Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Биссектриса	угла .
	Величина	угла .
	Величина	одного из них на 20 ° меньше величины другого .
	Величина	одного из них в 4 раза больше величины другого .
	Величина	одного из них в 2 раза больше величины другого .
	Величина	одного из углов на 40 ° больше величины другого .
	Величину	угла иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о величинах углов .
	Величины	измерение .
	Величины	порядок угла .
	Величины	переменные .
	Вершина	треугольника .
	Вершина	многоугольника .
	Вершина	угла , образованного отрезками .
	Вершина	четырёхугольника .
	Вершины	их прямых углов будут центром квадрата .
	Вершины	полученных клеточек будем называть узлами клетчатой бумаги или узлами сетки .
27 На ящике с болтами имеется надпись : «	Вес	брутто 49,2 кг , тара 6,8 кг » .
18	Возведите	в квадрат числа .
	Выражение	буквенное .
	Выражение	числовое .
	Выражения	« а в третьей степени » и « а в кубе » также означают одно и то же .
	Выражения	, записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на десятичную запись .
	Выражения	вида а < b , с > d называют неравенствами , а сами знаки « > » и « < » называют знаками неравенства .
4	Высота	дымовой трубы равна 20 м , её внешний диаметр равен 3 м , а внутренний равен 2 м .
	Вычитаем	из 9 число 3 , а результат записываем в ответ в столбце тысяч .
Уменьшаемое ;	Вычитаемое	; Разность .
	Вычитаемое	.
	Вычитаемое	; Разность .
3.7	Вычитание	дробей с одинаковыми знаменателями .
	Вычитание	производят поразрядно , начиная с разряда единиц .
	Вычитание	десятичных дробей похоже на вычитание натуральных чисел .
	Вычитание	дробей свелось к вычислению разности натуральных чисел 31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
5.6	Вычитание	числа из обеих частей неравенства .
	Вычитание	.
	Вычитание	станет возможным , если наряду с натуральными числами и нулем рассмотреть отрицательные числа .
	Вычитать	легко , когда вычитаемое является разрядной единицей .
	Вычитать	одно число из другого подбором неудобно .
	Вычитая	, получаем нуль .
	Вычитая	, получим 0,05 .
	Вычитая	ещё раз число 87 из 166 , получим .
	Гипотенуза	.
	Градус	.
Глава 11	ДРОБИ	.
3.3	Двоичная	система счисления .
1.3	Деление	нацело одного натурального числа на другое .
1.1	Деление	на равные части .
	Деление	натуральных чисел .
	Деление	чисел на 2 .
Глава 9	Деление	натуральных чисел .
	Деление	чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число похоже на деление натуральных чисел .
	Деление	нацело .
1.2	Деление	на равные части для целых чисел возможно не всегда .
5	Деление	десятичной дроби на натуральное число .
	Деление	с остатком и деление нацело .
3.9	Деление	на ненулевую дробь .
	Деление	с остатком .
	Деление	.
	Деление	с остатком имеет наглядный геометрический смысл .
3.2	Деление	чисел с остатком .
	Деление	дробей .
	Деление с остатком	.
	Деление с остатком	и деление нацело .
	Деление с остатком	имеет наглядный геометрический смысл .
	Деления	, расположенные ниже нулевой отметки , соответствуют отрицательным значениям температуры .
	Делимое	.
	Делитель	.
8	Делится	ли произведение .
	Делится	ли число 567 на 9 ?
	Делится	ли число 6318 на 2 ? .
	Делится	ли это число на 3 ?
4	Делится	ли число .
	Делится	ли первое слагаемое на 2 ?
4	Делится	ли на 10 : .
1.6	Делить	на нуль нельзя .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	дробь состоит из двух частей .
	Десятичная	система счисления .
	Десятичное	приближение числа а снизу равно 3 520 000 с точностью до 103 .
Глава 13	Десятичные	дроби .
	Десятичные	дроби по их записи сравниваются точно так же , как и натуральные числа .
	Десятичные	приближения чисел применяют в практической деятельности .
	Десятичные	дроби тесно связаны с десятичной метрической системой единиц .
	Десятичные	дроби очень удобно записывать в виде смешанных дробей и тем самым выделять целую часть .
	Десятичные	знаки .
5.3	Десятичные	приближения .
2	Десятичные	приближения .
	Десятичными	дробями будут , например .
	Диагональ	.
	Диагональ	АС квадрата ABCD делит его на два прямоугольных треугольника .
	Диагональ	делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника , площади которых равны .
6	Диаметр	колеса автомобиля равен 60 см. Автомобиль проехал .
7	Диаметр	Земли в 4 раза больше диаметра Луны .
	Длина	сада равна м , а ширина на м меньше .
	Длина	отрезка не превышает длины любой ломаной , соединяющей его концы .
13	Длина	некоторого отрезка АВ равна 40 мм .
	Длина	одной части 2,89 м .
	Длина	окружности .
1.3	Длина	отрезка АВ равна 3 м .
2.3	Длина	отрезка .
1.4	Длина	отрезка АВ равна 7400 мм .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С.	Длина	отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
	Длина	ломаной .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V.	Длина	такого пути будет не меньше длины отрезка NV .
	Длина	каких из указанных отрезков в два раза больше длины отрезка MN ? .
	Длина	.
	Длина	ломаной равна сумме длин всех составляющих её звеньев .
	Длина	отрезков задаётся так , что равные отрезки имеют равные длины .
	Длина	отрезка .
1	Длина	окружности и площадь круга .
	Длина	, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
	Длина	беговой дорожки стадиона равна 400 м .
	Длину	части отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей дробью ( читается « одна вторая » ) .
	Длину	части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
	Длину	, ширину и высоту полки удобнее выражать в сантиметрах .
	Длину	части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и будем считать .
	Длину	отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 2 ] обозначим через дробь ( читается « две вторых » ) .
2.6	Длины	равных отрезков .
	Длины	свойства .
18	Длины	сторон пятиугольника ( при выборе некоторой единицы измерения ) выражаются числами 134 , 167 , 96 , 104 , 119 .
2.3	Длины	сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
14	Длины	некоторых рек : Волга — 3530 км , Днепр — 2201 км , Дон — 1870 км , Северная Двина — 744 км , Обь — 3650 км , Амур — 2824 км , Лена — 4400 км , Енисей — 3487 км .
	Длины	трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина , высота .
2.2	Дробная	часть каких из указанных десятичных дробей равна .
	Дробная	часть .
2.2	Дробные	числа .
	Дробь	0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
	Дробь	, у которой числитель меньше знаменателя , называется правильной дробью .
	Дробь	является приближённым значением с недостатком или с избытком ?
	Дробь	.
	Единица	дробная .
	Единица	разрядная .
	Единица	.
	Единица	100 .
	Единицу	измерения длины изменили так , что число 3 изображается теперь такой точкой А1 , что .
	Единицы	площади .
	Единицы	измерения .
	Единицы	длины .
	Единицы	массы .
	Единицы	объёма .
1.3	Единицы	измерения площади .
Выполняют вычитание по правилам , принятым для натуральных чисел , не обращая внимания на запятые	Запятую	ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
2.4	Знак	приближённого равенства .
	Знаменатель	.
	Знаменатель	общий .
	Значение	этого выражения 191 .
	Значение	приближённое .
	Значение	каких из указанных выражений является чётным числом ? .
	Значение	с недостатком и значение с избытком — это приближённые значения величины .
	Значение	с избытком .
	Значение	с недостатком .
	Значение	квадратного корня из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
	Значение	числа к с недостатком равно 3 , а значение с избытком равно 4 .
	Значение	с избытком для высоты Эвереста можно взять 9200 м , что равно длине 23 кругов по стадиону .
	Значение	.
	Значение	с недостатком для высоты Эвереста можно взять 8800 м , что равно длине 22 кругов по стадиону .
	Значение	числового выражения .
	Значение	х будет тем числом , для которого число равно 234 .
	Значения	а и b в этой формуле следует выражать в одних и тех же единицах измерения длины .
	Значения	с недостатком и с избытком .
	Игра	в шахматы появилась очень давно .
	Катет	.
	Катеты	одинаковой длины при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их прямые углы .
	Катеты	АВ и CD равны , как противолежащие стороны прямоугольника , а катет ВС у них общий .
	Квадрат	.
2.4	Квадрат	со стороной 8 см разделили на две части , причём площадь одной из них в 2 раза больше площади другой .
1.8	Квадрат	.
2.7	Квадрат	и куб числа .
	Квадрат	и прямоугольник .
	Квадрат	— это четырёхугольник , у которого все стороны равны и все углы прямые .
22	Квадрат	и ромб имеют одинаковые стороны .
	Квадрат	, сторона которого равна выбранной единице измерения длины , называют эталоном .
	Квадрат	какого наибольшего натурального числа можно точно вычислить на таком калькуляторе ? .
	Квадрат	также является прямоугольником .
2	Квадрат	со стороной 4 см разрезали на два равных треугольника .
	Квадрат	со стороной а — это прямоугольник со сторонами а и а .
14	Квадрат	ABCD сложен из четырёх одинаковых малых квадратов .
2.4	Квадраты	каких из указанных чисел больше 7 ? .
	Квадраты	ABCD , CDEF и EFGH расположены .
	Квадраты	BNMA и BKLC имеют соответственно площадь .
	Корень	этого уравнения можно найти подбором .
	Корень	квадратный .
	Корень	.
	Корень	кубический .
3	Корень	квадратны .
	Корень	уравнения .
	Корень	х уравнения обозначают .
	Круг	.
	Логарифм	числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
	Ломаная	такого вида называется простой ломаной .
	Ломаная	обозначается перечислением вершин в том порядке , в каком они соединяются отрезками .
	Ломаная	EFGHI имеет различные концы и не пересекает сама себя .
	Ломаные	.
	Луч	BD провели так , что точка D лежит внутри угла АВС и ∠DBC 45 ° .
2.4	Луч	делит прямой угол на два неравных угла .
Глава 6	Луч	, пряма .
2.3	Луч	делит прямой угол на два неравных угла .
	Луч	— неограниченная фигура .
	Луч	этой числовой прямой от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
	Луч	, проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
	Луч	AD проведён так , как указано .
	Луч	начало .
	Луча	свойства .
	Лучи	ОВ и OD лежат на одной прямой и дополняют друг друга .
	Многоугольник	обозначается , как и в случае треугольника , четырехугольника , пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних вершин .
	Многоугольник	тоже можно считать ломаной , у которой начало совпадает с концом .
	Многоугольник	.
	Многоугольники	( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
2.6	Многоугольники	.
	Множитель	.
5	Найдите	такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
	Найдите	х .
1	Найдите	запись числа 1995 в четверичной системе счисления .
	Найдите	его объём , если .
15 Даны два луча ОА и ОВ с общей вершиной О.	Найдите	общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти луча .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС.	Найдите	длину АС .
7	Найдите	значения выражений .
	Найдите	длины сторон прямоугольника .
1	Найдите	последнюю цифру суммы чисел .
8 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка АВ .
1	Найдите	значения .
4	Найдите	целые приближения с недостатком и с избытком для .
	Найдите	периметр треугольника .
	Найдите	величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых .
18	Найдите	х , если : а ) 7 % от х равны 140 ; б ) 60 % от х равны 23 .
15	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
5	Найдите	объём шара , если его радиус равен .
12	Найдите	число сторон и число вершин многоугольника .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС.	Найдите	длину АС .
	Найдите	градусную меру угла МОК , сложив градусные меры углов ΜΟΝ и ΝΟΚ , и запишите результат .
22	Найдите	неизвестное число х , если .
20	Найдите	периметр треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
9	Найдите	.
11	Найдите	десятичную запись для чисел .
19	Найдите	периметр четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
19	Найдите	величину b , если .
	Найдите	эти числа .
8	Найдите	.
7	Найдите	.
17	Найдите	разность чисел .
б )	Найдите	среди них прямоугольный треугольник .
	Найдите	стороны прямоугольника .
34	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 365 мм , а другая на 77 мм меньше .
21	Найдите	сумму всех чисел от 1 до 100 .
12 Дано число 1,4142136 . а )	Найдите	его десятичные приближения с недостатком с точностью .
1	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до десяти для следующих чисел .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см.	Найдите	длины сторон прямоугольника .
2	Найдите	площадь фигуры ABCDEF если |АВ| = 6 см , |ВС| = 8 см , |DE| = 3 см , |EF| = 2 см .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и высотой Н.	Найдите	площадь основания этого столба , если .
7	Найдите	число х , если .
3	Найдите	: а ) 18 % от 50 ; б ) 50 % от 18 .
2	Найдите	запись числа 1995 в восьмеричной системе счисления .
9	Найдите	две последние цифры чисел 52 , 53 54 и так далее до 510 .
16	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
	Найдите	сумму величин всех углов треугольника .
2	Найдите	: ж ) 20 % от 1 часа 35 минут .
	Найдите	все его углы .
11 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка АО .
	Найдите	её глубину , если .
10	Найдите	.
2	Найдите	.
11 а )	Найдите	значение выражения , если х равно : 5671 ; 13 275 ; 174 679 .
	Найдите	площадь , занимаемую сушей и водой на всей Земле и в каждом полушарии отдельно , если поверхность земного шара приблизительно равна 510 млн км2 .
2	Найдите	десятичные приближения сверху и снизу с точностью до сотни для следующих чисел .
	Найдите	частное .
	Найдите	хотя бы одно такое число .
15	Найдите	скорость по формуле v в следующих случаях : а ) за 2 ч пройдено 8 км ; б ) за 12 мин проехали 8100 м .
4	Найдите	.
4	Найдите	наибольшую и наименьшую из дробей .
	Найдите	разность .
9 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка BD .
17	Найдите	произведения .
11	Найдите	значения площади с недостатком и с избытком для круга , принимая длину одного шага сетки за 2 см .
8	Найдите	значения выражений .
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см.	Найдите	третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
14	Найдите	по формуле пути S расстояние , которое преодолевается : а ) за 2 ч со скоростью 30 км / ч ; б ) за 15 мин со скоростью 40 м / мин .
	Найдите	суммы .
9	Найдите	объём земной атмосферы , если она простирается над поверхностью Земли на высоту приблизительно 100 км , а радиус Земли равен 6370 км .
11	Найдите	.
	Найдите	вес пустого ящика .
5	Найдите	площадь участка , план если |GH| 7 м .
19	Найдите	десятичные приближения стороны квадрата площади 3 см2 : .
12	Найдите	частные .
6	Найдите	прямоугольный треугольник , в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
20	Найдите	неполное частное и остаток при делении чисел .
17	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
3	Найдите	площади прямоугольных треугольников с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
	Найдите	величину угла ВОС .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .	Найдите	все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
29	Найдите	значения выражений .
	Найдите	неполное частное .
	Найдите	длину ребра куба , имеющего такой же объём .
	Найдите	отношение площадей поперечного сечения и сравните это отношение с отношением соответствующих скоростей течения реки .
13 Комната имеет длину 5 м и ширину 3 м 21 см . а )	Найдите	площадь пола в квадратных метрах с избытком и недостатком .
19	Найдите	периметр квадрата ( при выборе некоторой единицы измерения ) , сторона которого равна 12 .
	Найдите	отношение масс 62,4 г и 15,6 г. Сравните полученное отношение с отношением соответствующих объёмов стали .
1	Найдите	устно произведение .
3	Найдите	.
	Найдите	периметр пятиугольника .
15	Найдите	.
17	Найдите	.
14 Один кубический метр воздуха весит 1204,7 г.	Найдите	вес воздуха в вашем классе .
4 Число 1 741 949 на 16 137 меньше числа х.	Найдите	х .
7	Найдите	разности чисел .
31	Найдите	неизвестное х , если .
11	Найдите	площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
5	Найдите	.
10 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка ВС .
	Найдите	диаметр шайбы , если известно , что площадь отверстия в 2 раза меньше площади кольца .
5	Найдите	остаток от деления числа ( 3233)4 на ( 13)4 .
14	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
	Найдите	периметр большого многоугольника в шагах сетки .
10	Найдите	значения выражений .
	Найдите	число а .
13	Найдите	частные .
23	Найдите	значения выражений .
23	Найдите	периметр прямоугольника , одна из сторон которого равна см , а другая сторона на см больше .
7	Найдите	наибольшее и наименьшее из чисел .
12 а )	Найдите	значение выражения ; б ) При каком х значение выражения равно 10 000 ? .
6 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка AD .
21	Найдите	значения выражений .
	Найдите	число его сторон и число его вершин .
28	Найдите	разности .
20	Найдите	число , которое больше .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см.	Найдите	третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
	Найдите	их сумму .
	Найдите	частное 567 : 9 .
2	Найдите	объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра а , b и с которого равны .
	Найдите	наибольшее натуральное число , которое меньше всех указанных .
13	Найдите	значение выражения .
17	Найдите	суммы .
8	Найдите	сумму наибольшего четырёхзначного и наименьшего пятизначного чисел .
	Найдите	площади фигур .
7	Найдите	площадь треугольника АВС .
4	Найдите	радиус Земли , считая длину земного экватора равной 40 000 км .
	Найдите	отношение расстояний в 50 км и 20 км и сравните его с отношением соответствующих значений израсходованного бензина .
9	Найдите	сумму наибольшего пятизначного и наименьшего четырёхзначного чисел .
4	Найдите	число , большее .
14	Найдите	пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы среди всех отрезков , соединяющих эти точки , была пара непересекающихся отрезков .
4	Найдите	суммы двух указанных сумм .
7 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка CD .
15	Найдите	число , дробная часть которого на 2 меньше его целой части .
15	Найдите	пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
20	Найдите	сумму всех чисел от 1 до 10 .
	Найдите	длину отрезка АБ .
1	Найдите	целые и дробные части следующих чисел .
	Найдите	площади букв .
4 а )	Найдите	площади четырёхконечных звёзд .
22	Найдите	произведения .
1	Найдите	размеры спичечной коробки и вычислите её объём в кубических сантиметрах .
	Найдём	, например , сумму чисел 22 и 75 .
	Найдём	, сколько литров воздуха вмещает воздушный шарик с радиусом .
	Найдём	площадь треугольника АВС .
	Найдём	сумму длин всех сторон 10 ( см ) .
	Найдём	площадь S четырёхугольника ABCD на Разделим его отрезками АС и BD на четыре треугольника .
	Найдём	, сколько кругов по стадиону нужно пробежать , чтобы получилось примерно такое же расстояние .
	Найдём	для этой величины значения с недостатком и с избытком в часах .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/.	Найти	m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
	Найти	100 % от числа а — значит вычислить .
	Натуральное	число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
	Натуральное	число , следующее за числом 999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
	Натуральное	число а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
	Натуральное число	а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
	Натуральное число	m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
	Натуральное число	, следующее за числом 999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
	Натуральные	числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
	Натуральные	числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
	Натуральные	числа составляют часть всего множества целых чисел .
2.1	Натуральные	числа .
Глава 3	Натуральные	числ .
	Натуральные	числа можно считать противоположными отрицательным целым числам .
	Натуральные числа	составляют часть всего множества целых чисел .
	Натуральные числа	в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
	Натуральные числа	можно считать противоположными отрицательным целым числам .
2.1	Натуральные числа	.
	Натуральные числа	легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
	Натуральных	чисел оказывается недостаточно для всех потребностей теории и практики .
	Натуральных чисел	оказывается недостаточно для всех потребностей теории и практики .
	Необходимо	добавить к ним специальное целое число нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
5.4	Неравенства	.
	Неравенство	двойное .
	Неравенство	( -а ) .
	Неравенство	треугольника .
	Нуль	.
	Нуль	число .
	Нуль	цифра .
