Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Большего общего делителя	этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые делители различны .
	Вес	мамы составляет -5- веса папы .
	Вес	колокола - 200 т , а вес пушки составляет 20 % веса колокола .
	Возвести	в куб число .
	Выражение	, стоящее в левой части равенства , можно записать иначе .
	Выражение	( 120 -25 - 25 * 2 ) является математической моделью данной задачи .
	Выражения	, в которых некоторые числа обозначены буквами , называют буквенными .
	Высота	цифр на циферблате составляет — от длины минутной стрелки .
	Высота	параллелепипеда составляет суммы его длины и ширины .
	Вычитание	и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
	Вычти	из большего числа меньшее .
	Градус	- это угол , равный 777 ; части развернутого угла .
	Данные	числа обозначим буквами а и b , третье число - буквой с.
	Данный	способ можно применить для деления на любую десятичную дробь .
	Данный	"пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
	Деление	десятичных дробей .
	Деление	натуральных чисел проводится поразрядно : сначала делятся старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
	Деление	- действие , обратное умножению .
	Деление	дробей .
	Делители	и кратные .
	Делители	какого числа целесообразно находить для сокращения перебора ?
	Делитель	числа не всегда меньше самого числа .
	Делится	ли оно на 3 ? .
	Делится	ли число 215 на 19 ? .
	Делится	ли число 9393 + 93 • 93 - 186 на 93 ? .
	Делится	ли ни 3 число 8535 ? .
	Делится	ли оно на 19 ? .
	Делится	ли произведение 6851 • 999 на 3 ? .
	Делить	будем , как обычно , уголком .
	Десятичные	и обыкновенные дроби .
	Десятичные	дроби округляют по тем же правилам .
	Десятичные	дроби .
	Десятичные	же дроби легко сравнивать по разрядам .
"Игра """	Диагональ	” .
	Диагональю	многоугольника называется отрезок , соединяющий любые две его не соседние вершины .
	Диаметр	колеса мотоцикла равен .
	Диаметр	Юпитера с точностью до тысяч , десятков тысяч .
	Диаметр	Земли с точностью до десятков , сотен , тысяч .
	Диаметром	окружности называется хорда , проходящая через центр этой окружности .
	Длина	шага Буратино равна , что составляет — длины шага Карабаса - Барабаса .
	Длина	минутной стрелки кремлевских курантов .
	Длина	прямоугольника равна , что составляет его ширины .
	Длина	ребра одного куба 5 см , а другого - в 2 раза больше .
	Длина	второго прямоугольника составляет — длины первого , а ширина - — ширины первого .
	Длина	диаметра окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности .
	Длина	стороны квадрата .
	Длина	стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон .
	Длина	прямоугольного участка земли в 4 раза больше ширины .
	Длина	прямоугольника равна 12 м , а его ширина на 3 м меньше .
	Длина	одного прямоугольника равна 32 см , а другого - 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше ширины первого .
	Длина	комнаты 7 м , ширина 5 м , а высота 3 м .
	Длина	аквариума , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда , равна , а ширина составляет — длины .
	Длина	третьего полотенца составляет — суммы длин первых двух .
	Длина	комнаты .
	Длина	параллелепипеда , а ширина меньше длины .
	Длина	первого прямоугольника 5 дм , а длина второго прямоугольника - 7 дм .
	Длина	прямоугольника равна см , что составляет — его ширины .
	Длина	первого прямоугольника равна , а ширина ?
	Длина	коробки равна , ширина составляет длины , а высота - длины .
	Длина	аквариума 8 дм , ширина 5 дм , а высота 45 см. Сколько литров воды надо налить в пустой аквариум , чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см ? .
	Длина	садового участка прямоугольной формы больше его ширины .
	Длина	аквариума , ширина меньше , а высота меньше длины .
	Длина	прямоугольного участка земли 48 м , а его площадь 12 а .
	Длина	прямоугольника 5 м 2 дм .
	Длина	прямоугольного параллелепипеда равна , ширина , а высота на меньше ширины .
	Длина	прямоугольника в больше ширины .
	Длина	первого участка Ъ м , а длина второго участка на 5 м больше .
	Длина	первой стороны составляет периметр , а длина второй стороны - длины первой .
	Длина	класса , ширина , а высота .
	Длина	первого прямоугольника Ь м , а длина второго - на 14 м больше .
	Длина	прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
	Длина	прямоугольника равна , а ширина составляет — длины .
	Длина	основания прямоугольного параллелепипеда , а ширина меньше длины .
	Длина	одного из них равна , что составляет — длины второго .
	Длина	экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет длины экватора .
	Длину	участка увеличили на 5 м , а ширину уменьшили на 5 м .
	Длину	прямоугольника уменьшили на 3 см , а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат .
	Длину	уменьшили на Ь м .
	Длину	прямоугольника уменьшили в 2 раза , а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат .
	Доказательство	. ( а : е ): ( Ь : с ) = ( ( а : с ) • с ) : ( ( Ь : с ) • с ) = а : Ь , что и требовалось доказать .
	Доказательство	этого равенства уже встречалось нам в № 303 , однако разложение на простые множители позволяет упростить рассуждения .
	Доказательство	.
	Дробь	является неправильной , если она больше или равна 1 .
	Дробь	, знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде десятичной дроби .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами , называется несократимой .
	Дробь	— это запись вида .
	Дробь	называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя .
	Дробь	, числитель и знаменатель которой кратны , сократима .
	Дробь	— можно представить как частное от деления .
	Дробь	— является правильной несократимой дробью .
	Дробь	, обратная неправильной дроби , является правильной .
	Дробь	сократима , если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше .
	Дробь	сократима в том и только в том случае , когда ее числитель кратен знаменателю .
	Дробь	сократима тогда и только тогда , когда ее числитель и знаменатель кратны .
	Дробь	, обратная правильной дроби , является неправильной .
	Дробь	записали в виде конечной десятичной дроби в первом случае с точностью , а во втором .
	Дробь	равна десятичной дроби .
	Дробь	сократили .
	Дробь	несократима тогда и только тогда , когда разность между ее числителем и знаменателем равна .
	Дугой	окружности называется каждая из частей , на которые делят окружность любые две ее точки .
	Единица	, деленная на два !
	Замкнутая	ломаная линия без самопересечений называется многоугольником , а ее звенья - сторонами многоугольника .
	Звезды	имеют различную яркость .
	Знак	равносильности имеет такой же смысл , но применяется не для числовых выражений , а для предложений - высказываний или высказывательных форм ( предложений с переменной ) .
	Знак	< = > и употребляется для краткой записи утверждения , что два предложения означают одно и то же .
	Знак	равенства между двумя числовыми выражениями показывает , что эти выражения имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
	Знаменатель	"показывает , на сколько равных частей разделили единицу ( "" целое "" ) , а числитель показывает , сколько таких частей взяли ."
	Знаменатель	дроби равен .
	Значение	этого выражения мы без труда можем найти .
	Игра	“ Проще простого ” .
	Игра	“ Пятый лишний ” .
	Игра	“ Кто быстрее ? ” .
	Игра	""" Диагональ ” ."
	Игра	""" Счет с препятствиями "" ."
	Игра	проводится по аналогии с игрой “ Крестики - нолики ” .
	Игра	“ Интеллектуальный марафон ” .
	Игра	“ Кто больше ? ” .
	Игра	“ Остров сокровищ ” .
	Игра	""" Танграм "" ."
	Игра	Лучший счетчик .
	Игра	заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или диагональ , произведение чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
	Квадрат	разности двух чисел равен разности их квадратов .
	Квадрат	разности чисел 8 и 2 равен 36 .
	Квадрат	разрезали на части так , как показано на рисунке .
	Квадрат	разности числа х и удвоенного числа .
	Квадрат	суммы чисел .
	Квадрат	числа 7 равен 14 .
	Квадрат	является прямоугольником .
	Квадрат	суммы чисел 3 и 6 равен 81 .
	Квадрат	суммы двух чисел равен сумме их квадратов .
	Квадратами	каких чисел являются 9 , 64 , 225 ? .
	Квадратный	стол со стороной имеет две выдвижные доски шириной .
	Квадратом	называется прямоугольник , у которого все стороны равны .
	Кратное	числа не всегда больше самого числа .
	Кратные	какого числа целесообразно перебирать ? .
	Куб	числа 5 равен 125 .
	Куб	имеет ребро , равное .
	Куб	и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин ребер .
	Куб	разности чисел 4 и 2 равен 56 .
	Кубом	каких чисел являются 8 , 64 , 1000 ? .
	Магический квадрат	.
	Многоугольник	называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны .
	Многоугольник	, у которого все стороны и все углы равны , называется правильным .
	Множество	натуральных чисел обозначают буквой ДГ .
	Множество	точек числового луча , удаленных от точки а на расстояние меньшее , чем , называется окрестностью точки .
Найди	НОД	и НОК чисел с помощью разложения на простые множители .
Найди	НОД	и НОК чисел с помощью перебора .
Найди	НОД	и НОК чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
Разложи числа на простые множители , найди их	НОД	и НОК .
Если число делится на число п , то	НОД	( т , и ) = т .
Наибольший общий делитель чисел а и Ь обозначается	НОД	( а , Ъ ) .
Разложи числа на простые множители , найди их	НОД	и НОК : .
В свою очередь , это позволяет упростить и правила нахождения НОК и	НОД	: .
Найди	НОД	и НОК чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
На практике часто удобно не вычислять	НОД	числителя и знаменателя , а проводить сокращение дроби последовательно , например : ( сначала сократили , а потом ) .
Например ,	НОД	.
Чтобы найти	НОД	нескольких чисел , надо взять их общие простые делители с наименьшими показателями , например .
Найди	НОД	и НОК чисел .
Найди	НОД	и НОК чисел 50 и 8 .
Может ли	НОД	нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих чисел ? .
Ковбой Джо , вычисляя	НОД	( 24 , 320 ) , получил в ответе 48 и тут же догадался , что допущена ошибка .
Что можно сказать о числах а и Ь , если	НОД	( а , Ь ) = 1 ? .
В каком случае	НОД	( а , Ь ) = а ?
Число а делится на число Ь. Найди	НОД	( а , Ь ) .
Образец ответа :	НОД	( 7 , 16 , 25 ) = 1 .
Найти	НОД	( 45 , 450 ) .
	Нод	( 56 , 81 ) = 1 .
Найти	НОД	( 56 , 81 ) .
Найди с помощью перебора	НОД	( 12 , 32 , 48 ) .
Найди	НОД	и НОК чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
Универсальным способом поиска	НОД	является разложение данных чисел на простые множители .
Найди	НОД	и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
Найти	НОД	( 60 , 72 , 96 ) .
Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения	НОД	нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители .
Используя эти множества , найди НОК и	НОД	чисел 15 и 20 .
Укажи	НОД	и НОК для чисел , представленных в виде произведения .
Разложи числа на простые множители , найди их НОД и	НОК	: .
Образец ответа :	НОК	( 9 , 12 , 18 ) = 36 .
Найди НОД и	НОК	чисел с помощью разложения на простые множители .
Найди с помощью перебора	НОК	( 4 , 6 , 15 ) .
Найди НОД и	НОК	чисел .
Разложи числа на простые множители , найди их НОД и	НОК	.
Найди НОД и	НОК	чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
Найди НОД и	НОК	чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
Найди НОД и	НОК	чисел с помощью перебора .
Найди НОД и	НОК	чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
Найди НОД и	НОК	чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
Например , для дробей вычисляем сначала	НОК	.
Чтобы найти	НОК	нескольких чисел , надо взять все их простые делители с наибольшими показателями , например .
Укажи НОД и	НОК	для чисел , представленных в виде произведения .
Используя эти множества , найди	НОК	и НОД чисел 15 и 20 .
Найди НОД и	НОК	чисел 50 и 8 .
В свою очередь , это позволяет упростить и правила нахождения	НОК	и НОД : .
Значит , 140 является в данном случае и наименьшим общим кратным	НОК	( 28 , 35 , 140 ) = 2 • 2 • 5 • 7 = 140 .
Мы приходим к следующему алгоритму нахождения	НОК	нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители : .
Наименьшее общее кратное чисел а и Ь обозначается	НОК	( а , Ь ) .
Известно , что	НОК	( а , Ь ) = аЬ. Что можно сказать о числах а и Ы. Не выполняя вычислений , опровергни утверждение .
Найти	НОК	( 28 , 35 , 140 ) .
Известно , что	НОК	( а , Ь ) = а .
Например ,	НОК	( 12 , 30 ) можно найти так .
30 • 1 = 30 , число 30 не делится на 12 , значит , 30 не является	НОК	( 12 , 30 ) ; .
Таким образом ,	НОК	( 12 , 30 ) = 2 • 2 • 3 • 5 = 60 .
30 • 2 = 60 , число 60 делится на 12 , значит ,	НОК	( 12 , 30 ) = 60 .
Число а делится на число Ъ. Чему равен	НОК	( а , 6 ) ? .
Этот способ нахождения	НОК	можно использовать и в общем случае .
Найти	НОК	( 80 , 140 ) .
Продемонстрируем алгоритм нахождения	НОК	на уже знакомом нам примере чисел 12 и 30 .
Значит ,	НОК	( 80 , 140 ) = 2- 2- 2- 2- 5- 7 = 80 - 7 = 560 .
Найти	НОК	( 32 , 25 ) .
Не выполняя разложения на простые множители , найди	НОК	( 527 , 8 069 424 ) .
	Наибольший общий делитель	.
	Наибольший общий делитель	чисел а и Ь обозначается НОД ( а , Ъ ) .
	Найдем	сначала часть маршрута , разделив , а затем узнаем весь маршрут , умножив полученное число .
	Найдем	, например , наибольший общий делитель чисел 1968 и 2520 .
	Найдем	, например , общие делители чисел 1354 и 1357 .
	Найдем	, например , частное от деления .
	Найдем	дополнительный множитель .
	Найди	в каком месте нарушена закономерность .
	Найди	пересечение и объединение этих множеств .
	Найди	площадь закрашенной фигуры .
	Найди	значение произведения .
	Найди	в таблице выигрышную строчку , столбец или диагональ ( произведение чисел в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
	Найди	значение выражения .
	Найди	сумму чисел .
	Найди	неизвестные числа при следующих условиях .
	Найди	площадь каждой комнаты , если общая площадь всех трех комнат равна .
	Найди	наибольший общий делитель данных чисел методом перебора .
	Найди	НОД и НОК чисел 8 , 12 , 28 методом перебора .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые множители .
	Найди	четвертую сторону этого четырехугольника , если его периметр равен 23 м .
	Найди	"корни уравнений с помощью правила "" весов ” ."
	Найди	его площадь , если периметр прямоугольника равен .
	Найди	в высказываниях тему и рему .
	Найди	объем и площадь наружной поверхности бака .
	Найди	НОД и НОК чисел .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел методом перебора .
	Найди	частное куба числа а и квадрата числа .
	Найди	равносильные утверждения .
	Найди	НОД и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители .
	Найди	методом перебора множество пар натуральных чисел , удовлетворяющих равенству .
	Найди	их наименьшее .
	Найди	массу скорлупы .
	Найди	периметр треугольника .
	Найди	величины углов .
	Найди	периметр и площадь квадрата со стороной , равной ширине этого прямоугольника .
	Найди	множество простых решений неравенства .
	Найди	сумму чисел , обозначающих доходы и расходы , и проиллюстрируй решение на числовой прямой .
	Найди	остатки от деления на 3 чисел : 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители .
	Найди	эти значения в словаре или энциклопедии . .
	Найди	цену деления шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты точек .
	Найди	и опровергни ложные высказывания .
	Найди	, какую часть число А составляет от числа В , и вырази эту часть в процентах .
	Найди	для каждого случая скорость сближения или скорость удаления .
	Найди	правильный перевод условия задачи на математический язык : .
	Найди	его периметр .
	Найди	с помощью перебора НОД ( 12 , 32 , 48 ) .
	Найди	с помощью перебора НОК ( 4 , 6 , 15 ) .
	Найди	остатки , которые получаются при делении на 9 чисел : 36 681 , 578 645,4 620 805 .
	Найди	скорости пешеходов , если известно , что скорость одного из пешеходов больше скорости другого пешехода .
	Найди	"дробь , у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится , если ее запись перевернуть "" вверх ногами "" ."
	Найди	множество всех возможных решений .
	Найди	закономерность и запиши следующие два числа в ряду .
	Найди	на рисунке и запиши с помощью фигурных скобок следующие множества : .
	Найди	неизвестные величины .
	Найди	НОД и НОК чисел : 6 , 18 и 30 ; 10 , 15 и 25 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
	Найди	наибольший общий делитель чисел методом перебора .
	Найди	выражение , которое является правильным переводом задачи на математический язык .
	Найди	длину третьей стороны и вырази ее в метрах .
	Найди	правильный перевод условия задачи на математический язык .
	Найди	сначала сумму чисел со знаком , затем сумму чисел со знаком , а затем - их общий результат . .
	Найди	несколько значений , удовлетворяющих неравенству .
	Найди	приближения числа с точностью до десятых с недостатком и избытком .
	Найди	длину третьей стороны .
	Найди	ошибки в записи и решении примеров .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел с помощью перебора .
	Найди	устно .
	Найди	сумму наибольшего и наименьшего членов этой последовательности .
	Найди	3 значения переменной , при которых выражение : .
	Найди	три дроби , удовлетворяющие неравенству .
	Найди	периметр квадрата .
	Найди	значения выражений .
	Найди	общие высказывания и высказывания о существовании .
	Найди	сумму .
	Найди	периметр этого треугольника и вырази его в дециметрах .
	Найди	объем этого прямоугольного параллелепипеда , если сумма длин всех его ребер равна .
	Найди	, если известно , что дроби равны .
	Найди	закономерность и запиши следующие члены последовательности .
	Найди	два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ; делилась на 5 ; не делилась на 5 .
	Найди	в таблице все пары чисел - близнецов .
	Найди	значение выражения ( в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе ) .
	Найди	множество натуральных чисел , для которых дробь меньше ; равна .
	Найди	путь , ведущий от левого верхнего угла в нижний правый так , чтобы получилось число , записанное рядом с таблицей . ( 4 м318 дм3 20 см3 4 - 21 дм3 34 см3 - 38 дм3 854 см3 )
	Найди	значение выражения , используя метод “ доходов и расходов ” .
	Найди	сумму длин всех его ребер и площадь полной поверхности .
	Найди	сумму : всех однозначных чисел ; всех двузначных чисел ; всех трехзначных чисел ; всех четырехзначных чисел .
	Найди	ответ методом перебора .
	Найди	частное от деления .
	Найди	.
	Найди	наименьшее общее кратное чисел с помощью разложения на простые множители .
	Найди	объединение и пересечение множеств А и В натуральных решений неравенств .
	Найди	наибольшее натуральное решение неравенства : . .
	Найди	наименьшее общее кратное чисел .
	Найди	по формуле значение .
	Найди	значение разностей .
	Найди	числа , которые больше числа .
	Найди	наименьшее и наибольшее трехзначное число , при котором дроби , все несократимы .
	Найди	произведение .
	Найди	х и ответь на поставленные вопросы .
	Найди	отношение числа а к числу , если .
	Найди	значения частных .
	Найди	все значения переменной с , принадлежащие , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения .
	Найди	значения выражений и поставь между ними знак равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
	Найди	его и заполни клетки со знаком вопроса .
	Найди	дробь , знаменателем которой является однозначное число и которая больше , но меньше . .
	Найди	наибольший общий делитель чисел , если .
	Найди	отношение площади круга к квадрату его радиуса .
	Найди	"корни уравнений с помощью правила "" весов "" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
	Найди	НОД и НОК чисел 50 и 8 .
	Найди	НОД и НОК чисел а и Ъ по их разложению на простые множители .
	Найди	натуральные корни уравнения методом проб и ошибок .
	Найди	на рисунке правильные многоугольники .
	Найди	эту зависимость и запиши ее в виде формулы .
	Найди	значение полученного выражения .
	Найди	цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек .
	Найди	значения сумм .
	Найди	задуманное число .
	Найди	выражение , которое является правильным переводом данной задачи на математический язык .
	Найди	по этой формуле , на каком расстоянии друг от друга будут они через мин ?
	Найди	три решения неравенства .
	Найди	истинные высказывания .
	Найди	все значения переменной а из множества , при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения : .
	Найди	площадь фигур .
	Найди	такие значения переменных х и у , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
	Найди	в учебнике определения следующих понятий : делитель ; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
	Найди	с помощью прикидки приближенное значение частного .
	Найди	НОД и НОК чисел с помощью перебора .
	Найди	объединение и пересечение множеств . .
	Найди	закономерность и , сохраняя ее , заполни пустые клетки .
	Найди	НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см.	Найди	длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
	Найди	пересечение этих лучей .
	Найди	ответ и проверь его с помощью числовой прямой .
	Найди	эти числа , если их произведение равно .
	Найди	последовательные натуральные числа такие , что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных .
	Найди	множество натуральных чисел , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
	Найди	его периметр и площадь .
