Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Биссектриса	угла .
	Величина	угла .
	Величина	одного из них на 20 ° меньше величины другого .
	Величина	одного из них в 4 раза больше величины другого .
	Величина	одного из них в 2 раза больше величины другого .
	Величина	одного из углов на 40 ° больше величины другого .
	Величину	угла иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о величинах углов .
	Величины	измерение .
	Величины	порядок угла .
	Величины	переменные .
	Вершина	треугольника .
	Вершина	многоугольника .
	Вершина	угла , образованного отрезками .
	Вершина	четырёхугольника .
	Вершины	их прямых углов будут центром квадрата .
	Вершины	полученных клеточек будем называть узлами клетчатой бумаги или узлами сетки .
27 На ящике с болтами имеется надпись : «	Вес	брутто 49,2 кг , тара 6,8 кг » .
18	Возведите	в квадрат числа .
	Выражение	буквенное .
	Выражение	числовое .
	Выражения	« а в третьей степени » и « а в кубе » также означают одно и то же .
	Выражения	, записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на десятичную запись .
	Выражения	вида а < b , с > d называют неравенствами , а сами знаки « > » и « < » называют знаками неравенства .
4	Высота	дымовой трубы равна 20 м , её внешний диаметр равен 3 м , а внутренний равен 2 м .
	Вычитаем	из 9 число 3 , а результат записываем в ответ в столбце тысяч .
Уменьшаемое ;	Вычитаемое	; Разность .
	Вычитаемое	.
	Вычитаемое	; Разность .
3.7	Вычитание	дробей с одинаковыми знаменателями .
	Вычитание	производят поразрядно , начиная с разряда единиц .
	Вычитание	десятичных дробей похоже на вычитание натуральных чисел .
	Вычитание	дробей свелось к вычислению разности натуральных чисел 31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
5.6	Вычитание	числа из обеих частей неравенства .
	Вычитание	.
	Вычитание	станет возможным , если наряду с натуральными числами и нулем рассмотреть отрицательные числа .
	Вычитать	легко , когда вычитаемое является разрядной единицей .
	Вычитать	одно число из другого подбором неудобно .
	Вычитая	, получаем нуль .
	Вычитая	, получим 0,05 .
	Вычитая	ещё раз число 87 из 166 , получим .
	Гипотенуза	.
	Градус	.
Глава 11	ДРОБИ	.
3.3	Двоичная	система счисления .
1.3	Деление	нацело одного натурального числа на другое .
1.1	Деление	на равные части .
	Деление	натуральных чисел .
	Деление	чисел на 2 .
Глава 9	Деление	натуральных чисел .
	Деление	чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число похоже на деление натуральных чисел .
	Деление	нацело .
1.2	Деление	на равные части для целых чисел возможно не всегда .
5	Деление	десятичной дроби на натуральное число .
	Деление	с остатком и деление нацело .
3.9	Деление	на ненулевую дробь .
	Деление	с остатком .
	Деление	.
	Деление	с остатком имеет наглядный геометрический смысл .
3.2	Деление	чисел с остатком .
	Деление	дробей .
	Деление с остатком	.
	Деление с остатком	и деление нацело .
	Деление с остатком	имеет наглядный геометрический смысл .
	Деления	, расположенные ниже нулевой отметки , соответствуют отрицательным значениям температуры .
	Делимое	.
	Делитель	.
8	Делится	ли произведение .
	Делится	ли число 567 на 9 ?
	Делится	ли число 6318 на 2 ? .
	Делится	ли это число на 3 ?
4	Делится	ли число .
	Делится	ли первое слагаемое на 2 ?
4	Делится	ли на 10 : .
1.6	Делить	на нуль нельзя .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	дробь состоит из двух частей .
	Десятичная	система счисления .
	Десятичное	приближение числа а снизу равно 3 520 000 с точностью до 103 .
Глава 13	Десятичные	дроби .
	Десятичные	дроби по их записи сравниваются точно так же , как и натуральные числа .
	Десятичные	приближения чисел применяют в практической деятельности .
	Десятичные	дроби тесно связаны с десятичной метрической системой единиц .
	Десятичные	дроби очень удобно записывать в виде смешанных дробей и тем самым выделять целую часть .
	Десятичные	знаки .
5.3	Десятичные	приближения .
2	Десятичные	приближения .
	Десятичными	дробями будут , например .
	Диагональ	.
	Диагональ	АС квадрата ABCD делит его на два прямоугольных треугольника .
	Диагональ	делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника , площади которых равны .
6	Диаметр	колеса автомобиля равен 60 см. Автомобиль проехал .
7	Диаметр	Земли в 4 раза больше диаметра Луны .
	Длина	сада равна м , а ширина на м меньше .
	Длина	отрезка не превышает длины любой ломаной , соединяющей его концы .
13	Длина	некоторого отрезка АВ равна 40 мм .
	Длина	одной части 2,89 м .
	Длина	окружности .
1.3	Длина	отрезка АВ равна 3 м .
2.3	Длина	отрезка .
1.4	Длина	отрезка АВ равна 7400 мм .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С.	Длина	отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
	Длина	ломаной .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V.	Длина	такого пути будет не меньше длины отрезка NV .
	Длина	каких из указанных отрезков в два раза больше длины отрезка MN ? .
	Длина	.
	Длина	ломаной равна сумме длин всех составляющих её звеньев .
	Длина	отрезков задаётся так , что равные отрезки имеют равные длины .
	Длина	отрезка .
1	Длина	окружности и площадь круга .
	Длина	, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
	Длина	беговой дорожки стадиона равна 400 м .
	Длину	части отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей дробью ( читается « одна вторая » ) .
	Длину	части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
	Длину	, ширину и высоту полки удобнее выражать в сантиметрах .
	Длину	части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и будем считать .
	Длину	отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 2 ] обозначим через дробь ( читается « две вторых » ) .
2.6	Длины	равных отрезков .
	Длины	свойства .
18	Длины	сторон пятиугольника ( при выборе некоторой единицы измерения ) выражаются числами 134 , 167 , 96 , 104 , 119 .
2.3	Длины	сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
14	Длины	некоторых рек : Волга — 3530 км , Днепр — 2201 км , Дон — 1870 км , Северная Двина — 744 км , Обь — 3650 км , Амур — 2824 км , Лена — 4400 км , Енисей — 3487 км .
	Длины	трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина , высота .
2.2	Дробная	часть каких из указанных десятичных дробей равна .
	Дробная	часть .
2.2	Дробные	числа .
	Дробь	0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
	Дробь	, у которой числитель меньше знаменателя , называется правильной дробью .
	Дробь	является приближённым значением с недостатком или с избытком ?
	Дробь	.
	Единица	дробная .
	Единица	разрядная .
	Единица	.
	Единица	100 .
	Единицу	измерения длины изменили так , что число 3 изображается теперь такой точкой А1 , что .
	Единицы	площади .
	Единицы	измерения .
	Единицы	длины .
	Единицы	массы .
	Единицы	объёма .
1.3	Единицы	измерения площади .
Выполняют вычитание по правилам , принятым для натуральных чисел , не обращая внимания на запятые	Запятую	ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
2.4	Знак	приближённого равенства .
	Знаменатель	.
	Знаменатель	общий .
	Значение	этого выражения 191 .
	Значение	приближённое .
	Значение	каких из указанных выражений является чётным числом ? .
	Значение	с недостатком и значение с избытком — это приближённые значения величины .
	Значение	с избытком .
	Значение	с недостатком .
	Значение	квадратного корня из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
	Значение	числа к с недостатком равно 3 , а значение с избытком равно 4 .
	Значение	с избытком для высоты Эвереста можно взять 9200 м , что равно длине 23 кругов по стадиону .
	Значение	.
	Значение	с недостатком для высоты Эвереста можно взять 8800 м , что равно длине 22 кругов по стадиону .
	Значение	числового выражения .
	Значение	х будет тем числом , для которого число равно 234 .
	Значения	а и b в этой формуле следует выражать в одних и тех же единицах измерения длины .
	Значения	с недостатком и с избытком .
	Игра	в шахматы появилась очень давно .
	Катет	.
	Катеты	одинаковой длины при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их прямые углы .
	Катеты	АВ и CD равны , как противолежащие стороны прямоугольника , а катет ВС у них общий .
	Квадрат	.
2.4	Квадрат	со стороной 8 см разделили на две части , причём площадь одной из них в 2 раза больше площади другой .
1.8	Квадрат	.
2.7	Квадрат	и куб числа .
	Квадрат	и прямоугольник .
	Квадрат	— это четырёхугольник , у которого все стороны равны и все углы прямые .
22	Квадрат	и ромб имеют одинаковые стороны .
	Квадрат	, сторона которого равна выбранной единице измерения длины , называют эталоном .
	Квадрат	какого наибольшего натурального числа можно точно вычислить на таком калькуляторе ? .
	Квадрат	также является прямоугольником .
2	Квадрат	со стороной 4 см разрезали на два равных треугольника .
	Квадрат	со стороной а — это прямоугольник со сторонами а и а .
14	Квадрат	ABCD сложен из четырёх одинаковых малых квадратов .
2.4	Квадраты	каких из указанных чисел больше 7 ? .
	Квадраты	ABCD , CDEF и EFGH расположены .
	Квадраты	BNMA и BKLC имеют соответственно площадь .
	Корень	этого уравнения можно найти подбором .
	Корень	квадратный .
	Корень	.
	Корень	кубический .
3	Корень	квадратны .
	Корень	уравнения .
	Корень	х уравнения обозначают .
	Круг	.
	Логарифм	числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
	Ломаная	такого вида называется простой ломаной .
	Ломаная	обозначается перечислением вершин в том порядке , в каком они соединяются отрезками .
	Ломаная	EFGHI имеет различные концы и не пересекает сама себя .
	Ломаные	.
	Луч	BD провели так , что точка D лежит внутри угла АВС и ∠DBC 45 ° .
2.4	Луч	делит прямой угол на два неравных угла .
Глава 6	Луч	, пряма .
2.3	Луч	делит прямой угол на два неравных угла .
	Луч	— неограниченная фигура .
	Луч	этой числовой прямой от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
	Луч	, проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
	Луч	AD проведён так , как указано .
	Луч	начало .
	Луча	свойства .
	Лучи	ОВ и OD лежат на одной прямой и дополняют друг друга .
	Многоугольник	обозначается , как и в случае треугольника , четырехугольника , пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних вершин .
	Многоугольник	тоже можно считать ломаной , у которой начало совпадает с концом .
	Многоугольник	.
	Многоугольники	( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
2.6	Многоугольники	.
	Множитель	.
5	Найдите	такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
	Найдите	х .
1	Найдите	запись числа 1995 в четверичной системе счисления .
	Найдите	его объём , если .
15 Даны два луча ОА и ОВ с общей вершиной О.	Найдите	общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти луча .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС.	Найдите	длину АС .
7	Найдите	значения выражений .
	Найдите	длины сторон прямоугольника .
1	Найдите	последнюю цифру суммы чисел .
8 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка АВ .
1	Найдите	значения .
4	Найдите	целые приближения с недостатком и с избытком для .
	Найдите	периметр треугольника .
	Найдите	величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых .
18	Найдите	х , если : а ) 7 % от х равны 140 ; б ) 60 % от х равны 23 .
15	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
5	Найдите	объём шара , если его радиус равен .
12	Найдите	число сторон и число вершин многоугольника .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС.	Найдите	длину АС .
	Найдите	градусную меру угла МОК , сложив градусные меры углов ΜΟΝ и ΝΟΚ , и запишите результат .
22	Найдите	неизвестное число х , если .
20	Найдите	периметр треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
9	Найдите	.
11	Найдите	десятичную запись для чисел .
19	Найдите	периметр четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
19	Найдите	величину b , если .
	Найдите	эти числа .
8	Найдите	.
7	Найдите	.
17	Найдите	разность чисел .
б )	Найдите	среди них прямоугольный треугольник .
	Найдите	стороны прямоугольника .
34	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 365 мм , а другая на 77 мм меньше .
21	Найдите	сумму всех чисел от 1 до 100 .
12 Дано число 1,4142136 . а )	Найдите	его десятичные приближения с недостатком с точностью .
1	Найдите	десятичные приближения снизу и сверху с точностью до десяти для следующих чисел .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см.	Найдите	длины сторон прямоугольника .
2	Найдите	площадь фигуры ABCDEF если |АВ| = 6 см , |ВС| = 8 см , |DE| = 3 см , |EF| = 2 см .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и высотой Н.	Найдите	площадь основания этого столба , если .
7	Найдите	число х , если .
3	Найдите	: а ) 18 % от 50 ; б ) 50 % от 18 .
2	Найдите	запись числа 1995 в восьмеричной системе счисления .
9	Найдите	две последние цифры чисел 52 , 53 54 и так далее до 510 .
16	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
	Найдите	сумму величин всех углов треугольника .
2	Найдите	: ж ) 20 % от 1 часа 35 минут .
	Найдите	все его углы .
11 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка АО .
	Найдите	её глубину , если .
10	Найдите	.
2	Найдите	.
11 а )	Найдите	значение выражения , если х равно : 5671 ; 13 275 ; 174 679 .
	Найдите	площадь , занимаемую сушей и водой на всей Земле и в каждом полушарии отдельно , если поверхность земного шара приблизительно равна 510 млн км2 .
2	Найдите	десятичные приближения сверху и снизу с точностью до сотни для следующих чисел .
	Найдите	частное .
	Найдите	хотя бы одно такое число .
15	Найдите	скорость по формуле v в следующих случаях : а ) за 2 ч пройдено 8 км ; б ) за 12 мин проехали 8100 м .
4	Найдите	.
4	Найдите	наибольшую и наименьшую из дробей .
	Найдите	разность .
9 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка BD .
17	Найдите	произведения .
11	Найдите	значения площади с недостатком и с избытком для круга , принимая длину одного шага сетки за 2 см .
8	Найдите	значения выражений .
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см.	Найдите	третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
14	Найдите	по формуле пути S расстояние , которое преодолевается : а ) за 2 ч со скоростью 30 км / ч ; б ) за 15 мин со скоростью 40 м / мин .
	Найдите	суммы .
9	Найдите	объём земной атмосферы , если она простирается над поверхностью Земли на высоту приблизительно 100 км , а радиус Земли равен 6370 км .
11	Найдите	.
	Найдите	вес пустого ящика .
5	Найдите	площадь участка , план если |GH| 7 м .
19	Найдите	десятичные приближения стороны квадрата площади 3 см2 : .
12	Найдите	частные .
6	Найдите	прямоугольный треугольник , в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
20	Найдите	неполное частное и остаток при делении чисел .
17	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
3	Найдите	площади прямоугольных треугольников с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
	Найдите	величину угла ВОС .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .	Найдите	все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
29	Найдите	значения выражений .
	Найдите	неполное частное .
	Найдите	длину ребра куба , имеющего такой же объём .
	Найдите	отношение площадей поперечного сечения и сравните это отношение с отношением соответствующих скоростей течения реки .
13 Комната имеет длину 5 м и ширину 3 м 21 см . а )	Найдите	площадь пола в квадратных метрах с избытком и недостатком .
19	Найдите	периметр квадрата ( при выборе некоторой единицы измерения ) , сторона которого равна 12 .
	Найдите	отношение масс 62,4 г и 15,6 г. Сравните полученное отношение с отношением соответствующих объёмов стали .
1	Найдите	устно произведение .
3	Найдите	.
	Найдите	периметр пятиугольника .
15	Найдите	.
17	Найдите	.
14 Один кубический метр воздуха весит 1204,7 г.	Найдите	вес воздуха в вашем классе .
4 Число 1 741 949 на 16 137 меньше числа х.	Найдите	х .
7	Найдите	разности чисел .
31	Найдите	неизвестное х , если .
11	Найдите	площадь прямоугольника со сторонами а и b , если .
5	Найдите	.
10 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка ВС .
	Найдите	диаметр шайбы , если известно , что площадь отверстия в 2 раза меньше площади кольца .
5	Найдите	остаток от деления числа ( 3233)4 на ( 13)4 .
14	Найдите	в шагах сетки длину ломаной .
	Найдите	периметр большого многоугольника в шагах сетки .
10	Найдите	значения выражений .
	Найдите	число а .
13	Найдите	частные .
23	Найдите	значения выражений .
23	Найдите	периметр прямоугольника , одна из сторон которого равна см , а другая сторона на см больше .
7	Найдите	наибольшее и наименьшее из чисел .
12 а )	Найдите	значение выражения ; б ) При каком х значение выражения равно 10 000 ? .
6 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка AD .
21	Найдите	значения выражений .
	Найдите	число его сторон и число его вершин .
28	Найдите	разности .
20	Найдите	число , которое больше .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см.	Найдите	третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
	Найдите	их сумму .
	Найдите	частное 567 : 9 .
2	Найдите	объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра а , b и с которого равны .
	Найдите	наибольшее натуральное число , которое меньше всех указанных .
13	Найдите	значение выражения .
17	Найдите	суммы .
8	Найдите	сумму наибольшего четырёхзначного и наименьшего пятизначного чисел .
	Найдите	площади фигур .
7	Найдите	площадь треугольника АВС .
4	Найдите	радиус Земли , считая длину земного экватора равной 40 000 км .
	Найдите	отношение расстояний в 50 км и 20 км и сравните его с отношением соответствующих значений израсходованного бензина .
9	Найдите	сумму наибольшего пятизначного и наименьшего четырёхзначного чисел .
4	Найдите	число , большее .
14	Найдите	пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы среди всех отрезков , соединяющих эти точки , была пара непересекающихся отрезков .
4	Найдите	суммы двух указанных сумм .
7 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что .	Найдите	длину отрезка CD .
15	Найдите	число , дробная часть которого на 2 меньше его целой части .
15	Найдите	пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
20	Найдите	сумму всех чисел от 1 до 10 .
	Найдите	длину отрезка АБ .
1	Найдите	целые и дробные части следующих чисел .
	Найдите	площади букв .
4 а )	Найдите	площади четырёхконечных звёзд .
22	Найдите	произведения .
1	Найдите	размеры спичечной коробки и вычислите её объём в кубических сантиметрах .
	Найдём	, например , сумму чисел 22 и 75 .
	Найдём	, сколько литров воздуха вмещает воздушный шарик с радиусом .
	Найдём	площадь треугольника АВС .
	Найдём	сумму длин всех сторон 10 ( см ) .
	Найдём	площадь S четырёхугольника ABCD на Разделим его отрезками АС и BD на четыре треугольника .
	Найдём	, сколько кругов по стадиону нужно пробежать , чтобы получилось примерно такое же расстояние .
	Найдём	для этой величины значения с недостатком и с избытком в часах .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/.	Найти	m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
	Найти	100 % от числа а — значит вычислить .
	Натуральное	число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
	Натуральное	число , следующее за числом 999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
	Натуральное	число а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
	Натуральное число	а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
	Натуральное число	m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
	Натуральное число	, следующее за числом 999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
	Натуральные	числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
	Натуральные	числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
	Натуральные	числа составляют часть всего множества целых чисел .
2.1	Натуральные	числа .
Глава 3	Натуральные	числ .
	Натуральные	числа можно считать противоположными отрицательным целым числам .
	Натуральные числа	составляют часть всего множества целых чисел .
	Натуральные числа	в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
	Натуральные числа	можно считать противоположными отрицательным целым числам .
2.1	Натуральные числа	.
	Натуральные числа	легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
	Натуральных	чисел оказывается недостаточно для всех потребностей теории и практики .
	Натуральных чисел	оказывается недостаточно для всех потребностей теории и практики .
	Необходимо	добавить к ним специальное целое число нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
5.4	Неравенства	.
	Неравенство	двойное .
	Неравенство	( -а ) .
	Неравенство	треугольника .
	Нуль	.
	Нуль	число .
	Нуль	цифра .
1.11	Окружность	и круг .
	Окружность	ограничивает область , то есть все те точки плоскости , которые находятся внутри окружности .
	Окружность	.
2.5	Основание	и показатель степени .
	Основания	цилиндра являются равными кругами .
	Остаток	от деления числа 4147 на 19 записан под делимым в самой нижней строке и равен 5 .
3.4	Остаток	0 .
5.1	Острый	и тупой угол .
	Откладываем	последовательно от 0 отрезки длины b , получаем отрезки длиной 36 , 54 .
	Отложив	его вправо от нуля , получим число 9 .
	Отложив	от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной , видим , что правый конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
	Отложив	от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
1.3	Отрезком	какой длины изображается расстояние в 400 м на карте с масштабом 1 : 10 000 ? .
	Отрезок	длины 54 получен откладыванием отрезка длиной 9 шесть раз .
2	Отрезок	равен самому себе .
2.1	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 427 мм и 273 мм .
1.1	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 6 м и 7 мм .
10	Отрезок	АО равен отрезку ОБ .
	Отрезок	.
	Отрезок	какой длины изображается на бумаге отрезком длины 12 см при масштабе 40 : 3 ? .
1.2	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ , длины которых равны 201 см и 135 мм .
1.1	Отрезок	.
	Отрезок	— одна из простейших геометрических фигур .
1.3	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ .
	Отрезок	с выделенной между его концами точкой треугольником не считается .
	Отрезок	длины 9 восемь раз укладывается в отрезке длины 75 .
1.4	Отрезок	АВ составлен из двух отрезков АС и СВ .
	Отрицательные	числа будут изображаться точками , расположенными слева от начала отсчёта .
2.3	Отрицательные	числа .
	Отрицательные	числа записываются со знаком « - » , то есть « минус » , перед соответствующим числом .
2.5	Отрицательные	разности .
	Параллелепипед	.
1.9	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	.
	Периметр	.
	Периметр	многоугольника .
	Периметром	многоугольника называется сумма длин всех его сторон .
	Плоские	фигуры .
1.2	Плоский	угол .
	Плоский	угол можно разместить в некоторой полуплоскости , а плоский угол ни в какой полуплоскости разместить невозможно .
	Плоскость	.
2	Площади	прямоугольника и квадрат .
	Площади	участков земли измеряются также в гектарах ( га ) и сотках ( арах ( а ) ) .
1.2	Площадь	фигур на клетчатой бумаге .
	Площадь	всегда выражается неотрицательным числом и имеет четыре следующих основных свойства .
	Площадь	квадрата зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
	Площадь	квадрата со стороной а выражается числом .
5	Площадь	прямоугольного треугольника равна 4 см2 .
2	Площадь	какой геометрической фигуры принимают за единицу измерения площади ? .
	Площадь	четырёхугольника .
	Площадь	S четырёхугольника ABCD равна сумме найденных площадей треугольников , поэтому .
	Площадь	квадрата была клеточки , а площадь прямоугольника стала клеточек .
5.2	Площадь	треугольника .
	Площадь	квадрата BPRT равна .
	Площадь	прямоугольника MNKB равна .
	Площадь	треугольника AM В равна .
	Площадь	треугольника ВКС равна .
	Площадь	треугольника ANC равна .
	Площадь	этой области принимают за площадь треугольника .
	Площадь	одной клеточки примем за единицу измерения площади и обозначим её через 1 k2 .
Глава 12	Площадь	.
	Площадь	квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
4	Площадь	прямоугольного треугольник . 4.1 .
	Площадь	площадки найдём по формуле с избытком .
	Площадь	одной комнаты 17,1 м2 , а площадь второй 9,8 м2 .
1.4	Площадь	круга .
	Площадь	треугольника АВС часто обозначается через SAABC .
	Площадь	квадрата KLMN больше площади квадрата ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
	Площадь	круга .
	Площадь	второй фигуры равняется 10k2 .
Добавим к нему два квадрата со стороной в один шаг	Площадь	этой фигуры равняется 6k2 .
	Площадь	прямоугольника ABCD в 5 раз больше площади прямоугольника .
2.2	Площадь	квадрата .
	Площадь	основные свойства .
	Площадь	квадрата .
	Площадь	получившейся фигуры составит .
	Площадь	прямоугольника .
	Площадь	четвёртой фигуры будет .
	Площадь	одной полоски равна а , так как она состоит из а клеточек .
	Площадь	.
	Площадь	третьей фигуры составляет 9k2 .
	Площадь	четвёртой фигуры будет равна 8k2 .
	Площадь	прямоугольного треугольника .
« Держите курс на зюйд - вест ! — приказал капитан »	Подобные	фразы можно встретить во многих приключенческих романах .
	Подобные	записи называют числовыми выражениями .
	Подобным	образом можно рассмотреть записи чисел в системах счисления с другими основаниями , например 3 , 5 , 8 .
9	Поля	шахматной доски раскрашены в белый и чёрный цвета .
4.2	Порядок	в ряду натуральных чисел .
	Прибавляя	к обеим частям одно и то же число получаем верное неравенство .
	Приближённое	значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
	Приближённое	значение корня .
2.3	Приближённое	нахождение площади .
3.3	Приближённое	значение .
	Приближённое	равенство .
	Приближённое	значение .
	Приближённое	снизу ( слева ) .
	Приближённое	сверху ( справа ) .
	Приближённое	значение можно найти с помощью таблицы квадратов натуральных чисел .
20	Приближённое	значение старинной русской меры длины верста с недостатком равно 1,066 км .
21	Приближённое	значение с недостатком старинной русской меры длины сажень ( ударение можно ставить и на первом , и на втором слоге ) равно 2,1336 м . а ) Чему равно значение сажени с точностью до 1 мм ? .
5.1	Приближённое	равенство .
5	Приближённые	значени .
4	Приведена	зависимость между площадью S поперечного сечения русла на отдельных участках реки и скоростью течения реки .
	Приведите	таблицу , в которой для каждого из чисел от 1 до 6 указано , сколько раз оно выпало .
33	Приведите	пример двух чисел , одно из которых больше другого .
	Приведите	примеры .
1	Приведите	примеры , когда скобки раскрывают .
	Приведите	к общему знаменателю дроби .
5	Приведите	пример отрезка , который можно назвать гипотенузой и катетом .
10	Приведите	примеры ломаных с самопересечениями .
4	Приведите	примеры числа и его десятичных приближений с точностью до : а ) 1 ; б ) 0,1 ; в ) 0,01 .
6	Приведите	пример двух фигур равной площади , которые не равны друг другу .
3	Приведите	к общему знаменателю и сравните дроби .
3	Приведите	примеры , когда скобки ставят .
	Приведите	пример , когда фигура ADOBE будет многоугольником .
12	Приведите	пример , когда приближение числа с недостатком имеет меньший порядок , чем порядок самого числа .
8	Приведите	примеры сложения чисел .
1	Приведите	примеры , когда значения с избытком или с недостатком достаточно знать .
14	Приведите	примеры известных вам : а ) больших величин ; б ) маленьких величин .
6	Приведите	пример трех чисел , расположенных между числами .
11	Приведите	пример , когда приближение числа с избытком имеет больший порядок , чем порядок самого числа .
12	Приведите	пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
3	Приведите	примеры задач , когда число 2 будет : а ) приближением решения с избытком ; б ) приближением решения с недостатком ; в ) точным решением .
	Приведённые	выше законы сложения и умножения очень важны в математике .
	Приведённые	в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с остатком числа а на число b остаток может равняться .
	Приведённые	выше дроби можно переписать так .
	Произведение	снова является двузначным числом 24 .
	Произведение	n одинаковых сомножителей , равных числу а , называется степенью числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
	Произведение	двух чисел оканчивается цифрой 8 , а первый сомножитель — цифрой 6 .
	Произведение	является однозначным числом 9 .
Рассмотрим дроби и	Произведение	этих дробей равно 1 , так как по правилу умножения справедливо равенство .
4	Произведение	трёх последовательных натуральных чисел равно 1320 .
3.2	Произведение	двух дробей .
	Произведение	.
	Произведение	6 · 3 равно 18 .
	Процент	.
Раствор ;	Процент	соли .
	Прямая	, так же как и луч , обозначается не единственным способом .
	Прямая	делит плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью .
	Прямой	основное свойство .
	Прямой	угол образуют любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
	Прямой	угол .
	Прямой	угол очень легко нарисовать на клетчатой бумаге .
4.1	Прямой	угол .
2.9	Прямой	угол .
	Прямой	угол можно получить на листе бумаги следующим образом : сначала перегнём лист пополам , затем ещё раз перегнём полученный лист , совместив при этом части края первого сгиба .
4	Прямой	угол .
2.9	Прямой угол	.
4.1	Прямой угол	.
4	Прямой угол	.
	Прямой угол	можно получить на листе бумаги следующим образом : сначала перегнём лист пополам , затем ещё раз перегнём полученный лист , совместив при этом части края первого сгиба .
	Прямой угол	очень легко нарисовать на клетчатой бумаге .
	Прямой угол	.
	Прямой угол	образуют любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
	Прямоугольник	можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
2.1	Прямоугольник	на клетчатой бумаге .
	Прямоугольник	.
2.1	Прямоугольник	и его элементы .
	Прямоугольник	— это такой четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно равны , а все углы прямые .
	Прямоугольник	MNKB составлен из треугольников , поэтому можем записать .
4	Прямоугольник	со сторонами 2 см и 4 см разделен диагоналями на четыре треугольника .
1.7	Прямоугольник	.
	Прямоугольники	бывают разные .
	Прямоугольники	и квадраты выделяются из многих фигур плоскости своими свойствами .
	Прямоугольники	, состоящие из клеточек .
	Прямоугольные	треугольники легко изображать на клетчатой бумаге .
Глава 10	Прямоугольные	треугольники .
	Прямоугольные	треугольники MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников .
Глава 10	Прямоугольные треугольники	.
	Прямоугольные треугольники	легко изображать на клетчатой бумаге .
	Прямоугольные треугольники	MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2	Прямоугольный	параллелепипед и его объём .
2.1	Прямоугольный	параллелепипед .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2	Прямоугольный параллелепипед	и его объём .
2.1	Прямоугольный параллелепипед	.
	Прямых	перемещение .
	Путь	от дома до школы можно измерить в метрах .
2.3	Пучок	лучей и противоположные лучи .
	Пятиугольник	, как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних вершин .
2.5	Пятиугольник	.
	Пятиугольник	.
	Равенства	, установленные в этом пункте , часто называют формулами сокращённого умножения .
3.5	Равенство	точек .
	Равенство	фигур на плоскости .
	Равенство	фигур обладает наглядными свойствами , которые используются далее при изучении геометрии .
	Равенство	фигу .
1	Равенство	прямоугольных треугольнико .
	Равенство	дробе .
	Равенство	дробных чисел .
	Равенство	треугольников обозначается обычным символом = .
1.2	Равенство	прямоугольных треугольников .
1.2	Равенство	отрезков .
1.5	Равенство	углов .
	Равенство	отрезко .
	Равенство	углов .
	Равенство	диагоналей прямоугольника .
	Равенство	отрезков .
1.6	Равенство	плоских углов .
	Равенство	отрезков приближённое .
	Равенство	точек .
	Радиус	шара .
	Радиус	окружности .
	Радиус	сферы .
	Радиус	R основания цилиндра называется радиусом цилиндра .
9	Радиус	цирковой арены равен 6,5 м .
1.2	Радиус	некоторой окружности увеличили на 0,5 см. На сколько длина новой окружности больше длины исходной ? .
	Радиус	круга .
	Разделим	этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
	Разделим	этот отрезок на две равные части .
27	Разделите	.
19	Разделите	фигуру на четыре равные части .
11	Разделите	128 на 4 .
	Разделите	его на пять равных частей .
4	Разделите	число ( 1220)4 на 4 .
9	Разделите	с остатком .
	Разделите	его на несколько равных отрезка .
	Разделите	его на четыре равных треугольника .
19	Разделите	с остатком .
	Разделите	его на четыре равных квадрата .
28	Разделите	.
18	Разделите	фигуру на четыре равные части .
20	Разделите	фигуру на четыре равные части .
1	Разделите	с остатком .
	Разделить	с остатком число а на число b — значит найти такие числа q и r , что .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь	Разделить	некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
	Разделить	число а на 2 с остатком — это значит найти такие числа q и n , что , причём .
	Разделить	десятичную дробь на натуральное число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
	Разложение	числа на делители .
	Разности	свойства .
	Разность	между отрезками а и в точности равна остатку r .
Вычитаемое ;	Разность	.
	Разность	.
	Разность	между этими приближениями составляет .
По этому число 0,11 будет приближением с недостатком , а 0,12 — приближением с избытком для дроби	Разность	между этими числами равна 0,01 .
	Разность	между разрядной единицей и числом называют дополнением числа до разрядной единицы .
3	Разность	двух натуральных чисел больше 10 , а уменьшаемое равно 15 .
Уменьшаемое ; Вычитаемое ;	Разность	.
	Разность	двух одинаковых чисел равна нулю .
	Разность	между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению площади треугольника , измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
2.4	Рациональные	и действительные числа .
	Решение	такой задачи можно связать с составлением уравнения .
	Решением	этого уравнения является дробь , так , как основному свойству дроби равно числу .
	Ромб	.
	Секстиллион	1021 .
	Симметрия	плоскости относительно прямой , соединяющей середины отрезков AD и СЕ .
	Система	записи чисел , основанная на буквах славянского алфавита , в старину использовалась на Руси .
3.2	Система	счисления с основанием 4 .
	Система	счисления .
	Системы	счислени . 3.1 .
	Складывают	полученные записи подобно тому , как складываются натуральные числа , записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные дроби .
	Складывая	числа , стоящие под делителем , находим неполное частное , равное 218 .
	Скобки	приходится раскрывать и ставить .
3.1	Скобки	в математике .
1.3	Сложение	двузначного и однозначного числа .
	Сложение	дробей .
3.8	Сложение	и вычитание дробей .
	Сложение	и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
1.7	Сложение	чисел в недесятичных системах счисления .
1.4	Сложение	трёх однозначных чисел .
Глава 5	Сложение	и вычитание натуральных чисе .
	Сложение	многозначных чисел .
	Сложение	нуля с другими числами выполняется по правилу , где а — любое число .
1.9	Сложение	чисел при помощи двух линеек .
3	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложение	двух чисел , содержащих целое число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
3.1	Сложение	десятичных дробей с равными знаменателями .
	Сложение	дробей с равными знаменателями .
	Сложение	.
1.2	Сложение	разрядных единиц .
	Сложение	однозначных чисел .
	Сложение	трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
	Сложение	двузначных чисел .
	Сложение	дробей свелось к вычислению суммы натуральных чисел 5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
	Сложение	чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной системе .
	Сложив	верёвку дважды пополам , получим 1 м .
14	Сложите	дроби .
3	Сложите	числа .
17	Сложите	.
2	Сложите	дроби .
18	Сложите	.
	Сложите	числа .
	Сократите	дроби/. 11 .
9	Сократите	дроби .
	Сократить	запись можно с помощью другой системы обозначений .
	Сомножитель	.
	Степени	показатель .
	Степени	основание .
	Степени	.
2	Степень	числ .
	Сторона	угла .
	Сторона	многоугольника .
	Сторона	соседняя .
	Сторона	четырёхугольника .
	Сторона	( -ы ) .
	Сторона	противоположные .
	Сторона	квадрата равна четырём сторонам клеток .
	Сторона	треугольника .
	Сторона	смежная .
2.3	Стороны	треугольников образуют много отрезков .
8	Стороны	треугольника имеют следующие длины : 10,6 м ; 7,23 м ; 11,5 м .
	Стороны	, выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
	Стороны	этого четырёхугольника — радиусы окружностей .
	Сумма	смежных углов равна 180 ° .
16	Сумма	двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 300 ° .
15	Сумма	двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 120 ° .
16	Сумма	двух чисел равна 890 , а разность равна 100 .
7	Сумма	пяти чисел равна 141 .
	Сумма	двух натуральных чисел всегда является натуральным числом .
2	Сумма	двух натуральных чисел меньше 18 , а одно из чисел равно 14 .
11	Сумма	градусных мер двух углов , смежных с данным углом , равна 60 ° .
10	Сумма	двух углов прямоугольного треугольника равна 91 ° .
	Сумма	углов прямоугольного треугольника .
	Сумма	длин двух любых сторон треугольника больше длины его третьей стороны .
2.2	Сумма	углов прямоугольного треугольника .
	Суммы	равных частей единицы измерения .
	Сфера	ограничивает область , то есть все те точки пространства , которые находятся внутри сферы .
	Сфера	.
	Теорема	Пифагора .
	Теорема	Пифагора справедлива для прямоугольного треугольника АВС с катетами .
	Точка	О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
	Точка	.
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как k , так как длина всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
	Точка	совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
	Точка	М лежит на прямой АС , точка N — на прямой АВ .
Построенный таким образом луч является продолжением отрезка АВ за точку В.	Точка	А называется началом луча .
	Точка	D может совпадать с концом любого отрезка и даже быть общим концом обоих отрезков сразу .
	Точка	их пересечения не считается вершиной данной ломаной .
	Точка	и отрезок .
	Точка	К — середина стороны АВ , точка L на диагонали АС расположена так , что AL 3LC .
	Точки	С и D делят отрезок АВ на три равные части .
	Точки	А , В и С будут вершинами этого треугольника .
4	Точки	А , О и D лежат на одной прямой .
4	Точки	А и В на числовой прямой изображают числа 127 и 139 .
4	Точки	М и N — середины сторон AD и CD квадрата ABCD .
6	Точки	А , О , D расположены на прямой .
	Точки	на плоскости обычно будем обозначать заглавными латинскими буквами .
2.1	Точки	В , С , D лежат на отрезке АВ так , как указано на рис .
	Точки	А , В , С , D являются вершинами квадрата .
	Точки	, которые соединялись , называются концами этого отрезка .
	Точки	А , В , С , D и Е лежат на одной прямой .
1.2	Точки	поставлены так .
	Точки	М , N , К , L лежат на сторонах квадрата ABCD .
	Точки	А и В — это концы отрезка АВ .
	Точку	считают простейшей фигурой на плоскости .
	Точку	деления можно также обозначить через , так как длина отрезка [ 0 ; k ] по определению равна k.
	Третьи	слева цифры не равны .
15	Треугольник	АБС сложен из четырёх одинаковых треугольников с равными сторонами .
	Треугольник	можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
	Треугольник	, у которого один угол прямой , называется прямоугольным .
	Треугольник	прямоугольный .
	Треугольник	.
	Треугольник	, параллелограмм , шестиугольник .
2.2	Треугольник	и его элементы .
	Треугольник	, как составленная из отрезков геометрическая фигура , является границей своей треугольной области .
	Треугольники	, четырёхугольники — это тоже многоугольники , но с определённым числом вершин .
	Треугольники	, которые совмещаются при наложении , называются равными .
	Треугольников	соответственные элементы .
	Треугольником	называется геометрическая фигура , состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
Рассмотрим два различных отрезка АВ и АС с общим концом А.	Углом	между отрезками АВ и АС будем называть угол между лучами АВ и АС .
	Углы	COD и СОВ также смежные , поэтому , откуда .
	Угол	в 90 ° называется прямым .
5	Угол	величиной 72 ° разделён биссектрисой .
1.4	Угол	между отрезками с общим концом .
	Угол	.
	Угол	в 0 ° — это просто луч .
	Угол	, градусная мера которого меньше 90 ° , называется острым углом .
	Угол	, стороны которого не совпадают , имеет градусную меру больше 0 ° .
	Угол	в многоугольнике связан с вершиной и двумя выходящими из неё сторонами , которые иногда называют сходственными .
	Угол	, образованный отрезками .
	Угол	KLD равен сумме острых углов прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
1.1	Угол	между лучами с общей вершиной .
	Угол	, градусная мера которого больше 90 ° и меньше 180 ° , называется тупым углом .
	Уменьшаемое	.
20	Уменьшаемое	равно 85 007 101 , вычитаемое на 1025 меньше этого числа .
	Уменьшаемое	;
	Уменьшаемое	; Вычитаемое ; Разность .
32	Уменьшаемое	в 2 раза больше вычитаемого .
	Умножая	8800 и 9200 получим число , меньшее 8848 , и число , большее 8848 .
	Умножение	тоже подчиняется определённым законам .
2.2	Умножение	натурального числа на степени числа 10 .
	Умножение	и деление обеих частей неравенства на положительную дробь .
2	Умножение	многозначных чисе .
	Умножение	десятичной дроби на разрядную единицу выполняется особенно просто .
	Умножение	чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой таблицы умножения .
Глава 7	Умножение	натуральных чисе .
	Умножение	десятичных дробей похоже на умножение натуральных чисел .
1.7	Умножение	на нуль .
3.3	Умножение	простейших дробей .
	Умножение	целого числа разрядных единиц на однозначное число .
2.5	Умножение	чисел , оканчивающихся нулями .
2.6	Умножение	в недесятичных системах счисления .
	Умножение	десятичных дробей .
3.5	Умножение	величины на дробное число .
	Умножение	чисел .
	Умножим	обе части этого неравенства на положительную дробь и сравним результаты .
20	Умножьте	сумму чисел на разность чисел .
	Умножьте	это число на 4 .
	Уравнение	.
2.3	Фигура	F составлена из двух фигур , площади которых равны 3 дм2 и 68 см2 .
	Фигура	, полученная последовательным соединением точек М , N , К , L , М , не считается четырёхугольником , потому что несоседние отрезки ML и NК пересекаются .
	Фигура	состоит из 21 клеточки , поэтому её площадь равна 21 k2 .
2.3	Фигура	F составлена из двух фигур , площади которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q площадь фигуры F равна 2000 см2 ? .
1.4	Фигура	составлена из четырёх треугольников .
	Фигура	неограниченная .
	Фигуры	не одинаковы .
	Фигуры	равносоставленные .
	Фигуры	на плоскости .
1	Фигуры	на плоскости .
2.1	Целая	часть каких из указанных десятичных дробей равна 1 ? .
	Целая	часть второго числа больше целой части первого , поэтому второе число больше .
	Целая	часть числа .
	Целая	и дробная части числа .
15	Целая	часть числа а больше целой части числа b. Покажите , что тогда .
	Целые	части у них одинаковые , цифры десятых тоже одинаковые , а цифра сотых у второго числа больше , чем цифра сотых у первого .
	Целые	и дробные числа все вместе называются рациональными числами .
	Целые	числа условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , значения в котором возрастают слева направо .
	Целые числа	условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , значения в котором возрастают слева направо .
	Центр	окружности .
	Центр	сферы .
	Центр	шара .
	Центр	круг .
3.1	Цилиндр	.
	Четырёхугольник	ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
	Четырёхугольник	.
1.10	Четырёхугольник	.
	Четырёхугольник	, как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних вершин .
	Четырёхугольники	можно разделить вертикальными диагоналями на попарно равные треугольники .
	Числа	записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце : уменьшаемое — вверху , вычитаемое — внизу .
	Числа	1 000 000 000 , 10 000 000 000 , 100 000 000 000 называются также разрядными единицами класса миллиардов .
	Числа	-1 , 0 и любое натуральное число не могут быть корнями этого уравнения .
	Числа	, делящиеся нацело на 2 , называют чётными , а не делящиеся на 2 — нечётными .
	Числа	записывают столбиком так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
	Числа	-1 и 1 иногда называются противоположными друг другу .
	Числа	99,9 делятся на 9 , поэтому вся сумма делится на 9 .
	Числа	1 , 10 и 100 являются разрядными единицами класса единиц , а числа 1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными единицами класса тысяч .
	Числа	« минус одна десятая » и « одна десятая » противоположны друг другу .
	Числитель	.
Число r называется остатком , при делении натурального числа а на b.	Число	q называется неполным частным .
	Число	2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 3 .
	Число	сто , следующее после 99 , обозначается тремя цифрами .
	Число	мы уже находить умеем .
17	Число	а при делении на 29 дало неполное частное 7 и остаток 17 .
	Число	820 627 читается : восемьсот двадцать тысяч шестьсот двадцать семь .
	Число	дробное .
После этого находим на линейке деление напротив точки В.	Число	сантиметров и миллиметров , соответствующее данной отметке , будет результатом измерения .
	Число	n называется показателем этой степени .
	Число	делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 3 .
	Число	сотен второго сомножителя равно нулю , поэтому при умножении 5836 на число сотен получится строка из нулей .
	Число	нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу десятичных знаков дробной части , то есть шести .
	Число	π также не является рациональным .
	Число	3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 1 .
	Число	часов .
	Число	10 000 запишем в виде .
	Число	1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части делится отрезок длиной 1 .
	Число	делится на 2 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
	Число	а4 можно прочитать и как « а в степени 4 » , и как « а в четвёртой степени » , и как « четвёртая степень числа а » .
	Число	десять , следующее после девяти , обозначается двумя цифрами .
	Число	r называется остатком , при делении натурального числа а на b. Число q называется неполным частным .
	Число	0 и любое натуральное число не являются корнями этого уравнения .
	Число	равно произведению .
	Число	натуральное .
	Число	положительное .
	Число	нуль тоже не является решением данного уравнения , так как .
	Число	простое .
	Число	составное .
	Число	1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
	Число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 9 .
	Число	нуль означает нулевое количество , то есть отсутствие чего - либо .
	Число	целое .
	Число	703 813 456 107 — это семьсот три миллиарда восемьсот тринадцать миллионов четыреста пятьдесят шесть тысяч сто семь .
	Число	0 , натуральные числа и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
	Число	а называют уменьшаемым , число b называют вычитаемым .
	Число	0 можно также рассматривать как дробь вида , причём для любого натурального числа n .
	Число	n под чертой в записи дроби называется знаменателем дроби .
	Число	.
	Число	называется простым , если оно не делится ни на какие числа , кроме 1 и р .
	Число	машин в первом гараже составляет от числа машин во втором гараже .
	Число	делится на 5 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 или 5 .
	Число	, оканчивающееся нулём , делится на 10 .
	Число	1 — не простое и не составное .
4	Число	1 741 949 на 16 137 меньше числа х. Найдите х .
	Число	х , для которого выполняется равенство а , называется разностью чисел а и b и обозначается через .
	Число	, оканчивающееся на одну из цифр — 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , делится на 2 .
	Число	k над чертой в записи дроби называется числителем дроби .
2.2	Число	нуль .
19	Число	3 141 592 на 291 247 больше числа х.
	Число	миллион следует после 999 999 и обозначается 1 000 000 .
	Число	2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 1 .
	Число	учеников .
	Число	десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
	Число	π больше 3 , но меньше 4 .
	Числовая ось	( прямая ) .
	Чётные	и нечётные числа .
3.4	Шар	и объём шара .
	Шар	.
3.4	Шестнадцатеричная	система счисления .
	Эллипс	.
8 Что означают слова коммутативность ,	ассоциативность	и дистрибутивность ? .
Сочетательный закон —	ассоциативность	.
6 В каком прямоугольнике	биссектриса	его угла является диагональю этого прямоугольника ? .
Линия сгиба и есть искомая	биссектриса	.
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует	биссектриса	, достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через вершину угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
5 Как определяется	биссектриса	угла ? .
Луч , проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла , называется	биссектрисой	этого угла .
5 Угол величиной 72 ° разделён	биссектрисой	.
6 Как объяснить , что для каждого угла можно провести его	биссектрису	? .
3.3 Существование	биссектрисы	угла .
Задание 1 Укажите правильный	вариант	ответа .
Сколько	вариантов	можно предложить ? .
Задание 2 Укажите все правильные	варианты	ответа .
14 Приведите примеры известных вам : а ) больших	величин	; б ) маленьких величин .
3 Пользуясь таблицей разрядных единиц на с. 56 , запишите названия соответствующих	величин	.
Какие из приведённых значений не могут быть суммой	величин	углов АОВ и COD ? .
Глава 14 Практическое сравнение	величин	.
14 Приведите примеры известных вам : а ) больших величин ; б ) маленьких	величин	.
Натуральные числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных	величин	стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
1 Какие примеры	величин	вам известны ? .
2.4 Какие из указанных	величин	равны π см ? .
Ежедневно нам приходится иметь дело с измерением самых разнообразных	величин	.
1.2 Числовые значения	величин	.
9 Какие из двух	величин	по порядку одинаковы , а какие различны при измерении в указанных единицах .
Если для двух	величин	найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та величина , которой соответствует большее числовое значение .
1 Равные части	величин	.
2.2 Какие из указанных	величин	выражаются целым числом соответствующих единиц измерения ? .
Задание зависимости	величин	с помощью таблиц .
4 Пользуясь таблицей разрядных единиц , запишите названия соответствующих	величин	: а ) удар сердца человека длится примерно 1 с ; б ) луч света идёт от Солнца до Земли около 498 с ; в ) полный оборот Земли вокруг Солнца длится 31 472 009 с ; г ) время существования жизни на Земле от момента зарождения до наших дней примерно равняется 100 000 000 000 000 000 с .
2.4 Какие из приведённых	величин	больше 28 % и меньше 30 % от 3 часов 30 минут ? .
Возьмём астрономический справочник и выпишем несколько	величин	.
2.3 Какие из приведённых	величин	больше 0,3 % и меньше 0,5 % от 320 г ? .
Найдите сумму	величин	всех углов треугольника .
В основе измерения	величин	лежит их сопоставление с какой - нибудь стандартной величиной , которая называется эталоном .
2.2 Какие из приведённых	величин	больше 20 % и меньше 30 % от 1 км 250 м ? .
Сравнение	величин	.
Какие примеры различных по порядку	величин	вы знаете ? .
Расстояние , время , масса , скорость , площадь , объём — все это хорошо известные вам из повседневной практики примеры измеряемых	величин	.
1 Сравнение	величин	, измерительные устройства и шкалы .
Глава 2 Об измерении	величин	.
2.2 Какие из указанных	величин	соответствуют 40 см2 ? .
Нужно взять числовые значения	величин	, подставить их в формулу , выполнить соответствующие действия и получить готовый ответ .
2.1 Какие из указанных	величин	соответствуют 1 м2 ? .
Результаты измерения	величин	удобно оформлять в виде таблиц , содержащих наборы значений при разных условиях измерений .
Числовые значения	величин	определяют с помощью измерительных устройств и приборов .
1.5 Сравнение и оценка	величин	.
Результаты измерений используются , в частности , для сравнений и оценок	величин	.
С многочисленными примерами измеряемых	величин	вы ещё познакомитесь при изучении математики , физики , химии и других наук .
6 Чему равна	величина	развёрнутого угла ? .
Например , запись означает , что	величина	угла АВС равна 45 ° .
2.3 Известно , что углы АОВ и COD являются смежными с углом ВОС , а	величина	ВОС меньше 60 ° .
2.2 Известно , что	величина	угла АОВ больше 120 ° .
Если для двух величин найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та	величина	, которой соответствует большее числовое значение .
Пусть угол АМВ составлен из трёх углов ,	величина	каждого из которых равна 20 ° .
Чему равна	величина	угла FAH ? .
Угла	величина	.
Чему равна	величина	плоского угла , составленного из двух плоских углов величиной 60 ° и 120 ° ? .
2.4 Измеряя угол , ученик установил , что его	величина	больше 53 ° и меньше 58 ° .
Например ,	величина	отрезка АВ составляет 5 шагов , отрезка CD — 3 шага , отрезка EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а отрезка GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Пусть зависящая от х	величина	принимает значения .
В одной полуплоскости относительно прямой АВ провели лучи АС и AD так , что Чему равна	величина	угла CAD ? .
6 Замените звёздочки знаками сложения + , вычитания – , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа	величина	.
Какие из приведённых значений может иметь	величина	угла АОС ? .
Чему равна	величина	наименьшего угла этого треугольника ? .
Чему равна	величина	угла ABD ? .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где	величина	V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
1.1 Изображены точки А , В , С. Чему равна	величина	угла ВАС ? .
Измеряя больший из полученных углов , ученик установил , что	величина	этого угла больше 77 ° и меньше 81 ° .
Чему равна	величина	угла АСЕ ? .
Чему равна	величина	угла CAD ? .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна	величина	угла ΡΝΚ ? .
Выходит , что сама	величина	принимается за свои 100 % .
Будем изображать скорости отрезками , считая , что одному сантиметру соответствует	величина	скорости в 20 км / ч .
Какие из приведённых значений может иметь	величина	угла AOD ? .
Чему равна	величина	четвёртого угла этого четырёхугольника ? .
Часть величины — это тоже	величина	, так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая величина .
Чему равна	величина	угла ΡΝΚ ? .
Часть величины — это тоже величина , так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая	величина	.
1.2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке К. Чему равна	величина	угла ВАС ? .
Чему равна	величина	данного угла ? .
Чему равна	величина	каждого из этих углов ? .
Измеряя меньший из полученных углов , ученик установил , что	величина	этого угла больше 23 ° и меньше 28 ° .
Чему равна	величина	угла ВАС ? .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь	величина	угла ΡΝΚ .
В случае , когда , при умножении величины h на дробь иногда говорят , что	величина	увеличилась в раз .
3 В чём состоит табличный способ описания зависимости между	величинами	? .
Задание зависимости между	величинами	с помощью формул .
2 Какие способы описания зависимостей между	величинами	вам известны ? .
1 Как вы понимаете зависимость между	величинами	? .
В заключение будут рассмотрены зависимости между	величинами	, заданные таблицами , числовыми и буквенными выражениями , формулами .
Можно ли считать измеряемыми	величинами	такие качества , как « красивый » , « полезный » , « смешной » ? .
Такие величины называются переменными	величинами	.
Величину угла иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о	величинах	углов .
Использование единиц измерения даёт возможность говорить о	величинах	измеряемых предметов , поэтому иногда измерения позволяют представить предмет в виде нескольких равных частей по измеряемому свойству .
Измерьте величины углов ВАС и CAD и сравните их по	величине	.
Ничего не зная о самой	величине	, нельзя наперёд сказать , большим или маленьким числом будет выражаться 1 % от неё .
В основе измерения величин лежит их сопоставление с какой - нибудь стандартной	величиной	, которая называется эталоном .
1 Чему равна градусная мера суммы углов	величиной	17 ° и 28 ° ? .
Иногда используются углы	величиной	в 0 ° .
Какие из приведённых значений не могут быть	величиной	угла , смежного с углом АОВ ? .
5 Угол	величиной	72 ° разделён биссектрисой .
Почему от любого луча можно отложить только два различных угла	величиной	в 90 ° ? .
2.2 При измерении некоторого угла эталонным углом	величиной	15 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 10 и меньше 11 .
Какие из указанных значений не могут быть	величиной	заданного угла ? .
Чему равна величина плоского угла , составленного из двух плоских углов	величиной	60 ° и 120 ° ? .
Градусную меру угла называют также	величиной	угла .
2.3 При измерении некоторого угла эталонным углом	величиной	7 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 22 и меньше 23 .
Тем самым каждая часть , полученная при делении 20 кг на 10 равных частей , является	величиной	, которая выражена натуральным числом килограммов .
Измеряемой	величиной	принято называть такое свойство предметов или объектов , которое допускает количественную оценку и количественное сравнение .
Какие из указанных значений не могут быть	величиной	другого из полученных углов ? .
2.1 При измерении плоских углов , которые можно разместить в полуплоскости , используется эталонный угол	величиной	16 ° .
2.4 В полуплоскости а проведён некоторый луч АВ , и в этой полуплоскости нужно изобразить угол САB	величиной	от 0 ° до 180 ° .
Измерьте	величину	угла , величины углов и найдите сумму углов .
С другой стороны , у нас может не оказаться инструментов , позволяющих точно измерить какую - нибудь	величину	.
Объёмом комнаты с недостатком можно считать	величину	25,4 м3 .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую	величину	а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти	величину	одной такой части .
Развернутый угол имеет	величину	180 ° .
11 Используя	величину	1 k2 , равную площади одной клеточки , выразите площади фигур .
Мы не раз пользовались таблицами , чтобы в нужный момент можно было найти требуемую	величину	и не тратить время на её вычисление .
20 Определите	величину	вклада , если вкладчик получил за год по процентам 30 000 рублей .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить	величину	h на дробное число .
Найдите	величину	угла ВОС .
В процессе измерения устанавливают , сколько эталонов , или единиц измерения , составляют вместе данную	величину	.
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить	величину	h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
При умножении величины на натуральное число n получают	величину	, которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
19 Найдите	величину	b , если .
5 Как найти	величину	а , если известно значение т% от а ? .
Часто используются также 50 % , 25 % , 10 % от	величины	.
1 Как вы понимаете выражение « часть	величины	» ? .
1 )	величины	углов АОВ и COD равны .
1 Что такое 1 % от данной	величины	? .
1.2 Определение m% от	величины	.
Как найти один процент от одного процента некоторой	величины	а ? .
1.1 Какую часть величины составляют 35 % от этой	величины	? .
2 Что такое т% от данной	величины	? .
3 Что такое 50 % от заданной	величины	? .
Один процент от	величины	а есть её сотая часть .
Скорость 90 км / ч — это приближённое значение	величины	скорости автомобиля с недостатком .
Когда значение	величины	равно а , то значение её одного процента — это Такое значение обозначается как 1 % от а .
Сотая часть	величины	носит особое название — процент .
Величина одного из них в 2 раза больше	величины	другого .
11 Сколько углов заданной	величины	можно отложить от заданного луча ? .
1 Укажите	величины	, которые составляют указанные проценты от единицы .
Величина одного из них в 4 раза больше	величины	другого .
1.1 Определение одного процента от	величины	.
Таблицы — один из способов задания зависимости одной	величины	от другой .
Это зависит от самой	величины	, 1 % которой находят .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной	величины	а : m % от величины а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
Зная , что 1 % составляет сотую часть	величины	а , заключаем , что а в сто раз больше .
1.1 Какую часть	величины	составляют 35 % от этой величины ? .
Какую часть	величины	составляют её 50 % ; 25 % ; 10 % ? .
Если число т близко к 100 , то m% составляет значительную часть	величины	.
Некоторые	величины	и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого натурального числа q.
Зависимость одной	величины	от другой может задаваться некоторым правилом .
Если заранее не указывать полуплоскость , в которой откладывается угол заданной	величины	больше 0 ° и меньше 180 ° , то можно получить два угла .
Поэтому для сравнения величины а и m% от этой же	величины	а можно сравнивать просто числа m и 100 .
4 От любого луча можно отложить плоский угол любой заданной	величины	от 0 ° до 180 ° .
В этой главе вы узнаете , что такое один процент от	величины	и как пользоваться процентами .
1.4 Примеры нахождения	величины	, когда известно значение заданного числа её процентов .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от	величины	а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
В этом случае можно указать значение , меньшее измеряемой	величины	, то есть с недостатком , и значение , большее измеряемой величины , то есть с избытком .
В этом случае можно указать значение , меньшее измеряемой величины , то есть с недостатком , и значение , большее измеряемой	величины	, то есть с избытком .
Числовое значение измеряемой	величины	.
13 Запишите	величины	, используя десятичные дроби .
Особого внимания заслуживают 100 % от	величины	а .
Углы какой	величины	, образованные сторонами угольников , можно найти ? .
Чем отличается угол от	величины	угла ? .
10 Как от данного луча отложить угол заданной	величины	? .
5 Как обозначают	величины	углов ? .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/. Найти m% от	величины	а — это значит найти её 1 % и результат умножить на число т .
Поэтому для сравнения	величины	а и m% от этой же величины а можно сравнивать просто числа m и 100 .
Для сравнения	величины	участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная характеристика фигур плоскости , называемая площадью .
Разберём пример , в котором по значению процентов нужно находить значение самой	величины	.
Величина одного из углов на 40 ° больше	величины	другого .
Сравните	величины	углов первого треугольника с величинами углов второго треугольника .
Часть	величины	— это тоже величина , так же как и сумма нескольких частей — это тоже некоторая величина .
Углы какой	величины	можно изобразить с помощью этого угольника ? .
Например , расстояние от дома до школы по порядку	величины	всегда меньше 104 км .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении	величины	на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча АВ и от заданной	величины	угла ? .
Чтобы сравнить между собой две однородных	величины	, их надо измерить .
Сравнивают обычно так называемые однородные	величины	, то есть характеризующие одинаковые свойства рассматриваемых объектов .
Эти две	величины	характеризуют совершенно разные свойства рассматриваемых объектов .
Не всякие	величины	можно сравнивать .
При умножении величины на натуральное число n получают величину , которая в n раз больше исходной	величины	, то есть происходит увеличение в n раз .
При умножении	величины	на натуральное число n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
Получившееся число называют числовым значением измеряемой	величины	.
2.4 Какие из указанных чисел по порядку	величины	сравнимы с 99 999 ? .
2.3 Какие из указанных чисел по порядку	величины	сравнимы с 103 ? .
Углы какой	величины	можно изобразить с помощью такого угольника ? .
Измерьте величину угла ,	величины	углов и найдите сумму углов .
3.5 Умножение	величины	на дробное число .
Какие	величины	можно считать приближёнными значениями площади рассмотренной фигуры ? .
Это больше , чем 50 , то есть 8 — значение	величины	а с избытком .
Это меньше , чем 50 , то есть 7 — значение	величины	а с недостатком .
Значение с недостатком и значение с избытком — это приближённые значения	величины	.
5.5 Когда удобны сравнения по порядку	величины	?
Обычно приближённые значения по порядку	величины	рассматривают тогда , когда сравнивают числа и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
15 Как оценить количество зёрен из легенды об изобретателе шахмат , используя приближения по порядку	величины	? .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение	величины	этого угла ? .
1.1 Измеряемые	величины	.
Такие	величины	называются переменными величинами .
Наглядное представление о зависимости одной	величины	от другой даёт диаграмма .
Для определения числового значения измеряемой	величины	такие приборы имеют шкалы самой разнообразной формы с нанесенными на них делениями , помеченными числами .
В некоторых устройствах значение измеряемой	величины	появляется на табло в виде числа .
Скорость 100 км / ч — это приближённое значение	величины	скорости автомобиля с избытком .
Можно ли указать более точные значения	величины	скорости с недостатком и с избытком в рассмотренном примере ? .
Обычно шкала разделена штрихами на части так , что каждому промежутку между соседними делениями соответствует определённое значение измеряемой	величины	.
Величина одного из них на 20 ° меньше	величины	другого .
На диаграмме	величины	изображаются условно в виде отрезков , прямоугольников или частей круга .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём ,	величины	а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Используя карту , удаётся сравнивать и вычислять расстояния между городами , длины различных рек ,	величины	озёр , морей .
Второй важный случай замены натурального числа его приближённым значением связан с указанием порядка	величины	числа .
В других — значение измеряемой	величины	определяется положением стрелки , рычажка , столбика жидкости на шкале прибора .
Измерьте	величины	углов ВАС и CAD и сравните их по величине .
Сравните	величины	углов САВ и АВС .
Представления о порядке	величины	.
5.1 Связь между делением	величины	на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Углы , как геометрические фигуры , и	величины	углов будут изучаться позже .
В случае , когда , при умножении	величины	h на дробь иногда говорят , что величина увеличилась в раз .
Найдите	величины	всех углов с вершиной в точке пересечения прямых .
Найдём для этой	величины	значения с недостатком и с избытком в часах .
Иногда часть	величины	нельзя выразить натуральным числом в выбранных единицах измерения .
Некоторые	величины	могут принимать те или иные значения : например , в течение суток изменяется температура воздуха на улице , рост человека изменяется с возрастом и так далее .
Увидите , насколько важно знать , какое приближённое значение	величины	указывается : с недостатком или с избытком .
4.1 Переменные	величины	.
При использовании каждой формулы важно следить , чтобы все	величины	измерялись в таких единицах , для которых эта формула была получена .
1 Что такое часть	величины	? .
Известно , что ∠BAC 60 ° , а	величины	углов BAD и CAD равны .
Пятиугольник , как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних	вершин	.
Какие ломаные из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве	вершин	четыре вершины квадрата ? .
Четырёхугольник , как и прямоугольник , обозначается последовательной записью его соседних	вершин	.
Какое наибольшее число равных между собой прямоугольных треугольников можно получить , соединяя отрезками некоторые из	вершин	заданного квадрата ?
Сколько различных углов можно нарисовать , используя в качестве	вершин	углов три точки ? .
Сколько	вершин	и сколько звеньев имеет каждая из этих ломаных ? .
Треугольники , четырёхугольники — это тоже многоугольники , но с определённым числом	вершин	.
11 Можно ли в обозначении многоугольника произвольно менять порядок перечисления его	вершин	? .
Рассмотренные примеры показывают , что нужно внимательно следить за порядком перечисления	вершин	многоугольника .
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве	вершин	треугольников вершины заданного квадрата ? .
6 Укажите все пары соседних	вершин	прямоугольника ABCD .
По аналогии с обозначениями прямоугольника треугольник можно обозначить , записав последовательно обозначения всех его	вершин	.
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из	вершин	прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
Многоугольник обозначается , как и в случае треугольника , четырехугольника , пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних	вершин	.
Какие фигуры могут получиться , если изменить порядок перечисления	вершин	прямоугольника ? .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим числом	вершин	, имеющие общие названия — многоугольники .
Найдите число его сторон и число его	вершин	.
Придумайте обозначения для его	вершин	и запишите обозначение самого шестиугольника .
Обозначим его вершины буквами А , В , С , D. После введения обозначения	вершин	можно говорить об отрезках , их соединяющих .
Придумайте обозначения для его	вершин	и запишите обозначение самого десятиугольника .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одной из	вершин	.
12 Сколько	вершин	имеет простая ломаная из 19 звеньев ? .
13 Сколько звеньев у простой ломаной , имеющей 28	вершин	? .
12 Найдите число сторон и число	вершин	многоугольника .
Ломаная обозначается перечислением	вершин	в том порядке , в каком они соединяются отрезками .
Но , в отличие от прямой , у развёрнутого угла должна быть указана	вершина	.
Самая высокая	вершина	в мире — Эверест , или , по - другому , Джомолунгма .
Угла	вершина	.
Первая	вершина	А и последняя вершина Н — концы этой ломаной .
Пусть О — общая	вершина	малых квадратов .
Первая вершина А и последняя	вершина	Н — концы этой ломаной .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая	вершина	является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
13 Как построить прямоугольный треугольник , равный треугольнику АВС , у которого	вершина	совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
2 ) каждая	вершина	является общей точкой только для двух сторон .
12 Четыре прямые пересекаются в	вершинах	прямоугольника .
Какое наибольшее число отрезков с концами в различных	вершинах	квадрата можно получить ? .
15 Равны ли треугольники АВС и KLM с прямыми углами при	вершинах	В и L , если .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая	вершине	прямого угла , — гипотенуза .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при	вершине	В и с равными сторонами АВ и ВС .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при	вершине	А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при	вершине	С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с	вершиной	квадрата .
Чему равна градусная мера каждого из углов с	вершиной	О , которые можно отыскать ? .
2.3 Изображён плоский угол с	вершиной	В. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
1.3 На сколько частей разделяют плоскость три различных луча с общей	вершиной	?
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей	вершиной	, угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
Например , углом треугольника АВС с	вершиной	А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
7 Сколько углов с	вершиной	О можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые углы ? .
Точка О называется	вершиной	угла , а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
5 Сколько углов с	вершиной	О можно указать ? .
Угол в многоугольнике связан с	вершиной	и двумя выходящими из неё сторонами , которые иногда называют сходственными .
3 Что называется	вершиной	угла ? .
Вы знаете , что два луча с общей	вершиной	определяют два плоских угла .
Как называется и обозначается фигура , образованная	вершиной	В и лучами ВА и ВО ? .
Общий конец этих отрезков называют	вершиной	угла , а сами отрезки называют сторонами угла .
1.1 Угол между лучами с общей	вершиной	.
2.2 Изображён угол с	вершиной	К. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
6 Сколько плоских углов с	вершиной	О можно указать ? .
Найдите величины всех углов с	вершиной	в точке пересечения прямых .
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей	вершиной	В выберем одну , например , ВА .
15 Даны два луча ОА и ОВ с общей	вершиной	О. Найдите общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти луча .
Существуют ли два равных угла с общей	вершиной	, которые не являются вертикальными ? .
Его соседние стороны , то есть стороны , имеющие общую	вершину	, могут быть и не одинаковыми .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают	вершину	и две точки на его сторонах , записывая вершину посередине .
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через	вершину	угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
Соседние стороны четырёхугольника , то есть стороны , имеющие общую	вершину	, иногда называют смежными .
Обозначьте эти точки и	вершину	угла буквами .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают вершину и две точки на его сторонах , записывая	вершину	посередине .
Шесть её звеньев имеют общую	вершину	.
9 Зная одну	вершину	А некоторого квадрата и точку О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные вершины .
Из	вершины	В провели луч BD так , что ACBD 45 ° .
Чем отличаются соседние	вершины	многоугольника от несоседних ? .
Соединим отрезками точки А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь точки А , В , С , D —	вершины	четырёхугольника .
Как и у прямоугольника , у каждого четырёхугольника определяются соседние и противоположные	вершины	, соседние и противоположные стороны .
За сколько дней улитка поднимется от основания до	вершины	столба высотой 8 м ? .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные	вершины	В и D .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные	вершины	А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
Однако	вершины	А и С не являются соседними , они противоположные .
Соединив две противоположные	вершины	четырёхугольника , получим его диагональ .
Может показаться , что безразлично , в каком порядке перечислять	вершины	четырёхугольника .
Убедитесь , что она пройдёт через	вершины	В , С , D большого квадрата .
Длины трёх рёбер , идущих из общей	вершины	, например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина , высота .
12 На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник и через его	вершины	проведите окружность .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой	вершины	, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
25 Допустим , что	вершины	квадрата — шарниры , а стороны — палочки .
3 ) из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой	вершины	.
Выберем на плоскости несколько точек , назовём их вершинами , а некоторые из отрезков , соединяющих	вершины	, назовём сторонами .
3 ) из каждой	вершины	, двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой	вершины	.
Какие ломаные из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве вершин четыре	вершины	квадрата ? .
Из	вершины	А провели два различных луча АС и AD , образующие с лучом АВ углы в 45 ° .
Для прямоугольника	вершины	В и С — соседние .
Луч , проведённый из	вершины	угла и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Для этого пятиугольника также определяются соседние	вершины	, соседние стороны .
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его	вершины	, а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Возьмём любой прямоугольник ABCD и проведём диагональ АС , то есть отрезок , соединяющий не соседние	вершины	.
Сколько можно указать прямоугольных треугольников , имеющих три	вершины	в этих точках ? .
Если записать	вершины	в порядке М , L , К , N , то получится четырёхугольник MLKN , а если в порядке М , К , L , N , то придём к четырёхугольнику MKLN .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве вершин треугольников	вершины	заданного квадрата ? .
Стороны , выходящие из	вершины	прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
6 Что такое	вершины	ломаной ? .
В нашем примере соответственными являются вершины А и N , вершины В и К ,	вершины	С и М .
Выбрать три	вершины	какого - нибудь треугольника и ещё одну точку внутри его .
2 Что такое	вершины	треугольника , четырёхугольника , пятиугольника ? .
Этот же прямоугольник можно обозначить как BCDA или как ADCB — всё зависит от того , с какой	вершины	и в каком направлении начинаем обход сторон прямоугольника .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
2 Что такое	вершины	и стороны треугольника ? .
Проведём из его	вершины	луч ОС так , чтобы углы АОС и СОВ были равными .
1.1 Какое наибольшее число отрезков можно получить , попарно соединяя различные	вершины	квадрата ? .
В нашем примере соответственными являются	вершины	А и N , вершины В и К , вершины С и М .
При этом копия каждого элемента (	вершины	, стороны или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в треугольнике MNK .
13 Предположим , что на листе бумаги отмечены четыре	вершины	прямоугольника .
Сейчас важно понять , что соседние стороны многоугольника могут выходить из соответствующей	вершины	по - разному .
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и	вершины	В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
Обозначим его	вершины	буквами А , В , С , D. После введения обозначения вершин можно говорить об отрезках , их соединяющих .
В нашем примере соответственными являются вершины А и N ,	вершины	В и К , вершины С и М .
11 Диагоналями четырёхугольника называются отрезки , соединяющие противоположные	вершины	.
Обозначьте его	вершины	буквами А , В , С. После этого отметьте угол ВСА .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие	вершины	, называют сторонами треугольника .
9 Зная одну вершину А некоторого квадрата и точку О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные	вершины	.
Треугольника	вершины	.
2 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из	вершины	N проведён луч ΝΡ так , что .
Например , можно измерять : длину метрами , футами ;	вес	граммами , фунтами ; объём литрами , вёдрами , кубическими метрами ; время часами , минутами и так далее .
В магазине мы определяем	вес	товара и вычисляем его стоимость .
Определите вес нетто ( брутто — вес с тарой , нетто —	вес	без тары ) .
К таким величинам относятся , например ,	вес	и время .
Определите вес нетто ( брутто —	вес	с тарой , нетто — вес без тары ) .
14 Один кубический метр воздуха весит 1204,7 г. Найдите	вес	воздуха в вашем классе .
Определите	вес	нетто ( брутто — вес с тарой , нетто — вес без тары ) .
Выразим	вес	3 ц 2 кг в тоннах .
Найдите	вес	пустого ящика .
Их	веса	могут различаться на несколько миллиграммов или граммов .
Он ответил : « Три четверти килограмма и ещё три четверти всего	веса	» .
В США и Англии в качестве эталона	веса	используют фунт .
С пирогом немного сложнее : можно делить так , чтобы куски были одинаковыми по форме или иметь разную форму , но при этом быть одного и того же	веса	.
2.4 Какие из указанных весов можно точно получить на чашечных	весах	без делений , имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
После просушки 200 кг зерна оно потеряло в	весе	30 кг .
2.4 Какие из указанных	весов	можно точно получить на чашечных весах без делений , имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
На одну чашку	весов	кладётся взвешиваемый предмет , а на другую складываются гири известной массы до тех пор , пока весы не придут в равновесие .
За время обеда булка	весом	g кг изменилась в раза .
При решении каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться деление : по	весу	, длине и так далее .
Килограмм муки можно разделить на части , равные по	весу	.
Например , простейшие	весы	.
Примером могут служить электронные часы или электронные	весы	.
На одну чашку весов кладётся взвешиваемый предмет , а на другую складываются гири известной массы до тех пор , пока	весы	не придут в равновесие .
Иногда действительные числа называют	вещественными	.
Если на таком калькуляторе	возвести	в квадрат число 3.3333 , то ответ появится либо в виде 11.111 , либо в виде 11.110 .
5 В какую степень надо	возвести	число 9 , чтобы получить число 310 ? .
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо	возвести	число 2 , чтобы получить число 32 .
В какую степень нужно	возвести	число а , чтобы получить произведение чисел а2 и а3 ? .
Получена формула квадрата суммы , по которой сумму двух любых выражений а и b легко	возводить	в квадрат .
2 Найдите запись числа 1995 в	восьмеричной	системе счисления .
Прямоугольник можно	вписать	в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно	вписать	в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Какой множитель можно	вынести за скобки	в выражении ? .
36 Упростите	выражение	.
Для каждого натурального числа k обозначим	выражение	к через ( читается « ка третьих » ) .
В результате получим	выражение	.
Это	выражение	будем называть дробным числом , дробью или числом .
Как вы понимаете	выражение	« одинаковые квадраты » ? .
Составьте	выражение	для общего числа учеников и найдите его значение .
Как понимать	выражение	« четверть часа » ? .
Почему	выражение	не имеет смысла ? .
1 Как вы понимаете	выражение	« часть величины » ? .
Преобразовав это	выражение	, получаем , что а , то есть а делится на 5 .
1 Какое	выражение	называется пятой степенью числа а ? .
Обозначим	выражение	через ( читается « две энных » ) .
Найденное	выражение	7х даёт общее число конфет , которое по условию равно 42 .
Составьте	выражение	для общего числа посаженных деревьев и найдите его значение при .
8 Чему равно	выражение	? .
8 Какое	выражение	читается как « а в кубе » ? .
1.1 Какое	выражение	получится , если раскрыть все скобки в записи ? .
7 Какое	выражение	читается как « а в квадрате » ? .
7 Чему равно	выражение	? .
6 Как вы понимаете	выражение	« алгоритм сложения » ? .
Понятно , что задача решается так же , как и в предыдущем пункте , поэтому можно сразу записать числовое	выражение	, значение которого 99 и будет ответом .
4 Сколько различных букв может содержать буквенное	выражение	? .
6 Чему равно	выражение	? .
При этом иногда	выражение	называют частным , дробь называют делимым , а дробь называют делителем .
Каким	выражением	без скобок можно заменить , где а и b — числа ? .
Пусть зависимость задаётся	выражением	.
Каким	выражением	можно задать зависимость площади квадрата от его стороны ? .
Заменяя в таком	выражении	буквы а и b на конкретные числа , будем получать числовые выражения .
Какой множитель можно вынести за скобки в	выражении	? .
Как раскрыть скобки в	выражении	? .
10 Найдите значения	выражений	.
Какие примеры буквенных	выражений	вы знаете ? .
Найдём значения записанных выше	выражений	в десятичной системе счисления .
2.1 Какие из указанных	выражений	равны числу 1030 ? .
2.3 Каким из приведённых	выражений	равна разность ? .
23 Найдите значения	выражений	.
Получена формула квадрата суммы , по которой сумму двух любых	выражений	а и b легко возводить в квадрат .
7 Найдите значения	выражений	.
2.3 Какие из приведённых	выражений	являются квадратом некоторого натурального числа ? .
Значение каких из указанных	выражений	является чётным числом ? .
2.3 Какие из указанных	выражений	равны разности ? .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны ? .
8 Найдите значения	выражений	.
21 Найдите значения	выражений	.
3 Какие примеры буквенных	выражений	вы можете привести ? .
1.2 Какое из	выражений	равно ? .
2.2 Какие из указанных	выражений	равны сумме ? .
Общее число книг равно сумме найденных	выражений	, то есть .
29 Найдите значения	выражений	.
2.1 Какие из указанных	выражений	равны 25 ? .
1.4 Какому из приведённых	выражений	равно ? .
1.3 Какое из	выражений	равно ? .
Запишем общее число книг в шкафах в виде числовых	выражений	двумя способами .
В математике	выражения	тоже приходится читать от начала до конца и в нужном порядке выполнять указанные действия .
Заменяя в таком выражении буквы а и b на конкретные числа , будем получать числовые	выражения	.
1.1 Какова десятичная запись	выражения	? .
При записи больших разрядных единиц получаются очень громоздкие	выражения	.
Значение этого	выражения	191 .
Эти	выражения	похожи на представление любого числа в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней числа 10 .
Тогда нужный ответ запишется в виде буквенного	выражения	.
Правило , с помощью которого получаются ответы для той или иной задачи , удобно записывать в виде буквенного	выражения	.
4.5 Пример буквенного	выражения	.
19 К произведению чисел прибавьте число найдите значение этого	выражения	.
Какие числовые	выражения	вы можете написать ? .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для	выражения	мелких единиц измерения площади через крупные .
Это — значение числового	выражения	.
4.4 Числовые	выражения	.
Значение числового	выражения	.
Рассмотрим	выражения	.
2 Какие числовые	выражения	вы знаете ? .
11 а ) Найдите значение	выражения	, если х равно : 5671 ; 13 275 ; 174 679 .
Обозначим второе слагаемое буквой х , тогда всю сумму можно записать в виде	выражения	.
13 Найдите значение	выражения	.
Напомним , что запись ( 3120311)4 — это сокращение для	выражения	.
Согласно этому правилу все	выражения	не имеют смысла .
12 а ) Найдите значение	выражения	; б ) При каком х значение выражения равно 10 000 ? .
2.4 Какие	выражения	равны 0 ? .
12 а ) Найдите значение выражения ; б ) При каком х значение	выражения	равно 10 000 ? .
Чему равно значение	выражения	? .
1.3 Чему равно значение	выражения	? .
1.4 Чему равно значение	выражения	? .
Может быть , поэтому для	выражения	аn иногда слово « степень » опускают и говорят кратко « а в энной » .
Если для этого используют буквенные	выражения	, то говорят , что зависимость задаётся с помощью формулы .
1.3 Какова десятичная запись	выражения	( 111)4 ? .
При каком х значение	выражения	равно 12 725 163 ? .
Будут сформулированы основные законы умножения , приведены правила действий с	выражениями	, содержащими скобки .
Подобные записи называют числовыми	выражениями	.
Распределительный закон используется и при действиях с	выражениями	, содержащими вычитание .
3 Действия с числовыми и буквенными	выражениями	.
Обычно при действиях с	выражениями	приходится одновременно и раскрывать , и ставить скобки .
В заключение будут рассмотрены зависимости между величинами , заданные таблицами , числовыми и буквенными	выражениями	, формулами .
Распределительный закон используется также и при действиях с	выражениями	, содержащими вычитание .
1 Пусть R — радиус , а Н —	высота	цилиндра .
2.4 Какой может быть высота пятиэтажного дома , в квартирах которого	высота	от пола до потолка равна 3 м ? .
Длина , ширина и	высота	прямоугольного параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
2.4 Какой может быть	высота	пятиэтажного дома , в квартирах которого высота от пола до потолка равна 3 м ? .
Чему равна высота этого здания в метрах , если	высота	каждого этажа 3 м 50 см ? .
9 Напишите формулу для вычисления площади основания прямоугольного параллелепипеда , у которого известны	высота	Н и объём V .
Вычисление объёма цилиндра производится по формуле , где V — объём цилиндра , R — радиус , Н —	высота	.
Её	высота	8848 м .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина ,	высота	.
Чему равна	высота	этого здания в метрах , если высота каждого этажа 3 м 50 см ? .
5 Спутник вращается на	высоте	630 км .
1.1 Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда шириной 20 см , длиной 30 см и	высотой	10 см ? .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и	высотой	10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
1 Что называется	высотой	цилиндра ? .
Найдём объём бака цилиндрической формы	высотой	65 см и радиусом 25 см .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и	высотой	Н. Найдите площадь основания этого столба , если .
Найдём объём комнаты шириной 2,5 м , длиной 4,15 м и	высотой	2,45 м .
Расстояние Н между центрами оснований цилиндра называют	высотой	цилиндра .
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику	высотой	в 1 деление соответствует 200 человек .
Объём всего зерна можно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с шириной 30 дм , длиной 50 дм и	высотой	0,1 дм .
2.1 Каким из указанных значений равен объём цилиндра с	высотой	10 см и радиусом основания 5 см ? .
За сколько дней улитка поднимется от основания до вершины столба	высотой	8 м ? .
1 ) объём цилиндра с	высотой	дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
15 При измерении высотного здания в этажах получили 60 этажей и ещё надстройку	высотой	5 м .
Разобьём прямоугольник на b горизонтальных полосок	высотой	в один шаг сетки .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с	высотой	0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества зерна потребуется башня	высотой	от Земли до Солнца , в основании которой квадрат со сторонами около полутора метров .
уменьшить длину и	высоту	в 4 раза .
9 Найдите объём земной атмосферы , если она простирается над поверхностью Земли на	высоту	приблизительно 100 км , а радиус Земли равен 6370 км .
а ) увеличить	высоту	в 2 раза .
1.3 Во сколько раз увеличится объём цилиндра , если радиус основания увеличить в 2 раза , а	высоту	в 1,5 раза ? .
уменьшить радиус в 2 , а	высоту	— в 15 раз .
увеличить радиус в 3 раза , а	высоту	уменьшить в 3 раза .
увеличить	высоту	в 4 раза , а радиус уменьшить в 2 раза ? .
а )	высоту	увеличить в 2 раза .
в ) увеличить радиус в 3 , а	высоту	— в 12 раз .
6 Бетонный блок имеет длину а , ширину b и	высоту	с.
Как измерить	высоту	цилиндра , сделанного из дерева ? .
Длину , ширину и	высоту	полки удобнее выражать в сантиметрах .
увеличить ширину в 3 раза , а	высоту	уменьшить в 2 раза .
уменьшить ширину в 4 раза , а	высоту	увеличить в 4 раза .
Значение с недостатком для	высоты	Эвереста можно взять 8800 м , что равно длине 22 кругов по стадиону .
7 Напишите формулу для вычисления	высоты	прямоугольного параллелепипеда , у которого известны длина а , ширина b и объём V .
Значение с избытком для	высоты	Эвереста можно взять 9200 м , что равно длине 23 кругов по стадиону .
Какой	высоты	столб воды в стакане ? .
33 Что получится , если из суммы двух чисел а и b	вычесть	их разность ?
Таким образом , возникает правило : если из суммы двух чисел	вычесть	одно слагаемое , то получится второе .
Если из обеих частей неравенства можно	вычесть	одно и то же число , то знак неравенства не изменится .
10 Что получится , если из числа	вычесть	число 0 ? .
Получилось правило : если из уменьшаемого	вычесть	разность , то получится вычитаемое .
Аналогичное правило применяется и в том случае , когда из каждой части неравенства можно	вычесть	некоторое число .
7 Какое число надо	вычесть	из 543 , чтобы получилась сумма чисел 98 и 325 ? .
8 Какое число надо	вычесть	из 85 , чтобы получилась разность чисел 122 и 98 ? .
12 Как показать , что из числа 287 312 можно	вычесть	число 271 314 ? .
Поэтому	вычитаем	из 8 число 4 , а результат 4 записываем в ответ в столбце десятков .
Поэтому	вычитаем	из 4 число 2 , а результат 2 записываем в ответ в столбце десятков тысяч .
Из двузначного числа 13	вычитаем	8 единиц вычитаемого , а результат 5 записываем в ответ в столбце единиц .
Из двузначного числа 11	вычитаем	число 5 , а результат 6 записываем в ответ в столбце сотен .
уменьшаемое уменьшить , а	вычитаемое	увеличить на 1,75 ? .
Вычитать легко , когда	вычитаемое	является разрядной единицей .
20 Уменьшаемое равно 85 007 101 ,	вычитаемое	на 1025 меньше этого числа .
Получилось правило : если из уменьшаемого вычесть разность , то получится	вычитаемое	.
Числа записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце : уменьшаемое — вверху ,	вычитаемое	— внизу .
Запишем числа 0,3 и 3,6 и выполним	вычитание	.
Запишем числа 5 и 60 и выполним	вычитание	.
Выполняют	вычитание	по правилам , принятым для натуральных чисел , не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
В частности , на пятом шаге по схеме деления нужно подобрать число 0,000003 ; найти произведение и выполнить	вычитание	.
Вычитание десятичных дробей похоже на	вычитание	натуральных чисел .
Запишем числа 0,04 и 0,48 и выполним	вычитание	0,48 - 0,48 .
Записав найденные числа « уголком » и выполнив	вычитание	, получим 79 .
3 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Распределительный закон используется также и при действиях с выражениями , содержащими	вычитание	.
11 Как выполняется	вычитание	при помощи двух линеек ? .
3.8 Сложение и	вычитание	дробей .
Сложение и	вычитание	двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
36 Расставьте скобки так , чтобы	вычитание	было возможно .
Распределительный закон используется и при действиях с выражениями , содержащими	вычитание	.
31 В следующих примерах на	вычитание	восстановите цифры , заменённые звездочками .
Глава 5 Сложение и	вычитание	натуральных чисе .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить	вычитание	десятичных дробей с использованием дополнения до числа 1 .
Запишем найденные числа « уголком » и выполним	вычитание	.
Произведите	вычитание	.
Можно применять следующие правила , связанные с	вычитанием	.
Нахождение разности двух чисел также называют	вычитанием	.
Рассмотрим правила , связанные с	вычитанием	.
14 Какие правила , связанные с	вычитанием	, вы знаете ? .
2.9 Дополнительные правила , связанные с	вычитанием	.
29 Какое десятизначное число при	вычитании	единицы превращается в девятизначное ? .
5 Изменяется ли знак неравенства при	вычитании	из обеих частей неравенства одной и той же дроби ? .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и	вычитанию	дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
6 Замените звёздочки знаками сложения + ,	вычитания	– , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
3.3 Правило	вычитания	десятичных дробей .
Как можно проверить правильность результата	вычитания	одного числа из другого ? .
Выполнив четыре шага по схеме деления , мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего	вычитания	получается разность , которая в десять раз меньше разности , полученной на предыдущем шаге .
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и	вычитания	так , чтобы в результате получилось число 100 .
Для иллюстрации сложения и	вычитания	мы использовали .
Тогда в результате	вычитания	из 4147 получим 2247 .
Как проверить правильность результата	вычитания	, выполненного с помощью двух линеек ? .
Процесс	вычитания	можно ускорить , если вычитать сразу по нескольку чисел , равных 87 , то есть какие - то произведения на 87 .
В этой главе вы вспомните правила сложения и	вычитания	натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Общее правило	вычитания	дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Алгоритм	вычитания	.
Какие правила сложения и	вычитания	позволяют обосновать приведённые преобразования ? .
Простейший способ вычисления для деления с остатком осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного	вычитания	.
При изучении	вычитания	натуральных чисел рассматривалось дополнение числа до разрядной единицы .
Можно составить и таблицу	вычитания	.
По правилу	вычитания	обыкновенных дробей получаем .
С помощью дополнения до разрядной единицы можно выполнить операцию	вычитания	.
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и	вычитания	, чтобы в результате получилось число 100 .
Будет показано , как операция сложения связана с операцией	вычитания	.
5 Как деление с остатком сводится к	вычитаниям	? .
Алгоритм деления с остатком числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим )	вычитаниях	.
Процесс вычитания можно ускорить , если	вычитать	сразу по нескольку чисел , равных 87 , то есть какие - то произведения на 87 .
4 Как из десятичной дроби	вычитать	разрядную единицу ? .
Как	вычитать	дроби при условии , что у них одинаковые знаменатели , можно также понять , исходя из их представления в виде сумм простейших дробей .
Покажем , как при помощи двух линеек можно из одного числа	вычитать	другое .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать ,	вычитать	, умножать , делить и сравнивать дроби .
Нетрудно научиться	вычитать	натуральное число из разрядной единицы .
7 По какому правилу	вычитают	многозначные числа ?
По какому общему правилу	вычитают	дроби ? .
Это происходит потому , что из меньшего числа	вычитают	большее .
9 Из суммы чисел и	вычтите	разность чисел .
Треугольником называется	геометрическая фигура	, состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
Треугольник , как составленная из отрезков	геометрическая фигура	, является границей своей треугольной области .
1 Какая	геометрическая фигура	называется углом ? .
Если закрасить внешность четырёхугольника , то получится другая	геометрическая фигура	.
Получена	геометрическая фигура	, которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
4 Какая	геометрическая фигура	называется квадратом ? .
5 Какая	геометрическая фигура	называется прямоугольником ? .
Получится ещё одна	геометрическая фигура	— отрезок .
4 Какая	геометрическая фигура	называется плоским углом ? .
Почему все прямые углы равны как	геометрические фигуры	? .
Добавим к этому следующее свойство : любые две точки равны как	геометрические фигуры	.
Итак , изобразив на плоскости два различных луча с общим началом , мы получим три	геометрические фигуры	, называемые углами .
Почему прямая и луч не равны как	геометрические фигуры	? .
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это	геометрические фигуры	, составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
На плоскости можно изображать и рассматривать многие	геометрические фигуры	.
Какие	геометрические фигуры	на плоскости вы можете изобразить при помощи циркуля и линейки ? .
С помощью нехитрых приспособлений можно изображать сложные	геометрические фигуры	.
1.12 Другие	геометрические фигуры	.
Какие	геометрические фигуры	изображаются при помощи циркуля ? .
Какие	геометрические фигуры	вы можете изобразить с помощью линейки ? .
2 Какие	геометрические фигуры	могут быть изображены при помощи отрезков ? .
На клетчатой бумаге с помощью линейки легко изобразить такие	геометрические фигуры	.
Надо иметь в виду , что угол как два луча на плоскости и угол как соответствующая части плоскости — разные	геометрические фигуры	.
Углы , как	геометрические фигуры	, и величины углов будут изучаться позже .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие	геометрические фигуры	с большим числом вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
2 Любые две прямые равны между собой как	геометрические фигуры	.
В этой главе вы узнаете про неограниченные	геометрические фигуры	— лучи и прямые .
2 Любые два луча равны между собой как	геометрические фигуры	.
Так как отрезки являются	геометрическими фигурами	, то для них также имеет смысл рассматривать понятие геометрического равенства .
1 Даны три различные точки — А , В , С. Сколько различных	геометрических фигур	может быть среди прямых АВ , ВС и АС ? .
Изобразите с помощью линейки несколько	геометрических фигур	, содержащих эти точки .
Будет введено понятие равносоставленности	геометрических фигур	.
Признак равенства прямоугольных треугольников позволяет устанавливать свойства	геометрических фигур	.
В чём отличие друг от друга	геометрических фигур	? .
Каковы основные свойства площадей плоских	геометрических фигур	? .
2 Какие примеры равенства	геометрических фигур	вы знаете ? .
При изучении отрезков мы будем использовать общие свойства равенства	геометрических фигур	, которые для отрезков выглядят так .
Мы рассмотрели многие примеры	геометрических фигур	.
Вы вспомните , как пользоваться линейкой и циркулем , рассмотрите важное понятие равенства	геометрических фигур	.
Отрезок — одна из простейших	геометрических фигур	.
Чтобы говорить о свойствах этих или других	геометрических фигур	, будем постепенно вводить новые слова и понятия .
2 Площадь какой	геометрической фигуры	принимают за единицу измерения площади ? .
5 Какую	геометрическую фигуру	образуют точки всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую	геометрическую фигуру	— луч АВ .
Полученную	геометрическую фигуру	называют углом АОВ .
Ручкой или карандашом на нём можно отметить точку — самую простую	геометрическую фигуру	.
Какую	геометрическую фигуру	образуют точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Если закрасим часть листа , которая ограничена четырёхугольником , то закрашенная часть образует ещё одну	геометрическую фигуру	— четырёхугольную область .
Взятые все вместе , точки этих лучей образуют новую	геометрическую фигуру	.
4 Может ли	гипотенуза	одного прямоугольного треугольника быть катетом другого прямоугольного треугольника ? .
3 Может ли	гипотенуза	прямоугольного треугольника быть больше суммы его катетов ? .
1 ) АС —	гипотенуза	; 2)АВ — гипотенуза ; 3 ) АВ — катет ; 4 ) ВС — катет .
1.3 В прямоугольном треугольнике	гипотенуза	равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого катета ? .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , —	гипотенуза	.
2 По какой формуле можно вычислить длину катета прямоугольного треугольника , если известны его	гипотенуза	и второй катет ? .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС —	гипотенуза	.
1 ) АС — гипотенуза ; 2)АВ —	гипотенуза	; 3 ) АВ — катет ; 4 ) ВС — катет .
2 Что такое катеты и	гипотенуза	? .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов прямоугольного треугольника , прилежащих к	гипотенузе	, равна 90 ° .
1.1 Чему равна площадь квадрата со стороной , равной	гипотенузе	прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
3 Чему равна сумма прилежащих к	гипотенузе	углов прямоугольного треугольника ? .
Площадь квадрата со стороной , равной	гипотенузе	прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
5 Приведите пример отрезка , который можно назвать	гипотенузой	и катетом .
1 По какой формуле можно вычислить	гипотенузу	прямоугольного треугольника , если известны длины его катетов ? .
3 Как можно вычислять	гипотенузу	прямоугольного треугольника по его катетам ? .
Получаем формулу , по которой можно вычислять длину катета , зная	гипотенузу	и второй катет .
Все стороны четырёхугольника —	гипотенузы	прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину	гипотенузы	АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
Эти отрезки —	гипотенузы	равных прямоугольных треугольников с катетами в одну и семь клеточек .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко : квадрат	гипотенузы	равен сумме квадратов катетов .
Почему длина	гипотенузы	прямоугольного треугольника не может равняться сумме длин его катетов ? .
1.2 Чему равна длина	гипотенузы	прямоугольного треугольника с катетами 2 см и 4 см ? .
До 16 часов температура повышалась равномерно на 1	градус	в час .
Температура « тридцать шесть и шесть десятых	градуса	» считается нормальной для здорового человека .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3	градуса	тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
Эти числа имеют непосредственное отношение к измерению плоских углов в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в	градусах	.
Для практического измерения углов в	градусах	служит транспортир .
Для изучения погоды ежедневно с 15 по 21 августа в 12 часов дня измеряли температуру воздуха на улице ( в	градусах	по Цельсию ) .
3 Утром температура воздуха поднималась каждый час на 2 ° С. В 6 часов утра термометр показывал 8	градусов	мороза .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать	градусов	; г ) минус пять градусов .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать	градусов	; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять градусов .
а ) семь	градусов	ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять градусов .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять	градусов	.
1.1 Утром температура воздуха была 5 градусов мороза , а к 12 часам дня повысилась на 8	градусов	.
Например , температуру 20	градусов	ниже нуля можно указать числом -20 ( читается : « минус двадцать » ) градусов .
6 В 6 часов утра температура воздуха была 6	градусов	тепла .
Например , температуру 20 градусов ниже нуля можно указать числом -20 ( читается : « минус двадцать » )	градусов	.
1)13	градусов	мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5	градусов	тепла ; 4 ) 13 градусов тепла .
1)13 градусов мороза ; 2 ) 3 градуса тепла ; 3 ) 5 градусов тепла ; 4 ) 13	градусов	тепла .
1.1 Утром температура воздуха была 5	градусов	мороза , а к 12 часам дня повысилась на 8 градусов .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать	градусов	ниже нуля » или « минус двадцать градусов » .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать градусов ниже нуля » или « минус двадцать	градусов	» .
одна четверть часа ; 4 ) минус двенадцать	градусов	.
Каждую такую часть называют	градусом	и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского угла .
3 Как вычислить площадь	грани	прямоугольного параллелепипеда ? .
Какую часть яблока составляет каждая такая	группа	? .
1.3 Яблоко разделили на 18 равных частей , затем получившиеся части сложили в	группы	по 3 штуки .
Если число имеет в десятичной записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя	группы	по три знака справа налево .
Это значит , что скорость движения в	данный	момент больше 90 км / ч и меньше 100 км / ч .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий	данный	треугольник .
1.3 Дана таблица , в которой указано число учащихся в классе , имеющих	данный	возраст .
Таким образом , ни одно из известных нам в	данный	момент чисел 0 , 1,2 , 3 не может быть разностью .
Поэтому полученную запись нужно зачеркнуть и решить	данный	пример заново , подбирая меньшее число десятков .
Как находить дополнения до разрядных единиц для чисел , записанных в	двоичной	системе счисления ? .
Как представить число 2000 в	двоичной	системе счисления ? .
2.2 Складывая числа ( 110)2 и ( 101)2 , записанные в	двоичной	системе , ученик ошибся и получил неверный результат ( 1101)2 .
1.1 Какое из указанных чисел имеет запись ( 10101)2 в	двоичной	системе ? .
Поэтому иногда употребляется система записи чисел , тесно связанная с	двоичной	, — шестнадцатеричная система счисления .
13 Составьте таблицу сложения в	двоичной	системе счисления .
Рассмотренные примеры обнаруживают неудобства	двоичной	системы : для больших чисел требуются довольно длинные записи .
Всякое число в	двоичной	системе счисления записывается с помощью последовательности цифр 0 и 1 .
Представим число 311 в	двоичной	системе .
Представим в	двоичной	системе число 25 .
С помощью этой таблицы удаётся представить в	двоичной	записи любое число от 0 до 8191 .
Чему равна сумма чисел ( 100110)2 и ( 11010)2 , записанных в	двоичной	системе ? .
Научимся записывать числа в	двоичной	системе счисления .
Наименьшее количество различных цифр для записи чисел требуется в системе счисления с основанием 2 или в	двоичной	системе .
2.4 Какие из указанных чисел будут трёхзначными при их записи в	двоичной	системе счисления ? .
Как в	двоичной	системе счисления умножить число на 210 ? .
8 Какая система счисления называется	двоичной	? .
Выполните умножение в	двоичной	системе .
7 Запишите в	двоичной	системе счисления числа .
8 Запишите в	двоичной	системе числа .
9 Переведите числа из	двоичной	системы счисления в десятичную .
1.3 Какую запись имеет число 14 в	двоичной	системе счисления ? .
Запишите это же число в	двоичной	системе .
2.1 Какие из равенств являются верными в	двоичной	системе счисления ? .
2.3 Какие из равенств являются верными в	двоичной	системе счисления ? .
Иногда	действительные	числа называют вещественными .
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные числа , получаются все	действительные	числа .
2.4 Рациональные и	действительные	числа .
2.4 Рациональные и	действительные числа	.
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные числа , получаются все	действительные числа	.
Иногда	действительные числа	называют вещественными .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и	действительных	чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и	действительных чисел	, а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
— затем совмещаем с ним нулевое	деление	0(нижний ) нижней линейки .
— далее , не меняя положения линеек относительно друг друга , находим на нижней линейке	деление	, обозначающее второе слагаемое b(нижнее ) .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое	деление	натуральных чисел с остатком .
Сдвигаем нижнюю линейку так , чтобы её нулевое	деление	совместилось с отметкой 22 мм на верхней линейке .
Геометрический смысл деления числа а на число b — это	деление	отрезка длины а на b равных частей .
Для сложения двух чисел а и b выполним следующие действия . — сначала находим на верхней линейке	деление	, обозначающее первое слагаемое а(верхнее ) .
Когда рассматривают только	деление	нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
2.4 На какие из указанных чисел	деление	запрещено ? .
Отметим , что	деление	обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
Умножение и	деление	обеих частей неравенства на положительную дробь .
1.1 Задачи на неизвестный сомножитель (	деление	поровну ) .
На сколько равных частей разделён исходный квадрат и сколько клеток содержится в каждой из полученных равных частей , если	деление	произведено .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление нацело и	деление	с остатком .
Деление с остатком и	деление	нацело .
Ответ не изменится , если нулевое	деление	линейки совместить с точкой В , а результат измерения определять по положению точки А. Может оказаться , что точка В попадёт между двумя соседними делениями .
Деление чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 ,	деление	нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
После этого находим на линейке	деление	напротив точки В. Число сантиметров и миллиметров , соответствующее данной отметке , будет результатом измерения .
4 Выполните	деление	и проверьте полученный результат умножением .
Усвоив	деление	уголком , можно записывать промежуточные вычисления в виде краткой схемы .
Запишем найденные числа и продолжим	деление	« уголком » .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям :	деление	нацело и деление с остатком .
5 Как	деление	с остатком сводится к вычитаниям ? .
Деление десятичной дроби на натуральное число похоже на	деление	натуральных чисел .
Для натуральных чисел	деление	нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово «	деление	» относится к двум разным операциям : деление нацело и деление с остатком .
Рассматривая	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на две равные части , мы определили дробные числа и так далее .
Аналогично для любого натурального числа можно рассмотреть	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на n равных частей .
При решении каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться	деление	: по весу , длине и так далее .
Эта разность равна нулю , значит ,	деление	закончено .
Поэтому	деление	закончено и частное равно сумме чисел 0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под делителем 125 , то есть .
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику высотой в 1	деление	соответствует 200 человек .
Рассматривая	деление	отрезка [ 0 ; 1 ] на три равные части , мы определили дробные числа и так далее .
5 Как	деление с остатком	сводится к вычитаниям ? .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление нацело и	деление с остатком	.
5.1 Связь между	делением	величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую систему счисления	делением	с остатком .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую систему счисления	делением с остатком	.
Чему равно приближённое значение неполного частного при	делении	числа 4147 на 19 с недостатком с точностью до 100 ? .
( При	делении	числа 513 513 на 7 частным будет число 73 359 ) .
б ) Чему равен остаток при	делении	произвольного натурального числа на 100 ? .
2.3 Какие из указанных чисел могут быть остатками при	делении	чётного числа на 6 ? .
14 При	делении	числа а на 2 получился остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при	делении	на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
Какой остаток может получиться при	делении	этого числа на 6 ? .
2.3 Какие остатки могут получаться при	делении	квадратов натуральных чисел на 4 ? .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при	делении	на 6 — остаток 5 .
13 При	делении	на 2 число даёт остаток 1 .
Частным при	делении	первой дроби на вторую назовём такую дробь х , которая является решением уравнения .
Пусть при	делении	числа 4147 мы выполним действия : подбирая число сотен , возьмём одну сотню .
Сами числа а и b , как и при	делении	нацело , называют соответственно делимым и делителем .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при	делении	на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
14 При делении числа а на 2 получился остаток 1 , а при	делении	на 3 — остаток 2 .
12 Приведите пример числа , которое при	делении	на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при	делении	квадратов натуральных чисел на 5 ? .
1.8 При	делении	можно « вычёркивать » один и тот же множитель в делимом и делителе .
5 а ) Какой остаток при	делении	на 100 дают числа 121 ; 4567 ; 13 989 ; 807 ? .
Чему равен остаток при	делении	произвольного натурального числа на 10 ? .
При	делении	а на b с остатком ( для а , большего b ) вычисляем и так далее , пока разность в первый раз не станет меньше b .
В последнем примере неполное частное является обычным частным при	делении	72 на 18 , то есть .
4 а ) Какой остаток при	делении	на 10 дают числа : 57 ; 356 ; 17 211 ; 991 ?
8 При	делении	с остатком на число 15 получен промежуточный результат .
3 Какой наибольший остаток может получиться при	делении	.
Как найти остаток при	делении	числа 1994 на 6 , используя равенство .
2 Какие остатки могут получиться при	делении	натурального числа .
2.2 Какие из указанных чисел могут быть остатками при	делении	нечётного числа на 6 ? .
Например , при	делении	поровну нулевого количества конфет на 100 человек каждый получит по 0 конфет .
3 Что такое неполное частное при	делении	числа а на число b ? .
10 Какой остаток получается при	делении	числа на 4 ? .
Может ли при	делении	с остатком некоторого натурального числа на произведение получиться остаток 134 ? .
При	делении	1416 на 13 приходится выполнить ещё одно действие .
Почему при	делении	числа , оканчивающегося нулём , на число , оканчивающееся нулём , эти нули можно вычёркивать ? .
11 Какой остаток получается при	делении	на 6 числа ? .
При	делении	с остатком менять местами делитель и частное нельзя .
При	делении	7 на 2 с остатком получим , а при делении 78 на 2 с остатком получим .
Какой остаток даёт число а при	делении	на 6 ? .
При делении 7 на 2 с остатком получим , а при	делении	78 на 2 с остатком получим .
8 На сколько равных частей нужно разделить час , чтобы получилось столько же минут , сколько при	делении	четверти часа на 5 равных частей ? .
15 Какой вид имеют числа , дающие при	делении	на 6 : а ) остаток 1 ; б ) остаток 4 ; в ) остаток 5 ? .
Что произойдёт с частным при	делении	числа а на число b , если делимое умножить на число 5 ? .
3 Как определяется частное при	делении	дроби на натуральное число ? .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при	делении	с остатком числа а на число b остаток может равняться .
При	делении	« уголком » не всегда удаётся сразу подобрать нужное число .
25 На какое число нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при	делении	этого же числа сначала на 6 , а затем при делении полученного частного на 2 ? .
1.4 Какой наибольший остаток может получиться при	делении	натурального числа на 27 ? .
При	делении	« уголком » можно подбирать нужные числа постепенно , не в одно действие .
Чему равны неполное частное и остаток при	делении	числа 45 на 6 ? .
Число r называется остатком , при	делении	натурального числа а на b. Число q называется неполным частным .
20 Найдите неполное частное и остаток при	делении	чисел .
Тем самым каждая часть , полученная при	делении	20 кг на 10 равных частей , является величиной , которая выражена натуральным числом килограммов .
Частное при	делении	любого дробного числа на натуральное определяется похожим образом .
Частным при	делении	а на натуральное число n называется число , равное .
Допустим , что при	делении	числа 4147 на 19 мы выполнили действия так .
Частное при	делении	а на n обозначается либо через , либо через .
Свойство числа 0 при	делении	: на 0 делить нельзя ! .
Например , выкладки , проделанные в пункте 5.3 при	делении	числа 1,3 на 125 , кратко записываются .
Чему равны частные при	делении	числа 18k на 2 и на 9 ? .
Полученное значение х , равное 6 , называют частным при	делении	числа 42 на число 7 .
18 Известно , что число 1287 при	делении	на 7 даёт остаток 6 .
2.1 Какие из приведённых чисел при	делении	на 9 дают остаток 4 ? .
Как и для натуральных чисел , при	делении	десятичной дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
16 Какой вид имеют числа , дающие при	делении	на 100 остаток 25 ? .
17 Число а при	делении	на 29 дало неполное частное 7 и остаток 17 .
Что получится при	делении	уголком числа 10 на 9 ? .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при	делении	на 10 суммы и произведения натуральных чисел вида .
25 На какое число нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при делении этого же числа сначала на 6 , а затем при	делении	полученного частного на 2 ? .
2.2 Какие из приведённых чисел при	делении	на 11 дают остаток 7 ? .
Какая связь имеется между двумя последними цифрами числа и его остатком при	делении	на 100 ? .
Может ли при	делении с остатком	некоторого натурального числа на произведение получиться остаток 134 ? .
8 При	делении с остатком	на число 15 получен промежуточный результат .
При	делении с остатком	менять местами делитель и частное нельзя .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при	делении с остатком	числа а на число b остаток может равняться .
Указаны значения некоторых	делений	.
Отсчёт	делений	на ученической линейке начинается с 0 мм .
Выполним в десятичной системе последовательность	делений	на 4 с остатком .
	Делений	, а направления характеризуются числами .
2.4 Какие из указанных весов можно точно получить на чашечных весах без	делений	, имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г , третья — 500 г ? .
5.5 Краткая запись схемы	деления	уголком .
5 Как можно обозначить левую точку	деления	отрезка [ 0 ; 2 ] на три равные части ? .
В некоторых случаях можно определить , делится одно число на другое или нет , не выполняя	деления	, а пользуясь особыми свойствами записи чисел .
Так как расстояние от точки 0 до точки	деления	равно , саму точку деления также обозначим через .
В частности , на пятом шаге по схеме	деления	нужно подобрать число 0,000003 ; найти произведение и выполнить вычитание .
Чему равно частное от	деления	числа 7 на 25 , записанное в виде десятичной дроби ? .
Выполнив четыре шага по схеме	деления	, мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего вычитания получается разность , которая в десять раз меньше разности , полученной на предыдущем шаге .
Именно по такому принципу наносятся	деления	на знакомой вам линейке .
5.3 Схема	деления	уголком десятичной дроби на натуральное число .
5.4 Схема	деления	уголком числа 0,1 на число 3 .
Так как расстояние от точки 0 до точки деления равно , саму точку	деления	также обозначим через .
Простейший способ вычисления для	деления	с остатком осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного вычитания .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
5.2 Пример	деления	десятичной дроби на натуральное число .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	равно эту точку деления также обозначают через .
Какие обозначения для точек	деления	отрезка [ 0 ; k ] на три равные части вы можете предложить ? .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно эту точку	деления	также обозначают через .
Иногда приходится решать задачу	деления	на равные части : например , разделить килограмм муки на несколько равных частей или поделить пирог поровну между друзьями .
3 Чему равно частное от	деления	.
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно то эту точку	деления	также обозначим через 1/3 .
2 Проверьте умножением правильность	деления	.
8 Какие свойства	деления	нацело вы изучали ? .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	равно то эту точку деления также обозначим через 1/3 .
6 Какой геометрический смысл имеет частное от	деления	одного числа на другое ? .
Новые промежутки ещё раз делили пополам , и маленькую единицу	деления	называли « румбом » .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки	деления	обозначим через и будем считать .
5 Какие виды записи для операции	деления	вы знаете ? .
Точку	деления	можно также обозначить через , так как длина отрезка [ 0 ; k ] по определению равна k.
1 Как определяется операция	деления	одного числа на другое ? .
1.1 Чему равен остаток от	деления	числа 13 578 на 5 ? .
1.2 Какое из указанных чисел является остатком от	деления	числа 543 на 6 ? .
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат	деления	с остатком числа 539 на 17 ? .
Результат	деления	20 кг сахара на 10 равных частей равен 2 кг , так как .
16 Чему равно частное от	деления	числа вида на 5 ? .
Особое название для таких чисел можно объяснить простотой и естественностью	деления	пополам .
Приведём примеры	деления	дробных чисел на натуральные .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности	деления	этой единицы на q равных частей для любого натурального числа q.
Чему равно частное от	деления	этого числа на 9 ? .
Представление , где , даёт результат	деления	с остатком числа 5386 на 87 .
Желательно и эту задачу , как и пример , свести к задаче	деления	натуральных чисел .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило	деления	дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
Как получить цифры числа ( 1234)5 с помощью	деления	с остатком ? .
3.6 Алгоритм	деления	с остатком « уголком » .
Частное от	деления	натурального числа m на натуральное число n определяется как решение уравнение .
1.4 Геометрический смысл	деления	одного числа на другое .
Если при этом , то q называется частным от	деления	а на b .
— и теперь , не меняя положения линеек относительно друг друга , смотрим отметку на верхней линейке напротив того	деления	нижней , которое соответствует второму слагаемому , — это и есть искомая сумма .
6.2 Нахождение цифр числа в других системах счисления с помощью	деления	с остатком .
Геометрический смысл	деления	числа а на число b — это деление отрезка длины а на b равных частей .
Алгоритм	деления	с остатком можно записывать в довольно удобном виде « уголком » .
Действовать будем , как и в предыдущем примере , но результаты	деления	оформим в виде другой условной схемы .
Отметим ещё одну важную особенность	деления	с остатком .
Так как , то процесс	деления	с остатком закончен , а число 79 и является остатком .
Остаток от	деления	числа 4147 на 19 записан под делимым в самой нижней строке и равен 5 .
В результате приходим к общему правилу	деления	дробей .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом	деления	натурального числа m на натуральное число n .
Ответом будет число 97 на верхней линейке , расположенное напротив	деления	75 мм нижней линейки .
Чему равен остаток от	деления	числа 87 001 на 87 ? .
Каким числам соответствуют остальные	деления	на каждом отрезке ? .
Посмотрим , как можно подбирать нужные числа в алгоритме	деления	с остатком « уголком » на примере .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от	деления	дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
( Результат такого	деления	можно выразить дробным числом .
На вертикальной шкале наружного термометра есть нулевая отметка и	деления	, расположенные выше и ниже нулевой отметки .
7 Сформулируйте правило	деления	обеих частей неравенства на дробь .
Таким образом , частное от	деления	числа 12 на число 2 есть решение уравнения .
В этой главе вы познакомитесь с операцией	деления	натуральных чисел , узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
Нахождение цифр числа с помощью	деления	с остатком .
Алгоритм	деления	с остатком числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
3.3 Геометрический смысл	деления	с остатком .
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере	деления	с остатком числа 5386 на 87 .
4 Каков геометрический смысл	деления	с остатком ? .
2 Что такое остаток от	деления	числа а на число b ? .
6 В чём состоит алгоритм	деления	« уголком » ? .
5 Найдите остаток от	деления	числа ( 3233)4 на ( 13)4 .
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере	деления с остатком	числа 5386 на 87 .
Алгоритм	деления с остатком	можно записывать в довольно удобном виде « уголком » .
Нахождение цифр числа с помощью	деления с остатком	.
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат	деления с остатком	числа 539 на 17 ? .
6.2 Нахождение цифр числа в других системах счисления с помощью	деления с остатком	.
Отметим ещё одну важную особенность	деления с остатком	.
Как получить цифры числа ( 1234)5 с помощью	деления с остатком	? .
3.6 Алгоритм	деления с остатком	« уголком » .
Так как , то процесс	деления с остатком	закончен , а число 79 и является остатком .
3.3 Геометрический смысл	деления с остатком	.
4 Каков геометрический смысл	деления с остатком	? .
Простейший способ вычисления для	деления с остатком	осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного вычитания .
Алгоритм	деления с остатком	числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
Представление , где , даёт результат	деления с остатком	числа 5386 на 87 .
Посмотрим , как можно подбирать нужные числа в алгоритме	деления с остатком	« уголком » на примере .
В этом случае изображения дробей 0,1 ; 0,2 ; 0,3 и так далее будут соответствовать	делениям	линейки в 1 см , 2 см , 3 см и так далее .
Дроби 0,01 ; 0,02 ; 0,03 и так далее будут соответствовать миллиметровым	делениям	линейки .
17 Укажите на линейке с миллиметровыми	делениями	точки , соответствующие : 0,2 дм ; 0,7 дм ; 0,7 см ; 0,4 см ; 0,12 дм ; 0,07 дм .
Промежутки между этими направлениями	делили	пополам и новые направления называли двумя словами , например , « зюйд - вест » .
Полученные промежутки ещё раз	делили	пополам , и новые направления называли тремя словами .
Новые промежутки ещё раз	делили	пополам , и маленькую единицу деления называли « румбом » .
Какое из указанных чисел нужно прибавить к 5197 , чтобы получившееся число	делилось	на 2 ? .
6 Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	на 9 : .
1.2 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 21 969 , чтобы получившееся число	делилось	на 5 ? .
1.4 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 123 456 , чтобы получившееся число	делилось	на 9 ? .
На какую цифру надо заменить цифру 8 , чтобы получившееся число	делилось	на 9 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 3 .
Число 3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 1 .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей	делился	отрезок с концами в точках 0 и 1 .
Последовательно	делим	на 4 это число и все получающиеся неполные частные .
Последовательно делим число 1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова	делим	на 10 с остатком .
Последовательно	делим	число 1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова делим на 10 с остатком .
1.7 Если	делимое	и делитель одновременно умножить на одно и то же ненулевое число , то частное от этого не изменится .
14 Вычислите частные , домножая	делимое	и делитель на число 4 : .
в ) и	делимое	и делитель увеличить в 7 раз ? .
Что произойдёт с частным при делении числа а на число b , если	делимое	умножить на число 5 ? .
Здесь 63 —	делимое	, 7 — делитель , 9 — частное .
Здесь 15 —	делимое	, 3 — делитель , 5 — частное .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в )	делимое	разделить на 5 ? .
а )	делимое	увеличить в 6 раз .
3 Что такое	делимое	? .
Это правило можно записать следующим образом : если	делимое	и делитель одновременно разделить на одно и то же число , не равное нулю , то частное от этого не изменится .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б )	делимое	умножить на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
1.8 При делении можно « вычёркивать » один и тот же множитель в	делимом	и делителе .
8 Поставьте в	делимом	в нужном месте запятую и восстановите отмеченные звёздочкой цифры .
Где	делимые	и делители в записи ? .
Сами числа а и b , как и при делении нацело , называют соответственно	делимым	и делителем .
При этом иногда выражение называют частным , дробь называют	делимым	, а дробь называют делителем .
При этом а называется	делимым	, b — делителем , х — частным .
Остаток от деления числа 4147 на 19 записан под	делимым	в самой нижней строке и равен 5 .
2.3 Луч	делит	прямой угол на два неравных угла .
7 На сколько частей точка прямой	делит	эту прямую ? .
Мы установили следующее свойство : диагональ прямоугольника	делит	его на два равных треугольника .
Прямая	делит	плоскость на две части , каждая из которых называется полуплоскостью .
Справедливо следующее свойство прямой : любая точка прямой	делит	её на два луча с началом в этой точке .
2.4 Луч	делит	прямой угол на два неравных угла .
Диагональ АС квадрата ABCD	делит	его на два прямоугольных треугольника .
1 ) диагональ прямоугольника	делит	его на два равных треугольника .
Диагональ	делит	прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника , площади которых равны .
1.8 При делении можно « вычёркивать » один и тот же множитель в делимом и	делителе	.
При этом иногда выражение называют частным , дробь называют делимым , а дробь называют	делителем	.
Сами числа а и b , как и при делении нацело , называют соответственно делимым и	делителем	.
При этом а называется делимым , b —	делителем	, х — частным .
Поэтому деление закончено и частное равно сумме чисел 0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под	делителем	125 , то есть .
Складывая числа , стоящие под	делителем	, находим неполное частное , равное 218 .
Для вычисления частного складываем числа 5 ; 0,3 ; 0,04 , которые записаны под	делителем	12 , и получаем .
Для вычисления неполного частного складываем числа 60 и 1 , записанные под	делителем	87 , и получаем 61 .
Где делимые и	делители	в записи ? .
Какие ещё	делители	есть у числа 1001 ? .
Разложение числа на	делители	.
24 Как изменится частное , если : а )	делитель	умножить на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
14 Вычислите частные , домножая делимое и	делитель	на число 4 : .
Здесь 15 — делимое , 3 —	делитель	, 5 — частное .
	Делитель	увеличить в 5 раз .
в ) и делимое и	делитель	увеличить в 7 раз ? .
Здесь 63 — делимое , 7 —	делитель	, 9 — частное .
Это правило можно записать следующим образом : если делимое и	делитель	одновременно разделить на одно и то же число , не равное нулю , то частное от этого не изменится .
1.7 Если делимое и	делитель	одновременно умножить на одно и то же ненулевое число , то частное от этого не изменится .
При делении с остатком менять местами	делитель	и частное нельзя .
Если теперь поменять	делитель	и неполное частное местами , то получится верное равенство .
4 Что такое	делитель	? .
То есть оба числа 7 и 143 являются	делителями	числа 1001 .
Число	делится	на 5 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 или 5 .
17 Покажите , что если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то исходное число также	делится	на 4 .
4 ) 723 делится на 3 и не	делится	на 9 , 12 делится на 3 и не делится на 9 .
4 ) 723	делится	на 3 и не делится на 9 , 12 делится на 3 и не делится на 9 .
Если число а оканчивается на 0 , то , по признаку делимости на 10 , оно	делится	на 10 .
12 а ) Почему число	делится	на 9 ?
Число	делится	на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 3 .
Примеры . 1 ) 123	делится	на 3 , 6 делится на 3 .
Поэтому признак делимости можно записать следующим образом : число	делится	на 10 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается нулём .
4 ) 723 делится на 3 и не делится на 9 , 12	делится	на 3 и не делится на 9 .
Примеры . 1 ) 123 делится на 3 , 6	делится	на 3 .
3 ) 423 делится на 9 : 9	делится	на 9 .
Справедливо и обратное утверждение : если число в десятичной записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не	делится	на 10 .
3 ) 423	делится	на 9 : 9 делится на 9 .
Число , оканчивающееся нулём ,	делится	на 10 .
Проверьте , что их разность	делится	на 9 и на 11 .
2 ) 123 не делится на 9 : 6 не	делится	на 9 .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа	делится	на 3 .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа	делится	на 9 .
Как сложить треугольник из двух фигур , на которые прямоугольник	делится	диагональю ? .
Почему самое большое 20-значное число	делится	на 9 ? .
число 7 — простое : оно не	делится	ни на одно число , кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10 простых чисел : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
Первое слагаемое содержит целое число десятков и поэтому	делится	на 2 .
Второе слагаемое тоже	делится	на 2 .
Тогда и вся сумма тоже	делится	на 2 .
Число , оканчивающееся на одну из цифр — 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,	делится	на 2 .
Справедливо и обратное утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то оно не	делится	на 2 .
Число называется простым , если оно не	делится	ни на какие числа , кроме 1 и р .
Число	делится	на 2 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
Какое из этих чисел	делится	: а ) на 2 ; б ) на 3 ; в ) на 11 ? .
4 ) 723 делится на 3 и не делится на 9 , 12 делится на 3 и не	делится	на 9 .
Почему из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно	делится	на 2 ? .
Справедливо и обратное утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 или 5 , то оно не	делится	на 5 .
7 Как определить ,	делится	ли число на 18 ? .
Таким образом , если число а оканчивается на 0 или на 5 , то оно	делится	на 5 .
19 Почему число , оканчивающееся двумя нулями ,	делится	на 25 ? .
У числа 873 сумма цифр	делится	на 9 .
Поэтому и , следовательно , то есть а	делится	на 5 .
Преобразовав это выражение , получаем , что а , то есть а	делится	на 5 .
Сколько двузначных чисел	делится	на 5 ? .
Число	делится	на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи числа делится на 9 .
Числа 99,9 делятся на 9 , поэтому вся сумма	делится	на 9 .
2 ) 123 не	делится	на 9 : 6 не делится на 9 .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части	делится	отрезок длиной 1 .
В некоторых случаях можно определить ,	делится	одно число на другое или нет , не выполняя деления , а пользуясь особыми свойствами записи чисел .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697	делится	на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808	делится	на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
9 Проверьте , что : а ) 624	делится	на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624 делится на 12 .
Покажите , что такое число	делится	: а ) на 7 ; б ) на 11 ; в ) на 13 .
Верно ли , что 531 531	делится	: а ) на 7 ; б ) на 11 ; в ) на 13 ? .
5 Проверьте , что число 531 531	делится	на 1001 .
Следовательно , число 1001 также	делится	и на 143 .
Следовательно , число 1001	делится	на 7 .
Как объяснить , что число 625 625 625 625	делится	на 11 ? .
Видно , что число 513 513	делится	на 7 .
По свойству 2 число тоже	делится	на 7 .
Из равенства следует , что число 1001	делится	на 7 .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение	делится	нацело на число m .
Если число а	делится	нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на число m .
Поэтому число тоже	делится	на 25 .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они делятся на число т , то их сумма	делится	на m .
Если числа а и b делятся нацело на число m , то число тоже	делится	нацело на m .
7 Верно ли , что среди 11 натуральных чисел найдутся 2 числа , разность которых	делится	на 10 ? .
Какое из чисел	делится	нацело на любое натуральное число ? .
1 В каких случаях говорят , что целое число а	делится	на натуральное число b без остатка ? .
Но число 1 не	делится	нацело на число 10 .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а	делится	на число b » .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а	делится	нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
Говорят , что натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Тогда число а	делится	нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без остатка .
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а	делится	на b без остатка .
Как показать , что число 100	делится	без остатка на 4 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 3 .
9 Проверьте , что : а ) 624 делится на 6 ; б ) 808 делится на 4 ; в ) 697 делится на 17 ; г ) 624	делится	на 12 .
15 Покажите , что число , оканчивающееся двумя нулями ,	делится	на 4 .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
2.3 Известно , что число а делится на 6 , число b	делится	на 2 и не делится на 3 .
2.3 Известно , что число а	делится	на 6 , число b делится на 2 и не делится на 3 .
20 Почему число вида	делится	на 9 ?
18 Почему число вида 18k	делится	на 2 и на 9 ?
15 Покажите , что каждое из чисел 15 , 20 , 25 , 30 , 100	делится	на 5 .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 1 .
2.3 Известно , что число а делится на 6 , число b делится на 2 и не	делится	на 3 .
Однако известно , что , 10	делится	нацело на 10 , поскольку .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части	делится	отрезок длиной 1 .
С пирогом немного сложнее : можно	делить	так , чтобы куски были одинаковыми по форме или иметь разную форму , но при этом быть одного и того же веса .
Свойство числа 0 при делении : на 0	делить	нельзя ! .
Стали	делить	.
Давайте	делить	на четверых » .
Стали	делить	, и все получилось .
5 Почему нельзя	делить	на нуль ? .
Вспомним , как	делить	натуральное число на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Научившись	делить	дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
В связи с этим принимается следующее правило :	делить	на нуль нельзя .
Например , начнём	делить	уголком число 0,1 на 3 .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать , вычитать , умножать ,	делить	и сравнивать дроби .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению : диагонали квадрата	делят	его утлы пополам .
5 На сколько частей	делят	плоскость .
7 На сколько частей	делят	клетчатую бумагу четыре вертикальных и пять горизонтальных прямых ? .
1 ) диагонали квадрата	делят	его углы пополам .
Для любого угла образующие его лучи	делят	плоскость на две части .
Заметим теперь следующее : точки и делят отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки	делят	отрезок на четыре равные части и так далее .
Заметим теперь следующее : точки и	делят	отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки делят отрезок на четыре равные части и так далее .
Какие точки на числовой прямой	делят	отрезок на 6 равных частей ? .
Например , когда	делят	3 кг конфет на 18 равных частей , то каждая часть будет составлять кг .
На какие части	делят	прямую две её различные точки ? .
Тогда метр	делят	на сто равных частей , каждая из которых имеет длину один сантиметр , то есть одну сотую часть метра .
Точки С и D	делят	отрезок АВ на три равные части .
1.1 Сколько всего чётных чисел , которые меньше 100 и	делятся	на 5 ? .
5 Из набора чисел 144 , 511 , 715 , 300 , 290 , 728 , 1312 , 900 , 7345 , 10 000 выберите все числа , которые	делятся	.
20 Проверьте , что слагаемые в суммах	делятся	на 25 : .
2.4 Какие из указанных чисел	делятся	на 4 ? .
Какие из указанных чисел	делятся	на 37 ( без остатка ) ? .
Числа 99,9	делятся	на 9 , поэтому вся сумма делится на 9 .
8 Проверьте , что числа 108 , 1008 , 10 008 , 100 008	делятся	на 18 .
Какие из указанных чисел	делятся	на 7 ( без остатка ) ? .
2.3 Какие из указанных чисел делятся на 2 и	делятся	на 9 ? .
Какие из указанных чисел не	делятся	на 6 ? .
2.1 Какие из указанных чисел	делятся	на 3 ? .
7 На какие числа	делятся	.
Если числа а и b	делятся	нацело на число m , то число тоже делится нацело на m .
13 Как объяснить , что следующие числа	делятся	на 3 : .
16 Проверьте , что каждое слагаемое и сами суммы	делятся	на 4 : .
2.3 Какие из указанных чисел	делятся	на 2 и делятся на 9 ? .
Почему эти суммы	делятся	на 25 ? .
Почему числа вида 10 при любом числе нулей	делятся	на 18 ? .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они	делятся	на число т , то их сумма делится на m .
2.2 Какие из указанных чисел	делятся	на 9 ? .
Как проверить , что диагонали квадрата	делятся	пополам в точке их пересечения ? .
4 На какие цифры оканчиваются числа ,	делящиеся	на 2 ? .
Луч , проведённый из вершины угла и	делящий	этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Как измерить высоту цилиндра , сделанного из	дерева	? .
х	деревьев	больше , чем шестиклассники .
3 Ученики 5 класса посадили 15 деревьев , шестиклассники посадили на х	деревьев	больше , чем пятиклассники , а семиклассники посадили на .
Составьте выражение для общего числа посаженных	деревьев	и найдите его значение при .
11 В саду 1800	деревьев	.
3 Ученики 5 класса посадили 15	деревьев	, шестиклассники посадили на х деревьев больше , чем пятиклассники , а семиклассники посадили на .
Сколько	деревьев	посадили ученики этих классов вместе ? .
Ученики 6 класса посадили на х деревьев меньше , чем ученики 5 класса , а ученики 7 класса посадили на х	деревьев	больше , чем пятиклассники .
Ученики 6 класса посадили на х	деревьев	меньше , чем ученики 5 класса , а ученики 7 класса посадили на х деревьев больше , чем пятиклассники .
2 Ученики 5 класса посадили 13	деревьев	.
Из них 85 %	деревьев	— яблони .
Придумайте обозначения для его вершин и запишите обозначение самого	десятиугольника	.
Если точек десять , то полученную фигуры называют	десятиугольником	.
Обычно для краткости вместо фразы « запись десятичной дроби в одну строку » употребляют слова «	десятичная	дробь » .
Дроби	десятичная	.
1.2 Какова	десятичная	запись числа ( 302)4 ? .
1.1 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Какая	десятичная	разрядная единица меньше дроби ? .
1.1 Какова	десятичная	запись выражения ? .
1.3 Какова	десятичная	запись выражения ( 111)4 ? .
1.4 Какова	десятичная	запись числа ? .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая	десятичная	дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
1.3 Какова	десятичная	запись числа ? .
Число делится на 5 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается на 0 или 5 .
1.4 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Данная	десятичная	дробь равна .
Число делится на 2 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается на 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
2.3 Каким из указанных дробей равна	десятичная	дробь 0,0375 ? .
Поэтому признак делимости можно записать следующим образом : число делится на 10 тогда и только тогда , когда его	десятичная	запись заканчивается нулём .
1.2 Какова	десятичная	запись дроби ? .
Найдём запись	десятичного	числа 9137 в четверичной системе .
В англоязычных странах в качестве	десятичного	разделителя между целой и дробной частями десятичной дроби вместо запятой ставится точка .
Обычно считают , что при записи приближённого равенства точность	десятичного	приближения совпадает с разрядной единицей последнего выписанного знака .
8 Как по записи	десятичного	приближения определить , с какой точностью дано это приближение ? .
1.3 Укажите	десятичное	приближение снизу для числа 98 765 с точностью до 104 .
1.1 Укажите	десятичное	приближение снизу для числа 63 8711 с точностью до 103 .
Чему равно	десятичное	приближение числа с избытком с точностью до 0,01 ? .
Приближение	десятичное	.
1.2 Укажите	десятичное	приближение сверху для числа 10 315 с точностью до 104 .
1.4 Укажите	десятичное	приближение сверху для числа 936 с точностью до 103 .
1.1 Чему равно	десятичное	приближение числа с недостатком с точностью до 0,1 ? .
Отсюда следует , что	десятичное	приближение сверху всегда больше самого числа .
Пусть b —	десятичное	приближение снизу для числа а с точностью до 10 m.
1.2 Чему равно	десятичное	приближение числа с избытком с точностью до 0,01 ? .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что	десятичное	приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Приведём правила , позволяющие по	десятичной	записи двух чисел определить , какое из них больше , а какое меньше .
Именно поэтому принятый нами способ записи натуральных чисел называется	десятичной	системой счисления .
Найдём значения записанных выше выражений в	десятичной	системе счисления .
Таким образом , каждая цифра в	десятичной	записи натурального числа показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Правило сравнения чисел по их	десятичной	записи .
Как в	десятичной	системе счисления записать число ( 1000)4 ? .
Важный способ замены натуральных чисел приближёнными значениями связан с их	десятичной	записью .
3 Как по последней цифре числа в	десятичной	системе счисления определить , чётное это число или нечётное ? .
Будем отличать новую запись от	десятичной	, заключая последовательность « цифр » в круглые скобки и после правой скобки чуть ниже приписывая 4 .
1.2 Известно , что у чисел 41 и 43 одинаковые цифры единиц в	десятичной	записи .
В	десятичной	системе счисления после записи чисел внизу обычно не ставят основание этой системы счисления — 10 .
3 Как записать в пятеричной системе счисления числа , записанные в	десятичной	системе : а ) 66 ; 6)132 ; в ) 1995 ; г ) 2000 ? .
Какой цифрой может оканчиваться нечётное число в	десятичной	системе счисления ? .
Какое число в	десятичной	системе соответствует записи ( 11010101)2 ? .
7 Какая система счисления называется	десятичной	? .
1 Как записывают натуральное число в	десятичной	системе счисления ? .
Выполним в	десятичной	системе последовательность делений на 4 с остатком .
Кроме того , приближения с разной точностью могут оказаться равными друг другу , если внутри	десятичной	записи исходного числа имелись нули .
6.3 Перевод числа из	десятичной	в другую систему счисления делением с остатком .
При этом если просто переместить запятую , то получится запись 82 164 , которую не принято считать	десятичной	дробью .
4 Как из	десятичной	дроби вычитать разрядную единицу ? .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде натурального числа или в виде	десятичной	дроби .
Удаление нулей в конце записи	десятичной	дроби .
1 Как сравниваются натуральные числа по их	десятичной	записи ? .
5 Деление	десятичной	дроби на натуральное число .
При записи смешанной дроби в виде	десятичной	в первых разрядах после запятой могут оказаться нули .
Чему равно частное от деления числа 7 на 25 , записанное в виде	десятичной	дроби ? .
Рассмотрим теперь умножение	десятичной	дроби на 0,1 , то есть на Вычислим , например , произведение .
Если число имеет в	десятичной	записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя группы по три знака справа налево .
Какие цифры используются для записи чисел в	десятичной	системе счисления ? .
4.4 Правило умножения	десятичной	дроби на .
При чтении	десятичной	дроби следует сначала определить её знаменатель .
3 Что называется дополнением	десятичной	дроби до ближайшей большей разрядной единицы ? .
Запись	десятичной	дроби в виде суммы произведений цифр и разрядных единиц .
При умножении	десятичной	дроби на 10 запятая смещается на один разряд вправо .
Эти записи с десятичной точкой читаются точно так же , как и записи с	десятичной	запятой .
Эти записи с	десятичной	точкой читаются точно так же , как и записи с десятичной запятой .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и дробной частями	десятичной	дроби вместо запятой ставится точка .
Для	десятичной	дроби применяют запись в одну строку .
Иногда для удобства дополняют дроби нулями после	десятичной	запятой , чтобы уравнять количество цифр после запятой в каждом из чисел .
Как и для натуральных чисел , при делении	десятичной	дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
Использование	десятичной	системы счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени числа 10 .
Как записать обыкновенную дробь в виде	десятичной	? .
Для составления таблицы сложения запишем сначала в	десятичной	системе следующие равенства .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в	десятичной	системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в	десятичной	системе .
Цифры дробной части	десятичной	дроби называют десятичными знаками дроби .
15 Сколько слов русского языка нужно знать , чтобы прочитать число 999 999 999 999 , записанное в	десятичной	системе ? .
Записью такой	десятичной	дроби в одну строку будет 2,1 .
Приписывание или отбрасывание нулей справа в конце записи	десятичной	дроби никак не влияет на её значение .
На месте каких из указанных разрядов в записи	десятичной	дроби 10,203004 стоят нулевые цифры ? .
Для этого запишем в	десятичной	системе счисления следующие равенства .
Умножение чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в	десятичной	, только с использованием другой таблицы умножения .
В	десятичной	системе этот пример соответствует записи .
Например , цифра нуль в	десятичной	записи натурального числа означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
Чаще всего рассматривают дополнение	десятичной	дроби до ближайшей большей её разрядной единицы .
1.3 Какой	десятичной	дробью записывается частное 12,4 : 16 ? .
Указать точное значение стороны а в виде	десятичной	или обыкновенной дроби в данном случае невозможно .
9 Какие единицы	десятичной	метрической системы вы знаете ? .
8 Как записать целое число в виде	десятичной	дроби ? .
6 Как определить знаменатель	десятичной	дроби , записанной в строку ? .
4 Что такое дробная часть	десятичной	дроби ? .
Она получается отбрасыванием нулей , стоящих в конце	десятичной	дроби 2,1000000 .
3 Что такое целая часть	десятичной	дроби ? .
Будем искать длину а его стороны в виде	десятичной	дроби .
3.4 Дополнение	десятичной	дроби до разрядной единицы .
Как выразить в виде	десятичной	дроби часть , которую составляет 1 кг от 10 тонн ? .
Некоторые единицы измерения	десятичной	метрической системы вам известны .
Десятичные дроби тесно связаны с	десятичной	метрической системой единиц .
Разделить десятичную дробь на натуральное число и получить ответ в виде	десятичной	дроби удаётся не всегда .
1.5 Связь десятичных дробей с	десятичной	метрической системой единиц .
Для чтения	десятичной	записи натуральных чисел от 1 до 999 в русском языке используются такие названия .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной системе , иногда также считают	десятичной	дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Всякое натуральное число , записанное в	десятичной	системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
При умножении	десятичной	дроби на 0,1 запятая смещается на один разряд влево .
Обычно для краткости вместо фразы « запись	десятичной	дроби в одну строку » употребляют слова « десятичная дробь » .
1 Какая дробь называется	десятичной	? .
6 Запись шестизначного числа в	десятичной	системе имеет вид АВС АВС , где буквами А , В , С обозначены некоторые цифры .
А во - вторых , в	десятичной	системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в	десятичной	системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
Умножение	десятичной	дроби на разрядную единицу выполняется особенно просто .
5.3 Схема деления уголком	десятичной	дроби на натуральное число .
Справедливо и обратное утверждение : если число в	десятичной	записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не делится на 10 .
13 Какую запись в	десятичной	системе имеет число 220 ? .
Например , если число в	десятичной	записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого числа десятков .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр	десятичной	записи числа делится на 3 .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр	десятичной	записи числа делится на 9 .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в	десятичной	системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Сколько нулей содержит в	десятичной	записи число дециллион ? .
Значит , в полученном произведении надо отделить	десятичной	запятой 5 знаков справа .
При этом в	десятичной	записи суммы появляется 1 в разряде десятков .
5.2 Пример деления	десятичной	дроби на натуральное число .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число похоже на деление натуральных чисел .
4.3 Правило умножения	десятичной	дроби на 10 .
Получим	десятичную	дробь 0,09965 , которая является дополнением до 0,1 дроби 0,00035 .
Как умножить	десятичную	дробь на 1000 ? .
3 Как умножить	десятичную	дробь на разрядную единицу ? .
Возьмём	десятичную	запись числа 511 634 .
9 Переведите числа из двоичной системы счисления в	десятичную	.
Выражения , записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на	десятичную	запись .
Поэтому слева добавляют цифру 0 и получают	десятичную	дробь 0,82164 .
4 По какому правилу можно разделить	десятичную	дробь на натуральное число ? .
7 Как записать	десятичную	дробь в виде обыкновенной ? .
Получим	десятичную	дробь 0,666667 , которая является дополнением до 1 дроби 0,333333 .
Поэтому слева приписываем 0 как пятую цифру , ставим	десятичную	запятую , а перед ней записываем ещё одну цифру 0 — целую часть произведения .
Переведём смешанную дробь	десятичную	.
6 Заменив	десятичную	дробь обыкновенной , вычислите .
6 Следующие числа переведите из троичной системы счисления в	десятичную	.
3 Переведите в	десятичную	систему счисления следующие числа , записанные в системе счисления с основанием 4 .
Разделить	десятичную	дробь на натуральное число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
11 Найдите	десятичную	запись для чисел .
6 Запишите	десятичные	дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
12 Дано число 1,4142136 . а ) Найдите его	десятичные	приближения с недостатком с точностью .
4 Запишите число в виде суммы целой части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие	десятичные	знаки по следующему образцу .
Выпишите его	десятичные	приближения с избытком с точностью до .
