 и 6 , равное 48 ,	числа	96 , 192 , 240 .
Заметив это , легко сложить	числа	устно .
На координатной прямой отмечены натуральные	числа	а , b , с и d. Сравните указанные числа и запишите соответствующее неравенство .
Выполните деление с остатком : а )	числа	65 на 8 ; б ) числа 118 на 11 ; в ) числа 160 на 15 .
Найдём все делители каждого из них и подчеркнём их общие делители : делители	числа	30 ; делители числа 45 .
Найдём все делители каждого из них и подчеркнём их общие делители : делители числа 30 ; делители	числа	45 .
Будем перебирать	числа	, кратные большему из них , т . е .
На координатной прямой отмечены натуральные числа а , b , с и d. Сравните указанные	числа	и запишите соответствующее неравенство .
Установите закономерность в ряду чисел и назовите три следующих	числа	.
Выполните деление с остатком : а ) числа 65 на 8 ; б ) числа 118 на 11 ; в )	числа	160 на 15 .
Выполните деление с остатком : а ) числа 65 на 8 ; б )	числа	118 на 11 ; в ) числа 160 на 15 .
Во введении к этой главе рассказана история маленького Гаусса , который удивительно быстро сумел сложить	числа	от 1 до 100 .
При округлении	числа	до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
Когда полная точность не нужна или невозможна ,	числа	округляют , т .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого	числа	цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде десятков .
2 Какие из чисел 2 , 6 , 12 , 15 , 24 являются делителями	числа	84 ? .
Для записи	числа	в виде суммы разрядных слагаемых используют степени числа 10 .
3 Выпишите все делители	числа	40 .
2 ) Не выполняя вычислений , назовите последнюю цифру	числа	, равного : 213 , 214 , 215 , 216 . 3 )
Можно сказать , что число 9 является делителем 45 или что число 45 — кратное	числа	9 .
Для записи числа в виде суммы разрядных слагаемых используют степени	числа	10 .
Вы видели , что с помощью перебора можно найти все делители	числа	.
Рассмотрим , к примеру ,	числа	, кратные 10 .
« Круглые »	числа	встречаются нам повсюду .
Эта последовательность , как и натуральный ряд , бесконечна , и все	числа	, кратные 10 , выписать нельзя .
Члены последовательности 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , .. — это	числа	, которые при делении на 3 дают в остатке 1 .
Не выполняя деления , определите , какой остаток получается при делении : а ) числа 137 на 10 , на 5 , на 3 ; б )	числа	543 на 2 , на 5 , на 9 .
При умножении любого	числа	на 1 получается то же число .
9 Назовите простые	числа	.
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым » числом , состоящим из целых десятков ; у такого	числа	в разряде единиц стоит цифра 0 .
Не выполняя деления , определите , какой остаток получается при делении : а )	числа	137 на 10 , на 5 , на 3 ; б ) числа 543 на 2 , на 5 , на 9 .
Возьмём какие - нибудь два	числа	, например 8 и 6 .
Кратные	числа	.
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного	числа	другое — это значит найти такое число , которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Какой наибольший остаток возможен при делении	числа	: а ) на 6 ; б ) на 11 ; в ) на 20 ? .
При округлении	числа	до некоторого разряда могут встретиться разные случаи .
Какие остатки могут получиться при делении некоторого	числа	: а ) на 5 ; б ) на 8 ; в ) на 10 ? .
12 Какие остатки могут получиться при делении некоторого	числа	на 5 ?
Натуральные	числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
При умножении любого	числа	на 0 получается 0 .
Приведите пример	числа	, которое при делении на 5 даёт в остатке 2 .
Как округляют	числа	.
Если число а делится на число b , то говорят , что число а — кратное	числа	b ( или число а кратно числу b ) .
А сколько делителей имеет квадрат простого	числа	?
В этом выражении есть	числа	, при сложении которых получаются « круглые » числа — это 44 и 56 , а также 189 и 11 .
В десятичной системе значение цифры зависит от того , какое место в записи	числа	она занимает , а точнее , в каком разряде она находится .
Третью степень числа называют кубом этого	числа	.
Третью степень	числа	называют кубом этого числа .
Ни у одного многогранника не может быть меньшего	числа	граней , вершин или рёбер , чем у треугольной пирамиды .
С помощью этих цифр с применением сложения и вычитания в римской нумерации записывают и другие	числа	.
Какие	числа	можно подставить вместо буквы k , чтобы дробь k/3 была : а ) правильной ; б ) неправильной ? .
Для равенства более сложных фигур требуется равенство большего	числа	их элементов .
Определите : а ) во сколько раз число 378200 больше	числа	1525 ; б ) во сколько раз число 1173 меньше числа 238119 .
Будем последовательно перебирать	числа	, кратные 15 , т .
Вторую степень числа называют также квадратом этого	числа	.
Записывать	числа	люди научились гораздо позже , чем считать .
Однажды в Германии в конце XVIII в . , для того чтобы заставить учеников поработать , учитель дал им задание - сложить все	числа	от 1 до 100 .
5 Как записывают и читают	числа	.
Сравните	числа	m и n , если известно , что на координатной прямой числу m соответствует точка , расположенная левее .
Как записывают и читают	числа	.
Глава 2 Натуральные	числа	.
Натуральные	числа	, записанные по порядку одно за другим , образуют натуральный ряд : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 , 10 .
Сравните	числа	и запишите ответ с помощью знака .
Вторую степень	числа	называют также квадратом этого числа .
д. Эти	числа	, как вы знаете , называются натуральными .
Подставьте в дробь — вместо букв а и b всеми возможными способами	числа	от 1 до 6 так , чтобы полученные дроби были правильными .
Дроби , так же как и натуральные	числа	, известны с самых древних времён и были « изобретены » в связи с потребностями людей в измерении .
В математике принято изображать	числа	точками на прямой .
Запишите все	числа	, которые можно составить , используя только две римские цифры — одну из них или обе : а ) I и V ; б ) X и L .
Найдите квадрат и куб	числа	.
Пусть а и b — натуральные	числа	.
а ) Представьте в виде степени	числа	10 . б )
Представьте в виде степени	числа	2 .
Прочитайте	числа	.
Представление	числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
Когда мы считаем , то называем	числа	: один , два , три , четыре и т .
Так , шаг за шагом , можно будет построить точки , которым соответствуют	числа	4 , 5 , 6 Направление , в котором мы перемещаемся по прямой , переходя от меньшего числа к большему , показывают стрелкой .
Так , шаг за шагом , можно будет построить точки , которым соответствуют числа 4 , 5 , 6 Направление , в котором мы перемещаемся по прямой , переходя от меньшего	числа	к большему , показывают стрелкой .
Прямую с отмеченными точками , которые изображают	числа	0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной прямой ; сами числа называют координатами отмеченных точек .
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых с помощью степеней	числа	10 .
Прямую с отмеченными точками , которые изображают числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , называют координатной прямой ; сами	числа	называют координатами отмеченных точек .
Определите : а ) во сколько раз число 378200 больше числа 1525 ; б ) во сколько раз число 1173 меньше	числа	238119 .
Как читают	числа	.
Какой цифрой оканчивается квадрат	числа	.
Возьмём	числа	15 , 22 и 36 .
Натуральные	числа	и дроби .
в ) число 28 меньше	числа	с . г )
число а больше	числа	с .
Назовите	числа	сначала в порядке возрастания , а потом в порядке убывания ; в каждом случае запишите цепочку неравенств .
Сравните , если возможно ,	числа	, в которых некоторые цифры неизвестны .
Натуральные	числа	, как и дробные , можно записывать в виде дробей .
Поэтому можно считать , что все	числа	, которые мы используем , — дроби .
В самом деле , нет такого натурального	числа	, при умножении которого на 4 получается 18 : произведение 4 на 4 меньше 18 , а произведение 4 на 5 уже больше 18 .
Представьте в виде дроби частные 5:6 ; 15:10 . ( m , n — натуральные	числа	) ,
Если число а делится на число b , то число b называют делителем	числа	а .
Например , нет такого натурального	числа	, которое равно частному 7:3 .
Сократите дроби и укажите , какие из них представляют натуральные	числа	.
А число 4 делителем	числа	18 не является .
Запись	числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
Найдём все делители	числа	24 .
Некоторые из пятиклассников пришли с родителями , поэтому оказалось , что на празднике присутствует от	числа	приглашённых .
Представьте в виде дроби несколькими способами	числа	3 , 1 , 8 , 15 .
Далее будем проверять подряд все	числа	, начиная с 2 .
Отметьте на этой координатной прямой	числа	12 , 2 , 8 .