	Найди	произведение всех чисел , сидящих на каждом дереве .
	Найди	все числа , которые раскладываются на два разных однозначных простых множителя .
	Найди	истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название города : .
	Найди	фигуры , для которых прямая I является осью симметрии .
	Найди	их наибольший общий делитель .
	Найди	дроби , которые можно записать в виде конечной десятичной дроби .
	Найди	в каждом равенстве число , которое является кратным двух других чисел ( делителей ) .
	Найди	х и ответь на поставленный вопрос .
	Найди	это число .
	Найди	эти числа .
	Найди	закономерность и запиши следующее число в последовательности .
	Найди	ошибку в рассуждении : “ Рассмотрим верное равенство .
	Найди	значение выражения разными способами .
	Найди	объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств .
	Найди	другой способ выразить число при помощи пяти троек , используя скобки и знаки арифметических действий .
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см.	Найти	длину стороны квадрата .
	Найти	число , если — от него равны числу , — которого составляют .
	Найти	стороны данного прямоугольника .
	Найти	стороны этих прямоугольников .
	Найти	периметр прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше длины , а площадь составляет 32 см2 .
	Найти	размеры этого участка .
	Найти	значение х , для которого выполняется равенство х(х + 3 ) = 70 .
	Найти	длину и ширину этого прямоугольника .
	Найти	меньшее число .
	Найти	объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
	Найти	произведение .
	Найти	НОК ( 80 , 140 ) .
	Найти	длину стороны квадрата .
	Найти	большее из этих чисел .
	Найти	разность результатов действий .
	Найти	их площади , если известно , что площадь первого прямоугольника на 46 см2 больше площади второго прямоугольника .
	Найти	произведение чисел .
	Найти	наименьшее общее кратное можно , перебирая кратные одного из чисел ( лучше взять большее число ) .
	Найти	двузначное число , которое на 34 больше произведения своих цифр .
Два пассажира метро , начавшие одновременно один спуск , другой – подъем по соседним эскалаторам , встретились через 40 с.	Найти	длину наружной части лестницы , если скорость ее движения 1 м / с и пассажиры не перемещались по эскалатору .
	Найти	двузначное число , которое в два раза больше суммы своих цифр .
	Найти	скорость пешеходов , если известно , что они встретились .
	Найти	.
	Найти	сторону квадрата , если площадь прямоугольника 60 дм2 .
	Найти	эти .
	Найти	число , которого составляют .
	Найти	НОК ( 28 , 35 , 140 ) .
	Найти	двузначное число , частное от деления , которого на произведение его цифр равно 3 .
	Найти	эти числа .
	Найти	его объем .
	Найти	значение выражения 120 - 25 - 25 - 2 .
	Найти	неизвестные числа х и Зх , если выполняется равенство х + Зх = 60 .
	Найти	эти числа , если одно из них больше другого .
	Найти	длины сторон этого участка , если известно , что они выражаются натуральными числами .
	Найти	стороны прямоугольника .
	Найти	периметр прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше длины .
	Найти	задуманное число .
	Найти	эти числа , если их произведение равно .
	Найти	сторону квадрата , если площадь прямоугольника равна 30 см2 .
	Найти	значение выражения 105 - 400 : 23 .
	Найти	двузначное число , которое на 26 больше произведения своих цифр .
	Найти	два числа , если одно из них составляет — другого , а их разность равна .
	Найти	задуманное число , если известно , что после увеличения его в 7 раз , а затем на 4 единицы получается число , на 52 единицы большее , чем само задуманное число .
	Найти	НОД ( 60 , 72 , 96 ) .
	Найти	произведение результатов действий 1 и 2 .
	Найти	НОД ( 45 , 450 ) .
	Найти	два числа , если одно из них составляет у другого , а их сумма равна .
	Найти	НОД ( 56 , 81 ) .
	Найти	НОК ( 32 , 25 ) .
	Найти	разность чисел .
	Найти	число , если — его равны числу , — которого составляют .
	Натуральное	число а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
	Натуральное	число меньше натурального числа .
	Натуральное	число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
	Натуральное	число может быть больше своего квадрата .
	Натуральное	число а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
	Натуральное число	меньше натурального числа .
	Натуральное число	может быть больше своего квадрата .
	Натуральное число	а называется точным квадратом , если существует квадратный корень из числа а , являющийся натуральным числом .
	Натуральное число	а называется кратным натуральному числу Ь , если существует натуральное число с такое , что а = Ъс .
	Натуральное число	а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
	Натуральные	числа и дроби .
	Натуральные	числа , которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1 , - называются простыми .
	Натуральные	числа , которые имеют более двух делителей , называются составными .
	Натуральные	числа , которые имеют ровно два различных делителя , называются простыми .
	Натуральные	числа можно не только складывать и умножать , но и вычитать и делить .
	Натуральные	и дробные числа можно изображать точками числового ( координатного ) луча .
	Натуральные числа	можно не только складывать и умножать , но и вычитать и делить .
	Натуральные числа	, которые имеют более двух делителей , называются составными .
	Натуральные числа	, которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1 , - называются простыми .
	Натуральные числа	, которые имеют ровно два различных делителя , называются простыми .
	Натуральные числа	и дроби .
	Необходимо	, чтобы величина площади окон составляла не менее площади пола .
	Неправильная дробь	после сокращения может стать правильной .
-	Окно	разбил или Юра , или Миша , - сказал Сережа .
	Округление	чисел .
	Округлить	число с точностью до тысяч .
	Округлить	число с точностью до сотен миллионов .
	Округлить	дробь с точностью до : единиц ; десятых ; сотых ; тысячных ; десятитысячных .
	Окружностью	называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
	Основание	показывает , какой множитель взяли , а показатель - сколько таких множителей взяли .
	Отрезком	называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Отрезок	, соединяющий центр окружности с какой - либо ее точкой , называется радиусом окружности .
	Отрезок	, соединяющий две точки окружности , называется ее хордой .
	Параллельные	прямые пересечены прямой .
	Перемножать	числа 6851 и 333 здесь не нужно - поскольку мы уже указали частное , а определять его числовое значение в условии данной задачи не требуется .
	Перемножив	четыре простых последовательных числа , Нина получила в результате число , цифра единиц которого 0 .
	Периметр	всякого прямоугольника равен сумме длин его сторон .
	Периметр	четырехугольника равен 46 дм .
	Периметр	треугольника .
	Периметр	прямоугольника равен сумме длин его сторон .
	Периметр	прямоугольника равен 70 м , его длина больше ширины на 1 м .
	Периметр	треугольника равен .
	Периметр	прямоугольника равен Ь м , а длина одной из его сторон с м .
	Периметр	садового участка прямоугольной формы равен 98 м , причем его длина на 1 м больше ширины .
	Период	обращения по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до десятков , единиц , десятых .
	Площадь	четырехкомнатной квартиры составляет , площадь трехкомнатной - меньше , чем четырехкомнатной , а площадь двухкомнатной составляет — от суммы площадей трехкомнатной и четырехкомнатной .
	Площадь	огорода в 4 раза меньше площади сада , а площадь сада в 5 раз меньше площади поля .
	Площадь	поверхности куба равна .
	Площадь	прямоугольника равна с м2 , а его длина Ь м .
	Площадь	баскетбольной площадки , имеющей прямоугольную форму , а м2 , а длина 20 м .
	Площадь	прямоугольника равна 80 дм , а его ширина равна 5 дм .
	Площадь	прямоугольника равна 64 дм2 , а его длина в 4 раза больше ширины .
	Площадь	дачного участка равна ( что составляет площади участков , занимаемых садовым товариществом , а площадь садового товарищества составляет всех площадей , отведенных под дачные участки в районе за год .
	Площадь	прямоугольника равна 240 дм2 , а ширина на 8 дм меньше длины .
	Площадь	квадрата равна , и он разбит на одинаковые маленькие прямоугольники с длинами сторон .
	Площадь	геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
	Площадь	поселка 600 га .
	Площадь	одного прямоугольника а м2 , а площадь другого на 8 м2 больше .
	Площадь	России составляет 17 075 400 км2 .
	Площадь	прямоугольника равна 68 дм2 , а длина больше ширины на 13 дм .
	Площадь	участка равна 70 м2 .
	Площадь	первого поля , а площадь второго поля больше .
	Площадь	газона .
	Площадь	поверхности Земли 510 072 000 км2 .
	Площадь	одной комнаты равна , что составляет площади второй комнаты .
	Площадь	садового участка , имеющего форму прямоугольника , равна 600 м2 , а его длина равна .
	Площадь	участка .
	Площадь	комнаты равна , что составляет 4площади второй комнаты .
	Площадь	прямоугольника равна 288 см2 , а его периметр - 72 см. Чему равны стороны этого прямоугольника ? .
	Плюс	единица , деленная на три !
	Плюс	единица , деленная на четыре ! .
	Подобные	преобразования можно выполнить для любой дроби .
	Подобным	образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить на другую десятичную дробь . .
	Последовательность	задана своими первыми тремя членами .
	Приближенное	значение диаметра Земли равно , а диаметра Солнца .
	Приближенные	равенства .
	Приведем	пример такой задачи .
	Приведем	несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма .
	Приведем	, например , дробь А к знаменателю .
	Приведи	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Приведи	контрпример к каждому из следующих утверждений : .
	Приведи	несколько примеров точных квадратов и примеров чисел , не являющихся точными квадратами .
	Приведи	к несократимому виду дроби .
	Приведи	дроби к общему знаменателю и выполни действия ( значения всех переменных - натуральные числа ) .
	Приведи	к общему знаменателю дроби и найди их сумму .
	Привести	контрпример для последнего утверждения немного сложнее : надо либо вспомнить , что 2 • 2 = 2 + 2 , либо догадаться взять одно или даже оба числа равными единице .
	Произведение	утроенного числа и суммы чисел .
	Произведение	двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей данных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
	Произведение	двух взаимно обратных дробей может быть больше . .
	Произведение	7 • 4500 • 398 кратно 100 .
	Произведение	четного и нечетного числа – число . .
	Произведение	двух натуральных чисел равно .
	Произведение	любых двух соседних чисел - число четное .
	Произведение	двух данных обыкновенных дробей , отличных , может быть представлено в виде конечной десятичной дроби .
	Произведение	двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
	Произведение	, полученное во втором действии , увеличить на 45 875 .
	Произведение	двух натуральных чисел может быть меньше четырех .
	Произведение	любых двух натуральных чисел больше их суммы .
	Произведение	двух натуральных чисел равно , а их сумма составляет — от произведения .
	Произведение	суммы чисел и разности чисел .
	Произведение	двух натуральных чисел больше их суммы .
""""	Произведение	"ад делится на с "" и "" Одно из чисел а и Ь делится на с ."
	Произведение	двух натуральных чисел может быть больше их суммы .
	Произведение	одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью .
	Произведение	215 • 7209 • 36 кратно 9 .
	Произведением	числа на число называется сумма слагаемых , каждое из которых равно .
	Простые числа	и делимость .
	Прямоугольником	называется четырехугольник , у которого все углы прямые .
	Прямоугольный	газон обнесен изгородью , длина которой .
	Прямоугольный	параллелепипед равен по объему кубу с ребром .
	Прямоугольный	участок земли обнесен забором , длина которого .
	Прямоугольный параллелепипед	равен по объему кубу с ребром .
	Равенства	такого вида нам еще не встречались .
	Радиусы	кругов на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно .
	Разделив	некоторое целое число на 15 , Боря получил в остатке 8 , а разделив его на 20 , он получил в остатке 17 .
	Разделим	числитель данной дроби на знаменатель .
	Разделим	обе части полученного равенства на множитель .
	Разделить	2 310 000 на 75 .
	Разложение	натуральных чисел на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений .
	Разложение	чисел на простые множители .
	Разложение	на множители простого числа не представляет проблемы : оно состоит из двух различных множителей , где всегда один из множителей равен 1 , а другой - самому числу .
	Разложить	данные числа на простые множители .
	Разность	суммы чисел и разности чисел .
	Разность	квадратов чисел 8 и 1 равна 63 .
	Разность	числа и суммы чисел .
	Разность	двух чисел , а их сумма .
	Разность	квадратов чисел .
	Разность	78 906 - 4612 делится на 3 .
	Разность	числа и произведения чисел .
	Разность	3800 - 425 не делится на 5 .
"Докажи или опровергни утверждение : """	Разность	"между трехзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9 "" ."
	Разность	четного и нечетного числа - число нечетное .
	Разность	любых двух нечетных чисел – число .
	Разность	чисел — это такое число .
	Разность	292 929 - 26 делится на 29 .
	Решение	: составляет часть урока .
	Решение	.
	Решение	нарисуй в тетради , раскрасив фигуры цветными карандашами .
	Решение	этой задачи проще записать с помощью математической символики .
	Система	записи десятичных дробей устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
	Складывать	и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе .
	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание смешанных чисел .
	Сложить	результаты действий .
	Смешанное число	— перевели в неправильную дробь .
	Среднее	расстояние от Урана до Солнца составляет 2 869 100 000 км .
	Средние	солнечные сутки Марса , Юпитера и Сатурна с точностью до стотысячных , сотых , десятых . .
	Средний	брат старше младшего .
	Средний	брат заготовил больше дров , чем младший , а старший - больше , чем средний .
	Средняя	продолжительность сна человека составляет в сутки .
	Степень	числа .
	Степенью	числа а с натуральным показателем 1 называется само число а : а1 — а .
	Сторона	одного квадрата равна 5 см , а другого - в 2 раза больше .
	Сторона	квадрата .
	Сторону	прямоугольного участка земли , равную , увеличили и получили прямоугольный участок площадью .
	Стороны	прямоугольника .
	Сумка	и перчатки вместе стоят , причем сумка дороже перчаток .
	Сумма	4803 + 1809 кратна 9 .
	Сумма	83 915 + 780 560 кратна 5 .
	Сумма	двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Число к делится на 3 < = >	Сумма	цифр числа к делится на 3 .
	Сумма	двух чисел равна 105 , а их частное равно 6 .
	Сумма	двух чисел 954 , а разность 158 .
	Сумма	двух правильных дробей может быть неправильной дробью .
	Сумма	кубов первых п последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы .
	Сумма	двух чисел , а их разность .
	Сумма	двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
	Сумма	кубов чисел 1 и 2 равна 27 . .
	Сумма	цифр двузначного числа равна .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к делится на 3 "" и """	Сумма	цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же .
	Сумма	двух натуральных чисел не всегда делится на 3 .
	Сумма	квадратов чисел .
	Сумма	разности чисел и разности чисел .
""""	Сумма	"чисел а и к делится на с "" и "" Одно из чисел а и к делится на с "" ."
	Сумма	всех десяти цифр равна 45 .
	Сумма	двух чисел равна 13 , а разность 2 .
	Сумма	любых двух нечетных чисел и четного числа есть число четное .
	Сумма	квадрата числа а и куба числа .
	Сумма	любых двух соседних чисел - число нечетное .
	Сумма	двух четных чисел - число четное .
	Сумма	смежных углов равна 180 .
Число а делится на 9 О	Сумма	цифр числа а делится на 9 .
	Сумма	двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	произведения чисел и числа .
	Сумма	цифр двузначного числа на 19 меньше их произведения .
	Сумма	двух натуральных чисел всегда делится на 3 .
	Сумма	цифр двузначного числа не может быть больше произведения его цифр .
	Сумма	двух чисел равна 3500 , а разность составляет 12 % суммы .
	Сумма	пяти и восемнадцати .
	Сумма	любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	двух чисел равна , одно из них больше другого .
	Сумма	четного и нечетного числа – число . .
Число а делится на 3 < = >	Сумма	цифр числа а делится на 3 .
	Сумма	любых двух нечетных чисел – число .
	Сумма	двух натуральных чисел делится на 3 .
	Суммы	удобно обозначать соответственно .
Задача из “	Счетной	мудрости ” .
	Теорема	2 .
	Точка	принадлежит окрестности точки .
	Треугольник	называется равносторонним , если все его стороны имеют одинаковую длину .
	Треугольник	не является многоугольником .
	Треугольник	называется равнобедренным , если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину .
	Углом	называется геометрическая фигура , образованная двумя лучами с общим началом .
	Угол	, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
	Угол	с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом .
	Угол	называется развернутым , если его стороны являются дополнительными лучами .
	Угол	"называется прямым , если он равен 90 "" ."
	Угол	"называется острым , если он меньше 90 "" , а тупым , если он больше 90 "" , но меньше 180 ° ."
	Угол	, вписанный в окружность , всегда острый .
	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	дробей .
	Умножение	и деление натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
	Умножение	десятичных дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
	Умножение	и деление десятичной дроби .
	Умножим	сумму — и число — на произведение .
	Умножим	обе части уравнения на число - наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей , входящих в его запись .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби — на дополнительный множитель .
	Умножим	число , используя действия с обыкновенными дробями .
	Уравнение	х(х - 5)(х - 7)(х + 11 ) = 0 имеет натуральные корни .
	Факториалом	натурального числа п называется произведение всех натуральных чисел .
	Целые	части дробей одинаковы , а в первом из несовпавших разрядов - разряде стотысячных - в первой дроби стоит цифра , а во второй - цифра .
	Целые	части обеих дробей одинаковы .
	Целый	час пес рыл нору и наконец понял , что это занятие бесполезное .
	Четное	и нечетное числа всегда взаимно простые .
	Четырехугольник	называется ромбом , если все его стороны имеют одинаковую длину .
	Четырехугольником	называется многоугольник с четырьмя сторонами .
	Числа	5 и 9 являются делителями числа 18 181 818 .
	Числа	32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих множителей , поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению .
	Числа	на карточках записываются по общему правилу .
	Числа	разделили на одно и то же число .
	Числа	999 , 99 и 9 делятся на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых делится на 3 .
	Числа	, кратные 5 , не всегда кратны 10 .
	Числа	к замени равными им дробями сначала со знаменателем , затем , а затем - со знаменателем .
	Числитель	дроби делится , а знаменатель не делится .
	Числитель	дроби больше ее знаменателя .
	Числитель	и знаменатель дроби отличаются .
	Число	а делится на 5 .
	Число	является простым числом .
"Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще : """	Число	"делится на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается четной цифрой "" ."
	Число	222 222 не кратно 3 .
	Число	а делится на 2 и па 5 .
	Число	а делится на 2 < = > Последняя цифра числа а - четная .
	Число	8 069 424 делится на 527 .
	Число	а делится на 2 .
	Число	80 разделили на задуманное число , к частному прибавили 13 , результат увеличили в 4 раза и получили 72 .
	Число	больше числа .
	Число	а делится на 5 , но не делится на 2 .
	Число	делится лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
	Число	532 718 не делится на 2 .
	Число	а делится на число Ъ. Чему равен НОК ( а , 6 ) ? .
	Число	5 является делителем суммы 98 775 + 6350 .
	Число	830 760 делится на 2 и на 5 .
	Число	девочек класса составляет числа мальчиков .
	Число	делится лишь на те простые числа , которые входят в его разложение на простые множители .
	Число	а не делится ни на 2 , ни на 5 .
	Число	а делится на 10 .
	Число	разделили на задуманное число , к полученному частному прибавили сумму умножили , а затем из полученного произведения .
	Число	яблок в ящике меньше 100 .
	Число	3 - делитель произведения 17 • 9021 • 40 .
	Число	а делится на 5 О Последняя цифра числа а равна 0 или 5 .
	Число	а делится на 2 , но не делится на 5 .
	Число	807 534 делится на 2 и на 9 .
"Равносильны ли утверждения : """	Число	"а делится на 3 "" и "" Число а делится на 9 "" ? ."
	Число	, делящееся на 12 , может не делиться на 8 .
	Число	21 на 3 делится , поэтому 8535 на 3 также делится .
	Число	х в 2 раза больше числа у .
	Число	Ь на 7 меньше числа с .
	Число	, кратное , кратно .
	Число	сначала увеличили , затем уменьшили , после этого снова увеличили и уменьшили и , наконец , увеличили и уменьшили .
	Число	с делится на 3 , но не делится на 2 .
	Число	посаженных .
	Число	г в 5 раз меньше числа к .
	Число	х в 4 раза больше числа у .
Найди множество значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : '	Число	"х является общим делителем всех чисел "" ."
	Число	с на 9 меньше числа I .
	Число	215 равно сумме двух слагаемых 190 + 25 , одно из которых делится на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
"Опровергни утверждение : """	Число	"2 является общим делителем всех чисел "" ."
	Число	а на 3 больше числа Ь .
	Число	т составляет 30 % числа п .
	Число	1 имеет единственный делитель .
	Число	< 1 составляет — числа к < = > с1 = к : 2 • 7 .
	Число	пасмурных дней составило — числа солнечных дней .
"Найди множество значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : """	Число	"у является общим делителем чисел 12 и 30 "" ."
	Число	увеличить .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : """	Число	"делится на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 9 "" ."
	Число	умножить на результат действия .
	Число	а делится на 3 < = > Сумма цифр числа а делится на 3 .