1.11	Окружность	и круг .
	Окружность	ограничивает область , то есть все те точки плоскости , которые находятся внутри окружности .
	Окружность	.
2.5	Основание	и показатель степени .
	Основания	цилиндра являются равными кругами .
	Остаток	от деления числа 4147 на 19 записан под делимым в самой нижней строке и равен 5 .
3.4	Остаток	0 .
5.1	Острый	и тупой угол .
	Откладываем	последовательно от 0 отрезки длины b , получаем отрезки длиной 36 , 54 .
	Отложив	его вправо от нуля , получим число 9 .
	Отложив	от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной , видим , что правый конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
	Отложив	от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
1.3	Отрезком	какой длины изображается расстояние в 400 м на карте с масштабом 1 : 10 000 ? .
	Отрезок	длины 54 получен откладыванием отрезка длиной 9 шесть раз .
2	Отрезок	равен самому себе .
2.1	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 427 мм и 273 мм .
1.1	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 6 м и 7 мм .
10	Отрезок	АО равен отрезку ОБ .
	Отрезок	.
	Отрезок	какой длины изображается на бумаге отрезком длины 12 см при масштабе 40 : 3 ? .
1.2	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 201 см и 135 мм .
1.1	Отрезок	.
	Отрезок	— одна из простейших геометрических фигур .
1.3	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ .
	Отрезок	с выделенной между его концами точкой треугольником не считается .
	Отрезок	длины 9 восемь раз укладывается в отрезке длины 75 .
1.4	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ .
	Отрицательные	числа будут изображаться точками , расположенными слева от начала отсчёта .
2.3	Отрицательные	числа .
	Отрицательные	числа записываются со знаком « - » , то есть « минус » , перед соответствующим числом .
2.5	Отрицательные	разности .
	Параллелепипед	.
1.9	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	.
	Периметр	.
	Периметр	многоугольника .
	Периметром	многоугольника называется сумма длин всех его сторон .
	Плоские	фигуры .
1.2	Плоский	угол .
	Плоский	угол можно разместить в некоторой полуплоскости , а плоский угол ни в какой полуплоскости разместить невозможно .
	Плоскость	.
2	Площади	прямоугольника и квадрат .
	Площади	участков земли измеряются также в гектарах ( га ) и сотках ( арах ( а ) ) .
1.2	Площадь	фигур на клетчатой бумаге .
	Площадь	всегда выражается неотрицательным числом и имеет четыре следующих основных свойства .
	Площадь	квадрата зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
	Площадь	квадрата со стороной а выражается числом .
5	Площадь	прямоугольного треугольника равна 4 см2 .
2	Площадь	какой геометрической фигуры принимают за единицу измерения площади ? .
	Площадь	четырёхугольника .
	Площадь	S четырёхугольника ABCD равна сумме найденных площадей треугольников , поэтому .
	Площадь	квадрата была клеточки , а площадь прямоугольника стала клеточек .
5.2	Площадь	треугольника .
	Площадь	квадрата BPRT равна .
	Площадь	прямоугольника MNKB равна .
	Площадь	треугольника AM В равна .
	Площадь	треугольника ВКС равна .
	Площадь	треугольника ANC равна .
	Площадь	этой области принимают за площадь треугольника .
	Площадь	одной клеточки примем за единицу измерения площади и обозначим её через 1 k2 .
Глава 12	Площадь	.
	Площадь	квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
4	Площадь	прямоугольного треугольник . 4.1 .
	Площадь	площадки найдём по формуле с избытком .
	Площадь	одной комнаты 17,1 м2 , а площадь второй 9,8 м2 .
1.4	Площадь	круга .
	Площадь	треугольника АВС часто обозначается через SAABC .
	Площадь	квадрата KLMN больше площади квадрата ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
	Площадь	круга .
	Площадь	второй фигуры равняется 10k2 .
Добавим к нему два квадрата со стороной в один шаг	Площадь	этой фигуры равняется 6k2 .
	Площадь	прямоугольника ABCD в 5 раз больше площади прямоугольника .
2.2	Площадь	квадрата .
	Площадь	основные свойства .
	Площадь	квадрата .
	Площадь	получившейся фигуры составит .
	Площадь	прямоугольника .
	Площадь	четвёртой фигуры будет .
	Площадь	одной полоски равна а , так как она состоит из а клеточек .
	Площадь	.
	Площадь	третьей фигуры составляет 9k2 .
	Площадь	четвёртой фигуры будет равна 8k2 .
	Площадь	прямоугольного треугольника .
« Держите курс на зюйд - вест ! — приказал капитан »	Подобные	фразы можно встретить во многих приключенческих романах .
	Подобные	записи называют числовыми выражениями .
	Подобным	образом можно рассмотреть записи чисел в системах счисления с другими основаниями , например 3 , 5 , 8 .
9	Поля	шахматной доски раскрашены в белый и чёрный цвета .
4.2	Порядок	в ряду натуральных чисел .
	Прибавляя	к обеим частям одно и то же число получаем верное неравенство .
	Приближённое	значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
	Приближённое	значение корня .
2.3	Приближённое	нахождение площади .
3.3	Приближённое	значение .
	Приближённое	равенство .
	Приближённое	значение .
	Приближённое	снизу ( слева ) .
	Приближённое	сверху ( справа ) .
	Приближённое	значение можно найти с помощью таблицы квадратов натуральных чисел .
20	Приближённое	значение старинной русской меры длины верста с недостатком равно 1,066 км .
21	Приближённое	значение с недостатком старинной русской меры длины сажень ( ударение можно ставить и на первом , и на втором слоге ) равно 2,1336 м . а ) Чему равно значение сажени с точностью до 1 мм ? .
5.1	Приближённое	равенство .
5	Приближённые	значени .
4	Приведена	зависимость между площадью S поперечного сечения русла на отдельных участках реки и скоростью течения реки .
	Приведите	таблицу , в которой для каждого из чисел от 1 до 6 указано , сколько раз оно выпало .
33	Приведите	пример двух чисел , одно из которых больше другого .
	Приведите	примеры .
1	Приведите	примеры , когда скобки раскрывают .
	Приведите	к общему знаменателю дроби .
5	Приведите	пример отрезка , который можно назвать гипотенузой и катетом .
10	Приведите	примеры ломаных с самопересечениями .
4	Приведите	примеры числа и его десятичных приближений с точностью до : а ) 1 ; б ) 0,1 ; в ) 0,01 .
6	Приведите	пример двух фигур равной площади , которые не равны друг другу .
3	Приведите	к общему знаменателю и сравните дроби .
3	Приведите	примеры , когда скобки ставят .
	Приведите	пример , когда фигура ADOBE будет многоугольником .
12	Приведите	пример , когда приближение числа с недостатком имеет меньший порядок , чем порядок самого числа .
8	Приведите	примеры сложения чисел .
1	Приведите	примеры , когда значения с избытком или с недостатком достаточно знать .
14	Приведите	примеры известных вам : а ) больших величин ; б ) маленьких величин .
6	Приведите	пример трех чисел , расположенных между числами .
11	Приведите	пример , когда приближение числа с избытком имеет больший порядок , чем порядок самого числа .
12	Приведите	пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
3	Приведите	примеры задач , когда число 2 будет : а ) приближением решения с избытком ; б ) приближением решения с недостатком ; в ) точным решением .
	Приведённые	выше законы сложения и умножения очень важны в математике .
	Приведённые	в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с остатком числа а на число b остаток может равняться .
	Приведённые	выше дроби можно переписать так .
	Произведение	снова является двузначным числом 24 .
	Произведение	n одинаковых сомножителей , равных числу а , называется степенью числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
	Произведение	двух чисел оканчивается цифрой 8 , а первый сомножитель — цифрой 6 .
	Произведение	является однозначным числом 9 .
Рассмотрим дроби и	Произведение	этих дробей равно 1 , так как по правилу умножения справедливо равенство .
4	Произведение	трёх последовательных натуральных чисел равно 1320 .
3.2	Произведение	двух дробей .
	Произведение	.
	Произведение	6 · 3 равно 18 .
	Процент	.
Раствор ;	Процент	соли .
	Прямая	, так же как и луч , обозначается не единственным способом .
	Прямая	делит плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью .
	Прямой	основное свойство .
	Прямой	угол образуют любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
	Прямой	угол .
	Прямой	угол очень легко нарисовать на клетчатой бумаге .
4.1	Прямой	угол .
2.9	Прямой	угол .
	Прямой	угол можно получить на листе бумаги следующим образом : сначала перегнём лист пополам , затем ещё раз перегнём полученный лист , совместив при этом части края первого сгиба .
4	Прямой	угол .
2.9	Прямой угол	.
4.1	Прямой угол	.
4	Прямой угол	.
	Прямой угол	можно получить на листе бумаги следующим образом : сначала перегнём лист пополам , затем ещё раз перегнём полученный лист , совместив при этом части края первого сгиба .
	Прямой угол	очень легко нарисовать на клетчатой бумаге .
	Прямой угол	.
	Прямой угол	образуют любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
	Прямоугольник	можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
2.1	Прямоугольник	на клетчатой бумаге .
	Прямоугольник	.
2.1	Прямоугольник	и его элементы .
	Прямоугольник	— это такой четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно равны , а все углы прямые .
	Прямоугольник	MNKB составлен из треугольников , поэтому можем записать .
4	Прямоугольник	со сторонами 2 см и 4 см разделен диагоналями на четыре треугольника .
1.7	Прямоугольник	.
	Прямоугольники	бывают разные .
	Прямоугольники	и квадраты выделяются из многих фигур плоскости своими свойствами .
	Прямоугольники	, состоящие из клеточек .
	Прямоугольные	треугольники легко изображать на клетчатой бумаге .
Глава 10	Прямоугольные	треугольники .
	Прямоугольные	треугольники MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников .
Глава 10	Прямоугольные треугольники	.
	Прямоугольные треугольники	легко изображать на клетчатой бумаге .
	Прямоугольные треугольники	MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2	Прямоугольный	параллелепипед и его объём .
2.1	Прямоугольный	параллелепипед .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2	Прямоугольный параллелепипед	и его объём .
2.1	Прямоугольный параллелепипед	.
	Прямых	перемещение .
	Путь	от дома до школы можно измерить в метрах .
2.3	Пучок	лучей и противоположные лучи .
	Пятиугольник	, как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних вершин .
2.5	Пятиугольник	.
	Пятиугольник	.
	Равенства	, установленные в этом пункте , часто называют формулами сокращённого умножения .
3.5	Равенство	точек .
	Равенство	фигур на плоскости .
	Равенство	фигур обладает наглядными свойствами , которые используются далее при изучении геометрии .
	Равенство	фигу .
1	Равенство	прямоугольных треугольнико .
	Равенство	дробе .
	Равенство	дробных чисел .
	Равенство	треугольников обозначается обычным символом = .
1.2	Равенство	прямоугольных треугольников .
1.2	Равенство	отрезков .
1.5	Равенство	углов .
	Равенство	отрезко .
	Равенство	углов .
	Равенство	диагоналей прямоугольника .
	Равенство	отрезков .
1.6	Равенство	плоских углов .
	Равенство	отрезков приближённое .
	Равенство	точек .
	Радиус	шара .
	Радиус	окружности .
	Радиус	сферы .
	Радиус	R основания цилиндра называется радиусом цилиндра .
9	Радиус	цирковой арены равен 6,5 м .
1.2	Радиус	некоторой окружности увеличили на 0,5 см. На сколько длина новой окружности больше длины исходной ? .
	Радиус	круга .
	Разделим	этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
	Разделим	этот отрезок на две равные части .
27	Разделите	.
19	Разделите	фигуру на четыре равные части .
11	Разделите	128 на 4 .
	Разделите	его на пять равных частей .
4	Разделите	число ( 1220)4 на 4 .
9	Разделите	с остатком .
	Разделите	его на несколько равных отрезка .
	Разделите	его на четыре равных треугольника .
19	Разделите	с остатком .
	Разделите	его на четыре равных квадрата .
28	Разделите	.
18	Разделите	фигуру на четыре равные части .
20	Разделите	фигуру на четыре равные части .
1	Разделите	с остатком .
	Разделить	с остатком число а на число b — значит найти такие числа q и r , что .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь	Разделить	некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
	Разделить	число а на 2 с остатком — это значит найти такие числа q и n , что , причём .
	Разделить	десятичную дробь на натуральное число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
	Разложение	числа на делители .
	Разности	свойства .
	Разность	между отрезками а и в точности равна остатку r .
Вычитаемое ;	Разность	.
	Разность	.
	Разность	между этими приближениями составляет .
По этому число 0,11 будет приближением с недостатком , а 0,12 — приближением с избытком для дроби	Разность	между этими числами равна 0,01 .
	Разность	между разрядной единицей и числом называют дополнением числа до разрядной единицы .
3	Разность	двух натуральных чисел больше 10 , а уменьшаемое равно 15 .
Уменьшаемое ; Вычитаемое ;	Разность	.
	Разность	двух одинаковых чисел равна нулю .
	Разность	между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению площади треугольника , измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
2.4	Рациональные	и действительные числа .
	Решение	такой задачи можно связать с составлением уравнения .
	Решением	этого уравнения является дробь , так , как основному свойству дроби равно числу .
	Ромб	.
	Секстиллион	1021 .
	Симметрия	плоскости относительно прямой , соединяющей середины отрезков AD и СЕ .
	Система	записи чисел , основанная на буквах славянского алфавита , в старину использовалась на Руси .
3.2	Система	счисления с основанием 4 .
	Система	счисления .
	Системы	счислени . 3.1 .
	Складывают	полученные записи подобно тому , как складываются натуральные числа , записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные дроби .
	Складывая	числа , стоящие под делителем , находим неполное частное , равное 218 .
	Скобки	приходится раскрывать и ставить .
3.1	Скобки	в математике .
1.3	Сложение	двузначного и однозначного числа .
	Сложение	дробей .
3.8	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
1.7	Сложение	чисел в недесятичных системах счисления .
1.4	Сложение	трёх однозначных чисел .
Глава 5	Сложение	и вычитание натуральных чисе .
	Сложение	многозначных чисел .
	Сложение	нуля с другими числами выполняется по правилу , где а — любое число .
1.9	Сложение	чисел при помощи двух линеек .
3	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложение	двух чисел , содержащих целое число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
3.1	Сложение	десятичных дробей с равными знаменателями .
	Сложение	дробей с равными знаменателями .
	Сложение	.
1.2	Сложение	разрядных единиц .
	Сложение	однозначных чисел .
	Сложение	трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
	Сложение	двузначных чисел .
	Сложение	дробей свелось к вычислению суммы натуральных чисел 5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
	Сложение	чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной системе .
	Сложив	верёвку дважды пополам , получим 1 м .
14	Сложите	дроби .
3	Сложите	числа .
17	Сложите	.
2	Сложите	дроби .
18	Сложите	.
	Сложите	числа .
	Сократите	дроби/. 11 .
9	Сократите	дроби .
	Сократить	запись можно с помощью другой системы обозначений .
	Сомножитель	.
	Степени	показатель .
	Степени	основание .
	Степени	.
2	Степень	числ .
	Сторона	угла .
	Сторона	многоугольника .
	Сторона	соседняя .
	Сторона	четырёхугольника .
	Сторона	( -ы ) .
	Сторона	противоположные .
	Сторона	квадрата равна четырём сторонам клеток .
	Сторона	треугольника .
	Сторона	смежная .
2.3	Стороны	треугольников образуют много отрезков .
8	Стороны	треугольника имеют следующие длины : 10,6 м ; 7,23 м ; 11,5 м .
	Стороны	, выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
	Стороны	этого четырёхугольника — радиусы окружностей .
	Сумма	смежных углов равна 180 ° .
16	Сумма	двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 300 ° .
15	Сумма	двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 120 ° .
16	Сумма	двух чисел равна 890 , а разность равна 100 .
7	Сумма	пяти чисел равна 141 .
	Сумма	двух натуральных чисел всегда является натуральным числом .
2	Сумма	двух натуральных чисел меньше 18 , а одно из чисел равно 14 .
11	Сумма	градусных мер двух углов , смежных с данным углом , равна 60 ° .
10	Сумма	двух углов прямоугольного треугольника равна 91 ° .
	Сумма	углов прямоугольного треугольника .
	Сумма	длин двух любых сторон треугольника больше длины его третьей стороны .
2.2	Сумма	углов прямоугольного треугольника .
	Суммы	равных частей единицы измерения .
	Сфера	ограничивает область , то есть все те точки пространства , которые находятся внутри сферы .
	Сфера	.
	Теорема	Пифагора .
	Теорема	Пифагора справедлива для прямоугольного треугольника АВС с катетами .
	Точка	О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
	Точка	.
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как k , так как длина всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
	Точка	М лежит на прямой АС , точка N — на прямой АВ .
Построенный таким образом луч является продолжением отрезка АВ за точку В.	Точка	А называется началом луча .
	Точка	D может совпадать с концом любого отрезка и даже быть общим концом обоих отрезков сразу .
	Точка	их пересечения не считается вершиной данной ломаной .
	Точка	и отрезок .
	Точка	К — середина стороны АВ , точка L на диагонали АС расположена так , что AL 3LC .
	Точки	С и D делят отрезок АВ на три равные части .
	Точки	А , В и С будут вершинами этого треугольника .
4	Точки	А , О и D лежат на одной прямой .
4	Точки	А и В на числовой прямой изображают числа 127 и 139 .
4	Точки	М и N — середины сторон AD и CD квадрата ABCD .
6	Точки	А , О , D расположены на прямой .
	Точки	на плоскости обычно будем обозначать заглавными латинскими буквами .
2.1	Точки	В , С , D лежат на отрезке АВ так , как указано на рис .
	Точки	А , В , С , D являются вершинами квадрата .
	Точки	, которые соединялись , называются концами этого отрезка .
	Точки	А , В , С , D и Е лежат на одной прямой .
1.2	Точки	поставлены так .
	Точки	М , N , К , L лежат на сторонах квадрата ABCD .
	Точки	А и В — это концы отрезка АВ .
	Точку	считают простейшей фигурой на плоскости .
	Точку	деления можно также обозначить через , так как длина отрезка [ 0 ; k ] по определению равна k.
	Третьи	слева цифры не равны .
15	Треугольник	АБС сложен из четырёх одинаковых треугольников с равными сторонами .
	Треугольник	можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
	Треугольник	, у которого один угол прямой , называется прямоугольным .
	Треугольник	прямоугольный .
	Треугольник	.
	Треугольник	, параллелограмм , шестиугольник .
2.2	Треугольник	и его элементы .
	Треугольник	, как составленная из отрезков геометрическая фигура , является границей своей треугольной области .
	Треугольники	, четырёхугольники — это тоже многоугольники , но с определённым числом вершин .
	Треугольники	, которые совмещаются при наложении , называются равными .
	Треугольников	соответственные элементы .
	Треугольником	называется геометрическая фигура , состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
Рассмотрим два различных отрезка АВ и АС с общим концом А.	Углом	между отрезками АВ и АС будем называть угол между лучами АВ и АС .
	Углы	COD и СОВ также смежные , поэтому , откуда .
	Угол	в 90 ° называется прямым .
5	Угол	величиной 72 ° разделён биссектрисой .
1.4	Угол	между отрезками с общим концом .
	Угол	.
	Угол	в 0 ° — это просто луч .
	Угол	, градусная мера которого меньше 90 ° , называется острым углом .
	Угол	, стороны которого не совпадают , имеет градусную меру больше 0 ° .
	Угол	в многоугольнике связан с вершиной и двумя выходящими из неё сторонами , которые иногда называют сходственными .
	Угол	, образованный отрезками .