Какие из них представляют натуральные	числа	? .
Этот перебор можно сократить , если , отыскав один делитель , записать сразу же и другой , являющийся частным от деления	числа	24 на найденный делитель .
Разные задачи . Сравните	числа	.
Подставьте в дробь вместо а и b	числа	от 1 до 5 всеми возможными способами .
б ) Сколько дробей представляют натуральные	числа	и сколько среди них представляют число 1 ? .
Отметьте на этой координатной прямой	числа	1 , 4 , 8 .
В этом выражении есть числа , при сложении которых получаются « круглые »	числа	— это 44 и 56 , а также 189 и 11 .
Делители	числа	.
Что такое делитель и кратное	числа	.
32 Натуральные	числа	и дроби .
Что любые два натуральных	числа	можно разделить друг на друга .
Что натуральные	числа	можно записывать в виде дробей .
Как называются	числа	при умножении ?
число 14 больше	числа	а и меньше числа b . д ) число х больше числа у и меньше числа z .
Для любого	числа	а , не равного нулю .
число 14 больше числа а и меньше	числа	b . д ) число х больше числа у и меньше числа z .
Это позволит вам решать такие задачи , которые вы не могли решить , зная только натуральные	числа	.
число 14 больше числа а и меньше числа b . д ) число х больше	числа	у и меньше числа z .
число 14 больше числа а и меньше числа b . д ) число х больше числа у и меньше	числа	z .
Назовите два ближайших	числа	, между которыми находится данное число : а ) 28 ; б ) 84 ; в ) 145 ; г ) 219 .
Теперь , когда нам известны дробные	числа	, можно разделить друг на друга любые два натуральных числа .
Теперь , когда нам известны дробные числа , можно разделить друг на друга любые два натуральных	числа	.
Простые	числа	.
Дробные	числа	выражаются дробями , но оказывается , что любое натуральное число также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
При делении любого	числа	, не равного нулю , на себя получается единица , например .
Отметьте на этой прямой	числа	3 , 5 , 7 , 9 .
Отметьте на ней	числа	.
При делении любого	числа	на 1 получается это же число , например .
Проверьте , есть ли	числа	- близнецы в промежутке от 900 до 1000 .
И вообще : когда мы говорим о делении	числа	a на число b , всегда подразумеваем , что число b не равно 0 .
В то же время у каждого натурального	числа	имеется следующее , и это верно для всех чисел без исключения .
Простые	числа	, разность которых равна 2 , называют числами - близнецами .
Разложите на простые множители	числа	.
Натуральные	числа	, имеющие более двух делителей , называют составными числами .
Например ,	числа	85 , 1290 , 15065 делятся на 5 , а числа 348 , 5953 не делятся на 5 .
Возьмём	числа	485 и 486 и представим каждое из них в виде суммы двух слагаемых .
а ) сумму наибольшего четырёхзначного числа и наибольшего пятизначного	числа	.
А как по последней цифре	числа	узнать , делится ли оно на 5 ?
а ) сумму наибольшего четырёхзначного	числа	и наибольшего пятизначного числа .
Например , числа 1020 , 48960 , 580 делятся на 10 , а	числа	125 , 4718 не делятся на 10 .
Например ,	числа	1020 , 48960 , 580 делятся на 10 , а числа 125 , 4718 не делятся на 10 .
Составьте все двузначные	числа	, в записи которых используются только цифры 3 , 5 , 7 , 9 .
Сумма	числа	рёбер и вершин пирамиды равна 25 .
Чтобы ответить на вопрос задачи , надо найти от этого	числа	.
Существуют признаки , позволяющие в некоторых случаях получить ответ на этот вопрос уже по самой записи	числа	.
Сколько двузначных чисел можно записать , если использовать при записи	числа	каждую из указанных цифр только один раз ? .
Запишите все двузначные	числа	, которые можно составить из цифр 0 , 1 , 2 .
Опровергните утверждение : если при округлении	числа	получилось число с тремя нулями на конце , то округление выполняли до разряда тысяч .
Сколько новых чисел можно получить из	числа	546 , переставляя цифры ? .
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью , поэтому разложение	числа	90 на простые множители выглядит так .
Натуральные	числа	обладают многими интересными свойствами , которые с давних времён привлекают внимание математиков , и изучаются в разделе математики , называемом « Теория чисел » .
Чтобы найти часть от	числа	, выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
Запишите три следующих	числа	этой последовательности .
Например , числа 85 , 1290 , 15065 делятся на 5 , а	числа	348 , 5953 не делятся на 5 .
Сравните	числа	: m и m . 2 ) Известно , что m < 1 .
Таким свойством обладают , например ,	числа	7 , 13 , 29 , 41 .
Если сумма цифр	числа	делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Эти	числа	играют в арифметике особую роль , и учёные с глубокой древности и до наших дней стараются открыть их тайны .
В каждом случае во вторых скобках была записана сумма цифр взятого	числа	.
Подходящие коды — это двузначные	числа	, которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 .
а ) сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3 . б ) разность	числа	510 и суммы чисел 236 и 128 .
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются	числа	2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое число — это число 2 .
При вычитании нуля из любого	числа	получается то же число .
Для любого	числа	a . ВЫЧИТАНИЕ .
Запишите все	числа	, большие данного , которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа .
Будем выписывать все такие	числа	в порядке возрастания .
Договорились также считать , что число 0 меньше любого натурального	числа	.
Например , числа 1248 , 30540 делятся на 2 , а	числа	951 , 3497 не делятся на 2 .
Например ,	числа	1248 , 30540 делятся на 2 , а числа 951 , 3497 не делятся на 2 .
Это единственное чётное простое число , все остальные простые	числа	нечётные .
б ) разность наименьшего шестизначного числа и наибольшего трёхзначного	числа	.
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 ;	числа	, оканчивающиеся какой - нибудь из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , не делятся на 2 .
По последней цифре	числа	можно узнать также , делится ли оно на 2 .
б ) разность наименьшего шестизначного	числа	и наибольшего трёхзначного числа .
Сравните	числа	: m и m2 ; m2 и m3 . 3 ) Как меняется число при возведении его в степень , если оно больше 1 ?
Назовите все двузначные	числа	, меньшие 30 , разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя .
Найдите все делители	числа	а , если .
Запишите все числа , большие данного , которые можно получить с помощью перестановки цифр этого	числа	.
Простые	числа	— это как бы кирпичики , из которых с помощью умножения могут быть « построены » все остальные натуральные числа .
Перечислите	числа	a , b , с , d в порядке возрастания .
Запишите все возможные трёхзначные	числа	, которые можно составить из цифр 4 , 5 и 6 , используя каждую из них только один раз .
Простые и составные	числа	.
Укажите ещё несколько делителей этого	числа	.
Степень	числа	.
Вы уже умеете складывать и вычитать	числа	и , конечно , не считаете это слишком трудным .
б ) при возведении	числа	2 в степень получается число , оканчивающееся цифрой 4 , цифрой 8 или цифрой 6 .
Все простые	числа	— нечётные .
Все нечётные	числа	— простые .
Все простые	числа	, большие 2 , — нечётные . 4 ) Все нечётные числа , большие 2 , — составные .
Все простые числа , большие 2 , — нечётные . 4 ) Все нечётные	числа	, большие 2 , — составные .
Что значит вычесть из	числа	a число b ? .
Как называются	числа	при сложении ?
В таких случаях	числа	заменяют близкими « круглыми » числами так , чтобы было удобно считать устно .
С помощью букв эти свойства можно записать так : Для любого	числа	a .
Напомним , что число 0 обладает в действии сложения особым свойством : при сложении любого	числа	с нулём получается это же самое число .
При вычитании из любого числа этого же	числа	получается нуль .
При вычитании из любого	числа	этого же числа получается нуль .
Известно , что	числа	m и n простые .
Укажите три	числа	, которые можно подставить вместо буквы а , чтобы произведение : а ) 36а делилось на 14 ; б ) 15а было кратно 20 .
Сравните	числа	а и b .
Можно сказать так : среди простых чисел самого большого	числа	нет .
Подберите такие три	числа	, чтобы при подстановке каждого из них вместо буквы а сумма .
На примере	числа	2347059210 расскажите , как читают натуральные числа .
Простые числа — это как бы кирпичики , из которых с помощью умножения могут быть « построены » все остальные натуральные	числа	.
Почему в разложении нет	числа	1 ? .
На примере числа 2347059210 расскажите , как читают натуральные	числа	.
Такая таблица , в которой перечислены все простые	числа	из первой тысячи , помещена на с. 222 учебника .