Числа записывают столбиком так , чтобы	десятичные	запятые стояли строго одна под другой .
5 Как найти	десятичные	приближения натурального числа с точностью до 10 m ? .
7 Запишите	десятичные	дроби в строку по образцу/. 8 Запишите десятичные дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
10 Запишите все	десятичные	дроби , у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных знака .
1 Перепишите	десятичные	дроби в строку по образцу .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются натуральные числа , записывающиеся теми же цифрами , что и	десятичные	дроби .
5 Выпишите в порядке возрастания все	десятичные	дроби с одним десятичным знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
По какому общему правилу складывают	десятичные	дроби ? .
6 Как определяются	десятичные	приближения с избытком с точностью до разрядной единицы ? .
Продолжая дальше подбирать	десятичные	знаки для а , сможем добиться любой нужной точности как с избытком , так и с недостатком .
19 Найдите	десятичные	приближения стороны квадрата площади 3 см2 : .
2 Как записываются	десятичные	дроби ? .
3 Запишите	десятичные	дроби из задачи 2 в виде обыкновенных правильных или смешанных дробей .
Узнаете , как их читать и записывать , как сравнивать и выполнять над ними арифметические действия , как находить	десятичные	приближения с недостатком и с избытком .
При сложении десятичных дробей числа записывают в столбик так , чтобы	десятичные	запятые стояли строго одна под другой .
Рассмотрим	десятичные	приближения для числа .
В отличие от приближений снизу ,	десятичные	приближения сверху всегда больше исходного числа .
5 Как определяются	десятичные	приближения с недостатком с точностью до разрядной единицы ? .
2 По какому правилу умножаются	десятичные	дроби ? .
1 По какому правилу складываются	десятичные	дроби ? .
В этой главе вы будете изучать важные в практической деятельности	десятичные	дроби .
14 Запишите свой рост в метрах , используя	десятичные	дроби .
13 Запишите величины , используя	десятичные	дроби .
1 Найдите	десятичные	приближения снизу и сверху с точностью до десяти для следующих чисел .
3 Как сравниваются	десятичные	дроби по их записи ? .
2 Найдите	десятичные	приближения сверху и снизу с точностью до сотни для следующих чисел .
Это свойство отличает	десятичные	приближения от значений с недостатком .
7 Запишите десятичные дроби в строку по образцу/. 8 Запишите	десятичные	дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ;	десятичным	приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Для числа а	десятичным	приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
17 Известно , что 1,2 является	десятичным	приближением числа х с недостатком с точностью до 0,1 .
5 Выпишите в порядке возрастания все десятичные дроби с одним	десятичным	знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
Тогда b + 10 m называется	десятичным	приближением сверху для числа а с точностью до 10 m. Например , десятичными приближениями сверху для уже рассмотренного выше числа 209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
а ) с одним	десятичным	знаком . б ) с двумя десятичными знаками .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется	десятичным	приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Тогда b + 10 m называется десятичным приближением сверху для числа а с точностью до 10 m. Например ,	десятичными	приближениями сверху для уже рассмотренного выше числа 209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
Цифры дробной части десятичной дроби называют	десятичными	знаками дроби .
В таком случае иногда говорят , что 0,11 и 0,12 являются	десятичными	приближениями с точностью до 0,01 для дроби .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его	десятичными	приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
с тремя	десятичными	знаками .
Какие числа являются	десятичными	приближениями для числа 3,14 снизу и сверху с точностью до 0,0001 ? .
Например , числа 0,333 и 0,334 являются	десятичными	приближениями снизу и сверху соответственно с точностью до 0,001 для числа .
8 Укажите все числа х с шестью	десятичными	знаками после запятой , для которых выполняются неравенства .
Являются ли числа 0,111 и 0,112	десятичными	приближениями с недостатком и с избытком для дроби ? .
13 Известно , что числа 1,732050 являются	десятичными	приближениями с недостатком для некоторого числа .
Почему дробь с шестью	десятичными	знаками может равняться дроби с двадцатью десятичными знаками ? .
Почему дробь с шестью десятичными знаками может равняться дроби с двадцатью	десятичными	знаками ? .
а ) с одним десятичным знаком . б ) с двумя	десятичными	знаками .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются	десятичными	приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7 десятичных знаков после запятой .
При этом ограничимся	десятичными	приближениями снизу с точностью до единицы высшего разряда .
Действия над	десятичными	дробями с помощью калькулятора выполняются нажатием клавиш в определённой последовательности .
Их называют	десятичными	дробями .
В этом случае иногда говорят , что 0,1 и 0,2 являются	десятичными	приближениями с точностью до 0,1 для дроби .
2.3 Какие из указанных десятичных дробей являются	десятичными	приближениями с недостатком для числа 0,308091 ? .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел	десятичных	знаков сомножителей .
Какие из указанных	десятичных	дробей являются приближениями с недостатком для числа 4,89305 ? .
2 По какому правилу вычисляется разность	десятичных	дробей ? .
Таким образом , после запятой должно быть шесть	десятичных	знаков , и значит , три нуля перед цифрами 7 , 0 , 3 .
Сколько	десятичных	знаков после запятой может иметь правильная дробь со знаменателем1020 ? .
Число нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу	десятичных	знаков дробной части , то есть шести .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m	десятичных	знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить вычитание	десятичных	дробей с использованием дополнения до числа 1 .
5 Сколько	десятичных	знаков числа к вам известно ? .
2.1 Какие из	десятичных	цифр не используются при записи чисел в системе счисления с основанием 4 ? .
1.6 Изображение	десятичных	дробей на числовой прямой .
3.5 Использование дополнения при вычислении разности	десятичных	дробей .
3.1 Сложение	десятичных	дробей с равными знаменателями .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения	десятичных	дробей .
При изображении на числовой прямой	десятичных	дробных разрядных единиц будем получать точки , « подходящие » к нулю всё ближе и ближе .
3 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
Число десятичных знаков в произведении	десятичных	дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
4 Приведите примеры числа и его	десятичных	приближений с точностью до : а ) 1 ; б ) 0,1 ; в ) 0,01 .
Вычитание	десятичных	дробей похоже на вычитание натуральных чисел .
1.5 Связь	десятичных	дробей с десятичной метрической системой единиц .
2.5 Определение	десятичных	приближений .
3.3 Правило вычитания	десятичных	дробей .
Например , в записи числа 81,6539 имеется четыре	десятичных	знака : 6 , 5 , 3 и 9 .
4.5 Вычисление	десятичных	приближений для числа .
1 Какая из	десятичных	дробей больше .
2.3 Какие из указанных	десятичных	дробей являются десятичными приближениями с недостатком для числа 0,308091 ? .
Запись	десятичных	приближений .
2.1 Целая часть каких из указанных	десятичных	дробей равна 1 ? .
4.2 Правило умножения	десятичных	дробей .
Возьмём натуральное число а , в записи которого n	десятичных	знаков .
Заметим , что число	десятичных	знаков сомножителей в сумме также равно пяти .
Количество	десятичных	знаков произведения равно числу нулей в записи знаменателя .
2.2 Какие из указанных	десятичных	дробей являются приближениями с избытком для числа 19,0909 ? .
5 Запишите числа в виде	десятичных	дробей : а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7	десятичных	знаков после запятой .
Умножение	десятичных	дробей похоже на умножение натуральных чисел .
11 Запишите с помощью	десятичных	дробей .
4.1 Соответствие между произведением	десятичных	дробей и произведением их числителей и знаменателей .
2.2 Дробная часть каких из указанных	десятичных	дробей равна .
При сложении	десятичных	дробей числа записывают в столбик так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
Число	десятичных	знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
3.2 Правило сложения	десятичных	дробей .
10 Запишите все десятичные дроби , у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два	десятичных	знака .
Сокращение записи	десятичных	разрядных единиц .
Умножение	десятичных	дробей .
2.1 Правило сравнения	десятичных	дробей .
3 Во сколько раз : а ) десяток больше единицы ; б ) сотня больше	десятка	; в ) тысяча больше сотни ? .
Как прочитать натуральное число , следующее за числом , равным 11	десяткам	? .
В дальнейшем десяти	десяткам	дали отдельное название — сотня , десяти сотням — тысяча и так далее .
Например , потому что это произведение равно	десяткам	; потому что это произведение равно 24 сотням .
Будем изображать их частями круга , разделённого радиусами на 10 равных частей и размеченными по окружности	десятками	.
Имея числа 10 , 100 , 1000 , мы можем считать десятки предметов , сотни предметов , тысячи предметов ,	десятки	тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать числа от 1000 до 999 999 .
Добавив к известным нам числам миллион , мы сможем считать миллионы ,	десятки	миллионов , сотни миллионов и так далее .
Будем считать , что на каждой линейке числу 1 соответствует отрезок в 1 мм , сантиметровым делениям соответствуют	десятки	, десятисантиметровым — сотни .
Имея числа 10 , 100 , 1000 , мы можем считать	десятки	предметов , сотни предметов , тысячи предметов , десятки тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать числа от 1000 до 999 999 .
12 Как записываются	десятки	и сотни в римской нумерации ? .
Дальнейшее нахождение суммы сводится к сложению	десятков	.
При умножении 5836 на число 4	десятков	второго сомножителя записываем под чертой ещё две строки по тем же правилам , что и выше .
При этом в десятичной записи суммы появляется 1 в разряде	десятков	.
Но крайнюю правую цифру помещаем в разряд	десятков	.
Полученную запись можно сократить , если в приведённой схеме у числа 10 не указывать цифру 0 , а запись цифры 1 сохранить в том же столбце	десятков	, где она и была записана .
Чему приблизительно равно расстояние от дома до школы с точностью : а ) до	десятков	метров ; б ) до сотен метров ; в ) до километра ? .
Затем выполним сложение чисел 60 и 80 в разряде	десятков	.
Тот факт , что 100 состоит из 10	десятков	, с помощью умножения записывается так .
Первое слагаемое содержит целое число	десятков	и поэтому делится на 2 .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число	десятков	, потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце	десятков	.
1 Назовите одним словом : а ) десять единиц ; б ) десять сотен ; в ) сто	десятков	тысяч ; г ) десять тысяч сотен .
8 Укажите число , запись которого содержит только 4 тысячи , 5 сотен , 6	десятков	и 2 единицы .
После этого выполним сложение в разряде	десятков	и получим окончательный результат .
10 Сколько	десятков	: а ) в сотне ; б ) в тысяче ; в ) в десяти миллионах ; г ) в миллиарде ? .
Нахождение суммы двузначного и однозначного числа сводится к сложению однозначных чисел и	десятков	.
Подбирая целое число	десятков	, мы попробовали взять 20 и в результате получили .
Это число можно прочитать как « тысяча миллионов » , или « миллион тысяч » , или « сто миллионов	десятков	» , или « десять миллионов сотен » , или « десять тысяч сотен тысяч » , или « десять сотен миллионов » .
Его пишем под чертой в разряде	десятков	, а во второй строке ничего не пишем .
Поэтому заимствуем одну единицу из разряда	десятков	в уменьшаемом .
Переходя к столбцу	десятков	, учитываем , что число десятков уменьшаемого стало на 1 меньше .
Переходя к столбцу десятков , учитываем , что число	десятков	уменьшаемого стало на 1 меньше .
Поскольку , то подберём число а	десятков	так , чтобы произведение а было меньше либо равно 5386 , но было больше 5386 .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой разряда единиц , цифру 2 — цифрой разряда	десятков	, цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Следующая цифра 5 — это цифра разряда	десятков	.
Поэтому вычитаем из 8 число 4 , а результат 4 записываем в ответ в столбце	десятков	.
Но так как число тысяч равно нулю , то из следующего разряда	десятков	тысяч заимствуем единицу .
Например , если число в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого числа	десятков	.
Следовательно , мы взяли больше	десятков	, чем нужно .
Четвёртая справа цифра 0 — это цифра разряда тысяч , следующая цифра 1 — цифра разряда	десятков	тысяч , самая левая цифра 2 — цифра разряда сотен тысяч .
Теперь считаем , что в разряде тысяч у уменьшаемого стоит 9 ввиду заимствования на предыдущем шаге единицы в разряде	десятков	тысяч .
Переходя к столбцу	десятков	тысяч , учитываем , что цифра 5 уменьшаемого стала на 1 меньше .
Цифру 5 пишем под чертой в разряде тысяч , а цифру 1 — во второй строке в разряде	десятков	тысяч .
Запись сложения	десятков	« столбиком » выглядит похоже на запись сложения « столбиком » однозначных чисел .
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда	десятков	— под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
цифра	десятков	( второго разряда ) .
Цифру 8 пишем под чертой в разряде единиц , а цифру 1 — во второй вспомогательной строке в разряде	десятков	.
Поэтому полученную запись нужно зачеркнуть и решить данный пример заново , подбирая меньшее число	десятков	.
Разница лишь в том , что в результате получается или целое число	десятков	в пределах до ста , или дополнительная сотня .
Поэтому вычитаем из 4 число 2 , а результат 2 записываем в ответ в столбце	десятков	тысяч .
Сложение двух чисел , содержащих целое число	десятков	в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа	десятков	, произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Наряду с единицей ,	десятком	и сотней особо выделяются числа : тысяча , десять тысяч и сто тысяч .
4 На сколько единиц : а )	десяток	больше единицы ; б ) сотня больше единицы ; в ) тысяча больше сотни ? .
3 Во сколько раз : а )	десяток	больше единицы ; б ) сотня больше десятка ; в ) тысяча больше сотни ? .
Другие считают , что X ведёт своё происхождение от двух линий , которыми перечёркивали	десяток	чёрточек .
Как проверить , что	диагонали	квадрата делятся пополам в точке их пересечения ? .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению :	диагонали	квадрата делят его утлы пополам .
Это свойство становится особенно наглядным , если вырезать квадрат из бумаги и перегнуть его вдоль	диагонали	.
Свойство	диагонали	прямоугольника .
Точка К — середина стороны АВ , точка L на	диагонали	АС расположена так , что AL 3LC .
Получаем следующее свойство :	диагонали	прямоугольника равны .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину	диагонали	квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить рациональным числом метров .
Сколько углов образуют	диагонали	квадрата с его сторонами ? .
Проведите	диагонали	.
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как	диагональ	прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как	диагональ	прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
Возьмём прямоугольный треугольник MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём	диагональ	АС и обозначим углы .
Возьмём любой прямоугольник ABCD и проведём	диагональ	АС , то есть отрезок , соединяющий не соседние вершины .
Чему равна	диагональ	квадрата со стороной см ? .
5 Какими свойствами обладает	диагональ	квадрата ? .
16 Что длиннее : сторона квадрата или его	диагональ	?
Проведём	диагональ	АС .
Мы установили следующее свойство :	диагональ	прямоугольника делит его на два равных треугольника .
1.3 В прямоугольнике ABCD	диагональ	АС образует угол в 25 ° со стороной CD .
Соединив две противоположные вершины четырёхугольника , получим его	диагональ	.
Какой угол образует	диагональ	АС со стороной СВ ? .
а ) Как	диагональ	квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
1 )	диагональ	прямоугольника делит его на два равных треугольника .
1 Что такое	диагональ	? .
17 Может ли	диагональ	ромба быть короче его стороны ? .
6 В каком прямоугольнике биссектриса его угла является	диагональю	этого прямоугольника ? .
Про угол CAD , как угол между	диагональю	квадрата и его стороной , уже известно , что .
Как сложить треугольник из двух фигур , на которые прямоугольник делится	диагональю	? .
Замечаем , что , следуя рассуждению , получим , что фигура AFKP является квадратом , АК — его	диагональю	.
Разрезать по	диагоналям	.
а ) длинный шаг человека равен 1 м . б )	диаметр	Земли приблизительно равен 12 750 000 м .
12 Шайба имеет вид кольца , внутренний	диаметр	которого равен 6 мм .
Найдите	диаметр	шайбы , если известно , что площадь отверстия в 2 раза меньше площади кольца .
4 Высота дымовой трубы равна 20 м , её внешний	диаметр	равен 3 м , а внутренний равен 2 м .
3 В стакан ,	диаметр	которого равен 5 см , налили 100 см2 воды .
7 Диаметр Земли в 4 раза больше	диаметра	Луны .
10 Пройдёт ли медная проволока сечением 4 мм2 в круглое отверстие	диаметром	: а ) 2,5 мм ; б ) 2 мм ? .
3 Сформулируйте неравенство треугольника для	длин	отрезков .
Длина ломаной равна сумме	длин	всех составляющих её звеньев .
По какому свойству	длин	отрезков мы попадаем в точку , изображающую произведение ab , когда откладываем b раз отрезок длины а ? .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма	длин	двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме	длин	пяти отрезков длиной .
Почему длина гипотенузы прямоугольного треугольника не может равняться сумме	длин	его катетов ? .
С другой стороны , из равенства	длин	двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим отрезком .
Что вы можете сказать о равенстве	длин	двух противоположных сторон прямоугольника ? .
Для	длин	: километр , метр , дециметр , сантиметр , миллиметр .
Найдём сумму	длин	всех сторон 10 ( см ) .
Сумма	длин	двух любых сторон треугольника больше длины его третьей стороны .
Если от точки — вправо отложим еще один отрезок длиной то сумма	длин	двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
В правой части каждого из полученных неравенств записана длина одной из сторон , а в левой — сумма	длин	оставшихся сторон .
Периметром многоугольника называется сумма	длин	всех его сторон .
Какие из	длин	в целое число сантиметров можно отметить на доске длиной 3 м , имея нитку длиной ровно в 1 м ? .
2.1 При каких значениях	длин	трёх отрезков не существует треугольника с такими сторонами ? .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма	длин	двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной то сумма	длин	двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
Как найти сумму	длин	всех рёбер прямоугольного параллелепипеда , зная его измерения ? .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую точку , то его длина равна сумме	длин	составляющих его отрезков .
Какие примеры изменения единицы измерения	длин	отрезков вы знаете ? .
В результате сумма	длин	двух , трёх и любого другого количества таких дощечек также может быть выражена натуральным числом дециметров .
2 Какое свойство	длин	у равных отрезков ? .
Тогда длина отрезка АВ равна сумме	длин	отрезков АС и СВ .
Какие из	длин	в целое число сантиметров можно отметить на доске длиной в 1 м , имея нитку длиной ровно в 1 м 28 см ? .
Для сокращения записи можно иногда не ставить вертикальные чёрточки при обозначении	длин	отрезков , когда ясно , что речь идёт о длинах .
2.3 При измерении отрезка АВ получили , что его	длина	543 см. Какие из указанных значений являются значениями его длины с недостатком ? .
Её	длина	равна .
3 На отрезке АС выбрана точка В так , что	длина	отрезка АВ равна 15 см , а длина отрезка ВС на 6 см больше .
Если окажется , например , что она равна пяти частям , то	длина	доски составит пять восьмых частей метра .
Пусть имеется квадрат ABCD со стороной 5 см. Как пояснить , что	длина	отрезка АС меньше 10 см ? .
Оказалось , что	длина	отрезка АВ в таких единицах равна 15 .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что	длина	отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
1.3 В прямоугольном треугольнике длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть	длина	другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей ,	длина	каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
1.4 Чему в шагах сетки равна	длина	ломаной ? .
2.4 При каких из указанных масштабов отрезок длиной 1 мм будет изображаться отрезком ,	длина	которого больше 50 см ? .
1.2 Чему равна	длина	ломаной , составленной из трёх звеньев , длины которых равны 11 см , 27 мм , 4 см ? .
1.3 В прямоугольном треугольнике	длина	одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
Чему равна	длина	этого отрезка в дециметрах ? .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть	длина	отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
Чему равна	длина	отрезка АВ ? .
8 Чему равна	длина	ломаной ? .
3 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 15 см , а	длина	отрезка ВС на 6 см больше .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что	длина	отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
2 Как получить отрезок ,	длина	которого равна .
Расстоянием между различными точками А и В называется	длина	отрезка АВ .
При измерении некоторого отрезка АВ его	длина	в шагах сетки получилась равной 9 .
2 Какова	длина	стороны квадрата , если его площадь равна .
Как объяснить , что на числовой прямой	длина	отрезка от точки до точки 1 также равна ? .
3 Чему равна	длина	стороны квадрата , площадь которого составляет .
При измерении некоторого отрезка АВ его	длина	в шагах сетки получилась равной 28 .
Чему равна	длина	отрезка АВ в сантиметрах ? .
И если	длина	экватора окажется раз в двадцать или в сто длиннее , то вы сразу поймёте , чего стоили кругосветные путешествия в старые времена .
Как объяснить , что на числовой прямой	длина	отрезка от точки до точки 1 равна ? .
Пусть к — это « шаг » сетки на клетчатой бумаге , то есть	длина	стороны одной клетки .
1.4 Чему равна	длина	.
Чему равняется	длина	отрезка АВ , если за единицу измерения принят отрезок длиной 5 мм ? .
Если начало и конец отрезка совпадают , то его	длина	равна нулю , в каких бы единицах эту длину ни измеряли .
Чему равна	длина	отрезка ВС ? .
Оказалось , что	длина	отрезка АВ в таких единицах равна 8 .
1.3 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна	длина	другого катета ? .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую точку , то его	длина	равна сумме длин составляющих его отрезков .
Чему равна	длина	ломаной , составленной из 20 равных звеньев длиной 5 см ? .
21 Задана ломаная ABCD ,	длина	которой 10 см. Что вы можете сказать о длине отрезка AD ? .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что	длина	всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
1.2 Чему равна	длина	гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 2 см и 4 см ? .
Чему равна	длина	этого отрезка в сантиметрах ? .
Чему равна	длина	отрезка АВ в миллиметрах ? .
Чему равна	длина	ломаной , составленной из звеньев , длины которых равны 21 см , 18 см , 35 см и 9 см ? .
Какова	длина	забора , окружающего сад ?
2 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 8 см , а	длина	отрезка ВС на 3 см меньше .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ;	длина	отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
В правой части каждого из полученных неравенств записана	длина	одной из сторон , а в левой — сумма длин оставшихся сторон .
Каждый виток можно приближённо считать окружностью радиуса 1 см. По формуле длина одного витка проволоки равна ( см ) , а	длина	ста витков в 100 раз больше , то есть .
Так как	длина	моста в любом месте реки одинакова , то чем меньше будет сумма , тем меньше весь путь от А до В .
2.4 При измерении отрезка АВ получили , что его	длина	4532 см. Какие из указанных значений являются значениями его длины с избытком ? .
Чему равна длина отрезка ВС , если известно , что	длина	отрезка NK равна 12 мм ? .
Как при помощи линейки провести прямолинейный отрезок большей длины , чем	длина	линейки ? .
Оказалось , что	длина	отрезка АВ в таких единицах равна 20 .
2.1 При измерении отрезка АВ получили , что его	длина	находится между 520 и 605 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого отрезка ? .
Как объяснить , что на числовой прямой	длина	отрезка будет равна .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова	длина	отрезка АВ ? .
4 Чему равна	длина	отрезка , составленного из двух отрезков ? .
16 При измерении удава в « попугаях » получили , что его	длина	равна 40 .
6 Как обозначается	длина	отрезка ? .
Поэтому	длина	новой ломаной , равная , меньше .
Чему равна длина удава , если	длина	попугая 30 см ? .
Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги — длина его горизонтальных сторон , b шагов сетки —	длина	вертикальных сторон , S — его площадь в клеточках .
Середину отрезка [ 0 ; 2 ] можно обозначить через , потому что	длина	отрезка [ 0 ; 2/2 ] по определению равна .
3 По какой формуле вычисляется	длина	окружности ? .
Так как луч — неограниченная фигура , то такое построение возможно всегда , какова бы ни была исходная	длина	.
Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги —	длина	его горизонтальных сторон , b шагов сетки — длина вертикальных сторон , S — его площадь в клеточках .
Чему равна	длина	удава , если длина попугая 30 см ? .
2 Как изменится	длина	окружности , если её радиус .
Объём куба вычисляется по формуле ( кубических единиц ) , где а —	длина	ребра куба .
Чему равна	длина	отрезка ВС , если известно , что длина отрезка NK равна 12 мм ? .
1.2 При измерении линейкой прямоугольного листа бумаги получили , что его ширина 15 см и	длина	20 см. Чему равна площадь этого листа ? .
Середину отрезка [ 0 ; 3 ] также обозначают через потому что	длина	отрезка 0 ; по определению равна .
Почему	длина	гипотенузы прямоугольного треугольника не может равняться сумме длин его катетов ? .
Чему равна	длина	отрезка АС ? .
	Длина	окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Точку деления можно также обозначить через , так как	длина	отрезка [ 0 ; k ] по определению равна k.
2.2 При измерении отрезка АВ получили , что его	длина	находится между 30 см и 50 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого отрезка ? .
2 На отрезке АС выбрана точка В так , что	длина	отрезка АВ равна 8 см , а длина отрезка ВС на 3 см меньше .
Обозначается расстояние между точками точно так же , как и	длина	отрезка .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 )	длина	окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 )	длина	половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Тогда	длина	отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ .
1 Как обозначаются отрезок и его	длина	? .
13 По пути из школы домой Петя делает от 1100 до 1200 шагов , а	длина	его шага колеблется от 50 до 60 см. Каким может быть расстояние от дома до школы ? .
7 Напишите формулу для вычисления высоты прямоугольного параллелепипеда , у которого известны	длина	а , ширина b и объём V .
Сколько клеток составляет	длина	каждого из отрезков , если в результате получились : а ) три отрезка ; б ) четыре отрезка ; в ) шесть отрезков ? .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как k , так как	длина	всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
где L —	длина	окружности , R — её радиус .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как	длина	его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина ,	длина	, высота .
Каждый виток можно приближённо считать окружностью радиуса 1 см. По формуле	длина	одного витка проволоки равна ( см ) , а длина ста витков в 100 раз больше , то есть .
1.2 Радиус некоторой окружности увеличили на 0,5 см. На сколько	длина	новой окружности больше длины исходной ? .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что	длина	всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ;	длина	отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
При решении каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться деление : по весу ,	длине	и так далее .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по	длине	стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
Возьмём циркуль с раствором , равным данной	длине	.
21 Задана ломаная ABCD , длина которой 10 см. Что вы можете сказать о	длине	отрезка AD ? .
Какие из указанных значений равны	длине	отрезка АВ ? .
Значение с недостатком для высоты Эвереста можно взять 8800 м , что равно	длине	22 кругов по стадиону .
Значение с избытком для высоты Эвереста можно взять 9200 м , что равно	длине	23 кругов по стадиону .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна	длине	отрезка [ 0 ; 1 ] .
Во сколько раз расстояние от Северного полюса до экватора больше линейки	длиной	40 см ? .
Какие из длин в целое число сантиметров можно отметить на доске длиной в 1 м , имея нитку	длиной	ровно в 1 м 28 см ? .
2.1 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 520 и 605 см. Какие из указанных значений не могут быть	длиной	этого отрезка ? .
Чему равняется длина отрезка АВ , если за единицу измерения принят отрезок	длиной	5 мм ? .
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же	длиной	, правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок	длиной	, то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Какие из указанных значений не могут быть	длиной	отрезка АС ? .
2.2 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть	длиной	отрезка АС ? .
Сколько столбов может потребоваться для прокладки телеграфной линии	длиной	в 10 км ? .
2.4 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть	длиной	отрезка АС ? .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же	длиной	, видим , что правый конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
Как с её помощью отмерить доску	длиной	: а ) 2 м ; б ) 3 м ? .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок	длиной	, правый конец которого мы также обозначили через .
Как распилить доску	длиной	1 м на 10 дощечек одной и той же длины ? .
Откладывание на числовой прямой отрезков	длиной	На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
2.3 Какие из указанных значений в квадратных метрах являются значениями с недостатком для площади потолка комнаты шириной 262 см и	длиной	311 см ? .
14 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу был принят отрезок PQ	длиной	1 м 1 см 1 мм .
12 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу измерения был принят отрезок PQ	длиной	25 мм .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же	длиной	, правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
17 У плотника есть верёвка	длиной	ровно 4 м .
Какие из длин в целое число сантиметров можно отметить на доске	длиной	3 м , имея нитку длиной ровно в 1 м ? .
2.2 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 30 см и 50 см. Какие из указанных значений не могут быть	длиной	этого отрезка ? .
Какие из длин в целое число сантиметров можно отметить на доске длиной 3 м , имея нитку	длиной	ровно в 1 м ? .
Значит , доску	длиной	10 дм можно распилить на 10 дощечек одинаковой длины , равной 1 дм .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части делится отрезок	длиной	1 .
Какие из длин в целое число сантиметров можно отметить на доске	длиной	в 1 м , имея нитку длиной ровно в 1 м 28 см ? .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков	длиной	.
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же	длиной	правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Почему не существует треугольника со сторонами	длиной	1 км , 2 км и 3 км ? .
19 Нарисуйте простую ломаную	длиной	16 см из пяти звеньев , расстояние между концами которой равно 12 см .
2.1 Какие из указанных размеров можно определить за один раз с помощью измерительной линейки	длиной	30 см ? .
2.3 Какие из указанных размеров можно определить , используя два раза рулетку	длиной	18 м ? .
20 Нарисуйте простую ломаную	длиной	9 см из пяти звеньев , расстояние между концами которой равно 8 см .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок	длиной	то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
Отрезок длины 54 получен откладыванием отрезка	длиной	9 шесть раз .
4 Как построить отрезок	длиной	.
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки	длиной	три , четыре и пять единиц измерения длины , строили прямой угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
23 На сколько равных отрезков	длиной	в целое число сантиметров можно разрезать отрезок длиной в 60 см ? .
Для любого натурального числа к на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; k ]	длиной	k.
23 На сколько равных отрезков длиной в целое число сантиметров можно разрезать отрезок	длиной	в 60 см ? .
Выбор некоторого отрезка в качестве единичного позволяет любому другому отрезку приписать число , называемое его	длиной	.
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке	длиной	15 см , лежащем на этом луче ? .
8 Сколько раз нужно отложить отрезок	длиной	вправо от точки 0 , чтобы в результате определить дробь ? .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке	длиной	173 мм , лежащем на этом луче ? .
Откладываем последовательно от 0 отрезки длины b , получаем отрезки	длиной	36 , 54 .
Из этого результата следует , что хватит проволоки	длиной	в 6 м 30 см .
18 Нарисуйте простую ломаную	длиной	8 см из трёх звеньев , расстояние между концами которой равно 6 см .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки	длиной	20 см ? .
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один отрезок	длиной	, то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным числом или числом .
4 На отрезке АБ	длиной	19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
2.3 При каких из приведённых значениях m и n объём прямоугольного листа бумаги толщиной 0,01 см , шириной m см	длиной	n см равен 2,4 см3 ? .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части делится отрезок	длиной	1 .
5 На отрезке АВ	длиной	26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
1.1 Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда шириной 20 см ,	длиной	30 см и высотой 10 см ? .
Если от точки — вправо отложим еще один отрезок	длиной	то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
Отметим , что у треугольников АВС и PQR один из катетов	длиной	в 3 клеточки , в то время как другие катеты — в 5 клеточек и 3 клеточки .
У каждого из них один катет	длиной	в 3 клеточки , а другой — в 5 клеточек , как у треугольника .
Откладывание на числовой оси отрезков	длиной	.
21 Сколько непересекающихся отрезков длиной 14 см можно отложить на отрезке	длиной	54 дм ? .
23 Рельс	длиной	7,35 м разрезали на две части .
Объём всего зерна можно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с шириной 30 дм ,	длиной	50 дм и высотой 0,1 дм .
На прямоугольной площадке шириной 3 м и	длиной	5 м для просушивания тонким слоем в 1 см рассыпано зерно .
Найдём объём комнаты шириной 2,5 м ,	длиной	4,15 м и высотой 2,45 м .
Если на числовой прямой от точки 0 вправо отложен отрезок	длиной	то его правый конец мы обозначили через .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок	длиной	3 .
Закрепить на шее две верёвки	длиной	, равной радиусам окружностей , а другие концы верёвки соединить с центрами соответствующих окружностей .
5 Возьмите любую точку А и нарисуйте три различных отрезка	длиной	2 см каждый , одним из концов которых будет точка А. Можно ли нарисовать десять таких различных отрезков ? .
5 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана комнаты	длиной	5 м и шириной 4 м на листе обычной тетради в клетку ? .
Какие из указанных значений не могут быть	длиной	стороны AD ? .
4 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана дачного участка	длиной	40 м и шириной 20 м на листе бумаги длиной 30 см и шириной 20 см , чтобы план полностью поместился на листе и поля оставались не слишком большими ? .
Достаточно вспомнить одно из своих дальних путешествий , найти его на карте и сравнить с	длиной	экватора .
Чему равна длина ломаной , составленной из 20 равных звеньев	длиной	5 см ? .
8 При измерении расстояния между двумя колышками выбрали палочку	длиной	1 м 50 см и получили , что эту палочку нужно последовательно отложить 20 раз .
7 При измерении расстояния между двумя колышками выбрали палочку	длиной	60 см и получили , что эту палочку нужно последовательно отложить 7 раз .
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге отрезок	длиной	12 клеток .
2.3 Длины сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть	длиной	его третьей стороны ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок	длиной	2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Далее на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; 3 ]	длиной	3 и проведём рассуждения , подобные предыдущим .
2.1 При каких указанных масштабах прямоугольный участок шириной 120 м и	длиной	250 м можно изобразить на листе бумаги размером 20 см × 40 см ? .
8 Почему на столе шириной 60 см и	длиной	90 см нельзя без наложения разместить 2000 монет , площадь каждой из которых 3 см2 ? .
2.4 При каких из указанных масштабов отрезок	длиной	1 мм будет изображаться отрезком , длина которого больше 50 см ? .
9 Сколько рулонов обоев	длиной	10 м и шириной м потребуется на стену , размеры которой ? .
4 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана дачного участка длиной 40 м и шириной 20 м на листе бумаги	длиной	30 см и шириной 20 см , чтобы план полностью поместился на листе и поля оставались не слишком большими ? .
21 Сколько непересекающихся отрезков	длиной	14 см можно отложить на отрезке длиной 54 дм ? .
10 Сколько картофеля потребуется для посадки на участке шириной 8 м и	длиной	75 м , если на одну сотку уходит 30 кг ? .
Пусть требуется измерить доску	длиной	меньше одного метра , а в нашем распоряжении имеется только шнурок длиной ровно один метр .
Когда отложим отрезок	длиной	в 9 единичных отрезков 7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
Рассмотрим теперь отрезок [ 0 ; 2 ]	длиной	2 .
27 Может ли внутри квадрата со стороной в 1 м уместиться простая ломаная	длиной	? .
12 Пол комнаты шириной 3 м и	длиной	6 м нужно покрыть квадратными плитками со стороной в 30 см. Сколько таких плиток потребуется для покрытия всего пола ? .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок	длиной	1 .
11 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу измерения был принят отрезок PQ	длиной	6 мм .
Наконец , сложив четверть пополам , получим отрезок	длиной	в восьмую часть метра .
Для этого возьмём отрезок	длиной	в 9 единичных отрезков .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же	длиной	видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Сложим шнурок пополам и получим отрезок	длиной	в полметра .
Пусть требуется измерить доску длиной меньше одного метра , а в нашем распоряжении имеется только шнурок	длиной	ровно один метр .
Как на практике можно определить	длину	отрезка ? .
15 Найдите в шагах сетки	длину	ломаной .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите	длину	АС .
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора единичного отрезка , можно приписать различные числа , поэтому , указывая	длину	, надо указывать единицу измерения .
9 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка BD .
7 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка CD .
16 Найдите в шагах сетки	длину	ломаной .
17 Найдите в шагах сетки	длину	ломаной .
Чтобы различать в записи отрезок и его	длину	, будем использовать вертикальные чёрточки и длину отрезка АВ обозначать как |АВ| .
Чтобы различать в записи отрезок и его длину , будем использовать вертикальные чёрточки и	длину	отрезка АВ обозначать как |АВ| .
13 Комната имеет	длину	5 м и ширину 3 м 21 см . а ) Найдите площадь пола в квадратных метрах с избытком и недостатком .
Например , если взять квадрат , то все его стороны имеют равную	длину	, потому что все стороны квадрата равны между собой .
11 Найдите значения площади с недостатком и с избытком для круга , принимая	длину	одного шага сетки за 2 см .
8 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка АВ .
Например , в старших классах вы узнаете , что	длину	диагонали квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить рациональным числом метров .
Найдите	длину	ребра куба , имеющего такой же объём .
уменьшить	длину	и высоту в 4 раза .
в ) увеличить	длину	и ширину в 2 раза .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое число π ( читается : « пи » ) , с помощью которого вычисляют	длину	окружности и площадь круга .
6 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка AD .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите	длину	АС .
Приняв	длину	Оби за 100 % , найдите длины остальных рек в процентах с точностью до 0,1 % .
Тогда метр делят на сто равных частей , каждая из которых имеет	длину	один сантиметр , то есть одну сотую часть метра .
3 Как изменится радиус окружности , если её	длину	.
Разделим этот отрезок на две равные части и	длину	отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; k ] обозначим через дробь ( читается « ка вторых » ) .
Найдите	длину	отрезка АБ .
2 По какой формуле можно вычислить	длину	катета прямоугольного треугольника , если известны его гипотенуза и второй катет ? .
Будем искать	длину	а его стороны в виде десятичной дроби .
Каждая ломаная имеет	длину	.
Какую	длину	должен иметь единичный отрезок числовой прямой , чтобы изображения дробей 0,333 и 0,334 различались на 1 мм ? .
Получаем формулу , по которой можно вычислять	длину	катета , зная гипотенузу и второй катет .
4 Найдите радиус Земли , считая	длину	земного экватора равной 40 000 км .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b ,	длину	катета ВС через а .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим	длину	гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
Нам уже встречались формулы , выражающие	длину	пути , площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника .
Разделим этот отрезок на две равные части и	длину	отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
Если считать	длину	отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Попытаемся измерить	длину	доски в этих частях .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а	длину	отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Если начало и конец отрезка совпадают , то его длина равна нулю , в каких бы единицах эту	длину	ни измеряли .
Например , можно измерять :	длину	метрами , футами ; вес граммами , фунтами ; объём литрами , вёдрами , кубическими метрами ; время часами , минутами и так далее .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с ,	длину	катета АС через b , длину катета ВС через а .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а	длину	отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
На каком расстоянии от 1 на числовой прямой будет изображено число 1000 , если отрезок ОЕ имеет	длину	1 см ? .
10 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка ВС .
14 Найдите в шагах сетки	длину	ломаной .
8 Известно , что компостная яма формы прямоугольного параллелепипеда объёмом V имеет	длину	а и ширину b.
6 Бетонный блок имеет	длину	а , ширину b и высоту с.
11 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите	длину	отрезка АО .
26 Узнайте общую длину пятипролётного моста , если три средних пролёта имеют одинаковую	длину	по 74,6 м , а каждый из двух крайних пролётов короче среднего на 10,6 м .
26 Узнайте общую	длину	пятипролётного моста , если три средних пролёта имеют одинаковую длину по 74,6 м , а каждый из двух крайних пролётов короче среднего на 10,6 м .
Обозначим неизвестную	длину	ребра куба буквой х. Получим уравнение .
Оцените	длину	забора целым числом метров .
Рассмотрим , как по известному объёму V куба находить	длину	его ребра .
8 Стороны треугольника имеют следующие	длины	: 10,6 м ; 7,23 м ; 11,5 м .
12 Что вы можете сказать о двух отрезках равной	длины	? .
Используя понятие	длины	, можно указывать расстояния между двумя точками .
В результате мы получаем возможность сравнивать каждый отрезок с некоторым количеством одинаковых эталонов или единиц измерения	длины	.
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине	длины	отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
Например , единицей измерения	длины	является метр , единицей измерения массы — грамм , единицей измерения времени — час .
8 Какие единицы измерения	длины	вам известны ? .
Меньшее из них будет значением	длины	с недостатком , а большее — с избытком .
Свойства	длины	при изменении единицы измерения .
При замене единицы измерения изменяется и численное значение	длины	отрезка .
3 Какое свойство	длины	отрезков называется основным ? .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше	длины	отрезка .
Эти два свойства	длины	в геометрии используются часто .
Для фиксированного отрезка АВ справедливо следующее свойство при уменьшении единицы измерения численное значение	длины	отрезка АВ увеличивается , а при увеличении единицы измерения — уменьшается .
Вы узнаете , как свойства	длины	позволяют различать точки , лежащие на отрезке и не лежащие на нём , как « неравенство треугольника » позволяет находить кратчайшие пути .
Какие единицы измерения	длины	вам известны ? .
2 Почему при измерении расстояний и размеров используют разные единицы измерения	длины	? .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от	длины	отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
7 Что такое единица измерения	длины	? .
14 Напомним некоторые старинные меры	длины	: 1 вершок равен примерно 44 мм ; 1 аршин равен 16 вершкам ; 1 сажень равна 3 аршинам ; 1 верста равна 500 саженям .
1.2 Чему равна длина ломаной , составленной из трёх звеньев ,	длины	которых равны 11 см , 27 мм , 4 см ? .
2.2 Отрезки какой	длины	можно изобразить на листе бумаги размером 30 см × 40 см при масштабе 1:1000 ? .
15 Существует ли треугольник ,	длины	сторон которого равны 2 см , 3 см и 8 см ? .
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше	длины	его третьей стороны .
Единицу измерения	длины	изменили так , что число 3 изображается теперь такой точкой А1 , что .
1 По какой формуле можно вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника , если известны	длины	его катетов ? .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше	длины	отрезка АБ .
Используя формулу	длины	окружности и считая , что , заполните таблицу .
1.1 Чему равно приближённое значение	длины	окружности радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,2 с избытком ? .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V. Длина такого пути будет не меньше	длины	отрезка NV .
1.2 Радиус некоторой окружности увеличили на 0,5 см. На сколько длина новой окружности больше	длины	исходной ? .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения	длины	или единичный отрезок .
Отложим от точки Е в направлении стрелки ещё один отрезок EF той же	длины	, что и отрезок ОЕ .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше	длины	отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Формула объёма куба даёт численное значение 1 при численном значении а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами единичной	длины	.
Как при помощи линейки провести прямолинейный отрезок большей	длины	, чем длина линейки ? .
В зависимости от единиц измерения	длины	рассматривают и разные единицы измерения объёма .
Какой	длины	потребуется тонкая проволока , чтобы на стержень круглого сечения радиусом R = 1 см можно было намотать 100 витков ? .
Для вычисления	длины	окружности по её радиусу применяется формула ?
Так как точка А не лежит на отрезке ВС , то по основному свойству	длины	.
18 Имеется линейка , на которой остались только отметки 0 , 1 , 3 , 7 и 15 см. Отрезки какой	длины	можно точно измерить , прикладывая линейку один раз ? .
Длина отрезка не превышает	длины	любой ломаной , соединяющей его концы .
Приняв длину Оби за 100 % , найдите	длины	остальных рек в процентах с точностью до 0,1 % .
Длина отрезков задаётся так , что равные отрезки имеют равные	длины	.
Так понятие	длины	позволяет отличать точки отрезка от всех остальных точек .
Длина каких из указанных отрезков в два раза больше	длины	отрезка MN ? .
Масштаб — это дробь вида , означающая , что расстоянию в т единиц	длины	на изображении соответствует реальное расстояние в n таких же единиц длины .
2.1 Отрезок АВ составлен из двух отрезков АС и СВ ,	длины	которых равны 427 мм и 273 мм .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков	длины	12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
Масштаб — это дробь вида , означающая , что расстоянию в т единиц длины на изображении соответствует реальное расстояние в n таких же единиц	длины	.
1.3 Отрезком какой	длины	изображается расстояние в 400 м на карте с масштабом 1 : 10 000 ? .
Отрезок какой	длины	изображается на бумаге отрезком длины 12 см при масштабе 40 : 3 ? .
Отрезок какой длины изображается на бумаге отрезком	длины	12 см при масштабе 40 : 3 ? .
1.2 Отрезок АВ составлен из двух отрезков АС и СВ ,	длины	которых равны 201 см и 135 мм .
1.1 Отрезок АВ составлен из двух отрезков АС и СВ ,	длины	которых равны 6 м и 7 мм .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления	длины	окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
По какому свойству длин отрезков мы попадаем в точку , изображающую произведение ab , когда откладываем b раз отрезок	длины	а ? .
Используя карту , удаётся сравнивать и вычислять расстояния между городами ,	длины	различных рек , величины озёр , морей .
2.2 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а	длины	отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
Можно ли отложить на луче АВ отрезок	длины	1 км так , чтобы один из концов отрезка совпал с точкой А ? .
Возьмём на луче произвольную точку М. Как отложить от этой точки отрезок данной	длины	, целиком лежащий на луче ?
С учётом того , что широко распространённой единицей измерения	длины	является 1 метр , обычно применяются следующие единицы измерения площади : 1 мм2 , 1 см2 , 1 дм2 , 1 м2 , 1 км2 , которые принято писать без скобок .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения	длины	, строили прямой угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
Значения а и b в этой формуле следует выражать в одних и тех же единицах измерения	длины	.
Так как числа а и b — это	длины	катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
Обозначим	длины	сторон прямоугольника ABCD через а и b.
6 С помощью калькулятора найдите и запишите приближённое значение	длины	стороны квадрата , площадь которого равна .
Найдите	длины	сторон прямоугольника .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите	длины	сторон прямоугольника .
Мы научились вычислять площади прямоугольников и квадратов , когда известны	длины	сторон .
При вычислении по этой формуле	длины	сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения .
Существует ли прямоугольник с площадью 1 см2 , внутри которого можно поместить отрезок	длины	1 м ? .
3 Как изменится численное значение площади некоторой фигуры , если вместо единицы измерения	длины	взять в 10 раз меньшую единицу ? .
2.3 Длины сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют	длины	5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
1.3 Чему равен периметр четырёхугольника ,	длины	сторон которого равны 21 мм , 27 мм , 33 мм , 39 мм ? .
Чему равна длина ломаной , составленной из звеньев ,	длины	которых равны 21 см , 18 см , 35 см и 9 см ? .
Какое свойство	длины	позволяет сделать вывод , что в рассмотренном примере ? .
Отрезок	длины	54 получен откладыванием отрезка длиной 9 шесть раз .
Откладываем последовательно от 0 отрезки	длины	b , получаем отрезки длиной 36 , 54 .
Геометрический смысл деления числа а на число b — это деление отрезка	длины	а на b равных частей .
Эта окружность отсечёт на луче отрезок АВ данной	длины	.
Все лучи обладают следующим важным свойством : на любом луче от его начала можно отложить отрезок любой заданной	длины	.
3 Как связаны между собой	длины	равных отрезков ? .
Катеты одинаковой	длины	при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их прямые углы .
Оставшийся « кусочек »	длины	3 как раз и есть остаток .
Отрезок длины 9 восемь раз укладывается в отрезке	длины	75 .
Отрезок	длины	9 восемь раз укладывается в отрезке длины 75 .
Какую геометрическую фигуру образуют точки всех отрезков	длины	1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
2.2 При каких значениях	длины	ребра куба его объём больше .
Измеряя	длины	в метрах , получим нужный объём .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше	длины	отрезка ВС. Найдите длину АС .
Единицы	длины	.
Неполное частное q показывает , какое наибольшее количество раз отрезок длины b укладывается в отрезке	длины	а .
4 Единицей измерения площади считается площадь квадрата , сторона которого равна выбранной единице измерения	длины	.
Неполное частное q показывает , какое наибольшее количество раз отрезок	длины	b укладывается в отрезке длины а .
Квадрат , сторона которого равна выбранной единице измерения	длины	, называют эталоном .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше	длины	отрезка ВС. Найдите длину АС .
Поэтому сформулируем без обоснования и потом будем использовать два свойства	длины	.
Вместе с первым свойством	длины	верно и такое утверждение .
4.4 Свойство	длины	ломаной .
9 Каковы основные свойства	длины	отрезков ? .
18 На числовой прямой укажите какой - нибудь отрезок	длины	0,1 , на котором лежит изображение числа 3,14159265 .
20 Приближённое значение старинной русской меры	длины	верста с недостатком равно 1,066 км .
2.4 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 4532 см. Какие из указанных значений являются значениями его	длины	с избытком ? .
21 Приближённое значение с недостатком старинной русской меры	длины	сажень ( ударение можно ставить и на первом , и на втором слоге ) равно 2,1336 м . а ) Чему равно значение сажени с точностью до 1 мм ? .
Переход от измерений	длины	в метрах к измерению в меньших единицах — в дециметрах — позволил решить задачу , как и в примере предыдущего пункта .
Как распилить доску длиной 1 м на 10 дощечек одной и той же	длины	? .
2.3 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 543 см. Какие из указанных значений являются значениями его	длины	с недостатком ? .
Значит , доску длиной 10 дм можно распилить на 10 дощечек одинаковой	длины	, равной 1 дм .
3.1 Основные свойства	длины	.
Основные свойства	длины	.
2.4 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а	длины	отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
Их	длины	могут отличаться друг от друга на несколько миллиметров — при увеличении точности изготовления неоправданно возрастает стоимость .
2.3 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а	длины	отрезков АВ и ВС равны 25 см и 14 мм .
Правило вычисления последней цифры произведения позволяет для получения последней цифры очередной степени числа 2 взять последнюю цифру предыдущей степени ,	домножить	её на 2 и у результата оставить только последнюю цифру .
При сложении десятичных	дробей	числа записывают в столбик так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
Предполагая , что для дробей выполняется переместительный закон умножения , и используя результат примера 2 , для	дробей	и получим равенства .
5 Напишите несколько равных	дробей	с разными знаменателями , равные .
Как вы можете записать результат умножения	дробей	.
Иногда при сравнении	дробей	получается равенство mq pn .
Как объяснить , что если для	дробей	a , b , с , d справедливы неравенства .
3.2 Произведение двух	дробей	.
Предполагая , что для	дробей	выполняется переместительный закон умножения , и используя результат примера 2 , для дробей и получим равенства .
Сформулируем теперь общее правило умножения	дробей	: произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Для приведения	дробей	к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
Какой признак сравнения	дробей	с одинаковыми числителями вы можете предложить ? .
Как вычитать дроби при условии , что у них одинаковые знаменатели , можно также понять , исходя из их представления в виде сумм простейших	дробей	.
5.3 Признак сравнения	дробей	.
Сравнение	дробей	с равными знаменателями .
Сравнение	дробей	сводится к сравнению натуральных чисел .
Представим натуральные числа 4 и 7 в виде	дробей	со знаменателем , равным 1 .
Для сравнения	дробей	с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше числитель ; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше числитель .
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше числитель ; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше числитель .
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше числитель ; из двух различных	дробей	с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше числитель .
Кратко эти правила для любых различных	дробей	с одинаковыми знаменателями можно записать так .
Символически для двух	дробей	и это правило можно записать в виде .
1 Среди	дробей	равные .
2 Составьте несколько равных	дробей	, у которых числитель и знаменатель выбираются из чисел 1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
Представим смешанные дроби в виде обыкновенных	дробей	.
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных	дробей	.
По правилу сравнения	дробей	достаточно сравнить произведения .
11 Запишите с помощью десятичных	дробей	.
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух	дробей	является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Рассмотрим процесс сравнения	дробей	и в общем виде .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных	дробей	.
Снова получаем , что произведение	дробей	и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных	дробей	, а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Сложение	дробей	свелось к вычислению суммы натуральных чисел 5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
По правилу сложения обыкновенных	дробей	имеем .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных	дробей	.
Сложение	дробей	.
Сокращение	дробей	.
4.2 Правило умножения десятичных	дробей	.
1.1 Какой из указанных	дробей	равна дробь .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных	дробей	, а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных	дробей	.
1.2 Какой из указанных	дробей	равна дробь .
Таким образом , произведение	дробей	и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Число десятичных знаков в произведении десятичных	дробей	равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
Для	дробей	и очевидны следующие равенства ?
Какие из указанных десятичных	дробей	являются приближениями с недостатком для числа 4,89305 ? .
3.1 Сложение десятичных	дробей	с равными знаменателями .
3 Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
2.4 Какие из приведённых	дробей	можно сократить ? .
Использование десятичной системы счисления привело к тому , что среди всех	дробей	особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени числа 10 .
3 Какой практический приём сравнения	дробей	вы знаете ? .
Законы сложения и умножения	дробей	.
Для	дробей	и выполняются следующие равенства : поэтому .
5 Сравнение	дробей	.
Умножение десятичных	дробей	.
4 Найдите наибольшую и наименьшую из	дробей	.
Десятичные дроби очень удобно записывать в виде смешанных	дробей	и тем самым выделять целую часть .
1.1 Какая из указанных	дробей	больше 2 ? .
1.2 Какая из указанных	дробей	меньше 3 ? .
1.3 Какая из указанных	дробей	больше ? .
4.1 Соответствие между произведением десятичных	дробей	и произведением их числителей и знаменателей .
1.4 Какая из указанных	дробей	меньше .
2.1 Какие из указанных	дробей	больше .
Умножение десятичных	дробей	похоже на умножение натуральных чисел .
2.2 Какие из указанных	дробей	меньше .
2.3 Какие из указанных	дробей	больше и меньше ? .
2.4 Какие из указанных	дробей	больше 2 и меньше 3 ? .
Деление	дробей	.
3.2 Правило сложения десятичных	дробей	.
По правилу умножения обыкновенных	дробей	имеем .
Вычисление произведения	дробей	свелось к вычислению произведения натуральных чисел 4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
1.4 Какая из	дробей	равна смешанной дроби .
3.3 Умножение простейших	дробей	.
Из определения умножения	дробей	получаем правило для умножения простейших дробей .
2.1 Целая часть каких из указанных десятичных	дробей	равна 1 ? .
В результате приходим к общему правилу деления	дробей	.
Представление дробей в виде сумм простейших	дробей	позволяет складывать дроби с равными знаменателями .
Представление	дробей	в виде сумм простейших дробей позволяет складывать дроби с равными знаменателями .
Основное свойство дроби позволяет любые две дроби представить в виде	дробей	с одинаковыми знаменателями .
Иногда эту процедуру , применённую к нескольким дробям , называют приведением	дробей	к общему знаменателю .
Как объяснить равенство	дробей	.
Вычитание	дробей	свелось к вычислению разности натуральных чисел 31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
Сложение	дробей	с равными знаменателями .
3.7 Вычитание	дробей	с одинаковыми знаменателями .
2 Прочитайте записи	дробей	.
По правилу вычитания обыкновенных	дробей	получаем .
При рассмотрении	дробей	на числовой оси мы неоднократно могли заметить , что дроби , имеющие разные записи , могут изображаться одной и той же точкой на числовой прямой .
10 Как вы понимаете « стремление к нулю »	дробей	вида при возрастании показателя n ? .
5 Запишите числа в виде десятичных	дробей	: а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
2.2 Следствия из признака равенства	дробей	.
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство	дробей	если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Общее правило сложения	дробей	с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
Общее правило вычитания	дробей	с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух	дробей	с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
3.8 Сложение и вычитание	дробей	.
Сложение и вычитание двух	дробей	с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию	дробей	с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
2 Как определяется произведение	дробей	? .
Таким образом , при действиях с дробями можно использовать формулу суммы двух	дробей	и формулу разности двух дробей .
Таким образом , при действиях с дробями можно использовать формулу суммы двух дробей и формулу разности двух	дробей	.
Может ли разность двух	дробей	с разными знаменателями быть равной ? .
2.1 Какие из указанных обыкновенных	дробей	равны частному .
2.1 Правило сравнения десятичных	дробей	.
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух	дробей	с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
2.3 Каким из указанных	дробей	равна десятичная дробь 0,0375 ? .
2.2 Дробная часть каких из указанных десятичных	дробей	равна .
Приведение	дробей	к общему знаменателю .
Почему произведение нескольких ненулевых	дробей	никогда не равно 0 ? .
1 Каково правило умножения простейших	дробей	? .
3 Запишите десятичные дроби из задачи 2 в виде обыкновенных правильных или смешанных	дробей	.
3 Каково правило умножения	дробей	? .
Из определения умножения дробей получаем правило для умножения простейших	дробей	.
2 По какому правилу вычисляется разность десятичных	дробей	? .
2 Какие два утверждения содержит в себе признак равенства двух	дробей	? .
1.5 Связь десятичных	дробей	с десятичной метрической системой единиц .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить вычитание десятичных	дробей	с использованием дополнения до числа 1 .
Рассмотрим дроби и Произведение этих	дробей	равно 1 , так как по правилу умножения справедливо равенство .
В каких случаях сумма двух	дробей	равна сумме их целых частей ? .
Таким образом , дроби и представлены в виде	дробей	с одинаковыми знаменателями , то есть приведены к общему знаменателю .
1 Какая из десятичных	дробей	больше .
1.6 Изображение десятичных	дробей	на числовой прямой .
3.3 Правило вычитания десятичных	дробей	.
11 Как можно записать натуральные числа в виде	дробей	? .
2.4 Какие из указанных	дробей	не равны разности .
2.3 Какие из указанных	дробей	не равны сумме .
Какую длину должен иметь единичный отрезок числовой прямой , чтобы изображения	дробей	0,333 и 0,334 различались на 1 мм ? .
В этом случае изображения	дробей	0,1 ; 0,2 ; 0,3 и так далее будут соответствовать делениям линейки в 1 см , 2 см , 3 см и так далее .
2.2 Какие из указанных десятичных	дробей	являются приближениями с избытком для числа 19,0909 ? .
Вычитание десятичных	дробей	похоже на вычитание натуральных чисел .
3 Напишите дроби , которые в 2 раза меньше	дробей	: .
11 Как найти разность двух	дробей	с разными знаменателями ? .
17 Запишите число 2 в виде суммы простейших	дробей	со знаменателем 5 .
20 Составьте несколько	дробей	, используя числа 1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
1.7 О стремлении к нулю	дробей	вида при возрастании показателя степени .
2.3 Какие из указанных десятичных	дробей	являются десятичными приближениями с недостатком для числа 0,308091 ? .
3.5 Использование дополнения при вычислении разности десятичных	дробей	.
3 Как определяется частное при делении	дроби	на натуральное число ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи	дроби	указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
При умножении десятичной	дроби	на 0,1 запятая смещается на один разряд влево .
При умножении десятичной	дроби	на 10 запятая смещается на один разряд вправо .
По какому свойству	дроби	можно сократить одинаковые сомножители в числителе и знаменателе дроби ? .
По какому свойству дроби можно сократить одинаковые сомножители в числителе и знаменателе	дроби	? .
Указать точное значение стороны а в виде десятичной или обыкновенной	дроби	в данном случае невозможно .
5 Деление десятичной	дроби	на натуральное число .
2 По какому правилу умножаются десятичные	дроби	? .
7 Где на числовой прямой будут изображены	дроби	? .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются	дроби	на числовой прямой , как складывать , вычитать , умножать , делить и сравнивать дроби .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать , вычитать , умножать , делить и сравнивать	дроби	.
5.2 Пример деления десятичной	дроби	на натуральное число .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи	дроби	указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
Как и для натуральных чисел , при делении десятичной	дроби	на натуральное число вычисления записывают уголком .
1 По какому правилу умножаются обыкновенные	дроби	? .
Умножение десятичной	дроби	на разрядную единицу выполняется особенно просто .
Чему равно частное от деления числа 7 на 25 , записанное в виде десятичной	дроби	? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи	дроби	указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 3 .
Рассмотрим теперь умножение десятичной	дроби	на 0,1 , то есть на Вычислим , например , произведение .
Будем искать длину а его стороны в виде десятичной	дроби	.
4.4 Правило умножения десятичной	дроби	на .
Разделить десятичную дробь на натуральное число и получить ответ в виде десятичной	дроби	удаётся не всегда .
Деление десятичной	дроби	на натуральное число похоже на деление натуральных чисел .
5.3 Схема деления уголком десятичной	дроби	на натуральное число .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются натуральные числа , записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные	дроби	.
1 Какие	дроби	считают равными между собой ? .
Она получается отбрасыванием нулей , стоящих в конце десятичной	дроби	2,1000000 .
Приписывание или отбрасывание нулей справа в конце записи десятичной	дроби	никак не влияет на её значение .
16 Запишите в виде смешанной	дроби	результат увеличения числа .
Обычно для краткости вместо фразы « запись десятичной	дроби	в одну строку » употребляют слова « десятичная дробь » .
1.3 Какой наименьший знаменатель может иметь дробь , равная	дроби	? .
Почему дробь с шестью десятичными знаками может равняться	дроби	с двадцатью десятичными знаками ? .
1.4 Какой наименьший числитель может иметь дробь , равная	дроби	.
2 Сложите	дроби	.
Десятичные	дроби	тесно связаны с десятичной метрической системой единиц .
6 Какие	дроби	называются правильными ? .
4 Как дробь привести к виду смешанной	дроби	? .
Если выделить теперь целую часть из	дроби	получим в ответе .
Заметим , что целая часть правильной	дроби	равна 0 .
10 Запишите все десятичные	дроби	, у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных знака .
3.4 Взаимно обратные	дроби	.
Рассмотрим	дроби	и Произведение этих дробей равно 1 , так как по правилу умножения справедливо равенство .
5 Выпишите в порядке возрастания все десятичные	дроби	с одним десятичным знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
Например ,	дроби	правильные , a не является правильной дробью .
Две	дроби	называются взаимно обратными , если их произведение равно 1 .
В том случае , когда	дроби	и взаимно обратны , дробь называют обратной к дроби а дробь называют обратной к дроби .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны , дробь называют обратной к	дроби	а дробь называют обратной к дроби .
Записью такой десятичной	дроби	в одну строку будет 2,1 .
21 Вычислите и представьте результат в виде смешанной	дроби	.
Рассмотрим , например ,	дроби	5,368 и 12,9 .
Они равны обыкновенным дробям и домножением числителя и знаменателя второй	дроби	на 100 приведем обе дроби к общему знаменателю .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй	дроби	, а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в	дроби	числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Домножением числителя и знаменателя первой	дроби	на 1000 приведём обе дроби к общему знаменателю .
Рассмотрим , например ,	дроби	3,1 и 0,6531 .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой	дроби	, то получим .
Таким образом ,	дроби	и представлены в виде дробей с одинаковыми знаменателями , то есть приведены к общему знаменателю .
По какому общему правилу складывают десятичные	дроби	? .
Как привести к общему знаменателю три	дроби	? .
3 Запишите десятичные	дроби	из задачи 2 в виде обыкновенных правильных или смешанных дробей .
3 В чём состоит основное свойство	дроби	? .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны , дробь называют обратной к дроби а дробь называют обратной к	дроби	.
4 Как сокращаются	дроби	? .
1.4 Какая из дробей равна смешанной	дроби	.
Иногда для удобства дополняют	дроби	нулями после десятичной запятой , чтобы уравнять количество цифр после запятой в каждом из чисел .
Удаление нулей в конце записи десятичной	дроби	.
7 В каких парах	дроби	равны ? .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде натурального числа или в виде десятичной	дроби	.
8 В каких парах	дроби	равны ? .
9 Сократите	дроби	.
По основному свойству	дроби	этот результат можно заменить на .
Они равны обыкновенным дробям и домножением числителя и знаменателя второй дроби на 100 приведем обе	дроби	к общему знаменателю .
Приведите к общему знаменателю	дроби	.
5 Как привести две	дроби	к общему знаменателю ? .
Почему	дроби	и являются взаимно обратными ? .
3 Как сравниваются десятичные	дроби	по их записи ? .
2 Как сравниваются две обыкновенные	дроби	по их записи ? .
1.2 Какова десятичная запись	дроби	? .
1.1 Какова десятичная запись	дроби	? .
4 Что такое дробная часть десятичной	дроби	? .
14 Запишите свой рост в метрах , используя десятичные	дроби	.
4.3 Правило умножения десятичной	дроби	на 10 .
6 Как определить знаменатель десятичной	дроби	, записанной в строку ? .
13 Запишите величины , используя десятичные	дроби	.
7 Запишите десятичные дроби в строку по образцу/. 8 Запишите десятичные	дроби	в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
4 Как изменятся	дроби	, если заменить единицами : а ) их числители ; б ) их знаменатели ? .
3 Напишите	дроби	, которые в 2 раза меньше дробей : .
1.4 Какова десятичная запись	дроби	? .
Использование понятия обратной	дроби	позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления	дроби	на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
10 Как сложить две	дроби	с разными знаменателями ? .
9 Как	дроби	привести к общему знаменателю ? .
7 Как вычитаются	дроби	с одинаковыми знаменателями ? .
6 Запишите десятичные	дроби	в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления	дроби	на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
6 Как складываются	дроби	с одинаковыми знаменателями ? .
8 Как записать целое число в виде десятичной	дроби	? .
2 Каково правило умножения	дроби	на простейшую ? .
1 Перепишите десятичные	дроби	в строку по образцу .
7 Запишите десятичные	дроби	в строку по образцу/. 8 Запишите десятичные дроби в строку , предварительно произведя сокращение по образцу .
Домножением числителя и знаменателя первой дроби на 1000 приведём обе	дроби	к общему знаменателю .
Подставив вместо х дробь и воспользовавшись основным свойством	дроби	, получим .
14 Сложите	дроби	.
Справедливо равенство , где числитель	дроби	меньше её знаменателя , поэтому целая часть числа у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
Представление дробей в виде сумм простейших дробей позволяет складывать	дроби	с равными знаменателями .
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна	дроби	с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
Как вычитать	дроби	при условии , что у них одинаковые знаменатели , можно также понять , исходя из их представления в виде сумм простейших дробей .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна	дроби	с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Являются ли числа 0,111 и 0,112 десятичными приближениями с недостатком и с избытком для	дроби	? .
В таком случае иногда говорят , что 0,11 и 0,12 являются десятичными приближениями с точностью до 0,01 для	дроби	.
По этому число 0,11 будет приближением с недостатком , а 0,12 — приближением с избытком для	дроби	Разность между этими числами равна 0,01 .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе	дроби	привести к общему знаменателю .
В этом случае иногда говорят , что 0,1 и 0,2 являются десятичными приближениями с точностью до 0,1 для	дроби	.
3 Что такое целая часть десятичной	дроби	? .
Как выразить в виде десятичной	дроби	часть , которую составляет 1 кг от 10 тонн ? .
Десятичные	дроби	по их записи сравниваются точно так же , как и натуральные числа .
Смешанные	дроби	.
На месте каких из указанных разрядов в записи десятичной	дроби	10,203004 стоят нулевые цифры ? .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше	дроби	0,76 .
Частным при делении первой	дроби	на вторую назовём такую дробь х , которая является решением уравнения .
Чем больше показатель степени n у	дроби	, тем ближе к нулю такая дробь .
Говорят , что при возрастании показателя степени n	дроби	вида стремятся к нулю .
Какая десятичная разрядная единица меньше	дроби	? .
2 Как записываются десятичные	дроби	? .
Решением этого уравнения является дробь , так , как основному свойству	дроби	равно числу .
Так как , то число является приближением с недостатком , а 0,2 — приближением с избытком для	дроби	.
Заметим , что если в	дроби	числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Сформулируем эти законы , обозначая произвольные	дроби	буквами а , b и с .
Основное свойство дроби позволяет любые две	дроби	представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями .
4 Изменяется ли знак неравенства при прибавлении к обеим частям неравенства одной и той же	дроби	? .
1 По какому правилу складываются десятичные	дроби	? .
2 Как сравниваются	дроби	с разными знаменателями ? .
1 Как сравниваются	дроби	с одинаковыми знаменателями ? .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к	дроби	.
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и дробной частями десятичной	дроби	вместо запятой ставится точка .
Тогда предыдущие	дроби	запишутся в виде : 0,68 и 1,000703 .
9 Что называется числителем	дроби	? .
10 Что называется знаменателем	дроби	? .
12 Чем может отличаться дробь от простейшей	дроби	? .
11 Прочитайте	дроби	.
Цифры дробной части десятичной	дроби	называют десятичными знаками дроби .
Цифры дробной части десятичной дроби называют десятичными знаками	дроби	.
Возьмём	дроби	и .
12 Запишите простейшие	дроби	с знаменателями .
19 Прочитайте	дроби	и укажите , каким путём каждую дробь можно получить из единицы .
В этом случае	дроби	равны .
ничего не означает ,	дроби	не существует .
Чаще всего рассматривают дополнение десятичной	дроби	до ближайшей большей её разрядной единицы .
Пять восьмых — пример дробного числа , или	дроби	.
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй	дроби	на число n.
3 Что называется дополнением десятичной	дроби	до ближайшей большей разрядной единицы ? .
Предыдущие	дроби	в новой записи выглядят так : 0,68 и 1,000703 .
4 Как из десятичной	дроби	вычитать разрядную единицу ? .
5 Изменяется ли знак неравенства при вычитании из обеих частей неравенства одной и той же	дроби	? .
Оказывается , что это число нельзя представить в виде	дроби	.
5 Найдите такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой	дроби	в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Рассмотрим , например ,	дроби	47,02 и 0,352 .
Глава 13 Десятичные	дроби	.
В этой главе вы будете изучать важные в практической деятельности десятичные	дроби	.
Использование десятичной системы счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют	дроби	со знаменателями , равными степени числа 10 .
Десятичные	дроби	очень удобно записывать в виде смешанных дробей и тем самым выделять целую часть .
8 Расположите в порядке убывания	дроби	.
Таким образом , для любых натуральных чисел k и n определены	дроби	.
Число n под чертой в записи	дроби	называется знаменателем дроби .
При рассмотрении дробей на числовой оси мы неоднократно могли заметить , что	дроби	, имеющие разные записи , могут изображаться одной и той же точкой на числовой прямой .
7 Расположите в порядке возрастания	дроби	.
6 Расположите	дроби	в порядке убывания .
5 Расположите	дроби	в порядке возрастания .
3 Приведите к общему знаменателю и сравните	дроби	.
Число k над чертой в записи	дроби	называется числителем дроби .
Число k над чертой в записи дроби называется числителем	дроби	.
Приведённые выше	дроби	можно переписать так .
2 Сравните	дроби	.
1 Сравните	дроби	.
Иногда	дроби	, записанные в виде , называют обыкновенными дробями и обозначают через или через k : n .
Для десятичной	дроби	применяют запись в одну строку .
Число n под чертой в записи дроби называется знаменателем	дроби	.
Например ,	дроби	и изображаются точкой 1 , дроби изображаются точкой 2 , нетрудно проверить , что дроби и изображаются точкой .
Запись десятичной	дроби	в виде суммы произведений цифр и разрядных единиц .
Может ли дробь со знаменателем 5 быть меньше	дроби	со знаменателем 52 ? .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель	дроби	разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Сравним смешанные	дроби	.
Представим смешанные	дроби	в виде обыкновенных дробей .
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой	дроби	.
Приведённое правило иногда называют основным свойством	дроби	и записывают так : для любых натуральных чисел m , n и k выполняется равенство .
Эта дробь равна	дроби	, хотя проверить это при помощи изображения на числовой прямой весьма затруднительно .
Получим десятичную дробь 0,09965 , которая является дополнением до 0,1	дроби	0,00035 .
Приведём	дроби	к общему знаменателю .
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй	дроби	равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
Поэтому название данной	дроби	: « шесть целых восемьсот тридцать семь тысяч пятьсот семьдесят три миллионных » .
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой	дроби	, то дроби равны .
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби , то	дроби	равны .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде	дроби	В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
Например , при одновременном умножении числителя и знаменателя	дроби	на одно и то же число 2012 получим новую дробь .
Получим десятичную дробь 0,666667 , которая является дополнением до 1	дроби	0,333333 .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель	дроби	умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Приведём полученные обыкновенные	дроби	к общему знаменателю .
При записи смешанной	дроби	в виде десятичной в первых разрядах после запятой могут оказаться нули .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной	дроби	.
Чтобы сравнить две любые	дроби	, достаточно привести их к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилом из предыдущего пункта .
Например , дроби и изображаются точкой 1 ,	дроби	изображаются точкой 2 , нетрудно проверить , что дроби и изображаются точкой .
Основное свойство	дроби	позволяет любые две дроби представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями .
Например , дроби и изображаются точкой 1 , дроби изображаются точкой 2 , нетрудно проверить , что	дроби	и изображаются точкой .
Приведём общий признак равенства : две	дроби	вида и равны между собой тогда и только тогда , когда .
По какому общему правилу вычитают	дроби	? .
При чтении десятичной	дроби	следует сначала определить её знаменатель .
Могут ли быть равными две	дроби	, одна из которых имеет чётные числитель и знаменатель , а вторая имеет нечётные числитель и знаменатель ? .
3.4 Дополнение десятичной	дроби	до разрядной единицы .
1 ) если	дроби	равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной	дроби	.
Наиболее просто сравнивать	дроби	, у которых знаменатели одинаковые .
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой	дроби	на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
Например , знаменателем	дроби	6,837573 будет 1000000 .
Рассмотрим	дроби	.
Число нулей в записи знаменателя этой	дроби	равно числу десятичных знаков дробной части , то есть шести .
Иногда говорят просто о сокращении	дроби	.
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй	дроби	равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби .
4 Что такое	дробная	часть десятичной дроби ? .
Единица	дробная	.
2.4 Для каких из указанных чисел	дробная	часть равна .
1.2 Чему равна	дробная	часть числа .
10 Запишите все десятичные дроби , у которых целая часть равна 29 , а	дробная	часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных знака .
2 Что такое	дробная	часть числа ? .
В этом случае говорят , что целая часть числа равна q , а	дробная	часть числа равна .
В этом случае целая часть числа равна 3 , а её	дробная	часть равна 0 .
Справедливо равенство , где числитель дроби меньше её знаменателя , поэтому целая часть числа у равна 0 , а её	дробная	часть совпадает с ней самой .
14 Может ли	дробная	часть числа быть больше его целой части ? .
Целая и	дробная	части числа .
15 Найдите число ,	дробная	часть которого на 2 меньше его целой части .
Справедливо равенство , поэтому целая часть числа равна 3 , а	дробная	часть равна .
Частное при делении любого	дробного	числа на натуральное определяется похожим образом .
Пять восьмых — пример	дробного	числа , или дроби .
Такую запись	дробного	числа называют смешанной дробью .
Число	дробное	.
3.5 Умножение величины на	дробное	число .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на	дробное	число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в	дробное	число раз — значит умножить величину h на дробное число .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на	дробное	число .
Цифры	дробной	части десятичной дроби называют десятичными знаками дроби .
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её целой и	дробной	части .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и	дробной	частями десятичной дроби вместо запятой ставится точка .
1.2 Цифры целой и	дробной	части .
Иногда для записи целой части а числа а используется обозначение [ а ] , а для записи	дробной	части числа а используется обозначение { а } .
Число нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу десятичных знаков	дробной	части , то есть шести .
Справа от запятой стоят цифры её	дробной	части .
Почему приписывание нуля в конце	дробной	части справа у одного из сомножителей не влияет на результат умножения ? .
Целые и	дробные	числа все вместе называются рациональными числами .
Так появляются	дробные	числа .
1 Найдите целые и	дробные	части следующих чисел .
5 Какие	дробные	разрядные единицы вам известны ? .
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и отрицательные	дробные	числа , как противоположные положительным дробным числам .
Рассматривая деление отрезка [ 0 ; 1 ] на три равные части , мы определили	дробные	числа и так далее .
Рассматривая деление отрезка [ 0 ; 1 ] на две равные части , мы определили	дробные	числа и так далее .
1.10 Другие	дробные	числа .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек , или	дробным	числом со знаменателем 2 ? .
( Результат такого деления можно выразить	дробным	числом .
Иногда полученную дробь также называют	дробным	числом или числом .
Полученную дробь также называют	дробным	числом или числом .
Полученную дробь называют	дробным	числом или числом .
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют	дробным	числом или числом .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для натурального числа к определить дробь которую иногда называют	дробным	числом или числом .
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным	дробным	числам .
Это выражение будем называть	дробным	числом , дробью или числом .
Полученную дробь называют также	дробным	числом или числом .
Переходя к определению арифметических операций с	дробными	числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
В дальнейшем в промежутках между отмеченными точками появятся изображения	дробных	чисел .
3.4 Изображения	дробных	и отрицательных чисел .
3.1 Примеры умножений	дробных	чисел .
Сравнение	дробных	чисел .
При изображении на числовой прямой десятичных	дробных	разрядных единиц будем получать точки , « подходящие » к нулю всё ближе и ближе .
Похожим образом определяют дополнение	дробных	чисел до разрядных единиц .
2 Какие примеры	дробных	чисел вам известны ? .
Какие другие примеры	дробных	чисел вы знаете ? .
Одна вторая , три четверти , одна десятая — это примеры	дробных	чисел .
Приведём примеры деления	дробных	чисел на натуральные .
Равенство	дробных	чисел .
4 Запишите число в виде суммы целой части и произведений	дробных	разрядных единиц на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
Для	дробных	чисел выполняются законы , которые были сформулированы для натуральных чисел .
Это позволяет рассматривать суммы равных частей единицы измерения и также получать значения в виде	дробных	чисел вида .
Справедливо следующее свойство сравнения	дробных	чисел .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; k ] обозначим через	дробь	( читается « ка вторых » ) .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n	дробь	всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
Эта	дробь	равна дроби , хотя проверить это при помощи изображения на числовой прямой весьма затруднительно .
Получим десятичную	дробь	0,666667 , которая является дополнением до 1 дроби 0,333333 .
Полученную	дробь	называют дробным числом или числом .
3 Как умножить десятичную	дробь	на разрядную единицу ? .
Переведём смешанную	дробь	десятичную .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная	дробь	равна исходной дроби .
Как умножить десятичную	дробь	на 1000 ? .
Иногда удобно рассматривать натуральное число k как	дробь	и так далее .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для натурального числа к определить	дробь	которую иногда называют дробным числом или числом .
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше числитель ; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та	дробь	, у которой меньше числитель .
Десятичная	дробь	.
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та	дробь	, у которой больше числитель ; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше числитель .
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить	дробь	, которую также называют дробным числом или числом .
Как записать обыкновенную	дробь	в виде десятичной ? .
5 Найдите такую	дробь	со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Поэтому	дробь	удалось сократить .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на	дробь	Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Теперь можно заметить , что и	дробь	.
3 Как изменится	дробь	, если её числитель и знаменатель увеличить в 6 раз ? .
Сколько десятичных знаков после запятой может иметь правильная	дробь	со знаменателем1020 ? .
6 В следующих равенствах вместо х поставьте такое число , чтобы новая	дробь	была равна данной .
Поэтому разделить число 3 на 18 — все равно что число 3 умножить на	дробь	.
Данная десятичная	дробь	равна .
Заметив , что , получим , то есть	дробь	даёт приближение с недостатком .
Например , при одновременном умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число 2012 получим новую	дробь	.
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством	дробь	для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
Может ли	дробь	со знаменателем 5 быть меньше дроби со знаменателем 52 ? .
В каких единицах измерения вы можете выразить от 1 кг и получить	дробь	.
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на	дробь	, обратную к дроби .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную	дробь	у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
6 Что такое простейшая	дробь	? .
Таким образом , можно записать правило : если обе части неравенства умножить на положительную	дробь	, то знак неравенства не изменится .
В левой части получится дробь , а в правой —	дробь	.
Поэтому слева добавляют цифру 0 и получают десятичную	дробь	0,82164 .
В левой части получится	дробь	, а в правой — дробь .
Умножим обе части этого неравенства на положительную	дробь	и сравним результаты .
Умножение и деление обеих частей неравенства на положительную	дробь	.
Как прочитать	дробь	101,010101 ? .
7 Что такое	дробь	? .
Десятичная	дробь	состоит из двух частей .
Полученную	дробь	называют также дробным числом или числом .
8 Сколько раз нужно отложить отрезок длиной вправо от точки 0 , чтобы в результате определить	дробь	? .
6 Заменив десятичную	дробь	обыкновенной , вычислите .
Рассмотрим , например ,	дробь	64,08 и разделим её на 12 .
Полученную	дробь	также называют дробным числом или числом .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через	дробь	( читается « три вторых » ) .
19 Прочитайте дроби и укажите , каким путём каждую	дробь	можно получить из единицы .
6 Сформулируйте правило умножения обеих частей неравенства на	дробь	.
7 Сформулируйте правило деления обеих частей неравенства на	дробь	.
1.7 Простейшая	дробь	1/3 .
Длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 2 ] обозначим через	дробь	( читается « две вторых » ) .
Число 0 можно также рассматривать как	дробь	вида , причём для любого натурального числа n .
Получим десятичную	дробь	0,09965 , которая является дополнением до 0,1 дроби 0,00035 .
12 Чем может отличаться	дробь	от простейшей дроби ? .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная	дробь	равна исходной дроби .
Можно ли сократить	дробь	?
Иногда полученную	дробь	также называют дробным числом или числом .
Пусть дана	дробь	.
3.9 Деление на ненулевую	дробь	.
Пусть даны	дробь	и дробь .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а	дробь	1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то	дробь	1,22 больше дроби 0,76 .
Пусть даны дробь и	дробь	.
Частным при делении первой дроби на вторую назовём такую	дробь	х , которая является решением уравнения .
Так как	дробь	64,08 равна .
2.3 Каким из указанных дробей равна десятичная	дробь	0,0375 ? .
1 Какая	дробь	называется десятичной ? .
Решением этого уравнения является	дробь	, так , как основному свойству дроби равно числу .
Пусть теперь заданы	дробь	и ненулевая дробь .
Пусть теперь заданы дробь и ненулевая	дробь	.
Подставив вместо х	дробь	и воспользовавшись основным свойством дроби , получим .
4 По какому правилу можно разделить десятичную	дробь	на натуральное число ? .
При этом иногда выражение называют частным ,	дробь	называют делимым , а дробь называют делителем .
2 Во сколько раз нужно увеличить дробь чтобы получить	дробь	? .
2 Во сколько раз нужно увеличить	дробь	чтобы получить дробь ? .
Масштаб — это	дробь	вида , означающая , что расстоянию в т единиц длины на изображении соответствует реальное расстояние в n таких же единиц длины .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую	дробь	так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую	дробь	равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
7 Как записать десятичную	дробь	в виде обыкновенной ? .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на	дробь	, обратную делителю .
4 Как разделить дробь на	дробь	? .
4 Как разделить	дробь	на дробь ? .
Научившись делить	дробь	на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
Заметим теперь : если , то решением этого уравнения является любая	дробь	; если , то это уравнение не имеет решения , потому что при любом х выполняется равенство .
Научившись делить дробь на ненулевую	дробь	, мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что	дробь	является решением этого уравнения , потому что .
Поэтому можно считать , что	дробь	— является результатом деления натурального числа m на натуральное число n .
В этой главе вы узнаете , что такое	дробь	, как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать , вычитать , умножать , делить и сравнивать дроби .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная	дробь	b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Чем больше показатель степени n у дроби , тем ближе к нулю такая	дробь	.
При этом иногда выражение называют частным , дробь называют делимым , а	дробь	называют делителем .
3 Что такое смешанная	дробь	? .
4 Как	дробь	привести к виду смешанной дроби ? .
В случае , когда , при умножении величины h на	дробь	иногда говорят , что величина увеличилась в раз .
1.3 Простейшая	дробь	.
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является	дробь	, в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
7 Как	дробь	, числитель которой больше знаменателя , превратить в смешанную и наоборот ? .
Получившаяся	дробь	равна 1 .
2.1 Каким дробям равна	дробь	? .
Почему	дробь	с шестью десятичными знаками может равняться дроби с двадцатью десятичными знаками ? .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны ,	дробь	называют обратной к дроби а дробь называют обратной к дроби .
1.4 Какой наименьший числитель может иметь	дробь	, равная дроби .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны , дробь называют обратной к дроби а	дробь	называют обратной к дроби .
Обычно для краткости вместо фразы « запись десятичной дроби в одну строку » употребляют слова « десятичная	дробь	» .
1.3 Какой наименьший знаменатель может иметь	дробь	, равная дроби ? .
1.2 Какой из указанных дробей равна	дробь	.
Разделить десятичную	дробь	на натуральное число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
1.1 Какой из указанных дробей равна	дробь	.
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную	дробь	всегда можно представить в виде суммы её целой и дробной части .
1.3 Какой вид имеет запись числа смешанной	дробью	? .
Снова получаем , что произведение дробей и является	дробью	, у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и назовём простейшей	дробью	( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
простейшей	дробью	( читается « одна третья » или « одна треть » ) .
При этом если просто переместить запятую , то получится запись 82 164 , которую не принято считать десятичной	дробью	.
Длину части отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей	дробью	( читается « одна вторая » ) .
Таким образом , произведение дробей и является	дробью	, числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной	дробью	, у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Такую запись дробного числа называют смешанной	дробью	.
Например , дроби правильные , a не является правильной	дробью	.
1.3 Какой десятичной	дробью	записывается частное 12,4 : 16 ? .
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называется правильной	дробью	.
4 Середину какого отрезка отмечают простейшей	дробью	.
Почему запись не является смешанной	дробью	? .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной	дробью	.
Они равны обыкновенным	дробям	соответственно .
Таким образом , при действиях с	дробями	можно использовать формулу суммы двух дробей и формулу разности двух дробей .
Как вы можете объяснить , что если а и b являются ненулевыми	дробями	.
Арифметические операции со смешанными	дробями	производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её целой и дробной части .
Их называют десятичными	дробями	.
Десятичными	дробями	будут , например .
Арифметические действия с	дробями	.
Действия над десятичными	дробями	с помощью калькулятора выполняются нажатием клавиш в определённой последовательности .
5 Как производить операции со смешанными	дробями	? .
Иногда дроби , записанные в виде , называют обыкновенными	дробями	и обозначают через или через k : n .
Арифметические операции со смешанными	дробями	.
7 Чем отличается	дуга	окружности от всей окружности ? .
Если провести циркулем не всю окружность , а только её часть то получится	дуга	окружности .
10 На числовой оси из начала отсчёта О прыгает кузнечик : сначала на 5 единиц вправо , затем на 3 единицы влево , затем снова на 5	единиц	вправо и так далее .
11 На числовой оси из точки 1995 кузнечик прыгает либо на 5	единиц	вправо , либо на 3 единицы влево .
Как находить дополнения до разрядных	единиц	для чисел , записанных в двоичной системе счисления ? .
10 На числовой оси из начала отсчёта О прыгает кузнечик : сначала на 5	единиц	вправо , затем на 3 единицы влево , затем снова на 5 единиц вправо и так далее .
Сложение двух чисел , содержащих целое число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению	единиц	.
1.2 Сложение разрядных	единиц	.
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце	единиц	, а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
Тогда цифра разряда	единиц	у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
Заметив , что , подберём целое число b	единиц	так , чтобы произведение было меньше либо равно 166 , но было уже больше 166 .
Запишем слагаемые « столбиком » и сначала выполним сложение чисел 7 , 5 в разряде	единиц	.
Из двузначного числа 13 вычитаем 8 единиц вычитаемого , а результат 5 записываем в ответ в столбце	единиц	.
Вычитание производят поразрядно , начиная с разряда	единиц	.
В нашем примере число	единиц	уменьшаемого меньше числа единиц вычитаемого .
В нашем примере число единиц уменьшаемого меньше числа	единиц	вычитаемого .
цифра	единиц	( первого разряда ) .
Умножение целого числа разрядных	единиц	на однозначное число .
Она равна 10 тысячам , из которых одну единицу и переносим в разряд сотен , превращая в 10	единиц	этого разряда .
1.2 Известно , что у чисел 41 и 43 одинаковые цифры	единиц	в десятичной записи .
Поразрядно , начиная с разряда	единиц	, умножим верхнее число на цифру 3 младшего разряда нижнего числа .
Цифру 8 пишем под чертой в разряде	единиц	, а цифру 1 — во второй вспомогательной строке в разряде десятков .
Она равна 10 единицам разряда	единиц	.
Из двузначного числа 13 вычитаем 8	единиц	вычитаемого , а результат 5 записываем в ответ в столбце единиц .
Поразрядно , справа , начиная с разряда	единиц	, выполним сложение чисел в каждом разряде , используя приём из пункта .
Поразрядно , начиная с разряда	единиц	, умножаем верхнее число на разряды нижнего числа .
С левой стороны в каждом столбце после разрядной единицы получается сумма цифр , равная 9 , до того момента , пока не доберемся до самого правого столбца	единиц	.
Таким образом , можно сказать , что число 123 равно сумме трёх разрядных единиц вида 1 , двух разрядных	единиц	вида 10 и одной разрядной единицы вида 100 .
9 Следующие числа представьте в виде сумм при помощи разрядных	единиц	и цифр .
В результате мы получаем возможность сравнивать каждый отрезок с некоторым количеством одинаковых эталонов или	единиц	измерения длины .
В этой главе мы вновь обратимся к записи чисел при помощи разрядных	единиц	.
Иногда можно встретить использование старых русских	единиц	измерения : золотник и пуд .
1.3 Разнообразие	единиц	измерения .
В процессе измерения устанавливают , сколько эталонов , или	единиц	измерения , составляют вместе данную величину .
При изображении на числовой прямой десятичных дробных разрядных	единиц	будем получать точки , « подходящие » к нулю всё ближе и ближе .
Десятичные дроби тесно связаны с десятичной метрической системой	единиц	.
Масштаб — это дробь вида , означающая , что расстоянию в т единиц длины на изображении соответствует реальное расстояние в n таких же	единиц	длины .
Масштаб — это дробь вида , означающая , что расстоянию в т	единиц	длины на изображении соответствует реальное расстояние в n таких же единиц длины .
Поэтому площадь всей фигуры равна сумме из 20	единиц	измерения , то есть 20 k2 .
1.5 Связь десятичных дробей с десятичной метрической системой	единиц	.
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число	единиц	, учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять	единиц	измерения длины , строили прямой угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
Этим , возможно , объясняется выбор	единиц	для измерения времени : в одном часе содержится 60 минут , а в одной минуте — 60 секунд .
Числа 1 , 10 и 100 являются разрядными единицами класса	единиц	, а числа 1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными единицами класса тысяч .
Использование	единиц	измерения даёт возможность говорить о величинах измеряемых предметов , поэтому иногда измерения позволяют представить предмет в виде нескольких равных частей по измеряемому свойству .
Каждая разрядная единица более высокого разряда равна сумме 10 разрядных	единиц	предыдущего разряда .
1.2 Замена	единиц	измерений .
Запись десятичной дроби в виде суммы произведений цифр и разрядных	единиц	.
В то же время при рассмотрении других	единиц	измерения можно получить результат , выраженный натуральным числом .
1.5 Запись натуральных чисел при помощи разрядных	единиц	.
Обозначения разрядных	единиц	.
Любое натуральное число можно записать при помощи разрядных	единиц	, используя числа , соответствующие цифрам .
Таким образом , можно сказать , что число 123 равно сумме трёх разрядных	единиц	вида 1 , двух разрядных единиц вида 10 и одной разрядной единицы вида 100 .
2.2 Какие из указанных величин выражаются целым числом соответствующих	единиц	измерения ? .
Самая правая цифра 0 — это цифра разряда	единиц	.
Сокращение записи десятичных разрядных	единиц	.
Объём куба вычисляется по формуле ( кубических	единиц	) , где а — длина ребра куба .
1 Назовите одним словом : а ) десять	единиц	; б ) десять сотен ; в ) сто десятков тысяч ; г ) десять тысяч сотен .
При записи больших разрядных	единиц	получаются очень громоздкие выражения .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких	единиц	измерения площади через крупные .
4 Пользуясь таблицей разрядных	единиц	, запишите названия соответствующих величин : а ) удар сердца человека длится примерно 1 с ; б ) луч света идёт от Солнца до Земли около 498 с ; в ) полный оборот Земли вокруг Солнца длится 31 472 009 с ; г ) время существования жизни на Земле от момента зарождения до наших дней примерно равняется 100 000 000 000 000 000 с .
3 Пользуясь таблицей разрядных	единиц	на с. 56 , запишите названия соответствующих величин .
разряд	единиц	; 2 ) разряд сотых ; 3 ) разряд тысячных ; 4 ) разряд миллионных .
Похожим образом определяют дополнение дробных чисел до разрядных	единиц	.
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи натурального числа показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных	единиц	) входит в это разложение .
Когда результат измерения не выражается целым числом , приходится использовать доли выбранных	единиц	измерения .
Это может быть единица измерения , несколько таких	единиц	или даже часть единицы измерения .
4.7 Изменение вида формулы при выборе несогласованных	единиц	измерения .
Приведённые названия разрядных	единиц	связаны с названиями чисел на латинском языке : tres — три , quatuor — четыре , quinque — пять , sex — шесть , septem — семь , octo — восемь , novem или nonum — девять , decem — десять .
По названиям этих разрядных	единиц	определяются классы натуральных чисел : класс тысяч , класс миллионов , класс миллиардов , класс триллионов и так далее .
Приведём названия некоторых разрядных	единиц	.
Названия некоторых разрядных	единиц	.
Какие приставки обозначают части	единиц	измерения ? .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой разряда	единиц	, цифру 2 — цифрой разряда десятков , цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Внешний вид формулы оправдывает и обозначение	единиц	измерения объёма : см3 , м3 и так далее .
4 На сколько	единиц	: а ) десяток больше единицы ; б ) сотня больше единицы ; в ) тысяча больше сотни ? .
Начнём с разрядных	единиц	.
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических	единиц	) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
4 Запишите число в виде суммы целой части и произведений дробных разрядных	единиц	на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
В зависимости от	единиц	измерения длины рассматривают и разные единицы измерения объёма .
Напомним , что при умножении разрядной единицы на 10 получается разрядная	единица	следующего , более высокого разряда .
В прибор тем или иным образом закладывается	единица	измерения и шкала .
Миллиард — новая разрядная	единица	.
7 Что такое	единица	измерения длины ? .
Это может быть	единица	измерения , несколько таких единиц или даже часть единицы измерения .
Какая десятичная разрядная	единица	меньше дроби ? .
Каждая разрядная	единица	более высокого разряда равна сумме 10 разрядных единиц предыдущего разряда .
Эти числа вместе с миллионом 1 000 000 , 10 000 000 , 100 000 000 выделяют особо и называют разрядными	единицами	класса миллионов .
Числа 1 000 000 000 , 10 000 000 000 , 100 000 000 000 называются также разрядными	единицами	класса миллиардов .
4 Как изменятся дроби , если заменить	единицами	: а ) их числители ; б ) их знаменатели ? .
6 Какие числа являются разрядными	единицами	в системе счисления с основанием а ? .
Похожим способом получаются и другие соотношения между	единицами	измерения площади .
Числа 1 , 10 и 100 являются разрядными	единицами	класса единиц , а числа 1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными единицами класса тысяч .
Числа 1 , 10 и 100 являются разрядными единицами класса единиц , а числа 1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными	единицами	класса тысяч .
Чему равна градусная мера угла , который в новых	единицах	имеет меру 11 ? .
Какую меру в новых	единицах	имеет развёрнутый угол ? .
Эти числа имеют непосредственное отношение к измерению плоских углов в наиболее распространённых в наше время	единицах	измерения — в градусах .
9 Какие из двух величин по порядку одинаковы , а какие различны при измерении в указанных	единицах	.
Оказалось , что длина отрезка АВ в таких	единицах	равна 8 .
Какую меру в новых	единицах	имеет угол в 105 ° ? .
Какие из указанных значений могут быть мерой таких углов в новых	единицах	измерения ? .
Оказалось , что длина отрезка АВ в таких	единицах	равна 15 .
2.2 При измерении некоторого угла эталонным углом величиной 15 ° получили , что в новых	единицах	измерения мера угла больше 10 и меньше 11 .
Если для двух величин найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же	единицах	, то большей является та величина , которой соответствует большее числовое значение .
При использовании каждой формулы важно следить , чтобы все величины измерялись в таких	единицах	, для которых эта формула была получена .
Чему равна градусная мера угла , который в новых	единицах	имеет меру 6 ? .
При вычислении по этой формуле длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же	единицах	измерения .
2.3 При измерении некоторого угла эталонным углом величиной 7 ° получили , что в новых	единицах	измерения мера угла больше 22 и меньше 23 .
Иногда часть величины нельзя выразить натуральным числом в выбранных	единицах	измерения .
Все размеры выражены в одинаковых	единицах	измерения .
Оказалось , что длина отрезка АВ в таких	единицах	равна 20 .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых	единицах	.
Значения а и b в этой формуле следует выражать в одних и тех же	единицах	измерения длины .
Если начало и конец отрезка совпадают , то его длина равна нулю , в каких бы	единицах	эту длину ни измеряли .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих	единицах	измерения .
Переход от измерений длины в метрах к измерению в меньших	единицах	— в дециметрах — позволил решить задачу , как и в примере предыдущего пункта .
Квадрат , сторона которого равна выбранной	единице	измерения длины , называют эталоном .
4 Единицей измерения площади считается площадь квадрата , сторона которого равна выбранной	единице	измерения длины .
2 Для каких целей удобно переходить к более мелкой	единице	измерения ? .
Например ,	единицей	измерения длины является метр , единицей измерения массы — грамм , единицей измерения времени — час .
Например , единицей измерения длины является метр ,	единицей	измерения массы — грамм , единицей измерения времени — час .
Например , единицей измерения длины является метр , единицей измерения массы — грамм ,	единицей	измерения времени — час .
Пусть часовая стрелка находится на циферблате между	единицей	и двойкой .
1 Что называется разрядной	единицей	? .
Вычитать легко , когда вычитаемое является разрядной	единицей	.
С учётом того , что широко распространённой	единицей	измерения длины является 1 метр , обычно применяются следующие единицы измерения площади : 1 мм2 , 1 см2 , 1 дм2 , 1 м2 , 1 км2 , которые принято писать без скобок .
С какой разрядной	единицей	сравнимо по порядку число месяцев в году ? .
2.1 Какие из чисел являются значениями с недостатком для фигуры , если	единицей	измерения площади является площадь одной клеточки ? .
если	единицей	измерения площади является площадь одной клеточки ? .
Обычно считают , что при записи приближённого равенства точность десятичного приближения совпадает с разрядной	единицей	последнего выписанного знака .
Но метр становится слишком большой	единицей	измерения , когда говорят , например , о размерах книжной полки .
Разность между разрядной	единицей	и числом называют дополнением числа до разрядной единицы .
Но и сантиметр будет слишком большой	единицей	измерения , если нужно узнать размеры для изготовления оконного стекла .
Наряду с	единицей	, десятком и сотней особо выделяются числа : тысяча , десять тысяч и сто тысяч .
Обычно эталону приписывается единичное значение , поэтому эталон часто называют	единицей	измерения .
Почему первый штрих на шкале линейки помечен нулём , а не	единицей	? .
Используя степени числа 10 , можно кратко записать любую разрядную	единицу	.
19 Начертите числовую прямую , взяв за	единицу	измерения 1 см , и отметьте точки , соответствующие числам : 0,8 ; 1,2 ; 2,1 ; 3,0 ; 5,7 .
Поэтому заимствуем одну	единицу	из разряда десятков в уменьшаемом .
4 Как из десятичной дроби вычитать разрядную	единицу	? .
Для этого возьмём сумму и прибавим к ней	единицу	.
Переходя к столбцу сотен , заимствуем	единицу	из разряда тысяч в уменьшаемом .
Но так как число тысяч равно нулю , то из следующего разряда десятков тысяч заимствуем	единицу	.
Она равна 10 тысячам , из которых одну	единицу	и переносим в разряд сотен , превращая в 10 единиц этого разряда .
Следующая пара чисел , таких , что квадрат одного отличается от удвоенного квадрата другого на	единицу	.
Умножение десятичной дроби на разрядную	единицу	выполняется особенно просто .
11 При измерении некоторого отрезка АВ за	единицу	измерения был принят отрезок PQ длиной 6 мм .
1.1 Пусть за	единицу	измерения углов выбран плоский угол , градусная мера которого равна 18 ° .
Вычитая из этого результата разрядную	единицу	1 000 000 , находим требуемую разность .
1.2 Пусть за	единицу	измерения углов выбран плоский угол , градусная мера которого равна 12 ° .
Тем самым для каждого натурального числа можно указать разрядную	единицу	того же порядка .
12 При измерении некоторого отрезка АВ за	единицу	измерения был принят отрезок PQ длиной 25 мм .
1.3 Пусть за	единицу	измерения углов выбран плоский угол , градусная мера которого равна 4 ° .
1.4 Пусть за	единицу	измерения углов выбран плоский угол , градусная мера которого равна 3 ° .
3 Как изменится численное значение площади некоторой фигуры , если вместо единицы измерения длины взять в 10 раз меньшую	единицу	? .
Чему равняется длина отрезка АВ , если за	единицу	измерения принят отрезок длиной 5 мм ? .
Осталось прибавить	единицу	, и получится число , следующее , то есть .
Чтобы к n прибавить 3 , достаточно сначала прибавить 2 , а затем —	единицу	.
14 При измерении некоторого отрезка АВ за	единицу	был принят отрезок PQ длиной 1 м 1 см 1 мм .
Но в таких случаях , чтобы не возникало недоразумений , нужно всегда специально оговаривать , какое направление считается положительным , какая точка является началом отсчёта и какая точка изображает	единицу	.
Площадь одной клеточки примем за	единицу	измерения площади и обозначим её через 1 k2 .
2 Площадь какой геометрической фигуры принимают за	единицу	измерения площади ? .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за	единицу	измерения длины или единичный отрезок .
Новые промежутки ещё раз делили пополам , и маленькую	единицу	деления называли « румбом » .
Проще всего к любому натуральному числу n прибавить	единицу	.
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора единичного отрезка , можно приписать различные числа , поэтому , указывая длину , надо указывать	единицу	измерения .
6 Запишите в виде числа разрядную	единицу	— миллион .
7 Запишите в виде числа разрядную	единицу	— миллиард .
3 Как умножить десятичную дробь на разрядную	единицу	? .
Как записать разрядную	единицу	« одна миллионная » ? .
С левой стороны в каждом столбце после разрядной	единицы	получается сумма цифр , равная 9 , до того момента , пока не доберемся до самого правого столбца единиц .
6 Как определяются десятичные приближения с избытком с точностью до разрядной	единицы	? .
4 Как через степени числа 10 записываются разрядные	единицы	? .
Какие разрядные	единицы	вы знаете ? .
Предположим , что мы называем подряд все числа от	единицы	до миллиона с огромной скоростью — по 10 чисел в секунду .
С учётом того , что широко распространённой единицей измерения длины является 1 метр , обычно применяются следующие	единицы	измерения площади : 1 мм2 , 1 см2 , 1 дм2 , 1 м2 , 1 км2 , которые принято писать без скобок .
12 Как определяется сумма натурального числа и	единицы	? .
3 Как изменится численное значение площади некоторой фигуры , если вместо	единицы	измерения длины взять в 10 раз меньшую единицу ? .
С учётом этих правил запишем в виде произведений цифр на разрядные	единицы	число 210 350 .
Таким образом , можно сказать , что число 123 равно сумме трёх разрядных единиц вида 1 , двух разрядных единиц вида 10 и одной разрядной	единицы	вида 100 .
Некоторые	единицы	измерения десятичной метрической системы вам известны .
Как образуются разрядные	единицы	? .
Основные свойства площади позволяют выразить крупные	единицы	измерения площади через мелкие .
5 Как определяются десятичные приближения с недостатком с точностью до разрядной	единицы	? .
5 Как определяются разрядные	единицы	? .
4 Какие	единицы	измерения площади вам известны ? .
С помощью этой разрядной	единицы	образуются две следующие разрядные единицы : десять миллиардов и сто миллиардов .
При этом ограничимся десятичными приближениями снизу с точностью до	единицы	высшего разряда .
8 Укажите число , запись которого содержит только 4 тысячи , 5 сотен , 6 десятков и 2	единицы	.
2.2 Какие из указанных чисел используются как разрядные	единицы	в системе счисления с основанием 4 ? .
5 Какие дробные разрядные	единицы	вам известны ? .
14 Укажите , какие разрядные	единицы	использованы в следующих суммах , запишите и назовите результаты сложения .
С помощью этой разрядной единицы образуются две следующие разрядные	единицы	: десять миллиардов и сто миллиардов .
После прибавления первой	единицы	получится , а после прибавления второй получим число , следующее за , то есть .
4 Что такое разрядные	единицы	? .
1.4 Разрядные	единицы	.
9 Какие	единицы	десятичной метрической системы вы знаете ? .
Понятие дополнения до разрядной	единицы	позволяет иначе представить вычитание десятичных дробей с использованием дополнения до числа 1 .
Какие примеры изменения	единицы	измерения длин отрезков вы знаете ? .
Различные	единицы	измерения употребляют и в других случаях .
19 Прочитайте дроби и укажите , каким путём каждую дробь можно получить из	единицы	.
Это позволяет рассматривать суммы равных частей	единицы	измерения и также получать значения в виде дробных чисел вида .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой	единицы	на q равных частей для любого натурального числа q.
10 На числовой оси из начала отсчёта О прыгает кузнечик : сначала на 5 единиц вправо , затем на 3	единицы	влево , затем снова на 5 единиц вправо и так далее .
11 На числовой оси из точки 1995 кузнечик прыгает либо на 5 единиц вправо , либо на 3	единицы	влево .
Некоторые величины и их	единицы	измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого натурального числа q.
Суммы равных частей	единицы	измерения .
Какие	единицы	измерения длины вам известны ? .
На основании свойств	единицы	( при умножении ) , нуля ( при сложении ) и распределительного закона , имеем цепочку равенств .
Какие свойства нуля и	единицы	использованы в этом рассуждении ? .
Напомним , что при умножении разрядной	единицы	на 10 получается разрядная единица следующего , более высокого разряда .
1 Укажите величины , которые составляют указанные проценты от	единицы	.
Некоторые свойства предметов можно измерять , используя	единицы	измерения .
Например , цифра нуль в десятичной записи натурального числа означает , что в этом числе отсутствуют	единицы	соответствующего разряда .
После выбора	единицы	измерения любому отрезку соответствует определённое численное значение .
Свойства длины при изменении	единицы	измерения .
При замене	единицы	измерения изменяется и численное значение длины отрезка .
Для фиксированного отрезка АВ справедливо следующее свойство при уменьшении	единицы	измерения численное значение длины отрезка АВ увеличивается , а при увеличении единицы измерения — уменьшается .
Для фиксированного отрезка АВ справедливо следующее свойство при уменьшении единицы измерения численное значение длины отрезка АВ увеличивается , а при увеличении	единицы	измерения — уменьшается .
Это может быть единица измерения , несколько таких единиц или даже часть	единицы	измерения .
В каком месте числовой прямой вы изобразили бы половину	единицы	? .
Сутки , неделя , месяц , год , столетие , тысячелетие — это также	единицы	измерения времени .
Последовательное прибавление	единицы	к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n числа 1 мы получаем следующее натуральное число .
Нетрудно научиться вычитать натуральное число из разрядной	единицы	.
Разность между разрядной единицей и числом называют дополнением числа до разрядной	единицы	.
Обычно для натурального числа находят дополнение до ближайшей большей разрядной	единицы	.
С помощью дополнения до разрядной	единицы	можно выполнить операцию вычитания .
2.10 Дополнение числа до разрядной	единицы	.
18 Длины сторон пятиугольника ( при выборе некоторой	единицы	измерения ) выражаются числами 134 , 167 , 96 , 104 , 119 .
В скобках получилось дополнение вычитаемого 783 645 до разрядной	единицы	, равное 216 355 .
8 Что такое дополнение числа до разрядной	единицы	? .
2 Почему при измерении расстояний и размеров используют разные	единицы	измерения длины ? .
Теперь считаем , что в разряде тысяч у уменьшаемого стоит 9 ввиду заимствования на предыдущем шаге	единицы	в разряде десятков тысяч .
6 Какие	единицы	измерения объёмов вы знаете ? .
19 Найдите периметр квадрата ( при выборе некоторой	единицы	измерения ) , сторона которого равна 12 .
При изучении вычитания натуральных чисел рассматривалось дополнение числа до разрядной	единицы	.
3 Во сколько раз : а ) десяток больше	единицы	; б ) сотня больше десятка ; в ) тысяча больше сотни ? .
Формула объёма куба даёт численное значение 1 при численном значении а , равном 1 , то есть	единицы	измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами единичной длины .
В зависимости от единиц измерения длины рассматривают и разные	единицы	измерения объёма .
4 На сколько единиц : а ) десяток больше	единицы	; б ) сотня больше единицы ; в ) тысяча больше сотни ? .
3.4 Дополнение десятичной дроби до разрядной	единицы	.
8 Какие	единицы	измерения длины вам известны ? .
4 На сколько единиц : а ) десяток больше единицы ; б ) сотня больше	единицы	; в ) тысяча больше сотни ? .
29 Какое десятизначное число при вычитании	единицы	превращается в девятизначное ? .
3 Что называется дополнением десятичной дроби до ближайшей большей разрядной	единицы	? .
Натуральные числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие	единицы	, чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
Чаще всего рассматривают дополнение десятичной дроби до ближайшей большей её разрядной	единицы	.
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора	единичного	отрезка , можно приписать различные числа , поэтому , указывая длину , надо указывать единицу измерения .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части	единичного	отрезка числовой прямой .
Выбор некоторого отрезка в качестве	единичного	позволяет любому другому отрезку приписать число , называемое его длиной .
Для того чтобы ввести новые числа , будем рассматривать суммы равных частей	единичного	отрезка на числовой прямой .
Для того чтобы ввести новые числа , будем рассматривать суммы равных частей	единичного отрезка	на числовой прямой .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части	единичного отрезка	числовой прямой .
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора	единичного отрезка	, можно приписать различные числа , поэтому , указывая длину , надо указывать единицу измерения .
Обычно эталону приписывается	единичное	значение , поэтому эталон часто называют единицей измерения .
Формула объёма куба даёт численное значение 1 при численном значении а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами	единичной	длины .
Какую длину должен иметь	единичный	отрезок числовой прямой , чтобы изображения дробей 0,333 и 0,334 различались на 1 мм ? .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или	единичный	отрезок .
Какую длину должен иметь	единичный отрезок	числовой прямой , чтобы изображения дробей 0,333 и 0,334 различались на 1 мм ? .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или	единичный отрезок	.
При измерении отрезков вместо сантиметра или шага сетки клетчатой бумаги с таким же успехом можно взять любой другой отрезок , считать его	единичным	и сравнивать с ним остальные отрезки способом , похожим на предыдущий .
Когда отложим отрезок длиной в 9	единичных	отрезков 7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
Для этого возьмём отрезок длиной в 9	единичных	отрезков .
Когда отложим отрезок длиной в 9	единичных отрезков	7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
Для этого возьмём отрезок длиной в 9	единичных отрезков	.
Итак , положение запятой в произведении отличается от её положения в первом сомножителе :	запятая	сместилась на один разряд влево .
При умножении десятичной дроби на 0,1	запятая	смещается на один разряд влево .
При умножении десятичной дроби на 10	запятая	смещается на один разряд вправо .
Результат отличается от первого сомножителя тем , что	запятая	сместилась влево на один разряд .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после	запятой	стоит некоторое количество нулей .
Иногда для удобства дополняют нулями справа то из чисел , в записи которого меньше знаков после	запятой	.
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после	запятой	и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Иногда для удобства дополняют дроби нулями после десятичной запятой , чтобы уравнять количество цифр после	запятой	в каждом из чисел .
Иногда для удобства дополняют дроби нулями после десятичной	запятой	, чтобы уравнять количество цифр после запятой в каждом из чисел .
5 Выпишите в порядке возрастания все десятичные дроби с одним десятичным знаком после	запятой	, расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
8 Укажите все числа х с шестью десятичными знаками после	запятой	, для которых выполняются неравенства .
9 Вычеркните в числе три цифры после	запятой	так , чтобы получилась запись возможно большего числа .
Сколько десятичных знаков после	запятой	может иметь правильная дробь со знаменателем1020 ? .
На первом месте после	запятой	пишется цифра разряда десятых , на втором — разряда сотых , на третьем — разряда тысячных и так далее .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после	запятой	— набор цифр числителя : нуль десятых , нуль сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
Значит , в полученном произведении надо отделить десятичной	запятой	5 знаков справа .
Таким образом , после	запятой	должно быть шесть десятичных знаков , и значит , три нуля перед цифрами 7 , 0 , 3 .
Видно , что результат отличается от первого сомножителя только положением	запятой	: она сместилась на один разряд вправо .
Эти записи с десятичной точкой читаются точно так же , как и записи с десятичной	запятой	.
При записи смешанной дроби в виде десятичной в первых разрядах после	запятой	могут оказаться нули .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и дробной частями десятичной дроби вместо	запятой	ставится точка .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7 десятичных знаков после	запятой	.
Общее число знаков после	запятой	у обоих сомножителей равно 5 .
Поэтому слева приписываем 0 как пятую цифру , ставим десятичную	запятую	, а перед ней записываем ещё одну цифру 0 — целую часть произведения .
В полученной сумме ставят	запятую	в том же столбце , где она стояла у каждого из слагаемых .
8 Поставьте в делимом в нужном месте	запятую	и восстановите отмеченные звёздочкой цифры .
При этом если просто переместить	запятую	, то получится запись 82 164 , которую не принято считать десятичной дробью .
в ) расстояние , которое проходит свет за 1 с , приближённо равняется 300 000 000 м . г ) расстояние от Земли до Солнца приблизительно равняется 149 500 000 000 м . д ) расстояние до одной из	звезд	приближённо равно 40 200 000 000 000 000 м .
6 Какую цифру нужно поставить вместо	звездочки	, чтобы полученное число делилось на 9 : .
б ) разделив каждую из	звёзд	на 4 равные части .
4 а ) Найдите площади четырёхконечных	звёзд	.
10 Вместо	звёздочек	подставьте цифры так , чтобы равенство оказалось верным .
5 Поставьте вместо	звёздочек	нужные цифры .
18 Поставьте вместо	звёздочек	нужные цифры .
11 Восстановите примеры на сложение , подставив вместо	звёздочек	нужные цифры .
5 Замените	звёздочки	цифрами так , чтобы умножение « столбиком » было правильным .
8 Поставьте в делимом в нужном месте запятую и восстановите отмеченные	звёздочкой	цифры .
После просушки 200 кг	зерна	оно потеряло в весе 30 кг .
Объём всего	зерна	можно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с шириной 30 дм , длиной 50 дм и высотой 0,1 дм .
Определите влажность	зерна	после просушки .
В первый день привезли 50 т	зерна	, во второй день привезли 20 т , в третий — ещё 60 т .
Представьте в виде таблицы наличие	зерна	на элеваторе по дням .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества	зерна	потребуется башня высотой от Земли до Солнца , в основании которой квадрат со сторонами около полутора метров .
17 При проверке влажность	зерна	оказалась 25 % .
Как изменится ответ во втором примере , если считать , что	зерно	рассыпано слоем толщиной в 4 см ? .
Значит , потребуется три мешка , чтобы собрать всё	зерно	.
На прямоугольной площадке шириной 3 м и длиной 5 м для просушивания тонким слоем в 1 см рассыпано	зерно	.
2 На элеваторе принимают	зерно	.
Сколько нужно мешков , чтобы собрать всё	зерно	, если один мешок вмещает 50 дм3 ? .
Если при этом убрать ещё и	знак	умножения , то получим последовательность равенств : abc .
Для обозначения угла используют	знак	∠. Затем указывают вершину и две точки на его сторонах , записывая вершину посередине .
4 Изменяется ли	знак	неравенства при прибавлении к обеим частям неравенства одной и той же дроби ? .
4 Какой	знак	используется для записи приближённого равенства .
Для краткости в записи вида	знак	« + » опускают и пишут .
5 Изменяется ли	знак	неравенства при вычитании из обеих частей неравенства одной и той же дроби ? .
Таким образом , можно записать правило : если обе части неравенства умножить на положительную дробь , то	знак	неравенства не изменится .
Если из обеих частей неравенства можно вычесть одно и то же число , то	знак	неравенства не изменится .
Справедливо следующее правило : если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число , то	знак	неравенства не изменится .
Например , в записи числа 81,6539 имеется четыре десятичных	знака	: 6 , 5 , 3 и 9 .
Его приближённые значения с недостатком и с избытком можно указать с точностью до любого	знака	.
Если число имеет в десятичной записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя группы по три	знака	справа налево .
Обычно считают , что при записи приближённого равенства точность десятичного приближения совпадает с разрядной единицей последнего выписанного	знака	.
10 Запишите все десятичные дроби , у которых целая часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных	знака	.
Вместо	знака	« > » иногда пишут или говорят слово « больше » , а вместо знака « < » иногда пишут или говорят слово « меньше » .
Вместо знака « > » иногда пишут или говорят слово « больше » , а вместо	знака	« < » иногда пишут или говорят слово « меньше » .
Какой угол следует поставить вместо	знака	вопроса ? .
Замену числа его приближением обозначают при помощи	знака	приближённого равенства ≈. Например , для числа а можно написать .
Как записать это свойство упорядоченности с использованием	знака	« больше » ? .
с тремя десятичными	знаками	.
Почему дробь с шестью десятичными	знаками	может равняться дроби с двадцатью десятичными знаками ? .
Почему дробь с шестью десятичными знаками может равняться дроби с двадцатью десятичными	знаками	? .
6 Замените звёздочки	знаками	сложения + , вычитания – , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
а ) с одним десятичным знаком . б ) с двумя десятичными	знаками	.
8 Укажите все числа х с шестью десятичными	знаками	после запятой , для которых выполняются неравенства .
Цифры дробной части десятичной дроби называют десятичными	знаками	дроби .
Выражения вида а < b , с > d называют неравенствами , а сами знаки « > » и « < » называют	знаками	неравенства .
4 Запишите число в виде суммы целой части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие десятичные	знаки	по следующему образцу .
Десятичные	знаки	.
Выражения вида а < b , с > d называют неравенствами , а сами	знаки	« > » и « < » называют знаками неравенства .
Между некоторыми из них поставьте	знаки	сложения и вычитания , чтобы в результате получилось число 100 .
При сравнении чисел используют	знаки	« > » , « < » и « = » .
Продолжая дальше подбирать десятичные	знаки	для а , сможем добиться любой нужной точности как с избытком , так и с недостатком .
Между некоторыми из них поставьте	знаки	сложения и вычитания так , чтобы в результате получилось число 100 .
Сколько десятичных	знаков	после запятой может иметь правильная дробь со знаменателем1020 ? .
Таким образом , после запятой должно быть шесть десятичных	знаков	, и значит , три нуля перед цифрами 7 , 0 , 3 .
Число нулей в записи знаменателя этой дроби равно числу десятичных	знаков	дробной части , то есть шести .
Даже для записи миллиона требуется семь	знаков	.
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7 десятичных	знаков	после запятой .
Результат сравнения записывается с помощью	знаков	< или > .
Они имеют одинаковое число	знаков	.
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных	знаков	после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Количество десятичных	знаков	произведения равно числу нулей в записи знаменателя .
Заметим , что число десятичных	знаков	сомножителей в сумме также равно пяти .
Число десятичных	знаков	в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных	знаков	сомножителей .
Общее число	знаков	после запятой у обоих сомножителей равно 5 .
Значит , в полученном произведении надо отделить десятичной запятой 5	знаков	справа .
5 Сколько десятичных	знаков	числа к вам известно ? .
Представим , что у нас есть калькулятор , на экране которого умещается только шесть	знаков	.
Возьмём натуральное число а , в записи которого n десятичных	знаков	.
Иногда для удобства дополняют нулями справа то из чисел , в записи которого меньше	знаков	после запятой .
а ) с одним десятичным	знаком	. б ) с двумя десятичными знаками .
Отрицательные числа записываются со	знаком	« - » , то есть « минус » , перед соответствующим числом .
5 Выпишите в порядке возрастания все десятичные дроби с одним десятичным	знаком	после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в	знаменателе	стоит произведение знаменателей исходных дробей .
По какому свойству дроби можно сократить одинаковые сомножители в числителе и	знаменателе	дроби ? .
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение	знаменателей	исходных дробей .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением	знаменателей	исходных дробей .
4.1 Соответствие между произведением десятичных дробей и произведением их числителей и	знаменателей	.
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением	знаменателей	исходных дробей .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек , или дробным числом со	знаменателем	2 ? .
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же	знаменателем	и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
Например ,	знаменателем	дроби 6,837573 будет 1000000 .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же	знаменателем	и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
5 Найдите такую дробь со	знаменателем	7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Число n под чертой в записи дроби называется	знаменателем	дроби .
Представим натуральные числа 4 и 7 в виде дробей со	знаменателем	, равным 1 .
10 Что называется	знаменателем	дроби ? .
Может ли дробь со	знаменателем	5 быть меньше дроби со знаменателем 52 ? .
Может ли дробь со знаменателем 5 быть меньше дроби со	знаменателем	52 ? .
17 Запишите число 2 в виде суммы простейших дробей со	знаменателем	5 .
Как вычитать дроби при условии , что у них одинаковые	знаменатели	, можно также понять , исходя из их представления в виде сумм простейших дробей .
4 Как изменятся дроби , если заменить единицами : а ) их числители ; б ) их	знаменатели	? .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и	знаменатель	дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и	знаменатель	дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на	знаменатель	второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби .
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на	знаменатель	первой дроби .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет чётные числитель и	знаменатель	, а вторая имеет нечётные числитель и знаменатель ? .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет чётные числитель и знаменатель , а вторая имеет нечётные числитель и	знаменатель	? .
8 Что такое общий	знаменатель	? .
6 Как определить	знаменатель	десятичной дроби , записанной в строку ? .
При чтении десятичной дроби следует сначала определить её	знаменатель	.
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на	знаменатель	первой дроби , то дроби равны .
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и	знаменатель	второй дроби на число n.
Заметим , что если в дроби числитель и	знаменатель	умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а	знаменатель	является произведением знаменателей исходных дробей .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на	знаменатель	второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а	знаменатель	произведением знаменателей исходных дробей .
1.3 Какой наименьший	знаменатель	может иметь дробь , равная дроби ? .
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и	знаменатель	первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
2 ) если произведение числителя первой на	знаменатель	второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на	знаменатель	первой дроби , то получим .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и	знаменатель	умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
3 Как изменится дробь , если её числитель и	знаменатель	увеличить в 6 раз ? .
2 Составьте несколько равных дробей , у которых числитель и	знаменатель	выбираются из чисел 1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему	знаменателю	.
Для приведения дробей к общему	знаменателю	умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
9 Как дроби привести к общему	знаменателю	? .
3 Приведите к общему	знаменателю	и сравните дроби .
Как привести к общему	знаменателю	три дроби ? .
5 Как привести две дроби к общему	знаменателю	? .
Таким образом , дроби и представлены в виде дробей с одинаковыми знаменателями , то есть приведены к общему	знаменателю	.
Домножением числителя и знаменателя первой дроби на 1000 приведём обе дроби к общему	знаменателю	.
Приведите к общему	знаменателю	дроби .
Иногда эту процедуру , применённую к нескольким дробям , называют приведением дробей к общему	знаменателю	.
Они равны обыкновенным дробям и домножением числителя и знаменателя второй дроби на 100 приведем обе дроби к общему	знаменателю	.
Чтобы сравнить две любые дроби , достаточно привести их к общему	знаменателю	, а затем воспользоваться правилом из предыдущего пункта .
Приведение дробей к общему	знаменателю	.
Приведём дроби к общему	знаменателю	.
Приведём полученные обыкновенные дроби к общему	знаменателю	.
Справедливо равенство , где числитель дроби меньше её	знаменателя	, поэтому целая часть числа у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
Количество десятичных знаков произведения равно числу нулей в записи	знаменателя	.
Домножением числителя и	знаменателя	первой дроби на 1000 приведём обе дроби к общему знаменателю .
7 Как дробь , числитель которой больше	знаменателя	, превратить в смешанную и наоборот ? .
Они равны обыкновенным дробям и домножением числителя и	знаменателя	второй дроби на 100 приведем обе дроби к общему знаменателю .
В такой формулировке приведённое правило иногда называют сокращением	знаменателя	и числителя на одно и то же натуральное число .
Число нулей в записи	знаменателя	этой дроби равно числу десятичных знаков дробной части , то есть шести .
Например , при одновременном умножении числителя и	знаменателя	дроби на одно и то же число 2012 получим новую дробь .
Дробь , у которой числитель меньше	знаменателя	, называется правильной дробью .
1.4 Чему равно	значение	выражения ? .
Полученное	значение	х , равное 6 , называют частным при делении числа 42 на число 7 .
Часто вместо слов « приближённое	значение	» говорят короче — приближение .
Увидите , насколько важно знать , какое приближённое	значение	величины указывается : с недостатком или с избытком .
Приписывание или отбрасывание нулей справа в конце записи десятичной дроби никак не влияет на её	значение	.
Первое	значение	заведомо меньше искомого числа , а второе — больше .
Когда дано число а , его приближённое	значение	b и написано приближённое равенство а ≈ b , тогда все ясно .
19 К произведению чисел прибавьте число найдите	значение	этого выражения .
Другое дело , когда само число неизвестно , а даётся только его приближённое	значение	.
В таком случае желательно знать , с избытком или с недостатком взято это приближённое	значение	и на сколько мы можем ошибиться .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое	значение	другого из полученных углов ? .
1.3 Чему равно	значение	выражения ? .
Если точное	значение	числа неизвестно или несущественно , то вместо него можно использовать значения с недостатком или с избытком , которые принято называть приближёнными .
Чему равно приближённое	значение	неполного частного при делении числа 4147 на 19 с недостатком с точностью до 100 ? .
Понятно , что задача решается так же , как и в предыдущем пункте , поэтому можно сразу записать числовое выражение ,	значение	которого 99 и будет ответом .
2 Что такое	значение	числа с избытком ? .
С помощью транспортира , как и любого другого измерительного прибора , можно определить лишь приближённое	значение	градусной меры угла .
5 Как найти величину а , если известно	значение	т% от а ? .
Полученное	значение	10 см называется периметром этого четырёхугольника ABCD .
В некоторых устройствах	значение	измеряемой величины появляется на табло в виде числа .
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное	значение	градусной меры плоского угла .
Обычно шкала разделена штрихами на части так , что каждому промежутку между соседними делениями соответствует определённое	значение	измеряемой величины .
В других —	значение	измеряемой величины определяется положением стрелки , рычажка , столбика жидкости на шкале прибора .
Есть приборы , в которых	значение	непосредственно сравнивается с эталоном .
Если для двух величин найдены числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та величина , которой соответствует большее числовое	значение	.
После выбора единицы измерения любому отрезку соответствует определённое численное	значение	.
Обычно эталону приписывается единичное	значение	, поэтому эталон часто называют единицей измерения .
При замене единицы измерения изменяется и численное	значение	длины отрезка .
Разберём пример , в котором по значению процентов нужно находить	значение	самой величины .
1.4 Примеры нахождения величины , когда известно	значение	заданного числа её процентов .
Когда значение величины равно а , то значение её одного процента — это Такое	значение	обозначается как 1 % от а .
Для фиксированного отрезка АВ справедливо следующее свойство при уменьшении единицы измерения численное	значение	длины отрезка АВ увеличивается , а при увеличении единицы измерения — уменьшается .
Когда значение величины равно а , то	значение	её одного процента — это Такое значение обозначается как 1 % от а .
Когда	значение	величины равно а , то значение её одного процента — это Такое значение обозначается как 1 % от а .
Это меньше , чем 50 , то есть 7 —	значение	величины а с недостатком .
Это больше , чем 50 , то есть 8 —	значение	величины а с избытком .
Это больше , чем 50 , то есть 7,1 —	значение	а с избытком .
Это меньше , чем 50 , то есть 7,07 —	значение	а с недостатком .
Это больше , чем 50 , то есть 7,08 —	значение	а с избытком .
Указать точное	значение	стороны а в виде десятичной или обыкновенной дроби в данном случае невозможно .
Дело в том , что точное	значение	стороны а равно см , а — это иррациональное число .
Кроме того , неясно , какое приближённое	значение	появляется на экране — с недостатком или с избытком .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое	значение	величины этого угла ? .
1.4 В какой из записей приближённого значения с избытком некоторого числа а указано	значение	с точностью до 0,0001 ? .
Чему равно	значение	сажени с точностью до 1 см ? .
21 Приближённое значение с недостатком старинной русской меры длины сажень ( ударение можно ставить и на первом , и на втором слоге ) равно 2,1336 м . а ) Чему равно	значение	сажени с точностью до 1 мм ? .
Это —	значение	числового выражения .
Для этого число 3 520 000 увеличиваем на 1000 и получаем 3 521 000 —	значение	числа а с избытком .
Известно , что приближённое	значение	числа n с недостатком с точностью до 0,01 равно 3,14 .
Чему равно приближённое	значение	числа π с избытком с точностью до 0,01 ? .
Чему равно	значение	? .
Значение числа к с недостатком равно 3 , а	значение	с избытком равно 4 .
Слова « приближённое	значение	» часто заменяют одним словом « приближение » .
Точно так же приближённое	значение	с избытком называют приближённым значением по избытку , приближённым значением справа или приближённым значением сверху .
Приближённое	значение	с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
Значение с недостатком и	значение	с избытком — это приближённые значения величины .
3.3 Приближённое	значение	.
В данном случае можно сказать , что 1 час 12 минут — это значение определяемого момента времени с недостатком , а 1 час 24 минуты — это	значение	определяемого момента времени с избытком .
В данном случае можно сказать , что 1 час 12 минут — это	значение	определяемого момента времени с недостатком , а 1 час 24 минуты — это значение определяемого момента времени с избытком .
Обозначив	значение	ответа ещё одной буквой , правило можно записать в виде равенства .
В этом случае 1 час — значение времени с недостатком , а 2 часа —	значение	времени с избытком .
Скорость 100 км / ч — это приближённое	значение	величины скорости автомобиля с избытком .
Скорость 90 км / ч — это приближённое	значение	величины скорости автомобиля с недостатком .
Заменяя	значение	4816 с избытком на 5000 , сможем в уме умножить .
В этом случае можно указать значение , меньшее измеряемой величины , то есть с недостатком , и	значение	, большее измеряемой величины , то есть с избытком .
В этом случае можно указать	значение	, меньшее измеряемой величины , то есть с недостатком , и значение , большее измеряемой величины , то есть с избытком .
Но	значение	с избытком было слишком грубым .
Возьмём для числа 4816	значение	с избытком , равное 4900 .
1.2 Чему равно	значение	произведения ? .
1 Что такое	значение	числа с недостатком ? .
20 Приближённое	значение	старинной русской меры длины верста с недостатком равно 1,066 км .
а ) С какой точностью определено	значение	версты ? .
Чему равно	значение	версты с точностью до 1 м ? .
21 Приближённое	значение	с недостатком старинной русской меры длины сажень ( ударение можно ставить и на первом , и на втором слоге ) равно 2,1336 м . а ) Чему равно значение сажени с точностью до 1 мм ? .
В этом случае 1 час —	значение	времени с недостатком , а 2 часа — значение времени с избытком .
Чему равно	значение	выражения ? .
В приведённом примере 1 400 000 человек —	значение	численности жителей с недостатком , а 1 600 000 человек — с избытком в указанный момент времени .
1.4 Чему равно	значение	площади фигуры , если считать , что площадь одной клеточки равна 4 см2 ? .
1.3 Чему равно приближённое	значение	площади круга радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
1.2 Чему равно приближённое	значение	объёма шара с радиусом 3 см , если за приближённое значение числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
При каком х	значение	выражения равно 12 725 163 ? .
11 а ) Найдите	значение	выражения , если х равно : 5671 ; 13 275 ; 174 679 .
Составьте выражение для общего числа посаженных деревьев и найдите его	значение	при .
Приближённое	значение	можно найти с помощью таблицы квадратов натуральных чисел .
1.1 Чему равно приближённое	значение	длины окружности радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,2 с избытком ? .
Числовое	значение	измеряемой величины .
Приближённое	значение	корня .
Составьте выражение для общего числа учеников и найдите его	значение	.
Какое	значение	с недостатком с точностью до 10 имеет число , изображённое точкой А ? .
3 Как изменится численное	значение	площади некоторой фигуры , если вместо единицы измерения длины взять в 10 раз меньшую единицу ? .
1.2 Чему равно приближённое значение объёма шара с радиусом 3 см , если за приближённое	значение	числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
6 С помощью калькулятора найдите и запишите приближённое	значение	длины стороны квадрата , площадь которого равна .
1.3 Чему равно	значение	площади изображённой на рис .
1.2 Чему равно	значение	площади фигуры , если считать , что площадь одной клеточки равна 1 см2 ? .
Формула объёма куба даёт численное	значение	1 при численном значении а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами единичной длины .
С помощью калькулятора выполним действия и получим	значение	76,02672 т с избытком .
Какое	значение	с избытком с точностью до 10 имеет число , изображённое точкой В ? .
Чему равно	значение	.
Приближённое	значение	.
12 а ) Найдите значение выражения ; б ) При каком х	значение	выражения равно 10 000 ? .
С помощью калькулятора получим	значение	33509,3333 см3 .
Подставим	значение	R в формулу объёма шара .
Какое	значение	объёма этого бака с избытком вы можете указать ? .
1.1 Чему равно приближённое	значение	объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
13 Найдите	значение	выражения .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое	значение	числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
12 а ) Найдите	значение	выражения ; б ) При каком х значение выражения равно 10 000 ? .
Чему равно	значение	с точностью до 0,001 с избытком ? .
Ни одно из этих чисел не совпадает с точным	значением	( 3.3333)2 .
1.1 Какое из указанных чисел следует считать	значением	с избытком для числа 256 ? .
1 Что называется	значением	некоторого числа с недостатком ? .
Получившееся число называют числовым	значением	измеряемой величины .
Точно так же приближённое значение с избытком называют приближённым значением по избытку , приближённым значением справа или приближённым	значением	сверху .
1.4 Какое из указанных чисел не является	значением	с недостатком для числа 87 ? .
Меньшее из них будет	значением	длины с недостатком , а большее — с избытком .
Дробь является приближённым	значением	с недостатком или с избытком ?
1.3 Какое из указанных чисел не является	значением	с избытком для числа 109 ? .
Тот факт , что число b является приближённым	значением	числа а , выражают формулой а ≈ b ( читается : « а приближённо равно b » ) .
Приближённое значение с недостатком иногда называют приближённым	значением	по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
Точно так же приближённое значение с избытком называют приближённым	значением	по избытку , приближённым значением справа или приближённым значением сверху .
В предыдущей главе уже упоминалось , что если некоторое число х меньше а , то х называется	значением	числа а с недостатком .
1.2 Какое из указанных чисел следует считать	значением	с недостатком для числа 999 ? .
Приближённое значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым	значением	слева , а иногда — приближённым значением снизу .
Второй важный случай замены натурального числа его приближённым	значением	связан с указанием порядка величины числа .
Если же число у больше а , то его называют	значением	числа а с избытком .
2 Что называется	значением	некоторого числа с избытком ? .
Точно так же приближённое значение с избытком называют приближённым значением по избытку , приближённым	значением	справа или приближённым значением сверху .
Приближённое значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым	значением	снизу .
Формула объёма куба даёт численное значение 1 при численном	значении	а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами единичной длины .
2.2 При каких из указанных	значений	а число не является натуральным числом ? .
Какие из приведённых	значений	не могут быть величиной угла , смежного с углом АОВ ? .
Какие из указанных	значений	разумно принять за приближённое значение другого из полученных углов ? .
2.1 Каким из указанных	значений	равен объём цилиндра с высотой 10 см и радиусом основания 5 см ? .
13 Составьте таблицу	значений	d , вычисляемых по формуле , если числа а , б и с принимают целые значения от 0 до 3 .
2.1 При каких из указанных	значений	а число является натуральным числом ? .
2.2 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями числа 3π с избытком ? .
2.1 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями числа 2π с недостатком ? .
Результаты измерения величин удобно оформлять в виде таблиц , содержащих наборы	значений	при разных условиях измерений .
Какие из указанных	значений	являются значениями с недостатком для расстояния 318 км ? .
Какие из указанных	значений	не могут быть величиной другого из полученных углов ? .
2.2 Каким из указанных	значений	равен объём шара с радиусом 10 см ? .
2.2 Какие из указанных	значений	в часах являются значениями с избытком для промежутка времени в 678 мин ? .
11 Сколько различных	значений	записано в таблице умножения натуральных числе от 2 до 9 ? .
2.3 Какие из указанных	значений	в квадратных метрах являются значениями с недостатком для площади потолка комнаты шириной 262 см и длиной 311 см ? .
12 Составьте таблицу	значений	d , вычисляемых по формуле , если а 3 , а числа b и с принимают целые значения от 0 до 3 .
Аналогичные таблицы можно заполнить для любого интересующего нас набора	значений	х .
Это свойство отличает десятичные приближения от	значений	с недостатком .
2.3 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями с недостатком объёма шара с радиусом 1 дм ? .
Какие из указанных	значений	могут быть мерой таких углов в новых единицах измерения ? .
2.3 Длины сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных	значений	не могут быть длиной его третьей стороны ? .
2.2 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями с избытком для числа 961 ? .
2.3 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 543 см. Какие из указанных	значений	являются значениями его длины с недостатком ? .
Приведём таблицу	значений	кубических корней из первых натуральных чисел с точностью до 0,01 с недостатком .
2.1 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями с недостатком для числа 7318 ? .
При каких из приведённых	значений	n такие суммы нечётны ? .
2.4 Какие из указанных	значений	являются приближёнными значениями с недостатком для объёма прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
2.4 Какие из указанных	значений	площади в квадратных метрах можно записать в виде натурального числа ? .
Какие из указанных	значений	не могут быть длиной отрезка АС ? .
Какие из указанных	значений	разумно принять за приближённое значение величины этого угла ? .
Одно из приближённых	значений	с недостатком для числа равняется .
Такую зависимость для начальных натуральных	значений	стороны квадрата можно оформить .
Какие из указанных	значений	равны длине отрезка АВ ? .
2.4 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 4532 см. Какие из указанных	значений	являются значениями его длины с избытком ? .
2.2 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных	значений	не могут быть длиной отрезка АС ? .
Какие из указанных	значений	не могут быть величиной заданного угла ? .
2.2 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 30 см и 50 см. Какие из указанных	значений	не могут быть длиной этого отрезка ? .
Какие из приведённых	значений	не могут быть суммой величин углов АОВ и COD ? .
2.1 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 520 и 605 см. Какие из указанных	значений	не могут быть длиной этого отрезка ? .
2.2 При каких из указанных	значений	а отношение больше 1,5 ? .
Для	значений	площади с избытком сначала берём содержащую треугольник фигуру из трёх квадратов со стороной в 2 шага сетки .
2.3 Фигура F составлена из двух фигур , площади которых равны Р и Q. При каких из указанных	значений	Р и Q площадь фигуры F равна 2000 см2 ? .
2.1 Какие из приведённых	значений	равны площади прямоугольного треугольника с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
2.3 Какие из указанных	значений	являются значениями с недостатком для площади квадрата со стороной 12 см ? .
Найдите отношение расстояний в 50 км и 20 км и сравните его с отношением соответствующих	значений	израсходованного бензина .
3.4 Примеры использования приближённых	значений	.
Эти названия приближённых	значений	становятся понятными , если вспомнить внешний вид шкал в измерительных приборах , например , в термометре или на ученической линейке .
Какие из приведённых	значений	может иметь величина угла AOD ? .
Каким из указанных	значений	равна площадь фигуры F ? .
Какие из приведённых	значений	может иметь величина угла АОС ? .
При каких из указанных	значений	а и b точка А является серединой отрезка , изображающего числа а и b ? .
Какие из указанных	значений	не могут быть длиной стороны AD ? .
Для	значений	с недостатком берём содержащийся внутри треугольника квадрат со стороной в 2 шага сетки .
2.4 Какие из указанных	значений	являются значениями с избытком для площади прямоугольника со сторонами 45 мм и 5 см ? .
5.6 Удобство применения приближённых	значений	.
2.4 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных	значений	не могут быть длиной отрезка АС ? .
Нахождение числа по	значению	его квадрата называется извлечением , квадратного корня .
5 Найдите такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной	значению	этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Градусные меры углов АОВ и COD равны одному и тому же	значению	, значит .
Разность между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному	значению	площади треугольника , измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
Разберём пример , в котором по	значению	процентов нужно находить значение самой величины .
Последнее равенство тоже считается формулой , позволяющей вычислить путь S в метрах , если известны	значения	скорости v в метрах в минуту и время Т в часах .
1.2 Числовые	значения	величин .
Тогда указываем два	значения	.
Пусть известно , что с = 17 см , b = 15 см. Подставляя эти	значения	в полученную формулу , найдём .
Какие	значения	из указанных не может иметь площадь таких треугольников ? .
23 Найдите	значения	выражений .
Какие	значения	можно считать приближениями сверху и снизу для температуры у поверхности Земли на Северном полюсе ? .
Найдём для этой величины	значения	с недостатком и с избытком в часах .
10 Найдите	значения	выражений .
8 Найдите	значения	выражений .
Получили	значения	.
Какие	значения	числа π с недостатком и с избытком вам известны ? .
Для числа r возможны	значения	и , поэтому либо , либо .
Если для двух величин найдены числовые	значения	, выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та величина , которой соответствует большее числовое значение .
Это позволяет рассматривать суммы равных частей единицы измерения и также получать	значения	в виде дробных чисел вида .
Вы узнаете , какие бывают числа , что такое приближённые	значения	с избытком и с недостатком .