	Угол	KLD равен сумме острых углов прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
1.1	Угол	между лучами с общей вершиной .
	Угол	, градусная мера которого больше 90 ° и меньше 180 ° , называется тупым углом .
	Уменьшаемое	.
20	Уменьшаемое	равно 85 007 101 , вычитаемое на 1025 меньше этого числа .
	Уменьшаемое	;
	Уменьшаемое	; Вычитаемое ; Разность .
32	Уменьшаемое	в 2 раза больше вычитаемого .
	Умножая	8800 и 9200 получим число , меньшее 8848 , и число , большее 8848 .
	Умножение	тоже подчиняется определённым законам .
2.2	Умножение	натурального числа на степени числа 10 .
	Умножение	и деление обеих частей неравенства на положительную дробь .
2	Умножение	многозначных чисе .
	Умножение	десятичной дроби на разрядную единицу выполняется особенно просто .
	Умножение	чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой таблицы умножения .
Глава 7	Умножение	натуральных чисе .
	Умножение	десятичных дробей похоже на умножение натуральных чисел .
1.7	Умножение	на нуль .
3.3	Умножение	простейших дробей .
	Умножение	целого числа разрядных единиц на однозначное число .
2.5	Умножение	чисел , оканчивающихся нулями .
2.6	Умножение	в недесятичных системах счисления .
	Умножение	десятичных дробей .
3.5	Умножение	величины на дробное число .
	Умножение	чисел .
	Умножим	обе части этого неравенства на положительную дробь и сравним результаты .
20	Умножьте	сумму чисел на разность чисел .
	Умножьте	это число на 4 .
	Уравнение	.
2.3	Фигура	F составлена из двух фигур , площади которых равны 3 дм2 и 68 см2 .
	Фигура	, полученная последовательным соединением точек М , N , К , L , М , не считается четырёхугольником , потому что несоседние отрезки ML и NК пересекаются .
	Фигура	состоит из 21 клеточки , поэтому её площадь равна 21 k2 .
2.3	Фигура	F составлена из двух фигур , площади которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q площадь фигуры F равна 2000 см2 ? .
1.4	Фигура	составлена из четырёх треугольников .
	Фигура	неограниченная .
	Фигуры	не одинаковы .
	Фигуры	равносоставленные .
	Фигуры	на плоскости .
1	Фигуры	на плоскости .
2.1	Целая	часть каких из указанных десятичных дробей равна 1 ? .
	Целая	часть второго числа больше целой части первого , поэтому второе число больше .
	Целая	часть числа .
	Целая	и дробная части числа .
15	Целая	часть числа а больше целой части числа b. Покажите , что тогда .
	Целые	части у них одинаковые , цифры десятых тоже одинаковые , а цифра сотых у второго числа больше , чем цифра сотых у первого .
	Целые	и дробные числа все вместе называются рациональными числами .
	Целые	числа условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , значения в котором возрастают слева направо .
	Целые числа	условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , значения в котором возрастают слева направо .
	Центр	окружности .
	Центр	сферы .
	Центр	шара .
	Центр	круг .
3.1	Цилиндр	.
	Четырёхугольник	ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
	Четырёхугольник	.
1.10	Четырёхугольник	.
	Четырёхугольник	, как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних вершин .
	Четырёхугольники	можно разделить вертикальными диагоналями на попарно равные треугольники .
	Числа	записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце : уменьшаемое — вверху , вычитаемое — внизу .
	Числа	1 000 000 000 , 10 000 000 000 , 100 000 000 000 называются также разрядными единицами класса миллиардов .
	Числа	-1 , 0 и любое натуральное число не могут быть корнями этого уравнения .
	Числа	, делящиеся нацело на 2 , называют чётными , а не делящиеся на 2 — нечётными .
	Числа	записывают столбиком так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
	Числа	-1 и 1 иногда называются противоположными друг другу .
	Числа	99,9 делятся на 9 , поэтому вся сумма делится на 9 .
	Числа	1 , 10 и 100 являются разрядными единицами класса единиц , а числа 1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными единицами класса тысяч .
	Числа	« минус одна десятая » и « одна десятая » противоположны друг другу .
	Числитель	.
Число r называется остатком , при делении натурального числа а на b.	Число	q называется неполным частным .
	Число	2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 3 .
	Число	сто , следующее после 99 , обозначается тремя цифрами .
	Число	мы уже находить умеем .
17	Число	а при делении на 29 дало неполное частное 7 и остаток 17 .
	Число	820 627 читается : восемьсот двадцать тысяч шестьсот двадцать семь .
	Число	дробное .
После этого находим на линейке деление напротив точки В.	Число	сантиметров и миллиметров , соответствующее данной отметке , будет результатом измерения .
	Число	n называется показателем этой степени .
	Число	делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 3 .
	Число	сотен второго сомножителя равно нулю , поэтому при умножении 5836 на число сотен получится строка из нулей .
	Число	нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу десятичных знаков дробной части , то есть шести .
	Число	π также не является рациональным .
	Число	3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 1 .
	Число	часов .
	Число	10 000 запишем в виде .
	Число	1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части делится отрезок длиной 1 .
	Число	делится на 2 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
	Число	а4 можно прочитать и как « а в степени 4 » , и как « а в четвёртой степени » , и как « четвёртая степень числа а » .
	Число	десять , следующее после девяти , обозначается двумя цифрами .
	Число	r называется остатком , при делении натурального числа а на b. Число q называется неполным частным .
	Число	0 и любое натуральное число не являются корнями этого уравнения .
	Число	равно произведению .
	Число	натуральное .
	Число	положительное .
	Число	нуль тоже не является решением данного уравнения , так как .
	Число	простое .
	Число	составное .
	Число	1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
	Число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 9 .
	Число	нуль означает нулевое количество , то есть отсутствие чего - либо .
	Число	целое .
	Число	703 813 456 107 — это семьсот три миллиарда восемьсот тринадцать миллионов четыреста пятьдесят шесть тысяч сто семь .
	Число	0 , натуральные числа и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
	Число	а называют уменьшаемым , число b называют вычитаемым .
	Число	0 можно также рассматривать как дробь вида , причём для любого натурального числа n .
	Число	n под чертой в записи дроби называется знаменателем дроби .
	Число	.
	Число	называется простым , если оно не делится ни на какие числа , кроме 1 и р .
	Число	машин в первом гараже составляет от числа машин во втором гараже .
	Число	делится на 5 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 или 5 .
	Число	, оканчивающееся нулём , делится на 10 .
	Число	1 — не простое и не составное .
4	Число	1 741 949 на 16 137 меньше числа х. Найдите х .
	Число	х , для которого выполняется равенство а , называется разностью чисел а и b и обозначается через .
	Число	, оканчивающееся на одну из цифр — 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , делится на 2 .
	Число	k над чертой в записи дроби называется числителем дроби .
2.2	Число	нуль .
19	Число	3 141 592 на 291 247 больше числа х.
	Число	миллион следует после 999 999 и обозначается 1 000 000 .
	Число	2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 1 .
	Число	учеников .
	Число	десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
	Число	π больше 3 , но меньше 4 .
	Числовая ось	( прямая ) .
	Чётные	и нечётные числа .
3.4	Шар	и объём шара .
	Шар	.
3.4	Шестнадцатеричная	система счисления .
	Эллипс	.
8 Что означают слова коммутативность ,	ассоциативность	и дистрибутивность ? .
Сочетательный закон —	ассоциативность	.
6 В каком прямоугольнике	биссектриса	его угла является диагональю этого прямоугольника ? .
Линия сгиба и есть искомая	биссектриса	.
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует	биссектриса	, достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через вершину угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
5 Как определяется	биссектриса	угла ? .
Луч , проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла , называется	биссектрисой	этого угла .
5 Угол величиной 72 ° разделён	биссектрисой	.
6 Как объяснить , что для каждого угла можно провести его	биссектрису	? .
3.3 Существование	биссектрисы	угла .
Задание 1 Укажите правильный	вариант	ответа .
Сколько	вариантов	можно предложить ? .
Задание 2 Укажите все правильные	варианты	ответа .
14 Приведите примеры известных вам : а ) больших	величин	; б ) маленьких величин .
3 Пользуясь таблицей разрядных единиц на с. 56 , запишите названия соответствующих	величин	.
Какие из приведённых значений не могут быть суммой	величин	углов АОВ и COD ? .
Глава 14 Практическое сравнение	величин	.
14 Приведите примеры известных вам : а ) больших величин ; б ) маленьких	величин	.
Натуральные числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных	величин	стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
1 Какие примеры	величин	вам известны ? .
2.4 Какие из указанных	величин	равны π см ? .
Ежедневно нам приходится иметь дело с измерением самых разнообразных	величин	.
1.2 Числовые значения	величин	.
9 Какие из двух	величин	по порядку одинаковы , а какие различны при измерении в указанных единицах .
Если для двух	величин	найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та величина , которой соответствует большее числовое значение .
1 Равные части	величин	.
2.2 Какие из указанных	величин	выражаются целым числом соответствующих единиц измерения ? .
Задание зависимости	величин	с помощью таблиц .
4 Пользуясь таблицей разрядных единиц , запишите названия соответствующих	величин	: а ) удар сердца человека длится примерно 1 с ; б ) луч света идёт от Солнца до Земли около 498 с ; в ) полный оборот Земли вокруг Солнца длится 31 472 009 с ; г ) время существования жизни на Земле от момента зарождения до наших дней примерно равняется 100 000 000 000 000 000 с .
2.4 Какие из приведённых	величин	больше 28 % и меньше 30 % от 3 часов 30 минут ? .
Возьмём астрономический справочник и выпишем несколько	величин	.
2.3 Какие из приведённых	величин	больше 0,3 % и меньше 0,5 % от 320 г ? .
Найдите сумму	величин	всех углов треугольника .
В основе измерения	величин	лежит их сопоставление с какой - нибудь стандартной величиной , которая называется эталоном .
2.2 Какие из приведённых	величин	больше 20 % и меньше 30 % от 1 км 250 м ? .
Сравнение	величин	.
Какие примеры различных по порядку	величин	вы знаете ? .
Расстояние , время , масса , скорость , площадь , объём — все это хорошо известные вам из повседневной практики примеры измеряемых	величин	.
1 Сравнение	величин	, измерительные устройства и шкалы .
Глава 2 Об измерении	величин	.
2.2 Какие из указанных	величин	соответствуют 40 см2 ? .
Нужно взять числовые значения	величин	, подставить их в формулу , выполнить соответствующие действия и получить готовый ответ .
2.1 Какие из указанных	величин	соответствуют 1 м2 ? .
Результаты измерения	величин	удобно оформлять в виде таблиц , содержащих наборы значений при разных условиях измерений .
Числовые значения	величин	определяют с помощью измерительных устройств и приборов .
1.5 Сравнение и оценка	величин	.
Результаты измерений используются , в частности , для сравнений и оценок	величин	.
С многочисленными примерами измеряемых	величин	вы ещё познакомитесь при изучении математики , физики , химии и других наук .
6 Чему равна	величина	развёрнутого угла ? .
Например , запись означает , что	величина	угла АВС равна 45 ° .
2.3 Известно , что углы АОВ и COD являются смежными с углом ВОС , а	величина	ВОС меньше 60 ° .
2.2 Известно , что	величина	угла АОВ больше 120 ° .
Если для двух величин найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та	величина	, которой соответствует большее числовое значение .
Пусть угол АМВ составлен из трёх углов ,	величина	каждого из которых равна 20 ° .
Чему равна	величина	угла FAH ? .
Угла	величина	.
Чему равна	величина	плоского угла , составленного из двух плоских углов величиной 60 ° и 120 ° ? .
2.4 Измеряя угол , ученик установил , что его	величина	больше 53 ° и меньше 58 ° .
Например ,	величина	отрезка АВ составляет 5 шагов , отрезка CD — 3 шага , отрезка EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а отрезка GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Пусть зависящая от х	величина	принимает значения .
В одной полуплоскости относительно прямой АВ провели лучи АС и AD так , что Чему равна	величина	угла CAD ? .
6 Замените звёздочки знаками сложения + , вычитания – , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа	величина	.
Какие из приведённых значений может иметь	величина	угла АОС ? .
Чему равна	величина	наименьшего угла этого треугольника ? .
Чему равна	величина	угла ABD ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где	величина	V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
1.1 Изображены точки А , В , С. Чему равна	величина	угла ВАС ? .
Измеряя больший из полученных углов , ученик установил , что	величина	этого угла больше 77 ° и меньше 81 ° .
Чему равна	величина	угла АСЕ ? .
Чему равна	величина	угла CAD ? .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна	величина	угла ΡΝΚ ? .
Выходит , что сама	величина	принимается за свои 100 % .
Будем изображать скорости отрезками , считая , что одному сантиметру соответствует	величина	скорости в 20 км / ч .
Какие из приведённых значений может иметь	величина	угла AOD ? .
Чему равна	величина	четвёртого угла этого четырёхугольника ? .
Часть величины — это тоже	величина	, так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая величина .
Чему равна	величина	угла ΡΝΚ ? .
Часть величины — это тоже величина , так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая	величина	.
1.2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке К. Чему равна	величина	угла ВАС ? .
Чему равна	величина	данного угла ? .
Чему равна	величина	каждого из этих углов ? .
Измеряя меньший из полученных углов , ученик установил , что	величина	этого угла больше 23 ° и меньше 28 ° .
Чему равна	величина	угла ВАС ? .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь	величина	угла ΡΝΚ .
В случае , когда , при умножении величины h на дробь иногда говорят , что	величина	увеличилась в раз .
3 В чём состоит табличный способ описания зависимости между	величинами	? .
Задание зависимости между	величинами	с помощью формул .
2 Какие способы описания зависимостей между	величинами	вам известны ? .
1 Как вы понимаете зависимость между	величинами	? .
В заключение будут рассмотрены зависимости между	величинами	, заданные таблицами , числовыми и буквенными выражениями , формулами .
Можно ли считать измеряемыми	величинами	такие качества , как « красивый » , « полезный » , « смешной » ? .
Такие величины называются переменными	величинами	.
Величину угла иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о	величинах	углов .
Использование единиц измерения даёт возможность говорить о	величинах	измеряемых предметов , поэтому иногда измерения позволяют представить предмет в виде нескольких равных частей по измеряемому свойству .
Измерьте величины углов ВАС и CAD и сравните их по	величине	.
Ничего не зная о самой	величине	, нельзя наперёд сказать , большим или маленьким числом будет выражаться 1 % от неё .
В основе измерения величин лежит их сопоставление с какой - нибудь стандартной	величиной	, которая называется эталоном .
1 Чему равна градусная мера суммы углов	величиной	17 ° и 28 ° ? .
Иногда используются углы	величиной	в 0 ° .
Какие из приведённых значений не могут быть	величиной	угла , смежного с углом АОВ ? .
5 Угол	величиной	72 ° разделён биссектрисой .
Почему от любого луча можно отложить только два различных угла	величиной	в 90 ° ? .
2.2 При измерении некоторого угла эталонным углом	величиной	15 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 10 и меньше 11 .
Какие из указанных значений не могут быть	величиной	заданного угла ? .
Чему равна величина плоского угла , составленного из двух плоских углов	величиной	60 ° и 120 ° ? .
Градусную меру угла называют также	величиной	угла .
2.3 При измерении некоторого угла эталонным углом	величиной	7 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 22 и меньше 23 .
Тем самым каждая часть , полученная при делении 20 кг на 10 равных частей , является	величиной	, которая выражена натуральным числом килограммов .
Измеряемой	величиной	принято называть такое свойство предметов или объектов , которое допускает количественную оценку и количественное сравнение .
Какие из указанных значений не могут быть	величиной	другого из полученных углов ? .
2.1 При измерении плоских углов , которые можно разместить в полуплоскости , используется эталонный угол	величиной	16 ° .
2.4 В полуплоскости а проведён некоторый луч АВ , и в этой полуплоскости нужно изобразить угол САB	величиной	от 0 ° до 180 ° .
Измерьте	величину	угла , величины углов и найдите сумму углов .
С другой стороны , у нас может не оказаться инструментов , позволяющих точно измерить какую - нибудь	величину	.
Объёмом комнаты с недостатком можно считать	величину	25,4 м3 .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую	величину	а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти	величину	одной такой части .
Развернутый угол имеет	величину	180 ° .
11 Используя	величину	1 k2 , равную площади одной клеточки , выразите площади фигур .
Мы не раз пользовались таблицами , чтобы в нужный момент можно было найти требуемую	величину	и не тратить время на её вычисление .
20 Определите	величину	вклада , если вкладчик получил за год по процентам 30 000 рублей .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить	величину	h на дробное число .
Найдите	величину	угла ВОС .
В процессе измерения устанавливают , сколько эталонов , или единиц измерения , составляют вместе данную	величину	.
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить	величину	h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
При умножении величины на натуральное число n получают	величину	, которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
19 Найдите	величину	b , если .
5 Как найти	величину	а , если известно значение т% от а ? .
Часто используются также 50 % , 25 % , 10 % от	величины	.
1 Как вы понимаете выражение « часть	величины	» ? .
1 )	величины	углов АОВ и COD равны .
1 Что такое 1 % от данной	величины	? .
1.2 Определение m% от	величины	.
Как найти один процент от одного процента некоторой	величины	а ? .
1.1 Какую часть величины составляют 35 % от этой	величины	? .
2 Что такое т% от данной	величины	? .
3 Что такое 50 % от заданной	величины	? .
Один процент от	величины	а есть её сотая часть .
Скорость 90 км / ч — это приближённое значение	величины	скорости автомобиля с недостатком .
Когда значение	величины	равно а , то значение её одного процента — это Такое значение обозначается как 1 % от а .
Сотая часть	величины	носит особое название — процент .
Величина одного из них в 2 раза больше	величины	другого .
11 Сколько углов заданной	величины	можно отложить от заданного луча ? .
1 Укажите	величины	, которые составляют указанные проценты от единицы .
Величина одного из них в 4 раза больше	величины	другого .
1.1 Определение одного процента от	величины	.
Таблицы — один из способов задания зависимости одной	величины	от другой .
Это зависит от самой	величины	, 1 % которой находят .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной	величины	а : m % от величины а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
Зная , что 1 % составляет сотую часть	величины	а , заключаем , что а в сто раз больше .
1.1 Какую часть	величины	составляют 35 % от этой величины ? .
Какую часть	величины	составляют её 50 % ; 25 % ; 10 % ? .
Если число т близко к 100 , то m% составляет значительную часть	величины	.
Некоторые	величины	и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого натурального числа q.
Зависимость одной	величины	от другой может задаваться некоторым правилом .
Если заранее не указывать полуплоскость , в которой откладывается угол заданной	величины	больше 0 ° и меньше 180 ° , то можно получить два угла .
Поэтому для сравнения величины а и m% от этой же	величины	а можно сравнивать просто числа m и 100 .
4 От любого луча можно отложить плоский угол любой заданной	величины	от 0 ° до 180 ° .
В этой главе вы узнаете , что такое один процент от	величины	и как пользоваться процентами .
1.4 Примеры нахождения	величины	, когда известно значение заданного числа её процентов .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от	величины	а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
В этом случае можно указать значение , меньшее измеряемой	величины	, то есть с недостатком , и значение , большее измеряемой величины , то есть с избытком .
В этом случае можно указать значение , меньшее измеряемой величины , то есть с недостатком , и значение , большее измеряемой	величины	, то есть с избытком .
Числовое значение измеряемой	величины	.
13 Запишите	величины	, используя десятичные дроби .
Особого внимания заслуживают 100 % от	величины	а .
Углы какой	величины	, образованные сторонами угольников , можно найти ? .