	Число	с не делится ни на 2 , ни на 3 .
	Число	а делится на число Ь. Найди НОД ( а , Ь ) .
	Число	х называется квадратным корнем из числа у , если х2 = у. Как называется в этом случае число у ? .
	Число	, 2 % которого составляют 200 , равно 10 000 .
	Число	мальчиков этого класса составляет числа девочек .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : """	Число	"делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
	Число	кратно .
	Число	четно .
	Число	нечетно .
	Число	т составляет — числа п .
	Число	отсутствовавших составило — числа всех учащихся этого класса .
	Число	квартир в первом доме составляет — числа квартир во втором доме и — числа квартир в третьем доме .
	Число	с делится на 6 .
	Число	записано в виде суммы разрядных слагаемых .
	Число	х в 2 раза больше у < = > х = у + 2 .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения """	Число	"к делится на 3 "" и "" Сумма цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же ."
	Число	с делится на 2 .
"Таким образом , признак делимости на 10 формулируется так : """	Число	делится на 10 в том и только в том случае , когда его последняя цифра равна 0 ” .
	Число	а делится на число Ъ , если существует такое число с , что выполняется равенство а = Ьс .
	Число	а делится на 10 Последняя цифра числа а равна 0 .
	Число	, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке , составляет у исходного числа .
	Число	34 470 делится на 10 , а 10 делится на 5 .
	Число	к делится на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к делится на 3 .
	Число	х на 2 больше числа у , число у на 2 меньше числа х , х - 2 = у , у = х - 2 , х = у + 2,х ~ у = 2 .
	Число	745 представим в виде суммы : 745 = 740 4- 5 .
	Число	60 является их наименьшим общим кратным .
	Число	, соответствующее некоторой точке числового луча , называется координатой этой точки .
"Равносильны ли утверждения : "" Число а делится на 3 "" и """	Число	"а делится на 9 "" ? ."
	Число	5637 также представим в виде суммы : 5637 = 5630 + 7 .
	Число	яблонь составляет — всех деревьев этого сада , а число вишен составляет — всех деревьев .
"Эти примеры иллюстрируют признак делимости на 5 : """	Число	"делится на 5 в том и только в том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или 5 "" ."
	Число	записано при помощи пяти троек .
	Число	х в 2 раза больше у < = > х = 2 г/ .
	Число	к делится на 3 < = > Сумма цифр числа к делится на 3 .
	Число	50 составляет 1 % от 50 000 .
	Число	37 является делителем всех чисел из множества { 222 , 333 , 555 } .
	Число	с делится на 2 , но не делится на 3 .
	Число	имеет составные делители .
""" Число а делится на к "" и """	Число	"к делится на а "" ."
""""	Число	"а делится на к "" и "" Число к делится на а "" ."
	Число	с делится на 2 и на 3 .
""""	Число	"х делится на 2 "" и "" Число х оканчивается на 2 "" ."
	Число	"называется "" совершенным "" , если оно равно сумме всех своих делителей , не считая самого числа ."
	Число	учащихся составляет у от числа учащихся учится больше , чем .
""""	Число	"х оканчивается на 7 "" и "" Число х делится на 7 "" ."
	Число	с делится на 3 .
""" Число х делится на 2 "" и """	Число	"х оканчивается на 2 "" ."
	Число	9 составляет 9 % от 900 .
	Число	, 7 % которого составляют 35 , равно 500 .
""" Число х оканчивается на 7 "" и """	Число	"х делится на 7 "" ."
	Число	а делится на 9 О Сумма цифр числа а делится на 9 .
	Ширина	сарая , длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
	Ширина	поля равна , что составляет его длины .
	Ширина	какого прямоугольника меньше и на сколько ? .
	Ширина	прямоугольника — см , а его длина на — см больше .
	Ширина	прямоугольника составляет — стороны квадрата .
	Ширина	прямоугольника меньше длины , а периметр равен .
	Ширина	прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника , если его длину увеличить на 7 см ? .
	Ширина	поля , что составляет — его длины .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а высота - длины .
	Ширина	прямоугольника 7 дм , а длина - на 2 см больше .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а высота - меньше длины .
	Ширина	прямоугольника на 9 см меньше длины , а площадь равна 90 см2 .
	Ширина	прямоугольника а м , а длина - в 2 раза больше .
	Ширина	прямоугольника равна , что составляет его длины .
	Ширина	прямоугольника равна , а длина составляет — ширины .
	Ширина	прямоугольника , что меньше длины .
	Ширина	какого участка меньше и на сколько ?
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда равна 20 дм , что составляет его длины .
	Ширина	прямоугольного параллелепипеда меньше длины , а высота - больше ширины .
	Ширина	прямоугольника , что составляет его длины .
	Ширину	прямоугольника увеличили , а длину - от первоначального значения .
Чем характеризуются координаты точек , расположенных на оси	абсцисс	, на оси ординат ? . .
По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси	абсцисс	, уровня воды клеткам оси ординат .
Из точек , указанных ниже , выбери отдельно точки , принадлежащие оси	абсцисс	, и точки , принадлежащие оси ординат .
За Ь часов работы один	автомат	закрывает а банок , а другой - в 2 раза больше .
В танцевальном	ансамбле	танцоры .
Какая часть участников	ансамбля	уехала на гастроли ? .
Элементы	бесконечного множества	уже нельзя испытать все , и при любом числе испытаний может оказаться , что еще непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение , которое мы хотим доказать .
Андрей заглянул к нему в тетрадь и , хотя писал работу другого	варианта	, сразу сказал , что в этом примере ошибка .
"Однако и в этом случае "" лобовой "" перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа"	вариантов	.
Сколько	вариантов	кода в самом худшем случае надо набрать Наташе , чтобы попасть к себе домой ? . .
Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных	вариантов	.
Укажи все возможные	варианты	ответов .
Исходя из значений слов в русском языке , отгадай по рисункам значения математических терминов и сформулируй свои	варианты	соответствующих определений .
Части	величин	выражены дробями .
Запиши с помощью несократимых дробей части	величин	, выраженные в процентах .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у .
Вырази в процентах части	величин	.
Тип задачи определяется тем , какая из	величин	неизвестна . .
Используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Построй математическую модель задачи , введя для обозначения неизвестных	величин	буквы .
Исходя из результатов исследования данной фигуры , проведенного , сделай предположения относительно	величин	остальных углов и проверь их с помощью измерений .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы х и у : .
Обозначь наименьшую из	величин	х и построй математическую модель задачи .
Приведи примеры других	величин	, связанных зависимостью .
Благодаря этим дробям оказалось возможным - через много лет - перейти к единой системе измерения	величин	, к метрической системе мер , которой мы широко пользуемся в быту .
Обозначь наименьшую из неизвестных	величин	х и построй математическую модель задачи .
Вместе с тем , для некоторых	величин	по традиции , идущей из древности , используют не десятичные , а другие соотношения .
Построй математическую модель задачи , используя для обозначения неизвестных	величин	буквы .
Построй математическую модель задачи , обозначая одну из неизвестных	величин	буквой х : .
Какая из	величин	больше , а какая меньше ?
Вырази следующие части	величин	в процентах .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее диаметру есть	величина	постоянная , равная примерно значению дроби .
Как изменится	величина	дроби , если к ее числителю прибавить знаменатель ?
Необходимо , чтобы	величина	площади окон составляла не менее площади пола .
Придумай задачи с другими	величинами	, которые решаются так же .
Придумай задачу с другими	величинами	, имеющую такое же решение .
Составь задачу с другими	величинами	, имеющую такую же математическую модель .
Составь задачу с другими	величинами	, имеющую такое же решение .
Любые два натуральных числа можно сравнить по	величине	, можно сложить или перемножить .
Исходя из того , что сумма углов треугольника равна , вычисли	величину	угла правильного четырехугольника , пятиугольника , шестиугольника .
Обозначим эту	величину	.
Из схемы видно , что число жителей всех районов удобно выразить через	величину	, равную от числа жителей первого района .
Обозначь неизвестную	величину	и построй математическую модель задачи .
Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь	величину	угла , образованного биссектрисами .
Разница лишь в том , что цифры младших разрядов не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет	величины	десятичной дроби .
Как записать с помощью знака процента сотые доли	величины	? .
Какую часть яркость звезд шестой величины составляет от яркости звезд первой	величины	?
Какую часть яркость звезд шестой	величины	составляет от яркости звезд первой величины ?
Яркость звезд при переходе от одной	величины	к другой последовательно уменьшается примерно .
С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять	величины	, то есть отвечать на вопрос “ Сколько ? ” : сколько овец в стаде , сколько мер зерна собрано с поля , сколько верст от села до уездного центра и т д. Так появились числа .
Напомним , что для построения моделей задач ,	величины	в которых связаны отношением а = Ь • с , удобно использовать таблицу : . .
Самые яркие - звезды первой	величины	, а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , - звезды шестой величины .
Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу - как связаны между собой	величины	углов трапеции ?
Определи по графику : Какие	величины	обозначают переменные ? .
Как связаны между собой	величины	односторонних углов ( внутренних и внешних ) ?
Доли	величины	выражены в процентах .
Доли	величины	выражены десятичными дробями .
Что обозначают	величины	в формуле стоимости ?
Найди неизвестные	величины	.
Понаблюдай , как связаны между собой	величины	накрест лежащих углов ( внутренних и внешних ) ?
Найди	величины	углов .
Самые яркие - звезды первой величины , а самые слабые по яркости , которые можно разглядеть в ночном небе , - звезды шестой	величины	.
Построй формулу зависимости	величины	угла правильного многоугольника от числа его сторон .
Пользуясь формулой , найди неизвестные	величины	. .
Построй треугольник по координатам его	вершин	.
Построй многоугольник по координатам его	вершин	.
Построй прямоугольник АВСЕ ) по координатам его	вершин	: А ( 3 ; 2 ) , В ( 3 ; 6 ) , С ( 9 ; 6 ) ( 9 ; 2 ) .
Эльбрус - высочайшая	вершина	Европы .
Угол ,	вершина	которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется вписанным углом .
Сколько внешних углов имеет треугольник АВС при	вершинах	В и С ?
На	вершине	горы , возвышающейся над уровнем моря , поставлена башня высотой .
Начерти треугольник АВС и построй его внешний угол при	вершине	А. Сколько решений имеет эта задача ?
Построй внешние углы этого четырехугольника по одному при каждой	вершине	и найди их сумму .
Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой	вершине	и найди их сумму .
Сравни внешние углы при каждой	вершине	и сформулируй гипотезу .
Лучи , образующие угол , называются сторонами угла , а их общее начало -	вершиной	угла .
Угол с	вершиной	в центре окружности называется ее центральным углом .
Соедини отрезком	вершину	прямого угла с серединой гипотенузы .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его	вершины	, равно , а длина каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Диагональю многоугольника называется отрезок , соединяющий любые две его не соседние	вершины	.
Брутто -	вес	товара с упаковкой , нетто - без упаковки .
Вес колокола - 200 т , а	вес	пушки составляет 20 % веса колокола .
Запиши десятичной дробью с точностью до сотых часть , которую	вес	нетто составляет от веса брутто .
Каким стал	вес	Юры к началу нового учебного года ? .
Для хранения желудей их необходимо просушить , причем при сушке они теряют 8 % своего	веса	.
Вес колокола - 200 т , а вес пушки составляет 20 %	веса	колокола .
Запиши десятичной дробью с точностью до сотых часть , которую вес нетто составляет от	веса	брутто .
Андрей весит 32 кг , что составляет -у	веса	его старшей сестры и веса его папы .
Андрей весит 32 кг , что составляет -у веса его старшей сестры и	веса	его папы .
Сколько всего свежих ягод они собрали , если малина при сушке теряет своего веса , а черника - своего	веса	? . .
Сколько всего свежих ягод они собрали , если малина при сушке теряет своего	веса	, а черника - своего веса ? . .
Ромашка при сушке теряет — своего	веса	.
Вес мамы составляет -5-	веса	папы .
Как при помощи всего двух взвешиваний на чашечных	весах	( без гирь ) найти фальшивую ? .
"Найди корни уравнений с помощью правила """	весов	""" 4х-27 = х ; 5х - 12 = х + 60 ."
"Реши уравнения , используя правило """	весов	""" : обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ."
Используя общее правило сравнения дробей и правило “	весов	” , найди множество натуральных чисел а , для которых дробь : больше ; меньше ; равна .
"По правилу """	весов	""" , известному из начальной школы , обе части уравнения можно поменять местами , увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ."
"Найди корни уравнений с помощью правила """	весов	” .
Среди семи внешне одинаковых монет есть одна фальшивая - более легкая по	весу	.
При проверке оказалось , что если к собаке на весы добавить саквояж , то вместе они перевешивают диван , и то же самое происходит , если к собаке на	весы	добавить чемодан .
При проверке оказалось , что если к собаке на	весы	добавить саквояж , то вместе они перевешивают диван , и то же самое происходит , если к собаке на весы добавить чемодан .
Угол ,	вписанный	в окружность , всегда острый .
Угол , вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают эту окружность , называется	вписанным	углом .
В каждой части этого равенства	вынесем за скобки	общий множитель .
Составь	выражение	и найди его значение при .
Найди 3 значения переменной , при которых	выражение	: .
Запиши	выражение	для площади фигуры , закрашенной на рисунке : . .
Составь	выражение	и найди его значение .
Реши задачу , составляя	выражение	: .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делят на	выражение	в знаменателе . .
Составь	выражение	и найди его значение при данных значениях букв : .
Рассмотри	выражение	.
Запиши	выражение	и найди его значение при данных значениях букв .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления :	выражение	в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Упрости	выражение	и найди его значение .
Запиши числовое	выражение	и найди его значение : .
Реши задачу , составляя числовое	выражение	: .
Прочитай буквенное	выражение	.
Составь	выражение	, соответствующее заданной программе действий , и найди значение выражения : .
Запиши	выражение	для ответа на вопрос задачи и найди его значение при данных значениях букв : .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости	выражение	и найди его значение .
Объясни , что может означать	выражение	.
Упрости	выражение	.
Запиши	выражение	для ответа на вопрос задачи : .
Составь	выражение	и найди его значение при заданных значениях букв .
Пользуясь распределительным свойством умножения , упрости	выражение	и найди .
Запиши	выражение	с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном выражении .
Прочитайте	выражение	.
Составь буквенное	выражение	и найди его значение .
Найди	выражение	, которое является правильным переводом данной задачи на математический язык .
Например , разность а - Ь при а = 8 и Ь = 3 превратится в числовое	выражение	8 - 3 .
Докажи , что	выражение	2935с + 16000с/ кратно 5 при любых значениях переменных с и < 1 .
Запиши какое - нибудь числовое	выражение	, для вычисления значения которого нужно последовательно выполнить : .
Составь	выражение	и найди его значение : .
Прочитай	выражение	и найди его значение .
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое .
Сделай чертеж к задаче и запиши	выражение	.
Запиши	выражение	в виде суммы чисел со знаками .
Выполни программу действий , затем по данной программе составь	выражение	и найди его значение .
Запиши	выражение	, являющееся переводом задачи на математический язык .
Составь	выражение	и найди его значение при х = 6 .
Однако для этой задачи мы не можем составить числовое	выражение	, так как не известно ни число мальчиков , ни число девочек .
Составь	выражение	и найди его значение при заданных значениях переменных .
Подбери два значения х так , чтобы	выражение	: .
Составь задачу , решением которой служит	выражение	: .
Составь задачу , решением которой служит	выражение	.
Прочитай	выражение	и преобразуй его в сумму .
Что означает	выражение	“ сократить дробь ” ?
Преобразуем полученное	выражение	.
Выполни вычисления по схеме и составь	выражение	.
Составь	выражение	по следующей программе и найди его значение : .
Запиши	выражение	и сосчитай : сумма квадратов чисел ; квадрат разности чисел ; разность кубов чисел ; куб суммы чисел .
Составь	выражение	и упрости его .
Выполни программу действий и составь	выражение	.
Составь	выражение	, задающее ту же самую программу действий .
Попробуем подставить в это	выражение	, например , х = 4 : 4-(4 + 3 ) = 28 .
Упрости	выражение	и найди его значение при данном значении переменной .
Запиши	выражение	и найди его значение .
Составь из чисел , записанных в квадрате , скобок и знаков и	выражение	, значение которого равно 1 .
Последнее	выражение	читают .
Реши задачу и запиши решение по действиям с вопросами , а затем составь для нее	выражение	: .
Например , для нашей задачи можно записать также	выражение	: 120 - ( 25 4- 25 • 2 ) .
Придумай задачи , математической моделью которых является	выражение	.
Найди	выражение	, которое является правильным переводом задачи на математический язык .
Казалось бы , задача уже решена , но это не так : ведь может оказаться , что буквенное	выражение	равно 70 при разных значениях х. Например , произведение х • ( 17 - х ) равно 70 и при х = 7 , и при х = 10 .
"Цепочку вычислений , соответствующую букве "" К "" предыдущего номера , можно задать"	выражением	: [ ( 8 + 9 ) • 3 - 2 ] : 7 .
Запиши выражение с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном	выражении	.
Если в числовом	выражении	провести указанные в нем действия , то получится некоторое число .
Найди значения	выражений	.
Вычисли значения данных	выражений	, найди их сумму и воспользуйся указанным ключом для определения имени сына Одиссея и Пенелопы .
Что общего в каждой паре	выражений	?
Знак равносильности имеет такой же смысл , но применяется не для числовых	выражений	, а для предложений - высказываний или высказывательных форм ( предложений с переменной ) .
Существуют ли значения переменных , при которых значения всех трех	выражений	будут равны ? .
Упрости запись этих	выражений	.
В каких из следующих	выражений	"можно "" сэкономить "" на знаках умножения ?"
Нам уже известны названия простейших математических	выражений	- сумма , разность , произведение , частное .
Пользуясь ими , найди , если возможно , значения	выражений	.
Какое из данных	выражений	не имеет смысла ? .
Запись , чтение и составление	выражений	.
Найди значения	выражений	и поставь между ними знак равенства или неравенства так , чтобы получилось истинное высказывание и разгадай числовой кроссворд .
Пользуясь свойствами и признаками делимости , установи , какие из приведенных	выражений	делятся : на 2 ; на З ; на 5 ; на 9 .
Что общего у всех этих	выражений	?
Вычисли значения	выражений	.
И точно так же , как пишут цепочку равенств при преобразованиях числовых	выражений	, например , можно записывать цепочки равносильных предложений , например .
Докажи , что произведение значений данных	выражений	равно .
Найди значения данных	выражений	таким же способом .
Какое из данных 4	выражений	является математической моделью задачи : Теплоход проплыл по реке а км со скоростью Ь км / ч , а затем по озеру на 12 км больше .
Найди значения	выражений	: .
Найди значения	выражений	и сравни их .
Такое обозначение действия деления с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным , и его принято использовать для записи более сложных	выражений	.
По данному	выражению	составь задачу на одновременное движение двух объектов и нарисуй схему .
Составь задачу по	выражению	и реши ее .
Какой смысл следует придать	выражению	, а ° ( а * 0 ) , чтобы предложенное тобой правило не нарушалось ? .
Какой смысл следует придать	выражению	, чтобы предложенное тобой правило не нарушалось ? .
При каких значениях переменной значение	выражения	делится на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает , что эти	выражения	имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
Вместо длинного	выражения	""" в том и только в том случае "" в математической записи часто употребляется специальный знак ФФ ( читают : "" равносильно "" ) ."
Для всех задач запиши	выражения	и найди ответ .
Упрости	выражения	: 5й : 52 , II7 : II4 , 45 : 42 .
"Кстати , вместо слов "" в том и только в том случае "" в математике употребляют и некоторые другие"	выражения	"такого типа , - например , "" тогда и только тогда "" , "" если и только если "" и другие ."
Составь	выражения	и найди их значения .
Упрости	выражения	.
Объясни смысл	выражения	: ( 52)3 .
Найти значение	выражения	105 - 400 : 23 .
Прочитай	выражения	и найди их значения .
Найди значение	выражения	.
Упрости	выражения	: ( а3)2 , ( а2)4 , ( а5)3 .
Докажи , что при всех натуральных значениях переменных	выражения	28х , 96тпй , 52(г/ + г ) кратны 2 .
Прочитай	выражения	и найди их значения при а = = 11 , Ъ = 7 .
Проверь , что значения	выражения	п2 + п + 41 ( трехчлен Эйлера ) при п = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 являются простыми числами .
Сравни	выражения	.
Запиши	выражения	.
Составь выражение , соответствующее заданной программе действий , и найди значение	выражения	: .
Упрости	выражения	: 23 - 24 , 72 - 73,94 - 92 .
Вычислить значение	выражения	.
Прочитай	выражения	.
Найди значение	выражения	, используя метод “ доходов и расходов ” .
Французский математик Пьер Ферма , живший в XVII веке , обнаружил , что при небольших натуральных значениях п значение	выражения	21 + 1 является простым числом .
Найди значение	выражения	разными способами .
Запиши три пары значений переменных х и у , при которых значение	выражения	12х + 45г/ : делится на 2 ; .