Целые числа условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,	значения	в котором возрастают слева направо .
Обычно приближённые	значения	по порядку величины рассматривают тогда , когда сравнивают числа и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
21 Найдите	значения	выражений .
В первой строке запишем	значения	показателя n , во второй — удвоенную последнюю цифру предыдущей степени двойки , а в третьей — последнюю цифру числа .
1.4 В какой из записей приближённого	значения	с избытком некоторого числа а указано значение с точностью до 0,0001 ? .
16 Запишите приближённые	значения	с недостатком и с избытком для числа 2,71828 с точностью до .
15 Прочтите приближённые равенства для числа 3,1415926 и укажите , с какой точностью приведены приближённые	значения	и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
Вычисление	значения	площади может оказаться непростой задачей .
Такой процесс построения содержащихся внутри треугольника фигур можно повторять шаг за шагом и получать все большие	значения	площади треугольника с недостатком .
Его приближённые	значения	с недостатком и с избытком можно указать с точностью до любого знака .
Можно ли указать более точные	значения	величины скорости с недостатком и с избытком в рассмотренном примере ? .
Но можно научиться находить приближённые	значения	площади с недостатком и с избытком .
Подставляем данные	значения	в формулу объёма параллелепипеда .
Значение с недостатком и значение с избытком — это приближённые	значения	величины .
Выясним , как найти приближённые	значения	площади этого треугольника с избытком и недостатком при помощи метода , описанного в предыдущем пункте .
Нужно взять числовые	значения	величин , подставить их в формулу , выполнить соответствующие действия и получить готовый ответ .
Составим таблицу для объёмов кубов с рёбрами , принимающими начальные	значения	в ряду натуральных чисел .
1 Приведите примеры , когда	значения	с избытком или с недостатком достаточно знать .
Какие	значения	из приведённых могут иметь площади этих частей ? .
12 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если а 3 , а числа b и с принимают целые	значения	от 0 до 3 .
1 Найдите	значения	.
Чему равно натуральное число , если его	значения	с избытком и недостатком равны соответственно 17 и 15 ? .
Числовые	значения	величин определяют с помощью измерительных устройств и приборов .
Указаны	значения	некоторых делений .
7 Найдите	значения	выражений .
Последовательно получили	значения	: 21 , 22 , 23 , 24 , 23 , 18 и 17 ° С. Представьте результаты в виде таблицы .
Это означает , что соответствующие	значения	не известны ( не измерялись или не имеют смысла ) .
11 Найдите	значения	площади с недостатком и с избытком для круга , принимая длину одного шага сетки за 2 см .
В верхней строке этой таблицы записаны значения уменьшаемого , в левом столбце —	значения	вычитаемого , а в остальные клеточки занесены соответствующие разности .
В верхней строке этой таблицы записаны	значения	уменьшаемого , в левом столбце — значения вычитаемого , а в остальные клеточки занесены соответствующие разности .
Получим различные	значения	в диапазоне от 0 ° до 180 ° .
Некоторые величины могут принимать те или иные	значения	: например , в течение суток изменяется температура воздуха на улице , рост человека изменяется с возрастом и так далее .
13 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если числа а , б и с принимают целые	значения	от 0 до 3 .
Пусть зависящая от х величина принимает	значения	.
Если точное значение числа неизвестно или несущественно , то вместо него можно использовать	значения	с недостатком или с избытком , которые принято называть приближёнными .
Но указать	значения	с недостатком и с избытком можно всегда .
4 Какие фигуры рассматриваются при нахождении	значения	площади некоторой фигуры : а ) с недостатком ; б ) с избытком ? .
Такой процесс построения содержащих треугольник фигур можно повторять шаг за шагом и получать всё меньшие	значения	площади треугольника с избытком .
Сравним последовательно полученные	значения	с недостатком и с избытком : с недостатком ; с избытком .
29 Найдите	значения	выражений .
Такие же	значения	можно связать не только с числом жителей , но и вообще с любым числом а .
Для определения числового	значения	измеряемой величины такие приборы имеют шкалы самой разнообразной формы с нанесенными на них делениями , помеченными числами .
Как с помощью двух линеек находить приближённые	значения	с недостатком и с избытком для суммы двух трёхзначных чисел ? .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все	значения	, какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Найдём	значения	записанных выше выражений в десятичной системе счисления .
Деления , расположенные ниже нулевой отметки , соответствуют отрицательным	значениям	температуры .
2.1 Какие из чисел являются	значениями	с недостатком для фигуры , если единицей измерения площади является площадь одной клеточки ? .
2.4 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	с недостатком для объёма прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
2.3 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 543 см. Какие из указанных значений являются	значениями	его длины с недостатком ? .
Какие натуральные числа можно считать приближёнными	значениями	с недостатком и с избытком ? .
2.1 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	с недостатком для числа 7318 ? .
2.1 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	числа 2π с недостатком ? .
2.2 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	числа 3π с избытком ? .
2.3 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	с недостатком объёма шара с радиусом 1 дм ? .
Замена числа его приближёнными	значениями	иногда позволяет упростить решение некоторых задач .
2.2 Какие из указанных значений в часах являются	значениями	с избытком для промежутка времени в 678 мин ? .
Какие величины можно считать приближёнными	значениями	площади рассмотренной фигуры ? .
Важный способ замены натуральных чисел приближёнными	значениями	связан с их десятичной записью .
2.2 Какие из чисел являются	значениями	с избытком для фигуры .
2.3 Какие из указанных значений являются	значениями	с недостатком для площади квадрата со стороной 12 см ? .
2.4 При измерении отрезка АВ получили , что его длина 4532 см. Какие из указанных значений являются	значениями	его длины с избытком ? .
2.2 Какие из указанных значений являются приближёнными	значениями	с избытком для числа 961 ? .
2.3 Какие из указанных значений в квадратных метрах являются	значениями	с недостатком для площади потолка комнаты шириной 262 см и длиной 311 см ? .
Какие из указанных значений являются	значениями	с недостатком для расстояния 318 км ? .
Какими	значениями	обычно указывают приближённый возраст человека ? .
3 Какие числа считаются приближёнными	значениями	числа а ? .
2.4 Какие из указанных значений являются	значениями	с избытком для площади прямоугольника со сторонами 45 мм и 5 см ? .
2.3 При каких из приведённых	значениях	m и n объём прямоугольного листа бумаги толщиной 0,01 см , шириной m см длиной n см равен 2,4 см3 ? .
2.2 При каких	значениях	длины ребра куба его объём больше .
2.1 При каких	значениях	длин трёх отрезков не существует треугольника с такими сторонами ? .
15 Как оценить количество	зёрен	из легенды об изобретателе шахмат , используя приближения по порядку величины ? .
Определите всхожесть	зёрен	в процентах .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти	зёрен	, то для такого количества зерна потребуется башня высотой от Земли до Солнца , в основании которой квадрат со сторонами около полутора метров .
Сколько	зёрен	запросил изобретатель шахмат ? .
Сколько	зёрен	крупы поместится в трёхлитровой банке , если в 1 см3 около ста зёрен ? .
12 Из 4000	зёрен	пшеницы взошло 3600 .
Сколько зёрен крупы поместится в трёхлитровой банке , если в 1 см3 около ста	зёрен	? .
Дело в том , что точное значение стороны а равно см , а — это	иррациональное	число .
Дело в том , что точное значение стороны а равно см , а — это	иррациональное число	.
Когда ко всем рациональным числам добавляют все	иррациональные	числа , получаются все действительные числа .
Когда ко всем рациональным числам добавляют все	иррациональные числа	, получаются все действительные числа .
Такие числа называют	иррациональными	.
Такие числа называются	иррациональными	.
Нужна ли на практике	карта	земной поверхности с масштабом 1 : 1 000 000 000 ? .
2 На	карте	с масштабом 1 : 200 000 расстояние между пунктами равно 4,5 см. Чему равно реальное расстояние между этими пунктами ? .
3 Как найти расстояние на местности , если оно известно на	карте	с данным масштабом ? .
Достаточно вспомнить одно из своих дальних путешествий , найти его на	карте	и сравнить с длиной экватора .
3 На	карте	с масштабом 1 : 3 000 000 расстояние между пунктами равно 1,5 см. Каково расстояние между этими пунктами в действительности ? .
1.3 Отрезком какой длины изображается расстояние в 400 м на	карте	с масштабом 1 : 10 000 ? .
Надпись на	карте	« масштаб 1 : 100 » означает , что отрезком в 1 см на бумаге изображён отрезок в 100 см , или по - другому , что вместо отрезка в 1 м на бумаге изображается отрезок в 0,01 м .
На	карте	с масштабом 1 : 100 000 расстояние между двумя пунктами равно 8 см. Чему равно расстояние между этими пунктами на местности ? .
Используя	карту	, удаётся сравнивать и вычислять расстояния между городами , длины различных рек , величины озёр , морей .
Знакомое вам применение масштаба — географические	карты	.
3.2 Масштаб географической	карты	.
4 Как найти масштаб	карты	, если известно реальное расстояние между двумя изображёнными на ней пунктами ? .
1 ) АС — гипотенуза ; 2)АВ — гипотенуза ; 3 ) АВ —	катет	; 4 ) ВС — катет .
У каждого из них один	катет	длиной в 3 клеточки , а другой — в 5 клеточек , как у треугольника .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС —	катет	, ВС — гипотенуза .
Получаем формулу , по которой можно вычислять длину катета , зная гипотенузу и второй	катет	.
1 ) АС — гипотенуза ; 2)АВ — гипотенуза ; 3 ) АВ — катет ; 4 ) ВС —	катет	.
Катеты АВ и CD равны , как противолежащие стороны прямоугольника , а	катет	ВС у них общий .
2 По какой формуле можно вычислить длину катета прямоугольного треугольника , если известны его гипотенуза и второй	катет	? .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ —	катет	, АС — катет , ВС — гипотенуза .
1 ) если два	катета	одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
1.3 В прямоугольном треугольнике длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого	катета	, чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
Получаем формулу , по которой можно вычислять длину	катета	, зная гипотенузу и второй катет .
1.3 В прямоугольном треугольнике длина одного	катета	равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину	катета	ВС через а .
2 ) если два	катета	одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
2 По какой формуле можно вычислить длину	катета	прямоугольного треугольника , если известны его гипотенуза и второй катет ? .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину	катета	АС через b , длину катета ВС через а .
Во сколько раз увеличится площадь прямоугольного треугольника , если оба его	катета	увеличить в 6 раз ? .
1.3 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого	катета	? .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными	катетам	.
3 Как можно вычислять гипотенузу прямоугольного треугольника по его	катетам	? .
3 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум	катетам	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
1 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум	катетам	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Оба квадрата , построенные на	катетах	, разделим на треугольники .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко : квадрат гипотенузы равен сумме квадратов	катетов	.
Отметим , что у треугольников АВС и PQR один из	катетов	длиной в 3 клеточки , в то время как другие катеты — в 5 клеточек и 3 клеточки .
Так как числа а и b — это длины	катетов	прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
1 По какой формуле можно вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника , если известны длины его	катетов	? .
1.3 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см , один из	катетов	9 см. Чему равна длина другого катета ? .
Почему длина гипотенузы прямоугольного треугольника не может равняться сумме длин его	катетов	? .
Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольного треугольника , если каждый из двух его	катетов	уменьшить в 2 раза ? .
Может ли один из	катетов	этого треугольника равняться 100 см ? .
3 Может ли гипотенуза прямоугольного треугольника быть больше суммы его	катетов	? .
14 Как построить прямоугольный треугольник , у которого катеты в два раза больше	катетов	данного треугольника ? .
4 Может ли гипотенуза одного прямоугольного треугольника быть	катетом	другого прямоугольного треугольника ? .
5 Приведите пример отрезка , который можно назвать гипотенузой и	катетом	.
Мы установили теорему Пифагора в частном случае , когда	катеты	равны .
2 Нарисуйте	квадрат	на клетчатой бумаге .
Для значений с недостатком берём содержащийся внутри треугольника	квадрат	со стороной в 2 шага сетки .
6.3 Как построить	квадрат	заданной площади .
Построим на клетчатой бумаге	квадрат	площадью в 20k2 .
Площадь квадрата KLMN больше площади квадрата ABCD , так как	квадрат	ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
Числа	квадрат	.
Переместим треугольники и сложим из них	квадрат	.
18 Возведите в	квадрат	числа .
Если на таком калькуляторе возвести в	квадрат	число 3.3333 , то ответ появится либо в виде 11.111 , либо в виде 11.110 .
В каких из указанных случаев	квадрат	ABCD не будет равен квадрату MNKL ? .
Подсказка , как разрезать	квадрат	.
Потому что	квадрат	можно целиком разместить внутри круга .
Возьмём	квадрат	размером 8 х 8 и разрежем его на четыре части .
30 Разрежьте	квадрат	на четыре равные части .
Какую сторону может иметь	квадрат	, площадь которого с точностью до одной сотки равна 50 га ? .
9 Разрежьте	квадрат	на 20 равных треугольников и сложите из них 5 равных маленьких квадратов .
7 Нарисуйте	квадрат	.
Проверить то , что они одинаковы , не удаётся , если пытаться разрезать	квадрат	ABCD .
8 Нарисуйте	квадрат	.
Так как равенство сторон четырёхугольника MNKL уже установлено , то этот четырёхугольник и в самом деле	квадрат	.
9 Нарисуйте	квадрат	.
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества зерна потребуется башня высотой от Земли до Солнца , в основании которой	квадрат	со сторонами около полутора метров .
Они разделят	квадрат	равных меньших квадратов .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко :	квадрат	гипотенузы равен сумме квадратов катетов .
Вырежем	квадрат	ABCD и разрежем его вдоль отрезков АС и BD на четыре треугольника .
6 Разрежьте	квадрат	на восемь равных прямоугольных треугольников .
Допустим , нужно сделать	квадрат	площадью в 50 см2 .
Получим	квадрат	.
Пусть имеется	квадрат	ABCD со стороной 5 см. Как пояснить , что длина отрезка АС меньше 10 см ? .
Сохранив нужные нам отрезки и добавив вспомогательный	квадрат	BGMN .
Можно ли « деформировать »	квадрат	в ромб ? .
7 Разрежьте	квадрат	на шесть равных прямоугольных треугольников .
Покажем , что четырёхугольник MNKL —	квадрат	.
Например , если взять	квадрат	, то все его стороны имеют равную длину , потому что все стороны квадрата равны между собой .
Изображён	квадрат	ABCD , разбитый отрезками АС и BD на четыре треугольника — АОВ , ВОС , COD и AOD .
Возьмём	квадрат	площадью в 25 см2 .
Решить такое уравнение — значит найти число , зная	квадрат	этого числа .
6 Укажите стороны прямоугольника с площадью 1 м2 , внутри которого нельзя поместить	квадрат	площадью 1 см2 .
8 Изобразите : а ) ромб ; б ) прямоугольник ; в )	квадрат	.
Верхняя левая из них — это знакомый вам	квадрат	.
Рассмотрим	квадрат	ABCD .
13 Какие повороты квадрата вокруг точки пересечения диагоналей переводят	квадрат	в самого себя ? .
Это свойство становится особенно наглядным , если вырезать	квадрат	из бумаги и перегнуть его вдоль диагонали .
5 Дан	квадрат	ABCD .
Следующая пара чисел , таких , что	квадрат	одного отличается от удвоенного квадрата другого на единицу .
8 Можно ли разделить	квадрат	двумя прямыми а ) на три равные части ; б ) на четыре равные части ? .
5 Найдите такую дробь со знаменателем 7 , чтобы	квадрат	со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Многоугольники ( в частности ,	квадрат	и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
7 Разрежьте прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см на две части , приложив которые друг к другу можно получить	квадрат	.
9 Нарисуйте	квадрат	ABCD .
12 Нарисуйте	квадрат	.
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге	квадрат	ABCD и измерьте с помощью транспортира его углы .
8 Разрежьте фигуру на две части и составьте из них	квадрат	.
Какую площадь имеет	квадрат	со стороной 130 м ? .
5 Какие общие свойства имеют ромб ,	квадрат	и прямоугольник ? .
2 Как из четырёх равных равнобедренных прямоугольных треугольников можно составить	квадрат	? .
Допустим , что задан	квадрат	площадью 144 см2 .
4 Какие общие свойства имеют ромб и	квадрат	? .
40 Изобразите круг , а затем внутри него	квадрат	.
2 Площади прямоугольника и	квадрат	.
7 На клетчатой бумаге	квадрат	, сторона которого равна 12 клеткам , разделён на равные части вертикальными и горизонтальными линиями .
На сколько равных частей разделён исходный	квадрат	и сколько клеток содержится в каждой из полученных равных частей , если деление произведено .
Получена формула квадрата суммы , по которой сумму двух любых выражений а и b легко возводить в	квадрат	.
Некоторые свойства прямоугольника и	квадрат	.
Изображён	квадрат	.
Когда соседние стороны прямоугольника одинаковые , то получается	квадрат	.
6 Найдите прямоугольный треугольник , в котором можно разместить	квадрат	площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
Получена формула	квадрата	суммы , по которой сумму двух любых выражений а и b легко возводить в квадрат .
4 Точки М и N — середины сторон AD и CD	квадрата	ABCD .
Как проверить , могут ли они быть вершинами : а ) ромба ; б ) прямоугольника ; в )	квадрата	? .
Такую зависимость для начальных натуральных значений стороны	квадрата	можно оформить .
Убедитесь , что она пройдёт через вершины В , С , D большого	квадрата	.
Свойство диагоналей	квадрата	.
Какое наибольшее число равных между собой прямоугольных треугольников можно получить , соединяя отрезками некоторые из вершин заданного	квадрата	?
5 Какими свойствами обладает диагональ	квадрата	? .
Какие свойства	квадрата	вы знаете ? .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла	квадрата	, приходим к следующему заключению : диагонали квадрата делят его утлы пополам .
Прямой угол образуют любые две соседние стороны	квадрата	или прямоугольника .
2 Почему точки М , N , К , L являются вершинами	квадрата	? .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по длине стороны	квадрата	можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
Площадь	квадрата	зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
Каким выражением можно задать зависимость площади	квадрата	от его стороны ? .
а ) Как диагональ	квадрата	со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
4 ) диагонали	квадрата	равны его сторонам .
Точки А , В , С , D являются вершинами	квадрата	.
Площадь	квадрата	.
2 Чем отличается прямоугольник от	квадрата	? .
3 ) диагонали	квадрата	при пересечении образуют прямые углы .
2 ) диагонали	квадрата	равны .
Вершины их прямых углов будут центром	квадрата	.
1 ) диагонали	квадрата	делят его углы пополам .
3 Чем отличается ромб от	квадрата	? .
Вам приходилось слышать про углы	квадрата	, углы треугольника и , может быть , другие углы .
Потому что круг можно целиком разместить внутри	квадрата	.
Диагональ АС	квадрата	ABCD делит его на два прямоугольных треугольника .
Потому что четырёхугольник расположен целиком внутри	квадрата	.
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве вершин треугольников вершины заданного	квадрата	? .
Сторона	квадрата	равна четырём сторонам клеток .
16 Что длиннее : сторона	квадрата	или его диагональ ?
10 На сторонах	квадрата	ABCD точки М , N , К , L. Покажите , что отрезки ML и KN равны .
Два	квадрата	ABCD и CDEF имеют общую сторону CD , точка М — середина стороны CD .
Точки М , N , К , L лежат на сторонах	квадрата	ABCD .
8 Укажите все пары противоположных сторон	квадрата	ABCD .
Про угол CAD , как угол между диагональю	квадрата	и его стороной , уже известно , что .
13 Какие повороты	квадрата	вокруг точки пересечения диагоналей переводят квадрат в самого себя ? .
Поэтому угол KAF равен половине угла	квадрата	.
5 Можно ли из отрезков в 4 см , 5 см , 6 см и 7 см составить два отрезка , равные диагоналям некоторого	квадрата	? .
9 Зная одну вершину А некоторого	квадрата	и точку О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные вершины .
Проводя подобное рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению : диагонали	квадрата	делят его утлы пополам .
26 На клетчатой бумаге в квадрате со стороной в 101 шаг сетки нарисован большой многоугольник по такому же принципу , по какому нарисован многоугольник внутри	квадрата	со стороной в 7 шагов .
Получилась формула	квадрата	разности .
Нахождение числа по значению его	квадрата	называется извлечением , квадратного корня .
1 Почему площадь круга больше площади	квадрата	? .
По формуле площади	квадрата	имеем .
Обозначим неизвестную сторону	квадрата	через х ( см ) .
Иногда ставится обратная задача : зная площадь	квадрата	, нужно найти его сторону .
2 Какова длина стороны	квадрата	, если его площадь равна .
4 Единицей измерения площади считается площадь	квадрата	, сторона которого равна выбранной единице измерения длины .
2.3 Какие из указанных значений являются значениями с недостатком для площади	квадрата	со стороной 12 см ? .
1.4 Чему равна площадь	квадрата	со стороной .
6 С помощью калькулятора найдите и запишите приближённое значение длины стороны	квадрата	, площадь которого равна .
1.2 Чему равна площадь	квадрата	со стороной .
Говоря , например , о площади	квадрата	, подразумевают площадь ограниченной им области .
1.1 Чему равна площадь фигуры , если считать , что площадь одного	квадрата	сетки равна 4 см2 ? .
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади	квадрата	BTRP .
3 Чему равна длина стороны	квадрата	, площадь которого составляет .
Почему площадь четырёхугольника MNKL меньше площади	квадрата	ABCD ? .
19 Найдите десятичные приближения стороны	квадрата	площади 3 см2 : .
Итак , два маленьких	квадрата	равносоставлены с одним большим .
Но для	квадрата	ACSQ его площадь , значит , извлекая из числа 25 квадратный корень , находим .
Площадь квадрата KLMN больше площади квадрата ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри	квадрата	KLMN .
Площадь	квадрата	BPRT равна .
Следующая пара чисел , таких , что квадрат одного отличается от удвоенного	квадрата	другого на единицу .
Чему равна диагональ	квадрата	со стороной см ? .
Площадь квадрата KLMN больше площади	квадрата	ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
Оба	квадрата	, построенные на катетах , разделим на треугольники .
Следовательно , сторона такого	квадрата	выражается числом .
6 Как разрезать левую и правую фигуры , чтобы из полученных частей можно было сложить два равных	квадрата	? .
Площадь	квадрата	со стороной а выражается числом .
Разделим каждую сторону	квадрата	со стороной 1 см и площадью 1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведём прямые .
1.1 Чему равна площадь	квадрата	со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
Площадь	квадрата	KLMN больше площади квадрата ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
Площадь	квадрата	со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Площадь	квадрата	была клеточки , а площадь прямоугольника стала клеточек .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с вершиной	квадрата	.
Уточним определения	квадрата	и прямоугольника .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA	квадрата	ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с вершиной квадрата .
Например , если взять квадрат , то все его стороны имеют равную длину , потому что все стороны	квадрата	равны между собой .
25 Допустим , что вершины	квадрата	— шарниры , а стороны — палочки .
9 Пусть шаг сетки клетчатой бумаги ( сторона каждого	квадрата	) равен 5 мм .
10 Пусть шаг сетки клетчатой бумаги ( сторона каждого	квадрата	) равен 5 мм .
1.1 Какое наибольшее число отрезков можно получить , попарно соединяя различные вершины	квадрата	? .
Точно так же , если у	квадрата	площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения площади через крупные .
Значит , площадь маленького	квадрата	будет .
Как проверить , что диагонали	квадрата	делятся пополам в точке их пересечения ? .
Разделите его на четыре равных	квадрата	.
27 Может ли внутри	квадрата	со стороной в 1 м уместиться простая ломаная длиной ? .
Значит , площадь	квадрата	со стороной а вычисляется по формуле .
Изобразите два равных ему	квадрата	.
4 Как проверить , равны или не равны два	квадрата	? .
2.2 Площадь	квадрата	.
3 Почему площадь круга меньше площади	квадрата	? .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего	квадрата	будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения площади через крупные .
Сколько углов образуют диагонали	квадрата	с его сторонами ? .
Её площадь считается равной площади	квадрата	.
Добавим к нему два	квадрата	со стороной в один шаг Площадь этой фигуры равняется 6k2 .
Удалим из неё два	квадрата	со стороной в один шаг .
1.3 Чему равна площадь	квадрата	со стороной 8 см ? .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину диагонали	квадрата	со стороной в 1 метр нельзя выразить рациональным числом метров .
Добавим к новой фигуре ещё четыре	квадрата	со стороной шага .
Как проверить , что соседние стороны	квадрата	равны ? .
Его площадь S равна половине площади соответствующего	квадрата	, то есть 8k2 .
Какие ломаные из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве вершин четыре вершины	квадрата	? .
19 Найдите периметр	квадрата	( при выборе некоторой единицы измерения ) , сторона которого равна 12 .
Какое наибольшее число отрезков с концами в различных вершинах	квадрата	можно получить ? .
2.4 Какие из указанных чисел можно представить в виде	квадрата	натурального числа ? .
2 По какой формуле вычисляется площадь	квадрата	? .
Примерами отрезков могут служить стороны	квадрата	, треугольника и любого многоугольника .
Удалим из новой фигуры ещё четыре	квадрата	со стороной шага .
Что вам известно о прямоугольниках и	квадратах	? .
Поэтому исторически сложилось так , что для второй степени числа а , то есть для а2 , установилось особое название : « а в	квадрате	» .
Итак , « а во второй степени » и « а в	квадрате	» означают одно и то же .
26 На клетчатой бумаге в	квадрате	со стороной в 101 шаг сетки нарисован большой многоугольник по такому же принципу , по какому нарисован многоугольник внутри квадрата со стороной в 7 шагов .
7 Какое выражение читается как « а в	квадрате	» ? .
5 Чему равно два в степени два , или два в	квадрате	? .
Нахождение числа по значению его квадрата называется извлечением ,	квадратного	корня .
Вы познакомитесь с операцией извлечения	квадратного	корня и узнаете про знаменитую теорему Пифагора .
Значение	квадратного	корня из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
Вы познакомитесь с операцией извлечения	квадратного корня	и узнаете про знаменитую теорему Пифагора .
Нахождение числа по значению его квадрата называется извлечением ,	квадратного корня	.
Значение	квадратного корня	из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
3 Корень	квадратны	.
С помощью заготовленной таблицы можно извлекать	квадратные	корни только из чисел , попавших в нижнюю строку .
Выразим 1 см2 через	квадратные	миллиметры .
С помощью заготовленной таблицы можно извлекать	квадратные корни	только из чисел , попавших в нижнюю строку .
Корень	квадратный	.
Чему равен 1	квадратный	фут в квадратных дюймах , если известно , что 1 фут равен 12 дюймам ? .
Какой масштаб можно выбрать , чтобы изобразить в тетради	квадратный	участок площадью в 1 га ? .
2 Как обозначается корень	квадратный	из числа а ? .
Для засыпки песком круглой площадки радиусом в 11 м требуется по 0,2 т песка на каждый	квадратный	метр .
Возникает вопрос : как извлекать	квадратный	корень из чисел , не включённых в таблицу ?
В нашем примере нужно извлечь	квадратный	корень из числа 144 .
Но для квадрата ACSQ его площадь , значит , извлекая из числа 25	квадратный	корень , находим .
1 Что значит « найти	квадратный	корень из числа » ? .
1 Что значит « найти	квадратный корень	из числа » ? .
Но для квадрата ACSQ его площадь , значит , извлекая из числа 25	квадратный корень	, находим .
В нашем примере нужно извлечь	квадратный корень	из числа 144 .
Возникает вопрос : как извлекать	квадратный корень	из чисел , не включённых в таблицу ?
Каждое число верхней строки является	квадратным	корнем из соответствующего числа нижней строки .
Каждое число верхней строки является	квадратным корнем	из соответствующего числа нижней строки .
12 Пол комнаты шириной 3 м и длиной 6 м нужно покрыть	квадратными	плитками со стороной в 30 см. Сколько таких плиток потребуется для покрытия всего пола ? .
14 Выразите в	квадратных	миллиметрах следующие площади .
1.2 Чему равна площадь м2 в	квадратных	сантиметрах ? .
Для извлечения	квадратных	корней из некоторых чисел составим .
1.3 Чему равна площадь 325 дм2 в	квадратных	метрах ? .
Чему равна площадь в 1 мм2 , выраженная в	квадратных	метрах ? .
2.4 Какие из указанных значений площади в	квадратных	метрах можно записать в виде натурального числа ? .
13 Выразите в	квадратных	дециметрах следующие площади .
3 Как составить таблицу для извлечения	квадратных	корней ? .
13 Комната имеет длину 5 м и ширину 3 м 21 см . а ) Найдите площадь пола в	квадратных	метрах с избытком и недостатком .
Чему равен 1 квадратный фут в	квадратных	дюймах , если известно , что 1 фут равен 12 дюймам ? .
Сколько	квадратных	метров линолеума нужно закупить , чтобы покрыть весь пол в комнате ? .
2.3 Какие из указанных значений в	квадратных	метрах являются значениями с недостатком для площади потолка комнаты шириной 262 см и длиной 311 см ? .
Для извлечения	квадратных корней	из некоторых чисел составим .
3 Как составить таблицу для извлечения	квадратных корней	? .
Опять добавим к новой фигуре восемь	квадратов	со стороной шага .
2.3 Какие остатки могут получаться при делении	квадратов	натуральных чисел на 4 ? .
Для значений площади с избытком сначала берём содержащую треугольник фигуру из трёх	квадратов	со стороной в 2 шага сетки .
Всего получается	квадратов	площадью по 1 мм2 .
Получим 10 полосок по 10 мелких	квадратов	в каждой .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей	квадратов	со сторонами , равными катетам .
Это площади	квадратов	со сторонами соответственно в 1 мм , 1 см , 1 дм , 1 м , 1 км .
Продолжив таблицу	квадратов	, получаем результаты .
Каждая часть состоит из трёх	квадратов	.
Продолжим таблицу	квадратов	из предыдущего пункта .
Приближённое значение можно найти с помощью таблицы	квадратов	натуральных чисел .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко : квадрат гипотенузы равен сумме	квадратов	катетов .
3 Вычислите площади	квадратов	со стороной .
6 Составьте таблицу	квадратов	чисел от 1 до 9 .
11 Изображены шесть	квадратов	.
2.3 Какие из указанных чисел можно найти в таблице	квадратов	двухзначных чисел ? .
Мы научились вычислять площади прямоугольников и	квадратов	, когда известны длины сторон .
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при делении	квадратов	натуральных чисел на 5 ? .
Удалим , наконец , из новой фигуры восемь	квадратов	со стороной шага .
Каждая часть состоит из пяти	квадратов	.
9 Разрежьте квадрат на 20 равных треугольников и сложите из них 5 равных маленьких	квадратов	.
Каждый из них можно разделить на равных	квадратов	.
Они разделят квадрат равных меньших	квадратов	.
1.3 Какой из указанных	квадратов	можно сложить из четырёх клеточек сетки ? .
14 Квадрат ABCD сложен из четырёх одинаковых малых	квадратов	.
Сколько	квадратов	можно нарисовать на новой сетке в пределах рисунка ? .
1.4 Дана таблица	квадратов	некоторых чисел .
6 Рассмотрим на клетчатой бумаге сетку из	квадратов	в четыре клеточки .
Возьмём фигуру Ф. Расположим её на « сетке » из	квадратов	площадью в 1 k2 .
Теперь рассмотрим фигуру из всех таких	квадратов	той же сетки , которые целиком лежат внутри фигуры Ф. Её площадь равна 17k2 .
Составим новую фигуру из всех таких	квадратов	сетки , которые имеют с фигурой Ф общие точки .
3 Как вычислить площадь фигуры , составленной из одинаковых , но не налегающих друг на друга	квадратов	? .
Поэтому рассмотрим уменьшенную « сетку » из	квадратов	со стороной в шага сетки и площадью в k2 .
1.1 Дана таблица	квадратов	некоторых чисел .
Пусть О — общая вершина малых	квадратов	.
Получаем формулу , которую часто называют формулой разности	квадратов	.
1.3 Дана таблица	квадратов	некоторых чисел .
22 На сколько равных	квадратов	можно разрезать прямоугольник , нарисованный на клетчатой бумаге , одна из сторон которого содержит 10 шагов сетки , а другая — 30 шагов , если резать можно только по линиям сетки ? .
1.2 Дана таблица	квадратов	некоторых чисел .
Таким образом , введение более мелкой « сетки »	квадратов	позволяет найти более точный результат .
Каждая из этих клеточек « на глаз » является	квадратом	.
Замечаем , что , следуя рассуждению , получим , что фигура AFKP является	квадратом	, АК — его диагональю .
Может ли этот четырёхугольник быть : а ) прямоугольником ; б )	квадратом	? .
2.3 Какие из приведённых выражений являются	квадратом	некоторого натурального числа ? .
4 Какая геометрическая фигура называется	квадратом	? .
Четырёхугольник ACSQ является	квадратом	, его площадь S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
В каких из указанных случаев квадрат ABCD не будет равен	квадрату	MNKL ? .
Как вы понимаете выражение « одинаковые	квадраты	» ? .
В нижней строке таблицы стоят	квадраты	соответствующих чисел из верхней строки .
Прямоугольники и	квадраты	выделяются из многих фигур плоскости своими свойствами .
Построим	квадраты	на всех его сторонах .
11 Велотрек имеет вид кругового	кольца	шириной 5 м , внутренний радиус которого равен 50 м .
12 Шайба имеет вид	кольца	, внутренний диаметр которого равен 6 мм .
Найдите диаметр шайбы , если известно , что площадь отверстия в 2 раза меньше площади	кольца	.
11 На какое наибольшее число частей можно разделить	кольцо	двумя прямыми ? .
На какой - нибудь площадке вобьём два колышка , свяжем верёвку в	кольцо	и наденем его на колышки .
Переместительный закон —	коммутативность	.
8 Что означают слова	коммутативность	, ассоциативность и дистрибутивность ? .
Такое название прочно вошло в математику , когда обнаружилось , что существуют другие числовые системы , например мнимые или	комплексные	числа .
Такое название прочно вошло в математику , когда обнаружилось , что существуют другие числовые системы , например мнимые или	комплексные числа	.
Но для квадрата ACSQ его площадь , значит , извлекая из числа 25 квадратный	корень	, находим .
2 Чему равняется	корень	уравнения ? .
В нашем примере нужно извлечь квадратный	корень	из числа 144 .
Кубический	корень	из натурального числа часто оказывается нецелым числом .
2 Как обозначается	корень	квадратный из числа а ? .
Чтобы найти	корень	этого уравнения , нужно подобрать такое число х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из числа .
Значит , х —	корень	уравнения .
Возникает вопрос : как извлекать квадратный	корень	из чисел , не включённых в таблицу ?
1.1 Какой	корень	имеет уравнение ? .
1.3 Какой	корень	имеет уравнение ? .
Кубический	корень	из числа обозначается через .
Чтобы найти корень этого уравнения , нужно подобрать такое число х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический	корень	из числа .
3.1 Как извлечь	корень	из числа .
2.4 Кубический	корень	.
1 Что значит « найти квадратный	корень	из числа » ? .
Для извлечения квадратных	корней	из некоторых чисел составим .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических	корней	.
2.5 Таблица кубических	корней	.
3 Как составить таблицу для извлечения квадратных	корней	? .
Приведём таблицу значений кубических	корней	из первых натуральных чисел с точностью до 0,01 с недостатком .
Например , по принятому определению его	корнем	нужно считать разность .
Каждое число верхней строки является квадратным	корнем	из соответствующего числа нижней строки .
По таблице умножения находим , что х 6 является	корнем	этого уравнения .
Но , по определению ,	корнем	этого уравнения является разность .
Его	корнем	является число b.
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет	корнем	натуральное число .
Тогда разность определена и является	корнем	уравнения .
Значит , является	корнем	уравнения , следовательно .
Будем считать	корнем	этого уравнения новое число , которое обозначим как -1 .
Значит , число х является	корнем	уравнения .
Будем считать	корнем	этого уравнения новое число , которое обозначим как -2 .
Действительно , только число является	корнем	уравнения0 .
Только число является	корнем	уравнения .
Составленная в начале пункта таблица позволяет находить	корни	кубические из чисел , стоящих в нижней строке таблицы .
С помощью заготовленной таблицы можно извлекать квадратные	корни	только из чисел , попавших в нижнюю строку .
Приближённое значение	корня	.
Нахождение числа по значению его квадрата называется извлечением , квадратного	корня	.
Значение квадратного корня из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного	корня	уравнения можно представить в виде .
Значение квадратного	корня	из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
Вы познакомитесь с операцией извлечения квадратного	корня	и узнаете про знаменитую теорему Пифагора .
Числа -1 , 0 и любое натуральное число не могут быть	корнями	этого уравнения .
Число 0 и любое натуральное число не являются	корнями	этого уравнения .
Таблица	кратных	приставок .
Это таблица названий	кратных	приставок .
Объединив эту область с окружностью , получаем	круг	того же радиуса и с тем же центром О , что и окружность .
1.11 Окружность и	круг	.
Центр	круг	.
41 Изобразите прямоугольник , а затем внутри него какой - нибудь	круг	.
В конце девятнадцатого века изобретатель Самуэль Лойд придумал головоломкус прорезью по окружности , чтобы внутренний	круг	мог вращаться .
Поэтому за один	круг	лошадь пробежит ( м ) , а конь проскачет ( м ) .
Каждый проделанный белой лошадью круг можно считать окружностью радиуса 6,5 м , а каждый проделанный конём	круг	— окружностью радиуса 5,5 м .
Каждый проделанный белой лошадью	круг	можно считать окружностью радиуса 6,5 м , а каждый проделанный конём круг — окружностью радиуса 5,5 м .
Потому что	круг	можно целиком разместить внутри квадрата .
40 Изобразите	круг	, а затем внутри него квадрат .
1.4 Даны два круга радиусов 6 см и 4 см. На сколько площадь первого	круга	больше площади второго ? .
1 Длина окружности и площадь	круга	.
3 Почему площадь	круга	меньше площади квадрата ? .
4 По какой формуле вычисляется площадь	круга	? .
11 Сколько общих точек с окружностью может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри	круга	; б ) вне круга ; в ) на окружности ? .
11 Сколько общих точек с окружностью может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри круга ; б ) вне	круга	; в ) на окружности ? .
Площадь	круга	.
Потому что квадрат можно целиком разместить внутри	круга	.
7 Используя формулу площади	круга	и считая , что π ≈ 3,14 , заполните таблицу .
16 Как проверить равенство двух частей	круга	? .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое число π ( читается : « пи » ) , с помощью которого вычисляют длину окружности и площадь	круга	.
Для вычисления площади	круга	по его радиусу применяется формула , где S — площадь , a R — радиус .
1.3 Чему равно приближённое значение площади	круга	радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
1.4 Даны два	круга	радиусов 6 см и 4 см. На сколько площадь первого круга больше площади второго ? .
Радиус	круга	.
8 Как изменится площадь	круга	, если его радиус : а ) увеличить в 3 раза ; б ) уменьшить в 5 раз ? .
1 Почему площадь	круга	больше площади квадрата ? .
1.4 Площадь	круга	.
28 Изобразите три	круга	так , чтобы все они имели хотя бы одну общую точку .
30 Изобразите три	круга	так , чтобы все точки второго из них были бы точками первого , а все точки третьего были бы точками второго круга .
27 Изобразите три	круга	так , чтобы каждые два из них имели общие точки , но все вместе они не имели бы общих точек .
30 Изобразите три круга так , чтобы все точки второго из них были бы точками первого , а все точки третьего были бы точками второго	круга	.
26 Изобразите три	круга	так , чтобы только два из них имели общие точки .
25 Изобразите три	круга	так , чтобы никакие два из них не имели общих точек .
31 Изобразите три	круга	так , чтобы не все точки первого были бы точками второго круга и не все точки второго были бы точками третьего .
23 Изобразите два таких	круга	, чтобы все точки одного были одновременно точками другого .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади	круга	, объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
31 Изобразите три круга так , чтобы не все точки первого были бы точками второго	круга	и не все точки второго были бы точками третьего .
29 Изобразите три	круга	так , чтобы все точки одного из них были бы точками каждого из остальных кругов .
22 Изобразите два	круга	, имеющие не менее трёх общих точек .
32 Изобразите три	круга	так , чтобы все точки первого были бы точками второго и только часть точек второго круга входила в состав третьего .
32 Изобразите три круга так , чтобы все точки первого были бы точками второго и только часть точек второго	круга	входила в состав третьего .
33 Изобразите три	круга	так , чтобы первый и второй имели общие точки , второй и третий имели общие точки , а первый и третий общих точек бы не имели .
11 Найдите значения площади с недостатком и с избытком для	круга	, принимая длину одного шага сетки за 2 см .
Будем изображать их частями	круга	, разделённого радиусами на 10 равных частей и размеченными по окружности десятками .
На диаграмме величины изображаются условно в виде отрезков , прямоугольников или частей	круга	.
21 Изобразите два	круга	, не имеющие общих точек .
Основания цилиндра являются равными	кругами	.
Бумажный цилиндр можно склеить из двух	кругов	радиуса R и прямоугольника со сторонами .
На сколько метров больше вороного коня пробежит белая лошадь за 50	кругов	? .
На сколько метров больше коня пробежит лошадь за 50	кругов	, если представить , что радиус арены цирка равен 100 м ? .
За 50	кругов	лошадь пробежит ( м ) , а конь проскачет Разница между этими величинами равна .
29 Изобразите три круга так , чтобы все точки одного из них были бы точками каждого из остальных	кругов	.
Значение с недостатком для высоты Эвереста можно взять 8800 м , что равно длине 22	кругов	по стадиону .
Найдём , сколько	кругов	по стадиону нужно пробежать , чтобы получилось примерно такое же расстояние .
Значение с избытком для высоты Эвереста можно взять 9200 м , что равно длине 23	кругов	по стадиону .
Формулы , связанные с окружностью и	кругом	, содержат знаменитое число л .
13 В гостинице за полярным	кругом	летом один уставший человек заснул в 9 часов .
Числа	куб	.
2.7 Квадрат и	куб	числа .
Чтобы найти корень этого уравнения , нужно подобрать такое число х ,	куб	которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из числа .
Объём	куба	. параллелепипеда .
1.4 Чему равно ребро	куба	, объём которого равен 512 см3 ? .
5 По какой формуле вычисляется объём	куба	? .
2.2 При каких значениях длины ребра	куба	его объём больше .
Рассмотрим , как по известному объёму V	куба	находить длину его ребра .
Формула объёма	куба	даёт численное значение 1 при численном значении а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам кубов с рёбрами единичной длины .
Обозначим неизвестную длину ребра	куба	буквой х. Получим уравнение .
Объём куба вычисляется по формуле ( кубических единиц ) , где а — длина ребра	куба	.
Объём	куба	вычисляется по формуле ( кубических единиц ) , где а — длина ребра куба .
2.2 Объём	куба	и объём прямоугольного параллелепипеда .
3 В коробке , имеющей форму	куба	, в один ряд укладывается 6 кубиков .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и	куба	, объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
1.3 На сколько увеличится объём	куба	с ребром 1 дм , если каждое его ребро увеличить на 1 см ? .
Найдите длину ребра	куба	, имеющего такой же объём .
Комната имеет вид	куба	.
Для третьей степени числа а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём	куба	, сторона которого равна а , выражается числом а3 .
Составим таблицу для объёмов	кубов	с рёбрами , принимающими начальные значения в ряду натуральных чисел .
Формула объёма куба даёт численное значение 1 при численном значении а , равном 1 , то есть единицы измерения объёма соответствуют объёмам	кубов	с рёбрами единичной длины .
8 Составьте таблицу	кубов	натуральных чисел от 1 до 5 .
Представьте таблицу в виде	линейной	диаграммы .
Изобразите в виде круговой диаграммы и в виде	линейной	диаграммы процентное содержание воды , жиров , белков и углеводов в следующих продуктах .
Изобразите на круговой и	линейной	диаграммах количество крови в органах человека , если доли всей крови распределены следующим образом .
Оформите результат в виде	линейной	диаграммы .
Представим данные из таблицы в виде	линейной	диаграммы .
Как	линейную	диаграмму можно превратить в столбчатую ? .
Вы ещё раз вспомните о таблицах , узнаете про	линейные	, столбчатые и круговые диаграммы , про масштаб .
Какая из приведённых	линейных	диаграмм соответствует этой таблице ? .
Чему равен	логарифм	числа 256 по основанию 4 ? .
6 Чему равен	логарифм	числа 625 по основанию 5 ? .
В записи 25 показатель степени 5 иногда называют	логарифмом	числа 32 по основанию 2 и записывают в виде .
Точно так же , если , то n называют	логарифмом	числа b по основанию а и пишут .
Каждая	ломаная	имеет длину .
12 Сколько вершин имеет простая	ломаная	из 19 звеньев ? .
21 Задана	ломаная	ABCD , длина которой 10 см. Что вы можете сказать о длине отрезка AD ? .
Например ,	ломаная	ABCDEA является пятиугольником ABODE .
27 Может ли внутри квадрата со стороной в 1 м уместиться простая	ломаная	длиной ? .
Например , изображена	ломаная	ABCDEFGH .
7 Какая	ломаная	считается простой ? .
4 Как вы понимаете , что такое	ломаная	? .
17 Найдите в шагах сетки длину	ломаной	.
Чему равна длина	ломаной	, составленной из звеньев , длины которых равны 21 см , 18 см , 35 см и 9 см ? .
Длина	ломаной	.
Эти отрезки называются звеньями	ломаной	.
Концы звеньев	ломаной	называются её вершинами .
Первая вершина А и последняя вершина Н — концы этой	ломаной	.
Многоугольник тоже можно считать	ломаной	, у которой начало совпадает с концом .
Поэтому длина новой	ломаной	, равная , меньше .
У	ломаной	MNKLP звенья NK и LP пересекают друг друга .
4.4 Свойство длины	ломаной	.
Длина отрезка не превышает длины любой	ломаной	, соединяющей его концы .
Точка их пересечения не считается вершиной данной	ломаной	.
16 Найдите в шагах сетки длину	ломаной	.
15 Найдите в шагах сетки длину	ломаной	.
1.4 Чему в шагах сетки равна длина	ломаной	? .
8 Чему равна длина	ломаной	? .
5 Объясните , почему точки А , В , С , D и отрезки АВ , CD нельзя считать одной	ломаной	.
1.2 Чему равна длина	ломаной	, составленной из трёх звеньев , длины которых равны 11 см , 27 мм , 4 см ? .
Ломаная такого вида называется простой	ломаной	.
6 Что такое вершины	ломаной	? .
Длина	ломаной	равна сумме длин всех составляющих её звеньев .
Чему равна длина	ломаной	, составленной из 20 равных звеньев длиной 5 см ? .
5 Что такое звенья	ломаной	? .
13 Сколько звеньев у простой	ломаной	, имеющей 28 вершин ? .
14 Найдите в шагах сетки длину	ломаной	.
19 Нарисуйте простую	ломаную	длиной 16 см из пяти звеньев , расстояние между концами которой равно 12 см .
18 Нарисуйте простую	ломаную	длиной 8 см из трёх звеньев , расстояние между концами которой равно 6 см .
Нарисуйте	ломаную	ABCD .
2 Нарисуйте	ломаную	с самопересечением , состоящую из трёх звеньев .
3 Нарисуйте простую	ломаную	, состоящую из четырёх звеньев .
Получим новую	ломаную	ANB с меньшим числом звеньев .
Каждую	ломаную	изображают так : последовательно шаг за шагом проводят отрезки так , что свободный конец предыдущего отрезка является началом следующего .
Получим	ломаную	ABCDEF .
Если нарисовать простую	ломаную	и указать начало , то легко перечислить последовательно все её звенья .
20 Нарисуйте простую	ломаную	длиной 9 см из пяти звеньев , расстояние между концами которой равно 8 см .
1 Нарисуйте простую	ломаную	, состоящую из трёх звеньев .
Рассмотрим	ломаную	AMNB , изображённую на рис .
Нарисуйте все возможные	ломаные	из трёх звеньев с самопересечением с концами в этих точках .
Название таких фигур —	ломаные	.
В дальнейшем мы не будем рассматривать фигуры , похожие на	ломаные	из этих примеров .
Нарисуйте все возможные простые	ломаные	из трёх звеньев с концами в этих точках .
Какие	ломаные	из пяти звеньев можно изобразить , используя в качестве вершин четыре вершины квадрата ? .
4 Перечислите , какие из линий являются	ломаными	.
Примеры	ломаных	.
Нарисуйте несколько	ломаных	из трёх звеньев с самопересечением с концами в этих точках .
Вы вспомните о	ломаных	и их длинах , узнаете о некоторых особенностях ломаных .
6 Какие из	ломаных	являются простыми ? .
1.3 На плоскости задан	луч	АВ .
Числовой	луч	.
4 Как можно задать	луч	? .
1.1 На плоскости задан	луч	АВ .
2.4 В полуплоскости а проведён некоторый	луч	АВ , и в этой полуплоскости нужно изобразить угол САB величиной от 0 ° до 180 ° .
Возьмём любой	луч	АВ .
12 Сколько общих точек со сторонами треугольника может иметь	луч	, начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
1 Что такое	луч	? .
Так как	луч	— неограниченная фигура , то такое построение возможно всегда , какова бы ни была исходная длина .
Из вершины В провели	луч	BD так , что ACBD 45 ° .
1.2 На плоскости задан	луч	АВ .
11 Сколько общих точек с окружностью может иметь	луч	, начало которого лежит : а ) внутри круга ; б ) вне круга ; в ) на окружности ? .
2 Что такое числовой	луч	? .
Почему	луч	не может быть равен отрезку ? .
На плоскости задан	луч	АВ .
Угол в 0 ° — это просто	луч	.
9 Дан	луч	АВ .
8 Изобразите	луч	АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию луча АВ в	луч	PQ ; б ) копию луча АВ в луч МР ; в ) копию луча МР в луч PQ ? .
Если взять	луч	АВ и на нём некоторую точку Р , не совпадающую с началом , то луч АР — это тот же самый луч , что и АВ .
Один и тот же	луч	можно задавать различными способами .
Если взять луч АВ и на нём некоторую точку Р , не совпадающую с началом , то луч АР — это тот же самый	луч	, что и АВ .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён	луч	ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой	луч	ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
2 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён	луч	ΝΡ так , что .
Из того же отрезка АВ можно получить другой	луч	, если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал	луч	АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён	луч	ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую геометрическую фигуру —	луч	АВ .
4 Пользуясь таблицей разрядных единиц , запишите названия соответствующих величин : а ) удар сердца человека длится примерно 1 с ; б )	луч	света идёт от Солнца до Земли около 498 с ; в ) полный оборот Земли вокруг Солнца длится 31 472 009 с ; г ) время существования жизни на Земле от момента зарождения до наших дней примерно равняется 100 000 000 000 000 000 с .
Например ,	луч	АВ можно обозначить через AM , а луч ВА — через ВМ .
Например , луч АВ можно обозначить через AM , а	луч	ВА — через ВМ .
Как один и тот же	луч	обозначить пятью разными способами ? .
б ) Какие из них содержат	луч	CD ? .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить	луч	BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Построенный таким образом	луч	является продолжением отрезка АВ за точку В. Точка А называется началом луча .
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию луча АВ в луч PQ ; б ) копию луча АВ в	луч	МР ; в ) копию луча МР в луч PQ ? .
Если взять луч АВ и на нём некоторую точку Р , не совпадающую с началом , то	луч	АР — это тот же самый луч , что и АВ .
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию луча АВ в луч PQ ; б ) копию луча АВ в луч МР ; в ) копию луча МР в	луч	PQ ? .
Проведём из его вершины	луч	ОС так , чтобы углы АОС и СОВ были равными .
1.1 Изображён отрезок АВ и	луч	ΜΝ , на котором отмечено несколько точек .
1 Чем отличаются	луч	и прямая ? .
Прямая , так же как и	луч	, обозначается не единственным способом .
1 Каждое перемещение любой	луч	переводит в луч .
Почему прямая и	луч	не равны как геометрические фигуры ? .
1 Каждое перемещение любой луч переводит в	луч	.
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию луча АВ в луч PQ ; б ) копию	луча	АВ в луч МР ; в ) копию луча МР в луч PQ ? .
4 От любого	луча	можно отложить плоский угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
2.4 Изображены три	луча	с началом А. Какие из указанных углов не нарисованы ? .
2.2 Изображены четыре точки и отрезок АВ , являющийся частью	луча	АВ .
Нарисуйте три различных	луча	, проходящих через данные точки .
Итак , изобразив на плоскости два различных	луча	с общим началом , мы получим три геометрические фигуры , называемые углами .
Сколько может быть таких углов в зависимости от положения	луча	АВ и от заданной величины угла ? .
Для любого	луча	выполняется ещё одно важное свойство : если на луче АВ взять две различные точки М и Ν , то все точки отрезка ΜΝ тоже будут расположены на луче АВ .
Надо иметь в виду , что угол как два	луча	на плоскости и угол как соответствующая части плоскости — разные геометрические фигуры .
1.1 Определение	луча	.
В конце главы вводятся важные понятия числовой прямой и числового	луча	.
2 Любые два	луча	равны между собой как геометрические фигуры .
Поэтому АВ и АР будут обозначениями одного и того же	луча	.
15 Даны два луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Найдите общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти	луча	.
15 Даны два	луча	ОА и ОВ с общей вершиной О. Найдите общую часть всех полуплоскостей , содержащих оба эти луча .
5 Как вы понимаете неограниченность	луча	? .
3 Как по обозначению	луча	выяснить , где расположено его начало ? .
Изображены два	луча	АВ и АС и пять точек .
Почему от любого	луча	можно отложить только два различных угла величиной в 90 ° ? .
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию	луча	АВ в луч PQ ; б ) копию луча АВ в луч МР ; в ) копию луча МР в луч PQ ? .
Из вершины А провели два различных	луча	АС и AD , образующие с лучом АВ углы в 45 ° .
Какой из указанных отрезков	луча	ΜΝ равен отрезку АВ ? .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два	луча	с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
1.3 На сколько частей разделяют плоскость три различных	луча	с общей вершиной ?
Выбирая на плоскости другую точку и проводя два различных	луча	с началом в этой точке , получим другой угол .
Справедливо следующее свойство прямой : любая точка прямой делит её на два	луча	с началом в этой точке .
14 Какие перемещения копии рисунка переводят : а ) копию луча АВ в луч PQ ; б ) копию луча АВ в луч МР ; в ) копию	луча	МР в луч PQ ? .
11 Сколько углов заданной величины можно отложить от заданного	луча	? .
Из этих свойств вытекает , что если два	луча	различаются расположением на плоскости , то « копию » одного из них можно переместить так , чтобы она совпала с другим лучом .
Поставим одну его ножку в начало	луча	, а второй ножкой опишем окружность .
Вы знаете , что два	луча	с общей вершиной определяют два плоских угла .
2 Что такое начало	луча	? .
10 Как от данного	луча	отложить угол заданной величины ? .
При обозначении	луча	его начало всегда пишут на первом месте .
Построенный таким образом луч является продолжением отрезка АВ за точку В. Точка А называется началом	луча	.
Луч этой числовой прямой от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого	луча	— положительным направлением .
Рассмотрим два различных отрезка АВ и АС с общим концом А. Углом между отрезками АВ и АС будем называть угол между	лучами	АВ и АС .
Такие лучи называются противоположными	лучами	данной прямой .
Определению угла удовлетворяет фигура , образованная противоположными	лучами	TS и TU одной и той же прямой .
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными	лучами	одной прямой .
1.1 Угол между	лучами	с общей вершиной .
Рассмотрим на листе бумаги угол АОВ , образованный	лучами	ОА и ОВ .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный	лучами	АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными	лучами	с общим началом , будем называть плоским углом .
13 Как тремя	лучами	разделить плоскость на четыре части ? .
Как называется и обозначается фигура , образованная вершиной В и	лучами	ВА и ВО ? .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими	лучами	и содержащий данный треугольник .
Градусной мерой угла между двумя	лучами	с общим концом будем считать градусную меру соответствующего плоского угла .
Обозначим через О точку пересечения прямых и выберем точки А , В , С , D на разных	лучах	, выходящих из точки О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
9 На числовом	луче	с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Для любого луча выполняется ещё одно важное свойство : если на	луче	АВ взять две различные точки М и Ν , то все точки отрезка ΜΝ тоже будут расположены на луче АВ .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на	луче	АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
8 На числовом	луче	с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
Все лучи обладают следующим важным свойством : на любом	луче	от его начала можно отложить отрезок любой заданной длины .
Отложим на этом	луче	отрезок ОЕ .
1.3 Расстояние между точками А и В равно 18 см. Сколько имеется на	луче	АВ различных точек М таких ? .
Какие из указанных точек лежат на	луче	АВ ? .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом	луче	? .
Для любого луча выполняется ещё одно важное свойство : если на луче АВ взять две различные точки М и Ν , то все точки отрезка ΜΝ тоже будут расположены на	луче	АВ .
Возьмём на луче произвольную точку М. Как отложить от этой точки отрезок данной длины , целиком лежащий на	луче	?
Можно ли отложить на	луче	АВ отрезок длины 1 км так , чтобы один из концов отрезка совпал с точкой А ? .
1.2 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько имеется на	луче	АВ различных точек М ? .
Возьмём на	луче	произвольную точку М. Как отложить от этой точки отрезок данной длины , целиком лежащий на луче ?
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на	луче	АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
Эта окружность отсечёт на	луче	отрезок АВ данной длины .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом	луче	? .
Какие пары указанных точек лежат на одном	луче	этой прямой с началом D ? .
7 Каковы свойства	лучей	при перемещениях ? .
Видно , что получается совокупность	лучей	с началом в точке А .
1.4 На отрезке АВ выбрана точка С. Сколько среди	лучей	АВ , ВА , ВС , СВ , АС , СА различных фигур ? .
Какой отрезок является общим для	лучей	АВ и ВА ? .
1.2 Способы задания	лучей	.
1.4 Перемещение	лучей	.
2.3 Пучок	лучей	и противоположные лучи .
Сколько среди	лучей	АВ , АС , СВ , ВА , ВС , СА различных фигур ? .
Какие из указанных	лучей	совпадают с лучом ВС ? .
7 Какие из	лучей	— АВ , CD и MN пересекаются , а какие — нет ?
Взятые все вместе , точки этих	лучей	образуют новую геометрическую фигуру .
Какие из указанных	лучей	пересекают отрезок АВ ? .
5 Какую геометрическую фигуру образуют точки всех	лучей	: а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Выберем на прямой один из	лучей	с началом в точке О , направленный в сторону стрелки .
1.3 Свойства	лучей	.
4 Сколько существует различных	лучей	, начинающихся в данной точке А ? .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько	лучей	с началом в точке А. Какие из указанных углов прямые ? .
Сколько существует разных	лучей	, проходящих через данные точки ? .
Какие два из указанных	лучей	пересекаются ? .
6 Какие свойства	лучей	вам известны ? .
12 Сколько можно провести через две различные точки : а ) прямых ; б )	лучей	? .
4 Три прямые попарно пересекаются в точках А , В и С. Сколько	лучей	начинается в этих точках и лежит на данных прямых ? .
2.4 Изображены отрезки	лучей	АВ , CD , MN , KL .
В одной полуплоскости относительно прямой АВ провели	лучи	АС и AD так , что ∠BAC 22 ° , ∠BAD 112 ° .
Все	лучи	обладают следующим важным свойством : на любом луче от его начала можно отложить отрезок любой заданной длины .
Такие	лучи	называются противоположными лучами данной прямой .
В этой главе вы узнаете про неограниченные геометрические фигуры —	лучи	и прямые .
Точка О называется вершиной угла , а	лучи	ОА и ОВ называются его сторонами .
Рассмотрим на плоскости точку О и изобразим	лучи	ОА и ОВ с началом в точке О .
2.3 Пучок лучей и противоположные	лучи	.
Рассмотрим	лучи	АВ и ВА .
Для любого угла образующие его	лучи	делят плоскость на две части .
1.4 На плоскости заданы	лучи	АВ и АС .
В разных полуплоскостях относительно прямой АВ провели	лучи	АС и AD так , что ∠BAC 38 ° , ∠BAD 142 ° .
В одной полуплоскости относительно прямой АВ провели	лучи	АС и AD так , что Чему равна величина угла CAD ? .
4 Какие	лучи	называются противоположными ? .
Из точки С этой прямой провели	лучи	CD и СЕ .
В разных полуплоскостях относительно прямой АВ провели	лучи	АС и AD так , что .
Проведём в полуплоскости а различные	лучи	АС , AD , АЕ с началом в точке А. Измерим ABAC , ABAD , АВАЕ .
6 На отрезке АВ отмечены точки С и D так , что С лежит между А и D . а ) Какие	лучи	с началом в одной из точек А , В , С и D содержат отрезок CD ? .
Из вершины А провели два различных луча АС и AD , образующие с	лучом	АВ углы в 45 ° .
Какие из указанных лучей совпадают с	лучом	ВС ? .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим	лучом	.
Луч этой числовой прямой от нуля в сторону стрелки называется числовым	лучом	, а направление этого луча — положительным направлением .
Из этих свойств вытекает , что если два луча различаются расположением на плоскости , то « копию » одного из них можно переместить так , чтобы она совпала с другим	лучом	.
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный	лучу	ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
1.4 Дана таблица отметок , которые ученик получал в течение недели по математике , литературе , биологии и географии , причём знаком «	минус	» отмечено отсутствие отметки по предмету за соответствующий день .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать градусов ниже нуля » или «	минус	двадцать градусов » .
Например , температуру 20 градусов ниже нуля можно указать числом -20 ( читается : «	минус	двадцать » ) градусов .
а ) семь градусов ниже нуля ; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г )	минус	пять градусов .
одна четверть часа ; 4 )	минус	двенадцать градусов .
Числа «	минус	одна десятая » и « одна десятая » противоположны друг другу .
Отрицательные числа записываются со знаком « - » , то есть «	минус	» , перед соответствующим числом .
Такое название прочно вошло в математику , когда обнаружилось , что существуют другие числовые системы , например	мнимые	или комплексные числа .
3 Как умножаются	многозначные	числа ?
7 По какому правилу вычитают	многозначные	числа ?
Как и в случае со сложением , таблицы вполне достаточно , чтобы вычислять произведения любых	многозначных	чисел .
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых	многозначных	чисел , используя таблицу умножения однозначных чисел .
4 Как складывают « столбиком » два	многозначных	числа ?
2 Умножение	многозначных	чисе .
Сложение	многозначных	чисел .
11 Изобразите	многоугольник	с десятью сторонами .
10 Изобразите	многоугольник	с шестью сторонами .
26 На клетчатой бумаге в квадрате со стороной в 101 шаг сетки нарисован большой	многоугольник	по такому же принципу , по какому нарисован многоугольник внутри квадрата со стороной в 7 шагов .
26 На клетчатой бумаге в квадрате со стороной в 101 шаг сетки нарисован большой многоугольник по такому же принципу , по какому нарисован	многоугольник	внутри квадрата со стороной в 7 шагов .
Найдите периметр большого	многоугольника	в шагах сетки .
2.2 Какие из записей являются обозначениями	многоугольника	? .
Это два разных	многоугольника	.
Точно так же определяется периметр любого	многоугольника	.
Периметром	многоугольника	называется сумма длин всех его сторон .
2.1 Какие из записей не являются обозначениями	многоугольника	? .
7 Запишите тремя различными способами обозначение	многоугольника	.
Как определяется площадь	многоугольника	.
12 Найдите число сторон и число вершин	многоугольника	.
Рассмотренные примеры показывают , что нужно внимательно следить за порядком перечисления вершин	многоугольника	.
9 Что называется периметром	многоугольника	? .
Сторона	многоугольника	.
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков ( сторон	многоугольника	) .
Сейчас важно понять , что соседние стороны	многоугольника	могут выходить из соответствующей вершины по - разному .
Периметр	многоугольника	.
9 Запишите тремя различными способами обозначение	многоугольника	.
Чем отличаются соседние вершины	многоугольника	от несоседних ? .
11 Можно ли в обозначении	многоугольника	произвольно менять порядок перечисления его вершин ? .
7 Какие стороны	многоугольника	называются соседними или смежными ? .
6 Запишите тремя различными способами обозначение	многоугольника	.
В задачах о вычислении площади	многоугольника	всегда имеют в виду площадь ограниченной им многоугольной области .
8 Запишите тремя различными способами обозначение	многоугольника	.
Примерами отрезков могут служить стороны квадрата , треугольника и любого	многоугольника	.
Вершина	многоугольника	.
Какие	многоугольники	можно сложить из них , совмещая целиком некоторые стороны этих прямоугольников ? .
Какие	многоугольники	можно из них сложить , совмещая целиком некоторые стороны этих треугольников ? .
Треугольники , четырёхугольники — это тоже	многоугольники	, но с определённым числом вершин .
б ) Какие	многоугольники	имеют разную площадь ? .
Это треугольники , четырёхугольники и другие	многоугольники	.
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим числом вершин , имеющие общие названия —	многоугольники	.
Какие	многоугольники	можно сложить из них , совмещая целиком некоторые стороны этих ромбов ? .
2.7 Особенности обозначения	многоугольников	.
Можно сложить 5	многоугольников	разного вида .
17 а ) Какие два из трёх	многоугольников	имеют равную площадь ? .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об углах треугольника , углах четырёхугольника и углах других	многоугольников	.
Сколько различных	многоугольников	можно из них сложить , целиком совмещая стороны ? .
Можно сложить 7	многоугольников	разного вида .
Вы научитесь вычислять площади	многоугольников	с вершинами в узлах клетчатой бумаги .
Полученную фигуру назовём	многоугольником	, если выполняются свойства .
Натуральные числа составляют часть всего	множества	целых чисел .
Всякий раз , когда нужно сообщить , что в некотором	множестве	или наборе нет ни одного элемента или объекта , говорят , что число этих объектов равно нулю .
Нетрудно проверить , что действие не определено в	множестве	натуральных чисел , потому что нет такого натурального числа х , для которого бы выполнялось равенство .
Какое	множество	различных способов решения этой задачи вы можете предложить ? .
Теперь 10 встречается	множителем	трижды , и произведение кратко записывают как 103 .
Можно поступить наоборот — считать	множители	при степенях числа 4 « цифрами » нового способа записи чисел и писать только эти « цифры » .
5 Какой закон позволяет вынести	множитель	за скобки ? .
Какой	множитель	можно вынести за скобки в выражении ? .
1.8 При делении можно « вычёркивать » один и тот же	множитель	в делимом и делителе .
В равенстве правая часть получается из левой вычёркиванием	множителя	k .
4 В чём состоит вынесение за скобки	множителя	?
Применение распределительного закона в таком виде обычно называют « вынесением	множителя	за скобки » .
Если известно , что солнце восходит в 5 часов 54 минуты , а наши часы в этот	момент	показывают 5 часов 30 минут , значит , часы отстают .
Таким образом , ни одно из известных нам в данный	момент	чисел 0 , 1,2 , 3 не может быть разностью .
Это значит , что скорость движения в данный	момент	больше 90 км / ч и меньше 100 км / ч .
Мы не раз пользовались таблицами , чтобы в нужный	момент	можно было найти требуемую величину и не тратить время на её вычисление .
В приведённом примере 1 400 000 человек — значение численности жителей с недостатком , а 1 600 000 человек — с избытком в указанный	момент	времени .
В данном случае можно сказать , что 1 час 12 минут — это значение определяемого	момента	времени с недостатком , а 1 час 24 минуты — это значение определяемого момента времени с избытком .
В данном случае можно сказать , что 1 час 12 минут — это значение определяемого момента времени с недостатком , а 1 час 24 минуты — это значение определяемого	момента	времени с избытком .
4 Пользуясь таблицей разрядных единиц , запишите названия соответствующих величин : а ) удар сердца человека длится примерно 1 с ; б ) луч света идёт от Солнца до Земли около 498 с ; в ) полный оборот Земли вокруг Солнца длится 31 472 009 с ; г ) время существования жизни на Земле от	момента	зарождения до наших дней примерно равняется 100 000 000 000 000 000 с .
С левой стороны в каждом столбце после разрядной единицы получается сумма цифр , равная 9 , до того	момента	, пока не доберемся до самого правого столбца единиц .
Например , если стало известно , что « на ускорителе	мощностью	10 ГэВ обнаружена новая частица с массой покоя 3 ГэВ » , то такая фраза будет понятна не всем , а только интересующимся современной физикой .
В итоге все столбцы рассмотрены , разность	найдена	и равна числу , записанному под чертой .
Достаточно хорошим является приближение ,	найденное	Архимедом ( 287–212 до н .
Запишем	найденные	числа « уголком » и выполним вычитание .
Записав	найденные	числа « уголком » и выполнив вычитание , получим 79 .
Подставляя	найденные	числа , получим .
Запишем	найденные	числа и продолжим деление « уголком » .
Показано , как выглядит	найденный	кратчайший путь по отношению к комнате .
Делим	найденный	объём 150 на вместимость одного мешка 50 и получаем 3 .
Сложим уменьшаемое с	найденным	дополнением .
Площадь S четырёхугольника ABCD равна сумме	найденных	площадей треугольников , поэтому .
Общее число книг равно сумме	найденных	выражений , то есть .
Если для двух величин	найдены	числовые значения , выраженные в одних и тех же единицах , то большей является та величина , которой соответствует большее числовое значение .
Цифры каких разрядов	найдены	неверно ? .
8 Среди чисел 23 , 11 , 29 , 17 , 31 , 19	найдите	наибольшее , которое меньше 22 .
16 По формуле t	найдите	время , за которое можно преодолеть : а ) 174 км со скоростью 58 км / ч ; б ) 3600 м со скоростью 40 м / мин .
13 С помощью линейки	найдите	точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
6 С помощью калькулятора	найдите	и запишите приближённое значение длины стороны квадрата , площадь которого равна .
Составьте выражение для общего числа посаженных деревьев и	найдите	его значение при .
23 Используя сочетательный закон ,	найдите	суммы чисел .
С помощью линейки	найдите	такую точку С , что .
Приняв длину Оби за 100 % ,	найдите	длины остальных рек в процентах с точностью до 0,1 % .
6 Отметьте на бумаге две точки и с помощью линейки	найдите	расстояние между ними в сантиметрах и миллиметрах .
Составьте выражение для общего числа учеников и	найдите	его значение .
5 Нарисуйте какую - либо фигуру , ограниченную отрезками с концами в узлах клетчатой бумаги , и	найдите	её площадь .
Сделайте чертеж на клетчатой бумаге и	найдите	площадь каждого треугольника .
Измерьте величину угла , величины углов и	найдите	сумму углов .
С помощью линейки	найдите	точки пересечения .
3 Для натуральных k и l	найдите	остатки при делении на 10 суммы и произведения натуральных чисел вида .
Используя операцию умножения ,	найдём	решение этой задачи .
Площадь площадки	найдём	по формуле с избытком .
Сначала	найдём	число полок : 11 .
Запишем 25 в виде и	найдём	в таблице самое большое число , не превосходящее 9 .
Пусть известно , что с = 17 см , b = 15 см. Подставляя эти значения в полученную формулу ,	найдём	.
Сначала	найдём	число книг в первом шкафу , получим 12 - 6 книг .
Затем	найдём	число книг во втором шкафу , получим книг .
Среди чисел нижней строки таблицы	найдём	самое большое число , которое не превосходит 25 .
Остаётся	найти	сумму чисел , записанных под чертой с учётом разрядов , и получится нужный результат .
2.3 Какие из указанных чисел можно	найти	в таблице квадратов двухзначных чисел ? .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/. Найти m% от величины а — это значит	найти	её 1 % и результат умножить на число т .
Разделить число а на 2 с остатком — это значит	найти	такие числа q и n , что , причём .
Достаточно вспомнить одно из своих дальних путешествий ,	найти	его на карте и сравнить с длиной экватора .
3 Как	найти	расстояние на местности , если оно известно на карте с данным масштабом ? .
Предположим , что , и попытаемся	найти	разность .
4 Как	найти	масштаб карты , если известно реальное расстояние между двумя изображёнными на ней пунктами ? .
Разность между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению площади треугольника , измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет	найти	более точный результат .
Постарайтесь	найти	наиболее простой способ вычисления .
3 Как можно	найти	градусную меру суммы трёх углов ? .
Значит , в начале 2009 года рост гномика равнялся 30 см. Чтобы узнать , на сколько он вырос в 2009 году , нужно	найти	40 % от 30 см .
В качестве примера применения неравенства треугольника рассмотрим задачу , где нужно	найти	самый короткий путь .
Как	найти	сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда , зная его измерения ? .
Выясним , как	найти	приближённые значения площади этого треугольника с избытком и недостатком при помощи метода , описанного в предыдущем пункте .
Таким образом , введение более мелкой « сетки » квадратов позволяет	найти	более точный результат .
11 Как	найти	разность двух дробей с разными знаменателями ? .
Как	найти	один процент от одного процента некоторой величины а ? .
Как	найти	остаток при делении числа 1994 на 6 , используя равенство .
1 а ) Можно ли	найти	два равных прямоугольных треугольника ?
Рассмотрим ещё одну задачу , в которой требуется	найти	кратчайший путь .
5 Как	найти	величину а , если известно значение т% от а ? .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и	найти	величину одной такой части .
Корень этого уравнения можно	найти	подбором .
Решить такое уравнение — значит	найти	число , зная квадрат этого числа .
Иногда ставится обратная задача : зная площадь квадрата , нужно	найти	его сторону .
1 Как	найти	неизвестный сомножитель .
Вы сможете	найти	последнюю цифру числа 2100 и научитесь простому способу записи натуральных чисел в различных системах счисления .
Углы какой величины , образованные сторонами угольников , можно	найти	? .
Часто возникают задачи , когда известны сумма двух слагаемых и одно из них , а другое слагаемое требуется	найти	.
Мы не раз пользовались таблицами , чтобы в нужный момент можно было	найти	требуемую величину и не тратить время на её вычисление .
Разделить с остатком число а на число b — значит	найти	такие числа q и r , что .
Как	найти	в этой задаче процентное содержание воды в свежих грибах , если известно , что в сушёных грибах 1 % воды ? .
Чтобы	найти	корень этого уравнения , нужно подобрать такое число х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из числа .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно	найти	его площадь в соответствующих единицах измерения .
5 Как	найти	десятичные приближения натурального числа с точностью до 10 m ? .
1 Что значит «	найти	квадратный корень из числа » ? .
Иными словами , умножить а на натуральное число b — значит	найти	сумму b одинаковых слагаемых , равных а .
Приближённое значение можно	найти	с помощью таблицы квадратов натуральных чисел .
В частности , на пятом шаге по схеме деления нужно подобрать число 0,000003 ;	найти	произведение и выполнить вычитание .
Например , как	найти	.
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого	натурального	числа n разность между последующим числом и самим числом n равна 1 .
Заметим также , что для любого	натурального	числа выполняется равенство .
б ) Чему равен остаток при делении произвольного	натурального	числа на 100 ? .
Кубический корень из	натурального	числа часто оказывается нецелым числом .
Чему равен остаток при делении произвольного	натурального	числа на 10 ? .
Второй важный случай замены	натурального	числа его приближённым значением связан с указанием порядка величины числа .
2.4 Какие из указанных чисел можно представить в виде квадрата	натурального	числа ? .
Для их выделения из	натурального	ряда с древних времён известен способ под названием « решето Эратосфена » .
Иногда такого	натурального	х может и не существовать .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого	натурального	числа n разность между последующим числом и числом 1 равна числу n .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления	натурального	числа m на натуральное число n .
Тем самым для каждого	натурального	числа можно указать разрядную единицу того же порядка .
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве натуральных чисел , потому что нет такого	натурального	числа х , для которого бы выполнялось равенство .
Для любого	натурального	числа к выполняется равенство при этом .
Чему равно дополнение	натурального	числа 53 до 1 000 000 ? .
Для каждого	натурального	числа k обозначим выражение к через ( читается « ка третьих » ) .
2 Почему произведение любого	натурального	числа на чётное будет чётным ? .
Таким образом , для нуля и любого	натурального	числа выполняются равенства .
Частное от деления	натурального	числа m на натуральное число n определяется как решение уравнение .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для	натурального	числа к определить дробь которую иногда называют дробным числом или числом .
Аналогичные рассуждения можно провести для любого	натурального	числа k .
Продолжая эту процедуру , для любого	натурального	числа к получим точку , обозначаемую через .
Если число а делится нацело на число m , то для любого	натурального	числа b произведение делится нацело на число m .
Как и в случае степени числа 10 , для	натурального	числа а договариваются использовать обозначения .
Это позволяет получить простое правило умножения	натурального	числа на 10 .
Какое число является разностью чисел и n для	натурального	числа n ? .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде произведения	натурального	числа и числа 10 .
Аналогично для любого	натурального	числа можно рассмотреть деление отрезка [ 0 ; 1 ] на n равных частей .
Обычно для	натурального	числа находят дополнение до ближайшей большей разрядной единицы .
Квадрат какого наибольшего	натурального	числа можно точно вычислить на таком калькуляторе ? .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого	натурального	числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
2.2 Умножение	натурального	числа на степени числа 10 .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде	натурального	числа или в виде десятичной дроби .
1.4 Какой наибольший остаток может получиться при делении	натурального	числа на 27 ? .
Число 0 можно также рассматривать как дробь вида , причём для любого	натурального	числа n .
Число r называется остатком , при делении	натурального	числа а на b. Число q называется неполным частным .
Может ли при делении с остатком некоторого	натурального	числа на произведение получиться остаток 134 ? .
2.4 Какие из указанных значений площади в квадратных метрах можно записать в виде	натурального	числа ? .
Например , цифра нуль в десятичной записи	натурального	числа означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
6 Как определяется порядок	натурального	числа ? .
2 Какие остатки могут получиться при делении	натурального	числа .
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи	натурального	числа показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Это позволяет быстро находить произведение	натурального	числа и степени числа 10 .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого	натурального	числа q.
12 Как определяется сумма	натурального	числа и единицы ? .
Для любого	натурального	числа к на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; k ] длиной k.
1.3 Деление нацело одного	натурального	числа на другое .
1.5 Для любого	натурального	числа т частное равно 0 .
2.3 Какие из приведённых выражений являются квадратом некоторого	натурального	числа ? .
5 Как найти десятичные приближения	натурального	числа с точностью до 10 m ? .
2.4 Какие из указанных значений площади в квадратных метрах можно записать в виде	натурального числа	? .
Аналогично для любого	натурального числа	можно рассмотреть деление отрезка [ 0 ; 1 ] на n равных частей .
Это позволяет получить простое правило умножения	натурального числа	на 10 .
Какое число является разностью чисел и n для	натурального числа	n ? .
Для каждого	натурального числа	k обозначим выражение к через ( читается « ка третьих » ) .
б ) Чему равен остаток при делении произвольного	натурального числа	на 100 ? .
Частное от деления	натурального числа	m на натуральное число n определяется как решение уравнение .
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве натуральных чисел , потому что нет такого	натурального числа	х , для которого бы выполнялось равенство .
Продолжая эту процедуру , для любого	натурального числа	к получим точку , обозначаемую через .
Чему равно дополнение	натурального числа	53 до 1 000 000 ? .
Для любого	натурального числа	к выполняется равенство при этом .
Число r называется остатком , при делении	натурального числа	а на b. Число q называется неполным частным .
Например , цифра нуль в десятичной записи	натурального числа	означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
Таким образом , для нуля и любого	натурального числа	выполняются равенства .
1.3 Деление нацело одного	натурального числа	на другое .
12 Как определяется сумма	натурального числа	и единицы ? .
Чему равен остаток при делении произвольного	натурального числа	на 10 ? .
2 Почему произведение любого	натурального числа	на чётное будет чётным ? .
Аналогичные рассуждения можно провести для любого	натурального числа	k .
Если число а делится нацело на число m , то для любого	натурального числа	b произведение делится нацело на число m .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде	натурального числа	или в виде десятичной дроби .
Число 0 можно также рассматривать как дробь вида , причём для любого	натурального числа	n .
Это позволяет быстро находить произведение	натурального числа	и степени числа 10 .
Как и в случае степени числа 10 , для	натурального числа	а договариваются использовать обозначения .
Квадрат какого наибольшего	натурального числа	можно точно вычислить на таком калькуляторе ? .
6 Как определяется порядок	натурального числа	? .
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи	натурального числа	показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Обычно для	натурального числа	находят дополнение до ближайшей большей разрядной единицы .
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого	натурального числа	n разность между последующим числом и самим числом n равна 1 .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде произведения	натурального числа	и числа 10 .
Кубический корень из	натурального числа	часто оказывается нецелым числом .
5 Как найти десятичные приближения	натурального числа	с точностью до 10 m ? .
2 Какие остатки могут получиться при делении	натурального числа	.
Для любого	натурального числа	к на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; k ] длиной k.
2.4 Какие из указанных чисел можно представить в виде квадрата	натурального числа	? .
2.3 Какие из приведённых выражений являются квадратом некоторого	натурального числа	? .
Тем самым для каждого	натурального числа	можно указать разрядную единицу того же порядка .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого	натурального числа	k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
1.4 Какой наибольший остаток может получиться при делении	натурального числа	на 27 ? .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого	натурального числа	n разность между последующим числом и числом 1 равна числу n .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления	натурального числа	m на натуральное число n .
Может ли при делении с остатком некоторого	натурального числа	на произведение получиться остаток 134 ? .
Заметим также , что для любого	натурального числа	выполняется равенство .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого	натурального числа	q.
1.5 Для любого	натурального числа	т частное равно 0 .
2.2 Умножение	натурального числа	на степени числа 10 .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для	натурального числа	к определить дробь которую иногда называют дробным числом или числом .
Второй важный случай замены	натурального числа	его приближённым значением связан с указанием порядка величины числа .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же	натуральное	число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Числа -1 , 0 и любое	натуральное	число не могут быть корнями этого уравнения .
1 В каких случаях говорят , что целое число а делится на	натуральное	число b без остатка ? .
Всякое	натуральное	число , записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Деление десятичной дроби на	натуральное	число похоже на деление натуральных чисел .
Если некоторое	натуральное	число дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Число	натуральное	.
Сколько нужно знать слов , чтобы можно было назвать любое	натуральное	число от 1 до 99 ? .
При умножении величины на	натуральное	число n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
3 Как определяется частное при делении дроби на	натуральное	число ? .
Нетрудно научиться вычитать	натуральное	число из разрядной единицы .
Какое	натуральное	число изображается точкой В , которая расположена от точки А на расстоянии 333 ? .
Какое	натуральное	число следует за числом 399 ? .
Пусть m —	натуральное	число .
Частное от деления натурального числа m на	натуральное	число n определяется как решение уравнение .
Как прочитать	натуральное	число , следующее за числом , равным 11 десяткам ? .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления натурального числа m на	натуральное	число n .
5 Деление десятичной дроби на	натуральное	число .
1 Как записывают	натуральное	число в десятичной системе счисления ? .
По определению делимости можно написать а , где х некоторое	натуральное	число .
Найдите наибольшее	натуральное	число , которое меньше всех указанных .
Напомним , что операция умножения на	натуральное	число возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных слагаемых .
Какое из чисел делится нацело на любое	натуральное	число ? .
Любое	натуральное	число можно записать при помощи разрядных единиц , используя числа , соответствующие цифрам .
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что	натуральное	число а делится на b без остатка .
Иными словами , умножить а на	натуральное	число b — значит найти сумму b одинаковых слагаемых , равных а .
4 По какому правилу можно разделить десятичную дробь на	натуральное	число ? .
Частным при делении а на	натуральное	число n называется число , равное .
Говорят , что натуральное число а делится нацело на	натуральное	число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Таким образом , сначала есть	натуральное	число 1 , за ним следует число , затем — число и так далее .
Частное при делении любого дробного числа на	натуральное	определяется похожим образом .
Вспомним , как делить	натуральное	число на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
1.6 Середины отрезков вида [ 0 ; k ] , где k —	натуральное	число .
Чему равно	натуральное	число , если его значения с избытком и недостатком равны соответственно 17 и 15 ? .
2 Как определяется умножение любого числа а на	натуральное	число b ? .
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем	натуральное	число .
Значит , никакое	натуральное	число решением уравнения .
5.3 Схема деления уголком десятичной дроби на	натуральное	число .
В результате получится следующее за n	натуральное	число .
Как и для натуральных чисел , при делении десятичной дроби на	натуральное	число вычисления записывают уголком .
Число 0 и любое	натуральное	число не являются корнями этого уравнения .
2 Как записывают	натуральное	число в системе счисления с основанием 2 ? .
Возьмём	натуральное	число а , в записи которого n десятичных знаков .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на	натуральное	число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Укажите наименьшее	натуральное	число , которое больше всех заданных .
Натуральное число m разделим на	натуральное	число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Итак , умножение числа а на	натуральное	число b определяется по правилам .
Вспомним , как делить натуральное число на	натуральное	число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Следовательно , всякое чётное число представляется в виде 2q , а нечётное — в виде , где q — какое - то	натуральное	число .
5.1 Связь между делением величины на	натуральное	число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
5.2 Пример деления десятичной дроби на	натуральное	число .
Говорят , что	натуральное	число а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же	натуральное	число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Иногда удобно рассматривать	натуральное	число k как дробь и так далее .
Разделить десятичную дробь на	натуральное	число и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n числа 1 мы получаем следующее	натуральное	число .
Если прибавить к b какое - нибудь	натуральное	число n , то сумма окажется больше b и , следовательно , больше а .
Вместо числа 32 519 можно взять любое другое	натуральное	число и разложить его по степеням десяти .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное число n уже определено , то следующее за ним	натуральное	число равно числу .
В такой формулировке приведённое правило иногда называют сокращением знаменателя и числителя на одно и то же	натуральное	число .
3 Как записывают	натуральное	число в системе счисления с основанием 4 ? .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое	натуральное	число n уже определено , то следующее за ним натуральное число равно числу .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на	натуральное число	n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
5.3 Схема деления уголком десятичной дроби на	натуральное число	.
1.6 Середины отрезков вида [ 0 ; k ] , где k —	натуральное число	.
Таким образом , сначала есть	натуральное число	1 , за ним следует число , затем — число и так далее .
Какое	натуральное число	изображается точкой В , которая расположена от точки А на расстоянии 333 ? .
Как и для натуральных чисел , при делении десятичной дроби на	натуральное число	вычисления записывают уголком .
Найдите наибольшее	натуральное число	, которое меньше всех указанных .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое	натуральное число	n уже определено , то следующее за ним натуральное число равно числу .
Укажите наименьшее	натуральное число	, которое больше всех заданных .
Значит , никакое	натуральное число	решением уравнения .
Число 0 и любое	натуральное число	не являются корнями этого уравнения .
Если некоторое	натуральное число	дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления натурального числа m на	натуральное число	n .
Чему равно	натуральное число	, если его значения с избытком и недостатком равны соответственно 17 и 15 ? .
5.1 Связь между делением величины на	натуральное число	n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Частным при делении а на	натуральное число	n называется число , равное .
Числа -1 , 0 и любое	натуральное число	не могут быть корнями этого уравнения .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное число n уже определено , то следующее за ним	натуральное число	равно числу .
Если прибавить к b какое - нибудь	натуральное число	n , то сумма окажется больше b и , следовательно , больше а .
Сколько нужно знать слов , чтобы можно было назвать любое	натуральное число	от 1 до 99 ? .
Возьмём	натуральное число	а , в записи которого n десятичных знаков .
Натуральное число m разделим на	натуральное число	n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
5 Деление десятичной дроби на	натуральное число	.
Иными словами , умножить а на	натуральное число	b — значит найти сумму b одинаковых слагаемых , равных а .
В такой формулировке приведённое правило иногда называют сокращением знаменателя и числителя на одно и то же	натуральное число	.
5.2 Пример деления десятичной дроби на	натуральное число	.
Говорят , что	натуральное число	а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же	натуральное число	, то полученная дробь равна исходной дроби .
Нетрудно научиться вычитать	натуральное число	из разрядной единицы .
1 Как записывают	натуральное число	в десятичной системе счисления ? .
3 Как определяется частное при делении дроби на	натуральное число	? .
Вспомним , как делить	натуральное число	на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Любое	натуральное число	можно записать при помощи разрядных единиц , используя числа , соответствующие цифрам .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же	натуральное число	, то полученная дробь равна исходной дроби .
Иногда удобно рассматривать	натуральное число	k как дробь и так далее .
Вместо числа 32 519 можно взять любое другое	натуральное число	и разложить его по степеням десяти .
Разделить десятичную дробь на	натуральное число	и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
Всякое	натуральное число	, записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Вспомним , как делить натуральное число на	натуральное число	. показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
В результате получится следующее за n	натуральное число	.
Итак , умножение числа а на	натуральное число	b определяется по правилам .
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что	натуральное число	а делится на b без остатка .
Напомним , что операция умножения на	натуральное число	возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных слагаемых .
1 В каких случаях говорят , что целое число а делится на	натуральное число	b без остатка ? .
Как прочитать	натуральное число	, следующее за числом , равным 11 десяткам ? .
2 Как определяется умножение любого числа а на	натуральное число	b ? .
Говорят , что натуральное число а делится нацело на	натуральное число	b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Частное от деления натурального числа m на	натуральное число	n определяется как решение уравнение .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n числа 1 мы получаем следующее	натуральное число	.
Деление десятичной дроби на	натуральное число	похоже на деление натуральных чисел .
3 Как записывают	натуральное число	в системе счисления с основанием 4 ? .
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем	натуральное число	.
При умножении величины на	натуральное число	n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
2 Как записывают	натуральное число	в системе счисления с основанием 2 ? .
Пусть m —	натуральное число	.
Какое из чисел делится нацело на любое	натуральное число	? .
4 По какому правилу можно разделить десятичную дробь на	натуральное число	? .
По определению делимости можно написать а , где х некоторое	натуральное число	.
Какое	натуральное число	следует за числом 399 ? .
Следовательно , всякое чётное число представляется в виде 2q , а нечётное — в виде , где q — какое - то	натуральное число	.
21 Обозначим частное буквой х. Покажите , что при любом	натуральном	к выполняются равенства .
13 Как прибавить 2 или 3 к	натуральному	числу ? .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к	натуральному	числу n числа 1 мы получаем следующее натуральное число .
2.3 Какие из указанных произведений равны	натуральному	числу ? .
Проще всего к любому	натуральному	числу n прибавить единицу .
13 Как прибавить 2 или 3 к	натуральному числу	? .
Проще всего к любому	натуральному числу	n прибавить единицу .
2.3 Какие из указанных произведений равны	натуральному числу	? .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к	натуральному числу	n числа 1 мы получаем следующее натуральное число .
Итак , мы изобразили на числовой прямой некоторые	натуральные	числа и нуль .
2 По какому правилу сравниваются	натуральные	числа , записанные разным количеством цифр ? .
Поэтому	натуральные	числа иногда называют положительными целыми числами .
Десятичные дроби по их записи сравниваются точно так же , как и	натуральные	числа .
Считая предметы , мы используем	натуральные	числа .
Представим себе все	натуральные	числа выписанными в ряд в том порядке , в каком они появляются при последовательном счёте .
2 Какими цифрами обычно записывают	натуральные	числа ? .
4 Укажите все	натуральные	числа , расположенные между числами .
Натуральное число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r -	натуральные	числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Пусть m и n — произвольные	натуральные	числа .
Какие	натуральные	числа можно считать приближёнными значениями с недостатком и с избытком ? .
11 Как можно записать	натуральные	числа в виде дробей ? .
Это позволяет записать и прочитать все	натуральные	числа от 1000 000 до 999 999 999 .
Приведём примеры деления дробных чисел на	натуральные	.
Число 0 ,	натуральные	числа и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
В самом деле , прибавляя к b по очереди 1 , 2 , 3 мы получим всевозможные	натуральные	числа , большие b.
Когда - то	натуральные	числа изображались в виде зарубок , точек , насечек на камнях , костях или деревянных брусках .
3 По какому правилу сравниваются	натуральные	числа , записанные одинаковым количеством цифр ? .
1 Как сравниваются	натуральные	числа по их десятичной записи ? .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются	натуральные	числа , записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные дроби .
13 Напишите наибольшие и наименьшие двузначные , трёхзначные , четырёхзначные , пятизначные и шестизначные	натуральные	числа .
Попробуем сделать простой прибор , помогающий складывать	натуральные	числа .
Все мы с детства учились считать , употребляя при этом	натуральные	числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и так далее .
Тремя цифрами обозначаются и все последующие	натуральные	числа до 999 .
Представим	натуральные	числа 4 и 7 в виде дробей со знаменателем , равным 1 .
Для того чтобы назвать подряд все	натуральные	числа от 1 до 1000 , потребуется много времени .
Выпишем числа в столбик и умножим как	натуральные	, не обращая внимания на запятые .
В младших классах вы уже научились складывать	натуральные	числа .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые	натуральные	числа .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются	натуральные числа	, записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные дроби .
Поэтому	натуральные числа	иногда называют положительными целыми числами .
Попробуем сделать простой прибор , помогающий складывать	натуральные числа	.
Итак , мы изобразили на числовой прямой некоторые	натуральные числа	и нуль .
Это позволяет записать и прочитать все	натуральные числа	от 1000 000 до 999 999 999 .
Считая предметы , мы используем	натуральные числа	.
В младших классах вы уже научились складывать	натуральные числа	.
Все мы с детства учились считать , употребляя при этом	натуральные числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 и так далее .
Натуральное число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r -	натуральные числа	или 0 , причём r обязательно меньше n.
Число 0 ,	натуральные числа	и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
2 Какими цифрами обычно записывают	натуральные числа	? .
11 Как можно записать	натуральные числа	в виде дробей ? .
Представим себе все	натуральные числа	выписанными в ряд в том порядке , в каком они появляются при последовательном счёте .
Десятичные дроби по их записи сравниваются точно так же , как и	натуральные числа	.
Представим	натуральные числа	4 и 7 в виде дробей со знаменателем , равным 1 .
Тремя цифрами обозначаются и все последующие	натуральные числа	до 999 .
1 Как сравниваются	натуральные числа	по их десятичной записи ? .
Какие	натуральные числа	можно считать приближёнными значениями с недостатком и с избытком ? .
Пусть m и n — произвольные	натуральные числа	.
4 Укажите все	натуральные числа	, расположенные между числами .
В самом деле , прибавляя к b по очереди 1 , 2 , 3 мы получим всевозможные	натуральные числа	, большие b.
3 По какому правилу сравниваются	натуральные числа	, записанные одинаковым количеством цифр ? .
Когда - то	натуральные числа	изображались в виде зарубок , точек , насечек на камнях , костях или деревянных брусках .
2 По какому правилу сравниваются	натуральные числа	, записанные разным количеством цифр ? .
Для того чтобы назвать подряд все	натуральные числа	от 1 до 1000 , потребуется много времени .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые	натуральные числа	.
13 Напишите наибольшие и наименьшие двузначные , трёхзначные , четырёхзначные , пятизначные и шестизначные	натуральные числа	.
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к	натуральным	числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
В то же время при рассмотрении других единиц измерения можно получить результат , выраженный	натуральным	числом .
1.3 Как одним	натуральным	числом записать промежуток времени в 2 часа 16 минут ? .
Если , то разность натуральных чисел а и b тоже является	натуральным	числом .
1.2 Каким	натуральным	числом записывается количество всех трёхзначных натуральных чисел ? .
2.2 При каких из указанных значений а число не является	натуральным	числом ? .
Сумма двух натуральных чисел всегда является	натуральным	числом .
Тем самым каждая часть , полученная при делении 20 кг на 10 равных частей , является величиной , которая выражена	натуральным	числом килограммов .
В результате сумма длин двух , трёх и любого другого количества таких дощечек также может быть выражена	натуральным	числом дециметров .
Поэтому сумма двух , трёх и любого другого количества таких частей также может быть выражена	натуральным	числом .
В каких единицах можно выразить одним	натуральным	числом промежуток времени продолжительностью 2 часа 18 минут ? .
Иногда часть величины нельзя выразить	натуральным	числом в выбранных единицах измерения .
2.1 При каких из указанных значений а число является	натуральным	числом ? .
Число 0 , натуральные числа и противоположные	натуральным	отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
При этом каждое из чисел q и r может быть либо	натуральным	, либо нулём .
Предположим , что мы уже научились складывать n с некоторым	натуральным	числом т , то есть умеем находить сумму .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к	натуральным числам	приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Сумма двух натуральных чисел всегда является	натуральным числом	.
Предположим , что мы уже научились складывать n с некоторым	натуральным числом	т , то есть умеем находить сумму .
2.2 При каких из указанных значений а число не является	натуральным числом	? .
В каких единицах можно выразить одним	натуральным числом	промежуток времени продолжительностью 2 часа 18 минут ? .
Иногда часть величины нельзя выразить	натуральным числом	в выбранных единицах измерения .
1.3 Как одним	натуральным числом	записать промежуток времени в 2 часа 16 минут ? .
1.2 Каким	натуральным числом	записывается количество всех трёхзначных натуральных чисел ? .
В то же время при рассмотрении других единиц измерения можно получить результат , выраженный	натуральным числом	.
2.1 При каких из указанных значений а число является	натуральным числом	? .
В результате сумма длин двух , трёх и любого другого количества таких дощечек также может быть выражена	натуральным числом	дециметров .
Если , то разность натуральных чисел а и b тоже является	натуральным числом	.
Тем самым каждая часть , полученная при делении 20 кг на 10 равных частей , является величиной , которая выражена	натуральным числом	килограммов .
Поэтому сумма двух , трёх и любого другого количества таких частей также может быть выражена	натуральным числом	.
2.1 Какие из указанных чисел являются	натуральными	? .
Вычитание станет возможным , если наряду с	натуральными	числами и нулем рассмотреть отрицательные числа .
Какие точки из обозначенных	натуральными	числами являются ближайшими к точке ? .
1 Какие числа являются	натуральными	? .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с	натуральными	числами .
Натуральные числа легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались	натуральными	числами .
Вычитание станет возможным , если наряду с	натуральными числами	и нулем рассмотреть отрицательные числа .
Напомним , что на числовой прямой можно наглядно изобразить сумму	натуральных	чисел .
Будем считать , что порядок всех	натуральных	чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Но в	натуральных	числах такое действие невыполнимо .
Это можно было видеть на примере сложения	натуральных	чисел с помощью двух линеек .
Изучая сложение	натуральных	чисел , мы сформулировали его основные законы .
Для	натуральных	чисел деление нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
Почему для любых	натуральных	чисел а и b выполняется равенство .
Если , то разность	натуральных	чисел а и b тоже является натуральным числом .
2.4 Какие из указанных	натуральных	чисел можно назвать , используя ровно два слова ? .
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве	натуральных	чисел , потому что нет такого натурального числа х , для которого бы выполнялось равенство .
2.3 Какие из указанных	натуральных	чисел можно назвать одним словом ? .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех	натуральных	чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех	натуральных	чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Важный способ замены	натуральных	чисел приближёнными значениями связан с их десятичной записью .
Глава 7 Умножение	натуральных	чисе .
В этой главе вы вспомните правила умножения	натуральных	чисел .
Желательно и эту задачу , как и пример , свести к задаче деления	натуральных	чисел .
2.2 Какие из указанных	натуральных	чисел являются трёхзначными числами ? .
2.1 Какие из указанных	натуральных	чисел являются двузначными числами ? .
Деление десятичной дроби на натуральное число похоже на деление	натуральных	чисел .
Сколько существует таких	натуральных	чисел а , что разность не определена ? .
Таким образом , для любых	натуральных	чисел k , m и n , где , выполняется равенство .
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для	натуральных	чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
Вы познакомитесь с понятием степени числа и правилами сравнения	натуральных	чисел .
Алгоритм умножения	натуральных	чисел .
Запись	натуральных	чисе .
Таким образом , для любых	натуральных	чисел k , тип выполняется равенство .
Представление	натуральных	чисел в виде сумм .
Обобщая эти примеры для любых	натуральных	чисел m , m , p и q , можно получить равенства .
4 Сколько цифр требуется для записи	натуральных	чисел в системе счисления с основанием 10 ? .
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на числовой прямой и произведение	натуральных	чисел .
Для дробных чисел выполняются законы , которые были сформулированы для	натуральных	чисел .
3 Для	натуральных	k и l найдите остатки при делении на 10 суммы и произведения натуральных чисел вида .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при делении на 10 суммы и произведения	натуральных	чисел вида .
1.2 Каким натуральным числом записывается количество всех трёхзначных	натуральных	чисел ? .
Вы сможете найти последнюю цифру числа 2100 и научитесь простому способу записи	натуральных	чисел в различных системах счисления .
Для чтения десятичной записи	натуральных	чисел от 1 до 999 в русском языке используются такие названия .
2.3 Какие остатки могут получаться при делении квадратов	натуральных	чисел на 4 ? .
Приведённое правило иногда называют основным свойством дроби и записывают так : для любых	натуральных	чисел m , n и k выполняется равенство .
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при делении квадратов	натуральных	чисел на 5 ? .
1.5 Запись	натуральных	чисел при помощи разрядных единиц .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых	натуральных	чисел m и n называют положительной дробью .
8 Составьте таблицу кубов	натуральных	чисел от 1 до 5 .
В разные времена употреблялись различные способы записи	натуральных	чисел .
Отметим , что для любых	натуральных	чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
2.4 Рассматриваются суммы всех	натуральных	чисел от 1 до n включительно .
Выписывают некоторое количество	натуральных	чисел подряд ( например , до 100 ) начиная с 2 .
Пусть теперь а и b — два	натуральных	числа .
Про любые два различных	натуральных	числа всегда можно сказать , какое из них больше , а какое меньше .
Приближённое значение можно найти с помощью таблицы квадратов	натуральных	чисел .
В изучении	натуральных	чисел простые числа играют очень важную роль .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое деление	натуральных	чисел с остатком .
Для сокращения записи	натуральных	чисел обычно применяют такие обозначения .
Последняя цифра произведения двух	натуральных	чисел та же , что и у произведения последних цифр этих чисел .
1.1 Для какого из указанных	натуральных	чисел следующее за ним число равно 98 ? .
Сложение дробей свелось к вычислению суммы	натуральных	чисел 5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти	натуральных	чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
Правило чтения записи трёхзначных	натуральных	чисел нетрудно понять , если каждое такое число снова записать в виде суммы .
Вычитание десятичных дробей похоже на вычитание	натуральных	чисел .
Например , для	натуральных	чисел 3 , 5 и 87 справедливо равенство .
6 Верно ли , что среди 11	натуральных	чисел найдутся 2 числа , имеющие две одинаковые последние цифры ? .
Вычитание дробей свелось к вычислению разности	натуральных	чисел 31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
7 Верно ли , что среди 11	натуральных	чисел найдутся 2 числа , разность которых делится на 10 ? .
Выполняют вычитание по правилам , принятым для	натуральных	чисел , не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
Сравнение дробей сводится к сравнению	натуральных	чисел .
Правила чтения двузначных	натуральных	чисел , больших двадцати , также станут понятны , если каждое такое число представить в виде суммы .
При изучении вычитания	натуральных	чисел рассматривалось дополнение числа до разрядной единицы .
Правило сложения	натуральных	чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
14 В чём состоит общее правило сложения	натуральных	чисел ? .
Именно поэтому принятый нами способ записи	натуральных	чисел называется десятичной системой счисления .
Глава 9 Деление	натуральных	чисел .
Таким образом , для любых	натуральных	чисел k и n определены дроби .
17 Почему при записи суммы нескольких	натуральных	чисел можно не ставить скобки ? .
Последняя цифра у суммы двух	натуральных	чисел та же , что и у суммы последних цифр этих чисел .
В этой главе вы познакомитесь с операцией деления	натуральных	чисел , узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
Правила чтения двузначных	натуральных	чисел от одиннадцати до девятнадцати становятся понятными , если каждое такое число представить в виде суммы .
При помощи этих цифр записывают и произносят названия всех	натуральных	чисел .
Умножение десятичных дробей похоже на умножение	натуральных	чисел .
2.2 Какие из указанных	натуральных	чисел больше .
4 Произведение трёх последовательных	натуральных	чисел равно 1320 .
Глава 5 Сложение и вычитание	натуральных	чисе .
Напомним , что для	натуральных	чисел пик сумму к дробей мы обозначали через к или через , так что выполняются равенства .
1 Какое из двух различных	натуральных	чисел считается : а ) меньшим ; б ) большим ? .
Как и для	натуральных	чисел , при делении десятичной дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
4 Какие свойства порядка для	натуральных	чисел вы знаете ? .
2 Сумма двух	натуральных	чисел меньше 18 , а одно из чисел равно 14 .
6 Сколько цифр требуется для записи	натуральных	чисел в системе счисления с основанием а ? .
3 Разность двух	натуральных	чисел больше 10 , а уменьшаемое равно 15 .
Почему из двух последовательных	натуральных	чисел одно обязательно делится на 2 ? .
6 Какие числа кроме	натуральных	вы знаете ? .
5 Сколько цифр требуется для записи	натуральных	чисел в системе счисления с основанием 5 ? .
Как сформулировать правило умножения	натуральных	чисел , оканчивающихся нулями ? .
Для обозначения	натуральных	чисел используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти натуральных чисел , и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
Деление	натуральных	чисел .
Приведём таблицу значений кубических корней из первых	натуральных	чисел с точностью до 0,01 с недостатком .
Мы уже несколько раз рассматривали произведения	натуральных	чисел , в конце которых стоят нули .
Составим таблицу для объёмов кубов с рёбрами , принимающими начальные значения в ряду	натуральных	чисел .
Такую зависимость для начальных	натуральных	значений стороны квадрата можно оформить .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех	натуральных	чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Сумма двух	натуральных	чисел всегда является натуральным числом .
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в ряду	натуральных	чисел , которое позволяет различные числа расположить в порядке возрастания или убывания .
Для обозначения натуральных чисел используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти	натуральных	чисел , и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
Например , для	натуральных	чисел 21 и 48 выполняются равенства .
1 Из двух	натуральных	чисел с разным количеством цифр то число больше , у которого больше цифр .
Натуральное число а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух	натуральных	сомножителей , каждый из которых больше 1 .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения	натуральных	чисел в десятичной системе .
2 Если два	натуральных	числа имеют одинаковое количество цифр , то сравнивают первые левые цифры .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания	натуральных	чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
По названиям этих разрядных единиц определяются классы	натуральных	чисел : класс тысяч , класс миллионов , класс миллиардов , класс триллионов и так далее .
2.1 Какие из указанных	натуральных	чисел меньше .
11 Сколько различных значений записано в таблице умножения	натуральных	числе от 2 до 9 ? .
Поэтому для	натуральных	чисел используется и другое название : положительные целые числа .
Вычисление произведения дробей свелось к вычислению произведения	натуральных	чисел 4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
4.2 Порядок в ряду	натуральных	чисел .
Продолжая далее этот процесс , на прямой в выбранном направлении можно изобразить сколь угодно большое количество	натуральных	чисел в порядке их следования .
Обобщая эти примеры для любых	натуральных чисел	m , m , p и q , можно получить равенства .
Вычитание десятичных дробей похоже на вычитание	натуральных чисел	.
Выполняют вычитание по правилам , принятым для	натуральных чисел	, не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
Представление	натуральных чисел	в виде сумм .
Вычитание дробей свелось к вычислению разности	натуральных чисел	31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения	натуральных чисел	в десятичной системе .
Приведём таблицу значений кубических корней из первых	натуральных чисел	с точностью до 0,01 с недостатком .
4 Сколько цифр требуется для записи	натуральных чисел	в системе счисления с основанием 10 ? .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти	натуральных чисел	вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
Составим таблицу для объёмов кубов с рёбрами , принимающими начальные значения в ряду	натуральных чисел	.
Вы сможете найти последнюю цифру числа 2100 и научитесь простому способу записи	натуральных чисел	в различных системах счисления .
5 Сколько цифр требуется для записи	натуральных чисел	в системе счисления с основанием 5 ? .
Почему для любых	натуральных чисел	а и b выполняется равенство .
Вы познакомитесь с понятием степени числа и правилами сравнения	натуральных чисел	.
Глава 9 Деление	натуральных чисел	.
Изучая сложение	натуральных чисел	, мы сформулировали его основные законы .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания	натуральных чисел	в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Выписывают некоторое количество	натуральных чисел	подряд ( например , до 100 ) начиная с 2 .
Сколько существует таких	натуральных чисел	а , что разность не определена ? .
В этой главе вы познакомитесь с операцией деления	натуральных чисел	, узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
6 Сколько цифр требуется для записи	натуральных чисел	в системе счисления с основанием а ? .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое деление	натуральных чисел	с остатком .
Почему из двух последовательных	натуральных чисел	одно обязательно делится на 2 ? .
В изучении	натуральных чисел	простые числа играют очень важную роль .
При изучении вычитания	натуральных чисел	рассматривалось дополнение числа до разрядной единицы .
Последняя цифра произведения двух	натуральных чисел	та же , что и у произведения последних цифр этих чисел .
Сложение дробей свелось к вычислению суммы	натуральных чисел	5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
Сравнение дробей сводится к сравнению	натуральных чисел	.
2.2 Какие из указанных	натуральных чисел	больше .
2.1 Какие из указанных	натуральных чисел	меньше .
Вычисление произведения дробей свелось к вычислению произведения	натуральных чисел	4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
1 Из двух	натуральных чисел	с разным количеством цифр то число больше , у которого больше цифр .
По названиям этих разрядных единиц определяются классы	натуральных чисел	: класс тысяч , класс миллионов , класс миллиардов , класс триллионов и так далее .
Важный способ замены	натуральных чисел	приближёнными значениями связан с их десятичной записью .
4.2 Порядок в ряду	натуральных чисел	.
4 Произведение трёх последовательных	натуральных чисел	равно 1320 .
2.4 Какие из указанных	натуральных чисел	можно назвать , используя ровно два слова ? .
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в ряду	натуральных чисел	, которое позволяет различные числа расположить в порядке возрастания или убывания .
4 Какие свойства порядка для	натуральных чисел	вы знаете ? .
2 Сумма двух	натуральных чисел	меньше 18 , а одно из чисел равно 14 .
3 Разность двух	натуральных чисел	больше 10 , а уменьшаемое равно 15 .
Сумма двух	натуральных чисел	всегда является натуральным числом .
Как сформулировать правило умножения	натуральных чисел	, оканчивающихся нулями ? .
Мы уже несколько раз рассматривали произведения	натуральных чисел	, в конце которых стоят нули .
Алгоритм умножения	натуральных чисел	.
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для	натуральных чисел	m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
Деление	натуральных чисел	.
Для дробных чисел выполняются законы , которые были сформулированы для	натуральных чисел	.
Приближённое значение можно найти с помощью таблицы квадратов	натуральных чисел	.
Умножение десятичных дробей похоже на умножение	натуральных чисел	.
Если , то разность	натуральных чисел	а и b тоже является натуральным числом .
2.4 Рассматриваются суммы всех	натуральных чисел	от 1 до n включительно .
2.1 Какие из указанных	натуральных чисел	являются двузначными числами ? .
Желательно и эту задачу , как и пример , свести к задаче деления	натуральных чисел	.
Например , для	натуральных чисел	3 , 5 и 87 справедливо равенство .
Для	натуральных чисел	деление нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
6 Верно ли , что среди 11	натуральных чисел	найдутся 2 числа , имеющие две одинаковые последние цифры ? .
7 Верно ли , что среди 11	натуральных чисел	найдутся 2 числа , разность которых делится на 10 ? .
Правило сложения	натуральных чисел	, записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
2.2 Какие из указанных	натуральных чисел	являются трёхзначными числами ? .
Именно поэтому принятый нами способ записи	натуральных чисел	называется десятичной системой счисления .
14 В чём состоит общее правило сложения	натуральных чисел	? .
Например , для	натуральных чисел	21 и 48 выполняются равенства .
17 Почему при записи суммы нескольких	натуральных чисел	можно не ставить скобки ? .
1.1 Для какого из указанных	натуральных чисел	следующее за ним число равно 98 ? .
2.3 Какие из указанных	натуральных чисел	можно назвать одним словом ? .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при делении на 10 суммы и произведения	натуральных чисел	вида .
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на числовой прямой и произведение	натуральных чисел	.
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве	натуральных чисел	, потому что нет такого натурального числа х , для которого бы выполнялось равенство .
2.3 Какие остатки могут получаться при делении квадратов	натуральных чисел	на 4 ? .
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при делении квадратов	натуральных чисел	на 5 ? .
8 Составьте таблицу кубов	натуральных чисел	от 1 до 5 .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых	натуральных чисел	m и n называют положительной дробью .
Отметим , что для любых	натуральных чисел	m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
Последняя цифра у суммы двух	натуральных чисел	та же , что и у суммы последних цифр этих чисел .
1.2 Каким натуральным числом записывается количество всех трёхзначных	натуральных чисел	? .
1 Какое из двух различных	натуральных чисел	считается : а ) меньшим ; б ) большим ? .
В разные времена употреблялись различные способы записи	натуральных чисел	.
Поэтому для	натуральных чисел	используется и другое название : положительные целые числа .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех	натуральных чисел	от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех	натуральных чисел	от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Приведённое правило иногда называют основным свойством дроби и записывают так : для любых	натуральных чисел	m , n и k выполняется равенство .
1.5 Запись	натуральных чисел	при помощи разрядных единиц .
Для обозначения натуральных чисел используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти	натуральных чисел	, и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
Правила чтения двузначных	натуральных чисел	, больших двадцати , также станут понятны , если каждое такое число представить в виде суммы .
Напомним , что для	натуральных чисел	пик сумму к дробей мы обозначали через к или через , так что выполняются равенства .
Таким образом , для любых	натуральных чисел	k и n определены дроби .
Как и для	натуральных чисел	, при делении десятичной дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
Для обозначения	натуральных чисел	используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти натуральных чисел , и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
Напомним , что на числовой прямой можно наглядно изобразить сумму	натуральных чисел	.
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех	натуральных чисел	от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Продолжая далее этот процесс , на прямой в выбранном направлении можно изобразить сколь угодно большое количество	натуральных чисел	в порядке их следования .
Таким образом , для любых	натуральных чисел	k , m и n , где , выполняется равенство .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех	натуральных чисел	от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Правила чтения двузначных	натуральных чисел	от одиннадцати до девятнадцати становятся понятными , если каждое такое число представить в виде суммы .
Правило чтения записи трёхзначных	натуральных чисел	нетрудно понять , если каждое такое число снова записать в виде суммы .
Это можно было видеть на примере сложения	натуральных чисел	с помощью двух линеек .
Таким образом , для любых	натуральных чисел	k , тип выполняется равенство .
Деление десятичной дроби на натуральное число похоже на деление	натуральных чисел	.
В этой главе вы вспомните правила умножения	натуральных чисел	.
Для сокращения записи	натуральных чисел	обычно применяют такие обозначения .
Для чтения десятичной записи	натуральных чисел	от 1 до 999 в русском языке используются такие названия .
При помощи этих цифр записывают и произносят названия всех	натуральных чисел	.
2 Если два	натуральных числа	имеют одинаковое количество цифр , то сравнивают первые левые цифры .
Про любые два различных	натуральных числа	всегда можно сказать , какое из них больше , а какое меньше .
Пусть теперь а и b — два	натуральных числа	.
Но в	натуральных числах	такое действие невыполнимо .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится	нацело	на число b » говорят : « число а делится на число b » .
Какое из чисел делится	нацело	на любое натуральное число ? .
Сами числа а и b , как и при делении	нацело	, называют соответственно делимым и делителем .
Когда рассматривают только деление нацело , слово «	нацело	» иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
Когда рассматривают только деление	нацело	, слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
Тогда число а делится	нацело	на число b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без остатка .
Деление с остатком и деление	нацело	.
8 Какие свойства деления	нацело	вы изучали ? .
Говорят , что натуральное число а делится	нацело	на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Для натуральных чисел деление	нацело	можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
Деление	нацело	.
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление	нацело	и деление с остатком .
Если число а делится	нацело	на число m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на число m .
Если числа а и b делятся нацело на число m , то число тоже делится	нацело	на m .
Однако известно , что , 10 делится	нацело	на 10 , поскольку .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение делится	нацело	на число m .
Если числа а и b делятся	нацело	на число m , то число тоже делится нацело на m .
Числа , делящиеся	нацело	на 2 , называют чётными , а не делящиеся на 2 — нечётными .
1.3 Деление	нацело	одного натурального числа на другое .
Но число 1 не делится	нацело	на число 10 .
Для того чтобы в этом примере результат выразить в метрах ,	необходимо	введение новых чисел .
Если	необходимо	, ничто не мешает рассмотреть любую прямую , выбрать на ней произвольное направление и от определённой точки откладывать числа .
Этого достаточно , чтобы вычислить	необходимые	площади .
Площадь всегда выражается	неотрицательным	числом и имеет четыре следующих основных свойства .
С помощью этого правила из известных	неравенств	можно получать новые неравенства .
В правой части каждого из полученных	неравенств	записана длина одной из сторон , а в левой — сумма длин оставшихся сторон .
2.4 Какие из приведённых	неравенств	являются верными ? .
5.5 Прибавление числа к обеим частям	неравенства	.
Если из обеих частей неравенства можно вычесть одно и то же число , то знак	неравенства	не изменится .
Как объяснить , что если для дробей a , b , с , d справедливы	неравенства	.
Справедливо следующее правило : если к обеим частям	неравенства	прибавить одно и то же число , то знак неравенства не изменится .
4 Изменяется ли знак неравенства при прибавлении к обеим частям	неравенства	одной и той же дроби ? .
5 Изменяется ли знак	неравенства	при вычитании из обеих частей неравенства одной и той же дроби ? .
Из	неравенства	треугольника следует , что .
Экспериментальная проверка такого	неравенства	затруднительна , когда точка D находится очень близко к отрезку АВ .
Если из обеих частей	неравенства	можно вычесть одно и то же число , то знак неравенства не изменится .
Умножение и деление обеих частей	неравенства	на положительную дробь .
Справедливо следующее правило : если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число , то знак	неравенства	не изменится .
С помощью этого правила из известных неравенств можно получать новые	неравенства	.
Из	неравенства	треугольника следует , что Таким образом , справедливы неравенства .
Аналогичное правило применяется и в том случае , когда из каждой части	неравенства	можно вычесть некоторое число .
5.6 Вычитание числа из обеих частей	неравенства	.
Умножим обе части этого	неравенства	на положительную дробь и сравним результаты .
Таким образом , можно записать правило : если обе части	неравенства	умножить на положительную дробь , то знак неравенства не изменится .
Из неравенства треугольника следует , что Таким образом , справедливы	неравенства	.
Если для чисел а , b , с выполнены одновременно два	неравенства	, то будем обозначать это записью и говорить , что число а расположено между числами b и с.
8 Укажите все числа х с шестью десятичными знаками после запятой , для которых выполняются	неравенства	.
7 Сформулируйте правило деления обеих частей	неравенства	на дробь .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого	неравенства	на дробь , обратную к дроби .
6 Сформулируйте правило умножения обеих частей	неравенства	на дробь .
Выражения вида а < b , с > d называют неравенствами , а сами знаки « > » и « < » называют знаками	неравенства	.
5 Изменяется ли знак неравенства при вычитании из обеих частей	неравенства	одной и той же дроби ? .
Отметим , что деление обеих частей	неравенства	на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
Таким образом , можно записать правило : если обе части неравенства умножить на положительную дробь , то знак	неравенства	не изменится .
4 Изменяется ли знак	неравенства	при прибавлении к обеим частям неравенства одной и той же дроби ? .
В качестве примера применения	неравенства	треугольника рассмотрим задачу , где нужно найти самый короткий путь .
Треугольника	неравенство	.
Само	неравенство	будем называть двойным неравенством .
3 Сформулируйте	неравенство	треугольника для длин отрезков .
Это свойство известно как	неравенство	треугольника .
Так как , то справедливо	неравенство	.
Для каждой точки D , не лежащей на отрезке А В , выполняется	неравенство	.
2.2 Двойное	неравенство	.
Вы узнаете , как свойства длины позволяют различать точки , лежащие на отрезке и не лежащие на нём , как «	неравенство	треугольника » позволяет находить кратчайшие пути .
Прибавляя к обеим частям одно и то же число получаем верное	неравенство	.
Заметим , что верно двойное	неравенство	.
Если взять точку D , не лежащую на отрезке АВ , как , например , то непосредственные измерения линейкой показывают , что в таком случае выполняется	неравенство	.
Само неравенство будем называть двойным	неравенством	.
Что произойдёт с	неравенством	, если обе его части умножить на число 0 ? .
Сколько	неразвернутых	углов можно .
Сколько	неразвёрнутых	плоских углов можно указать ? .
Сколько	неразвёрнутых	углов можно указать ? .
5 Как показать , что сумма трёх нечётных чисел	нечётна	? .
2.2 Какие из указанных чисел могут быть остатками при делении	нечётного	числа на 6 ? .
Следовательно , всякое чётное число представляется в виде 2q , а	нечётное	— в виде , где q — какое - то натуральное число .
15 —	нечётное	число .
3 Как по последней цифре числа в десятичной системе счисления определить , чётное это число или	нечётное	? .
Покажите , что число людей , сделавших	нечётное	число рукопожатий , чётно .
Какой цифрой может оканчиваться	нечётное	число в десятичной системе счисления ? .
Точно так же каждому	нечётному	числу можно сопоставить следующее за ним чётное число .
При каких из приведённых значений n такие суммы	нечётны	? .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет чётные числитель и знаменатель , а вторая имеет	нечётные	числитель и знаменатель ? .
Чётные и	нечётные	числа .
4 По какой формуле можно вычислять	нечётные	числа ? .
1 Какой вид имеют : а ) чётные числа ; б )	нечётные	числа ? .
2 Какое число называется	нечётным	? .
Может ли число вида 18k быть	нечётным	? .
6 Почему произведение двух нечётных чисел является	нечётным	числом ?
Почему произведение трёх нечётных чисел является	нечётным	числом ? .
Числа , делящиеся нацело на 2 , называют чётными , а не делящиеся на 2 —	нечётными	.
Будет рассказано , какие числа называют чётными ,	нечётными	, простыми и составными , что такое деление натуральных чисел с остатком .
Каких цифр больше — чётных или	нечётных	? .
5 Как показать , что сумма трёх	нечётных	чисел нечётна ? .
Определение чётных и	нечётных	чисел .
6 Почему произведение двух	нечётных	чисел является нечётным числом ?
Почему произведение трёх	нечётных	чисел является нечётным числом ? .
1.2 Сколько всего	нечётных	двузначных чисел ? .
Как показать , что сумма двух	нечётных	чисел всегда чётна ? .
1.3 Сколько всего	нечётных	двузначных чисел , в записи которых есть чётная цифра ? .
Деление чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление	нечётных	чисел на 2 даёт в остатке 1 .
При измерении отрезков вместо сантиметра или шага сетки клетчатой бумаги с таким же успехом можно взять любой другой отрезок , считать его единичным и сравнивать с	ним	остальные отрезки способом , похожим на предыдущий .
1.3 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных треугольнику ЛВС и не совпадающих с	ним	? .
1.1 Для какого из указанных натуральных чисел следующее за	ним	число равно 98 ? .
Следующее за	ним	в таблице число 32 уже больше 25 .
7 Некоторый угол в 3 раза больше смежного с	ним	угла .
Находим в нижней строке таблицы число 144 и над	ним	читаем ответ : 12 .
1.4 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных треугольнику АВС и не совпадающих с	ним	? .
На втором шаге компьютер сравнивает число 10 со стоящим над	ним	числом 8 .
Точно так же каждому нечётному числу можно сопоставить следующее за	ним	чётное число .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное число n уже определено , то следующее за	ним	натуральное число равно числу .
Необходимо добавить к	ним	специальное целое число нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
Таким образом , сначала есть натуральное число 1 , за	ним	следует число , затем — число и так далее .
Если я к	ним	прибавлю ещё две , то станет восемь .
— затем совмещаем с	ним	нулевое деление 0(нижний ) нижней линейки .
Температура « тридцать шесть и шесть десятых градуса » считается	нормальной	для здорового человека .
Мы знаем , что в	нормальных	условиях вода кипит при температуре 100 ºС. Поэтому , видя воду , закипающую в кастрюле , можно предположить , что её температура около 100 ° С .
Количество десятичных знаков произведения равно числу	нулей	в записи знаменателя .
Сколько	нулей	содержит в десятичной записи число дециллион ? .
Число сотен второго сомножителя равно нулю , поэтому при умножении 5836 на число сотен получится строка из	нулей	.
Почему числа вида 10 при любом числе	нулей	делятся на 18 ? .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество	нулей	.
Приписывание или отбрасывание	нулей	справа в конце записи десятичной дроби никак не влияет на её значение .
Число	нулей	в записи знаменателя этой дроби равно числу десятичных знаков дробной части , то есть шести .
Она получается отбрасыванием	нулей	, стоящих в конце десятичной дроби 2,1000000 .
Удаление	нулей	в конце записи десятичной дроби .
Вычитание станет возможным , если наряду с натуральными числами и	нулем	рассмотреть отрицательные числа .
Мы уже несколько раз рассматривали произведения натуральных чисел , в конце которых стоят	нули	.
При записи смешанной дроби в виде десятичной в первых разрядах после запятой могут оказаться	нули	.
Кроме того , приближения с разной точностью могут оказаться равными друг другу , если внутри десятичной записи исходного числа имелись	нули	.
5 Как умножать числа , имеющие	нули	в конце своей записи ? .
Почему при делении числа , оканчивающегося нулём , на число , оканчивающееся нулём , эти	нули	можно вычёркивать ? .
Эти записи читаются : «	нуль	целых шестьдесят восемь сотых » и « одна целая семьсот три миллионных » .
Вычитая , получаем	нуль	.
Итак , мы изобразили на числовой прямой некоторые натуральные числа и	нуль	.
Если воспринимать	нуль	как число , которое обозначает отсутствие какого - либо количества , то легко понять , что для любого числа а взять а раз число 0 или взять 0 раз число а каждый раз означает отсутствие количества .
1.6 Делить на	нуль	нельзя .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после запятой — набор цифр числителя :	нуль	десятых , нуль сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
всех трёхзначных чисел . 2 ) всех трёхзначных чисел , оканчивающихся на	нуль	. 3 ) всех трёхзначных чисел , начинающихся на цифру 1 . 4 ) всех трёхзначных чисел , в записи которых используются только цифры 8 и 9 .
5 Почему нельзя делить на	нуль	? .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после запятой — набор цифр числителя : нуль десятых ,	нуль	сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после запятой — набор цифр числителя : нуль десятых , нуль сотых ,	нуль	тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после запятой — набор цифр числителя : нуль десятых , нуль сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных ,	нуль	стотысячных и 3 миллионных .
Число	нуль	означает нулевое количество , то есть отсутствие чего - либо .
Для обозначения натуральных чисел используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти натуральных чисел , и дополнительная цифра «	нуль	» , обозначаемая через 0 .
Последний	нуль	обычно опускают и оставляют лишь цифры 602 со сдвигом на один разряд влево .
2.2 Число	нуль	.
В связи с этим принимается следующее правило : делить на	нуль	нельзя .
Число	нуль	тоже не является решением данного уравнения , так как .
Определим число	нуль	— обозначается цифрой 0 , для которого выполняются правила .
Необходимо добавить к ним специальное целое число	нуль	( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения в случаях , когда один из сомножителей равен нулю , можно проверить непосредственно , используя правило умножения на	нуль	.
По определению	нуль	предшествует числу один и обозначается цифрой 0 .
1.7 Умножение на	нуль	.
Возникает вопрос : а нет ли возможностей как - то по - другому определить умножение на	нуль	и при этом не нарушить правила арифметики ?
Например , цифра	нуль	в десятичной записи натурального числа означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
Но уже число 0,001 должно изображаться точкой , которая находится на расстоянии 0,1 мм от точки	нуль	.
По определению числа	нуль	имеем .
Итак , мы установили , что если определить умножение на	нуль	, то основные законы умножения не нарушатся .
если хотя бы один сомножитель равен	нулю	, то и всё произведение равно нулю .
	Нулю	.
Разность двух одинаковых чисел равна	нулю	.
В частности , а может равняться	нулю	, при этом получается равенство .
Число сотен второго сомножителя равно	нулю	, поэтому при умножении 5836 на число сотен получится строка из нулей .
Почему площадь отрезка можно считать равной	нулю	? .
7 Верен ли распределительный закон , когда некоторые из чисел равны	нулю	? .
Всякий раз , когда нужно сообщить , что в некотором множестве или наборе нет ни одного элемента или объекта , говорят , что число этих объектов равно	нулю	.
Говорят , что при возрастании показателя степени n дроби вида стремятся к	нулю	.
Заметим , что определение произведения из пункта не охватывает случаи , когда один или оба сомножителя равны	нулю	.
Эта разность равна	нулю	, значит , деление закончено .
10 Как вы понимаете « стремление к	нулю	» дробей вида при возрастании показателя n ? .
Чем больше показатель степени n у дроби , тем ближе к	нулю	такая дробь .
Почему обязано равняться	нулю	?
Но так как число тысяч равно	нулю	, то из следующего разряда десятков тысяч заимствуем единицу .
Поэтому уравнение вида не имеет корней , если b не равно	нулю	.
И чисел 0,1 и 0,01 ещё можно отличить от точки , соответствующей	нулю	.
если хотя бы один сомножитель равен нулю , то и всё произведение равно	нулю	.
При изображении на числовой прямой десятичных дробных разрядных единиц будем получать точки , « подходящие » к	нулю	всё ближе и ближе .
Это правило можно записать следующим образом : если делимое и делитель одновременно разделить на одно и то же число , не равное	нулю	, то частное от этого не изменится .
Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения в случаях , когда один из сомножителей равен	нулю	, можно проверить непосредственно , используя правило умножения на нуль .
Таким образом , произведение должно быть равно	нулю	.
1.7 О стремлении к	нулю	дробей вида при возрастании показателя степени .
Если начало и конец отрезка совпадают , то его длина равна	нулю	, в каких бы единицах эту длину ни измеряли .
В результате получаем , что распределительный закон ( точно так же , как и переместительный , и сочетательный законы ) выполняется и в случае , когда одно из чисел , входящих в его запись , равно	нулю	.
Для удобства считается , что расстояние от любой точки до неё самой равно	нулю	.
Отложив его вправо от	нуля	, получим число 9 .
Отметим одно очень важное свойство для чисел : произведение двух ненулевых чисел всегда отлично от	нуля	.
Почему приписывание	нуля	в конце дробной части справа у одного из сомножителей не влияет на результат умножения ? .
Таким образом , для	нуля	и любого натурального числа выполняются равенства .
В морозный зимний день можно услышать , что температура воздуха на улице « двадцать градусов ниже	нуля	» или « минус двадцать градусов » .
Например , температуру 20 градусов ниже	нуля	можно указать числом -20 ( читается : « минус двадцать » ) градусов .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от	нуля	вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
Если некоторое натуральное число дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три	нуля	, и так далее .
Если некоторое натуральное число дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два	нуля	; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Сложение	нуля	с другими числами выполняется по правилу , где а — любое число .
Результат умножения любого числа на 10 получается приписыванием	нуля	справа в конце этого числа .
Будем считать точку О изображением	нуля	, а точку Е — изображением числа 1 .
Таким образом , после запятой должно быть шесть десятичных знаков , и значит , три	нуля	перед цифрами 7 , 0 , 3 .
На основании свойств единицы ( при умножении ) ,	нуля	( при сложении ) и распределительного закона , имеем цепочку равенств .
а ) семь градусов ниже	нуля	; б ) семнадцать градусов ; в ) двенадцать градусов ; г ) минус пять градусов .
В некоторых столбцах этой таблицы ниже	нуля	появляются отрицательные числа .
Если , то для любых чисел b и с выполняются равенства , так как произведение любого числа и	нуля	равно 0 .
Справедливо и обратное утверждение : если число в десятичной записи заканчивается на цифру , отличную от	нуля	, то оно не делится на 10 .
Какие свойства	нуля	и единицы использованы в этом рассуждении ? .
Луч этой числовой прямой от	нуля	в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив	нуля	нижней .
Как называется и обозначается фигура ,	образованная	вершиной В и лучами ВА и ВО ? .
Определению угла удовлетворяет фигура ,	образованная	противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
Вершина угла ,	образованного	отрезками .
Углы какой величины ,	образованные	сторонами угольников , можно найти ? .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол ,	образованный	лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
В результате получим угол ,	образованный	двумя отрезками .
Углы	образованный	отрезками .
Рассмотрим на листе бумаги угол АОВ ,	образованный	лучами ОА и ОВ .
Угол ,	образованный	отрезками .
Если закрасим часть листа , которая ограничена четырёхугольником , то закрашенная часть	образует	ещё одну геометрическую фигуру — четырёхугольную область .
1.3 В прямоугольнике ABCD диагональ АС	образует	угол в 25 ° со стороной CD .
1.2 В прямоугольнике ABCD отрезок АС	образует	со стороной AD угол в 32 ° .
Какой угол	образует	диагональ АС со стороной СВ ? .
6 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 18 часов ; б ) 21 час ? .
2.3 Стороны треугольников	образуют	много отрезков .
11 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают 3 часа 40 минут ? .
Прямой угол	образуют	любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
3 ) диагонали прямоугольника при пересечении	образуют	прямые углы .
17 Покажите , что если две последние цифры числа	образуют	число , делящееся на 4 , то исходное число также делится на 4 .
существуют прямоугольники , у которых диагонали при пересечении	образуют	прямые углы .
10 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают 12 часов 20 минут ? .
5 Какую геометрическую фигуру	образуют	точки всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
9 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 12 часов 30 минут ; б ) 3 часа 30 минут ; в ) 6 часов 30 минут ? .
3 ) диагонали квадрата при пересечении	образуют	прямые углы .
Взятые все вместе , точки этих лучей	образуют	новую геометрическую фигуру .
5 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 3 часа ; б ) 6 часов ? .
8 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 19 часов ; б ) 20 часов ? .
Сколько углов	образуют	диагонали квадрата с его сторонами ? .
7 Какой угол	образуют	минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ? .
Какую геометрическую фигуру	образуют	точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе	образуют	новую геометрическую фигуру — луч АВ .
У них одна сторона общая , а вместе они	образуют	развернутый угол АОС .
4 В каких случаях часовая и минутная стрелки	образуют	прямые углы , если часы показывают время : а ) 3 часа ; б ) 21 час ; в ) 3 часа 30 минут ; г ) 6 часов 15 минут ; д ) 4 часа 5 минут ? .
2 В каких случаях часовая и минутная стрелки	образуют	острые углы , если часы показывают время : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ; в ) 12 часов 30 минут ; г ) 12 часов 15 минут ; д ) 3 часа 18 минут ? .
3 В каких случаях часовая и минутная стрелки	образуют	тупые углы , если часы показывают время : а ) 7 часов ; б ) 10 часов ; в ) 11 часов 10 минут ; г ) 10 часов 10 минут ; д ) 18 часов 5 минут ? .
Для любого угла	образующие	его лучи делят плоскость на две части .
Из вершины А провели два различных луча АС и AD ,	образующие	с лучом АВ углы в 45 ° .
На клетчатой бумаге нанесены вертикальные и горизонтальные линии ,	образующие	сетку из одинаковых клеточек .
Иногда ставится	обратная	задача : зная площадь квадрата , нужно найти его сторону .
Справедливо и	обратное	утверждение : если число в десятичной записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не делится на 10 .
Справедливо и	обратное	утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 или 5 , то оно не делится на 5 .
Для натуральных чисел деление нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле «	обратное	» умножению .
Справедливо и	обратное	утверждение : если число оканчивается на цифру , отличную от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то оно не делится на 2 .
Использование понятия	обратной	дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь , обратную делителю .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны , дробь называют обратной к дроби а дробь называют	обратной	к дроби .
В том случае , когда дроби и взаимно обратны , дробь называют	обратной	к дроби а дробь называют обратной к дроби .
Перевернём копию	обратной	стороной и снова наложим на основной чертеж .
В результате получена последовательность чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа 1825 , но записанной в	обратном	порядке .
Верно ли это утверждение для разности любого трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке ? .
В результате получена последовательность чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа , но записанной в	обратном	порядке .
14 Возьмём число 782 и число 287 , записанное теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Если переписать эти цифры в	обратном	порядке , то получится нужное представление числа 9137 в четверичной системе : ( 2032301)4 .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь ,	обратную	к дроби .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно произведению делимого на дробь ,	обратную	делителю .
В том случае , когда дроби и взаимно	обратны	, дробь называют обратной к дроби а дробь называют обратной к дроби .
3.4 Взаимно	обратные	дроби .
Почему дроби и являются взаимно	обратными	? .
Две дроби называются взаимно	обратными	, если их произведение равно 1 .
Указать точное значение стороны а в виде десятичной или	обыкновенной дроби	в данном случае невозможно .
Как записать	обыкновенную дробь	в виде десятичной ? .
1 По какому правилу умножаются	обыкновенные дроби	? .
2 Как сравниваются две	обыкновенные дроби	по их записи ? .
Приведём полученные	обыкновенные дроби	к общему знаменателю .
Они равны	обыкновенным дробям	соответственно .
Иногда дроби , записанные в виде , называют	обыкновенными дробями	и обозначают через или через k : n .
2.1 Какие из указанных	обыкновенных дробей	равны частному .
По правилу вычитания	обыкновенных дробей	получаем .
По правилу сложения	обыкновенных дробей	имеем .
Представим смешанные дроби в виде	обыкновенных дробей	.
По правилу умножения	обыкновенных дробей	имеем .
Нахождение суммы двузначного и	однозначного	числа сводится к сложению однозначных чисел и десятков .
1.3 Сложение двузначного и	однозначного	числа .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение	однозначного	числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и	однозначного	числа .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и	однозначного	числа сотен и так далее .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение	однозначного	числа и однозначного числа сотен и так далее .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и	однозначного	числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Умножение целого числа разрядных единиц на	однозначное	число .
Вспомним , как складываются	однозначные	числа .
Произведение является	однозначным	числом 9 .
2 Какова таблица сложения	однозначных	чисел ? .
2.1 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы умножения	однозначных	чисел на 4 ? .
1.4 Сложение трёх	однозначных	чисел .
Видно , что здесь опять достаточно знать таблицу умножения	однозначных	чисел и правило умножения на 10 .
Обычно это вычисление делается « в уме » , так как для подсчёта каждого из произведений достаточно знать таблицу умножения	однозначных	чисел .
С помощью таблицы умножения	однозначных	чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Как записать « столбиком » сложение трёх	однозначных	чисел ? .
2.1 Каких из указанных чисел не может быть в таблице сложения	однозначных	чисел ? .
2.2 Какие из указанных чисел не встречаются в таблице умножения	однозначных	чисел ? .
2.2 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы умножения	однозначных	чисел на 8 ? .
На основании этих равенств приведена таблица умножения	однозначных	чисел в четверичной системе счисления .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения	однозначных	чисел в десятичной системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
Запись сложения десятков « столбиком » выглядит похоже на запись сложения « столбиком »	однозначных	чисел .
2.3 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы умножения	однозначных	чисел на 3 ? .
Приведём алгоритм сложения произвольных чисел , используя только таблицу сложения	однозначных	чисел .
Иногда сумма двух	однозначных	чисел либо больше , либо равна десяти .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к сложению	однозначных	чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
Руководствуясь общим правилом , нетрудно составить известную вам таблицу умножения	однозначных	чисел .
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя таблицу умножения	однозначных	чисел .
Сложение трёх	однозначных	чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
Сложение	однозначных	чисел .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в десятичной системе используется таблица сложения	однозначных	чисел в новой системе счисления .
Нахождение суммы двузначного и однозначного числа сводится к сложению	однозначных	чисел и десятков .
2.4 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы умножения	однозначных	чисел на 6 ? .
Обычно таблицу сложения	однозначных	чисел учат наизусть , а поэтому ответ записывают сразу .
Будущий дом проектируют , делают черновые наброски , производят расчёты , выбирают масштаб и затем готовят рабочие чертежи , которые позволяют сделать стены , двери ,	окна	в точности такими , какие они нужны .
Идя на прогулку , мы обращаем внимание на температуру воздуха за	окном	.
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух	окружностей	радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Важно понять , что через две различные точки можно провести сколь угодно много	окружностей	.
Стороны этого четырёхугольника — радиусы	окружностей	.
Затем нарисуйте вторую окружность так , чтобы отмеченная точка была единственной общей точкой этих	окружностей	.
Изобразите пять равных ей	окружностей	.
24 Как привязать козу , чтобы она могла пастись лишь на участке , имеющем вид плоской фигуры , ограниченной двумя дугами	окружностей	с центрами А и В ? .
Закрепить на шее две верёвки длиной , равной радиусам окружностей , а другие концы верёвки соединить с центрами соответствующих	окружностей	.
Закрепить на шее две верёвки длиной , равной радиусам	окружностей	, а другие концы верёвки соединить с центрами соответствующих окружностей .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих	окружностей	.
34 Изобразите три	окружности	так , чтобы каждые две из них имели по две общих точки , а все три окружности общих точек не имели .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины	окружности	, площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
34 Изобразите три окружности так , чтобы каждые две из них имели по две общих точки , а все три	окружности	общих точек не имели .
3 По какой формуле вычисляется длина	окружности	? .