Чем отличается угол от	величины	угла ? .
10 Как от данного луча отложить угол заданной	величины	? .
5 Как обозначают	величины	углов ? .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/. Найти m% от	величины	а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
Поэтому для сравнения	величины	а и m% от этой же величины а можно сравнивать просто числа m и 100 .
Для сравнения	величины	участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная характеристика фигур плоскости , называемая площадью .
Разберём пример , в котором по значению процентов нужно находить значение самой	величины	.
Величина одного из углов на 40 ° больше	величины	другого .
Сравните	величины	углов первого треугольника с величинами углов второго треугольника .
Часть	величины	— это тоже величина , так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая величина .
Углы какой	величины	можно изобразить с помощью этого угольника ? .
Например , расстояние от дома до школы по порядку	величины	всегда меньше 104 км .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении	величины	на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча АВ и от заданной	величины	угла ? .
Чтобы сравнить между собой две однородных	величины	, их надо измерить .
Сравнивают обычно так называемые однородные	величины	, то есть характеризующие одинаковые свойства рассматриваемых объектов .
Эти две	величины	характеризуют совершенно разные свойства рассматриваемых объектов .
Не всякие	величины	можно сравнивать .
При умножении величины на натуральное число n получают величину , которая в n раз больше исходной	величины	, то есть происходит увеличение в n раз .
При умножении	величины	на натуральное число n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
Получившееся число называют числовым значением измеряемой	величины	.
2.4 Какие из указанных чисел по порядку	величины	сравнимы с 99 999 ? .
2.3 Какие из указанных чисел по порядку	величины	сравнимы с 103 ? .
Углы какой	величины	можно изобразить с помощью такого угольника ? .
Измерьте величину угла ,	величины	углов и найдите сумму углов .
3.5 Умножение	величины	на дробное число .
Какие	величины	можно считать приближёнными значениями площади рассмотренной фигуры ? .
Это больше , чем 50 , то есть 8 — значение	величины	а с избытком .
Это меньше , чем 50 , то есть 7 — значение	величины	а с недостатком .
Значение с недостатком и значение с избытком — это приближённые значения	величины	.
5.5 Когда удобны сравнения по порядку	величины	?
Обычно приближённые значения по порядку	величины	рассматривают тогда , когда сравнивают числа и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
15 Как оценить количество зёрен из легенды об изобретателе шахмат , используя приближения по порядку	величины	? .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение	величины	этого угла ? .
1.1 Измеряемые	величины	.
Такие	величины	называются переменными величинами .
Наглядное представление о зависимости одной	величины	от другой даёт диаграмма .
Для определения числового значения измеряемой	величины	такие приборы имеют шкалы самой разнообразной формы с нанесенными на них делениями , помеченными числами .
В некоторых устройствах значение измеряемой	величины	появляется на табло в виде числа .
Скорость 100 км / ч — это приближённое значение	величины	скорости автомобиля с избытком .
Можно ли указать более точные значения	величины	скорости с недостатком и с избытком в рассмотренном примере ? .
Обычно шкала разделена штрихами на части так , что каждому промежутку между соседними делениями соответствует определённое значение измеряемой	величины	.
Величина одного из них на 20 ° меньше	величины	другого .
На диаграмме	величины	изображаются условно в виде отрезков , прямоугольников или частей круга .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём ,	величины	а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Используя карту , удаётся сравнивать и вычислять расстояния между городами , длины различных рек ,	величины	озёр , морей .
Второй важный случай замены натурального числа его приближённым значением связан с указанием порядка	величины	числа .
В других — значение измеряемой	величины	определяется положением стрелки , рычажка , столбика жидкости на шкале прибора .
Измерьте	величины	углов ВАС и CAD и сравните их по величине .
Сравните	величины	углов САВ и АВС .
Представления о порядке	величины	.
5.1 Связь между делением	величины	на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Углы , как геометрические фигуры , и	величины	углов будут изучаться позже .
В случае , когда , при умножении	величины	h на дробь иногда говорят , что величина увеличилась в раз .
Найдите	величины	всех углов с вершиной в точке пересечения прямых .
Найдём для этой	величины	значения с недостатком и с избытком в часах .
Иногда часть	величины	нельзя выразить натуральным числом в выбранных единицах измерения .
Некоторые	величины	могут принимать те или иные значения : например , в течение суток изменяется температура воздуха на улице , рост человека изменяется с возрастом и так далее .
Увидите , насколько важно знать , какое приближённое значение	величины	указывается : с недостатком или с избытком .
4.1 Переменные	величины	.
При использовании каждой формулы важно следить , чтобы все	величины	измерялись в таких единицах , для которых эта формула была получена .
1 Что такое часть	величины	? .
Известно , что ∠BAC 60 ° , а	величины	углов BAD и CAD равны .
Пятиугольник , как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних	вершин	.
Какие ломаные из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве	вершин	четыре вершины квадрата ? .
Четырёхугольник , как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних	вершин	.
Какое наибольшее число равных между собой прямоугольных треугольников можно получить , соединяя отрезками некоторые из	вершин	заданного квадрата ?
Сколько различных углов можно нарисовать , используя в качестве	вершин	углов три точки ? .
Сколько	вершин	и сколько звеньев имеет каждая из этих ломаных ? .
Треугольники , четырёхугольники — это тоже многоугольники , но с определённым числом	вершин	.
11 Можно ли в обозначении многоугольника произвольно менять порядок перечисления его	вершин	? .
Рассмотренные примеры показывают , что нужно внимательно следить за порядком перечисления	вершин	многоугольника .
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве	вершин	треугольников вершины заданного квадрата ? .
6 Укажите все пары соседних	вершин	прямоугольника ABCD .
По аналогии с обозначениями прямоугольника треугольник можно обозначить , записав последовательно обозначения всех его	вершин	.
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из	вершин	прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
Многоугольник обозначается , как и в случае треугольника , четырехугольника , пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних	вершин	.
Какие фигуры могут получиться , если изменить порядок перечисления	вершин	прямоугольника ? .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим числом	вершин	, имеющие общие названия — многоугольники .
Найдите число его сторон и число его	вершин	.
Придумайте обозначения для его	вершин	и запишите обозначение самого шестиугольника .
Обозначим его вершины буквами А , В , С , D. После введения обозначения	вершин	можно говорить об отрезках , их соединяющих .
Придумайте обозначения для его	вершин	и запишите обозначение самого десятиугольника .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одной из	вершин	.
12 Сколько	вершин	имеет простая ломаная из 19 звеньев ? .
13 Сколько звеньев у простой ломаной , имеющей 28	вершин	? .
12 Найдите число сторон и число	вершин	многоугольника .
Ломаная обозначается перечислением	вершин	в том порядке , в каком они соединяются отрезками .
Но , в отличие от прямой , у развёрнутого угла должна быть указана	вершина	.
Самая высокая	вершина	в мире — Эверест , или , по - другому , Джомолунгма .
Угла	вершина	.
Первая	вершина	А и последняя вершина Н — концы этой ломаной .
Пусть О — общая	вершина	малых квадратов .
Первая вершина А и последняя	вершина	Н — концы этой ломаной .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая	вершина	является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
13 Как построить прямоугольный треугольник , равный треугольнику АВС , у которого	вершина	совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
2 ) каждая	вершина	является общей точкой только для двух сторон .
12 Четыре прямые пересекаются в	вершинах	прямоугольника .
Какое наибольшее число отрезков с концами в различных	вершинах	квадрата можно получить ? .
15 Равны ли треугольники АВС и KLM с прямыми углами при	вершинах	В и L , если .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая	вершине	прямого угла , — гипотенуза .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при	вершине	В и с равными сторонами АВ и ВС .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при	вершине	А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при	вершине	С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с	вершиной	квадрата .
Чему равна градусная мера каждого из углов с	вершиной	О , которые можно отыскать ? .
2.3 Изображён плоский угол с	вершиной	В. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
1.3 На сколько частей разделяют плоскость три различных луча с общей	вершиной	?
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей	вершиной	, угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
Например , углом треугольника АВС с	вершиной	А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
7 Сколько углов с	вершиной	О можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые углы ? .
Точка О называется	вершиной	угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
5 Сколько углов с	вершиной	О можно указать ? .
Угол в многоугольнике связан с	вершиной	и двумя выходящими из неё сторонами , которые иногда называют сходственными .
3 Что называется	вершиной	угла ? .
Вы знаете , что два луча с общей	вершиной	определяют два плоских угла .
Как называется и обозначается фигура , образованная	вершиной	В и лучами ВА и ВО ? .
Общий конец этих отрезков называют	вершиной	угла , а сами отрезки называют сторонами угла .
1.1 Угол между лучами с общей	вершиной	.
2.2 Изображён угол с	вершиной	К. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
6 Сколько плоских углов с	вершиной	О можно указать ? .
Найдите величины всех углов с	вершиной	в точке пересечения прямых .
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей	вершиной	В выберем одну , например , ВА .
15 Даны два луча ОА и ОВ с общей	вершиной	О. Найдите общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти луча .
Существуют ли два равных угла с общей	вершиной	, которые не являются вертикальными ? .
Его соседние стороны , то есть стороны , имеющие общую	вершину	, могут быть и не одинаковыми .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают	вершину	и две точки на его сторонах , записывая вершину посередине .
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через	вершину	угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
Соседние стороны четырёхугольника , то есть стороны , имеющие общую	вершину	, иногда называют смежными .
Обозначьте эти точки и	вершину	угла буквами .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают вершину и две точки на его сторонах , записывая	вершину	посередине .
Шесть её звеньев имеют общую	вершину	.
9 Зная одну	вершину	А некоторого квадрата и точку О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные вершины .
Из	вершины	В провели луч BD так , что ACBD 45 ° .
Чем отличаются соседние	вершины	многоугольника от несоседних ? .
Соединим отрезками точки А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь точки А , В , С , D —	вершины	четырёхугольника .
Как и у прямоугольника , у каждого четырёхугольника определяются соседние и противоположные	вершины	, соседние и противоположные стороны .
За сколько дней улитка поднимется от основания до	вершины	столба высотой 8 м ? .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные	вершины	В и D .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные	вершины	А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
Однако	вершины	А и С не являются соседними , они противоположные .
Соединив две противоположные	вершины	четырёхугольника , получим его диагональ .
Может показаться , что безразлично , в каком порядке перечислять	вершины	четырёхугольника .
Убедитесь , что она пройдёт через	вершины	В , С , D большого квадрата .
Длины трёх рёбер , идущих из общей	вершины	, например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина , высота .
12 На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник и через его	вершины	проведите окружность .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой	вершины	, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
25 Допустим , что	вершины	квадрата — шарниры , а стороны — палочки .
3 ) из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой	вершины	.
Выберем на плоскости несколько точек , назовём их вершинами , а некоторые из отрезков , соединяющих	вершины	, назовём сторонами .
3 ) из каждой	вершины	, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой	вершины	.
Какие ломаные из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве вершин четыре	вершины	квадрата ? .
Из	вершины	А провели два различных луча АС и AD , образующие с лучом АВ углы в 45 ° .
Для прямоугольника	вершины	В и С — соседние .
Луч , проведённый из	вершины	угла и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Для этого пятиугольника также определяются соседние	вершины	, соседние стороны .
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его	вершины	, а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Возьмём любой прямоугольник ABCD и проведём диагональ АС , то есть отрезок , соединяющий не соседние	вершины	.
Сколько можно указать прямоугольных треугольников , имеющих три	вершины	в этих точках ? .
Если записать	вершины	в порядке М , L , К , N , то получится четырёхугольник MLKN , а если в порядке М , К , L , N , то придём к четырёхугольнику MKLN .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве вершин треугольников	вершины	заданного квадрата ? .
Стороны , выходящие из	вершины	прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
6 Что такое	вершины	ломаной ? .
В нашем примере соответственными являются вершины А и N , вершины В и К ,	вершины	С и М .
Выбрать три	вершины	какого - нибудь треугольника и ещё одну точку внутри его .
2 Что такое	вершины	треугольника , четырёхугольника , пятиугольника ? .
Этот же прямоугольник можно обозначить как BCDA или как ADCB — всё зависит от того , с какой	вершины	и в каком направлении начинаем обход сторон прямоугольника .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
2 Что такое	вершины	и стороны треугольника ? .
Проведём из его	вершины	луч ОС так , чтобы углы АОС и СОВ были равными .
1.1 Какое наибольшее число отрезков можно получить , попарно соединяя различные	вершины	квадрата ? .
В нашем примере соответственными являются	вершины	А и N , вершины В и К , вершины С и М .
При этом копия каждого элемента (	вершины	, стороны или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в треугольнике MNK .
13 Предположим , что на листе бумаги отмечены четыре	вершины	прямоугольника .
Сейчас важно понять , что соседние стороны многоугольника могут выходить из соответствующей	вершины	по - разному .
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и	вершины	В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
Обозначим его	вершины	буквами А , В , С , D. После введения обозначения вершин можно говорить об отрезках , их соединяющих .
В нашем примере соответственными являются вершины А и N ,	вершины	В и К , вершины С и М .
11 Диагоналями четырёхугольника называются отрезки , соединяющие противоположные	вершины	.
Обозначьте его	вершины	буквами А , В , С. После этого отметьте угол ВСА .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие	вершины	, называют сторонами треугольника .
9 Зная одну вершину А некоторого квадрата и точку О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные	вершины	.
Треугольника	вершины	.
2 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что .
Например , можно измерять : длину метрами , футами ;	вес	граммами , фунтами ; объём литрами , вёдрами , кубическими метрами ; время часами , минутами и так далее .
В магазине мы определяем	вес	товара и вычисляем его стоимость .
Определите вес нетто ( брутто — вес с тарой , нетто —	вес	без тары ) .
К таким величинам относятся , например ,	вес	и время .
Определите вес нетто ( брутто —	вес	с тарой , нетто — вес без тары ) .
14 Один кубический метр воздуха весит 1204,7 г. Найдите	вес	воздуха в вашем классе .
Определите	вес	нетто ( брутто — вес с тарой , нетто — вес без тары ) .
Выразим	вес	3 ц 2 кг в тоннах .
Найдите	вес	пустого ящика .
Их	веса	могут различаться на несколько миллиграммов или граммов .
Он ответил : « Три четверти килограмма и ещё три четверти всего	веса	» .
В США и Англии в качестве эталона	веса	используют фунт .
С пирогом немного сложнее : можно делить так , чтобы куски были одинаковыми по форме или иметь разную форму , но при этом быть одного и того же	веса	.
2.4 Какие из указанных весов можно точно получить на чашечных	весах	без делений , имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
После просушки 200 кг зерна оно потеряло в	весе	30 кг .
2.4 Какие из указанных	весов	можно точно получить на чашечных весах без делений , имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
На одну чашку	весов	кладётся взвешиваемый предмет , а на другую складываются гири известной массы до тех пор , пока весы не придут в равновесие .
За время обеда булка	весом	g кг изменилась в раза .
При решении каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться деление : по	весу	, длине и так далее .
Килограмм муки можно разделить на части , равные по	весу	.
Например , простейшие	весы	.
Примером могут служить электронные часы или электронные	весы	.
На одну чашку весов кладётся взвешиваемый предмет , а на другую складываются гири известной массы до тех пор , пока	весы	не придут в равновесие .
Иногда действительные числа называют	вещественными	.
Если на таком калькуляторе	возвести	в квадрат число 3.3333 , то ответ появится либо в виде 11.111 , либо в виде 11.110 .
5 В какую степень надо	возвести	число 9 , чтобы получить число 310 ? .
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо	возвести	число 2 , чтобы получить число 32 .
В какую степень нужно	возвести	число а , чтобы получить произведение чисел а2 и а3 ? .
Получена формула квадрата суммы , по которой сумму двух любых выражений а и b легко	возводить	в квадрат .
2 Найдите запись числа 1995 в	восьмеричной	системе счисления .
Прямоугольник можно	вписать	в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно	вписать	в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Какой множитель можно	вынести за скобки	в выражении ? .
36 Упростите	выражение	.
Для каждого натурального числа k обозначим	выражение	к через ( читается « ка третьих » ) .
В результате получим	выражение	.
Это	выражение	будем называть дробным числом , дробью или числом .
Как вы понимаете	выражение	« одинаковые квадраты » ? .
Составьте	выражение	для общего числа учеников и найдите его значение .
Как понимать	выражение	« четверть часа » ? .
Почему	выражение	не имеет смысла ? .
1 Как вы понимаете	выражение	« часть величины » ? .
Преобразовав это	выражение	, получаем , что а , то есть а делится на 5 .
1 Какое	выражение	называется пятой степенью числа а ? .
Обозначим	выражение	через ( читается « две энных » ) .
Найденное	выражение	7х даёт общее число конфет , которое по условию равно 42 .
Составьте	выражение	для общего числа посаженных деревьев и найдите его значение при .
8 Чему равно	выражение	? .
8 Какое	выражение	читается как « а в кубе » ? .
1.1 Какое	выражение	получится , если раскрыть все скобки в записи ? .
7 Какое	выражение	читается как « а в квадрате » ? .
7 Чему равно	выражение	? .
6 Как вы понимаете	выражение	« алгоритм сложения » ? .
Понятно , что задача решается так же , как и в предыдущем пункте , поэтому можно сразу записать числовое	выражение	, значение которого 99 и будет ответом .
4 Сколько различных букв может содержать буквенное	выражение	? .
6 Чему равно	выражение	? .
При этом иногда	выражение	называют частным , дробь называют делимым , а дробь называют делителем .
Каким	выражением	без скобок можно заменить , где а и b — числа ? .
Пусть зависимость задаётся	выражением	.
Каким	выражением	можно задать зависимость площади квадрата от его стороны ? .
Заменяя в таком	выражении	буквы а и b на конкретные числа , будем получать числовые выражения .
Какой множитель можно вынести за скобки в	выражении	? .
Как раскрыть скобки в	выражении	? .
10 Найдите значения	выражений	.
Какие примеры буквенных	выражений	вы знаете ? .
Найдём значения записанных выше	выражений	в десятичной системе счисления .
2.1 Какие из указанных	выражений	равны числу 1030 ? .
2.3 Каким из приведённых	выражений	равна разность ? .
23 Найдите значения	выражений	.
Получена формула квадрата суммы , по которой сумму двух любых	выражений	а и b легко возводить в квадрат .
7 Найдите значения	выражений	.
2.3 Какие из приведённых	выражений	являются квадратом некоторого натурального числа ? .
Значение каких из указанных	выражений	является чётным числом ? .
2.3 Какие из указанных	выражений	равны разности ? .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны ? .
8 Найдите значения	выражений	.
21 Найдите значения	выражений	.
3 Какие примеры буквенных	выражений	вы можете привести ? .
1.2 Какое из	выражений	равно ? .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны сумме ? .
Общее число книг равно сумме найденных	выражений	, то есть .
29 Найдите значения	выражений	.
2.1 Какие из указанных	выражений	равны 25 ? .
1.4 Какому из приведённых	выражений	равно ? .
1.3 Какое из	выражений	равно ? .
Запишем общее число книг в шкафах в виде числовых	выражений	двумя способами .
В математике	выражения	тоже приходится читать от начала до конца и в нужном порядке выполнять указанные действия .
Заменяя в таком выражении буквы а и b на конкретные числа , будем получать числовые	выражения	.
1.1 Какова десятичная запись	выражения	? .
При записи больших разрядных единиц получаются очень громоздкие	выражения	.
Значение этого	выражения	191 .
Эти	выражения	похожи на представление любого числа в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней числа 10 .
Тогда нужный ответ запишется в виде буквенного	выражения	.
