Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Большего общего делителя	этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые делители различны .
	Вес	мамы составляет -5- веса папы .
	Вес	колокола - 200 т , а вес пушки составляет 20 % веса колокола .
	Возвести	в куб число .
	Выражение	, стоящее в левой части равенства , можно записать иначе .
	Выражение	( 120 -25 - 25 * 2 ) является математической моделью данной задачи .
	Выражения	, в которых некоторые числа обозначены буквами , называют буквенными .
	Высота	цифр на циферблате составляет — от длины минутной стрелки .
	Высота	параллелепипеда составляет суммы его длины и ширины .
	Вычитание	и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
	Вычти	из большего числа меньшее .
	Градус	- это угол , равный 777 ; части развернутого угла .
	Данные	числа обозначим буквами а и b , третье число - буквой с.
	Данный	способ можно применить для деления на любую десятичную дробь .
	Данный	"пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
	Деление	десятичных дробей .
	Деление	натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
	Деление	- действие , обратное умножению .
	Деление	дробей .
	Делители	и кратные .
	Делители	какого числа целесообразно находить для сокращения перебора ?
	Делитель	числа не всегда меньше самого числа .
	Делится	ли оно на 3 ? .
	Делится	ли число 215 на 19 ? .
	Делится	ли число 9393 + 93 • 93 - 186 на 93 ? .
	Делится	ли ни 3 число 8535 ? .
	Делится	ли оно на 19 ? .
	Делится	ли произведение 6851 • 999 на 3 ? .
	Делить	будем , как обычно , уголком .
	Десятичные	и обыкновенные дроби .
	Десятичные	дроби округляют по тем же правилам .
	Десятичные	дроби .
	Десятичные	же дроби легко сравнивать по разрядам .
"Игра """	Диагональ	” .
	Диагональю	многоугольника называется отрезок , соединяющий любые две его не соседние вершины .
	Диаметр	колеса мотоцикла равен .
	Диаметр	Юпитера с точностью до тысяч , десятков тысяч .
	Диаметр	Земли с точностью до десятков , сотен , тысяч .
	Диаметром	окружности называется хорда , проходящая через центр этой окружности .
	Длина	шага Буратино равна , что составляет — длины шага Карабаса - Барабаса .
	Длина	минутной стрелки кремлевских курантов .
	Длина	прямоугольника равна , что составляет его ширины .
	Длина	ребра одного куба 5 см , а другого - в 2 раза больше .
	Длина	второго прямоугольника составляет — длины первого , а ширина - — ширины первого .
	Длина	диаметра окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности .
	Длина	стороны квадрата .
	Длина	стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон .
	Длина	прямоугольного участка земли в 4 раза больше ширины .
	Длина	прямоугольника равна 12 м , а его ширина на 3 м меньше .
	Длина	одного прямоугольника равна 32 см , а другого - 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше ширины первого .
	Длина	комнаты 7 м , ширина 5 м , а высота 3 м .
	Длина	аквариума , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда , равна , а ширина составляет — длины .
	Длина	третьего полотенца составляет — суммы длин первых двух .
	Длина	комнаты .
	Длина	параллелепипеда , а ширина меньше длины .
	Длина	первого прямоугольника 5 дм , а длина второго прямоугольника - 7 дм .
	Длина	прямоугольника равна см , что составляет — его ширины .
	Длина	первого прямоугольника равна , а ширина ?
	Длина	коробки равна , ширина составляет длины , а высота - длины .
	Длина	аквариума 8 дм , ширина 5 дм , а высота 45 см. Сколько литров воды надо налить в пустой аквариум , чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см ? .
	Длина	садового участка прямоугольной формы больше его ширины .
	Длина	аквариума , ширина меньше , а высота меньше длины .
	Длина	прямоугольного участка земли 48 м , а его площадь 12 а .
	Длина	прямоугольника 5 м 2 дм .
	Длина	прямоугольного параллелепипеда равна , ширина , а высота на меньше ширины .
	Длина	прямоугольника в больше ширины .
	Длина	первого участка Ъ м , а длина второго участка на 5 м больше .
	Длина	первой стороны составляет периметр , а длина второй стороны - длины первой .
	Длина	класса , ширина , а высота .
	Длина	первого прямоугольника Ь м , а длина второго - на 14 м больше .
	Длина	прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
	Длина	прямоугольника равна , а ширина составляет — длины .
	Длина	основания прямоугольного параллелепипеда , а ширина меньше длины .
	Длина	одного из них равна , что составляет — длины второго .
	Длина	экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет длины экватора .
	Длину	участка увеличили на 5 м , а ширину уменьшили на 5 м .
	Длину	прямоугольника уменьшили на 3 см , а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат .
	Длину	уменьшили на Ь м .
	Длину	прямоугольника уменьшили в 2 раза , а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат .
	Доказательство	. ( а : е ): ( Ь : с ) = ( ( а : с ) • с ) : ( ( Ь : с ) • с ) = а : Ь , что и требовалось доказать .
	Доказательство	этого равенства уже встречалось нам в № 303 , однако разложение на простые множители позволяет упростить рассуждения .
	Доказательство	.
	Дробь	является неправильной , если она больше или равна 1 .
	Дробь	, знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде десятичной дроби .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами , называется несократимой .
	Дробь	— это запись вида .
	Дробь	называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой кратны , сократима .
	Дробь	— можно представить как частное от деления .
	Дробь	— является правильной несократимой дробью .
	Дробь	, обратная неправильной дроби , является правильной .
	Дробь	сократима , если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше .
	Дробь	сократима в том и только в том случае , когда ее числитель кратен знаменателю .
	Дробь	сократима тогда и только тогда , когда ее числитель и знаменатель кратны .
	Дробь	, обратная правильной дроби , является неправильной .
	Дробь	записали в виде конечной десятичной дроби в первом случае с точностью , а во втором .
	Дробь	равна десятичной дроби .
	Дробь	сократили .
	Дробь	несократима тогда и только тогда , когда разность между ее числителем и знаменателем равна .
	Дугой	окружности называется каждая из частей , на которые делят окружность любые две ее точки .
	Единица	, деленная на два !
	Замкнутая	ломаная линия без самопересечений называется многоугольником , а ее звенья - сторонами многоугольника .
	Звезды	имеют различную яркость .
	Знак	равносильности имеет такой же смысл , но применяется не для числовых выражений , а для предложений - высказываний или высказывательных форм ( предложений с переменной ) .
	Знак	< = > и употребляется для краткой записи утверждения , что два предложения означают одно и то же .
	Знак	равенства между двумя числовыми выражениями показывает , что эти выражения имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
	Знаменатель	"показывает , на сколько равных частей разделили единицу ( "" целое "" ) , а числитель показывает , сколько таких частей взяли ."
	Знаменатель	дроби равен .
	Значение	этого выражения мы без труда можем найти .
	Игра	“ Проще простого ” .
	Игра	“ Пятый лишний ” .
	Игра	“ Кто быстрее ? ” .
	Игра	""" Диагональ ” ."
	Игра	""" Счет с препятствиями "" ."
	Игра	проводится по аналогии с игрой “ Крестики - нолики ” .
	Игра	“ Интеллектуальный марафон ” .
	Игра	“ Кто больше ? ” .
	Игра	“ Остров сокровищ ” .
	Игра	""" Танграм "" ."
	Игра	Лучший счетчик .
	Игра	заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или диагональ , произведение чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
	Квадрат	разности двух чисел равен разности их квадратов .
	Квадрат	разности чисел 8 и 2 равен 36 .
	Квадрат	разрезали на части так , как показано на рисунке .
	Квадрат	разности числа х и удвоенного числа .
	Квадрат	суммы чисел .
	Квадрат	числа 7 равен 14 .
	Квадрат	является прямоугольником .
	Квадрат	суммы чисел 3 и 6 равен 81 .
	Квадрат	суммы двух чисел равен сумме их квадратов .
	Квадратами	каких чисел являются 9 , 64 , 225 ? .
	Квадратный	стол со стороной имеет две выдвижные доски шириной .
	Квадратом	называется прямоугольник , у которого все стороны равны .
	Кратное	числа не всегда больше самого числа .
	Кратные	какого числа целесообразно перебирать ? .
	Куб	числа 5 равен 125 .
	Куб	имеет ребро , равное .
	Куб	и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин ребер .
	Куб	разности чисел 4 и 2 равен 56 .
	Кубом	каких чисел являются 8 , 64 , 1000 ? .
	Магический квадрат	.
	Многоугольник	называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны .
	Многоугольник	, у которого все стороны и все углы равны , называется правильным .
	Множество	натуральных чисел обозначают буквой ДГ .
	Множество	точек числового луча , удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью точки .
Найди	НОД	и НОК чисел с помощью разложения на простые множители .
Найди	НОД	и НОК чисел с помощью перебора .
Найди	НОД	и НОК чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
Разложи числа на простые множители , найди их	НОД	и НОК .
Если число делится на число п , то	НОД	( т , и ) = т .
Наибольший общий делитель чисел а и Ь обозначается	НОД	( а , Ъ ) .
Разложи числа на простые множители , найди их	НОД	и НОК : .
В свою очередь , это позволяет упростить и правила нахождения НОК и	НОД	: .
Найди	НОД	и НОК чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
На практике часто удобно не вычислять	НОД	числителя и знаменателя , а проводить сокращение дроби последовательно , например : ( сначала сократили , а потом ) .
Например ,	НОД	.
Чтобы найти	НОД	нескольких чисел , надо взять их общие простые делители с наименьшими показателями , например .
Найди	НОД	и НОК чисел .
Найди	НОД	и НОК чисел 50 и 8 .
Может ли	НОД	нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих чисел ? .
Ковбой Джо , вычисляя	НОД	( 24 , 320 ) , получил в ответе 48 и тут же догадался , что допущена ошибка .
Что можно сказать о числах а и Ь , если	НОД	( а , Ь ) = 1 ? .
В каком случае	НОД	( а , Ь ) = а ?
Число а делится на число Ь. Найди	НОД	( а , Ь ) .
Образец ответа :	НОД	( 7 , 16 , 25 ) = 1 .
Найти	НОД	( 45 , 450 ) .
	Нод	( 56 , 81 ) = 1 .
Найти	НОД	( 56 , 81 ) .
Найди с помощью перебора	НОД	( 12 , 32 , 48 ) .
Найди	НОД	и НОК чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
Универсальным способом поиска	НОД	является разложение данных чисел на простые множители .
Найди	НОД	и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
Найти	НОД	( 60 , 72 , 96 ) .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения	НОД	нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители .
Используя эти множества , найди НОК и	НОД	чисел 15 и 20 .
Укажи	НОД	и НОК для чисел , представленных в виде произведения .
Разложи числа на простые множители , найди их НОД и	НОК	: .
Образец ответа :	НОК	( 9 , 12 , 18 ) = 36 .
Найди НОД и	НОК	чисел с помощью разложения на простые множители .
Найди с помощью перебора	НОК	( 4 , 6 , 15 ) .
Найди НОД и	НОК	чисел .
Разложи числа на простые множители , найди их НОД и	НОК	.
Найди НОД и	НОК	чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
Найди НОД и	НОК	чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
Найди НОД и	НОК	чисел с помощью перебора .
Найди НОД и	НОК	чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
Найди НОД и	НОК	чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
Например , для дробей вычисляем сначала	НОК	.
Чтобы найти	НОК	нескольких чисел , надо взять все их простые делители с наибольшими показателями , например .
Укажи НОД и	НОК	для чисел , представленных в виде произведения .
Используя эти множества , найди	НОК	и НОД чисел 15 и 20 .
Найди НОД и	НОК	чисел 50 и 8 .
В свою очередь , это позволяет упростить и правила нахождения	НОК	и НОД : .
Значит , 140 является в данном случае и наименьшим общим кратным	НОК	( 28 , 35 , 140 ) = 2 • 2 • 5 • 7 = 140 .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения	НОК	нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители : .
Наименьшее общее кратное чисел а и Ь обозначается	НОК	( а , Ь ) .
Известно , что	НОК	( а , Ь ) = аЬ. Что можно сказать о числах а и Ы. Не выполняя вычислений , опровергни утверждение .
Найти	НОК	( 28 , 35 , 140 ) .
Известно , что	НОК	( а , Ь ) = а .
Например ,	НОК	( 12 , 30 ) можно найти так .
30 • 1 = 30 , число 30 не делится на 12 , значит , 30 не является	НОК	( 12 , 30 ) ; .
Таким образом ,	НОК	( 12 , 30 ) = 2 • 2 • 3 • 5 = 60 .
30 • 2 = 60 , число 60 делится на 12 , значит ,	НОК	( 12 , 30 ) = 60 .
Число а делится на число Ъ. Чему равен	НОК	( а , 6 ) ? .
Этот способ нахождения	НОК	можно использовать и в общем случае .
Найти	НОК	( 80 , 140 ) .
Продемонстрируем алгоритм нахождения	НОК	на уже знакомом нам примере чисел 12 и 30 .
Значит ,	НОК	( 80 , 140 ) = 2- 2- 2- 2- 5- 7 = 80 - 7 = 560 .
Найти	НОК	( 32 , 25 ) .
Не выполняя разложения на простые множители , найди	НОК	( 527 , 8 069 424 ) .
	Наибольший общий делитель	.
	Наибольший общий делитель	чисел а и Ь обозначается НОД ( а , Ъ ) .
	Найдем	сначала часть маршрута , разделив , а затем узнаем весь маршрут , умножив полученное число .
	Найдем	, например , наибольший общий делитель чисел 1968 и 2520 .
	Найдем	, например , общие делители чисел 1354 и 1357 .
	Найдем	, например , частное от деления .
	Найдем	дополнительный множитель .
	Найди	в каком месте нарушена закономерность .
	Найди	пересечение и объединение этих множеств .
	Найди	площадь закрашенной фигуры .
	Найди	значение произведения .
	Найди	в таблице выигрышную строчку , столбец или диагональ ( произведение чисел в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
	Найди	значение выражения .
	Найди	сумму чисел .
	Найди	неизвестные числа при следующих условиях .
	Найди	площадь каждой комнаты , если общая площадь всех трех комнат равна .
	Найди	наибольший общий делитель данных чисел методом перебора .
	Найди	НОД и НОК чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые множители .
	Найди	четвертую сторону этого четырехугольника , если его периметр равен 23 м .
	Найди	"корни уравнений с помощью правила "" весов ” ."
	Найди	его площадь , если периметр прямоугольника равен .
	Найди	в высказываниях тему и рему .
	Найди	объем и площадь наружной поверхности бака .
	Найди	НОД и НОК чисел .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел методом перебора .
	Найди	частное куба числа а и квадрата числа .
	Найди	равносильные утверждения .
	Найди	НОД и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
	Найди	методом перебора множество пар натуральных чисел , удовлетворяющих равенству .
	Найди	их наименьшее .
	Найди	массу скорлупы .
	Найди	периметр треугольника .
	Найди	величины углов .
	Найди	периметр и площадь квадрата со стороной , равной ширине этого прямоугольника .
	Найди	множество простых решений неравенства .
	Найди	сумму чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой прямой .
	Найди	остатки от деления на 3 чисел : 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители .
	Найди	эти значения в словаре или энциклопедии . .
	Найди	цену деления шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты точек .
	Найди	и опровергни ложные высказывания .
	Найди	, какую часть число А составляет от числа В , и вырази эту часть в процентах .
	Найди	для каждого случая скорость сближения или скорость удаления .
	Найди	правильный перевод условия задачи на математический язык : .
	Найди	его периметр .
	Найди	с помощью перебора НОД ( 12 , 32 , 48 ) .
	Найди	с помощью перебора НОК ( 4 , 6 , 15 ) .
	Найди	остатки , которые получаются при делении на 9 чисел : 36 681 , 578 645,4 620 805 .
	Найди	скорости пешеходов , если известно , что скорость одного из пешеходов больше скорости другого пешехода .
	Найди	"дробь , у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится , если ее запись перевернуть "" вверх ногами "" ."
	Найди	множество всех возможных решений .
	Найди	закономерность и запиши следующие два числа в ряду .
	Найди	на рисунке и запиши с помощью фигурных скобок следующие множества : .
	Найди	неизвестные величины .
	Найди	НОД и НОК чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел методом перебора .
	Найди	выражение , которое является правильным переводом задачи на математический язык .
	Найди	длину третьей стороны и вырази ее в метрах .
	Найди	правильный перевод условия задачи на математический язык .
	Найди	сначала сумму чисел со знаком , затем сумму чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
	Найди	несколько значений , удовлетворяющих неравенству .
	Найди	приближения числа с точностью до десятых с недостатком и избытком .
	Найди	длину третьей стороны .
	Найди	ошибки в записи и решении примеров .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел с помощью перебора .
	Найди	устно .
	Найди	сумму наибольшего и наименьшего членов этой последовательности .
	Найди	3 значения переменной , при которых выражение : .
	Найди	три дроби , удовлетворяющие неравенству .
	Найди	периметр квадрата .
	Найди	значения выражений .
	Найди	общие высказывания и высказывания о существовании .
	Найди	сумму .
	Найди	периметр этого треугольника и вырази его в дециметрах .
	Найди	объем этого прямоугольного параллелепипеда , если сумма длин всех его ребер равна .
	Найди	, если известно , что дроби равны .
	Найди	закономерность и запиши следующие члены последовательности .
	Найди	два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ; делилась на 5 ; не делилась на 5 .
	Найди	в таблице все пары чисел - близнецов .
	Найди	значение выражения ( в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе ) .
	Найди	множество натуральных чисел , для которых дробь меньше ; равна .
	Найди	путь , ведущий от левого верхнего угла в нижний правый так , чтобы получилось число , записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
	Найди	значение выражения , используя метод “ доходов и расходов ” .
	Найди	сумму длин всех его ребер и площадь полной поверхности .
	Найди	сумму : всех однозначных чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
	Найди	ответ методом перебора .
	Найди	частное от деления .
	Найди	.
	Найди	наименьшее общее кратное чисел с помощью разложения на простые множители .
	Найди	объединение и пересечение множеств А и В натуральных решений неравенств .
	Найди	наибольшее натуральное решение неравенства : . .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел .
	Найди	по формуле значение .
	Найди	значение разностей .
	Найди	числа , которые больше числа .
	Найди	наименьшее и наибольшее трехзначное число , при котором дроби , все несократимы .
	Найди	произведение .
	Найди	х и ответь на поставленные вопросы .
	Найди	отношение числа а к числу , если .
	Найди	значения частных .
	Найди	все значения переменной с , принадлежащие , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения .
	Найди	значения выражений и поставь между ними знак равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
	Найди	его и заполни клетки со знаком вопроса .
	Найди	дробь , знаменателем которой является однозначное число и которая больше , но меньше . .
	Найди	наибольший общий делитель чисел , если .
	Найди	отношение площади круга к квадрату его радиуса .
	Найди	"корни уравнений с помощью правила "" весов "" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
	Найди	НОД и НОК чисел 50 и 8 .
	Найди	НОД и НОК чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
	Найди	натуральные корни уравнения методом проб и ошибок .
	Найди	на рисунке правильные многоугольники .
	Найди	эту зависимость и запиши ее в виде формулы .
	Найди	значение полученного выражения .
	Найди	цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек .
	Найди	значения сумм .
	Найди	задуманное число .
	Найди	выражение , которое является правильным переводом данной задачи на математический язык .
	Найди	по этой формуле , на каком расстоянии друг от друга будут они через мин ?
	Найди	три решения неравенства .
	Найди	истинные высказывания .
	Найди	все значения переменной а из множества , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения : .
	Найди	площадь фигур .
	Найди	такие значения переменных х и у , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
	Найди	в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
	Найди	с помощью прикидки приближенное значение частного .
	Найди	НОД и НОК чисел с помощью перебора .
	Найди	объединение и пересечение множеств . .
	Найди	закономерность и , сохраняя ее , заполни пустые клетки .
	Найди	НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см.	Найди	длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
	Найди	пересечение этих лучей .
	Найди	ответ и проверь его с помощью числовой прямой .
	Найди	эти числа , если их произведение равно .
	Найди	последовательные натуральные числа такие , что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
	Найди	множество натуральных чисел , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
	Найди	его периметр и площадь .
	Найди	произведение всех чисел , сидящих на каждом дереве .
	Найди	все числа , которые раскладываются на два разных однозначных простых множителя .
	Найди	истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название города : .
	Найди	фигуры , для которых прямая I является осью симметрии .
	Найди	их наибольший общий делитель .
	Найди	дроби , которые можно записать в виде конечной десятичной дроби .
	Найди	в каждом равенстве число , которое является кратным двух других чисел ( делителей ) .
	Найди	х и ответь на поставленный вопрос .
	Найди	это число .
	Найди	эти числа .
	Найди	закономерность и запиши следующее число в последовательности .
	Найди	ошибку в рассуждении : “ Рассмотрим верное равенство .
	Найди	значение выражения разными способами .
	Найди	объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств .
	Найди	другой способ выразить число при помощи пяти троек , используя скобки и знаки арифметических действий .
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см.	Найти	длину стороны квадрата .
	Найти	число , если — от него равны числу , — которого составляют .
	Найти	стороны данного прямоугольника .
	Найти	стороны этих прямоугольников .
	Найти	периметр прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше длины , а площадь составляет 32 см2 .
	Найти	размеры этого участка .
	Найти	значение х , для которого выполняется равенство х(х + 3 ) = 70 .
	Найти	длину и ширину этого прямоугольника .
	Найти	меньшее число .
	Найти	объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
	Найти	произведение .
	Найти	НОК ( 80 , 140 ) .
	Найти	длину стороны квадрата .
	Найти	большее из этих чисел .
	Найти	разность результатов действий .
	Найти	их площади , если известно , что площадь первого прямоугольника на 46 см2 больше площади второго прямоугольника .
	Найти	произведение чисел .
	Найти	наименьшее общее кратное можно , перебирая кратные одного из чисел ( лучше взять большее число ) .
	Найти	двузначное число , которое на 34 больше произведения своих цифр .
Два пассажира метро , начавшие одновременно один спуск , другой – подъем по соседним эскалаторам , встретились через 40 с.	Найти	длину наружной части лестницы , если скорость ее движения 1 м / с и пассажиры не перемещались по эскалатору .
	Найти	двузначное число , которое в два раза больше суммы своих цифр .
	Найти	скорость пешеходов , если известно , что они встретились .
	Найти	.
	Найти	сторону квадрата , если площадь прямоугольника 60 дм2 .
	Найти	эти .
	Найти	число , которого составляют .
	Найти	НОК ( 28 , 35 , 140 ) .
	Найти	двузначное число , частное от деления , которого на произведение его цифр равно 3 .
	Найти	эти числа .
	Найти	его объем .
	Найти	значение выражения 120 - 25 - 25 - 2 .
	Найти	неизвестные числа х и Зх , если выполняется равенство х + Зх = 60 .
	Найти	эти числа , если одно из них больше другого .
	Найти	длины сторон этого участка , если известно , что они выражаются натуральными числами .
	Найти	стороны прямоугольника .
	Найти	периметр прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше длины .
	Найти	задуманное число .
	Найти	эти числа , если их произведение равно .
	Найти	сторону квадрата , если площадь прямоугольника равна 30 см2 .
	Найти	значение выражения 105 - 400 : 23 .
	Найти	двузначное число , которое на 26 больше произведения своих цифр .
	Найти	два числа , если одно из них составляет — другого , а их разность равна .
	Найти	задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается число , на 52 единицы большее , чем само задуманное число .
	Найти	НОД ( 60 , 72 , 96 ) .
	Найти	произведение результатов действий 1 и 2 .
	Найти	НОД ( 45 , 450 ) .
	Найти	два числа , если одно из них составляет у другого , а их сумма равна .
	Найти	НОД ( 56 , 81 ) .
	Найти	НОК ( 32 , 25 ) .
	Найти	разность чисел .
	Найти	число , если — его равны числу , — которого составляют .
	Натуральное	число а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
	Натуральное	число меньше натурального числа .
	Натуральное	число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
	Натуральное	число может быть больше своего квадрата .
	Натуральное	число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
	Натуральное число	меньше натурального числа .
	Натуральное число	может быть больше своего квадрата .
	Натуральное число	а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
	Натуральное число	а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
	Натуральное число	а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
	Натуральные	числа и дроби .
	Натуральные	числа , которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1 , - называются простыми .
	Натуральные	числа , которые имеют более двух делителей , называются составными .
	Натуральные	числа , которые имеют ровно два различных делителя , называются простыми .
	Натуральные	числа можно не только складывать и умножать , но и вычитать и делить .
	Натуральные	и дробные числа можно изображать точками числового ( координатного ) луча .
	Натуральные числа	можно не только складывать и умножать , но и вычитать и делить .
	Натуральные числа	, которые имеют более двух делителей , называются составными .
	Натуральные числа	, которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1 , - называются простыми .
	Натуральные числа	, которые имеют ровно два различных делителя , называются простыми .
	Натуральные числа	и дроби .
	Необходимо	, чтобы величина площади окон составляла не менее площади пола .
	Неправильная дробь	после сокращения может стать правильной .
-	Окно	разбил или Юра , или Миша , - сказал Сережа .
	Округление	чисел .
	Округлить	число с точностью до тысяч .
	Округлить	число с точностью до сотен миллионов .
	Округлить	дробь с точностью до : единиц ; десятых ; сотых ; тысячных ; десятитысячных .
	Окружностью	называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
	Основание	показывает , какой множитель взяли , а показатель - сколько таких множителей взяли .
	Отрезком	называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Отрезок	, соединяющий центр окружности с какой - либо ее точкой , называется радиусом окружности .
	Отрезок	, соединяющий две точки окружности , называется ее хордой .
	Параллельные	прямые пересечены прямой .
	Перемножать	числа 6851 и 333 здесь не нужно - поскольку мы уже указали частное , а определять его числовое значение в условии данной задачи не требуется .
	Перемножив	четыре простых последовательных числа , Нина получила в результате число , цифра единиц которого 0 .
	Периметр	всякого прямоугольника равен сумме длин его сторон .
	Периметр	четырехугольника равен 46 дм .
	Периметр	треугольника .
	Периметр	прямоугольника равен сумме длин его сторон .
	Периметр	прямоугольника равен 70 м , его длина больше ширины на 1 м .
	Периметр	треугольника равен .
	Периметр	прямоугольника равен Ь м , а длина одной из его сторон с м .
	Периметр	садового участка прямоугольной формы равен 98 м , причем его длина на 1 м больше ширины .
	Период	обращения по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до десятков , единиц , десятых .
	Площадь	четырехкомнатной квартиры составляет , площадь трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а площадь двухкомнатной составляет — от суммы площадей трехкомнатной и четырехкомнатной .
	Площадь	огорода в 4 раза меньше площади сада , а площадь сада в 5 раз меньше площади поля .
	Площадь	поверхности куба равна .
	Площадь	прямоугольника равна с м2 , а его длина Ь м .
	Площадь	баскетбольной площадки , имеющей прямоугольную форму , а м2 , а длина 20 м .
	Площадь	прямоугольника равна 80 дм , а его ширина равна 5 дм .
	Площадь	прямоугольника равна 64 дм2 , а его длина в 4 раза больше ширины .
	Площадь	дачного участка равна ( что составляет площади участков , занимаемых садовым товариществом , а площадь садового товарищества составляет всех площадей , отведенных под дачные участки в районе за год .
	Площадь	прямоугольника равна 240 дм2 , а ширина на 8 дм меньше длины .
	Площадь	квадрата равна , и он разбит на одинаковые маленькие прямоугольники с длинами сторон .
	Площадь	геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
	Площадь	поселка 600 га .
	Площадь	одного прямоугольника а м2 , а площадь другого на 8 м2 больше .
	Площадь	России составляет 17 075 400 км2 .
	Площадь	прямоугольника равна 68 дм2 , а длина больше ширины на 13 дм .
	Площадь	участка равна 70 м2 .
	Площадь	первого поля , а площадь второго поля больше .
	Площадь	газона .
	Площадь	поверхности Земли 510 072 000 км2 .
	Площадь	одной комнаты равна , что составляет площади второй комнаты .
	Площадь	садового участка , имеющего форму прямоугольника , равна 600 м2 , а его длина равна .
	Площадь	участка .
	Площадь	комнаты равна , что составляет 4площади второй комнаты .
	Площадь	прямоугольника равна 288 см2 , а его периметр - 72 см. Чему равны стороны этого прямоугольника ? .
	Плюс	единица , деленная на три !
	Плюс	единица , деленная на четыре ! .
	Подобные	преобразования можно выполнить для любой дроби .
	Подобным	образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить на другую десятичную дробь . .
	Последовательность	задана своими первыми тремя членами .
	Приближенное	значение диаметра Земли равно , а диаметра Солнца .
	Приближенные	равенства .
	Приведем	пример такой задачи .
	Приведем	несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма .
	Приведем	, например , дробь А к знаменателю .
	Приведи	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Приведи	контрпример к каждому из следующих утверждений : .
	Приведи	несколько примеров точных квадратов и примеров чисел , не являющихся точными квадратами .
	Приведи	к несократимому виду дроби .
	Приведи	дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных - натуральные числа ) .
	Приведи	к общему знаменателю дроби и найди их сумму .
	Привести	контрпример для последнего утверждения немного сложнее : надо либо вспомнить , что 2 • 2 = 2 + 2 , либо догадаться взять одно или даже оба числа равными единице .
	Произведение	утроенного числа и суммы чисел .
	Произведение	двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
	Произведение	двух взаимно обратных дробей может быть больше . .
	Произведение	7 • 4500 • 398 кратно 100 .
	Произведение	четного и нечетного числа – число . .
	Произведение	двух натуральных чисел равно .
	Произведение	любых двух соседних чисел - число четное .
	Произведение	двух данных обыкновенных дробей , отличных , может быть представлено в виде конечной десятичной дроби .
	Произведение	двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
	Произведение	, полученное во втором действии , увеличить на 45 875 .
	Произведение	двух натуральных чисел может быть меньше четырех .
	Произведение	любых двух натуральных чисел больше их суммы .
	Произведение	двух натуральных чисел равно , а их сумма составляет — от произведения .
	Произведение	суммы чисел и разности чисел .
	Произведение	двух натуральных чисел больше их суммы .
""""	Произведение	"ад делится на с "" и "" Одно из чисел а и Ь делится на с ."
	Произведение	двух натуральных чисел может быть больше их суммы .
	Произведение	одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью .
	Произведение	215 • 7209 • 36 кратно 9 .
	Произведением	числа на число называется сумма слагаемых , каждое из которых равно .
	Простые числа	и делимость .
	Прямоугольником	называется четырехугольник , у которого все углы прямые .
	Прямоугольный	газон обнесен изгородью , длина которой .
	Прямоугольный	параллелепипед равен по объему кубу с ребром .
	Прямоугольный	участок земли обнесен забором , длина которого .
	Прямоугольный параллелепипед	равен по объему кубу с ребром .
	Равенства	такого вида нам еще не встречались .
	Радиусы	кругов на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно .
	Разделив	некоторое целое число на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
	Разделим	числитель данной дроби на знаменатель .
	Разделим	обе части полученного равенства на множитель .
	Разделить	2 310 000 на 75 .
	Разложение	натуральных чисел на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений .
	Разложение	чисел на простые множители .
	Разложение	на множители простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
	Разложить	данные числа на простые множители .
	Разность	суммы чисел и разности чисел .
	Разность	квадратов чисел 8 и 1 равна 63 .
	Разность	числа и суммы чисел .
	Разность	двух чисел , а их сумма .
	Разность	квадратов чисел .
	Разность	78 906 - 4612 делится на 3 .
	Разность	числа и произведения чисел .
	Разность	3800 - 425 не делится на 5 .
"Докажи или опровергни утверждение : """	Разность	"между трехзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9 "" ."
	Разность	четного и нечетного числа - число нечетное .
	Разность	любых двух нечетных чисел – число .
	Разность	чисел — это такое число .
	Разность	292 929 - 26 делится на 29 .
	Решение	: составляет часть урока .
	Решение	.
	Решение	нарисуй в тетради , раскрасив фигуры цветными карандашами .
	Решение	этой задачи проще записать с помощью математической символики .
	Система	записи десятичных дробей устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
	Складывать	и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе .
	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание смешанных чисел .
	Сложить	результаты действий .
	Смешанное число	— перевели в неправильную дробь .
	Среднее	расстояние от Урана до Солнца составляет 2 869 100 000 км .
	Средние	солнечные сутки Марса , Юпитера и Сатурна с точностью до стотысячных , сотых , десятых . .
	Средний	брат старше младшего .
	Средний	брат заготовил больше дров , чем младший , а старший - больше , чем средний .
	Средняя	продолжительность сна человека составляет в сутки .
	Степень	числа .
	Степенью	числа а с натуральным показателем 1 называется само число а : а1 — а .
	Сторона	одного квадрата равна 5 см , а другого - в 2 раза больше .
	Сторона	квадрата .
	Сторону	прямоугольного участка земли , равную , увеличили и получили прямоугольный участок площадью .
	Стороны	прямоугольника .
	Сумка	и перчатки вместе стоят , причем сумка дороже перчаток .
	Сумма	4803 + 1809 кратна 9 .
	Сумма	83 915 + 780 560 кратна 5 .
	Сумма	двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Число к делится на 3 < = >	Сумма	цифр числа к делится на 3 .
	Сумма	двух чисел равна 105 , а их частное равно 6 .
	Сумма	двух чисел 954 , а разность 158 .
	Сумма	двух правильных дробей может быть неправильной дробью .
	Сумма	кубов первых п последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы .
	Сумма	двух чисел , а их разность .
	Сумма	двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
	Сумма	кубов чисел 1 и 2 равна 27 . .
	Сумма	цифр двузначного числа равна .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к делится на 3 "" и """	Сумма	цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же .
	Сумма	двух натуральных чисел не всегда делится на 3 .
	Сумма	квадратов чисел .
	Сумма	разности чисел и разности чисел .
""""	Сумма	"чисел а и к делится на с "" и "" Одно из чисел а и к делится на с "" ."
	Сумма	всех десяти цифр равна 45 .
	Сумма	двух чисел равна 13 , а разность 2 .
	Сумма	любых двух нечетных чисел и четного числа есть число четное .
	Сумма	квадрата числа а и куба числа .
	Сумма	любых двух соседних чисел - число нечетное .
	Сумма	двух четных чисел - число четное .
	Сумма	смежных углов равна 180 .
Число а делится на 9 О	Сумма	цифр числа а делится на 9 .
	Сумма	двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	произведения чисел и числа .
	Сумма	цифр двузначного числа на 19 меньше их произведения .
	Сумма	двух натуральных чисел всегда делится на 3 .
	Сумма	цифр двузначного числа не может быть больше произведения его цифр .
	Сумма	двух чисел равна 3500 , а разность составляет 12 % суммы .
	Сумма	пяти и восемнадцати .
	Сумма	любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	двух чисел равна , одно из них больше другого .
	Сумма	четного и нечетного числа – число . .
Число а делится на 3 < = >	Сумма	цифр числа а делится на 3 .
	Сумма	любых двух нечетных чисел – число .
	Сумма	двух натуральных чисел делится на 3 .
	Суммы	удобно обозначать соответственно .
Задача из “	Счетной	мудрости ” .
	Теорема	2 .
	Точка	принадлежит окрестности точки .
	Треугольник	называется равносторонним , если все его стороны имеют одинаковую длину .
	Треугольник	не является многоугольником .
	Треугольник	называется равнобедренным , если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину .
	Углом	называется геометрическая фигура , образованная двумя лучами с общим началом .
	Угол	, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
	Угол	с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом .
	Угол	называется развернутым , если его стороны являются дополнительными лучами .
	Угол	"называется прямым , если он равен 90 "" ."
	Угол	"называется острым , если он меньше 90 "" , а тупым , если он больше 90 "" , но меньше 180 ° ."
	Угол	, вписанный в окружность , всегда острый .
	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	дробей .
	Умножение	и деление натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
	Умножение	десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
	Умножение	и деление десятичной дроби .
	Умножим	сумму — и число — на произведение .
	Умножим	обе части уравнения на число - наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей , входящих в его запись .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби — на дополнительный множитель .
	Умножим	число , используя действия с обыкновенными дробями .
	Уравнение	х(х - 5)(х - 7)(х + 11 ) = 0 имеет натуральные корни .
	Факториалом	натурального числа п называется произведение всех натуральных чисел .
	Целые	части дробей одинаковы , а в первом из несовпавших разрядов - разряде стотысячных - в первой дроби стоит цифра , а во второй - цифра .
	Целые	части обеих дробей одинаковы .
	Целый	час пес рыл нору и наконец понял , что это занятие бесполезное .
	Четное	и нечетное числа всегда взаимно простые .
	Четырехугольник	называется ромбом , если все его стороны имеют одинаковую длину .
	Четырехугольником	называется многоугольник с четырьмя сторонами .
	Числа	5 и 9 являются делителями числа 18 181 818 .
	Числа	32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих множителей , поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению .
	Числа	на карточках записываются по общему правилу .
	Числа	разделили на одно и то же число .
	Числа	999 , 99 и 9 делятся на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых делится на 3 .
	Числа	, кратные 5 , не всегда кратны 10 .
	Числа	к замени равными им дробями сначала со знаменателем , затем , а затем - со знаменателем .
	Числитель	дроби делится , а знаменатель не делится .
	Числитель	дроби больше ее знаменателя .
	Числитель	и знаменатель дроби отличаются .
	Число	а делится на 5 .
	Число	является простым числом .
"Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще : """	Число	"делится на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается четной цифрой "" ."
	Число	222 222 не кратно 3 .
	Число	а делится на 2 и па 5 .
	Число	а делится на 2 < = > Последняя цифра числа а - четная .
	Число	8 069 424 делится на 527 .
	Число	а делится на 2 .
	Число	80 разделили на задуманное число , к частному прибавили 13 , результат увеличили в 4 раза и получили 72 .
	Число	больше числа .
	Число	а делится на 5 , но не делится на 2 .
	Число	делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
	Число	532 718 не делится на 2 .
	Число	а делится на число Ъ. Чему равен НОК ( а , 6 ) ? .
	Число	5 является делителем суммы 98 775 + 6350 .
	Число	830 760 делится на 2 и на 5 .
	Число	девочек класса составляет числа мальчиков .
	Число	делится лишь на те простые числа , которые входят в его разложение на простые множители .
	Число	а не делится ни на 2 , ни на 5 .
	Число	а делится на 10 .
	Число	разделили на задуманное число , к полученному частному прибавили сумму умножили , а затем из полученного произведения .
	Число	яблок в ящике меньше 100 .
	Число	3 - делитель произведения 17 • 9021 • 40 .
	Число	а делится на 5 О Последняя цифра числа а равна 0 или 5 .
	Число	а делится на 2 , но не делится на 5 .
	Число	807 534 делится на 2 и на 9 .
"Равносильны ли утверждения : """	Число	"а делится на 3 "" и "" Число а делится на 9 "" ? ."
	Число	, делящееся на 12 , может не делиться на 8 .
	Число	21 на 3 делится , поэтому 8535 на 3 также делится .
	Число	х в 2 раза больше числа у .
	Число	Ь на 7 меньше числа с .
	Число	, кратное , кратно .
	Число	сначала увеличили , затем уменьшили , после этого снова увеличили и уменьшили и , наконец , увеличили и уменьшили .
	Число	с делится на 3 , но не делится на 2 .
	Число	посаженных .
	Число	г в 5 раз меньше числа к .
	Число	х в 4 раза больше числа у .
Найди множество значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : '	Число	"х является общим делителем всех чисел "" ."
	Число	с на 9 меньше числа I .
	Число	215 равно сумме двух слагаемых 190 + 25 , одно из которых делится на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
"Опровергни утверждение : """	Число	"2 является общим делителем всех чисел "" ."
	Число	а на 3 больше числа Ь .
	Число	т составляет 30 % числа п .
	Число	1 имеет единственный делитель .
	Число	< 1 составляет — числа к < = > с1 = к : 2 • 7 .
	Число	пасмурных дней составило — числа солнечных дней .
"Найди множество значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : """	Число	"у является общим делителем чисел 12 и 30 "" ."
	Число	увеличить .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : """	Число	"делится на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 9 "" ."
	Число	умножить на результат действия .
	Число	а делится на 3 < = > Сумма цифр числа а делится на 3 .
	Число	с не делится ни на 2 , ни на 3 .
	Число	а делится на число Ь. Найди НОД ( а , Ь ) .
	Число	х называется квадратным корнем из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
	Число	, 2 % которого составляют 200 , равно 10 000 .
	Число	мальчиков этого класса составляет числа девочек .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : """	Число	"делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
	Число	кратно .
	Число	четно .
	Число	нечетно .
	Число	т составляет — числа п .
	Число	отсутствовавших составило — числа всех учащихся этого класса .
	Число	квартир в первом доме составляет — числа квартир во втором доме и — числа квартир в третьем доме .
	Число	с делится на 6 .
	Число	записано в виде суммы разрядных слагаемых .
	Число	х в 2 раза больше у < = > х = у + 2 .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения """	Число	"к делится на 3 "" и "" Сумма цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же ."
	Число	с делится на 2 .
"Таким образом , признак делимости на 10 формулируется так : """	Число	делится на 10 в том и только в том случае , когда его последняя цифра равна 0 ” .
	Число	а делится на число Ъ , если существует такое число с , что выполняется равенство а = Ьс .
	Число	а делится на 10 Последняя цифра числа а равна 0 .
	Число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , составляет у исходного числа .
	Число	34 470 делится на 10 , а 10 делится на 5 .
	Число	к делится на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к делится на 3 .
	Число	х на 2 больше числа у , число у на 2 меньше числа х , х - 2 = у , у = х - 2 , х = у + 2,х ~ у = 2 .
	Число	745 представим в виде суммы : 745 = 740 4- 5 .
	Число	60 является их наименьшим общим кратным .
	Число	, соответствующее некоторой точке числового луча , называется координатой этой точки .
"Равносильны ли утверждения : "" Число а делится на 3 "" и """	Число	"а делится на 9 "" ? ."
	Число	5637 также представим в виде суммы : 5637 = 5630 + 7 .
	Число	яблонь составляет — всех деревьев этого сада , а число вишен составляет — всех деревьев .
"Эти примеры иллюстрируют признак делимости на 5 : """	Число	"делится на 5 в том и только в том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или 5 "" ."
	Число	записано при помощи пяти троек .
	Число	х в 2 раза больше у < = > х = 2 г/ .
	Число	к делится на 3 < = > Сумма цифр числа к делится на 3 .
	Число	50 составляет 1 % от 50 000 .
	Число	37 является делителем всех чисел из множества { 222 , 333 , 555 } .
	Число	с делится на 2 , но не делится на 3 .
	Число	имеет составные делители .
""" Число а делится на к "" и """	Число	"к делится на а "" ."
""""	Число	"а делится на к "" и "" Число к делится на а "" ."
	Число	с делится на 2 и на 3 .
""""	Число	"х делится на 2 "" и "" Число х оканчивается на 2 "" ."
	Число	"называется "" совершенным "" , если оно равно сумме всех своих делителей , не считая самого числа ."
	Число	учащихся составляет у от числа учащихся учится больше , чем .
""""	Число	"х оканчивается на 7 "" и "" Число х делится на 7 "" ."
	Число	с делится на 3 .
""" Число х делится на 2 "" и """	Число	"х оканчивается на 2 "" ."
	Число	9 составляет 9 % от 900 .
	Число	, 7 % которого составляют 35 , равно 500 .
""" Число х оканчивается на 7 "" и """	Число	"х делится на 7 "" ."
	Число	а делится на 9 О Сумма цифр числа а делится на 9 .
	Ширина	сарая , длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
	Ширина	поля равна , что составляет его длины .
	Ширина	какого прямоугольника меньше и на сколько ? .
	Ширина	прямоугольника — см , а его длина на — см больше .
	Ширина	прямоугольника составляет — стороны квадрата .
	Ширина	прямоугольника меньше длины , а периметр равен .
	Ширина	прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника , если его длину увеличить на 7 см ? .
	Ширина	поля , что составляет — его длины .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а высота - длины .
	Ширина	прямоугольника 7 дм , а длина - на 2 см больше .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
	Ширина	прямоугольника на 9 см меньше длины , а площадь равна 90 см2 .
	Ширина	прямоугольника а м , а длина - в 2 раза больше .
	Ширина	прямоугольника равна , что составляет его длины .
	Ширина	прямоугольника равна , а длина составляет — ширины .
	Ширина	прямоугольника , что меньше длины .
	Ширина	какого участка меньше и на сколько ?
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда равна 20 дм , что составляет его длины .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда меньше длины , а высота - больше ширины .
	Ширина	прямоугольника , что составляет его длины .
	Ширину	прямоугольника увеличили , а длину - от первоначального значения .
Чем характеризуются координаты точек , расположенных на оси	абсцисс	, на оси ординат ? . .
По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси	абсцисс	, уровня воды клеткам оси ординат .
Из точек , указанных ниже , выбери отдельно точки , принадлежащие оси	абсцисс	, и точки , принадлежащие оси ординат .
За Ь часов работы один	автомат	закрывает а банок , а другой - в 2 раза больше .
В танцевальном	ансамбле	танцоры .
Какая часть участников	ансамбля	уехала на гастроли ? .
Элементы	бесконечного множества	уже нельзя испытать все , и при любом числе испытаний может оказаться , что еще непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение , которое мы хотим доказать .
Андрей заглянул к нему в тетрадь и , хотя писал работу другого	варианта	, сразу сказал , что в этом примере ошибка .
"Однако и в этом случае "" лобовой "" перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа"	вариантов	.
Сколько	вариантов	кода в самом худшем случае надо набрать Наташе , чтобы попасть к себе домой ? . .
Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных	вариантов	.
Укажи все возможные	варианты	ответов .
Исходя из значений слов в русском языке , отгадай по рисункам значения математических терминов и сформулируй свои	варианты	соответствующих определений .
Части	величин	выражены дробями .
Запиши с помощью несократимых дробей части	величин	, выраженные в процентах .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у .
Вырази в процентах части	величин	.
Тип задачи определяется тем , какая из	величин	неизвестна . .
Используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Построй математическую модель задачи , введя для обозначения неизвестных	величин	буквы .
Исходя из результатов исследования данной фигуры , проведенного , сделай предположения относительно	величин	остальных углов и проверь их с помощью измерений .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у : .
Обозначь наименьшую из	величин	х и построй математическую модель задачи .
Приведи примеры других	величин	, связанных зависимостью .
Благодаря этим дробям оказалось возможным - через много лет - перейти к единой системе измерения	величин	, к метрической системе мер , которой мы широко пользуемся в быту .
Обозначь наименьшую из неизвестных	величин	х и построй математическую модель задачи .
Вместе с тем , для некоторых	величин	по традиции , идущей из древности , используют не десятичные , а другие соотношения .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы .
Построй математическую модель задачи , обозначая одну из неизвестных	величин	буквой х : .
Какая из	величин	больше , а какая меньше ?
Вырази следующие части	величин	в процентах .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее диаметру есть	величина	постоянная , равная примерно значению дроби .
Как изменится	величина	дроби , если к ее числителю прибавить знаменатель ?
Необходимо , чтобы	величина	площади окон составляла не менее площади пола .
Придумай задачи с другими	величинами	, которые решаются так же .
Придумай задачу с другими	величинами	, имеющую такое же решение .
Составь задачу с другими	величинами	, имеющую такую же математическую модель .
Составь задачу с другими	величинами	, имеющую такое же решение .
Любые два натуральных числа можно сравнить по	величине	, можно сложить или перемножить .
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли	величину	угла правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Обозначим эту	величину	.
Из схемы видно , что число жителей всех районов удобно выразить через	величину	, равную от числа жителей первого района .
Обозначь неизвестную	величину	и построй математическую модель задачи .
Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь	величину	угла , образованного биссектрисами .
Разница лишь в том , что цифры младших разрядов не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет	величины	десятичной дроби .
Как записать с помощью знака процента сотые доли	величины	? .
Какую часть яркость звезд шестой величины составляет от яркости звезд первой	величины	?
Какую часть яркость звезд шестой	величины	составляет от яркости звезд первой величины ?
Яркость звезд при переходе от одной	величины	к другой последовательно уменьшается примерно .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять	величины	, то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с поля , сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились числа .
Напомним , что для построения моделей задач ,	величины	в которых связаны отношением а = Ь • с , удобно использовать таблицу : . .
Самые яркие - звезды первой	величины	, а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , - звезды шестой величины .
Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу - как связаны между собой	величины	углов трапеции ?
Определи по графику : Какие	величины	обозначают переменные ? .
Как связаны между собой	величины	односторонних углов ( внутренних и внешних ) ?
Доли	величины	выражены в процентах .
Доли	величины	выражены десятичными дробями .
Что обозначают	величины	в формуле стоимости ?
Найди неизвестные	величины	.
Понаблюдай , как связаны между собой	величины	накрест лежащих углов ( внутренних и внешних ) ?
Найди	величины	углов .
Самые яркие - звезды первой величины , а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , - звезды шестой	величины	.
Построй формулу зависимости	величины	угла правильного многоугольника от числа его сторон .
Пользуясь формулой , найди неизвестные	величины	. .
Построй треугольник по координатам его	вершин	.
Построй многоугольник по координатам его	вершин	.
Построй прямоугольник АВСЕ ) по координатам его	вершин	: А ( 3 ; 2 ) , В ( 3 ; 6 ) , С ( 9 ; 6 ) ( 9 ; 2 ) .
Эльбрус - высочайшая	вершина	Европы .
Угол ,	вершина	которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
Сколько внешних углов имеет треугольник АВС при	вершинах	В и С ?
На	вершине	горы , возвышающейся над уровнем моря , поставлена башня высотой .
Начерти треугольник АВС и построй его внешний угол при	вершине	А. Сколько решений имеет эта задача ?
Построй внешние углы этого четырехугольника по одному при каждой	вершине	и найди их сумму .
Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой	вершине	и найди их сумму .
Сравни внешние углы при каждой	вершине	и сформулируй гипотезу .
Лучи , образующие угол , называются сторонами угла , а их общее начало -	вершиной	угла .
Угол с	вершиной	в центре окружности называется ее центральным углом .
Соедини отрезком	вершину	прямого угла с серединой гипотенузы .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его	вершины	, равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Диагональю многоугольника называется отрезок , соединяющий любые две его не соседние	вершины	.
Брутто -	вес	товара с упаковкой , нетто - без упаковки .
Вес колокола - 200 т , а	вес	пушки составляет 20 % веса колокола .
Запиши десятичной дробью с точностью до сотых часть , которую	вес	нетто составляет от веса брутто .
Каким стал	вес	Юры к началу нового учебного года ? .
Для хранения желудей их необходимо просушить , причем при сушке они теряют 8 % своего	веса	.
Вес колокола - 200 т , а вес пушки составляет 20 %	веса	колокола .
Запиши десятичной дробью с точностью до сотых часть , которую вес нетто составляет от	веса	брутто .
Андрей весит 32 кг , что составляет -у	веса	его старшей сестры и веса его папы .
Андрей весит 32 кг , что составляет -у веса его старшей сестры и	веса	его папы .
Сколько всего свежих ягод они собрали , если малина при сушке теряет своего веса , а черника - своего	веса	? . .
Сколько всего свежих ягод они собрали , если малина при сушке теряет своего	веса	, а черника - своего веса ? . .
Ромашка при сушке теряет — своего	веса	.
Вес мамы составляет -5-	веса	папы .
Как при помощи всего двух взвешиваний на чашечных	весах	( без гирь ) найти фальшивую ? .
"Найди корни уравнений с помощью правила """	весов	""" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
"Реши уравнения , используя правило """	весов	""" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ."
Используя общее правило сравнения дробей и правило “	весов	” , найди множество натуральных чисел а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
"По правилу """	весов	""" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ."
"Найди корни уравнений с помощью правила """	весов	” .
Среди семи внешне одинаковых монет есть одна фальшивая - более легкая по	весу	.
При проверке оказалось , что если к собаке на весы добавить саквояж , то вместе они перевешивают диван , и то же самое происходит , если к собаке на	весы	добавить чемодан .
При проверке оказалось , что если к собаке на	весы	добавить саквояж , то вместе они перевешивают диван , и то же самое происходит , если к собаке на весы добавить чемодан .
Угол ,	вписанный	в окружность , всегда острый .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется	вписанным	углом .
В каждой части этого равенства	вынесем за скобки	общий множитель .
Составь	выражение	и найди его значение при .
Найди 3 значения переменной , при которых	выражение	: .
Запиши	выражение	для площади фигуры , закрашенной на рисунке : . .
Составь	выражение	и найди его значение .
Реши задачу , составляя	выражение	: .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делят на	выражение	в знаменателе . .
Составь	выражение	и найди его значение при данных значениях букв : .
Рассмотри	выражение	.
Запиши	выражение	и найди его значение при данных значениях букв .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления :	выражение	в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Упрости	выражение	и найди его значение .
Запиши числовое	выражение	и найди его значение : .
Реши задачу , составляя числовое	выражение	: .
Прочитай буквенное	выражение	.
Составь	выражение	, соответствующее заданной программе действий , и найди значение выражения : .
Запиши	выражение	для ответа на вопрос задачи и найди его значение при данных значениях букв : .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости	выражение	и найди его значение .
Объясни , что может означать	выражение	.
Упрости	выражение	.
Запиши	выражение	для ответа на вопрос задачи : .
Составь	выражение	и найди его значение при заданных значениях букв .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости	выражение	и найди .
Запиши	выражение	с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном выражении .
Прочитайте	выражение	.
Составь буквенное	выражение	и найди его значение .
Найди	выражение	, которое является правильным переводом данной задачи на математический язык .
Например , разность а - Ь при а = 8 и Ь = 3 превратится в числовое	выражение	8 - 3 .
Докажи , что	выражение	2935с + 16000с/ кратно 5 при любых значениях переменных с и < 1 .
Запиши какое - нибудь числовое	выражение	, для вычисления значения которого нужно последовательно выполнить : .
Составь	выражение	и найди его значение : .
Прочитай	выражение	и найди его значение .
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое .
Сделай чертеж к задаче и запиши	выражение	.
Запиши	выражение	в виде суммы чисел со знаками .
Выполни программу действий , затем по данной программе составь	выражение	и найди его значение .
Запиши	выражение	, являющееся переводом задачи на математический язык .
Составь	выражение	и найди его значение при х = 6 .
Однако для этой задачи мы не можем составить числовое	выражение	, так как не известно ни число мальчиков , ни число девочек .
Составь	выражение	и найди его значение при заданных значениях переменных .
Подбери два значения х так , чтобы	выражение	: .
Составь задачу , решением которой служит	выражение	: .
Составь задачу , решением которой служит	выражение	.
Прочитай	выражение	и преобразуй его в сумму .
Что означает	выражение	“ сократить дробь ” ?
Преобразуем полученное	выражение	.
Выполни вычисления по схеме и составь	выражение	.
Составь	выражение	по следующей программе и найди его значение : .
Запиши	выражение	и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Составь	выражение	и упрости его .
Выполни программу действий и составь	выражение	.
Составь	выражение	, задающее ту же самую программу действий .
Попробуем подставить в это	выражение	, например , х = 4 : 4-(4 + 3 ) = 28 .
Упрости	выражение	и найди его значение при данном значении переменной .
Запиши	выражение	и найди его значение .
Составь из чисел , записанных в квадрате , скобок и знаков и	выражение	, значение которого равно 1 .
Последнее	выражение	читают .
Реши задачу и запиши решение по действиям с вопросами , а затем составь для нее	выражение	: .
Например , для нашей задачи можно записать также	выражение	: 120 - ( 25 4- 25 • 2 ) .
Придумай задачи , математической моделью которых является	выражение	.
Найди	выражение	, которое является правильным переводом задачи на математический язык .
Казалось бы , задача уже решена , но это не так : ведь может оказаться , что буквенное	выражение	равно 70 при разных значениях х. Например , произведение х • ( 17 - х ) равно 70 и при х = 7 , и при х = 10 .
"Цепочку вычислений , соответствующую букве "" К "" предыдущего номера , можно задать"	выражением	: [ ( 8 + 9 ) • 3 - 2 ] : 7 .
Запиши выражение с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном	выражении	.
Если в числовом	выражении	провести указанные в нем действия , то получится некоторое число .
Найди значения	выражений	.
Вычисли значения данных	выражений	, найди их сумму и воспользуйся указанным ключом для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
Что общего в каждой паре	выражений	?
Знак равносильности имеет такой же смысл , но применяется не для числовых	выражений	, а для предложений - высказываний или высказывательных форм ( предложений с переменной ) .
Существуют ли значения переменных , при которых значения всех трех	выражений	будут равны ? .
Упрости запись этих	выражений	.
В каких из следующих	выражений	"можно "" сэкономить "" на знаках умножения ?"
Нам уже известны названия простейших математических	выражений	- сумма , разность , произведение , частное .
Пользуясь ими , найди , если возможно , значения	выражений	.
Какое из данных	выражений	не имеет смысла ? .
Запись , чтение и составление	выражений	.
Найди значения	выражений	и поставь между ними знак равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
Пользуясь свойствами и признаками делимости , установи , какие из приведенных	выражений	делятся : на 2 ; на З ; на 5 ; на 9 .
Что общего у всех этих	выражений	?
Вычисли значения	выражений	.
И точно так же , как пишут цепочку равенств при преобразованиях числовых	выражений	, например , можно записывать цепочки равносильных предложений , например .
Докажи , что произведение значений данных	выражений	равно .
Найди значения данных	выражений	таким же способом .
Какое из данных 4	выражений	является математической моделью задачи : Теплоход проплыл по реке а км со скоростью Ь км / ч , а затем по озеру на 12 км больше .
Найди значения	выражений	: .
Найди значения	выражений	и сравни их .
Такое обозначение действия деления с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным , и его принято использовать для записи более сложных	выражений	.
По данному	выражению	составь задачу на одновременное движение двух объектов и нарисуй схему .
Составь задачу по	выражению	и реши ее .
Какой смысл следует придать	выражению	, а ° ( а * 0 ) , чтобы предложенное тобой правило не нарушалось ? .
Какой смысл следует придать	выражению	, чтобы предложенное тобой правило не нарушалось ? .
При каких значениях переменной значение	выражения	делится на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает , что эти	выражения	имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
Вместо длинного	выражения	""" в том и только в том случае "" в математической записи часто употребляется специальный знак ФФ ( читают : "" равносильно "" ) ."
Для всех задач запиши	выражения	и найди ответ .
Упрости	выражения	: 5й : 52 , II7 : II4 , 45 : 42 .
"Кстати , вместо слов "" в том и только в том случае "" в математике употребляют и некоторые другие"	выражения	"такого типа , - например , "" тогда и только тогда "" , "" если и только если "" и другие ."
Составь	выражения	и найди их значения .
Упрости	выражения	.
Объясни смысл	выражения	: ( 52)3 .
Найти значение	выражения	105 - 400 : 23 .
Прочитай	выражения	и найди их значения .
Найди значение	выражения	.
Упрости	выражения	: ( а3)2 , ( а2)4 , ( а5)3 .
Докажи , что при всех натуральных значениях переменных	выражения	28х , 96тпй , 52(г/ + г ) кратны 2 .
Прочитай	выражения	и найди их значения при а = = 11 , Ъ = 7 .
Проверь , что значения	выражения	п2 + п + 41 ( трехчлен Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются простыми числами .
Сравни	выражения	.
Запиши	выражения	.
Составь выражение , соответствующее заданной программе действий , и найди значение	выражения	: .
Упрости	выражения	: 23 - 24 , 72 - 73,94 - 92 .
Вычислить значение	выражения	.
Прочитай	выражения	.
Найди значение	выражения	, используя метод “ доходов и расходов ” .
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных значениях п значение	выражения	21 + 1 является простым числом .
Найди значение	выражения	разными способами .
Запиши три пары значений переменных х и у , при которых значение	выражения	12х + 45г/ : делится на 2 ; .
Выполни умножение и упрости полученные	выражения	.
Прочитай	выражения	и определи , равны ли их значения .
Составь	выражения	и найди их значения при данных значениях букв : .
Докажи , что значение	выражения	является наименьшим натуральным числом .
Итак , при решении составных задач на дроби , кроме основных правил , рассмотренных в предыдущих пунктах , на помощь могут прийти схемы , таблицы , числовые и буквенные	выражения	, уравнения .
Математические	выражения	.
Равны ли	выражения	?
Вырази в метрах и найди значение	выражения	.
Для ответа на поставленный вопрос достаточно найти значение этого	выражения	.
Придумай и запиши два числовых и два буквенных	выражения	.
Найди значение буквенного	выражения	.
Такие	выражения	называют числовыми .
"Из них составляются "" слова "" математического языка - математические"	выражения	, например : .
Его значение , равное 5 , называют значением буквенного	выражения	а - Ъ при а = 8 и Ь = 3 .
Упрости	выражения	, пользуясь свойствами арифметических действий .
Нам надо найти такое значение х , при котором значение	выражения	х(х + 3 ) было бы равно 70 .
Составь	выражения	для остальных цепочек и проверь правильность записи с помощью вычислений .
Найди значение полученного	выражения	.
Важно научиться не только читать готовые математические	выражения	", но и составлять их , то есть "" переводить "" с русского языка на математический ."
Найди значение буквенного	выражения	при данных .
Сделай прикидку , округлив до целых , а затем найди точное значение	выражения	.
Составь	выражения	для ответа на вопросы задач : .
Запиши	выражения	для периметра фигур , изображенных на рисунке : .
Упрости	выражения	, пользуясь свойствами арифметических действий : . .
Запиши в виде	выражения	: .
Это число называется значением	выражения	.
Реши задачи , составляя	выражения	.
Запиши в виде числового	выражения	.
Например , значение	выражения	( 43 + 57 ) • 32 равно 3200 .
Найти значение	выражения	120 - 25 - 25 - 2 .
Найди значение	выражения	( в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе ) .
Составь	выражения	.
Более сложные	выражения	обычно называются по последнему выполняемому действию , например : .
Значение этого	выражения	мы без труда можем найти .
Вырази в дециметрах и найди значение	выражения	.
Запиши	выражения	для периметра и площади фигуры , изображенной на рисунке : .
Найди значения	выражения	( 18 - х ) : х для всех х , принадлежащих множеству { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 } .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с	выражениями	, содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Знак равенства между двумя числовыми	выражениями	показывает , что эти выражения имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
В	выражениях	, содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого - сложение и вычитание .
В первых двух	выражениях	букв нет .
В трех последних	выражениях	стоит знак умножения , но принято писать проще .
После присвоения элементу некоторого имени мы можем его называть и записывать под присвоенным ему именем в	выражениях	, формулах , равенствах и неравенствах .
Ширина сарая , длина - больше ширины , а	высота	- меньше длины .
На крыше башни стоит громоотвод ,	высота	которого равна .
Ширина прямоугольного параллелепипеда меньше длины , а	высота	- больше ширины .
Чему равна	высота	видимой части сваи ? .
Длина аквариума 8 дм , ширина 5 дм , а	высота	45 см. Сколько литров воды надо налить в пустой аквариум , чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см ? .
На сколько дециметров	высота	параллелепипеда больше его ширины ? .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна , ширина , а	высота	на меньше ширины .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а	высота	12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Ширина прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а	высота	- меньше длины .
Длина аквариума , ширина меньше , а	высота	меньше длины .
Длина коробки равна , ширина составляет длины , а	высота	- длины .
Длина класса , ширина , а	высота	.
Длина комнаты 7 м , ширина 5 м , а	высота	3 м .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а	высота	- длины .
Какую часть длины аквариума составляет его	высота	? .
Чему равна	высота	этого параллелепипеда , если его объем равен ? .
На какой	высоте	над уровнем моря находится шпиль этого громоотвода ? .
На вершине горы , возвышающейся над уровнем моря , поставлена башня	высотой	.
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 40 см , шириной 20 см и	высотой	15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Достаточно ли света в классе , длина которого и ширина , если в классе имеется окна	высотой	и шириной ? .
Наливай в сосуд воду меркой и заноси в таблицу	высоту	уровня воды в сосуде .
Ребята проводили эксперимент : в различные сосуды меркой наливали воду и с помощью линейки измеряли	высоту	уровня воды в сосуде .
Вычисли	высоту	цифр на циферблате кремлевских курантов .
По данным таблицы построй график зависимости	высоты	уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси ординат .
По результатам измерений строился график зависимости	высоты	уровня к от числа мерок и : .
Игнат задумал число ,	вычел	его из 46 , результат разделил на 5 и получил 6 .
Чтобы	вычесть	число из суммы , можно вычесть это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Чтобы вычесть сумму из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата	вычесть	другое слагаемое .
Если задуманное число	вычесть	из числа , результат уменьшить в раз , а затем увеличить на ,
Из числа 500 010	вычесть	497 305 .
Чтобы разделить разность на число , отличное от нуля , можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного	вычесть	второе .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ;	вычесть	отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Итак , чтобы	вычесть	смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Если из утроенного неизвестного числа	вычесть	, то получим .
Чтобы вычесть сумму из числа , можно	вычесть	из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Если к нему прибавить , из полученной суммы	вычесть	, а разность вычесть .
Если к нему прибавить , из полученной суммы вычесть , а разность	вычесть	.
Чтобы вычесть число из суммы , можно	вычесть	это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Чтобы	вычесть	сумму из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок	вычесть	марки Сережи и Кости .
Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения	вычесть	второе .
Из числа	вычесть	результат первого действия .
Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел , а затем сложить ее или	вычесть	- по знаку около таблицы .
Из результата второго действия	вычесть	результат третьего действия .
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а	вычитаемое	с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и	вычитаемое	с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и	вычитаемое	с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ;	вычитаемое	с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а	вычитаемое	с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Аналогично	вычитание	смешанных чисел сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
вычитание , деление и	вычитание	.
Выполнить сложение (	вычитание	) , не обращая внимания на запятую .
Ясно , что в левой части уравнения нужно вынести х за скобки и выполнить сложение и	вычитание	получившихся чисел .
Сложение и	вычитание	смешанных чисел .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями , содержащими сложение и	вычитание	дробей с разными знаменателями .
Ясно , что	вычитание	возможно только в случае , когда числитель полученной дроби больше или равен нулю , то есть .
На числовом луче можно также изображать сложение и	вычитание	чисел .
	Вычитание	, деление и вычитание .
сложение , умножение и	вычитание	; .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого - сложение и	вычитание	.
Аналогично выполняется и	вычитание	.
Сложение и	вычитание	дробей .
В отличие от сложения и умножения ,	вычитание	и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Выполни сложение и	вычитание	дробей с натуральными числителями и знаменателями .
умножение ,	вычитание	и деление ; .
Заметим , что сложение и	вычитание	десятичных дробей можно записать “ в столбик ” : .
Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к	вычитанию	( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
Повтори алгоритм сложения и	вычитания	десятичных дробей и реши примеры правильно . .
Вычисли наиболее удобным способом и объясни , на основании каких свойств сложения и	вычитания	выполнены преобразования .
Аналогично , но чуть сложнее записывается правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями .
Что же касается дробей с разными знаменателями , то для их сложения или	вычитания	достаточно привести их к одному знаменателю .
Вместе с тем , числовой луч обычно используют для сравнения , сложения и	вычитания	чисел тогда , когда числа несложно изобразить .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило	вычитания	суммы из числа .
Для сложения и	вычитания	дробей верны изученные ранее свойства этих действий .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило	вычитания	числа из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила	вычитания	числа из суммы и суммы из числа .
Пользуясь свойствами сложения и	вычитания	дробей , вычисли наиболее удобным способом .
Сформулируем на математическом языке общие правила сложения и	вычитания	дробей .
Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и	вычитания	с нулем .
Какие свойства сложения и	вычитания	выражают данные равенства ? .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия	вычитания	и деления выполнимы на множестве .
Выполни действия наиболее простым способом : сформулируй правило	вычитания	суммы из суммы .
Исходя из правила	вычитания	суммы из суммы , докажи равенство .
Приведем несколько примеров сложения и	вычитания	десятичных дробей с помощью установленного алгоритма .
Запиши в виде буквенных равенств правила	вычитания	числа из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм сложения (	вычитания	) десятичных дробей .
Натуральные числа можно не только складывать и умножать , но и	вычитать	и делить .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и умеют их складывать и	вычитать	, а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Складывать и	вычитать	дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе .
Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей , научились складывать и	вычитать	дроби с одинаковыми знаменателями .
Снова	вычитая	из каждой части у , получим 70 = 6г/ + 52 , 6г/ = 18 , у = 3 . .
Некоторое число сначала увеличили на 14 , потом увеличили в 4 раза , результат	вычли	из 110 и получили 18 .
Из задуманного числа	вычли	3 , полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше , чем треть задуманного числа .
Задуманное число увеличили в 2 раза , из результата	вычли	25 и получили число , в 3 раза меньшее задуманного .
Задумали число , разделили на него , полученное частное	вычли	, результат увеличили и получили число , большее квадрата числа .
Задуманное число сначала увеличили в два с половиной раза , затем уменьшили ,	вычли	и получили .
К числу 3 прибавили задуманное число , сумму увеличили в 5 раз и полученное произведение	вычли	из 70 .
К задуманному числу прибавили 4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата	вычли	16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное число с 9 .
Поэтому если мы из каждой части этого равенства	вычтем	одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для натурального числа у невозможно .
Углом называется	геометрическая фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
Какие еще пространственные	геометрические фигуры	ты знаешь ? . .
Площадь	геометрических фигур	чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем	геометрического тела	- буквой V .
Расположи ответы примеров в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй название	геометрической фигуры	.
Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность , диаметром которой является его	гипотенуза	.
Сравни по длине проведенный отрезок и	гипотенузу	.
Соедини отрезком вершину прямого угла с серединой	гипотенузы	.
На сколько	градусов	изменилась температура ? .
На сколько	градусов	изменилась температура вечера ? .
Все шесть	граней	куба - квадраты .
На каждой грани кубика надо разместить черные кружки , изображающие числа ( на одной	грани	- кружок , на другой - кружка и т д ) .
На каждой	грани	кубика надо разместить черные кружки , изображающие числа ( на одной грани - кружок , на другой - кружка и т д ) .
Построй	график	изменения температуры воздуха в течение этого дня .
Построй	график	движения автобусов и определи . .
Построй	график	изменения роста Оли в течение первых шести лет жизни , пользуясь таблицей .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней апреля .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней ноября .
По данным таблицы построй	график	зависимости высоты уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси ординат .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней марта .
Построй	график	движения по рассказу “ Приключения пса Грея ” , считая движение Грея прямолинейным , и ответь по графику на вопросы .
По результатам измерений строился	график	зависимости высоты уровня к от числа мерок и : .
На чертеже изображен	график	изменения уровня воды в реке в весеннелетний сезон по сравнению со средним уровнем ( будем считать , что в месяце 30 дней ) .
Построй	график	, выражающий зависимость температуры от времени нагревания .
Построй	график	движения по рассказу “ В поисках капитана Гранта ” и ответь на поставленные вопросы : “ экспедиция лорда Гленарвана отправилась вдоль реки Рио - Глазго к поселению индейцев , находящемуся от их места стоянки .
На	графике	показано , как изменялся рост Пети от рождения .
На рисунке приведены	графики	их движения .
Рассмотри	графики	движения двух объектов и определи по ним для каждого объекта : .
Построй график движения по рассказу “ Приключения пса Грея ” , считая движение Грея прямолинейным , и ответь по	графику	на вопросы .
Определи по	графику	: Какие величины обозначают переменные ? .
Придумай по	графику	вопросы и ответь на них .
Проанализируй по	графику	скорость изменения уровня воды в сосуде ( когда уровень воды изменялся быстрее , а когда - медленнее ) и по этим данным угадай форму сосуда .
Задай по	графику	три вопроса и ответь на них .
По	графику	опиши движение путешественников , определи скорость .
Измерь углы и определи число учащихся в каждой из выделенных	групп	, если всего в школе учатся 1400 детей .
Какая дробь в каждой из	групп	может быть « лишней » .
Если бы	групп	было на одну больше , то в каждой было бы на 3 человека меньше .
Для занятий их разделили поровну на несколько	групп	.
Сколько было	групп	и сколько человек в каждой группе ? .
На рисунке изображена	группа	людей , связанных семейными отношениями .
Сколько было групп и сколько человек в каждой	группе	? .
На этот вопрос мы отвечали так : 27 предметов можно разложить на 3 равные	группы	по 9 предметов в каждой , и ничего не останется .
Все ли числа каждой	группы	являются взаимно простыми : .
Разбей данные 6 чисел на группы таким образом , чтобы внутри каждой	группы	стояли числа , равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Всех участников соревнований можно разбить на 2	группы	- мальчики и девочки .
Разбей данные 6 чисел на	группы	таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли числа , равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Следовательно ,	данные	числа имеют только один общий делитель - число 1 .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться , чтобы	данные	дроби имели или один и тот же знаменатель , или один и тот же числитель .
Сравни	данные	утверждения .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в	данных	дробях .
Выполнить	деление	на натуральное число .
Выполни	деление	""" по частям "" ."
Теперь рассмотрим	деление	на десятичную дробь .
Выполнить	деление	целой чисти .
Сначала рассмотрим простейший случай -	деление	десятичной дроби на натуральное число .
При этом два действия -	деление	на знаменатель дроби , а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь .
Для выяснения , делится ли одно число на другое , всегда можно провести	деление	"известным нам способом - "" уголком "" ."
Мы видим , что сколько бы мы ни продолжали	деление	, в новых разрядах частного всегда будет получаться цифра .
Производя	деление	уголком и замечая возникающие закономерности , можно проверить , что .
Разложи делитель на простые множители и объясни , как можно выполнить	деление	по частям .
Выполни	деление	.
А	деление	на ноль для дробей , как и для натуральных чисел , не допускается .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и	деление	, и после этого - сложение и вычитание .
Вычитание и	деление	являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
Например , каждое из чисел 7 , 11 и 13 является делителем числа 1001 - в этом можно убедиться , проведя	деление	""" столбиком "" ."
Выполни	деление	с остатком и сделай проверку .
Выполни	деление	по частям .
В отличие от сложения и умножения , вычитание и	деление	натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Выполни	деление	с остатком и сделай проверку : 918 : 45 .
Как известно ,	деление	на некоторое число является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется произведению делителя и частного .
Выполни	деление	, результат проверь с помощью умножения .
Замени	деление	умножением и вычисли .
Самое интересное и полезное для нас в полученном результате — это то , что	деление	дробей сводится к их умножению .
Теперь выполним	деление	дроби на натуральное число по установленному выше правилу .
Выполни	деление	, если значения всех переменных - натуральные числа .
вычитание ,	деление	и вычитание .
Продолжить	деление	, не обращая внимания на запятую , дописывая в делимом после запятой столько нулей , сколько потребуется .
	Деление	, сложение и умножение ; .
Умножение и	деление	десятичной дроби .
Умножение и	деление	натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
При этом , когда	деление	целой части закончится , продолжим делить последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном запятую .
умножение , вычитание и	деление	; .
При этом два действия -	деление	на числитель дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь .
Выполни	деление	и сделай проверку .
Выполни	деление	с точностью до сотых .
Выполни	деление с остатком	и сделай проверку : 918 : 45 .
Выполни	деление с остатком	и сделай проверку .
А вот с	делением	десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Дроби , как известно , возникли в связи с	делением	предмета на несколько равных частей .
При этом два действия - деление на числитель дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием -	делением	на дробь .
Замени умножение	делением	и вычисли .
Сравни при	делении	на дробь , меньшую единицы , делении на дробь , большую единицы ? .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при	делении	, например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде десятичной дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает , что числа х и у - это парные делители 252 : при	делении	252 на х получается у , и наоборот .
Какие получаются остатки при	делении	этих чисел на 3 ? .
Сравни при делении на дробь , меньшую единицы ,	делении	на дробь , большую единицы ? .
Найди остатки , которые получаются при	делении	на 9 чисел : 36 681 , 578 645,4 620 805 .
Заметим , что при умножении числа оно уменьшается соответственно , а при	делении	- увеличивается .
При	делении	числа на число получается частное и остаток .
Так , поскольку при	делении	после разряда десятых всегда идет цифра , то считают .
Следует сказать , что невозможность при	делении	десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Однако при	делении	смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и дробную части , например : .
При	делении	смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило деления дробей .
При	делении	числа , а на число Ь получилось частное к.
Например , при	делении	по этому правилу дроби — ответ получается почти сразу .
Попробуем , однако , и при	делении	десятичных дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Значит , при	делении	дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Какие получаются остатки при	делении	этих чисел на 9 ? .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при	делении	( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Можно найти число , при	делении	которого на 6 получится 9 .
Почему при	делении	с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
При	делении	дроби на натуральное число , как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Поэтому при умножении десятичной дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при	делении	- на разряд вправо .
При	делении	числа на получается частное и остаток .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при	делении	разряда влево .
Какие остатки получаются при	делении	числа 27 628 : на 10 ; на 100 ; на 1000 ; на 2 ; на 5 ?
При	делении	некоторого числа на 5 в остатке получилось 4 .
При	делении	на 9 любого числа из множества { 20 , 56 , 101 } в остатке получается 2 .
Поэтому при	делении	запятая будет перемещаться не вправо , а влево - соответственно на разряд .
При	делении	числа с1 на 8 получается в частном див остатке 5 .
Доказать , что частное двух натуральных чисел не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при	делении	без остатка ) .
При	делении	всех чисел из множества { 24 , 38 , 45 } на число 7 в остатке получается 3 .
При	делении	яблоки на двоих детей ответ можно получить и другим способом : раздать каждому по яблоку и одно оставшееся разделить пополам .
Например , так как при	делении	получается частное и остаток .
На какое число надо умножить , чтобы получить тот же результат , что и при	делении	? .
При	делении	числа а на число Ь получается в частном сив остатке г .
При	делении	числа и на число 4 получается в частном у и в остатке 1 .
Почему при	делении с остатком	нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
Исходя из полученного вывода , придумай , как построить правильный шестиугольник , пользуясь только циркулем и линейкой без	делений	.
Этот случай легко свести к	делению	на натуральное число .
Пользуясь формулой	деления	с остатком а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные значения букв в таблице .
Что получится , если заменить в новом равенстве знак	деления	на черту дроби ? .
По определению	деления	натуральных чисел разделить число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
С другой стороны , нам известно , что знак	деления	можно заменить чертой дроби .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное от	деления	не меняется , что и требовалось доказать .
частное от	деления	суммы чисел 43 и 3 на разность чисел 140 и 117 .
Такое обозначение действия	деления	с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным , и его принято использовать для записи более сложных выражений .
При делении смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило	деления	дробей .
Запиши соотношение между ними , пользуясь формулой	деления	с остатком .
Для деления дробей выполняются известные нам частные случаи	деления	.
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного	деления	на многозначное число мы можем делить , как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
Поэтому можно ожидать , что и для десятичных дробей правила умножения и	деления	не будут сложными .
"В этой задаче у нас целых четыре "" персонажа ” : два числа , частное от"	деления	одного из них на .
Но здесь мы будем исходить не из практической задачи , а из связи	деления	с умножением .
Что получится , если в новом равенстве заменить знак	деления	на черту дроби ?
Чему равна цена	деления	шкалы числовой прямой ?
Найди цену	деления	шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты точек .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции	деления	выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Для этого понадобится три действия	деления	: данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на однозначные числа .
Для этого понадобится три действия деления : данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции	деления	на однозначные числа .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и	деления	выполнимы на множестве .
Найти двузначное число , частное от	деления	, которого на произведение его цифр равно 3 .
Начерти координатный луч и отметь на нем точки , выбрав удобную цену	деления	: . .
Найдем , например , частное от	деления	.
Данный способ можно применить для	деления	на любую десятичную дробь .
частное от	деления	числа 143 на разность чисел 67 и 54 ; .
Найди остатки от	деления	на 3 чисел : 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило	деления	дробей .
Используем этот же принцип и для	деления	десятичных дробей .
Рассмотрим теперь случай , когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс	деления	на натуральное число .
С помощью дробей можно представить результат	деления	любого натурального числа на любое натуральное число , например .
Построим правило	деления	дробей .
При этом число с называется частным от	деления	а на b , число а — кратным Ь , а число Ь - делителем а .
Найди цену	деления	шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек .
При этом черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия	деления	.
Найди частное от	деления	.
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие	деления	: выражение в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Итак , мы видим , что для	деления	на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Дополнительные свойства умножения и	деления	.
Назови трех ребят , показавших лучшую результативность ( результативность — это частное от	деления	числа набранных очков на число игр ) .
Для этого сначала заменим знак	деления	дробной чертой и применим основное свойство дроби .
Черту дроби можно понимать как знак	деления	.
Как решить эту задачу , не производя	деления	? .
Однако реальная польза получается в другом : при выполнении более трудного действия -	деления	.
Дробь — можно представить как частное от	деления	.
Архимед установил , что частное от	деления	длины окружности на ее диаметр составляет примерно .
Сохраняется ли это свойство для	деления	дробей ? .
Для	деления	дробей выполняются известные нам частные случаи деления .
Рассмотренные нами свойства	деления	можно сформулировать на математическом языке с помощью следующих общих утверждений - теорем .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и	деления	( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Применим его для	деления	, например .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции	деления	выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Пользуясь формулой	деления с остатком	а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные значения букв в таблице .
Запиши соотношение между ними , пользуясь формулой	деления с остатком	.
Найди два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ;	делилась	на 5 ; не делилась на 5 .
Найди два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ; делилась на 5 ; не	делилась	на 5 .
На какое число	делили	? .
12х	делилось	на 7 ; 8х делилось на 14 .
25х не	делилось	на 3 ; х + 36 не делилось на 9 .
20х делилось на 11 ; 48 - х	делилось	на 4 ; .
25х не делилось на 3 ; х + 36 не	делилось	на 9 .
Составь число из одних девяток , чтобы оно	делилось	на 5 .
Составь число из одних пятерок , чтобы оно	делилось	на 9 .
Если бы это было так , то по свойству 1 слагаемое 25 , равное разности 215 - 190 , тоже	делилось	бы на 19 , а это неверно .
12х делилось на 17 ; 8х	делилось	на 4 ; 1598х делилось на 637 .
Зх	делилось	на 5 ; 9х делилось на 6 ; .
Зх делилось на 5 ; 9х	делилось	на 6 ; .
20х	делилось	на 11 ; 48 - х делилось на 4 ; .
12х делилось на 7 ; 8х	делилось	на 14 .
12х	делилось	на 17 ; 8х делилось на 4 ; 1598х делилось на 637 .
12х делилось на 17 ; 8х делилось на 4 ; 1598х	делилось	на 637 .
В числе 7 030 506 все нули замени одной и той же цифрой - такой , чтобы полученное число	делилось	на 9 .
Действительно , если мы , например ,	делим	некоторую сумму денег на несколько равных частей , то чем больше мы возьмем таких частей , тем больше денег нам достанется . .
Если мы	делим	предмет на большее число частей , то каждая часть получается меньше .
Как мы видели , для получения ,	делимого	можно выписать вместе разложения на простые множители делителя и частного .
, и сначала убрать из	делимого	первые две двойки , затем оставшиеся три двойки , а потом две тройки .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении	делимого	и делителя на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Как изменяется частное двух чисел при изменении	делимого	и делителя ?
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ;	делимое	с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Объясни , как найти неизвестный множитель ,	делимое	, делитель .
	Делимое	уменьшить в 9 раз , а делитель увеличить в 6 раз ; .
Если	делимое	уменьшить в 2 раза , а делитель оставить без изменения , то частное .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ;	делимое	и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ;	делимое	с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если	делимое	и делитель разделить на одно и то же натуральное число .
	Делимое	уменьшить в т раз , а делитель увеличить в 8 раз ? .
Если	делимое	увеличить в 3 раза , а делитель оставить без изменения , то частное .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ;	делимое	и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Если	делимое	и делитель разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то частное .
	Делимое	увеличить в п раз , а делитель уменьшить в 3 раза ; .
Что произойдет с частным , если округлить :	делимое	с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
По рисунку найди	делимое	, делитель , частное и остаток .
	Делимое	увеличить в 3 раза ; .
Как найти неизвестный множитель ,	делимое	, делитель ?
	Делимое	уменьшить в 6 раз , а делитель уменьшить в 2 раза ; .
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это число :	делимое	равняется произведению делителя и частного .
Поэтому мы введем четыре имени :	делимое	обозначим буквой а , делитель - буквой Ь , частное - буквой к , а четвертое число - буквой с .
Так же поступают и в случае , когда	делимое	или делитель являются натуральными числами .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ;	делимое	с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Другими словами , сначала	делимое	и делитель можно разделить на 5 , а потом на 7 .
	Делимое	увеличить в 7 раз , а делитель уменьшить в 5 раз ; .
Так , для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить , что и	делимое	, и делитель содержат общий множитель 5 .
Если делитель увеличить в 2 раза , а	делимое	оставить без изменений , то частное .
Для натуральных чисел	делимое	никогда не бывает меньше делителя и частного .
	Делимое	увеличить в 8 раз , а делитель увеличить в 2 раза ; .
Почему при делении с остатком нельзя в	делимом	и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
Перенести в	делимом	и в делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе .
Продолжить деление , не обращая внимания на запятую , дописывая в	делимом	после запятой столько нулей , сколько потребуется .
Почему при делении с остатком нельзя в делимом и	делителе	отбросить одно и то же число нулей ?
Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в	делителе	.
Перенести в делимом и в	делителе	запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе .
А - множество делителей числа 16 , а В - множество	делителей	числа 28 .
А - множество	делителей	числа 16 , а В - множество делителей числа 28 .
Запиши множество	делителей	числа 24 , расположив их в возрастающем порядке .
Запиши множество	делителей	каждого числа и найди их наибольший общий делитель : 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Дробь , знаменатель которой в качестве простых	делителей	содержит только , можно представить в виде десятичной дроби .
А - множество делителей числа 12 , а В - множество	делителей	числа 18 .
Какое число имеет больше	делителей	- 7 или 14 , 6 или 30,12 или 36 , 8 или 40 , 111 или 111 111 111 ?
Составь множество	делителей	и множество кратных числа 15 , а затем - числа 20 .
Сколько	делителей	числа 333 333 333 333 ты сможешь найти ? .
А - множество	делителей	числа 12 , а В - множество делителей числа 18 .
Запиши множество	делителей	числа 56 , располагая делители в порядке возрастания .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых	делителей	только , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Запиши множество	делителей	каждого числа и найди наибольший общий делитель .
Запиши множество	делителей	числа 56 и выбери из него подмножество простых делителей .
С - множество	делителей	числа 8 , а Л - множество делителей числа 9 .
составные числа ( имеют больше 2	делителей	) .
произведение всех различных	делителей	числа 8 ; .
Натуральные числа , которые имеют более двух	делителей	, называются составными .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество"	делителей	"числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
С - множество делителей числа 8 , а Л - множество	делителей	числа 9 .
Запиши множество	делителей	и множество кратных числа 36 .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество"	делителей	"числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби , то ее знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только .
Е - множество делителей числа 15 , а Г - множество	делителей	числа 30 .
Существуют двузначные числа , имеющие 6	делителей	.
Е - множество	делителей	числа 15 , а Г - множество делителей числа 30 .
Доказанное свойство часто полезно для нахождения общих	делителей	двух чисел .
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной , то ее знаменатель в качестве простых	делителей	может иметь только числа .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только .
"Найди множество значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим"	делителем	"чисел 12 и 30 "" ."
Каждый делитель числа 10 является	делителем	числа 12 .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является	делителем	натурального числа а .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является"	делителем	"числа 15 "" ? ."
Каждое число из множества { 6 , 9 , 12 } является	делителем	60 .
""" Каждый делитель числа 15 является"	делителем	"числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Действительно , 450 делится на 45 , поэтому 45 и будет наибольшим общим	делителем	этих чисел .
Докажи , что число 5 является наибольшим общим	делителем	чисел 85 и 90 .
Число 37 является	делителем	всех чисел из множества { 222 , 333 , 555 } .
"Опровергни утверждение : "" Число 2 является общим"	делителем	"всех чисел "" ."
Найди множество значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим	делителем	"всех чисел "" ."
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было	делителем	числа ; число было делителем числа ? .
Их наибольшим общим	делителем	является число 8 .
В самом деле , поскольку с является	делителем	Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было делителем числа ; число было	делителем	числа ? .
число 10 является	делителем	произведения 47-(1310 - 490 ) .
Докажи , что любое число является	делителем	самого себя .
Какое число является	делителем	всех чисел ? .
При этом число с называется частным от деления а на b , число а — кратным Ь , а число Ь -	делителем	а .
Докажи , что число 782 является	делителем	числа 43 792 .
Каждый элемент множества является	делителем	числа .
Какое число является	делителем	любого числа ? . .
Докажи , что число 102 060 кратно 18 , а число 45 является	делителем	числа 31 905 .
Число 5 является	делителем	суммы 98 775 + 6350 .
Например , каждое из чисел 7 , 11 и 13 является	делителем	"числа 1001 - в этом можно убедиться , проведя деление "" столбиком "" ."
Продолжая перебирать простые числа , находим	делители	7 и 11 числа 77 .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все	делители	Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает , что числа х и у - это парные	делители	252 : при делении 252 на х получается у , и наоборот .
Некоторые	делители	числа 28 - нечетные числа .
Следовательно , достаточно рассмотреть лишь парные	делители	числа 252 , причем для случая , когда у > 6 ( так как по условию у - 6 е И ) .
Число имеет составные	делители	.
Существуют двузначные	делители	числа .
Запиши множество делителей числа 56 , располагая	делители	в порядке возрастания .
Однако у некоторых чисел могут быть и другие общие	делители	.
Все	делители	числа - четные числа .
Например , числа 24 и 16 имеют , помимо 1 , общие	делители	2 , 4 и 8 .
Большего общего делителя этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые	делители	различны .
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно найти , перебирая	делители	меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Всякое составное число имеет составные	делители	, не равные ему .
Пользуясь результатами предыдущего задания , найди все общие	делители	для указанных чисел .
Найдем , например , общие	делители	чисел 1354 и 1357 .
Какие	делители	произведения 3 - 25 - 62 ты можешь назвать ? .
Некоторые	делители	числа 18 являются также делителями числа 15 .
Чтобы найти НОД нескольких чисел , надо взять их общие простые	делители	с наименьшими показателями , например .
Как найти все	делители	данного числа ?
Перечисли	делители	чисел : а • Ь ; а • а • Ь ; а - а - Ь • Ь .
Пользуясь свойством делимости разности на число , найди все общие	делители	чисел .
Чтобы найти НОК нескольких чисел , надо взять все их простые	делители	с наибольшими показателями , например .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый"	делитель	"числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Их наибольший общий	делитель	равен 1 : .
	Делитель	увеличить в 5 раз ; .
Мы уже знаем , что наибольший общий	делитель	можно найти , перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Если делимое увеличить в 3 раза , а	делитель	оставить без изменения , то частное .
Наибольший общий	делитель	.
Если делимое уменьшить в 2 раза , а	делитель	оставить без изменения , то частное .
Все натуральные числа имеют хотя бы один общий	делитель	- число 1 .
Если делимое и	делитель	разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то частное .
""" Каждый"	делитель	"числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и	делитель	с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Как найти неизвестный множитель , делимое ,	делитель	?
Найди наибольший общий	делитель	чисел методом перебора .
Подчеркни их наибольший общий	делитель	.
Наибольший общий	делитель	чисел а и Ь обозначается НОД ( а , Ъ ) .
Если	делитель	увеличить в 2 раза , а делимое оставить без изменений , то частное .
делимое увеличить в 8 раз , а	делитель	увеличить в 2 раза ; .
Найди их наибольший общий	делитель	.
Запиши множество делителей каждого числа и найди наибольший общий	делитель	.
Найди наибольший общий	делитель	данных чисел методом перебора .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ;	делитель	с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Найди наибольший общий	делитель	чисел , если .
Запиши множество делителей каждого числа и найди их наибольший общий	делитель	: 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Для этого нужно сократить ее на наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя .
Дробь сократима , если и только если наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя больше .
Отметим , что утверждение о том , что некоторое число является составным , по сути есть утверждение о существовании : число является составным , если оно имеет хотя бы один	делитель	, не равный ни ему самому , ни 1 .
число 1 ( имеет единственный	делитель	) ; .
Нам известно , что частное двух натуральных чисел равно дроби , у которой делимое - числитель , а	делитель	- знаменатель , например : .
Число 1 имеет единственный	делитель	.
Найди наибольший общий	делитель	чисел методом разложения на простые множители .
делимое уменьшить в т раз , а	делитель	увеличить в 8 раз ? .
делимое увеличить в п раз , а	делитель	уменьшить в 3 раза ; .
Укажи наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное для чисел , представленных в виде произведения .
делимое уменьшить в 9 раз , а	делитель	увеличить в 6 раз ; .
делимое увеличить в 7 раз , а	делитель	уменьшить в 5 раз ; .
Укажи наибольший общий	делитель	для чисел 2 - 7 - 11 и 7 - 13 .
По рисунку найди делимое ,	делитель	, частное и остаток .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ;	делитель	с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
делимое уменьшить в 6 раз , а	делитель	уменьшить в 2 раза ; .
1 -	делитель	а .
24 -	делитель	72 .
8 -	делитель	68 .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а	делитель	- с избытком ? .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и	делитель	с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а	делитель	- знаменатель дробной части .
15 -	делитель	3 .
Поэтому мы введем четыре имени : делимое обозначим буквой а ,	делитель	- буквой Ь , частное - буквой к , а четвертое число - буквой с .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и	делитель	разделить на одно и то же натуральное число .
Найди наибольший общий	делитель	чисел наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
Следовательно , данные числа имеют только один общий	делитель	- число 1 .
Так же поступают и в случае , когда делимое или	делитель	являются натуральными числами .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а	делитель	- с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Число 3 -	делитель	произведения 17 • 9021 • 40 .
Может ли у числа быть ровно 1	делитель	, 2 делителя , 3 делителя , больше трех делителей ? .
Объясни , как найти неизвестный множитель , делимое ,	делитель	.
Другими словами , сначала делимое и	делитель	можно разделить на 5 , а потом на 7 .
Так , для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить , что и делимое , и	делитель	содержат общий множитель 5 .
Может ли	делитель	числа быть больше самого этого числа ?
Каждый	делитель	числа 10 является делителем числа 12 .
Найдем , например , наибольший общий	делитель	чисел 1968 и 2520 .
Найди в учебнике определения следующих понятий :	делитель	; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Разложи	делитель	на простые множители и объясни , как можно выполнить деление по частям .
Может ли у числа быть ровно 1 делитель , 2	делителя	, 3 делителя , больше трех делителей ? .
Любое число из множества { 19 , 20 , 21 } имеет ровно два	делителя	.
Натуральные числа , которые имеют ровно два различных	делителя	, называются простыми .
Натуральные числа , которые имеют ровно два различных	делителя	- само себя и 1 , - называются простыми .
Как изменяется частное двух чисел при изменении делимого и	делителя	?
Составным является , например , число 6 : оно имеет 4	делителя	- 1 , 2 , 3 и 6 .
простые числа ( имеют в точности 2	делителя	) ; .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и	делителя	на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Можно найти два натуральных	делителя	числа 7 .
Большего общего	делителя	этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые делители различны .
Может ли у числа быть ровно 1 делитель , 2 делителя , 3	делителя	, больше трех делителей ? .
Как мы видели , для получения , делимого можно выписать вместе разложения на простые множители	делителя	и частного .
Для натуральных чисел делимое никогда не бывает меньше	делителя	и частного .
"Сформулируй разными способами определение """	делителя	""" и запиши его с помощью знака равносильности и символа 3 ."
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется произведению	делителя	и частного .
Образец ответа : 0(10 ) = { 1 , 2 , 5 , 10 } , 4	делителя	.
Значит , для получения частного можно , наоборот , из простых множителей делимого вычеркнуть простые множители	делителя	, например , и поэтому 183456 : 234 = 2 - 2 - 2 - 2 - 7 - 7 .
чисел , являющихся	делителями	24 ; делителей 8 или 12 ; .
Запиши другие равенства , устанавливающие соотношение между этими	делителями	и их кратным : 12 - 6 = 72 ; 2)32:4 = 8 .
Среди чисел а , b , с и ( 1 найди , не вычисляя , числа ,	делителями	которых являются 2 , 5 , 10 .
Выбери из чисел 5 , 7 , 21 , 25 , 28 , 35 , 42 , 56 , 75 , 80 те , которые : кратны 5 ; являются	делителями	100 ; кратны 4 и 7 .