длина	окружности	радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
7 Чем отличается дуга окружности от всей	окружности	? .
Сначала нарисовать две	окружности	, а затем подобрать третью .
18 Изобразите две	окружности	, не имеющие общих точек .
Для вычисления длины	окружности	по её радиусу применяется формула ?
Расстояние между точками О и В называют радиусом	окружности	.
20 Проведите две окружности так , чтобы одна из них проходила через центр другой	окружности	.
7 Чем отличается дуга	окружности	от всей окружности ? .
где L — длина	окружности	, R — её радиус .
10 Какую часть	окружности	пройдёт конец минутной стрелки за : а ) 1 ч ; б ) 2 ч ; в ) 3 ч ; г ) 4 ч ; д ) 6 ч ; е ) 12 ч ; ё ) полчаса ; ж ) четверть часа ? .
Затем выбрать раствор циркуля , равный этому отрезку , и провести с этим радиусом две	окружности	с центрами в концах нарисованного отрезка .
Если провести циркулем не всю окружность , а только её часть то получится дуга	окружности	.
1.2 Радиус некоторой окружности увеличили на 0,5 см. На сколько длина новой	окружности	больше длины исходной ? .
Радиус	окружности	.
Какие ещё точки этой	окружности	являются узлами сетки ? .
36 Изобразите три	окружности	, имеющие только две общие точки .
19 Изобразите две	окружности	, имеющие две общие точки .
1.2 Радиус некоторой	окружности	увеличили на 0,5 см. На сколько длина новой окружности больше длины исходной ? .
17 Одним раствором циркуля нарисуйте две	окружности	и проверьте их равенство .
35 Изобразите три	окружности	, имеющие только одну общую точку .
2 Как изменится длина	окружности	, если её радиус .
3 Как изменится радиус	окружности	, если её длину .
Используя формулу длины	окружности	и считая , что , заполните таблицу .
Длина	окружности	.
1.1 Чему равно приближённое значение длины	окружности	радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,2 с избытком ? .
24 Изобразите три	окружности	так , чтобы никакие две из них не имели общих точек .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина	окружности	радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины	окружности	радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
1 Длина	окружности	и площадь круга .
Рассмотрим фигуру , ограниченную равными дугами одной и той же	окружности	.
Будем изображать их частями круга , разделённого радиусами на 10 равных частей и размеченными по	окружности	десятками .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое число π ( читается : « пи » ) , с помощью которого вычисляют длину	окружности	и площадь круга .
Окружность ограничивает область , то есть все те точки плоскости , которые находятся внутри	окружности	.
В конце девятнадцатого века изобретатель Самуэль Лойд придумал головоломкус прорезью по	окружности	, чтобы внутренний круг мог вращаться .
20 Проведите две	окружности	так , чтобы одна из них проходила через центр другой окружности .
11 Сколько общих точек с окружностью может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри круга ; б ) вне круга ; в ) на	окружности	? .
Центр	окружности	.
43 Нарисуйте	окружность	.
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы	окружность	с центром в первой точке , проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через третью точку .
Поставим одну его ножку в начало луча , а второй ножкой опишем	окружность	.
Поместите остриё циркуля в точку О , выберите раствор , равный ОА , и проведите	окружность	.
Затем нарисуйте вторую	окружность	так , чтобы отмеченная точка была единственной общей точкой этих окружностей .
12 На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник и через его вершины проведите	окружность	.
Через какие из указанных точек проходит	окружность	с центром О и радиусом ОЕ ? .
3 Нарисуйте	окружность	.
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите	окружность	через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
Объединив эту область с окружностью , получаем круг того же радиуса и с тем же центром О , что и	окружность	.
6 Через точки Р , Q , R , S проведена	окружность	.
Получим	окружность	.
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите	окружность	через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
Эта	окружность	отсечёт на луче отрезок АВ данной длины .
Если провести циркулем не всю	окружность	, а только её часть то получится дуга окружности .
2.3 При каких указанных масштабах	окружность	радиуса 6 км можно изобразить на листе бумаги размером 10 см × 20 см ? .
11 Сколько общих точек с	окружностью	может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри круга ; б ) вне круга ; в ) на окружности ? .
Каждый проделанный белой лошадью круг можно считать	окружностью	радиуса 6,5 м , а каждый проделанный конём круг — окружностью радиуса 5,5 м .
Каждый виток можно приближённо считать	окружностью	радиуса 1 см. По формуле длина одного витка проволоки равна ( см ) , а длина ста витков в 100 раз больше , то есть .
Объединив эту область с	окружностью	, получаем круг того же радиуса и с тем же центром О , что и окружность .
Каждый проделанный белой лошадью круг можно считать окружностью радиуса 6,5 м , а каждый проделанный конём круг —	окружностью	радиуса 5,5 м .
Формулы , связанные с	окружностью	и кругом , содержат знаменитое число л .
В этой главе вы познакомитесь с	операцией	деления натуральных чисел , узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
Будет показано , как операция сложения связана с	операцией	вычитания .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с	операцией	извлечения кубических корней .
Вы познакомитесь с	операцией	извлечения квадратного корня и узнаете про знаменитую теорему Пифагора .
Арифметические	операции	со смешанными дробями .
Арифметические	операции	со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её целой и дробной части .
5 Как производить	операции	со смешанными дробями ? .
5 Какие виды записи для	операции	деления вы знаете ? .
Есть законы , которые связывают эти	операции	.
Остаётся последовательно выполнить три	операции	умножения , чтобы получить точный результат .
Переходя к определению арифметических	операций	с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Вы знаете правила	операций	над числами и постоянно их используете .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих	операций	, с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Используя	операцию	умножения , найдём решение этой задачи .
С помощью дополнения до разрядной единицы можно выполнить	операцию	вычитания .
Напомним , что	операция	умножения на натуральное число возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных слагаемых .
Будет показано , как	операция	сложения связана с операцией вычитания .
1 Как определяется	операция	деления одного числа на другое ? .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным	операциям	: деление нацело и деление с остатком .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при	операциях	с натуральными числами .
Выясним , как найти приближённые значения площади этого треугольника с избытком и недостатком при помощи метода ,	описанного	в предыдущем пункте .
В	описанном	процессе наименьшее число « всплывает , как пузырёк » .
2 Чему равно	основание	степени в записи 210 ? .
В десятичной системе счисления после записи чисел внизу обычно не ставят	основание	этой системы счисления — 10 .
Степени	основание	.
5 Что такое система счисления с	основанием	4 ? .
По каким правилам составляется таблица сложения в системе счисления с	основанием	4 ? .
1.4 Какую запись имеет число 31 в системе счисления с	основанием	4 ? .
Наименьшее количество различных цифр для записи чисел требуется в системе счисления с	основанием	2 или в двоичной системе .
Рассмотрим , например , систему счисления с	основанием	4 .
5 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в системе счисления с	основанием	5 ? .
2.3 Какие из указанных чисел будут двузначными при их записи в системе счисления с	основанием	4 ? .
0 Что такое система счисления с	основанием	4 ? .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым	основанием	, проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной системе .
7 Какова таблица умножения в системе счисления с	основанием	4 ? .
3 Как находить последние цифры суммы и произведения чисел в системе счисления с	основанием	4 ? .
Чему равна сумма чисел ( 123)4 и ( 321)4 , записанных в системе счисления с	основанием	4 ? .
2.2 Какие из указанных чисел используются как разрядные единицы в системе счисления с	основанием	4 ? .
1 Что такое система счисления с	основанием	2 ? .
2.2 Какие из равенств являются верными в системе счисления с	основанием	4 ? .
2.1 Какие из десятичных цифр не используются при записи чисел в системе счисления с	основанием	4 ? .
3 Переведите в десятичную систему счисления следующие числа , записанные в системе счисления с	основанием	4 .
6 Какие числа являются разрядными единицами в системе счисления с	основанием	а ? .
7 Какова таблица сложения в системе счисления с	основанием	4 ? .
2 Как записать в системе счисления с	основанием	4 числа ? .
3 Как записывают натуральное число в системе счисления с	основанием	4 ? .
4 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в системе счисления с	основанием	10 ? .
Про полученную запись говорят , что числа представлены в системе счисления с	основанием	4 .
В записи аn число а называется	основанием	степени .
6 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в системе счисления с	основанием	а ? .
Для примера рассмотрим систему счисления с	основанием	4 .
Для записи чисел в системе с	основанием	16 к привычным нам цифрам 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 добавляют ещё 6 « цифр » .
1 Запишите в системе счисления с	основанием	4 числа .
3.2 Система счисления с	основанием	4 .
2.4 Какие из равенств между числами , записанными в системах счисления с основанием 2 и	основанием	4 , являются верными ? .
1.2 Какое из указанных чисел имеет запись ( 323)4 в системе счисления с	основанием	4 ? .
2.4 Какие из равенств между числами , записанными в системах счисления с	основанием	2 и основанием 4 , являются верными ? .
2 Как записывают натуральное число в системе счисления с	основанием	2 ? .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества зерна потребуется башня высотой от Земли до Солнца , в	основании	которой квадрат со сторонами около полутора метров .
На	основании	свойств единицы ( при умножении ) , нуля ( при сложении ) и распределительного закона , имеем цепочку равенств .
На	основании	этих равенств приведена таблица умножения однозначных чисел в четверичной системе счисления .
На	основании	этого рассуждения сформулируем следующее правило : площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле .
Расстояние Н между центрами	оснований	цилиндра называют высотой цилиндра .
Логарифм числа 32 по	основанию	2 равен показателю степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
В записи 25 показатель степени 5 иногда называют логарифмом числа 32 по	основанию	2 и записывают в виде .
Чему равен логарифм числа 256 по	основанию	4 ? .
Рассмотрим такой же пример , но для чисел по	основанию	4 .
Точно так же , если , то n называют логарифмом числа b по	основанию	а и пишут .
6 Чему равен логарифм числа 625 по	основанию	5 ? .
1.3 Во сколько раз увеличится объём цилиндра , если радиус	основания	увеличить в 2 раза , а высоту в 1,5 раза ? .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом	основания	1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
Радиус R	основания	цилиндра называется радиусом цилиндра .
2.1 Каким из указанных значений равен объём цилиндра с высотой 10 см и радиусом	основания	5 см ? .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и высотой Н. Найдите площадь	основания	этого столба , если .
9 Напишите формулу для вычисления площади	основания	прямоугольного параллелепипеда , у которого известны высота Н и объём V .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом	основания	1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
За сколько дней улитка поднимется от	основания	до вершины столба высотой 8 м ? .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом	основания	6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
« Донышко » и « крышка » цилиндра называются его	основаниями	.
Подобным образом можно рассмотреть записи чисел в системах счисления с другими	основаниями	, например 3 , 5 , 8 .
В предыдущих пунктах мы познакомились с системами счисления с	основаниями	4 и 10 .
Удалив это количество из 25 кг , получим 1 ( кг ) « сухого	остатка	» .
1 В каких случаях говорят , что целое число а делится на натуральное число b без	остатка	? .
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без	остатка	.
Какие из указанных чисел делятся на 37 ( без	остатка	) ? .
Какие из указанных чисел делятся на 7 ( без	остатка	) ? .
Какое число , большее 5000 и делящееся на 87 без	остатка	, вы можете указать ? .
Как показать , что число 100 делится без	остатка	на 4 ? .
2.3 Какие из указанных чисел могут быть	остатками	при делении чётного числа на 6 ? .
2.2 Какие из указанных чисел могут быть	остатками	при делении нечётного числа на 6 ? .
Деление чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в	остатке	1 .
Деление чётных чисел на 2 даёт в	остатке	0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
2.3 Какие	остатки	могут получаться при делении квадратов натуральных чисел на 4 ? .
3 Для натуральных k и l найдите	остатки	при делении на 10 суммы и произведения натуральных чисел вида .
2 Какие	остатки	могут получиться при делении натурального числа .
Выпишем последовательно	остатки	: 1 , 0 , 3 , 2 , 3 , 0 , 2 .
2.4 Какие	остатки	из приведённых не могут получаться при делении квадратов натуральных чисел на 5 ? .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с	остатком	числа а на число b остаток может равняться .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление » относится к двум разным операциям : деление нацело и деление с	остатком	.
Делим число 852 на 4 с	остатком	.
Как получить цифры числа ( 1234)5 с помощью деления с	остатком	? .
Делим с	остатком	18 на 8 .
6.2 Нахождение цифр числа в других системах счисления с помощью деления с	остатком	.
Пусть , например , требуется разделить число на число с	остатком	.
Делим с	остатком	7 .
Число r называется	остатком	, при делении натурального числа а на b. Число q называется неполным частным .
Выполним в десятичной системе последовательность делений на 4 с	остатком	.
Разделить число а на 2 с	остатком	— это значит найти такие числа q и n , что , причём .
Разделить с	остатком	число а на число b — значит найти такие числа q и r , что .
9 Разделите с	остатком	.
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат деления с	остатком	числа 539 на 17 ? .
Так как , то процесс деления с	остатком	закончен , а число 79 и является остатком .
Простейший способ вычисления для деления с	остатком	осуществляется с помощью следующей процедуры последовательного вычитания .
1.2 Какое из указанных чисел является	остатком	от деления числа 543 на 6 ? .
Деление с	остатком	.
3.3 Геометрический смысл деления с	остатком	.
Получается , что прохожий помог братьям поделить их деньги с	остатком	, а остаток забрал себе .
Деление с	остатком	и деление нацело .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую систему счисления делением с	остатком	.
Последовательно делим число 1825 на 10 с	остатком	, полученное при этом неполное частное снова делим на 10 с остатком .
19 Разделите с	остатком	.
Делим число 213 на 4 с	остатком	.
Как поделить с	остатком	15 тетрадей на четверых ? .
Алгоритм деления с	остатком	можно записывать в довольно удобном виде « уголком » .
Деление с	остатком	имеет наглядный геометрический смысл .
3.2 Деление чисел с	остатком	.
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере деления с	остатком	числа 5386 на 87 .
5 Как деление с	остатком	сводится к вычитаниям ? .
4 Каков геометрический смысл деления с	остатком	? .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое деление натуральных чисел с	остатком	.
3.6 Алгоритм деления с	остатком	« уголком » .
Так как , то 61 будет неполным частным , а 79 —	остатком	.
Последовательно делим число 1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова делим на 10 с	остатком	.
Поделим с	остатком	1416 на 107 .
Нахождение цифр числа с помощью деления с	остатком	.
Какая связь имеется между двумя последними цифрами числа и его	остатком	при делении на 100 ? .
1 Разделите с	остатком	.
Делим с	остатком	72 на 18 .
Отметим ещё одну важную особенность деления с	остатком	.
Делим с	остатком	10 на 3 .
Посмотрим , как можно подбирать нужные числа в алгоритме деления с	остатком	« уголком » на примере .
При делении 7 на 2 с	остатком	получим , а при делении 78 на 2 с остатком получим .
При делении с	остатком	менять местами делитель и частное нельзя .
8 При делении с	остатком	на число 15 получен промежуточный результат .
Натуральное число m разделим на натуральное число n с	остатком	, в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
При делении 7 на 2 с остатком получим , а при делении 78 на 2 с	остатком	получим .
Но нельзя говорить , что мы поделили 1416 на 13 с	остатком	, поскольку 25 больше 13 .
Представление , где , даёт результат деления с	остатком	числа 5386 на 87 .
Может ли при делении с	остатком	некоторого натурального числа на произведение получиться остаток 134 ? .
Разделим каждое число на 10 с	остатком	.
При делении а на b с	остатком	( для а , большего b ) вычисляем и так далее , пока разность в первый раз не станет меньше b .
Так как , то процесс деления с остатком закончен , а число 79 и является	остатком	.
Алгоритм деления с	остатком	числа а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
Разность между отрезками а и в точности равна	остатку	r .
Частное пишем слева от черты , а	остаток	— справа .
5 Найдите	остаток	от деления числа ( 3233)4 на ( 13)4 .
Частное снова пишем слева от черты , а	остаток	— справа .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 —	остаток	5 .
4 а ) Какой	остаток	при делении на 10 дают числа : 57 ; 356 ; 17 211 ; 991 ?
17 Число а при делении на 29 дало неполное частное 7 и	остаток	17 .
Чему равен	остаток	при делении произвольного натурального числа на 10 ? .
5 а ) Какой	остаток	при делении на 100 дают числа 121 ; 4567 ; 13 989 ; 807 ? .
б ) Чему равен	остаток	при делении произвольного натурального числа на 100 ? .
10 Какой	остаток	получается при делении числа на 4 ? .
11 Какой	остаток	получается при делении на 6 числа ? .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт	остаток	1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 —	остаток	2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
12 Приведите пример числа , которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 —	остаток	4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
13 При делении на 2 число даёт	остаток	1 .
2.2 Какие из приведённых чисел при делении на 11 дают	остаток	7 ? .
2.1 Какие из приведённых чисел при делении на 9 дают	остаток	4 ? .
Какой	остаток	может получиться при делении этого числа на 6 ? .
14 При делении числа а на 2 получился	остаток	1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
1.4 Какой наибольший	остаток	может получиться при делении натурального числа на 27 ? .
14 При делении числа а на 2 получился остаток 1 , а при делении на 3 —	остаток	2 .
Какой	остаток	даёт число а при делении на 6 ? .
15 Какой вид имеют числа , дающие при делении на 6 : а )	остаток	1 ; б ) остаток 4 ; в ) остаток 5 ? .
1.1 Чему равен	остаток	от деления числа 13 578 на 5 ? .
15 Какой вид имеют числа , дающие при делении на 6 : а ) остаток 1 ; б )	остаток	4 ; в ) остаток 5 ? .
15 Какой вид имеют числа , дающие при делении на 6 : а ) остаток 1 ; б ) остаток 4 ; в )	остаток	5 ? .
20 Найдите неполное частное и	остаток	при делении чисел .
18 Известно , что число 1287 при делении на 7 даёт	остаток	6 .
3 Какой наибольший	остаток	может получиться при делении .
2 Что такое	остаток	от деления числа а на число b ? .
16 Какой вид имеют числа , дающие при делении на 100	остаток	25 ? .
В этом примере 13 — неполное частное , а 25 —	остаток	.
Чему равны неполное частное и	остаток	при делении числа 45 на 6 ? .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с остатком числа а на число b	остаток	может равняться .
Может ли при делении с остатком некоторого натурального числа на произведение получиться	остаток	134 ? .
Получили неполное частное 4 и	остаток	0 .
Оставшийся « кусочек » длины 3 как раз и есть	остаток	.
Получили неполное частное 2 и	остаток	2 .
Получили неполное частное 0 и	остаток	7 .
Получили неполное частное 3 и	остаток	1 .
Чему равен	остаток	от деления числа 87 001 на 87 ? .
Получается , что прохожий помог братьям поделить их деньги с остатком , а	остаток	забрал себе .
Как найти	остаток	при делении числа 1994 на 6 , используя равенство .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого	острого	угла этого треугольника .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого	острого угла	этого треугольника .
2 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	острые	углы , если часы показывают время : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ; в ) 12 часов 30 минут ; г ) 12 часов 15 минут ; д ) 3 часа 18 минут ? .
2 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	острые углы	, если часы показывают время : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ; в ) 12 часов 30 минут ; г ) 12 часов 15 минут ; д ) 3 часа 18 минут ? .
Какой из углов	острый	, а какой — тупой ? .
Углы	острый	.
Угол , градусная мера которого меньше 90 ° , называется	острым	углом .
3 Какой угол называется	острым	? .
Угол , градусная мера которого меньше 90 ° , называется	острым углом	.
2.1 Какие из углов являются	острыми	? .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из	острых	углов в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме	острых	углов прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме	острых	углов того же треугольника .
Угол KLD равен сумме	острых	углов прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме	острых углов	прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Угол KLD равен сумме	острых углов	прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из	острых углов	в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме	острых углов	того же треугольника .
По какому свойству длин отрезков мы попадаем в точку , изображающую произведение ab , когда	откладываем	b раз отрезок длины а ? .
Если заранее не указывать полуплоскость , в которой	откладывается	угол заданной величины больше 0 ° и меньше 180 ° , то можно получить два угла .
Если необходимо , ничто не мешает рассмотреть любую прямую , выбрать на ней произвольное направление и от определённой точки	откладывать	числа .
Если на числовой прямой от точки 0 вправо	отложен	отрезок длиной то его правый конец мы обозначили через .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо	отложен	отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной то сумма длин двух	отложенных	отрезков равна , то есть равна .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух	отложенных	отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Если от точки — вправо отложим еще один отрезок длиной то сумма длин двух	отложенных	отрезков равна , то есть равна 2 .
Теперь от точки вправо	отложим	третий отрезок с той же длиной , правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если от точки вправо	отложим	ещё один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
Затем от точки 2 вправо	отложим	пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
Теперь от точки вправо	отложим	третий отрезок с той же длиной правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если от точки — вправо	отложим	еще один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
Когда	отложим	отрезок длиной в 9 единичных отрезков 7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
Если от точки вправо	отложим	ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
10 Как от данного луча	отложить	угол заданной величины ? .
Все лучи обладают следующим важным свойством : на любом луче от его начала можно	отложить	отрезок любой заданной длины .
8 При измерении расстояния между двумя колышками выбрали палочку длиной 1 м 50 см и получили , что эту палочку нужно последовательно	отложить	20 раз .
7 При измерении расстояния между двумя колышками выбрали палочку длиной 60 см и получили , что эту палочку нужно последовательно	отложить	7 раз .
Можно ли	отложить	на луче АВ отрезок длины 1 км так , чтобы один из концов отрезка совпал с точкой А ? .
Возьмём на луче произвольную точку М. Как	отложить	от этой точки отрезок данной длины , целиком лежащий на луче ?
11 Сколько углов заданной величины можно	отложить	от заданного луча ? .
Почему от любого луча можно	отложить	только два различных угла величиной в 90 ° ? .
4 От любого луча можно	отложить	плоский угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
8 Сколько раз нужно	отложить	отрезок длиной вправо от точки 0 , чтобы в результате определить дробь ? .
Аналогично , если от точки вправо	отложить	ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным числом или числом .
21 Сколько непересекающихся отрезков длиной 14 см можно	отложить	на отрезке длиной 54 дм ? .
Так сложилось , что в математике одно и то же слово « деление »	относится	к двум разным операциям : деление нацело и деление с остатком .
По сравнению с указанным числом и к миллиону , и к миллиарду скорее всего следует	относиться	как к « карликам » .
К таким величинам	относятся	, например , вес и время .
Найдите	отношение	расстояний в 50 км и 20 км и сравните его с отношением соответствующих значений израсходованного бензина .
Эти числа имеют непосредственное	отношение	к измерению плоских углов в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в градусах .
Найдите	отношение	масс 62,4 г и 15,6 г. Сравните полученное отношение с отношением соответствующих объёмов стали .
Найдите отношение масс 62,4 г и 15,6 г. Сравните полученное	отношение	с отношением соответствующих объёмов стали .
2.2 При каких из указанных значений а	отношение	больше 1,5 ? .
Найдите отношение площадей поперечного сечения и сравните это	отношение	с отношением соответствующих скоростей течения реки .
Найдите	отношение	площадей поперечного сечения и сравните это отношение с отношением соответствующих скоростей течения реки .
Найдите отношение площадей поперечного сечения и сравните это отношение с	отношением	соответствующих скоростей течения реки .
Найдите отношение масс 62,4 г и 15,6 г. Сравните полученное отношение с	отношением	соответствующих объёмов стали .
Найдите отношение расстояний в 50 км и 20 км и сравните его с	отношением	соответствующих значений израсходованного бензина .
Показано , как выглядит найденный кратчайший путь по	отношению	к комнате .
5 Увеличенным или уменьшенным по	отношению	к действительности будет изображение предмета в масштабе .
от уменьшаемого и от вычитаемого	отнять	по 0,12 .
а ) к уменьшаемому прибавить 0,12 , а от вычитаемого	отнять	0,12 .
Точки , которые соединялись , называются концами этого	отрезка	.
Когда мы перекладываем части , то получаем , только внутренняя полоска настолько узкая , что её на глаз не отличишь от	отрезка	.
2 Нарисуйте два непересекающихся	отрезка	.
3 Нарисуйте два	отрезка	, имеющих общий конец .
11 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	АО .
Два	отрезка	на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного отрезка совмещается с другим отрезком .
В то же время расстояние от точки 0 до правого конца третьего	отрезка	равно 1 .
Значит правый конец	отрезка	[ 0 ; 1 ] можно обозначить также через .
3 Нарисуйте два	отрезка	с общим концом .
Поэтому правый конец третьего	отрезка	можно обозначить также через .
4 Нарисуйте два равных пересекающихся	отрезка	.
5 Нарисуйте два равных непересекающихся	отрезка	.
Все остальные точки	отрезка	называются его внутренними точками .
1 Если два	отрезка	равны третьему отрезку , то они равны между собой .
1 Нарисуйте два пересекающихся	отрезка	.
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины	отрезка	.
Геометрический смысл деления числа а на число b — это деление	отрезка	длины а на b равных частей .
В таком случае будем говорить , что отрезок GH проходит через конец	отрезка	EF .
Могут ли концы одного	отрезка	быть внутренними точками другого отрезка ? .
Расстоянием между различными точками А и В называется длина	отрезка	АВ .
8 Нарисуйте два равных	отрезка	так , чтобы конец одного из них находился на другом отрезке .
Какие обозначения для точек деления	отрезка	[ 0 ; k ] на три равные части вы можете предложить ? .
Чему равна длина	отрезка	АВ ? .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина	отрезка	[ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
Могут ли концы одного отрезка быть внутренними точками другого	отрезка	? .
9 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	BD .
Конец	отрезка	EF лежит на другом отрезке GH .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет третью часть от длины	отрезка	[ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
Точка D может совпадать с концом любого	отрезка	и даже быть общим концом обоих отрезков сразу .
21 Задана ломаная ABCD , длина которой 10 см. Что вы можете сказать о длине	отрезка	AD ? .
Могут ли два	отрезка	на плоскости иметь более одной общей точки ? .
10 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	ВС .
Два	отрезка	на плоскости могут располагаться по - разному .
2.4 Изображён прямоугольник ABCD и ещё два	отрезка	.
Рассматривая деление	отрезка	[ 0 ; 1 ] на две равные части , мы определили дробные числа и так далее .
Почему площадь	отрезка	можно считать равной нулю ? .
Например , величина	отрезка	АВ составляет 5 шагов , отрезка CD — 3 шага , отрезка EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а отрезка GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Отрезок длины 54 получен откладыванием	отрезка	длиной 9 шесть раз .
5 Как можно обозначить левую точку деления	отрезка	[ 0 ; 2 ] на три равные части ? .
4 Середину какого	отрезка	отмечают простейшей дробью .
Как на практике можно определить длину	отрезка	? .
2.2 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной	отрезка	АС ? .
Надпись на карте « масштаб 1 : 100 » означает , что отрезком в 1 см на бумаге изображён отрезок в 100 см , или по - другому , что вместо	отрезка	в 1 м на бумаге изображается отрезок в 0,01 м .
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора единичного	отрезка	, можно приписать различные числа , поэтому , указывая длину , надо указывать единицу измерения .
При этом копия	отрезка	АВ совместится с отрезком CD .
Можно ли отложить на луче АВ отрезок длины 1 км так , чтобы один из концов	отрезка	совпал с точкой А ? .
Обозначается расстояние между точками точно так же , как и длина	отрезка	.
« Значит , правый конец второго	отрезка	можно обозначить через .
При замене единицы измерения изменяется и численное значение длины	отрезка	.
Два отрезка на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного	отрезка	совмещается с другим отрезком .
Какие из указанных значений не могут быть длиной	отрезка	АС ? .
Чему равна длина отрезка ВС , если известно , что длина	отрезка	NK равна 12 мм ? .
Выбор некоторого	отрезка	в качестве единичного позволяет любому другому отрезку приписать число , называемое его длиной .
В качестве примера рассмотрим два	отрезка	АВ и CD .
2.4 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной	отрезка	АС ? .
Как объяснить , что на числовой прямой длина	отрезка	будет равна .
2.3 Длина	отрезка	.
Например , величина отрезка АВ составляет 5 шагов , отрезка CD — 3 шага , отрезка EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а	отрезка	GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Например , величина отрезка АВ составляет 5 шагов , отрезка CD — 3 шага ,	отрезка	EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а отрезка GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Например , величина отрезка АВ составляет 5 шагов ,	отрезка	CD — 3 шага , отрезка EF — больше 4 , но меньше 5 шагов , а отрезка GH — больше 5 , но меньше 6 шагов .
Чему равна длина	отрезка	ВС , если известно , что длина отрезка NK равна 12 мм ? .
Сколько клеток составляет длина каждого из отрезков , если в результате получились : а ) три отрезка ; б ) четыре	отрезка	; в ) шесть отрезков ? .
Найдите длину	отрезка	АБ .
Для фиксированного	отрезка	АВ справедливо следующее свойство при уменьшении единицы измерения численное значение длины отрезка АВ увеличивается , а при увеличении единицы измерения — уменьшается .
Рассматривая деление	отрезка	[ 0 ; 1 ] на три равные части , мы определили дробные числа и так далее .
Сколько клеток составляет длина каждого из отрезков , если в результате получились : а ) три	отрезка	; б ) четыре отрезка ; в ) шесть отрезков ? .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина	отрезка	АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Чему равна длина	отрезка	ВС ? .
Чтобы различать в записи отрезок и его длину , будем использовать вертикальные чёрточки и длину	отрезка	АВ обозначать как |АВ| .
Аналогично для любого натурального числа можно рассмотреть деление	отрезка	[ 0 ; 1 ] на n равных частей .
Разделите его на несколько равных	отрезка	.
Каждую ломаную изображают так : последовательно шаг за шагом проводят отрезки так , что свободный конец предыдущего	отрезка	является началом следующего .
Построенный таким образом луч является продолжением	отрезка	АВ за точку В. Точка А называется началом луча .
Из того же	отрезка	АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
Каковы бы ни были два	отрезка	, существует прямоугольник , стороны которого попарно равны этим отрезкам .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением	отрезка	АВ за точку А. Его начало — точка В .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина	отрезка	CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Длина	отрезка	не превышает длины любой ломаной , соединяющей его концы .
Какие из указанных значений равны длине	отрезка	АВ ? .
Для любого луча выполняется ещё одно важное свойство : если на луче АВ взять две различные точки М и Ν , то все точки	отрезка	ΜΝ тоже будут расположены на луче АВ .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины	отрезка	АБ .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого	отрезка	следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Длину части	отрезка	от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
Для фиксированного отрезка АВ справедливо следующее свойство при уменьшении единицы измерения численное значение длины	отрезка	АВ увеличивается , а при увеличении единицы измерения — уменьшается .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого	отрезка	равно .
	Отрезка	, если считать , что сторона одной клеточки равна 3 см ? .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины	отрезка	ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина	отрезка	АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Значит , правый конец	отрезка	[ 0 ; 1 ] можно обозначить также через .
Проведите три	отрезка	, соединяя попарно какие - то из этих точек .
Чему равна длина этого	отрезка	в сантиметрах ? .
Длину части отрезка от точки 0 до середины	отрезка	[ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей дробью ( читается « одна вторая » ) .
Длину части	отрезка	от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей дробью ( читается « одна вторая » ) .
1.4 Длина	отрезка	АВ равна 7400 мм .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать отрезок на этой прямой , левый конец которого обозначен числом а , тогда как правый конец обозначен числом b. Например , концами	отрезка	[ 0 ; 1 ] являются точки 0 и 1 .
Если считать длину	отрезка	АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину	отрезка	АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Для того чтобы ввести новые числа , будем рассматривать суммы равных частей единичного	отрезка	на числовой прямой .
Точку деления можно также обозначить через , так как длина	отрезка	[ 0 ; k ] по определению равна k.
Чему равна длина этого	отрезка	в дециметрах ? .
2.1 При измерении	отрезка	АВ получили , что его длина находится между 520 и 605 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого отрезка ? .
Оказалось , что длина	отрезка	АВ в таких единицах равна 20 .
2.1 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 520 и 605 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого	отрезка	? .
14 При измерении некоторого	отрезка	АВ за единицу был принят отрезок PQ длиной 1 м 1 см 1 мм .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины	отрезка	[ 0 ; k ] обозначим через дробь ( читается « ка вторых » ) .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину	отрезка	от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; k ] обозначим через дробь ( читается « ка вторых » ) .
2.2 При измерении	отрезка	АВ получили , что его длина находится между 30 см и 50 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого отрезка ? .
2.2 При измерении отрезка АВ получили , что его длина находится между 30 см и 50 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной этого	отрезка	? .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V. Длина такого пути будет не меньше длины	отрезка	NV .
2.3 При измерении	отрезка	АВ получили , что его длина 543 см. Какие из указанных значений являются значениями его длины с недостатком ? .
5 Приведите пример	отрезка	, который можно назвать гипотенузой и катетом .
Как на числовой прямой можно обозначить середину	отрезка	[ 3 ; 4 ] ? .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины	отрезка	ВС. Найдите длину АС .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина	отрезка	АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
3 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 15 см , а длина	отрезка	ВС на 6 см больше .
3 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина	отрезка	АВ равна 15 см , а длина отрезка ВС на 6 см больше .
Чему равна длина	отрезка	АС ? .
2 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 8 см , а длина	отрезка	ВС на 3 см меньше .
2 На отрезке АС выбрана точка В так , что длина	отрезка	АВ равна 8 см , а длина отрезка ВС на 3 см меньше .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как k , так как длина всего	отрезка	[ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
Как объяснить , что на числовой прямой длина	отрезка	от точки до точки 1 также равна ? .
Затем выбрать раствор циркуля , равный этому отрезку , и провести с этим радиусом две окружности с центрами в концах нарисованного	отрезка	.
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной , видим , что правый конец четвёртого	отрезка	, обозначенный через 2 , можно обозначить также .
Точки А и В — это концы	отрезка	АВ .
4 Чему равна длина	отрезка	, составленного из двух отрезков ? .
Длину части	отрезка	от точки 0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и будем считать .
Если начало и конец	отрезка	совпадают , то его длина равна нулю , в каких бы единицах эту длину ни измеряли .
6 Как обозначается длина	отрезка	? .
1.3 Длина	отрезка	АВ равна 3 м .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину	отрезка	ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
С другой стороны , из равенства длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного	отрезка	совпадает с другим отрезком .
2.4 При измерении	отрезка	АВ получили , что его длина 4532 см. Какие из указанных значений являются значениями его длины с избытком ? .
3 Какое число на числовой прямой изображает середина С	отрезка	АВ , если точки А и В изображают числа ? .
3.2 Характеристическое свойство точек	отрезка	.
Середину отрезка [ 0 ; 3 ] также обозначают через потому что длина	отрезка	0 ; по определению равна .
Середину	отрезка	[ 0 ; 3 ] также обозначают через потому что длина отрезка 0 ; по определению равна .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины	отрезка	[ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
Заменим угол GAH на равный ему угол КАЛ , который получается при откладывании на продолжении GH	отрезка	НК , равного GH .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину	отрезка	от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
5 Возьмите любую точку А и нарисуйте три различных	отрезка	длиной 2 см каждый , одним из концов которых будет точка А. Можно ли нарисовать десять таких различных отрезков ? .
11 При измерении некоторого	отрезка	АВ за единицу измерения был принят отрезок PQ длиной 6 мм .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина	отрезка	АВ ? .
Чему равна длина	отрезка	АВ в сантиметрах ? .
При измерении некоторого	отрезка	АВ его длина в шагах сетки получилась равной 28 .
Длина каких из указанных отрезков в два раза больше длины	отрезка	MN ? .
Длину	отрезка	от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 2 ] обозначим через дробь ( читается « две вторых » ) .
Так понятие длины позволяет отличать точки	отрезка	от всех остальных точек .
Таким образом , серединой	отрезка	[ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Длину отрезка от точки 0 до середины	отрезка	[ 0 ; 2 ] обозначим через дробь ( читается « две вторых » ) .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего	отрезка	[ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
При измерении некоторого	отрезка	АВ его длина в шагах сетки получилась равной 9 .
Поэтому точки	отрезка	АВ — это все такие точки С , для которых выполняется равенство .
Проведите два	отрезка	, соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одной из вершин .
Пусть имеется квадрат ABCD со стороной 5 см. Как пояснить , что длина	отрезка	АС меньше 10 см ? .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего	отрезка	[ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
Чему равняется длина	отрезка	АВ , если за единицу измерения принят отрезок длиной 5 мм ? .
Изобразите три равных ему	отрезка	.
Сначала нарисовать два непересекающихся	отрезка	.
5 Можно ли из отрезков в 4 см , 5 см , 6 см и 7 см составить два	отрезка	, равные диагоналям некоторого квадрата ? .
Тогда длина	отрезка	АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ .
13 Длина некоторого	отрезка	АВ равна 40 мм .
6 Можно ли из отрезков в 23 см , 25 см , 27 см , 30 см составить два	отрезка	, равные диагоналям прямоугольника ? .
Проведите два	отрезка	, соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки не имели ни одной общей точки .
Проведите два	отрезка	, соединяя попарно какие - то из этих точек .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины	отрезка	от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного	отрезка	числовой прямой .
Какие обозначения середины	отрезка	[ 0 ; 100 ] вы можете предложить ? .
Серединой	отрезка	[ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
При каких из указанных значений а и b точка А является серединой	отрезка	, изображающего числа а и b ? .
12 При измерении некоторого	отрезка	АВ за единицу измерения был принят отрезок PQ длиной 25 мм .
Длина	отрезка	.
Таким образом , серединой	отрезка	[ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 3 .
Оказалось , что длина	отрезка	АВ в таких единицах равна 15 .
Оказалось , что длина	отрезка	АВ в таких единицах равна 8 .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина	отрезка	АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
Чему равна длина	отрезка	АВ в миллиметрах ? .
Как объяснить , что на числовой прямой длина	отрезка	от точки до точки 1 равна ? .
Середину	отрезка	[ 0 ; 2 ] можно обозначить через , потому что длина отрезка [ 0 ; 2/2 ] по определению равна .
7 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	CD .
Рассмотрим два различных	отрезка	АВ и АС с общим концом А. Углом между отрезками АВ и АС будем называть угол между лучами АВ и АС .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины	отрезка	ВС. Найдите длину АС .
8 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	АВ .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине	отрезка	[ 0 ; 1 ] .
Середину отрезка [ 0 ; 2 ] можно обозначить через , потому что длина	отрезка	[ 0 ; 2/2 ] по определению равна .
6 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину	отрезка	AD .
Значит , правый конец второго	отрезка	можно обозначить через .
Каковы бы ни были два отрезка , существует прямоугольник , стороны которого попарно равны этим	отрезкам	.
Будем изображать скорости	отрезками	, считая , что одному сантиметру соответствует величина скорости в 20 км / ч .
Углы образованный	отрезками	.
1.4 Угол между	отрезками	с общим концом .
Какие фигуры , содержащие четыре точки , соединённые	отрезками	, но не являющиеся четырёхугольниками , вы можете нарисовать при помощи линейки ? .
Рассмотрим два различных отрезка АВ и АС с общим концом А. Углом между	отрезками	АВ и АС будем называть угол между лучами АВ и АС .
Обозначьте буквами концы отрезков , а затем запишите обозначение всего угла между	отрезками	.
Какое наибольшее число равных между собой прямоугольных треугольников можно получить , соединяя	отрезками	некоторые из вершин заданного квадрата ?
Выберем три различные точки А , В и С. Соединим	отрезками	точки А и В , В и С , А и С , — например , так , как .
5 Нарисуйте какую - либо фигуру , ограниченную	отрезками	с концами в узлах клетчатой бумаги , и найдите её площадь .
Понятие угла между	отрезками	позволяет говорить об углах треугольника , углах четырёхугольника и углах других многоугольников .
Найдём площадь S четырёхугольника ABCD на Разделим его	отрезками	АС и BD на четыре треугольника .
Можно отметить на листе бумаги три точки , и соединить две пары из них	отрезками	.
Отметим три различные точки А , В и С. Соединим их	отрезками	по записи А→В→С→А→В→С→А. Получится треугольник АВС , каждая сторона которого проводилась дважды .
Другими словами , если на плоскости четыре точки каким - то образом соединены	отрезками	, то полученная фигура является четырёхугольником только в случае выполнения указанных трёх свойств .
Соединим	отрезками	каждую пару точек .
Угол , образованный	отрезками	.
Соединим их	отрезками	по записи А→В→С→А→D→E→A→F→G→A .
Разность между	отрезками	а и в точности равна остатку r .
7 Как определяется угол между двумя	отрезками	с общим концом ? .
Отметим на бумаге четыре точки , и соединим их	отрезками	.
Отмеченные точки , которые соединялись	отрезками	, называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие вершины , называют сторонами треугольника .
Ломаная обозначается перечислением вершин в том порядке , в каком они соединяются	отрезками	.
Отметим различные точки А , В , С , D , Е и F. Соединим их	отрезками	в том порядке , в каком они записаны .
В результате получим угол , образованный двумя	отрезками	.
Сколько получится разных треугольников , если соединить	отрезками	всевозможные пары точек ? .
Вершина угла , образованного	отрезками	.
Соединим	отрезками	точки А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь точки А , В , С , D — вершины четырёхугольника .
Изображён квадрат ABCD , разбитый	отрезками	АС и BD на четыре треугольника — АОВ , ВОС , COD и AOD .
Как можно соединить некоторые из них четырьмя	отрезками	, чтобы не получился четырёхугольник ? .
Выберем на плоскости пять точек — D , Р , X , Z , U и соединим их	отрезками	.
12 Что вы можете сказать о двух	отрезках	равной длины ? .
8 Нарисуйте два равных отрезка так , чтобы конец одного из них находился на другом	отрезке	.
Вы узнаете , как свойства длины позволяют различать точки , лежащие на	отрезке	и не лежащие на нём , как « неравенство треугольника » позволяет находить кратчайшие пути .
21 Сколько непересекающихся отрезков длиной 14 см можно отложить на	отрезке	длиной 54 дм ? .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на	отрезке	, соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
11 На	отрезке	AD выбраны точки В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АО .
2.3 Известно , что точка В не лежит на	отрезке	АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 25 см и 14 мм .
2 На	отрезке	АВ выбрана точка С , не совпадающая с его концами .
8 На	отрезке	AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АВ .
Для каждой точки С , лежащей на	отрезке	АВ , выполняется равенство .
Конец отрезка EF лежит на другом	отрезке	GH .
Но фигура , составленная из трёх точек и соединяющих их отрезков , не является треугольником , когда все три точки оказываются лежащими на одном	отрезке	.
5 Какое свойство имеют точки , лежащие на	отрезке	? .
7 На	отрезке	AD выбраны точки Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка CD .
6 Какое свойство имеют точки , не лежащие на	отрезке	? .
Если на	отрезке	PQ выбрана точка R , то можно рассматривать ещё и отрезки PR и RQ .
Точно так же точка В не лежит на отрезке АС и или ; точка С не лежит на	отрезке	АВ , а поэтому .
Так как точка А не лежит на	отрезке	ВС , то по основному свойству длины .
Неполное частное q показывает , какое наибольшее количество раз отрезок длины b укладывается в	отрезке	длины а .
10 На	отрезке	AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка ВС .
1.4 На	отрезке	АВ выбрана точка С. Сколько среди лучей АВ , ВА , ВС , СВ , АС , СА различных фигур ? .
Может ли точка А лежать на	отрезке	ВС ? .
Каким свойством характеризуются точки , не лежащие на	отрезке	? .
Точно так же точка В не лежит на	отрезке	АС и или ; точка С не лежит на отрезке АВ , а поэтому .
Отрезок длины 9 восемь раз укладывается в	отрезке	длины 75 .
Если взять точку D , не лежащую на	отрезке	АВ , как , например , то непосредственные измерения линейкой показывают , что в таком случае выполняется неравенство .
2.4 Известно , что точка В не лежит на	отрезке	АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
2.1 Точки В , С , D лежат на	отрезке	АВ так , как указано на рис .
Какая из точек лежит на	отрезке	с концами в остальных точках ? .
6 На	отрезке	АВ отмечены точки С и D так , что С лежит между А и D . а ) Какие лучи с началом в одной из точек А , В , С и D содержат отрезок CD ? .
Переместить точку В и отметить точку С можно , и не задавая точек К и М. Видно , что неизвестную точку следует выбрать на	отрезке	АС .
если для точки С выполняется равенство , то эта точка лежит на	отрезке	АВ .
13 С помощью линейки найдите точку внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на	отрезке	, соединяющем противоположные вершины В и D .
3 На	отрезке	АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 15 см , а длина отрезка ВС на 6 см больше .
Если же взять точку М не на	отрезке	АС , то получится .
2.2 Известно , что точка В не лежит на	отрезке	АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
6 На	отрезке	AD выбраны точки В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка AD .
12 На	отрезке	AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
4 На	отрезке	АБ длиной 19 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
9 На	отрезке	AD выбраны точки Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка BD .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на	отрезке	длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на	отрезке	длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Для каждой точки D , не лежащей на	отрезке	А В , выполняется неравенство .
Каким числам соответствуют остальные деления на каждом	отрезке	? .
2 На	отрезке	АС выбрана точка В так , что длина отрезка АВ равна 8 см , а длина отрезка ВС на 3 см меньше .
5 На	отрезке	АВ длиной 26 см выбрана точка С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
Треугольником называется геометрическая фигура , состоящая из трёх точек , не лежащих на одном	отрезке	, и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
2 Какие	отрезки	называются равными ? .
Такие	отрезки	будем называть непересекающимися .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные	отрезки	, начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
3 Заданы точки А , В , С , D и Е. Нарисуйте все	отрезки	, концами которых являются пары этих точек .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся	отрезки	имели общую точку , которая не совпадает ни с одной из вершин .
Почему равны	отрезки	ВМ и MC ? .
Разделим каждую его сторону на 5 равных частей и проведём	отрезки	.
Эти	отрезки	называются звеньями ломаной .
Проведённые	отрезки	АВ , ВС , CD , DA — стороны этого четырёхугольника .
Каждую ломаную изображают так : последовательно шаг за шагом проводят	отрезки	так , что свободный конец предыдущего отрезка является началом следующего .
Изображены отрезки MN и KL , которые имеют общую точку D. Такие	отрезки	будем называть пересекающимися .
2.4 Изображены	отрезки	лучей АВ , CD , MN , KL .
11 Диагоналями четырёхугольника называются	отрезки	, соединяющие противоположные вершины .
Шагами сетки можно измерять и произвольно расположенные	отрезки	.
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся	отрезки	не имели ни одной общей точки .
При измерении отрезков вместо сантиметра или шага сетки клетчатой бумаги с таким же успехом можно взять любой другой отрезок , считать его единичным и сравнивать с ним остальные	отрезки	способом , похожим на предыдущий .
Общий конец этих отрезков называют вершиной угла , а сами	отрезки	называют сторонами угла .
Так как	отрезки	являются геометрическими фигурами , то для них также имеет смысл рассматривать понятие геометрического равенства .
5 Как можно измерять	отрезки	в шагах сетки клетчатой бумаги ? .
Глядя на этот рисунок , сразу трудно понять , равны изображённые	отрезки	или нет .
С помощью линейки можно изображать разнообразные	отрезки	.
4 Какие	отрезки	называются пересекающимися ? .
Покажите , что	отрезки	МВ и NA равны .
3 Какие	отрезки	называются непересекающимися ? .
Шагами сетки очень легко измерять горизонтальные и вертикальные	отрезки	с вершинами в узлах сетки .
Изображены	отрезки	MN и KL , которые имеют общую точку D. Такие отрезки будем называть пересекающимися .
6 Какие	отрезки	пересекают границу двух полуплоскостей , определяемых одной прямой ? .
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а	отрезки	DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Изображены	отрезки	АВ и ВС , имеющие общий конец .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся	отрезки	не имели ни одной общей точки .
1 Отметьте три точки и нарисуйте все	отрезки	, концами которых являются эти точки .
Эти	отрезки	— гипотенузы равных прямоугольных треугольников с катетами в одну и семь клеточек .
Длина отрезков задаётся так , что равные	отрезки	имеют равные длины .
С другой стороны , из равенства длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти	отрезки	равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим отрезком .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся	отрезки	имели общий конец .
Следовательно ,	отрезки	АВ и CD равны .
8 Изобразите луч АВ и	отрезки	CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать	отрезки	длиной 20 см ? .
Откладываем последовательно от 0 отрезки длины b , получаем	отрезки	длиной 36 , 54 .
Фигура , полученная последовательным соединением точек М , N , К , L , М , не считается четырёхугольником , потому что несоседние	отрезки	ML и NК пересекаются .
10 На сторонах квадрата ABCD точки М , N , К , L. Покажите , что	отрезки	ML и KN равны .
Напомним , как измеряются	отрезки	с помощью линейки .
Нарисуйте все	отрезки	, концами которых являются пары этих точек .
3 Какие	отрезки	называются равными ? .
Если на отрезке PQ выбрана точка R , то можно рассматривать ещё и	отрезки	PR и RQ .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся	отрезки	имели больше одной общей точки .
Как измерять	отрезки	на местности ? .
5 Объясните , почему точки А , В , С , D и	отрезки	АВ , CD нельзя считать одной ломаной .
Изображены	отрезки	AS и CD , не имеющие общих точек .
Сохранив нужные нам	отрезки	и добавив вспомогательный квадрат BGMN .
Рассмотрим всевозможные	отрезки	, начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую геометрическую фигуру — луч АВ .
Указанные точки называют вершинами треугольника , а соединяющие их	отрезки	— сторонами треугольника .
18 Изображены	отрезки	числовых прямых с нанесёнными на них делениями .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а	отрезки	, соединяющие вершины , называют сторонами треугольника .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся	отрезки	имели общую точку , которая не совпадает ни с одним из концов этих отрезков .
При измерении	отрезков	вместо сантиметра или шага сетки клетчатой бумаги с таким же успехом можно взять любой другой отрезок , считать его единичным и сравнивать с ним остальные отрезки способом , похожим на предыдущий .
Какие из указанных	отрезков	равны отрезку MN ? .
Сколько может быть таких	отрезков	? .
2.4 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины	отрезков	АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из	отрезков	( сторон многоугольника ) .
Действительно , отрезок АС состоит из	отрезков	АВ и ВС. Поэтому .
2.2 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины	отрезков	АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих	отрезков	вместе образуют новую геометрическую фигуру — луч АВ .
Всякий треугольник можно представить как фигуру , составленную из трёх точек и соединяющих их	отрезков	.
3 Сформулируйте неравенство треугольника для длин	отрезков	.
2.1 Изображена прямая ΜΝ и четыре точки — А , В , С , D. Какие из указанных	отрезков	пересекаются с прямой ΜΝ ? .
2 Изображены точки А , В , С и D. Сколько существует разных	отрезков	, концами которых являются эти точки ? .
2.3 Известно , что точка В не лежит на отрезке АС , а длины	отрезков	АВ и ВС равны 25 см и 14 мм .
14 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы среди всех	отрезков	, соединяющих эти точки , была пара непересекающихся отрезков .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти	отрезков	длиной .
Пусть М — точка пересечения этих	отрезков	.
Если от точки — вправо отложим еще один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных	отрезков	равна , то есть равна 2 .
В таком случае говорят , что отрезок PQ составлен из	отрезков	PR и RQ .
Сколько	отрезков	должно получиться ? .
Сколько всего	отрезков	можно получить , попарно соединяя эти точки ? .
В некоторых случаях отрезок составляют из двух или нескольких равных между собой	отрезков	.
14 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы среди всех отрезков , соединяющих эти точки , была пара непересекающихся	отрезков	.
1.3 Какой из	отрезков	равен отрезку АБ ? .
5 Возьмите любую точку А и нарисуйте три различных отрезка длиной 2 см каждый , одним из концов которых будет точка А. Можно ли нарисовать десять таких различных	отрезков	? .
2.3 Какие из пар	отрезков	являются соседними сторонами шестиугольника ? .
Какие из	отрезков	равны отрезку MN ? .
1 Какие примеры	отрезков	вы знаете ? .
По аналогии с определением равенства	отрезков	будем называть углы АОВ и А1ОВ1 равными углами .
2.4 Какие из	отрезков	равны отрезку СЕ ? .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух	отрезков	, имеющих единственную общую точку , то его длина равна сумме длин составляющих его отрезков .
2.3 Какие из	отрезков	равны отрезку AF ? .
6 Нарисуйте отрезок , составленный из двух равных	отрезков	.
Симметрия плоскости относительно прямой , соединяющей середины	отрезков	AD и СЕ .
19 Сколько можно указать вертикальных и горизонтальных	отрезков	, концами которых являются точки ? .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных	отрезков	длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
По какому свойству длин	отрезков	мы попадаем в точку , изображающую произведение ab , когда откладываем b раз отрезок длины а ? .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую точку , то его длина равна сумме длин составляющих его	отрезков	.
2.2 Какие из	отрезков	равны отрезку АВ ? .
7 Нарисуйте отрезок , составленный из трёх равных	отрезков	.
Выберем на плоскости несколько точек , назовём их вершинами , а некоторые из	отрезков	, соединяющих вершины , назовём сторонами .
Сколько клеток составляет длина каждого из отрезков , если в результате получились : а ) три отрезка ; б ) четыре отрезка ; в ) шесть	отрезков	? .
4.3 Ломаная как путь из	отрезков	.
Затем проведите другой отрезок так , чтобы их общей точкой был только один конец какого - то из этих	отрезков	.
3 Какое свойство длины	отрезков	называется основным ? .
Сравните число получившихся	отрезков	с числом отрезков из предыдущей задачи .
Треугольником называется геометрическая фигура , состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх	отрезков	, соединяющих эти точки .
Сравните число получившихся отрезков с числом	отрезков	из предыдущей задачи .
2.1 Какие из	отрезков	равны отрезку АВ ? .
Какой из указанных	отрезков	луча ΜΝ равен отрезку АВ ? .
Середины	отрезков	вида [ 0 ; 1 ] , [ 0 ; 2 ] и [ 0 ; 3 ] .
С другой стороны , из равенства длин двух	отрезков	можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим отрезком .
9 Каковы основные свойства длины	отрезков	? .
Известно , что если на плоскости попарно соединять 15 различных точек , то всего получится 105 различных	отрезков	.
1.4 Взаимное расположение двух	отрезков	.
Сколько клеток составляет длина каждого из	отрезков	, если в результате получились : а ) три отрезка ; б ) четыре отрезка ; в ) шесть отрезков ? .
Иногда для	отрезков	с общим началом нужно рассматривать и какой - то из плоских углов .
Но фигура , составленная из трёх точек и соединяющих их	отрезков	, не является треугольником , когда все три точки оказываются лежащими на одном отрезке .
Из	отрезков	можно составить много самых разнообразных фигур .
Сколько всего	отрезков	можно получить , попарно соединяя 16 различных точек ? .
1.6 Середины	отрезков	вида [ 0 ; k ] , где k — натуральное число .
Какие из указанных	отрезков	не являются сторонами прямоугольника ? .
Например , нарисовать один из	отрезков	внутри другого .
23 На сколько равных	отрезков	длиной в целое число сантиметров можно разрезать отрезок длиной в 60 см ? .
21 Сколько непересекающихся	отрезков	длиной 14 см можно отложить на отрезке длиной 54 дм ? .
Изображены фигуры , составленные из	отрезков	.
Какую геометрическую фигуру образуют точки всех	отрезков	длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных	отрезков	равна , то есть равна .
6 Можно ли из	отрезков	в 23 см , 25 см , 27 см , 30 см составить два отрезка , равные диагоналям прямоугольника ? .
Для этого возьмём отрезок длиной в 9 единичных	отрезков	.
2.2 Способы измерения	отрезков	.
5 В каком случае отрезок составлен из двух других	отрезков	? .
6 Какие случаи расположения двух	отрезков	вы знаете ? .
Тогда длина отрезка АВ равна сумме длин	отрезков	АС и СВ .
В этом очень легко убедиться на примере	отрезков	на клетчатой бумаге , измеряемых в шагах сетки .
5 Можно ли из	отрезков	в 4 см , 5 см , 6 см и 7 см составить два отрезка , равные диагоналям некоторого квадрата ? .
2.3 Стороны треугольников образуют много	отрезков	.
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одним из концов этих	отрезков	.
Равенство	отрезков	приближённое .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных	отрезков	, составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Равенство	отрезков	.
Примерами	отрезков	могут служить стороны квадрата , треугольника и любого многоугольника .
2.2 Изображена пара неравных между собой	отрезков	? .
Откладывание на числовой оси	отрезков	длиной .
Сдвиньте одну из частей так , чтобы один из нарисованных	отрезков	« исчез » .
1.4 Отрезок АВ составлен из двух	отрезков	АС и СВ .
11 Что вы можете сказать о длинах двух равных	отрезков	? .
При изучении отрезков мы будем использовать общие свойства равенства геометрических фигур , которые для	отрезков	выглядят так .
2.1 Изображено пять	отрезков	.
2 Какое свойство длин у равных	отрезков	? .
Какие из указанных	отрезков	равны отрезку АЕ ? .
Длина	отрезков	задаётся так , что равные отрезки имеют равные длины .
1.1 Отрезок АВ составлен из двух	отрезков	АС и СВ , длины которых равны 6 м и 7 мм .
1.2 Какой из указанных	отрезков	равен отрезку АВ ? .
Общий конец этих	отрезков	называют вершиной угла , а сами отрезки называют сторонами угла .
Треугольник , как составленная из	отрезков	геометрическая фигура , является границей своей треугольной области .
Для сокращения записи можно иногда не ставить вертикальные чёрточки при обозначении длин	отрезков	, когда ясно , что речь идёт о длинах .
Поворот на вокруг точки пересечения	отрезков	АЕ и CD .
Процедуру измерения углов можно считать аналогичной процедуре измерения	отрезков	.
18 Сколько существует различных	отрезков	, концами которых являются 6 точек , отмеченных на рис .
2.4 Изображено несколько	отрезков	.
1.1 Какой из	отрезков	равен отрезку BD ? .
1.1 Какой из указанных	отрезков	равен отрезку EF ? .
1.2 Отрезок АВ составлен из двух	отрезков	АС и СВ , длины которых равны 201 см и 135 мм .
2 Какие геометрические фигуры могут быть изображены при помощи	отрезков	? .
Обозначьте буквами концы	отрезков	, а затем запишите обозначение всего угла между отрезками .
Откладывание на числовой прямой	отрезков	длиной На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
2.6 Длины равных	отрезков	.
1.3 Отрезок АВ составлен из двух	отрезков	АС и СВ .
3 Как связаны между собой длины равных	отрезков	? .
1.2 Равенство	отрезков	.
1.3 Свойства равенства для	отрезков	.
На диаграмме величины изображаются условно в виде	отрезков	, прямоугольников или частей круга .
Каждая из сторон составлена из попарно равных	отрезков	.
Точка D может совпадать с концом любого отрезка и даже быть общим концом обоих	отрезков	сразу .
Какое наибольшее число	отрезков	с концами в различных вершинах квадрата можно получить ? .
Когда отложим отрезок длиной в 9 единичных	отрезков	7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
2.1 При каких значениях длин трёх	отрезков	не существует треугольника с такими сторонами ? .
При изучении	отрезков	мы будем использовать общие свойства равенства геометрических фигур , которые для отрезков выглядят так .
2.1 Отрезок АВ составлен из двух	отрезков	АС и СВ , длины которых равны 427 мм и 273 мм .
4 Чему равна длина отрезка , составленного из двух	отрезков	? .
Длина каких из указанных	отрезков	в два раза больше длины отрезка MN ? .
1.1 Какое наибольшее число	отрезков	можно получить , попарно соединяя различные вершины квадрата ? .
Вырежем квадрат ABCD и разрежем его вдоль	отрезков	АС и BD на четыре треугольника .
Какие примеры изменения единицы измерения длин	отрезков	вы знаете ? .
1.2 Какое наибольшее число	отрезков	можно получить , попарно соединяя пять различных точек ? .
15 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с	отрезком	, соединяющим оставшиеся две точки .
С другой стороны , из равенства длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим	отрезком	.
При этом копия отрезка АВ совместится с	отрезком	CD .
Если соединить	отрезком	две точки какой - нибудь одной полуплоскости , то мы не пересечём прямую — границу этих полуплоскостей .
2.4 При каких из указанных масштабов отрезок длиной 1 мм будет изображаться	отрезком	, длина которого больше 50 см ? .
1.2 При каком масштабе отрезок в 3 мм изображается	отрезком	в 6 см ? .
В связи с этим свойством кратчайший путь от точки до точки изображают	отрезком	, соединяющим эти точки .
1.1 При каком масштабе расстояние в 10 км изображается	отрезком	в 2 см ? .
Отрезок какой длины изображается на бумаге	отрезком	длины 12 см при масштабе 40 : 3 ? .
Надпись на карте « масштаб 1 : 100 » означает , что	отрезком	в 1 см на бумаге изображён отрезок в 100 см , или по - другому , что вместо отрезка в 1 м на бумаге изображается отрезок в 0,01 м .
Два отрезка на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного отрезка совмещается с другим	отрезком	.
10 Отрезок АО равен	отрезку	ОБ .
2.3 Какие из отрезков равны	отрезку	AF ? .
Экспериментальная проверка такого неравенства затруднительна , когда точка D находится очень близко к	отрезку	АВ .
1.1 Какой из указанных отрезков равен	отрезку	EF ? .
Какой из указанных отрезков луча ΜΝ равен	отрезку	АВ ? .
Какие из отрезков равны	отрезку	MN ? .
Какие из указанных отрезков равны	отрезку	АЕ ? .
1 Если два отрезка равны третьему	отрезку	, то они равны между собой .
После выбора единицы измерения любому	отрезку	соответствует определённое численное значение .
3 ) если отрезок CD равен	отрезку	МК .
1.3 Какой из отрезков равен	отрезку	АБ ? .
2.4 Какие из отрезков равны	отрезку	СЕ ? .
1.2 Какой из указанных отрезков равен	отрезку	АВ ? .
2.2 Какие из отрезков равны	отрезку	АВ ? .
Какие из указанных отрезков равны	отрезку	MN ? .
если отрезок ВС равен	отрезку	NL .
Затем выбрать раствор циркуля , равный этому	отрезку	, и провести с этим радиусом две окружности с центрами в концах нарисованного отрезка .
2.1 Какие из отрезков равны	отрезку	АВ ? .
1.1 Какой из отрезков равен	отрезку	BD ? .
1.2 Какая из сторон четырёхугольника ABCD равна	отрезку	ΜΝ ? .
1.4 Какая из сторон четырёхугольника ABCD равна	отрезку	АС ? .
Перекопируйте на . бумагу , вырежьте прямоугольник и разрежьте его по	отрезку	АВ на две части .
если отрезок AD равен	отрезку	NK .
Выбор некоторого отрезка в качестве единичного позволяет любому другому	отрезку	приписать число , называемое его длиной .
1 ) если отрезок АВ равен	отрезку	MN .
При этом одному и тому же	отрезку	, в зависимости от выбора единичного отрезка , можно приписать различные числа , поэтому , указывая длину , надо указывать единицу измерения .
Почему луч не может быть равен	отрезку	? .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился	отрезок	с концами в точках 0 и 1 .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный	отрезок	.
5 В каком случае	отрезок	составлен из двух других отрезков ? .
Напомним , что	отрезок	можно получить , если выбрать две точки — А и В и соединить их , проведя черту с помощью линейки .
Надпись на карте « масштаб 1 : 100 » означает , что отрезком в 1 см на бумаге изображён отрезок в 100 см , или по - другому , что вместо отрезка в 1 м на бумаге изображается	отрезок	в 0,01 м .
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на две равные части делится	отрезок	длиной 1 .
Какие из указанных лучей пересекают	отрезок	АВ ? .
2.2 Изображены четыре точки и	отрезок	АВ , являющийся частью луча АВ .
Теперь от точки вправо отложим третий	отрезок	с той же длиной , правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
если	отрезок	AD равен отрезку NK .
2.3 Изображён	отрезок	АВ и четыре точки .
Отложив от полученной точки четвёртый	отрезок	с той же длиной , видим , что правый конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
4 Как измерить	отрезок	с помощью линейки ? .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился	отрезок	с концами в точках 0 и 3 .
Этот же	отрезок	можно обозначить через ВА .
Надпись на карте « масштаб 1 : 100 » означает , что отрезком в 1 см на бумаге изображён	отрезок	в 100 см , или по - другому , что вместо отрезка в 1 м на бумаге изображается отрезок в 0,01 м .
В таком случае будем говорить , что	отрезок	GH проходит через конец отрезка EF .
Разделим этот	отрезок	на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится	отрезок	длиной 3 .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы	отрезок	CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
Отложим от точки Е в направлении стрелки ещё один отрезок EF той же длины , что и	отрезок	ОЕ .
3 ) если	отрезок	CD равен отрезку МК .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится	отрезок	длиной 1 .
6 На отрезке АВ отмечены точки С и D так , что С лежит между А и D . а ) Какие лучи с началом в одной из точек А , В , С и D содержат	отрезок	CD ? .
Все лучи обладают следующим важным свойством : на любом луче от его начала можно отложить	отрезок	любой заданной длины .
11 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу измерения был принят	отрезок	PQ длиной 6 мм .
7 При помощи линейки проведите	отрезок	.
Отложим от точки Е в направлении стрелки ещё один	отрезок	EF той же длины , что и отрезок ОЕ .
Заметим теперь следующее : точки и делят отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки делят	отрезок	на четыре равные части и так далее .
Число 3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился	отрезок	с концами в точках 0 и 1 .
Эта окружность отсечёт на луче	отрезок	АВ данной длины .
Рассмотрим теперь	отрезок	[ 0 ; 2 ] длиной 2 .
Заметим теперь следующее : точки и делят	отрезок	[ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки делят отрезок на четыре равные части и так далее .
Затем проведите другой	отрезок	так , чтобы получившиеся отрезки не имели ни одной общей точки .
Возьмём на плоскости	отрезок	АВ .
Отложим на этом луче	отрезок	ОЕ .
если	отрезок	ВС равен отрезку NL .
Затем проведите другой	отрезок	так , чтобы получившиеся отрезки имели больше одной общей точки .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ ,	отрезок	MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не пересекался с этим лучом .
12 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу измерения был принят	отрезок	PQ длиной 25 мм .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а	отрезок	PQ не пересекался с этим лучом .
3 При помощи линейки проведите	отрезок	.
Если от точки вправо отложим ещё один	отрезок	длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге	отрезок	длиной 12 клеток .
Изображён	отрезок	АВ .
Далее на числовой прямой рассмотрим	отрезок	[ 0 ; 3 ] длиной 3 и проведём рассуждения , подобные предыдущим .
1.1 Изображён	отрезок	АВ и луч ΜΝ , на котором отмечено несколько точек .
1 ) если	отрезок	АВ равен отрезку MN .
Пусть нужно измерить	отрезок	АВ .
6 Нарисуйте	отрезок	, составленный из двух равных отрезков .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится	отрезок	длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если	отрезок	составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую точку , то его длина равна сумме длин составляющих его отрезков .
Точки С и D делят	отрезок	АВ на три равные части .
8 Сколько раз нужно отложить	отрезок	длиной вправо от точки 0 , чтобы в результате определить дробь ? .
1.2 В прямоугольнике ABCD	отрезок	АС образует со стороной AD угол в 32 ° .
Будем считать , что на каждой линейке числу 1 соответствует	отрезок	в 1 мм , сантиметровым делениям соответствуют десятки , десятисантиметровым — сотни .
7 Нарисуйте	отрезок	, составленный из трёх равных отрезков .
Какие точки на числовой прямой делят	отрезок	на 6 равных частей ? .
2.3 Изображён	отрезок	прямой АВ , которая является границей двух полуплоскостей .
Сложим шнурок пополам и получим	отрезок	длиной в полметра .
4 При помощи линейки проведите	отрезок	.
Можно ли отложить на луче АВ	отрезок	длины 1 км так , чтобы один из концов отрезка совпал с точкой А ? .
Возьмём на луче произвольную точку М. Как отложить от этой точки	отрезок	данной длины , целиком лежащий на луче ?
Возьмём	отрезок	АВ .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих	отрезок	[ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Какой	отрезок	является общим для лучей АВ и ВА ? .
4 Как построить	отрезок	длиной .
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один	отрезок	длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным числом или числом .
В таком случае говорят , что	отрезок	PQ составлен из отрезков PR и RQ .
6 При помощи линейки проведите	отрезок	.
Рассмотрим на числовой прямой	отрезок	[ 0 ; 1 ] и разделим его на две равные части .
Затем проведите другой	отрезок	так , чтобы их общей точкой был только один конец какого - то из этих отрезков .
Укажите на числовой прямой	отрезок	, на котором лежит точка , изображающая число х .
Разделим этот	отрезок	на две равные части .
18 На числовой прямой укажите какой - нибудь	отрезок	длины 0,1 , на котором лежит изображение числа 3,14159265 .
На каком расстоянии от 1 на числовой прямой будет изображено число 1000 , если	отрезок	ОЕ имеет длину 1 см ? .
Если на числовой прямой от точки 0 вправо отложен	отрезок	длиной то его правый конец мы обозначили через .
В некоторых случаях	отрезок	составляют из двух или нескольких равных между собой отрезков .
23 На сколько равных отрезков длиной в целое число сантиметров можно разрезать	отрезок	длиной в 60 см ? .
2 Как получить	отрезок	, длина которого равна .
Как при помощи линейки провести прямолинейный	отрезок	большей длины , чем длина линейки ? .
В результате мы получаем возможность сравнивать каждый	отрезок	с некоторым количеством одинаковых эталонов или единиц измерения длины .
Когда отложим	отрезок	длиной в 9 единичных отрезков 7 раз , попадём в точку , изображающую произведение .
Разделим этот	отрезок	на две равные части и длину отрезка от точки 0 до середины отрезка [ 0 ; k ] обозначим через дробь ( читается « ка вторых » ) .
Наконец , сложив четверть пополам , получим	отрезок	длиной в восьмую часть метра .
Для этого возьмём	отрезок	длиной в 9 единичных отрезков .
Чтобы различать в записи	отрезок	и его длину , будем использовать вертикальные чёрточки и длину отрезка АВ обозначать как |АВ| .
Поэтому кратчайший путь задаёт	отрезок	NV .
Заменим два соседних звена AM и MN на	отрезок	AN .
1.2 При каком масштабе	отрезок	в 3 мм изображается отрезком в 6 см ? .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать	отрезок	на этой прямой , левый конец которого обозначен числом а , тогда как правый конец обозначен числом b. Например , концами отрезка [ 0 ; 1 ] являются точки 0 и 1 .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый	отрезок	с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
2.2 Изображён	отрезок	прямой АВ и четыре точки .
14 При измерении некоторого отрезка АВ за единицу был принят	отрезок	PQ длиной 1 м 1 см 1 мм .
Обратим внимание , что существует только один	отрезок	с концами в заданных точках .
Если от точки — вправо отложим еще один	отрезок	длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
Затем проведите другой	отрезок	так , чтобы получившиеся отрезки имели общий конец .
15 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы	отрезок	, соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
Возьмём любой прямоугольник ABCD и проведём диагональ АС , то есть	отрезок	, соединяющий не соседние вершины .
Теперь от точки вправо отложим третий	отрезок	с той же длиной правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если от точки вправо отложим ещё один	отрезок	длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
2.4 При каких из указанных масштабов	отрезок	длиной 1 мм будет изображаться отрезком , длина которого больше 50 см ? .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо отложен	отрезок	длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
Чему равняется длина отрезка АВ , если за единицу измерения принят	отрезок	длиной 5 мм ? .
При помощи линейки проведите	отрезок	, соединяющий эти точки .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился	отрезок	с концами в точках 0 и 2 .
Какую длину должен иметь единичный	отрезок	числовой прямой , чтобы изображения дробей 0,333 и 0,334 различались на 1 мм ? .
Прикладывая его можно сравнить	отрезок	с соответствующим числом шагов сетки .
Переместим	отрезок	КВ вниз так , чтобы точка К попала в точку М .
По какому свойству длин отрезков мы попадаем в точку , изображающую произведение ab , когда откладываем b раз	отрезок	длины а ? .
Отложив от полученной точки четвёртый	отрезок	с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Точка и	отрезок	.
Получится ещё одна геометрическая фигура —	отрезок	.
Затем проведите другой	отрезок	так , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одним из концов этих отрезков .
1 Как обозначаются	отрезок	и его длина ? .
Рассмотрим на числовой прямой	отрезок	[ 0 ; 1 ] и разделим его на три равные части .
5 При помощи линейки проведите	отрезок	.
При измерении отрезков вместо сантиметра или шага сетки клетчатой бумаги с таким же успехом можно взять любой другой	отрезок	, считать его единичным и сравнивать с ним остальные отрезки способом , похожим на предыдущий .
Существует ли прямоугольник с площадью 1 см2 , внутри которого можно поместить	отрезок	длины 1 м ? .
Пусть	отрезок	АВ составлен из двух частей АС и СВ .
Действительно ,	отрезок	АС состоит из отрезков АВ и ВС. Поэтому .
Неполное частное q показывает , какое наибольшее количество раз	отрезок	длины b укладывается в отрезке длины а .
Для любого натурального числа к на числовой прямой рассмотрим	отрезок	[ 0 ; k ] длиной k.
1 Нарисуйте	отрезок	.
При помощи линейки проведите	отрезок	, содержащий эти точки внутри него .
Сначала нарисовать	отрезок	.
Число 1 над чертой в записи указывает на то , что на три равные части делится	отрезок	длиной 1 .
6 В гараже	отрицательная	температура .
5 На улице	отрицательная	температура .
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и	отрицательные	дробные числа , как противоположные положительным дробным числам .
6 Как на термометре отмечаются положительные и	отрицательные	температуры ? .
Вычитание станет возможным , если наряду с натуральными числами и нулем рассмотреть	отрицательные	числа .
Число 0 , натуральные числа и противоположные натуральным	отрицательные	числа все вместе называются целыми числами .
В некоторых столбцах этой таблицы ниже нуля появляются	отрицательные	числа .
Натуральные числа можно считать противоположными	отрицательным	целым числам .
Деления , расположенные ниже нулевой отметки , соответствуют	отрицательным	значениям температуры .
Аналогично	отрицательным	целым числам рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным дробным числам .
3.4 Изображения дробных и	отрицательных	чисел .
4 Какие примеры	отрицательных	целых чисел вы знаете ? .
1 условно изображён прямоугольный	параллелепипед	.
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный	параллелепипед	и его объём .
2.1 Прямоугольный	параллелепипед	.
1 Какие предметы , похожие на прямоугольный	параллелепипед	, вы знаете ? .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного	параллелепипеда	объёмом V и высотой Н. Найдите площадь основания этого столба , если .
Объём прямоугольного	параллелепипеда	находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Примеры использования формулы объёма прямоугольного	параллелепипеда	.
7 Напишите формулу для вычисления высоты прямоугольного	параллелепипеда	, у которого известны длина а , ширина b и объём V .
Объём куба .	параллелепипеда	.
2.4 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком для объёма прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
8 Известно , что компостная яма формы прямоугольного	параллелепипеда	объёмом V имеет длину а и ширину b.
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного	параллелепипеда	: ширина , длина , высота .
4 По какой формуле вычисляется объём прямоугольного	параллелепипеда	? .
2 Найдите объём прямоугольного	параллелепипеда	, рёбра а , b и с которого равны .
Во сколько раз изменится объём прямоугольного	параллелепипеда	, если .
Подставляем данные значения в формулу объёма	параллелепипеда	.
Длина , ширина и высота прямоугольного	параллелепипеда	равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного	параллелепипеда	и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
3 Как вычислить площадь грани прямоугольного	параллелепипеда	? .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного	параллелепипеда	, выраженные в одинаковых единицах .
Как найти сумму длин всех рёбер прямоугольного	параллелепипеда	, зная его измерения ? .
1.1 Чему равен объём прямоугольного	параллелепипеда	шириной 20 см , длиной 30 см и высотой 10 см ? .
Объём всего зерна можно считать равным объёму прямоугольного	параллелепипеда	с шириной 30 дм , длиной 50 дм и высотой 0,1 дм .
2.2 Объём куба и объём прямоугольного	параллелепипеда	.
9 Напишите формулу для вычисления площади основания прямоугольного	параллелепипеда	, у которого известны высота Н и объём V .
2 Что такое измерения прямоугольного	параллелепипеда	? .
Считаем комнату прямоугольным	параллелепипедом	.
Треугольник ,	параллелограмм	, шестиугольник .
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а	параллелограмм	можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Изображён	параллелограмм	.
Треугольник можно дополнить до	параллелограмма	, добавив равный треугольник , а параллелограмм можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
Чему равна площадь	параллелограмма	? .
Какие из рассмотренных выше фигур являются	параллелограммами	? .
Величины	переменные	.
Такие величины называются	переменными	величинами .
Например , если рассмотреть число 5120 , то его можно получить ,	перемножив	числа 512 и 10 , то есть 5120 .
Попробуйте , например ,	перемножить	числа 5836 и 7043 , и вы поймёте , что это не так просто сделать , ни разу не ошибившись .
8 Изобразите луч АВ и отрезки CD , MN и PQ так , чтобы отрезок CD лежал на луче АВ , отрезок MN пересекал луч АВ , а отрезок PQ не	пересекался	с этим лучом .
12 Четыре прямые	пересекаются	в вершинах прямоугольника .
7 Какие из лучей — АВ , CD и MN	пересекаются	, а какие — нет ?
Какие два из указанных лучей	пересекаются	? .
Фигура , полученная последовательным соединением точек М , N , К , L , М , не считается четырёхугольником , потому что несоседние отрезки ML и NК	пересекаются	.
4 Прямые АВ и CD	пересекаются	в точке О. Измерьте углы АОС , СОВ , BOD , DOA и запишите результаты измерений .
4 Три прямые попарно	пересекаются	в точках А , В и С. Сколько лучей начинается в этих точках и лежит на данных прямых ? .
1.2 Отрезки АВ и CD	пересекаются	в точке К. Чему равна величина угла ВАС ? .
2.1 Изображена прямая ΜΝ и четыре точки — А , В , С , D. Какие из указанных отрезков	пересекаются	с прямой ΜΝ ? .
Отрезки	пересекающиеся	.
1.2 Изображены две	пересекающиеся	прямые .
1.2 На сколько частей разделяют плоскость две различные	пересекающиеся	прямые ?
а ) две	пересекающиеся	прямые .
1.1 Изображены две	пересекающиеся	прямые .
3 Чему равны углы , образующиеся между	пересекающимися	линиями клетчатой бумаги ? .
Изображены отрезки MN и KL , которые имеют общую точку D. Такие отрезки будем называть	пересекающимися	.
4 Какие отрезки называются	пересекающимися	? .
1 Нарисуйте два	пересекающихся	отрезка .
4 Нарисуйте два равных	пересекающихся	отрезка .
16 Сумма двух углов из четырёх , полученных при	пересечении	двух прямых , равна 300 ° .
При	пересечении	двух различных прямых образуются четыре не совпадающих угла .
3 ) диагонали квадрата при	пересечении	образуют прямые углы .
Как обозначить углы , которые образуются при	пересечении	прямых АВ и АС ? .
существуют прямоугольники , у которых диагонали при	пересечении	образуют прямые углы .
3 ) диагонали прямоугольника при	пересечении	образуют прямые углы .
14 Три угла из четырёх , полученных при	пересечении	двух прямых , в сумме составляют 240 ° .
Какое число появится на	пересечении	79-й строки и 146-го столбца , если всё - таки продолжить составление таблицы сложения ? .
13 Сколько точек может образоваться при	пересечении	: а ) двух прямых ; б ) трёх прямых ; в ) четырёх прямых ? .
Какое число появится на	пересечении	12-й строки и 16-го столбца этой таблицы , если продолжить её составление для чисел , больших 9 ? .
13 Один из двух углов , полученных при	пересечении	двух прямых , в 4 раза больше другого .
15 Сумма двух углов из четырёх , полученных при	пересечении	двух прямых , равна 120 ° .
Пусть М — точка	пересечения	этих отрезков .
9 Зная одну вершину А некоторого квадрата и точку О	пересечения	его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные вершины .
Обозначим через О точку	пересечения	прямых и выберем точки А , В , С , D на разных лучах , выходящих из точки О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
Найдите величины всех углов с вершиной в точке	пересечения	прямых .
Как проверить , что диагонали квадрата делятся пополам в точке их	пересечения	? .
Поворот на вокруг точки	пересечения	отрезков АЕ и CD .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки	пересечения	этих окружностей .
Изобразите , какое положение он займёт , если повернуть его вокруг точки	пересечения	диагоналей по часовой стрелке на угол ? .
13 Какие повороты квадрата вокруг точки	пересечения	диагоналей переводят квадрат в самого себя ? .
Точка их	пересечения	не считается вершиной данной ломаной .
С помощью линейки найдите точки	пересечения	.
Словами переместительный закон кратко можно записать так : от	перестановки	сомножителей произведение не меняется .
Переместительный закон умножения : от	перестановки	сомножителей произведение чисел не изменяется .
Переместительный закон сложения : от	перестановки	слагаемых сумма чисел не изменяется .
Иными словами переместительный закон можно записать так : от	перестановки	слагаемых сумма не меняется .
Точно так же определяется	периметр	любого многоугольника .
20 Найдите	периметр	треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
19 Найдите	периметр	четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
35 Известно , что	периметр	прямоугольника равен 7834 мм , одна из сторон меньше другой на 163 мм .
Чему равен	периметр	рассмотренного четырёхугольника ABCD в миллиметрах ? .
Найдите	периметр	пятиугольника .
23 Найдите	периметр	прямоугольника , одна из сторон которого равна см , а другая сторона на см больше .
19 Найдите	периметр	квадрата ( при выборе некоторой единицы измерения ) , сторона которого равна 12 .
1.1 Чему равен	периметр	треугольника , который равен треугольнику со сторонами 5 см , 6 см и 7 см ? .
Найдите	периметр	треугольника .
24 Одна сторона прямоугольника на 12 см длиннее другой , а	периметр	прямоугольника равен 1 м .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а	периметр	прямоугольника равен 64 см. Найдите длины сторон прямоугольника .
Найдите	периметр	большого многоугольника в шагах сетки .
1.3 Чему равен	периметр	четырёхугольника , длины сторон которого равны 21 мм , 27 мм , 33 мм , 39 мм ? .
34 Найдите	периметр	прямоугольника , если одна из его сторон равна 365 мм , а другая на 77 мм меньше .
9 Что называется	периметром	многоугольника ? .
Полученное значение 10 см называется	периметром	этого четырёхугольника ABCD .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое число π ( читается : «	пи	» ) , с помощью которого вычисляют длину окружности и площадь круга .
Укажите , какие	плоские	углы соответствуют этому углу .
10 Какие	плоские	углы называются равными ? .
Чаще мы будем рассматривать такие	плоские	углы , которые можно разместить в некоторой полуплоскости .
В каких случаях эти	плоские	углы равны ? .
4 От любого луча можно отложить	плоский	угол любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
1.4 Пусть за единицу измерения углов выбран	плоский	угол , градусная мера которого равна 3 ° .
1.3 Пусть за единицу измерения углов выбран	плоский	угол , градусная мера которого равна 4 ° .
1.1 Пусть за единицу измерения углов выбран	плоский	угол , градусная мера которого равна 18 ° .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также	плоский	угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
Как можно представить	плоский	развёрнутый угол ? .
В этом случае говорят , что рассматривается	плоский	треугольник или треугольная область .
Углы	плоский	.
И так будем считать в каждом случае , когда	плоский	угол составлен из нескольких углов , равных эталонному углу .
Если какой - то	плоский	угол АОВ составлен из двух плоских углов , равных эталонному углу , то мерой угла АОВ будем считать число 2 .
Сначала выберем эталон — стандартный	плоский	угол .
2.3 Изображён	плоский	угол с вершиной В. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
Например ,	плоский	угол можно назвать так : « плоский угол PQR , содержащий точку М » .
Например , плоский угол можно назвать так : «	плоский	угол PQR , содержащий точку М » .
Плоский угол можно разместить в некоторой полуплоскости , а	плоский	угол ни в какой полуплоскости разместить невозможно .
Если	плоский	угол АОВ составлен из трёх плоских углов , равных эталонному , то мерой угла АОВ будем считать число 3 .
Составим	плоский	угол АВС из двух плоских углов ABD и DBC .
1.2 Пусть за единицу измерения углов выбран	плоский	угол , градусная мера которого равна 12 ° .
Такое свойство выполняется всегда , когда один	плоский	угол составлен из двух других плоских углов , и называется основным свойством градусной меры .
1 В каких случаях говорят , что	плоский	угол АВС равен сумме плоских углов ABD и DBC ? .
6 Какой вид имеет	плоский	развёрнутый угол ? .
4 Какая геометрическая фигура называется	плоским	углом ? .
Два плоских угла называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного плоского угла совмещается с другим	плоским	углом .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть	плоским	углом .
Чему равна градусная мера плоского угла , составленного из двух	плоских	углов , градусная мера каждого из которых равна 30 ° ? .
Составим плоский угол АВС из двух	плоских	углов ABD и DBC .
Для	плоских	углов также определяется понятие равенства .
Если плоский угол АОВ составлен из трёх	плоских	углов , равных эталонному , то мерой угла АОВ будем считать число 3 .
Иногда для отрезков с общим началом нужно рассматривать и какой - то из	плоских	углов .
Если какой - то плоский угол АОВ составлен из двух	плоских	углов , равных эталонному углу , то мерой угла АОВ будем считать число 2 .
Каковы основные свойства площадей	плоских	геометрических фигур ? .
Эти числа имеют непосредственное отношение к измерению	плоских	углов в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в градусах .
Чему равна величина плоского угла , составленного из двух	плоских	углов величиной 60 ° и 120 ° ? .
10 Сколько всего	плоских	углов можно указать ? .
Вы знаете , что два луча с общей вершиной определяют два	плоских	угла .
Чтобы различить , какой из двух	плоских	углов нам нужен , можно указать некоторую точку , которая содержится в соответствующей этому углу части плоскости .
Сколько неразвёрнутых	плоских	углов можно указать ? .
13 Сколько всего	плоских	углов можно указать ? .
12 Сколько всего	плоских	углов можно указать ? .
Будем рассматривать измерение	плоских	углов , которые можно разместить в какой - нибудь полуплоскости .
Градусная мера	плоских	углов , которые можно разместить в полуплоскости , определяется таким образом , что выполняются следующие свойства .
8 Сколько всего	плоских	углов можно указать ? .
1 В каких случаях говорят , что плоский угол АВС равен сумме	плоских	углов ABD и DBC ? .
2.1 При измерении	плоских	углов , которые можно разместить в полуплоскости , используется эталонный угол величиной 16 ° .
Такое свойство выполняется всегда , когда один плоский угол составлен из двух других	плоских	углов , и называется основным свойством градусной меры .
1.6 Равенство	плоских	углов .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме	плоских	углов АВС и DBC .
6 Сколько	плоских	углов с вершиной О можно указать ? .
Приведём примеры фигур на плоскости , или , короче ,	плоских	фигур .
Два	плоских	угла называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного плоского угла совмещается с другим плоским углом .
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры	плоского	угла .
3 Вне	плоского	прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Чему равна градусная мера	плоского	угла , составленного из двух плоских углов , градусная мера каждого из которых равна 30 ° ? .
2 Вне	плоского	прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .
Два плоских угла называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного	плоского	угла совмещается с другим плоским углом .
Чему равна величина	плоского	угла , составленного из двух плоских углов величиной 60 ° и 120 ° ? .
1 Внутри	плоского	прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Градусной мерой угла между двумя лучами с общим концом будем считать градусную меру соответствующего	плоского	угла .
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам	плоского	угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского угла .
24 Как привязать козу , чтобы она могла пастись лишь на участке , имеющем вид	плоской	фигуры , ограниченной двумя дугами окружностей с центрами А и В ? .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади	плоской	фигуры и формулы для вычисления площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника .
Какие из этих точек содержаться в	плоском	угле БАС , внутри которого находится точка М ? .
Окружность ограничивает область , то есть все те точки	плоскости	, которые находятся внутри окружности .
На	плоскости	дана прямая АВ .
1.4 На	плоскости	заданы лучи АВ и АС .
Могут ли два отрезка на	плоскости	иметь более одной общей точки ? .
Для сравнения величины участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная характеристика фигур	плоскости	, называемая площадью .
16 Разместите на	плоскости	пять точек — А , B , С , D и Е так , чтобы они были вершинами пятиугольника ABCDE .
Прямоугольники и квадраты выделяются из многих фигур	плоскости	своими свойствами .
Этой главой открывается чрезвычайно важный раздел математики — геометрия — наука о свойствах фигур на	плоскости	и в пространстве .
На	плоскости	задан луч АВ .
Два отрезка на	плоскости	могут располагаться по - разному .
Возьмём на	плоскости	отрезок АВ .
15 Разместите на	плоскости	четыре точки — A , В , С и D так , чтобы они были вершинами прямоугольника ABCD .
Выберем на	плоскости	несколько точек , назовём их вершинами , а некоторые из отрезков , соединяющих вершины , назовём сторонами .
Какие геометрические фигуры на	плоскости	вы можете изобразить при помощи циркуля и линейки ? .
Равенство фигур на	плоскости	.
Выберем на	плоскости	пять точек — D , Р , X , Z , U и соединим их отрезками .
Другими словами , если на	плоскости	четыре точки каким - то образом соединены отрезками , то полученная фигура является четырёхугольником только в случае выполнения указанных трёх свойств .
Какие примеры частей	плоскости	можно увидеть в классной комнате ? .
Точки на	плоскости	обычно будем обозначать заглавными латинскими буквами .
Два угла на	плоскости	называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного угла совмещается с другим углом .
1.3 На	плоскости	поставлены четыре различные точки .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть	плоскости	, ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
Симметрия	плоскости	относительно прямой , соединяющей середины отрезков AD и СЕ .
Из этих свойств вытекает , что если два луча различаются расположением на	плоскости	, то « копию » одного из них можно переместить так , чтобы она совпала с другим лучом .
Выбирая на	плоскости	другую точку и проводя два различных луча с началом в этой точке , получим другой угол .
Известно , что если на	плоскости	попарно соединять 15 различных точек , то всего получится 105 различных отрезков .
Всякая прямая на	плоскости	обладает следующим важным свойством .
Рассмотрим на	плоскости	точку О и изобразим лучи ОА и ОВ с началом в точке О .
Фигуры на	плоскости	.
Через каждую точку	плоскости	проходит целый пучок различных прямых .
1.1 На	плоскости	задан луч АВ .
Приведём примеры фигур на	плоскости	, или , короче , плоских фигур .
Два отрезка на	плоскости	называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного отрезка совмещается с другим отрезком .
Две фигуры на	плоскости	называются равными , если существует перемещение , при котором копия одной фигуры полностью совмещается с другой фигурой .
1 В каком случае две фигуры на	плоскости	считаются равными ? .
1 Фигуры на	плоскости	.
Даже если две прямые различаются расположением на	плоскости	, то « копию » одной из них можно переместить так , чтобы она совпала с другой прямой .
При перемещениях	плоскости	выполняются следующие свойства .
1.2 На	плоскости	задан луч АВ .
На основе сделанных наблюдений определим понятие равенства фигур на	плоскости	.
На	плоскости	можно изображать и рассматривать многие геометрические фигуры .
1.3 На	плоскости	задан луч АВ .
Чтобы различить , какой из двух плоских углов нам нужен , можно указать некоторую точку , которая содержится в соответствующей этому углу части	плоскости	.
Выберем теперь четыре различные точки А , В , С , D на	плоскости	.
1.4 На	плоскости	задан развёрнутый угол АВС .
Надо иметь в виду , что угол как два луча на плоскости и угол как соответствующая части	плоскости	— разные геометрические фигуры .
Частью	плоскости	может быть тетрадный лист или классная доска , городская площадь или футбольное поле .
Итак , изобразив на	плоскости	два различных луча с общим началом , мы получим три геометрические фигуры , называемые углами .
Точку считают простейшей фигурой на	плоскости	.
Надо иметь в виду , что угол как два луча на	плоскости	и угол как соответствующая части плоскости — разные геометрические фигуры .
Прямая делит	плоскость	на две части , каждая из которых называется полуплоскостью .
Если	плоскость	разделена прямой на две полуплоскости , то эта прямая называется границей для обеих полуплоскостей .
1.2 На сколько частей разделяют	плоскость	две различные пересекающиеся прямые ?
1.3 На сколько частей разделяют	плоскость	три различных луча с общей вершиной ?
на пять . 1.4 На какое наибольшее число частей могут разделить	плоскость	три прямые ? .
Название этого параграфа содержит новое слово	плоскость	.
5 На сколько частей делят	плоскость	.
13 Как тремя лучами разделить	плоскость	на четыре части ? .
Для любого угла образующие его лучи делят	плоскость	на две части .
6 На какое наибольшее число частей могут разделить	плоскость	: а ) три прямые ; б ) четыре прямые ; в ) пять прямых ? .
Мы пока будем называть	плоскостью	всякую ровную поверхность , на которой изображают чертежи и рисунки , проводят линии и делают разметку .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников плюс сумма	площадей	четырёх прямоугольников .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме	площадей	квадратов со сторонами , равными катетам .
Потому что сумма	площадей	четырёх прямоугольников меньше площади пятого .
Площадь S четырёхугольника ABCD равна сумме найденных	площадей	треугольников , поэтому .
Каковы основные свойства	площадей	плоских геометрических фигур ? .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской фигуры и формулы для вычисления	площадей	прямоугольника и прямоугольного треугольника .
Покажем это на примере вычисления	площадей	многоугольных фигур на клетчатой бумаге .
5 Вычисление	площадей	на клетчатой бумаге .
3 Если какая - нибудь фигура разрезана на несколько частей , то площадь всей фигуры равна сумме	площадей	составляющих её частей .
Найдите отношение	площадей	поперечного сечения и сравните это отношение с отношением соответствующих скоростей течения реки .
Для	площадей	: км2 , м2 , дм2 , см2 , мм2 , гектар , сотка .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме	площадей	четырёх треугольников плюс сумма площадей четырёх прямоугольников .
Выясним , как найти приближённые значения	площади	этого треугольника с избытком и недостатком при помощи метода , описанного в предыдущем пункте .
3 Найдите	площади	прямоугольных треугольников с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
1.3 Чему равно значение	площади	изображённой на рис .
Формула	площади	прямоугольного треугольника позволяет решать многие задачи .
Полоски равны , а значит , их	площади	тоже равны .
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна	площади	квадрата BTRP .
Точно так же , если у квадрата	площади	S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения площади через крупные .
Вычисление значения	площади	может оказаться непростой задачей .
Три изображённые фигуры равны , поэтому их	площади	также равны .
2.3 Приближённое нахождение	площади	.
Но можно научиться находить приближённые значения	площади	с недостатком и с избытком .
Поэтому по формуле	площади	прямоугольника получим .
4 Как получить прямоугольник той же	площади	, что и заданный прямоугольный треугольник ? .
Как использовались свойства	площади	при решении этой задачи ? .
Как использовать это свойство прямоугольника для разметки прямоугольной	площади	на местности ? .
Потому что сумма площадей четырёх прямоугольников меньше	площади	пятого .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности ,	площади	круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
Какие величины можно считать приближёнными значениями	площади	рассмотренной фигуры ? .
1 Почему равны	площади	закрашенных частей прямоугольника ? .
Его площадь S равна половине	площади	соответствующего квадрата , то есть 8k2 .
Найдите	площади	букв .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения	площади	через крупные .
Первое свойство	площади	позволяет сказать , что площадь S данной фигуры Ф больше 17k2 и меньше 44k2 .
2.4 Уточнение	площади	с помощью последовательных приближений .
Площадь квадрата KLMN больше	площади	квадрата ABCD , так как квадрат ABCD расположен внутри квадрата KLMN .
Из свойств площади вытекает , что площадь прямоугольника равна удвоенной	площади	одного такого треугольника .
7 Как из прямоугольного листа	площади	S , вырезать прямоугольник площади .
7 Как из прямоугольного листа площади S , вырезать прямоугольник	площади	.
11 Найдите значения	площади	с недостатком и с избытком для круга , принимая длину одного шага сетки за 2 см .
Найдите диаметр шайбы , если известно , что площадь отверстия в 2 раза меньше	площади	кольца .
2.1 Какие из чисел являются значениями с недостатком для фигуры , если единицей измерения	площади	является площадь одной клеточки ? .
если единицей измерения	площади	является площадь одной клеточки ? .
Вы научитесь вычислять	площади	многоугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги .
1.4 Даны два круга радиусов 6 см и 4 см. На сколько площадь первого круга больше	площади	второго ? .
2.3 Какие из указанных значений являются значениями с недостатком для	площади	квадрата со стороной 12 см ? .
9 Напишите формулу для вычисления	площади	основания прямоугольного параллелепипеда , у которого известны высота Н и объём V .
Мы научились вычислять	площади	прямоугольников и квадратов , когда известны длины сторон .
По формуле	площади	квадрата имеем .
Каким выражением можно задать зависимость	площади	квадрата от его стороны ? .
6.3 Как построить квадрат заданной	площади	.
2.3 Какие из указанных значений в квадратных метрах являются значениями с недостатком для	площади	потолка комнаты шириной 262 см и длиной 311 см ? .
Найдите	площади	фигур .
2.4 Какие из указанных значений являются значениями с избытком для	площади	прямоугольника со сторонами 45 мм и 5 см ? .
4 Единицей измерения	площади	считается площадь квадрата , сторона которого равна выбранной единице измерения длины .
1.1 Основные свойства	площади	.
3 Вычислите	площади	квадратов со стороной .
1.2 Чему равно значение	площади	фигуры , если считать , что площадь одной клеточки равна 1 см2 ? .
Такой процесс построения содержащихся внутри треугольника фигур можно повторять шаг за шагом и получать все большие значения	площади	треугольника с недостатком .
2 Равные фигуры имеют равные	площади	.
Из свойств	площади	вытекает , что площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного такого треугольника .
Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ,	площади	которых равны .
1 Если одна фигура содержится внутри другой , то площадь внутренней фигуры не больше	площади	внешней .
Для значений	площади	с избытком сначала берём содержащую треугольник фигуру из трёх квадратов со стороной в 2 шага сетки .
Площадь прямоугольника ABCD в 5 раз больше	площади	прямоугольника .
Такой процесс построения содержащих треугольник фигур можно повторять шаг за шагом и получать всё меньшие значения	площади	треугольника с избытком .
Разность между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению	площади	треугольника , измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
7 Используя формулу	площади	круга и считая , что π ≈ 3,14 , заполните таблицу .
3 Как изменится численное значение	площади	некоторой фигуры , если вместо единицы измерения длины взять в 10 раз меньшую единицу ? .
4 а ) Найдите	площади	четырёхконечных звёзд .
4 Какие фигуры рассматриваются при нахождении значения	площади	некоторой фигуры : а ) с недостатком ; б ) с избытком ? .
1 Вычислите	площади	прямоугольников со сторонами .
Подсчитаем	площади	.
Вычисление	площади	прямоугольного треугольника .
2.4 Какие из указанных значений	площади	в квадратных метрах можно записать в виде натурального числа ? .
1.3 Чему равно приближённое значение	площади	круга радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
11 Используя величину 1 k2 , равную	площади	одной клеточки , выразите площади фигур .
Говоря , например , о	площади	квадрата , подразумевают площадь ограниченной им области .
2.4 Квадрат со стороной 8 см разделили на две части , причём площадь одной из них в 2 раза больше	площади	другой .
19 Найдите десятичные приближения стороны квадрата	площади	3 см2 : .
6 Приведите пример двух фигур равной	площади	, которые не равны друг другу .
В первый день он убрал урожаи с	площади	участка , во второй — с оставшейся площади , а в третий — с 30 га .
2.3 Фигура F составлена из двух фигур ,	площади	которых равны 3 дм2 и 68 см2 .
Какие свойства	площади	использовались при решении этой задачи ? .
1.3 Единицы измерения	площади	.
2.1 На каких рисунках изображены две фигуры разной	площади	? .
С учётом того , что широко распространённой единицей измерения длины является 1 метр , обычно применяются следующие единицы измерения	площади	: 1 мм2 , 1 см2 , 1 дм2 , 1 м2 , 1 км2 , которые принято писать без скобок .
3 Почему площадь круга меньше	площади	квадрата ? .
Равносоставленные фигуры имеют равные	площади	.
16 Почему площадь треугольника АВС равна	площади	четырёхугольника MNKL ? .
1 Почему площадь круга больше	площади	квадрата ? .
Это	площади	квадратов со сторонами соответственно в 1 мм , 1 см , 1 дм , 1 м , 1 км .
2.1 Какие из приведённых значений равны	площади	прямоугольного треугольника с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
14 Выразите в квадратных миллиметрах следующие	площади	.
13 Выразите в квадратных дециметрах следующие	площади	.
Основные свойства	площади	позволяют выразить крупные единицы измерения площади через мелкие .
Похожим способом получаются и другие соотношения между единицами измерения	площади	.
Вычислим	площади	следующих треугольников .
В этой главе вы узнаете основные свойства	площади	плоской фигуры и формулы для вычисления площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника .
11 Используя величину 1 k2 , равную площади одной клеточки , выразите	площади	фигур .
Основные свойства площади позволяют выразить крупные единицы измерения	площади	через мелкие .
Почему площадь четырёхугольника MNKL меньше	площади	квадрата ABCD ? .
5 Почему	площади	четырёхугольников равны ? .
2.3 Фигура F составлена из двух фигур ,	площади	которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q площадь фигуры F равна 2000 см2 ? .
Единицы	площади	.
15 Сколько соток составляют	площади	.
2.2 На каких рисунках изображены две фигуры равной	площади	? .
Их	площади	равняются |АВ|2 , |АС|2 и |ВС|2 .
1.4 Чему равно значение	площади	фигуры , если считать , что площадь одной клеточки равна 4 см2 ? .
4 Какие единицы измерения	площади	вам известны ? .
2 Площадь какой геометрической фигуры принимают за единицу измерения	площади	? .
Для вычисления	площади	круга по его радиусу применяется формула , где S — площадь , a R — радиус .
В задачах о вычислении	площади	многоугольника всегда имеют в виду площадь ограниченной им многоугольной области .
Этого достаточно , чтобы вычислить необходимые	площади	.
Какие значения из приведённых могут иметь	площади	этих частей ? .
В первый день он убрал урожаи с площади участка , во второй — с оставшейся	площади	, а в третий — с 30 га .
5 В каких единицах измерения выражают	площади	земельных участков ? .
Если приложить эти части друг к другу , то получится прямоугольник	площади	8k2 .
Площадь одной клеточки примем за единицу измерения	площади	и обозначим её через 1 k2 .
Её площадь считается равной	площади	квадрата .
Расстояние , время , масса , скорость ,	площадь	, объём — все это хорошо известные вам из повседневной практики примеры измеряемых величин .
2.4 В каких из указанных случаев	площадь	прямоугольного треугольника АВС с катетами АВ и АС равна 1 см2 ? .
2 Найдите	площадь	фигуры ABCDEF если |АВ| = 6 см , |ВС| = 8 см , |DE| = 3 см , |EF| = 2 см .
6.4 Откуда взялась лишняя	площадь	? .
Частью плоскости может быть тетрадный лист или классная доска , городская	площадь	или футбольное поле .
Почему	площадь	четырёхугольника MNKL меньше площади квадрата ABCD ? .
8 Как изменится	площадь	круга , если его радиус : а ) увеличить в 3 раза ; б ) уменьшить в 5 раз ? .
Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
Её	площадь	считается равной площади квадрата .
Чему равна её	площадь	? .
Чему равна	площадь	треугольника АВС ? .
1.2 При измерении линейкой прямоугольного листа бумаги получили , что его ширина 15 см и длина 20 см. Чему равна	площадь	этого листа ? .
Тем не менее эта узенькая полоска имеет	площадь	в одну клеточку .
Для вычисления площади круга по его радиусу применяется формула , где S —	площадь	, a R — радиус .
Чему равна	площадь	фигуры , которую можно разрезать на два прямоугольника со сторонами 5 см , 6 см и со сторонами 7 см , 8 см соответственно ? .
Почему узенькая полоска имеет	площадь	в одну клеточку ? .
Найдите	площадь	, занимаемую сушей и водой на всей Земле и в каждом полушарии отдельно , если поверхность земного шара приблизительно равна 510 млн км2 .
2 По какой формуле вычисляется	площадь	квадрата ? .
1 По какой формуле вычисляется	площадь	прямоугольника ? .
Почему	площадь	отрезка можно считать равной нулю ? .
Какова	площадь	двух комнат ? .
1.3 В прямоугольном треугольнике длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы	площадь	треугольника была равна 8 см2 ? .
Площадь квадрата была клеточки , а	площадь	прямоугольника стала клеточек .
Как определяется	площадь	многоугольника .
Площадь одной комнаты 17,1 м2 , а	площадь	второй 9,8 м2 .
2.4 Квадрат со стороной 8 см разделили на две части , причём	площадь	одной из них в 2 раза больше площади другой .
Говоря , например , о площади квадрата , подразумевают	площадь	ограниченной им области .
1 Почему	площадь	круга больше площади квадрата ? .
1.4 Чему равна	площадь	квадрата со стороной .
1.3 Чему равна	площадь	прямоугольника со сторонами .
если единицей измерения площади является	площадь	одной клеточки ? .
2.3 В каких из указанных случаев	площадь	прямоугольного треугольника АВС с катетами АВ и АС меньше 10 см2 ? .
1.2 Чему равна	площадь	квадрата со стороной .
Найдём	площадь	S четырёхугольника ABCD на Разделим его отрезками АС и BD на четыре треугольника .
5 Нарисуйте какую - либо фигуру , ограниченную отрезками с концами в узлах клетчатой бумаги , и найдите её	площадь	.
1.1 Чему равна	площадь	прямоугольника со сторонами 2 м и 4 дм ? .
2 Какова длина стороны квадрата , если его	площадь	равна .
Найдите диаметр шайбы , если известно , что	площадь	отверстия в 2 раза меньше площади кольца .
Её	площадь	равна 8k2 , так как она составлена из тех же частей , что и прямоугольник .
6 Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги , у которого есть сторона больше 20 шагов сетки , а	площадь	меньше 1k2 .
3 Почему	площадь	круга меньше площади квадрата ? .
Теперь можно ответить на вопрос , чему равна	площадь	фигуры .
5 Найдите такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со стороной , равной значению этой дроби в метрах , имел	площадь	, самую близкую к 2 м2 .
13 Комната имеет длину 5 м и ширину 3 м 21 см . а ) Найдите	площадь	пола в квадратных метрах с избытком и недостатком .
8 Почему на столе шириной 60 см и длиной 90 см нельзя без наложения разместить 2000 монет ,	площадь	каждой из которых 3 см2 ? .
7 Найдите	площадь	треугольника АВС .
3 Как вычислить	площадь	фигуры , составленной из одинаковых , но не налегающих друг на друга квадратов ? .
Площадь этой области принимают за	площадь	треугольника .
Иногда ставится обратная задача : зная	площадь	квадрата , нужно найти его сторону .
2.2 В каких из указанных случаев	площадь	прямоугольного треугольника с катетами АВ и АС больше 4 см2 ? .
Во сколько раз увеличится	площадь	прямоугольного треугольника , если оба его катета увеличить в 6 раз ? .
5 Найдите	площадь	участка , план если |GH| 7 м .
Из свойства равносоставленности его	площадь	равна 20k2 .
6 С помощью калькулятора найдите и запишите приближённое значение длины стороны квадрата ,	площадь	которого равна .
2.1 Какие из чисел являются значениями с недостатком для фигуры , если единицей измерения площади является	площадь	одной клеточки ? .
1.4 Даны два круга радиусов 6 см и 4 см. На сколько	площадь	первого круга больше площади второго ? .
3 Чему равна длина стороны квадрата ,	площадь	которого составляет .
2.3 Фигура F составлена из двух фигур , площади которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q	площадь	фигуры F равна 2000 см2 ? .
Чему равна	площадь	всех белых полей , если сторона одной клетки шахматной доски равна 3 см ? .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути ,	площадь	прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника .
Значит ,	площадь	маленького квадрата будет .
1.2 Чему равна	площадь	м2 в квадратных сантиметрах ? .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую сторону на n равных частей , то	площадь	каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения площади через крупные .
Какую сторону может иметь квадрат ,	площадь	которого с точностью до одной сотки равна 50 га ? .
Найдём	площадь	треугольника АВС .
Она состоит из 20 неперекрывающихся клеточек ,	площадь	каждой из которых 1 k2 .
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его	площадь	S4 в сумме с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
Поэтому	площадь	всей фигуры равна сумме из 20 единиц измерения , то есть 20 k2 .
Чему равна	площадь	в 1 мм2 , выраженная в квадратных метрах ? .
1.1 Чему равна площадь фигуры , если считать , что	площадь	одного квадрата сетки равна 4 см2 ? .
1.1 Чему равна	площадь	фигуры , если считать , что площадь одного квадрата сетки равна 4 см2 ? .
б ) Какие многоугольники имеют разную	площадь	? .
Фигура состоит из 21 клеточки , поэтому её	площадь	равна 21 k2 .
Перечисленные выше свойства позволяют находить площадь некоторых фигур , если считать	площадь	эталона равной 1 .
Таким образом ,	площадь	этой фигуры больше , чем площадь фигуры .
Определите	площадь	участка .
2 По какой формуле вычисляется	площадь	прямоугольного треугольника ? .
Четыре прямоугольных треугольника ABC , CTS , SRQ и QPA равны между собой , а	площадь	каждого равна .
Поэтому	площадь	данной фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников плюс сумма площадей четырёх прямоугольников .
11 Найдите	площадь	прямоугольника со сторонами а и b , если .
Чему равна площадь фигуры , если считать , что	площадь	одного треугольника равна .
Чему равна	площадь	каждого из полученных треугольников ? .
Что больше : площадь пола или	площадь	потолка в вашей классной комнате ? .
Что больше :	площадь	пола или площадь потолка в вашей классной комнате ? .
Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги — длина его горизонтальных сторон , b шагов сетки — длина вертикальных сторон , S — его	площадь	в клеточках .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое число π ( читается : « пи » ) , с помощью которого вычисляют длину окружности и	площадь	круга .
1.4 Чему равно значение площади фигуры , если считать , что	площадь	одной клеточки равна 4 см2 ? .
Оцените	площадь	в гектарах с избытком и недостатком .
На основании этого рассуждения сформулируем следующее правило :	площадь	прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле .
10 Бетонный столб имеет форму прямоугольного параллелепипеда объёмом V и высотой Н. Найдите	площадь	основания этого столба , если .
Чему равна	площадь	фигуры , если считать , что площадь одного треугольника равна .
12 Во сколько раз увеличится	площадь	прямоугольника , если одна его сторона увеличилась в 2,1 раза , а вторая — в 3,65 раза ? .
Квадраты BNMA и BKLC имеют соответственно	площадь	.
1.3 Чему равна	площадь	325 дм2 в квадратных метрах ? .
Значит ,	площадь	квадрата со стороной а вычисляется по формуле .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути , площадь прямоугольника и	площадь	прямоугольного треугольника .
1 Длина окружности и	площадь	круга .
Её	площадь	равна 44k2 .
Какие значения из указанных не может иметь	площадь	таких треугольников ? .
Перечисленные выше свойства позволяют находить	площадь	некоторых фигур , если считать площадь эталона равной 1 .
1.3 Чему равна	площадь	квадрата со стороной 8 см ? .
3 Почему	площадь	любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек , или дробным числом со знаменателем 2 ? .
6 Найдите прямоугольный треугольник , в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если	площадь	треугольника равна .
3 Если какая - нибудь фигура разрезана на несколько частей , то	площадь	всей фигуры равна сумме площадей составляющих её частей .
1.1 Чему равна	площадь	прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 30 см ? .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по длине стороны квадрата можно найти его	площадь	в соответствующих единицах измерения .
Из свойств площади вытекает , что	площадь	прямоугольника равна удвоенной площади одного такого треугольника .
1.2 Чему равна	площадь	прямоугольного треугольника с катетами .
1 Если одна фигура содержится внутри другой , то	площадь	внутренней фигуры не больше площади внешней .
Если возьмём а = 7 см , то получим	площадь	49 см2 .
Её	площадь	будет 12k2 .
5 Как изменится	площадь	прямоугольника , если одну его сторону увеличить в 6,25 раза , а вторую уменьшить в 4 раза ? .
3 Как вычислить	площадь	грани прямоугольного параллелепипеда ? .
4 По какой формуле вычисляется	площадь	круга ? .
Каким из указанных значений равна	площадь	фигуры F ? .
По какой формуле можно вычислять	площадь	прямоугольного треугольника , если известны его катеты ? .
10 Чему равна	площадь	фигуры ? .
Если возьмём а = 8 см , то получим	площадь	64 см2 .
Но для квадрата ACSQ его	площадь	, значит , извлекая из числа 25 квадратный корень , находим .
Тогда его	площадь	равна ab .
4 Единицей измерения площади считается	площадь	квадрата , сторона которого равна выбранной единице измерения длины .
Таким образом , площадь этой фигуры больше , чем	площадь	фигуры .
10 фигуры , если считать , что	площадь	одной клеточки равна см2 ? .
Теперь рассмотрим фигуру из всех таких квадратов той же сетки , которые целиком лежат внутри фигуры Ф. Её	площадь	равна 17k2 .
Первое свойство площади позволяет сказать , что	площадь	S данной фигуры Ф больше 17k2 и меньше 44k2 .
Во сколько раз уменьшится	площадь	прямоугольного треугольника , если каждый из двух его катетов уменьшить в 2 раза ? .
17 а ) Какие два из трёх многоугольников имеют равную	площадь	? .
Какова	площадь	закрашенной области ? .
Его	площадь	S равна половине площади соответствующего квадрата , то есть 8k2 .
Сделайте чертеж на клетчатой бумаге и найдите	площадь	каждого треугольника .
Так как числа а и b — это длины катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу :	площадь	прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
2 Почему	площадь	любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается целым числом клеточек ? .
Какую	площадь	имеет квадрат со стороной 130 м ? .
1.2 Чему равно значение площади фигуры , если считать , что	площадь	одной клеточки равна 1 см2 ? .
Если возьмём а = 7,1 см , то получим	площадь	50,41 см2 .
Его	площадь	равна 4k2 .
16 Почему	площадь	треугольника АВС равна площади четырёхугольника MNKL ? .
Следовательно ,	площадь	треугольника АВС равняется .
1.1 Чему равна	площадь	квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
В задачах о вычислении площади многоугольника всегда имеют в виду	площадь	ограниченной им многоугольной области .
Какой масштаб можно выбрать , чтобы изобразить в тетради квадратный участок	площадью	в 1 га ? .
Разделим каждую сторону квадрата со стороной 1 см и	площадью	1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведём прямые .
Существует ли прямоугольник с	площадью	1 см2 , внутри которого можно поместить отрезок длины 1 м ? .
Возьмём квадрат	площадью	в 25 см2 .
Допустим , что задан квадрат	площадью	144 см2 .
Возьмём фигуру Ф. Расположим её на « сетке » из квадратов	площадью	в 1 k2 .
Поэтому рассмотрим уменьшенную « сетку » из квадратов со стороной в шага сетки и	площадью	в k2 .
6 Найдите прямоугольный треугольник , в котором можно разместить квадрат	площадью	1 см2 , если площадь треугольника равна .
2 Почему из четырёх прямоугольников с площадями 18 см2 , 21 см2 , 64 см2 и 96 см2 нельзя составить прямоугольник	площадью	200 см2 ? .
Всего получается квадратов	площадью	по 1 мм2 .
4 Приведена зависимость между	площадью	S поперечного сечения русла на отдельных участках реки и скоростью течения реки .
Допустим , нужно сделать квадрат	площадью	в 50 см2 .
дачные участки	площадью	6 соток и 8 соток . д ) урожай картофеля в 35 вёдер и в 200 вёдер . е ) 2 стакана ягод и 2 ведра ягод ? .
Для сравнения величины участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная характеристика фигур плоскости , называемая	площадью	.
Построим на клетчатой бумаге квадрат	площадью	в 20k2 .
6 Укажите стороны прямоугольника с	площадью	1 м2 , внутри которого нельзя поместить квадрат площадью 1 см2 .
6 Укажите стороны прямоугольника с площадью 1 м2 , внутри которого нельзя поместить квадрат	площадью	1 см2 .
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с	площадями	треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
2 Почему из четырёх прямоугольников с	площадями	18 см2 , 21 см2 , 64 см2 и 96 см2 нельзя составить прямоугольник площадью 200 см2 ? .
2 Что можно сказать о	площадях	двух равносоставленных фигур ? .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников	плюс	сумма площадей четырёх прямоугольников .
Нужна ли на практике карта земной	поверхности	с масштабом 1 : 1 000 000 000 ? .
В Южном полушарии суша занимает 19 % , а вода — 81 %	поверхности	.
5 Суша занимает 29 % , а вода — 71 % земной	поверхности	.
Какие значения можно считать приближениями сверху и снизу для температуры у	поверхности	Земли на Северном полюсе ? .
Мы пока будем называть плоскостью всякую ровную	поверхность	, на которой изображают чертежи и рисунки , проводят линии и делают разметку .
Найдите площадь , занимаемую сушей и водой на всей Земле и в каждом полушарии отдельно , если	поверхность	земного шара приблизительно равна 510 млн км2 .
9 Найдите объём земной атмосферы , если она простирается над	поверхностью	Земли на высоту приблизительно 100 км , а радиус Земли равен 6370 км .
Проводя	подобное	рассуждение для каждого угла квадрата , приходим к следующему заключению : диагонали квадрата делят его утлы пополам .
Далее на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; 3 ] длиной 3 и проведём рассуждения ,	подобные	предыдущим .
А это означает , что в ряду степеней двойки любые две степени , разность	показателей	которых равна 4 , имеют одинаковые последние цифры .
Число n называется	показателем	этой степени .
В записи 102 число 2 называют	показателем	степени , а запись 102 читают : « десять в степени два » .
В дополнение к степеням числа 10 , у которых	показатель	степени больше 1 , договариваются , что .
В записи 25	показатель	степени 5 иногда называют логарифмом числа 32 по основанию 2 и записывают в виде .
3 Чему равен	показатель	степени в записи 38 ? .
Чем больше	показатель	степени n у дроби , тем ближе к нулю такая дробь .
Степени	показатель	.
2.5 Основание и	показатель	степени .
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен	показателю	степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
10 Как вы понимаете « стремление к нулю » дробей вида при возрастании	показателя	n ? .
В первой строке запишем значения	показателя	n , во второй — удвоенную последнюю цифру предыдущей степени двойки , а в третьей — последнюю цифру числа .
Говорят , что при возрастании	показателя	степени n дроби вида стремятся к нулю .
1.7 О стремлении к нулю дробей вида при возрастании	показателя	степени .
Сколько потребуется бетона на	покрытие	дорожки трека , если на 1 м2 расходуется 0,2 м3 бетона ? .
12 Пол комнаты шириной 3 м и длиной 6 м нужно покрыть квадратными плитками со стороной в 30 см. Сколько таких плиток потребуется для	покрытия	всего пола ? .
Частью плоскости может быть тетрадный лист или классная доска , городская площадь или футбольное	поле	.
Чему равна площадь всех белых	полей	, если сторона одной клетки шахматной доски равна 3 см ? .
б ) В котором часу начнётся оттепель , то есть будет	положительная	температура ? .
Дроби	положительная	.
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить	положительное	направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
Число	положительное	.
Направление	положительное	.
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют	положительной	дробью .
Умножение и деление обеих частей неравенства на	положительную	дробь .
Умножим обе части этого неравенства на	положительную	дробь и сравним результаты .
Таким образом , можно записать правило : если обе части неравенства умножить на	положительную	дробь , то знак неравенства не изменится .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на	положительную	дробь у можно заменить умножением обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
6 Как на термометре отмечаются	положительные	и отрицательные температуры ? .
Поэтому для натуральных чисел используется и другое название :	положительные	целые числа .
По традиции числовую прямую располагают горизонтально , а	положительным	направлением считают направление вправо .
Но в таких случаях , чтобы не возникало недоразумений , нужно всегда специально оговаривать , какое направление считается	положительным	, какая точка является началом отсчёта и какая точка изображает единицу .
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные	положительным	дробным числам .
Луч этой числовой прямой от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча —	положительным	направлением .
Как из нескольких чисел , изображённых на горизонтальной числовой прямой с	положительным	направлением вправо , выбрать самое большое и самое малое ? .
Поэтому натуральные числа иногда называют	положительными	целыми числами .
На транспортире вдоль	полуокружности	нанесена шкала из 180 одинаковых частей .
Во сколько раз расстояние от Северного	полюса	до экватора больше линейки длиной 40 см ? .
Какие значения можно считать приближениями сверху и снизу для температуры у поверхности Земли на Северном	полюсе	? .
4 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана дачного участка длиной 40 м и шириной 20 м на листе бумаги длиной 30 см и шириной 20 см , чтобы план полностью поместился на листе и	поля	оставались не слишком большими ? .
Второй важный случай замены натурального числа его приближённым значением связан с указанием	порядка	величины числа .
У числа 1112 порядок больше	порядка	числа 100 и равен порядку числа 1000 .
При указании	порядка	числа часто используют другую словесную форму : « числа 2813 и 103 по порядку сравнимы » .
Тем самым для каждого натурального числа можно указать разрядную единицу того же	порядка	.
4 Какие свойства	порядка	для натуральных чисел вы знаете ? .
В математике выражения тоже приходится читать от начала до конца и в нужном	порядке	выполнять указанные действия .
7 Расположите в	порядке	возрастания дроби .
Представим себе все натуральные числа выписанными в ряд в том	порядке	, в каком они появляются при последовательном счёте .
8 Расположите в	порядке	убывания дроби .
6 Расположите дроби в	порядке	убывания .
Представления о	порядке	величины .
5 Расположите дроби в	порядке	возрастания .
Записав в перечисленном	порядке	обозначения выбранных сторон , получим ВА , AD , DC , СВ .
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в ряду натуральных чисел , которое позволяет различные числа расположить в	порядке	возрастания или убывания .
6 Расставьте в	порядке	убывания числа .
5 Расставьте в	порядке	возрастания числа .
Продолжая далее этот процесс , на прямой в выбранном направлении можно изобразить сколь угодно большое количество натуральных чисел в	порядке	их следования .
Она показывает , какие действия и в каком	порядке	следует выполнить над числами 2 , 60 , 24 .
Верно ли это утверждение для разности любого трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	? .
2 Расположите все числа из предыдущей задачи : а ) в	порядке	возрастания ; б ) в порядке убывания .
3 Расположите в	порядке	возрастания числа .
5 Выпишите в	порядке	возрастания все десятичные дроби с одним десятичным знаком после запятой , расположенные между числами 3,8 и 4,5 .
Расположите эти числа в	порядке	убывания .
Ломаная обозначается перечислением вершин в том	порядке	, в каком они соединяются отрезками .
Если записать вершины в порядке М , L , К , N , то получится четырёхугольник MLKN , а если в	порядке	М , К , L , N , то придём к четырёхугольнику MKLN .
Как расположить числа в	порядке	возрастания ? .
Если записать вершины в	порядке	М , L , К , N , то получится четырёхугольник MLKN , а если в порядке М , К , L , N , то придём к четырёхугольнику MKLN .
Может показаться , что безразлично , в каком	порядке	перечислять вершины четырёхугольника .
В результате получена последовательность чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа 1825 , но записанной в обратном	порядке	.
Отметим различные точки А , В , С , D , Е и F. Соединим их отрезками в том	порядке	, в каком они записаны .
2 Расположите все числа из предыдущей задачи : а ) в порядке возрастания ; б ) в	порядке	убывания .
В результате получена последовательность чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа , но записанной в обратном	порядке	.
14 Возьмём число 782 и число 287 , записанное теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Если переписать эти цифры в обратном	порядке	, то получится нужное представление числа 9137 в четверичной системе : ( 2032301)4 .
Например , порядок числа 2813 совпадает с	порядком	числа 103 .
Рассмотренные примеры показывают , что нужно внимательно следить за	порядком	перечисления вершин многоугольника .
15 Как оценить количество зёрен из легенды об изобретателе шахмат , используя приближения по	порядку	величины ? .
Какие примеры различных по	порядку	величин вы знаете ? .
Например , расстояние от дома до школы по	порядку	величины всегда меньше 104 км .
Обычно приближённые значения по	порядку	величины рассматривают тогда , когда сравнивают числа и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен	порядку	числа 103 и так далее .
5.5 Когда удобны сравнения по	порядку	величины ?
С какой разрядной единицей сравнимо по	порядку	число месяцев в году ? .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен	порядку	числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
2.4 Какие из указанных чисел по	порядку	величины сравнимы с 99 999 ? .
2.3 Какие из указанных чисел по	порядку	величины сравнимы с 103 ? .
8 Сравните по	порядку	числа .
У числа 1112 порядок больше порядка числа 100 и равен	порядку	числа 1000 .
9 Какие из двух величин по	порядку	одинаковы , а какие различны при измерении в указанных единицах .
При указании порядка числа часто используют другую словесную форму : « числа 2813 и 103 по	порядку	сравнимы » .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен	порядку	числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен	порядку	числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
11 Приведите пример , когда приближение числа с избытком имеет больший	порядок	, чем порядок самого числа .
6 Как определяется	порядок	натурального числа ? .
11 Приведите пример , когда приближение числа с избытком имеет больший порядок , чем	порядок	самого числа .
12 Приведите пример , когда приближение числа с недостатком имеет меньший порядок , чем	порядок	самого числа .
10 Каков	порядок	у чисел .
Какие фигуры могут получиться , если изменить	порядок	перечисления вершин прямоугольника ? .
Будем считать , что	порядок	всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ;	порядок	всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ;	порядок	всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ;	порядок	всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
У числа 1112	порядок	больше порядка числа 100 и равен порядку числа 1000 .
Но 104 км меньше расстояния от Земли до Луны , которое имеет	порядок	105 км .
11 Можно ли в обозначении многоугольника произвольно менять	порядок	перечисления его вершин ? .
Например ,	порядок	числа 2813 совпадает с порядком числа 103 .
Величины	порядок	угла .
12 Приведите пример , когда приближение числа с недостатком имеет меньший	порядок	, чем порядок самого числа .
Кратко эту процедуру можно представить схемой	последовательности	действий .
Всякое число в двоичной системе счисления записывается с помощью	последовательности	цифр 0 и 1 .
Для прерывания	последовательности	действий служат скобки .
Действия над десятичными дробями с помощью калькулятора выполняются нажатием клавиш в определённой	последовательности	.
Кратко эту	последовательность	действий можно представить схемой .
В результате получена	последовательность	чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа , но записанной в обратном порядке .
Если при этом убрать ещё и знак умножения , то получим	последовательность	равенств : abc .
В результате получена	последовательность	чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа 1825 , но записанной в обратном порядке .
Будем отличать новую запись от десятичной , заключая	последовательность	« цифр » в круглые скобки и после правой скобки чуть ниже приписывая 4 .
Выполним в десятичной системе	последовательность	делений на 4 с остатком .
В результате получена последовательность чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с	последовательностью	цифр исходного числа 1825 , но записанной в обратном порядке .
В результате получена последовательность чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с	последовательностью	цифр исходного числа , но записанной в обратном порядке .
В равенстве	правая	часть получается из левой вычёркиванием множителя k .
Самая	правая	цифра 0 — это цифра разряда единиц .
Например , большее число b изображено	правее	меньшего числа а .
Если числовая ось расположена горизонтально и направлена вправо , то большее число изображается	правее	меньшего .
Сколько десятичных знаков после запятой может иметь	правильная	дробь со знаменателем1020 ? .
Дроби	правильная	.
Сколько десятичных знаков после запятой может иметь	правильная дробь	со знаменателем1020 ? .
Для получения	правильного	ответа нужно перевести время в минуты и взять число .
Заметим , что целая часть	правильной	дроби равна 0 .
Например , дроби правильные , a не является	правильной	дробью .
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называется	правильной	дробью .
Заметим , что целая часть	правильной дроби	равна 0 .
Например , дроби правильные , a не является	правильной дробью	.
Дробь , у которой числитель меньше знаменателя , называется	правильной дробью	.
Задание 2 Укажите все	правильные	варианты ответа .
Например , дроби	правильные	, a не является правильной дробью .
Задание 1 Укажите	правильный	вариант ответа .
5 Замените звёздочки цифрами так , чтобы умножение « столбиком » было	правильным	.
6 Какие дроби называются	правильными	? .
3 Запишите десятичные дроби из задачи 2 в виде обыкновенных	правильных	или смешанных дробей .
В то же время расстояние от точки 0 до	правого	конца третьего отрезка равно 1 .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до	правого	конца четвёртого отрезка равно .
С левой стороны в каждом столбце после разрядной единицы получается сумма цифр , равная 9 , до того момента , пока не доберемся до самого	правого	столбца единиц .
Вычтем из	правой	и левой частей этого равенства по b2 .
Будем отличать новую запись от десятичной , заключая последовательность « цифр » в круглые скобки и после	правой	скобки чуть ниже приписывая 4 .
В	правой	части каждого из полученных неравенств записана длина одной из сторон , а в левой — сумма длин оставшихся сторон .
В левой части получится дробь , а в	правой	— дробь .
Какой смысл имеет цифра 6 в	правой	части равенства и какой смысл имеет цифра 6 в левой части этого равенства ? .
6 Как разрезать левую и	правую	фигуры , чтобы из полученных частей можно было сложить два равных квадрата ? .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и	правую	части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Наконец , умножив 5836 на число 7 тысяч второго сомножителя , опять получаем две строки , но крайнюю	правую	цифру нужно записать в разряде тысяч .
Но крайнюю	правую	цифру помещаем в разряд десятков .
3 Разрежьте левую из фигур на части и сложите	правую	фигуру .
Это правило легко получить из предыдущего , переставив левую и	правую	части равенства .
Тогда	правую	фигуру можно наложить на левую так , что они совместятся .
5 Как разрезать левую фигуру на части , из которых можно сложить	правую	фигуру ? .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной ,	правый	конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной , видим , что	правый	конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что	правый	конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Поэтому	правый	конец третьего отрезка можно обозначить также через .
Значит	правый	конец отрезка [ 0 ; 1 ] можно обозначить также через .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать отрезок на этой прямой , левый конец которого обозначен числом а , тогда как	правый	конец обозначен числом b. Например , концами отрезка [ 0 ; 1 ] являются точки 0 и 1 .
Если на числовой прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной то его	правый	конец мы обозначили через .
Значит ,	правый	конец отрезка [ 0 ; 1 ] можно обозначить также через .
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же длиной	правый	конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
« Значит ,	правый	конец второго отрезка можно обозначить через .
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же длиной ,	правый	конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной ,	правый	конец которого мы также обозначили через .
Значит ,	правый	конец второго отрезка можно обозначить через .
В левых частях этих формул нет скобок , а в	правых	— есть .
Сколько квадратов можно нарисовать на новой сетке в	пределах	рисунка ? .
Разница лишь в том , что в результате получается или целое число десятков в	пределах	до ста , или дополнительная сотня .
Сложение двух чисел , содержащих целое число десятков в	пределах	до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
Для этого возьмём сумму и	прибавим	к ней единицу .
Какое из указанных чисел нужно	прибавить	к 5197 , чтобы получившееся число делилось на 2 ? .
к уменьшаемому	прибавить	3,5 , а к вычитаемому 0,77 . г )
Заметим , что можно также складывать не парами , а последовательно прибавляя числа : к 58 прибавить 43 , к полученному результату	прибавить	66 и так далее ( соответствующие слагаемые помещены в скобках ) .
6 Какое число надо	прибавить	к 123 , чтобы получилась разность чисел 345 и 77 ? .
Если	прибавить	к b какое - нибудь натуральное число n , то сумма окажется больше b и , следовательно , больше а .
13 Как	прибавить	2 или 3 к натуральному числу ? .
5 Какое число надо	прибавить	к 321 , чтобы получилась сумма чисел 225 и 168 ? .
1.2 Какое из указанных чисел нужно	прибавить	к 21 969 , чтобы получившееся число делилось на 5 ? .
Заметим , что можно также складывать не парами , а последовательно прибавляя числа : к 58	прибавить	43 , к полученному результату прибавить 66 и так далее ( соответствующие слагаемые помещены в скобках ) .
Его можно сформулировать в виде правила : если к разности	прибавить	вычитаемое , то получится уменьшаемое .
Чтобы к n прибавить 3 , достаточно сначала	прибавить	2 , а затем — единицу .
Чтобы к n прибавить 2 , нужно сначала	прибавить	1 , а затем ещё 1 .
Осталось	прибавить	единицу , и получится число , следующее , то есть .
Чтобы к n	прибавить	3 , достаточно сначала прибавить 2 , а затем — единицу .
1.4 Какое из указанных чисел нужно	прибавить	к 123 456 , чтобы получившееся число делилось на 9 ? .
А теперь хотим	прибавить	к n число .
Чтобы к n	прибавить	2 , нужно сначала прибавить 1 , а затем ещё 1 .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел	прибавить	третье , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего , и наоборот .
11 Какое число нужно	прибавить	, чтобы получить ? .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел прибавить третье , можно к первому числу	прибавить	сумму второго и третьего , и наоборот .
а ) к уменьшаемому	прибавить	0,12 , а от вычитаемого отнять 0,12 .
Проще всего к любому натуральному числу n	прибавить	единицу .
32 Какое число нужно	прибавить	, чтобы получить ? .
Справедливо следующее правило : если к обеим частям неравенства	прибавить	одно и то же число , то знак неравенства не изменится .
Что получится , если к сумме чисел а и b	прибавить	их разность ? .
Пусть а получается , когда к b	прибавлено	n.
Если я к ним	прибавлю	ещё две , то станет восемь .
Заметим , что можно также складывать не парами , а последовательно	прибавляя	числа : к 58 прибавить 43 , к полученному результату прибавить 66 и так далее ( соответствующие слагаемые помещены в скобках ) .
В самом деле ,	прибавляя	к b по очереди 1 , 2 , 3 мы получим всевозможные натуральные числа , большие b.
К числу 1357	прибавьте	сумму трёх чисел — 853 , 459 и 596 .
Обычно считают , что при записи	приближённого	равенства точность десятичного приближения совпадает с разрядной единицей последнего выписанного знака .
1.4 В какой из записей	приближённого	значения с избытком некоторого числа а указано значение с точностью до 0,0001 ? .
Замену числа его приближением обозначают при помощи знака	приближённого	равенства ≈. Например , для числа а можно написать .
2.4 Знак	приближённого	равенства .
4 Какой знак используется для записи	приближённого	равенства .
Какие из указанных значений разумно принять за	приближённое	значение другого из полученных углов ? .
Часто вместо слов «	приближённое	значение » говорят короче — приближение .
Когда дано число а , его	приближённое	значение b и написано приближённое равенство а ≈ b , тогда все ясно .
6 С помощью калькулятора найдите и запишите	приближённое	значение длины стороны квадрата , площадь которого равна .
1.2 Чему равно приближённое значение объёма шара с радиусом 3 см , если за	приближённое	значение числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
Чему равно	приближённое	значение неполного частного при делении числа 4147 на 19 с недостатком с точностью до 100 ? .
Точно так же	приближённое	значение с избытком называют приближённым значением по избытку , приближённым значением справа или приближённым значением сверху .
Чему равно	приближённое	значение числа π с избытком с точностью до 0,01 ? .
1.2 Чему равно	приближённое	значение объёма шара с радиусом 3 см , если за приближённое значение числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за	приближённое	значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
Скорость 90 км / ч — это	приближённое	значение величины скорости автомобиля с недостатком .
Скорость 100 км / ч — это	приближённое	значение величины скорости автомобиля с избытком .
Кроме того , неясно , какое	приближённое	значение появляется на экране — с недостатком или с избытком .
С помощью транспортира , как и любого другого измерительного прибора , можно определить лишь	приближённое	значение градусной меры угла .
7 Как записывают	приближённое	равенство ? .
1.1 Чему равно	приближённое	значение длины окружности радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,2 с избытком ? .
1.1 Чему равно	приближённое	значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
Слова «	приближённое	значение » часто заменяют одним словом « приближение » .
Известно , что	приближённое	значение числа n с недостатком с точностью до 0,01 равно 3,14 .
Когда дано число а , его приближённое значение b и написано	приближённое	равенство а ≈ b , тогда все ясно .
1.3 Чему равно	приближённое	значение площади круга радиуса 4 см , если для числа π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
Значение	приближённое	.
В таком случае желательно знать , с избытком или с недостатком взято это	приближённое	значение и на сколько мы можем ошибиться .
Равенство отрезков	приближённое	.
Другое дело , когда само число неизвестно , а даётся только его	приближённое	значение .
Увидите , насколько важно знать , какое	приближённое	значение величины указывается : с недостатком или с избытком .
Какие из указанных значений разумно принять за	приближённое	значение величины этого угла ? .
4.6 О	приближённом	вычислении произведения с помощью калькулятора .
Но можно научиться находить	приближённые	значения площади с недостатком и с избытком .
15 Прочтите приближённые равенства для числа 3,1415926 и укажите , с какой точностью приведены	приближённые	значения и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
15 Прочтите	приближённые	равенства для числа 3,1415926 и укажите , с какой точностью приведены приближённые значения и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
16 Запишите	приближённые	значения с недостатком и с избытком для числа 2,71828 с точностью до .
Выясним , как найти	приближённые	значения площади этого треугольника с избытком и недостатком при помощи метода , описанного в предыдущем пункте .
Чем отличаются	приближённые	равенства а ≈ 2,310 с недостатком и а ≈ 2,3100 ? .
Его	приближённые	значения с недостатком и с избытком можно указать с точностью до любого знака .
Например , возможны следующие	приближённые	равенства .
Как с помощью двух линеек находить	приближённые	значения с недостатком и с избытком для суммы двух трёхзначных чисел ? .
Вы узнаете , какие бывают числа , что такое	приближённые	значения с избытком и с недостатком .
Значение с недостатком и значение с избытком — это	приближённые	значения величины .
Обычно	приближённые	значения по порядку величины рассматривают тогда , когда сравнивают числа и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
Какими значениями обычно указывают	приближённый	возраст человека ? .
Точно так же приближённое значение с избытком называют	приближённым	значением по избытку , приближённым значением справа или приближённым значением сверху .
Второй важный случай замены натурального числа его	приближённым	значением связан с указанием порядка величины числа .
Приближённое значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда —	приближённым	значением снизу .
Дробь является	приближённым	значением с недостатком или с избытком ?
Тот факт , что число b является	приближённым	значением числа а , выражают формулой а ≈ b ( читается : « а приближённо равно b » ) .
Приближённое значение с недостатком иногда называют приближённым значением по недостатку , иногда —	приближённым	значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
Приближённое значение с недостатком иногда называют	приближённым	значением по недостатку , иногда — приближённым значением слева , а иногда — приближённым значением снизу .
Точно так же приближённое значение с избытком называют приближённым значением по избытку ,	приближённым	значением справа или приближённым значением сверху .
Точно так же приближённое значение с избытком называют приближённым значением по избытку , приближённым значением справа или	приближённым	значением сверху .
2.2 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями с избытком для числа 961 ? .
Какие величины можно считать	приближёнными	значениями площади рассмотренной фигуры ? .
Замена числа его	приближёнными	значениями иногда позволяет упростить решение некоторых задач .
2.1 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями с недостатком для числа 7318 ? .
Важный способ замены натуральных чисел	приближёнными	значениями связан с их десятичной записью .
3 Какие числа считаются	приближёнными	значениями числа а ? .
Если точное значение числа неизвестно или несущественно , то вместо него можно использовать значения с недостатком или с избытком , которые принято называть	приближёнными	.
2.4 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями с недостатком для объёма прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
2.2 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями числа 3π с избытком ? .
Какие натуральные числа можно считать	приближёнными	значениями с недостатком и с избытком ? .
2.1 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями числа 2π с недостатком ? .
2.3 Какие из указанных значений являются	приближёнными	значениями с недостатком объёма шара с радиусом 1 дм ? .
Они равны обыкновенным дробям и домножением числителя и знаменателя второй дроби на 100	приведем	обе дроби к общему знаменателю .
Например ,	приведена	запись сложения чисел 70 и 50 , что сокращённо можно записать .
На основании этих равенств	приведена	таблица умножения однозначных чисел в четверичной системе счисления .
Будут сформулированы основные законы умножения ,	приведены	правила действий с выражениями , содержащими скобки .
Таким образом , дроби и представлены в виде дробей с одинаковыми знаменателями , то есть	приведены	к общему знаменателю .
15 Прочтите приближённые равенства для числа 3,1415926 и укажите , с какой точностью	приведены	приближённые значения и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
Однако для краткости мы эти вычисления опустим и сразу	приведём	окончательный результат .
Домножением числителя и знаменателя первой дроби на 1000	приведём	обе дроби к общему знаменателю .
Пример	приведён	.
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения	приведён	пример умножения чисел в четверичной системе .
В такой формулировке	приведённое	правило иногда называют сокращением знаменателя и числителя на одно и то же натуральное число .