Правило , с помощью которого получаются ответы для той или иной задачи , удобно записывать в виде буквенного	выражения	.
4.5 Пример буквенного	выражения	.
19 К произведению чисел прибавьте число найдите значение этого	выражения	.
Какие числовые	выражения	вы можете написать ? .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для	выражения	мелких единиц измерения площади через крупные .
Это — значение числового	выражения	.
4.4 Числовые	выражения	.
Значение числового	выражения	.
Рассмотрим	выражения	.
2 Какие числовые	выражения	вы знаете ? .
11 а ) Найдите значение	выражения	, если х равно : 5671 ; 13 275 ; 174 679 .
Обозначим второе слагаемое буквой х , тогда всю сумму можно записать в виде	выражения	.
13 Найдите значение	выражения	.
Напомним , что запись ( 3120311)4 — это сокращение для	выражения	.
Согласно этому правилу все	выражения	не имеют смысла .
12 а ) Найдите значение	выражения	; б ) При каком х значение выражения равно 10 000 ? .
2.4 Какие	выражения	равны 0 ? .
12 а ) Найдите значение выражения ; б ) При каком х значение	выражения	равно 10 000 ? .
Чему равно значение	выражения	? .
1.3 Чему равно значение	выражения	? .
1.4 Чему равно значение	выражения	? .
Может быть , поэтому для	выражения	аn иногда слово « степень » опускают и говорят кратко « а в энной » .
Если для этого используют буквенные	выражения	, то говорят , что зависимость задаётся с помощью формулы .
1.3 Какова десятичная запись	выражения	( 111)4 ? .
При каком х значение	выражения	равно 12 725 163 ? .
Будут сформулированы основные законы умножения , приведены правила действий с	выражениями	, содержащими скобки .
Подобные записи называют числовыми	выражениями	.
Распределительный закон используется и при действиях с	выражениями	, содержащими вычитание .
3 Действия с числовыми и буквенными	выражениями	.
Обычно при действиях с	выражениями	приходится одновременно и раскрывать , и ставить скобки .
В заключение будут рассмотрены зависимости между величинами , заданные таблицами , числовыми и буквенными	выражениями	, формулами .
Распределительный закон используется также и при действиях с	выражениями	, содержащими вычитание .
1 Пусть R — радиус , а Н —	высота	цилиндра .
2.4 Какой может быть высота пятиэтажного дома , в квартирах которого	высота	от пола до потолка равна 3 м ? .
Длина , ширина и	высота	прямоугольного параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
2.4 Какой может быть	высота	пятиэтажного дома , в квартирах которого высота от пола до потолка равна 3 м ? .
Чему равна высота этого здания в метрах , если	высота	каждого этажа 3 м 50 см ? .
9 Напишите формулу для вычисления площади основания прямоугольного параллелепипеда , у которого известны	высота	Н и объём V .
Вычисление объёма цилиндра производится по формуле , где V — объём цилиндра , R — радиус , Н —	высота	.
Её	высота	8848 м .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина ,	высота	.
Чему равна	высота	этого здания в метрах , если высота каждого этажа 3 м 50 см ? .
5 Спутник вращается на	высоте	630 км .
1.1 Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда шириной 20 см , длиной 30 см и	высотой	10 см ? .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и	высотой	10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
1 Что называется	высотой	цилиндра ? .
Найдём объём бака цилиндрической формы	высотой	65 см и радиусом 25 см .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и	высотой	Н. Найдите площадь основания этого столба , если .
Найдём объём комнаты шириной 2,5 м , длиной 4,15 м и	высотой	2,45 м .
Расстояние Н между центрами оснований цилиндра называют	высотой	цилиндра .
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику	высотой	в 1 деление соответствует 200 человек .
Объём всего зерна можно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с шириной 30 дм , длиной 50 дм и	высотой	0,1 дм .
2.1 Каким из указанных значений равен объём цилиндра с	высотой	10 см и радиусом основания 5 см ? .
За сколько дней улитка поднимется от основания до вершины столба	высотой	8 м ? .
1 ) объём цилиндра с	высотой	дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
15 При измерении высотного здания в этажах получили 60 этажей и ещё надстройку	высотой	5 м .
Разобьём прямоугольник на b горизонтальных полосок	высотой	в один шаг сетки .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с	высотой	0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества зерна потребуется башня	высотой	от Земли до Солнца , в основании которой квадрат со сторонами около полутора метров .
уменьшить длину и	высоту	в 4 раза .
9 Найдите объём земной атмосферы , если она простирается над поверхностью Земли на	высоту	приблизительно 100 км , а радиус Земли равен 6370 км .
а ) увеличить	высоту	в 2 раза .
1.3 Во сколько раз увеличится объём цилиндра , если радиус основания увеличить в 2 раза , а	высоту	в 1,5 раза ? .
уменьшить радиус в 2 , а	высоту	— в 15 раз .
увеличить радиус в 3 раза , а	высоту	уменьшить в 3 раза .
увеличить	высоту	в 4 раза , а радиус уменьшить в 2 раза ? .
а )	высоту	увеличить в 2 раза .
в ) увеличить радиус в 3 , а	высоту	— в 12 раз .
6 Бетонный блок имеет длину а , ширину b и	высоту	с.
Как измерить	высоту	цилиндра , сделанного из дерева ? .
Длину , ширину и	высоту	полки удобнее выражать в сантиметрах .
увеличить ширину в 3 раза , а	высоту	уменьшить в 2 раза .
уменьшить ширину в 4 раза , а	высоту	увеличить в 4 раза .
Значение с недостатком для	высоты	Эвереста можно взять 8800 м , что равно длине 22 кругов по стадиону .
7 Напишите формулу для вычисления	высоты	прямоугольного параллелепипеда , у которого известны длина а , ширина b и объём V .
Значение с избытком для	высоты	Эвереста можно взять 9200 м , что равно длине 23 кругов по стадиону .
Какой	высоты	столб воды в стакане ? .
33 Что получится , если из суммы двух чисел а и b	вычесть	их разность ?
Таким образом , возникает правило : если из суммы двух чисел	вычесть	одно слагаемое , то получится второе .
Если из обеих частей неравенства можно	вычесть	одно и то же число , то знак неравенства не изменится .
10 Что получится , если из числа	вычесть	число 0 ? .
Получилось правило : если из уменьшаемого	вычесть	разность , то получится вычитаемое .
Аналогичное правило применяется и в том случае , когда из каждой части неравенства можно	вычесть	некоторое число .
7 Какое число надо	вычесть	из 543 , чтобы получилась сумма чисел 98 и 325 ? .
8 Какое число надо	вычесть	из 85 , чтобы получилась разность чисел 122 и 98 ? .
12 Как показать , что из числа 287 312 можно	вычесть	число 271 314 ? .
Поэтому	вычитаем	из 8 число 4 , а результат 4 записываем в ответ в столбце десятков .
Поэтому	вычитаем	из 4 число 2 , а результат 2 записываем в ответ в столбце десятков тысяч .
Из двузначного числа 13	вычитаем	8 единиц вычитаемого , а результат 5 записываем в ответ в столбце единиц .
Из двузначного числа 11	вычитаем	число 5 , а результат 6 записываем в ответ в столбце сотен .
уменьшаемое уменьшить , а	вычитаемое	увеличить на 1,75 ? .
Вычитать легко , когда	вычитаемое	является разрядной единицей .
20 Уменьшаемое равно 85 007 101 ,	вычитаемое	на 1025 меньше этого числа .
Получилось правило : если из уменьшаемого вычесть разность , то получится	вычитаемое	.
Числа записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце : уменьшаемое — вверху ,	вычитаемое	— внизу .
Запишем числа 0,3 и 3,6 и выполним	вычитание	.
Запишем числа 5 и 60 и выполним	вычитание	.
Выполняют	вычитание	по правилам , принятым для натуральных чисел , не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
В частности , на пятом шаге по схеме деления нужно подобрать число 0,000003 ; найти произведение и выполнить	вычитание	.
Вычитание десятичных дробей похоже на	вычитание	натуральных чисел .
Запишем числа 0,04 и 0,48 и выполним	вычитание	0,48 - 0,48 .
Записав найденные числа « уголком » и выполнив	вычитание	, получим 79 .
3 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Распределительный закон используется также и при действиях с выражениями , содержащими	вычитание	.
11 Как выполняется	вычитание	при помощи двух линеек ? .
3.8 Сложение и	вычитание	дробей .
Сложение и	вычитание	двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
36 Расставьте скобки так , чтобы	вычитание	было возможно .
Распределительный закон используется и при действиях с выражениями , содержащими	вычитание	.
31 В следующих примерах на	вычитание	восстановите цифры , заменённые звездочками .
Глава 5 Сложение и	вычитание	натуральных чисе .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить	вычитание	десятичных дробей с использованием дополнения до числа 1 .
Запишем найденные числа « уголком » и выполним	вычитание	.
Произведите	вычитание	.
Можно применять следующие правила , связанные с	вычитанием	.
Нахождение разности двух чисел также называют	вычитанием	.
Рассмотрим правила , связанные с	вычитанием	.
14 Какие правила , связанные с	вычитанием	, вы знаете ? .
2.9 Дополнительные правила , связанные с	вычитанием	.
29 Какое десятизначное число при	вычитании	единицы превращается в девятизначное ? .
5 Изменяется ли знак неравенства при	вычитании	из обеих частей неравенства одной и той же дроби ? .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и	вычитанию	дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
6 Замените звёздочки знаками сложения + ,	вычитания	– , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
3.3 Правило	вычитания	десятичных дробей .
Как можно проверить правильность результата	вычитания	одного числа из другого ? .
Выполнив четыре шага по схеме деления , мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего	вычитания	получается разность , которая в десять раз меньше разности , полученной на предыдущем шаге .
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и	вычитания	так , чтобы в результате получилось число 100 .
Для иллюстрации сложения и	вычитания	мы использовали .
Тогда в результате	вычитания	из 4147 получим 2247 .
Как проверить правильность результата	вычитания	, выполненного с помощью двух линеек ? .
Процесс	вычитания	можно ускорить , если вычитать сразу по нескольку чисел , равных 87 , то есть какие - то произведения на 87 .
В этой главе вы вспомните правила сложения и	вычитания	натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Общее правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Алгоритм	вычитания	.
Какие правила сложения и	вычитания	позволяют обосновать приведённые преобразования ? .
Простейший способ вычисления для деления с остатком осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного	вычитания	.
При изучении	вычитания	натуральных чисел рассматривалось дополнение числа до разрядной единицы .
Можно составить и таблицу	вычитания	.
По правилу	вычитания	обыкновенных дробей получаем .
С помощью дополнения до разрядной единицы можно выполнить операцию	вычитания	.
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и	вычитания	, чтобы в результате получилось число 100 .
Будет показано , как операция сложения связана с операцией	вычитания	.
5 Как деление с остатком сводится к	вычитаниям	? .
Алгоритм деления с остатком числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим )	вычитаниях	.
Процесс вычитания можно ускорить , если	вычитать	сразу по нескольку чисел , равных 87 , то есть какие - то произведения на 87 .
4 Как из десятичной дроби	вычитать	разрядную единицу ? .
Как	вычитать	дроби при условии , что у них одинаковые знаменатели , можно также понять , исходя из их представления в виде сумм простейших дробей .
Покажем , как при помощи двух линеек можно из одного числа	вычитать	другое .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать ,	вычитать	, умножать , делить и сравнивать дроби .
Нетрудно научиться	вычитать	натуральное число из разрядной единицы .
7 По какому правилу	вычитают	многозначные числа ?
По какому общему правилу	вычитают	дроби ? .
Это происходит потому , что из меньшего числа	вычитают	большее .
9 Из суммы чисел и	вычтите	разность чисел .
Треугольником называется	геометрическая фигура	, состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
Треугольник , как составленная из отрезков	геометрическая фигура	, является границей своей треугольной области .
1 Какая	геометрическая фигура	называется углом ? .
Если закрасить внешность четырёхугольника , то получится другая	геометрическая фигура	.
Получена	геометрическая фигура	, которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
4 Какая	геометрическая фигура	называется квадратом ? .
5 Какая	геометрическая фигура	называется прямоугольником ? .
Получится ещё одна	геометрическая фигура	— отрезок .
4 Какая	геометрическая фигура	называется плоским углом ? .
Почему все прямые углы равны как	геометрические фигуры	? .
Добавим к этому следующее свойство : любые две точки равны как	геометрические фигуры	.
Итак , изобразив на плоскости два различных луча с общим началом , мы получим три	геометрические фигуры	, называемые углами .
Почему прямая и луч не равны как	геометрические фигуры	? .
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это	геометрические фигуры	, составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
На плоскости можно изображать и рассматривать многие	геометрические фигуры	.
Какие	геометрические фигуры	на плоскости вы можете изобразить при помощи циркуля и линейки ? .
С помощью нехитрых приспособлений можно изображать сложные	геометрические фигуры	.
1.12 Другие	геометрические фигуры	.
Какие	геометрические фигуры	изображаются при помощи циркуля ? .
Какие	геометрические фигуры	вы можете изобразить с помощью линейки ? .
2 Какие	геометрические фигуры	могут быть изображены при помощи отрезков ? .
На клетчатой бумаге с помощью линейки легко изобразить такие	геометрические фигуры	.
Надо иметь в виду , что угол как два луча на плоскости и угол как соответствующая части плоскости — разные	геометрические фигуры	.
Углы , как	геометрические фигуры	, и величины углов будут изучаться позже .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие	геометрические фигуры	с большим числом вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
2 Любые две прямые равны между собой как	геометрические фигуры	.
В этой главе вы узнаете про неограниченные	геометрические фигуры	— лучи и прямые .
2 Любые два луча равны между собой как	геометрические фигуры	.
Так как отрезки являются	геометрическими фигурами	, то для них также имеет смысл рассматривать понятие геометрического равенства .
1 Даны три различные точки — А , В , С. Сколько различных	геометрических фигур	может быть среди прямых АВ , ВС и АС ? .
Изобразите с помощью линейки несколько	геометрических фигур	, содержащих эти точки .
Будет введено понятие равносоставленности	геометрических фигур	.
Признак равенства прямоугольных треугольников позволяет устанавливать свойства	геометрических фигур	.
В чём отличие друг от друга	геометрических фигур	? .
Каковы основные свойства площадей плоских	геометрических фигур	? .
2 Какие примеры равенства	геометрических фигур	вы знаете ? .
При изучении отрезков мы будем использовать общие свойства равенства	геометрических фигур	, которые для отрезков выглядят так .
Мы рассмотрели многие примеры	геометрических фигур	.
Вы вспомните , как пользоваться линейкой и циркулем , рассмотрите важное понятие равенства	геометрических фигур	.
Отрезок — одна из простейших	геометрических фигур	.
Чтобы говорить о свойствах этих или других	геометрических фигур	, будем постепенно вводить новые слова и понятия .
2 Площадь какой	геометрической фигуры	принимают за единицу измерения площади ? .
5 Какую	геометрическую фигуру	образуют точки всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую	геометрическую фигуру	— луч АВ .
Полученную	геометрическую фигуру	называют углом АОВ .
Ручкой или карандашом на нём можно отметить точку — самую простую	геометрическую фигуру	.
Какую	геометрическую фигуру	образуют точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Если закрасим часть листа , которая ограничена четырёхугольником , то закрашенная часть образует ещё одну	геометрическую фигуру	— четырёхугольную область .
Взятые все вместе , точки этих лучей образуют новую	геометрическую фигуру	.
4 Может ли	гипотенуза	одного прямоугольного треугольника быть катетом другого прямоугольного треугольника ? .
3 Может ли	гипотенуза	прямоугольного треугольника быть больше суммы его катетов ? .
1 ) АС —	гипотенуза	; 2)АВ — гипотенуза ; 3 ) АВ — катет ; 4 ) ВС — катет .
1.3 В прямоугольном треугольнике	гипотенуза	равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого катета ? .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , —	гипотенуза	.
2 По какой формуле можно вычислить длину катета прямоугольного треугольника , если известны его	гипотенуза	и второй катет ? .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС —	гипотенуза	.
1 ) АС — гипотенуза ; 2)АВ —	гипотенуза	; 3 ) АВ — катет ; 4 ) ВС — катет .
2 Что такое катеты и	гипотенуза	? .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов прямоугольного треугольника , прилежащих к	гипотенузе	, равна 90 ° .
1.1 Чему равна площадь квадрата со стороной , равной	гипотенузе	прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
3 Чему равна сумма прилежащих к	гипотенузе	углов прямоугольного треугольника ? .
Площадь квадрата со стороной , равной	гипотенузе	прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
5 Приведите пример отрезка , который можно назвать	гипотенузой	и катетом .
1 По какой формуле можно вычислить	гипотенузу	прямоугольного треугольника , если известны длины его катетов ? .
3 Как можно вычислять	гипотенузу	прямоугольного треугольника по его катетам ? .
Получаем формулу , по которой можно вычислять длину катета , зная	гипотенузу	и второй катет .
Все стороны четырёхугольника —	гипотенузы	прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину	гипотенузы	АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
Эти отрезки —	гипотенузы	равных прямоугольных треугольников с катетами в одну и семь клеточек .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко : квадрат	гипотенузы	равен сумме квадратов катетов .
Почему длина	гипотенузы	прямоугольного треугольника не может равняться сумме длин его катетов ? .
1.2 Чему равна длина	гипотенузы	прямоугольного треугольника с катетами 2 см и 4 см ? .
До 16 часов температура повышалась равномерно на 1	градус	в час .
Температура « тридцать шесть и шесть десятых	градуса	» считается нормальной для здорового человека .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3	градуса	тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
Эти числа имеют непосредственное отношение к измерению плоских углов в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в	градусах	.
Для практического измерения углов в	градусах	служит транспортир .
Для изучения погоды ежедневно с 15 по 21 августа в 12 часов дня измеряли температуру воздуха на улице ( в	градусах	по Цельсию ) .
3 Утром температура воздуха поднималась каждый час на 2 ° С. В 6 часов утра термометр показывал 8	градусов	мороза .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать	градусов	; г ) минус пять градусов .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать	градусов	; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять градусов .
а ) семь	градусов	ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять градусов .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять	градусов	.
1.1 Утром температура воздуха была 5 градусов мороза , а к 12 часам дня повысилась на 8	градусов	.
Например , температуру 20	градусов	ниже нуля можно указать числом -20 ( читается : « минус двадцать » ) градусов .
6 В 6 часов утра температура воздуха была 6	градусов	тепла .
Например , температуру 20 градусов ниже нуля можно указать числом -20 ( читается : « минус двадцать » )	градусов	.
1)13	градусов	мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5	градусов	тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13	градусов	тепла .
1.1 Утром температура воздуха была 5	градусов	мороза , а к 12 часам дня повысилась на 8 градусов .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать	градусов	ниже нуля » или « минус двадцать градусов » .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать градусов ниже нуля » или « минус двадцать	градусов	» .
одна четверть часа ; 4 ) минус двенадцать	градусов	.
Каждую такую часть называют	градусом	и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского угла .
3 Как вычислить площадь	грани	прямоугольного параллелепипеда ? .
Какую часть яблока составляет каждая такая	группа	? .
1.3 Яблоко разделили на 18 равных частей , затем получившиеся части сложили в	группы	по 3 штуки .
Если число имеет в десятичной записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя	группы	по три знака справа налево .
Это значит , что скорость движения в	данный	момент больше 90 км / ч и меньше 100 км / ч .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий	данный	треугольник .
1.3 Дана таблица , в которой указано число учащихся в классе , имеющих	данный	возраст .