Выполни умножение и упрости полученные	выражения	.
Прочитай	выражения	и определи , равны ли их значения .
Составь	выражения	и найди их значения при данных значениях букв : .
Докажи , что значение	выражения	является наименьшим натуральным числом .
Итак , при решении составных задач на дроби , кроме основных правил , рассмотренных в предыдущих пунктах , на помощь могут прийти схемы , таблицы , числовые и буквенные	выражения	, уравнения .
Математические	выражения	.
Равны ли	выражения	?
Вырази в метрах и найди значение	выражения	.
Для ответа на поставленный вопрос достаточно найти значение этого	выражения	.
Придумай и запиши два числовых и два буквенных	выражения	.
Найди значение буквенного	выражения	.
Такие	выражения	называют числовыми .
"Из них составляются "" слова "" математического языка - математические"	выражения	, например : .
Его значение , равное 5 , называют значением буквенного	выражения	а - Ъ при а = 8 и Ь = 3 .
Упрости	выражения	, пользуясь свойствами арифметических действий .
Нам надо найти такое значение х , при котором значение	выражения	х(х + 3 ) было бы равно 70 .
Составь	выражения	для остальных цепочек и проверь правильность записи с помощью вычислений .
Найди значение полученного	выражения	.
Важно научиться не только читать готовые математические	выражения	", но и составлять их , то есть "" переводить "" с русского языка на математический ."
Найди значение буквенного	выражения	при данных .
Сделай прикидку , округлив до целых , а затем найди точное значение	выражения	.
Составь	выражения	для ответа на вопросы задач : .
Запиши	выражения	для периметра фигур , изображенных на рисунке : .
Упрости	выражения	, пользуясь свойствами арифметических действий : . .
Запиши в виде	выражения	: .
Это число называется значением	выражения	.
Реши задачи , составляя	выражения	.
Запиши в виде числового	выражения	.
Например , значение	выражения	( 43 + 57 ) • 32 равно 3200 .
Найти значение	выражения	120 - 25 - 25 - 2 .
Найди значение	выражения	( в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе ) .
Составь	выражения	.
Более сложные	выражения	обычно называются по последнему выполняемому действию , например : .
Значение этого	выражения	мы без труда можем найти .
Вырази в дециметрах и найди значение	выражения	.
Запиши	выражения	для периметра и площади фигуры , изображенной на рисунке : .
Найди значения	выражения	( 18 - х ) : х для всех х , принадлежащих множеству { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 } .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с	выражениями	, содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .
Знак равенства между двумя числовыми	выражениями	показывает , что эти выражения имеют одно и то же значение , то есть означают одно и то же : например , 2 * 2 = 4 .
В	выражениях	, содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого - сложение и вычитание .
В первых двух	выражениях	букв нет .
В трех последних	выражениях	стоит знак умножения , но принято писать проще .
После присвоения элементу некоторого имени мы можем его называть и записывать под присвоенным ему именем в	выражениях	, формулах , равенствах и неравенствах .
Ширина сарая , длина - больше ширины , а	высота	- меньше длины .
На крыше башни стоит громоотвод ,	высота	которого равна .
Ширина прямоугольного параллелепипеда меньше длины , а	высота	- больше ширины .
Чему равна	высота	видимой части сваи ? .
Длина аквариума 8 дм , ширина 5 дм , а	высота	45 см. Сколько литров воды надо налить в пустой аквариум , чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см ? .
На сколько дециметров	высота	параллелепипеда больше его ширины ? .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна , ширина , а	высота	на меньше ширины .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а	высота	12 см. Найди длину ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Ширина прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а	высота	- меньше длины .
Длина аквариума , ширина меньше , а	высота	меньше длины .
Длина коробки равна , ширина составляет длины , а	высота	- длины .
Длина класса , ширина , а	высота	.
Длина комнаты 7 м , ширина 5 м , а	высота	3 м .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а	высота	- длины .
Какую часть длины аквариума составляет его	высота	? .
Чему равна	высота	этого параллелепипеда , если его объем равен ? .
На какой	высоте	над уровнем моря находится шпиль этого громоотвода ? .
На вершине горы , возвышающейся над уровнем моря , поставлена башня	высотой	.
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 40 см , шириной 20 см и	высотой	15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Достаточно ли света в классе , длина которого и ширина , если в классе имеется окна	высотой	и шириной ? .
Наливай в сосуд воду меркой и заноси в таблицу	высоту	уровня воды в сосуде .
Ребята проводили эксперимент : в различные сосуды меркой наливали воду и с помощью линейки измеряли	высоту	уровня воды в сосуде .
Вычисли	высоту	цифр на циферблате кремлевских курантов .
По данным таблицы построй график зависимости	высоты	уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси ординат .
По результатам измерений строился график зависимости	высоты	уровня к от числа мерок и : .
Игнат задумал число ,	вычел	его из 46 , результат разделил на 5 и получил 6 .
Чтобы	вычесть	число из суммы , можно вычесть это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Чтобы вычесть сумму из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата	вычесть	другое слагаемое .
Если задуманное число	вычесть	из числа , результат уменьшить в раз , а затем увеличить на ,
Из числа 500 010	вычесть	497 305 .
Чтобы разделить разность на число , отличное от нуля , можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного	вычесть	второе .
Итак , чтобы вычесть смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ;	вычесть	отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Итак , чтобы	вычесть	смешанные числа , можно : привести дробные части к наименьшему общему знаменателю ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , “ занять ” единицу из целой части ; вычесть отдельно целые и дробные части ; если необходимо , сократить дробную часть .
Если из утроенного неизвестного числа	вычесть	, то получим .
Чтобы вычесть сумму из числа , можно	вычесть	из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Если к нему прибавить , из полученной суммы	вычесть	, а разность вычесть .
Если к нему прибавить , из полученной суммы вычесть , а разность	вычесть	.
Чтобы вычесть число из суммы , можно	вычесть	это число из одного слагаемого и полученный результат прибавить к другому слагаемому .
Чтобы	вычесть	сумму из числа , можно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученного результата вычесть другое слагаемое .
Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок	вычесть	марки Сережи и Кости .
Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения	вычесть	второе .
Из числа	вычесть	результат первого действия .
Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел , а затем сложить ее или	вычесть	- по знаку около таблицы .
Из результата второго действия	вычесть	результат третьего действия .
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а	вычитаемое	с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и	вычитаемое	с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и	вычитаемое	с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ;	вычитаемое	с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Что произойдет с разностью двух чисел , если округлить : уменьшаемое с избытком или с недостатком ; вычитаемое с избытком или с недостатком ; уменьшаемое и вычитаемое с избытком ; уменьшаемое и вычитаемое с недостатком ; уменьшаемое с избытком , а	вычитаемое	с недостатком ; уменьшаемое с недостатком , а вычитаемое с избытком ?
Аналогично	вычитание	смешанных чисел сводится к вычитанию ( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
вычитание , деление и	вычитание	.
Выполнить сложение (	вычитание	) , не обращая внимания на запятую .
Ясно , что в левой части уравнения нужно вынести х за скобки и выполнить сложение и	вычитание	получившихся чисел .
Сложение и	вычитание	смешанных чисел .
Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями , содержащими сложение и	вычитание	дробей с разными знаменателями .
Ясно , что	вычитание	возможно только в случае , когда числитель полученной дроби больше или равен нулю , то есть .
На числовом луче можно также изображать сложение и	вычитание	чисел .
	Вычитание	, деление и вычитание .
сложение , умножение и	вычитание	; .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и деление , и после этого - сложение и	вычитание	.
Аналогично выполняется и	вычитание	.
Сложение и	вычитание	дробей .
В отличие от сложения и умножения ,	вычитание	и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Выполни сложение и	вычитание	дробей с натуральными числителями и знаменателями .
умножение ,	вычитание	и деление ; .
Заметим , что сложение и	вычитание	десятичных дробей можно записать “ в столбик ” : .
Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к	вычитанию	( если это возможно ) отдельно целых частей и дробных частей .
Повтори алгоритм сложения и	вычитания	десятичных дробей и реши примеры правильно . .
Вычисли наиболее удобным способом и объясни , на основании каких свойств сложения и	вычитания	выполнены преобразования .
Аналогично , но чуть сложнее записывается правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями .
Что же касается дробей с разными знаменателями , то для их сложения или	вычитания	достаточно привести их к одному знаменателю .
Вместе с тем , числовой луч обычно используют для сравнения , сложения и	вычитания	чисел тогда , когда числа несложно изобразить .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило вычитания числа из суммы ; правило	вычитания	суммы из числа .
Для сложения и	вычитания	дробей верны изученные ранее свойства этих действий .
Для дробей с общим знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи : переместительное свойство сложения ; сочетательное свойство сложения;правило	вычитания	числа из суммы ; правило вычитания суммы из числа .
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения , правила	вычитания	числа из суммы и суммы из числа .
Пользуясь свойствами сложения и	вычитания	дробей , вычисли наиболее удобным способом .
Сформулируем на математическом языке общие правила сложения и	вычитания	дробей .
Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и	вычитания	с нулем .
Какие свойства сложения и	вычитания	выражают данные равенства ? .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия	вычитания	и деления выполнимы на множестве .
Выполни действия наиболее простым способом : сформулируй правило	вычитания	суммы из суммы .
Исходя из правила	вычитания	суммы из суммы , докажи равенство .
Приведем несколько примеров сложения и	вычитания	десятичных дробей с помощью установленного алгоритма .
Запиши в виде буквенных равенств правила	вычитания	числа из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм сложения (	вычитания	) десятичных дробей .
Натуральные числа можно не только складывать и умножать , но и	вычитать	и делить .
В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и умеют их складывать и	вычитать	, а “ умножают ” их по бусирскому правилу .
Складывать и	вычитать	дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе .
Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей , научились складывать и	вычитать	дроби с одинаковыми знаменателями .
Снова	вычитая	из каждой части у , получим 70 = 6г/ + 52 , 6г/ = 18 , у = 3 . .
Некоторое число сначала увеличили на 14 , потом увеличили в 4 раза , результат	вычли	из 110 и получили 18 .
Из задуманного числа	вычли	3 , полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше , чем треть задуманного числа .
Задуманное число увеличили в 2 раза , из результата	вычли	25 и получили число , в 3 раза меньшее задуманного .
Задумали число , разделили на него , полученное частное	вычли	, результат увеличили и получили число , большее квадрата числа .
Задуманное число сначала увеличили в два с половиной раза , затем уменьшили ,	вычли	и получили .
К числу 3 прибавили задуманное число , сумму увеличили в 5 раз и полученное произведение	вычли	из 70 .
К задуманному числу прибавили 4 , сумму увеличили в 5 раз , из результата	вычли	16 и получили на 2 меньше , чем получили бы , сложив учетверенное задуманное число с 9 .
Поэтому если мы из каждой части этого равенства	вычтем	одно и то же число у , то получим 60 = 5г/ + 52 , откуда 5г/ = 8 , что для натурального числа у невозможно .
Углом называется	геометрическая фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
Какие еще пространственные	геометрические фигуры	ты знаешь ? . .
Площадь	геометрических фигур	чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем геометрического тела - буквой V .
Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой 5 , периметр многоугольника - буквой Р , объем	геометрического тела	- буквой V .
Расположи ответы примеров в порядке убывания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй название	геометрической фигуры	.
Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность , диаметром которой является его	гипотенуза	.
Сравни по длине проведенный отрезок и	гипотенузу	.
Соедини отрезком вершину прямого угла с серединой	гипотенузы	.
На сколько	градусов	изменилась температура ? .
На сколько	градусов	изменилась температура вечера ? .
Все шесть	граней	куба - квадраты .
На каждой грани кубика надо разместить черные кружки , изображающие числа ( на одной	грани	- кружок , на другой - кружка и т д ) .
На каждой	грани	кубика надо разместить черные кружки , изображающие числа ( на одной грани - кружок , на другой - кружка и т д ) .
Построй	график	изменения температуры воздуха в течение этого дня .
Построй	график	движения автобусов и определи . .
Построй	график	изменения роста Оли в течение первых шести лет жизни , пользуясь таблицей .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней апреля .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней ноября .
По данным таблицы построй	график	зависимости высоты уровня воды в сосуде к от числа мерок , и мерка соответствует клетке оси абсцисс , уровня воды клеткам оси ординат .
На чертеже изображен	график	изменения температуры в один из дней марта .
Построй	график	движения по рассказу “ Приключения пса Грея ” , считая движение Грея прямолинейным , и ответь по графику на вопросы .
По результатам измерений строился	график	зависимости высоты уровня к от числа мерок и : .
На чертеже изображен	график	изменения уровня воды в реке в весеннелетний сезон по сравнению со средним уровнем ( будем считать , что в месяце 30 дней ) .
Построй	график	, выражающий зависимость температуры от времени нагревания .
Построй	график	движения по рассказу “ В поисках капитана Гранта ” и ответь на поставленные вопросы : “ экспедиция лорда Гленарвана отправилась вдоль реки Рио - Глазго к поселению индейцев , находящемуся от их места стоянки .
На	графике	показано , как изменялся рост Пети от рождения .
На рисунке приведены	графики	их движения .
Рассмотри	графики	движения двух объектов и определи по ним для каждого объекта : .
Построй график движения по рассказу “ Приключения пса Грея ” , считая движение Грея прямолинейным , и ответь по	графику	на вопросы .
Определи по	графику	: Какие величины обозначают переменные ? .
Придумай по	графику	вопросы и ответь на них .
Проанализируй по	графику	скорость изменения уровня воды в сосуде ( когда уровень воды изменялся быстрее , а когда - медленнее ) и по этим данным угадай форму сосуда .
Задай по	графику	три вопроса и ответь на них .
По	графику	опиши движение путешественников , определи скорость .
Измерь углы и определи число учащихся в каждой из выделенных	групп	, если всего в школе учатся 1400 детей .
Какая дробь в каждой из	групп	может быть « лишней » .
Если бы	групп	было на одну больше , то в каждой было бы на 3 человека меньше .
Для занятий их разделили поровну на несколько	групп	.
Сколько было	групп	и сколько человек в каждой группе ? .
На рисунке изображена	группа	людей , связанных семейными отношениями .
Сколько было групп и сколько человек в каждой	группе	? .
На этот вопрос мы отвечали так : 27 предметов можно разложить на 3 равные	группы	по 9 предметов в каждой , и ничего не останется .
Все ли числа каждой	группы	являются взаимно простыми : .
Разбей данные 6 чисел на группы таким образом , чтобы внутри каждой	группы	стояли числа , равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Всех участников соревнований можно разбить на 2	группы	- мальчики и девочки .
Разбей данные 6 чисел на	группы	таким образом , чтобы внутри каждой группы стояли числа , равные при любых натуральных значениях а , Ь и с .
Следовательно ,	данные	числа имеют только один общий делитель - число 1 .
Оказывается , это также несложно : благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться , чтобы	данные	дроби имели или один и тот же знаменатель , или один и тот же числитель .
Сравни	данные	утверждения .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в	данных	дробях .
Выполнить	деление	на натуральное число .
Выполни	деление	""" по частям "" ."
Теперь рассмотрим	деление	на десятичную дробь .
Выполнить	деление	целой чисти .
Сначала рассмотрим простейший случай -	деление	десятичной дроби на натуральное число .
При этом два действия -	деление	на знаменатель дроби , а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь .
Для выяснения , делится ли одно число на другое , всегда можно провести	деление	"известным нам способом - "" уголком "" ."
Мы видим , что сколько бы мы ни продолжали	деление	, в новых разрядах частного всегда будет получаться цифра .
Производя	деление	уголком и замечая возникающие закономерности , можно проверить , что .
Разложи делитель на простые множители и объясни , как можно выполнить	деление	по частям .
Выполни	деление	.
А	деление	на ноль для дробей , как и для натуральных чисел , не допускается .
В выражениях , содержащих степени , сначала выполняется возведение в степень , затем умножение и	деление	, и после этого - сложение и вычитание .
Вычитание и	деление	являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве .
Например , каждое из чисел 7 , 11 и 13 является делителем числа 1001 - в этом можно убедиться , проведя	деление	""" столбиком "" ."
Выполни	деление	с остатком и сделай проверку .
Выполни	деление	по частям .
В отличие от сложения и умножения , вычитание и	деление	натуральных чисел можно выполнить не всегда .
Выполни	деление	с остатком и сделай проверку : 918 : 45 .
Как известно ,	деление	на некоторое число является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется произведению делителя и частного .
Выполни	деление	, результат проверь с помощью умножения .
Замени	деление	умножением и вычисли .
Самое интересное и полезное для нас в полученном результате — это то , что	деление	дробей сводится к их умножению .
Теперь выполним	деление	дроби на натуральное число по установленному выше правилу .
Выполни	деление	, если значения всех переменных - натуральные числа .
вычитание ,	деление	и вычитание .
Продолжить	деление	, не обращая внимания на запятую , дописывая в делимом после запятой столько нулей , сколько потребуется .
	Деление	, сложение и умножение ; .
Умножение и	деление	десятичной дроби .
Умножение и	деление	натуральных чисел - дело простое : к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей .
При этом , когда	деление	целой части закончится , продолжим делить последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном запятую .
умножение , вычитание и	деление	; .
При этом два действия -	деление	на числитель дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь .
Выполни	деление	и сделай проверку .
Выполни	деление	с точностью до сотых .
Выполни	деление с остатком	и сделай проверку : 918 : 45 .
Выполни	деление с остатком	и сделай проверку .
А вот с	делением	десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Дроби , как известно , возникли в связи с	делением	предмета на несколько равных частей .
При этом два действия - деление на числитель дроби , а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием -	делением	на дробь .
Замени умножение	делением	и вычисли .
Сравни при	делении	на дробь , меньшую единицы , делении на дробь , большую единицы ? .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при	делении	, например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде десятичной дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает , что числа х и у - это парные делители 252 : при	делении	252 на х получается у , и наоборот .
Какие получаются остатки при	делении	этих чисел на 3 ? .
Сравни при делении на дробь , меньшую единицы ,	делении	на дробь , большую единицы ? .
Найди остатки , которые получаются при	делении	на 9 чисел : 36 681 , 578 645,4 620 805 .
Заметим , что при умножении числа оно уменьшается соответственно , а при	делении	- увеличивается .
При	делении	числа на число получается частное и остаток .
Так , поскольку при	делении	после разряда десятых всегда идет цифра , то считают .
Следует сказать , что невозможность при	делении	десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Однако при	делении	смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а делить отдельно целую и дробную части , например : .
При	делении	смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило деления дробей .
При	делении	числа , а на число Ь получилось частное к.
Например , при	делении	по этому правилу дроби — ответ получается почти сразу .
Попробуем , однако , и при	делении	десятичных дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Значит , при	делении	дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель , а числитель оставить прежним .
Какие получаются остатки при	делении	этих чисел на 9 ? .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при	делении	( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Можно найти число , при	делении	которого на 6 получится 9 .
Почему при	делении	с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
При	делении	дроби на натуральное число , как и в случае умножения дробей , нет необходимости каждый раз проделывать всю цепочку вычислений .
Поэтому при умножении десятичной дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при	делении	- на разряд вправо .
При	делении	числа на получается частное и остаток .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении десятичной дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при	делении	разряда влево .
Какие остатки получаются при	делении	числа 27 628 : на 10 ; на 100 ; на 1000 ; на 2 ; на 5 ?
При	делении	некоторого числа на 5 в остатке получилось 4 .
При	делении	на 9 любого числа из множества { 20 , 56 , 101 } в остатке получается 2 .
Поэтому при	делении	запятая будет перемещаться не вправо , а влево - соответственно на разряд .
При	делении	числа с1 на 8 получается в частном див остатке 5 .
Доказать , что частное двух натуральных чисел не изменится , если каждое из них увеличить в одно и то же число раз ( при	делении	без остатка ) .
При	делении	всех чисел из множества { 24 , 38 , 45 } на число 7 в остатке получается 3 .
При	делении	яблоки на двоих детей ответ можно получить и другим способом : раздать каждому по яблоку и одно оставшееся разделить пополам .
Например , так как при	делении	получается частное и остаток .
На какое число надо умножить , чтобы получить тот же результат , что и при	делении	? .
При	делении	числа а на число Ь получается в частном сив остатке г .
При	делении	числа и на число 4 получается в частном у и в остатке 1 .
Почему при	делении с остатком	нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
Исходя из полученного вывода , придумай , как построить правильный шестиугольник , пользуясь только циркулем и линейкой без	делений	.
Этот случай легко свести к	делению	на натуральное число .
Пользуясь формулой	деления	с остатком а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные значения букв в таблице .
Что получится , если заменить в новом равенстве знак	деления	на черту дроби ? .
По определению	деления	натуральных чисел разделить число на число — это значит найти такое число , которое при умножении дает .
С другой стороны , нам известно , что знак	деления	можно заменить чертой дроби .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное от	деления	не меняется , что и требовалось доказать .
частное от	деления	суммы чисел 43 и 3 на разность чисел 140 и 117 .
Такое обозначение действия	деления	с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным , и его принято использовать для записи более сложных выражений .