Полученную запись можно сократить , если в	приведённой	схеме у числа 10 не указывать цифру 0 , а запись цифры 1 сохранить в том же столбце десятков , где она и была записана .
В результате получим новую запись ,	приведённую	на рис .
Двузначные числа ,	приведённые	в таблице , вы уже умеете читать .
Какие правила сложения и вычитания позволяют обосновать	приведённые	преобразования ? .
2.4 Какие из	приведённых	равенств являются верными ? .
2.2 Изображён угол с вершиной К. Какие из	приведённых	записей являются обозначениями этого угла ? .
Какие из	приведённых	утверждений являются верными ? .
Какие из	приведённых	значений может иметь величина угла АОС ? .
2.4 Какие из	приведённых	разностей меньше 0,05 ? .
2.3 При каких из	приведённых	значениях m и n объём прямоугольного листа бумаги толщиной 0,01 см , шириной m см длиной n см равен 2,4 см3 ? .
2.3 Какие из	приведённых	величин больше 0,3 % и меньше 0,5 % от 320 г ? .
Какие из	приведённых	значений не могут быть величиной угла , смежного с углом АОВ ? .
Какие из	приведённых	значений не могут быть суммой величин углов АОВ и COD ? .
2.3 Изображён плоский угол с вершиной В. Какие из	приведённых	записей являются обозначениями этого угла ? .
2.4 Какие из	приведённых	дробей можно сократить ? .
Какие значения из	приведённых	могут иметь площади этих частей ? .
2.1 Какие из	приведённых	равенств являются верными ? .
Какая из	приведённых	круговых диаграмм соответствует этой таблице ? .
Какая из	приведённых	линейных диаграмм соответствует этой таблице ? .
2.4 Какие из	приведённых	неравенств являются верными ? .
2.2 Какие из	приведённых	величин больше 20 % и меньше 30 % от 1 км 250 м ? .
2.4 Какие остатки из	приведённых	не могут получаться при делении квадратов натуральных чисел на 5 ? .
2.4 Какие из	приведённых	величин больше 28 % и меньше 30 % от 3 часов 30 минут ? .
2.3 Каким из	приведённых	выражений равна разность ? .
Какая из	приведённых	столбчатых диаграмм соответствует этой таблице ? .
2.2 Каким из	приведённых	сумм равно произведение ? .
Какие из	приведённых	значений может иметь величина угла AOD ? .
В	приведённых	примерах говорилось про 1 % .
2.1 Какие из	приведённых	значений равны площади прямоугольного треугольника с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
2.3 Какие из	приведённых	выражений являются квадратом некоторого натурального числа ? .
2.2 Какие из	приведённых	равенств являются верными ? .
2.4 Какие из	приведённых	сумм равны 452 ? .
2.3 Какие из	приведённых	равенств являются неверными ? .
Какие из	приведённых	равенств являются верными ? .
1.3 В каком из	приведённых	случаев записан результат деления с остатком числа 539 на 17 ? .
При каких из	приведённых	значений n такие суммы нечётны ? .
2.1 Какие из	приведённых	чисел при делении на 9 дают остаток 4 ? .
2.1 Какие из	приведённых	утверждений являются верными ? .
1.4 Какому из	приведённых	выражений равно ? .
2.2 Какие из	приведённых	чисел при делении на 11 дают остаток 7 ? .
б ) Какие соображения	привели	вас к ответу на вопрос а ? .
Использование десятичной системы счисления	привело	к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени числа 10 .
Как	привести	к общему знаменателю три дроби ? .
4 Как дробь	привести	к виду смешанной дроби ? .
5 Как	привести	две дроби к общему знаменателю ? .
Чтобы сравнить две любые дроби , достаточно	привести	их к общему знаменателю , а затем воспользоваться правилом из предыдущего пункта .
9 Как дроби	привести	к общему знаменателю ? .
3 Какие примеры буквенных выражений вы можете	привести	? .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби	привести	к общему знаменателю .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам	приводил	к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Если же сомножители достаточно велики , то приходится выполнять « в уме » чересчур много действий , а это	приводит	к ошибкам в вычислениях .
Оба перемещения	приводят	к тому , что треугольник АВС совмещается с копией треугольника BCD .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов прямоугольного треугольника ,	прилежащих	к гипотенузе , равна 90 ° .
3 Чему равна сумма	прилежащих	к гипотенузе углов прямоугольного треугольника ? .
Будущий дом	проектируют	, делают черновые наброски , производят расчёты , выбирают масштаб и затем готовят рабочие чертежи , которые позволяют сделать стены , двери , окна в точности такими , какие они нужны .
Поскольку , то подберём число а десятков так , чтобы	произведение	а было меньше либо равно 5386 , но было больше 5386 .
Таким образом ,	произведение	должно быть равно нулю .
8 Делится ли	произведение	.
1 Как записать	произведение	в виде суммы ? .
6 Как определяется	произведение	любого числа а и числа 0 ? .
Найдём	произведение	чисел 12 000 000 и 2400 .
Заметив , что , подберём целое число b единиц так , чтобы	произведение	было меньше либо равно 166 , но было уже больше 166 .
Так как , подбираем цифру b с таким расчётом , чтобы	произведение	было самым большим числом , которое меньше либо равно 4,08 .
Поскольку , подбираем цифру а так , чтобы	произведение	было самым большим числом , но меньшим либо равным числу 64,08 .
	Произведение	первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Поэтому для числа 2247 снова подбираем целое число а сотен так , чтобы	произведение	было меньше 2247 .
В какую степень нужно возвести число а , чтобы получить	произведение	чисел а2 и а3 ? .
1 ) если дроби равны , то	произведение	числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби .
1.4 Какую цифру а нужно взять , чтобы	произведение	было самым большим числом , которое меньше или равно 5,47 ? .
Заполните пустые места , учитывая , что за одну секунду через любое сечение проходит один и тот же объём воды , то есть	произведение	постоянно .
1.1 Чему равно	произведение	? .
1.2 Чему равно	произведение	? .
1.3 Чему равно	произведение	? .
Две дроби называются взаимно обратными , если их	произведение	равно 1 .
1.4 Чему равно	произведение	? .
Может ли при делении с остатком некоторого натурального числа на	произведение	получиться остаток 134 ? .
Почему	произведение	трёх нечётных чисел является нечётным числом ? .
6 Почему	произведение	двух нечётных чисел является нечётным числом ?
Если , то для любых чисел b и с выполняются равенства , так как	произведение	любого числа и нуля равно 0 .
Снова получаем , что	произведение	дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на	произведение	второго и третьего .
Рассмотрим теперь умножение десятичной дроби на 0,1 , то есть на Вычислим , например ,	произведение	.
если хотя бы один сомножитель равен нулю , то и всё	произведение	равно нулю .
Чему равно	произведение	.
Вычислим , например ,	произведение	.
В частности , на пятом шаге по схеме деления нужно подобрать число 0,000003 ; найти	произведение	и выполнить вычитание .
Чему равно	произведение	? .
Однако это	произведение	содержит только 4 цифры .
2 Почему	произведение	любого натурального числа на чётное будет чётным ? .
Так как , подбираем цифру с так , чтобы	произведение	было самым большим числом , которое меньше либо равно 0,48 .
Найдём	произведение	.
2 ) если	произведение	числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
2 Как определяется	произведение	дробей ? .
Обозначим искомое	произведение	буквой х.
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков ,	произведение	однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Изобразим на числовой прямой	произведение	, равное 63 .
1 Найдите устно	произведение	.
Наконец ,	произведение	равно 15 .
1.1 Чему равно	произведение	.
Почему	произведение	нескольких ненулевых дробей никогда не равно 0 ? .
Для краткости	произведение	записывают в виде 102 , ставя справа и сверху от числа 10 количество сомножителей .
1.1 На какую цифру оканчивается	произведение	? .
1.4 Чему равно	произведение	.
Когда отложим отрезок длиной в 9 единичных отрезков 7 раз , попадём в точку , изображающую	произведение	.
2.2 Каким из приведённых сумм равно	произведение	? .
Переместительный закон умножения : от перестановки сомножителей	произведение	чисел не изменяется .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить :	произведение	однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Например , потому что это	произведение	равно десяткам ; потому что это произведение равно 24 сотням .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b	произведение	делится нацело на число m .
По какому свойству длин отрезков мы попадаем в точку , изображающую	произведение	ab , когда откладываем b раз отрезок длины а ? .
Таким образом ,	произведение	дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит	произведение	знаменателей исходных дробей .
Распределительный закон :	произведение	первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Свойство числа 1 при умножении :	произведение	числа а и числа 1 всегда равно числу а .
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на	произведение	второго и третьего .
Словами переместительный закон кратко можно записать так : от перестановки сомножителей	произведение	не меняется .
Теперь 10 встречается множителем трижды , и	произведение	кратко записывают как 103 .
Отметим одно очень важное свойство для чисел :	произведение	двух ненулевых чисел всегда отлично от нуля .
Это позволяет быстро находить	произведение	натурального числа и степени числа 10 .
Свойство числа 0 при умножении :	произведение	числа а и числа 0 всегда равно 0 .
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит	произведение	числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на числовой прямой и	произведение	натуральных чисел .
Например , потому что это произведение равно десяткам ; потому что это	произведение	равно 24 сотням .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель	произведением	знаменателей исходных дробей .
4.1 Соответствие между	произведением	десятичных дробей и произведением их числителей и знаменателей .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является	произведением	знаменателей исходных дробей .
Результат умножения числа а на число b обозначается через и называется	произведением	а и b.
Эта сумма равна 36 и совпадает с	произведением	.
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей :	произведением	двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является	произведением	числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
4.1 Соответствие между произведением десятичных дробей и	произведением	их числителей и знаменателей .
Сочетательный закон умножения позволяет убирать в	произведении	сомножителей скобки .
Но сомножители в	произведении	можно переставить и записать равенство в виде .
Итак , положение запятой в	произведении	отличается от её положения в первом сомножителе : запятая сместилась на один разряд влево .
Число десятичных знаков в	произведении	десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков сомножителей .
Значит , в полученном	произведении	надо отделить десятичной запятой 5 знаков справа .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме	произведений	первого числа на второе и первого числа на третье .
произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме	произведений	первого числа на второе и первого числа на третье .
Как записать число 2009 в виде суммы	произведений	при помощи цифр и степеней числа 10 ? .
4 Запишите число в виде суммы целой части и	произведений	дробных разрядных единиц на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
Обычно это вычисление делается « в уме » , так как для подсчёта каждого из	произведений	достаточно знать таблицу умножения однозначных чисел .
2 На какую цифру оканчивается каждое из	произведений	чисел из предыдущей задачи ? .
2.2 Какие из указанных	произведений	больше 1 ? .
С учётом этих правил запишем в виде	произведений	цифр на разрядные единицы число 210 350 .
2.3 Какие из указанных	произведений	равны натуральному числу ? .
Эти выражения похожи на представление любого числа в виде суммы	произведений	при помощи цифр и степеней числа 10 .
Выражения , записанные в виде сумм	произведений	при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на десятичную запись .
2.1 Какие из указанных	произведений	равны 1,68 ? .
Запись десятичной дроби в виде суммы	произведений	цифр и разрядных единиц .
2.3 Какие из указанных сумм равны	произведению	? .
Использование понятия обратной дроби позволяет сформулировать правило деления дроби на ненулевую дробь так : частное от деления дроби на ненулевую дробь равно	произведению	делимого на дробь , обратную делителю .
19 К	произведению	чисел прибавьте число найдите значение этого выражения .
Число равно	произведению	.
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен	произведению	числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно	произведению	числителя второй на знаменатель первой дроби .
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно	произведению	числителя второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
Подсчитаем это количество иначе : сначала вычислим общее количество рядов по колоннам , то есть рядов , и после этого количество человек в батальоне будет равно	произведению	количества человек в ряду на количество рядов .
17 Найдите	произведения	.
По правилу сравнения дробей достаточно сравнить	произведения	.
Таким образом , последняя цифра произведения совпадает с последней цифрой	произведения	и равна 0 .
Сочетательный закон умножения : при умножении	произведения	двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Если сумму двух равных чисел записать в виде	произведения	, то получим .
Если сумму трёх равных чисел записать в виде	произведения	, то получим .
Законы сложения и умножения позволяют находить	произведения	любых многозначных чисел , используя таблицу умножения однозначных чисел .
Поэтому слева приписываем 0 как пятую цифру , ставим десятичную запятую , а перед ней записываем ещё одну цифру 0 — целую часть	произведения	.
Натуральное число а называется составным , если его можно представить в виде	произведения	двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при делении на 10 суммы и	произведения	натуральных чисел вида .
22 Найдите	произведения	.
Напомним его на примере	произведения	.
Процесс вычитания можно ускорить , если вычитать сразу по нескольку чисел , равных 87 , то есть какие - то	произведения	на 87 .
19 Как можно записать в виде	произведения	каждое число , делящееся на 3 ; на 9 ? .
Правило вычисления последней цифры	произведения	позволяет для получения последней цифры очередной степени числа 2 взять последнюю цифру предыдущей степени , домножить её на 2 и у результата оставить только последнюю цифру .
Заметим , что определение	произведения	из пункта не охватывает случаи , когда один или оба сомножителя равны нулю .
Будем использовать обозначение а2 для	произведения	, обозначение а3 для произведения , обозначение а4 для и так далее .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде	произведения	натурального числа и числа 10 .
Иногда при записи	произведения	чисел , обозначенных буквами , точку между ними не ставят .
Таким образом , последняя цифра	произведения	совпадает с последней цифрой произведения и равна 0 .
1.2 Чему равно значение	произведения	? .
Мы уже несколько раз рассматривали	произведения	натуральных чисел , в конце которых стоят нули .
Количество десятичных знаков	произведения	равно числу нулей в записи знаменателя .
2 Как находить последнюю цифру	произведения	двух чисел ? .
Последняя цифра произведения двух натуральных чисел та же , что и у	произведения	последних цифр этих чисел .
Поясним , как это делается , на примере	произведения	5836·7043 .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении	произведения	двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Вычисление произведения дробей свелось к вычислению	произведения	натуральных чисел 4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
Будем использовать обозначение а2 для произведения , обозначение а3 для	произведения	, обозначение а4 для и так далее .
1.2 Изображение	произведения	на числовой прямой .
Последняя цифра	произведения	двух натуральных чисел та же , что и у произведения последних цифр этих чисел .
Запишите в виде	произведения	двух сомножителей различными способами следующие числа .
По определению	произведения	число солдат в каждой колонне равно , в каждом батальоне содержится человек , а всего в параде участвуют солдат .
4.6 О приближённом вычислении	произведения	с помощью калькулятора .
Вычисление	произведения	дробей свелось к вычислению произведения натуральных чисел 4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
Как и в случае со сложением , таблицы вполне достаточно , чтобы вычислять	произведения	любых многозначных чисел .
3 Как находить последние цифры суммы и	произведения	чисел в системе счисления с основанием 4 ? .
2.6 Составные и	простые числа	.
Если числа от 2 до 100 расположить , и применить правило Эратосфена , то останутся	простые числа	, обведённые « кружочками » .
В изучении натуральных чисел	простые числа	играют очень важную роль .
число 7 — простое : оно не делится ни на одно число , кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10	простых чисел	: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
23 Выпишите первые 10	простых чисел	.
Как найти один	процент	от одного процента некоторой величины а ? .
В этой главе вы узнаете , что такое один	процент	от величины и как пользоваться процентами .
Сотая часть величины носит особое название —	процент	.
1 Один	процент	много это или мало ? .
Один	процент	от величины а есть её сотая часть .
1.4 Какой	процент	составляет 18 минут от 1 часа 30 минут ? .
Какой	процент	составляют девочки старше 12 лет от общего числа учеников класса ? .
1.1 Определение одного	процента	от величины .
Как найти один процент от одного	процента	некоторой величины а ? .
Когда значение величины равно а , то значение её одного	процента	— это Такое значение обозначается как 1 % от а .
чем за предыдущий год , хотя по	процентам	всё выглядит наоборот .
20 Определите величину вклада , если вкладчик получил за год по	процентам	30 000 рублей .
В этой главе вы узнаете , что такое один процент от величины и как пользоваться	процентами	.
Поэтому каждый должен научиться обращаться с	процентами	.
В	процентах	от 24 часов .
Приняв длину Оби за 100 % , найдите длины остальных рек в	процентах	с точностью до 0,1 % .
Определите всхожесть зёрен в	процентах	.
Вы могли слышать о приросте на 15 процентов вклада в банке ; об увеличении на 8	процентов	выпуска автомобилей по сравнению с предыдущим годом ; о влажности воздуха в 85 процентов ; о снижении на 5 процентов цены на товар и так далее .
Вы могли слышать о приросте на 15 процентов вклада в банке ; об увеличении на 8 процентов выпуска автомобилей по сравнению с предыдущим годом ; о влажности воздуха в 85 процентов ; о снижении на 5	процентов	цены на товар и так далее .
Вы могли слышать о приросте на 15	процентов	вклада в банке ; об увеличении на 8 процентов выпуска автомобилей по сравнению с предыдущим годом ; о влажности воздуха в 85 процентов ; о снижении на 5 процентов цены на товар и так далее .
На сколько	процентов	гномик вырос за два года ? .
На сколько	процентов	нужно увеличить число рабочих , чтобы выполнить работу за намеченное ранее время , если производительность труда увеличилась на 20 % ? .
Вы могли слышать о приросте на 15 процентов вклада в банке ; об увеличении на 8 процентов выпуска автомобилей по сравнению с предыдущим годом ; о влажности воздуха в 85	процентов	; о снижении на 5 процентов цены на товар и так далее .
Разберём пример , в котором по значению	процентов	нужно находить значение самой величины .
1.4 Примеры нахождения величины , когда известно значение заданного числа её	процентов	.
Слово «	проценты	» употребляется очень часто .
1 Укажите величины , которые составляют указанные	проценты	от единицы .
Глава 6 Луч ,	пряма	.
16 Может ли	прямая	пересечь все стороны четырёхугольника в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
15 Может ли	прямая	пересечь все стороны треугольника в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
Почему	прямая	и луч не равны как геометрические фигуры ? .
Всякая	прямая	на плоскости обладает следующим важным свойством .
1 Что такое числовая	прямая	? .
Иногда в этом случае говорят , что «	прямая	АВ проходит через точку В » .
Это —	прямая	АВ .
Если плоскость разделена прямой на две полуплоскости , то эта	прямая	называется границей для обеих полуплоскостей .
На плоскости дана	прямая	АВ .
Числовая ось (	прямая	) .
Также можно сказать , что «	прямая	АВ содержит точку D » .
Если взять на прямой АВ две различные точки М и Ν , то	прямая	ΜΝ будет той же самой прямой АВ .
1 Чем отличаются луч и	прямая	? .
Иногда говорят , что	прямая	а определяет две полуплоскости а и β .
14 Может ли	прямая	иметь общие точки со всеми сторонами : а ) треугольника ; б ) четырёхугольника ? .
2.1 Изображена	прямая	ΜΝ и четыре точки — А , В , С , D. Какие из указанных отрезков пересекаются с прямой ΜΝ ? .
3 Вне плоского	прямого	угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Градусная мера	прямого	угла составляет половину градусной меры развёрнутого угла .
Стороны , выходящие из вершины	прямого	угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
2 Какова градусная мера	прямого	угла ? .
Отсюда можно извлечь практический способ построения	прямого	угла .
1 Внутри плоского	прямого	угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
2 Вне плоского	прямого	угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине	прямого	угла , — гипотенуза .
Стороны , выходящие из вершины	прямого угла	, — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине	прямого угла	, — гипотенуза .
2 Какова градусная мера	прямого угла	? .
Отсюда можно извлечь практический способ построения	прямого угла	.
3 Вне плоского	прямого угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Градусная мера	прямого угла	составляет половину градусной меры развёрнутого угла .
2 Вне плоского	прямого угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .
1 Внутри плоского	прямого угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Если взять на прямой АВ две различные точки М и Ν , то прямая ΜΝ будет той же самой	прямой	АВ .
Про любую точку D	прямой	АВ говорят , что « точка D лежит на прямой АВ » .
Поэтому если взять	прямой	угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Точка М лежит на прямой АС , точка N — на	прямой	АВ .
Каждый угол данного четырёхугольника —	прямой	: он равен сумме острых углов прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Точка М лежит на	прямой	АС , точка N — на прямой АВ .
6 Точки А , О , D расположены на	прямой	.
2.1 Изображена прямая ΜΝ и четыре точки — А , В , С , D. Какие из указанных отрезков пересекаются с	прямой	ΜΝ ? .
2.2 Изображён отрезок	прямой	АВ и четыре точки .
Что вы можете сказать о взаимном расположении треугольника и	прямой	? .
Треугольник , у которого один угол	прямой	, называется прямоугольным .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на	прямой	АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
7 На сколько частей точка	прямой	делит эту прямую ? .
6 Какие отрезки пересекают границу двух полуплоскостей , определяемых одной	прямой	? .
В разных полуплоскостях относительно	прямой	АВ провели лучи АС и AD так , что .
В одной полуплоскости относительно	прямой	АВ провели лучи АС и AD так , что Чему равна величина угла CAD ? .
Как из листа бумаги при помощи ножниц можно вырезать	прямой	угол ? .
1.1 Изображён	прямой	угол АВС .
Даже если две прямые различаются расположением на плоскости , то « копию » одной из них можно переместить так , чтобы она совпала с другой	прямой	.
Укажите на числовой	прямой	отрезок , на котором лежит точка , изображающая число х .
Если взять на	прямой	АВ две различные точки М и Ν , то прямая ΜΝ будет той же самой прямой АВ .
Про любую точку D прямой АВ говорят , что « точка D лежит на	прямой	АВ » .
Изображены полуплоскости а и β , определяемые	прямой	а .
Значит , угол DBC тоже	прямой	.
10 Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник АВС , в котором , угол С	прямой	.
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль	прямой	, проходящей через вершину угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
1.1 На	прямой	а отмечена точка М. Сколько на этой прямой точек , которые находятся на расстоянии 5 см от точки М ?
Справедливо следующее свойство прямой : любая точка	прямой	делит её на два луча с началом в этой точке .
Своими особенностями выделяется	прямой	угол .
Такие лучи называются противоположными лучами данной	прямой	.
Как объяснить , что на числовой	прямой	длина отрезка будет равна .
1.1 На прямой а отмечена точка М. Сколько на этой	прямой	точек , которые находятся на расстоянии 5 см от точки М ?
17 Два угольника приложены к	прямой	.
Справедливо следующее основное свойство	прямой	.
18 На числовой	прямой	укажите какой - нибудь отрезок длины 0,1 , на котором лежит изображение числа 3,14159265 .
В конце главы вводятся важные понятия числовой	прямой	и числового луча .
1 Как определяется	прямой	угол ? .
Но , в отличие от	прямой	, у развёрнутого угла должна быть указана вершина .
2.2 Основное свойство	прямой	.
Какие точки на числовой	прямой	делят отрезок на 6 равных частей ? .
Если плоскость разделена	прямой	на две полуплоскости , то эта прямая называется границей для обеих полуплоскостей .
Изобразите на числовой	прямой	соответствующие им точки .
Внешне развёрнутый угол ничем не отличается от	прямой	.
Чётко отметив линию изгиба , получим	прямой	угол с достаточно высокой точностью .
Определению угла удовлетворяет фигура , образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же	прямой	.
три из этих точек лежат на одной	прямой	, а три оставшиеся — на другой .
Справедливо следующее свойство	прямой	: любая точка прямой делит её на два луча с началом в этой точке .
9 Придумайте четырёхугольник , который можно разделить на три части одной	прямой	.
2.3 Изображён отрезок	прямой	АВ , которая является границей двух полуплоскостей .
Как вы понимаете неограниченность	прямой	? .
Из точки С этой	прямой	провели лучи CD и СЕ .
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными лучами одной	прямой	.
3.2 Традиционное расположение числовой	прямой	.
Рассмотрим на числовой	прямой	отрезок [ 0 ; 1 ] и разделим его на три равные части .
Лучи ОВ и OD лежат на одной	прямой	и дополняют друг друга .
Лучи ОА и ОС также лежат на одной	прямой	и дополняют друг друга .
Как из одной и той же	прямой	получить две различные числовые прямые ? .
Как на числовой	прямой	можно обозначить середину отрезка [ 3 ; 4 ] ? .
Изображение на числовой	прямой	даёт наглядное представление о сравнении чисел друг с другом .
Как из нескольких чисел , изображённых на горизонтальной числовой	прямой	с положительным направлением вправо , выбрать самое большое и самое малое ? .
Как объяснить , что на числовой	прямой	длина отрезка от точки до точки 1 также равна ? .
Итак , мы изобразили на числовой	прямой	некоторые натуральные числа и нуль .
Откладывание на числовой	прямой	отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
В каком месте числовой	прямой	вы изобразили бы половину единицы ? .
2.1 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 81 .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На	прямой	от точки 0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
4 Как из произвольной	прямой	получить числовую прямую ? .
5 На каком расстоянии от начала отсчёта О изображается на числовой	прямой	число 81 , если расстояние между точками А и В , изображающими числа 36 и 92 , равно 224 см ? .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой	прямой	можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
Углы	прямой	.
1.2 На числовой	прямой	отмечены точки , изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
1.4 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 281 .
1.1 На числовой	прямой	отмечены точки , изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
Далее на числовой	прямой	рассмотрим отрезок [ 0 ; 3 ] длиной 3 и проведём рассуждения , подобные предыдущим .
Покажите , что угол KLD —	прямой	.
Но ∠1 и ∠3 в сумме дают	прямой	угол BAD , поэтому .
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на числовой	прямой	и произведение натуральных чисел .
Изобразим на числовой	прямой	произведение , равное 63 .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой	прямой	.
2.3 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 27 , точка В изображает число 59 .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой	прямой	, а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
В разных полуплоскостях относительно	прямой	АВ провели лучи АС и AD так , что ∠BAC 38 ° , ∠BAD 142 ° .
Напомним , что на числовой	прямой	можно наглядно изобразить сумму натуральных чисел .
Луч этой числовой	прямой	от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
Для любого натурального числа к на числовой	прямой	рассмотрим отрезок [ 0 ; k ] длиной k.
1.3 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 17 .
Так как в сумме эти углы составляют	прямой	угол ВАD , то каждый из них равен 45 ° .
Перегнуть чертёж относительно	прямой	LN ; б ) , в ) поворот на вокруг центра прямоугольника .
Если на числовой	прямой	от точки 0 вправо отложен отрезок длиной то его правый конец мы обозначили через .
1.4 Лучи АВ , АС , AD проведены так , что точки С и В лежат в разных полуплоскостях относительно	прямой	АВ и ∠BAC 36 ° , ∠BAD 126 ° .
Какие пары указанных точек лежат на одном луче этой	прямой	с началом D ? .
2.2 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 36 .
2.3 Луч делит	прямой	угол на два неравных угла .
Как объяснить , что на числовой	прямой	длина отрезка от точки до точки 1 равна ? .
Выберем на	прямой	один из лучей с началом в точке О , направленный в сторону стрелки .
В одной полуплоскости относительно	прямой	АВ провели лучи АС и AD так , что ∠BAC 22 ° , ∠BAD 112 ° .
Симметрия плоскости относительно	прямой	, соединяющей середины отрезков AD и СЕ .
2.4 Луч делит	прямой	угол на два неравных угла .
Рассмотрим на числовой	прямой	отрезок [ 0 ; 1 ] и разделим его на две равные части .
2.4 На числовой	прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 25 .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения длины , строили	прямой	угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
До сих пор из всевозможных углов мы особо выделяли	прямой	угол и развёрнутый .
Перегнув копию пополам вдоль	прямой	EF , увидим , что изображение треугольника KLM совпадёт с треугольником DEF .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой	прямой	или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
Продолжая далее этот процесс , на	прямой	в выбранном направлении можно изобразить сколь угодно большое количество натуральных чисел в порядке их следования .
2.4 Луч делит	прямой угол	на два неравных угла .
Поэтому если взять	прямой угол	АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения длины , строили	прямой угол	, нужный при разметке участков и в строительстве .
До сих пор из всевозможных углов мы особо выделяли	прямой угол	и развёрнутый .
Как из листа бумаги при помощи ножниц можно вырезать	прямой угол	? .
1 Как определяется	прямой угол	? .
Так как в сумме эти углы составляют	прямой угол	ВАD , то каждый из них равен 45 ° .
Но ∠1 и ∠3 в сумме дают	прямой угол	BAD , поэтому .
Своими особенностями выделяется	прямой угол	.
1.1 Изображён	прямой угол	АВС .
2.3 Луч делит	прямой угол	на два неравных угла .
Чётко отметив линию изгиба , получим	прямой угол	с достаточно высокой точностью .
Прямоугольник можно вписать в	прямоугольник	со сторонами , идущими по линиям сетки .
7 Разрежьте	прямоугольник	со сторонами 4 см и 9 см на две части , приложив которые друг к другу можно получить квадрат .
Возьмём любой	прямоугольник	ABCD и проведём диагональ АС , то есть отрезок , соединяющий не соседние вершины .
7 Как из прямоугольного листа площади S , вырезать	прямоугольник	площади .
Как сложить треугольник из двух фигур , на которые	прямоугольник	делится диагональю ? .
2.4 Изображён	прямоугольник	ABCD и ещё два отрезка .
41 Изобразите	прямоугольник	, а затем внутри него какой - нибудь круг .
Квадрат и	прямоугольник	.
Изобразим на клетчатой бумаге	прямоугольник	.
2 Нарисуйте на клетчатой бумаге	прямоугольник	PQRS и измерьте с помощью транспортира его углы .
Если приложить эти части друг к другу , то получится	прямоугольник	площади 8k2 .
Возьмём прямоугольный треугольник MNK с катетами MN и NK и рассмотрим	прямоугольник	ABCD , у которого Проведём диагональ АС и обозначим углы .
12 На клетчатой бумаге изобразите	прямоугольник	и через его вершины проведите окружность .
Существует ли	прямоугольник	с площадью 1 см2 , внутри которого можно поместить отрезок длины 1 м ? .
Как разрезать	прямоугольник	на две части , из которых можно составить треугольник ? .
Каковы бы ни были два отрезка , существует	прямоугольник	, стороны которого попарно равны этим отрезкам .
Четырёхугольник , как и	прямоугольник	, обозначается последовательной записью его соседних вершин .
2 Почему из четырёх прямоугольников с площадями 18 см2 , 21 см2 , 64 см2 и 96 см2 нельзя составить	прямоугольник	площадью 200 см2 ? .
Этот же	прямоугольник	можно обозначить как BCDA или как ADCB — всё зависит от того , с какой вершины и в каком направлении начинаем обход сторон прямоугольника .
5 Какие общие свойства имеют ромб , квадрат и	прямоугольник	? .
Перекопируйте на . бумагу , вырежьте	прямоугольник	и разрежьте его по отрезку АВ на две части .
Как разрезать его на части , из которых можно составить	прямоугольник	? .
1 Почему четырёхугольник EFGH	прямоугольник	? .
Её площадь равна 8k2 , так как она составлена из тех же частей , что и	прямоугольник	.
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно вписать в	прямоугольник	со сторонами , идущими по линиям сетки .
4 Как получить	прямоугольник	той же площади , что и заданный прямоугольный треугольник ? .
В приведённом примере нам показалось , что части можно точно подогнать друг к другу и составить	прямоугольник	.
2 Чем отличается	прямоугольник	от квадрата ? .
8 Изобразите : а ) ромб ; б )	прямоугольник	; в ) квадрат .
22 На сколько равных квадратов можно разрезать	прямоугольник	, нарисованный на клетчатой бумаге , одна из сторон которого содержит 10 шагов сетки , а другая — 30 шагов , если резать можно только по линиям сетки ? .
Изображён	прямоугольник	ABCD .
Пятиугольник , как и	прямоугольник	, обозначается последовательной записью его соседних вершин .
Как на клетчатой бумаге изобразить	прямоугольник	, одна сторона которого равна 12 шагам сетки , а другая — в 4 раза короче ? .
Диагональ делит	прямоугольник	на два равных прямоугольных треугольника , площади которых равны .
Например , существует	прямоугольник	, две стороны которого по одному миллиметру , а две другие — по одному метру .
Квадрат со стороной а — это	прямоугольник	со сторонами а и а .
Разобьём	прямоугольник	на b горизонтальных полосок высотой в один шаг сетки .
Изображён	прямоугольник	.
Например , пусть нарисован	прямоугольник	.
Как проверить , могут ли они быть вершинами : а ) ромба ; б )	прямоугольника	; в ) квадрата ? .
2 Площади	прямоугольника	и квадрат .
1 По какой формуле вычисляется площадь	прямоугольника	? .
6 Можно ли из отрезков в 23 см , 25 см , 27 см , 30 см составить два отрезка , равные диагоналям	прямоугольника	? .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской фигуры и формулы для вычисления площадей	прямоугольника	и прямоугольного треугольника .
Прямой угол образуют любые две соседние стороны квадрата или	прямоугольника	.
6 В каком прямоугольнике биссектриса его угла является диагональю этого	прямоугольника	? .
Какие из указанных отрезков не являются сторонами	прямоугольника	? .
1 Почему равны площади закрашенных частей	прямоугольника	? .
35 Известно , что периметр	прямоугольника	равен 7834 мм , одна из сторон меньше другой на 163 мм .
11 Найдите площадь	прямоугольника	со сторонами а и b , если .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA — стороны этого	прямоугольника	.
Площадь	прямоугольника	MNKB равна .
Для	прямоугольника	вершины В и С — соседние .
Площадь	прямоугольника	.
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из вершин	прямоугольника	, например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
13 С помощью линейки найдите точку внутри	прямоугольника	ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
Опустив повторные буквы , получим BADC — обозначение	прямоугольника	.
Этот же прямоугольник можно обозначить как BCDA или как ADCB — всё зависит от того , с какой вершины и в каком направлении начинаем обход сторон	прямоугольника	.
По аналогии с обозначениями	прямоугольника	треугольник можно обозначить , записав последовательно обозначения всех его вершин .
15 Разместите на плоскости четыре точки — A , В , С и D так , чтобы они были вершинами	прямоугольника	ABCD .
Как и у	прямоугольника	, у каждого четырёхугольника определяются соседние и противоположные вершины , соседние и противоположные стороны .
Когда соседние стороны	прямоугольника	одинаковые , то получается квадрат .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути , площадь	прямоугольника	и площадь прямоугольного треугольника .
Поэтому по формуле площади	прямоугольника	получим .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ	прямоугольника	со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
5 Как изменится площадь	прямоугольника	, если одну его сторону увеличить в 6,25 раза , а вторую уменьшить в 4 раза ? .
Какие фигуры могут получиться , если изменить порядок перечисления вершин	прямоугольника	? .
3 ) диагонали	прямоугольника	при пересечении образуют прямые углы .
При вычислении по этой формуле длины сторон	прямоугольника	должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения .
2 ) диагонали	прямоугольника	равны .
12 Четыре прямые пересекаются в вершинах	прямоугольника	.
1 ) диагональ	прямоугольника	делит его на два равных треугольника .
12 Во сколько раз увеличится площадь	прямоугольника	, если одна его сторона увеличилась в 2,1 раза , а вторая — в 3,65 раза ? .
На основании этого рассуждения сформулируем следующее правило : площадь	прямоугольника	со сторонами а и b вычисляется по формуле .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ	прямоугольника	со сторонами 2 см и 3 см .
13 Предположим , что на листе бумаги отмечены четыре вершины	прямоугольника	.
Получаем следующее свойство : диагонали	прямоугольника	равны .
Из свойств площади вытекает , что площадь	прямоугольника	равна удвоенной площади одного такого треугольника .
24 Одна сторона прямоугольника на 12 см длиннее другой , а периметр	прямоугольника	равен 1 м .
24 Одна сторона	прямоугольника	на 12 см длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 1 м .
Площадь квадрата была клеточки , а площадь	прямоугольника	стала клеточек .
1.1 Чему равна площадь	прямоугольника	со сторонами 2 м и 4 дм ? .
1.3 Чему равна площадь	прямоугольника	со сторонами .
Уточним определения квадрата и	прямоугольника	.
Мы установили следующее свойство : диагональ	прямоугольника	делит его на два равных треугольника .
У них углы АВС и ADC — прямые , а катеты АВ и CD , AD и ВС попарно равны , как противолежащие стороны	прямоугольника	.
Свойство диагонали	прямоугольника	.
Обозначим длины сторон	прямоугольника	ABCD через а и b.
Найдите длины сторон	прямоугольника	.
2.4 Какие из указанных значений являются значениями с избытком для площади	прямоугольника	со сторонами 45 мм и 5 см ? .
Пример	прямоугольника	можно видеть .
2 Какие свойства диагоналей	прямоугольника	вам известны ? .
6 Укажите все пары соседних вершин	прямоугольника	ABCD .
18 Вырежьте из бумаги четыре таких	прямоугольника	.
Закрашенная область напоминает букву О. Она разрезана на восемь неперекрывающихся частей : четыре треугольника и четыре	прямоугольника	.
Перегнуть чертёж относительно прямой LN ; б ) , в ) поворот на вокруг центра	прямоугольника	.
Что вы можете сказать о равенстве длин двух противоположных сторон	прямоугольника	? .
24 Сад имеет форму	прямоугольника	.
Найдите стороны	прямоугольника	.
Чему равна площадь фигуры , которую можно разрезать на два	прямоугольника	со сторонами 5 см , 6 см и со сторонами 7 см , 8 см соответственно ? .
Некоторые свойства	прямоугольника	и квадрат .
25 Одна сторона	прямоугольника	в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины сторон прямоугольника .
2 Почему площадь любого	прямоугольника	с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается целым числом клеточек ? .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины сторон	прямоугольника	.
34 Найдите периметр	прямоугольника	, если одна из его сторон равна 365 мм , а другая на 77 мм меньше .
6 Укажите стороны	прямоугольника	с площадью 1 м2 , внутри которого нельзя поместить квадрат площадью 1 см2 .
23 Найдите периметр	прямоугольника	, одна из сторон которого равна см , а другая сторона на см больше .
Площадь прямоугольника ABCD в 5 раз больше площади	прямоугольника	.
Катеты АВ и CD равны , как противолежащие стороны	прямоугольника	, а катет ВС у них общий .
Он обладает всеми свойствами	прямоугольника	.
Площадь	прямоугольника	ABCD в 5 раз больше площади прямоугольника .
Как использовать это свойство	прямоугольника	для разметки прямоугольной площади на местности ? .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр	прямоугольника	равен 64 см. Найдите длины сторон прямоугольника .
Равенство диагоналей	прямоугольника	.
Бумажный цилиндр можно склеить из двух кругов радиуса R и	прямоугольника	со сторонами .
2.4 Какие из изображённых фигур являются	прямоугольниками	? .
Будем изображать число учащихся	прямоугольниками	с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику высотой в 1 деление соответствует 200 человек .
Что вам известно о	прямоугольниках	и квадратах ? .
4 В	прямоугольниках	ABCD и MNKL сторона АВ равна стороне MN .
Проведём диагонали АС и BD в	прямоугольнике	ABCD и рассмотрим треугольники АВС и BCD .
Полосок всего b , поэтому в	прямоугольнике	ab клеточек , то есть .
11 В	прямоугольнике	ABCD точка М — середина стороны AD .
6 В каком	прямоугольнике	биссектриса его угла является диагональю этого прямоугольника ? .
Точно так же в этом	прямоугольнике	противоположны и вершины В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух сторон ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
1.2 В	прямоугольнике	ABCD отрезок АС образует со стороной AD угол в 32 ° .
1.3 В	прямоугольнике	ABCD диагональ АС образует угол в 25 ° со стороной CD .
1 Покажите , что равносоставлены	прямоугольники	ABCD со сторонами |АВ| = 6 см , |ВС| = 10 см и MNKL со сторонами |MN| = 4 см .
Однако далеко не все такие	прямоугольники	можно сложить .
существуют	прямоугольники	, у которых диагонали при пересечении образуют прямые углы .
Остальные тоже известны — это	прямоугольники	.
Какие	прямоугольники	можно пытаться складывать из всех фигур пентамино ? .
7 Какие	прямоугольники	естественно считать равными ? .
8 Почему	прямоугольники	ABCD со сторонами и MNKL со сторонами и равносоставлены ? .
2 Почему из четырёх	прямоугольников	с площадями 18 см2 , 21 см2 , 64 см2 и 96 см2 нельзя составить прямоугольник площадью 200 см2 ? .
Какие многоугольники можно сложить из них , совмещая целиком некоторые стороны этих	прямоугольников	? .
1 Вычислите площади	прямоугольников	со сторонами .
Потому что сумма площадей четырёх	прямоугольников	меньше площади пятого .
Мы научились вычислять площади	прямоугольников	и квадратов , когда известны длины сторон .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников плюс сумма площадей четырёх	прямоугольников	.
6 Какие свойства	прямоугольников	вы знаете ? .
На диаграмме величины изображаются условно в виде отрезков ,	прямоугольников	или частей круга .
Может ли этот четырёхугольник быть : а )	прямоугольником	; б ) квадратом ? .
12 Проверьте измерениями четырёхугольник ABCD не является : а ) ромбом ; б )	прямоугольником	.
5 Какая геометрическая фигура называется	прямоугольником	? .
1.2 Какая из изображённых фигур является	прямоугольником	? .
Квадрат также является	прямоугольником	.
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что	прямоугольнику	высотой в 1 деление соответствует 200 человек .
2.2 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного	треугольника с катетами АВ и АС больше 4 см2 ? .
2.1 Какие из приведённых значений равны площади	прямоугольного	треугольника с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
10 Сумма двух углов	прямоугольного	треугольника равна 91 ° .
Во сколько раз уменьшится площадь	прямоугольного	треугольника , если каждый из двух его катетов уменьшить в 2 раза ? .
2.4 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного	треугольника АВС с катетами АВ и АС равна 1 см2 ? .
Формула площади	прямоугольного	треугольника позволяет решать многие задачи .
4 Чему равна сумма всех углов	прямоугольного	треугольника ? .
Теорема Пифагора справедлива для	прямоугольного	треугольника АВС с катетами .
3 Может ли гипотенуза	прямоугольного	треугольника быть больше суммы его катетов ? .
Площадь	прямоугольного	треугольника .
Почему длина гипотенузы	прямоугольного	треугольника не может равняться сумме длин его катетов ? .
3 Чему равна сумма прилежащих к гипотенузе углов	прямоугольного	треугольника ? .
2.3 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного	треугольника АВС с катетами АВ и АС меньше 10 см2 ? .
4 Может ли гипотенуза одного	прямоугольного	треугольника быть катетом другого прямоугольного треугольника ? .
Сумма углов	прямоугольного	треугольника .
Из прямоугольного треугольника АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и	прямоугольного	треугольника ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
Тогда сумма окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству : сумма всех углов	прямоугольного	треугольника равна 180 ° .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов	прямоугольного	треугольника , прилежащих к гипотенузе , равна 90 ° .
1.2 Чему равна сумма всех углов	прямоугольного	треугольника ? .
Во сколько раз увеличится площадь	прямоугольного	треугольника , если оба его катета увеличить в 6 раз ? .
2.2 Сумма углов	прямоугольного	треугольника .
7 Как из	прямоугольного	листа площади S , вырезать прямоугольник площади .
Так как числа а и b — это длины катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь	прямоугольного	треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
Так как числа а и b — это длины катетов	прямоугольного	треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе	прямоугольного	треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме острых углов	прямоугольного	треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
5 Площадь	прямоугольного	треугольника равна 4 см2 .
1 ) если два катета одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 Может ли гипотенуза одного прямоугольного треугольника быть катетом другого	прямоугольного	треугольника ? .
1 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
Тем не менее эта теорема справедлива и для произвольного	прямоугольного	треугольника .
2 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
3 ) если две стороны одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Вычисление площади	прямоугольного	треугольника .
3 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
3 Как можно вычислять гипотенузу	прямоугольного	треугольника по его катетам ? .
4 ) если две стороны одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого	прямоугольного	треугольника , то такие треугольники равны .
4 Площадь	прямоугольного	треугольник . 4.1 .
1.1 Чему равна площадь	прямоугольного	треугольника с катетами 3 см и 30 см ? .
1.2 Чему равна площадь	прямоугольного	треугольника с катетами .
Из	прямоугольного	треугольника АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и прямоугольного треугольника ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
2 ) если два катета одного	прямоугольного	треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
2 По какой формуле вычисляется площадь	прямоугольного	треугольника ? .
Как обосновать теорему Пифагора для	прямоугольного	треугольника с катетами 1 см и 2 см ? .
10 Бетонный столб имеет форму	прямоугольного	параллелепипеда объёмом V и высотой Н. Найдите площадь основания этого столба , если .
1.2 Чему равна длина гипотенузы	прямоугольного	треугольника с катетами 2 см и 4 см ? .
1.1 Чему равен объём	прямоугольного	параллелепипеда шириной 20 см , длиной 30 см и высотой 10 см ? .
Во сколько раз изменится объём	прямоугольного	параллелепипеда , если .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями	прямоугольного	параллелепипеда : ширина , длина , высота .
2 Найдите объём	прямоугольного	параллелепипеда , рёбра а , b и с которого равны .
1.1 Чему равна площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе	прямоугольного	треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
Длина , ширина и высота	прямоугольного	параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
2 Что такое измерения	прямоугольного	параллелепипеда ? .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской фигуры и формулы для вычисления площадей прямоугольника и	прямоугольного	треугольника .
2 По какой формуле можно вычислить длину катета	прямоугольного	треугольника , если известны его гипотенуза и второй катет ? .
Как найти сумму длин всех рёбер	прямоугольного	параллелепипеда , зная его измерения ? .
По какой формуле можно вычислять площадь	прямоугольного	треугольника , если известны его катеты ? .
9 Напишите формулу для вычисления площади основания	прямоугольного	параллелепипеда , у которого известны высота Н и объём V .
Объём	прямоугольного	параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути , площадь прямоугольника и площадь	прямоугольного	треугольника .
3 Как вычислить площадь грани	прямоугольного	параллелепипеда ? .
1 По какой формуле можно вычислить гипотенузу	прямоугольного	треугольника , если известны длины его катетов ? .
1.2 Вычисление сторон	прямоугольного	треугольника .
7 Напишите формулу для вычисления высоты	прямоугольного	параллелепипеда , у которого известны длина а , ширина b и объём V .
Угол KLD равен сумме острых углов	прямоугольного	треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
2.2 Объём куба и объём	прямоугольного	параллелепипеда .
4 По какой формуле вычисляется объём	прямоугольного	параллелепипеда ? .
1.2 При измерении линейкой	прямоугольного	листа бумаги получили , что его ширина 15 см и длина 20 см. Чему равна площадь этого листа ? .
2.4 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком для объёма	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов	прямоугольного	параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
Примеры использования формулы объёма	прямоугольного	параллелепипеда .
2.3 При каких из приведённых значениях m и n объём	прямоугольного	листа бумаги толщиной 0,01 см , шириной m см длиной n см равен 2,4 см3 ? .
8 Известно , что компостная яма формы	прямоугольного	параллелепипеда объёмом V имеет длину а и ширину b.
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения	прямоугольного	параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Объём всего зерна можно считать равным объёму	прямоугольного	параллелепипеда с шириной 30 дм , длиной 50 дм и высотой 0,1 дм .
3 Как вычислить площадь грани	прямоугольного параллелепипеда	? .
2.2 Объём куба и объём	прямоугольного параллелепипеда	.
Примеры использования формулы объёма	прямоугольного параллелепипеда	.
Во сколько раз изменится объём	прямоугольного параллелепипеда	, если .
9 Напишите формулу для вычисления площади основания	прямоугольного параллелепипеда	, у которого известны высота Н и объём V .
Как найти сумму длин всех рёбер	прямоугольного параллелепипеда	, зная его измерения ? .
4 По какой формуле вычисляется объём	прямоугольного параллелепипеда	? .
Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения	прямоугольного параллелепипеда	, выраженные в одинаковых единицах .
2 Что такое измерения	прямоугольного параллелепипеда	? .
1.1 Чему равен объём	прямоугольного параллелепипеда	шириной 20 см , длиной 30 см и высотой 10 см ? .
Объём	прямоугольного параллелепипеда	находится по формуле ( кубических единиц ) , где величина V — объём , величины а , b , с — измерения прямоугольного параллелепипеда , выраженные в одинаковых единицах .
Объём всего зерна можно считать равным объёму	прямоугольного параллелепипеда	с шириной 30 дм , длиной 50 дм и высотой 0,1 дм .
2.4 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком для объёма	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 1 м , 0,4 м и 0,5 м ? .
2 Найдите объём	прямоугольного параллелепипеда	, рёбра а , b и с которого равны .
7 Напишите формулу для вычисления высоты	прямоугольного параллелепипеда	, у которого известны длина а , ширина b и объём V .
10 Бетонный столб имеет форму	прямоугольного параллелепипеда	объёмом V и высотой Н. Найдите площадь основания этого столба , если .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями	прямоугольного параллелепипеда	: ширина , длина , высота .
Длина , ширина и высота	прямоугольного параллелепипеда	равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
8 Известно , что компостная яма формы	прямоугольного параллелепипеда	объёмом V имеет длину а и ширину b.
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов	прямоугольного параллелепипеда	и куба , объёмов цилиндра и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
4 Площадь	прямоугольного треугольник	. 4.1 .
3 ) если две стороны одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
1 По какой формуле можно вычислить гипотенузу	прямоугольного треугольника	, если известны длины его катетов ? .
10 Сумма двух углов	прямоугольного треугольника	равна 91 ° .
Почему длина гипотенузы	прямоугольного треугольника	не может равняться сумме длин его катетов ? .
1.1 Чему равна площадь	прямоугольного треугольника	с катетами 3 см и 30 см ? .
4 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
2 ) если два катета одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
1.2 Чему равна длина гипотенузы	прямоугольного треугольника	с катетами 2 см и 4 см ? .
Во сколько раз уменьшится площадь	прямоугольного треугольника	, если каждый из двух его катетов уменьшить в 2 раза ? .
Теорема Пифагора справедлива для	прямоугольного треугольника	АВС с катетами .
Из прямоугольного треугольника АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и	прямоугольного треугольника	ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
1.1 Чему равна площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе	прямоугольного треугольника	с катетами 5 см и 7 см ? .
2 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
4 ) если две стороны одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
3 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
Из	прямоугольного треугольника	АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и прямоугольного треугольника ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
Угол KLD равен сумме острых углов	прямоугольного треугольника	с катетами в две и шесть клеточек .
1 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого	прямоугольного треугольника	, то такие треугольники равны .
3 Чему равна сумма прилежащих к гипотенузе углов	прямоугольного треугольника	? .
2.1 Какие из приведённых значений равны площади	прямоугольного треугольника	с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
Вычисление площади	прямоугольного треугольника	.
Тем не менее эта теорема справедлива и для произвольного	прямоугольного треугольника	.
Как обосновать теорему Пифагора для	прямоугольного треугольника	с катетами 1 см и 2 см ? .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской фигуры и формулы для вычисления площадей прямоугольника и	прямоугольного треугольника	.
Тогда сумма окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству : сумма всех углов	прямоугольного треугольника	равна 180 ° .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов	прямоугольного треугольника	, прилежащих к гипотенузе , равна 90 ° .
1 ) если два катета одного	прямоугольного треугольника	равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе	прямоугольного треугольника	, равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Во сколько раз увеличится площадь	прямоугольного треугольника	, если оба его катета увеличить в 6 раз ? .
Площадь	прямоугольного треугольника	.
1.2 Чему равна сумма всех углов	прямоугольного треугольника	? .
Так как числа а и b — это длины катетов	прямоугольного треугольника	АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
Так как числа а и b — это длины катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь	прямоугольного треугольника	с катетами а и b вычисляется по формуле .
2.2 Сумма углов	прямоугольного треугольника	.
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме острых углов	прямоугольного треугольника	с катетами в одну и четыре клеточки .
4 Чему равна сумма всех углов	прямоугольного треугольника	? .
Формула площади	прямоугольного треугольника	позволяет решать многие задачи .
По какой формуле можно вычислять площадь	прямоугольного треугольника	, если известны его катеты ? .
1.2 Вычисление сторон	прямоугольного треугольника	.
2.2 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного треугольника	с катетами АВ и АС больше 4 см2 ? .
3 Как можно вычислять гипотенузу	прямоугольного треугольника	по его катетам ? .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути , площадь прямоугольника и площадь	прямоугольного треугольника	.
2.4 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного треугольника	АВС с катетами АВ и АС равна 1 см2 ? .
2 По какой формуле вычисляется площадь	прямоугольного треугольника	? .
2.3 В каких из указанных случаев площадь	прямоугольного треугольника	АВС с катетами АВ и АС меньше 10 см2 ? .
2 По какой формуле можно вычислить длину катета	прямоугольного треугольника	, если известны его гипотенуза и второй катет ? .
5 Площадь	прямоугольного треугольника	равна 4 см2 .
4 Может ли гипотенуза одного прямоугольного треугольника быть катетом другого	прямоугольного треугольника	? .
4 Может ли гипотенуза одного	прямоугольного треугольника	быть катетом другого прямоугольного треугольника ? .
3 Может ли гипотенуза	прямоугольного треугольника	быть больше суммы его катетов ? .
Сумма углов	прямоугольного треугольника	.
1.2 Чему равна площадь	прямоугольного треугольника	с катетами .
На	прямоугольной	площадке шириной 3 м и длиной 5 м для просушивания тонким слоем в 1 см рассыпано зерно .
Как использовать это свойство прямоугольника для разметки	прямоугольной	площади на местности ? .
1.4 В	прямоугольном	треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
8 В	прямоугольном	треугольнике АВС один из углов равен 57 ° , а в прямоугольном треугольнике KLM один из углов равен 24 ° .
В	прямоугольном	треугольнике АВС , расположенном на клетчатой бумаге , катеты .
8 В прямоугольном треугольнике АВС один из углов равен 57 ° , а в	прямоугольном	треугольнике KLM один из углов равен 24 ° .
Представление о	прямоугольном	параллелепипеде даёт коробка спичек или ящик с прямоугольными стенками .
1.3 В	прямоугольном	треугольнике длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
1.3 В	прямоугольном	треугольнике гипотенуза равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого катета ? .
В	прямоугольном	треугольнике АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
В	прямоугольном треугольнике	АВС , расположенном на клетчатой бумаге , катеты .
1.4 В	прямоугольном треугольнике	один из острых углов в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
В	прямоугольном треугольнике	АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
1.3 В	прямоугольном треугольнике	длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
8 В прямоугольном треугольнике АВС один из углов равен 57 ° , а в	прямоугольном треугольнике	KLM один из углов равен 24 ° .
1.3 В	прямоугольном треугольнике	гипотенуза равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого катета ? .
8 В	прямоугольном треугольнике	АВС один из углов равен 57 ° , а в прямоугольном треугольнике KLM один из углов равен 24 ° .
Эти треугольники —	прямоугольные	.
2.1 На клетчатой бумаге со стороной клеточек в см рассматриваются	прямоугольные	треугольники с вершинами в узлах сетки и катетами , расположенными на линиях сетки .
При этом	прямоугольные	треугольники с попарно равными катетами оказывались равными .
Они	прямоугольные	и их катеты AM , BN , СК , DL равны по условию .
Изображены	прямоугольные	треугольники ABC , DEF , KLM , PQR .
При этом	прямоугольные треугольники	с попарно равными катетами оказывались равными .
2.1 На клетчатой бумаге со стороной клеточек в см рассматриваются	прямоугольные треугольники	с вершинами в узлах сетки и катетами , расположенными на линиях сетки .
Изображены	прямоугольные треугольники	ABC , DEF , KLM , PQR .
14 Как построить	прямоугольный	треугольник , у которого катеты в два раза больше катетов данного треугольника ? .
1 Какие предметы , похожие на	прямоугольный	параллелепипед , вы знаете ? .
Рассмотрим	прямоугольный	треугольник АВС с прямым углом при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
8 Существует ли	прямоугольный	треугольник , все стороны которого равны ? .
Возьмём	прямоугольный	треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
Треугольник	прямоугольный	.
Возьмём	прямоугольный	треугольник с катетами по 4 шага сетки клетчатой бумаги .
4 Как получить прямоугольник той же площади , что и заданный	прямоугольный	треугольник ? .
14 Как сложить	прямоугольный	треугольник из трёх равных прямоугольных треугольников , один из углов которых равен 30 ° ? .
1 условно изображён	прямоугольный	параллелепипед .
2.1 При каких указанных масштабах	прямоугольный	участок шириной 120 м и длиной 250 м можно изобразить на листе бумаги размером 20 см × 40 см ? .
13 Как построить	прямоугольный	треугольник , равный треугольнику АВС , у которого вершина совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
Возьмём	прямоугольный	треугольник MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём диагональ АС и обозначим углы .
6 Найдите	прямоугольный	треугольник , в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
б ) Найдите среди них	прямоугольный	треугольник .
1 Какие предметы , похожие на	прямоугольный параллелепипед	, вы знаете ? .
1 условно изображён	прямоугольный параллелепипед	.
8 Существует ли	прямоугольный треугольник	, все стороны которого равны ? .
Рассмотрим	прямоугольный треугольник	АВС с прямым углом при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
Возьмём	прямоугольный треугольник	MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём диагональ АС и обозначим углы .
13 Как построить	прямоугольный треугольник	, равный треугольнику АВС , у которого вершина совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
Возьмём	прямоугольный треугольник	АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
4 Как получить прямоугольник той же площади , что и заданный	прямоугольный треугольник	? .
6 Найдите	прямоугольный треугольник	, в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
14 Как построить	прямоугольный треугольник	, у которого катеты в два раза больше катетов данного треугольника ? .
14 Как сложить	прямоугольный треугольник	из трёх равных прямоугольных треугольников , один из углов которых равен 30 ° ? .
б ) Найдите среди них	прямоугольный треугольник	.
Возьмём	прямоугольный треугольник	с катетами по 4 шага сетки клетчатой бумаги .
Считаем комнату	прямоугольным	параллелепипедом .
1 Какой треугольник называется	прямоугольным	? .
9 Может ли треугольник с двумя углами 48 ° и 41 ° быть	прямоугольным	? .
20 треугольник является	прямоугольным	.
Треугольник , у которого один угол прямой , называется	прямоугольным	.
Считаем комнату	прямоугольным параллелепипедом	.
Представление о прямоугольном параллелепипеде даёт коробка спичек или ящик с	прямоугольными	стенками .
Это — признак , позволяющий проверять равенство	прямоугольных	треугольников .
Диагональ делит прямоугольник на два равных	прямоугольных	треугольника , площади которых равны .
Два	прямоугольных	треугольника с попарно равными катетами равны между собой .
2.4 Какие из перечисленных утверждений являются свойствами равенства	прямоугольных	треугольников ? .
Признак равенства	прямоугольных	треугольников позволяет устанавливать свойства геометрических фигур .
2.2 Изображено несколько	прямоугольных	треугольников .
Эти отрезки — гипотенузы равных	прямоугольных	треугольников с катетами в одну и семь клеточек .
Как объяснить , что два	прямоугольных	треугольника с катетами 23 м и 32 м и с катетами 22 м и 33 м не равны ? .
По признаку равенства	прямоугольных	треугольников ААВС ДАОС .
14 Как сложить прямоугольный треугольник из трёх равных	прямоугольных	треугольников , один из углов которых равен 30 ° ? .
В этой главе мы поговорим о	прямоугольных	треугольниках и установим важный признак , по которому можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников .
3 Найдите площади	прямоугольных	треугольников с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
5 Что можно сказать о двух	прямоугольных	треугольниках с попарно равными катетами ? .
Диагональ АС квадрата ABCD делит его на два	прямоугольных	треугольника .
Прямоугольные треугольники MNK и АВС равны по признаку равенства	прямоугольных	треугольников .
В этой главе мы поговорим о прямоугольных треугольниках и установим важный признак , по которому можно судить о равенстве двух	прямоугольных	треугольников .
1.2 Равенство	прямоугольных	треугольников .
По признаку равенства	прямоугольных	треугольников имеем ∆АВС = ∆ADC .
3.1 Пример на равенство	прямоугольных	треугольников .
Новый пример равенства	прямоугольных	треугольников .
12 У доски отпилили две части в виде	прямоугольных	треугольников .
11 Равны ли два	прямоугольных	треугольника , если их гипотенузы совпадают ? .
Четыре	прямоугольных	треугольника ABC , CTS , SRQ и QPA равны между собой , а площадь каждого равна .
Сколько можно указать	прямоугольных	треугольников , имеющих три вершины в этих точках ? .
2 Как из четырёх равных равнобедренных	прямоугольных	треугольников можно составить квадрат ? .
Какое наибольшее число равных между собой	прямоугольных	треугольников можно получить , соединяя отрезками некоторые из вершин заданного квадрата ?
В	прямоугольных	треугольниках АВС и ADC выполняются равенства .
3 Из двух равных	прямоугольных	треугольников составьте сначала один четырёхугольник , а затем другой четырёхугольник , не равный первому .
6 В чём состоит признак равенства	прямоугольных	треугольников ? .
7 Разрежьте квадрат на шесть равных	прямоугольных	треугольников .
1.2 Изображено	прямоугольных	треугольников , равных треугольнику АВС , включая и сам треугольник ? .
1 Равенство	прямоугольных	треугольнико .
По признаку равенства	прямоугольных	треугольников ∆АВС = ∆BCD , значит , АС = BD .
1.4 Сколько изображено	прямоугольных	треугольников , равных треугольнику АВС и не совпадающих с ним ? .
1.3 Сколько изображено	прямоугольных	треугольников , равных треугольнику ЛВС и не совпадающих с ним ? .
В конце главы вы узнаете , как применять признак равенства	прямоугольных	треугольников при решении задач .
1.1 Определение	прямоугольных	треугольников .
1 а ) Можно ли найти два равных	прямоугольных	треугольника ?
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы	прямоугольных	треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
Признак равенства	прямоугольных	треугольников .
6 Разрежьте квадрат на восемь равных	прямоугольных	треугольников .
2 Разрежьте четырёхугольники на несколько	прямоугольных	треугольников .
Как объяснить , что два	прямоугольных треугольника	с катетами 23 м и 32 м и с катетами 22 м и 33 м не равны ? .
Диагональ делит прямоугольник на два равных	прямоугольных треугольника	, площади которых равны .
Четыре	прямоугольных треугольника	ABC , CTS , SRQ и QPA равны между собой , а площадь каждого равна .
11 Равны ли два	прямоугольных треугольника	, если их гипотенузы совпадают ? .
1 а ) Можно ли найти два равных	прямоугольных треугольника	?
Диагональ АС квадрата ABCD делит его на два	прямоугольных треугольника	.
Два	прямоугольных треугольника	с попарно равными катетами равны между собой .
По признаку равенства	прямоугольных треугольников	имеем ∆АВС = ∆ADC .
Прямоугольные треугольники MNK и АВС равны по признаку равенства	прямоугольных треугольников	.
2 Как из четырёх равных равнобедренных	прямоугольных треугольников	можно составить квадрат ? .
По признаку равенства	прямоугольных треугольников	∆АВС = ∆BCD , значит , АС = BD .
3.1 Пример на равенство	прямоугольных треугольников	.
По признаку равенства	прямоугольных треугольников	ААВС ДАОС .
Это — признак , позволяющий проверять равенство	прямоугольных треугольников	.
6 В чём состоит признак равенства	прямоугольных треугольников	? .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы	прямоугольных треугольников	с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
Признак равенства	прямоугольных треугольников	.
2 Разрежьте четырёхугольники на несколько	прямоугольных треугольников	.
6 Разрежьте квадрат на восемь равных	прямоугольных треугольников	.
7 Разрежьте квадрат на шесть равных	прямоугольных треугольников	.
3 Из двух равных	прямоугольных треугольников	составьте сначала один четырёхугольник , а затем другой четырёхугольник , не равный первому .
Сколько можно указать	прямоугольных треугольников	, имеющих три вершины в этих точках ? .
Новый пример равенства	прямоугольных треугольников	.
12 У доски отпилили две части в виде	прямоугольных треугольников	.
Эти отрезки — гипотенузы равных	прямоугольных треугольников	с катетами в одну и семь клеточек .
1.2 Равенство	прямоугольных треугольников	.
Какое наибольшее число равных между собой	прямоугольных треугольников	можно получить , соединяя отрезками некоторые из вершин заданного квадрата ?
1.2 Изображено	прямоугольных треугольников	, равных треугольнику АВС , включая и сам треугольник ? .
1.3 Сколько изображено	прямоугольных треугольников	, равных треугольнику ЛВС и не совпадающих с ним ? .
1.1 Определение	прямоугольных треугольников	.
1.4 Сколько изображено	прямоугольных треугольников	, равных треугольнику АВС и не совпадающих с ним ? .
В конце главы вы узнаете , как применять признак равенства	прямоугольных треугольников	при решении задач .
В этой главе мы поговорим о прямоугольных треугольниках и установим важный признак , по которому можно судить о равенстве двух	прямоугольных треугольников	.
2.2 Изображено несколько	прямоугольных треугольников	.
2.4 Какие из перечисленных утверждений являются свойствами равенства	прямоугольных треугольников	? .
Признак равенства	прямоугольных треугольников	позволяет устанавливать свойства геометрических фигур .
3 Найдите площади	прямоугольных треугольников	с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
14 Как сложить прямоугольный треугольник из трёх равных	прямоугольных треугольников	, один из углов которых равен 30 ° ? .
Получившуюся	прямую	с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
Рассмотрим	прямую	.
4 Как из произвольной прямой получить числовую	прямую	? .
Если необходимо , ничто не мешает рассмотреть любую	прямую	, выбрать на ней произвольное направление и от определённой точки откладывать числа .
7 На сколько частей точка прямой делит эту	прямую	? .
Рассмотрим содержащую его	прямую	т и одну из полуплоскостей а с границей т .
1 Каждое перемещение любую прямую переводит в	прямую	.
На какие части делят	прямую	две её различные точки ? .
Иногда для краткости	прямую	обозначают одной буквой .
1 Каждое перемещение любую	прямую	переводит в прямую .
2 Как можно обозначать	прямую	? .
Если соединить отрезком две точки какой - нибудь одной полуплоскости , то мы не пересечём	прямую	— границу этих полуплоскостей .
Проведите из точки К горизонтальную	прямую	, а из L — вертикальную .
Прямоугольник — это такой четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно равны , а все углы	прямые	.
У них углы АВС и ADC —	прямые	, а катеты АВ и CD , AD и ВС попарно равны , как противолежащие стороны прямоугольника .
2 Любые две	прямые	равны между собой как геометрические фигуры .
Даже если две	прямые	различаются расположением на плоскости , то « копию » одной из них можно переместить так , чтобы она совпала с другой прямой .
Квадрат — это четырёхугольник , у которого все стороны равны и все углы	прямые	.
6 На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость : а ) три прямые ; б ) четыре	прямые	; в ) пять прямых ? .
1.2 На сколько частей разделяют плоскость две различные пересекающиеся	прямые	?
6 На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость : а ) три	прямые	; б ) четыре прямые ; в ) пять прямых ? .
1.3 Три	прямые	проходят через точку А. Известно , что ∠BAC 68 ° , ∠DAE 42 ° .
1.2 Изображены две пересекающиеся	прямые	.
1.3 Три	прямые	расположены так , как на .
1.4 Три	прямые	проходят через одну точку , как .
б ) две непересекающиеся	прямые	? .
а ) две пересекающиеся	прямые	.
3 ) диагонали прямоугольника при пересечении образуют	прямые	углы .
существуют прямоугольники , у которых диагонали при пересечении образуют	прямые	углы .
4 Три	прямые	попарно пересекаются в точках А , В и С. Сколько лучей начинается в этих точках и лежит на данных прямых ? .
Почему все	прямые	углы равны как геометрические фигуры ? .
В этой главе вы узнаете про неограниченные геометрические фигуры — лучи и	прямые	.
3 ) диагонали квадрата при пересечении образуют	прямые	углы .
Такими же рассуждениями доказывается , что все углы четырёхугольника MNKL —	прямые	.
1.1 Изображены две пересекающиеся	прямые	.
12 Четыре	прямые	пересекаются в вершинах прямоугольника .
на пять . 1.4 На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость три	прямые	? .
Как из одной и той же прямой получить две различные числовые	прямые	? .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных углов	прямые	? .
Изображены некоторые	прямые	, проходящие через точку А .
Разделим каждую сторону квадрата со стороной 1 см и площадью 1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведём	прямые	.
Катеты одинаковой длины при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их	прямые	углы .
Изображены	прямые	а и b .
Когда у ромба все углы	прямые	.
4 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	прямые	углы , если часы показывают время : а ) 3 часа ; б ) 21 час ; в ) 3 часа 30 минут ; г ) 6 часов 15 минут ; д ) 4 часа 5 минут ? .
3 ) диагонали прямоугольника при пересечении образуют	прямые углы	.
Почему все	прямые углы	равны как геометрические фигуры ? .
существуют прямоугольники , у которых диагонали при пересечении образуют	прямые углы	.
Катеты одинаковой длины при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их	прямые углы	.
3 ) диагонали квадрата при пересечении образуют	прямые углы	.
4 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	прямые углы	, если часы показывают время : а ) 3 часа ; б ) 21 час ; в ) 3 часа 30 минут ; г ) 6 часов 15 минут ; д ) 4 часа 5 минут ? .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с	прямым	углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
Угол в 90 ° называется	прямым	.
В каком месте надо построить мост под	прямым	углом к берегам реки , чтобы путь из А в В был самым коротким ? .
В прямоугольном треугольнике АВС с	прямым	углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
2 Какой угол называется	прямым	? .
Особое внимание уделено развёрнутым и	прямым	углам .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	прямым	углом при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
Особое внимание уделено развёрнутым и	прямым углам	.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с	прямым углом	при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
В прямоугольном треугольнике АВС с	прямым углом	при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с	прямым углом	при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
В каком месте надо построить мост под	прямым углом	к берегам реки , чтобы путь из А в В был самым коротким ? .
2.2 Какие из углов являются	прямыми	? .
Населённые пункты А и В разделены рекой с	прямыми	берегами .
15 Равны ли треугольники АВС и KLM с	прямыми	углами при вершинах В и L , если .
10 Как двумя	прямыми	разделить четырёхугольную область на шесть частей ? .
11 На какое наибольшее число частей можно разделить кольцо двумя	прямыми	? .
7 Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с тремя	прямыми	углами .
8 Можно ли разделить квадрат двумя	прямыми	а ) на три равные части ; б ) на четыре равные части ? .
15 Равны ли треугольники АВС и KLM с	прямыми углами	при вершинах В и L , если .
7 Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с тремя	прямыми углами	.
6 На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость : а ) три прямые ; б ) четыре прямые ; в ) пять	прямых	? .
13 Один из двух углов , полученных при пересечении двух	прямых	, в 4 раза больше другого .
3 Сколько различных	прямых	можно провести .
13 Сколько точек может образоваться при пересечении : а ) двух прямых ; б ) трёх прямых ; в ) четырёх	прямых	? .
Вершины их	прямых	углов будут центром квадрата .
Как обозначить углы , которые образуются при пересечении	прямых	АВ и АС ? .
2 Сколько различных	прямых	можно провести через каждые две из выбранных шести точек , если .
7 На сколько частей делят клетчатую бумагу четыре вертикальных и пять горизонтальных	прямых	? .
13 Сколько точек может образоваться при пересечении : а ) двух прямых ; б ) трёх	прямых	; в ) четырёх прямых ? .
15 Сумма двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух	прямых	, равна 120 ° .
Перемещения	прямых	.
4 Три прямые попарно пересекаются в точках А , В и С. Сколько лучей начинается в этих точках и лежит на данных	прямых	? .
10 Какие четырёхугольники имеют четыре	прямых	угла ? .
14 Три угла из четырёх , полученных при пересечении двух	прямых	, в сумме составляют 240 ° .
3 Сколько	прямых	можно провести через две различные точки ? .
13 Сколько точек может образоваться при пересечении : а ) двух	прямых	; б ) трёх прямых ; в ) четырёх прямых ? .
1 Даны три различные точки — А , В , С. Сколько различных геометрических фигур может быть среди	прямых	АВ , ВС и АС ? .
12 Сколько можно провести через две различные точки : а )	прямых	; б ) лучей ? .
Найдите величины всех углов с вершиной в точке пересечения	прямых	.
Может ли треугольник иметь два	прямых	угла ? .
Обозначим через О точку пересечения	прямых	и выберем точки А , В , С , D на разных лучах , выходящих из точки О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
8 Каковы свойства	прямых	при перемещениях ? .
При пересечении двух различных	прямых	образуются четыре не совпадающих угла .
18 Изображены отрезки числовых	прямых	с нанесёнными на них делениями .
16 Сумма двух углов из четырёх , полученных при пересечении двух	прямых	, равна 300 ° .
Через каждую точку плоскости проходит целый пучок различных	прямых	.
10 Какие четырёхугольники имеют четыре	прямых угла	? .
Может ли треугольник иметь два	прямых угла	? .
Вершины их	прямых углов	будут центром квадрата .
Вы узнаете , как свойства длины позволяют различать точки , лежащие на отрезке и не лежащие на нём , как « неравенство треугольника » позволяет находить кратчайшие	пути	.
Почему из Москвы в Новосибирск нельзя попасть по самому короткому	пути	? .
Если поезд отправляется по расписанию в 8 часов 10 минут , то в 8 часов 15 минут , вероятнее всего , он будет в	пути	.
14 Найдите по формуле	пути	S расстояние , которое преодолевается : а ) за 2 ч со скоростью 30 км / ч ; б ) за 15 мин со скоростью 40 м / мин .
Нам уже встречались формулы , выражающие длину	пути	, площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника .
Поезд находился в	пути	678 минут .
По какому кратчайшему	пути	муха может перелететь из точки N в точку V ? .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V. Длина такого	пути	будет не меньше длины отрезка NV .
13 По	пути	из школы домой Петя делает от 1100 до 1200 шагов , а длина его шага колеблется от 50 до 60 см. Каким может быть расстояние от дома до школы ? .
Как должна ползти муха по боковой стене и потолку , чтобы попасть из нижнего угла N на полу комнаты в верхний угол V на потолке по кратчайшему	пути	? .
4.3 Ломаная как	путь	из отрезков .
В каком месте надо построить мост под прямым углом к берегам реки , чтобы	путь	из А в В был самым коротким ? .
Показано , как выглядит найденный кратчайший	путь	по отношению к комнате .
Последнее равенство тоже считается формулой , позволяющей вычислить	путь	S в метрах , если известны значения скорости v в метрах в минуту и время Т в часах .
В связи с этим свойством кратчайший	путь	от точки до точки изображают отрезком , соединяющим эти точки .
В качестве примера применения неравенства треугольника рассмотрим задачу , где нужно найти самый короткий	путь	.
Какой	путь	он пройдёт за .
Затем умножить и на t и получить	путь	S в метрах .
Пусть v — постоянная скорость движения , измеряемая в километрах в час , t — время в часах , S — пройденный	путь	в километрах .
Так как длина моста в любом месте реки одинакова , то чем меньше будет сумма , тем меньше весь	путь	от А до В .
Поэтому кратчайший	путь	задаёт отрезок NV .
Тогда любой	путь	по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в точку V. Длина такого пути будет не меньше длины отрезка NV .
Рассмотрим ещё одну задачу , в которой требуется найти кратчайший	путь	.
Допустим , что	путь	S измеряется в метрах , время Т — в часах , скорость v — в метрах в минуту .
19 Прочитайте дроби и укажите , каким	путём	каждую дробь можно получить из единицы .
Через каждую точку плоскости проходит целый	пучок	различных прямых .
Может ли	пятиугольник	иметь четыре стороны ? .
Заметим , что	пятиугольник	обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у четырёхугольников и треугольников . 1 ) каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
Например , изображён	пятиугольник	PXZUD .
Точно так же можно было назвать	пятиугольник	« пятисторонником » и привыкнуть к этому названию .
Например , ничто не мешает треугольник называть « трёхвершинником » , четырёхугольник — « четырёхвершинником » ,	пятиугольник	— « пятивершинником » и так далее .
Многоугольник обозначается , как и в случае треугольника , четырехугольника ,	пятиугольника	, последовательной записью обозначений его соседних вершин .
16 Разместите на плоскости пять точек — А , B , С , D и Е так , чтобы они были вершинами	пятиугольника	ABCDE .
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны	пятиугольника	.
Для этого	пятиугольника	также определяются соседние вершины , соседние стороны .
5 Каким числом способов можно записать обозначение	пятиугольника	KLMNO ? .
3 Отметьте на бумаге пять точек Е , F , G , Н , К так , чтобы они были последовательными вершинами	пятиугольника	.
18 Длины сторон	пятиугольника	( при выборе некоторой единицы измерения ) выражаются числами 134 , 167 , 96 , 104 , 119 .
Найдите периметр	пятиугольника	.
2 Что такое вершины треугольника , четырёхугольника ,	пятиугольника	? .
3 Что такое стороны треугольника , четырёхугольника ,	пятиугольника	? .
Запишите три разных обозначения этого	пятиугольника	.
9 Как обозначаются треугольники , четырёхугольники и	пятиугольники	? .
Получена геометрическая фигура , которая называется	пятиугольником	, точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Например , ломаная ABCDEA является	пятиугольником	ABODE .
Если в примере подсчитать сумму мест иначе , то есть сначала взять 9 рядов , а затем сложить их четыре раза , то в результате также получится 36 мест , то есть выполняется цепочка	равенств	.
2.4 Какие из приведённых	равенств	являются верными ? .
На основании этих	равенств	приведена таблица умножения однозначных чисел в четверичной системе счисления .
Из	равенств	можно сделать вывод , что .
2.1 Какие из приведённых	равенств	являются верными ? .
Если при этом убрать ещё и знак умножения , то получим последовательность	равенств	: abc .
2.2 Какие из приведённых	равенств	являются верными ? .
2.3 Какие из приведённых	равенств	являются неверными ? .
2.1 Какие из	равенств	являются верными в двоичной системе счисления ? .
2.2 Какие из	равенств	являются верными в системе счисления с основанием 4 ? .
Какие из приведённых	равенств	являются верными ? .
2.3 Какие из	равенств	являются верными в двоичной системе счисления ? .
Как и выше , имеем цепочку	равенств	.
2.4 Какие из	равенств	между числами , записанными в системах счисления с основанием 2 и основанием 4 , являются верными ? .
Из	равенств	следует делимость чисел 25 , 50 , 100 на 25 .
1.4 Какое из	равенств	называется « основным свойством разности » ? .
На основании свойств единицы ( при умножении ) , нуля ( при сложении ) и распределительного закона , имеем цепочку	равенств	.
Таким образом , получаются	равенства	.
Аналогично для числа а и числа 0 можно написать следующие	равенства	.
Треугольников признак	равенства	.
1.3 Свойства	равенства	для отрезков .
В прямоугольных треугольниках АВС и ADC выполняются	равенства	.
6 В чём состоит признак	равенства	прямоугольных треугольников ? .
Точно так же если , то для любых чисел а и с выполняются	равенства	.
Если , то для любых чисел b и с выполняются	равенства	, так как произведение любого числа и нуля равно 0 .
По признаку	равенства	прямоугольных треугольников имеем ∆АВС = ∆ADC .
Таким образом , для нуля и любого натурального числа выполняются	равенства	.
Тогда для числа выполняются	равенства	.
Для дробей и очевидны следующие	равенства	?
Это означает , что выполняются числовые	равенства	.
Из	равенства	треугольников AML и BMN получаем ∠2 , ∠4 .
21 Обозначим частное буквой х. Покажите , что при любом натуральном к выполняются	равенства	.
Для этого запишем в десятичной системе счисления следующие	равенства	.
3.3 О « равноправии » фигур при проверке	равенства	.
Новый пример	равенства	прямоугольных треугольников .
Например , возможны следующие приближённые	равенства	.
2.4 Какие из перечисленных утверждений являются свойствами	равенства	прямоугольных треугольников ? .
Обобщая эти примеры для любых натуральных чисел m , m , p и q , можно получить	равенства	.
Признак	равенства	прямоугольных треугольников позволяет устанавливать свойства геометрических фигур .
Из	равенства	следует , что число 1001 делится на 7 .
При изучении отрезков мы будем использовать общие свойства	равенства	геометрических фигур , которые для отрезков выглядят так .
Примеры	равенства	фигур .
Как можно пояснить второе свойство	равенства	фигур ? .
Для числа выполняются	равенства	.
2.2 Следствия из признака	равенства	дробей .
По признаку	равенства	прямоугольных треугольников ААВС ДАОС .
По признаку	равенства	прямоугольных треугольников ∆АВС = ∆BCD , значит , АС = BD .
Для составления таблицы сложения запишем сначала в десятичной системе следующие	равенства	.
2 Какие примеры	равенства	геометрических фигур вы знаете ? .
5 Перечислите свойства	равенства	фигур .
Прямоугольные треугольники MNK и АВС равны по признаку	равенства	прямоугольных треугольников .
Напомним , что для натуральных чисел пик сумму к дробей мы обозначали через к или через , так что выполняются	равенства	.
Из	равенства	следует , что .
Так как отрезки являются геометрическими фигурами , то для них также имеет смысл рассматривать понятие геометрического	равенства	.
Какие свойства	равенства	для чисел вы знаете ? .
Вы вспомните , как пользоваться линейкой и циркулем , рассмотрите важное понятие	равенства	геометрических фигур .
Эти	равенства	в четверичной системе имеют вид .
Это правило легко получить из предыдущего , переставив левую и правую части	равенства	.
По определению , для проверки	равенства	двух фигур достаточно совместить копию первой фигуры со второй фигурой .
2 Какие два утверждения содержит в себе признак	равенства	двух дробей ? .
Затем перепишем эти	равенства	в четверичной системе счисления .
Таким образом , можно написать	равенства	.
10 Как объяснить	равенства	? .
Какой смысл имеет цифра 6 в правой части равенства и какой смысл имеет цифра 6 в левой части этого	равенства	? .
4 Какой знак используется для записи приближённого	равенства	.
Для числа — выполняются	равенства	, где сумма содержит n слагаемых .
Признак	равенства	прямоугольных треугольников .
Практическая проверка	равенства	треугольников .
В конце главы вы узнаете , как применять признак	равенства	прямоугольных треугольников при решении задач .
Обозначив значение ответа ещё одной буквой , правило можно записать в виде	равенства	.
Предполагая , что для дробей выполняется переместительный закон умножения , и используя результат примера 2 , для дробей и получим	равенства	.
2.4 Знак приближённого	равенства	.
Например , для натуральных чисел 21 и 48 выполняются	равенства	.
Приведём общий признак	равенства	: две дроби вида и равны между собой тогда и только тогда , когда .
Для дробей и выполняются следующие	равенства	: поэтому .
Для проверки	равенства	треугольников АВС и КЕМ можно повернуть копию треугольника АВС вокруг точки С на 90 ° против хода часовой стрелки , чтобы она совместилась с треугольником CST на основном чертеже .
Вычтем из правой и левой частей этого	равенства	по b2 .
Для проверки	равенства	треугольников DEF и KLM изготовим прозрачную копию и переместим её так , чтобы копия треугольника KLM заняла положение EFH на основном чертеже .
Какой смысл имеет цифра 6 в правой части	равенства	и какой смысл имеет цифра 6 в левой части этого равенства ? .
Обычно считают , что при записи приближённого	равенства	точность десятичного приближения совпадает с разрядной единицей последнего выписанного знака .
По аналогии с определением	равенства	отрезков будем называть углы АОВ и А1ОВ1 равными углами .
Чем отличаются приближённые	равенства	а ≈ 2,310 с недостатком и а ≈ 2,3100 ? .
15 Прочтите приближённые	равенства	для числа 3,1415926 и укажите , с какой точностью приведены приближённые значения и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
Для плоских углов также определяется понятие	равенства	.
С другой стороны , из	равенства	длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим отрезком .
Замену числа его приближением обозначают при помощи знака приближённого	равенства	≈. Например , для числа а можно написать .
На основе сделанных наблюдений определим понятие	равенства	фигур на плоскости .
6 В следующих	равенствах	вместо х поставьте такое число , чтобы новая дробь была равна данной .
В	равенстве	правая часть получается из левой вычёркиванием множителя k .
В этой главе мы поговорим о прямоугольных треугольниках и установим важный признак , по которому можно судить о	равенстве	двух прямоугольных треугольников .
Что вы можете сказать о	равенстве	длин двух противоположных сторон прямоугольника ? .
6 Что вы знаете о	равенстве	точек ? .
Если в последнем	равенстве	поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Поскольку , то справедливо	равенство	.
Приведённое правило иногда называют основным свойством дроби и записывают так : для любых натуральных чисел m , n и k выполняется	равенство	.
Например , справедливо	равенство	.
Выполняется	равенство	.
Для чисел 37 и 22 выполняется	равенство	.
17 Одним раствором циркуля нарисуйте две окружности и проверьте их	равенство	.
Для числа 1001 справедливо	равенство	.
5.1 Приближённое	равенство	.
Как объяснить , что справедливо	равенство	? .
Таким образом , записывая	равенство	мы имеем в виду , что 0 - 10 означает отсутствие среднего слагаемого .
Последнее	равенство	тоже считается формулой , позволяющей вычислить путь S в метрах , если известны значения скорости v в метрах в минуту и время Т в часах .
16 Как проверить	равенство	двух частей круга ? .
Окончательно можем записать	равенство	.
Например , для натуральных чисел 3 , 5 и 87 справедливо	равенство	.
Справедливо	равенство	.
14 Проверьте	равенство	треугольников .
10 Вместо звёздочек подставьте цифры так , чтобы	равенство	оказалось верным .
Справедливо	равенство	, где числитель дроби меньше её знаменателя , поэтому целая часть числа у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
Поэтому точки отрезка АВ — это все такие точки С , для которых выполняется	равенство	.
Поэтому справедливо	равенство	.
Какие законы сложения позволяют записать	равенство	? .
Таким образом , справедливо	равенство	.
Заметим , что если для чисел а , b , х выполняется	равенство	, то для них выполняется и свойство .
Как найти остаток при делении числа 1994 на 6 , используя	равенство	.
Это	равенство	называется основным свойством разности .
По теореме Пифагора , можно записать	равенство	.
Таким образом , для числа выполняется	равенство	.
Рассмотрим дроби и Произведение этих дробей равно 1 , так как по правилу умножения справедливо	равенство	.
Почему для любых чисел а и b справедливо	равенство	.
Треугольников	равенство	.
Справедливо	равенство	, поэтому целая часть числа равна 3 , а дробная часть равна .
Видно , что выполняется	равенство	.
В результате для градусных мер получается	равенство	.
Мы считаем , что , потому что выполняется	равенство	.
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве натуральных чисел , потому что нет такого натурального числа х , для которого бы выполнялось	равенство	.
По определению частного справедливо	равенство	.
7 Как записывают приближённое	равенство	? .
Иногда при сравнении дробей получается	равенство	mq pn .
Приближённое	равенство	.
По основному свойству градусной меры получаем	равенство	.
Для каждой точки С , лежащей на отрезке АВ , выполняется	равенство	.
Вычтем 87 из 5386 и запишем	равенство	.
Для любого натурального числа к выполняется	равенство	при этом .
Это — признак , позволяющий проверять	равенство	прямоугольных треугольников .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять	равенство	дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Последнее	равенство	, очевидно , верно не только когда .
2 Верно ли	равенство	.
Покажем , что для выделенных углов , выполняется	равенство	.
Число х , для которого выполняется	равенство	а , называется разностью чисел а и b и обозначается через .
Почему для любых натуральных чисел а и b выполняется	равенство	.
Какие названия имеет	равенство	.
В частности , а может равняться нулю , при этом получается	равенство	.
Заметим теперь : если , то решением этого уравнения является любая дробь ; если , то это уравнение не имеет решения , потому что при любом х выполняется	равенство	.
Если взять два произвольных числа а и b , то для них также выполняется	равенство	.
Так как	равенство	сторон четырёхугольника MNKL уже установлено , то этот четырёхугольник и в самом деле квадрат .
Таким образом , для любых чисел а , b и с также выполняется	равенство	.
Таким образом , для любых натуральных чисел k , тип выполняется	равенство	.
Из свойств умножения известно , что для любого числа а выполняется	равенство	.
3.1 Пример на	равенство	прямоугольных треугольников .
Если теперь поменять делитель и неполное частное местами , то получится верное	равенство	.
Но сомножители в произведении можно переставить и записать	равенство	в виде .
21 Изобразите на листе бумаги такие две равные фигуры ,	равенство	которых нельзя проверить , вырезая фигуры из этого листа .
Как объяснить	равенство	дробей .
Для чисел 37 и 22 справедливо	равенство	.
если для точки С выполняется	равенство	, то эта точка лежит на отрезке АВ .
Какие законы умножения позволяют записать	равенство	? .
Таким образом , для любых натуральных чисел k , m и n , где , выполняется	равенство	.
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим	равенство	, которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Отсюда вытекает	равенство	.
Заметим также , что для любого натурального числа выполняется	равенство	.
Натуральное число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим	равенство	, где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Если взять три произвольных числа а , b и с , то для них также выполняется	равенство	.
По определению полагаем , что для этого числа выполняется	равенство	.
Когда дано число а , его приближённое значение b и написано приближённое	равенство	а ≈ b , тогда все ясно .
Для числа выполняется	равенство	.
Следовательно , для данного треугольника АВС справедливо	равенство	.
Если продолжим эти действия дальше , то придём к	равенству	, где число d меньше 87 .
В результате приходим к	равенству	.
2 Как из четырёх равных	равнобедренных	прямоугольных треугольников можно составить квадрат ? .
1.3 Во сколько раз увеличится объём цилиндра , если	радиус	основания увеличить в 2 раза , а высоту в 1,5 раза ? .
На сколько метров больше коня пробежит лошадь за 50 кругов , если представить , что	радиус	арены цирка равен 100 м ? .
Вычисление объёма цилиндра производится по формуле , где V — объём цилиндра , R —	радиус	, Н — высота .
4 Найдите	радиус	Земли , считая длину земного экватора равной 40 000 км .
1.4 Во сколько раз уменьшится объём шара , если его	радиус	уменьшить в 2 раза ? .
Какое расстояние преодолевает он за один оборот , если	радиус	Земли считать равным 6370 км ? .
По краю арены цирка ,	радиус	которой равен 6,5 м , бежит белая лошадь .
1 Пусть R —	радиус	, а Н — высота цилиндра .
На сколько больше земли придётся выкопать садоводу , если он увеличит	радиус	на 5 см , копая яму глубиной 5 м и радиусом 2 м ? .
	Радиус	уменьшить в 4 раза .
Для вычисления площади круга по его радиусу применяется формула , где S — площадь , a R —	радиус	.
Вычисление объёма шара производится по формуле , где R —	радиус	шара , V — объём шара .
8 Как изменится площадь круга , если его	радиус	: а ) увеличить в 3 раза ; б ) уменьшить в 5 раз ? .
11 Велотрек имеет вид кругового кольца шириной 5 м , внутренний	радиус	которого равен 50 м .
2 Как изменится длина окружности , если её	радиус	.
Сколько литров воздуха будет содержать шарик , если увеличить его	радиус	на 1 см ? .
6 Как изменится объём шара , если его	радиус	: а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
увеличить	радиус	в 3 раза , а высоту уменьшить в 3 раза .
5 Найдите объём шара , если его	радиус	равен .
уменьшить	радиус	в 2 , а высоту — в 15 раз .
3 Как изменится	радиус	окружности , если её длину .
где L — длина окружности , R — её	радиус	.
в ) увеличить	радиус	в 3 , а высоту — в 12 раз .
увеличить высоту в 4 раза , а	радиус	уменьшить в 2 раза ? .
9 Найдите объём земной атмосферы , если она простирается над поверхностью Земли на высоту приблизительно 100 км , а	радиус	Земли равен 6370 км .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности	радиуса	1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей	радиуса	0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
длина окружности	радиуса	1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
1.3 Чему равно приближённое значение площади круга	радиуса	4 см , если для числа π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
2.3 При каких указанных масштабах окружность	радиуса	6 км можно изобразить на листе бумаги размером 10 см × 20 см ? .
Объединив сферу и эту область , получаем шар того же	радиуса	и с тем же центром , что и сфера .
длина окружности радиуса 1 см . 2 ) сумма длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности	радиуса	0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Бумажный цилиндр можно склеить из двух кругов	радиуса	R и прямоугольника со сторонами .
Каждый проделанный белой лошадью круг можно считать окружностью	радиуса	6,5 м , а каждый проделанный конём круг — окружностью радиуса 5,5 м .
8 Резервуар для нефти имеет форму , равную половине шара	радиуса	8 м .
Каждый виток можно приближённо считать окружностью	радиуса	1 см. По формуле длина одного витка проволоки равна ( см ) , а длина ста витков в 100 раз больше , то есть .
Каждый проделанный белой лошадью круг можно считать окружностью радиуса 6,5 м , а каждый проделанный конём круг — окружностью	радиуса	5,5 м .
Объединив эту область с окружностью , получаем круг того же	радиуса	и с тем же центром О , что и окружность .
1.1 Чему равно приближённое значение длины окружности	радиуса	4 см , если для числа π взять приближение 3,2 с избытком ? .
Закрепить на шее две верёвки длиной , равной	радиусам	окружностей , а другие концы верёвки соединить с центрами соответствующих окружностей .
Будем изображать их частями круга , разделённого	радиусами	на 10 равных частей и размеченными по окружности десятками .
1.4 Даны два круга	радиусов	6 см и 4 см. На сколько площадь первого круга больше площади второго ? .
Расстояние между точками О и В называют	радиусом	окружности .
Для засыпки песком круглой площадки	радиусом	в 11 м требуется по 0,2 т песка на каждый квадратный метр .
Затем выбрать раствор циркуля , равный этому отрезку , и провести с этим	радиусом	две окружности с центрами в концах нарисованного отрезка .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с	радиусом	1 дм .
Сколько лишней земли выкопал садовод , если он копал яму	радиусом	80 см ? .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с	радиусом	1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
Найдём объём бака цилиндрической формы высотой 65 см и	радиусом	25 см .
2 Что называется	радиусом	цилиндра ? .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и	радиусом	основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с	радиусом	основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и	радиусом	основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
На сколько тонн больше , чем в предыдущей задаче , потребуется песка для засыпки круглой площадки	радиусом	в 12 м ? .
2.2 Каким из указанных значений равен объём шара с	радиусом	10 см ? .
Какой длины потребуется тонкая проволока , чтобы на стержень круглого сечения	радиусом	R = 1 см можно было намотать 100 витков ? .
Радиус R основания цилиндра называется	радиусом	цилиндра .
Найдём , сколько литров воздуха вмещает воздушный шарик с	радиусом	.
2.3 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком объёма шара с	радиусом	1 дм ? .
Это расстояние называют	радиусом	сферы .
На сколько больше земли придётся выкопать садоводу , если он увеличит радиус на 5 см , копая яму глубиной 5 м и	радиусом	2 м ? .
1.2 Чему равно приближённое значение объёма шара с	радиусом	3 см , если за приближённое значение числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
2.1 Каким из указанных значений равен объём цилиндра с высотой 10 см и	радиусом	основания 5 см ? .
Через какие из указанных точек проходит окружность с центром О и	радиусом	ОЕ ? .
На участке земли нужно было выкопать яму под колодец в форме цилиндра глубиной 5 м и	радиусом	75 см .
Для вычисления площади круга по его	радиусу	применяется формула , где S — площадь , a R — радиус .
Для вычисления длины окружности по её	радиусу	применяется формула ?
Стороны этого четырёхугольника —	радиусы	окружностей .
7 Сколько углов с вершиной О можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая	развёрнутые углы	? .
11 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая	развёрнутые углы	? .
9 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая	развёрнутые углы	? .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то	развёрнутый угол	ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Внешне	развёрнутый угол	ничем не отличается от прямой .
7 Сколько углов с вершиной О можно указать : а ) без	развёрнутых углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
11 Сколько углов можно указать : а ) без	развёрнутых углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
9 Сколько углов можно указать : а ) без	развёрнутых углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
4 Прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см	разделен	диагоналями на четыре треугольника .
Обычно шкала	разделена	штрихами на части так , что каждому промежутку между соседними делениями соответствует определённое значение измеряемой величины .
Если плоскость	разделена	прямой на две полуплоскости , то эта прямая называется границей для обеих полуплоскостей .
Населённые пункты А и В	разделены	рекой с прямыми берегами .
б )	разделив	каждую из звёзд на 4 равные части .
2.4 Квадрат со стороной 8 см	разделили	на две части , причём площадь одной из них в 2 раза больше площади другой .
5 Четыре рыбака поймали 5 кг рыбы и весь улов	разделили	поровну .
После добавления 2 копеек все деньги	разделили	на 4 части по 3 копейки в каждой .
1.3 Яблоко	разделили	на 18 равных частей , затем получившиеся части сложили в группы по 3 штуки .
1.2 Яблоко	разделили	на 3 равные части , а потом каждую ещё раз на 3 равные части .
1.1 Яблоко	разделили	на несколько равных частей .
Рассмотрим на числовой прямой отрезок [ 0 ; 1 ] и	разделим	его на две равные части .
Оба квадрата , построенные на катетах ,	разделим	на треугольники .
Рассмотрим , например , дробь 64,08 и	разделим	её на 12 .
Рассмотрим на числовой прямой отрезок [ 0 ; 1 ] и	разделим	его на три равные части .
Натуральное число m	разделим	на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Сначала	разделите	одну из сторон на 5 равных частей .
4 По какому правилу можно	разделить	десятичную дробь на натуральное число ? .
Поэтому	разделить	число 3 на 18 — все равно что число 3 умножить на дробь .
8 Можно ли	разделить	квадрат двумя прямыми а ) на три равные части ; б ) на четыре равные части ? .
11 На какое наибольшее число частей можно	разделить	кольцо двумя прямыми ? .
10 Как двумя прямыми	разделить	четырёхугольную область на шесть частей ? .
1 ) 5 нельзя разделить поровну на 3 ; 2 ) 88 нельзя разделить поровну на 5 ; 3 ) 100 нельзя	разделить	поровну на 8 .
1 ) 5 нельзя разделить поровну на 3 ; 2 ) 88 нельзя	разделить	поровну на 5 ; 3 ) 100 нельзя разделить поровну на 8 .
9 Придумайте четырёхугольник , который можно	разделить	на три части одной прямой .
4 Как	разделить	дробь на дробь ? .
1 ) 5 нельзя	разделить	поровну на 3 ; 2 ) 88 нельзя разделить поровну на 5 ; 3 ) 100 нельзя разделить поровну на 8 .
3 конфеты нельзя	разделить	на двоих поровну так , чтобы каждому досталось по целому числу конфет .
Как яблока	разделить	на троих поровну ? .
Каждый из них можно	разделить	на равных квадратов .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби	разделить	на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Килограмм муки можно	разделить	на части , равные по весу .
Четырёхугольники можно	разделить	вертикальными диагоналями на попарно равные треугольники .
Это правило можно записать следующим образом : если делимое и делитель одновременно	разделить	на одно и то же число , не равное нулю , то частное от этого не изменится .
3 На сколько равных частей нужно	разделить	1 м , чтобы получить а ) 1 мм ; б ) 1 см ; в ) 1 дм ? .
13 Как тремя лучами	разделить	плоскость на четыре части ? .
8 На сколько равных частей нужно	разделить	час , чтобы получилось столько же минут , сколько при делении четверти часа на 5 равных частей ? .
6 На какое наибольшее число частей могут	разделить	плоскость : а ) три прямые ; б ) четыре прямые ; в ) пять прямых ? .
25 На какое число нужно	разделить	96 , чтобы получить такое же частное , что и при делении этого же числа сначала на 6 , а затем при делении полученного частного на 2 ? .
на пять . 1.4 На какое наибольшее число частей могут	разделить	плоскость три прямые ? .
Пусть , например , требуется	разделить	число на число с остатком .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в ) делимое	разделить	на 5 ? .
Иногда приходится решать задачу деления на равные части : например ,	разделить	килограмм муки на несколько равных частей или поделить пирог поровну между друзьями .
Вспомним , как делить натуральное число на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы	разделить	6408 на 12 .
Выберите тот случай , когда части окажутся самыми маленькими , если яблоко	разделить	на : 1 ) 3 части ; 2 ) 7 частей ; 3 ) 4 части ; 4 ) 9 частей .
Они	разделят	квадрат равных меньших квадратов .
5 Угол величиной 72 °	разделён	биссектрисой .
7 На клетчатой бумаге квадрат , сторона которого равна 12 клеткам ,	разделён	на равные части вертикальными и горизонтальными линиями .
На сколько равных частей	разделён	исходный квадрат и сколько клеток содержится в каждой из полученных равных частей , если деление произведено .
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи натурального числа показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это	разложение	.
Вместо числа 32 519 можно взять любое другое натуральное число и	разложить	его по степеням десяти .
Но для	разностей	это уже не так .
2.2 Какие из указанных	разностей	равны 0,99 ? .
2.4 Какие из приведённых	разностей	меньше 0,05 ? .
2.1 Какие из указанных	разностей	равны разности ? .
Нахождение	разности	двух чисел также называют вычитанием .
Это равенство называется основным свойством	разности	.
Вычитание дробей свелось к вычислению	разности	натуральных чисел 31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
Выполнив четыре шага по схеме деления , мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего вычитания получается разность , которая в десять раз меньше	разности	, полученной на предыдущем шаге .
2.5 Отрицательные	разности	.
Его можно сформулировать в виде правила : если к	разности	прибавить вычитаемое , то получится уменьшаемое .
Таким образом , в рассмотренном примере число 234 является уменьшаемым , число 95 является вычитаемым , а число 139 равно	разности	чисел 234 и 95 .
Таким образом , при действиях с дробями можно использовать формулу суммы двух дробей и формулу	разности	двух дробей .
13 В чём состоит основное свойство	разности	? .
Свойства	разности	.
2.4 Об определении	разности	.
2.3 Нахождение	разности	чисел при помощи двух линеек .
1.4 Какое из равенств называется « основным свойством	разности	» ? .
В верхней строке этой таблицы записаны значения уменьшаемого , в левом столбце — значения вычитаемого , а в остальные клеточки занесены соответствующие	разности	.
2.1 Какие из указанных разностей равны	разности	? .
Выполняют вычитание по правилам , принятым для натуральных чисел , не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце	разности	, где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
2.3 Какие из указанных выражений равны	разности	? .
Получаем формулу , которую часто называют формулой	разности	квадратов .
11 Известно , что сумма углов треугольника равна 180 ° , а один из его углов равен	разности	двух других .
Получилась формула квадрата	разности	.
30 На сколько сумма чисел и больше	разности	этих же чисел ? .
3.5 Использование дополнения при вычислении	разности	десятичных дробей .
Верно ли это утверждение для	разности	любого трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ? .
7 Найдите	разности	чисел .
Напомним это правило на примере вычисления	разности	чисел .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным	разности	числителей уменьшаемого и вычитаемого .
28 Найдите	разности	.
Существует правило , которое упрощает вычисление	разности	двух чисел .
Определение	разности	.
2.4 Какие из указанных дробей не равны	разности	.
Первоначальные свойства	разности	.
В этом случае будем говорить , что	разность	не определена .
В результате получим	разность	0,000001 .
Получилось правило : если из уменьшаемого вычесть	разность	, то получится вычитаемое .
Тогда	разность	определена и является корнем уравнения .
9 Из суммы чисел и вычтите	разность	чисел .
Эта	разность	равна нулю , значит , деление закончено .
Например ,	разность	между числами 1 и 0 равна 1 , а разность между числами 1 и 1 равна 0 .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого натурального числа n	разность	между последующим числом и числом 1 равна числу n .
Проверьте , что их	разность	делится на 9 и на 11 .
Выполнив четыре шага по схеме деления , мы видим , что каждый раз после получения очередной цифры неполного частного и соответствующего вычитания получается	разность	, которая в десять раз меньше разности , полученной на предыдущем шаге .
А это означает , что в ряду степеней двойки любые две степени ,	разность	показателей которых равна 4 , имеют одинаковые последние цифры .
Например , разность между числами 1 и 0 равна 1 , а	разность	между числами 1 и 1 равна 0 .
Если продолжить процесс построения приближений , то	разность	между ними будет уменьшаться и далее .
Если , то	разность	натуральных чисел а и b тоже является натуральным числом .
8 Какое число надо вычесть из 85 , чтобы получилась	разность	чисел 122 и 98 ? .
Чему равна их	разность	?
1.4 Чему равна	разность	.
Найдите	разность	.
Показано , как вычислить	разность	.
17 Найдите	разность	чисел .
6 Какое число надо прибавить к 123 , чтобы получилась	разность	чисел 345 и 77 ? .
16 Сумма двух чисел равна 890 , а	разность	равна 100 .
Представим искомую	разность	в виде .
Может ли	разность	двух дробей с разными знаменателями быть равной ? .
Вычислим	разность	.
Предположим , что , и попытаемся найти	разность	.
При делении а на b с остатком ( для а , большего b ) вычисляем и так далее , пока	разность	в первый раз не станет меньше b .
2 По какому правилу вычисляется	разность	десятичных дробей ? .
2.3 Каким из приведённых выражений равна	разность	? .
11 Как найти	разность	двух дробей с разными знаменателями ? .
1.2 Чему равна	разность	? .
9 Чему равна	разность	двух одинаковых чисел ? .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так	разность	двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого натурального числа n	разность	между последующим числом и самим числом n равна 1 .
20 Умножьте сумму чисел на	разность	чисел .
Но , по определению , корнем этого уравнения является	разность	.
Сколько существует таких натуральных чисел а , что	разность	не определена ? .
5 Как определяется	разность	двух чисел , когда уменьшаемое больше вычитаемого ? .
33 Что получится , если из суммы двух чисел а и b вычесть их	разность	?
В итоге все столбцы рассмотрены ,	разность	найдена и равна числу , записанному под чертой .
Вычитая из этого результата разрядную единицу 1 000 000 , находим требуемую	разность	.
Например , по принятому определению его корнем нужно считать	разность	.
1.З. Чему равна	разность	.
Что получится , если к сумме чисел а и b прибавить их	разность	? .
7 Верно ли , что среди 11 натуральных чисел найдутся 2 числа ,	разность	которых делится на 10 ? .
Иными словами ,	разность	окажется равной n .
Отсюда получаем , что в этом случае	разностью	чисел а и х является число b .
Другими словами , если число 1 является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то	разностью	между ними является число n .
Другими словами , если число n является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то	разностью	между ними является число 1 .
21 Что произойдёт с	разностью	, если .
Таким образом , ни одно из известных нам в данный момент чисел 0 , 1,2 , 3 не может быть	разностью	.
Число х , для которого выполняется равенство а , называется	разностью	чисел а и b и обозначается через .
Какое число является	разностью	чисел и n для натурального числа n ? .
Последний нуль обычно опускают и оставляют лишь цифры 602 со сдвигом на один	разряд	влево .
разряд единиц ; 2 ) разряд сотых ; 3 )	разряд	тысячных ; 4 ) разряд миллионных .
Она равна 10 тысячам , из которых одну единицу и переносим в	разряд	сотен , превращая в 10 единиц этого разряда .
разряд единиц ; 2 )	разряд	сотых ; 3 ) разряд тысячных ; 4 ) разряд миллионных .
	Разряд	единиц ; 2 ) разряд сотых ; 3 ) разряд тысячных ; 4 ) разряд миллионных .
разряд единиц ; 2 ) разряд сотых ; 3 ) разряд тысячных ; 4 )	разряд	миллионных .
Итак , положение запятой в произведении отличается от её положения в первом сомножителе : запятая сместилась на один	разряд	влево .
Результат отличается от первого сомножителя тем , что запятая сместилась влево на один	разряд	.
При умножении десятичной дроби на 0,1 запятая смещается на один	разряд	влево .
Но крайнюю правую цифру помещаем в	разряд	десятков .
При умножении десятичной дроби на 10 запятая смещается на один	разряд	вправо .
Видно , что результат отличается от первого сомножителя только положением запятой : она сместилась на один	разряд	вправо .
На первом месте после запятой пишется цифра разряда десятых , на втором —	разряда	сотых , на третьем — разряда тысячных и так далее .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой разряда единиц , цифру 2 — цифрой	разряда	десятков , цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Она равна 10 единицам	разряда	единиц .
Поразрядно , начиная с	разряда	единиц , умножим верхнее число на цифру 3 младшего разряда нижнего числа .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножим верхнее число на цифру 3 младшего	разряда	нижнего числа .
Четвёртая справа цифра 0 — это цифра разряда тысяч , следующая цифра 1 — цифра	разряда	десятков тысяч , самая левая цифра 2 — цифра разряда сотен тысяч .
Цифра 3 — цифра	разряда	сотен .
Тогда цифра разряда единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра	разряда	десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
Четвёртая справа цифра 0 — это цифра разряда тысяч , следующая цифра 1 — цифра разряда десятков тысяч , самая левая цифра 2 — цифра	разряда	сотен тысяч .
Например , цифра нуль в десятичной записи натурального числа означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего	разряда	.
Следующая цифра 5 — это цифра	разряда	десятков .
Переходя к столбцу сотен , заимствуем единицу из	разряда	тысяч в уменьшаемом .
Поэтому заимствуем одну единицу из	разряда	десятков в уменьшаемом .
Напомним , что при умножении разрядной единицы на 10 получается разрядная единица следующего , более высокого	разряда	.
цифра четвёртого	разряда	.
Четвёртая справа цифра 0 — это цифра	разряда	тысяч , следующая цифра 1 — цифра разряда десятков тысяч , самая левая цифра 2 — цифра разряда сотен тысяч .
цифра второго разряда . 3 ) цифра третьего	разряда	.
цифра второго	разряда	. 3 ) цифра третьего разряда .
На первом месте после запятой пишется цифра разряда десятых , на втором — разряда сотых , на третьем —	разряда	тысячных и так далее .
цифра тысяч ( четвёртого	разряда	) .
Тогда цифра	разряда	единиц у суммы запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой	разряда	единиц , цифру 2 — цифрой разряда десятков , цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Каждая разрядная единица более высокого	разряда	равна сумме 10 разрядных единиц предыдущего разряда .
Поразрядно , начиная с	разряда	единиц , умножаем верхнее число на разряды нижнего числа .
Вычитание производят поразрядно , начиная с	разряда	единиц .
цифра сотен ( третьего	разряда	) .
При этом ограничимся десятичными приближениями снизу с точностью до единицы высшего	разряда	.
цифра десятков ( второго	разряда	) .
цифра единиц ( первого	разряда	) .
В числе 123 цифру 3 называют цифрой разряда единиц , цифру 2 — цифрой разряда десятков , цифру 1 — цифрой	разряда	сотен .
Поразрядно , справа , начиная с	разряда	единиц , выполним сложение чисел в каждом разряде , используя приём из пункта .
Самая правая цифра 0 — это цифра	разряда	единиц .
На первом месте после запятой пишется цифра	разряда	десятых , на втором — разряда сотых , на третьем — разряда тысячных и так далее .
Она равна 10 тысячам , из которых одну единицу и переносим в разряд сотен , превращая в 10 единиц этого	разряда	.
Но так как число тысяч равно нулю , то из следующего	разряда	десятков тысяч заимствуем единицу .
Каждая разрядная единица более высокого разряда равна сумме 10 разрядных единиц предыдущего	разряда	.
При записи смешанной дроби в виде десятичной в первых	разрядах	после запятой могут оказаться нули .
Из соображений удобства полученную запись можно ещё раз сократить , некоторые цифры подняты вверх в соответствующих	разрядах	на свободные места .
После этого выполним сложение в	разряде	десятков и получим окончательный результат .
Теперь считаем , что в	разряде	тысяч у уменьшаемого стоит 9 ввиду заимствования на предыдущем шаге единицы в разряде десятков тысяч .
Затем выполним сложение чисел 60 и 80 в	разряде	десятков .
Цифру 5 пишем под чертой в разряде тысяч , а цифру 1 — во второй строке в	разряде	десятков тысяч .
Цифру 5 пишем под чертой в	разряде	тысяч , а цифру 1 — во второй строке в разряде десятков тысяч .
Теперь считаем , что в разряде тысяч у уменьшаемого стоит 9 ввиду заимствования на предыдущем шаге единицы в	разряде	десятков тысяч .
Запишем слагаемые « столбиком » и сначала выполним сложение чисел 7 , 5 в	разряде	единиц .
Поразрядно , справа , начиная с разряда единиц , выполним сложение чисел в каждом	разряде	, используя приём из пункта .
Цифру 4 пишем под чертой в разряде сотен , а цифру 2 — во второй строке в	разряде	тысяч .
При этом в десятичной записи суммы появляется 1 в	разряде	десятков .
Цифру 4 пишем под чертой в	разряде	сотен , а цифру 2 — во второй строке в разряде тысяч .
Наконец , умножив 5836 на число 7 тысяч второго сомножителя , опять получаем две строки , но крайнюю правую цифру нужно записать в	разряде	тысяч .
Его пишем под чертой в	разряде	десятков , а во второй строке ничего не пишем .
Цифру 8 пишем под чертой в разряде единиц , а цифру 1 — во второй вспомогательной строке в	разряде	десятков .
Цифру 8 пишем под чертой в	разряде	единиц , а цифру 1 — во второй вспомогательной строке в разряде десятков .
Остаётся найти сумму чисел , записанных под чертой с учётом	разрядов	, и получится нужный результат .
Полученную запись можно сократить , если не записывать в промежуточных действиях стоящие в конце записи чисел нули , сохраняя расположение цифр по столбцам соответствующих	разрядов	.
Числа записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых	разрядов	находились в одном столбце : уменьшаемое — вверху , вычитаемое — внизу .
На месте каких из указанных	разрядов	в записи десятичной дроби 10,203004 стоят нулевые цифры ? .
Запишем числа « столбиком » так , чтобы цифры одинаковых	разрядов	находились в одном столбце .
Цифры каких	разрядов	найдены неверно ? .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножаем верхнее число на	разряды	нижнего числа .
Как	раскрыть скобки	в выражении ? .
15 Составьте таблицу	распределения	вашего времени в течение суток .
Иногда стороны . заметно	расходятся	, иногда мало расходятся , при этом получаются разные по размеру углы .
Иногда стороны . заметно расходятся , иногда мало	расходятся	, при этом получаются разные по размеру углы .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину диагонали квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить	рациональным	числом метров .
Когда ко всем	рациональным	числам добавляют все иррациональные числа , получаются все действительные числа .
Число π также не является	рациональным	.
Когда ко всем	рациональным числам	добавляют все иррациональные числа , получаются все действительные числа .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину диагонали квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить	рациональным числом	метров .
Целые и дробные числа все вместе называются	рациональными	числами .
Целые и дробные числа все вместе называются	рациональными числами	.
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых ,	рациональных	и действительных чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
Кроме	рациональных	чисел в математике и практической деятельности приходится рассматривать и другие числа .
Кроме	рациональных чисел	в математике и практической деятельности приходится рассматривать и другие числа .
Найдите длину	ребра	куба , имеющего такой же объём .
Обозначим неизвестную длину	ребра	куба буквой х. Получим уравнение .
Объём куба вычисляется по формуле ( кубических единиц ) , где а — длина	ребра	куба .
Рассмотрим , как по известному объёму V куба находить длину его	ребра	.
2.2 При каких значениях длины	ребра	куба его объём больше .
1.4 Чему равно	ребро	куба , объём которого равен 512 см3 ? .
1.3 На сколько увеличится объём куба с ребром 1 дм , если каждое его	ребро	увеличить на 1 см ? .
Замена числа его приближёнными значениями иногда позволяет упростить	решение	некоторых задач .
Таким образом , частное от деления числа 12 на число 2 есть	решение	уравнения .
Используя операцию умножения , найдём	решение	этой задачи .
Частное от деления натурального числа m на натуральное число n определяется как	решение	уравнение .
3 Приведите примеры задач , когда число 2 будет : а ) приближением решения с избытком ; б ) приближением решения с недостатком ; в ) точным	решением	.
Заметим теперь : если , то	решением	этого уравнения является любая дробь ; если , то это уравнение не имеет решения , потому что при любом х выполняется равенство .
В этом параграфе мы займёмся	решением	отдельных задач .
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является	решением	этого уравнения , потому что .
Число нуль тоже не является	решением	данного уравнения , так как .
Значит , никакое натуральное число	решением	уравнения .
Частным при делении первой дроби на вторую назовём такую дробь х , которая является	решением	уравнения .
Тогда будет	решением	уравнения .
Как использовались свойства площади при	решении	этой задачи ? .
При	решении	каждой такой задачи нужно заранее договориться , по какому признаку будет производиться деление : по весу , длине и так далее .
В конце главы вы узнаете , как применять признак равенства прямоугольных треугольников при	решении	задач .
Какие свойства площади использовались при	решении	этой задачи ? .
Сколько	решений	имеет уравнение ? .
3 Практика	решения	задач .
Заметим теперь : если , то решением этого уравнения является любая дробь ; если , то это уравнение не имеет	решения	, потому что при любом х выполняется равенство .
Оба способа	решения	годятся и в этом случае .
Все эти числа появились в связи с необходимостью	решения	различных практических задач .
3 Приведите примеры задач , когда число 2 будет : а ) приближением решения с избытком ; б ) приближением	решения	с недостатком ; в ) точным решением .
Какое множество различных способов	решения	этой задачи вы можете предложить ? .
3 Приведите примеры задач , когда число 2 будет : а ) приближением	решения	с избытком ; б ) приближением решения с недостатком ; в ) точным решением .
Сначала на клетчатой бумаге нарисуйте какой - нибудь	ромб	.
5 Какие общие свойства имеют	ромб	, квадрат и прямоугольник ? .
3 Чем отличается	ромб	от квадрата ? .
Как называется	ромб	, в котором имеются четыре равных угла ? .
Можно ли « деформировать » квадрат в	ромб	? .
4 Какие общие свойства имеют	ромб	и квадрат ? .
8 Изобразите : а )	ромб	; б ) прямоугольник ; в ) квадрат .
23 На клетчатой бумаге изобразите	ромб	.
Изображён	ромб	.
Как при помощи одних только ножниц вырезать	ромб	из листа бумаги ? .
22 Квадрат и	ромб	имеют одинаковые стороны .
5 Нарисуйте два равных	ромба	.
19 Вырежьте из бумаги три таких	ромба	.
Как проверить , могут ли они быть вершинами : а )	ромба	; б ) прямоугольника ; в ) квадрата ? .
17 Может ли диагональ	ромба	быть короче его стороны ? .
Когда у	ромба	все углы прямые .
Как убедиться , что точки А , С , Б , D являются вершинами	ромба	? .
2.2 Какие из изображённых фигур являются	ромбами	? .
Какие многоугольники можно сложить из них , совмещая целиком некоторые стороны этих	ромбов	? .
3 Почему четырёхугольник ABCDявляется	ромбом	? .
12 Проверьте измерениями четырёхугольник ABCD не является : а )	ромбом	; б ) прямоугольником .
1.3 Какая из изображённых фигур является	ромбом	? .
В картонной коробке в один	ряд	помещается 4 упаковки печенья , в одном слое — 5 рядов , в коробке — 7 слоёв .
3 В коробке , имеющей форму куба , в один	ряд	укладывается 6 кубиков .
Представим себе все натуральные числа выписанными в	ряд	в том порядке , в каком они появляются при последовательном счёте .
Для их выделения из натурального	ряда	с древних времён известен способ под названием « решето Эратосфена » .
Сидячие места в автобусе расположены по 9	рядам	, в каждом из которых по 4 места .
Подсчитаем это количество иначе : сначала вычислим общее количество рядов по колоннам , то есть	рядов	, и после этого количество человек в батальоне будет равно произведению количества человек в ряду на количество рядов .
В каждой колонне 12	рядов	, а в каждом ряду 16 солдат .
Если в примере подсчитать сумму мест иначе , то есть сначала взять 9	рядов	, а затем сложить их четыре раза , то в результате также получится 36 мест , то есть выполняется цепочка равенств .
Подсчитаем это количество иначе : сначала вычислим общее количество рядов по колоннам , то есть рядов , и после этого количество человек в батальоне будет равно произведению количества человек в ряду на количество	рядов	.
В вагон помещается 10 слоёв коробок , в одном слое — 15	рядов	, в одном ряду — 30 коробок .
В картонной коробке в один ряд помещается 4 упаковки печенья , в одном слое — 5	рядов	, в коробке — 7 слоёв .
Подсчитаем это количество иначе : сначала вычислим общее количество	рядов	по колоннам , то есть рядов , и после этого количество человек в батальоне будет равно произведению количества человек в ряду на количество рядов .
Составим таблицу для объёмов кубов с рёбрами , принимающими начальные значения в	ряду	натуральных чисел .
В вагон помещается 10 слоёв коробок , в одном слое — 15 рядов , в одном	ряду	— 30 коробок .
В каждой колонне 12 рядов , а в каждом	ряду	16 солдат .
Подсчитаем это количество иначе : сначала вычислим общее количество рядов по колоннам , то есть рядов , и после этого количество человек в батальоне будет равно произведению количества человек в	ряду	на количество рядов .
А это означает , что в	ряду	степеней двойки любые две степени , разность показателей которых равна 4 , имеют одинаковые последние цифры .
4.2 Порядок в	ряду	натуральных чисел .
1 В каждом горизонтальном и вертикальном	ряду	выполняются некоторые закономерности .
Предположим , что с помощью компьютера надо выбрать наименьшее среди чисел 12 , 10 , 8 , 15 , 11 , причём компьютер может сравнивать и переставлять местами только соседние числа в имеющемся	ряду	.
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в	ряду	натуральных чисел , которое позволяет различные числа расположить в порядке возрастания или убывания .
Длины трёх	рёбер	, идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда : ширина , длина , высота .
Какого числа Петя впервые опоздает на урок , если с трёх часов утра в понедельник 10 октября часы начнут отставать на 12	секунд	в сутки ? .
2 Назовите одним словом : а ) шестьдесят	секунд	; б ) шестьдесят минут ; в ) двадцать четыре часа ; г ) сто лет .
Этим , возможно , объясняется выбор единиц для измерения времени : в одном часе содержится 60 минут , а в одной минуте — 60	секунд	.
Сколько	секунд	длится один невисокосный год ? .
6 На сколько	секунд	: а ) минута дольше секунды ; б ) час дольше минуты ; в ) час дольше секунды ? .
28 Часы ушли вперёд на 11 минут 45	секунд	и показывают 3 часа 7 минут 10 секунд .
28 Часы ушли вперёд на 11 минут 45 секунд и показывают 3 часа 7 минут 10	секунд	.
Например , время измеряют в часах , минутах и	секундах	.
а ) в миллиметрах ; б ) в сантиметрах ; в ) в метрах ; г ) в километрах ; д ) в	секундах	; е ) в минутах ; ё ) в часах ; ж ) в сутках ; з ) в годах ; и ) в столетиях ; и ) в каплях ; к ) в чайных ложках ; л ) в вёдрах ; м ) в литрах ; н ) в столовых ложках .
Предположим , что мы называем подряд все числа от единицы до миллиона с огромной скоростью — по 10 чисел в	секунду	.
7 Свободно падающее тело пролетает 4,9 м в первую секунду после начала падения , в следующую — на 9,8 м больше , чем в первую секунду , а в третью	секунду	— на 9,8 м больше , чем во вторую .
7 Свободно падающее тело пролетает 4,9 м в первую секунду после начала падения , в следующую — на 9,8 м больше , чем в первую	секунду	, а в третью секунду — на 9,8 м больше , чем во вторую .
7 Свободно падающее тело пролетает 4,9 м в первую	секунду	после начала падения , в следующую — на 9,8 м больше , чем в первую секунду , а в третью секунду — на 9,8 м больше , чем во вторую .
Заполните пустые места , учитывая , что за одну	секунду	через любое сечение проходит один и тот же объём воды , то есть произведение постоянно .
Сколько метров оно пролетит за 3	секунды	? .
3 Часы показывают 8 часов 20 минут 32	секунды	.
6 На сколько секунд : а ) минута дольше секунды ; б ) час дольше минуты ; в ) час дольше	секунды	? .
6 На сколько секунд : а ) минута дольше	секунды	; б ) час дольше минуты ; в ) час дольше секунды ? .
5 Во сколько раз : а ) минута дольше	секунды	; б ) час дольше минуты ; в ) сутки дольше часа ? .
1.1 Сколько сторон у	семиугольника	? .
Заполните пустые места , учитывая , что за одну секунду через любое	сечение	проходит один и тот же объём воды , то есть произведение постоянно .
10 Пройдёт ли медная проволока	сечением	4 мм2 в круглое отверстие диаметром : а ) 2,5 мм ; б ) 2 мм ? .
Найдите отношение площадей поперечного	сечения	и сравните это отношение с отношением соответствующих скоростей течения реки .
4 Приведена зависимость между площадью S поперечного	сечения	русла на отдельных участках реки и скоростью течения реки .
Какой длины потребуется тонкая проволока , чтобы на стержень круглого	сечения	радиусом R = 1 см можно было намотать 100 витков ? .
Они выполняются для многих числовых	систем	, в частности для целых , рациональных и действительных чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
8 Какая	система	счисления называется двоичной ? .
7 Какая	система	счисления называется десятичной ? .
3.4 Шестнадцатеричная	система	счисления .
1 Что такое	система	счисления с основанием 2 ? .
3.3 Двоичная	система	счисления .
5 Что такое	система	счисления с основанием 4 ? .
9 Какая	система	счисления называется шестнадцатеричной ? .
Поэтому иногда употребляется	система	записи чисел , тесно связанная с двоичной , — шестнадцатеричная система счисления .
0 Что такое	система	счисления с основанием 4 ? .
Поэтому иногда употребляется система записи чисел , тесно связанная с двоичной , — шестнадцатеричная	система	счисления .
Десятичная	система	счисления .
Например , в Древнем Вавилоне существовала	система	записи чисел на основе группировки по шестьдесят .
В предыдущих пунктах мы познакомились с	системами	счисления с основаниями 4 и 10 .
6.2 Нахождение цифр числа в других	системах	счисления с помощью деления с остатком .
2.6 Умножение в недесятичных	системах	счисления .
Подобным образом можно рассмотреть записи чисел в	системах	счисления с другими основаниями , например 3 , 5 , 8 .
2.4 Какие из равенств между числами , записанными в	системах	счисления с основанием 2 и основанием 4 , являются верными ? .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных	системах	счисления .
Вы сможете найти последнюю цифру числа 2100 и научитесь простому способу записи натуральных чисел в различных	системах	счисления .
1.7 Сложение чисел в недесятичных	системах	счисления .
13 Какую запись в десятичной	системе	имеет число 220 ? .
Как в десятичной	системе	счисления записать число ( 1000)4 ? .
1.4 Какую запись имеет число 31 в	системе	счисления с основанием 4 ? .
1.3 Какую запись имеет число 14 в двоичной	системе	счисления ? .
Как в двоичной	системе	счисления умножить число на 210 ? .
1.2 Какое из указанных чисел имеет запись ( 323)4 в	системе	счисления с основанием 4 ? .
1.1 Какое из указанных чисел имеет запись ( 10101)2 в двоичной	системе	? .
В десятичной	системе	этот пример соответствует записи .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной	системе	.
Ответы запишите в четверичной	системе	.
3 Как записать в пятеричной системе счисления числа , записанные в десятичной	системе	: а ) 66 ; 6)132 ; в ) 1995 ; г ) 2000 ? .
2.1 Какие из равенств являются верными в двоичной	системе	счисления ? .
3 Как записать в пятеричной	системе	счисления числа , записанные в десятичной системе : а ) 66 ; 6)132 ; в ) 1995 ; г ) 2000 ? .
2 Найдите запись числа 1995 в восьмеричной	системе	счисления .
12 Запишите в шестнадцатеричной	системе	числа от 32 до 47 .
На основании этих равенств приведена таблица умножения однозначных чисел в четверичной	системе	счисления .
Всякое натуральное число , записанное в десятичной	системе	, иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Эти равенства в четверичной	системе	имеют вид .
Как представить число 2000 в двоичной	системе	счисления ? .
Для этого запишем в десятичной	системе	счисления следующие равенства .
В десятичной	системе	счисления после записи чисел внизу обычно не ставят основание этой системы счисления — 10 .
11 Запишите в шестнадцатеричной	системе	числа от 1 до 15 .
Сколько цифр потребуется для записи числа 1999 в шестнадцатеричной	системе	счисления ? .
При умножении чисел в этой	системе	счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
3 Переведите в десятичную систему счисления следующие числа , записанные в	системе	счисления с основанием 4 .
14 Составьте таблицу сложения в троичной	системе	счисления .
Запишем число 852 в четверичной	системе	.
Натуральные числа в этой	системе	записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
5 Запишите в троичной	системе	счисления числа .
Представим число 311 в двоичной	системе	.
Всякое число в двоичной	системе	счисления записывается с помощью последовательности цифр 0 и 1 .
4 Запишите в троичной	системе	счисления числа .
6 Запись шестизначного числа в десятичной	системе	имеет вид АВС АВС , где буквами А , В , С обозначены некоторые цифры .
Представим в двоичной	системе	число 25 .
Научимся записывать числа в двоичной	системе	счисления .
Запишите это же число в двоичной	системе	.
Наименьшее количество различных цифр для записи чисел требуется в системе счисления с основанием 2 или в двоичной	системе	.
Какое число в десятичной	системе	соответствует записи ( 11010101)2 ? .
Наименьшее количество различных цифр для записи чисел требуется в	системе	счисления с основанием 2 или в двоичной системе .
7 Запишите в двоичной	системе	счисления числа .
13 Составьте таблицу сложения в двоичной	системе	счисления .
А во - вторых , в десятичной	системе	счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
13 Запишите в шестнадцатеричной	системе	число 144 .
4 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в	системе	счисления с основанием 10 ? .
8 Запишите в двоичной	системе	числа .
3 Как находить последние цифры суммы и произведения чисел в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Выполните умножение в четверичной	системе	.
Для записи чисел в	системе	с основанием 16 к привычным нам цифрам 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 добавляют ещё 6 « цифр » .
Выполните умножение в двоичной	системе	.
7 Какова таблица умножения в	системе	счисления с основанием 4 ? .
6 Какие числа являются разрядными единицами в	системе	счисления с основанием а ? .
2.3 Какие из равенств являются верными в двоичной	системе	счисления ? .
2.2 Какие из равенств являются верными в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Если переписать эти цифры в обратном порядке , то получится нужное представление числа 9137 в четверичной	системе	: ( 2032301)4 .
1 Найдите запись числа 1995 в четверичной	системе	счисления .
2.1 Какие из десятичных цифр не используются при записи чисел в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Найдём значения записанных выше выражений в десятичной	системе	счисления .
10 Запишите в шестнадцатеричной	системе	число 16 и число 196 .
Затем перепишем эти равенства в четверичной	системе	счисления .
3 Как записывают натуральное число в	системе	счисления с основанием 4 ? .
5 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в	системе	счисления с основанием 5 ? .
Для составления таблицы сложения запишем сначала в десятичной	системе	следующие равенства .
1 Запишите в	системе	счисления с основанием 4 числа .
6 Запись чисел в недесятичной	системе	счисления .
15 Сколько слов русского языка нужно знать , чтобы прочитать число 999 999 999 999 , записанное в десятичной	системе	? .
2.2 Какие из указанных чисел используются как разрядные единицы в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в десятичной	системе	используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
1 Как записывают натуральное число в десятичной	системе	счисления ? .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной	системе	.
2 Как записывают натуральное число в	системе	счисления с основанием 2 ? .
Сложение чисел , записанных в	системе	счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной системе .
2.2 Складывая числа ( 110)2 и ( 101)2 , записанные в двоичной	системе	, ученик ошибся и получил неверный результат ( 1101)2 .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в десятичной	системе	счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Какие цифры используются для записи чисел в десятичной	системе	счисления ? .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в десятичной системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой	системе	счисления .
Какой цифрой может оканчиваться нечётное число в десятичной	системе	счисления ? .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в десятичной	системе	счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
По каким правилам составляется таблица сложения в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Умножение чисел в недесятичной	системе	счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой таблицы умножения .
Как находить дополнения до разрядных единиц для чисел , записанных в двоичной	системе	счисления ? .
Выполним в десятичной	системе	последовательность делений на 4 с остатком .
Найдём запись десятичного числа 9137 в четверичной	системе	.
2.4 Какие из указанных чисел будут трёхзначными при их записи в двоичной	системе	счисления ? .
Чему равна сумма чисел ( 100110)2 и ( 11010)2 , записанных в двоичной	системе	? .
Про полученную запись говорят , что числа представлены в	системе	счисления с основанием 4 .
2 Как записать в	системе	счисления с основанием 4 числа ? .
7 Какова таблица сложения в	системе	счисления с основанием 4 ? .
Чему равна сумма чисел ( 123)4 и ( 321)4 , записанных в	системе	счисления с основанием 4 ? .
6 Сколько цифр требуется для записи натуральных чисел в	системе	счисления с основанием а ? .
2.3 Какие из указанных чисел будут двузначными при их записи в	системе	счисления с основанием 4 ? .
3 Как по последней цифре числа в десятичной	системе	счисления определить , чётное это число или нечётное ? .
1.5 Связь десятичных дробей с десятичной метрической	системой	единиц .
Именно поэтому принятый нами способ записи натуральных чисел называется десятичной	системой	счисления .
Десятичные дроби тесно связаны с десятичной метрической	системой	единиц .
Рассмотрим , например ,	систему	счисления с основанием 4 .
6.3 Перевод числа из десятичной в другую	систему	счисления делением с остатком .
Для примера рассмотрим	систему	счисления с основанием 4 .
3 Переведите в десятичную	систему	счисления следующие числа , записанные в системе счисления с основанием 4 .
Рассмотренные примеры обнаруживают неудобства двоичной	системы	: для больших чисел требуются довольно длинные записи .
Использование десятичной	системы	счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени числа 10 .
6 Следующие числа переведите из троичной	системы	счисления в десятичную .
Сократить запись можно с помощью другой	системы	обозначений .
Некоторые единицы измерения десятичной метрической	системы	вам известны .
9 Какие единицы десятичной метрической	системы	вы знаете ? .
Такое название прочно вошло в математику , когда обнаружилось , что существуют другие числовые	системы	, например мнимые или комплексные числа .
9 Переведите числа из двоичной	системы	счисления в десятичную .
В десятичной системе счисления после записи чисел внизу обычно не ставят основание этой	системы	счисления — 10 .
Для вычисления неполного частного	складываем	числа 60 и 1 , записанные под делителем 87 , и получаем 61 .
Для вычисления частного	складываем	числа 5 ; 0,3 ; 0,04 , которые записаны под делителем 12 , и получаем .
21 При разметке доски с помощью нитки эту нитку можно	складывать	пополам , получившуюся двойную нитку ещё раз пополам , и так можно делать несколько раз подряд .
Предположим , что мы уже научились	складывать	n с некоторым натуральным числом т , то есть умеем находить сумму .
20 При разметке доски с помощью нитки эту нитку можно	складывать	пополам , получившуюся двойную нитку ещё раз пополам , и так можно делать несколько раз подряд .
Какие прямоугольники можно пытаться	складывать	из всех фигур пентамино ? .
Попробуем сделать простой прибор , помогающий	складывать	натуральные числа .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро	складывать	« столбиком » любые натуральные числа .
Заметим , что можно также	складывать	не парами , а последовательно прибавляя числа : к 58 прибавить 43 , к полученному результату прибавить 66 и так далее ( соответствующие слагаемые помещены в скобках ) .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как	складывать	, вычитать , умножать , делить и сравнивать дроби .
Представление дробей в виде сумм простейших дробей позволяет	складывать	дроби с равными знаменателями .
Будем	складывать	числа попарно .
Напомним , что операция умножения на натуральное число возникает тогда , когда приходится	складывать	несколько равных слагаемых .
В младших классах вы уже научились	складывать	натуральные числа .
По какому общему правилу	складывают	десятичные дроби ? .
4 Как	складывают	« столбиком » два многозначных числа ?
2.1 Ученик ,	складывая	числа 798 и 655 , ошибся и получил неверный результат 2343 .
Какой множитель можно вынести за	скобки	в выражении ? .
36 Расставьте	скобки	так , чтобы вычитание было возможно .
17 Почему при записи суммы нескольких натуральных чисел можно не ставить	скобки	? .
5 Какой закон позволяет вынести множитель за	скобки	? .
Сочетательный закон умножения позволяет убирать в произведении сомножителей	скобки	.
6 Замените звёздочки знаками сложения + , вычитания – , умножения х и расставьте	скобки	так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
Обычно при действиях с выражениями приходится одновременно и раскрывать , и ставить	скобки	.
1.1 Какое выражение получится , если раскрыть все	скобки	в записи ? .
Разберём примеры , в которых	скобки	ставят .
Будут сформулированы основные законы умножения , приведены правила действий с выражениями , содержащими	скобки	.
4 В чём состоит вынесение за	скобки	множителя ?
Рассмотрим примеры , в которых	скобки	раскрывают .
Для прерывания последовательности действий служат	скобки	.
Будем отличать новую запись от десятичной , заключая последовательность « цифр » в круглые скобки и после правой	скобки	чуть ниже приписывая 4 .
Применение распределительного закона в таком виде обычно называют « вынесением множителя за	скобки	» .
2 Из каких законов сложения и умножения вытекают правила , по которым раскрывают	скобки	? .
Каким выражением без	скобок	можно заменить , где а и b — числа ? .
Наличие	скобок	означает , что , прежде чем двигаться дальше , следует выполнить действия внутри скобок .
Наличие скобок означает , что , прежде чем двигаться дальше , следует выполнить действия внутри	скобок	.
С учётом того , что широко распространённой единицей измерения длины является 1 метр , обычно применяются следующие единицы измерения площади : 1 мм2 , 1 см2 , 1 дм2 , 1 м2 , 1 км2 , которые принято писать без	скобок	.
3.2 Примеры раскрытия	скобок	.
3.3 Примеры расстановки	скобок	.
В левых частях этих формул нет	скобок	, а в правых — есть .
Делится ли первое	слагаемое	на 2 ?
Обозначим второе	слагаемое	буквой х , тогда всю сумму можно записать в виде выражения .
20 Проверьте , что	слагаемые	в суммах делятся на 25 : .
Запишем	слагаемые	« столбиком » и сначала выполним сложение чисел 7 , 5 в разряде единиц .
Иными словами , умножить а на натуральное число b — значит найти сумму b одинаковых	слагаемых	, равных а .
Чтобы получить число мест , можно просуммировать 9	слагаемых	, каждое из которых равно 4 .
3 Представим число 6318 в виде суммы двух	слагаемых	.
Напомним , что операция умножения на натуральное число возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных	слагаемых	.
Часто возникают задачи , когда известны сумма двух	слагаемых	и одно из них , а другое слагаемое требуется найти .
Маленький	след	карандаша , ручки или мела мы считаем изображением точки .
Данное правило означает , что , используя для наглядности чертежи и рисунки , мы не будем различать в рассуждениях жирно изображённую точку и совсем маленький , едва заметный	след	.
При повороте , как показано , создаётся ощущение , что один из охотников исчез « без	следа	» .
11 Какие геометрические свойства позволяют выполнять	сложение	при помощи двух линеек ? .
Определение умножения через	сложение	позволяет наглядно представить на числовой прямой и произведение натуральных чисел .
Изучая	сложение	натуральных чисел , мы сформулировали его основные законы .
После этого выполним	сложение	в разряде десятков и получим окончательный результат .
Похожим способом выполняется и записывается	сложение	двух чисел , содержащих целое число сотен , и так далее .
11 Восстановите примеры на	сложение	, подставив вместо звёздочек нужные цифры .
Теперь выполним	сложение	в каждом столбце под чертой , как это делалось при описании алгоритма сложения .
10 Как выполняется	сложение	при помощи двух линеек ? .
В этом случае	сложение	чисел 9 и 7 можно записать « столбиком » так .
Запишем слагаемые « столбиком » и сначала выполним	сложение	чисел 7 , 5 в разряде единиц .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про	сложение	чисел в недесятичных системах счисления .
Как записать « столбиком »	сложение	трёх однозначных чисел ? .
Поразрядно , справа , начиная с разряда единиц , выполним	сложение	чисел в каждом разряде , используя приём из пункта .
Затем выполним	сложение	чисел 60 и 80 в разряде десятков .
Рассмотрим	сложение	двузначных чисел на примере суммы .
Напомним некоторые общие закономерности , связанные со	сложением	.
Как и в случае со	сложением	, использование вспомогательных строк позволяет сократить число действий , выполняемых « в уме » , хотя записи становятся более громоздкими .
Как и в случае со	сложением	, таблицы вполне достаточно , чтобы вычислять произведения любых многозначных чисел .
При	сложении	десятичных дробей числа записывают в столбик так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
Сочетательный закон сложения : при	сложении	суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Например , при	сложении	9 и 7 получается .
Свойство числа 0 при	сложении	: сумма числа а и числа 0 всегда равна числу а .
Например , при	сложении	3 и 5 получается 8 .
На основании свойств единицы ( при умножении ) , нуля ( при	сложении	) и распределительного закона , имеем цепочку равенств .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к	сложению	двузначного и однозначного числа .