Простые	числа	, меньшие 50 : 2 , 3 , 5 , 7 ; 11 , 13 , 17 , 19 ; 23 , 29 ; 31 , 37 ; 41 , 43 , 47 .
Эратосфен писал на восковых табличках специальной палочкой , а составные	числа	выкалывал острым концом , после чего табличка напоминала решето .
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все натуральные	числа	от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните число 1 — оно не простое .
Сравните	числа	.
Таким образом , какое бы натуральное число ( кроме	числа	1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть разложено на простые множители .
Число 2 простое ; обведите его кружочком и зачеркните все	числа	, кратные 2 , т .
Расскажите , как изображают	числа	точками на координатной прямой .
Обведите его кружочком и вычеркните все оставшиеся	числа	, кратные 3 , т .
Запишите цифрами	числа	.
Обведите его кружочком и вычеркните все	числа	, кратные 5 .
Числа , которые останутся незачёркнутыми , и есть простые	числа	.
Начертите координатную прямую и отметьте на ней	числа	3 , 7 , 10 .
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно поручить компьютеру ; с его помощью уже получены огромные простые	числа	, которые вручную , наверное , никогда бы не были найдены .
И возникает такой естественный вопрос : можно ли построить , хотя бы в далёком будущем , такой мощный компьютер , чтобы он нашёл все простые	числа	?
На координатной прямой число а расположено левее	числа	12 , а число b — правее его .
Дано разложение на простые множители	числа	420 .
Но есть	числа	, которые других делителей , кроме этих двух , не имеют .
Разложение	числа	на простые множители — это его « паспорт » .
Какие	числа	называют простыми , какие - составными .
Перечислите все делители числа 3125 ;	числа	64 .
Взаимно обратными являются , например , дроби ( вы помните , конечно , что дробь — это другая запись	числа	5 ) .
Докажите , что число 35 является делителем	числа	560 , а число 18 его делителем не является .
Так , из одного	числа	нельзя вычесть другое , если второе число больше первого .
Найдите три последовательных	числа	, сумма которых равна : а ) 48 ; б ) 69 . а ) Сумма двух чисел 96 , а разность 18 .
Из равенства следует , что	числа	34 и 8 являются делителями числа 272 .
Из равенства следует , что числа 34 и 8 являются делителями	числа	272 .
Найдите эти	числа	.
Натуральные	числа	появились в глубокой древности , когда людям понадобилось вести счёт окружающих их предметов : плодов , животных и т .
Даны	числа	: 354 , 180 , 198 , 287 , 425 , 414 .
Найдите все делители	числа	.
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр	числа	не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
На примерах округления до десятков чисел 132 , 136 , 135 покажите , как округляют	числа	по правилу .
12 Степень	числа	.
Используя цифры 1 , 3 , 5 , 6 ( каждую по одному разу ) , запишите все возможные четырёхзначные	числа	, которые .
Вычесть из	числа	а число b — значит найти такое число с , которое в сумме с числом b даёт число а .
Запишите другие равенства , связывающие эти	числа	.
Округление по правилу . Округлите	числа	.
Найдите ещё какие - нибудь делители	числа	272 и запишите соответствующие равенства .
Перечислите все делители	числа	3125 ; числа 64 .
Разделим на 4	числа	180 , 181 , 182 , 183 .
Для такого « комбинированного » числа , которое складывается из натурального	числа	и дроби , в математике есть специальное обозначение 2 .
куб простого	числа	?
« по отношению к числу 3 » натуральные	числа	делятся на три класса .
четвёртая степень простого	числа	?
Составьте все возможные трёхзначные	числа	из цифр 1 , 2 и 7 ( без повторения цифр ) .
Запишите все такие	числа	.
Как вы думаете , сколько делителей имеет пятая степень простого	числа	?
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом натуральные числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные	числа	.
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом натуральные	числа	разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам чётные и нечётные числа .
Название	числа	.
В десятичной системе счисления важное значение имеют степени	числа	10 .
Теперь	числа	всех четырёх классов записаны одинаково : .
Но	числа	первого класса , т .
Дроби , как и натуральные	числа	, можно изображать точками на координатной прямой .
Разберите , как выполнено умножение	числа	24 на 15 .
Однако , если	числа	большие , лучше пользоваться специальными приёмами , с которыми вы познакомитесь позже . Наименьшее общее кратное чисел а и b обозначают так .
Запишите три следующих	числа	и прочитайте их .
а ) Сколько различных цифр использовано в записи	числа	30350500000 ? .
Найдите все делители	числа	20 и первые шесть чисел , кратных 20 .
Для такого « комбинированного »	числа	, которое складывается из натурального числа и дроби , в математике есть специальное обозначение 2 .
Назовите два трёхзначных	числа	, которые .
Вспомните , какие	числа	называют составными .
Разложение	числа	на простые множители .
Для выражения частей целого нужны новые , дробные	числа	.
Нужно только помнить , что смешанная дробь — это сумма натурального	числа	и дроби .
Замените одну из цифр данного	числа	такой , чтобы получилось число , делящееся и на 9 .
Возьмём	числа	70 , 49 и 14 .
Найдите первое , шестое и двадцатое	числа	в этом ряду .
б ) Найдите наименьшее и наибольшее двузначные	числа	, кратные 7 .
Запишем число 2 в виде суммы натурального	числа	и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
Число всех мальчиков составляет	числа	девочек .
Заметим , что сложить можно любые два	числа	, а разность двух натуральных чисел можно найти только в том случае , когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему .
Заметим , что в натуральном ряду чередуются чётные и нечётные	числа	, т .
	Числа	, делящиеся и не делящиеся на 2 .
Серёжа записал ряд кратных некоторого	числа	, начиная с наименьшего , и на двенадцатом месте у него оказалось число 60 .
Признаки делимости помогают при разложении	числа	на простые множители ( при этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты ) .
Число делится на 3 в том и только том случае , если сумма цифр этого	числа	делится на 3 .
Сначала вычтем из 9 целую часть	числа	Так как .
Чтобы из 6 вычесть , « займём » единицу в целой части	числа	Так как , то , Итак .
Даны	числа	: 72 , 312 , 483 , 522 , 913 , 1197 , 2093 .
Выполните округление указанного	числа	и запишите результат , используя сокращённые наименования .
Сформулируйте правило нахождения части от	числа	.
Коля выписывает	числа	, кратные 14 , начиная с наименьшего .
Какие	числа	, делящиеся на 3 , заключены между числами 560 и 580 ?
Число делится на 9 в том и только том случае , если сумма цифр этого	числа	делится на 9 .
Есть ли среди них	числа	, делящиеся на 9 ? .
21 Простые	числа	.
Каким натуральным	числам	равны дроби .
Первыми простыми	числами	в порядке возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое число — это число 2 .
Глава 3 Действия с натуральными	числами	.
Чему равна разность между наибольшим и наименьшим пятизначными	числами	, записанными с помощью цифр 1 , 2 и 3 ? .
Какими ещё словами можно описать взаимосвязь между этими	числами	?
Теперь вы знакомы не только с натуральными	числами	, но и с дробными .
При решении задач иногда приходится выполнять арифметические действия не только с натуральными	числами	, но и с дробями .
В	числе	1 содержатся 2 вторые доли , значит , в числе 5 будет 10 вторых долей .
Например , в	числе	3748152 цифра 2 означает две единицы , цифра 5 — пять десятков , цифра 1 — одну сотню и т .
В числе 1 содержатся 2 вторые доли , значит , в	числе	5 будет 10 вторых долей .
При округлении чисел для самоконтроля полезно проверять , что в круглом	числе	цифр не меньше , чем в исходном .
Из него можно узнать много полезных сведений о данном	числе	, например , найти все его делители .
Умея сравнивать дроби с	числителем	, равным 1 , можно сравнить , не приводя к общему знаменателю , любые дроби , имеющие одинаковые числители .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать	числителем	, а второе — знаменателем .
Его называют	числителем	дроби .
Запишите все неправильные дроби с	числителем	5 .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их	числители	и их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем .
Умея сравнивать дроби с числителем , равным 1 , можно сравнить , не приводя к общему знаменателю , любые дроби , имеющие одинаковые	числители	.
Чтобы вычисления были проще ,	числители	и знаменатели дробей нужно перемножать не сразу , а лишь после сокращения на общие множители ( если , конечно , это возможно ) .
Если	числитель	и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Назовите знаменатель и	числитель	дроби и объясните , что они показывают .
Частное равно 17 — это целая часть смешанной дроби ; остаток равен 5 — это	числитель	дробной части .