При делении смешанных чисел их можно сначала перевести в неправильные дроби , а затем применить общее правило	деления	дробей .
Запиши соотношение между ними , пользуясь формулой	деления	с остатком .
Для деления дробей выполняются известные нам частные случаи	деления	.
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного	деления	на многозначное число мы можем делить , как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
Поэтому можно ожидать , что и для десятичных дробей правила умножения и	деления	не будут сложными .
"В этой задаче у нас целых четыре "" персонажа ” : два числа , частное от"	деления	одного из них на .
Но здесь мы будем исходить не из практической задачи , а из связи	деления	с умножением .
Что получится , если в новом равенстве заменить знак	деления	на черту дроби ?
Чему равна цена	деления	шкалы числовой прямой ?
Найди цену	деления	шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты точек .
Для любых натуральных чисел а , Ь и с выполняется равенство ( при условии , что все данные операции	деления	выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Для этого понадобится три действия	деления	: данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на однозначные числа .
Для этого понадобится три действия деления : данного числа на 4 , полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции	деления	на однозначные числа .
Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно , то есть при условии , что данные действия вычитания и	деления	выполнимы на множестве .
Найти двузначное число , частное от	деления	, которого на произведение его цифр равно 3 .
Начерти координатный луч и отметь на нем точки , выбрав удобную цену	деления	: . .
Найдем , например , частное от	деления	.
Данный способ можно применить для	деления	на любую десятичную дробь .
частное от	деления	числа 143 на разность чисел 67 и 54 ; .
Найди остатки от	деления	на 3 чисел : 25 966 , 527 408 , 1 387 915 .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило	деления	дробей .
Используем этот же принцип и для	деления	десятичных дробей .
Рассмотрим теперь случай , когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс	деления	на натуральное число .
С помощью дробей можно представить результат	деления	любого натурального числа на любое натуральное число , например .
Построим правило	деления	дробей .
При этом число с называется частным от	деления	а на b , число а — кратным Ь , а число Ь - делителем а .
Найди цену	деления	шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек .
При этом черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия	деления	.
Найди частное от	деления	.
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие	деления	: выражение в числителе делят на выражение в знаменателе . .
Итак , мы видим , что для	деления	на дробь можно произвести умножение на “ перевернутую ” дробь , то есть дробь , у которой числитель и знаменатель поменялись местами .
Дополнительные свойства умножения и	деления	.
Назови трех ребят , показавших лучшую результативность ( результативность — это частное от	деления	числа набранных очков на число игр ) .
Для этого сначала заменим знак	деления	дробной чертой и применим основное свойство дроби .
Черту дроби можно понимать как знак	деления	.
Как решить эту задачу , не производя	деления	? .
Однако реальная польза получается в другом : при выполнении более трудного действия -	деления	.
Дробь — можно представить как частное от	деления	.
Архимед установил , что частное от	деления	длины окружности на ее диаметр составляет примерно .
Сохраняется ли это свойство для	деления	дробей ? .
Для	деления	дробей выполняются известные нам частные случаи деления .
Рассмотренные нами свойства	деления	можно сформулировать на математическом языке с помощью следующих общих утверждений - теорем .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и	деления	( при условии , что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Применим его для	деления	, например .
Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления ( при условии , что все данные операции	деления	выполнимы на множестве натуральных чисел ) .
Пользуясь формулой	деления с остатком	а = Ъс + г , где г < Ь , найди неизвестные значения букв в таблице .
Запиши соотношение между ними , пользуясь формулой	деления с остатком	.
Найди два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ;	делилась	на 5 ; не делилась на 5 .
Найди два значения т такие , чтобы сумма 35 + т ; делилась на 5 ; не	делилась	на 5 .
На какое число	делили	? .
12х	делилось	на 7 ; 8х делилось на 14 .
25х не	делилось	на 3 ; х + 36 не делилось на 9 .
20х делилось на 11 ; 48 - х	делилось	на 4 ; .
25х не делилось на 3 ; х + 36 не	делилось	на 9 .
Составь число из одних девяток , чтобы оно	делилось	на 5 .
Составь число из одних пятерок , чтобы оно	делилось	на 9 .
Если бы это было так , то по свойству 1 слагаемое 25 , равное разности 215 - 190 , тоже	делилось	бы на 19 , а это неверно .
12х делилось на 17 ; 8х	делилось	на 4 ; 1598х делилось на 637 .
Зх	делилось	на 5 ; 9х делилось на 6 ; .
Зх делилось на 5 ; 9х	делилось	на 6 ; .
20х	делилось	на 11 ; 48 - х делилось на 4 ; .
12х делилось на 7 ; 8х	делилось	на 14 .
12х	делилось	на 17 ; 8х делилось на 4 ; 1598х делилось на 637 .
12х делилось на 17 ; 8х делилось на 4 ; 1598х	делилось	на 637 .
В числе 7 030 506 все нули замени одной и той же цифрой - такой , чтобы полученное число	делилось	на 9 .
Действительно , если мы , например ,	делим	некоторую сумму денег на несколько равных частей , то чем больше мы возьмем таких частей , тем больше денег нам достанется . .
Если мы	делим	предмет на большее число частей , то каждая часть получается меньше .
Как мы видели , для получения ,	делимого	можно выписать вместе разложения на простые множители делителя и частного .
, и сначала убрать из	делимого	первые две двойки , затем оставшиеся три двойки , а потом две тройки .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении	делимого	и делителя на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Как изменяется частное двух чисел при изменении	делимого	и делителя ?
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ;	делимое	с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Объясни , как найти неизвестный множитель ,	делимое	, делитель .
	Делимое	уменьшить в 9 раз , а делитель увеличить в 6 раз ; .
Если	делимое	уменьшить в 2 раза , а делитель оставить без изменения , то частное .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ;	делимое	и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ;	делимое	с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если	делимое	и делитель разделить на одно и то же натуральное число .
	Делимое	уменьшить в т раз , а делитель увеличить в 8 раз ? .
Если	делимое	увеличить в 3 раза , а делитель оставить без изменения , то частное .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ;	делимое	и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Если	делимое	и делитель разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то частное .
	Делимое	увеличить в п раз , а делитель уменьшить в 3 раза ; .
Что произойдет с частным , если округлить :	делимое	с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
По рисунку найди	делимое	, делитель , частное и остаток .
	Делимое	увеличить в 3 раза ; .
Как найти неизвестный множитель ,	делимое	, делитель ?
	Делимое	уменьшить в 6 раз , а делитель уменьшить в 2 раза ; .
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это число :	делимое	равняется произведению делителя и частного .
Поэтому мы введем четыре имени :	делимое	обозначим буквой а , делитель - буквой Ь , частное - буквой к , а четвертое число - буквой с .
Так же поступают и в случае , когда	делимое	или делитель являются натуральными числами .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ;	делимое	с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Другими словами , сначала	делимое	и делитель можно разделить на 5 , а потом на 7 .
	Делимое	увеличить в 7 раз , а делитель уменьшить в 5 раз ; .
Так , для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить , что и	делимое	, и делитель содержат общий множитель 5 .
Если делитель увеличить в 2 раза , а	делимое	оставить без изменений , то частное .
Для натуральных чисел	делимое	никогда не бывает меньше делителя и частного .
	Делимое	увеличить в 8 раз , а делитель увеличить в 2 раза ; .
Почему при делении с остатком нельзя в	делимом	и делителе отбросить одно и то же число нулей ?
Перенести в	делимом	и в делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе .
Продолжить деление , не обращая внимания на запятую , дописывая в	делимом	после запятой столько нулей , сколько потребуется .
Почему при делении с остатком нельзя в делимом и	делителе	отбросить одно и то же число нулей ?
Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в	делителе	.
Перенести в делимом и в	делителе	запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе .
А - множество делителей числа 16 , а В - множество	делителей	числа 28 .
А - множество	делителей	числа 16 , а В - множество делителей числа 28 .
Запиши множество	делителей	числа 24 , расположив их в возрастающем порядке .
Запиши множество	делителей	каждого числа и найди их наибольший общий делитель : 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Дробь , знаменатель которой в качестве простых	делителей	содержит только , можно представить в виде десятичной дроби .
А - множество делителей числа 12 , а В - множество	делителей	числа 18 .
Какое число имеет больше	делителей	- 7 или 14 , 6 или 30,12 или 36 , 8 или 40 , 111 или 111 111 111 ?
Составь множество	делителей	и множество кратных числа 15 , а затем - числа 20 .
Сколько	делителей	числа 333 333 333 333 ты сможешь найти ? .
А - множество	делителей	числа 12 , а В - множество делителей числа 18 .
Запиши множество	делителей	числа 56 , располагая делители в порядке возрастания .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых	делителей	только , то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Запиши множество	делителей	каждого числа и найди наибольший общий делитель .
Запиши множество	делителей	числа 56 и выбери из него подмножество простых делителей .
С - множество	делителей	числа 8 , а Л - множество делителей числа 9 .
составные числа ( имеют больше 2	делителей	) .
произведение всех различных	делителей	числа 8 ; .
Натуральные числа , которые имеют более двух	делителей	, называются составными .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество делителей числа п , В - множество"	делителей	"числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
С - множество делителей числа 8 , а Л - множество	делителей	числа 9 .
Запиши множество	делителей	и множество кратных числа 36 .
"Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении : "" Если А - множество"	делителей	"числа п , В - множество делителей числа к , то А * В - множество общих делителей чисел пик "" ."
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби , то ее знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только .
Е - множество делителей числа 15 , а Г - множество	делителей	числа 30 .
Существуют двузначные числа , имеющие 6	делителей	.
Е - множество	делителей	числа 15 , а Г - множество делителей числа 30 .
Доказанное свойство часто полезно для нахождения общих	делителей	двух чисел .
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной , то ее знаменатель в качестве простых	делителей	может иметь только числа .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только .
"Найди множество значений переменной у , удовлетворяющих высказыванию : "" Число у является общим"	делителем	"чисел 12 и 30 "" ."
Каждый делитель числа 10 является	делителем	числа 12 .
Натуральное число а делится на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является	делителем	натурального числа а .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является"	делителем	"числа 15 "" ? ."
Каждое число из множества { 6 , 9 , 12 } является	делителем	60 .
""" Каждый делитель числа 15 является"	делителем	"числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Действительно , 450 делится на 45 , поэтому 45 и будет наибольшим общим	делителем	этих чисел .
Докажи , что число 5 является наибольшим общим	делителем	чисел 85 и 90 .
Число 37 является	делителем	всех чисел из множества { 222 , 333 , 555 } .
"Опровергни утверждение : "" Число 2 является общим"	делителем	"всех чисел "" ."
Найди множество значений переменной х , удовлетворяющих высказыванию : ' Число х является общим	делителем	"всех чисел "" ."
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было	делителем	числа ; число было делителем числа ? .
Их наибольшим общим	делителем	является число 8 .
В самом деле , поскольку с является	делителем	Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Можно ли подобрать такие тип , чтобы : число было делителем числа ; число было	делителем	числа ? .
число 10 является	делителем	произведения 47-(1310 - 490 ) .
Докажи , что любое число является	делителем	самого себя .
Какое число является	делителем	всех чисел ? .
При этом число с называется частным от деления а на b , число а — кратным Ь , а число Ь -	делителем	а .
Докажи , что число 782 является	делителем	числа 43 792 .
Каждый элемент множества является	делителем	числа .
Какое число является	делителем	любого числа ? . .
Докажи , что число 102 060 кратно 18 , а число 45 является	делителем	числа 31 905 .
Число 5 является	делителем	суммы 98 775 + 6350 .
Например , каждое из чисел 7 , 11 и 13 является	делителем	"числа 1001 - в этом можно убедиться , проведя деление "" столбиком "" ."
Продолжая перебирать простые числа , находим	делители	7 и 11 числа 77 .
В самом деле , поскольку с является делителем Ь , то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей Ь , которые не вошли в с. Значит , при делении ( а : с ) : ( Ь : с ) из числа а за два шага удаляются все	делители	Ь - сначала вошедшие в с , а затем все оставшиеся .
Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает , что числа х и у - это парные	делители	252 : при делении 252 на х получается у , и наоборот .
Некоторые	делители	числа 28 - нечетные числа .
Следовательно , достаточно рассмотреть лишь парные	делители	числа 252 , причем для случая , когда у > 6 ( так как по условию у - 6 е И ) .
Число имеет составные	делители	.
Существуют двузначные	делители	числа .
Запиши множество делителей числа 56 , располагая	делители	в порядке возрастания .
Однако у некоторых чисел могут быть и другие общие	делители	.
Все	делители	числа - четные числа .
Например , числа 24 и 16 имеют , помимо 1 , общие	делители	2 , 4 и 8 .
Большего общего делителя этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые	делители	различны .
Мы уже знаем , что наибольший общий делитель можно найти , перебирая	делители	меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Всякое составное число имеет составные	делители	, не равные ему .
Пользуясь результатами предыдущего задания , найди все общие	делители	для указанных чисел .
Найдем , например , общие	делители	чисел 1354 и 1357 .
Какие	делители	произведения 3 - 25 - 62 ты можешь назвать ? .
Некоторые	делители	числа 18 являются также делителями числа 15 .
Чтобы найти НОД нескольких чисел , надо взять их общие простые	делители	с наименьшими показателями , например .
Как найти все	делители	данного числа ?
Перечисли	делители	чисел : а • Ь ; а • а • Ь ; а - а - Ь • Ь .
Пользуясь свойством делимости разности на число , найди все общие	делители	чисел .
Чтобы найти НОК нескольких чисел , надо взять все их простые	делители	с наибольшими показателями , например .
""" Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый"	делитель	"числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Их наибольший общий	делитель	равен 1 : .
	Делитель	увеличить в 5 раз ; .
Мы уже знаем , что наибольший общий	делитель	можно найти , перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел .
Если делимое увеличить в 3 раза , а	делитель	оставить без изменения , то частное .
Наибольший общий	делитель	.
Если делимое уменьшить в 2 раза , а	делитель	оставить без изменения , то частное .
Все натуральные числа имеют хотя бы один общий	делитель	- число 1 .
Если делимое и	делитель	разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то частное .
""" Каждый"	делитель	"числа 15 является делителем числа 30 "" , "" Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15 "" ? ."
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и	делитель	с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Как найти неизвестный множитель , делимое ,	делитель	?
Найди наибольший общий	делитель	чисел методом перебора .
Подчеркни их наибольший общий	делитель	.
Наибольший общий	делитель	чисел а и Ь обозначается НОД ( а , Ъ ) .
Если	делитель	увеличить в 2 раза , а делимое оставить без изменений , то частное .
делимое увеличить в 8 раз , а	делитель	увеличить в 2 раза ; .
Найди их наибольший общий	делитель	.
Запиши множество делителей каждого числа и найди наибольший общий	делитель	.
Найди наибольший общий	делитель	данных чисел методом перебора .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ;	делитель	с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Найди наибольший общий	делитель	чисел , если .
Запиши множество делителей каждого числа и найди их наибольший общий	делитель	: 28 и 42 ; 15 и 30 ; 17 и 26 .
Для этого нужно сократить ее на наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя .
Дробь сократима , если и только если наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя больше .
Отметим , что утверждение о том , что некоторое число является составным , по сути есть утверждение о существовании : число является составным , если оно имеет хотя бы один	делитель	, не равный ни ему самому , ни 1 .
число 1 ( имеет единственный	делитель	) ; .
Нам известно , что частное двух натуральных чисел равно дроби , у которой делимое - числитель , а	делитель	- знаменатель , например : .
Число 1 имеет единственный	делитель	.
Найди наибольший общий	делитель	чисел методом разложения на простые множители .
делимое уменьшить в т раз , а	делитель	увеличить в 8 раз ? .
делимое увеличить в п раз , а	делитель	уменьшить в 3 раза ; .
Укажи наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное для чисел , представленных в виде произведения .
делимое уменьшить в 9 раз , а	делитель	увеличить в 6 раз ; .
делимое увеличить в 7 раз , а	делитель	уменьшить в 5 раз ; .
Укажи наибольший общий	делитель	для чисел 2 - 7 - 11 и 7 - 13 .
По рисунку найди делимое ,	делитель	, частное и остаток .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ;	делитель	с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
делимое уменьшить в 6 раз , а	делитель	уменьшить в 2 раза ; .
1 -	делитель	а .
24 -	делитель	72 .
8 -	делитель	68 .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а	делитель	- с избытком ? .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и	делитель	с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а делитель - с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель делят на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а	делитель	- знаменатель дробной части .
15 -	делитель	3 .
Поэтому мы введем четыре имени : делимое обозначим буквой а ,	делитель	- буквой Ь , частное - буквой к , а четвертое число - буквой с .
Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом : частное не изменится , если делимое и	делитель	разделить на одно и то же натуральное число .
Найди наибольший общий	делитель	чисел наиболее удобным способом : 14 и 140 ; 4914 и 4915 ; 6 , 81 и 9054 ; 3150 и 1848 .
Следовательно , данные числа имеют только один общий	делитель	- число 1 .
Так же поступают и в случае , когда делимое или	делитель	являются натуральными числами .
Что произойдет с частным , если округлить : делимое с избытком ; делимое с недостатком ; делитель с избытком ; делитель с недостатком ; делимое и делитель с недостатком ; делимое и делитель с избытком ; делимое с избытком , а	делитель	- с недостатком ; делимое с недостатком , а делитель - с избытком ? .
Число 3 -	делитель	произведения 17 • 9021 • 40 .
Может ли у числа быть ровно 1	делитель	, 2 делителя , 3 делителя , больше трех делителей ? .
Объясни , как найти неизвестный множитель , делимое ,	делитель	.
Другими словами , сначала делимое и	делитель	можно разделить на 5 , а потом на 7 .
Так , для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить , что и делимое , и	делитель	содержат общий множитель 5 .
Может ли	делитель	числа быть больше самого этого числа ?
Каждый	делитель	числа 10 является делителем числа 12 .
Найдем , например , наибольший общий	делитель	чисел 1968 и 2520 .
Найди в учебнике определения следующих понятий :	делитель	; кратное ; простое число ; составное число ; взаимно простые числа ; степень числа ; квадрат числа ; куб числа .
Разложи	делитель	на простые множители и объясни , как можно выполнить деление по частям .
Может ли у числа быть ровно 1 делитель , 2	делителя	, 3 делителя , больше трех делителей ? .
Любое число из множества { 19 , 20 , 21 } имеет ровно два	делителя	.
Натуральные числа , которые имеют ровно два различных	делителя	, называются простыми .
Натуральные числа , которые имеют ровно два различных	делителя	- само себя и 1 , - называются простыми .
Как изменяется частное двух чисел при изменении делимого и	делителя	?
Составным является , например , число 6 : оно имеет 4	делителя	- 1 , 2 , 3 и 6 .
простые числа ( имеют в точности 2	делителя	) ; .
А это равенство и означает , что ( ас ): ( Ъс ) = к , то есть при умножении делимого и	делителя	на одно и то же число частное от деления не меняется , что и требовалось доказать .
Можно найти два натуральных	делителя	числа 7 .
Большего общего	делителя	этих чисел подобрать нельзя , так как все остальные их простые делители различны .
Может ли у числа быть ровно 1 делитель , 2 делителя , 3	делителя	, больше трех делителей ? .
Как мы видели , для получения , делимого можно выписать вместе разложения на простые множители	делителя	и частного .
Для натуральных чисел делимое никогда не бывает меньше	делителя	и частного .
"Сформулируй разными способами определение """	делителя	""" и запиши его с помощью знака равносильности и символа 3 ."
Как известно , деление на некоторое число является действием , обратным умножению на это число : делимое равняется произведению	делителя	и частного .
Образец ответа : 0(10 ) = { 1 , 2 , 5 , 10 } , 4	делителя	.
Значит , для получения частного можно , наоборот , из простых множителей делимого вычеркнуть простые множители	делителя	, например , и поэтому 183456 : 234 = 2 - 2 - 2 - 2 - 7 - 7 .
чисел , являющихся	делителями	24 ; делителей 8 или 12 ; .
Запиши другие равенства , устанавливающие соотношение между этими	делителями	и их кратным : 12 - 6 = 72 ; 2)32:4 = 8 .
Среди чисел а , b , с и ( 1 найди , не вычисляя , числа ,	делителями	которых являются 2 , 5 , 10 .
Выбери из чисел 5 , 7 , 21 , 25 , 28 , 35 , 42 , 56 , 75 , 80 те , которые : кратны 5 ; являются	делителями	100 ; кратны 4 и 7 .
Выпиши все двузначные числа , являющиеся	делителями	числа а , если а = 2 • 3 • 3 • 3 • 11 .
кратными 8 ; кратными 5 и	делителями	60 .
	Делителями	36 ; делителями 24 и кратными 3 ; .
делителями 36 ;	делителями	24 и кратными 3 ; .
Числа 5 и 9 являются	делителями	числа 18 181 818 .
Некоторые натуральные числа являются	делителями	числа 36 .
Если одно из двух чисел делится на 3 , то и их произведение	делится	на 3 .