Сложение двух чисел , содержащих целое число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично	сложению	единиц .
Дальнейшее нахождение суммы сводится к	сложению	десятков .
Сложение и вычитание двух дробей с разными знаменателями можно сводить к	сложению	и вычитанию дробей с равными знаменателями , если обе дроби привести к общему знаменателю .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к	сложению	однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
Нахождение суммы двузначного и однозначного числа сводится к	сложению	однозначных чисел и десятков .
Какие законы	сложения	и умножения использованы в рассмотренном примере ? .
Для составления таблицы	сложения	запишем сначала в десятичной системе следующие равенства .
6 Как вы понимаете выражение « алгоритм	сложения	» ? .
15 Как формулируется переместительный закон	сложения	? .
Какие законы	сложения	позволяют записать равенство ? .
Это можно было видеть на примере	сложения	натуральных чисел с помощью двух линеек .
2 Какова таблица	сложения	однозначных чисел ? .
Например , приведена запись	сложения	чисел 70 и 50 , что сокращённо можно записать .
12 После выполнения	сложения	на доске были стёрты отмеченные звёздочками цифры .
14 В чём состоит общее правило	сложения	натуральных чисел ? .
3 В чём состоит правило	сложения	« столбиком » для двузначных чисел ?
Теперь выполним сложение в каждом столбце под чертой , как это делалось при описании алгоритма	сложения	.
Алгоритм	сложения	.
Приведём алгоритм	сложения	произвольных чисел , используя только таблицу сложения однозначных чисел .
Правило сложения натуральных чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило	сложения	десятичных дробей .
7 Какова таблица	сложения	в системе счисления с основанием 4 ? .
Для иллюстрации	сложения	и вычитания мы использовали .
Вы знаете таблицу	сложения	, изучали таблицу умножения .
8 Приведите примеры	сложения	чисел .
14 Укажите , какие разрядные единицы использованы в следующих суммах , запишите и назовите результаты	сложения	.
13 Составьте таблицу	сложения	в двоичной системе счисления .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и	сложения	приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
Пользуясь составленной таблицей , выполним действия по алгоритму	сложения	.
14 Составьте таблицу	сложения	в троичной системе счисления .
Между некоторыми из них поставьте знаки	сложения	и вычитания , чтобы в результате получилось число 100 .
Закон переместительный	сложения	.
Закон	сложения	.
Закон сочетательный	сложения	.
Законы	сложения	и умножения дробей .
Между некоторыми из них поставьте знаки	сложения	и вычитания так , чтобы в результате получилось число 100 .
Какие правила	сложения	и вычитания позволяют обосновать приведённые преобразования ? .
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов	сложения	и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её целой и дробной части .
Обычно таблицу	сложения	однозначных чисел учат наизусть , а поэтому ответ записывают сразу .
При этом для основных законов	сложения	и умножения часто используются названия , восходящие к латинским словам .
Приведённые выше законы	сложения	и умножения очень важны в математике .
2.1 Каких из указанных чисел не может быть в таблице	сложения	однозначных чисел ? .
Будет показано , как операция	сложения	связана с операцией вычитания .
Ранее мы рассматривали для чисел отдельно законы	сложения	и законы умножения .
2 Из каких законов	сложения	и умножения вытекают правила , по которым раскрывают скобки ? .
6 Замените звёздочки знаками	сложения	+ , вычитания – , умножения х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
В этом случае при записи	сложения	« столбиком » слагаемые 3 и 5 записываются в одном столбце , а их сумма 8 записывается под чертой в том же столбце одной цифрой .
Для	сложения	двух чисел а и b выполним следующие действия . — сначала находим на верхней линейке деление , обозначающее первое слагаемое а(верхнее ) .
Законы	сложения	и умножения позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя таблицу умножения однозначных чисел .
Общее правило	сложения	дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
Приведём алгоритм сложения произвольных чисел , используя только таблицу	сложения	однозначных чисел .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в десятичной системе используется таблица	сложения	однозначных чисел в новой системе счисления .
Сочетательный закон	сложения	.
Сочетательный закон	сложения	: при сложении суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Переместительный закон	сложения	.
По каким правилам составляется таблица	сложения	в системе счисления с основанием 4 ? .
О способах	сложения	.
Отличие состоит в том , что вместо таблицы	сложения	однозначных чисел в десятичной системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
Законы	сложения	.
По правилу	сложения	обыкновенных дробей имеем .
Правило	сложения	натуральных чисел , записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
Запись сложения десятков « столбиком » выглядит похоже на запись	сложения	« столбиком » однозначных чисел .
Запись	сложения	десятков « столбиком » выглядит похоже на запись сложения « столбиком » однозначных чисел .
Переместительный закон	сложения	: от перестановки слагаемых сумма чисел не изменяется .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы	сложения	первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
В этой главе вы вспомните правила	сложения	и вычитания натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
Руководствуясь общим правилом , нетрудно составить известную вам таблицу	сложения	.
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило	сложения	натуральных чисел в десятичной системе .
Законы	сложения	и умножения .
3.2 Правило	сложения	десятичных дробей .
Какое число появится на пересечении 79-й строки и 146-го столбца , если всё - таки продолжить составление таблицы	сложения	? .
Найдите градусную меру угла МОК ,	сложив	градусные меры углов ΜΟΝ и ΝΟΚ , и запишите результат .
Наконец ,	сложив	четверть пополам , получим отрезок длиной в восьмую часть метра .
1.3 Яблоко разделили на 18 равных частей , затем получившиеся части	сложили	в группы по 3 штуки .
Снова	сложим	эту половину пополам и получим четверть метра .
Переместим треугольники и	сложим	из них квадрат .
3 Разрежьте левую из фигур на части и	сложите	правую фигуру .
9 Разрежьте квадрат на 20 равных треугольников и	сложите	из них 5 равных маленьких квадратов .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число	сложить	с суммой второго и третьего .
5 Как разрезать левую фигуру на части , из которых можно	сложить	правую фигуру ? .
Какие многоугольники можно из них	сложить	, совмещая целиком некоторые стороны этих треугольников ? .
Если в примере подсчитать сумму мест иначе , то есть сначала взять 9 рядов , а затем	сложить	их четыре раза , то в результате также получится 36 мест , то есть выполняется цепочка равенств .
14 Как	сложить	прямоугольный треугольник из трёх равных прямоугольных треугольников , один из углов которых равен 30 ° ? .
Гораздо легче подсчитать количество марок на каждом листе и полученные числа	сложить	.
6 Как разрезать левую и правую фигуры , чтобы из полученных частей можно было	сложить	два равных квадрата ? .
Какие многоугольники можно	сложить	из них , совмещая целиком некоторые стороны этих ромбов ? .
Как	сложить	треугольник из двух фигур , на которые прямоугольник делится диагональю ? .
Сколько потребуется блоков , чтобы	сложить	стену объёмом V , если .
1.3 Какой из указанных квадратов можно	сложить	из четырёх клеточек сетки ? .
Может показаться , что полученные части можно	сложить	так .
Какие многоугольники можно	сложить	из них , совмещая целиком некоторые стороны этих прямоугольников ? .
10 Как	сложить	две дроби с разными знаменателями ? .
Однако далеко не все такие прямоугольники можно	сложить	.
Сколько различных многоугольников можно из них	сложить	, целиком совмещая стороны ? .
Можно	сложить	7 многоугольников разного вида .
Можно	сложить	5 многоугольников разного вида .
— затем	совмещаем	с ним нулевое деление 0(нижний ) нижней линейки .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки	совмещаем	; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Какие многоугольники можно сложить из них ,	совмещая	целиком некоторые стороны этих ромбов ? .
Сколько различных многоугольников можно из них сложить , целиком	совмещая	стороны ? .
Какие многоугольники можно из них сложить ,	совмещая	целиком некоторые стороны этих треугольников ? .
Какие многоугольники можно сложить из них ,	совмещая	целиком некоторые стороны этих прямоугольников ? .
Таким образом , последняя цифра суммы чисел	совпадает	с последней цифрой суммы и равна 2 .
Точка	совпадает	с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
В результате получена последовательность чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая	совпадает	с последовательностью цифр исходного числа , но записанной в обратном порядке .
Справедливо равенство , где числитель дроби меньше её знаменателя , поэтому целая часть числа у равна 0 , а её дробная часть	совпадает	с ней самой .
Ни одно из этих чисел не	совпадает	с точным значением ( 3.3333)2 .
13 Как построить прямоугольный треугольник , равный треугольнику АВС , у которого вершина	совпадает	с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не	совпадает	с вершиной квадрата .
Например , порядок числа 2813	совпадает	с порядком числа 103 .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не	совпадает	ни с одним из концов этих отрезков .
Точка	совпадает	с точкой , отмеченной ранее как k , так как длина всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не	совпадает	ни с одной из вершин .
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых	совпадает	с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
С другой стороны , из равенства длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка	совпадает	с другим отрезком .
Точка	совпадает	с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
Эта сумма равна 36 и	совпадает	с произведением .
Таким образом , последняя цифра произведения	совпадает	с последней цифрой произведения и равна 0 .
В результате получена последовательность чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая	совпадает	с последовательностью цифр исходного числа 1825 , но записанной в обратном порядке .
Многоугольник тоже можно считать ломаной , у которой начало	совпадает	с концом .
Обычно считают , что при записи приближённого равенства точность десятичного приближения	совпадает	с разрядной единицей последнего выписанного знака .
Катеты одинаковой длины при перемещениях	совпадали	, когда совмещались содержащие их прямые углы .
Точка D может	совпадать	с концом любого отрезка и даже быть общим концом обоих отрезков сразу .
Угол , стороны которого не	совпадают	, имеет градусную меру больше 0 ° .
Какие из указанных лучей	совпадают	с лучом ВС ? .
11 Равны ли два прямоугольных треугольника , если их гипотенузы	совпадают	? .
Если начало и конец отрезка	совпадают	, то его длина равна нулю , в каких бы единицах эту длину ни измеряли .
2 На отрезке АВ выбрана точка С , не	совпадающая	с его концами .
1.4 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных треугольнику АВС и не	совпадающих	с ним ? .
1.3 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных треугольнику ЛВС и не	совпадающих	с ним ? .
15 Может ли прямая пересечь все стороны треугольника в точках , не	совпадающих	с его вершинами ? .
16 Может ли прямая пересечь все стороны четырёхугольника в точках , не	совпадающих	с его вершинами ? .
При пересечении двух различных прямых образуются четыре не	совпадающих	угла .
Если взять луч АВ и на нём некоторую точку Р , не	совпадающую	с началом , то луч АР — это тот же самый луч , что и АВ .
При	совпадении	переходят ко вторым слева цифрам и сравнивают их .
При	совпадении	вторых цифр сравнивают третьи слева цифры и так далее .
После этого сместим копию треугольника АВС вниз и влево до	совпадения	с треугольником КЕМ .
Вдруг они не	совпадут	, какими тогда считать эти фигуры — равными или нет ? .
Можно ли отложить на луче АВ отрезок длины 1 км так , чтобы один из концов отрезка	совпал	с точкой А ? .
Из этих свойств вытекает , что если два луча различаются расположением на плоскости , то « копию » одного из них можно переместить так , чтобы она	совпала	с другим лучом .
Даже если две прямые различаются расположением на плоскости , то « копию » одной из них можно переместить так , чтобы она	совпала	с другой прямой .
Совместим точки А и В с краем линейки так , чтобы точка А	совпала	с нулевой отметкой линейки .
Предположим , что они	совпали	.
Так как фигуры А ' и В	совпали	, то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Из соображений удобства полученную запись можно ещё раз	сократить	, некоторые цифры подняты вверх в соответствующих разрядах на свободные места .
Полученную запись можно	сократить	, если в приведённой схеме у числа 10 не указывать цифру 0 , а запись цифры 1 сохранить в том же столбце десятков , где она и была записана .
Можно ли	сократить	дробь ?
2.4 Какие из приведённых дробей можно	сократить	? .
Полученную запись можно	сократить	, если не записывать в промежуточных действиях стоящие в конце записи чисел нули , сохраняя расположение цифр по столбцам соответствующих разрядов .
По какому свойству дроби можно	сократить	одинаковые сомножители в числителе и знаменателе дроби ? .
Как и в случае со сложением , использование вспомогательных строк позволяет	сократить	число действий , выполняемых « в уме » , хотя записи становятся более громоздкими .
Поэтому дробь удалось	сократить	.
Подобно тому , как это было сделано для двузначных чисел , запись алгоритма можно	сократить	.
4 Как	сокращаются	дроби ? .
Итак , положение запятой в произведении отличается от её положения в первом	сомножителе	: запятая сместилась на один разряд влево .
Почему приписывание нуля в конце дробной части справа у одного из	сомножителей	не влияет на результат умножения ? .
Произведение n одинаковых	сомножителей	, равных числу а , называется степенью числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
Заметим , что число десятичных знаков	сомножителей	в сумме также равно пяти .
Для краткости произведение записывают в виде 102 , ставя справа и сверху от числа 10 количество	сомножителей	.
Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения в случаях , когда один из	сомножителей	равен нулю , можно проверить непосредственно , используя правило умножения на нуль .
Запишите в виде произведения двух	сомножителей	различными способами следующие числа .
Словами переместительный закон кратко можно записать так : от перестановки	сомножителей	произведение не меняется .
Общее число знаков после запятой у обоих	сомножителей	равно 5 .
Произведение n одинаковых сомножителей , равных числу а , называется степенью числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество	сомножителей	: аn .
Натуральное число а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных	сомножителей	, каждый из которых больше 1 .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме чисел десятичных знаков	сомножителей	.
Переместительный закон умножения : от перестановки	сомножителей	произведение чисел не изменяется .
Если же	сомножители	достаточно велики , то приходится выполнять « в уме » чересчур много действий , а это приводит к ошибкам в вычислениях .
Но	сомножители	в произведении можно переставить и записать равенство в виде .
1.1 Задачи на неизвестный	сомножитель	( деление поровну ) .
если хотя бы один	сомножитель	равен нулю , то и всё произведение равно нулю .
Какой цифрой может оканчиваться второй	сомножитель	? .
1 Как найти неизвестный	сомножитель	.
Произведение двух чисел оканчивается цифрой 8 , а первый	сомножитель	— цифрой 6 .
Число сотен второго	сомножителя	равно нулю , поэтому при умножении 5836 на число сотен получится строка из нулей .
Видно , что результат отличается от первого	сомножителя	только положением запятой : она сместилась на один разряд вправо .
Результат отличается от первого	сомножителя	тем , что запятая сместилась влево на один разряд .
Заметим , что определение произведения из пункта не охватывает случаи , когда один или оба	сомножителя	равны нулю .
Наконец , умножив 5836 на число 7 тысяч второго	сомножителя	, опять получаем две строки , но крайнюю правую цифру нужно записать в разряде тысяч .
При умножении 5836 на число 4 десятков второго	сомножителя	записываем под чертой ещё две строки по тем же правилам , что и выше .
Изложенный выше алгоритм умножения очень удобен , когда речь идёт о не слишком больших	сомножителях	.
В результате получим	спираль	.
39 Используя катушку с ниткой , нарисуйте	спираль	.
Таким образом , записывая равенство мы имеем в виду , что 0 - 10 означает отсутствие	среднего	слагаемого .
1.1 Дана таблица	среднего	балла по всем отметкам для учеников А , В , С , D .
26 Узнайте общую длину пятипролётного моста , если три средних пролёта имеют одинаковую длину по 74,6 м , а каждый из двух крайних пролётов короче	среднего	на 10,6 м .
26 Узнайте общую длину пятипролётного моста , если три	средних	пролёта имеют одинаковую длину по 74,6 м , а каждый из двух крайних пролётов короче среднего на 10,6 м .
5 Что вы поместили бы в	среднюю	клетку ? .
А это означает , что в ряду	степеней	двойки любые две степени , разность показателей которых равна 4 , имеют одинаковые последние цифры .
Вычислим последние цифры у	степеней	числа 2 .
Для этого составим таблицу	степеней	числа 2 .
Выражения , записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и	степеней	числа 4 , мы заменили на десятичную запись .
Составим сначала таблицу	степеней	числа 4 .
Эти выражения похожи на представление любого числа в виде суммы произведений при помощи цифр и	степеней	числа 10 .
Как записать число 2009 в виде суммы произведений при помощи цифр и	степеней	числа 10 ? .
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи натурального числа показывает , сколько соответствующих	степеней	десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Использование	степеней	числа 10 позволяет для этого же числа получить новую запись .
В записи 25 показатель	степени	5 иногда называют логарифмом числа 32 по основанию 2 и записывают в виде .
Число n называется показателем этой	степени	.
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен показателю	степени	, в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
Запись аn читается как « а в	степени	эн » , или как « а в энной степени » , или как « энная степень числа а » .
Для третьей	степени	числа а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём куба , сторона которого равна а , выражается числом а3 .
Как записать число 1024 в виде	степени	числа 4 ? .
Выражения « а в третьей	степени	» и « а в кубе » также означают одно и то же .
Поэтому исторически сложилось так , что для второй	степени	числа а , то есть для а2 , установилось особое название : « а в квадрате » .
Итак , « а во второй	степени	» и « а в квадрате » означают одно и то же .
Число а4 можно прочитать и как « а в степени 4 » , и как « а в четвёртой	степени	» , и как « четвёртая степень числа а » .
2.5 Основание и показатель	степени	.
В записи аn число а называется основанием	степени	.
Как и в случае	степени	числа 10 , для натурального числа а договариваются использовать обозначения .
Определение	степени	числа .
1.7 О стремлении к нулю дробей вида при возрастании показателя	степени	.
Запись 103 читают « десять в степени три » или « десять в третьей	степени	» .
В записи 102 число 2 называют показателем степени , а запись 102 читают : « десять в	степени	два » .
А это означает , что в ряду степеней двойки любые две	степени	, разность показателей которых равна 4 , имеют одинаковые последние цифры .
В первой строке запишем значения показателя n , во второй — удвоенную последнюю цифру предыдущей	степени	двойки , а в третьей — последнюю цифру числа .
Правило вычисления последней цифры произведения позволяет для получения последней цифры очередной степени числа 2 взять последнюю цифру предыдущей	степени	, домножить её на 2 и у результата оставить только последнюю цифру .
Правило вычисления последней цифры произведения позволяет для получения последней цифры очередной	степени	числа 2 взять последнюю цифру предыдущей степени , домножить её на 2 и у результата оставить только последнюю цифру .
Запись аn читается как « а в степени эн » , или как « а в энной	степени	» , или как « энная степень числа а » .
В записи 102 число 2 называют показателем	степени	, а запись 102 читают : « десять в степени два » .
Чем больше показатель	степени	n у дроби , тем ближе к нулю такая дробь .
1.1 Дроби со знаменателями , равными	степени	числа 10 .
Использование десятичной системы счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными	степени	числа 10 .
Используя правило умножения на	степени	числа 10 , находим .
Это позволяет быстро находить произведение натурального числа и	степени	числа 10 .
Говорят , что при возрастании показателя	степени	n дроби вида стремятся к нулю .
2.2 Умножение натурального числа на	степени	числа 10 .
Вы познакомитесь с понятием	степени	числа и правилами сравнения натуральных чисел .
Запись 103 читают « десять в	степени	три » или « десять в третьей степени » .
Используя	степени	числа 10 , можно кратко записать любую разрядную единицу .
Число а4 можно прочитать и как « а в	степени	4 » , и как « а в четвёртой степени » , и как « четвёртая степень числа а » .
8 На какую цифру оканчиваются : а ) степени числа 10 ; б )	степени	числа 5 ? .
На какие цифры могут оканчиваться	степени	числа 24 ? .
2.2 На какие цифры могут оканчиваться	степени	числа 129 ? .
15 Запишите 312 в виде	степени	числа .
2 Чему равно основание	степени	в записи 210 ? .
в ) 390 625 в виде степени числа 5 . г ) 10 201 в виде	степени	числа 101 .
в ) 390 625 в виде	степени	числа 5 . г ) 10 201 в виде степени числа 101 .
16 807 в виде	степени	числа 7 .
а ) 19 683 в виде	степени	числа 3 . б )
8 На какую цифру оканчиваются : а )	степени	числа 10 ; б ) степени числа 5 ? .
7 Чему равно два в	степени	три , или два в кубе ? .
5 Чему равно два в	степени	два , или два в квадрате ? .
В дополнение к степеням числа 10 , у которых показатель	степени	больше 1 , договариваются , что .
3 Чему равен показатель	степени	в записи 38 ? .
4 Как через	степени	числа 10 записываются разрядные единицы ? .
Про число а4 можно также сказать , что оно получено возведением а в четвёртую	степень	.
Может быть , поэтому для выражения аn иногда слово «	степень	» опускают и говорят кратко « а в энной » .
5 В какую	степень	надо возвести число 9 , чтобы получить число 310 ? .
В какую	степень	нужно возвести число а , чтобы получить произведение чисел а2 и а3 ? .
Число а4 можно прочитать и как « а в степени 4 » , и как « а в четвёртой степени » , и как « четвёртая	степень	числа а » .
Запись аn читается как « а в степени эн » , или как « а в энной степени » , или как « энная	степень	числа а » .
2 Как умножить число на	степень	десяти ?
Иногда говорят , что число а возводится в энную	степень	.
Нулевая	степень	числа 10 .
Произведение n одинаковых сомножителей , равных числу а , называется	степенью	числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
1 Какое выражение называется пятой	степенью	числа а ? .
2.2 Какие из указанных чисел являются	степенью	одного из чисел ? .
2.3 Какие из указанных чисел являются	степенью	числа 2 ? .
Вместо числа 10 берётся число 4 , а множителями при	степенях	четвёрки берутся числа 0 , 1 , 2 , 3 .
Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги — длина его горизонтальных	сторон	, b шагов сетки — длина вертикальных сторон , S — его площадь в клеточках .
После этого из двух	сторон	АВ и AD берём AD .
Таким образом , справедливо следующее важное свойство	сторон	треугольника .
22 Одна из	сторон	треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
Сначала разделите одну из	сторон	на 5 равных частей .
Каждая из	сторон	составлена из попарно равных отрезков .
В правой части каждого из полученных неравенств записана длина одной из сторон , а в левой — сумма длин оставшихся	сторон	.
18 Длины	сторон	пятиугольника ( при выборе некоторой единицы измерения ) выражаются числами 134 , 167 , 96 , 104 , 119 .
4 Точки М и N — середины	сторон	AD и CD квадрата ABCD .
23 Одна из	сторон	треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
1.1 Сколько	сторон	у семиугольника ? .
В правой части каждого из полученных неравенств записана длина одной из	сторон	, а в левой — сумма длин оставшихся сторон .
1.4 Какая из	сторон	четырёхугольника ABCD равна отрезку АС ? .
4 Сколько	сторон	имеет шестиугольник ? .
Точно так же в этом прямоугольнике противоположны и вершины В и D. выберем одну из вершин прямоугольника , например , В. Затем из двух	сторон	ВА и ВС с общей вершиной В выберем одну , например , ВА .
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков (	сторон	многоугольника ) .
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных	сторон	.
15 Существует ли треугольник , длины	сторон	которого равны 2 см , 3 см и 8 см ? .
Найдите число его	сторон	и число его вершин .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются продолжениями	сторон	другого .
Так как равенство	сторон	четырёхугольника MNKL уже установлено , то этот четырёхугольник и в самом деле квадрат .
1.3 Чему равен периметр четырёхугольника , длины	сторон	которого равны 21 мм , 27 мм , 33 мм , 39 мм ? .
сумма двух	сторон	треугольника больше третьей стороны .
23 Найдите периметр прямоугольника , одна из	сторон	которого равна см , а другая сторона на см больше .
Этот же прямоугольник можно обозначить как BCDA или как ADCB — всё зависит от того , с какой вершины и в каком направлении начинаем обход	сторон	прямоугольника .
Наконец , из двух	сторон	CD и СВ берём СВ .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух	сторон	; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
Далее из двух	сторон	DA и DC берём DC .
Обозначим длины	сторон	прямоугольника ABCD через а и b.
При вычислении по этой формуле длины	сторон	прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения .
2 ) каждая вершина является общей точкой только для двух	сторон	.
1.2 Вычисление	сторон	прямоугольного треугольника .
12 Сколько общих точек со сторонами треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из	сторон	треугольника ? .
1.2 Какая из	сторон	четырёхугольника ABCD равна отрезку ΜΝ ? .
Пусть а шагов сетки клетчатой бумаги — длина его горизонтальных сторон , b шагов сетки — длина вертикальных	сторон	, S — его площадь в клеточках .
Сумма длин двух любых	сторон	треугольника больше длины его третьей стороны .
Записав в перечисленном порядке обозначения выбранных	сторон	, получим ВА , AD , DC , СВ .
Найдём сумму длин всех	сторон	10 ( см ) .
25 Одна сторона прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины	сторон	прямоугольника .
2.3 Длины	сторон	треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
22 На сколько равных квадратов можно разрезать прямоугольник , нарисованный на клетчатой бумаге , одна из	сторон	которого содержит 10 шагов сетки , а другая — 30 шагов , если резать можно только по линиям сетки ? .
8 Укажите все пары противоположных	сторон	квадрата ABCD .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных	сторон	.
35 Известно , что периметр прямоугольника равен 7834 мм , одна из	сторон	меньше другой на 163 мм .
Периметром многоугольника называется сумма длин всех его	сторон	.
2.3 Изображён треугольник , не имеющий двух равных	сторон	? .
Что вы можете сказать о равенстве длин двух противоположных	сторон	прямоугольника ? .
Мы научились вычислять площади прямоугольников и квадратов , когда известны длины	сторон	.
34 Найдите периметр прямоугольника , если одна из его	сторон	равна 365 мм , а другая на 77 мм меньше .
5 Сколько	сторон	имеет стоугольник ? .
12 Найдите число	сторон	и число вершин многоугольника .
Проведём разрезы через середины некоторых	сторон	.
Найдите длины	сторон	прямоугольника .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а	сторона	, противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
9 Пусть шаг сетки клетчатой бумаги (	сторона	каждого квадрата ) равен 5 мм .
Для третьей степени числа а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём куба ,	сторона	которого равна а , выражается числом а3 .
каждая	сторона	содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
12 Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника , если одна его	сторона	увеличилась в 2,1 раза , а вторая — в 3,65 раза ? .
25 Одна	сторона	прямоугольника в 3 раза длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины сторон прямоугольника .
10 Пусть шаг сетки клетчатой бумаги (	сторона	каждого квадрата ) равен 5 мм .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая	сторона	содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
Следовательно ,	сторона	такого квадрата выражается числом .
20 Найдите периметр треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая	сторона	на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
7 На клетчатой бумаге квадрат ,	сторона	которого равна 12 клеткам , разделён на равные части вертикальными и горизонтальными линиями .
19 Найдите периметр четырёхугольника , если одна его	сторона	равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
19 Найдите периметр четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая	сторона	на 1,54 м меньше третьей .
Как на клетчатой бумаге изобразить прямоугольник , одна	сторона	которого равна 12 шагам сетки , а другая — в 4 раза короче ? .
24 Одна	сторона	прямоугольника на 12 см длиннее другой , а периметр прямоугольника равен 1 м .
4 Единицей измерения площади считается площадь квадрата ,	сторона	которого равна выбранной единице измерения длины .
20 Найдите периметр треугольника , если одна его	сторона	равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
Отметим три различные точки А , В и С. Соединим их отрезками по записи А→В→С→А→В→С→А. Получится треугольник АВС , каждая	сторона	которого проводилась дважды .
16 Что длиннее :	сторона	квадрата или его диагональ ?
23 Найдите периметр прямоугольника , одна из сторон которого равна см , а другая	сторона	на см больше .
Квадрат ,	сторона	которого равна выбранной единице измерения длины , называют эталоном .
отрезка , если считать , что	сторона	одной клеточки равна 3 см ? .
Чему равна площадь всех белых полей , если	сторона	одной клетки шахматной доски равна 3 см ? .
4 В прямоугольниках ABCD и MNKL	сторона	АВ равна стороне MN .
У них одна	сторона	общая , а вместе они образуют развернутый угол АОС .
6 Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги , у которого есть	сторона	больше 20 шагов сетки , а площадь меньше 1k2 .
20 Найдите периметр треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья	сторона	на 43 см больше первой .
1 ) каждая	сторона	содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
19 Найдите периметр квадрата ( при выборе некоторой единицы измерения ) ,	сторона	которого равна 12 .
Два угла называются смежными , если у них одна	сторона	общая , а две другие являются противоположными лучами одной прямой .
Заметим , что пятиугольник обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у четырёхугольников и треугольников . 1 ) каждая	сторона	содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
Заметим , что пятиугольник обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у четырёхугольников и треугольников . 1 ) каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим	сторонам	.
4 ) диагонали квадрата равны его	сторонам	.
каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим	сторонам	.
1 ) каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим	сторонам	.
Сторона квадрата равна четырём	сторонам	клеток .
К	сторонам	треугольника добавляют его внутренние точки .
3 ) из каждой вершины , двигаясь по	сторонам	, можно дойти до любой другой вершины .
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к	сторонам	плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского угла .
4 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум	сторонам	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
2 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум	сторонам	другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по	сторонам	, можно дойти до любой другой вершины .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим	сторонам	; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
2.1 При каких значениях длин трёх отрезков не существует треугольника с такими	сторонами	? .
Выберем на плоскости несколько точек , назовём их вершинами , а некоторые из отрезков , соединяющих вершины , назовём	сторонами	.
Угол в многоугольнике связан с вершиной и двумя выходящими из неё	сторонами	, которые иногда называют сходственными .
11 Найдите площадь прямоугольника со	сторонами	а и b , если .
Квадрат со стороной а — это прямоугольник со	сторонами	а и а .
1.1 Чему равен периметр треугольника , который равен треугольнику со	сторонами	5 см , 6 см и 7 см ? .
Углы какой величины , образованные	сторонами	угольников , можно найти ? .
4 Прямоугольник со	сторонами	2 см и 4 см разделен диагоналями на четыре треугольника .
Чему равна площадь фигуры , которую можно разрезать на два прямоугольника со	сторонами	5 см , 6 см и со сторонами 7 см , 8 см соответственно ? .
9 Нарисуйте треугольник с равными	сторонами	.
Чему равна площадь фигуры , которую можно разрезать на два прямоугольника со сторонами 5 см , 6 см и со	сторонами	7 см , 8 см соответственно ? .
Какие из указанных отрезков не являются	сторонами	прямоугольника ? .
Почему не существует треугольника со	сторонами	длиной 1 км , 2 км и 3 км ? .
8 Почему прямоугольники ABCD со сторонами и MNKL со	сторонами	и равносоставлены ? .
12 Сколько общих точек со	сторонами	треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
8 Почему прямоугольники ABCD со	сторонами	и MNKL со сторонами и равносоставлены ? .
Иногда треугольник рассматривают вместе с теми точками , которые ограничены его	сторонами	.
На основании этого рассуждения сформулируем следующее правило : площадь прямоугольника со	сторонами	а и b вычисляется по формуле .
Указанные точки называют вершинами треугольника , а соединяющие их отрезки —	сторонами	треугольника .
Если считать , что в одном кубическом сантиметре может уместиться около пятидесяти зёрен , то для такого количества зерна потребуется башня высотой от Земли до Солнца , в основании которой квадрат со	сторонами	около полутора метров .
7 Разрежьте прямоугольник со	сторонами	4 см и 9 см на две части , приложив которые друг к другу можно получить квадрат .
Как показать , что на клетчатой бумаге любые две клеточки с одинаковыми	сторонами	равны ? .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со	сторонами	2 см и 3 см .
Точка О называется вершиной угла , а лучи ОА и ОВ называются его	сторонами	.
2.4 Какие из указанных значений являются значениями с избытком для площади прямоугольника со	сторонами	45 мм и 5 см ? .
2.3 Какие из пар отрезков являются соседними	сторонами	шестиугольника ? .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со	сторонами	, равными катетам .
Прямоугольник можно вписать в прямоугольник со	сторонами	, идущими по линиям сетки .
14 Может ли прямая иметь общие точки со всеми	сторонами	: а ) треугольника ; б ) четырёхугольника ? .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие вершины , называют	сторонами	треугольника .
11 Изобразите многоугольник с десятью	сторонами	.
1.3 Чему равна площадь прямоугольника со	сторонами	.
Общий конец этих отрезков называют вершиной угла , а сами отрезки называют	сторонами	угла .
Бумажный цилиндр можно склеить из двух кругов радиуса R и прямоугольника со	сторонами	.
15 Треугольник АБС сложен из четырёх одинаковых треугольников с равными	сторонами	.
1 Вычислите площади прямоугольников со	сторонами	.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и с равными	сторонами	АВ и ВС .
а ) Как диагональ квадрата со стороной см ; б ) как диагональ прямоугольника со	сторонами	1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
Сколько углов образуют диагонали квадрата с его	сторонами	? .
Это площади квадратов со	сторонами	соответственно в 1 мм , 1 см , 1 дм , 1 м , 1 км .
1 Покажите , что равносоставлены прямоугольники ABCD со	сторонами	|АВ| = 6 см , |ВС| = 10 см и MNKL со сторонами |MN| = 4 см .
1 Покажите , что равносоставлены прямоугольники ABCD со сторонами |АВ| = 6 см , |ВС| = 10 см и MNKL со	сторонами	|MN| = 4 см .
1.1 Чему равна площадь прямоугольника со	сторонами	2 м и 4 дм ? .
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный треугольник , а параллелограмм можно вписать в прямоугольник со	сторонами	, идущими по линиям сетки .
10 Изобразите многоугольник с шестью	сторонами	.
Начнём с рассказа о простейших геометрических фигурах и их элементах — вершинах ,	сторонах	и углах .
10 На	сторонах	квадрата ABCD точки М , N , К , L. Покажите , что отрезки ML и KN равны .
Точки М , N , К , L лежат на	сторонах	квадрата ABCD .
4 На	сторонах	АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной точке М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с вершиной квадрата .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают вершину и две точки на его	сторонах	, записывая вершину посередине .
Построим квадраты на всех его	сторонах	.
Отметьте по одной точке на его	сторонах	.
4 В прямоугольниках ABCD и MNKL сторона АВ равна	стороне	MN .
12 Пол комнаты шириной 3 м и длиной 6 м нужно покрыть квадратными плитками со	стороной	в 30 см. Сколько таких плиток потребуется для покрытия всего пола ? .
26 На клетчатой бумаге в квадрате со	стороной	в 101 шаг сетки нарисован большой многоугольник по такому же принципу , по какому нарисован многоугольник внутри квадрата со стороной в 7 шагов .
2.1 На клетчатой бумаге со	стороной	клеточек в см рассматриваются прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки и катетами , расположенными на линиях сетки .
2 Квадрат со	стороной	4 см разрезали на два равных треугольника .
1.2 В прямоугольнике ABCD отрезок АС образует со	стороной	AD угол в 32 ° .
1.2 Чему равна площадь квадрата со	стороной	.
Чему равна диагональ квадрата со	стороной	см ? .
2 Что называется	стороной	угла ? .
1.4 Чему равна площадь квадрата со	стороной	.
Пусть имеется квадрат ABCD со	стороной	5 см. Как пояснить , что длина отрезка АС меньше 10 см ? .
При этом копия каждого элемента ( вершины , стороны или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной ,	стороной	или углом ) в треугольнике MNK .
Каждый из них можно разрезать на квадратиков со	стороной	1 мм .
1.3 В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует угол в 25 ° со	стороной	CD .
Какой угол образует диагональ АС со	стороной	СВ ? .
Например , в старших классах вы узнаете , что длину диагонали квадрата со	стороной	в 1 метр нельзя выразить рациональным числом метров .
2.3 Какие из указанных значений являются значениями с недостатком для площади квадрата со	стороной	12 см ? .
5 Найдите такую дробь со знаменателем 7 , чтобы квадрат со	стороной	, равной значению этой дроби в метрах , имел площадь , самую близкую к 2 м2 .
Площадь квадрата со	стороной	а выражается числом .
26 На клетчатой бумаге в квадрате со стороной в 101 шаг сетки нарисован большой многоугольник по такому же принципу , по какому нарисован многоугольник внутри квадрата со	стороной	в 7 шагов .
Для значений с недостатком берём содержащийся внутри треугольника квадрат со	стороной	в 2 шага сетки .
Разделим каждую сторону квадрата со	стороной	1 см и площадью 1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведём прямые .
Какую площадь имеет квадрат со	стороной	130 м ? .
Для значений площади с избытком сначала берём содержащую треугольник фигуру из трёх квадратов со	стороной	в 2 шага сетки .
Опять добавим к новой фигуре восемь квадратов со	стороной	шага .
Перевернём копию обратной	стороной	и снова наложим на основной чертеж .
Значит , площадь квадрата со	стороной	а вычисляется по формуле .
Добавим к новой фигуре ещё четыре квадрата со	стороной	шага .
Удалим из неё два квадрата со	стороной	в один шаг .
Квадрат со	стороной	а — это прямоугольник со сторонами а и а .
Добавим к нему два квадрата со	стороной	в один шаг Площадь этой фигуры равняется 6k2 .
1.3 Чему равна площадь квадрата со	стороной	8 см ? .
Площадь квадрата со	стороной	, равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Удалим , наконец , из новой фигуры восемь квадратов со	стороной	шага .
Удалим из новой фигуры ещё четыре квадрата со	стороной	шага .
27 Может ли внутри квадрата со	стороной	в 1 м уместиться простая ломаная длиной ? .
Поэтому рассмотрим уменьшенную « сетку » из квадратов со	стороной	в шага сетки и площадью в k2 .
а ) Как диагональ квадрата со	стороной	см ; б ) как диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см ; в ) как диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см .
2.4 Квадрат со	стороной	8 см разделили на две части , причём площадь одной из них в 2 раза больше площади другой .
Про угол CAD , как угол между диагональю квадрата и его	стороной	, уже известно , что .
1.1 Чему равна площадь квадрата со	стороной	, равной гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 7 см ? .
3 Вычислите площади квадратов со	стороной	.
Разность между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению площади треугольника , измеренной в квадратиках со	стороной	k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
Точно так же , если у квадрата площади S разбить каждую	сторону	на n равных частей , то площадь каждого меньшего квадрата будет равна Это используют для выражения мелких единиц измерения площади через крупные .
5 Как изменится площадь прямоугольника , если одну его	сторону	увеличить в 6,25 раза , а вторую уменьшить в 4 раза ? .
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите третью	сторону	треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
Разделим каждую его	сторону	на 5 равных частей и проведём отрезки .
Два квадрата ABCD и CDEF имеют общую	сторону	CD , точка М — середина стороны CD .
Выберем на прямой один из лучей с началом в точке О , направленный в	сторону	стрелки .
Обозначим неизвестную	сторону	квадрата через х ( см ) .
Иногда ставится обратная задача : зная площадь квадрата , нужно найти его	сторону	.
Разделим каждую	сторону	квадрата со стороной 1 см и площадью 1 см2 на 10 равных частей по 1 мм и проведём прямые .
Луч этой числовой прямой от нуля в	сторону	стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
Его соседние углы , то есть углы , имеющие общую	сторону	, могут быть и не одинаковыми .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите третью	сторону	треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
Какую	сторону	может иметь квадрат , площадь которого с точностью до одной сотки равна 50 га ? .
Для этого пятиугольника также определяются соседние вершины , соседние	стороны	.
Два угла называются вертикальными , если	стороны	одного из них являются продолжениями сторон другого .
3 ) если две	стороны	одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Найдите	стороны	прямоугольника .
Площадь квадрата зависит от его стороны : по длине	стороны	квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
Может ли пятиугольник иметь четыре	стороны	? .
Два квадрата ABCD и CDEF имеют общую сторону CD , точка М — середина	стороны	CD .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA —	стороны	этого прямоугольника .
С левой	стороны	в каждом столбце после разрядной единицы получается сумма цифр , равная 9 , до того момента , пока не доберемся до самого правого столбца единиц .
2 Что такое вершины и	стороны	треугольника ? .
Пусть к — это « шаг » сетки на клетчатой бумаге , то есть длина	стороны	одной клетки .
Точка К — середина	стороны	АВ , точка L на диагонали АС расположена так , что AL 3LC .
4 ) если две	стороны	одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Площадь квадрата зависит от его	стороны	: по длине стороны квадрата можно найти его площадь в соответствующих единицах измерения .
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины его третьей	стороны	.
Например , существует прямоугольник , две	стороны	которого по одному миллиметру , а две другие — по одному метру .
Отрезки АВ , ВС , АС —	стороны	этого треугольника .
17 Может ли диагональ ромба быть короче его	стороны	? .
Как проверить , что соседние	стороны	квадрата равны ? .
Как убедиться , что в треугольнике АВС все	стороны	тоже равны между собой ? .
8 Существует ли прямоугольный треугольник , все	стороны	которого равны ? .
6 Укажите	стороны	прямоугольника с площадью 1 м2 , внутри которого нельзя поместить квадрат площадью 1 см2 .
22 Квадрат и ромб имеют одинаковые	стороны	.
3 Что такое	стороны	треугольника , четырёхугольника , пятиугольника ? .
Как и у прямоугольника , у каждого четырёхугольника определяются соседние и противоположные вершины , соседние и противоположные	стороны	.
25 Допустим , что вершины квадрата — шарниры , а	стороны	— палочки .
Понятно , что у равных треугольников равны соответственные	стороны	и соответственные углы .
Примерами отрезков могут служить	стороны	квадрата , треугольника и любого многоугольника .
Соответственными являются	стороны	АВ и NK , АС и NM , ВС и КМ , а также углы АВС и NKM , ВСА и KMN , САВ и MNK .
При этом копия каждого элемента ( вершины ,	стороны	или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в треугольнике MNK .
Каковы бы ни были два отрезка , существует прямоугольник ,	стороны	которого попарно равны этим отрезкам .
29 Вырежьте из бумаги два равных треугольника , у каждого из которых	стороны	различны .
Сколько различных многоугольников можно из них сложить , целиком совмещая	стороны	? .
7 Какие	стороны	многоугольника называются соседними или смежными ? .
6 С помощью калькулятора найдите и запишите приближённое значение длины	стороны	квадрата , площадь которого равна .
Каким выражением можно задать зависимость площади квадрата от его	стороны	? .
3 Чему равна длина	стороны	квадрата , площадь которого составляет .
Какие многоугольники можно сложить из них , совмещая целиком некоторые	стороны	этих ромбов ? .
15 Может ли прямая пересечь все	стороны	треугольника в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
Проведённые отрезки АВ , ВС , CD , DA —	стороны	этого четырёхугольника .
16 Может ли прямая пересечь все	стороны	четырёхугольника в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
2 Какова длина	стороны	квадрата , если его площадь равна .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине А. Его	стороны	носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
С другой	стороны	, из равенства длин двух отрезков можно делать вывод о том , что эти отрезки равны , то есть существует перемещение , при котором копия одного отрезка совпадает с другим отрезком .
Например , если взять квадрат , то все его стороны имеют равную длину , потому что все	стороны	квадрата равны между собой .
Например , если взять квадрат , то все его	стороны	имеют равную длину , потому что все стороны квадрата равны между собой .
Какие многоугольники можно сложить из них , совмещая целиком некоторые	стороны	этих прямоугольников ? .
Угол ,	стороны	которого не совпадают , имеет градусную меру больше 0 ° .
Будем искать длину а его	стороны	в виде десятичной дроби .
Прямой угол образуют любые две соседние	стороны	квадрата или прямоугольника .
Прямоугольник — это такой четырёхугольник , у которого противоположные	стороны	попарно равны , а все углы прямые .
Какие из указанных значений не могут быть длиной	стороны	AD ? .
Квадрат — это четырёхугольник , у которого все	стороны	равны и все углы прямые .
Допустим , что мы измерили все его	стороны	и получили : |АВ| = 1 см , |ВС| = 2 см , |CD| = 3 см , |DA| = 4 см .
2.3 Длины сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей	стороны	? .
Несоседние	стороны	четырёхугольника называют противоположными .
Соседние стороны четырёхугольника , то есть	стороны	, имеющие общую вершину , иногда называют смежными .
Соседние	стороны	четырёхугольника , то есть стороны , имеющие общую вершину , иногда называют смежными .
19 Найдите десятичные приближения	стороны	квадрата площади 3 см2 : .
Он обладает свойством : у него несоседние , то есть не имеющие общих точек ,	стороны	всегда одинаковы .
Когда соседние	стороны	прямоугольника одинаковые , то получается квадрат .
11 В прямоугольнике ABCD точка М — середина	стороны	AD .
У него четыре одинаковых	стороны	и четыре одинаковых угла .
Его соседние стороны , то есть	стороны	, имеющие общую вершину , могут быть и не одинаковыми .
Какие многоугольники можно из них сложить , совмещая целиком некоторые	стороны	этих треугольников ? .
Такую зависимость для начальных натуральных значений	стороны	квадрата можно оформить .
Катеты АВ и CD равны , как противолежащие	стороны	прямоугольника , а катет ВС у них общий .
С другой	стороны	, у нас может не оказаться инструментов , позволяющих точно измерить какую - нибудь величину .
У них углы АВС и ADC — прямые , а катеты АВ и CD , AD и ВС попарно равны , как противолежащие	стороны	прямоугольника .
Иногда	стороны	. заметно расходятся , иногда мало расходятся , при этом получаются разные по размеру углы .
Указать точное значение	стороны	а в виде десятичной или обыкновенной дроби в данном случае невозможно .
Все	стороны	четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
Дело в том , что точное значение	стороны	а равно см , а — это иррациональное число .
Сейчас важно понять , что соседние	стороны	многоугольника могут выходить из соответствующей вершины по - разному .
Угла	стороны	.
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD —	стороны	пятиугольника .
Треугольника	стороны	.
17 Изображён треугольник , имеющий одинаковые	стороны	.
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через вершину угла так , чтобы его	стороны	АВ и ВС совместились .
сумма двух сторон треугольника больше третьей	стороны	.
Он имеет четыре одинаковых	стороны	.
Его соседние	стороны	, то есть стороны , имеющие общую вершину , могут быть и не одинаковыми .
Можно похожим образом получить	стоугольник	и др.
5 Сколько сторон имеет	стоугольник	? .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения длины ,	строили	прямой угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
В каких местах нужно	строить	мосты , если пункты А и В разделяют две реки ? .
2.3 Какие из указанных	сумм	больше 3 ? .
2.4 Какие из приведённых	сумм	равны 452 ? .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как k , так как длина всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из	сумм	в скобках состоит из k слагаемых .
2.4 Каким из указанных	сумм	равна сумма .
2.3 Какие из указанных	сумм	равны 157 ? .
Представление дробей в виде	сумм	простейших дробей позволяет складывать дроби с равными знаменателями .
2.1 Какие из указанных	сумм	равны 2,1 ? .
2.3 Какие из указанных	сумм	равны произведению ? .
Как вычитать дроби при условии , что у них одинаковые знаменатели , можно также понять , исходя из их представления в виде	сумм	простейших дробей .
6 Укажите большую из	сумм	.
Выражения , записанные в виде	сумм	произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней числа 4 , мы заменили на десятичную запись .
9 Следующие числа представьте в виде	сумм	при помощи разрядных единиц и цифр .
4 Найдите суммы двух указанных	сумм	.
Представление натуральных чисел в виде	сумм	.
2.2 Каким из приведённых	сумм	равно произведение ? .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной , то	сумма	длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так :	сумма	двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме числителей слагаемых .
8 Нарисуйте на клетчатой бумаге два угла ,	сумма	которых равна 45 ° .
11 Известно , что	сумма	углов треугольника равна 180 ° , а один из его углов равен разности двух других .
С левой стороны в каждом столбце после разрядной единицы получается	сумма	цифр , равная 9 , до того момента , пока не доберемся до самого правого столбца единиц .
Так как длина моста в любом месте реки одинакова , то чем меньше будет	сумма	, тем меньше весь путь от А до В .
Тогда и вся	сумма	тоже делится на 2 .
В каких случаях	сумма	двух дробей равна сумме их целых частей ? .
Часть величины — это тоже величина , так же как и	сумма	нескольких частей — это тоже некоторая величина .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они делятся на число т , то их	сумма	делится на m .
Поэтому	сумма	двух , трёх и любого другого количества таких частей также может быть выражена натуральным числом .
В каком случае	сумма	двузначного и трёхзначного чисел является четырёхзначным числом ? .
6 Как изменится	сумма	, если одно слагаемое увеличить .
— и теперь , не меняя положения линеек относительно друг друга , смотрим отметку на верхней линейке напротив того деления нижней , которое соответствует второму слагаемому , — это и есть искомая	сумма	.
1.3 Чему равна	сумма	.
Это свойство можно сформулировать так :	сумма	углов прямоугольного треугольника , прилежащих к гипотенузе , равна 90 ° .
Тогда	сумма	окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству : сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 180 ° .
Тогда сумма окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству :	сумма	всех углов прямоугольного треугольника равна 180 ° .
Свойство числа 0 при сложении :	сумма	числа а и числа 0 всегда равна числу а .
1.2 Чему равна	сумма	всех углов прямоугольного треугольника ? .
Эта	сумма	равна 36 и совпадает с произведением .
В правой части каждого из полученных неравенств записана длина одной из сторон , а в левой —	сумма	длин оставшихся сторон .
Если прибавить к b какое - нибудь натуральное число n , то	сумма	окажется больше b и , следовательно , больше а .
4 Чему равна	сумма	всех углов прямоугольного треугольника ? .
Переместительный закон сложения : от перестановки слагаемых	сумма	чисел не изменяется .
3 Чему равна	сумма	прилежащих к гипотенузе углов прямоугольного треугольника ? .
27 Как изменится	сумма	трёх слагаемых , если одно слагаемое увеличить на , другое — на , а третье — на ? .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда	сумма	цифр десятичной записи числа делится на 9 .
В нём	сумма	цифр равна 10 .
Чему равна	сумма	? .
7 Покажите , что	сумма	углов АОВ и АОС равна 45 ° .
30 На сколько	сумма	чисел и больше разности этих же чисел ? .
	Сумма	двух сторон треугольника больше третьей стороны .
Если от точки вправо отложим ещё один отрезок длиной то	сумма	длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
В результате	сумма	длин двух , трёх и любого другого количества таких дощечек также может быть выражена натуральным числом дециметров .
Потому что	сумма	площадей четырёх прямоугольников меньше площади пятого .
Чему равна	сумма	чисел ( 100110)2 и ( 11010)2 , записанных в двоичной системе ? .
1.2 Чему равна	сумма	.
1.1 Чему равна	сумма	.
Для числа — выполняются равенства , где	сумма	содержит n слагаемых .
Так как по условию	сумма	равна 234 , то получим уравнение .
Если от точки — вправо отложим еще один отрезок длиной то	сумма	длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
По основному свойству градусной меры	сумма	мер этих углов равна градусной мере развёрнутого угла KBL , то есть .
Чему равна	сумма	чисел ( 123)4 и ( 321)4 , записанных в системе счисления с основанием 4 ? .
Чему равна	сумма	градусных мер углов четырёхугольника KMNL ? .
7 Какое число надо вычесть из 543 , чтобы получилась	сумма	чисел 98 и 325 ? .
13 Как изменится	сумма	, если одно слагаемое уменьшить на 7,5 , а другое — на 5,4 ? .
Чему равна	сумма	чисел 53,68 и 12,9 ? .
11 Как изменится	сумма	, если одно слагаемое увеличить на 7,5 , а другое — на 5,4 ? .
длина окружности радиуса 1 см . 2 )	сумма	длин двух окружностей радиуса 0,5 см . 3 ) длина окружности радиуса 0,5 см . 4 ) длина половины окружности радиуса 1 см . 2 Прямоугольный параллелепипед и его объём .
Периметром многоугольника называется	сумма	длин всех его сторон .
Чему равна	сумма	углов MKL и KML ? .
12 Как определяется	сумма	натурального числа и единицы ? .
Чему равна	сумма	углов ВАС и АВС ? .
Иными словами переместительный закон можно записать так : от перестановки слагаемых	сумма	не меняется .
2.4 Каким из указанных сумм равна	сумма	.
Пусть	сумма	равна 234 , а первое слагаемое равно 95 .
Как показать , что	сумма	двух нечётных чисел всегда чётна ? .
5 Какое число надо прибавить к 321 , чтобы получилась	сумма	чисел 225 и 168 ? .
Числа 99,9 делятся на 9 , поэтому вся	сумма	делится на 9 .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников плюс	сумма	площадей четырёх прямоугольников .
5 Как показать , что	сумма	трёх нечётных чисел нечётна ? .
У числа 873	сумма	цифр делится на 9 .
Иногда	сумма	двух таких чисел меньше десяти .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда	сумма	цифр десятичной записи числа делится на 3 .
Часто возникают задачи , когда известны	сумма	двух слагаемых и одно из них , а другое слагаемое требуется найти .
В этом случае при записи сложения « столбиком » слагаемые 3 и 5 записываются в одном столбце , а их	сумма	8 записывается под чертой в том же столбце одной цифрой .
Иногда	сумма	двух однозначных чисел либо больше , либо равна десяти .
14 Укажите , какие разрядные единицы использованы в следующих	суммах	, запишите и назовите результаты сложения .
20 Проверьте , что слагаемые в	суммах	делятся на 25 : .
В полученной	сумме	ставят запятую в том же столбце , где она стояла у каждого из слагаемых .
Каждая разрядная единица более высокого разряда равна	сумме	10 разрядных единиц предыдущего разряда .
Площадь S четырёхугольника ABCD равна	сумме	найденных площадей треугольников , поэтому .
Поэтому площадь всей фигуры равна	сумме	из 20 единиц измерения , то есть 20 k2 .
Поэтому площадь данной фигуры равна	сумме	площадей четырёх треугольников плюс сумма площадей четырёх прямоугольников .
Заметим , что число десятичных знаков сомножителей в	сумме	также равно пяти .
Поэтому деление закончено и частное равно	сумме	чисел 0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под делителем 125 , то есть .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и третьего равно	сумме	произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Запись 820 627 означает , что рассматривается число , равное	сумме	числа восемьсот двадцать тысяч и числа шестьсот двадцать семь .
2.3 Какие из указанных дробей не равны	сумме	.
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным	сумме	числителей слагаемых .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного треугольника , равна	сумме	площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Иногда это громоздкое утверждение записывается кратко : квадрат гипотенузы равен	сумме	квадратов катетов .
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его площадь S4 в	сумме	с площадями треугольников ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
В каких случаях сумма двух дробей равна	сумме	их целых частей ? .
3 К	сумме	чисел прибавьте сумму чисел .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно	сумме	чисел десятичных знаков сомножителей .
Запись 213 820 627 означает , что рассматривается число , равное	сумме	двухсот тринадцати миллионов и восьмисот двадцати тысяч шестисот двадцати семи .
3 Если какая - нибудь фигура разрезана на несколько частей , то площадь всей фигуры равна	сумме	площадей составляющих её частей .
Таким образом , можно сказать , что число 123 равно	сумме	трёх разрядных единиц вида 1 , двух разрядных единиц вида 10 и одной разрядной единицы вида 100 .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть	сумме	шести одинаковых чисел , равных , так как .
Углы BMN , NML , LMA в	сумме	составляют развёрнутый угол , а значит .
Градусная мера суммы углов равна	сумме	градусных мер этих углов .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть	сумме	четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к	сумме	двух чисел прибавить третье , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего , и наоборот .
Так как в	сумме	эти углы составляют прямой угол ВАD , то каждый из них равен 45 ° .
Иногда в этом случае говорят , что угол АВС равен	сумме	углов ABD и DBC .
Затем от точки 2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна	сумме	длин пяти отрезков длиной .
Общее число книг равно	сумме	найденных выражений , то есть .
Почему длина гипотенузы прямоугольного треугольника не может равняться	сумме	длин его катетов ? .
2.4 Сколько раз в календаре за июль какого - нибудь года могут встречаться в	сумме	дни недели « среда » и « воскресенье » ? .
1 В каких случаях говорят , что плоский угол АВС равен	сумме	плоских углов ABD и DBC ? .
Добавим к	сумме	этих углов ещё и третий угол MNK , равный 90 ° .
Но ∠1 и ∠3 в	сумме	дают прямой угол BAD , поэтому .
14 Три угла из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , в	сумме	составляют 240 ° .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен	сумме	острых углов того же треугольника .
9 Пятнадцать одинаковых углов в	сумме	составляют развёрнутый угол .
Тогда длина отрезка АВ равна	сумме	длин отрезков АС и СВ .
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен	сумме	острых углов прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен	сумме	плоских углов АВС и DBC .
произведение первого числа на сумму второго и третьего равно	сумме	произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
2.2 Какие из указанных выражений равны	сумме	? .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую точку , то его длина равна	сумме	длин составляющих его отрезков .
8 Пять одинаковых углов в	сумме	составляют развёрнутый угол .
Что получится , если к	сумме	чисел а и b прибавить их разность ? .
Угол KLD равен	сумме	острых углов прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
Длина ломаной равна	сумме	длин всех составляющих её звеньев .
7 Три одинаковых угла в	сумме	составляют развёрнутый угол .
Какие из приведённых значений не могут быть	суммой	величин углов АОВ и COD ? .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной	суммой	, то получим такое правило : уменьшаемое отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с	суммой	второго и третьего .
Иными словами , умножить а на натуральное число b — значит найти	сумму	b одинаковых слагаемых , равных а .
8 Найдите	сумму	наибольшего четырёхзначного и наименьшего пятизначного чисел .
Если в примере подсчитать	сумму	мест иначе , то есть сначала взять 9 рядов , а затем сложить их четыре раза , то в результате также получится 36 мест , то есть выполняется цепочка равенств .
Если	сумму	трёх равных чисел записать в виде произведения , то получим .
Как сокращённо записать	сумму	? .
Для этого возьмём	сумму	и прибавим к ней единицу .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел прибавить третье , можно к первому числу прибавить	сумму	второго и третьего , и наоборот .
Его можно записать как	сумму	.
Напомним , что на числовой прямой можно наглядно изобразить	сумму	натуральных чисел .
Как вычислить « столбиком »	сумму	.
Найдите их	сумму	.
Например ,	сумму	можно представить как Далее , а поэтому .
9 Найдите	сумму	наибольшего пятизначного и наименьшего четырёхзначного чисел .
Напомним , что для натуральных чисел пик	сумму	к дробей мы обозначали через к или через , так что выполняются равенства .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить	сумму	любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
20 Найдите	сумму	всех чисел от 1 до 10 .
При помощи транспортира измерьте его углы , запишите результаты измерений и вычислите	сумму	градусных мер всех углов .
Найдём	сумму	длин всех сторон 10 ( см ) .
21 Найдите	сумму	всех чисел от 1 до 100 .
Обозначим второе слагаемое буквой х , тогда всю	сумму	можно записать в виде выражения .
Измерьте величину угла , величины углов и найдите	сумму	углов .
Если	сумму	двух равных чисел записать в виде произведения , то получим .
Вычислим	сумму	.
произведение первого числа на	сумму	второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Остаётся найти	сумму	чисел , записанных под чертой с учётом разрядов , и получится нужный результат .
Предположим , что мы уже научились складывать n с некоторым натуральным числом т , то есть умеем находить	сумму	.
Распределительный закон : произведение первого числа на	сумму	второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Найдём , например ,	сумму	чисел 22 и 75 .
Получена формула квадрата суммы , по которой	сумму	двух любых выражений а и b легко возводить в квадрат .
Как найти	сумму	длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда , зная его измерения ? .
К числу 1357 прибавьте	сумму	трёх чисел — 853 , 459 и 596 .
20 Умножьте	сумму	чисел на разность чисел .
4 Почему 5 % от некоторой суммы денег может составить	сумму	, которая больше 50 % от другой суммы денег ? .
3 К сумме чисел прибавьте	сумму	чисел .
Найдите	сумму	величин всех углов треугольника .
3 Как находить последние цифры	суммы	и произведения чисел в системе счисления с основанием 4 ? .
Например , число 123 представимо в виде	суммы	.
3 Для натуральных k и l найдите остатки при делении на 10	суммы	и произведения натуральных чисел вида .
Правила чтения двузначных натуральных чисел , больших двадцати , также станут понятны , если каждое такое число представить в виде	суммы	.
6 У Папы Карло было 840 000 сольдо , этой	суммы	он израсходовал на покупку часов .
При каких из приведённых значений n такие	суммы	нечётны ? .
1 Чему равна градусная мера	суммы	углов величиной 17 ° и 28 ° ? .
Для того чтобы ввести новые числа , будем рассматривать	суммы	равных частей единичного отрезка на числовой прямой .
22 С помощью двух линеек найдите	суммы	.
4 Запишите число в виде	суммы	целой части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
Таким образом , при действиях с дробями можно использовать формулу	суммы	двух дробей и формулу разности двух дробей .
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде	суммы	её целой и дробной части .
3 Может ли гипотенуза прямоугольного треугольника быть больше	суммы	его катетов ? .
Какой прирост образуется с	суммы	вклада в 300 000 рублей : а ) за 1 год ; б ) за 2 года ? .
Какую запись для	суммы	вы можете предложить ? .
23 Используя сочетательный закон , найдите	суммы	чисел .
9 Из	суммы	чисел и вычтите разность чисел .
17 Найдите	суммы	.
4 Почему 5 % от некоторой суммы денег может составить сумму , которая больше 50 % от другой	суммы	денег ? .
Правило чтения записи трёхзначных натуральных чисел нетрудно понять , если каждое такое число снова записать в виде	суммы	.
1 Как находить последнюю цифру	суммы	двух чисел ? .
Сложение дробей свелось к вычислению	суммы	натуральных чисел 5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
4 Почему 5 % от некоторой	суммы	денег может составить сумму , которая больше 50 % от другой суммы денег ? .
3 Как можно найти градусную меру	суммы	трёх углов ? .
2 Чему равна градусная мера	суммы	двух углов ? .
2.4 Рассматриваются	суммы	всех натуральных чисел от 1 до n включительно .
Таким образом , последняя цифра суммы чисел совпадает с последней цифрой	суммы	и равна 2 .
1 Найдите последнюю цифру	суммы	чисел .
То же самое верно для	суммы	трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они делятся на число т , то их сумма делится на m .
Получена формула квадрата	суммы	, по которой сумму двух любых выражений а и b легко возводить в квадрат .
При этом в десятичной записи	суммы	появляется 1 в разряде десятков .
Тогда цифра разряда единиц у	суммы	запишется под чертой в первой строке в столбце единиц , а цифра разряда десятков — под чертой во второй вспомогательной строке в столбце десятков .
17 Почему при записи	суммы	нескольких натуральных чисел можно не ставить скобки ? .
3.4 Пример на вычисление	суммы	углов треугольника .
17 Запишите число 2 в виде	суммы	простейших дробей со знаменателем 5 .
Его можно записать в виде	суммы	.
Как записать число 2009 в виде	суммы	произведений при помощи цифр и степеней числа 10 ? .
4 Найдите	суммы	двух указанных сумм .
1 Как записать произведение в виде	суммы	? .
Нахождение	суммы	двузначного и однозначного числа сводится к сложению однозначных чисел и десятков .
Это позволяет рассматривать	суммы	равных частей единицы измерения и также получать значения в виде дробных чисел вида .
Дальнейшее нахождение	суммы	сводится к сложению десятков .
Таким образом , последняя цифра	суммы	чисел совпадает с последней цифрой суммы и равна 2 .
Правила чтения двузначных натуральных чисел от одиннадцати до девятнадцати становятся понятными , если каждое такое число представить в виде	суммы	.
33 Что получится , если из	суммы	двух чисел а и b вычесть их разность ?
Действуя аналогично , по очереди определим	суммы	.
Рассмотрим сложение двузначных чисел на примере	суммы	.
3 Представим число 6318 в виде	суммы	двух слагаемых .
Найдите	суммы	.
Сочетательный закон сложения : при сложении	суммы	двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Градусная мера	суммы	углов равна сумме градусных мер этих углов .
Последняя цифра у суммы двух натуральных чисел та же , что и у	суммы	последних цифр этих чисел .
Например , число 407 представимо в виде	суммы	.
Таким образом , возникает правило : если из	суммы	двух чисел вычесть одно слагаемое , то получится второе .
Последняя цифра у	суммы	двух натуральных чисел та же , что и у суммы последних цифр этих чисел .
Эти выражения похожи на представление любого числа в виде	суммы	произведений при помощи цифр и степеней числа 10 .
Как представить развёрнутый угол в виде	суммы	двух равных углов ? .
Почему эти	суммы	делятся на 25 ? .
16 Проверьте , что каждое слагаемое и сами	суммы	делятся на 4 : .
Понятие	суммы	.
Как с помощью двух линеек находить приближённые значения с недостатком и с избытком для	суммы	двух трёхзначных чисел ? .
Запись десятичной дроби в виде	суммы	произведений цифр и разрядных единиц .
Поясним эти правила на примере	суммы	.
Объединив сферу и эту область , получаем шар того же радиуса и с тем же центром , что и	сфера	.
Глядя на мяч , можно получить представление о	сфере	.
Объединив	сферу	и эту область , получаем шар того же радиуса и с тем же центром , что и сфера .
Это расстояние называют радиусом	сферы	.
Сфера ограничивает область , то есть все те точки пространства , которые находятся внутри	сферы	.
Радиус	сферы	.
Все точки	сферы	удалены на одно и то же расстояние от её центра .
Центр	сферы	.
Угол в многоугольнике связан с вершиной и двумя выходящими из неё сторонами , которые иногда называют	сходственными	.
На основании этих равенств приведена	таблица умножения	однозначных чисел в четверичной системе счисления .
1.3 Дана	таблица умножения	числа 17 на числа .
7 Какова	таблица умножения	в системе счисления с основанием 4 ? .
По	таблице умножения	находим , что х 6 является корнем этого уравнения .
2.2 Какие из указанных чисел не встречаются в	таблице умножения	однозначных чисел ? .
11 Сколько различных значений записано в	таблице умножения	натуральных числе от 2 до 9 ? .
Руководствуясь общим правилом , нетрудно составить известную вам	таблицу умножения	однозначных чисел .
Видно , что здесь опять достаточно знать	таблицу умножения	однозначных чисел и правило умножения на 10 .
Вы знаете таблицу сложения , изучали	таблицу умножения	.
Обычно это вычисление делается « в уме » , так как для подсчёта каждого из произведений достаточно знать	таблицу умножения	однозначных чисел .
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя	таблицу умножения	однозначных чисел .
С помощью	таблицы умножения	однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные	таблицы умножения	и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
2.2 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении	таблицы умножения	однозначных чисел на 8 ? .
2.4 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении	таблицы умножения	однозначных чисел на 6 ? .
2.1 Какие из указанных чисел нужны при составлении	таблицы умножения	однозначных чисел на 4 ? .
2.3 Какие из указанных чисел нужны при составлении	таблицы умножения	однозначных чисел на 3 ? .
Умножение чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой	таблицы умножения	.
7 Свободно падающее	тело	пролетает 4,9 м в первую секунду после начала падения , в следующую — на 9,8 м больше , чем в первую секунду , а в третью секунду — на 9,8 м больше , чем во вторую .
Пифагора	теорема	.
Тем не менее эта	теорема	справедлива и для произвольного прямоугольного треугольника .
По	теореме	Пифагора , можно записать равенство .
Приходим к	теореме	Пифагора .
Вы познакомитесь с операцией извлечения квадратного корня и узнаете про знаменитую	теорему	Пифагора .
Как обосновать	теорему	Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см ? .
Мы установили	теорему	Пифагора в частном случае , когда катеты равны .
Треугольником называется геометрическая фигура , состоящая из трёх	точек	, не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
6 На отрезке АВ отмечены точки С и D так , что С лежит между А и D . а ) Какие лучи с началом в одной из	точек	А , В , С и D содержат отрезок CD ? .
27 Изобразите три круга так , чтобы каждые два из них имели общие точки , но все вместе они не имели бы общих	точек	.
1.2 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько имеется на луче АВ различных	точек	М ? .
Соединим отрезками каждую пару	точек	.
3.5 Равенство	точек	.
3.2 Характеристическое свойство	точек	отрезка .
Нужно взять лист бумаги с прямолинейной границей и так перегнуть лист , придерживая за одну из граничных	точек	, чтобы части границы совместились друг с другом .
13 Сколько	точек	может образоваться при пересечении : а ) двух прямых ; б ) трёх прямых ; в ) четырёх прямых ? .
11 Сколько общих	точек	с окружностью может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри круга ; б ) вне круга ; в ) на окружности ? .
25 Изобразите три круга так , чтобы никакие два из них не имели общих	точек	.
6 Что вы знаете о равенстве	точек	? .
Так понятие длины позволяет отличать точки отрезка от всех остальных	точек	.
12 Сколько общих	точек	со сторонами треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
б ) через каждые две из заданных пяти	точек
а ) через каждые две из заданных четырёх	точек	, если никакие три из них не лежат на одной прямой .
в ) никакие три из этих	точек	не лежат на одной прямой ? .
24 Изобразите три окружности так , чтобы никакие две из них не имели общих	точек	.
Когда - то натуральные числа изображались в виде зарубок ,	точек	, насечек на камнях , костях или деревянных брусках .
Какие из указанных	точек	лежат на луче АВ ? .
2.2 Изображены шесть	точек	.
три из этих	точек	лежат на одной прямой , а три оставшиеся — на другой .
1.1 На прямой а отмечена точка М. Сколько на этой прямой	точек	, которые находятся на расстоянии 5 см от точки М ?
Какие из указанных	точек	лежат на этой прямой ? .
а ) пять из этих	точек	расположены на одной прямой .
Какие из указанных	точек	лежат в одной полуплоскости с точкой С ? .
2 Сколько различных прямых можно провести через каждые две из выбранных шести	точек	, если .
Какие пары указанных	точек	лежат на одном луче этой прямой с началом D ? .
1.1 Изображён отрезок АВ и луч ΜΝ , на котором отмечено несколько	точек	.
Но фигура , составленная из трёх	точек	и соединяющих их отрезков , не является треугольником , когда все три точки оказываются лежащими на одном отрезке .
Через какие из указанных	точек	проходит окружность с центром О и радиусом ОЕ ? .
Всякий треугольник можно представить как фигуру , составленную из трёх	точек	и соединяющих их отрезков .
15 Найдите пример такого расположения четырёх	точек	на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
1.2 Какое наибольшее число отрезков можно получить , попарно соединяя пять различных	точек	? .
Он обладает свойством : у него несоседние , то есть не имеющие общих	точек	, стороны всегда одинаковы .
3 Отметьте на бумаге пять	точек	Е , F , G , Н , К так , чтобы они были последовательными вершинами пятиугольника .
10 Изображены 9	точек	.
Какая из	точек	лежит на отрезке с концами в остальных точках ? .
Какие из этих	точек	содержаться в плоском угле БАС , внутри которого находится точка М ? .
Равенство	точек	.
Изображены два луча АВ и АС и пять	точек	.
Фигура , полученная последовательным соединением	точек	М , N , К , L , М , не считается четырёхугольником , потому что несоседние отрезки ML и NК пересекаются .
Если	точек	десять , то полученную фигуры называют десятиугольником .
Выберем на плоскости несколько	точек	, назовём их вершинами , а некоторые из отрезков , соединяющих вершины , назовём сторонами .
Какие обозначения для	точек	деления отрезка [ 0 ; k ] на три равные части вы можете предложить ? .
Выберем на плоскости пять	точек	— D , Р , X , Z , U и соединим их отрезками .
18 Изобразите две окружности , не имеющие общих	точек	.
Известно , что если на плоскости попарно соединять 15 различных	точек	, то всего получится 105 различных отрезков .
Сколько всего отрезков можно получить , попарно соединяя 16 различных	точек	? .
34 Изобразите три окружности так , чтобы каждые две из них имели по две общих точки , а все три окружности общих	точек	не имели .
33 Изобразите три круга так , чтобы первый и второй имели общие точки , второй и третий имели общие точки , а первый и третий общих	точек	бы не имели .
32 Изобразите три круга так , чтобы все точки первого были бы точками второго и только часть	точек	второго круга входила в состав третьего .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих	точек	.
15 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих	точек	с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
Проведите три отрезка , соединяя попарно какие - то из этих	точек	.
Изображены отрезки AS и CD , не имеющие общих	точек	.
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих	точек	, чтобы получившиеся отрезки не имели ни одной общей точки .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих	точек	, чтобы получившиеся отрезки имели общую точку , которая не совпадает ни с одной из вершин .
14 Найдите пример такого расположения четырёх	точек	на листе бумаги , чтобы среди всех отрезков , соединяющих эти точки , была пара непересекающихся отрезков .
3 Заданы точки А , В , С , D и Е. Нарисуйте все отрезки , концами которых являются пары этих	точек	.
4 Отметьте сами на бумаге пять различных	точек	.
1.3 Расстояние между точками А и В равно 18 см. Сколько имеется на луче АВ различных	точек	М таких ? .
16 Разместите на плоскости пять	точек	— А , B , С , D и Е так , чтобы они были вершинами пятиугольника ABCDE .
Нарисуйте все отрезки , концами которых являются пары этих	точек	.
Переместить точку В и отметить точку С можно , и не задавая	точек	К и М. Видно , что неизвестную точку следует выбрать на отрезке АС .
22 Изобразите два круга , имеющие не менее трёх общих	точек	.
21 Изобразите два круга , не имеющие общих	точек	.
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько	точек	, изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
18 Сколько существует различных отрезков , концами которых являются 6	точек	, отмеченных на рис .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько	точек	, изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Сколько получится разных треугольников , если соединить отрезками всевозможные пары	точек	? .
Точка М лежит на прямой АС ,	точка	N — на прямой АВ .
1.4 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 ,	точка	А изображает число 281 .
точка N ; 2 )	точка	K ; 3 ) точка L ; 4 ) точка Р .
Про любую точку D прямой АВ говорят , что «	точка	D лежит на прямой АВ » .
1.1 На прямой а отмечена	точка	М. Сколько на этой прямой точек , которые находятся на расстоянии 5 см от точки М ?
2.4 Известно , что	точка	В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 7 см и 11 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
Укажите на числовой прямой отрезок , на котором лежит	точка	, изображающая число х .
2.1 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см ,	точка	А изображает число 81 .
Луч BD провели так , что	точка	D лежит внутри угла АВС и ∠DBC 45 ° .
Пусть М —	точка	пересечения этих отрезков .
1.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 ,	точка	А изображает число 17 .
Затем нарисуйте вторую окружность так , чтобы отмеченная	точка	была единственной общей точкой этих окружностей .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем	точка	А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
Но в таких случаях , чтобы не возникало недоразумений , нужно всегда специально оговаривать , какое направление считается положительным , какая	точка	является началом отсчёта и какая точка изображает единицу .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как	точка	В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
Но в таких случаях , чтобы не возникало недоразумений , нужно всегда специально оговаривать , какое направление считается положительным , какая точка является началом отсчёта и какая	точка	изображает единицу .
Переместим отрезок КВ вниз так , чтобы	точка	К попала в точку М .
На каком расстоянии от точки А расположена	точка	В , изображающая число 9 ? .
2.2 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см ,	точка	А изображает число 36 .
2.2 Известно , что	точка	В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 12 см и 15 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной отрезка АС ? .
1.4 На отрезке АВ выбрана	точка	С. Сколько среди лучей АВ , ВА , ВС , СВ , АС , СА различных фигур ? .
точка N ; 2 ) точка K ; 3 )	точка	L ; 4 ) точка Р .
2 На отрезке АС выбрана	точка	В так , что длина отрезка АВ равна 8 см , а длина отрезка ВС на 3 см меньше .
3 На отрезке АС выбрана	точка	В так , что длина отрезка АВ равна 15 см , а длина отрезка ВС на 6 см больше .
4 На отрезке АБ длиной 19 см выбрана	точка	С так , что длина отрезка АС на 3 см больше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
11 В прямоугольнике ABCD	точка	М — середина стороны AD .
При каких из указанных значений а и b	точка	А является серединой отрезка , изображающего числа а и b ? .
5 На отрезке АВ длиной 26 см выбрана	точка	С так , что длина отрезка АС на 8 см меньше длины отрезка ВС. Найдите длину АС .
Точно так же точка В не лежит на отрезке АС и или ;	точка	С не лежит на отрезке АВ , а поэтому .
6 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что	точка	В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка AD .
2.4 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см ,	точка	А изображает число 25 .
7 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что	точка	В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка CD .
2.3 Известно , что	точка	В не лежит на отрезке АС , а длины отрезков АВ и ВС равны 25 см и 14 мм .
2.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 27 ,	точка	В изображает число 59 .
8 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что	точка	Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АВ .
Какие из этих точек содержаться в плоском угле БАС , внутри которого находится	точка	М ? .
9 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что	точка	Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка BD .
7 На сколько частей	точка	прямой делит эту прямую ? .
Так как	точка	А не лежит на отрезке ВС , то по основному свойству длины .
10 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что	точка	Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка ВС .
11 На отрезке AD выбраны точки В и С так , что	точка	Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АО .
12 На отрезке AD выбраны точки Б и С так , что	точка	Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Справедливо следующее свойство прямой : любая	точка	прямой делит её на два луча с началом в этой точке .
точка N ; 2 ) точка K ; 3 ) точка L ; 4 )	точка	Р .
2.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см ,	точка	А изображает число 27 , точка В изображает число 59 .
Точно так же	точка	В не лежит на отрезке АС и или ; точка С не лежит на отрезке АВ , а поэтому .
	Точка	N ; 2 ) точка K ; 3 ) точка L ; 4 ) точка Р .
Может ли	точка	А лежать на отрезке ВС ? .
	Точка	А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных углов прямые ? .
Точка К — середина стороны АВ ,	точка	L на диагонали АС расположена так , что AL 3LC .
Два квадрата ABCD и CDEF имеют общую сторону CD ,	точка	М — середина стороны CD .
5 Возьмите любую точку А и нарисуйте три различных отрезка длиной 2 см каждый , одним из концов которых будет	точка	А. Можно ли нарисовать десять таких различных отрезков ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является	точка	, где число 3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 3 .
Экспериментальная проверка такого неравенства затруднительна , когда	точка	D находится очень близко к отрезку АВ .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало —	точка	В .
А совместится с точкой D ' , точка В совместится с точкой С ' ,	точка	С совместится с точкой В ' .
если для точки С выполняется равенство , то эта	точка	лежит на отрезке АВ .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 )	точка	D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных углов прямые ? .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 )	точка	С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных углов прямые ? .
точка А ; 2 )	точка	Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных углов прямые ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является	точка	, где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
А совместится с точкой D ' ,	точка	В совместится с точкой С ' , точка С совместится с точкой В ' .
При этом	точка	.
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является	точка	, где число 1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
При этом	точка	А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' ,	точка	В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
Если на отрезке PQ выбрана	точка	R , то можно рассматривать ещё и отрезки PR и RQ .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с точкой С ' ,	точка	С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
Совместим точки А и В с краем линейки так , чтобы	точка	А совпала с нулевой отметкой линейки .
Ответ не изменится , если нулевое деление линейки совместить с точкой В , а результат измерения определять по положению точки А. Может оказаться , что	точка	В попадёт между двумя соседними делениями .
2 На отрезке АВ выбрана	точка	С , не совпадающая с его концами .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между целой и дробной частями десятичной дроби вместо запятой ставится	точка	.
1.2 Расстояние между	точками	А и В равно 15 см. Сколько имеется на луче АВ различных точек М ? .
5 На каком расстоянии от начала отсчёта О изображается на числовой прямой число 81 , если расстояние между	точками	А и В , изображающими числа 36 и 92 , равно 224 см ? .
Расстояние между	точками	О и В называют радиусом окружности .
9 Как определяется расстояние между двумя различными	точками	? .
23 Изобразите два таких круга , чтобы все точки одного были одновременно	точками	другого .
29 Изобразите три круга так , чтобы все точки одного из них были бы	точками	каждого из остальных кругов .
Отрицательные числа будут изображаться	точками	, расположенными слева от начала отсчёта .
30 Изобразите три круга так , чтобы все точки второго из них были бы	точками	первого , а все точки третьего были бы точками второго круга .
31 Изобразите три круга так , чтобы не все точки первого были бы точками второго круга и не все точки второго были бы	точками	третьего .
10 Расстояние между	точками	А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с точкой Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
В дальнейшем в промежутках между отмеченными	точками	появятся изображения дробных чисел .
31 Изобразите три круга так , чтобы не все точки первого были бы	точками	второго круга и не все точки второго были бы точками третьего .
Могут ли концы одного отрезка быть внутренними	точками	другого отрезка ? .
2.5 Расстояние между	точками	.
Обозначается расстояние между	точками	точно так же , как и длина отрезка .
Используя понятие длины , можно указывать расстояния между двумя	точками	.
Расстоянием между различными	точками	А и В называется длина отрезка АВ .
Иногда треугольник рассматривают вместе с теми	точками	, которые ограничены его сторонами .
30 Изобразите три круга так , чтобы все точки второго из них были бы точками первого , а все точки третьего были бы	точками	второго круга .
Все остальные точки отрезка называются его внутренними	точками	.
32 Изобразите три круга так , чтобы все точки первого были бы	точками	второго и только часть точек второго круга входила в состав третьего .
Вместо слов « расстояние между	точками	А и В » иногда говорят « расстояние от точки А до точки В » или , что то же самое , « расстояние от точки В до точки А » .
1.3 Расстояние между	точками	А и В равно 18 см. Сколько имеется на луче АВ различных точек М таких ? .
4 Три прямые попарно пересекаются в точках А , В и С. Сколько лучей начинается в этих	точках	и лежит на данных прямых ? .
Сколько можно указать прямоугольных треугольников , имеющих три вершины в этих	точках	? .
4 Три прямые попарно пересекаются в	точках	А , В и С. Сколько лучей начинается в этих точках и лежит на данных прямых ? .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в	точках	0 и 1 .
15 Может ли прямая пересечь все стороны треугольника в	точках	, не совпадающих с его вершинами ? .
16 Может ли прямая пересечь все стороны четырёхугольника в	точках	, не совпадающих с его вершинами ? .
Число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в	точках	0 и 3 .
Обратим внимание , что существует только один отрезок с концами в заданных	точках	.
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в	точках	0 и 2 .
Нарисуйте все возможные ломаные из трёх звеньев с самопересечением с концами в этих	точках	.
Какая из точек лежит на отрезке с концами в остальных	точках	? .
Число 3 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в	точках	0 и 1 .
Нарисуйте несколько ломаных из трёх звеньев с самопересечением с концами в этих	точках	.
Нарисуйте все возможные простые ломаные из трёх звеньев с концами в этих	точках	.
8 Пусть снова точки А , В , С , D. Нарисуйте несколько простых ломаных из трёх звеньев с концами в этих	точках	.
12 , с концами в	точках	А и В .
Остаётся по	точке	М восстановить всю кратчайшую дорогу из А в В .
Найдите величины всех углов с вершиной в	точке	пересечения прямых .
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы окружность с центром в первой	точке	, проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через третью точку .
Рассмотрим на плоскости точку О и изобразим лучи ОА и ОВ с началом в	точке	О .
Выбирая на плоскости другую точку и проводя два различных луча с началом в этой	точке	, получим другой угол .
Скрепим оба листа в	точке	О иголкой или кнопкой .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в	точке	А. Какие из указанных углов прямые ? .
Выберем на прямой один из лучей с началом в	точке	О , направленный в сторону стрелки .
Проведём в полуплоскости а различные лучи АС , AD , АЕ с началом в	точке	А. Измерим ABAC , ABAD , АВАЕ .
Как проверить , что диагонали квадрата делятся пополам в	точке	их пересечения ? .
Отметьте по одной	точке	на его сторонах .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в	точке	А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую геометрическую фигуру — луч АВ .
Какие точки из обозначенных натуральными числами являются ближайшими к	точке	? .
1.2 Отрезки АВ и CD пересекаются в	точке	К. Чему равна величина угла ВАС ? .
Изображения каких из указанных чисел расположены ближе к точке А , чем к	точке	Β ? .
Изображения каких из указанных чисел расположены ближе к	точке	А , чем к точке Β ? .
4 Прямые АВ и CD пересекаются в	точке	О. Измерьте углы АОС , СОВ , BOD , DOA и запишите результаты измерений .
Изображения каких из указанных чисел расположены ближе к началу отсчёта , чем к	точке	А ? .
4 На сторонах АВ , ВС , CD , DA квадрата ABCD выбраны соответственно по одной	точке	М , N , К , L так , что ни одна из них не совпадает с вершиной квадрата .
Какую геометрическую фигуру образуют точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в	точке	А ; б ) проходящих через точку А ? .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в	точке	В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
5 Какую геометрическую фигуру образуют точки всех лучей : а ) начинающихся в	точке	А ; б ) проходящих через точку А ? .
4 Сколько существует различных лучей , начинающихся в данной	точке	А ? .
Справедливо следующее свойство прямой : любая точка прямой делит её на два луча с началом в этой	точке	.
Видно , что получается совокупность лучей с началом в	точке	А .
Каким свойством характеризуются	точки	, не лежащие на отрезке ? .
Теперь от	точки	вправо отложим третий отрезок с той же длиной , правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до	точки	составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же длиной , правый конец которого удалён от	точки	0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если же соединить	точки	различных полуплоскостей , то мы обязательно пересечём границу полуплоскостей .
Таким образом , получаем , что расстояние от	точки	0 до точки составляет третью часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
Отметим три различные	точки	А , В и С. Соединим их отрезками по записи А→В→С→А→В→С→А. Получится треугольник АВС , каждая сторона которого проводилась дважды .
Отметим различные	точки	А , В , С , D , Е , F и G .
Отложив от полученной	точки	четвёртый отрезок с той же длиной , видим , что правый конец четвёртого отрезка , обозначенный через 2 , можно обозначить также .
Отметим различные	точки	А , В , С , D , Е и F. Соединим их отрезками в том порядке , в каком они записаны .
11 На числовой оси из	точки	1995 кузнечик прыгает либо на 5 единиц вправо , либо на 3 единицы влево .
И так он прыгает из каждой	точки	, в которой находится .
Вместо слов « расстояние между точками А и В » иногда говорят « расстояние от точки А до точки В » или , что то же самое , « расстояние от	точки	В до точки А » .
Будем говорить , что угол А1ОВ1 получен из угла АОВ поворотом вокруг	точки	О. При таком повороте копия угла АОВ совмещается с углом А1ОВ1 .
через любые две различные	точки	можно провести единственную прямую .
Затем от	точки	2 вправо отложим пятый отрезок с той же длиной , правый конец которого следует обозначить через , так как длина его равна сумме длин пяти отрезков длиной .
Обозначьте эти	точки	и вершину угла буквами .
Вместо слов « расстояние между точками А и В » иногда говорят « расстояние от точки А до точки В » или , что то же самое , « расстояние от точки В до	точки	А » .
23 Изобразите два таких круга , чтобы все	точки	одного были одновременно точками другого .
Отметим на бумаге четыре	точки	, и соединим их отрезками .
1.1 На числовой прямой отмечены	точки	, изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
Для удобства считается , что расстояние от любой	точки	до неё самой равно нулю .
Какие	точки	на числовой прямой делят отрезок на 6 равных частей ? .
1.2 На числовой прямой отмечены	точки	, изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
1.4 Лучи АВ , АС , AD проведены так , что	точки	С и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ и ∠BAC 36 ° , ∠BAD 126 ° .
6 На отрезке АВ отмечены	точки	С и D так , что С лежит между А и D . а ) Какие лучи с началом в одной из точек А , В , С и D содержат отрезок CD ? .
Эти точки лежат на пересечениях линий сетки , проходящих через четыре данные	точки	.
19 Сколько можно указать вертикальных и горизонтальных отрезков , концами которых являются	точки	? .
Если от	точки	вправо отложим ещё один отрезок длиной , то сумма длин двух отложенных отрезков , составляющих отрезок [ 0 ; 1 ] , равна длине отрезка [ 0 ; 1 ] .
Затем повернём копию вокруг	точки	О. Если после этого перерисуем с копии повёрнутый угол , то на первом начальном листе бумаги получим угол А1ОВ1 .
Так как расстояние от	точки	0 до точки деления равно , саму точку деления также обозначим через .
1.3 На плоскости поставлены четыре различные	точки	.
Так как расстояние от точки 0 до	точки	деления равно , саму точку деления также обозначим через .
Сколько всего четырёхугольников можно получить , по - разному соединяя эти	точки	? .
Изобразите на числовой прямой соответствующие им	точки	.
С помощью линейки найдите	точки	пересечения .
Получена геометрическая фигура , которая называется пятиугольником ,	точки	D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Заметим , что пятиугольник обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у четырёхугольников и треугольников . 1 ) каждая сторона содержит только две	точки	, принадлежащие другим сторонам .
Обозначим через О точку пересечения прямых и выберем точки А , В , С , D на разных лучах , выходящих из	точки	О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
Обозначим через О точку пересечения прямых и выберем	точки	А , В , С , D на разных лучах , выходящих из точки О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
11 Пусть снова	точки	А , В , С , D заданы .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две	точки	, принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
10 Пусть снова	точки	А , В , С , D заданы .
9 Пусть снова	точки	А , В , С , D заданы .
Если взять на прямой АВ две различные	точки	М и Ν , то прямая ΜΝ будет той же самой прямой АВ .
3 Сколько прямых можно провести через две различные	точки	? .
8 Пусть снова	точки	А , В , С , D. Нарисуйте несколько простых ломаных из трёх звеньев с концами в этих точках .
Как объяснить , что на числовой прямой длина отрезка от	точки	до точки 1 также равна ? .
Как объяснить , что на числовой прямой длина отрезка от точки до	точки	1 также равна ? .
15 Разместите на плоскости четыре	точки	— A , В , С и D так , чтобы они были вершинами прямоугольника ABCD .
Откладывание на числовой прямой отрезков длиной На прямой от	точки	0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
7 Пусть	точки	А , В , С , D заданы .
Вместо слов « расстояние между точками А и В » иногда говорят « расстояние от	точки	А до точки В » или , что то же самое , « расстояние от точки В до точки А » .
5 Объясните , почему	точки	А , В , С , D и отрезки АВ , CD нельзя считать одной ломаной .
19 Изобразите две окружности , имеющие две общие	точки	.
Можно отметить на листе бумаги три	точки	, и соединить две пары из них отрезками .
Вместо слов « расстояние между точками А и В » иногда говорят « расстояние от точки А до	точки	В » или , что то же самое , « расстояние от точки В до точки А » .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся	точки	через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
На каком расстоянии от	точки	А расположена точка В , изображающая число 9 ? .
5 Какое свойство имеют	точки	, лежащие на отрезке ? .
2 Отметьте на бумаге четыре	точки	М , N , К , L так , чтобы они были последовательными вершинами четырёхугольника .
13 Даны	точки	А , Б , С , расположенные так , что .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все	точки	этих отрезков вместе образуют новую геометрическую фигуру — луч АВ .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от	точки	0 до середины отрезка [ 0 ; 3 ] обозначим через дробь ( читается « три вторых » ) .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней	точки	деления равно то эту точку деления также обозначим через 1/3 .
12 На отрезке AD выбраны	точки	Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Длина отрезка АС равна 6 см ; длина отрезка АБ на 2 см меньше длины отрезка ВС ; длина отрезка CD в два раза больше длины отрезка АБ .
Так как расстояние от	точки	0 до ближайшей к ней точки деления равно то эту точку деления также обозначим через 1/3 .
Такие	точки	невооружённым глазом очень трудно отличить друг от друга .
3 Заданы	точки	А , В , С , D и Е. Нарисуйте все отрезки , концами которых являются пары этих точек .
2 Изображены точки А , В , С и D. Сколько существует разных отрезков , концами которых являются эти	точки	? .
К сторонам треугольника добавляют его внутренние	точки	.
11 На отрезке AD выбраны	точки	В и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АО .
Какие	точки	из обозначенных натуральными числами являются ближайшими к точке ? .
Эти	точки	лежат на пересечениях линий сетки , проходящих через четыре данные точки .
10 На отрезке AD выбраны	точки	Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка ВС .
9 На отрезке AD выбраны	точки	Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка BD .
1 Отметьте на бумаге	точки	Е , F , G так , чтобы они были вершинами некоторого треугольника .
29 Изобразите три круга так , чтобы все	точки	одного из них были бы точками каждого из остальных кругов .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней	точки	деления обозначим через и будем считать .
2 Изображены	точки	А , В , С и D. Сколько существует разных отрезков , концами которых являются эти точки ? .
Разделим этот отрезок на две равные части и длину отрезка от	точки	0 до середины отрезка [ 0 ; k ] обозначим через дробь ( читается « ка вторых » ) .
1 Отметьте три точки и нарисуйте все отрезки , концами которых являются эти	точки	.
1 Отметьте три	точки	и нарисуйте все отрезки , концами которых являются эти точки .
1 ) каждая сторона содержит только две	точки	, принадлежащие другим сторонам .
6 На отрезке AD выбраны	точки	В и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка AD .
10 Как определяется расстояние от	точки	до неё самой ? .
8 На отрезке AD выбраны	точки	Б и С так , что точка Б лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка АВ .
7 На отрезке AD выбраны	точки	Б и С так , что точка В лежит между А и С. Известно , что . Найдите длину отрезка CD .
Но фигура , составленная из трёх точек и соединяющих их отрезков , не является треугольником , когда все три	точки	оказываются лежащими на одном отрезке .
Если соединить отрезком две	точки	какой - нибудь одной полуплоскости , то мы не пересечём прямую — границу этих полуплоскостей .
1 Отметьте на листе бумаги две	точки	— А и В на расстоянии 3 см друг от друга .
2 Почему	точки	М , N , К , L являются вершинами квадрата ? .
Длину отрезка от	точки	0 до середины отрезка [ 0 ; 2 ] обозначим через дробь ( читается « две вторых » ) .
Заметим теперь следующее : точки и делят отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ;	точки	делят отрезок на четыре равные части и так далее .
Заметим теперь следующее :	точки	и делят отрезок [ 0 ; 1 ] на три равные части ; точки делят отрезок на четыре равные части и так далее .
Отложив от полученной точки четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от	точки	0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Сфера ограничивает область , то есть все те	точки	пространства , которые находятся внутри сферы .
6 Какое свойство имеют	точки	, не лежащие на отрезке ? .
Отложив от полученной	точки	четвёртый отрезок с той же длиной видим , что правый конец четвёртого отрезка следует обозначить через 4 , потому что расстояние от точки 0 до правого конца четвёртого отрезка равно .
Какое натуральное число изображается точкой В , которая расположена от	точки	А на расстоянии 333 ? .
В то же время расстояние от	точки	0 до правого конца третьего отрезка равно 1 .
Теперь от точки вправо отложим третий отрезок с той же длиной правый конец которого удалён от	точки	0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Изображения каких из указанных чисел расположены от	точки	А на расстоянии 19 см ? .
Окружность ограничивает область , то есть все те	точки	плоскости , которые находятся внутри окружности .
На какие части делят прямую две её различные	точки	? .
При изображении на числовой прямой десятичных дробных разрядных единиц будем получать	точки	, « подходящие » к нулю всё ближе и ближе .
5 Какую геометрическую фигуру образуют	точки	всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Теперь от	точки	вправо отложим третий отрезок с той же длиной правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
Если от	точки	вправо отложим ещё один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна .
И чисел 0,1 и 0,01 ещё можно отличить от	точки	, соответствующей нулю .
Для проверки равенства треугольников АВС и КЕМ можно повернуть копию треугольника АВС вокруг	точки	С на 90 ° против хода часовой стрелки , чтобы она совместилась с треугольником CST на основном чертеже .
6 Отметьте на бумаге две	точки	и с помощью линейки найдите расстояние между ними в сантиметрах и миллиметрах .
26 Изобразите три круга так , чтобы только два из них имели общие	точки	.
Если на числовой прямой от	точки	0 вправо отложен отрезок длиной то его правый конец мы обозначили через .
14 Даны	точки	А , Б и С , причём .
Как объяснить , что на числовой прямой длина отрезка от точки до	точки	1 равна ? .
Как объяснить , что на числовой прямой длина отрезка от	точки	до точки 1 равна ? .
Добавим к этому следующее свойство : любые две	точки	равны как геометрические фигуры .
Маленький след карандаша , ручки или мела мы считаем изображением	точки	.
Но уже число 0,001 должно изображаться точкой , которая находится на расстоянии 0,1 мм от	точки	нуль .
19 Начертите числовую прямую , взяв за единицу измерения 1 см , и отметьте	точки	, соответствующие числам : 0,8 ; 1,2 ; 2,1 ; 3,0 ; 5,7 .
Какие фигуры , содержащие четыре	точки	, соединённые отрезками , но не являющиеся четырёхугольниками , вы можете нарисовать при помощи линейки ? .
Другими словами , если на плоскости четыре	точки	каким - то образом соединены отрезками , то полученная фигура является четырёхугольником только в случае выполнения указанных трёх свойств .
Изобразите с помощью линейки несколько геометрических фигур , содержащих эти	точки	.
Из	точки	С этой прямой провели лучи CD и СЕ .
11 Отметьте на листе бумаги три	точки	.
В связи с этим свойством кратчайший путь от точки до точки изображают отрезком , соединяющим эти	точки	.
Треугольником называется геометрическая фигура , состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти	точки	.
13 Какие повороты квадрата вокруг	точки	пересечения диагоналей переводят квадрат в самого себя ? .
15 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные	точки	из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две точки .
Так понятие длины позволяет отличать	точки	отрезка от всех остальных точек .
Поэтому точки отрезка АВ — это все такие	точки	С , для которых выполняется равенство .
Поэтому	точки	отрезка АВ — это все такие точки С , для которых выполняется равенство .
10 Отметьте на листе бумаги три	точки	.
Для любого луча выполняется ещё одно важное свойство : если на луче АВ взять две различные точки М и Ν , то все	точки	отрезка ΜΝ тоже будут расположены на луче АВ .
Все остальные	точки	отрезка называются его внутренними точками .
27 Изобразите три круга так , чтобы каждые два из них имели общие	точки	, но все вместе они не имели бы общих точек .
32 Изобразите три круга так , чтобы все	точки	первого были бы точками второго и только часть точек второго круга входила в состав третьего .
Могут ли два отрезка на плоскости иметь более одной общей	точки	? .
Для любого луча выполняется ещё одно важное свойство : если на луче АВ взять две различные	точки	М и Ν , то все точки отрезка ΜΝ тоже будут расположены на луче АВ .
Отложим от	точки	Е в направлении стрелки ещё один отрезок EF той же длины , что и отрезок ОЕ .
33 Изобразите три круга так , чтобы первый и второй имели общие	точки	, второй и третий имели общие точки , а первый и третий общих точек бы не имели .
Поворот на вокруг	точки	пересечения отрезков АЕ и CD .
9 Отметьте на листе бумаги три	точки	.
Если необходимо , ничто не мешает рассмотреть любую прямую , выбрать на ней произвольное направление и от определённой	точки	откладывать числа .
Длину части отрезка от	точки	0 до середины отрезка [ 0 ; 1 ] обозначим через и будем считать простейшей дробью ( читается « одна вторая » ) .
15 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы отрезок , соединяющий две произвольные точки из этих четырёх , не имел общих точек с отрезком , соединяющим оставшиеся две	точки	.
13 Даны две	точки	— А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
В связи с этим свойством кратчайший путь от точки до	точки	изображают отрезком , соединяющим эти точки .
В связи с этим свойством кратчайший путь от	точки	до точки изображают отрезком , соединяющим эти точки .
12 Отметьте на листе бумаги четыре	точки	.
2.2 Изображён отрезок прямой АВ и четыре	точки	.
14 Может ли прямая иметь общие	точки	со всеми сторонами : а ) треугольника ; б ) четырёхугольника ? .
14 Найдите пример такого расположения четырёх точек на листе бумаги , чтобы среди всех отрезков , соединяющих эти	точки	, была пара непересекающихся отрезков .
Все	точки	сферы удалены на одно и то же расстояние от её центра .
12 Сколько можно провести через две различные	точки	: а ) прямых ; б ) лучей ? .
4 будут соответствовать	точки	В ' , С ' , D , О ' .
1.1 Изображены	точки	А , В , С. Чему равна величина угла ВАС ? .
1 Даны четыре	точки	.
Вы узнаете , как свойства длины позволяют различать	точки	, лежащие на отрезке и не лежащие на нём , как « неравенство треугольника » позволяет находить кратчайшие пути .
Какую геометрическую фигуру образуют	точки	всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
Напомним , что отрезок можно получить , если выбрать две	точки	— А и В и соединить их , проведя черту с помощью линейки .
30 Изобразите три круга так , чтобы все	точки	второго из них были бы точками первого , а все точки третьего были бы точками второго круга .
3 Даны две	точки	— А и Б .
33 Изобразите три круга так , чтобы первый и второй имели общие точки , второй и третий имели общие	точки	, а первый и третий общих точек бы не имели .
Проведите из	точки	К горизонтальную прямую , а из L — вертикальную .
Возьмём на луче произвольную точку М. Как отложить от этой	точки	отрезок данной длины , целиком лежащий на луче ?
Указанные	точки	называют вершинами треугольника , а соединяющие их отрезки — сторонами треугольника .
2.2 Изображены четыре	точки	и отрезок АВ , являющийся частью луча АВ .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки не имели ни одной общей	точки	.
31 Изобразите три круга так , чтобы не все	точки	первого были бы точками второго круга и не все точки второго были бы точками третьего .
Отметим на листе две различные	точки	.
Изобразите , какое положение он займёт , если повернуть его вокруг	точки	пересечения диагоналей по часовой стрелке на угол ? .
Сколько существует разных лучей , проходящих через данные	точки	? .
1.1 На прямой а отмечена точка М. Сколько на этой прямой точек , которые находятся на расстоянии 5 см от	точки	М ?
10 На сторонах квадрата ABCD	точки	М , N , К , L. Покажите , что отрезки ML и KN равны .
2.1 Изображена прямая ΜΝ и четыре	точки	— А , В , С , D. Какие из указанных отрезков пересекаются с прямой ΜΝ ? .
Повернём копию чертежа вокруг	точки	О ' и наложим на основной чертеж .
Нарисуйте три различных луча , проходящих через данные	точки	.
Для каждой	точки	D , не лежащей на отрезке А В , выполняется неравенство .
если для	точки	С выполняется равенство , то эта точка лежит на отрезке АВ .
34 Изобразите три окружности так , чтобы каждые две из них имели по две общих	точки	, а все три окружности общих точек не имели .
8 Сколько раз нужно отложить отрезок длиной вправо от	точки	0 , чтобы в результате определить дробь ? .
По какому кратчайшему пути муха может перелететь из	точки	N в точку V ? .
При помощи линейки проведите отрезок , содержащий эти	точки	внутри него .
Какие числа изображают	точки	С и D ? .
2 Отметьте на листе бумаги две	точки	.
При помощи линейки проведите отрезок , соединяющий эти	точки	.
1 Отметьте на листе бумаги две	точки	.
Отмеченные	точки	, которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие вершины , называют сторонами треугольника .
1 Даны три различные	точки	— А , В , С. Сколько различных геометрических фигур может быть среди прямых АВ , ВС и АС ? .
Сколько всего отрезков можно получить , попарно соединяя эти	точки	? .
Аналогично , если от	точки	вправо отложить ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным числом или числом .
30 Изобразите три круга так , чтобы все точки второго из них были бы точками первого , а все	точки	третьего были бы точками второго круга .
Если от	точки	— вправо отложим еще один отрезок длиной то сумма длин двух отложенных отрезков равна , то есть равна 2 .
Выберем три различные	точки	А , В и С. Соединим отрезками точки А и В , В и С , А и С , — например , так , как .
Выберем три различные точки А , В и С. Соединим отрезками	точки	А и В , В и С , А и С , — например , так , как .
Для обозначения угла используют знак ∠. Затем указывают вершину и две	точки	на его сторонах , записывая вершину посередине .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней	точки	деления равно эту точку деления также обозначают через .
Выберем теперь четыре различные	точки	А , В , С , D на плоскости .
31 Изобразите три круга так , чтобы не все точки первого были бы точками второго круга и не все	точки	второго были бы точками третьего .
Соединим отрезками	точки	А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь точки А , В , С , D — вершины четырёхугольника .
Так как расстояние от	точки	0 до ближайшей к ней точки деления равно эту точку деления также обозначают через .
Соединим отрезками точки А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь	точки	А , В , С , D — вершины четырёхугольника .
Длину части отрезка от точки 0 до ближайшей к ней	точки	деления обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
6 Через	точки	Р , Q , R , S проведена окружность .
Длину части отрезка от	точки	0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и назовём простейшей дробью ( читается « одна n - ная » , то есть « одна энная » , или как « одна n - тая » , то есть « одна энтая » ) .
Сколько способов перемещения копии	точки	А в точку В вы знаете ? .
каждая сторона содержит только две	точки	, принадлежащие другим сторонам .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать отрезок на этой прямой , левый конец которого обозначен числом а , тогда как правый конец обозначен числом b. Например , концами отрезка [ 0 ; 1 ] являются	точки	0 и 1 .
Взятые все вместе ,	точки	этих лучей образуют новую геометрическую фигуру .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся отрезки не имели ни одной общей	точки	.
Ответ не изменится , если нулевое деление линейки совместить с точкой В , а результат измерения определять по положению	точки	А. Может оказаться , что точка В попадёт между двумя соседними делениями .
Как убедиться , что	точки	А , С , Б , D являются вершинами ромба ? .
Составим новую фигуру из всех таких квадратов сетки , которые имеют с фигурой Ф общие	точки	.
Сколько различных углов можно нарисовать , используя в качестве вершин углов три	точки	? .
Какие ещё	точки	этой окружности являются узлами сетки ? .
16 Отметьте на листе бумаги четыре	точки	.
17 Отметьте на бумаге три	точки	так , чтобы окружность с центром в первой точке , проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через третью точку .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из	точки	N в точку V. Длина такого пути будет не меньше длины отрезка NV .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся отрезки имели больше одной общей	точки	.
Важно понять , что через две различные	точки	можно провести сколь угодно много окружностей .
36 Изобразите три окружности , имеющие только две общие	точки	.
Совместим	точки	А и В с краем линейки так , чтобы точка А совпала с нулевой отметкой линейки .
На каком расстоянии от	точки	М , изображающей число 100 , находятся изображения чисел .
Длину части отрезка от	точки	0 до ближайшей к ней точки деления обозначим через и будем считать .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D —	точки	пересечения этих окружностей .
Для каждой	точки	С , лежащей на отрезке АВ , выполняется равенство .
После этого находим на линейке деление напротив	точки	В. Число сантиметров и миллиметров , соответствующее данной отметке , будет результатом измерения .
3 Какое число на числовой прямой изображает середина С отрезка АВ , если	точки	А и В изображают числа ? .
2.3 Изображён отрезок АВ и четыре	точки	.
17 Укажите на линейке с миллиметровыми делениями	точки	, соответствующие : 0,2 дм ; 0,7 дм ; 0,7 см ; 0,4 см ; 0,12 дм ; 0,07 дм .
2 ) каждая вершина является общей	точкой	только для двух сторон .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с	точкой	D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
При этом точка А совпадёт с	точкой	В ' , точка В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
А совместится с точкой D ' , точка В совместится с	точкой	С ' , точка С совместится с точкой В ' .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы их общей	точкой	был только один конец какого - то из этих отрезков .
Затем нарисуйте вторую окружность так , чтобы отмеченная точка была единственной общей	точкой	этих окружностей .
Можно ли отложить на луче АВ отрезок длины 1 км так , чтобы один из концов отрезка совпал с	точкой	А ? .
Эти записи с десятичной	точкой	читаются точно так же , как и записи с десятичной запятой .
А совместится с	точкой	D ' , точка В совместится с точкой С ' , точка С совместится с точкой В ' .
А совместится с точкой D ' , точка В совместится с точкой С ' , точка С совместится с	точкой	В ' .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с	точкой	С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
Ответ не изменится , если нулевое деление линейки совместить с	точкой	В , а результат измерения определять по положению точки А. Может оказаться , что точка В попадёт между двумя соседними делениями .
При рассмотрении дробей на числовой оси мы неоднократно могли заметить , что дроби , имеющие разные записи , могут изображаться одной и той же	точкой	на числовой прямой .
Например , дроби и изображаются	точкой	1 , дроби изображаются точкой 2 , нетрудно проверить , что дроби и изображаются точкой .
Например , дроби и изображаются точкой 1 , дроби изображаются	точкой	2 , нетрудно проверить , что дроби и изображаются точкой .
Например , дроби и изображаются точкой 1 , дроби изображаются точкой 2 , нетрудно проверить , что дроби и изображаются	точкой	.
10 Расстояние между точками А и В равно 15 см. Сколько существует различных отрезков длины 12 см , лежащих на луче АВ , один из концов которых совпадает с	точкой	Β. Изменится ли ответ , если рассматривать отрезки длиной 20 см ? .
Отрезок с выделенной между его концами	точкой	треугольником не считается .
1 На числовой прямой с началом отсчёта О число 1 изображается	точкой	Е , для которой .
Дробь 0,76 изображается точкой А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается	точкой	В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
13 Как построить прямоугольный треугольник , равный треугольнику АВС , у которого вершина совпадает с	точкой	К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
Дробь 0,76 изображается	точкой	А на числовой прямой , а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
6 На числовой прямой с началом отсчёта О число 3 изображено точкой А , для которой , а некоторое другое число n —	точкой	В , для которой .
Единицу измерения длины изменили так , что число 3 изображается теперь такой	точкой	А1 , что .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси	точкой	А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
Точка совпадает с	точкой	, отмеченной ранее как k , так как длина всего отрезка [ 0 ; k ] равна , где каждая из сумм в скобках состоит из k слагаемых .
6 На числовой прямой с началом отсчёта О число 3 изображено	точкой	А , для которой , а некоторое другое число n — точкой В , для которой .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой	точкой	В. Какова длина отрезка АВ ? .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается	точкой	Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
Какое натуральное число изображается	точкой	В , которая расположена от точки А на расстоянии 333 ? .
Заметим , что для треугольника выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей	точкой	только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается	точкой	Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Какое значение с избытком с точностью до 10 имеет число , изображённое	точкой	В ? .
Какое значение с недостатком с точностью до 10 имеет число , изображённое	точкой	А ? .
Точка совпадает с	точкой	, отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых чисел , равных , так как .
Но уже число 0,001 должно изображаться	точкой	, которая находится на расстоянии 0,1 мм от точки нуль .
Какие из указанных точек лежат в одной полуплоскости с	точкой	С ? .
На числовой прямой с началом О изобразим число 1	точкой	Е , для которой .
Точка совпадает с	точкой	, отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых чисел , равных , так как .
2 На числовой прямой с началом отсчёта О число 1 изображается	точкой	Е , для которой .
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы окружность с центром в первой точке , проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через третью	точку	.
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через точку А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за	точку	А. Его начало — точка В .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через	точку	А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
Переместить точку В и отметить точку С можно , и не задавая точек К и М. Видно , что неизвестную	точку	следует выбрать на отрезке АС .
Выбирая на плоскости другую	точку	и проводя два различных луча с началом в этой точке , получим другой угол .
Будем считать	точку	F изображением числа 2 .
Рассмотрим на плоскости	точку	О и изобразим лучи ОА и ОВ с началом в точке О .
По какому кратчайшему пути муха может перелететь из точки N в	точку	V ? .
Если же взять	точку	М не на отрезке АС , то получится .
Сколько способов перемещения копии точки А в	точку	В вы знаете ? .
Будем считать точку О изображением нуля , а	точку	Е — изображением числа 1 .
Сможет ли он за несколько прыжков попасть в	точку	, изображающую число 100 ? .
Будем считать	точку	О изображением нуля , а точку Е — изображением числа 1 .
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы окружность с центром в первой точке , проходящая через вторую	точку	, одновременно проходила бы и через третью точку .
9 Зная одну вершину А некоторого квадрата и	точку	О пересечения его диагоналей , укажите на клетчатой бумаге все остальные вершины .
Отметим на ней	точку	О и примем её за начало отсчёта .
Выбрать три вершины какого - нибудь треугольника и ещё одну	точку	внутри его .
Поместите остриё циркуля в	точку	О , выберите раствор , равный ОА , и проведите окружность .
Переместить точку В и отметить	точку	С можно , и не задавая точек К и М. Видно , что неизвестную точку следует выбрать на отрезке АС .
Обозначим через О	точку	пересечения прямых и выберем точки А , В , С , D на разных лучах , выходящих из точки О. Получились углы : ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
5 Как можно обозначить левую	точку	деления отрезка [ 0 ; 2 ] на три равные части ? .
Если взять	точку	D , не лежащую на отрезке АВ , как , например , то непосредственные измерения линейкой показывают , что в таком случае выполняется неравенство .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через	точку	Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
Это свойство можно сформулировать по - другому : если отрезок составлен из двух отрезков , имеющих единственную общую	точку	, то его длина равна сумме длин составляющих его отрезков .
35 Изобразите три окружности , имеющие только одну общую	точку	.
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в	точку	А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в точку Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
13 С помощью линейки найдите	точку	внутри прямоугольника ABCD , которая лежит на отрезке , соединяющем противоположные вершины А и С , и на отрезке , соединяющем противоположные вершины В и D .
Тогда любой путь по боковой стене и потолку можно представить на этом же рисунке в виде линии , ведущей из точки N в	точку	V. Длина такого пути будет не меньше длины отрезка NV .
13 Даны две точки — А и В. Поставив ножку циркуля в точку А , проведите окружность через точку Б , а затем , поставив ножку циркуля в	точку	Б , проведите окружность через точку А. Пусть С и D — точки пересечения этих окружностей .
Иногда в этом случае говорят , что « прямая АВ проходит через	точку	В » .
Если взять луч АВ и на нём некоторую	точку	Р , не совпадающую с началом , то луч АР — это тот же самый луч , что и АВ .
Изображены отрезки MN и KL , которые имеют общую	точку	D. Такие отрезки будем называть пересекающимися .
Например , плоский угол можно назвать так : « плоский угол PQR , содержащий	точку	М » .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно эту	точку	деления также обозначают через .
Про любую	точку	D прямой АВ говорят , что « точка D лежит на прямой АВ » .
Отметьте на ней	точку	.
Также можно сказать , что « прямая АВ содержит	точку	D » .
Переместим отрезок КВ вниз так , чтобы точка К попала в	точку	М .
Переместить	точку	В и отметить точку С можно , и не задавая точек К и М. Видно , что неизвестную точку следует выбрать на отрезке АС .
Чтобы различить , какой из двух плоских углов нам нужен , можно указать некоторую	точку	, которая содержится в соответствующей этому углу части плоскости .
Так как расстояние от точки 0 до точки деления равно , саму	точку	деления также обозначим через .
Дроби считают равными между собой , если они изображают одну и ту же	точку	на числовой прямой .
Затем проведите другой отрезок так , чтобы получившиеся отрезки имели общую	точку	, которая не совпадает ни с одним из концов этих отрезков .
Продолжая эту процедуру , для любого натурального числа к получим	точку	, обозначаемую через .
С помощью линейки найдите такую	точку	С , что .
Построенный таким образом луч является продолжением отрезка АВ за	точку	В. Точка А называется началом луча .
Через каждую	точку	плоскости проходит целый пучок различных прямых .
Сможет ли кузнечик через несколько прыжков попасть в	точку	1994 ? .
Из того же отрезка АВ можно получить другой луч , если взять всевозможные отрезки , начинающиеся в точке В и проходящие через	точку	А. Такой луч ВА является продолжением отрезка АВ за точку А. Его начало — точка В .
Изображены некоторые прямые , проходящие через	точку	А .
Поместим остриё циркуля в точку , помеченную буквой О , а стержень — в	точку	, помеченную буквой В .
1.4 Три прямые проходят через одну	точку	, как .
Когда отложим отрезок длиной в 9 единичных отрезков 7 раз , попадём в	точку	, изображающую произведение .
Иногда при записи произведения чисел , обозначенных буквами ,	точку	между ними не ставят .
1.3 Три прямые проходят через	точку	А. Известно , что ∠BAC 68 ° , ∠DAE 42 ° .
5 Возьмите любую	точку	А и нарисуйте три различных отрезка длиной 2 см каждый , одним из концов которых будет точка А. Можно ли нарисовать десять таких различных отрезков ? .
Так как расстояние от точки 0 до ближайшей к ней точки деления равно то эту	точку	деления также обозначим через 1/3 .
5 Какую геометрическую фигуру образуют точки всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через	точку	А ? .
Поместим остриё циркуля в	точку	, помеченную буквой О , а стержень — в точку , помеченную буквой В .
Проведите два отрезка , соединяя попарно какие - то из этих точек , чтобы получившиеся отрезки имели общую	точку	, которая не совпадает ни с одной из вершин .
Возьмём на луче произвольную	точку	М. Как отложить от этой точки отрезок данной длины , целиком лежащий на луче ?
Данное правило означает , что , используя для наглядности чертежи и рисунки , мы не будем различать в рассуждениях жирно изображённую	точку	и совсем маленький , едва заметный след .
28 Изобразите три круга так , чтобы все они имели хотя бы одну общую	точку	.
Ручкой или карандашом на нём можно отметить	точку	— самую простую геометрическую фигуру .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через	точку	В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую геометрическую фигуру — луч АВ .
По какому свойству длин отрезков мы попадаем в	точку	, изображающую произведение ab , когда откладываем b раз отрезок длины а ? .
Какую геометрическую фигуру образуют точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через	точку	А ? .
Теперь от точки вправо отложим	третий	отрезок с той же длиной правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
21 Бригада в первый день сделала всей работы , во второй и в	третий	.
33 Изобразите три круга так , чтобы первый и второй имели общие точки , второй и	третий	имели общие точки , а первый и третий общих точек бы не имели .
Добавим к сумме этих углов ещё и	третий	угол MNK , равный 90 ° .
25 Хлебопекарня в первый день израсходовала 4,25 т муки , во второй день — на 1,75 т меньше , чем в первый , а в	третий	день — на 2,39 т меньше , чем в первый и во второй день , вместе взятые .
Теперь от точки вправо отложим	третий	отрезок с той же длиной , правый конец которого удалён от точки 0 на расстояние , равное , то есть на расстояние .
В первый день он убрал урожаи с площади участка , во второй — с оставшейся площади , а в	третий	— с 30 га .
25 Первый рабочий сделает всю работу за 12 часов , второй — за 15 часов ,	третий	— за 10 часов , четвёртый — за 9 часов .
За второй час лодка проплыла на км больше , чем за первый , а за	третий	час — на км больше , чем за второй .
33 Изобразите три круга так , чтобы первый и второй имели общие точки , второй и третий имели общие точки , а первый и	третий	общих точек бы не имели .
В первый день привезли 50 т зерна , во второй день привезли 20 т , в	третий	— ещё 60 т .
произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на	третье	.
27 Как изменится сумма трёх слагаемых , если одно слагаемое увеличить на , другое — на , а	третье	— на ? .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух чисел на	третье	результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на	третье	.
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух чисел на	третье	результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел прибавить	третье	, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего , и наоборот .
цифра сотен (	третьего	разряда ) .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и	третьего	.
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и	третьего	.
Поэтому правый конец	третьего	отрезка можно обозначить также через .
32 Изобразите три круга так , чтобы все точки первого были бы точками второго и только часть точек второго круга входила в состав	третьего	.
Если первое число меньше второго , а второе меньше третьего , то первое число меньше	третьего	.
Если первое число больше второго , а второе больше	третьего	, то первое число больше третьего .
Если первое число больше второго , а второе больше третьего , то первое число больше	третьего	.
30 Изобразите три круга так , чтобы все точки второго из них были бы точками первого , а все точки	третьего	были бы точками второго круга .
Если первое число меньше второго , а второе меньше	третьего	, то первое число меньше третьего .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и	третьего	равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и	третьего	.
цифра второго разряда . 3 ) цифра	третьего	разряда .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел прибавить третье , можно к первому числу прибавить сумму второго и	третьего	, и наоборот .
31 Изобразите три круга так , чтобы не все точки первого были бы точками второго круга и не все точки второго были бы точками	третьего	.
В то же время расстояние от точки 0 до правого конца	третьего	отрезка равно 1 .
произведение первого числа на сумму второго и	третьего	равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
19 Найдите периметр четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше	третьей	.
сумма двух сторон треугольника больше	третьей	стороны .
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины его	третьей	стороны .
Видно , что цифры в	третьей	строке повторяются .
Площадь	третьей	фигуры составляет 9k2 .
2 ) если каждая из двух фигур равна	третьей	, то эти две фигуры равны между собой .
Выражения « а в	третьей	степени » и « а в кубе » также означают одно и то же .
В первой строке запишем значения показателя n , во второй — удвоенную последнюю цифру предыдущей степени двойки , а в	третьей	— последнюю цифру числа .
2.3 Длины сторон треугольника — целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его	третьей	стороны ? .
Запись 103 читают « десять в степени три » или « десять в	третьей	степени » .
Для	третьей	степени числа а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём куба , сторона которого равна а , выражается числом а3 .
На первом месте после запятой пишется цифра разряда десятых , на втором — разряда сотых , на	третьем	— разряда тысячных и так далее .
На	третьем	шаге компьютер сравнивает число 8 с вышестоящим числом 15 .
В	третьем	гараже в раза больше машин , чем в первом .
1 Если два отрезка равны	третьему	отрезку , то они равны между собой .
При совпадении вторых цифр сравнивают	третьи	слева цифры и так далее .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с	третьим	числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Если	третьим	колышком натянуть верёвку и прочертить на земле линию , то получится эллипс .
Для каждого натурального числа k обозначим выражение к через ( читается « ка	третьих	» ) .
26 Бассейн наполняется через одну трубу за 6 часов , через другую — за 5 часов , через	третью	— за 3 часа .
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы окружность с центром в первой точке , проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через	третью	точку .
Сначала нарисовать две окружности , а затем подобрать	третью	.
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите	третью	сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
Таким образом , получаем , что расстояние от точки 0 до точки составляет	третью	часть от длины отрезка [ 0 ; k ] , то есть длина отрезка [ 0 ; k ] в три раза больше длины отрезка .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите	третью	сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
А именно за первую клетку шахматной доски одно зернышко риса , за вторую — два , за	третью	— четыре и так далее : за каждую следующую клетку в два раза больше , чем за предыдущую .
7 Свободно падающее тело пролетает 4,9 м в первую секунду после начала падения , в следующую — на 9,8 м больше , чем в первую секунду , а в	третью	секунду — на 9,8 м больше , чем во вторую .
19 Найдите периметр четырёхугольника , если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой ,	третья	— на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
простейшей дробью ( читается « одна	третья	» или « одна треть » ) .
2.4 Какие из указанных весов можно точно получить на чашечных весах без делений , имея три гири , одна из которых — 100 г , другая — 200 г ,	третья	— 500 г ? .
20 Найдите периметр треугольника , если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а	третья	сторона на 43 см больше первой .
В этом случае говорят , что рассматривается плоский треугольник или	треугольная	область .
Треугольник можно дополнить до параллелограмма , добавив равный	треугольник	, а параллелограмм можно вписать в прямоугольник со сторонами , идущими по линиям сетки .
4 Площадь прямоугольного	треугольник	. 4.1 .
Может ли	треугольник	иметь два прямых угла ? .
Из прямоугольного треугольника АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и прямоугольного треугольника ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили	треугольник	АБС .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что	треугольник	B'C'D ' на копии полностью совместится с треугольником АВС на основном чертеже .
20	треугольник	является прямоугольным .
Затем нарисуйте ещё один равный ему	треугольник	.
6 Найдите прямоугольный	треугольник	, в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь треугольника равна .
Всякий	треугольник	можно представить как фигуру , составленную из трёх точек и соединяющих их отрезков .
9 Нарисуйте	треугольник	с равными сторонами .
Такой	треугольник	называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения длины , строили прямой угол , нужный при разметке участков и в строительстве .
4 Как получить прямоугольник той же площади , что и заданный прямоугольный	треугольник	? .
Как сложить	треугольник	из двух фигур , на которые прямоугольник делится диагональю ? .
Вырежем из клетчатой бумаги такой	треугольник	АВС .
4 Нарисуйте	треугольник	с вершинами в узлах клетчатой бумаги .
Возьмём прямоугольный	треугольник	MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём диагональ АС и обозначим углы .
Попробуем переместить копию так , чтобы изображённый на ней	треугольник	B'C'D ' совместился с треугольником АВС на основном чертеже .
Возьмём прямоугольный	треугольник	с катетами по 4 шага сетки клетчатой бумаги .
14 Как сложить прямоугольный	треугольник	из трёх равных прямоугольных треугольников , один из углов которых равен 30 ° ? .
9 Может ли	треугольник	с двумя углами 48 ° и 41 ° быть прямоугольным ? .
Отметим три различные точки А , В и С. Соединим их отрезками по записи А→В→С→А→В→С→А. Получится	треугольник	АВС , каждая сторона которого проводилась дважды .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный	треугольник	.
Такой процесс построения содержащих	треугольник	фигур можно повторять шаг за шагом и получать всё меньшие значения площади треугольника с избытком .
Как разрезать прямоугольник на две части , из которых можно составить	треугольник	? .
Рассмотрим	треугольник	АВС .
Любая из записей :	треугольник	АВС , треугольник АС В , треугольник ВАС , треугольник ВСА , треугольник САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же треугольник .
Любая из записей : треугольник АВС ,	треугольник	АС В , треугольник ВАС , треугольник ВСА , треугольник САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же треугольник .
10 Равносоставлены ли четырёхугольник и	треугольник	? .
Возьмём любой	треугольник	АВС , у которого .
Любая из записей : треугольник АВС , треугольник АС В ,	треугольник	ВАС , треугольник ВСА , треугольник САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же треугольник .
Любая из записей : треугольник АВС , треугольник АС В , треугольник ВАС ,	треугольник	ВСА , треугольник САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же треугольник .
Любая из записей : треугольник АВС , треугольник АС В , треугольник ВАС , треугольник ВСА ,	треугольник	САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же треугольник .
Любая из записей : треугольник АВС , треугольник АС В , треугольник ВАС , треугольник ВСА , треугольник САВ ,	треугольник	СВА — обозначает один и тот же треугольник .
15 Существует ли	треугольник	, длины сторон которого равны 2 см , 3 см и 8 см ? .
Любая из записей : треугольник АВС , треугольник АС В , треугольник ВАС , треугольник ВСА , треугольник САВ , треугольник СВА — обозначает один и тот же	треугольник	.
Если попробуем совместить их друг с другом , то обнаружится , что треугольники АВС , DEF и КЕМ удаётся совместить , а	треугольник	PQR не совмещается ни с одним из них .
Рассмотрим прямоугольный	треугольник	АВС с прямым углом при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
4 Нарисуйте	треугольник	.
Например , чтобы указать , что	треугольник	АВС равен треугольнику MNK , пишут .
17 На клетчатой бумаге нарисован	треугольник	АВС .
Какие перемещения могут перевести треугольник АВС в	треугольник	DEF ? .
Какие перемещения могут перевести	треугольник	АВС в треугольник DEF ? .
6 Нарисуйте	треугольник	с вершинами в узлах клетчатой бумаги , у которого есть сторона больше 20 шагов сетки , а площадь меньше 1k2 .
17 Изображён	треугольник	, имеющий одинаковые стороны .
Так как	треугольник	АВХ помещается внутри треугольника АВС , то треугольники АВС и АВХ не могут быть равными .
Например , ничто не мешает	треугольник	называть « трёхвершинником » , четырёхугольник — « четырёхвершинником » , пятиугольник — « пятивершинником » и так далее .
Оба перемещения приводят к тому , что	треугольник	АВС совмещается с копией треугольника BCD .
Многоугольники ( в частности , квадрат и	треугольник	) — это геометрические фигуры , составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
1 Какой	треугольник	называется прямоугольным ? .
Однако на протяжении многих столетий в нашей стране утвердились общепринятые названия «	треугольник	» , « четырёхугольник » и так далее , которые и нужно употреблять , когда речь идёт о многоугольниках .
16 Какие перемещения могут перевести : а ) треугольник BKL в	треугольник	CLM ; б ) треугольник BKL в треугольник NMD ; в ) треугольник AKN в треугольник CLM ? .
18 Какое перемещение переведёт	треугольник	АВС в треугольник DEF ? .
17 Какой поворот переводит треугольник АВС в	треугольник	DEF1 .
17 Какой поворот переводит	треугольник	АВС в треугольник DEF1 .
16 Какие перемещения могут перевести : а ) треугольник BKL в треугольник CLM ; б ) треугольник BKL в треугольник NMD ; в ) треугольник AKN в	треугольник	CLM ? .
16 Какие перемещения могут перевести : а ) треугольник BKL в треугольник CLM ; б ) треугольник BKL в треугольник NMD ; в )	треугольник	AKN в треугольник CLM ? .
16 Какие перемещения могут перевести : а ) треугольник BKL в треугольник CLM ; б ) треугольник BKL в	треугольник	NMD ; в ) треугольник AKN в треугольник CLM ? .
Возьмём прямоугольный	треугольник	АВС с прямым углом при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
16 Какие перемещения могут перевести : а ) треугольник BKL в треугольник CLM ; б )	треугольник	BKL в треугольник NMD ; в ) треугольник AKN в треугольник CLM ? .
В этом случае говорят , что рассматривается плоский	треугольник	или треугольная область .
Получим	треугольник	.
2.3 Изображён	треугольник	, не имеющий двух равных сторон ? .
18 Какое перемещение переведёт треугольник АВС в	треугольник	DEF ? .
По аналогии с обозначениями прямоугольника	треугольник	можно обозначить , записав последовательно обозначения всех его вершин .
16 Какие перемещения могут перевести : а )	треугольник	BKL в треугольник CLM ; б ) треугольник BKL в треугольник NMD ; в ) треугольник AKN в треугольник CLM ? .
14 Как построить прямоугольный	треугольник	, у которого катеты в два раза больше катетов данного треугольника ? .
13 Как построить прямоугольный	треугольник	, равный треугольнику АВС , у которого вершина совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
б ) Найдите среди них прямоугольный	треугольник	.
8 Существует ли прямоугольный	треугольник	, все стороны которого равны ? .
10 Нарисуйте на клетчатой бумаге	треугольник	АВС , в котором , угол С прямой .
Для значений площади с избытком сначала берём содержащую	треугольник	фигуру из трёх квадратов со стороной в 2 шага сетки .
1.2 Изображено прямоугольных треугольников , равных треугольнику АВС , включая и сам	треугольник	? .
13 Нарисуйте на бумаге	треугольник	.
Например ,	треугольник	на рис .
Иногда	треугольник	рассматривают вместе с теми точками , которые ограничены его сторонами .
К сторонам	треугольника	добавляют его внутренние точки .
Площадь этой области принимают за площадь	треугольника	.
Сравните величины углов первого	треугольника	с величинами углов второго треугольника .
Из свойств площади вытекает , что площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного такого	треугольника	.
Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных	треугольника	, площади которых равны .
Выясним , как найти приближённые значения площади этого	треугольника	с избытком и недостатком при помощи метода , описанного в предыдущем пункте .
Для значений с недостатком берём содержащийся внутри	треугольника	квадрат со стороной в 2 шага сетки .
Вычисление площади прямоугольного	треугольника	.
Углы АВС , ВАС , ВСА	треугольника	АВС займут на положения углов ΜΒΝ , МВК , NBL соответственно .
5 Измерьте углы	треугольника	АВС .
18 Вырежьте из бумаги два	треугольника	с углами 90 ° , 43 ° , 47 ° и 90 ° , 40 ° , 50 ° соответственно .
6 Измерьте углы	треугольника	KLM .
Такой процесс построения содержащихся внутри треугольника фигур можно повторять шаг за шагом и получать все большие значения площади	треугольника	с недостатком .
Найдите сумму величин всех углов	треугольника	.
16 Почему площадь	треугольника	АВС равна площади четырёхугольника MNKL ? .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об углах	треугольника	, углах четырёхугольника и углах других многоугольников .
Например , углом	треугольника	АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
Вершина	треугольника	.
Однако проверить это можно так : сделаем прозрачную копию	треугольника	BCD .
Такой процесс построения содержащихся внутри	треугольника	фигур можно повторять шаг за шагом и получать все большие значения площади треугольника с недостатком .
3 Измерьте углы	треугольника	АВС .
Такой процесс построения содержащих треугольник фигур можно повторять шаг за шагом и получать всё меньшие значения площади	треугольника	с избытком .
8 Что такое угол	треугольника	? .
Разность между приближениями с избытком и недостатком шаг за шагом уменьшается , а сами приближения становятся все ближе к точному значению площади	треугольника	, измеренной в квадратиках со стороной k. Как уже было сказано , введение более мелкой сетки позволяет найти более точный результат .
Следовательно , для данного	треугольника	АВС справедливо равенство .
3.4 Пример на вычисление суммы углов	треугольника	.
Точно так же и для	треугольника	.
Чему равна площадь фигуры , если считать , что площадь одного	треугольника	равна .
Так как числа а и b — это длины катетов прямоугольного	треугольника	АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
2.2 Сумма углов прямоугольного	треугольника	.
В качестве примера применения неравенства	треугольника	рассмотрим задачу , где нужно найти самый короткий путь .
Теорема Пифагора справедлива для прямоугольного	треугольника	АВС с катетами .
Это свойство можно сформулировать так : сумма углов прямоугольного	треугольника	, прилежащих к гипотенузе , равна 90 ° .
Тогда сумма окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству : сумма всех углов прямоугольного	треугольника	равна 180 ° .
Разделите его на четыре равных	треугольника	.
Почему не существует	треугольника	со сторонами длиной 1 км , 2 км и 3 км ? .
сумма двух сторон	треугольника	больше третьей стороны .
Это свойство известно как неравенство	треугольника	.
3 Чему равна сумма прилежащих к гипотенузе углов прямоугольного	треугольника	? .
4 Чему равна сумма всех углов прямоугольного	треугольника	? .
Сумма длин двух любых сторон	треугольника	больше длины его третьей стороны .
Таким образом , справедливо следующее важное свойство сторон	треугольника	.
15 Может ли прямая пересечь все стороны	треугольника	в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
14 Может ли прямая иметь общие точки со всеми сторонами : а )	треугольника	; б ) четырёхугольника ? .
Мы установили следующее свойство : диагональ прямоугольника делит его на два равных	треугольника	.
Четыре прямоугольных	треугольника	ABC , CTS , SRQ и QPA равны между собой , а площадь каждого равна .
Выбрать три вершины какого - нибудь	треугольника	и ещё одну точку внутри его .
Тем не менее эта теорема справедлива и для произвольного прямоугольного	треугольника	.
Пусть , например , копия	треугольника	АВС совмещена с треугольником MNK .
При этом копия каждого элемента ( вершины , стороны или угла )	треугольника	АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в треугольнике MNK .
Следовательно , площадь	треугольника	АВС равняется .
Сравните величины углов первого треугольника с величинами углов второго	треугольника	.
Диагональ АС квадрата ABCD делит его на два прямоугольных	треугольника	.
Сколькими способами можно совместить копию	треугольника	АВС с треугольником ACD ? .
1 а ) Можно ли найти два равных прямоугольных	треугольника	?
Как обосновать теорему Пифагора для прямоугольного	треугольника	с катетами 1 см и 2 см ? .
3 Может ли гипотенуза прямоугольного	треугольника	быть больше суммы его катетов ? .
4 Может ли гипотенуза одного прямоугольного треугольника быть катетом другого прямоугольного	треугольника	? .
Площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного	треугольника	, равна сумме площадей квадратов со сторонами , равными катетам .
Заметим , что для	треугольника	выполняются следующие наглядные свойства : каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам ; каждая вершина является общей точкой только для двух сторон ; из каждой вершины , двигаясь по сторонам , можно дойти до любой другой вершины .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами треугольника , а отрезки , соединяющие вершины , называют сторонами	треугольника	.
11 Равны ли два прямоугольных	треугольника	, если их гипотенузы совпадают ? .
Отмеченные точки , которые соединялись отрезками , называют вершинами	треугольника	, а отрезки , соединяющие вершины , называют сторонами треугольника .
14 Как построить прямоугольный треугольник , у которого катеты в два раза больше катетов данного	треугольника	? .
4 Может ли гипотенуза одного прямоугольного	треугольника	быть катетом другого прямоугольного треугольника ? .
10 Сумма двух углов прямоугольного	треугольника	равна 91 ° .
1.1 Чему равен периметр	треугольника	, который равен треугольнику со сторонами 5 см , 6 см и 7 см ? .
Что вы можете сказать о взаимном расположении	треугольника	и прямой ? .
12 Сколько общих точек со сторонами	треугольника	может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
1.1 Чему равна площадь квадрата со стороной , равной гипотенузе прямоугольного	треугольника	с катетами 5 см и 7 см ? .
1.2 Чему равна длина гипотенузы прямоугольного	треугольника	с катетами 2 см и 4 см ? .
Определение	треугольника	.
11 Известно , что сумма углов	треугольника	равна 180 ° , а один из его углов равен разности двух других .
Чему равен наибольший угол такого	треугольника	? .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же	треугольника	.
12 Сколько общих точек со сторонами треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри	треугольника	; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
Неравенство	треугольника	.
Угол KLD равен сумме острых углов прямоугольного	треугольника	с катетами в две и шесть клеточек .
Оба перемещения приводят к тому , что треугольник АВС совмещается с копией	треугольника	BCD .
Примерами отрезков могут служить стороны квадрата ,	треугольника	и любого многоугольника .
Изображён квадрат ABCD , разбитый отрезками АС и BD на четыре	треугольника	— АОВ , ВОС , COD и AOD .
Вы узнаете , как свойства длины позволяют различать точки , лежащие на отрезке и не лежащие на нём , как « неравенство	треугольника	» позволяет находить кратчайшие пути .
Вырежем квадрат ABCD и разрежем его вдоль отрезков АС и BD на четыре	треугольника	.
Получившиеся четыре	треугольника	можно совместить , накладывая их друг на друга .
Вырежьте из бумаги четыре таких	треугольника	.
29 Вырежьте из бумаги два равных	треугольника	, у каждого из которых стороны различны .
12 Сколько общих точек со сторонами треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне	треугольника	; в ) хотя бы на одной из сторон треугольника ? .
Указанные точки называют вершинами	треугольника	, а соединяющие их отрезки — сторонами треугольника .
1.2 Чему равна сумма всех углов прямоугольного	треугольника	? .
3 Как можно вычислять гипотенузу прямоугольного	треугольника	по его катетам ? .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого острого угла этого	треугольника	.
Чему равна величина наименьшего угла этого	треугольника	? .
1 ) диагональ прямоугольника делит его на два равных	треугольника	.
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме острых углов прямоугольного	треугольника	с катетами в одну и четыре клеточки .
12 Сколько общих точек со сторонами треугольника может иметь луч , начало которого лежит : а ) внутри треугольника ; б ) вне треугольника ; в ) хотя бы на одной из сторон	треугольника	? .
1 ) если два катета одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
Указанные точки называют вершинами треугольника , а соединяющие их отрезки — сторонами	треугольника	.
2 ) если два катета одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
2 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
3 ) если две стороны одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
3 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
4 ) если две стороны одного прямоугольного	треугольника	равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники равны .
4 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
1 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного	треугольника	, то такие треугольники равны .
Как объяснить , что два прямоугольных	треугольника	с катетами 23 м и 32 м и с катетами 22 м и 33 м не равны ? .
Получим четыре	треугольника	, равных треугольнику АВС .
У каждого из них один катет длиной в 3 клеточки , а другой — в 5 клеточек , как у	треугольника	.
2.4 В каких из указанных случаев площадь прямоугольного	треугольника	АВС с катетами АВ и АС равна 1 см2 ? .
Формула площади прямоугольного	треугольника	позволяет решать многие задачи .
Найдём площадь S четырёхугольника ABCD на Разделим его отрезками АС и BD на четыре	треугольника	.
Точки А , В и С будут вершинами этого	треугольника	.
Отрезки АВ , ВС , АС — стороны этого	треугольника	.
Сколько существует различных обозначений одного и того же	треугольника	с вершинами М , N и К ? .
2.3 Длины сторон	треугольника	— целые числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
2.3 В каких из указанных случаев площадь прямоугольного	треугольника	АВС с катетами АВ и АС меньше 10 см2 ? .
5.2 Площадь	треугольника	.
Найдём площадь	треугольника	АВС .
23 Одна из сторон треугольника равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите третью сторону	треугольника	, если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
23 Одна из сторон	треугольника	равна 22 см , а вторая равна 38 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое меньше одной из данных сторон .
22 Одна из сторон треугольника равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите третью сторону	треугольника	, если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
22 Одна из сторон	треугольника	равна 30 см , а вторая равна 29 см. Найдите третью сторону треугольника , если известно , что она вдвое больше одной из данных сторон .
2 По какой формуле можно вычислить длину катета прямоугольного	треугольника	, если известны его гипотенуза и второй катет ? .
1 По какой формуле можно вычислить гипотенузу прямоугольного	треугольника	, если известны длины его катетов ? .
2.1 При каких значениях длин трёх отрезков не существует	треугольника	с такими сторонами ? .
2.2 В каких из указанных случаев площадь прямоугольного	треугольника	с катетами АВ и АС больше 4 см2 ? .
2.1 Какие из приведённых значений равны площади прямоугольного	треугольника	с катетами 3000 мм и 400 мм ? .