Выпиши все двузначные числа , являющиеся	делителями	числа а , если а = 2 • 3 • 3 • 3 • 11 .
кратными 8 ; кратными 5 и	делителями	60 .
	Делителями	36 ; делителями 24 и кратными 3 ; .
делителями 36 ;	делителями	24 и кратными 3 ; .
Числа 5 и 9 являются	делителями	числа 18 181 818 .
Некоторые натуральные числа являются	делителями	числа 36 .
Если одно из двух чисел делится на 3 , то и их произведение	делится	на 3 .
Если одно из чисел делится на 4 , а другое нет , то их сумма не	делится	на 4 .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не	делится	на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
Если произведение двух чисел	делится	на данное число , то и каждый множитель делится на это число .
Если число	делится	на два других числа , то оно делится и на их произведение .
Если число делится на произведение двух чисел , то оно	делится	и на каждое из этих чисел .
делится на 3 и на 5 , но не	делится	на 10 ; .
Если число	делится	на произведение двух чисел , то оно делится и на каждое из этих чисел .
	Делится	на 9 и на 10 , но не делится на 25 ; .
Если число делится на два других числа , то оно	делится	и на их произведение .
Если одно из двух чисел	делится	на 3 , то и их произведение делится на 3 .
""" Число х оканчивается на 7 "" и "" Число х"	делится	"на 7 "" ."
делится на 9 и на 10 , но не	делится	на 25 ; .
""" Сумма чисел а и к"	делится	"на с "" и "" Одно из чисел а и к делится на с "" ."
4500 + 25	делится	на 5 ; 888 888 - 19 • 320 делится на 8 .
4500 + 25 делится на 5 ; 888 888 - 19 • 320	делится	на 8 .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь	делится	на с — в частном получается число к + I. Точно так же доказывается , что разность а - Ь делится на с .
30 • 1 = 30 , число 30 не	делится	на 12 , значит , 30 не является НОК ( 12 , 30 ) ; .
Если произведение двух чисел делится на данное число , то и каждый множитель	делится	на это число .
Докажи , что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа , разность которых	делится	на .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь делится на с — в частном получается число к + I. Точно так же доказывается , что разность а - Ь	делится	на с .
""" Число а делится на к "" и "" Число к"	делится	"на а "" ."
Если каждое из двух чисел	делится	на 8 , то и их сумма делится на 8 .
Число с	делится	на 3 , но не делится на 2 .
Если каждое из двух чисел делится на 8 , то и их сумма	делится	на 8 .
""" Число а"	делится	"на к "" и "" Число к делится на а "" ."
"Равносильны ли утверждения : "" Число а делится на 3 "" и "" Число а"	делится	"на 9 "" ? ."
	Делится	на 3 и на 5 , но не делится на 10 ; .
В полученном произведении множитель b	делится	на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
Не вычисляя произведения , установи ,	делится	ли оно на данное число .
Она равна 21 и не	делится	на 9 .
Любое натуральное число	делится	на себя и на единицу .
Число а	делится	на число Ь. Найди НОД ( а , Ь ) .
Число к делится на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к	делится	на 3 .
Докажи , что сумма кратна ; не делится ;	делится	; не кратна .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном числе к , что оно	делится	на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр делится на 3 .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном числе к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр	делится	на 3 .
Докажи , что сумма кратна ; не	делится	; делится ; не кратна .
Однако с не равно 3 , так как 1354 не	делится	на 3 .
Ясно , что 999	делится	на 3 , значит : .
, то есть 6851 • 999	делится	на 3 - частное равно 6851 • 333 .
Пусть оба эти числа делятся на с. Тогда их разность , равная 3 , также	делится	на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , то и произведение данных чисел делится на это число .
Число с делится на 2 , но не	делится	на 3 .
Следовательно , число 8535 тоже не	делится	на 9 .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
Одно из чисел а и Ъ , по условию ,	делится	па с. Пусть , например , Ь делится на с. Это означает , что существует к такое , что Ь = ск .
Число к	делится	на 3 < = > Сумма цифр числа к делится на 3 .
Число к делится на 3 < = > Сумма цифр числа к	делится	на 3 .
Одно из чисел а и Ъ , по условию , делится па с. Пусть , например , Ь	делится	на с. Это означает , что существует к такое , что Ь = ск .
то есть аЬ	делится	на с - в частном получается число ак .
Если первое число	делится	на второе , а второе делится на третье , то и первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе	делится	на третье , то и первое число делится на третье .
Докажи , что сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то и первое число	делится	на третье .
Число а делится на 9 О Сумма цифр числа а	делится	на 9 .
Число а делится на 3 < = > Сумма цифр числа а	делится	на 3 .
Обозначим первое , второе и третье числа буквами а , b и с. По условию а	делится	на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое натуральное число .
""" Число х"	делится	"на 2 "" и "" Число х оканчивается на 2 "" ."
В полученном произведении множитель b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с	делится	и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то и произведение данных чисел	делится	на это число .
	Делится	на 2 и на 9 , но не делится на 5 ; .
Если число делится на 9 , то оно	делится	на 3 .
"Равносильны ли утверждения : "" Число а"	делится	"на 3 "" и "" Число а делится на 9 "" ? ."
Мы знаем , что , например , число 27	делится	на 3 .
Всякое натуральное число , оканчивающееся на 5 ,	делится	на 5 .
С другой стороны , 27 не	делится	на 4 , потому что нельзя подобрать такой сомножитель с , чтобы выполнялось равенство 4с = 27 .
Число 8 069 424	делится	на 527 .
Если числитель неправильной дроби	делится	на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Число а	делится	на число Ъ , если существует такое число с , что выполняется равенство а = Ьс .
Числитель дроби делится , а знаменатель не	делится	.
Предположим , что сумма а + b	делится	на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Числитель дроби	делится	, а знаменатель не делится .
Число а	делится	на 9 О Сумма цифр числа а делится на 9 .
Число с	делится	на 6 .
Число с не	делится	ни на 2 , ни на 3 .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также	делится	на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не	делится	на с .
Число с делится на 3 , но не	делится	на 2 .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел"	делится	"на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже делится на к "" ."
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и	делится	, и не делится на с .
Если одно из чисел	делится	на 6 , а другое нет , то их разность не делится на 6 .
Если одно из чисел делится на 6 , а другое нет , то их разность не	делится	на 6 .
Если одно из чисел	делится	на 4 , а другое нет , то их сумма не делится на 4 .
Если одно из двух чисел делится на 5 , то и их произведение	делится	на 5 .
Если одно из двух чисел	делится	на 5 , то и их произведение делится на 5 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель	делится	, а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : "" Число делится на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр"	делится	"на 9 "" ."
Если каждое из двух чисел делится на 3 , то и их сумма	делится	на 3 .
Если каждое из двух чисел	делится	на 3 , то и их сумма делится на 3 .
При каких натуральных п число 8 / г + 3	делится	на 13 ? . .
Число с	делится	на 2 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель	делится	, а знаменатель не делится ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не	делится	? .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел делится на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже"	делится	"на к "" ."
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не	делится	, несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
А дело в том , что мы предположили , что сумма а + b	делится	на с. Это и привело нас к противоречию .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : "" Число"	делится	"на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 9 "" ."
9393 + 93 • 93 - 186 = 93 - 101 + 93 - 93 - 93 - 2 = 93 • ( 101 + 93 - 2 ) , так что и 9393 + 93 • 93 - 186	делится	на 93 .
Число с	делится	на 2 , но не делится на 3 .
""" Произведение ад"	делится	"на с "" и "" Одно из чисел а и Ь делится на с ."
Следовательно , сделанное нами предположение неверно , и на самом деле сумма а + b не	делится	на с. Но именно это мы и должны были доказать .
Существует дробь , знаменатель которой	делится	, но которую можно представить в виде десятичной .
Если число	делится	на 9 , то оно делится на 3 .
Их общим знаменателем может служить произведение - оно	делится	. .
не	делится	ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 9 .
разность 16x1/-72	делится	на 8 ; .
Так как b , по условию ,	делится	на с , то b = с1 .
Если каждое слагаемое	делится	на 7 , то и сумма делится на 7 .
сумма ЗаЬс + 19а	делится	на а .
30 • 2 = 60 , число 60	делится	на 12 , значит , НОК ( 12 , 30 ) = 60 .
делится на 2 и на 9 , но не	делится	на 5 ; .
""" Сумма чисел а и к делится на с "" и "" Одно из чисел а и к"	делится	"на с "" ."
Число с	делится	на 2 и на 3 .
Всякое натуральное число	делится	само на себя и на 1 - это следует из равенства а = а • 1 .
Так , произведение 12 • 30 , равное 360 ,	делится	и на 12 , и на 30 .
Для доказательства обозначим первые два числа буквами а и b , а третье число - буквой с. Так как а , по условию ,	делится	на с , то а = ск .
Пусть , например , а делится на с , а & не	делится	на с .
312 делится на 5 ; 312 * делится на 9 ; 312	делится	на 25 .
312 делится на 5 ; 312 *	делится	на 9 ; 312 делится на 25 .
сумма 56 056 + 112	делится	на 56 ; .
""" Произведение ад делится на с "" и "" Одно из чисел а и Ь"	делится	на с .
разность 474 747 - 47 - 5	делится	на 47 ; .
Если каждое слагаемое делится на 7 , то и сумма	делится	на 7 .
312	делится	на 5 ; 312 * делится на 9 ; 312 делится на 25 .
Число с	делится	на 3 .
312 делится на 2 ; 312	делится	на 3 ; 312 делится на 4 ; .
Если число	делится	на 3 , то оно делится па 9 .
Если число делится на 3 , то оно	делится	па 9 .
Пусть , например , а	делится	на с , а & не делится на с .
312	делится	на 2 ; 312 делится на 3 ; 312 делится на 4 ; .
312 делится на 2 ; 312 делится на 3 ; 312	делится	на 4 ; .
Число 215 равно сумме двух слагаемых 190 + 25 , одно из которых	делится	на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
Число а	делится	на число Ъ. Чему равен НОК ( а , 6 ) ? .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к делится на 3 "" и "" Сумма цифр числа к"	делится	на 3 ” вовсе не означают одно и то же .
Действительно , сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не	делится	.
Здесь первое слагаемое делится на 5 , а второе не	делится	на 5 .
Действительно , сумма двух натуральных чисел не всегда	делится	на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
Сумма двух натуральных чисел	делится	на 3 .
Здесь первое слагаемое	делится	на 5 , а второе не делится на 5 .
Числа 999 , 99 и 9 делятся на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых	делится	на 3 .
Сумма двух натуральных чисел всегда	делится	на 3 .
Ясно , что и всякое число , оканчивающееся цифрой 5 ,	делится	на 5 .
Число а	делится	на 2 .
Число а	делится	на 5 .
Оба слагаемых делятся на 5 , и , по свойству 1 делимости суммы , их сумма 745	делится	на 5 .
Число а	делится	на 2 и па 5 .
Число а	делится	на 2 , но не делится на 5 .
Аналогично можно проиллюстрировать , что число	делится	на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается одной из цифр - 0 , 2 , 4 , 6 , 8 .
Если число а на число Ъ , и , если	делится	, найди частное .
Ясно , что и всякое число , оканчивающееся цифрой 0 ,	делится	на 5 .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число"	делится	"иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
Число а	делится	на 5 , но не делится на 2 .
Поэтому , по свойству 2 делимости произведения , 34 470	делится	на 5 .
Число а делится на 5 , но не	делится	на 2 .
Определи , делится ли число а на Ь , и , если	делится	, найди частное .
Определи ,	делится	ли число а на Ь , и , если делится , найди частное .
Число а не	делится	ни на 2 , ни на 5 .
48 - Ь делится на 8 ; 130 + 1 не	делится	на 13 .
Число 34 470 делится на 10 , а 10	делится	на 5 .
48 - Ь	делится	на 8 ; 130 + 1 не делится на 13 .
Любое натуральное число	делится	на 2 .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Разность между трехзначным числом и суммой его цифр всегда"	делится	"на 9 "" ."
"Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще : "" Число"	делится	"на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается четной цифрой "" ."
Если трехзначное число записано с помощью одной цифры , то оно	делится	ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника ?
Число а	делится	на 5 О Последняя цифра числа а равна 0 или 5 .
Число 21 на 3 делится , поэтому 8535 на 3 также	делится	.
Число а	делится	на 2 < = > Последняя цифра числа а - четная .
Действительно , 450	делится	на 45 , поэтому 45 и будет наибольшим общим делителем этих чисел .
Любое число , оканчивающееся цифрой 3 ,	делится	на 3 .
Число 830 760	делится	на 2 и на 5 .
Разность 3800 - 425 не	делится	на 5 .
Число 21 на 3	делится	, поэтому 8535 на 3 также делится .
В сумме 10а + Ь первое слагаемое	делится	на 10 , а значит , оно делится на 2 и на 5 .
В сумме 10а + Ь первое слагаемое делится на 10 , а значит , оно	делится	на 2 и на 5 .
"Эти примеры иллюстрируют признак делимости на 5 : "" Число"	делится	"на 5 в том и только в том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или 5 "" ."
Сумма двух натуральных чисел не всегда	делится	на 3 .
Число 532 718 не	делится	на 2 .
Разность 78 906 - 4612	делится	на 3 .
сумма 530 + 7100	делится	на 10 ; .
сумма 497 + 21 500 не	делится	на 10 ; .
По свойству 2 делимости суммы , сумма 5637 не	делится	на 5 .
Число к	делится	на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к делится на 3 .
произведение 39 • 820 • 713	делится	на 10 ; .
а + 25	делится	на 5 ; с - 14 не делится на 7 ; .
а + 25 делится на 5 ; с - 14 не	делится	на 7 ; .
Выпиши все числа , меньшие 100 , на которые	делится	число а .
Число а делится на 2 , но не	делится	на 5 .
Число 34 470	делится	на 10 , а 10 делится на 5 .
Число	делится	лишь на те простые числа , которые входят в его разложение на простые множители .
Разность 292 929 - 26	делится	на 29 .
Если число	делится	на 10 , то оно делится на 2 и на 5 .
Если число делится на 10 , то оно	делится	на 2 и на 5 .
Если число	делится	на 2 и на 5 , то оно делится на 10 .
Число а	делится	на 10 .
Если число делится на 2 и на 5 , то оно	делится	на 10 .
Следовательно , данная сумма	делится	на 3 ( без остатка ) , что и требовалось доказать .
При каких значениях переменной значение выражения	делится	на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
2100 - 16 не	делится	на 21 ; . .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к"	делится	"на 3 "" и "" Сумма цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же ."
Запиши три пары значений переменных х и у , при которых значение выражения 12х + 45г/ :	делится	на 2 ; .
36 + 72 делится на 36 ; 24 • 17 • 35 не	делится	на 6 ; .
Число а	делится	на 3 < = > Сумма цифр числа а делится на 3 .
Доказать , что сумма любых трех последовательных натуральных чисел	делится	на 3 .
"Напомним , что , когда мы говорим """	делится	"” , мы имеем в виду "" делится без остатка ” ."
"Напомним , что , когда мы говорим "" делится ” , мы имеем в виду """	делится	без остатка ” .
не	делится	на 5 ; .
	Делится	на 2 и на 5 ; .
Мы должны доказать , что сумма этих трех чисел , то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) ,	делится	на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
не	делится	ни на 2 , ни на 5 .
Число 807 534	делится	на 2 и на 9 .
36 + 72	делится	на 36 ; 24 • 17 • 35 не делится на 6 ; .
Так , число 11 550	делится	на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое число 13 .
Если число делится на 2 , то оно	делится	на 10 .
Но это равенство неверно , так как	делится	, а не делится .
Если число	делится	на 2 , то оно делится на 10 .
Если число	делится	на 10 , то оно делится на 5 .
В то же время число 11 550 не	делится	"на 4 = 2 - 2 , так как в разложении числа 4 есть "" лишняя "" двойка ."
Если число	делится	на число п , то НОД ( т , и ) = т .
Число а	делится	на 10 Последняя цифра числа а равна 0 .
Например , число 11 550	делится	на 75 = 3 • 5 • 5 , поскольку 11 550 = ( 3 • 5 • 5 ) • 2 • 7 • 11 .
Натуральное число а	делится	на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
"Таким образом , признак делимости на 10 формулируется так : "" Число"	делится	на 10 в том и только в том случае , когда его последняя цифра равна 0 ” .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если число оканчивается на 0 , то оно делится на 10 , а если число оканчивается на любую другую цифру , то оно не	делится	на 10 .
Так , число 11 550 делится на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не	делится	на простое число 13 .
Число	делится	лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если число оканчивается на 0 , то оно	делится	на 10 , а если число оканчивается на любую другую цифру , то оно не делится на 10 .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр"	делится	"на 3 "" ."
Если число делится на 10 , то оно	делится	на 5 .
Если число делится на 5 , то оно	делится	на 10 .
Если число делится па 10 , то оно	делится	на 2 .
Но это равенство неверно , так как делится , а не	делится	.
Если число	делится	на 5 , то оно делится на 10 .
Для выяснения ,	делится	"ли одно число на другое , всегда можно провести деление известным нам способом - "" уголком "" ."
Если число	делится	па 10 , то оно делится на 2 .
Так , единицы расстояния , массы , площади , объема принято	делить	именно и т д частей , и известные “ приставки ” возникли от латинских слов десятый , сотый , тысячный .
Как можно	делить	произведение на число ?
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на многозначное число мы можем	делить	, как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
При этом , когда деление целой части закончится , продолжим	делить	последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном запятую .
И поскольку в различных практических задачах приходится	делить	на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Натуральные числа можно не только складывать и умножать , но и вычитать и	делить	.
Однако при делении смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а	делить	отдельно целую и дробную части , например : .
Итак , будем	делить	сначала целых , а затем последовательно десятых , сотых , тысячных .
Теперь заметим , что дальше	делить	не имеет смысла , так как мы округляем до сотых и трех цифр после запятой нам достаточно .
Число , делящееся на 12 , может не	делиться	на 8 .
Может ли такая сумма	делиться	на 19 ? .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель	делят	на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Дугой окружности называется каждая из частей , на которые	делят	окружность любые две ее точки .
Интересно также , что в спорте используется “ смешанная ” система измерения времени : минуты	делят	на , а секунды – на .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе	делят	на выражение в знаменателе . .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не	делятся	на это число .
Оба данные числа	делятся	на произведение 2 • 2 • 2 • 3 , равное 24 .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала	делятся	старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Пусть оба эти числа	делятся	на с. Тогда их разность , равная 3 , также делится на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Пользуясь свойствами и признаками делимости , установи , какие из приведенных выражений	делятся	: на 2 ; на З ; на 5 ; на 9 .
Если два числа делятся на некоторое число , то их сумма и разность тоже	делятся	на это число .
Если два числа	делятся	на некоторое число , то их сумма и разность тоже делятся на это число .
Какие из чисел : 1)3996 ; 2)24357 ; 3)187272 ; 4)594820 ; 5)111111111 ; 6 ) 1 234 567 890 -	делятся	на 3 ?
Несложно проверить , что числа 9393 и 186	делятся	на 93 , но тогда : .
Какие из чисел	делятся	, а какие не делятся на 5 .
Какие из чисел делятся , а какие не	делятся	на 5 .
	Делятся	на 9 ? .
Числа 999 , 99 и 9	делятся	на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых делится на 3 .
Денежные единицы большинства стран	делятся	на .
Все натуральные числа	делятся	на 7 : например , 14:7 = 2 .
Более того , проиллюстрировать его можно в точности так же : если мы в рассмотренном примере заметим , что числа 999 , 99 и 9	делятся	на 9 , то все будет зависеть от делимости на 9 суммы цифр числа 8535 .
Можно заметить , что оба числа	делятся	, и неравенство между ними не изменится , если оба разделить .
Все числа из множества { 273 , 343 , 1505 }	делятся	на 7 .
Какие из чисел 34 470 , 745 , 5637	делятся	на 5 ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не	делятся	, сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Оба слагаемых	делятся	на 5 , и , по свойству 1 делимости суммы , их сумма 745 делится на 5 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба	делятся	, сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа ,	делящиеся	на 2 , но не делящиеся на 5 , и все числа , делящиеся на 5 , но не делящиеся на 2 .
Два муравья одновременно поползли от	дерева	в противоположных направлениях .
Дровосек сегодня срубил на	дерева	больше , чем вчера , а завтра он собирается срубить меньше , чем сегодня .
"Слово """	дерево	""" является глаголом ."
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под	деревом	? . .
Часть голубей села на ветвях , а другая расположилась под	деревом	.
Стая голубей подлетела к высокому	дереву	.
	Деревьев	составило — числа деревьев , которые запланировано посадить .
На сколько яблоневых	деревьев	больше , чем вишневых ? .
Число яблонь составляет — всех деревьев этого сада , а число вишен составляет — всех	деревьев	.
Число яблонь составляет — всех	деревьев	этого сада , а число вишен составляет — всех деревьев .
деревьев составило — числа	деревьев	, которые запланировано посадить .
Две бригады , работая совместно , закончили посадку	деревьев	.
Сколько	деревьев	запланировано посадить на пришкольном участке ? .
Сколько	деревьев	было в парке первоначально ? .
В саду п	деревьев	.
В соответствии с экологическими нормами , необходимо провести плановую вырубку	деревьев	в городском парке так , чтобы после вырубки осталось деревьев .
В питомнике вырастили саженцев фруктовых	деревьев	.
Для этого сначала вырубили — всех	деревьев	, а потом - еще — того , что осталось .
Сколько	деревьев	он планирует срубить завтра , если вчера он срубил деревьев ? .
Сколько деревьев он планирует срубить завтра , если вчера он срубил	деревьев	? .
В соответствии с экологическими нормами , необходимо провести плановую вырубку деревьев в городском парке так , чтобы после вырубки осталось	деревьев	.
Все	деревья	имеют корни .
Чему равен знаменатель дроби , если ее	десятичная	запись содержит знаков после запятой ? .
Сколько знаков после запятой имеет	десятичная	дробь , если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
Таким образом ,	десятичная	запись числа указывает как его целую часть , так и числитель и знаменатель дробной части .
Действительно , предположим , что существует	десятичная	дробь , равная .
В истории было много разных способов для записи натуральных чисел , но в конце концов “ победила ” одна -	десятичная	позиционная система записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Как изменится	десятичная	дробь , если запятую переместить на знак вправо , на знак влево , на знак вправо , на знак влево ? .
Способ записи десятичных дробей является естественным продолжением известного нам	десятичного	позиционного способа записи чисел .
Так , на главных мировых валютных и сырьевых биржах , где определяется стоимость золота в валюте разных стран - американских долларах , английских фунтах стерлингов , евро и других , - а также стоимость валют относительно друг друга , измерения ведутся с точностью - до четвертого	десятичного	знака .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби каждую из этих дробей ? .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление	десятичной	дроби на натуральное число .
Из записи	десятичной	дроби вычеркнули ноль , стоящий после запятой .
Запиши это число в виде конечной	десятичной	дроби с точностью до сотых , число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных .
Заменить дробь —	десятичной	дробью с точностью до сотых .
Дробь , знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде	десятичной	дроби .
Сумма двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Любое натуральное число в	десятичной	позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр .
В записи	десятичной	дроби вычеркнули “ хвост ” - несколько последних цифр , отличных от нуля , стоящих после запятой .
Сколько различных десятичных дробей , имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи	десятичной	дроби не повторяются ) ?
Вырази в часах и запиши результат	десятичной	дробью .
Возможность представления любой	десятичной	дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными дробями все арифметические действия .
Существует дробь , знаменатель которой делится , но которую можно представить в виде	десятичной	.
Запиши ответ примера в виде конечной	десятичной	дроби и округли ее с точностью до десятых .
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
Дробь равна	десятичной	дроби .
Упрости запись числа , представленного в виде	десятичной	дроби .
Однако мы можем заменить дробь — по установленным выше правилам ближайшей конечной	десятичной	дробью с любой указанной точностью ( до десятых , сотых , тысячных и т д ) .
Запиши в виде	десятичной	дроби и прочитай числа .
Представь ответ в виде бесконечной	десятичной	периодической дроби , указав период .
Запиши в виде	десятичной	дроби и прочитай .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только , то эту дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Замени ее конечной	десятичной	дробью с точностью до тысячных .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения	десятичной	дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Таким образом , для дробей , имеющих знаменатели вида , можно пользоваться следующим алгоритмом	десятичной	записи .
Например , как записать в виде	десятичной	дробь ? .
Ответ запиши в виде	десятичной	дроби .
Так , в знаменателе дроби три нуля , и в ее	десятичной	записи три знака после запятой .
Выбери из дробей те , которые можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Из приведенных примеров видно , что в	десятичной	дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Дана дробь , которую можно представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Понятие	десятичной	дроби .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби : удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
Запиши число сначала в виде	десятичной	дроби тремя различными способами , а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами .
При этом целая часть	десятичной	дроби отделяется от дробной части запятой .
Заметим , что точнее было бы говорить не о десятичных дробях , а о	десятичной	записи дробей : это те же дроби , только со знаменателями вида иначе записанные .
По числу знаков , стоящих в записи	десятичной	дроби после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Всегда ли можно ли представить в виде конечной	десятичной	дроби другую дробь ? .
Докажи , что ответ примера нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Как нам уже известно , для записи натуральных чисел обычно пользуются	десятичной	позиционной системой записи чисел .
Разница лишь в том , что цифры младших разрядов не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет величины	десятичной	дроби .
А что произойдет в этих случаях с	десятичной	дробью ? .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби их сумму , разность , произведение , частное ? .
Вырази ее	десятичной	дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее диаметра .
Докажи , что данную дробь нельзя представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Поэтому , так же как и для натуральных чисел , ее можно назвать	десятичной	позиционной системой записи .
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Итак , в	десятичной	записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Каждый знак в записи	десятичной	дроби обозначает , сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится .
Докажи , что ответ примера можно представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби , то ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Это означает , в частности , что натуральное число также можно записать в виде	десятичной	дроби , и при этом бесконечным числом способов .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет	десятичной	дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Запиши	десятичной	дробью с точностью до сотых часть , которую вес нетто составляет от веса брутто .
Ответ представь в виде конечной	десятичной	дроби или докажи , что такое представление невозможно .
Даны две обыкновенные дроби , каждая из которых может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде	десятичной	дроби .
Это связано с тем , что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
С другой стороны , если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей , отличных , то эту дробь можно записать в виде конечной	десятичной	.
А как вообще по числителю и знаменателю дроби узнать , можно ли ее записать в виде конечной	десятичной	?
Вычисли и запиши ответ в виде периодической	десятичной	дроби .
Вычисли и представь ответ в виде конечной	десятичной	дроби с точностью до сотых .
Найди дроби , которые можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Можно ли представить дробь в виде конечной	десятичной	дроби ?
Объясняется это тем , что выбранная нами система записи натуральных чисел является	десятичной	.
Поэтому при умножении	десятичной	дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на разряд вправо .
Замени дробь конечной	десятичной	дробью с точностью до сотых .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	другую дробь ? .
В самом деле , пусть несократимая дробь равна некоторой	десятичной	дроби .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной	десятичной	дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	, то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только числа .
Следовательно , эта дробь - а стало быть , и частное - не может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Если же целая часть конечной	десятичной	дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь , и запиши ее в виде бесконечной	десятичной	дроби , указав период .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении	десятичной	дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при делении разряда влево .
Оно возникло из - за предположения о том , что дробь равна некоторой конечной	десятичной	дроби .
Запиши в виде	десятичной	дроби числа .
Из записи	десятичной	дроби вычеркнули цифру , стоящую после запятой .
Дробь записали в виде конечной	десятичной	дроби в первом случае с точностью , а во втором .
Действительно , если целая часть конечной	десятичной	дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде	десятичной	дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
А если знаков будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева	десятичной	дроби столько нулей , сколько требуется , - ведь от этого дробь не изменится .
Значит , это предположение неверно , то есть дробь — нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Запиши числа в	десятичной	системе счисления : .
И поскольку к	десятичной	дроби справа можно приписать любое число нулей , не изменяя ее , то эта закономерность продолжится и дальше .
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , может быть представлено в виде конечной	десятичной	дроби .
В то же время обратное утверждение “ всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной	десятичной	” неверно : в качестве контрпримера можно привести дробь .
Умножение и деление	десятичной	дроби .
Замени дробь конечной	десятичной	дробью с точностью до десятых , сотых , тысячных .
Запиши число “ целых десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами , а затем в виде	десятичной	дроби тремя различными способами .
И вообще , чтобы разделить	десятичную	дробь на натуральное число , можно .
В числе отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся	десятичную	дробь .
А так как в знаменателе несократимой дроби — содержится множитель , отличный от , то перевести эту дробь в конечную	десятичную	нельзя .
Из предыдущего пункта мы знаем , что не всякую обыкновенную дробь можно перевести в конечную	десятичную	.
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную	десятичную	дробь , и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби , указав период .
Докажи , что дробь нельзя перевести в конечную	десятичную	.
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну	десятичную	дробь всегда можно разделить на другую десятичную дробь . .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную	десятичную	дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Запиши любую конечную	десятичную	дробь по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби .
Теперь рассмотрим деление на	десятичную	дробь .
Какие из этих дробей можно перевести в конечную	десятичную	дробь ?
Любую	десятичную	дробь можно представить в виде обыкновенной .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды ,	десятичную	дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Полученное утверждение называют условием перевода обыкновенной дроби в конечную	десятичную	.
При этом дробь не изменится , но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым , а в этом случае , как мы только что видели , дробь можно перевести в конечную	десятичную	.
Запиши	десятичную	дробь и округли ее с точностью до сотых .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную	десятичную	дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Если число двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень числа , а тогда дробь переводится в конечную	десятичную	непосредственно .
Таким образом , чтобы разделить число на	десятичную	дробь , можно .
Итак , всякую конечную	десятичную	дробь можно записать в виде обыкновенной .
Приведи дробь к знаменателю вида и запиши соответствующую	десятичную	дробь .
Конечную	десятичную	дробь всегда можно записать в виде обыкновенной .
Почему данную дробь можно перевести в конечную	десятичную	?
Данный способ можно применить для деления на любую	десятичную	дробь .
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить на другую	десятичную	дробь . .
Поэтому любую	десятичную	дробь легко записать в виде обыкновенной дроби ( простой или смешанной ) , например : целая часть дробная часть .
Вычисли , записав	десятичные	дроби в виде обыкновенных .
Вместе с тем , для некоторых величин по традиции , идущей из древности , используют не	десятичные	, а другие соотношения .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные	десятичные	дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями .
Записывают и читают	десятичные	дроби так .
Данные	десятичные	дроби имеют различные целые части , причем .
Конечно ,	десятичные	дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби , выполнить действия , а затем снова вернуться к десятичным дробям .
Прочитай	десятичные	дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел .
Напротив ,	десятичные	дроби — это те же обыкновенные дроби , но со стандартным знаменателем вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Таким образом , читают	десятичные	дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа целых единиц ( даже если их “ ноль ” ) .
Благодаря этому	десятичные	дроби стали широко использоваться в науке и в повседневной жизни .
Таким образом ,	десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные системы записи чисел .
Запиши	десятичные	дроби .
Поскольку	десятичные	дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных дробей .
Такое название не означает , что	десятичные	дроби являются какими - то необыкновенными или сложными .
Запиши три	десятичные	дроби , удовлетворяющие неравенству .
Запиши в тетради две	десятичные	дроби по собственному выбору и сравни их .
Последовательно сдвигай запятую на одну цифру вправо и называй получившиеся	десятичные	дроби .
Прочитай	десятичные	дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей .
Сравни полученные	десятичные	дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
Для того чтобы записывать любые дроби в виде десятичных , в математике используют бесконечные	десятичные	дроби .
Конечно , десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби , выполнить действия , а затем снова вернуться к	десятичным	дробям .
Возможность представления любой десятичной дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с	десятичными	дробями все арифметические действия .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами	десятичными	дробями , поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название - обыкновенные дроби .
Доли величины выражены	десятичными	дробями .
Пользуясь	десятичными	дробями , вырази .
Преимущества работы с	десятичными	дробями ясно видны уже при сравнении дробей .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть	десятичными	дробями .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с	десятичными	дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями .
Именно поэтому мы и должны установить правила выполнения арифметических действий непосредственно с	десятичными	дробями , без перевода их в обыкновенные .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто	десятичными	дробями .
Вырази их	десятичными	дробями .
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если	десятичных	знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Вместе с тем , как мы говорили , основным назначением	десятичных	дробей является их использование для практических измерений .
Вместе с тем , используются и другие способы записи	десятичных	дробей .
Точно так же точка может ставиться при записи	десятичных	дробей на дисплее калькулятора или компьютера .
Система записи	десятичных	дробей устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
Заметим , что точнее было бы говорить не о	десятичных	дробях , а о десятичной записи дробей : это те же дроби , только со знаменателями вида иначе записанные .
Арифметика	десятичных	дробей .
Приведем несколько примеров сложения и вычитания	десятичных	дробей с помощью установленного алгоритма .
Умножение	десятичных	дробей .
Поэтому можно ожидать , что и для	десятичных	дробей правила умножения и деления не будут сложными .
Правила сложения	десятичных	дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Установим правило умножения конечных	десятичных	дробей , используя , как и ранее , переход к обыкновенным дробям .
Способ записи	десятичных	дробей является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи чисел .
Для того чтобы записывать любые дроби в виде	десятичных	, в математике используют бесконечные десятичные дроби .
Деление	десятичных	дробей .
Из двух	десятичных	дробей больше та дробь , у которой больше знаков после запятой .
Если целые части	десятичных	дробей различны , то больше та дробь , у которой больше целая часть .
Во всех рассмотренных выше	десятичных	дробях число знаков после запятой ( без учета нулей в конце ) является конечным .
В самом деле , после уравнивания числа	десятичных	знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых	десятичных	дробей .
Из полученного равенства видно , что сложение	десятичных	дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел .
Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для	десятичных	дробей .
Вырази в	десятичных	дробях и реши задачи .
Сколько различных	десятичных	дробей , имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной дроби не повторяются ) ?
Попробуем , однако , и при делении	десятичных	дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных	десятичных	дробей .
Вырази с помощью	десятичных	дробей , какую часть более крупных единиц измерения составляют .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из множества	десятичных	дробей по собственному выбору .
А вот с делением	десятичных	дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух	десятичных	дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Запиши числа в виде	десятичных	дробей и прочитай их .
Если целые части	десятичных	дробей одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой ( в направлении слева направо ) .
Полученные числа запиши в виде	десятичных	дробей .
Мы видим , что умножение данных	десятичных	дробей свелось к умножению натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Проверь справедливость записанных равенств для некоторых	десятичных	дробей , взяв значения букв по собственному выбору .
Какие из следующих дробей представимы в виде конечных	десятичных	.
Используем этот же принцип и для деления	десятичных	дробей .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику	десятичных	дробей от арифметики обыкновенных дробей .
И вообще , алгоритм умножения	десятичных	дробей можно записать так : .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм сложения ( вычитания )	десятичных	дробей .
Таблица разрядов	десятичных	дробей имеет следующий вид .
Повтори алгоритм сложения и вычитания	десятичных	дробей и реши примеры правильно . .
Изобретение	десятичных	дробей существенно повлияло не только на научную жизнь , но и на жизнь простых людей .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу	десятичных	знаков в данных дробях .
Сравнение	десятичных	дробей .
Умножение	десятичных	дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Таким образом , сравнение данных десятичных дробей свелось к сравнению их соответствующих	десятичных	разрядов .
Приходим к следующему правилу сравнения	десятичных	дробей .
Сумма двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных	десятичных	дробей .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение	десятичных	дробей , как и натуральных чисел .
Следует сказать , что невозможность при делении	десятичных	дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Таким образом , сравнение данных	десятичных	дробей свелось к сравнению их соответствующих десятичных разрядов .
Заметим , что сложение и вычитание	десятичных	дробей можно записать “ в столбик ” : .
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню ,	десятка	, единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х	десятках	10х единиц , да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у единиц .
Вырази число в	десятках	и округли полученное число десятков с точностью до единиц .
Вырази число в	десятках	тысяч и округли полученное число десятков тысяч с точностью до сотых .
Найди четыре различные цифры , которые могут стоять в разряде	десятков	у чисел , кратных 25 ? .
Пусть х - цифра	десятков	, а у - цифра единиц .
Обозначая цифру	десятков	двузначного числа буквой х , а цифру единиц - буквой у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Обозначь х цифру	десятков	, а у - цифру единиц двузначного числа .
Н айти это число , если х - цифра	десятков	, ау- цифра единиц этого числа .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число , в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда	десятков	тысяч отсутствуют .
Круглое число с одним нулем в конце записи состоит из	десятков	, поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до десятков .
Реши пример и округли полученный результат до	десятков	тысяч : округли число с заданной точностью .
Вырази число в десятках и округли полученное число	десятков	с точностью до единиц .
Период обращения по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до	десятков	, единиц , десятых .
Таким образом , с точностью до	десятков	.
Круглое число с одним нулем в конце записи состоит из десятков , поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до	десятков	.
Диаметр Юпитера с точностью до тысяч ,	десятков	тысяч .
Диаметр Земли с точностью до	десятков	, сотен , тысяч .
Запиши с помощью двойного неравенства нижнюю и верхнюю границу чисел с точностью : до	десятков	; до сотен ; до тысяч .
Вырази число в десятках тысяч и округли полученное число	десятков	тысяч с точностью до сотых .
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное число , выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить нуль между цифрами	десятков	и единиц , то получится число , в 9 раз большее исходного .
за квадратный метр , за квадратный метр , петли за штуку , шурупов за	десяток	, защелку и ручки за штуку .
По аналогии с игрой “ крестики - нолики ” найди строку , столбец или	диагональ	, сумма чисел в которых дает выигрышную сумму , указанную над таблицей . .
Выигрывает тот , кто первым заполнит “ крестиком ” или “ ноликом ” строку , столбец или	диагональ	.
Найди в таблице выигрышную строчку , столбец или	диагональ	( произведение чисел в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
Игра заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или	диагональ	, произведение чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
Выигрывает тот , кто первым заполнит строку , столбец или	диагональ	.
Межгалактическая экспедиция профессора Селезнева в результате проведенных ею измерений установила , что экваториальный	диаметр	Юпитера составляет примерно тыс км .
Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее	диаметр	составляет длины экватора .
Во сколько раз экваториальный	диаметр	Юпитера больше , чем экваториальный диаметр Земли , равный примерно тыс км ? .
Чему примерно равен	диаметр	Земли ? . .
Во сколько раз экваториальный диаметр Юпитера больше , чем экваториальный	диаметр	Земли , равный примерно тыс км ? .
Архимед установил , что частное от деления длины окружности на ее	диаметр	составляет примерно .
Какую примерно часть	диаметр	Земли составляет от диаметра Солнца ? .
Какую примерно часть диаметр Земли составляет от	диаметра	Солнца ? .
Приближенное значение	диаметра	Земли равно , а диаметра Солнца .
Приближенное значение диаметра Земли равно , а	диаметра	Солнца .
Великий древнегреческий ученый Архимед установил , что длина окружности примерно больше ее	диаметра	.
Длина	диаметра	окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее	диаметра	.
Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность ,	диаметром	которой является его гипотенуза .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее	диаметру	есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение длины окружности к ее	диаметру	.
Все	диаметры	окружности имеют одну и ту же длину .
Периметр всякого прямоугольника равен сумме	длин	его сторон .
Вычисли сумму	длин	всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см .
Длина третьего полотенца составляет — суммы	длин	первых двух .
Вычисли сумму	длин	всех ребер , площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Длина стороны треугольника всегда меньше суммы	длин	двух других его сторон .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма	длин	всех ребер выражается простым числом ? .
Периметр прямоугольника равен сумме	длин	его сторон .
Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму	длин	ребер .
Найди сумму	длин	всех его ребер и площадь полной поверхности .
Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда , если сумма	длин	всех его ребер равна .
Периметр прямоугольника равен Ь м , а	длина	одной из его сторон с м .
На кольцевой дорожке длиной 360 м проводится эстафета ,	длина	каждого этапа которой 150 м .
Ширина прямоугольника — см , а его	длина	на — см больше .
Когда	длина	дороги достигла км , построенную часть дороги начали размечать .
Длина первого участка Ъ м , а	длина	второго участка на 5 м больше .
Чему равна	длина	второго отреза ? .
Ширина прямоугольника 7 дм , а	длина	- на 2 см больше .
Площадь прямоугольника равна 64 дм2 , а его	длина	в 4 раза больше ширины .
Ширина сарая ,	длина	- больше ширины , а высота - меньше длины .
Ширина прямоугольника а м , а	длина	- в 2 раза больше .
Великий древнегреческий ученый Архимед установил , что	длина	окружности примерно больше ее диаметра .
Чему равна	длина	воздушного пути от Москвы до полярной станции ? .
На сколько метров	длина	оставшейся части больше той , которую отрезали ? .
Чему равна	длина	дистанции ? .
Известно , что у первого прямоугольника	длина	на 4 м больше , а ширина на 2 м меньше , чем у второго прямоугольника .
Прямоугольный газон обнесен изгородью ,	длина	которой .
На сколько метров	длина	первого прямоугольника меньше , чем второго ?
Какая наибольшая	длина	ребра может быть у этого куба ? .
Обозначим ширину прямоугольника , выраженную в метрах , через х , тогда его	длина	равна ( х + 3 ) м , а площадь равна х(х + 3 ) м2 .
Чему равна	длина	изгороди , построенной вдоль границы этого участка ?
Чему равна	длина	всей веревки ? .
Чему равна	длина	этой дороги ? .
Чему равна	длина	дороги ? .
Прямоугольный участок земли обнесен забором ,	длина	которого .
Площадь садового участка , имеющего форму прямоугольника , равна 600 м2 , а его	длина	равна .
Используя циркуль и линейку , построй различные ромбы ,	длина	стороны каждого из которых равна .
Чему примерно равна	длина	беговой дорожки ипподрома , имеющей форму круга радиусом ? .
Существует ли куб ,	длина	ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Чему равна	длина	их маршрута ? .
Площадь баскетбольной площадки , имеющей прямоугольную форму , а м2 , а	длина	20 м .
Достаточно ли света в классе ,	длина	которого и ширина , если в классе имеется окна высотой и шириной ? .
Периметр прямоугольника равен 70 м , его	длина	больше ширины на 1 м .
У прямоугольника	длина	больше ширины .
Чему равна	длина	третьей стороны ? .
Длина первого прямоугольника 5 дм , а	длина	второго прямоугольника - 7 дм .
Периметр садового участка прямоугольной формы равен 98 м , причем его	длина	на 1 м больше ширины .
Площадь прямоугольника равна с м2 , а его	длина	Ь м .
Какую часть	длина	третьего полотенца составляет от длины второго ? .
Чему равна	длина	трассы ? .
Чему равна	длина	каждой части ? .
Бревно ,	длина	которого , распилили на равных частей .
Ширина прямоугольника равна , а	длина	составляет — ширины .
Чему равна	длина	третьего куска ?
Чему равна	длина	отрезков АМ , АК , ВМ и ВЯ ? .
Длина первой стороны составляет периметр , а	длина	второй стороны - длины первой .
Чему равна	длина	пути поезда , если станция , на которой жил пассажир , удалена от Москвы на расстояние всего пути ? .
Площадь прямоугольника равна 68 дм2 , а	длина	больше ширины на 13 дм .
Чему равна	длина	всей дистанции ?
Чему равна	длина	Таниного шага предполагая , что все ее шаги одинаковые ? .
Длина первого прямоугольника Ь м , а	длина	второго - на 14 м больше .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а	длина	каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок ,	длина	которого больше его ширины .
Чему равна	длина	ребра этого куба ? .
Ширина прямоугольного параллелепипеда ,	длина	- больше ширины , а высота - меньше длины .
Таня подсчитала , что по	длине	комнаты умещается ее шагов .
Сравни по	длине	проведенный отрезок и гипотенузу .
Ткань во время стирки садится на часть по	длине	и на часть по ширине .
Сколько человек можно разместить за этим столом , если на каждого человека по	длине	и ширине стола должно приходиться не менее ? .
Если выложить все тетрадные листы один за другим , совмещая по	длине	, то чему будет равен периметр периметр полученного прямоугольника ?
Он имеет форму куба с	длиной	ребра 80 см. Бак надо покрасить снаружи и изнутри .
На кольцевой дорожке	длиной	360 м проводится эстафета , длина каждого этапа которой 150 м .
Как от куска ленты длиной две трети метра отрезать кусок	длиной	в полметра , не имея никаких принадлежностей для измерения ? .
Как от куска ленты	длиной	две трети метра отрезать кусок длиной в полметра , не имея никаких принадлежностей для измерения ? .
Сваю	длиной	забили в землю на глубину .
От веревки	длиной	8 — м отрезали 3 — м .
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда	длиной	40 см , шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Портной для пошива рубашек приобрел рулон одинаковой ткани , один рулон	длиной	, а другой - больше .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с	длиной	ребра 4 см .
Через сколько времени бригады закончат строительство тоннеля	длиной	? .
Турист наметил пройти маршрут	длиной	.
За сколько времени , работая вместе с той же производительностью , они покрасят забор	длиной	к метров ? .
Турист наметил маршрут	длиной	всего маршрута он проехал на лодке , прошел пешком .
Из проволоки	длиной	1 м 85 см надо сделать каркасную модель куба .
Пешеход прошел мост	длиной	.
От каната	длиной	отрезали .
Имеются палочки	длиной	, палочки длиной , палочек длиной , палочек длиной .
Турист предполагал пройти маршрут	длиной	60 км с некоторой скоростью .
Имеются куски проволоки	длиной	каждый .
Имеются палочки длиной , палочки длиной , палочек	длиной	, палочек длиной .
Имеются палочки длиной , палочки	длиной	, палочек длиной , палочек длиной .
Имеются палочки длиной , палочки длиной , палочек длиной , палочек	длиной	.
Веревку	длиной	58 м разрезали на 2 части , причем одна часть длиннее другой на 12 м .
Если	длину	этого участка увеличить на 2 м , а ширину уменьшить на 5 м , то площадь его уменьшится на 190 м2 .
Четырехугольник называется ромбом , если все его стороны имеют одинаковую	длину	.
Ширину прямоугольника увеличили , а	длину	- от первоначального значения .
Найди	длину	третьей стороны .
Ширина прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника , если его	длину	увеличить на 7 см ? .
Найди	длину	третьей стороны и вырази ее в метрах .
Найти	длину	стороны квадрата .
Найти	длину	и ширину этого прямоугольника .
Треугольник называется равносторонним , если все его стороны имеют одинаковую	длину	.
Измерь с помощью нитки	длину	окружности и найди отношение длины окружности к ее диаметру .
Садовый участок прямоугольной формы имеет	длину	, а ширину - меньше .
Измерь	длину	хорды .
Для этого	длину	увеличили , а ширину .
После того как	длину	увеличили , а ширину уменьшили , его площадь уменьшилась .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди	длину	ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Два пассажира метро , начавшие одновременно один спуск , другой – подъем по соседним эскалаторам , встретились через 40 с. Найти	длину	наружной части лестницы , если скорость ее движения 1 м / с и пассажиры не перемещались по эскалатору .
Какую	длину	имеет каждый кусок веревки ? . .
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м , а	длину	уменьшили на 5 м , получили квадрат .
Все диаметры окружности имеют одну и ту же	длину	.
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см. Найти	длину	стороны квадрата .
На сколько надо уменьшить	длину	прямоугольника , чтобы его площадь уменьшилась на 35 дм2 ?
Измерь	длину	и ширину тетради и вырази результат в дециметрах .
Треугольник называется равнобедренным , если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую	длину	.
При утверждении плана застройки	длину	участка увеличили , а ширину , в результате площадь участка увеличилась .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника ,	длины	сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Высота параллелепипеда составляет суммы его	длины	и ширины .
Длина первой стороны составляет периметр , а длина второй стороны -	длины	первой .
Длина аквариума , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда , равна , а ширина составляет —	длины	.
Какую часть	длины	аквариума составляет его высота ? .
Если же	длины	сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 20 дм , что составляет его	длины	.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет	длины	этого ребра .
Ширина поля равна , что составляет его	длины	.
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение	длины	окружности к ее диаметру .
Пользуясь таблицей , расскажи о соотношениях между единицами	длины	: .
Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь прямоугольников , у которых	длины	сторон выражаются натуральными числами .
Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет	длины	экватора .
Длина коробки равна , ширина составляет длины , а высота -	длины	.
Длина прямоугольника равна , а ширина составляет —	длины	.
Ширина прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а высота - меньше	длины	.
Длина основания прямоугольного параллелепипеда , а ширина меньше	длины	.
Найти периметр прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше	длины	.
Длина аквариума , ширина меньше , а высота меньше	длины	.
Длина одного из них равна , что составляет —	длины	второго .
Длина коробки равна , ширина составляет	длины	, а высота - длины .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у	длины	первой стороны , а третья - 25 % длины первой стороны .
Какую часть длина третьего полотенца составляет от	длины	второго ? .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а третья - 25 %	длины	первой стороны .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость	длины	окружности от ее диаметра .
Архимед установил , что отношение	длины	окружности к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Ширина прямоугольника на 9 см меньше	длины	, а площадь равна 90 см2 .
Площадь прямоугольника равна 240 дм2 , а ширина на 8 дм меньше	длины	.
Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника : где	длины	сторон прямоугольника , а его площадь .
Чему равны	длины	сторон этого четырехугольника ? . .
Длина параллелепипеда , а ширина меньше	длины	.
Длина диаметра окружности в два раза больше	длины	радиуса той же окружности .
Ширина поля , что составляет — его	длины	.
Длина шага Буратино равна , что составляет —	длины	шага Карабаса - Барабаса .
Отремонтировали км дороги , что составляет — всей	длины	.
Длина второго прямоугольника составляет —	длины	первого , а ширина - — ширины первого .
Ширина прямоугольного параллелепипеда меньше	длины	, а высота - больше ширины .
Какой	длины	надо взять кусок ткани , чтобы после стирки иметь 378 м2 , если до стирки ширина ее была 90 см ? .
В одном отрезе а м ткани , что составляет	длины	второго отреза .
Ширина прямоугольника , что меньше	длины	.
Ширина прямоугольника меньше	длины	, а периметр равен .
Ширина прямоугольника , что составляет его	длины	.
Ширина прямоугольника равна , что составляет его	длины	.
Найти периметр прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше	длины	, а площадь составляет 32 см2 .
Найди	длины	сторон газона , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а высота -	длины	.
Высота цифр на циферблате составляет — от	длины	минутной стрелки .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет	длины	, а высота - длины .
Ширина сарая , длина - больше ширины , а высота - меньше	длины	.
Найти	длины	сторон этого участка , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Она составляет —	длины	прямоугольника и его ширины .
Ответ :	длины	сторон участка равны 7 ми 10 м .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что	длины	сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Архимед установил , что частное от деления	длины	окружности на ее диаметр составляет примерно .
Какое из	доказательств	тебе понравилось больше ? .
Например , для	доказательства	"того , что в математическом кружке занимаются все мальчики из 5""А "" , достаточно фамилию каждого мальчика из классного журнала найти в списке участников кружка ."
Для	доказательства	"истинности утверждения "" Слово а1зо по - английски означает следовательно "" нужно посмотреть в другой , англо - русский словарь ."
Для	доказательства	утверждений , верных на бесконечных множествах , в математике часто используют введение специальных обозначений .
Для	доказательства	обозначим первые два числа буквами а и b , а третье число - буквой с. Так как а , по условию , делится на с , то а = ск .
В математике для	доказательства	истинности утверждений используют строгие математические методы , и нам еще предстоит этому научиться .
Достаточно ли для ее	доказательства	измерить стороны и углы нескольких параллелограммов ?
С некоторыми способами	доказательства	общих утверждений , которые были выработаны в процессе развития математики , мы познакомимся в следующем пункте .
Поэтому самый простой прием	доказательства	"состоит в том , что мы "" испытываем ” по очереди все элементы множества : перебираем их один за другим и для каждого проверяем наше утверждение ."
В то же время для	доказательства	истинности общего утверждения привести даже большое число примеров недостаточно .
Точно так же для	доказательства	утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников .
Отметим , что в	доказательстве	для обозначения частных а : с и b : с использованы две буквы , к и I. Разные имена потребовались потому , что эти частные различны .
О	доказательстве	общих утверждений .
Можно провести и общее	доказательство	.
Рассмотри их	доказательство	и объясни , на основании каких свойств чисел выполнены преобразования .
Например , на	доказательство	"утверждения "" Земля вращается вокруг Солнца "" ученым понадобилось не одно столетие ."
В отличие от житейской практики , в науке	доказательство	и опровержение некоторых утверждений - очень сложное дело .
Попробуй придумать	доказательство	своих гипотез для общего случая .
Правильно ли проведено	доказательство	утверждений ? .
На стр 75 приведено другое	доказательство	свойства 3 .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то числитель и знаменатель дроби можно	домножить	на недостающее число двоек .
Поэтому можно ожидать , что и для десятичных	дробей	правила умножения и деления не будут сложными .
Сумма двух данных обыкновенных	дробей	, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Из двух десятичных	дробей	больше та дробь , у которой больше знаков после запятой .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных	дробей	, как и натуральных чисел .
Система записи десятичных	дробей	устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и неправильных	дробей	.
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных	дробей	всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Умножение десятичных	дробей	.
Умножение десятичных	дробей	, как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Попробуем , однако , и при делении десятичных	дробей	воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Выдели из неправильных	дробей	, принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Это верно и для любых других	дробей	.
Выпиши из множества подмножество правильных	дробей	.
Запиши с помощью	дробей	, какие части фигур закрашены .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из множества десятичных	дробей	по собственному выбору .
И вообще , алгоритм умножения десятичных	дробей	можно записать так : .
Сумма двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных	дробей	.
Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных	дробей	.
С помощью	дробей	можно представить результат деления любого натурального числа на любое натуральное число , например .
Преобразование	дробей	.
Деление десятичных	дробей	.
Сумма двух данных обыкновенных	дробей	может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
Из ряда чисел выпиши те , которые могут быть общими знаменателями для указанных	дробей	.
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных	дробей	.
А вот с делением десятичных	дробей	дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Для приведения двух или нескольких	дробей	к общему знаменателю выбирают знаменатель , кратный всем знаменателям данных дробей .
Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают знаменатель , кратный всем знаменателям данных	дробей	.
При этом для простоты вычислений знаменатель лучше выбирать как можно меньший , а для этого нужно взять наименьшее общее кратное знаменателей всех получившихся	дробей	.
Например , для	дробей	вычисляем сначала НОК .
Выдели целую часть из	дробей	халвы , разложили поровну в коробки .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих	дробей	? .
Представь смешанные числа , принадлежащие множеству У , в виде неправильных	дробей	.
Произведение двух данных обыкновенных	дробей	, отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Дополнительными множителями для данных	дробей	будут соответственно частные .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных	дробей	; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения	дробей	, научились складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями .
Выдели целую часть из	дробей	.
Объясни равенство	дробей	сначала с помощью рисунка , а потом с помощью основного свойства дроби .
Выдели из неправильных	дробей	, принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Вспомни правило сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Какие возможны способы сокращения	дробей	?
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных	дробей	.
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных	дробей	нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных	дробей	от арифметики обыкновенных дробей .
Мы видим , что умножение данных десятичных	дробей	свелось к умножению натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Используем этот же принцип и для деления десятичных	дробей	.
Произведение двух данных обыкновенных	дробей	, отличных , может быть представлено в виде конечной десятичной дроби .
Установим правило умножения конечных десятичных	дробей	, используя , как и ранее , переход к обыкновенным дробям .
Вместе с тем , как мы говорили , основным назначением десятичных	дробей	является их использование для практических измерений .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных	дробей	.
Приведем несколько примеров сложения и вычитания десятичных	дробей	с помощью установленного алгоритма .
Для сложения таких	дробей	нужно сложить числители , а знаменатель оставить прежним .
Аналогично , но чуть сложнее записывается правило вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных	дробей	.
Что же касается	дробей	с разными знаменателями , то для их сложения или вычитания достаточно привести их к одному знаменателю .
Способ записи десятичных	дробей	является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи чисел .
Для сложения и вычитания	дробей	верны изученные ранее свойства этих действий .
Сформулируем на математическом языке общие правила сложения и вычитания	дробей	.
Таблица разрядов десятичных	дробей	имеет следующий вид .
Изобретение десятичных	дробей	существенно повлияло не только на научную жизнь , но и на жизнь простых людей .
Заметим , что общий знаменатель для данных	дробей	далеко не всегда является наименьшим .
Для	дробей	с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
Пользуясь свойствами сложения и вычитания	дробей	, вычисли наиболее удобным способом .
Среди	дробей	- неправильные дроби ; сократимые дроби ; несократимые дроби . .
Запиши для	дробей	в общем виде и докажи особые случаи сложения и вычитания с нулем .
Выполни сложение и вычитание	дробей	с натуральными числителями и знаменателями .
Запиши множество	дробей	, удаленных на числовом луче от дроби .
Сложение и вычитание	дробей	.
Арифметика	дробей	.
Выдели целую часть из неправильных	дробей	и расположи полученные смешанные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Какие из следующих	дробей	представимы в виде конечных десятичных .
Приходим к следующему правилу сравнения десятичных	дробей	.
Если целые части десятичных	дробей	различны , то больше та дробь , у которой больше целая часть .
Укажи наибольшую и наименьшую из	дробей	.
Все приведенные примеры обладают , однако , одной особенностью : в числителях	дробей	столько же цифр , сколько нулей в знаменателе .
Выбери из	дробей	те , которые можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Если целые части десятичных	дробей	одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой ( в направлении слева направо ) .
Используя общее правило сравнения	дробей	и правило “ весов ” , найди множество натуральных чисел а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Таким образом , для	дробей	, имеющих знаменатели вида , можно пользоваться следующим алгоритмом десятичной записи .
Какие из этих	дробей	являются правильными , а какие - неправильными ? .
Воспользуемся этим правилом для сравнения , например ,	дробей	.
Запиши каждую из полученных	дробей	в виде частного .
Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель исходных	дробей	– число .
Умножим обе части уравнения на число - наименьшее общее кратное всех знаменателей	дробей	, входящих в его запись .
Наименьшее общее кратное знаменателей данных	дробей	- число , и мы подсчитаем , чему равно .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями , содержащими сложение и вычитание	дробей	с разными знаменателями .
Например , в нашей “ многоэтажной ” дроби наименьшим общим знаменателем всех	дробей	, входящих в ее запись , является число .
Из примера выведи правило сложения	дробей	и сложи по этому правилу дроби .
Произведение двух	дробей	есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Целые части	дробей	одинаковы , а в первом из несовпавших разрядов - разряде стотысячных - в первой дроби стоит цифра , а во второй - цифра .
Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных	дробей	, взяв значения букв по собственному выбору .
Арифметика десятичных	дробей	.
Сохраняется ли это свойство для деления	дробей	? .
Вырази с помощью десятичных	дробей	, какую часть более крупных единиц измерения составляют .
Из полученного равенства видно , что сложение десятичных	дробей	почти не отличается от сложения натуральных чисел .
Какие из этих	дробей	не могут оказаться натуральными числами ? .
Запиши числа в виде десятичных	дробей	и прочитай их .
Представь в виде произведения двух	дробей	число .
Правила сложения десятичных	дробей	дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Выпиши множество	дробей	с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество	дробей	с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Какие из этих	дробей	можно перевести в конечную десятичную дробь ?
Заметим , что сложение и вычитание десятичных	дробей	можно записать “ в столбик ” : .
Полученные числа запиши в виде десятичных	дробей	.
Умножение	дробей	.
Правило умножения	дробей	позволяет также перемножать дробь и натуральное число .
Попробуй , используя данное определение и свойства действий с натуральными числами , самостоятельно доказать , что умножение	дробей	обладает переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих	дробей	, а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных	дробей	, а знаменатель - произведению их знаменателей .
Выдели из	дробей	целую часть .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения	дробей	.
Найди произведение	дробей	с натуральными числителями и знаменателями .
Таким образом , сравнение данных десятичных	дробей	свелось к сравнению их соответствующих десятичных разрядов .
Вычислим сумму , уравняв число знаков после запятой и переходя к сложению обыкновенных	дробей	.
Как , не выполняя сложения	дробей	с разными знаменателями , доказать истинность высказывания .
Из предложенных девяти	дробей	надо выбрать пару чисел , а затем сложить ее или вычесть - по знаку около таблицы .
Произведение двух взаимно обратных	дробей	может быть больше . .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных	дробей	или смешанных чисел .
Повтори алгоритм сложения и вычитания десятичных	дробей	и реши примеры правильно . .
Из двух взаимно обратных	дробей	одна обязательно является правильной , .
Пару таких	дробей	.
При делении смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило деления	дробей	.
При делении дроби на натуральное число , как и в случае умножения	дробей	, нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Приведи примеры	дробей	, которые можно привести к знаменателю , к знаменателю .
А деление на ноль для	дробей	, как и для натуральных чисел , не допускается .
А для	дробей	эти действия по трудности совершенно одинаковы .
Самое интересное и полезное для нас в полученном результате — это то , что деление	дробей	сводится к их умножению .
Сколько различных десятичных	дробей	, имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной дроби не повторяются ) ?
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило деления	дробей	.
Построим правило деления	дробей	.
Деление	дробей	.
Среди приведенных ниже	дробей	найди дроби , равные .
Запиши с помощью несократимых	дробей	части величин , выраженные в процентах .
Для деления	дробей	выполняются известные нам частные случаи деления .
Точно так же точка может ставиться при записи десятичных	дробей	на дисплее калькулятора или компьютера .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм сложения ( вычитания ) десятичных	дробей	.
Заметим , что точнее было бы говорить не о десятичных дробях , а о десятичной записи	дробей	: это те же дроби , только со знаменателями вида иначе записанные .
Запиши множество правильных дробей и множество неправильных	дробей	, которые можно составить из чисел .
Запиши множество правильных	дробей	и множество неправильных дробей , которые можно составить из чисел .
Действительно , для сравнения обыкновенных	дробей	приходится использовать разные “ хитрые ” приемы , производить громоздкие вычисления .
Запиши , пользуясь знаком равносильности , правило сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Вспомни правила сравнения	дробей	: с одинаковыми числителями ; с одинаковыми знаменателями .
Пусть А - множество правильных несократимых дробей со знаменателем , а В - множество правильных сократимых	дробей	с числителем .
Представь в виде дроби сумму или разность двух	дробей	, если значения всех переменных - натуральные числа .
Действительно , если при таком “ перекрестном ” умножении числителей и знаменателей полученные произведения оказались равными , то это означает , что ни одна из	дробей	не больше и не меньше другой , а значит , дроби равны .
Сумма двух правильных	дробей	может быть неправильной дробью .
Общее правило сравнения	дробей	очень удобно , так как для его применения достаточно лишь перемножить и сравнить натуральные числа .
В Европе этот способ записи	дробей	заново изобрел более столетия спустя голландский ученый Симон Стевин .
Но кто рискнет с его помощью сравнить	дробей	, рассмотренных выше ?
Из полученного общего правила сравнения	дробей	следует важное условие равенства дробей .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых	дробей	только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть десятичными дробями .
Из полученного общего правила сравнения дробей следует важное условие равенства	дробей	.
Похожая история произошла и с записью	дробей	.
Итак , мы видим , что третье правило решения задач на дроби сохраняется , но теперь дробь , полученную в результате , мы можем упростить по изученным правилам преобразования	дробей	.
Целые части обеих	дробей	одинаковы .
Из двух	дробей	с одинаковыми числителями меньше та дробь , у которой знаменатель больше .
Пусть А - множество правильных несократимых	дробей	со знаменателем , а В - множество правильных сократимых дробей с числителем .
Вместе с тем , используются и другие способы записи десятичных	дробей	.
Сравнение	дробей	.
Сформулируем теперь общее правило сравнения , пригодное для любых	дробей	с натуральными числителями и знаменателями .
Какие из	дробей	можно привести к знаменателю .
Сравнение десятичных	дробей	.
Около шести столетий назад , в XV веке , знаменитый ученый Средневековья аль - Каши из города Самарканда изобрел способ записи	дробей	, который позволил резко уменьшить сложность вычислений .
Преимущества работы с десятичными дробями ясно видны уже при сравнении	дробей	.
Тогда для сравнения данных	дробей	достаточно сравнить натуральные числа .
Но равносильно по правилу сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Два правила сравнения	дробей	известны нам из начальной школы .
Определи , какая из	дробей	ближе к единице , и сравни их .
правильных	дробей	со знаменателем 4 .
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой числитель меньше .
Запиши , пользуясь знаком равносильности , правило сравнения	дробей	с одинаковыми числителями .
Представь дробь — в виде суммы , разности , произведения , частного двух	дробей	.
К числителю и знаменателю сократимой	дроби	прибавили .
Значит , при делении	дроби	на натуральное число можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Например , при делении по этому правилу	дроби	— ответ получается почти сразу .
При делении смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные	дроби	, а затем применить общее правило деления дробей .
Можно ли представить дробь в виде конечной десятичной	дроби	?
Представь в виде	дроби	.
Последовательно сдвигай запятую на одну цифру вправо и называй получившиеся десятичные	дроби	.
Затем последовательно сдвигай запятую на одну цифру влево и называй , какие	дроби	при этом получаются .
Расположи	дроби	в порядке возрастания .
Запиши в возрастающем порядке три	дроби	: с одинаковыми числителями ; с одинаковыми знаменателями .
В завершение заметим , что если дробь — является обратной для	дроби	, то дробь , очевидно , является обратной для дроби .
В завершение заметим , что если дробь — является обратной для дроби , то дробь , очевидно , является обратной для	дроби	.
Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь , если знаменатель ее записи в виде обыкновенной	дроби	равен ? .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные	дроби	и называть их для краткости просто десятичными дробями .
Дробь , обратная неправильной	дроби	, является правильной .
Дробь , обратная правильной	дроби	, является неправильной .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , надо это число на знаменатель	дроби	и на числитель .
Расположи	дроби	в порядке убывания .
Десятичные	дроби	.
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь , и запиши ее в виде бесконечной десятичной	дроби	, указав период .
К числителю и знаменателю несократимой	дроби	прибавили .
Чему равен знаменатель	дроби	, если ее десятичная запись содержит знаков после запятой ? .
Представь в виде	дроби	сумму или разность двух дробей , если значения всех переменных - натуральные числа .
Прочитай десятичные	дроби	и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел .
Среди дробей - неправильные	дроби	; сократимые дроби ; несократимые дроби . .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , надо эту часть на числитель	дроби	и на знаменатель .
При делении	дроби	на натуральное число , как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Запиши частное в виде	дроби	и выдели из нее целую часть .
Рассмотрим теперь более сложные , комбинированные задачи на	дроби	.
Представь число в виде неправильной	дроби	.
Это связано с тем , что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения натуральных чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то	дроби	, также несократимы .
Выполни действия и сократи получившиеся	дроби	.
Дробь равна десятичной	дроби	.
Приведи к несократимому виду	дроби	.
Если знаменатель несократимой	дроби	имеет в качестве простых делителей только , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Сократи	дроби	.
Среди дробей - неправильные дроби ; сократимые дроби ; несократимые	дроби	. .
Найди три	дроби	, удовлетворяющие неравенству .
А так как в знаменателе несократимой	дроби	— содержится множитель , отличный от , то перевести эту дробь в конечную десятичную нельзя .
Отметим также , что для любой	дроби	— выполняются равенства .
Выбери	дроби	, у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число , кратное .
Для этого сначала заменим знак деления дробной чертой и применим основное свойство	дроби	.
Разница лишь в том , что цифры младших разрядов не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет величины десятичной	дроби	.
Принадлежит ли множеству натуральных чисел значение	дроби	.
Подбери недостающие натуральные числа так , чтобы получились верные равенства , если известно , что	дроби	во всех равенствах правильные .
Приведи к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
Десятичные	дроби	округляют по тем же правилам .
Задачи на	дроби	( продолжение ) .
На контрольной работе Саша выделил целую часть из	дроби	и получил .
Для того чтобы записывать любые дроби в виде десятичных , в математике используют бесконечные десятичные	дроби	.
Некоторые правильные дроби имеют знаменатель 8 : например , знаменатель	дроби	равен 8 .
Часто при решении задач на	дроби	введение буквенных обозначений позволяет упростить поиск решения , сделать его более коротким .
Сколько различных десятичных дробей , имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной	дроби	не повторяются ) ?
Некоторые правильные	дроби	имеют знаменатель 8 : например , знаменатель дроби равен 8 .
Запиши и прочитай эти	дроби	.
Запиши десятичные	дроби	.
Упрости запись числа , представленного в виде десятичной	дроби	.
Есть ли в этих множествах равные	дроби	? .
Для того чтобы записывать любые	дроби	в виде десятичных , в математике используют бесконечные десятичные дроби .
Разделим числитель данной	дроби	на знаменатель .
Возможность представления любой десятичной	дроби	в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными дробями все арифметические действия .
Среди приведенных ниже дробей найди	дроби	, равные .
Конечно , десятичные	дроби	не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби , выполнить действия , а затем снова вернуться к десятичным дробям .
Конечно , десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные	дроби	, выполнить действия , а затем снова вернуться к десятичным дробям .
Среди дробей - неправильные дроби ; сократимые	дроби	; несократимые дроби . .
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Выбери	дроби	, которые можно привести к знаменателю вида и выполни преобразования .
Итак , при решении составных задач на	дроби	, кроме основных правил , рассмотренных в предыдущих пунктах , на помощь могут прийти схемы , таблицы , числовые и буквенные выражения , уравнения .
Запиши в виде десятичной	дроби	и прочитай .
Числитель	дроби	делится , а знаменатель не делится .
Понятие десятичной	дроби	.
Целые части дробей одинаковы , а в первом из несовпавших разрядов - разряде стотысячных - в первой	дроби	стоит цифра , а во второй - цифра .
Запиши в тетради две десятичные	дроби	по собственному выбору и сравни их .
После умножения все	дроби	превращаются в натуральные числа , и теперь нам надо выяснить , что больше .
Записывают и читают десятичные	дроби	так .
Заметим , что точнее было бы говорить не о десятичных дробях , а о десятичной записи дробей : это те же	дроби	, только со знаменателями вида иначе записанные .
Дробь записали в виде конечной десятичной	дроби	в первом случае с точностью , а во втором .
Представь ответ в виде бесконечной десятичной периодической	дроби	, указав период .
Докажи , что ответ примера нельзя записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной	дроби	каждую из этих дробей ? .
Следовательно , если мы умножим и числитель , и знаменатель этой	дроби	, то оба они станут целыми , а дробь при этом не изменится .
Данные десятичные	дроби	имеют различные целые части , причем .
Например , в нашей “ многоэтажной ”	дроби	наименьшим общим знаменателем всех дробей , входящих в ее запись , является число .
По числу знаков , стоящих в записи десятичной	дроби	после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Запиши три десятичные	дроби	, удовлетворяющие неравенству .
Запиши в порядке убывания все возможные	дроби	с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ”	дроби	последним выполняется действие деления : выражение в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Сумма двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной десятичной	дроби	.
Таким образом , читают десятичные	дроби	так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа целых единиц ( даже если их “ ноль ” ) .
Числитель	дроби	больше ее знаменателя .
Уравнять , если необходимо , число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе , не меняя значения	дроби	.
При этом два действия - деление на числитель	дроби	, а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь .
Всегда ли можно ли представить в виде конечной десятичной	дроби	другую дробь ? .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на числитель	дроби	и умножить на ее знаменатель .
Выбери из дробей те , которые можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Из приведенных примеров видно , что в десятичной	дроби	после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это число разделить на знаменатель	дроби	и умножить на ее числитель .
Из приведенных примеров видно , что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной	дроби	.
Соответственно , выделяются три типа задач на	дроби	, со способами решения которых мы познакомились в начальной школе .
Задачи на	дроби	.
Например , частное можно записать в виде	дроби	.
Запиши смешанное число в виде неправильной	дроби	и сделай рисунок : .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Так , в знаменателе	дроби	три нуля , и в ее десятичной записи три знака после запятой .
Подобные преобразования можно выполнить для любой	дроби	.
При этом целая часть десятичной	дроби	отделяется от дробной части запятой .
Как изменится величина	дроби	, если к ее числителю прибавить знаменатель ?
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , может быть представлено в виде конечной десятичной	дроби	.
Выделить целую часть	дроби	и записать ее ( если она есть ) .
Числитель и знаменатель	дроби	отличаются .
При этом два действия - деление на знаменатель	дроби	, а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь .
Запиши в виде десятичной	дроби	числа .
Такое обозначение действия деления с помощью черты	дроби	часто оказывается очень удобным , и его принято использовать для записи более сложных выражений .
Итак , мы видим , что третье правило решения задач на	дроби	сохраняется , но теперь дробь , полученную в результате , мы можем упростить по изученным правилам преобразования дробей .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной	дроби	на и т д. Действительно .
Это означает , в частности , что натуральное число также можно записать в виде десятичной	дроби	, и при этом бесконечным числом способов .
К числителю и знаменателю	дроби	— прибавили .
К числителю и знаменателю	дроби	прибавили .
Дана дробь , которую можно представить в виде конечной десятичной	дроби	.
Сократи	дроби	, если значения всех переменных - натуральные числа .
Найди наименьшее и наибольшее трехзначное число , при котором	дроби	, все несократимы .
Являются ли периодическими “	дроби	” , если сохранится закономерность их построения .
Десятичные же	дроби	легко сравнивать по разрядам .
Каждый знак в записи десятичной	дроби	обозначает , сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится .
Запиши число сначала в виде десятичной	дроби	тремя различными способами , а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами .
Итак , в десятичной записи	дроби	: значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Запиши число сначала в виде десятичной дроби тремя различными способами , а затем в виде обыкновенной	дроби	двумя различными способами .
Если возможно , сократи получившиеся	дроби	.
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и	дроби	рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Запиши ответ примера в виде конечной десятичной	дроби	и округли ее с точностью до десятых .
Запиши это число в виде конечной десятичной	дроби	с точностью до сотых , число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной	дроби	: удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной	дроби	, так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Запиши в виде десятичной	дроби	и прочитай числа .
Приведи	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
При этом черту	дроби	можно рассматривать как другое обозначение действия деления .
По числу знаков , стоящих в записи десятичной дроби после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель	дроби	.
Например , дробь имеет три знака после запятой , значит , знаменатель ее записи в виде обыкновенной	дроби	равен .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной	дроби	их сумму , разность , произведение , частное ? .
Запиши три	дроби	, равные .
Докажи , что данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной	дроби	.
Запиши ее в виде бесконечной периодической	дроби	, указав период , а затем округли с точностью до тысячных .
Докажи , что ответ примера можно представить в виде конечной десятичной	дроби	.
Запиши в порядке возрастания все возможные	дроби	с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Сравни	дроби	.
А введенные ранее , привычные	дроби	стали называть обыкновенными .
Ответ представь в виде конечной десятичной	дроби	или докажи , что такое представление невозможно .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее	дроби	со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть десятичными дробями .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Даны две обыкновенные	дроби	, каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
Вычисли , записав десятичные	дроби	в виде обыкновенных .
Ответ запиши в виде десятичной	дроби	.
Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной	дроби	( простой или смешанной ) , например : целая часть дробная часть .
Даны две обыкновенные дроби , каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной	дроби	.
Нам известно , что частное двух натуральных чисел равно	дроби	, у которой делимое - числитель , а делитель - знаменатель , например : .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление десятичной	дроби	на натуральное число .
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	, то ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Второе равенство позволяет упрощать	дроби	, например .
Такое преобразование называют сокращением	дроби	.
Каждую дробь можно единственным образом записать в виде несократимой	дроби	.
Найди , если известно , что	дроби	равны .
Выполни действия и сократи	дроби	, если значения всех переменных - натуральные числа .
Поэтому , разделив числитель и знаменатель	дроби	, мы получим равную ей несократимую дробь . .
Известно , что натуральные числа , причем	дроби	.
Как еще можно сравнить эти	дроби	? .
Оно возникло из - за предположения о том , что дробь равна некоторой конечной десятичной	дроби	.
Из чисел ряда составь две	дроби	и сравни их наиболее удобным способом .
Запиши	дроби	в порядке убывания .
Ира задумала число , прибавила его к числителю и знаменателю	дроби	, затем сократила полученную дробь и получила в результате .
Сравни с числом —	дроби	.
Можно также раскладывать числитель и знаменатель	дроби	на множители , причем не обязательно простые .
Таким образом , основное свойство	дроби	позволяет упрощать запись дроби .
Таким образом , основное свойство дроби позволяет упрощать запись	дроби	.
Например , чтобы сравнить	дроби	, можно числитель и знаменатель дроби — умножить на число .
Например , чтобы сравнить дроби , можно числитель и знаменатель	дроби	— умножить на число .
Замену	дроби	равной ей дробью с новым знаменателем называют приведением дроби к новому знаменателю .
Замену дроби равной ей дробью с новым знаменателем называют приведением	дроби	к новому знаменателю .
А число , на которое умножается числитель и знаменатель данной	дроби	, называют дополнительным множителем .
Значит , это предположение неверно , то есть дробь — нельзя записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Любую дробь можно привести к знаменателю , кратному знаменателю этой	дроби	.
На практике часто удобно не вычислять НОД числителя и знаменателя , а проводить сокращение	дроби	последовательно , например : ( сначала сократили , а потом ) .
Запиши число “ целых десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной	дроби	пятью различными способами , а затем в виде десятичной дроби тремя различными способами .
С его помощью можно преобразовывать	дроби	.
Мы получили утверждение , которое называют основным свойством	дроби	.
Действительно , если целая часть конечной десятичной	дроби	равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Из записи десятичной	дроби	вычеркнули ноль , стоящий после запятой .
Представь число в виде	дроби	.
Следовательно , эта дробь - а стало быть , и частное - не может быть представлена в виде конечной десятичной	дроби	.
Сократи	дроби	, а затем сравни их .
Из полученной неправильной	дроби	выдели целую часть и проиллюстрируй это преобразование с помощью числового луча .
Переведи смешанные числа в неправильные	дроби	и расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам . .
Из записи десятичной	дроби	вычеркнули цифру , стоящую после запятой .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной	дроби	без добавления “ ноль целых ” , например . .
Найди	дроби	, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Понятие	дроби	.
Основное свойство	дроби	.
Приведи к общему знаменателю	дроби	и найди их сумму .
Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
Обе	дроби	равны между собой , но при этом числитель и знаменатель второй дроби в раз превышает числитель и знаменатель первой дроби .
Обе дроби равны между собой , но при этом числитель и знаменатель второй	дроби	в раз превышает числитель и знаменатель первой дроби .
Запиши в порядке возрастания все возможные	дроби	с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Обе дроби равны между собой , но при этом числитель и знаменатель второй дроби в раз превышает числитель и знаменатель первой	дроби	.
Вычисли и запиши ответ в виде периодической десятичной	дроби	.
Две	дроби	с равными знаменателями равны .
Если же целая часть конечной десятичной	дроби	не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь .
Вычисли и представь ответ в виде конечной десятичной	дроби	с точностью до сотых .
Лев Толстой как - то заметил , что человек подобен	дроби	, числитель которой есть то , что человек представляет собой , а знаменатель - то , что он думает о себе .
С другой стороны , нам известно , что знак деления можно заменить чертой	дроби	.
А как вообще по числителю и знаменателю	дроби	узнать , можно ли ее записать в виде конечной десятичной ?
В записи десятичной	дроби	вычеркнули “ хвост ” - несколько последних цифр , отличных от нуля , стоящих после запятой .
Поэтому при умножении десятичной	дроби	запятая переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на разряд вправо .
Сравни	дроби	, приводя их к наименьшему общему числителю .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде десятичной	дроби	, которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
И поскольку к десятичной	дроби	справа можно приписать любое число нулей , не изменяя ее , то эта закономерность продолжится и дальше .
Докажи , что	дроби	несократимы .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то числитель и знаменатель	дроби	можно домножить на недостающее число двоек .
Очевидно , что первая дробь . Существует еще ряд “ хитрых ” приемов , с помощью которых можно просто сравнить две	дроби	.
Знаменатель	дроби	равен .
Может ли знаменатель этой	дроби	после сокращения стать равным семи ?
Запиши любую конечную десятичную дробь по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной	дроби	.
Еще проще было привести эти	дроби	к общему числителю .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться , чтобы данные	дроби	имели или один и тот же знаменатель , или один и тот же числитель .
В самом деле , пусть знаменатель д несократимой	дроби	не имеет простых делителей , отличных .
Сократи	дроби	, а затем приведи их к наименьшему общему знаменателю .
Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю .
Но как сравнить две	дроби	, у которых и знаменатели и числители различны ?
Легко сравнить и две	дроби	с одинаковыми числителями .
Полученное утверждение называют условием перевода обыкновенной	дроби	в конечную десятичную .
Они следуют из самого понятия	дроби	.
Умножение и деление десятичной	дроби	.
Прочитай десятичные	дроби	и запиши их в виде обыкновенных дробей .
Приведи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю .
Проще всего сравнивать	дроби	с одинаковыми знаменателями .
Как и натуральные числа ,	дроби	можно сравнивать друг с другом .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству	дроби	мы всегда можем добиться , чтобы данные дроби имели или один и тот же знаменатель , или один и тот же числитель .
Некоторые сократимые	дроби	равны .
Например , потому что первая дробь меньше , а вторая больше ; потому что первая дробь больше , а вторая меньше ; потому что все данные	дроби	меньше и отличаются от нее соответственно на .
С другой стороны , если в знаменателе несократимой	дроби	нет простых делителей , отличных , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	— на дополнительный множитель .
Расположи	дроби	с числителем 56 в порядке убывания и сопоставь их соответствующим буквам .
Вычисли и запиши дробь в виде бесконечной периодической	дроби	, указав период .
Приведи	дроби	к наименьшему общему знаменателю и расположи их : в порядке возрастания ; в порядке убывания .
Сравни	дроби	, приводя их к наименьшему общему знаменателю .
Так можно сравнить любые две смешанные	дроби	.
При этом даже не нужно переводить их в неправильные	дроби	, например .
Действительно , если при таком “ перекрестном ” умножении числителей и знаменателей полученные произведения оказались равными , то это означает , что ни одна из дробей не больше и не меньше другой , а значит ,	дроби	равны .
Тем самым мы привели три заданные	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Итак , чтобы привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой	дроби	; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой	дроби	на соответствующий дополнительный множитель .
Основное свойство	дроби	показывает , что всякое целое или дробное число можно записать в виде дроби бесконечным числом способов , например .
Основное свойство дроби показывает , что всякое целое или дробное число можно записать в виде	дроби	бесконечным числом способов , например .
Объясни равенство дробей сначала с помощью рисунка , а потом с помощью основного свойства	дроби	.
Раздели числитель и знаменатель каждой	дроби	.
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной	дроби	, запятая переносится соответственно разряда вправо , а при делении разряда влево .
Это можно выяснить тем же рассуждением , которое мы провели для	дроби	.
Сформулируй определение несократимой	дроби	.
В самом деле , по основному свойству	дроби	.
В самом деле , пусть несократимая дробь равна некоторой десятичной	дроби	.
А если знаков будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева десятичной	дроби	столько нулей , сколько требуется , - ведь от этого дробь не изменится .
Расположи	дроби	с числителем 92 в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам .
Иначе говоря ,	дроби	последовательно приближаются , и поэтому каждая следующая дробь больше предыдущей .
Все	дроби	большие сократимы .
Приведи	дроби	и расположи их : в порядке возрастания ; в порядке убывания .
Складывать и вычитать	дроби	с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе .
Из примера выведи правило сложения дробей и сложи по этому правилу	дроби	.
Запиши две какие - нибудь	дроби	с одинаковыми числителями и сравни их .
Запиши множество дробей , удаленных на числовом луче от	дроби	.
Запиши с помощью двойного неравенства множество чисел , удаленных на числовом луче от	дроби	меньше , чем на .
Могут ли быть сократимыми	дроби	? .
Докажи , что	дроби	принадлежат этому множеству .
Сравни полученные десятичные	дроби	с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей , научились складывать и вычитать	дроби	с одинаковыми знаменателями .
Если числитель	дроби	равен ее знаменателю .
Теперь выполним деление	дроби	на натуральное число по установленному выше правилу .
В числителе	дроби	стоит число , а в знаменателе - число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Сократимы ли	дроби	? .
Что получится , если в новом равенстве заменить знак деления на черту	дроби	?
Отметь полученные	дроби	на числовом луче .
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде десятичной	дроби	.
Напротив , десятичные дроби — это те же обыкновенные	дроби	, но со стандартным знаменателем вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно значению	дроби	.
Не выполняя преобразований , расположи	дроби	.
Приведи	дроби	к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных - натуральные числа ) .
Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы , во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые - дробные - числа , или	дроби	.
Что получится , если заменить в новом равенстве знак деления на черту	дроби	? .
Сократи	дроби	, а затем расположи их в порядке возрастания .
Такое название не означает , что десятичные	дроби	являются какими - то необыкновенными или сложными .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами десятичными дробями , поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название - обыкновенные	дроби	.
Если числитель неправильной	дроби	делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной	дроби	по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
В	дроби	( читается : “ эм на эн ” или “ эм энных ” ) число , находящееся над чертой , называется числителем , а число , находящееся под чертой , - знаменателем .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной	дроби	, можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Черту	дроби	можно понимать как знак деления .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами десятичными дробями , поэтому и	дроби	со знаменателем получили специальное название - обыкновенные дроби .
Десятичные и обыкновенные	дроби	.
Разложи числитель и знаменатель	дроби	на простые множители и сократи дробь .
Напротив , десятичные	дроби	— это те же обыкновенные дроби , но со стандартным знаменателем вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Сократи	дроби	, представляя степени в виде произведений ( значения всех переменных — натуральное число ) .
Благодаря этому десятичные	дроби	стали широко использоваться в науке и в повседневной жизни .
Сократи	дроби	. .
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти	дроби	перемножить - нам пока неизвестно .
Как сравнить	дроби	с помощью числового луча ? .
Что можно сказать о числителе	дроби	, если известно , что эта дробь : сократима ; несократима ? .
Но бывают	дроби	с бесконечным числом знаков после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все натуральные числа .
Запиши число “ целых десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами , а затем в виде десятичной	дроби	тремя различными способами .
Человечеству понадобилось придумать новые - дробные - числа , то есть придумать	дроби	.
Представь единицу в виде	дроби	со знаменателем .
Поскольку десятичные	дроби	— это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных дробей .
А это можно сделать на основании основного свойства	дроби	, например .
Найди дроби , которые можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
В ответе дробь обычно приводят к несократимому виду , а из неправильной	дроби	выделяют целую часть .
Запиши с помощью	дроби	.
Если числитель	дроби	меньше знаменателя , то дробь называют правильной , а если он больше или равен знаменателю , то дробь называют неправильной . .
Ясно , что вычитание возможно только в случае , когда числитель полученной	дроби	больше или равен нулю , то есть .
Теперь нам предстоит “ прожить ” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел - научиться сравнивать	дроби	между собой , совершать с ними арифметические действия , а главное - использовать эти числа при решении практических задач .
Таким образом , десятичные и обыкновенные	дроби	— это две различные системы записи чисел .
Происходит это потому , что точное значение частного равно несократимой	дроби	, в знаменателе которой есть простой множитель .
Что обозначают числитель и знаменатель	дроби	?
Прочитай	дроби	.
Пусть даны	дроби	.
Дробь , знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде десятичной	дроби	.
Натуральные числа и	дроби	.
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если	дробная	часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если	дробная	часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а	дробная	часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Если дробные части “ не вычитаются ” ( в уменьшаемом	дробная	часть меньше , чем в вычитаемом ) , то из целой части уменьшаемого можно “ занять ” единицу .
Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби ( простой или смешанной ) , например : целая часть	дробная	часть .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а	дробная	часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а	дробная	часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Может ли оказаться сократимой	дробная	часть полученного из нее смешанного числа ? .
Основное свойство дроби показывает , что всякое целое или	дробное	число можно записать в виде дроби бесконечным числом способов , например .
Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока -	дробное	число яблок , для математического обозначения которого вводится дробь .
Поставить запятую , отделяющую целую часть от	дробной	.
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше	дробной	части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
При этом целая часть десятичной дроби отделяется от	дробной	части запятой .
Записать числитель	дробной	части .
Таким образом , десятичная запись числа указывает как его целую часть , так и числитель и знаменатель	дробной	части .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель	дробной	части .
В нашем примере : знаменатель	дробной	части , целая часть , числитель дробной части .
В нашем примере : знаменатель дробной части , целая часть , числитель	дробной	части .
Для этого сначала заменим знак деления	дробной	чертой и применим основное свойство дроби .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель	дробной	части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Если после выполнения действий в конце	дробной	части появляются несколько нулей , то их , естественно , писать не надо .
А из	дробной	части суммы , если она окажется больше , выделяют целую часть .
Однако при делении смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и	дробную	части , например : .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить	дробную	часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Итак , при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и	дробную	части и полученные результаты сложить .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить	дробную	часть .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и	дробные	части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести	дробные	части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Федя стал перемножать смешанные числа “ по аналогии ” со сложением - отдельно перемножать их целые и	дробные	части .
Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы , во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые -	дробные	- числа , или дроби .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести	дробные	части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Человечеству понадобилось придумать новые -	дробные	- числа , то есть придумать дроби .
Если	дробные	части смешанных чисел имеют разные знаменатели , то их предварительно приводят к общему знаменателю .
Из начальной школы нам известно , что при сложении смешанных чисел можно сначала сложить целые части , а затем -	дробные	части .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и	дробные	части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Если	дробные	части “ не вычитаются ” ( в уменьшаемом дробная часть меньше , чем в вычитаемом ) , то из целой части уменьшаемого можно “ занять ” единицу .
Чтобы сравнить их	дробные	части , приведем их к общему знаменателю .
Натуральные и	дробные	числа можно изображать точками числового ( координатного ) луча .
Как и при сложении , запись упрощают , а	дробные	части , в случае необходимости , приводят к общему знаменателю .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются	дробными	числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Если же длины сторон выражаются	дробными	числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
А вот остальные действия с	дробными	числами и их свойства нам еще предстоит изучить .
Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно целых частей и	дробных	частей .
Итак , для	дробных	чисел мы имеем два вида записи - “ с запятой ” , и “ со знаменателем ” .
Будем считать это определение верным и на множестве	дробных	чисел .
Перейдем в данном уравнении от	дробных	чисел к целым .
Теперь нам предстоит “ прожить ” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику	дробных	чисел - научиться сравнивать дроби между собой , совершать с ними арифметические действия , а главное - использовать эти числа при решении практических задач .
Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи	дробных	чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных дробей .
Сколько знаков после запятой имеет десятичная	дробь	, если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
Теперь рассмотрим деление на десятичную	дробь	.
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную	дробь	в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную	дробь	.
Из таблицы видно , сколько и каких разрядных единиц содержит	дробь	.
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить на другую десятичную	дробь	. .
Например ,	дробь	имеет три знака после запятой , значит , знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную	дробь	, как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
При этом дробь не изменится , но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым , а в этом случае , как мы только что видели ,	дробь	можно перевести в конечную десятичную .
Итак , всякую конечную десятичную	дробь	можно записать в виде обыкновенной .
Какие из этих дробей можно перевести в конечную десятичную	дробь	?
Что можно сказать о числе , если известно , что	дробь	можно привести к знаменателю .
Докажи , что	дробь	, в знаменателе у которой нет простых делителей , можно привести к знаменателю вида .
Поэтому любую десятичную	дробь	легко записать в виде обыкновенной дроби ( простой или смешанной ) , например : целая часть дробная часть .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную	дробь	получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Запиши любую конечную десятичную	дробь	по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби .
Следовательно , эта	дробь	- а стало быть , и частное - не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
При этом	дробь	не изменится , но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым , а в этом случае , как мы только что видели , дробь можно перевести в конечную десятичную .
Приведи	дробь	к знаменателю вида и запиши соответствующую десятичную дробь .
В то же время обратное утверждение “ всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной ” неверно : в качестве контрпримера можно привести	дробь	.
Приведи дробь к знаменателю вида и запиши соответствующую десятичную	дробь	.
Данный способ можно применить для деления на любую десятичную	дробь	.
Оказывается , если	дробь	несократима , то все зависит только от ее знаменателя .
Таким образом , чтобы разделить число на десятичную	дробь	, можно .
Конечную десятичную	дробь	всегда можно записать в виде обыкновенной .
Значит , это предположение неверно , то есть	дробь	— нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Почему данную	дробь	можно перевести в конечную десятичную ?
В самом деле , пусть несократимая	дробь	равна некоторой десятичной дроби .
В числе отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся десятичную	дробь	.
Так как	дробь	— несократима , то числа не имеют общих .
В то же время обратное утверждение “ всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде конечной десятичной ” неверно : в качестве контрпримера можно привести дробь .
Представь	дробь	в виде суммы разрядных слагаемых и назови число единиц каждого разряда .
Таким образом , если несократимую	дробь	можно записать в виде конечной десятичной , то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только числа .
Запиши	дробь	, у которой : .
С другой стороны , если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей , отличных , то эту	дробь	можно записать в виде конечной десятичной .
Например , как записать в виде десятичной	дробь	? .
Оно возникло из - за предположения о том , что	дробь	равна некоторой конечной десятичной дроби .
И вообще , чтобы разделить десятичную	дробь	на натуральное число , можно .
Если число двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень числа , а тогда	дробь	переводится в конечную десятичную непосредственно .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную	дробь	существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную	дробь	со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
Действительно , предположим , что существует десятичная	дробь	, равная .
Разложи числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократи	дробь	.
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную	дробь	всегда можно разделить на другую десятичную дробь . .
Реши уравнения : множество значений переменной , при которых одновременно дробь — будет правильной , а	дробь	— неправильной .
Округлить	дробь	с точностью до : единиц ; десятых ; сотых ; тысячных ; десятитысячных .
Как превратить эту	дробь	в число равное , не прибавляя и не убавляя спичек ? .
Сократима ли эта	дробь	? .
Можно ли	дробь	привести к знаменателю ? .
В каком случае несократимую	дробь	можно привести к знаменателю ? .
Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока - дробное число яблок , для математического обозначения которого вводится	дробь	.
Если числитель дроби меньше знаменателя , то	дробь	называют правильной , а если он больше или равен знаменателю , то дробь называют неправильной . .
Если числитель дроби меньше знаменателя , то дробь называют правильной , а если он больше или равен знаменателю , то	дробь	называют неправильной . .
Если несократимую	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби , то ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Вторая запись при этом называется смешанным числом ( или смешанной дробью ) — “ целое число и	дробь	” .
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка , то эта	дробь	преобразовывается в натуральное число .
Из двух десятичных дробей больше та	дробь	, у которой больше знаков после запятой .
Как изменяется	дробь	с увеличением и уменьшением числителя , знаменателя ?
Существует	дробь	, знаменатель которой делится , но которую можно представить в виде десятичной .
Нарисуй чертеж , иллюстрирующий	дробь	.
Какая	дробь	в каждой из групп может быть « лишней » .
В ответе	дробь	обычно приводят к несократимому виду , а из неправильной дроби выделяют целую часть .
Чтобы преобразовать неправильную	дробь	в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Найди	дробь	", у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится , если ее запись перевернуть "" вверх ногами "" ."
Произведение двух дробей есть	дробь	, числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Действительно , натуральное число — это то же самое , что	дробь	и поэтому .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на	дробь	, обратную делителю .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , надо делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Итак , мы видим , что для деления на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть	дробь	, у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Итак , мы видим , что для деления на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ”	дробь	, то есть дробь , у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Итак , мы видим , что для деления на	дробь	можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Чтобы получить в левой части последнего равенства	дробь	, умножим обе его части на — и воспользуемся распределительным свойством умножения .
Тогда в соответствии с принятым определением , нам надо найти	дробь	, удовлетворяющую равенству .
Правило умножения дробей позволяет также перемножать	дробь	и натуральное число .
Что можно сказать о числителе дроби , если известно , что эта	дробь	: сократима ; несократима ? .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только , то эту	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Может ли полученная	дробь	оказаться сократимой ? .
Смешанное число — перевели в неправильную	дробь	.
Пусть правильная	дробь	— несократима .
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения натуральных чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если	дробь	— несократима , то дроби , также несократимы .