Таким образом , ни одно из известных нам в	данный	момент чисел 0 , 1,2 , 3 не может быть разностью .
Поэтому полученную запись нужно зачеркнуть и решить	данный	пример заново , подбирая меньшее число десятков .
Как находить дополнения до разрядных единиц для чисел , записанных в	двоичной	системе счисления ? .
Как представить число 2000 в	двоичной	системе счисления ? .
2.2 Складывая числа ( 110)2 и ( 101)2 , записанные в	двоичной	системе , ученик ошибся и получил неверный результат ( 1101)2 .
1.1 Какое из указанных чисел имеет запись ( 10101)2 в	двоичной	системе ? .
Поэтому иногда употребляется система записи чисел , тесно связанная с	двоичной	, — шестнадцатеричная система счисления .
13 Составьте таблицу сложения в	двоичной	системе счисления .
Рассмотренные примеры обнаруживают неудобства	двоичной	системы : для больших чисел требуются довольно длинные записи .
Всякое число в	двоичной	системе счисления записывается с помощью последовательности цифр 0 и 1 .
Представим число 311 в	двоичной	системе .
Представим в	двоичной	системе число 25 .
С помощью этой таблицы удаётся представить в	двоичной	записи любое число от 0 до 8191 .
Чему равна сумма чисел ( 100110)2 и ( 11010)2 , записанных в	двоичной	системе ? .
Научимся записывать числа в	двоичной	системе счисления .
Наименьшее количество различных цифр для записи чисел требуется в системе счисления с основанием 2 или в	двоичной	системе .
2.4 Какие из указанных чисел будут трёхзначными при их записи в	двоичной	системе счисления ? .
Как в	двоичной	системе счисления умножить число на 210 ? .
8 Какая система счисления называется	двоичной	? .
Выполните умножение в	двоичной	системе .
7 Запишите в	двоичной	системе счисления числа .
8 Запишите в	двоичной	системе числа .
9 Переведите числа из	двоичной	системы счисления в десятичную .
1.3 Какую запись имеет число 14 в	двоичной	системе счисления ? .
Запишите это же число в	двоичной	системе .
2.1 Какие из равенств являются верными в	двоичной	системе счисления ? .
2.3 Какие из равенств являются верными в	двоичной	системе счисления ? .
Иногда	действительные	числа называют вещественными .
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные числа , получаются все	действительные	числа .
2.4 Рациональные и	действительные	числа .
2.4 Рациональные и	действительные числа	.
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные числа , получаются все	действительные числа	.
Иногда	действительные числа	называют вещественными .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и	действительных	чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и	действительных чисел	, а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
— затем совмещаем с ним нулевое	деление	0(нижний ) нижней линейки .
— далее , не меняя положения линеек относительно друг друга , находим на нижней линейке	деление	, обозначающее второе слагаемое b(нижнее ) .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое	деление	натуральных чисел с остатком .
Сдвигаем нижнюю линейку так , чтобы её нулевое	деление	совместилось с отметкой 22 мм на верхней линейке .
Геометрический смысл деления числа а на число b — это	деление	отрезка длины а на b равных частей .
Для сложения двух чисел а и b выполним следующие действия . — сначала находим на верхней линейке	деление	, обозначающее первое слагаемое а(верхнее ) .
Когда рассматривают только	деление	нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
2.4 На какие из указанных чисел	деление	запрещено ? .
Отметим , что	деление	обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
Умножение и	деление	обеих частей неравенства на положительную дробь .
1.1 Задачи на неизвестный сомножитель (	деление	поровну ) .
На сколько равных частей разделён исходный квадрат и сколько клеток содержится в каждой из полученных равных частей , если	деление	произведено .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление нацело и	деление	с остатком .
Деление с остатком и	деление	нацело .
Ответ не изменится , если нулевое	деление	линейки совместить с точкой В , а результат измерения определять по положению точки А. Может оказаться , что точка В попадёт между двумя соседними делениями .
Деление чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 ,	деление	нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
После этого находим на линейке	деление	напротив точки В. Число сантиметров и миллиметров , соответствующее данной отметке , будет результатом измерения .
4 Выполните	деление	и проверьте полученный результат умножением .
Усвоив	деление	уголком , можно записывать промежуточные вычисления в виде краткой схемы .
Запишем найденные числа и продолжим	деление	« уголком » .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям :	деление	нацело и деление с остатком .
5 Как	деление	с остатком сводится к вычитаниям ? .
Деление десятичной дроби на натуральное число похоже на	деление	натуральных чисел .
Для натуральных чисел	деление	нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово «	деление	» относится к двум разным операциям : деление нацело и деление с остатком .
Рассматривая	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на две равные части , мы определили дробные числа и так далее .
Аналогично для любого натурального числа можно рассмотреть	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на n равных частей .
При решении каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться	деление	: по весу , длине и так далее .
Эта разность равна нулю , значит ,	деление	закончено .
Поэтому	деление	закончено и частное равно сумме чисел 0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под делителем 125 , то есть .
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику высотой в 1	деление	соответствует 200 человек .
Рассматривая	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на три равные части , мы определили дробные числа и так далее .
5 Как	деление с остатком	сводится к вычитаниям ? .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление нацело и	деление с остатком	.
5.1 Связь между	делением	величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую систему счисления	делением	с остатком .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую систему счисления	делением с остатком	.
Чему равно приближённое значение неполного частного при	делении	числа 4147 на 19 с недостатком с точностью до 100 ? .
( При	делении	числа 513 513 на 7 частным будет число 73 359 ) .
б ) Чему равен остаток при	делении	произвольного натурального числа на 100 ? .
2.3 Какие из указанных чисел могут быть остатками при	делении	чётного числа на 6 ? .
14 При	делении	числа а на 2 получился остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при	делении	на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
Какой остаток может получиться при	делении	этого числа на 6 ? .
2.3 Какие остатки могут получаться при	делении	квадратов натуральных чисел на 4 ? .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при	делении	на 6 — остаток 5 .
13 При	делении	на 2 число даёт остаток 1 .
Частным при	делении	первой дроби на вторую назовём такую дробь х , которая является решением уравнения .
Пусть при	делении	числа 4147 мы выполним действия : подбирая число сотен , возьмём одну сотню .
Сами числа а и b , как и при	делении	нацело , называют соответственно делимым и делителем .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при	делении	на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
14 При делении числа а на 2 получился остаток 1 , а при	делении	на 3 — остаток 2 .
12 Приведите пример числа , которое при	делении	на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при	делении	квадратов натуральных чисел на 5 ? .
1.8 При	делении	можно « вычёркивать » один и тот же множитель в делимом и делителе .
5 а ) Какой остаток при	делении	на 100 дают числа 121 ; 4567 ; 13 989 ; 807 ? .
Чему равен остаток при	делении	произвольного натурального числа на 10 ? .
При	делении	а на b с остатком ( для а , большего b ) вычисляем и так далее , пока разность в первый раз не станет меньше b .
В последнем примере неполное частное является обычным частным при	делении	72 на 18 , то есть .
4 а ) Какой остаток при	делении	на 10 дают числа : 57 ; 356 ; 17 211 ; 991 ?
8 При	делении	с остатком на число 15 получен промежуточный результат .
3 Какой наибольший остаток может получиться при	делении	.
Как найти остаток при	делении	числа 1994 на 6 , используя равенство .
2 Какие остатки могут получиться при	делении	натурального числа .
2.2 Какие из указанных чисел могут быть остатками при	делении	нечётного числа на 6 ? .
Например , при	делении	поровну нулевого количества конфет на 100 человек каждый получит по 0 конфет .
3 Что такое неполное частное при	делении	числа а на число b ? .
10 Какой остаток получается при	делении	числа на 4 ? .
Может ли при	делении	с остатком некоторого натурального числа на произведение получиться остаток 134 ? .
При	делении	1416 на 13 приходится выполнить ещё одно действие .
Почему при	делении	числа , оканчивающегося нулём , на число , оканчивающееся нулём , эти нули можно вычёркивать ? .
11 Какой остаток получается при	делении	на 6 числа ? .
При	делении	с остатком менять местами делитель и частное нельзя .
При	делении	7 на 2 с остатком получим , а при делении 78 на 2 с остатком получим .
Какой остаток даёт число а при	делении	на 6 ? .
При делении 7 на 2 с остатком получим , а при	делении	78 на 2 с остатком получим .
8 На сколько равных частей нужно разделить час , чтобы получилось столько же минут , сколько при	делении	четверти часа на 5 равных частей ? .
15 Какой вид имеют числа , дающие при	делении	на 6 : а ) остаток 1 ; б ) остаток 4 ; в ) остаток 5 ? .
Что произойдёт с частным при	делении	числа а на число b , если делимое умножить на число 5 ? .
3 Как определяется частное при	делении	дроби на натуральное число ? .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при	делении	с остатком числа а на число b остаток может равняться .
При	делении	« уголком » не всегда удаётся сразу подобрать нужное число .
25 На какое число нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при	делении	этого же числа сначала на 6 , а затем при делении полученного частного на 2 ? .
1.4 Какой наибольший остаток может получиться при	делении	натурального числа на 27 ? .
При	делении	« уголком » можно подбирать нужные числа постепенно , не в одно действие .
Чему равны неполное частное и остаток при	делении	числа 45 на 6 ? .
Число r называется остатком , при	делении	натурального числа а на b. Число q называется неполным частным .
20 Найдите неполное частное и остаток при	делении	чисел .
Тем самым каждая часть , полученная при	делении	20 кг на 10 равных частей , является величиной , которая выражена натуральным числом килограммов .
Частное при	делении	любого дробного числа на натуральное определяется похожим образом .
Частным при	делении	а на натуральное число n называется число , равное .
Допустим , что при	делении	числа 4147 на 19 мы выполнили действия так .
Частное при	делении	а на n обозначается либо через , либо через .
Свойство числа 0 при	делении	: на 0 делить нельзя ! .
Например , выкладки , проделанные в пункте 5.3 при	делении	числа 1,3 на 125 , кратко записываются .
Чему равны частные при	делении	числа 18k на 2 и на 9 ? .
Полученное значение х , равное 6 , называют частным при	делении	числа 42 на число 7 .
18 Известно , что число 1287 при	делении	на 7 даёт остаток 6 .
2.1 Какие из приведённых чисел при	делении	на 9 дают остаток 4 ? .
Как и для натуральных чисел , при	делении	десятичной дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
16 Какой вид имеют числа , дающие при	делении	на 100 остаток 25 ? .
17 Число а при	делении	на 29 дало неполное частное 7 и остаток 17 .
Что получится при	делении	уголком числа 10 на 9 ? .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при	делении	на 10 суммы и произведения натуральных чисел вида .
25 На какое число нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при делении этого же числа сначала на 6 , а затем при	делении	полученного частного на 2 ? .
2.2 Какие из приведённых чисел при	делении	на 11 дают остаток 7 ? .
Какая связь имеется между двумя последними цифрами числа и его остатком при	делении	на 100 ? .
Может ли при	делении с остатком	некоторого натурального числа на произведение получиться остаток 134 ? .
8 При	делении с остатком	на число 15 получен промежуточный результат .
При	делении с остатком	менять местами делитель и частное нельзя .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при	делении с остатком	числа а на число b остаток может равняться .
Указаны значения некоторых	делений	.
Отсчёт	делений	на ученической линейке начинается с 0 мм .
Выполним в десятичной системе последовательность	делений	на 4 с остатком .
	Делений	, а направления характеризуются числами .
2.4 Какие из указанных весов можно точно получить на чашечных весах без	делений	, имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
5.5 Краткая запись схемы	деления	уголком .
5 Как можно обозначить левую точку	деления	отрезка [ 0 ; 2 ] на три равные части ? .
В некоторых случаях можно определить , делится одно число на другое или нет , не выполняя	деления	, а пользуясь особыми свойствами записи чисел .
Так как расстояние от точки 0 до точки	деления	равно , саму точку деления также обозначим через .
В частности , на пятом шаге по схеме	деления	нужно подобрать число 0,000003 ; найти произведение и выполнить вычитание .
Чему равно частное от	деления	числа 7 на 25 , записанное в виде десятичной дроби ? .
Выполнив четыре шага по схеме	деления	, мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего вычитания получается разность , которая в десять раз меньше разности , полученной на предыдущем шаге .
Именно по такому принципу наносятся	деления	на знакомой вам линейке .
5.3 Схема	деления	уголком десятичной дроби на натуральное число .
5.4 Схема	деления	уголком числа 0,1 на число 3 .
Так как расстояние от точки 0 до точки деления равно , саму точку	деления	также обозначим через .
Простейший способ вычисления для	деления	с остатком осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного вычитания .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
5.2 Пример	деления	десятичной дроби на натуральное число .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	равно эту точку деления также обозначают через .
Какие обозначения для точек	деления	отрезка [ 0 ; k ] на три равные части вы можете предложить ? .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно эту точку	деления	также обозначают через .
Иногда приходится решать задачу	деления	на равные части : например , разделить килограмм муки на несколько равных частей или поделить пирог поровну между друзьями .
3 Чему равно частное от	деления	.
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно то эту точку	деления	также обозначим через 1/3 .
2 Проверьте умножением правильность	деления	.
8 Какие свойства	деления	нацело вы изучали ? .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	равно то эту точку деления также обозначим через 1/3 .
6 Какой геометрический смысл имеет частное от	деления	одного числа на другое ? .
Новые промежутки ещё раз делили пополам , и маленькую единицу	деления	называли « румбом » .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	обозначим через и будем считать .
5 Какие виды записи для операции	деления	вы знаете ? .
Точку	деления	можно также обозначить через , так как длина отрезка [ 0 ; k ] по определению равна k.
1 Как определяется операция	деления	одного числа на другое ? .
1.1 Чему равен остаток от	деления	числа 13 578 на 5 ? .
1.2 Какое из указанных чисел является остатком от	деления	числа 543 на 6 ? .
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат	деления	с остатком числа 539 на 17 ? .
Результат	деления	20 кг сахара на 10 равных частей равен 2 кг , так как .
16 Чему равно частное от	деления	числа вида на 5 ? .
Особое название для таких чисел можно объяснить простотой и естественностью	деления	пополам .
Приведём примеры	деления	дробных чисел на натуральные .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности	деления	этой единицы на q равных частей для любого натурального числа q.
Чему равно частное от	деления	этого числа на 9 ? .
Представление , где , даёт результат	деления	с остатком числа 5386 на 87 .
Желательно и эту задачу , как и пример , свести к задаче	деления	натуральных чисел .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило	деления	дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
Как получить цифры числа ( 1234)5 с помощью	деления	с остатком ? .
3.6 Алгоритм	деления	с остатком « уголком » .
Частное от	деления	натурального числа m на натуральное число n определяется как решение уравнение .
1.4 Геометрический смысл	деления	одного числа на другое .
Если при этом , то q называется частным от	деления	а на b .
— и теперь , не меняя положения линеек относительно друг друга , смотрим отметку на верхней линейке напротив того	деления	нижней , которое соответствует второму слагаемому , — это и есть искомая сумма .
6.2 Нахождение цифр числа в других системах счисления с помощью	деления	с остатком .
Геометрический смысл	деления	числа а на число b — это деление отрезка длины а на b равных частей .
Алгоритм	деления	с остатком можно записывать в довольно удобном виде « уголком » .
Действовать будем , как и в предыдущем примере , но результаты	деления	оформим в виде другой условной схемы .
Отметим ещё одну важную особенность	деления	с остатком .
Так как , то процесс	деления	с остатком закончен , а число 79 и является остатком .
Остаток от	деления	числа 4147 на 19 записан под делимым в самой нижней строке и равен 5 .
В результате приходим к общему правилу	деления	дробей .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом	деления	натурального числа m на натуральное число n .
Ответом будет число 97 на верхней линейке , расположенное напротив	деления	75 мм нижней линейки .
Чему равен остаток от	деления	числа 87 001 на 87 ? .
Каким числам соответствуют остальные	деления	на каждом отрезке ? .
Посмотрим , как можно подбирать нужные числа в алгоритме	деления	с остатком « уголком » на примере .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от	деления	дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
( Результат такого	деления	можно выразить дробным числом .
На вертикальной шкале наружного термометра есть нулевая отметка и	деления	, расположенные выше и ниже нулевой отметки .
7 Сформулируйте правило	деления	обеих частей неравенства на дробь .
Таким образом , частное от	деления	числа 12 на число 2 есть решение уравнения .
В этой главе вы познакомитесь с операцией	деления	натуральных чисел , узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
Нахождение цифр числа с помощью	деления	с остатком .
Алгоритм	деления	с остатком числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
3.3 Геометрический смысл	деления	с остатком .
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере	деления	с остатком числа 5386 на 87 .
4 Каков геометрический смысл	деления	с остатком ? .
2 Что такое остаток от	деления	числа а на число b ? .
6 В чём состоит алгоритм	деления	« уголком » ? .
5 Найдите остаток от	деления	числа ( 3233)4 на ( 13)4 .
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере	деления с остатком	числа 5386 на 87 .
Алгоритм	деления с остатком	можно записывать в довольно удобном виде « уголком » .
Нахождение цифр числа с помощью	деления с остатком	.
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат	деления с остатком	числа 539 на 17 ? .
6.2 Нахождение цифр числа в других системах счисления с помощью	деления с остатком	.
Отметим ещё одну важную особенность	деления с остатком	.
Как получить цифры числа ( 1234)5 с помощью	деления с остатком	? .
3.6 Алгоритм	деления с остатком	« уголком » .
Так как , то процесс	деления с остатком	закончен , а число 79 и является остатком .
3.3 Геометрический смысл	деления с остатком	.
4 Каков геометрический смысл	деления с остатком	? .
Простейший способ вычисления для	деления с остатком	осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного вычитания .
Алгоритм	деления с остатком	числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
Представление , где , даёт результат	деления с остатком	числа 5386 на 87 .
Посмотрим , как можно подбирать нужные числа в алгоритме	деления с остатком	« уголком » на примере .
В этом случае изображения дробей 0,1 ; 0,2 ; 0,3 и так далее будут соответствовать	делениям	линейки в 1 см , 2 см , 3 см и так далее .
Дроби 0,01 ; 0,02 ; 0,03 и так далее будут соответствовать миллиметровым	делениям	линейки .
17 Укажите на линейке с миллиметровыми	делениями	точки , соответствующие : 0,2 дм ; 0,7 дм ; 0,7 см ; 0,4 см ; 0,12 дм ; 0,07 дм .
Промежутки между этими направлениями	делили	пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » .
Полученные промежутки ещё раз	делили	пополам , и новые направления называли тремя словами .
Новые промежутки ещё раз	делили	пополам , и маленькую единицу деления называли « румбом » .
Какое из указанных чисел нужно прибавить к 5197 , чтобы получившееся число	делилось	на 2 ? .
6 Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	на 9 : .
1.2 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 21 969 , чтобы получившееся число	делилось	на 5 ? .
1.4 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 123 456 , чтобы получившееся число	делилось	на 9 ? .
На какую цифру надо заменить цифру 8 , чтобы получившееся число	делилось	на 9 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 3 .
Число 3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 1 .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 1 .
Последовательно	делим	на 4 это число и все получающиеся неполные частные .
Последовательно делим число 1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова	делим	на 10 с остатком .
Последовательно	делим	число 1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова делим на 10 с остатком .
1.7 Если	делимое	и делитель одновременно умножить на одно и то же ненулевое число , то частное от этого не изменится .
14 Вычислите частные , домножая	делимое	и делитель на число 4 : .
в ) и	делимое	и делитель увеличить в 7 раз ? .
Что произойдёт с частным при делении числа а на число b , если	делимое	умножить на число 5 ? .