Чему равна площадь	треугольника	АВС ? .
Так как числа а и b — это длины катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного	треугольника	с катетами а и b вычисляется по формуле .
Площадь	треугольника	АВС часто обозначается через SAABC .
Закрашенная область напоминает букву О. Она разрезана на восемь неперекрывающихся частей : четыре	треугольника	и четыре прямоугольника .
Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольного	треугольника	, если каждый из двух его катетов уменьшить в 2 раза ? .
2 По какой формуле вычисляется площадь прямоугольного	треугольника	? .
2 Квадрат со стороной 4 см разрезали на два равных	треугольника	.
4 Прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см разделен диагоналями на четыре	треугольника	.
Сделайте чертеж на клетчатой бумаге и найдите площадь каждого	треугольника	.
5 Площадь прямоугольного	треугольника	равна 4 см2 .
Может ли один из катетов этого	треугольника	равняться 100 см ? .
6 Найдите прямоугольный треугольник , в котором можно разместить квадрат площадью 1 см2 , если площадь	треугольника	равна .
1.1 Чему равна площадь прямоугольного	треугольника	с катетами 3 см и 30 см ? .
1.2 Чему равна площадь прямоугольного	треугольника	с катетами .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской фигуры и формулы для вычисления площадей прямоугольника и прямоугольного	треугольника	.
1.3 В прямоугольном треугольнике длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь	треугольника	была равна 8 см2 ? .
Из прямоугольного	треугольника	АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и прямоугольного треугольника ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
Из прямоугольного треугольника АВН с катетами |АН| = 9 см , |ВН| = 12 см и прямоугольного	треугольника	ВСН с катетами |ВН| = 12 см , |СН| = 5 см составили треугольник АБС .
Два прямоугольных	треугольника	с попарно равными катетами равны между собой .
3 Сформулируйте неравенство	треугольника	для длин отрезков .
Многоугольник обозначается , как и в случае	треугольника	, четырехугольника , пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних вершин .
Площадь	треугольника	ANC равна .
2 Что такое вершины	треугольника	, четырёхугольника , пятиугольника ? .
Убедиться в том , что треугольники АВС и PQR не равны , удаётся , если переместить копию	треугольника	PQR так , чтобы она совместилась с треугольником АВХ .
3 Что такое стороны	треугольника	, четырёхугольника , пятиугольника ? .
2 Что такое вершины и стороны	треугольника	? .
7 Найдите площадь	треугольника	АВС .
1 Отметьте на бумаге точки Е , F , G так , чтобы они были вершинами некоторого	треугольника	.
3 Почему площадь любого	треугольника	с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек , или дробным числом со знаменателем 2 ? .
Запишите три разных обозначения этого	треугольника	.
После этого сместим копию	треугольника	АВС вниз и влево до совпадения с треугольником КЕМ .
Почему длина гипотенузы прямоугольного	треугольника	не может равняться сумме длин его катетов ? .
Сторона	треугольника	.
Для проверки равенства треугольников АВС и КЕМ можно повернуть копию	треугольника	АВС вокруг точки С на 90 ° против хода часовой стрелки , чтобы она совместилась с треугольником CST на основном чертеже .
Сумма углов прямоугольного	треугольника	.
Если же два	треугольника	совместить невозможно , то они не равны .
Во сколько раз увеличится площадь прямоугольного	треугольника	, если оба его катета увеличить в 6 раз ? .
Для проверки равенства треугольников DEF и KLM изготовим прозрачную копию и переместим её так , чтобы копия	треугольника	KLM заняла положение EFH на основном чертеже .
Перегнув копию пополам вдоль прямой EF , увидим , что изображение	треугольника	KLM совпадёт с треугольником DEF .
20 Найдите периметр	треугольника	, если одна его сторона равна 1 м , вторая сторона на 21 см меньше первой , а третья сторона на 43 см больше первой .
Площадь прямоугольного	треугольника	.
Поэтому они не совместились полностью при перемещении копии	треугольника	PQR .
8 Стороны	треугольника	имеют следующие длины : 10,6 м ; 7,23 м ; 11,5 м .
Из неравенства	треугольника	следует , что Таким образом , справедливы неравенства .
Из неравенства	треугольника	следует , что .
Найдите периметр	треугольника	.
Вам приходилось слышать про углы квадрата , углы	треугольника	и , может быть , другие углы .
Так как треугольник АВХ помещается внутри	треугольника	АВС , то треугольники АВС и АВХ не могут быть равными .
Площадь	треугольника	AM В равна .
1.2 Вычисление сторон прямоугольного	треугольника	.
Нам уже встречались формулы , выражающие длину пути , площадь прямоугольника и площадь прямоугольного	треугольника	.
Площадь	треугольника	ВКС равна .
По какой формуле можно вычислять площадь прямоугольного	треугольника	, если известны его катеты ? .
Наряду с	треугольниками	и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим числом вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
Выполните это упражнение три раза с разными	треугольниками	.
При этом копия каждого элемента ( вершины , стороны или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в	треугольнике	MNK .
10 Измерьте все углы в	треугольнике	АВС .
8 В прямоугольном	треугольнике	АВС один из углов равен 57 ° , а в прямоугольном треугольнике KLM один из углов равен 24 ° .
Как убедиться , что в	треугольнике	АВС все стороны тоже равны между собой ? .
1.3 В прямоугольном	треугольнике	длина одного катета равна 6 см. Какой должна быть длина другого катета , чтобы площадь треугольника была равна 8 см2 ? .
В прямоугольном	треугольнике	АВС , расположенном на клетчатой бумаге , катеты .
В прямоугольном	треугольнике	АВС с прямым углом при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
1.4 В прямоугольном	треугольнике	один из острых углов в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
8 В прямоугольном треугольнике АВС один из углов равен 57 ° , а в прямоугольном	треугольнике	KLM один из углов равен 24 ° .
1.3 В прямоугольном	треугольнике	гипотенуза равна 15 см , один из катетов 9 см. Чему равна длина другого катета ? .
2.1 На клетчатой бумаге со стороной клеточек в см рассматриваются прямоугольные	треугольники	с вершинами в узлах сетки и катетами , расположенными на линиях сетки .
Четырёхугольники можно разделить вертикальными диагоналями на попарно равные	треугольники	.
Оба квадрата , построенные на катетах , разделим на	треугольники	.
Переложим	треугольники	.
Переместим	треугольники	и сложим из них квадрат .
Рассмотрим	треугольники	АВС и BCD .
Поэтому	треугольники	АВС и PQR тоже не равны .
Если попробуем совместить их друг с другом , то обнаружится , что	треугольники	АВС , DEF и КЕМ удаётся совместить , а треугольник PQR не совмещается ни с одним из них .
Рассмотрим	треугольники	AML , BMN , CNK , DKL .
Какие способы проверки — равны или не равны	треугольники	— вы можете предложить ? .
3 Какие	треугольники	называются равными ? .
Прямоугольные	треугольники	MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников .
4 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
3 ) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
Рассмотрим равные	треугольники	АВС и MNK .
2 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум сторонам другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
Убедиться в том , что	треугольники	АВС и PQR не равны , удаётся , если переместить копию треугольника PQR так , чтобы она совместилась с треугольником АВХ .
Так как треугольник АВХ помещается внутри треугольника АВС , то	треугольники	АВС и АВХ не могут быть равными .
Проведём диагонали АС и BD в прямоугольнике ABCD и рассмотрим	треугольники	АВС и BCD .
Эти	треугольники	— прямоугольные .
Выясним , почему	треугольники	АВС , DEF и KLM оказались равными .
Могут ли такие	треугольники	быть равными ? .
При этом прямоугольные	треугольники	с попарно равными катетами оказывались равными .
1 ) если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника , то такие	треугольники	равны .
Изображены прямоугольные	треугольники	ABC , DEF , KLM , PQR .
Нарисуем эти	треугольники	на листе бумаги и вырежем .
1.3 Какое наибольшее число не равных между собой треугольников можно составить , по - разному приставляя друг к другу	треугольники	?
Это означает , что	треугольники	АОВ , ВОС , COD и AOD одинаковые .
15 Равны ли	треугольники	АВС и KLM с прямыми углами при вершинах В и L , если .
Как проверить , что	треугольники	АВС и BCD равны ? .
1.4 Какое наибольшее число различных четырёхугольников можно составить , по - разному приставляя друг к другу	треугольники	?
Прямоугольные	треугольники	легко изображать на клетчатой бумаге .
Это	треугольники	, четырёхугольники и другие многоугольники .
Если	треугольники	АВС и DEF не равны , то это обозначается следующим образом .
9 Как обозначаются	треугольники	, четырёхугольники и пятиугольники ? .
Глава 10 Прямоугольные	треугольники	.
Рассмотрим	треугольники	АВС и ADC .
Например , для	треугольников	АВС и MNK на рис .
Сколько можно указать прямоугольных	треугольников	, имеющих три вершины в этих точках ? .
Сколько получится разных	треугольников	, если соединить отрезками всевозможные пары точек ? .
7 Разрежьте квадрат на шесть равных прямоугольных	треугольников	.
12 У доски отпилили две части в виде прямоугольных	треугольников	.
6 В чём состоит признак равенства прямоугольных	треугольников	? .
15 Треугольник АБС сложен из четырёх одинаковых	треугольников	с равными сторонами .
14 Проверьте равенство	треугольников	.
Какое наибольшее число равных между собой прямоугольных	треугольников	можно получить , соединяя отрезками некоторые из вершин заданного квадрата ?
6 Разрежьте квадрат на восемь равных прямоугольных	треугольников	.
Понятно , что у равных	треугольников	равны соответственные стороны и соответственные углы .
9 а ) Проверьте измерениями , что нет пары равных	треугольников	.
2 Разрежьте четырёхугольники на несколько прямоугольных	треугольников	.
Для проверки равенства	треугольников	АВС и КЕМ можно повернуть копию треугольника АВС вокруг точки С на 90 ° против хода часовой стрелки , чтобы она совместилась с треугольником CST на основном чертеже .
Равенство	треугольников	обозначается обычным символом = .
Поэтому площадь данной фигуры равна сумме площадей четырёх	треугольников	плюс сумма площадей четырёх прямоугольников .
Чему равна площадь каждого из полученных	треугольников	? .
3 Найдите площади прямоугольных	треугольников	с катетами : а ) 6 см и 22 мм ; б ) 8 см 3 мм и 4 см 6 мм ; в ) 38 мм и 72 мм .
Вычислим площади следующих	треугольников	.
Площадь S четырёхугольника ABCD равна сумме найденных площадей	треугольников	, поэтому .
Заметим , что пятиугольник обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у четырёхугольников и	треугольников	. 1 ) каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
Прямоугольник MNKB составлен из	треугольников	, поэтому можем записать .
В этой главе мы поговорим о прямоугольных треугольниках и установим важный признак , по которому можно судить о равенстве двух прямоугольных	треугольников	.
В конце главы вы узнаете , как применять признак равенства прямоугольных	треугольников	при решении задач .
1.1 Определение прямоугольных	треугольников	.
1.2 Равенство прямоугольных	треугольников	.
Какие значения из указанных не может иметь площадь таких	треугольников	? .
Практическая проверка равенства	треугольников	.
Для проверки равенства	треугольников	DEF и KLM изготовим прозрачную копию и переместим её так , чтобы копия треугольника KLM заняла положение EFH на основном чертеже .
Какой из указанных	треугольников	равен треугольнику PQR ? .
1.2 Изображено прямоугольных	треугольников	, равных треугольнику АВС , включая и сам треугольник ? .
Отметим , что у	треугольников	АВС и PQR один из катетов длиной в 3 клеточки , в то время как другие катеты — в 5 клеточек и 3 клеточки .
Признак равенства прямоугольных	треугольников	.
Это — признак , позволяющий проверять равенство прямоугольных	треугольников	.
Соответственные элементы равных	треугольников	.
1.3 Сколько изображено прямоугольных	треугольников	, равных треугольнику ЛВС и не совпадающих с ним ? .
7 Какие элементы равных	треугольников	называются соответственными ? .
1.4 Фигура составлена из четырёх	треугольников	.
1.3 Какое наибольшее число не равных между собой	треугольников	можно составить , по - разному приставляя друг к другу треугольники ?
Какие углы можно нарисовать при помощи этих	треугольников	? .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных	треугольников	с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
По признаку равенства прямоугольных	треугольников	∆АВС = ∆BCD , значит , АС = BD .
По признаку равенства прямоугольных	треугольников	имеем ∆АВС = ∆ADC .
Углы ВАС и DAC — соответственные углы равных	треугольников	, поэтому .
3 Из двух равных прямоугольных	треугольников	составьте сначала один четырёхугольник , а затем другой четырёхугольник , не равный первому .
9 Разрежьте квадрат на 20 равных	треугольников	и сложите из них 5 равных маленьких квадратов .
2 Как из четырёх равных равнобедренных прямоугольных	треугольников	можно составить квадрат ? .
14 Как сложить прямоугольный треугольник из трёх равных прямоугольных	треугольников	, один из углов которых равен 30 ° ? .
Новый пример равенства прямоугольных	треугольников	.
Из равенства	треугольников	AML и BMN получаем ∠2 , ∠4 .
3.1 Пример на равенство прямоугольных	треугольников	.
Сколько треугольников можно указать , используя в качестве вершин	треугольников	вершины заданного квадрата ? .
Сколько	треугольников	можно указать , используя в качестве вершин треугольников вершины заданного квадрата ? .
AN и ВМ — гипотенузы равных	треугольников	АВМ и ADN .
Прямоугольные треугольники MNK и АВС равны по признаку равенства прямоугольных	треугольников	.
Какие из указанных	треугольников	равны треугольнику ВСМ ? .
2.4 Какие из перечисленных утверждений являются свойствами равенства прямоугольных	треугольников	? .
11 Измерьте при помощи транспортира все углы	треугольников	АВС и KLM .
Какие многоугольники можно из них сложить , совмещая целиком некоторые стороны этих	треугольников	? .
Эти отрезки — гипотенузы равных прямоугольных	треугольников	с катетами в одну и семь клеточек .
2.2 Изображено несколько прямоугольных	треугольников	.
Четырёхугольник ACSQ является квадратом , его площадь S4 в сумме с площадями	треугольников	ABC , CTS , SRQ и QPA равна площади квадрата BTRP .
По признаку равенства прямоугольных	треугольников	ААВС ДАОС .
Признак равенства прямоугольных	треугольников	позволяет устанавливать свойства геометрических фигур .
1.4 Сколько изображено прямоугольных	треугольников	, равных треугольнику АВС и не совпадающих с ним ? .
Какие из указанных	треугольников	равны треугольнику АВС ? .
12 Измерьте все углы	треугольников	АВС и AKL .
2.3 Стороны	треугольников	образуют много отрезков .
1 Какая фигура называется	треугольником	? .
Для проверки равенства треугольников АВС и КЕМ можно повернуть копию треугольника АВС вокруг точки С на 90 ° против хода часовой стрелки , чтобы она совместилась с	треугольником	CST на основном чертеже .
Получится фигура , которая называется	треугольником	.
Перегнув копию пополам вдоль прямой EF , увидим , что изображение треугольника KLM совпадёт с	треугольником	DEF .
После этого сместим копию треугольника АВС вниз и влево до совпадения с	треугольником	КЕМ .
Убедиться в том , что треугольники АВС и PQR не равны , удаётся , если переместить копию треугольника PQR так , чтобы она совместилась с	треугольником	АВХ .
При этом точка А совпадёт с точкой В ' , точка В совпадёт с точкой С ' , точка С совпадёт с точкой D ' . Увидим , что треугольник B'C'D ' на копии полностью совместится с	треугольником	АВС на основном чертеже .
Сколькими способами можно совместить копию треугольника АВС с	треугольником	ACD ? .
Отрезок с выделенной между его концами точкой	треугольником	не считается .
Но фигура , составленная из трёх точек и соединяющих их отрезков , не является	треугольником	, когда все три точки оказываются лежащими на одном отрезке .
Пусть , например , копия треугольника АВС совмещена с	треугольником	MNK .
Попробуем переместить копию так , чтобы изображённый на ней треугольник B'C'D ' совместился с	треугольником	АВС на основном чертеже .
1.3 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных	треугольнику	ЛВС и не совпадающих с ним ? .
1.2 Изображено прямоугольных треугольников , равных	треугольнику	АВС , включая и сам треугольник ? .
Какой из указанных треугольников равен	треугольнику	PQR ? .
Например , чтобы указать , что треугольник АВС равен	треугольнику	MNK , пишут .
Какие из указанных треугольников равны	треугольнику	АВС ? .
Какие из указанных треугольников равны	треугольнику	ВСМ ? .
Получим четыре треугольника , равных	треугольнику	АВС .
1.4 Сколько изображено прямоугольных треугольников , равных	треугольнику	АВС и не совпадающих с ним ? .
13 Как построить прямоугольный треугольник , равный	треугольнику	АВС , у которого вершина совпадает с точкой К , а катеты направлены по лучам KL и КМ ? .
1.1 Чему равен периметр треугольника , который равен	треугольнику	со сторонами 5 см , 6 см и 7 см ? .
Треугольник , как составленная из отрезков геометрическая фигура , является границей своей	треугольной	области .
Получают	треугольную	область .
Углы	тупой	.
5.1 Острый и	тупой	угол .
Какой из углов острый , а какой —	тупой	? .
5.1 Острый и	тупой угол	.
3 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	тупые	углы , если часы показывают время : а ) 7 часов ; б ) 10 часов ; в ) 11 часов 10 минут ; г ) 10 часов 10 минут ; д ) 18 часов 5 минут ? .
3 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют	тупые углы	, если часы показывают время : а ) 7 часов ; б ) 10 часов ; в ) 11 часов 10 минут ; г ) 10 часов 10 минут ; д ) 18 часов 5 минут ? .
4 Какой угол называется	тупым	? .
Угол , градусная мера которого больше 90 ° и меньше 180 ° , называется	тупым	углом .
Угол , градусная мера которого больше 90 ° и меньше 180 ° , называется	тупым углом	.
Будем говорить , что угол А1ОВ1 получен из	угла	АОВ поворотом вокруг точки О. При таком повороте копия угла АОВ совмещается с углом А1ОВ1 .
Наложим на этот лист второй прозрачный лист бумаги и сделаем копию	угла	АОВ .
Какие вы можете предложить перемещения , при которых копия	угла	АОВ совместится с углом ВОС ? .
Но , в отличие от прямой , у развёрнутого	угла	должна быть указана вершина .
Будем говорить , что угол А1ОВ1 получен из угла АОВ поворотом вокруг точки О. При таком повороте копия	угла	АОВ совмещается с углом А1ОВ1 .
Два	угла	на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного угла совмещается с другим углом .
Два угла на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного	угла	совмещается с другим углом .
Определению	угла	удовлетворяет фигура , образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
При пересечении двух различных прямых образуются четыре не совпадающих	угла	.
Понятие	угла	между отрезками позволяет говорить об углах треугольника , углах четырёхугольника и углах других многоугольников .
Измеряя меньший из полученных углов , ученик установил , что величина этого	угла	больше 23 ° и меньше 28 ° .
Как переместить копию	угла	АВС , чтобы она совместилась с углом ΜΝΚ ? .
Два плоских угла называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного плоского	угла	совмещается с другим плоским углом .
Как переместить копию	угла	АОС , чтобы она совместилась с углом BOD ? .
2.3 Изображён плоский угол с вершиной В. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого	угла	? .
Обозначьте буквами концы отрезков , а затем запишите обозначение всего	угла	между отрезками .
2.2 Изображён угол с вершиной К. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого	угла	? .
2.2 Градусная мера	угла	.
Запишите обозначение этого	угла	.
Обозначьте эти точки и вершину	угла	буквами .
Если какой - то плоский угол АОВ составлен из двух плоских углов , равных эталонному углу , то мерой	угла	АОВ будем считать число 2 .
Два плоских	угла	называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного плоского угла совмещается с другим плоским углом .
Если плоский угол АОВ составлен из трёх плоских углов , равных эталонному , то мерой	угла	АОВ будем считать число 3 .
3 Что называется вершиной	угла	? .
Как переместить копию	угла	AOD , чтобы она совместилась с углом ВОС ? .
2.4 Луч делит прямой угол на два неравных	угла	.
Измеряя больший из полученных углов , ученик установил , что величина этого	угла	больше 77 ° и меньше 81 ° .
Как переместить копию	угла	АВС , чтобы она совместилась с углом ВАС ? .
Два	угла	называются смежными , если у них одна сторона общая , а две другие являются противоположными лучами одной прямой .
2 Что называется стороной	угла	? .
Вы знаете , что два луча с общей вершиной определяют два плоских	угла	.
2.3 Луч делит прямой угол на два неравных	угла	.
Чтобы отличить его от	угла	, понимаемого как два луча с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
Чему равна величина данного	угла	? .
Для обозначения	угла	используют знак ∠. Затем указывают вершину и две точки на его сторонах , записывая вершину посередине .
Стороны , выходящие из вершины прямого угла , — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого	угла	, — гипотенуза .
Сторона	угла	.
Он имеет четыре одинаковых	угла	.
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского	угла	, мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского угла .
При этом копия каждого элемента ( вершины , стороны или	угла	) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или углом ) в треугольнике MNK .
Общий конец этих отрезков называют вершиной угла , а сами отрезки называют сторонами	угла	.
Как должна ползти муха по боковой стене и потолку , чтобы попасть из нижнего	угла	N на полу комнаты в верхний угол V на потолке по кратчайшему пути ? .
Общий конец этих отрезков называют вершиной	угла	, а сами отрезки называют сторонами угла .
Может ли треугольник иметь два прямых	угла	? .
Проводя подобное рассуждение для каждого	угла	квадрата , приходим к следующему заключению : диагонали квадрата делят его утлы пополам .
6 В каком прямоугольнике биссектриса его	угла	является диагональю этого прямоугольника ? .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого острого	угла	этого треугольника .
Чему равна величина наименьшего	угла	этого треугольника ? .
Поэтому угол KAF равен половине	угла	квадрата .
8 Нарисуйте на клетчатой бумаге два	угла	, сумма которых равна 45 ° .
1.1 Изображены точки А , В , С. Чему равна величина	угла	ВАС ? .
1.2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке К. Чему равна величина	угла	ВАС ? .
У него четыре одинаковых стороны и четыре одинаковых	угла	.
Для любого	угла	образующие его лучи делят плоскость на две части .
Стороны , выходящие из вершины прямого	угла	, — это катеты , а сторона , противолежащая вершине прямого угла , — гипотенуза .
10 Какие четырёхугольники имеют четыре прямых	угла	? .
Два	угла	называются вертикальными , если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого .
Точка О называется вершиной	угла	, а лучи ОА и ОВ называются его сторонами .
Существуют ли два равных	угла	с общей вершиной , которые не являются вертикальными ? .
Величины порядок	угла	.
6 Даны два смежных	угла	.
Вершина	угла	, образованного отрезками .
7 Некоторый угол в 3 раза больше смежного с ним	угла	.
8 Даны два смежных	угла	.
9 Даны два смежных	угла	.
10 Даны два смежных	угла	.
14 Три	угла	из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , в сумме составляют 240 ° .
Чему равны два других	угла	? .
Чему равна величина	угла	CAD ? .
Чему равна величина	угла	АСЕ ? .
Чему равна величина	угла	FAH ? .
2.2 Известно , что величина	угла	АОВ больше 120 ° .
Какие из приведённых значений не могут быть величиной	угла	, смежного с углом АОВ ? .
Как называется ромб , в котором имеются четыре равных	угла	? .
Каждую такую часть называют градусом и обозначают как 1º. Приложив транспортир к сторонам плоского угла , мы можем прочитать на шкале численное значение градусной меры плоского	угла	.
3 Вне плоского прямого	угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина угла ΡΝΚ .
Градусной мерой	угла	между двумя лучами с общим концом будем считать градусную меру соответствующего плоского угла .
Отсюда можно извлечь практический способ построения прямого	угла	.
С помощью транспортира , как и любого другого измерительного прибора , можно определить лишь приближённое значение градусной меры	угла	.
6 Чему равна величина развёрнутого	угла	? .
Чему равна величина	угла	ВАС ? .
Чему равна величина плоского	угла	, составленного из двух плоских углов величиной 60 ° и 120 ° ? .
3.3 Существование биссектрисы	угла	.
Для пояснения того , что у любого	угла	АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через вершину угла так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
Для пояснения того , что у любого угла АВС существует биссектриса , достаточно перегнуть чертёж пополам вдоль прямой , проходящей через вершину	угла	так , чтобы его стороны АВ и ВС совместились .
2 Какова градусная мера прямого	угла	? .
Какие из приведённых значений может иметь величина	угла	AOD ? .
Чем отличается угол от величины	угла	? .
2.2 При измерении некоторого	угла	эталонным углом величиной 15 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 10 и меньше 11 .
Почему от любого луча можно отложить только два различных	угла	величиной в 90 ° ? .
Какие из приведённых значений может иметь величина	угла	АОС ? .
Чему равна величина	угла	ABD ? .
Если заранее не указывать полуплоскость , в которой откладывается угол заданной величины больше 0 ° и меньше 180 ° , то можно получить два	угла	.
Измерьте величину	угла	, величины углов и найдите сумму углов .
1 Внутри плоского прямого	угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина угла ΡΝΚ ? .
Чему равна градусная мера	угла	, который в новых единицах имеет меру 6 ? .
6 Как объяснить , что для каждого	угла	можно провести его биссектрису ? .
5 Как определяется биссектриса	угла	? .
По основному свойству градусной меры сумма мер этих углов равна градусной мере развёрнутого	угла	KBL , то есть .
В одной полуплоскости относительно прямой АВ провели лучи АС и AD так , что Чему равна величина	угла	CAD ? .
Чему равна градусная мера	угла	, который в новых единицах имеет меру 11 ? .
1 Внутри плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что Чему равна величина	угла	ΡΝΚ ? .
4 Чему равна градусная мера половины развёрнутого	угла	? .
3 Если два	угла	имеют одну и ту же градусную меру , то эти углы равны .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение величины этого	угла	? .
Градусная мера прямого угла составляет половину градусной меры развёрнутого	угла	.
2.2 При измерении некоторого угла эталонным углом величиной 15 ° получили , что в новых единицах измерения мера	угла	больше 10 и меньше 11 .
2 Если два	угла	равны , то они имеют одну и ту же градусную меру .
Градусная мера прямого	угла	составляет половину градусной меры развёрнутого угла .
Величина	угла	.
2.3 При измерении некоторого угла эталонным углом величиной 7 ° получили , что в новых единицах измерения мера	угла	больше 22 и меньше 23 .
Градусную меру	угла	называют также величиной угла .
Чему равна величина	угла	ΡΝΚ ? .
Найдите градусную меру	угла	МОК , сложив градусные меры углов ΜΟΝ и ΝΟΚ , и запишите результат .
Например , запись означает , что величина	угла	АВС равна 45 ° .
Чему равна величина четвёртого	угла	этого четырёхугольника ? .
Поэтому градусная мера каждого из углов АОС , ВОС равна половине градусной меры	угла	АОВ .
2 Вне плоского прямого	угла	ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что .
Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча АВ и от заданной величины	угла	? .
3 Вне плоского прямого угла ΜΝΚ из вершины N проведён луч ΝΡ так , что . Найдите все значения , какие может иметь величина	угла	ΡΝΚ .
Чему равна градусная мера плоского	угла	, составленного из двух плоских углов , градусная мера каждого из которых равна 30 ° ? .
Луч , проведённый из вершины	угла	и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Градусную меру угла называют также величиной	угла	.
Величину	угла	иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о величинах углов .
Луч , проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных	угла	, называется биссектрисой этого угла .
7 Три одинаковых	угла	в сумме составляют развёрнутый угол .
2.3 При измерении некоторого	угла	эталонным углом величиной 7 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 22 и меньше 23 .
Градусной мерой угла между двумя лучами с общим концом будем считать градусную меру соответствующего плоского	угла	.
Найдите величину	угла	ВОС .
Луч BD провели так , что точка D лежит внутри	угла	АВС и ∠DBC 45 ° .
Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного	угла	? .
Луч , проведённый из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла , называется биссектрисой этого	угла	.
Биссектриса	угла	.
Особое внимание уделено развёрнутым и прямым	углам	.
7 Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с тремя прямыми	углами	.
Рассмотрим вместе с	углами	АОВ и COD угол ВОС .
18 Вырежьте из бумаги два треугольника с	углами	90 ° , 43 ° , 47 ° и 90 ° , 40 ° , 50 ° соответственно .
9 Может ли треугольник с двумя	углами	48 ° и 41 ° быть прямоугольным ? .
Итак , изобразив на плоскости два различных луча с общим началом , мы получим три геометрические фигуры , называемые	углами	.
По аналогии с определением равенства отрезков будем называть углы АОВ и А1ОВ1 равными	углами	.
15 Равны ли треугольники АВС и KLM с прямыми	углами	при вершинах В и L , если .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об углах треугольника , углах четырёхугольника и	углах	других многоугольников .
Что вы знаете об	углах	? .
8 Что вы можете сказать об	углах	, имеющих равные градусные меры ? .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об углах треугольника ,	углах	четырёхугольника и углах других многоугольников .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об	углах	треугольника , углах четырёхугольника и углах других многоугольников .
Начнём с рассказа о простейших геометрических фигурах и их элементах — вершинах , сторонах и	углах	.
Какие из этих точек содержаться в плоском	угле	БАС , внутри которого находится точка М ? .
Чему равен каждый из этих	углов	? .
Чему равна градусная мера каждого из этих	углов	? .
Чтобы различить , какой из двух плоских	углов	нам нужен , можно указать некоторую точку , которая содержится в соответствующей этому углу части плоскости .
1.4 В прямоугольном треугольнике один из острых	углов	в 4 раза больше другого острого угла этого треугольника .
Установленное свойство смежных	углов	АОВ и ВОС можно сформулировать по - другому .
Как представить развёрнутый угол в виде суммы двух равных	углов	? .
1 ) величины	углов	АОВ и COD равны .
Величина одного из	углов	на 40 ° больше величины другого .
Сколько может быть таких	углов	в зависимости от положения луча АВ и от заданной величины угла ? .
Чему равна величина каждого из этих	углов	? .
Измерьте величины	углов	ВАС и CAD и сравните их по величине .
Возьмём любой из	углов	четырёхугольника MNKL , например ∠LMN .
Какие из приведённых значений не могут быть суммой величин	углов	АОВ и COD ? .
11 Сумма градусных мер двух	углов	, смежных с данным углом , равна 60 ° .
12 Какие из пар равных	углов	являются вертикальными ? .
13 Один из двух	углов	, полученных при пересечении двух прямых , в 4 раза больше другого .
Сравните градусные меры	углов	ΜΟΝ и KOL ; ΝΟΚ и LOM .
Чему равна сумма	углов	MKL и KML ? .
Найдите сумму величин всех	углов	треугольника .
Найдите градусную меру угла МОК , сложив градусные меры	углов	ΜΟΝ и ΝΟΚ , и запишите результат .
16 Сумма двух	углов	из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 300 ° .
Поэтому градусная мера каждого из	углов	АОС , ВОС равна половине градусной меры угла АОВ .
1.2 Чему равна сумма всех	углов	прямоугольного треугольника ? .
При помощи транспортира измерьте его углы , запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех	углов	.
Какова градусная мера каждого из этих	углов	?
15 Сумма двух	углов	из четырёх , полученных при пересечении двух прямых , равна 120 ° .
Чему равны градусные меры получившихся	углов	? .
Найдите величины всех	углов	с вершиной в точке пересечения прямых .
Чему равна градусная мера каждого из	углов	с вершиной О , которые можно отыскать ? .
Сравните величины	углов	первого треугольника с величинами углов второго треугольника .
Чему равна сумма	углов	ВАС и АВС ? .
8 Пять одинаковых	углов	в сумме составляют развёрнутый угол .
Сравните величины	углов	САВ и АВС .
Сумма смежных	углов	равна 180 ° .
9 Пятнадцать одинаковых	углов	в сумме составляют развёрнутый угол .
4 Чему равна сумма всех	углов	прямоугольного треугольника ? .
2.2 Сумма	углов	прямоугольного треугольника .
3 Чему равна сумма прилежащих к гипотенузе	углов	прямоугольного треугольника ? .
7 Покажите , что сумма	углов	АОВ и АОС равна 45 ° .
Чему равна сумма градусных мер	углов	четырёхугольника KMNL ? .
8 В прямоугольном треугольнике АВС один из	углов	равен 57 ° , а в прямоугольном треугольнике KLM один из углов равен 24 ° .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых	углов	того же треугольника .
Это свойство можно сформулировать так : сумма	углов	прямоугольного треугольника , прилежащих к гипотенузе , равна 90 ° .
Добавим к сумме этих	углов	ещё и третий угол MNK , равный 90 ° .
2 Чему равна градусная мера суммы двух	углов	? .
Тогда сумма окажется равной 180 ° , а поэтому приходим к новому свойству : сумма всех	углов	прямоугольного треугольника равна 180 ° .
1 В каких случаях говорят , что плоский угол АВС равен сумме плоских	углов	ABD и DBC ? .
11 Известно , что сумма углов треугольника равна 180 ° , а один из его	углов	равен разности двух других .
3 Как можно найти градусную меру суммы трёх	углов	? .
11 Сколько	углов	заданной величины можно отложить от заданного луча ? .
Равенство	углов	.
Сколько различных	углов	можно нарисовать , используя в качестве вершин углов три точки ? .
Какие ещё три пары смежных	углов	можно отыскать ? .
Покажем , что для выделенных	углов	, выполняется равенство .
Каждый угол данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме острых	углов	прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
3.4 Пример на вычисление суммы	углов	треугольника .
14 Как сложить прямоугольный треугольник из трёх равных прямоугольных треугольников , один из	углов	которых равен 30 ° ? .
1 Чему равна градусная мера суммы	углов	величиной 17 ° и 28 ° ? .
По основному свойству градусной меры сумма мер этих	углов	равна градусной мере развёрнутого угла KBL , то есть .
Вершины их прямых	углов	будут центром квадрата .
Измерьте величину угла , величины	углов	и найдите сумму углов .
10 Сумма двух	углов	прямоугольного треугольника равна 91 ° .
8 В прямоугольном треугольнике АВС один из углов равен 57 ° , а в прямоугольном треугольнике KLM один из	углов	равен 24 ° .
Углы АВС , ВАС , ВСА треугольника АВС займут на положения	углов	ΜΒΝ , МВК , NBL соответственно .
Градусные меры	углов	АОВ и COD равны одному и тому же значению , значит .
Сколько различных углов можно нарисовать , используя в качестве вершин	углов	три точки ? .
Измерьте величину угла , величины углов и найдите сумму	углов	.
11 Известно , что сумма	углов	треугольника равна 180 ° , а один из его углов равен разности двух других .
Развёрнутый угол составлен из 180 эталонных	углов	, и его градусная мера равна 180º .
Известно , что ∠BAC 60 ° , а величины	углов	BAD и CAD равны .
9 Сколько	углов	можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые углы ? .
8 Сколько всего плоских	углов	можно указать ? .
7 Сколько углов с вершиной О можно указать : а ) без развёрнутых	углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
7 Сколько	углов	с вершиной О можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые углы ? .
6 Сколько плоских	углов	с вершиной О можно указать ? .
5 Сколько	углов	с вершиной О можно указать ? .
Углы , как геометрические фигуры , и величины	углов	будут изучаться позже .
1.4 Пусть за единицу измерения	углов	выбран плоский угол , градусная мера которого равна 3 ° .
9 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых	углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
Составим плоский угол АВС из двух плоских	углов	ABD и DBC .
Иногда в этом случае говорят , что угол АВС равен сумме	углов	ABD и DBC .
Сравните градусные меры	углов	KLC и АСЕ .
Какие из указанных значений не могут быть величиной другого из полученных	углов	? .
До сих пор из всевозможных	углов	мы особо выделяли прямой угол и развёрнутый .
1.2 Пусть за единицу измерения	углов	выбран плоский угол , градусная мера которого равна 12 ° .
Такое свойство выполняется всегда , когда один плоский угол составлен из двух других плоских	углов	, и называется основным свойством градусной меры .
Если какой - то плоский угол АОВ составлен из двух плоских	углов	, равных эталонному углу , то мерой угла АОВ будем считать число 2 .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских	углов	АВС и DBC .
1.3 Пусть за единицу измерения	углов	выбран плоский угол , градусная мера которого равна 4 ° .
1.1 Пусть за единицу измерения	углов	выбран плоский угол , градусная мера которого равна 18 ° .
2.1 При измерении плоских	углов	, которые можно разместить в полуплоскости , используется эталонный угол величиной 16 ° .
11 Сколько	углов	можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые углы ? .
Сумма	углов	прямоугольного треугольника .
Измеряя больший из полученных	углов	, ученик установил , что величина этого угла больше 77 ° и меньше 81 ° .
Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение другого из полученных	углов	? .
2.4 Изображены три луча с началом А. Какие из указанных	углов	не нарисованы ? .
Сколько неразвернутых	углов	можно .
Виды	углов	.
2 Измерение	углов	.
Сколько неразвёрнутых плоских	углов	можно указать ? .
10 Сколько всего плоских	углов	можно указать ? .
Сколько неразвёрнутых	углов	можно указать ? .
2.4 Начальные свойства меры	углов	.
Какие из указанных значений могут быть мерой таких	углов	в новых единицах измерения ? .
Будем рассматривать измерение плоских	углов	, которые можно разместить в какой - нибудь полуплоскости .
Градусная мера плоских	углов	, которые можно разместить в полуплоскости , определяется таким образом , что выполняются следующие свойства .
Процедуру измерения	углов	можно считать аналогичной процедуре измерения отрезков .
13 Сколько всего плоских	углов	можно указать ? .
12 Сколько всего плоских	углов	можно указать ? .
11 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых	углов	; б ) включая развёрнутые углы ? .
Эти числа имеют непосредственное отношение к измерению плоских	углов	в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в градусах .
Градусная мера суммы	углов	равна сумме градусных мер этих углов .
Величину угла иногда обозначают так же , как и сам угол , когда ясно , что речь идёт о величинах	углов	.
2.2 Какие из	углов	являются прямыми ? .
И так будем считать в каждом случае , когда плоский угол составлен из нескольких	углов	, равных эталонному углу .
Чему равна величина плоского угла , составленного из двух плоских	углов	величиной 60 ° и 120 ° ? .
5 Как обозначают величины	углов	? .
Какой из	углов	острый , а какой — тупой ? .
Угол KLD равен сумме острых	углов	прямоугольного треугольника с катетами в две и шесть клеточек .
9 Какие свойства градусной меры	углов	вы знаете ? .
1.5 Равенство	углов	.
Сколько	углов	образуют диагонали квадрата с его сторонами ? .
точка А ; 2 ) точка Б ; 3 ) точка С ; 4 ) точка D . 2.3 Изображено несколько лучей с началом в точке А. Какие из указанных	углов	прямые ? .
Градусная мера суммы углов равна сумме градусных мер этих	углов	.
Сравните величины углов первого треугольника с величинами	углов	второго треугольника .
Пусть угол АМВ составлен из трёх	углов	, величина каждого из которых равна 20 ° .
Для практического измерения	углов	в градусах служит транспортир .
7 Что вы можете сказать о градусных мерах равных	углов	? .
1.6 Равенство плоских	углов	.
2.1 Какие из	углов	являются острыми ? .
Для плоских	углов	также определяется понятие равенства .
Чему равна градусная мера плоского угла , составленного из двух плоских	углов	, градусная мера каждого из которых равна 30 ° ? .
Измеряя меньший из полученных	углов	, ученик установил , что величина этого угла больше 23 ° и меньше 28 ° .
Иногда для отрезков с общим началом нужно рассматривать и какой - то из плоских	углов	.
Запишите все пары равных	углов	.
Если плоский угол АОВ составлен из трёх плоских	углов	, равных эталонному , то мерой угла АОВ будем считать число 3 .
В каком месте надо построить мост под прямым	углом	к берегам реки , чтобы путь из А в В был самым коротким ? .
Угол , градусная мера которого больше 90 ° и меньше 180 ° , называется тупым	углом	.
2.4 Углы АОВ и COD являются смежными с	углом	ВОС .
11 Сумма градусных мер двух углов , смежных с данным	углом	, равна 60 ° .
Как переместить копию угла АОС , чтобы она совместилась с	углом	BOD ? .
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым	углом	при вершине С обозначим длину гипотенузы АВ через с , длину катета АС через b , длину катета ВС через а .
Как переместить копию угла AOD , чтобы она совместилась с	углом	ВОС ? .
Как переместить копию угла АВС , чтобы она совместилась с	углом	ΜΝΚ ? .
2.2 При измерении некоторого угла эталонным	углом	величиной 15 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 10 и меньше 11 .
Как переместить копию угла АВС , чтобы она совместилась с	углом	ВАС ? .
Например ,	углом	треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
Этот угол STU называется развёрнутым	углом	.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым	углом	при вершине В и с равными сторонами АВ и ВС .
Будем говорить , что угол А1ОВ1 получен из угла АОВ поворотом вокруг точки О. При таком повороте копия угла АОВ совмещается с	углом	А1ОВ1 .
Угол , градусная мера которого меньше 90 ° , называется острым	углом	.
1 Какая геометрическая фигура называется	углом	? .
Полученную геометрическую фигуру называют	углом	АОВ .
4 Какая геометрическая фигура называется плоским	углом	? .
5 Какая фигура называется развёрнутым	углом	? .
При этом копия каждого элемента ( вершины , стороны или угла ) треугольника АВС совместится с некоторым элементом ( вершиной , стороной или	углом	) в треугольнике MNK .
Два плоских угла называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного плоского угла совмещается с другим плоским	углом	.
Какие вы можете предложить перемещения , при которых копия угла АОВ совместится с	углом	ВОС ? .
Возьмём прямоугольный треугольник АВС с прямым	углом	при вершине А. Его стороны носят особые названия : АВ — катет , АС — катет , ВС — гипотенуза .
2.3 При измерении некоторого угла эталонным	углом	величиной 7 ° получили , что в новых единицах измерения мера угла больше 22 и меньше 23 .
Какие из приведённых значений не могут быть величиной угла , смежного с	углом	АОВ ? .
Каждую из этих частей также иногда считают	углом	.
Два угла на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одного угла совмещается с другим	углом	.
2.3 Известно , что углы АОВ и COD являются смежными с	углом	ВОС , а величина ВОС меньше 60 ° .
6 Как нарисовать угол , смежный с заданным	углом	? .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей вершиной , угол , рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским	углом	.
Укажите , какие плоские углы соответствуют этому	углу	.
1 Каждому	углу	соответствует его градусная мера .
Чтобы различить , какой из двух плоских углов нам нужен , можно указать некоторую точку , которая содержится в соответствующей этому	углу	части плоскости .
И так будем считать в каждом случае , когда плоский угол составлен из нескольких углов , равных эталонному	углу	.
Если какой - то плоский угол АОВ составлен из двух плоских углов , равных эталонному	углу	, то мерой угла АОВ будем считать число 2 .
Прямоугольник — это такой четырёхугольник , у которого противоположные стороны попарно равны , а все	углы	прямые .
Его соседние	углы	, то есть углы , имеющие общую сторону , могут быть и не одинаковыми .
2.3 Известно , что	углы	АОВ и COD являются смежными с углом ВОС , а величина ВОС меньше 60 ° .
3 ) диагонали прямоугольника при пересечении образуют прямые	углы	.
Его соседние углы , то есть	углы	, имеющие общую сторону , могут быть и не одинаковыми .
существуют прямоугольники , у которых диагонали при пересечении образуют прямые	углы	.
При помощи транспортира измерьте его	углы	, запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех углов .
Вам приходилось слышать про углы квадрата , углы треугольника и , может быть , другие	углы	.
3 Измерьте	углы	MON , ΝΟΚ , KOL , MOL .
Вам приходилось слышать про углы квадрата ,	углы	треугольника и , может быть , другие углы .
Вам приходилось слышать про	углы	квадрата , углы треугольника и , может быть , другие углы .
Проведём из его вершины луч ОС так , чтобы	углы	АОС и СОВ были равными .
Иногда стороны . заметно расходятся , иногда мало расходятся , при этом получаются разные по размеру	углы	.
Таковы , например , все	углы	между горизонтальными и вертикальными линиями на клетчатой бумаге .
5 Измерьте	углы	треугольника АВС .
Понятно , что у равных треугольников равны соответственные стороны и соответственные	углы	.
Соответственными являются стороны АВ и NK , АС и NM , ВС и КМ , а также	углы	АВС и NKM , ВСА и KMN , САВ и MNK .
У них	углы	АВС и ADC — прямые , а катеты АВ и CD , AD и ВС попарно равны , как противолежащие стороны прямоугольника .
Когда у ромба все	углы	прямые .
С помощью транспортира измерим	углы	ABD , DBC и АВС .
Возьмём прямоугольный треугольник MNK с катетами MN и NK и рассмотрим прямоугольник ABCD , у которого Проведём диагональ АС и обозначим	углы	.
Углы ∠2 и ∠3 равны как соответственные	углы	в равных треугольниках АВС и ACD .
Катеты одинаковой длины при перемещениях совпадали , когда совмещались содержащие их прямые	углы	.
Какие	углы	можно нарисовать при помощи этих треугольников ? .
Углы ВАС и DAC — соответственные	углы	равных треугольников , поэтому .
Так как в сумме эти	углы	составляют прямой угол ВАD , то каждый из них равен 45 ° .
3 Чему равны	углы	, образующиеся между пересекающимися линиями клетчатой бумаги ? .
Найдите все его	углы	.
	Углы	АОВ и COD смежные .
	Углы	АОВ и COD вертикальные .
	Углы	АОВ и COD равны .
2 Измерьте при помощи транспортира	углы	ВАС и CAD и запишите результаты измерений .
Почему все прямые	углы	равны как геометрические фигуры ? .
Из вершины А провели два различных луча АС и AD , образующие с лучом АВ	углы	в 45 ° .
4 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют прямые	углы	, если часы показывают время : а ) 3 часа ; б ) 21 час ; в ) 3 часа 30 минут ; г ) 6 часов 15 минут ; д ) 4 часа 5 минут ? .
6 Измерьте	углы	треугольника KLM .
Как обозначить	углы	, которые образуются при пересечении прямых АВ и АС ? .
Рассмотрим	углы	АОВ и ВОС .
1 ) диагонали квадрата делят его	углы	пополам .
11 Измерьте при помощи транспортира все	углы	треугольников АВС и KLM .
2 Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник PQRS и измерьте с помощью транспортира его	углы	.
3 Измерьте	углы	треугольника АВС .
Вертикальные	углы	.
1 Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат ABCD и измерьте с помощью транспортира его	углы	.
Рассмотрим теперь	углы	АОВ и COD .
4 Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Измерьте	углы	АОС , СОВ , BOD , DOA и запишите результаты измерений .
Будут рассмотрены смежные и вертикальные	углы	и их свойства .
10 Измерьте все	углы	в треугольнике АВС .
В этой главе вы начнёте изучать	углы	и способы их измерения , узнаете про основное свойство градусной меры .
5 Какие	углы	называются смежными ? .
7 Каким свойством обладают смежные	углы	? .
15 Дан угольник ,	углы	которого равны 30 ° , 60 ° и 90 ° .
Итак , установлено следующее свойство : вертикальные	углы	равны .
Обозначим через О точку пересечения прямых и выберем точки А , В , С , D на разных лучах , выходящих из точки О. Получились	углы	: ∠ЛОВ , ∠ВОС , ∠COD , ∠AOD .
5.2 Смежные	углы	.
По аналогии с определением равенства отрезков будем называть	углы	АОВ и А1ОВ1 равными углами .
Смежные и вертикальные	углы	.
16 На клетчатой бумаге нарисованы равные	углы	ABC , ΜΝΚ .
15 Изображены равные	углы	АОВ , COD .
14 Изображены равные	углы	АОВ , ВОС , COD .
11 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые	углы	? .
9 Сколько углов можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые	углы	? .
7 Сколько углов с вершиной О можно указать : а ) без развёрнутых углов ; б ) включая развёрнутые	углы	? .
Укажите , какие плоские	углы	соответствуют этому углу .
3 Если два угла имеют одну и ту же градусную меру , то эти	углы	равны .
10 Какие плоские	углы	называются равными ? .
9 Какие	углы	называются равными ? .
Кроме этого различают	углы	, градусная мера которых меньше 90 ° и градусная мера которых больше 90 ° , но меньше 180 ° .
В каких случаях эти плоские	углы	равны ? .
12 Измерьте все	углы	треугольников АВС и AKL .
Иногда используются	углы	величиной в 0 ° .
Изображены равные	углы	АОВ и ВОС .
4 Как измеряются	углы	с помощью транспортира ? .
8 Какие	углы	называются вертикальными ? .
9 Каким свойством обладают вертикальные	углы	? .
Чаще мы будем рассматривать такие плоские	углы	, которые можно разместить в некоторой полуплоскости .
Квадрат — это четырёхугольник , у которого все стороны равны и все	углы	прямые .
2 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют острые	углы	, если часы показывают время : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ; в ) 12 часов 30 минут ; г ) 12 часов 15 минут ; д ) 3 часа 18 минут ? .
14 Дан угольник ,	углы	которого равны 45 ° , 45 ° и 90 ° .
Чему равны эти	углы	? .
Известно , что	углы	АОВ , ВОС и COD равны .
Обозначим	углы	.
Измерьте транспортиром его	углы	.
Укажите равные между собой	углы	.
8 Измерьте	углы	четырёхугольника и запишите результаты измерений .
4 Известно , что	углы	АОВ и ВОС равны .
3 ) диагонали квадрата при пересечении образуют прямые	углы	.
3 В каких случаях часовая и минутная стрелки образуют тупые	углы	, если часы показывают время : а ) 7 часов ; б ) 10 часов ; в ) 11 часов 10 минут ; г ) 10 часов 10 минут ; д ) 18 часов 5 минут ? .
Почему	углы	GAH и CAF равны ? .
Такими же рассуждениями доказывается , что все	углы	четырёхугольника MNKL — прямые .
Углы BMN , NML , LMA в сумме составляют развёрнутый	угол	, а значит .
1.2 Пусть за единицу измерения углов выбран плоский	угол	, градусная мера которого равна 12 ° .
Затем повернём копию вокруг точки О. Если после этого перерисуем с копии повёрнутый угол , то на первом начальном листе бумаги получим	угол	А1ОВ1 .
Такое свойство выполняется всегда , когда один плоский	угол	составлен из двух других плоских углов , и называется основным свойством градусной меры .
До сих пор из всевозможных углов мы особо выделяли прямой	угол	и развёрнутый .
8 Что такое	угол	треугольника ? .
7 Как определяется	угол	между двумя отрезками с общим концом ? .
1.1 Пусть за единицу измерения углов выбран плоский	угол	, градусная мера которого равна 18 ° .
Будем говорить , что	угол	А1ОВ1 получен из угла АОВ поворотом вокруг точки О. При таком повороте копия угла АОВ совмещается с углом А1ОВ1 .
6 Какой вид имеет плоский развёрнутый	угол	? .
Своими особенностями выделяется прямой	угол	.
Прямой	угол	можно получить на листе бумаги следующим образом : сначала перегнём лист пополам , затем ещё раз перегнём полученный лист , совместив при этом части края первого сгиба .
2.3 Луч делит прямой	угол	на два неравных угла .
10 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают 12 часов 20 минут ? .
Прямой	угол	очень легко нарисовать на клетчатой бумаге .
Если заранее не указывать полуплоскость , в которой откладывается	угол	заданной величины больше 0 ° и меньше 180 ° , то можно получить два угла .
7 Три одинаковых угла в сумме составляют развёрнутый	угол	.
Такой	угол	можно увидеть , если посмотреть на здание , на книжку или тетрадку .
10 Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник АВС , в котором ,	угол	С прямой .
Поэтому если взять прямой угол АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый	угол	ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Прямой	угол	образуют любые две соседние стороны квадрата или прямоугольника .
Поэтому если взять прямой	угол	АВС и изобразить луч BD , противоположный лучу ВА на прямой АВ , то развёрнутый угол ABD будет равен сумме плоских углов АВС и DBC .
Как из листа бумаги при помощи ножниц можно вырезать прямой	угол	? .
11 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают 3 часа 40 минут ? .
13 Измерьте	угол	АОВ и запишите получившийся результат .
5.1 Острый и тупой	угол	.
Значит ,	угол	DBC тоже прямой .
Развёрнутый	угол	составлен из 180 эталонных углов , и его градусная мера равна 180º .
И так будем считать в каждом случае , когда плоский	угол	составлен из нескольких углов , равных эталонному углу .
Если плоский	угол	АОВ составлен из трёх плоских углов , равных эталонному , то мерой угла АОВ будем считать число 3 .
Если какой - то плоский	угол	АОВ составлен из двух плоских углов , равных эталонному углу , то мерой угла АОВ будем считать число 2 .
1 Как определяется прямой	угол	? .
Сначала выберем эталон — стандартный плоский	угол	.
Величину угла иногда обозначают так же , как и сам	угол	, когда ясно , что речь идёт о величинах углов .
2.3 Изображён плоский	угол	с вершиной В. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
2.2 Изображён	угол	с вершиной К. Какие из приведённых записей являются обозначениями этого угла ? .
2.4 Луч делит прямой	угол	на два неравных угла .
Развернутый	угол	имеет величину 180 ° .
Чем отличается	угол	от величины угла ? .
В результате получим	угол	, образованный двумя отрезками .
16 С помощью двух таких угольников , какие указаны в задачах , изобразите	угол	в 105 ° .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а	угол	четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
Чему равен четвёртый	угол	? .
Какую меру в новых единицах имеет	угол	в 105 ° ? .
Чётко отметив линию изгиба , получим прямой	угол	с достаточно высокой точностью .
Обозначьте его вершины буквами А , В , С. После этого отметьте	угол	ВСА .
1.4 Пусть за единицу измерения углов выбран плоский	угол	, градусная мера которого равна 3 ° .
2 Нарисуйте и обозначьте	угол	.
Составим плоский	угол	АВС из двух плоских углов ABD и DBC .
Какую меру в новых единицах имеет развёрнутый	угол	? .
4 От любого луча можно отложить плоский	угол	любой заданной величины от 0 ° до 180 ° .
1.3 Пусть за единицу измерения углов выбран плоский	угол	, градусная мера которого равна 4 ° .
Иногда в этом случае говорят , что	угол	АВС равен сумме углов ABD и DBC .
1 Нарисуйте	угол	.
Треугольник , у которого один	угол	прямой , называется прямоугольным .
2.1 При измерении плоских углов , которые можно разместить в полуплоскости , используется эталонный	угол	величиной 16 ° .
Затем повернём копию вокруг точки О. Если после этого перерисуем с копии повёрнутый	угол	, то на первом начальном листе бумаги получим угол А1ОВ1 .
Какой	угол	следует поставить вместо знака вопроса ? .
2.9 Прямой	угол	.
1.2 Плоский	угол	.
Этот же	угол	можно обозначить и по - другому : ∠ΒΟΑ .
Изображённый	угол	можно обозначить так : ∠АОВ .
Про	угол	CAD , как угол между диагональю квадрата и его стороной , уже известно , что .
Про угол CAD , как	угол	между диагональю квадрата и его стороной , уже известно , что .
Выбирая на плоскости другую точку и проводя два различных луча с началом в этой точке , получим другой	угол	.
1.4 На плоскости задан развёрнутый	угол	АВС .
Рассмотрим вместе с углами АОВ и COD	угол	ВОС .
Как должна ползти муха по боковой стене и потолку , чтобы попасть из нижнего угла N на полу комнаты в верхний	угол	V на потолке по кратчайшему пути ? .
Заменим	угол	GAH на равный ему угол КАЛ , который получается при откладывании на продолжении GH отрезка НК , равного GH .
Заменим угол GAH на равный ему	угол	КАЛ , который получается при откладывании на продолжении GH отрезка НК , равного GH .
1 Какой	угол	называется развёрнутым ? .
2 Какой	угол	называется прямым ? .
3 Какой	угол	называется острым ? .
Каждый	угол	данного четырёхугольника — прямой : он равен сумме острых углов прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Поэтому	угол	KAF равен половине угла квадрата .
9 Пятнадцать одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый	угол	.
4 Какой	угол	называется тупым ? .
5 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 3 часа ; б ) 6 часов ? .
Но ∠1 и ∠3 в сумме дают прямой	угол	BAD , поэтому .
Чему равен наибольший	угол	такого треугольника ? .
Добавим к сумме этих углов ещё и третий	угол	MNK , равный 90 ° .
6 Как нарисовать	угол	, смежный с заданным углом ? .
1 В каких случаях говорят , что плоский	угол	АВС равен сумме плоских углов ABD и DBC ? .
Покажите , что	угол	KLD — прямой .
Такой треугольник называют « египетский » , потому что уже в Древнем Египте , соединив три палки длиной три , четыре и пять единиц измерения длины , строили прямой	угол	, нужный при разметке участков и в строительстве .
8 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 19 часов ; б ) 20 часов ? .
6 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 18 часов ; б ) 21 час ? .
7 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 2 часа ; б ) 4 часа ? .
Так как в сумме эти углы составляют прямой	угол	ВАD , то каждый из них равен 45 ° .
8 Пять одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый	угол	.
Рассмотрим на листе бумаги	угол	АОВ , образованный лучами ОА и ОВ .
2.4 Измеряя	угол	, ученик установил , что его величина больше 53 ° и меньше 58 ° .
Чтобы отличить его от угла , понимаемого как два луча с общей вершиной ,	угол	, рассматриваемый как часть плоскости , ограниченной двумя различными лучами с общим началом , будем называть плоским углом .
1.2 В прямоугольнике ABCD отрезок АС образует со стороной AD	угол	в 32 ° .
Пусть	угол	АМВ составлен из трёх углов , величина каждого из которых равна 20 ° .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается угол , образованный лучами АВ и АС , а также плоский	угол	, ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
Например , углом треугольника АВС с вершиной А считается	угол	, образованный лучами АВ и АС , а также плоский угол , ограниченный этими лучами и содержащий данный треугольник .
4.1 Прямой	угол	.
Какой	угол	образует диагональ АС со стороной СВ ? .
10 Как от данного луча отложить	угол	заданной величины ? .
1.3 В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует	угол	в 25 ° со стороной CD .
Рассмотрим два различных отрезка АВ и АС с общим концом А. Углом между отрезками АВ и АС будем называть	угол	между лучами АВ и АС .
Как можно представить плоский развёрнутый	угол	? .
Внешне развёрнутый	угол	ничем не отличается от прямой .
Этот	угол	STU называется развёрнутым углом .
Рассмотрим	угол	АОВ .
2.4 В полуплоскости а проведён некоторый луч АВ , и в этой полуплоскости нужно изобразить	угол	САB величиной от 0 ° до 180 ° .
7 Некоторый	угол	в 3 раза больше смежного с ним угла .
1.3 Развёрнутый	угол	.
Изобразите , какое положение он займёт , если повернуть его вокруг точки пересечения диагоналей по часовой стрелке на	угол	? .
Например , плоский	угол	можно назвать так : « плоский угол PQR , содержащий точку М » .
Например , плоский угол можно назвать так : « плоский	угол	PQR , содержащий точку М » .
Как представить развёрнутый	угол	в виде суммы двух равных углов ? .
1.1 Изображён прямой	угол	АВС .
Надо иметь в виду , что	угол	как два луча на плоскости и угол как соответствующая части плоскости — разные геометрические фигуры .
4 Прямой	угол	.
Надо иметь в виду , что угол как два луча на плоскости и	угол	как соответствующая части плоскости — разные геометрические фигуры .
У них одна сторона общая , а вместе они образуют развернутый	угол	АОС .
Плоский	угол	можно разместить в некоторой полуплоскости , а плоский угол ни в какой полуплоскости разместить невозможно .
Плоский угол можно разместить в некоторой полуплоскости , а плоский	угол	ни в какой полуплоскости разместить невозможно .
Измерьте	угол	ВАС и запишите результат .
9 Какой	угол	образуют минутная и часовая стрелки , когда часы показывают : а ) 12 часов 30 минут ; б ) 3 часа 30 минут ; в ) 6 часов 30 минут ? .
Луч , проведённый из вершины угла и делящий этот	угол	на два равных угла , называется биссектрисой этого угла .
Прямой	угол	.
15 Дан	угольник	, углы которого равны 30 ° , 60 ° и 90 ° .
14 Дан	угольник	, углы которого равны 45 ° , 45 ° и 90 ° .
Углы какой величины можно изобразить с помощью этого	угольника	? .
17 Два	угольника	приложены к прямой .
Углы какой величины можно изобразить с помощью такого	угольника	? .
16 С помощью двух таких	угольников	, какие указаны в задачах , изобразите угол в 105 ° .
Углы какой величины , образованные сторонами	угольников	, можно найти ? .
3 Что такое	уменьшаемое	? .
	Уменьшаемое	уменьшить , а вычитаемое увеличить на 1,75 ? .
Его можно сформулировать в виде правила : если к разности прибавить вычитаемое , то получится	уменьшаемое	.
3 Разность двух натуральных чисел больше 10 , а	уменьшаемое	равно 15 .
Числа записывают « столбиком » , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце :	уменьшаемое	— вверху , вычитаемое — внизу .
Сложим	уменьшаемое	с найденным дополнением .
5 Как определяется разность двух чисел , когда	уменьшаемое	больше вычитаемого ? .
Если считать длину отрезка АВ неизвестным слагаемым , а длину отрезка АС — известной суммой , то получим такое правило :	уменьшаемое	отмечаем на верхней линейке , а вычитаемое — на нижней и эти отметки совмещаем ; ответ прочитаем на верхней линейке напротив нуля нижней .
Другими словами , если число n является вычитаемым , а	уменьшаемым	является число , следующее за числом n , то разностью между ними является число 1 .
Таким образом , в рассмотренном примере число 234 является	уменьшаемым	, число 95 является вычитаемым , а число 139 равно разности чисел 234 и 95 .
Число а называют	уменьшаемым	, число b называют вычитаемым .
Другими словами , если число 1 является вычитаемым , а	уменьшаемым	является число , следующее за числом n , то разностью между ними является число n .
Поразрядно , начиная с разряда единиц ,	умножаем	верхнее число на разряды нижнего числа .
5 Как	умножать	числа , имеющие нули в конце своей записи ? .
В этой главе вы узнаете , что такое дробь , как изображаются дроби на числовой прямой , как складывать , вычитать ,	умножать	, делить и сравнивать дроби .
2 Выполните	умножение	.
Итак ,	умножение	числа а на натуральное число b определяется по правилам .
Выполните	умножение	в четверичной системе .
Рассмотрим теперь	умножение	десятичной дроби на 0,1 , то есть на Вычислим , например , произведение .
Выполните	умножение	в двоичной системе .
5 Замените звёздочки цифрами так , чтобы	умножение	« столбиком » было правильным .
Выполняя	умножение	, ученик ошибся и получил неверный результат 3131 .
Итак , мы установили , что если определить	умножение	на нуль , то основные законы умножения не нарушатся .
5 Выполните	умножение	.
Умножение десятичных дробей похоже на	умножение	натуральных чисел .
3 Выполните	умножение	.
4 Выполните	умножение	.
Возникает вопрос : а нет ли возможностей как - то по - другому определить	умножение	на нуль и при этом не нарушить правила арифметики ?
Затем выполним	умножение	.
2 Как определяется	умножение	любого числа а на натуральное число b ? .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и	умножением	на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
4 Выполните деление и проверьте полученный результат	умножением	.
1 Замените	умножением	и вычислите .
Отметим , что деление обеих частей неравенства на положительную дробь у можно заменить	умножением	обеих частей этого неравенства на дробь , обратную к дроби .
2 Проверьте	умножением	правильность деления .
При	умножении	чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
Число сотен второго сомножителя равно нулю , поэтому при	умножении	5836 на число сотен получится строка из нулей .
При	умножении	десятичной дроби на 0,1 запятая смещается на один разряд влево .
4 Зачем нужны вспомогательные строки при	умножении	« столбиком » ? .
Свойство числа 1 при	умножении	: произведение числа а и числа 1 всегда равно числу а .
На основании свойств единицы ( при	умножении	) , нуля ( при сложении ) и распределительного закона , имеем цепочку равенств .
Сочетательный закон умножения : при	умножении	произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
При	умножении	5836 на число 4 десятков второго сомножителя записываем под чертой ещё две строки по тем же правилам , что и выше .
Свойство числа 0 при	умножении	: произведение числа а и числа 0 всегда равно 0 .
При	умножении	десятичной дроби на 10 запятая смещается на один разряд вправо .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при	умножении	произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Например , при одновременном	умножении	числителя и знаменателя дроби на одно и то же число 2012 получим новую дробь .
В случае , когда , при	умножении	величины h на дробь иногда говорят , что величина увеличилась в раз .
Аналогичные слова иногда употребляют и при	умножении	величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
При	умножении	величины на натуральное число n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
Напомним , что при	умножении	разрядной единицы на 10 получается разрядная единица следующего , более высокого разряда .
3.1 Примеры	умножений	дробных чисел .
Для натуральных чисел деление нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное »	умножению	.
По таблице	умножения	находим , что х 6 является корнем этого уравнения .
Видно , что здесь опять достаточно знать таблицу	умножения	однозначных чисел и правило умножения на 10 .
Используя правило	умножения	на степени числа 10 , находим .
Обычно это вычисление делается « в уме » , так как для подсчёта каждого из произведений достаточно знать таблицу	умножения	однозначных чисел .
Закон распределительный	умножения	.
Из свойств	умножения	известно , что для любого числа а выполняется равенство .
Тот факт , что 100 состоит из 10 десятков , с помощью	умножения	записывается так .
Алгоритм	умножения	натуральных чисел .
4.2 Правило	умножения	десятичных дробей .
Законы сложения и	умножения	позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя таблицу умножения однозначных чисел .
3 Каково правило	умножения	дробей ? .
Для этого применяется изучавшийся в младших классах алгоритм	умножения	.
2 Каково правило	умножения	дроби на простейшую ? .
1 Каково правило	умножения	простейших дробей ? .
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя таблицу	умножения	однозначных чисел .
Закон переместительный	умножения	.
Видно , что здесь опять достаточно знать таблицу умножения однозначных чисел и правило	умножения	на 10 .
7 Какова таблица	умножения	в системе счисления с основанием 4 ? .
Изложенный выше алгоритм	умножения	очень удобен , когда речь идёт о не слишком больших сомножителях .
Предполагая , что для дробей выполняется переместительный закон	умножения	, и используя результат примера 2 , для дробей и получим равенства .
Как вы можете записать результат	умножения	дробей .
Сформулируем теперь общее правило	умножения	дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение числителей , а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Из определения	умножения	дробей получаем правило для умножения простейших дробей .
Из определения умножения дробей получаем правило для	умножения	простейших дробей .
Рассмотрим дроби и Произведение этих дробей равно 1 , так как по правилу	умножения	справедливо равенство .
Вы знаете таблицу сложения , изучали таблицу	умножения	.
11 Сколько различных значений записано в таблице	умножения	натуральных числе от 2 до 9 ? .
6 Замените звёздочки знаками сложения + , вычитания – ,	умножения	х и расставьте скобки так , чтобы при выполнении действий получилась указанная справа величина .
2 Из каких законов сложения и	умножения	вытекают правила , по которым раскрывают скобки ? .
Равенства , установленные в этом пункте , часто называют формулами сокращённого	умножения	.
1.3 Дана таблица	умножения	числа 17 на числа .
3.4 Формулы сокращённого	умножения	.
Из правила	умножения	на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде произведения натурального числа и числа 10 .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример	умножения	чисел в четверичной системе .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы	умножения	и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
На основании этих равенств приведена таблица	умножения	однозначных чисел в четверичной системе счисления .
Законы сложения и	умножения	.
Умножение чисел в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой таблицы	умножения	.
Как сформулировать правило	умножения	натуральных чисел , оканчивающихся нулями ? .
2.1 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы	умножения	однозначных чисел на 4 ? .
Переместительный закон	умножения	: от перестановки сомножителей произведение чисел не изменяется .
Сочетательный закон	умножения	: при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Какие законы сложения и	умножения	использованы в рассмотренном примере ? .
Результат	умножения	любого числа на 10 получается приписыванием нуля справа в конце этого числа .
В этой главе вы вспомните правила	умножения	натуральных чисел .
4.4 Правило	умножения	десятичной дроби на .
Используя операцию	умножения	, найдём решение этой задачи .
сочетательный закон умножения . 2 ) переместительный закон	умножения	.
Остаётся последовательно выполнить три операции	умножения	, чтобы получить точный результат .
сочетательный закон	умножения	. 2 ) переместительный закон умножения .
Почему приписывание нуля в конце дробной части справа у одного из сомножителей не влияет на результат	умножения	? .
14 Выполните действия , воспользовавшись сочетательным законом	умножения	.
Выполните действия , используя переместительный закон	умножения	.
2.3 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы	умножения	однозначных чисел на 3 ? .
11 Выполните действия различными способами , используя сочетательный закон	умножения	.
10 Выполните действия различными способами , используя переместительный закон	умножения	.
2.2 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы	умножения	однозначных чисел на 8 ? .
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и	умножения	, поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её целой и дробной части .
1.5 Сочетательный закон	умножения	.
4.3 Правило	умножения	десятичной дроби на 10 .
Начнём с	умножения	на 10 .
Ранее мы рассматривали для чисел отдельно законы сложения и законы	умножения	.
3 В чём состоит переместительный закон	умножения	? .
Сочетательный закон	умножения	позволяет убирать в произведении сомножителей скобки .
Если при этом убрать ещё и знак	умножения	, то получим последовательность равенств : abc .
2.4 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы	умножения	однозначных чисел на 6 ? .
Какие законы	умножения	позволяют записать равенство ? .
4 В чём состоит сочетательный закон	умножения	? .
6 Сформулируйте правило	умножения	обеих частей неравенства на дробь .
Будут сформулированы основные законы	умножения	, приведены правила действий с выражениями , содержащими скобки .
Закон сочетательный	умножения	.
Это позволяет получить простое правило	умножения	натурального числа на 10 .
Законы сложения и	умножения	дробей .
Определение	умножения	.
Напомним , что операция	умножения	на натуральное число возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных слагаемых .
Итак , мы установили , что если определить умножение на нуль , то основные законы	умножения	не нарушатся .
Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения в случаях , когда один из сомножителей равен нулю , можно проверить непосредственно , используя правило	умножения	на нуль .
Справедливость переместительного и сочетательного законов	умножения	в случаях , когда один из сомножителей равен нулю , можно проверить непосредственно , используя правило умножения на нуль .
Приведённые выше законы сложения и	умножения	очень важны в математике .
При этом для основных законов сложения и	умножения	часто используются названия , восходящие к латинским словам .
Результат	умножения	числа а на число b обозначается через и называется произведением а и b.
Руководствуясь общим правилом , нетрудно составить известную вам таблицу	умножения	однозначных чисел .
По правилу	умножения	обыкновенных дробей имеем .
С помощью таблицы	умножения	однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Определение	умножения	через сложение позволяет наглядно представить на числовой прямой и произведение натуральных чисел .
1.3 Переместительный закон	умножения	.
2.2 Какие из указанных чисел не встречаются в таблице	умножения	однозначных чисел ? .
Зная , что один час содержит 60 минут , в двух часах получим 2	умноженное	на 60 минут .
Наконец ,	умножив	5836 на число 7 тысяч второго сомножителя , опять получаем две строки , но крайнюю правую цифру нужно записать в разряде тысяч .
Для приведения дробей к общему знаменателю	умножим	числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
Сначала	умножим	86 на 4 .
Выпишем числа в столбик и	умножим	как натуральные , не обращая внимания на запятые .
Теперь	умножим	86 на 70 .
Поразрядно , начиная с разряда единиц ,	умножим	верхнее число на цифру 3 младшего разряда нижнего числа .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число	умножить	на произведение второго и третьего .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель	умножить	на знаменатель первой дроби , то получим .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель	умножить	на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
Таким образом , можно записать правило : если обе части неравенства	умножить	на положительную дробь , то знак неравенства не изменится .
Иными словами ,	умножить	а на натуральное число b — значит найти сумму b одинаковых слагаемых , равных а .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби	умножить	на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Заменяя значение 4816 с избытком на 5000 , сможем в уме	умножить	.
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит	умножить	величину h на дробное число .
Затем	умножить	и на t и получить путь S в метрах .
Что произойдёт с частным при делении числа а на число b , если делимое	умножить	на число 5 ? .
Как	умножить	десятичную дробь на 1000 ? .
Поэтому разделить число 3 на 18 — все равно что число 3	умножить	на дробь .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат	умножить	на число т .
2 Как	умножить	число на степень десяти ?
1.7 Если делимое и делитель одновременно	умножить	на одно и то же ненулевое число , то частное от этого не изменится .
Как в двоичной системе счисления	умножить	число на 210 ? .
1 Как	умножить	число на 10 ? .
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое число	умножить	на произведение второго и третьего .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель	умножить	на 5 ; б ) делимое умножить на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
24 Как изменится частное , если : а ) делитель умножить на 5 ; б ) делимое	умножить	на 5 ; в ) делимое разделить на 5 ? .
3 Как	умножить	десятичную дробь на разрядную единицу ? .
Если некоторое натуральное число дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза	умножить	на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Если некоторое натуральное число дважды	умножить	на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Что произойдёт с неравенством , если обе его части	умножить	на число 0 ? .
Для пояснения этого правила рассмотрим	уравнение	.
Составим	уравнение	.
Частное от деления натурального числа m на натуральное число n определяется как решение	уравнение	.
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если	уравнение	имеет корнем натуральное число .
1.3 Какой корень имеет	уравнение	? .
Наконец , рассмотрим	уравнение	.
1.1 Какой корень имеет	уравнение	? .
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n	уравнение	и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
Действительно , составим	уравнение	.
Подставляя в это	уравнение	вместо х , получаем .
Для этого надо решить	уравнение	.
Составляем	уравнение	.
Теперь возьмём	уравнение	.
Заметим теперь : если , то решением этого уравнения является любая дробь ; если , то это	уравнение	не имеет решения , потому что при любом х выполняется равенство .
Так как по условию сумма равна 234 , то получим	уравнение	.
Сколько решений имеет	уравнение	? .
Решить такое	уравнение	— значит найти число , зная квадрат этого числа .
Поэтому	уравнение	вида не имеет корней , если b не равно нулю .
Обозначим неизвестную длину ребра куба буквой х. Получим	уравнение	.
1 Какие примеры	уравнений	вам известны ? .
При составлении	уравнений	вида может возникнуть случай , когда .
Формула означает также , что число b удовлетворяет	уравнению	.
Так как , то приходим к	уравнению	.
По таблице умножения находим , что х 6 является корнем этого	уравнения	.
Будем считать корнем этого	уравнения	новое число , которое обозначим как -1 .
Корень этого	уравнения	можно найти подбором .
Тогда разность определена и является корнем	уравнения	.
9 Решите	уравнения	.
Значит , никакое натуральное число решением	уравнения	.
Корень х	уравнения	обозначают .
Число 0 и любое натуральное число не являются корнями этого	уравнения	.
Но , по определению , корнем этого	уравнения	является разность .
Число нуль тоже не является решением данного	уравнения	, так как .
Только число является корнем	уравнения	.
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных чисел m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого	уравнения	, потому что .
Будем считать корнем этого	уравнения	новое число , которое обозначим как -2 .
Тогда будет решением	уравнения	.
Значит , число х является корнем	уравнения	.
Числа -1 , 0 и любое натуральное число не могут быть корнями этого	уравнения	.
Значит , является корнем	уравнения	, следовательно .
Чтобы найти корень этого	уравнения	, нужно подобрать такое число х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из числа .
Значение квадратного корня из числа а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня	уравнения	можно представить в виде .
Корень	уравнения	.
Решение такой задачи можно связать с составлением	уравнения	.
Решением этого	уравнения	является дробь , так , как основному свойству дроби равно числу .
Частным при делении первой дроби на вторую назовём такую дробь х , которая является решением	уравнения	.
Заметим теперь : если , то решением этого	уравнения	является любая дробь ; если , то это уравнение не имеет решения , потому что при любом х выполняется равенство .
Значит , х — корень	уравнения	.
Таким образом , частное от деления числа 12 на число 2 есть решение	уравнения	.
2 Чему равняется корень	уравнения	? .
10 Решите	уравнения	.
Вы вспомните , как пользоваться линейкой и циркулем , рассмотрите важное понятие равенства геометрических	фигур	.
Этой главой открывается чрезвычайно важный раздел математики — геометрия — наука о свойствах	фигур	на плоскости и в пространстве .
1.2 Какая из изображённых	фигур	является прямоугольником ? .
В чём отличие друг от друга геометрических	фигур	? .
Равенство	фигур	на плоскости .
Примеры равенства	фигур	.
1.1 Какая из изображённых	фигур	является четырёхугольником ? .
На основе сделанных наблюдений определим понятие равенства	фигур	на плоскости .
1.3 Какая из изображённых	фигур	является ромбом ? .
Изобразите с помощью линейки несколько геометрических	фигур	, содержащих эти точки .
Как можно пояснить второе свойство равенства	фигур	? .
Чтобы говорить о свойствах этих или других геометрических	фигур	, будем постепенно вводить новые слова и понятия .
Прямоугольники и квадраты выделяются из многих	фигур	плоскости своими свойствами .
2.4 Какие из изображённых	фигур	являются прямоугольниками ? .
2.3 Какие из изображённых	фигур	являются четырёхугольниками ? .
2.2 Какие из изображённых	фигур	являются ромбами ? .
По определению , для проверки равенства двух	фигур	достаточно совместить копию первой фигуры со второй фигурой .
5 Перечислите свойства равенства	фигур	.
Мы рассмотрели многие примеры геометрических	фигур	.
3.3 О « равноправии »	фигур	при проверке равенства .
Иногда будем использовать изображения	фигур	на бумаге в клеточку .
2 ) если каждая из двух	фигур	равна третьей , то эти две фигуры равны между собой .
Равенство	фигур	обладает наглядными свойствами , которые используются далее при изучении геометрии .
2.1 Какие из изображённых	фигур	являются квадратами ? .
1.4 Какую из изображённых	фигур	можно нарисовать , используя только циркуль ? .
2 Какие примеры равенства геометрических	фигур	вы знаете ? .
Приведём примеры фигур на плоскости , или , короче , плоских	фигур	.
Какие из рассмотренных выше	фигур	являются параллелограммами ? .
Приведём примеры	фигур	на плоскости , или , короче , плоских фигур .
Для сравнения вместимости пространственных	фигур	вводится понятие объёма .
Глава 1 Геометрические	фигур	.
При изучении отрезков мы будем использовать общие свойства равенства геометрических	фигур	, которые для отрезков выглядят так .
Сколько среди лучей АВ , АС , СВ , ВА , ВС , СА различных	фигур	? .
6 Приведите пример двух	фигур	равной площади , которые не равны друг другу .
Такой процесс построения содержащихся внутри треугольника	фигур	можно повторять шаг за шагом и получать все большие значения площади треугольника с недостатком .
3 Разрежьте левую из	фигур	на части и сложите правую фигуру .
Какие прямоугольники можно пытаться складывать из всех	фигур	пентамино ? .
Признак равенства прямоугольных треугольников позволяет устанавливать свойства геометрических	фигур	.
Как сложить треугольник из двух	фигур	, на которые прямоугольник делится диагональю ? .
7 Изображены 12	фигур	пентамино из 5 клеточек каждая .
2.3 Фигура F составлена из двух	фигур	, площади которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q площадь фигуры F равна 2000 см2 ? .
1.2 Площадь	фигур	на клетчатой бумаге .
1.4 На отрезке АВ выбрана точка С. Сколько среди лучей АВ , ВА , ВС , СВ , АС , СА различных	фигур	? .
Отрезок — одна из простейших геометрических	фигур	.
11 Используя величину 1 k2 , равную площади одной клеточки , выразите площади	фигур	.
2 Что можно сказать о площадях двух равносоставленных	фигур	? .
Покажем это на примере вычисления площадей многоугольных	фигур	на клетчатой бумаге .
1 Какие примеры равносоставленных	фигур	вы знаете ? .
Перечисленные выше свойства позволяют находить площадь некоторых	фигур	, если считать площадь эталона равной 1 .
Из отрезков можно составить много самых разнообразных	фигур	.
Каковы основные свойства площадей плоских геометрических	фигур	? .
Название таких	фигур	— ломаные .
1 Даны три различные точки — А , В , С. Сколько различных геометрических	фигур	может быть среди прямых АВ , ВС и АС ? .
Найдите площади	фигур	.
Такой процесс построения содержащих треугольник	фигур	можно повторять шаг за шагом и получать всё меньшие значения площади треугольника с избытком .
2.3 Фигура F составлена из двух	фигур	, площади которых равны 3 дм2 и 68 см2 .
Будет введено понятие равносоставленности геометрических	фигур	.
Для сравнения величины участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная характеристика	фигур	плоскости , называемая площадью .
6.1 Примеры равносоставленных	фигур	.
Получится	фигура	, которая называется треугольником .
5 Какая геометрическая	фигура	называется прямоугольником ? .
4 Какая геометрическая	фигура	называется квадратом ? .
Если закрасить внешность четырёхугольника , то получится другая геометрическая	фигура	.
Треугольник , как составленная из отрезков геометрическая	фигура	, является границей своей треугольной области .
каждая	фигура	равна самой себе .
Тогда нижнюю фигуру можно наложить на верхнюю так , что нижняя	фигура	окажется « внутри » верхней .
5 Какая	фигура	называется развёрнутым углом ? .
4 Какая геометрическая	фигура	называется плоским углом ? .
1 Какая геометрическая	фигура	называется углом ? .
Получена геометрическая	фигура	, которая называется пятиугольником , точки D , Р , X , Z , U — его вершины , а отрезки DP , РХ , XZ , ZU , UD — стороны пятиугольника .
Как называется и обозначается	фигура	, образованная вершиной В и лучами ВА и ВО ? .
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что	фигура	В равна фигуре А .
Получится ещё одна геометрическая	фигура	— отрезок .
3 Если какая - нибудь	фигура	разрезана на несколько частей , то площадь всей фигуры равна сумме площадей составляющих её частей .
Определению угла удовлетворяет	фигура	, образованная противоположными лучами TS и TU одной и той же прямой .
Пусть	фигура	А равна фигуре В .
1 Какая	фигура	называется треугольником ? .
Приведите пример , когда	фигура	ADOBE будет многоугольником .
Луч — неограниченная	фигура	.
1 Если одна	фигура	содержится внутри другой , то площадь внутренней фигуры не больше площади внешней .
Другими словами , если на плоскости четыре точки каким - то образом соединены отрезками , то полученная	фигура	является четырёхугольником только в случае выполнения указанных трёх свойств .
Но	фигура	, составленная из трёх точек и соединяющих их отрезков , не является треугольником , когда все три точки оказываются лежащими на одном отрезке .
Так как луч — неограниченная	фигура	, то такое построение возможно всегда , какова бы ни была исходная длина .
Треугольником называется геометрическая	фигура	, состоящая из трёх точек , не лежащих на одном отрезке , и трёх отрезков , соединяющих эти точки .
Замечаем , что , следуя рассуждению , получим , что	фигура	AFKP является квадратом , АК — его диагональю .
Так как отрезки являются геометрическими	фигурами	, то для них также имеет смысл рассматривать понятие геометрического равенства .
26 Посмотрите на фигуры А и В. Сколько можно разглядеть частей фигуры А , состоящих из клеток , которые равны	фигуре	В ? .
Опять добавим к новой	фигуре	восемь квадратов со стороной шага .
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна	фигуре	А .
Добавим к новой	фигуре	ещё четыре квадрата со стороной шага .
Пусть фигура А равна	фигуре	В .
Это означает , что изображённую копию А ' фигуры А можно совместить с	фигурой	В .
Точку считают простейшей	фигурой	на плоскости .
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с	фигурой	А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
По определению , для проверки равенства двух фигур достаточно совместить копию первой фигуры со второй	фигурой	.
Две фигуры на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одной фигуры полностью совмещается с другой	фигурой	.
Составим новую фигуру из всех таких квадратов сетки , которые имеют с	фигурой	Ф общие точки .
3 Разрежьте левую из фигур на части и сложите правую	фигуру	.
20 Разделите	фигуру	на четыре равные части .
Так как фигуры А ' и В совпали , то	фигуру	А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Взятые все вместе , точки этих лучей образуют новую геометрическую	фигуру	.
Возьмём	фигуру	.
5 Какую геометрическую	фигуру	образуют точки всех лучей : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
18 Разделите	фигуру	на четыре равные части .
19 Разделите	фигуру	на четыре равные части .
Части « похожи » на саму	фигуру	.
Какую геометрическую	фигуру	образуют точки всех отрезков длины 1 см : а ) начинающихся в точке А ; б ) проходящих через точку А ? .
5 Нарисуйте какую - либо	фигуру	, ограниченную отрезками с концами в узлах клетчатой бумаги , и найдите её площадь .
Рассмотрим всевозможные отрезки , начинающиеся в точке А и проходящие через точку В. Все точки этих отрезков вместе образуют новую геометрическую	фигуру	— луч АВ .
Полученную геометрическую	фигуру	называют углом АОВ .
5 Как разрезать левую	фигуру	на части , из которых можно сложить правую фигуру ? .
Ручкой или карандашом на нём можно отметить точку — самую простую геометрическую	фигуру	.
5 Как разрезать левую фигуру на части , из которых можно сложить правую	фигуру	? .
Полученную	фигуру	назовём многоугольником , если выполняются свойства .
Получим	фигуру	.
Для значений площади с избытком сначала берём содержащую треугольник	фигуру	из трёх квадратов со стороной в 2 шага сетки .
Всякий треугольник можно представить как	фигуру	, составленную из трёх точек и соединяющих их отрезков .
Если закрасим часть листа , которая ограничена четырёхугольником , то закрашенная часть образует ещё одну геометрическую	фигуру	— четырёхугольную область .
Изобразите	фигуру	, соответствующую полученной записи .
Тогда правую	фигуру	можно наложить на левую так , что они совместятся .
Тогда нижнюю	фигуру	можно наложить на верхнюю так , что нижняя фигура окажется « внутри » верхней .
Теперь рассмотрим	фигуру	из всех таких квадратов той же сетки , которые целиком лежат внутри фигуры Ф. Её площадь равна 17k2 .
Разрежем	фигуру	и переместим части .
8 Разрежьте	фигуру	на две части и составьте из них квадрат .
Рассмотрим	фигуру	, ограниченную равными дугами одной и той же окружности .
Возьмём	фигуру	Ф. Расположим её на « сетке » из квадратов площадью в 1 k2 .
Составим новую	фигуру	из всех таких квадратов сетки , которые имеют с фигурой Ф общие точки .
Удалим из новой	фигуры	ещё четыре квадрата со стороной шага .
Площадь третьей	фигуры	составляет 9k2 .
Удалим , наконец , из новой	фигуры	восемь квадратов со стороной шага .
2 Любые два луча равны между собой как геометрические	фигуры	.
Площадь четвёртой	фигуры	будет равна 8k2 .
1.2 Чему равно значение площади	фигуры	, если считать , что площадь одной клеточки равна 1 см2 ? .
1 Если одна фигура содержится внутри другой , то площадь внутренней	фигуры	не больше площади внешней .
10	фигуры	, если считать , что площадь одной клеточки равна см2 ? .
Чему равна площадь	фигуры	, которую можно разрезать на два прямоугольника со сторонами 5 см , 6 см и со сторонами 7 см , 8 см соответственно ? .
3 Как изменится численное значение площади некоторой	фигуры	, если вместо единицы измерения длины взять в 10 раз меньшую единицу ? .
Каким из указанных значений равна площадь	фигуры	F ? .
4 Какие	фигуры	рассматриваются при нахождении значения площади некоторой фигуры : а ) с недостатком ; б ) с избытком ? .
4 Какие фигуры рассматриваются при нахождении значения площади некоторой	фигуры	: а ) с недостатком ; б ) с избытком ? .
2 Найдите площадь	фигуры	ABCDEF если |АВ| = 6 см , |ВС| = 8 см , |DE| = 3 см , |EF| = 2 см .
2.1 Какие из чисел являются значениями с недостатком для	фигуры	, если единицей измерения площади является площадь одной клеточки ? .
6 Равносоставленные	фигуры	.
3 Как вычислить площадь	фигуры	, составленной из одинаковых , но не налегающих друг на друга квадратов ? .
2.2 Какие из чисел являются значениями с избытком для	фигуры	.
1.4 Чему равно значение площади	фигуры	, если считать , что площадь одной клеточки равна 4 см2 ? .
2 Равные	фигуры	имеют равные площади .
10 Чему равна площадь	фигуры	? .
Плоские	фигуры	.
Теперь рассмотрим фигуру из всех таких квадратов той же сетки , которые целиком лежат внутри	фигуры	Ф. Её площадь равна 17k2 .
Первое свойство площади позволяет сказать , что площадь S данной	фигуры	Ф больше 17k2 и меньше 44k2 .
Многоугольники ( в частности , квадрат и треугольник ) — это геометрические	фигуры	, составленные из отрезков ( сторон многоугольника ) .
Таким образом , площадь этой фигуры больше , чем площадь	фигуры	.
2 Любые две прямые равны между собой как геометрические	фигуры	.
Какие величины можно считать приближёнными значениями площади рассмотренной	фигуры	? .
Таким образом , площадь этой	фигуры	больше , чем площадь фигуры .
Поэтому площадь всей	фигуры	равна сумме из 20 единиц измерения , то есть 20 k2 .
Площадь второй	фигуры	равняется 10k2 .
2.3 Фигура F составлена из двух фигур , площади которых равны Р и Q. При каких из указанных значений Р и Q площадь	фигуры	F равна 2000 см2 ? .
Добавим к нему два квадрата со стороной в один шаг Площадь этой	фигуры	равняется 6k2 .
Чему равна площадь	фигуры	, если считать , что площадь одного треугольника равна .
Поэтому площадь данной	фигуры	равна сумме площадей четырёх треугольников плюс сумма площадей четырёх прямоугольников .
Три изображённые	фигуры	равны , поэтому их площади также равны .
1.1 Чему равна площадь	фигуры	, если считать , что площадь одного квадрата сетки равна 4 см2 ? .
2 Площадь какой геометрической	фигуры	принимают за единицу измерения площади ? .
Площадь получившейся	фигуры	составит .
Площадь четвёртой	фигуры	будет .
Почему прямая и луч не равны как геометрические	фигуры	? .
3 Если какая - нибудь фигура разрезана на несколько частей , то площадь всей	фигуры	равна сумме площадей составляющих её частей .
26 Посмотрите на	фигуры	А и В. Сколько можно разглядеть частей фигуры А , состоящих из клеток , которые равны фигуре В ? .
Поэтому	фигуры	называют равносоставленными .
2.1 На каких рисунках изображены две	фигуры	разной площади ? .
2 ) если каждая из двух фигур равна третьей , то эти две	фигуры	равны между собой .
По определению , для проверки равенства двух фигур достаточно совместить копию первой	фигуры	со второй фигурой .
Спрашивается , что произойдёт , если поменять	фигуры	ролями и попытаться совместить копию второй фигуры с первой ?
Спрашивается , что произойдёт , если поменять фигуры ролями и попытаться совместить копию второй	фигуры	с первой ?
Вдруг они не совпадут , какими тогда считать эти	фигуры	— равными или нет ? .
2.2 На каких рисунках изображены две	фигуры	равной площади ? .
11 Покажите , что	фигуры	равносоставлены .
Теперь можно ответить на вопрос , чему равна площадь	фигуры	.
Если копия первой фигуры совмещается со второй , то и копия второй	фигуры	обязательно совместится с первой .
6 Как разрезать левую и правую	фигуры	, чтобы из полученных частей можно было сложить два равных квадрата ? .
Надо иметь в виду , что угол как два луча на плоскости и угол как соответствующая части плоскости — разные геометрические	фигуры	.
Это означает , что изображённую копию А '	фигуры	А можно совместить с фигурой В .
Так как	фигуры	А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Итак , изобразив на плоскости два различных луча с общим началом , мы получим три геометрические	фигуры	, называемые углами .
2.3 На каких рисунках две изображённые	фигуры	равносоставлены ? .
2.4 На каких рисунках две изображённые	фигуры	не равносоставлены ? .
Две фигуры на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одной	фигуры	полностью совмещается с другой фигурой .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические	фигуры	с большим числом вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
Если точек десять , то полученную	фигуры	называют десятиугольником .
Какие	фигуры	, содержащие четыре точки , соединённые отрезками , но не являющиеся четырёхугольниками , вы можете нарисовать при помощи линейки ? .
В дальнейшем мы не будем рассматривать	фигуры	, похожие на ломаные из этих примеров .
Все три полученные	фигуры	заметно отличаются друг от друга .
Какие	фигуры	могут получиться , если изменить порядок перечисления вершин прямоугольника ? .
Изображены	фигуры	, составленные из отрезков .
Углы , как геометрические	фигуры	, и величины углов будут изучаться позже .
На клетчатой бумаге с помощью линейки легко изобразить такие геометрические	фигуры	.
2 Какие геометрические	фигуры	могут быть изображены при помощи отрезков ? .
Рассмотрим	фигуры	.
Иными словами , эти	фигуры	одинаковые или равные .
Почему все прямые углы равны как геометрические	фигуры	? .
На плоскости можно изображать и рассматривать многие геометрические	фигуры	.
Две	фигуры	на плоскости называются равными , если существует перемещение , при котором копия одной фигуры полностью совмещается с другой фигурой .
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только	фигуры	А , но и фигуры В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и	фигуры	В. Совместив эту копию фигуры В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Если копия первой	фигуры	совмещается со второй , то и копия второй фигуры обязательно совместится с первой .
Какие геометрические	фигуры	вы можете изобразить с помощью линейки ? .
Какие геометрические	фигуры	изображаются при помощи циркуля ? .
В этой главе вы узнаете про неограниченные геометрические	фигуры	— лучи и прямые .
В этой главе вы узнаете основные свойства площади плоской	фигуры	и формулы для вычисления площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника .
Равносоставленные	фигуры	имеют равные площади .
С помощью нехитрых приспособлений можно изображать сложные геометрические	фигуры	.
Так как фигуры А ' и В совпали , то фигуру А ' можно считать копией не только фигуры А , но и фигуры В. Совместив эту копию	фигуры	В снова с фигурой А , заключаем , что фигура В равна фигуре А .
Какие геометрические	фигуры	на плоскости вы можете изобразить при помощи циркуля и линейки ? .
1 Какие	фигуры	можно изобразить с помощью линейки ? .
6 Какие	фигуры	можно изобразить с помощью циркуля ? .
Циркулем можно начертить разные	фигуры	.
26 Посмотрите на фигуры А и В. Сколько можно разглядеть частей	фигуры	А , состоящих из клеток , которые равны фигуре В ? .
24 Как привязать козу , чтобы она могла пастись лишь на участке , имеющем вид плоской	фигуры	, ограниченной двумя дугами окружностей с центрами А и В ? .
1.12 Другие геометрические	фигуры	.
21 Изобразите на листе бумаги такие две равные	фигуры	, равенство которых нельзя проверить , вырезая фигуры из этого листа .
Причина загадочного « исчезновения » в том , что перемещались не все	фигуры	, а лишь некоторые их части .
В результате получились новые	фигуры	, не равные тем , которые были до поворота .
Добавим к этому следующее свойство : любые две точки равны как геометрические	фигуры	.
1 В каком случае две	фигуры	на плоскости считаются равными ? .
21 Изобразите на листе бумаги такие две равные фигуры , равенство которых нельзя проверить , вырезая	фигуры	из этого листа .
3 Как можно убедиться , что две	фигуры	равны , имея копировальную бумагу и ножницы ? .
Отмеченная в предыдущем пункте закономерность имеет общий	характер	.
Для сравнения величины участков земли , для расчёта количества краски при ремонте стены и других практических потребностей вводится численная	характеристика	фигур плоскости , называемая площадью .
10 Запишите все десятичные дроби , у которых	целая	часть равна 29 , а дробная часть каждого из них составлена с помощью цифр 1 , 2 и содержит два десятичных знака .
Эти записи читаются : « нуль целых шестьдесят восемь сотых » и « одна	целая	семьсот три миллионных » .
3 Что такое	целая	часть десятичной дроби ? .
1 Что такое	целая	часть числа ? .
Справедливо равенство , где числитель дроби меньше её знаменателя , поэтому	целая	часть числа у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
В этом случае	целая	часть числа равна 3 , а её дробная часть равна 0 .
2.3 Для каких из указанных чисел	целая	часть равна .
1.1 Чему равна	целая	часть числа .
Заметим , что	целая	часть правильной дроби равна 0 .
Справедливо равенство , поэтому	целая	часть числа равна 3 , а дробная часть равна .
В этом случае говорят , что	целая	часть числа равна q , а дробная часть числа равна .
Умножение	целого	числа разрядных единиц на однозначное число .
Например , если число в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из	целого	числа десятков .
Умножение	целого числа	разрядных единиц на однозначное число .
Например , если число в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из	целого числа	десятков .
Заметив , что , подберём	целое	число b единиц так , чтобы произведение было меньше либо равно 166 , но было уже больше 166 .
Подбирая	целое	число десятков , мы попробовали взять 20 и в результате получили .
Число	целое	.
Необходимо добавить к ним специальное	целое	число нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
Какие из длин в	целое	число сантиметров можно отметить на доске длиной в 1 м , имея нитку длиной ровно в 1 м 28 см ? .
1 В каких случаях говорят , что	целое	число а делится на натуральное число b без остатка ? .
Первое слагаемое содержит	целое	число десятков и поэтому делится на 2 .
Сложение двух чисел , содержащих	целое	число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
Разница лишь в том , что в результате получается или	целое	число десятков в пределах до ста , или дополнительная сотня .
Похожим способом выполняется и записывается сложение двух чисел , содержащих	целое	число сотен , и так далее .
23 На сколько равных отрезков длиной в	целое	число сантиметров можно разрезать отрезок длиной в 60 см ? .
Поэтому для числа 2247 снова подбираем	целое	число а сотен так , чтобы произведение было меньше 2247 .
Любое	целое	число сантиметров .
Какие из длин в	целое	число сантиметров можно отметить на доске длиной 3 м , имея нитку длиной ровно в 1 м ? .
8 Как записать	целое	число в виде десятичной дроби ? .
8 Как записать	целое число	в виде десятичной дроби ? .
Подбирая	целое число	десятков , мы попробовали взять 20 и в результате получили .
Заметив , что , подберём	целое число	b единиц так , чтобы произведение было меньше либо равно 166 , но было уже больше 166 .
Какие из длин в	целое число	сантиметров можно отметить на доске длиной в 1 м , имея нитку длиной ровно в 1 м 28 см ? .
Какие из длин в	целое число	сантиметров можно отметить на доске длиной 3 м , имея нитку длиной ровно в 1 м ? .
1 В каких случаях говорят , что	целое число	а делится на натуральное число b без остатка ? .
Поэтому для числа 2247 снова подбираем	целое число	а сотен так , чтобы произведение было меньше 2247 .
Похожим способом выполняется и записывается сложение двух чисел , содержащих	целое число	сотен , и так далее .
Необходимо добавить к ним специальное	целое число	нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
Любое	целое число	сантиметров .
Первое слагаемое содержит	целое число	десятков и поэтому делится на 2 .
23 На сколько равных отрезков длиной в	целое число	сантиметров можно разрезать отрезок длиной в 60 см ? .
Сложение двух чисел , содержащих	целое число	десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
Разница лишь в том , что в результате получается или	целое число	десятков в пределах до ста , или дополнительная сотня .
4 Запишите число в виде суммы	целой	части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
Слева от запятой стоят цифры её	целой	части .
15 Целая часть числа а больше	целой	части числа b. Покажите , что тогда .
Иногда для записи	целой	части а числа а используется обозначение [ а ] , а для записи дробной части числа а используется обозначение { а } .
Арифметические операции со смешанными дробями производят с учётом основных законов сложения и умножения , поскольку смешанную дробь всегда можно представить в виде суммы её	целой	и дробной части .
Целая часть второго числа больше	целой	части первого , поэтому второе число больше .
14 Может ли дробная часть числа быть больше его	целой	части ? .
15 Найдите число , дробная часть которого на 2 меньше его	целой	части .
В англоязычных странах в качестве десятичного разделителя между	целой	и дробной частями десятичной дроби вместо запятой ставится точка .
1.2 Цифры	целой	и дробной части .
3 конфеты нельзя разделить на двоих поровну так , чтобы каждому досталось по	целому	числу конфет .
3 конфеты нельзя разделить на двоих поровну так , чтобы каждому досталось по	целому числу	конфет .
Десятичные дроби очень удобно записывать в виде смешанных дробей и тем самым выделять	целую	часть .
Если выделить теперь	целую	часть из дроби получим в ответе .
Поэтому слева приписываем 0 как пятую цифру , ставим десятичную запятую , а перед ней записываем ещё одну цифру 0 —	целую	часть произведения .
Последовательно выписываем сначала	целую	часть , а после запятой — набор цифр числителя : нуль десятых , нуль сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
13 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если числа а , б и с принимают	целые	значения от 0 до 3 .
12 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если а 3 , а числа b и с принимают	целые	значения от 0 до 3 .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих	целые	числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
Продолжив такой процесс , получим	целые	числа .
2.3 Длины сторон треугольника —	целые	числа , причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
4 Найдите	целые	приближения с недостатком и с избытком для .
Поэтому для натуральных чисел используется и другое название : положительные	целые	числа .
1 Найдите	целые	и дробные части следующих чисел .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих	целые	числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих	целые числа	, может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих	целые числа	, может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Продолжив такой процесс , получим	целые числа	.
2.3 Длины сторон треугольника —	целые числа	, причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
Поэтому для натуральных чисел используется и другое название : положительные	целые числа	.
Через каждую точку плоскости проходит	целый	пучок различных прямых .
2.2 Какие из указанных величин выражаются	целым	числом соответствующих единиц измерения ? .
Когда результат измерения не выражается	целым	числом , приходится использовать доли выбранных единиц измерения .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или	целым	числом клеточек , или дробным числом со знаменателем 2 ? .
Натуральные числа можно считать противоположными отрицательным	целым	числам .
Аналогично отрицательным	целым	числам рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным дробным числам .
2 Почему площадь любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается	целым	числом клеточек ? .
Какие из указанных размеров нельзя выразить	целым	числом метров ? .
Оцените длину забора	целым	числом метров .
Натуральные числа можно считать противоположными отрицательным	целым числам	.
Аналогично отрицательным	целым числам	рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным дробным числам .
2.2 Какие из указанных величин выражаются	целым числом	соответствующих единиц измерения ? .
2 Почему площадь любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается	целым числом	клеточек ? .
Какие из указанных размеров нельзя выразить	целым числом	метров ? .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или	целым числом	клеточек , или дробным числом со знаменателем 2 ? .
Когда результат измерения не выражается	целым числом	, приходится использовать доли выбранных единиц измерения .
Оцените длину забора	целым числом	метров .
Число 0 , натуральные числа и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются	целыми	числами .
Поэтому натуральные числа иногда называют положительными	целыми	числами .
1.2 Деление на равные части для	целых	чисел возможно не всегда .
Натуральные числа составляют часть всего множества	целых	чисел .
5 Запишите числа в виде десятичных дробей : а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184	целых	13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
5 Запишите числа в виде десятичных дробей : а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0	целых	2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для	целых	, рациональных и действительных чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
5 Запишите числа в виде десятичных дробей : а ) 3	целых	14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
Эти записи читаются : « нуль	целых	шестьдесят восемь сотых » и « одна целая семьсот три миллионных » .
Поэтому название данной дроби : « шесть	целых	восемьсот тридцать семь тысяч пятьсот семьдесят три миллионных » .
4 Какие примеры отрицательных	целых	чисел вы знаете ? .
В каких случаях сумма двух дробей равна сумме их	целых	частей ? .
Натуральные числа составляют часть всего множества	целых чисел	.
4 Какие примеры отрицательных	целых чисел	вы знаете ? .
1.2 Деление на равные части для	целых чисел	возможно не всегда .
20 Проведите две окружности так , чтобы одна из них проходила через	центр	другой окружности .
Все точки сферы удалены на одно и то же расстояние от её	центра	.
а ) расстояние до школы 800 м и расстояние до магазина 500 м . б ) расстояние до	центра	города 3 км и расстояние до дачи 30 км .
Перегнуть чертёж относительно прямой LN ; б ) , в ) поворот на вокруг	центра	прямоугольника .
24 Как привязать козу , чтобы она могла пастись лишь на участке , имеющем вид плоской фигуры , ограниченной двумя дугами окружностей с	центрами	А и В ? .
Расстояние Н между	центрами	оснований цилиндра называют высотой цилиндра .
Затем выбрать раствор циркуля , равный этому отрезку , и провести с этим радиусом две окружности с	центрами	в концах нарисованного отрезка .
Закрепить на шее две верёвки длиной , равной радиусам окружностей , а другие концы верёвки соединить с	центрами	соответствующих окружностей .
17 Отметьте на бумаге три точки так , чтобы окружность с	центром	в первой точке , проходящая через вторую точку , одновременно проходила бы и через третью точку .
Объединив эту область с окружностью , получаем круг того же радиуса и с тем же	центром	О , что и окружность .
Объединив сферу и эту область , получаем шар того же радиуса и с тем же	центром	, что и сфера .
Вершины их прямых углов будут	центром	квадрата .
Через какие из указанных точек проходит окружность с	центром	О и радиусом ОЕ ? .
Рядом с ней на 1 м ближе к	центру	скачет наездник на вороном коне .
На рисунке условно изображён	цилиндр	.
Бумажный	цилиндр	можно склеить из двух кругов радиуса R и прямоугольника со сторонами .
1 ) объём	цилиндра	с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
1 Пусть R — радиус , а Н — высота	цилиндра	.
1 Что называется высотой	цилиндра	? .
2 Что называется радиусом	цилиндра	? .
А объём выкопанного	цилиндра	равен .
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём	цилиндра	с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
« Донышко » и « крышка »	цилиндра	называются его основаниями .
3 Объёмы	цилиндра	и шара .
На участке земли нужно было выкопать яму под колодец в форме	цилиндра	глубиной 5 м и радиусом 75 см .
3 По какой формуле вычисляется объём	цилиндра	? .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма	цилиндра	с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение числа π с избытком выбрано 3,2 ? .
Радиус R основания	цилиндра	называется радиусом цилиндра .
Радиус R основания цилиндра называется радиусом	цилиндра	.
Расстояние Н между центрами оснований	цилиндра	называют высотой цилиндра .
Расстояние Н между центрами оснований цилиндра называют высотой	цилиндра	.
2.1 Каким из указанных значений равен объём	цилиндра	с высотой 10 см и радиусом основания 5 см ? .
Как измерить высоту	цилиндра	, сделанного из дерева ? .
3.2 Объём	цилиндра	.
Вычисление объёма	цилиндра	производится по формуле , где V — объём цилиндра , R — радиус , Н — высота .
Вычисление объёма цилиндра производится по формуле , где V — объём	цилиндра	, R — радиус , Н — высота .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов	цилиндра	и шара , познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
1.3 Во сколько раз увеличится объём	цилиндра	, если радиус основания увеличить в 2 раза , а высоту в 1,5 раза ? .
Основания	цилиндра	являются равными кругами .
2 Как изменится объём	цилиндра	, если .
Представление о	цилиндре	дают консервная банка или кастрюля .
Многоугольник обозначается , как и в случае треугольника ,	четырехугольника	, пятиугольника , последовательной записью обозначений его соседних вершин .
2.2 Известно , что существует	четырёхугольник	ABCD , у которого .
Рассмотрим теперь	четырёхугольник	.
Если записать вершины в порядке М , L , К , N , то получится	четырёхугольник	MLKN , а если в порядке М , К , L , N , то придём к четырёхугольнику MKLN .
Рассмотрим	четырёхугольник	ABCD .
Прямоугольник — это такой	четырёхугольник	, у которого противоположные стороны попарно равны , а все углы прямые .
Квадрат — это	четырёхугольник	, у которого все стороны равны и все углы прямые .
В результате получим	четырёхугольник	.
Как можно соединить некоторые из них четырьмя отрезками , чтобы не получился	четырёхугольник	? .
9 Придумайте	четырёхугольник	, который можно разделить на три части одной прямой .
4 Дан	четырёхугольник	ABCD , в котором .
Может ли этот	четырёхугольник	быть : а ) прямоугольником ; б ) квадратом ? .
Покажем , что	четырёхугольник	MNKL — квадрат .
14 Нарисуйте на бумаге четырёхугольник , похожий на	четырёхугольник	MNKL .
1 Почему	четырёхугольник	EFGH прямоугольник ? .
3 Из двух равных прямоугольных треугольников составьте сначала один	четырёхугольник	, а затем другой четырёхугольник , не равный первому .
3 Из двух равных прямоугольных треугольников составьте сначала один четырёхугольник , а затем другой	четырёхугольник	, не равный первому .
7 Нарисуйте на клетчатой бумаге	четырёхугольник	с тремя прямыми углами .
12 Проверьте измерениями	четырёхугольник	ABCD не является : а ) ромбом ; б ) прямоугольником .
10 Равносоставлены ли	четырёхугольник	и треугольник ? .
3 Почему	четырёхугольник	ABCDявляется ромбом ? .
Так как равенство сторон четырёхугольника MNKL уже установлено , то этот	четырёхугольник	и в самом деле квадрат .
14 Нарисуйте на бумаге	четырёхугольник	, похожий на четырёхугольник MNKL .
Однако на протяжении многих столетий в нашей стране утвердились общепринятые названия « треугольник » , «	четырёхугольник	» и так далее , которые и нужно употреблять , когда речь идёт о многоугольниках .
Например ,	четырёхугольник	можно обозначить как DABC .
Потому что	четырёхугольник	расположен целиком внутри квадрата .
Какой	четырёхугольник	можно было бы назвать « равноугольником с четырьмя вершинами » ? .
Например , ничто не мешает треугольник называть « трёхвершинником » ,	четырёхугольник	— « четырёхвершинником » , пятиугольник — « пятивершинником » и так далее .
2 Что такое вершины треугольника ,	четырёхугольника	, пятиугольника ? .
Чему равна величина четвёртого угла этого	четырёхугольника	? .
Стороны этого	четырёхугольника	— радиусы окружностей .
Чему равен периметр рассмотренного	четырёхугольника	ABCD в миллиметрах ? .
Если закрасить внешность	четырёхугольника	, то получится другая геометрическая фигура .
Такими же рассуждениями доказывается , что все углы	четырёхугольника	MNKL — прямые .
Сколько существует различных обозначений одного и того же	четырёхугольника	PQRS ? .
4 Каким числом способов можно записать обозначение	четырёхугольника	ABCD ? .
Запишите три разных обозначения этого	четырёхугольника	.
2 Отметьте на бумаге четыре точки М , N , К , L так , чтобы они были последовательными вершинами	четырёхугольника	.
Возьмём любой из углов	четырёхугольника	MNKL , например ∠LMN .
8 Измерьте углы	четырёхугольника	и запишите результаты измерений .
Понятие угла между отрезками позволяет говорить об углах треугольника , углах	четырёхугольника	и углах других многоугольников .
2.4 Наглядные свойства четырёхугольников будем теперь считать определяющими для	четырёхугольника	.
16 Может ли прямая пересечь все стороны	четырёхугольника	в точках , не совпадающих с его вершинами ? .
Почему площадь	четырёхугольника	MNKL меньше площади квадрата ABCD ? .
Все стороны	четырёхугольника	— гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол четырёхугольника равен сумме острых углов того же треугольника .
Площадь S	четырёхугольника	ABCD равна сумме найденных площадей треугольников , поэтому .
3 Что такое стороны треугольника ,	четырёхугольника	, пятиугольника ? .
Соединив две противоположные вершины	четырёхугольника	, получим его диагональ .
Соединим отрезками точки А и В , В и С , С и D , D и А. Теперь точки А , В , С , D — вершины	четырёхугольника	.
1.2 Какая из сторон	четырёхугольника	ABCD равна отрезку ΜΝ ? .
Сторона	четырёхугольника	.
Проведённые отрезки АВ , ВС , CD , DA — стороны этого	четырёхугольника	.
1.4 Какая из сторон	четырёхугольника	ABCD равна отрезку АС ? .
Как и у прямоугольника , у каждого	четырёхугольника	определяются соседние и противоположные вершины , соседние и противоположные стороны .
Площадь	четырёхугольника	.
Полученное значение 10 см называется периметром этого	четырёхугольника	ABCD .
Найдём площадь S	четырёхугольника	ABCD на Разделим его отрезками АС и BD на четыре треугольника .
Может показаться , что безразлично , в каком порядке перечислять вершины	четырёхугольника	.
Соседние стороны	четырёхугольника	, то есть стороны , имеющие общую вершину , иногда называют смежными .
Вершина	четырёхугольника	.
Запись NLMK или запись NKML также является обозначением этого	четырёхугольника	.
1.3 Чему равен периметр	четырёхугольника	, длины сторон которого равны 21 мм , 27 мм , 33 мм , 39 мм ? .
11 Диагоналями	четырёхугольника	называются отрезки , соединяющие противоположные вершины .
Все стороны четырёхугольника — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами в две и четыре клеточки , а угол	четырёхугольника	равен сумме острых углов того же треугольника .
19 Найдите периметр	четырёхугольника	, если одна его сторона равна 16,4 м , другая — на 2,01 м больше первой , третья — на 0,73 м меньше второй и четвёртая сторона на 1,54 м меньше третьей .
Несоседние стороны	четырёхугольника	называют противоположными .
Каждый угол данного	четырёхугольника	— прямой : он равен сумме острых углов прямоугольного треугольника с катетами в одну и четыре клеточки .
Чему равна сумма градусных мер углов	четырёхугольника	KMNL ? .
Какие фигуры , содержащие четыре точки , соединённые отрезками , но не являющиеся	четырёхугольниками	, вы можете нарисовать при помощи линейки ? .
Наряду с треугольниками и	четырёхугольниками	рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим числом вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
2.3 Какие из изображённых фигур являются	четырёхугольниками	? .
Треугольники ,	четырёхугольники	— это тоже многоугольники , но с определённым числом вершин .
1 Какие	четырёхугольники	вы знаете ? .
Это треугольники ,	четырёхугольники	и другие многоугольники .
В каком случае эти	четырёхугольники	могут оказаться равными ? .
9 Как обозначаются треугольники ,	четырёхугольники	и пятиугольники ? .
10 Какие	четырёхугольники	имеют четыре прямых угла ? .
2 Разрежьте	четырёхугольники	на несколько прямоугольных треугольников .
1.4 Какое наибольшее число различных	четырёхугольников	можно составить , по - разному приставляя друг к другу треугольники ?
Изображены разные виды	четырёхугольников	.
Сколько всего	четырёхугольников	можно получить , по - разному соединяя эти точки ? .
Заметим , что пятиугольник обладает теми же характеристическими свойствами , которые были отмечены у	четырёхугольников	и треугольников . 1 ) каждая сторона содержит только две точки , принадлежащие другим сторонам .
2.4 Наглядные свойства	четырёхугольников	будем теперь считать определяющими для четырёхугольника .
5 Почему площади	четырёхугольников	равны ? .
Заметим , что для этих	четырёхугольников	также выполняются наглядные свойства , аналогичные тем , что были отмечены в пункте 1.4 : .
1.1 Какая из изображённых фигур является	четырёхугольником	? .
Другими словами , если на плоскости четыре точки каким - то образом соединены отрезками , то полученная фигура является	четырёхугольником	только в случае выполнения указанных трёх свойств .
Если закрасим часть листа , которая ограничена	четырёхугольником	, то закрашенная часть образует ещё одну геометрическую фигуру — четырёхугольную область .
Фигура , полученная последовательным соединением точек М , N , К , L , М , не считается	четырёхугольником	, потому что несоседние отрезки ML и NК пересекаются .
Если записать вершины в порядке М , L , К , N , то получится четырёхугольник MLKN , а если в порядке М , К , L , N , то придём к	четырёхугольнику	MKLN .
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых многозначных чисел , используя таблицу умножения однозначных	чисел	.
Правила чтения двузначных натуральных	чисел	, больших двадцати , также станут понятны , если каждое такое число представить в виде суммы .
3 К сумме чисел прибавьте сумму	чисел	.
Какое число является разностью	чисел	и n для натурального числа n ? .
3 К сумме	чисел	прибавьте сумму чисел .
20 Умножьте сумму	чисел	на разность чисел .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных	чисел	от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Число х , для которого выполняется равенство а , называется разностью	чисел	а и b и обозначается через .
21 Найдите сумму всех	чисел	от 1 до 100 .
Алгоритм умножения натуральных	чисел	.
4.2 Порядок в ряду натуральных	чисел	.
Напомним , что для натуральных	чисел	пик сумму к дробей мы обозначали через к или через , так что выполняются равенства .
Как и для натуральных	чисел	, при делении десятичной дроби на натуральное число вычисления записывают уголком .
Чему равна сумма	чисел	( 100110)2 и ( 11010)2 , записанных в двоичной системе ? .
Деление десятичной дроби на натуральное число похоже на деление натуральных	чисел	.
Правила чтения двузначных натуральных	чисел	от одиннадцати до девятнадцати становятся понятными , если каждое такое число представить в виде суммы .
Какое из указанных	чисел	нужно прибавить к 5197 , чтобы получившееся число делилось на 2 ? .
Для чтения десятичной записи натуральных	чисел	от 1 до 999 в русском языке используются такие названия .
19 К произведению	чисел	прибавьте число найдите значение этого выражения .
Всегда можно выбрать наибольшее и наименьшее из нескольких	чисел	.
Наибольшее и наименьшее из большой совокупности	чисел	можно выбрать с помощью попарных сравнений .
2.1 Какие из указанных	чисел	делятся на 3 ? .
2.2 Какие из указанных	чисел	делятся на 9 ? .
8 Какое число надо вычесть из 85 , чтобы получилась разность	чисел	122 и 98 ? .
Будем считать , что порядок всех натуральных	чисел	от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Обобщая эти примеры для любых натуральных	чисел	m , m , p и q , можно получить равенства .
20 Умножьте сумму чисел на разность	чисел	.
Важный способ замены натуральных	чисел	приближёнными значениями связан с их десятичной записью .
Для натуральных	чисел	деление нацело можно рассматривать как действие , в некотором смысле « обратное » умножению .
Таким образом , для любых натуральных	чисел	k , тип выполняется равенство .
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в ряду натуральных	чисел	, которое позволяет различные числа расположить в порядке возрастания или убывания .
6 Какое число надо прибавить к 123 , чтобы получилась разность	чисел	345 и 77 ? .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных	чисел	от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Правило чтения записи трёхзначных натуральных	чисел	нетрудно понять , если каждое такое число снова записать в виде суммы .
Таким образом , для любых натуральных	чисел	k , m и n , где , выполняется равенство .
Предположим , что мы называем подряд все числа от единицы до миллиона с огромной скоростью — по 10	чисел	в секунду .
9 Из суммы чисел и вычтите разность	чисел	.
Законы сложения и умножения позволяют находить произведения любых многозначных	чисел	, используя таблицу умножения однозначных чисел .
9 Из суммы	чисел	и вычтите разность чисел .
Число десятичных знаков в произведении десятичных дробей равно сумме	чисел	десятичных знаков сомножителей .
Обычно это вычисление делается « в уме » , так как для подсчёта каждого из произведений достаточно знать таблицу умножения однозначных	чисел	.
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве натуральных	чисел	, потому что нет такого натурального числа х , для которого бы выполнялось равенство .
Каждую минуту будет названо по 600	чисел	, в каждый час — по 36 000 .
К числу 1357 прибавьте сумму трёх	чисел	— 853 , 459 и 596 .
Приведём примеры деления дробных	чисел	на натуральные .
4.3 Выбор наименьшего из	чисел	попарными сравнениями ( « всплывающий пузырёк » ) .
23 Используя сочетательный закон , найдите суммы	чисел	.
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных	чисел	от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
7 Какое число надо вычесть из 543 , чтобы получилась сумма	чисел	98 и 325 ? .
Чему равна сумма	чисел	( 123)4 и ( 321)4 , записанных в системе счисления с основанием 4 ? .
Римские цифры употребляются иногда и в наше время — для обозначения	чисел	на циферблате часов , для отдельной нумерации страниц введения в книгу , глав книги , нумерации веков и так далее .
7 Найдите разности	чисел	.
2 Сумма двух натуральных	чисел	меньше 18 , а одно из чисел равно 14 .
1.2 Какое из указанных	чисел	нужно прибавить к 21 969 , чтобы получившееся число делилось на 5 ? .
1.4 Какое из указанных	чисел	наименьшее ? .
2.1 Какие из указанных	чисел	больше 123 456 ? .
1 Какое из двух различных натуральных	чисел	считается : а ) меньшим ; б ) большим ? .
2.2 Количество каких	чисел	меньше 100 ? .
всех трёхзначных	чисел	. 2 ) всех трёхзначных чисел , оканчивающихся на нуль . 3 ) всех трёхзначных чисел , начинающихся на цифру 1 . 4 ) всех трёхзначных чисел , в записи которых используются только цифры 8 и 9 .
всех трёхзначных чисел . 2 ) всех трёхзначных	чисел	, оканчивающихся на нуль . 3 ) всех трёхзначных чисел , начинающихся на цифру 1 . 4 ) всех трёхзначных чисел , в записи которых используются только цифры 8 и 9 .
всех трёхзначных чисел . 2 ) всех трёхзначных чисел , оканчивающихся на нуль . 3 ) всех трёхзначных	чисел	, начинающихся на цифру 1 . 4 ) всех трёхзначных чисел , в записи которых используются только цифры 8 и 9 .
всех трёхзначных чисел . 2 ) всех трёхзначных чисел , оканчивающихся на нуль . 3 ) всех трёхзначных чисел , начинающихся на цифру 1 . 4 ) всех трёхзначных	чисел	, в записи которых используются только цифры 8 и 9 .
Умножение	чисел	в недесятичной системе счисления производится по такому же алгоритму , что и в десятичной , только с использованием другой таблицы умножения .
2.3 Какие из указанных	чисел	не больше 127 ? .
2.4 Какие из указанных	чисел	не меньше 81 ? .
Почему для любых	чисел	а и b справедливо равенство .
Как сформулировать правило умножения натуральных	чисел	, оканчивающихся нулями ? .
Найдём произведение	чисел	12 000 000 и 2400 .
Мы уже несколько раз рассматривали произведения натуральных	чисел	, в конце которых стоят нули .
На основании этих равенств приведена таблица умножения однозначных	чисел	в четверичной системе счисления .
Десятичные приближения	чисел	применяют в практической деятельности .
1.3 Какое из указанных	чисел	наибольшее ? .
1.2 Какое из указанных	чисел	наименьшее ? .
5 Как из нескольких	чисел	выбрать наибольшее попарными сравнениями ? .
2 Сумма двух натуральных чисел меньше 18 , а одно из	чисел	равно 14 .
33 Приведите пример двух	чисел	, одно из которых больше другого .
4 Какие свойства порядка для натуральных	чисел	вы знаете ? .
3 Разность двух натуральных	чисел	больше 10 , а уменьшаемое равно 15 .
30 На сколько сумма чисел и больше разности этих же	чисел	? .
30 На сколько сумма	чисел	и больше разности этих же чисел ? .
2.5 Умножение	чисел	, оканчивающихся нулями .
При умножении чисел в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример умножения	чисел	в четверичной системе .
При умножении	чисел	в этой системе счисления действуем по аналогии к изученным правилам , используя составленные таблицы умножения и сложения приведён пример умножения чисел в четверичной системе .
8 Среди	чисел	23 , 11 , 29 , 17 , 31 , 19 найдите наибольшее , которое меньше 22 .
Для обозначения натуральных	чисел	используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти натуральных чисел , и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
Произведение двух	чисел	оканчивается цифрой 8 , а первый сомножитель — цифрой 6 .
2.3 Нахождение разности	чисел	при помощи двух линеек .
Ни одно из этих	чисел	не совпадает с точным значением ( 3.3333)2 .
1.1 Какое из указанных	чисел	наибольшее ? .
7 Найдите наибольшее и наименьшее из	чисел	.
Деление натуральных	чисел	.
4 Произведение трёх последовательных натуральных	чисел	равно 1320 .
Напомним это правило на примере вычисления разности	чисел	.
2.4 Квадраты каких из указанных	чисел	больше 7 ? .
В разные времена употреблялись различные способы записи натуральных	чисел	.
17 Найдите разность	чисел	.
33 Что получится , если из суммы двух	чисел	а и b вычесть их разность ?
Научившись делить дробь на ненулевую дробь , мы можем рассмотреть для натуральных	чисел	m и n уравнение и получить , что дробь является решением этого уравнения , потому что .
23 Выпишите первые 10 простых	чисел	.
Таким образом , в рассмотренном примере число 234 является уменьшаемым , число 95 является вычитаемым , а число 139 равно разности	чисел	234 и 95 .
Натуральных	чисел	оказывается недостаточно для всех потребностей теории и практики .
При этом каждое из	чисел	q и r может быть либо натуральным , либо нулём .
Остаётся найти сумму	чисел	, записанных под чертой с учётом разрядов , и получится нужный результат .
Нахождение разности двух	чисел	также называют вычитанием .
Видно , что здесь опять достаточно знать таблицу умножения однозначных	чисел	и правило умножения на 10 .
Что получится , если к сумме	чисел	а и b прибавить их разность ? .
Предположим , что с помощью компьютера надо выбрать наименьшее среди	чисел	12 , 10 , 8 , 15 , 11 , причём компьютер может сравнивать и переставлять местами только соседние числа в имеющемся ряду .
2.3 Какие из указанных	чисел	делятся на 2 и делятся на 9 ? .
Покажем , как это делается для набора из пяти	чисел	.
16 Сумма двух	чисел	равна 890 , а разность равна 100 .
1 Найдите целые и дробные части следующих	чисел	.
3.2 Деление	чисел	с остатком .
Для дробных	чисел	выполняются законы , которые были сформулированы для натуральных чисел .
Существует правило , которое упрощает вычисление разности двух	чисел	.
Приведём современную запись	чисел	от 11 до 19 с помощью римских цифр : XI , XII , XIII , XIV , XV , XVI , XVII , XVIII , XIX .
Сумма двух натуральных	чисел	всегда является натуральным числом .
Какое из этих	чисел	лучше всего взять в качестве приближения к числу ? .
Для обозначения натуральных чисел используются цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , появившиеся как сокращённые обозначения первых девяти натуральных	чисел	, и дополнительная цифра « нуль » , обозначаемая через 0 .
1.10 Запись	чисел	в римской нумерации .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись	чисел	IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
2.4 Какие из указанных	чисел	делятся на 4 ? .
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух	чисел	на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Например , в Древнем Вавилоне существовала система записи	чисел	на основе группировки по шестьдесят .
При помощи этих цифр записывают и произносят названия всех натуральных	чисел	.
Какое из этих	чисел	делится : а ) на 2 ; б ) на 3 ; в ) на 11 ? .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух	чисел	с третьим числом результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Переместительный закон умножения : от перестановки сомножителей произведение	чисел	не изменяется .
Переместительный закон сложения : от перестановки слагаемых сумма	чисел	не изменяется .
Для дробных чисел выполняются законы , которые были сформулированы для натуральных	чисел	.
Система записи	чисел	, основанная на буквах славянского алфавита , в старину использовалась на Руси .
1.2 Названия	чисел	от 1 до 999 .
2.1 Какие из приведённых	чисел	при делении на 9 дают остаток 4 ? .
9 Найдите сумму наибольшего пятизначного и наименьшего четырёхзначного	чисел	.
5 Как показать , что сумма трёх нечётных	чисел	нечётна ? .
5 Как определяется разность двух	чисел	, когда уменьшаемое больше вычитаемого ? .
Для	чисел	142 , 43 и 12 получаем .
Например , приведена запись сложения	чисел	70 и 50 , что сокращённо можно записать .
Запись сложения десятков « столбиком » выглядит похоже на запись сложения « столбиком » однозначных	чисел	.
2.1 Каких из указанных	чисел	не может быть в таблице сложения однозначных чисел ? .
Какие цифры используются для записи	чисел	в десятичной системе счисления ? .
2.1 Каких из указанных чисел не может быть в таблице сложения однозначных	чисел	? .
2.2 Какие из указанных	чисел	не встречаются в таблице умножения однозначных чисел ? .
2.2 Какие из указанных чисел не встречаются в таблице умножения однозначных	чисел	? .
2.3 Какие из указанных	чисел	можно найти в таблице квадратов двухзначных чисел ? .
Сколько двузначных	чисел	делится на 5 ? .
2.3 Какие из указанных чисел можно найти в таблице квадратов двухзначных	чисел	? .
Сложение двух	чисел	, содержащих целое число десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
6 Почему произведение двух нечётных	чисел	является нечётным числом ?
В некоторых случаях можно определить , делится одно число на другое или нет , не выполняя деления , а пользуясь особыми свойствами записи	чисел	.
Почему произведение трёх нечётных	чисел	является нечётным числом ? .
Похожим способом выполняется и записывается сложение двух	чисел	, содержащих целое число сотен , и так далее .
Таким образом , возникает правило : если из суммы двух	чисел	вычесть одно слагаемое , то получится второе .
Рассмотрим такой же пример , но для	чисел	по основанию 4 .
В результате получена последовательность	чисел	5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа 1825 , но записанной в обратном порядке .
6 Верно ли , что среди 11 натуральных	чисел	найдутся 2 числа , имеющие две одинаковые последние цифры ? .
6 Запись	чисел	в недесятичной системе счисления .
2.4 Рассматриваются суммы всех натуральных	чисел	от 1 до n включительно .
Нахождение суммы двузначного и однозначного числа сводится к сложению однозначных	чисел	и десятков .
Выписывают некоторое количество натуральных	чисел	подряд ( например , до 100 ) начиная с 2 .
2.3 Какие из указанных	чисел	могут быть остатками при делении чётного числа на 6 ? .
7 Верно ли , что среди 11 натуральных	чисел	найдутся 2 числа , разность которых делится на 10 ? .
Какие из указанных	чисел	не делятся на 6 ? .
1.4 Сколько всего чётных двузначных	чисел	, у которых обе цифры чётные ? .
2.4 На какие из указанных	чисел	деление запрещено ? .
1.3 Сколько всего нечётных двузначных	чисел	, в записи которых есть чётная цифра ? .
1.2 Сколько всего нечётных двузначных	чисел	? .
1.1 Сколько всего чётных	чисел	, которые меньше 100 и делятся на 5 ? .
2.2 Какие из указанных	чисел	могут быть остатками при делении нечётного числа на 6 ? .
Как записать « столбиком » сложение трёх однозначных	чисел	? .
20 Найдите неполное частное и остаток при делении	чисел	.
Как показать , что сумма двух нечётных	чисел	всегда чётна ? .
3 Для натуральных k и l найдите остатки при делении на 10 суммы и произведения натуральных	чисел	вида .
2 На какую цифру оканчивается каждое из произведений	чисел	из предыдущей задачи ? .
1 Найдите последнюю цифру суммы	чисел	.
В изучении натуральных	чисел	простые числа играют очень важную роль .
3 Как находить последние цифры суммы и произведения	чисел	в системе счисления с основанием 4 ? .
2 Как находить последнюю цифру произведения двух	чисел	? .
1 Как находить последнюю цифру суммы двух	чисел	? .
число 7 — простое : оно не делится ни на одно число , кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10 простых	чисел	: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
Начнём выписывать подряд последние цифры	чисел	22 , 23 , 24 и так далее .
Последняя цифра произведения двух натуральных	чисел	та же , что и у произведения последних цифр этих чисел .
Таким образом , последняя цифра суммы	чисел	совпадает с последней цифрой суммы и равна 2 .
Последняя цифра у суммы двух натуральных чисел та же , что и у суммы последних цифр этих	чисел	.
Последняя цифра у суммы двух натуральных	чисел	та же , что и у суммы последних цифр этих чисел .
Какие из указанных	чисел	делятся на 37 ( без остатка ) ? .
Какие из указанных	чисел	делятся на 7 ( без остатка ) ? .
2.2 Какие из приведённых	чисел	при делении на 11 дают остаток 7 ? .
Последняя цифра произведения двух натуральных чисел та же , что и у произведения последних цифр этих	чисел	.
В результате получена последовательность	чисел	1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного числа , но записанной в обратном порядке .
6 Заполните таблицу последних цифр	чисел	и так далее до 316 .
9 Найдите две последние цифры	чисел	52 , 53 54 и так далее до 510 .
Обычно таблицу сложения однозначных	чисел	учат наизусть , а поэтому ответ записывают сразу .
Почему из двух последовательных натуральных	чисел	одно обязательно делится на 2 ? .
В этом случае сложение	чисел	9 и 7 можно записать « столбиком » так .
Деление	чисел	на 2 .
Иногда сумма двух однозначных	чисел	либо больше , либо равна десяти .
Иногда сумма двух таких	чисел	меньше десяти .
Деление чётных чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных	чисел	на 2 даёт в остатке 1 .
7 Выпишите последние цифры	чисел	6 , 62 , 63 и так далее до 69 .
Деление чётных	чисел	на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
Определение чётных и нечётных	чисел	.
Сложение однозначных	чисел	.
2.4 Какие остатки из приведённых не могут получаться при делении квадратов натуральных	чисел	на 5 ? .
2.3 Какие остатки могут получаться при делении квадратов натуральных	чисел	на 4 ? .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных чисел в десятичной системе счисления , узнаете про сложение	чисел	в недесятичных системах счисления .
В этой главе вы вспомните правила сложения и вычитания натуральных	чисел	в десятичной системе счисления , узнаете про сложение чисел в недесятичных системах счисления .
1.2 Известно , что у	чисел	41 и 43 одинаковые цифры единиц в десятичной записи .
Особое название для таких	чисел	можно объяснить простотой и естественностью деления пополам .
Составим таблицу для объёмов кубов с рёбрами , принимающими начальные значения в ряду натуральных	чисел	.
Полученную запись можно сократить , если не записывать в промежуточных действиях стоящие в конце записи	чисел	нули , сохраняя расположение цифр по столбцам соответствующих разрядов .
1.4 Сложение трёх однозначных	чисел	.
Например , для натуральных	чисел	21 и 48 выполняются равенства .
Для	чисел	37 и 22 выполняется равенство .
Для	чисел	37 и 22 справедливо равенство .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных	чисел	вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные числа .
Какие свойства равенства для	чисел	вы знаете ? .
Приведённое правило иногда называют основным свойством дроби и записывают так : для любых натуральных	чисел	m , n и k выполняется равенство .
Как с помощью двух линеек находить приближённые значения с недостатком и с избытком для суммы двух трёхзначных	чисел	? .
Запись и чтение	чисел	от 1000 до 999 999 .
Найдём , например , сумму	чисел	22 и 75 .
1.2 Какое из указанных	чисел	является остатком от деления числа 543 на 6 ? .
В этой главе вы познакомитесь с операцией деления натуральных	чисел	, узнаете основное свойство частного , вспомните признаки делимости .
2.3 Какие из указанных	чисел	меньше 1 ? .
Будет рассказано , какие числа называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое деление натуральных	чисел	с остатком .
Равенство дробных	чисел	.
Это позволяет рассматривать суммы равных частей единицы измерения и также получать значения в виде дробных	чисел	вида .
Вы сможете найти последнюю цифру числа 2100 и научитесь простому способу записи натуральных	чисел	в различных системах счисления .
Глава 9 Деление натуральных	чисел	.
Для сложения двух	чисел	а и b выполним следующие действия . — сначала находим на верхней линейке деление , обозначающее первое слагаемое а(верхнее ) .
2 Составьте несколько равных дробей , у которых числитель и знаменатель выбираются из	чисел	1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
2.4 Какие из указанных	чисел	по порядку величины сравнимы с 99 999 ? .
8 Найдите сумму наибольшего четырёхзначного и наименьшего пятизначного	чисел	.
Процесс вычитания можно ускорить , если вычитать сразу по нескольку	чисел	, равных 87 , то есть какие - то произведения на 87 .
17 Почему при записи суммы нескольких натуральных	чисел	можно не ставить скобки ? .
14 В чём состоит общее правило сложения натуральных	чисел	? .
8 Приведите примеры сложения	чисел	.
Поэтому деление закончено и частное равно сумме	чисел	0,01 ; 0 ; 0,0004 , записанных под делителем 125 , то есть .
3 В чём состоит правило сложения « столбиком » для двузначных	чисел	?
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух	чисел	прибавить третье , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего , и наоборот .
Например , в этом примере можно взять сразу 60	чисел	по 87 .
2 Найдите десятичные приближения сверху и снизу с точностью до сотни для следующих	чисел	.
2 Какова таблица сложения однозначных	чисел	? .
Например , для натуральных	чисел	3 , 5 и 87 справедливо равенство .
5 Какое число надо прибавить к 321 , чтобы получилась сумма	чисел	225 и 168 ? .
10 Каков порядок у	чисел	.
3.1 Примеры умножений дробных	чисел	.
2.3 Какие из указанных	чисел	по порядку величины сравнимы с 103 ? .
1 Найдите десятичные приближения снизу и сверху с точностью до десяти для следующих	чисел	.
20 Найдите сумму всех	чисел	от 1 до 10 .
Таким образом , для любых натуральных	чисел	k и n определены дроби .
Если сумму трёх равных	чисел	записать в виде произведения , то получим .
Приведём таблицу значений кубических корней из первых натуральных	чисел	с точностью до 0,01 с недостатком .
Желательно и эту задачу , как и пример , свести к задаче деления натуральных	чисел	.
5 Из набора	чисел	144 , 511 , 715 , 300 , 290 , 728 , 1312 , 900 , 7345 , 10 000 выберите все числа , которые делятся .
Затем выполним сложение	чисел	60 и 80 в разряде десятков .
Запишем слагаемые « столбиком » и сначала выполним сложение	чисел	7 , 5 в разряде единиц .
9 Чему равна разность двух одинаковых	чисел	? .
Для того чтобы в этом примере результат выразить в метрах , необходимо введение новых	чисел	.
Рассмотрим сложение двузначных	чисел	на примере суммы .
Составленная в начале пункта таблица позволяет находить корни кубические из	чисел	, стоящих в нижней строке таблицы .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных	чисел	, или к сложению двузначного и однозначного числа .
1.2 Какое из указанных	чисел	имеет запись ( 323)4 в системе счисления с основанием 4 ? .
1.1 Какое из указанных	чисел	имеет запись ( 10101)2 в двоичной системе ? .
15 Покажите , что каждое из	чисел	15 , 20 , 25 , 30 , 100 делится на 5 .
Сложение трёх однозначных	чисел	сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного числа .
Запишите каждое из этих	чисел	в виде 5k .
Сложение двузначных	чисел	.
1.2 Деление на равные части для целых	чисел	возможно не всегда .
Приведём алгоритм сложения произвольных	чисел	, используя только таблицу сложения однозначных чисел .
Как находить дополнения до разрядных единиц для	чисел	, записанных в двоичной системе счисления ? .
1.9 Сложение	чисел	при помощи двух линеек .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 3 ] равна , то есть сумме шести одинаковых	чисел	, равных , так как .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных чисел в десятичной системе используется таблица сложения однозначных	чисел	в новой системе счисления .
Какое из	чисел	делится нацело на любое натуральное число ? .
Отличие состоит в том , что вместо таблицы сложения однозначных	чисел	в десятичной системе используется таблица сложения однозначных чисел в новой системе счисления .
Сложение чисел , записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных	чисел	в десятичной системе .
Точка совпадает с точкой , отмеченной ранее как , потому что длина всего отрезка [ 0 ; 2 ] равна , то есть сумме четырёх одинаковых	чисел	, равных , так как .
Приведём алгоритм сложения произвольных чисел , используя только таблицу сложения однозначных	чисел	.
Сложение	чисел	, записанных в системе счисления с любым основанием , проводится по алгоритму , то есть по правилу , похожему на правило сложения натуральных чисел в десятичной системе .
В каком случае сумма двузначного и трёхзначного	чисел	является четырёхзначным числом ? .
Если сумму двух равных	чисел	записать в виде произведения , то получим .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества	чисел	: если все они делятся на число т , то их сумма делится на m .
1.5 Запись натуральных	чисел	при помощи разрядных единиц .
Подобно тому , как это было сделано для двузначных	чисел	, запись алгоритма можно сократить .
Из равенств следует делимость	чисел	25 , 50 , 100 на 25 .
Поразрядно , справа , начиная с разряда единиц , выполним сложение	чисел	в каждом разряде , используя приём из пункта .
1.7 Сложение	чисел	в недесятичных системах счисления .
Приведённые названия разрядных единиц связаны с названиями	чисел	на латинском языке : tres — три , quatuor — четыре , quinque — пять , sex — шесть , septem — семь , octo — восемь , novem или nonum — девять , decem — десять .
1.4 Какое из указанных	чисел	нужно прибавить к 123 456 , чтобы получившееся число делилось на 9 ? .
Какие другие примеры дробных	чисел	вы знаете ? .
2.4 Какие из указанных	чисел	не потребуются при составлении таблицы умножения однозначных чисел на 6 ? .
2.4 Какие из указанных	чисел	меньше ? .
Какое из	чисел	0,00016382 и 0,0001629 больше ? .