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения натуральных чисел , докажи , что если	дробь	— сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Как умножить	дробь	на натуральное число ?
Как и на сколько изменится	дробь	, если к ее числителю и знаменателю прибавить ? .
Однако при делении смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в	дробь	, а делить отдельно целую и дробную части , например : .
Любую обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной .
Представь	дробь	— в виде смешанного числа .
Сократи	дробь	— — тремя различными способами .
Иначе говоря , дроби последовательно приближаются , и поэтому каждая следующая	дробь	больше предыдущей .
А если знаков будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева десятичной дроби столько нулей , сколько требуется , - ведь от этого	дробь	не изменится .
Запиши множество натуральных значений переменной у , при которых	дробь	— является неправильной сократимой дробью .
Существует сократимая	дробь	, числитель и знаменатель которой простые числа .
Всякая	дробь	при сокращении уменьшается .
Например , потому что первая дробь меньше , а вторая больше ; потому что первая	дробь	больше , а вторая меньше ; потому что все данные дроби меньше и отличаются от нее соответственно на .
Что означает выражение “ сократить	дробь	” ?
Неправильная	дробь	после сокращения может стать правильной .
Применив распределительный закон , представь числитель в виде произведения , а затем сократи	дробь	.
Разложи на множители числитель , а затем сократи	дробь	.
Очевидно , что первая	дробь	. Существует еще ряд “ хитрых ” приемов , с помощью которых можно просто сравнить две дроби .
Ясно , что первая	дробь	больше - при равных числителях у нее знаменатель меньше .
Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та	дробь	, у которой знаменатель больше .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та	дробь	, у которой числитель меньше .
Реши уравнения : множество значений переменной , при которых одновременно	дробь	— будет правильной , а дробь — неправильной .
Например , потому что первая	дробь	меньше , а вторая больше ; потому что первая дробь больше , а вторая меньше ; потому что все данные дроби меньше и отличаются от нее соответственно на .
Любую десятичную	дробь	можно представить в виде обыкновенной .
Вычисли и запиши	дробь	в виде бесконечной периодической дроби , указав период .
Любую	дробь	можно привести к знаменателю , кратному знаменателю этой дроби .
Увеличилась или уменьшилась эта	дробь	? .
Как изменилась эта	дробь	, если : вычеркнутый ноль стоял в конце записи ; вычеркнутый ноль стоял не в конце записи ? .
Сократи	дробь	и выдели из нее целую часть .
Увеличилась или уменьшилась эта	дробь	, если : эта цифра стояла в конце записи ; эта цифра стояла не в конце записи ? .
Можно ли упростить полученную	дробь	? .
Любая правильная	дробь	меньше любой неправильной .
Существует неправильная	дробь	с числителем .
Приведем , например ,	дробь	А к знаменателю .
Существует правильная	дробь	со знаменателем .
В примере мы сократили	дробь	.
Полученную	дробь	— — сократить нельзя , так как взаимно простые числа .
Какую	дробь	записал Митя ? . .
Митя записал дробь , знаменатель которой больше числителя , и после сокращения получил	дробь	.
Каждую	дробь	можно единственным образом записать в виде несократимой дроби .
Митя записал	дробь	, знаменатель которой больше числителя , и после сокращения получил дробь .
Поэтому , разделив числитель и знаменатель дроби , мы получим равную ей несократимую	дробь	. .
Ира задумала число , прибавила его к числителю и знаменателю дроби , затем сократила полученную	дробь	и получила в результате .
В завершение заметим , что если	дробь	— является обратной для дроби , то дробь , очевидно , является обратной для дроби .
Замени	дробь	конечной десятичной дробью с точностью до сотых .
Если целые части десятичных дробей одинаковы , то больше та	дробь	, у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой ( в направлении слева направо ) .
Запиши десятичную	дробь	и округли ее с точностью до сотых .
Докажи , что данную	дробь	нельзя представить в виде конечной десятичной дроби .
А так как в знаменателе несократимой дроби — содержится множитель , отличный от , то перевести эту	дробь	в конечную десятичную нельзя .
Представь	дробь	— в виде суммы , разности , произведения , частного двух дробей .
Полученное равенство верно , как для случая , когда	дробь	— является правильной , так и для случая , когда эта дробь является неправильной .
Найди	дробь	, знаменателем которой является однозначное число и которая больше , но меньше . .
Итак , мы видим , что третье правило решения задач на дроби сохраняется , но теперь	дробь	, полученную в результате , мы можем упростить по изученным правилам преобразования дробей .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на данную	дробь	.
Однако мы можем заменить	дробь	— по установленным выше правилам ближайшей конечной десятичной дробью с любой указанной точностью ( до десятых , сотых , тысячных и т д ) .
При этом два действия - деление на числитель дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на	дробь	.
Следовательно , если мы умножим и числитель , и знаменатель этой дроби , то оба они станут целыми , а	дробь	при этом не изменится .
Всегда ли можно ли представить в виде конечной десятичной дроби другую	дробь	? .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , можно это число умножить на данную	дробь	.
Это связано с тем , что не всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Замени	дробь	конечной десятичной дробью с точностью до десятых , сотых , тысячных .
Может ли быть сократима эта	дробь	? .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной другую	дробь	? .
В каких случаях эта	дробь	сократима ? .
В завершение заметим , что если дробь — является обратной для дроби , то	дробь	, очевидно , является обратной для дроби .
Используя общее правило сравнения дробей и правило “ весов ” , найди множество натуральных чисел а , для которых	дробь	: больше ; меньше ; равна .
Найди множество натуральных чисел , для которых	дробь	: больше ; меньше ; равна .
При этом два действия - деление на знаменатель дроби , а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на	дробь	.
Если целые части десятичных дробей различны , то больше та	дробь	, у которой больше целая часть .
Найди множество натуральных чисел , для которых	дробь	меньше ; равна .
Несократимую	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби : удвоенную дробь ; утроенную	дробь	; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби : удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей	дробь	? .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби : удвоенную	дробь	; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
куб числа ; неправильная	дробь	.
Как изменится десятичная	дробь	, если запятую переместить на знак вправо , на знак влево , на знак вправо , на знак влево ? .
Сравни при делении на	дробь	, меньшую единицы , делении на дробь , большую единицы ? .
Сравни при делении на дробь , меньшую единицы , делении на	дробь	, большую единицы ? .
Может ли быть : несократимой	дробь	, у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой	дробь	, у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Заменить	дробь	— десятичной дробью с точностью до сотых .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную	дробь	, и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби , указав период .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой	дробь	, у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Из предыдущего пункта мы знаем , что не всякую обыкновенную	дробь	можно перевести в конечную десятичную .
Можно ли представить	дробь	в виде конечной десятичной дроби ?
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой	дробь	, у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Докажи , что	дробь	нельзя перевести в конечную десятичную .
Может ли эта	дробь	быть сократимой ? .
Докажи , что данную	дробь	нельзя перевести в конечную десятичную дробь , и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби , указав период .
Полученное равенство верно , как для случая , когда дробь — является правильной , так и для случая , когда эта	дробь	является неправильной .
Дана	дробь	, которую можно представить в виде конечной десятичной дроби .
Как изменилась	дробь	и на сколько ? .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная	дробь	, когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число .
Выполни предыдущее задание для случая , когда данная	дробь	неправильная .
Замену дроби равной ей	дробью	с новым знаменателем называют приведением дроби к новому знаменателю .
Запиши множество натуральных значений переменной у , при которых дробь — является неправильной сократимой	дробью	.
Чтобы найти число по его части , выраженной	дробью	, можно эту часть разделить на данную дробь .
Как найти часть числа а , выраженную	дробью	?
Запиши десятичной	дробью	с точностью до сотых часть , которую вес нетто составляет от веса брутто .
Дробь — является правильной несократимой	дробью	.
А себя ты какой	дробью	считаешь ? .
Чтобы найти число по его части , выраженной	дробью	, надо эту часть на числитель дроби и на знаменатель .
Сумма двух правильных дробей может быть неправильной	дробью	.
Задачи на нахождение числа по его части , выраженной	дробью	.
Замени дробь конечной десятичной	дробью	с точностью до сотых .
Заменить дробь — десятичной	дробью	с точностью до сотых .
Как найти число , если его часть , выраженная	дробью	равна ЪЧ .
Вырази в часах и запиши результат десятичной	дробью	.
Замени ее конечной десятичной	дробью	с точностью до тысячных .
Однако на практике натуральное число п	дробью	не заменяют , а используют только результат проведенного вычисления , то есть пишут , например .
Чтобы найти число по его части , выраженной	дробью	, можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее знаменатель .
А что произойдет в этих случаях с десятичной	дробью	? .
Запиши	дробью	часть , которую составляют .
Вторая запись при этом называется смешанным числом ( или смешанной	дробью	) — “ целое число и дробь ” .
Однако мы можем заменить дробь — по установленным выше правилам ближайшей конечной десятичной	дробью	с любой указанной точностью ( до десятых , сотых , тысячных и т д ) .
Как найти число а по его части , выраженной	дробью	?
Вырази ее десятичной	дробью	с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее диаметра .
Замени дробь конечной десятичной	дробью	с точностью до десятых , сотых , тысячных .
Задачи на нахождение части от числа , выраженной	дробью	.
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной	дробью	, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Расшифруй слова , сопоставив	дробям	соответствующие буквы и расположив их .
Какими еще	дробями	можно выразить закрашенные части фигур ?
Части величин выражены	дробями	.
Умножим число , используя действия с обыкновенными	дробями	.
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными	дробями	мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями .
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с	дробями	гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными	дробями	.
Вырази их десятичными	дробями	.
Именно поэтому мы и должны установить правила выполнения арифметических действий непосредственно с десятичными	дробями	, без перевода их в обыкновенные .
Доли величины выражены десятичными	дробями	.
Сравни полученные десятичные дроби с данными	дробями	и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с	дробями	, натуральными числами и смешанными числами , например .
Пользуясь десятичными	дробями	, вырази .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами десятичными	дробями	, поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название - обыкновенные дроби .
Примеры вычислений с	дробями	.
Однако во многих случаях вычислений с	дробями	быстрее всего приводит к цели переход к натуральным числам .
Что же касается их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с обыкновенными	дробями	, и выполняются почти так же , как с натуральными числами .
Какими еще	дробями	можно выразить указанные части года ? .
Числа к замени равными им	дробями	сначала со знаменателем , затем , а затем - со знаменателем .
Изученные правила действий с	дробями	позволяют упростить решение этих задач .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть десятичными	дробями	.
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только	дробями	со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть десятичными дробями .
Преимущества работы с десятичными	дробями	ясно видны уже при сравнении дробей .
Отметь на нем точку А. Какими еще	дробями	может быть выражены равенства .
Возможность представления любой десятичной дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными	дробями	все арифметические действия .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х десятках 10х	единиц	, да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у единиц .
Каждый знак в записи десятичной дроби обозначает , сколько	единиц	соответствующего разряда в ней содержится .
Сколько	единиц	каждого разряда содержит это число ?
Пусть х - цифра десятков , а у - цифра	единиц	.
Вырази с помощью десятичных дробей , какую часть более крупных	единиц	измерения составляют .
Таким образом , читают десятичные дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа целых	единиц	( даже если их “ ноль ” ) .
Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой х , а цифру	единиц	- буквой у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Итак , в десятичной записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит	единиц	предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Вырази число в десятках и округли полученное число десятков с точностью до	единиц	.
Обозначь х цифру десятков , а у - цифру	единиц	двузначного числа .
Из таблицы видно , сколько и каких разрядных	единиц	содержит дробь .
Представь дробь в виде суммы разрядных слагаемых и назови число	единиц	каждого разряда .
Период обращения по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до десятков ,	единиц	, десятых .
При этом отсутствие	единиц	в разряде , как и прежде , обозначается нулем .
Проследи по таблице цепочку	единиц	площади , расскажи о соотношениях между ними : .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х десятках 10х единиц , да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у	единиц	.
Это равенство показывает , сколько	единиц	каждого разряда содержит число , а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Результат округли до	единиц	.
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное число , выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить нуль между цифрами десятков и	единиц	, то получится число , в 9 раз большее исходного .
Так , например , при измерении времени некоторые более мелкие единицы равны — части более крупных	единиц	.
Так , число содержит целых	единиц	, десятых , сотых и тысячных .
Так как цифра	единиц	меньше , то число расположено ближе к .
Н айти это число , если х - цифра десятков , ау- цифра	единиц	этого числа .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х десятках 10х единиц , да еще у	единиц	- всего в числе содержится 10х + у единиц .
Округлить дробь с точностью до :	единиц	; десятых ; сотых ; тысячных ; десятитысячных .
Перемножив четыре простых последовательных числа , Нина получила в результате число , цифра	единиц	которого 0 .
Итак , в десятичной записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ;	единица	каждого разряда содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Система записи десятичных дробей устроена так же :	единица	любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
Плюс	единица	, деленная на четыре ! .
Сто миллионов — это	единица	с восьмью нулями , поэтому цифры восьми младших разрядов заменяем нулями .
Плюс	единица	, деленная на три !
При этом новыми разрядными	единицами	являются .
Пользуясь таблицей , расскажи о соотношениях между	единицами	длины : .
Массу Венеры , Урана и Нептуна в	единицах	массы Земли с точностью до десятых , сотых .
Вырази ответ в возможно более крупных	единицах	измерения времени .
Выполни действия и вырази ответ в наиболее крупных	единицах	измерения .
Определи , какая из дробей ближе к	единице	, и сравни их .
Привести контрпример для последнего утверждения немного сложнее : надо либо вспомнить , что 2 • 2 = 2 + 2 , либо догадаться взять одно или даже оба числа равными	единице	.
Сколько седьмых долей в	единице	?
Заполни пустое место в квадрате так , чтобы сумма всех чисел в нем равнялась	единице	.
Какой	единице	объема равен 1 литр ? .
Нарисуй числовой луч , приняв за	единицу	клеток тетради .
Любое натуральное число делится на себя и на	единицу	.
Каждое натуральное число на	единицу	меньше следующего за ним .
Каждое натуральное число больше предыдущего на	единицу	.
И понятно почему - например , ошибка на	единицу	в четвертом знаке после запятой при обмене миллиарда долларов на евро “ стоит ” очень дорого .
Знаменатель показывает , на сколько равных частей разделили	единицу	"( "" целое "" ) , а числитель показывает , сколько таких частей взяли ."
Поэтому весь путь принимается за “	единицу	” и вычисляется часть пути , пройденная каждым пешеходом .
Представь	единицу	в виде дроби со знаменателем .
Итак , при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается , а часть работы , выполненная за	единицу	времени ( то есть производительность ) , находится по формуле : где р - искомая часть работы , а Т - время работы .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ”	единицу	из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Если дробные части “ не вычитаются ” ( в уменьшаемом дробная часть меньше , чем в вычитаемом ) , то из целой части уменьшаемого можно “ занять ”	единицу	.
В семье шестеро детей , причем возраст каждого ребенка в годах выражается числом , делящимся только на само себя и на	единицу	.
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить	единицу	со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
"Из каждого "" круглого "" числа выделим"	единицу	и раскроем скобки .
Так ,	единицы	расстояния , массы , площади , объема принято делить именно и т д частей , и известные “ приставки ” возникли от латинских слов десятый , сотый , тысячный .
Денежные	единицы	большинства стран делятся на .
Так , например , при измерении времени некоторые более мелкие	единицы	равны — части более крупных единиц .
Найти задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4	единицы	получается число , на 52 единицы большее , чем само задуманное число .
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню , десятка ,	единицы	, сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а	единицы	разряда десятых в нем отсутствуют .
Найти задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается число , на 52	единицы	большее , чем само задуманное число .
Все натуральные числа больше	единицы	.
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число , в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а	единицы	разряда десятков тысяч отсутствуют .
Разделим сначала целые	единицы	, затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Какое число обладает свойством	единицы	( при обычном умножении ) ?
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся	единицы	раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Представь числа 849 , 3206 , 75 012 , 503 970 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные	единицы	как степени числа 10 .
Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные	единицы	как степени числа .
Представь число 24 392 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные	единицы	как степени числа 10 .
Однако	единицы	относят ближе к верхней границе .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные	единицы	, а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Действительно , в записи многозначного натурального числа можно отделить	единицы	, то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Сравни при делении на дробь , меньшую единицы , делении на дробь , большую	единицы	? .
Сравни при делении на дробь , меньшую	единицы	, делении на дробь , большую единицы ? .
Здесь нам помогут известные свойства чисел - свойство	единицы	и распределительный закон .
Проиллюстрируй ответы на чертеже , подобрав подходящие	единичные	отрезки .
Проиллюстрируй ответы на чертеже , подобрав подходящие	единичные отрезки	.
Начерти координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок клеток .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран	единичный	отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Начерти координатный луч , приняв за	единичный	отрезок клеток .
Начерти координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	клеток .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран	единичный отрезок	, начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Начерти координатный луч , приняв за	единичный отрезок	клеток .
Чему равно расстояние между точками О и I ) , А и М , К и С , выраженное в	единичных	отрезках ?
Чему равно расстояние между точками О и I ) , А и М , К и С , выраженное в	единичных отрезках	?
Нарисуй в тетради	замкнутую	ломаную линию без самопересечений .
Мы видим , что	запятая	разряда вправо , учитывая , последовательно перемещается .
Поэтому при делении	запятая	будет перемещаться не вправо , а влево - соответственно на разряд .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной дроби ,	запятая	переносится соответственно разряда вправо , а при делении разряда влево .
Поэтому при умножении десятичной дроби	запятая	переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на разряд вправо .
Записать их “ в столбик ” так , чтобы	запятая	оказалась под запятой .
И понятно почему - например , ошибка на единицу в четвертом знаке после	запятой	при обмене миллиарда долларов на евро “ стоит ” очень дорого .
Уравняй число знаков после	запятой	в следующих числах , не меняя их значения .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после	запятой	, не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Из приведенных примеров видно , что в десятичной дроби после	запятой	стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Так , в Англии , Америке и многих других странах вместо	запятой	ставится точка .
Например , дробь имеет три знака после	запятой	, значит , знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен .
По числу знаков , стоящих в записи десятичной дроби после	запятой	, можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Поставить в ответе запятую под	запятой	в данных дробях .
Записать их “ в столбик ” так , чтобы запятая оказалась под	запятой	.
Уравнять в дробях наело знаков после	запятой	.
Если целые части десятичных дробей одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после	запятой	( в направлении слева направо ) .
Так , в знаменателе дроби три нуля , и в ее десятичной записи три знака после	запятой	.
Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после	запятой	, целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после	запятой	, целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили	запятой	две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
При этом целая часть десятичной дроби отделяется от дробной части	запятой	.
Вычислим сумму , уравняв число знаков после	запятой	и переходя к сложению обыкновенных дробей .
Из записи десятичной дроби вычеркнули ноль , стоящий после	запятой	.
Сколько различных десятичных дробей , имеющих три знака после	запятой	, можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной дроби не повторяются ) ?
Найди значение выражения ( в скобках указано число знаков после	запятой	в последнем множителе ) .
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место	запятой	в произведении .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после	запятой	, сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных чисел .
В полученном произведении отделить	запятой	справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных чисел .
Во всех рассмотренных выше десятичных дробях число знаков после	запятой	( без учета нулей в конце ) является конечным .
В числе отдели	запятой	одну цифру справа и прочитай получившуюся десятичную дробь .
Из двух десятичных дробей больше та дробь , у которой больше знаков после	запятой	.
Таким образом , первая цифра после	запятой	обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Сколько знаков после	запятой	имеет десятичная дробь , если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
Чему равен знаменатель дроби , если ее десятичная запись содержит знаков после	запятой	? .
Из записи десятичной дроби вычеркнули цифру , стоящую после	запятой	.
Итак , для дробных чисел мы имеем два вида записи - “ с	запятой	” , и “ со знаменателем ” .
Продолжить деление , не обращая внимания на запятую , дописывая в делимом после	запятой	столько нулей , сколько потребуется .
В записи десятичной дроби вычеркнули “ хвост ” - несколько последних цифр , отличных от нуля , стоящих после	запятой	.
Дроби , записанные “ с	запятой	” , названы нами десятичными дробями , поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название - обыкновенные дроби .
Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после	запятой	, например , где после запятой выписаны подряд все натуральные числа .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после	запятой	, целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после	запятой	.
Как изменится десятичная дробь , если	запятую	переместить на знак вправо , на знак влево , на знак вправо , на знак влево ? .
А теперь выполни то же задание , перенося	запятую	на разряд влево .
Последовательно сдвигай	запятую	на одну цифру вправо и называй получившиеся десятичные дроби .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи	запятую	, полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
В каждом из следующих чисел перенеси	запятую	на разряд вправо и прочитай полученные числа .
Затем последовательно сдвигай	запятую	на одну цифру влево и называй , какие дроби при этом получаются .
Поставить в частном	запятую	.
При этом , когда деление целой части закончится , продолжим делить последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном	запятую	.
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив	запятую	, а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Продолжить деление , не обращая внимания на	запятую	, дописывая в делимом после запятой столько нулей , сколько потребуется .
Выполнить сложение ( вычитание ) , не обращая внимания на	запятую	.
Поставить в ответе	запятую	под запятой в данных дробях .
Поставить	запятую	, отделяющую целую часть от дробной .
Какую часть яркость звезд шестой величины составляет от яркости	звезд	первой величины ?
Какую часть яркость	звезд	шестой величины составляет от яркости звезд первой величины ?
На сколько больше	звезд	рассмотрел Олег во вторник , чем в понедельник ? .
Яркость	звезд	при переходе от одной величины к другой последовательно уменьшается примерно .
В понедельник он рассмотрел в телескоп	звезд	, а во вторник - этого количества .
Вставь вместо	звездочек	подходящие цифры и сделай проверку : . .
В записи числа поставь вместо	звездочек	цифры так , чтобы получилось число .
В примере ( * * ) 3 = * * * 9 вместо	звездочек	поставь цифры так , чтобы получилось верное равенство .
В числах вместо некоторых цифр стоят	звездочки	.
Вместо	звездочки	вставь неизвестную цифру так , чтобы получилось истинное утверждение .
Хорошо , что Басик на дне коробки нарисовал	звездочки	.
Замени	звездочки	цифрой так , чтобы оба высказывания были верными .
Поставь вместо	звездочки	"нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
Выбери из них одно и вставь вместо	звездочки	так , чтобы ответ примера был максимально близок к указанному приближению .
Что надо поставить вместо	звездочки	в записи , чтобы получить число , большее четырех , но меньшее пяти ? .
Поставь вместо	звездочки	знак .
Какие цифры можно подставить вместо	звездочки	в записи 741 56 , чтобы получившееся число было : кратно 3 ?
Каким способом можно уложить в коробку все 12 фигурок , если каждую	звездочку	закрывает ровно одно пентамино ? .
Продолжительность жизни	звезды	зависит от ее массы .
Самые яркие -	звезды	первой величины , а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , - звезды шестой величины .
Самые яркие - звезды первой величины , а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , -	звезды	шестой величины .
Робинзон Крузо на необитаемом острове нашел колоса риса , в каждом из которых было зерна , и колосьев ячменя	зерен	в каждом .
Сначала он посеял	зерен	каждого вида , но весь урожай погиб от засухи .
Во сколько раз у Робинзона Крузо стало больше зерна после сбора урожая по сравнению с тем , что он нашел , если считать , что в колосьях каждого вида всегда постоянное количество	зерен	, а из каждого зерна вырастает один колос ? .
Во сколько раз у Робинзона Крузо стало больше	зерна	после сбора урожая по сравнению с тем , что он нашел , если считать , что в колосьях каждого вида всегда постоянное количество зерен , а из каждого зерна вырастает один колос ? .
Во сколько раз у Робинзона Крузо стало больше зерна после сбора урожая по сравнению с тем , что он нашел , если считать , что в колосьях каждого вида всегда постоянное количество зерен , а из каждого	зерна	вырастает один колос ? .
На новом участке он посеял остальные	зерна	, и ни одно зерно не погибло .
Робинзон Крузо на необитаемом острове нашел колоса риса , в каждом из которых было	зерна	, и колосьев ячменя зерен в каждом .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины , то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер	зерна	собрано с поля , сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились числа .
На новом участке он посеял остальные зерна , и ни одно	зерно	не погибло .
Коробку наполнили пшеничным	зерном	, которого весит .
Сколько весит коробка с	зерном	, если пустая коробка весит ?
Для слов примерно , приближенно в математике используется специальный знак -	знак	приближенного равенства .
Перепиши полученные равенства , заменив в них знак на знак , а знак на	знак	Какие правила получились ?
Перепиши полученные равенства , заменив в них знак на знак , а	знак	на знак Какие правила получились ?
Перепиши полученные равенства , заменив в них знак на	знак	, а знак на знак Какие правила получились ?
Перепиши полученные равенства , заменив в них	знак	на знак , а знак на знак Какие правила получились ?
Черту дроби можно понимать как	знак	деления .
Как изменится десятичная дробь , если запятую переместить на	знак	вправо , на знак влево , на знак вправо , на знак влево ? .
Как изменится десятичная дробь , если запятую переместить на знак вправо , на	знак	влево , на знак вправо , на знак влево ? .
Как изменится десятичная дробь , если запятую переместить на знак вправо , на знак влево , на	знак	вправо , на знак влево ? .
Используя	знак	равносильности , запиши решения уравнений .
Как изменится десятичная дробь , если запятую переместить на знак вправо , на знак влево , на знак вправо , на	знак	влево ? .
С другой стороны , нам известно , что	знак	деления можно заменить чертой дроби .
В трех последних выражениях стоит	знак	умножения , но принято писать проще .
И вообще ,	знак	"равносильности имеет тот же самый смысл , что и слова "" в том и только в том случае "" , часто употребляющиеся в математическом языке ."
"Обратим внимание на написание знака равносильности : если убрать из него "" стрелки "" слева и справа , то останется"	знак	равенства .
"Вместо длинного выражения "" в том и только в том случае "" в математической записи часто употребляется специальный"	знак	"ФФ ( читают : "" равносильно "" ) ."
К таким знакам относится	знак	равносильности , который мы использовали для краткой записи свойств делимости .
Для этого сначала заменим	знак	деления дробной чертой и применим основное свойство дроби .
Для записи определений часто бывает удобно использовать	знак	равносильности . .
Найди значения выражений и поставь между ними	знак	равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
Замени в равенстве знак на знак , а	знак	на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский .
Перечерти таблицу в тетрадь и определи , как изменяются сумма и разность при указанных изменениях ( знак означает увеличение , а	знак	- уменьшение ) .
Сделай запись , используя	знак	С .
Поставь вместо звездочки	знак	.
В начале решения мы , естественно , не знаем , какое из чисел больше , но можем поставить между ними	знак	неравенства произвольным образом , понимая , конечно , что при этом могло получиться и неверное высказывание .
В числе вычеркни	знак	после запятой так , чтобы получилось : возможно большее число ; возможно меньшее число .
Что получится , если в новом равенстве заменить	знак	деления на черту дроби ?
Для слов примерно , приближенно в математике используется специальный	знак	- знак приближенного равенства .
Замени в равенстве знак на	знак	, а знак на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский .
Замени в равенстве	знак	на знак , а знак на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский .
Замени в равенстве знак на знак , а знак на	знак	Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский .
Каждый	знак	в записи десятичной дроби обозначает , сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится .
Что получится , если заменить в новом равенстве	знак	деления на черту дроби ? .
Замени в нем знак на знак , а знак на	знак	.
Перечерти таблицу в тетрадь и определи , как изменяются сумма и разность при указанных изменениях (	знак	означает увеличение , а знак - уменьшение ) .
Замени в нем знак на знак , а	знак	на знак .
Поставь вместо звездочки нужный	знак	"в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
Замени в нем знак на	знак	, а знак на знак .
Замени в нем	знак	на знак , а знак на знак .
Так , на главных мировых валютных и сырьевых биржах , где определяется стоимость золота в валюте разных стран - американских долларах , английских фунтах стерлингов , евро и других , - а также стоимость валют относительно друг друга , измерения ведутся с точностью - до четвертого десятичного	знака	.
Так , в знаменателе дроби три нуля , и в ее десятичной записи три	знака	после запятой .
Обратим внимание на написание	знака	"равносильности : если убрать из него "" стрелки "" слева и справа , то останется знак равенства ."
Поэтому мы и записывали признаки делимости с помощью этого	знака	: .
Запиши с помощью	знака	равносильности признаки делимости на 9 и на 5 .
Запиши с помощью	знака	равносильности признаки делимости на 9 и на 10 .
Например , дробь имеет три	знака	после запятой , значит , знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен .
"Сформулируй разными способами определение "" делителя "" и запиши его с помощью"	знака	равносильности и символа 3 .
Сколько различных десятичных дробей , имеющих три	знака	после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной дроби не повторяются ) ?
Аналогичное правило получается и для	знака	.
Как записать с помощью	знака	процента сотые доли величины ? .
С помощью	знака	равносильности признак делимости на 10 записывается так .
С помощью	знака	равносильности этот признак можно записать так : .
К таким	знакам	относится знак равносильности , который мы использовали для краткой записи свойств делимости .
Запиши этот пример в виде суммы чисел со	знаками	.
Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя	знаками	после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя	знаками	после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Запиши выражение в виде суммы чисел со	знаками	.
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя	знаками	после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Запиши данные суммы чисел со	знаками	и без скобок и найди ответ .
Запиши примеры в виде суммы чисел со	знаками	и найди ответ .
"В каких из следующих выражений можно "" сэкономить "" на"	знаках	умножения ?
И понятно почему - например , ошибка на единицу в четвертом	знаке	после запятой при обмене миллиарда долларов на евро “ стоит ” очень дорого .
Сделай записи , используя	знаки	е и .
Найди другой способ выразить число при помощи пяти троек , используя скобки и	знаки	арифметических действий .
Цифры , буквы , скобки и	знаки	арифметических действий входят в математический алфавит .
В начальной школе мы уже использовали различные математические	знаки	и буквы для обозначения чисел .
Сравни , используя	знаки	.
В математическом языке , кроме знаков арифметических действий и знаков сравнения , есть и другие	знаки	, помогающие легче и проще записывать предложения из обычного языка .
Сделай записи , используя	знаки	II и Г1 .
Сделай записи , используя	знаки	П и О .
Но там же написаны восклицательные	знаки	? ! .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько	знаков	после запятой .
Вычислим сумму , уравняв число	знаков	после запятой и переходя к сложению обыкновенных дробей .
Уравняй число	знаков	после запятой в следующих числах , не меняя их значения .
Сделай записи с помощью	знаков	.
В математическом языке , кроме	знаков	арифметических действий и знаков сравнения , есть и другие знаки , помогающие легче и проще записывать предложения из обычного языка .
В математическом языке , кроме знаков арифметических действий и	знаков	сравнения , есть и другие знаки , помогающие легче и проще записывать предложения из обычного языка .
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных	знаков	окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Запиши с помощью	знаков	< = > и 3 определения следующих членов семьи : . .
Не вычисляя , сравни частные и запиши ответ с помощью	знаков	> или .
Уравнять в дробях наело	знаков	после запятой .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных	знаков	в данных дробях .
Чему равен знаменатель дроби , если ее десятичная запись содержит	знаков	после запятой ? .
Сколько	знаков	после запятой имеет десятичная дробь , если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от	знаков	, стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Определи истинность высказываний и запиши их с помощью	знаков	> , < , > , < .
Найди значение выражения ( в скобках указано число	знаков	после запятой в последнем множителе ) .
В полученном произведении отделить запятой справа столько	знаков	после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных чисел .
А число	знаков	после запятой в произведении такое же , как в обоих множителях вместе .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных	знаков	мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Символ означает , что вместо него должен стоять один из	знаков	.
Из двух десятичных дробей больше та дробь , у которой больше	знаков	после запятой .
По числу	знаков	, стоящих в записи десятичной дроби после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Составь из чисел , записанных в квадрате , скобок и	знаков	и выражение , значение которого равно 1 .
вычисляя , сравни произведения и запиши ответ с помощью	знаков	.
Но бывают дроби с бесконечным числом	знаков	после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все натуральные числа .
А если	знаков	будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева десятичной дроби столько нулей , сколько требуется , - ведь от этого дробь не изменится .
Во всех рассмотренных выше десятичных дробях число	знаков	после запятой ( без учета нулей в конце ) является конечным .
Запиши , пользуясь	знаком	равносильности , правило сравнения дробей с одинаковыми числителями .
Найди сначала сумму чисел со	знаком	, затем сумму чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
Найди сначала сумму чисел со знаком , затем сумму чисел со	знаком	, а затем - их общий результат . .
Доходы он обозначал	знаком	, а расходы – знаком .
Найди его и заполни клетки со	знаком	вопроса .
Как в таком случае интерпретировать прибавление чисел со знаком , а как прибавление чисел со	знаком	?
Перерисуй таблицы в тетрадь и определи , как изменяется сумма и разность при изменении ( знаком условимся обозначать увеличение данного числа , а	знаком	- уменьшение ) .
Как в таком случае интерпретировать прибавление чисел со	знаком	, а как прибавление чисел со знаком ?
Запиши , пользуясь	знаком	равносильности , правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями .
Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел , а затем сложить ее или вычесть - по	знаку	около таблицы .
Происходит это потому , что точное значение частного равно несократимой дроби , в	знаменателе	которой есть простой множитель .
Из приведенных примеров видно , что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в	знаменателе	соответствующей ей обыкновенной дроби .
Так , в	знаменателе	дроби три нуля , и в ее десятичной записи три знака после запятой .
Все приведенные примеры обладают , однако , одной особенностью : в числителях дробей столько же цифр , сколько нулей в	знаменателе	.
Уравнять , если необходимо , число цифр в числителе с числом нулей в	знаменателе	, не меняя значения дроби .
Докажи , что дробь , в	знаменателе	у которой нет простых делителей , можно привести к знаменателю вида .
С другой стороны , если в	знаменателе	несократимой дроби нет простых делителей , отличных , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делят на выражение в	знаменателе	. .
В числителе дроби стоит число , а в	знаменателе	- число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
А так как в	знаменателе	несократимой дроби — содержится множитель , отличный от , то перевести эту дробь в конечную десятичную нельзя .
При этом для простоты вычислений знаменатель лучше выбирать как можно меньший , а для этого нужно взять наименьшее общее кратное	знаменателей	всех получившихся дробей .
Умножим обе части уравнения на число - наименьшее общее кратное всех	знаменателей	дробей , входящих в его запись .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их	знаменателей	.
Наименьшее общее кратное	знаменателей	данных дробей - число , и мы подсчитаем , чему равно .
Действительно , если при таком “ перекрестном ” умножении числителей и	знаменателей	полученные произведения оказались равными , то это означает , что ни одна из дробей не больше и не меньше другой , а значит , дроби равны .
Пусть А - множество правильных несократимых дробей со	знаменателем	, а В - множество правильных сократимых дробей с числителем .
Дробь несократима тогда и только тогда , когда разность между ее числителем и	знаменателем	равна .
правильных дробей со	знаменателем	4 .
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со	знаменателем	вида в виде десятичной дроби .
Замену дроби равной ей дробью с новым	знаменателем	называют приведением дроби к новому знаменателю .
Существует правильная дробь со	знаменателем	.
Найди дробь ,	знаменателем	которой является однозначное число и которая больше , но меньше . .
В дроби ( читается : “ эм на эн ” или “ эм энных ” ) число , находящееся над чертой , называется числителем , а число , находящееся под чертой , -	знаменателем	.
Их общим	знаменателем	может служить произведение - оно делится . .
Например , в нашей “ многоэтажной ” дроби наименьшим общим	знаменателем	всех дробей , входящих в ее запись , является число .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами десятичными дробями , поэтому и дроби со	знаменателем	получили специальное название - обыкновенные дроби .
Напротив , десятичные дроби — это те же обыкновенные дроби , но со стандартным	знаменателем	вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Для дробей с общим	знаменателем	п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
Числа к замени равными им дробями сначала со знаменателем , затем , а затем - со	знаменателем	.
Числа к замени равными им дробями сначала со	знаменателем	, затем , а затем - со знаменателем .
Представь единицу в виде дроби со	знаменателем	.
Итак , для дробных чисел мы имеем два вида записи - “ с запятой ” , и “ со	знаменателем	” .
Если дробные части смешанных чисел имеют разные	знаменатели	, то их предварительно приводят к общему знаменателю .
Но как сравнить две дроби , у которых и	знаменатели	и числители различны ?
Таким образом , для дробей , имеющих	знаменатели	вида , можно пользоваться следующим алгоритмом десятичной записи .
В самом деле , пусть	знаменатель	д несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных .
Дробь ,	знаменатель	которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде десятичной дроби .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то числитель и	знаменатель	дроби можно домножить на недостающее число двоек .
Разделим числитель данной дроби на	знаменатель	.
числитель равен 2 , а	знаменатель	5 ; .
Разложи числитель и	знаменатель	дроби на простые множители и сократи дробь .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в	знаменатель	поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной , то ее	знаменатель	в качестве простых делителей может иметь только числа .
Существует дробь ,	знаменатель	которой делится , но которую можно представить в виде десятичной .
	Знаменатель	равен 6 , а числитель 7 ; .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и	знаменатель	оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь , если	знаменатель	ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
А число , на которое умножается числитель и	знаменатель	данной дроби , называют дополнительным множителем .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби — на дополнительный множитель .
Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают	знаменатель	, кратный всем знаменателям данных дробей .
При этом для простоты вычислений	знаменатель	лучше выбирать как можно меньший , а для этого нужно взять наименьшее общее кратное знаменателей всех получившихся дробей .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и	знаменатель	каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Раздели числитель и	знаменатель	каждой дроби .
Дробь , числитель и	знаменатель	которой кратны , сократима .
Существует сократимая дробь , числитель и	знаменатель	которой простые числа .
Числитель дроби делится , а	знаменатель	не делится .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а	знаменатель	не делится ? .
Может ли	знаменатель	этой дроби после сокращения стать равным семи ?
Например , чтобы сравнить дроби , можно числитель и	знаменатель	дроби — умножить на число .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а	знаменатель	не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Значит , при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число	знаменатель	, а числитель оставить прежним .
Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та дробь , у которой	знаменатель	больше .
Итак , мы видим , что для деления на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой числитель и	знаменатель	поменялись местами .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться , чтобы данные дроби имели или один и тот же	знаменатель	, или один и тот же числитель .
Ясно , что первая дробь больше - при равных числителях у нее	знаменатель	меньше .
Митя записал дробь ,	знаменатель	которой больше числителя , и после сокращения получил дробь .
Лев Толстой как - то заметил , что человек подобен дроби , числитель которой есть то , что человек представляет собой , а	знаменатель	- то , что он думает о себе .
Дробь сократима тогда и только тогда , когда ее числитель и	знаменатель	кратны .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а	знаменатель	- произведению их знаменателей .
Для сложения таких дробей нужно сложить числители , а	знаменатель	оставить прежним .
Заметим , что общий	знаменатель	для данных дробей далеко не всегда является наименьшим .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и	знаменатель	оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Можно также раскладывать числитель и	знаменатель	дроби на множители , причем не обязательно простые .
Поэтому , разделив числитель и	знаменатель	дроби , мы получим равную ей несократимую дробь . .
Нам известно , что частное двух натуральных чисел равно дроби , у которой делимое - числитель , а делитель -	знаменатель	, например : .
	Знаменатель	4 , а числитель в 2 раза больше .
Таким образом , десятичная запись числа указывает как его целую часть , так и числитель и	знаменатель	дробной части .
Например , дробь имеет три знака после запятой , значит ,	знаменатель	ее записи в виде обыкновенной дроби равен .
По числу знаков , стоящих в записи десятичной дроби после запятой , можно узнать , чему равен	знаменатель	дроби .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , надо это число на	знаменатель	дроби и на числитель .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , надо эту часть на числитель дроби и на	знаменатель	.
Некоторые правильные дроби имеют	знаменатель	8 : например , знаменатель дроби равен 8 .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на	знаменатель	с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель -	знаменатель	дробной части .
В нашем примере :	знаменатель	дробной части , целая часть , числитель дробной части .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно :	знаменатель	умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а	знаменатель	оставить без изменений .
Если числитель неправильной дроби делится на	знаменатель	без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
При этом два действия - деление на числитель дроби , а затем умножение на ее	знаменатель	- заменяются одним действием - делением на дробь .
Что обозначают числитель и	знаменатель	дроби ?
При этом два действия - деление на	знаменатель	дроби , а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее	знаменатель	.
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это число разделить на	знаменатель	дроби и умножить на ее числитель .
Как изменится величина дроби , если к ее числителю прибавить	знаменатель	?
Числитель и	знаменатель	дроби отличаются .
Для этого умножим обе его части на наименьший общий	знаменатель	исходных дробей – число .
Обе дроби равны между собой , но при этом числитель и	знаменатель	второй дроби в раз превышает числитель и знаменатель первой дроби .
Обе дроби равны между собой , но при этом числитель и знаменатель второй дроби в раз превышает числитель и	знаменатель	первой дроби .
Следовательно , если мы умножим и числитель , и	знаменатель	этой дроби , то оба они станут целыми , а дробь при этом не изменится .
Дробь , числитель и	знаменатель	которой являются взаимно простыми числами , называется несократимой .
Чему равен	знаменатель	дроби , если ее десятичная запись содержит знаков после запятой ? .
Некоторые правильные дроби имеют знаменатель 8 : например ,	знаменатель	дроби равен 8 .
числитель 3 , а	знаменатель	на 2 больше ; .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае , когда ее	знаменатель	в качестве простых делителей имеет только .
Если	знаменатель	несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби , то ее	знаменатель	в качестве простых делителей имеет только .
Приведи примеры дробей , которые можно привести к знаменателю , к	знаменателю	.
Если числитель дроби меньше знаменателя , то дробь называют правильной , а если он больше или равен	знаменателю	, то дробь называют неправильной . .
Чтобы сравнить их дробные части , приведем их к общему	знаменателю	.
Приведи к общему	знаменателю	дроби и найди их сумму .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему	знаменателю	; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему	знаменателю	.
Как и на сколько изменится дробьесли к ее числителю и	знаменателю	прибавить ? .
Можно ли дробь привести к	знаменателю	? .
Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели , то их предварительно приводят к общему	знаменателю	.
Приведи дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Замену дроби равной ей дробью с новым знаменателем называют приведением дроби к новому	знаменателю	.
Любую дробь можно привести к	знаменателю	, кратному знаменателю этой дроби .
Любую дробь можно привести к знаменателю , кратному	знаменателю	этой дроби .
Приведем , например , дробь А к	знаменателю	.
Для приведения двух или нескольких дробей к общему	знаменателю	выбирают знаменатель , кратный всем знаменателям данных дробей .
Если числитель дроби равен ее	знаменателю	.
Приведи к наименьшему общему	знаменателю	дроби .
Докажи , что дробь , в знаменателе у которой нет простых делителей , можно привести к	знаменателю	вида .
Тем самым мы привели три заданные дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Ира задумала число , прибавила его к числителю и	знаменателю	дроби , затем сократила полученную дробь и получила в результате .
Тогда ее можно привести к	знаменателю	и для некоторых натуральных чисел выполняется равенство .
А как вообще по числителю и	знаменателю	дроби узнать , можно ли ее записать в виде конечной десятичной ?
Приведи дробь к	знаменателю	вида и запиши соответствующую десятичную дробь .
Приведи дроби к наименьшему общему	знаменателю	и расположи их : в порядке возрастания ; в порядке убывания .
Сравни дроби , приводя их к наименьшему общему	знаменателю	.
Приведи примеры дробей , которые можно привести к	знаменателю	, к знаменателю .
В каком случае несократимую дробь можно привести к	знаменателю	? .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к	знаменателю	, и множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно привести к	знаменателю	.
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему	знаменателю	; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Дробь сократима в том и только в том случае , когда ее числитель кратен	знаменателю	.
Выбери дроби , которые можно привести к	знаменателю	вида и выполни преобразования .
Как и при сложении , запись упрощают , а дробные части , в случае необходимости , приводят к общему	знаменателю	.
Что можно сказать о числе , если известно , что дробь можно привести к	знаменателю	.
Какие из дробей можно привести к	знаменателю	.
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	, можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Как и на сколько изменится дробь , если к ее числителю и	знаменателю	прибавить ? .
Приведи дроби к общему	знаменателю	и выполни действия ( значения всех переменных - натуральные числа ) .
К числителю и	знаменателю	дроби — прибавили .
Сократи дроби , а затем приведи их к наименьшему общему	знаменателю	.
Что же касается дробей с разными знаменателями , то для их сложения или вычитания достаточно привести их к одному	знаменателю	.
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее числителю и	знаменателю	прибавляют одно и то же натуральное число .
Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему	знаменателю	.
Оказывается , если дробь несократима , то все зависит только от ее	знаменателя	.
Не меняется частное и при умножении числителя и	знаменателя	на одно и то же натуральное число .
Дробь называется правильной , если ее числитель меньше	знаменателя	.
Найди дробь , у которой числитель меньше	знаменателя	"и которая не изменится , если ее запись перевернуть "" вверх ногами "" ."
Если числитель дроби меньше	знаменателя	, то дробь называют правильной , а если он больше или равен знаменателю , то дробь называют неправильной . .
Какие простые множители могут входить в разложение на множители нового	знаменателя	? .
А если к числителю прибавить тысячную долю	знаменателя	? .
Дробь сократима , если и только если наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	больше .
Для этого нужно сократить ее на наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	.
Числитель дроби больше ее	знаменателя	.
Как изменяется дробь с увеличением и уменьшением числителя ,	знаменателя	?
На практике часто удобно не вычислять НОД числителя и	знаменателя	, а проводить сокращение дроби последовательно , например : ( сначала сократили , а потом ) .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и	знаменателя	соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают знаменатель , кратный всем	знаменателям	данных дробей .
Его	значение	, равное 5 , называют значением буквенного выражения а - Ъ при а = 8 и Ь = 3 .
Составь выражение по следующей программе и найди его	значение	: .
В практических расчетах	значение	имеет не столько удобство вычислений , сколько степень точности ответа .
Запиши выражение и найди его	значение	.
Докажи , что	значение	выражения является наименьшим натуральным числом .
Существует ли натуральное	значение	х , удовлетворяющее равенству х - 12 = х ?
Найди	значение	полученного выражения .
Например ,	значение	выражения ( 43 + 57 ) • 32 равно 3200 .
Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает , что эти выражения имеют одно и то же	значение	, то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
Составь выражение и найди его	значение	: .
Найти	значение	выражения 120 - 25 - 25 - 2 .
Составь выражение , соответствующее заданной программе действий , и найди	значение	выражения : .
Запиши выражение для ответа на вопрос задачи и найди его	значение	при данных значениях букв : .
Действительно , если	значение	х больше 7 , то х + 3 будет больше 10 , и тогда произведение х(х + 3 ) окажется больше 70 .
Проверь , зависит ли	значение	суммы от порядка действий .
Можешь ли ты найти его	значение	при х = 5 , х = 20 , х = 0 ? .
Составь выражение и найди его	значение	при х = 6 .
Составь из чисел , записанных в квадрате , скобок и знаков и выражение ,	значение	которого равно 1 .
Упрости выражение и найди его	значение	при данном значении переменной .
Не выполняя вычислений , найди среди чисел , записанных в рамке , точное	значение	частного .
Принадлежит ли множеству натуральных чисел	значение	дроби .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости выражение и найди его	значение	.
Найти	значение	х , для которого выполняется равенство х(х + 3 ) = 70 .
Аналогично можно показать , что если	значение	х меньше 7 , то произведение х(х + 3 ) окажется меньше 70 .
Нам надо найти такое	значение	х , при котором значение выражения х(х + 3 ) было бы равно 70 .
Составь выражение и найди его	значение	при заданных значениях букв .
Найди	значение	разностей .
Нам надо найти такое значение х , при котором	значение	выражения х(х + 3 ) было бы равно 70 .
Приближенное	значение	диаметра Земли равно , а диаметра Солнца .
Упрости выражение и найди его	значение	.
Найди	значение	выражения ( в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе ) .
Найди	значение	выражения .
Мы видим , что выбранное	значение	х слишком мало Возьмем теперь х — 6 : 6 ( 6 + 3 ) = 54 , и снова выбранное значение мало , хотя и ближе к искомому .
Мы видим , что выбранное значение х слишком мало Возьмем теперь х — 6 : 6 ( 6 + 3 ) = 54 , и снова выбранное	значение	мало , хотя и ближе к искомому .
Составь выражение и найди его	значение	при заданных значениях переменных .
Запиши выражение и найди его	значение	при данных значениях букв .
Если сумма ( разность ) принадлежит таблице , игрок отмечает в таблице ее	значение	соответственно “ крестиком ” или “ ноликом ” .
Сделай прикидку , округлив до целых , а затем найди точное	значение	выражения .
Найти	значение	выражения 105 - 400 : 23 .
Вычислить	значение	выражения .
Найди	значение	произведения .
Вырази в дециметрах и найди	значение	выражения .
Запиши следующие две разности и найди их	значение	.
Найди	значение	буквенного выражения при данных .
Составь выражение и найди его	значение	при .
Найди с помощью прикидки приближенное	значение	частного .
Найди по формуле	значение	.
Составь выражение и найди его	значение	.
Прочитай выражение и найди его	значение	.
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных значениях п	значение	выражения 21 + 1 является простым числом .
Найди	значение	выражения , используя метод “ доходов и расходов ” .
Предложения , в которых разъясняется	значение	новых слов , в математике называют определениями .
Перемножать числа 6851 и 333 здесь не нужно - поскольку мы уже указали частное , а определять его числовое	значение	в условии данной задачи не требуется .
Составь буквенное выражение и найди его	значение	.
При этом каждый раз	значение	""" нового "" , незнакомого термина разъясняется с помощью знакомых , уже известных ."
Для ответа на поставленный вопрос достаточно найти	значение	этого выражения .
Пользуясь свойствами сложения и умножения , упростим левую часть уравнения , а затем найдем искомое	значение	.
Запиши три пары значений переменных х и у , при которых	значение	выражения 12х + 45г/ : делится на 2 ; .
Обозначим искомое	значение	буквой .
Найди	значение	буквенного выражения .
Происходит это потому , что точное	значение	частного равно несократимой дроби , в знаменателе которой есть простой множитель .
При каких значениях переменной	значение	выражения делится на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
Составь выражение и найди его	значение	при данных значениях букв : .
Выполни программу действий , затем по данной программе составь выражение и найди его	значение	.
Запиши числовое выражение и найди его	значение	: .
Вырази в метрах и найди	значение	выражения .
Итак , в десятичной записи дроби :	значение	каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Полный перебор можно провести , рассматривая последовательно все значения х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее	значение	у от 0 до 9 .
Таким образом , решением задачи является	значение	х , удовлетворяющее равенству .
Найди	значение	выражения разными способами .
Особое	значение	для математики имеют общие утверждения .
Это число называется	значением	выражения .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде десятичной дроби , которая является приближенным	значением	частного с точностью до миллиардных .
Его значение , равное 5 , называют	значением	буквенного выражения а - Ъ при а = 8 и Ь = 3 .
Упрости выражение и найди его значение при данном	значении	переменной .
Исходя из	значений	слов в русском языке , отгадай по рисункам значения математических терминов и сформулируй свои варианты соответствующих определений .
Проверь справедливость записанных равенств для	значений	букв , взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору .
Рассматривая различные предложения в предыдущем пункте , мы делали вывод об их равносильности благодаря знанию	значений	"слов русского языка ( "" брат "" , "" сестра "" , "" родители "" и т д ) и слов иностранного языка и т д ) ."
Запиши множество натуральных	значений	переменной у , при которых дробь — является неправильной сократимой дробью .
Составь таблицу соответственных	значений	.
Составь таблицу соответственных	значений	, если страниц в час .
Запиши в виде двойного неравенства множество всех	значений	, которые может принимать .
Найди несколько	значений	, удовлетворяющих неравенству .
Поэтому неизвестное число х не меньше 5 , и можно рассматривать только пять	значений	х - от 5 до 9 .
Составь таблицу соответствующих	значений	.
Подбери еще две пары	значений	по собственному выбору и проверь свою гипотезу .
Докажи , что произведение	значений	данных выражений равно .
Построй таблицу соответствующих	значений	и определи , как изменяются значения с увеличением значений .
Найди множество	значений	переменной и обозначь его .
Построй таблицу соответствующих значений и определи , как изменяются значения с увеличением	значений	.
Запиши формулу зависимости расстояния между пешеходами от времени их движения и составь таблицу соответственных	значений	.
Запиши три пары	значений	переменных х и у , при которых значение выражения 12х + 45г/ : делится на 2 ; .
Найди множество	значений	"переменной х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим делителем всех чисел "" ."
Найди множество	значений	"переменной у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим делителем чисел 12 и 30 "" ."
Составь таблицу соответственных	значений	и Л ( 0 О < 9,1 е М ) .
Для каких	значений	букв они верны ? .
Запиши с помощью двойного неравенства множество возможных	значений	, если .
Расшифруй названия различных способов образования новых	значений	слов в языке , сопоставив ответы соответствующим буквам и расположив их : .
Запиши формулу зависимости расстояния между собакой и лисицей от времени их движения и составь таблицу соответственных	значений	.
Реши уравнения : множество	значений	переменной , при которых одновременно дробь — будет правильной , а дробь — неправильной .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно	значению	дроби .
Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Полный перебор можно провести , рассматривая последовательно все	значения	х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение у от 0 до 9 .
Существуют ли значения переменных , при которых	значения	всех трех выражений будут равны ? .
Сократи дроби , представляя степени в виде произведений (	значения	всех переменных — натуральное число ) .
Найди	значения	выражений и поставь между ними знак равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия (	значения	всех переменных - натуральные числа ) .
Сравни соответственные	значения	в таблице и найди другую формулу , выражающую зависимость .
Сравни , не вычисляя , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Найди эти	значения	в словаре или энциклопедии . .
При решении задач методом проб и ошибок мы видели , что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том , что найдены все искомые	значения	.
Оно имеет два	значения	: одно - из области балета , а второе - из области живописи .
Найди такие	значения	переменных х и у , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
Пользуясь формулой деления с остатком а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные	значения	букв в таблице .
Найди	значения	частных кратчайшим способом .
Уравнять , если необходимо , число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе , не меняя	значения	дроби .
Может ли принимать	значения	? .
В таблице приведены	значения	переменной у при указанных значениях переменной х.
Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей , взяв	значения	букв по собственному выбору .
Вычисли	значения	данных выражений , найди их сумму и воспользуйся указанным ключом для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
Найди	значения	частных .
Пользуясь блок - схемой , вычисли	значения	и расположи их в порядке убывания , сопоставив соответствующим буквам .
Построй таблицу соответствующих значений и определи , как изменяются	значения	с увеличением значений .
Сократи дроби , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Найди	значения	выражений .
Выполни действия и сократи дроби , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Найди 3	значения	переменной , при которых выражение : .
Найди	значения	выражений : .
Существуют ли	значения	переменных , при которых значения всех трех выражений будут равны ? .
Ширину прямоугольника увеличили , а длину - от первоначального	значения	.
Выполни действия и расположи полученные	значения	переменной х в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
в таблице приведены	значения	переменной у при указанных значениях переменной х.
В таблице приведены соответствующие	значения	переменных х и у. Построй формулу , выражающую зависимость у от х .
Прочитай выражения и найди их	значения	.
Выполни действия , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Найди	значения	выражения ( 18 - х ) : х для всех х , принадлежащих множеству { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 } .
При вычислении	значения	получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Подбери три	значения	х так , чтобы произведение : .
Найди два	значения	т такие , чтобы сумма 35 + т ; делилась на 5 ; не делилась на 5 .
Найди все	значения	переменной с , принадлежащие , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения .
Переменная принимает	значения	из множества .
Проверь , что	значения	выражения п2 + п + 41 ( трехчлен Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются простыми числами .
Какие	значения	может принимать ?
Уравняй число знаков после запятой в следующих числах , не меняя их	значения	.
Существуют ли натуральные	значения	а и п , при которых выполняются соотношения : ап < а • и ; 2 ) ап > а • п ; 3 ) ап = а • п ? .
Прочитай выражения и найди их	значения	при а = = 11 , Ъ = 7 .
Прочитай в энциклопедии или словаре , как образуются новые	значения	слов этими способами .
Составь выражения и найди их	значения	.
Найди	значения	выражений и сравни их .
Найди	значения	данных выражений таким же способом .
Подбери два	значения	х так , чтобы выражение : .
Найди все	значения	переменной а из множества , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения : .
Пользуясь ими , найди , если возможно ,	значения	выражений .
Запиши какое - нибудь числовое выражение , для вычисления	значения	которого нужно последовательно выполнить : .
Зависит ли ответ от	значения	? .
Составь все возможные разности из чисел и найди их	значения	.
Исходя из значений слов в русском языке , отгадай по рисункам	значения	математических терминов и сформулируй свои варианты соответствующих определений .
Вычисли	значения	выражений .
Составь все возможные суммы из чисел и найди их	значения	.
Составь выражения и найди их	значения	при данных значениях букв : .
Выполни деление , если	значения	всех переменных - натуральные числа .
Найди	значения	сумм .
Прочитай выражения и определи , равны ли их	значения	.
Буквы соответствуют полученным	значениям	.
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных	значениях	п значение выражения 21 + 1 является простым числом .
Разбей данные 6 чисел на группы таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли числа , равные при любых натуральных	значениях	а , Ь и с .
Составь выражение и найди его значение при заданных	значениях	переменных .
Запиши выражение для ответа на вопрос задачи и найди его значение при данных	значениях	букв : .
Составь выражение и найди его значение при заданных	значениях	букв .
	Значениях	букв .
При любых ли	значениях	а задача имеет смысл ?
Докажи , что при всех натуральных	значениях	переменных выражения 28х , 96тпй , 52(г/ + г ) кратны 2 .
Какие из высказываний : верны при всех значениях ; неверны при всех	значениях	? .
Построй математическую модель задачи и найди ответ при данных	значениях	букв .
Запиши выражение и найди его значение при данных	значениях	букв .
Истинными или ложными становятся следующие предложения при указанных	значениях	переменных х .
Докажи , что выражение 2935с + 16000с/ кратно 5 при любых	значениях	переменных с и < 1 .
Составь выражение и найди его значение при данных	значениях	букв : .
При каких	значениях	х число Их является простым ? .
В таблице приведены значения переменной у при указанных	значениях	переменной х.
Определи , какие из данных равенств истинны при любых натуральных	значениях	а , Ь и с , а для оставшихся приведи контрпримеры .
Истинными или ложными высказываниями становятся следующие предложения при указанных	значениях	букв х и у ? . .
Построй математическую модель задачи и найди ответ при данных	значениях	букв : .
При каких	значениях	переменной верно равенство .
При всех ли натуральных	значениях	п будут получаться простые числа ? .
Казалось бы , задача уже решена , но это не так : ведь может оказаться , что буквенное выражение равно 70 при разных	значениях	х. Например , произведение х • ( 17 - х ) равно 70 и при х = 7 , и при х = 10 .
в таблице приведены значения переменной у при указанных	значениях	переменной х.
Какие из высказываний : верны при всех	значениях	; неверны при всех значениях ? .
Истинными или ложными становятся следующие предложения при указанных	значениях	переменных х и у ? . .
Составь выражения и найди их значения при данных	значениях	букв : .
При каких	значениях	переменной значение выражения делится на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
Назови трех ребят , показавших лучшую результативность ( результативность — это частное от деления числа набранных очков на число	игр	) .
Результаты их	игр	за последние полгода приведены в таблице .
В котором часу закончилась последняя	игра	, если первая игра началась в 10 ч 15 мин , а перерывы между играми длились по 40 мин ? .
В котором часу закончилась последняя игра , если первая	игра	началась в 10 ч 15 мин , а перерывы между играми длились по 40 мин ? .
В котором часу закончилась последняя игра , если первая игра началась в 10 ч 15 мин , а перерывы между	играми	длились по 40 мин ? .
Среди результатов по слалому и санному спорту , показанных спортсменами на Олимпийских	играх	в Норвегии , определи лучший и найди , сколько долей секунды отделяют его от второго результата .
В компьютерной	игре	“ Охота на динозавров ” разыгрывается очков .
Кто победил в этой	игре	?
В	игре	“ Пойми меня ” команда “ Веселые ребята ” в первой части игры заработала очков , что составило числа очков , заработанных во второй части , и числа очков , заработанных в третьей части .
Игра проводится по аналогии с	игрой	“ Крестики - нолики ” .
По аналогии с	игрой	“ крестики - нолики ” найди строку , столбец или диагональ , сумма чисел в которых дает выигрышную сумму , указанную над таблицей . .
Взял Басик с собой в путь - дорогу свою любимую	игру	""" Пентамино "" ."
Двое играют в следующую	игру	.
Игорь , Дима и Олег играли в	игру	.
В один из дней теннисного турнира на одном корте были сыграны 3	игры	, которые длились соответственно 1 ч 48 мин , 1 ч 56 мин и 2 ч 8 мин .
В игре “ Пойми меня ” команда “ Веселые ребята ” в первой части	игры	заработала очков , что составило числа очков , заработанных во второй части , и числа очков , заработанных в третьей части .
Для	игры	все дети разбились на команды по Ъ человек в каждой .
Из них после уроков домой ушли 7 человек , а остальные разбились на 3 команды для	игры	.
Столько учеников веду я к рождению вечной	истины	""" ."
В 1632 году , в год поступления в мушкетеры , Д’Артаньян участвовал в дуэлях с гвардейцами	кардинала	и другими противниками вдвое чаще , чем Арамис .
Расстояние от Парижа до замка	кардинала	Ришелье 220 км .
Через 10 мин вдогонку за мушкетерами поскакали гвардейцы	кардинала	со скоростью 800 м / мин .
Графиня Винтер выехала из Парижа в замок	кардинала	со скоростью 24 км / ч .
Пусть он восстановит твою карту , а ты , в свою очередь , восстанови его	карту	.
Нанеси на	карту	объекты : форт , бухта , склад , водопад , гора , форт , наблюдательная вышка и еще два каких - нибудь объекта .
Пусть он восстановит твою	карту	, а ты , в свою очередь , восстанови его карту .
Это	касается	и обычного , и математического языка .
Что же	касается	дробей с разными знаменателями , то для их сложения или вычитания достаточно привести их к одному знаменателю .
Что же	касается	их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с обыкновенными дробями , и выполняются почти так же , как с натуральными числами .
Это	касается	, конечно , и обычной жизни .
А вот смотри , если прибавить к твоему возрасту , 38 годам , число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получим полный	квадрат	.
Имеют ли оси симметрии параллелограмм , прямоугольник , ромб ,	квадрат	, и если да - то сколько ?
Является ли трапецией параллелограмм , прямоугольник , ромб ,	квадрат	? .
Если от удвоенного неизвестного числа отнять , то получим	квадрат	числа .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ;	квадрат	разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ;	квадрат	числа ; куб числа .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет	квадрат	( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Используя все 7 частей , на которые разделен	квадрат	в № 671 , составь силуэты нарисованных фигур : домика , курицы и кошки .
Длину прямоугольника уменьшили на 3 см , а ширину увеличили на 4 см и получили	квадрат	.
Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел , при умножении которого на 2 получается точный	квадрат	, а при умножении на 3 - точный куб .
Можно найти	квадрат	, площадь которого составляет 49 м .
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м , а длину уменьшили на 5 м , получили	квадрат	.
Что общего между фигурами ромб и	квадрат	и чем они различаются ? .
Существуют натуральных числа ,	квадрат	суммы которых равен .
Магический	квадрат	.
Существуют числа ,	квадрат	суммы которых равен сумме их квадратов .
Не выполняя вычислений , объясни , почему возведение в	квадрат	выполнено неверно .
Существуют числа ,	квадрат	разности которых равен разности их квадратов .
Витя нашел такое двузначное натуральное число , при умножении которого получается точный	квадрат	, а при умножении - точный куб .
Является ли параллелограммом прямоугольник , ромб ,	квадрат	? .
	Квадрат	числа ; двузначное число ; .
Нарисуем	квадрат	со стороной и разделим одну его сторону , а другую сторону - одинаковые части .
Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза , а ширину увеличили на 1 дм и получили	квадрат	.
Одну из сторон	квадрата	увеличили на 4 дм , а другую уменьшили на 6 дм .
Найди периметр и площадь	квадрата	со стороной , равной ширине этого прямоугольника .
Найти длину стороны	квадрата	.
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны	квадрата	.
Длина стороны	квадрата	.
В результате получилось число , большее	квадрата	задуманного числа .
Остальные клетки	квадрата	заполни так , чтобы он стал магическим , то есть чтобы сумма чисел по строкам , столбцам и диагоналям была одной и той же . .
Проанализируй ответы последнего столбика и придумай правило вычисления	квадрата	суммы двух чисел .
Ответы примеров соответственно их номерам запиши в клетки	квадрата	.
Площадь	квадрата	равна , и он разбит на одинаковые маленькие прямоугольники с длинами сторон .
Одну из сторон	квадрата	увеличили на 9 см , а другую уменьшили в 5 раз .
Ширина прямоугольника составляет — стороны	квадрата	.
Задумали число , разделили на него , полученное частное вычли , результат увеличили и получили число , большее	квадрата	числа .
Натуральное число может быть больше своего	квадрата	.
Во сколько раз площадь прямоугольника больше площади	квадрата	? .
Сторона одного	квадрата	равна 5 см , а другого - в 2 раза больше .
Сторона	квадрата	.
Во сколько раз площадь второго	квадрата	больше площади первого ?
На сколько квадратных миллиметров площадь этого прямоугольника меньше площади	квадрата	с тем же периметром ? .
49 шаров можно уложить в виде	квадрата	так , как показано на рисунке для 4 , 9 , 16 шаров .
Сумма	квадрата	числа а и куба числа .
Докажи , что полученный результат не зависит от размеров	квадрата	.
Найди периметр	квадрата	.
Найди частное куба числа а и	квадрата	числа .
Частное куба числа и	квадрата	числа .
Найти сторону	квадрата	, если площадь прямоугольника 60 дм2 .
Чему равна площадь	квадрата	, если площадь прямоугольника 91 м2 ? .
На рисунке закрашено = -=	квадрата	.
Найти сторону	квадрата	, если площадь прямоугольника равна 30 см2 .
Составь из чисел , записанных в	квадрате	, скобок и знаков и выражение , значение которого равно 1 .
Заполни пустое место в	квадрате	так , чтобы сумма всех чисел в нем равнялась единице .
"Читают соответственно : а2 - "" а в"	квадрате	""" , а3 - "" а в кубе ” ."
Осенью они собрали урожай : моркови с	квадратного	метра , а капусты .
Какую часть	квадратного	метра составляют ? .
Дачник приобрел участок земли	квадратной	формы с периметром по цене за сотку .
Может ли	квадратный	корень из числа быть равен самому числу ? .
Из куска свинца , имеющего форму куба с ребром , сделали	квадратный	лист толщиной .
за квадратный метр , за	квадратный	метр , петли за штуку , шурупов за десяток , защелку и ручки за штуку .
за	квадратный	метр , за квадратный метр , петли за штуку , шурупов за десяток , защелку и ручки за штуку .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует	квадратный	корень из числа а , являющийся натуральным числом .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует	квадратный корень	из числа а , являющийся натуральным числом .
Может ли	квадратный корень	из числа быть равен самому числу ? .
Число х называется	квадратным	корнем из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
Число х называется	квадратным корнем	из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
количество	квадратных	миллиметров в а квадратных сантиметрах ; .
количество	квадратных	метров в с ?
количество квадратных сантиметров в с	квадратных	дециметрах ; .
количество	квадратных	дециметров в 1 а , 1 га , 1 км2 ; .
Вырази ее в гектарах , в арах , в	квадратных	метрах .
Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в	квадратных	дециметрах .
количество	квадратных	сантиметров в с квадратных дециметрах ; .
количество	квадратных	дециметров в Ь арах ; .
количество квадратных миллиметров в а	квадратных	сантиметрах ; .
На сколько	квадратных	метров увеличилась его площадь ? .
На сколько	квадратных	миллиметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
Вычисли площадь фигуры , вырази ее в	квадратных	сантиметрах и округли .
Сколько	квадратных	метров обоев требуется для оклейки стен комнаты , если площадь окон и дверей равна 12 м2 , а отходы обоев при поклейке составляют часть площади оклеивания ?
Сколько	квадратных	метров в 1 км2 ? .
Сколько	квадратных	сантиметров в 1 м2 ? .
На сколько	квадратных	сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности прямоугольного параллелепипеда ? .
Сколько	квадратных	миллиметров в 1 см2 ? .
Вырази ее в	квадратных	метрах и округли полученное число до десятых .
Запиши выражение и сосчитай : сумма	квадратов	чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Квадрат суммы двух чисел равен сумме их	квадратов	.
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество	квадратов	.
Разность	квадратов	чисел 8 и 1 равна 63 .
Квадрат разности двух чисел равен разности их	квадратов	.
Существуют числа , квадрат разности которых равен разности их	квадратов	.
Существуют числа , квадрат суммы которых равен сумме их	квадратов	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников , множество ромбов , множество	квадратов	и множество прямоугольников .
Составь таблицу	квадратов	первых двадцати натуральных чисел .
Сумма	квадратов	чисел .
Разность	квадратов	чисел .
Существуют натуральных числа , сумма	квадратов	которых меньше .
Приведи несколько примеров точных	квадратов	и примеров чисел , не являющихся точными квадратами .
Найди методом проб и ошибок число :	квадратом	которого является 2209 ; кубом которого является 4913 .
Найди методом проб и ошибок число :	квадратом	которого является ; кубом которого является .
Каждая фигура на чертеже является	квадратом	.
Вторую степень называют	квадратом	, а третью - кубом числа а .
Натуральное число а называется точным	квадратом	, если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
Сумма кубов первых п последовательных натуральных чисел равна	квадрату	их суммы .
Полученные числа обладают следующей особенностью : сумма кубов этих чисел равна	квадрату	их суммы .
Найди отношение площади круга к	квадрату	его радиуса .
Перечисли все точные	квадраты	среди первых 100 натуральных чисел .
На чертеже есть	квадраты	.
Некоторые	квадраты	на чертеже не являются прямоугольниками .
Все шесть граней куба -	квадраты	.
Суок раздобыла у наследника Тутти	ключ	от клетки оружейника Просперо .
Вычисли значения данных выражений , найди их сумму и воспользуйся указанным	ключом	для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
В Московском Кремле находятся Царь -	колокол	и Царь - пушка , отлитые русскими мастерами .
Вес	колокола	- 200 т , а вес пушки составляет 20 % веса колокола .
Вес колокола - 200 т , а вес пушки составляет 20 % веса	колокола	.
Сережа из бросков попал в	кольцо	, а Дима из бросков попал раз .
Сережа и Дима соревновались , кто лучше бросает мяч в	кольцо	.
Как мы уже говорили , истинность высказывания на	конечном множестве	можно доказать , осуществляя непосредственный перебор .
Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием системы	координат	.
Далее с помощью	координат	он зашифровал место , где спрятан клад : .
Опиши их положение с помощью	координат	и сообщи эти координаты соседу по парте .
Чем характеризуются координаты точек , принадлежащих осям	координат	?
Например , координатой точки Е является число , координатой А - число , координатой М - число , а	координатой	С - число .
Число , соответствующее некоторой точке числового луча , называется	координатой	этой точки .
Например , координатой точки Е является число ,	координатой	А - число , координатой М - число , а координатой С - число .
Например , координатой точки Е является число , координатой А - число ,	координатой	М - число , а координатой С - число .
Запиши формулу зависимости переменной координаты х от времени движения I. Определи	координату	движущейся точки через 3 минуты после выхода .
Проведи луч ВА и отрезок СП и определи	координаты	их точки пересечения .
Построй отрезки и найди	координаты	их точки пересечения .
Определи	координаты	входа в пещеру .
Чем характеризуются	координаты	точек , принадлежащих осям координат ?
Опиши их положение с помощью координат и сообщи эти	координаты	соседу по парте .
Чем характеризуются	координаты	точек , расположенных на оси абсцисс , на оси ординат ? . .
Проведи диагонали этого прямоугольника и найди	координаты	их точки пересечения .
Запиши формулу зависимости переменной	координаты	х от времени движения I. Определи координату движущейся точки через 3 минуты после выхода .
Построй координатный угол и отметь в нем точки ,	координаты	которых удовлетворяют данной зависимости .
Определи	координаты	точки середины стороны треугольника .
|35 11 Определи	координаты	точек А , В , С , В и Е .
Найди цену деления шкалы фрагмента координатной прямой и определи	координаты	точек .
Проведи диагонали и найди	координаты	их точки пересечения .
Найди цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи	координаты	точек .
Определи	координаты	точек , отмеченных на рисунке .
Может ли квадратный	корень	из числа быть равен самому числу ? .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует квадратный	корень	из числа а , являющийся натуральным числом .
Упрости уравнение , а затем найди его	корень	.
	Корней	уравнения х : 7 = 8 ; .
Число х называется квадратным	корнем	из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
Найди	корни	"уравнений с помощью правила "" весов "" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
Найди	корни	"уравнений с помощью правила "" весов ” ."
Уравнение х(х - 5)(х - 7)(х + 11 ) = 0 имеет натуральные	корни	.
Все деревья имеют	корни	.
Найди натуральные	корни	уравнения методом проб и ошибок .
Дробь сократима в том и только в том случае , когда ее числитель	кратен	знаменателю .
Докажи , что сумма кратна ; не делится ; делится ; не	кратна	.
разность 8410 - 2927 не	кратна	10 ; .
Докажи , что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа , разность которых	кратна	четырем .
Число	кратно	.
Наташа забыла первую цифру в коде замка : * 85 327 , но помнила , что все шестизначное число было	кратно	3 .
"Прочитай определение числа , кратного 3 , используя слово "" называется "" : а"	кратно	3 < = > Зпе № а = Зп .
Докажи , что выражение 2935с + 16000с/	кратно	5 при любых значениях переменных с и < 1 .
Произведение 7 • 4500 • 398	кратно	100 .
Число , кратное ,	кратно	.
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а	кратно	натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Докажи , что число 102 060	кратно	18 , а число 45 является делителем числа 31 905 .
Существуют четные числа , кратные 3 : например , 26	кратно	3 .
Произведение 215 • 7209 • 36	кратно	9 .
И поскольку 100	кратно	4 и 25 , то все зависит от делимости на эти числа числа Ь .
Число 222 222 не	кратно	3 .
Если число оканчивается цифрами 0 или 9 , то оно	кратно	9 .
Трехзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	кратно	3 .
Трехзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	кратно	37 .
Всегда ли число , кратное двум различным числам ,	кратно	и их произведению ?
Если сумма цифр числа кратна 5 , то число	кратно	5 .
Докажи , что любое число	кратно	самому себе .
	Кратно	9 ? .
Полученное произведение 2 • 2 • 3 • 5 содержит оба разложения , а значит ,	кратно	каждому из них .
Какие цифры можно подставить вместо звездочки в записи 741 56 , чтобы получившееся число было :	кратно	3 ?
Поэтому приведенное определение	кратного	, например , может быть записано короче .
Какая последняя цифра может быть у числа ,	кратного	.
Найди наименьшее общее	кратное	чисел методом перебора .
Докажи , что данные числа взаимно простые , и найди их наименьшее общее	кратное	.
Подчеркни наименьшее общее	кратное	.
Найди наименьшее общее	кратное	чисел методом разложения на простые множители .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число ,	кратное	.
Объясни , почему наименьшее общее	кратное	двух чисел не может быть меньше любого из них ? .
Найти наименьшее общее	кратное	можно , перебирая кратные одного из чисел ( лучше взять большее число ) .
Наименьшее пятизначное число ,	кратное	10 , сумма цифр которого равна 12 .
Запиши множество кратных каждого числа и найди их наименьшее общее	кратное	: 6 и 8 ; 9 и 27 ; 7 и 3 .
Число ,	кратное	, кратно .
Найди наименьшее общее	кратное	чисел с помощью перебора .
Наименьшее общее	кратное	знаменателей данных дробей - число , и мы подсчитаем , чему равно .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ;	кратное	; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Умножим обе части уравнения на число - наименьшее общее	кратное	всех знаменателей дробей , входящих в его запись .
Всегда ли число ,	кратное	двум различным числам , кратно и их произведению ?
Может ли	кратное	числа быть меньше самого этого числа ? .
Укажи наибольший общий делитель и наименьшее общее	кратное	для чисел , представленных в виде произведения .
Наименьшее общее	кратное	.
Запиши множество кратных каждого числа и найди наименьшее общее	кратное	.
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее	кратное	знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Существует число ,	кратное	одновременно 8 и 12 .
Если к двузначному числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число ,	кратное	.
Укажи наименьшее общее	кратное	для чисел 5 - 7 и 2 - 7 - 11 .
Найди наименьшее общее	кратное	чисел с помощью разложения на простые множители .
И вообще , наименьшее общее	кратное	взаимно простых чисел равно их произведению .
общее	кратное	.
Наибольшее семизначное число ,	кратное	1000 , сумма цифр которого равна 15 .
Наименьшее общее	кратное	чисел а и Ь обозначается НОК ( а , Ь ) .
Числа 32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих множителей , поэтому наименьшее общее	кратное	оказалось равным их произведению .
Найди наименьшее общее	кратное	чисел .
При этом для простоты вычислений знаменатель лучше выбирать как можно меньший , а для этого нужно взять наименьшее общее	кратное	знаменателей всех получившихся дробей .
Любую дробь можно привести к знаменателю ,	кратному	знаменателю этой дроби .
Все числа из множества { 75 , 125 , 450 }	кратны	25 .
Расшифруй название одного из филиппинских народов , расположив числа , которые не	кратны	9 , в порядке возрастания и сопоставив их соответствующим буквам : .
"Приведи контрпример к утверждению : "" Все натуральные решения неравенства 8 < х < 11"	кратны	"двум "" ."
Все числа из множества { 1001 , 10011001 , 100110011001 }	кратны	7 , 11 и 13 .
Дробь , числитель и знаменатель которой	кратны	, сократима .
Дробь сократима тогда и только тогда , когда ее числитель и знаменатель	кратны	.
Докажи , что при всех натуральных значениях переменных выражения 28х , 96тпй , 52(г/ + г )	кратны	2 .
Все числа	кратны	десяти .
Выбери из чисел 5 , 7 , 21 , 25 , 28 , 35 , 42 , 56 , 75 , 80 те , которые : кратны 5 ; являются делителями 100 ;	кратны	4 и 7 .
Числа , кратные 5 , не всегда	кратны	10 .
Из приведенных выше чисел отбери те , которые не	кратны	3 , и тоже расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам .
Какие из чисел	кратны	2 , а какие – нет .
Выбери из чисел 5 , 7 , 21 , 25 , 28 , 35 , 42 , 56 , 75 , 80 те , которые :	кратны	5 ; являются делителями 100 ; кратны 4 и 7 .
Он записывал все числа от 1 до какого - либо числа , вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал кратные 2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались	кратные	"первого "" уцелевшего ” числа ( кроме , разумеется , самого этого числа ): ."
Делители и	кратные	.
Однако существуют и меньшие числа ,	кратные	12 и 30 , - например , 180,120 , 60 .
Выбери из множества А = { 11 111 , 78 012 , 123 400 , 405 405 , 888 888 } числа ,	кратные	: а ) 10 ; б ) 2 ; в ) 5 ; г ) 3 ; д ) 9 .
Найти наименьшее общее кратное можно , перебирая	кратные	одного из чисел ( лучше взять большее число ) .
	Кратные	2 ; кратные 5 ( цифры в записи числа не повторяются ) .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не	кратные	2 .
кратные 2 ;	кратные	5 ( цифры в записи числа не повторяются ) .
Некоторые числа ,	кратные	четырем , оканчиваются цифрой 4 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е )	кратные	5 , но не кратные 2 .
Существуют числа ,	кратные	пяти .
Существуют четные числа ,	кратные	3 : например , 26 кратно 3 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не	кратные	5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а )	кратные	2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б )	кратные	5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Как можно последовательно выписать все	кратные	данного числа ?
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д )	кратные	2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в )	кратные	2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные числа : а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не	кратные	ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
Любые два числа а иЬ имеют общие	кратные	, например , их общими кратными являются произведения ад , 2аЬ , ЗаЬ и т.д.
Числа ,	кратные	5 , не всегда кратны 10 .
Он записывал все числа от 1 до какого - либо числа , вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал	кратные	"2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "" уцелевшего ” числа ( кроме , разумеется , самого этого числа ): ."
Выпиши все двузначные числа ,	кратные	25 .
Все числа ,	кратные	десяти , оканчиваются нулем .
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не	кратные	2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
Выпиши все трехзначные числа , состоящие из цифр 2 , 4 , 6 и	кратные	4 ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Какие числа ,	кратные	5 , являются решениями неравенства .
Таким образом , числа ,	кратные	2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают знаменатель ,	кратный	всем знаменателям данных дробей .
Определи , не вычисляя , является ли число 2 • 2 • 3 • 5	кратным	для чисел а , b , с и с/. Проверь с помощью вычислений .
При этом число с называется частным от деления а на b , число а —	кратным	Ь , а число Ь - делителем а .
Натуральное число а называется	кратным	натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
Число 60 является их наименьшим общим	кратным	.
Найди в каждом равенстве число , которое является	кратным	двух других чисел ( делителей ) .
Наибольшим решением неравенства 9570 < х < 10 815 ,	кратным	3 и 5 , является число 10 800 .
Видим , что в разложении числа 140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35 , то есть 140 является	кратным	этих чисел .
Запиши другие равенства , устанавливающие соотношение между этими делителями и их	кратным	: 12 - 6 = 72 ; 2)32:4 = 8 .
Значит , 140 является в данном случае и наименьшим общим	кратным	НОК ( 28 , 35 , 140 ) = 2 • 2 • 5 • 7 = 140 .
Между какими двумя последовательными числами ,	кратными	3 , заключено каждое из чисел : 317 , 523 , 619 ?
Между какими двумя последовательными числами ,	кратными	9 , заключено каждое из чисел : 289 , 443 , 702 ?
кратными 8 ;	кратными	5 и делителями 60 .
	Кратными	8 ; кратными 5 и делителями 60 .
делителями 36 ; делителями 24 и	кратными	3 ; .
Любые два числа а иЬ имеют общие кратные , например , их общими	кратными	являются произведения ад , 2аЬ , ЗаЬ и т.д.
Запиши множество чисел ,	кратных	9 , которые являются решениями неравенства .
Запиши множество	кратных	каждого числа и найди наименьшее общее кратное .
Составь множество делителей и множество	кратных	числа 15 , а затем - числа 20 .
Запиши последовательно в порядке возрастания , начиная с наименьшего , десять	кратных	числа 15 .
Запиши с помощью фигурных скобок множество	кратных	для каждого из чисел : 4 , 5 , 14 , 16 , 21 .
Найди четыре различные цифры , которые могут стоять в разряде десятков у чисел ,	кратных	25 ? .
Назови несколько	кратных	для каждого из чисел : 2 , 7 , 39 , а .
Выпиши множество решений неравенства 978 < х < 1020 ,	кратных	10 .
	Кратных	числа 9 ; .
Запиши множество делителей и множество	кратных	числа 36 .
Запиши множество	кратных	каждого числа и найди их наименьшее общее кратное : 6 и 8 ; 9 и 27 ; 7 и 3 .
Запиши множества чисел ,	кратных	числам 15 и 18 , и множество К ( 15 , 18 ) их общих кратных .
простых чисел ; чисел ,	кратных	3 и 5 ; .
Может ли число иметь более 1000	кратных	? .
Запиши множество четных трехзначных чисел , кратных 25 , но не	кратных	4 .
Запиши множество двузначных чисел , больших 87 и не	кратных	ни 2 , пи 5 .
Пользуясь результатами предыдущего задания , запиши множество общих	кратных	для чисел : 4 и 5 ; 4 и 16 ; 14 и 21 .
составных чисел ; чисел ,	кратных	3 или 5 ; .
чисел , не	кратных	2 ; делителей 8 и 12 .
Назови три числа ,	кратных	двум .
Составляя множество их общих	кратных	; .
Между числами 200 и 220 имеется 6 чисел ,	кратных	3 .
сумма всех двузначных чисел ,	кратных	10 ; .
Запиши множество четных трехзначных чисел ,	кратных	25 , но не кратных 4 .
Выпиши три нечетных числа , больших 1000 и	кратных	25 .
Запиши множество трехзначных чисел , больших 970 и	кратных	5 .
Найди отношение площади	круга	к квадрату его радиуса .
Чему примерно равна длина беговой дорожки ипподрома , имеющей форму	круга	радиусом ? .
На рисунке закрашена	круга	.
В каждой половине содержится	круга	.
Измерь с помощью палетки площадь произвольного	круга	.
На чертеже есть	круги	.
Отец с сыном сделали	кругов	.
Радиусы	кругов	на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно .
Возвести в	куб	число .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ;	куб	числа .
Существует ли	куб	, длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ;	куб	суммы чисел .
	Куб	числа ; неправильная дробь .
Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел , при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный	куб	.
Витя нашел такое двузначное натуральное число , при умножении которого получается точный квадрат , а при умножении - точный	куб	.
Длина ребра одного	куба	5 см , а другого - в 2 раза больше .
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности	куба	больше площади поверхности прямоугольного параллелепипеда ? .
Найди частное	куба	числа а и квадрата числа .
Объем	куба	равен 64 см3 .
Во сколько раз объем второго куба больше объема первого	куба	?
Докажи , что полученный результат не зависит от размеров	куба	.
На поверхности	куба	найди кратчайший путь : .
Какая наибольшая длина ребра может быть у этого	куба	? .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем	куба	с длиной ребра 4 см .
Сумма квадрата числа а и	куба	числа .
Во сколько раз объем второго	куба	больше объема первого куба ?
Из куска свинца , имеющего форму	куба	с ребром , сделали квадратный лист толщиной .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра	куба	, объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Чему равна длина ребра этого	куба	? .
Площадь поверхности	куба	равна .
Бак без крышки имеет форму	куба	с ребром .
Подумай , какие из фигур , изображенных на рисунке , являются развертками поверхности этого	куба	.
Из проволоки длиной 1 м 85 см надо сделать каркасную модель	куба	.
Все шесть граней	куба	- квадраты .
Он имеет форму	куба	с длиной ребра 80 см. Бак надо покрасить снаружи и изнутри .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность	кубов	чисел ; куб суммы чисел .
Сумма	кубов	чисел 1 и 2 равна 27 . .
Полученные числа обладают следующей особенностью : сумма	кубов	этих чисел равна квадрату их суммы .
Составь таблицу	кубов	первых десяти натуральных чисел .
Сумма	кубов	первых п последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы .
Найди методом проб и ошибок число : квадратом которого является ;	кубом	которого является .
Вторую степень называют квадратом , а третью -	кубом	числа а .
Найди методом проб и ошибок число : квадратом которого является 2209 ;	кубом	которого является 4913 .
Прямоугольный параллелепипед равен по объему	кубу	с ребром .
Построй круговую и	линейную	диаграммы распределения завоеванных медалей по их видам .
Замкнутая	ломаная	линия без самопересечений называется многоугольником , а ее звенья - сторонами многоугольника .
Каждый из отрезков , составляющих ломаную , называется звеном	ломаной	, а концы этих отрезков - вершинами ломаной .
Каждый из отрезков , составляющих ломаную , называется звеном ломаной , а концы этих отрезков - вершинами	ломаной	.
Каждый из отрезков , составляющих	ломаную	, называется звеном ломаной , а концы этих отрезков - вершинами ломаной .
Нарисуй в тетради замкнутую	ломаную	линию без самопересечений .
множество	ломаных	линий ; .
Построй луч ТК , который пересекает	луч	ВС , но не пересекает отрезок ВС .
Построй	луч	ТК , который пересекает луч ВС , но не пересекает отрезок ВС .
Световой год - это расстояние , которое	луч	света преодолевает в вакууме за один астрономический земной год .
Проведи	луч	ВА и отрезок СП и определи координаты их точки пересечения .
Нарисуй числовой	луч	, приняв за единицу клеток тетради .
Начерти координатный	луч	и отметь на нем точки , выбрав удобную цену деления : . .
Перерисуй в тетрадь координатный	луч	и изобрази на нем движение точки .
Вместе с тем , числовой	луч	обычно используют для сравнения , сложения и вычитания чисел тогда , когда числа несложно изобразить .
Это	луч	, на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Начерти координатный	луч	, приняв за единичный отрезок клеток .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало	луча	соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Множество точек числового	луча	, удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью точки .
Начерти два	луча	ОА и ОВ , исходящие из точки О. На сколько частей разделил плоскость угол АОВ ‘ ?
Найди расстояние между точками А и В координатного	луча	, если .
Проиллюстрируй решение с помощью числового	луча	.
Как сравнить дроби с помощью числового	луча	? .
Изобрази с помощью числового	луча	окрестность точки .
Как найти расстояние между двумя точками координатного	луча	? . .
Из полученной неправильной дроби выдели целую часть и проиллюстрируй это преобразование с помощью числового	луча	.
Натуральные и дробные числа можно изображать точками числового ( координатного )	луча	.
Проследи изменения числа монет у малышей с помощью числового	луча	.
Два	луча	с общим началом , составляющие прямую , называются дополнительными лучами .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала	луча	.
Число , соответствующее некоторой точке числового	луча	, называется координатой этой точки .
Углом называется геометрическая фигура , образованная двумя	лучами	с общим началом .
Два луча с общим началом , составляющие прямую , называются дополнительными	лучами	.
Угол называется развернутым , если его стороны являются дополнительными	лучами	.
	Лучами	АО и О А , АС и СА , ВС и СВ .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными	лучами	для сторон другого .
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются дополнительными	лучами	.
Отметь полученные дроби на числовом	луче	.
На числовом	луче	отмечены точки .
Запиши множество дробей , удаленных на числовом	луче	от дроби .
Особенно хорошо это видно на числовом	луче	.
Перерисуй чертеж на бумагу без клеток и отметь на	луче	с помощью циркуля точки .
Запиши с помощью двойного неравенства множество чисел , удаленных на числовом	луче	от дроби меньше , чем на .
На числовом	луче	можно также изображать сложение и вычитание чисел .
По расположению двух точек на числовом	луче	можно сравнивать числа : большее из двух чисел расположено правее , а меньшее — левее .
Найди пересечение этих	лучей	.
Обведи карандашами разного цвета	лучи	АВ и СА .
Измерь с помощью транспортира углы , образованные этими отрезком и	лучом	.
Движение точки по координатному	лучу	описывается формулой время в секундах .
Эта точка принадлежит	лучу	и называется его началом . .
В этих банок были абрикосы , всех банок за	минусом	банок с абрикосами - вишни , а в остальных банках - персики .
Монеты XIX века составляют от числа всех монет за	минусом	монет XVII – XVII вв , а остальные - дореволюционные монеты XX века .
Действительно , в записи	многозначного	натурального числа можно отделить единицы , то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Какими цифрами не может оканчиваться	многозначное	простое число ? .
Какими цифрами может оканчиваться	многозначное	составное число ?
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на	многозначное	число мы можем делить , как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
В полученном	многозначном	числе , не переставляя цифры , вычеркнуть половину цифр так , чтобы оставшиеся выражали : наименьшее возможное число ; наибольшее .
Четырехугольником называется	многоугольник	с четырьмя сторонами .
Построй	многоугольник	по координатам его вершин .
Построй формулу зависимости величины угла правильного	многоугольника	от числа его сторон .
Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется многоугольником , а ее звенья - сторонами	многоугольника	.
Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр	многоугольника	- буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
Диагональю	многоугольника	называется отрезок , соединяющий любые две его не соседние вершины .
Все фигуры па чертеже -	многоугольники	.
Найди на рисунке правильные	многоугольники	.
множество	многоугольников	; .
Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется	многоугольником	, а ее звенья - сторонами многоугольника .
Треугольник не является	многоугольником	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних треугольников .
Найди пересечение и объединение этих	множеств	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	, где множество всех четырехугольников , множество ромбов , множество квадратов и множество прямоугольников .
Перечерти диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А , В и С в тетрадь и раскрась указанные множества .
Найди объединение и пересечение	множеств	натуральных решений неравенств .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	С и Л , найди их объединение и пересечение .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	В ( 42 ) и В ( 63 ) , найди их объединение и пересечение .
Найди объединение и пересечение	множеств	. .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А и В .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А и В , найди их объединение и пересечение .
Что общего у линий обоих	множеств	?
Найди объединение и пересечение	множеств	А и В натуральных решений неравенств .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	Е и Е. Что ты замечаешь ? .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А и В и найди их пересечение .
Нарисуй на одном рисунке диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна этих	множеств	.
Нарисуй диаграммы Эйлера - Венна	множеств	: Р ( 18 ) и Р ( 24 ) ; Р ( 36 ) и Р ( 77 ) ; Р ( 21 ) и 7 ) ( 42 ) .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из	множества	десятичных дробей по собственному выбору .
Так называют высказывания , в которых утверждается , что все элементы заданного	множества	обладают указанным свойством .
Если требуется доказать , что все элементы некоторого множества обладают определенным свойством , можно взять произвольный элемент этого	множества	и обозначить его какой - нибудь буквой .
Запиши	множества	А и В с помощью фигурных скобок .
Запишем множество его делителей и для каждого элемента	множества	запишем , сколько у него различных делителей .
Каким свойством обладают элементы	множества	А П В ? . .
Запиши	множества	Е иЕ с помощью фигурных скобок .
Перечерти диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С в тетрадь и раскрась указанные	множества	.
Если требуется доказать , что все элементы некоторого	множества	обладают определенным свойством , можно взять произвольный элемент этого множества и обозначить его какой - нибудь буквой .
Каждый элемент	множества	является делителем числа .
"Напомним , что в общем утверждении ( утверждении типа "" все "" ) говорится , что все элементы некоторого"	множества	обладают определенным свойством .
Найди все значения переменной а из	множества	, при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения : .
Запиши	множества	С и Л с помощью фигурных скобок .
"Поэтому самый простой прием доказательства состоит в том , что мы "" испытываем ” по очереди все элементы"	множества	: перебираем их один за другим и для каждого проверяем наше утверждение .
Найди на рисунке и запиши с помощью фигурных скобок следующие	множества	: .
Чем отличаются линии одного	множества	от линий другого ? . .
Составь все подмножества этого	множества	.
Запиши	множества	А и В с помощью фигурных скобок , найди их объединение и пересечение .
На рисунке изображены два	множества	линий .
Запиши все	множества	, равные множеству В .
Элементы бесконечного	множества	уже нельзя испытать все , и при любом числе испытаний может оказаться , что еще непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение , которое мы хотим доказать .
При делении на 9 любого числа из	множества	{ 20 , 56 , 101 } в остатке получается 2 .
Выбери из	множества	А = { 11 111 , 78 012 , 123 400 , 405 405 , 888 888 } числа , кратные : а ) 10 ; б ) 2 ; в ) 5 ; г ) 3 ; д ) 9 .
Все числа из	множества	{ 273 , 343 , 1505 } делятся на 7 .
Число 37 является делителем всех чисел из	множества	{ 222 , 333 , 555 } .
Из	множества	чисел { 3 , 8 , 12 , 15 , 24 , 30 , 44 , 60 , 72 } выбери числа , которые являются : .
Выбери из	множества	А = { 2 , 5 , 6 , 8 , 12 , 19 , 24 , 32 , 45 , 47 } подмножество : .
Запиши	множества	их общих делителей и общих кратных .
Переменная принимает значения из	множества	.
Используя эти	множества	, найди НОК и НОД чисел 15 и 20 .
Запиши	множества	чисел , кратных числам 15 и 18 , и множество К ( 15 , 18 ) их общих кратных .
Выпиши из	множества	подмножество правильных дробей .
Любое число из	множества	{ 19 , 20 , 21 } имеет ровно два делителя .
Каждое число из	множества	{ 6 , 9 , 12 } является делителем 60 .
Все числа из	множества	{ 1001 , 10011001 , 100110011001 } кратны 7 , 11 и 13 .
При делении всех чисел из	множества	{ 24 , 38 , 45 } на число 7 в остатке получается 3 .
Все числа из	множества	{ 75 , 125 , 450 } кратны 25 .
Принадлежат ли	множествам	А и В числа 1 , 4 , 6 , 15 ?
Заполни пробелы так , чтобы получившиеся утверждения были верны на	множестве	натуральных чисел .
Докажи или опровергни следующие утверждения на	множестве	натуральных чисел .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на	множестве	натуральных чисел ) .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на	множестве	натуральных чисел ) .
В	множестве	{ 7 , 11 , 97 , 289 , 21 005 } все числа простые .