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . -	числитель	равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
Поэтому эту дробь можно заменить более простой , разделив её	числитель	и знаменатель на 6 .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой	числитель	больше .
Возьмём дробь и « перевернём » её , поменяв местами	числитель	и знаменатель .
Запишите	числитель	и знаменатель дроби в виде произведений , содержащих одинаковые множители , и сократите дробь .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби на 2 .
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть	числитель	второй , а знаменатель оставить прежним .
Например , полученную выше дробь сократить нельзя , так как её	числитель	и знаменатель не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Её	числитель	и знаменатель имеют общий делитель , равный 6 .
У дроби 2/3 числитель меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3	числитель	3/5 больше знаменателя .
У дроби 2/3	числитель	меньше знаменателя , у дроби . - числитель равен знаменателю , у дроби 3/3 числитель 3/5 больше знаменателя .
Чтобы сократить дробь , её	числитель	и знаменатель нужно разделить на их общий делитель .
Так как , то	числитель	и знаменатель дроби нужно умножить на 20 .
Число 20 , на которое умножили	числитель	и знаменатель дроби , называют дополнительным множителем .
Запишите соответствующую дробь , назовите её	числитель	и знаменатель .
Дробь ,	числитель	которой меньше знаменателя , называют правильной .
Назовите	числитель	и знаменатель дроби .
Итак , число 1 представляется в виде дроби , у которой	числитель	и знаменатель равны .
Для этого разделим	числитель	на знаменатель .
При этом частное двух натуральных чисел равно дроби ,	числитель	которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Дробь ,	числитель	которой больше знаменателя или равен ему , называют неправильной .
А если прочитать эту цепочку равенств справа налево , то мы увидим , что дробь можно преобразовать в дробь , разделив её	числитель	и знаменатель на 4 .
Дробь :	числитель	дроби ; знаменатель дроби .
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями , надо из	числителя	первой дроби вычесть числитель второй , а знаменатель оставить прежним .
Дроби получаются из дроби умножением её	числителя	и знаменателя на одно и то же число : на 2 , 3 , 4 .
Найдите	число	, квадрат которого равен .
Найдите	число	, куб которого равен .
Представьте	число	в виде суммы разрядных слагаемых с помощью степеней числа 10 .
Запишите	число	, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых .
Название этому числу придумал в 1938 г. девятилетний мальчик для своего дяди , американского математика , которому нужно было как - то назвать такое	число	в своей статье .
Какому произведению равно	число	300000000 ? .
При вычислении значений этих выражений получится одно и то же	число	.
Дроби получаются из дроби умножением её числителя и знаменателя на одно и то же	число	: на 2 , 3 , 4 .
Затем найдём три восьмые доли , для этого умножим полученное	число	на 3 . 1 ) 4 ( книги ) — это - часть всех книг .
Нижняя полка . 1 ) « Уравняйте »	число	книг на полках по верхней полке : « добавьте » на среднюю полку 4 книги , а на нижнюю 6 книг .
Решение . 1 ) Уравняем мысленно	число	тетрадей в пачках : « уберём » из большей пачки десять тетрадей .
Так как 14400 , то найти значение степени 1202 можно так : возвести в квадрат	число	12 и приписать к результату два нуля .
Чтобы умножить трёхзначное число на 1001 , достаточно приписать к нему справа само это	число	.
Чтобы умножить трёхзначное	число	на 1001 , достаточно приписать к нему справа само это число .
В выражении расставьте скобки так , чтобы в результате получилось	число	: а ) 3 ; б ) 9 ; в ) 1 .
Из этого примера понятен приём умножения на 15 :	число	нужно умножить на 10 и к результату прибавить половину получившегося произведения .
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить сумму на некоторое	число	, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить .
Слагаемые в данной сумме — это произведения , каждое из которых содержит в качестве множителя одно и то же	число	12 .
1 Возьмите какую - нибудь модель многогранника и определите	число	его вершин .
Словами его читают следующим образом : чтобы умножить сумму на некоторое число , можно каждое слагаемое умножить на это	число	и полученные результаты сложить .
Заметим , что распределительное свойство справедливо и в том случае , когда	число	умножается на сумму трёх и более слагаемых .
В этом выражении число 5 — основание степени , а	число	4 — показатель степени .
В этом выражении	число	5 — основание степени , а число 4 — показатель степени .
Однако их можно выделить , заменив число 75 произведением 25 · 3 , а	число	16 — произведением 4 · 4 .
Однако их можно выделить , заменив	число	75 произведением 25 · 3 , а число 16 — произведением 4 · 4 .
В данном выражении нет множителей , дающих в произведении « круглое »	число	.
б ) Есть ли кружки , в которых одинаковое	число	учащихся ? .
На диаграмме 9 показано	число	учащихся , занимающихся в кружках .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля	число	, то получится дробь , равная данной .
На его горизонтальной стороне указали погоду , на его вертикальной стороне , выбрав единицу измерения , отметили	число	дней и построили три столбика .
Во сколько раз	число	мест в красном зале больше , чем число мест в синем зале ? .
Тогда ребята подсчитали	число	облачных , дождливых и ясных дней в отдельности и изобразили полученные данные в виде столбчатой диаграммы .
Затем подсчитайте , сколько всего раз вам встретилась буква а , и запишите это	число	в последнем столбце таблицы .
Во сколько раз число мест в красном зале больше , чем	число	мест в синем зале ? .
в ) Есть ли школы , в которых одинаковое	число	учащихся ? .
В таблице указано	число	учащихся в каждой из пяти школ .
Какое наименьшее	число	лучей с началом в одной точке надо провести , чтобы все углы , образованные двумя соседними лучами , были острыми ? .
В следующей таблице указано	число	шайб , заброшенных и пропущенных каждой из трёх хоккейных команд в пяти матчах .
В каких месяцах было одинаковое	число	пасмурных дней ? .
Запишите	число	, представленное в виде суммы разрядных слагаемых .
Если выполнить все указанные в выражении действия , то получится	число	, которое называют значением выражения .
Гугол — это	число	, которое записывается единицей со ста нулями , т .
Таким же образом подсчитайте	число	букв ж и с в этом абзаце .
Какое	число	записано римскими цифрами .
а ) любое чётное	число	имеет только чётные делители .
Назовите несколько чисел , при округлении которых до сотен получится это	число	.
Замените одну из цифр данного числа такой , чтобы получилось	число	, делящееся и на 9 .
Назовите наименьшее	число	, при округлении которого до сотен получится это число .
Объясните , почему	число	3147 делится на 3 и не делится на 9 .
В каждом случае приведите примеры чисел , делящихся и не делящихся на указанное	число	.
Назовите наименьшее число , при округлении которого до сотен получится это	число	.
Как , не выполняя деления , определить , делится ли данное	число	на 10 ?
в ) Назовите наибольшее	число	, при округлении которого до сотен получится это число .
в ) Назовите наибольшее число , при округлении которого до сотен получится это	число	.
Некоторое	число	округлили до сотен и получили 53400
Оцените	число	учащихся школы .
Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное	число	учащихся в школе , если в школе 758 учеников ?
Учитель предложил округлить до миллионов	число	26547049 .
Например ,	число	78345 делится на 9 , так как , а 27 делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само	число	не делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само	число	делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и само число не делится на 9 .
Между какими последовательными натуральными числами заключено	число	.
В каждом случае отметьте это	число	на координатной прямой .
Значит ,	число	736 не делится на 9 .
Представим теперь таким же образом в виде суммы	число	736 .
Например ,	число	4584 делится на 3 , а 1111 не делится .
Какое	число	мог задумать Тимур ? .
Тимур задумал	число	и , округлив его до десятков , записал : 280 .
Запишите ряд чисел , который получится , если последовательно округлять данное	число	до десятков , сотен и т .
Умножив	число	45 на 4 , в каждом из этих случаев мы не получим делимое .
— все цифры , расположенные правее разряда , до которого округляют	число	, заменяют нулями .
Округлим до миллионов	число	23847250 .
Нельзя также разделить одно число на другое , если первое	число	не кратно второму .
Нельзя также разделить одно	число	на другое , если первое число не кратно второму .
Так , из одного числа нельзя вычесть другое , если второе	число	больше первого .
Натуральное	число	называют целой частью смешанной дроби , а правильную дробь — её дробной частью .
Какими могут быть остатки от деления на натуральное	число	п .
наименьшее	число	, делящееся на 6 .
наибольшее	число	, делящееся на 2 .
а ) наименьшее	число	, делящееся на 5 .
Укажите	число	, кратное 9 , ближайшее к числу .
Можно ли записать этими же цифрами	число	, которое делится на 3 ?