1.2 Каким натуральным числом записывается количество всех трёхзначных натуральных	чисел	? .
Если для	чисел	а , b , с выполнены одновременно два неравенства , то будем обозначать это записью и говорить , что число а расположено между числами b и с.
Таким образом , для любых	чисел	а , b и с также выполняется равенство .
2.3 Какие из указанных	чисел	больше ? .
Ранее мы рассматривали для	чисел	отдельно законы сложения и законы умножения .
Наименьшее количество различных цифр для записи	чисел	требуется в системе счисления с основанием 2 или в двоичной системе .
Изображение на числовой прямой даёт наглядное представление о сравнении	чисел	друг с другом .
1.1 Дана таблица квадратов некоторых	чисел	.
Иногда для удобства дополняют дроби нулями после десятичной запятой , чтобы уравнять количество цифр после запятой в каждом из	чисел	.
Как из нескольких	чисел	, изображённых на горизонтальной числовой прямой с положительным направлением вправо , выбрать самое большое и самое малое ? .
2.1 Какие из указанных	чисел	являются натуральными ? .
3.4 Изображения дробных и отрицательных	чисел	.
1.4 Какое из указанных	чисел	не является значением с недостатком для числа 87 ? .
1.3 Какое из указанных	чисел	не является значением с избытком для числа 109 ? .
Иногда при записи произведения	чисел	, обозначенных буквами , точку между ними не ставят .
Среди	чисел	нижней строки таблицы найдём самое большое число , которое не превосходит 25 .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух	чисел	на третье результат не изменяется , если первое число умножить на произведение второго и третьего .
Иногда это свойство	чисел	называют сочетательным законом .
2.3 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы умножения однозначных	чисел	на 3 ? .
Натуральные числа составляют часть всего множества целых	чисел	.
2.1 Какие из указанных натуральных	чисел	являются двузначными числами ? .
2.2 Какие из указанных натуральных	чисел	являются трёхзначными числами ? .
В результате получаем , что распределительный закон ( точно так же , как и переместительный , и сочетательный законы ) выполняется и в случае , когда одно из	чисел	, входящих в его запись , равно нулю .
При для любых	чисел	а и b рассуждение аналогично предыдущему .
С помощью заготовленной таблицы можно извлекать квадратные корни только из	чисел	, попавших в нижнюю строку .
Точно так же если , то для любых	чисел	а и с выполняются равенства .
1.3 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 17 .
2.2 Какие из указанных	чисел	являются степенью одного из чисел ? .
При сравнении	чисел	используют знаки « > » , « < » и « = » .
Можно поступить наоборот — считать множители при степенях числа 4 « цифрами » нового способа записи	чисел	и писать только эти « цифры » .
8 Какие слова используются для названия двузначных	чисел	? .
Если , то для любых	чисел	b и с выполняются равенства , так как произведение любого числа и нуля равно 0 .
1.2 Какое из указанных	чисел	следует считать значением с недостатком для числа 999 ? .
Разность двух одинаковых	чисел	равна нулю .
Кроме рациональных	чисел	в математике и практической деятельности приходится рассматривать и другие числа .
2.1 Какие из указанных	чисел	нужны при составлении таблицы умножения однозначных чисел на 4 ? .
Подобным образом можно рассмотреть записи	чисел	в системах счисления с другими основаниями , например 3 , 5 , 8 .
9 Какие слова используются для названия трёхзначных	чисел	? .
10 Какие слова используются для названия четырёхзначных	чисел	? .
Сложение дробей свелось к вычислению суммы натуральных	чисел	5368 и 12 900 , которая равна 18 268 .
В десятичной системе счисления после записи	чисел	внизу обычно не ставят основание этой системы счисления — 10 .
Чему равна сумма	чисел	53,68 и 12,9 ? .
Умножение	чисел	.
Пусть для	чисел	а и b известно , что а < 1 и b > 1 .
Справедливо следующее свойство сравнения дробных	чисел	.
В этой главе вы вспомните правила умножения натуральных	чисел	.
6 Сколько цифр требуется для записи натуральных	чисел	в системе счисления с основанием а ? .
4 Сколько цифр требуется для записи натуральных	чисел	в системе счисления с основанием 10 ? .
2.2 Какие из	чисел	являются значениями с избытком для фигуры .
В этой главе мы вновь обратимся к записи	чисел	при помощи разрядных единиц .
1.4 Дана таблица квадратов некоторых	чисел	.
Напомним , что на числовой прямой можно наглядно изобразить сумму натуральных	чисел	.
6 Составьте таблицу квадратов	чисел	от 1 до 9 .
На каком расстоянии от О находятся изображения	чисел	.
На каком расстоянии от точки М , изображающей число 100 , находятся изображения	чисел	.
1.2 Дана таблица квадратов некоторых	чисел	.
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на числовой прямой и произведение натуральных	чисел	.
Вычитание дробей свелось к вычислению разности натуральных	чисел	31 000 и 6531 , которая равна 24 469 .
Похожим образом определяют дополнение дробных	чисел	до разрядных единиц .
Представление натуральных	чисел	в виде сумм .
Иногда для удобства дополняют нулями справа то из	чисел	, в записи которого меньше знаков после запятой .
При изучении вычитания натуральных	чисел	рассматривалось дополнение числа до разрядной единицы .
Для записи	чисел	в системе с основанием 16 к привычным нам цифрам 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 добавляют ещё 6 « цифр » .
Вы познакомитесь с понятием степени числа и правилами сравнения натуральных	чисел	.
Это можно было видеть на примере сложения натуральных	чисел	с помощью двух линеек .
Поэтому иногда употребляется система записи	чисел	, тесно связанная с двоичной , — шестнадцатеричная система счисления .
1.3 Дана таблица квадратов некоторых	чисел	.
2.1 Какие из	чисел	являются значениями с недостатком для фигуры , если единицей измерения площади является площадь одной клеточки ? .
Рассмотренные примеры обнаруживают неудобства двоичной системы : для больших	чисел	требуются довольно длинные записи .
8 Составьте таблицу кубов натуральных	чисел	от 1 до 5 .
11 Найдите десятичную запись для	чисел	.
В какую степень нужно возвести число а , чтобы получить произведение	чисел	а2 и а3 ? .
Одна вторая , три четверти , одна десятая — это примеры дробных	чисел	.
7 Укажите несколько	чисел	, расположенных между числами : а ) 0 и 0,001 ; б ) 7,301 и 7,301006 .
1.1 Какое из указанных	чисел	следует считать значением с избытком для числа 256 ? .
Отметим одно очень важное свойство для	чисел	: произведение двух ненулевых чисел всегда отлично от нуля .
Сравнение	чисел	.
Сколько существует таких натуральных	чисел	а , что разность не определена ? .
Почему для любых натуральных	чисел	а и b выполняется равенство .
В нижней строке таблицы стоят квадраты соответствующих	чисел	из верхней строки .
Почему среди этих	чисел	есть хотя бы одно , которое больше 28 ? .
Отметим одно очень важное свойство для чисел : произведение двух ненулевых	чисел	всегда отлично от нуля .
7 Сумма пяти	чисел	равна 141 .
5 Сколько цифр требуется для записи натуральных	чисел	в системе счисления с основанием 5 ? .
Для извлечения квадратных корней из некоторых	чисел	составим .
Руководствуясь общим правилом , нетрудно составить известную вам таблицу умножения однозначных	чисел	.
Иногда это свойство	чисел	называют переместительным законом .
Как и в случае со сложением , таблицы вполне достаточно , чтобы вычислять произведения любых многозначных	чисел	.
Сложение многозначных	чисел	.
Вычитание десятичных дробей похоже на вычитание натуральных	чисел	.
В дальнейшем в промежутках между отмеченными точками появятся изображения дробных	чисел	.
6 Приведите пример трех	чисел	, расположенных между числами .
Изучая сложение натуральных	чисел	, мы сформулировали его основные законы .
Какое число появится на пересечении 12-й строки и 16-го столбца этой таблицы , если продолжить её составление для	чисел	, больших 9 ? .
2.4 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы умножения однозначных	чисел	на 6 ? .
Заметим , что если для	чисел	а , b , х выполняется равенство , то для них выполняется и свойство .
Возникает вопрос : как извлекать квадратный корень из	чисел	, не включённых в таблицу ?
Выполняют вычитание по правилам , принятым для натуральных	чисел	, не обращая внимания на запятые Запятую ставят в том же столбце разности , где были поставлены запятые у вычитаемого и уменьшаемого .
Поэтому для натуральных	чисел	используется и другое название : положительные целые числа .
2.4 Для каких из указанных	чисел	дробная часть равна .
Отсюда получаем , что в этом случае разностью	чисел	а и х является число b .
2.3 Для каких из указанных	чисел	целая часть равна .
2.1 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 81 .
1.4 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 281 .
2.1 Какие из указанных чисел нужны при составлении таблицы умножения однозначных	чисел	на 4 ? .
2.3 Какие из указанных	чисел	будут двузначными при их записи в системе счисления с основанием 4 ? .
2.2 Какие из указанных натуральных	чисел	больше .
2.2 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 36 .
8 Каково число всех 12-значных	чисел	, записываемых только с помощью цифр 3 и 4 ? .
7 Сколько существует пятизначных	чисел	, записываемых только цифрами 1 и 2 ? .
6 Каково число всех четырёхзначных	чисел	, записываемых только цифрами 1 и 7 ? .
2.1 Какие из указанных натуральных	чисел	меньше .
5 Сколько различных трёхзначных	чисел	можно записать , используя только цифры 1 и 2 ? .
Приведём правила , позволяющие по десятичной записи двух	чисел	определить , какое из них больше , а какое меньше .
Отметим , что для любых натуральных	чисел	m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
9 Каково число всех 12-значных	чисел	, записываемых только с помощью цифр 3 , 4 и 5 ? .
2.4 Какие из указанных натуральных	чисел	можно назвать , используя ровно два слова ? .
Продолжая далее этот процесс , на прямой в выбранном направлении можно изобразить сколь угодно большое количество натуральных	чисел	в порядке их следования .
Правило сравнения	чисел	по их десятичной записи .
Изображения каких из указанных	чисел	расположены ближе к точке А , чем к точке Β ? .
Сравнение	чисел	. 4.1 .
2.3 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 27 , точка В изображает число 59 .
Сравнение дробей сводится к сравнению натуральных	чисел	.
2.2 Какие из указанных	чисел	не потребуются при составлении таблицы умножения однозначных чисел на 8 ? .
С помощью таблицы умножения однозначных	чисел	можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Если , то разность натуральных	чисел	а и b тоже является натуральным числом .
Какое из	чисел	больше другого ? .
Из двух	чисел	меньшим называется то число , которое при этом перечислении появляется раньше .
Сравнение дробных	чисел	.
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и действительных	чисел	, а также и для других объектов , которые уже мало напоминают числа .
2.4 Какие из указанных	чисел	будут трёхзначными при их записи в двоичной системе счисления ? .
Для сокращения записи натуральных	чисел	обычно применяют такие обозначения .
Изображение	чисел	.
Таким образом , ни одно из известных нам в данный момент	чисел	0 , 1,2 , 3 не может быть разностью .
Изображения каких из указанных	чисел	расположены от точки А на расстоянии 19 см ? .
Вычисление произведения дробей свелось к вычислению произведения натуральных	чисел	4702 и 352 , которое равно 1 655 104 .
Умножение десятичных дробей похоже на умножение натуральных	чисел	.
Правило сложения натуральных	чисел	, записанных в десятичной системе счисления , помогает сформулировать правило сложения десятичных дробей .
Приближённое значение можно найти с помощью таблицы квадратов натуральных	чисел	.
Именно поэтому принятый нами способ записи натуральных	чисел	называется десятичной системой счисления .
1.1 Для какого из указанных натуральных	чисел	следующее за ним число равно 98 ? .
Следующая пара	чисел	, таких , что квадрат одного отличается от удвоенного квадрата другого на единицу .
Изображения каких из указанных	чисел	расположены ближе к началу отсчёта , чем к точке А ? .
2.1 Какие из десятичных цифр не используются при записи	чисел	в системе счисления с основанием 4 ? .
По названиям этих разрядных единиц определяются классы натуральных	чисел	: класс тысяч , класс миллионов , класс миллиардов , класс триллионов и так далее .
2.3 Какие из указанных натуральных	чисел	можно назвать одним словом ? .
2.2 Какие из указанных чисел не потребуются при составлении таблицы умножения однозначных	чисел	на 8 ? .
2.4 Какие из указанных	чисел	можно представить в виде квадрата натурального числа ? .
2.2 Какие из указанных	чисел	используются как разрядные единицы в системе счисления с основанием 4 ? .
2.4 На числовой прямой расстояние между изображениями	чисел	0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 25 .
2 Какие примеры дробных	чисел	вам известны ? .
1 Из двух натуральных	чисел	с разным количеством цифр то число больше , у которого больше цифр .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что число 0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных	чисел	m и n называют положительной дробью .
7 Верен ли распределительный закон , когда некоторые из	чисел	равны нулю ? .
2.2 Какие из указанных чисел являются степенью одного из	чисел	? .
4 Какие примеры отрицательных целых	чисел	вы знаете ? .
Приведите таблицу , в которой для каждого из	чисел	от 1 до 6 указано , сколько раз оно выпало .
2.3 Какие из указанных	чисел	являются степенью числа 2 ? .
2.3 Какие из указанных	чисел	нужны при составлении таблицы умножения однозначных чисел на 3 ? .
в ) 390 625 в виде степени числа 5 . г ) 10 201 в виде степени	числа	101 .
6 Чему равен логарифм	числа	625 по основанию 5 ? .
Если	числа	а и b делятся нацело на число m , то число тоже делится нацело на m .
1.1 Чему равно десятичное приближение	числа	с недостатком с точностью до 0,1 ? .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого	числа	частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального	числа	b произведение делится нацело на число m .
2.3 Какие из указанных чисел могут быть остатками при делении чётного	числа	на 6 ? .
Эти	числа	вместе с миллионом 1 000 000 , 10 000 000 , 100 000 000 выделяют особо и называют разрядными единицами класса миллионов .
Нахождение цифр	числа	с помощью деления с остатком .
15 Запишите 312 в виде степени	числа	.
1 Как сравниваются натуральные	числа	по их десятичной записи ? .
16 Прочитайте	числа	.
в ) 390 625 в виде степени	числа	5 . г ) 10 201 в виде степени числа 101 .
18 На числовой прямой укажите какой - нибудь отрезок длины 0,1 , на котором лежит изображение	числа	3,14159265 .
Почему при делении	числа	, оканчивающегося нулём , на число , оканчивающееся нулём , эти нули можно вычёркивать ? .
10 Что получится , если из	числа	вычесть число 0 ? .
8 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые	числа	, может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
Указанные в условии	числа	являются его измерениями .
1.3 Сложение двузначного и однозначного	числа	.
2.2 Какие из указанных чисел могут быть остатками при делении нечётного	числа	на 6 ? .
Используя степени	числа	10 , можно кратко записать любую разрядную единицу .
Например , если число в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого	числа	десятков .
Например , можно сказать , что для	числа	123 одним из приближений сверху является число 130 , а одним из приближений с недостатком является число 120 .
4 Приведите примеры	числа	и его десятичных приближений с точностью до : а ) 1 ; б ) 0,1 ; в ) 0,01 .
На каком расстоянии от начала отсчёта окажется новое изображение B1	числа	n ? .
Таким образом , для	числа	выполняется равенство .
1 Назовите	числа	.
2 Чему равняются	числа	.
Вместо	числа	32 519 можно взять любое другое натуральное число и разложить его по степеням десяти .
В результате получена последовательность чисел 5 , 2 , 8 , 1 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного	числа	1825 , но записанной в обратном порядке .
5 На каком расстоянии от начала отсчёта О изображается на числовой прямой число 81 , если расстояние между точками А и В , изображающими	числа	36 и 92 , равно 224 см ? .
25 На какое число нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при делении этого же	числа	сначала на 6 , а затем при делении полученного частного на 2 ? .
Использование степеней	числа	10 позволяет для этого же числа получить новую запись .
Какие	числа	изображают точки С и D ? .
6 Какие	числа	кроме натуральных вы знаете ? .
2 Расположите все	числа	из предыдущей задачи : а ) в порядке возрастания ; б ) в порядке убывания .
13 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если	числа	а , б и с принимают целые значения от 0 до 3 .
а ) 19 683 в виде степени	числа	3 . б )
3 Расположите в порядке возрастания	числа	.
16 807 в виде степени	числа	7 .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального	числа	k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
5 Какие	числа	появляются на экране калькулятора ? .
Нахождение суммы двузначного и однозначного	числа	сводится к сложению однозначных чисел и десятков .
4 Укажите все натуральные	числа	, расположенные между числами .
12 Составьте таблицу значений d , вычисляемых по формуле , если а 3 , а	числа	b и с принимают целые значения от 0 до 3 .
Использование степеней числа 10 позволяет для этого же	числа	получить новую запись .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n	числа	1 мы получаем следующее натуральное число .
Запишем	числа	« столбиком » так , чтобы цифры одинаковых разрядов находились в одном столбце .
Запишите в виде произведения двух сомножителей различными способами следующие	числа	.
Целая часть	числа	.
1.1 На числовой прямой отмечены точки , изображающие	числа	0 , 10 , 20 и так далее .
2.4 Какие из указанных чисел можно представить в виде квадрата натурального	числа	? .
Какой процент составляют девочки старше 12 лет от общего	числа	учеников класса ? .
Кубический корень из	числа	обозначается через .
13 Известно , что	числа	1,732050 являются десятичными приближениями с недостатком для некоторого числа .
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого натурального	числа	n разность между последующим числом и самим числом n равна 1 .
13 Известно , что числа 1,732050 являются десятичными приближениями с недостатком для некоторого	числа	.
Кубический корень из натурального	числа	часто оказывается нецелым числом .
7 По какому правилу вычитают многозначные	числа	?
4 Точки А и В на числовой прямой изображают	числа	127 и 139 .
8 Что такое дополнение	числа	до разрядной единицы ? .
6 Запись шестизначного	числа	в десятичной системе имеет вид АВС АВС , где буквами А , В , С обозначены некоторые цифры .
17 Известно , что 1,2 является десятичным приближением	числа	х с недостатком с точностью до 0,1 .
Так как	числа	а и b — это длины катетов прямоугольного треугольника АВС , то приходим к следующему правилу : площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по формуле .
14 Известно , что	числа	3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого числа , имеющего 7 десятичных знаков после запятой .
16 Запишите приближённые значения с недостатком и с избытком для	числа	2,71828 с точностью до .
14 Известно , что числа 3 ; 2,3 ; 2,24 ; 2,237 ; 2,2361 ; 2,23607 ; 2,236069 являются десятичными приближениями с избытком для некоторого	числа	, имеющего 7 десятичных знаков после запятой .
7 На какие	числа	делятся .
Использование десятичной системы счисления привело к тому , что среди всех дробей особо выделяют дроби со знаменателями , равными степени	числа	10 .
В дополнение к степеням	числа	10 , у которых показатель степени больше 1 , договариваются , что .
Запись 820 627 означает , что рассматривается число , равное сумме	числа	восемьсот двадцать тысяч и числа шестьсот двадцать семь .
1.2 На числовой прямой отмечены точки , изображающие	числа	0 , 10 , 20 и так далее .
Нулевая степень	числа	10 .
2.3 Какие из указанных чисел являются степенью	числа	2 ? .
15 Прочтите приближённые равенства для	числа	3,1415926 и укажите , с какой точностью приведены приближённые значения и в каких случаях даны приближения с недостатком , а в каких с избытком .
Какие натуральные	числа	можно считать приближёнными значениями с недостатком и с избытком ? .
Запись 820 627 означает , что рассматривается число , равное сумме числа восемьсот двадцать тысяч и	числа	шестьсот двадцать семь .
Чтобы найти корень этого уравнения , нужно подобрать такое число х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из	числа	.
1.3 Дана таблица умножения числа 17 на	числа	.
6 Какой геометрический смысл имеет частное от деления одного	числа	на другое ? .
5 Найдите остаток от деления	числа	( 3233)4 на ( 13)4 .
( При делении	числа	513 513 на 7 частным будет число 73 359 ) .
Для краткости произведение записывают в виде 102 , ставя справа и сверху от	числа	10 количество сомножителей .
Разложение	числа	на делители .
Для	числа	1001 справедливо равенство .
Какая связь имеется между двумя последними цифрами	числа	и его остатком при делении на 100 ? .
Для того чтобы ввести новые	числа	, будем рассматривать суммы равных частей единичного отрезка на числовой прямой .
6.2 Нахождение цифр	числа	в других системах счисления с помощью деления с остатком .
8 Укажите все	числа	х с шестью десятичными знаками после запятой , для которых выполняются неравенства .
9 На числовом луче с началом отсчёта О число 1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые	числа	, может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
То есть оба	числа	7 и 143 являются делителями числа 1001 .
В результате получена последовательность чисел 1 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 3 , которая совпадает с последовательностью цифр исходного	числа	, но записанной в обратном порядке .
То есть оба числа 7 и 143 являются делителями	числа	1001 .
Как получить цифры	числа	( 1234)5 с помощью деления с остатком ? .
9 Вычеркните в числе три цифры после запятой так , чтобы получилась запись возможно большего	числа	.
7 Что такое для	числа	а ? .
Какие ещё делители есть у	числа	1001 ? .
Найдём запись десятичного	числа	9137 в четверичной системе .
1 Как определяется операция деления одного	числа	на другое ? .
Если переписать эти цифры в обратном порядке , то получится нужное представление	числа	9137 в четверичной системе : ( 2032301)4 .
Чему равно частное от деления этого	числа	на 9 ? .
1.3 Дана таблица умножения	числа	17 на числа .
5 Запишите	числа	в виде десятичных дробей : а ) 3 целых 14 сотых ; б ) 0 целых 2 десятых 6 сотых ; в ) 184 целых 13 тысячных ; г ) 7 десятитысячных .
Чему равны частные при делении	числа	18k на 2 и на 9 ? .
По определению полагаем , что для этого	числа	выполняется равенство .
1 Найдите запись	числа	1995 в четверичной системе счисления .
2 Найдите запись	числа	1995 в восьмеричной системе счисления .
17 Делятся ли	числа	вида 9k на 3 ?
3 Как записать в пятеричной системе счисления	числа	, записанные в десятичной системе : а ) 66 ; 6)132 ; в ) 1995 ; г ) 2000 ? .
16 Чему равно частное от деления	числа	вида на 5 ? .
Расположите эти	числа	в порядке убывания .
6.3 Перевод	числа	из десятичной в другую систему счисления делением с остатком .
Сложение трёх однозначных чисел сводится или к сложению однозначных чисел , или к сложению двузначного и однозначного	числа	.
2.2 Умножение натурального числа на степени	числа	10 .
Какие числа являются десятичными приближениями для	числа	3,14 снизу и сверху с точностью до 0,0001 ? .
Рассмотрим все цифры этого	числа	справа налево .
Может ли при делении с остатком некоторого натурального	числа	на произведение получиться остаток 134 ? .
Чему равно приближённое значение неполного частного при делении	числа	4147 на 19 с недостатком с точностью до 100 ? .
Остаток от деления	числа	4147 на 19 записан под делимым в самой нижней строке и равен 5 .
5 Из набора чисел 144 , 511 , 715 , 300 , 290 , 728 , 1312 , 900 , 7345 , 10 000 выберите все	числа	, которые делятся .
Складывая	числа	, стоящие под делителем , находим неполное частное , равное 218 .
Запишем найденные	числа	и продолжим деление « уголком » .
Такие	числа	называются иррациональными .
Число а4 можно прочитать и как « а в степени 4 » , и как « а в четвёртой степени » , и как « четвёртая степень	числа	а » .
В некоторых столбцах этой таблицы ниже нуля появляются отрицательные	числа	.
Это различные записи одного и того же	числа	.
Поэтому для	числа	2247 снова подбираем целое число а сотен так , чтобы произведение было меньше 2247 .
Пусть при делении	числа	4147 мы выполним действия : подбирая число сотен , возьмём одну сотню .
Чему равно дополнение натурального	числа	53 до 1 000 000 ? .
Это происходит потому , что из меньшего	числа	вычитают большее .
2.2 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями	числа	3π с избытком ? .
Запись аn читается как « а в степени эн » , или как « а в энной степени » , или как « энная степень	числа	а » .
Поэтому поступают следующим образом : вместо	числа	часов ставят букву а , вместо числа минут ставят букву b.
2.10 Дополнение	числа	до разрядной единицы .
Там стоят далеко не все	числа	.
Допустим , что при делении	числа	4147 на 19 мы выполнили действия так .
2.3 Длины сторон треугольника — целые	числа	, причём две из них имеют длины 5 см и 2 см. Какие из указанных значений не могут быть длиной его третьей стороны ? .
4 На какие цифры оканчиваются	числа	, делящиеся на 2 ? .
Если необходимо , ничто не мешает рассмотреть любую прямую , выбрать на ней произвольное направление и от определённой точки откладывать	числа	.
Если числа от 2 до 100 расположить , и применить правило Эратосфена , то останутся простые	числа	, обведённые « кружочками » .
7 Верно ли , что среди 11 натуральных чисел найдутся 2	числа	, разность которых делится на 10 ? .
Сравним	числа	2561,93302 и 2561,9457 .
6 Верно ли , что среди 11 натуральных чисел найдутся 2	числа	, имеющие две одинаковые последние цифры ? .
Целая часть второго	числа	больше целой части первого , поэтому второе число больше .
б ) Чему равен остаток при делении произвольного натурального	числа	на 100 ? .
Значение квадратного корня из	числа	а обозначается через Пользуясь таким обозначением , поиски нужного корня уравнения можно представить в виде .
Сравним	числа	3,9 и 5,1 .
5 а ) Какой остаток при делении на 100 дают	числа	121 ; 4567 ; 13 989 ; 807 ? .
Десятичные дроби по их записи сравниваются точно так же , как и натуральные	числа	.
Чему равен остаток при делении произвольного натурального	числа	на 10 ? .
4 а ) Какой остаток при делении на 10 дают	числа	: 57 ; 356 ; 17 211 ; 991 ?
2 Какие остатки могут получиться при делении натурального	числа	.
Логарифм	числа	32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить число 32 .
7 Какие	числа	называются простыми ? .
3 Что такое неполное частное при делении	числа	а на число b ? .
В записи 25 показатель степени 5 иногда называют логарифмом	числа	32 по основанию 2 и записывают в виде .
8 Какие	числа	называются составными ? .
2 Что такое остаток от деления	числа	а на число b ? .
10 Какой остаток получается при делении	числа	на 4 ? .
Точно так же получается и в том случае , когда в записи	числа	используется цифра 0 .
Посмотрим , как можно подбирать нужные	числа	в алгоритме деления с остатком « уголком » на примере .
13 Как объяснить , что следующие	числа	делятся на 3 : .
Поэтому для натуральных чисел используется и другое название : положительные целые	числа	.
Верно ли это утверждение для разности любого трёхзначного	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ? .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с остатком	числа	а на число b остаток может равняться .
Чему равны неполное частное и остаток при делении	числа	45 на 6 ? .
Верно ли это утверждение для разности любого трёхзначного числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ? .
1.1 Чему равно приближённое значение длины окружности радиуса 4 см , если для	числа	π взять приближение 3,2 с избытком ? .
Как найти остаток при делении	числа	1994 на 6 , используя равенство .
Сами	числа	а и b , как и при делении нацело , называют соответственно делимым и делителем .
Число r называется остатком , при делении натурального	числа	а на b. Число q называется неполным частным .
17 Покажите , что если две последние цифры	числа	образуют число , делящееся на 4 , то исходное число также делится на 4 .
Произведение n одинаковых сомножителей , равных числу а , называется степенью	числа	а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
Разделить с остатком число а на число b — значит найти такие	числа	q и r , что .
Разность между разрядной единицей и числом называют дополнением	числа	до разрядной единицы .
Будем считать точку О изображением нуля , а точку Е — изображением	числа	1 .
Отметьте эти	числа	.
20 Начертите часть числовой прямой так , чтобы на ней можно было отметить	числа	0,287 ; 0,289 ; 0,301 .
Вместо	числа	10 возьмём любое другое число а .
Определение степени	числа	.
Например , в записи	числа	81,6539 имеется четыре десятичных знака : 6 , 5 , 3 и 9 .
Поэтому поступают следующим образом : вместо числа часов ставят букву а , вместо	числа	минут ставят букву b.
1.3 Чему равно приближённое значение площади круга радиуса 4 см , если для	числа	π взять приближение 3,1 с недостатком ? .
Будем считать точку F изображением	числа	2 .
8 Проверьте , что	числа	108 , 1008 , 10 008 , 100 008 делятся на 18 .
При делении « уголком » можно подбирать нужные	числа	постепенно , не в одно действие .
2.1 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями	числа	2π с недостатком ? .
Для вычисления неполного частного складываем	числа	60 и 1 , записанные под делителем 87 , и получаем 61 .
Заменяя в таком выражении буквы а и b на конкретные	числа	, будем получать числовые выражения .
Почему	числа	вида 10 при любом числе нулей делятся на 18 ? .
Записав найденные	числа	« уголком » и выполнив вычитание , получим 79 .
1 Что значит « найти квадратный корень из	числа	» ? .
Запишем найденные	числа	« уголком » и выполним вычитание .
Обычно для натурального	числа	находят дополнение до ближайшей большей разрядной единицы .
Запишем данные два	числа	в виде « уголка » .
Разберём такую запись алгоритма на уже рассмотренном примере деления с остатком	числа	5386 на 87 .
Любое натуральное число можно записать при помощи разрядных единиц , используя	числа	, соответствующие цифрам .
Чему равен остаток от деления	числа	87 001 на 87 ? .
2 Как обозначается корень квадратный из	числа	а ? .
1.3 Какова десятичная запись	числа	? .
Как записать число 1024 в виде степени	числа	4 ? .
Представление , где , даёт результат деления с остатком	числа	5386 на 87 .
11 Выпишите , если возможно , все трёхзначные	числа	, состоящие из цифр 3 , 4 , 5 и делящиеся .
Алгоритм деления с остатком	числа	а на число b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
Целые части у них одинаковые , цифры десятых тоже одинаковые , а цифра сотых у второго	числа	больше , чем цифра сотых у первого .
11 Какой остаток получается при делении на 6	числа	? .
12 Приведите пример	числа	, которое при делении на 2 даёт остаток 1 , при делении на 3 — остаток 2 , при делении на 5 — остаток 4 , а при делении на 6 — остаток 5 .
Число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи	числа	делится на 9 .
1 Какое выражение называется пятой степенью	числа	а ? .
Число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр десятичной записи	числа	делится на 3 .
5 Как сравнивать	числа	на числовой прямой ? .
Это удобно , так как , например , по записи « а ≈ 571,930 с избытком » можно сразу сказать , что число а меньше	числа	571,930 и отличается от него не более чем на 0,001 .
Продолжив такой процесс , получим целые	числа	.
Отрицательные	числа	будут изображаться точками , расположенными слева от начала отсчёта .
Как и в случае степени числа 10 , для натурального	числа	а договариваются использовать обозначения .
Имея числа 10 , 100 , 1000 , мы можем считать десятки предметов , сотни предметов , тысячи предметов , десятки тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать	числа	от 1000 до 999 999 .
Вспомним , как складываются однозначные	числа	.
3.1 Как извлечь корень из	числа	.
Как и в случае степени	числа	10 , для натурального числа а договариваются использовать обозначения .
Чётные и нечётные	числа	.
Натуральные	числа	составляют часть всего множества целых чисел .
Решить такое уравнение — значит найти число , зная квадрат этого	числа	.
2.2 На какие цифры могут оканчиваться степени	числа	129 ? .
На какие цифры могут оканчиваться степени	числа	24 ? .
У	числа	873 сумма цифр делится на 9 .
Для этого же	числа	а можно написать .
Какого	числа	Петя впервые опоздает на урок , если с трёх часов утра в понедельник 10 октября часы начнут отставать на 12 секунд в сутки ? .
2.6 Составные и простые	числа	.
Для	числа	а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется число .
Разделить число а на 2 с остатком — это значит найти такие	числа	q и n , что , причём .
2 Почему произведение любого натурального	числа	на чётное будет чётным ? .
1 Какой вид имеют : а ) чётные числа ; б ) нечётные	числа	? .
1 Какой вид имеют : а ) чётные	числа	; б ) нечётные числа ? .
Какие	числа	являются десятичными приближениями для числа 3,14 снизу и сверху с точностью до 0,0001 ? .
Например , числа 0,333 и 0,334 являются десятичными приближениями снизу и сверху соответственно с точностью до 0,001 для	числа	.
Приближения с избытком и с недостатком существуют для любого	числа	.
Например ,	числа	0,333 и 0,334 являются десятичными приближениями снизу и сверху соответственно с точностью до 0,001 для числа .
4 По какой формуле можно вычислять нечётные	числа	? .
Отсюда следует , что десятичное приближение сверху всегда больше самого	числа	.
3 Какое число на числовой прямой изображает середина С отрезка АВ , если точки А и В изображают	числа	? .
3 Как по последней цифре	числа	в десятичной системе счисления определить , чётное это число или нечётное ? .
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого	числа	а с точностью до называется число .
Возьмём десятичную запись	числа	511 634 .
Это позволяет записать и прочитать все натуральные	числа	от 1000 000 до 999 999 999 .
Значение	числа	к с недостатком равно 3 , а значение с избытком равно 4 .
Какие значения	числа	π с недостатком и с избытком вам известны ? .
Полученную запись можно сократить , если в приведённой схеме у	числа	10 не указывать цифру 0 , а запись цифры 1 сохранить в том же столбце десятков , где она и была записана .
1 Что называется значением некоторого	числа	с недостатком ? .
Для	числа	r возможны значения и , поэтому либо , либо .
2 Что называется значением некоторого	числа	с избытком ? .
Замену числа его приближением обозначают при помощи знака приближённого равенства ≈. Например , для	числа	а можно написать .
Число называется простым , если оно не делится ни на какие	числа	, кроме 1 и р .
Нахождение	числа	по значению его квадрата называется извлечением , квадратного корня .
1.4 Какое из указанных чисел не является значением с недостатком для	числа	87 ? .
2.7 Квадрат и куб	числа	.
Каждое число верхней строки является квадратным корнем из соответствующего	числа	нижней строки .
Чему равен логарифм	числа	256 по основанию 4 ? .
По нему для каждого	числа	каждого месяца мы можем определить , на какой день недели приходится это число .
1.4 Какой наибольший остаток может получиться при делении натурального	числа	на 27 ? .
1.3 В каком из приведённых случаев записан результат деления с остатком	числа	539 на 17 ? .
1.2 Какое из указанных чисел является остатком от деления	числа	543 на 6 ? .
Числа 1 , 10 и 100 являются разрядными единицами класса единиц , а	числа	1 000 , 10 000 и 100 000 называют разрядными единицами класса тысяч .
1.1 Чему равен остаток от деления	числа	13 578 на 5 ? .
Например , большее число b изображено правее меньшего	числа	а .
В нашем примере нужно извлечь квадратный корень из	числа	144 .
Точно так же , если , то n называют логарифмом	числа	b по основанию а и пишут .
16 Какой вид имеют	числа	, дающие при делении на 100 остаток 25 ? .
15 Какой вид имеют	числа	, дающие при делении на 6 : а ) остаток 1 ; б ) остаток 4 ; в ) остаток 5 ? .
Оставшиеся	числа	2 , 3 , 5 , 7 — простые .
14 При делении	числа	а на 2 получился остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Какой остаток может получиться при делении этого	числа	на 6 ? .
Если	числа	от 2 до 100 расположить , и применить правило Эратосфена , то останутся простые числа , обведённые « кружочками » .
Возьмём два	числа	: 1997 и 415 .
1.3 Какое из указанных чисел не является значением с избытком для	числа	109 ? .
В изучении натуральных чисел простые	числа	играют очень важную роль .
Чему равна последняя цифра	числа	? .
Для третьей степени	числа	а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём куба , сторона которого равна а , выражается числом а3 .
Замену	числа	его приближением обозначают при помощи знака приближённого равенства ≈. Например , для числа а можно написать .
8 На какую цифру оканчиваются : а ) степени числа 10 ; б ) степени	числа	5 ? .
8 На какую цифру оканчиваются : а ) степени	числа	10 ; б ) степени числа 5 ? .
Поэтому исторически сложилось так , что для второй степени	числа	а , то есть для а2 , установилось особое название : « а в квадрате » .
Чему равно приближённое значение	числа	π с избытком с точностью до 0,01 ? .
Известно , что приближённое значение	числа	n с недостатком с точностью до 0,01 равно 3,14 .
Итак , мы изобразили на числовой прямой некоторые натуральные	числа	и нуль .
Рассмотрим десятичные приближения для	числа	.
4 Как через степени	числа	10 записываются разрядные единицы ? .
1.1 Какое из указанных чисел следует считать значением с избытком для	числа	256 ? .
Поэтому , например , у	числа	последняя цифра та же , что и у числа .
В первой строке запишем значения показателя n , во второй — удвоенную последнюю цифру предыдущей степени двойки , а в третьей — последнюю цифру	числа	.
Правило вычисления последней цифры произведения позволяет для получения последней цифры очередной степени	числа	2 взять последнюю цифру предыдущей степени , домножить её на 2 и у результата оставить только последнюю цифру .
Наряду с единицей , десятком и сотней особо выделяются	числа	: тысяча , десять тысяч и сто тысяч .
Вычислим последние цифры у степеней	числа	2 .
Чему равна последняя цифра	числа	.
Возьмём два	числа	: 1994 и 415 .
1.2 Какое из указанных чисел следует считать значением с недостатком для	числа	999 ? .
Являются ли	числа	0,111 и 0,112 десятичными приближениями с недостатком и с избытком для дроби ? .
Поэтому , например , у числа последняя цифра та же , что и у	числа	.
3 Какие	числа	используют при измерении температуры ? .
Попробуем сделать простой прибор , помогающий складывать натуральные	числа	.
Тогда для	числа	выполняются равенства .
Свойство числа 0 при умножении : произведение числа а и	числа	0 всегда равно 0 .
Свойство числа 0 при умножении : произведение	числа	а и числа 0 всегда равно 0 .
7 Запишите в двоичной системе счисления	числа	.
6 Следующие	числа	переведите из троичной системы счисления в десятичную .
Свойство числа 1 при умножении : произведение числа а и	числа	1 всегда равно числу а .
Свойство числа 1 при умножении : произведение	числа	а и числа 1 всегда равно числу а .
5 Запишите в троичной системе счисления	числа	.
Свойство	числа	1 при умножении : произведение числа а и числа 1 всегда равно числу а .
Свойство	числа	0 при делении : на 0 делить нельзя ! .
Например , цифра нуль в десятичной записи натурального	числа	означает , что в этом числе отсутствуют единицы соответствующего разряда .
18 Возведите в квадрат	числа	.
4 Запишите в троичной системе счисления	числа	.
3 Переведите в десятичную систему счисления следующие	числа	, записанные в системе счисления с основанием 4 .
Свойство числа 0 при сложении : сумма	числа	а и числа 0 всегда равна числу а .
2 Как записать в системе счисления с основанием 4	числа	? .
Свойство	числа	0 при сложении : сумма числа а и числа 0 всегда равна числу а .
Если точное значение	числа	неизвестно или несущественно , то вместо него можно использовать значения с недостатком или с избытком , которые принято называть приближёнными .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого	числа	на третье .
Свойство числа 0 при сложении : сумма числа а и	числа	0 всегда равна числу а .
1 Запишите в системе счисления с основанием 4	числа	.
Если же число у больше а , то его называют значением	числа	а с избытком .
Натуральные	числа	в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Каким выражением без скобок можно заменить , где а и b —	числа	? .
3 Запишите римскими цифрами	числа	: а ) 2 ; 6 ) 6 ; в ) 8 ; г ) 9 .
Таким образом , для нуля и любого натурального	числа	выполняются равенства .
Как расположить	числа	в порядке возрастания ? .
Если воспринимать нуль как число , которое обозначает отсутствие какого - либо количества , то легко понять , что для любого	числа	а взять а раз число 0 или взять 0 раз число а каждый раз означает отсутствие количества .
5.5 Прибавление	числа	к обеим частям неравенства .
По определению	числа	нуль имеем .
произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого	числа	на третье .
В предыдущей главе уже упоминалось , что если некоторое число х меньше а , то х называется значением	числа	а с недостатком .
произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого	числа	на второе и первого числа на третье .
произведение первого	числа	на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
9 Переведите	числа	из двоичной системы счисления в десятичную .
5.6 Вычитание	числа	из обеих частей неравенства .
8 Запишите в двоичной системе	числа	.
20 Уменьшаемое равно 85 007 101 , вычитаемое на 1025 меньше этого	числа	.
Первое значение заведомо меньше искомого	числа	, а второе — больше .
Аналогично для числа а и	числа	0 можно написать следующие равенства .
Аналогично для	числа	а и числа 0 можно написать следующие равенства .
Квадрат какого наибольшего натурального	числа	можно точно вычислить на таком калькуляторе ? .
12 Используя все цифры от 0 до 9 по два раза , запишите наибольшее и наименьшее	числа	.
19 Число 3 141 592 на 291 247 больше	числа	х.
Распределительный закон : произведение первого	числа	на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого числа на второе и первого числа на третье .
Так появляются дробные	числа	.
Начинаем счёт с	числа	« один » .
Считая предметы , мы используем натуральные	числа	.
Двузначные	числа	, приведённые в таблице , вы уже умеете читать .
9 Следующие	числа	представьте в виде сумм при помощи разрядных единиц и цифр .
Из двузначного	числа	11 вычитаем число 5 , а результат 6 записываем в ответ в столбце сотен .
Пусть	числа	а и b таковы , что .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для	числа	209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Если взять два произвольных	числа	а и b , то для них также выполняется равенство .
Чему равно дополнение	числа	0,000001 до 0,001 ? .
Пусть теперь а и b — два натуральных	числа	.
Пять восьмых — пример дробного	числа	, или дроби .
Частное при делении любого дробного	числа	на натуральное определяется похожим образом .
Кроме того , приближения с разной точностью могут оказаться равными друг другу , если внутри десятичной записи исходного	числа	имелись нули .
1.2 Чему равно десятичное приближение	числа	с избытком с точностью до 0,01 ? .
Тогда b + 10 m называется десятичным приближением сверху для	числа	а с точностью до 10 m. Например , десятичными приближениями сверху для уже рассмотренного выше числа 209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
1.2 Чему равно приближённое значение объёма шара с радиусом 3 см , если за приближённое значение	числа	π с недостатком выбрано 3,1 ? .
2.3 Отрицательные	числа	.
Сколько цифр потребуется для записи	числа	1999 в шестнадцатеричной системе счисления ? .
Распределительный закон : произведение первого числа на сумму второго и третьего равно сумме произведений первого	числа	на второе и первого числа на третье .
Когда - то натуральные	числа	изображались в виде зарубок , точек , насечек на камнях , костях или деревянных брусках .
Найдите эти	числа	.
5 Сколько десятичных знаков	числа	к вам известно ? .
6 Запишите с помощью римских цифр	числа	.
2.3 Какие из приведённых выражений являются квадратом некоторого натурального	числа	? .
2.1 Натуральные	числа	.
15 Целая часть	числа	а больше целой части числа b. Покажите , что тогда .
Все мы с детства учились считать , употребляя при этом натуральные	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 и так далее .
Натуральные	числа	легко сравнивать между собой , поэтому при измерении различных величин стараются выбирать такие единицы , чтобы результаты измерений выражались натуральными числами .
Для обозначения	числа	одиннадцать , следующего после десяти , тоже используют две цифры 11 .
Понятие дополнения до разрядной единицы позволяет иначе представить вычитание десятичных дробей с использованием дополнения до	числа	1 .
15 Целая часть числа а больше целой части	числа	b. Покажите , что тогда .
Если взять три произвольных	числа	а , b и с , то для них также выполняется равенство .
Тремя цифрами обозначаются и все последующие натуральные	числа	до 999 .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления натурального	числа	m на натуральное число n .
2.2 Дробные	числа	.
Одно из приближённых значений с недостатком для	числа	равняется .
Тот факт , что число b является приближённым значением	числа	а , выражают формулой а ≈ b ( читается : « а приближённо равно b » ) .
Большие	числа	изображать таким способом неудобно , поэтому насечки стали группировать .
Как можно проверить правильность результата вычитания одного	числа	из другого ? .
Так поступают вплоть до	числа	99 .
Тогда b + 10 m называется десятичным приближением сверху для числа а с точностью до 10 m. Например , десятичными приближениями сверху для уже рассмотренного выше	числа	209 360 будут : 209 370 — с точностью до 10 ; 209 400 — с точностью до 100 ; 210 000 — с точностью до 1000 ; 210 000 — с точностью до 10 000 ; 300 000 — с точностью до 100 000 .
11 Используя все цифры от 1 до 9 по одному разу , запишите наибольшее и наименьшее	числа	.
10 Заданы	числа	23 , 42 , 51 , 34 , 10 , 2 , 1 .
Про любые два различных натуральных	числа	всегда можно сказать , какое из них больше , а какое меньше .
Запишем данные	числа	« столбиком » и проведём черту .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножаем верхнее число на разряды нижнего	числа	.
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного	числа	сотен и так далее .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного числа десятков , произведение однозначного	числа	и однозначного числа сотен и так далее .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного числа и однозначного	числа	десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
С помощью таблицы умножения однозначных чисел можно быстро находить : произведение однозначного	числа	и однозначного числа десятков , произведение однозначного числа и однозначного числа сотен и так далее .
Какое число является разностью чисел и n для натурального	числа	n ? .
Понятия « больше » и « меньше » отражают свойство упорядоченности в ряду натуральных чисел , которое позволяет различные	числа	расположить в порядке возрастания или убывания .
Умножение целого	числа	разрядных единиц на однозначное число .
Вы узнаете , какие бывают	числа	, что такое приближённые значения с избытком и с недостатком .
Предположим , что с помощью компьютера надо выбрать наименьшее среди чисел 12 , 10 , 8 , 15 , 11 , причём компьютер может сравнивать и переставлять местами только соседние	числа	в имеющемся ряду .
Используя правило умножения на степени	числа	10 , находим .
Представим , что данные	числа	выписаны в столбец .
Так как , то компьютер оставляет 12 на месте и переходит к рассмотрению	числа	10 .
Попробуйте , например , перемножить	числа	5836 и 7043 , и вы поймёте , что это не так просто сделать , ни разу не ошибившись .
2 Что такое дробная часть	числа	? .
1 Что такое целая часть	числа	? .
2 Какими цифрами обычно записывают натуральные	числа	? .
Например , CCXLIII — запись числа 243 ; MCDXLIV — запись	числа	1444 ; MCMXLV — это число 1945 .
Представим натуральные	числа	4 и 7 в виде дробей со знаменателем , равным 1 .
14 Может ли дробная часть	числа	быть больше его целой части ? .
1.1 Чему равна целая часть	числа	.
1 Какие	числа	используют при счёте предметов ? .
Это позволяет получить простое правило умножения натурального	числа	на 10 .
Число машин в первом гараже составляет от	числа	машин во втором гараже .
Результат умножения любого	числа	на 10 получается приписыванием нуля справа в конце этого числа .
Результат умножения любого числа на 10 получается приписыванием нуля справа в конце этого	числа	.
1.2 Чему равна дробная часть	числа	.
1.3 Какой вид имеет запись	числа	смешанной дробью ? .
Представим себе все натуральные	числа	выписанными в ряд в том порядке , в каком они появляются при последовательном счёте .
2 Если два натуральных	числа	имеют одинаковое количество цифр , то сравнивают первые левые цифры .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде произведения натурального числа и	числа	10 .
Например , если рассмотреть число 5120 , то его можно получить , перемножив	числа	512 и 10 , то есть 5120 .
Сравним	числа	9876 и 9867 .
Это позволяет быстро находить произведение натурального	числа	и степени числа 10 .
Это позволяет быстро находить произведение натурального числа и степени	числа	10 .
16 Запишите в виде смешанной дроби результат увеличения	числа	.
2.2 Умножение натурального	числа	на степени числа 10 .
Выпишем	числа	в столбик и умножим как натуральные , не обращая внимания на запятые .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём число можно представить в виде произведения натурального	числа	и числа 10 .
Покажем , как при помощи двух линеек можно из одного	числа	вычитать другое .
Снова запишем данные	числа	« столбиком » и проведём черту .
Например , CCXLIII — запись	числа	243 ; MCDXLIV — запись числа 1444 ; MCMXLV — это число 1945 .
Иногда для записи целой части а	числа	а используется обозначение [ а ] , а для записи дробной части числа а используется обозначение { а } .
В этом случае говорят , что целая часть числа равна q , а дробная часть	числа	равна .
В этом случае говорят , что целая часть	числа	равна q , а дробная часть числа равна .
В самом деле , прибавляя к b по очереди 1 , 2 , 3 мы получим всевозможные натуральные	числа	, большие b.
Натуральное число m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные	числа	или 0 , причём r обязательно меньше n.
7 Запишите в виде	числа	разрядную единицу — миллиард .
1 Сравните	числа	.
Целая и дробная части	числа	.
Иногда для записи целой части а числа а используется обозначение [ а ] , а для записи дробной части	числа	а используется обозначение { а } .
12 Запишите в шестнадцатеричной системе	числа	от 32 до 47 .
11 Запишите в шестнадцатеричной системе	числа	от 1 до 15 .
3 Как умножаются многозначные	числа	?
5 Расставьте в порядке возрастания	числа	.
5 Как умножать	числа	, имеющие нули в конце своей записи ? .
6 Расставьте в порядке убывания	числа	.
6 Какие	числа	являются разрядными единицами в системе счисления с основанием а ? .
9 Даны	числа	50 , 35 , 60 , 30 , 45 .
11 Как записываются	числа	от 1 до 12 в римской нумерации ? .
Если , то для любых чисел b и с выполняются равенства , так как произведение любого	числа	и нуля равно 0 .
Поскольку , то компьютер оставляет 10 на месте и переход к рассмотрению	числа	8 .
Но для квадрата ACSQ его площадь , значит , извлекая из	числа	25 квадратный корень , находим .
3 По какому правилу сравниваются натуральные	числа	, записанные одинаковым количеством цифр ? .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножим верхнее число на цифру 3 младшего разряда нижнего	числа	.
В данном случае , поэтому компьютер переставляет эти	числа	местами и получается столбец .
6 Как определяется произведение любого числа а и	числа	0 ? .
6 Как определяется произведение любого	числа	а и числа 0 ? .
Снова , поэтому компьютер переставляет местами	числа	8 и 11 .
В некоторых устройствах значение измеряемой величины появляется на табло в виде	числа	.
2 Как определяется умножение любого	числа	а на натуральное число b ? .
В этом случае целая часть	числа	равна 3 , а её дробная часть равна 0 .
Справедливо равенство , поэтому целая часть	числа	равна 3 , а дробная часть равна .
В нашем примере число единиц уменьшаемого меньше	числа	единиц вычитаемого .
Они выполняются для многих числовых систем , в частности для целых , рациональных и действительных чисел , а также и для других объектов , которые уже мало напоминают	числа	.
Справедливо равенство , где числитель дроби меньше её знаменателя , поэтому целая часть	числа	у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
Из двузначного	числа	13 вычитаем 8 единиц вычитаемого , а результат 5 записываем в ответ в столбце единиц .
1.2 Какова десятичная запись	числа	( 302)4 ? .
4.5 Вычисление десятичных приближений для	числа	.
2 По какому правилу сравниваются натуральные	числа	, записанные разным количеством цифр ? .
6 Запишите в виде	числа	разрядную единицу — миллион .
Такую запись дробного	числа	называют смешанной дробью .
1.4 Какова десятичная запись	числа	? .
Трёхзначные	числа	вы также умеете читать .
Пусть b — десятичное приближение снизу для	числа	а с точностью до 10 m.
Вычтем число 0,00035 из	числа	0,1 .
Подставив вместо	числа	π число 3,1415 , получим 1,21733125 м3 .
Про полученную запись говорят , что	числа	представлены в системе счисления с основанием 4 .
Кроме рациональных чисел в математике и практической деятельности приходится рассматривать и другие	числа	.
Будет рассказано , какие	числа	называют чётными , нечётными , простыми и составными , что такое деление натуральных чисел с остатком .
Вы сможете найти последнюю цифру	числа	2100 и научитесь простому способу записи натуральных чисел в различных системах счисления .
Можно поступить наоборот — считать множители при степенях	числа	4 « цифрами » нового способа записи чисел и писать только эти « цифры » .
Итак , умножение	числа	а на натуральное число b определяется по правилам .
20 Составьте несколько дробей , используя	числа	1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
В младших классах вы уже научились складывать натуральные	числа	.
11 Как можно записать натуральные	числа	в виде дробей ? .
Вычитание станет возможным , если наряду с натуральными числами и нулем рассмотреть отрицательные	числа	.
Выражения , записанные в виде сумм произведений при помощи цифр 0 , 1 , 2 , 3 и степеней	числа	4 , мы заменили на десятичную запись .
Некоторые величины и их единицы измерения обладают свойством возможности деления этой единицы на q равных частей для любого натурального	числа	q.
Составим сначала таблицу степеней	числа	4 .
Число 0 можно также рассматривать как дробь вида , причём для любого натурального	числа	n .
Вместо числа 10 берётся число 4 , а множителями при степенях четвёрки берутся	числа	0 , 1 , 2 , 3 .
Полученное значение х , равное 6 , называют частным при делении	числа	42 на число 7 .
Вместо	числа	10 берётся число 4 , а множителями при степенях четвёрки берутся числа 0 , 1 , 2 , 3 .
При каких из указанных значений а и b точка А является серединой отрезка , изображающего	числа	а и b ? .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для натурального	числа	к определить дробь которую иногда называют дробным числом или числом .
Результат умножения	числа	а на число b обозначается через и называется произведением а и b.
12 Как показать , что из	числа	287 312 можно вычесть число 271 314 ? .
2.1 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком для	числа	7318 ? .
2.2 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с избытком для	числа	961 ? .
При этом сами	числа	а и b называют сомножителями .
В этом смысле миллион и миллиард —	числа	- гиганты .
4 Число 1 741 949 на 16 137 меньше	числа	х. Найдите х .
Складывают полученные записи подобно тому , как складываются натуральные	числа	, записывающиеся теми же цифрами , что и десятичные дроби .
Для этого составим таблицу степеней	числа	2 .
Научимся записывать	числа	в двоичной системе счисления .
А во - вторых , в десятичной системе счисления таблицы сложения первых девяти натуральных чисел вполне достаточно , чтобы научиться быстро складывать « столбиком » любые натуральные	числа	.
Составьте выражение для общего	числа	посаженных деревьев и найдите его значение при .
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и отрицательные дробные	числа	, как противоположные положительным дробным числам .
Пусть а и b — два	числа	, тогда .
После	числа	999 999 999 следует число миллиард : 1 000 000 000 .
1.1 Дроби со знаменателями , равными степени	числа	10 .
Подставляя найденные	числа	, получим .
Целые и дробные	числа	все вместе называются рациональными числами .
Составьте выражение для общего	числа	учеников и найдите его значение .
При сложении десятичных дробей	числа	записывают в столбик так , чтобы десятичные запятые стояли строго одна под другой .
Пусть а , b , с —	числа	, тогда .
1.4 Укажите десятичное приближение сверху для	числа	936 с точностью до 103 .
Такие	числа	называют иррациональными .
При этом одному и тому же отрезку , в зависимости от выбора единичного отрезка , можно приписать различные	числа	, поэтому , указывая длину , надо указывать единицу измерения .
Какие из указанных десятичных дробей являются приближениями с недостатком для	числа	4,89305 ? .
Имея	числа	10 , 100 , 1000 , мы можем считать десятки предметов , сотни предметов , тысячи предметов , десятки тысяч предметов и сотни тысяч предметов , это позволяет записать и прочитать числа от 1000 до 999 999 .
1.3 Деление нацело одного натурального	числа	на другое .
Заметим , что можно также складывать не парами , а последовательно прибавляя	числа	: к 58 прибавить 43 , к полученному результату прибавить 66 и так далее ( соответствующие слагаемые помещены в скобках ) .
1.4 Примеры нахождения величины , когда известно значение заданного	числа	её процентов .
Будем складывать	числа	попарно .
Гораздо легче подсчитать количество марок на каждом листе и полученные	числа	сложить .
1.4 Геометрический смысл деления одного	числа	на другое .
Поэтому для сравнения величины а и m% от этой же величины а можно сравнивать просто	числа	m и 100 .
Для любого натурального	числа	к на числовой прямой рассмотрим отрезок [ 0 ; k ] длиной k.
1 Какие	числа	являются натуральными ? .
1.5 Для любого натурального	числа	т частное равно 0 .
1.4 В какой из записей приближённого значения с избытком некоторого	числа	а указано значение с точностью до 0,0001 ? .
Таким образом , каждая цифра в десятичной записи натурального	числа	показывает , сколько соответствующих степеней десяти ( разрядных единиц ) входит в это разложение .
Для	числа	выполняются равенства .
Из свойств умножения известно , что для любого	числа	а выполняется равенство .
Чему равно десятичное приближение	числа	с избытком с точностью до 0,01 ? .
Что произойдёт с частным при делении	числа	а на число b , если делимое умножить на число 5 ? .
Геометрический смысл деления	числа	а на число b — это деление отрезка длины а на b равных частей .
Эти выражения похожи на представление любого числа в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней	числа	10 .
Для	числа	выполняется равенство .
Такое название прочно вошло в математику , когда обнаружилось , что существуют другие числовые системы , например мнимые или комплексные	числа	.
Для	числа	— выполняются равенства , где сумма содержит n слагаемых .
Аналогично для любого натурального	числа	можно рассмотреть деление отрезка [ 0 ; 1 ] на n равных частей .
Рассматривая деление отрезка [ 0 ; 1 ] на три равные части , мы определили дробные	числа	и так далее .
Рассматривая деление отрезка [ 0 ; 1 ] на две равные части , мы определили дробные	числа	и так далее .
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные	числа	, получаются все действительные числа .
1.10 Другие дробные	числа	.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого натурального	числа	k .
Когда ко всем рациональным числам добавляют все иррациональные числа , получаются все действительные	числа	.
Все эти	числа	появились в связи с необходимостью решения различных практических задач .
2.4 Какие из указанных значений площади в квадратных метрах можно записать в виде натурального	числа	? .
Для каждого натурального	числа	k обозначим выражение к через ( читается « ка третьих » ) .
Для любого натурального	числа	к выполняется равенство при этом .
2.3 Какие из указанных десятичных дробей являются десятичными приближениями с недостатком для	числа	0,308091 ? .
Продолжая эту процедуру , для любого натурального	числа	к получим точку , обозначаемую через .
Иногда действительные	числа	называют вещественными .
Как записать число 2009 в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней	числа	10 ? .
Найти 100 % от	числа	а — значит вычислить .
2.2 Какие из указанных десятичных дробей являются приближениями с избытком для	числа	19,0909 ? .
Эти выражения похожи на представление любого	числа	в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней числа 10 .
Например , выкладки , проделанные в пункте 5.3 при делении	числа	1,3 на 125 , кратко записываются .
Свойство	числа	0 при умножении : произведение числа а и числа 0 всегда равно 0 .
1.2 Укажите десятичное приближение сверху для	числа	10 315 с точностью до 104 .
1.2 Как прочитать запись	числа	830400 ? .
Например , порядок	числа	2813 совпадает с порядком числа 103 .
Таким образом , частное от деления	числа	12 на число 2 есть решение уравнения .
Например , порядок числа 2813 совпадает с порядком	числа	103 .
Число 0 , натуральные	числа	и противоположные натуральным отрицательные числа все вместе называются целыми числами .
При указании порядка	числа	часто используют другую словесную форму : « числа 2813 и 103 по порядку сравнимы » .
Сложите	числа	.
Тем самым для каждого натурального	числа	можно указать разрядную единицу того же порядка .
13 Напишите наибольшие и наименьшие двузначные , трёхзначные , четырёхзначные , пятизначные и шестизначные натуральные	числа	.
Вы познакомитесь с понятием степени	числа	и правилами сравнения натуральных чисел .
Запишем	числа	5 и 60 и выполним вычитание .
При указании порядка числа часто используют другую словесную форму : «	числа	2813 и 103 по порядку сравнимы » .
У	числа	1112 порядок больше порядка числа 100 и равен порядку числа 1000 .
1.1 Чему равно приближённое значение объёма цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 10 см , если за приближённое значение	числа	π с избытком выбрано 3,2 ? .
3 Сложите	числа	.
Запишем	числа	0,3 и 3,6 и выполним вычитание .
1.3 Укажите десятичное приближение снизу для	числа	98 765 с точностью до 104 .
Точно так же противоположны друг другу : числа 1 и -1 , числа -2 и 2 , числа 2 и -2 , числа -3 и 3 ,	числа	3 и -3 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку	числа	103 и так далее .
Точно так же противоположны друг другу : числа 1 и -1 , числа -2 и 2 , числа 2 и -2 ,	числа	-3 и 3 , числа 3 и -3 и так далее .
Вычтем число 0,333333 из	числа	1 .
2.2 Складывая	числа	( 110)2 и ( 101)2 , записанные в двоичной системе , ученик ошибся и получил неверный результат ( 1101)2 .
Второй важный случай замены натурального	числа	его приближённым значением связан с указанием порядка величины числа .
Отрицательные	числа	записываются со знаком « - » , то есть « минус » , перед соответствующим числом .
Второй важный случай замены натурального числа его приближённым значением связан с указанием порядка величины	числа	.
Предположим , что мы называем подряд все	числа	от единицы до миллиона с огромной скоростью — по 10 чисел в секунду .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку	числа	1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
2.1 Ученик , складывая	числа	798 и 655 , ошибся и получил неверный результат 2343 .
При изучении вычитания натуральных чисел рассматривалось дополнение	числа	до разрядной единицы .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого натурального	числа	n разность между последующим числом и числом 1 равна числу n .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку	числа	10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку числа 102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Будем считать , что порядок всех натуральных чисел от 1 до 9 равен порядку числа 1 ; порядок всех натуральных чисел от 10 и до 99 равен порядку числа 10 ; порядок всех натуральных чисел от 100 до 999 равен порядку	числа	102 ; порядок всех натуральных чисел от 1000 до 9999 равен порядку числа 103 и так далее .
Точно так же противоположны друг другу :	числа	1 и -1 , числа -2 и 2 , числа 2 и -2 , числа -3 и 3 , числа 3 и -3 и так далее .
Точно так же противоположны друг другу : числа 1 и -1 ,	числа	-2 и 2 , числа 2 и -2 , числа -3 и 3 , числа 3 и -3 и так далее .
Для того чтобы назвать подряд все натуральные	числа	от 1 до 1000 , потребуется много времени .
Точно так же противоположны друг другу : числа 1 и -1 , числа -2 и 2 ,	числа	2 и -2 , числа -3 и 3 , числа 3 и -3 и так далее .
1.8 Большие	числа	.
Число 0 , натуральные числа и противоположные натуральным отрицательные	числа	все вместе называются целыми числами .
Эти	числа	имеют непосредственное отношение к измерению плоских углов в наиболее распространённых в наше время единицах измерения — в градусах .
Запишем	числа	0,04 и 0,48 и выполним вычитание 0,48 - 0,48 .
У числа 1112 порядок больше порядка числа 100 и равен порядку	числа	1000 .
5 Как найти десятичные приближения натурального	числа	с точностью до 10 m ? .
Десятичное приближение	числа	а снизу равно 3 520 000 с точностью до 103 .
6 Как определяется порядок натурального	числа	? .
5.4 Схема деления уголком	числа	0,1 на число 3 .
8 Сравните по порядку	числа	.
Поэтому натуральные	числа	иногда называют положительными целыми числами .
11 Приведите пример , когда приближение	числа	с избытком имеет больший порядок , чем порядок самого числа .
В отличие от приближений снизу , десятичные приближения сверху всегда больше исходного	числа	.
Какое число является противоположным для	числа	-2008 ? .
2.4 Рациональные и действительные	числа	.
11 Приведите пример , когда приближение числа с избытком имеет больший порядок , чем порядок самого	числа	.
12 Приведите пример , когда приближение	числа	с недостатком имеет меньший порядок , чем порядок самого числа .
12 Приведите пример , когда приближение числа с недостатком имеет меньший порядок , чем порядок самого	числа	.
Что получится при делении уголком	числа	10 на 9 ? .
1.1 Укажите десятичное приближение снизу для	числа	63 8711 с точностью до 103 .
У числа 1112 порядок больше порядка	числа	100 и равен порядку числа 1000 .
На экране калькулятора результат вычислений появляется в виде натурального	числа	или в виде десятичной дроби .
Частное от деления натурального	числа	m на натуральное число n определяется как решение уравнение .
4 Как складывают « столбиком » два многозначных	числа	?
12 Как определяется сумма натурального	числа	и единицы ? .
Обычно приближённые значения по порядку величины рассматривают тогда , когда сравнивают	числа	и желают сразу увидеть значительную разницу между ними .
Замена	числа	его приближёнными значениями иногда позволяет упростить решение некоторых задач .
Для вычисления частного складываем	числа	5 ; 0,3 ; 0,04 , которые записаны под делителем 12 , и получаем .
Пусть m и n — произвольные натуральные	числа	.
Заметим также , что для любого натурального	числа	выполняется равенство .
Целые	числа	условно изображаются « бесконечным » рядом .. ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , значения в котором возрастают слева направо .
Возьмём для	числа	4816 значение с избытком , равное 4900 .
Нетрудно проверить , что действие не определено в множестве натуральных чисел , потому что нет такого натурального	числа	х , для которого бы выполнялось равенство .
Для этого число 3 520 000 увеличиваем на 1000 и получаем 3 521 000 — значение	числа	а с избытком .
2 Что такое значение	числа	с избытком ? .
Натуральные	числа	можно считать противоположными отрицательным целым числам .
3 Какие	числа	считаются приближёнными значениями числа а ? .
12 Прочитайте написанные	числа	.
3 Какие числа считаются приближёнными значениями	числа	а ? .
Чему равно частное от деления	числа	7 на 25 , записанное в виде десятичной дроби ? .
1 Что такое значение	числа	с недостатком ? .
Каким	числам	соответствуют остальные деления на каждом отрезке ? .
19 Начертите числовую прямую , взяв за единицу измерения 1 см , и отметьте точки , соответствующие	числам	: 0,8 ; 1,2 ; 2,1 ; 3,0 ; 5,7 .
Последовательное прибавление единицы к	числам	от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n числа 1 мы получаем следующее натуральное число .
Когда ко всем рациональным	числам	добавляют все иррациональные числа , получаются все действительные числа .
Аналогично отрицательным целым	числам	рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным дробным числам .
Переходя к определению арифметических операций с дробными числами , мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным	числам	приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Натуральные числа можно считать противоположными отрицательным целым	числам	.
Аналогично отрицательным целым числам рассматриваются и отрицательные дробные числа , как противоположные положительным дробным	числам	.
Добавив к известным нам	числам	миллион , мы сможем считать миллионы , десятки миллионов , сотни миллионов и так далее .
Переходя к определению арифметических операций с дробными	числами	, мы хотим сохранить основные свойства этих операций , с тем чтобы результат их применения к натуральным числам приводил к тем же результатам , которые получались при операциях с натуральными числами .
Вычитание станет возможным , если наряду с натуральными	числами	и нулем рассмотреть отрицательные числа .
Сложение нуля с другими	числами	выполняется по правилу , где а — любое число .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней	числами	называют числовой прямой или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
2.4 Какие из равенств между	числами	, записанными в системах счисления с основанием 2 и основанием 4 , являются верными ? .
Целые и дробные числа все вместе называются рациональными	числами	.
Для определения числового значения измеряемой величины такие приборы имеют шкалы самой разнообразной формы с нанесенными на них делениями , помеченными	числами	.
На основе такого принципа компьютер может работать с	числами	, записанными цифрами 0 и 1 .
Но в натуральных	числах	такое действие невыполнимо .
Вторые слева цифры в этих	числах	также равны — это восьмёрки .
Почему числа вида 10 при любом	числе	нулей делятся на 18 ? .
Например , цифра нуль в десятичной записи натурального числа означает , что в этом	числе	отсутствуют единицы соответствующего разряда .
В	числе	123 цифру 3 называют цифрой разряда единиц , цифру 2 — цифрой разряда десятков , цифру 1 — цифрой разряда сотен .
Похожие рассуждения можно провести и при большем	числе	звеньев .
9 Вычеркните в	числе	три цифры после запятой так , чтобы получилась запись возможно большего числа .
В этом	числе	двадцать цифр .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным разности	числителей	уменьшаемого и вычитаемого .
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем , равным сумме	числителей	слагаемых .
4.1 Соответствие между произведением десятичных дробей и произведением их	числителей	и знаменателей .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой числитель равен произведению	числителей	исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Таким образом , произведение дробей и является дробью , числитель которой является произведением	числителей	исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Сформулируем теперь общее правило умножения дробей : произведением двух дробей является дробь , в числителе которой стоит произведение	числителей	, а в знаменателе стоит произведение знаменателей исходных дробей .
Общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так : сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с	числителем	, равным сумме числителей слагаемых .
Общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так разность двух дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с	числителем	, равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
9 Что называется	числителем	дроби ? .
Число k над чертой в записи дроби называется	числителем	дроби .
Далее сравним	числители	mq и pn .
4 Как изменятся дроби , если заменить единицами : а ) их	числители	; б ) их знаменатели ? .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно	числитель	и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
3 Как изменится дробь , если её	числитель	и знаменатель увеличить в 6 раз ? .
2 Составьте несколько равных дробей , у которых	числитель	и знаменатель выбираются из чисел 1 , 3 , 7 , 9 , 12 .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет чётные	числитель	и знаменатель , а вторая имеет нечётные числитель и знаменатель ? .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет чётные числитель и знаменатель , а вторая имеет нечётные	числитель	и знаменатель ? .
Заметим , что если в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби	числитель	и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
1.4 Какой наименьший	числитель	может иметь дробь , равная дроби .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно	числитель	и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то полученная дробь равна исходной дроби .
Снова получаем , что произведение дробей и является дробью , у которой	числитель	равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель является произведением знаменателей исходных дробей .
Таким образом , произведение дробей и является дробью ,	числитель	которой является произведением числителей исходных дробей , а знаменатель произведением знаменателей исходных дробей .
Справедливо равенство , где	числитель	дроби меньше её знаменателя , поэтому целая часть числа у равна 0 , а её дробная часть совпадает с ней самой .
Дробь , у которой	числитель	меньше знаменателя , называется правильной дробью .
7 Как дробь ,	числитель	которой больше знаменателя , превратить в смешанную и наоборот ? .
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше	числитель	; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше числитель .
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями вводят правила из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь , у которой больше числитель ; из двух различных дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь , у которой меньше	числитель	.
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим	числитель	и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а	числитель	и знаменатель второй дроби на число n.
Заметим , что если в дроби	числитель	и знаменатель умножить на знаменатель второй дроби , а в дроби числитель и знаменатель умножить на знаменатель первой дроби , то получим .
2 ) если произведение	числителя	первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
2 ) если произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению	числителя	второй на знаменатель первой дроби , то дроби равны .
Например , при одновременном умножении	числителя	и знаменателя дроби на одно и то же число 2012 получим новую дробь .
1 ) если дроби равны , то произведение	числителя	первой на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй на знаменатель первой дроби .
В такой формулировке приведённое правило иногда называют сокращением знаменателя и	числителя	на одно и то же натуральное число .
Они равны обыкновенным дробям и домножением	числителя	и знаменателя второй дроби на 100 приведем обе дроби к общему знаменателю .
1 ) если дроби равны , то произведение числителя первой на знаменатель второй дроби равно произведению	числителя	второй на знаменатель первой дроби .
Домножением	числителя	и знаменателя первой дроби на 1000 приведём обе дроби к общему знаменателю .
Последовательно выписываем сначала целую часть , а после запятой — набор цифр	числителя	: нуль десятых , нуль сотых , нуль тысячных , 7 десятитысячных , нуль стотысячных и 3 миллионных .
1 ) число 1 ; 2 )	число	4 ; 3 ) число 8 ; 4 )
1 )	число	1 ; 2 ) число 4 ; 3 ) число 8 ; 4 )
2 Как определяется умножение любого числа а на натуральное	число	b ? .
22 Найдите неизвестное	число	х , если .
Вспомним , как делить натуральное	число	на натуральное число . показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Сравните	число	« цифр » в полученных записях .
1 ) число 1 ; 2 ) число 4 ; 3 )	число	8 ; 4 )
Вспомним , как делить натуральное число на натуральное	число	. показано , какие действия нужно выполнить , чтобы разделить 6408 на 12 .
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на	число	q , а числитель и знаменатель второй дроби на число n.
Если какой - то плоский угол АОВ составлен из двух плоских углов , равных эталонному углу , то мерой угла АОВ будем считать	число	2 .
Запишите это же	число	в двоичной системе .
Значит ,	число	х является корнем уравнения .
Пусть а — произвольное фиксированное	число	.
Для приведения дробей к общему знаменателю умножим числитель и знаменатель первой дроби на число q , а числитель и знаменатель второй дроби на	число	n.
Нуль	число	.
То есть	число	а может быть любым от 3 520 000 до 3 520 999 включительно .
5.1 Связь между делением величины на натуральное	число	n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное число n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Получившееся	число	называют числовым значением измеряемой величины .
1 ) число 3 ; 2 ) число 5 ; 3 ) число 7 ; 4 )	число	9 .
Таким образом , частное от деления числа 12 на	число	2 есть решение уравнения .
1 ) число 3 ; 2 ) число 5 ; 3 )	число	7 ; 4 ) число 9 .
Для этого	число	3 520 000 увеличиваем на 1000 и получаем 3 521 000 — значение числа а с избытком .
Умножение целого числа разрядных единиц на однозначное	число	.
1 ) число 3 ; 2 )	число	5 ; 3 ) число 7 ; 4 ) число 9 .
	Число	12 .
1 )	число	3 ; 2 ) число 5 ; 3 ) число 7 ; 4 ) число 9 .
	Число	12 ; 4 ) число 18 .
1 ) число 3 ; 2 )	число	9 ; 3 )
1 )	число	3 ; 2 ) число 9 ; 3 )
9 Каково	число	всех 12-значных чисел , записываемых только с помощью цифр 3 , 4 и 5 ? .
Отметим , что для любых натуральных чисел m и n дробь всегда больше 0 , потому что	число	0 можно записать в виде дроби В связи с этим свойством дробь для любых натуральных чисел m и n называют положительной дробью .
8 Каково	число	всех 12-значных чисел , записываемых только с помощью цифр 3 и 4 ? .
число 12 ; 4 )	число	18 .
6 Каково	число	всех четырёхзначных чисел , записываемых только цифрами 1 и 7 ? .
13 Запишите в шестнадцатеричной системе	число	144 .
10 Запишите в шестнадцатеричной системе число 16 и	число	196 .
Запишем общее	число	книг в шкафах в виде числовых выражений двумя способами .
Если из обеих частей неравенства можно вычесть одно и то же	число	, то знак неравенства не изменится .
Словами сочетательный закон кратко можно записать так : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое	число	умножить на произведение второго и третьего .
Что произойдёт с неравенством , если обе его части умножить на	число	0 ? .
3 Как записывают натуральное	число	в системе счисления с основанием 4 ? .
2 Как записывают натуральное	число	в системе счисления с основанием 2 ? .
Сначала найдём	число	полок : 11 .
По определению произведения	число	солдат в каждой колонне равно , в каждом батальоне содержится человек , а всего в параде участвуют солдат .
Отложив его вправо от нуля , получим	число	9 .
Вычтем	число	0,00035 из числа 0,1 .
Вычтем	число	0,333333 из числа 1 .
Какое	число	в десятичной системе соответствует записи ( 11010101)2 ? .
Деление десятичной дроби на натуральное	число	похоже на деление натуральных чисел .
Всякое	число	в двоичной системе счисления записывается с помощью последовательности цифр 0 и 1 .
1 Как записывают натуральное	число	в десятичной системе счисления ? .
Если плоский угол АОВ составлен из трёх плоских углов , равных эталонному , то мерой угла АОВ будем считать	число	3 .
Так как на каждой полке по 12 книг , то общее	число	книг на всех полках в двух шкафах равно .
Сначала найдём	число	книг в первом шкафу , получим 12 - 6 книг .
10 Запишите в шестнадцатеричной системе	число	16 и число 196 .
Если первое	число	больше второго , а второе больше третьего , то первое число больше третьего .
Если первое число больше второго , а второе больше третьего , то первое	число	больше третьего .
Точно так же каждому нечётному числу можно сопоставить следующее за ним чётное	число	.
Если воспринимать нуль как число , которое обозначает отсутствие какого - либо количества , то легко понять , что для любого числа а взять а раз число 0 или взять 0 раз	число	а каждый раз означает отсутствие количества .
Если воспринимать нуль как число , которое обозначает отсутствие какого - либо количества , то легко понять , что для любого числа а взять а раз	число	0 или взять 0 раз число а каждый раз означает отсутствие количества .
12 Какое	число	меньше 11,38 на 1,99 ? .
Если воспринимать нуль как	число	, которое обозначает отсутствие какого - либо количества , то легко понять , что для любого числа а взять а раз число 0 или взять 0 раз число а каждый раз означает отсутствие количества .
10 Какое	число	на 1,99 больше , чем 11,38 ? .
Справедливо следующее правило : если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же	число	, то знак неравенства не изменится .
Прибавляя к обеим частям одно и то же	число	получаем верное неравенство .
Аналогичное правило применяется и в том случае , когда из каждой части неравенства можно вычесть некоторое	число	.
При первом и втором способах получается одно и то же	число	.
Общее	число	книг равно сумме найденных выражений , то есть .
Затем найдём	число	книг во втором шкафу , получим книг .
5.2 Пример деления десятичной дроби на натуральное	число	.
Из двух чисел меньшим называется то	число	, которое при этом перечислении появляется раньше .
Значит , никакое натуральное	число	решением уравнения .
Заметим , что	число	десятичных знаков сомножителей в сумме также равно пяти .
Найдите наибольшее натуральное	число	, которое меньше всех указанных .
Число а называют уменьшаемым ,	число	b называют вычитаемым .
20 Найдите	число	, которое больше .
Дело в том , что точное значение стороны а равно см , а — это иррациональное	число	.
32 Какое	число	нужно прибавить , чтобы получить ? .
5.1 Связь между делением величины на натуральное число n и умножением на дробь Разделить некоторую величину а на натуральное	число	n — значит разбить а на n равных частей и найти величину одной такой части .
Укажите наименьшее натуральное	число	, которое больше всех заданных .
2 Как умножить	число	на степень десяти ?
1 Как умножить	число	на 10 ? .
Возьмём натуральное	число	а , в записи которого n десятичных знаков .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится	число	, не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному числу , если оно оканчивалось нулями .
Поэтому разделить	число	3 на 18 — все равно что число 3 умножить на дробь .
Как в двоичной системе счисления умножить	число	на 210 ? .
Поэтому разделить число 3 на 18 — все равно что	число	3 умножить на дробь .
Чему может быть равно второе	число	? .
Частным при делении а на натуральное	число	n называется число , равное .
Другое дело , когда само	число	неизвестно , а даётся только его приближённое значение .
Понятно , что указать точное	число	очень трудно , и даже невозможно .
Чему равно натуральное	число	, если его значения с избытком и недостатком равны соответственно 17 и 15 ? .
Таким образом , в рассмотренном примере число 234 является уменьшаемым ,	число	95 является вычитаемым , а число 139 равно разности чисел 234 и 95 .
5 Деление десятичной дроби на натуральное	число	.
Когда дано	число	а , его приближённое значение b и написано приближённое равенство а ≈ b , тогда все ясно .
Тот факт , что	число	b является приближённым значением числа а , выражают формулой а ≈ b ( читается : « а приближённо равно b » ) .
Поэтому можно считать , что дробь — является результатом деления натурального числа m на натуральное	число	n .
Если на таком калькуляторе возвести в квадрат	число	3.3333 , то ответ появится либо в виде 11.111 , либо в виде 11.110 .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с третьим числом результат не изменяется , если первое	число	сложить с суммой второго и третьего .
Необходимо добавить к ним специальное целое	число	нуль ( от латинского слова nullus , что значит « никакой » ) .
Таким образом , в рассмотренном примере	число	234 является уменьшаемым , число 95 является вычитаемым , а число 139 равно разности чисел 234 и 95 .
Всякий раз , когда нужно сообщить , что в некотором множестве или наборе нет ни одного элемента или объекта , говорят , что	число	этих объектов равно нулю .
Если же	число	у больше а , то его называют значением числа а с избытком .
На какую цифру надо заменить цифру 8 , чтобы получившееся	число	делилось на 9 ? .
Сложение нуля с другими числами выполняется по правилу , где а — любое	число	.
Сочетательный закон умножения : при умножении произведения двух чисел на третье результат не изменяется , если первое	число	умножить на произведение второго и третьего .
Натуральное	число	m разделим на натуральное число n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Натуральное число m разделим на натуральное	число	n с остатком , в результате получим равенство , где q и r - натуральные числа или 0 , причём r обязательно меньше n.
Частным при делении а на натуральное число n называется	число	, равное .
Если первое число меньше второго , а второе меньше третьего , то первое	число	меньше третьего .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножаем верхнее	число	на разряды нижнего числа .
Если первое	число	меньше второго , а второе меньше третьего , то первое число меньше третьего .
Общее	число	знаков после запятой у обоих сомножителей равно 5 .
11 Какое	число	нужно прибавить , чтобы получить ? .
15 Найдите	число	, дробная часть которого на 2 меньше его целой части .
4 Найдите	число	, большее .
19 К произведению чисел прибавьте	число	найдите значение этого выражения .
Если некоторое натуральное	число	дважды умножить на 10 , то в конце записи появятся два нуля ; если три раза умножить на 10 , то в конце появятся три нуля , и так далее .
Снова большим будет то	число	, в котором эта цифра больше .
Например , если рассмотреть	число	5120 , то его можно получить , перемножив числа 512 и 10 , то есть 5120 .
Большим будет то	число	, в котором первая левая цифра больше .
Из правила умножения на 10 получаем , что любое оканчивающееся нулём	число	можно представить в виде произведения натурального числа и числа 10 .
1 Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр то	число	больше , у которого больше цифр .
Они имеют одинаковое	число	знаков .
Выясним , каким может быть	число	а .
На первом шаге компьютер сравнивает нижнее	число	12 с вышестоящим числом 10 .
На втором шаге компьютер сравнивает	число	10 со стоящим над ним числом 8 .
Значение х будет тем числом , для которого	число	равно 234 .
В таком случае	число	0 не пишут .
Частное от деления натурального числа m на натуральное	число	n определяется как решение уравнение .
Полученное	число	28 800 000 000 оканчивается восемью нулями .
Представим первое	число	в виде , а второе — в виде .
Как изменить рассуждение так , чтобы наибольшее	число	« тонуло , как камень » .
В описанном процессе наименьшее	число	« всплывает , как пузырёк » .
На последнем шаге компьютер сравнивает	число	8 с вышестоящим числом 11 .
Наконец , умножив 5836 на	число	7 тысяч второго сомножителя , опять получаем две строки , но крайнюю правую цифру нужно записать в разряде тысяч .
Число сотен второго сомножителя равно нулю , поэтому при умножении 5836 на	число	сотен получится строка из нулей .
При умножении 5836 на	число	4 десятков второго сомножителя записываем под чертой ещё две строки по тем же правилам , что и выше .
На третьем шаге компьютер сравнивает	число	8 с вышестоящим числом 15 .
Поразрядно , начиная с разряда единиц , умножим верхнее	число	на цифру 3 младшего разряда нижнего числа .
Представим	число	311 в двоичной системе .
Как и в случае со сложением , использование вспомогательных строк позволяет сократить	число	действий , выполняемых « в уме » , хотя записи становятся более громоздкими .
Таким образом , в рассмотренном примере число 234 является уменьшаемым , число 95 является вычитаемым , а	число	139 равно разности чисел 234 и 95 .
Если прибавить к b какое - нибудь натуральное	число	n , то сумма окажется больше b и , следовательно , больше а .
1.3 Дано	число	2381 .
Это	число	8 .
Другими словами , если	число	1 является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то разностью между ними является число n .
Но уже	число	0,001 должно изображаться точкой , которая находится на расстоянии 0,1 мм от точки нуль .
Другими словами , если число 1 является вычитаемым , а уменьшаемым является	число	, следующее за числом n , то разностью между ними является число n .
8 Укажите	число	, запись которого содержит только 4 тысячи , 5 сотен , 6 десятков и 2 единицы .
Другими словами , если число 1 является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то разностью между ними является	число	n .
Таким образом , сначала есть натуральное	число	1 , за ним следует число , затем — число и так далее .
Таким образом , сначала есть натуральное число 1 , за ним следует	число	, затем — число и так далее .
Таким образом , сначала есть натуральное число 1 , за ним следует число , затем —	число	и так далее .
15 Сколько слов русского языка нужно знать , чтобы прочитать	число	999 999 999 999 , записанное в десятичной системе ? .
Отсюда получаем , что в этом случае разностью чисел а и х является	число	b .
Как записать с помощью римских цифр	число	1999 ? .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное	число	n уже определено , то следующее за ним натуральное число равно числу .
Например , CCXLIII — запись числа 243 ; MCDXLIV — запись числа 1444 ; MCMXLV — это	число	1945 .
Вычитать одно	число	из другого подбором неудобно .
На числовой прямой с началом О изобразим	число	1 точкой Е , для которой .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное число n уже определено , то следующее за ним натуральное	число	равно числу .
29 Какое десятизначное	число	при вычитании единицы превращается в девятизначное ? .
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и вычитания , чтобы в результате получилось	число	100 .
Какое	число	является разностью чисел и n для натурального числа n ? .
1.1 Как записывается цифрами	число	« пятьдесят тысяч триста шесть » ? .
1.3 Какое	число	следует за числом 89 399 ? .
Другими словами , если число n является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то разностью между ними является	число	1 .
В записи аn	число	а называется основанием степени .
Для получения правильного ответа нужно перевести время в минуты и взять	число	.
Как записать	число	1024 в виде степени числа 4 ? .
на пять . 1.4 На какое наибольшее	число	частей могут разделить плоскость три прямые ? .
Вместо числа 10 возьмём любое другое	число	а .
Сколько нулей содержит в десятичной записи	число	дециллион ? .
11 На какое наибольшее	число	частей можно разделить кольцо двумя прямыми ? .
2.1 При каких из указанных значений а	число	является натуральным числом ? .
6 На какое наибольшее	число	частей могут разделить плоскость : а ) три прямые ; б ) четыре прямые ; в ) пять прямых ? .
2.2 При каких из указанных значений а	число	не является натуральным числом ? .
4 Запишите	число	в виде суммы целой части и произведений дробных разрядных единиц на соответствующие десятичные знаки по следующему образцу .
Как называется	число	, равное 109 ? .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному числу n числа 1 мы получаем следующее натуральное	число	.
В записи 102	число	2 называют показателем степени , а запись 102 читают : « десять в степени два » .
Возьмём	число	1000 .
8 Как записать целое	число	в виде десятичной дроби ? .
Другими словами , если	число	n является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за числом n , то разностью между ними является число 1 .
1.4 Как записывается цифрами	число	« сто миллионов » ? .
Другими словами , если число n является вычитаемым , а уменьшаемым является	число	, следующее за числом n , то разностью между ними является число 1 .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся	число	единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Про такую запись говорят , что общее	число	минут представлено формулой .
Между некоторыми из них поставьте знаки сложения и вычитания так , чтобы в результате получилось	число	100 .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом число сотен , потом	число	десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Как называется	число	, равное ста тысячам тысяч ? .
12 Как показать , что из числа 287 312 можно вычесть	число	271 314 ? .
Его корнем является	число	b.
10 Что получится , если из числа вычесть	число	0 ? .
Запись 820 627 означает , что рассматривается	число	, равное сумме числа восемьсот двадцать тысяч и числа шестьсот двадцать семь .
Это	число	читается так : « двести тринадцать миллионов восемьсот двадцать тысяч шестьсот двадцать семь » .
Если	число	имеет в десятичной записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это число записывать с промежутками , формируя группы по три знака справа налево .
Если число имеет в десятичной записи более четырёх цифр , то для удобства восприятия целесообразно это	число	записывать с промежутками , формируя группы по три знака справа налево .
Формула означает также , что	число	b удовлетворяет уравнению .
Так , например ,	число	820627 записывают в виде 820 627 .
Это	число	читается « десять тысяч » .
Запись 213 820 627 означает , что рассматривается	число	, равное сумме двухсот тринадцати миллионов и восьмисот двадцати тысяч шестисот двадцати семи .
С учётом этих правил запишем в виде произведений цифр на разрядные единицы	число	210 350 .
Определим	число	нуль — обозначается цифрой 0 , для которого выполняются правила .
Например ,	число	407 представимо в виде суммы .
Любое натуральное	число	можно записать при помощи разрядных единиц , используя числа , соответствующие цифрам .
Например ,	число	123 представимо в виде суммы .
Нетрудно научиться вычитать натуральное	число	из разрядной единицы .
Запись 10 000 означает , что рассматривается	число	, равное 10 · 1000 .
После числа 999 999 999 следует	число	миллиард : 1 000 000 000 .
Натуральное	число	, следующее за числом 999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
5 Какое	число	надо прибавить к 321 , чтобы получилась сумма чисел 225 и 168 ? .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут число тысяч , потом	число	сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Натуральные числа в этой системе записывают слева направо : сначала пишут	число	тысяч , потом число сотен , потом число десятков , потом оставшееся число единиц , учитывая особую запись чисел IV , IX , XL , ХС , CD и СМ .
Переходя к столбцу десятков , учитываем , что	число	десятков уменьшаемого стало на 1 меньше .
Поэтому вычитаем из 8	число	4 , а результат 4 записываем в ответ в столбце десятков .
Сколько нужно знать слов , чтобы можно было назвать любое натуральное	число	от 1 до 99 ? .
Но так как	число	тысяч равно нулю , то из следующего разряда десятков тысяч заимствуем единицу .
Какое натуральное	число	следует за числом 399 ? .
Всякое натуральное	число	, записанное в десятичной системе , иногда также считают десятичной дробью , у которой после запятой стоит некоторое количество нулей .
Правила чтения двузначных натуральных чисел от одиннадцати до девятнадцати становятся понятными , если каждое такое	число	представить в виде суммы .
Из двузначного числа 11 вычитаем	число	5 , а результат 6 записываем в ответ в столбце сотен .
Вычитаем из 9	число	3 , а результат записываем в ответ в столбце тысяч .
Поэтому вычитаем из 4	число	2 , а результат 2 записываем в ответ в столбце десятков тысяч .
Правила чтения двузначных натуральных чисел , больших двадцати , также станут понятны , если каждое такое	число	представить в виде суммы .
8 Какое	число	надо вычесть из 85 , чтобы получилась разность чисел 122 и 98 ? .
7 Какое	число	надо вычесть из 543 , чтобы получилась сумма чисел 98 и 325 ? .
Правило чтения записи трёхзначных натуральных чисел нетрудно понять , если каждое такое	число	снова записать в виде суммы .
Как прочитать натуральное	число	, следующее за числом , равным 11 десяткам ? .
6 Какое	число	надо прибавить к 123 , чтобы получилась разность чисел 345 и 77 ? .
Это	число	можно прочитать как « тысяча миллионов » , или « миллион тысяч » , или « сто миллионов десятков » , или « десять миллионов сотен » , или « десять тысяч сотен тысяч » , или « десять сотен миллионов » .
В нашем примере	число	единиц уменьшаемого меньше числа единиц вычитаемого .
Какое	число	появится на пересечении 12-й строки и 16-го столбца этой таблицы , если продолжить её составление для чисел , больших 9 ? .
Например , в предыдущем пункте мы действовали по правилу , которое записывается так , где т —	число	минут в а часах и b минутах .
Любое целое	число	сантиметров .
Возьмём	число	32 519 .
2.1 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает	число	81 .
Какое натуральное	число	изображается точкой В , которая расположена от точки А на расстоянии 333 ? .
1.4 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает	число	281 .
Укажите на числовой прямой отрезок , на котором лежит точка , изображающая	число	х .
Найдите хотя бы одно такое	число	.
На каком расстоянии от точки А расположена точка В , изображающая	число	9 ? .
1.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает	число	17 .
2.2 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает	число	36 .
1.1 Для какого из указанных натуральных чисел следующее за ним	число	равно 98 ? .
12 Дано	число	1,4142136 . а ) Найдите его десятичные приближения с недостатком с точностью .
Какое значение с недостатком с точностью до 10 имеет	число	, изображённое точкой А ? .
Число 0 и любое натуральное	число	не являются корнями этого уравнения .
1.4 Какое наибольшее	число	полных часов содержит промежуток времени в 800 минут ? .
Сможет ли он за несколько прыжков попасть в точку , изображающую	число	100 ? .
Будем считать корнем этого уравнения новое	число	, которое обозначим как -1 .
1.2 Как сокращённо записать	число	? .
1.1 Какое	число	сокращённо записывается как 105 ? .
Какое значение с избытком с точностью до 10 имеет	число	, изображённое точкой В ? .
Вместо числа 32 519 можно взять любое другое натуральное	число	и разложить его по степеням десяти .
Что вам известно про	число	л ? .
2.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает	число	27 , точка В изображает число 59 .
Следующее за ним в таблице	число	32 уже больше 25 .
Это	число	16 .
Среди чисел нижней строки таблицы найдём самое большое	число	, которое не превосходит 25 .
Какое	число	является противоположным для числа -2008 ? .
Представим в двоичной системе	число	25 .
С помощью этой таблицы удаётся представить в двоичной записи любое	число	от 0 до 8191 .
Результат умножения числа а на	число	b обозначается через и называется произведением а и b.
Как в десятичной системе счисления записать	число	( 1000)4 ? .
Иными словами , умножить а на натуральное	число	b — значит найти сумму b одинаковых слагаемых , равных а .
Итак , умножение числа а на натуральное	число	b определяется по правилам .
Чтобы получить	число	мест , можно просуммировать 9 слагаемых , каждое из которых равно 4 .
Найдём общее	число	мест .
Напомним , что операция умножения на натуральное	число	возникает тогда , когда приходится складывать несколько равных слагаемых .
Если заглянуть в какой - нибудь справочник по математике , то можно встретить знаменитое	число	π ( читается : « пи » ) , с помощью которого вычисляют длину окружности и площадь круга .
2.4 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает	число	25 .
Вместо числа 10 берётся	число	4 , а множителями при степенях четвёрки берутся числа 0 , 1 , 2 , 3 .
Возьмём	число	4 и цифры 0 , 1 , 2 , 3 .
Как записать	число	2009 в виде суммы произведений при помощи цифр и степеней числа 10 ? .
2.3 На числовой прямой расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 27 , точка В изображает	число	59 .
9 На числовом луче с началом отсчёта О	число	1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 173 мм , лежащем на этом луче ? .
Выполнив указанные действия , получим	число	144 .
13 Какую запись в десятичной системе имеет	число	220 ? .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то	число	т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
Решить такое уравнение — значит найти	число	, зная квадрат этого числа .
Каждое	число	верхней строки является квадратным корнем из соответствующего числа нижней строки .
По этому	число	0,11 будет приближением с недостатком , а 0,12 — приближением с избытком для дроби Разность между этими числами равна 0,01 .
Так как , то	число	является приближением с недостатком , а 0,2 — приближением с избытком для дроби .
Рассмотрим	число	.
Находим в нижней строке таблицы	число	144 и над ним читаем ответ : 12 .
Например , большее	число	b изображено правее меньшего числа а .
Если числовая ось расположена горизонтально и направлена вправо , то большее	число	изображается правее меньшего .
3 Приведите примеры задач , когда	число	2 будет : а ) приближением решения с избытком ; б ) приближением решения с недостатком ; в ) точным решением .
Если для чисел а , b , с выполнены одновременно два неравенства , то будем обозначать это записью и говорить , что	число	а расположено между числами b и с.
Поэтому второе	число	больше .
По нему для каждого числа каждого месяца мы можем определить , на какой день недели приходится это	число	.
Целая часть второго числа больше целой части первого , поэтому второе	число	больше .
На каком расстоянии от 1 на числовой прямой будет изображено	число	1000 , если отрезок ОЕ имеет длину 1 см ? .
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо возвести	число	2 , чтобы получить число 32 .
Оказывается , что это	число	нельзя представить в виде дроби .
Про	число	а4 можно также сказать , что оно получено возведением а в четвёртую степень .
Иногда говорят , что	число	а возводится в энную степень .
Логарифм числа 32 по основанию 2 равен показателю степени , в которую надо возвести число 2 , чтобы получить	число	32 .
Это удобно , так как , например , по записи « а ≈ 571,930 с избытком » можно сразу сказать , что	число	а меньше числа 571,930 и отличается от него не более чем на 0,001 .
В какую степень нужно возвести	число	а , чтобы получить произведение чисел а2 и а3 ? .
Пусть m — натуральное	число	.
7 Некоторое	число	т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
Единицу измерения длины изменили так , что	число	3 изображается теперь такой точкой А1 , что .
Числа -1 , 0 и любое натуральное	число	не могут быть корнями этого уравнения .
6 На числовой прямой с началом отсчёта О число 3 изображено точкой А , для которой , а некоторое другое	число	n — точкой В , для которой .
6 На числовой прямой с началом отсчёта О	число	3 изображено точкой А , для которой , а некоторое другое число n — точкой В , для которой .
Например , можно сказать , что для числа 123 одним из приближений сверху является	число	130 , а одним из приближений с недостатком является число 120 .
5 На каком расстоянии от начала отсчёта О изображается на числовой прямой	число	81 , если расстояние между точками А и В , изображающими числа 36 и 92 , равно 224 см ? .
Например , можно сказать , что для числа 123 одним из приближений сверху является число 130 , а одним из приближений с недостатком является	число	120 .
5 В какую степень надо возвести число 9 , чтобы получить	число	310 ? .
Будем считать корнем этого уравнения новое	число	, которое обозначим как -2 .
5 В какую степень надо возвести	число	9 , чтобы получить число 310 ? .
Обычно эти приближения стараются выбирать так , чтобы их было проще воспринимать , чем само данное	число	.
Для числа а десятичным приближением снизу с точностью до называется наибольшая десятичная дробь b , которая содержит ровно m десятичных знаков после запятой и при этом либо b = а , либо b < а ; десятичным приближением сверху для этого числа а с точностью до называется	число	.
3 Какое	число	на числовой прямой изображает середина С отрезка АВ , если точки А и В изображают числа ? .
Умножая 8800 и 9200 получим	число	, меньшее 8848 , и число , большее 8848 .
На каком расстоянии от точки М , изображающей	число	100 , находятся изображения чисел .
2 На числовой прямой с началом отсчёта О	число	1 изображается точкой Е , для которой .
Умножая 8800 и 9200 получим число , меньшее 8848 , и	число	, большее 8848 .
1 На числовой прямой с началом отсчёта О	число	1 изображается точкой Е , для которой .
8 На числовом луче с началом отсчёта О	число	1 изображается точкой Е , для которой |ОЕ| 1 см. Сколько точек , изображающих целые числа , может находиться на отрезке длиной 15 см , лежащем на этом луче ? .
Запишем 25 в виде и найдём в таблице самое большое	число	, не превосходящее 9 .
В предыдущей главе уже упоминалось , что если некоторое	число	х меньше а , то х называется значением числа а с недостатком .
5.3 Схема деления уголком десятичной дроби на натуральное	число	.
2.3 Известно , что	число	а делится на 6 , число b делится на 2 и не делится на 3 .
25 На какое	число	нужно разделить 96 , чтобы получить такое же частное , что и при делении этого же числа сначала на 6 , а затем при делении полученного частного на 2 ? .
23 На сколько равных отрезков длиной в целое	число	сантиметров можно разрезать отрезок длиной в 60 см ? .
Последовательно делим	число	1825 на 10 с остатком , полученное при этом неполное частное снова делим на 10 с остатком .
Последовательно делим на 4 это	число	и все получающиеся неполные частные .
Запишем	число	852 в четверичной системе .
Проводим вертикальную черту и сверху слева от черты пишем заданное	число	.
Делим	число	852 на 4 с остатком .
20 Почему	число	вида делится на 9 ?
19 Как можно записать в виде произведения каждое	число	, делящееся на 3 ; на 9 ? .
Делим	число	213 на 4 с остатком .
Как представить	число	2000 в двоичной системе счисления ? .
18 Почему	число	вида 18k делится на 2 и на 9 ?
Чему равно	число	? .
Представим	число	девочек и мальчиков в виде круговой диаграммы .
2.3 Известно , что число а делится на 6 ,	число	b делится на 2 и не делится на 3 .
Похожим способом выполняется и записывается сложение двух чисел , содержащих целое	число	сотен , и так далее .
В некоторых случаях можно определить , делится одно	число	на другое или нет , не выполняя деления , а пользуясь особыми свойствами записи чисел .
Например , если	число	в десятичной записи заканчивается нулём , то оно состоит из целого числа десятков .
Сложение двух чисел , содержащих целое	число	десятков в пределах до ста , выполняется аналогично сложению единиц .
Справедливо и обратное утверждение : если	число	оканчивается на цифру , отличную от 0 или 5 , то оно не делится на 5 .
Таким образом , если	число	а оканчивается на 0 или на 5 , то оно делится на 5 .
3 Может ли	число	вида 9k быть чётным ?
Если число а оканчивается на 5 , то	число	оканчивается на 0 .
Если	число	а оканчивается на 5 , то число оканчивается на 0 .
Разница лишь в том , что в результате получается или целое	число	десятков в пределах до ста , или дополнительная сотня .
4 Разделите	число	( 1220)4 на 4 .
По определению делимости можно написать а , где х некоторое натуральное	число	.
Поэтому признак делимости можно записать следующим образом :	число	делится на 10 тогда и только тогда , когда его десятичная запись заканчивается нулём .
Может ли	число	вида 18k быть нечётным ? .
Справедливо и обратное утверждение : если	число	в десятичной записи заканчивается на цифру , отличную от нуля , то оно не делится на 10 .
1.3 Дана таблица , в которой указано	число	учащихся в классе , имеющих данный возраст .
4 Каждый из людей , когда - либо живших на Земле , сделал определённое	число	рукопожатий .
Покажите , что	число	людей , сделавших нечётное число рукопожатий , чётно .
Покажите , что число людей , сделавших нечётное	число	рукопожатий , чётно .
Если	число	а оканчивается на 0 , то , по признаку делимости на 10 , оно делится на 10 .
Умножьте это	число	на 4 .
Чтобы найти корень этого уравнения , нужно подобрать такое	число	х , куб которого равен V. В таком случае говорят , что нужно извлечь кубический корень из числа .
Будем изображать	число	учащихся прямоугольниками с одинаковой шириной , считая , что прямоугольнику высотой в 1 деление соответствует 200 человек .
Видно , что	число	513 513 делится на 7 .
( При делении числа 513 513 на 7 частным будет	число	73 359 ) .
1.2 Какое наибольшее	число	отрезков можно получить , попарно соединяя пять различных точек ? .
По свойству 2	число	тоже делится на 7 .
Из равенства следует , что	число	1001 делится на 7 .
1.1 Какое наибольшее	число	отрезков можно получить , попарно соединяя различные вершины квадрата ? .
Если число а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на	число	m .
Как объяснить , что	число	625 625 625 625 делится на 11 ? .
Какие из длин в целое	число	сантиметров можно отметить на доске длиной в 1 м , имея нитку длиной ровно в 1 м 28 см ? .
Если	число	а делится нацело на число m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на число m .
Поэтому	число	тоже делится на 25 .
Какие из длин в целое	число	сантиметров можно отметить на доске длиной 3 м , имея нитку длиной ровно в 1 м ? .
Таким образом , можно сказать , что	число	123 равно сумме трёх разрядных единиц вида 1 , двух разрядных единиц вида 10 и одной разрядной единицы вида 100 .
То же самое верно для суммы трёх , четырёх и любого количества чисел : если все они делятся на	число	т , то их сумма делится на m .
Если числа а и b делятся нацело на число m , то	число	тоже делится нацело на m .
Если числа а и b делятся нацело на	число	m , то число тоже делится нацело на m .
Если число а делится нацело на	число	m , то для любого натурального числа b произведение делится нацело на число m .
3 Как по последней цифре числа в десятичной системе счисления определить , чётное это	число	или нечётное ? .
Следовательно ,	число	1001 делится на 7 .
12 Найдите число сторон и	число	вершин многоугольника .
Представим	число	учащихся по школам в виде столбчатой диаграммы .
14 Вычислите частные , домножая делимое и делитель на	число	4 : .
1.3 Какую запись имеет	число	14 в двоичной системе счисления ? .
Какое наибольшее	число	равных между собой прямоугольных треугольников можно получить , соединяя отрезками некоторые из вершин заданного квадрата ?
Найдите	число	его сторон и число его вершин .
Найдите число его сторон и	число	его вершин .
1.3 Какое наибольшее	число	не равных между собой треугольников можно составить , по - разному приставляя друг к другу треугольники ?
Следовательно ,	число	1001 также делится и на 143 .
1.4 Какое наибольшее	число	различных четырёхугольников можно составить , по - разному приставляя друг к другу треугольники ?
5 Проверьте , что	число	531 531 делится на 1001 .
4 Делится ли	число	.
Если подсчитать	число	шагов сетки , то получится .
На сколько процентов нужно увеличить	число	рабочих , чтобы выполнить работу за намеченное ранее время , если производительность труда увеличилась на 20 % ? .
Но	число	1 не делится нацело на число 10 .
12 Найдите	число	сторон и число вершин многоугольника .
Но число 1 не делится нацело на	число	10 .
Покажите , что такое	число	делится : а ) на 7 ; б ) на 11 ; в ) на 13 .
Почему при делении числа , оканчивающегося нулём , на	число	, оканчивающееся нулём , эти нули можно вычёркивать ? .
2 Какое	число	называется нечётным ? .
Первое слагаемое содержит целое	число	десятков и поэтому делится на 2 .
Алгоритм деления с остатком числа а на	число	b основан на последовательных ( одно за другим ) вычитаниях .
Если продолжим эти действия дальше , то придём к равенству , где	число	d меньше 87 .
Делится ли это	число	на 3 ?
Делится ли	число	567 на 9 ?
Вычитая ещё раз	число	87 из 166 , получим .
Поскольку , то подберём	число	а десятков так , чтобы произведение а было меньше либо равно 5386 , но было больше 5386 .
Заметив , что , подберём целое	число	b единиц так , чтобы произведение было меньше либо равно 166 , но было уже больше 166 .
Так как , то процесс деления с остатком закончен , а	число	79 и является остатком .
Какое	число	, большее 5000 и делящееся на 87 без остатка , вы можете указать ? .
При делении « уголком » не всегда удаётся сразу подобрать нужное	число	.
7 Как определить , делится ли	число	на 18 ? .
Подбирая целое	число	десятков , мы попробовали взять 20 и в результате получили .
Это больше , чем	число	347 .
Поэтому полученную запись нужно зачеркнуть и решить данный пример заново , подбирая меньшее	число	десятков .
6 Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное	число	делилось на 9 : .
Как показать , что	число	100 делится без остатка на 4 ? .
12 а ) Почему	число	делится на 9 ?
Тогда число а делится нацело на число b. Говорят также , что натуральное	число	а делится на b без остатка .
Тогда число а делится нацело на	число	b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без остатка .
1.2 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 21 969 , чтобы получившееся	число	делилось на 5 ? .
Какое из указанных чисел нужно прибавить к 5197 , чтобы получившееся	число	делилось на 2 ? .
1.4 Какое из указанных чисел нужно прибавить к 123 456 , чтобы получившееся	число	делилось на 9 ? .
Одно	число	не всегда удаётся поделить на другое .
Разделить с остатком	число	а на число b — значит найти такие числа q и r , что .
19 Почему	число	, оканчивающееся двумя нулями , делится на 25 ? .
Разделить с остатком число а на	число	b — значит найти такие числа q и r , что .
Пусть при делении числа 4147 мы выполним действия : подбирая	число	сотен , возьмём одну сотню .
17 Покажите , что если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то исходное	число	также делится на 4 .
Пусть , например , требуется разделить	число	на число с остатком .
15 Покажите , что	число	, оканчивающееся двумя нулями , делится на 4 .
Пусть , например , требуется разделить число на	число	с остатком .
Приведённые в пункте 3.2 примеры показывают , что при делении с остатком числа а на	число	b остаток может равняться .
14 Возьмём число 782 и	число	287 , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
14 Возьмём	число	782 и число 287 , записанное теми же цифрами , но в обратном порядке .
Тогда	число	а делится нацело на число b. Говорят также , что натуральное число а делится на b без остатка .
17 Покажите , что если две последние цифры числа образуют	число	, делящееся на 4 , то исходное число также делится на 4 .
Поэтому для числа 2247 снова подбираем целое	число	а сотен так , чтобы произведение было меньше 2247 .
1 В каких случаях говорят , что целое	число	а делится на натуральное число b без остатка ? .
1 В каких случаях говорят , что целое число а делится на натуральное	число	b без остатка ? .
число 7 — простое : оно не делится ни на одно	число	, кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10 простых чисел : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
На какую цифру оканчивается	число	41000 ? .
	Число	7 — простое : оно не делится ни на одно число , кроме самого себя и 1 . 3 ) первые 10 простых чисел : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .
	Число	4 — составное . 2 )
1.3 Известно , что	число	74 оканчивается на цифру 1 .
Натуральное	число	а называется составным , если его можно представить в виде произведения двух натуральных сомножителей , каждый из которых больше 1 .
На какую цифру оканчивается	число	711 ? .
5 На какую цифру оканчивается	число	450 ? .
1.4 На какую цифру оканчивается	число	5733 ? .
Пример 1.4 — чётное	число	.
15 — нечётное	число	.
Какой цифрой может оканчиваться нечётное	число	в десятичной системе счисления ? .
Разделить	число	а на 2 с остатком — это значит найти такие числа q и n , что , причём .
Следовательно , всякое чётное	число	представляется в виде 2q , а нечётное — в виде , где q — какое - то натуральное число .
Справедливо и обратное утверждение : если	число	оканчивается на цифру , отличную от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то оно не делится на 2 .
Следовательно , всякое чётное число представляется в виде 2q , а нечётное — в виде , где q — какое - то натуральное	число	.
Почему самое большое 20-значное	число	делится на 9 ? .
1 Какое	число	называется чётным ? .
Какой цифрой оканчивается	число	2100 ? .
18 Известно , что	число	1287 при делении на 7 даёт остаток 6 .
2 Что такое остаток от деления числа а на	число	b ? .
Делится ли	число	6318 на 2 ? .
3 Представим	число	6318 в виде суммы двух слагаемых .
Формулы , связанные с окружностью и кругом , содержат знаменитое	число	л .
3 Что такое неполное частное при делении числа а на	число	b ? .
Простым или составным является	число	101 ? .
8 При делении с остатком на	число	15 получен промежуточный результат .
Разделим каждое	число	на 10 с остатком .
13 При делении на 2	число	даёт остаток 1 .
Затем берут 5 , как очередное невычеркнутое число , и вычёркивают каждое следующее за 5	число	, делящееся на 5 .
Найдите	число	а .
Затем берут 5 , как очередное невычеркнутое	число	, и вычёркивают каждое следующее за 5 число , делящееся на 5 .
Затем берут 3 , как очередное невычеркнутое число , и вычёркивают каждое следующее за 3	число	, делящееся на 3 .
Затем берут 3 , как очередное невычеркнутое	число	, и вычёркивают каждое следующее за 3 число , делящееся на 3 .
Оставляют число 2 как первое простое и после него вычёркивают каждое	число	, делящееся на 2 .
Оставляют	число	2 как первое простое и после него вычёркивают каждое число , делящееся на 2 .
Какой остаток даёт	число	а при делении на 6 ? .
Серединой отрезка [ 0 ; 1 ] является точка , где	число	1 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 1 .
1.4 Какую запись имеет	число	31 в системе счисления с основанием 4 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 3 ] является точка , где	число	3 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 3 .
После прибавления первой единицы получится , а после прибавления второй получим	число	, следующее за , то есть .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на	число	b » говорят : « число а делится на число b » .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : «	число	а делится на число b » .
Осталось прибавить единицу , и получится	число	, следующее , то есть .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов « число а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на	число	b » .
Если в последнем равенстве поменять местами левую и правую части , то получим равенство , которое можно прочитать следующим образом : если одновременно числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное	число	, то полученная дробь равна исходной дроби .
1.6 Середины отрезков вида [ 0 ; k ] , где k — натуральное	число	.
Последнее	число	517 и есть количество марок в альбоме .
А теперь хотим прибавить к n	число	.
Сравните	число	получившихся отрезков с числом отрезков из предыдущей задачи .
Получится	число	следующее .
В такой формулировке приведённое правило иногда называют сокращением знаменателя и числителя на одно и то же натуральное	число	.
Действительно , только	число	является корнем уравнения0 .
7 Найдите	число	х , если .
Какое	число	появится на пересечении 79-й строки и 146-го столбца , если всё - таки продолжить составление таблицы сложения ? .
4 По какому правилу можно разделить десятичную дробь на натуральное	число	? .
Геометрический смысл деления числа а на	число	b — это деление отрезка длины а на b равных частей .
Только	число	является корнем уравнения .
В результате получится следующее за n натуральное	число	.
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное	число	b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Выбор некоторого отрезка в качестве единичного позволяет любому другому отрезку приписать	число	, называемое его длиной .
Как разместить 42 ребёнка за 6 столами , чтобы за каждым столом сидело одинаковое	число	детей ? .
Полученное значение х , равное 6 , называют частным при делении числа 42 на	число	7 .
Зная , что такое 1 % , определим 2 % , 3 % и вообще m% от заданной величины а : m % от величины а равны/. Найти m% от величины а — это значит найти её 1 % и результат умножить на	число	т .
Иногда удобно рассматривать натуральное	число	k как дробь и так далее .
Найденное выражение 7х даёт общее	число	конфет , которое по условию равно 42 .
Обозначим буквой х	число	конфет , достающихся каждому .
Говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное	число	.
Получится снова	число	а .
17 Запишите	число	2 в виде суммы простейших дробей со знаменателем 5 .
Имеется простое правило , которое иногда позволяет определять равенство дробей если одновременно числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное	число	, то полученная дробь равна исходной дроби .
Ответом будет	число	97 на верхней линейке , расположенное напротив деления 75 мм нижней линейки .
Говорят , что натуральное	число	а делится нацело на натуральное число b , если уравнение имеет корнем натуральное число .
Например , при одновременном умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же	число	2012 получим новую дробь .
В результате получим то же самое	число	517 .
Подставив вместо числа π	число	3,1415 , получим 1,21733125 м3 .
Если	число	т близко к 100 , то m% составляет значительную часть величины .
Какое наибольшее	число	отрезков с концами в различных вершинах квадрата можно получить ? .
Когда рассматривают только деление нацело , слово « нацело » иногда опускают и вместо слов «	число	а делится нацело на число b » говорят : « число а делится на число b » .
3 Как определяется частное при делении дроби на натуральное	число	? .
Это правило можно записать следующим образом : если делимое и делитель одновременно разделить на одно и то же	число	, не равное нулю , то частное от этого не изменится .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где	число	2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а число 2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное	число	и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное число .
1.7 Если делимое и делитель одновременно умножить на одно и то же ненулевое	число	, то частное от этого не изменится .
Что произойдёт с частным при делении числа а на число b , если делимое умножить на	число	5 ? .
Таким образом , серединой отрезка [ 0 ; 2 ] является точка , где число 2 над чертой в записи дроби указывает на то , что на две равные части делится отрезок длиной 2 , а	число	2 под чертой в записи показывает , на сколько равных частей делился отрезок с концами в точках 0 и 2 .
При умножении величины на натуральное	число	n получают величину , которая в n раз больше исходной величины , то есть происходит увеличение в n раз .
Умножим 37 на 400 и получим 14 800 — общее	число	кирпичей у хозяев .
5.4 Схема деления уголком числа 0,1 на	число	3 .
3.5 Умножение величины на дробное	число	.
Разделить десятичную дробь на натуральное	число	и получить ответ в виде десятичной дроби удаётся не всегда .
Как и для натуральных чисел , при делении десятичной дроби на натуральное	число	вычисления записывают уголком .
Что произойдёт с частным при делении числа а на	число	b , если делимое умножить на число 5 ? .
Какое из чисел делится нацело на любое натуральное	число	? .
С какой разрядной единицей сравнимо по порядку	число	месяцев в году ? .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное число раз — значит умножить величину h на дробное	число	.
( вычеркнуто	число	7 сверху и снизу ) .
Например , начнём делить уголком	число	0,1 на 3 .
( вычеркнуто	число	8 сверху и снизу ) .
Аналогичные слова иногда употребляют и при умножении величины на дробное число и говорят : изменить величину h в дробное	число	раз — значит умножить величину h на дробное число .
6 В следующих равенствах вместо х поставьте такое	число	, чтобы новая дробь была равна данной .
В частности , на пятом шаге по схеме деления нужно подобрать	число	0,000003 ; найти произведение и выполнить вычитание .
Если	числовая ось	расположена горизонтально и направлена вправо , то большее число изображается правее меньшего .
1 Что такое	числовая прямая	? .
11 На	числовой оси	из точки 1995 кузнечик прыгает либо на 5 единиц вправо , либо на 3 единицы влево .
При рассмотрении дробей на	числовой оси	мы неоднократно могли заметить , что дроби , имеющие разные записи , могут изображаться одной и той же точкой на числовой прямой .
7 Некоторое число т изображается на	числовой оси	точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление числовой оси на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
10 На	числовой оси	из начала отсчёта О прыгает кузнечик : сначала на 5 единиц вправо , затем на 3 единицы влево , затем снова на 5 единиц вправо и так далее .
Откладывание на	числовой оси	отрезков длиной .
7 Некоторое число т изображается на числовой оси точкой А , для которой см. Если изменить положительное направление	числовой оси	на противоположное , то число т изобразится другой точкой В. Какова длина отрезка АВ ? .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют числовой прямой или	числовой осью	, а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
Рассмотрим на	числовой прямой	отрезок [ 0 ; 1 ] и разделим его на три равные части .
1.3 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 17 .
Получившуюся прямую с изображёнными на ней числами называют	числовой прямой	или числовой осью , а длину отрезка ОЕ принимают за единицу измерения длины или единичный отрезок .
1.2 На	числовой прямой	отмечены точки , изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
Луч этой	числовой прямой	от нуля в сторону стрелки называется числовым лучом , а направление этого луча — положительным направлением .
Как объяснить , что на	числовой прямой	длина отрезка будет равна .
Как объяснить , что на	числовой прямой	длина отрезка от точки до точки 1 равна ? .
Если на	числовой прямой	от точки 0 вправо отложен отрезок длиной то его правый конец мы обозначили через .
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на	числовой прямой	можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка числовой прямой .
1.4 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 , точка А изображает число 281 .
Изобразите на	числовой прямой	соответствующие им точки .
3.2 Традиционное расположение	числовой прямой	.
Эту процедуру можно продолжить сколь угодно далеко , обозначая для любого натурального числа k получающиеся точки через k. Таким образом , на числовой прямой можно представить сумму любого числа частей , длина каждой из которых равна половине длины отрезка от 0 до 1 , то есть части единичного отрезка	числовой прямой	.
Какие точки на	числовой прямой	делят отрезок на 6 равных частей ? .
Изображение на	числовой прямой	даёт наглядное представление о сравнении чисел друг с другом .
Как из нескольких чисел , изображённых на горизонтальной	числовой прямой	с положительным направлением вправо , выбрать самое большое и самое малое ? .
5 На каком расстоянии от начала отсчёта О изображается на	числовой прямой	число 81 , если расстояние между точками А и В , изображающими числа 36 и 92 , равно 224 см ? .
Итак , мы изобразили на	числовой прямой	некоторые натуральные числа и нуль .
В каком месте	числовой прямой	вы изобразили бы половину единицы ? .
1.1 На	числовой прямой	отмечены точки , изображающие числа 0 , 10 , 20 и так далее .
Откладывание на	числовой прямой	отрезков длиной На прямой от точки 0 вправо отложен отрезок длиной , правый конец которого мы также обозначили через .
Укажите на	числовой прямой	отрезок , на котором лежит точка , изображающая число х .
2.1 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 81 .
В конце главы вводятся важные понятия	числовой прямой	и числового луча .
Дробь 0,76 изображается точкой А на	числовой прямой	, а дробь 1,22 изображается точкой В. Так как точка В расположена дальше от нуля вправо , чем точка А , то дробь 1,22 больше дроби 0,76 .
Напомним , что на	числовой прямой	можно наглядно изобразить сумму натуральных чисел .
Определение умножения через сложение позволяет наглядно представить на	числовой прямой	и произведение натуральных чисел .
Как объяснить , что на	числовой прямой	длина отрезка от точки до точки 1 также равна ? .
Для любого натурального числа к на	числовой прямой	рассмотрим отрезок [ 0 ; k ] длиной k.
Как на	числовой прямой	можно обозначить середину отрезка [ 3 ; 4 ] ? .
2.3 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 27 , точка В изображает число 59 .
Изобразим на	числовой прямой	произведение , равное 63 .
2.4 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 25 .
Далее на	числовой прямой	рассмотрим отрезок [ 0 ; 3 ] длиной 3 и проведём рассуждения , подобные предыдущим .
Рассмотрим на	числовой прямой	отрезок [ 0 ; 1 ] и разделим его на две равные части .
18 На	числовой прямой	укажите какой - нибудь отрезок длины 0,1 , на котором лежит изображение числа 3,14159265 .
2.2 На	числовой прямой	расстояние между изображениями чисел 0 и 1 равно 1 см , точка А изображает число 36 .
4 Как из произвольной прямой получить	числовую прямую	? .
Как из одной и той же прямой получить две различные	числовые прямые	? .
18 Изображены отрезки	числовых прямых	с нанесёнными на них делениями .
Следовательно , сторона такого квадрата выражается	числом	.
Оказывается , что ответ будет громадным	числом	!
На третьем шаге компьютер сравнивает число 8 с вышестоящим	числом	15 .
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для натурального числа к определить дробь которую иногда называют дробным	числом	или числом .
Площадь квадрата со стороной а выражается	числом	.
Этот процесс можно продолжать шаг за шагом и для натурального числа к определить дробь которую иногда называют дробным числом или	числом	.
По сравнению с указанным	числом	и к миллиону , и к миллиарду скорее всего следует относиться как к « карликам » .
Какое натуральное число следует за	числом	399 ? .
Сочетательный закон сложения : при сложении суммы двух чисел с третьим	числом	результат не изменяется , если первое число сложить с суммой второго и третьего .
Выходит , что 1 % может выражаться и очень большим	числом	, и очень маленьким .
Разность между разрядной единицей и	числом	называют дополнением числа до разрядной единицы .
Как прочитать натуральное число , следующее за	числом	, равным 11 десяткам ? .
Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным	числом	.
Для третьей степени числа а , то есть для а3 , также установилось специальное название : « а в кубе » , так как объём куба , сторона которого равна а , выражается	числом	а3 .
Получим новую ломаную ANB с меньшим	числом	звеньев .
На последнем шаге компьютер сравнивает число 8 с вышестоящим	числом	11 .
Такие же значения можно связать не только с	числом	жителей , но и вообще с любым числом а .
Такие же значения можно связать не только с числом жителей , но и вообще с любым	числом	а .
Так как , подбираем цифру с так , чтобы произведение было самым большим	числом	, которое меньше либо равно 0,48 .
Треугольники , четырёхугольники — это тоже многоугольники , но с определённым	числом	вершин .
1.4 Какую цифру а нужно взять , чтобы произведение было самым большим	числом	, которое меньше или равно 5,47 ? .
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого натурального числа n разность между последующим	числом	и самим числом n равна 1 .
2.2 При каких из указанных значений а число не является натуральным	числом	? .
Отсюда следует , что выполняется свойство , для каждого натурального числа n разность между последующим числом и самим	числом	n равна 1 .
Наряду с треугольниками и четырёхугольниками рассматриваются и другие похожие геометрические фигуры с большим	числом	вершин , имеющие общие названия — многоугольники .
2.1 При каких из указанных значений а число является натуральным	числом	? .
Другими словами , если число n является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за	числом	n , то разностью между ними является число 1 .
2 Почему площадь любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается целым	числом	клеточек ? .
Предположим , что мы уже научились складывать n с некоторым натуральным	числом	т , то есть умеем находить сумму .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым	числом	клеточек , или дробным числом со знаменателем 2 ? .
Так как , подбираем цифру b с таким расчётом , чтобы произведение было самым большим	числом	, которое меньше либо равно 4,08 .
3 Почему площадь любого треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги выражается или целым числом клеточек , или дробным	числом	со знаменателем 2 ? .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого натурального числа n разность между последующим	числом	и числом 1 равна числу n .
Поскольку , подбираем цифру а так , чтобы произведение было самым большим	числом	, но меньшим либо равным числу 64,08 .
Остаётся выполнить действия , чтобы записать ответ одним	числом	.
Значение х будет тем	числом	, для которого число равно 234 .
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого натурального числа n разность между последующим числом и	числом	1 равна числу n .
Прикладывая его можно сравнить отрезок с соответствующим	числом	шагов сетки .
Натуральное число , следующее за	числом	999 , обозначается четырьмя цифрами : 1000 — тысяча .
Другими словами , если число 1 является вычитаемым , а уменьшаемым является число , следующее за	числом	n , то разностью между ними является число n .
1.3 Какое число следует за	числом	89 399 ? .
Произведение является однозначным	числом	9 .
Произведение снова является двузначным	числом	24 .
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным	числом	или числом .
Кубический корень из натурального числа часто оказывается нецелым	числом	.
Поэтому сумма двух , трёх и любого другого количества таких частей также может быть выражена натуральным	числом	.
Аналогично , если от точки вправо отложить ещё один отрезок длиной , то в результате можно определить дробь , которую также называют дробным числом или	числом	.
Например , в старших классах вы узнаете , что длину диагонали квадрата со стороной в 1 метр нельзя выразить рациональным	числом	метров .
Полученную дробь называют также дробным	числом	или числом .
5 Каким	числом	способов можно записать обозначение пятиугольника KLMNO ? .
Иногда часть величины нельзя выразить натуральным	числом	в выбранных единицах измерения .
4 Каким	числом	способов можно записать обозначение четырёхугольника ABCD ? .
Запишите	числом	температуру .
Оцените длину забора целым	числом	метров .
Полученную дробь называют дробным	числом	или числом .
( Результат такого деления можно выразить дробным	числом	.
1.2 Каким натуральным	числом	записывается количество всех трёхзначных натуральных чисел ? .
Может ли таким	числом	быть .
Полученную дробь называют также дробным числом или	числом	.
В то же время при рассмотрении других единиц измерения можно получить результат , выраженный натуральным	числом	.
Полученную дробь также называют дробным числом или	числом	.
В результате сумма длин двух , трёх и любого другого количества таких дощечек также может быть выражена натуральным	числом	дециметров .
В каком случае сумма двузначного и трёхзначного чисел является четырёхзначным	числом	? .
Полученную дробь также называют дробным	числом	или числом .
Если , то разность натуральных чисел а и b тоже является натуральным	числом	.
Сравните число получившихся отрезков с	числом	отрезков из предыдущей задачи .
Иногда полученную дробь также называют дробным числом или	числом	.
В каких единицах можно выразить одним натуральным	числом	промежуток времени продолжительностью 2 часа 18 минут ? .
Иногда полученную дробь также называют дробным	числом	или числом .
Когда результат измерения не выражается целым	числом	, приходится использовать доли выбранных единиц измерения .
Площадь всегда выражается неотрицательным	числом	и имеет четыре следующих основных свойства .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать отрезок на этой прямой , левый конец которого обозначен числом а , тогда как правый конец обозначен	числом	b. Например , концами отрезка [ 0 ; 1 ] являются точки 0 и 1 .
Отрицательные числа записываются со знаком « - » , то есть « минус » , перед соответствующим	числом	.
Например , температуру 20 градусов ниже нуля можно указать	числом	-20 ( читается : « минус двадцать » ) градусов .
Для удобства изложения через [ а ; b ] будем обозначать отрезок на этой прямой , левый конец которого обозначен	числом	а , тогда как правый конец обозначен числом b. Например , концами отрезка [ 0 ; 1 ] являются точки 0 и 1 .
Полученную дробь называют дробным числом или	числом	.
1.3 Как одним натуральным	числом	записать промежуток времени в 2 часа 16 минут ? .
Тем самым каждая часть , полученная при делении 20 кг на 10 равных частей , является величиной , которая выражена натуральным	числом	килограммов .
На первом шаге компьютер сравнивает нижнее число 12 с вышестоящим	числом	10 .
Ничего не зная о самой величине , нельзя наперёд сказать , большим или маленьким	числом	будет выражаться 1 % от неё .
Почему произведение трёх нечётных чисел является нечётным	числом	? .
Это выражение будем называть дробным	числом	, дробью или числом .
2.2 Какие из указанных величин выражаются целым	числом	соответствующих единиц измерения ? .
Это выражение будем называть дробным числом , дробью или	числом	.
На втором шаге компьютер сравнивает число 10 со стоящим над ним	числом	8 .
Какие из указанных размеров нельзя выразить целым	числом	метров ? .
Каким	числом	способов это можно сделать ? .
Значение каких из указанных выражений является чётным	числом	? .
6 Почему произведение двух нечётных чисел является нечётным	числом	?
Будем считать , что на каждой линейке	числу	1 соответствует отрезок в 1 мм , сантиметровым делениям соответствуют десятки , десятисантиметровым — сотни .
13 Как прибавить 2 или 3 к натуральному	числу	? .
3 конфеты нельзя разделить на двоих поровну так , чтобы каждому досталось по целому	числу	конфет .
Количество десятичных знаков произведения равно	числу	нулей в записи знаменателя .
Заменим нулями т цифр справа , где m < n. Получится число , не превосходящее а , которое называется десятичным приближением снизу с точностью до 10 m. Например , для числа 209 360 его десятичными приближениями снизу будут : 209 360 — с точностью до 10 ; 209 300 — с точностью до 100 ; 209 000 — с точностью до 1000 ; 200 000 — с точностью до 10 000 ; 200 000 — с точностью до 100 000 . Видно , что десятичное приближение снизу может оказаться равным исходному	числу	, если оно оканчивалось нулями .
В итоге все столбцы рассмотрены , разность найдена и равна	числу	, записанному под чертой .
Решением этого уравнения является дробь , так , как основному свойству дроби равно	числу	.
Одновременно выполняется и другое свойство : для каждого натурального числа n разность между последующим числом и числом 1 равна	числу	n .
Проще всего к любому натуральному	числу	n прибавить единицу .
Свойство числа 1 при умножении : произведение числа а и числа 1 всегда равно	числу	а .
Поскольку , подбираем цифру а так , чтобы произведение было самым большим числом , но меньшим либо равным	числу	64,08 .
Этот закон можно прочитать и так : чтобы к сумме двух чисел прибавить третье , можно к первому	числу	прибавить сумму второго и третьего , и наоборот .
2.3 Какие из указанных произведений равны натуральному	числу	? .
К	числу	1357 прибавьте сумму трёх чисел — 853 , 459 и 596 .
1.4 Какому	числу	соответствует запись .
Отсюда вытекает закономерность : если некоторое натуральное число n уже определено , то следующее за ним натуральное число равно	числу	.
Свойство числа 0 при сложении : сумма числа а и числа 0 всегда равна	числу	а .
Точно так же каждому нечётному	числу	можно сопоставить следующее за ним чётное число .
Произведение n одинаковых сомножителей , равных	числу	а , называется степенью числа а и обозначается через аn , где сверху справа указано количество сомножителей : аn .
Какое из этих чисел лучше всего взять в качестве приближения к	числу	? .
По определению нуль предшествует	числу	один и обозначается цифрой 0 .
Последовательное прибавление единицы к числам от 1 до 9 при прибавлении к натуральному	числу	n числа 1 мы получаем следующее натуральное число .
2.1 Какие из указанных выражений равны	числу	1030 ? .
Число нулей в записи знаменателя этой дроби равно	числу	десятичных знаков дробной части , то есть шести .
Какому	числу	равен ответ в рассмотренной задаче ? .
Как показать , что сумма двух нечётных чисел всегда	чётна	? .
1.3 Сколько всего нечётных двузначных чисел , в записи которых есть	чётная	цифра ? .
Покажите , что число людей , сделавших нечётное число рукопожатий ,	чётно	.
2.3 Какие из указанных чисел могут быть остатками при делении	чётного	числа на 6 ? .
2 Почему произведение любого натурального числа на	чётное	будет чётным ? .
Пример 1.4 —	чётное	число .
Следовательно , всякое	чётное	число представляется в виде 2q , а нечётное — в виде , где q — какое - то натуральное число .
Точно так же каждому нечётному числу можно сопоставить следующее за ним	чётное	число .
Могут ли быть равными две дроби , одна из которых имеет	чётные	числитель и знаменатель , а вторая имеет нечётные числитель и знаменатель ? .
1 Какой вид имеют : а )	чётные	числа ; б ) нечётные числа ? .
1.4 Сколько всего чётных двузначных чисел , у которых обе цифры	чётные	? .
1 Какое число называется	чётным	? .
Значение каких из указанных выражений является	чётным	числом ? .
2 Почему произведение любого натурального числа на чётное будет	чётным	? .
3 Может ли число вида 9k быть	чётным	?
Будет рассказано , какие числа называют	чётными	, нечётными , простыми и составными , что такое деление натуральных чисел с остатком .
Числа , делящиеся нацело на 2 , называют	чётными	, а не делящиеся на 2 — нечётными .
1.1 Сколько всего	чётных	чисел , которые меньше 100 и делятся на 5 ? .
1.4 Сколько всего	чётных	двузначных чисел , у которых обе цифры чётные ? .
Определение	чётных	и нечётных чисел .
Деление	чётных	чисел на 2 даёт в остатке 0 , деление нечётных чисел на 2 даёт в остатке 1 .
Каких цифр больше —	чётных	или нечётных ? .
Объединив сферу и эту область , получаем	шар	того же радиуса и с тем же центром , что и сфера .
4 Что такое	шар	? .
6 Как изменится объём	шара	, если его радиус : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
5 Найдите объём	шара	, если его радиус равен .
Вычисление объёма шара производится по формуле , где R — радиус шара , V — объём	шара	.
5 По какой формуле вычисляется объём	шара	? .
1.4 Во сколько раз уменьшится объём	шара	, если его радиус уменьшить в 2 раза ? .
2.2 Каким из указанных значений равен объём	шара	с радиусом 10 см ? .
Найдите площадь , занимаемую сушей и водой на всей Земле и в каждом полушарии отдельно , если поверхность земного	шара	приблизительно равна 510 млн км2 .
1.2 Чему равно приближённое значение объёма	шара	с радиусом 3 см , если за приближённое значение числа π с недостатком выбрано 3,1 ? .
Вычисление объёма шара производится по формуле , где R — радиус	шара	, V — объём шара .
Подставим значение R в формулу объёма	шара	.
Радиус	шара	.
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём	шара	с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины шара с радиусом 1 дм .
Вычисление объёма	шара	производится по формуле , где R — радиус шара , V — объём шара .
8 Резервуар для нефти имеет форму , равную половине	шара	радиуса 8 м .
3 Объёмы цилиндра и	шара	.
1 ) объём цилиндра с высотой дм и радиусом основания 1 дм . 2 ) объём шара с радиусом 1 дм . 3 ) объём цилиндра с высотой 0,5 дм и радиусом основания 1 дм . 4 ) объём половины	шара	с радиусом 1 дм .
2.3 Какие из указанных значений являются приближёнными значениями с недостатком объёма	шара	с радиусом 1 дм ? .
В этой главе вы увидите примеры применения формул на практике , узнаете формулы для вычисления длины окружности , площади круга , объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба , объёмов цилиндра и	шара	, познакомитесь с операцией извлечения кубических корней .
Центр	шара	.
3.4 Шар и объём	шара	.
Треугольник , параллелограмм ,	шестиугольник	.
4 Сколько сторон имеет	шестиугольник	? .
2.3 Какие из пар отрезков являются соседними сторонами	шестиугольника	? .
Придумайте обозначения для его вершин и запишите обозначение самого	шестиугольника	.
Поэтому иногда употребляется система записи чисел , тесно связанная с двоичной , —	шестнадцатеричная	система счисления .
9 Какая система счисления называется	шестнадцатеричной	? .
11 Запишите в	шестнадцатеричной	системе числа от 1 до 15 .
12 Запишите в	шестнадцатеричной	системе числа от 32 до 47 .
10 Запишите в	шестнадцатеричной	системе число 16 и число 196 .
13 Запишите в	шестнадцатеричной	системе число 144 .
Сколько цифр потребуется для записи числа 1999 в	шестнадцатеричной	системе счисления ? .
7 Напишите формулу для вычисления высоты прямоугольного параллелепипеда , у которого известны длина а ,	ширина	b и объём V .
Длина ,	ширина	и высота прямоугольного параллелепипеда равны 8 см , 4 см и 2 см соответственно .
Длина сада равна м , а	ширина	на м меньше .
Длины трёх рёбер , идущих из общей вершины , например АВ , AD и АЕ называются измерениями прямоугольного параллелепипеда :	ширина	, длина , высота .
1.2 При измерении линейкой прямоугольного листа бумаги получили , что его	ширина	15 см и длина 20 см. Чему равна площадь этого листа ? .
9 Сколько рулонов обоев длиной 10 м и	шириной	м потребуется на стену , размеры которой ? .
2.3 Какие из указанных значений в квадратных метрах являются значениями с недостатком для площади потолка комнаты	шириной	262 см и длиной 311 см ? .
4 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана дачного участка длиной 40 м и	шириной	20 м на листе бумаги длиной 30 см и шириной 20 см , чтобы план полностью поместился на листе и поля оставались не слишком большими ? .
Найдём объём комнаты	шириной	2,5 м , длиной 4,15 м и высотой 2,45 м .
12 Пол комнаты	шириной	3 м и длиной 6 м нужно покрыть квадратными плитками со стороной в 30 см. Сколько таких плиток потребуется для покрытия всего пола ? .
4 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана дачного участка длиной 40 м и шириной 20 м на листе бумаги длиной 30 см и	шириной	20 см , чтобы план полностью поместился на листе и поля оставались не слишком большими ? .
8 Почему на столе	шириной	60 см и длиной 90 см нельзя без наложения разместить 2000 монет , площадь каждой из которых 3 см2 ? .
Будем изображать число учащихся прямоугольниками с одинаковой	шириной	, считая , что прямоугольнику высотой в 1 деление соответствует 200 человек .
2.3 При каких из приведённых значениях m и n объём прямоугольного листа бумаги толщиной 0,01 см ,	шириной	m см длиной n см равен 2,4 см3 ? .
2.1 При каких указанных масштабах прямоугольный участок	шириной	120 м и длиной 250 м можно изобразить на листе бумаги размером 20 см × 40 см ? .
5 Какой масштаб нужно выбрать для изображения плана комнаты длиной 5 м и	шириной	4 м на листе обычной тетради в клетку ? .
На прямоугольной площадке	шириной	3 м и длиной 5 м для просушивания тонким слоем в 1 см рассыпано зерно .
11 Велотрек имеет вид кругового кольца	шириной	5 м , внутренний радиус которого равен 50 м .
1.1 Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда	шириной	20 см , длиной 30 см и высотой 10 см ? .
Объём всего зерна можно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с	шириной	30 дм , длиной 50 дм и высотой 0,1 дм .
10 Сколько картофеля потребуется для посадки на участке	шириной	8 м и длиной 75 м , если на одну сотку уходит 30 кг ? .
увеличить	ширину	в 3 раза , а высоту уменьшить в 2 раза .
уменьшить	ширину	в 4 раза , а высоту увеличить в 4 раза .
6 Бетонный блок имеет длину а ,	ширину	b и высоту с.
в ) увеличить длину и	ширину	в 2 раза .
уменьшить	ширину	в 3 раза .
13 Комната имеет длину 5 м и	ширину	3 м 21 см . а ) Найдите площадь пола в квадратных метрах с избытком и недостатком .
8 Известно , что компостная яма формы прямоугольного параллелепипеда объёмом V имеет длину а и	ширину	b.
Длину ,	ширину	и высоту полки удобнее выражать в сантиметрах .
Почему первый	штрих	на шкале линейки помечен нулём , а не единицей ? .
Обычно шкала разделена	штрихами	на части так , что каждому промежутку между соседними делениями соответствует определённое значение измеряемой величины .
Во сколько раз расстояние от Северного полюса до	экватора	больше линейки длиной 40 см ? .
Достаточно вспомнить одно из своих дальних путешествий , найти его на карте и сравнить с длиной	экватора	.
И если длина	экватора	окажется раз в двадцать или в сто длиннее , то вы сразу поймёте , чего стоили кругосветные путешествия в старые времена .
4 Найдите радиус Земли , считая длину земного	экватора	равной 40 000 км .
Если третьим колышком натянуть верёвку и прочертить на земле линию , то получится	эллипс	.
38 С помощью иголочек или кнопок и нитки попробуйте изобразить	эллипс	.
42 Как привязать козу верёвкой к двум колышкам , чтобы она могла пастись лишь на участке , ограниченном	эллипсом	? .