В	множестве	{ 2 , 5 , 19 , 41 , 57 , 84 291 } имеются составные числа .
Переведи на математический язык следующие свойства арифметических действий ( при условии их выполнимости на	множестве	натуральных чисел ): .
Найди в	множестве	К ( 15 , 18 ) наименьший элемент .
Подчеркни в этом	множестве	наибольший элемент .
В	множестве	чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на	множестве	.
"Утверждения типа "" хотя бы один "" называют также утверждениями о существовании : в них говорится , что в заданном"	множестве	существует хотя бы один элемент , обладающий указанным свойством .
Как мы уже говорили , истинность высказывания на конечном	множестве	можно доказать , осуществляя непосредственный перебор .
Другой важный для математики тип утверждений - это утверждение о том , что в заданном	множестве	существует хотя бы один элемент , обладающий определенным свойством .
Мы уже знаем , что на	множестве	натуральных чисел АГ .
Будем считать это определение верным и на	множестве	дробных чисел .
Пусть А - множество четырехугольников , В -	множество	трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Выпиши	множество	решений неравенства 978 < х < 1020 , кратных 10 .
Запиши с помощью фигурных скобок	множество	: .
Е -	множество	делителей числа 15 , а Г - множество делителей числа 30 .
Запиши	множество	делителей и множество кратных числа 36 .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С -	множество	параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) -	множество	прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Составь	множество	делителей и множество кратных числа 15 , а затем - числа 20 .
Запиши с помощью двойного неравенства	множество	чисел , удаленных на числовом луче от дроби меньше , чем на .
Пусть А -	множество	четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Запиши	множество	делителей каждого числа и найди их наибольший общий делитель : 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Запиши	множество	кратных каждого числа и найди их наименьшее общее кратное : 6 и 8 ; 9 и 27 ; 7 и 3 .
С -	множество	високосных лет .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А -"	множество	"делителей числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В -"	множество	"делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
А -	множество	делителей числа 12 , а В - множество делителей числа 18 .
Запиши	множество	делителей числа 56 , располагая делители в порядке возрастания .
Запиши множество делителей и	множество	кратных числа 36 .
Запиши	множество	двузначных чисел , разложение которых на простые множители состоит .
Составляя	множество	их общих кратных ; .
Е - множество делителей числа 15 , а Г -	множество	делителей числа 30 .
А - множество делителей числа 12 , а В -	множество	делителей числа 18 .
Запиши	множество	дробей , удаленных на числовом луче от дроби .
Найди методом перебора	множество	пар натуральных чисел , удовлетворяющих равенству .
Запиши	множество	делителей числа 24 , расположив их в возрастающем порядке .
Составь множество делителей и	множество	кратных числа 15 , а затем - числа 20 .
Запиши	множество	делителей каждого числа и найди наибольший общий делитель .
Напиши	множество	всех возможных цифр .
	Множество	ломаных линий ; .
	Множество	многоугольников ; .
	Множество	треугольников ; .
	Множество	самопересекающихся линий ; .
Запиши с помощью фигурных скобок	множество	кратных для каждого из чисел : 4 , 5 , 14 , 16 , 21 .
Запиши множества чисел , кратных числам 15 и 18 , и	множество	К ( 15 , 18 ) их общих кратных .
	Множество	незамкнутых линий ; .
Таким образом ,	множество	натуральных чисел разбивается на 3 части : .
Запиши	множество	кратных каждого числа и найди наименьшее общее кратное .
С -	множество	делителей числа 8 , а Л - множество делителей числа 9 .
Начерти окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом	множество	точек X , удовлетворяющих условию : .
Запиши	множество	правильных дробей и множество неправильных дробей , которые можно составить из чисел .
Запиши множество правильных дробей и	множество	неправильных дробей , которые можно составить из чисел .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом	множество	точек X , удовлетворяющих условиям : .
Реши уравнения :	множество	значений переменной , при которых одновременно дробь — будет правильной , а дробь — неправильной .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е -	множество	квадратов .
	Множество	замкнутых линий ; .
Найди	множество	значений переменной и обозначь его .
Запиши	множество	чисел , кратных 9 , которые являются решениями неравенства .
На какие непересекающиеся подмножества ( части ) можно разбить	множество	фигур на рисунке ?
Запиши	множество	делителей числа 56 и выбери из него подмножество простых делителей .
Запиши	множество	натуральных значений переменной у , при которых дробь — является неправильной сократимой дробью .
Запиши в виде двойного неравенства	множество	всех значений , которые может принимать .
Запиши	множество	"семизначных чисел , которые можно составить из двух цифр "" 7 "" и пяти цифр "" 0 "" ."
Найди	множество	всех возможных решений .
Запишем	множество	его делителей и для каждого элемента множества запишем , сколько у него различных делителей .
Найди	множество	"значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим делителем всех чисел "" ."
Найди	множество	"значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим делителем чисел 12 и 30 "" ."
Пользуясь результатами предыдущего задания , запиши	множество	общих кратных для чисел : 4 и 5 ; 4 и 16 ; 14 и 21 .
Используя общее правило сравнения дробей и правило “ весов ” , найди	множество	натуральных чисел а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Найди	множество	натуральных чисел , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Найди	множество	натуральных чисел , для которых дробь меньше ; равна .
Запиши	множество	трехзначных чисел , которые можно составить из цифр 1 , 3 , 9 , если цифры в записи числа не повторяются .
Это	множество	бесконечно .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е -	множество	ромбов и Е - множество квадратов .
Пусть А — множество натуральных решений неравенства 5 < х < 11 , а В —	множество	натуральных решений неравенства 8 < х < 12 .
А -	множество	делителей числа 16 , а В - множество делителей числа 28 .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество делителей числа к , то А * В -"	множество	"общих делителей чисел пик "" ."
Найди	множество	простых решений неравенства .
Выпиши	множество	дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Запиши с помощью фигурных скобок	множество	делителей каждого из чисел : 6 , 7 , 12 , 17 , 32 , 42 , 81 .
Запиши	множество	трехзначных чисел , больших 970 и кратных 5 .
Пусть А —	множество	натуральных решений неравенства 5 < х < 11 , а В — множество натуральных решений неравенства 8 < х < 12 .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и	множество	дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где	множество	всех четырехугольников , множество ромбов , множество квадратов и множество прямоугольников .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников ,	множество	ромбов , множество квадратов и множество прямоугольников .
Запиши	множество	двузначных чисел , больших 87 и не кратных ни 2 , пи 5 .
А - множество делителей числа 16 , а В -	множество	делителей числа 28 .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников , множество ромбов ,	множество	квадратов и множество прямоугольников .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников , множество ромбов , множество квадратов и	множество	прямоугольников .
Запиши	множество	четных трехзначных чисел , кратных 25 , но не кратных 4 .
Запиши	множество	.
Пусть А -	множество	правильных несократимых дробей со знаменателем , а В - множество правильных сократимых дробей с числителем .
Пусть А - множество правильных несократимых дробей со знаменателем , а В -	множество	правильных сократимых дробей с числителем .
Задай характеристическим свойством	множество	В = { 19 , 20 , 21 } .
С - множество делителей числа 8 , а Л -	множество	делителей числа 9 .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А -	множество	всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних треугольников .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В -	множество	равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних треугольников .
Задай характеристическим свойством	множество	А = { а , б , в } .
Запиши с помощью двойного неравенства	множество	возможных значений , если .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С -	множество	равносторонних треугольников .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих	множеству	X , целую часть и расположи полученные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Принадлежит ли	множеству	натуральных чисел значение дроби .
Докажи , что дроби принадлежат этому	множеству	.
Представь смешанные числа , принадлежащие	множеству	У , в виде неправильных дробей .
Принадлежат ли этому	множеству	следующие годы : 1925 , 1936 , 1950 , 1971 , 1984 , 2008 ?
Запиши все множества , равные	множеству	В .
Найди значения выражения ( 18 - х ) : х для всех х , принадлежащих	множеству	{ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 } .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих	множеству	X , целую часть и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Найди значение выражения ( в скобках указано число знаков после запятой в последнем	множителе	) .
В разложении чисел 56 и 81 нет одинаковых	множителей	.
Разложим их на простые множители и выделим наибольшее возможное число одинаковых	множителей	.
Запиши все двузначные числа , которые представляются в виде произведения двух простых	множителей	, один из которых равен : 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 .
При решении задач часто приходится представлять данное число в виде произведения нескольких	множителей	.
Что произойдет с произведением двух чисел , если округлить : один из	множителей	с избытком ; один из множителей с недостатком ; оба множителя с избытком ;
Разложение на множители простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из	множителей	равен 1 , а другой - самому числу .
С другой стороны , оно содержит минимально возможное число	множителей	.
Какой цифрой оканчивается произведение	множителей	, каждый из которых равен ?
Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на множители , то все полученные в конечном итоге произведения простых	множителей	будут отличаться лишь порядком множителей .
Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на множители , то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь порядком	множителей	.
Что произойдет с произведением двух чисел , если округлить : один из множителей с избытком ; один из	множителей	с недостатком ; оба множителя с избытком ;
из трех одинаковых	множителей	.
из двух одинаковых	множителей	; .
И вообще , всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом ( с точностью до порядка	множителей	) .
Всеми возможными способами представь в виде произведения двух	множителей	числа 5 , 8 , 9 , 11 , 12 , 17 , 28 ( порядок множителей не принимается во внимание ) .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел делится на число к = 3 , то хотя бы один из"	множителей	"тоже делится на к "" ."
Всеми возможными способами представь в виде произведения двух множителей числа 5 , 8 , 9 , 11 , 12 , 17 , 28 ( порядок	множителей	не принимается во внимание ) .
Разложение на множители простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных	множителей	, где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
Числа 32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих	множителей	, поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению .
Степенью числа а с натуральным показателем п ( п > 1 ) называется произведение п	множителей	, каждый из которых равен а : .
Представь число 24 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами ( порядок	множителей	во внимание не принимается ) .
Произведение одинаковых	множителей	также записывают короче и называют степенью .
Основание показывает , какой множитель взяли , а показатель - сколько таких	множителей	взяли .
Значит , для получения частного можно , наоборот , из простых	множителей	делимого вычеркнуть простые множители делителя , например , и поэтому 183456 : 234 = 2 - 2 - 2 - 2 - 7 - 7 .
Представь число 24 в виде произведения двух	множителей	всеми возможными способами ( порядок множителей во внимание не принимается ) .
Первый из трех	множителей	равен , второй составляет первого множителя , а третий - первого множителя .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых"	множителей	чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
В разложении на два множителя простого числа , напротив , один из	множителей	всегда равен 1 , а другой - самому числу .
Изменение порядка	множителей	не считается другим способом .
А число , на которое умножается числитель и знаменатель данной дроби , называют дополнительным	множителем	.
Найди НОД и НОК чисел а и Ъ по их разложению на простые	множители	.
Найди наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые	множители	.
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые	множители	: .
В итоге в частном остается 1 и получается следующее разложение данного числа на простые	множители	.
Разложи числитель и знаменатель дроби на простые	множители	и сократи дробь .
Добавить к нему недостающие	множители	из разложений оставшихся чисел .
Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые	множители	.
Запиши все четырехзначные числа , в разложение которых на простые	множители	входят одновременно 7 , 11 и 13 .
В этом случае о числе говорят , что оно разложено на	множители	.
Разложи числа на простые	множители	, найди их НОД и НОК .
Найди НОД и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые	множители	.
Разложи делитель на простые	множители	и объясни , как можно выполнить деление по частям .
Запиши множество двузначных чисел , разложение которых на простые	множители	состоит .
Число делится лишь на те простые числа , которые входят в его разложение на простые	множители	.
Разложи числа на простые	множители	, найди их НОД и НОК : .
Как мы видели , для получения , делимого можно выписать вместе разложения на простые	множители	делителя и частного .
Число делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые	множители	полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
В общем случае на помощь вновь приходит разложение чисел на простые	множители	.
Значит , для получения частного можно , наоборот , из простых множителей делимого вычеркнуть простые	множители	делителя , например , и поэтому 183456 : 234 = 2 - 2 - 2 - 2 - 7 - 7 .
При этом убирать простые	множители	"можно не все сразу , а постепенно , "" по частям ” ."
Можно также раскладывать числитель и знаменатель дроби на	множители	, причем не обязательно простые .
Разложи каждое число на простые	множители	и общие множители вынеси за скобки : 18 + 24 ; 80 - 32 ; 12 + 48 ; 92 - 23 .
Разложи каждое число на простые множители и общие	множители	вынеси за скобки : 18 + 24 ; 80 - 32 ; 12 + 48 ; 92 - 23 .
Не выполняя разложения на простые	множители	, найди НОК ( 527 , 8 069 424 ) .
Например , запись 40 = 4 • 10 означает , что число 40 разложено на	множители	4 и 10 .
Дело в том , что произведение двух чисел получается , если перемножить их разложения на простые	множители	, например .
Разложение на	множители	простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
Разложим их на простые	множители	и выделим наибольшее возможное число одинаковых множителей .
Разложение натуральных чисел на простые	множители	дает большие возможности для упрощения вычислений .
Число делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые	множители	самого числа .
Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые	множители	.
Как получить разложение на простые	множители	чисел .
Пусть известны разложения натуральных чисел а , Ь и с на простые	множители	.
Видим , что все простые	множители	числа 45 входят в разложение 450 .
Выписать в виде произведения все общие простые	множители	.
Разложим их на простые	множители	.
Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на	множители	, то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь порядком множителей .
Доказательство этого равенства уже встречалось нам в № 303 , однако разложение на простые	множители	позволяет упростить рассуждения .
Какие простые множители могут входить в разложение на	множители	нового знаменателя ? .
Разложить данные числа на простые	множители	.
И вообще , всякое составное число можно разложить на простые	множители	единственным образом ( с точностью до порядка множителей ) .
Разложение чисел на простые	множители	.
Видим , что в разложении числа 140 содержатся все простые	множители	чисел 28 и 35 , то есть 140 является кратным этих чисел .
Обозначение в виде степени позволяет короче записывать разложение числа на простые	множители	, например .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые"	множители	числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые	множители	.
При помощи разложения чисел на простые	множители	определи , во сколько раз : 10 584 больше 168 ; 525 меньше 13 125 .
Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые	множители	"числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать ."
Найди наименьшее общее кратное чисел с помощью разложения на простые	множители	.
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые"	множители	числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
При разложении чисел на простые	множители	используют признаки делимости .
Это означает , что в разложении числа у на простые	множители	имеются только числа ( может быть , конечно , только или только ) .
Разложи на	множители	числитель , а затем сократи дробь .
Разложи на простые	множители	числа .
методом разложения па простые	множители	.
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые	множители	.
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на	множители	частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Даны разложения чисел на простые	множители	.
Какие простые	множители	могут входить в разложение на множители нового знаменателя ? .
один	множитель	уменьшить в т раз , а другой уменьшить в 3 раза ? .
Поэтому сначала можно вычеркнуть из их разложений простой	множитель	5 , а потом - оставшийся простой множитель 7 .
Так , для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить , что и делимое , и делитель содержат общий	множитель	5 .
Поэтому сначала можно вычеркнуть из их разложений простой множитель 5 , а потом - оставшийся простой	множитель	7 .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный	множитель	для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Разделим обе части полученного равенства на	множитель	.
один	множитель	уменьшить в 2 раза , а другой уменьшить в 8 раз ; .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный	множитель	.
один	множитель	увеличить в 4 раза , а другой увеличить в 5 раз ; .
"Допишем к простым множителям числа 12 "" недостающий """	множитель	5 из второго произведения .
В полученном произведении	множитель	b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий	множитель	.
Основание показывает , какой	множитель	взяли , а показатель - сколько таких множителей взяли .
А так как в знаменателе несократимой дроби — содержится	множитель	, отличный от , то перевести эту дробь в конечную десятичную нельзя .
один	множитель	уменьшить в 7 раз ; .
Объясни , как найти неизвестный	множитель	, делимое , делитель .
один	множитель	увеличить в 3 раза , а другой уменьшить в 6 раз ; .
Если произведение двух чисел делится на данное число , то и каждый	множитель	делится на это число .
один	множитель	увеличить в 9 раз ; .
При этом в последнем случае переставлены сомножители : числовой	множитель	пишут перед буквой , а не после нее .
Найдем дополнительный	множитель	.
Происходит это потому , что точное значение частного равно несократимой дроби , в знаменателе которой есть простой	множитель	.
один	множитель	увеличить в 12 раз , а другой уменьшить в 4 раза ; .
Как найти неизвестный	множитель	, делимое , делитель ?
Умножим числитель и знаменатель дроби — на дополнительный	множитель	.
один	множитель	увеличить в п раз , а другой увеличить в 2 раза ; .
Перепиши уравнение и подчеркни слагаемые , содержащие	множитель	.
оба множителя с недостатком ; один	множитель	с недостатком , а другой с избытком ? .
Первый из трех множителей равен , второй составляет первого множителя , а третий - первого	множителя	.
Что произойдет с произведением двух чисел , если округлить : один из множителей с избытком ; один из множителей с недостатком ; оба	множителя	с избытком ;
оба	множителя	с недостатком ; один множитель с недостатком , а другой с избытком ? .
В разложении на два	множителя	простого числа , напротив , один из множителей всегда равен 1 , а другой - самому числу .
Напротив , составное число всегда раскладывается хотя бы на два	множителя	, отличных от 1 , причем зачастую разными способами .
Запиши все трехзначные числа , которые раскладываются на два одинаковых простых	множителя	.
Какой цифрой оканчивается произведение 21	множителя	, каждый из которых равен и , если п = 5 , 6 , 4 , 2 , 3 ?
В разложении числа 80 не хватает	множителя	7 из разложения числа 140 .
Первый из трех множителей равен , второй составляет первого	множителя	, а третий - первого множителя .
Другими словами , число является составным , если его можно разложить хотя бы на два	множителя	, ни один из которых не равен 1 .
Найди все числа , которые раскладываются на два разных однозначных простых	множителя	.
Допишем к простым	множителям	"числа 12 "" недостающий "" множитель 5 из второго произведения ."
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих	множителях	вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных чисел .
А число знаков после запятой в произведении такое же , как в обоих	множителях	вместе .
Отбросить в	множителях	запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
На каком расстоянии от дома был Грей в	момент	, когда вернулся домой хозяин ?
На каком расстоянии от мишеней будет находиться второй лыжник в	момент	прибытия туда первого лыжника ? .
Рассмотреть два случая -	момент	времени до встречи и после встречи .
Какое расстояние до финиша останется ехать второму велосипедисту в	момент	прибытия туда первого ? .
Определи положение движущейся точки в начальный	момент	, скорость и направление ее движения .
Как надо срывать плоды , чтобы в какой - то	момент	на дереве остался ровно один плод ?
Грей почти уже его догнал и совсем было схватил за толстый бок , но в этот	момент	барсук юркнул в нору .
На сколько метров обогнал первый пловец второго к	моменту	финиша ? .
Чтобы выкачать из цистерны нефть , поставили два насоса различной	мощности	.
Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной	мощности	.
Три экскаватора различной	мощности	могут вырыть котлован , работая отдельно : первый , второй , а третий .
Запиши множество делителей каждого числа и найди их	наибольший общий делитель	: 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Найди	наибольший общий делитель	чисел методом разложения на простые множители .
Запиши множество делителей каждого числа и найди	наибольший общий делитель	.
Их	наибольший общий делитель	равен 1 : .
Мы уже знаем , что	наибольший общий делитель	можно найти , перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Найди	наибольший общий делитель	данных чисел методом перебора .
Укажи	наибольший общий делитель	для чисел 2 - 7 - 11 и 7 - 13 .
Найди	наибольший общий делитель	чисел , если .
Найди	наибольший общий делитель	чисел наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
Найди	наибольший общий делитель	чисел методом перебора .
Укажи	наибольший общий делитель	и наименьшее общее кратное для чисел , представленных в виде произведения .
Подчеркни их	наибольший общий делитель	.
Найди их	наибольший общий делитель	.
Найдем , например ,	наибольший общий делитель	чисел 1968 и 2520 .
Для этого нужно сократить ее на	наибольший общий делитель	числителя и знаменателя .
Дробь сократима , если и только если	наибольший общий делитель	числителя и знаменателя больше .
Действительно , 450 делится на 45 , поэтому 45 и будет	наибольшим общим делителем	этих чисел .
Их	наибольшим общим делителем	является число 8 .
Докажи , что число 5 является	наибольшим общим делителем	чисел 85 и 90 .
Там мы	найдем	", что это слово в английском языке означает "" также "" ."
Пользуясь свойствами сложения и умножения , упростим левую часть уравнения , а затем	найдем	искомое значение .
Поэтому требуется дополнительное обоснование того , что	найдены	все возможные решения и ни одно не пропущено .
При решении задач методом проб и ошибок мы видели , что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том , что	найдены	все искомые значения .
Пользуясь установленной закономерностью ,	найди	недостающие числа и рисунки .
Упрости уравнение , а затем	найди	его корень .
Построй внешние углы этого четырехугольника по одному при каждой вершине и	найди	их сумму .
Обозначая доход ( прибавление денег ) , расход ( уменьшение денег ) ,	найди	, что получится в результате указанных преобразований .
Запиши числовое выражение и	найди	его значение : .
Упрости выражение и	найди	его значение при данном значении переменной .
Запиши множество кратных каждого числа и	найди	наименьшее общее кратное .
Среди предложений , приведенных ниже ,	найди	"определения и сформулируй их с помощью слова "" называется "" ."
Вычисли значения данных выражений ,	найди	их сумму и воспользуйся указанным ключом для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
Составь выражение и	найди	его значение при заданных значениях переменных .
Проведи диагонали этого прямоугольника и	найди	координаты их точки пересечения .
Запиши выражение для ответа на вопрос задачи и	найди	его значение при данных значениях букв : .
Составь выражение и	найди	его значение : .
Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой вершине и	найди	их сумму .
Вычисли суммы и	найди	, что общего в примерах каждого столбика .
Пользуясь ими ,	найди	, если возможно , значения выражений .
Приведи к общему знаменателю дроби и	найди	их сумму .
Выполни программу действий , затем по данной программе составь выражение и	найди	его значение .
Составь выражение и	найди	его значение .
Составь все возможные суммы из чисел и	найди	их значения .
Среди результатов по слалому и санному спорту , показанных спортсменами на Олимпийских играх в Норвегии , определи лучший и	найди	, сколько долей секунды отделяют его от второго результата .
Составь выражение и	найди	его значение при данных значениях букв : .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости выражение и	найди	его значение .
Запиши суммы чисел без скобок и	найди	ответ .
Прочитай выражение и	найди	его значение .
Среди фигур , расположенных справа ,	найди	""" лишнюю "" фигуру ."
Среди чисел а , b , с и ( 1	найди	, не вычисляя , числа , делителями которых являются 2 , 5 , 10 .
Запиши выражение и	найди	его значение при данных значениях букв .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А и В ,	найди	их объединение и пересечение .
Зная , что	найди	правильные ответы .
Составь выражение и	найди	его значение при .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости выражение и	найди	.
Проведи диагонали и	найди	координаты их точки пересечения .
Составь выражение , соответствующее заданной программе действий , и	найди	значение выражения : .
Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок ,	найди	их объединение и пересечение .
Среди образовавшихся углов	найди	: вертикальные углы ; смежные углы .
Составь буквенное выражение и	найди	его значение .
Составь выражение и	найди	его значение при заданных значениях букв .
Разложи числа на простые множители ,	найди	их НОД и НОК .
Разложи числа на простые множители ,	найди	их НОД и НОК : .
Составь все возможные разности из чисел и	найди	их значения .
Пользуясь формулой деления с остатком а = Ъс + г , где г < Ь ,	найди	неизвестные значения букв в таблице .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств С и Л ,	найди	их объединение и пересечение .
Составь выражение и	найди	его значение при х = 6 .
Упрости выражение и	найди	его значение .
Если число а на число Ъ , и , если делится ,	найди	частное .
Не выполняя вычислений ,	найди	среди чисел , записанных в рамке , точное значение частного .
Вспомни правила сравнения натуральных чисел и	найди	ошибки : .
Построй отрезки и	найди	координаты их точки пересечения .
Запиши выражение и	найди	его значение .
Запиши следующие две разности и	найди	их значение .
Докажи истинность утверждения и	найди	частное ( а , Ь , с , х , у е Л/ ): .
Докажи , что данные числа взаимно простые , и	найди	их наименьшее общее кратное .
Запиши множество кратных каждого числа и	найди	их наименьшее общее кратное : 6 и 8 ; 9 и 27 ; 7 и 3 .
Запиши множество делителей каждого числа и	найди	их наибольший общий делитель : 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Определи , делится ли число а на Ь , и , если делится ,	найди	частное .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств В ( 42 ) и В ( 63 ) ,	найди	их объединение и пересечение .
Составь выражение по следующей программе и	найди	его значение : .
Можешь ли ты	найти	его значение при х = 5 , х = 20 , х = 0 ? .
Никакие известные нам правила преобразований не помогают	найти	ответ .
Чтобы	найти	число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на данную дробь .
Чтобы	найти	число жителей остальных двух районов , надо умножить соответственно на .
Итак , метод проб и ошибок позволяет	найти	ответ даже в случае , когда математическая модель представляет собой новый , еще не изученный объект .
Как	найти	расстояние между двумя точками координатного луча ? . .
Чтобы	найти	, какую часть одно число составляет от другого , надо первое .
Барон Мюнхаузен утверждал , что ему удалось	найти	такое натуральное число , произведение всех цифр которого равно 6552 .
Нам надо	найти	такое значение х , при котором значение выражения х(х + 3 ) было бы равно 70 .
Можно	найти	число , при делении которого на 6 получится 9 .
Сколько делителей числа 333 333 333 333 ты сможешь	найти	? .
Придумай задачи , для решения которых требуется :	найти	часть от числа ; найти число по его части ; найти часть , которую одно число составляет от другого .
Объясни , как	найти	неизвестный множитель , делимое , делитель .
Как	найти	стоимость товара ?
Чтобы	найти	часть от числа , выраженную дробью , можно это число умножить на данную дробь .
Вход в пещеру был тщательно замаскирован , и	найти	его мог только старый пират Бен Ган .
Для ответа на поставленный вопрос достаточно	найти	значение этого выражения .
Как	найти	ответ , не выписывая произведений ? .
Игра заключается в том , чтобы	найти	выигрышную строчку , столбец или диагональ , произведение чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
Чтобы	найти	часть , которую первое число составляет от второго , можно первое число разделить на второе .
Из предложенных десяти чисел надо выбрать пару чисел , а затем	найти	их частное .
Если необходимо ,	найти	полученное произведение .
В задаче надо	найти	.
Как	найти	цену товара , количество товара ?
Чтобы	найти	НОК нескольких чисел , надо взять все их простые делители с наибольшими показателями , например .
Чтобы	найти	НОД нескольких чисел , надо взять их общие простые делители с наименьшими показателями , например .
Чтобы	найти	часть числа , выраженную дробью , можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на ее числитель .
Чтобы	найти	число по его части , выраженной дробью , надо эту часть на числитель дроби и на знаменатель .
Можно	найти	два натуральных делителя числа 7 .
Чтобы	найти	часть от числа , выраженную дробью , надо это число на знаменатель дроби и на числитель .
Для ответа на вопрос задачи надо	найти	неизвестное число х из равенства х + Зх = 60 .
Надо	найти	выход из числового лабиринта .
Например , если на столе лежат 2 яблока , 2 апельсина и груша , то как	найти	общее число фруктов , лежащих на столе ?
Сколько способов ответа на последний вопрос ты сможешь	найти	? .
Тогда в соответствии с принятым определением , нам надо	найти	дробь , удовлетворяющую равенству .
Чтобы	найти	число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее знаменатель .
Как	найти	часть числа а , выраженную дробью ?
Можно	найти	такое натуральное число к , что 57 = 3/ ? .
"Например , для доказательства того , что в математическом кружке занимаются все мальчики из 5""А "" , достаточно фамилию каждого мальчика из классного журнала"	найти	в списке участников кружка .
Как	найти	его площадь ?
Однако по этой формуле мы можем пока	найти	только площадь прямоугольников , у которых длины сторон выражаются натуральными числами .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно :	найти	наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Можно ли	найти	4 различных простых числа , чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? .
Как	найти	число а по его части , выраженной дробью ?
Попробуем , например ,	найти	частное дробей .
Как при помощи всего двух взвешиваний на чашечных весах ( без гирь )	найти	фальшивую ? .
Как	найти	неизвестный множитель , делимое , делитель ?
Поэтому , прежде чем применять общее правило , всегда полезно подумать и попробовать	найти	более короткий путь .
Как	найти	все делители данного числа ?
Вторая задача свелась к решению уравнения нового для нас вида , но изученное ранее распределительное свойство умножения помогло быстро	найти	ответ .
Но	найти	нужные нам числа можно , если это равенство записать по - другому , преобразовать .
По определению деления натуральных чисел разделить число на число — это значит	найти	такое число , которое при умножении дает .
Придумай задачи , для решения которых требуется : найти часть от числа ; найти число по его части ;	найти	часть , которую одно число составляет от другого .
Наша осторожность помогла нам	найти	еще одно число - 84 , которое удовлетворяет условию задачи : . .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ;	найти	дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Можно	найти	квадрат , площадь которого составляет 49 м .
Поэтому для полного решения задачи нужно	найти	все ее решения или показать , что других решений она не имеет .
Как	найти	, какую часть число Ь составляет от числа аЧ. .
Сколько решений этой задачи ты сможешь	найти	? .
Чтобы	найти	, какую часть первое число составляет от второго , можно первое число разделить на второе .
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно	найти	, перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Как же	найти	неизвестные числа ? .
Но как его	найти	? .
Такого рода примеры разных имен можно	найти	и в обычной жизни .
Можно	найти	существительное , состоящее из 7 различных букв .
В третьем примере надо	найти	хотя бы одного человека ростом выше 2 м 20 см , а в последнем - хотя бы один несъедобный гриб .
Значение этого выражения мы без труда можем	найти	.
Придумай задачи , для решения которых требуется : найти часть от числа ;	найти	число по его части ; найти часть , которую одно число составляет от другого .
Чтобы	найти	— от числа а , надо это число на 9 и на 8 .
Чтобы	найти	число , 4 которого равны Ъ , надо Ъ на 3 и на 4 .
Чтобы	найти	, какую часть число 6 составляет от числа 10 , надо 6 на 10 .
Как	найти	часть числа а , выраженную дробью .
Как	найти	число , если его часть , выраженная дробью равна ЪЧ .
Например , НОК ( 12 , 30 ) можно	найти	так .
Прикидка помогает легко и быстро	найти	приближенный ответ и тем самым исключить возможные ошибки в вычислениях .
Например , нельзя число разделить - нет такого	натурального	числа .
Чтобы войти в замок Арифмос , надо набрать шифр : записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых чисел	натурального	ряда .
С помощью дробей можно представить результат деления любого	натурального	числа на любое натуральное число , например .
Натуральное число меньше	натурального	числа .
Однако нам уже известен признак делимости	натурального	числа к на 3 : .
Факториалом	натурального	числа п называется произведение всех натуральных чисел .
частное наибольшего четырехзначного числа и наименьшего	натурального	числа ; .
Поэтому если мы из каждой части этого равенства вычтем одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для	натурального	числа у невозможно .
Действительно , в записи многозначного	натурального	числа можно отделить единицы , то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем	натурального	числа а .
Поэтому если мы из каждой части этого равенства вычтем одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для	натурального числа	у невозможно .
Например , нельзя число разделить - нет такого	натурального числа	.
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем	натурального числа	а .
Факториалом	натурального числа	п называется произведение всех натуральных чисел .
Действительно , в записи многозначного	натурального числа	можно отделить единицы , то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Натуральное число меньше	натурального числа	.
С помощью дробей можно представить результат деления любого	натурального числа	на любое натуральное число , например .
Однако нам уже известен признак делимости	натурального числа	к на 3 : .
частное наибольшего четырехзначного числа и наименьшего	натурального числа	; .
Однако на практике	натуральное	число п дробью не заменяют , а используют только результат проведенного вычисления , то есть пишут , например .
Натуральное число а называется кратным натуральному числу Ь , если существует	натуральное	число с такое , что а = Ъс .
Возьмем какое - нибудь	натуральное	число , например .
Как умножить дробь на	натуральное	число ?
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в	натуральное	число .
Значит , при делении дроби на	натуральное	число можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Существует наименьшее	натуральное	число .
Существует наибольшее	натуральное	число .
Возьмем произвольное	натуральное	число и обозначим его буквой п. Тогда следующие за ним два числа равны соответственно п + 1 и п + 2 .
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное	натуральное	число ; наибольшее возможное ; натуральное число .
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное натуральное число ; наибольшее возможное ;	натуральное	число .
И вообще , чтобы разделить десятичную дробь на	натуральное	число , можно .
Любое	натуральное	число в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр .
Сократи дроби , представляя степени в виде произведений ( значения всех переменных —	натуральное	число ) .
Дано	натуральное	число .
При умножении смешанного числа на	натуральное	используется распределительное свойство умножения , например .
Всякое	натуральное	число , оканчивающееся на 5 , делится на 5 .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное ,	натуральное	число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Всякое	натуральное	число делится само на себя и на 1 - это следует из равенства а = а • 1 .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь ,	натуральное	число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Итак , при умножении смешанного числа на	натуральное	можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Этот случай легко свести к делению на	натуральное	число .
Найди	натуральное	число , если .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное	натуральное	число , в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют .
Это означает , в частности , что	натуральное	число также можно записать в виде десятичной дроби , и при этом бесконечным числом способов .
Если одно число больше другого , то после умножения их обоих на одно и то же	натуральное	число неравенство между ними сохранится .
Обозначим первое , второе и третье числа буквами а , b и с. По условию а делится на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое	натуральное	число .
Можно найти такое	натуральное	число к , что 57 = 3/ ? .
Каждое	натуральное	число на единицу меньше следующего за ним .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и	натуральное	число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Каждое	натуральное	число , кроме 1 , в два раза меньше суммы соседних с ним чисел .
Существует такое	натуральное	число х , что ( 2х + 3 ): 7 = 11 .
При делении дроби на	натуральное	число , как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Всякое	натуральное	число , делящееся на 2 , является четным .
Теперь выполним деление дроби на	натуральное	число по установленному выше правилу .
Правило умножения дробей позволяет также перемножать дробь и	натуральное	число .
Рассмотрим теперь случай , когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс деления на	натуральное	число .
Докажи , что существует	натуральное	число х такое , что .
С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое	натуральное	число , например .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и делитель разделить на одно и то же	натуральное	число .
Существует ли	натуральное	значение х , удовлетворяющее равенству х - 12 = х ?
Существует	натуральное	число х такое , что 18 - 4х = 6 .
Итак , округлить	натуральное	число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Найди наибольшее	натуральное	решение неравенства : . .
Витя нашел такое двузначное	натуральное	число , при умножении которого получается точный квадрат , а при умножении - точный куб .
Выполнить деление на	натуральное	число .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же	натуральное	число .
Назови наименьшее	натуральное	число .
Действительно ,	натуральное	число — это то же самое , что дробь и поэтому .
Существует	натуральное	решение неравенства х < 2 .
Натуральное число а делится на	натуральное	число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Не меняется частное и при умножении числителя и знаменателя на одно и то же	натуральное	число .
Однако при делении смешанного числа на	натуральное	иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и дробную части , например : .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ;	натуральное	число Ь является делителем натурального числа а .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление десятичной дроби на	натуральное	число .
Существует	натуральное	число , имеющее меньше двух делителей .
Каждое	натуральное	число больше предыдущего на единицу .
Любое	натуральное	число делится на себя и на единицу .
Барон Мюнхаузен утверждал , что ему удалось найти такое	натуральное	число , произведение всех цифр которого равно 6552 .
Известно , что	натуральное	число больше .
Любое	натуральное	число делится на 2 .
Существует такое	натуральное число	х , что ( 2х + 3 ): 7 = 11 .
Не меняется частное и при умножении числителя и знаменателя на одно и то же	натуральное число	.
Выполнить деление на	натуральное число	.
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в	натуральное число	.
Всякое	натуральное число	, делящееся на 2 , является четным .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же	натуральное число	.
Однако на практике	натуральное число	п дробью не заменяют , а используют только результат проведенного вычисления , то есть пишут , например .
Правило умножения дробей позволяет также перемножать дробь и	натуральное число	.
Дано	натуральное число	.
Итак , округлить	натуральное число	с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление десятичной дроби на	натуральное число	.
Если одно число больше другого , то после умножения их обоих на одно и то же	натуральное число	неравенство между ними сохранится .
Обозначим первое , второе и третье числа буквами а , b и с. По условию а делится на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое	натуральное число	.
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и	натуральное число	, можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Этот случай легко свести к делению на	натуральное число	.
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное ,	натуральное число	поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Каждое	натуральное число	на единицу меньше следующего за ним .
Натуральное число а делится на	натуральное число	Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Известно , что	натуральное число	больше .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное	натуральное число	, в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ;	натуральное число	Ь является делителем натурального числа а .
Существует наименьшее	натуральное число	.
Это означает , в частности , что	натуральное число	также можно записать в виде десятичной дроби , и при этом бесконечным числом способов .
Любое	натуральное число	делится на себя и на единицу .
Сократи дроби , представляя степени в виде произведений ( значения всех переменных —	натуральное число	) .
Всякое	натуральное число	делится само на себя и на 1 - это следует из равенства а = а • 1 .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь ,	натуральное число	а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Можно найти такое	натуральное число	к , что 57 = 3/ ? .
С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое	натуральное число	, например .
При делении дроби на	натуральное число	, как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Каждое	натуральное число	больше предыдущего на единицу .
Любое	натуральное число	делится на 2 .
Существует наибольшее	натуральное число	.
Всякое	натуральное число	, оканчивающееся на 5 , делится на 5 .
Существует	натуральное число	х такое , что 18 - 4х = 6 .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и делитель разделить на одно и то же	натуральное число	.
Витя нашел такое двузначное	натуральное число	, при умножении которого получается точный квадрат , а при умножении - точный куб .
И вообще , чтобы разделить десятичную дробь на	натуральное число	, можно .
Возьмем произвольное	натуральное число	и обозначим его буквой п. Тогда следующие за ним два числа равны соответственно п + 1 и п + 2 .
Назови наименьшее	натуральное число	.
Докажи , что существует	натуральное число	х такое , что .
Любое	натуральное число	в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр .
Теперь выполним деление дроби на	натуральное число	по установленному выше правилу .
Рассмотрим теперь случай , когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс деления на	натуральное число	.
Барон Мюнхаузен утверждал , что ему удалось найти такое	натуральное число	, произведение всех цифр которого равно 6552 .
Существует	натуральное число	, имеющее меньше двух делителей .
Возьмем какое - нибудь	натуральное число	, например .
Каждое	натуральное число	, кроме 1 , в два раза меньше суммы соседних с ним чисел .
Значит , при делении дроби на	натуральное число	можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Натуральное число а называется кратным натуральному числу Ь , если существует	натуральное число	с такое , что а = Ъс .
Найди	натуральное число	, если .
Как умножить дробь на	натуральное число	?
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное	натуральное число	; наибольшее возможное ; натуральное число .
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное натуральное число ; наибольшее возможное ;	натуральное число	.
Действительно ,	натуральное число	— это то же самое , что дробь и поэтому .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о	натуральном	числе к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр делится на 3 .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о	натуральном числе	к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр делится на 3 .
Натуральное число а называется кратным	натуральному	числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
Оказывается , это несложно , если применить маленькую “ математическую хитрость ” : разрешить приписывать нули к	натуральному	числу слева , условно считая , что оно от этого не меняется , например .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна	натуральному	числу .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно	натуральному	числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Оказывается , это несложно , если применить маленькую “ математическую хитрость ” : разрешить приписывать нули к	натуральному числу	слева , условно считая , что оно от этого не меняется , например .
Натуральное число а называется кратным	натуральному числу	Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно	натуральному числу	Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна	натуральному числу	.
Сравни , не вычисляя , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
Все	натуральные	числа больше единицы .
Переведи на математический язык следующие утверждения , если буквами в них обозначены	натуральные	числа .
Общее правило сравнения дробей очень удобно , так как для его применения достаточно лишь перемножить и сравнить	натуральные	числа .
Все	натуральные	числа имеют хотя бы один общий делитель - число 1 .
Напиши все возможные	натуральные	числа , составленные с помощью двух пятерок и пяти нулей .
Найди	натуральные	корни уравнения методом проб и ошибок .
После умножения все дроби превращаются в	натуральные	числа , и теперь нам надо выяснить , что больше .
Найди последовательные	натуральные	числа такие , что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
Известно , что	натуральные	числа , причем дроби .
Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
Выполни деление , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
Выполни действия и сократи дроби , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель , складывая не фрукты и не уроки , а	натуральные	числа .
"Приведи контрпример к утверждению : "" Все"	натуральные	"решения неравенства 8 < х < 11 кратны двум "" ."
Сравни , если все переменные	натуральные	числа .
Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся	натуральные	числа .
Во всей этой главе при обсуждении вопросов делимости рассматриваются только	натуральные	числа .
Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных -	натуральные	числа ) .
Некоторые	натуральные	числа являются делителями числа 36 .
Выполни действия , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только	натуральные	числа и умеют их складывать и вычитать , а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Некоторые	натуральные	числа записываются с помощью трех цифр .
Все	натуральные	числа , меньшие , простые .
Если	натуральные	числа дополнить нулем , то , взяв , будем считать .
Все	натуральные	числа делятся на 7 : например , 14:7 = 2 .
Сравни в каждом равенстве	натуральные	числа , обозначенные буквами .
Вспомним , насколько труднее разделить	натуральные	числа , чем их перемножить .
Как иногда в шутку говорят математики , “ Бог создал	натуральные	числа , а все остальное - дело рук человеческих ” .
Уравнение х(х - 5)(х - 7)(х + 11 ) = 0 имеет	натуральные	корни .
Тогда для сравнения данных дробей достаточно сравнить	натуральные	числа .
Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все	натуральные	числа .
Подбери недостающие	натуральные	числа так , чтобы получились верные равенства , если известно , что дроби во всех равенствах правильные .
Как и	натуральные	числа , дроби можно сравнивать друг с другом .
Существуют ли	натуральные	значения а и п , при которых выполняются соотношения : ап < а • и ; 2 ) ап > а • п ; 3 ) ап = а • п ? .
Некоторые четырехзначные	натуральные	числа больше некоторых пятизначных натуральных чисел .
Сократи дроби , если значения всех переменных -	натуральные	числа .
Некоторые	натуральные числа	записываются с помощью трех цифр .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только	натуральные числа	и умеют их складывать и вычитать , а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Некоторые четырехзначные	натуральные числа	больше некоторых пятизначных натуральных чисел .
Сравни в каждом равенстве	натуральные числа	, обозначенные буквами .
Все	натуральные числа	больше единицы .
Переведи на математический язык следующие утверждения , если буквами в них обозначены	натуральные числа	.
Сократи дроби , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
Найди последовательные	натуральные числа	такие , что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
Вспомним , насколько труднее разделить	натуральные числа	, чем их перемножить .
Как иногда в шутку говорят математики , “ Бог создал	натуральные числа	, а все остальное - дело рук человеческих ” .
Подбери недостающие	натуральные числа	так , чтобы получились верные равенства , если известно , что дроби во всех равенствах правильные .
Как и	натуральные числа	, дроби можно сравнивать друг с другом .
Выполни действия , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
Выполни действия и сократи дроби , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
После умножения все дроби превращаются в	натуральные числа	, и теперь нам надо выяснить , что больше .
Все	натуральные числа	делятся на 7 : например , 14:7 = 2 .
Если	натуральные числа	дополнить нулем , то , взяв , будем считать .
Выполни деление , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся	натуральные числа	.
Во всей этой главе при обсуждении вопросов делимости рассматриваются только	натуральные числа	.
Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
Напиши все возможные	натуральные числа	, составленные с помощью двух пятерок и пяти нулей .
Общее правило сравнения дробей очень удобно , так как для его применения достаточно лишь перемножить и сравнить	натуральные числа	.
В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель , складывая не фрукты и не уроки , а	натуральные числа	.
Все	натуральные числа	имеют хотя бы один общий делитель - число 1 .
Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных -	натуральные числа	) .
Сравни , если все переменные	натуральные числа	.
Все	натуральные числа	, меньшие , простые .
Сравни , не вычисляя , если значения всех переменных -	натуральные числа	.
Известно , что	натуральные числа	, причем дроби .
Некоторые	натуральные числа	являются делителями числа 36 .
Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все	натуральные числа	.
Тогда для сравнения данных дробей достаточно сравнить	натуральные числа	.
Что произойдет с	натуральным	числом , если справа или слева приписать к его записи нуль ?
Докажи , что значение выражения является наименьшим	натуральным	числом .
Особенно удобен переход к	натуральным	числам при работе с выражениями , содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Степенью числа а с	натуральным	показателем 1 называется само число а : а1 — а .
Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего приводит к цели переход к	натуральным	числам .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается	натуральным	числом , а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся	натуральным	числом .
Степенью числа а с	натуральным	показателем п ( п > 1 ) называется произведение п множителей , каждый из которых равен а : .
Вычисли , используя переход к	натуральным	числам .
Реши уравнения , используя переход к	натуральным	числам .
Вычисли , используя переход к	натуральным числам	.
Особенно удобен переход к	натуральным числам	при работе с выражениями , содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего приводит к цели переход к	натуральным числам	.
Реши уравнения , используя переход к	натуральным числам	.
Существует ли куб , длина ребра которого выражается	натуральным числом	, а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Что произойдет с	натуральным числом	, если справа или слева приписать к его записи нуль ?
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся	натуральным числом	.
Докажи , что значение выражения является наименьшим	натуральным числом	.
Попробуй , используя данное определение и свойства действий с	натуральными	числами , самостоятельно доказать , что умножение дробей обладает переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю .
Алгоритмы сравнения и операций над	натуральными	числами и числом нам уже хорошо известны .
Так же поступают и в случае , когда делимое или делитель являются	натуральными	числами .
Какие из этих дробей не могут оказаться	натуральными	числами ? .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются	натуральными	числами ) .
Приведи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю .
Сформулируем теперь общее правило сравнения , пригодное для любых дробей с	натуральными	числителями и знаменателями .
Найди произведение дробей с	натуральными	числителями и знаменателями .
Найти длины сторон этого участка , если известно , что они выражаются	натуральными	числами .
Что же касается их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с обыкновенными дробями , и выполняются почти так же , как с	натуральными	числами .
Какие из этих частей можно выразить	натуральными	числами , а какие - с помощью процентов ? .
Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
Выполни сложение и вычитание дробей с	натуральными	числителями и знаменателями .
Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь прямоугольников , у которых длины сторон выражаются	натуральными	числами .
Найди длины сторон газона , если известно , что они выражаются	натуральными	числами .
Попробуем , однако , и при делении десятичных дробей воспользоваться их аналогией с	натуральными	числами .
По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями ,	натуральными	числами и смешанными числами , например .
Но в математике дело обстоит не так просто - из - за того , что часто приходится иметь дело с бесконечными множествами , например , со всеми	натуральными	числами .
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с	натуральными	числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Какие из этих частей можно выразить	натуральными числами	, а какие - с помощью процентов ? .
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с	натуральными числами	, в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Попробуй , используя данное определение и свойства действий с	натуральными числами	, самостоятельно доказать , что умножение дробей обладает переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Что же касается их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с обыкновенными дробями , и выполняются почти так же , как с	натуральными числами	.
По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями ,	натуральными числами	и смешанными числами , например .
Какие из этих дробей не могут оказаться	натуральными числами	? .
Так же поступают и в случае , когда делимое или делитель являются	натуральными числами	.
Алгоритмы сравнения и операций над	натуральными числами	и числом нам уже хорошо известны .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются	натуральными числами	) .
Эти равенства можно обосновать , опираясь на частные случаи умножения	натуральных	чисел .
А деление на ноль для дробей , как и для	натуральных	чисел , не допускается .
Поэтому , так же как и для	натуральных	чисел , ее можно назвать десятичной позиционной системой записи .
Как нам уже известно , для записи	натуральных	чисел обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел .
Множество	натуральных	чисел обозначают буквой ДГ .
Из двух	натуральных	чисел больше то , у которого больше первая цифра .
Принадлежит ли множеству	натуральных	чисел значение дроби .
В отличие от сложения и умножения , вычитание и деление	натуральных	чисел можно выполнить не всегда .
Составь таблицу квадратов первых двадцати	натуральных	чисел .
Сумма кубов первых п последовательных	натуральных	чисел равна квадрату их суммы .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам	натуральных	чисел .
Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о	натуральных	числах и дробях , известные из начальной школы .
Найди множество	натуральных	чисел , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения	натуральных	чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Можно ли на основании проведенного исследования утверждать , что данное высказывание верно для всех	натуральных	? .
Умножение и деление	натуральных	чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
Найди множество	натуральных	чисел , для которых дробь меньше ; равна .
Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать , что это свойство выполняется для всех	натуральных	чисел ? .
Произведение двух	натуральных	чисел равно , а их сумма составляет — от произведения .
Доказать , что сумма любых трех последовательных	натуральных	чисел делится на 3 .
Нам известно , что частное двух	натуральных	чисел равно дроби , у которой делимое - числитель , а делитель - знаменатель , например : .
Деление	натуральных	чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Сумма двух	натуральных	чисел не всегда делится на 3 .
Вспомни правила сравнения	натуральных	чисел и найди ошибки : .
Докажи , что среди любых восьми различных	натуральных	чисел найдутся хотя бы два числа , разность которых делится на .
Докажи , что для любых	натуральных	чисел а и Ь верно равенство .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких	натуральных	чисел с помощью разложения чисел на простые множители : .
Мы уже знаем , что на множестве	натуральных	чисел АГ .
У	натуральных	чисел есть много удивительных свойств .
Пусть известны разложения	натуральных	чисел а , Ь и с на простые множители .
Произведение двух	натуральных	чисел может быть больше их суммы .
Некоторые четырехзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных	натуральных	чисел .
Для	натуральных	чисел делимое никогда не бывает меньше делителя и частного .
Разбей данные 6 чисел на группы таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли числа , равные при любых	натуральных	значениях а , Ь и с .
Действия сложения и умножения	натуральных	чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
И вообще , для любых	натуральных	чисел тип можно записать .
Используя общее правило сравнения дробей и правило “ весов ” , найди множество	натуральных	чисел а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Два последовательных	натуральных	числа всегда взаимно простые .
Основные свойства делимости	натуральных	чисел .
Заполни пробелы так , чтобы получившиеся утверждения были верны на множестве	натуральных	чисел .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два	натуральных	числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Переведи на математический язык следующие свойства арифметических действий ( при условии их выполнимости на множестве	натуральных	чисел ): .
Запиши множество	натуральных	значений переменной у , при которых дробь — является неправильной сократимой дробью .
Любые два	натуральных	числа можно сравнить по величине , можно сложить или перемножить .
Определи , какие из данных равенств истинны при любых	натуральных	значениях а , Ь и с , а для оставшихся приведи контрпримеры .
Докажи , что среди пяти произвольных	натуральных	чисел найдутся хотя бы два числа , разность которых кратна четырем .
Найди объединение и пересечение множеств А и В	натуральных	решений неравенств .
Мы видим , что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению	натуральных	чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Действительно , для	натуральных	чисел ранее было доказано .
Этот пример иллюстрирует общее утверждение , общее свойство делимости	натуральных	чисел .
Произведение любых двух	натуральных	чисел больше их суммы .
Витя нашел такое наименьшее из возможных	натуральных	чисел , при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный куб .
Перечисли все точные квадраты среди первых 100	натуральных	чисел .
Докажи , что сумма пяти последовательных	натуральных	чисел делится на 5 .
При всех ли	натуральных	значениях п будут получаться простые числа ? .
Существуют	натуральных	числа , сумма квадратов которых меньше .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве	натуральных	чисел ) .
Докажи , что при всех	натуральных	значениях переменных выражения 28х , 96тпй , 52(г/ + г ) кратны 2 .
Делимость	натуральных	чисел .
Таким образом , множество	натуральных	чисел разбивается на 3 части : .
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению	натуральных	чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Одно из	натуральных	чисел больше другого .
Найди методом перебора множество пар	натуральных	чисел , удовлетворяющих равенству .
Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве	натуральных	чисел .
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших	натуральных	значениях п значение выражения 21 + 1 является простым числом .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве	натуральных	чисел ) .
Впрочем , такое обозначение	натуральных	чисел с нулями в начале используется и в обычной жизни .
Составь таблицу кубов первых десяти	натуральных	чисел .
В истории было много разных способов для записи	натуральных	чисел , но в конце концов “ победила ” одна - десятичная позиционная система записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Можно найти два	натуральных	делителя числа 7 .
Произведение двух	натуральных	чисел может быть меньше четырех .
Задачи , связанные с делимостью	натуральных	чисел , очень разнообразны .
частное двух	натуральных	чисел ( введи произвольные обозначения ) .
По определению деления	натуральных	чисел разделить число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
Сумма двух	натуральных	чисел делится на 3 .
Для любых	натуральных	чисел .
Действительно , сумма двух	натуральных	чисел не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
Произведение двух	натуральных	чисел больше их суммы .
Для любых	натуральных	чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Сумма двух	натуральных	чисел всегда делится на 3 .
Тогда при дележе яблок каждый	натуральных	чисел недостаточно .
Объясняется это тем , что выбранная нами система записи	натуральных	чисел является десятичной .
При каких	натуральных	п число 8 / г + 3 делится на 13 ? . .
	Натуральных	чисел , удовлетворяющих неравенству 5 < х < 10 ; .
Произведение двух	натуральных	чисел равно .
Разложение	натуральных	чисел на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений .
Тогда ее можно привести к знаменателю и для некоторых	натуральных	чисел выполняется равенство .
Из полученного равенства видно , что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения	натуральных	чисел .
Существуют	натуральных	числа , квадрат суммы которых равен .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и	натуральных	чисел .
"Это свойство - утверждение типа "" все "" : оно выполняется для любых"	натуральных	чисел .
Докажи , что для	натуральных	чисел верны утверждения : .
Признаки делимости	натуральных	чисел .
Факториалом натурального числа п называется произведение всех	натуральных	чисел .
	Натуральных	чисел очень часто не хватало .
Доказать , что частное двух	натуральных	чисел не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при делении без остатка ) .
Одно из двух	натуральных	чисел больше другого .
Пусть А — множество	натуральных	решений неравенства 5 < х < 11 , а В — множество натуральных решений неравенства 8 < х < 12 .
Пусть А — множество натуральных решений неравенства 5 < х < 11 , а В — множество	натуральных	решений неравенства 8 < х < 12 .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких	натуральных	чисел с помощью разложения чисел на простые множители .
Для	натуральных	чисел х и у выполняются два равенства .
Найди объединение и пересечение множеств	натуральных	решений неравенств .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких	натуральных чисел	с помощью разложения чисел на простые множители : .
"Это свойство - утверждение типа "" все "" : оно выполняется для любых"	натуральных чисел	.
Перечисли все точные квадраты среди первых 100	натуральных чисел	.
Вспомни правила сравнения	натуральных чисел	и найди ошибки : .
Для любых	натуральных чисел	.
Найди множество	натуральных чисел	, для которых дробь меньше ; равна .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве	натуральных чисел	) .
Мы видим , что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению	натуральных чисел	, которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Тогда при дележе яблок каждый	натуральных чисел	недостаточно .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам	натуральных чисел	.
Сумма двух	натуральных чисел	делится на 3 .
И вообще , для любых	натуральных чисел	тип можно записать .
Найди методом перебора множество пар	натуральных чисел	, удовлетворяющих равенству .
Делимость	натуральных чисел	.
Для любых	натуральных чисел	а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
У	натуральных чисел	есть много удивительных свойств .
Докажи , что среди пяти произвольных	натуральных чисел	найдутся хотя бы два числа , разность которых кратна четырем .
Таким образом , множество	натуральных чисел	разбивается на 3 части : .
Для	натуральных чисел	х и у выполняются два равенства .
Эти равенства можно обосновать , опираясь на частные случаи умножения	натуральных чисел	.
Пусть известны разложения	натуральных чисел	а , Ь и с на простые множители .
Деление	натуральных чисел	проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Переведи на математический язык следующие свойства арифметических действий ( при условии их выполнимости на множестве	натуральных чисел	): .
Произведение двух	натуральных чисел	может быть меньше четырех .
Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве	натуральных чисел	.
Произведение двух	натуральных чисел	равно , а их сумма составляет — от произведения .
Этот пример иллюстрирует общее утверждение , общее свойство делимости	натуральных чисел	.
Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать , что это свойство выполняется для всех	натуральных чисел	? .
Одно из двух	натуральных чисел	больше другого .
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения	натуральных чисел	, докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
	Натуральных чисел	, удовлетворяющих неравенству 5 < х < 10 ; .
Действия сложения и умножения	натуральных чисел	обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Докажи , что для любых	натуральных чисел	а и Ь верно равенство .
Поэтому , так же как и для	натуральных чисел	, ее можно назвать десятичной позиционной системой записи .
А деление на ноль для дробей , как и для	натуральных чисел	, не допускается .
Как нам уже известно , для записи	натуральных чисел	обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел .
Множество	натуральных чисел	обозначают буквой ДГ .
Нам известно , что частное двух	натуральных чисел	равно дроби , у которой делимое - числитель , а делитель - знаменатель , например : .
Сумма кубов первых п последовательных	натуральных чисел	равна квадрату их суммы .
Впрочем , такое обозначение	натуральных чисел	с нулями в начале используется и в обычной жизни .
Одно из	натуральных чисел	больше другого .
Составь таблицу квадратов первых двадцати	натуральных чисел	.
Тогда ее можно привести к знаменателю и для некоторых	натуральных чисел	выполняется равенство .
Задачи , связанные с делимостью	натуральных чисел	, очень разнообразны .
Из полученного равенства видно , что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения	натуральных чисел	.
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению	натуральных чисел	- надо только внимательно определить место запятой в произведении .
частное двух	натуральных чисел	( введи произвольные обозначения ) .
	Натуральных чисел	очень часто не хватало .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и	натуральных чисел	.
Действительно , для	натуральных чисел	ранее было доказано .
Сумма двух	натуральных чисел	всегда делится на 3 .
Произведение двух	натуральных чисел	равно .
Витя нашел такое наименьшее из возможных	натуральных чисел	, при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный куб .
Доказать , что частное двух	натуральных чисел	не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при делении без остатка ) .
Составь таблицу кубов первых десяти	натуральных чисел	.
Объясняется это тем , что выбранная нами система записи	натуральных чисел	является десятичной .
Докажи , что сумма пяти последовательных	натуральных чисел	делится на 5 .
Умножение и деление	натуральных чисел	- дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
Факториалом натурального числа п называется произведение всех	натуральных чисел	.
Разложение	натуральных чисел	на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений .
Докажи , что для	натуральных чисел	верны утверждения : .
Признаки делимости	натуральных чисел	.
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве	натуральных чисел	) .
Произведение двух	натуральных чисел	может быть больше их суммы .
Произведение любых двух	натуральных чисел	больше их суммы .
Заполни пробелы так , чтобы получившиеся утверждения были верны на множестве	натуральных чисел	.
Некоторые четырехзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных	натуральных чисел	.
Из двух	натуральных чисел	больше то , у которого больше первая цифра .
Произведение двух	натуральных чисел	больше их суммы .
Найди множество	натуральных чисел	, для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Мы уже знаем , что на множестве	натуральных чисел	АГ .
В отличие от сложения и умножения , вычитание и деление	натуральных чисел	можно выполнить не всегда .
Основные свойства делимости	натуральных чисел	.
Для	натуральных чисел	делимое никогда не бывает меньше делителя и частного .
Доказать , что сумма любых трех последовательных	натуральных чисел	делится на 3 .
Сумма двух	натуральных чисел	не всегда делится на 3 .
Действительно , сумма двух	натуральных чисел	не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
Принадлежит ли множеству	натуральных чисел	значение дроби .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких	натуральных чисел	с помощью разложения чисел на простые множители .
По определению деления	натуральных чисел	разделить число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
В истории было много разных способов для записи	натуральных чисел	, но в конце концов “ победила ” одна - десятичная позиционная система записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Используя общее правило сравнения дробей и правило “ весов ” , найди множество	натуральных чисел	а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Докажи , что среди любых восьми различных	натуральных чисел	найдутся хотя бы два числа , разность которых делится на .
Существуют	натуральных числа	, квадрат суммы которых равен .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два	натуральных числа	, как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Любые два	натуральных числа	можно сравнить по величине , можно сложить или перемножить .
Существуют	натуральных числа	, сумма квадратов которых меньше .
Два последовательных	натуральных числа	всегда взаимно простые .
Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о	натуральных числах	и дробях , известные из начальной школы .
Какое число	нашел	Витя ? .
Витя	нашел	такое наименьшее из возможных натуральных чисел , при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный куб .
Витя	нашел	такое двузначное натуральное число , при умножении которого получается точный квадрат , а при умножении - точный куб .
Во сколько раз у Робинзона Крузо стало больше зерна после сбора урожая по сравнению с тем , что он	нашел	, если считать , что в колосьях каждого вида всегда постоянное количество зерен , а из каждого зерна вырастает один колос ? .
Сергей	нашел	произведение всех чисел от 1 до 11 включительно и записал результат на доске .
Робинзон Крузо на необитаемом острове	нашел	колоса риса , в каждом из которых было зерна , и колосьев ячменя зерен в каждом .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное число , затем	нашла	сумму его цифр и записала результат , дальше нашла сумму цифр последнего числа и записала результат .
Оля	нашла	28 грибов , а Даша - на 15 грибов больше .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное число , затем нашла сумму его цифр и записала результат , дальше	нашла	сумму цифр последнего числа и записала результат .
Сколько всего грибов	нашли	обе девочки ? .
множество	незамкнутых	линий ; .
В соответствии с экологическими нормами ,	необходимо	провести плановую вырубку деревьев в городском парке так , чтобы после вырубки осталось деревьев .
Если	необходимо	, найти полученное произведение .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными числами , нам	необходимо	получить правило умножения дробей .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если	необходимо	, сократить дробную часть .
Для хранения желудей их	необходимо	просушить , причем при сушке они теряют 8 % своего веса .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если	необходимо	, сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Но вначале нам	необходимо	вспомнить некоторые важные сведения о натуральных числах и дробях , известные из начальной школы .
Уравнять , если	необходимо	, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе , не меняя значения дроби .
Помогая летом на уборке овощей , Вадим заработал , что составило суммы ,	необходимой	ему для покупки гитары .
Временем ,	необходимым	для того , чтобы зайти в дом и взять ручку , - пренебречь .
куб числа ;	неправильная дробь	.
Существует	неправильная дробь	с числителем .
Из полученной	неправильной дроби	выдели целую часть и проиллюстрируй это преобразование с помощью числового луча .
Дробь , обратная	неправильной дроби	, является правильной .
Если числитель	неправильной дроби	делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Представь число в виде	неправильной дроби	.
В ответе дробь обычно приводят к несократимому виду , а из	неправильной дроби	выделяют целую часть .
Запиши смешанное число в виде	неправильной дроби	и сделай рисунок : .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде	неправильной дроби	, можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется	неправильной дробью	, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Сумма двух правильных дробей может быть	неправильной дробью	.
Чтобы преобразовать	неправильную дробь	в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в	неправильную дробь	.
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать	неправильную дробь	со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
Смешанное число — перевели в	неправильную дробь	.
При этом даже не нужно переводить их в	неправильные дроби	, например .
Среди дробей -	неправильные дроби	; сократимые дроби ; несократимые дроби . .
При делении смешанных чисел их можно сначала перевести в	неправильные дроби	, а затем применить общее правило деления дробей .
Переведи смешанные числа в	неправильные дроби	и расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам . .
Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и	неправильных дробей	.
Запиши множество правильных дробей и множество	неправильных дробей	, которые можно составить из чисел .
Представь смешанные числа , принадлежащие множеству У , в виде	неправильных дробей	.
Выдели целую часть из	неправильных дробей	и расположи полученные смешанные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Выдели из	неправильных дробей	, принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Выдели из	неправильных дробей	, принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Найди объединение и пересечение множеств натуральных решений	неравенств	.
Какие из этих	неравенств	являются верными высказываниями , а какие - нет ? .
Найди объединение и пересечение множеств А и В натуральных решений	неравенств	.
Сделай оценку произведения и запиши ее в виде двойного	неравенства	.
Прочитай	неравенства	.
В начале решения мы , естественно , не знаем , какое из чисел больше , но можем поставить между ними знак	неравенства	произвольным образом , понимая , конечно , что при этом могло получиться и неверное высказывание .
Существует натуральное решение	неравенства	х < 2 .
Запиши с помощью двойного	неравенства	множество возможных значений , если .
нечетных решений	неравенства	795 < Ь < 803 .
Запиши с помощью двойного	неравенства	множество чисел , удаленных на числовом луче от дроби меньше , чем на .
Пользуясь определением окрестности , запиши в виде двойного	неравенства	окрестности точек .
четных решений	неравенства	389 < а < 400 ; .
Найди множество простых решений	неравенства	.
Какие числа , кратные 5 , являются решениями	неравенства	.
Наибольшим решением	неравенства	9570 < х < 10 815 , кратным 3 и 5 , является число 10 800 .
Выпиши множество решений	неравенства	978 < х < 1020 , кратных 10 .
"Приведи контрпример к утверждению : "" Все натуральные решения"	неравенства	"8 < х < 11 кратны двум "" ."
Запиши с помощью двойного	неравенства	нижнюю и верхнюю границу чисел с точностью : до десятков ; до сотен ; до тысяч .
Найди наибольшее натуральное решение	неравенства	: . .
Запиши множество чисел , кратных 9 , которые являются решениями	неравенства	.
Некоторые решения	неравенства	2 < х < 7 являются четными числами .
Запиши в виде двойного	неравенства	множество всех значений , которые может принимать .
Найди значения выражений и поставь между ними знак равенства или	неравенства	так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
На сколько левая часть	неравенства	меньше правой ? .
Верны ли	неравенства	: .
Пусть А — множество натуральных решений	неравенства	5 < х < 11 , а В — множество натуральных решений неравенства 8 < х < 12 .
Найди три решения	неравенства	.
Пусть А — множество натуральных решений неравенства 5 < х < 11 , а В — множество натуральных решений	неравенства	8 < х < 12 .
После присвоения элементу некоторого имени мы можем его называть и записывать под присвоенным ему именем в выражениях , формулах , равенствах и	неравенствах	.
Если одно число больше другого , то после умножения их обоих на одно и то же натуральное число	неравенство	между ними сохранится .
Поскольку мы получили неверное	неравенство	, то и первое написанное нами неравенство неверно . . .
Можно заметить , что оба числа делятся , и	неравенство	между ними не изменится , если оба разделить .
Поскольку мы получили неверное неравенство , то и первое написанное нами	неравенство	неверно . . .
Запиши двойное	неравенство	, указав верхнюю и нижнюю границы .
Из чисел , записанных справа от цветной черты , выбери те , которые не удовлетворяют	неравенству	, записанному в той же строке слева от этой черты .
Запиши три десятичные дроби , удовлетворяющие	неравенству	.
Найди несколько значений , удовлетворяющих	неравенству	.
натуральных чисел , удовлетворяющих	неравенству	5 < х < 10 ; .
Найди три дроби , удовлетворяющие	неравенству	.
Если разность двух чисел нечетна , то их сумма	нечетна	.
Если сумма двух чисел четна , то хотя бы одно из них	нечетно	.
Число	нечетно	.
Разность четного и	нечетного	числа - число нечетное .
Сумма четного и	нечетного	числа – число . .
По приведенному образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ; числа , кратного 4 ; четного числа ;	нечетного	числа .
Произведение четного и	нечетного	числа – число . .
Четное и	нечетное	числа всегда взаимно простые .
Сумма любых двух соседних чисел - число	нечетное	.
Разность четного и нечетного числа - число	нечетное	.
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых -	нечетное	число , в разряде тысячных - число , кратное .
Если сумма двух чисел четна , то они оба	нечетны	.
Некоторые делители числа 28 -	нечетные	числа .
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 (	нечетные	числа ) , - нечетными цифрами .
Все	нечетные	числа являются простыми числами .
Докажи , что сумма , где является числом	нечетным	.
Эти цифры , как мы уже знаем , условились называть четными , в отличие от остальных цифр - 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , которые называют	нечетными	.
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , -	нечетными	цифрами .
Выпиши три	нечетных	числа , больших 1000 и кратных 25 .
Среди двузначных чисел четных чисел больше , чем	нечетных	.
Сумма любых двух	нечетных	чисел – число .
Разность любых двух	нечетных	чисел – число .
Сумма любых двух	нечетных	чисел и четного числа есть число четное .
произведение всех	нечетных	однозначных чисел ; .
	Нечетных	решений неравенства 795 < Ь < 803 .
Рассмотри графики движения двух объектов и определи по	ним	для каждого объекта : .
Пройти по нему можно , перемещаясь от числа к большему числу , находящемуся рядом с	ним	в любом из указанных восьми направлений .
Каждое натуральное число , кроме 1 , в два раза меньше суммы соседних с	ним	чисел .
Каждое натуральное число на единицу меньше следующего за	ним	.
Возьмем произвольное натуральное число и обозначим его буквой п. Тогда следующие за	ним	два числа равны соответственно п + 1 и п + 2 .
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к	ним	справа столько нулей , сколько требуется .
Через 5 мин вслед за	ним	выехал другой всадник , скорость которого составляет — скорости первого .
Наблюдая за	ним	в течение долгого времени , он заметил , что : если сейчас робот кивает , то через минуту он моргает ; если сейчас робот топает , то через минуту он хлопает ; если сейчас робот пищит , то через минуту он кивает ; если сейчас робот трещит , то через минуту он пищит ; если сейчас робот моргает , то через минуту он топает ; если сейчас робот хлопает , то через минуту он трещит .
Например , запись , которую Знайка сделал в январе , означает , что в начале месяца у него было монет , а в течение месяца к	ним	добавились сначала монеты , потом , потом он израсходовал монет и т д .
Через день вслед за	ним	был послан другой юноша , проходивший в день верст .
Вслед за	ним	вышел караван судов со скоростью .
Одновременно с	ним	из Москвы в Санкт - Петербург выехал товарный поезд .
Добавь еще к	ним	трех юношей , из которых Теон превосходит прочих своими способностями .
Через вслед за	ним	выехал автомобиль со скоростью больше скорости автобуса .
Скорость автобуса равна 45 км / ч , что составляет — скорости движущегося вслед за	ним	автомобиля .
На опушку выскочил заяц , и пес погнался за	ним	со скоростью .
А деление на	ноль	для дробей , как и для натуральных чисел , не допускается .
Из записи десятичной дроби вычеркнули	ноль	, стоящий после запятой .
Докажи , что по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое число ошибок ( быть может , и	ноль	) , если известно , что в классе человек .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “	ноль	целых ” , например . .
Таким образом , читают десятичные дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа целых единиц ( даже если их “	ноль	” ) .
Как изменилась эта дробь , если : вычеркнутый	ноль	стоял в конце записи ; вычеркнутый ноль стоял не в конце записи ? .
Как изменилась эта дробь , если : вычеркнутый ноль стоял в конце записи ; вычеркнутый	ноль	стоял не в конце записи ? .
Медиками установлено , что для	нормального	развития ребенок , которому Т лет ( Т меньше 18 ) , должен спать в сутки I часов , где I определяется по Т формуле истинность высказывания .
Из приведенных примеров видно , что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько	нулей	в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Составь и расположи в порядке убывания все возможные пятизначные числа , которые можно записать с помощью трех четверок и двух	нулей	.
Во всех рассмотренных выше десятичных дробях число знаков после запятой ( без учета	нулей	в конце ) является конечным .
Почему при делении с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число	нулей	?
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько	нулей	, сколько требуется .
А если знаков будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева десятичной дроби столько	нулей	, сколько требуется , - ведь от этого дробь не изменится .
Если после выполнения действий в конце дробной части появляются несколько	нулей	, то их , естественно , писать не надо .
Ответ , конечно , зависит от того , сколько	нулей	в конце записи числа мы хотим получить в результате .
Приписывание одного , двух , трех и т д	нулей	справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Умножение и деление натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число	нулей	.
И поскольку к десятичной дроби справа можно приписать любое число	нулей	, не изменяя ее , то эта закономерность продолжится и дальше .
Уравнять , если необходимо , число цифр в числителе с числом	нулей	в знаменателе , не меняя значения дроби .
Все приведенные примеры обладают , однако , одной особенностью : в числителях дробей столько же цифр , сколько	нулей	в знаменателе .
Продолжить деление , не обращая внимания на запятую , дописывая в делимом после запятой столько	нулей	, сколько потребуется .
Напиши все возможные натуральные числа , составленные с помощью двух пятерок и пяти	нулей	.
Все числа , кратные десяти , оканчиваются	нулем	.
При этом отсутствие единиц в разряде , как и прежде , обозначается	нулем	.
Круглое число с одним	нулем	в конце записи состоит из десятков , поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до десятков .
Если натуральные числа дополнить	нулем	, то , взяв , будем считать .
Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и вычитания с	нулем	.
Перепиши равенства и поставь в частных пропущенные запятые и	нули	.
Назови разряды , в которых записаны	нули	.
Можно ли пропустить	нули	в записи числа ? .
В числе 7 030 506 все	нули	замени одной и той же цифрой - такой , чтобы полученное число делилось на 9 .
Оказывается , это несложно , если применить маленькую “ математическую хитрость ” : разрешить приписывать	нули	к натуральному числу слева , условно считая , что оно от этого не меняется , например .
Рассмотрим простейший случай , когда мы хотим иметь в конце записи только один	нуль	.
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное число , выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить	нуль	между цифрами десятков и единиц , то получится число , в 9 раз большее исходного .
Что произойдет с натуральным числом , если справа или слева приписать к его записи	нуль	?
Но “ лишний ”	нуль	в последнем примере отбросить нельзя , так как он показывает заданную точность приближения .
Для этого припишем к числу справа один	нуль	.
Если к неизвестному числу приписать справа	нуль	и новое число сложить с неизвестным , то в сумме получится .
Результат умножения любого числа на 0равен	нулю	.
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна	нулю	, то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Ясно , что вычитание возможно только в случае , когда числитель полученной дроби больше или равен	нулю	, то есть .
Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна	нулю	, то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь .
Результат умножения числа на 0равен	нулю	.
"По правилу "" весов "" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от"	нуля	.
"Реши уравнения , используя правило "" весов "" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от"	нуля	.
Если делимое и делитель разделить на одно и то же число , отличное от	нуля	, то частное .
В записи десятичной дроби вычеркнули “ хвост ” - несколько последних цифр , отличных от	нуля	, стоящих после запятой .
Чтобы разделить разность на число , отличное от	нуля	, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
Так , в знаменателе дроби три	нуля	, и в ее десятичной записи три знака после запятой .
А свойством	нуля	? .
Углом называется геометрическая фигура ,	образованная	двумя лучами с общим началом .
Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину угла ,	образованного	биссектрисами .
Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей четырехугольника ,	образованного	четырьмя дугами .
Например , его можно записать в виде 100а + Ь , где Ъ - двузначное число ,	образованное	двумя последними цифрами данного числа .
Записав число в виде 100а + Ъ , где Ь - двузначное число ,	образованное	двумя последними цифрами данного числа , сформулируй и докажи признаки делимости на 4 и на 25 .
Измерь с помощью транспортира углы ,	образованные	этими отрезком и лучом .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными , если они	образуют	четыре прямых угла .
Вместе они	образуют	октаву .
Лучи ,	образующие	угол , называются сторонами угла , а их общее начало - вершиной угла .
Построй углы , в сумме	образующих	развернутый угол , так , чтобы первый из них был в больше второго , а третий - больше первого .
Дробь ,	обратная	правильной дроби , является неправильной .
Вместо бытового слова “ перевернутая ” говорят	обратная	.
Дробь ,	обратная	неправильной дроби , является правильной .
В то же время	обратное	утверждение “ всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной ” неверно : в качестве контрпримера можно привести дробь .
У всякого числа имеется	обратное	.
Деление - действие ,	обратное	умножению .
Существует число ,	обратное	самому себе .
В завершение заметим , что если дробь — является обратной для дроби , то дробь , очевидно , является	обратной	для дроби .
В завершение заметим , что если дробь — является	обратной	для дроби , то дробь , очевидно , является обратной для дроби .
От станции до почты он шел со скоростью , а на	обратном	пути его скорость была .
Число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , составляет у исходного числа .
Если к двузначному числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получится число , кратное .
Если двузначное число увеличить на 27 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Докажи , что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получится число , делящееся на 11 .
Если двузначное число уменьшить на 45 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
От озера до деревни он ехал со скоростью , а на	обратном	пути его скорость была .
На какую часть своего объема уменьшается лед при	обратном	превращении в воду ? .
разность числа 92 и двузначного числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке ; .
А вот смотри , если прибавить к твоему возрасту , 38 годам , число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получим полный квадрат .
Затем запиши число теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
В числителе дроби стоит число , а в знаменателе - число , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби : удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ;	обратную	ей дробь ? .
Реши задачу , а затем составь и реши	обратную	задачу .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на дробь ,	обратную	делителю .
Запиши числа	обратные	.
Составь для данной задачи все возможные	обратные	задачи , представляя их условие с помощью схемы .
Как известно , деление на некоторое число является действием ,	обратным	умножению на это число : делимое равняется произведению делителя и частного .
Вычитание и деление являются	обратными	действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
Два числа , произведение которых равно , называют взаимно	обратными	.
Приведи примеры взаимно	обратных	чисел .
Сколько можно составить	обратных	задач ? .
Из двух взаимно	обратных	дробей одна обязательно является правильной , .
Произведение двух взаимно	обратных	дробей может быть больше . .
Приведи примеры взаимно	обратных чисел	.
Период	обращения	по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до десятков , единиц , десятых .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть """	объединение	""" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать ."
Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок , найди их	объединение	и пересечение .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А и В , найди их	объединение	и пересечение .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств С и Л , найди их	объединение	и пересечение .
Найди пересечение и	объединение	этих множеств .
Найди	объединение	и пересечение множеств . .
Найди	объединение	и пересечение множеств А и В натуральных решений неравенств .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств В ( 42 ) и В ( 63 ) , найди их	объединение	и пересечение .
Найди	объединение	и пересечение множеств натуральных решений неравенств .
Например , дробь имеет три знака после запятой , значит , знаменатель ее записи в виде	обыкновенной дроби	равен .
Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь , если знаменатель ее записи в виде	обыкновенной дроби	равен ? .
Запиши число сначала в виде десятичной дроби тремя различными способами , а затем в виде	обыкновенной дроби	двумя различными способами .
Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде	обыкновенной дроби	( простой или смешанной ) , например : целая часть дробная часть .
Полученное утверждение называют условием перевода	обыкновенной дроби	в конечную десятичную .
Запиши число “ целых десятитысячных ” сначала в виде	обыкновенной дроби	пятью различными способами , а затем в виде десятичной дроби тремя различными способами .
Из приведенных примеров видно , что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей	обыкновенной дроби	.
Запиши любую конечную десятичную дробь по собственному выбору и представь ее в виде	обыкновенной дроби	.
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей	обыкновенной дроби	на и т д. Действительно .
Это связано с тем , что не всякую	обыкновенную дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Из предыдущего пункта мы знаем , что не всякую	обыкновенную дробь	можно перевести в конечную десятичную .
Любую	обыкновенную дробь	можно представить в виде десятичной .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в	обыкновенную дробь	получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
В то же время обратное утверждение “ всякую	обыкновенную дробь	можно записать в виде конечной десятичной ” неверно : в качестве контрпримера можно привести дробь .
Напротив , десятичные дроби — это те же	обыкновенные дроби	, но со стандартным знаменателем вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами десятичными дробями , поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название -	обыкновенные дроби	.
Десятичные и	обыкновенные дроби	.
Даны две	обыкновенные дроби	, каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
Таким образом , десятичные и	обыкновенные дроби	— это две различные системы записи чисел .
Конечно , десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в	обыкновенные дроби	, выполнить действия , а затем снова вернуться к десятичным дробям .
Умножим число , используя действия с	обыкновенными дробями	.
Что же касается их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с	обыкновенными дробями	, и выполняются почти так же , как с натуральными числами .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики	обыкновенных дробей	.
Действительно , для сравнения	обыкновенных дробей	приходится использовать разные “ хитрые ” приемы , производить громоздкие вычисления .
Произведение двух данных	обыкновенных дробей	, отличных , может быть представлено в виде конечной десятичной дроби .
Вычислим сумму , уравняв число знаков после запятой и переходя к сложению	обыкновенных дробей	.
Сумма двух данных	обыкновенных дробей	, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде	обыкновенных дробей	.
Сумма двух данных	обыкновенных дробей	может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
Произведение двух данных	обыкновенных дробей	, отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде	обыкновенных дробей	или смешанных чисел .
Найди дробь , знаменателем которой является	однозначное	число и которая больше , но меньше . .
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на многозначное число мы можем делить , как правило , на	однозначные	числа , что значительно легче .
Для этого понадобится три действия деления : данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на	однозначные	числа .
Найди все числа , которые раскладываются на два разных	однозначных	простых множителя .
произведение всех нечетных	однозначных	чисел ; .
Найди сумму : всех	однозначных	чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
Достаточно ли света в классе , длина которого и ширина , если в классе имеется	окна	высотой и шириной ? .
Кто разбил	окно	?
- Кто разбил	окно	?
Четверо ребят - Игорь , Сережа , Миша и Юра - играли во дворе в футбол и разбили	окно	.
- Я	окно	не разбивал , - возразил Юра .
Три девицы под	окном	пряли поздно вечерком .
Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки стен комнаты , если площадь	окон	и дверей равна 12 м2 , а отходы обоев при поклейке составляют часть площади оклеивания ?
Необходимо , чтобы величина площади	окон	составляла не менее площади пола .
Пользуясь определением	окрестности	, запиши в виде двойного неравенства окрестности точек .
Для каждой	окрестности	запиши по одному числу , которое ей принадлежит , и по одному числу , которое ей не принадлежит , или опровергни утверждения : . .
Точка принадлежит	окрестности	точки .
Пользуясь определением окрестности , запиши в виде двойного неравенства	окрестности	точек .
Изобрази с помощью числового луча	окрестность	точки .
Множество точек числового луча , удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется	окрестностью	точки .
С точностью до какого разряда выполнено	округление	?
Известно , что , выполнив	округление	числа с соблюдением всех правил получили .
Аналогично и при	округлении	чисел с точностью до сотен , тысяч и т д. берется приближение с недостатком или с избытком в зависимости от того , какое из них “ ближе ” к данному числу .
Поэтому в математике существуют правила	округления	( приближения ) , позволяющие заменять числа их ближайшими удобными для расчета числами с наибольшей точностью .
С точностью до какого разряда	округлено	каждое число ? .
Сделай прикидку ,	округлив	до целых , а затем найди точное значение выражения .
Что произойдет с частным , если	округлить	: делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Что произойдет с разностью двух чисел , если	округлить	: уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Итак ,	округлить	натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Что произойдет с суммой двух чисел , если	округлить	: одно из слагаемых с избытком ; одно из слагаемых с недостатком ;
Что произойдет с произведением двух чисел , если	округлить	: один из множителей с избытком ; один из множителей с недостатком ; оба множителя с избытком ;
Теперь заметим , что дальше делить не имеет смысла , так как мы	округляем	до сотых и трех цифр после запятой нам достаточно .
За разрядом сотых , до которого мы	округляем	, идет цифра , поэтому цифру разряда сотых увеличиваем .
Поэтому и результаты арифметических действий в практических расчетах часто приходится	округлять	.
Эту близость определяет цифра , записанная в разряде , следующем ( в направлении слева направо за разрядом , до которого	округляют	: если она меньше , то лучше взять приближение с недостатком , а если больше - то приближение с избытком .
Десятичные дроби	округляют	по тем же правилам .
Архимед установил , что отношение длины	окружности	к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Длина диаметра	окружности	в два раза больше длины радиуса той же окружности .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины	окружности	от ее диаметра .
Длина диаметра окружности в два раза больше длины радиуса той же	окружности	.
Переднее колесо экипажа имеет в	окружности	, а заднее .
Измерь углы между радиусами , соединяющими центр	окружности	с вершинами треугольника .
Архимед установил , что частное от деления длины	окружности	на ее диаметр составляет примерно .
Все диаметры	окружности	имеют одну и ту же длину .
Великий древнегреческий ученый Архимед установил , что длина	окружности	примерно больше ее диаметра .
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение длины	окружности	к ее диаметру .
Эта точка называется центром	окружности	.
Угол с вершиной в центре	окружности	называется ее центральным углом .
Проведи прямую , пересекающую окружность в точках А и В. На каком расстоянии от центра	окружности	находятся точки А и В ? .
Дугой	окружности	называется каждая из частей , на которые делят окружность любые две ее точки .
Диаметром окружности называется хорда , проходящая через центр этой	окружности	.
Угол , вершина которого лежит на	окружности	, а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
По рисунку определи число общих точек	окружности	со следующими фигурами : .
Измерь с помощью нитки длину	окружности	и найди отношение длины окружности к ее диаметру .
Диаметром	окружности	называется хорда , проходящая через центр этой окружности .
Отрезок , соединяющий две точки	окружности	, называется ее хордой .
Отрезок , соединяющий центр окружности с какой - либо ее точкой , называется радиусом	окружности	.
Отрезок , соединяющий центр	окружности	с какой - либо ее точкой , называется радиусом окружности .
Проведи	окружность	с центром в точке и радиусом .
Начерти	окружность	произвольного радиуса .
Дугой окружности называется каждая из частей , на которые делят	окружность	любые две ее точки .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту	окружность	, называется вписанным углом .
Раздели	окружность	с помощью циркуля на равных частей .
Начерти	окружность	с центром в точке О и радиусом 4 см 5 мм .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и	окружность	с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Начерти прямоугольный треугольник и проведи	окружность	, диаметром которой является его гипотенуза .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую	окружность	- с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Угол , вписанный в	окружность	, всегда острый .
Начерти	окружность	с центром в точке О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условию : .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи	окружность	с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Проведи прямую , пересекающую	окружность	в точках А и В. На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В ? .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи	окружность	с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Сколько страниц в рукописи , если первый	оператор	набрал больше , чем второй ? .
Один	оператор	набрал страниц текста , а другой - страниц .
Первый	оператор	набрал — всей рукописи , а второй за то же время всей рукописи .
Двум	операторам	было поручено набрать на компьютере рукопись .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные	операции	деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Сделай проверку , взяв в качестве объекта	операции	число 8 .
Для этого понадобится три действия деления : данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три	операции	деления на однозначные числа .
Зависит ли ответ от порядка , в котором эти	операции	выполняются ? .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные	операции	деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Блок - схемы задают последовательность	операций	в программе .
Алгоритмы сравнения и	операций	над натуральными числами и числом нам уже хорошо известны .
Как изменится число в результате всех	операций	?
По графику	опиши	движение путешественников , определи скорость .
По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси	ординат	.
Чем характеризуются координаты точек , расположенных на оси абсцисс , на оси	ординат	? . .
Из точек , указанных ниже , выбери отдельно точки , принадлежащие оси абсцисс , и точки , принадлежащие оси	ординат	.
При этом число а называют	основанием	степени , а число 5 - показателем степени .
Представь его в виде степени с	основанием	5 .
На	основании	переместительного и сочетательного свойств умножения имеем .
Можно ли на	основании	нескольких измерений распространить полученный вывод на все трапеции ? .
Можно ли на	основании	проведенного исследования утверждать , что данное высказывание верно для всех натуральных ? .
Можно ли на	основании	проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей .
Рассмотри их доказательство и объясни , на	основании	каких свойств чисел выполнены преобразования .
Действительно , на	основании	этих правил можно записать , например , равенство .
Вычисли наиболее удобным способом и объясни , на	основании	каких свойств сложения и вычитания выполнены преобразования .
Можно ли на	основании	рассмотренных примеров утверждать , что это свойство выполняется для всех натуральных чисел ? .
Могут ли историки на	основании	этих данных определить , сколько насадок содержится в бочке ? .
Можно ли на	основании	выполненных построений и измерений утверждать , что наблюдаемое свойство верно для всех правильных шестиугольников ?
А это можно сделать на	основании	основного свойства дроби , например .
Можно ли считать твою гипотезу верной на	основании	выполненных построений и измерений ?
Длина	основания	прямоугольного параллелепипеда , а ширина меньше длины .
Сформулируй гипотезу о том , как разделить степени с одинаковыми	основаниями	ат : ап при а * 0 , и запиши ее в буквенном виде .
Сформулируй гипотезу о том , как умножить степени с одинаковыми	основаниями	ат • сГ , и запиши ее в буквенном виде .
"Напомним , что , когда мы говорим "" делится ” , мы имеем в виду "" делится без"	остатка	” .
В первую неделю она съела часть корма , во вторую —	остатка	.
Фермер продал картофель трем покупателям : первому — часть всего картофеля , второму — остатка , а третьему — нового	остатка	и последние кг .
Фермер продал картофель трем покупателям : первому — часть всего картофеля , второму —	остатка	, а третьему — нового остатка и последние кг .
В первый день он прочитал всей книги , во второй - — остатка , а в третий — нового	остатка	и последние страниц .
Третьему полагалось взять также —	остатка	и еще батончика .
Одному покупателю она продала половину того , что имела , и еще пол - яйца , второму - половину того , что у нее осталось , и еще пол - яйца , третьему - половину нового	остатка	и еще пол - яйца , наконец , четвертому половину того , что осталось от прежней торговли , и еще пол - яйца .
В первый день он прочитал всей книги , во второй - —	остатка	, а в третий — нового остатка и последние страниц .
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без	остатка	, то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Доказать , что частное двух натуральных чисел не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при делении без	остатка	) .
всего урожая , а во второй раз —	остатка	.
Следовательно , данная сумма делится на 3 ( без	остатка	) , что и требовалось доказать .
Разделив некоторое целое число на 15 , Боря получил в	остатке	8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
Разделив некоторое целое число на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в	остатке	17 .
При делении числа и на число 4 получается в частном у и в	остатке	1 .
При делении числа а на число Ь получается в частном сив	остатке	г .
В первом случае получили в	остатке	, а во втором .
При делении на 9 любого числа из множества { 20 , 56 , 101 } в	остатке	получается 2 .
При делении некоторого числа на 5 в	остатке	получилось 4 .
При делении числа с1 на 8 получается в частном див	остатке	5 .
При делении всех чисел из множества { 24 , 38 , 45 } на число 7 в	остатке	получается 3 .
Найди	остатки	, которые получаются при делении на 9 чисел : 36 681 , 578 645,4 620 805 .
Какие	остатки	получаются при делении числа 27 628 : на 10 ; на 100 ; на 1000 ; на 2 ; на 5 ?
Найди	остатки	от деления на 3 чисел : 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
За завтраком съели — всего сыра , за обедом	остатки	, а остальной сыр съели за ужином .
Какие получаются	остатки	при делении этих чисел на 3 ? .
Какие получаются	остатки	при делении этих чисел на 9 ? .
Выполни деление с	остатком	и сделай проверку .
Пользуясь формулой деления с	остатком	а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные значения букв в таблице .
Запиши соотношение между ними , пользуясь формулой деления с	остатком	.
Почему при делении с	остатком	нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
Выполни деление с	остатком	и сделай проверку : 918 : 45 .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с	остатком	: частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
При делении числа на число получается частное и	остаток	.
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть ,	остаток	- числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
При делении числа на получается частное и	остаток	.
Например , так как при делении получается частное и	остаток	.
По рисунку найди делимое , делитель , частное и	остаток	.
Угол , вписанный в окружность , всегда	острый	.
Любой	острый	угол меньше любого тупого угла .
Любой	острый угол	меньше любого тупого угла .
Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под	острым	углом в некоторых точках .
Угол называется	острым	", если он меньше 90 "" , а тупым , если он больше 90 "" , но меньше 180 ° ."
Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под	острым углом	в некоторых точках .
Сколько на рисунке прямых ,	острых	, тупых углов ?
К таким знакам	относится	знак равносильности , который мы использовали для краткой записи свойств делимости .
Действительно , понятие равносильности предложений	относится	не только к математике , но и к обычному языку .
"Среди приведенных ниже высказываний найди общие утверждения , высказывания типа "" хотя бы один ” и высказывания , не"	относящиеся	к этим двум видам утверждений .
Найди	отношение	числа а к числу , если .
Горизонтальные отрезки обозначают	отношение	""" муж - жена "" , а все остальные отрезки -- отношение "" дети - родители "" ."
Найди	отношение	площади круга к квадрату его радиуса .
"Горизонтальные отрезки обозначают отношение "" муж - жена "" , а все остальные отрезки --"	отношение	""" дети - родители "" ."
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди	отношение	длины окружности к ее диаметру .
Архимед установил , что	отношение	длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Напомним , что для построения моделей задач , величины в которых связаны	отношением	а = Ь • с , удобно использовать таблицу : . .
Вычитание и деление являются обратными действиями по	отношению	к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
На рисунке изображена группа людей , связанных семейными	отношениями	.
Составь по рисунку истинные высказывания о родственных	отношениях	в этой семье .
От неизвестного числа	отняли	два раза по три раза , после чего осталось .
Если от удвоенного неизвестного числа	отнять	, то получим квадрат числа .
Какую часть	отрезка	СП составляет отрезок АВ ? .
Построй их графическую иллюстрацию с помощью	отрезка	и его частей .
Какую часть	отрезка	АВ составляет отрезок ?
	Отрезка	совпадает с началом следующего .
Ломаной называется фигура , которая состоит из точек плоскости и последовательно соединяющих их отрезков таких , что никакие два	отрезка	с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего .
Соедини	отрезками	три из отмеченных точек так , чтобы образовался правильный треугольник .
Начерти равносторонний треугольник и соедини	отрезками	середины его сторон .
Покажи , как разделить фигуру на равных по площади фигур шестью	отрезками	. .
	Отрезками	АО , АС и СВ ; .
Чему равно расстояние между точками О и I ) , А и М , К и С , выраженное в единичных	отрезках	?
"Горизонтальные отрезки обозначают отношение "" муж - жена "" , а все остальные"	отрезки	"-- отношение "" дети - родители "" ."
Горизонтальные	отрезки	"обозначают отношение "" муж - жена "" , а все остальные отрезки -- отношение "" дети - родители "" ."
Проиллюстрируй ответы на чертеже , подобрав подходящие единичные	отрезки	.
Чему равна длина	отрезков	АМ , АК , ВМ и ВЯ ? .
Какую часть каждый из отрезков АВ , СВ и ЕР составляет от других	отрезков	?
Что интересного в расположении концов	отрезков	?
Каждый из отрезков , составляющих ломаную , называется звеном ломаной , а концы этих	отрезков	- вершинами ломаной .
Каждый из	отрезков	, составляющих ломаную , называется звеном ломаной , а концы этих отрезков - вершинами ломаной .
Какую часть каждый из	отрезков	АВ , СВ и ЕР составляет от других отрезков ?
Ломаной называется фигура , которая состоит из точек плоскости и последовательно соединяющих их	отрезков	таких , что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего .
Соедини	отрезком	вершину прямого угла с серединой гипотенузы .
Измерь с помощью транспортира углы , образованные этими	отрезком	и лучом .
Эти точки принадлежат	отрезку	и называются его концами .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный	отрезок	, начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Какую часть отрезка СП составляет	отрезок	АВ ? .
Построй луч ТК , который пересекает луч ВС , но не пересекает	отрезок	ВС .
Какую часть отрезка АВ составляет	отрезок	?
Начерти координатный луч , приняв за единичный	отрезок	клеток .
Диагональю многоугольника называется	отрезок	, соединяющий любые две его не соседние вершины .
Начерти	отрезок	СВ , равный 4 см , и построй все точки , которые : .
Начерти	отрезок	МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Сравни по длине проведенный	отрезок	и гипотенузу .
Начерти	отрезок	АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Проведи луч ВА и	отрезок	СП и определи координаты их точки пересечения .
Начерти координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	клеток .
На Южном полюсе температура воздуха всегда	отрицательная	.
В какое время она была положительной ,	отрицательной	? .
Измерь с помощью	палетки	площадь произвольного круга .
Куб и прямоугольный	параллелепипед	имеют одинаковую сумму длин ребер .
Прямоугольный	параллелепипед	равен по объему кубу с ребром .