Они обозначают одно и то же дробное	число	.
Так как 1 км равно 1000 м , то	число	6789 надо округлить до тысяч : 6789 м ≈ 7000 м равно 7 км . а ) Масса слона 5835 кг .
Укажите примерное количество гвоздей , округлив данное	число	до сотен , до тысяч .
Разложите на простые множители	число	.
Поставьте вместо знака такую цифру , чтобы получившееся	число	делилось на 9 .
Рассмотрите приближённое равенство и скажите , до какого разряда округлили	число	486573 .
Представим в виде дроби	число	2 .
Запишем	число	2 в виде суммы натурального числа и дроби и преобразуем её , воспользовавшись правилом сложения дробей .
Значит ,	число	738 делится на 9 .
Запишите последовательность из 10 чисел , у которой первое	число	равно 1 , а каждое следующее — на больше предыдущего .
Для этого представим	число	738 в виде суммы разрядных слагаемых и преобразуем её .
Возьмём	число	738 и , не выполняя деления , постараемся выяснить , делится ли оно на 9 .
	Число	диагоналей выпуклого пятиугольника равно трём .
любое нечётное	число	делится на 3 .
Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух слагаемых , одно из которых делится на указанное	число	.
Представьте рассматриваемое	число	в виде суммы двух слагаемых , одно из которых делится на указанное число .
Не выполняя деления , докажите , что : а ) число 358 не делится на 17 ; б )	число	238 не делится на 22 .
Не выполняя деления , докажите , что : а )	число	358 не делится на 17 ; б ) число 238 не делится на 22 .
Запишите цифрами	число	.
Докажите , что значение данного выражения есть	число	составное .
Представьте	число	в виде суммы разрядных слагаемых .
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное число ; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное	число	.
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное	число	; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное число .
Например ,	число	2047000 записывают так : 2 млн 47 тыс .
Используя указанные сокращения , запишите	число	.
Вынесите	число	15 за скобки .
На координатной прямой	число	а расположено левее числа 12 , а число b — правее его .
Умножение дроби на натуральное	число	и смешанную дробь .
На координатной прямой число а расположено левее числа 12 , а	число	b — правее его .
Пользуясь сформулированным правилом , можно умножать дробь на натуральное	число	, на смешанную дробь , а также перемножать смешанные дроби .
б ) Известно , что некоторое	число	делится на 2 .
Округлите	число	89615 : а ) до десятков ; б ) до сотен ; в ) до тысяч .
Известно , что некоторое	число	делится на 4 .
а ) если сумма делится на некоторое	число	, то и каждое слагаемое делится на это число .
— если справа от разряда , до которого округляют	число	, стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 ; в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
Как умножают дробь на натуральное	число	, на смешанную дробь .
б ) если произведение делится на некоторое	число	, то и какой - нибудь из входящих в него множителей делится на это число .
Поэтому признак делимости на 2 можно сформулировать так :	число	делится на 2 в том и только том случае , если оно оканчивается чётной цифрой .
Если	число	оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 ; числа , оканчивающиеся какой - нибудь из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , не делятся на 2 .
Можно сказать иначе :	число	делится на 5 в том и только том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 .
Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 , то оно делится на 5 ;	число	, оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 5 .
Если	число	оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 , то оно делится на 5 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 5 .
Значит ,	число	486 на 5 не делится .
В первой сумме оба слагаемых делятся на 5 , значит , и	число	485 делится на 5 .
Очевидно , что всякое	число	, оканчивающееся цифрой 0 , делится на 5 .
Оно делится на 10 , но	число	10 делится на 5 , значит , и 480 делится на 5 .
Возьмём , например ,	число	480 .
Чтобы объединить эти два утверждения в одно , обычно используют словосочетание « в том и только том случае » и говорят :	число	делится на 10 в том и только том случае , когда его последней цифрой является 0 .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 ;	число	, оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 10 .
Если	число	оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 ; число , оканчивающееся любой другой цифрой , не делится на 10 .
Эти признаки делимости позволяют определить , делится ли	число	на 10 , на 5 или на 2 по его последней цифре .
Для того чтобы узнать , делится ли одно	число	нг другое , не всегда нужно выполнять деление .
Как , не выполняя деления , можно установить , делится ли данное	число	на 2 , на 5 , на 10 , на 3 , на 9 .
Опровергните утверждение : если при округлении числа получилось	число	с тремя нулями на конце , то округление выполняли до разряда тысяч .
2 ) если	число	делится на 3 , то оно делится на 9 ? .
Дано	число	3241 .
1 ) если	число	делится на 9 , то оно делится на 3 .
б ) если произведение делится на некоторое число , то и какой - нибудь из входящих в него множителей делится на это	число	.
а ) если сумма делится на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это	число	.
Для этого нужно натуральное	число	и смешанную дробь записать в виде неправильной дроби .
— если требуется округлить натуральное	число	, вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений .
кратные 4 , также можно записать в виде подобных сумм , только в качестве второго слагаемого следует взять	число	0 .
Для записи следующих чисел используются новые цифры , обозначающие сразу большое	число	единиц .
Раньше всего они стали изображать единицу палочкой , потом двумя палочками число 2 , тремя —	число	3 .
Раньше всего они стали изображать единицу палочкой , потом двумя палочками	число	2 , тремя — число 3 .
В натуральном ряду	число	а появляется позже , чем число b.
В натуральном ряду число а появляется позже , чем	число	b.
Разбейте	число	85953500073 на классы и назовите каждый класс .
Найдите какое - нибудь	число	, расположенное между числами .
а )	число	а больше 15 . б ) число b меньше 100 .
а ) число а больше 15 . б )	число	b меньше 100 .
Если бы мы захотели в римской нумерации записать очень большое	число	, то нам потребовалось бы придумать ещё много новых цифр — для десятков тысяч , сотен тысяч и т .
в )	число	28 меньше числа с . г )
б ) Запишите какое - нибудь шестизначное	число	, которое больше 999888 и оканчивается цифрой 6 .
а )	число	7 больше 6 и меньше 10 . б ) число 83 больше 80 и меньше 90 .
а ) число 7 больше 6 и меньше 10 . б )	число	83 больше 80 и меньше 90 .
в )	число	d больше 20 и меньше 30 . г )
	Число	14 больше числа а и меньше числа b . д ) число х больше числа у и меньше числа z .
число 14 больше числа а и меньше числа b . д )	число	х больше числа у и меньше числа z .
Назовите два ближайших числа , между которыми находится данное	число	: а ) 28 ; б ) 84 ; в ) 145 ; г ) 219 .
Прочитайте это	число	.
Дробные числа выражаются дробями , но оказывается , что любое натуральное	число	также можно представить в виде дроби , причём с каким угодно знаменателем .
а ) Запишите какое - нибудь пятизначное	число	, которое меньше 10101 и оканчивается цифрой 7 .
Используя эти десять цифр , можно записать любое , сколь угодно большое	число	.
большему из этих знаменателей , и проверять , делятся ли они на 12 : число 30 на 12 не делится ,	число	45 также не делится , а 60 делится .
большему из этих знаменателей , и проверять , делятся ли они на 12 :	число	30 на 12 не делится , число 45 также не делится , а 60 делится .
Например ,	число	2803 содержит 2 тысячи , 8 сотен , 0 десятков и 3 единицы .
Каждое	число	можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Будем считать , что точка О изображает	число	0 , а точка Е — число 1 .
Запишите какое - нибудь десятичное	число	, назовите классы и разряды в его записи .
Будем считать , что точка О изображает число 0 , а точка Е —	число	1 .
Отложите вправо от точки Е отрезок , равный единичному ; вы получите точку , которая изображает	число	2 .
Добавив затем мелкие квадраты , частично выходящие за арену , мы получим	число	, которое больше площади .
Отложите вправо от этой точки ещё один единичный отрезок ; вы получите точку , изображающую	число	3 .
Получим	число	, которое по - прежнему меньше значения площади арены , но выражает её точнее .
Чтобы вычислить площадь более точно , можно жёлтые квадраты разбить на более мелкие ( например , на квадратные дециметры ) , подсчитать	число	этих квадратов внутри арены и добавить величину их площади к 112 м2 .
Например ,	число	читают так : 247 миллиардов 28 миллионов 541 тысяча 406 .
Читают	число	слева направо .
Чтобы прочитать	число	, записанное в десятичной системе , его разбивают справа налево на классы , по три цифры в каждом ( самая левая группа цифр может состоять как из трёх , так и из одной или двух цифр ) .
Прочитайте	число	.
Больший знаменатель —	число	12 — делится на меньший , поэтому его можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей .
Число 15 меньше , чем	число	22 , а 22 меньше , чем 36 .
А десятичной нашу нумерацию называют потому , что в ней важную роль играет	число	10 : единица каждого следующего разряда составляет 10 единиц предыдущего разряда .
д. Наименьшее из них — их произведение ,	число	40 .
Изображение чисел точками координатной прямой для математиков настолько привычно , что в речи часто	число	и изображающую его точку не различают .
Найдётся	число	, меньшее их произведения и кратное каждому из них .
Так , вместо « отметим точку с координатой , равной 5 » говорят « отметим	число	5 » .
Отметьте на этой же прямой сначала	число	, а затем .
Итак ,	число	1 представляется в виде дроби , у которой числитель и знаменатель равны .
а ) Начертите координатную прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на четыре клетки , поставьте метку и подпишите под ней	число	2 .
Теперь легко представить в виде дроби любое другое натуральное	число	, например число 5 .
Округлим до десятков	число	564 .
Найдите какое - нибудь	число	, которое при делении на 2 даёт в остатке 1 , а при делении на 3 даёт в остатке 2 .
Число 564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими целое	число	десятков ; при этом ближе оно к числу 560 .
Найдите какое - нибудь двузначное	число	, которое при делении и на 2 , и на 3 даёт в остатке 1 . 2 )
Коля делил	число	156 на 8 и получил в частном 18 , а в остатке 12 .
Поэтому , округляя	число	564 до десятков , мы должны заменить его числом 560 .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено	число	564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
Найдите	число	, если/. а ) при делении его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7 . б ) при делении его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1 . а ) В коробку помещается дюжина вилок .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ;	число	560 — приближённое значение с недостатком , а число 570 — приближённое значение с избытком .
Числа 560 и 570 , между которыми заключено число 564 , называют его приближёнными значениями с точностью до десятков ; число 560 — приближённое значение с недостатком , а	число	570 — приближённое значение с избытком .
Округлив	число	564 до десятков , мы заменили его приближённым значением с недостатком .
Округлим до десятков	число	568 .
Найдите	число	, при делении которого на 6 получается неполное частное , равное 7 , и остаток , равный 3 .
Найдите неизвестное	число	, обозначенное буквой .
Очевидно , что в данном случае округляемое	число	ближе к приближённому значению с избытком , а значит , 568 ≈ 570 .
При делении на натуральное	число	n возможны следующие остатки .
Округлим до десятков	число	565 .
Вообще будем считать , что всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное	число	с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Вообще будем считать , что всякое натуральное	число	можно разделить на любое другое натуральное число с остатком ; при этом остаток может быть равным нулю .
Это особый случай , так как	число	565 одинаково удалено от соседних « круглых » чисел 560 и 570 .
Какое	число	называют смешанной дробью .
Дано	число	: а ) 156998 ; б ) 3409999 .
В таких случаях	число	округляют « в большую сторону » , т .
И для этого не нужно , например , знать абсолютно точное	число	людей , живущих в Москве , тем более что это и невозможно , так как численность населения крупного города ежедневно меняется .
Содержится ли в этой последовательности	число	99 ?
Теперь легко представить в виде дроби любое другое натуральное число , например	число	5 .
Такая запись , как , также считается дробью , причём это несократимая дробь и , значит , самая простая дробь , с помощью которой можно записать	число	5 .
Одно натуральное	число	всегда можно разделить на другое .
Представьте	число	4 в виде дроби разными способами .
Укажите самую простую дробь , с помощью которой можно записать	число	4 .
Напишите	число	, в котором .
Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на три клетки , поставьте метку и подпишите под ней	число	6 .
Представьте	число	12 в виде дроби со знаменателем 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
б ) Сколько дробей представляют натуральные числа и сколько среди них представляют	число	1 ? .
Когда использовавшиеся единицы измерения ( длины , площади , объёма и др. ) не укладывались в измеряемой величине целое	число	раз , эти единицы стали делить на части .
Запишите	число	.
Что значит « округлить натуральное	число	» .
Если вдуматься , то возникают вопросы , например : неужели это расстояние так точно подсчитано и составляет такое « круглое »	число	километров ?
Вычитание дробей , как и натуральных чисел , определяется на основе действия сложения : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое	число	, которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Любое ли натуральное	число	относится к одному из этих двух видов ? .
8 Какое	число	называется простым и какое — составным ? .
При округлении до сотен данное	число	заменяют « круглым » числом , состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде десятков .
1 Известно , что число а делится на	число	b.
1 Известно , что	число	а делится на число b.
	Число	101 ? .
	Число	100 ?
Первое	число	в ней 1 ( так как ) , а каждое следующее на 3 больше предыдущего .
Чем больше	число	частей , на которые делят целое , тем меньше получаемые доли .
	Число	а больше числа с .
Каким по счёту он запишет	число	70 ?
а ) какое - нибудь	число	, кратное 35 , заключённое в промежутке от 500 до 600 . б ) среди чисел , больших 1000 , наименьшее число , кратное 80 .
Какое это	число	? .
а ) Задуманное	число	больше 30 , но меньше 50 ; его называют , когда считают тройками и когда считают пятёрками .
Найдите неизвестное	число	.
Представьте	число	2125 : а ) в виде суммы двух четырёхзначных чисел ; б ) в виде суммы трёх трёхзначных чисел .
Серёжа записал ряд кратных некоторого числа , начиная с наименьшего , и на двенадцатом месте у него оказалось	число	60 .
	Число	224 ?
Окажется ли в этом ряду кратных	число	164 ?
Известно , что некоторое	число	делится на 10 .
Докажите , что	число	825 кратно 15 и не кратно 35 .
Сколько делителей имеет	число	.
Как называется	число	2 ?
Представьте	число	7 в виде неправильной дроби .
Докажите , что число 35 является делителем числа 560 , а	число	18 его делителем не является .
Докажите , что	число	35 является делителем числа 560 , а число 18 его делителем не является .
На этом перебор можно закончить , так как число 24 — первое	число	в натуральном ряду , которое делится и на 8 , и на 6 .
Так как , то	число	18 делится на 3 и в 3 коробки разложить карандаши поровну можно .
а ) какое - нибудь число , кратное 35 , заключённое в промежутке от 500 до 600 . б ) среди чисел , больших 1000 , наименьшее	число	, кратное 80 .
Каждый ученик получил одинаковое	число	книг .
При делении нуля на любое	число	, не равное нулю , получается 0 , например .
И вообще : когда мы говорим о делении числа a на	число	b , всегда подразумеваем , что число b не равно 0 .
Разложим на простые множители	число	90 .
Здесь задано целое — это	число	42 .
Всякое составное	число	можно представить в виде произведения простых чисел , или , как говорят , разложить на простые множители .
Число 1 имеет только один делитель — само это	число	.
Однако тот же результат получится , если	число	42 умножить на дробь .
Например ,	число	6 — составное : оно делится не только на 1 и на 6 , но ещё и на 2 , и на 3 .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это	число	умножить на данную дробь .
Теперь известна часть целого —	число	28 ; этой части соответствует дробь .
На этом перебор можно закончить , так как	число	24 — первое число в натуральном ряду , которое делится и на 8 , и на 6 .
Это единственное чётное простое	число	, все остальные простые числа нечётные .
— умножить это число на	число	вершин .
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое число — это	число	2 .
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 Наименьшее простое	число	— это число 2 .
В самом деле , разделив	число	28 на дробь , получим тот же результат .
Если	число	а делится на число b , то число b называют делителем числа а .
Числа простые , составные и	число	1 .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , нужно разделить на эту дробь	число	, ей соответствующее .
Любое	число	делится само на себя и на 1 .
— умножить это	число	на число вершин .
Таким образом , какое бы натуральное	число	( кроме числа 1 ) мы ни взяли , оно либо является простым , либо может быть разложено на простые множители .
Число 8 на 6 не делится , число 16 также на 6 не делится , а вот	число	24 уже делится на 6 .
Каждое натуральное	число	, кроме 1 , получается из предыдущего прибавлением единицы .
Что значит разделить число a на	число	b ? .
Разделить число а на число b — это значит найти такое	число	с , при умножении которого на b в произведении получится а .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ;	число	рёбер ; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число рёбер ;	число	вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану : число граней , их форма ; число рёбер ; число вершин ;	число	рёбер , исходящих из каждой вершины .
Таким образом ,	число	24 имеет восемь делителей : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 .
Что значит разделить	число	a на число b ? .
Определите	число	рёбер и число граней куба , сходящихся в каждой его вершине .
Два его делителя очевидны : это 1 и само	число	24 .