Здесь 63 —	делимое	, 7 — делитель , 9 — частное .
Здесь 15 —	делимое	, 3 — делитель , 5 — частное .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в )	делимое	разделить на 5 ? .
а )	делимое	увеличить в 6 раз .
3 Что такое	делимое	? .
Это правило можно записать следующим образом : если	делимое	и делитель одновременно разделить на одно и то же число , не равное нулю , то частное от этого не изменится .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б )	делимое	умножить на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
1.8 При делении можно « вычёркивать » один и тот же множитель в	делимом	и делителе .
8 Поставьте в	делимом	в нужном месте запятую и восстановите отмеченные звёздочкой цифры .
Где	делимые	и делители в записи ? .
Сами числа а и b , как и при делении нацело , называют соответственно	делимым	и делителем .
При этом иногда выражение называют частным , дробь называют	делимым	, а дробь называют делителем .
При этом а называется	делимым	, b — делителем , х — частным .
Остаток от деления числа 4147 на 19 записан под	делимым	в самой нижней строке и равен 5 .
2.3 Луч	делит	прямой угол на два неравных угла .
7 На сколько частей точка прямой	делит	эту прямую ? .
Мы установили следующее свойство : диагональ прямоугольника	делит	его на два равных треугольника .
Прямая	делит	плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью .
Справедливо следующее свойство прямой : любая точка прямой	делит	её на два луча с началом в этой точке .
2.4 Луч	делит	прямой угол на два неравных угла .
Диагональ АС квадрата ABCD	делит	его на два прямоугольных треугольника .
1 ) диагональ прямоугольника	делит	его на два равных треугольника .
Диагональ	делит	прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника , площади которых равны .
1.8 При делении можно « вычёркивать » один и тот же множитель в делимом и	делителе	.
При этом иногда выражение называют частным , дробь называют делимым , а дробь называют	делителем	.
Сами числа а и b , как и при делении нацело , называют соответственно делимым и	делителем	.
При этом а называется делимым , b —	делителем	, х — частным .
Поэтому деление закончено и частное равно сумме чисел 0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под	делителем	125 , то есть .
Складывая числа , стоящие под	делителем	, находим неполное частное , равное 218 .
Для вычисления частного складываем числа 5 ; 0,3 ; 0,04 , которые записаны под	делителем	12 , и получаем .
Для вычисления неполного частного складываем числа 60 и 1 , записанные под	делителем	87 , и получаем 61 .
Где делимые и	делители	в записи ? .
Какие ещё	делители	есть у числа 1001 ? .
Разложение числа на	делители	.
24 Как изменится частное , если : а )	делитель	умножить на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
14 Вычислите частные , домножая делимое и	делитель	на число 4 : .
Здесь 15 — делимое , 3 —	делитель	, 5 — частное .
	Делитель	увеличить в 5 раз .
в ) и делимое и	делитель	увеличить в 7 раз ? .
Здесь 63 — делимое , 7 —	делитель	, 9 — частное .
Это правило можно записать следующим образом : если делимое и	делитель	одновременно разделить на одно и то же число , не равное нулю , то частное от этого не изменится .
1.7 Если делимое и	делитель	одновременно умножить на одно и то же ненулевое число , то частное от этого не изменится .
При делении с остатком менять местами	делитель	и частное нельзя .
Если теперь поменять	делитель	и неполное частное местами , то получится верное равенство .
4 Что такое	делитель	? .
То есть оба числа 7 и 143 являются	делителями	числа 1001 .
Число	делится	на 5 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 или 5 .
17 Покажите , что если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то исходное число также	делится	на 4 .
4 ) 723 делится на 3 и не	делится	на 9 , 12 делится на 3 и не делится на 9 .
4 ) 723	делится	на 3 и не делится на 9 , 12 делится на 3 и не делится на 9 .
Если число а оканчивается на 0 , то , по признаку делимости на 10 , оно	делится	на 10 .
12 а ) Почему число	делится	на 9 ?
Число	делится	на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 3 .
Примеры . 1 ) 123	делится	на 3 , 6 делится на 3 .
Поэтому признак делимости можно записать следующим образом : число	делится	на 10 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается нулём .
4 ) 723 делится на 3 и не делится на 9 , 12	делится	на 3 и не делится на 9 .
Примеры . 1 ) 123 делится на 3 , 6	делится	на 3 .
3 ) 423 делится на 9 : 9	делится	на 9 .
Справедливо и обратное утверждение : если число в десятичной записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не	делится	на 10 .
3 ) 423	делится	на 9 : 9 делится на 9 .
Число , оканчивающееся нулём ,	делится	на 10 .
Проверьте , что их разность	делится	на 9 и на 11 .
2 ) 123 не делится на 9 : 6 не	делится	на 9 .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа	делится	на 3 .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа	делится	на 9 .
Как сложить треугольник из двух фигур , на которые прямоугольник	делится	диагональю ? .
Почему самое большое 20-значное число	делится	на 9 ? .
число 7 — простое : оно не	делится	ни на одно число , кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10 простых чисел : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
Первое слагаемое содержит целое число десятков и поэтому	делится	на 2 .
Второе слагаемое тоже	делится	на 2 .
Тогда и вся сумма тоже	делится	на 2 .
Число , оканчивающееся на одну из цифр — 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,	делится	на 2 .
Справедливо и обратное утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то оно не	делится	на 2 .
Число называется простым , если оно не	делится	ни на какие числа , кроме 1 и р .
Число	делится	на 2 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
Какое из этих чисел	делится	: а ) на 2 ; б ) на 3 ; в ) на 11 ? .
4 ) 723 делится на 3 и не делится на 9 , 12 делится на 3 и не	делится	на 9 .
Почему из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно	делится	на 2 ? .
Справедливо и обратное утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 или 5 , то оно не	делится	на 5 .
7 Как определить ,	делится	ли число на 18 ? .
Таким образом , если число а оканчивается на 0 или на 5 , то оно	делится	на 5 .
19 Почему число , оканчивающееся двумя нулями ,	делится	на 25 ? .
У числа 873 сумма цифр	делится	на 9 .
Поэтому и , следовательно , то есть а	делится	на 5 .
Преобразовав это выражение , получаем , что а , то есть а	делится	на 5 .
Сколько двузначных чисел	делится	на 5 ? .
Число	делится	на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 9 .
Числа 99,9 делятся на 9 , поэтому вся сумма	делится	на 9 .
2 ) 123 не	делится	на 9 : 6 не делится на 9 .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части	делится	отрезок длиной 1 .
В некоторых случаях можно определить ,	делится	одно число на другое или нет , не выполняя деления , а пользуясь особыми свойствами записи чисел .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697	делится	на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808	делится	на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
9 Проверьте , что : а ) 624	делится	на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
Покажите , что такое число	делится	: а ) на 7 ; б ) на 11 ; в ) на 13 .
Верно ли , что 531 531	делится	: а ) на 7 ; б ) на 11 ; в ) на 13 ? .
5 Проверьте , что число 531 531	делится	на 1001 .
Следовательно , число 1001 также	делится	и на 143 .
Следовательно , число 1001	делится	на 7 .
Как объяснить , что число 625 625 625 625	делится	на 11 ? .
Видно , что число 513 513	делится	на 7 .
По свойству 2 число тоже	делится	на 7 .
Из равенства следует , что число 1001	делится	на 7 .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение	делится	нацело на число m .
Если число а	делится	нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на число m .
Поэтому число тоже	делится	на 25 .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они делятся на число т , то их сумма	делится	на m .
Если числа а и b делятся нацело на число m , то число тоже	делится	нацело на m .
7 Верно ли , что среди 11 натуральных чисел найдутся 2 числа , разность которых	делится	на 10 ? .
Какое из чисел	делится	нацело на любое натуральное число ? .
1 В каких случаях говорят , что целое число а	делится	на натуральное число b без остатка ? .
Но число 1 не	делится	нацело на число 10 .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а	делится	на число b » .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а	делится	нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
Говорят , что натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Тогда число а	делится	нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без остатка .
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а	делится	на b без остатка .
Как показать , что число 100	делится	без остатка на 4 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 3 .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624	делится	на 12 .
15 Покажите , что число , оканчивающееся двумя нулями ,	делится	на 4 .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
2.3 Известно , что число а делится на 6 , число b	делится	на 2 и не делится на 3 .
2.3 Известно , что число а	делится	на 6 , число b делится на 2 и не делится на 3 .
20 Почему число вида	делится	на 9 ?
18 Почему число вида 18k	делится	на 2 и на 9 ?
15 Покажите , что каждое из чисел 15 , 20 , 25 , 30 , 100	делится	на 5 .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 1 .
2.3 Известно , что число а делится на 6 , число b делится на 2 и не	делится	на 3 .
Однако известно , что , 10	делится	нацело на 10 , поскольку .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 1 .
С пирогом немного сложнее : можно	делить	так , чтобы куски были одинаковыми по форме или иметь разную форму , но при этом быть одного и того же веса .
Свойство числа 0 при делении : на 0	делить	нельзя ! .
Стали	делить	.
Давайте	делить	на четверых » .
Стали	делить	, и все получилось .
5 Почему нельзя	делить	на нуль ? .
Вспомним , как	делить	натуральное число на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Научившись	делить	дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
В связи с этим принимается следующее правило :	делить	на нуль нельзя .
Например , начнём	делить	уголком число 0,1 на 3 .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать , вычитать , умножать ,	делить	и сравнивать дроби .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению : диагонали квадрата	делят	его утлы пополам .
5 На сколько частей	делят	плоскость .
7 На сколько частей	делят	клетчатую бумагу четыре вертикальных и пять горизонтальных прямых ? .
1 ) диагонали квадрата	делят	его углы пополам .
Для любого угла образующие его лучи	делят	плоскость на две части .
Заметим теперь следующее : точки и делят отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки	делят	отрезок на четыре равные части и так далее .
Заметим теперь следующее : точки и	делят	отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки делят отрезок на четыре равные части и так далее .
Какие точки на числовой прямой	делят	отрезок на 6 равных частей ? .
Например , когда	делят	3 кг конфет на 18 равных частей , то каждая часть будет составлять кг .
На какие части	делят	прямую две её различные точки ? .
Тогда метр	делят	на сто равных частей , каждая из которых имеет длину один сантиметр , то есть одну сотую часть метра .
Точки С и D	делят	отрезок АВ на три равные части .
1.1 Сколько всего чётных чисел , которые меньше 100 и	делятся	на 5 ? .
5 Из набора чисел 144 , 511 , 715 , 300 , 290 , 728 , 1312 , 900 , 7345 , 10 000 выберите все числа , которые	делятся	.
20 Проверьте , что слагаемые в суммах	делятся	на 25 : .
2.4 Какие из указанных чисел	делятся	на 4 ? .
Какие из указанных чисел	делятся	на 37 ( без остатка ) ? .
Числа 99,9	делятся	на 9 , поэтому вся сумма делится на 9 .
8 Проверьте , что числа 108 , 1008 , 10 008 , 100 008	делятся	на 18 .
Какие из указанных чисел	делятся	на 7 ( без остатка ) ? .
2.3 Какие из указанных чисел делятся на 2 и	делятся	на 9 ? .
Какие из указанных чисел не	делятся	на 6 ? .
2.1 Какие из указанных чисел	делятся	на 3 ? .
7 На какие числа	делятся	.
Если числа а и b	делятся	нацело на число m , то число тоже делится нацело на m .
13 Как объяснить , что следующие числа	делятся	на 3 : .
16 Проверьте , что каждое слагаемое и сами суммы	делятся	на 4 : .
2.3 Какие из указанных чисел	делятся	на 2 и делятся на 9 ? .
Почему эти суммы	делятся	на 25 ? .
Почему числа вида 10 при любом числе нулей	делятся	на 18 ? .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они	делятся	на число т , то их сумма делится на m .
2.2 Какие из указанных чисел	делятся	на 9 ? .
Как проверить , что диагонали квадрата	делятся	пополам в точке их пересечения ? .
4 На какие цифры оканчиваются числа ,	делящиеся	на 2 ? .
Луч , проведённый из вершины угла и	делящий	этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Как измерить высоту цилиндра , сделанного из	дерева	? .
х	деревьев	больше , чем шестиклассники .
3 Ученики 5 класса посадили 15 деревьев , шестиклассники посадили на х	деревьев	больше , чем пятиклассники , а семиклассники посадили на .
Составьте выражение для общего числа посаженных	деревьев	и найдите его значение при .
11 В саду 1800	деревьев	.
3 Ученики 5 класса посадили 15	деревьев	, шестиклассники посадили на х деревьев больше , чем пятиклассники , а семиклассники посадили на .
Сколько	деревьев	посадили ученики этих классов вместе ? .
Ученики 6 класса посадили на х деревьев меньше , чем ученики 5 класса , а ученики 7 класса посадили на х	деревьев	больше , чем пятиклассники .
Ученики 6 класса посадили на х	деревьев	меньше , чем ученики 5 класса , а ученики 7 класса посадили на х деревьев больше , чем пятиклассники .
2 Ученики 5 класса посадили 13	деревьев	.
Из них 85 %	деревьев	— яблони .
Придумайте обозначения для его вершин и запишите обозначение самого	десятиугольника	.
Если точек десять , то полученную фигуры называют	десятиугольником	.
Обычно для краткости вместо фразы « запись десятичной дроби в одну строку » употребляют слова «	десятичная	дробь » .
Дроби	десятичная	.
1.2 Какова	десятичная	запись числа ( 302)4 ? .
1.1 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Какая	десятичная	разрядная единица меньше дроби ? .
1.1 Какова	десятичная	запись выражения ? .
1.3 Какова	десятичная	запись выражения ( 111)4 ? .
1.4 Какова	десятичная	запись числа ? .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая	десятичная	дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
1.3 Какова	десятичная	запись числа ? .
Число делится на 5 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается на 0 или 5 .
1.4 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Данная	десятичная	дробь равна .
Число делится на 2 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
2.3 Каким из указанных дробей равна	десятичная	дробь 0,0375 ? .
Поэтому признак делимости можно записать следующим образом : число делится на 10 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается нулём .
1.2 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Найдём запись	десятичного	числа 9137 в четверичной системе .
В англоязычных странах в качестве	десятичного	разделителя между целой и дробной частями десятичной дроби вместо запятой ставится точка .
Обычно считают , что при записи приближённого равенства точность	десятичного	приближения совпадает с разрядной единицей последнего выписанного знака .
8 Как по записи	десятичного	приближения определить , с какой точностью дано это приближение ? .
1.3 Укажите	десятичное	приближение снизу для числа 98 765 с точностью до 104 .
1.1 Укажите	десятичное	приближение снизу для числа 63 8711 с точностью до 103 .
Чему равно	десятичное	приближение числа с избытком с точностью до 0,01 ? .
Приближение	десятичное	.
1.2 Укажите	десятичное	приближение сверху для числа 10 315 с точностью до 104 .
1.4 Укажите	десятичное	приближение сверху для числа 936 с точностью до 103 .
1.1 Чему равно	десятичное	приближение числа с недостатком с точностью до 0,1 ? .
Отсюда следует , что	десятичное	приближение сверху всегда больше самого числа .
Пусть b —	десятичное	приближение снизу для числа а с точностью до 10 m.
1.2 Чему равно	десятичное	приближение числа с избытком с точностью до 0,01 ? .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что	десятичное	приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Приведём правила , позволяющие по	десятичной	записи двух чисел определить , какое из них больше , а какое меньше .
Именно поэтому принятый нами способ записи натуральных чисел называется	десятичной	системой счисления .
Найдём значения записанных выше выражений в	десятичной	системе счисления .
Таким образом , каждая цифра в	десятичной	записи натурального числа показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Правило сравнения чисел по их	десятичной	записи .
Как в	десятичной	системе счисления записать число ( 1000)4 ? .
Важный способ замены натуральных чисел приближёнными значениями связан с их	десятичной	записью .
3 Как по последней цифре числа в	десятичной	системе счисления определить , чётное это число или нечётное ? .
Будем отличать новую запись от	десятичной	, заключая последовательность « цифр » в круглые скобки и после правой скобки чуть ниже приписывая 4 .
1.2 Известно , что у чисел 41 и 43 одинаковые цифры единиц в	десятичной	записи .
В	десятичной	системе счисления после записи чисел внизу обычно не ставят основание этой системы счисления — 10 .
3 Как записать в пятеричной системе счисления числа , записанные в	десятичной	системе : а ) 66 ; 6)132 ; в ) 1995 ; г ) 2000 ? .
Какой цифрой может оканчиваться нечётное число в	десятичной	системе счисления ? .
Какое число в	десятичной	системе соответствует записи ( 11010101)2 ? .
7 Какая система счисления называется	десятичной	? .
1 Как записывают натуральное число в	десятичной	системе счисления ? .
Выполним в	десятичной	системе последовательность делений на 4 с остатком .
Кроме того , приближения с разной точностью могут оказаться равными друг другу , если внутри	десятичной	записи исходного числа имелись нули .
6.3 Перевод числа из	десятичной	в другую систему счисления делением с остатком .
При этом если просто переместить запятую , то получится запись 82 164 , которую не принято считать	десятичной	дробью .
4 Как из	десятичной	дроби вычитать разрядную единицу ? .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде натурального числа или в виде	десятичной	дроби .
Удаление нулей в конце записи	десятичной	дроби .
1 Как сравниваются натуральные числа по их	десятичной	записи ? .
5 Деление	десятичной	дроби на натуральное число .
При записи смешанной дроби в виде	десятичной	в первых разрядах после запятой могут оказаться нули .
Чему равно частное от деления числа 7 на 25 , записанное в виде	десятичной	дроби ? .
Рассмотрим теперь умножение	десятичной	дроби на 0,1 , то есть на Вычислим , например , произведение .
Если число имеет в	десятичной	записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя группы по три знака справа налево .
Какие цифры используются для записи чисел в	десятичной	системе счисления ? .
4.4 Правило умножения	десятичной	дроби на .
При чтении	десятичной	дроби следует сначала определить её знаменатель .
3 Что называется дополнением	десятичной	дроби до ближайшей большей разрядной единицы ? .
Запись	десятичной	дроби в виде суммы произведений цифр и разрядных единиц .
При умножении	десятичной	дроби на 10 запятая смещается на один разряд вправо .
Эти записи с десятичной точкой читаются точно так же , как и записи с	десятичной	запятой .
Эти записи с	десятичной	точкой читаются точно так же , как и записи с десятичной запятой .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и дробной частями	десятичной	дроби вместо запятой ставится точка .
Для	десятичной	дроби применяют запись в одну строку .
Иногда для удобства дополняют дроби нулями после	десятичной	запятой , чтобы уравнять количество цифр после запятой в каждом из чисел .
Как и для натуральных чисел , при делении	десятичной	дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
Использование	десятичной	системы счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени числа 10 .
Как записать обыкновенную дробь в виде	десятичной	? .
Для составления таблицы сложения запишем сначала в	десятичной	системе следующие равенства .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в	десятичной	системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в	десятичной	системе .
Цифры дробной части	десятичной	дроби называют десятичными знаками дроби .
15 Сколько слов русского языка нужно знать , чтобы прочитать число 999 999 999 999 , записанное в	десятичной	системе ? .
Записью такой	десятичной	дроби в одну строку будет 2,1 .
Приписывание или отбрасывание нулей справа в конце записи	десятичной	дроби никак не влияет на её значение .
На месте каких из указанных разрядов в записи	десятичной	дроби 10,203004 стоят нулевые цифры ? .
Для этого запишем в	десятичной	системе счисления следующие равенства .
Умножение чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в	десятичной	, только с использованием другой таблицы умножения .
В	десятичной	системе этот пример соответствует записи .