Ширина прямоугольного	параллелепипеда	меньше длины , а высота - больше ширины .
Чему равен объем этого прямоугольного	параллелепипеда	? .
Измерения прямоугольного	параллелепипеда	.
Вычисли объем прямоугольного	параллелепипеда	, вырази в кубических метрах и округли до сотых .
Сарай имеет форму прямоугольного	параллелепипеда	.
Найти объем прямоугольного	параллелепипеда	, если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
По формуле объема прямоугольного	параллелепипеда	найди .
Сколько понадобится краски , чтобы покрасить деревянный брус , имеющий форму прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 80 см , 30 см и 20 см , если для покраски 1 дм2 поверхности нужно 3 г краски ? .
Ширина прямоугольного	параллелепипеда	, длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
Ширина прямоугольного	параллелепипеда	равна 20 дм , что составляет его длины .
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности прямоугольного	параллелепипеда	? .
Какие из фигур на рисунке являются развертками прямоугольного	параллелепипеда	? .
Длина основания прямоугольного	параллелепипеда	, а ширина меньше длины .
Высота	параллелепипеда	составляет суммы его длины и ширины .
Как из них сделать каркасную модель	параллелепипеда	с размерами , не разрезая этих кусков ? .
Найди объем этого прямоугольного	параллелепипеда	, если сумма длин всех его ребер равна .
Длина прямоугольного	параллелепипеда	равна , ширина , а высота на меньше ширины .
Длина	параллелепипеда	, а ширина меньше длины .
Чему равен объем	параллелепипеда	? .
Чему равна высота этого	параллелепипеда	, если его объем равен ? .
Длина аквариума , имеющего форму прямоугольного	параллелепипеда	, равна , а ширина составляет — длины .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного	параллелепипеда	.
На сколько дециметров высота	параллелепипеда	больше его ширины ? .
Длина прямоугольного	параллелепипеда	равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного	параллелепипеда	длиной 40 см , шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Ширина прямоугольного	параллелепипеда	составляет длины , а высота - длины .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
По какой	параллели	короче “ кругосветное ” путешествие и примерно на сколько километров ? .
Построй в тетради	параллелограмм	по клеточкам , как показано на рисунке .
Является ли трапецией	параллелограмм	, прямоугольник , ромб , квадрат ? .
Имеют ли оси симметрии	параллелограмм	, прямоугольник , ромб , квадрат , и если да - то сколько ?
Какие свойства сторон и углов	параллелограмма	ты наблюдаешь ?
Достаточно ли для ее доказательства измерить стороны и углы нескольких	параллелограммов	?
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество	параллелограммов	, I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Является ли	параллелограммом	прямоугольник , ромб , квадрат ? .
Через любую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести	параллельную	ей прямую .
Через любую точку плоскости , не лежащую на / данной прямой , можно провести только одну	параллельную	ей прямую .
Через любую точку плоскости можно провести прямую ,	параллельную	данной прямой .
Любые две прямые па плоскости или	параллельны	, или пересекаются .
Прямые I и р	параллельны	О Прямые I и р не имеют общих точек .
Любые две прямые на плоскости или	параллельны	, или перпендикулярны .
Две прямые на плоскости , параллельные третьей ,	параллельны	друг ДРУГУ .
Две прямые на плоскости , перпендикулярные одной прямой ,	параллельны	друг другу .
Проведи две	параллельные	друг другу прямые АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под острым углом в некоторых точках .
Две прямые на плоскости ,	параллельные	третьей , параллельны друг ДРУГУ .
Проведи две	параллельные	прямые и секущую .
Две прямые называются	параллельными	, если они не имеют общих точек .
Сформулируй гипотезу и проверь ее для каких - нибудь двух других	параллельных	прямых и секущей .
Начерти прямоугольник , стороны которого больше сторон данного прямоугольника , и заполни его	паркетом	по образцу .
Запиши формулу , выражающую зависимость	переменного	расстояния до школы й м от времени движения I мин .
Найди все значения	переменной	с , принадлежащие , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения .
Найди множество значений	переменной	и обозначь его .
При каких значениях	переменной	значение выражения делится на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
Рассмотри таблицы и запиши формулы , выражающие зависимость	переменной	.
в таблице приведены значения переменной у при указанных значениях	переменной	х.
Запиши формулу зависимости	переменной	координаты х от времени движения I. Определи координату движущейся точки через 3 минуты после выхода .
Рассмотри внимательно таблицы и запиши формулы , выражающие зависимость переменной от	переменной	. .
Рассмотри внимательно таблицы и запиши формулы , выражающие зависимость	переменной	от переменной . .
Упрости выражение и найди его значение при данном значении	переменной	.
Выполни действия и расположи полученные значения	переменной	х в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
В таблице приведены значения переменной у при указанных значениях	переменной	х.
Найди все значения	переменной	а из множества , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения : .
Найди множество значений	переменной	"у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим делителем чисел 12 и 30 "" ."
В таблице приведены значения	переменной	у при указанных значениях переменной х.
Запиши множество натуральных значений	переменной	у , при которых дробь — является неправильной сократимой дробью .
Найди 3 значения	переменной	, при которых выражение : .
в таблице приведены значения	переменной	у при указанных значениях переменной х.
Знак равносильности имеет такой же смысл , но применяется не для числовых выражений , а для предложений - высказываний или высказывательных форм ( предложений с	переменной	) .
Построй формулу зависимости	переменной	от переменной . .
При каких значениях	переменной	верно равенство .
Построй формулу зависимости переменной от	переменной	. .
Найди множество значений	переменной	"х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим делителем всех чисел "" ."
Реши уравнения : множество значений	переменной	, при которых одновременно дробь — будет правильной , а дробь — неправильной .
Сравни , если все	переменные	натуральные числа .
Определи по графику : Какие величины обозначают	переменные	? .
Придумай свой пример зависимости между	переменными	.
Зависимость между	переменными	задается формулой .
Истинными или ложными становятся следующие предложения при указанных значениях	переменных	х и у ? . .
Составь выражение и найди его значение при заданных значениях	переменных	.
Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Выполни деление , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Докажи , что выражение 2935с + 16000с/ кратно 5 при любых значениях	переменных	с и < 1 .
Запиши три пары значений	переменных	х и у , при которых значение выражения 12х + 45г/ : делится на 2 ; .
Выполни действия и сократи дроби , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Истинными или ложными становятся следующие предложения при указанных значениях	переменных	х .
Сравни , не вычисляя , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Сократи дроби , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Сократи дроби , представляя степени в виде произведений ( значения всех	переменных	— натуральное число ) .
Найди такие значения	переменных	х и у , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
Выполни действия , если значения всех	переменных	- натуральные числа .
Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех	переменных	- натуральные числа ) .
В таблице приведены соответствующие значения	переменных	х и у. Построй формулу , выражающую зависимость у от х .
Докажи , что при всех натуральных значениях	переменных	выражения 28х , 96тпй , 52(г/ + г ) кратны 2 .
Существуют ли значения	переменных	, при которых значения всех трех выражений будут равны ? .
Правило умножения дробей позволяет также	перемножать	дробь и натуральное число .
Федя стал	перемножать	смешанные числа “ по аналогии ” со сложением - отдельно перемножать их целые и дробные части .
Федя стал перемножать смешанные числа “ по аналогии ” со сложением - отдельно	перемножать	их целые и дробные части .
Если число двоек и пятерок одинаково , то ,	перемножив	их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень числа , а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно .
Какие числа она	перемножила	и какой получила результат ? . .
Задуманное число увеличили , затем то же самое число увеличили и полученные суммы	перемножили	.
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби	перемножить	- нам пока неизвестно .
Дело в том , что произведение двух чисел получается , если	перемножить	их разложения на простые множители , например .
Отбросить в множителях запятые и	перемножить	получившиеся натуральные числа .
Общее правило сравнения дробей очень удобно , так как для его применения достаточно лишь	перемножить	и сравнить натуральные числа .
Вспомним , насколько труднее разделить натуральные числа , чем их	перемножить	.
Любые два натуральных числа можно сравнить по величине , можно сложить или	перемножить	.
Две прямые	пересекаются	, если эти прямые имеют ровно одну общую точку .
Прямые I и р перпендикулярны < = > Прямые I и р	пересекаются	.
Любые две прямые па плоскости или параллельны , или	пересекаются	.
Две	пересекающиеся	прямые называются перпендикулярными , если они образуют четыре прямых угла .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А и В , найди их объединение и	пересечение	.
Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок , найди их объединение и	пересечение	.
Найди объединение и	пересечение	множеств А и В натуральных решений неравенств .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств В ( 42 ) и В ( 63 ) , найди их объединение и	пересечение	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А и В и найди их	пересечение	.
Найди	пересечение	и объединение этих множеств .
Найди объединение и	пересечение	множеств . .
Найди	пересечение	этих лучей .
Раскрась цветным карандашом	пересечение	четырехугольников .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств С и Л , найди их объединение и	пересечение	.
Найди объединение и	пересечение	множеств натуральных решений неравенств .
Найди объединение и	пересечение множеств	натуральных решений неравенств .
Найди объединение и	пересечение множеств	А и В натуральных решений неравенств .
Найди объединение и	пересечение множеств	. .
Проведи луч ВА и отрезок СП и определи координаты их точки	пересечения	.
Пещера с сокровищами находится в точке	пересечения	диагоналей четырехугольника , образованного четырьмя дугами .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки	пересечения	буквами А и В .
Проведи диагонали этого прямоугольника и найди координаты их точки	пересечения	.
Проведи диагонали и найди координаты их точки	пересечения	.
Построй отрезки и найди координаты их точки	пересечения	.
	Периметр	и площадь прямоугольника .
Найди четвертую сторону этого четырехугольника , если его	периметр	равен 23 м .
Если выложить все тетрадные листы один за другим , совмещая по длине , то чему будет равен периметр	периметр	полученного прямоугольника ?
Найти	периметр	прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше длины , а площадь составляет 32 см2 .
Если выложить все тетрадные листы один за другим , совмещая по длине , то чему будет равен	периметр	периметр полученного прямоугольника ?
Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 ,	периметр	многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
Чему равен его	периметр	? .
Найди	периметр	этого треугольника и вырази его в дециметрах .
Площадь прямоугольника равна 288 см2 , а его	периметр	- 72 см. Чему равны стороны этого прямоугольника ? .
Чему равен	периметр	треугольника ? .
Чему равен	периметр	прямоугольника ?
Найди его площадь , если	периметр	прямоугольника равен .
Длина первой стороны составляет	периметр	, а длина второй стороны - длины первой .
Найди	периметр	треугольника .
Найди	периметр	квадрата .
Ширина прямоугольника меньше длины , а	периметр	равен .
Найди его	периметр	и площадь .
Найди его	периметр	.
Найди	периметр	и площадь квадрата со стороной , равной ширине этого прямоугольника .
В результате получили прямоугольник ,	периметр	которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата .
Чему равен	периметр	прямоугольника ? .
Найти	периметр	прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше длины .
Запиши выражения для	периметра	фигур , изображенных на рисунке : .
Одна его сторона составляет — периметра , а вторая сторона - —	периметра	.
Запиши выражения для	периметра	и площади фигуры , изображенной на рисунке : .
Одна его сторона составляет —	периметра	, а вторая сторона - — периметра .
Дачник приобрел участок земли квадратной формы с	периметром	по цене за сотку .
На сколько квадратных миллиметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же	периметром	? .
Из всех прямоугольников с	периметром	16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь , и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби , указав	период	.
Запиши ее в виде бесконечной периодической дроби , указав	период	, а затем округли с точностью до тысячных .
Представь ответ в виде бесконечной десятичной периодической дроби , указав	период	.
Вычисли и запиши дробь в виде бесконечной периодической дроби , указав	период	.
Запиши ее в виде бесконечной	периодической дроби	, указав период , а затем округли с точностью до тысячных .
Представь ответ в виде бесконечной десятичной	периодической дроби	, указав период .
Вычисли и запиши дробь в виде бесконечной	периодической дроби	, указав период .
Через любую точку плоскости можно провести прямую ,	перпендикулярную	данной прямой , и притом только одну .
Пересекающиеся прямые обязательно	перпендикулярны	.
Прямые I и р	перпендикулярны	< = > Прямые I и р пересекаются .
Любые две прямые на плоскости или параллельны , или	перпендикулярны	.
Две прямые на плоскости ,	перпендикулярные	одной прямой , параллельны друг другу .
за квадратный метр , за квадратный метр ,	петли	за штуку , шурупов за десяток , защелку и ручки за штуку .
Запиши множество двузначных чисел , больших 87 и не кратных ни 2 ,	пи	5 .
"Перепиши равенства в тетрадь и продолжи составление """	пирамиды	""" до 102 ."
Через час трудной дороги они вышли на ровное	плато	, где сделали остановку для обеда и отдыха .
За какое время экспедиция преодолела расстояние от водопада до	плато	? .
Какое расстояние от водопада до	плато	? .
Любые две прямые па	плоскости	или параллельны , или пересекаются .
Две прямые на	плоскости	, параллельные третьей , параллельны друг ДРУГУ .
Отметь на координатной	плоскости	точки и построй четырехугольник .
Через любую точку	плоскости	, не лежащую на / данной прямой , можно провести только одну параллельную ей прямую .
Пересекающиеся прямые на	плоскости	не могут иметь двух общих точек .
Окружностью называется фигура , которая состоит из всех точек	плоскости	, расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Через любую точку	плоскости	, не лежащую на данной прямой , можно провести параллельную ей прямую .
Ломаной называется фигура , которая состоит из точек	плоскости	и последовательно соединяющих их отрезков таких , что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего .
Через любую точку	плоскости	можно провести прямую , перпендикулярную данной прямой , и притом только одну .
Любые две прямые на	плоскости	или параллельны , или перпендикулярны .
Две прямые на	плоскости	, перпендикулярные одной прямой , параллельны друг другу .
Через любую точку	плоскости	можно провести прямую , параллельную данной прямой .
Начерти два луча ОА и ОВ , исходящие из точки О. На сколько частей разделил	плоскость	угол АОВ ‘ ?
Сколько в поселке неиспользованных	площадей	? .
Площадь четырехкомнатной квартиры составляет , площадь трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а площадь двухкомнатной составляет — от суммы	площадей	трехкомнатной и четырехкомнатной .
Площадь дачного участка равна ( что составляет площади участков , занимаемых садовым товариществом , а площадь садового товарищества составляет всех	площадей	, отведенных под дачные участки в районе за год .
Раздели фигуру на равных по	площади	фигур .
Площадь огорода в 4 раза меньше	площади	сада , а площадь сада в 5 раз меньше площади поля .
Площадь огорода в 4 раза меньше площади сада , а площадь сада в 5 раз меньше	площади	поля .
Запиши выражение для	площади	фигуры , закрашенной на рисунке : . .
На сколько площадь второй комнаты больше	площади	первой ? .
Найди отношение	площади	круга к квадрату его радиуса .
Площадь дачного участка равна ( что составляет	площади	участков , занимаемых садовым товариществом , а площадь садового товарищества составляет всех площадей , отведенных под дачные участки в районе за год .
Площадь одной комнаты равна , что составляет	площади	второй комнаты .
Итак , для вычисления	площади	данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Покажи , как разделить фигуру на равных по	площади	фигур шестью отрезками . .
Во сколько раз площадь второго квадрата больше	площади	первого ?
В Китае	площади	земельных участков измеряют мерой .
Из начальной школы хорошо известна формула	площади	прямоугольника : где длины сторон прямоугольника , а его площадь .
Запиши выражения для периметра и	площади	фигуры , изображенной на рисунке : .
Найти их площади , если известно , что площадь первого прямоугольника на 46 см2 больше	площади	второго прямоугольника .
А огород занимает	площади	всего дачного участка .
В трехкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет площади большой и меньше	площади	средней комнаты .
В трехкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет	площади	большой и меньше площади средней комнаты .
Найти их	площади	, если известно , что площадь первого прямоугольника на 46 см2 больше площади второго прямоугольника .
Первая комната по	площади	в 2 раза меньше второй , а вторая - на 3 м2 больше третьей .
Проследи по таблице цепочку единиц	площади	, расскажи о соотношениях между ними : .
Картофелем засажен участок земли площадью , что составляет	площади	огорода .
Так , единицы расстояния , массы ,	площади	, объема принято делить именно и т д частей , и известные “ приставки ” возникли от латинских слов десятый , сотый , тысячный .
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше	площади	поверхности прямоугольного параллелепипеда ? .
Необходимо , чтобы величина площади окон составляла не менее	площади	пола .
Во сколько раз площадь первого прямоугольника больше	площади	второго прямоугольника ? .
Вырази площади океанов земного шара в процентах от их общей	площади	.
Во сколько раз площадь прямоугольника больше	площади	квадрата ? .
Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки стен комнаты , если площадь окон и дверей равна 12 м2 , а отходы обоев при поклейке составляют часть	площади	оклеивания ?
Необходимо , чтобы величина	площади	окон составляла не менее площади пола .
Постройки , дороги и тротуары занимают 45 % всей	площади	поселка , а зеленые насаждения - две трети от оставшейся части .
Тракторная бригада вспахала в первый день — намеченной	площади	, а во второй день - остальную часть .
Вырази	площади	океанов земного шара в процентах от их общей площади .
На сколько квадратных миллиметров площадь этого прямоугольника меньше	площади	квадрата с тем же периметром ? .
Вычисли	площадь	тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах .
Чему была равна	площадь	первоначального участка ? .
Найти сторону квадрата , если	площадь	прямоугольника равна 30 см2 .
Чему равна	площадь	квадрата , если площадь прямоугольника 91 м2 ? .
Чему равна площадь квадрата , если	площадь	прямоугольника 91 м2 ? .
Во сколько раз	площадь	первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника ? .
Найти сторону квадрата , если	площадь	прямоугольника 60 дм2 .
Площадь одного прямоугольника а м2 , а	площадь	другого на 8 м2 больше .
Чему равна общая	площадь	всех страниц тетради ?
На сколько уменьшится его	площадь	, если ширину уменьшить на 8 дм ? . .
Два прямоугольника имеют одинаковую	площадь	, равную а м2 .
На сколько квадратных метров увеличилась его	площадь	? .
Чему стала равна	площадь	прямоугольника ? .
Значит , каждый маленький прямоугольник имеет	площадь	.
Ширина прямоугольника 36 см. На сколько увеличится	площадь	прямоугольника , если его длину увеличить на 7 см ? .
Как изменилась	площадь	участка и на сколько ? . .
Какими должны быть размеры и	площадь	скатерти для этого стола , чтобы края скатерти свисали с каждой стороны ? .
Длина прямоугольного участка земли 48 м , а его	площадь	12 а .
Во сколько раз	площадь	второго квадрата больше площади первого ?
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то	площадь	прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Далее , прямоугольник со сторонами ,	площадь	которого мы вычисляем ( на рисунке он закрашен ) , состоит из маленьких прямоугольников .
Найти периметр прямоугольника ,	площадь	которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше длины .
На сколько	площадь	второй комнаты больше площади первой ? .
Найди сумму длин всех его ребер и	площадь	полной поверхности .
Чему равна его	площадь	? .
Чему равна	площадь	прямоугольника ? .
Можно найти квадрат ,	площадь	которого составляет 49 м .
Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки стен комнаты , если	площадь	окон и дверей равна 12 м2 , а отходы обоев при поклейке составляют часть площади оклеивания ?
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую	площадь	имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Чему равна площадь огорода , если	площадь	поля составляет 1 га 20 а ? .
Чему равна	площадь	огорода , если площадь поля составляет 1 га 20 а ? .
Обозначим ширину прямоугольника , выраженную в метрах , через х , тогда его длина равна ( х + 3 ) м , а	площадь	равна х(х + 3 ) м2 .
Во сколько раз	площадь	прямоугольника больше площади квадрата ? .
Вычисли сумму длин всех ребер ,	площадь	полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см .
Чему равна	площадь	этого садового участка ?
Площадь огорода в 4 раза меньше площади сада , а	площадь	сада в 5 раз меньше площади поля .
Но по условию	площадь	равна 70 м2 .
Какую	площадь	надо покрасить ?
Вычисли сумму длин всех ребер ,	площадь	полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Вычисли	площадь	фигуры , вырази ее в квадратных сантиметрах и округли .
Найди объем и	площадь	наружной поверхности бака .
Площадь первого поля , а	площадь	второго поля больше .
Чему равна	площадь	этого участка ?
Какую	площадь	имеет этот прямоугольник ? .
Измерь с помощью палетки	площадь	произвольного круга .
Чему равна	площадь	поверхности белого цвета , если площадь одного кружка равна ? .
Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины , а	площадь	равна 90 см2 .
Чему равна площадь поверхности белого цвета , если	площадь	одного кружка равна ? .
У какой из двух фигур	площадь	поверхности больше и на сколько ? . .
Чему равна	площадь	каждой комнаты в этой квартире ? .
На сколько квадратных миллиметров	площадь	этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
Два прямоугольника имеют одинаковую	площадь	, равную Ъ дм2 .
Найди площадь каждой комнаты , если общая	площадь	всех трех комнат равна .
Найди его периметр и	площадь	.
Как найти его	площадь	?
При утверждении плана застройки длину участка увеличили , а ширину , в результате	площадь	участка увеличилась .
Спортивная площадка , имеющая	площадь	420 м2 , занимает 7 % школьного участка .
Чему равна	площадь	школьного участка ? .
Однако по этой формуле мы можем пока найти только	площадь	прямоугольников , у которых длины сторон выражаются натуральными числами .
После того как длину увеличили , а ширину уменьшили , его	площадь	уменьшилась .
Чему равна	площадь	нового участка ? .
Площадь четырехкомнатной квартиры составляет ,	площадь	трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а площадь двухкомнатной составляет — от суммы площадей трехкомнатной и четырехкомнатной .
Чему равна	площадь	листа ? .
Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника : где длины сторон прямоугольника , а его	площадь	.
Если большую сторону уменьшить в 3 раза , а меньшую сторону увеличить в 2 раза , то	площадь	нового прямоугольника будет равна 200 см2 .
периметр и	площадь	прямоугольника .
Найди	площадь	фигур .
Найди	площадь	каждой комнаты , если общая площадь всех трех комнат равна .
Найти периметр прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше длины , а	площадь	составляет 32 см2 .
Чему равна	площадь	второй комнаты ? .
Площадь четырехкомнатной квартиры составляет , площадь трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а	площадь	двухкомнатной составляет — от суммы площадей трехкомнатной и четырехкомнатной .
На сколько надо уменьшить длину прямоугольника , чтобы его	площадь	уменьшилась на 35 дм2 ?
Чему равна	площадь	образовавшейся строительной площадки ? .
Какую	площадь	вспахала бригада в первый и какую - во второй день , если во второй день она вспахала на больше , чем в первый ? .
На сколько квадратных сантиметров	площадь	поверхности куба больше площади поверхности прямоугольного параллелепипеда ? .
Два прямоугольных земельных участка имеют одинаковую	площадь	а м2 .
Чему равна общая	площадь	садовых участков , отведенных в районе за этот год ? .
Найди	площадь	закрашенной фигуры .
Его	площадь	решили увеличить .
Площадь дачного участка равна ( что составляет площади участков , занимаемых садовым товариществом , а	площадь	садового товарищества составляет всех площадей , отведенных под дачные участки в районе за год .
Чему равна	площадь	этого дачного участка ? .
Найди периметр и	площадь	квадрата со стороной , равной ширине этого прямоугольника .
Найти их площади , если известно , что	площадь	первого прямоугольника на 46 см2 больше площади второго прямоугольника .
В трехкомнатной квартире	площадь	маленькой комнаты составляет площади большой и меньше площади средней комнаты .
Если меньшую сторону увеличить на 15 см , а большую увеличить на 20 см , то	площадь	прямоугольника увеличится в 5 раз .
Если длину этого участка увеличить на 2 м , а ширину уменьшить на 5 м , то	площадь	его уменьшится на 190 м2 .
Найди его	площадь	, если периметр прямоугольника равен .
Два прямоугольника имеют одинаковую	площадь	, равную 70 м2 .
Чему равна	площадь	вспаханного поля ? .
Чему равна	площадь	каждой части ?
В результате получили прямоугольник	площадью	56 дм2 .
Участок земли	площадью	разделили на равных частей .
Квартира состоит из 3 комнат общей	площадью	42 м .
Картофелем засажен участок земли	площадью	, что составляет площади огорода .
Чтобы покрасить забор	площадью	, Тому Сойеру понадобится дней , а Геку Финну - дня .
Сторону прямоугольного участка земли , равную , увеличили и получили прямоугольный участок	площадью	.
В магазине он купил недостающие спицы	плюс	одну запасную .
Подумай , какие из фигур , изображенных на рисунке , являются развертками	поверхности	этого куба .
Найди объем и площадь наружной	поверхности	бака .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной	поверхности	и объем куба с длиной ребра 4 см .
Площадь	поверхности	куба равна .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной	поверхности	и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Чему равна площадь	поверхности	белого цвета , если площадь одного кружка равна ? .
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади	поверхности	прямоугольного параллелепипеда ? .
Площадь	поверхности	Земли 510 072 000 км2 .
Сколько понадобится краски , чтобы покрасить деревянный брус , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 80 см , 30 см и 20 см , если для покраски 1 дм2	поверхности	нужно 3 г краски ? .
Тихий океан занимает примерно всей	поверхности	Мирового океана , Атлантический , Индийский , а Северный Ледовитый океан .
На сколько квадратных сантиметров площадь	поверхности	куба больше площади поверхности прямоугольного параллелепипеда ? .
На	поверхности	куба найди кратчайший путь : .
Какую часть всей	поверхности	океанов занимает пятый - Южный океан ?
Найди сумму длин всех его ребер и площадь полной	поверхности	.
У какой из двух фигур площадь	поверхности	больше и на сколько ? . .
На какие непересекающиеся	подмножества	( части ) можно разбить множество фигур на рисунке ?
Составь все	подмножества	этого множества .
Выпиши из множества	подмножество	правильных дробей .
Выбери из множества А = { 2 , 5 , 6 , 8 , 12 , 19 , 24 , 32 , 45 , 47 }	подмножество	: .
Запиши множество делителей числа 56 и выбери из него	подмножество	простых делителей .
которых является	подмножеством	другого .
Лев Толстой как - то заметил , что человек	подобен	дроби , числитель которой есть то , что человек представляет собой , а знаменатель - то , что он думает о себе .
- А вот теперь давай проверим , не случится ли	подобное	еще через несколько лет , - предложил он сыну .
Чтобы объединить	подобные	"два утверждения в одно , обычно используют словосочетание "" в том и только в том случае "" ."
Степенью числа а с натуральным	показателем	п ( п > 1 ) называется произведение п множителей , каждый из которых равен а : .
При этом число а называют основанием степени , а число 5 -	показателем	степени .
Степенью числа а с натуральным	показателем	1 называется само число а : а1 — а .
Основание показывает , какой множитель взяли , а	показатель	- сколько таких множителей взяли .
Чтобы найти НОК нескольких чисел , надо взять все их простые делители с наибольшими	показателями	, например .
Чтобы найти НОД нескольких чисел , надо взять их общие простые делители с наименьшими	показателями	, например .
В деревне Простоквашино кот Матроскин и пес Шарик вспахали	поле	прямоугольной формы на тракторе “ Митя ” .
Первый трактор , работая один , вспахал бы это	поле	.
За сколько времени вспахал бы это	поле	второй трактор , работая один ? .
Урожай пшеницы на первом	поле	составил с гектара , а на втором больше .
В третий год своего пребывания на острове Робинзон Крузо со своим другом Пятницей решили засеять	поле	прямоугольной формы .
Два трактора вспахали	поле	.
Сколько времени им потребуется , чтобы вскопать это	поле	? .
Фермер вспахал весной	поле	под овес .
С трех	полей	собрали а ц картофеля .
Костя шел лесом с км , а	полем	д , км .
В какое время она была	положительной	, отрицательной ? .
Большая	полуось	Венеры равна 108 208 930 км .
На Южном	полюсе	температура воздуха всегда отрицательная .
Чему равна площадь огорода , если площадь	поля	составляет 1 га 20 а ? .
Ширина	поля	равна , что составляет его длины .
Ширина	поля	, что составляет — его длины .
Площадь огорода в 4 раза меньше площади сада , а площадь сада в 5 раз меньше площади	поля	.
Площадь первого	поля	, а площадь второго поля больше .
Площадь первого поля , а площадь второго	поля	больше .
На сколько килограммов пшеницы больше собрали со второго	поля	, чем с первого ? .
Картофель , собранный с третьего	поля	, развезли поровну в 4 овощехранилища .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины , то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с	поля	, сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились числа .
С первого	поля	собрали Ь ц , а со второго - в 2 раза больше , чем с первого .
Чему равна площадь вспаханного	поля	? .
Не изменяя	порядка	записи , вычеркни цифры так , чтобы оставшиеся цифры выражали : наименьшее число ; наибольшее число .
Изменение	порядка	множителей не считается другим способом .
И вообще , всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом ( с точностью до	порядка	множителей ) .
Зависит ли ответ от	порядка	, в котором эти операции выполняются ? .
Проверь , зависит ли значение суммы от	порядка	действий .
Сумма любых двух чисел не зависит от	порядка	слагаемых .
Сумма двух чисел не зависит от	порядка	слагаемых .
Расположи дроби в	порядке	возрастания .
Приведи дроби и расположи их : в	порядке	возрастания ; в порядке убывания .
Вычисли устно и расположи полученные числа в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Запиши дроби в	порядке	убывания .
Из приведенных выше чисел отбери те , которые не кратны 3 , и тоже расположи их в	порядке	возрастания , сопоставив соответствующим буквам .
Расположи ответы примеров в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам и расшифруй географические названия .
Расшифруй название одного из филиппинских народов , расположив числа , которые не кратны 9 , в	порядке	возрастания и сопоставив их соответствующим буквам : .
Вычисли , расположи ответы примеров в	порядке	возрастания и сопоставь их соответствующим буквам .
В числителе дроби стоит число , а в знаменателе - число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Приведи дроби и расположи их : в порядке возрастания ; в	порядке	убывания .
Запиши в	порядке	возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам и расшифруй слово .
Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и расположи их : в порядке возрастания ; в	порядке	убывания .
Число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, составляет у исходного числа .
Затем запиши число теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Расположи их в	порядке	убывания .
Расположи ответы примеров в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй название геометрической фигуры .
Выполни действия и расположи полученные значения переменной х в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Реши примеры и расположи ответы в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Запиши в	порядке	возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Расположи карточки с числами и буквами в	порядке	возрастания чисел и зачеркни 3 буквы так , чтобы получилась фамилия известного русского .
Сократи дроби , а затем расположи их в	порядке	возрастания .
Расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам , и ты узнаешь : название металла , который при горении выделяет большое количество света ; название металла , который плавает в воде , как пробка . .
Чтобы войти в замок Арифмос , надо набрать шифр : записать последовательно в возрастающем	порядке	по одному разу 10 первых простых чисел натурального ряда .
разность числа 92 и двузначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	; .
Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и расположи их : в	порядке	возрастания ; в порядке убывания .
Если двузначное число увеличить на 27 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Расположи ответы примеров в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам , и ты узнаешь : название одного из самых прочных металлов ; название металла , который можно сплющить пальцами .
Если двузначное число уменьшить на 45 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Составь и расположи в	порядке	убывания все возможные пятизначные числа , которые можно записать с помощью трех четверок и двух нулей .
Расположи дроби в	порядке	убывания .
Расположи дроби с числителем 56 в	порядке	убывания и сопоставь их соответствующим буквам .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Если к двузначному числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получится число , кратное .
А вот смотри , если прибавить к твоему возрасту , 38 годам , число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получим полный квадрат .
Запиши множество делителей числа 56 , располагая делители в	порядке	возрастания .
Запиши последовательно в	порядке	возрастания , начиная с наименьшего , десять кратных числа 15 .
в	порядке	возрастания .
Запиши в возрастающем	порядке	три дроби : с одинаковыми числителями ; с одинаковыми знаменателями .
Расположи дроби с числителем 92 в	порядке	возрастания и сопоставь их соответствующим буквам .
Вычисли устно и расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Запиши множество делителей числа 24 , расположив их в возрастающем	порядке	.
В каких последовательностях числа расположены в	порядке	возрастания , а в каких - в порядке убывания ? .
В каких последовательностях числа расположены в порядке возрастания , а в каких - в	порядке	убывания ? .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Запиши точки в том	порядке	, в котором они расположены на координатной прямой , и расшифруй слова .
Запиши в	порядке	убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
в	порядке	убывания .
Пользуясь блок - схемой , вычисли значения и расположи их в	порядке	убывания , сопоставив соответствующим буквам .
Переведи смешанные числа в неправильные дроби и расположи их в	порядке	возрастания , сопоставив соответствующим буквам . .
Докажи , что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получится число , делящееся на 11 .
Расшифруй слово , расположив ответы примеров в	порядке	убывания и сопоставив их соответствующим буквам .
Расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставь их соответствующим буквам , и ты узнаешь , как в России в старину называли рифму .
Расположи числа в	порядке	возрастания .
Выдели целую часть из неправильных дробей и расположи полученные смешанные числа в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Составь и расположи в	порядке	возрастания все возможные трехзначные числа , которые можно записать с помощью цифр ( цифры в записи числа не повторяются ) .
Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на множители , то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь	порядком	множителей .
Представь число 24 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами (	порядок	множителей во внимание не принимается ) .
Запиши выражение с использованием действия возведения в степень и определи	порядок	действий в полученном выражении .
Всеми возможными способами представь в виде произведения двух множителей числа 5 , 8 , 9 , 11 , 12 , 17 , 28 (	порядок	множителей не принимается во внимание ) .
Во всякой ли из рассматриваемых	последовательностей	есть простые числа ?
Имеются ли среди этих	последовательностей	такие , в которых содержится ровно одно простое число ? .
Вычисли разность наибольшего и наименьшего членов этой	последовательности	.
Рассматриваются все возможные	последовательности	двузначных чисел , оканчивающихся на одну и ту же цифру .
Найди закономерность и запиши следующее число в	последовательности	.
Найди сумму наибольшего и наименьшего членов этой	последовательности	.
Какие из чисел	последовательности	13 , 23 , 33 , 43 , 53 , 63 , 73 , 83 , 93 простые ? .
Найди закономерность и запиши следующие члены	последовательности	.
Запиши	последовательность	из чисел , в которой первое число равно , а каждое следующее больше предыдущего .
Построй	последовательность	чисел , в которой каждое число ( кроме , разумеется , первого ) богаче предыдущего .
Блок - схемы задают	последовательность	операций в программе .
Запиши	последовательность	чисел , ведущих от входа к выходу .
Запиши	последовательность	из чисел , в которой первое и второе число равны соответственно , а далее разность между каждыми двумя соседними числами увеличивается .
В каких	последовательностях	числа расположены в порядке возрастания , а в каких - в порядке убывания ? .
Однако этот перебор можно сократить , если заметить , что	правая	часть данного равенства больше 52 .
По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать числа : большее из двух чисел расположено	правее	, а меньшее — левее .
Существует	правильная	дробь со знаменателем .
Пусть	правильная	дробь — несократима .
Любая	правильная	дробь меньше любой неправильной .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется	правильная	дробь , когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется	правильная дробь	, когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число .
Любая	правильная дробь	меньше любой неправильной .
Существует	правильная дробь	со знаменателем .
Пусть	правильная дробь	— несократима .
Кто сумел	правильнее	расшифровать местонахождение зашифрованных объектов ? . .
Построй формулу зависимости величины угла	правильного	многоугольника от числа его сторон .
Отметим , что для	правильного	вывода о равносильности двух предложений у человека может не хватать знаний .
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли величину угла	правильного	четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Построй формулу зависимости величины угла	правильного многоугольника	от числа его сторон .
Дробь , обратная неправильной дроби , является	правильной	.
Неправильная дробь после сокращения может стать	правильной	.
Дробь , обратная	правильной	дроби , является неправильной .
Из двух взаимно обратных дробей одна обязательно является	правильной	, .
Если числитель дроби меньше знаменателя , то дробь называют	правильной	, а если он больше или равен знаменателю , то дробь называют неправильной . .
Как ты считаешь , какой дробью ,	правильной	или неправильной , лучше быть ?
Дробь называется	правильной	, если ее числитель меньше знаменателя .
Дробь — является	правильной	несократимой дробью .
Реши уравнения : множество значений переменной , при которых одновременно дробь — будет	правильной	, а дробь — неправильной .
Полученное равенство верно , как для случая , когда дробь — является	правильной	, так и для случая , когда эта дробь является неправильной .
Дробь , обратная	правильной дроби	, является неправильной .
Найди на рисунке	правильные	многоугольники .
Некоторые	правильные	дроби имеют знаменатель 8 : например , знаменатель дроби равен 8 .
Как , пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построить	правильные	четырехугольник и пятиугольник ?
Зная , что найди	правильные	ответы .
Подбери недостающие натуральные числа так , чтобы получились верные равенства , если известно , что дроби во всех равенствах	правильные	.
Не вычисляя , найди в строках	правильные	ответы .
Некоторые	правильные дроби	имеют знаменатель 8 : например , знаменатель дроби равен 8 .
Найди на рисунке	правильные многоугольники	.
Исходя из полученного вывода , придумай , как построить	правильный	шестиугольник , пользуясь только циркулем и линейкой без делений .
Пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построй на листе без клеток	правильный	: шестиугольник ; треугольник ; четырехугольник ; пятиугольник .
Найди	правильный	перевод условия задачи на математический язык : .
Так мы и сделаем , “ забыв ” о том , что мы уже знаем	правильный	ответ : .
Найди	правильный	перевод условия задачи на математический язык .
Построй	правильный	шестиугольник и измерь его углы .
Соедини отрезками три из отмеченных точек так , чтобы образовался	правильный	треугольник .
Соедини отрезками три из отмеченных точек так , чтобы образовался	правильный треугольник	.
Исходя из полученного вывода , придумай , как построить	правильный шестиугольник	, пользуясь только циркулем и линейкой без делений .
Построй	правильный шестиугольник	и измерь его углы .
Найди выражение , которое является	правильным	переводом задачи на математический язык .
Найди выражение , которое является	правильным	переводом данной задачи на математический язык .
Многоугольник называется	правильным	, если у него все стороны равны и все углы равны .
Многоугольник , у которого все стороны и все углы равны , называется	правильным	.
Какие из этих дробей являются	правильными	, а какие - неправильными ? .
Сумма двух	правильных	дробей может быть неправильной дробью .
Можно ли на основании выполненных построений и измерений утверждать , что наблюдаемое свойство верно для всех	правильных	шестиугольников ?
Запиши множество	правильных	дробей и множество неправильных дробей , которые можно составить из чисел .
Выпиши из множества подмножество	правильных	дробей .
Пусть А - множество	правильных	несократимых дробей со знаменателем , а В - множество правильных сократимых дробей с числителем .
	Правильных	дробей со знаменателем 4 .
Пусть А - множество правильных несократимых дробей со знаменателем , а В - множество	правильных	сократимых дробей с числителем .
Сумма двух	правильных дробей	может быть неправильной дробью .
Запиши множество	правильных дробей	и множество неправильных дробей , которые можно составить из чисел .
Выпиши из множества подмножество	правильных дробей	.
	Правильных дробей	со знаменателем 4 .
Можно ли на основании выполненных построений и измерений утверждать , что наблюдаемое свойство верно для всех	правильных шестиугольников	?
При х = 5 наше равенство имеет вид 50 + у = 5у + 52 , а этого быть не может , так как левая часть равенства всегда меньше	правой	части .
На сколько левая часть неравенства меньше	правой	? .
Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный путь конем из верхнего левого угла в нижний	правый	угол ( первый ход показан на рисунке ) .
Найди путь , ведущий от левого верхнего угла в нижний	правый	так , чтобы получилось число , записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
Ира задумала число ,	прибавила	его к числителю и знаменателю дроби , затем сократила полученную дробь и получила в результате .
К числителю и знаменателю несократимой дроби	прибавили	.
К числителю и знаменателю дроби	прибавили	.
К задуманному числу	прибавили	4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата вычли 16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное число с 9 .
К числителю и знаменателю сократимой дроби	прибавили	.
Некоторое число уменьшили в 7 раз , к результату	прибавили	25 и получили 34 .
Число разделили на задуманное число , к полученному частному	прибавили	сумму умножили , а затем из полученного произведения .
К задуманному числу	прибавили	и получили число , больше задуманного .
Число 80 разделили на задуманное число , к частному	прибавили	13 , результат увеличили в 4 раза и получили 72 .
К числу 3	прибавили	задуманное число , сумму увеличили в 5 раз и полученное произведение вычли из 70 .
К числителю и знаменателю дроби —	прибавили	.
Если к нему	прибавить	, из полученной суммы вычесть , а разность вычесть .
Как и на сколько изменится дробь , если к ее числителю и знаменателю	прибавить	? .
Как и на сколько изменится дробьесли к ее числителю и знаменателю	прибавить	? .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число	прибавить	к целой части суммы .
Если взять любое число из этой таблицы , умножить его на 2 и к произведению	прибавить	1 , то всегда получится составное число .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению	прибавить	числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
К этому числу она должна была	прибавить	и полученную сумму умножить .
А если к числителю	прибавить	тысячную долю знаменателя ? .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату	прибавить	2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату	прибавить	1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Как изменится величина дроби , если к ее числителю	прибавить	знаменатель ?
К полученному частному	прибавить	3210 .
А вот смотри , если	прибавить	к твоему возрасту , 38 годам , число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получим полный квадрат .
Если к двузначному числу	прибавить	число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число , кратное .
Если к учетверенному неизвестному числу	прибавить	, то получим .
Чтобы вычесть число из суммы , можно вычесть это число из одного слагаемого и полученный результат	прибавить	к другому слагаемому .
А если к нему	прибавляют	?
Проанализируй , как изменяется число , если к нему	прибавляют	?
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее числителю и знаменателю	прибавляют	одно и то же натуральное число .
Как превратить эту дробь в число равное , не	прибавляя	и не убавляя спичек ? .
Для слов примерно , приближенно в математике используется специальный знак - знак	приближенного	равенства .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши	приближенное	равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее диаметра .
Найди с помощью прикидки	приближенное	значение частного .
Пользуясь этим результатом , найди	приближенные	ответы на вопросы задач .
Прочитай	приближенные	равенства .
Прикидка помогает легко и быстро найти	приближенный	ответ и тем самым исключить возможные ошибки в вычислениях .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде десятичной дроби , которая является	приближенным	значением частного с точностью до миллиардных .
Результаты большинства практических измерений - и расстояний между городами , и промежутков времени , и объемов тел и т д - являются	приближенными	.
С	приближенными	равенствами мы уже встречались в начальной школе , делая прикидку результатов арифметических действий .
А эти измерения , как правило , являются	приближенными	.
Поэтому	приближенными	являются и многие равенства , описывающие реальные ситуации .
Чтобы сравнить их дробные части ,	приведем	их к общему знаменателю .
Используя чертеж , установи , верно ли сделан перевод	приведенного	определения на математический язык .
И если обозначить число живущих в России в настоящее время буквой , то	приведенное	выше высказывание можно записать совсем коротко .
По	приведенному	образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ; числа , кратного 4 ; четного числа ; нечетного числа .
Все	приведенные	примеры обладают , однако , одной особенностью : в числителях дробей столько же цифр , сколько нулей в знаменателе .
Докажи , что	приведенные	ниже числа являются составными .
Очень часто обобщающие слова опускают и	приведенные	высказывания произносят короче : .
По	приведенным	правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями , натуральными числами и смешанными числами , например .
Основываясь на	приведенных	определениях и на своем опыте , выскажи гипотезу - верны ли эти утверждения .
Из	приведенных	примеров видно , что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Пользуясь свойствами и признаками делимости , установи , какие из	приведенных	выражений делятся : на 2 ; на З ; на 5 ; на 9 .
Среди	приведенных	"ниже высказываний найди общие утверждения , высказывания типа "" хотя бы один ” и высказывания , не относящиеся к этим двум видам утверждений ."
Какие из	приведенных	высказываний являются общими , а какие - нет ?
Из	приведенных	выше чисел отбери те , которые не кратны 3 , и тоже расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам .
Среди предложений ,	приведенных	"ниже , найди определения и сформулируй их с помощью слова "" называется "" ."
Среди	приведенных	ниже дробей найди дроби , равные .
Так , в	приведенных	примерах первые четыре утверждения истинны , а последние два ложны .
Сколько времени затрачивает каждый из поездов ,	приведенных	в расписании , на весь путь от Москвы до Санкт - Петербурга ? .
Что общего в	приведенных	примерах ?
В таблице	приведено	расписание поездов , идущих из Москвы в Санкт- Петербург .
На стр 75	приведено	другое доказательство свойства 3 .
В таблице	приведено	количество книг , взятых в школьной библиотеке учащимися пятых классов этой школы .
В таблице	приведены	результаты измерения температуры воды в чайнике при нагревании .
На рисунке	приведены	графики их движения .
Результаты их игр за последние полгода	приведены	в таблице .
в таблице	приведены	значения переменной у при указанных значениях переменной х.
В таблице	приведены	значения переменной у при указанных значениях переменной х.
В таблице	приведены	соответствующие значения переменных х и у. Построй формулу , выражающую зависимость у от х .
Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и	приведи	их к наименьшему общему знаменателю .
Сократи дроби , а затем	приведи	их к наименьшему общему знаменателю .
Тем самым мы	привели	три заданные дроби к наименьшему общему знаменателю .
А дело в том , что мы предположили , что сумма а + b делится на с. Это и	привело	нас к противоречию .
Что можно сказать о числе , если известно , что дробь можно	привести	к знаменателю .
Приведи примеры дробей , которые можно	привести	к знаменателю , к знаменателю .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно :	привести	дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Докажи , что дробь , в знаменателе у которой нет простых делителей , можно	привести	к знаменателю вида .
В то же время для доказательства истинности общего утверждения	привести	даже большое число примеров недостаточно .
Какие из дробей можно	привести	к знаменателю .
Любую дробь можно	привести	к знаменателю , кратному знаменателю этой дроби .
Приведение к одинаковому числителю особенно полезно в случае , когда можно сравнить устно , если	привести	их к одинаковому числителю .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно	привести	к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Что же касается дробей с разными знаменателями , то для их сложения или вычитания достаточно	привести	их к одному знаменателю .
Еще проще было	привести	эти дроби к общему числителю .
Таким образом , для опровержения общего утверждения достаточно	привести	хотя бы один контрпример .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно :	привести	дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Итак , чтобы	привести	дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
В каком случае несократимую дробь можно	привести	к знаменателю ? .
Выбери дроби , которые можно	привести	к знаменателю вида и выполни преобразования .
Можно ли дробь	привести	к знаменателю ? .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно	привести	к знаменателю .
Тогда ее можно	привести	к знаменателю и для некоторых натуральных чисел выполняется равенство .
В то же время обратное утверждение “ всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной ” неверно : в качестве контрпримера можно	привести	дробь .
Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего	приводит	к цели переход к натуральным числам .
Однако решение тем лучше , чем оно проще и быстрее	приводит	к верному ответу .
Сравни дроби ,	приводя	их к наименьшему общему знаменателю .
Сравни дроби ,	приводя	их к наименьшему общему числителю .
Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели , то их предварительно	приводят	к общему знаменателю .
Как и при сложении , запись упрощают , а дробные части , в случае необходимости ,	приводят	к общему знаменателю .
В ответе дробь обычно	приводят	к несократимому виду , а из неправильной дроби выделяют целую часть .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их сумму , разность ,	произведение	, частное ? .
Существуют простые числа ,	произведение	которых является простым числом .
Раздели на 9	произведение	: .
Как разделить сумму , разность и	произведение	на число ?
	Произведение	всех различных делителей числа 8 ; .
Найти двузначное число , частное от деления , которого на	произведение	его цифр равно 3 .
Найди эти числа , если их	произведение	равно .
Если одно из двух чисел делится на 3 , то и их	произведение	делится на 3 .
Степенью числа а с натуральным показателем п ( п > 1 ) называется	произведение	п множителей , каждый из которых равен а : .
Преобразуй	произведение	в сумму .
Если необходимо , найти полученное	произведение	.
Так ,	произведение	12 • 30 , равное 360 , делится и на 12 , и на 30 .
В полученном произведении множитель b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все	произведение	- число а , что и требовалось доказать .
Найти	произведение	чисел .
Игра заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или диагональ ,	произведение	чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
Посчитай	произведение	чисел в каждой строчке .
	Произведение	числа с и суммы чисел < 1 и 4 ; .
	Произведение	числа 28 и разности чисел 12 и 7 ; .
Два числа ,	произведение	которых равно , называют взаимно обратными .
Как можно делить	произведение	на число ?
	Произведение	суммы чисел си а и разности чисел и д .
	Произведение	всех нечетных однозначных чисел ; .
Найди в таблице выигрышную строчку , столбец или диагональ (	произведение	чисел в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
Факториалом натурального числа п называется	произведение	всех натуральных чисел .
Найди	произведение	всех чисел , сидящих на каждом дереве .
Нам уже известны названия простейших математических выражений - сумма , разность ,	произведение	, частное .
Действительно , если значение х больше 7 , то х + 3 будет больше 10 , и тогда	произведение	х(х + 3 ) окажется больше 70 .
Найти	произведение	.
Если	произведение	двух чисел делится на данное число , то и каждый множитель делится на это число .
Если число делится на два других числа , то оно делится и на их	произведение	.
Докажи , что	произведение	значений данных выражений равно .
Аналогично можно показать , что если значение х меньше 7 , то	произведение	х(х + 3 ) окажется меньше 70 .
	Произведение	39 • 820 • 713 делится на 10 ; .
Действительно , при с = 6 произведение 4с = 4 • 6 меньше 27 , а при с = 7	произведение	4с = 4 • 7 больше 27 .
Каким числом - простым или составным - является	произведение	чисел 809 • 809 ? .
Найти эти числа , если их	произведение	равно .
Барон Мюнхаузен утверждал , что ему удалось найти такое натуральное число ,	произведение	всех цифр которого равно 6552 .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то и	произведение	данных чисел делится на это число .
Тогда их	произведение	равно ху .
Найти	произведение	результатов действий 1 и 2 .
Оба данные числа делятся на	произведение	2 • 2 • 2 • 3 , равное 24 .
Вычислим , например ,	произведение	.
Как изменится	произведение	, если : .
Найди	произведение	дробей с натуральными числителями и знаменателями .
Найди	произведение	.
Умножим сумму — и число — на	произведение	.
Полученное	произведение	2 • 2 • 3 • 5 содержит оба разложения , а значит , кратно каждому из них .
Делится ли	произведение	6851 • 999 на 3 ? .
Если одно из двух чисел делится на 5 , то и их	произведение	делится на 5 .
на 7 меньшее , чем	произведение	чисел а и Ъ ; .
Можно ли найти 4 различных простых числа , чтобы	произведение	двух из них равнялось произведению двух других ? .
Существуют числа ,	произведение	которых является простым числом .
Сергей нашел	произведение	всех чисел от 1 до 11 включительно и записал результат на доске .
	Произведение	числа 13 и суммы чисел 27 и 91 ; .
Какой цифрой оканчивается	произведение	21 множителя , каждый из которых равен и , если п = 5 , 6 , 4 , 2 , 3 ?
Их общим знаменателем может служить	произведение	- оно делится . .
	Произведение	разности данных чисел и меньшего из них ; .
Как записать это	произведение	с помощью лишь трех троек ?
Казалось бы , задача уже решена , но это не так : ведь может оказаться , что буквенное выражение равно 70 при разных значениях х. Например ,	произведение	х • ( 17 - х ) равно 70 и при х = 7 , и при х = 10 .
Казалось бы , большой пользы от этого нет - получившееся	произведение	все равно придется долго подсчитывать .
Действительно , при с = 6	произведение	4с = 4 • 6 меньше 27 , а при с = 7 произведение 4с = 4 • 7 больше 27 .
Подбери три значения х так , чтобы	произведение	: .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное	произведение	увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Какой цифрой оканчивается	произведение	.
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если"	произведение	"двух чисел делится на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже делится на к "" ."
Какой цифрой оканчивается	произведение	множителей , каждый из которых равен ?
Можно ли упростить	произведение	5й • З2 ?
Запиши их сумму , разность ,	произведение	и частное .
Дело в том , что	произведение	двух чисел получается , если перемножить их разложения на простые множители , например .
К числу 3 прибавили задуманное число , сумму увеличили в 5 раз и полученное	произведение	вычли из 70 .
	Произведение	суммы данных чисел и большего из них ; .
Если число делится на	произведение	двух чисел , то оно делится и на каждое из этих чисел .
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является	произведением	этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Что произойдет с	произведением	двух чисел , если округлить : один из множителей с избытком ; один из множителей с недостатком ; оба множителя с избытком ;
А число знаков после запятой в	произведении	такое же , как в обоих множителях вместе .
В полученном	произведении	множитель b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
В полученном	произведении	отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных чисел .
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в	произведении	.
"Викторина "" Герои"	произведений	"Гомера "" ."
Вычисли и расшифруй имя великого древнегреческого трагика и имя одного из главных героев его	произведений	.
Сократи дроби , представляя степени в виде	произведений	( значения всех переменных — натуральное число ) .
Расшифруй имя английского писателя и название одного из самых известных его	произведений	.
Как найти ответ , не выписывая	произведений	? .
Сколько	произведений	еще осталось подготовить ? .
Если же в любом из этих	произведений	продолжить разложение на множители , то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь порядком множителей .
Расшифруй имя английского писателя конца XIX — начала XX века и название одного из его	произведений	.
И вообще , наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их	произведению	.
Числа 32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих множителей , поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их	произведению	.
Можно ли найти 4 различных простых числа , чтобы произведение двух из них равнялось	произведению	двух других ? .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель -	произведению	их знаменателей .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к	произведению	прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен	произведению	числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется	произведению	делителя и частного .
Всегда ли число , кратное двум различным числам , кратно и их	произведению	?
Если взять любое число из этой таблицы , умножить его на 2 и к	произведению	прибавить 1 , то всегда получится составное число .
При решении задач часто приходится представлять данное число в виде	произведения	нескольких множителей .
Мы уже знаем , что сумму одинаковых слагаемых можно записать короче в виде	произведения	, например .
Представь в виде	произведения	двух дробей число .
вычисляя , сравни	произведения	и запиши ответ с помощью знаков .
Поэтому , по свойству 2 делимости	произведения	, 34 470 делится на 5 .
сумму меньшего из данных чисел и их	произведения	.
Число 3 - делитель	произведения	17 • 9021 • 40 .
Найти двузначное число , которое на 26 больше	произведения	своих цифр .
число 10 является делителем	произведения	47-(1310 - 490 ) .
Применив распределительный закон , представь числитель в виде	произведения	, а затем сократи дробь .
Делимость	произведения	.
Всеми возможными способами представь в виде	произведения	двух множителей числа 5 , 8 , 9 , 11 , 12 , 17 , 28 ( порядок множителей не принимается во внимание ) .
Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на множители , то все полученные в конечном итоге	произведения	простых множителей будут отличаться лишь порядком множителей .
Найди значение	произведения	.
Сделай оценку	произведения	и запиши ее в виде двойного неравенства .
Представь дробь — в виде суммы , разности ,	произведения	, частного двух дробей .
"Допишем к простым множителям числа 12 "" недостающий "" множитель 5 из второго"	произведения	.
Укажи НОД и НОК для чисел , представленных в виде	произведения	.
Любые два числа а иЬ имеют общие кратные , например , их общими кратными являются	произведения	ад , 2аЬ , ЗаЬ и т.д.
Помоги восстановить цифры , не прибегая к повторному нахождению	произведения	.
Иногда сумма цифр двузначного числа больше их	произведения	.
Сумма цифр двузначного числа на 19 меньше их	произведения	.
Разность числа и	произведения	чисел .
Задумано двузначное число , которое на 66 больше	произведения	своих цифр .
Произведение двух натуральных чисел равно , а их сумма составляет — от	произведения	.
Двузначное число на 25 больше	произведения	своих цифр .
Задумано двузначное число меньшее 80 , которое на 58 больше	произведения	своих цифр .
Не вычисляя	произведения	, установи , делится ли оно на данное число .
Представь число 24 в виде	произведения	двух множителей всеми возможными способами ( порядок множителей во внимание не принимается ) .
Сумма	произведения	чисел и числа .
разность	произведения	чисел 9 и & и числа 23 ; .
Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого	произведения	вычесть второе .
Выписать в виде	произведения	все общие простые множители .
Действительно , если при таком “ перекрестном ” умножении числителей и знаменателей полученные	произведения	оказались равными , то это означает , что ни одна из дробей не больше и не меньше другой , а значит , дроби равны .
Какие делители	произведения	3 - 25 - 62 ты можешь назвать ? .
частное суммы чисел 97 и 43 и	произведения	чисел 5 и 4 .
Сумма цифр двузначного числа не может быть больше	произведения	его цифр .
Найти двузначное число , которое на 34 больше	произведения	своих цифр .
Укажи наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для чисел , представленных в виде	произведения	.
Запиши все двузначные числа , которые представляются в виде	произведения	двух простых множителей , один из которых равен : 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 .
Хоровая студия решила подготовить к своему концерту	произведения	.
Как определяется понятие	произведения	в этих случаях ?
Как короче записать	произведения	: а3 • а2 , а5 • а4 , а2 • а3 ?
Задумано двузначное число , которое на 52 больше	произведения	своих цифр .
Число разделили на задуманное число , к полученному частному прибавили сумму умножили , а затем из полученного	произведения	.
По условию число 10х + у на 52 больше	произведения	своих цифр ху .
Некоторые	произведения	А С Пушкина написаны в прозе .
Используя свойство делимости суммы , разности и	произведения	натуральных чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Сколько стоил весь заказ , если оплата рабочим производилась	пропорционально	выполненному объему работы ?
В разложении на два множителя	простого числа	, напротив , один из множителей всегда равен 1 , а другой - самому числу .
Само понятие	простого числа	было введено древнегреческим ученым Пифагором еще в VI веке до н э .
Разложение на множители	простого числа	не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
В ответе - имя математика XVIII века , установившего удивительную закономерность , связанную с понятием	простого числа	.
Имеются ли среди этих последовательностей такие , в которых содержится ровно одно	простое число	? .
Так , число 11 550 делится на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на	простое число	13 .
Евклид доказал , что простых чисел бесконечно много ( то есть за каждым простым числом есть еще большее	простое число	) .
Какими цифрами не может оканчиваться многозначное	простое число	? .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ;	простое число	; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Если проделать то же самое с числом , не входящим в эту таблицу , то получится	простое число	.
число , предшествующее	простому числу	; .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно	простые числа	; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Взаимно	простые числа	.
Во всякой ли из рассматриваемых последовательностей есть	простые числа	?
а и Ь -	простые числа	.
Даны взаимно	простые числа	.
Существует сократимая дробь , числитель и знаменатель которой	простые числа	.
Полученную дробь — — сократить нельзя , так как взаимно	простые числа	.
Есть ли четные	простые числа	?
"С тех пор метод Эратосфена называют "" решетом Эратосфена "" : в этом решете"	простые числа	""" отсеиваются "" от остальных ."
При всех ли натуральных значениях п будут получаться	простые числа	? .
Есть ли	простые числа	, оканчивающиеся цифрой 0 ?
Число делится лишь на те	простые числа	, которые входят в его разложение на простые множители .
Продолжая перебирать	простые числа	, находим делители 7 и 11 числа 77 .
	Простые числа	( имеют в точности 2 делителя ) ; .
Так , число 11 550 делится на	простые числа	2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое число 13 .
Существуют	простые числа	, произведение которых является простым числом .
Интерес математиков к	простым числам	огромен , начиная с древнейших времен .
Евклид доказал , что простых чисел бесконечно много ( то есть за каждым	простым числом	есть еще большее простое число ) .
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных значениях п значение выражения 21 + 1 является	простым числом	.
Существуют простые числа , произведение которых является	простым числом	.
Существуют числа , произведение которых является	простым числом	.
число , следующее за	простым числом	; .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается	простым числом	? .
Число является	простым числом	.
Используя таблицу простых чисел , определи , являются ли	простыми числа	: 59 , 83 , 91 , 97 , 127 , 379 , 511 , 697 , 761 , 803 , 851 , 991 , 997 ? . .
Проверь , что значения выражения п2 + п + 41 ( трехчлен Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются	простыми числами	.
Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание : разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так , чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными	простыми числами	.
Дробь , числитель и знаменатель которой являются взаимно	простыми числами	, называется несократимой .
Другой греческий математик того же времени , Эратосфен , придумал остроумный способ составления списка	простых чисел	, который иногда используется в практических вычислениях и сегодня .
По таблице простых чисел подсчитай , сколько	простых чисел	в каждой из первых десяти сотен .
"Таким образом , мы видим , что термин "" составное число "" выбран не случайно : составные числа как бы составлены из "" кирпичиков "" -"	простых чисел	.
И вообще , наименьшее общее кратное взаимно	простых чисел	равно их произведению .
Чтобы войти в замок Арифмос , надо набрать шифр : записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых	простых чисел	натурального ряда .
	Простых чисел	; чисел , кратных 3 и 5 ; .
Используя таблицу	простых чисел	, определи , являются ли простыми числа : 59 , 83 , 91 , 97 , 127 , 379 , 511 , 697 , 761 , 803 , 851 , 991 , 997 ? . .
Среди чисел 4 , 15 , 22 и 77 укажи все пары взаимно	простых чисел	.
Евклид доказал , что	простых чисел	бесконечно много ( то есть за каждым простым числом есть еще большее простое число ) .
Какую закономерность в расположении	простых чисел	ты замечаешь ? .
сумма двух	простых чисел	; .
По таблице	простых чисел	подсчитай , сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен .
Два различных	простых числа	являются взаимно простыми .
Два	простых числа	, разность которых равна 2 , называют близнецами .
Можно ли найти 4 различных	простых числа	, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? .
В	противоположность	"утверждению типа "" все "" , истинность утверждения типа "" хотя бы один ” с помощью примера можно доказать ."
Какой	процент	содержания сахара в сахарной свекле ? .
Какой	процент	от закупочной цены товара составляет прибыль ? .
Как записать с помощью знака	процента	сотые доли величины ? .
Вырази площади океанов земного шара в	процентах	от их общей площади .
Вырази следующие части величин в	процентах	.
Запиши с помощью несократимых дробей части величин , выраженные в	процентах	.
Вырази в	процентах	части величин .
Вырази их в	процентах	.
Вырази части выигрыша каждого из ребят в	процентах	.
Вырази эти части в	процентах	.
Доли величины выражены в	процентах	.
Найди , какую часть число А составляет от числа В , и вырази эту часть в	процентах	.
Вырази эту часть в	процентах	.
Вырази полученную часть в	процентах	.
Округли результат до тысячных и вырази его в	процентах	.
Вырази округленную часть в	процентах	.
Сколько	процентов	всех чашек разбилось за год ? .
Какие из этих частей можно выразить натуральными числами , а какие - с помощью	процентов	? .
Сколько	процентов	число составляет от числа ? .
Сколько	процентов	своей массы теряет рыба при вялении ? .
Найди фигуры , для которых	прямая	I является осью симметрии .
Соедини отрезком вершину	прямого	угла с серединой гипотенузы .
Соедини отрезком вершину	прямого угла	с серединой гипотенузы .
Чему равна цена деления шкалы числовой	прямой	?
Все фигуры на чертеже имеют хотя бы один	прямой	угол .
Реши эти примеры с помощью числовой	прямой	.
Найди сумму чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой	прямой	.
Лучом называется часть	прямой	, ограниченная только одной точкой .
Найди цену деления шкалы координатной	прямой	и её фрагментов и определи координаты точек .
Запиши 6 различных обозначений этой	прямой	.
Параллельные прямые пересечены	прямой	.
Проверь с помощью числовой	прямой	ответы решенных выше примеров . . .
Две прямые на плоскости , перпендикулярные одной	прямой	, параллельны друг другу .
Реши примеры сначала с помощью числовой	прямой	, а затем используя понятия доходов и расходов .
Отрезком называется часть	прямой	, ограниченная двумя точками .
Ломаной называется фигура , которая состоит из точек плоскости и последовательно соединяющих их отрезков таких , что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной	прямой	и конец каждого предыдущего .
Реши пример сначала с помощью числовой	прямой	, а потом - используя понятия доходов и расходов .
Проверь ответы с помощью числовой	прямой	.
Все фигуры на чертеже имеют хотя бы один	прямой угол	.
Значит , каждый маленький	прямоугольник	имеет площадь .
Начерти	прямоугольник	размером клеток .
Является ли трапецией параллелограмм ,	прямоугольник	, ромб , квадрат ? .
В результате получили	прямоугольник	, периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата .
Имеют ли оси симметрии параллелограмм ,	прямоугольник	, ромб , квадрат , и если да - то сколько ?
Покажи , как его можно “ замостить ” трехклеточными уголками так , чтобы никакие два из них не образовывали	прямоугольник	.
Квадратом называется	прямоугольник	, у которого все стороны равны .
Далее ,	прямоугольник	со сторонами , площадь которого мы вычисляем ( на рисунке он закрашен ) , состоит из маленьких прямоугольников .
Перерисуй фигуры А и В в тетрадь и разбей их на части , из которых составлен	прямоугольник	: .
Какую площадь имеет этот	прямоугольник	? .
Является ли параллелограммом	прямоугольник	, ромб , квадрат ? .
Построй	прямоугольник	АВСЕ ) по координатам его вершин : А ( 3 ; 2 ) , В ( 3 ; 6 ) , С ( 9 ; 6 ) ( 9 ; 2 ) .
Начерти	прямоугольник	, стороны которого больше сторон данного прямоугольника , и заполни его паркетом по образцу .
В результате получили	прямоугольник	площадью 56 дм2 .
Можно ли из всех палочек этого набора сложить	прямоугольник	? .
Длину	прямоугольника	уменьшили в 2 раза , а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат .
Периметр	прямоугольника	равен 70 м , его длина больше ширины на 1 м .
Два	прямоугольника	имеют одинаковую площадь , равную Ъ дм2 .
Найти сторону квадрата , если площадь	прямоугольника	60 дм2 .
Найти стороны данного	прямоугольника	.
Найди его площадь , если периметр	прямоугольника	равен .
Ширина	прямоугольника	составляет — стороны квадрата .
Площадь	прямоугольника	равна 240 дм2 , а ширина на 8 дм меньше длины .
Ширина	прямоугольника	— см , а его длина на — см больше .
Длина	прямоугольника	равна см , что составляет — его ширины .
Длина одного	прямоугольника	равна 32 см , а другого - 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше ширины первого .
Площадь	прямоугольника	равна с м2 , а его длина Ь м .
Чему равен периметр	прямоугольника	?
Ширина	прямоугольника	меньше длины , а периметр равен .
Чему равна площадь квадрата , если площадь	прямоугольника	91 м2 ? .
Если меньшую сторону увеличить на 15 см , а большую увеличить на 20 см , то площадь	прямоугольника	увеличится в 5 раз .
Длина первого прямоугольника 5 дм , а длина второго	прямоугольника	- 7 дм .
Ширина какого	прямоугольника	меньше и на сколько ? .
После того как ширину	прямоугольника	увеличили на 1 м , а длину уменьшили на 5 м , получили квадрат .
Длина одного прямоугольника равна 32 см , а другого - 15 см. Ширина второго	прямоугольника	на 6 см больше ширины первого .
Найти сторону квадрата , если площадь	прямоугольника	равна 30 см2 .
Чему равна ширина данного	прямоугольника	? .
Найти длину и ширину этого	прямоугольника	.
Найти их площади , если известно , что площадь первого	прямоугольника	на 46 см2 больше площади второго прямоугольника .
Периметр всякого	прямоугольника	равен сумме длин его сторон .
Если выложить все тетрадные листы один за другим , совмещая по длине , то чему будет равен периметр периметр полученного	прямоугольника	?
Найти их площади , если известно , что площадь первого прямоугольника на 46 см2 больше площади второго	прямоугольника	.
Длина	прямоугольника	в больше ширины .
Длина первого	прямоугольника	5 дм , а длина второго прямоугольника - 7 дм .
Чему равна площадь	прямоугольника	? .
Длина	прямоугольника	равна , а ширина составляет — длины .
угольника меньше ширины первого	прямоугольника	? .
Площадь одного	прямоугольника	а м2 , а площадь другого на 8 м2 больше .
Во сколько раз площадь первого	прямоугольника	больше площади второго прямоугольника ? .
Длина	прямоугольника	5 м 2 дм .
Проиллюстрируй решение с помощью	прямоугольника	.
Длина	прямоугольника	равна , что составляет его ширины .
Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника : где длины сторон	прямоугольника	, а его площадь .
Ширина	прямоугольника	а м , а длина - в 2 раза больше .
Оба	прямоугольника	имеют одинаковую ширину , равную Ь м .
Из начальной школы хорошо известна формула площади	прямоугольника	: где длины сторон прямоугольника , а его площадь .
Во сколько раз площадь первого прямоугольника больше площади второго	прямоугольника	? .
На сколько метров длина первого	прямоугольника	меньше , чем второго ?
Площадь	прямоугольника	равна 80 дм , а его ширина равна 5 дм .
Чему равны стороны этого	прямоугольника	? .
Известно , что у первого прямоугольника длина на 4 м больше , а ширина на 2 м меньше , чем у второго	прямоугольника	.
Длину	прямоугольника	уменьшили на 3 см , а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат .
Найди периметр и площадь квадрата со стороной , равной ширине этого	прямоугольника	.
Ширина	прямоугольника	, что меньше длины .
Обозначим ширину	прямоугольника	, выраженную в метрах , через х , тогда его длина равна ( х + 3 ) м , а площадь равна х(х + 3 ) м2 .
Ширина	прямоугольника	36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника , если его длину увеличить на 7 см ? .
На сколько квадратных миллиметров площадь этого	прямоугольника	меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
У	прямоугольника	длина больше ширины .
Ширина	прямоугольника	на 9 см меньше длины , а площадь равна 90 см2 .
На сколько надо уменьшить длину	прямоугольника	, чтобы его площадь уменьшилась на 35 дм2 ?
Ширину	прямоугольника	увеличили , а длину - от первоначального значения .
Площадь	прямоугольника	равна 68 дм2 , а длина больше ширины на 13 дм .
Ширина	прямоугольника	7 дм , а длина - на 2 см больше .
Ширина	прямоугольника	, что составляет его длины .
Начерти прямоугольник , стороны которого больше сторон данного	прямоугольника	, и заполни его паркетом по образцу .
Ширина прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь	прямоугольника	, если его длину увеличить на 7 см ? .
периметр и площадь	прямоугольника	.
Если же длины сторон выражаются дробными числами - например , то площадь	прямоугольника	является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Площадь садового участка , имеющего форму	прямоугольника	, равна 600 м2 , а его длина равна .
Периметр	прямоугольника	равен Ь м , а длина одной из его сторон с м .
Одна из сторон	прямоугольника	на 20 см больше другой .
Два	прямоугольника	имеют одинаковую площадь , равную 70 м2 .
Площадь	прямоугольника	равна 64 дм2 , а его длина в 4 раза больше ширины .
Ширина	прямоугольника	равна , а длина составляет — ширины .
Во сколько раз площадь	прямоугольника	больше площади квадрата ? .
Стороны	прямоугольника	.
Чему стала равна площадь	прямоугольника	? .
Длина первого	прямоугольника	Ь м , а длина второго - на 14 м больше .
Длина	прямоугольника	равна 12 м , а его ширина на 3 м меньше .
Площадь	прямоугольника	равна 288 см2 , а его периметр - 72 см. Чему равны стороны этого прямоугольника ? .
Если большую сторону уменьшить в 3 раза , а меньшую сторону увеличить в 2 раза , то площадь нового	прямоугольника	будет равна 200 см2 .
Известно , что у первого	прямоугольника	длина на 4 м больше , а ширина на 2 м меньше , чем у второго прямоугольника .
Два	прямоугольника	имеют одинаковую площадь , равную а м2 .
Площадь прямоугольника равна 288 см2 , а его периметр - 72 см. Чему равны стороны этого	прямоугольника	? .
Она составляет — длины	прямоугольника	и его ширины .
Периметр	прямоугольника	равен сумме длин его сторон .
Длина первого	прямоугольника	равна , а ширина ?
Длина второго	прямоугольника	составляет — длины первого , а ширина - — ширины первого .
Одна из сторон	прямоугольника	на 10 см меньше другой .
Чему равен периметр	прямоугольника	? .
Найти периметр	прямоугольника	, площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше длины .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого	прямоугольника	, длины сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Итак , для вычисления площади данного	прямоугольника	и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Найти периметр	прямоугольника	, у которого ширина на 4 см меньше длины , а площадь составляет 32 см2 .
Проведи диагонали этого	прямоугольника	и найди координаты их точки пересечения .
Найти стороны	прямоугольника	.
Ширина	прямоугольника	равна , что составляет его длины .
Некоторые квадраты на чертеже не являются	прямоугольниками	.
Площадь квадрата равна , и он разбит на одинаковые маленькие	прямоугольники	с длинами сторон .
Из всех	прямоугольников	с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Далее , прямоугольник со сторонами , площадь которого мы вычисляем ( на рисунке он закрашен ) , состоит из маленьких	прямоугольников	.
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон	прямоугольников	выражаются натуральными числами ) .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество	прямоугольников	, Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Найти стороны этих	прямоугольников	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников , множество ромбов , множество квадратов и множество	прямоугольников	.
Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь	прямоугольников	, у которых длины сторон выражаются натуральными числами .
Квадрат является	прямоугольником	.
Сколько понадобится краски , чтобы покрасить деревянный брус , имеющий форму	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 80 см , 30 см и 20 см , если для покраски 1 дм2 поверхности нужно 3 г краски ? .
По формуле объема	прямоугольного	параллелепипеда найди .
Найди объем этого	прямоугольного	параллелепипеда , если сумма длин всех его ребер равна .
Длина	прямоугольного	участка земли 48 м , а его площадь 12 а .
Найти объем	прямоугольного	параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Сарай имеет форму	прямоугольного	параллелепипеда .
Чему равен объем этого	прямоугольного	параллелепипеда ? .
Измерения	прямоугольного	параллелепипеда .
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму	прямоугольного	параллелепипеда длиной 40 см , шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Ширина	прямоугольного	параллелепипеда составляет длины , а высота - длины .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого	прямоугольного	параллелепипеда .
Длина аквариума , имеющего форму	прямоугольного	параллелепипеда , равна , а ширина составляет — длины .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Длина	прямоугольного	параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Вычисли объем	прямоугольного	параллелепипеда , вырази в кубических метрах и округли до сотых .
Одна сторона	прямоугольного	участка земли на 3 м больше другой его стороны- .
Ширина	прямоугольного	параллелепипеда меньше длины , а высота - больше ширины .
Так как х - это ширина	прямоугольного	участка , и , значит , х > 0 , то в данной задаче это сделать несложно .
Длина	прямоугольного	участка земли в 4 раза больше ширины .
Ширина	прямоугольного	параллелепипеда равна 20 дм , что составляет его длины .
Сторону	прямоугольного	участка земли , равную , увеличили и получили прямоугольный участок площадью .
Длина основания	прямоугольного	параллелепипеда , а ширина меньше длины .
Ширина	прямоугольного	параллелепипеда , длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
Как называются стороны	прямоугольного	треугольника ?
Длина	прямоугольного	параллелепипеда равна , ширина , а высота на меньше ширины .
Если трехзначное число записано с помощью одной цифры , то оно делится ли полученное утверждение считать верным для любого	прямоугольного	треугольника ?
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности	прямоугольного	параллелепипеда ? .
Какие из фигур на рисунке являются развертками	прямоугольного	параллелепипеда ? .
Ширина	прямоугольного параллелепипеда	составляет длины , а высота - длины .
Сарай имеет форму	прямоугольного параллелепипеда	.
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму	прямоугольного параллелепипеда	длиной 40 см , шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Какие из фигур на рисунке являются развертками	прямоугольного параллелепипеда	? .
Ширина	прямоугольного параллелепипеда	, длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
Длина аквариума , имеющего форму	прямоугольного параллелепипеда	, равна , а ширина составляет — длины .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Длина	прямоугольного параллелепипеда	равна , ширина , а высота на меньше ширины .
На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности	прямоугольного параллелепипеда	? .
Чему равен объем этого	прямоугольного параллелепипеда	? .
Найди объем этого	прямоугольного параллелепипеда	, если сумма длин всех его ребер равна .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого	прямоугольного параллелепипеда	.
Найти объем	прямоугольного параллелепипеда	, если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Ширина	прямоугольного параллелепипеда	меньше длины , а высота - больше ширины .
По формуле объема	прямоугольного параллелепипеда	найди .
Длина	прямоугольного параллелепипеда	равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Длина основания	прямоугольного параллелепипеда	, а ширина меньше длины .
Сколько понадобится краски , чтобы покрасить деревянный брус , имеющий форму	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 80 см , 30 см и 20 см , если для покраски 1 дм2 поверхности нужно 3 г краски ? .
Ширина	прямоугольного параллелепипеда	равна 20 дм , что составляет его длины .
Измерения	прямоугольного параллелепипеда	.
Вычисли объем	прямоугольного параллелепипеда	, вырази в кубических метрах и округли до сотых .
Если трехзначное число записано с помощью одной цифры , то оно делится ли полученное утверждение считать верным для любого	прямоугольного треугольника	?
Как называются стороны	прямоугольного треугольника	?
В третий год своего пребывания на острове Робинзон Крузо со своим другом Пятницей решили засеять поле	прямоугольной	формы .
Двенадцать пентамино лежали у Басика в	прямоугольной	коробке .
Периметр садового участка	прямоугольной	формы равен 98 м , причем его длина на 1 м больше ширины .
В деревне Простоквашино кот Матроскин и пес Шарик вспахали поле	прямоугольной	формы на тракторе “ Митя ” .
Длина садового участка	прямоугольной	формы больше его ширины .
Садовый участок	прямоугольной	формы имеет длину , а ширину - меньше .
Площадь баскетбольной площадки , имеющей	прямоугольную	форму , а м2 , а длина 20 м .
Существуют равнобедренные	прямоугольные	треугольники .
Все	прямоугольные	треугольники являются равнобедренными .
Некоторые	прямоугольные	треугольники имеют ось симметрии .
Все	прямоугольные треугольники	являются равнобедренными .
Некоторые	прямоугольные треугольники	имеют ось симметрии .
Существуют равнобедренные	прямоугольные треугольники	.
Начерти	прямоугольный	треугольник и проведи окружность , диаметром которой является его гипотенуза .
Любой	прямоугольный	треугольник имеет ось симметрии .
Начерти	прямоугольный	треугольник .
Куб и	прямоугольный	параллелепипед имеют одинаковую сумму длин ребер .
Под строительную площадку отвели	прямоугольный	участок , длина которого больше его ширины .
Сторону прямоугольного участка земли , равную , увеличили и получили	прямоугольный	участок площадью .
Куб и	прямоугольный параллелепипед	имеют одинаковую сумму длин ребер .
Любой	прямоугольный треугольник	имеет ось симметрии .
Начерти	прямоугольный треугольник	.
Начерти	прямоугольный треугольник	и проведи окружность , диаметром которой является его гипотенуза .
Какой треугольник называют	прямоугольным	?
Два	прямоугольных	земельных участка имеют одинаковую площадь а м2 .
Два луча с общим началом , составляющие	прямую	, называются дополнительными лучами .
Проведи	прямую	, пересекающую окружность в точках А и В. На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В ? .
Через любые две различные точки можно провести только одну	прямую	.
Нарисуй в тетради по клеточкам фигуру А и	прямую	I. Построй фигуру , симметричную А относительно I .
Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и СР и	прямую	КЬ , пересекающую их под острым углом в некоторых точках .
Начерти	прямую	I и отметь на ней точки А , В и С так , чтобы точка В лежала между точками А и С .
Через любую точку плоскости можно провести	прямую	, параллельную данной прямой .
Нарисуй в тетради координатную	прямую	и отметь на ней точки .
Через любую точку плоскости можно провести	прямую	, перпендикулярную данной прямой , и притом только одну .
Через любую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести параллельную ей	прямую	.
Через любую точку плоскости , не лежащую на / данной прямой , можно провести только одну параллельную ей	прямую	.
Начерти координатную	прямую	, приняв за единичный отрезок клеток .
Проведи две параллельные	прямые	и секущую .
Две	прямые	на плоскости , перпендикулярные одной прямой , параллельны друг другу .
Пересекающиеся	прямые	на плоскости не могут иметь двух общих точек .
Две	прямые	на плоскости , параллельные третьей , параллельны друг ДРУГУ .
Любые две	прямые	па плоскости или параллельны , или пересекаются .
Прямоугольником называется четырехугольник , у которого все углы	прямые	.
Любые две	прямые	на плоскости или параллельны , или перпендикулярны .
Две пересекающиеся	прямые	называются перпендикулярными , если они образуют четыре прямых угла .
Пересекающиеся	прямые	обязательно перпендикулярны .
Две	прямые	называются параллельными , если они не имеют общих точек .
Параллельные	прямые	пересечены прямой .
Две прямые пересекаются , если эти	прямые	имеют ровно одну общую точку .
Проведи две параллельные друг другу	прямые	АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под острым углом в некоторых точках .
Две	прямые	пересекаются , если эти прямые имеют ровно одну общую точку .
Угол называется	прямым	", если он равен 90 "" ."
	Прямыми	АО , АС и СВ ; .
Сколько на рисунке	прямых	, острых , тупых углов ?
Сформулируй гипотезу и проверь ее для каких - нибудь двух других параллельных	прямых	и секущей .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными , если они образуют четыре	прямых	угла .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными , если они образуют четыре	прямых угла	.
Сейчас мы проведем рассуждения , которые покажут , что математические правила возникают не случайно , а естественным	путем	- из решения практических задач .
Это составило	пути	, который самолет пролетел во второй день .
По	пути	на дачу автомобиль проехал по городу , причем из них в пробке , а затем за городом .
Велосипедист и пешеход сделали в	пути	по одной остановке .
А весь путь был больше	пути	третьего дня .
От озера до деревни он ехал со скоростью , а на обратном	пути	его скорость была .
Они сделали получасовой привал и шли следующий участок	пути	со скоростью 1 км / ч , продираясь через заросли .
После того как туристы прошли половину оставшегося пути , им еще осталось пройти треть всего	пути	.
Как , не выполняя вычислений , определить , на каком участке	пути	скорость движения была наибольшей , а на каком - наименьшей ? .
Какое расстояние ему останется проехать через 3 часа	пути	, если всего ему надо проехать 400 км ? .
Первый турист был в	пути	меньше второго .
В первый день они проехали — всего	пути	, во второй день , а в третий день - оставшиеся .
Так , неизвестные числа при решении текстовых задач обозначаются обычно буквами х и у. А если , например , речь идет о задачах на движение , то для обозначения	пути	, скорости и времени используются соответственно буквы з , V , I.
Проехав с некоторой скоростью половину	пути	, автобус час стоял на месте из - за случившейся на трассе аварии .
Какую часть всего ее	пути	составляет путь по парку ? .
Катер на подводных крыльях прошел сначала км , что составило	пути	, который ему после этого осталось пройти .
На каком расстоянии друг 16 от друга будут поезда через 3 часа	пути	? .
Во второй день прошли оставшегося	пути	и еще .
После того как туристы прошли у всего	пути	, им осталось пройти 28 км .
Чему равна длина воздушного	пути	от Москвы до полярной станции ? .
От станции до почты он шел со скоростью , а на обратном	пути	его скорость была .
Сколько часов она была в	пути	, если всего прошла ? .
Сколько времени находился в	пути	второй турист ? . .
В третий день прошли — оставшегося	пути	и последние .
Велосипедист проехал в первый час	пути	, во второй час , третий час .
Аист пролетел примерно , что составило расстояние , которое пролетела летучая мышь , и лишь от	пути	, который преодолела египетская цапля .
Какую часть	пути	он проехал ?
Какую часть всего	пути	он плыл на байдарке ? .
Перечисли все	пути	.
Это составило	пути	, который он проехал во второй день .
Какую часть	пути	он прошел до того , как вспомнил о ручке ?
Велосипедист проехал — часть пути и еще км , и ему осталось проехать —	пути	и еще .
Велосипедист проехал — часть	пути	и еще км , и ему осталось проехать — пути и еще .
Сколько времени он был в	пути	? .
Поэтому весь путь принимается за “ единицу ” и вычисляется часть	пути	, пройденная каждым пешеходом .
Чтобы на оставшихся до пункта назначения 200 км наверстать потерянное время , водитель автобуса повел его со скоростью на 10 км / ч большей , чем в начале	пути	.
Какую часть	пути	проходит он ? .
С какой скоростью он должен идти оставшийся участок	пути	, чтобы прийти в пункт назначения по расписанию ? . .
Пройдя треть	пути	со скоростью , предусмотренной расписанием , он был на 1 ч задержан у семафора , и , чтобы прийти в пункт назначения по расписанию , ему пришлось увеличить скорость на 10 км / ч .
С какой скоростью проехал автобус первую половину	пути	? .
Наташа прошла км , что составило — всего	пути	.
Автотурист проехал в первый день — намеченного	пути	, а во второй день - остальной путь .
Пришлось в	пути	ему много преград преодолеть , много трудностей испытать .
Значительную часть этого многовекового	пути	мы уже прошли в начальной школе - подобно тому , как за месяцы каждый из нас из зародыша превратился в человека , проделав путь , на который природе понадобились миллионы лет .
осталось пройти — всего своего	пути	, а ему придется проехать обратно .
Какую часть	пути	прошел турист за эти три дня ? .
С какой скоростью он шел , если скорость в	пути	не изменялась ?
Автомобиль затрачивает	пути	при движении за городом бензина , в городском режиме при движении без пробок , а в пробке .
В первый день они прошли всего	пути	, а во второй день - оставшегося расстояния .
Но можно считать , что “ работа ” пешеходов — это прохождение	пути	.
Чему равна длина	пути	поезда , если станция , на которой жил пассажир , удалена от Москвы на расстояние всего пути ? .
Чему равна длина пути поезда , если станция , на которой жил пассажир , удалена от Москвы на расстояние всего	пути	? .
После того как туристы прошли половину оставшегося	пути	, им еще осталось пройти треть всего пути .
Чтобы пробраться к клетке , ей надо незаметно пройти по дворцу , по парку — ее	пути	по дворцу , а вдоль зверинца столько , сколько по парку и по дворцу вместе .
скорость движения на всех участках	пути	; .
Сколько времени затратил теплоход на весь	путь	, если скорость его движения по озеру составляет от скорости движения по реке ? . .
Какое время затратил автобус на весь	путь	? .
Он сделал минутный привал , а затем продолжил	путь	, снизив скорость .
Найди	путь	, ведущий от левого верхнего угла в нижний правый так , чтобы получилось число , записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
Сколько времени занял весь их	путь	? .
Какой	путь	он проехал до остановки ? .
Какой	путь	проехал велосипедист за все 3 часа ? .
Скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста , поэтому он затратил на весь	путь	больше .
Какой	путь	прошла экспедиция ? .
какой скоростью должна была бы идти экспедиция , двигаясь равномерно , чтобы пройти весь свой	путь	за то же время ? .
Пройдя с этой скоростью , он сделал вторую остановку , которая длилась , и оставшийся до пункта	путь	вновь шел со скоростью .
Затем их	путь	пересек водопад , через который им пришлось переправляться .
Остальной	путь	до поселения экспедиция прошла ” .
Какой	путь	проехали велосипедисты ? .
Какую часть всего ее пути составляет	путь	по парку ? .
Если теперь он продолжит	путь	с той же скоростью , то придет в школу звонка , а если вернется домой за ручкой , то , идя с той же скоростью , опоздает .
Чему равен весь ее	путь	? .
На поверхности куба найди кратчайший	путь	: .
Взял Басик с собой в	путь	"- дорогу свою любимую игру "" Пентамино "" ."
Какой	путь	он проехал в каждый из этих дней , если известно , что в первый день он проехал меньше , чем во второй ? .
За сколько времени товарный поезд проходит	путь	от Москвы до Санкт - Петербурга ? .
Автобус проезжает весь	путь	, а легковая машина .
Автотурист проехал в первый день — намеченного пути , а во второй день - остальной	путь	.
Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный	путь	конем из верхнего левого угла в нижний правый угол ( первый ход показан на рисунке ) .
Сколько километров составил весь	путь	? .
Поэтому весь	путь	принимается за “ единицу ” и вычисляется часть пути , пройденная каждым пешеходом .
Чему равен	путь	? .
Один пешеход может пройти весь	путь	, а другой .
Весь	путь	каждый автобус проходит с постоянной скоростью .
Если турист проедет расстояние между городами А и В на велосипеде , то он затратит меньше времени , чем если пройдет этот же	путь	пешком .
Сколько времени затрачивает каждый из поездов , приведенных в расписании , на весь	путь	от Москвы до Санкт - Петербурга ? .
На сколько меньше времени затрачивает на	путь	от Твери до Бологого 160-й поезд , чем 652-й ? .
Какой	путь	прошел доктор Айболит за все это время ? .
Весь	путь	занял I часов .
Сергей доехал на велосипеде от озера до деревни и вернулся обратно , затратив на весь	путь	.
А весь	путь	был больше пути третьего дня .
Поэтому , прежде чем применять общее правило , всегда полезно подумать и попробовать найти более короткий	путь	.
Значительную часть этого многовекового пути мы уже прошли в начальной школе - подобно тому , как за месяцы каждый из нас из зародыша превратился в человека , проделав	путь	, на который природе понадобились миллионы лет .
Во сколько раз	путь	перелета саранчи больше , чем у летучей мыши ? . .
Николай дошел от станции до почты и вернулся обратно , затратив на весь	путь	час .
Сколько бензина затрачено на этот	путь	? .
Из них он шел пешком , а остальной	путь	плыл на байдарке .
За сколько времени катер прошел весь	путь	, если его средняя скорость была , а на стоянки он потратил ? .
Миша проезжает на велосипеде	путь	от дома до дачи , а его сестра .
За сколько времени каждый из пешеходов пройдет весь	путь	от А до В ?
Пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построй на листе без клеток правильный : шестиугольник ; треугольник ; четырехугольник ;	пятиугольник	.
Как , пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построить правильные четырехугольник и	пятиугольник	?
Придумай способ вычисления суммы углов четырехугольника ,	пятиугольника	, шестиугольника .
Сколько диагоналей у	пятиугольника	, шестиугольника , семиугольника ?
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли величину угла правильного четырехугольника ,	пятиугольника	, шестиугольника .
Из этих	равенств	следует .
Запиши в виде буквенных	равенств	правила вычитания числа из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Проверь истинность	равенств	и объясни полученную закономерность , используя рисунок .
Запиши свои гипотезы в виде	равенств	.
Какое из	равенств	неверно .
Запиши эти определения в виде буквенных	равенств	.
Запиши в виде	равенств	утверждения , равносильные следующим : .
Определи , какие из данных	равенств	истинны при любых натуральных значениях а , Ь и с , а для оставшихся приведи контрпримеры .
Проверь справедливость записанных	равенств	для некоторых десятичных дробей , взяв значения букв по собственному выбору .
Проверь справедливость записанных	равенств	для значений букв , взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору .
И точно так же , как пишут цепочку	равенств	при преобразованиях числовых выражений , например , можно записывать цепочки равносильных предложений , например .
Запиши ответ с помощью	равенств	.
Объясни смысл	равенств	: а(Ъ + с ) = аЪ + ас , а(Ь - с ) = аЬ - ас .
Какие свойства сложения и вычитания выражают данные	равенства	? .
Подбери недостающие натуральные числа так , чтобы получились верные	равенства	, если известно , что дроби во всех равенствах правильные .
Перевод всех трех правил на математический язык можно представить в виде одного	равенства	.
Запиши в тетрадь буквенные	равенства	, выражающие свойства сложения и умножения : переместительное , сочетательное , распределительное - и объясни их смысл .
Для слов примерно , приближенно в математике используется специальный знак - знак приближенного	равенства	.
Приближенные	равенства	.
Из полученного	равенства	видно , что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел .
При х = 5 наше равенство имеет вид 50 + у = 5у + 52 , а этого быть не может , так как левая часть	равенства	всегда меньше правой части .
Всякое натуральное число делится само на себя и на 1 - это следует из	равенства	а = а • 1 .
Поэтому если мы из каждой части этого	равенства	вычтем одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для натурального числа у невозможно .
Перепиши полученные	равенства	, заменив в них знак на знак , а знак на знак Какие правила получились ?
Доказательство этого	равенства	уже встречалось нам в № 303 , однако разложение на простые множители позволяет упростить рассуждения .
Переведи с математического языка на русский	равенства	, выражающие свойства сложения и умножения .
Какому признаку разбиения соответствуют записанные рядом с рисунком	равенства	?
Выведи из этого	равенства	правило умножения суммы на сумму .
Запиши в тетрадь	равенства	, вставляя вместо букв подходящие числа .
Очевидно , что в этом случае математической моделью задачи являются два	равенства	.
Знак	равенства	между двумя числовыми выражениями показывает , что эти выражения имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
Нужно набрать на замке девять разных цифр ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) так , чтобы были верны получившиеся	равенства	: .
Составь еще три	равенства	, выражающие взаимосвязь между числами а , Ъ и с .
Именно этот факт записывается в виде	равенства	.
"Обратим внимание на написание знака равносильности : если убрать из него "" стрелки "" слева и справа , то останется знак"	равенства	.
Найди значения выражений и поставь между ними знак	равенства	или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
Поэтому приближенными являются и многие	равенства	, описывающие реальные ситуации .
Разделим обе части полученного	равенства	на множитель .
Однако этот перебор можно сократить , если заметить , что правая часть данного	равенства	больше 52 .
Из	равенства	ху = 252 можно заметить , что числа х и у не могут быть больше , чем 252 .
Для натуральных чисел х и у выполняются два	равенства	.
Эти	равенства	можно обосновать , опираясь на частные случаи умножения натуральных чисел .
Отметим также , что для любой дроби — выполняются	равенства	.
В каждой части этого	равенства	вынесем за скобки общий множитель .
Запиши другие	равенства	, устанавливающие соотношение между этими делителями и их кратным : 12 - 6 = 72 ; 2)32:4 = 8 .
Прочитай приближенные	равенства	.
Вместе с тем более внимательный анализ первого	равенства	показывает , что числа х и у - это парные делители 252 : при делении 252 на х получается у , и наоборот .
Перепиши	равенства	и поставь в частных пропущенные запятые и нули .
Выражение , стоящее в левой части	равенства	, можно записать иначе .
Анализ второго	равенства	позволяет еще больше сократить число возможных вариантов .
Чтобы получить в левой части последнего	равенства	дробь , умножим обе его части на — и воспользуемся распределительным свойством умножения .
Для ответа на вопрос задачи надо найти неизвестное число х из	равенства	х + Зх = 60 .
Из полученного общего правила сравнения дробей следует важное условие	равенства	дробей .
Запиши различные	равенства	, выражающие взаимосвязь между а , Ъ и к.
Перепиши	равенства	"в тетрадь и продолжи составление "" пирамиды "" до 102 ."
Отметь на нем точку А. Какими еще дробями может быть выражены	равенства	.
Докажи истинность	равенства	.
Подбери недостающие натуральные числа так , чтобы получились верные равенства , если известно , что дроби во всех	равенствах	правильные .
После присвоения элементу некоторого имени мы можем его называть и записывать под присвоенным ему именем в выражениях , формулах ,	равенствах	и неравенствах .
Найди в каждом	равенстве	число , которое является кратным двух других чисел ( делителей ) .
Что получится , если заменить в новом	равенстве	знак деления на черту дроби ? .
Что получится , если в новом	равенстве	заменить знак деления на черту дроби ?
Замени в	равенстве	знак на знак , а знак на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский .
Сравни в каждом	равенстве	натуральные числа , обозначенные буквами .
Значит , должно выполняться	равенство	, которое является математической моделью данной задачи .
Другими словами ,	равенство	означает то же самое .
Для цифр х и у двузначного числа выполняется	равенство	10х + у = ху + 52 .
Докажи , что для любых натуральных чисел а и Ь верно	равенство	.
Действительно , на основании этих правил можно записать , например ,	равенство	.
Найти неизвестные числа х и Зх , если выполняется	равенство	х + Зх = 60 .
Докажи	равенство	.
Второе	равенство	позволяет упрощать дроби , например .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное	равенство	, выражающее зависимость длины окружности от ее диаметра .
Полученное	равенство	можно записать двумя способами .