Определите число рёбер и	число	граней куба , сходящихся в каждой его вершине .
Однако разделить одно	число	на другое удаётся не всегда .
А	число	4 делителем числа 18 не является .
Вместе с ним и	число	6 является делителем 18 .
Так ,	число	3 — делитель 18 .
Если число а делится на число b , то	число	b называют делителем числа а .
Если число а делится на	число	b , то число b называют делителем числа а .
найти такое	число	, которое при умножении на 0 даст 7 .
Охарактеризуйте каждый многогранник по плану :	число	граней , их форма ; число рёбер ; число вершин ; число рёбер , исходящих из каждой вершины .
Разделить число а на	число	b — это значит найти такое число с , при умножении которого на b в произведении получится а .
Разделить	число	а на число b — это значит найти такое число с , при умножении которого на b в произведении получится а .
Самый большой из них —	число	15 .
Любое	число	, делящееся и на 8 , и на 6 , является их общим кратным , и таких чисел бесконечно много .
Обратите внимание на то , как строится эта последовательность : в ней первым идёт число 10 и каждое следующее	число	на 10 больше предыдущего .
Обратите внимание на то , как строится эта последовательность : в ней первым идёт	число	10 и каждое следующее число на 10 больше предыдущего .
Используя все цифры от 0 до 9 по одному разу , запишите сначала наибольшее	число	, а потом наименьшее число .
Можно сказать , что число 9 является делителем 45 или что	число	45 — кратное числа 9 .
Можно сказать , что	число	9 является делителем 45 или что число 45 — кратное числа 9 .
Например ,	число	45 делится на 9 .
« Кратный » означает « известное	число	разов » - так говорится в толковом словаре старинных терминов .
Число 8 на 6 не делится ,	число	16 также на 6 не делится , а вот число 24 уже делится на 6 .
Если число а делится на число b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или	число	а кратно числу b ) .
Если число а делится на	число	b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или число а кратно числу b ) .
Если	число	а делится на число b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или число а кратно числу b ) .
При умножении любого числа на 1 получается то же	число	.
Когда одно	число	делится на другое , то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово « делитель » , но ещё и слово « кратное » .
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько сторон , а у многогранника	число	вершин и число граней необязательно одинаково .
Обратите внимание : у многоугольника вершин столько же , сколько сторон , а у многогранника число вершин и	число	граней необязательно одинаково .
Начертите прямую , отметьте на ней точку 0 ; отложите единичный отрезок ( возьмите отрезок , равный 5 см ) и отметьте	число	1 .
Используя все цифры от 0 до 9 по одному разу , запишите сначала наибольшее число , а потом наименьшее	число	.
Если число а делится на число b , то говорят , что	число	а — кратное числа b ( или число а кратно числу b ) .
Часто бывает сложно определить , простым или составным является	число	.
Чтобы найти	число	по его части , выраженной дробью , нужно разделить на эту дробь число , ей соответствующее .
4 ) Первое незачёркнутое	число	— это 3 .
Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то и сумма делится на это	число	.
Если каждое слагаемое делится на некоторое	число	, то и сумма делится на это число .
Напомним , что число 0 обладает в действии сложения особым свойством : при сложении любого числа с нулём получается это же самое	число	.
Сравните числа : m и m2 ; m2 и m3 . 3 ) Как меняется	число	при возведении его в степень , если оно больше 1 ?
Если первое число делится на второе , а второе число делится на третье , то и первое	число	делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе	число	делится на третье , то и первое число делится на третье .
Вычесть из числа а	число	b — значит найти такое число с , которое в сумме с числом b даёт число а .
Если первое	число	делится на второе , а второе число делится на третье , то и первое число делится на третье .
Используя его , легко показать , что , например ,	число	684 делится на 6 .
Оно делится на 39 , а 39 делится на 13 , отсюда следует , что и	число	3900 тоже делится на 13 .
Возьмём , например ,	число	3900 .
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена . 1 ) Выпишите все натуральные числа от 1 до 50 . 2 ) Зачеркните	число	1 — оно не простое .
Если один из множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это	число	.
При делении любого числа на 1 получается это же	число	, например .
Если один из множителей делится на некоторое	число	, то и произведение делится на это число .
Если одно	число	делится на другое , то для описания их взаимосвязи используются слова « делитель » и « кратное » .
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с , которое в сумме с числом b даёт	число	а .
Один из входящих в него множителей ,	число	33 , делится на 11 .
Вычесть из числа а число b — значит найти такое	число	с , которое в сумме с числом b даёт число а .
Определите : а ) во сколько раз число 378200 больше числа 1525 ; б ) во сколько раз	число	1173 меньше числа 238119 .
Договорились также считать , что	число	0 меньше любого натурального числа .
В натуральном ряду есть наименьшее	число	— это 1 — и нет наибольшего .
Представим натуральное	число	2 в виде дроби со знаменателем , равным 1 , тогда можно будет воспользоваться правилом умножения дробей .
б ) при возведении числа 2 в степень получается	число	, оканчивающееся цифрой 4 , цифрой 8 или цифрой 6 .
Числа , которые складывают , называют слагаемыми ;	число	, которое получается при сложении , называют суммой .
Подберите такое	число	а , чтобы произведение 23а делилось на 2 ; на 5 ; на 11 .
Слагаемые 11 , 17 и 22 не делятся на 5 , а их сумма на это	число	делится .
Прочитайте данное	число	.
В самом деле , рассмотрим равенство , представляющее	число	50 в виде суммы трёх слагаемых .
Покажите на примере , как можно умножить дробь на натуральное	число	.
Для этого достаточно представить	число	684 в виде суммы , в которой каждое слагаемое делится на 6 .
А верно ли утверждение : если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число , то и сумма не делится на это	число	?
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых	число	.
« Ложкой дёгтя » в данном случае и стало	число	10 .
Запишите другое	число	, используя те же цифры , но в обратном порядке , и прочитайте его .
Умножение дроби на натуральное	число	и на смешанную дробь .
Если одно из слагаемых не делится на некоторое число , а остальные делятся , то сумма на это	число	не делится .
Если одно из слагаемых не делится на некоторое	число	, а остальные делятся , то сумма на это число не делится .
Напомним , что	число	0 обладает в действии сложения особым свойством : при сложении любого числа с нулём получается это же самое число .
В числовой последовательности первое	число	равно , а каждое следующее в 1 раза больше предыдущего .
А верно ли утверждение : если ни одно из слагаемых не делится на некоторое	число	, то и сумма не делится на это число ?
Условия , при которых сумма и произведение нескольких чисел делятся на данное	число	.
А вот в 4 коробки разложить поровну 18 карандашей нельзя — на 4	число	18 не делится .
Докажите , что данное	число	является составным : а ) 25 ; б ) 99 ; в ) 192 ; г ) 169 .
Разложите на простые множители	число	, равное произведению .
Обратите внимание :	число	0 не входит в натуральный ряд , т .
При вычитании нуля из любого числа получается то же	число	.
б ) Делится ли это	число	на 18 ?
Простым или составным является	число	: а ) 67 ; 6)91 ; в ) 479 ; г ) 869 ? .
Какое	число	не относится ни к одному из этих двух видов ? .
Какое	число	называется простым ?
— найти	число	диагоналей , выходящих из одной вершины , — их на 3 меньше , чем вершин .
9 , 15 . 5 ) Первое незачёркнутое	число	— это 5 .
в ) Узнайте , какое	число	было разложено на простые множители .
а ) Найдите первое трёхзначное	число	, являющееся простым .
1 ) Как известно , простое	число	имеет два делителя .
Делится ли это	число	на 10 ?
Меньшим считается то	число	, которое в натуральном ряду появляется раньше , а большим — то , которое появляется позже .
Укажите такое	число	а , при котором произведение 7а является простым числом .
Что значит вычесть из числа a	число	b ? .
Какую часть стены маляр красит за 1 ч , если всю стену он покрасит : Найдите неизвестное	число	.
И вообще : когда мы говорим о делении числа a на число b , всегда подразумеваем , что	число	b не равно 0 .
Какое простое	число	делится : а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 19 ? .
Определите : а ) во сколько раз	число	378200 больше числа 1525 ; б ) во сколько раз число 1173 меньше числа 238119 .
Вид треугольника определяется не только	числом	равных сторон , но и величиной его углов .
Напомним свойства умножения , связанные с числом 1 и с	числом	0 .
Докажите , что каждое из чисел 37940 , 1272 , 1551 , 207027 является составным	числом	.
Вообще , если требуется найти часть от целого , заданного некоторым	числом	, можно пользоваться следующим правилом .