Например , цифра нуль в	десятичной	записи натурального числа означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
Чаще всего рассматривают дополнение	десятичной	дроби до ближайшей большей её разрядной единицы .
1.3 Какой	десятичной	дробью записывается частное 12,4 : 16 ? .
Указать точное значение стороны а в виде	десятичной	или обыкновенной дроби в данном случае невозможно .
9 Какие единицы	десятичной	метрической системы вы знаете ? .
8 Как записать целое число в виде	десятичной	дроби ? .
6 Как определить знаменатель	десятичной	дроби , записанной в строку ? .
4 Что такое дробная часть	десятичной	дроби ? .
Она получается отбрасыванием нулей , стоящих в конце	десятичной	дроби 2,1000000 .
3 Что такое целая часть	десятичной	дроби ? .
Будем искать длину а его стороны в виде	десятичной	дроби .
3.4 Дополнение	десятичной	дроби до разрядной единицы .
Как выразить в виде	десятичной	дроби часть , которую составляет 1 кг от 10 тонн ? .
Некоторые единицы измерения	десятичной	метрической системы вам известны .
Десятичные дроби тесно связаны с	десятичной	метрической системой единиц .
Разделить десятичную дробь на натуральное число и получить ответ в виде	десятичной	дроби удаётся не всегда .
1.5 Связь десятичных дробей с	десятичной	метрической системой единиц .
Для чтения	десятичной	записи натуральных чисел от 1 до 999 в русском языке используются такие названия .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной системе , иногда также считают	десятичной	дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Всякое натуральное число , записанное в	десятичной	системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
При умножении	десятичной	дроби на 0,1 запятая смещается на один разряд влево .
Обычно для краткости вместо фразы « запись	десятичной	дроби в одну строку » употребляют слова « десятичная дробь » .
1 Какая дробь называется	десятичной	? .
6 Запись шестизначного числа в	десятичной	системе имеет вид АВС АВС , где буквами А , В , С обозначены некоторые цифры .
А во - вторых , в	десятичной	системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в	десятичной	системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
Умножение	десятичной	дроби на разрядную единицу выполняется особенно просто .
5.3 Схема деления уголком	десятичной	дроби на натуральное число .
Справедливо и обратное утверждение : если число в	десятичной	записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не делится на 10 .
13 Какую запись в	десятичной	системе имеет число 220 ? .
Например , если число в	десятичной	записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого числа десятков .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр	десятичной	записи числа делится на 3 .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр	десятичной	записи числа делится на 9 .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в	десятичной	системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Сколько нулей содержит в	десятичной	записи число дециллион ? .
Значит , в полученном произведении надо отделить	десятичной	запятой 5 знаков справа .
При этом в	десятичной	записи суммы появляется 1 в разряде десятков .
5.2 Пример деления	десятичной	дроби на натуральное число .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число похоже на деление натуральных чисел .
4.3 Правило умножения	десятичной	дроби на 10 .
Получим	десятичную	дробь 0,09965 , которая является дополнением до 0,1 дроби 0,00035 .
Как умножить	десятичную	дробь на 1000 ? .
3 Как умножить	десятичную	дробь на разрядную единицу ? .
Возьмём	десятичную	запись числа 511 634 .
9 Переведите числа из двоичной системы счисления в	десятичную	.
Выражения , записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на	десятичную	запись .
Поэтому слева добавляют цифру 0 и получают	десятичную	дробь 0,82164 .
4 По какому правилу можно разделить	десятичную	дробь на натуральное число ? .
7 Как записать	десятичную	дробь в виде обыкновенной ? .
Получим	десятичную	дробь 0,666667 , которая является дополнением до 1 дроби 0,333333 .
Поэтому слева приписываем 0 как пятую цифру , ставим	десятичную	запятую , а перед ней записываем ещё одну цифру 0 — целую часть произведения .
Переведём смешанную дробь	десятичную	.
6 Заменив	десятичную	дробь обыкновенной , вычислите .
6 Следующие числа переведите из троичной системы счисления в	десятичную	.
3 Переведите в	десятичную	систему счисления следующие числа , записанные в системе счисления с основанием 4 .
Разделить	десятичную	дробь на натуральное число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
11 Найдите	десятичную	запись для чисел .
6 Запишите	десятичные	дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
12 Дано число 1,4142136 . а ) Найдите его	десятичные	приближения с недостатком с точностью .
4 Запишите число в виде суммы целой части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие	десятичные	знаки по следующему образцу .
Выпишите его	десятичные	приближения с избытком с точностью до .
Числа записывают столбиком так , чтобы	десятичные	запятые стояли строго одна под другой .
5 Как найти	десятичные	приближения натурального числа с точностью до 10 m ? .
7 Запишите	десятичные	дроби в строку по образцу/. 8 Запишите десятичные дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
10 Запишите все	десятичные	дроби , у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных знака .
1 Перепишите	десятичные	дроби в строку по образцу .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются натуральные числа , записывающиеся теми же цифрами , что и	десятичные	дроби .
5 Выпишите в порядке возрастания все	десятичные	дроби с одним десятичным знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
По какому общему правилу складывают	десятичные	дроби ? .
6 Как определяются	десятичные	приближения с избытком с точностью до разрядной единицы ? .
Продолжая дальше подбирать	десятичные	знаки для а , сможем добиться любой нужной точности как с избытком , так и с недостатком .
19 Найдите	десятичные	приближения стороны квадрата площади 3 см2 : .
2 Как записываются	десятичные	дроби ? .
3 Запишите	десятичные	дроби из задачи 2 в виде обыкновенных правильных или смешанных дробей .
Узнаете , как их читать и записывать , как сравнивать и выполнять над ними арифметические действия , как находить	десятичные	приближения с недостатком и с избытком .
При сложении десятичных дробей числа записывают в столбик так , чтобы	десятичные	запятые стояли строго одна под другой .
Рассмотрим	десятичные	приближения для числа .
В отличие от приближений снизу ,	десятичные	приближения сверху всегда больше исходного числа .
5 Как определяются	десятичные	приближения с недостатком с точностью до разрядной единицы ? .
2 По какому правилу умножаются	десятичные	дроби ? .
1 По какому правилу складываются	десятичные	дроби ? .
В этой главе вы будете изучать важные в практической деятельности	десятичные	дроби .
14 Запишите свой рост в метрах , используя	десятичные	дроби .
13 Запишите величины , используя	десятичные	дроби .
1 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до десяти для следующих чисел .
3 Как сравниваются	десятичные	дроби по их записи ? .
2 Найдите	десятичные	приближения сверху и снизу с точностью до сотни для следующих чисел .
Это свойство отличает	десятичные	приближения от значений с недостатком .
7 Запишите десятичные дроби в строку по образцу/. 8 Запишите	десятичные	дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ;	десятичным	приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Для числа а	десятичным	приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
17 Известно , что 1,2 является	десятичным	приближением числа х с недостатком с точностью до 0,1 .
5 Выпишите в порядке возрастания все десятичные дроби с одним	десятичным	знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
Тогда b + 10 m называется	десятичным	приближением сверху для числа а с точностью до 10 m. Например , десятичными приближениями сверху для уже рассмотренного выше числа 209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
а ) с одним	десятичным	знаком . б ) с двумя десятичными знаками .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется	десятичным	приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Тогда b + 10 m называется десятичным приближением сверху для числа а с точностью до 10 m. Например ,	десятичными	приближениями сверху для уже рассмотренного выше числа 209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
Цифры дробной части десятичной дроби называют	десятичными	знаками дроби .
В таком случае иногда говорят , что 0,11 и 0,12 являются	десятичными	приближениями с точностью до 0,01 для дроби .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его	десятичными	приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
с тремя	десятичными	знаками .
Какие числа являются	десятичными	приближениями для числа 3,14 снизу и сверху с точностью до 0,0001 ? .
Например , числа 0,333 и 0,334 являются	десятичными	приближениями снизу и сверху соответственно с точностью до 0,001 для числа .
8 Укажите все числа х с шестью	десятичными	знаками после запятой , для которых выполняются неравенства .
Являются ли числа 0,111 и 0,112	десятичными	приближениями с недостатком и с избытком для дроби ? .
13 Известно , что числа 1,732050 являются	десятичными	приближениями с недостатком для некоторого числа .
Почему дробь с шестью	десятичными	знаками может равняться дроби с двадцатью десятичными знаками ? .
Почему дробь с шестью десятичными знаками может равняться дроби с двадцатью	десятичными	знаками ? .
а ) с одним десятичным знаком . б ) с двумя	десятичными	знаками .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются	десятичными	приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7 десятичных знаков после запятой .
При этом ограничимся	десятичными	приближениями снизу с точностью до единицы высшего разряда .
Действия над	десятичными	дробями с помощью калькулятора выполняются нажатием клавиш в определённой последовательности .
Их называют	десятичными	дробями .
В этом случае иногда говорят , что 0,1 и 0,2 являются	десятичными	приближениями с точностью до 0,1 для дроби .
2.3 Какие из указанных десятичных дробей являются	десятичными	приближениями с недостатком для числа 0,308091 ? .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел	десятичных	знаков сомножителей .
Какие из указанных	десятичных	дробей являются приближениями с недостатком для числа 4,89305 ? .
2 По какому правилу вычисляется разность	десятичных	дробей ? .
Таким образом , после запятой должно быть шесть	десятичных	знаков , и значит , три нуля перед цифрами 7 , 0 , 3 .
Сколько	десятичных	знаков после запятой может иметь правильная дробь со знаменателем1020 ? .
Число нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу	десятичных	знаков дробной части , то есть шести .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m	десятичных	знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить вычитание	десятичных	дробей с использованием дополнения до числа 1 .
5 Сколько	десятичных	знаков числа к вам известно ? .
2.1 Какие из	десятичных	цифр не используются при записи чисел в системе счисления с основанием 4 ? .
1.6 Изображение	десятичных	дробей на числовой прямой .
3.5 Использование дополнения при вычислении разности	десятичных	дробей .
3.1 Сложение	десятичных	дробей с равными знаменателями .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения	десятичных	дробей .
При изображении на числовой прямой	десятичных	дробных разрядных единиц будем получать точки , « подходящие » к нулю всё ближе и ближе .
3 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
Число десятичных знаков в произведении	десятичных	дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
4 Приведите примеры числа и его	десятичных	приближений с точностью до : а ) 1 ; б ) 0,1 ; в ) 0,01 .
Вычитание	десятичных	дробей похоже на вычитание натуральных чисел .
1.5 Связь	десятичных	дробей с десятичной метрической системой единиц .
2.5 Определение	десятичных	приближений .
3.3 Правило вычитания	десятичных	дробей .
Например , в записи числа 81,6539 имеется четыре	десятичных	знака : 6 , 5 , 3 и 9 .
4.5 Вычисление	десятичных	приближений для числа .
1 Какая из	десятичных	дробей больше .
2.3 Какие из указанных	десятичных	дробей являются десятичными приближениями с недостатком для числа 0,308091 ? .
Запись	десятичных	приближений .
2.1 Целая часть каких из указанных	десятичных	дробей равна 1 ? .
4.2 Правило умножения	десятичных	дробей .
Возьмём натуральное число а , в записи которого n	десятичных	знаков .
Заметим , что число	десятичных	знаков сомножителей в сумме также равно пяти .
Количество	десятичных	знаков произведения равно числу нулей в записи знаменателя .
2.2 Какие из указанных	десятичных	дробей являются приближениями с избытком для числа 19,0909 ? .
5 Запишите числа в виде	десятичных	дробей : а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7	десятичных	знаков после запятой .
Умножение	десятичных	дробей похоже на умножение натуральных чисел .
11 Запишите с помощью	десятичных	дробей .
4.1 Соответствие между произведением	десятичных	дробей и произведением их числителей и знаменателей .
2.2 Дробная часть каких из указанных	десятичных	дробей равна .
При сложении	десятичных	дробей числа записывают в столбик так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
Число	десятичных	знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
3.2 Правило сложения	десятичных	дробей .
10 Запишите все десятичные дроби , у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два	десятичных	знака .
Сокращение записи	десятичных	разрядных единиц .
Умножение	десятичных	дробей .
2.1 Правило сравнения	десятичных	дробей .
3 Во сколько раз : а ) десяток больше единицы ; б ) сотня больше	десятка	; в ) тысяча больше сотни ? .
Как прочитать натуральное число , следующее за числом , равным 11	десяткам	? .
В дальнейшем десяти	десяткам	дали отдельное название — сотня , десяти сотням — тысяча и так далее .
Например , потому что это произведение равно	десяткам	; потому что это произведение равно 24 сотням .
Будем изображать их частями круга , разделённого радиусами на 10 равных частей и размеченными по окружности	десятками	.
Имея числа 10 , 100 , 1000 , мы можем считать десятки предметов , сотни предметов , тысячи предметов ,	десятки	тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать числа от 1000 до 999 999 .
Добавив к известным нам числам миллион , мы сможем считать миллионы ,	десятки	миллионов , сотни миллионов и так далее .
Будем считать , что на каждой линейке числу 1 соответствует отрезок в 1 мм , сантиметровым делениям соответствуют	десятки	, десятисантиметровым — сотни .
Имея числа 10 , 100 , 1000 , мы можем считать	десятки	предметов , сотни предметов , тысячи предметов , десятки тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать числа от 1000 до 999 999 .
12 Как записываются	десятки	и сотни в римской нумерации ? .
Дальнейшее нахождение суммы сводится к сложению	десятков	.
При умножении 5836 на число 4	десятков	второго сомножителя записываем под чертой ещё две строки по тем же правилам , что и выше .
При этом в десятичной записи суммы появляется 1 в разряде	десятков	.
Но крайнюю правую цифру помещаем в разряд	десятков	.
Полученную запись можно сократить , если в приведённой схеме у числа 10 не указывать цифру 0 , а запись цифры 1 сохранить в том же столбце	десятков	, где она и была записана .
Чему приблизительно равно расстояние от дома до школы с точностью : а ) до	десятков	метров ; б ) до сотен метров ; в ) до километра ? .
Затем выполним сложение чисел 60 и 80 в разряде	десятков	.
Тот факт , что 100 состоит из 10	десятков	, с помощью умножения записывается так .
Первое слагаемое содержит целое число	десятков	и поэтому делится на 2 .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число	десятков	, потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце	десятков	.
1 Назовите одним словом : а ) десять единиц ; б ) десять сотен ; в ) сто	десятков	тысяч ; г ) десять тысяч сотен .
8 Укажите число , запись которого содержит только 4 тысячи , 5 сотен , 6	десятков	и 2 единицы .
После этого выполним сложение в разряде	десятков	и получим окончательный результат .
10 Сколько	десятков	: а ) в сотне ; б ) в тысяче ; в ) в десяти миллионах ; г ) в миллиарде ? .
Нахождение суммы двузначного и однозначного числа сводится к сложению однозначных чисел и	десятков	.
Подбирая целое число	десятков	, мы попробовали взять 20 и в результате получили .
Это число можно прочитать как « тысяча миллионов » , или « миллион тысяч » , или « сто миллионов	десятков	» , или « десять миллионов сотен » , или « десять тысяч сотен тысяч » , или « десять сотен миллионов » .
Его пишем под чертой в разряде	десятков	, а во второй строке ничего не пишем .
Поэтому заимствуем одну единицу из разряда	десятков	в уменьшаемом .
Переходя к столбцу	десятков	, учитываем , что число десятков уменьшаемого стало на 1 меньше .
Переходя к столбцу десятков , учитываем , что число	десятков	уменьшаемого стало на 1 меньше .
Поскольку , то подберём число а	десятков	так , чтобы произведение а было меньше либо равно 5386 , но было больше 5386 .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой разряда единиц , цифру 2 — цифрой разряда	десятков	, цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Следующая цифра 5 — это цифра разряда	десятков	.
Поэтому вычитаем из 8 число 4 , а результат 4 записываем в ответ в столбце	десятков	.
Но так как число тысяч равно нулю , то из следующего разряда	десятков	тысяч заимствуем единицу .
Например , если число в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого числа	десятков	.
Следовательно , мы взяли больше	десятков	, чем нужно .
Четвёртая справа цифра 0 — это цифра разряда тысяч , следующая цифра 1 — цифра разряда	десятков	тысяч , самая левая цифра 2 — цифра разряда сотен тысяч .
Теперь считаем , что в разряде тысяч у уменьшаемого стоит 9 ввиду заимствования на предыдущем шаге единицы в разряде	десятков	тысяч .
Переходя к столбцу	десятков	тысяч , учитываем , что цифра 5 уменьшаемого стала на 1 меньше .
Цифру 5 пишем под чертой в разряде тысяч , а цифру 1 — во второй строке в разряде	десятков	тысяч .
Запись сложения	десятков	« столбиком » выглядит похоже на запись сложения « столбиком » однозначных чисел .
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда	десятков	— под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
цифра	десятков	( второго разряда ) .
Цифру 8 пишем под чертой в разряде единиц , а цифру 1 — во второй вспомогательной строке в разряде	десятков	.
Поэтому полученную запись нужно зачеркнуть и решить данный пример заново , подбирая меньшее число	десятков	.
Разница лишь в том , что в результате получается или целое число	десятков	в пределах до ста , или дополнительная сотня .
Поэтому вычитаем из 4 число 2 , а результат 2 записываем в ответ в столбце	десятков	тысяч .
Сложение двух чисел , содержащих целое число	десятков	в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа	десятков	, произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Наряду с единицей ,	десятком	и сотней особо выделяются числа : тысяча , десять тысяч и сто тысяч .
4 На сколько единиц : а )	десяток	больше единицы ; б ) сотня больше единицы ; в ) тысяча больше сотни ? .
3 Во сколько раз : а )	десяток	больше единицы ; б ) сотня больше десятка ; в ) тысяча больше сотни ? .
Другие считают , что X ведёт своё происхождение от двух линий , которыми перечёркивали	десяток	чёрточек .
Как проверить , что	диагонали	квадрата делятся пополам в точке их пересечения ? .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению :	диагонали	квадрата делят его утлы пополам .
Это свойство становится особенно наглядным , если вырезать квадрат из бумаги и перегнуть его вдоль	диагонали	.
Свойство	диагонали	прямоугольника .
Точка К — середина стороны АВ , точка L на	диагонали	АС расположена так , что AL 3LC .
Получаем следующее свойство :	диагонали	прямоугольника равны .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину	диагонали	квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить рациональным числом метров .
Сколько углов образуют	диагонали	квадрата с его сторонами ? .
Проведите	диагонали	.
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как	диагональ	прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как	диагональ	прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
Возьмём прямоугольный треугольник MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём	диагональ	АС и обозначим углы .
Возьмём любой прямоугольник ABCD и проведём	диагональ	АС , то есть отрезок , соединяющий не соседние вершины .
Чему равна	диагональ	квадрата со стороной см ? .
5 Какими свойствами обладает	диагональ	квадрата ? .
16 Что длиннее : сторона квадрата или его	диагональ	?
Проведём	диагональ	АС .
Мы установили следующее свойство :	диагональ	прямоугольника делит его на два равных треугольника .
1.3 В прямоугольнике ABCD	диагональ	АС образует угол в 25 ° со стороной CD .
Соединив две противоположные вершины четырёхугольника , получим его	диагональ	.
Какой угол образует	диагональ	АС со стороной СВ ? .
а ) Как	диагональ	квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
1 )	диагональ	прямоугольника делит его на два равных треугольника .
1 Что такое	диагональ	? .
17 Может ли	диагональ	ромба быть короче его стороны ? .
6 В каком прямоугольнике биссектриса его угла является	диагональю	этого прямоугольника ? .
Про угол C