В примере ( * * ) 3 = * * * 9 вместо звездочек поставь цифры так , чтобы получилось верное	равенство	.
А это	равенство	и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Но найти нужные нам числа можно , если это	равенство	записать по - другому , преобразовать .
Так как а : Ъ = к , то выполняется	равенство	а = Ьк .
Это	равенство	не нарушится , если обе его части умножить на число с , то есть ас = ( Ьк)с .
Найти значение х , для которого выполняется	равенство	х(х + 3 ) = 70 .
Поэтому	равенство	можно записать в виде .
Проверь это	равенство	.
Расставь скобки так , чтобы получилось верное	равенство	.
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется	равенство	( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
При каких значениях переменной верно	равенство	.
Следовательно ,	равенство	, данное в условии , верно только для одного числа х = 7 , а тогда х + 3 = 10 .
При х = 5 наше	равенство	имеет вид 50 + у = 5у + 52 , а этого быть не может , так как левая часть равенства всегда меньше правой части .
Это	равенство	показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Это	равенство	и является математической моделью данной задачи .
Полученное	равенство	верно , как для случая , когда дробь — является правильной , так и для случая , когда эта дробь является неправильной .
При х = 7 имеем	равенство	70 + г/=7г/ + 52 .
Но это	равенство	неверно , так как делится , а не делится .
Тогда ее можно привести к знаменателю и для некоторых натуральных чисел выполняется	равенство	.
Может ли быть верным	равенство	если в него вместо букв поставить цифры от 1 до 9 ( разным буквам соответствуют разные цифры ) ? .
Замени буквы цифрами так , чтобы получилось верное	равенство	( одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры , а разным - разные ) .
С другой стороны , 27 не делится на 4 , потому что нельзя подобрать такой сомножитель с , чтобы выполнялось	равенство	4с = 27 .
Найди ошибку в рассуждении : “ Рассмотрим верное	равенство	.
Пользуясь рисунком , объясни , почему верно	равенство	.
Число а делится на число Ъ , если существует такое число с , что выполняется	равенство	а = Ьс .
Определи , какие цифры надо поставить вместо букв А и Б , чтобы получилось верное	равенство	: АБ • А - Б = БББ .
Значит , при х = 7 данное в условии	равенство	верно .
Объясни	равенство	дробей сначала с помощью рисунка , а потом с помощью основного свойства дроби .
Доказанное только что	равенство	можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число .
Используя	равенство	, определи , какую часть числа а составляет число , и сделай чертеж .
Исходя из правила вычитания суммы из суммы , докажи	равенство	.
Реши примеры , пользуясь	равенством	78 * 52 — 4056 : 4056:78 ; 3)52 - 78 ; 780 - 52 ; 4056:52 ; 52 - 77 ; 78 - 5200 .
Искомые числа х и у должны удовлетворять как первому , так и второму	равенству	.
Найди методом перебора множество пар натуральных чисел , удовлетворяющих	равенству	.
Существует ли натуральное значение х , удовлетворяющее	равенству	х - 12 = х ?
Таким образом , решением задачи является значение х , удовлетворяющее	равенству	.
Тогда в соответствии с принятым определением , нам надо найти дробь , удовлетворяющую	равенству	.
Значит , решением задачи является число х , удовлетворяющее	равенству	.
А	равенству	Зх - 12 = х ? . .
Используя распределительное свойство умножения , найди одну пару , удовлетворяющих	равенству	.
Перенеси рисунок	равнобедренной	трапеции по клеточкам в тетрадь .
Перенеси рисунок	равнобедренной трапеции	по клеточкам в тетрадь .
Существуют	равнобедренные	прямоугольные треугольники .
Является ли	равнобедренный	треугольник равносторонним ?
Является ли	равнобедренный треугольник	равносторонним ?
Треугольник называется	равнобедренным	, если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину .
Является ли равносторонний треугольник	равнобедренным	? .
Является ли он	равнобедренным	? .
Все прямоугольные треугольники являются	равнобедренными	.
Построй с помощью циркуля и линейки три	равнобедренных	треугольника и измерь транспортиром их углы .
Построй с помощью циркуля и линейки три	равнобедренных треугольника	и измерь транспортиром их углы .
Укажи все	равносторонние	треугольники на рисунке : .
Укажи все	равносторонние треугольники	на рисунке : .
Начерти	равносторонний	треугольник и соедини отрезками середины его сторон .
Является ли	равносторонний	треугольник равнобедренным ? .
Является ли	равносторонний треугольник	равнобедренным ? .
Начерти	равносторонний треугольник	и соедини отрезками середины его сторон .
Измерь стороны треугольника и определи , является ли он	равносторонним	?
Является ли равнобедренный треугольник	равносторонним	?
Всякий ли треугольник является	равносторонним	?
Треугольник называется	равносторонним	, если все его стороны имеют одинаковую длину .
Начерти несколько	равносторонних	треугольников и измерь их углы .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С - множество	равносторонних	треугольников .
Начерти несколько	равносторонних треугольников	и измерь их углы .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С - множество	равносторонних треугольников	.
Длина диаметра окружности в два раза больше длины	радиуса	той же окружности .
Найди отношение площади круга к квадрату его	радиуса	.
Начерти окружность произвольного	радиуса	.
Измерь углы между	радиусами	, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А	радиусом	4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Начерти окружность с центром в точке О и	радиусом	2 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условию : .
Чему примерно равна длина беговой дорожки ипподрома , имеющей форму круга	радиусом	? .
Начерти окружность с центром в точке О и	радиусом	4 см 5 мм .
Проведи окружность с центром в точке и	радиусом	.
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В	радиусом	3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Отрезок , соединяющий центр окружности с какой - либо ее точкой , называется	радиусом	окружности .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и	радиусом	5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и	радиусом	4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Используя все 7 частей , на которые	разделен	квадрат в № 671 , составь силуэты нарисованных фигур : домика , курицы и кошки .
Оставшиеся ,	разделив	деньги , получат поровну с другими тремя .
Поэтому ,	разделив	числитель и знаменатель дроби , мы получим равную ей несократимую дробь . .
И еще долгое время после того , как мамонты вымерли ,	разделив	три лепешки поровну на пятерых своих детей , их мама не могла сказать , сколько же лепешек получил каждый .
Так , убив мамонта и	разделив	его поровну , охотники не могли сказать , “ сколько мамонтов ” получил каждый .
Найдем сначала часть маршрута ,	разделив	, а затем узнаем весь маршрут , умножив полученное число .
Разделив некоторое целое число на 15 , Боря получил в остатке 8 , а	разделив	его на 20 , он получил в остатке 17 .
Начерти два луча ОА и ОВ , исходящие из точки О. На сколько частей	разделил	плоскость угол АОВ ‘ ?
Игнат задумал число , вычел его из 46 , результат	разделил	на 5 и получил 6 .
Число	разделили	на задуманное число , к полученному частному прибавили сумму умножили , а затем из полученного произведения .
Задумали число ,	разделили	на него , полученное частное вычли , результат увеличили и получили число , большее квадрата числа .
Участок земли площадью	разделили	на равных частей .
Число 80	разделили	на задуманное число , к частному прибавили 13 , результат увеличили в 4 раза и получили 72 .
Из них Ъ кг съели за обедом , а оставшиеся абрикосы	разделили	пополам и сварили из одной половины ягод компот , а из другой - варенье .
Знаменатель показывает , на сколько равных частей	разделили	"единицу ( "" целое "" ) , а числитель показывает , сколько таких частей взяли ."
Для занятий их	разделили	поровну на несколько групп .
Числа	разделили	на одно и то же число .
Пять братьев	разделили	после отца наследство поровну .
Каждый из трех братьев заплатил по 800 р . , меньшие братья	разделили	эти деньги между собой , и тогда у всех стало поровну .
Мнения в классе	разделились	.
Нарисуем квадрат со стороной и	разделим	одну его сторону , а другую сторону - одинаковые части .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , надо делимое умножить на дробь , обратную делителю .
На какое число надо	разделить	, чтобы получить число большее , чем разность ? .
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно	разделить	на другую десятичную дробь . .
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это число	разделить	на знаменатель дроби и умножить на ее числитель .
С другой стороны , на практике одинаковые яблоки можно	разделить	поровну между детьми .
Покажи , как	разделить	фигуру на равных по площади фигур шестью отрезками . .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть	разделить	на данную дробь .
При делении яблоки на двоих детей ответ можно получить и другим способом : раздать каждому по яблоку и одно оставшееся	разделить	пополам .
Например , пусть надо	разделить	число .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть	разделить	на числитель дроби и умножить на ее знаменатель .
По определению деления натуральных чисел	разделить	число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
Например , нельзя число	разделить	- нет такого натурального числа .
Можно заметить , что оба числа делятся , и неравенство между ними не изменится , если оба	разделить	.
"Реши уравнения , используя правило "" весов "" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или"	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля .
Если делимое и делитель	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля , то частное .
Чтобы	разделить	разность на число , отличное от нуля , можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
Чтобы найти часть , которую первое число составляет от второго , можно первое число	разделить	на второе .
Чтобы разделить разность на число , отличное от нуля , можно	разделить	на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
К адвокату обратились человек с просьбой	разделить	наследство .
Сформулируй гипотезу о том , как	разделить	степени с одинаковыми основаниями ат : ап при а * 0 , и запиши ее в буквенном виде .
Так как три дома	разделить	было нельзя на 5 частей , то их взяли три старших брата , а меньшим за то выделили деньги .
Другими словами , сначала делимое и делитель можно	разделить	на 5 , а потом на 7 .
Таким образом , чтобы	разделить	число на десятичную дробь , можно .
Как	разделить	сумму , разность и произведение на число ?
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и делитель	разделить	на одно и то же натуральное число .
Результат действия	разделить	на число .
"По правилу "" весов "" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или"	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля .
Например , для того чтобы	разделить	некоторое число на 288 , мы можем заметить , что .
Чтобы найти , какую часть первое число составляет от второго , можно первое число	разделить	на второе .
Вспомним , насколько труднее	разделить	натуральные числа , чем их перемножить .
И вообще , чтобы	разделить	десятичную дробь на натуральное число , можно .
Их можно	разделить	поровну между 2,3 , 4 , 5 и 6 детьми .
Выписать	разложение	одного из них .
Если же в любом из этих произведений продолжить	разложение	на множители , то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь порядком множителей .
Число делится лишь на те простые числа , которые входят в его	разложение	на простые множители .
Запиши множество двузначных чисел ,	разложение	которых на простые множители состоит .
Видим , что все простые множители числа 45 входят в	разложение	450 .
В общем случае на помощь вновь приходит	разложение	чисел на простые множители .
Доказательство этого равенства уже встречалось нам в № 303 , однако	разложение	на простые множители позволяет упростить рассуждения .
Запиши все четырехзначные числа , в	разложение	которых на простые множители входят одновременно 7 , 11 и 13 .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то	разложение	на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Какие простые множители могут входить в	разложение	на множители нового знаменателя ? .
Как получить	разложение	на простые множители чисел .
В итоге в частном остается 1 и получается следующее	разложение	данного числа на простые множители .
Число делится лишь на те составные числа ,	разложение	которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
Универсальным способом поиска НОД является	разложение	данных чисел на простые множители .
Обозначение в виде степени позволяет короче записывать	разложение	числа на простые множители , например .
В	разложении	числа 80 не хватает множителя 7 из разложения числа 140 .
Число делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в	разложении	на простые множители самого числа .
В	разложении	чисел 56 и 81 нет одинаковых множителей .
В	разложении	на два множителя простого числа , напротив , один из множителей всегда равен 1 , а другой - самому числу .
Это означает , что в	разложении	числа у на простые множители имеются только числа ( может быть , конечно , только или только ) .
В то же время число 11 550 не делится на 4 = 2 - 2 , так как в	разложении	"числа 4 есть "" лишняя "" двойка ."
Видим , что в	разложении	числа 140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35 , то есть 140 является кратным этих чисел .
Числа 32 и 25 взаимно простые - в их	разложении	нет общих множителей , поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению .
При	разложении	чисел на простые множители используют признаки делимости .
Добавить к нему недостающие множители из	разложений	оставшихся чисел .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично	разложению	по разрядам натуральных чисел .
Найди НОД и НОК чисел а и Ъ по их	разложению	на простые множители .
Найди наибольший общий делитель чисел методом	разложения	на простые множители .
Как мы видели , для получения , делимого можно выписать вместе	разложения	на простые множители делителя и частного .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел с помощью	разложения	чисел на простые множители .
Не выполняя	разложения	на простые множители , найди НОК ( 527 , 8 069 424 ) .
Дело в том , что произведение двух чисел получается , если перемножить их	разложения	на простые множители , например .
Полученное произведение 2 • 2 • 3 • 5 содержит оба	разложения	, а значит , кратно каждому из них .
Пусть известны	разложения	натуральных чисел а , Ь и с на простые множители .
Найди наименьшее общее кратное чисел методом	разложения	на простые множители .
В разложении числа 80 не хватает множителя 7 из	разложения	числа 140 .
Найди НОД и НОК чисел 180 и 396 методом	разложения	на простые множители .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность	разложения	десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
методом	разложения	па простые множители .
Даны	разложения	чисел на простые множители .
Найди наименьшее общее кратное чисел с помощью	разложения	на простые множители .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких натуральных чисел с помощью	разложения	чисел на простые множители : .
Найди НОД и НОК чисел с помощью	разложения	на простые множители .
При помощи	разложения	чисел на простые множители определи , во сколько раз : 10 584 больше 168 ; 525 меньше 13 125 .
Например , запись 40 = 4 • 10 означает , что число 40	разложено	на множители 4 и 10 .
В этом случае о числе говорят , что оно	разложено	на множители .
В несколько коробок	разложили	поровну 36 карандашей .
В 5 одинаковых банок	разложили	х кг варенья .
При сортировке 120 кг составили отходы , а остальной картофель	разложили	в одинаковые пакеты поровну и отправили в 3 магазина : в первый - 300 пакетов , во второй - 320 пакетов и в третий - 340 пакетов .
Выдели целую часть из дробей халвы ,	разложили	поровну в коробки .
Из одной коробки их	разложили	поровну пакетов , а из другой - пакетов .
Все овощи Матроскин и Шарик	разложили	в мешки и увезли на тракторе .
Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание :	разложить	все 28 косточек домино в 4 кучки так , чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми числами .
Другими словами , число является составным , если его можно	разложить	хотя бы на два множителя , ни один из которых не равен 1 .
На этот вопрос мы отвечали так : 27 предметов можно	разложить	на 3 равные группы по 9 предметов в каждой , и ничего не останется .
И вообще , всякое составное число можно	разложить	на простые множители единственным образом ( с точностью до порядка множителей ) .
Сколько таких банок надо взять , чтобы	разложить	в них кг меда ? .
Если варенье , заготовленное на зиму ,	разложить	в 2-литровые банки , то их потребуется на 9 больше , чем 3-литровых .
Сколько таких банок потребуется , чтобы	разложить	у кг варенья ? .
Мише надо	разложить	яблок в корзины так , чтобы число яблок в одной корзине составляло числа яблок в другой .
Найди значение	разностей	.
Пользуясь свойством делимости	разности	на число , найди все общие делители чисел .
произведение	разности	данных чисел и меньшего из них ; .
Аналогично доказывается данное свойство и для	разности	двух чисел .
произведение числа 28 и	разности	чисел 12 и 7 ; .
Существуют числа , квадрат разности которых равен	разности	их квадратов .
Вычисли	разности	.
Существуют числа , квадрат	разности	которых равен разности их квадратов .
частное	разности	чисел 10 и п и числа т .
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно найти , перебирая делители меньшего из данных чисел или делители	разности	этих чисел .
сумма	разности	чисел и и числа , .
Квадрат	разности	двух чисел равен разности их квадратов .
Составь все возможные	разности	из чисел и найди их значения .
Куб	разности	чисел 4 и 2 равен 56 .
Сумма	разности	чисел и разности чисел .
Разность суммы чисел и	разности	чисел .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат	разности	чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Сумма разности чисел и	разности	чисел .
Представь дробь — в виде суммы ,	разности	, произведения , частного двух дробей .
Прочитай в тексте данного пункта учебника определения	разности	и частного .
Квадрат разности двух чисел равен	разности	их квадратов .
Определи истинность высказываний , представляя число в виде суммы или	разности	""" удобных "" чисел ."
Частное суммы чисел т и п и их	разности	.
Произведение суммы чисел и	разности	чисел .
Запиши следующие две	разности	и найди их значение .
Квадрат	разности	чисел 8 и 2 равен 36 .
Если бы это было так , то по свойству 1 слагаемое 25 , равное	разности	215 - 190 , тоже делилось бы на 19 , а это неверно .
Квадрат	разности	числа х и удвоенного числа .
Делимость суммы и	разности	.
Используя свойство делимости суммы ,	разности	и произведения натуральных чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Используй это правило для вычисления	разности	.
произведение суммы чисел си а и	разности	чисел и д .
Чему равна	разность	этих чисел ? .
Например ,	разность	а - Ь при а = 8 и Ь = 3 превратится в числовое выражение 8 - 3 .
Чтобы умножить	разность	на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
На какое число надо разделить , чтобы получить число большее , чем	разность	? .
Как изменяется	разность	при изменении уменьшаемого и вычитаемого ?
Запиши их сумму ,	разность	, произведение и частное .
Чтобы разделить	разность	на число , отличное от нуля , можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
Из задуманного числа вычли 3 , полученную	разность	уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше , чем треть задуманного числа .
Если	разность	двух чисел четна , то их сумма четна .
Как изменяется сумма и	разность	при изменении ?
Докажи , что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа ,	разность	которых кратна четырем .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ;	разность	кубов чисел ; куб суммы чисел .
Сумма двух чисел 954 , а	разность	158 .
Перерисуй таблицы в тетрадь и определи , как изменяется сумма и	разность	при изменении ( знаком условимся обозначать увеличение данного числа , а знаком - уменьшение ) .
Перерисуй таблицу в тетрадь и определи , как изменяется сумма и	разность	при указанных изменениях .
Нам уже известны названия простейших математических выражений - сумма ,	разность	, произведение , частное .
Как изменяется сумма и	разность	при указанных изменениях ? .
	Разность	большего из данных чисел и их частного ; .
Так как по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше , чем в маленький , то	разность	252 : х - 252 : ( х + 1 ) равна 6 .
	Разность	58 930 - 760 кратна 10 ; .
Сумма двух чисел равна 3500 , а	разность	составляет 12 % суммы .
Если к нему прибавить , из полученной суммы вычесть , а	разность	вычесть .
Найти	разность	результатов действий .
	Разность	числа 92 и двузначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ; .
Докажи , что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа ,	разность	которых делится на .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ;	разность	чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному числу .
Найти два числа , если одно из них составляет — другого , а их	разность	равна .
	Разность	8410 - 2927 не кратна 10 ; .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 ,	разность	( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Какая будет	разность	между количествами печенья в этих ящиках , если : .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь делится на с — в частном получается число к + I. Точно так же доказывается , что	разность	а - Ь делится на с .
частное от деления числа 143 на	разность	чисел 67 и 54 ; .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и	разность	не делятся на это число .
Чему равна	разность	.
	Разность	числа 135 и частного чисел 105 и 7 ; .
частное от деления суммы чисел 43 и 3 на	разность	чисел 140 и 117 .
Дробь несократима тогда и только тогда , когда	разность	между ее числителем и знаменателем равна .
Запиши последовательность из чисел , в которой первое и второе число равны соответственно , а далее	разность	между каждыми двумя соседними числами увеличивается .
	Разность	16x1/-72 делится на 8 ; .
	Разность	числа всех предметов , которые ты изучаешь , и числа твоих любимых предметов .
Вычли задуманное число , а	разность	увеличили сначала , а потом .
Если сумма (	разность	) принадлежит таблице , игрок отмечает в таблице ее значение соответственно “ крестиком ” или “ ноликом ” .
Полученную	разность	умножить на 309 .
Представь в виде дроби сумму или	разность	двух дробей , если значения всех переменных - натуральные числа .
Найти	разность	чисел .
Если одно из чисел делится на 6 , а другое нет , то их	разность	не делится на 6 .
	Разность	наименьшего трехзначного и наибольшего двузначного числа ; .
Как изменяется	разность	при изменении уменьшаемого или вычитаемого ? .
	Разность	произведения чисел 9 и & и числа 23 ; .
Вычисли	разность	наибольшего и наименьшего членов этой последовательности .
Сумма двух чисел равна 13 , а	разность	2 .
Пусть оба эти числа делятся на с. Тогда их	разность	, равная 3 , также делится на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Если два числа делятся на некоторое число , то их сумма и	разность	тоже делятся на это число .
Построй с помощью схемы формулу , выражающую числа а п Ь через их сумму с и	разность	р .
Как разделить сумму ,	разность	и произведение на число ?
Сумма двух чисел , а их	разность	.
	Разность	474 747 - 47 - 5 делится на 47 ; .
Два простых числа ,	разность	которых равна 2 , называют близнецами .
на 3 большее , чем	разность	чисел а и Ь ; .
Первое число в три раза больше второго , а	разность	этих чисел равна 48 .
Если	разность	двух чисел нечетна , то их сумма нечетна .
Перечерти таблицу в тетрадь и определи , как изменяются сумма и	разность	при указанных изменениях ( знак означает увеличение , а знак - уменьшение ) .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их сумму ,	разность	, произведение , частное ? .
Что произойдет с	разностью	двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
А теперь выполни то же задание , перенося запятую на	разряд	влево .
В каждом из следующих чисел перенеси запятую на	разряд	вправо и прочитай полученные числа .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно ,	разряд	за разрядом , - младшие .
Поэтому при умножении десятичной дроби запятая переносится соответственно на	разряд	влево , а при делении - на разряд вправо .
Поэтому при умножении десятичной дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на	разряд	вправо .
Поэтому при делении запятая будет перемещаться не вправо , а влево - соответственно на	разряд	.
Система записи десятичных дробей устроена так же : единица любого	разряда	меньше предыдущей и больше последующей .
За разрядом сотых , до которого мы округляем , идет цифра , поэтому цифру	разряда	сотых увеличиваем .
С точностью до какого	разряда	округлено каждое число ? .
Так , поскольку при делении после	разряда	десятых всегда идет цифра , то считают .
С точностью до какого	разряда	выполнено округление ?
Это равенство показывает , сколько единиц каждого	разряда	содержит число , а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Сколько единиц каждого	разряда	содержит это число ?
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы	разряда	десятых в нем отсутствуют .
Представь дробь в виде суммы разрядных слагаемых и назови число единиц каждого	разряда	.
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при делении	разряда	влево .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной дроби , запятая переносится соответственно	разряда	вправо , а при делении разряда влево .
Итак , в десятичной записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого	разряда	содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного	разряда	— значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Итак , в десятичной записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит единиц предыдущего	разряда	( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного	разряда	определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного	разряда	остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного	разряда	увеличивается .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число , в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы	разряда	десятков тысяч отсутствуют .
Мы видим , что запятая	разряда	вправо , учитывая , последовательно перемещается .
Каждый знак в записи десятичной дроби обозначает , сколько единиц соответствующего	разряда	в ней содержится .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по	разрядам	, аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по	разрядам	натуральных чисел .
Десятичные же дроби легко сравнивать по	разрядам	.
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью	разрядами	числа результат получается в виде десятичной дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Мы видим , что сколько бы мы ни продолжали деление , в новых	разрядах	частного всегда будет получаться цифра .
В каких	разрядах	записана цифра ?
Так как цифру в	разряде	тысяч не изменяем .
За разрядом сотен миллионов следует цифра , поэтому цифру в	разряде	сотен миллионов увеличиваем .
Найди четыре различные цифры , которые могут стоять в	разряде	десятков у чисел , кратных 25 ? .
Выбери дроби , у которых в	разряде	десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число , кратное .
Какая цифра записана в	разряде	? .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в	разряде	сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число , кратное .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число , в	разряде	сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное число , в	разряде	тысячных - число , кратное .
При этом отсутствие единиц в	разряде	, как и прежде , обозначается нулем .
Эту близость определяет цифра , записанная в	разряде	, следующем ( в направлении слева направо за разрядом , до которого округляют : если она меньше , то лучше взять приближение с недостатком , а если больше - то приближение с избытком .
Какая цифра в	разряде	сотен миллионов ?
Целые части дробей одинаковы , а в первом из несовпавших разрядов -	разряде	стотысячных - в первой дроби стоит цифра , а во второй - цифра .
Целые части дробей одинаковы , а в первом из несовпавших	разрядов	- разряде стотысячных - в первой дроби стоит цифра , а во второй - цифра .
Цифры	разрядов	младше тысяч заменяем нулями .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших	разрядов	нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Разница лишь в том , что цифры младших	разрядов	не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет величины десятичной дроби .
Сколько	разрядов	? .
Если целые части десятичных дробей одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших	разрядов	после запятой ( в направлении слева направо ) .
Сто миллионов — это единица с восьмью нулями , поэтому цифры восьми младших	разрядов	заменяем нулями .
Таблица	разрядов	десятичных дробей имеет следующий вид .
Таким образом , сравнение данных десятичных дробей свелось к сравнению их соответствующих десятичных	разрядов	.
Сколько	разрядов	?
За	разрядом	сотен миллионов следует цифра , поэтому цифру в разряде сотен миллионов увеличиваем .
За	разрядом	тысяч следует цифра .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным	разрядом	, больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за	разрядом	, - младшие .
За	разрядом	сотых , до которого мы округляем , идет цифра , поэтому цифру разряда сотых увеличиваем .
Эту близость определяет цифра , записанная в разряде , следующем ( в направлении слева направо за	разрядом	, до которого округляют : если она меньше , то лучше взять приближение с недостатком , а если больше - то приближение с избытком .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным	разрядом	, меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Так , с точностью до сотен ) , поскольку за	разрядом	сотен следует цифра , большая .
А вот за	разрядом	тысяч в числе следует особая , “ серединная ” цифра , так как расположено посередине между верхней и нижней границами .
Назови	разряды	, в которых записаны нули .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые	разряды	, десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Назови	разряды	, в которых записана цифра 5 .
Назови	разряды	числа , в которых записана цифра .
Прочитай число и назови все его	разряды	.
Построй круговую диаграмму , показывающую	распределение	этих книг по пятым классам .
Построй круговую и линейную диаграммы	распределения	завоеванных медалей по их видам .
Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин	ребер	.
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех	ребер	выражается простым числом ? .
Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда , если сумма длин всех его	ребер	равна .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех	ребер	, выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Вычисли сумму длин всех	ребер	, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других	ребер	составляет длины этого ребра .
Найди сумму длин всех его	ребер	и площадь полной поверхности .
Вычисли сумму длин всех	ребер	, площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см .
Какая наибольшая длина	ребра	может быть у этого куба ? .
Существует ли куб , длина	ребра	которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Он имеет форму куба с длиной	ребра	80 см. Бак надо покрасить снаружи и изнутри .
Чему равна длина	ребра	этого куба ? .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого	ребра	.
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с длиной	ребра	4 см .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину	ребра	куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Длина	ребра	одного куба 5 см , а другого - в 2 раза больше .
Куб имеет	ребро	, равное .
Выполни действия с числами , обозначающими доходы и расходы , и проиллюстрируй	решение	на числовой прямой .
Найди сумму чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй	решение	на числовой прямой .
Составь задачи на одновременное движение двух объектов ,	решение	которых можно записать в виде формул : .
Реши задачу и запиши	решение	по действиям с вопросами , а затем составь для нее выражение : .
Рассмотри	решение	примера и объясни прием вычисления .
Разберем	решение	двух таких задач .
Составь задачу с другими величинами , имеющую такое же	решение	.
Доклад ученика занял урока , рассказ учителя , а	решение	задач урока .
В совершенно различных на первый взгляд задачах можно обнаружить , что их	решение	одинаково .
Изученные правила действий с дробями позволяют упростить	решение	этих задач .
На	решение	уравнения ушло .
Проиллюстрируй	решение	с помощью числового луча .
Таким образом , на	решение	уравнения затрачено — урока .
Реши задачу и запиши	решение	по действиям с вопросами : .
Проиллюстрируй	решение	с помощью прямоугольника .
Однако	решение	тем лучше , чем оно проще и быстрее приводит к верному ответу .
Существует натуральное	решение	неравенства х < 2 .
Придумай задачу с другими величинами , имеющую такое же	решение	.
Переведи условие задачи на математический язык и найди	решение	методом проб и ошибок .
Найди наибольшее натуральное	решение	неравенства : . .
Попробуем тогда подобрать	решение	""" экспериментально "" , так называемым методом проб и ошибок ."
Составь задачу ,	решением	которой служит выражение .
Наибольшим	решением	неравенства 9570 < х < 10 815 , кратным 3 и 5 , является число 10 800 .
Какая часть урока была занята	решением	уравнения ? .
Значит ,	решением	задачи является число х , удовлетворяющее равенству .
Таким образом ,	решением	задачи является значение х , удовлетворяющее равенству .
Составь задачу ,	решением	которой служит выражение : .
Так , неизвестные числа при	решении	текстовых задач обозначаются обычно буквами х и у. А если , например , речь идет о задачах на движение , то для обозначения пути , скорости и времени используются соответственно буквы з , V , I.
Итак , при	решении	составных задач на дроби , кроме основных правил , рассмотренных в предыдущих пунктах , на помощь могут прийти схемы , таблицы , числовые и буквенные выражения , уравнения .
При	решении	задачи следует обратить внимание на то , что средний и старший сыновья брали с тарелки треть не всех слив , а только тех , которые оставались на тарелке до них .
Часто при	решении	задач на дроби введение буквенных обозначений позволяет упростить поиск решения , сделать его более коротким .
Рассмотрим теперь , как используется этот прием при	решении	различных задач на совместную работу .
Итак , при	решении	задач на совместную работу вся выполненная работа принимается , а часть работы , выполненная за единицу времени ( то есть производительность ) , находится по формуле : где р - искомая часть работы , а Т - время работы .
При	решении	задач часто приходится представлять данное число в виде произведения нескольких множителей .
При	решении	задач методом проб и ошибок мы видели , что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том , что найдены все искомые значения .
При	решении	практических задач часто бывает так , что исследование полученной математической модели не сводится к известным случаям .
Найди ошибки в записи и	решении	примеров .
Теперь нам предстоит “ прожить ” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел - научиться сравнивать дроби между собой , совершать с ними арифметические действия , а главное - использовать эти числа при	решении	практических задач .
Найди множество всех возможных	решений	.
нечетных	решений	неравенства 795 < Ь < 803 .
четных	решений	неравенства 389 < а < 400 ; .
Поэтому для полного решения задачи нужно найти все ее решения или показать , что других	решений	она не имеет .
Пусть А — множество натуральных	решений	неравенства 5 < х < 11 , а В — множество натуральных решений неравенства 8 < х < 12 .
Сколько	решений	этой задачи ты сможешь найти ? .
Пусть А — множество натуральных решений неравенства 5 < х < 11 , а В — множество натуральных	решений	неравенства 8 < х < 12 .
Найди объединение и пересечение множеств А и В натуральных	решений	неравенств .
Найди множество простых	решений	неравенства .
Найди объединение и пересечение множеств натуральных	решений	неравенств .
Начерти треугольник АВС и построй его внешний угол при вершине А. Сколько	решений	имеет эта задача ?
Выпиши множество	решений	неравенства 978 < х < 1020 , кратных 10 .
Вторая задача свелась к	решению	уравнения нового для нас вида , но изученное ранее распределительное свойство умножения помогло быстро найти ответ .
Итак , мы видим , что третье правило	решения	задач на дроби сохраняется , но теперь дробь , полученную в результате , мы можем упростить по изученным правилам преобразования дробей .
Найди три	решения	неравенства .
Докажи правильность	решения	с помощью вычислений .
Соответственно , выделяются три типа задач на дроби , со способами	решения	которых мы познакомились в начальной школе .
Рассмотрим два способа	решения	этой задачи .
С самых древних времен для	решения	жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины , то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с поля , сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились числа .
Часто при решении задач на дроби введение буквенных обозначений позволяет упростить поиск	решения	, сделать его более коротким .
Выбор “ инструментов ” и способа	решения	задачи всегда остается за тем , кто ее решает .
Используй их для	решения	примеров второго столбика .
Покажи ему более краткий способ	решения	этой задачи .
Выигрывает тот , кто сделает это быстрее и сумеет доказать правильность	решения	.
В начале	решения	мы , естественно , не знаем , какое из чисел больше , но можем поставить между ними знак неравенства произвольным образом , понимая , конечно , что при этом могло получиться и неверное высказывание .
Придумай задачи , для	решения	которых требуется : найти часть от числа ; найти число по его части ; найти часть , которую одно число составляет от другого .
Некоторые	решения	неравенства 2 < х < 7 являются четными числами .
Отсюда следует , что чем больше математических понятий и их свойств мы знаем , тем больше имеем возможностей для отыскания короткого и простого	решения	.
Поэтому для полного	решения	задачи нужно найти все ее решения или показать , что других решений она не имеет .
Из рассмотренных примеров видно , что после перевода текста задачи на математический язык поиск	решения	сводится к работе с математическими моделями — к вычислениям , преобразованиям , рассуждениям .
Запись	решения	можно вести “ по действиям ” или “ цепочкой ” .
Зависит ли ответ от способа	решения	? .
"Приведи контрпример к утверждению : "" Все натуральные"	решения	"неравенства 8 < х < 11 кратны двум "" ."
Поэтому для обоснования полноты	решения	требуются дополнительные , иногда очень непростые рассуждения . .
Какой способ	решения	удобнее ?
А самое главное - математическая символика упрощает поиск ее	решения	.
Сейчас мы проведем рассуждения , которые покажут , что математические правила возникают не случайно , а естественным путем - из	решения	практических задач .
Для их	решения	полезно знать некоторые общие свойства делимости , которые помогают существенно упрощать вычисления .
"Полученная цепочка "" равносильностей "" есть , как мы видим , просто запись"	решения	уравнения ( 2х - 3 ) : 5 + 3 = 6 .
Поэтому для полного решения задачи нужно найти все ее	решения	или показать , что других решений она не имеет .
Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том , что подбор одного	решения	не гарантирует полноты решения .
Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том , что подбор одного решения не гарантирует полноты	решения	.
Поэтому требуется дополнительное обоснование того , что найдены все возможные	решения	и ни одно не пропущено .
Используя знак равносильности , запиши	решения	уравнений .
Нет , поскольку перебор еще не закончен и среди не рассмотренных нами случаев могут найтись	решения	.
Запиши множество чисел , кратных 9 , которые являются	решениями	неравенства .
Какие числа , кратные 5 , являются	решениями	неравенства .
На клумбе растет	роз	.
Сколько желтых	роз	на клумбе ? .
Из них составляют розы белого цвета , розы красного цвета , а остальные - желтые	розы	.
Из них составляют розы белого цвета ,	розы	красного цвета , а остальные - желтые розы .
Из них составляют	розы	белого цвета , розы красного цвета , а остальные - желтые розы .
Имеют ли оси симметрии параллелограмм , прямоугольник ,	ромб	, квадрат , и если да - то сколько ?
Является ли параллелограммом прямоугольник ,	ромб	, квадрат ? .
Что общего между фигурами	ромб	и квадрат и чем они различаются ? .
Является ли трапецией параллелограмм , прямоугольник ,	ромб	, квадрат ? .
Сформулируй гипотезу о свойстве диагоналей	ромба	.
Сформулируй гипотезу о свойстве углов	ромба	и проверь ее для построенных ромбов с помощью измерений .
Сформулируй гипотезу о свойстве углов ромба и проверь ее для построенных	ромбов	с помощью измерений .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество	ромбов	и Е - множество квадратов .
Сколько	ромбов	на рисунке ? .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех четырехугольников , множество	ромбов	, множество квадратов и множество прямоугольников .
Четырехугольник называется	ромбом	, если все его стороны имеют одинаковую длину .
Используя циркуль и линейку , построй различные	ромбы	, длина стороны каждого из которых равна .
Выполняя приказ царя Гороха , генерал Муштралкин пытался выстроить всех солдат в ряды сначала по 2 , а затем - по 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , но , к его удивлению , каждый раз последний	ряд	оказывался неполным , так как оставалось соответственно 1,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 солдат .
Продолжи	ряд	на два числа , сохраняя закономерность .
Установи закономерность и , сохраняя ее , продолжи	ряд	на два числа .
Очевидно , что первая дробь . Существует еще	ряд	“ хитрых ” приемов , с помощью которых можно просто сравнить две дроби .
Продолжи	ряд	на два числа , сохраняя закономерность : 4 , 7 , 12 , 21 , 38 .
Продолжи	ряд	на две фигуры , сохраняя закономерность .
Каждый слой имеет 4	ряда	по 6 пачек в ряду .
Из	ряда	чисел выпиши те , которые могут быть общими знаменателями для указанных дробей .
Чтобы войти в замок Арифмос , надо набрать шифр : записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых чисел натурального	ряда	.
Из чисел	ряда	составь две дроби и сравни их наиболее удобным способом .
В зрительном зале 1200 стульев , расположенных	рядами	с одинаковым числом стульев в каждом ряду .
Если в каждом ряду добавить по 5 стульев , то число	рядов	уменьшится на 8 .
При этом число	рядов	увеличилось па 2 .
Продолжи каждый из	рядов	па три числа , сохраняя закономерность .
Продолжи каждый из	рядов	на четыре числа , сохраняя закономерность : 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 .
Сколько стало	рядов	и сколько стульев в каждом новом ряду ? .
Перед утренником их расставили в несколько	рядов	- поровну в каждом ряду .
Сколько было	рядов	и сколько стульев в каждом ряду ? .
Затем было решено уменьшить число стульев в ряду , при этом число	рядов	увеличилось .
Сколько было рядов и сколько стульев в каждом	ряду	? .
Найди закономерность и запиши следующие два числа в	ряду	.
Перед утренником их расставили в несколько рядов - поровну в каждом	ряду	.
В зрительном зале 1200 стульев , расположенных рядами с одинаковым числом стульев в каждом	ряду	.
Если в каждом	ряду	добавить по 5 стульев , то число рядов уменьшится на 8 .
Сколько стало рядов и сколько стульев в каждом новом	ряду	? .
Затем было решено уменьшить число стульев в	ряду	, при этом число рядов увеличилось .
Каждый слой имеет 4 ряда по 6 пачек в	ряду	.
Спортсменов сначала построили в	ряды	по 6 человек , а затем переставили в ряды по 4 человека .
Спортсменов сначала построили в ряды по 6 человек , а затем переставили в	ряды	по 4 человека .
Выполняя приказ царя Гороха , генерал Муштралкин пытался выстроить всех солдат в	ряды	сначала по 2 , а затем - по 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , но , к его удивлению , каждый раз последний ряд оказывался неполным , так как оставалось соответственно 1,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 солдат .
В одной неделе 604 800	секунд	.
Где окажется точка через 5	секунд	после выхода ?
В високосном году 31 622 400	секунд	.
Скорость второй была на 2 м / с больше скорости первой , но она продержалась в воздухе только Ъ	секунд	.
Сколько это	секунд	? .
На сколько	секунд	раньше финишировал первый пловец ? .
Сколько	секунд	в одном часе ? .
Через сколько	секунд	расстояние между ними будет равно ? .
При испытании авиамоделей одна из них летела со скоростью а м / с и продержалась в воздухе 40	секунд	.
Через сколько	секунд	первый опередит второго на 50 м , если они одновременно побегут из одного и того же места в одном и том же направлении ? . .
в	секундах	: — мин , — мин , — ч , 1 — ч , 8 мин 6 с , 2 ч 43 мин .
Движение точки по координатному лучу описывается формулой время в	секундах	.
Вырази в	секундах	.
Насколько метров меньше , чем стриж , пролетит скворец : в	секунду	; в минуту ? .
Один мальчик пробегает на коньках 8 м в секунду , а другой - 6 м в	секунду	.
Один мальчик пробегает на коньках 8 м в	секунду	, а другой - 6 м в секунду .
Поэтому результат бегуна записывается в виде , при этом минуты и	секунды	разделяются , как это ни странно с точки зрения математической традиции , двоеточием .
Среди результатов по слалому и санному спорту , показанных спортсменами на Олимпийских играх в Норвегии , определи лучший и найди , сколько долей	секунды	отделяют его от второго результата .
Интересно также , что в спорте используется “ смешанная ” система измерения времени : минуты делят на , а	секунды	– на .
Сформулируй гипотезу и проверь ее для каких - нибудь двух других параллельных прямых и	секущей	.
Проведи две параллельные прямые и	секущую	.
К какому	семейству	растений оно принадлежит ? .
Сколько диагоналей у пятиугольника , шестиугольника ,	семиугольника	?
Дедка вдвое сильнее бабки , бабка втрое сильнее внучки , внучка вчетверо сильнее Жучки , Жучка впятеро	сильнее	кошки , кошка вшестеро сильнее мышки .
Дедка вдвое сильнее бабки , бабка втрое сильнее внучки , внучка вчетверо сильнее Жучки , Жучка впятеро сильнее кошки , кошка вшестеро	сильнее	мышки .
Дедка вдвое сильнее бабки , бабка втрое сильнее внучки , внучка вчетверо	сильнее	Жучки , Жучка впятеро сильнее кошки , кошка вшестеро сильнее мышки .
Дедка вдвое	сильнее	бабки , бабка втрое сильнее внучки , внучка вчетверо сильнее Жучки , Жучка впятеро сильнее кошки , кошка вшестеро сильнее мышки .
Дедка вдвое сильнее бабки , бабка втрое	сильнее	внучки , внучка вчетверо сильнее Жучки , Жучка впятеро сильнее кошки , кошка вшестеро сильнее мышки .
А Грей , проснувшись утром и почувствовав	сильный	голод , решил отправиться в лес за добычей .
Каждая фигура на рисунке имеет ось	симметрии	.
Всякая трапеция имеет ось	симметрии	.
Некоторые трапеции имеют ось	симметрии	. . .
Некоторые прямоугольные треугольники имеют ось	симметрии	.
Найди фигуры , для которых прямая I является осью	симметрии	.
Любой прямоугольный треугольник имеет ось	симметрии	.
Имеют ли оси	симметрии	параллелограмм , прямоугольник , ромб , квадрат , и если да - то сколько ?
Впрочем , и в каждой из этих	систем	записи число имеет бесконечно много имен .
В истории было много разных способов для записи натуральных чисел , но в конце концов “ победила ” одна - десятичная позиционная	система	записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Интересно также , что в спорте используется “ смешанная ”	система	измерения времени : минуты делят на , а секунды – на .
Объясняется это тем , что выбранная нами	система	записи натуральных чисел является десятичной .
И одно и то же число может иметь несколько имен — в той и в другой	системе	.
Любое натуральное число в десятичной позиционной	системе	счисления можно записать с помощью десяти цифр .
В Солнечной	системе	8 больших планет .
Благодаря этим дробям оказалось возможным - через много лет - перейти к единой	системе	измерения величин , к метрической системе мер , которой мы широко пользуемся в быту .
Благодаря этим дробям оказалось возможным - через много лет - перейти к единой системе измерения величин , к метрической	системе	мер , которой мы широко пользуемся в быту .
Запиши числа в десятичной	системе	счисления : .
Поэтому , так же как и для натуральных чисел , ее можно назвать десятичной позиционной	системой	записи .
Как нам уже известно , для записи натуральных чисел обычно пользуются десятичной позиционной	системой	записи чисел .
В больших общественных зданиях для нумерации помещений используют	систему	, в которой все номера имеют одно и то же количество цифр , и по номеру помещения можно узнать одновременно и этаж , на котором оно находится .
Легенда рассказывает , что в древности великий Архимед соорудил	систему	блоков , с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль “ Сиракосия ” .
Таким образом , десятичные и обыкновенные дроби — это две различные	системы	записи чисел .
Из соответствующих им букв составь фамилию известного философа , который выдвинул гипотезу о происхождении Солнечной	системы	из первоначальной туманности ( космогоническая теория ) .
Итак , мы видим , что осуществление полного перебора требует или большого количества труда и времени , или придумывания более остроумной	системы	перебора .
Какие различные	системы	записи чисел ты знаешь ?
Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием	системы	координат .
Все планеты Солнечной	системы	обращаются вокруг Солнца в одном направлении .
Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием	системы координат	.
Для ответа на более сложные вопросы - например , сколько овец в двух стадах , у кого из двух земледельцев урожай больше - понадобилось научиться	складывать	числа , сравнивать их между собой .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и умеют их	складывать	и вычитать , а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Натуральные числа можно не только	складывать	и умножать , но и вычитать и делить .
Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей , научились	складывать	и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями .
В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель ,	складывая	не фрукты и не уроки , а натуральные числа .
Ясно , что в левой части уравнения нужно вынести х за	скобки	и выполнить сложение и вычитание получившихся чисел .
Расставь	скобки	так , чтобы получилось верное равенство .
В каждой части этого равенства вынесем за	скобки	общий множитель .
"Из каждого "" круглого "" числа выделим единицу и раскроем"	скобки	.
Разложи каждое число на простые множители и общие множители вынеси за	скобки	: 18 + 24 ; 80 - 32 ; 12 + 48 ; 92 - 23 .
Придумай более удобный способ записи этих примеров - без	скобок	.
Запиши множества А и В с помощью фигурных	скобок	, найди их объединение и пересечение .
Запиши множества А и В с помощью фигурных	скобок	.
Запиши данные суммы чисел со знаками и без	скобок	и найди ответ .
Запиши сумму чисел без	скобок	и найди ответ , используя понятия доходов и расходов .
Запиши суммы чисел без	скобок	и найди ответ .
Запиши с помощью фигурных	скобок	множество : .
Запиши с помощью фигурных	скобок	множество кратных для каждого из чисел : 4 , 5 , 14 , 16 , 21 .
Запиши множества С и Л с помощью фигурных	скобок	.
Составь из чисел , записанных в квадрате ,	скобок	и знаков и выражение , значение которого равно 1 .
Найди на рисунке и запиши с помощью фигурных	скобок	следующие множества : .
Запиши с помощью фигурных	скобок	множество делителей каждого из чисел : 6 , 7 , 12 , 17 , 32 , 42 , 81 .
Запиши множества Е иЕ с помощью фигурных	скобок	.
Чтобы вычесть сумму из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое	слагаемое	.
Если бы это было так , то по свойству 1	слагаемое	25 , равное разности 215 - 190 , тоже делилось бы на 19 , а это неверно .
оба слагаемых с избытком ; оба	слагаемых	с недостатком ; одно из слагаемых с избытком , а другое - с недостатком ?
оба	слагаемых	с избытком ; оба слагаемых с недостатком ; одно из слагаемых с избытком , а другое - с недостатком ?
Число записано в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Представь в виде суммы разрядных	слагаемых	число .
Запиши число в виде суммы разрядных	слагаемых	по образцу .
оба слагаемых с избытком ; оба слагаемых с недостатком ; одно из	слагаемых	с избытком , а другое - с недостатком ?
Что произойдет с суммой двух чисел , если округлить : одно из слагаемых с избытком ; одно из	слагаемых	с недостатком ;
Представь дробь в виде суммы разрядных	слагаемых	и назови число единиц каждого разряда .
Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3 числа 8535 зависит от делимости на 3 суммы остальных	слагаемых	, то есть 8 + 5 + 3 + 5 = 21 .
Что произойдет с суммой двух чисел , если округлить : одно из	слагаемых	с избытком ; одно из слагаемых с недостатком ;
Представь в виде суммы разрядных	слагаемых	числа , используя степени числа .
Число 215 равно сумме двух	слагаемых	190 + 25 , одно из которых делится на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
Ясно , что в левой части уравнения нужно вынести х за скобки и выполнить	сложение	и вычитание получившихся чисел .
Выполнить	сложение	( вычитание ) , не обращая внимания на запятую .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого -	сложение	и вычитание .
Выполни	сложение	и вычитание дробей с натуральными числителями и знаменателями .
Заметим , что	сложение	и вычитание десятичных дробей можно записать “ в столбик ” : .
Придумай и реши свои аналогичные примеры на	сложение	чисел , обозначающих доходы и расходы .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями , содержащими	сложение	и вычитание дробей с разными знаменателями .
	Сложение	, умножение и вычитание ; .
На числовом луче можно также изображать	сложение	и вычитание чисел .
деление ,	сложение	и умножение ; .
Из полученного равенства видно , что	сложение	десятичных дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел .
Федя стал перемножать смешанные числа “ по аналогии ” со	сложением	- отдельно перемножать их целые и дробные части .
Из начальной школы нам известно , что при	сложении	смешанных чисел можно сначала сложить целые части , а затем - дробные части .
Как и при	сложении	, запись упрощают , а дробные части , в случае необходимости , приводят к общему знаменателю .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к	сложению	и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
Вычислим сумму , уравняв число знаков после запятой и переходя к	сложению	обыкновенных дробей .
Вместе с тем , числовой луч обычно используют для сравнения ,	сложения	и вычитания чисел тогда , когда числа несложно изобразить .
Для	сложения	таких дробей нужно сложить числители , а знаменатель оставить прежним .
Как , не выполняя	сложения	дробей с разными знаменателями , доказать истинность высказывания .
Какие свойства	сложения	и вычитания выражают данные равенства ? .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство	сложения	; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
Что же касается дробей с разными знаменателями , то для их	сложения	или вычитания достаточно привести их к одному знаменателю .
Из примера выведи правило	сложения	дробей и сложи по этому правилу дроби .
Для	сложения	и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий .
Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи	сложения	и вычитания с нулем .
Приведем несколько примеров	сложения	и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма .
Сформулируем на математическом языке общие правила	сложения	и вычитания дробей .
Вычисли наиболее удобным способом и объясни , на основании каких свойств	сложения	и вычитания выполнены преобразования .
Пользуясь свойствами	сложения	и вычитания дробей , вычисли наиболее удобным способом .
Повтори алгоритм	сложения	и вычитания десятичных дробей и реши примеры правильно . .
Запиши в тетрадь буквенные равенства , выражающие свойства	сложения	и умножения : переместительное , сочетательное , распределительное - и объясни их смысл .
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства	сложения	, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа .
Правила	сложения	десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Это следует из переместительного и сочетательного свойств	сложения	.
Выполни действия , пользуясь свойствами	сложения	и умножения .
В отличие от	сложения	и умножения , вычитание и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство	сложения	; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Из полученного равенства видно , что сложение десятичных дробей почти не отличается от	сложения	натуральных чисел .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм	сложения	( вычитания ) десятичных дробей .
Мы должны доказать , что сумма этих трех чисел , то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) , делится на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства	сложения	.
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Начнем со	сложения	.
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство	сложения	; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Переведи с математического языка на русский равенства , выражающие свойства	сложения	и умножения .
Действия	сложения	и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Пользуясь свойствами	сложения	и умножения , упростим левую часть уравнения , а затем найдем искомое значение .
Из примера выведи правило сложения дробей и	сложи	по этому правилу дроби .
К задуманному числу прибавили 4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата вычли 16 и получили на 2 меньше , чем получили бы ,	сложив	учетверенное задуманное число с 9 .
Когда они	сложили	все дрова в сарай , то вместе с уже имеющимися дровами в сарае оказалось дров .
Печенье , изготовленное в пекарне за день , упаковали в пачки по 300 г. Пачки	сложили	в коробки в 5 слоев .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы	сложили	два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Из начальной школы нам известно , что при сложении смешанных чисел можно сначала	сложить	целые части , а затем - дробные части .
Можно ли из всех палочек этого набора	сложить	прямоугольник ? .
Если к неизвестному числу приписать справа нуль и новое число	сложить	с неизвестным , то в сумме получится .
Для сложения таких дробей нужно	сложить	числители , а знаменатель оставить прежним .
Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел , а затем	сложить	ее или вычесть - по знаку около таблицы .
Любые два натуральных числа можно сравнить по величине , можно	сложить	или перемножить .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ;	сложить	отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Итак , при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты	сложить	.
Таким образом , чтобы	сложить	смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного	смешанного числа	в неправильную дробь .
Может ли оказаться сократимой дробная часть полученного из нее	смешанного числа	? .
Итак , при умножении	смешанного числа	на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Представь дробь — в виде	смешанного числа	.
Однако при делении	смешанного числа	на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и дробную части , например : .
При умножении	смешанного числа	на натуральное используется распределительное свойство умножения , например .
Запиши	смешанное число	в виде неправильной дроби и сделай рисунок : .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в	смешанное число	, числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Обратно , чтобы записать	смешанное число	в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Переведи	смешанные числа	в неправильные дроби и расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам . .
Таким образом , чтобы сложить	смешанные числа	, можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Представь	смешанные числа	, принадлежащие множеству У , в виде неправильных дробей .
Федя стал перемножать	смешанные числа	“ по аналогии ” со сложением - отдельно перемножать их целые и дробные части .
Итак , чтобы вычесть	смешанные числа	, можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Выдели целую часть из неправильных дробей и расположи полученные	смешанные числа	в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Теперь мы можем легко сравнивать	смешанные числа	.
Вторая запись при этом называется	смешанным числом	( или смешанной дробью ) — “ целое число и дробь ” .
При делении	смешанных чисел	их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило деления дробей .
Если дробные части	смешанных чисел	имеют разные знаменатели , то их предварительно приводят к общему знаменателю .
Сложение и вычитание	смешанных чисел	.
Эти правила можно использовать для любых	смешанных чисел	и неправильных дробей .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или	смешанных чисел	.
Из начальной школы нам известно , что при сложении	смешанных чисел	можно сначала сложить целые части , а затем - дробные части .
Аналогично вычитание	смешанных чисел	сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
Запиши два	смешанных числа	так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному числу .
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па	собственном	опыте .
Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей , взяв значения букв по	собственному	выбору .
Подбери еще две пары значений по	собственному	выбору и проверь свою гипотезу .
Проверь , выполняется ли оно для чисел 42 и 70 , а йотом еще для каких- нибудь двух чисел , которые ты возьмешь по	собственному	усмотрению .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из множества десятичных дробей по	собственному	выбору .
Запиши в тетради две десятичные дроби по	собственному	выбору и сравни их .
Запиши любую конечную десятичную дробь по	собственному	выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби .
Затруднение , возникшее у ребят , связано с тем , что при	совместной	работе складывается не время работы , а части работы , которую делают ее участники .
После	совместной	работы первую машину отправили в другой район города , а оставшаяся машина закончила уборку .
Какую часть бассейна останется наполнить после	совместной	работы обеих труб ? .
Какую часть работы останется выполнить после их	совместной	работы ? .
После	совместной	работы первая машинистка ушла к врачу , и работу закончила одна вторая машинистка .
Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их	совместной	работе .
Вскоре все поняли , что время	совместной	работы плотников не может быть больше трех лет .
Итак , при решении задач на	совместную	работу вся выполненная работа принимается , а часть работы , выполненная за единицу времени ( то есть производительность ) , находится по формуле : где р - искомая часть работы , а Т - время работы .
Задачи на	совместную	работу .
Рассмотрим теперь , как используется этот прием при решении различных задач на	совместную	работу .
Это тоже задача на “	совместную	работу ” , хотя , строго говоря , никто не работает .
По приведенным правилам можно проводить также	совместные	вычисления с дробями , натуральными числами и смешанными числами , например .
Какую часть сбора Светы составляет	совместный	сбор Нади и Тани ? .
Если выложить все тетрадные листы один за другим ,	совмещая	по длине , то чему будет равен периметр периметр полученного прямоугольника ?
отрезка	совпадает	с началом следующего .
Среди данных четырех задач найди такие задачи , математические модели которых	совпадают	.
Через какое минимальное количество оборотов того и другого колеса опять	совпадут	отметки на них ? .
Выполни действия и	сократи	дроби , если значения всех переменных - натуральные числа .
Выполни действия и	сократи	получившиеся дроби .
Применив распределительный закон , представь числитель в виде произведения , а затем	сократи	дробь .
Если возможно ,	сократи	получившиеся дроби .
Если возможно , вначале	сократи	их .
Разложи на множители числитель , а затем	сократи	дробь .
Ира задумала число , прибавила его к числителю и знаменателю дроби , затем	сократила	полученную дробь и получила в результате .
Дробь	сократили	.
На практике часто удобно не вычислять НОД числителя и знаменателя , а проводить сокращение дроби последовательно , например : ( сначала	сократили	, а потом ) .
В примере мы	сократили	дробь .
Расстояние между ними	сократилось	на .
Расстояние между ними	сократилось	.
Через расстояние между ними	сократилось	.
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо ,	сократить	дробную часть .
Для этого нужно	сократить	ее на наибольший общий делитель числителя и знаменателя .
Однако этот перебор можно	сократить	, если заметить , что правая часть данного равенства больше 52 .
Полученную дробь — —	сократить	нельзя , так как взаимно простые числа .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо ,	сократить	дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Анализ второго равенства позволяет еще больше	сократить	число возможных вариантов .
Что означает выражение “	сократить	дробь ” ?
При этом в последнем случае переставлены	сомножители	: числовой множитель пишут перед буквой , а не после нее .
С другой стороны , 27 не делится на 4 , потому что нельзя подобрать такой	сомножитель	с , чтобы выполнялось равенство 4с = 27 .
"Другими словами , для проверки этого утверждения надо указать "" второй"	сомножитель	""" числа 3 - в данном случае 9 - такой , чтобы при умножении его на 3 получилось 27 ."
Мы видим , что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в	сомножителях	.
"Существительные , оканчивающиеся буквой "" е "" , всегда"	среднего	рода .
Большой мешок весил , средний весил меньше большого , а маленький меньше	среднего	.
Младшей , а разница в годах у	средней	со старшей и младшей одинаковая .
В трехкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет площади большой и меньше площади	средней	комнаты .
Трем братьям вместе лет , а	среднему	и младшему в сумме лет .
Большой мешок весил ,	средний	весил меньше большого , а маленький меньше среднего .
Папа с сыном накопали осенью на даче мешки картошки : большой ,	средний	и маленький .
При решении задачи следует обратить внимание на то , что	средний	и старший сыновья брали с тарелки треть не всех слив , а только тех , которые оставались на тарелке до них .
Средний брат заготовил больше дров , чем младший , а старший - больше , чем	средний	.
Вторым пришел	средний	сын .
На чертеже изображен график изменения уровня воды в реке в весеннелетний сезон по сравнению со	средним	уровнем ( будем считать , что в месяце 30 дней ) .
Каждый четвертый из них учится в начальных классах , две трети - в	средних	, а остальные - в старших классах .
Во сколько раз паровоз Черепановых шел медленнее современных поездов ,	средняя	скорость которых составляет примерно 90 км / ч ? .
За сколько времени катер прошел весь путь , если его	средняя	скорость была , а на стоянки он потратил ? .
Представь числа 849 , 3206 , 75 012 , 503 970 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как	степени	числа 10 .
"Читают : "" а в"	степени	"5 "" ( или просто "" а в пятой "" ) ."
Представь его в виде	степени	с основанием 5 .
Сформулируй гипотезу о том , как разделить	степени	с одинаковыми основаниями ат : ап при а * 0 , и запиши ее в буквенном виде .
Сформулируй гипотезу о возведении	степени	"в степень ( а ' "" ) ' при а * 0 , и запиши ее в буквенном виде ."
Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как	степени	числа .
При этом число а называют основанием	степени	, а число 5 - показателем степени .
Сократи дроби , представляя	степени	в виде произведений ( значения всех переменных — натуральное число ) .
Вторая и третья	степени	числа а имеют специальное название .
Представь в виде суммы разрядных слагаемых числа , используя	степени	числа .
Представь число 24 392 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как	степени	числа 10 .
В выражениях , содержащих	степени	, сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого - сложение и вычитание .
Обозначение в виде	степени	позволяет короче записывать разложение числа на простые множители , например .
При этом число а называют основанием степени , а число 5 - показателем	степени	.
Запиши с помощью	степени	числа 10 : .
Вычисли и сравни	степени	: 32и23 ; 52и25 ; 43и34 ; 27 и 72 .
Сформулируй гипотезу о том , как умножить	степени	с одинаковыми основаниями ат • сГ , и запиши ее в буквенном виде .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в	степень	, затем умножение и деление , и после этого - сложение и вычитание .
Вторую	степень	называют квадратом , а третью - кубом числа а .
Запиши выражение с использованием действия возведения в	степень	и определи порядок действий в полученном выражении .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ;	степень	числа ; квадрат числа ; куб числа .
Если число двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть	степень	числа , а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно .
Сформулируй гипотезу о возведении степени в	степень	"( а ' "" ) ' при а * 0 , и запиши ее в буквенном виде ."
В практических расчетах значение имеет не столько удобство вычислений , сколько	степень	точности ответа .
Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют	степенью	.
Ответ : длины	сторон	участка равны 7 ми 10 м .
Найди длины	сторон	газона , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Найти длины	сторон	этого участка , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины	сторон	прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Начерти равносторонний треугольник и соедини отрезками середины его	сторон	.
Одна из	сторон	прямоугольника на 20 см больше другой .
Треугольник называется равнобедренным , если хотя бы две из его	сторон	имеют одинаковую длину .
Одна из	сторон	прямоугольника на 10 см меньше другой .
Начерти прямоугольник , стороны которого больше	сторон	данного прямоугольника , и заполни его паркетом по образцу .
Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь прямоугольников , у которых длины	сторон	выражаются натуральными числами .
Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника : где длины	сторон	прямоугольника , а его площадь .
Чему равны длины	сторон	этого четырехугольника ? . .
Какие свойства	сторон	и углов параллелограмма ты наблюдаешь ?
Длина стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его	сторон	.
Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными лучами для	сторон	другого .
Построй формулу зависимости величины угла правильного многоугольника от числа его	сторон	.
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины	сторон	которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Одна сторона треугольника равна 16 см , вторая - на 2 дм больше первой , а третья - в 2 раза меньше суммы первой и второй	сторон	.
Периметр всякого прямоугольника равен сумме длин его	сторон	.
Одну из	сторон	квадрата увеличили на 9 см , а другую уменьшили в 5 раз .
Периметр прямоугольника равен сумме длин его	сторон	.
Одну из	сторон	квадрата увеличили на 4 дм , а другую уменьшили на 6 дм .
Площадь квадрата равна , и он разбит на одинаковые маленькие прямоугольники с длинами	сторон	.
У некоторых четырехугольников на чертеже 5	сторон	.
Периметр прямоугольника равен Ь м , а длина одной из его	сторон	с м .
Если же длины	сторон	выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Одна	сторона	прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны- .
Одна	сторона	четырехугольника равна 7 м , вторая - на 5 дм больше первой , а третья - в 3 раза меньше второй .
Одна	сторона	треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а третья - 25 % длины первой стороны .
Одна его	сторона	составляет — периметра , а вторая сторона - — периметра .
Одна его сторона составляет — периметра , а вторая	сторона	- — периметра .
Первая его	сторона	в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны , а четвертая сторона на 4 см больше первой стороны .
Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны , а четвертая	сторона	на 4 см больше первой стороны .
Первая	сторона	треугольника равна , вторая длиннее первой , а третья составляет ~ от суммы первых двух .
Одна	сторона	треугольника равна 16 см , вторая - на 2 дм больше первой , а третья - в 2 раза меньше суммы первой и второй сторон .
Первая	сторона	равна , а вторая короче первой .
Два угла называются смежными , если у них одна	сторона	общая , а две другие являются дополнительными лучами .
Одна	сторона	треугольника равна , вторая длиннее первой , а третья - короче второй .
Какие из точек принадлежат	сторонам	треугольника ? .
Далее , прямоугольник со	сторонами	, площадь которого мы вычисляем ( на рисунке он закрашен ) , состоит из маленьких прямоугольников .
Лучи , образующие угол , называются	сторонами	угла , а их общее начало - вершиной угла .
Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется многоугольником , а ее звенья -	сторонами	многоугольника .
Четырехугольником называется многоугольник с четырьмя	сторонами	.
Квадратный стол со	стороной	имеет две выдвижные доски шириной .
Найди периметр и площадь квадрата со	стороной	, равной ширине этого прямоугольника .
Нарисуем квадрат со	стороной	и разделим одну его сторону , а другую сторону - одинаковые части .
Если большую сторону уменьшить в 3 раза , а меньшую	сторону	увеличить в 2 раза , то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см2 .
Он увидел барсука и погнал его в	сторону	деревни со скоростью .
Найти	сторону	квадрата , если площадь прямоугольника 60 дм2 .
Если меньшую	сторону	увеличить на 15 см , а большую увеличить на 20 см , то площадь прямоугольника увеличится в 5 раз .
Нарисуем квадрат со стороной и разделим одну его сторону , а другую	сторону	- одинаковые части .
Нарисуем квадрат со стороной и разделим одну его	сторону	, а другую сторону - одинаковые части .
Если большую	сторону	уменьшить в 3 раза , а меньшую сторону увеличить в 2 раза , то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см2 .
Найди четвертую	сторону	этого четырехугольника , если его периметр равен 23 м .
Найти	сторону	квадрата , если площадь прямоугольника равна 30 см2 .
Длина первой	стороны	составляет периметр , а длина второй стороны - длины первой .
С другой	стороны	, 27 не делится на 4 , потому что нельзя подобрать такой сомножитель с , чтобы выполнялось равенство 4с = 27 .
Угол называется развернутым , если его	стороны	являются дополнительными лучами .
Чему равна длина третьей	стороны	? .
Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей	стороны	, а четвертая сторона на 4 см больше первой стороны .
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см. Найти длину	стороны	квадрата .
Найди длину третьей	стороны	и вырази ее в метрах .
Площадь прямоугольника равна 288 см2 , а его периметр - 72 см. Чему равны	стороны	этого прямоугольника ? .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а	стороны	пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
Четырехугольник называется ромбом , если все его	стороны	имеют одинаковую длину .
Достаточно ли для ее доказательства измерить	стороны	и углы нескольких параллелограммов ?
С другой	стороны	, нам известно , что знак деления можно заменить чертой дроби .
С другой	стороны	, оно содержит минимально возможное число множителей .
С другой	стороны	, если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей , отличных , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной .
Какими должны быть размеры и площадь скатерти для этого стола , чтобы края скатерти свисали с каждой	стороны	? .
С другой	стороны	, на практике одинаковые яблоки можно разделить поровну между детьми .
Как называются	стороны	прямоугольного треугольника ?
Длина	стороны	треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон .
Найти	стороны	прямоугольника .
Найди длину третьей	стороны	.
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а третья - 25 % длины первой	стороны	.
Ширина прямоугольника составляет —	стороны	квадрата .
Длина	стороны	квадрата .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой	стороны	, а третья - 25 % длины первой стороны .
Начерти прямоугольник ,	стороны	которого больше сторон данного прямоугольника , и заполни его паркетом по образцу .
Треугольник называется равносторонним , если все его	стороны	имеют одинаковую длину .
Найти	стороны	этих прямоугольников .
Найти длину	стороны	квадрата .
Измерь	стороны	и углы четырехугольника и установи как можно больше его свойств .
Однажды Дима и Игорь встретились на прогулке и , поздоровавшись , разошлись в противоположные	стороны	.
Используя циркуль и линейку , построй различные ромбы , длина	стороны	каждого из которых равна .
Многоугольник называется правильным , если у него все	стороны	равны и все углы равны .
Определи координаты точки середины	стороны	треугольника .
Измерь	стороны	треугольника и определи , является ли он равносторонним ?
Чему равны	стороны	этого прямоугольника ? .
Найти	стороны	данного прямоугольника .
Два угла называются вертикальными , если	стороны	одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого .
Перечерти трапецию АВС Б в тетрадь и продолжи ее	стороны	.
Многоугольник , у которого все	стороны	и все углы равны , называется правильным .
Измерь ее	стороны	, углы , диагонали и перечисли как можно больше ее свойств .
Длина первой стороны составляет периметр , а длина второй	стороны	- длины первой .
С одного цветка одновременно в противоположные	стороны	полетели две стрекозы .
Квадратом называется прямоугольник , у которого все	стороны	равны .
Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны , а четвертая сторона на 4 см больше первой	стороны	.
Одни ребята утверждали , что оба плотника вместе будут	строить	дом .
Сколько стоит	сумка	? .
Сумка и перчатки вместе стоят , причем	сумка	дороже перчаток .
Он схватил	сумку	и бросился вдогонку .
Через час Шарик заметил , что Печкин забыл в Простоквашино свою почтовую	сумку	.
Найди значения	сумм	.
	Сумма	497 + 21 500 не делится на 10 ; .
Разность двух чисел , а их	сумма	.
Полученные числа обладают следующей особенностью :	сумма	кубов этих чисел равна квадрату их суммы .
Произведение двух натуральных чисел равно , а их	сумма	составляет — от произведения .
Если два числа делятся на некоторое число , то их	сумма	и разность тоже делятся на это число .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном числе к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что	сумма	его цифр делится на 3 .
	Сумма	530 + 7100 делится на 10 ; .
Известно , что	сумма	углов треугольника равна .
Произведением числа на число называется	сумма	слагаемых , каждое из которых равно .
Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда , если	сумма	длин всех его ребер равна .
Число к делится на 3 в том и только в том случае , когда	сумма	цифр числа к делится на 3 .
Доказать , что	сумма	любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3 .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число делится иа 3 в том и только в том случае , когда"	сумма	"его цифр делится на 3 "" ."
Предположим , что	сумма	а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Если разность двух чисел нечетна , то их	сумма	нечетна .
Если	сумма	цифр числа кратна 5 , то число кратно 5 .
Числа 999 , 99 и 9 делятся на 3 , а значит , по свойствам делимости , и	сумма	первых трех слагаемых делится на 3 .
Перечерти таблицу в тетрадь и определи , как изменяются	сумма	и разность при указанных изменениях ( знак означает увеличение , а знак - уменьшение ) .
Если каждое слагаемое делится на 7 , то и	сумма	делится на 7 .
Как изменится	сумма	.
Запиши выражение и сосчитай :	сумма	квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Как изменяется	сумма	с увеличением или уменьшением слагаемых ?
Остальные клетки квадрата заполни так , чтобы он стал магическим , то есть чтобы	сумма	чисел по строкам , столбцам и диагоналям была одной и той же . .
Найди последовательные натуральные числа такие , что	сумма	двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а	сумма	длин всех ребер выражается простым числом ? .
Мы должны доказать , что	сумма	этих трех чисел , то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) , делится на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
Может ли такая	сумма	делиться на 19 ? .
Докажи , что	сумма	кратна ; не делится ; делится ; не кратна .
Как изменяется	сумма	и разность при указанных изменениях ? .
Действительно ,	сумма	двух натуральных чисел не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
	Сумма	двух простых чисел ; .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ,	сумма	которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Если	сумма	двух чисел четна , то они оба четны .
Если	сумма	двух чисел четна , то они оба нечетны .
	Сумма	двух составных чисел .
Перерисуй таблицу в тетрадь и определи , как изменяется	сумма	и разность при указанных изменениях .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их	сумма	и разность не делятся на это число .
Если	сумма	двух чисел четна , то хотя бы одно из них четно .
Докажи , что	сумма	, где является числом нечетным .
Наименьшее пятизначное число , кратное 10 ,	сумма	цифр которого равна 12 .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ;	сумма	чисел равна натуральному числу .
Наибольшее семизначное число , кратное 1000 ,	сумма	цифр которого равна 15 .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : "" Число делится на 9 в том и только в том случае , когда"	сумма	"его цифр делится на 9 "" ."
Если	сумма	двух чисел четна , то хотя бы одно из них нечетно .
Если разность двух чисел четна , то их	сумма	четна .
	Сумма	числа 18 и частного чисел а и 5 ; .
	Сумма	ЗаЬс + 19а делится на а .
	Сумма	разности чисел и и числа , .
Найди два значения т такие , чтобы	сумма	35 + т ; делилась на 5 ; не делилась на 5 .
"На вопрос : "" Сколько среди двузначных чисел таких , у каждого из которых"	сумма	"цифр равна 9 ? "" - Степа Верхоглядкин стал перебирать все двузначные числа подряд , отбирая нужные ему ."
Если каждое из двух чисел делится на 3 , то и их	сумма	делится на 3 .
Если одно из чисел делится на 4 , а другое нет , то их	сумма	не делится на 4 .
Исходя из того , что	сумма	углов треугольника равна , вычисли величину угла правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
	Сумма	цифр числа 287 ; .
Найти два числа , если одно из них составляет у другого , а их	сумма	равна .
Нам уже известны названия простейших математических выражений -	сумма	, разность , произведение , частное .
	Сумма	56 056 + 112 делится на 56 ; .
Точно так же в математическом предложении 28 + 36 = 64 говорится о сумме чисел 28 и 36 и сообщается , что эта	сумма	равна 64 .
Задумано двузначное число ,	сумма	цифр которого в 2 раза меньше самого числа .
Следовательно , сделанное нами предположение неверно , и на самом деле	сумма	а + b не делится на с. Но именно это мы и должны были доказать .
в 4 раза меньшее , чем	сумма	чисел а и Ь .
Одно из чисел на 17 меньше второго , а их	сумма	равна 75 .
Существуют натуральных числа ,	сумма	квадратов которых меньше .
Какая	сумма	будет на его счету через год , два года , три года ? .
Перерисуй таблицы в тетрадь и определи , как изменяется	сумма	и разность при изменении ( знаком условимся обозначать увеличение данного числа , а знаком - уменьшение ) .
По аналогии с игрой “ крестики - нолики ” найди строку , столбец или диагональ ,	сумма	чисел в которых дает выигрышную сумму , указанную над таблицей . .
Если каждое из двух чисел делится на 8 , то и их	сумма	делится на 8 .
Как изменяется	сумма	и разность при изменении ?
Докажи , что	сумма	пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Как изменяется	сумма	при увеличении или уменьшении слагаемых ?
Иногда	сумма	цифр двузначного числа больше их произведения .
Если	сумма	( разность ) принадлежит таблице , игрок отмечает в таблице ее значение соответственно “ крестиком ” или “ ноликом ” .
Заполни пустое место в квадрате так , чтобы	сумма	всех чисел в нем равнялась единице .
	Сумма	всех двузначных чисел , кратных 10 ; .
Как изменится	сумма	двух чисел , если : одно слагаемое увеличить , а другое ; одно слагаемое уменьшить , а другое ; одно слагаемое увеличить на , а другое уменьшить ; одно слагаемое уменьшить , а другое увеличить ? .
По свойству 2 делимости суммы ,	сумма	5637 не делится на 5 .
Следовательно , данная	сумма	делится на 3 ( без остатка ) , что и требовалось доказать .
	Сумма	числа мальчиков и числа девочек твоего класса ; .
А дело в том , что мы предположили , что	сумма	а + b делится на с. Это и привело нас к противоречию .
Оба слагаемых делятся на 5 , и , по свойству 1 делимости суммы , их	сумма	745 делится на 5 .
Периметр всякого прямоугольника равен	сумме	длин его сторон .
Квадрат суммы двух чисел равен	сумме	их квадратов .
Число 215 равно	сумме	двух слагаемых 190 + 25 , одно из которых делится на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
"Число называется "" совершенным "" , если оно равно"	сумме	всех своих делителей , не считая самого числа .
Построй углы , в	сумме	образующих развернутый угол , так , чтобы первый из них был в больше второго , а третий - больше первого .
Периметр прямоугольника равен	сумме	длин его сторон .
Точно так же в математическом предложении 28 + 36 = 64 говорится о	сумме	чисел 28 и 36 и сообщается , что эта сумма равна 64 .
Трем братьям вместе лет , а среднему и младшему в	сумме	лет .
Тот с благодарностью принял приглашение , но с условием , что свой “ рыбный ” пай возместит в	сумме	рублей .
Существуют числа , квадрат суммы которых равен	сумме	их квадратов .
Если к неизвестному числу приписать справа нуль и новое число сложить с неизвестным , то в	сумме	получится .
Найди последовательные натуральные числа такие , что сумма двух больших из этих чисел равна	сумме	трех остальных .
Точно так же для доказательства утверждения о	сумме	углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников .
В	сумме	10а + Ь первое слагаемое делится на 10 , а значит , оно делится на 2 и на 5 .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Разность между трехзначным числом и"	суммой	"его цифр всегда делится на 9 "" ."
Что произойдет с	суммой	двух чисел , если округлить : одно из слагаемых с избытком ; одно из слагаемых с недостатком ;
Найди сначала сумму чисел со знаком , затем	сумму	чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую	сумму	умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Число разделили на задуманное число , к полученному частному прибавили	сумму	умножили , а затем из полученного произведения .
Чтобы вычесть	сумму	из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную	сумму	записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Как разделить	сумму	, разность и произведение на число ?
Тетя Даша купила пакет гречки массой , а тетя Глаша купила за ту же	сумму	пакет такой же точно гречки , но расфасованной в пакеты .
Выведи из этого равенства правило умножения суммы на	сумму	.
Найди сначала	сумму	чисел со знаком , затем сумму чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
Запиши их	сумму	, разность , произведение и частное .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное число , затем нашла	сумму	его цифр и записала результат , дальше нашла сумму цифр последнего числа и записала результат .
Вычислим	сумму	, уравняв число знаков после запятой и переходя к сложению обыкновенных дробей .
Найди	сумму	длин всех его ребер и площадь полной поверхности .
К числу 3 прибавили задуманное число ,	сумму	увеличили в 5 раз и полученное произведение вычли из 70 .
Преобразуй произведение в	сумму	.
К этому числу она должна была прибавить и полученную	сумму	умножить .
Вычисли значения данных выражений , найди их	сумму	и воспользуйся указанным ключом для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
Найди	сумму	убытка .
Умножим	сумму	— и число — на произведение .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное число , затем нашла сумму его цифр и записала результат , дальше нашла	сумму	цифр последнего числа и записала результат .
Мы уже знаем , что	сумму	одинаковых слагаемых можно записать короче в виде произведения , например .
Действительно , если мы , например , делим некоторую	сумму	денег на несколько равных частей , то чем больше мы возьмем таких частей , тем больше денег нам достанется . .
Представь в виде дроби	сумму	или разность двух дробей , если значения всех переменных - натуральные числа .
Мы должны доказать , что сумма этих трех чисел , то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) , делится на З. Преобразуем полученную	сумму	, используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
Построй с помощью схемы формулу , выражающую числа а п Ь через их	сумму	с и разность р .
Вычисли	сумму	длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см .
Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой вершине и найди их	сумму	.
К задуманному числу прибавили 4 ,	сумму	увеличили в 5 раз , из результата вычли 16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное число с 9 .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную	сумму	увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Вычисляя	сумму	всех различных простых делителей некоторого шестизначного числа , в записи которого все цифры одинаковы , Степа Растеряйкин получил 70 , а Петя Угадайкин - 80 .
По аналогии с игрой “ крестики - нолики ” найди строку , столбец или диагональ , сумма чисел в которых дает выигрышную	сумму	, указанную над таблицей . .
Найди	сумму	: всех однозначных чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
Найди	сумму	чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой прямой .
Вычисли	сумму	длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Запиши	сумму	чисел без скобок и найди ответ , используя понятия доходов и расходов .
	Сумму	меньшего из данных чисел и их произведения .
Найди	сумму	.
Прочитай выражение и преобразуй его в	сумму	.
Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую	сумму	длин ребер .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их	сумму	, разность , произведение , частное ? .
Приведи к общему знаменателю дроби и найди их	сумму	.
Построй внешние углы этого четырехугольника по одному при каждой вершине и найди их	сумму	.
Найди	сумму	наибольшего и наименьшего членов этой последовательности .
Найди	сумму	чисел .
Квадрат	суммы	двух чисел равен сумме их квадратов .
Если к нему прибавить , из полученной	суммы	вычесть , а разность вычесть .
Разность	суммы	чисел и разности чисел .
Киоск , продав продукции , понес убыток от выручки (	суммы	денег , полученных от покупателей за проданный товар ) .
Сумма кубов первых п последовательных натуральных чисел равна квадрату их	суммы	.
Выполни действия наиболее простым способом : сформулируй правило вычитания	суммы	из суммы .
Выполни действия наиболее простым способом : сформулируй правило вычитания суммы из	суммы	.
Представь числа в виде	суммы	разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа .
Частное	суммы	чисел т и п и их разности .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть	суммы	окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Запиши число , представленное в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Произведение двух натуральных чисел может быть больше их	суммы	.
Делимость	суммы	и разности .
Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания числа из	суммы	и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Представь дробь в виде	суммы	разрядных слагаемых и назови число единиц каждого разряда .
Представь число 740 208 в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб	суммы	чисел .
Произведение утроенного числа и	суммы	чисел .
Придумай способ вычисления	суммы	углов четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
А из дробной части	суммы	, если она окажется больше , выделяют целую часть .
Проверь , зависит ли значение	суммы	от порядка действий .
Представь каждое из полученных чисел в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части	суммы	.
Квадрат	суммы	чисел .
Площадь четырехкомнатной квартиры составляет , площадь трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а площадь двухкомнатной составляет — от	суммы	площадей трехкомнатной и четырехкомнатной .
Чтобы вычесть число из	суммы	, можно вычесть это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Представь дробь — в виде	суммы	, разности , произведения , частного двух дробей .
Разность числа и	суммы	чисел .
Вычисли	суммы	и найди , что общего в примерах каждого столбика .
Сумма двух чисел равна 3500 , а разность составляет 12 %	суммы	.
Существуют числа , квадрат	суммы	которых равен сумме их квадратов .
Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания числа из суммы и	суммы	из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Представь в виде	суммы	разрядных слагаемых числа , используя степени числа .
Представь это число в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Исходя из правила вычитания суммы из	суммы	, докажи равенство .
Составь все возможные	суммы	из чисел и найди их значения .
Запиши число в виде	суммы	разрядных слагаемых по образцу .
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила вычитания числа из суммы и	суммы	из числа .
Представь числа в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Запиши этот пример в виде	суммы	чисел со знаками .
Число записано в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Произведение двух натуральных чисел больше их	суммы	.
Квадрат	суммы	чисел 3 и 6 равен 81 .
Запиши выражение в виде	суммы	чисел со знаками .
Исходя из правила вычитания	суммы	из суммы , докажи равенство .
Представь числа 849 , 3206 , 75 012 , 503 970 в виде	суммы	разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа 10 .
Длина стороны треугольника всегда меньше	суммы	длин двух других его сторон .
Высота параллелепипеда составляет	суммы	его длины и ширины .
Полученные числа обладают следующей особенностью : сумма кубов этих чисел равна квадрату их	суммы	.
Произведение любых двух натуральных чисел больше их	суммы	.
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила вычитания числа из	суммы	и суммы из числа .
Каждое натуральное число , кроме 1 , в два раза меньше	суммы	соседних с ним чисел .
Представим это число в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Существуют натуральных числа , квадрат	суммы	которых равен .
Первая сторона треугольника равна , вторая длиннее первой , а третья составляет ~ от	суммы	первых двух .
Помогая летом на уборке овощей , Вадим заработал , что составило	суммы	, необходимой ему для покупки гитары .
Банк начисляет по обычному вкладу доход годовых от внесенной	суммы	, а по срочному вкладу .
По свойству 2 делимости	суммы	, сумма 5637 не делится на 5 .
Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание : разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так , чтобы	суммы	очков в кучках были четырьмя последовательными простыми числами .
Число 5637 также представим в виде	суммы	: 5637 = 5630 + 7 .
Произведение	суммы	чисел и разности чисел .
Представь в виде	суммы	разрядных слагаемых число .
Оба слагаемых делятся на 5 , и , по свойству 1 делимости	суммы	, их сумма 745 делится на 5 .
Найти двузначное число , которое в два раза больше	суммы	своих цифр .
частное от деления	суммы	чисел 43 и 3 на разность чисел 140 и 117 .
Вкладчик внес в банк , дающий годовые от внесенной	суммы	.
произведение числа 13 и	суммы	чисел 27 и 91 ; .
Представь число 24 392 в виде	суммы	разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа 10 .
Длина третьего полотенца составляет —	суммы	длин первых двух .
Число 745 представим в виде	суммы	: 745 = 740 4- 5 .
Используя свойство делимости	суммы	, разности и произведения натуральных чисел , докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Запиши	суммы	чисел без скобок и найди ответ .
Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3 числа 8535 зависит от делимости на 3	суммы	остальных слагаемых , то есть 8 + 5 + 3 + 5 = 21 .
Проанализируй ответы последнего столбика и придумай правило вычисления квадрата	суммы	двух чисел .
Задуманное число увеличили , затем то же самое число увеличили и полученные	суммы	перемножили .
Определи истинность высказываний , представляя число в виде	суммы	"или разности "" удобных "" чисел ."
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из	суммы	; правило вычитания суммы из числа .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило вычитания	суммы	из числа .
Выведи из этого равенства правило умножения	суммы	на сумму .
Запиши данные	суммы	чисел со знаками и без скобок и найди ответ .
Более того , проиллюстрировать его можно в точности так же : если мы в рассмотренном примере заметим , что числа 999 , 99 и 9 делятся на 9 , то все будет зависеть от делимости на 9	суммы	цифр числа 8535 .
частное	суммы	чисел 97 и 43 и произведения чисел 5 и 4 .
произведение числа с и	суммы	чисел < 1 и 4 ; .
произведение	суммы	данных чисел и большего из них ; .
произведение	суммы	чисел си а и разности чисел и д .
Запиши примеры в виде	суммы	чисел со знаками и найди ответ .
Число 5 является делителем	суммы	98 775 + 6350 .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Одна сторона треугольника равна 16 см , вторая - на 2 дм больше первой , а третья - в 2 раза меньше	суммы	первой и второй сторон .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие	счетные	единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
"Например , в учебнике можно прочитать верное предложение "" Земля вращается вокруг Солнца "" , а в"	таблице умножения	- предложение 2 - 2 = 4 .
Результаты большинства практических измерений - и расстояний между городами , и промежутков времени , и объемов	тел	и т д - являются приближенными .
В книгах новгородских писцов упоминаются такие меры жидких	тел	: бочка , насадка и ведро .
Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического	тела	- буквой V .
Рассмотренные нами свойства деления можно сформулировать на математическом языке с помощью следующих общих утверждений -	теорем	.
Пользуясь свойствами частного (	теоремы	2 и 3 ) , реши уравнения .
Пользуясь определением окрестности , запиши в виде двойного неравенства окрестности	точек	.
Ломаной называется фигура , которая состоит из	точек	плоскости и последовательно соединяющих их отрезков таких , что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего .
Множество	точек	числового луча , удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью точки .
Прямые I и р параллельны О Прямые I и р не имеют общих	точек	.
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество	точек	X , удовлетворяющих условиям : .
удалены от	точек	С и В на расстояние 2 см ; .
Определи координаты	точек	, отмеченных на рисунке .
По расположению двух	точек	на числовом луче можно сравнивать числа : большее из двух чисел расположено правее , а меньшее — левее .
Найди цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты	точек	.
Что интересного в расположении этих	точек	? .
удалены от	точек	С и В на расстояние 3 см ; .
Какие из	точек	принадлежат сторонам треугольника ? .
Пересекающиеся прямые на плоскости не могут иметь двух общих	точек	.
Чем характеризуются координаты	точек	, принадлежащих осям координат ?
Соедини отрезками три из отмеченных	точек	так , чтобы образовался правильный треугольник .
Чем характеризуются координаты	точек	, расположенных на оси абсцисс , на оси ординат ? . .
Начерти окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом множество	точек	X , удовлетворяющих условию : .
По рисунку определи число общих	точек	окружности со следующими фигурами : .
Из	точек	, указанных ниже , выбери отдельно точки , принадлежащие оси абсцисс , и точки , принадлежащие оси ординат .
|35 11 Определи координаты	точек	А , В , С , В и Е .
Найди цену деления шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты	точек	.
Окружностью называется фигура , которая состоит из всех	точек	плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Две прямые называются параллельными , если они не имеют общих	точек	.
Где окажется	точка	через 5 секунд после выхода ?
Эта	точка	называется центром окружности .
Точно так же	точка	может ставиться при записи десятичных дробей на дисплее калькулятора или компьютера .
Так , в Англии , Америке и многих других странах вместо запятой ставится	точка	.
Эта	точка	принадлежит лучу и называется его началом . .
Начерти прямую I и отметь на ней точки А , В и С так , чтобы	точка	В лежала между точками А и С .
Как найти расстояние между двумя	точками	координатного луча ? . .
Начерти прямую I и отметь на ней точки А , В и С так , чтобы точка В лежала между	точками	А и С .
Натуральные и дробные числа можно изображать	точками	числового ( координатного ) луча .
Найди расстояние между	точками	А и В координатного луча , если .
Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя	точками	.
Чему равно расстояние между	точками	О и I ) , А и М , К и С , выраженное в единичных отрезках ?
Проведи прямую , пересекающую окружность в	точках	А и В. На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В ? .
Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под острым углом в некоторых	точках	.
Число , соответствующее некоторой	точке	числового луча , называется координатой этой точки .
Проведи окружность с центром в	точке	и радиусом .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в	точке	А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Пещера с сокровищами находится в	точке	пересечения диагоналей четырехугольника , образованного четырьмя дугами .
Начерти окружность с центром в	точке	О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условию : .
Начерти окружность с центром в	точке	О и радиусом 4 см 5 мм .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в	точке	В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
из	точки	А в точку С через точку Г .
Окружностью называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной	точки	.
Поэтому результат бегуна записывается в виде , при этом минуты и секунды разделяются , как это ни странно с	точки	зрения математической традиции , двоеточием .
Запиши	точки	в том порядке , в котором они расположены на координатной прямой , и расшифруй слова .
Нарисуй в тетради координатную прямую и отметь на ней	точки	.
Отметь на ней	точки	.
Отрезок , соединяющий две	точки	окружности , называется ее хордой .
из	точки	А в точку С через точку В ; .
Через любые две различные	точки	можно провести только одну прямую .
Значит , с	точки	зрения точности вычислений лучше заменить числом - его нижней границей , а не числом - верхней границей .
Начерти два луча ОА и ОВ , исходящие из	точки	О. На сколько частей разделил плоскость угол АОВ ‘ ?
Начерти прямую I и отметь на ней	точки	А , В и С так , чтобы точка В лежала между точками А и С .
Эти	точки	принадлежат отрезку и называются его концами .
Дугой окружности называется каждая из частей , на которые делят окружность любые две ее	точки	.
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь	точки	пересечения буквами А и В .
Множество точек числового луча , удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью	точки	.
Множество точек числового луча , удаленных от	точки	а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью точки .
Построй отрезки и найди координаты их	точки	пересечения .
Проведи диагонали этого прямоугольника и найди координаты их	точки	пересечения .
Сколькими способами можно пройти из	точки	А в точку О ?
Построй фигуру , последовательно соединив	точки	координатного угла .
находятся на расстоянии 2 см 5 мм от точки С и на расстоянии 3 см 5 мм от	точки	В .
находятся на расстоянии 2 см 5 мм от	точки	С и на расстоянии 3 см 5 мм от точки В .
Начерти отрезок СВ , равный 4 см , и построй все	точки	, которые : .
Проведи луч ВА и отрезок СП и определи координаты их	точки	пересечения .
Нарисуй координатный угол и построй	точки	А(7 ; 6 ) , В ( 1 ; 2 ) , С ( 5 ; 10 ) и В ( 15 ; 6 ) .
Определи положение движущейся	точки	в начальный момент , скорость и направление ее движения .
Движение	точки	по координатному лучу описывается формулой время в секундах .
Изобрази с помощью числового луча окрестность	точки	.
Перерисуй в тетрадь координатный луч и изобрази на нем движение	точки	.
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные	точки	соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой	точки	до начала луча .
Число , соответствующее некоторой точке числового луча , называется координатой этой	точки	.
Например , координатой	точки	Е является число , координатой А - число , координатой М - число , а координатой С - число .
Проведи прямую , пересекающую окружность в точках А и В. На каком расстоянии от центра окружности находятся	точки	А и В ? .
Отметь на координатной плоскости	точки	и построй четырехугольник .
Проведи диагонали и найди координаты их	точки	пересечения .
На числовом луче отмечены	точки	.
Перерисуй чертеж на бумагу без клеток и отметь на луче с помощью циркуля	точки	.
Из точек , указанных ниже , выбери отдельно	точки	, принадлежащие оси абсцисс , и точки , принадлежащие оси ординат .
Из точек , указанных ниже , выбери отдельно точки , принадлежащие оси абсцисс , и	точки	, принадлежащие оси ординат .
Определи координаты	точки	середины стороны треугольника .
Считать , что велосипедисты стартуют из одной	точки	и за указанное время второй велосипедист не успел догнать первого .
Начерти координатный луч и отметь на нем	точки	, выбрав удобную цену деления : . .
Точка принадлежит окрестности	точки	.
Запиши формулу зависимости переменной координаты х от времени движения I. Определи координату движущейся	точки	через 3 минуты после выхода .
Построй координатный угол и отметь в нем	точки	, координаты которых удовлетворяют данной зависимости .
Где расположены точки , удаленные от	точки	А больше , чем на 4 см , и от точки В больше , чем на 3 см ? .
Где расположены точки , удаленные от точки А больше , чем на 4 см , и от	точки	В больше , чем на 3 см ? .
Где расположены	точки	, удаленные от точки А больше , чем на 4 см , и от точки В больше , чем на 3 см ? .
Отрезок , соединяющий центр окружности с какой - либо ее	точкой	, называется радиусом окружности .
Лучом называется часть прямой , ограниченная только одной	точкой	.
Через любую	точку	плоскости можно провести прямую , перпендикулярную данной прямой , и притом только одну .
Через любую	точку	плоскости , не лежащую на / данной прямой , можно провести только одну параллельную ей прямую .
Сколькими способами можно пройти из точки А в	точку	О ?
Две прямые пересекаются , если эти прямые имеют ровно одну общую	точку	.
Через любую	точку	плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести параллельную ей прямую .
Через любую	точку	плоскости можно провести прямую , параллельную данной прямой .
из точки А в	точку	С через точку Г .
из точки А в точку С через	точку	В ; .
из точки А в точку С через	точку	Г .
из точки А в	точку	С через точку В ; .
Отметь точку А во внутренней области фигуры ,	точку	В - во внешней области , а точку С - на ее границе .
Отметь на нем	точку	А. Какими еще дробями может быть выражены равенства .
Отметь точку А во внутренней области фигуры , точку В - во внешней области , а	точку	С - на ее границе .
Отметь	точку	А во внутренней области фигуры , точку В - во внешней области , а точку С - на ее границе .
Является ли	трапецией	параллелограмм , прямоугольник , ромб , квадрат ? .
Можно ли на основании нескольких измерений распространить полученный вывод на все	трапеции	? .
Некоторые	трапеции	имеют ось симметрии . . .
Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу - как связаны между собой величины углов	трапеции	?
Перенеси рисунок равнобедренной	трапеции	по клеточкам в тетрадь .
Пусть А - множество четырехугольников , В - множество	трапеций	, С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Перечерти	трапецию	АВС Б в тетрадь и продолжи ее стороны .
Всякая	трапеция	имеет ось симметрии .
После чего проснулся	третий	.
Какое расстояние проехал мотоциклист в	третий	день ? .
В	третий	день прошли — оставшегося пути и последние .
Первый из трех множителей равен , второй составляет первого множителя , а	третий	- первого множителя .
Во второй день она унесла в 4 раза больше яблок , чем в первый , а в	третий	день - в 2 раза больше , чем во второй .
В первый день он прошел , во второй день – больше , чем в первый , а в	третий	день меньше , чем во второй .
В первый день он проехал на 80 км меньше , чем во второй день , в	третий	день - половину расстояния , пройденного за первые два дня , а в четвертый день - оставшиеся 140 км .
Какую часть торта съел	третий	Толстяк ? .
Сколько яблок унесла жар - птица за все три дня , если в	третий	день она унесла 24 яблока ? .
Первый - на 418 пассажиров , второй - на 456 пассажиров , и	третий	- на 494 пассажира .
Построй углы , в сумме образующих развернутый угол , так , чтобы первый из них был в больше второго , а	третий	- больше первого .
Сколько километров прошли лыжники в	третий	день ? .
В первый день они проехали — всего пути , во второй день , а в	третий	день - оставшиеся .
Путешественник прошел за первый день км , за второй — расстояния , пройденного в первый день , а за	третий	день 70 % этого расстояния .
Сколько мешков увез “ Митя ” в	третий	раз ? .
В	третий	год своего пребывания на острове Робинзон Крузо со своим другом Пятницей решили засеять поле прямоугольной формы .
При сортировке 120 кг составили отходы , а остальной картофель разложили в одинаковые пакеты поровну и отправили в 3 магазина : в первый - 300 пакетов , во второй - 320 пакетов и в	третий	- 340 пакетов .
Первый рабочий сделал больше тумбочек , чем второй и третий вместе , а второй рабочий — больше , чем	третий	.
Сколько килограммов картошки продал фермер в	третий	день ?