Если одно из чисел делится на 4 , а другое нет , то их сумма не	делится	на 4 .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не	делится	на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
Если произведение двух чисел	делится	на данное число , то и каждый множитель делится на это число .
Если число	делится	на два других числа , то оно делится и на их произведение .
Если число делится на произведение двух чисел , то оно	делится	и на каждое из этих чисел .
делится на 3 и на 5 , но не	делится	на 10 ; .
Если число	делится	на произведение двух чисел , то оно делится и на каждое из этих чисел .
	Делится	на 9 и на 10 , но не делится на 25 ; .
Если число делится на два других числа , то оно	делится	и на их произведение .
Если одно из двух чисел	делится	на 3 , то и их произведение делится на 3 .
""" Число х оканчивается на 7 "" и "" Число х"	делится	"на 7 "" ."
делится на 9 и на 10 , но не	делится	на 25 ; .
""" Сумма чисел а и к"	делится	"на с "" и "" Одно из чисел а и к делится на с "" ."
4500 + 25	делится	на 5 ; 888 888 - 19 • 320 делится на 8 .
4500 + 25 делится на 5 ; 888 888 - 19 • 320	делится	на 8 .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь	делится	на с — в частном получается число к + I. Точно так же доказывается , что разность а - Ь делится на с .
30 • 1 = 30 , число 30 не	делится	на 12 , значит , 30 не является НОК ( 12 , 30 ) ; .
Если произведение двух чисел делится на данное число , то и каждый множитель	делится	на это число .
Докажи , что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа , разность которых	делится	на .
а + Ь = ск + с1 = с ( к + / ) , то есть а + Ь делится на с — в частном получается число к + I. Точно так же доказывается , что разность а - Ь	делится	на с .
""" Число а делится на к "" и "" Число к"	делится	"на а "" ."
Если каждое из двух чисел	делится	на 8 , то и их сумма делится на 8 .
Число с	делится	на 3 , но не делится на 2 .
Если каждое из двух чисел делится на 8 , то и их сумма	делится	на 8 .
""" Число а"	делится	"на к "" и "" Число к делится на а "" ."
"Равносильны ли утверждения : "" Число а делится на 3 "" и "" Число а"	делится	"на 9 "" ? ."
	Делится	на 3 и на 5 , но не делится на 10 ; .
В полученном произведении множитель b	делится	на с. Значит , по свойству 1 , на с делится и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
Не вычисляя произведения , установи ,	делится	ли оно на данное число .
Она равна 21 и не	делится	на 9 .
Любое натуральное число	делится	на себя и на единицу .
Число а	делится	на число Ь. Найди НОД ( а , Ь ) .
Число к делится на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к	делится	на 3 .
Докажи , что сумма кратна ; не делится ;	делится	; не кратна .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном числе к , что оно	делится	на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр делится на 3 .
Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же : сказать о натуральном числе к , что оно делится на 3 , - это то же самое , что сказать , что сумма его цифр	делится	на 3 .
Докажи , что сумма кратна ; не	делится	; делится ; не кратна .
Однако с не равно 3 , так как 1354 не	делится	на 3 .
Ясно , что 999	делится	на 3 , значит : .
, то есть 6851 • 999	делится	на 3 - частное равно 6851 • 333 .
Пусть оба эти числа делятся на с. Тогда их разность , равная 3 , также	делится	на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , то и произведение данных чисел делится на это число .
Число с делится на 2 , но не	делится	на 3 .
Следовательно , число 8535 тоже не	делится	на 9 .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не делятся на это число .
Одно из чисел а и Ъ , по условию ,	делится	па с. Пусть , например , Ь делится на с. Это означает , что существует к такое , что Ь = ск .
Число к	делится	на 3 < = > Сумма цифр числа к делится на 3 .
Число к делится на 3 < = > Сумма цифр числа к	делится	на 3 .
Одно из чисел а и Ъ , по условию , делится па с. Пусть , например , Ь	делится	на с. Это означает , что существует к такое , что Ь = ск .
то есть аЬ	делится	на с - в частном получается число ак .
Если первое число	делится	на второе , а второе делится на третье , то и первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе	делится	на третье , то и первое число делится на третье .
Докажи , что сумма пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то и первое число	делится	на третье .
Число а делится на 9 О Сумма цифр числа а	делится	на 9 .
Число а делится на 3 < = > Сумма цифр числа а	делится	на 3 .
Обозначим первое , второе и третье числа буквами а , b и с. По условию а	делится	на Ь , то есть а = Ьп , где п - некоторое натуральное число .
""" Число х"	делится	"на 2 "" и "" Число х оканчивается на 2 "" ."
В полученном произведении множитель b делится на с. Значит , по свойству 1 , на с	делится	и все произведение - число а , что и требовалось доказать .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то и произведение данных чисел	делится	на это число .
	Делится	на 2 и на 9 , но не делится на 5 ; .
Если число делится на 9 , то оно	делится	на 3 .
"Равносильны ли утверждения : "" Число а"	делится	"на 3 "" и "" Число а делится на 9 "" ? ."
Мы знаем , что , например , число 27	делится	на 3 .
Всякое натуральное число , оканчивающееся на 5 ,	делится	на 5 .
С другой стороны , 27 не	делится	на 4 , потому что нельзя подобрать такой сомножитель с , чтобы выполнялось равенство 4с = 27 .
Число 8 069 424	делится	на 527 .
Если числитель неправильной дроби	делится	на знаменатель без остатка , то эта дробь преобразовывается в натуральное число .
Число а	делится	на число Ъ , если существует такое число с , что выполняется равенство а = Ьс .
Числитель дроби делится , а знаменатель не	делится	.
Предположим , что сумма а + b	делится	на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Числитель дроби	делится	, а знаменатель не делится .
Число а	делится	на 9 О Сумма цифр числа а делится на 9 .
Число с	делится	на 6 .
Число с не	делится	ни на 2 , ни на 3 .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также	делится	на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не делится на с .
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и делится , и не	делится	на с .
Число с делится на 3 , но не	делится	на 2 .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел"	делится	"на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже делится на к "" ."
Предположим , что сумма а + b делится на с. Тогда , по свойству 1 , разность ( а + 6 ) - а , то есть число Ь , также делится на с. Мы пришли к противоречию : число Ъ одновременно и	делится	, и не делится на с .
Если одно из чисел	делится	на 6 , а другое нет , то их разность не делится на 6 .
Если одно из чисел делится на 6 , а другое нет , то их разность не	делится	на 6 .
Если одно из чисел	делится	на 4 , а другое нет , то их сумма не делится на 4 .
Если одно из двух чисел делится на 5 , то и их произведение	делится	на 5 .
Если одно из двух чисел	делится	на 5 , то и их произведение делится на 5 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель	делится	, а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : "" Число делится на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр"	делится	"на 9 "" ."
Если каждое из двух чисел делится на 3 , то и их сумма	делится	на 3 .
Если каждое из двух чисел	делится	на 3 , то и их сумма делится на 3 .
При каких натуральных п число 8 / г + 3	делится	на 13 ? . .
Число с	делится	на 2 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель	делится	, а знаменатель не делится ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не	делится	? .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Если произведение двух чисел делится на число к = 3 , то хотя бы один из множителей тоже"	делится	"на к "" ."
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не	делится	, несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
А дело в том , что мы предположили , что сумма а + b	делится	на с. Это и привело нас к противоречию .
"Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку делимости на 3 : "" Число"	делится	"на 9 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 9 "" ."
9393 + 93 • 93 - 186 = 93 - 101 + 93 - 93 - 93 - 2 = 93 • ( 101 + 93 - 2 ) , так что и 9393 + 93 • 93 - 186	делится	на 93 .
Число с	делится	на 2 , но не делится на 3 .
""" Произведение ад"	делится	"на с "" и "" Одно из чисел а и Ь делится на с ."
Следовательно , сделанное нами предположение неверно , и на самом деле сумма а + b не	делится	на с. Но именно это мы и должны были доказать .
Существует дробь , знаменатель которой	делится	, но которую можно представить в виде десятичной .
Если число	делится	на 9 , то оно делится на 3 .
Их общим знаменателем может служить произведение - оно	делится	. .
не	делится	ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 9 .
разность 16x1/-72	делится	на 8 ; .
Так как b , по условию ,	делится	на с , то b = с1 .
Если каждое слагаемое	делится	на 7 , то и сумма делится на 7 .
сумма ЗаЬс + 19а	делится	на а .
30 • 2 = 60 , число 60	делится	на 12 , значит , НОК ( 12 , 30 ) = 60 .
делится на 2 и на 9 , но не	делится	на 5 ; .
""" Сумма чисел а и к делится на с "" и "" Одно из чисел а и к"	делится	"на с "" ."
Число с	делится	на 2 и на 3 .
Всякое натуральное число	делится	само на себя и на 1 - это следует из равенства а = а • 1 .
Так , произведение 12 • 30 , равное 360 ,	делится	и на 12 , и на 30 .
Для доказательства обозначим первые два числа буквами а и b , а третье число - буквой с. Так как а , по условию ,	делится	на с , то а = ск .
Пусть , например , а делится на с , а & не	делится	на с .
312 делится на 5 ; 312 * делится на 9 ; 312	делится	на 25 .
312 делится на 5 ; 312 *	делится	на 9 ; 312 делится на 25 .
сумма 56 056 + 112	делится	на 56 ; .
""" Произведение ад делится на с "" и "" Одно из чисел а и Ь"	делится	на с .
разность 474 747 - 47 - 5	делится	на 47 ; .
Если каждое слагаемое делится на 7 , то и сумма	делится	на 7 .
312	делится	на 5 ; 312 * делится на 9 ; 312 делится на 25 .
Число с	делится	на 3 .
312 делится на 2 ; 312	делится	на 3 ; 312 делится на 4 ; .
Если число	делится	на 3 , то оно делится па 9 .
Если число делится на 3 , то оно	делится	па 9 .
Пусть , например , а	делится	на с , а & не делится на с .
312	делится	на 2 ; 312 делится на 3 ; 312 делится на 4 ; .
312 делится на 2 ; 312 делится на 3 ; 312	делится	на 4 ; .
Число 215 равно сумме двух слагаемых 190 + 25 , одно из которых	делится	на 19 , а другое нет : 215 = 190 + 25 .
Число а	делится	на число Ъ. Чему равен НОК ( а , 6 ) ? .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к делится на 3 "" и "" Сумма цифр числа к"	делится	на 3 ” вовсе не означают одно и то же .
Действительно , сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не	делится	.
Здесь первое слагаемое делится на 5 , а второе не	делится	на 5 .
Действительно , сумма двух натуральных чисел не всегда	делится	на 3 : например , 1 + 3 = 4 на 3 не делится .
Сумма двух натуральных чисел	делится	на 3 .
Здесь первое слагаемое	делится	на 5 , а второе не делится на 5 .
Числа 999 , 99 и 9 делятся на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых	делится	на 3 .
Сумма двух натуральных чисел всегда	делится	на 3 .
Ясно , что и всякое число , оканчивающееся цифрой 5 ,	делится	на 5 .
Число а	делится	на 2 .
Число а	делится	на 5 .
Оба слагаемых делятся на 5 , и , по свойству 1 делимости суммы , их сумма 745	делится	на 5 .
Число а	делится	на 2 и па 5 .
Число а	делится	на 2 , но не делится на 5 .
Аналогично можно проиллюстрировать , что число	делится	на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается одной из цифр - 0 , 2 , 4 , 6 , 8 .
Если число а на число Ъ , и , если	делится	, найди частное .
Ясно , что и всякое число , оканчивающееся цифрой 0 ,	делится	на 5 .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число"	делится	"иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр делится на 3 "" ."
Число а	делится	на 5 , но не делится на 2 .
Поэтому , по свойству 2 делимости произведения , 34 470	делится	на 5 .
Число а делится на 5 , но не	делится	на 2 .
Определи , делится ли число а на Ь , и , если	делится	, найди частное .
Определи ,	делится	ли число а на Ь , и , если делится , найди частное .
Число а не	делится	ни на 2 , ни на 5 .
48 - Ь делится на 8 ; 130 + 1 не	делится	на 13 .
Число 34 470 делится на 10 , а 10	делится	на 5 .
48 - Ь	делится	на 8 ; 130 + 1 не делится на 13 .
Любое натуральное число	делится	на 2 .
"Докажи или опровергни утверждение : "" Разность между трехзначным числом и суммой его цифр всегда"	делится	"на 9 "" ."
"Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще : "" Число"	делится	"на 2 в том и только в том случае , когда оно оканчивается четной цифрой "" ."
Если трехзначное число записано с помощью одной цифры , то оно	делится	ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника ?
Число а	делится	на 5 О Последняя цифра числа а равна 0 или 5 .
Число 21 на 3 делится , поэтому 8535 на 3 также	делится	.
Число а	делится	на 2 < = > Последняя цифра числа а - четная .
Действительно , 450	делится	на 45 , поэтому 45 и будет наибольшим общим делителем этих чисел .
Любое число , оканчивающееся цифрой 3 ,	делится	на 3 .
Число 830 760	делится	на 2 и на 5 .
Разность 3800 - 425 не	делится	на 5 .
Число 21 на 3	делится	, поэтому 8535 на 3 также делится .
В сумме 10а + Ь первое слагаемое	делится	на 10 , а значит , оно делится на 2 и на 5 .
В сумме 10а + Ь первое слагаемое делится на 10 , а значит , оно	делится	на 2 и на 5 .
"Эти примеры иллюстрируют признак делимости на 5 : "" Число"	делится	"на 5 в том и только в том случае , когда оно оканчивается цифрой 0 или 5 "" ."
Сумма двух натуральных чисел не всегда	делится	на 3 .
Число 532 718 не	делится	на 2 .
Разность 78 906 - 4612	делится	на 3 .
сумма 530 + 7100	делится	на 10 ; .
сумма 497 + 21 500 не	делится	на 10 ; .
По свойству 2 делимости суммы , сумма 5637 не	делится	на 5 .
Число к	делится	на 3 в том и только в том случае , когда сумма цифр числа к делится на 3 .
произведение 39 • 820 • 713	делится	на 10 ; .
а + 25	делится	на 5 ; с - 14 не делится на 7 ; .
а + 25 делится на 5 ; с - 14 не	делится	на 7 ; .
Выпиши все числа , меньшие 100 , на которые	делится	число а .
Число а делится на 2 , но не	делится	на 5 .
Число 34 470	делится	на 10 , а 10 делится на 5 .
Число	делится	лишь на те простые числа , которые входят в его разложение на простые множители .
Разность 292 929 - 26	делится	на 29 .
Если число	делится	на 10 , то оно делится на 2 и на 5 .
Если число делится на 10 , то оно	делится	на 2 и на 5 .
Если число	делится	на 2 и на 5 , то оно делится на 10 .
Число а	делится	на 10 .
Если число делится на 2 и на 5 , то оно	делится	на 10 .
Следовательно , данная сумма	делится	на 3 ( без остатка ) , что и требовалось доказать .
При каких значениях переменной значение выражения	делится	на 2 : 758 + х ; 1643г/ ; и-916 - 835 ; 5000 / п ? .
2100 - 16 не	делится	на 21 ; . .
"Точно так же для человека , недостаточно знакомого с математикой , предложения "" Число к"	делится	"на 3 "" и "" Сумма цифр числа к делится на 3 ” вовсе не означают одно и то же ."
Запиши три пары значений переменных х и у , при которых значение выражения 12х + 45г/ :	делится	на 2 ; .
36 + 72 делится на 36 ; 24 • 17 • 35 не	делится	на 6 ; .
Число а	делится	на 3 < = > Сумма цифр числа а делится на 3 .
Доказать , что сумма любых трех последовательных натуральных чисел	делится	на 3 .
"Напомним , что , когда мы говорим """	делится	"” , мы имеем в виду "" делится без остатка ” ."
"Напомним , что , когда мы говорим "" делится ” , мы имеем в виду """	делится	без остатка ” .
не	делится	на 5 ; .
	Делится	на 2 и на 5 ; .
Мы должны доказать , что сумма этих трех чисел , то есть число п + ( п + 1 ) + ( и + 2 ) ,	делится	на З. Преобразуем полученную сумму , используя переместительное и сочетательное свойства сложения .
не	делится	ни на 2 , ни на 5 .
Число 807 534	делится	на 2 и на 9 .
36 + 72	делится	на 36 ; 24 • 17 • 35 не делится на 6 ; .
Так , число 11 550	делится	на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не делится на простое число 13 .
Если число делится на 2 , то оно	делится	на 10 .
Но это равенство неверно , так как	делится	, а не делится .
Если число	делится	на 2 , то оно делится на 10 .
Если число	делится	на 10 , то оно делится на 5 .
В то же время число 11 550 не	делится	"на 4 = 2 - 2 , так как в разложении числа 4 есть "" лишняя "" двойка ."
Если число	делится	на число п , то НОД ( т , и ) = т .
Число а	делится	на 10 Последняя цифра числа а равна 0 .
Например , число 11 550	делится	на 75 = 3 • 5 • 5 , поскольку 11 550 = ( 3 • 5 • 5 ) • 2 • 7 • 11 .
Натуральное число а	делится	на натуральное число Ь , натуральное число а кратно натуральному числу Ь ; натуральное число Ь является делителем натурального числа а .
"Таким образом , признак делимости на 10 формулируется так : "" Число"	делится	на 10 в том и только в том случае , когда его последняя цифра равна 0 ” .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если число оканчивается на 0 , то оно делится на 10 , а если число оканчивается на любую другую цифру , то оно не	делится	на 10 .
Так , число 11 550 делится на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 и 11 , но не	делится	на простое число 13 .
Число	делится	лишь на те составные числа , разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа .
Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10 , а именно : если число оканчивается на 0 , то оно	делится	на 10 , а если число оканчивается на любую другую цифру , то оно не делится на 10 .
"Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3 : "" Число делится иа 3 в том и только в том случае , когда сумма его цифр"	делится	"на 3 "" ."
Если число делится на 10 , то оно	делится	на 5 .
Если число делится на 5 , то оно	делится	на 10 .
Если число делится па 10 , то оно	делится	на 2 .
Но это равенство неверно , так как делится , а не	делится	.
Если число	делится	на 5 , то оно делится на 10 .
Для выяснения ,	делится	"ли одно число на другое , всегда можно провести деление известным нам способом - "" уголком "" ."
Если число	делится	па 10 , то оно делится на 2 .
Так , единицы расстояния , массы , площади , объема принято	делить	именно и т д частей , и известные “ приставки ” возникли от латинских слов десятый , сотый , тысячный .
Как можно	делить	произведение на число ?
Главная польза от этого приема состоит в том , что вместо сложного деления на многозначное число мы можем	делить	, как правило , на однозначные числа , что значительно легче .
При этом , когда деление целой части закончится , продолжим	делить	последовательно десятые , сотые , тысячные и т д , поставив в частном запятую .
И поскольку в различных практических задачах приходится	делить	на разное число равных частей , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - например , и т д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее , чем вычисления с натуральными числами , в чем каждый уже убедился па собственном опыте .
Натуральные числа можно не только складывать и умножать , но и вычитать и	делить	.
Однако при делении смешанного числа на натуральное иногда оказывается возможным не переводить его в дробь , а	делить	отдельно целую и дробную части , например : .
Итак , будем	делить	сначала целых , а затем последовательно десятых , сотых , тысячных .
Теперь заметим , что дальше	делить	не имеет смысла , так как мы округляем до сотых и трех цифр после запятой нам достаточно .
Число , делящееся на 12 , может не	делиться	на 8 .
Может ли такая сумма	делиться	на 19 ? .
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число , числитель	делят	на знаменатель с остатком : частное дает целую часть , остаток - числитель , а делитель - знаменатель дробной части .
Дугой окружности называется каждая из частей , на которые	делят	окружность любые две ее точки .
Интересно также , что в спорте используется “ смешанная ” система измерения времени : минуты	делят	на , а секунды – на .
При вычислении значения получившейся “ многоэтажной ” дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе	делят	на выражение в знаменателе . .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое не делится на это число , то их сумма и разность не	делятся	на это число .
Оба данные числа	делятся	на произведение 2 • 2 • 2 • 3 , равное 24 .
Деление натуральных чисел проводится поразрядно : сначала	делятся	старшие счетные единицы , а затем последовательно , разряд за разрядом , - младшие .
Пусть оба эти числа	делятся	на с. Тогда их разность , равная 3 , также делится на с. Значит , с - это 1 или 3 .
Пользуясь свойствами и признаками делимости , установи , какие из приведенных выражений	делятся	: на 2 ; на З ; на 5 ; на 9 .
Если два числа делятся на некоторое число , то их сумма и разность тоже	делятся	на это число .
Если два числа	делятся	на некоторое число , то их сумма и разность тоже делятся на это число .
Какие из чисел : 1)3996 ; 2)24357 ; 3)187272 ; 4)594820 ; 5)111111111 ; 6 ) 1 234 567 890 -	делятся	на 3 ?
Несложно проверить , что числа 9393 и 186	делятся	на 93 , но тогда : .
Какие из чисел	делятся	, а какие не делятся на 5 .