Может ли произведение двух простых чисел быть простым	числом	? .
Только результат этого деления выражается не натуральным , а дробным	числом	.
Объясните на примерах , как выполняют деление , если делимое или делитель выражены смешанной дробью или натуральным	числом	.
Результат деления натуральных чисел выражается или натуральным , или дробным	числом	.
Каким	числом	может выражаться результат деления натуральных чисел ?
д ) На сколько больше учеников в школе с наибольшим	числом	учащихся , чем в школе с наименьшим числом учащихся ? .
Напомним свойства умножения , связанные с	числом	1 и с числом 0 .
Число , которое имеет только два делителя — самого себя и 1 , называется простым	числом	.
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым	числом	? .
Укажите такое число а , при котором произведение 7а является простым	числом	.
Пусть , например , требуется найти разность между	числом	12 и суммой чисел 7 и 3 .
д ) На сколько больше учеников в школе с наибольшим числом учащихся , чем в школе с наименьшим	числом	учащихся ? .
При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим « круглым »	числом	, состоящим из целых десятков ; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0 .
не считается натуральным	числом	.
Не выполняя сложения , сравните с	числом	1 сумму .
Поэтому , округляя число 564 до десятков , мы должны заменить его	числом	560 .
Если делимое или делитель является натуральным	числом	или смешанной дробью , то , для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей , его надо предварительно представить в виде неправильной дроби .
Не вычисляя сумму , сравните её с	числом	10 .
При округлении до сотен данное число заменяют « круглым »	числом	, состоящим из целых сотен ; у такого числа цифра 0 должна стоять и в разряде единиц , и в разряде десятков .
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с , которое в сумме с	числом	b даёт число а .
Пользуясь оценкой , сравните значение каждой суммы с данным	числом	.
Сравним сумму 375 + 197 с	числом	600 .
Поэтому оно не является ни простым , ни составным	числом	.
Если фигуру можно разбить на единичные квадраты , то площадь фигуры равна	числу	квадратных единиц , её составляющих .
Известно , что произведение а и b равно	числу	с. Запишите это утверждение в виде равенства .
Основание степени — это повторяющийся множитель , а показатель степени равен	числу	« повторений » , т .
сумма этих дробей равна натуральному	числу	.
« по отношению к	числу	3 » натуральные числа делятся на три класса .
На координатной прямой большему	числу	соответствует точка , расположенная правее , а меньшему — точка , расположенная левее .
Сравните числа m и n , если известно , что на координатной прямой	числу	m соответствует точка , расположенная левее .
Как начинается последовательность чисел , кратных	числу	: а ) 4 ; б )
При каких значениях а дробь равна натуральному	числу	? .
Число 564 заключено между соседними « круглыми » числами 560 и 570 , содержащими целое число десятков ; при этом ближе оно к	числу	560 .
	Числу	8 , и в каждом случае проверять , делится ли это кратное на 6 .
Называют пирамиду по	числу	сторон её основания : треугольная , четырёхугольная , шестиугольная и т .
Название этому	числу	придумал в 1938 г. девятилетний мальчик для своего дяди , американского математика , которому нужно было как - то назвать такое число в своей статье .
Число 180 разделилось на 4 нацело , без остатка ; оно кратно	числу	4 .
Если число а делится на число b , то говорят , что число а — кратное числа b ( или число а кратно	числу	b ) .
Известно , что сумма чисел а и b равна	числу	с.
Укажите число , кратное 9 , ближайшее к	числу	.
Проводился опрос	членов	команды лыжников , чтобы выяснить , какого цвета спортивные костюмы они предпочитают .
Найдите сумму	членов	этой последовательности .
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел — чётное число ; б )	чётного	и нечётного чисел — нечётное число .
а ) любое	чётное	число имеет только чётные делители .
Это единственное	чётное	простое число , все остальные простые числа нечётные .
Докажите , что сумма : а ) двух чётных чисел —	чётное	число ; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное число .
Прилагательное «	чётное	» произошло от русского слова « чета » , означающего « пара » ( а в первоначальном смысле « ровня » , « союз » ) .
Поэтому признак делимости на 2 можно сформулировать так : число делится на 2 в том и только том случае , если оно оканчивается	чётной	цифрой .
Так , при делении на 2 в остатке может получиться 0 или 1 , при этом натуральные числа разбиваются на два класса — хорошо знакомые вам	чётные	и нечётные числа .
а ) любое чётное число имеет только	чётные	делители .
Заметим , что в натуральном ряду чередуются	чётные	и нечётные числа , т .
Цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 обычно называют	чётными	, а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 - нечётными .
Докажите , что сумма : а ) двух	чётных	чисел — чётное число ; б ) чётного и нечётного чисел — нечётное число .
В переводе с греческого « сфера » означает «	шар	» , а мы называем сферой только поверхность шара .
Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры , поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела , например куб , цилиндр ,	шар	, конус .
Куб , цилиндр ,	шар	, конус .
Поверхность	шара	называется сферой , а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет , говорят просто : поверхность конуса , поверхность куба и т .
Многие небесные тела имеют форму , близкую к форме	шара	.
Форму	шара	имеет , например , мяч .
В переводе с греческого « сфера » означает « шар » , а мы называем сферой только поверхность	шара	.
Вместе они расписали 1280 ёлочных	шаров	.
Оба за час расписывают одно и то же количество	шаров	.
Сколько	шаров	расписал каждый ? .
Поэтому	шестиугольник	можно было бы называть шестисторонником или шестивершинником .
Но принято говорить «	шестиугольник	» .
Изображён	шестиугольник	ABCDEF .
Найдите	шестиугольник	.
Сложите из получившихся частей квадрата ( без наложений и щелей ) следующие фигуры и зарисуйте их : а ) два квадрата ; б ) прямоугольник ; в ) треугольник ; г ) четырёхугольник , не являющийся прямоугольником ; д )	шестиугольник	.
Этот отрезок — диагональ	шестиугольника	.
Назовите все диагонали	шестиугольника	ABCDEF , выходящие из вершины В .
В этом	шестиугольнике	можно провести и другие диагонали .
Найдите треугольники ,	шестиугольники	.
Начертите прямоугольник , у которого длина равна 4 м , а	ширина	— 3 м .
расстояние между городами . 2 )	ширина	тетради . 3 )
Длина параллелепипеда равна 3 см ,	ширина	— 2 см , высота — 4 см. Каков объём параллелепипеда ?
а ) У прямоугольного участка земли	ширина	25 м , а длина 60 м .
Сколько фигур и какие надо вырезать из стекла , чтобы сделать аквариум , длина которого равна 40 см ,	ширина	— 20 см , а высота — 30 см ? .
У прямоугольного параллелепипеда длина равна 5 см ,	ширина	— 3 см , высота — 2 см. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину .
Найдите сумму площадей всех граней : а ) куба с ребром 6 дм ; б ) параллелепипеда , длина которого равна 8 см ,	ширина	— 4 см , высота — 3 см .
Эти стороны прямоугольника иногда называют длиной и	шириной	.
б ) Стулья	шириной	60 см надо установить вдоль стены , длина которой 7 м .
Есть два аквариума : первый — длиной 40 см , шириной 30 см , высотой 50 см , второй — длиной 50 см ,	шириной	30 см , высотой 40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
Есть два аквариума : первый — длиной 40 см ,	шириной	30 см , высотой 50 см , второй — длиной 50 см , шириной 30 см , высотой 40 см. Их заполнили водой так , что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды ? .
а ) Сколько литров воды вмещает аквариум длиной 95 см ,	шириной	32 см и высотой 50 см ? .
Это можно сделать по - разному : или найти длину этого прямоугольника и умножить её на	ширину	; получим произведение или найти площадь каждого из двух маленьких прямоугольников и результаты сложить ; получим сумму .
Измерьте длину и	ширину	вашей комнаты , выбрав подходящий измерительный инструмент .
Для каждого из них найдите длину ,	ширину	и высоту .
Определите его длину ,	ширину	и высоту .
Каждый прямоугольный параллелепипед имеет три измерения : длину ,	ширину	и высоту .
При построении столбчатых диаграмм можно выбрать любую	ширину	столбиков и любое расстояние между ними .
в ) длину и	ширину	книги .
а ) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 35 м хотят разместить прямоугольный бассейн , имеющий длину 20 м и	ширину	7 м .
Однако все столбики должны быть одинаковой	ширины	и расположены на равном расстоянии один от другого .
Периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина на 5 см больше	ширины	.
а ) Сумма всех сторон прямоугольника равна 48 см. Его длина на 4 см больше	ширины	.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений : длины ,	ширины	и высоты .