Первый рабочий сделал больше тумбочек , чем второй и	третий	вместе , а второй рабочий — больше , чем третий .
Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован , работая отдельно : первый , второй , а	третий	.
В первый день он прочитал всей книги , во второй - — остатка , а в	третий	— нового остатка и последние страниц .
Велосипедист проехал в первый час пути , во второй час ,	третий	час .
На склад в первый день привезли а т картофеля , во второй больше , чем в первый , а в	третий	день - половину того , что привезли во второй .
За эти два часа он проехал на 20 км больше , чем в	третий	час .
Ваня , Коля и Петя играли в настольный теннис “ на вылет ” , то есть в каждой партии двое играют , а	третий	ждет и в следующей партии замещает проигравшего ( ничьих не бывает ) .
Сколько километров проплыл теплоход в	третий	час ? .
В первый день он вспахал , во второй день меньше , чем в первый , а в	третий	день ему помог сын и они вместе вспахали больше , чем во второй день .
Первый класс использует в среднем 1 кусок мела в 2 дня , второй класс - 1 кусок мела в день , а	третий	и четвертый классы - по 2 куска мела в день .
Данные числа обозначим буквами а и b ,	третье	число - буквой с.
Для доказательства обозначим первые два числа буквами а и b , а	третье	число - буквой с. Так как а , по условию , делится на с , то а = ск .
"В данном свойстве действуют три "" персонажа "" : два числа - сомножители и некоторое"	третье	число .
Первые два числа обозначим буквами а и Ь , а	третье	число - буквой с .
Итак , мы видим , что	третье	правило решения задач на дроби сохраняется , но теперь дробь , полученную в результате , мы можем упростить по изученным правилам преобразования дробей .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то и первое число делится на	третье	.
Если первое число делится на второе , а второе делится на	третье	, то и первое число делится на третье .
Обозначим первое , второе и	третье	числа буквами а , b и с. По условию а делится на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое натуральное число .
Масса четвертого мешка составила половину массы первого и	третьего	мешков вместе .
К костру пригласили	третьего	рыбака , который не поймал ни одной рыбки .
А весь путь был больше пути	третьего	дня .
Обозначим число жителей первого района х , второго района - у , а	третьего	района - г. Тогда по условию .
числа жильцов второго дома и — числа жильцов	третьего	дома .
Сколько человек живет в каждом районе , если известно , что числа жителей первого района равны — числа жителей второго района и — числа жителей	третьего	района ? .
Какую часть длина	третьего	полотенца составляет от длины второго ? .
Длина	третьего	полотенца составляет — суммы длин первых двух .
Чему равна длина	третьего	куска ?
Результат	третьего	действия уменьшить в 376 раз .
Из результата второго действия вычесть результат	третьего	действия .
Картофель , собранный с	третьего	поля , развезли поровну в 4 овощехранилища .
Прочитай высказывания	третьего	столбика разными способами .
Найди длину	третьей	стороны и вырази ее в метрах .
С помощью первой трубы бассейн можно наполнить , с помощью второй трубы , а с помощью	третьей	трубы вся вода из бассейна может вылиться .
В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу , в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3 , числа второй строки - на 5 , числа	третьей	строки - на 7 и т д , а числа первого столбца увеличивались на 3 : . .
Первая комната по площади в 2 раза меньше второй , а вторая - на 3 м2 больше	третьей	.
В первой коробке в 4 раза меньше карандашей , чем во второй , и в 5 раз меньше , чем в	третьей	.
книг , что составляет книг , стоящих на второй полке , и 80 % книг , стоящих на	третьей	полке .
Найди длину	третьей	стороны .
Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше	третьей	стороны , а четвертая сторона на 4 см больше первой стороны .
В трех вазах 27 цветков , причем во второй вазе цветков в 5 раз больше , а в	третьей	вазе - в 3 раза больше , чем в первой .
Какую часть всего урожая составляют яблоки , собранные с	третьей	яблони ? .
Чему равна длина	третьей	стороны ? .
С одной пальмы она собрала х штук бананов , со второй - в 2 раза больше , чем с первой , а с	третьей	- на 25 штук больше , чем со второй .
С первой собрал , со второй больше , чем с первой , с	третьей	больше , чем с первых двух вместе , а с четвертой меньше , чем с третьей .
В игре “ Пойми меня ” команда “ Веселые ребята ” в первой части игры заработала очков , что составило числа очков , заработанных во второй части , и числа очков , заработанных в	третьей	части .
С первой собрал , со второй больше , чем с первой , с третьей больше , чем с первых двух вместе , а с четвертой меньше , чем с	третьей	.
Одна швея может выполнить весь заказ , второй для выполнения заказа требуется — этого времени , а	третьей	больше времени , чем второй .
Команда “ Кактус ” в	третьей	части заработала столько же очков , сколько и их соперники , во второй части - меньше очков , чем соперники , зато в первой части - больше , чем они .
Две прямые на плоскости , параллельные	третьей	, параллельны друг ДРУГУ .
С какой яблони собрали больше яблок - со второй или с	третьей	, и на сколько ?
Во втором отделении выступило в 3 раза меньше участников , чем в первом , а в	третьем	отделении - на 5 участников больше , чем во втором .
В первом мешке было 52 кг картошки , что на 4 кг меньше , чем во втором мешке , но на 4 кг больше , чем в	третьем	.
Приходим к тому же ответу : в первом районе жителей , во втором - жителей , а в	третьем	жителей .
Тогда в первом районе проживает человек , во втором районе - человек , а в	третьем	- человек .
Во втором поселке вдвое больше жителей , чем в первом , а в	третьем	жителей меньше , чем во втором .
В	третьем	классе учится в 2 раза меньше учеников , чем в первом и втором классах вместе .
В	третьем	примере надо найти хотя бы одного человека ростом выше 2 м 20 см , а в последнем - хотя бы один несъедобный гриб .
Число квартир в первом доме составляет — числа квартир во втором доме и — числа квартир в	третьем	доме .
Одному покупателю она продала половину того , что имела , и еще пол - яйца , второму - половину того , что у нее осталось , и еще пол - яйца ,	третьему	- половину нового остатка и еще пол - яйца , наконец , четвертому половину того , что осталось от прежней торговли , и еще пол - яйца .
На сколько метров материи больше продано	третьему	покупателю , чем первому ? .
Фермер продал картофель трем покупателям : первому — часть всего картофеля , второму — остатка , а	третьему	— нового остатка и последние кг .
Сколько метров материи продано	третьему	покупателю ?
Сколько коробок мела потребуется начальной школе на месяц ( 20 учебных дней ) , если в ней 4 первых , 3 вторых , 3	третьих	и 2 четвертых класса ? . .
Позднее всех пришел старший сын и съел сливы -	третью	часть слив , которые он увидел на тарелке .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби : удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее	третью	часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
Надя собрала	третью	часть того , что собрали вместе Таня и Света .
Зачеркни	третью	и седьмую буквы .
Поэтому он отсчитал	третью	часть оставшихся картофелин , съел их и заснул .
Думая , что его братья не ели слив , он съел	третью	часть того , что было на тарелке , и тоже ушел гулять .
Увидев на тарелке сливы , он съел	третью	часть и ушел гулять .
Проснулся один крестьянин , съел	третью	часть картофелин и снова заснул .
Полагая , что он проснулся первый , он тоже взял с тарелки только	третью	часть .
Вторую степень называют квадратом , а	третью	- кубом числа а .
Вторая и	третья	степени числа а имеют специальное название .
Одна сторона четырехугольника равна 7 м , вторая - на 5 дм больше первой , а	третья	- в 3 раза меньше второй .
Одна сторона треугольника равна 16 см , вторая - на 2 дм больше первой , а	третья	- в 2 раза меньше суммы первой и второй сторон .
Три тыквы вместе весят , при этом вторая тыква тяжелее первой , а	третья	- тяжелее второй .
Какой номер будет иметь в этом отеле тридцать пятая комната на этаже ,	третья	на этаже , седьмая на этаже ? .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а	третья	- 25 % длины первой стороны .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых ,	третья	- число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Одна сторона треугольника равна , вторая длиннее первой , а	третья	- короче второй .
"Считать нужно подряд и куклы , и машинки , например , "" Первая кукла , первая машинка , вторая кукла ,"	третья	"кукла , вторая машинка "" и т ."
Одна из труб может заполнить его , вторая , а	третья	.
Вторая девица спряла в 2 раза больше пряжи , чем первая , а	третья	- в 3 раза больше , чем первая .
Первая сторона треугольника равна , вторая длиннее первой , а	третья	составляет ~ от суммы первых двух .
Любой прямоугольный	треугольник	имеет ось симметрии .
Всякий ли	треугольник	является равносторонним ?
Соедини отрезками три из отмеченных точек так , чтобы образовался правильный	треугольник	.
Построй	треугольник	по координатам его вершин .
Является ли равносторонний	треугольник	равнобедренным ? .
Сколько внешних углов имеет	треугольник	АВС при вершинах В и С ?
Начерти прямоугольный	треугольник	.
Начерти равносторонний	треугольник	и соедини отрезками середины его сторон .
Начерти прямоугольный	треугольник	и проведи окружность , диаметром которой является его гипотенуза .
Является ли равнобедренный	треугольник	равносторонним ?
Пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построй на листе без клеток правильный : шестиугольник ;	треугольник	; четырехугольник ; пятиугольник .
Какой	треугольник	называют прямоугольным ?
Начерти	треугольник	АВС и построй его внешний угол при вершине А. Сколько решений имеет эта задача ?
"Слово """	треугольник	""" состоит из 11 различных букв русского языка ."
Одна сторона	треугольника	равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а третья - 25 % длины первой стороны .
Найди периметр этого	треугольника	и вырази его в дециметрах .
Чему равен периметр	треугольника	? .
Периметр	треугольника	равен .
Первая сторона	треугольника	равна , вторая длиннее первой , а третья составляет ~ от суммы первых двух .
Исходя из того , что сумма углов	треугольника	равна , вычисли величину угла правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Периметр	треугольника	.
Измерь внешние углы	треугольника	АВС по одному при каждой вершине и найди их сумму .
Одна сторона	треугольника	равна 16 см , вторая - на 2 дм больше первой , а третья - в 2 раза меньше суммы первой и второй сторон .
Найди периметр	треугольника	.
Измерь углы между радиусами , соединяющими центр окружности с вершинами	треугольника	.
Определи координаты точки середины стороны	треугольника	.
Если трехзначное число записано с помощью одной цифры , то оно делится ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного	треугольника	?
Измерь стороны	треугольника	и определи , является ли он равносторонним ?
Одна сторона	треугольника	равна , вторая длиннее первой , а третья - короче второй .
Как называются стороны прямоугольного	треугольника	?
Построй с помощью циркуля и линейки три равнобедренных	треугольника	и измерь транспортиром их углы .
Точно так же для доказательства утверждения о сумме углов	треугольника	недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников .
Длина стороны	треугольника	всегда меньше суммы длин двух других его сторон .
Известно , что сумма углов	треугольника	равна .
Какие из точек принадлежат сторонам	треугольника	? .
Все прямоугольные	треугольники	являются равнобедренными .
Некоторые прямоугольные	треугольники	имеют ось симметрии .
Существуют равнобедренные прямоугольные	треугольники	.
Укажи все равносторонние	треугольники	на рисунке : .
Некоторые фигуры на чертеже -	треугольники	.
8 красивее Т < = > так , чтобы одна часть полностью наложилась на другую ( 8 и Т -	треугольники	) .
Все фигуры на чертеже -	треугольники	.
Точно так же для доказательства утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона	треугольников	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних	треугольников	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех	треугольников	, В - множество равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних треугольников .
Измерь транспортиром углы	треугольников	АМК и ВМК .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С , где А - множество всех треугольников , В - множество равнобедренных	треугольников	и С - множество равносторонних треугольников .
Повтори эксперимент еще для двух произвольных	треугольников	.
множество	треугольников	; .
Начерти несколько равносторонних	треугольников	и измерь их углы .
Проверь , что значения выражения п2 + п + 41 (	трехчлен	Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются простыми числами .
Любой острый угол меньше любого	тупого	угла .
Любой острый угол меньше любого	тупого угла	.
"Угол называется острым , если он меньше 90 "" , а"	тупым	", если он больше 90 "" , но меньше 180 ° ."
Сколько на рисунке прямых , острых ,	тупых	углов ?
Сколько на рисунке прямых , острых ,	тупых углов	?
Построй формулу зависимости величины	угла	правильного многоугольника от числа его сторон .
Лучи , образующие угол , называются сторонами угла , а их общее начало - вершиной	угла	.
Лучи , образующие угол , называются сторонами	угла	, а их общее начало - вершиной угла .
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли величину	угла	правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Начерти два смежных	угла	.
Найди путь , ведущий от левого верхнего	угла	в нижний правый так , чтобы получилось число , записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными , если они образуют четыре прямых	угла	.
Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину	угла	, образованного биссектрисами .
Построй фигуру , последовательно соединив точки координатного	угла	.
Соедини отрезком вершину прямого	угла	с серединой гипотенузы .
Два	угла	называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются дополнительными лучами .
Два	угла	называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого .
Какую часть развернутого	угла	составляет угол ?
Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный путь конем из верхнего левого	угла	в нижний правый угол ( первый ход показан на рисунке ) .
Градус - это угол , равный 777 ; части развернутого	угла	.
Любой острый угол меньше любого тупого	угла	.
Найди величины	углов	.
Известно , что сумма	углов	треугольника равна .
Сформулируй гипотезу о свойстве	углов	ромба и проверь ее для построенных ромбов с помощью измерений .
Какие из	углов	, образовавшихся на чертеже , могут быть равны ?
Точно так же для доказательства утверждения о сумме	углов	треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников .
Сколько	углов	достаточно измерить ? . .
Среди образовавшихся	углов	найди : вертикальные углы ; смежные углы .
Построй с помощью транспортира биссектрисы этих	углов	и измерь величину угла , образованного биссектрисами .
Придумай способ вычисления суммы	углов	четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Понаблюдай , как связаны между собой величины накрест лежащих	углов	( внутренних и внешних ) ?
Сколько внешних	углов	имеет треугольник АВС при вершинах В и С ?
Назови все пары вертикальных и смежных	углов	.
Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу - как связаны между собой величины	углов	трапеции ?
Сумма смежных	углов	равна 180 .
Пользуясь определением смежных	углов	, докажи , что углы 1 и 2 на рисунках не являются смежными .
Исходя из того , что сумма	углов	треугольника равна , вычисли величину угла правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Сколько на рисунке прямых , острых , тупых	углов	?
Измерь транспортиром один из образовавшихся	углов	.
Как связаны между собой величины односторонних	углов	( внутренних и внешних ) ?
Какие свойства сторон и	углов	параллелограмма ты наблюдаешь ?
Исходя из результатов исследования данной фигуры , проведенного , сделай предположения относительно величин остальных	углов	и проверь их с помощью измерений .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным	углом	.
Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и СР и прямую КЬ , пересекающую их под острым	углом	в некоторых точках .
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным	углом	.
Измерь стороны и	углы	четырехугольника и установи как можно больше его свойств .
Прямоугольником называется четырехугольник , у которого все	углы	прямые .
Многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все	углы	равны .
Вертикальные	углы	равны .
Построй	углы	, в сумме образующих развернутый угол , так , чтобы первый из них был в больше второго , а третий - больше первого .
Построй с помощью транспортира смежные	углы	, если известно , что : .
Достаточно ли для ее доказательства измерить стороны и	углы	нескольких параллелограммов ?
Есть ли на этих рисунках вертикальные	углы	? .
Пользуясь определением смежных углов , докажи , что	углы	1 и 2 на рисунках не являются смежными .
Построй с помощью циркуля и линейки три равнобедренных треугольника и измерь транспортиром их	углы	.
Среди образовавшихся углов найди : вертикальные	углы	; смежные углы .
Есть ли еще внутренние и внешние накрест лежащие	углы	на этом чертеже ? .
Измерь внешние	углы	треугольника АВС по одному при каждой вершине и найди их сумму .
Сравни внешние	углы	при каждой вершине и сформулируй гипотезу .
Начерти несколько равносторонних треугольников и измерь их	углы	.
Измерь транспортиром	углы	треугольников АМК и ВМК .
Измерь ее стороны ,	углы	, диагонали и перечисли как можно больше ее свойств .
Среди образовавшихся углов найди : вертикальные углы ; смежные	углы	.
Построй правильный шестиугольник и измерь его	углы	.
Построй внешние	углы	этого четырехугольника по одному при каждой вершине и найди их сумму .
Измерь с помощью транспортира	углы	, образованные этими отрезком и лучом .
Многоугольник , у которого все стороны и все	углы	равны , называется правильным .
Есть ли еще внутренние и внешние односторонние	углы	на этом чертеже ? .
Точно так же для доказательства утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить	углы	даже миллиона треугольников .
Измерь	углы	между радиусами , соединяющими центр окружности с вершинами треугольника .
Измерь	углы	и определи число учащихся в каждой из выделенных групп , если всего в школе учатся 1400 детей .
Любой острый	угол	меньше любого тупого угла .
Начерти треугольник АВС и построй его внешний	угол	при вершине А. Сколько решений имеет эта задача ?
Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный путь конем из верхнего левого угла в нижний правый	угол	( первый ход показан на рисунке ) .
Лучи , образующие	угол	, называются сторонами угла , а их общее начало - вершиной угла .
Все фигуры на чертеже имеют хотя бы один прямой	угол	.
Градус - это	угол	, равный 777 ; части развернутого угла .
Начерти два луча ОА и ОВ , исходящие из точки О. На сколько частей разделил плоскость	угол	АОВ ‘ ?
Нарисуй координатный	угол	и построй точки А(7 ; 6 ) , В ( 1 ; 2 ) , С ( 5 ; 10 ) и В ( 15 ; 6 ) .
Построй углы , в сумме образующих развернутый	угол	, так , чтобы первый из них был в больше второго , а третий - больше первого .
Какую часть развернутого угла составляет	угол	?
Построй центральный	угол	, равный .
Построй координатный	угол	и отметь в нем точки , координаты которых удовлетворяют данной зависимости .
Сформулируй гипотезу о числе диагоналей у	угольника	, проверь ее и попробуй обосновать .
	Угольника	меньше ширины первого прямоугольника ? .
Пользуясь установленной закономерностью , найди число диагоналей	угольника	.
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ;	уменьшаемое	с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ;	уменьшаемое	с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ;	уменьшаемое	и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить :	уменьшаемое	с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ;	уменьшаемое	и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Чтобы разделить разность на число , отличное от нуля , можно разделить на это число	уменьшаемое	и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число	уменьшаемое	и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
Если дробные части “ не вычитаются ” ( в	уменьшаемом	дробная часть меньше , чем в вычитаемом ) , то из целой части уменьшаемого можно “ занять ” единицу .
Сколько раз	уменьшали	число и на сколько уменьшили всего ?
Натуральные числа можно не только складывать и	умножать	, но и вычитать и делить .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и умеют их складывать и вычитать , а “	умножают	” их по бусирскому правилу .
При этом два действия - деление на знаменатель дроби , а затем	умножение	на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь .
сложение ,	умножение	и вычитание ; .
Попробуй , используя данное определение и свойства действий с натуральными числами , самостоятельно доказать , что	умножение	дробей обладает переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем	умножение	и деление , и после этого - сложение и вычитание .
Замени	умножение	делением и вычисли .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают	умножение	десятичных дробей , как и натуральных чисел .
Мы видим , что	умножение	данных десятичных дробей свелось к умножению натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
деление , сложение и	умножение	; .
Выполни	умножение	.
Докажи , что бусирское	умножение	обладает переместительным свойством .
При этом два действия - деление на числитель дроби , а затем	умножение	на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь .
Выполни	умножение	и упрости полученные выражения .
	Умножение	, вычитание и деление ; .
Итак , мы видим , что для деления на дробь можно произвести	умножение	на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Но здесь мы будем исходить не из практической задачи , а из связи деления с	умножением	.
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути ,	умножением	числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
При этом два действия - деление на знаменатель дроби , а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием -	умножением	на дробь .
Замени деление	умножением	и вычисли .
"Другими словами , для проверки этого утверждения надо указать "" второй сомножитель "" числа 3 - в данном случае 9 - такой , чтобы при"	умножении	его на 3 получилось 27 .
По определению деления натуральных чисел разделить число на число — это значит найти такое число , которое при	умножении	дает .
Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел , при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при	умножении	на 3 - точный куб .
Какое число обладает свойством единицы ( при обычном	умножении	) ?
Не меняется частное и при	умножении	числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число .
Действительно , если при таком “ перекрестном ”	умножении	числителей и знаменателей полученные произведения оказались равными , то это означает , что ни одна из дробей не больше и не меньше другой , а значит , дроби равны .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при	умножении	делимого и делителя на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Заметим , что при	умножении	числа оно уменьшается соответственно , а при делении - увеличивается .
Витя нашел такое двузначное натуральное число , при	умножении	которого получается точный квадрат , а при умножении - точный куб .
Поэтому при	умножении	десятичной дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на разряд вправо .
Итак , при	умножении	смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при	умножении	десятичной дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при делении разряда влево .
Витя нашел такое двузначное натуральное число , при умножении которого получается точный квадрат , а при	умножении	- точный куб .
При	умножении	смешанного числа на натуральное используется распределительное свойство умножения , например .
Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел , при	умножении	которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный куб .
Самое интересное и полезное для нас в полученном результате — это то , что деление дробей сводится к их	умножению	.
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к	умножению	натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и	умножению	соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
Деление - действие , обратное	умножению	.
Мы видим , что умножение данных десятичных дробей свелось к	умножению	натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным	умножению	на это число : делимое равняется произведению делителя и частного .
Дополнительные свойства	умножения	и деления .
Чтобы получить в левой части последнего равенства дробь , умножим обе его части на — и воспользуемся распределительным свойством	умножения	.
"Например , в учебнике можно прочитать верное предложение "" Земля вращается вокруг Солнца "" , а в таблице"	умножения	- предложение 2 - 2 = 4 .
Выполни действия , пользуясь свойствами сложения и	умножения	.
Результат проверь с помощью	умножения	.
Пользуясь распределительным свойством	умножения	, упрости выражение и найди его значение .
Переведи с математического языка на русский равенства , выражающие свойства сложения и	умножения	.
При делении дроби на натуральное число , как и в случае	умножения	дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
"В каких из следующих выражений можно "" сэкономить "" на знаках"	умножения	?
Выполни деление , результат проверь с помощью	умножения	.
Правило	умножения	дробей позволяет также перемножать дробь и натуральное число .
При умножении смешанного числа на натуральное используется распределительное свойство	умножения	, например .
Пользуясь распределительным свойством	умножения	, упрости выражение и найди .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило	умножения	дробей .
Вычисли устно , используя законы	умножения	.
Эти равенства можно обосновать , опираясь на частные случаи	умножения	натуральных чисел .
На основании переместительного и сочетательного свойств	умножения	имеем .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства	умножения	и деления ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Вторая задача свелась к решению уравнения нового для нас вида , но изученное ранее распределительное свойство	умножения	помогло быстро найти ответ .
Выведи из этого равенства правило	умножения	суммы на сумму .
В трех последних выражениях стоит знак	умножения	, но принято писать проще .
Если одно число больше другого , то после	умножения	их обоих на одно и то же натуральное число неравенство между ними сохранится .
Пользуясь свойствами сложения и	умножения	, упростим левую часть уравнения , а затем найдем искомое значение .
Не выполняя	умножения	чисел , сравни .
После	умножения	все дроби превращаются в натуральные числа , и теперь нам надо выяснить , что больше .
Поэтому можно ожидать , что и для десятичных дробей правила	умножения	и деления не будут сложными .
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Запиши в тетрадь буквенные равенства , выражающие свойства сложения и	умножения	: переместительное , сочетательное , распределительное - и объясни их смысл .
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство	умножения	; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
И вообще , алгоритм	умножения	десятичных дробей можно записать так : .
Установим правило	умножения	конечных десятичных дробей , используя , как и ранее , переход к обыкновенным дробям .
Результат	умножения	любого числа на 0равен нулю .
Запиши с помощью букв переместительное , сочетательное и распределительное свойства	умножения	.
Действия сложения и	умножения	натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство	умножения	; распределительное свойство умножения относительно сложения .
В отличие от сложения и	умножения	, вычитание и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Используя распределительное свойство	умножения	, найди одну пару , удовлетворяющих равенству .
Результат	умножения	числа на 0равен нулю .
Верно ли , что стоимость товара равна производительности ,	умноженной	на время ?
Найдем сначала часть маршрута , разделив , а затем узнаем весь маршрут ,	умножив	полученное число .
Задумали число , увеличили его на 9 , результат	умножили	на 6 и получили 282 .
Число разделили на задуманное число , к полученному частному прибавили сумму	умножили	, а затем из полученного произведения .
Для этого	умножим	обе его части на наименьший общий знаменатель исходных дробей – число .
Следовательно , если мы	умножим	и числитель , и знаменатель этой дроби , то оба они станут целыми , а дробь при этом не изменится .
Чтобы получить в левой части последнего равенства дробь ,	умножим	обе его части на — и воспользуемся распределительным свойством умножения .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ;	умножить	числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Сформулируй гипотезу о том , как	умножить	степени с одинаковыми основаниями ат • сГ , и запиши ее в буквенном виде .
Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое	умножить	на дробь , обратную делителю .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму	умножить	на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Если взять любое число из этой таблицы ,	умножить	его на 2 и к произведению прибавить 1 , то всегда получится составное число .
Значит , при делении дроби на натуральное число можно	умножить	на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
"По правилу "" весов "" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить ,"	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на числитель дроби и	умножить	на ее знаменатель .
Как	умножить	дробь на натуральное число ?
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , можно это число	умножить	на данную дробь .
Это равенство не нарушится , если обе его части	умножить	на число с , то есть ас = ( Ьк)с .
Например , чтобы сравнить дроби , можно числитель и знаменатель дроби —	умножить	на число .
Чтобы найти число жителей остальных двух районов , надо	умножить	соответственно на .
Итак , при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно	умножить	на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Чтобы умножить разность на число , можно	умножить	на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
Число	умножить	на результат действия .
Если задуманное число	умножить	на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Полученную разность	умножить	на 309 .
На какое число надо	умножить	, чтобы получить тот же результат , что и при делении ? .
К этому числу она должна была прибавить и полученную сумму	умножить	.
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель	умножить	на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
"Реши уравнения , используя правило "" весов "" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить ,"	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы	умножить	разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это число разделить на знаменатель дроби и	умножить	на ее числитель .
Реши	уравнение	и сделай проверку .
Получим	уравнение	, равносильное данному , но записанное уже только с использованием целых чисел .
Перепиши	уравнение	и подчеркни слагаемые , содержащие множитель .
Реши	уравнение	по образцу и сделай проверку .
Решить	уравнение	.
Реши	уравнение	.
Упрости	уравнение	, а затем найди его корень .
Составь и реши	уравнение	.
Перейдем в данном	уравнении	от дробных чисел к целым .
Используя знак равносильности , запиши решения	уравнений	.
Найди корни	уравнений	"с помощью правила "" весов ” ."
Найди корни	уравнений	"с помощью правила "" весов "" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
На решение	уравнения	ушло .
Какая часть урока была занята решением	уравнения	? .
Пользуясь свойствами частного ( теоремы 2 и 3 ) , реши	уравнения	.
"Реши уравнения , используя правило "" весов "" : обе части"	уравнения	можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Умножим обе части	уравнения	на число - наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей , входящих в его запись .
Пользуясь свойствами частного , реши	уравнения	.
Реши	уравнения	с комментированием .
Таким образом , на решение	уравнения	затрачено — урока .
корней	уравнения	х : 7 = 8 ; .
Реши	уравнения	.
Вторая задача свелась к решению	уравнения	нового для нас вида , но изученное ранее распределительное свойство умножения помогло быстро найти ответ .
Итак , при решении составных задач на дроби , кроме основных правил , рассмотренных в предыдущих пунктах , на помощь могут прийти схемы , таблицы , числовые и буквенные выражения ,	уравнения	.
Пользуясь свойствами сложения и умножения , упростим левую часть	уравнения	, а затем найдем искомое значение .
"Полученная цепочка "" равносильностей "" есть , как мы видим , просто запись решения"	уравнения	( 2х - 3 ) : 5 + 3 = 6 .
Реши	уравнения	", используя правило "" весов "" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ."
Найди натуральные корни	уравнения	методом проб и ошибок .
Реши	уравнения	, используя переход к натуральным числам .
Реши	уравнения	с комментированием и сделай проверку .
"По правилу "" весов "" , известному из начальной школы , обе части"	уравнения	можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Реши	уравнения	и расшифруй название известной книги .
Ясно , что в левой части	уравнения	нужно вынести х за скобки и выполнить сложение и вычитание получившихся чисел .
Реши	уравнения	и сделай проверку .
Реши	уравнения	: множество значений переменной , при которых одновременно дробь — будет правильной , а дробь — неправильной .
Реши примеры и	уравнения	.
Реши	уравнения	методом проб и ошибок , если .
Среди	фигур	", расположенных справа , найди "" лишнюю "" фигуру ."
Запиши с помощью дробей , какие части	фигур	закрашены .
Подумай , какие из	фигур	, изображенных на рисунке , являются развертками поверхности этого куба .
Запиши выражения для периметра	фигур	, изображенных на рисунке : .
Покажи , как разделить фигуру на равных по площади	фигур	шестью отрезками . .
Найди площадь	фигур	.
У какой из двух	фигур	площадь поверхности больше и на сколько ? . .
Что общего у всех	фигур	на рисунке ?
Какие из	фигур	на рисунке являются развертками прямоугольного параллелепипеда ? .
Используя все 7 частей , на которые разделен квадрат в № 671 , составь силуэты нарисованных	фигур	: домика , курицы и кошки .
На какие непересекающиеся подмножества ( части ) можно разбить множество	фигур	на рисунке ?
Составь фигуры А , В и С из пяти четырехклеточных	фигур	, расположенных справа .
Закрась части	фигур	, соответствующие указанным дробям .
Площадь геометрических	фигур	чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
Какими еще дробями можно выразить закрашенные части	фигур	?
Раздели фигуру на равных по площади	фигур	.
Какая	фигура	лишняя ?
Какая	фигура	изображена на рисунке ?
Углом называется геометрическая	фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
Какая	фигура	получилась ? .
Окружностью называется	фигура	, которая состоит из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Каждая	фигура	на чертеже является квадратом .
Как называется полученная	фигура	?
Каждая	фигура	на рисунке имеет ось симметрии .
Ломаной называется	фигура	, которая состоит из точек плоскости и последовательно соединяющих их отрезков таких , что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего .
Что общего между	фигурами	ромб и квадрат и чем они различаются ? .
По рисунку определи число общих точек окружности со следующими	фигурами	: .
Построй	фигуру	, последовательно соединив точки координатного угла .
"Среди фигур , расположенных справа , найди "" лишнюю """	фигуру	.
Нарисуй в тетради по клеточкам	фигуру	А и прямую I. Построй фигуру , симметричную А относительно I .
Раздели	фигуру	на равных по площади фигур .
Покажи , как разделить	фигуру	на равных по площади фигур шестью отрезками . .
Нарисуй в тетради по клеточкам фигуру А и прямую I. Построй	фигуру	, симметричную А относительно I .
Все	фигуры	, изображенные на рисунке , можно начертить , не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одной линии дважды .
Запиши выражения для периметра и площади	фигуры	, изображенной на рисунке : .
Как можно назвать все оставшиеся	фигуры	?
Продолжи ряд на две	фигуры	, сохраняя закономерность .
Найди	фигуры	, для которых прямая I является осью симметрии .
Найди площадь закрашенной	фигуры	.
Перерисуй	фигуры	А и В в тетрадь и разбей их на части , из которых составлен прямоугольник : .
Перерисуй	фигуры	в тетрадь .
Какие еще пространственные геометрические	фигуры	ты знаешь ? . .
Отметь точку А во внутренней области	фигуры	, точку В - во внешней области , а точку С - на ее границе .
Все	фигуры	па чертеже - многоугольники .
Запиши выражение для площади	фигуры	, закрашенной на рисунке : . .
Все	фигуры	на чертеже имеют хотя бы один прямой угол .
Некоторые	фигуры	на чертеже - треугольники .
Исходя из результатов исследования данной	фигуры	, проведенного , сделай предположения относительно величин остальных углов и проверь их с помощью измерений .
Составь	фигуры	А , В и С из пяти четырехклеточных фигур , расположенных справа .
( Одинаковые	фигуры	соответствуют одинаковым цифрам . )
Решение нарисуй в тетради , раскрасив	фигуры	цветными карандашами .
Все	фигуры	на чертеже - треугольники .
Вычисли площадь	фигуры	, вырази ее в квадратных сантиметрах и округли .
Расположи ответы примеров в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй название геометрической	фигуры	.
Математический	фокус	.
Общий	характер	высказывания выражается словами любой , каждый , все , всегда и т п. Например : .
Диаметром окружности называется	хорда	, проходящая через центр этой окружности .
Отрезок , соединяющий две точки окружности , называется ее	хордой	.
Измерь длину	хорды	.
В нашем примере : знаменатель дробной части ,	целая	часть , числитель дробной части .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой ,	целая	часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Если же	целая	часть конечной десятичной дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь .
Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой ,	целая	часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Если целые части десятичных дробей различны , то больше та дробь , у которой больше	целая	часть .
Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби ( простой или смешанной ) , например :	целая	часть дробная часть .
Действительно , если	целая	часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
При этом	целая	часть десятичной дроби отделяется от дробной части запятой .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой ,	целая	часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Сколько получилось кусков , какой объем каждого куска ( в долях	целого	) и какие куски оказались на тарелке у каждого гостя , если сама Наташа рулет не ест ? .
Разделив некоторое	целое	число на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
Основное свойство дроби показывает , что всякое	целое	или дробное число можно записать в виде дроби бесконечным числом способов , например .
Вторая запись при этом называется смешанным числом ( или смешанной дробью ) — “	целое	число и дробь ” .
Вторая запись при этом называется смешанным числом ( или смешанной дробью ) — “	целое число	и дробь ” .
Разделив некоторое	целое число	на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
Выполнить деление	целой	чисти .
При этом , когда деление	целой	части закончится , продолжим делить последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном запятую .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из	целой	части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Если дробные части “ не вычитаются ” ( в уменьшаемом дробная часть меньше , чем в вычитаемом ) , то из	целой	части уменьшаемого можно “ занять ” единицу .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к	целой	части суммы .
Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж , чтобы и переднее и заднее колесо сделали по	целому	числу оборотов ?
Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж , чтобы и переднее и заднее колесо сделали по	целому числу	оборотов ?
В ответе дробь обычно приводят к несократимому виду , а из неправильной дроби выделяют	целую	часть .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X ,	целую	часть и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X ,	целую	часть и расположи полученные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает	целую	часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
На контрольной работе Саша выделил	целую	часть из дроби и получил .
Выдели	целую	часть из неправильных дробей и расположи полученные смешанные числа в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Итак , при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его	целую	и дробную части и полученные результаты сложить .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на	целую	часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Сократи дробь и выдели из нее	целую	часть .
Однако при делении смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно	целую	и дробную части , например : .
Из полученной неправильной дроби выдели	целую	часть и проиллюстрируй это преобразование с помощью числового луча .
Запиши частное в виде дроби и выдели из нее	целую	часть .
Выделить	целую	часть дроби и записать ее ( если она есть ) .
Выдели	целую	часть из дробей халвы , разложили поровну в коробки .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее	целую	часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
А из дробной части суммы , если она окажется больше , выделяют	целую	часть .
Таким образом , десятичная запись числа указывает как его	целую	часть , так и числитель и знаменатель дробной части .
Выдели	целую	часть числа .
Выдели из дробей	целую	часть .
Выдели	целую	часть из дробей .
Поставить запятую , отделяющую	целую	часть от дробной .
Федя стал перемножать смешанные числа “ по аналогии ” со сложением - отдельно перемножать их	целые	и дробные части .
Если	целые	части десятичных дробей одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой ( в направлении слева направо ) .
Из начальной школы нам известно , что при сложении смешанных чисел можно сначала сложить	целые	части , а затем - дробные части .
Данные десятичные дроби имеют различные	целые	части , причем .
Разделим сначала	целые	единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если десятичных знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно	целые	и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно	целые	и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Если	целые	части десятичных дробей различны , то больше та дробь , у которой больше целая часть .
Перейдем в данном уравнении от дробных чисел к	целым	.
Следовательно , если мы умножим и числитель , и знаменатель этой дроби , то оба они станут	целыми	, а дробь при этом не изменится .
Запиши число “	целых	десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами , а затем в виде десятичной дроби тремя различными способами .
Таким образом , читают десятичные дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа	целых	единиц ( даже если их “ ноль ” ) .
Получим уравнение , равносильное данному , но записанное уже только с использованием	целых	чисел .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль	целых	” , например . .
Итак , будем делить сначала	целых	, а затем последовательно десятых , сотых , тысячных .
Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно	целых	частей и дробных частей .
Сделай прикидку , округлив до	целых	, а затем найди точное значение выражения .
В этой задаче у нас	целых	"четыре "" персонажа ” : два числа , частное от деления одного из них на ."
Так , число содержит	целых	единиц , десятых , сотых и тысячных .
Получим уравнение , равносильное данному , но записанное уже только с использованием	целых чисел	.
Диаметром окружности называется хорда , проходящая через	центр	этой окружности .
Отрезок , соединяющий	центр	окружности с какой - либо ее точкой , называется радиусом окружности .
Измерь углы между радиусами , соединяющими	центр	окружности с вершинами треугольника .
Проведи прямую , пересекающую окружность в точках А и В. На каком расстоянии от	центра	окружности находятся точки А и В ? .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины , то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с поля , сколько верст от села до уездного	центра	и т д. Так появились числа .
Угол с вершиной в	центре	окружности называется ее центральным углом .
Начерти окружность с	центром	в точке О и радиусом 4 см 5 мм .
Начерти окружность с	центром	в точке О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условию : .
Эта точка называется	центром	окружности .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с	центром	К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с	центром	в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Проведи окружность с	центром	в точке и радиусом .
Начерти отрезок МК , равный 6 см. Проведи окружность с	центром	М и радиусом 4 см , а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами А и В .
Начерти отрезок АВ , равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с	центром	в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X , удовлетворяющих условиям : .
Если разность двух чисел четна , то их сумма	четна	.
Если сумма двух чисел четна , то хотя бы одно из них	четно	.
Число	четно	.
Сумма любых двух нечетных чисел и	четного	числа есть число четное .
Произведение	четного	и нечетного числа – число . .
Сумма	четного	и нечетного числа – число . .
Разность	четного	и нечетного числа - число нечетное .
По приведенному образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ; числа , кратного 4 ;	четного	числа ; нечетного числа .
Сумма любых двух нечетных чисел и четного числа есть число	четное	.
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая	четное	число , в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число , кратное .
Сумма двух четных чисел - число	четное	.
Произведение любых двух соседних чисел - число	четное	.
"Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще : "" Число делится на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается"	четной	"цифрой "" ."
Если сумма двух чисел четна , то они оба	четны	.
Таким образом , числа , кратные 2 (	четные	числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
Существуют	четные	числа , кратные 3 : например , 26 кратно 3 .
Есть ли	четные	простые числа ?
Все делители числа -	четные	числа .
В одном месяце три среды пришлись на	четные	числа .
Всякое натуральное число , делящееся на 2 , является	четным	.
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются	четными	цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
Эти цифры , как мы уже знаем , условились называть	четными	, в отличие от остальных цифр - 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , которые называют нечетными .
Некоторые решения неравенства 2 < х < 7 являются	четными	числами .
Запиши множество	четных	трехзначных чисел , кратных 25 , но не кратных 4 .
Среди двузначных чисел	четных	чисел больше , чем нечетных .
Два	четных	числа не могут быть взаимно простыми .
	Четных	решений неравенства 389 < а < 400 ; .
Сумма двух	четных	чисел - число четное .
Построй	четырехугольник	.
Прямоугольником называется	четырехугольник	, у которого все углы прямые .
Пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построй на листе без клеток правильный : шестиугольник ; треугольник ;	четырехугольник	; пятиугольник .
Перерисуй	четырехугольник	по клеточкам в тетрадь .
Отметь на координатной плоскости точки и построй	четырехугольник	.
Как называется такой	четырехугольник	? .
Как , пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построить правильные	четырехугольник	и пятиугольник ?
Найди четвертую сторону этого	четырехугольника	, если его периметр равен 23 м .
Нарисуй четыре	четырехугольника	, расположив их по возрастанию красоты .
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли величину угла правильного	четырехугольника	, пятиугольника , шестиугольника .
Измерь стороны и углы	четырехугольника	и установи как можно больше его свойств .
Построй внешние углы этого	четырехугольника	по одному при каждой вершине и найди их сумму .
Периметр	четырехугольника	равен 46 дм .
Одна сторона	четырехугольника	равна 7 м , вторая - на 5 дм больше первой , а третья - в 3 раза меньше второй .
Придумай способ вычисления суммы углов	четырехугольника	, пятиугольника , шестиугольника .
Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей	четырехугольника	, образованного четырьмя дугами .
Чему равны длины сторон этого	четырехугольника	? . .
Дай аналогичное определение для	четырехугольников	.
Повтори эксперимент еще два раза для произвольных	четырехугольников	и сформулируй гипотезу .
Раскрась цветным карандашом пересечение	четырехугольников	.
У некоторых	четырехугольников	на чертеже 5 сторон .
Построй диаграмму Эйлера - Венна для множеств , где множество всех	четырехугольников	, множество ромбов , множество квадратов и множество прямоугольников .
Пусть А - множество	четырехугольников	, В - множество трапеций , С - множество параллелограммов , I ) - множество прямоугольников , Е - множество ромбов и Е - множество квадратов .
Если одно из двух	чисел	делится на 3 , то и их произведение делится на 3 .
Используя таблицу простых	чисел	, определи , являются ли простыми числа : 59 , 83 , 91 , 97 , 127 , 379 , 511 , 697 , 761 , 803 , 851 , 991 , 997 ? . .
на 3 большее , чем разность	чисел	а и Ь ; .
Принадлежит ли множеству натуральных	чисел	значение дроби .
Найди НОД и НОК	чисел	8 , 12 , 28 методом перебора .
То же задание выполни для	чисел	.
Проверь , выполняется ли оно для	чисел	42 и 70 , а йотом еще для каких- нибудь двух чисел , которые ты возьмешь по собственному усмотрению .
Если дробные части смешанных	чисел	имеют разные знаменатели , то их предварительно приводят к общему знаменателю .
Квадрат суммы	чисел	.
Запиши множество двузначных	чисел	, больших 87 и не кратных ни 2 , пи 5 .
Запиши с помощью двойного неравенства нижнюю и верхнюю границу	чисел	с точностью : до десятков ; до сотен ; до тысяч .
Определи , не вычисляя , является ли число 2 • 2 • 3 • 5 кратным для	чисел	а , b , с и с/. Проверь с помощью вычислений .
Восстанови запись	чисел	, которую выполнила Оля .
Найти большее из этих	чисел	.
Выбери из	чисел	5 , 7 , 21 , 25 , 28 , 35 , 42 , 56 , 75 , 80 те , которые : кратны 5 ; являются делителями 100 ; кратны 4 и 7 .
Разность суммы	чисел	и разности чисел .
Будем считать это определение верным и на множестве дробных	чисел	.
Из	чисел	ряда составь две дроби и сравни их наиболее удобным способом .
Как изменится сумма двух	чисел	, если : одно слагаемое увеличить , а другое ; одно слагаемое уменьшить , а другое ; одно слагаемое увеличить на , а другое уменьшить ; одно слагаемое уменьшить , а другое увеличить ? .
Из полученного равенства видно , что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения натуральных	чисел	.
Мы уже знаем , что на множестве натуральных	чисел	АГ .
Разность квадратов	чисел	.
Сумма разности чисел и разности	чисел	.
Запиши множество трехзначных	чисел	, больших 970 и кратных 5 .
Что произойдет с произведением двух	чисел	, если округлить : один из множителей с избытком ; один из множителей с недостатком ; оба множителя с избытком ;
Сергей нашел произведение всех	чисел	от 1 до 11 включительно и записал результат на доске .
Какие из данных	чисел	являются простыми , а какие - составными ? . .
Одно из двух натуральных	чисел	больше другого .
Однако у некоторых	чисел	могут быть и другие общие делители .
Из цифр , соответствующих общим высказываниям , составь все возможные трехзначные числа ( цифры в записи	чисел	не повторяются ) .
Аналогично и при округлении	чисел	с точностью до сотен , тысяч и т д. берется приближение с недостатком или с избытком в зависимости от того , какое из них “ ближе ” к данному числу .
В начальной школе мы уже использовали различные математические знаки и буквы для обозначения	чисел	.
Первое число в три раза больше второго , а разность этих	чисел	равна 48 .
Сколько существует таких	чисел	? .
Проверь , выполняется ли оно для чисел 42 и 70 , а йотом еще для каких- нибудь двух	чисел	, которые ты возьмешь по собственному усмотрению .
Здесь нам помогут известные свойства	чисел	- свойство единицы и распределительный закон .
Дело в том , что произведение двух	чисел	получается , если перемножить их разложения на простые множители , например .
Запиши с помощью фигурных скобок множество кратных для каждого из	чисел	: 4 , 5 , 14 , 16 , 21 .
Разность суммы чисел и разности	чисел	.
Найди в каждом равенстве число , которое является кратным двух других	чисел	( делителей ) .
Произведение двух натуральных	чисел	может быть больше их суммы .
Сумма квадратов	чисел	.
Найди сумму	чисел	, обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой прямой .
Запиши последовательность	чисел	, ведущих от входа к выходу .
на 7 меньшее , чем произведение	чисел	а и Ъ ; .
Найти разность	чисел	.
Как в таком случае интерпретировать прибавление	чисел	со знаком , а как прибавление чисел со знаком ?
Каждое натуральное число , кроме 1 , в два раза меньше суммы соседних с ним	чисел	.
Произведение двух натуральных	чисел	равно .
Из начальной школы нам известно , что при сложении смешанных	чисел	можно сначала сложить целые части , а затем - дробные части .
Можно ли утверждать , что данная закономерность справедлива для всех пар	чисел	.
Произведение утроенного числа и суммы	чисел	.
Остальные клетки квадрата заполни так , чтобы он стал магическим , то есть чтобы сумма	чисел	по строкам , столбцам и диагоналям была одной и той же . .
Объясни , почему наименьшее общее кратное двух	чисел	не может быть меньше любого из них ? .
Как изменяется частное двух	чисел	при изменении делимого и делителя ?
в 4 раза меньшее , чем сумма	чисел	а и Ь .
Сложение и вычитание смешанных	чисел	.
А деление на ноль для дробей , как и для натуральных	чисел	, не допускается .
в 5 раз большее , чем частное	чисел	а и Ь ; .
Пользуясь результатами предыдущего задания , запиши множество общих кратных для	чисел	: 4 и 5 ; 4 и 16 ; 14 и 21 .
Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных	чисел	, при умножении которого на 2 получается точный квадрат , а при умножении на 3 - точный куб .
Запиши множество двузначных	чисел	, разложение которых на простые множители состоит .
Придумай и реши свои аналогичные примеры на сложение	чисел	, обозначающих доходы и расходы .
Запиши множество четных трехзначных	чисел	, кратных 25 , но не кратных 4 .
Разложение натуральных	чисел	на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений .
Частное суммы	чисел	т и п и их разности .
Как в таком случае интерпретировать прибавление чисел со знаком , а как прибавление	чисел	со знаком ?
Найди наибольший общий делитель данных	чисел	методом перебора .
По определению деления натуральных	чисел	разделить число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
Найди наименьшее общее кратное	чисел	с помощью перебора .
При делении смешанных	чисел	их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило деления дробей .
Действия сложения и умножения натуральных	чисел	обладают следующими основными свойствами : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения ; переместительное свойство умножения ; сочетательное свойство умножения ; распределительное свойство умножения относительно сложения .
Какие из	чисел	34 470 , 745 , 5637 делятся на 5 ? .
Сумма двух натуральных	чисел	не всегда делится на 3 .
Мы видим , что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению натуральных	чисел	, которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Разность числа и произведения	чисел	.
Найди НОД и НОК	чисел	180 и 396 методом разложения на простые множители .
Запиши выражение в виде суммы	чисел	со знаками .
Перечисли делители	чисел	: а • Ь ; а • а • Ь ; а - а - Ь • Ь .
Вспомни правила сравнения натуральных	чисел	и найди ошибки : .
Какие свойства	чисел	при этом используются ? . .
Построй последовательность	чисел	, в которой каждое число ( кроме , разумеется , первого ) богаче предыдущего .
Если каждое из двух	чисел	делится на 8 , то и их сумма делится на 8 .
Сумма любых двух нечетных	чисел	и четного числа есть число четное .
Сумма разности	чисел	и разности чисел .
Разбей данные 6	чисел	на группы таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли числа , равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Сумма двух	чисел	равна 3500 , а разность составляет 12 % суммы .
сумму меньшего из данных	чисел	и их произведения .
Таким образом , множество натуральных	чисел	разбивается на 3 части : .
натуральных	чисел	, удовлетворяющих неравенству 5 < х < 10 ; .
Пользуясь результатами предыдущего задания , найди все общие делители для указанных	чисел	.
Как нам уже известно , для записи натуральных чисел обычно пользуются десятичной позиционной системой записи	чисел	.
трехзначных	чисел	, больших 998 ; .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных	чисел	) .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма	чисел	равна натуральному числу .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность	чисел	равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному числу .
Сумма кубов первых п последовательных натуральных	чисел	равна квадрату их суммы .
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из	чисел	больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному числу .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных	чисел	.
частное от деления числа 143 на разность	чисел	67 и 54 ; .
сумма разности	чисел	и и числа , .
Для любых натуральных	чисел	а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Теперь нам предстоит “ прожить ” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных	чисел	- научиться сравнивать дроби между собой , совершать с ними арифметические действия , а главное - использовать эти числа при решении практических задач .
Квадрат суммы	чисел	3 и 6 равен 81 .
Разность квадратов	чисел	8 и 1 равна 63 .
Сумма двух	чисел	равна 13 , а разность 2 .
Запиши с помощью двойного неравенства множество	чисел	, удаленных на числовом луче от дроби меньше , чем на .
Куб разности	чисел	4 и 2 равен 56 .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов	чисел	; куб суммы чисел .
Запиши этот пример в виде суммы	чисел	со знаками .
Для любых натуральных	чисел	.
Какие из	чисел	кратны 2 , а какие – нет .
Делимость натуральных	чисел	.
Запиши с помощью фигурных скобок множество делителей каждого из	чисел	: 6 , 7 , 12 , 17 , 32 , 42 , 81 .
Какое число является делителем всех	чисел	? .
Из	чисел	, записанных справа от цветной черты , выбери те , которые не удовлетворяют неравенству , записанному в той же строке слева от этой черты .
В то же время 1001 - кратное каждого из этих	чисел	.
Найти произведение	чисел	.
Сумма двух	чисел	равна 105 , а их частное равно 6 .
Например , каждое из	чисел	"7 , 11 и 13 является делителем числа 1001 - в этом можно убедиться , проведя деление "" столбиком "" ."
произведение суммы	чисел	си а и разности чисел и д .
Как нам уже известно , для записи натуральных	чисел	обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел .
Запиши множество	чисел	, кратных 9 , которые являются решениями неравенства .
Укажи наибольший общий делитель для	чисел	2 - 7 - 11 и 7 - 13 .
произведение суммы чисел си а и разности	чисел	и д .
Укажи наименьшее общее кратное для	чисел	5 - 7 и 2 - 7 - 11 .
Множество натуральных	чисел	обозначают буквой ДГ .
Тогда при дележе яблок каждый натуральных	чисел	недостаточно .
"На вопрос : "" Сколько среди двузначных"	чисел	"таких , у каждого из которых сумма цифр равна 9 ? "" - Степа Верхоглядкин стал перебирать все двузначные числа подряд , отбирая нужные ему ."
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы	чисел	.
И вообще , для любых натуральных	чисел	тип можно записать .
Проанализируй ответы последнего столбика и придумай правило вычисления квадрата суммы двух	чисел	.
Найди четыре различные цифры , которые могут стоять в разряде десятков у	чисел	, кратных 25 ? .
Разложение	чисел	на простые множители .
Пусть известны разложения натуральных	чисел	а , Ь и с на простые множители .
произведение суммы данных	чисел	и большего из них ; .
произведение разности данных	чисел	и меньшего из них ; .
Сколько делителей у	чисел	: 60 ; 136 ? .
Как получить разложение на простые множители	чисел	.
разность большего из данных	чисел	и их частного ; .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности	чисел	; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Запиши выражение и сосчитай : сумма квадратов	чисел	; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Какие из	чисел	делятся , а какие не делятся на 5 .
По аналогии с игрой “ крестики - нолики ” найди строку , столбец или диагональ , сумма	чисел	в которых дает выигрышную сумму , указанную над таблицей . .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей"	чисел	& и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
частное от деления суммы	чисел	43 и 3 на разность чисел 140 и 117 .
Назови несколько кратных для каждого из	чисел	: 2 , 7 , 39 , а .
Найди произведение всех	чисел	, сидящих на каждом дереве .
частное от деления суммы чисел 43 и 3 на разность	чисел	140 и 117 .
Квадрат разности	чисел	8 и 2 равен 36 .
Сколько среди этих	чисел	простых , а сколько составных ? .
В каждом из следующих	чисел	перенеси запятую на разряд вправо и прочитай полученные числа .
Запиши множество правильных дробей и множество неправильных дробей , которые можно составить из	чисел	.
Не выполняя вычислений , найди среди	чисел	, записанных в рамке , точное значение частного .
Аналогично вычитание смешанных	чисел	сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
Сумма кубов	чисел	1 и 2 равна 27 . .
Используя свойство делимости суммы , разности и произведения натуральных	чисел	, докажи , что если дробь — сократима , то также сократимы ; если дробь — несократима , то дроби , также несократимы .
Произведение двух натуральных	чисел	равно , а их сумма составляет — от произведения .
"Таким образом , мы видим , что термин "" составное число "" выбран не случайно : составные числа как бы составлены из "" кирпичиков "" - простых"	чисел	.
Это свойство составных	чисел	дает возможность ответить на различные вопросы , связанные с делимостью .
Частное	чисел	— это такое число .
Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару	чисел	, а затем сложить ее или вычесть - по знаку около таблицы .
Разность	чисел	— это такое число .
произведение всех нечетных однозначных	чисел	; .
Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать , что это свойство выполняется для всех натуральных	чисел	? .
Разность числа и суммы	чисел	.
Сумма двух	чисел	954 , а разность 158 .
Каким числом - простым или составным - является произведение	чисел	809 • 809 ? .
Чему равна разность этих	чисел	? .
разность числа 135 и частного	чисел	105 и 7 ; .
Найди методом перебора множество пар натуральных	чисел	, удовлетворяющих равенству .
Другой греческий математик того же времени , Эратосфен , придумал остроумный способ составления списка простых	чисел	, который иногда используется в практических вычислениях и сегодня .
Эти равенства можно обосновать , опираясь на частные случаи умножения натуральных	чисел	.
В отличие от сложения и умножения , вычитание и деление натуральных	чисел	можно выполнить не всегда .
Составь все возможные суммы из	чисел	и найди их значения .
Игра заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или диагональ , произведение	чисел	в которых равняется числу , записанному около таблицы .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей"	чисел	"пик "" ."
Составь все возможные разности из	чисел	и найди их значения .
Найди НОД и НОК	чисел	с помощью перебора .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных дробей , как и натуральных	чисел	.
Найди наибольший общий делитель	чисел	методом перебора .
Переведи на математический язык следующие свойства арифметических действий ( при условии их выполнимости на множестве натуральных	чисел	): .
Запиши последовательность из	чисел	, в которой первое число равно , а каждое следующее больше предыдущего .
А верно ли это для	чисел	к = 4 , 5 , 8 ? .
сумма всех двузначных	чисел	, кратных 10 ; .
При помощи разложения	чисел	на простые множители определи , во сколько раз : 10 584 больше 168 ; 525 меньше 13 125 .
Среди	чисел	а , b , с и ( 1 найди , не вычисляя , числа , делителями которых являются 2 , 5 , 10 .
Докажи , что среди пяти произвольных натуральных	чисел	найдутся хотя бы два числа , разность которых кратна четырем .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух"	чисел	"делится на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже делится на к "" ."
Найди НОД и НОК	чисел	с помощью разложения на простые множители .
Найди наименьшее общее кратное	чисел	.
При разложении	чисел	на простые множители используют признаки делимости .
Евклид доказал , что простых	чисел	бесконечно много ( то есть за каждым простым числом есть еще большее простое число ) .
произведение числа 13 и суммы	чисел	27 и 91 ; .
натуральных	чисел	очень часто не хватало .
Не выполняя умножения	чисел	, сравни .
Запиши примеры в виде суммы	чисел	со знаками и найди ответ .
Найди наименьшее общее кратное	чисел	с помощью разложения на простые множители .
Запиши последовательность из	чисел	, в которой первое и второе число равны соответственно , а далее разность между каждыми двумя соседними числами увеличивается .
Докажи , что для любых натуральных	чисел	а и Ь верно равенство .
Разность любых двух нечетных	чисел	– число .
Признаки делимости натуральных	чисел	.
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то и произведение данных	чисел	делится на это число .
Запиши множества	чисел	, кратных числам 15 и 18 , и множество К ( 15 , 18 ) их общих кратных .
Тогда ее можно привести к знаменателю и для некоторых натуральных	чисел	выполняется равенство .
В начале решения мы , естественно , не знаем , какое из	чисел	больше , но можем поставить между ними знак неравенства произвольным образом , понимая , конечно , что при этом могло получиться и неверное высказывание .
А это означает , что именно первое из исходных	чисел	больше .
Первое из них равно , второе равно , то есть первое из этих	чисел	больше .
Видим , что в разложении числа 140 содержатся все простые множители	чисел	28 и 35 , то есть 140 является кратным этих чисел .
Произведение любых двух натуральных	чисел	больше их суммы .
В разложении	чисел	56 и 81 нет одинаковых множителей .
Между числами 200 и 220 имеется 6	чисел	, кратных 3 .
Может ли НОД нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих	чисел	? .
Может ли НОД нескольких	чисел	быть больше хотя бы одного из этих чисел ? .
"Это свойство - утверждение типа "" все "" : оно выполняется для любых натуральных"	чисел	.
Произведение двух натуральных	чисел	может быть меньше четырех .
Придумай две пары таких	чисел	.
Между какими двумя последовательными числами , кратными 3 , заключено каждое из	чисел	: 317 , 523 , 619 ?
Сколько осталось	чисел	? .
Укажи НОД и НОК для	чисел	, представленных в виде произведения .
Если число делится на произведение двух чисел , то оно делится и на каждое из этих	чисел	.
Перейдем в данном уравнении от дробных	чисел	к целым .
Найди НОД и НОК	чисел	: 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
Найди сумму	чисел	.
Если число делится на произведение двух	чисел	, то оно делится и на каждое из этих чисел .
Ясно , что в левой части уравнения нужно вынести х за скобки и выполнить сложение и вычитание получившихся	чисел	.
Найди сначала сумму	чисел	со знаком , затем сумму чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
Сколько различных	чисел	можно составить из цифр 5 , 4 , 7 , 0 , если цифры в записи числа не повторяются ? .
Получим уравнение , равносильное данному , но записанное уже только с использованием целых	чисел	.
	Чисел	, не кратных 2 ; делителей 8 и 12 .
Впрочем , такое обозначение натуральных	чисел	с нулями в начале используется и в обычной жизни .
Найди сначала сумму чисел со знаком , затем сумму	чисел	со знаком , а затем - их общий результат . .
В множестве	чисел	от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей .
Вместе с тем , числовой луч обычно используют для сравнения , сложения и вычитания	чисел	тогда , когда числа несложно изобразить .
Если сумма двух	чисел	четна , то они оба нечетны .
Если сумма двух	чисел	четна , то они оба четны .
произведение числа с и суммы	чисел	< 1 и 4 ; .
Из множества	чисел	{ 3 , 8 , 12 , 15 , 24 , 30 , 44 , 60 , 72 } выбери числа , которые являются : .
Если произведение двух	чисел	делится на данное число , то и каждый множитель делится на это число .
частное суммы чисел 97 и 43 и произведения	чисел	5 и 4 .
Квадрат разности двух	чисел	равен разности их квадратов .
Квадрат суммы двух	чисел	равен сумме их квадратов .
Запиши суммы	чисел	без скобок и найди ответ .
Всегда ли хватает для этого	чисел	?
Сумма двух четных	чисел	- число четное .
Из предложенных десяти	чисел	надо выбрать пару чисел , а затем найти их частное .
Если разность двух	чисел	нечетна , то их сумма нечетна .
Если одно из двух	чисел	делится на некоторое число , то и произведение данных чисел делится на это число .
частное разности	чисел	10 и п и числа т .
Из	чисел	от 1 до 252 выбросили все числа , делящиеся на 2 , но не делящиеся на 5 , и все числа , делящиеся на 5 , но не делящиеся на 2 .
Основные свойства делимости натуральных	чисел	.
Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве натуральных	чисел	.
Что произойдет с разностью двух	чисел	, если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Доказать , что частное двух натуральных	чисел	не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при делении без остатка ) .
Запиши сумму	чисел	без скобок и найди ответ , используя понятия доходов и расходов .
Задачи , связанные с делимостью натуральных	чисел	, очень разнообразны .
Сумма двух натуральных	чисел	всегда делится на 3 .
Видим , что в разложении числа 140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35 , то есть 140 является кратным этих	чисел	.
Представь каждое из полученных	чисел	в виде суммы разрядных слагаемых .
По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать числа : большее из двух	чисел	расположено правее , а меньшее — левее .
Этот пример иллюстрирует общее утверждение , общее свойство делимости натуральных	чисел	.
На числовом луче можно также изображать сложение и вычитание	чисел	.
Если разность двух	чисел	четна , то их сумма четна .
Чтобы войти в замок Арифмос , надо набрать шифр : записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых	чисел	натурального ряда .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких натуральных	чисел	с помощью разложения чисел на простые множители : .
Сумма двух	чисел	не зависит от порядка слагаемых .
Доказанное свойство часто полезно для нахождения общих делителей двух	чисел	.
"Найди множество значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим делителем"	чисел	"12 и 30 "" ."
Докажи , что среди любых восьми различных натуральных	чисел	найдутся хотя бы два числа , разность которых делится на .
Между какими двумя последовательными числами , кратными 9 , заключено каждое из	чисел	: 289 , 443 , 702 ?
Докажи , что число 5 является наибольшим общим делителем	чисел	85 и 90 .
Докажи , что для натуральных	чисел	верны утверждения : .
И вообще , наименьшее общее кратное взаимно простых	чисел	равно их произведению .
Какие различные системы записи	чисел	ты знаешь ?
Кубом каких	чисел	являются 8 , 64 , 1000 ? .
Нам известно , что частное двух натуральных	чисел	равно дроби , у которой делимое - числитель , а делитель - знаменатель , например : .
Даны разложения	чисел	на простые множители .
Аналогично доказывается данное свойство и для разности двух	чисел	.
Произведение любых двух соседних	чисел	- число четное .
Какие получаются остатки при делении этих	чисел	на 9 ? .
Найди остатки от деления на 3	чисел	: 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
Сумма любых двух соседних	чисел	- число нечетное .
Итак , для дробных	чисел	мы имеем два вида записи - “ с запятой ” , и “ со знаменателем ” .
Запиши множество трехзначных	чисел	, которые можно составить из цифр 1 , 3 , 9 , если цифры в записи числа не повторяются .
Произведение двух натуральных	чисел	больше их суммы .
Составь таблицу кубов первых десяти натуральных	чисел	.
Квадратами каких	чисел	являются 9 , 64 , 225 ? .
Рассматриваются все возможные последовательности двузначных	чисел	, оканчивающихся на одну и ту же цифру .
Чтобы найти НОК нескольких	чисел	, надо взять все их простые делители с наибольшими показателями , например .
Какие из	чисел	последовательности 13 , 23 , 33 , 43 , 53 , 63 , 73 , 83 , 93 простые ? .
Сумма двух натуральных	чисел	делится на 3 .
Запиши множество семизначных	чисел	", которые можно составить из двух цифр "" 7 "" и пяти цифр "" 0 "" ."
Составь таблицу квадратов первых двадцати натуральных	чисел	.
Какие получаются остатки при делении этих	чисел	на 3 ? .
Найди наибольший общий делитель	чисел	методом разложения на простые множители .
	Чисел	, являющихся делителями 24 ; делителей 8 или 12 ; .
Чтобы найти НОД нескольких	чисел	, надо взять их общие простые делители с наименьшими показателями , например .
Некоторые четырехзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных натуральных	чисел	.
составных чисел ;	чисел	, кратных 3 или 5 ; .
Действительно , 450 делится на 45 , поэтому 45 и будет наибольшим общим делителем этих	чисел	.
Число 37 является делителем всех	чисел	из множества { 222 , 333 , 555 } .
составных	чисел	; чисел , кратных 3 или 5 ; .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения НОК нескольких натуральных чисел с помощью разложения	чисел	на простые множители : .
Добавить к нему недостающие множители из разложений оставшихся	чисел	.
простых чисел ;	чисел	, кратных 3 и 5 ; .
Умножение и деление натуральных	чисел	- дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
простых	чисел	; чисел , кратных 3 и 5 ; .
Сумма любых двух нечетных	чисел	– число .
Найди НОД и НОК	чисел	а и Ъ по их разложению на простые множители .
Среди чисел 4 , 15 , 22 и 77 укажи все пары взаимно простых	чисел	.
Действительно , для натуральных	чисел	ранее было доказано .
Заполни пробелы так , чтобы получившиеся утверждения были верны на множестве натуральных	чисел	.
Объясняется это тем , что выбранная нами система записи натуральных	чисел	является десятичной .
Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи дробных	чисел	, то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных дробей .
Докажи , что сумма пяти последовательных натуральных	чисел	делится на 5 .
Перечисли все точные квадраты среди первых 100 натуральных	чисел	.
Из двух натуральных	чисел	больше то , у которого больше первая цифра .
"Опровергни утверждение : "" Число 2 является общим делителем всех"	чисел	""" ."
Одно из	чисел	а и Ъ , по условию , делится па с. Пусть , например , Ь делится на с. Это означает , что существует к такое , что Ь = ск .
Найдем , например , общие делители	чисел	1354 и 1357 .
Среди	чисел	4 , 15 , 22 и 77 укажи все пары взаимно простых чисел .
Найди остатки , которые получаются при делении на 9	чисел	: 36 681 , 578 645,4 620 805 .
Найди множество значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим делителем всех	чисел	""" ."
Таким образом , десятичные и обыкновенные дроби — это две различные системы записи	чисел	.
Действительно , сумма двух натуральных	чисел	не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
Приведи несколько примеров точных квадратов и примеров	чисел	, не являющихся точными квадратами .
частное двух натуральных	чисел	( введи произвольные обозначения ) .
Сумма любых двух	чисел	не зависит от порядка слагаемых .
Из предложенных десяти чисел надо выбрать пару	чисел	, а затем найти их частное .
Факториалом натурального числа п называется произведение всех натуральных	чисел	.
Однако понятно , что такой способ рассуждений удобен лишь для небольших	чисел	.
Разность двух	чисел	, а их сумма .
Способ записи десятичных дробей является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи	чисел	.
Сумма двух	чисел	, а их разность .
Что произойдет с суммой двух	чисел	, если округлить : одно из слагаемых с избытком ; одно из слагаемых с недостатком ;
Наименьшее общее кратное	чисел	а и Ь обозначается НОК ( а , Ь ) .
Если одно из двух	чисел	делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
произведение числа 28 и разности	чисел	12 и 7 ; .
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно найти , перебирая делители меньшего из данных	чисел	или делители разности этих чисел .
У натуральных	чисел	есть много удивительных свойств .
Найди НОД и НОК	чисел	.
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно найти , перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих	чисел	.
Полученные числа обладают следующей особенностью : сумма кубов этих	чисел	равна квадрату их суммы .
В общем случае на помощь вновь приходит разложение	чисел	на простые множители .
Пользуясь свойством делимости разности на число , найди все общие делители	чисел	.
частное суммы	чисел	97 и 43 и произведения чисел 5 и 4 .
По таблице простых	чисел	подсчитай , сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен .
Универсальным способом поиска НОД является разложение данных	чисел	на простые множители .
	Чисел	, больших 3 , определи , каким числом - простым или составным - является : .
Одно из натуральных	чисел	больше другого .
Умножение десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных	чисел	- надо только внимательно определить место запятой в произведении .
"Определи истинность высказываний , представляя число в виде суммы или разности "" удобных """	чисел	.
Из ряда	чисел	выпиши те , которые могут быть общими знаменателями для указанных дробей .
Найдем , например , наибольший общий делитель	чисел	1968 и 2520 .
Если одно из	чисел	делится на 6 , а другое нет , то их разность не делится на 6 .
Если одно из	чисел	делится на 4 , а другое нет , то их сумма не делится на 4 .
Запиши данные суммы	чисел	со знаками и без скобок и найди ответ .
Округление	чисел	.
Найти наименьшее общее кратное можно , перебирая кратные одного из	чисел	( лучше взять большее число ) .
Укажи наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для	чисел	, представленных в виде произведения .
Сумма произведения	чисел	и числа .
Найди НОД и НОК	чисел	50 и 8 .
Приведи примеры взаимно обратных	чисел	.
Какие из	чисел	: 1)3996 ; 2)24357 ; 3)187272 ; 4)594820 ; 5)111111111 ; 6 ) 1 234 567 890 - делятся на 3 ?
Используя эти множества , найди НОК и НОД	чисел	15 и 20 .
Найди сумму : всех однозначных чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных	чисел	.
Найди сумму : всех однозначных чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных	чисел	; всех четырехзначных чисел .
Найди наименьшее общее кратное	чисел	методом перебора .
сумма двух простых	чисел	; .
Найди сумму : всех однозначных чисел ; всех двузначных	чисел	; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
Найди сумму : всех однозначных	чисел	; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
Одно из	чисел	на 17 меньше второго , а их сумма равна 75 .
сумма двух составных	чисел	.
Среди двузначных чисел четных	чисел	больше , чем нечетных .
Эти правила можно использовать для любых смешанных	чисел	и неправильных дробей .
Наибольший общий делитель	чисел	а и Ь обозначается НОД ( а , Ъ ) .
Расположи карточки с числами и буквами в порядке возрастания	чисел	и зачеркни 3 буквы так , чтобы получилась фамилия известного русского .
Составь из	чисел	, записанных в квадрате , скобок и знаков и выражение , значение которого равно 1 .
Среди двузначных	чисел	четных чисел больше , чем нечетных .
Поэтому , так же как и для натуральных	чисел	, ее можно назвать десятичной позиционной системой записи .
Проверь это свойство для двух чисел , входящих в таблицу , и для двух	чисел	, не входящих в нее ( не забудь , что таблица бесконечная ) .
Посчитай произведение	чисел	в каждой строчке .
Заполни пустое место в квадрате так , чтобы сумма всех	чисел	в нем равнялась единице .
Проверь это свойство для двух	чисел	, входящих в таблицу , и для двух чисел , не входящих в нее ( не забудь , что таблица бесконечная ) .
Произведение суммы	чисел	и разности чисел .
Для натуральных	чисел	делимое никогда не бывает меньше делителя и частного .
Произведение суммы чисел и разности	чисел	.
Если одно из двух	чисел	делится на 5 , то и их произведение делится на 5 .
Если каждое из двух	чисел	делится на 3 , то и их сумма делится на 3 .
Сумма двух	чисел	равна , одно из них больше другого .
Продемонстрируем алгоритм нахождения НОК на уже знакомом нам примере	чисел	12 и 30 .
""" Произведение ад делится на с "" и "" Одно из"	чисел	а и Ь делится на с .
Найди в таблице все пары	чисел	- близнецов .
Используя общее правило сравнения дробей и правило “ весов ” , найди множество натуральных	чисел	а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Для натуральных	чисел	х и у выполняются два равенства .
Если сумма двух	чисел	четна , то хотя бы одно из них нечетно .
Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных	чисел	.
Найди последовательные натуральные числа такие , что сумма двух больших из этих	чисел	равна сумме трех остальных .
Сколько таких пар среди первых 500	чисел	и среди чисел от 500 до 1000 ?
Сколько таких пар среди первых 500 чисел и среди	чисел	от 500 до 1000 ?
Найди наименьшее общее кратное	чисел	методом разложения на простые множители .
Найди в таблице выигрышную строчку , столбец или диагональ ( произведение	чисел	в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
Ученые до сих пор не знают , есть ли самая большая пара	чисел	- близнецов .
Новая запись	чисел	.
сумма числа 18 и частного	чисел	а и 5 ; .
разность произведения	чисел	9 и & и числа 23 ; .
Найди наибольший общий делитель	чисел	, если .
Увеличь каждое из	чисел	.
Из приведенных выше	чисел	отбери те , которые не кратны 3 , и тоже расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам .
В истории было много разных способов для записи натуральных	чисел	, но в конце концов “ победила ” одна - десятичная позиционная система записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Мы должны доказать , что сумма этих трех	чисел	, то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) , делится на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
Если сумма двух	чисел	четна , то хотя бы одно из них четно .
Точно так же в математическом предложении 28 + 36 = 64 говорится о сумме	чисел	28 и 36 и сообщается , что эта сумма равна 64 .
Деление натуральных	чисел	проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел с помощью разложения	чисел	на простые множители .
А сто	чисел	, тысячу , миллион ? .
Найди наибольший общий делитель	чисел	наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
По таблице простых чисел подсчитай , сколько простых	чисел	в каждой из первых десяти сотен .
Большего общего делителя этих	чисел	подобрать нельзя , так как все остальные их простые делители различны .
Какую закономерность в расположении простых	чисел	ты замечаешь ? .
Назови пять	чисел	х , таких .
Можно ли назвать еще таких	чисел	?
При делении всех	чисел	из множества { 24 , 38 , 45 } на число 7 в остатке получается 3 .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных	чисел	с помощью разложения чисел на простые множители .
Рассмотри их доказательство и объясни , на основании каких свойств	чисел	выполнены преобразования .
Найди множество натуральных	чисел	, для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных	чисел	) .
Доказать , что сумма любых трех последовательных натуральных	чисел	делится на 3 .
""" Сумма чисел а и к делится на с "" и "" Одно из"	чисел	"а и к делится на с "" ."
""" Сумма"	чисел	"а и к делится на с "" и "" Одно из чисел а и к делится на с "" ."
Найди множество натуральных	чисел	, для которых дробь меньше ; равна .
Иногда приближение	числа	с точностью больше , чем его приближение с точностью .
Число а делится на 9 О Сумма цифр	числа	а делится на 9 .
Два последовательных натуральных	числа	всегда взаимно простые .
Запиши множество делителей и множество кратных	числа	36 .
Составь из цифр 3 , 4 , 5 и 6 все возможные трехзначные	числа	: .
В разложении	числа	80 не хватает множителя 7 из разложения числа 140 .
Перечерти ее в тетрадь и отметь на ней	числа	.
Существуют двузначные делители	числа	.
Даны взаимно простые	числа	.
Все делители числа - четные	числа	.
Докажи , что число 102 060 кратно 18 , а число 45 является делителем	числа	31 905 .
Надо ли снова проверять на делимость все	числа	? .
кратные 2 ; кратные 5 ( цифры в записи	числа	не повторяются ) .
Но найти нужные нам	числа	можно , если это равенство записать по - другому , преобразовать .
Какие это	числа	? .
В разложении числа 80 не хватает множителя 7 из разложения	числа	140 .
Степень	числа	.
Улов Гоши составил 1 рыбку на каждые 3 наживки , улов Вадика - — от числа его наживок , а улов Дениса - 35 % от	числа	его наживок .
Все делители	числа	- четные числа .
В самом деле , после уравнивания	числа	десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Найди эти	числа	.
Найти неизвестные	числа	х и Зх , если выполняется равенство х + Зх = 60 .
Вторую степень называют квадратом , а третью - кубом	числа	а .
Сумма квадрата числа а и куба	числа	.
Гоша заготовил 30 наживок , что составило —	числа	наживок , заготовленных Вади- 5 .
Все ли	числа	каждой группы являются взаимно простыми : .
Выдели целую часть	числа	.
Однако существуют и меньшие	числа	, кратные 12 и 30 , - например , 180,120 , 60 .
Атос провел в том году 16 дуэлей , что составило — дуэлей , проведенных Д Артаньяном , а число дуэлей Портоса оказалось равным — от общего	числа	дуэлей Атоса и Арамиса .
Обозначение в виде степени позволяет короче записывать разложение	числа	на простые множители , например .
Степенью	числа	а с натуральным показателем п ( п > 1 ) называется произведение п множителей , каждый из которых равен а : .
Расположи	числа	в порядке возрастания .
Более того , проиллюстрировать его можно в точности так же : если мы в рассмотренном примере заметим , что	числа	999 , 99 и 9 делятся на 9 , то все будет зависеть от делимости на 9 суммы цифр числа 8535 .
Заметим , что при умножении	числа	оно уменьшается соответственно , а при делении - увеличивается .
Улов Гоши составил 1 рыбку на каждые 3 наживки , улов Вадика - — от	числа	его наживок , а улов Дениса - 35 % от числа его наживок .
Степенью	числа	а с натуральным показателем 1 называется само число а : а1 — а .
Любые два	числа	а иЬ имеют общие кратные , например , их общими кратными являются произведения ад , 2аЬ , ЗаЬ и т.д.
сумма разности чисел и и	числа	, .
произведение	числа	28 и разности чисел 12 и 7 ; .
Выражения , в которых некоторые	числа	обозначены буквами , называют буквенными .
Квадрат разности числа х и удвоенного	числа	.
Представь числа 849 , 3206 , 75 012 , 503 970 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени	числа	10 .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных	числа	, как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Расшифруй название одного из филиппинских народов , расположив	числа	, которые не кратны 9 , в порядке возрастания и сопоставив их соответствующим буквам : .
Сумма любых двух нечетных чисел и четного	числа	есть число четное .
Квадрат разности	числа	х и удвоенного числа .
Более того , проиллюстрировать его можно в точности так же : если мы в рассмотренном примере заметим , что числа 999 , 99 и 9 делятся на 9 , то все будет зависеть от делимости на 9 суммы цифр	числа	8535 .
Из	числа	500 010 вычесть 497 305 .
Построй с помощью схемы формулу , выражающую	числа	а п Ь через их сумму с и разность р .
Сумма квадрата	числа	а и куба числа .
Как же найти неизвестные	числа	? .
Вторая и третья степени	числа	а имеют специальное название .
Допишем к простым множителям	числа	"12 "" недостающий "" множитель 5 из второго произведения ."
Выбери из множества А = { 11 111 , 78 012 , 123 400 , 405 405 , 888 888 }	числа	, кратные : а ) 10 ; б ) 2 ; в ) 5 ; г ) 3 ; д ) 9 .
Число а делится на 3 < = > Сумма цифр	числа	а делится на 3 .
Если цифры задуманного двузначного	числа	поменять местами , то получится число на 27 меньшее , чем исходное .
Если цифры задуманного двузначного	числа	поменять местами , то получится число , на 72 меньшее исходного .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше	числа	135 .
Разложи на простые множители	числа	.
В этой задаче естественно обозначить буквами х и у цифры двузначного	числа	.
Из множества чисел { 3 , 8 , 12 , 15 , 24 , 30 , 44 , 60 , 72 } выбери	числа	, которые являются : .
В то же время число 11 550 не делится на 4 = 2 - 2 , так как в разложении	числа	"4 есть "" лишняя "" двойка ."
разность числа всех предметов , которые ты изучаешь , и	числа	твоих любимых предметов .
разность	числа	всех предметов , которые ты изучаешь , и числа твоих любимых предметов .
сумма	числа	18 и частного чисел а и 5 ; .
Все натуральные	числа	, меньшие , простые .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные	числа	в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
сумма числа мальчиков и	числа	девочек твоего класса ; .
сумма	числа	мальчиков и числа девочек твоего класса ; .
В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу , в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3 ,	числа	второй строки - на 5 , числа третьей строки - на 7 и т д , а числа первого столбца увеличивались на 3 : . .
Число делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого	числа	.
Из	числа	вычесть результат первого действия .
Число делится лишь на те составные	числа	, разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
разность произведения чисел 9 и & и	числа	23 ; .
произведение	числа	с и суммы чисел < 1 и 4 ; .
Разложить данные	числа	на простые множители .
Если да , то какого	числа	это произошло ? .
Какого	числа	уровень воды был самым высоким ? .
Число девочек класса составляет	числа	мальчиков .
Так , число 11 550 делится на простые	числа	2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое число 13 .
Число делится лишь на те простые	числа	, которые входят в его разложение на простые множители .
частное наибольшего четырехзначного числа и наименьшего натурального	числа	; .
При делении некоторого	числа	на 5 в остатке получилось 4 .
частное наибольшего четырехзначного	числа	и наименьшего натурального числа ; .
Обозначая цифру десятков двузначного	числа	буквой х , а цифру единиц - буквой у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Выполни действия и сократи дроби , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
В классе девочек , а число мальчиков составляет —	числа	девочек .
В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу , в которой	числа	первой строки последовательно увеличивались на 3 , числа второй строки - на 5 , числа третьей строки - на 7 и т д , а числа первого столбца увеличивались на 3 : . .
Запиши формулу зависимости	числа	купленных карандашей от их цены за карандаш .
Оба данные	числа	делятся на произведение 2 • 2 • 2 • 3 , равное 24 .
Запиши все четырехзначные	числа	, в разложение которых на простые множители входят одновременно 7 , 11 и 13 .
Сумма произведения чисел и	числа	.
Все натуральные	числа	имеют хотя бы один общий делитель - число 1 .
В июне в пансионате отдыхало у человек , что составило 125 % от	числа	людей , отдыхавших в мае .
Взаимно простые	числа	.
При движении , но таблице вправо	числа	складываются , а при движении вниз - вычитаются .
Вычисляя сумму всех различных простых делителей некоторого шестизначного	числа	, в записи которого все цифры одинаковы , Степа Растеряйкин получил 70 , а Петя Угадайкин - 80 .
Разность	числа	и произведения чисел .
Вычисли устно и расположи полученные	числа	в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Какие остатки получаются при делении	числа	27 628 : на 10 ; на 100 ; на 1000 ; на 2 ; на 5 ?
Сколько классов в записи этого	числа	?
Докажи , что данные	числа	взаимно простые , и найди их наименьшее общее кратное .
Выпиши все двузначные числа , являющиеся делителями	числа	а , если а = 2 • 3 • 3 • 3 • 11 .
На каждой грани кубика надо разместить черные кружки , изображающие	числа	( на одной грани - кружок , на другой - кружка и т д ) .
Выпиши все двузначные	числа	, являющиеся делителями числа а , если а = 2 • 3 • 3 • 3 • 11 .
Найди все	числа	, которые раскладываются на два разных однозначных простых множителя .
Сравни в каждом равенстве натуральные	числа	, обозначенные буквами .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи	числа	не повторяются ; цифры в записи числа могут повторяться .
Запиши все трехзначные	числа	, которые раскладываются на два одинаковых простых множителя .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр : цифры в записи числа не повторяются ; цифры в записи	числа	могут повторяться .
Сравни , если все переменные натуральные	числа	.
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила вычитания числа из суммы и суммы из	числа	.
Найди отношение	числа	а к числу , если .
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила вычитания	числа	из суммы и суммы из числа .
Увеличь	числа	.
Однако на практике эти способы применимы лишь в случае , когда	числа	невелики .
Составь из цифр 2 , 5 и 0 все возможные трехзначные	числа	: а ) кратные 2 ; б ) кратные 5 ; в ) кратные 2 и 5 ; г ) не кратные ни 2 , ни 5 ; д ) кратные 2 , но не кратные 5 ; е ) кратные 5 , но не кратные 2 .
У Гали ( 1 марок , у Кати - на 12 марок больше , чем у Гали , а у Светы - —	числа	марок первых двух девочек .
В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу , в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3 , числа второй строки - на 5 ,	числа	третьей строки - на 7 и т д , а числа первого столбца увеличивались на 3 : . .
Уменьши	числа	.
Выпиши все	числа	, меньшие 100 , на которые делится число а .
В 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу , в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3 , числа второй строки - на 5 , числа третьей строки - на 7 и т д , а	числа	первого столбца увеличивались на 3 : . .
разность наименьшего трехзначного и наибольшего двузначного	числа	; .
Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся натуральные	числа	.
Исследуем теперь , от чего зависит делимость	числа	на 3 и на 9 .
Например ,	числа	24 и 16 имеют , помимо 1 , общие делители 2 , 4 и 8 .
Записав число в виде 100а + Ъ , где Ь - двузначное число , образованное двумя последними цифрами данного	числа	, сформулируй и докажи признаки делимости на 4 и на 25 .
Разложи	числа	на простые множители , найди их НОД и НОК .
Если сумма цифр	числа	кратна 5 , то число кратно 5 .
Два четных	числа	не могут быть взаимно простыми .
произведение	числа	13 и суммы чисел 27 и 91 ; .
Четное и нечетное	числа	всегда взаимно простые .
	Числа	.
Выпиши все двузначные	числа	, кратные 25 .
Даны	числа	.
Запиши	числа	в десятичной системе счисления : .
Представь	числа	849 , 3206 , 75 012 , 503 970 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа 10 .
Назови три	числа	, кратных двум .
частное от деления	числа	143 на разность чисел 67 и 54 ; .
Представь	числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
Разложение на множители простого	числа	не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
Выпиши три нечетных	числа	, больших 1000 и кратных 25 .
Два различных простых	числа	являются взаимно простыми .
Выпиши все трехзначные	числа	, состоящие из цифр 2 , 4 , 6 и кратные 4 ( цифры в записи числа могут повторяться ) .
Запиши множество трехзначных чисел , которые можно составить из цифр 1 , 3 , 9 , если цифры в записи	числа	не повторяются .
Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3	числа	8535 зависит от делимости на 3 суммы остальных слагаемых , то есть 8 + 5 + 3 + 5 = 21 .
Даны два	числа	- 57 и 19 .
Два составных	числа	не могут быть взаимно простыми .
Даны два	числа	- 80 и 2 .
Простые	числа	и делимость .
В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель , складывая не фрукты и не уроки , а натуральные	числа	.
Прочитай полученные	числа	.
Назови разряды	числа	, в которых записана цифра .
В записи	числа	поставь вместо звездочек цифры так , чтобы получилось число .
Выпиши все трехзначные числа , состоящие из цифр 2 , 4 , 6 и кратные 4 ( цифры в записи	числа	могут повторяться ) .
Выдели из неправильных дробей , принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные	числа	в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Искомые	числа	х и у должны удовлетворять как первому , так и второму равенству .
произведение всех различных делителей	числа	8 ; .
Представь	числа	в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа .
"Таким образом , мы видим , что термин "" составное число "" выбран не случайно : составные"	числа	"как бы составлены из "" кирпичиков "" - простых чисел ."
Из чисел от 1 до 252 выбросили все	числа	, делящиеся на 2 , но не делящиеся на 5 , и все числа , делящиеся на 5 , но не делящиеся на 2 .
частное разности чисел 10 и п и	числа	т .
В итоге в частном остается 1 и получается следующее разложение данного	числа	на простые множители .
разность	числа	135 и частного чисел 105 и 7 ; .
Найди , какую часть число А составляет от	числа	В , и вырази эту часть в процентах .
Продолжая перебирать простые числа , находим делители 7 и 11	числа	77 .
сумма цифр	числа	287 ; .
Назови трех ребят , показавших лучшую результативность ( результативность — это частное от деления	числа	набранных очков на число игр ) .
Продолжая перебирать простые	числа	, находим делители 7 и 11 числа 77 .
Если	числа	небольшие , то запись можно вести , как было показано .
Если цифры задуманного двузначного	числа	поменять местами , то получится число на 18 большее , чем исходное .
разность	числа	92 и двузначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ; .
Такие	числа	называются взаимно простыми .
разность числа 92 и двузначного	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ; .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами	числа	результат получается в виде десятичной дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Видим , что все простые множители	числа	45 входят в разложение 450 .
"Из каждого "" круглого """	числа	выделим единицу и раскроем скобки .
Разложи	числа	на простые множители , найди их НОД и НОК : .
Продолжи каждый из рядов на четыре	числа	, сохраняя закономерность : 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 .
Представь смешанные	числа	, принадлежащие множеству У , в виде неправильных дробей .
Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени	числа	.
Продолжи ряд на два	числа	, сохраняя закономерность .
Каждый элемент множества является делителем	числа	.
Сколько различных чисел можно составить из цифр 5 , 4 , 7 , 0 , если цифры в записи	числа	не повторяются ? .
Цифры в записи	числа	не повторяются .
Выполни действия , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
Из задуманного числа вычли 3 , полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше , чем треть задуманного	числа	.
Видим , что в разложении	числа	140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35 , то есть 140 является кратным этих чисел .
Из задуманного	числа	вычли 3 , полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше , чем треть задуманного числа .
Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа , делящиеся на 2 , но не делящиеся на 5 , и все	числа	, делящиеся на 5 , но не делящиеся на 2 .
Запиши с помощью степени	числа	10 : .
В ответе - имя математика XVIII века , установившего удивительную закономерность , связанную с понятием простого	числа	.
"Число называется "" совершенным "" , если оно равно сумме всех своих делителей , не считая самого"	числа	.
Сравни	числа	.
Следовательно , данные	числа	имеют только один общий делитель - число 1 .
Если из утроенного неизвестного	числа	вычесть , то получим .
Два	числа	, произведение которых равно , называют взаимно обратными .
Если от удвоенного неизвестного	числа	отнять , то получим квадрат числа .
Если от удвоенного неизвестного числа отнять , то получим квадрат	числа	.
Результат умножения	числа	на 0равен нулю .
Однако при делении смешанного	числа	на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и дробную части , например : .
Результат умножения любого	числа	на 0равен нулю .
Таким образом , десятичная запись	числа	указывает как его целую часть , так и числитель и знаменатель дробной части .
Продолжи каждый из рядов па три	числа	, сохраняя закономерность .
Запиши множество кратных каждого	числа	и найди наименьшее общее кратное .
Частное куба числа и квадрата	числа	.
Данные	числа	обозначим буквами а и b , третье число - буквой с.
Как найти , какую часть число Ь составляет от	числа	аЧ. .
Запиши множество делителей каждого	числа	и найди наибольший общий делитель .
Как найти часть	числа	а , выраженную дробью .
Как и натуральные	числа	, дроби можно сравнивать друг с другом .
Чтобы найти , какую часть число 6 составляет от	числа	10 , надо 6 на 10 .
Можно ли найти 4 различных простых	числа	, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? .
а и Ь - простые	числа	.
Вспомним , насколько труднее разделить натуральные	числа	, чем их перемножить .
Упрости запись	числа	, представленного в виде десятичной дроби .
Всеми возможными способами представь в виде произведения двух множителей	числа	5 , 8 , 9 , 11 , 12 , 17 , 28 ( порядок множителей не принимается во внимание ) .
А - множество делителей числа 16 , а В - множество делителей	числа	28 .
Число учащихся составляет у от	числа	учащихся учится больше , чем .
А - множество делителей	числа	16 , а В - множество делителей числа 28 .
Запиши	числа	в виде десятичных дробей и прочитай их .
Может ли квадратный корень из	числа	быть равен самому числу ? .
Существуют простые	числа	, произведение которых является простым числом .
Найди неизвестные	числа	при следующих условиях .
Пройти по нему можно , перемещаясь от	числа	к большему числу , находящемуся рядом с ним в любом из указанных восьми направлений .
Пусть оба эти	числа	делятся на с. Тогда их разность , равная 3 , также делится на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Запиши	числа	обратные .
Несложно проверить , что	числа	9393 и 186 делятся на 93 , но тогда : .
Существует сократимая дробь , числитель и знаменатель которой простые	числа	.
Как иногда в шутку говорят математики , “ Бог создал натуральные	числа	, а все остальное - дело рук человеческих ” .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины , то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с поля , сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились	числа	.
Если два	числа	делятся на некоторое число , то их сумма и разность тоже делятся на это число .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб	числа	.
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат	числа	; куб числа .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень	числа	; квадрат числа ; куб числа .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые	числа	; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
От неизвестного	числа	отняли два раза по три раза , после чего осталось .
Сократи дроби , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
Два простых	числа	, разность которых равна 2 , называют близнецами .
Для доказательства обозначим первые два	числа	буквами а и b , а третье число - буквой с. Так как а , по условию , делится на с , то а = ск .
Придумай задачи , для решения которых требуется : найти часть от	числа	; найти число по его части ; найти часть , которую одно число составляет от другого .
Может ли случиться , что два	числа	различны , но никакое из них не богаче другого ? .
В результате получилось число , большее квадрата задуманного	числа	.
Выбери два	числа	и выясни , какое из них богаче .
Найти эти	числа	, если их произведение равно .
В результате получилось число , меньшее	числа	.
Сравни , не вычисляя , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
Полученные	числа	обладают следующей особенностью : сумма кубов этих чисел равна квадрату их суммы .
Потом проверь указанное свойство для	числа	и еще для какого - нибудь числа по своему выбору .
Потом проверь указанное свойство для числа и еще для какого - нибудь	числа	по своему выбору .
Чтобы найти часть от	числа	, выраженную дробью , надо это число на знаменатель дроби и на числитель .
Выполни деление , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
Все натуральные	числа	больше единицы .
Запиши в тетрадь равенства , вставляя вместо букв подходящие	числа	.
У всякого	числа	имеется обратное .
Таким образом , читают десятичные дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием	числа	целых единиц ( даже если их “ ноль ” ) .
Привести контрпример для последнего утверждения немного сложнее : надо либо вспомнить , что 2 • 2 = 2 + 2 , либо догадаться взять одно или даже оба	числа	равными единице .
Человечеству понадобилось придумать новые - дробные -	числа	, то есть придумать дроби .
Полученные	числа	запиши в виде десятичных дробей .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из	числа	а , являющийся натуральным числом .
Некоторые натуральные	числа	являются делителями числа 36 .
Некоторые натуральные числа являются делителями	числа	36 .
Число т составляет —	числа	п .
Известно , что натуральные	числа	, причем дроби .
Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного	числа	в неправильную дробь .
При делении	числа	с1 на 8 получается в частном див остатке 5 .
Сумма цифр двузначного	числа	на 19 меньше их произведения .
Число х в 2 раза больше	числа	у .
Число Ь на 7 меньше	числа	с .
Можно найти два натуральных делителя	числа	7 .
Обозначь х цифру десятков , а у - цифру единиц двузначного	числа	.
"С тех пор метод Эратосфена называют "" решетом Эратосфена "" : в этом решете простые"	числа	""" отсеиваются "" от остальных ."
Поэтому если мы из каждой части этого равенства вычтем одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для натурального	числа	у невозможно .
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках , а	числа	не вычеркивали , а выкалывали иглой , то таблица в конце вычислений напоминала решето .
Может ли оказаться сократимой дробная часть полученного из нее смешанного	числа	? .
При делении	числа	и на число 4 получается в частном у и в остатке 1 .
Делитель	числа	не всегда меньше самого числа .
Делитель числа не всегда меньше самого	числа	.
При делении	числа	а на число Ь получается в частном сив остатке г .
Число г в 5 раз меньше	числа	к .
Так как дробь — несократима , то	числа	не имеют общих .
Кратное	числа	не всегда больше самого числа .
Кратное числа не всегда больше самого	числа	.
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной , то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только	числа	.
Число х в 4 раза больше	числа	у .
Число с на 9 меньше	числа	I .
Число а на 3 больше	числа	Ь .
"Он записывал все числа от 1 до какого - либо числа , вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал кратные 2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "" уцелевшего ” числа ( кроме , разумеется , самого этого"	числа	): .
Все	числа	, кратные десяти , оканчиваются нулем .
Задумано двузначное число , сумма цифр которого в 2 раза меньше самого	числа	.
Существуют	числа	, произведение которых является простым числом .
Есть ли четные простые	числа	?
Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все натуральные	числа	.
Все нечетные	числа	являются простыми числами .
Число х называется квадратным корнем из	числа	у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
По приведенному образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ; числа , кратного 4 ; четного числа ; нечетного	числа	.
По приведенному образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ; числа , кратного 4 ; четного	числа	; нечетного числа .