Какие из чисел делятся , а какие не	делятся	на 5 .
	Делятся	на 9 ? .
Числа 999 , 99 и 9	делятся	на 3 , а значит , по свойствам делимости , и сумма первых трех слагаемых делится на 3 .
Денежные единицы большинства стран	делятся	на .
Все натуральные числа	делятся	на 7 : например , 14:7 = 2 .
Более того , проиллюстрировать его можно в точности так же : если мы в рассмотренном примере заметим , что числа 999 , 99 и 9	делятся	на 9 , то все будет зависеть от делимости на 9 суммы цифр числа 8535 .
Можно заметить , что оба числа	делятся	, и неравенство между ними не изменится , если оба разделить .
Все числа из множества { 273 , 343 , 1505 }	делятся	на 7 .
Какие из чисел 34 470 , 745 , 5637	делятся	на 5 ? .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба делятся , сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не	делятся	, сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Оба слагаемых	делятся	на 5 , и , по свойству 1 делимости суммы , их сумма 745 делится на 5 .
Может ли быть : несократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба	делятся	, сократимой дробь , у которой числитель и знаменатель оба не делятся , сократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится , несократимой дробь , у которой числитель делится , а знаменатель не делится ? .
Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа ,	делящиеся	на 2 , но не делящиеся на 5 , и все числа , делящиеся на 5 , но не делящиеся на 2 .
Два муравья одновременно поползли от	дерева	в противоположных направлениях .
Дровосек сегодня срубил на	дерева	больше , чем вчера , а завтра он собирается срубить меньше , чем сегодня .
"Слово """	дерево	""" является глаголом ."
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под	деревом	? . .
Часть голубей села на ветвях , а другая расположилась под	деревом	.
Стая голубей подлетела к высокому	дереву	.
	Деревьев	составило — числа деревьев , которые запланировано посадить .
На сколько яблоневых	деревьев	больше , чем вишневых ? .
Число яблонь составляет — всех деревьев этого сада , а число вишен составляет — всех	деревьев	.
Число яблонь составляет — всех	деревьев	этого сада , а число вишен составляет — всех деревьев .
деревьев составило — числа	деревьев	, которые запланировано посадить .
Две бригады , работая совместно , закончили посадку	деревьев	.
Сколько	деревьев	запланировано посадить на пришкольном участке ? .
Сколько	деревьев	было в парке первоначально ? .
В саду п	деревьев	.
В соответствии с экологическими нормами , необходимо провести плановую вырубку	деревьев	в городском парке так , чтобы после вырубки осталось деревьев .
В питомнике вырастили саженцев фруктовых	деревьев	.
Для этого сначала вырубили — всех	деревьев	, а потом - еще — того , что осталось .
Сколько	деревьев	он планирует срубить завтра , если вчера он срубил деревьев ? .
Сколько деревьев он планирует срубить завтра , если вчера он срубил	деревьев	? .
В соответствии с экологическими нормами , необходимо провести плановую вырубку деревьев в городском парке так , чтобы после вырубки осталось	деревьев	.
Все	деревья	имеют корни .
Чему равен знаменатель дроби , если ее	десятичная	запись содержит знаков после запятой ? .
Сколько знаков после запятой имеет	десятичная	дробь , если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен ? .
Таким образом ,	десятичная	запись числа указывает как его целую часть , так и числитель и знаменатель дробной части .
Действительно , предположим , что существует	десятичная	дробь , равная .
В истории было много разных способов для записи натуральных чисел , но в конце концов “ победила ” одна -	десятичная	позиционная система записи , которая в настоящее время получила наибольшее распространение .
Как изменится	десятичная	дробь , если запятую переместить на знак вправо , на знак влево , на знак вправо , на знак влево ? .
Способ записи десятичных дробей является естественным продолжением известного нам	десятичного	позиционного способа записи чисел .
Так , на главных мировых валютных и сырьевых биржах , где определяется стоимость золота в валюте разных стран - американских долларах , английских фунтах стерлингов , евро и других , - а также стоимость валют относительно друг друга , измерения ведутся с точностью - до четвертого	десятичного	знака .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби каждую из этих дробей ? .
Сначала рассмотрим простейший случай - деление	десятичной	дроби на натуральное число .
Из записи	десятичной	дроби вычеркнули ноль , стоящий после запятой .
Запиши это число в виде конечной	десятичной	дроби с точностью до сотых , число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных .
Заменить дробь —	десятичной	дробью с точностью до сотых .
Дробь , знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только , можно представить в виде	десятичной	дроби .
Сумма двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Любое натуральное число в	десятичной	позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр .
В записи	десятичной	дроби вычеркнули “ хвост ” - несколько последних цифр , отличных от нуля , стоящих после запятой .
Сколько различных десятичных дробей , имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи	десятичной	дроби не повторяются ) ?
Вырази в часах и запиши результат	десятичной	дробью .
Возможность представления любой	десятичной	дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными дробями все арифметические действия .
Существует дробь , знаменатель которой делится , но которую можно представить в виде	десятичной	.
Запиши ответ примера в виде конечной	десятичной	дроби и округли ее с точностью до десятых .
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
Дробь равна	десятичной	дроби .
Упрости запись числа , представленного в виде	десятичной	дроби .
Однако мы можем заменить дробь — по установленным выше правилам ближайшей конечной	десятичной	дробью с любой указанной точностью ( до десятых , сотых , тысячных и т д ) .
Запиши в виде	десятичной	дроби и прочитай числа .
Представь ответ в виде бесконечной	десятичной	периодической дроби , указав период .
Запиши в виде	десятичной	дроби и прочитай .
Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только , то эту дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Замени ее конечной	десятичной	дробью с точностью до тысячных .
Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения	десятичной	дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Таким образом , для дробей , имеющих знаменатели вида , можно пользоваться следующим алгоритмом	десятичной	записи .
Например , как записать в виде	десятичной	дробь ? .
Ответ запиши в виде	десятичной	дроби .
Так , в знаменателе дроби три нуля , и в ее	десятичной	записи три знака после запятой .
Выбери из дробей те , которые можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Из приведенных примеров видно , что в	десятичной	дроби после запятой стоит столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Дана дробь , которую можно представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Понятие	десятичной	дроби .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби : удвоенную дробь ; утроенную дробь ; ее половину ; ее третью часть ; ее пятую часть ; ее седьмую часть ; обратную ей дробь ? .
Запиши число сначала в виде	десятичной	дроби тремя различными способами , а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами .
При этом целая часть	десятичной	дроби отделяется от дробной части запятой .
Заметим , что точнее было бы говорить не о десятичных дробях , а о	десятичной	записи дробей : это те же дроби , только со знаменателями вида иначе записанные .
По числу знаков , стоящих в записи	десятичной	дроби после запятой , можно узнать , чему равен знаменатель дроби .
Всегда ли можно ли представить в виде конечной	десятичной	дроби другую дробь ? .
Докажи , что ответ примера нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Как нам уже известно , для записи натуральных чисел обычно пользуются	десятичной	позиционной системой записи чисел .
Разница лишь в том , что цифры младших разрядов не заменяют нулями , а просто отбрасывают — ведь это не изменяет величины	десятичной	дроби .
А что произойдет в этих случаях с	десятичной	дробью ? .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	дроби их сумму , разность , произведение , частное ? .
Вырази ее	десятичной	дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее диаметра .
Докажи , что данную дробь нельзя представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Поэтому , так же как и для натуральных чисел , ее можно назвать	десятичной	позиционной системой записи .
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Итак , в	десятичной	записи дроби : значение каждой цифры зависит от ее места в записи ( позиции ) ; единица каждого разряда содержит единиц предыдущего разряда ( одна десятая содержит сотых , одна сотая - тысячных и т д ) .
Каждый знак в записи	десятичной	дроби обозначает , сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится .
Докажи , что ответ примера можно представить в виде конечной	десятичной	дроби .
Если несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби , то ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
Это означает , в частности , что натуральное число также можно записать в виде	десятичной	дроби , и при этом бесконечным числом способов .
Приписывание одного , двух , трех и т д нулей справа от знаков , стоящих после запятой , не изменяет	десятичной	дроби , так как является , по сути , умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на и т д. Действительно .
Запиши	десятичной	дробью с точностью до сотых часть , которую вес нетто составляет от веса брутто .
Ответ представь в виде конечной	десятичной	дроби или докажи , что такое представление невозможно .
Даны две обыкновенные дроби , каждая из которых может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде	десятичной	дроби .
Это связано с тем , что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
С другой стороны , если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей , отличных , то эту дробь можно записать в виде конечной	десятичной	.
А как вообще по числителю и знаменателю дроби узнать , можно ли ее записать в виде конечной	десятичной	?
Вычисли и запиши ответ в виде периодической	десятичной	дроби .
Вычисли и представь ответ в виде конечной	десятичной	дроби с точностью до сотых .
Найди дроби , которые можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Можно ли представить дробь в виде конечной	десятичной	дроби ?
Объясняется это тем , что выбранная нами система записи натуральных чисел является	десятичной	.
Поэтому при умножении	десятичной	дроби запятая переносится соответственно на разряд влево , а при делении - на разряд вправо .
Замени дробь конечной	десятичной	дробью с точностью до сотых .
Всегда ли можно представить в виде конечной	десятичной	другую дробь ? .
В самом деле , пусть несократимая дробь равна некоторой	десятичной	дроби .
Действительно , если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной	десятичной	дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Таким образом , если несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	, то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только числа .
Следовательно , эта дробь - а стало быть , и частное - не может быть представлена в виде конечной	десятичной	дроби .
Если же целая часть конечной	десятичной	дроби не равна нулю , то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь , и запиши ее в виде бесконечной	десятичной	дроби , указав период .
Рассмотренный пример иллюстрирует общее правило : при умножении	десятичной	дроби , запятая переносится соответственно разряда вправо , а при делении разряда влево .
Оно возникло из - за предположения о том , что дробь равна некоторой конечной	десятичной	дроби .
Запиши в виде	десятичной	дроби числа .
Из записи	десятичной	дроби вычеркнули цифру , стоящую после запятой .
Дробь записали в виде конечной	десятичной	дроби в первом случае с точностью , а во втором .
Действительно , если целая часть конечной	десятичной	дроби равна нулю , то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ ноль целых ” , например . .
Заметим , что точно так же “ вычисляет ” и калькулятор : при делении , например , на калькуляторе с десятью разрядами числа результат получается в виде	десятичной	дроби , которая является приближенным значением частного с точностью до миллиардных .
Несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби в том и только в том случае , когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только .
А если знаков будет недостаточно , то мы , как условились раньше , припишем слева	десятичной	дроби столько нулей , сколько требуется , - ведь от этого дробь не изменится .
Значит , это предположение неверно , то есть дробь — нельзя записать в виде конечной	десятичной	дроби .
Запиши числа в	десятичной	системе счисления : .
И поскольку к	десятичной	дроби справа можно приписать любое число нулей , не изменяя ее , то эта закономерность продолжится и дальше .
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , может быть представлено в виде конечной	десятичной	дроби .
В то же время обратное утверждение “ всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной	десятичной	” неверно : в качестве контрпримера можно привести дробь .
Умножение и деление	десятичной	дроби .
Замени дробь конечной	десятичной	дробью с точностью до десятых , сотых , тысячных .
Запиши число “ целых десятитысячных ” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами , а затем в виде	десятичной	дроби тремя различными способами .
И вообще , чтобы разделить	десятичную	дробь на натуральное число , можно .
В числе отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся	десятичную	дробь .
А так как в знаменателе несократимой дроби — содержится множитель , отличный от , то перевести эту дробь в конечную	десятичную	нельзя .
Из предыдущего пункта мы знаем , что не всякую обыкновенную дробь можно перевести в конечную	десятичную	.
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную	десятичную	дробь , и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби , указав период .
Докажи , что дробь нельзя перевести в конечную	десятичную	.
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну	десятичную	дробь всегда можно разделить на другую десятичную дробь . .
Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы записать конечную	десятичную	дробь в виде обыкновенной , можно отбросить из ее записи запятую , полученное , натуральное число поставить в числитель , а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями , сколько знаков после запятой .
Запиши любую конечную	десятичную	дробь по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби .
Теперь рассмотрим деление на	десятичную	дробь .
Какие из этих дробей можно перевести в конечную	десятичную	дробь ?
Любую	десятичную	дробь можно представить в виде обыкновенной .
Таким образом , первая цифра после запятой обозначает число десятых , вторая - число сотых , третья - число тысячных и т д. Используя новые разряды ,	десятичную	дробь , как и натуральное число , можно представить в виде суммы разрядных слагаемых .
Полученное утверждение называют условием перевода обыкновенной дроби в конечную	десятичную	.
При этом дробь не изменится , но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым , а в этом случае , как мы только что видели , дробь можно перевести в конечную	десятичную	.
Запиши	десятичную	дробь и округли ее с точностью до сотых .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную	десятичную	дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Если число двоек и пятерок одинаково , то , перемножив их попарно ( каждую двойку со своей пятеркой ) , мы получим , что у есть степень числа , а тогда дробь переводится в конечную	десятичную	непосредственно .
Таким образом , чтобы разделить число на	десятичную	дробь , можно .
Итак , всякую конечную	десятичную	дробь можно записать в виде обыкновенной .
Приведи дробь к знаменателю вида и запиши соответствующую	десятичную	дробь .
Конечную	десятичную	дробь всегда можно записать в виде обыкновенной .
Почему данную дробь можно перевести в конечную	десятичную	?
Данный способ можно применить для деления на любую	десятичную	дробь .
Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить на другую	десятичную	дробь . .
Поэтому любую	десятичную	дробь легко записать в виде обыкновенной дроби ( простой или смешанной ) , например : целая часть дробная часть .
Вычисли , записав	десятичные	дроби в виде обыкновенных .
Вместе с тем , для некоторых величин по традиции , идущей из древности , используют не	десятичные	, а другие соотношения .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные	десятичные	дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями .
Записывают и читают	десятичные	дроби так .
Данные	десятичные	дроби имеют различные целые части , причем .
Конечно ,	десятичные	дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби , выполнить действия , а затем снова вернуться к десятичным дробям .
Прочитай	десятичные	дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел .
Напротив ,	десятичные	дроби — это те же обыкновенные дроби , но со стандартным знаменателем вида и записанные не “ в два этажа ” , а “ в строчку ” .
Таким образом , читают	десятичные	дроби так же , как и обыкновенные , но с обязательным указанием числа целых единиц ( даже если их “ ноль ” ) .
Благодаря этому	десятичные	дроби стали широко использоваться в науке и в повседневной жизни .
Таким образом ,	десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные системы записи чисел .
Запиши	десятичные	дроби .
Поскольку	десятичные	дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для десятичных дробей .
Такое название не означает , что	десятичные	дроби являются какими - то необыкновенными или сложными .
Запиши три	десятичные	дроби , удовлетворяющие неравенству .
Запиши в тетради две	десятичные	дроби по собственному выбору и сравни их .
Последовательно сдвигай запятую на одну цифру вправо и называй получившиеся	десятичные	дроби .
Прочитай	десятичные	дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей .
Сравни полученные	десятичные	дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том , как , не выполняя вычислений , записать неправильную дробь со знаменателем вида в виде десятичной дроби .
Для того чтобы записывать любые дроби в виде десятичных , в математике используют бесконечные	десятичные	дроби .
Конечно , десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения , если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби , выполнить действия , а затем снова вернуться к	десятичным	дробям .
Возможность представления любой десятичной дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с	десятичными	дробями все арифметические действия .
Дроби , записанные “ с запятой ” , названы нами	десятичными	дробями , поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название - обыкновенные дроби .
Доли величины выражены	десятичными	дробями .
Пользуясь	десятичными	дробями , вырази .
Преимущества работы с	десятичными	дробями ясно видны уже при сравнении дробей .
Идея заключалась в том , чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями т д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида стали записывать в строчку и называть	десятичными	дробями .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с	десятичными	дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями .
Именно поэтому мы и должны установить правила выполнения арифметических действий непосредственно с	десятичными	дробями , без перевода их в обыкновенные .
В данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто	десятичными	дробями .
Вырази их	десятичными	дробями .
Разделим сначала целые единицы , затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли , оставшиеся десятые доли - в сотые и т д. Если	десятичных	знаков окажется недостаточно , то всегда можно приписать к ним справа столько нулей , сколько требуется .
Вместе с тем , как мы говорили , основным назначением	десятичных	дробей является их использование для практических измерений .
Вместе с тем , используются и другие способы записи	десятичных	дробей .
Точно так же точка может ставиться при записи	десятичных	дробей на дисплее калькулятора или компьютера .
Система записи	десятичных	дробей устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
Заметим , что точнее было бы говорить не о	десятичных	дробях , а о десятичной записи дробей : это те же дроби , только со знаменателями вида иначе записанные .
Арифметика	десятичных	дробей .
Приведем несколько примеров сложения и вычитания	десятичных	дробей с помощью установленного алгоритма .
Умножение	десятичных	дробей .
Поэтому можно ожидать , что и для	десятичных	дробей правила умножения и деления не будут сложными .
Правила сложения	десятичных	дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам , аналогично разложению по разрядам натуральных чисел .
Установим правило умножения конечных	десятичных	дробей , используя , как и ранее , переход к обыкновенным дробям .
Способ записи	десятичных	дробей является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи чисел .
Для того чтобы записывать любые дроби в виде	десятичных	, в математике используют бесконечные десятичные дроби .
Деление	десятичных	дробей .
Из двух	десятичных	дробей больше та дробь , у которой больше знаков после запятой .
Если целые части	десятичных	дробей различны , то больше та дробь , у которой больше целая часть .
Во всех рассмотренных выше	десятичных	дробях число знаков после запятой ( без учета нулей в конце ) является конечным .
В самом деле , после уравнивания числа	десятичных	знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях .
Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых	десятичных	дробей .
Из полученного равенства видно , что сложение	десятичных	дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел .
Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел , то все знакомые нам свойства действий над этими числами ( переместительное , сочетательное , распределительное и др. ) выполняются как для обыкновенных , так и для	десятичных	дробей .
Вырази в	десятичных	дробях и реши задачи .
Сколько различных	десятичных	дробей , имеющих три знака после запятой , можно записать с помощью цифр ( цифры в записи десятичной дроби не повторяются ) ?
Попробуем , однако , и при делении	десятичных	дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных	десятичных	дробей .
Вырази с помощью	десятичных	дробей , какую часть более крупных единиц измерения составляют .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из множества	десятичных	дробей по собственному выбору .
А вот с делением	десятичных	дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух	десятичных	дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Запиши числа в виде	десятичных	дробей и прочитай их .
Если целые части	десятичных	дробей одинаковы , то больше та дробь , у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой ( в направлении слева направо ) .
Полученные числа запиши в виде	десятичных	дробей .
Мы видим , что умножение данных	десятичных	дробей свелось к умножению натуральных чисел , которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях .
Проверь справедливость записанных равенств для некоторых	десятичных	дробей , взяв значения букв по собственному выбору .
Какие из следующих дробей представимы в виде конечных	десятичных	.
Используем этот же принцип и для деления	десятичных	дробей .
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику	десятичных	дробей от арифметики обыкновенных дробей .
И вообще , алгоритм умножения	десятичных	дробей можно записать так : .
Таким образом , мы получаем следующий алгоритм сложения ( вычитания )	десятичных	дробей .
Таблица разрядов	десятичных	дробей имеет следующий вид .
Повтори алгоритм сложения и вычитания	десятичных	дробей и реши примеры правильно . .
Изобретение	десятичных	дробей существенно повлияло не только на научную жизнь , но и на жизнь простых людей .
В самом деле , после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа , как бы отбросив запятую , а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу	десятичных	знаков в данных дробях .
Сравнение	десятичных	дробей .
Умножение	десятичных	дробей , как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Таким образом , сравнение данных десятичных дробей свелось к сравнению их соответствующих	десятичных	разрядов .
Приходим к следующему правилу сравнения	десятичных	дробей .
Сумма двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных	десятичных	дробей .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение	десятичных	дробей , как и натуральных чисел .
Следует сказать , что невозможность при делении	десятичных	дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Таким образом , сравнение данных	десятичных	дробей свелось к сравнению их соответствующих десятичных разрядов .
Заметим , что сложение и вычитание	десятичных	дробей можно записать “ в столбик ” : .
Это равенство показывает , сколько единиц каждого разряда содержит число , а именно : сотню ,	десятка	, единицы , сотых , тысячных и десятитысячных , а единицы разряда десятых в нем отсутствуют .
Само число тоже можно выразить через его цифры х и у. Действительно , в х	десятках	10х единиц , да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у единиц .
Вырази число в	десятках	и округли полученное число десятков с точностью до единиц .
Вырази число в	десятках	тысяч и округли полученное число десятков тысяч с точностью до сотых .
Найди четыре различные цифры , которые могут стоять в разряде	десятков	у чисел , кратных 25 ? .
Пусть х - цифра	десятков	, а у - цифра единиц .