По приведенному образцу запиши и прочитай определения : числа , кратного 7 ;	числа	, кратного 4 ; четного числа ; нечетного числа .
По приведенному образцу запиши и прочитай определения :	числа	, кратного 7 ; числа , кратного 4 ; четного числа ; нечетного числа .
Прочитай определение	числа	", кратного 3 , используя слово "" называется "" : а кратно 3 < = > Зпе № а = Зп ."
куб	числа	; неправильная дробь .
В одном месяце три среды пришлись на четные	числа	.
Какого	числа	в этом месяце будет второе воскресенье ? .
Найти эти	числа	, если одно из них больше другого .
В множестве { 2 , 5 , 19 , 41 , 57 , 84 291 } имеются составные	числа	.
квадрат	числа	; двузначное число ; .
Какое число является делителем любого	числа	? . .
Общее правило сравнения дробей очень удобно , так как для его применения достаточно лишь перемножить и сравнить натуральные	числа	.
Во всякой ли из рассматриваемых последовательностей есть простые	числа	?
С - множество делителей числа 8 , а Л - множество делителей	числа	9 .
Господин Булкин получил больше , чем г-жа Конфеткипа , а вместе Булкин и Конфеткина набрали от общего	числа	голосов Пирожкова и Тортиковой .
С - множество делителей	числа	8 , а Л - множество делителей числа 9 .
За г - на Пирожкова проголосовали человек , за г - жу Тортикову - от	числа	проголосовавших за г - на Пирожкова .
В множестве { 7 , 11 , 97 , 289 , 21 005 } все	числа	простые .
Используя таблицу простых чисел , определи , являются ли простыми	числа	: 59 , 83 , 91 , 97 , 127 , 379 , 511 , 697 , 761 , 803 , 851 , 991 , 997 ? . .
Теперь мы можем легко сравнивать смешанные	числа	.
Например , это два имени , две записи одного и того же	числа	.
Установи закономерность и , сохраняя ее , продолжи ряд на два	числа	.
Докажи , что приведенные ниже	числа	являются составными .
Из цифр , соответствующих общим высказываниям , составь все возможные трехзначные	числа	( цифры в записи чисел не повторяются ) .
Найди эти	числа	, если их произведение равно .
Натуральные	числа	, которые имеют ровно два различных делителя , называются простыми .
Есть ли простые	числа	, оканчивающиеся цифрой 0 ?
Для ответа на более сложные вопросы - например , сколько овец в двух стадах , у кого из двух земледельцев урожай больше - понадобилось научиться складывать	числа	, сравнивать их между собой .
Так постепенно , в течение тысячелетий , формировалось понятие	числа	.
Люди учились называть и записывать	числа	, проводить с ними вычисления и создали тот пласт математической культуры , который в дальнейшем был назван арифметикой .
Задумали число , разделили на него , полученное частное вычли , результат увеличили и получили число , большее квадрата	числа	.
Существуют	числа	, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов .
Можно ли пропустить нули в записи	числа	? .
Что означает цифра в записи получившегося	числа	?
Напиши все возможные натуральные	числа	, составленные с помощью двух пятерок и пяти нулей .
"В этой задаче у нас целых четыре "" персонажа ” : два"	числа	, частное от деления одного из них на .
Некоторые четырехзначные натуральные	числа	больше некоторых пятизначных натуральных чисел .
Если число делится на два других	числа	, то оно делится и на их произведение .
Некоторые натуральные	числа	записываются с помощью трех цифр .
Вычти из большего	числа	меньшее .
Некоторые делители числа 18 являются также делителями	числа	15 .
Некоторые делители	числа	18 являются также делителями числа 15 .
Повтори это еще , беря иные	числа	, и сравни полученные результаты .
Иногда сумма цифр двузначного	числа	больше их произведения .
Вместе с тем , числовой луч обычно используют для сравнения , сложения и вычитания чисел тогда , когда	числа	несложно изобразить .
По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать	числа	: большее из двух чисел расположено правее , а меньшее — левее .
Таким образом , остается сравнить	числа	.
Можно заметить , что оба	числа	делятся , и неравенство между ними не изменится , если оба разделить .
После умножения все дроби превращаются в натуральные	числа	, и теперь нам надо выяснить , что больше .
Красных шаров было 40 , число зеленых шаров составило — от	числа	красных шаров и — от числа желтых шаров .
Красных шаров было 40 , число зеленых шаров составило — от числа красных шаров и — от	числа	желтых шаров .
Это луч , на котором расположены	числа	по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Натуральные и дробные	числа	можно изображать точками числового ( координатного ) луча .
Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей , если значения всех переменных - натуральные	числа	.
Полученную дробь — — сократить нельзя , так как взаимно простые	числа	.
При делении	числа	, а на число Ь получилось частное к.
Каждый делитель числа 10 является делителем	числа	12 .
Каждый делитель	числа	10 является делителем числа 12 .
Найди частное куба	числа	а и квадрата числа .
Число квартир в первом доме составляет — числа квартир во втором доме и —	числа	квартир в третьем доме .
Найди частное куба числа а и квадрата	числа	.
Число квартир в первом доме составляет —	числа	квартир во втором доме и — числа квартир в третьем доме .
Существуют	числа	, квадрат разности которых равен разности их квадратов .
Задачи на нахождение	числа	по его части , выраженной дробью .
Чтобы найти часть	числа	, выраженную дробью , можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на ее числитель .
Задачи на нахождение части от	числа	, выраженной дробью .
Чтобы найти часть от	числа	, выраженную дробью , можно это число умножить на данную дробь .
Отметь на нем	числа	.
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные	числа	и умеют их складывать и вычитать , а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Все	числа	из множества { 75 , 125 , 450 } кратны 25 .
Вычисли и назови пять свойств полученного	числа	.
Представь дробь — в виде смешанного	числа	.
Так , неизвестные	числа	при решении текстовых задач обозначаются обычно буквами х и у. А если , например , речь идет о задачах на движение , то для обозначения пути , скорости и времени используются соответственно буквы з , V , I.
Представь в виде суммы разрядных слагаемых	числа	, используя степени числа .
Как найти часть	числа	а , выраженную дробью ?
Какую часть	числа	составляют ? .
Составь и расположи в порядке убывания все возможные пятизначные	числа	, которые можно записать с помощью трех четверок и двух нулей .
Составь и расположи в порядке возрастания все возможные трехзначные числа , которые можно записать с помощью цифр ( цифры в записи	числа	не повторяются ) .
Составь и расположи в порядке возрастания все возможные трехзначные	числа	, которые можно записать с помощью цифр ( цифры в записи числа не повторяются ) .
Представь в виде суммы разрядных слагаемых числа , используя степени	числа	.
Все	числа	из множества { 1001 , 10011001 , 100110011001 } кратны 7 , 11 и 13 .
Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания	числа	из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Все	числа	из множества { 273 , 343 , 1505 } делятся на 7 .
Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания числа из суммы и суммы из	числа	и реши с их помощью примеры первого столбика .
Произведением	числа	на число называется сумма слагаемых , каждое из которых равно .
Возьмем произвольное натуральное число и обозначим его буквой п. Тогда следующие за ним два	числа	равны соответственно п + 1 и п + 2 .
Найди последовательные натуральные	числа	такие , что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
Если задуманное число вычесть из	числа	, результат уменьшить в раз , а затем увеличить на ,
При делении на 9 любого	числа	из множества { 20 , 56 , 101 } в остатке получается 2 .
Используя равенство , определи , какую часть	числа	а составляет число , и сделай чертеж .
В олимпиаде по математике победителями стали человек , что составило —	числа	ее участников .
деревьев составило —	числа	деревьев , которые запланировано посадить .
Число пасмурных дней составило —	числа	солнечных дней .
Где на числовой прямой разумно расположить	числа	, обозначающие доходы , а где - числа , обозначающие расходы ?
Где на числовой прямой разумно расположить числа , обозначающие доходы , а где -	числа	, обозначающие расходы ?
Разность четного и нечетного	числа	- число нечетное .
	Числа	жильцов второго дома и — числа жильцов третьего дома .
числа жильцов второго дома и —	числа	жильцов третьего дома .
Например , нельзя число разделить - нет такого натурального	числа	.
Построй формулу зависимости величины угла правильного многоугольника от	числа	его сторон .
Существуют	числа	, кратные пяти .
Перемножать	числа	6851 и 333 здесь не нужно - поскольку мы уже указали частное , а определять его числовое значение в условии данной задачи не требуется .
Продолжи ряд на два	числа	, сохраняя закономерность : 4 , 7 , 12 , 21 , 38 .
Сколько процентов число составляет от	числа	? .
Какие это	числа	? . .
Какие	числа	и где удобно записать ?
Проследи изменения	числа	монет у малышей с помощью числового луча .
Во сколько раз число больше	числа	, составляющего ?
Какие	числа	она перемножила и какой получила результат ? . .
Факториалом натурального	числа	п называется произведение всех натуральных чисел .
Перемножив четыре простых последовательных	числа	, Нина получила в результате число , цифра единиц которого 0 .
Сколько мест в театре , если на балконе мест , а остальные места - в партере , причем число мест в партере составляет от общего	числа	мест ? .
Какую часть от	числа	всех моторов составляют моторы в исправном состоянии ?
Натуральные	числа	можно не только складывать и умножать , но и вычитать и делить .
Запиши все двузначные	числа	, которые представляются в виде произведения двух простых множителей , один из которых равен : 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 .
Запиши множество делителей	числа	56 и выбери из него подмножество простых делителей .
Мише надо разложить яблок в корзины так , чтобы число яблок в одной корзине составляло	числа	яблок в другой .
Подбери недостающие натуральные	числа	так , чтобы получились верные равенства , если известно , что дроби во всех равенствах правильные .
Найди числа , которые больше	числа	.
Найди	числа	, которые больше числа .
Любые два натуральных	числа	можно сравнить по величине , можно сложить или перемножить .
Натуральные	числа	и дроби .
"На вопрос : "" Сколько среди двузначных чисел таких , у каждого из которых сумма цифр равна 9 ? "" - Степа Верхоглядкин стал перебирать все двузначные"	числа	подряд , отбирая нужные ему .
Теперь нам предстоит “ прожить ” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел - научиться сравнивать дроби между собой , совершать с ними арифметические действия , а главное - использовать эти	числа	при решении практических задач .
—	числа	жильцов первого дома равны .
В классе учеников , причем число девочек составляет —	числа	мальчиков .
Произведение четного и нечетного	числа	– число . .
Найти два	числа	, если одно из них составляет — другого , а их разность равна .
За минуту Карабас - Барабас делает шагов , что составляет —	числа	шагов , которые делает за минуту Буратино .
При этом оба	числа	могут быть преобразованы друг в друга по следующим правилам .
Ясно , что при любом из рассмотренных способов дележа каждый получит одно и то же количество яблок , значит ,	числа	равны .
Монеты XVII века составляют —	числа	всех монет и — числа монет XVIII века .
Монеты XVII века составляют — числа всех монет и —	числа	монет XVIII века .
Монеты XIX века составляют от	числа	всех монет за минусом монет XVII – XVII вв , а остальные - дореволюционные монеты XX века .
Сумма цифр двузначного	числа	не может быть больше произведения его цифр .
Обозначим первое , второе и третье	числа	буквами а , b и с. По условию а делится на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое натуральное число .
Все	числа	кратны десяти .
Записаны все	числа	подряд .
Докажи , что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя бы два	числа	, разность которых кратна четырем .
Докажи , что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два	числа	, разность которых делится на .
Существуют четные	числа	, кратные 3 : например , 26 кратно 3 .
Если натуральные	числа	дополнить нулем , то , взяв , будем считать .
Н айти это число , если х - цифра десятков , ау- цифра единиц этого	числа	.
Найди закономерность и запиши следующие два	числа	в ряду .
Сколько человек живет в каждом районе , если известно , что числа жителей первого района равны —	числа	жителей второго района и — числа жителей третьего района ? .
Сколько человек живет в каждом районе , если известно , что числа жителей первого района равны — числа жителей второго района и —	числа	жителей третьего района ? .
Сумма четного и нечетного	числа	– число . .
Первые два	числа	обозначим буквами а и Ь , а третье число - буквой с .
Из схемы видно , что число жителей всех районов удобно выразить через величину , равную от	числа	жителей первого района .
Все натуральные	числа	делятся на 7 : например , 14:7 = 2 .
Число отсутствовавших составило —	числа	всех учащихся этого класса .
Некоторые делители числа 28 - нечетные	числа	.
С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального	числа	на любое натуральное число , например .
Некоторые делители	числа	28 - нечетные числа .
"В данном свойстве действуют три "" персонажа "" : два"	числа	- сомножители и некоторое третье число .
Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы , во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые - дробные -	числа	, или дроби .
"Чтобы доказать его "" по всем правилам "" , следует обозначить буквами"	числа	, о которых идет речь в условии .
Найти два	числа	, если одно из них составляет у другого , а их сумма равна .
Сколько человек живет в каждом районе , если известно , что	числа	жителей первого района равны — числа жителей второго района и — числа жителей третьего района ? .
Это означает , что в разложении	числа	у на простые множители имеются только числа ( может быть , конечно , только или только ) .
Чтобы найти — от	числа	а , надо это число на 9 и на 8 .
Это означает , что в разложении числа у на простые множители имеются только	числа	( может быть , конечно , только или только ) .
делителей	числа	14 ; .
кратных	числа	9 ; .
Разбей данные 6 чисел на группы таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли	числа	, равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Тогда для сравнения данных дробей достаточно сравнить натуральные	числа	.
Может ли делитель числа быть больше самого этого	числа	?
Может ли делитель	числа	быть больше самого этого числа ?
И поскольку 100 кратно 4 и 25 , то все зависит от делимости на эти числа	числа	Ь .
Например , каждое из чисел 7 , 11 и 13 является делителем	числа	"1001 - в этом можно убедиться , проведя деление "" столбиком "" ."
И поскольку 100 кратно 4 и 25 , то все зависит от делимости на эти	числа	числа Ь .
А - множество делителей	числа	12 , а В - множество делителей числа 18 .
Числа 5 и 9 являются делителями	числа	18 181 818 .
А - множество делителей числа 12 , а В - множество делителей	числа	18 .
Например , его можно записать в виде 100а + Ь , где Ъ - двузначное число , образованное двумя последними цифрами данного	числа	.
Конечно , в записи	числа	можно отделить и несколько последних цифр .
Е - множество делителей	числа	15 , а Г - множество делителей числа 30 .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального	числа	а .
Поэтому делимость на 2 , 5 и 10 зависит только от числа Ъ , то есть от последней цифры данного	числа	.
Запиши множество делителей	числа	24 , расположив их в возрастающем порядке .
Может ли у	числа	быть ровно 1 делитель , 2 делителя , 3 делителя , больше трех делителей ? .
При умножении смешанного	числа	на натуральное используется распределительное свойство умножения , например .
В каких последовательностях	числа	расположены в порядке возрастания , а в каких - в порядке убывания ? .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из	числа	а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
При делении	числа	на получается частное и остаток .
Ответ , конечно , зависит от того , сколько нулей в конце записи	числа	мы хотим получить в результате .
Существуют натуральных	числа	, сумма квадратов которых меньше .
Эти два	числа	называют приближениями числа : первое - с недостатком , а второе - с избытком .
Делители какого	числа	целесообразно находить для сокращения перебора ?
Найди приближения	числа	с точностью до десятых с недостатком и избытком .
Эти два числа называют приближениями	числа	: первое - с недостатком , а второе - с избытком .
Запиши последовательно в порядке возрастания , начиная с наименьшего , десять кратных	числа	15 .
Существуют двузначные	числа	, имеющие 6 делителей .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество делителей"	числа	"к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей"	числа	"п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
Итак , при умножении смешанного	числа	на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Запиши два смешанных	числа	так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному числу .
Запиши множество делителей	числа	56 , располагая делители в порядке возрастания .
Может ли у	числа	быть меньше двух делителей ? .
Как найти все делители данного	числа	?
Докажи , что число 782 является делителем	числа	43 792 .
В разложении на два множителя простого	числа	, напротив , один из множителей всегда равен 1 , а другой - самому числу .
Поэтому в математике существуют правила округления ( приближения ) , позволяющие заменять	числа	их ближайшими удобными для расчета числами с наибольшей точностью .
Поэтому делимость на 2 , 5 и 10 зависит только от	числа	Ъ , то есть от последней цифры данного числа .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило вычитания суммы из	числа	.
Число а делится на 10 Последняя цифра	числа	а равна 0 .
составные	числа	( имеют больше 2 делителей ) .
Число х на 2 больше числа у , число у на 2 меньше	числа	х , х - 2 = у , у = х - 2 , х = у + 2,х ~ у = 2 .
Число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , составляет у исходного	числа	.
Число х на 2 больше	числа	у , число у на 2 меньше числа х , х - 2 = у , у = х - 2 , х = у + 2,х ~ у = 2 .
Найти эти	числа	.
Во всей этой главе при обсуждении вопросов делимости рассматриваются только натуральные	числа	.
Представь число 24 392 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени	числа	10 .
Простые и составные	числа	.
простые	числа	( имеют в точности 2 делителя ) ; .
Натуральные	числа	, которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1 , - называются простыми .
Таковы , например ,	числа	2 , 3 , 5 , 7 , 89 .
Запиши предыдущее и последующее	числа	.
Натуральные	числа	, которые имеют более двух делителей , называются составными .
Число а делится на 5 О Последняя цифра	числа	а равна 0 или 5 .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное число , затем нашла сумму его цифр и записала результат , дальше нашла сумму цифр последнего	числа	и записала результат .
Выдели целую часть из неправильных дробей и расположи полученные смешанные	числа	в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
Число а делится на 2 < = > Последняя цифра	числа	а - четная .
Следовательно , равенство , данное в условии , верно только для одного	числа	х = 7 , а тогда х + 3 = 10 .
Сумма цифр двузначного	числа	равна .
Сколько делителей	числа	333 333 333 333 ты сможешь найти ? .
Действительно , в записи многозначного натурального числа можно отделить единицы , то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра	числа	.
""" Каждый делитель"	числа	"15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания	числа	из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
"Другими словами , для проверки этого утверждения надо указать "" второй сомножитель """	числа	3 - в данном случае 9 - такой , чтобы при умножении его на 3 получилось 27 .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем"	числа	"30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Действительно , в записи многозначного натурального	числа	можно отделить единицы , то есть представить это число в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные	числа	) , - нечетными цифрами .
Е - множество делителей числа 15 , а Г - множество делителей	числа	30 .
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а	числа	, не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
Таким образом , числа , кратные 2 ( четные	числа	) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем"	числа	"15 "" ? ."
Квадрат	числа	7 равен 14 .
Запиши в виде десятичной дроби	числа	.
Переведи смешанные	числа	в неправильные дроби и расположи их в порядке возрастания , сопоставив соответствующим буквам . .
В каждом из следующих чисел перенеси запятую на разряд вправо и прочитай полученные	числа	.
Куб	числа	5 равен 125 .
Таким образом ,	числа	, кратные 2 ( четные числа ) , оканчиваются четными цифрами , а числа , не кратные 2 ( нечетные числа ) , - нечетными цифрами .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель"	числа	"30 является делителем числа 15 "" ? ."
Составь множество делителей и множество кратных числа 15 , а затем -	числа	20 .
Существуют натуральных	числа	, квадрат суммы которых равен .
Все эти три	числа	можно записать так : .
Кратные какого	числа	целесообразно перебирать ? .
Запиши в виде десятичной дроби и прочитай	числа	.
Как связаны между собой два	числа	и рисунок в первой строке таблицы ?
Запиши множество делителей каждого	числа	и найди их наибольший общий делитель : 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Таким образом , чтобы сложить смешанные	числа	, можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы .
Число к делится на 3 < = > Сумма цифр	числа	к делится на 3 .
Запиши множество кратных каждого	числа	и найди их наименьшее общее кратное : 6 и 8 ; 9 и 27 ; 7 и 3 .
Составь множество делителей и множество кратных	числа	15 , а затем - числа 20 .
Какие	числа	, кратные 5 , являются решениями неравенства .
Частное куба	числа	и квадрата числа .
Как можно последовательно выписать все кратные данного	числа	?
По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде к от	числа	мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси ординат .
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на многозначное число мы можем делить , как правило , на однозначные	числа	, что значительно легче .
Разность	числа	и суммы чисел .
Для этого понадобится три действия деления : данного	числа	на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на однозначные числа .
Пользуясь установленной закономерностью , найди недостающие	числа	и рисунки .
Для этого понадобится три действия деления : данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на однозначные	числа	.
Он записывал все	числа	"от 1 до какого - либо числа , вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал кратные 2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "" уцелевшего ” числа ( кроме , разумеется , самого этого числа ): ."
По результатам измерений строился график зависимости высоты уровня к от	числа	мерок и : .
Число мальчиков этого класса составляет	числа	девочек .
Он записывал все числа от 1 до какого - либо	числа	", вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал кратные 2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "" уцелевшего ” числа ( кроме , разумеется , самого этого числа ): ."
Число т составляет 30 %	числа	п .
В игре “ Пойми меня ” команда “ Веселые ребята ” в первой части игры заработала очков , что составило	числа	очков , заработанных во второй части , и числа очков , заработанных в третьей части .
Число < 1 составляет —	числа	к < = > с1 = к : 2 • 7 .
Являются ли	числа	6 , 28 , 496 совершенными ? .
Число больше	числа	.
Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает , что	числа	х и у - это парные делители 252 : при делении 252 на х получается у , и наоборот .
Натуральное число меньше натурального	числа	.
Известно , что , выполнив округление	числа	с соблюдением всех правил получили .
При всех ли натуральных значениях п будут получаться простые	числа	? .
Заполнив несколько строк в таблице , найди закономерность , которой подчиняются	числа	, стоящие в трех последних столбцах каждой строки .
Произведение утроенного	числа	и суммы чисел .
Какая последняя цифра может быть у	числа	, кратного .
Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных - натуральные	числа	) .
Какого	числа	и в какое время это произойдет ? .
В игре “ Пойми меня ” команда “ Веселые ребята ” в первой части игры заработала очков , что составило числа очков , заработанных во второй части , и	числа	очков , заработанных в третьей части .
Следовательно , достаточно рассмотреть лишь парные делители	числа	252 , причем для случая , когда у > 6 ( так как по условию у - 6 е И ) .
Перерисуй таблицы в тетрадь и определи , как изменяется сумма и разность при изменении ( знаком условимся обозначать увеличение данного	числа	, а знаком - уменьшение ) .
При решении задач методом проб и ошибок мы видели , что простой подбор одного неизвестного	числа	не дает уверенности в том , что найдены все искомые значения .
Из равенства ху = 252 можно заметить , что	числа	х и у не могут быть больше , чем 252 .
Чтобы вычесть сумму из	числа	, можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Действительно , оно означает , что	числа	х + 1 и у - 6 также являются парными делителями числа 252 .
Само понятие простого	числа	было введено древнегреческим ученым Пифагором еще в VI веке до н э .
"Он записывал все числа от 1 до какого - либо числа , вычеркивал из него 1 , а затем последовательно вычеркивал кратные 2 , 3 , 5 , 7 и т д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "" уцелевшего ”"	числа	( кроме , разумеется , самого этого числа ): .
И хотя число россиян постоянно меняется - люди рождаются , умирают , - существуют определенные границы изменений данного	числа	.
При делении	числа	на число получается частное и остаток .
Итак , чтобы вычесть смешанные	числа	, можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Например , мы можем утверждать , что оно заведомо не равно - эти	числа	“ слишком сильно ” отличаются от .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители"	числа	с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
Если число двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень	числа	, а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно .
Напиши все	числа	, взаимно простые с числом и меньшие его .
Среди чисел а , b , с и ( 1 найди , не вычисляя ,	числа	, делителями которых являются 2 , 5 , 10 .
Число к делится на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр	числа	к делится на 3 .
Федя стал перемножать смешанные	числа	“ по аналогии ” со сложением - отдельно перемножать их целые и дробные части .
Однако нам уже известен признак делимости натурального	числа	к на 3 : .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к делится на 3 "" и "" Сумма цифр"	числа	к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же .
Например , заменив	числа	более удобными для вычисления круглыми числами , мы убеждаемся в том , что их частное равно примерно .
Для цифр х и у двузначного	числа	выполняется равенство 10х + у = ху + 52 .
"Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители"	числа	Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать .
"Однако и в этом случае "" лобовой "" перебор потребовал бы рассмотрения огромного"	числа	вариантов .
Переведи на математический язык следующие утверждения , если буквами в них обозначены натуральные	числа	.
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было делителем	числа	; число было делителем числа ? .
Чтобы вычесть сумму из числа , можно вычесть из этого	числа	одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Может ли кратное числа быть меньше самого этого	числа	? .
Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр , сумма которых равна ( цифры в записи	числа	могут повторяться ) .
Может ли кратное	числа	быть меньше самого этого числа ? .
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было делителем числа ; число было делителем	числа	? .
Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из	числа	"а удалить простые множители числа Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать ."
Некоторые	числа	, кратные четырем , оканчиваются цифрой 4 .
Действительно , оно означает , что числа х + 1 и у - 6 также являются парными делителями	числа	252 .
Действительно , частное а : ( Ь • с ) получится , если из числа а удалить простые множители	числа	"Ь • с , то есть "" объединение "" всех простых множителей чисел & и с. Но то же самое получится при вычислении ( а : Ь ): с , только сначала здесь удаляются простые множители числа Ь , а потом - простые множители числа с. Другими словами , а : ( Ь • с ) = ( а : Ь ): с , что и требовалось доказать ."
Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой , целая часть которых равна , а дробная часть составлена из цифр ( цифры в записи	числа	могут повторяться ) .
Запиши множества чисел , кратных	числам	15 и 18 , и множество К ( 15 , 18 ) их общих кратных .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует числу , а все остальные точки соответствуют	числам	, равным расстояниям от этой точки до начала луча .
Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего приводит к цели переход к натуральным	числам	.
Особенно удобен переход к натуральным	числам	при работе с выражениями , содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Всегда ли число , кратное двум различным	числам	, кратно и их произведению ?
Интерес математиков к простым	числам	огромен , начиная с древнейших времен .
Вычисли , используя переход к натуральным	числам	.
Реши уравнения , используя переход к натуральным	числам	.
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника , длины сторон которого выражаются дробными	числами	, нам необходимо получить правило умножения дробей .
Какие из этих частей можно выразить натуральными	числами	, а какие - с помощью процентов ? .
Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание : разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так , чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми	числами	.
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными	числами	, в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Расположи карточки с	числами	и буквами в порядке возрастания чисел и зачеркни 3 буквы так , чтобы получилась фамилия известного русского .
Например , заменив числа более удобными для вычисления круглыми	числами	, мы убеждаемся в том , что их частное равно примерно .
Попробуй , используя данное определение и свойства действий с натуральными	числами	, самостоятельно доказать , что умножение дробей обладает переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями , натуральными	числами	и смешанными числами , например .
Между какими двумя последовательными	числами	, кратными 3 , заключено каждое из чисел : 317 , 523 , 619 ?
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными	числами	) .
Что же касается их “ сложности ” , то действия с ними зачастую гораздо проще , чем с обыкновенными дробями , и выполняются почти так же , как с натуральными	числами	.
Выполни действия с	числами	, обозначающими доходы и расходы .
Алгоритмы сравнения и операций над натуральными	числами	и числом нам уже хорошо известны .
Проверь , что значения выражения п2 + п + 41 ( трехчлен Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются простыми	числами	.
А вот остальные действия с дробными	числами	и их свойства нам еще предстоит изучить .
Дробь , числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми	числами	, называется несократимой .
Какие из этих дробей не могут оказаться натуральными	числами	? .
Запиши последовательность из чисел , в которой первое и второе число равны соответственно , а далее разность между каждыми двумя соседними	числами	увеличивается .
Между	числами	200 и 220 имеется 6 чисел , кратных 3 .
Так же поступают и в случае , когда делимое или делитель являются натуральными	числами	.
Выполни действия с	числами	, обозначающими доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой прямой .
Между какими двумя последовательными	числами	, кратными 9 , заключено каждое из чисел : 289 , 443 , 702 ?
Известно , что НОК ( а , Ь ) = аЬ. Что можно сказать о	числах	а и Ы. Не выполняя вычислений , опровергни утверждение .
Что можно сказать о	числах	а и Ь ? .
Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о натуральных	числах	и дробях , известные из начальной школы .
Что можно сказать о	числах	а и Ь , если НОД ( а , Ь ) = 1 ? .
В	числах	вместо некоторых цифр стоят звездочки .
Уравняй число знаков после запятой в следующих	числах	, не меняя их значения .
Как в обычном , так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами , в том	числе	и на разных языках .
Сколько пятых долей в	числе	?
В	числе	вычеркни знак после запятой так , чтобы получилось : возможно большее число ; возможно меньшее число .
В	числе	отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся десятичную дробь .
А вот за разрядом тысяч в	числе	следует особая , “ серединная ” цифра , так как расположено посередине между верхней и нижней границами .
Элементы бесконечного множества уже нельзя испытать все , и при любом	числе	испытаний может оказаться , что еще непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение , которое мы хотим доказать .
В этом случае о	числе	говорят , что оно разложено на множители .
В	числе	7 030 506 все нули замени одной и той же цифрой - такой , чтобы полученное число делилось на 9 .
В полученном многозначном	числе	, не переставляя цифры , вычеркнуть половину цифр так , чтобы оставшиеся выражали : наименьшее возможное число ; наибольшее .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х десятках 10х единиц , да еще у единиц - всего в	числе	содержится 10х + у единиц .
Сформулируй гипотезу о	числе	диагоналей у угольника , проверь ее и попробуй обосновать .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном	числе	цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Что можно сказать о	числе	, если известно , что дробь можно привести к знаменателю .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном	числе	к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр делится на 3 .
Итак , округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном	числе	цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению	числителей	данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Действительно , если при таком “ перекрестном ” умножении	числителей	и знаменателей полученные произведения оказались равными , то это означает , что ни одна из дробей не больше и не меньше другой , а значит , дроби равны .
Расположи дроби с	числителем	56 в порядке убывания и сопоставь их соответствующим буквам .
Дробь несократима тогда и только тогда , когда разность между ее	числителем	и знаменателем равна .
Пусть А - множество правильных несократимых дробей со знаменателем , а В - множество правильных сократимых дробей с	числителем	.
Существует неправильная дробь с	числителем	.
В дроби ( читается : “ эм на эн ” или “ эм энных ” ) число , находящееся над чертой , называется	числителем	, а число , находящееся под чертой , - знаменателем .
Выпиши множество дробей с	числителем	, которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю .
Выпиши множество дробей с числителем , которые можно привести к знаменателю , и множество дробей с	числителем	, которые можно привести к знаменателю .
Расположи дроби с	числителем	92 в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам .
Для сложения таких дробей нужно сложить	числители	, а знаменатель оставить прежним .
Но как сравнить две дроби , у которых и знаменатели и	числители	различны ?
Например , чтобы сравнить дроби , можно	числитель	и знаменатель дроби — умножить на число .
Записать	числитель	дробной части .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на	числитель	дроби и умножить на ее знаменатель .
	Числитель	равен 2 , а знаменатель 5 ; .
Существует сократимая дробь ,	числитель	и знаменатель которой простые числа .
Дробь называется правильной , если ее	числитель	меньше знаменателя .
Таким образом , десятичная запись числа указывает как его целую часть , так и	числитель	и знаменатель дробной части .
Итак , чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , можно : найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей ; найти дополнительный множитель для каждой дроби ; умножить	числитель	и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .
Итак , мы видим , что для деления на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой	числитель	и знаменатель поменялись местами .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток -	числитель	, а делитель - знаменатель дробной части .
Дробь сократима тогда и только тогда , когда ее	числитель	и знаменатель кратны .
Значит , при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель , а	числитель	оставить прежним .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться , чтобы данные дроби имели или один и тот же знаменатель , или один и тот же	числитель	.
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в	числитель	, а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Раздели	числитель	и знаменатель каждой дроби .
знаменатель 4 , а	числитель	в 2 раза больше .
"Знаменатель показывает , на сколько равных частей разделили единицу ( "" целое "" ) , а"	числитель	показывает , сколько таких частей взяли .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число ,	числитель	делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Дробь ,	числитель	и знаменатель которой являются взаимно простыми числами , называется несократимой .
В нашем примере : знаменатель дробной части , целая часть ,	числитель	дробной части .
Если	числитель	дроби равен ее знаменателю .
	Числитель	3 , а знаменатель на 2 больше ; .
Дробь ,	числитель	и знаменатель которой кратны , сократима .
Найди дробь , у которой	числитель	"меньше знаменателя и которая не изменится , если ее запись перевернуть "" вверх ногами "" ."
Произведение двух дробей есть дробь ,	числитель	которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой	числитель	делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой	числитель	и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой	числитель	и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Что обозначают	числитель	и знаменатель дроби ?
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой	числитель	меньше .
При этом два действия - деление на знаменатель дроби , а затем умножение на ее	числитель	- заменяются одним действием - умножением на дробь .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой	числитель	делится , а знаменатель не делится ? .
Дробь сократима в том и только в том случае , когда ее	числитель	кратен знаменателю .
Чтобы найти число по его части , выраженной дробью , надо эту часть на	числитель	дроби и на знаменатель .
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на ее	числитель	.
Лев Толстой как - то заметил , что человек подобен дроби ,	числитель	которой есть то , что человек представляет собой , а знаменатель - то , что он думает о себе .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то	числитель	и знаменатель дроби можно домножить на недостающее число двоек .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , надо это число на знаменатель дроби и на	числитель	.
Обе дроби равны между собой , но при этом	числитель	и знаменатель второй дроби в раз превышает числитель и знаменатель первой дроби .
Обе дроби равны между собой , но при этом числитель и знаменатель второй дроби в раз превышает	числитель	и знаменатель первой дроби .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить	числитель	дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
Разложи на множители	числитель	, а затем сократи дробь .
Если	числитель	дроби меньше знаменателя , то дробь называют правильной , а если он больше или равен знаменателю , то дробь называют неправильной . .
Разделим	числитель	данной дроби на знаменатель .
Обратно , чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в	числитель	, а знаменатель оставить без изменений .
Ясно , что вычитание возможно только в случае , когда	числитель	полученной дроби больше или равен нулю , то есть .
Разложи	числитель	и знаменатель дроби на простые множители и сократи дробь .
Можно также раскладывать	числитель	и знаменатель дроби на множители , причем не обязательно простые .
Если	числитель	неправильной дроби делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Нам известно , что частное двух натуральных чисел равно дроби , у которой делимое -	числитель	, а делитель - знаменатель , например : .
знаменатель равен 6 , а	числитель	7 ; .
А число , на которое умножается	числитель	и знаменатель данной дроби , называют дополнительным множителем .
При этом два действия - деление на	числитель	дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь .
Поэтому , разделив	числитель	и знаменатель дроби , мы получим равную ей несократимую дробь . .
Применив распределительный закон , представь	числитель	в виде произведения , а затем сократи дробь .
Следовательно , если мы умножим и	числитель	, и знаменатель этой дроби , то оба они станут целыми , а дробь при этом не изменится .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби — на дополнительный множитель .
Как и на сколько изменится дробьесли к ее	числителю	и знаменателю прибавить ? .
А если к	числителю	прибавить тысячную долю знаменателя ? .
Как и на сколько изменится дробь , если к ее	числителю	и знаменателю прибавить ? .
Как изменится величина дроби , если к ее	числителю	прибавить знаменатель ?
Приведение к одинаковому	числителю	особенно полезно в случае , когда можно сравнить устно , если привести их к одинаковому числителю .
Приведение к одинаковому числителю особенно полезно в случае , когда можно сравнить устно , если привести их к одинаковому	числителю	.
А как вообще по	числителю	и знаменателю дроби узнать , можно ли ее записать в виде конечной десятичной ?
Еще проще было привести эти дроби к общему	числителю	.
Сравни дроби , приводя их к наименьшему общему	числителю	.
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее	числителю	и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число .
Ира задумала число , прибавила его к	числителю	и знаменателю дроби , затем сократила полученную дробь и получила в результате .
К	числителю	и знаменателю дроби — прибавили .
К	числителю	и знаменателю несократимой дроби прибавили .
К	числителю	и знаменателю сократимой дроби прибавили .
К	числителю	и знаменателю дроби прибавили .
Дробь сократима , если и только если наибольший общий делитель	числителя	и знаменателя больше .
Как изменяется дробь с увеличением и уменьшением	числителя	, знаменателя ?
Для этого нужно сократить ее на наибольший общий делитель	числителя	и знаменателя .
Не меняется частное и при умножении	числителя	и знаменателя на одно и то же натуральное число .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет десятичной дроби , так как является , по сути , умножением	числителя	и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
На практике часто удобно не вычислять НОД	числителя	и знаменателя , а проводить сокращение дроби последовательно , например : ( сначала сократили , а потом ) .
Митя записал дробь , знаменатель которой больше	числителя	, и после сокращения получил дробь .
Каждое натуральное	число	больше предыдущего на единицу .
Существует ли	число	, расположенное между числами .
Представь	число	в виде неправильной дроби .
Назови трех ребят , показавших лучшую результативность ( результативность — это частное от деления числа набранных очков на	число	игр ) .
На какое число надо разделить , чтобы получить	число	большее , чем разность ? .
другое и	число	", на которое они умножаются для увеличения "" в несколько раз "" ."
Это равенство не нарушится , если обе его части умножить на	число	с , то есть ас = ( Ьк)с .
Определи , делится ли	число	а на Ь , и , если делится , найди частное .
Число а делится на	число	Ь. Найди НОД ( а , Ь ) .
Представь в виде произведения двух дробей	число	.
Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель исходных дробей –	число	.
Если	число	делится на два других числа , то оно делится и на их произведение .
Выпиши все числа , меньшие 100 , на которые делится	число	а .
Как умножить дробь на натуральное	число	?
Если одно	число	больше другого , то после умножения их обоих на одно и то же натуральное число неравенство между ними сохранится .
Всегда ли	число	, кратное двум различным числам , кратно и их произведению ?
Запиши	число	: .
И вообще , чтобы разделить десятичную дробь на натуральное	число	, можно .
Умножим сумму — и	число	— на произведение .
Какое наибольшее	число	одинаковых наборов можно составить из этих картинок РА Ш и карандашей так , чтобы все картинки и карандаши вошли в эти наборы ?
На круговой диаграмме показано	число	учащихся , прочитавших в октябре месяце указанное количество книг из школьной библиотеки .
Какое	число	обозначает выход из лабиринта ?
На турбазе имеются палатки и домики , общее	число	которых равно .
Поэтому мы введем четыре имени : делимое обозначим буквой а , делитель - буквой Ь , частное - буквой к , а четвертое	число	- буквой с .
При делении числа на	число	получается частное и остаток .
Сколько вагонов в каждом поезде , если известно , что общее	число	вагонов не превышает 50 ? . .
Кто набрал большее	число	голосов и стал директором фабрики ?
Существует наименьшее натуральное	число	.
Если одно число больше другого , то после умножения их обоих на одно и то же натуральное	число	неравенство между ними сохранится .
Измерь углы и определи	число	учащихся в каждой из выделенных групп , если всего в школе учатся 1400 детей .
Мы должны доказать , что сумма этих трех чисел , то есть	число	п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) , делится на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
Например , пусть надо разделить	число	.
Определи , не вычисляя , является ли	число	2 • 2 • 3 • 5 кратным для чисел а , b , с и с/. Проверь с помощью вычислений .
Найди методом проб и ошибок	число	: квадратом которого является ; кубом которого является .
Любое натуральное	число	делится на себя и на единицу .
Задумано	число	.
Известно , что	число	809 простое .
Найди натуральное	число	, если .
Какое	число	имеет больше делителей - 7 или 14 , 6 или 30,12 или 36 , 8 или 40 , 111 или 111 111 111 ?
Запиши	число	“ целых десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами , а затем в виде десятичной дроби тремя различными способами .
Запиши	число	, представленное в виде суммы разрядных слагаемых .
Если	число	делится на 9 , то оно делится на 3 .
	Число	, следующее за простым числом ; .
Какое наименьшее	число	автобусов могут обслужить эту линию ? .
Если	число	делится на 3 , то оно делится па 9 .
	Число	, следующее за составным числом ; .
Как можно делить произведение на	число	?
Какое	число	было дано Оле ? .
Смешанное	число	— перевели в неправильную дробь .
Ира задумала	число	, прибавила его к числителю и знаменателю дроби , затем сократила полученную дробь и получила в результате .
Так ,	число	11 550 делится на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое число 13 .
Оле было дано пятизначное	число	.
Найти наименьшее общее кратное можно , перебирая кратные одного из чисел ( лучше взять большее	число	) .
Существует натуральное	число	, имеющее меньше двух делителей .
Что надо поставить вместо звездочки в записи , чтобы получить	число	, большее четырех , но меньшее пяти ? .
	Число	, предшествующее составному числу ; .
Какие цифры можно подставить вместо звездочки в записи 741 56 , чтобы получившееся	число	было : кратно 3 ?
Разделив некоторое целое	число	на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
30 • 1 = 30 ,	число	30 не делится на 12 , значит , 30 не является НОК ( 12 , 30 ) ; .
"Таким образом , мы видим , что термин "" составное"	число	""" выбран не случайно : составные числа как бы составлены из "" кирпичиков "" - простых чисел ."
Чтобы найти часть числа , выраженную дробью , можно это	число	разделить на знаменатель дроби и умножить на ее числитель .
Чтобы найти	число	по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее знаменатель .
	Число	, предшествующее простому числу ; .
Затем запиши	число	теми же цифрами , но в обратном порядке .
Так , число 11 550 делится на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое	число	13 .
Возьмем произвольное натуральное	число	и обозначим его буквой п. Тогда следующие за ним два числа равны соответственно п + 1 и п + 2 .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление десятичной дроби на натуральное	число	.
Запиши четырехзначное	число	, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей .
Придумай трехзначное	число	, которое : .
Доказать , что частное двух натуральных чисел не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же	число	раз ( при делении без остатка ) .
В то же время	число	"11 550 не делится на 4 = 2 - 2 , так как в разложении числа 4 есть "" лишняя "" двойка ."
Докажи , что любое	число	кратно самому себе .
Например ,	число	11 550 делится на 75 = 3 • 5 • 5 , поскольку 11 550 = ( 3 • 5 • 5 ) • 2 • 7 • 11 .
Какими цифрами может оканчиваться многозначное составное	число	?
Всякое составное	число	имеет составные делители , не равные ему .
Составь	число	из одних девяток , чтобы оно делилось на 5 .
Евклид доказал , что простых чисел бесконечно много ( то есть за каждым простым числом есть еще большее простое	число	) .
Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое	число	? .
Составь наименьшее	число	из цифр - номеров истинных высказываний .
Задумали число , разделили на него , полученное частное вычли , результат увеличили и получили	число	, большее квадрата числа .
Известно , что некоторое	число	меньше .
Составь	число	из одних пятерок , чтобы оно делилось на 9 .
Таким образом , чтобы сложить смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; сложить отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть ; если дробная часть суммы окажется неправильной дробью , выделить из нее целую часть и полученное	число	прибавить к целой части суммы .
то получится число , которое больше , чем наименьшее трехзначное	число	.
В числе 7 030 506 все нули замени одной и той же цифрой - такой , чтобы полученное	число	делилось на 9 .
Умножим обе части уравнения на	число	- наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей , входящих в его запись .
то получится	число	, которое больше , чем наименьшее трехзначное число .
Может ли	число	иметь более 1000 кратных ? .
Какое наибольшее	число	подарков можно приготовить , чтобы в них были одинаковые наборы яблок и мандаринов и все они вошли в эти подарки ? .
Кто стал председателем кооператива , если в кооперативе члены и по Уставу председателем становится кандидат , получивший наибольшее	число	голосов ?
Во время перерыва кто - то случайно стер три цифры , и в записи осталось	число	.
Если произведение двух чисел делится на данное	число	, то и каждый множитель делится на это число .
Если задуманное	число	вычесть из числа , результат уменьшить в раз , а затем увеличить на ,
Известно , что некоторое	число	больше .
Если произведение двух чисел делится на данное число , то и каждый множитель делится на это	число	.
Найди , какую часть	число	А составляет от числа В , и вырази эту часть в процентах .
Задумали	число	, разделили на него , полученное частное вычли , результат увеличили и получили число , большее квадрата числа .
Наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей -	число	, и мы подсчитаем , чему равно .
И вообще , всякое составное	число	можно разложить на простые множители единственным образом ( с точностью до порядка множителей ) .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же	число	частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Если к неизвестному числу приписать справа нуль и новое	число	сложить с неизвестным , то в сумме получится .
Задуманное	число	увеличили в 3 раза , а затем уменьшили на 12 .
Отметим , что утверждение о том , что некоторое число является составным , по сути есть утверждение о существовании :	число	является составным , если оно имеет хотя бы один делитель , не равный ни ему самому , ни 1 .
Другими словами ,	число	является составным , если его можно разложить хотя бы на два множителя , ни один из которых не равен 1 .
Что меньше : число , 15 % которого составляют 3 мин 45 с , или	число	, — которого составляют 15 мин ? . .
Правило умножения дробей позволяет также перемножать дробь и натуральное	число	.
Какое	число	задумала Ира ? .
При решении задач часто приходится представлять данное	число	в виде произведения нескольких множителей .
Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель -	число	1 .
Перемножив четыре простых последовательных числа , Нина получила в результате	число	, цифра единиц которого 0 .
В результате получилось	число	, на 2 большее задуманного .
Что меньше :	число	, 15 % которого составляют 3 мин 45 с , или число , — которого составляют 15 мин ? . .
В полученном многозначном числе , не переставляя цифры , вычеркнуть половину цифр так , чтобы оставшиеся выражали : наименьшее возможное	число	; наибольшее .
Их наибольшим общим делителем является	число	8 .
Напротив , составное	число	всегда раскладывается хотя бы на два множителя , отличных от 1 , причем зачастую разными способами .
Какое	число	было задумано ?
Найти задуманное	число	, если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается число , на 52 единицы большее , чем само задуманное число .
Основное свойство дроби показывает , что всякое целое или дробное	число	можно записать в виде дроби бесконечным числом способов , например .
Трехзначное	число	, записанное одинаковыми цифрами , кратно 37 .
Число а делится на	число	Ъ , если существует такое число с , что выполняется равенство а = Ьс .
Если одно из двух чисел делится на некоторое	число	, то и произведение данных чисел делится на это число .
Наташа забыла первую цифру в коде замка : * 85 327 , но помнила , что все шестизначное	число	было кратно 3 .
Как изменится	число	в результате всех операций ?
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то и произведение данных чисел делится на это	число	.
Число а делится на число Ъ , если существует такое	число	с , что выполняется равенство а = Ьс .
Произведение четного и нечетного числа –	число	. .
Наибольшим решением неравенства 9570 < х < 10 815 , кратным 3 и 5 , является	число	10 800 .
Значит , при делении дроби на натуральное	число	можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Значит , при делении дроби на натуральное число можно умножить на это	число	знаменатель , а числитель оставить прежним .
Какое	число	может быть « лишним » ? .
Отметим , что утверждение о том , что некоторое	число	является составным , по сути есть утверждение о существовании : число является составным , если оно имеет хотя бы один делитель , не равный ни ему самому , ни 1 .
Если эти цифры поменять местами , то получится	число	, которое меньше исходного .
Вычли задуманное	число	, а разность увеличили сначала , а потом .
К задуманному числу прибавили и получили	число	, больше задуманного .
Найти задуманное	число	.
Задуманное	число	увеличили , затем то же самое число увеличили и полученные суммы перемножили .
Задуманное число увеличили , затем то же самое	число	увеличили и полученные суммы перемножили .
Задуманное	число	сначала увеличили в два с половиной раза , затем уменьшили , вычли и получили .
В результате получилось	число	, большее квадрата задуманного числа .
	Число	1 ( имеет единственный делитель ) ; .
Разложим их на простые множители и выделим наибольшее возможное	число	одинаковых множителей .
Представь	число	в виде дроби .
Если делимое и делитель разделить на одно и то же	число	, отличное от нуля , то частное .
Найди наименьшее и наибольшее трехзначное	число	, при котором дроби , все несократимы .
Возьмем какое - нибудь натуральное	число	, например .
Разрешается называть любое число и проиграет тот , кто не сможет назвать	число	большее , чем назвал его соперник .
Составным является , например ,	число	6 : оно имеет 4 делителя - 1 , 2 , 3 и 6 .
На какое	число	надо умножить , чтобы получить тот же результат , что и при делении ? .
Найди	число	, которое на столько же меньше .
Как разделить сумму , разность и произведение на	число	?
Запиши цифрами	число	: семь миллиардов сорок два миллиона пятьдесят шесть тысяч тридцать девять .
Пользуясь установленной закономерностью , найди	число	диагоналей угольника .
Например , запись 40 = 4 • 10 означает , что	число	40 разложено на множители 4 и 10 .
Всякое натуральное	число	делится само на себя и на 1 - это следует из равенства а = а • 1 .
Когда эти цифры поменяли местами , получили	число	, которое меньше исходного .
Представь в виде суммы разрядных слагаемых	число	.
Существует	число	, обратное самому себе .
Сформулируй гипотезу о том , как изменяется правильная дробь , когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное	число	.
Мы знаем , что , например ,	число	27 делится на 3 .
Разрешается называть любое	число	и проиграет тот , кто не сможет назвать число большее , чем назвал его соперник .
На какое	число	надо разделить , чтобы получить число большее , чем разность ? .
Числа разделили на одно и то же	число	.
Трехзначное	число	, записанное одинаковыми цифрами , кратно 3 .
На какое	число	делили ? .
Какое	число	является делителем всех чисел ? .
Произведение любых двух соседних чисел -	число	четное .
Однако на практике натуральное	число	п дробью не заменяют , а используют только результат проведенного вычисления , то есть пишут , например .
Если мы делим предмет на большее	число	частей , то каждая часть получается меньше .
Разность четного и нечетного числа -	число	нечетное .
Запиши три раза подряд число 7052 и прочитай получившееся	число	.
Запиши три раза подряд	число	7052 и прочитай получившееся число .
Таким образом , чтобы разделить	число	на десятичную дробь , можно .
При каких значениях х	число	Их является простым ? .
В результате получилось	число	, меньшее числа .
Докажи , что	число	782 является делителем числа 43 792 .
Найти задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается число , на 52 единицы большее , чем само задуманное	число	.
Сумма любых двух нечетных чисел и четного числа есть	число	четное .
Докажи , что любое	число	является делителем самого себя .
Если в числовом выражении провести указанные в нем действия , то получится некоторое	число	.
Теперь выполним деление дроби на натуральное	число	по установленному выше правилу .
Сумма любых двух соседних чисел -	число	нечетное .
Сумма двух четных чисел -	число	четное .
Обозначим первое , второе и третье числа буквами а , b и с. По условию а делится на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое натуральное	число	.
По определению деления натуральных чисел разделить число на число — это значит найти такое	число	, которое при умножении дает .
Например , в нашей “ многоэтажной ” дроби наименьшим общим знаменателем всех дробей , входящих в ее запись , является	число	.
В полученном произведении множитель b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все произведение -	число	а , что и требовалось доказать .
Не вычисляя произведения , установи , делится ли оно на данное	число	.
По определению деления натуральных чисел разделить число на	число	— это значит найти такое число , которое при умножении дает .
По определению деления натуральных чисел разделить	число	на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
Если	число	делится на произведение двух чисел , то оно делится и на каждое из этих чисел .
Этот случай легко свести к делению на натуральное	число	.
Итак , при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это	число	его целую и дробную части и полученные результаты сложить .
Это	число	называется значением выражения .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то и первое	число	делится на третье .
Выполнить деление на натуральное	число	.
В числителе дроби стоит	число	, а в знаменателе - число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
А	число	, на которое умножается числитель и знаменатель данной дроби , называют дополнительным множителем .
Барон Мюнхаузен утверждал , что ему удалось найти такое натуральное	число	, произведение всех цифр которого равно 6552 .
Если	число	оканчивается цифрами 0 или 9 , то оно кратно 9 .
Сократи дроби , представляя степени в виде произведений ( значения всех переменных — натуральное	число	) .
Сколько раз уменьшали	число	и на сколько уменьшили всего ?
В записи числа поставь вместо звездочек цифры так , чтобы получилось	число	.
Например , чтобы сравнить дроби , можно числитель и знаменатель дроби — умножить на	число	.
Разность любых двух нечетных чисел –	число	.
При этом	число	с называется частным от деления а на b , число а — кратным Ь , а число Ь - делителем а .
Если сумма цифр числа кратна 5 , то	число	кратно 5 .
При делении дроби на натуральное	число	, как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Сумма любых двух нечетных чисел –	число	.
"В данном свойстве действуют три "" персонажа "" : два числа - сомножители и некоторое третье"	число	.
Действительно , натуральное	число	— это то же самое , что дробь и поэтому .
Сколько раз увеличивали	число	и на сколько увеличили всего ?
При этом число с называется частным от деления а на b ,	число	а — кратным Ь , а число Ь - делителем а .
Первые два числа обозначим буквами а и Ь , а третье	число	- буквой с .
Сумма четного и нечетного числа –	число	. .
Найти задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается	число	, на 52 единицы большее , чем само задуманное число .
При этом число с называется частным от деления а на b , число а — кратным Ь , а	число	Ь - делителем а .
В числителе дроби стоит число , а в знаменателе -	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
то есть аЬ делится на с - в частном получается	число	ак .
Если число а на	число	Ъ , и , если делится , найди частное .
Найди дробь , знаменателем которой является однозначное	число	и которая больше , но меньше . .
Если первое	число	делится на второе , а второе делится на третье , то и первое число делится на третье .
Если	число	а на число Ъ , и , если делится , найди частное .
Рассмотрим теперь случай , когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс деления на натуральное	число	.
Как изменяет	число	каждое действие ?
Докажи , что	число	5 является наибольшим общим делителем чисел 85 и 90 .
Каждое натуральное	число	, кроме 1 , в два раза меньше суммы соседних с ним чисел .
Следовательно ,	число	8535 тоже не делится на 9 .
Какое это	число	? .
Задачи на нахождение части , которую одно	число	составляет от другого .
Записав число в виде 100а + Ъ , где Ь - двузначное	число	, образованное двумя последними цифрами данного числа , сформулируй и докажи признаки делимости на 4 и на 25 .
При каких натуральных п	число	8 / г + 3 делится на 13 ? . .
Если двузначное	число	уменьшить на 45 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Если двузначное число уменьшить на 45 , то получится двузначное	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Можно получить более простую математическую модель этой задачи , обозначив дополнительно буквой у	число	детей , которых можно разместить в большом автобусе : . .
Если двузначное	число	увеличить на 27 , то получится двузначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Умножение и деление натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное	число	нулей .
Если двузначное число увеличить на 27 , то получится двузначное	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Натуральное	число	а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
Во всех рассмотренных выше десятичных дробях	число	знаков после запятой ( без учета нулей в конце ) является конечным .
Натуральное число а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное	число	с такое , что а = Ъс .
Докажи , что по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое	число	ошибок ( быть может , и ноль ) , если известно , что в классе человек .
Значит , решением задачи является	число	х , удовлетворяющее равенству .
Обозначим число больших автобусов буквой х , тогда число маленьких автобусов х + 1 , а	число	детей в каждом автобусе соответственно 252 : х и 252 : ( х+ 1 ) .
Обозначим число больших автобусов буквой х , тогда	число	маленьких автобусов х + 1 , а число детей в каждом автобусе соответственно 252 : х и 252 : ( х+ 1 ) .
И одно и то же	число	может иметь несколько имен — в той и в другой системе .
Обозначим	число	больших автобусов буквой х , тогда число маленьких автобусов х + 1 , а число детей в каждом автобусе соответственно 252 : х и 252 : ( х+ 1 ) .
Имеются ли среди этих последовательностей такие , в которых содержится ровно одно простое	число	? .
"Реши уравнения , используя правило "" весов "" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же"	число	, отличное от нуля .
Умножим	число	, используя действия с обыкновенными дробями .
Найди методом проб и ошибок	число	: квадратом которого является 2209 ; кубом которого является 4913 .
Какое	число	является делителем любого числа ? . .
И поскольку к десятичной дроби справа можно приписать любое	число	нулей , не изменяя ее , то эта закономерность продолжится и дальше .
квадрат числа ; двузначное	число	; .
Впрочем , и в каждой из этих систем записи	число	имеет бесконечно много имен .
Докажи , что	число	102 060 кратно 18 , а число 45 является делителем числа 31 905 .
Какое	число	нашел Витя ? .
Записав	число	в виде 100а + Ъ , где Ь - двузначное число , образованное двумя последними цифрами данного числа , сформулируй и докажи признаки делимости на 4 и на 25 .
При этом дробь не изменится , но в новой ее записи	число	двоек и пятерок будет одинаковым , а в этом случае , как мы только что видели , дробь можно перевести в конечную десятичную .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то числитель и знаменатель дроби можно домножить на недостающее	число	двоек .
Н айти это	число	, если х - цифра десятков , ау- цифра единиц этого числа .
Если	число	двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень числа , а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно .
Какой цифрой может оканчиваться это	число	? . .
В классе девочек , а	число	мальчиков составляет — числа девочек .
Значит , и левая его часть , то есть задуманное	число	, больше 52 .
Поэтому неизвестное	число	х не меньше 5 , и можно рассматривать только пять значений х - от 5 до 9 .
При делении числа а на	число	Ь получается в частном сив остатке г .
"По правилу "" весов "" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же"	число	, отличное от нуля .
Поэтому если мы из каждой части этого равенства вычтем одно и то же	число	у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для натурального числа у невозможно .
Задумано двузначное	число	, сумма цифр которого в 2 раза меньше самого числа .
При делении числа и на	число	4 получается в частном у и в остатке 1 .
Всякое натуральное	число	, делящееся на 2 , является четным .
Всякое натуральное	число	, оканчивающееся на 5 , делится на 5 .
Что означает	число	1000 в получившейся формуле ? .
Наша осторожность помогла нам найти еще одно	число	- 84 , которое удовлетворяет условию задачи : . .
Таким образом , задумано либо	число	73 , либо 84 , а какое именно из них - неизвестно : условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос .
Задумано двузначное	число	, которое на 66 больше произведения своих цифр .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное	число	поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Двузначное	число	на 25 больше произведения своих цифр .
Какое это	число	? . .
Витя нашел такое двузначное натуральное	число	, при умножении которого получается точный квадрат , а при умножении - точный куб .
Найди это	число	.
Какой смысл имеет	число	40 в получившейся формуле ? .
Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить	число	возможных вариантов .
Докажи , что число 102 060 кратно 18 , а	число	45 является делителем числа 31 905 .
Натуральное	число	а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
При этом	число	а называют основанием степени , а число 5 - показателем степени .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не делятся на это	число	.
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное	число	, можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья -	число	тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая -	число	сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает	число	десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды , десятичную дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это	число	, то их сумма и разность не делятся на это число .
Так ,	число	содержит целых единиц , десятых , сотых и тысячных .
Если одно из двух чисел делится на некоторое	число	, а другое не делится на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
Это означает , в частности , что натуральное	число	также можно записать в виде десятичной дроби , и при этом бесконечным числом способов .
Уравнять , если необходимо ,	число	цифр в числителе с числом нулей в знаменателе , не меняя значения дроби .
Как найти , какую часть	число	Ь составляет от числа аЧ. .
Делится ли	число	215 на 19 ? .
Следовательно , данные числа имеют только один общий делитель -	число	1 .
Затем было решено уменьшить	число	стульев в ряду , при этом число рядов увеличилось .
Затем было решено уменьшить число стульев в ряду , при этом	число	рядов увеличилось .
В то же время для доказательства истинности общего утверждения привести даже большое	число	примеров недостаточно .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить	число	рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть десятичными дробями .
Любое натуральное	число	делится на 2 .
И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное	число	равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Всякое	число	, делящееся на 5 , оканчивается цифрой 5 .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , надо это	число	на знаменатель дроби и на числитель .
Из семи спичек выложено	число	.
Найди задуманное	число	.
Какое наименьшее	число	солдат могло быть ? . .
Число х называется квадратным корнем из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае	число	у ? .
Как найти	число	, если его часть , выраженная дробью равна ЪЧ .
30 • 2 = 60 ,	число	60 делится на 12 , значит , НОК ( 12 , 30 ) = 60 .
Задумано двузначное	число	меньшее 80 , которое на 58 больше произведения своих цифр .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных -	число	, кратное .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное число , в разряде сотых - нечетное	число	, в разряде тысячных - число , кратное .
Выбери дроби , у которых в разряде десятых стоит цифра , обозначающая четное	число	, в разряде сотых - нечетное число , в разряде тысячных - число , кратное .
Представь это	число	в виде суммы разрядных слагаемых .
Прочитай	число	и назови все его разряды .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию :	число	Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть	число	Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Увеличь	число	.
Уменьши	число	.
Некоторое	число	сначала увеличили на 14 , потом увеличили в 4 раза , результат вычли из 110 и получили 18 .
При этом число а называют основанием степени , а	число	5 - показателем степени .
Какое	число	задумали ? . .
Представь дробь в виде суммы разрядных слагаемых и назови	число	единиц каждого разряда .
Найти двузначное	число	, которое на 34 больше произведения своих цифр .
Всякое трехзначное	число	больше 100 .
Существует наибольшее пятизначное	число	.
Существует наибольшее натуральное	число	.
Степенью числа а с натуральным показателем 1 называется само	число	а : а1 — а .
Чтобы найти — от числа а , надо это	число	на 9 и на 8 .
Чтобы найти	число	, 4 которого равны Ъ , надо Ъ на 3 и на 4 .
Данные числа обозначим буквами а и b , третье	число	- буквой с.
Чтобы найти , какую часть	число	6 составляет от числа 10 , надо 6 на 10 .
Дано	число	.
Запиши по крайней мере семью различными способами	число	.
Определи истинность высказываний , представляя	число	"в виде суммы или разности "" удобных "" чисел ."
Пользуясь свойством делимости разности на	число	, найди все общие делители чисел .
Найти двузначное	число	, частное от деления , которого на произведение его цифр равно 3 .
В числе вычеркни знак после запятой так , чтобы получилось : возможно большее	число	; возможно меньшее число .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное	число	.
Может ли быть первое	число	: меньше второго ; больше второго ; равно второму ?
Чтобы разделить разность на число , отличное от нуля , можно разделить на это	число	уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
Представь	число	24 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами ( порядок множителей во внимание не принимается ) .
Не меняется частное и при умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное	число	.
Найди закономерность и запиши следующее	число	в последовательности .
Можно отделить и три последние цифры , то есть записать число в виде 1000а + Ъ , где Ь - трехзначное	число	.
Если	число	делится па 10 , то оно делится на 2 .
Можно отделить и три последние цифры , то есть записать	число	в виде 1000а + Ъ , где Ь - трехзначное число .
В числе вычеркни знак после запятой так , чтобы получилось : возможно большее число ; возможно меньшее	число	.
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит	число	, а именно : сотню , десятка , единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами , то получится	число	на 27 меньшее , чем исходное .
Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами , то получится	число	на 18 большее , чем исходное .
Запиши это число в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых , число в сотнях тысяч и округли полученное	число	сотен тысяч с точностью до тысячных .
Запиши это число в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых ,	число	в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных .
Если	число	делится на 2 , то оно делится на 10 .
Запиши это	число	в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых , число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных .
Если	число	делится на 10 , то оно делится на 2 и на 5 .
Реши пример и округли полученный результат до десятков тысяч : округли	число	с заданной точностью .
Запиши последовательность из чисел , в которой первое	число	равно , а каждое следующее больше предыдущего .
Если	число	делится на 2 и на 5 , то оно делится на 10 .
Действительно , в записи многозначного натурального числа можно отделить единицы , то есть представить это	число	в виде 10а + Ъ , где Ь - последняя цифра числа .
Например , его можно записать в виде 100а + Ь , где Ъ - двузначное	число	, образованное двумя последними цифрами данного числа .
Запиши последовательность из чисел , в которой первое и второе	число	равны соответственно , а далее разность между каждыми двумя соседними числами увеличивается .
Чтобы разделить разность на	число	, отличное от нуля , можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе .
	Число	10 является делителем произведения 47-(1310 - 490 ) .
Задумали	число	, увеличили его на 9 , результат умножили на 6 и получили 282 .
А	число	мальчиков , участвовавших в соревнованиях , равно Зх , или 45 .
Вычислим сумму , уравняв	число	знаков после запятой и переходя к сложению обыкновенных дробей .
Натуральное	число	меньше натурального числа .
Число 80 разделили на задуманное	число	, к частному прибавили 13 , результат увеличили в 4 раза и получили 72 .
А вот смотри , если прибавить к твоему возрасту , 38 годам ,	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получим полный квадрат .
Вырази число в десятках тысяч и округли полученное	число	десятков тысяч с точностью до сотых .
Вырази	число	в десятках тысяч и округли полученное число десятков тысяч с точностью до сотых .
К числу 3 прибавили задуманное	число	, сумму увеличили в 5 раз и полученное произведение вычли из 70 .
Округли	число	.
Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами , то получится	число	, на 72 меньшее исходного .
Запиши	число	сначала в виде десятичной дроби тремя различными способами , а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами .
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это	число	: делимое равняется произведению делителя и частного .
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на многозначное	число	мы можем делить , как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
Чтобы вычесть	число	из суммы , можно вычесть это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Например , для того чтобы разделить некоторое	число	на 288 , мы можем заметить , что .
Чтобы вычесть число из суммы , можно вычесть это	число	из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Наибольшее семизначное	число	, кратное 1000 , сумма цифр которого равна 15 .
Если	число	делится на 10 , то оно делится на 5 .
Чтобы умножить разность на	число	, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это	число	уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе .
Если	число	делится на 5 , то оно делится на 10 .
Наименьшее пятизначное	число	, кратное 10 , сумма цифр которого равна 12 .
Как известно , деление на некоторое	число	является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется произведению делителя и частного .
Найти двузначное	число	, которое на 26 больше произведения своих цифр .
Уравняй	число	знаков после запятой в следующих числах , не меняя их значения .
Найти двузначное	число	, которое в два раза больше суммы своих цифр .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное	число	а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Округлить	число	с точностью до сотен миллионов .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное	число	Ь является делителем натурального числа а .
Округлить	число	с точностью до тысяч .
Итак , округлить натуральное	число	с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями , а цифру данного разряда определить по следующему правилу : если в исходном числе цифра , следующая ( в направлении слева направо ) за данным разрядом , меньше , то цифра данного разряда остается без изменения ; если в исходном числе цифра , следующая за данным разрядом , больше или равна , то цифра данного разряда увеличивается .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если число оканчивается на 0 , то оно делится на 10 , а если	число	оканчивается на любую другую цифру , то оно не делится на 10 .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если	число	оканчивается на 0 , то оно делится на 10 , а если число оканчивается на любую другую цифру , то оно не делится на 10 .
Для установления общего правила условились выбирать верхнюю границу и тогда , когда данное	число	расположено ровно посередине между двумя границами , например с точностью до тысяч . .
Для выяснения , делится ли одно	число	"на другое , всегда можно провести деление известным нам способом - "" уголком "" ."
Если в каждом ряду добавить по 5 стульев , то	число	рядов уменьшится на 8 .
Круглое	число	с одним нулем в конце записи состоит из десятков , поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до десятков .
Натуральное число а делится на натуральное	число	Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Так как цифра единиц меньше , то	число	расположено ближе к .
Задуманное	число	сначала , увеличили , а затем уменьшили и получили .
Найди путь , ведущий от левого верхнего угла в нижний правый так , чтобы получилось	число	, записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
И если обозначить	число	живущих в России в настоящее время буквой , то приведенное выше высказывание можно записать совсем коротко .
Если проделать то же самое с числом , не входящим в эту таблицу , то получится простое	число	.
Если взять любое число из этой таблицы , умножить его на 2 и к произведению прибавить 1 , то всегда получится составное	число	.
И хотя	число	россиян постоянно меняется - люди рождаются , умирают , - существуют определенные границы изменений данного числа .
При этом желательно , чтобы	число	кусков было меньше , и чтобы каждый гость получил свою часть не более чем в двух кусках .
Если взять любое	число	из этой таблицы , умножить его на 2 и к произведению прибавить 1 , то всегда получится составное число .
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было делителем числа ;	число	было делителем числа ? .
Можно ли подобрать такие тип , чтобы :	число	было делителем числа ; число было делителем числа ? .
Что означает	число	3 в этой формуле ?
Какое	число	было вначале ? .
Заметим , что ответы двух последних примеров — это фактически одно и то же	число	.
Натуральное	число	а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Число х на 2 больше числа у ,	число	у на 2 меньше числа х , х - 2 = у , у = х - 2 , х = у + 2,х ~ у = 2 .
Вырази число в миллионах и округли полученное	число	миллионов с точностью до тысячных .
Вырази	число	в миллионах и округли полученное число миллионов с точностью до тысячных .
Вырази число в тысячах и округли полученное	число	тысяч с точностью до сотых .
Вырази	число	в тысячах и округли полученное число тысяч с точностью до сотых .
Вырази число в сотнях и округли полученное	число	сотен с точностью до десятых .
Вырази	число	в сотнях и округли полученное число сотен с точностью до десятых .
Вырази число в десятках и округли полученное	число	десятков с точностью до единиц .
Вырази	число	в десятках и округли полученное число десятков с точностью до единиц .
Игнат задумал	число	, вычел его из 46 , результат разделил на 5 и получил 6 .
Какое	число	задумал Игнат ? .
По условию	число	10х + у на 52 больше произведения своих цифр ху .
"Придумай свою задачу про "" задуманное"	число	""" ."
Аналогично можно проиллюстрировать , что	число	делится на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается одной из цифр - 0 , 2 , 4 , 6 , 8 .
Рассудительная Оля записала некоторое трехзначное	число	, затем нашла сумму его цифр и записала результат , дальше нашла сумму цифр последнего числа и записала результат .
Само	число	тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х десятках 10х единиц , да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у единиц .
Округли	число	с заданной точностью .
С точностью до какого разряда округлено каждое	число	? .
Ясно , что и всякое	число	, оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Какое	число	задумано ? .
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное	число	, выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить нуль между цифрами десятков и единиц , то получится число , в 9 раз большее исходного .
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное число , выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить нуль между цифрами десятков и единиц , то получится	число	, в 9 раз большее исходного .
Увеличить	число	.
Представь	число	24 392 в виде суммы разрядных слагаемых , записывая разрядные единицы как степени числа 10 .
Задумано двузначное	число	, которое на 52 больше произведения своих цифр .
Ясно , что и всякое	число	, оканчивающееся цифрой 0 , делится на 5 .
Как превратить эту дробь в	число	равное , не прибавляя и не убавляя спичек ? .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь делится на с — в частном получается	число	к + I. Точно так же доказывается , что разность а - Ь делится на с .
При этом	число	рядов увеличилось па 2 .
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное	число	.
Возвести в куб	число	.
Почему при делении с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же	число	нулей ?
С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое натуральное	число	, например .
Для ответа на вопрос задачи надо найти неизвестное	число	х из равенства х + Зх = 60 .
Результат действия разделить на	число	.
Например , координатой точки Е является	число	, координатой А - число , координатой М - число , а координатой С - число .
В дроби ( читается : “ эм на эн ” или “ эм энных ” )	число	, находящееся над чертой , называется числителем , а число , находящееся под чертой , - знаменателем .
Существует	число	, кратное одновременно 8 и 12 .
В дроби ( читается : “ эм на эн ” или “ эм энных ” ) число , находящееся над чертой , называется числителем , а	число	, находящееся под чертой , - знаменателем .
Число яблонь составляет — всех деревьев этого сада , а	число	вишен составляет — всех деревьев .
Докажи , что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится	число	, делящееся на 11 .
Назови наименьшее натуральное	число	.
Сделай проверку , взяв в качестве объекта операции	число	8 .
Зная , что буквой у обозначено задуманное	число	, переведи с математического языка на русский .
Некоторое	число	уменьшили в 7 раз , к результату прибавили 25 и получили 34 .
Существует трехзначное	число	, большее 995 .
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное натуральное	число	; наибольшее возможное ; натуральное число .
Найти	число	, если — его равны числу , — которого составляют .
Если	число	делится на число п , то НОД ( т , и ) = т .
Сколько процентов	число	составляет от числа ? .
Какую часть	число	составляет от ? .
Делится ли ни 3	число	8535 ? .
Найти	число	, которого составляют .
Построй математическую модель задачи , обозначая буквой х задуманное	число	: .
Разность чисел — это такое	число	.
Частное чисел — это такое	число	.
Докажи , что существует натуральное	число	х такое , что .
Зачеркни три цифры так , чтобы получилось : наименьшее возможное натуральное число ; наибольшее возможное ; натуральное	число	.
Например , нельзя	число	разделить - нет такого натурального числа .
Атос провел в том году 16 дуэлей , что составило — дуэлей , проведенных Д Артаньяном , а	число	дуэлей Портоса оказалось равным — от общего числа дуэлей Атоса и Арамиса .
Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока - дробное	число	яблок , для математического обозначения которого вводится дробь .
Если число делится на	число	п , то НОД ( т , и ) = т .
В классе учеников , причем	число	девочек составляет — числа мальчиков .
Например , координатой точки Е является число , координатой А -	число	, координатой М - число , а координатой С - число .
Можно найти	число	, при делении которого на 6 получится 9 .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное	число	, в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют .
Из схемы видно , что	число	жителей всех районов удобно выразить через величину , равную от числа жителей первого района .
Докажи , что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число , делящееся на 11 .
Существует натуральное	число	х такое , что 18 - 4х = 6 .
Чтобы найти , какую часть первое	число	составляет от второго , можно первое число разделить на второе .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное	число	, числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Первое	число	в три раза больше второго , а разность этих чисел равна 48 .
Найди в каждом равенстве	число	, которое является кратным двух других чисел ( делителей ) .
Число а делится на	число	Ъ. Чему равен НОК ( а , 6 ) ? .
Обратно , чтобы записать смешанное	число	в виде неправильной дроби , можно : знаменатель умножить на целую часть ; к произведению прибавить числитель дробной части ; полученную сумму записать в числитель , а знаменатель оставить без изменений .
При делении числа , а на	число	Ь получилось частное к.
Если трехзначное	число	записано с помощью одной цифры , то оно делится ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника ?
С другой стороны , оно содержит минимально возможное	число	множителей .
Если к двузначному числу прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится	число	, кратное .
Чтобы найти , какую часть первое число составляет от второго , можно первое	число	разделить на второе .
Если к двузначному числу прибавить	число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число , кратное .
Известно , что натуральное	число	больше .
Найди другой способ выразить	число	при помощи пяти троек , используя скобки и знаки арифметических действий .
Вторая запись при этом называется смешанным числом ( или смешанной дробью ) — “ целое	число	и дробь ” .
Найти меньшее	число	.
Любое	число	, оканчивающееся цифрой 3 , делится на 3 .
Красных шаров было 40 ,	число	зеленых шаров составило — от числа красных шаров и — от числа желтых шаров .
Чтобы найти	число	жителей остальных двух районов , надо умножить соответственно на .
Обозначим	число	жителей первого района х , второго района - у , а третьего района - г. Тогда по условию .
Используя равенство , определи , какую часть числа а составляет	число	, и сделай чертеж .
Какое наименьшее	число	этапов может быть в этой эстафете ? . .
Какое	число	задумано ? . .
Прочитай	число	.
Ответ : искомое	число	равно .
Произведением числа на	число	называется сумма слагаемых , каждое из которых равно .
Обозначим искомое	число	.
Найти	число	, если — от него равны числу , — которого составляют .
Какое	число	было задумано ? .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел делится на"	число	"к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже делится на к "" ."
Пробой драгоценного металла называется	число	граммов этого металла сплава .
К задуманному числу прибавили 4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата вычли 16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное	число	с 9 .
Не изменяя порядка записи , вычеркни цифры так , чтобы оставшиеся цифры выражали : наименьшее число ; наибольшее	число	.
Не изменяя порядка записи , вычеркни цифры так , чтобы оставшиеся цифры выражали : наименьшее	число	; наибольшее число .
В множестве чисел от 40 до 50 каждое	число	имеет больше двух делителей .
Например , координатой точки Е является число , координатой А - число , координатой М - число , а координатой С -	число	.
Например , координатой точки Е является число , координатой А - число , координатой М -	число	, а координатой С - число .
Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение , так как не известно ни число мальчиков , ни	число	девочек .
Вырази его в метрах и округли полученное	число	до сотых .
Какое	число	обладает свойством единицы ( при обычном умножении ) ?
Как записать римскими цифрами	число	? .
Построй последовательность чисел , в которой каждое	число	( кроме , разумеется , первого ) богаче предыдущего .
Верно ли , что чем больше	число	, тем оно богаче ? .
Найдем сначала часть маршрута , разделив , а затем узнаем весь маршрут , умножив полученное	число	.
	Число	на второе .
Прочитай получившееся	число	.
Запиши подряд три раза	число	.
Натуральное	число	может быть больше своего квадрата .
Любое	число	из множества { 19 , 20 , 21 } имеет ровно два делителя .
Сколько единиц каждого разряда содержит это	число	?
Существует ли самое бедное	число	? .
Запиши	число	в виде суммы разрядных слагаемых по образцу .
Существует ли самое богатое	число	? .
Каждое натуральное	число	на единицу меньше следующего за ним .
Если задуманное	число	умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим число , которое в 16 раз больше числа 135 .
Чтобы найти , какую часть одно	число	составляет от другого , надо первое .
Чтобы найти часть , которую первое	число	составляет от второго , можно первое число разделить на второе .
Чтобы найти часть , которую первое число составляет от второго , можно первое	число	разделить на второе .
Для этого узнаем сначала одну восьмую , а затем полученное	число	увеличим .
Запиши смешанное	число	в виде неправильной дроби и сделай рисунок : .
Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1 , потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2 , затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4 , то получим	число	, которое в 16 раз больше числа 135 .
При делении всех чисел из множества { 24 , 38 , 45 } на	число	7 в остатке получается 3 .
Как найти	число	а по его части , выраженной дробью ?
По рисунку определи	число	общих точек окружности со следующими фигурами : .
Представим себе , например , что из непрозрачного мешка можно вытащить любое	число	разноцветных шаров .
Число разделили на задуманное	число	, к полученному частному прибавили сумму умножили , а затем из полученного произведения .
Чтобы найти	число	по его части , выраженной дробью , надо эту часть на числитель дроби и на знаменатель .
Но ведь точно так же мы можем определить и	число	уроков во вторник , зная , что по расписанию будут два урока русского языка , две математики и география .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , можно это	число	умножить на данную дробь .
Например , если на столе лежат 2 яблока , 2 апельсина и груша , то как найти общее	число	фруктов , лежащих на столе ?
Для доказательства обозначим первые два числа буквами а и b , а третье	число	- буквой с. Так как а , по условию , делится на с , то а = ск .
Придумай задачи , для решения которых требуется : найти часть от числа ; найти	число	по его части ; найти часть , которую одно число составляет от другого .
Запиши цифрами	число	: следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять ; предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот ; предшествующее числу ; следующее за числом .
А	число	знаков после запятой в произведении такое же , как в обоих множителях вместе .
Вырази полученное	число	в тысячах рублей и округли до десятых .
Сколько мест в театре , если на балконе мест , а остальные места - в партере , причем	число	мест в партере составляет от общего числа мест ? .
Чтобы найти	число	по его части , выраженной дробью , можно эту часть разделить на данную дробь .
Задуманное число увеличили в 2 раза , из результата вычли 25 и получили	число	, в 3 раза меньшее задуманного .
Какое	число	задумали ? .
Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение , так как не известно ни	число	мальчиков , ни число девочек .
Представь	число	740 208 в виде суммы разрядных слагаемых .
Мише надо разложить яблок в корзины так , чтобы	число	яблок в одной корзине составляло числа яблок в другой .
Найди значение выражения ( в скобках указано	число	знаков после запятой в последнем множителе ) .
Если два числа делятся на некоторое число , то их сумма и разность тоже делятся на это	число	.
Дано натуральное	число	.
Существует такое натуральное	число	х , что ( 2х + 3 ): 7 = 11 .
Можно найти такое натуральное	число	к , что 57 = 3/ ? .
Во сколько раз	число	больше числа , составляющего ?
Любое натуральное	число	в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр .
Задуманное	число	увеличили в 2 раза , из результата вычли 25 и получили число , в 3 раза меньшее задуманного .
Если два числа делятся на некоторое	число	, то их сумма и разность тоже делятся на это число .
Придумай задачи , для решения которых требуется : найти часть от числа ; найти число по его части ; найти часть , которую одно	число	составляет от другого .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое	число	; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Найди в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное	число	; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Каждое	число	из множества { 6 , 9 , 12 } является делителем 60 .
Вырази ее в квадратных метрах и округли полученное	число	до десятых .
Разложи каждое	число	на простые множители и общие множители вынеси за скобки : 18 + 24 ; 80 - 32 ; 12 + 48 ; 92 - 23 .
На сколько	число	, — которого равны , больше , чем ? .
Проанализируй , как изменяется	число	, если к нему прибавляют ?
Делится ли	число	9393 + 93 • 93 - 186 на 93 ? .
Представим это	число	в виде суммы разрядных слагаемых .
Проверь ответы с помощью	числовой прямой	.
Чему равна цена деления шкалы	числовой прямой	?
Найди сумму чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на	числовой прямой	.
Проверь с помощью	числовой прямой	ответы решенных выше примеров . . .
Реши пример сначала с помощью	числовой прямой	, а потом - используя понятия доходов и расходов .
Реши эти примеры с помощью	числовой прямой	.
Реши примеры сначала с помощью	числовой прямой	, а затем используя понятия доходов и расходов .
В семье шестеро детей , причем возраст каждого ребенка в годах выражается	числом	, делящимся только на само себя и на единицу .
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных значениях п значение выражения 21 + 1 является простым	числом	.
чисел , больших 3 , определи , каким	числом	- простым или составным - является : .
Запиши цифрами число : следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять ; предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот ; предшествующее числу ; следующее за	числом	.
Если проделать то же самое с	числом	, не входящим в эту таблицу , то получится простое число .
Значит , с точки зрения точности вычислений лучше заменить	числом	- его нижней границей , а не числом - верхней границей .
Запиши формулу зависимости между стоимостью всех шариков и их	числом	.
Алгоритмы сравнения и операций над натуральными числами и	числом	нам уже хорошо известны .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается простым	числом	? .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным	числом	, а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
В зрительном зале 1200 стульев , расположенных рядами с одинаковым	числом	стульев в каждом ряду .
Значит , с точки зрения точности вычислений лучше заменить числом - его нижней границей , а не	числом	- верхней границей .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Разность между трехзначным"	числом	"и суммой его цифр всегда делится на 9 "" ."
Докажи , что сумма , где является	числом	нечетным .
Запиши цифрами число : следующее за	числом	восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять ; предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот ; предшествующее числу ; следующее за числом .
Например , каким круглым	числом	с одним или несколькими нулями следует заменить , чтобы ошибка была как можно меньше ?
Евклид доказал , что простых чисел бесконечно много ( то есть за каждым простым	числом	есть еще большее простое число ) .
число , следующее за простым	числом	; .
Натуральное число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным	числом	.
Сравни с	числом	— дроби .
Вторая запись при этом называется смешанным	числом	( или смешанной дробью ) — “ целое число и дробь ” .
Но бывают дроби с бесконечным	числом	знаков после запятой , например , где после запятой выписаны подряд все натуральные числа .
Уравнять , если необходимо , число цифр в числителе с	числом	нулей в знаменателе , не меняя значения дроби .
Реши пример и сравни ответ с	числом	.
Что произойдет с натуральным	числом	, если справа или слева приписать к его записи нуль ?
Каким	числом	- простым или составным - является произведение чисел 809 • 809 ? .
Напиши все числа , взаимно простые с	числом	и меньшие его .
Число является простым	числом	.
Существуют простые числа , произведение которых является простым	числом	.
Основное свойство дроби показывает , что всякое целое или дробное число можно записать в виде дроби бесконечным	числом	способов , например .
8 можно перегнуть большим	числом	способов , чем Т , .
Докажи , что значение выражения является наименьшим натуральным	числом	.
число , следующее за составным	числом	; .
Это означает , в частности , что натуральное число также можно записать в виде десятичной дроби , и при этом бесконечным	числом	способов .
Существуют числа , произведение которых является простым	числом	.
Найди в таблице выигрышную строчку , столбец или диагональ ( произведение чисел в них равняется	числу	, записанному около таблицы ) .
Разложение на множители простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому	числу	.
Может ли квадратный корень из числа быть равен самому	числу	? .
Найди отношение числа а к	числу	, если .
В пяти ящиках лежит по одинаковому	числу	яблок .
Если к двузначному	числу	прибавить число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число , кратное .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по	числу	десятичных знаков в данных дробях .
Игра заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или диагональ , произведение чисел в которых равняется	числу	, записанному около таблицы .
К этому	числу	она должна была прибавить и полученную сумму умножить .
число , предшествующее простому	числу	; .
По	числу	знаков , стоящих в записи десятичной дроби после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Если к неизвестному	числу	приписать справа нуль и новое число сложить с неизвестным , то в сумме получится .
Оказывается , это несложно , если применить маленькую “ математическую хитрость ” : разрешить приписывать нули к натуральному	числу	слева , условно считая , что оно от этого не меняется , например .
Если к учетверенному неизвестному	числу	прибавить , то получим .
число , предшествующее составному	числу	; .
К	числу	3 прибавили задуманное число , сумму увеличили в 5 раз и полученное произведение вычли из 70 .
К задуманному	числу	прибавили и получили число , больше задуманного .
Запиши цифрами число : следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять ; предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот ; предшествующее	числу	; следующее за числом .
Запиши цифрами число : следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять ; предшествующее	числу	семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот ; предшествующее числу ; следующее за числом .
Пройти по нему можно , перемещаясь от числа к большему	числу	, находящемуся рядом с ним в любом из указанных восьми направлений .
Найти число , если — от него равны	числу	, — которого составляют .
В разложении на два множителя простого числа , напротив , один из множителей всегда равен 1 , а другой - самому	числу	.
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему	числу	; сумма чисел равна натуральному числу .
Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж , чтобы и переднее и заднее колесо сделали по целому	числу	оборотов ?
Запиши два смешанных числа так , чтобы выполнялось одно из условий : одно из чисел больше другого ; разность чисел равна меньшему числу ; сумма чисел равна натуральному	числу	.
Вместо этого Оля приписала к этому	числу	цифру и получила верный результат .
Аналогично и при округлении чисел с точностью до сотен , тысяч и т д. берется приближение с недостатком или с избытком в зависимости от того , какое из них “ ближе ” к данному	числу	.
Докажи , что если к любому трехзначному	числу	приписать трехзначное число , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится число , делящееся на 11 .
Для каждой окрестности запиши по одному	числу	, которое ей принадлежит , и по одному числу , которое ей не принадлежит , или опровергни утверждения : . .
Умножение и деление натуральных чисел - дело простое : к данному	числу	надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
Для этого припишем к	числу	справа один нуль .
Натуральное число а называется кратным натуральному	числу	Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
Для каждой окрестности запиши по одному числу , которое ей принадлежит , и по одному	числу	, которое ей не принадлежит , или опровергни утверждения : . .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному	числу	Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
Найти число , если — его равны	числу	, — которого составляют .
Это луч , на котором расположены числа по следующему правилу : выбран единичный отрезок , начало луча соответствует	числу	, а все остальные точки соответствуют числам , равным расстояниям от этой точки до начала луча .
К задуманному	числу	прибавили 4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата вычли 16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное число с 9 .
Последовательность задана своими первыми тремя	членами	.
Найди сумму наибольшего и наименьшего	членов	этой последовательности .
Запиши с помощью знаков < = > и 3 определения следующих	членов	семьи : . .
Вычисли разность наибольшего и наименьшего	членов	этой последовательности .
Найди закономерность и запиши следующие	члены	последовательности .
Кто стал председателем кооператива , если в кооперативе	члены	и по Уставу председателем становится кандидат , получивший наибольшее число голосов ?
Запиши и прочитай ее четвертый , пятый , шестой и десятый	члены	- при сохранении указанной закономерности .
Тогда если мы вытащим поочередно тысячу , миллион или сколько угодно белых шаров , то нет никакой гарантии , что следующий	шар	не окажется , скажем , красным .
Вырази площади океанов земного	шара	в процентах от их общей площади .
Радиусы кругов на двух различных параллелях земного	шара	составляют соответственно .
Тогда если мы вытащим поочередно тысячу , миллион или сколько угодно белых	шаров	, то нет никакой гарантии , что следующий шар не окажется , скажем , красным .
Представим себе , например , что из непрозрачного мешка можно вытащить любое число разноцветных	шаров	.
49	шаров	можно уложить в виде квадрата так , как показано на рисунке для 4 , 9 , 16 шаров .
Красных шаров было 40 , число зеленых	шаров	составило — от числа красных шаров и — от числа желтых шаров .
Какую часть из них удалось надуть , если при надувании лопнула ~ часть красных	шаров	, часть зеленых и — часть желтых ? .
49 шаров можно уложить в виде квадрата так , как показано на рисунке для 4 , 9 , 16	шаров	.
Сколько	шаров	привезли в детский сад ?
Красных шаров было 40 , число зеленых шаров составило — от числа красных шаров и — от числа желтых	шаров	.
Красных шаров было 40 , число зеленых шаров составило — от числа красных	шаров	и — от числа желтых шаров .
Красных	шаров	было 40 , число зеленых шаров составило — от числа красных шаров и — от числа желтых шаров .
На праздник в детский сад купили надувные	шары	трех цветов - красного , зеленого и желтого .
Поэтому посредством перебора нельзя убедиться , что все	шары	в мешке именно белые .
Построй правильный	шестиугольник	и измерь его углы .
Исходя из полученного вывода , придумай , как построить правильный	шестиугольник	, пользуясь только циркулем и линейкой без делений .
Пользуясь циркулем , линейкой и транспортиром , построй на листе без клеток правильный :	шестиугольник	; треугольник ; четырехугольник ; пятиугольник .
Сколько диагоналей у пятиугольника ,	шестиугольника	, семиугольника ?
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли величину угла правильного четырехугольника , пятиугольника ,	шестиугольника	.
Придумай способ вычисления суммы углов четырехугольника , пятиугольника ,	шестиугольника	.
Можно ли на основании выполненных построений и измерений утверждать , что наблюдаемое свойство верно для всех правильных	шестиугольников	?
Длина прямоугольного параллелепипеда равна ,	ширина	, а высота на меньше ширины .
Найти периметр прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а	ширина	в 2 раза меньше длины .
Длина аквариума 8 дм ,	ширина	5 дм , а высота 45 см. Сколько литров воды надо налить в пустой аквариум , чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см ? .
Известно , что у первого прямоугольника длина на 4 м больше , а	ширина	на 2 м меньше , чем у второго прямоугольника .
Площадь прямоугольника равна 80 дм , а его	ширина	равна 5 дм .
Длина прямоугольника равна 12 м , а его	ширина	на 3 м меньше .
Длина параллелепипеда , а	ширина	меньше длины .
Наименьшая	ширина	Керченского пролива равна примерно , что составляет наименьшей ширины Берингова пролива .
Длина прямоугольника равна , а	ширина	составляет — длины .
Чему равна ее	ширина	? .
Найти периметр прямоугольника , у которого	ширина	на 4 см меньше длины , а площадь составляет 32 см2 .
Чему равна	ширина	данного прямоугольника ? .
Площадь прямоугольника равна 240 дм2 , а	ширина	на 8 дм меньше длины .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см ,	ширина	25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Длина класса ,	ширина	, а высота .
На сколько	ширина	второго прямо .
Длина основания прямоугольного параллелепипеда , а	ширина	меньше длины .
Какой длины надо взять кусок ткани , чтобы после стирки иметь 378 м2 , если до стирки	ширина	ее была 90 см ? .
Длина первого прямоугольника равна , а	ширина	?
Длина аквариума , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда , равна , а	ширина	составляет — длины .
Длина коробки равна ,	ширина	составляет длины , а высота - длины .
Длина аквариума ,	ширина	меньше , а высота меньше длины .
Чему примерно равна наименьшая	ширина	Берингова пролива ? .
Длина второго прямоугольника составляет — длины первого , а	ширина	- — ширины первого .
Так как х - это	ширина	прямоугольного участка , и , значит , х > 0 , то в данной задаче это сделать несложно .
Длина комнаты 7 м ,	ширина	5 м , а высота 3 м .
Достаточно ли света в классе , длина которого и	ширина	, если в классе имеется окна высотой и шириной ? .
Ткань во время стирки садится на часть по длине и на часть по	ширине	.
Сколько человек можно разместить за этим столом , если на каждого человека по длине и	ширине	стола должно приходиться не менее ? .
Найди периметр и площадь квадрата со стороной , равной	ширине	этого прямоугольника .
Квадратный стол со стороной имеет две выдвижные доски	шириной	.
Он решил поставить ограду с двумя калитками	шириной	каждая .
Достаточно ли света в классе , длина которого и ширина , если в классе имеется окна высотой и	шириной	? .
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 40 см ,	шириной	20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
При утверждении плана застройки длину участка увеличили , а	ширину	, в результате площадь участка увеличилась .
Если длину этого участка увеличить на 2 м , а	ширину	уменьшить на 5 м , то площадь его уменьшится на 190 м2 .
На сколько уменьшится его площадь , если	ширину	уменьшить на 8 дм ? . .
Найти длину и	ширину	этого прямоугольника .
После того как длину увеличили , а	ширину	уменьшили , его площадь уменьшилась .
Для этого длину увеличили , а	ширину	.
Обозначим	ширину	прямоугольника , выраженную в метрах , через х , тогда его длина равна ( х + 3 ) м , а площадь равна х(х + 3 ) м2 .
Длину участка увеличили на 5 м , а	ширину	уменьшили на 5 м .
Садовый участок прямоугольной формы имеет длину , а	ширину	- меньше .
После того как	ширину	прямоугольника увеличили на 1 м , а длину уменьшили на 5 м , получили квадрат .
Длину прямоугольника уменьшили на 3 см , а	ширину	увеличили на 4 см и получили квадрат .
Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза , а	ширину	увеличили на 1 дм и получили квадрат .
Оба прямоугольника имеют одинаковую	ширину	, равную Ь м .
Измерь длину и	ширину	тетради и вырази результат в дециметрах .
Высота параллелепипеда составляет суммы его длины и	ширины	.
Длина прямоугольного параллелепипеда равна , ширина , а высота на меньше	ширины	.
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок , длина которого больше его	ширины	.
Ширина прямоугольного параллелепипеда , длина - больше	ширины	, а высота - меньше длины .
Длина прямоугольника в больше	ширины	.
Длина прямоугольного участка земли в 4 раза больше	ширины	.
Площадь прямоугольника равна 68 дм2 , а длина больше	ширины	на 13 дм .
Площадь прямоугольника равна 64 дм2 , а его длина в 4 раза больше	ширины	.
Наименьшая ширина Керченского пролива равна примерно , что составляет наименьшей	ширины	Берингова пролива .
Ширина прямоугольного параллелепипеда меньше длины , а высота - больше	ширины	.
угольника меньше	ширины	первого прямоугольника ? .
Длина второго прямоугольника составляет — длины первого , а ширина - —	ширины	первого .
Длина прямоугольника равна см , что составляет — его	ширины	.
Периметр садового участка прямоугольной формы равен 98 м , причем его длина на 1 м больше	ширины	.
Длина садового участка прямоугольной формы больше его	ширины	.
Длина одного прямоугольника равна 32 см , а другого - 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше	ширины	первого .
Ширина прямоугольника равна , а длина составляет —	ширины	.
Она составляет — длины прямоугольника и его	ширины	.
Периметр прямоугольника равен 70 м , его длина больше	ширины	на 1 м .
Ширина сарая , длина - больше	ширины	, а высота - меньше длины .
Длина прямоугольника равна , что составляет его	ширины	.
На сколько дециметров высота параллелепипеда больше его	ширины	? .
У прямоугольника длина больше	ширины	.
Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет длины	экватора	.
Длина	экватора	Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет длины экватора .
Каждый	элемент множества	является делителем числа .
Запишем множество его делителей и для каждого	элемента множества	запишем , сколько у него различных делителей .
Каким свойством обладают	элементы множества	А П В ? . .
"Поэтому самый простой прием доказательства состоит в том , что мы "" испытываем ” по очереди все"	элементы множества	: перебираем их один за другим и для каждого проверяем наше утверждение .