Обозначая цифру	десятков	двузначного числа буквой х , а цифру единиц - буквой у , запиши на математическом языке условие задачи : .
Обозначь х цифру	десятков	, а у - цифру единиц двузначного числа .
Н айти это число , если х - цифра	десятков	, ау- цифра единиц этого числа .
Используя все цифры , причем каждую только один раз , составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число , в разряде сотен миллионов которого стоит цифра , а единицы разряда	десятков	тысяч отсутствуют .
Круглое число с одним нулем в конце записи состоит из	десятков	, поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до десятков .
Реши пример и округли полученный результат до	десятков	тысяч : округли число с заданной точностью .
Вырази число в десятках и округли полученное число	десятков	с точностью до единиц .
Период обращения по орбите Меркурия , Марса и Юпитера с точностью до	десятков	, единиц , десятых .
Таким образом , с точностью до	десятков	.
Круглое число с одним нулем в конце записи состоит из десятков , поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до	десятков	.
Диаметр Юпитера с точностью до тысяч ,	десятков	тысяч .
Диаметр Земли с точностью до	десятков	, сотен , тысяч .
Запиши с помощью двойного неравенства нижнюю и верхнюю границу чисел с точностью : до	десятков	; до сотен ; до тысяч .
Вырази число в десятках тысяч и округли полученное число	десятков	тысяч с точностью до сотых .
Наблюдательный Юра заметил , что если в двузначное число , выражающее расстояние в километрах , которое он сегодня проехал , вставить нуль между цифрами	десятков	и единиц , то получится число , в 9 раз большее исходного .
за квадратный метр , за квадратный метр , петли за штуку , шурупов за	десяток	, защелку и ручки за штуку .
По аналогии с игрой “ крестики - нолики ” найди строку , столбец или	диагональ	, сумма чисел в которых дает выигрышную сумму , указанную над таблицей . .
Выигрывает тот , кто первым заполнит “ крестиком ” или “ ноликом ” строку , столбец или	диагональ	.
Найди в таблице выигрышную строчку , столбец или	диагональ	( произведение чисел в них равняется числу , записанному около таблицы ) .
Игра заключается в том , чтобы найти выигрышную строчку , столбец или	диагональ	, произведение чисел в которых равняется числу , записанному около таблицы .
Выигрывает тот , кто первым заполнит строку , столбец или	диагональ	.
Межгалактическая экспедиция профессора Селезнева в результате проведенных ею измерений установила , что экваториальный	диаметр	Юпитера составляет примерно тыс км .
Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее	диаметр	составляет длины экватора .
Во сколько раз экваториальный	диаметр	Юпитера больше , чем экваториальный диаметр Земли , равный примерно тыс км ? .
Чему примерно равен	диаметр	Земли ? . .
Во сколько раз экваториальный диаметр Юпитера больше , чем экваториальный	диаметр	Земли , равный примерно тыс км ? .
Архимед установил , что частное от деления длины окружности на ее	диаметр	составляет примерно .
Какую примерно часть	диаметр	Земли составляет от диаметра Солнца ? .
Какую примерно часть диаметр Земли составляет от	диаметра	Солнца ? .
Приближенное значение	диаметра	Земли равно , а диаметра Солнца .
Приближенное значение диаметра Земли равно , а	диаметра	Солнца .
Великий древнегреческий ученый Архимед установил , что длина окружности примерно больше ее	диаметра	.
Длина	диаметра	окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость длины окружности от ее	диаметра	.
Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность ,	диаметром	которой является его гипотенуза .
Архимед установил , что отношение длины окружности к ее	диаметру	есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение длины окружности к ее	диаметру	.
Все	диаметры	окружности имеют одну и ту же длину .
Периметр всякого прямоугольника равен сумме	длин	его сторон .
Вычисли сумму	длин	всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см .
Длина третьего полотенца составляет — суммы	длин	первых двух .
Вычисли сумму	длин	всех ребер , площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м , 3 м и 5 м .
Длина стороны треугольника всегда меньше суммы	длин	двух других его сторон .
Существует ли куб , длина ребра которого выражается натуральным числом , а сумма	длин	всех ребер выражается простым числом ? .
Периметр прямоугольника равен сумме	длин	его сторон .
Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму	длин	ребер .
Найди сумму	длин	всех его ребер и площадь полной поверхности .
Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда , если сумма	длин	всех его ребер равна .
Периметр прямоугольника равен Ь м , а	длина	одной из его сторон с м .
На кольцевой дорожке длиной 360 м проводится эстафета ,	длина	каждого этапа которой 150 м .
Ширина прямоугольника — см , а его	длина	на — см больше .
Когда	длина	дороги достигла км , построенную часть дороги начали размечать .
Длина первого участка Ъ м , а	длина	второго участка на 5 м больше .
Чему равна	длина	второго отреза ? .
Ширина прямоугольника 7 дм , а	длина	- на 2 см больше .
Площадь прямоугольника равна 64 дм2 , а его	длина	в 4 раза больше ширины .
Ширина сарая ,	длина	- больше ширины , а высота - меньше длины .
Ширина прямоугольника а м , а	длина	- в 2 раза больше .
Великий древнегреческий ученый Архимед установил , что	длина	окружности примерно больше ее диаметра .
Чему равна	длина	воздушного пути от Москвы до полярной станции ? .
На сколько метров	длина	оставшейся части больше той , которую отрезали ? .
Чему равна	длина	дистанции ? .
Известно , что у первого прямоугольника	длина	на 4 м больше , а ширина на 2 м меньше , чем у второго прямоугольника .
Прямоугольный газон обнесен изгородью ,	длина	которой .
На сколько метров	длина	первого прямоугольника меньше , чем второго ?
Какая наибольшая	длина	ребра может быть у этого куба ? .
Обозначим ширину прямоугольника , выраженную в метрах , через х , тогда его	длина	равна ( х + 3 ) м , а площадь равна х(х + 3 ) м2 .
Чему равна	длина	изгороди , построенной вдоль границы этого участка ?
Чему равна	длина	всей веревки ? .
Чему равна	длина	этой дороги ? .
Чему равна	длина	дороги ? .
Прямоугольный участок земли обнесен забором ,	длина	которого .
Площадь садового участка , имеющего форму прямоугольника , равна 600 м2 , а его	длина	равна .
Используя циркуль и линейку , построй различные ромбы ,	длина	стороны каждого из которых равна .
Чему примерно равна	длина	беговой дорожки ипподрома , имеющей форму круга радиусом ? .
Существует ли куб ,	длина	ребра которого выражается натуральным числом , а сумма длин всех ребер выражается простым числом ? .
Чему равна	длина	их маршрута ? .
Площадь баскетбольной площадки , имеющей прямоугольную форму , а м2 , а	длина	20 м .
Достаточно ли света в классе ,	длина	которого и ширина , если в классе имеется окна высотой и шириной ? .
Периметр прямоугольника равен 70 м , его	длина	больше ширины на 1 м .
У прямоугольника	длина	больше ширины .
Чему равна	длина	третьей стороны ? .
Длина первого прямоугольника 5 дм , а	длина	второго прямоугольника - 7 дм .
Периметр садового участка прямоугольной формы равен 98 м , причем его	длина	на 1 м больше ширины .
Площадь прямоугольника равна с м2 , а его	длина	Ь м .
Какую часть	длина	третьего полотенца составляет от длины второго ? .
Чему равна	длина	трассы ? .
Чему равна	длина	каждой части ? .
Бревно ,	длина	которого , распилили на равных частей .
Ширина прямоугольника равна , а	длина	составляет — ширины .
Чему равна	длина	третьего куска ?
Чему равна	длина	отрезков АМ , АК , ВМ и ВЯ ? .
Длина первой стороны составляет периметр , а	длина	второй стороны - длины первой .
Чему равна	длина	пути поезда , если станция , на которой жил пассажир , удалена от Москвы на расстояние всего пути ? .
Площадь прямоугольника равна 68 дм2 , а	длина	больше ширины на 13 дм .
Чему равна	длина	всей дистанции ?
Чему равна	длина	Таниного шага предполагая , что все ее шаги одинаковые ? .
Длина первого прямоугольника Ь м , а	длина	второго - на 14 м больше .
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а	длина	каждого из двух других ребер составляет длины этого ребра .
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок ,	длина	которого больше его ширины .
Чему равна	длина	ребра этого куба ? .
Ширина прямоугольного параллелепипеда ,	длина	- больше ширины , а высота - меньше длины .
Таня подсчитала , что по	длине	комнаты умещается ее шагов .
Сравни по	длине	проведенный отрезок и гипотенузу .
Ткань во время стирки садится на часть по	длине	и на часть по ширине .
Сколько человек можно разместить за этим столом , если на каждого человека по	длине	и ширине стола должно приходиться не менее ? .
Если выложить все тетрадные листы один за другим , совмещая по	длине	, то чему будет равен периметр периметр полученного прямоугольника ?
Он имеет форму куба с	длиной	ребра 80 см. Бак надо покрасить снаружи и изнутри .
На кольцевой дорожке	длиной	360 м проводится эстафета , длина каждого этапа которой 150 м .
Как от куска ленты длиной две трети метра отрезать кусок	длиной	в полметра , не имея никаких принадлежностей для измерения ? .
Как от куска ленты	длиной	две трети метра отрезать кусок длиной в полметра , не имея никаких принадлежностей для измерения ? .
Сваю	длиной	забили в землю на глубину .
От веревки	длиной	8 — м отрезали 3 — м .
Из фанеры требуется сделать открытый ящик , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда	длиной	40 см , шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика ?
Портной для пошива рубашек приобрел рулон одинаковой ткани , один рулон	длиной	, а другой - больше .
Вычисли сумму длин всех ребер , площадь полной поверхности и объем куба с	длиной	ребра 4 см .
Через сколько времени бригады закончат строительство тоннеля	длиной	? .
Турист наметил пройти маршрут	длиной	.
За сколько времени , работая вместе с той же производительностью , они покрасят забор	длиной	к метров ? .
Турист наметил маршрут	длиной	всего маршрута он проехал на лодке , прошел пешком .
Из проволоки	длиной	1 м 85 см надо сделать каркасную модель куба .
Пешеход прошел мост	длиной	.
От каната	длиной	отрезали .
Имеются палочки	длиной	, палочки длиной , палочек длиной , палочек длиной .
Турист предполагал пройти маршрут	длиной	60 км с некоторой скоростью .
Имеются куски проволоки	длиной	каждый .
Имеются палочки длиной , палочки длиной , палочек	длиной	, палочек длиной .
Имеются палочки длиной , палочки	длиной	, палочек длиной , палочек длиной .
Имеются палочки длиной , палочки длиной , палочек длиной , палочек	длиной	.
Веревку	длиной	58 м разрезали на 2 части , причем одна часть длиннее другой на 12 м .
Если	длину	этого участка увеличить на 2 м , а ширину уменьшить на 5 м , то площадь его уменьшится на 190 м2 .
Четырехугольник называется ромбом , если все его стороны имеют одинаковую	длину	.
Ширину прямоугольника увеличили , а	длину	- от первоначального значения .
Найди	длину	третьей стороны .
Ширина прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника , если его	длину	увеличить на 7 см ? .
Найди	длину	третьей стороны и вырази ее в метрах .
Найти	длину	стороны квадрата .
Найти	длину	и ширину этого прямоугольника .
Треугольник называется равносторонним , если все его стороны имеют одинаковую	длину	.
Измерь с помощью нитки	длину	окружности и найди отношение длины окружности к ее диаметру .
Садовый участок прямоугольной формы имеет	длину	, а ширину - меньше .
Измерь	длину	хорды .
Для этого	длину	увеличили , а ширину .
После того как	длину	увеличили , а ширину уменьшили , его площадь уменьшилась .
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см , ширина 25 см , а высота 12 см. Найди	длину	ребра куба , объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда .
Два пассажира метро , начавшие одновременно один спуск , другой – подъем по соседним эскалаторам , встретились через 40 с. Найти	длину	наружной части лестницы , если скорость ее движения 1 м / с и пассажиры не перемещались по эскалатору .
Какую	длину	имеет каждый кусок веревки ? . .
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м , а	длину	уменьшили на 5 м , получили квадрат .
Все диаметры окружности имеют одну и ту же	длину	.
В результате получили прямоугольник , периметр которого равен 66 см. Найти	длину	стороны квадрата .
На сколько надо уменьшить	длину	прямоугольника , чтобы его площадь уменьшилась на 35 дм2 ?
Измерь	длину	и ширину тетради и вырази результат в дециметрах .
Треугольник называется равнобедренным , если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую	длину	.
При утверждении плана застройки	длину	участка увеличили , а ширину , в результате площадь участка увеличилась .
Итак , для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника ,	длины	сторон которого выражаются дробными числами , нам необходимо получить правило умножения дробей .
Высота параллелепипеда составляет суммы его	длины	и ширины .
Длина первой стороны составляет периметр , а длина второй стороны -	длины	первой .
Длина аквариума , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда , равна , а ширина составляет —	длины	.
Какую часть	длины	аквариума составляет его высота ? .
Если же	длины	сторон выражаются дробными числами - например , то площадь прямоугольника является произведением этих дробей , а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно .
Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 20 дм , что составляет его	длины	.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда , если известно , что одно из трех ребер , выходящих из его вершины , равно , а длина каждого из двух других ребер составляет	длины	этого ребра .
Ширина поля равна , что составляет его	длины	.
Измерь с помощью нитки длину окружности и найди отношение	длины	окружности к ее диаметру .
Пользуясь таблицей , расскажи о соотношениях между единицами	длины	: .
Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь прямоугольников , у которых	длины	сторон выражаются натуральными числами .
Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км , а ее диаметр составляет	длины	экватора .
Длина коробки равна , ширина составляет длины , а высота -	длины	.
Длина прямоугольника равна , а ширина составляет —	длины	.
Ширина прямоугольного параллелепипеда , длина - больше ширины , а высота - меньше	длины	.
Длина основания прямоугольного параллелепипеда , а ширина меньше	длины	.
Найти периметр прямоугольника , площадь которого составляет 18 м2 , а ширина в 2 раза меньше	длины	.
Длина аквариума , ширина меньше , а высота меньше	длины	.
Длина одного из них равна , что составляет —	длины	второго .
Длина коробки равна , ширина составляет	длины	, а высота - длины .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у	длины	первой стороны , а третья - 25 % длины первой стороны .
Какую часть длина третьего полотенца составляет от	длины	второго ? .
Одна сторона треугольника равна с м , вторая составляет у длины первой стороны , а третья - 25 %	длины	первой стороны .
Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство , выражающее зависимость	длины	окружности от ее диаметра .
Архимед установил , что отношение	длины	окружности к ее диаметру есть величина постоянная , равная примерно значению дроби .
Ширина прямоугольника на 9 см меньше	длины	, а площадь равна 90 см2 .
Площадь прямоугольника равна 240 дм2 , а ширина на 8 дм меньше	длины	.
Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника : где	длины	сторон прямоугольника , а его площадь .
Чему равны	длины	сторон этого четырехугольника ? . .
Длина параллелепипеда , а ширина меньше	длины	.
Длина диаметра окружности в два раза больше	длины	радиуса той же окружности .
Ширина поля , что составляет — его	длины	.
Длина шага Буратино равна , что составляет —	длины	шага Карабаса - Барабаса .
Отремонтировали км дороги , что составляет — всей	длины	.
Длина второго прямоугольника составляет —	длины	первого , а ширина - — ширины первого .
Ширина прямоугольного параллелепипеда меньше	длины	, а высота - больше ширины .
Какой	длины	надо взять кусок ткани , чтобы после стирки иметь 378 м2 , если до стирки ширина ее была 90 см ? .
В одном отрезе а м ткани , что составляет	длины	второго отреза .
Ширина прямоугольника , что меньше	длины	.
Ширина прямоугольника меньше	длины	, а периметр равен .
Ширина прямоугольника , что составляет его	длины	.
Ширина прямоугольника равна , что составляет его	длины	.
Найти периметр прямоугольника , у которого ширина на 4 см меньше	длины	, а площадь составляет 32 см2 .
Найди	длины	сторон газона , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет длины , а высота -	длины	.
Высота цифр на циферблате составляет — от	длины	минутной стрелки .
Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет	длины	, а высота - длины .
Ширина сарая , длина - больше ширины , а высота - меньше	длины	.
Найти	длины	сторон этого участка , если известно , что они выражаются натуральными числами .
Она составляет —	длины	прямоугольника и его ширины .
Ответ :	длины	сторон участка равны 7 ми 10 м .
Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат ( считать , что	длины	сторон прямоугольников выражаются натуральными числами ) .
Архимед установил , что частное от деления	длины	окружности на ее диаметр составляет примерно .
Какое из	доказательств	тебе понравилось больше ? .
Например , для	доказательства	"того , что в математическом кружке занимаются все мальчики из 5""А "" , достаточно фамилию каждого мальчика из классного журнала найти в списке участников кружка ."
Для	доказательства	"истинности утверждения "" Слово а1зо по - английски означает следовательно "" нужно посмотреть в другой , англо - русский словарь ."
Для	доказательства	утверждений , верных на бесконечных множествах , в математике часто используют введение специальных обозначений .
Для	доказательства	обозначим первые два числа буквами а и b , а третье число - буквой с. Так как а , по условию , делится на с , то а = ск .
В математике для	доказательства	истинности утверждений используют строгие математические методы , и нам еще предстоит этому научиться .
Достаточно ли для ее	доказательства	измерить стороны и углы нескольких параллелограммов ?
С некоторыми способами	доказательства	общих утверждений , которые были выработаны в процессе развития математики , мы познакомимся в следующем пункте .
Поэтому самый простой прием	доказательства	"состоит в том , что мы "" испытываем ” по очереди все элементы множества : перебираем их один за другим и для каждого проверяем наше утверждение ."
В то же время для	доказательства	истинности общего утверждения привести даже большое число примеров недостаточно .
Точно так же для	доказательства	утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников .
Отметим , что в	доказательстве	для обозначения частных а : с и b : с использованы две буквы , к и I. Разные имена потребовались потому , что эти частные различны .
О	доказательстве	общих утверждений .
Можно провести и общее	доказательство	.
Рассмотри их	доказательство	и объясни , на основании каких свойств чисел выполнены преобразования .
Например , на	доказательство	"утверждения "" Земля вращается вокруг Солнца "" ученым понадобилось не одно столетие ."
В отличие от житейской практики , в науке	доказательство	и опровержение некоторых утверждений - очень сложное дело .
Попробуй придумать	доказательство	своих гипотез для общего случая .
Правильно ли проведено	доказательство	утверждений ? .
На стр 75 приведено другое	доказательство	свойства 3 .
Если же двоек , например , меньше , чем пятерок , то числитель и знаменатель дроби можно	домножить	на недостающее число двоек .
Поэтому можно ожидать , что и для десятичных	дробей	правила умножения и деления не будут сложными .
Сумма двух данных обыкновенных	дробей	, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей .
Из двух десятичных	дробей	больше та дробь , у которой больше знаков после запятой .
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой , сколько их в обоих множителях вместе . Записывают умножение десятичных	дробей	, как и натуральных чисел .
Система записи десятичных	дробей	устроена так же : единица любого разряда меньше предыдущей и больше последующей .
Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и неправильных	дробей	.
Следует сказать , что невозможность при делении десятичных	дробей	всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей .
Умножение десятичных	дробей	.
Умножение десятичных	дробей	, как мы видели в предыдущем пункте , легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении .
Попробуем , однако , и при делении десятичных	дробей	воспользоваться их аналогией с натуральными числами .
Выдели из неправильных	дробей	, принадлежащих множеству X , целую часть и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Это верно и для любых других	дробей	.
Выпиши из множества подмножество правильных	дробей	.
Запиши с помощью	дробей	, какие части фигур закрашены .
Проверь справедливость записанных равенств для значений букв , взятых из множества десятичных	дробей	по собственному выбору .
И вообще , алгоритм умножения десятичных	дробей	можно записать так : .
Сумма двух данных обыкновенных дробей , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных	дробей	.
Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных	дробей	.
С помощью	дробей	можно представить результат деления любого натурального числа на любое натуральное число , например .
Преобразование	дробей	.
Деление десятичных	дробей	.
Сумма двух данных обыкновенных	дробей	может быть представлена в виде конечной десятичной дроби .
Из ряда чисел выпиши те , которые могут быть общими знаменателями для указанных	дробей	.
Произведение двух данных обыкновенных дробей , отличных , а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных	дробей	.
А вот с делением десятичных	дробей	дело обстоит сложнее : может оказаться , что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби .
Для приведения двух или нескольких	дробей	к общему знаменателю выбирают знаменатель , кратный всем знаменателям данных дробей .
Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают знаменатель , кратный всем знаменателям данных	дробей	.
При этом для простоты вычислений знаменатель лучше выбирать как можно меньший , а для этого нужно взять наименьшее общее кратное знаменателей всех получившихся	дробей	.
Например , для	дробей	вычисляем сначала НОК .
Выдели целую часть из	дробей	халвы , разложили поровну в коробки .
Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих	дробей	? .
Представь смешанные числа , принадлежащие множеству У , в в